/
Author: Мысовских И.П
Tags: вычислительная математика численный анализ математика интерполяция
Year: 1981
Text
И.П.МЫСОВСКИХ
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ
КУ БАТУРИНЕ
ФОРМУЛЫ
и.п.мысовских
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ
КУБАТУРНЫЕ
ФОРМУЛЫ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1981
22.19
М 95
УДК 519.6
Интерполяционные кубатурные формулы. Мысов-
ских И. П,— М.: Наука. Главная редакция физико-математиче-
ской литературы, 4981.— 336 с.
Книга посвящена теории кубатурных формул с тп-свойством
(точных для многочленов степени не выше тп), которые находят
все большее применение в практике вычислений. В частности, из-
ложены результаты об инвариантных кубатурных формулах,
о связи ортогональных многочленов и кубатурных формул. Приве-
дены таблицы кубатурных формул для простейших областей ин-
тегрирования в многомерном пространстве — куба, симплекса, ша-
ра, сферы.
В основу положен материал курса лекций, читавшихся авто-
ром в Ленинградском государственном университете.
Иван Петрович Мысовских
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
Редактор И. В. Викторенкова
Техн, редактор Е. В. Морозова
Корректор. Т. С. Плетнева
ИВ 2292
Сдано в набор 23.03.81. Подписано к печати 02.10.81. Т-27702. Формат
84x108732. Бумага тип. № 1. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать.
Условн. печ. л. 17,64. Уч.-изд. л. 18,21. Тираж 4000 экз. Заказ № 524. Цена
2 р. 90 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25
20204___122
М 053(02) -81 ^020 00 0
©Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1981
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...........................................
Глава 1. Введение . ..................................
§ 1. Квадратурные формулы.........................
§ 2. Алгебраические гиперповерхности..............
Глава 2. Интерполяционные кубатурные формулы .
§ 3. Интерполяционные кубатурные формулы
§ 4. Теорема Чакалова.............................
Глава 3. Методы построения кубатурных формул, основан-
ные на симметрии.....................................
§ 5. Метод неопределенных параметров..............
§ 6. Метод повторного применения квадратурных фор-
мул .............................................
§ 7. Инвариантные кубатурные формулы..............
Глава 4. Ортогональные многочлены и кубатурные фор-
мулы ................................................
§ 8. Ортогональные многочлены многих переменных
§ 9. Нижняя граница для числа узлов кубатурной фор-
мулы в случае центральной симметрии
§ 10. Интерполяционные кубатурные формулы с числом
узлов, равным простейшей нижней границе
§ 11. Общие корни ортогональных многочленов и куба-
турные формулы...................................
§ 12. Метод воспроизводящего ядра................
§ 13. Добавление.................................
Глава 5. Таблицы кубатурных формул...................
§ 14. Кубатурные формулы для куба................
§ 15. Кубатурные формулы для симплекса ....
§ 16. Кубатурные формулы для шара................
§ 17. Кубатурные формулы для сферы...............
Литература...........................................
Предметный указатель.................................
4
7
7
24
67
67
87
100
100
114
128
158
159
196
206
224
240
248
275
276
289
293
311
325
334
ПРЕДИСЛОВИЕ '
Формулы приближенного вычисления тг-кратного оп-
ределенного интеграла имеют вид приближенных ра-
венств, в левой части которых стоит вычисляемый ин-
теграл, а в правой — обобщение суммы Римана: линейная
комбинация с постоянными коэффициентами значений
подынтегральной функции в точках области интегрирова-
ния, называемых узлами. При п = 1 такие формулы при-
ближенного интегрирования называют квадратурными,
а при п > 2 — кубатурными.
Квадратурные формулы применяются со времен Нью- ч
тона. В основу их получения положено требование, чтобы
приближенное равенство обращалось в точное, когда по-
дынтегральная функция является многочленом степени
не выше т. Для краткости будем говорить в этом случае,
что квадратурная (или кубатурная) формула обладает
тп-свойством. Такие квадратурные формулы хорощо заре-
комендовали себя в практике вычислений, тп-свойство
удачно учитывает индивидуальность подынтегральной
функции: чем лучше функция может быть приближена
многочленом, тем точнее результат вычисления интеграла
с помощью квадратурной формулы. Квадратурным фор-
мулам посвящен ряд книг [16, 26, 27, 42, 54].
Применение кубатурных формул к вычислению интег-
ралов высокой кратности было невозможно до появления"
электронных вычислительных машин. По-видимому, этим
и объясняется, что разработка теории кубатурных фор-
мул началась сравнительно недавно. В настоящее время
интенсивно развиваются два направления теории куба-
турных формул, обладающих тп-свойством.
Первое направление берет начало от Гаусса. В квад-
ратурной формуле гауссова типа число узлов в два раза
меньше, чем в интерполяционной квадратурной формуле
той же алгебраической степени точности. Вопрос об
уменьшении числа узлов при сохранении алгебраической
ПРЕДИСЛОВИЕ
5
степени точности становится еще более актуальным при
вычислении кратных интегралов с помощью кубатурных
формул. Важный шаг в решении этого вопроса сделан
в статье И. Радона [44], где рассмотрена задача о постро-
ении кубатурной формулы для вычисления двойного ин-
теграла, обладающей 5-свойством и имеющей 7 узлов.
В этой статье впервые для построения кубатурной фор-
мулы успешно использованы ортогональные многочлены
области интегрирования.
Более общие результаты о связи ортогональных много-
членов и кубатурных формул появились в конце шести-
десятых годов. А. Строуд [53, в] и автор [40, к] незави-
симо получили следующую теорему о существовании
кубатурной формулы для вычисления двойного интегра-
ла. Если два ортогональных многочлена степени к +1 об-
ласти интегрирования и весовой функции имеют точно
(А + 1)2 конечных попарно различных общих корней, то
их можно взять в качестве узлов кубатурной формулы с
(2&+1)-свойством. В настоящее время эта теорема обоб-
щена в различных направлениях, в частности она пере-
несена на случай n-кратного интеграла при любом п.
Второе направление связано с методом неопределен-
ных параметров построения кубатурных формул с тп-свой-
ством. Большинство кубатурных формул для конкретных
областей — куба, симплекса, шара, сферы и др.— получе-
но этим методом. Интересно, что еще в 1877 г. Д. К. Макс-
велл [36] получил этим методом кубатурные формулы с
7-свойством для квадрата и куба. В 1962 г. С. Л. Соболев
[51, а] ввел понятие инвариантной кубатурной формулы
и доказал теорему, которая дает необходимое и достаточ-
ное условие для того, чтобы инвариантная кубатурная
формула обладала тп-свойством. Эта работа позволила ис-
пользовать результаты теории групп и тем самым расши-
рить область применения метода неопределенных пара-
метров.
Первое систематическое изложение кубатурных фор-
мул с zn-свойством дано в вышедшей в 1967 г. книге
В. И. Крылова [26], где, в частности, дано подробное из-
ложение упомянутой статьи И. Радона [44], дополненное
доказательство минимальности числа узлов 7 в куба-
турной формуле Радона. В 1971 г. в США вышла книга
А. Строуда [53, д], в которой, наряду с вопросами постро-
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
ения кубатурных формул, рассмотрены оценки погрешно-
сти кубатурных формул, метод Монте-Карло и теоретико-
числовые методы. Книга А. Строуда содержит обширные
таблицы кубатурных формул для куба, шара, сферы,
симплекса и других областей интегрирования.
Предлагаемая книга посвящена построению кубатур-
ных формул с /^-свойством. В основу книги положен курс
лекций по вычислению кратных интегралов, который с
1960 г. автор читает студентам математико-мехацическо-
го факультета Ленинградского государственного универ-
ситета, специализирующимся по вычислительной матема-
тике. Таким образом, книгу можно рассматривать и как
учебное пособие по такому курсу. Отметим еще, что на-
звание книги «Интерполяционные кубатурные формулы»,
хотя и обладает достоинством краткости, не вйолне точно
отражает ее содержание, так как не всякая кубатурная
формула с тп-свойством является интерполяционной.
Автор благодарит В. И. Лебедева, который прочитал
рукопись книги и сделал ряд замечаний, способствовав-
ших улучшению изложения.
И. П. Мысовских
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
Здесь излагаются предварительные сведения, исполь-
зуемые в следующих главах. В .§ 1 в конспективной фор-
ме приводятся результаты о квадратурных формулах,
в частности, о формулах гауссова типа.
В § 2 изложены некоторые результаты по теории ал-
гебраических гиперповерхностей. В частности, рассмотре-
ны теоремы о независимости линейных связей, о ранге
матрицы, составленной из строк матрицы Вандермонда,
и некоторые теоремы из теории полиномиальных идеалов.
Материал § 2 имеет существенное значение в вопросах,
где приходится иметь дело с многочленами от п перемен-
ных, например, в алгебраическом интерполировании и
при исследовании решений системы нелинейных алгебра-
ических уравнений.
§ 1. Квадратурные формулы
Для вычисления определенных цнтегралов от функции
одной переменной применяются приближенные формулы
вида
^p(x)j(x)dxz* 2 (1.1)
а
которые называются квадратурными формулами. В левой
части стоит интеграл, подлежащий вычислению. Подын-
тегральная функция записана в виде произведения двух
функций: р(я), фиксированная для данной квадратурной
формулы, называется весовой функцией9, принадле-
жит достаточно широкому классу функций, например не-
прерывных и таких, что интеграл в левой части (1.1)
существует. Сумма в правой части называется квадратур-
ной суммой, числа xh называются узлами квадратурной
формулы, а числа Ch — коэффициентами.
8
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
При вычислении приближенного значения интеграла
с помощью формулы (1.1) основной труд затрачивается
на вычисление значений подынтегральной функции в уз-
лах; значения узлов и коэффициентов берутся из таблиц.
Наибольшее распространение получили квадратурные
формулы, основанные на алгебраическом интерполирова-
нии. Возьмем N попарно различных точек xl9 х2, ..., xN
на отрезке интегрирования [а, Ь] и построим многочлен
Р(х) степени не выше 2V— 1, который в этих точках при-
нимает те же значения, что и функция fix):
Pix5) = /(^), / = 1,2,..., N.
Он называется интерполяционным многочленом функции
fix), построенным по узлам хи ..., xN.
Воспользуемся представлением интерполяционного
многочлена по формуле Лагранжа:
г—1
Li(x), i = 1, 2, ..., N, — фундаментальные многочлены ин-
терполирования:
Ш) = ^, г,/= 1,2,... Л,
где 6ij — символ Кронекера: б„ = 0 при i^j, б« = 1. По-
ложим
(О(я) = ix.~ Xi)(x ~ х2).. Ax~ xN).
Тогда
т . (т\ _ в* (х)____________________
Получаем приближенное равенство
N
f(x)^'SlLi(x)f(xi). (1.2)
Умножая обе его части на pix) и интегрируя по х от а
до Ь, получим равенство вида (1.1), в котором
ь
С< = §p(x)Li(x)dx, £ — 1,2, ...Л. (1.3)
а
Мы предполагаем, что интегралы (1.3) существуют.
Так как фундаментальные многочлены интерполирования
§ 1. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
9
образуют базис в векторном пространстве многочленов
степени не выше N— 1, то это предположение равносиль-
но существованию моментов весовой функции р(х):
ь
рк = | р (x)xk~ldx, к = 1, 2,
а
В дальнейшем существование требуемых моментов всег-
да предполагается.
Квадратурная формула (1.1), где узлы — заданные по-
парно различные числа, называется интерполяционной,
если ее коэффициенты задаются равенствами (1.3).
Приведем еще одно определение. Будем говорить, что
квадратурная формула (1.1) обладает тп-свойством, если
она обращается в точное равенство, когда fix) — любой
многочлен степени не выше тп.
Теорема 1.1. Для того чтобы квадратурная форму-
ла (1.1) была интерполяционной, необходимо и достаточ-
но, чтобы она обладала iN — D-свойством.
Доказательство. Если fix) является многочленом
степени не выше 2V— 1, то равенство (1.2) точное, и в ре-
зультате его умножения на pix) и интегрирования полу-
чим точное равенство.
Обратно, пусть квадратурная формула (1.1) обладает
iN— D-свойством. Тогда она точна для фундаментально-
го многочлена интерполирования Щх):
ь
J р (х) Li (х) dx = Ci, i = 1,2, .. .,N.
а
Эти равенства означают, что формула (1.1) интерполяци-
онная. Теорема доказана.
Целое неотрицательное число d называется алгебраи-
ческой степенью точности квадратурной формулы, если
эта формула обладает d-свойством и не обладает id+D-
свойством>
Условие теоремы 1.1, очевидно, можно заменить сле-
дующим: алгебраическая степень точности d квадратур-
ной формулы (1.1) удовлетворяет неравенству d>2V—1.
Примером интерполяционных квадратурных формул
являются квадратурные формулы Ньютона — Котеса, кото-
рые отвечают конечному отрезку интегрирования [аж Ь]
10
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
и весу р(х} = 1. В этих формулах в качестве узлов выби-
раются равноотстоящие точки
= а + /А, ] = 0,1, 2, ..., rn, h = (b — а)1т.
Здесь т — фиксированное натуральное число, число узлов
равно N = т + 1. Алгебраическая степень точности этих
формул равна т +1 при т четном и т при т нечетном.
Другой важный пример интерполяционных квадратур-
ных формул дают квадратурные формулы Чебышева с
равными коэффициентами
1 m
J f(x)dxs-iC 2/(*&)•
-i ^=1
Весовая функция равна единице, отрезок интегрирования
считается совпадающим с [—1, И. Число параметров, оп-
ределяющих квадратурную формулу, равно тп + 1 (тп уз-
лов ГГ1, ж2, •.%т и значение коэффициента С). Параметры
определяются требованием, чтобы квадратурная формула
была точна для всех многочленов степени не выше т или,
что то же самое, для одночленов 1, х, х2,..., хт.
Параметр С находится из условия, что квадратурная
формула точна для /=1, и равен 2/т. Узлы оказывают-
ся вещественными и принадлежащими (— 1, 1) при т =
= 1 (1)7, 9. Как доказал С. Н. Бернштейн, при тп>10
среди узлов квадратурной формулы Чебышева всегда
имеются комплексные. Алгебраическая степень точности
квадратурной формулы Чебышева равна т при т нечет-
ном и равна т + 1 при т четном.
Рассмотрим еще квадратурную формулу прямоуголь-
ников, которая применяется для вычисления интеграла
по конечному промежутку [а, &]
ъ ~
J / (ж) dx h 2 / (^1 + (7 — 1) h),
а Э—1
где h = (Ь — а)/т и х^ е [а, а + Л]. Алгебраическая сте-
пень точности этой формулы не высока: равна единице
при Xi == а + hl2 и нулю в остальных случаях. Из этого
факта и из теоремы 1.1 следует, что формула прямоуголь-
ников при тп > 3 и любом выборе Xi не является интерпо-
ляционной.
§ 1. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
11
Квадратурная формула прямоугольников точна для
тригонометрических функций
cos -^-кх, sin кх, к = 0,1, 2, ..т — 1.
Ъ — d о — а
Пусть Ъ — а = 2л. В этом случае формула прямоугольни-
ков точна для всех тригонометрических многочленов по-
рядка не выше т — 1 и не точна хоть для одной из
функций cosznrr, sinzn#, другими словами, ее тригономет-
рическая степень точности равна 1. Никакая другая
квадратурная формула с т вещественными узлами не
может иметь тригонометрическую степень точности, боль-
шую, чем тп —1, так что квадратурная формула прямо-
угольников обладает наивысшей тригонометрической сте-
пенью точности.
Подробное изложение квадратурных формул Ньюто-
на — Котеса, Чебышева и прямоугольников имеется в кни-
ге В. И. Крылова [26] в гл. 6, 10, 8 соответственно. Там
же приведены численные значения коэффициентов квад-
ратурных формул Ньютона — Котеса при т = 1(1)10 и
узлов квадратурных формул Чебышева при тп = 1(1)7, 9.
Алгебраическая степень точности d интерполяционной
квадратурной формулы удовлетворяет неравенству
> N — 1 при любых фиксированных узлах. Это достига-
ется за счет специального выбора коэффициентов Ci по
формуле (1.3). К. Ф. Гаусс рассмотрел вопрос о повыше-
нии алгебраической степени точности квадратурной фор-
мулы для случая конечного отрезка [а, Ь] и весовой
функции р(х) = 1 и показал, что за счет специального
выбора узлов можно достичь максимально возможного
значения алгебраической степени точности d = 2N — 1.
Впоследствии результат Гаусса был обобщен на случай
любого отрезка [а, Ь] и веса р(х), неотрицательного на
[а, &]. Перейдем к изложению этого обобщения.
Теорема 1.2. Для того чтобы квадратурная форму-
ла (1.1) обладала (2N — D-свойством, необходимо и до-
статочно, чтобы выполнялись два условия:
1) квадратурная формула (1.1) является интерполя-
ционной]
2) ее узлы являются корнями многочлена степени N
N
®(®) = П(« —агО,
г=1
12
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
ортогонального относительно веса р{х) и отрезка [а, Ы
ко всем многочленам q(x) степени не выше 2V — 1:
ъ
[ р (х) co (х) q (х) dx — О.
а
Доказательство. Необходимость. Пусть
квадратурная формула (1.1) обладает (2N— 1)-свойством.
Тогда по теореме 1.1 она интерполяционная, и условие 1)
выполнено. Рассмотрим многочлен д(ж) степени не выше
N— 1 и составим произведение a>(x)q(x)—многочлен
степени не выше 2N — 1. Для него квадратурная формула
(1.1) является точной:
Г £
J р (ж) © (х) q (х) dx = 2, (Xj) q (xf) = 0.
a 3 1
Сумма равна нулю, так как ©(ж,) =0,—условие 2) выпол-
нено.
Достаточность. Предположим, что выполнены ус-
ловия 1) и 2). Докажем, что квадратурная формула (1.1)
точна для любого многочлена степени не выше 27V—1.
Пусть Р(ж) — многочлен степени не выше 2N — 1; он мо-
жет быть представлен в виде
Р(х) = <в(ж)д(ж) + г(ж), (1.4)
где д(ж), г(ж)—многочлены степени не выше N— 1. Ум-
ножим обе части этого равенства на р(х) и проинтегри-
руем по ж от я до Ь:
ь ь ь
J р{х)Р (х) dx — У р(х)<о (ж) q(x)dx + § р (ж) г (ж) dx.
а а а
Первый интеграл в правой части равен нулю по усло-
вию 2), так как степень $(ж) не выше N— 1. Второй ин-
теграл точно равен квадратурной сумме формулы (1.1),
так как степень г(ж) не выше N— 1 и по условию 1)
квадратурная формула (1.1) интерполяционная. Таким об-
разом, получаем
I р (ж) Р (ж) dx — \ р(х) г (ж) dx = 2 С,г (ж7).
a a
§ 1. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
13
Достаточность доказана, так как в силу (1.4) r(xj) =
= Р(яД
Теорема 1.2 приводит вопрос о существовании квадра-
турной формулы с (2JV— D-свойством к вопросу о том,
существует ли ортогональный многочлен о Се) и обладают
ли его корни свойствами, которые желательны для узлов
квадратурной формулы, а именно являются ли они веще-
ственными, простыми и принадлежащими отрезку интег-
рирования.
Сделаем дополнительное предположение о весовой
функции: ъ
р(х)^0 на [а,Ь], рг = §p(x)dx>0. (1.5)
а
Условие pi > 0 исключает тривиальный случай, когда
р(х) = 0 почти всюду на [а, Ь]. Предположение (1.5) бу-
дем считать выполненным до конца параграфа. При ус-
ловии (1.5) в векторном пространстве многочленов от х
можно ввести скалярное произведение
ь
(<р, ф) = J Р (х) Ф (ж) ф (х) dx, (1.6)
а
где ф(ж) — многочлен, который получается из ф(х) заме- '
ной коэффициентов комплексно сопряженными числами.
Условие 2) теоремы 1.2 означает, что многочлен
<в(ж) =ai + a2x + asx2 +... + aNxN~l + xN (1.7)
ортогонален ко всем одночленам (в смысле (1.6))
1, х, хг, ..., xw-‘. (1.8)
Записывая это свойство многочлена (1.7), приходим к ли-
нейной алгебраической системе
PiO'i 4" р2а2 + ... + ряля + == О,
Pith + р,а2 +... + pN+laN + ря+2 = О,
Рха.1 + pw+1a2 +... +p2N-taN + р2Я = 0.
Матрица этой системы
Pi+l» • • •, Pi+JV-llw
14
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
является матрицей Грама одночленов (1.8) и в силу ли-
нейной независимости одночленов является неособенной;
значит, система имеет единственное решение. Тем самым
показано, что ортогональный многочлен существует.
При предположении (1.5) о весовой функции корни
ортогонального многочлена обладают требуемыми свой-
ствами. Справедлива следующая теорема.
Теорема 1.3. Корни ортогонального многочлена от-
носительно веса р(х), удовлетворяющего условиям (1.5),
вещественные, простые и лежат в интервале (а, &).
Доказательство. Из условия ортогональности
со(х) к единице, т. е. равенства
J р (х) со (х) dx = О,
сле-
а
дует, что многочлен о(х) имеет в (а, Ъ) корни нечетной
кратности; в противном случае интеграл не может рав-
няться нулю.
Рассмотрим все попарно различные корни х^
.. .,xw нечетной кратности многочлена ы(х), расположен-
ные в (а, Ь). Образуем многочлен степени m
q (х) = (х —- Xi) (х — х'2) ... (х — х^.
Произведение <p(x)q(x) представляет собой многочлен,
у которого все корни в (а, Ъ) — четной кратности, поэтому
ь
j р (х) to (х) q (х) dx =£ 0. Так как со(^) ортогонален ко всем
а
многочленам степени не выше N— 1, то из последнего
неравенства следует, что тп > N, и, следовательно, m = N.
Теорема доказана.
Таким образом, при предположениях (1.5) существует
квадратурная формула, которая при N узлах обладает
(27V—1)-свойством. Такую формулу называют квадратур-
ной формулой гауссова типа. При заданном числе узлов
и заданном весе квадратурная формула гауссова типа
единственна, так как ортогональный многочлен определя-
ется единственным образом.
Какова бы нН была квадратурная формула вида (1.1)
с весом, удовлетворяющим условиям (1.5), и с N узлами,
среди которых могут быть и комплексные, ее алгебраиче-
ская степень точности d удовлетворяет неравенству
d<2W-l. (1.9)
§ 1. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
15
Докажем это неравенство. Наряду с многочленом
©(ж) = {x — Xt'ikx — xz) ...(x — xN) =
= tti + OzX + ... + ЛкХК~1 + X1*,
который имеет корнями узлы квадратурной формулы (1.1),
рассмотрим многочлен
а(х) = + а2х +... +aNxrr~i + ж1’’,
где a,-, i = 1, ..., N,— комплексно сопряженные числа к at.
Очевидно, что многочлен со (ж)® (ж) степени 2N, х<=
6 [а, Ь], равен |®(ж)|2 и, следовательно, положителен па
[а, Ь] всюду, кроме, может_быть, 2N точек, где он может
равняться нулю. Для ®(ж)®(ж) квадратурная формула не
точна, так как в силу (1.5)
ъ
J р (ж) | © (ж) |а dx > О
• а
и в то же время
я —
2 с/о (#j) ® (^j) = о.
Неравенство (1.9) доказано.
Итак, при предположениях (1.5) максимально возмож-
ная алгебраическая степень точности квадратурной форму-
лы с N узлами равна 2N— 1. Как следует из теоремы
1.2, такой алгебраической степенью точности обладают
квадратурные формулы гауссова типа, поэтому их назы-
вают также квадратурными формулами наивысшей ал-
гебраической степени точности. »
Чтобы достичь алгебраической степени точности 22V —
— 1, пользуясь интерполяционной квадратурной формулой,
мы должны взять 2N узлов. Квадратурная формула гаус-
сова типа имеет ту же алгебраическую степень точности
при N узлах. Таким образом, получаем двойной выигрыш
в отношении числа узлов.
Теорема 1.4. Если квадратурная формула с весом,
удовлетворяющим условиям (1.5), обладает т-свойством
(тп>0), то число ее узлов удовлетворяет неравенству
N>[m/2} + l, (1.10)
где [т/2] — целая часть числа ш/2.
16
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
Доказательство. Если #<[тп/2], то в силу (1.9)
d 2[тп/21 — 1 т~ 1, что невозможно, так как по усло-
вию теоремы d > тп.
Коэффициенты квадратурной формулы гауссова типа
положительны. Рассмотрим многочлен (<o(#)/U —
степени 22V— 2. Для него квадратурная формула гауссо-
ва типа точна:
ъ
[р ЙЙгГ dx = Ck
Из этого равенства видно, что Ck > 0.
Укажем на два факта, которые подтверждают важ-
ность свойства положительности коэффициентов квадра-
турной формулы. Первый факт связан с погрешностью
вычисления квадратурной суммы. При вычислении квад-
ратурной суммы значения подынтегральной функции в
узлах вычисляются приближенно: вместо f(xk) получаем
/СгД так что погрешность вычисления равна = f(xk) —
-
Предположим, что 1 eftI е, к = 1,2,..N, и что сум-
N
ма 2 Ckf (%k) вычисляется точно; при этом не учиты-
ваются возможные погрешности округления в значениях
коэффициентов СА. Тогда погрешность квадратурной сум-
N
мы не будет превосходить 8 2 | Ck I. На самом деле
k=l
эта граница погрешности является точной верхней гра-
ницей, так как погрешность может совпадать с этим чис-
лом. Таким образом, точная верхняя граница погрешно-
сти вычисления квадратурной суммы пропорциональна
N
2 ICfel- Предположим теперь, что квадратурная форму-
k—1
ла точна, когда /(«) = 1:
£ г
2 Ск = }Р (®) dx = Р1. (1.11)
fe=l а
N
Если pi > 0, то 2 I Cfe I имеет наименьшее значение,
л=1
§ i. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
IT
когда Ch > 0 при к = 1,2,..N. Действительно, в силу (1.11 >
N
k=i
N
k=i
N
<2|G|.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда коэф-
фициенты — одного знака и, следовательно, положитель-
ны, так как 2 Ск>0.
k=i
Второй факт связан с вопросом о сходимости квадра-
турных формул. Пусть имеется последовательность квад-
ратурных формул общего вида (не обязательно гауссова
типа):
Ь N
(ж) dx 2 C^f (хП (1.12)»
а k±=l
Пусть отрезок [а, Ы конечен, и пусть вес р(х) — любая
интегрируемая на [а, Ы функция.
Приведем теорему о сходимости квадратурных формул^
(1.12), принадлежащую В. А. Стеклову.
Теорема 1.5. Для того чтобы
N Ь
lim 2 (4W)) = J P (X) f (x) dx (1.13>
для любой непрерывной функции на [а, Ы, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись условия:
1) предельное соотношение (1.13) имеет место, когда
f(x) является любым многочленом;
2) имеется такое число К, что
N
S АГ=1,2,3,...
Мы не приводим доказательства.
Условие 2) этой теоремы выполнено, если квадратур-
ные формулы (1.12) точны для f(x) = 1 и их коэффици-
енты Ck положительны. Действительно, в этом случае-
N ь
2 I C'VV) | = 2 CfeV) = f р (х) dx.
k=l £
2 И. П. Мысовских
18
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
В частности, из теоремы 1.5 следует, что для квадра-
турных формул гауссова типа имеет место сходимость в
пространстве непрерывных функций, заданных на конеч-
ном отрезке.
Известно следующее обобщение квадратурных формул
гауссова типа. Будем строить квадратурную формулу с
числом узлов N = к + т
£ h т
\p(x)f (х) dx ~ 2 A;f (aj) + 2 с if (Xi), (1.14)
а W
где узлы ..., ак заданы заранее (фиксированные узлы),
а узлы хи ..., хт будем выбирать так, чтобы квадратур-
ная формула имела возможно более высокую алгебраиче-
скую степень точности.
При заданных к + т узлах (если они попарно различ-
ны) за счет выбора коэффициентов Aj и Cj можно достичь
того, что квадратурная формула (1.14) будет иметь (к +
+ т — 1)-свойство. Будем пытаться так выбрать узлы
xh х2, ..., хт, чтобы степень многочленов, для которых
формула точна, повысилась на т единиц, другими слова-
ми, чтобы квадратурная формула (1.14) имела (Л + 2тп —
— 1)-свойство..
Введем обозначения многочленов
k m
Ок (х) = П (* — «;). (х) = П (ж — х })•
3=1 3=1
Первый из них имеет корнями фиксированные узлы, вто-
рой — узлы, подлежащие определению.
Теорема 1.6. Чтобы квадратурная формула (1.14)
имела (к +2ш ~ 1}-свойство, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись два условия:
1) квадратурная формула является интерполяционной;
2) многочлен сотСг), определяемый узлами х^ ..., х^,
ортогонален относительно веса ок(х)р(х) и отрезка [а, Ы
к любому многочлену q(x) степени не выше тп — 1:
ь
J aft (х) р (х) (х) q (х) dx == 0.
а
Доказательство проводится так же, как в случае тео-
ремы 1.2.
§ 1. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
19
Вопрос о существовании квадратурной формулы (1.14)
с (к + 2т — D-свойством теорема 1.6 сводит к вопросу о
существовании ортогонального многочлена (дт(х) с весом
ак(х)р(х) и о свойствах его корней. Если ортогональный
многочлен ®т(х) существует и его корни вещественные*
простые, принадлежат [а, Ы и их совокупность имеет
пустое пересечение с совокупностью фиксированных уз-
лов, то требуемая квадратурная формула (1.14) суще-
ствует.
По теореме 1.6 формула (1.14) обладает (& + 2тп — 1)-
свойством, однако ее алгебраическая степень точности d
не обязательно равна к + 2т — 1. Так как вес р(х) удов-
летворяет условиям (1.5), а число узлов равно к + тъ
то на основании (1.9) имеет место неравенство
d^2(fc + m)-l. (1.15)
Докажем, что в этом неравенстве может достигаться знак
равенства.
Рассмотрим частный случай квадратурной формулы
(1.14), когда р{х) — VI — х2, [а, 1, 1], к = т — 1г
т — любое натуральное число, а фиксированные узлы за-
даются равенствами
ЦТ • Л z-k л
ai = cos—, i = l,2, —
и являются корнями многочлена Чебышева второго рода,
гт sin т arccos х
В этом частном случае формула (1.14) имеет 2т — 1 узлов
и, как можно проверить, является квадратурной форму-
лой гауссова типа с весом V1 — х2. Ее алгебраическая сте-
пень точности равна 4тп — 3, что совпадает с правой,
частью неравенства (1.15) при к = тп — 1.
Наиболее простыми случаями, когда существует орто-
гональный с весом сзк(х)р{х) многочлен сдт(я) и его корни
обладают требуемыми свойствами, являются следующие-
Два.
a) fc = 1, т — натуральное. Берется один фиксирован-
ный узел, совпадающий с одним из концов отрезка [а, &].
Разумеется, выбранный конец отрезка должен быть ко-
нечным числом.
2*
20
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
б) к = 2, т — натуральное. В качестве фиксированных
узлов берутся оба конца отрезка, который считается ко-
нечным.
Рассмотрим сначала случай а). Пусть, например, фик-
сированный узел совпадает с а. Так как оДх) ==я — а>0
на (а, й] и р(х) удовлетворяет условиям (1.5), то вес
<3i(x)p(x) неотрицателен на [а, Ы, удовлетворяет условию
ь
J ах (х) р (х) dx>0 и, следовательно, существует ортого-
а
нальный относительно этого веса многочлен &т(х). По те-
ореме 1.3 его корни вещественные, простые, лежат внутри
(а, &), так что ни один из них не совпадает с а. Квадра-
турная формула записывается в виде
f Р (*) f (*) dx Af (а) + Д Сjf {xj) (1.16)
и называется квадратурной формулой Маркова с одним
фиксированным узлом. По теореме 1.6 эта формула имеет
2?п-свойство, а так как для многочлена а1(х)(»ш(х) она
не точна, то алгебраическая степень точности равна 2т.
Коэффициенты формулы положительны.
Перейдем к случаю б). Здесь о2(х) = (х — а)(х — Ь),
так что о2(х)р(х) < 0 на [а, Ы. Ортогональный многочлен
с весом о2(х)р(х) существует, его корни вещественные,
простые, принадлежат (а, Ь) и, значит, не совпадают с
фиксированными узлами. Квадратурная формула имеет
вид
Г £
J р (х) / (х) dx & Af (а) + Bf (&) + 2 С(xj) (1.17)
a W
и называется квадратурной формулой Маркова с двумя
фиксированными узлами. Ее алгебраическая степень точ-
ности равна 2т + 1, коэффициенты положительны.
Частные случаи квадратурных формул (1.16) и (1.17),
отвечающие весу р(х) = 1 и отрезку [а, Ь1 в [— 1, 1], на-
зывают формулами Радо н Лобатто соответственно.
Дополнительный материал о квадратурных формулах гауссова
типа и о их обобщении (1.14) можно найти в книге В. И. Крылова
[26]. Среди книг, содержащих таблицы узлов и коэффициентов
квадратурных формул, отметим книги В. И. Крылова, Л. Т. Шуль-
§ 1. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
21
тиной [27], Строуда, Секреста [54]. В книге А. С. Кронрода «Узлы
и веса квадратурных формул» (Наука, 1964) приведены узлы и
коэффициенты квадратурной формулы (1.14), в которой р(х)=1,
[а, i] = [0, 1], к = т—1, т=2(1)41, а в качестве фиксированных
узлов взяты узлы квадратурной формулы гауссова типа для веса 1
и отрезка [0, 1]. Наряду с узлами формулы гауссова типа для еди-
ничного веса и отрезка [0, 1] приведены также коэффициенты этой
квадратурной формулы, так что таблицы можно использовать для
вычисления интеграла как по формуле гауссова типа, так и по
формуле (1.14).
Остановимся еще на квадратурных формулах вида
b т
J Р (®) / (ж) dx sa 2 2 Ciif3) (х{), (1.18)
a i=l 1=0
где rt — натуральные числа и в квадратурную сумму вхо-
дит значение функции и всех ее производных в узле Х{ до
порядка r{— 1. Среди формул такого вида важную роль
играют формулы, основанные на алгебраическом интер-
полировании с кратными узлами.
Выберем т попарно различных точек xt,xt, ...,хт и
припишем им кратности rlf г2,..., гт соответственно; по-
ложим 2V = r1 + ... + rm. Существует единственный мно-
гочлен Р(х) степени не выше N — 1, который удовлетво-
ряет N условиям
Р(ЯЫ = /«>(«<), / = 0, 1, 2, ..., г{ - 1, i - 1, 2, ..., т.
Он называется интерполяционным многочленом Эрмита
функции /(х). При этом предполагается, что функция /(ж)
имеет производные требуемых порядков. Многочлен PGr)
можно представить в виде
. m ri~l
РИ = 2 2
i=l
здесь Lju(x) интерполяционный многочлен Эрмита, удов-
летворяющий условиям
^ki 7 = 0,1, 2, ..., ri — 1, i = 1, 2, ..
где — символ Кронекера.
Умножим обе части приближенного равенства
m гг~~1
7(*)=2 2 Ь^(х)^\хг)
г=1 5=0
22
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
на р(х) л проинтегрируем по х от а до Ь. Получим при-
ближенное равенство вида (1.18), в котором
ь
~ J Р (#) Lij (х) dx, ^9)
] = 0,1, 2, ..., ri — 1; i = 1, 2, ..т.
Квадратурная формула (1.18), где х±,..., хт — попарно
различные точки и п,...,гт — натуральные числа, назы-
ваются интерполяционной, если ее коэффициенты опре-
деляются равенствами (1.19).
Теорема 1.7. Для того чтобы квадратурная форму-
ла (1.18) была интерполяционной, необходимо и доста-
точно , чтобы она обладала (N — ^-свойством.
Доказательство такое же, как доказательство теоре-
мы 1.1.
Замечание. (2V— 1)-свойство формулы (1.18) равно-
сильно неравенству d N— 1, где d — алгебраическая сте-
пень точности формулы (1.18).
Приведем еще один результат о повышении алгебра-
ической степени точности квадратурной формулы (1.18)
за счет специального выбора узлов Xi,...,xm. Будем пред-
полагать, что весовая функция р(х) удовлетворяет усло-
виям (1.5) и отрезок интегрирования [а, Ь] конечен.
Для каждого rft, k = 1,2,..., т, обозначим через sk на-
именьшее четное число, большее или равное гк. Рассмот-
рим многочлен
р(х) = (х — (х — х^/2 ...(х — хту^
и многочлен р(ж), который получается из р(ж) заменой
коэффициентов комплексно сопряженными числами. Для
многочлена р(а?)р(ж) степени s — St + з2 + ... + sm квадра-
турная формула (1.18) не точна, так как
ь
J р (х) р (ж) р (ж) dx > О,
v а
а квадратурная сумма равна нулю:
тп Ч””1
2 2 Cij [р (^i) р (#<)]^ == 0.
i=i
§ 1. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
23
Отсюда следует, что алгебраическая степень точности
квадратурной формулы (1.18) при любом выборе узлов и
коэффициентов имеет верхнюю границу $ — 1, которая
зависит от чисел г г. В частности, если все четные, то
5г = п и s = N, так что верхняя граница равна N—1. Она
достигается, если квадратурная формула (1.18) является
интерполяционной, и не может быть повышена, как бы ни
выбирались узлы.
Максимальное значение верхней границы s — 1 для
алгебраической степени точности квадратурной формулы
(1.18) получаем, если нечетно при г = 1,2,..., Дей-
т
ствительно, в этом случае sj = п + 1, s = 2 si = N + т
1=1
и верхняя граница для алгебраической степени точности
равна N + m — i.
Теорема 1.8. Чтобы квадратурная формула (1.18)
при нечетном i = 1,2,..., тп, обладала (N + т — ^-свой-
ством, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два
условия:
1) квадратурная формула (1.18) является интерполя-
ционной',
2) ее узлы являются корнями многочлена
ТЛ
СГ (х) = ТТ {Х — «i)*4,
i=l
(1.20)
ортогонального ко всем многочленам степени не выше
1.
1 2 Д°казательство такое же> как доказательство теоремы
Можно доказать, что при условии нечетности в
(а, Ъ) существуют такие попарно различные точки
хт, что определяемый ими многочлен (1.20) обла-
дает свойством ортогональности.
_ Отметим еще, что в частном случае, когда п = г2»
... гт = г, г нечетное, имеет место единственность
квадратурной формулы (1.18) наивысшей алгебраической
степени точности. По поводу интерполяционных квадра-
[27]НЫХ 2°₽М’)Л’ содеРжапз;их значения производных (см.
24
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
§ 2. Алгебраические гиперповерхности
2.1. Число одночленов степени не выше т от п пере-
менных. Вектор а == (а4, а2, ..ап) с целочисленными
неотрицательными координатами будем называть мулъ-
~ Л а1 а2 ап
тииндексом. Одночлен от п переменных хх . хп
обозначим через ха. Если воспользоваться обозначением
| а | = а1 + а2 + .. • + ап, то можно сказать, что степень
этого одночлена равна 1а|.
Многочлен f(x) = /Ui,^2,.. -9хп) степени m можно за-
писать в виде
/(#) = go(tf) + gSx) + . . . + gm(x\ (2.1)
где gh(x) — однородный многочлен степени к, называемый
однородной составляющей многочлена /(х). Многочлен
gK(x) представляет собой линейную комбинацию (с ком-
плексными коэффициентами) одночленов степени к:
gk (х) — 2 сах^,
|a|=h
где a — мультииндекс. Подсчитаем число слагаемых в
этой Сумме, т. е. число всех одночленов степени к.
Рассмотрим произведение п бесконечных геометриче-
ских прогрессий:
2 х? S 2 л (2.2)
a^o а2~0 1а1=-?
Предполагаем, что |ж<| <1. Число одночленов степени к
равно числу слагаемых в правой части (2.2), удовлетво-
ряющих условию lai = к. Положив в равенстве (2.2) Xi =
:=х2 =... = xn = t9 получим
(2 = (1 - t)~n = 2 |* (/,«) (2.3)
\ 3=0 / j=0
где, очевидно, коэффициент при t*, обозначенный через
ц(А:, п), равен числу слагаемых в правой части равенства
(2.2), удовлетворяющих условию lai =к.
Вычислим (п — 1 )-ю производную от обеих частей равен-
ства (1 —1}~1 = 1 +1 + tz +..., Id < 1. Получим
(n - 1)! (1 — t)~n =
=з(п-1)!+4^+ - +(?t+f1~1^ft+...
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ 25
Сравнивая это разложение с (2.3), находим
Н = (2*4)
Найдем теперь число всех одночленов степени не вы-
ше т от п переменных. Оно равно числу одночленов,
фигурирующих в представлении (2.1) неоднородного мно-
гочлена степени тп. Превратим многочлен (2.1) в однород-
ный многочлен степени тп, вводя дополнительную пере-
менную Xq*.
X$g0 (х) + XQ-'g! (х)+ ...+ »ogrn-l (х) + gm (х). (2.5)
Многочлен (2.5) есть однородный многочлен общего вида
степени тп от xQ, хъ ..., хп. Ясно, что число слагае-
мых одночленов в (2.1) и в (2.5) одинаково. Но число
слагаемых в (2.5) — это число одночленов степени тп от
п+1 переменных, которое по (2.4) равно (тп + п)!/(тп!п!).
Это и есть число одночленов степени не выше тп от п пе-
ременных. Условимся обозначать его через Мтп, п), так
что
<2в>
Число (2.4) одночленов степени к от п переменных в этом
обозначении равно 2И(п — 1, к).
В дальнейшем через п всегда будем обозначать число
переменных. В случае п ® 1 переменную Xi будем обозна-
чать через х, в случае п = 2 переменные xt и х2 будем
обозначать через х и у соответственно.
Из формулы (2.6) при п = 1 получаем, что число од-
ночленов степени не выше тп от одйой переменной х рав-
но тп + 1. Этими одночленами являются 1,х,я2,.. .,£™.
При п==2 формула (2.6) дает число одночленов степени
не выше тп от двух переменных х и у, равное (тп + 1)Х
X (тп + 2)/2. Выпишем эти одночлены:
1,
я, У,
А ху, у2,
в г-й строке выписаны все одночлены степени i — 1.
26
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
Выпишем еще одночлены от трех переменных до
третьей степени:
1, Х^ Я3, Хг, *1*3, *21
*2*3, *3, *1*2’ *1*3, *1*2,
X ^Х уХ g , Х^Х^, *2*3’ *2*3, *3*
Введем обозначение, которым часто будем пользовать-
ся в дальнейшем. Занумеруем одночлены от п перемен-
ных натуральными числами и будем их обозначать <р/х),
/ = 1,2,3,... Нумерация выполняется так, что одночлены
одной и той же степени нумеруются в любом порядке,
например лексикографическом, а одночлены различных
степеней нумеруются в порядке возрастания степени.
В частности, фДя) = 1. Если одночлены одной и той же
степени нумеруются в лексикографическом порядке, то
ф2 (*) ~ *1, • • • > фп+1 (*) “ *П,
фп+2 (*) ~ *1, фп-ЬЗ (*) ~ *1*2, • • •
Среди одночленов фДя), j = 1,2,.. .,Mim, и), содержатся
все одночлены степени не выше т от п переменных.
2.2. Теорема о пересечении алгебраической гиперпо-
верхности и гиперплоскости. Векторное пространство, в
котором координаты векторов х = ixt,x2, . ..,хп) являются
комплексными числами, будем обозначать через Сп. Век-
тор #= (#1,будем называть также точкой, считая,
что начало вектора закреплено в точке (0,0, ...,0). С1 бу-
дем называть прямой. С2 — плоскостью.
Пусть /(ж) — многочлен степени тп от п переменных
xi9..хп. Множество точек х е Сп, удовлетворяющих урав-
нению fix) = 0, называется алгебраической гиперповерх-
ностью порядка тп. В случае тп = 1 гиперповерхность на-
зывается гиперплоскостью. Гиперповерхность в С1 - это
множество корней многочлена fixj степени тп от одной
переменной и состоит не более чем из т точек. Гипер-
плоскость в С1 — точка. Гиперповерхность в С2 называет-
ся алгебраической кривой порядка тп при тп > 2 и пря-
мой при m = 1.
Если многочлен fix) неприводим в поле комплексных
чисел, то гиперповерхность fix) = 0 называется неприво-
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
27
димой. Если
f (я) = /? СО /? (О • • • /? СО,
где Л(х) — неприводимые множители /О), то гиперповерх-
пости /<(х) = 0 называются компонентами гиперповерхно-
сти fix) == 0. Компонента fiix) называется простой, если
n = 1, и кратной, если г<>1Г*11Ьсло называется крат-
ностью компоненты.
Часто для краткости мы будем говорить «гиперповерх-
ность /(ж)», понимая под этим гиперповерхность, опреде-
ляемую уравнением /(ж) = 0.
Рассмотрим алгебраическую гиперповерхность /(я) по-
рядка тп и гиперплоскость Их) в Сп. Обозначим через П
их пересечение: П = / А I. Если П не пусто и не совпада-
ет с гиперплоскостью I, то П будем называть следом ги-
перповерхности fix) на гиперплоскости Их).
Если гиперплоскость имеет уравнение хп = 0, то П
представляет собой гиперповерхность fixi,..., xn-i, 0) в
подпространстве хп — 0 исходного пространства Сп. По-
рядок d этой гиперповерхности назовем порядком следа
гиперповерхности fix) на гиперплоскости Их). Очевидно,
1 С d С тп.
Пусть теперь Их) = агх{ + ... + апхп + а0; при этом мы
можем считать, что, например, ап¥=0. В результате аф-
финного преобразования координат
У1 Х{, У2,=== х%,..., Уп-i=== &n-i>
Уп а^х^ “I-... +апхп Ч" Uq
многочлен fix) будет иметь вид
7 (у) =
f (У1> • • • > Уп—Ъ &П (Уп ^1У1 • • • ^п—1Уп—1 ®о))*
Уравнение гиперплоскости в новых координатах: уп = 0.
Порядок d следа гиперповерхности на гиперплоскости для
этого случая уже определен. Он и принимается за поря-
док следа гиперповерхности fix) на гиперплоскости Их).
Так как степень многочлена fiy) равна тп, то К d тп.
Теорема 2.1. Если пересечение П гиперповерхно-
сти порядка тп и гиперплоскости не пусто, то либо гипер-
плоскость является компонентой гиперповерхности, либо
28
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
П является следом гиперповерхности на гиперплоскости
порядка не выше тп.
Доказательство. Если П = / Л I не совпадает с
Z, то П — след гиперповерхности /(#) на гиперплоскости
Их) и его порядок не выше тп.
Пусть теперь П = I. Это равенство равносильно вклю-
чению Z cz /, что, в свою очередь, равносильно тому, что
1(х) = о=>/(^) = О ух^Сп. (2.7)
Докажем, что Кх) является множителем fix). Сначала бу-
дем считать, что Их)—хп. Очевидно, что многочлен fix)
можно представить в виде
fix) = xnfiix) + f2ixh.. .,xn-i), (2.8)
где fiix) и fzixt, ..Хп-t) — многочлены. Из (2.8) в силу
(2.7) получаем, что /2(ач,..#n-i) в 0 для любых комплекс-
ных чисел Xi, ..., xn-i и, следовательно, /2(#i, ..хп-л)
есть нулевой многочлен.
Случай, когда Их) — многочлен первой степени про-
извольного вида, приводится к рассмотренному выше с
помощью аффинного преобразования координат.
Приведем формулировку теоремы 2.1 для и = 2. Если
пересечение агебраической кривой порядка тп и пря-
мой не пусто, то либо прямая является компонентой кривой,
либо пересечение состоит не более чем из тп точек.
Замечание. Теорема 2.1 верна, если определить
гиперповерхность fix) и гиперплоскость Их) как множе-
ства точек в евклидовом пространстве Rn, удовлетворяю-
щих уравнениям fix) = 0 и. Их) = 0 соответственно (при
этом коэффициенты многочлена Их) считаются веществен-
ными). В самом деле, основным моментом доказательства
теоремы 2.1 является доказательство утверждения: из
(2.7) следует, что хп является множителем fix). В рас-
сматриваемом случае (2.7) формулируется так: из Их) =
== 0 следует fix) = 0 для любого х е Rw. Отсюда, очевид-
но, вытекает, что /2(#1, ..., xn-i) в равенстве (2.8) являет-
ся нулевыми многочленом.
2.3. Построение точек, не лежащих на гиперповерхно-
сти заданного порядка. В задаче интерполирования мно-
гочленами от одной переменной х важную роль играет
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
29
матрица
Г 4 „ Ji ™1*п+1
[ 1, ЯЧ? #i, •••»#<] i=l •
Она определяется точками Xi, х2, ..., #m+i, которые в за-
даче интерполирования являются узлами. Строка матрицы
с номером i состоит из одночленов от х степени не выше
иг, записанных в порядке возрастания степеней и вычис-
ленных в точке xit Необходимое и достаточное условие
неособенное™ матрицы: точки хи ...,ят+1 попарно раз-
личны.
Возьмем v попарно различных точек в С”: x(i), i«lr
2, ..., v. Обозначим р, = М(тп, п) и сопоставим точ-
кам x{i\ i = 1, ..., v, матрицу
Vm,v = [Ф1 q>2 ...»Фи (ж(й)]?=1 (2.9>
(вообще говоря, прямоугольную). Здесь фХа:) — одночле-
ны от п переменных. В случае v = ц матрица является
квадратной и обозначается
Vm = Vm ..., х^>) = [Ф1 (««>), ..., Ф(1 (*W)]Li. (2.10)
Она называется матрицей Вандермонда, определяемой
точками xw, ..., х1№>.
Из неособенности матрицы (2.10), как и при п — 1г
следует, что определяющие ее точки попарно различны.
Однако при п>2 из того, что точки xw,...,xM попарно
различны, не вытекает неособенность матрицы Вандер-
монда. Например, если точки ®(1), ;.., х<п+1) попарно раз-
личны, но лежат в гиперплоскости, то матрица
[1,4°, 4°, ....аДОх1 (2.11)
особенная.
Теорема 2.2. Чтобы матрица (2.10) была неособен-
ной необходимо и достаточно, чтобы определяющие ее
точки x{v>,.. .,я(ц) не лежали на гиперповерхности поряд-
ка тп.
Докажем более общую теорему.
Теорема 2.3. Чтобы ранг матрицы (2.9) был равен
числу ее столбцов р,, необходимо и достаточно, чтобы точ-
ки х{1), / = не лежали на гиперповерхности по-
рядка тп.
Доказательство. Утверждение, что ранг мат-
рицы (2.9) меньше р,, равносильно тому, что между ее
30
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
столбцами существует линейная зависимость:
bi(pi(#(i)) + Й2фг(^(с) + ... +Ьн<ри(я(0) = 0, i = l,2,...,v,
где не все bi равны нулю. Эти равенства равносильны
тому, что точки x{i}, i = 1,..., v, лежат на гиперповерхно-
сти
+ Ь2ф2(^) + ... +
порядка тп (или ниже).
В частности, из теоремы 2.3 вытекает следующая те-
орема.
Теорема 2.4. Если попарно различные точки х™,
z = l,...,v, не лежат на гиперповерхности порядка тп, то
v > ц.
Из этой теоремы следует, что v точек, где v < ц, всег-
да лежат на гиперповерхности порядка тп (или ниже),
так что ц — наименьшее число точек, которые могут не
принадлежать гиперповерхности порядка тп.
Укажем способ построения ц точек в Сп, которые не
лежат на гиперповерхности порядка тп. Пусть п = 1, чис-
ло точек ц = тп+1. Чтобы тп+1 точек не лежали на ги-
перповерхности порядка тп, т. е. не были корнями много-
члена степени тп от одной переменной, необходимо и
достаточно, чтобы они были попарно различны. Из тео-
ремы 2.1 следует, что тп + 1 попарно различных точек на
прямой из С2 не являются следом алгебраической кривой
порядка тп на этой прямой.
Пусть теперь п = 2. Число точек равно М(2, тп) ==
= (тп + 2)(тп+1)/2. Возьмем в С2 любую точку Ui, уд
и проведем прямую Ц, не проходящую через (xi, уд. Вы-
берем на Ц две различные точки (х2, уд, (#з, уд- Точки
уд, г = 1, 2, 3, не лежат на одной прямой. Действи-
тельно, если бы они лежали на прямой I, то след этой
прямой на li состоял бы из двух точек. По теореме 2.1
отсюда следует, что li является компонентой I и, следова-
тельно, совпадает с I. Но это невозможно, так как точка
(xi, уд не лежит на Ц.
Проведем прямую 12, которая не проходит ни через
одну из трех построенных точек (х{, уд, i = l, 2, 3, и вы-
берем на ней три попарно различных точки (х<, уд,
= 4, 5, 6. Точки {х^ уд, f =* 1, 2, ..., 6, не лежат на кри-
вой /2 второго порядка, так как в противном случае кривая
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
31
/2 и прямая 12 пересекаются в трех точках и по теореме
2.1 12 является компонентой /2; другими словами, f2^=ll2,
где I — многочлен первой степени от х и у. Отсюда вид-
но, что точки (х{, уд, i = 1, 2, 3, не лежащие на Z2, лежат
на прямой I. Но это невозможно. Пусть уже построены
в С2 точки уг), f = l, 2, ..., Ж2, $), не лежащие на
кривой порядка $. Проведем прямую Z8+1, которая не про-
ходит ни через одну из построенных точек, и выберем на
ней s + 2 попарно различных точек Ы, уд, i = M(2, s) +
+1, М(2, s) + 2,..., М(2, s) + s + 2.
Точки {xi, уд, i = 1,2,..., М(2, $ + 1), не лежат на
кривой порядка $+1, так как если бы такая кривая /8+1
нашлась, то она пересекалась бы с Z8+1 в s + 2 точках и
по теореме 2.1 прямая Z8+1 была бы компонентой /8+1. Это
означает, что /8+i = /Z8+i, где / — многочлен степени s.
Так как прямая Z8+i не содержит ни одну из точек уд, i =
= 1,..., М(2, $), то их содержит / — кривая порядка s, что
невозможно.
Ясно, что таким же путем можно построить М(2, т)
точек на гиперплоскости I в пространстве С3, которые не
лежат на следе гиперповерхности порядка т на Z.
Предположим, что можно построить МЫ — 1, тп) точек
в Сп“\ не лежащих на гиперповерхности порядка т в
С71"1, и, следовательно, можно построить МЫ—1, тп) то-
чек на гиперплоскости Z в Сп, которые не принадлежат
следу гиперповерхности порядка тп на Z, тп==1, 2, ....
Покажем, как построить МЫ, т) точек в Сп, которые не
лежат на гиперповерхности порядка тп. Выберем в Сп
точку x(i) и проведем гиперплоскость Ц, которая не про-
ходит через точку x(i). На Ц возьмем п точек я(2), ...
..., я(п+1), которые не принадлежат следу гиперплоскости
на Л. По теореме 2.1 точки ж(1), ..., я(п+1) не лежат в ги-
перплоскости пространства Сп.
Возьмем гиперплоскость Z2, не проходящую ни через
одну из точек я(1),.. .,я(п+1), и выберем на ней МЫ—1,2)
точек х(п+2), х{п+3),..., х(м{п>2)), которые не принадлежат
следу гиперповерхности второго порядка на гиперплос-
кости Z2. По теореме 2.1 точки x(i), 1 = 1,2,..., МЫ, 2),
не лежат на гиперповерхности /2 второго порядка в Сп.
Действительно, в противном случае /2 = 112 и точки
х ,...,я(п+1) принадлежат гиперплоскости I, что невоз-
можно. Ясно, что эти построения можно продолжить.
32
ГЛ/1. ВВЕДЕНИЕ
Указанный способ построения точек, не лежащих на
гиперповерхности порядка тп, в случае п = 2 применял
Радон [44].
Рассмотренное построение точек проводилось в про-
странстве Сп. Как следует из замечания 2.1, таким же
путем можно построить М(п, тп) точек в Rn, не лежащих
ла гиперповерхности порядка тп.
Приведем важный частный случай указанного выше
расположения точек, не лежащих на гиперповерхности
порядка тп. Выберем тп +1 попарно различных чисел
$1,$2,..$т, не обязательно вещественных, и рассмот-
рим в Сп точки
sa ~~ ($ар 5a2> • • •, 5an)>
(2.12)
тде at, ..., <хп — неотрицательные целые числа, удовлет-
воряющие неравенству
at + а2 +.. • + <хп < тп.
(2.13)
Число таких точек, очевидно, равно М(п, тп) — числу од-
ночленов степени не выше тп от п переменных. Множе-
ство точек (2.12), удовлетворяющих условию (2.13),
, называется ньютоновской системой точек (см. [51, б],
с. 649).
Докажем, что точки ньютоновской системы не лежат
на гиперповерхности порядка тп. Доказательство прове-
дем методом математической индукции по размерности
пространства Сл. При п = 1 система состоит из точек
i == 0,..., тп, и так как эти точки попарно различны, то
они не лежат на гиперповерхности порядка тп в С1.
Пусть утверждение верно для системы точек в Сп"*;
докажем, что оно верно для системы точек в Сп. В ги-
перплоскости Xt = sm лежит единственная точка ньюто-
новской системы (sm, s0,sQ, ...,$0). В гиперплоскости Xt =
^Srn-i расположены ТОЧКИ $а2, $а3, • • •, $0^), УДОВ-
летворяющие условию а2 + «з + • • • + ап < г. По предпо-
ложению индукции эти точки не лежат на следе гипер-
поверхности порядка i на гиперплоскости х^ — sm-{, i =
= 1,2, ...,тп. Так как числа sh i = 0,...,Tn, попарно
различны, то ни одна из гиперплоскостей Xl = sh i =
= 0,1,2, ...тп, не содержит точек, которые расположены
на остальных гиперплоскостях. Утверждение о том, что
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
33
точки sa, удовлетворяющие условию (2.13), не лежат на
гиперповерхности порядка тп, следует из того, что они
построены рассмотренным выше
способом.
На рис. 2.1 изображена ньюто-
новская система точек для п = 2
hw = 3bR2.
Приведем лемму о дополнении $ —«>------<>--о
линейно независимых строк.
Лемма 2.1. Пусть имеются
матрица ранга г " °
Л = [а11,а{2, (2.14) И i sj х
где s > г > 1, и множество Q <= Rn Рис. 2.1.
такое, что оно содержит точки, не
лежащие на гиперповерхности по-
рядка к при любом к = 1, 2, 3, ... Тогда найдется точка
я(1) ей такая, что ранг матрицы
а11 а12 • • • й18
ап ат2 • • ’ ars
фх(^(1)) ф2(*(1)) ... %(з(1))
(2.15)
равен r+ 1.
Доказательство. Не ограничивая общности, мож-
но считать, что
Я11 Д12 ’’* а1Т
А — а21 а22 • ’ • а2г =4= 0.
Г1 Г2 тт
Рассмотрим определитель (г+1)-го порядка
в11 “12 ’ ' ’ а1г а1,г+1
d d ~ ... d d , _
rl r2 rr r,r+l
TjW ф2(«) ••• фг(*) фг+1(«)
/(я) =
Он не может равняться нулю при всех х е Q, так как это
означало бы, что все точки лежат на гиперповерх-
ности
/(ж) = Л1ф1(х) + а2ф2(я) + ... +аг+1фг+1(я).
3 И. П. Мысовских
34
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
Здесь ar+i = А 0. Найдется точка x{i) Q такая, что
/(z(1))¥=0. Точка я(1) — требуемая, и лемма доказана.
Так как гиперповерхность не может содержать
никакой точки вместе с ее окрестностью в Rrt, то условие
леммы 2.1 выполнено, если Q имеет внутренние точки.
2.4. Теорема о независимости линейных связей. Пусть
fix) — гиперповерхность порядка т в Сп и а — (а1?а2,...
..ап) — точка, принадлежащая этой гиперповерхности:
/(а) = 0. Запишем разложение /(я) по формуле Тейлора
в окрестности точки а:
fix) = grix) + gr^ix) + . . . + gwU),
где
1/5 * 5
gs (X) = 7j- (^- (Ж1 - «1) + • • • + («П — On) f (a)
\ 1 ft /
и grix)^0. Число г называется кратностью точки а на
гиперповерхности /(ж).
Если не все частные производные первого порядка
dfia)/dxi равны нулю, тог = 1, ив этом случае точка а
называется обыкновенной или простой точкой fix). Ги-
перплоскость gi(x) = 0, или, подробнее,
— а1)+ ••• + ап) = о,
называется касательной гиперплоскостью к гиперповерх-
ности fix) в точке а.
Если г > 2, то точка а называется особой точкой ги-
перповерхности fix). Гиперповерхность grix) называется
касательным конусом гиперповерхности fix) в точке а.
Чтобы а была особой точкой кратности г > 2 гиперповерх-
ности /(ж), необходимо и достаточно, чтобы все частные
производные от fix) в точке а до порядка г — 1 включи-
тельно были равны нулю и среди частных производных
порядка г в точке а были отличные от нуля.
В случае п = 2, когда а = (а4, а2) является особой точ-
кой, касательный конус задается уравнением
[ftjr (^i ai) + (*^2 аг) | / (а1» лг) ~
L 1 2 J
которое определяет г прямых (с учетом кратностей), про-
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
35
ходящих через точку (at, а2). Эти прямые называются ка-
сательными к кривой f(xl9 х2) в точке (аъ а2). Точка крат-
ности г кривой / называется обыкновенной г-кратной
точкой, если в ней имеется г различных касательных.
Приведем примеры особых точек алгебраических кри-
вых и гиперповерхностей.
Пример 1. х3 — х2 + у2. Точка (0, 0) является особой
точкой второй кратности этой кривой. Уравнение каса-
тельных имеет вид —• х2 + у2 == 0, так что получаем две
различные касательные у + ж = 0 и у —гг = О, и точка
(0, 0) является обыкновенной двукратной точкой. Обык-
новенные двойные точки называют также точками само-
пересечения. График кривой на плоскости R2 изображен
на рис. 2.2.
Пример 2. х3 + х2 + у2. Точка (0, 0) — двукратная
точка с различными касательными x + iy = Q и я — гу = 0
и, следовательно, обыкновенная двойная точка. График
кривой в R2 указан на рис. 2.3. Точка (0, 0) является
изолированной точкой вещественной кривой.
Пример 3. х3 — у\ Точка (0, 0) является особой
точкой, однако здесь касательные у2 = 0 совпадающие «и
точка (0, 0) не является обыкновейной. График кривой в
R2 дан на рис. 2.4.
Пример 4. xl— xl — х*. Точка (0, 0, 0) является
особой точкой этой алгебраической поверхности второго
порядка. Поверхность совпадает со своим касательным
конусом в точке (0, 0, 0). График поверхности в R3 изо-
бражен на рис. 2.5.
3*
36
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
Предположим, что функция Z7U) = С7(а?1,. ..,яп) имеет
частные производные всех порядков. Пусть а = (аь л •
...,Оп) — мультииндекс. Будем пользоваться следующим
обозначением частных производных:
Пусть функция U(x) такова, что величина частной
производной не зависит от порядка дифференцирований.
Рис. 2.4.
Тогда число различных производных порядка не выше I
равно М{п, I) — числу одночленов степени не выше I от п
переменных. Производной DaU(x) сопоставим одночлен
ж“. Это соответствие позволяет ввести упорядочение част-
ных производных, если производной DaU(x) приписать
тот же номер з, который был приписан одночлену ха в
п. 2.1. Частную производную функции IRx) с номером з
будем обозначать U,(x), Is — номер производной, а не
номер функции). Применение этого обозначения к функ-
ции <р(х) недопустимо, так как ф,(о:) — обозначение одно-
члена с номером s. Применение обозначения производной
к одночлену фДж) возможно. Производную с номером з
от одночлена фДж) будем обозначать фи(ж).
Из способа нумерации следует, что среди частных про-
изводных Ut(x), 4 — 1,2,...,М[п, I), содержатся все про-
изводные порядка не выше I.
Рассмотрим векторное пространство &т многочленов
степени не выше т от п переменных. Размерность Фт
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
37
равна |i = Af(rai, га). Обозначим через линейное под-
пространство пространства 9*т, состоящее из таких мно-
гочленов, что для определяемых ими гиперповерхностей
попарно различные точки
а«> = (4П,....W), / = 1, 2, ..., <г, (2.16)
являются точками кратностей г£,..., г„ соответственно.
Таким образом, многочлен f^9lm если и все его
производные до порядка г} — 1 включительно в точке аи>
равны нулю:
/<(а«’) = 0, 1 = 1,2,...,ц„ / = 1,2,...,о, (2.17)
где p.j = Af(n, r} — 1). Число условий (2.17) будем обозна-
чать через X:
х = 2 hj.
;=i
Левые части условий (2.17) представляет собой линей-
ный функционал в Фт, который, многочлену
и
/(х)=2зд(«) (2.18)
Д=1
сопоставляет число
ц
А(йо>) = 2 ЗДм(а(Л).
fe=i
Функционал определяется вектором
[фн(аО)),<р2Ха»>),...,<ри(а<«)],
который мы записали как вектор-строку.
Рассмотрим матрицу размера X X |*
Фи (а0)) Ф21 (®О)) • • • Фц1 (“0)) ст
Ф™ = Ф12 (“(П) Ф22(в(Я) • • • Фцг , (2.19)
Ф2(1/а(Я) • Фцц/а(Я)_ з=1
составленную из определяющих векторов функционалов,
порождаемых условиями (2.17).
Введем обозначение вектор-столбца коэффициентов
многочлена (2.18): С — [cb с2, ..., cj'. Условия (2.17) на-
38
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
лагают линейные связи на коэффициенты многочлена
(2.18), которые можно записать в виде ФтС = 0х. Размер-
ность подпространства 31т равна числу линейно незави-
симых решений линейной однородной системы ФШХ = 0Л,
другими словами, равна ц — р, где р — ранг матрицы Фт.
Предположим, что X С |х. Тогда для ранга р матрицы
Фт выполняется неравенство р < X. В нем равенство не
всегда имеет место. Приведем пример. Возьмем две раз-
личные алгебраические кривые фСг, у) и ф(х, у) третьего
порядка, которые пересекаются в девяти попарно различ-
ных точках (ai9 bi), i = 1, 2, ..., 9. Эти точки возьмем в
качестве точек (2.16) и будем считать, что г$ = 1, так что
условия (2.17) имеют вид
' /(«г, bi) = 0, i = 1, 2, ..., 9.
Пусть т = 3 и, следовательно, ц = 10. Матрица (2.19)
такова:
Ф3 = [1, oj, bj, dj, djbj, bh (ij9 djbj, (ijbj, bji,
ее размер 9 X 10. Пусть C(i) и C(2) — векторы коэффици-
ентов многочленов <р(я, у) и гр(а?, у). Так как кривые
ф(я, у) и 1|)(я, у) различны, то векторы С(1) и С(2) не про-
порциональны. Таким образом, линейная алгебраическая
система Ф3Х = 09 имеет два линейно независимых реше-
ния С(1) и С{2), что возможно лишь в случае, если ранг р
матрицы Ф3 удовлетворяет неравенству р 8 < 9 = L
Будем говорить, что условия (2.17) налагают незави-
симые линейные с$язи на алгебраическую гиперповерх-
ность порядка т, если ранг матрицы Фт равен числу ее
строк %. Такая терминология употребляется в алгебраиче-
ской геометрии.
Целью дальнейшего изложения является доказатель-
ство следующей «теоремы о независимости линейных
связей».
Теорема 2.5. Линейные связи, налагаемые на ал-
гебраическую гиперповерхность порядка т требованием,
чтобы точки a{i), ..., a(ff) были точками этой гиперповерх-
ности кратностей п, ..., га соответственно, являются неза-
висимыми, если
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
39
При доказательстве теоремы понадобится следующая
лемма.
Лемма 2.2. Линейные функционалы i —
= 1, 2, ..X, в векторном пространстве Ф размерности
ц > X линейно независимы, если в Ф существуют элемен-
ты hi, ..., hk такие, что
Lf(hj) ¥ О, j = 1, 2, ..., X,
(2.20)
Ltkhj) = 0, i < /.
Доказательство леммы 2.2. Пусть
Wf) + b2L2(f) +... + bKLK(f) = 0 (2.21)
при всех / е Ф. Положим / = hh j = 1, 2, ..X, и примем
во внимание (2.20):
ЬЛМ + bJM + ... + bJM = 0,
b2LM + ... + bJM = 0,
ЬШ = 0.
Будем рассматривать эти равенства как однородную ли-
нейную алгебраическую систему с неизвестными bt, b2, ...
..., На диагонали треугольной матрицы этой системы,
в силу (2.20), стоят отличные от нуля числа, поэтому ма-
трица неособенная. Таким образом, из равенства (2.21)
при всех / е Ф следует, что Ь, = Ь2 = ... = Ьк = 0. Линей-
ная независимость функционалов Llt ..., LK доказана.
Доказательство теоремы 2.5. Перенумеруем
условия (2.17) следующим образом: условия в каждой
точке а(й занумерованы; для условий в точке а(|) сохра-
ним эту нумерацию, а i-му условию в точке а(Л, j > 2,
припишем номер gi + ц2 + ... + gj-, + г. Линейные функ-
ционалы в Фт, определяемые левыми частями условий
(2.17), также оказываются занумерованными. С помощью
леммы 2.2 докажем, что эти функционалы линейно неза-
висимы.
Построим многочлен h(x) степени не выше тп, для ко-
торого не выполнено s-e из условий (2.17) и выполнены
все предшествующие условия или, что то же самое, ли-
нейный функционал с номером s на h(x) отличен от нуля
40
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
а все предшествующие функционалы на h(x) обращаются
в нуль.
Пусть условие (2.17) с номером $ записывается в виде
DT/(aw) = 0, К к а, ч = ъ, ..., 7„), (2.22)
где к — фиксированное число и f — фиксированный муль-
тииндекс, при этом I у| < гк — 1. Через точку а0) проведем
гиперплоскость 1}(х), которая не проходит ни через одну
из остальных точек а(1), ..., а(0). Образуем многочлен
h (х) =
- г?/??... - 4м)’* U. - 4М)Т" («„-4м)’".
где к и 71, ..., у» те же, что и в (2.22), 1й = 1, г0 = 0. Он
имеет степень
ri + гг + • • • + гк-! +1Т|< 2 — 1 <m
3=1
и является требуемым.
Проверим, что многочлен h(z) не удовлетворяет усло-
вию (2.22). Предположим сначала, что . = уп = 0.
Тогда условие (2.22) записывается в виде f(a(ft)) = O,
а многочлен h(x) — в виде h(x) = Если
к = 1, то h(x) = Zo° = 1 и он не удовлетворяет условию
(2.22). Если Л>1, то гиперплоскости Zt, ..., Zft-i не про-
ходят через точку a(ft), поэтому 7&(a(ft)) & 0.
Пусть теперь не все равны нулю, например, yi > 0.
Запишем h{x) в виде
h (х) — (хх — aV0)71 v, (2.23)
где v = Z?Z? .. . Z^-l1 (я2 — 4ft))?2 • • • (^n — Яп })?п, и вы-
числим частную производную по по формуле Лейбница:
d-h~ = Yj! v + (жг — <4ft)) Z?x(ж).
дх]1
Чтобы получить производную от h(x), которая фигуриру-
ет в условии (2.22), продолжим дифференцирование по
х2, х3, ..., хп, при этом множитель — <4ft) во втором сла-
гаемом сохранится. Результат окончательного дифферен-
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
41
цирования второго слагаемого будет обращаться в нуль
в точке Таким образом, можно ограничиться диффе-
ренцированием и. Получим
Dyh (а<«) = ?! fjl? (а<*>) ... (а<») О,
где = Yi! Y2L .. Тп!.
Легко видеть, что многочлен h(x) удовлетворяет усло-
виям (2.17) в точках а(1), ..., a(ft“4) (к > 1). Рассмотрим,
например, условия в точке а(1). Однократное дифференци-
рование понижает степень множителя h на единицу или
не понижает совсем (если в Ц не входит переменная, по
которой производится дифференцирование). Таким обра-
зом, производная от h(x) порядка п — Г или ниже обяза-
тельно содержит Zt в первой или в более высокой степе-
ни и, значит, обращается в нуль в точке а(1). Отсюда сле-
дует, что если = ... = = 0, то h(x) является требуе-
мым многочленом. Пусть среди Yi, ..., есть положи-
тельные. Докажем, что все частные производные Dah(x),
а = (at, а2, ..ап), где
1 < lai I7I и а Y, (2.24)
обращаются в нуль в точке
В силу (2.24) найдется такой номер t, что at < Дей-
ствительно, из неравенства при всех i = 1, 2, ...
..., п следует lai > lyl. Строгое неравенство lai > 1у1
невозможно в силу (2.24), а равенство loci = Iyl влечет
<х« = при всех4 Z = 1, 2, ..., п или а = 7, что снова
невозможно по (2.24). Для удобства записи будем счи-
тать t = 1 и запишем g{x) в виде (2.23). Из (2.23) вид-
но, что
4Г~М^ = (2-25>
дх^... дх^
поэтому частная производная от правой части по х± по-
рядка <zi < Yi, совпадающая с РаМя), будет содержать
множитель (хг — <X1. Таким образом, производная
D*h{x) обращается в нуль в точке a(ft).
По лемме 2.2 линейные функционалы в пространстве
^т, определяемые левыми частями условий (2.17), линей-
42
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
но независимы. Ранг матрицы Фт равен числу ее строк.
Теорема доказана.
2.5. Теорема о ранге матрицы, составленной из строк
матрицы Вандермонда.
Теорема 2.6. Пусть точки x(i\ i = 1, 2, ..., v,
попарно различны. Чтобы матрица
ф2(^0)), • • .,фц(^(0)1г-1, р=М(п, тп) (2.26)
имела ранг v, необходимо и достаточно, чтобы точки x{i)
были общими корнями многочленов (пг+ 1)-й степени:
и
& + 3 а$%(*), (2.27)
где мультииндекс а принимает все значения, удовлетво-
ряющие условию 1а1=тп + 1. Число общих корней мно-
гочленов (2.27) не больше ц.
Доказательство. Необходимость. Пусть
строки матрицы (2.26) линейно независимы. По лемме 2.1
можем указать точки x{j}, / == v + 1, v + 2, ..., ц, такие,
что матрица Вандермонда Vm, порождаемая точками
х(1)9 ..., ж(ц), неособенная. Требование, чтобы многочлен
вида (2.27) обращался в нуль в точках x(i), ..., xw, при-
водит к линейной алгебраической системе относительно
коэффициентов этого многочлена с неособенной матрицей
Vm. Существование многочленов (2.27), для которых точ-
ки x{i) являются общими корнями, доказано.
। Достаточность. Предположим, что строки матри-
цы (2.26) линейно зависимы:
s (*(i>) = 0, j = 1,2, ..., и, (2.28)
г=1
где числа Ьг не все равны нулю.
Запишем, что точка x{i} является корнем многочлена
(2.27):
ц
(X(i))a + 2 <4°%- (х&) = 0. (2.29)
3=1
Умножая обе части этого равенства на bi и суммируя по i
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
43
от 1 до V, получим
У 2 <4в)2 = 0, |а| = ш + 1.
1=1 3=1 1=1
В силу (2.28) второе слагаемое, содержащее два знака
суммы, равно нулю, и мы получаем
2 = 0 при | а | = т + 1,
1=1
так что равенства (2.28) имеют место при 7 = 1, 2, ..
|iii = $f(n, т +1) для всех одночленов степени не вы-
ше т+ 1. Это означает, что строки матрицы
[Ф1 (*<*>), <Р2 • • •, «>)]Г=ь (2.30)
которая получается из матрицы (2.26) добавлением
М{п — 1, т + 1) столбцов, связаны той же линейной зави-
симостью, что и строки матрицы (2.26).
Рассмотрим многочлены (тп + 2)-й степени
м-
#i£a + 2 а^хг^з (я), I а | = т + 1, i == 1, 2, ..., п,
(2.31)
которые получаются из многочленов (2.27) умножением
на xh i == 1, 2, ..., п. Очевидно, точки являются общи-
ми корнями многочленов (2.31). Старший член многочле-
на (2.31) является одночленом (тп+ 2)-й степени, и ясно,
что среди Xtx\ lai = тп + 1, ъ = 1, 2, ..., п, содержатся
все такие одночлены.
Пользуясь тем, что строки матрицы (2.30) связаны ли-
нейной зависимостью (2.28) и точки я(<) являются об-
щими корнями многочленов (2.31) степени тп + 2; дока-
жем аналогично предыдущему, что строки матрицы
[<Рх <Рг (*(i)). • • •, <Pu2 (^(i))]i=i. На = м (п, т + 2),
связаны той же линейной зависимостью, что и строки ма-
трицы (2.30).
Аналогичным образом получим, что строки матрицы
[<₽1 (*(й). <р2 , 4>ц4 (*(i))]i=i, Hs = М (п. т + s),
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
44
составленной из всех одночленов степени не выше m + s,
связаны нетривиальной линейной зависимостью при лю-
бом натуральном s, что противоречит теореме 2.5. Утвер-
ждение о линейной независимости строк матрицы (2.26)
доказано.
Мы доказали, что попарно различные общие корни
многочленов (2.27) приводят к матрице (2.26) с линейно
независимыми строками. Так как число линейно незави-
симых строк матрицы не может быть более jx — числа ее
столбцов, то мы получаем второе утверждение теоремы:
число попарно различных общих корней многочленов
(2.27) не более ц.
Отметим частный случай теоремы 2.6.
Теорема 2.7 [40, п]. Чтобы матрица Вандермонда
Vm, порождаемая точками х(1), ..., я(ц), была неособенной,
необходимо и достаточно, чтобы эти точки были общими
корнями многочленов (2.27), где мулътииндекс а пробега-
ет все значения, которые удовлетворяют условию loci ==
= тп + 1.
Замечание. О многочленах (2.27) можно предпола-
гать, что они имеют вид g^x) + Qa{x), trq а принимает
все значения, удовлетворяющие равенству |а!==тп + 1,
при этом ga(x) — однородный многочлен степени m + 1,
а степень Qa(x) не выше тп. Основное требование состоит
в том, чтобы линейная оболочка многочленов ga(x') совпа-
дала с векторным пространством всех однородных много-
членов степени тп + 1.
2.6.0 полиномиальных идеалах. Здесь, как и ранее,
будем рассматривать многочлены от п переменных с
комплексными коэффициентами — элементы кольца
Clxi, х2, ...» хл]. Совокупность а многочленов из C[xi9 ...
..., хп], удовлетворяющих условиям:
1) /a, (/ + g) еа,
2) h е= а, а е C[xi9 ..., хп1 ah а,
называется идеалом. Всюду в дальнейшем под идеалом
понимается идеал в кольце многочленов — полиномиаль-
ный идеал.
Приведем примеры идеалов.
1. Нулевой идеал, состоящий из одного нулевого мно-
гочлена.
2. Единичный идеал, который совпадает с кольцом
многочленов.
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
45
3. Пусть заданы многочлены /Дж), i = 1, 2, ..., г. Со-
вокупность многочленов вида aMf^x) + а2(ж)/2(ж) + ...
... + аг(ж)/г(ж), где аДж), а2(ж), ..аг(ж) — многочлены
из Clxt, ..., жп], очевидно, является идеалом и обознача-
ется (/i, /2, ..., /г)» Говорят, что многочлены /Дж), i == 1, ..\.
..., г, образуют базис этого идеала.
Пример 3 носит общий характер. Теорема Гильберта о
базисе утверждает, что, каков бы ни был идеал а в
С[Ж1, ..., жД, существует конечный набор многочленов
/Дж) таких, что они образуют базис этого идеала: а =
== (/ь • • •> /Л причем число г многочленов базиса зависит
от идеала а.
Если у идеала а существует базис, который состоит из
форм — однородных многочленов, то идеал а называется
однородным. Нетрудно доказать характеристическое свой-
ство однородного идеала а: если неоднородный многочлен
принадлежит а, то и все однородные составляющие этого
многочлена принадлежат а.
Пусть многочлены /Дж), i = 1, ..., г, образуют базис
идеала а. Многочлены из а вида жаД, i =*= 1, 2, ..., г, где
а — мультииндекс, называются элементарными членами
идеала а. Очевидно, что любой многочлен идеала а явля-
ется линейной комбинацией с постоянными коэффициен-
тами элементарных членов идеала а. Понятие элементар-
ного члена зависит от базиса идеала. Один и тот же иде-
ал может иметь различные базисы и, следовательно, раз-
личные совокупности элементарных членов.
Многообразием идеала а = (Д, ..., /г) называется мно-
жество точек пространства С”, которые являются реше-
ниями системы уравнений
&х) = 0, i = 1, 2, ..., г. (2.32)
Размерностью идеала называется размерность его мно-
гообразия. В частности, размерность идеала равна нулю,
если его многообразие состоит из конечного числа точек.
Число п — d, rpp d — размерность идеала, называется
рангом идеала или его коразмерностью.
Базис идеала а — (/<, ..., /г) называется минимальным
базисом, если /< (Д, ..., f^, /<+1, ..., /г), i = 1, 2, ...
• • г. Это означает, что ни один из элементов базиса не
является лишним.
46
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
Пусть ранг идеала а равен р. Если базис а состоиг
из г элементов и является минимальным, то справедливо
неравенство г > р. В случае, когда все элементы базиса
имеют первую степень, справедливо равенство г — р. В не-
линейном случае возможно неравенство г > р, поэтому
естественно дать такое определение: идеал называется
идеалом главного класса г, если его ранг равен г и базис
состоит из г элементов.
Мы будем пользоваться следующим предложением
(см. [46], с. 159). Если однородный идеал l = (gl, ..., gr),
где gt, ..., gT — формы, является идеалом главного клас-
са г, то (.gt, ..., g<) — идеал главного класса i при i —
= 1, 2, ..., г-1.
Теорема 2.8 (Маколей). Пусть Ь = (gi, ..., gr) —
однородный идеал, где г^п, и степень однородного мно-
гочлена gt = gi(x) равна к{. Если ранг идеала равен г, то
число dm(r) линейно независимых однородных многочле-
нов степени тп, принадлежащих идеалу, равно
dm(r) = М(п — 1, m) — Лт(г),
где hm(r) есть коэффициент при tm в разложении функции
<pr (f) = (1 — tki) (1 — ... (1 — thr) (1 — t)~n
в ряд no степеням t.
Доказательство. Так как М(п — 1, тп) является
коэффициентом при tm в разложении функции (1 —£)“"
по степеням t, то достаточно доказать, что число линейно
независимых однородных многочленов степени тп идеала b
4 равно коэффициенту при tm в разложении функции
[1 - (1 - Л) (1 - ?2) ... (1 — **»)] (1 — t)~n. (2.33)
Наряду с идеалом Ъ рассмотрим идеалы = (g,, ...
..., gt), i = 1, 2, ..., г — 1. По сформулированному выше
предложению идеалы Ь,- удовлетворяют условию теоремы,
поэтому можно воспользоваться методом математической
индукции по i.
Пусть i = 1. Для идеала I*i = (gj функция (2.33) при-
нимает вид t*»(l — t)~n и коэффициент при tm в ее
разложении по степеням t равен числу одночленов степе-
ни тп — к, от п переменных. Так как элементарные члены
степени тп идеала (gi) имеют вид x^gt, где lai + kt = тп,
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
47
то они линейно независимы и их число равно числу од-
ночленов степени т — от п переменных. Утверждение
при i = 1 доказано.
Предположим, что теорема доказана при i = 1, 2, ...
..., г—1; докажем ее для г = г. Элементарные члены сте-
пени т идеала Ь можно представить как объединение эле-
ментарных членов той же степени идеала br-i = (gb ...
..gr-i) и идеала (gr).
Образуем линейную оболочку G элементарных членов
степени т идеала (gr). Так как элементарные члены #agr,
где lai = m —/сг, линейно независимы, то размерность G
равна М(п — 1, т — кг). Обозначим через б максимальное
число линейно независимых многочленов из G, которые
не принадлежат идеалу br-i. Ясно, что имеет место ра-
венство
dm(r) = dm(r - 1) + б. (2.34)
Рассмотрим множество Н форм степени т, принадле-
жащих пересечению br-i Л G. Очевидно, Н — векторное
пространство и его размерность удовлетворяет равенству
dim Н = М(п - 1, т - кг) - б. (2.35)
Найдем dim Я.
Многочлен g, содержащийся в G, есть линейная ком-
бинация с постоянными коэффициентами элементарных
членов идеала (gr), так что он имеет вид
S= Sr 2 Ca^a.
la/ =m—kr
Так как gr br_1} то g br-i или, что равносильно, g Я
тогда и только тогда, когда 2 е br-i« Отсю-
/а|=т-Ь2
да следует, что dim Я — dm—kr (г — 1). Теперь из равенств
(2.34) и (2.35) находим
dm (г) = dm (г — 1) — dm-kr <Г — 1) + М (п — 1, т — кг).
(2.36)
Как следует из предположения индукции, слагаемые в
правой части (2.36) являются коэффициентами при tm в
48
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
разложениях по степеням t следующих трех функций:
[1 — (1 — ... (1 — (1 — t)~n — !
— Л[1 — (1 — tkl) ... (1 — tkr~X)J (1 — t)~n + A (1 — t)~n,
которые выписаны подряд с их знаками. Приведя подоб-
ные члены, получим функцию (1 — t)_n — <pr(t). Коэффи-
циент при tm в разложении этой функции совпадает
с правой частью равенства (2.36), а следовательно, и с
dm(r). Теорема доказана.
Мы будем пользоваться частным случаем теоремы 2.8,
когда г = п. В этом случае условие: ранг идеала (gi, ...
..., gn) равен п — равносильно тому, что многочлены ба- ;
зиса g,, ..., g„ имеют единственный общий корень ;
6 = (0, 0, ..., 0) — начало координат. Число линейно не-
зависимых однородных многочленов степени т идеала
(gi, • • gn) равно
dm = М{п — 1, т) — hm, (2.37)
где hm — коэффициент в разложении 5
<р (0 = (1 - ifti) ... (1 - f"") (1 - t)~n = 2 hjt\ (2.38)
5=0
Приведем некоторые свойства коэффициентов при
этом будем пользоваться обозначениями:
L = niin(ki, к2, ..kn),
(2.39)
М = ki + к2 + ...+ кп — n, N = ktk2... kn.
Сумма в (2.38) фактически конечная:
fe2“l /гп~! м
ф (О = 2 2 . 2 tin = 2 hjt\
г1=0 i2=0 in=0 5=0
М
При t = 1 из этого равенства получаем hj ~ N, а так
3=0
тп
как = 0 при 7 > М + 1, то ^hj — N при М,
5=1
С помощью (2.37) теперь получаем
У dj == М(тг, т) — N при т^М. (2.40) :
3=0
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ 44>
Очевидно, что hj при / L — 1 совпадает с коэффициен-
том разложения функции (1 — t)~n в ряд по степеням
так что
hj = М(п — 1, у) при 0 < j L — 1. (2.41}
Полагая в (2.38) t — 1/z, получим <р (z) = zM<p (1/z) =
м
= 2 hjZM-~h Отсюда следует, что hj — hM-h j = 0, 1, ...
j=o
..., М. Отметим еще, что dQ + di + ... + dM-i ==
= М(л, M—i) — N+i.
Проективное пространство С&*п — это множество S не-
которых элементов — точек, в котором введена проектив-
ная n-мерная координатная система. Проективной коор-
динатной системой называется соответствие между точка*
ми 8 и ненулевыми последовательностями из п + 1 ком-
плексных чисел (xQ, Xi, ..., хп). Соответствие таково, что*
1) последовательности (я0, #i, •.хп) отвечает одна и
только одна точка 8;
2) каждой точке из 8 отвечает некоторая последова-
тельность (я0, «1, ..хп) и все последовательности, отли-
чающиеся от нее ненулевым постоянным (комплексным^
множителем р: (ря0, p#i, ..ряп). Числа последователь-
ности (я0, Хп) называются координатами точки.
Возьмем в качестве S совокупность прямых в про-
странстве Сп, проходящих через начало координат. Пусть
I — такая прямая. Координаты любой точки, лежащей на
прямой I и отличной от начала координат, можно взять
в качестве проективных координат точки l^S.
Пусть F(x0, Xi, ..., хп) — однородный многочлен степе-
ни тп от п + 1 переменных. Если координаты (я0, Xi, ...
..., хп) некоторой точки проективного пространства С^п
удовлетворяют уравнению F(#o, х±, ..., хп) = 0, то все
другие значения координат этой точки также удовлетво-
ряют этому уравнению. Это следует из свойства однород-
ности многочлена: F(p#0, p#i, .. рхп) = pmF(x0, хи ....
•.хп). Совокупность точек проективного пространства
С^п, координаты которых удовлетворяют уравнению
F(x0, xh ..., #n) = 0, называется алгебраической гипер-
поверхностью порядка тп.
Рассмотрим теперь пространство Сп. Каждой точке Сл
с координатами (Х4, Х2, ..., Хп) сопоставим однородные
И. П. Мысовских
50
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
координаты (хо, хи ..., хп\ где
хоу=О, А = ^- = Х2,...,^ = Хл. (2.42)
хо хо хо
Если х0 0, то однородные координаты однозначно опре-
деляют точку СХ\, Х2, ..Хп) по формулам (2.42). Одно-
родные координаты (#о, хп) при Хо = 0 не отвеча-
ют никакой точке из Сп. Введем новые объекты — беско-
нечно удаленные точки, которым сопоставим однородные
координаты (0, хп). Пространство Сп, пополненное
бесконечно удаленными точками, можно рассматривать
как проективное пространство. Бесконечно удаленные
точки заполняют гиперплоскость Хо = 0 этого проектив-
ного пространства.
Пусть /(^!, ..., хт) — многочлен степени тп из кольца
£[#1, ..., хп1. Сопоставим ему однородный многочлен
f (• • • ? ~ хп • • •» (2.43)
\ XQ *0 *0 /
степени тп из кольца многочленов С[х0, xh ..хп]. С по-
строением такого однородного многочлена мы уже имели
дело в п. 2.1. Многочлен fix) определяет гиперповерхность
в пространстве Сп, многочлен Fix0, xt, ..., хп) определяет
гиперповерхность в проективном пространстве С&п. Под
С0*п будем понимать пространство Сп, пополненное беско-
нечно удаленными точками. Гиперповерхность Fix0, xi9 ...
..., хп) в С0*п состоит из точек гиперповерхности fix) и
из некоторых бесконечно удаленных точек. Гиперповерх-
ность fix) в Сп не содержит бесконечно удаленных точек,
что осложняет изучение некоторых свойств алгебраиче-
ских гиперповерхностей.
Рассмотрим вопрос о точках пересечения гиперболы
-1 = 0 и прямой в С2. Прямая х2 — а = 0, парал- :
лельная одной из асимптот гиперболы, при а ¥= 0 имеет
одну точку пересечения с гиперболой, а при а = 0 — ни 5
одной точки. То же верно и по отношению к прямой
Xi — а. Все другие прямые имеют с гиперболой две точки
пересечения. Введение бесконечно удаленных точек поз-
воляет утверждать, что каждая прямая пересекает гипер-
болу в двух точках. *•
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
51
Запишем уравнения гиперболы и прямой в однород-
ных координатах: — #o=0, х2 — ах^ = 0. Решая эту
систему двух уравнений с тремя неизвестными ж0, х±, х2,
найдем при а =# 0 два решения (а, 1, а2), (0, 1, 0), кото-
рым отвечают две точки проективной плоскости. Вторая
из них — бесконечно удаленная. При а = 0 бесконечно
удаленная точка является двукратной.
Введение бесконечно удаленных точек позволяет сфор-
мулировать теорему Безу, которая является обобщением
основной теоремы алгебры.
Теорема 2.9 (Безу). Пусть ft, ..., fn — многочлены
из Clxi9 ..., хп] степеней kl9 ..., кп соответственно. Числа
точек пересечения гиперповерхностей fi9 ..., fn в Сп либо
бесконечно, либо равно к±к2... кп — произведению поряд-
ков гиперповерхностей, при этом в число точек пересече-
ния включаются бесконечно удаленные точки и каждая
точка пересечения засчитывается с надлежащей крат-
ностью.
Рассмотрим вопрос о существовании бесконечно уда-
ленных общих корней у многочленов из Clxi, ...,
fi(x) == gi(x) + QAx), i == 1, 2, ..., г, где gi — совокупность
старших членов многочлена fc, так что степени и
одинаковы и равны ki, а степень Q^x) меньше ki. Много-
члену fi(x) сопоставим однородный многочлен Fi(xQ, xl9 ...
..., хп) той же степени по формуле (2.43). Так как
Fi(0, Xi, ..., хп) = gi(x), то существование точки проек-
тивного пространства с координатами (0, xi9 ..., хп), ко-
торая обращает в нуль все многочлены Fi(x0, xl9 ..., хп)г
i = 1, 2, ..., г, равносильно существованию общего нетри-
виального корня в Сп у однородных многочленов gi{x)r
i = 1, 2, ..., г. Такой корень заведомо существует, если
г < п.
Пусть а — идеал в С1х^ ..., яп]. Рассмотрим следую-
щую совокупность а однородных многочленов кольца
CIxq, ..., :rn]: Fea, если F(l, хи ..., яя) e a. Если
/(^i, ..., xn) e a, то при m deg(/)
является однородным многочленом степени m, который
I 4*
L
52
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
принаддежит а. Наименьший однородный идеал а0 в
С[х^, #1, ..., хп], содержащий а, называется эквивалент-
ным а однородным идеалом.
Пусть а0 — (Fb F2, ..Fr), где = F^, xY, ..., xn) —
однородные многочлены. Очевидно, что идеал (ft, /2, ...
..., /г), где fi(xi, ..хп) = Ff(l, xh ..хп), совпадает с а.
Базис идеала а, элементы которого получены из элемен-
тов однородного базиса идеала а0 подстановкой х0 = 1,
называется Н-базисом идеала а. Характерным для Я-ба-
зиса а является свойство, выражаемое следующей тео-
ремой [35].
Теорема 2.10. Если многочлены fl9 ..., fr являются
элементами Н-базиса идеала а, то, каков бы ни был мно-
гочлен f е а степени тп, его можно представить в виде
т
j а^],где а5 —многочлен от х{, ..., хп и степень
5=1
многочлена а£ не выше m при всех / = 1, 2, ..., г.
Доказательство. Многочлену fеа сопоставим
однородный многочлен F = F(x0, х^ ..., яп) той же степе-
ни. Так как F е а0 = (Л, ..., Fr), то
F = s A}F}, (2.44)
5=1
где Aj = Aj(xq, xi9 ..., xn) — однородный многочлен; при
этом мы можем считать, что в правой части (2.44) при-
сутствуют лишь слагаемые, степени которых равны сте-
пени F. Полагая в (2.44) х0 = 1, получим требуемое пред-
ставление для /. Теорема доказана.
Как ясно из сказанного выше, для любого идеала а в
кольце CLxi, ..хп1 существует Я-базис. Не всякий ба-
зис идеала является Я-базисом. Этож показывает следую-
щий пример. Базис идеала а == (х2 + у, ху) в кольце мно-
гочленов от двух переменных не является Я-базисом.
Действительно, у2 е а, так как у2 = у(х2 + у) — х(ху).
Если бы базис а был Я-базисом, то было бы справедливо
представление у2 = а(х2 + у) + Ьху, где с и 6 — постоян-
ные. Можно показать, что базис (х2 + у, ху, у2) уже яв-
ляется Я-базисом.
Теорема 2.11. Пусть gi — совокупность старших
членов многочлена fi, i = 1, 2, ..., п, (так что степени А
и gi одинаковы и равны kh а степень fi — gi не выше
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
53
fo—1). Если многообразие идеала Ъ = gn) состо-
ит из единственной точки 0 = (0, 0, ..., 0), то многообра-
зие идеала а » (Д, ../л) состоит из конечного числа
точек и его базис является Н-базисом.
Доказательство. Коэффициент Ам+i в разложе-
нии (2.38), где М определяется равенством (2.39), равен
нулю, и, следовательно, число линейно независимых мно-
гочленов степени М + 1 идеала Ь по теореме 2.8 равно
Mtn — 1, М + 1). Таким образом, линейная оболочка мно-
гочленов степени М + 1 идеала b совпадает с векторным
пространством всех однородных многочленов степени
М+1.
Рассмотрим элементарные члены степени М + 1 идеа-
ла a: i = 1, 2, ..., п. Здесь а(0 — мультииндекс,
который принимает все значения, удовлетворяющие усло-
вию 1а(г) I + ki = М + 1. Линейная оболочка старших чле-
нов многочленов x*wfi(x), i = 1, 2, ..., п, как мы видели,
совпадает с пространством всех однородных многочленов
степени М+1, и в силу теоремы 2.6 и замечания к ней
число общих корней многочленов яа(г)/<(я), i = 1, ..«, и,
конечно — не более M(n, М). Утверждение о конечности
числа общих корней многочленов /4, ..., fn доказано, так
как общие корни этих многочленов являются общими
корнями многочленов xa(i)fi(x'), i = 1, .. *, п.
Второе утверждение теоремы оставляем без доказа-
тельства. Оно будет доказано в п. 2.7 при дополнитель-
ном ограничении на многообразие идеала (Д, ..., /п). Это
многообразие должно состоять из kik2.. .kn попарно раз-
личных конечных точек.
Отметим также без доказательства, что если многооб-
разие идеала (g4, ..., gn) не сводится к единственной точ-
ке (0, ..., 0), то многочлены /4, ..., fn не образуют Я-ба-
зис идеала (Д, ..., /п). Это объясняет, почему в приведен-
ном выше примере базис не является Я-базисом.
Первое утверждение теоремы 2Л1 можно сформулиро-
вать следующим образом: если среди общих корней мно-
гочленов Д, ..., /п нет бесконечно удаленных, то число
их общих корней конечно.
2.7. Теоремы, аналогичные теореме Нетера. Рас-
смотрим две матрицы:
#гй, . . ., #п]г—1 ® = [Ьц, .*. . , &i/]f=i, (2.45)
54
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
где 1 г < Z, 1 s < I. Выделим квадратную подматрицу ||
порядка г матрицы А: I:
•^1 = [^iap • . ., .j*
где <Xi, a2, ..«г — номера столбцов матрицы А, которые
входят в Ль Обозначим через р2, ..fr-r номера ос-
тальных столбцов матрицы А и рассмотрим матрицу раз-
мера sX(l-г):
Вг = ...»
/
— подматрицу матрицы В. [
Лемма 2.3. Пусть ранги матриц А и В равны соот- ;
ветственно г и s и выполнены условия
i
г-1,2, ...,г, / = 1,2, ...л (2.46) :
д=1
Тогда r+s^l. Если матрица At неособенная, то ранг
матрицы В^ равен рангу матрицы В. Если r + s — I, то
квадратные матрицы At и Bi либо обе неособенные, либо
обе особенные.
Замечание. Условие (2.46) можно сформулировать
следующим образом: строки матриц А и В ортогональны
(Л — матрица, комплексно сопряженная кВ).
Доказательство. Неравенство г + s СI очевид-
но. Строки матрицы В — решения однородной линейной
алгебраической системы с матрицей А. Так как число
всех линейно независимых решений этой системы равно
Z — г, то $ < I — г.
Будем считать, что неособенная подматрица Ai состав-
лена из первых г столбцов матрицы А, т. е. ai = i при
i = 1, 2, ..., г. Выпишем столбцы матрицы В: *
Ь(0 = 1Ьк, b2i, ..., b8iV, i = l,2,...,l,
и перепишем условия (2.46) в виде
aub(1) + ai2b™ + ... + airb{r} +
+ aitT+ib^ + ... + attb™ = 0, i = 1, 2, ..., г.
Эти равенства представляют собой линейные соотно- -Л
шения между векторами Ь(<). Так как матрица коэффици- 4
ентов соотношений при первых г векторах -41==[ai1, ai2, • • • f
i
К
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
55
.. ., air]i==i неособенная, то векторы Ь(1), ..Ь(г) выра-
жаются линейно с постоянными коэффициентами через
I — г векторов Ь(г+1), ..&(0. Отсюда следует, что ранг
матрицы В совпадает с рангом матрицы Bi = [Ь(г+1),
Ъ(г+2\ ...» Ь(°].
Если г + 5 = Z, то Bi — квадратная матрица порядка 5.
Так как ее ранг по доказанному равен 5, то она неособен-
ная. Если А{ особенная, то Bi тоже особенная. Действи-
тельно, если Bi неособенная, то, как и выше доказыва-
ется, что Ai неособенная. Лемма 2.3 доказана.
Если в условиях леммы 2.3 матрицы А и В вещест-
[«41
в равен г + s. Действи-
тельно,
ГЛ1Г4Т ГА] ГАА' 0 1
|в] [5J = ’ В 1 ~ |0 ВВ'\-
(2.47)
Так как строки матриц А и В линейно независимы и ве-
щественны, то А А' и ВВ' неособенные, как матрицы Гра-
ма. Отсюда следует, что ранг последней матрицы в (2.47)
равен r + s. По теореме о ранге произведения матриц ранг
У . не меньше г + s и, следовательно, равен г + 5.
[А.
в
неособенная.
Предположение о вещественности А и В является су-
щественным. Если А = [1, й, В = [1, d, то ранг
равен единице.
Рассмотрим идеалы а = (Д, ..., /п), Ь = (gt, ..., gn),
где степень /< равна удовлетворяющие условиям теоре-
мы 2.11: многочлен gi представляет собой совокупность
старших членов многочлена /<, при этом многообразие
идеала Ъ состоит из единственной точки — начала коор-
динат 0.
Перенумеруем линейно независимые элементарные
члены степени s идеала Ь. Их число равно de, где d8 опре-
деляется равенством (2.37). Образуем матрицу G8 из ко-
эффициентов занумерованных многочленов. Элемент этой
матрицы с индексами (i, /) есть коэффициент i-ro много-
56
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
члена при одночлене фДя), где t = M(n, а —1)+/. Мат-
рица G8 имеет размер d8 X М(п~~ 1, $), ее ранг равен d8 —
числу строк. При s^M она прямоугольная, а при s >
> М + 1 —- квадратная. Здесь и далее пользуемся обозна-
чениями (2.39).
При s М выделим d8 линейно независимых столбцов
матрицы G8. Одночлены, коэффициентами которых явля-
ются элементы выделенных столбцов, назовем выделен-
ными одночленами. Квадратную подматрицу матрицы Gs,
образованную выделенными столбцами, будем обозна-
чать Н8.
Нумерация линейно независимых элементарных членов
степени $ идеала 5 при каждом фиксированном s позволя-
ет занумеровать все линейно независимые элементарные
члены идеала Ь. Элементарные члены степени s == L уже
занумерованы числами от 1 до dL. Элементарному члену
степени s > L +1 с номером t приписываем номер
dL + di,+i + ... + d8-i + t.
Лемма 2.4. Выделенный одночлен степени s М
можно представить в виде линейной комбинации невыде-
ленных одночленов и элементарных членов идеала Ь той
же степени. Любой одночлен степени s при s > М + 1 яв-
ляется линейной комбинацией элементарных членов сте-
пени s идеала К.
Это следует из того, что столбцы матрицы G8 коэффи-
циентов линейно независимых элементарных членов сте-
пени 5 при выделенных одночленах образуют неособенную
матрицу Н8. Так как при $ > М + 1 любой одночлен сте-
пени $ является выделенным, то он представляет собой
линейную комбинацию элементарных членов степени s.
Нумерация всех линейно независимых элементарных
членов идеала Ь порождает нумерацию элементарных чле-
нов идеала а: если элементарный член x*gi идеала Ь ока-
зался занумерованным, то его номер получает элементар-
ный член x*fi идеала а.
Образуем матрицу Ат, составленную из коэффициен-
тов перенумерованных элементарных членов идеала а,
степень которых не выше тп. Элемент матрицы Ат с ин-
дексами (г, /) есть коэффициент Z-ro элементарного члена
при одночлене ф/я). Матрица Ат имеет размер
т
2 dj X
и*=ь J
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
57
X М(п, т), и ее ранг равен числу строк. В силу (2.40)
число строк матрицы Ат при т > М равно М(п, т) — N.
На рис. 2.6 изображено строение матрицы Ам.
Предположим, что многочлены Д, ..., /„ имеют точно
N — kjc2.. .кп попарно различных общих корней, среди
которых нет бесконечно удаленных. Обозначим эти корни
x(i\ х{2\ ..., х{Ю и образуем матрицу
вт = [<Р1 (®0)), (*0)), • • •» Фм(п,т)(*(Л)]£=1. (2.48)
Так как точки я(1), ..являются общими корнями
элементарных членов степени М + 1 идеала а, а линейная
оболочка их старших членов совпадает с векторным про-
странством всех однородных многочленов степени' М +1,
то по теореме 2.6 и замечанию к ней ранг матрицы Вм
равен N — числу ее строк.
К матрицам Ам и Вм можно применить лемму 2.3, так
как строки матриц Ам и Вм ортогональны. Рассмотрим
квадратную подматрицу А порядка М(п, М) — N матри-
цы Ам, составленную из ее столбцов, которые определя-
ются выделенными одночленами. (Число выделенных од-
ночленов по (2.40) равно dL + dL+l + ... + dM^= М(п, т) —
— N.) Матрица А имеет квазитреугольную форму: на
диагонали стоят квадратные неособенные матрицы
HL, Hl+i, ..., Ям, справа от которых сплошь стоят нули.
Таким образом, матрица А неособенная. Обозначим через
В подматрицу матрицы Вм, которая составлена из столб-
цов невыделенных одночленов. По лемме 2.3 матрица В
неособенная.
58
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
Теорема 2.12. Пусть многочлены fi9 f2, ..К
степеней к2, ..кп соответственно имеют точно N =
= kik2.. .кп конечных попарно различных общих корней
х{1), ..., x(N}. Если многочлен f степени тп обращается в
нуль в точках х(1), ..то
/ = 2 <4fh (2.49)
где многочлены а^ таковы, что степень не выше ш.
Другими словами, эту теорему можно сформулировать
следующим образом: если многочлен f обращается в нуль
в точках я(1), ..x(N), то / е а = (/i, /2, ../п), при этом
базис а является Я-базисом.
Доказательство. Совокупность старших членов
ft будем обозначать через Так как по условию много-
члены /1, ..., fn имеют точно N попарно различных и ко-
нечных общих корней, то по теореме Безу у этих много-
членов нет бесконечно удаленных общих корней, и, сле-
довательно, многочлены gt имеют единственный общий
корень — начало координат 0. Это позволяет воспользо-
ваться вспомогательными результатами настоящего пунк-
та, в частности, леммой 2.4 и неособенностью матрицы В.
Пусть f — многочлен степени тп, который обращается
в нуль в точках х{1), ..., хт. Рассмотрим сначала случай,
когда m < М. Если в f входят только невыделенные одно-
члены, то многочлен / — нулевой. Действительно, записы-
вая тот факт, что многочлен / обращается в нуль в точ-
ках х(1), ..., x{N\ придем к N равенствам, которые можно
рассматривать как однородную линейную алгебраическую
систему относительно неизвестных коэффициентов /. Ма-
трицей системы является матрица В, составленная из зна-
чений невыделенных одночленов в точках x{i\ ..., x{N\
Матрица В неособенная, поэтому коэффициенты много-
члена / равны нулю. Представление (2.49) имеет место,
при этом в качестве а,- следует взять нулевые многочлены.
Предположим теперь, что в / входят выделенные одно-
члены. Обозначим через g совокупность старших членов
многочлена f. С помощью леммы 2.4 получаем равенство
g = 2 bigi + h, (2.50)
i==l
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
59
где h — однородный многочлен степени тп, составленный
из невыделенных одночленов, а степень многочлена bigi
равна тп, если bi — многочлен, отличный от тождественно-
п
го нуля. Из (2.50) видно, что многочлен / — S bigi —
i=l
= f— S + h содержит лишь невыделенные одночлены сте-
пени т. Это же верно и относительно многочлена
п
f^f-'Zbifi, (2.51)
г—1
так как gi — совокупность членов степени тп многочле-
на fi. Итак, многочлен /(1) не содержит выделенных одно-
членов степени тп и, как видно из (2.51), обращается в
нуль в точках я(1), ..., x{N).
Обозначим через g{i) совокупность членов степени
т — 1 многочлена /(1). По лемме 2.4
г'*’ - 2 + *“>,
г=1
где h{l) —- однородный многочлен степени тп — 1, состав-
ленный из невыделенных одночленов, а степень многочле-
на b^gi равна тп — 1, если — отличный от нуля
многочлен. Отсюда получаем, что многочлен
bVgi=fW-gw + hw
г=1
не содержит выделенных одночленов как степени тп, так
и тп — 1. Это же утверждение верно и в отношении много-
члена
i—1 г=1
Продолжая действовать таким путем, придем к мно-
гочлену
/(ra_L+1) = у _ 2 + ... + Ь[т~») fi, (2.52)
i=l
который не содержит выделенных одночленов и обраща-
ется в нуль в точках xw, ..., х11Г). По доказанному выше
такой многочлен — нулевой. Из (2.52) получаем требуе-
60
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ!
мое представление (2.49) для /, так как степень много-
члена (bi + + ... + fi не выше т. Доказа-
тельство для случая т^М завершено.
Предположим, что т > М + 1. Совокупность старших
п
членов / обозначим через g. По лемме 2.4 g = 3
i==l
где степень Cigi равна тп, если — многочлен, отличный
от нулевого. Многочлен
i=i
имеет степень не выше т — 1 и обращается в нуль в точ-
ках ®(1), .... xlN). Если степень /(О больше М, то, поступая
аналогично предыдущему, придем к многочлену
Г-/-2 к.+=?’]/.,
1=1
степень которого меньше степени / по крайней мере на
две единицы, а степень не более т — 1.
Продолжая действовать таким путем, придем к много-
члену
= / - S [с< + + ... + сГ Ч fi, (2.53)
i=i
степень которого выше М, при этом степень много-
члена fci +с? > + ... + не более т. Так как
точки xw, ..., »(W> являются корнями многочлена /(0 и
его степень не превосходит М, то по доказанному выше
/(<) = S dih, (2.54)
г=1
тде степень d4/< не более степени /(П. Из равенств (2.53)
и (2.54) получаем представление для f вида (2.49). Теоре-
ма 2.12 доказана.
Обозначим
г = Мп-1, к + 1)-1, (2.55)
где I — целое неотрицательное число, удовлетворяющее
неравенству I < М(п — 1, к + 1) — п. Рассмотрим г много-?
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
61
членов степени к + 1:
/Д®) = gt(x) + QM, i = 1, 2, .... г, (2.56)
которые имеют точно $ конечных и попарно различных
корней xl>) = 1, 2, ..а. У многочлена /Дя) выделена
однородная составляющая gi(x) степени к +1, так что
степень Qtkx) не выше к.
Введем матрицу
В = [ф1 U0)), ф2 (®0)), • • •» ФМ(п Л+1) (х°>)]5=1, (2.57)
порождаемую точками хи), / = 1, ..., s.
Лемма 2.5. Пусть многочлены gj(x), / = 1, 2, ..., /\
линейно независимы и удовлетворяют условию (*): ли-
нейная оболочка многочленов Xig5(x), i ® 1, 2, ..., п,
J и 1, 2, ..г, совпадает с векторным пространством всех
однородных многочленов степени к+ 2. Тогда
s < М(п, к) + I (2.58)
и подматрица Вх матрицы В, составленная из первых
М(п, к) столбцов В и выбираемых специальным образом I
других столбцов В, имеет ранг s. В частности, если в
(2.58) имеет место равенство, то Bt — квадратная и не-
особенная и, следовательно, точки x(i), / = 1, ..., s, не
лежат на алгебраической гиперповерхности порядка к*
а многочлены (2.56) образуют базис векторного простран-
ства всех многочленов степени k + 1, которые обращаются
в нуль в точках х(}), 7 = 1, ...,$.
Доказательство. Рассмотрим матрицу коэффи-
циентов многочленов (2.56):
Л == [ли, • • м
Элемент a{j является коэффициентом многочлена fi(x) при
одночлене ф/я), Так как многочлены gi(x) линейно неза-
висимы, то таковы и fAx), и, следовательно, ранг А ра-
вен г — числу ее строк.
Докажем, что ранг матрицы В, определяемой равен-
ством (2.57), равен s. Однородные составляющие степени
к + 2 многочленов
’ Xifj(x) = Xigj(x) + XiQj(x),
(2.59)
i = 1, 2, ..., n, / = 1, 2, ..., r,
62
гл. 1. ВВЕДЕНИЕ
совпадают с многочленами Xig,(x), i = 1, ..., п, / = 1, ...
..., г, которые по условию леммы содержат базис вектор-
ного пространства всех однородных многочленов степени
к + 2. Точки x{i}, 7 = 1, ..., 5,— общие корни многочленов
<2.59), и по теореме 2.6 и замечанию к ней матрица (2.57)
имеет ранг s.
Так как точки хи) являются общими корнями много-
членов (2.56), то
M(n,fe+1)
2 (я0)) = 0, 1 = 1,2, ..., Г, 7 = 1,2, ...,$.
д=1
(2.60)
Таким образом, для матриц А и В выполнены условия
леммы 2.3. С помощью этой леммы получаем неравенство
s М(п, к + 1) — г =
= Ш, k + i)-M(n-i, *+l) + Z = M(n, k) + l. (2.61)
Многочлены gj(x), 7 = 1, ..., г, линейно независимы,
поэтому среди столбцов матрицы Л, которые составлены
из коэффициентов многочленов £/(я), найдутся М(п — 1,
к + 1) — I таких, что определяемая ими матрица неосо-
бенная. Ai получается из столбцов, определяемых много-
членами &(#), удалением I столбцов — коэффициентов при
одночленах фДя) с номерами ti9 t2, ..., th ti > M(n, k) + 1.
Из леммы 2.3 следует, что подматрица Bi, составленная из
первых М(п, к) столбцов В и столбцов с номерами ti, t2, ...
..., ti, имеет ранг s.
Если s = М(п, к) +1, то матрица Bi квадратная и не.-
особенная. Так как первые М(п, к) столбцов этой матрицы
линейно независимы, то точки х(5), 7 = 1, ..., s, не лежат
на алгебраической гиперповерхности порядка к.
Из леммы 2.3 следует также, что число линейно неза-
висимых многочленов степени к + 1, которые обращаются
в нуль во всех точках х{\ 7 = 1, не более г — I. Но
так как многочлены (2.56) линейно независимы, обраща-
ются в нуль во всех точках x{j} и их число г — I, то они
образуют базис векторного пространства многочленов сте-
пени к + 1, для которых точки z(J) являются общими кор-
нями. Лемма 2.5 доказана.
Теорема 2.13. Пусть многочлены (2.56) удовлетво-
ряют условиям леммы 2.5 и число их общих корней x(j)
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
63
j = 1, ..., в, конечных и попарно различных, равно
s = Min, k) +I. Если многочлен fix) обращается в нуль во
всех точках хи), то справедливо представление
1(х)=^а}(х)/}(х), (2.62)
5=1
где многочлены a^ix) таковы, что степень а^ не выше сте-
пени fix).
Доказательство. Обозначим через ш степень
многочлена fix) и будем считать, что тп к. Так как точ-
ки хи\ 7 = 1, ..., s, по лемме 2.5 не лежат на алгебраиче-
ской гиперповерхности порядка к и так как по условию
fix) обращается в нуль в этих точках, то fix) — нулевой
многочлен. Следовательно, представление (2.62) имеет ме-
сто, если a$ix) = 0.
Пусть тп = к + 1. По лемме 2.5 многочлены (2.56) обра-
зуют базис в векторном пространстве всех многочленов
степени к + 1, которые обращаются в нуль во всех точках
x{i}, 7 = 1, . . .> $. Отсюда следует, что справедливо пред-
ставление (2.62), в котором a$ix) — постоянные.
Воспользуемся методом математической индукции.
Предположим, что теорема уже доказана, когда степень
многочлена fix) не выше N — 1, где N > к + 2, и докажем^
что представление (2.62) имеет место, когда степень fix)
равна N. Пусть gix) — однородная составляющая степени
N многочлена fix). Так как линейная оболочка многочленов
Zigjtx), i = l, ..., п, / = 1, ..., г, совпадает с векторным
пространством всех однородных многочленов степени
к+ 2, то найдутся однородные многочлены bijix) степени
N — к — 2 (некоторые из них могут оказаться нулевыми)
такие, что
8 (#) “22 (^) *^i8j (#)•
г=1
Наряду с gix) рассмотрим многочлен
81 (я) = 2 2 bij ix) xxfj ix). (2.63)
i=l j=1
У него однородная составляющая степени N совпадает с
gix), поэтому многочлен fix)— giix) имеет степень не вы-
ше N — 1 и обращается в нуль в точках xU), j = 1, ..., s>
64
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
в силу (2.63). По предположению индукции справедливо
представление
/ (®) - gi (*) = 2 Ь} (х) f} (х), (2.64)
5=1
где степень многочлена Ь^х) не выше N — к — 2. Подстав-
ляя в (2.64) вместо g^x) правую часть равенства (2.63),
получим представление для /(я) вида (2.62), в котором
•степень многочлена а^х) не выше N — к — 1. Теорема
2.13 доказана.
Условие (*) леммы 2.5 существенно. Это видно из
следующего примера. Возьмем три многочлена пятой сте-
пени от двух переменных:
4 4 6
/1 = П(® —/), Л = П (*/ — /), /з = П(^ + у —/)•
5=0 5=0 5=2
Их старшие члены gt = xs, g2 = ys, gs=(x + у)8 линейно
независимы, однако не удовлетворяют условию (*) леммы
2.5. Число многочленов xg{, ygt, i — 1, 2, 3, из условия (*)
равно 6, поэтому их линейная оболочка не совпадает с век-
торным пространством всех однородных многочленов 6-й
степени, размерность которого равна 7. В рассматриваемом
случае п = 2, к —4, 1 = 3 и нера-
венство (2.58) для числа общих
корней многочленов /1, /2, /3 запи-
сывается в виде s < М(2,4)+ 3= 18.
На самом деле число общих корней
многочленов /ь /2, /9 равно 19
(рис. 2.7).
Условие (*) леммы 2.5 заведо-
мо выполнено, если 7 = 0. Дей-
ствительно, в этом случае число
г однородных многочленов gSx) по
(2.55) равно МЫ — 1, Л:+ 1), и так
как эти многочлены линейно неза-
висимы, то они образуют базис в
векторном пространстве всех однородных многочленов сте-
пени к +1. Отсюда, очевидно, вытекает выполнение усло-
вия (*).
При дополнительном ограничении на многочлены g/x)
условие (*) выполнено и в случае 7 = 1. Именно, спра-
ведлива следующая лемма.
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
65
Лемма 2.6. Пусть однородные многочлены gSx),]^
= 1, ..г, степени к + 1, где г определяется (2.55)
при 1 = 1, линейно независимы и не имеют общих корней,
отличных от тривиального (0, 0, ..., 0). Тогда среди мно-
гочленов Xigj(x), i = 1, ..., п, / = 1, ..., г, степени к + 2
имеется М(п — 1, к + 2) линейно независимых, т. е. линей-
ная оболочка многочленов Xig^x) совпадает с векторным
пространством всех однородных многочленов степени
к + 2.
Идея доказательства леммы состоит в том, что рас-
сматривается матрица коэффициентов многочленов Xig^x)
размера ntM{n — 1, к + 1) — И X М(п — 1, к + 2) и дока-
зывается, что ее ранг равен числу столбцов.
Приведем теорему М. Нетера, которая и послужила
прототипом для теорем 2.12 и 2.13.
Теорема 2.14. Пусть алгебраические кривые
f^x, у) и f2(x, у) порядка к{ и к2 соответственно имеют
только конечные точки пересечения (xh уд. i = 1, 2, ..., о.
Кратность точки (х{, уд как точки кривой обозначим
через Гц и как точки кривой f2 — через r2i. Предположим,
что в каждой точке пересечения касательные к кривой fi
отличны от касательных к f2 в той же точке. Тогда лю-
бую кривую f порядка т, которая имеет точку (х{, уд
точкой кратности г« + r2i — 1, i = 1, 2, ..., а, можно
представить в виде
f(x, у) = а^х, y)fSx, у) + а2{х, y)f2(x, у), (2.65)
где а^х, у) и а2(х, у) — многочлены степени m — и
т — к2 соответственно. Если разность m — ki отрицатель-
на, то многочлен а^х, у) следует считать нулевым.
Мы не приводим доказательство этой теоремы, кото-
рое можно найти, например, в [29].
Рассмотрим идеал а = (Д, /2). Теорема утверждает, что
если многочлен / имеет точку (xt, уд точкой кратности
Гц + r2i — 1 при г = 1, 2, ..., а, то f & а. Так как fi и f2
не имеют бесконечно удаленных точек пересечения, то по
теореме 2.11 базис /4, f2 является Я-базисом, откуда и вы-
текает утверждение о степенях многочленов ai9 а2 в пред-
ставлении (2.65).
Так как среди точек пересечения кривых /i и f2 нет
бесконечно удаленных, то число точек пересечения ко-
5 И. П. Мысовских
66
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
нечно. По теореме Безу число точек пересечения с уче-
том кратностей равно kik2. В случае, если касательные к
Д отличны от касательных к f2 в точке пересечения, то
кратность точки (х<, у») как точки пересечения кривых
fi & ft равна произведению кратностей rar2i и, следова-
(Т
тельно, S rlir2i = ^1^2-
1=1
Теорема Нетера верна и в том случае, когда не выпол-
нено условие на касательные к кривым Д и в точках
пересечения, однако в этом случае надо налагать допол-
нительные требования на кривую f. Например, в точке
пересечения, которая является простой как для /1, так и
для f2, кривые Д и f2 могут иметь касание порядка к.
Тогда кривая f должна не только проходить через эту
точку, но и иметь в ней касание порядка к с кривой ft.
Теорема 2.14 переносится на случай любого п > 2.
Теорема 2.15. Пусть алгебраические гиперповерх-
ности f{, f2, ..fn порядков kh k2 ..., kn соответственно
имеют только конечные точки пересечения x(i), х(2), ...
..., х(а). Обозначим через Гц кратность точки х(}) как точ-
ки гиперповерхности fi, так что разложение fi по формуле
Тейлора в окрестности x{j) начинается с членов
fij (*) = }) • • • + (жп -
Предположим, что в каждой точке пересечения x(j) мно-
гочлены fij, f2j, ..., fnj не имеют общих корней, отличных
от х°\ Тогда любую гиперповерхность fix), для которой
п
точка x(j) является точкой кратности S rij — ^ + 1>
1=1
7 = 1,2, ..., о, можно представить в виде
п
/(«) = 2 «iWAW,
1=1
где степень aiix)fiix) не выше степени fix) при всех
z = l, 2, ..., п.
ГЛАВА 2
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
Глава содержит первоначальные сведения об интерпо-
ляционных кубатурных формулах. В § 3 вводится поня-
тие интерполяционной кубатурной формулы, доказывается
теорема Соболева о представлении линейного функцио-
нала, указывается простейшая нижняя граница для чи-
сла узлов кубатурной формулы с m-свойством. В §^4 до-
казывается теорема Чакалова о существовании интерпо-
ляционной кубатурной формулы с положительными коэф-
фициентами и узлами, принадлежащими области инте-
грирования.
§ 3. Интерполяционные кубатурные формулы
3.1. Алгебраическое интерполирование. Выберем по-
парно различные точки в С"
ж<‘>, х<2), ..., х™ (3.1)
и рассмотрим задачу о построении многочлена степени
не выше т:
Р{х) = bt<pt(x) + Ь2ф2(х) + ... + ЬифиСж),
р, = Af(n, т),
который в точках (3.1) принимает заданные значения
Р(ж(0) =/(, i = 1, 2, ..., v, где среди чисел могут быть
и комплексные.
Записывая эти равенства подробнее, приходим к линей-
ной алгебраической системе
Ь1ф1(х(г)) + Ь2ф2(#<4)) + . . . + &ифц(ж(<)) — f(,
(3.2)
i = 1, 2, ..., v,
относительно неизвестных коэффициентов Ь<. Матрица
5*
68 ГЛ. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
системы такова:
[Ф1 (.<»), Ф, (.<>).ф.(ф“)]и
Необходимым и достаточным условием разрешимости
системы (3.2) является совпадение ранга матрицы Vm>v
с рангом расширенной матрицы
[ф1 (*(<)), Фз (*(i)), • • •» ФИ (*0)),
Предположим, что это условие выполнено. Тогда для
единственности решения системы (3.2) необходимо и до-
статочно, чтобы ранг матрицы Уту был равен ц — числу
ее столбцов. По теореме 2.3 это обстоятельство будет
иметь место, если точки (3.1) не лежат на алгебраической
гиперповерхности порядка тп. Будем предполагать, что
точки (3.1) этому условию удовлетворяют и, следователь-
но, справедливо неравенство у > |л.
В последующем нас будет интересовать так называе-
мый классический случай, когда у = ц. В этом случае для
однозначной разрешимости системы (3.2) или, что то же
самое, для существования и единственности интерполяци-
онного многочлена Р(х) необходимо и достаточно, чтобы
матрица Вандермонда Vm = Fm.v была неособенной. На
основании теоремы 2.2 получаем следующую теорему.
Теорема 3.1. Для того чтобы существовал един-
ственный интерполяционный многочлен Р(х) степени не
выше тп, удовлетворяющий условиям
Р(^))=А, f = l, 2, ..., ц,
необходимо и достаточно, чтобы узлы интерполирования
я(1), я(2), ..., х™ не лежали на алгебраической гиперпо-
верхности порядка тп.
Обозначим через Ц{х) интерполяционный многочлен
степени не выше тп, удовлетворяющий условиям
д.(^)) = 6..г / = 1, 2, ц, (3.3)
где бу — символ Кронекера. Существование и единствен-
ность такого многочлена следуют из теоремы 3.1 и пред-
положения о том, что узлы интерполирования не лежат
на алгебраической гиперповерхности порядка тп. Много-
член L^x} называют многочленом влияния i-го узла или
фундаментальным многочленом интерполирования.
§ 3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
69
Заметим, что степень многочлена £<(х) равна точно т.
Докажем это утверждение. Допустим противное: степень
Ьг(х) меньше т. Обозначим через R(ж) многочлен первой
степени, который обращается в нуль в точке x{i). Много-
член LiR имеет степень не более т и обращается в нуль
во всех узлах интерполирования. Это противоречит тому,
что узлы не лежат на алгебраической гиперповерхности
порядка т или ниже.
Многочлен Lt(x) можно записать с помощью опреде-
лителей. Положим
Фх (®) Фх ф2 (®) Ф2 (*(1)) • Фц (*) Фц (®(1))
(х) = Ф2 (*(i-1)) • • • Фц (*(i-1))
Фх (x(i+1)) Ф2(^+1)).. •Фц(^+1))
Ф! (*(Ю) ф2 . •• Фц(*<Ю)
Очевидно, что <Oi(a;(J)) = О при и (вДж{<)) ==
= (—l)l"\D(7m) ¥= 0. Отсюда получаем L^x) =
Если узлы интерполирования вещественны, то коэф-
фициенты фундаментального многочлена интерполирова-
ния также вещественны.
Для интерполяционного многочлена Р(х) справедливо
представление
и
(3-4)
1=1
Действительно, правая часть этого равенства является
многочленом степени не выше т и, в силу (3.3), в точке
х™ принимает значение Д.
3.2. Интерполяционные кубатурные формулы. Пусть
речь идет о вычислении интеграла
1(f) = f p(x)f(x)dx.
а
Областью интегрирования является множество Q из ев-
клидова пространства Rn (Q — не обязательно область).
Подынтегральная функция записана в виде произведения
70
ГЛ. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
двух функций, причем р(х) считается фиксированной и
называется весовой функцией. р(х) предполагается за-
данной в Й, вещественной и такой, что существуют ее
моменты — интегралы
ра = J p(x)xadx, (3.5)
о
где а = («1, а2, .. <%п) — мультииндекс, а»- >0. В неко-
торых случаях удобнее пользоваться обозначением
Pi= p(x)(pt(x)dx, f = l,2, ... (3.6)
Кубатурной формулой для вычисления интеграла /(/)
называется приближенное равенство
- N
J р (я) / (ж) dx S Сjf (ж0)). (3.7)
Точки x(j) считаются попарно различными и называются
узлами кубатурной формулы, а числа С$ — ее коэффици-
ентами. Мы не предполагаем, что узлы принадлежат об-
ласти интегрирования й, более того, допускаем, что среди
узлов и коэффициентов могут быть комплексные. Сумма
в правой части равенства (3.7) называется кубатурной
суммой. В случае формула (3.7) и сумма в правой
ее части называются квадратурными. Вычисление инте-
грала /(/) по формуле (3.7) сводится к вычислению куба-
турной суммы.
Разность между интегралом и кубатурной суммой
R (f) = f Р (*) f (®) dx - f C}t (x^)
Q 3=1
называется погрешностью кубатурной формулы. Погреш-
ность Ж/) является аддитивным и однородным функцио-
налом в векторном пространстве всех многочленов.
Один из способов построения кубатурных формул ос-
нован на интерполировании. Выберем точки х(<), i =
= 1, 2, ..., |*, ц = М(п, ш), не лежащие на алгебраиче-
ской гиперповерхности порядка т, и построим интерполя-
ционный многочлен Р(ж) функции /(ж) степени не выше
т. Многочлен Р(ж) удовлетворяет условиям Р(ж<0) =
§ 3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
71
==/U(i)), г = 1, 2, ..., р, и мы получаем приближенное
равенство
* /(*)^2 L5(x)t{x^). (3.8)
J=1
Умножим обе части этого равенства на pix) и проин-
тегрируем по й. Получим приближенное равенство
I Р (я) / (я) dx 2 Сrf (х(-3'>), (3.9)
a j=i
где
Cj = f р (х) Lj (х) dx, j = 1, 2, ..., |i. (3.10)
Определение. Кубатурная формула (3.9), у кото-
рой: 1) число узлов равно р, 2) узлы не лежат на алге-
браической гиперповерхности порядка тп, 3) коэффициен-
ты определяются равенствами (3.10), называется интер-
поляционной кубатурной формулой.
Интерполяционная кубатурная формула однозначно
определяется заданием узлов, так как ее коэффициенты
определяются единственным образом равенствами (3.10).
Теорема 3.2. Если ц = Min, тп) попарно различных
точек x{i), i = 1, ..., ц, не лежат на алгебраической ги-
перповерхности порядка т, то существует единственная
интерполяционная кубатурная формула, узлами которой
являются эти точки.
Если узлы интерполяционной кубатурной формулы
вещественны, то вещественны и ее коэффициенты. Это
следует из (3.10) и из вещественности фундаментального
многочлена интерполирования.
Нетрудно видеть, что интерполяционная кубатурная
формула (3.9) обладает тп-свойством: она обращается в
точное равенство, когда fix) является любым многочле-
ном степени не выше т. Действительно, в этом случае
fix) совпадает со своим интерполяционным многочленом,
так что равенство (3.8) является точным при всех
#eRn и, следовательно, равенство (3.9) также точное.
В случае n = 1 верно обратное утверждение: если ква-
дратурная формула с ц = тп + 1 узлами обладает тп-свой-
ством, то она интерполяционная. При п > 2 обратное ут-
верждение неверно. Приведем пример.
72
ГЛ. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
Пример 1. Рассмотрим кубатурную формулу для
вычисления интеграла по квадрату К2 = {(^, у} R2! —
— 1 х, у С 1):
6 49
| / (х, у) dx dy s 2 /(**»<#)- (3.11)
ка ^=1
Здесь ti — узлы квадратурной формулы Чебышева
УФ(г)^~12<р(г{), (3.12)
-1 i=1
которая точна для всех многочленов не выше седьмой
степени (см. § 1). Нетрудно видеть, что кубатурная фор-
мула (3.11) точна для всех многочленов от двух перемен-
ных не выше седьмой степени и число ее узлов равно
36 «=Ж2, 7). В то же время она не является интерполя-
ционной, так как ее узлы лежат на алгебраической кри-
в
вой шестого порядка: Ц (# — h)-
i=l
Коэффициенты интерполяционной кубатурной форму-
лы можно находить, решая линейную алгебраическую си-
стему. Именно, запишем, что кубатурная формула (3.9)
точна для всех Одночленов степени не выше т:
+ ... + = р<, i - 1, 2, ...,
здесь pi определяется формулой (3.6). Эти равенства
представляют собой линейную алгебраическую систему
относительно коэффициентов Матрицей системы явля-
ется
г;=[Ф,(.«>),.
транспонированная к матрице Вандермонда, определяе-
мой точками ®(i), i = l, ..., ц. Так как точки не лежат
на алгебраической гиперповерхности порядка zn, то эта
матрица неособенная.
Пример 2. Пусть £2 — треугольник
Тг = {(ж, у) <= R2|x > 0, у >0, х + у^1}
и весовая функция тождественно равна единице в Т>. По-
строим интерполяционную кубатурную формулу с 2-свой-
ством. Так как п — 2, m = 2, то число узлов равно
§ 3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 73
М(2, 2) = 6. Выберем в качестве узлов вершины треуголь-
ника и середины его сторон: (1, 0), (0, 1), (0, 0), (0,5, 0),
(0, 0,5), (0,5, 0,5). Будем считать, что эти точки занумеро-
ваны натуральными числами от 1 до 6 в указанном по-
рядке. Очевидно, что эти точки образуют ньютоновскую
систему и, следовательно, не лежат на алгебраической
кривой второго порядка.
Коэффициенты кубатурной формулы будем вычис-
лять с помощью формулы (3.10). Нам понадобятся фун-
даментальные многочлены интерполирования. Найдем
фундаментальный многочлен, определяемый первым уз-
лом (1, 0). Нетрудно указать многочлен второй степени,
который отличен от нуля в точке (1, 0) и равен нулю
в остальных узлах: ©Дя, у) = х(х — 0,5). Имеем L^x, у) =
= ®iGr, г/)/со±( 1, 0) = 2х2 — х. Заметим, что ы^х, у) мо-
жет отличаться лишь ненулевым постоянным множите-
лем от многочлена, который записан в форме определи-
теля в п. 3.1. Найдем еще £4(я, у). Многочлен второй сте-
пени, который отличен от нуля в точке (0,5, 0) и равен
нулю в остальных, есть о4(х, у) == х{х + у — 1), и, значит,
Z4(#, у) = юДя, У)/cd4(0,5, 0) = 4х(1 — х — у). Выпишем
фундаментальные многочлены, определяемые остальными
узлами: L2 = 2y2 — y, L3 = 2(х + у)2 — 3(х + у) + 1, L5 =
= 4у(Л — х — у), LQ = 4xy.
При вычислении коэффициентов кубатурной формулы
будем пользоваться формулой для моментов:
J J xkyldx dy= + i + 2)! ’ Z = 0,1, 2, ...
Т2
По формуле (3.10) получаем
G= f J(2a;2-x)da:di/ = 2^--^- = 0.
ч
Аналогично находим значения остальных коэффициен-
тов: С2 = С3 == 0, Ci =* С3 = =* 1/6. Кубатурная формула
записывается в виде
J J / (X, у) dx dy -LI/ (0 Д 0) + / (0, 0,5) + f (0,5, 0,5)].
Тп
74
ГЛ. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
Мы получили интерполяционную кубатурную форму-
лу с 2-свойством, однако число ее узлов 3, меньше, чем
6 = Л/(2, 2), так как коэффициенты при трех узлах
обратились в нуль. Если бы мы не знали, каким спосо-
бом получена эта кубатурная формула, то вопрос о том,
является ли она интерполяционной, нуждался бы в до-
полнительном исследовании. В связи с этим полезна
следующая теорема.
Теорема 3.3. Пусть кубатурная формула (3.7) об-
ладает m-свойством. Тогда следующие два утверждения
эквивалентны*.
1) Кубатурная формула (3.7) интерполяционная
uN = ц.
2) Ранг матрицы
1фх (ж0’5)» Фг (®0))» • • •, Фи (Ж(П)]£=Ь (3-13)
построенной по узлам кубатурной формулы (3.7), равен
N — числу ее строк.
Доказательство. 1) => 2). Пусть кубатурнаяфор-
мула (3.7) является интерполяционной. Тогда ее N—p,
узлов не лежат на алгебраической гиперповерхности по-
рядка тп, так что определяемая ими матрица Вандермон-
да неособенная. Если часть коэффициентов формулы
равна нулю, то узлы, которые отвечают ненулевым коэф-
фициентам, порождают линейно независимые строки.
2) ==> 1). Пусть ранг матрицы (3.13) равен N. Если
N — |х, то матрица (3.13) квадратная и неособенная и,
значит, определяющие ее точки —узлы кубатурной фор-
мулы (3.7) — не лежат на алгебраической гиперповерх-
ности порядка тп. Так как кубатурная формула (3.7) об-
ладает тп-свойством, то она точна для фундаментального
многочлена интерполирования IM и, следовательно,
Ci = f pLidx. Мы доказали, что кубатурная формула
(3.7) интерполяционная.
Если N < ц,, то по лемме 2.1 дополним матрицу (3.13)
до квадратной неособенной матрицы. Точки, определяю-
щие дополненную квадратную матрицу, возьмем в ка-
честве узлов и построим интерполяционную кубатурную
формулу. Вновь построенная кубатурная формула, в силу
единственности интерполяционной кубатурной формулы,
§ 3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 75
совпадает с формулой (3.7). (Кубатурную формулу (3.7)
можно рассматривать как полученную с помощью ц уз-
лов, при этом коэффициенты при дополненных узлах
равны нулю.) Мы пришли к уже рассмотренному случаю
N=p.
Замечание. При п = 1 условие теоремы 3.3 выпол-
нено автоматически: матрица (3.13) составлена из строк
матрицы Вандермонда, построенной по попарно различ-
ным точкам.
Предположим, что кубатурная формула (3.7) обладает
тп-свойством, но не является интерполяционной. Тогда
строки матрицы (3.13) линейно зависимы:
N
2^Ч>{(а^>) = 0, i = и, (3.14)
5=1
при этом мы можем считать, что Й№ 1. Запишем, чуо
кубатурная формула (3.7) точна для всех одночленов
степени не выше тп:
с N
) p^idx = 2 С^г(х^У). i = 1, 2, ..., р. (3.15)
й 5=1
Умножая левую часть равенства (3.14) на CN и вычитая
из правой части последнего равенства, получим
С
р (х) (х) dx = 2 (Q — CNdj) ср*
й 5=1
i = 1, 2, ..., p.
Так как = 1, то слагаемое при j~N равно нулю. По-
следнее равенство выражает тот факт, что кубатурная
формула
р N-1
\p(x)f (х) dx ss 2 (Ci - CNdi) f (xty
й 5=1
точна для всех одночленов степени не выше ш.
Таким образом, мы уменьшили число узлов куба-
турной формулы, сохранив ее тп-свойство. Если получен-
ная кубатурная формула не является интерполяционной,
то можем еще уменьшить число узлов. Продолжая ана-
логичные действия, придем к интерполяционной куба-
турной формуле.
76 ГЛ. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
Эта операция уменьшения числа узлов кубатурной
формулы не всегда целесообразна. Например, приведен-
ная выше кубатурная формула (3.11) для вычисления
интеграла по квадрату не является интерполяционной,
но она имеет одинаковые коэффициенты и точна не
только для одночленов не выше седьмой степени, но и
для всех одночленов вида xhyl, где 0<к, 1^7. Интер-
поляционная кубатурная формула, которую мы получим
уменьшением числа узлов, не будет обладать указанны-
ми свойствами исходной кубатурной формулы.
Если узлы кубатурной формулы вещественны, а коэф-
фициенты положительны, то уменьшение числа узлов
можно выполнить так, что коэффициенты полученной
кубатурной формулы будут также положительными. Это
утверждение будет доказано в § 4.
Будем говорить, что кубатурная формула имеет ал-
гебраическую степень точности d, если она обладает
d-свойством и не обладает (d+ D-свойством.
Пусть А — неособенная матрица. Обозначим через
Qi множество, в которое переходит Q при аффинном пре-
образовании координат х=*Ау + а, а через у0) — коорди-
наты точек, в которые переходят узлы кубатурной фор-
мулы (3.7) при этом преобразовании. В левой части ра-
венства (3.15) выполним замену переменной интегриро-
вания х = Ау + а, а в.правой части заменим хи) на
Ауи} + а. Получим
J р (Ау + а) <р{ (Ay + a)\D(A)\dy =2 Gfi (А№ + a)>
% i=1
i = 1, 2, ..., p.
Так как многочлены <pi(Ay + a), i = l, 2, ..p, линейно
независимы, то предыдущие равенства означают, что
кубатурная формула
n
] р (Ау +a) f (у) dy 2 C}f (3.16)
“i i-i
точна для всех многочленов степени не выше тп. Будем
говорить, что кубатурная формула (3.16) получена из
кубатурной формулы (3.7) аффинным преобразованием.
ЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
77
Если кубатурная формула (3.7) не точна для некото-
рого многочлена PU) степени г, то формула (3.16) не
точна для многочлена PC4i/+a), степень которого также
г. Отсюда следует, что алгебраическая степень точности
кубатурной формулы остается неизменной прй аффинных
преобразованиях — является инвариантом аффинных пре-
образований.
Это замечание позволяет при построении кубатурных
формул заданной алгебраической степени точности огра-
ничиться стандартными областями. Например, в случае
веса р(х) = 1 с помощью кубатурной формулы для куба
Кп = Lr^R”! —l^t< 1, i = l, 2, ..., п) можно полу-
чить кубатурную формулу для параллелепипеда, с по-
мощью формулы для шара Bn=UGRn
п \
2 Xi^ 11 мож-
1=1 I
но получить кубатурную формулу для эллипсоида.
3.3. Теорема Соболева о представлении функционала.
Приведем теорему о разрешимости линейной алгебраи-
ческой системы
Ах~ Ь,
(3.17)
где А — матрица размера ц X v: А = ai2, ... ,aiv]i=i>
6 = [&1, &2, ..М' — заданный вектор.
Теорема 3.4. Для разрешимости системы (3.17)
необходимо и достаточно, чтобы вектор Ь был ортогона-
лен ко всем решениям сопряженной однородной системы
А*у = Ъ, (3.18)
где А* =» (Л)', т. е.
и
(Ь, у) = s Ъы = 0 (3.19)
i=l
для любого решения y — lyi, ..., yj' системы (3.18).
Замечание. Условие теоремы, очевидно, можно за-
менить на следующее: для любого решения союзной
однородной системы Л,у = 0 выполняется равенство
и
2 biyi = о.
1=1
Доказательство. Рассмотрим линейную оболочку
S векторов a(ft) = [au, a2h, ..., ay*]', А = 1, 2, .... V,—
78 ГЛ. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
/
столбцов матрицы А. Обозначим через ортогональное
дополнение в подпространства Z/ По определению
ортогонального дополнения вектор7 у^С* принадлежит
2\ тогда и только тогда, когда у ортогонален ко всем
векторам а(1), ..a(v):
(г/, a(i)) = ацу1 + day2 + ... + а^у^ =* 0, i = 1, 2, ..., v.
Таким образом, 3\ состоит из всех решений системы
(3.18).
Чтобы система (3.17) имела решение x = [xi, я2, ...
..., Xvl необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
равенство
+ а{2)х2 + ... •+ a{v)xv = Ь
или, что то же самое, чтобы вектор Ъ принадлежал S?.
Условие Ь^З? равносильно следующему: вектор Ь орто-
гонален всем векторам из —всем решениям системы
(3.18). Теорема доказана.
Пусть ST — векторное пространство функций /(я), за-
данных в Q с Rn, и 3"1 — конечномерное подпространст-
во пространства ST размерности ц. Предположим, что
7(f) — аддитивный и однородный функционал, определен-
ный в 3". Рассмотрим задачу о приближенном представ-
лении 7(f) с помощью линейной комбинации с постоян-
ными коэффициентами некоторых других функционалов
///), заданных в аддитивных и однородных:
(3.20)
7=1
Приводимая ниже теорема дает условия, при выпол-
нении которых существует представление (3.20), которое
обращается в точное равенство для всех функций под-
пространства Зг1.
Введем обозначение: = {/ е 3rJT/f) = 0, / = 1,2,...
..., v) — подпространство Зг
Теорема 3.5 (С. Л. Соболев). Для того чтобы су-
ществовало представление (3.20), которое обращается в
точное равенство для всех функций из Zнеобходимо
и достаточно, чтобы выполнялось условие
fe^o=>/(f)=O. (3.21)
§ 3>ИНТЕРП0ЛЯЦИ0ННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
79
Дока з ат е л>ств о. Необходимость. Оче-
видно.
Достаточность. Пусть — базис подпрост-
ранства В силу аддитивности и однородности функ-
ционалов требование, чтобы приближенное равенство
(3.20) было точным для любой равносильно вы-
полнению равенств
V
2 <7Л(А) = /(А), г = 1, 2, (3.22)
5=1
Мы получили линейную алгебраическую систему от-
носительно неизвестных постоянных Ci9 ..Cv. Докажем,
что эта система разрешима. Обозначим через
решение союзной к (3.22) однородной системы
и
2аА^) = 0, i = (3.23)
5=1
По замечанию к теореме 3.4 для разрешимости си-
стемы (3.22) необходимо и достаточно, чтобы выполня-
лось равенство
ц
2 (Ъ) = 0
5=1
или, что равносильно,
/и \
11 2 aj/i = 0
\ з=1 !
(3.24)
для любого решения ..., системы (3.23).
Числа ai, ..., являются решением системы (3.23)
тогда и только тогда, когда выполнены равенства
/и \
Л 2 аз1з = 0, f = 1, 2, ..., V,
\5=1 /
ц-
или, что то же самое, когда функция / = 2 аз1з при-
5=1
надлежит SFq.
Теперь условие (3.24), необходимое и достаточное
для разрешимости системы (3.22), можно записать в виде
/(/) = 0. Так как по предположению имеет место (3.21)
и так как то это условие выполнено. Разреши-
80 ГЛ. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
мость системы (3.22) установлена, и те^г самым доказана
достаточность условия (3.21). /
Рассмотрим важный частный сличай теоремы 3.5 —
когда SF содержит векторное пространство всех много-
членов, а представление (3.20) является точным для всех
многочленов степени не выше тп. Приближающие функ-
ционалы определяются следующим образом: выберем по-
парно различные точки а(1), ..., а(а) из Сп и точке а0)
сопоставим функционалы
4°(/) = (а(П), | а | < п - 1, (3.25)
где а — мультииндекс, г{ — натуральное число. Нетрудно
видеть, что множество многочленов fix) из которые
удовлетворяют условиям
р»/(в«>)=0, |а| 1, i = l, 2, ..., а, (3.26)
является подпространством более того, идеалом
в кольце многочленов, который мы будем обозначать а.
Пусть /(/) — аддитивный и однородный функционал,
заданный в например интеграл I (/) = J р (х) f (х) dx.
Q
Приближенное представление 1(f) с помощью функцио-
налов (3.25) имеет вид
1(f) 2 2 <%Daf(aW). (3.27)
г=1
Так как нас интересует представление (3.27), которое
является точным для всех многочленов степени не выше
тп, то в качестве из теоремы 3.5 возьмем ^ — под-
пространство многочленов степени не выше тп. Ясно,
что = а П Теорема 3.5 для рассматриваемого слу-
чая формулируется следующим образом.
Теорема 3.6. Чтобы существовало представление
(3.27), точное для всех многочленов степени не выше т,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
/€=аПЯп=>/(/)=-0. (3.28)
Предположим, что в определении функционалов
(3.25) = так что условия (3.26), определяющие идеал
а, принимают вид /(a(l))=*0, i = l, 2, ..., о, а представ-
§ 3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 81
ление (3.27) можнц записать в виде
/(/) = 2Сг/(а«). (3.29>
Докажем, что если точки а(1), ..а(0) не лежат на
алгебраической гиперповерхности порядка тп, то сущест-
вует представление (3.29), точное для всех многочленов
степени не выше тп. Проверим выполнение условия
(3.28). Из следует, что / — многочлен степени
не выше тп и /(а(О)=0, г —1, 2, ..., а. Так как точки
a(i) не лежат на алгебраической гиперповерхности поряд-
ка тп, то это возможно тогда и только тогда, когда / —
нулевой многочлен. Но функционал /(/) на нулевом
многочлене равен нулю, и условие (3.28) выполнено.
Как следует из теоремы 2.4, о> ц = М(п, тп). Если
о = (ц, то представление (3.29) единственно; при
единственность не имеет места.
3.4. Нижняя граница для числа узлов и положитель-
ных коэффициентов кубатурной формулы. В этом пункте
предполагается, что весовая функция сохраняет знак,,
для определенности — неотрицательна:
р(#)>0 при х ей, p(x)dx>Q. (3.30)
о
Неравенство pi > 0 исключает тривиальный случай, когда
весовая функция равна нулю почти всюду в Q.
Теорема 3.7. Если кубатурная формула
A N
\p(x)f (*) dx 5 С if (хй) (3.31)
Q 5=1
обладает m-свойством, то при тп>2 ее узлы не лежат
на алгебраической гиперповерхности порядка к, где к =
= [тп/2] и число N узлов при всех тп>0 удовлетворяет
неравенству
N>H = M(n, к\ к = [тп/2], (3.32)
где [тп/2] — целая часть тп/2.
Доказательство. Если 0< тп< 2, то к = 0 и не-
равенство (3.32) принимает вид N 1 — это очевидно,
так как кубатурная формула имеет хоть один узел. Пред-
6 И. П. Мысовских
82 ГЛ. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
положим, что тп>2, и докажем, что узлы кубатурной
формулы (3.31) не лежат на алгебраической гиперпо-
верхности порядка к. Допустим противное: имеется
отличный от тождественного нуля многочлен Р(х) сте-
пени к такой, что Р(я0)) = 0, j = 1, 2, .N.
Образуем многочлен Р(х)Р(х), где Р(я)— многочлен,
полученный из Р(х) заменой коэффициентов комплексно
сопряженными числами. Так как его степень 2к т, то
кубатурная формула для него точна:
J р (х) Р(х) Р (х) dx = ^ CjP (я^>) Р (х^) = 0.
Но это равенство невозможно, так как интеграл положи-
телен. Действительно, в силу (3.30) первый множитель
подынтегральной функции, р(я), положителен в й на
множестве положительной меры, а второй множитель,
Р(х)Р(х), удовлетворяет равенству Р(я)Р(я) = |Р(х)12 при
х Й, и, значит, он положителен почти всюду в £2.
Мы доказали, что узлы кубатурной формулы (3.31)
не лежат на алгебраической гиперповерхности порядка к.
Из теоремы 2.4 следует, что число N узлов удовлетво-
ряет неравенству (3.32). Теорема доказана.
Нижнюю границу х для числа узлов кубатурной
формулы с тп-свойством, которая указана в неравенстве
(3.32), будем называть простейшей нижней границей.
Простейшая нижняя граница для числа узлов достига-
ется при n = 1 для квадратурных формул гауссова типа.
В самом деле, квадратурная формула гауссова типа точ-
на для многочленов степени не выше 2Л+1 при £+1
узлах. Но &+1 =М1, к) совпадает с правой частью не-
равенства (3.32). В случае п = 2 нижняя граница числа
узлов кубатурной формулы с 2-свойством равна АК2, 1) =
= 3. Такое число узлов имеет кубатурная формула, по-
строенная в примере 2.
Теорема 3.8. Если кубатурная формула (3.31) об-
ладает тп-свойством, где ш — целое неотрицательное
число, и все ее узлы и коэффициенты вещественны, то
среди коэффициентов не менее -х положительных, где х
определяется с помощью (3.32).
Доказательство. По теореме 3.7 число узлов
кубатурной формулы (3.31) не менее х. Так как тп>0,
§ 3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 8$
N
то кубатурная формула точна для /(ж) = 1: 2 Crj=Pi>0^
Из этого равенства следует, что среди коэффициентов»
кубатурной формулы имеются положительные. Если 0^
^т< 2, то х = 1, и теорема доказана.
Допустим, что в случае тп>2 утверждение теоремы
неверно и число v положительных коэффициентов удов-
летворяет неравенству v < х. Будем считать, что поло-
жительные коэффициенты соответствуют первым v уз-
лам х(1), ..#(v). По теореме 2.4 существует многочлен
Р(х) степени к такой, что _Р(яО))=0, / = 1, 2, ...,
Рассмотрим многочлен Р(х)Р(х) степени 2к^т. Для
него кубатурная формула точна:
р — N —
\р(х)Р (х) Р (х) dx = 2 С5Р (х^) Р (х&).
Q J=V+1
*
Левая часть этого равенству положительна в силу усло-
вия (3.30) и равенства Р(х)Р{х) == IPU)I2, которое имеег
место при х й. Правая часть неположительна. Действи-
тельно, ввиду вещественности я0) справедливо
PUU))PUO)) = lPU(i))l2>0, 7 = 1,2, ...,2V,
а коэффициенты при j > v +1 отрицательны. Полу-
чили противоречие, которое и доказывает теорему.
Теорема 3.9. Пусть кубатурная формула обладает
тп-свойством и число ее узлов равно х, где % определя-
ется формулой (3.32). Если узлы кубатурной' форму-
лы вещественны, то ее коэффициенты положительны.
Доказательство. Проверим, что кубатурная фор-
мула с тп-свойством и с числом узлов х является интер-
поляционной. По теореме 3.3 достаточно доказать, что^
ранг матрицы [<Pi(#(^), Фи (#0))] w, где ц = Хп, тп),
равен х. Действительно, квадратная подматрица, состав-
ленная из первых х столбцов, является матрицей Вандер-
монда Vft=VftU(1), ..., я(х)). По теореме 3.7 узлы-
я(1), ..., х(я} не лежат на алгебраической гиперповерх-
ности порядка к, и, следовательно, Vh неособенная.
Так как узлы кубатурной формулы вещественны и
она интерполяционная, то ее коэффициенты веществен-
ны. Из теоремы 3.8 следует положительность коэффици-
ентов. Теорема доказана.
6*
84
ГЛ. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
Замечание. В случае т нечетного предположение
о вещественности узлов излишне, что будет показа-
но в § 10.
Рассмотрим кубатурную формулу для вычисления
поверхностного интеграла:
J р (X) f (х) С if (х&), (3.33)
s„-i Г1
где областью интегрирования является единичная сфера
в R": Sn-! = [х е Rnpi + ... + х„ = 1). Предположим,
что кубатурная формула обладает тп-свойством, и укажем
нижнюю границу для числа ее узлов. Предполагаем, что
р(х) неотрицательна на Sn-t и существуют интегралы
J p(x)x^dS при |а|й£т. Полученная выше оценка
&п—1
(3.32) неприменима к формуле (3.33), так как число
линейно независимых многочленов степени не выше к,
рассматриваемых как функции на Sn-i, меньше М(п, к).
Пусть
h (s, t) = (t + 2s) (3.34)
тде 5, t -— неотрицательные целые числа, Ы0, 0) = 1.
Многочлен Н{х) степени 5 называется гармоническим
многочленом, если он однороден и удовлетворяет урав-
нению Лапласа
^-+... + -^-0.
«4 ++
Известно [51, б], что число линейно независимых гармо-
нических многочленов степени s равно h(s, п — 2). Число
всех линейно независимых гармонических многочленов
степени не выше к равно ^h(s,n—2). Нетрудно по-
з=0
лучить, что эта сумма равна Л(&, n—1), если воспользо-
ваться легко проверяемым равенством
Ms, п - 2) = МХп -1, 5) - Ш-1, * - 2). (3.35)
Таким образом, число линейно независимых гармониче-
ских многочленов степени не выше к равно МЛ, n —1).
§ 3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
85
Линейно независимые гармонические многочлены бу-
дем обозначать ^(я), i = l, 2, ... Нумерацию считаем
такой, что гармонические многочлены меньшей степени
имеют меньший номер, в частности, -фДя)«1. Гармони-
ческие многочлены первой степени можно занумеровать,
например, так: 'ф2(ж)=Х1, ^х)=^х2, ..фп+Дя) = хп.
Далее нумеруем гармонические многочлены второй сте-
пени, число которых равно (n+ 2)(п —1)/2, и т. д. При
такой нумерации среди
'фДя), tysGr), ..., 'фл(я), h = h(k, п— 1), (3.36)
содержатся все линейно независимые гармонические
многочлены степени не выше к.
Будем пользоваться следующим предложением. Лю-
бой многочлен степени к, рассматриваемый как функция
на сфере Sn-i, можно представить в виде линейной
комбинации гармонических многочленов (3.36) степени
не выше к. Это представление справедливо, вообще го-
воря, только на Sn-i. Предложение является следствием
теоремы Гаусса о представлении однородного многочлена
(см. [51, б], с. 476).
Теорема 3.10. Если кубатурная формула (3.33)
обладает m-свойством и весовая функция удовлетворяет
условиям
р(х)^0 при x^Sn-1, J p(x)dS>0, (3.37)
sn-l
то при пг>2 не существует многочлена степени к
h
*ф (х) = 2 Ягфг (х), (3.38)
г=1
где h определяется равенством (3.36), к = [т/2], для ко-
торого все узлы (3.33) являются корнями, и число N уз-
лов при удовлетворяет неравенству
N>h = M(n, k) — M(n, fc-2). (3.39)
Если узлы и коэффициенты кубатурной формулы (3.33)
вещественны, то среди ее коэффициентов имеется не
менее h положительных.
Доказательство. При 0 тп < 2 неравенство
(3.39) принимает вид N > 1 и является очевидным, поэ-
86
ГЛ. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
тому можем считать тп>2. Допустим противное: име-
ется отличный от тождественного нуля многочлен -ф^)
вида (3.38) такой, что *ф(гг0)) == 0, j «1, 2, ..., N.
Образуем многочлен -фСг)ф(я). Так как его степень
2&^тп, то кубатурная формула (3.33) для него точна:
г £ -
I р (х) гр (х) г|) (х) dS = 2 №j)) Ф ~ 0.
Sn-i
Но это равенство невозможно, так как интеграл поло-
жителен. Действительно, в силу (3.37) первый множитель
подынтегральной функции, р(х), положителен в Sn-i на
множество положительной меры, а второй множитель,
ifHaO^Gr) = lt|)Gr) I2, положителен почти всюду в Sn-i.
Здесь мы пользуемся следующим утверждением. Если
многочлен на сфере 5n-i отличен от тождественного нуля,
то он отличен от нуля почти всюду на сфере Sn-i.
Утверждение вытекает из того, что пересечение двух
гиперповерхностей без общих компонент есть многообра-
зие, размерность которого не более п — 2.
Тот факт, что узлы не являются корнями многочлена
вида (3.38), равносилен тому, что ранг матрицы
№ (*<»), % ОЯ, •.. Лл (®W))b=i (3.40)
равен h — числу ее столбцов. Отсюда и следует неравен-
ство (3.39).
Пусть теперь узлы и коэффициенты формулы (3.33)
вещественны. Так как тп>0, то она точна для
J p(x)dS>0,
;==1 5n-l
и, следовательно, среди коэффициентов имеются поло-
жительные. Таким образом, в случае 0 тп < 2 число
положительных коэффициентов не менее 1 «= h (0, п — 1).
Допустим, что при тп > 2 утверждение теоремы неверно
и число v положительных коэффициентов удовлетворяет
неравенству v < h. Будем считать, что положительные
коэффициенты соответствуют первым v узлам я(1), ...
..., x(v). Так как по доказанному то имеются
узлы, которым отвечают отрицательные коэффициенты.
§ 4. ТЕОРЕМА ЧАКАЛОВА
87
В силу v < h существует .многочлен *ф(х) вида (3.38),
который равен нулю в первых v узлах. Тогда для много-
члена -ф(ж)1|>(х) степени 2к<тп кубатурная формула
(3.33) точна:
J p(«)K(a;)|2dS= 2 Cj|Wn)l2.
®n-l i=v+1
Это равенство невозможно, так как интеграл положите-
лен, а сумма неположительна ввиду того, что G < 0 при
/ > v + 1. Теорема доказана.
Замечание. Так как ранг матрицы (3.40) равен h,
то найдутся h узлов таких, что определяемые ими строки
матрицы (3.40) образуют квадратную неособенную
матрицу.
Пример 1 взят из [63, б]. Теорему 3.5 доказал С. Л. Соболев
[51, а]. Простейшую нижнюю границу для числа узлов в случае
п=2 указал И. Радон [44], в случае п любого— А. Строуд [53, а].
Теоремы 3.8 и 3.9 взяты из [40, н]. Теорема 3.10 приведена в [40, ъ],
а ее доказательство в [40, ь].
§ 4. Теорема Чакалова
В настоящем параграфе доказывается теорема Чака-
лова [66] о существовании интерполяционной кубатурной
формулы, узлы которой принадлежат области интегри-
рования Q и коэффициенты положительны. Весовую
функцию считаем неотрицательной в Q. Как в работе
В. Чакалова, так и в работах Ф. Дэвиса (15, а, б>, М. Вил-
сона [7], А. Строуда [53, д], где приводятся другие дока-
зательства этой теоремы, предполагается, что область
интегрирования Q является ограниченным множеством.
Здесь теорема Чакалова доказывается без этого предпо-
ложения [40, ш].
4.1. Вспомогательные предложения. Приведем необхо-
димые сведения о выпуклых множествах в Вц.
Множество 2Г cz IV называется выпуклым, если для
любых и, v е К отрезок ки + (1 — %)v, 0 < % < 1, их соеди-
няющий, также принадлежит К.
Теорема 4.1. Пусть — выпуклое замкнутое
множество и w -— точка, не принадлежащая К. Сущест-
вует гиперплоскость в Вц с уравнением (а, и) = а такая,
что (а, и) >а при всех и^К и {а, и?) < а.
38 ГЛ. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
Доказательство этой теоремы можно найти, например,
в книге С. Карлина [211, приложение Б.
Множество XcRi* называется конусом, если для
любых и, v^K и любых неотрицательных чисел X, v
имеем 'ku + vv^K. Очевидно, конус является выпуклым
множеством.
Пусть U — непустое множество векторов R< Обозна-
чим через С7+ множество векторов u^R** таких, что
(u, v) > 0 для любого v е U. Докажем, что U* — замкну-
тый конус. Если и, и^17+иХ>0, v>0, то (Xu + w, ш)=
==»X(u, u?) + v(v, ш) >0 при всех w^U. Пусть последо-
вательность имеет предел и и u(8) е Z7+. Так как
(w(e), р) >0 при всех v е U, то в пределе при s °° по-
лучим (u, v) > 0 при v е U. Это означает, что и е= U+.
Если U — замкнутый конус, то конус U+ называ-
ется сопряженным к U конусом. Так как U+ — замкну-
тый конус, то можно говорить о конусе (Е7+)+, который
будем обозначать U++.
Теорема 4.2. Если К — замкнутый конус, то К =
= К++.
Доказательство. Докажем включение К <= К++.
Пусть и^К. Для любого и^К+ имеем (v, и) >0, а это
и означает, что и^К++.
Чтобы установить обратное включение, докажем, что
из тогб, что w&K, следует w<£K++. Так как w&K, то
по теореме 4.1 найдется вектор а такой, что
(а и)> а Уие=К (4.1)
и
(a, w) < а. (4.2)
Из (4.1) при u = Q получаем а<0. Нетрудно видеть, что
(а, u)>0 Vug=K. (4.3)
Действительно, если бы нашелся вектор и(0) К такой,
что (а, и{0))<0, то вектор Хи(0) при достаточно большом
Х>0 удовлетворял бы неравенству (а, Хи(0))<а, а это
невозможно в силу (4.1).
Так как а < 0, то из (4.2) получаем (a, w) < 0. Из
этого неравенства следует, что w<£K++, так как а^=К+,
как это следует из (4.3).
Пусть V — ограниченное замкнутое множество векто-
ров в Предположим, что существует элемент w^RM
§ 4. ТЕОРЕМА ЧАКАЛОВА
89
такой, что
(и, ш)>0 Vug V. (4.4)
Такое множество V будем называть фундаментальным.
Условие (4.4) означает, что V находится по одну сторону
от гиперплоскости, проходящей через начало координат,
и имеет с ней пустое пересечение.
Так как множество V ограничено и замкнуто, (u, w)—
непрерывная функция от и, то из (4.4) получаем
р == min (u, w) > 0. (4.5)
Обозначим через г максимальное число линейно не-
зависимых векторов множества V. Докажем, что мно-
жество K(V) векторов из R% допускающих представле-
г
ние и = S где г/0 е V и С( > 0, является замкну-
г=1
тым конусом. Множество KCV) называется конической
оболочкой V. При доказательстве этого утверждения
понадобится следующая лемма.
Лемма 4.1. Пусть
и = 2 Gu(i), (4.6)
г—1
числа Ct положительны и векторы u{i) е R* линейно за-
висимы:
ч
2 Ь&Ы = 0, (4.7)
г=1
где вещественные числа bi не все равны нулю. Тогда
вектор и можно представить в виде линейной комбина-
ции с положительными коэффициентами тех из векторов
u{i), которые линейно независимы.
Доказательство. Из правой части равенства (4.6)
вычтем левую часть равенства (4.7), умноженную на
некоторое число о ¥* 0. Получим
q / \
<4-8>
Можем считать, что среди коэффициентов равенства
(4.7) имеется хоть один положительный. В противном
90
ГЛ. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
случае можем изменить знак bi при всех i на противо-
положный. Определим теперь о с помощью равенства
1 bi
— — max -г?- > и.
° l<i<q Ci
Равенство (4.8) при таком о дает новое представление
и с неотрицательными коэффициентами, из которых
хоть один равен нулю. Если в этом представлении эле-
менты u{i\ при которых стоят положительные коэффи-
циенты, линейно независимы, то лемма доказана. В про-
тивном случае можем продолжить уменьшение числа
слагаемых в представлении и.
Из леммы легко следует, что K(V) есть конус. Пусть
и(1) и и(2) принадлежат KXV). Тогда + vu(2), где
%>0, v>0, есть линейная комбинация 2г векторов из
V с неотрицательными коэффициентами. Если среди
коэффициентов более г положительных, то с помощью
леммы 4.1 можем получить представление и с положи-
тельными коэффициентами и с числом слагаемых не бо-
лее г, а это и означает, что u^K(V).
Докажем, что K(V) замкнуто. Пусть последователь-
ность векторов {у(з)}Х1ИЗ K(V) имеет предел:v =
$->ОО
Надо доказать, что v^K(V). Тот факт, что v(s)^K(V),
означает
= 2 С^\ (4.9)
j=i
где Cjs > 0, vu> 8) е V. Докажем, что числа Cks ограничены
в совокупности.
Умножим обе части равенства (4.9) скалярно на
вектор и?, о котором речь идет в условии (4.4) определе-
г
ния фундаментального множества: ip)==
Так как в силу (4.4) все слагаемые в правой части
неотрицательны, то w) Cks w) СfeSmin(u, w).
ugV
Пользуясь неравенством (4.5), найдем CfteC(p(s), u?)/p,
откуда и следует ограниченность неотрицательных чисел
Ge. Векторы у(М) также ограничены. Из (4.9) видно,
что из последовательности {z/8)} можно виделить частич-
§ 4. ТЕОРЕМА ЧАКАЛОВА
91
ную подпоследовательность {^(*0}^ такую, что сущест-
вуют пределы ИтСАв| = Ck, lim z/Mi) == i/ЧЯсно, что
г->оо г-»оо
> 0 и по замкнутости множества V имеем V. Запи-
шем (4.9) для s = Si и перейдем в нем к пределу
г
при Получим V— Это означает, что
3—1
еХ(Р’), и замкнутость K(V) доказана.
Теорема 4.3. Если множество V Rg фундаменталь-
ное, то KCV) = 7++.
Доказательство. Так как KXV) — замкнутый
конус, то по теореме 4.2 #(V) == LKXV)]++. Чтобы полу-
чить отсюда заключение теоремы 4.3, достаточно уста-
новить равенство [КХ7)] + = V+.
Операция, определяемая знаком плюс, изменяет вклю-
чение на обратное, поэтому из включения У<=ЖУ) сле-
дует [ЛХ7)]+ <^К+. Докажем обратное включение 7+с=
с= [А’(7)]+. Если u<^V+, то для v^K(V), другими сло-
вами, для
v = 2 CivV\ Ci 0, vW е 7,
г=1
имеем
(и, у)= ^>)>0.
1=1
Это означает, что 1/^[7П7)]+. Теорема доказана.
Нам понадобится теорема о представлении линейного
функционала в IVх. Любой линейный функционал v(u) в
представляет собой скалярное произведение v(u) =
= (у, и), где элемент i^R11 определяется единственным
образом, при этом норма функционала max Ыи)|
____________ М=1 •
(llull = V(u, и)) равна норме определяющего его элемента,
т. е. Ilvll [20].
4.2. Замечание об уменьшении числа узлов. В § 3
п. 3.2 был указан способ уменьшения числа узлов куба-
турной формулы
f Р (*) / dx at 2 C}f (х<Я), (4.10)
о 3=1
с m-свойством и не являющейся интерполяционной. Этот
92
ГЛ. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
способ приводит к новой кубатурной формуле также с
771-свойством, число ее узлов N удовлетворяет неравен-
ству N < ц, и она является интерполяционной. Здесь и да-
лее ц = ЛГ(п, т).
Докажем, что при дополнительном предположении о
вещественности узлов и положительности коэффициентов
формулы (4.10) уменьшение числа узлов можно выпол-
нить так, что коэффициенты полученной интерполяцион-
ной кубатурной формулы будут положительны.
Введем обозначение вектор-столбца
ф(^) = [ф1(ж), ф2(я), ..., фд(^)]' (4.11)
и запишем, что кубатурная формула (4.10) точна для
всех одночленов степени не выше тп:
г яЛ
| р (х) ф (х) dx = 2 Cff (я<^). (4.12)
Q 5=1
Мы получили, что вещественный вектор левой части ра-
венства (4.12) выражается в виде линейной комбинации
q вещественных векторов <р(я(Л) с положительными коэф-
фициентами, при этом векторы ф(яО)) линейно зависимы,
так как кубатурная формула (4.10) не интерполяционная.
По лемме 4.1 равенство (4.12) можно заменить
другим:
\ p(x)q(x)dx == (4.13)
Q 5=1
в котором точки Ж(л, / = 1, 2, ../V, образуют подмно-
жество множества узлов кубатурной формулы (4.10),
векторы ф(х0)) линейно независимы и, следовательно,
N ц, а коэффициенты С5 положительны. Равенство
(4.13) выражает тот факт, что кубатурная формула с
узлами х0) и коэффициентами Cj точна для всех одно-
членов степени не выше тп. Линейная независимость
векторов ф(х0)) по теореме 3.3 обеспечивает свойство
интерполяционности полученной кубатурной формулы.
4.3. Теорема Чакалова. Теорема 4.4 (В. Чакалов).
Пусть Q — замкнутое множество в Rn, pkx) — неотрица-
тельная в £2 весовая функция такая, что существуют
§ 4. ТЕОРЕМА ЧАКАЛОВА
93
моменты
Рг= ) Р (Х) фг (%) dx, i — 1, 2, . . .,
Q
при этом pi>0. Тогда существует кубатурная формула
с
| Р (х) / (х) dx 2 С if Ы») - (4.14)
Q J=1
с m-свойством, интерполяционная и, следовательно, N
С ц, при этом узлы хи) принадлежат й, а коэффициенты
Cs положительны.
Доказательство. Сначала докажем теорему для
случая, когда й ограничена. Будем понимать под R*
векторное пространство вещественных многочленов и{х)
степени не выше тп от п переменных. Его размерность
равна ц.
Рассмотрим линейный функционал, заданный в
вида
v(u) = u(x), (4.15)
где х — фиксированная точка из Й. Когда х изменяется
в й, мы получаем совокупность линейных функционалов,
заданных в R*.
Докажем, что множество V векторов в определяю-
щих функционалы вида (4.15), является фундаменталь-
ным множеством. Начнем с доказательства ограничен-
ности V. Имеем
|р(и)| = luGr)l <max \и(х)I.
Абсолютная величина значения функционала ограничена
постоянной, зависящей лишь от многочлена и, но не от
функционала. Отсюда следует, что нормы всех функцио-
налов ограничены в совокупности. Так как норма функ-
ционала равна норме определяющего элемента, то огра-
ниченность V доказана.
Возьмем последовательность cz V, имеющую
предел i?(0), и докажем, что р°еК Так как y(s) V, то
(y(s), и) = u(x(s)), где ?$)£Й. По условию существует
Ива uU(s)) для любого многочлена, в частности для u — Xi,
8->оо
так что lim х\8} = х\°\ i = 1, 2, ..п. Последовательность
*94
ГЛ. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
точек {#(в)} сходится к точке ==(«i \ • • •? хп )• Мно-
жество Q замкнуто, поэтому я(0) Q. Функционал (г(0), п),
определяемый предельным вектором г(0), совпадает
о функционалом и(я(0)), а это и означает, что v(0) V.
В качестве вектора w, который фигурирует в условии
(4.4), можно взять многочлен w(x) 1. Для него и для
v е V справедливо (v, w) =» w(x) = 1 >0.
Рассмотрим функционал | р (х) и (х) dx, (4.16)
заданный в Rg. Обозначим через g вектор из R“, который
определяет функционал (4.16):
(g, и) = ^р(х) и(х)dx, Q я докажем, что g У++. Пусть и е V*. Это означает, что (4.17)
(и, v) 0 V v е V. Но (v, и) — и(х), так что (4.18) равносильно и(х)^0 Ух <= й. (4.18) (4.19)
Надо доказать, что (g, и) 0. Это неравенство следует
из (4.17) и (4.19). Таким образом, geV++.
По теореме 4.3 получаем ge K(V), или g = 2
j=i
где Cj > 0, v(i) e V. Умножая обе части этого равенства
скалярно на u^Ru и принимая во внимание равенство
(4.17) и смысл векторов p(j), получим
n
J р(х)и (х) d# = 2 (а^’>).
Q 5=1
Это равенство означает, что кубатурная формула с уз-
лами ей и коэффициентами Cj>0 обладает тп-свой-
ством.
В силу доказанного в п. 4.2 можем считать, что по-
лученная кубатурная формула интерполяционная и
< ц. Теорема 4.4 для ограниченной Q доказана.
§ 4. ТЕОРЕМА ЧАКАЛОВА
95
Предположим теперь, что Q не ограничена. Обозна-
чим через Qi пересечение Q и шарах2-|-х|-|- ...+#п^р2*
Считаем р столь большим, что j*p(x)dx>Q. По первой
части доказательства для fii и р(х) существует интерпо-
ляционная кубатурная формула с 2тп-свойством, с по-
ложительными коэффициентами Cs и узлами ж0) е Qi,
при этом число Nt узлов удовлетворяет неравенствам
2тп). Оценка снизу для М следует из тео-
ремы 3.7.
Так как кубатурная формула обладает 2тп-свойством,
то по теореме 3.7 среди ее узлов найдутся ц таких, ко-
торые не лежат на алгебраической гиперповерхности по-
рядка тп. Будем считать нумерацию узлов такой, что
указанным свойством обладают первые Ц узлов. Куба-
турную формулу запишем в виде
р м- Ni
\р(х)1(х)Лх^С^т+ 2 т. (4.20)
5=1 5=14-1
По теореме 2.2 матрица Вандермонда ^т = [ф1(#0))»
ФаС^)»* • •> фц(^^)]^=1» построенная по первым ц узлам,
неособенная. Возьмем положительное число е такое,
чтобы выполнялось неравенство
II (К.)"1 Ill 8 С min С}. (4.21)
1С5<М-
Здесь мы пользуемся обозначением нормы матрицы
И III = max 2 I «и I-
Эта норма операторная и порождается векторной нор-
мой, которая для вектора u=(ult ..., щУ определяется
следующим образом:
|u|i= max |w{|. (4.22)
Матричная норма и порождающая ее векторная норма
связаны неравенством
, ILlull, < НЛПЛиН, (4.23)
(см. [57]).
96
ГЛ. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
Обозначим через й2 пересечение Q и множества точек
р2 xi + + ... + Яп Я2- Введем еще обозначение:
di = J pqidx— У i — 1, 2, ..|л, (4.24)
о о3
где Q3 = U Q2. Выберем R столь большим, чтобы вы-
полнялись неравенства
ld<l<8, 2, ..., ц. (4.25)
Множество Й2 ограниченное и замкнутое. По первой
части доказательства существует интерполяционная куба-
турная формула
f р (х) f (х) dx^ 5 Cjf (аК») (4.26)
й2
с /ft-свойством, с положительными коэффициентами, с уз-
лами из Q2, при этом число узлов Nz удовлетворяет не-
равенству Nz < ц.
Из кубатурных формул (4.20) и (4.26) образуем со-
ставную кубатурную формулу
\pfdX^Cij{^)+ S С//(Я- (4.27)
й3 3=1 3=4+1
Эта кубатурная формула обладает m-свойством, ее коэф-
фициенты положительны, узлы принадлежат Q3 с
Пользуясь (4.11), запишем, что кубатурная формула (4.27)
точна для одночленов степени не выше т:
Г 4 Nl+N2
\р («) ф (х) dx = 2 С& (х«>) + s Cfl> (х«>). (4.28)
О3 3=1 3=4+1
Введем обозначение вектора d = [dlt dt, ..., dj'. Теперь
равенства (4.24) можно записать так:
d = j* р (х) ф (x) dx — р (х) ф (х) dx. (4.29)
§ 4. ТЕОРЕМА ЧАКАЛОВА
97
Заменим в (4.28) интеграл по Q3 интегралом по Q
с помощью (4.29). Получим
, и ’
\p(x)<p(x)dx 2 Ci<p(^))+ 2 C/pCrtO). (4.30)
£ 3=1 3—^+1
Рассмотрим линейную алгебраическую систему V'a — d,
в которой неизвестным является вектор а. Так как по
(4.22) и (4.25) lldll/^e, то в силу неравенства (4.23)
11а11/== 11(Ю_1й111< 11(У')“1Н18. Отсюда, пользуясь неравен-
ством (4.21), получаем llalljC min в частности,
laj СС<, i==l, 2, ..., ц. (4.31)
Имеем V'a = 2 (х^).
3=1
Заменив в (4.30) вектор d правой частью этого ра-
венства, получим
f р (х) ф (ж) dx = 2 (Cj + aj) ф (x<ty + 2 С^ф (#О>). (4.32)
й j=l i=g+l
Равенство (4.32) означает, что кубатурная формула
г A wi+w«
\p(x)f(x)dx^^l(Cs + ai)f^)+ 5 G/W (4.33)
Q 5=1 5=g+l
обладает m-свойством. Таким образом, от кубатурной
формулы (4.27) для области Qs, которая обладает т~
свойством, имеет узлы, принадлежащие Q3, и положитель-
ные коэффициенты, мы перешли к кубатурной формуле
(4.33) для области Q, которая также обладает т-свойст-
ьом, ее узлы те же, что и в кубатурной формуле (4.27),
но изменились коэффициенты, отвечающие первым р.
узлам. В силу неравенств (4.31) новые коэффициенты
неотрицательны.
Отметим еще, что в кубатурных формулах (4.20) и
(4.26) могут встретиться совпадающие узлы, если Qi и
О2 имеют непустое пересечение. В этом случае в куба-
турной сумме формулы (4.33) следует объединить слагае-
мые, которые отвечают одинаковым узлам.
7
П. П. Мысовских
98 ГЛ. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
По п. 4.2 с помощью кубатурной формулы (4.33)
можно получить интерполяционную кубатурную форму-
лу, существование которой утверждается теоремой
Чакалова.
4.4. Минимальность числа узлов. В теореме Чакалова
число N узлов кубатурной формулы удовлетворяет не-
равенству N р. Теорема перестает быть верной, если
это неравенство заменить на строгое: ЛГ<р. Другими
словами, существуют области й и весовые функции
р(х) > 0 такие, что для них невозможно построить ку-
батурную формулу, обладающую перечисленными в
теореме Чакалова свойствами и имеющую менее чем р
узлов.
Докажем это утверждение. Возьмем р точек в Rn, не
лежащих на алгебраической гиперповерхности порядка
т: а(1), а(2), ..., а(ц). Построим куб Si с центром в а(<) и
ребром длины р, i = l, 2, ..., р. Считаем р столь малым,
что кубы не пересекаются. При достаточно малом р для
области й = 5i U S2 U ... U и веса р(х) — 1 не сущест-
вует кубатурной формулы с тп-свойством, у которой узлы
принадлежат й, коэффициенты положительны и число
узлов N удовлетворяют неравенству N < р.
Допустим противное: такая кубатурная формула
существует:
[ / (х) dx 2 G7 (я0))- (4.34)
а 5=1
Так как 2V<p, то найдется куб, которому не принад-
лежит ни один из узлов, например Sit Рассмотрим много-
член L^x) степени тп, который удовлетворяет условиям
(а&>) = бп, i = 1, 2, ..р, (4.35)
— многочлен влияния точки а(1), 6н— символ Кронекера.
По непрерывности Li(x) для заданного о,
0<о<1/(2р),
и в силу (4.35) можно указать такое р, что
|£1(я) I > 1 — о при х е
IZ/iU) I < о при х^ Si, i = 2, 3, ..., р.
(4.36)
(4.37)
(4.38)
§ 4. ТЕОРЕМА ЧАКАЛОВА
99
В силу (4.37) и (4.38) имеем
f (х) dx
а
S1
i=2 $.
i>(l — о) pn — (ц — 1) apn.
Мы получили оценку снизу для абсолютной
интеграла по й от ЬДх):
величины
(4.39)
f (х) dx р" (1 — цо).
2
Укажем оценку сверху для кубатурной суммы от много-
члена LSx):
N N
2 С}Ьг (х<») < о S С} = орр". (4.40)
3=1 3=1
Здесь мы воспользовались неравенствами (4.38), так как
ни один из узлов не принадлежит St, положительностью
С} и тем, что сумма коэффициентов равна ррп.
Для Lt(x) формула (4.34) точна. Отсюда и из нера-
венств (4.39) и (4.40) находим
Q
так что 1 — ро < цо, или 2р,о > 1. Это противоречит
(4.36). Утверждение доказано.
7*
ГЛАВА 3
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ,
ОСНОВАННЫЕ НА СИММЕТРИИ
Излагаемые в этой главе методы неопределенных па-
раметров и повторного применения квадратурных формул
применяются давно, и большинство кубатурных формул
с тп-свойством получено этими методами. Большое влия-
ние на развитие метода неопределенных параметров
оказало введение понятия кубатурных формул, инвари-
антных относительно групп преобразований. Инвариант-
ные кубатурные формулы рассматриваются в § 7, где
доказана теорема Соболева, которая имеет решающее
значение при построении таких формул. Основное вни-
мание уделено кубатурным формулам, инвариантным
относительно групп преобразований правильных много-
гранников (гипероктаэдра и симплекса) в случае п-мер-
ного пространства при любом п. Важным моментом явля-
ется использование теоремы Шевалле об инвариантных
многочленах конечной группы, порожденной отраже-
ниями.
§ 5. Метод неопределенных параметров
В § 3 п. 3.2 было показано, что интерполяционную
кубатурную формулу с = т) узлами и, следова-
тельно, с тп-свойством можно построить следующим об-
разом. Выбираем в качестве узлов ц точек, обычно при-
надлежащих области интегрирования Q, так, чтобы они
не лежали на гиперповерхности порядка тп. Коэффициен-
ты, отвечающие этим узлам, находим из линейной алгеб-
раической системы, полученной из требования, что куба-
турная формула точна для всех одночленов степени не вы-
ше тп. Число узлов сильно возрастает с ростом п и тп.
Рассмотрим вопрос о построении кубатурной формулы
с N
\p(x)f(x)dx~ 1 Crf(xW>), (5.1)
Q 3=1
§ 5. МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ Ю1
которая имеет m-свойство, но число N ее узлов меньше,
чем ц. Попытаемся уменьшить число узлов за счет их
специального выбора. Будем считать в кубатурной форму-
ле (5.1) неизвестными не только коэффициенты Cj, но и
координаты узлов Всего получаем N(n + 1) неизвест-
ных. Они должны быть определены требованием, что фор-
мула (5.1) точна для всех одночленов степени не выше т. Это
требование приводит к ц уравнениям
2 CjTi(*(П) = Pi, i = 1, 2, ..р. (5.2)
5=1
Естественно считать, что число неизвестных системы
(5.2) совпадает с числом уравнений:
Мп+1) = р. (5.3)
Число 7V, определяемое этим равенством, не обязательно
целое. Если ц/(п +1) не целое, то будем считать N =
== [|l/(n+1)] + 1.
Надо иметь в виду, что требуемая кубатурная форму-
ла с указанным числом узлов не обязательно существует,
так что подсчет числа узлов с помощью (5.3) следует
рассматривать как ориентировочный. Например, в случае
п = 2 и тп = 4 из (5.3) получаем N — 5. Но пять точек
всегда лежат на алгебраической кривой второго порядка,
и по теореме 3.7 кубатурная формула с пятью узлами,
точная для многочленов не выше четвертой степени, не
существует.
С другой стороны, известны случаи, когда кубатурные
формулы с числом узлов N существуют. Например, при
п==3и?п = 5из равенства (5.3) находим N = 14. Такое
число узлов имеет формула 20 из § 14 при п = 3. Более
того, формула 10 из § 16 имеет 13 узлов.
Предположим, что кубатурная формула (5.1), обладаю-
щая ?п-свойством, и с указанным числом узлов /V, суще-
ствует. Из равенства (5.3) видно, что число N в п +1 раз
меньше ц— числа узлов интерполяционной кубатурной
формулы. Однако определение узлов и коэффициентов ку-
батурной формулы (5.1) сводится к весьма трудной задаче
решения нелинейной системы (5.2).
Метод неопределенных параметров построения куба-
турных формул состоит в том, что кубатурная формула
102 ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
ищется в таком виде, который приводит к упрощению
системы (5.2). Это оказывается возможным в тех слу-
чаях, когда Q и р(х) обладают некоторой симметрией.
Упрощение достигается за счет того, что расположение,
узлов (и их число) согласуется с симметрией Й и р(х).
Узлы не фиксированы, но в их выборе нет полной сво-
боды: число параметров, определяющих узлы, обычно
значительно меньше, чем цп. Коэффициенты, отвечающие
симметричным узлам, выбираются одинаковыми.
Конечно, упрощение системы уравнений связано с
риском. Может случиться так, что исходная система
имеет решение, которое приводит к требуемой кубатур-
ной формуле, а упрощенная система такого решения не
имеет.
Приведем примеры построения кубатурных формул
методом неопределенных параметров.
Пример 1. Пусть Q —квадрат, К2~{(х, у)^
gR2|- i^x, у^1), р(я, у) = 1. Построим кубатурную
формулу с 7-свойством. Имеем п = 2, т~1 и из равен-
ства (5.3) получаем для числа узлов значение N ==*12.
Система (5.2) имеет вид
12
СэхзУэ = 1) ij, г+ $2^7.
5=1 (5.4)
Она состоит из 36 уравнений и содержит столько же не-
известных: Ch xh yh 7 = 1, 2, ..., 12.
Упростим эту систему, выбирая узлы и коэффициенты
кубатурной формулы специальным образом. Можно
говорить не об упрощении системы (5.4), а о разыскании
ее решения, которое заранее подчинено некоторым ус-
ловиям. Узлы разобьем на три группы по четыре узла
в каждой группе. Первую группу узлов образуют точки
пересечения окружности с центром в начале координат
и радиусом а>0 с осями координат. Вторую группу
узлов составляют точки пересечения окружности с тем
же центром и радиусом дУ2>0 с диагоналями квадрата.
Третья группа узлов образуется, как^ вторая, при этом
радиус окружности берется равным сУ2>0. Коэффициен-
ты для узлов одной и той же группы считаем одинако-
выми и равными соответственно 4, В и С для узлов
§ 5. МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ
103
первой, второй и третьей групп. Выбор узлов каждой
группы согласован с симметрией квадрата. При совмеще-
ниях квадрата с самим собой точки любой группы пере-
ходят в точки той же группы (рис. 5.1).
Кубатурная формула записывается в виде
f j / (х, у) dx dy
‘К2
А I/ (а, 0) 4-/(0, «) + /(- а, 0) 4- /(0, - a)J +
+ ^2/(±б, ±6)-ЬС2/(±с, ±с). (5.5)
1 1
Выбор узлов и коэффициентов
кубатурной формулы для
всех одночленов хту‘, у ко-
торых хоть одно из чисел
г, $ нечетно. Таким образом,
чтобы формула (5.5) была
точна для всех одночленов
не выше седьмой степени, до-
статочно потребовать, чтобы
она была точна, когда / сов-
падает с одночленами 1, х2,
х\ х2уг, хе, х1уг. Получим си-
стему уравнений
Рис. 5.1.
/ = 1: 44. 4-4В + 4С = 4,
f = x2: 24а2 4-4В52 4-4Ссг = 4/3,
/ = х4: 24а4 4-4564 4-4Сс4 = 4/5,
(5.6)
f = x2y2: 4ВЬ* + 4Сс1 = 4/9,
f = x°: 2Аав 4- 4W 4- 4Сс6 = 4/7,
/ = х*у2: W 4- 4Ссв = 4/15.
Тот факт, что кубатурная формула точна для / = у2, у*,
%• у\ у*, к новым уравнениям не приводит. Система
(5.6) содержит шесть неизвестных а, Ъ, с, А, В, С и со-
стоит из шести уравнений.
104 ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
Перейдем к решению системы (5.6). Нетрудно видеть,
что а2 = 6/7, А = 98/405, и путем элементарных преоб-
разований можем получить систему четырех уравнений
В + С - 307/405, ВЬ2 + Сс2 = 31/135,
(5.7)
ВЫ + СЫ = 1/9, ВЫ + Сс6 = 1/15
с неизвестными Ь2, с2, В, С.
Вместо того, чтобы искать неизвестные Ь2 л с2, цай-
дем коэффициенты квадратного трехчлена it+ftirq,
корнями которого являются Ы и с2. Складывая три пер-
вых уравнения системы (5.7), предварительно умножив
первое уравнение на q, а второе на р, получим
т+ + B<bi+ pb* + г) + W + ?) = о,
что справедливо, так как в скобках стоят значения
квадратного трехчлена t? + pt + q в точках Ьг и с2, кото-
рые являются его корнями. Точно так же из второго,
третьего и четвертого уравнений системы (5.7) получим
равенство 1/15+ (1/9)р + (31/135)д = 0.
Таким образом, для определения р и q получаем ли-
нейную алгебраическую систему
1 . 31 .307 л 1 , 1 „ , 31 п
9 + 135^ +405 q~ °’ 15 *" 9 Р + 135 ? ~ °*
Ее решение: р = —228/287, q = 27/287, так что Ьг и с2 —
корни квадратного уравнения <2 — (228/287)£+27/287 = 0.
Отсюда получаем Ь2 = 0,144822, с2 = 0,649603. Наконец,
из первых двух уравнений системы (5.7) находим В =
= 0,520593, С = 0,237432. Все параметры кубатурной
формулы (5.5) оказались вещественными, узлы принад-
лежат области интегрирования, и коэффициенты поло-
жительны.
Докажем, что кубатурная формула (5.5) интерполя-
ционная. С этой целью установим, что к узлам кубатур-
ной формулы можно добавить три точки таким образом,
чтобы полученные пятнадцать точек не лежали на алгеб-
раической кривой четвертого порядка. Отсюда будет сле-
довать наше утверждение, так как ранг матрицы
[<Рх (+>- У>), Фа («Ь !«),.••, Ф15 (хз. Ю)Ь'=х
равен двенадцати.
§ 5. МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ
105
Выберем точку Mi так, чтобы она не лежала на ко-
ординатных осях и на биссектрисах координатных углов
у=*±х, например, ЛА = (1; 0,5). Точки М2 и М3 выберем
соответственно на оси у и на прямой у = —х так, чтобы
они были отличны от начала координат и от узлов куба-
турной формулы (5.5), например, М2 = (0,1), = '(—1,1).
Точки Mi9 М2, М3 — требуемые. Действительно, рассмот-
рим прямые у — 0, я = 0, у = х, у = —х. На первой пря-
мой лежат два узла, на второй — два узла и точка М2,
на третьей — четыре узла, на четвертой — четыре узла
и точка М3. Точка Mi не лежит ни на одной из четырех
прямых, каждая из оставшихся четырнадцати точек ле-
жит только на одной из прямых. В соответствии со
способом построения точек, которые не лежат на алгеб-
раической кривой заданного порядка (см. п. 2.3), точки
Mi, М2, М3 и узлы кубатурной формулы (5.5) не лежат
на алгебраической кривой четвертого порядка.
Способ решения системы (5.7) можно применить к
системам вида
k
^Bib{ = dh / = 0,1,2, ...,2k —I, (5.8)
1=1
где неизвестными являются bt, Bi, i = 1, 2, ..к. Сна-
чала разыскивается многочлен
юСО == + р^1 + +... + pk^it + pk, (5.9)
корнями которого являются числа bi, b2, ..., bk, удовлет-
воряющие системе. Коэффициенты ph р2, ..рк находят-
ся как решение линейной алгебраической системы
d/pft + di+ipk-i + ... + di+k-iPi + di+k = 0,
i — 0, 1, 2, ..., к-1.
Так как система (5.8) линейна относительно Bi, В2,...
..Bkl то эти неизвестные можно найти из первых к
Уравнений
+ ... + вд = ^-, / = о,1,2,
(5.10)
При этом предполагается, что неизвестные Ь,, Ъ2, ..., Ьк —
корни многочлена (5.9) — уже получены.
106 ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
Таким образом, решение нелинейной системы (5.8)
сводится к нахождению корней многочлена (5.9) степени
к и к решению двух линейных алгебраических систем с
к неизвестными.
Приведем способ решения линейной алгебраической
системы вида (5.10) относительно неизвестных В2,...
..Bk. (См. К. Ланцош, Практические методы приклад-
ного анализа.— М., Физматгиз, 1961, стр. 282.) Числа
bh ..., Ьк считаем попарно различными, что обеспечивает
неособенность матрицы системы. Как выше, будем обоз-
начать через <о(£) приведенный многочлен (5.9), корнями
которого являются числа &t, b2, ..., bk. Если система
(5.10) рассматривается сама по себе — задача о нахож-
дении ее решения не является одним из этапов решения
системы (5.8), то мы должны найти коэффициенты
Рг, ..., Ph многочлена со(£) по его корням 62, ...
..., Ьк.
При It! > I6J справедливы разложения
1 _ 1 1 _ 1 _L —_L _L
t — bi t i — bi/t t + z2 ' ;3 + •••’
i = l, 2,
Умножим обе части этого равенства на Bt и просуммиру-
ем по г от 1 до Л
h k k
ft в
v i _ i=l I i I
t3
В силу уравнений системы (5.10) последнее равенство
можно переписать в виде
г=1 1 1
Здесь
ds = 2 Bib*, s^k.
i=l
Если умножить обе части равенства (5.11) на o(t),
то в левой части (а значит и в правой) получим
§ 5. МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ
107
многочлен o(f) степени не выше к — 1. Очевидно,
a(b ) — lim \ -—г © (t) — Вг&' (Ьг), (5.12)
г = 1,2, ...,к.
Коэффициенты многочлена o(i) можно найти, выпол-
нив умножение правой части равенства (5.11) на много-
член <a(t) и сохранив члены этого произведения, содер-
жащие t в неотрицательных степенях. Имеем
(-т + ?’+ •••)(**++
+ /Vй-2 + • • • + Ph) = d0 (£ft-1 + рхР*~2 + ...
.. • + Ph-zt + Pk-i + Ph.lt) + dx (tk~2 + • • • + Pk-af +
+ Pk-a + Ph-Jt + Pfe/i2) +
+ (1 + Pilt + Pa^2 + • • •)
Отсюда получаем
о («) = go**-1 + ft**"2 + + • • • + qh-i,
где
Qm — dopm djPm—x 4- . . . + dm-iPi -J- dm,
m = 0,1,2, ..., к— 1, po = 1.
Таким образом, коэффициенты многочлена o(t) просто
выражаются через коэффициенты многочлена ©(£) и че-
рез составляющие вектора правой части системы (5.10).
Теперь из равенства (5.12) получаем решение систе-
мы (5.10)
5г = о(&г)/®'(&г), г = 1, 2, ..., к.
Пример 2. Пусть й — куб в R”, Кп = {х & Rnl—1
^#«=^1, i-1, 2, ..., п), р(х) = 1. Построим кубатурную
формулу с 3-свойством. Из (5.3) получаем, что N =
== (n + 3)(n + 2)/6. При небольших значениях п, 1^п^
^7, N^2n. Покажем, что требуемая кубатурная фор-
мула с числом узлов 2п существует при любом п.
Узлы выберем следующим образом: на оси х{ возьмем
Два узла (0, ..., 0, ± а<, 0, ..., 0) и сопоставим им одно
108 - ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
и то же значение коэффициента Сг, так что кубатурная
формула имеет вид
р п
J /(x)dx^S Gl/(6, . ..,0, ajt 0, . ..,0)4-
3-1
(5.14)
4-/(0, ...,0,-а>, 0, ...,0)]. (5.13)
Интеграл от одночлена «1 ... хп по Кп равен нулю,
если хоть один из показателей at, аг, ..., а„ является
нечетным. Для такого одночлена и кубатурная сумма
(5.13) равна нулю, и, следовательно, для него кубатурная
формула (5.13) точна при любом выборе параметров аг,
С{. В частности, кубатурная формула точна для всех
одночленов первой и третьей степени и для одночленов
второй степени ХгХ] при i^j.
Таким образом, чтобы кубатурная формула (5.13) об-
ладала 3-свойством достаточно потребовать, чтобы она
была точна для / = 1, х*, i = 1, 2, ..., п. Это приводит
к следующей системе уравнений:
/ = 1: 2(СХ4- ... +СП) = 2",
/ = 2Ciat = 2n/3, i = 1, 2, ..., п.
Система содержит 2п неизвестных и состоит из п + 1
уравнений. Параметр щ определяется формулой а< =
= У2п-1/(ЗС<), так что узлы будут вещественными, если
коэффициенты Сг положительны. Кубатурная формула
определяется неоднозначно. Многозначность сводится к
выбору п положительных чисел Clt ..., Сп, удовлетво-
ряющих первому из равенств (5.14).
Выбор коэффициентов одинаковыми, Сг = С 2==...
... = Сп — 2п~1/п, дает а( = а2 =... = а„ = Vn/З. При п =
= 1, 2 узлы принадлежат Кп, при п = 3 они лежат на
гранях куба Кп, и при п > 4 все узлы находятся вне Кп.
Очевидно, любой выбор положительных параметров Сг
при п>4 приводит к кубатурной формуле, у которой не
все узлы принадлежат Кп.
Аналогичную (5.13) кубатурную формулу можно
построить для шара Вп =
= 1.
§ 5. МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ
109
В случае одинаковых коэффициентов все узлы этой ку-
батурной формулы принадлежат шару и определяются
значениями параметров ai =«... = ап = Vn/(n + 2).
Кубатурную формулу с 2п узлами и 3-свойством мож-
но построить для области интегрирования Й и веса р(х),
обладающих центральной симметрией. Будем считать,
что центром симметрии является начало координат. Тог-
да свойство центральной симметрии й и р(х) означает:
из x&Q следует и р(х) = р(—х). Нетрудно ви-
С \ а1 а2 аП j
деть, что интеграл ]р(х) х2 ... хп ах равен нулю, если
о
сумма показателей ai + а$ + >.. + ап нечетна. В частно-
сти, равны нулю интегралы от одночленов первой и
третьей степени. Но этого недостаточно, чтобы для й и
р(х) построить кубатурную формулу вида (5.13), так как
при построении формулы (5.13) для куба существенно
использовалось, что интегралы от одночленов xix$ при
i ] равны нулю. Докажем следующую лемму.
Лемма 5.1. Пусть й — множество точек в Rn и
р(х) — неотрицательная в Й весовая функция такая, что
Pi = J Р (х) dx > 0, (5.15)
и пусть
Ргз — Р(х) XiXjdx, f,/ = l,2, ..., п. (5.16)
Тогда имеется такое ортогональное преобразование
и^Ах, (5.17)
что в новых координатах
Рц — j* Р C^u) uiUjdu = 0 при (5.18)
где й— множество точек из Rn, в которое переходит Й
при преобразовании (5.17).
Заметим, что в лемме центральная симметрия Й и
р(х) не предполагается.
Доказательство. Матрица Р = [РгЛм=ь где рц
определены формулой (5.16), есть симметрическая матри-
ца порядка п, положительно определенная как матрица
110 гл. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
Грама линейно независимых многочленов xlf ..ж».
Обозначим через М, ..., собственные значения матри-
цы Р и через а(1>, ..., а(п) — соответствующие им соб-
ственные векторы. В силу положительной определенности
Р собственные значения положительны. Систему соб-
ственных векторов можем считать ортонормированной.
Компоненты собственного вектора а(,) будем записы-
вать следующим образом: а(<) = [а«, а<2, ..., ainl', i =
= 1, 2, ..., п. Рассмотрим ортогональную матрицу А,
у которой i-я строка состоит из составляющих векто-
ра а(0:
А = [®ii, ®i2, • • •» ®in]i=l« (5.19)
Матрица А ъ определяет требуемое ортогональное пре-
образование (5.17).
В самом деле, в интеграле (5.18) выполним замену
переменных интегрирования и = Ах, где матрица А опре-
делена формулой (5.19). Получим
п п
р(ж)2
Т=1 8—1
п п
—• (Ifrdfa Г p («г) X^X^dx === PTsfl'jsP'iT —
Г,8=1 J Г,8=1
= (Pa<>), aW) = (15-аО’>, aW) =
Лемма доказана.
Вернемся к случаю, когда Q и р(х) > 0 обладают свой-
ством центральной симметрии. Так как при преобразова-
нии (5.17) свойство центральной симметрии сохраняется,
то на основании леммы 5.1 можем считать, что для й
и р(х) выполнены равенства
[ p(x)xiXjdx = PiiSij, г, / = 1, 2, ..., п. (5.20)
а
Кубатурную формулу для Й и р{х) запишем в виде
п
{p(x)f(x)dx^^ СД/(0, ....О, а},0, ...,0) +
й 5=1
3-1
+ 7(0, ...,0,-а}, 0, ...,0)]. (5.21)
Pij = J р (Л-1и) UiUjdu = j
с
§ 5. МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ
111
Она точна для всех одночленов нечетной степени, а в си-
лу (5.20) точна для одночленов XiXj при i^j. Потребуем,
чтобы формула (5.21) была точна для /=1, х*. Получим
систему
Cl + G + ... + Сп = о,5р1? 2Citti = Ра. i = 1, 2, ..тг,
(5.22)
где pi определено равенством (5.15), а рн — равенствами
(5.16). Эта система определяет множество кубатурных
формул вида (5.21), завися-
щее от п положительных па-
раметров С\, ..., Сп, удовлет-
воряющих первому из ра-
венств (5.22). Параметры сц
определяются равенствами
di = Ур«/(2С<), i = 1, 2, ..., п.
Обозначим через Тп симп-
лекс— множество точек Rn,
удовлетворяющих неравен-
ствам > 0, х2 0, ..., хп
>0, Я1 + х2 + ... + #п<1. Тп
представляет собой много-
гранник с вершинами в точ-
ках 0 = (0, 0, ..., 0), e(i) ==
= (6ii, 6,2, ..., 6<n), i = l, 2, .
Рис. 5.2.
., п (рис. 5.2). Точка, коор-
динаты которой равны среднему арифметическому коор-
динат вершин:
1 1
w== e(t) = нй’Гр’
1 1=1 4 1 1
-Г-Л (5.23)
п+1/ 4 '
называется центром симплекса Тп. Будем называть Тп
стандартным симплексом.
Пусть и и v — вещественные числа, u^v. Возьмем
n +1 точек
(и, щ и, ..., и), (о, и, и,.,., и), (и, v, щ ..., и),
(и, и, v, ..., и), ..., (и, и, и, ..., и). (5.24)
Эти точки не лежат в гиперплоскости, и их можно взять
в качестве вершин n-мерного симплекса Т. Грани размер-
ности п — 1 симплекса Т параллельны соответствующим
граням стандартного симплекса.
112 ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
Потребуем, чтобы центр симплекса Т совпадал с w —
центром Тп. Это дает для параметра и значение
v = 1 — пи. (5.25)
Симплекс с вершинами (5.24), где v определяется равен-
ством (5.25), будем обозначать Тп,и. При и = l/(n+1)
симплекс Тп, и вырождается в точку w, а при и = 0 он
совпадает с Тп.
Нам понадобится формула для моментов стандартного
симплекса
<5'2в>
Тп
где а = (аь ..., ав) — мультииндекс, а! = ajaj... ап1,
la I = а4 + а2 +...+ ап.
Пример 3. Построим кубатурную формулу для вы-
числения интеграла по Тп с весом р(х) = 1, обладающую
3-свойством. В качестве узлов выберем точку (5.23) —
центр Тп и точки (5.24)—вершины симплекса Tn u. Ко-
эффициент, отвечающий узлу (5.23), обозначим через А.
Узлам (5.24) сопоставим одинаковые коэффициенты, рав-
ные В. Таким образом, кубатурную формулу будем
разыскивать в виде
/ (ж) dx Af (w) 4- Bf (и, и, ..., и) +
тп
п 1
+ 5 1- гам, и, ..и). (5.27)
г=1
Тот факт, что мы выбрали одинаковые коэффициенты,
отвечающие вершинам симплекса TntU, легко объяснить
геометрически. Выполним аффинное преобразование, пе-
реводящее стандартный симплекс Тп в правильный (рас-
стояние между любыми двумя вершинами правильного
симплекса одно и то же). При этом симплекс Тп,и также
перейдет в правильный. Коэффициенты, отвечающие вер-
шинам правильного симплекса как узлам, естественно
взять одинаковыми. Остается заметить, что при аффинном
преобразовании коэффициенты кубатурной формулы ум-
ножаются на один и тот же постоянный, отличный от
нуля множитель.
§ 5. МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ
на
В кубатурную формулу (5.27) входят три параметра.
Для их определения составим три уравнения, вытекаю-
щие из требования, чтобы кубатурная формула была
точна для многочленов
1, Ui — х2)2, x^xi — я2)2. (5.28)
Так как в (5.28) входят хи х2, то считаем п > 2. Получим
/ = 1: 4 + (»+1)В = 1/га|,
/ = (х, - х2)2: 2BL1 - (n + Did2 = 2/(п + 2)!,
/ = Xi(xt — х2)2: В(и+ 1 — nu)Ll — (и + DuJ2 = 4/(п + 3)!.
При вычислении интегралов от многочленов (5.28) поль-
зуемся формулой (5.26).
Решение этой системы легко найти. Разделив левую
часть третьего уравнения на левую часть второго, полу-
чим (1 — (и — 1)и)/2 = 2/(п + 3), откуда, так как п > 2Ъ
и — 1/(п + 3). Из второго и первого уравнений последо-
вательно получим
D __ (” 4~ З)2 л _ ___ (п 4- 1)3
4(п + 2)!’ 4(п + 2)!‘
Кубатурная формула (5.27) записывается в виде
Tn L
Узлы этой формулы принадлежат симплексу, коэффици-
ент, отвечающий центру Тя, отрицателен.
Утверждаем, что кубатурная формула (5.29) точна для
всех многочленов не выше третьей степени. Чтобы это
имело место, достаточно, чтобы она была точна для
одночленов
1, хх, х*, х^Хъ, х*, х^х2, хгх2х3.
Требование точности для одночлена я^^з возникает
лишь при п > 3. Так как формула (5.29) точна для мно-
гочленов (5.28) по построению, то достаточно проверить^,
3 И. П. Мысовских
114 ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
что она точна для одночленов
•^1» ^1». (5.30)
Убедимся, например, что формула точна для
Кубатурная сумма для этого одночлена равна
(п + 1)3 1 | (“ + 3)2 г, _ I _ ,
4 (п + 2)! (и 1}3 ‘ 4 (п + 2)! [j (п + 3)3
। ? 3 1 1 , п+7 1
(п + З)3] 4 (п + 2)! ‘ 4 (п + 3)! (п + 3)
что по (5.26) совпадает с интегралом от этого одночлена.
Аналогично проверяется, что (5.29) точна для осталь-
ных одночленов (5.30).
§ 6. Метод повторного применения
квадратурных формул
Метод повторного применения квадратурных формул
для вычисления кратных интегралов рассмотрим для важ-
нейших областей интегрирования: куба, симплекса, сферы
и шара. Кубатурные формулы, полученные этим методом,
имеют тот недостаток, что с повышением кратности ин-
теграла число узлов возрастает как тпп, где тп —число
узлов используемой квадратурной формулы, п — крат-
ность интеграла. По этой причине такие кубатурные фор-
мулы находят широкое применение лишь при небольших
значениях п (п = 2, 3, 4, 5).
6.1. Куб. Метод повторного применения квадратурных
формул наиболее прост в случае, когда областью интег-
рирования является куб Кп = {х^ Rnl — К Xi < 1, т =
= 1, 2, ..., п), р(х) = 1. Вычисление интеграла по Кп при-
водится к вычислению п простых интегралов
1 1 1
f / (х) dx = j dxx j dx2 ... j* f x2l ..., xn) dxn.
кп -i -I -1
Интеграл по каждой переменной в правой части этого
равенства заменим квадратурной суммой, например, по
§ 6. ПОВТОРНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ 115-
формуле гауссова типа для [— 1, 1] и единичного веса:
ф (t) dt £* 2 (*i)
-1 <=1
(см. § 1). Здесь и далее в этом параграфе для упроще-
ния записи не отмечается зависимость узлов и коэффи-
циентов квадратурной формулы от т. Получим кубатур-
ную формулу
2 (6.1>
К» Н’ • ЛП:=1
Она имеет тп узлов и обращается в точное равенство,
когда/(ж) = Xi1#*2 • • • #пП,где 0 < 2m — 1, i = l, 2, ..._
.п. В частности, кубатурная формула (6.1) обладает
(2m — О-свойством, и так как она не точна для xl™\ то ее
алгебраическая степень точности равна 2m — 1.
Способ повторного применения квадратурных формул
можно использовать и в несколько более общем случае,»
когда требуется вычислить интеграл по Кп с весовой
функцией pMpkxz)... р(хп).
Кубатурная формула (6.1) при п = 1 и любом нату-
ральном т обращается в квадратурную формулу Гаусса
и является интерполяционной. При т = 1 и любом п ку-
батурная формула имеет единственный узел — начало ко-
ординат, ее алгебраическая степень точности равна 1 иг
следовательно, также является интерполяционной.
Установим, что при п = 2 и любом натуральном m
кубатурная формула (6.1) интерполяционная. На прямой
^1 = 4, & = 1, 2, ..., т, возьмем к попарно различных то-
чек, отличных от узлов формулы, так что вместе с узлами
на этой прямой будем иметь т + к точек. На прямой^
Xi == А, к = 1, 2, ..., т, возьмем к попарно различных
точек. Указанные М2, 2m —1) точек не лежат на алге-
браической кривой порядка 2m—1 (см. п. 2.3), поэтому
определяемая ими матрица Вандермонда неособенная.
Отсюда и следует, что кубатурная формула (6.1) интер-
поляционная.
При п = 3 и т>3 кубатурная формула (6.1) не яв-
ляется интерполяционной, в частности, при m > 7 она;
8*
116 ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
имеет узлов больше, чем в интерполяционной кубатурной
формуле. При п = 3 и т = 2 она интерполяционная, в чем
легко убедиться, добавляя к восьми узлам 12 точек так,
чтобы полученные 20 точек не лежали на алгебраической
поверхности третьего порядка. При п>4 и тп>2 куба-
турная формула (6.1) не интерполяционная, в частно-
сти, при п > 7 и т > 2 число узлов тп больше, чем
М(п, 2т — 1).
6.2. Симплекс. Методом повторного применения квад-
ратурных формул построим кубатурную формулу для вы-
числения интеграла
/(/)= \f^)dx,
Тп
где Тп — стандартный симплекс:
Тп = {х е Rn | х( > 0, i = 1, 2, ..., и, xt + х2 +... + хп < 1).
Как мы увидим, метод повторного применения квадратур-
ных формул в случае симплекса оказывается более слож-
ным, чем в случае куба.
Обозначим через Тп-Да) пересечение симплекса Тп
с гиперплоскостью Xt=a. При 0<а<1 это (ге—1 ^мер-
ный симплекс: х2 > 0, х3 >0, ..., хп > 0, х2 + ж3 +...+ хп <
< 1 — а.
Имеем
1
I (/) = j dxr J / (ajj, #2, ..., ®n) dxt ... dxn. (6.2)
О Гп-1(*1)
Во внутреннем интеграле сделаем замену переменных ин-
тегрирования Xt = (1 — Xt)yt, i = 2, 3, ..., п. При такой
замене симплекс Тл-Ах2) перейдет в симплекс Л,-,: у<>0,
i = 2, 3, ..., и, у2 + у2 +• • •+ уп < 1.
Равенство (6.2) можно переписать в виде
I (/) = [ (1 - *l)n-1 dX! J / (хи (1 — xj yit...
о rn-l
. ..,(1 — Xj)yn)dy2 ... dyn.
JifliL вычисления интеграла по переменной воспользу-
§ 6. ПОВТОРНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ Ц7
емся квадратурной формулой с весом (1—
J 771
J (1 - О”-1 ф (0 = 2 бп-1)Ф (4п-1)),
о i=1
например квадратурной формулой гауссова типа (см. § 1).
Получим
ш
[ /«;*>, (i - <?->) ...
Ч=* тп_г
..(1 — ^”1}) хп) dx2 ... dxn. (6.3)
Здесь мы изменили обозначение переменных интегрирова-
ния: вместо уг взяли х^ i = 2, 3, ..., п.
Приближенное равенство (6.3) обращается в точное,
если /(я)—любой многочлен степени не выше 2тп — 1,
в частности любой одночлен ха, где lai < 2m — 1. Отме-
тим, что в случае куба такое равенство справедливо для
многочленов более широкого класса: многочлен должен
иметь степень не выше 2m — 1 как многочлен от одной
переменной
Таким образом, вычисление интеграла по Тп с по-
мощью равенства (6.3) приводится к вычислению интег-
рала по Tn-j от функции
Р (#2? З'З» • • • > %п) =
=/«:-*’ .....(в-4)
В этом последнем интеграле выполним интегрирование
по переменной х2 с помощью квадратурной формулы га-
уссова типа с весом <1 — х2)"-2:
j* (1 — t)n-a ф (0 dt as 2 С1п~2)ф (0п-2)).
О г=1
Получим
У F (х%& • • •, #n) dx2 •.• dxn
io=l m
« 2 n—2
..(1 — 0” a>) yn) dy3 ... dyn
118 ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
Используя это приближенное равенство и обозначение
(6.4), из (6.3) получим новое приближенное равенство:
т &
s с?-хмг8> у
тп_2
(1 - ^-х)) (1 - ^"2)) у3, ..., (1 - X
X (1 — 42-2') Уп) dy3 ... dyn.
Оно обращается в точное равенство, когда f(x) — много-
член степени не выше 2т — 1. Продолжая действовать
аналогично, придем к кубатурной формуле
т
i(f) 2 • • • Ф(п (ч), п (ч, ч),- • •
Лп—1
..., П(гх, • • •» М)- (6*5)
Здесь использованы следующие обозначения
П(ч, i2, ..., it) = (1 - <-х)) ... (1 - С11+1)) 1 = 2’
3, ..., п, где 4I-1\ (а х). I = 1» 2, ..т, — узлы
и коэффициенты квадратурной формулы гауссова типа
с весом (1 —
((1 - о'"1 ф (О = 2 cV-1)<p (4г-1)), i = 1,2,..., п.
э
, (6.6)
Кубатурная формула (6.5) имеет тп узлов, ее алге-
браическая степень точности равна 2т — 1. Как и в слу-
чае куба, при п—1, 2 и любом натуральном т она ин-
терполяционная, так же как и при т = 1 и любом нату-
ральном и, а также при п = 3, т = 2.
При вычислении интеграла по переменной xt можно
воспользоваться, вместо (6.6), квадратурной формулой
Маркова с фиксированным узлом 1:
f (1 _ t)n-l ф (i) dt (1) + 2 (4п-°),
о i=1
I ~ 1, 2,
§ 6. ПОВТОРНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ Н9
которая обладает 2т-свойством (см. § 1). Это приведет
к кубатурной формуле для симплекса, алгебраическая
степень точности которой равна 2т, а число узлов равно
(7Пя+‘ —1)/(иг —1).
6.3. Сфера. Построим кубатурную формулу для вычис-
ления интеграла
1(f) = § f(x)dS,
8
где S — сфера: 5 = R” |xf -f- xf -f- ... + х„ = г®).
Перейдем в интеграле 1(f) к сферическим координатам!
Xi = г cos <Р1,
хг = г sin ф, cos ф2,
х3 = r sin ф! sin ф2 cos ф3,
........................................ (6.7)
Хп-г = Г sin ф1 sin ф2 . . . sin ф„_2 COS фп-2,
x„-i = г sin ф, sin ф2... sin ф„_2 sin ф„_2 cos фп_15
хп = г sin ф, sin ф2... sin ф„-з sin фп_2 sin фп-1,
где 0 =5 ф< < л, i = 1, 2, ..., п — 2, 0 < ф„_! < 2л, г — ра-
диус сферы S. Элемент поверхности в сферических коор-
динатах равен
dS = Г"-1 Sin"-2 ф, sin"-3 ф2 . . . Sin фп-г^ф^з .. • Йфп-1,
и мы получаем
Л Л 2Л
I (/) = гп-1 J ... j J / (г cos ф17 г sin фь cos ф2, ...)X
О 0 0
Xsinn“2 фх ... sin фп_2йф1 ... йфп-ь (6.8)
В этом интеграле областью интегрирования является
(п—1)-мерный параллелепипед, поэтому при построении
кубатурной формулы можем заменить интеграл по каж-
дой переменной квадратурной суммой по некоторой квад-
ратурной формуле.
Пусть fix) — многочлен степени не выше q в 2т — 1.
Тогда подынтегральная функция в (6.8) есть тригономет-
рический многочлен степени не выше q относительно пе-
ременной фп-1. Выполнив интегрирование по фп-1, полу-
120 ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
чим (п —2)-кратный интеграл, в котором подынтегральная
функция, как функция от <рп-2, представляет собой про-
изведение §тфп_2 и тригонометрического многочлена сте-
пени не выше д, зависящего лишь от cos <рп—2.
Докажем это утверждение. Нечетные степени sin <рп_2
могут появиться только от одночленов, содержащих
®2 1 тт
хп ^n-i, где at + а2 нечетно. Но интеграл от такого одно-
члена по фп-1 равен нулю, так как
2Л
j sin"1 <рп_г cos06® (fn-jdcpn-! = 0.
О
Отметим, что этот интеграл равен нулю не только при
«1 + а2 нечетном, но и в случае, когда хоть одно из
чисел ai, а2 нечетно.
Аналогично, в результате интегрирования в (6.8) по
<Рп-1 и фп-2 получим (тг — 3)-кратный интеграл, в котором
подынтегральная функция, как функция от фп-3, есть
произведение 8Ш2фп-з и тригонометрического многочлена
степени не выше д, зависящего лишь от со5фп-3. Дей-
ствительно, нечетные степени 8Шфп-3 могут появиться
ах а2 а3
только от одночленов, содержащих множитель #n #n~i#n-2,
где ai + а2 + а3 нечетно. Но при + а2 нечетном, по до-
казанному выше, интеграл по фп-1 от такого одночлена
равен нулю. Поэтому достаточно показать, что интеграл
от этого одночлена по фп-2
л
Z = J (sin <p„_2)ai+a2+1 cos“8 <pn_2d<pn_2,
0
равен нулю при ai + <z2 четном и a3 нечетном.
Выполнив в интеграле замену переменной интегриро-
вания л — фп-2 = *ф, получим
о
I — — [ (sin(n—i|))ai+a2+1 (cos (л — i|)))a3 dxp = — 2,
л
откуда и следует 1 = 0.
Вообще, в результате интегрирования в (6.8) по фп-1,
фп-2, ..., фп-ь-1, 0 =С к < п — 3, получим (п — к — 2)-крат-
ный интеграл, в котором подынтегральная функция, как
функция от фп-к-2, представляет собой произведение
§ 6. ПОВТОРНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ 121
sinfe+1 Фп-а-2 и тригонометрического многочлена степени
не выше q, зависящего лишь от cos фп-А-2. Этот много-
член будем обозначать через Pg(cos фп^-2).
Интеграл по переменной <pn-i в (6.8) заменим квад-
ратурной суммой по формуле прямоугольников с g +1 =
= 2т узлами (см. § 1). Так как мы считаем, что /(ж) —
многочлен степени не выше q, то такая замена сохранит
точное значение интеграла.
Чтобы заменить квадратурной суммой интеграл по
фп-Л-2
Л
J sinft+x <pn_ft_2Pg (cos фп-fe-a) d<pn-fe-2, 0 < к < п — 3,
о
(6.9)
сделаем в (6.9) замену переменной интегрирования t =
= cos фп-л-2- В новой переменной интеграл (6.9) пере-
пишется так:
1
J (l-i2)ft/2?g(i)dt (6.10)
-1
Мы получим точное значение этого интеграла, если вос-
пользуемся квадратурной формулой гауссова типа с весом
(1 —f2)s/2 на отрезке [—1, 1] с тп узлами (см. § 1):
f (1 _ f2)fe/2ф(t) dt^ S 4°<p (4ft)). (6.11)
-1 3=1
Введем обозначение
F(r, фъ ф2, ..фп_,) =
(6.12)
= /(г cos фь г sin ф! cos ф2, ..., г sin ф, sin ф2... sin ф„-1)
и рассмотрим кубатурную формулу
2m т
2 х
j—1 h,...,jw_2=i
X г , ф2 , ..., Фп-2 ’ —7 I, (O.lo)
где Фп-ь-2 — arccos t\k\ a и —соответственно узлы
122 ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
и коэффициенты квадратурной формулы (6.11). Кубатур-
ная формула (6.13) точна, когда /(я)—любой многочлен
степени не выше 2m—1. Она имеет 2mn~1 узлов. В ча-
стности, при г = 1 (6.13) обращается в кубатурную фор-
мулу для вычисления интеграла по единичной сфере 5п-ч.
Для вычисления интеграла (6.10) воспользуемся квад-
ратурной формулой Маркова с весом (1 —£2)*/2 и с фик-
сированными узлами —1,1 (см. § 1):
* т-1
J (1 - ф (i) dt ~ Bw [ф (- 1) + ф (1)] + 2 5<й)ф
-1
(6.14)
* = 0,1,2, ...,тг —3.
Так как алгебраическая степень точности квадратурной
формулы (6.14) равна 2m — 1, то при вычислении интег-
рала (6.10) с помощью этой формулы получим точное его
значение. Считаем, что квадратурная формула (6.14) со-
держит хоть один внутренний узел, т. е. что т>2.
Использование квадратурной формулы Маркова при-
водит нас к следующей кубатурной формуле:
2m т
2 • s£-i х
j=l jv...tjn_2=0
X F (г, ф^, ф<4 фйгг), (6.15)
где "фп-л-г = arccos a и B^ — узлы и коэффици-
енты квадратурной формулы (6.14), при этом и^— — 1
и<т = 1, В^ = В$ = В(м. В частности,
фп-л-а = arccos = л, фк-л-2 — arccos u„) = 0. (6.16)
Алгебраическая степень точности кубатурной формулы
(6.15) равна 2т — 1.
Подсчитаем число узлов кубатурной формулы (6.15),
в координаты которых входят значения параметров, оп-
ределяемые формулами (6.16). При к = п — 3 имеем
ф10) = л, ф1") = 0 и из формул (6.7) получаем два узла
(±1, 0, 0, ..., 0). При А: = л —4 имеемФа0)=л,
§ 6. ПОВТОРНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ 123
так что эти значения узлов определяют по формулам (6.7)
точки (cos ф1, ±sin<pi, 0, 0, 0). Такие точки являются
узлами кубатурной формулы тогда и только тогда, когда
<р± принимает значения 4 — 1,2, ..., тп —-1. Таким
образом, число узлов этого вида равно 2(тп — 1).
При к — п — 5 значения параметров (6.16) фз0) =
ф(3ш) = 0 определяют точки (cos <pi, sin <р< cos <р2,
± sin ф1 sin ф2, 0, 0, ..., 0), которые являются узлами ку-
батурной формулы тогда и только тогда, когда ф1 и фа
принимают соответственно значения Ф1г\ г, 7 = 1, 2, ..
..тп —1. Число узлов такого вида равно 2(тп —I)2.
Нетрудно видеть, что число узлов кубатурной форму-
лы (6.15), в координаты которых входят значения пара-
метров (6.16),. совпадает с суммой 211 + (тп—1) + (тп —
— 1)2+...+(тп—l)n”3J, которая равна 21(тп—1)п~2—
— U/(zn — 2) при тп>2 и равна 2(п —2) при тп = 2. Так
как число узлов, не содержащих параметров (6.16), равно
2тп(тп — 1)п“2, то число всех узлов кубатурной формулы
(6.15) равно
г + 2» (т - 1)”-' - 2 <—О’1,-1
тп — 2 4 ' т—2
при т>2 и равно 2п при т = 2. При n>3, пг>2 это
число узлов меньше, чем 2т»”-1 — число узлов кубатурной
формулы (6.13).
6.4. Шар. Получим кубатурную формулу для вычис-
ления интеграла
/(/)=
вп
где Вп — единичный шар: Вп = {ж е R” | ж® + х% + • • • +
+ хп 1} •
Сначала построим кубатурную формулу специального
вида
Р л
J f(x)dSu\ (6.17)
i 1 sti)
В правой части (6.17) стоит поверхностный интеграл по
сфере ж® 4- ж® + ж» = г® — и коэффициент В}.
Нам надлежит определить 2р постоянных rs и Bs, j —
124 ГЛ’ 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
= 1, 2, ...» р. Потребуем, чтобы формула (6.17) обраща-
лась в точное равенство, когда f(x) является многочленом
возможно более высокой степени.
Нетрудно видеть, что равенство (6.17) выполняется
ef \ Р1 $2 Зп
точно, когда /(ж) есть одночлен . хп , у которого
хоть одно из чисел р2, ..., [}п нечетно. Таким образом,
при построении кубатурной формулы (6.17) можно огра-
ничиться одночленами вида
2а-| 2а« 2ап ,л ,
Х% ... Хп , -р (Х2 . -j- === v. (6.18)
В интеграле по Вп от одночлена (6.18) перейдем к
сферическим координатам (6.7). На этот раз в формулах
(6.7) г считается неотрицательной переменной. Якобиан
преобразования (6.7) равен rn~l sinn“2 <р± sinn“3 ср2.. .sin<pn_2,
и мы получим
J х^х^2 ... x*nndx = f r2v+n~1dr Z (a1? a2, ..., an), (6.19)
вп b
где
ZCo^, a2, . •<xn) =
ГС Л 27C
= J ... J J (cos <P1)2CC1 (sin <px cos ф2)2“8 ... (sin <px sin ф2 ...
0 0 0
... sin <p„_x)2an sin"-8^! sinn-s<p2 ... sin фп_2йф1йф2 ...
...йфп_1>0.
Перейдем к сферическим координатам в поверхностном
интеграле по S(i) от одночлена (6.18):
J а2, ..., ая). (6.20)
g(j)
Учитывая, что (6.17) обращается в точное равенство,
когда f(x) совпадает с одночленом (6.18), и воспользовав-
шись равенствами (6.19) и (6.20), получим
р
(6-21)
При соблюдении этого равенства формула (6.17) точна,
§ 6. ПОВТОРНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ 125
когда /(ж) — любой однородный многочлен степени 2v.
Так как мы должны найти 2р неизвестных Bh j =
= 1, 2, ..р, то можем потребовать, чтобы равенство
(6.21) было выполнено при v = 0, 1, 2, 2р —1:
р
2 В^'1 = 2^ , v = 0,1, 2, ..2р—1. (6.22)
5=1
Пусть п — четное. Систему (6.22) перепишем в виде
р
2 2ВЛ’“ «)’ - тттй, v - 0,1, 2, .... 2р - 1.
5=1
Такую же систему получим, если будем строить квадра-
турную формулу гауссова типа для отрезка [0, 1] и ве-
са Г72-1:
1 р
f tn/2~\ (t) dt ~ 2 Ся (х}). (6.23)
О >1
Таким образом, параметры кубатурной формулы (6.17)
при п четном определяются равенствами
2М” = Cj, / = 1,2,..., Р,
где Xj и Cj — узлы и коэффициенты квадратурной форму-
лы гауссова типа (6.23).
При п нечетном систему (6.22) заменим равносильной
системой
р с
2' В^г} = I гп-1гМг, к = 0,1, 2, ...,4р - 1. (6.24)
3=~р -i
Здесь штрих у знака суммы означает, что опускается ела-
гаемое, отвечающее / = 0. Считаем r^j = —rh В_, = Bh j =
= 1, 2, ..р, так что при к нечетных уравнения (6.24)
принимают вид 0 = 0, а при к четных получаем уравне-
ния (6.22). , \
Но система (6.24) совпадает с системой, которую мы
получим, если будем строить квадратурную формулу га-
уссова типа с 2р узлами для отрезка 1—1, 1] и веса f1”1:
J р
J 2 Di4(rj). (6.25}
-1 5=-р
126 ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
Этим установлено, что радиусы сфер SU) при п нечет-
ном совпадают с положительными узлами квадратурной
‘формулы (6.25), а коэффициенты В$ определяются из ра-
венства Dj = Bjrnj 1, где Dj — коэффициенты формулы
66.25).
Из способа построения кубатурной формулы (6.17)
ясно, что она точна, когда fix) — любой многочлен степе-
ни не выше 4р —1. С помощью формулы (6.17) мы полу-
чим обычную кубатурную формулу для вычисления ин-
теграла по шару Вп с (4р — 1)-свойством.
Интеграл в правой части (6.17) заменим кубатурной
суммой по формуле (6.13) при тп = 2р. Получим
1(f) =
р 4р 2р
з—1 51,«-м5п~2=1
X х* I 'г, Ф1 , ф2 > • • • > фп—2 , 2^ 1 )• (O.ZO)
Здесь функция F определена равенством (6.12),
<Pnlfe_2 = arccos t(jk\ a иЛ®—узлы и коэффициенты
квадратурной формулы гауссова типа (6.11), в которой
число узлов равно т = 2р. Кубатурная формула (6.26)
имеет (2р)” узлов и точна, когда fix) — любой многочлен
степени не выше 4р — 1.
Если интеграл в правой части (6.17) заменить куба-
турной суммой по формуле (6.15) при т = 2р, то придем
к кубатурной формуле для вычисления 1(f), которая так-
же обладает (4р — 1)-свойством, но число ее узлов мень-
ше, чем в формуле (6.26), а именно оно равно р((2р —
— 1)п —1]/(р —1) при р>1 и равно 2п при р = 1.
Построим еще кубатурную формулу для вычисления
1(f), у которой в число узлов входит начало координат
6 = (0, 0, ..., 0). Нам понадобится кубатурная формула
специального вида
Р А
I (/) ~ Hf (0) + 2 Я3- j f (X) dS“\ (6.27)
где 5(Л, как и в (6.17), сфера ж? + + ... + х„ = р®.
§ 6. ПОВТОРНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ 127
В нашем распоряжении имеется 2р +1 неизвестных
параметров: Я, pf, i == 1, 2, .... р; поэтому можем по-
требовать, чтобы формула (6.27) была точна для одно-
членов (6.18) при v = 0, 1, 2, ..., 2р. Это приводит к си-
стеме уравнений
р
н + У. вд-1 =
2лп/г — !" }Рз п
„ ’ (6.28)
v = 1,2....2р,
5=1
где Г(п/2) — гамма-функция Эйлера. Здесь выделено урав-
нение, которое содержит Н и которое получено из тре-
бования, что кубатурная формула (6.27) точна для /(х) —
= 1 - одночлена (6.18) при v = 0.
Пусть п —четное. Решением системы (6.28) являются
числа pj, Hh Н, определяемые равенствами
Ц3- = р?, G =
2nrli
где uh Gj, G — узлы и коэффициенты квадратурной фор-
мулы Маркова с весом Г/2”* на отрезке f0, 1] и с одним
фиксированным узлом 0 (см. § 1):
J р
J f/2-Ч (i) dt ~ (?ф (0) + 2 (и}).
о 5=1
При п нечетном р, — положительные узлы квадратур-
ной формулы гауссова типа с весом г”"1 на отрезке
[— 1, 1] и с 2р + 1 узлами (см. § 1):
с р
J rn bp (г) dr 2
-1 3=-Р
а коэффициенты Н, определяются равенствами
= / = 1,2.....р.
Кубатурная формула (6.27), как следует из способа
ее построения, обладает (4р +1)-свойством.
Поверхностный интеграл в правой части (6.27) за-
меним кубатурной суммой по формуле (6.13) при т =
128 ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
= 2/>+ 1. Получим кубатурную формулу ]
7(/)~Я/(0) + ]
Р 4р+2 2 р+1 1
+2ад-‘27^2 2 C’C’.-.C*
i~l j—1 • чЗп — 2—1
XT1 (pi, <p^2\ ..(fc2>, 2р * t j), (6.29) j
где <pn\-2 = arccos tjk\ и Ajfe) — соответственно узлы ;
и коэффициенты квадратурной формулы (6.11), в кото- J
рой число узлов т = 2р + 1, функция F определена ра-
венством (6.12). Кубатурная формула (6.29) имеет
2р(2р + I)”"1 + 1 узлов и (4р + 1)-свойство.
Аналогичным путем можно получить кубатурную фор-
мулу с (4р +D-свойством и с числом узлов, меньшим,
чем в (6.29), если интегралы по сферам в (6.27) заменить
кубатурной суммой по формуле (6.15) при тп = 2р + 1.
Кубатурные формулы для шара (6.26), (6.29) и способ их по-
лучения с помощью кубатурных формул специального вида полу-
чены автором в [40, а, б, г]. Кубатурные формулы (6.26) и (6.29)
в случае п—2 получили соответственно Л. В. Канторович [19] и
Л. А. Люстерник [32], а в случае л=3 обе эти формулы получил
В. А. Диткин [13]. Мысль оо использовании квадратурных фор-
мул Маркова при построении кубатурной формулы (6Л5) для сфе-
ры заимствована из [53, д].
§ 7. Инвариантные кубатурные формулы
7.1. Инвариантные кубатурные формулы. Пусть А —
вещественная ортогональная матрица n-го порядка: АА' =
= Е. Преобразование у « Ах евклидова пространства Rn
в себя называется ортогональным преобразованием. Ха-
рактерным свойством ортогонального преобразования яв-
ляется сохранение длины векторов. Совокупность всех ор-
тогональных преобразований образует группу, которую
принято обозначать О(тг). Начало координат 6 = (0, 0, ...
..., 0) является неподвижной точкой всех преобразований
группы О(п). Через G будем обозначать группу, которая
является конечной подгруппой О(п). Обычно G — это не-
которая группа преобразований правильного многогран-
ника U с центром в 9 в себя.
§ 7. ИНВАРИАНТНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
129
Множество Й <= Rn называется инвариантным множе-
ством относительно преобразований группы G, если
g(Q) = й для любого g е G. Инвариантными относитель-
но G множествами являются все пространство Rn, шар
Вп = {х Rn I xi + • • • + х* < 1), сфера Sn-i = { х е
sRn| Xi + ... + х£ = 1}. Если G — группа преобразо-
ваний правильного многогранника U в себя, то инвариан-
тен и U.
Функция <р(я), заданная в Rn, называется инвариант-
ной функцией относительно преобразований группы G,
если ф(£#)=<р(я) для любого g^G. Примером инвари-
антной относительно G функции является любая веще-
ственная функция 4>(r), заданная на [0, +«>), где
г =/’«? +
Совокупность точек вида ga, trq а — фиксированная
точка Rn, g пробегает все элементы группы G, называет-
ся орбитой или G-орбитой, содержащей точку а, и обозна-
чается G(a). Количество точек орбиты зависит от точки а.
Очевидно, G-орбита является инвариантным относитель-
но G множеством.
Пример. Пусть G — группа всех преобразований ку-
ба Кп = {х е Rn| 1, i = 1? 2, ..., п} в себя, включая
отражения относительно координатных гиперплоскостей.
Будем обозначать эту группу KnG. Если а = (аъ ..ап) е
eRn, то KnG(a) состоит из всех точек вида (аР1, аР2,...
•••>арп), где (pi, р2, ...» рп)—любая перестановка из п
чисел (1, 2, ..., и), и из точек, которые получаются из
(aPV ...»яРп) изменением знака у любых к коорди-
нат, к = 1, 2, ..., п. Если все ah а2, ..., ап отличны от ну-
ля и попарно различны по абсолютной величине, то число
точек KnG(a) равно п\2п — порядку группы KnG. Если
== а2 =.. .= ап, то число точек KnG(a) равно 2П при
Ut =/= 0 и равно 1 при ai = 0. Формула
» N
| p(x)f(x)dx^^C}f(x^) (7.1)
называется инвариантной кубатурной формулой относи-
тельно G, если область интегрирования й и весовая функ-
ция р(х) инвариантны относительно G, и совокупность
узлов формулы (7.1) представляет собой объединение
9 И. П. Мысовских
130 ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
G-орбит, при этом узлам одной и той же орбиты сопостав-
ляются одинаковые коэффициенты.
Из сказанного выше ясно, что в качестве области
интегрирования Q в инвариантной кубатурной формуле
можно брать Rn, Вп, Sn-i, а в случае, когда G —группа
преобразований правильного многогранника U в себя,
можно брать U.
Кубатурная формула для квадрата К2, построенная
в примере 1 § 5, инвариантна относительно группы K2G.
В этой кубатурной формуле совокупность узлов составля-
ют три орбиты, содержащие точки (а, 0), (Ь, Ь), (с, с),
где параметры а, Ь, с(Ь^с) отличны от нуля.
Рассмотрим последовательность функций {^i(#)}£=i
заданных в Q <= Rn и таких, что существуют интегралы
f i = 1, 2, ...
Q
Обозначим через Т вещественное векторное пространство
функций — линейную оболочку первых М функций по-
следовательности. Предположим, что векторное простран-
ство Т инвариантно относительно группы G: для любой
ф е Ч1, имеем Ч1* при всех g^G.
Теорема 7.1. Для того чтобы кубатурная формула
(7.1), инвариантная относительно преобразований группы
G, была точна для всех функций конечномерного вектор-
ного пространства W, инвариантного относительно G, не-
обходимо и достаточно, чтобы она была точна для тех
функций из Ч^, которые инвариантны относительно G.
Доказательство. Достаточность. Пусть
fix) — функция, заданная в Q. Положим
/в(»)“4т
1 ' gt=G
где суммирование ведется по всем элементам группы G,
IGI—порядок G; fG(x) называется средней функцией по
группе G. Докажем, что она инвариантна относительно
преобразований группы G. Действительно, при h^G
’ geG 1 'gsG
Здесь мы воспользовались тем, что если g пробегает все
§ 7. ИНВАРИАНТНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
131
элементы группы G, то совокупность элементов gh совпа-
дает с G. Предположим теперь, что кубатурная формула
(7.1) точна для всех инвариантных относительно G функ-
ций из Ч1*. Пусть ф(я) — любая функция из W. Докажем,
что для нее кубатурная формула (7.1) точна. Образуем
среднюю по группе функцию ф0(я). Так как ф0(^) инва->
риантна, то для нее кубатурная формула (7.1) точна:
г N
I Р (*) Фе («) dx = S G^g (я0))• (7.2)
Q 5=1
Кубатурная формула (7.1) инвариантна относительно
пребразований группы G, поэтому справедливы равенства
J р (х) ф (х) dx = J р (х) ф (gx) dx,
q q
N t N
5=1 5=1
Суммированием левой и правой частей первого из этих
равенств по g^G и последующим делением на |G| по-
лучаем
[ р(х)ф(х) dx—\p(х)фс (х) dx. (7.3)
Q Й
Аналогично из второго равенства найдем
2 <^Ф (х™) = 2 C^G (х^). (7.4)
3=1 3=1
Правые части равенств (7.3) и (7.4) по (7.2) равны,
а тогда равны их левые части:
р w
) р (х) ip («) dx = 2 £>Ф (®0)) •
Q j=l
Это равенство означает, что кубатурная формула (7.1)
точна для ^(ж). Достаточность установлена.
Теорема доказана, так как необходимость условия оче-
видна.
Понятие кубатурной формулы, инвариантной относи-
тельно группы преобразований, было введено С. Л. Со-
болевым в (51, а]. Там же доказана теорема 7.1 и даны
9*
132
ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
ое применения к построению инвариантных кубатурных
формул с /^-свойством для вычисления интегралов по
сфере 52.
7.2. Инвариантные многочлены. В дальнейшем будем
заниматься построением инвариантных кубатурных фор-
мул с 771-свойством. Мы можем воспользоваться теоремой
7.1, взяв в качестве Ч7* векторное пространство много-
членов степени не выше ттг, так как пространство
инвариантно относительно группы всех аффинных пре-
образований пространства Rn и, следовательно, относи-
тельно группы 0(п) и любой ее подгруппы. Приведем без
доказательств некоторые результаты об инвариантных от-
носительно G многочленах, которые нам понадобятся при
применении теоремы 7.1.
Известно (22J, что рассматриваемая конечная группа
G имеет п алгебраически независимых инвариантных
форм (однородных многочленов), при этом любой инва-
риантный многочлен выражается алгебраически через эти
п форм. Если названные п инвариантных форм имеют
наименьшие возможные степени, то их называют базис-
ными инвариантными формами. Одной из базисных инва-
риантных форм является х\ + х% + ... + Якобиан лю-
бого множества базисных инвариантных форм не зависит
от выбранных конкретных форм и является относительным
инвариантом: преобразование группы G либо не изменяет
его, либо изменяет его знак.
Преобразование геО(тг), отличное от тождественного
преобразования е, называется отражением, если оно удов-
летворяет равенству г2 = е и оставляет поточечно непод-
вижной гиперплоскость. Если группа G порождена отра-
жениями, то совокупность всех инвариантных относи-
тельно G многочленов выражается через базисные инва-
риантные формы просто.
Теорема 7.2. Пусть G — конечная подгруппа О(п),
порожденная отражениями. Тогда кольцо всех инвариант-
ных относительно G многочленов порождается п базис-
ными формами Ii(x), ..., 1п(х) соответственно степеней
mi, ..., тпп. Порядок группы G равен произведению
тхтп2... тп.
Теорему 7.2 в более общей формулировке доказал Ше-
валле [69]. Она утверждает, что любой инвариантный мно-
гочлен является многочленом от базисных инвариантных
§ 7. ИНВАРИАНТНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
133
форм — линейной комбинацией с числовыми коэффициен-
тами многочленов
(7.5)
где ai, «2, . •<Хп — неотрицательные целые числа. Много-
члены (7.5) линейно независимы, так как линейная за-
висимость между ними влечет алгебраическую зависи-
мость между базисными инвариантными формами.
Будем теперь рассматривать инвариантные многочле-
ны как функции на сфере Sn-i. Для определенности бу-
дем считать, чтоЛ (х) = х* + + • • • + #п«Тогда ДСж) = 1
при х Sn-i. По теореме 7.2 любой инвариантный много-
член, рассматриваемый как функция на Sn-i, является
линейной комбинацией многочленов
I? и е?), (у.©
где а2, С4з, ..., ап — неотрицательные целые числа. Дока-
жем, что многочлены (7.6), как функции от х на 5n-i,
линейно независимы. Нам понадобится следующая тео-
рема [22].
Теорема 7.3. Якобиан базисных инвариантных форм
группы G, которая является конечной подгруппой (Кп),
порожденной отражениями, распадается в произведение
п
2 тг— п линейных форм, определяющих гиперплоскости
отражения.
Из этой теоремы следует, что якобиан базисных ин-
вариантных форм на сфере Sn-i обращается в нуль лишь
в точках пересечения Sn-i с гиперплоскостями отражения
и, следовательно, на Sn-i отличен от тождественного нуля.
Введем функции от тг — 1 переменных
^г(«^1, Х2, . • ., Х^— j) /?*+l(*^'l, • • • , ^п—1, ^п),
(7.7)
г = 1, 2, . .., тг — 1,
где хп = 1 — — ... — которые определены на
(тг — 1)-мерном шаре Bn^ = R71’11х* + ... + #n-i<
^1}- Линейная независимость многочленов (7.6) на
134 ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
равносильна линейной независимости функций
45!1 (®) Я’Г2 (х) ... «fc1 (х), (7.8)
где а2, ..an-i — неотрицательные целые числа, как
функций на Z?n-i.
Докажем линейную независимость функций (7.8) на
Bn-i. Предположение о линейной зависимости функций
(7.8) приводит к алгебраической зависимости между функ-
циями (7.7) и, значит, к тождественному обращению в
нуль якобиана -777-------~7 на Вп^. Но это невоз-
Г1’
можно в силу равенства
- _ о / 4\*+1г ^(‘Фу ♦ - - > ^п-1)
D (xv . . ., *п) П D (xv ..., ^n_i)
так как якобиан в левой части по теореме 7.3 на
отличен от тождественного нуля, а тогда тем же свой-
ством на Вп-1 обладает и якобиан в правой части.
Теорема 7.4. Пусть G —конечная подгруппа О(п\
порожденная отражениями. Тогда размерность векторного
пространства инвариантных относительно G форм степе-
ни к равна числу решений уравнения + пг2а2 + ...
...+ тпап — к в неотрицательных целых числах. Размер-
ность векторного пространства инвариантных форм сте-
пени к, рассматриваемых как функции от х на
равна числу решений уравнения
тп2а2 + ... + THnUn — к (7.9)
в неотрицательных целых числах. Здесь, как и ранее,
Шг — степень базисной инвариантной формы 1£х).
Доказательство. Докажем только второе утвер-
ждение теоремы. Размерность векторного пространства
инвариантных относительно G форм степени к, рассмат-
риваемых как функции на Sn^, равна числу многочленов
вида (7.6) степени к, которое совпадает с числом решений
уравнения (7.9) в неотрицательных целых числах.
В дальнейшем нам понадобятся сведения о правиль-
ных многогранниках. Возьмем 2п точек в Rn:
(±1, 0, ..., 0), (0, ±1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., ±1). (7.10)
Выпуклая оболочка этих точек называется гипероктаэд-
§ 7. ИНВАРИАНТНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
135
ром, который будем обозначать Оп. Точки (7.10) называ-
ются вершинами Оп. В случае п = 3 гипероктаэдр назы-
вают октаэдром. Октаэдр изображен на рис. 7.1.
Рассмотрим множество из k + 1 вершин Оп, 1 к +
+,1^га, (0, 0, ..., 0,8Гр 0, ..., 0),
i = 1, 2, ..., к + 1, где ег. рав-
но — 1 или 1 и является коорди- / /
натой с номером г<, при этом X.
=^г3- при i^j. Выпуклая оболочка /
этих к + 1 вершин называется к-
мерной гранью гипероктаэдра.
Число Л-мерных граней Оп равно i /
C^+12fe+1. Нетрудно видеть, что
А-мерная грань является правиль-
ным /с-мерным симплексом.
Правильным многогранником Рис. 7.1.
в Rn является куб Кп, который
можно определить как выпуклую оболочку его вершин
(±1, ±1, ..., ±1). Куб и гипероктаэдр двойственны друг
другу. Это означает, что число A-мерных граней гипе-
роктаэдра совпадает с числом (га — 1 — &)-мерных
граней куба при & = 0, 1, 2, ..., га—1. В частности, число
(га— 1)-мерных граней Оп равно 2” — числу вершин Кп.
Рассмотрим га + 1 точек в R”:
a(r)= (a(ir), 4r), ...,4r)), г = 1, 2, ..., n + 1, (7.11)
где
V п (п — i + 2) (п — i + 1) ’ 1 < Г ’
4Г) = | |/~ (» + 1) (»~ г +1) (7.12)
If п (п — г 4~ 2) ’ ’
I 0, i > г.
Эти точки не лежат в гиперплоскости, онй расположены
на сфере Sn-t, и расстояние между любыми двумя из
них равно У2(п+1)/п. Выпуклая оболочка точек (7.11)
называется правильным симплексом, который будем обоз-
начать Сп. Точки (7.11) называются вершинами Сп. Центр
Сп совпадает с началом координат. При п = 3 правиль-
ный симплекс называют правильным тетраэдром (рис. 7.2).
136 ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
Выпуклая оболочка любых к +1 вершин (7.11), 1^
к + 1 п, называется к-мерной гранью симплекса Сп,
которая представляет собой правильный A-мерный симп-
лекс. Число fc-мерных граней равно Сп+\- Правильный
.к симплекс Сп является двойственным
Л \ самому себе.
/ / \ В Rn при п > 5 никаких правиль-
/ / \ пых многогранников, кроме Оп, Кп,
/ I \ Сп, нет. При п = 3 число правильных
/ / \ многогранников равно пяти, а при
Z----1________п = 4 —шести.
\ В трехмерном пространстве R3
имеется два двойственных друг дру-
гу правильных многогранника — ико-
Рис. 7.2. саэдр и додекаэдр. Мы ограничимся
описанием икосаэдра. Вершинами
икосаэдра являются двенадцать точек, расположенных
на сфере S2:
(О, 0, ± 1), -1={2cos-?’ 2/, 2 sin2/, 1]
V5V & ° / (7.13)
[2 cos | (2/ +1), 2 sin -J (2/ + 1), - 1),
j = 0,1, 2,3,4.
Икосаэдр можно определить как выпуклую оболочку этих
точек. Икосаэдр будем обозначать через И. Гранями И
являются равносторонние треуголь-
ники. Число граней, ребер, вершин
икосаэдра соответственно равно 20,
30, 12 (рис. 7.3). У додекаэдра гра-
нями являются правильные пяти-
угольники. Число граней, ребер, вер-
шин додекаэдра равно соответствен-
но 12, 30, 20.
Три новых правильных много-
гранника в R4 называются 24-
гранником, 120-гранником и 600-
гранником. Трехмерными гранями
24-гранника являются октаэдры, их
число равно 24, число вершин такясе
ник двойствен самому себе. 120-гранник и 600-гранник
равно 24. 24-гран-
§ 7. ИНВАРИАНТНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
137
двойственны друг другу. Трехмерными гранями 600-гран-
ника являются правильные тетраэдры, число которых рав-
но 600, число вершин равно 120. Вершины 600-гранника
указаны в формуле 27 § 17.
Приведем примеры конечных подгрупп О(п), порож-
денных отражениями. Рассмотрим группу всех ортого-
нальных преобразований гипероктаэдра Оп в себя, кото-
рую будем обозначать OnG. Группа OnG порождена отра-
жениями относительно гиперплоскостей х^ = х^ х2 =*
= я3, ..., хп-1 = хп, яп = 0. Ее порядок равен п!2п. Все
гиперплоскости отражения гипероктаэдра таковы: я< = 0,
Xi == i < /, i, 7 = 1, 2, ..., n; их число равно n2.
Базисными инвариантными формами группы OnG яв-
ляются элементарные симметрические многочлены от
х%, .. .,Хп степеней 2, 4, ..., 2п:
^2 ~ ~ 2 ^2п = (7.14)
г=1 г<з
Группа KnG всех ортогональных преобразований куба
Кп в себя совпадает с группой OnG, так как куб и гипер-
октаэдр двойственны друг другу. По этой причине в даль-
нейшем будем говорить только о группе OnG.
Группу всех ортогональных преобразований правиль-
ного симплекса Сп в себя будем обозначать CnG. Каждое
преобразование Сп в себя определяется перестановкой
п + 1 его вершин, так что порядок CnG равен (п + 1)!.
Группа CnG порождена отражениями. Гиперплоскостью
отражения является гиперплоскость, которая проходит
через середину ребра, соединяющего две данные вершины
Сп, и через остальные п — 1 вершин. Число всех гипер-
плоскостей отражения равно п{п + 1)/2.
Положим
!Г(«) = 24Ч г = 1,2, +1, (7.15)
1=1
где <4Г) — координаты вершины а(,) симплекса Сп, кото-
рые определяются формулами (7.12). Гиперплоскость
1Лх) = 0 проходит через начало координат и перпенди-
кулярна отрезку, соединяющему центр симплекса в с его
вершиной а(г). Базисные инвариантные формы группы
138 ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
CnG таковы:
п+1
= s = 2,3, п + 1, (7.16)
i=l
где Ц(х) определены с помощью (7.15).
Рассмотрим группу CnG*, полученную из CnG добавле-
нием к ее образующим преобразования центральной сим-
метрии относительно начала координат. Так как Сп не обла-
дает центральной симметрией, то CnG* не является группой
преобразований Сп в себя. Порядок CnG* равен (п + 1)!2.
Инвариантные многочлены группы CnG* содержатся сре-
ди инвариантных многочленов группы CnG. Чтобы инва-
риантный многочлен PU) группы CnG был инвариант-
ным многочленом CnG*, необходимо и достаточно, чтобы
он не изменялся при преобразовании центральной симмет-
рии относительно 0: Р(х) = Р(~х). Итак, множество инва-
риантных многочленов группы CnG* совпадает с множест-
вом четных инвариантных многочленов группы CnG.
Рассмотрим группу вращений HG икосаэдра. Поря-
док HG равен 60. Дополнив образующие группы HG
преобразованием центральной симметрии относительно на-
чала координат, получим группу HG*, которая является
группой, порожденной отражениями с порядком 120. Пло-
скость отражения проходит через середины двух проти-
воположных ребер и перпендикулярна этим ребрам. Чис-
ло плоскостей отражения равно 15.
Приведем базисные инвариантные формы группы Ж?*
[23, в!:
/2 = Х1 + Х^ 4" 4,
Ц = 544 + 544 -г 4 + 10444 — 544 —
— 544 + 24#з + ЮярГ^з — 2044^3»
/ю = (44 — 6ххх3 + 4) (я* + 54 + 4 + 24#з —
— 2ях4 —ю44 — 44 — зохх4х3 — 2544) (4 + з4 +
+ 4 — 84^з + 8жх4 —1044 +1444 — ю44).
Обозначим через D якобиан базисных форм /2, /в, Ло.
В силу теоремы 7.3 он меняет знак при преобразовании
центральной симметрии относительно начала координат,
§ 7. ИНВАРИАНТНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
139
поэтому D не инвариант группы IIG*, но D2 является
инвариантом HG* и выражается через базисные
формы:
Р2 = — 1728/J + Zfo + 72OZ2Z1oZ| — 8OZ|Z^oZ6 +
+ 64^(5/e2-/J10)\ (7.17)
D — инвариант группы EG, которая не порождена отра-
жениями, и не является многочленом от /2, 1в, До, а как
видно из (7.17), выражается через них алгебраически.
Найдем размерность векторного пространства функ-
ций-сужений на Sz, инвариантных относительно OSG
форм степени к; другими словами, найдем число линей-
но независимых сферических гармоник порядка к, инва-
риантных относительно O3G. Обозначим это число
S(k, OSG). По теореме 7.4 оно совпадает с числом реше-
ний уравнения (7.9) в неотрицательных целых числах.
Уравнение (7.9) в случае группы O3G записывается в
виде 4а2 + 6а3 = к. Ясно, что это уравнение может иметь
требуемые решения лишь при к четном, поэтому при к
нечетном S(k, O3G) — 0. Нетрудно доказать, что при к
четном
<? (ъ п п -11 +1*/4] “ к = 0 (mod 3)1
( ’ 8 ' ~ ЦА/4] - [Л/6], к 0 (mod 3).
Число линейно независимых сферических гармоник
порядка к, инвариантных относительно группы C3G, рав-
но числу решений уравнения За2 + 4а3 = к в неотрица-
тельных целых числах. Можно показать, что
S(k,C3G) = \±=^
+ 1,
где I равно тому из чисел 0, 1, 2, которое удовлетворяет
сравнению к I (mod 3).
Приведем еще формулу для числа линейно независи-
мых сферических гармоник порядка к, инвариантных
относительно группы EG*. Это число совпадает с числом
решений уравнения 6а2 + 10а3 = к и, следовательно, рав-
но нулю при к нечетном. Если к — четное, то
S(k, ЯС*) = I * + 1ог
L
140 ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
где I равно тому из чисел 1, 2, 3, которое удовлетворяет
сравнению к ® 21 (mod 3).
Другой способ нахождения числа линейно независи-
мых инвариантных сферических гармоник порядка к ука-
зал С. Л. Соболев [51, aJ.
7.3. Построим кубатурные формулы для вычисления
интеграла по сфере 5n_i и с весом р(х) ® 1, инвариант-
ные относительно группы OnG и точные для многочленов
степени не выше тп, где тп == 3, 5, 7, 9. Будем пользовать-
ся теоремой 7.1. В соответствии с этой теоремой достаточ-
но потребовать, чтобы кубатурная формула была точна
для всех инвариантных многочленов степени не выше тп.
Ввиду тп^9 нам понадобятся инвариантные многочлены
не выше девятой степени. Так как группа OnG порожде-
на отражениями и среди ее базисных инвариантных форм
(7.14) содержатся а4, а6, о8 (при п>4), то имеется пять
линейно независимых на сфере Sn-i инвариантных мно-
гочленов не выше девятой степени:
1, <т4, <тв, <т8, (7.18)
Наиболее естественной ОпС-орбитой является множе-
ство центров Л-мерных граней Оп (при фиксированном к).
Здесь к может принимать значения 0, 1, 2, ..., n—1,
так что получаем п орбит. Л-мерная грань, которая оп-
ределяется к + 1 вершинами (бн, 6i2, ..., ft+i, 0, ..., 0),
Z = l, 2, ..., fc + 1, имеет своим центром точку
k+i
(к + 1)—х(1,1, ...,1, 0, ...,0). (7.19)
Координаты этой точки равны среднему арифметическо-
му координат рассматриваемых вершин. Центры осталь-
ных fe-мерных граней имеют координаты, которые полу-
чаются из координат точки (7.19) всевозможными пере-
становками и изменениями знаков.
Введем обозначение для проекции точки (7.19) из 0
на сферу 5n-i:
k+i
g(ft) = (/AT+T)-1(l, 1, ..1, о, ...,0),
А: = 0,1,2, (7.20)
В качестве узлов будем брать орбиты OnG(gw). Число
точек орбиты, содержащей точку gw, равно 2ft+1Cn+1.
§ 7. ИНВАРИАНТНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
141
Приведем значения интегралов по Sn-i от многочле-
нов (7.18). При их вычислении используется формула
f a.a/Z<7_2r((“i + 1)/2)--- Г((а„ + 1)/2)
J “° Г((а14-...4-ая + п)/2) >
sn-i
(7.21)
где а = (aIf а2, ..., ап) —мультииндекс с четными со-
ставляющими и T(i) — гамма-функция Эйлера. Если хоть
один из показателей а( нечетен, то интеграл в левой ча-
сти (7.21) равен нулю.
Положим
n(Sn_t) = 2лп/7Г(п/2). (7.22)
Как можно убедиться с помощью (7.21), справедливы
равенства
J d5 = p(5n_1), J a4dS = p(Sn_1)^=^.,
sn—I 1
С rrjc ___ .. (Q \ (n (ra %)
j Н(лп-1)6(ге + 4)(га + 2),
Sn-1
f v (n —1) (n —2) (в —3) (7>23)
J <JBdb — p (dn_x) 24 (re + 6) (n + 4) (ra + 2) ’
Sn~l
C rr2/7Q _и (Q \ n(n — 1) (и + ?)
J o4d\ p (on_i) 4 (n + 6) (n 4) + 2) •
Sn—1
Выпишем еще значения инвариантных многочленов
(7.18) в точках g(ft), fc = 0, 1, 2, 3, определяемых равен-
ствами (7.20):
a4(g(1)) = 1/4, o4(g(2>) = 1/3, o4(g(3>) = 3/8,
oe(g(2)) == 1/27, o6(g(3)) = 1/16, o8(g(3)) = 1/256,
a2i(g(J,) = 0, i-7>2. (7.24)
Так как значения инвариантного многочлена во всех
точках одной и той же орбиты одинаковы, то значение,
например, ов во всех точках орбиты, содержащей g(ft),
равно ae(g(ft)).
142 ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
Начнем с построения кубатурной формулы с 3-свой-
ством. Инвариантный многочлен не выше третьей сте-
пени только один 1, поэтому в качестве узлов можно
взять вершины Оп. Так- как число вершин равно 2п, то
из требования точности кубатурной формулы для 1 с
помощью первого из равенств (7.23) получаем значение
коэффициента p(5n_i)/(2ra). Эта кубатурная формула из-
вестна (см. формулу 3 § 17). Число узлов совпадает с
нижней границей, которая указана в теореме 9.2.
Построим кубатурную формулу с 5-свойством. Инва-
риантными многочленами не выше пятой степени явля-
ются первые два из многочленов (7.18). В качестве уз-
лов возьмем вершины Оп и проекции середин его ребер
на iS'n-t — орбиту, содержащую точку gw. Требование,
чтобы кубатурная формула была точна для инвариант-
ных многочленов 1, о4, определяет ее коэффициенты. Эта
кубатурная формула также известна, число ее узлов рав-
но 2п2.
Таким же путем можно построить кубатурную фор-
мулу с 7-свойством. Достаточно потребовать, чтобы
кубатурная формула была точна для первых трех много-
членов (7.18). В качестве узлов возьмем вершины Оп,
проекции середин его ребер и центров двумерных граней
на S№_t — три орбиты, содержащие точки (7.20) при
к = 0, 1, 2. Три коэффициента кубатурной формулы оп-
ределяются из требования ее точности для многочленов 1,
о*, ов. Приходим к кубатурной формуле с числом узлов
2га(2га2 — Зп + 4)/3 при га¥=5 (см. формулу 21 § 17). От-
метим, что построение кубатурной формулы в трех рас-
смотренных случаях сводится к решению линейной ал-
гебраической систёмы относительно неизвестных коэф-
фициентов формулы.
Очевидно, центр . каждой А-мерной грани Оп, к =
= 0, 1, ..., га—1, лежит по крайней мере в одной из
четырех гиперплоскостей = хг, ж, = —х2, х, = 0, хг = 0.
Обозначим через L множество всех прямых, проходящих
через начало координат и через центры A-мерных граней
Оп. Ясно, что любая прямая из L содержится хоть в од-
ной из указанных выше гиперплоскостей. Отсюда сле-
дует, что многочлен восьмой степени (ж2 — ж2)2 я2#2 об-
ращается в нуль в точках любой прямой из L. Так как
интеграл от этого многочлена по 5n-i положителен, то
§ 7. ИНВАРИАНТНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
143
никакая кубатурная формула для вычисления интеграла
по Sn-i не может быть точной для этого многочлена, если
в качестве узлов берутся проекции на *9П—i центров ^-мер-
ных граней Оп. Алгебраическая степень точности такой
формулы не более семи.
Если узлы берутся на прямых из L любым образом,
то утверждение об алгебраической степени точности вер-
но и в том случае, когда речь идет о кубатурной формуле
для вычисления интеграла по любому множеству QczRn
с весом р(х\ неотрицательным в Q и таким, что
рг = [ р (х) dx > 0.
Таким образом, чтобы получить кубатурную формулу
для вычисления интеграла по Sn_i9 у которой алгебраи-
ческая степень точности более семи, в число узлов надо
включать точки, которые не1 лежат на прямых из L.
Можно, например, включать орбиты, содержащие проек-
цию на Sn-i внутренней точки ребра гипероактаэдра,
отличной от его середины, проекцию на Sn-^ внутренней
точки двумерной грани, отличной от ее центра, и т. д.
Рассмотрим ребро, которое соединяет вершины
(1, 0, ..., 0) и (0, 1, 0, ..., 0). Точку ребра (1 —t, t, 0, ...
..., 0), где 0 < t < 1/2, будем называть t-точкой ребра.
Проекцию £-точки ребра из 0 на Sn-i
1 — t t
—2i + 1 ’ /if2 —2*+ 1 ’
будем называть просто t-точкой.
Построим кубатурную формулу, обладающую 9-свой-
ством. Инвариантные многочлены не выше девятой сте-
пени выписаны в (7.18). Возьмем в качестве узлов вер-
шины, f-точки, проекции на Sn-t центров двумерных и
трехмерных граней Оп. Так как среди многочленов (7.18)
фигурирует о8 и среди узлов — центры трехмерных гра-
ней, то считаем, что п > 4.
Кубатурная формула имеет вид
P 2n 4n(n—1)
J + B 2 /to) +
Sn~l 1 3 1 4
8СП 1вСп
+ c2 / (g<2)) + D 2 / (g<3)). (7.25)
1 1
g(t) =
0, 0, ...,0
144 гл. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
Суммирование в сумме, под знаком которой стоит /(g),
распространяется на точки орбиты OnG(g).
Требование, чтобы кубатурная формула была точна
для многочленов (7.18), приводит к системе пяти уравне-
ний относительно пяти неизвестных:
(1) 2n4 + 4n(n-l)S + 8^C + 16^Z> = n(Sn_1),
(0J 4га (га - 1) В + 8 С*пС + =
х 4/ ' (2г2 —2*+ 1) 3
= p(Sn-i) 2 (и + 2) »
(а.) О.С + Cig = и '
(а \ _1_ fi т)_.. (с ч (п О (п 2) (га 3)
VM 16 — н ^п-1} 24 (п 6) (ге + 4) („ + 2)’
М) 4п(»-1)в +|с;с+|с;о-
—j"" J.у м
_ .. ( с \ га (га — 1) (п 4- 7)
Н \рп-\) 4 (в 6) (п 4- 4) (га + 2) •
При получении системы пользуемся равенствами (7.23),
(7.24) и равенством <j*(g(i)) = <*(1 — 07(2^ — 2t +1)2.
Эта нелинейная система легко решается. Из четвер-
того и третьего уравнений находим D и С. Затем из вто-
рого и пятого уравнений получаем квадратное уравнение
относительно t. Определив корень этого квадратного урав-
нения, из второго уравнения системы находим В. Нако-
нец, из первого уравнения получаем А. Параметры (7.25)
приведены в формуле 23 § 17, число узлов равно 2га(га3 —
— 4га2 + Ига — 5)/3.
Случай га = 3 отдельного рассмотрения не требует, так
как при га = 3 четвертое уравнение удовлетворено авто-
матически: обе его части равны нулю. Узлы четвертой
орбиты — центры трехмерных граней — также не. войдут
в систему, так как С* п (га — 1) (га — 2) (га — 3)/24 при
га = 3 обращается в нуль. При га = 3 кубатурная формула
(7.25) известна (31, 6J.
Идея использования инвариантных многочленов (7.14)
группы OnG для построения инвариантных кубатурных
формул принадлежит В. И. Лебедеву [31, а), который
§ 7. ИНВАРИАНТНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
14$
получил таким путем большое число кубатурных формул
высокой алгебраической степени точности для вычисле-
ния интегралов по сфере 5n-i, главным образом для слу-
чая в®3. Ему принадлежат также интересные резуль-
таты по упрощению нелинейных систем, возникающих:
при построении инвариантных кубатурных формул.
7.4. Построим кубатурные формулы для вычисления
интеграла по р(х) = 1, инвариантные относительно
групп преобразований правильного симплекса. Из ре-
зультатов п. 7.2 следует, что инвариантный относительно*
CnG многочлен, рассматриваемый как функция на сфе-
ре Sn_i, является многочленом от п — 1 многочленов.
л3, Ла, • • •, лп+1, которые определяются равенствами (7.16).
Нам понадобятся инвариантные относительно CnG много-
члены не выше седьмой степени:
1, Л3, Л4, Л$, Лд, Л7, Лз, ЛдЛ^, (7.26>
Мы будем строить в основном кубатурные формулы, ин-
вариантные относительно CnG*. Инвариантными относи-
тельно CnG* многочленами не выше седьмой степени яв-
ляются четные из многочленов (7.26):
1, л4, лв, л|. (7.27>
Множество центров Л-мерных граней Сп (как и их
проекций из начала координат на любую сферу с цент-
ром в начале координат) при фиксированном к является
CnG-орбитой. Для вершин — центров 0-мерных граней —
мы уже имели обозначение а(П, см. (7.11). Будем обоз-
начать через bU) проекции на Sn-i середин ребер Спг.
а через с(,) — проекции на Sn-i центров двумерных гра-
ней. В этих обозначениях для простоты записи не от-
мечена зависимость от п.
Рассмотрим вершины
а(1) = (1, 0, 0, ..., 0),
«(2) = (- 1, о, ..о), (7.28>
(з) _( 1 1 l/« + l 1/(«+1)(п-2) п
Введем обозначения проекции на Sn_i середины ребра,.
Ю И. П. Мысовских
446
ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
’Соединяющего точки а(1) и а(2):
У^±1, о, ...,о\
Г 2п ’ ’ ’ / ’
(7.29)
и проекции на 5П_, центра двумерной грани с вершина-
ми (7.28):
M_(l/n~2 l/(» + D (п-2) Г п + 1
“Н Зп ’ V Зп(п —1) » г 3(п — 1) ’
о, ...,о).
(7.30)
Как мы увидим в п. 7.5, центры А-мерных граней Сп
при к = 0, 1, 2, ..., п — 1 лежат в трех гиперплоскостях,
проходящих через начало координат, поэтому при по-
строении кубатурных формул, алгебраическая степень
точности которых более пяти, необходимо привлекать в
качестве узлов орбиты, отличные от центров граней Сп.
Можно, например, брать проекции t-точек ребра на Sn_t.
Рассмотрим t-точку ребра, которое определяется пер-
выми двумя из вершин (7.28): (1 — t)aw + ta<2), 0<t<
< 1/2. Проекцию ее на Sn-t будем обозначать
.6<‘>(t) = (ra7’)-I/2(n-t(ra + l), tV^T, 0, ..., 0), (7.31)
тде
7’==2(n + l)t2-2(n + l)t + n. (7.32)
Точки орбиты CnG(b(1)(t)) будем обозначать b0)(t), j —
= 1, 2, ..., n(n+l).
Множество центров Л-мерных граней Сп не является
орбитой группы CnG*, если оно не центрально-симмет-
рично относительно начала координат. Однако если это
множество объединить с центрально-симметричным к не-
му множеством, то получим СяС*-орбиту.
Для интегралов по Sn-t от инвариантных многочленов
(7.16) справедливы следующие равенства:
J Пк (х) dS = (п +1) J x^dS, к = 3,4,5, ..., п + 1,
®п—1 ®п—1
(7.33)
J nl(x)dS = ц(5п-1)
sn—1
6(п+1)а (n— 1)
п3(п + 4) (п + 2)'
§ 7. ИНВАРИАНТНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
147
Приведем еще значения инвариантных многочленов
(7.16) в точках (7.28)—(7.31) и в центрально-симметрич-
ных с ними точках:
ПА(±а(1)) = (±1)41 + (-i)W-1],
=
= (± 1)*2((п — 1)/(2))*/2[1 + (-l)ft2ft~7(n- I)*”1], (7.34>
я,(±с(1)) = (±l)*3((n —2)/(3n))*/2[l + (-1)АЗл"7(п-2)^],
лк(±Ь(1)(£)) =
- (± l?(nD-ft/2[(n - tin + l))ft + (tin +1) - l)ft +
-Ь (—1)л(п— 1)].
Здесь T определено равенством (7.32).
Инвариантный относительно группы CnG многочлен
не выше второй степени только один:1. В качество
узлов кубатурной формулы возьмем вершины aU) симп-
лекса Сп. Это множество точек является CnG-орбитой.
Для определения коэффициента потребуем, чтобы форму-
ла была точна для 1. Это дает значение коэффициента
ц(5п-1)/(п +1). Кубатурная формула имеет п+1 узлов
и обладает 2-свойством. Число узлов совпадает с нижней
границей из теоремы 3.10. При п = 3 эту кубатурную»
формулу получил С. Л. Соболев [51, а].
Далее будем строить кубатурные формулы, инвари-
антные относительно группы CnG*. В этом случае 1 яв-
ляется единственным инвариантным многочленом среди
всех инвариантных многочленов не выше третьей степени
(см. (7.27)). В качестве узлов возьмем СпС*-орбиту, со-
стоящую из вершин а0) и центрально-симметричных с
ними точек. Значение коэффициента кубатурной формулы
определяется требованием ее точности для 1 и равно
ц(§'п_1)/(2п + 2). Кубатурная формула имеет 2п + 2 узлов
и обладает 3-свойством. При п=^5 эта кубатурная фор-
мула известна [68].
Построим кубатурную формулу, точную для всех мно-
гочленов не выше пятой степени. Инвариантных относи-
тельно CnG* многочленов не выше пятой степени, как
видно из (7.27), два: 1 и л4(#). В соответствии с этим
выберем в качестве узлов две орбиты: CnG*(a(1)) и
CnG*(b(1>). Здесь точки а(1) и Ь(1) определяются соответ-
10*
148 ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
ственно равенствами (7.28) и (7.29). Кубатурная формула
имеет вид
J / (х) ds
5п-1
2
п+1 сп+1
^A^[f (аО->) + / aU))] + в 2 I/ №) + / (- Ь^)].
J =i j=i
Требование точности кубатурной формулы для 1 и
л4(я) приводит к линейной алгебраической системе отно-
сительно А и В. Решая эту систему, найдем
А ----------(7~”)n [A (iSn-i), В
2 (п + I)2 (п + 2) " v’
2(n —1)а
п (п + I)2 (п 2)
X |l(£n—1)*
Мы получили кубатурную формулу, которая при п>4 и
лимеет (п+ !)(» +2) узлов и обладает 5-свойством.
Число узлов несущественно превышает нижнюю границу
п(п +1), которая указана в теореме 9.2.
При п = 7 коэффициент А равен нулю. Кубатурная
формула фактически имеет 56 узлов, что совпадает с
нижней границей из теоремы 9.2. При п = 3 середины
ребер симплекса образуют центрально-симметричное мно-
жество, поэтому число узлов равно 14. Значения коэф-
фициентов таковы: Л=Зл/10, 5 = 4л/15. Получаем из-
вестную кубатурную формулу [2]. Формула известна так-
же при п = 5 [68].
Построим еще кубатурную формулу с 5-свойством,
у которой узлами являются £-точки и центрально-симмет-
ричные с ними точки. Это множество узлов является
С'пС'-орбитой. Кубатурная формула имеет вид
. п(п+1)
I f(x)dS~C 2 [/(5(n(i)) + /(_bO)(t))].
®n—1 >=1
Кубатурная сумма содержит параметры t и С, которые
можно определить требованием точности кубатурной фор-
мулы для инвариантных многочленов 1, л4(я). Находим
. 1 1 /~ "\/~ п + 2 3 г,
г=~2----I/ у 2п-4-2-----4~' ^ТО число вещественно
лишь при п = 3, 4, 5, 6, 7. При п = 7 получаем t —1/2,
§ 7. ИНВАРИАНТНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 149
число узлов равно 56. Эта кубатурная формула получена
выше. При га = 3, 4, 5, 6 имеем С = p,GSn_i)/(2n(n +1)).
Перейдем к построению кубатурной формулы, обла-
дающей 7-свойством. При п>5 имеем четыре линейно
независимых, инвариантных относительно CnG* много-
члена (7.27). В качестве узлов возьмем четыре CnG*-op-
биты, содержащие точки (7.28)—(7.30) и точку (7.31)
при t = 1/4. Запишем кубатурную формулу:
j f (х) dS ~ А 2 If (а(з)) + / (- аО>)] +
8п-1 3-1
2 g
сп+1 сп+1
+ й2 If (№) + !(-№)} +с 2 [/(Со-)) + /(_с(П)1 +
5=1 з=1
' + Dn 2ПI/ (5(3>(1/4))+ / (- (1/4))]. (7.35)
3=1
Требование точности кубатурной формулы для много-
членов (7.27) приводит к линейной алгебраической систе-
ме относительно неизвестных коэффициентов. Для упро-
щения записи системы введем новые неизвестные:
а = 2(n + 1) 4/р1(5п-1), Ъ = п(п + 1)В/и(5Пв1),
с = (п + i)n(n — DC/OjiCSn-i)), d = 2n(n + l)Z?/jx(Sn-1).
В этих неизвестных, с учетом (7.33) и (7.34), система
запишется в виде
(1)
/яч »8 + 1-д | »(«2-4» + 7). ,• » (в2 — 7п + 19) ,
( 43 п + 1а+ 2(« — 1) Ь+ 3(п — 2) +
, » (82п8 — 202»2-f-310» — 174) л З»2
+ (10» - 6)2 *^+2’3
/„ ч »5+1 , »а(»4 —6»® + 16»2 —26»4-31) , .
<".) ^+т« +-----------------------------------Ь +
, »2 (»4 - 11»8 + 51»2 - 131п + 211)
9 (и — 2)2 С +
150
ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
, тг2 (730п5 — 2206п4 + З556п3 — 4636п2 + 5986тг - 3366) л
+* Q . “CL —
(Юге — 6)3
15тг4
(„ + 2)(п + 4) ’
(«э + + +
. п (п — I)2 (28п — 36)2 л_ 6/г (п — 1)
+ (Ю/г-6)3 (тг + 2) (п + 4) ’
Заметим, что линейная комбинация первого, второго
и четвертого уравнений системы соответственно с коэф-
фициентами — га, 1, —1 содержит только одну неизвестную
d. Это позволяет найти d и привести задачу к решению
системы трех уравнений. Эта система оказывается раз-
решимой.
Кубатурная формула (7.35) обладает 7-свойством и
при га>6 имеет (га + 1)(га + 2)(га + 3)/3 + п(п + 1) узлов.
Это число несущественно (на 2(га+1)2) отличается от
нижней границы из теоремы 9.2.
При п = 3, 4, 5 получаем кубатурные формулы, у ко-
торых число узлов соответственно равно 38, 70, 122.
Уменьшение числа узлов происходит по следующим при-
чинам. При п = 3 проекции на S2 двумерных граней цент-
рально-симметричны вершинам, а множество середин ре-
бер центрально-симметрично. При га = 4 проекции на 83
середин ребер центрально-симметричны проекциям на S3
двумерных граней. При га = 5 центры двумерных граней
образуют центрально-симметричное множество. Кубатур-
ные формулы при п = 3, 4, 5 и при п > 6 приведены в
§ 17 (см. формулы 13—16).
При га = 3, 4, 5, 6 можно получить кубатурные фор-
мулы, обладающие 7-свойством, с меньшим числом узлов,
чем в найденных выше формулах. В качестве узлов сле-
дует взять три СпС*-орбиты, содержащие вершины, £-точ-
ки и центры двумерных граней Сп. Значения параметра t
определяются равенством t = 1/2 — 1/C2V8 — га) при ука-
занных га, кроме га = 4 (см. формулы 17—20 § 17).
7.5. Рассмотрим вопрос о построении кубатурных фор-
мул для вычисления интеграла по стандартному симплек-
су Тп (см. § 5) с весом единица, инвариантных относи-
§ 7. ИНВАРИАНТНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
151
тельно группы TnG всех аффинных преобразований Тп
в себя.
Симплекс Тп аффинным преобразованием можно пере-
вести в правильный симплекс Сп. Такое преобразование
определяется преобразованием множества вершин 0 ==
= (О, 0, ...» 0), (бй, бг2, . •бгп), i = 1, 2, ..., и, Тп в мно-
жество вершин а(Я, / = 1, 2, ..п + 1, правильного симп-
лекса Сп. Если, например, 0 а(1), (би, 6i2, ..бгп)
->a(i+1), г==1, 2, ..., п, то получаем аффинное преобра-
зование
Ух — (ai2) — 0 xi + (ai3) — 1) + • • • + (flin) — 1) хп—14-
4~ (flin+1> — 1)^4- 1»
у2 ~ а2^Х1 4“ Я23)Я2 4- ... 4- ^2П^П-1 4“ a2W+1^n,
7/ „(з) । । । „(м-п
Уз — а3 а>2 ”г • • • “г а3 хп-1 -Т а3 ХП)
7, _ пмт , г п(п+1)т
Уп — ап ^n—1 ип
которое будем записывать в матричной форме:
у = Ах + а, а = И, 0, ..., 0J'. (7.36)
Так же, как в п. 7.1, можно определить понятие ку-
батурной формулы для вычисления интеграла по Тп,
инвариантной относительно TnG. Для такой кубатурной
формулы справедлива теорема 7.1.
Линейные формы, определяемые равенствами (7.15),
при аффинном преобразовании (7.36) переходят в мно-
гочлены первой степени:
Му) -» Кп + 1)(1 — Xt — хг — ... — хп) — 11/га,
Mi(y) “* Кп+ !)«< —1]/п, i = l,2,..., га,
и, следовательно, формы лк(у), определяемые равенства-
ми (7.16), переходят в многочлены: л*(у) -* Цй/в* где
Щ (х) =
= 2 l(n + 1) Xi - 1р +[(«+!) (1-хх ... - хп) - 1]\
к = 2, 3, ..., га + 1. (7.37)
Многочлены (7.37) инвариантны относительно преоб-»
разований группы TnG. Нетрудно видеть также, что лю-
152
ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
бой инвариантный многочлен Р{х) группы TnG является
многочленом от многочленов (7.37). Действительно, мно-
гочлен Р(А~\у — а)) инвариантен относительно CnG и,
следовательно, является многочленом от многочленов
лА(#), что равносильно высказанному утверждению.
Как и в § 5, через Тп,и будем обозначать симплекс
с вершинами
(и, и, ..., и), (1 — пи, и, ..., и), (и, 1 — пи, и), ...
..., (и, и, ..., 1 — пи), (7.38)
Точки (7.38) будем считать занумерованными в порядке
их написания числами 1, 2, ..., п+ 1 и будем обозначать
через a(j)(u). Центр симплекса Тп>и совпадает с w =
= (1/(п+1), ..., l/(n+1)) — центром Тп. Нетрудно про-
верить, что вершины TniU лежат на прямых, которые сое-
диняют центр Тп и его вершины.
Легко показать, что множество центров Л-мерных гра-
ней симплекса Тп>и при фиксированном к является TnG-
орбитой.
Выпишем координаты центров ^-мерных граней симп-
лекса Тп;и, & = 0, 1, 2, ..., п — 1. Возьмем грань, которая
определяется точками (7.38) с номерами 1, 2, • •к + 1
как вершинами. Ее центр имеет координаты
k
(sts, ...ts,u,u, (7.39)
где s = [1 — (п — к)и]/(к + 1). Характерным для рассмат-
риваемой грани является то, что среди определяющих
ее вершин имеется (и, и, ..., и). Координаты центров
остальных fc-мерных граней такого рода можно получить
из (7.39), выполняя всевозможные перестановки коорди-
нат. Число таких граней Сп*
Возьмем теперь в качестве вершин грани точки (7.38)
с номерами 2, 3, ..., к + 2. Центр грани имеет коордй-
наты
fe+i
{5, s, ..и, и, ..., и). (7.40)
Число й-мерных граней, среди вершин которых нет точ-
ки (и, и, ..., и), равно Cn+1- Координаты их центров мож-
§ 7. ИНВАРИАНТНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
153
но получить всевозможными перестановками координат
в (7.40). Общее число fc-мерных граней равно
Отметим, что среди координат центров fc-мерных гра-
ней, к = 0, 1, ..., 71—1, симплекса Тп>и имеется точно
две различных: и, 5 (тг > 2). Координаты центра Тп,и
одинаковы и равны 1/(тг+1). Очевидно, что в случае
п>3 центры всех й-мерных граней Тп,и при к =
= 0, 1, 2, ..., п — 1 лежат в трех гиперплоскостях == х2,
х^ = Хз. х2 = х3, проходящих через центр Тп,и. Отсюда
следует упомянутое в п. 7.4 утверждение о расположе-
нии центров всех граней правильного симплекса Сп. Та-
ким образом, выбирая в качестве узлов кубатурной фор-
мулы центры А-мерных граней симплекса Тп, и при раз-
личных и, получим кубатурную формулу для вычисления
интеграла по любому множеству Й с Rn с положительным
весом, алгебраическая степень точности которой не выше
пяти.
Это утверждение верно и при тг = 2, так как вершины
и середины ребер треугольника T2tU лежат на трех пря-
мых 2xt + х2 — 1 = 0, х^ + 2х2 — 1 = б, Xi — х2 = 0, проходя-
щих через центр треугольника.
Чтобы построить кубатурную формулу, алгебраиче-
ская степень точности которой более пяти, мы должны
брать в качестве узлов не только центры граней
но и другие -TnG-орбиты, например, орбиту, содержащую
i-точку ребра, соединяющего первые две вершины (7.38):
Ь(1)(и, £) = (! — £)(и, и, ..., и) + £(1 — пи, и, и, и) =
= (и + £(1 — (п + 1)и), и, и, ..., и).
Для вершин (7.38) симплекса Тп>и уже введено обо-
значение а0)(и). Будем обозначать через ЬиЧи) середины
ребер и через си)(и) —центры двумерных граней Тп,и.
Точки Тпб-орбиты, содержащей Сточку &(1)(u, t), будем
обозначать &(J)(u, t). Для простоты записи в обозначениях
не отмечена зависимость от тг.
Получим кубатурную формулу для вычисления ин-
теграла по симплексу Тп с единичным весом, инвариант-
ную относительно группы ТпСг и обладающую 5-свой-
ством. Инвариантными относительно группы TnG много-
членами не выше пятой степени являются многочлены
(7.37): П2, П3, П4, П5, если п>4, и многочлены 1, П|,
П2П3. Таким образом, имеем семь инвариантных много-
154
ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
членов не выше пятой степени:
1, П2, П3, П4, П2, П5, П2П3. (7.41)
При га = 3 многочлен П5 не входит в (7.37), так что
число инвариантных многочленов не выше пятой степени
уменьшается до шести, а при п = 2 — до пяти.
В дальнейшем поднадобятся интегралы от (7.41):
£ П2 (ж) dx = п (п + 1)2/(п + 2)1,
Тп
[ П3 (ж) dx = 2п (га 4- I)2 (га — 1)/(и + 3)1,
тп
[ П4 (ж) dx — Зп (п + 1)2(3га2 — п 4- 2)/(га + 4)!,
тп
[ П5 (ж) dx = 4n (п + 1)2(га — 1) (Ига2 + 5га + (7.42)
+ 6)/(га + 5)!,
[ П| (х) dx = п(п 4-1)3 (п2 4- 9га 4- 2)/(и 4- 4)!,
тп
J П2 (ж) П3 (ж) dx =
тп
= 2га (га 4-1)3 (и - 1) (га2 4- 19га 4- 6)/(ге 4- 5)!.
При вычислении интегралов используется формула (5.26)
для моментов симплекса Тп. Полезна также формула
J ж®(1 — жх — ... — xn)rdx = (|(Х| “'У!+П)1»
тп
которая доказывается индукцией по г.
Выпишем еще значения инвариантных многочленов в
центрах A-мерных граней, к = 0, 1, 2 и в i-точках ребра
симплекса Тп, и:
Щ (а«> (и)) = (ге 4- (- l)ft raft) ((га 4- 1) и - 1)\
Щ (Ь«> (и)) = 2 (га — 1) 12fc-i 4- (- 1)Й (га - l^-if х
Г (Я + 1)Ц~1 р
х L 2 J ’
(7.43)
§ 7. ИНВАРИАНТНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
155
П* (<*’> («)) = 3 (п - 2) [3"-i + (- 1)* (n - 2)*-i] X
х |- (п + 1Н-1 р,
nft (Ь«> (U, 0) = [((» + 1) t - п)* + (!-(« + !) t)ft +
+ (n-l)] [(п + 1)и-1]\
(7.43)
Расположение узлов искомой кубатурной формулы
следует взять таким, чтобы кубатурная сумма зависела
не менее чем от семи параметров. В качестве узлов возь-
мем центр Тп, вершины симплексов Тп,а и Т„, э и сере-
дины ребер симплекса Тп, т. Кубатурная формула запи-
шется в виде
( / (я) dx ~ Aof (w)+A^,f (aW (а)) +
т„
п+1 (п+1)п/2
Ш/ОЯШС 2 /(^>(у)). (7.44)
5=1 5=1
Кубатурная сумма зависит от семи параметров: Ло, А,
В, С, а, у.
Потребуем, чтобы кубатурная формула (7.44) была
точна для всех многочленов (7.41). Это приведет к не-
линейной алгебраической системе уравнений:
Ао + (п+ 1)(Л + В) + (п+ 1)пС/2 = 1/ге!,
Аа2 + ВЪ2 + (п - 1)Сс2 = 1/(п + 2)1,
Аа3 + ВЬ3 + (п - 3)Сс3 = —2/(п + 3)!,
(п2 - п + 1)(Ла4 + ВЬ4) + (п - 1)(п2 - 4п + 7)Сс4 =
= 3(3и2 — « + 2)/(и + 4)!,
(7.45)
nUa4 + ВЬ4) + 2(га - 1)2Сс4 = (п2 + 9п + 2)/(п + 4)!,
(п2 + 1)(Ла* + ВЬ3) + (к - 3)(п2 - 2п + 5)Сс5 =
= —4(lln2 + 5n + 6)/(n +5)1,
п(Ла’ + ВЬ3) + 2(п - 1)(га - 3)Сс3 =
= -2(га2 + 19п + 6)/(п + 5)1.
156
ГЛ. 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
Здесь а, Ы с — новые неизвестные, которые связаны с не-
известными а, р, Y равенствами
(n+ Da — 1 = а, (п+ 1)р — 1 = &, [ (n + 1)у — 1J/2 = с.
(7.46)
При получении системы (7.45) пользуемся равенствами
(7.42) и (7.43).
Рассматривая четвертое и пятое уравнения системы
(7.45) как линейную алгебраическую систему относитель-
но неизвестных Ла4 + ВЫ и Сс4, найдем эти неизвестные:
АЫ + ВЫ - -(тг - 13)/(п + 4)!, СЫ = 1/(п + 4)!. (7.47)
Аналогично из шестого и седьмого уравнений системы
(7.45) находим
Аа* + ВЫ = 2(п - 27)/(п + 5)!, Сс* - -2/(п + 5)!. (7.48)
Возьмем 2-е из равенств (7.47), (7.48): Сс4 = 1/(тг+4)!,
Сс* = — 2/(п + 5)!. Из них находим
с = -2/(п + 5), С = (п + 5)7116(п + 4)1]. (7.49)
•
Подставим найденные значения с и С во второе и третье
уравнения системы (7.45). Преобразованные второе и
третье уравнения системы и первые из равенств (7.47)
и (7.48) дают следующую систему уравнений:
Ла2 + ВЬ2 = (—и3 - 5га2 + 13га + 73)/14(га+4)П,
Аа3 + ВЬ3 = (га2 - 2га - 31)/L2(ra + 4)!J,
(7.50)
Аа3 + Bbl = —(n — 13)/(га + 4)!,
Аа3 + ВЬ3 = 2(га - 27)/(га 4- 5)!:
Не будем останавливаться на решении этой системы.
С аналогичной системой мы имели дело в § 5, пример 1.
Неизвестные а и Ъ определяются как корни квадратного
уравнения
г2 I. 6га + 22 , ,________8_________Q
(п.+ 3)(п + 5) + (п + 3) (п + 5)
и, следовательно,
а==-2/(га + 3), Ь = -4/(га + 5). (7.51)
Теперь из первых двух уравнений системы (7.50) находим
э 7, ИНВАРИАНТНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
157
A ==-(n + 3)7I16(n + 4)!J, B = (n + 5)7I16(n + 4)!L (7.52>
Наконец, из первого уравнения системы (7.45) найдем
Ао = (п + 1)7132(п + 3)! J. (7.53)
Параметры а, 7, определяющие узлы кубатурной
формулы (7.44), вычисляем с помощью равенств (7.46):
а = 1/(п + 3), 0 = 1/(тг + 5), 7 = 1/(п + 5).
Таким образом, при п > 4 получили кубатурную фор-
мулу с 5-свойством и с числом узлов (п + 2)(п + 3)/2.
При п = 3 инвариантный многочлен П5(я) не являет-
ся базисным, поэтому определяемое им шестое уравнение
системы (7.45) совпадает с седьмым уравнением. Число
уравнений уменьшается на единицу. Если взять значение
с = —1/4, которое определяется первой из формул (7.49)
при п = 3, то все остальные параметры кубатурной фор-
мулы (7.44) можно получить из формул (7.49) и (7.51)—
(7.53), полагая в них п = 3 (см. формулу 9 § 15).
Можно иначе распорядиться выбором свободного па-
раметра, например положить Ло = О. Это приводит к ку-
батурной формуле, у которой число узлов равно 14 — на
единицу меньше, чем в предыдущем случае (см. форму-
лу 10 § 15).
Вернемся к примеру 3 из § 5. В этом примере за
счет трех параметров удается сделать кубатурную фор-
мулу точной для семи линейно независимых одночленов.
Теперь этот факт легко объяснить. Кубатурная формула
из примера 3 инвариантна относительно TnG, при этом
инвариантных относительно TnG многочленов не выше
третьей степени три: 1, П2, П3.
о При написании этого параграфа использован материал из ста-
тей автора [40, ъ, ь, ю, я, г].
ГЛАВА 4
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
Рассматриваются кубатурные формулы с тп-свойством,
у которых узлами являются общие корни некоторого
множества ортогональных многочленов области интегри-
рования и весовой функции.
В § 8 содержатся результаты об ортогональных много-
членах многих переменных: простейшие свойства, тео-
рема об односторонней связи между кубатурными форму-
лами и ортогональными многочленами, ортогональные
многочлены для конкретных областей, аналог теоремы о
корнях ортогональных многочленов от одной переменной,
числовые характеристики ортогональных многочленов от
двух переменных.
В § 9 указана нижняя граница для числа узлов куба-
турной формулы с (2к + D-свойством в предположении,
что область интегрирования и весовая функция обладают
центральной симметрией. Аналогичная оценка получена
также в случае, когда областью интегрирования является
сфера в Rn — множество без внутренних точек.
В § 10 установлены необходимые и достаточные ус-
ловия, при соблюдении которых существует кубатурная
формула с тп-свойством и с числом узлов, равным про-
стейшей нижней границе. Эти условия выполняются всег-
да, если тп = 1 и тп = 2. При тп > 3 кубатурная формула
с таким числом узлов для обычно рассматриваемых об-
ластей интегрирования и весовых функций не существу-
ет, и наименьшее число узлов зависит от области интег-
рирования и весовой функции.
В § 11 речь идет о построении кубатурных формул
с (2к + 1)-свойством, узлами которых являются общие
корни ортогональных многочленов. Наиболее важный ча-
стный случай тот, когда степени рассматриваемых ортого-
нальных многочленов одинаковы и равны к+1, а число
многочленов равно п. Если множество общих корней этих
многочленов состоит из (fc+l)n попарно различных то-
§ 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 159
чек, то эти точки можно взять в качестве узлов кубатур-
ной формулы с (2й +1)-свойством. Подобное утвержде-
ние доказано также в случае, когда число ортогональных
многочленов больше п. Приводятся результаты о куба-
турных формулах, у которых узлы являются общими кор-
нями п ортогональных многочленов степени к +1, но чис-
ло корней меньше, чем (fc + l)n. Кубатурная сумма такой
формулы наряду с значениями функции f(x) содержит
значения ее частных производных в узлах.
В § 12 исследуется метод воспроизводящего ядра, ко-
торый позволяет построить кубатурную формулу с 2А-
свойством и с числом узлов п + кп. Приведена также мо-
дификация метода, когда область интегрирования и ве-
совая функция обладают центральной симметрией. Мо-
дифицированный метод приводит к кубатурной формуле
с (2к + D-свойством и с 2п + кп узлами.
В § 13 приведены дополнительные результаты о ниж-
ней границе для числа узлов, о структуре кубатурной
формулы в центрально-симметричном случае и об интер-
поляционных кубатурных формулах с вещественными уз-
лами и положительными коэффициентами.
§ 8. Ортогональные многочлены многих переменных
Рассмотрим ортогональные многочлены области £2 <= R,r
и веса р(я), неотрицательного в Q. Как всегда, предпола-
гается существование моментов pi = J р (х) ср* (х) dx, i =
Q
= 1, 2, 3, ..., при этом pi > 0.
8.1. Определение и простейшие свойства. Из предпо-
ложений об Q и р(х) снесет, что интеграл
(ф, -ф) = f р (х) ф (х) ijj (х) dx (8.1)
определяет скалярное произведение в векторном про-
странстве многочленов с комплексными коэффициентами.
Рассмотрим многочлен степени А + 1:
х
П*+1(®)+2а«р<(«), (8.2)
1=1
160 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
тде
х = М(п, к),
(8.3)
Hft+1Gr) — заданный однородный многочлен степени & + 1,
<2г- — неопределенные коэффициенты. Обозначением (8.3) Л
будем пользоваться на протяжении всего параграфа. «
Записывая, что многочлен (8.2) ортогонален к одно- j
членам g
<Р1(я), ф2Сг), ..фх(^) (8.4) >
б смысле скалярного произведения (8.1), получим линей- Э
ную алгебраическую систему относительно неизвестных д
коэффициентов ас
X
S (ф«, <Ю) = — (Пй+1, <Pj), 1 = 1> 2, .... X. (8.5) g
Матрица системы является матрицей Грама одночленов i
<8.4), и так как одночлены линейно независимы, то эта 1
матрица неособенная. |
Многочлен (8.2), коэффициенты которого при одно- |
членах степени не выше к определены из системы (8.5), 1
называется ортогональным многочленом степени к +1 |
относительно Q и р(х). Из этого определения ясно, что |
ортогональный многочлен степени к +1 определяется <
однозначно своими членами (&+1)-й степени IIft+i и |
свойством ортогональности ко всем многочленам степени |
не выше к. Очевидно, ортогональные многочлены степе- f
ни к +1 образуют векторное пространство относительно |
сложения многочленов и умножения их на комплексное |
число. |
Приведем простейшие свойства ортогональных много- |
членов.
1. Если коэффициенты ортогонального многочлена при !
старших членах вещественны, то и остальные его коэф- ?
фициенты вещественны. Это свойство следует из вида |
системы (8.5): ее матрица и вектор правой части веще-
ственны.
Ортогональные многочлены вида
х
= + (8.6)
5=1
где a = (ai, a2, ..<Хп) — мультииндекс, удовлетворяющий
условию lal=fc+l, называются основными ортогоналъ- ।
§ 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 161
ными многочленами степени к + 1 области Q и веса р(х).
Число основных ортогональных многочленов степени к + 1
совпадает с числом одночленов степени к +1 и рав-
но М(п — 1, Л+1). Так как коэффициент при одночлене
степени к + 1 многочлена (8.6) равен единице, то основ-
ной ортогональный многочлен является вещественным.
Любой ортогональный многочлен Р(х) степени к +1
есть линейная комбинация с постоянными коэффициента-
ми основных ортогональных многочленов той же степе-
ни. Действительно, выпишем явно члены степени к +1
многочлена Р(х):
Р(«) = 5 bax* + Q(x),
|a|=fe+l
где а — мультииндекс и многочлен Q(x) имеет степень
меньше к+ 1. Очевидно, степень многочлена
7? (х) = Р (х) 2 ЬаРи (х)
|0C|=fe+l
(где Ра(х) — основной ортогональный многочлен) не боль-
ше А: и он, как линейная комбинация с постоянными ко-
эффициентами ортогональных многочленов, ортогонален
ко всем многочленам степени не выше А, в частности ор-
тогонален сам себе:
f р (х) IR (ж) |« dx = 0.
ь
Отсюда получаем R(x) s 0, и утверждение доказано.
Таким образом, основные ортогональные многочлены
степени к +1 образуют базис в векторном пространстве
ортогональных многочленов степени к +1. Размерность
этого пространства равна М{п — 1, к +1).
2. Вещественный ортогональный многочлен Р(х) ме-
няет знак в Q, при этом множество тех точек из Q, в ко-
торых многочлен положителен, и множество точек Q,
где он отрицателен, оба имеют положительную меру. Это
свойство следует из равенства J р (х) Р (х) dx = О, КОТО-
fi
рое выражает свойство ортогональности Р(х) к единице.
Предположим, что ортогональный многочлен Р разла-
гается на множители Р = UV, где U и V — многочлены
соответственно степеней г и $, г > 1, 1. Тогда V явля-
И И. П. Мысовских
162 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
ется ортогональным многочленом области Q и неотрица-
тельного веса pl VI2. В самом деле, так как UV — ортого-
нальный многочлен степени r + s, то он ортогонален к
VQT-c.
[ pVVUQr-idx = О,
Й
где Qr-i~ любой многочлен степени не выше г—1. Это
равенство и доказывает утверждение. Таким образом,
свойства 1 и 2 имеют место для множителей ортогональ-
ных многочленов.
3. Если коэффициенты при одночленах старшей сте-
пени множителя ортогонального многочлена веществен-
ны, то и весь множитель является вещественным.
4. Вещественный множитель ортогонального многочле-
на меняет знак в Q, при этом множество точек Q, где
этот множитель положителен, и множество точек, где он
отрицателен, оба имеют положительную меру.
Отметим также следующее свойство, которое является
следствием свойства 4.
5. Ортогональный многочлен не может иметь вещест-
венных кратных множителей.
Из свойств 3, 4, 5 следует теорема о корнях ортого-
нальных многочленов для п = 1. Действительно, приве-
денный ортогональный многочлен степени к +1 при п =
«1 разлагается на линейные множители, которые явля-
ются приведенными, поэтому по свойству 3 они вещест-
венны, и, следовательно, вещественны их корни. По свой-
ству 4 линейные множители обращаются в нуль внутри
промежутка интегрирования. Из свойства 5 следует, что
нет кратных корней.
Лемма 8.1. Однородный ортогональный многочлен
от двух переменных с вещественными коэффициентами
распадается в произведение попарно различных вещест-
венных линейных множителей.
Доказательство. Однородный многочлен от двух
переменных разлагается в произведение линейных мно-
жителей. Допустим, что среди линейных множителей
имеется ах + by, у которого по крайней мере один из
коэффициентов а или Ъ комплексный и который не сов-
падает с точностью до числового множителя с вещест-
венным линейным множителем. Так как коэффициенты
§ 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 163
ортогонального многочлена вещественны, то среди линей-
ных множителей найдется ах + Ъу. Таким образом, мно-
жителем второй степени ортогонального многочлена яв-
ляется (ax + by)(ax + by), который при всех (х, i/)eR2
равен \ах+Ьу\2 и сохраняет знак в R2. Это противоречит
свойству 4.
Пусть имеются I линейно независимых многочленов
степени к + 1, которые являются линейными комбинация-
ми с постоянными коэффициентами многочленов вида
(8.6), не обязательно ортогональных. Предположим, что
эти I многочленов имеют общий множитель S(x) степе-
ни з, 1 < з < к + 1. Дополнительные к S(х) множители
линейно независимы и имеют степень к +1 — з, поэтому
М(п — 1, к + 1 — з). Отсюда получаем, что I линейно
независимых ортогональных многочленов степени к + 1
не могут иметь общего множителя степени s > 1, если
I > М(п — 1, к + 1 — з). Частный случай этого утвержде-
ния—три линейно независимых ортогональных много-
члена третьей степени от двух переменных не могут
иметь общего множителя второй степени — получил
И. Радон [44].
Отметим еще, что все ортогональные многочлены сте-
пени к +1 не могут иметь общего множителя, отличного
от постоянной, так как М(п — 1, к+1) >М{п — 1, i)
при г = 0, 1, 2, к. Это следует также из теоре-
мы 2.6.
Приведем еще теорему об односторонней связи меж-
ду ортогональными многочленами и кубатурными форму-
лами.
Теорема 8.1. Пусть для Q и р(х) существует куба-
турная формула, точная для всех многочленов степени
не выше тп. Если ее узлы лежат на алгебраической ги-
перповерхности Ог(^) порядка г, то многочлен иг(^) орто-
гонален ко всем многочленам степени не выше тп — г и,
следовательно, г>[тп/2] + 1. В частности, при г =
== [m/2] + 1 и тп нечетном аЛх) ~ ортогональный много-
член Q и р{х).
Доказательство. Утверждение теоремы имеет
смысл при тп > г, и мы считаем, что это условие выпол-
нено. Пусть Q(x) — любой многочлен степени не выше
— г. Тогда многочлен or(x)Q(x) имеет степень не выше
771 и обращается в нуль во всех узлах кубатурной
!!♦
164 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
формулы, поэтому интеграл от него равен нулю:
(<Ъ-, Q) = f Р (ж) <Jr (X) Q(x)dx = 0.
й
Таким образом, многочлен ог(я) ортогонален ко всем мно-
гочленам степени не выше т — г. Это возможно лишь
в случае г > т — г, или 2г > т. Это неравенство равно-
сильно r>[m/2] + l. Если г=[тп/21 + 1 и т нечетно,
то тп — г = г — 1 и о/#) ортогонален ко всем многочленам
степени не выше г — 1. Теорема доказана.
Существование ортогональных многочленов, свойства 2, 4, а
также тот факт, что основные ортогональные многочлены степени
&+1 образуют базис в пространстве ортогональных многочленов
степени &-|-il, доказаны уже в работе П. Аппеля [4]. Свойств 1 и 3
нет в этой и в последующих работах, так как ортогональные много-
члены рассматривались в пространстве многочленов с веществен-
ными коэффициентами.
8.2. Ортогональные многочлены для конкретных об-
ластей и весов. Пусть Q и р(х) обладают центральной
симметрией, при этом центром симметрии является на-
'чало координат (см. § 5, пример 2). Докажем, что в этом
случае ортогональный многочлен Р(х) степени к +1 со-
держит лишь одночлены одинаковой с к +1 четности.
Запишем многочлен в виде PU) = Q(x) + R(x\ где Q(x} —
сумма одночленов Р{х), которые имеют одинаковую с
к + 1 четность, RXx) — сумма остальных одночленов.
Степень Q(х) равна fc + 1, степень R{x) не выше к,
поэтому Р(х) ортогонален R(x):
§ р(х)Р (х) R (х) dx =
й
= J р (х) Q (х) R(x)dx + J р (х) R (х) R (х) dx = 0.
й й
Так как QR состоит из нечетных одночленов, то интеграл
от него в силу центральной симметрии равен нулю, и мы
получаем
[ р (х) | R (х) \2dx = 0.
Й
Отсюда следует, что R(x) ® 0, так что Р = Q состоит из
одночленов одинаковой четности с к + 1.
§ 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 165
Это замечание полезно иметь в виду при построении
ортогональных многочленов для конкретных областей,
в частности для куба и шара, которые центрально-сим-
метричны.
1. Q = Кп — n-мерный куб: Кп = {х е R| — К xt 1,
i=l,2, п}. р(х) = 1.
Нам понадобятся многочлены Лежандра
которые являются ортогональными многочленами отрез-
ка [—1, 1] и веса pit) = 1. Будем обозначать через Pmit)
приведенный многочлен Лежандра:
р (+\ — тУ- -dm (t2 — 1У”
т W - (2тп)! dtm ‘
В таблице 8.1 приведены несколько первых многочле-
нов Pmit).
Докажем, что основной ортогональный многочлен
Paix) степени к+1 куба Кп и веса р(х) = 1 выражается
через приведенные многочлены Лежандра следующей
формулой: ~
Ра (#) == Рау (#1) -Ра2 (^2) • • • Рап (^п)$ (8.7)
где а = (аь а2, .ап) — мультииндекс, |а1=Л + 1, при
этом считаем, что P0(t) = 1.
Очевидно, что старший член многочлена (8.7) равен
ха. Докажем, что (8.7) ортогонален ко всем одночленам
х$, где мультииндекс {J = (fr, р2, ..0П) удовлетворяет
неравенству |£| Имеем
h = f (Ху) Ра% (х2) ... рап (хп) Jdx =
«п
П ~ »
= П \.Pai(Xi)XidXi. (8.8)
г—1 -1
Так как lai =&+!, [£| то найдется такое I, 1^1^
п, что at > Рь Для такого I
1
J Pai(xi)x*ldxi = О
-1
166 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
по свойству ортогональности многочленов Лежандра. Из
(8.8) видно, что Zp = 0, и утверждение доказано.
Отметим очевидное обобщение формулы (8.7). В каче-
стве весовой функции можем взять р{х) = pSxJpzixz)...
...PnUn), где рМ>0 на [-1, И, i = i, 2, ..., и. Основ-
таблиц а 8.1
Приведенные многочлены Лежандра
?2(0 = t* 2-4,
?з(0 = «3-^.
, 10 , 5
+ 2Г*’
. 15 . 5 2 5
^(^ = ^-41^ + 1?* -23Г’
~ , 21 . 105 , 35
Р7 (/) = t — 13 t Н- 143 t — 429
ps (0 - * 15 < + 1з t — 14з г + 1287
ной ортогональный многочлен степени к +1 куба Кп и ве-
са р(х) можно записать в виде Ра (х) = Р1061 (хг) (х2)...
. • • -Рпося («»)» где а = (at, аг, ..а„) — мультииндекс,
I а I = к + 1, Р«(£) — приведенный ортогональный много-
член степени / веса ptlt) и отрезка [—1, 1], Pi0(i) = 1.
2. Q = Тп — «-мерный симплекс: Тп = {ж <= Rn I >0,
х2 > 0, ..жп > 0, Xi + хг +... + хп < 1}, р(ж) = 1. Найдем
основные ортогональные многочлены второй степени,
а именно P200...0U) и Рцо...о(я). Для упрощения записи бу-
дем их обозначать Рм(х) и Ри(ж). Будем искать Р20(ж)
в виде
Р2о(ж) ='х{ + axi + Ь(х2 + ... + хп) + с.
Такая форма записи является следствием симметрии
симплекса.
§ 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 167
Запишем условия ортогональности Р20 к 1, xh х2, при
этом будем пользоваться формулой (5.26):
С М______________
J х ах ~ (|а) +п)Г
тп
Получим линейную алгебраическую систему относительно
неизвестных коэффициентов а, Ь, с:
(п+2)! + (п + 1)! а + (п + 1)! 6 + 7Т °’
6 . 2 | 71 - 1 7 . 1 _ Q
(п + 3)! •’ (п + 2)! (гг + 2)!°“|"(п + 1)! ’
2 . 1 ( 71 , . 1 /ч
(п + 3)! (п + 2)! а-Ь(п+2)! ф(п + 1)!
Нетрудно найти решение этой системы: а = —4/(п + 3),
6 = 0, с = 2/[(п + 2)(п + 3)].
Совершенно так же, записывая Рц(х) в виде
Рц(х) = Xix2 + d(Xi + х2) + е(х3 + я4 +.. • + хп) + /
и пользуясь условиями ортогональности к 1, xlf х3, най-
дем коэффициенты d, е, f.
В таблице 8.2 указаны основные ортогональные мно-
гочлены симплекса Тп и веса р(х) = 1 степеней 1, 2 и 3,
а в таблице 8.3 — основные ортогональные многочлены
треугольника Т2 степеней с первой по пятую. В табли-
це 8.2 выписаны не все основные ортогональные много-
члены, однако невыписанные многочлены легко получить,
если учесть симметрию Тп- Например, основной ортого-
нальный многочлен третьей степени, который начинается
с аф^-при i=^7, получается из Р2ю.^(х) заменой Xi и х2
соответственно на Xi л х$. Аналогичное замечание верно
и по отношению к таблице 8.3.
Из таблиц 8.2 и 8.3 видно, что основные ортогональ-
ные многочлены степени fc + 1, начинающиеся с за-
висят только от одной переменной х^ Докажем, что этот
факт имеет место при любом к = 0,1,2,...
Существует многочлен
/fe+l (Xl) ~ + <hxl + #2^1 1 + • • • + ak-bl9 (8.9)
ортогональный ко всем одночленам 1, xlt х%, ..., х£ (Q =
168 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
= Тп, р(х) = 1) в смысле (8.1), так как их матрица Грама
неособенная. Многочлен (8.9) и является требуемым орто-
гональным многочленом симплекса. Чтобы убедиться в
этом, достаточно проверить, что он ортогонален ко всем
одночленам х“, где 1 сс I < к.
ТАБЛИЦА 8.2
Основные ортогональные многочлены Тп
*1о...о (*) = *1 — и 1 >
, 4 2
*20...о (*) — *1 ~ п + 3 + (га + 2) (п + 3) ’
1 1
* 110...о (*) = *1*2~ га+3 (*1+*г)+ (га + 2) (га + 3) ’
* 30...О (*) — Х1 ~ п + 5х1 + (га 4-4) (га + 5) Х1 ~
6
(га + 3) (га + 4) (га + 5) ’
1 4
* 210...0 (*) = *1*2 ~ га5 *1 ~ га 4- 5 Х1Х2 +
4,2 2
+ (га 4- 4) (га 4- 5) Х1 + (га 4- 4) (га 4- 5) Х2 ~ («4-3) (га-(-4) (га-(-5) ’
1
* 111О...О (*) = *1V3 - Т+Т + Vs + *2*з) +
1 1
+ (га 4- 4) (га 4- 5) (Х1 + *2 + *з) ~ (га 4- 3) (га 4- 4) (га 4- 5) *
Обозначим
Pij = x^x^dx, i, j — 0,1, 2, ..
г»
Справедливо равенство
— п (Plm Pl+l,m), Z, W = 0, 1, 2, . . ., (8.10)
которое легко проверяется с помощью (5.26) для момен-
тов симплекса Тп.
Из равенства (8.10) следует, что многочлен (8.9) орто-
гонален к одночленам Х1®2,где r+s^A:. Действительно,
при s = 0 это утверждение является следствием опреде-
Основные ортогональные многочлены Т2
ТАБЛИЦА 8.3
Xs со и X4 хлу X2?/2 н и* Xs Xf/2 У8 X2 ху У2 X У 1
1 -1/3
20 1 —4/5 1/10
Ри 1 -1/5 —1/5 1/20
Р30 1 —9/7 3/7 -1/35
Рзг 1 —1/7 —4/7 2/21 1/21 -1/105
Рц) 1 -16/9 1 -4/21 1/126
Pt! 1 —1/9 — 1 1/8 1/4 —1/28 —1/84 1/504
Р* 1 -4/9 —4/9 1/36 2/9 1/36 -1/63 —1/63 1/756
Р 50 1 -25/11 20/11 —20/33 5/66 —1/462
^41 1 -1/11 -16/11 8/55 36/55 —4/55 -16/165 2/165 1/330 -1/2310
Р 32 1 -4/11 -9/11 1/55 18/55 9/55 -1/55 —4/55 —1/165 1/220 1/330 -1/4620
170 гл. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
ления многочлена (8.9). Докажем его при s = 1. Полагая
в равенстве (8.10) т = 0, видим, что ортогональность мно-
гочлена (8.9) к Xi — при г = 0, 1, 2, ..., к — 1 влечет
его ортогональность к при тех же г. Полагаем в (8.10)
т = 1 и убеждаемся, что многочлен (8.9) ортогонален к
х[х% при г = 0, 1, 2, ..., к — 2, и т. д. На последнем этапе
полагаем в (8.10) т — к — 1 и убеждаемся, что из ортого-
нальности многочлена (8.9) к (1 — ®i) следует его
ь
ортогональность к х2.
Докажем теперь, что /ft+i(a:i) ортогонален к любому
одночлену степени не выше к. Для скалярного произве-
дения многочлена Д+iUi) и одночлена ха, где <х =
= («1, а2, ..., ап) — мультииндекс, |<хI < fc, справедливо
равенство
|а!-аА а2’аз^ • ’ • ап-
х ) — \fk+l, xi х 2 ) ( । а । _ aj| •
По доказанному выше скалярное произведение в правой
части равно нулю, так что равна нулю и левая часть,
и утверждение доказано.
Заметим еще, что является ортогональным мно-
гочленом веса (1 —и отрезка [0, 1]. Этот факт сле-
дует из того, что последовательность моментов
~ j* %idx = (утрТгуг» Z = 0,1, 2, ...,
Тп
отличается от последовательности
1
](! - О-Ч-й = !-0,1,2.......
О
постоянным множителем (п—1)!
Обозначим через gk+M приведенный ортогональный
многочлен веса tn~l и отрезка [0, 1]. Многочлен от п пе-
ременных
„ gfe+iUi + ^г + ... + ^п) (8.11)
является ортогональным многочленом Тп и р(я) == 1. На
доказательстве этого утверждения останавливаться не
будем.
§ 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 171
Приведем еще формулу, аналогичную формуле Род-
рига для ортогональных многочленов одной переменной:
иа(х) = Р® [«“(1 - X, - ... - хп)'“1],
где а — мультииндекс. При |а| = к +1 эта формула дает
Мп—1, А + 1) линейно независимых ортогональных мно-
гочленов степени к + 1 симплекса Тп и веса р(х) = 1.
Замечательное представление для основных ортого-
нальных многочленов симплекса Тп и веса р(х) = 1 ука-
зали А. Грундман и X. Мёллер [11]:
Ра(х) =
_ V / л\1аЖ₽| (|«| + 1 Р| + п —1)! Jtt (а*!)2 •
' (21 а |п — 1)! *
Здесь суммирование распространяется по всем мульти-
индексам р, удовлетворяющим условию р а, которое
означает 0 < р< < а«, i = 1, 2, ..п.
3. Й — Вп — n-мерный шар: Вп — [х е R” | х| + х| 4-
+ . . .4~Х„ 1}, р(х) = 1. Укажем формулу для моментов:
Здесь а = (а1? а2, ..ап) — мультииндекс, при этом все
аг —четные. Если хоть один из а< нечетен, то ра==0.
В таблице 8.4 приведены основные ортогональные мно-
гочлены шара до четвертой степени включительно, а в
таблице 8.5 — основные ортогональные многочлены круга
до шестой степени.
Можно показать, что имеется основной ортогональный
многочлен, зависящий от одной переменной:
(*^г) “ “Ь bi#i Х*4- 8 -|- •••> i = 1, 2, ..., п,
(8.13)
Здесь uk+i(t) — приведенный ортогональный многочлен
веса (1 — t2){n~i)/2 и отрезка [—1,1]. Имеется также орто-
гональный многочлен вида (8.11), зависящий от xt +
+ х2 + . . . + хп.
172 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Существуют ортогональные многочлены четной степе-
ни специального вида:
и21 (х) = г21 4- С1г2г-2 + е2г21-4 + .. .+cJ_1r2+cz> (8.14)
где г2 = х%+ ... + Хп. Эти многочлены выражаются
через некоторые ортогональные многочлены от одной пе-
ременной, причем многочлены одной переменной опреде-
ляются по-разному в зависимости от того, п четно или
ТАБЛИЦА 8.4
Основные ортогональные многочлены Вп
^10...о (х) ~ xv
Р2о...о W = Х1 ~ /г 2 ’
^ио...о ~ Х1Х2’
п 3
рзо...о w — Х1 ““ п + 4 xv
Р210... .0 = Х1Х2 ““ П + 4 Х2'
^1110...О = Х1Х2Х3'
Р40.. .0 = Х1 п+6 Х1 + (п + 4) (п + 6) ’
о 3
^310. • .0 " Х1Х2 ~~ п + 6 Х1Х2'
Р220...О № = Х1Х2 “ + + 6 (*1 + + (п + 4) (п + 6) ’
^2110.. О = Ф/З ~~ п + 6 Х2Х3'
Р11110...О = ^2^4*
нет. При п четном Uzikx) == где —приведенный
ортогональный многочлен степени I веса ^{п“2)/2 и отрез-
ка [0,1]. При п нечетном U2M = w2M, где w2i(t) — при-
веденный ортогональный многочлен степени 21 веса £п“1
и отрезка [—1, lh
Справедлива формула типа Родрига:
ка(х) = ра (^ + 4 + • • • + 4 - 1)|а|,
ТАБЛИЦА 8.5 '
Основные ортогональные многочлены Вг
X3 х3у 3* и н хл х4у 3* и X4 х3у 5» «* К ху3 X3 хяу ху3 Xs ху У* X У 1
Р10 1
Р 20 1 1 1 —1/4
Р11 1
Ру> 1 —1/2
Рп 1 -1/6
Р 40 1 1 1 1 -3/4 1/16
Рз1 1 -3/8
Pi2 1 1 | —1/8 -1/8 1/48
Р 50 1 —1 1 3/16
ри 1 -3/5 3/80
Р32 1 1 -1/10 —3/10 3/80
Р 60 I1 —5/4 1 3/8 —1/64
Ры 1 | —5/6 1/8 1
Р 42 1 1 1 -1/12 —1/2 1/20 j 1/40 -1/320
PS3 1 1 1 1 —1/4 1 —1/4 3/40 1
174 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
где а — мультииндекс. Многочлены V^kx) при 1<х| = Ат+ 1
образуют базис в векторном пространстве ортогональных
многочленов степени к + 1.
8.3. Ортонормированная система многочленов. К по-
следовательности одночленов {фг (^)}£=i применим процесс
ортогонализации и нормирования Шмидта относительно
скалярного произведения (8.1). Полученную ортонорми-
рованную систему будем обозначать {Fi (я)}£=1, так что
(Fi, Fj) = J р (х) Fi (х) Fj (я) йя = 6ib i, j = 1, 2, ...,
где бу — символ Кронекера. Многочлены ортонормирован-
ной системы определены с точностью до знака, который
фиксируем следующим путем: будем считать, что у мно-
гочлена Ft коэффициент при одночлене ф< положителен.
Рассмотрим матрицу Грама первых N одночленов:
б? [(фг, Ф5)1м=1- Она положительно определенная, по-
этому справедливо представление
С = ГТ, (8.15)
где Г —верхняя треугольная вещественная матрица;
штрих означает операцию транспонирования [57]. Счита-
ем, что диагональные элементы матрицы Г положитель-
ны. Это требование и равенство (8.15) однозначно опре-
деляют матрицу Г.
Матрица Г неособенная, и обратная к ней матрица
является верхней треугольной:
₽и Р12 ₽13 • • • ₽1N
0 022 023 * • ‘ ₽2N
г-1 = 0 0 ₽зз • • 03.V
ООО... f
при этом диагональные элементы положительны. Рассмот-
рим многочлен
Р1г<Р1(#) + р2гф2(*г) + . . . + [Wp*(^), J == 1, 2, . . ., 2V, (8.16)
коэффициентами которого являются элементы г-го столб-
§ 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 175
ца матрицы Г*1. Положим
= [рн, р2<> ..рн, О, .... OF, i = 1, 2,...,N,
так что р(<) есть i-й столбец матрицы Г-1.
Покажем, что многочлены (8.16) образуют ортонорми-
рованную систему. Имеем
t з \ г j
2 Рггфг, 2 I ~ 2 2 PriPej (фг, фа) =
г=1 8=1 / Г=1 8=1
= (Gp(i), р0)) = (ГТр(0, р(П) = (rp(i), Гр0)) =
= (е< Vj)) =
Здесь е(<) — столбец с номером i единичной матрицы по-
рядка N: Таким образом, многочлен (8.16) может лишь
знаком отличаться от многочлена F^x). Так как р«>0,
то эти многочлены совпадают [40, з].
Если известны основные ортогональные многочлены
Q и р(х), то нет надобности ортонормировать одночлены
{фг(о:)}. Целесообразнее ортонормировать основные орто-
гональные многочлены Ра(х), |а|=&+1 при фиксиро-
ванном к, к » 0, 1, 2, ...
Приведем пример построения ортонормированной си-
стемы для круга Въ и веса р(х, у) =4. Основные орто-
гональные многочлены известны (см. таблицу 8.5). Будем
ортонормировать основные ортогональные многочлены
четвертой степени:
Ф1 = Р40 = — Т Ф2 = Р31 = Х*У — 4 ХУ,
Ф3 = ^22 = Х*У* - 4 + У2) +
Ф4 = Лз = ХУ3 - 4 ХУ, Ф5 = Л»4 = У4 - 4 У2 + W
Порядок матрицы G = [(Ф<, Ф^)1Ъ=г равен 5. Чтобы
получить ортонормированную систему многочленов до чет-
вертой степени включительно из одночленов <р<(я, г/),
2, ..., 15, нам пришлось бы иметь дело с матрицей
пятнадцатого порядка. Вычисляя (Ф<, Ф,) по формуле
176 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
(8.1), получим
“ 1 0 -1/3 0 1/5 "
0 1/2 0 -3/10 0
/п» Л vr ~ -1/3 0 19/45 0 -1/3
256 0 — 3/10 0 1/2 0
1/5 0 -1/3 0 1 _
При вычислении скалярных произведений полезно иметь
В ВИДУ, ЧТО ПО СВОЙСТВУ ортогональности (Ф1, Ф1) =
= (Р40, Ло) = (Р40, х4), (Фь Ф3) = (Р40, Р22) « (Р4о, Х2у2),. . .
Из равенства G = ГТ находим верхнюю треугольную
матрицу: “1 0 0 У2/2 - 1/3 0 0 3 1/2/5 1/5 0
г = 0 0 2 у 7/(3 угб) 0 — 2 Т/1б/(5 /7)
16 0 0 0 2 у 2/5 0
_0 0 0 0 8 У 2/(5У 7)
Вычисляем обратную матрицу:
~16/Ул 0 0 32/|л2л 81/10/У7л 0 0 24/У 2л б//14л 0
г-1 = 0 0 24У1б/У7л 0 30 У2/1/7Л
0 0 0 40/У2л 0
0 0 0 0 10 1/7/1/2л _
Столбцы этой матрицы — коэффициенты при основных
тт 17 8 1/10 j) ।
ортогональных многочленах. Например, г 13 = - F40 +
у 7л
+ (8*4 + 24xV - 9х2 - 3z/2 + 1).
Таблица 8.6 содержит многочлены ортонормированной
системы для круга В2 и единичного веса до четвертой
степени.
Рассмотрим частичную сумму ряда Фурье функции
F(x) но системе {Fj (^)}jLi:
M(n,r)
sr (x) — 2 /jPj (#),
J=1
(8.17)
§ 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 177
где fa = p(u)F (и) Fj(u)du—коэффициент Фурье функ-
Q
пии Fix). Подставляя выражение fa в правую часть ра-
венства (8.17), получим интегральное представление ча-
стичной суммы:
Sr(x) == ( р (и) Kr (u, х) F (и) du, (8.18)
Ь
где
Af(n,r)
кг(и,х)= 2 Fj(u)FHx). (8.19>
Функция (8.19) зависит от 2п переменных и" называется
ТАБЛИЦА 8.6.
Ортонормированные многочлены В2
Fi 47^» F2 = == 77=“ ^4 = 77=“ № ~ 1),
1 ул 2 ул 3 ул 4 ул
F^yrxv'
Л д
Fie ys ~ Fsв
=(ж3+3x1,2 ~ж)’ F™=+5г/3 “Зу^’
F . = -А=- (16х4 - 12л:2 + 1), Р,9 = -^2 (^8у - Зху),
хх у л * * 12 ул
F13 = (&? + 24л:У - Эх2 - 3j/2 + 1),
"у 7зт
^14 ~ "Йл7 (Зж8у 5Жг/3 —
^15 = (з®4 + 30л:2г/2 + 35г/4 - баг2 — 30j/2 + 3).
ядром представления частичной суммы ряда Фурье или
воспроизводящим ядром.
12 И. П. Мысовских
178 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Если F(x) — многочлен степени не выше г, то Sf(x) =
= F(x) и из (8.18) получаем
F (х) = J р (и) Kr (u, х) F (и) du. (8.20)
Q
Это равенство объясняет, почему Кг(и, х) называется вос-
производящим ядром.
8.4. Корни ортогональных многочленов. Лемма 8.2.
Если L(x) — многочлен первой степени такой, что На) —
= 0, то многочлен
Ux)Kh(a, х) (8.21)
ортогонален ко всем многочленам степени не выше к — 1.
В частности, если а — общий корень всех ортогональных
многочленов степени к + 1, то многочлен (8.21) является
ортогональным многочленом степени к + 1.
Доказательство. Пусть Q(x) — многочлен степе-
ни не выше к — 1. Убедимся, что интеграл
I = [ р (х) Kk (а, х) L (х) Q (х) dx
а
равен нулю. Так как степень многочлена LQ не выше к,
то по (8.20) 1 = L(a)Q{a) = 0. Первое утверждение леммы
доказано.
Пусть теперь а — общий корень всех ортогональных
многочленов степени к + 1. Тогда Fx+i(a) =0, i = 1,2,...
_.М(п— 1, fc + 1), и, следовательно, по (8.19) Кк(а, х) =
— Kk+i{a, х). Многочлен (8.21) совпадает с многочленом
£(я)Л\+1(а, х), который по первому утверждению леммы
ортогонален ко всем многочленам степени не выше к.
Убедимся, что степень многочлена (8.21) равна & + 1.
Так как этот многочлен ортогонален ко всем многочленам
степени не выше к, то достаточно доказать, что он отли-
чен от тождественного нуля. Пусть а — точка, координа-
ты которой комплексно сопряжены координатам а. Тогда
КкМ = ^ |^(а)|2>0,
i=l
так как F^a) —Л/V Pi — отличная от нуля постоянная.
Лемма доказана.
Общий корень а некоторого множества многочленов
называется простым корнем, если в этом множестве най-
§ 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 17$
дутся п многочленов, матрица Якоби которых в точке а
является неособенной.
Теорема 8.2. Общий корень всех ортогональных
многочленов степени к + 1 является вещественным, про-
стым, принадлежит внутренности выпуклой оболочки Q*
области Q и не является общим корнем всех ортогональ-
ных многочленов степени к.
Доказательство. Пусть а = (аь аг, ..., ап) — об-
щий корень всех ортогональных многочленов степени
к + 1. По лемме 8.2 многочлен
{xi — ai)Kh{a, х), i = l, 2,..., п, (8.22}
является ортогональным многочленом степени к +1. Era
множитель Хг — а{ имеет коэффициентом при старшем чле-
не Xi единицу, поэтому по свойству 3 число af веще-
ственно.
Общий корень а всех ортогональных многочленов сте-
пени к + 1 является простым, так как матрица Якоби
многочленов (8.22) в точке (аь а2, ..., an) — диагональ-
ная, при этом все диагональные элементы одинаковы и
равны Kk(a, а) <¥* 0.
В Rn проведем гиперплоскость Их) через точку а. Па
лемме 8.2 многочлен L(x)Kk(a, х) является ортогональным
многочленом степени £ + 1. По свойству 4 его веществен-
ный множитель Их) меняет знак в Q. Таким образом,,
любая гиперплоскость Их), проходящая через а, рассека-
ет Qi — выпуклую оболочку Q. Отсюда следует, что а яв-
ляется внутренней точкой
Точка а не является общим корнем всех ортогональ-
ных многочленов степени к, так как степень многочлена
(8.22) по лемме 8.2 равна А + 1. Теорема доказана.
Теорема 8.2 показывает, что не существует общега
корня у всех ортогональных многочленов двух соседних
степеней, а общие корни всех ортогональных многочле-
нов степени к + 1 вполне аналогичны корням ортогональ-
ного многочлена в одномерном случае. Обозначим через
v число общих корней всех ортогональных многочленов-
степени А + 1. Для обычно рассматриваемых областей и
весов v = 0. Известны также случаи, когда v = l. Если
Q и р(х) обладают центральной симметрией, то центр сим-
метрии, как мы видели в п. 8.2, является корнем всех
ортогональных многочленов нечетных степеней, и, следо-
12*
180 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
вательно, среди ортогональных многочленов заданной
четной степени найдутся такие, для которых центр сим-
метрии не является корнем.
По теореме 2.6 число у общих корней многочленов вида
(8.6), не обязательно ортогональных, не более х, при
этом общие корни налагают независимые связи на гипер-
поверхность порядка к. В рассматриваемом случае, когда
(8.6) — ортогональные многочлены, эти утверждения мож-
но получить непосредственно, не пользуясь теоремой 2.6.
Если а и Ъ — различные общие корни всех ортогональ-
ных многочленов степени к + 1, то
х
2 ЗД)ВД = 0. (8.23)
i=l
Пусть, например, Многочлен (xi — а1)2?л(а, х)
по лемме 8.2 является ортогональным многочленом сте-
пени &+1. Записывая, что Ъ является его корнем, полу-
чим (Ь4 —Ь) = 0, откуда и следует (8.23).
Предположим, что ж(<), г = 1, 2, ..., у,— общие корни
всех ортогональных многочленов степени Л + 1. Тогда
матрица
[Л (x(i)), FK (x(i))]V=1 (8.24)
вещественная, ее первый столбец состоит из ненулевых
элементов 1/V pi й по (8.23) строки ортогональны. Отсюда
следует, что строки линейно независимы и, значит, у < х.
Линейная независимость строк матрицы (8.24) означает,
что точки x{i) налагают независимые связи на гиперпо-
верхность порядка к. В случае у = х матрица (8.24) не-
особенная, а это равносильно тому, что точки x{i\ я(2),....
...,я(х) не лежат на алгебраической гиперповерхности
порядка к.
Общие корни всех ортогональных многочленов степе-
ни к +1 вполне аналогичны корням ортогонального мно-
гочлена степени &+1, в случае в»1. Если число у об-
щих корней максимально: у = х, то для Q и р(х) суще-
ствует кубатурная формула гауссова типа с (2к+ 1 ^свой-
ством, узлами которой являются эти общие корни. Теоре-
ма о существовании кубатурной формулы гауссова типа
будет доказана в § 10.
Так как для обычных областей и весов все ортого-
нальные многочлены степени к +1 не имеют общих кор-
§ 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 181
ней, то можно рассмотреть общие корни $ ортогональных
многочленов степени к + 1 при s < М(п — 1, к + 1).
Считаем также, что $ > п, так как в противном
случае число общих корней s многочленов бесконечно.
Остановимся на случае $ = п.
Возьмем п линейно независимых ортогональных мно-
гочленов степени к +1, которые не имеют среди общих
корней бесконечно удаленных, например, основные орто-
гональные многочлены, у которых старшими членами яв-
ляются Xi :
Ра(Ж) = 4+1 + Qa (х), i = 1, 2, ..., п, (8.25)
где а — мультииндекс, у которого отлична от нуля только
z-я координата, равная к +1. Отсутствие бесконечно уда-
ленных корней гарантирует, что число общих корней
конечно (см. теорему 2.11) и по теореме Безу равно
(А + 1)п. Разумеется, некоторые корни могут оказаться
кратными.
Как мы видели в п. 8.2, для куба, симплекса и шара
в случае единичного веса основные ортогональные много-
члены вида (8.25) зависят только от одной переменной,
и, следовательно, число их общих попарно различных кор-
ней равно (А + 1)п и эти корни вещественны. В случае
куба общие корни основных ортогональных многочленов
вида (8.25) лежат внутри куба. В случае симплекса и ша-
ра это обстоятельство не имеет места. Основные ортого-
нальные многочлены второй степени треугольника Т2 —
х2 — 0,8# + 0,1, у2 — 0,8у + 0,1 — имеют общий корень, ко-
торый не принадлежит Т2. Для круга В2 основные орто-
гональные многочлены третьей степени вида (8.25) имеют
четыре общих корня, которые принадлежат границе В2,
а основные ортогональные многочлены четвертой степени
имеют четыре общих корня, которые не принадлежат В2.
Конечно, многочлены вида (8.25) не являются единствен-
ными, которые приводят к попарно различным и веще-
ственным корням.
Выскажем следующую гипотезу. Каковы бы ни были
О и р(#), удовлетворяющие указанным в начале настоя-
щего параграфа условиям, найдутся п ортогональных мно-
гочленов степени /с+1 таких, что они имеют (А + 1)п
попарно различных вещественных общих корней.
182 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Заметим, что основные ортогональные многочлены ви-
да (8.25) зависят от выбора системы координат. Они мо-
гут иметь среди общих корней комплексные, и число
различных общих корней может быть меньше (& + !)".
Рассмотрим треугольник Т2. Его основные ортогональные
многочлены третьей степени вида (8.25) в координатах
(ж, у) зависят от одной переменной (см. таблицу 8.3) и
имеют девять попарно различных вещественных общих
корней. Положение треугольника в системе координат
(ж, у) дано на рис. 8.1. Основные ортогональные много-
члены третьей степени вида (8.25) того же треугольника
в системе координат (и, v) (рис. 8.2) таковы:
п3 - (ЗУТ/7)ш> + (l/7)u, v3 - (6У2/7)у2 + (3/7)р - V2/35.
Эти многочлены имеют девять попарно различных общих
корней, но два из них имеют комплексные координаты.
Переход от координат (х, у) к координатам (u, v) яв-
ляется ортогональным преобразованием координат:
и —ах —by, v = bx + ay, а2 + Ь2 = 1, (8.26)
которое мы получаем при а = ¥2/2. Основные ортогональ-
ные многочлены треугольника в координатах (и, и) явля-
ются функциями параметра а, который определяет орто-
гональное преобразование (8.26): Р3о(я, Щ и), Р^{а,щ и).
Число общих корней этих многочленов при а = ¥2/2 и
а = 1 равно девяти, при этом в первом случае среди об-
щих корней имеются два комплексных, во втором — все об-
щие корни вещественны. Отсюда следует, что при некото-
§ 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 183
ром значении а = а0, У 2/2 < а0 < 1, два вещественных корня
сольются в один и многочлены Рзо(«о, и, у), Роз(ло, », v)
будут иметь только восемь попарно различных веществен-
ных общих корней*). Положение треугольника отно-
сительно координатной системы
(и, у), которая соответствует
значению параметра а = а0, К
изображено на рис. 8.3. I X.
До сих пор под корнями ор- 1 X.
тогональных многочленов степе- 1 Х^
ни к +1 мы понимали точки \ X.
пересечения гиперповерхностей, \ X.
определяемых этими многочле- ] __________________
нами, при этом число точек пе- q]’ сГ^и
ресечения должно быть конеч- । 9
ным, и поэтому среди ортого- рис. §.з.
нальных многочленов должно
быть не менее п линейно не-
зависимых. Будем теперь говорить о корнях одного ортого-
нального многочлена степени к + 1.
Корень ортогонального многочлена первой степени в
случае п = 1 есть вещественное число — точка в R1.
В многомерном случае (га > 2) корень ортогонального мно-
гочлена первой степени с вещественными коэффициента-
ми есть гиперплоскость в Rn. При п = 1 ортогональный
многочлен любой степени имеет корни той же природы,
что и ортогональный многочлен первой степени,— точки
из R1. При п > 2 ортогональный многочлен степени к +1,
где к > 1, не обязательно разлагается в произведении ли-
нейных множителей, поэтому геометрическое изображение
корней ортогонального многочлена п переменных при
п>2 гораздо богаче, чем в случае п=1. Если степень
к + 1 ортогонального многочлена — четное число и опре-
деляемая им гиперповерхность в Rn распадается на
{к + 1)/2 замкнутых поверхностей — овалов, то эти овалы
будем считать еще одним видом корней. Собственно гово-
ря, овал, в отличие от гиперплоскости, изображает два
корня ортогонального многочлена.
м *) Приближенное значение а0 = 0,991957 вычислено в диплом-
ной работе О. А. Стояно, выполненной в Ленинградском универ-
ситете в 1970 г.
184 гл. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Мы уже видели, что в случае куба, симплекса и шара
при единичном весе ортогональные многочлены вида
(8.25) распадаются на к + 1 линейных множителей — име-
ют к +1 корней типа гиперплоскости. Для этих корней
справедлива теорема разделения: между любыми сосед-
ними корнями ортогонального многочлена (к + 1)-й сте-
пени имеется точно один корень соответствующего орто-
гонального многочлена степени к.
Ортогональные многочлены (8.14) шара и единичного
веса степени 21 имеют I корней типа овала. Роль овалов
играют поверхности сфер с общим центром в начале ко-
ординат и радиусами, меньшими единицы. Конечно, ова-
лами не всегда являются поверхности сфер. Ортогональ-
ный многочлен четвертой степени для квадрата
Ло + 55 Лг + Ли = + 55 Х*У2 + у4 — 385 (*2 + У2) +
определяет на вещественной плоскости R2 кривую, кото-
рая распадается на два замкнутых куска, принадлежащих
квадрату, при этом один
кусок содержится внутри
другого (рис. 8.4).
Если ограничиться кор-
нями типа гиперплоскости
и типа овала, то не вся-
кий ортогональный много-
член будет иметь корни.
Однако есть основания на-
деяться, что найдется ор-
тогональный многочлен
степени к +1, который в
случае к +1 четного име-
ет (&+D/2 корней типа
овала, а в случае к +1 не-
четного имеет один корень
типа гиперплоскости и к/2 корней типа овала, при этом
для корней типа овала имеют место утверждения, анало-
гичные теореме о разделении корней.
Теорема 8.2 доказана автором в [40, н, щ]. Гипотеза о корнях
ортогональных многочленов сформулирована в [40, у], там же
высказаны предположения о корнях типа овала у ортогональных
многочленов.
§ 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 185
8.5. Числовые характеристики ортогональных много-
членов. Результаты настоящего пункта относятся в основ-
ном к случаю двух переменных, которые будем обозна-
чать х и у. Основные ортогональные многочлены степени
к области Q cz R2 и веса р(х, у) будем обозначать
Pi = x^if + Qi(x, у\ i = 0,1,2,..к. (8.27)
Это обозначение отличается от принятого в (8.6) тем, что
мультииндекс (к — г, i) заменен индексом i.
С помощью основных ортогональных многочленов
(8.27) определим числа
= “2 JУ Р j-1 — 2Р+ Рi-lPЛ-1] dx dy^
Q
= 1, (8.28)
которые назовем числовыми характеристиками ортого-
нальных многочленов степени к области Й и веса р(х, у).
Считаем, что fc>2. Числа аъ- образуют симметрическую
матрицу {к— 1)-го порядка
А = IMiJ-li. (8.29)
Рассмотрим вопрос об изменении основных ортого-
нальных многочленов (8.27) и чисел (8.28) при аффинном
преобразовании координат
(8.30)
у «= уи + бр,
причем А = об — 0.
Пусть имеется некоторая функция f(x, у) от перемен-
ных х и у. Будем пользоваться обозначением
/(и, р) = f(au + рр, 7» + 6у)
и говорить, что f получена преобразованием (8.30) из /.
Область Й в новой системе координат будем обозначать
й. Многочлены ЛвЛ(», v), i = 0,1,2,...,А, полученные
из основных ортогональных многочленов (8.27) преобра-
зованием (8.30), очевидно, являются линейно независи-
мыми ортогональными многочленами степени к области
й и веса р(я, у).
186 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Основные ортогональные многочлены в новых пере-
менных будем обозначать звездочкой:
Р* = ик~'^ + Q* (и, v), i = 0,1, 2, ..., к. (8.31)
Ясно, что многочлен Р* можно получить в виде линейной
комбинации с постоянными коэффициентами многочле-
нов Pj. Проверим, что
Pi*Afe = (6-₽P)ft_i(aP-'v)i, i = 0,1, 2, ...,к. (8.32)
Здесь мы пользуемся символической записью. Двучлены
в правой части (8.32) следует возвести в степени, выпол-
нить умножение по обычным правилам алгебры и после
этого степени Рг заменить на Рг.
Имеем
(8-рР)к-1(а.Р-уУ =
= Crk-i8k~i~r (- P)rPr 2 Ci ai-8Pi-s(- у)8. (8.33)
r~Q 8—0
Чтобы убедиться в правильности представления (8.32),
докажем, что члены степени к в (8.33) сводятся к
С этой целью подставим в (8.33) вместо Pr+i~s ==
= Pr+i-s старшие члены многочлена
Pr+i-s = (an + pp)ft“r“f+s(7u + 8v)r+i~s + Qr+i-s.
Получим
2 CU6ft-i'"r (- P)r (a« + №к~1~г (yu + 8v)r x
r=0
X 2 Cl a*-8 (- y)8 (au + P^)8 (yu + 6p)i-s =
3=0
=(6 (au-J-pv)—p (yu+ 6v)]ft[a (yu + 6r) — у (au + Рр)Г =
= (uA)ft-i(pA)i = uft-VAft.
Представление (8.32) доказано.
§ 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 187
Основные ортогональные многочлены (8.31) в новых
переменных определяют числа
4 = у J f p[Pt+iP*-i ~ 2Рг*Р* + P^P’+J dudv,
а
ij = l, 2,
В этом равенстве заменимР*+г ^*, Р*_х по формулам
(8.32), а Pj+ъ Pj, Pj-i — по формулам
Р* Afe = (6 - j (aS - y\, j = 0,1, 2, ..., fc.
Введение нового символа S, который также обладает
свойством Sr = Pr, г = 0,1,2,..., А, вызвано тем, что сте-
пени Рг имеют смысл лишь при 0 г к. Получим
Й* А ft = у Jf Р [(6 - рРУ’^1 (аР - ?)i+1 (6 - pS)ft~H1X
S'
X (aS - у)'"1 - 2 (6 - pP)ft-{ (aP - уУ (б - pS)ft--’’ x
X (aS - уУ + (6 - ₽P)ft-i+1 (aP - тУ’1 (6 - pS)fe~;-1 x
X (aS — y)?+1] du dv =-j J J р(б — p?)ft-1~1 (aP — y)’~1X
S'
X (6 - pS)fe-i-1 (aS - уУ'1 a2 (P - sydu dv.
В последнем интеграле перейдем к переменным хну
по формулам (8.30):
4 д2* =
= 4 IA I J f р (б - рру-*-1 (aP - тГ1 (б - psy-'-1 х
а
X {aS - уУ~1 (Р - S)*dx dy. (8.34)
Введем многочлен степени к — 2 от одной переменной f.
rf(t) = (б - pf)'-<-‘(at - =
=Гц + r(it + rist2 +... + n,k-j/*-2, i = l, 2, к — 1,
и вектор-столбец, компонентами которого являются коэф-
фициенты этого многочлена:
гг= [ril? ri2, ..., i]z, i = 1, 2,..., к — 1. (8.35)
188 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Пользуясь этими обозначениями, перепишем (8.34) в виде
41 д i2*-1 =
== 4- Иpri (Р) г>(S) (р2 ~2PS+52) dx dy=
fe-1 k—1 k-1 /г-1
-22 ruPt 2 Г jmP m + 2 rilPl-l S TjrnPm+i
Z=1 Z—1 m=l
dx dy =
= p i 2iPiPm 4“
Z,m=l ‘ q
h—1
+ Pl^Pm+^dxdy = 2 aimTurim.
l,m~l
Если принять во внимание (8.29) и (8.35), то получим
at | А У*-' = (An, п), i, j = 1, 2, ..к - 1. (8.36)
Из (8.36) следует, что свойство чисел (8.28), выражае-
мое равенством А = 0, где 0 —нулевая матрица, или, что
то же, равенствами
ац == 0, г, j' = 1,2,..., к — 1,
является инвариантом аффинных преобразований.
Обозначим через В и С матрицы порядка к — 1, эле-
ментами которых являются соответственно числа а?, и
(Ап, п). Введем еще матрицу
fl = ku,rai, ..., rft-i Jilt
столбцами которой являются векторы (8.35).
Так как С = R'AR, то из (8.36) получаем
|Д|2^‘В = Я'ЛЯ. (8.37)
Можно доказать, что определитель матрицы R выражает-
ся через Д по формуле
D{R) =
§ 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 189
я, следовательно, матрица R — неособенная. Из (8.37) сле-
дует, что ранги матриц А и В одинаковы, так что ранг А
является инвариантом аффинных преобразований. С по-
мощью (8.37) получаем также равенство
|A|*2-iD(B) = Z)(4),
связывающее определители матриц А и В.
Рассмотрим многочлены
P'-ty-Ptx, 1=1,2,к, (8.38>
степени не выше к и выясним условия, при которых они
ортогональны ко всем многочленам степени не выше
к—1. Так как многочлены (8.38) ортогональны ко всем
многочленам степени не выше к — 2, то для их ортого-
нальности ко всем многочленам степени не выше к — 1,
необходимо и достаточно, чтобы они были ортогональны
ко всем одночленам степени к — 1, т = 1, 2, ...
..., к, другими словами, чтобы числа
Ут “ f f Р [Р1-1У — Pi*] xh~mym~4x dy,
q
I, m = 1, 2, ..., k,
были равны нулю.
Из свойства ортогональности Ра получаем
Ут “ f f р \Р 1—1Рт — PiPm-i\ dxdy, l,m = i,2, ..., к.
Q
(8.39>
Так как yim — —ymi, то числа yim образуют кососимметри-
ческую матрицу Г порядка к: .
Г = (8.40>
Таким образом, чтобы многочлены (8.38) были орто-
гональны ко всем многочленам степени не выше к — 1,
необходимо и достаточно, чтобы матрица Г была нулевой.
Мы докажем, что условие Г =0 равносильно условик>
Л =0.
Сопоставляя (8.28) и (8.39), получаем
= К J+i— 7*+!, h i, } = 1,2,..., к — 1. (8.41 >
Из этих равенств видно, что Г =0 влечет А =0.
190 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Предположим, что А = 0, и докажем, что Г = 0. Так
как Г — кососимметрическая матрица, то достаточно до-
казать, что Yim = 0 при I < т. Имеем
ТМ+х = J j Р [Pi-iPi+i — Л] dx dy = an = 0. (8.42)
Q
Остается доказать, что Yim = 0 при m — I > 2.
Из (8.41) получаем
'Ю+1 = Ъ+м при i, у = 1,2,..., Л-1.
Пользуясь этим соотношением, находим
Yim ~ т—1 ~ • • • = Yl+9» m~q, (8.43)
где q = [(m — Z)/2J — целая часть (тп ~ Z)/2. Если т — 1 чет-
ное, то т — q = 1 + q = о и из (8.43) получаем Yim = Y™ == 0.
Если т — 1 нечетное, то т — q — 1=/ + д = оииз (8.43) и
<8.42) ПОЛучаеМ ^т = 1аа+1 = 0.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 8.3. Три следующих утверждения равно-
сильны',
1) Многочлены (8.38) ортогональны ко всем многочле-
нам степени не выше к — 1.
2) А =0.
3) Г=0.
Положим
Ти = j J Р - Р*гР*-1] dxdy, i,j = 1,2, к,
й
где Р? —основные ортогональные многочлены (8.31).
Справедливы аналогичные (8.36) равенства
ууЛ2&-2 sign Д = (Гр{, Pj), i, j = 1, 2, ..., к, (8.44)
тде р« = [рн, р», ...» р»]' —вектор коэффициентов много-
члена p,(t) степени к — 1:
p,(t) = (б — pt)M-i(ai — Tf)'-1, i = 1, 2,..., к.
Из (8.44) нетрудно получить, что ранги матриц Г и П =
= [у уj=i одинаковы и справедливо равенство
д *<*-*> (sign Д)*Д(П) = О(Г).
§ 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 191
Рассмотрим матрицу размера (к + 2) X (к + 1):
О О -|
о о
Г~У
о
о
а
о
L ъ0
х О
-т I/ х
О
а
о
*2
Ь2
~~ У
ak—l
Ьк-1
X
ак
h J
(8.45>
получается вычеркивание
о
о
О
о
о
%
Минор этой матрицы, который
ем последней строки, можно записать в виде многочлена
от х и у:
— у х О
О —у х
О 0 ... — у х
а1 а2 • • ah-l ak
= (— l)ft (aoxh + а^х^у + ... + aAyfe). (8.46>
Обозначим через у) минор матрицы (8.45), кото-
рый получается вычеркиванием i-й строки при i= 1, 2,.. -
..., к:
(ж, у) =
— у х О-
О ~ у х>
О • • •
О . . •
О • • •
о
о
— У х О- •
— у
— У
X' • •
X'
о
о
о
о • •
%
а1 а2
\ Ь2
аг—1
bi-l
ai
аг+1
bi+l
-г у X
ah
ь*.
(8.47>
определи-
Воспользуемся теоремой
тель у) по минорам порядка г первых г столбцов:
у) = (—l)i+ftx
— у X
— У х
Лапласа и
разложим
— у X
— У х
X
— у х
ао ai • • • ai-i
У х
Ъг Ьг+1 ’ • * Ък
492 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Каждый из определителей в этом равенстве запишем в
виде многочлена по формуле (8.46) и умножим обе части
полученного равенства на у’:
у) =
=» (— l)1"1 {(а0?“х 4- а^'2у + ... + ai-i!/1-1) X
X + bi+1xh~i~1yi+1 +...+ bhyh) -
— (Ьохг 1 + btxx 2у + ... + bi—1уг x) (a,iXk гуг -f-
+ + ... + aftj/ft)}.
Нетрудно видеть, что это равенство можно записать в
виде
#♦<(«, у) =
— (^l)i-1{(aoa:i_1 + а^~2у +... + ai-ty{~l)g(x, у) —
— (box1-1 + btx^y +... + bi-ty^fix, у)}, i = 1,2, ..к,
(8.48)
тде
f(x, у) — а<>хк + а^~1у + агж*_2уг +... + акук,
g(x, у) = + Ь^'у + Ьгя^~*у* +... + Ькук.
Будем пользоваться представлением Безу для резуль-
танта многочленов [56]. Результант многочленов от одной
переменной f(x, 1) и g(x, 1) равен определителю, состав-
ленному из коэффициентов многочленов (—l)i_‘i|)4(a:, 1),
i = 1, 2, ..., к. Это утверждение следует из равенств
<—1)<_1ф4(ж, 1) = (aoxi-1 + а^~г +.. . + at~i)g{x, О —
— + Ьгж""2 +... + Ь4_4)/(ж, 1), i = 1, 2,..., к,
которые мы получим, полагая в (8.48) у = 1.
Лемма 8.3. Если многочлены
f(x, у) — + atx^~*y +... + акук,
g(x, у) = + btxp-'y +... + М*
§ 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 193
не имеют общих корней, отличных от (0, 0), то многочле-
ны фДя, у\ г = 1, 2, ..., к, определяемые равенствами
(8.47), линейно независимы.
Доказательство. Из предположения леммы сле-
дует, что многочлены fkx, 1), g(x, 1) не имеют общих
корней, поэтому их результант R отличен от нуля. Опреде-
литель, составленный из коэффициентов многочленов
фДх, 1), & = 1,2, к, может лишь знаком отличаться
от R, поэтому многочлены 'фДя, у) линейно независимы.
Теорема 8.4. Чтобы все ортогональные многочлены
степени к области Q и веса р(х, у) имели максимальное
число = к(к+ i)/2 общих корней, необходимо и доста-
точно, чтобы числовые характеристики ортогональных
многочленов степени к равнялись нулю.
Доказательство. Необходимость. Восполь-
зуемся теоремой 10.1, которая будет доказана в начале
десятого параграфа. Если ортогональные многочлены сте-
пени к имеют общих корней, то существует кубатурная
формула
f f Р (*, у) ф («, у) dx dy =* 2 Qq> (х}, у}), (8.49)
Q j=l
у которой эти общие корни являются узлами и которая
имеет (2А — 1)-свойство. В силу (8.28) at} является интег-
ралом по Q от произведения р(х, у) на многочлен, кото-
рый обращается в нуль в узлах кубатурной формулы
(8.49). Так как степень этого многочлена не выше 2к — 1,
то формула (8.49) для него точна и, следовательно, ац = 0.
Необходимость доказана.
Достаточность. При доказательстве достаточно-
сти мы будем пользоваться ослабленной гипотезой о кор-
нях ортогональных многочленов: существуют два ортого-
нальных многочлена F и G степени к, которые имеют
точно кг попарно различных общих корней
(xf, у}), 7 = 1, 2, ..., к\ (8.50)
Многочлены F и G являются линейными комбинациями
с постоянными коэффициентами основных ортогональных
многочленов (8.27):
F = а0Р0 + + ... + акРк, G = Ъ0Р0 + +... + ЬкРк.
(8.51)
13 и. п. Мысовских
194 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Так как числовые характеристики равны нулю, то по
теореме 8.3 многочлены (8.38) ортогональны ко всем мно-
гочленам степени не выше к — 1 и, следовательно, спра-
ведливы равенства
Р1-1У - PlX = cIOPo + CtlPi + .. . + ClkPk, l = i, 2, ..к.
Положим в этих к равенствах и равенствах (8.51) (ж, у) =
= (^5, где (xj, у,) — общий корень многочленов F и G.
Получим
(«Ю — y^P^Xj, У;) + (си + xJP^Xj, У)) +
+ с,2Р2(хл у,) +... +с1кРк(х}, У)) = 0.
CioPo^Xj, у{) + (с21 — yJP^Xj, yj) +
+ (с22 + х})Рг(х}, г/Р + ... + c2kPk(.Xj, у}) = 0,
CfeoPo(*«b У;) «klPl(*«j, Ур
+ Ck2P2(Xj, ys) + . .. + (ckk + Xj)Pk(Xj, yj) = 0,
aoPotxj, y^ + aJ^Xj, y,) +
+ aJPiixj, yi) + ... + aJPk(xj, y^ = 0,
baP0(Xj, у,) + biP^Xj, yj) + b2P2(x}, ys) + ... + bkPk(xj, ys) = 0.
Эти равенства при фиксированном / можно рассматри-
вать как однородную линейную алгебраическую систему
к + 2 уравнений с к +1 неизвестными Р0(ж3-, ур, ...
..Pk(.Xj, у}) и матрицей
сю - У) Cll + Xi С12 clh
С20 C21~yj сЧк
СМ chl СЙ2 ckk + xi
“о а1 а2 ak
- ьо 61 62 bh
(8.52)
Докажем, что ранг этой матрицы равен к +1 по меньшей
мере при Xi = к(к + 1)/2 значениях /. Отсюда будет сле-
довать, что при этих значениях j система имеет только
§ 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 195
нулевое решение; другими словами, Ро(^, &•), •••, j/P
будут равны нулю по меньшей мере в точках. Это озна-
чает, что не менее Xi из точек (8.50) являются общими
корнями основных ортогональных многочленов (8.27). По
теореме 2.6 отсюда получаем, что число общих корней
многочленов (8.27) равно х4.
Рассмотрим миноры порядка k + i матрицы (8.52), ко-
торые получаются вычеркиванием i-й строки, & = 1, 2, ...
..., к. Каждый такой минор представляет собой значение
в точке (xh уз) многочленов Ч'Дя, у) степени к— 1. Стар-
шие члены многочленов Ч^Сг, у) совпадают с многочле-
нами ^(ж, у), которые определяются формулой (8.47).
Так как среди общих корней многочленов (8.51) нет
бесконечно удаленных, то их старшие члены
/ = aQxk + а^-'у + ... + аку\ g = boxh + b^-'y + ... + bkyk
не имеют общих корней, отличных от (0, 0). По лемме 8.3
многочлены у) линейно независимы и, следователь-
но, образуют базис в векторном пространстве всех одно-
родных многочленов степени А —1.
Таким образом, если в некоторой точке (xh у^) все к
миноров обращаются в нуль, то это равносильно тому,
что точка (xj, Уз) является корнем всех многочленов
TfCr, у), г = 1, 2, ..., к, у которых линейная оболочка
старших членов совпадает с векторным пространством
всех однородных многочленов степени к — 1. Из теоре-
мы 2.6 и замечания к ней следует, что число точек (8.50),
в которых все к миноров матрицы (8.52) обращаются в
нуль, не более к{к —1)/2. Но тогда число точек (8.50),
в которых хоть один минор (Л + 1)~го порядка отличен от
нуля, не менее
• к2 - к(к ~ 1)/2 == к(к + 1 )/2 =
Мы доказали сформулированное выше утверждение о ран-
ге матрицы (8.52). Теорема доказана.
Теорема 8.4 является условной, так как при доказа-
тельстве достаточности использована ослабленная гипо-
теза о корнях ортогональных многочленов.
Материал п. 8.5 взят из статей автора [40 п., э].
13*
196 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
§ 9. Нижняя граница
для числа узлов кубатурной формулы
в случае центральной симметрии
9.1. В п. 3.4 была указана простейшая оценка снизу
для числа узлов кубатурной формулы
n
I Р (?) f (ж) dx & 5 Cjf (ж0)) (9.1)
с 771-свойством. Здесь уточняется эта оценка. Как и в
п. 3.4, предполагается неотрицательность весовой функ-
ции:
при рх = §p(x)dx>0, (9.2)
о
и делается дополнительное предположение о центральной
симметрии области интегрирования й и весовой функции
р(х). Будем считать, что центр симметрии Й совпадает
с началом координат 0 = (0, ..., 0). Тогда предположение
о центральной симметрии запишется в виде:
из^^Й следует —гс^й и р(х)=р(—х). (9.3)
Кроме того, считаем тп нечетным числом: ?п = 2к + 1.
Будем пользоваться обозначениями: у = у(п, fc)—чис-
ло нечетных одночленов степени не выше к от п пере-
менных, х = Мтг, А:)—число всех одночленов степени не
выше к.
Докажем следующую теорему.
Теорема 9.1. Пусть й и р(х) удовлетворяют усло-
виям (9.2) и (9.3) и кубатурная формула (9.1) с N узлами
обладает (.2k + ^-свойством. Если среди узлов кубатур-
ной формулы нет центра симметрии й, то
(2(х—-у) при к четном,
9 7 М
( 2у при к нечетном.
Если центр симметрии й является
мулы, то
|2(х—у)—1 при
2у + 1 при
узлом кубатурной фор-
к четном,
к нечетном.
(9.5)
§ 9. НИЖНЯЯ ГРАНИЦА ДЛЯ ЧИСЛА УЗЛОВ
197
При доказательстве теоремы понадобятся две леммы.
Лемма 9.1. Ранг матрицы
. ф == J р (х) хг^г (х) фj (я) dx х ?
Q 1.1=1
где й и р&) удовлетворяют условию (9.3), х = М(п, й),
— одночлен от п переменных, не более 2 min(v, х — v).
Доказательство. Ранг Ф не зависит от способа
нумерации одночленов степени не выше к. Будем считать,
что нумерация выполнена следующим образом: сначала
занумерованы все одночлены четной степени, а затем —
все одночлены нечетной степени. Если степени одночле-
нов фАя) и ф/ж) обе четные или обе нечетные, то одно-
член #1ф»(#)ф/я) имеет нечетную степень и интеграл от
него по Q с весом р(х), в силу (9.3), равен нулю. Отсюда
следует, что у матрицы Ф на диагонали стоят две нуле-
вые квадратные матрицы порядков к — v и у. Это и до-
казывает лемму 9.1.
Лемма 9.2. Если кубатурная формула (9.1) имеет
(2к + i)-свойство и все ее узлы, кроме одного, например
я(1), лежат на алгебраической гиперповерхности Q(x) по-
рядка к, то х{1) — общий корень всех ортогональных мно-
гочленов степени k +1.
В лемме 9.2 не предполагается, что Q и р{х) облада-
ют центральной симметрией.
Доказательство. Пусть Р(я) — ортогональный
многочлен степени & + 1. Для многочлена P(x)Qkx') сте-
пени 2к + 1 кубатурная формула (9.1) точна:
J pPQdx = CtP (ж(1)) Q (ж(1)).
Q
Интеграл равен нулю по ортогональности Р, а так как
С1(Х#(1)) ¥= 0, то PGr(1))=O. (Каждое из равенств Ci = 0
и @(я(1))==0 влечет за собой, что все узлы кубатурной
формулы (9.1) лежат на гиперповерхности Q(x) порядка
к, а это невозможно по теореме 3.7.)
Доказательство теоремы 9.1. Обозначим че-
рез ф(#) вектор-столбец
ф(я) = [ф/я), ф2(я), ..., фх(я)]'.
Запишем, что кубатурная формула (9.1) точна для
198 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
вектора ^1фг(^)ф(^):
2 (яО)) ф (ж0)) = Г р (х) х^г(х) ф (х) dx,
J=1 й
i = 1, 2, ..., х. (9.6)
При указанных значениях i составляющими вектора
^Г1ф<(лг)ф(ат) являются одночлены степени не выше 2к + 1.
По теореме 3.7 узлы кубатурной формулы (9.1) не ле-
жат на алгебраической гиперповерхности порядка х и
7V>x. Можем считать, что первые х узлов я(1), х(2\ ...
..., х™ не лежат на алгебраической гиперповерхности по-
рядка к и, следовательно, матрица
к;-[ф.(1ю)]?„-.1=[ф »(*“),
транспонированная к матрице Вандермонда, определяе-
мой точками x{i\ х{2), ..., я(х), неособенная.
Рассмотрим сначала случай, когда среди узлов куба-
турной формулы (9.1) нет начала координат. Можем счи-
тать, что первая координата всех узлов отлична от нуля:
j = (9.7)
Выполнения этих условий можно добиться надлежащим
ортогональным преобразованием координат. В силу усло-
вий (9.7) матрица
также неособенная.
Соотношения (9.6) позволяют выразить первые х из
векторов ф(я0>), / = 1, 2, ..., N, линейно с постоянными
коэффициентами через 7V —х остальных векторов ф(я0))
и через х векторов правых частей ( р (х) х^^х) ф (х) dx,
й
i = i, 2, ..., х. Так как векторы ф(х0)), 7 = 1, 2, ..., х,
линейно независимы и так как по лемме 9.1 среди век-
торов правых частей не более 2 min (х —v, у) линейно
независимых, то получаем неравенство
х N — х + 2 min (х — у, у),
или
N > 2х — 2 min (х — у, у). (9.8)
§ 9. НИЖНЯЯ ГРАНИЦА ДЛЯ ЧИСЛА УЗЛОВ
199
Очевидно, справедливы равенства
( v, если к четное,
min (х — v, v) = { 7 (9.9)
' [х — v, если к нечетное. '
С их помощью находим, что неравенство (9.8) при к чет-
ном совпадает с первым из неравенств (9.4), а при к не-
четном—со вторым из неравенств (9.4).
Предположим теперь, что начало координат 0 являет-
ся узлом кубатурной формулы (9.1). Возможны два слу-
чая: а) отличные от 0 узлы лежат на алгебраической ги-
перповерхности порядка А; б) отличные от 0 узлы не ле-
жат на алгебраической гиперповерхности порядка к.
Мы считаем, что первые х узлов кубатурной формулы
(9.1) не лежат на алгебраической гиперповерхности поряд-
ка к. В случае а) это возможно, если 0 находится среди
первых х узлов. Пусть, например, я(1) = 0. Равенства (9.6)
запишутся в виде
2 (ж0)) (р (х0)) = J р(х) (х) ф (х) dx, (9.10)
J=2 Q
i = 1, 2, ..., x.
Рассмотрим прямоугольную матрицу размера х X
Х(х —1), которая получается из Vk удалением первого
столбца. Пусть I — номер строки этой матрицы (ранга
х —1), которая выражается линейно через остальные
строки. Выбросив Z-e равенство в (9.10), получим соотно-
шения, которые позволяют выразить векторы х{2), ..., х(я)
через ж(х+Л), ..., хт и через векторы правых частей. От-
сюда получаем неравенство
x — l<2V—x + 2 min (х — v, v),
или
N > 2х — 1 — 2 min (х — v, v). (9.11)
Докажем, что при к нечетном случай а) не может
иметь места. Так как Q и р(х) центрально-симметричны,
то начало координат является общим нулем всех ортого-
нальных многочленов степени к (к нечетное). Этот факт
Установлен в п. 8.2. Если случай а) имеет место, то по
лемме 9.2 узел 0 — общий корень всех ортогональных
многочленов степени А+1. Это невозможно, так как все
200 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
ортогональные многочлены двух соседних степеней не мо-
гут иметь общего корня (см. теорему 8.2).
При к четном из (9.11) с помощью (9.9) получаем
неравенство
W>2(x-v)-l. (9.12)
Перейдем к случаю б). По теореме 2.4 число отличных
от 0 узлов кубатурной формулы (9.1) не меньше х, так
что 2V—1>х. Можем считать, что x{N} = 0, и, следова-
тельно, равенства (9.6) запишутся в виде
n-i
2 CjX^i (ж0)) ф ( Xм) = I Р (*) *i<Pi (*) ф (х) dx,
i = 1, 2, ..., x.
Из них получим
х=С ~ 1 — х + 2 min (х — v, у),
или
TV > 2х + 1 — 2 min (х — v, у). (9.13)
При к четном с помощью (9.9) отсюда найдем
#>2(х-у) + 1. (9.14)
Таким образом, если 0 — узел кубатурной формулы
и к четное, мы получили два неравенства: (9.12) в слу-
чае а) и (9.14) в случае б). Неравенство (9.12) имеет ме-
сто как в случае а), так и в случае б) и совпадает с пер-
вым из неравенств (9.5).
При к нечетном неравенство (9.13) совпадает со вто-
рым из неравенств (9.5). Теорема 9.1 доказана полностью.
Оценки из теоремы 9.1 при п>2 являются уточнени-
ем простейшей оценки (3.32). Это утверждение мы полу-
чим с помощью легко доказываемых неравенств:
при к четном, (9.15)
при к нечетном (9.16)
2 2
2у — х>(п — 1) | -Цр-
I "
где [(&+ D/2J —целая часть (& + 1)/2.
Эти неравенства при п = 1, 2 обращаются в точные ра-
венства. В случае п — 2 число одночленов заданной сте-
§ 9. НИЖНЯЯ ГРАНИЦА ДЛЯ ЧИСЛА УЗЛОВ
201
пени от двух переменных при повышении степени на
единицу увеличивается на единицу, отсюда и следует на-
ше утверждение.
Отметим, что правые части неравенств при п > 2 и лю-
бом к>1 не меньше единицы. Совпадение с единицей
(п>2) имеет место только при п = 2 и при двух значе-
ниях к: к = 1, к = 2.
Отсюда следует, что при п > 2 полученные в теоре-
ме 9.1 оценки превышают простейшую оценку точно на
единицу при п = 2, к = 1, к = 2. Во всех других случа-
ях: при п> 2, i > 1 и при п = 2, к >2 — нижняя граница
для числа узлов, определяемая неравенствами (9.4) и
(9.5), превышает простейшую границу более чем на 1.
Действительно, из (9.4) и (9.5) находим
(% (х — 2v — 1) при к четном,
"(х -|- (2v — х) при к нечетном.
С помощью неравенств (9.15) и (9.16) отсюда получаем
. п(п — 1) Г А: + 1 1 7
х 4--Цч—— при к четном,
I 4U I
2 ’ Г А: I 1 ]
х + (п — 1) —S— при к нечетном.
I I
В частности, отсюда следует, что в случае центральной
симметрии не существует кубатурной формулы, обладаю-
щей (2к + D-свойством и с числом узлов х + 1 при п>2,
А > 1 и при п = 2,* к > 2.
Число N узлов кубатурной формулы для области и ве-
са с центральной симметрией, обладающей 3-свойством,
как видно из (9.4) и (9.5), удовлетворяет неравенству
N > 2п. Действительно, в этом случае к == 1 и число v
нечетных одночленов не выше первой степени равно п.
С другой стороны, в § 5 было показано, что в случае
Центральной симметрии всегда существует кубатурная
формула с 2п узлами и с 3-свойством. Таким образом, наи-
меньшее число узлов кубатурной формулы, обладающей
3-свойством, в случае центральной симметрии совпадает
с нижней границей 2п.
Имеются и другие области и веса, для которых суще-
ствуют кубатурные формулы с числом узлов, равным
нижней границе из теоремы 9.1. Например, кубатурная
202 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
формула для квадрата и единичного веса, построенная
в примере 1 § 5, обладающая 7-свойством, имеет 12 уз-
лов. Здесь к — 3 и по (9.4) N>2v = 12. Формула 10 § 16
для квадрата К2 имеет 5-свойство и 13 узлов, что совпадает
с нижней границей из (9.5). _____ _____
Формула 48 § 14 для квадрата К2 и веса 1/( VI—я2У1—у2)
имеет (2k + D-свойство и (& + !)(& + 3)/2 узлов при любом
нечетном к. Это число узлов совпадает с нижней границей
в (9.4). Замечательно, что здесь нижняя граница достигает-
ся для бесконечного числа значений к.
9.2. Рассмотрим кубатурную формулу для вычисления
интеграла по сфере Sn-it
р N
j p(x)f(x)dS^^ C}f(xM) (9.17)
Sn-i
c (2k + 1)-свойством. Считаем, что существуют моменты
весовой функции
J |а|^2^4-1.
8п—1
В предположении, что р(х) неотрицательна и обладает
свойством р(х) = р(—х) при всех x^Sn-i, укажем ниж-
нюю границу для числа узлов кубатурной формулы (9.17)
более точную, чем та, которая дана в теореме 3.10.
Обозначим через Vi;==v1(n, к) число линейно незави-
симых нечетных гармонических многочленов степени не|
выше к. Так как число линейно независимых гармони-1
ческих многочленов степени $ равно h(s, п — 2'), то 5
D/21 I
Vi = n+ S й(2/ + 1, n—2), |
;=i |
где h(s, t) определяется формулой (3.34). В силу равен-|
ства (3.35) получаем j
kfe-1)/2] I
v1 = n 2 — 2/ + l)-M(n-l, 2/-l))= 4
j=l f.
= A/(n-l, 2 [(* - l)/2) + 1),|
или
M (n — l,k) при к нечетном,
M (п — 1, к — 1) при к четном.
(9.18)}
*1 =
§ 9. НИЖНЯЯ ГРАНИЦА ДЛЯ ЧИСЛА УЗЛОВ
203
Число всех линейно независимых гармонических мно-
гочленов степени не выше к равно A = n—1), поэто-
му число четных среди них равно
= к) при к четном, (9.19)
как это следует из (9.18) и (3.35).
Теорема 9.2. Пусть кубатурная формула (9.17) об-
ладает (2Л + ^-свойством, среди ее узлов нет начала ко-
ординат и весовая функция удовлетворяет условиям
р(х)^0 при всех J p(a)dS>>0, (9.20)
Sn-1
р(х) = р (— х) при всех х е 5П-Х. (9.21)
Тогда число ее узлов N удовлетворяет неравенству
N>2M(n-l, к). (9.22)
При доказательстве теоремы, которое аналогично до-
казательству теоремы 9.1, понадобится лемма.
Рассмотрим матрицу
j p(x)xl^i(x)^j(x)dS h ,
. Sn—1
где
ф1(х), ф2(^), . .'фл(ж)
(9.23)
— линеййо независимые гармонические многочлены сте-
пени не выше к (см. (3.36)), & = /&(&, п — 1) и р(х) удов-
летворяют условию (9.21).
Лемма 9.3. Ранг Т не более 2 min (fe — vt, vj,
где Vi — число нечетных среди гармонических много-
членов (9.23).
Доказательство. Ранг Т не зависит от способа
нумерации многочленов (9.23). Будем считать, что нуме-
рация выполнена, как при доказательстве леммы 9.1: сна-
чала занумерованы все многочлены четной степени, а за-
тем — все многочлены нечетной степени. Если степени
многочленов ф/ж) и -ф/я) одинаковой четности, то одно-
родный многочлен #1ф{(х)ф/я) нечетен и интеграл от него
По ^п-1 с весом р(я), в силу (9.21), равен нулю. Отсюда
сДедует, что у матрвцы Т на диагонали стоят две нуле-
204 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
вые квадратные матрицы порядков h — Vt и Лемма
доказана.
Доказательство теоремы 9.2. Обозначим че-
рез вектор-столбец
ф(я) = [гр±(;г), ф2(ж), • •
составляющими которого являются многочлены (9.23).
Запишем, что кубатурная формула (9.17) точна для век-
тора ^фДаОфСаг):
N . . . . . г
2 CjX^i (#0)) ф(а:0)) = J р (х) (х) ф (х) dS, (9.24) 4
i=1 sn_r ;
г = 1, 2, ...,Л.
При указанных значениях i составляющими вектора
Я1фг(я)ф(х) являются однородные многочлены степени не *
выше2&+1.
Так как кубатурная формула (9.17) обладает (2&+D-
свойством, то па замечанию к теореме 3.10 найдется квад-
ратная подматрица V порядка h матрицы (3.40), которая
является неособенной. Будем считать узлы занумерован-
ными так, что строки этой подматрицы определяются пер-
выми h узлами:
V = (^>), -ф2 . Лл (*(J)))U-
Транспонированная матрица V имеет в качестве столб- \
цов векторы ф(аг(-,>):
V' = [ф(ж(1>), 1|)(х(2>), ..<ф(ж(Л>)1. j
j
Можем считать, что первая координата всех узлов от-
лична от нуля: *i
4?)¥=0, 7 = 1, 2, (9.25);
Выполнения этих условий можно добиться надлежащим
ортогональным преобразованием координат, так как среди
узлов нет начала координат. Матрица |
[СрГ(1% (*(1)), (я(2))> • • > Chz^i (*(ft))]i=i (9.26) i
неособенная, так как она представляет собой произведение |
\§ 9. НИЖНЯЯ ГРАНИЦА ДЛЯ ЧИСЛА УЗЛОВ 20S
\
неособенной матрицы V' на диагональную матрицу
О ...О
ч 0 С24г) • о
_0 0 ...Chx^_
которая в силу (9.25) также является неособенной.
Так как матрица (9.26) неособенная, то соотношения
(9.24) позволяют выразить первые h из векторов ф(ж(й),
j = 1, 2, ..., N, линейно с постоянными коэффициентами
через N — h остальных векторов (N^h по теореме 3.10).
и через h векторов правых частей
J р(х)луф,(я)ф(х)dS, i = i,2,...,h.
sn—l .....
Векторы ф(ж<|)), ф(а:(2)), ..., i|)(a:(ft)) линейно независимы,
и среди векторов правых частей-по лемме 9.3 не более
2 min (A — Vt, vt) линейно независимых, поэтому получаем
неравенство
h =5 N — h + 2 min {h — v4, Vj),
или
N^2h — 2min(/i — vt, vt). (9.27)
Очевидно, справедливы равенства
(Vp если к четное,
min (h — Vi, v,) = (, ,
\h — vlt если к нечетное,
так что (9.27) можно переписать в виде
I2(h—vx), если к четное,
(2vv если к нечетное.
В силу (9.18) и (9.19) эти два неравенства равносильны
неравенству (9.22). Теорема 9.2 Доказана.
При к = 0, к — 1 и любом п 2 в неравенстве (9.22)
достигается равенство. Число узлов, равное нижней гра-
нице, при к = 0 имеет кубатурная формула 1 § 17, а при
к = 1 — формула 3 § 17. При к — 2 нижняя граница в
(9.22) достигается при п = 3 и п = 7. Требуемое число
узлов имеют формулы 6 и 7 § 17. 1
206 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Неравенство N 2v в случае к нечетного, вытекающее из тео-
ремы 9.1, при к = 1 и любом п получено автором [40, д]. Для двух
частных классов областей и весов при А=3 и п=2 это неравенст-
во получил Р. Франк [59, б]. Теорему 9.1 в несколько менее полном
виде впервые получил X. Мёллер [38, а], приведенное здесь до-
казательство взято из [40, ч]. Теорема 9.2 Лголучена автором
[40, ъ, ь].
§ 10. Интерполяционные кубатурные формулы
с числом узлов, равным простейшей нижней границе
В теореме 3.7 была указана нижняя граница для чис-
ла узлов кубатурной формулы с тп-свойством. Эта нижняя
граница равна x = Jf(n, А), где й = [тп/2]. В настоящем
параграфе указаны необходимые и достаточные условия
для того, чтобы попарно различные точки x{i}, /==1,2,...
..., х, можно было взять в качестве узлов кубатурной
формулы
f Р (X) / (ж) dx S 2 G7 (*ш) (10.1)
й 1=1
с тп-свойством. Напомним, что утверждение о нижней
границе для числа узлов было получено в предположении
неотрицательности весовой функции: р(х) > 0 при х Q
и pi > 0. Это предположение в дальнейшем также счита-
ется выполненным.
10.1. Случай нечетного тп. Условия, налагаемые на
точки хи), ..., х, формулируются по-разному в за-
висимости от того, является тп четным или нечетным.
Рассмотрим сначала случай т = 2к + 1.
Теорема 10.1. Чтобы точки x{j}, / = 1, ..., х, мож-
но было взять в качестве узлов кубатурной формулы
(10.1), обладающей (2k + D-свойством, необходимо и до-
статочно, чтобы эти точки были общими корнями всех
ортогональных многочленов степени k+ 1. Если такая ку-
батурная формула существует, то она единственна.
Доказательство. Необходимость. Предпо-
ложим, что кубатурная формула (10.1) с (2к + D-свой-
ством существует. По теореме 3.7 ее узлы не лежат на
алгебраической гиперповерхности порядка к. Рассмотрим
многочлен Ц(х) степени к, удовлетворяющий условиям
WJ)) = 6tJ, 7 = 1, 2, ..., х, (10.2)
§ 10. ФОРМУЛЫ С ЧИСЛОМ УЗЛОВ, РАВНЫМ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЕ 207
— многочлен влияния i-ro узла. Существование такого
многочлена гарантирует теорема 3.1.
Пусть любой ортогональный многочлен степени
fc+1. Запишем', что кубатурная формула (10.1) точна для
многочлена PLi степени 2к +1, и примем во внимание
равенства (10.2). Получим
р (х) Р (х) Li (х) dx = 0 — CiP
(10.3)
откуда Р(#(г))=0. Здесь мы пользуемся тем, что все ко-
эффициенты кубатурной формулы (10.1) отличны от ну-
ля (по теореме 3.7 такая кубатурная формула с меньшим
чем х числом узлов не существует).
Достаточность. Пусть точки j = 1, ..., х, по-
парно различны и являются общими корнями всех орто-
гональных многочленов степени к + 1. По теореме 2.7
(см. также п. 8.4) они не лежат на алгебраической гипер-
поверхности порядка к, поэтому их можно взять в каче-
стве узлов кубатурной формулы (10.1) с ^-свойством (тео-
рема 3.2).
Докажем, что полученная кубатурная формула (10.1)
обладает (2к + 1)-свойством. Пусть натуральное число г
удовлетворяет неравенствам к + 1 ^r^2k + 1. Допустим,
что формула (10.1) обладает (г— 1)-свойством. Возьмем
любой одночлен степени г: IfJl =jJi + P2+... + £«== г,
и докажем, что для него формула (10.1) точна. Выберем
неотрицательные целые числа так, что 1а|=а4 +
+ а2 +... + «п = к + 1, и рассмотрим многочлен
= х* + <?r-i(^), (10.4)
где Ра(я) — основной ортогональный многочлен степени
А + 1. Ясно, что многочлен (10.4) имеет степень г,
а @г-1(я) — многочлен степени не выше г — 1.
Для многочлена в левой части равенства (10.4) куба-
турная формула (10.1) точна, так как интеграл от него
равен нулю в силу равенства
1Р-а| = 2 (Pi-ai) = r-(fc + l)<2fc + l-(ft + l) = *
г=1
%
и кубатурная сумма тоже равна нулю. Для второго сла-
гаемого в правой части равенства (10.4) формула точна
208 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
по индуктивному предположению. Теперь из/(10.4) ясно,
что кубатурная формула (10.1) точна для рассматривае-
мого одночлена х\ /
Единственность кубатурной формулы(10.1) следует
из того, что ее узлы — общие корни вс^х ортогональных
многочленов степени к + 1 — определяется однозначно.
Теорема 10.1 доказана.
Теорема 10.1 при п = 1 утверждает, что квадратурная
формула, имеющая (2& + 1)-свойство и & + 1 узлов, су-
ществует тогда и только тогда, когда в качестве узлов
берутся корни ортогонального многочлена степени &+1.
Таким образом, теорема 10.1 при п = 1 приводит к квад-
ратурным формулам гауссова типа.
Кубатурную формулу, о которой речь идет в теоре-
ме 10.1 при га >2, будем называть кубатурной формулой
гауссова типа. Основанием для такого названия являются
следующие свойства: она единственна при заданном к
(и фиксированных £2 и р{хУ)\ ее узлы, как общие корни
всех ортогональных многочленов степени к +1 (по теоре-
ме 8.2), вещественны и принадлежат выпуклой оболочке
области Q; коэффициенты формулы (по теореме 3.9) по-
ложительны. Всеми этими свойствами обладают и квадра-
турные формулы гауссова типа.
Положим теперь в теореме 10.1 к = 0. В этом случае
число узлов равно единице и кубатурная формула имеет
вид
f p(x)f(x)dx^C1f(x^>). (10.5)
О
Ее узел х№ = х^\ ..., %п})—общий корень всех ор-
тогональных многочленов Х{— х^\ i = 1,2,.. .,га.
Свойство ортогональности такого многочлена к 1 дает
х^ = — р (х) Xidx, i = 1, 2, . .., га,
1 Ь
где
Pl =
так'что узел кубатурной формулы (10.5) является цент-
ром тяжести масс, распределенных по Q с плотностью
р(х). Коэффициент формулы (10.5) равен pi —величине
§ 10. ФОРМУЛЫ С ЧИСЛОМ УЗЛОВ. РАВНЫМ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЕ 20?
массы, распределенной по й. Кубатурная формула (10.5>
точна для все-х многочленов не выше первой степени.
Мы получили, что кубатурная формула гауссова типа
существует для любых й и р(х) > 0 в двух частных слу-
чаях: 1) № 1, кV 0, 1, 2, ...; 2) к = 0, п = 1, 2, .-.. В пер-
вом случае она является квадратурной формулой гауссова
типа, во втором — кубатурной формулой с одним узлом,
обладающей 1-свойством. При п > 1 и к > 0 для обычна
рассматриваемых областей и весов кубатурная формула,
гауссова типа не существует.
Покажем, что при п = 2, к = 1 можно построить та-
кие область и вес, для которых существует кубатурная
формула гауссова типа, т. е. кубатурная формула с тремя
узлами* обладающая 3-свойством. Значения п = 2, к =
= 1 — наименьшие, удовлетворяющие неравенствам п > 1^
Л>0.
Рассмотрим область й, симметричную относительно не-
которой прямой, и весовую функцию, которая принимает
одинаковые значения в симметричных точках. Выберем
ось симметрии в качестве координатной оси у. Тогда
свойство симметрии означает: из (х, у) е й следует
(—х, у) е й и р(х, у) = р(—х, у). Будем пользоваться обо-
значением для моментов
Pi} = № р(х> у) xtydx dy, i, j = 0, 1, 2, ...
Из свойства симметрии вытекает, что рц = 0 при i нечет-
ном. Сделаем еще одно предположение: p2i = 0.
Многочлен ху является ортогональным многочленом
второй степени. Так как узлы кубатурной формулы гаус-
сова типа в рассматриваемом случае являются общими
корнями всех ортогональных многочленов второй степе-
ни, то они являются корнями многочлена ху — лежат на
координатных осях. Учитывая симметрию области и ве-
са, кубатурную формулу будем разыскивать в виде
( f р (х, у) f (х, у) dxdy^A [/ (а, 0) + / (— а, 0)] +
V
+ 5/(0, Ь). (10.6}
Указанный выбор узлов и коэффициентов обеспечи-
вает точность кубатурной формулы (10.6) для одночленов
№ И. П. Мысовских
210 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
я, ху, ху2, х3, х2у. Требование точности (10.6/ для осталь-
ных одночленов не выше третьей степени: 1/х2, у, у2, у3 —
приводит к системе пяти уравнений /
24 4- В = р00, 2Аа2 = р20,
ВЬ = ре, ВЬ2 = Рог, ВЬ3 = роз
относительно четырех неизвестных параметров: А, В, а, Ь.
Необходимым и достаточным условием разрешимости этой
системы является выполнение равенства
Р01Р03 — Роз = 0. (10.7)
Возьмем в качестве области Q объединение двух пря-
моугольников
—1«^ж<1, и —
и в качестве веса р(х, у) = 1. Свойство симметрии отно-
сительно оси у имеет место. Так как р21 = (1 — е2о’)/3,
то условие р21 = 0 будет выполнено, если
е = сг3/2. (10.8)
Вычислением находим
Рог = [1 + (- l)rоег+1],
или, если воспользоваться соотношением (10.8),
Покажем, что можно удовлетворить условию (10.7)
за счет выбора а. Условие (10.7) записывается в виде
<р (т) = 4 (1 - т4) (1 - Т10) - 4 (1 + т7)2 = °>
тде т = о~1/2. Так как ф(0)>0 и ф(1)<0, то найдется
положительный корень уравнения ф(т) = 0, приближен-
ное значение которого равно 0,540199. Ему отвечают сле-
дующие приближенные значения параметров, определя-
ющих второй прямоугольник: о = 3,42683, е — 0,157601.
Приведем очевидное следствие теоремы 10.1.
Следствие 10.1. Если ортогональные многочлены
степени к +1 области Q и веса р(х) не имеют общих кор-
ней или число этих корней менее %, то кубатурная фор-
§ ю. ФОРМУЛЫ С ЧИСЛОМ УЗЛОВ, РАВНЫМ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЕ 211
мула гауссова типа с х узлами не существует*, другими
словами, число N узлов кубатурной формулы, обладаю-
щей (2k + i)-свойством, удовлетворяет неравенству N>
> х + 1.
Докажем, что число узлов кубатурной формулы для
симплекса Тп и р(х) — 1, обладающей 3-свойством, не ме-
нее п + 2. По следствию достаточно доказать, что у орто-
гональных многочленов второй степени симплекса (см.
§ 8) нет общих корней. Рассмотрим п ортогональных мно-
гочленов второй степени
Xi ~ ~n + 3Xi + (п + 2) (и + 3) ’ 1 = 1»2,
Они имеют 2п общих корней:
®«> = 4j), ..., 4j))> / = 1, 2, , 2n, (10.9>
(l)
где каждая координата может принимать одно из
двух значений: ai или а2, при этом а2 —• корни квад-
ратного трехчлена
? (0 = i2 — „ + 3 t + + 2) (и + 3) •
Так как общие корни всех ортогональных многочле-
нов второй степени содержатся среди корней (10.9), та
наше утверждение будет доказано, если мы установим,
что ни одна из точек (10.9) не является корнем ортого-
нального многочлена
Р11 (*) = *1*2 — ууу (*1 + Ж2) + .
Первые две координаты точки (10.9) могут быть одина-
ковыми или различными. Рассмотрим оба эти случая.
Пусть первые две координаты одинаковы: x{i} —
=(as,a„, х(3}\ ..., х^).Тогда
ри (®°>) = а, — ууу + + 2) + 3) =
_ 2 Г 1 1 ,п
~ п + 3 И 2 (п + 2)1 Ur
так как а„ $ = 1, 2, — корень квадратного трехчлена q(.tK
14*
212 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
в то же время
Г 1 ] _ 1 , п
g[2(w + 2)J 4(n + 2)2=7^
Не может быть корнем многочлена Рц(х) и та точка
(10.9), у которой = а2, так как
Рц ==---------——------§ 0 при п > 1-
1П ’ (ге + 2)(п + 3)2^
В § 5 была получена кубатурная формула для симп-
лекса с п + 2 узлами и 3-свойством. Таким образом, чис-
ло узлов п + 2 — наименьшее, при котором для симплек-
са такая кубатурная формула может существовать. Дру-
гое доказательство этого утверждения имеется в [40, р].
10.2. Случаи четного тп. Пусть теперь т = 2к.
Теорема 10.2. Чтобы и = М(п, к) точек х(}),
j«1, ..., х, можно было взять в качестве узлов куба-
турной формулы (10.1) с 2к-свойством, необходимо и до-
статочно, чтобы выполнялось условие
%
2 F} (х^) F} (х(«)) = ъл„ г, s = 1, 2, ..., х, (10.10)
5=1
еде Fj(x), j = 1, 2, ...,— многочлены ортонормированной
относительно Q и р(х) системы (см. п. 8.3), Ьг¥=0, г =
= 1, 2, ..., х, бгв — символ Кронекера.
Замечание. Если точки хи), 7 = 1, • • %, веще-
ственны, то (10.10) представляет собой условие ортого-
нальности строк матрицы
F = [Л (хЫ), F2 ., FH (яО))]^. (10.11)
Предположение Ъг ¥= 0 в этом случае излишне, так как
Ьг= 2 F|(x<’-))>0.
5=1
Доказательство. Необходимость. Пусть
существует кубатурная формула (10.1) с 2/с-свойством.
Запишем, что она точна для многочленов
Ft(x)Fm(x\ I, тп= 1, 2, ..и,
§ 10. ФОРМУЛЫ С ЧИСТОМ УЗЛОВ, РАВНЫМ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЕ 213
степень которых не выше 2Л. Получим
S (^)) Fm (аЯ = 8lm, Z, т - 1, 2, ..., х. (10.12)
3=1
Если воспользоваться обозначением (10.11) и ввести
диагональную матрицу
С = [С1615, C$2j, • • •>
то равенства (10.12) можно записать в виде
F'CF = Е,
где Е — единичная матрица. Матрицы в левой части это-
го равенства неособенные. Умножая обе части ра-
венства слева на (F')”1 и справа на F~\ получим
откуда
FF' = C-\ (10.13)
Из (10.13) следует, что выполнено условие (10.10),
при этом справедливы равенства
2 F] (х№) = СТ1 = bi, г = 1, 2, ..., х, (10.14)
7=1
в которых bi ¥* 0, так как — конечные числа. Равен-
ства (10.14) дают выражения для коэффициентов форму-
лы (10.1). Из них видно, что коэффициент положи-
телен, если узел x{i) является вещественным.
Из теоремы 3.9 следует менее точное утверждение:
коэффициенты положительны, если все узлы веще-
ственны.
Достаточность. Пусть существуют точки
7 = 1, ..., х, для которых выполнено условие (10.10). Ус-
ловие (10.10) можно записать в виде
FF' = B, (10.15)
где В — диагональная неособенная, так как 0, мат-
рица:
= 1М1П • • •» bx6xjlj=l«
Из (10.15) получаем
F'B-'F = Е,
214 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
а это равенство равносильно тому, что кубатурная фор-
мула с узлами x(j), 7 = 1, 2, ..., х, и коэффициентами
i/bi точна для Fi(x)Fm(x), I, т = 1, 2, ..., х, и, следо-
вательно, для всех многочленов степени не выше 2к.
Теорема доказана.
Теорема 10.2 в двух случаях: 1) n = 1, А = 1, 2, 3,
2) к = 1, п = 2, 3, ... — позволяет построить куба-
турную формулу, о которой говорится в теореме, для
любых Q и р(я) > 0. Построение основано на следующем
замечании: условие (10.10) эквивалентно тому, что ги-
перповерхность, определяемая ядром (8.19):
i=l
содержит все узлы кубатурной формулы, кроме х{Т).
Узел х{г) не принадлежит этой гиперповерхности, так
как Ъг ¥* 0.
Рассмотрим сначала первый случай: п = 1. Искомая
квадратурная формула имеет к + 1 узлов. Обозначим че-
рез а один из них. Тогда остальные ее узлы — корни
многочлена степени к от одной переменной:
fe+i
A"ft(a, х) — 2 Fi(a)Fi(x).
г=1
Если а вещественное и к корней этого многочлена ве-
щественны и различны, то по теореме 40.2 эти точки
можно взять в качестве узлов квадратурной формулы с
2Л-свойством.
Пусть [с, d] — наименьший отрезок, содержащий Q.
Если а находится вне [с, d] или совпадает с одним из
его концов, то все корни многочлена Kft(a, х) веществен-
ны, различны и лежат внутри [с, di. Действительно, по
лемме 8.2 многочлен (х — a)Kk(a, х) ортогонален ко всем
многочленам (&— 1)-й степени. Это означает, что много-
член Kk(a, х) является ортогональным многочленом отно-
сительно отрезка [с, d] и веса р(х)(х — а), сохраняющего
знак на [с, d]. Отсюда и следует утверждение. Очевидно,
если а совпадает с концом отрезка [с, d], мы получаем
квадратурную формулу Маркова (см. § 1).
Если а совпадает с одним из корней ортогонального
многочлена степени к + 1 области Q и веса р(я), то по
§ ю. ФОРМУЛЫ С ЧИСЛОМ УЗЛОВ, РАВНЫМ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЕ 215
лемме 8.2 многочлен (х — a)Kk(a, х) отличается от этого
ортогонального многочлена ненулевым постоянным мно-
жителем. В этом случае мы приходим к квадратурной
формуле гауссова типа.
Таким образом, в рассматриваемом случае получаем
совокупность квадратурных формул, зависящую от пара-
метра а.
Прежде чем перейдем к изложению алгоритма по-
строения кубатурной формулы с 2-свойством, докажем
лемму.
Лемма 10.1. Пусть ранг вещественной матрицы
Dr — [^ii, 1 1»
равен г. Рассмотрим систему линейных алгебраических
уравнений
d^i + di2b + ... + dan + f = 0, f = l,2,..., г, (10.16)
где у — отличная от нуля вещественная постоянная. Су-
ществует вектор
В = (§1, U ...» Вп)',
который является решением системы (10.16) и не явля-
ется линейной комбинацией строк матрицы Dr,
Доказательство. Докажем, что существует един-
ственный вектор » = -(»!, п2, ..ипУ, который обладает
двумя свойствами: 1) и является решением системы
(10.16); 2) и представляет собой линейную комбинацию
строк матрицы Dr.
Если ввести вектор е с г составляющими, равными
единице: e = i(l, 1, ..., 1)', то свойство 1) вектора и бу-
дет равносильно равенству
ZU + y2e = 0. (10.17)
Свойство 2) вектора и можно записать в виде
u = DrC, (10.18)
где штрих означает операцию транспонирования и с =
== (ci, с2, ..., спУ — вектор коэффициентов линейной
комбинации строк матрицы Dr.
Подставим правую часть равенства (10.18) в (10.17)
вместо и:
DrD'rc + у2е = 0. (10.19)
216 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Получили линейную алгебраическую систему для опре-
деления вектора с. Матрица системы DrDr неособенная,
как матрица Грама линейно независимых векторов —
строк матрицы Dr. Система (10.19) однозначно определя-
ет вектор с. Единственность и существование вектора п,
удовлетворяющего условиям 1) и 2), доказаны.
Система (10.16) имеет п—г>1 линейно независи-
мых решений (ранг матрицы Dr равен г), поэтому най-
дется бесконечное множество векторов £, которые удов-
летворяют условию 1) и не удовлетворяют условию 2).
Именно, в качестве | можно взять любое решение си-
стемы (10.16), отличное от вектора и. Лемма доказана.
Укажем теперь алгоритм построения кубатурной фор-
мулы с вещественными узлами, имеющей 2-свойство и
п+1 узлов. Будем пользоваться теоремой 10.2 при
к = 1. Нам понадобятся первые п +1 многочленов орто-
нормированной системы
FSx), F2(x), .. Fn+l(x).
Отметим, что Fx (х) = Pi12, где р±= \p(x)dx, a F2(x),
Q
F3 (я), • • •, Рп+х (%) — многочлены первой степени.
Обозначим через а(1), а(2), ..., а(п+1) искомые узлы
кубатурной формулы. Введем обозначение матрицы:
Dr = [F2 (aW), F3 («<*>), ..., Fn+1 MU, г = 1, 2, ..., дг,
и гиперплоскости Нг в Rn:
п+1
2 Fj («(»•)) ТЭД, г = 1, 2, ..., п.
з~1
Узел а(1) выбираем в R” произвольно, лишь бы ранг
матрицы = [F2(a(i)), ..., Fn+1(a(1))] был равен
единице. Точка а(1) определяет гиперплоскость
п+ 1
Т5ГХ: 2 Рз (а(1)) Узел а(2) выбираем в гиперплоскости
5=1
Я1 так, чтобы ранг матрицыjD2==[F2(a<n),.. .,Fn+1(a^)]l=1
был равен двум.
Такой выбор а(2) возможен по лемме 10.1. Действи-
тельно, ранг матрицы Di равен единице, а тогда суще-
§ ю. ФОРМУЛЫ С ЧИСЛОМ УЗЛОВ, РАВНЫМ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЕ 217
ствует вектор который удовлетво-
ряет уравнению
F, (а<«) й2) + • • • + Fn+1 т &2) + = 0, (10.20)
где 7 = Fi = Pi1/2, и не пропорционален строке мат-
рицы Di. В качестве а(2) возьмем решение линейной ал-
гебраической системы
F, (aW) = й2), F3 (а<2>) = Й2), ...» Fn+1 (<№) = &>. (10.21)
Так как линейные функции F2(x), ..., Fn+i(x) линейно
независимы (они ортонормированы), то точка а(2) опре-
деляется однозначно. Отметим, что матрица этой систе-
мы треугольная. Из (10.20) и (10.21) видно, что а(2)
Hi. Так как вектор £(2) не пропорционален строке D{
и так как £i2) = Fi+1 (а<2>) по (10.21), то ранг матрицы
D2 равен двум.
Пусть уже построены узлы а(1), а(2), ..., а(г), 1<г<
< п, при этом ранг матрицы Dr равен г, а точки а(0 удов-
летворяют условиям
аО) е= ПХЯЬ i = 2, 3, ..., г. (10.22)
5=1
Точку а(г+1) выбираем в пересечении гиперплоскостей
..., Нг так, чтобы строки матрицы Dr+i были линей-
но независимы. Возможность такого выбора а(г+1) обес-
печивает лемма 10.1.
Ранг матрицы Dr равен г, и по лемме 10.1 существу-
ет вектор g = (gi, g2, £п)\ который удовлетворяет
системе
ЛВ + т2е = 0, (10.23)
где у = е = (1, 1, ..., 1)' — вектор с г составляю-
щими, и не является линейной комбинацией строк Dr.
Вектор g однозначно определяет точку а(г+1) из системы
линейных алгебраических уравнений
F2U<'+1)) = ..., Fn+i{a^) = U (10.24)
Из (10.23) и (10.24) видно, что а(г+1) принадлежит пере-
сечению гиперплоскостей Яъ ..., Нг. Так как вектор £
не зависит линейно от строк Dr и так как выполнены
равенства (10.24), то ранг матрицы Dr+i равен г +1.
218 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Пусть уже определены точки а(1), ..., а(п), при этом
ранг Dn равен п и выполнено условие (10.22) при г = 2,
3, ..., п. Точка а(п+1) определяется однозначно как точка
пересечения гиперплоскостей Ни ..., Нп.
Указанные точки а(1), а(2), ..., а(п+1) можно взять
в качестве узлов кубатурной формулы с 2-свойством.
Действительно, матрица (10.11) в рассматриваемом слу-
чае (й= 1) имеет вид
F = [Fx (а(О), F2 («<<>), .... Fn+1 (10.25)
Свойство (10.22), которое имеет место при i = 2,3,..., п + 1
означает, что г-я строка матрицы F ортогональна ко всем
предшествующим строкам, а это в случае вещественных
а(1), а(2), ..., а(п+1) необходимо и достаточно для сущест-
вования требуемой кубатурной формулы.
Совокупность всех кубатурных формул с п +1 ве-
щественными узлами, обладающих 2-свойством, опреде-
ляется множеством вещественных матриц
(Ю.26)
строки которых попарно ортогональны и у — рГ1/2. Дей-
ствительно, каждой такой кубатурной формуле отвечает
матрица (10.25) с ортогональными строками. С другой
стороны, каждой вещественной матрице (10.26) с ортого-
нальными строками можно сопоставить вещественные
точки а(1), а<2), ..., а(п+1) такие, что
[Y, , din]”=i = [Fx (а«>), F2 («(О), ..., Fn+1 (aW)tfii.
Точка a(1) определяется из линейной алгебраической си-
стемы, которую мы получим, приравнивая соответствую-
щие элементы i-й строки матрицы в левой и правой час-
тях последнего равенства. Из теоремы 10.2 следует, что
так найденные а(г) можно взять в качестве узлов куба-
турной формулы, обладающей 2-свойством.
Лемма 10.1 позволяет построить матрицу (10.26)
последовательным добавлением строк. Это соответствует
алгоритму построения кубатурной формулы: свобода
выбора узла a(i) уменьшается с увеличением i. Сущест-
вование матрицы (10.26) с ортогональными строками
можно доказать проще. Возьмем п + 1 линейно незави-
симых вещественных векторов с п +1 составляющими
§ 10. ФОРМУЛЫ G ЧИСЛОМ УЗЛОВ, РАВНЫМ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЕ 219
2(1), z(2), ..2(п+1), при этом считаем компоненты z(1)
одинаковыми и отличными от нуля. Применим к этим
векторам процесс ортогонализации и нормирования
Шмидта. Обозначим векторы ортонормированной системы
У™ = (уа, Уъь •.Уп+1, <)', I = 1, 2, ..., п + 1.
Рассмотрим матрицу
[J01, У fa >
у которой i-й столбец состоит из составляющих вектора
у(г). Так как столбцы попарно ортогональны и нормиро-
ваны, то таким же свойством обладают и строки. Эле-
менты первого столбца одинаковы и отличны от нуля.
Остается умножить матрицу на отличную от нуля по-
стоянную такую, чтобы первый ее столбец состоял из
чисел 7.
Обозначим через Qi выпуклую оболочку Q. Если а(1)
принадлежит границе Qi, то гиперплоскость #i(a(1>, х)
имеет непустое пересечение с йь Действительно, прове-
дем через а(1) опорную к Qi гиперплоскость 1Ах). Много-
член LKi по лемме 8.2 ортогонален к единице:
J р (х) L (х) Кг х) dx = 0.
Q
Так как pL сохраняет знак в Q, то имеются точки из Q,
в которых ЛГ1(а(1), х) > 0, и точки, в которых ЛГ1(а(1), х)<
< 0. Отсюда следует, что гиперплоскость KSa{i\ х) име-
ет непустое пересечение с Qi.
Из этого утверждения ясно, что а(1) и а(2) всегда мож-
но выбрать так, чтобы они принадлежали выпуклой обо-
лочке йь Если а(1) <= Qb но не принадлежит границе Qi,
то гиперплоскость Ki(a(1), х) может не иметь точек, об-
щих с и, следовательно, все остальные узлы не при-
надлежит Qi. Если Q ограничена, то в качестве такого
&(1) можно взять точку, достаточно близкую к решению
системы
F2(x) = 0, F3(x) == 0, ..Fn+^(x) = 0.
Приведем примеры построения .кубатурных формул
с 2-свойством и с числом узлов, равным нижней границе.
Пример 1. Q = К2 = {(гг, у) R2| — 1 ж, у < 1} —
квадрат, р(я, у) = 1. Ортонормируя систему 1, ж, у, полу-
220 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
чим /\ = 1/2, Я2 = УЗя:/2, Я3 = УЗу/2. Возьмем в качестве
первого узла точку (а4, &4) = (1, 0). Этот узел определя-
ет прямую Нс. Зя+1 = 0. В качестве второго узла
возьмем точку на этой прямой (а2, 62) = (—1/3, 1). Вто-
рой узел определяет прямую Я2:1 — я + Зу = 0.
Точка (а3, &3) = (—1/3, —4/9) пересечения прямых
Hi и Н2 является третьим узлом искомой кубатурной
формулы. Коэффициенты формулы находим с помощью
равенства (10.14), например:
з
р—1 7^2 / т \ 1.1.3 13 s>t 12
С2 - = Zu °2) ~ “4“ “г "12 * — “jj*
г=1
Кубатурная формула имеет вид
1 1
J J / (х, у) dx dy f (1, 0) + / (— -у, 1 j +
-1 -1
13 Ц 3 ’ 9 г
Точки (a1? bi) и (a2, b2) обе были взяты на границе Q.
Это привело к тому, что (а3, Ь3) е Q. На прямой Я£ име-
ется единственная точка (—1/3, 0), которую нельзя взять
в качестве (а2, Ь2), так как она определяет прямую, па-
раллельную Н^ Если в качестве (а2, Ь2) взять точку, до-
статочно близкую к (—1/3, 0), то придем к прямой Я2,
которая пересекается с Hi в точке, не принадлежащей Й.
Например, выбор (а2, fe2) = (—1/3, —1/3) приводит к точ-
ке (-1/3, 4/3) Ф й.
Пример 2. Q = 7’2 = {(^, y)^R2k>0, z/>0, х +
+ у < 1) — треугольник, р(х, у) = 1. Первые три_ много-
члена ортогональной системы таковы: 7г1 = У2, Р2 =
= 2(3rr—1), F3 = 2УЗ(я + 2у — 1). Возьмем (а1? bi) =
= (0,5; 0,5). Этот узел определяет прямую Нс х + у —
— 0,5 = 0. На Hi выбираем точку (а2, Ь2) = (0,5; 0), кото-
рая определяет прямую Я2: у — 0,5 = 0. Точкой пересече-
ния Hi и Н2 является (а3, Ь3) = (0; 0,5). Кубатурная фор-
мула совпадает с той, которую мы получили в при-
мере 2 § 3.
В обоих примерах выбор а{1) и а(2) на границе выпук-
лой области й привел к тому, что а(8) принадлежит й.
§ 10. ФОРМУЛЫ С ЧИСЛОМ УЗЛОВ, РАВНЫМ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЕ 221
/
Возникает вопрос: будет ли а(п+1) принадлежать если
л(1), ..а(п) выбираются на границе Qi? Ответ отрицате-
лен, как показывает следующий пример.
Пример 3. Q = T3 = {(x, у, z) R3I# > 0, у^0г
z> 0, x + y + z^A} — трехмерный симплекс, р(х, у, z) =
= 1. Первые четыре члена ортонормированной системы
таковы:
Л = Уб, F2 = У10(4х - 1), F3 = 2V5U + Зу - 1),
F, = 2V15U + у + 2z - 1).
Выпишем первые три узла и определяемые ими плос-
кости:
(«ъ bi, с1) = (1/3, 1/3, 1/3); /Л: я + у + z- 0,6 = 0,
(а2, &2, с2) = (0,3; 0,3; 0); Я2: х + у + 4z — 2 = 0,
(а3, Ь3, с3) = (2/15, 0, 7/15); Н3: 4х + бу - z - 3 = 0.
Точка пересечения этих плоскостей (—4/3, 22/15, 7/15)
не принадлежит симплексу, хотя первые три узла принад-
лежат его границе.
Возможен и такой выбор первых трех узлов, при ко-
тором четвертый узел принадлежит Т3, например:
(ai, bi, Ci) = (0, 0, 0); Нс х + у + z — 0,8 = 0,
(«2, Ьг, с2) = (0; 0; 0,8); Я2: х+ у — Зи = 0,
(«з, &з, <?з) = (0; 0,6; 0,2); Н3. x — 2y = Q.
Точка пересечения гиперплоскостей Н2, Н3 есть
(«4, &4, с4) = (0,4; 0,2; 0,2). Выпишем также коэффици-
енты, которые отвечают найденным узлам: Ci = 1/96г
G = 5/288, С3 = 5/144, С4 = 5/48.
Кубатурная формула, о которой говорится в теоре-
ме 10.2, обладает свойством, которое позволяет указать
алгоритм ее построения при Л=1. Свойство состоит
в том, что если а — узел такой кубатурной формулы, та
остальные узлы лежат на гиперповерхности Kk(a, xh
Здесь важно, что число узлов равно х = М(п, к). Отсю-
да, в частности, следует, что все узлы, кроме одного,,
лежат на алгебраической гиперповерхности порядка
к (см. теорему 2.4). Справедливо более общее утверж-
дение.
222 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Теорема 10.3. Пусть а — узел кубатурной форму-
лы с 2к-свойством и с N узлами, и известно, что
остальные ее N — 1 узлов лежат на алгебраиче-
ской гиперповерхности Q{x) порядка к. Тогда Q(x) отли-
чается от Кк(а, х) ненулевым постоянным множи-
телем.
Замечание. В теореме 10.3 N > х и равенство мо-
жет не иметь места.
Доказательство. Степень многочлена Q(x) равна
к, поэтому в силу (8.20)
Q (х) = J Р (х) %k (х, и) Q (и) du.
Q
Интеграл в правой части можно вычислить с помощью ку-
батурной формулы, поскольку Кк(х, u)Q(u) — многочлен
ют и степени 2к. Многочлен Q(x) обращается в нуль во
всех узлах кубатурной формулы, отличных от а, поэтому
получаем Q(x) = CQ(a)Kk(x, а). Здесь С — коэффициент
кубатурной формулы, отвечающий узлу а. Теорема дока-
зана, так как Q(x) отличается от Кк(а, х) множителем
CQ(a). Этот множитель отличен от нуля, так как в про-
тивном случае все узлы кубатурной формулы лежат на
алгебраической гиперповерхности порядка к. Это проти-
воречит теореме 3.7.
Теорема 10.3 дает некоторое основание для обобще-
ния алгоритма, который был применен в частном случае
к = 1. Дадим описание обобщенного алгоритма. Берем
точку а(1), которая определяет гиперповерхность
Нс. Кк(а{1), х). Точку а(2) выбираем в Hi и рассматриваем
гиперповерхность Я2, определяемую этой точкой:
J£ft(a(2), х). Точку а(3) выбираем в пересечении П Я2
п—1
л т. д. На последнем этапе выбираем точку а(п) в f) Hi,
i—1
определяющую гиперповерхность Нп: Кк(а{п\ х).
О точках а(1), ..., а(п) предполагаем, что они не явля-
ются общими корнями всех ортогональных многочленов
степени к. Из этого предположения следует, что порядок
каждой гиперповерхности Ни ..., Нп равен к. При выбо-
ре точек а(1), ..., а(п) мы должны также беспокоить-
ся о том, чтобы гиперповерхности Hi, ..., Нп не име-
ли бесконечно удаленных точек пересечения. Из этого
§ 10. ФОРМУЛЫ С ЧИСЛОМ УЗЛОВ, РАВНЫМ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЕ 223
/
второго требования, в частности, следует, что размерность
п
многообразия П Hi равна нулю, т. е. что это пересече-
г=1
ние состоит из конечного числа точек.
Естественно попытаться точки пересечения гиперпо-
п
верхностей f] Hi и точки а(1), ..а(п) взять в качество
узлов кубатурной формулы с 2А-свойством. В § 12 мы
увидим, что в широком классе случаев это возможно сде-
лать. Описанный алгоритм называется методом воспроиз-
водящего ядра.
В настоящем параграфе установлено, что кубатурные
формулы, обладающие тп-свойством и имеющие число уз-
лов М(п, [тп/2]), равное нижней границе, существуют для
любых £2 и р(х) > 0 при тп = 1 и тп = 2.
При тп = 3 наименьшее число узлов зависит от Q
и рЫ и обычно не совпадает с простейшей нижней гра-
ницей. Мы уже видели в п. 10.1, что в случае тп = 3 наи-
меньшее число узлов кубатурной формулы для симплекса
равно п + 2.
Как было показано в § 9, наименьшее число узлов
кубатурной формулы для области и веса, обладаю-
щих центральной симметрией, в случае тп = 3 равно 2п.
Таким образом, в случае тп = 3 и п > 3 наименьшее число
узлов кубатурной формулы для симплекса отлично от
наименьшего числа узлов кубатурной формулы, например,
для куба и оба эти числа больше п + 1 — простейшей
нижней границы для числа узлов.
Теорема 10.1 получена в [40, и]. Пример области, для которой
существует кубатурная формула гауссова типа при п=2, &=1, при-
веден в работе автора [40, к]. Другие примеры такого рода обла-
стей указаны в [60, а] —для и любого п; в [41] — для к=2
и п==2. В. А. Кузьменков [28, в] доказал, что при любых к и п для
заданной области QczRn существует такая непрерывная и неотри-
цательная в Q функция р(ж), что для Й и р(х) существует куба-
турная формула с х узлами, точная для всех многочленов степени
не выше 2&+1.
Теорема 10.2 в менее полной форме приведена в [40, в], там
же указан метод воспроизводящего ядра и применен в случае к — 1
и любого л, а также в случае к = 2, п=2. Метод воспроизводящего-
ядра в случае к=2, п=2, 3 применен в [5, a, 6J и в случае &=2Г
4 в [8, а]. Исследование и применения метода воспроизводя-
щего ядра рассматриваются также в [38, а] и [8, 61.
i>24 гл. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ?
§ И. Общие корни ортогональных многочленов
и кубатурные формулы
В настоящем параграфе приведены теоремы о сущест-
вовании кубатурных формул с тп-свойством, у которых в
качестве узлов берутся общие корни ортогональных мно-
гочленов в предположении, что число корней конечно.
В п. 11.1 рассматриваются кубатурные формулы обычного
вида, в п. 11.2 — обобщенные кубатурные формулы,
батурная сумма которых наряду со значениями f(x) со-
держит значения ее частных производных в узлах.
11.1. Кубатурные формулы обычного вида. Пусть V —
конечномерное векторное пространство и У* — сопряжен-
ное к нему пространство линейных функционалов. Если
U — подпространство У, то множество линейных функ-
ционалов
UА = {L е У*) L (и) = 0 Уи е U} (11.1)
называется аннулятором подпространства U. Ясно, что
UА — подпространство У*.
Возьмем подпространство Ui <= У такое, что У являет-
ся прямой суммой U и Ur. V ~U ® Ui. Тогда размер-
ность Ui равна разности размерностей У и U:
dim Ui = dim У — dim U. (11.2)
Если L s Uа, то сужение L на Ui принадлежит t7* и,
следовательно, dim Ua dim C7*. Но любой функционал
ie Ur,продолженный нулем на все У, принадлежит С7А,
так что dim C/i ^dimC7A. Отсюда получаем
dim UА = dim U*. (11.3)
Так как dimtZ* = dim£71, то из (11.2) и (11.3) находим
dim Uл = dim V — dim U. (11.4)
Возьмем попарно различные точки из С"
х(,), х<2), ..., x(lf> (11.5)
и рассмотрим множество многочленов
t7m = {/e^m|/(a:<i))=0) i = l, 2, ..., N}, (11.6)
тде — векторное пространство многочленов степени не
§ 11. ОБШИЕ КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 225
/
выше тп от п переменных. Очевидно, Un — подпростран-
ство &т.
Теорема 11.1. Чтобы существовала кубатурная фор-
мула
W*») (11.7)
о J-x
с m-свойством, необходимо и достаточно, чтобы выполня-
лось условие
ft=Um=> 1(f) =0. (11.8)
Число узлов N кубатурной формулы удовлетворяет не-
равенству
N>om — М(п, т) — рт, (11.9)
где рт — размерность Um, и существует кубатурная фор-
мула вида (11.7) с m-свойством, у которой не более от
отличных от нуля коэффициентов', другими словами,
если N> Gm, то в качестве узлов требуемой кубатурной
формулы можно взять о™ точек, содержащихся среди то-
чек (11.5) и выбираемых специальным способом.
Доказательство. Первое утверждение теоремы
является непосредственным следствием теоремы 3.6. До-
кажем второе утверждение. Возьмем в определении анну-
лятора (11.1) в качестве V векторное пространство Рт,
а в качестве U — векторное подпространство (Рт, опреде-
ляемое равенством (11.6). Тогда условие (11.8) означает,
что линейный функционал 1(f) принадлежит ((7т)л.
Из первого утверждения теоремы следует, что линей-
ный функционал 1(f) является линейной комбинацией
функционалов f(x(i)), i = 1, 2, ..., N, принадлежащих V*;
это остается справедливым, если 1(f) — любой линейный
функционал, принадлежащий ((7т)л. Отсюда вытекает,
что N > От, так как om = dim (Um)A. Если N > от, то
среди функционалов f(xw) найдется от линейно незави-
симых. Так как I^(Um)A, то I является линейной ком-
бинацией этих От функционалов, образующих базис
(Um)A. Теорема доказана.
Теорема 11.1 в последующем будет применена к част-
ному случаю, когда точки (11.5) являются общими корня-
ми многочленов.
М* п. Мнсовсквх
226 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЦ?
Рассмотрим многочлены ?
Д(я) = g»U) + i = 1, 2, . . ., 72, (11.10)4
где gitx) —- однородная составляющая старшей степени |
многочлена f{(x), так что степени и g4 одинаковы и
равны к{, а степень Qi меньше kit
Лемма 11.1. Если многообразие идеала b = (gb ...i
..., gn) состоит из единственной точки 0 = (0, 0, ..., 0), |
то размерность векторного пространства многочленов .1
а П где а = (Д, ..., /п) и —векторное пространств^
во многочленов степени не выше т, равна
Pm = dL + db+l + ... + dm.
£
Здесь ds — число линейно независимых однородных мнсь:$
сочленов степени s идеала Ь, которое определяется равен-
ством (2.37), L = min (kh k2, ..., &n). J|
Доказательство. Выберем pm линейно независим
мых элементарных членов идеала Ь степени не выше
%*gi, lai + ki^m. (11.11) |
Эти многочлены образуют базис векторного пространства]
Ь Л и среди них ровно d8 имеют степень s, s <
Элементарные члены идеала a
xafi \a\+ki^m, (11.12)1
J
которые получаются при тех же а и f, что и элементар-|
ные члены (11.11), линейно независимы, и их число рав-f
но pm. Докажем, что многочлены (11.12) образуют базис*
в а П ^т, откуда и будет вытекать, что размерность этопж
векторного пространства равна р™. >
Пусть / е а П ^w. Обозначим через I степень / (я)1
По теореме 2.11 базис /4, ..., fn идеала а яв-1
ляется /^базисом, поэтому |
f(x) = ^lAi(x)fi(x), I
i==l 1
где степень не более степени /. Обозначим через a<(^)f
однородную составляющую старшей степени многочлена
At(x) л перепишем предыдущее равенство следующим!
§11. ОБЩИЕ КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 227
образом:
/(ж) = 2' ai(x)fi (а?) +
+ 2' <4 (ж) А (ж) + 2 [Ai (х) - ai (ж)] U (х). (11.13)
г=1 г=1
В первой сумме штрих означает, что выписаны слагае-
мые, у которых степень равна Z, в сумму с двумя
штрихами включены слагаемые, для которых степень
меньше I,
Равенство (11.13) можно переписать в виде
/ (X) = 1' (х) и (х) 4- F (х)х (11.14)
1=1
п
где F е а и степень F меньше I. Так как — одно-
t=i
родный многочлен степени I из Ь, то он является линейной
комбинацией содержащихся среди (11.11) элементарных
членов идеала
п п
S' (*) gi (*) = 3 bi (х) gi (х). (11.15)
i=l i=l
Сумме в правой части равенства (11.15) отвечает
п
2 bi (х) fi (х)% которая является линейной комбинацией со-
i=i
ответствующих элементарных членов идеала а из (11.12).
п
Прибавляя и вычитая 2 bi (х) fi (х) в правой части ра-
1=1
венства (11.14), получим
f(*)=i м*)ш+
1=1
2' «i (ж) А (ж) — 2 (х) и (х)
Li=l i=l
+ F(x).
(11.16)
Разность сумм в квадратных скобках является многочле-
ном степени меньше I, как это следует из (11.15).
Таким образом, равенство (11.16) дает представление
/(ж) в виде суммы линейной комбинации тех из многочле-
15*
228 ГЛ. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
п
нов (11.12), степень которых равна I: ^jbi(x) fi(x)t и мно-
i=l
гочлена F^x) степени меньше I, принадлежащего а:
Pi (*) = 1' <И (х) fi (х) - S bi (х) fi (х) + F (х).
i—1 i=l
Если F^x) — нулевой многочлен, то утверждение доказа-
но. Если Л(#) —не нулевой, то степень Л(х) равна
при этом L Ц < I. Таким же путем из многочлена F^x)
можно выделить линейную комбинацию элементарных
членов степени Ц идеала а из (11.12). В конце концов
получим представление f(x) в виде линейной комбинации
многочленов (11.12), степень которых не выше I. Лемма
доказана.
Лемма 11.2. Если многочлены (11.10) удовлетворя-
ют условиям леммы 11.1, то при L^TnC2L—1 спра-
ведливо равенство
ki). (11.17)
i-1
Доказательство. По (2.37) d, = М(п — 1, s) — h„
где h, — коэффициент при I* в разложении функции
ф (f) = (1 — tfti) (1 — ?2) ... (1 — $*») (1 — t)-n
по степеням I. Так как
(l_f)-« = l + jlf(n-l, l)i+... + Жп —1, з)«‘ + ...
(см. п. 2.1), то коэффициент при t*, L < s =5 2L — 1, в раз- '
ложении функции <р(£) легко указать. Действительно, из|
равенства |
Ф(О = (1— tki—tka— ... —...)х I
Х(1 + М(»-14 1)« + ;..+M(n-V)i‘+ ...)1
получаем ’ f
h, = М(п — 1, з) —
— М(.п — 1, s — kt) — Min — 1, s — kt) —... — M(n— 1, s—kj f
§ 11, ОБЩИЕ КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 229
(существенно, что 2L), откуда находим
S АГ(лг— A?t).
i=l
Если L т 2L — 1, то
т п т п
рт = 2 d, = s 2 М (п —s — ki) = s M{ntm-ki).
s=L i=i «=Д i=i
Лемма доказана.
Предположим теперь, что множество общих корней
многочленов (11.10) из леммы 11.1 состоит из точек
(11.5), число которых N — kjtt ...кп, и среди них нет
бесконечно удаленных. Из этого предположения об об-
щих корнях следует, что у однородных составляющих
gi(x), i=l, 2, ..., п, нет общих корней, отличных от 0.
Теорема 11.2. Точки (11.5) — общие корни много-
членов (11.10) — можно взять в качестве узлов кубатур-
ной формулы (11-7) с (L — 1)-свойством, где L =
— min(A:1, ..., kn). Число узлов N = kikt. ,.kn удовлетво-
ряет неравенству N^Mkn, L— 1), и существует кубатур-
ная формула с {L — 1)-свойством, которая имеет в качест-
ве узлов М(п, L — i) из точек (11.5).
Доказательство. Если многочлен /(а:) обращает-
ся в нуль в точках (11.5), то по теореме 2.12 справедливо
представление
(11.18)
где
deg (ty/P < deg/, / = 1, 2, ..., п. (11.19)
В частности, если / !7ь-1, где (7^-1 определяется равен-
ством (11.6), то справедливо представление (11.18), в ко-
тором deg («j/j) < L — 1. Это неравенство возможно толь-
ко тогда, когда а/ж) = 0 и, следовательно, /(ж) = 0. Тре-
буемая кубатурная формула существует в силу теоремы
11.1, так как условие (11.8) этой теоремы выполнено.
Кроме того, получили, что точки (11.5) не лежат на
гиперповерхности порядка L — 1. В таком случае среди
них имеются М(п, L — i) точек, которые также не лежат
на этой гиперповерхности и которые можно взять в каче-
стве узлов кубатурной формулы с (L—1)-свойством. От-
230 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
сюда также вытекает, что число N = kik2.. .кп точек
(11.5) удовлетворяет неравенству N> М(п, L— 1). Теоре-
ма доказана.
Теорема 11.3. Если в теореме 11.2 многочлены
(11.10) ортогональны относительно Q и р(гг), то существу-
ет кубатурная формула (11.7) с N = kik2.. .кп узлами и с
(2L — i)-свойством. Число узлов удовлетворяет нера-
венству
N > ff2b_i = М (n, 2L - 1) - 2 М (п, 2L - 1 - kJ,
i=l
(11.20)
z
и существует кубатурная формула с (2L — 1)~свойством,
у которой узлами являются о2Ь-1 из точек (11.5).
Доказательство. Воспользуемся теоремой 11.1.
Пусть /е Z72l-i; тогда справедливо представление (11.18),
некотором по (11.19) deg (а,/,) < 2L — 1. Из этого неравен- ;
ства вытекает, что степень as не выше L — 1. Умножив 1
обе части равенства (11.18) на р(х) и проинтегрировав по |
Q, получим |
п •
так как — ортогональный многочлен степени не меньше j
L, а степень не выше L — 1. i
Условие (11.8) теоремы 11.1 выполнено, и кубатурная (
формула с (2L — D-свойством существует. Неравенство *
(11.20) является непосредственным следствием неравен- У
ства (11.9) из теоремы 11.1 и леммы 11.2. Теорема дока- >-
зана.
Отметим важный частный случай теоремы 11.3, когда I
степени всех многочленов (11.10) одинаковы: ki = k2 —... |
... = кп = к + 1, так что L == к + 1 и N == (к + l)n. J
Теорема 11.4. Пусть п ортогональных многочленов J
степени k + i области Q и веса р(х) имеют точно (к + 1)л ||
общих конечных и попарно различных корней. Тогда су- >
ществует кубатурная формула, для которой эти корни яв- Ц-
ляются узлами и которая обладает (2k + 1)-свойством. |
Число узлов удовлетворяет неравенству |
N = (k + 1)я > о2Л+1 - М(п, 2к + 1) - пМ(п, к), (11.21) |
§11. ОБЩИЕ КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 231
и существует кубатурная формула с (2k + D-свойством,
у которой узлами являются <j2a+i из общих корней рас-
сматриваемых многочленов.
Отметим, что при п = 1, 2 и любом к, при к = 0 и лю-
бом п, а также при и = 3и& = 1в неравенстве (11.21)
достигается знак равенства, в остальных случаях имеет
место строгое неравенство.
Теорема 11.5. Пусть многочлены степени к + 1
Д(Д /2(Д fr(x), (11.22)
где г = М(п — 1, к + D — п, I — неотрицательное це-
лое число, таковы, что их однородные составляющие gj(x)
степени к +1 линейно независимы, и линейная оболочка
однородных многочленов Xig$(x), i = 1, 2, ..., п, j = 1, 2,...
..., г, степени к + 2 совпадает с векторным пространством
всех однородных многочленов степени к + 2. Если попар-
но различные точки (11.5), число которых равно N =
= М(п, k) + I, являются общими корнями многочленов
(11.22), то их можно взять в качестве узлов кубатурной
формулы (11.7) с k-свойством. Если многочлены (11.22)
ортогональны относительно Q и р(х), то существует куба-
турная формула (11.7) с (2k + D-свойством.
Доказательство. Для доказательства существо-
вания требуемой кубатурной формулы воспользуемся тео-
ремой 11.1. Множество многочленов, которые обращаются
в нуль в точках (11.5), является идеалом .(Д, ..., /г), ба-
зис которого образуют многочлены (11.22). Пусть f(x) —
многочлен, который обращается в нуль во всех точках
(11.5). По теореме 2.13 справедливо представление
(11.23)
j=l
где степень многочлена ajj не выше степени /. Если сте-
пень f не выше к, то f(x) = 0 и 1(f) =0. Из теоремы 11.1
следует, что существует кубатурная формула (11.7) с к-
свойством.
Пусть теперь многочлены (11.22) являются ортого-
нальными. Докажем, что существует кубатурная формула
(И.7) с (2к + 1)-свойством. Пусть f(x)— многочлен сте-
пени не выше 2к + 1, который обращается в нуль в-точ-
ках (11.5), Тогда для него справедливо представление
232 гл* 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
(11.23), в котором степень многочлена а^х) не выше Л,
и, следовательно,
/(/) = 2 Ш = О
5=1
по ортогональности //ж). Существование требуемой куба-
турной формулы следует из теоремы 11.1. Теорема дока-
зана.
Кубатурная формула (11.7) в случае, когда /Дж) — ор-
тогональные многочлены, является интерполяционной.
Действительно, точки (11.5) являются общими корнями
многочленов xtfj{x), i—i, 2, ..., п, j — 1, 2, ..., г, сте-
пени к + 2 у которых линейная оболочка однородных со-
ставляющих (к + 2)-й степени совпадает с векторным про-
странством всех однородных многочленов (к + 2)-й степе-
ни. В силу теоремы 2.6 ранг матрицы
^Ф1(®(й), Ч>2(*(j)). • • •, фМ(пЛ+1)(«0))]>1
равен числу ее строк. Это же утверждение верно и по от-
ношению к матрице
1Ф1(®(П)> ф2(«0)). • •фм(П,8к+1)(«(Я)]>1;
поэтому на основании теоремы 3.3 кубатурная формула
(11.7) интерполяционная. Таким образом, в случае, когда
многочлены (11.22) являются ортогональными, кубатур-
ная формула (11.7) определяется однозначно узлами
(11.5).
В теореме 11.4 доказано существование кубатурной
формулы, имеющей (2к + 1)-свойство и (к + 1)п узлов, ко-
торые являются общими корнями п ортогональных мно-
гочленов. Число п ортогональных многочленов является
минимально возможным, а число их общих корней, в си-
лу теоремы Безу, максимально. Число узлов этой куба-
турной формулы можно уменьшить до o2fe+1 — правой час-
ти неравенства (11.21), причем o2fe+1 не больше, чем
ЛГ(п, 2к + 1) — числа узлов интерполяционной кубатур-
ной формулы с (2к+ 1)-свойством.
В теореме 11.5 утверждается существование кубатур-
ной формулы, которая также имеет {2к + 1)-свойство, но
число ее узлов равно Af(n, к) +1, Это число на I единиц
больше простейшей нижней границы, а число ортогональ-
§ 11, ОЙЩИЕ КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 233
ных многочленов (11.22) степени к + 1, для которых узлы
— общие корни, на I единиц меньше М(п— 1, /с+ 1) —
максимально возможного числа линейно независи-
мых ортогональных многочленов степени к +1. В част-
ности, при Z = 0 теорема 11.5 приводит к кубатурной фор-
муле гауссова типа (см. (10.1)).
11.2. Кубатурные формулы, содержащие значения
производных подынтегральной функции. В теореме 11.4
общие корни п ортогональных многочленов попарно раз-
личны, их число максимально и равно произведению сте-
пеней многочленов. Это условие нарушается, если среди
общих корней многочленов имеются кратные. В этом слу-
чае общие корни, вообще говоря, нельзя взять в качест-
ве узлов кубатурной формулы, которая точна для много-
членов степени не выше 2к + 1.
Приведем пример. Возьмем в качестве области интег-
рирования круг и в качестве веса функцию, равную
единице. Рассмотрим ортогональный многочлен четвертой
степени = Рм + Рп + АР22. Основные ортогональные
многочлены Вг берем из таблицы 8.5. Параметр Л подбе-
рем из условия, что кривая Л имеет на оси Ох двойную
точку. Полагая у = 0 в многочлене /t(a:, у), получим
Я4 -I- /— 4- —ГЕ2 -I- i -I- —
Х ^4 8) Х 8 48’
Потребуем, чтобы дискриминант этого квадратного от-
носительно х* трехчлена был равен нулю:
/з , Х\2 1 % __п
(i4‘t’8/ 2 12 ~U’
Отсюда находим = — 2 /3, Х2 = — 6. Значение —6 при-
водит к /1, которая распадается на четыре прямые, прохо-
дящие через (0, 0). Значение X = — 2/3 дает требуемую
кривую, распадающуюся на две кривые второго по-
рядка:
, /1 2 2, 21/Г \/1 , о 21/2" \
/1 = (з — « — S + (з — Х ~ У ~ уТ'ХУ)'
В качестве второго ортогонального многочлена возьмем
/а = Лн — Лз — ХУ (х* I/2)*
Точки пересечения /1 и /2 на осях координат (±1/УЗ, 0),
234 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
(О, ±1/УЗ) являются двукратными. Общее число попарно
различных точек пересечения равно 12 < 16. Обычная ку-
батурная формула с ^-свойством не существует. Однако
существует кубатурная формула, которая в кратных об-
щих корнях содержит частные производные подынтег-
ральной функции (см. формулу 20 § 16).
Пусть алгебраические кривые f^x, у) и /2(я, у) соот-
ветственно порядка к{ и к2 имеют только конечные точки
пересечения уд, & = 1, 2, ..., о. Обозначим кратность
точки уд как точки кривой Д через ги и как точки
кривой /2 — через r2i.
Теорема 11.6. Пусть в каждой точке пересечения
касательные к кривой fi отличны от касательных к кри-
вой f2. Тогда существует кубатурная формула
P^y)f(x,y)dxdy^^ 2 (xi, у$,
Q i=l |a|<rli4-r2i-2
(11.24)
a« (<Zi, a2), которая имеет (L — 1)-свойство, где L =
= minUi, k2). Если многочлены Д и f2 ортогональны от-
носительно Q и р(х, у), то существует кубатурная форму-
ла вида (11.24), которая обладает (2L — 1)-свойством.
Доказательство. Обозначим через а идеал, кото-
рый образуют многочлены f(x, у), удовлетворяющие усло-
виям
D^Xi, уд = 0, lai Гц + r2i ~ 2, i = 1, 2, ..., о.
Если /^а, то по теореме 2.14 существует представление
f-aifi + a2f2 (11.25)
и выполнены неравенства
deg (atfd < deg /, i = 1, 2. (11.26)
Если f a П ZPl-i, то из (11.25) и (11.26) получаем
/(я, £/) s 0. Так как выполнено условие (3.28) теоремы
3.6, то существует кубатурная формула (11.24) с (L — 1)-
свойством.
Пусть теперь многочлены fi и /2 ортогональны. Если
то для f справедливо представление (11.25)
и имеют место неравенства (11.26). Из (11.26) следует,
что степень не выше L — 1. Из (11.25) получаем 7(/) =
= Haji) + Z(a2/2) = 0 ввиду ортогональности Д и Д. Сно-
§11. ОБЩИЕ КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 235
ва выполнено условие (3.28) теоремы 3.6, и, следователь^
Но, существует кубатурная формула вида (11.24)
с (2L — 1)-свойством. Теорема доказана.
Если требование об отсутствии общих касательных
у кривых /1 и /2 в некоторой точке пересечения не выпол-
няется, то в кубатурную сумму должны быть добавлены
слагаемые, отвечающие этой точке. Например, если точка
пересечения является простой для каждой из кривых Д
и /2, которые в этой точке имеют касание порядка к, то в
кубатурную сумму должны быть добавлены слагаемые,
содержащие частные производные от fix, у) до порядка к.
Докажем, что для круга В2 и веса 1 существует ор-
тогональный многочлен вида
ху(г21 + + Ь2г2'“4 + ... + W, г2 = х2 + у2, (11.27)
и укажем, как находить его коэффициенты. Условие ор-
тогональности к одночленам степени не выше 2Z +1 запи-
сывается в виде
j J (г21 + Ь/'-2 + • • • + М Xi+1ys+1dx dy = О,
В,
Z>0, />0, 0<f + ;<2Z + l. (11.28)
Если хоть одно из чисел inf четно, то равенство (11.28)
имеет место при любом выборе коэффициентов Ь2, ...
..bt. Поэтому достаточно потребовать, чтобы равенство
(11.28) имело место, когда i и / оба нечетны. В этом слу-
чае i + j четно и можно требовать выполнения (11.28) при
2 i + j 2Z.
Переходя к полярным координатам в интеграле
(11.28), получим, что условия (11.28) равносильны сле-
дующим:
1
[ (г2' + Ь/'"2 +... + &,) ri+J+3dr = 0, 2 < i + j < 21.
О *
Введем новую переменную интегрирования t = г2. По-
лучим
J t2 (? + bi?-1 +...+&,) i(i+J-2)/2dt = ох
О
236 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРЙЫЕ Ф-ЛЫ
Отсюда видно, что коэффициенты Ъг ортогонального мно-
гочлена (11.27) совпадают с коэффициентами приведенно-
го многочлена со/(£) степени Z, ортогонального с весом t2
на [О, И.
Докажем еще, что существует ортогональный относи-
тельно В2 и 1 многочлен степени к, который является од-
нородным:
cQxh + с^-'у + с2з*-2у2 + ... + chy\ (11.29)
Условия ортогональности к одночленам степени не выше
к — 1 записываются в виде
f J (сож& + + ... +ckyh) x'y3dx dy = 0,:
%
0<3 + / — 1.
Переходя в интеграле к полярным координатам, найдем,
что эти условия равносильны следующим:
2Я
J (с0 COSft ф + CL cos*”1 ф sin ф + . . . + Ch 81ПЙф) X
о
X cos*фsin*фйф == 0, 0<i + 7^&~-l- (И.ЗО)
Под знаком интеграла стоит тригонометрический мно-
гочлен порядка не выше 2к — 1, поэтому значение интег-
рала можно получить, применяя квадратурную формулу
прямоугольников с 2к узлами. Отсюда следует, что усло-
вия (11.30) будут выполнены, если алгебраическая кривая
(11.29) распадается на к прямых, проходящих через (0, 0)
и через точки окружности х2 + у2 = 1, равноотстоящие
с шагом 2п/(2к) по ф. Многочлен (11.29), который распада-
ется на линейные множители указанного вида, будем на-
зывать ортогональным многочленом деления окружности.
Пример. Построим кубатурную формулу для вычис-
ления интеграла по кругу В2 с весом р(х, у) — 1. Восполь-
зуемся теоремой 11.6. Возьмем в качестве f^x, у) ортого-
нальный многочлен вида (11.27) степени 21 + 2 и в каче-
стве f2(x, у) —ортогональный многочлен деления окружно-
сти степени 2Z + 2. .Среди прямых, на которые распадается
fa(#, у\ не должно быть координатных осей — в тео-
реме 11.6 предполагается, что /Дя, у) и /2(я, у) не имеют
общих компонент. На I окружностях кривой Д распола-
s 1L ОБЩИЕ КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 237
S * *
гается /(4/ 4- 4) точек пересечения Д и /2. Начало коорди-
нат является точкой пересечения кратности 2(2/ 4- 2). Об-
щее число точек пересечения с учетом кратностей равно
(2/ + 2)2, так что их можно взять в качестве узлов куба-
турной формулы типа (11.24). Кубатурная сумма в узле
(О, 0) должна содержать частные производные до порядка
2/4-2 включительно.
Докажем, что на самом деле войдут лишь производные
второго порядка 52/(0, 0)/5ж2 и д2/(0, 0)/5у2. Это следует
из того, что кубатурная формула должна быть точна для
всех многочленов
<?«(*, у) - (г*‘ + М‘-* 4-... 4- W,
где целые неотрицательные I, } удовлетворяют неравенст-
вам 1 =5 г 4- / 2/ 4- 2. Пусть i + / = 2/4-2. Тогда интег-
рал от многочлена Qt) по В» равен нулю и частные про-
изводные от Qu порядка не выше 2/ 4- 2 в точке (0, 0) рав-
ны нулю, кроме производной
1 1
Записывая, что кубатурная формула точна для Qti, полу-
чим, что коэффициент при указанной производной равен
нулю. Аналогично получаем, что коэффициент при произ-
водной порядка 2/4-1 равен нулю, и т. д. Это рассужде-
ние не приводит к цели в двух случаях: когда i = 2, / = 0
и i = 0, / = 2, так как интегралы по В2 от многочленов
Qzo и <2о2 отличны от нуля. Заметим, что эти интегралы
одинаковы, так что коэффициенты формулы при вторых
производных также одинаковы.
Таким образом, кубатурная формула имеет вид
IJ / (®я У) dx dy & Bof (0,0) 4- В Г 1 4-
| ив оу I
+.?.в‘Х'(1<г‘и”!гтг!, С11-31)
Отметим, что теорема 11.6 гарантирует существование ку-
батурной формулы (11.24), в которой заранее на коэффи-
238 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
циенты не налагается никаких ограничений. В то же вре-
мя в формуле (11.31) коэффициенты подчинены следую-
щему ограничению: узлам, лежащим на одной и той же
окружности, сопоставлены одинаковые коэффициенты. Ос-
нованием для этого послужила симметрия области интег-
рирования и симметрия расположения узлов.
Найдем значения коэффициентов формулы (11.31). За-
писывая, что она точна для (?2о(я, у\ найдем
1
*0
где G)i(t) — приведенный ортогональный многочлен степе-
ни I веса t2 и отрезка [0, 1], bt = ш/О) =/= 0 — его свобод-
ный член.
Кубатурная формула точна для ©/(г2):
П (г2) dx dy = B9bt + 4Bbi-u f
B2
откуда находим |
B^^tHh-b^tydt. I
10
Здесь b^i —- коэффициент многочлена при t в первой |
степени. |
Равенства i
^(41 += m = 2,3, .2/+1,
i=l -j
выражают тот факт, что кубатурная формула (11.31) точ-
на для многочленов г2т при указанных т. Сравнивая эту
систему равенств с системой уравнений, которая возника-
ет при определении узлов и коэффициентов квадратурной
формулы гауссова типа (см. § 1):
г 1 -I
) £2Ф (t) diq (ti), |
о <
§ Ц. ОБЩИЕ КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 239
заключаем, что коэффициенты определяются равенст-
вами
где tt та. dt — соответственно узлы и коэффициенты этой
квадратурной формулы.
Алгебраическая степень точности кубатурной формулы
(11.31) равна 4/ + 3, так как по теореме 11.6 она облада-
ет (4/ + 3)-свойством и, как легко видеть, не точна для
многочлена a>i (г2) г4.
Теорема 11.6 справедлива для любого 2.
Пусть алгебраические гиперповерхности /*Сг), /2(х), ...
..., /п(ж) соответственно порядка Ai, й2, ..., Ап имеют
только конечные точки пересечения x(i), j = 1,2, ..., о.
Обозначим через r{j кратность точки хи> как точки гипер-
поверхности /Дж), так что разложение /<(») по формуле
Тейлора в окрестности ха> начинается с членов
/у (*) =7^[(*i-*V))‘^7+...+(*»-
Теорема 11.7. Пусть в каждой точке пересечения
xw многочлены /ц(х), ..., /„/») не имеют общих корней,
отличных от x{i). Тогда существует кубатурная формула
f о
jp(x)/(x)da:^S 2 (^Daf{x{i}y (11.32)
Q j=l n
la < 2 n
i=l
где a = (ai, ..an) — мультииндекс, которая имеет
(L— D-свойство, где L = min (Ai, ..kn). Если многочле-
ны fn(x) ортогональны относительно Q и p{x),
то существует кубатурная формула вида (11.32), которая
обладает (2L—D-свойством.
Доказательство этой теоремы аналогично доказатель-
ству теоремы 11.6, при этом используется теорема 2.15.
Первое утверждение теоремы 11.1 — частный случай теоремы 3.5
[51, а], второе утверждение, содержащее неравенство (11.9) для
числа узлов, взято из [38, а]. Теоремы 11.2 и 11.3 получены в
[38, а] и [40, ф]. Теорема 11.4 доказана в [59, а]. Частный случай
этой теоремы, когда п=2, был независимо получен в [53, в] и
[40, к, м].
240 ГЛ. i, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ! МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Мысль об использовании значений частных производных подын-
тегральной функции в узлах, которые являются кратными точками
пересечения кривых /| и /2, принадлежит автору [40, м]. Теоремы
11.6 и 11.7 сформулированы так, как это делается в работах [40, с,
т, ц, ч]. Дальнейшие обобщения теорем 11.6 и 11.7 даны в работах
[12, а; 38, а, б; 45, в].
§ 12. Метод воспроизводящего ядра
С методом воспроизводящего ядра мы уже встречались
в § 10, где этот метод был применен к построению куба-
турной формулы с 2-свойством и с числом узлов, равным
и 4-1. В настоящем параграфе речь идет о применении ме-
тода в общем случае, когда строится кубатурная формула
с 2&-свойством, где к — любое натуральное число. Приво-
дится также модификация метода, которая позволяет в
центрально-симметричном случае построить кубатурную
формулу с (2к + 1)-свойством. Будем пользоваться обозна-
чением (8.19) воспроизводящего ядра:
Кк(и,х)^^Р^и)Р}(х), (12.1)
5=1
где х = М (пл к)л {Fj(x)}T=i — ортонормированиям относи-
тельно скалярного произведения
(ф> Ф) == 1 (ф*ф) = J Р (*) Ф (z) Ф (я) dx (12.2)
система многочленов (см. п. 8.3). Пусть р(х) неотрица-
тельна в Й и Pi > 0. Обозначим через V* множество об-
щих корней всех ортогональных относительно (12.2) мно-
гочленов степени к.
Пусть а(<) — точка, не принадлежащая Vh. Обозначим
через гиперповерхность, определяемую многочленом
Kk(a{i), х). Так как а(<) 0 Vk9 то порядок равен к. Вы-
берем п точек а(1), а(2), ..., а(п) следующим путем. В ка-
честве а(1) возьмем любую точку, не принадлежащую
Vk П Hi. Пусть уже выбраны точки а(1), а(2), ..., a(r”1),
2 г С п. В качестве а(г) возьмем любую точку из пересе-
r-i
чения П Я{,не принадлежащую V* П Нт.
i-i
Предположим, что гиперповерхности Ht, Ht, ..., Нп,
определяемые точками а(1>, а(2),.,., а<п), не имеют в числе
§ 12. МЕТОД ВОСПРОИЗВОДЯЩЕГО ЯДРА
241
точек пересечения бесконечно удаленных. Отсюда по тео-
реме 2.11 следует, что число з точек пересечения конечно.
Обозначим их ж(1), х(2), ..., x(s).
Требование а(г) Vk П Ht равносильно тому, что а(<)
Ф и
Ь< = ЯЛ(а«>, aw) 0, i = 1, 2, ..., п. (12.3)
Условие (12.3) выполняется автоматически, если точки
а(1>, ..., а(п> вещественны, так как в силу (12.1)
X
bi = 5 Р] (а<1>) есть сумма квадратов вещественных чисел,
j=i
при этом первое слагаемое /i(a(t))= 1/рх положительно.
Требование
а(г) е П1 Hit г = 2,3, ..п, (12.4)
1=1
означает, что
К*(а™, aW =0, i = 1,2, ..., г - 1. (12.5)
Условия (12.3), (12.5) можно записать следующим об-
разом:
Kh(aw, i, j = 1,2, ..., и, (12.6)
где bt ¥= 0, бу — символ Кронекера.
Теорема 12.1. Предположим, что точки а(,),..., а,#)
п
удовлетворяют условиям (12.6) и П Hi состоит из попар*
но различных точек ж(1), ..., xwt число которых s = к*.
Тогда точки а(,), ..., а(п), ж(1), ..., xw можно взять в ка-
честве узлов кубатурной формулы
р п kn
\ p(x)f (х) dx si 2 +2 cif (®0)). <12-7)
Q 4 i=l
где bi определяется равенством (12.3), которая обладает
2к-свойством.
Доказательство. Рассмотрим функционал
L (f) = I* р (х) f(x)dx-^^-f (a(J))
□
И. П. Мысовских
(12.8)
242 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
в векторном пространстве многочленов степени не вы-
ше 2к. Докажем, что L(f) выражается линейно с постоян-
ными коэффициентами через функционалы
£//) =/(жо)), /=1,2, ...,
рассматриваемые также в
Воспользуемся теоремой 3.6, положив в ней т = 2к.
Надо доказать, что если многочлен степени не выше 2к
обращается в нуль во всех точках я(1), ..., x{s), то на нем
обращается в нуль функционал (12.8).
Пусть многочлен Р(х) имеет степень не выше 2к и об-
ращается в нуль в общих корнях x{i)9 ..., x(s) многочле-
нов Kh(a(i), х). Так как точки x(i), ..х{8) попарно раз-
личны и их число равно кп9 то по теореме 2.12
р (X) = 2 Ai (х) Kh (a(i), х), (12.9)
i=l
при этом степень многочлена Л<(х) не более к.
Полагая в (12.9) х == аи) и принимая во внимание ра-
венство (12.6), получим
Р(а«>) = А^К^а™, = МА(Й). (12.10)
Воспользовавшись равенством (12.9), можем получить
f р (х) Р (х) dx — f р (х) 2 (х) Kk (a(l\ х) dx =
Q Q i=l
= 2 J? («) Kk (a(\ x) Ai (x) dx = 2 Ai (aW).
»=i a J=i
С помощью полученного равенства и равенства (12.10)
убеждаемся, что значение функционала (12.8) на много-
члене Р(я) равно нулю:
l (Р)=2 (a(i)) - 2 г <х5))-о-
г=1 5=1 3
Условие теоремы 3.6 выполнено, следовательно, можем ут-
верждать, что функционал (12.8) можно представить в ви-
де линейной комбинации с постоянными коэффициентами
функционалов /(а:0)). Это приводит к кубатурной формуле
(12.7). Из теоремы 3.6 также следует, что кубатурная
формула (12.7) имеет 2&-свойство. Теорема доказана.
§ 12. МЕТОД ВОСПРОИЗВОДЯЩЕГО ЯДРА
243
В § 10 для случая к = 1 было показано, что точки
а(1), . • •, я(п) возможно выбрать так, чтобы определяемые
п+1
ими гиперплоскости Hi: Кг (а(^, х) = 2 Fj (а(г)) F$ (х),
5=1
i ~ 1, 2, ..тг, не имели бесконечно удаленных точек пе-
ресечения и пересекались в единственной конечной точ-
ке. Чтобы это условие было выполнено, достаточно при
выборе точек a(i) удовлетворить требованию: матрица
Dr = [^2 (а<г))> • • • > («(г))]<=1Имеет ранг г при 1 < г < тг.
Обозначим через G^x) однородную составляющую пер-
вой степени многочлена K^(a{i\ х). Тогда требование, на-
лагаемое на матрицу Д., равносильно тому, что ранг идеа-
ла (6?i(rr), ..., Gr(x)\ 1<г<тг, равен г. Последняя фор-
мулировка переносится непосредственно на случай любого
к. Будем считать, что Gi(x) — однородная составляющая
степени к многочлена Kh(a{i\ х), i = 1, 2, ..., тг. При вы-
боре точек а(1), ..., а{п} мы должны следить за тем, чтобы
ранг идеала (Gt(^), ..., Gr(x)) был равен г при всех г,
1 < г п, другими словами, чтобы эти идеалы были иде-
алами главного класса. Если (бч(я), ..., Gn(#)) являет-
ся идеалом главного класса, то гиперповерхности ТГА(а(<), я),
i = 1, 2, ..тг, не имеют бесконечно удаленных точек пе-
ресечения, и, следовательно, число их точек пересечения
конечно.
Линейную оболочку всех четных (нечетных) одночле-
нов будем называть векторным пространством четных (не-
четных) многочленов и будем обозначать (&"). При-
меняя процесс ортогонализации Шмидта относительно
скалярного произведения (12.2) к системе четных (нечет-
ных) одночленов, можно построить воспроизводящее ядро
в пространстве четных (нечетных) многочленов
степени не выше к, где к — четное (нечетное). Примене-
ние метода воспроизводящего ядра в случае пространства
(^k) приведет к кубатурной формуле, которая точна
для четных (нечетных) многочленов степени не выше 2к.
В случае области и веса общего вида такая кубатурная
формула малоинтересна.
Если область интегрирования и вес обладают цент-
ральной симметрией:
xsQ^-жей, = (12.11)
16*
244 ГЛ* 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
то метод воспроизводящего ядра в векторном пространст-
ве четных (нечетных) многочленов можно модифициро-
вать таким образом, что он приведет к кубатурной форму-
ле с (2к + 1)-свойством.
Пусть выполнены условия (12.11). Тогда, как установ-
лено в п. 8.2, ортогональный относительно й и р(х) мно-
гочлен составлен из одночленов одинаковой четности с его
степенью. Отсюда следует, что ортонормированную си-
стему многочленов в пространстве (3^~) образуют все
четные (нечетные) многочлены из ортонормированной си-
стемы {F|
Воспроизводящее ядро в пространстве где
к — четное (нечетное), обозначим
и
Къ(щх)~Ъ' Fs(u)F}(x),
5=1
где % = Мп, к) и штрих у знака суммы означает, что
суммирование ведется по тем /, которым отвечают много-
члены Fj{x), имеющие одинаковую с к четность.
Опять рассмотрим п точек а(1), ..а(п), которые стро-
ятся следующим путем. Обозначим через Я< гиперповерх-
ность, определяемую многочленом ^(а<0, х). Порядок Я,
равен к, так как считаем, что я(0 Vk. Точка я(1) выбира-
ется так, чтобы было выполнено условие а(1)^У*ЛЯ1.
Пусть уже построены точки а(,), ..., 2С г=5п. В ка-
т—1 ~
честве а1т) возьмем любую точку, которая входит в П
i=l
и не входит в Vh Л Вт.
Предположим, что среди точек пересечения гиперпо-
верхностей Я„ ..., Вп нет бесконечно удаленных и, сле.-
довательно, число точек пересечения конечно. Будем счи-
тать, что точками пересечения являются точки xw, ...
.., ®(,).
Требование а(<) У» Л В< означает, что aw Ф У* и
bi = £*(aw, aw) * 0, i = 1, 2, ..., п. (12.12)
Условие (12.12) выполняется, если точки а(<> не принадле-
жат У* и являются вещественными. В самом деле, =
вя S *1 как сумма квадратов вещественных чисел,
-1
в 12. МЕТОД ВОСПРОИЗВОДЯЩЕГО ЯДРА
245
среди которых имеются отличные от нуля (значения мно-
гочленов Fj(a(i)) степени к не все равны нулю, так как
а(« 7*).
Требование ra(i) е f) Н} равносильно равенствам
$=i
^к(ат, га(Я) = 0, у — 1, 2, i — 1, которые вместе с (12.12)
можно записать в виде
£»(а(<), а0’) = г, j = 1, 2, ..п, (12.13)
где bi 0.
Из (12.13) видно, что точки а(1>, ..., а(я) попарно раз-
личны. Так как — а(п)— i)hKk(aw, aiir), то
а(0 —ао> при t + j. Отсюда следует, что если сре-
ди точек aw, ..., ам нет начала координат 0, то точки
й(<), — а(<>, i = l, 2, . •га, попарно различны. Заметим, что
в случае к нечетного а<0 ч* 0, i = 1,2, ..., п, так как 0 е
е Vk. В случае к четного число точек ат, —а0’, г = 1,2,...
..п, может быть равным как 2п, так и 2га — 1.
Теорема 12.2. Пусть Q и р(х) обладают центральной
симметрией, т. е. справедливо (12.11). Если точки а(1), ...
...,я(п) удовлетворяют условиям (12.13), а множество
п Hi состоит из попарно различных точек xw, ..., х(*\
число которых s = кп, то существует кубатурная формула
§p(x)f (ж) dx =
я
п
“ 2 s~ I' +1 (- +2 ад (*“’). (‘зли
алгебраическая степень точности которой равна 2k +1.
Доказательство. Рассмотрим функционал
п
ь (/) = j р(х)} (x)dx - 2 £ [/ + f
Q 1=1 *
(12.15)
Докажем, что этот функционал можно представить в виде
к”
l-i
246 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ > |
•J
где Д(/) = /(z(J)), / == 1, 2, •.., кп, и что такое представление |
функционала обращается в точное равенство, когда / яв- |
ляется многочленом степени не выше 2& + 1., Этим будет I
доказано существование кубатурной формулы (12.14) с 1
(2& + 1)-свойством. 1
Воспользуемся теоремой 3.6 при т = 2к+ i. Возьмем f
многочлен Р(х) степени не выше 2к + 1, который обраща- ?
ется в нуль в точках я(1), ..., х(9) или, что то же самое,
на котором обращаются в нуль все функционалы и |
докажем, что L(P) = 0. Так как точки я(1), ..., х(8) — об-
щие корни многочленов х\ то по теореме 2.12 |
р (*) = S А (X) Кк (a(i), х), (12.16) 1
i=l
где степень A^x) не более k + 1.
Положим P(x) = РЧх) + Р“(я), где P*(x) — четный,
а P~(x)—нечетный многочлен. Ясно, что степень Р+(я)
не выше 2&, а степень РЛх) не выше 2к + 1. Так как
многочлены х) все четны или нечетны, то из
(12.16) вытекает, что Р+(х) п Р~(х) имеют следующие
представления:
п п
2 At (х) Кк (а(\ х\ 2 АГ (х) Кк х)
i—1 г=1
(х) и ЛГ (х) —четная и нечетная составляющие много-
члена Лг(ж)), т. е. принадлежат идеалу а= (J^ft(a(1), х), ...
..., ^А(а(п), хУ). По теореме 2.12 из следует, что
Р+(х) = 2 В}(х)Кк(ав\х),
5==1
где степень Bj(x) не более к (степень Р+(х) не выше 2к).
Так как Р+(х) — четный многочлен, то Bj(x)Rk(aU), х)
можно считать четным, и, следовательно, В^х) имеет ту
же четность, что и j8*A(a(J), х). Поэтому на основании свой-
ства воспроизводимости ядра х) получаем
J р (х) Р+ (х) dx =
Q
п
>
э
•%
I
(12.17) |
1
i
x) Bj (x) dx = 2 Bj (a0)). (12.18)J
§ 12. МЕТОД ВОСПРОИЗВОДЯЩЕГО ЯДРА
247
В силу (12.17) и (12.13) справедливо
п
Р+ (a(i)) = 2 В} (a(n) Kh я(<)) =
3=1
так что
is: [р+ № + р+ (- =
1 г i=l i
= 2г biBi («(1>) = 2Bi (a<i))- (12-19)
i=l ’ i=l
Из (12.18) и (12.19) получаем, что
£(Р+) = 0. (12.20)
Так как Р~{х) — нечетный многочлен, то
f Р (X) Р- (ж) dx = 0, Р- + Р- (- a(i)) = 0t
О
и, значит, L{P~) = 0. Из этого равенства и из (12.20) по-
лучаем, что LCP) = 0. Существование кубатурной форму-
лы (12.14) с (2Л + D-свойством доказано.
Осталось доказать, что алгебраическая степень точно-
сти этой кубатурной формулы равна 2к + 1. Проведем ги-
перплоскость 1<(х) через точки a(i) и — a(i\ Так как мнрго-
член Kk(a{i), х) является четным или нечетным относи-
тельно х, то наряду с (12.13) справедливо равенство
£ft(a(0, —a(J)) = (—1)*М<ь i, / = 1,2, ..., n. Из него следу-
ет, что многочлен 1£х)Кк(аР\ х) степени А + 1 обращается
в нуль во всех узлах кубатурной формулы (12.14). Квад-
рат этого многочлена имеет степень 2к + 2, и для него ку-
батурная формула не точна. Отсюда следует, что алгеб-
раическая степень точности кубатурной формулы (12.14)
равна 2к + 1. Теорема 12.2 доказана.
Мы не приводим примеры построения кубатурных фор-
мул методом воспроизводящего ядра. Отметим только, что
этим методом получены кубатурные формулы 8 § 15 и 6,
30 § 16.
248 ГЛ, 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ |
Метод воспроизводящего ядра можно применить и в g
том случае, когда область интегрирования Й не содержит |
внутренних точек в Rn, например, когда й = 5п-4 (см. 2
118, г; 38, д, е]). |
t
Теоремы 12.1 и 12.2 доказал X. Мёллер [38, а]. Теорему 12.1 не- |
зависимо получила Г. Гегель [8, б]. S
i
§ 13. Добавление
Здесь приводятся дополнительные результаты теории |
кубатурных формул, которые были получены в недав-1
нее время и не нашли отражения в предыдущих пара- |
графах. |
В п. 13.1 дано уточнение нижней границы для числа 1
узлов кубатурной формулы с (.2k + D-свойством. Дока- I
зана теорема о том, что в центрально-симметричном слу-
чае кубатурная формула с (2к + О-свойством и с числом
узлов, равным нижней границе из § 9, обладает цент- i
рально-симметричной кубатурной суммой. Эти результа- J
ты взяты из статьи X. Мёллера [38, дЬ |
В п. 13.2 основным результатом является теорема, ко- |
торая дает необходимое и достаточное условие существо-<
вания интерполяционной кубатурной формулы с вещест-1
венными узлами и положительными коэффициентами. При |
написании этого пункта использованы статьи X. Шмида $
170 a, rl. 1
13.1 Рассмотрим кубатурную формулу t
Г N . I
I(f)^p(x)f(x)das^Csf (xM)t (13.1) |
где область интегрирования может не иметь внутренних 4
точек в Rn, в частности, й может совпадать со сферой ;
Sn-it Пусть узлы формулы (13.1) вещественны и принад-
лежат й или наименьшему алгебраическому многообра- |
зию, содержащему й. Это предположение не налагает |
никаких ограничений на выбор узлов тогда и только тог-
да, когда й содержит внутренние точки. |
Сделаем следующие предположения о весовой функ- J
ции: р(х) неотрицательна в й; supp р(х) — замыкание |
множества тех точек, в которых р(х) 0, совпадает с й — I
§ 13. ДОБАВЛЕНИЕ 249
замыканием й; существуют моменты р(®) требуемого по-
рядка fp(®)a:adQ.
Эти предположения о расположении узлов и о
весовой функции сохраняются на протяжении всего
и. 13.1.
Здесь через обозначим векторное пространство
многочленов степени не выше т с вещественными коэф-
фициентами. Многочлены рассматриваются как функции
на Й, поэтому для размерности 0т справедливо неравен-
ство dirn^m< М(п, т), в котором равенство имеет место
тогда и только тогда, когда й содержит внутренние точ-
ки. Как мы уже знаем, в случае й = S'„_1 dim Фт
= h(m, п — 1) — М(п, т) — М(п, т— 2) (см. п. 3.4).
Докажем теорему, которая дает простейшую нижнюю
границу для числа узлов кубатурной формулы (13.1).
Теорема 13.1. Если кубатурная формула (13.1) име-
ет 2к-свойство, то для числа ее узлов справедливо нера-
венство
AOdim^. (13.2)
Доказательство. Воспользуемся теоремой 3.5.
В качестве возьмем векторное пространство Ф всех мно-
гочленов с вещественными коэффициентами, рассматри-
ваемых как функции на й, в качестве — векторное про-
странство Рассмотрим аддитивные однородные функ-
ционалы
£,(/) = /(я<»), j = 1,2, ..., N, (13.3)
заданные на Положим ^"0 = = 0, / = 1,
2, ..., N}.
Если многочлен / е ^"0, то его степень не выше А: и он
обращается в нуль во всех узлах кубатурной формулы
(13.1). Так как степень многочлена fix) не выше 2к, то
для него кубатурная формула точна и 1(f) = 0. Из этого
равенства и предположений об й и р(х) следует, что
/(ж) — нулевой многочлен. Мы доказали, что из
следует f = 0.
Пусть теперь L(f) — любой линейный функционал, за-
данный на другими словами, Так как
*) & ь — пространство функционалов, определенных на
250 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ |
/е^"0=>/ = 0=>-£(/) = 0, то на основании теоремы 3.5 Г|
найдутся постоянные Aj такие, что 1
n I
£(/) = 2Л/(*0)) >
Это означает, что линейная оболочка функционалов |
(13.3), как функционалов из^ь, совпадает с и, еле- |
довательно, |
TV^dim — dim &к. f
Теорема доказана. (|
Нижнюю границу для числа узлов, указываемую не-
равенством (13.2), будем называть простейшей нижней |
границей. Я
Если кубатурная формула (13.1) обладает (2& + D- ||
свойством, то оценка (13.2) тем более имеет место. Отме- f j
тим также, что в двух частных случаях, когда й имеет g!
внутренние точки и когда Й = Sn-^ простейшая нижняя >
граница для числа узлов указывается теоремами 3.7 и
3.10. Нижняя граница (13.2) в этих частных случаях сов- |
падает с нижней границей из теорем 3.7 и 3.10. Следует <
иметь в виду, что в теоремах 3.7 и 3.10 рассматриваются Д
более широкие классы кубатурных формул.
Наша ближайшая цель состоит в том, чтобы уточнить
оценку (13.2) в случае, когда кубатурная формула J
(13.1) обладает (2к + 1)-свойством. |
Положим ¥
Oh+l = {/ е= Щ§) = 0). j
Ok+i подпространство векторного пространства
состоящее из многочленов степени к + 1, ортогональных
ко всем многочленам из &*к в смысле скалярного произ-
ведения I(fg). Так как &к — ортогональное дополнение
Ок+1 в &к+1, то
dim Ok+l = dim ^A+i ~ dim &k. (13.4)
Пусть l равно одному из чисел 2, 3, ..., п. Положим
= dim Xki — dim (13.5)
-•*
£
здесь
%kl = ](/u • • -4 fl) Olk+1
i
2 Xifi «= Pb+i
i=l
§ 13. ДОБАВЛЕНИЕ
251
И
Yhl
- [(fu
ч fl) <= Ok+l
I
2 xifi S Ofe+1
i—1
где Olk+i — декартово произведение l векторных прост-
ранств Ok+i. Очевидно, YM с: Хы.
Теорема 13.2. Если кубатурная формула (13.1) име-
ет (2к + D-свойство, то для числа ее узлов справедливо
неравенство
N > dim + Yz/Z. (13.6)
Доказательство. Определим множество много-
членов
Uk+l = {/ е= = 0, / = 1, 2, .. , N}. (13.7)
Так как кубатурная формула (13.1) имеет (2fc + D-свой-
ство, то легко доказать, что Uk+l <= Ок+1 (см. доказательст-
во теоремы 8.1). Для любой вектор-функции (Д, ..., fi) е
е Uk+i имеем
i i i
2 xifi S &k+l => 2 xifi е &k+l => 2 xifi Ок+1.
г=1 i=l ' i—1
Базис векторного пространства и линейно не-
зависимых вектор-функций (g19 .. gi) е таких, что
i
2 xigi порождают векторное пространство
г=1
размерности + dimZ7A+1. Это векторное пространство
содержится в О1к+1, так что справедливо неравенство
+ I dim Z7ft+i I dim OA+i. (13.8)
Здесь мы пользуемся тем фактом, что если U — конечно-
мерное векторное пространство, то декартово произведе-
ние U1 имеет размерность I dim U.
Векторное пространство ^А+1 возьмем в качестве V,
а его подпространство Z7ft+1, определяемое равенством
(13.7),—в качестве U и воспользуемся равенством (11.4):
dim (Z7a+i)a = dim^A+i — dim Uk+i.
Так как TV dim (Z7ft+1)A (доказывается, как неравенство
252 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
(11.9)), то —dim(7*+l. С помощью равенства!
(13.4) отсюда находим, что j
N > dim 4- dim Ok+i — dim C7*+I, |
что вместе с (13.8) дает неравенство (13.6). Теорема до- |
казана. Д
Рассмотрим подробнее случай, когда п = 2 и Q имеет |
внутренние точки. Здесь I = 2 и, как мы увидим, можно I
указать к2. Возьмем два ортогональных многочлена /, и ft I
степени к +1. Эти многочлены можно выразить через ос- $
новные ортогональные многочлены: |
fi = СоРо 4" с,Р, +... + ck+lPft+1, I
fz = dBP14* diP ,4-... 4" dk+lPt+i.
Здесь использовано обозначение (8.27) для основных op- |
тогональных многочленов. J
Многочлен xfi 4- у/2 является многочленом степени не *
выше к 4-1 тогда и только тогда, когда с0 = = 0, ’
сц., 4- dt — 0, i — 0,1,2, ..., к, при этом
4- yfz = 'j-
=Ci(xPi — yPB) 4- Cz(xPt - yPi) 4-... 4- ck+l(xPk+l - yPk). |
(13.9) f
Размерность векторного пространства многочленов (13.9) I
равна к 4-1, и, следовательно, j
dimXM = A + l. (13.10) 1
Для того чтобы многочлен (13.9) был ортогональным,
необходимо и достаточно, чтобы он был ортогонален к од- 5
ночленам степени к. Условие ортогональности к а?~*у* J
записывается в виде
С1ДРА - P<+tP0) 4- CzKPJPz - P<+lPi) 4-... j
... 4- c*+1Z(PA+1 - Pj+1Pft) = 0, i = 0,1,2, ..., k. (13.11) I
Здесь использовано равенство I((xPj+l — уР})хк~{уЧ = :
= ДР<РН1-Р1+1РД i
Рассмотрим матрицу, определяющую условия (13.11): 4
[7 (PjP 1 — Pi+ 1Ро)1 • • •, I (РiPft+l ~~ Pi+J.Pft)li=O- |
(13.12) 1
Эта матрица кососимметрическая, поэтому ее ранг — чет-
в 13. ДОБАВЛЕНИЕ
253
ное число. Обозначим его 2а(Л). Условия (13.11) налага-
ют 2а(А) линейно независимых связей на коэффициенты
с2, ..cfe+1, поэтому размерность векторного прост-
ранства тех из многочленов (13.9), которые являются ор-
тогональными, равна к + 1 — 2a(fc). Отсюда получаем
dim Ум = к +1 — 2a(A). Из этого равенства, равенств
(13.10) и (13.5) получаем 72 = 2а(&). Таким образом,,
в рассматриваемом случае теорему 13.2 можно сформули-
ровать следующим образом.
Теорема 13.3. Если кубатурная формула для вы-
числения двойного интеграла по области интегрирования
с внутренними точками имеет (2й + D-свойство, то для
числа ее узлов справедливо неравенство
N>{k+D(k + 2)/2 + a{k),
где 2а(к) — ранг кососимметрической матрицы (13.12).
Предположим теперь, что Й и р{х) обладают централь-
ной симметрией относительно 0:
ж <= й => — «ей, р(«) = р(—«). (13.13)
Подпространство векторного пространства ^*у, состоящее
из четных многочленов, будем обозначать ^у. Подпрост-
ранство ^у+1, состоящее из нечетных многочленов, будем
обозначать З’у+ь Имеем /(/) = 0 для / е ^y+i, / = 0,1,2,...
Теорема 13.4. Если кубатурная формула (13.1) име-
ет {2k + D-свойство, a Q и р{х) удовлетворяют условию
(13.13), то для числа ее узлов справедливо неравенство
iV>2dim^ft —
Т, если 0 является узлом и к —
четное, (13.14)
0 в остальных случаях.
Доказательство. Введем обозначения для линей-
ных функционалов Д(/) =/(«<0), 4 = 1, 2, ..., N, которые
определяются узлами кубатурной формулы (13.1) и кото-
рые мы будем рассматривать на Для функционала,
определяемого точкой 0, введем специальное обозначение
£(/) = /(0). Если среди узлов кубатурной формулы (13.1)
имеется 0, то L совпадает с одним из функционалов
i - 1, 2, ..., N.
254 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Сужение функционала на подпространство П век- .
торного пространства ^2fe+i будем обозначать LJn. Линей-
L пбу-
ь4^>Дляуп-
оболочек
ную оболочку функционалов Д L2 ..,
дем обозначать через//^^,
рощения записи введем обозначения линейных
функционалов:
Х = (L11• • ч Ln |
Z = <ЛХ , Ln ta+1>.
(13.15)
Выберем m функционалов в множестве {Lh
\{L}, (будем считать, что они совпадают с Lit ..., Lm) та-
ких, что их сужения на возможно, вместе с сужением
L на ^ft, составляют базис X.
Легко указать такой, что £(/)=0, £<(/)=/= О,
i = 1, 2, ..., т, Функционалы Lh ..., Lm линейно незави-
симы также на множестве многочленов lSk = {I • f\f ^А}.
Многочлен I является нечетным, так как L(l) = Z(0) =
= 0, и, следовательно, lSh <= ^А+1. Таким образом, Д, ...
..., Lm линейно независимы и как функционалы на
Отсюда получаем, что
dim dim Y+1, (13.16)
при этом равенство может иметь место только в том слу-
чае, когда сужение L на является базисным элементом
пространства функционалов X. Но при к нечетном *§к со-
стоит из нечетных многочленов, которые равны нулю в
точке 0, так что сужение L на в этом случае является
нулевым функционалом. Следовательно, равенство в
(13.16) может иметь место только тогда, когда 0 являет-
ся узлом кубатурной формулы (13.1) и к является чет-
ным числом.
Найдем размерность X. Пусть ht(x), ..., ha(x) — базис
векторного пространства 9к, так что а = dim 9к. Размер-
ность X равна рангу г матрицы [hSxw), ..., h^x^)]^.
Рассмотрим линейную алгебраическую однородную
§ 13. ДОБАВЛЕНИЕ
255
систему
+ ... + ЛА(х(г)) = 0, i = 1, 2, ... N. (13.17)
Решение этой системы относительно неизвестных Aif ...
..Аа представляет собой вектор коэффициентов много-
члена / который равен нулю во всех узлах кубатур-
ной формулы (13.1). Так как кубатурная формула имеет
(2& + 1)-свойство, то отсюда следует, что /(х) ss 0. Систе-
ма (13.17) имеет только нулевое решение, и, следователь-
но, ранг г ее матрицы равен а. Отсюда находим
dim X = dim (13.18)
Докажем равенство
dim Z = dim X + dim У, (13.19)
где пространства X, У, Z определены равенствами (13.15).
Положим с = dim^\+1, и пусть fitz), i = 1, 2, ..., с, — ба-
зис векторного пространства Размерность простран-
ства Z равна рангу р матрицы
Решение линейной алгебраической системы с этой
матрицей
GAU(i)) + ... + Ccfc(z{i)) = 0, i = 1,2, ..., N, (13.20)
представляет собой вектор коэффициентов многочлена
/ который обращается в нуль в узлах кубатурной
формулы (13.1), другими словами, f Uk+i. Так как ку-
батурная формула имеет (2к + 1)-свойство, то
как это было отмечено в начале доказательства теоремы
13.2. Таким образом, число линейно независимых решений
однородной системы (13.20) равно числу линейно незави-
симых ортогональных многочленов степени к + 1 (элемен-
тов Oft+1), обращающихся в нуль во всех узлах кубатур-
ной формулы (13.1). Обозначим это число о, тогда о = с —
— р, или
о = dim &k+1 — dim Z. (13.21)
Получим аналогичное равенство, содержащее dim У.
Обозначим b = dim Sk+i, g\z\ i = 1, 2, ..., Ь, — базис про-
странства S?k+i- Размерность пространства У равна рангу
Pi матрицы [ft (xw), ...,gb (*(i))
256 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Решение системы Bigi(sw) +... + = 0 опре-
деляет многочлен степени к +1, который принадле-
жит Oh+i и обращается в нуль во всех узлах кубатурной
формулы (13.1). Множество всех таких многочленов сов-
падает с множеством ортогональных многочленов, кото-
рые определяются системой (13.20), так как О*+1 <= ^*+i.
Это включение является следствием свойства центральной
симметрии (13.13) и доказывается аналогично тому, как
это сделано в начале п. 8.2. Таким образом, получаем ра-
венство о = Ъ — ръ или о = dim S*+J — dim У.
Сравнивая это равенство с (13.21), найдем
dim Z — dim У + dim ^*+1 — dim ^*+1. (13.22)
Пространство 0**+1 является прямой суммой S\ и S?*+l:
^*+i = 'Зк® поэтому dim = dim ^*+1 — dim S*+1.
С помощью этого равенства, равенств (13.18) и (13.22) по-
лучаем требуемое равенство (13.19).
Из очевидного неравенства N > dim Z с помощью
(13.16), (13.18) и (13.19) получаем неравенство (13.14).
Теорема частично содержит результаты теорем 9.1, 9.2.
Теорема 13.5. Пусть кубатурная формула (13.1)
имеет (2А + D-свойство, Q и р(х) удовлетворяют условию
(13.13) и число узлов N равно нижней границе
2 dim S’*—1, если к четно,
2 dim S’*, если к нечетно,
при этом в случае к четного 0 является узлом кубатур-
ной формулы. Тогда кубатурная сумма формулы (13.1)
центрально-симметрична (г. е. множество узлов централь-
но-симметрично относительно 0 и коэффициенты, отвеча-
ющие двум симметричным узлам, одинаковы).
Доказательство. Пусть к — четное. Положим
a = dimS*. По условию теоремы N — 2a — 1. При доказа-
тельстве теоремы 13.4 было получено равенство (13.18),
которое запишем в виде
dimX = a. (13.23)
Из (13.16) и (13.19) соответственно получаем
dim У > а - 1, dim Z > 2а - 1, (13.24)
§ 13. ДОБАВЛЕНИЕ
257
Из (13.24) следует, что
dim Z = dim |n+1, ..> = 2а — 1. (13.25)
Из равенства (13.19) и равенств (13.23) и (13.25) по-
лучаем
dimK = a—1. (13.26)
Пусть ..., La-i вместе с £(/) = /(0) линейно не-
зависимы . как функционалы на Будем считать, что
L = La. Как следует из доказательства неравенства (13.16),
функционалы Li, ..., La-i линейно независимы как функ-
ционалы на (Fft+i.
Пусть теперь i равно одному из чисел a + 1, a + 2, ...
..., 2a — 1. Тогда по (13.26) есть линейная комбинация
функционалов Д, ..., La-i на ^*+i:
a—1
Li I 3? k+1 = s CijLj | £ (13.27)
| fiT J- j =1 I A
Выберем так, что Z(0) = 0, L<(Z) = 0. Пользуясь
соотношениями Z^kc:^+1, Lv(fg) = Lv(f)Lv(g), из (13.2J)
получаем
a—1
0 = Li (Z) Li I ® — 2 CijLj (I) Lj I ®
I ft 3~1 I ft
Из линейной независимости Lt, ..., La-t на сле-
дует, что точки множества
Xi = {ж(й|1 =5 7 а — 1, Су¥=0),
например xw, ..., х(г), удовлетворяют равенствам L/Z) =
= Z(aj(j’) = 0, у = 1, 2, ..., г. Отметим, что множество Xt
не пустое, так как среди сц в (13.27) есть ненулевые.
Точки множества Х( лежат на гиперплоскости Их) *= 0.
Так как это утверждение верно для любой гиперплоско-
сти, проходящей через 0 и хЦ), то точки xw, ..., х{г> ле-
жат на прямой, проходящей через 0 й ж(<).
Таким образом, дело свелось к одномерному случаю,
где функционалы Lt, ..., LT независимы на 3\+i, функци-
оналы Li, ..., Lr, La независимы на и функционал Д
линейно зависит от Lt, ..., Lr на ^*+i.
17
И. П. Мысовских
258 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Независимость функционалов Lu ..Lr, La на Gk оз-
начает: из равенства
4Л(/) + ... + ArLr(f) + AaLa(f) = 0, / е GA, (13.28)
следует, что A i = ... = Аг = Аа = 0. Если точку на прямой,
определяющую функционал Lif обозначить yif то (13.28)
можно записать подробнее:
. / = Is At + ... + Аг + Аа — 0,
/ = .Vs: AiVi + . • • + Агу* = 0,
/ = У4'- А1У1 + • • • + АгУт = 0,
/ = Ук- Агу^ + ... + Агук = 0.
Из этих равенств следует, что A , = ... = Аг = Аа — 0 толь-
ко тогда, когда к/2 > г.
Запишем, что функционал Lt линейно зависит от £t,
..., LT на 8^+,:
/ = У- В1у1 + ... + Втут — = 0,
/ = У3' Вгуj + ... + Вгу3 — у3 = О,
/ = yk+1: В1Ук+1 + ... + Вгук+1 - yt+1 = 0.
Эти равенства будем рассматривать как однородную ли-
нейную алгебраическую систему относительно неизвест-
ных Bi, ..., Вг, —1. Так как к > 2г, то можем составить
определитель
уг у2 ... уг Уг
yf у1 у3 4
„2Г+1 2Г+1 2Г+1 2г+1
Однородная система имеет ненулевое решение, поэто-
му этот определитель равен нулю. Так как i/i, у2, ..Уг
попарно различны и yt не совпадает ни с одним из .
..., уг, то это возможно лишь при уг = — yh где j — одно
из чисел 1, 2, ..., г. Мы получили, что для узла ку-
батурной формулы найдется центрально-симметричный
ему узел ж0), где j равно одному из чисел 1,2, ..а — 1:
ж(<) = —
§ 13. ДОБАВЛЕНИЕ
259
Это заключение верно для любого i е {а + 1, а + 2, ...
,.2а — 1), следовательно, множество узлов центрально-
симметрично:
U(1), я<2>, ..., х(2а-4)} = ..., -
Так как к четно, то справедливы равенства
N N
I (/) - 2 C}f &») = 2 Cif (- xW) для f е
5=1 5=1
N N
о = i(f)=2 c if (а^>) = - 2 с if (- *») для f <= &к+1.
5=1 5=1
Объединяя эти равенства, получим
W N
2 Cjf(&})) = 2 Cif(— х^) для /<= &к+1.
5=1 5=1
Мы имеем две совпадающие на &к+1 линейные комбина-
ции функционалов Lh ..., LN, которые по (13.25) линей-
но независимы на ^А+1. Отсюда следует, что коэффи-
циенты кубатурной формулы (13.1) при я(0 и —x(i) оди-
наковы.
Доказательство для к нечетного проводится анало-
гично.
Если кубатурная формула имеет 2&-свойство и число
ее узлов равно dim — нижней границе в неравенстве
(13.2), a Q и р{х) обладают свойством (13.13), то куба-
турная сумма не обязательно центрально-симметрична.
Например, кубатурная формула 5 § 16 для круга и еди-
ничного веса с 4-свойством имеет шесть узлов, но ее ку-
батурная сумма не является центрально-симметричной.
13.2. Пусть
1(f) = \p(x)f(x)dx,
Q
где множество Q<=Rn имеет внутренние точки и р(х) >
0, pi > 0. Рассмотрим кубатурную формулу с m-свой-
ством
N
(13.29)
5=1
которая является интерполяционной. По теореме 3.3 ранг
17*
260 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
матрицы
[<Р1 (ж«>), ф2 (а*>>), ..., фц р. = М (т, п)г (13.30)
равен N и, следовательно, N < ц (считаем, что Ф 0,
7 = 1, 2, ДО.
Если N = р, то матрица (13.30) неособенная. Если
N < ц, то по лемме 2.1 существуют точки x(N+1), ..я(и)
такие, что расширенная матрица
[Фх (а>«>), ф2 (xi), Фи (х°>)]£=1 (13.31)
/
является неособенной.
Обозначим через Li(x), i=l, ..., |i, фундаментальные
многочлены интерполирования степени тп, построенные
по ж(1), ..я00, определяющим матрицу Вандермонда
(13.31). В силу неособенности матрицы (13.31) по теоре-
ме 2.7 существует многочлен степени т + 1
и
/а {х) = 4- 2 (*), | а | = т + 1,
j=i
который обращается в нуль во всех точках я(1), я(2), ...
..., x{v\ Мультииндекс а можем считать любым, удов-
летворяющим условию |а| = тп + 1, так что получаем
М(п—1, тп+1) многочленов степени тп+1, у которых
линейная оболочка однородных составляющих степе-
ни т + 1 совпадает с векторным пространством всех од-
нородных многочленов степени тп + 1.
Нетрудно видеть, что многочлены
£к+1(я), ..L^x\ fa(x), lai = тп + 1, (13.32)
образуют базис в векторном пространстве 5? многочле-
нов степени не выше тп+1, которые обращаются в нуль
в узлах x(i\ ..., x{N) кубатурной формулы (13.29). Мно-
гочлены (13.32) линейно независимы, так что размер-
ность пространства 5? равна t = M(n, т + 1)— N. Отметим,
что в случае ДГ = ц множество многочленов (13.32) состо-
ит только из многочленов fa(x) и f = 1, тп+1).
В дальнейшем многочлены базиса пространства 5? для
единообразия будем обозначать
ЯДх), ..., Rt(x). (13.33)
§ 13. ДОБАВЛЕНИЕ
261
Многочлены Ri(x) не обязаны совпадать с многочле-
нами (13.32), но они, очевидно, обладают следующим
свойством: среди них найдутся Ми — 1, тп + 1) много-
членов степени тп + 1, у которых однородные составляю-
щие степени т + 1 образуют базис векторного простран-
ства всех однородных многочленов степени тп+1. Мно-
жество многочленов, обладающих сформулированным
свойством, будем называть фундаментальным степени
т + 1 (этот термин применяется в [70, г]).
Многочлен f(x) будем называть т-ортогональным от-
носительно I (или относительно Q и pGr)), если /(/(?) = 0
для любого многочлена Q такого, что степень fQ не вы-
ше тп. Множество многочленов ЯДя), ..., Rt(x) называ-
ется строго m-ортогональным относительно I, если тп-
ортогонален при всех i = 1, 2, ..., t и по крайней мере
один из этих многочленов не является (тп + D-ортого-
нальным.
В силу теоремы 8.1 каждый из многочленов (13.33)
является тп-ортогональным. Если кроме того алгебраи-
ческая степень точности кубатурной формулы (13.29)
равна тп, то по теореме 3.6 найдется многочлен степени
тп+1, который равен нулю во всех узлах формулы,
а интеграл от него отличен от нуля. Отсюда следует, что
множество многочленов (13.33) строго тп-ортогонально.
Таким образом, получили следующий результат.
Теорема 13.6. Если кубатурная формула (13.29)
имеет алгебраическую степень точности тп и является
интерполяционной, то найдутся t = M(n, тп+1)—TV ли-
нейно независимых многочленов (13.33) степени не выше
тп+1, которые фундаментальны степени тп + 1 и строго
тп-ортогональны относительно I.
Предположим теперь, что имеются t==Jf(n, тп+1) —
— N линейно независимых многочленов (13.33) степени
не выше тп+1, которые фундаментальны степени тп + 1
и строго тп-ортогональны относительно I. Из свойства
фундаментальности следует, что t>M(n— 1, тп + 1) и,
значит, N ц. Если многочлены (13.33) имеют точно N
попарно различных общих корней, то эти корни можно
взять в качестве узлов кубатурной формулы, которая
обладает тп-свойством. Из свойства строгой тп-ортого-
нальности многочленов вытекает, что алгебраическая
степень точности кубатурной формулы равна тп.
262 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Возникает вопрос, каким дополнительным условиям
должны удовлетворять многочлены (13.33), чтобы число
их общих корней было равно N. Оказывается, что ответ
на этот вопрос можно дать при дополнительном ограни-
чении на кубатурную формулу (13.29): ее узлы должны
быть вещественными, а коэффициенты положительными.
Этому результату (теорема 13.9) и посвящено дальней-
шее изложение.
Идеал а в кольце многочленов над полем веществен-
ных чисел Z?[#i, .. „ хп1 называется вещественным, если
его многообразие состоит из вещественных точек и если
он обладает свойством таким, что из обращения в нуль
многочлена Q на многообразии идеала а следует, что
<2 е= а.
Основное значение для последующего имеет следую-
щая теорема.
Теорема 13.7. Пусть а — идеал в кольце много-
членов х^\. Идеал а является вещественным
тогда и только тогда, когда
( 2 (?®еа, Qi^R\xx, ..хп]) =>(&(= а, i = l, 2,
где v — любое натуральное число.
Доказательство не приводим [47].
До конца п. 13.2 будем считать, что все рассматри-
ваемые многочлены принадлежат 7?[#i, ..хп1. В част-
ности, означает векторное пространство многочленов
степени не выше m с вещественными коэффициентами.
Пусть многочлены Z?i, Я2, ... Rt линейно независимы,
принадлежат ^w+i и являются фундаментальными сте-
пени m + 1. Введем обозначение идеала
а = (7?!, .., Rt). (13.34)
Многообразие идеала а по теореме 2.6 состоит из конеч-
ного числа точек. Обозначим через SL линейную оболочку
множества многочленов Я2, ..Rt
л, о. {Z?i, Я2, • • *, (13.35)
и через <U — векторное подпространство пространства
такое, что
' = (13.36)
§ 13. ДОБАВЛЕНИЕ
263
Отметим, что из фундаментальности степени тп+1 мно-
гочленов Bi, ..., Rt следует включение
Теорема 13.8. Пусть Ri, R2, ..., Rt —- линейно не-
зависимые многочлены в fPm+i, фундаментальные степе-
ни тп+1. Тогда для числа Л точек многообразия идеала
а справедливо неравенство
= М(п, m + 1) - t, (13.3Z)
при этом равенство имеет место тогда и только тогда,
когда не существует многочлена Q^°U, Q ¥= 0, который
обращается в нуль в точках многообразия идеала а.
Доказательство. Так как множество Z?i, Z?2, ...
..., Rt фундаментально степени тп+1, то по теореме 2.6
матрица
[<Р1 (х0))ж Ф2 (ж0)). • • •> Фи (^))]j=l,
где хщ, х(2), ..., х(К) — точки многообразия идеала а,
имеет линейно независимые строки. Рассмотрим расши-
ренную матрицу
1ф1 ф2 («U))> • • •. фМ(Я,т+1) (13.38)
строки которой также линейно независимы.
Пусть R — матрица коэффициентов многочленов
7?i, Т?2, ...» Rt размера tXM(n, тп+1). Многочлены ли-
нейно независимы, поэтому ранг R равен t. Каждая стро-
ка матрицы (13.38) является решением линейной однород-
ной системы с матрицей R. Так как число линейно неза-
висимых решений такой системы равно М(п, m+D — t,
то получаем неравенство (13.37).
Рассмотрим линейную однородную систему с матрицей
(13.38). Ненулевое решение этой системы определяет
коэффициенты многочлена степени не выше тп+1, кото-
рый обращается в нуль в точках многообразия идеала а:
я(1), ..., я(М. Поэтому из равенства h-Mtn, m+i)—t
следует, что любой многочлен Q степени не выше
т+1, который обращается в нуль в точках хщ, ...
•.., х{К\ является линейной комбинацией многочленов
..., Rt и, следовательно, Если %<Жп, тп +
+ D — t, то однородная система с матрицей (13.38) име-
ет М(п, тп + 1) — % > t линейно независимых решений.
Таким образом, существует многочлен Q степени не вы-
2б4 гл. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
ше тп+1, который обращается в нуль в точках ж(1), ...
.., х^\ при этом Q&31 и, следовательно, Q^<U. Теоре-
ма доказана.
Замечание. Теорема 13.8 остается справедливой,
если не требовать вещественность многочленов Rh ...
..., Rt и их общих корней.
Теорема 13.9. Пусть 2?1? Я2, ..Rt — линейно не-
зависимые многочлены в 3^+1, которые фундаментальны
степени тп + 1 и строго тп-ортогональны относительно I.
Обозначим через а идеал (13.34) и через 31 — векторное
пространство (13.35). Тогда следующие два утверждения
эквивалентны:
1) Существует интерполяционная кубатурная формула
(13.29) алгебраической степени точности тп, с веществен-
ными узлами хи), у = 1, 2, ..., N, N == М(п, m + 1) — t С
С ц, принадлежащими многообразию идеала а, и с поло-
жительными коэффициентами.
2) Пусть °U — подпространство такое, что спра-
ведливо равенство (13.36). Выполняются следующие ус-
ловия: а) а П <U = (0), где (0) — нулевой идеал, б) для
любого ненулевого многочлена U имеет место нера-
венство KU2 — Л*) > 0, где многочлен R* а выбран
так, чтобы U2 — R* 3*т.
Если одно из. утверждений 1) или 2) имеет место, то
идеал а вещественный, при этом его многообразие состо-
ит из N точек, которые являются простыми, как корни
многочленов из 31.
Доказательство. 1) => 2) Существует интерпо-
ляционная кубатурная формула (13.29), узлы которой
являются общими корнями многочленов 7?1, 2?2, ..Rt.
Так как многочлены эти линейно независимы, обраща-
ются в нуль в узлах кубатурной формулы (13.29) и их
число f — М{п, m+D — N, то на основании теоремы
13.6 можно утверждать, что векторное пространство 5?,
определяемое равенством (13.35), состоит из всех много-
членов степени не выше тп +1, которые обращаются
в нуль в узлах кубатурной формулы (13.29).
Докажем, что
й==аП^т+1, (13.39)
где а определяется с помощью (13.34). Если
то и, значит, обращается в нуль в узлах кубатур-,
§13. ДОБАВЛЕНИЕ
265
ной формулы, а так как его степень не выше тп + 1, то
/ е 31. Доказано включение 31 => a fl ^т+1. Обратное вклю-
чение очевидно.
По определению прямой суммы (13.36) справедливо
31 П <2/ = (0). Отсюда и из равенства (13.39) следует, что
(а Л ^m+i) Л <U = (0), или а П = (0). Здесь использова-
но соотношение °U <= 3>т. Выполнение условия а) дока-
зано.
Пусть U е U ^0. Благодаря фундаментальности
степени тп + 1 многочленов Я1? ..., Rt существует много-
член R* е а такой, что U2 — Я* е <?т. Так как (13.29>
имеет тп-свойство, то
N
ци2 - /?*) = 2 CjU2 (х«>) > 0.
5=1
Здесь использована положительность коэффициентов Cj
и тот факт, что не все равны нулю. Условие
б) выполнено.
2) => 1) Докажем, что а — вещественный идеал, ноль-
V
зуясь теоремой 13.7. Пусть е= а. Ввиду фундамен-
1=1
тальности 7?i, R2, ..., Rt степени тп + 1 справедлива
представление
t
Qi = 2Qi}Rj + Ui, Qu<= R[xlfxn],
j-1
i = l,2, ..., t, (13.40)
где многочлен Ut имеет степень m или ниже. Можем
считать, что Ui^<U при i = 1, 2, ..., v. Если некоторый
многочлен то и из (13.40) видно, что
V
Qh <= а. Из суммы 2 (?? слагаемое с номером к можно
удалить.
Возводя в квадрат обе части равенства (13.40) и вы-
полняя суммирование по i — 1, 2, ..., v, получим
(? = 2tTlea. (13.41).
i=l
Докажем, что при выполнении а) и б) U{ = 0 и по
(13.40) Qi а при i = 1, 2, ..., v.
266 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Допустим противное: хоть один из многочленов Ui от-
личен от нулевого. Если Uj ¥= 0, то по фундаментально-
сти Т?2, ..Rt найдем многочлен Rj такой, что
V} — R* Из (13.41) получаем
Так как не все многочлены Ui нулевые, то в силу б)
имеем
I (Q') = %l(U*- R*) > 0. (13.42)
2=1
На основании (13.36) справедливо равенство
<2' = 2Мг + ^, (13.43)
i=l
где bi — постоянная, при этом степень biRi не выше тп,
и U Из равенства (13.43) видно, что U а, так что
U е а П °U, и по a) U = 0. Теперь с помощью равенства
(13.43) получаем
HQ') = S/(W = о
по тп-ортогональности R2, ..., Rt. Это равенство про-
тиворечит неравенству (13.42). Вещественность идеала а
доказана.
По теореме 13.8 X — число общих корней многочленов
J?i, ..., Rt удовлетворяет неравенству X < N = Хп, тп +
+ 1) — t Докажем, что X = 2V. Если X < N, то по теореме
13.8 найдется многочлен U <= £7=^0, который обраща-
ется в нуль на многообразии идеала а. Так как а — ве-
щественный, то U <= а. Получили, что существует ненуле-
вой многочлен U а П <U. Это противоречит условию а).
Из вещественности идеала а также следует, что общие
корни 2?i, ..., Rt вещественны.
Точки многообразия идеала а обозначим через
j = 1, 2, ..., N и докажем, что их можно взять в качест-
ве узлов кубатурной формулы с тп-свойством. Из фунда-
ментальности jRi, ..., Rt степени тп + 1 по теореме 2.6
следует, что строки матрицы (13.30) линейно независи-
§ 13. ДОБАВЛЕНИЕ
267
мы. Если N = ц, то эта матрица неособенная. В случае
N < ц по лемме 2.1 укажем точки ж(2^+1), ..я(ц) такие,
что матрица (13.31) является неособенной. Фундамен-
тальные многочлены интерполирования степени тп, опре-
деляемые узлами x{i\ х{2\ ..., #(g), обозначим Li(x), i = 1,
2, ..., ц. По теореме 3.2 существует интерполяционная
кубатурная формула с узлами я(1), я(2), ..., я(ц), обладаю-
щая тп-свойством.
Нетрудно видеть, что в случае N < ц коэффициенты
Cj кубатурной формулы, при /«JV+1, ..., у, равны ну-
лю. Так как L5 при j > N + 1 обращается в нуль в точ-
ках x{i\ i = 1, 2, ..., N, многообразия идеала а и так как
а — вещественный, то Ь5 <= а. Многочлен L$ ненулевой,
поэтому в силу a) а тогда по (13.36) он принад-
лежит 5? и имеет вид
t
Lj — ciiRfa
i=l
где ai — постоянная, при этом степень многочлена a{Ri не
превосходит тп. Из этого равенства следует С5 = /(£,) = О
по тп-ортогональности 2?i, ..., Rt. Таким образом, кубатур-
ная формула имеет вид (13.29). Ее алгебраическая степень
точности равна тп, как это следует из строгой тп-ортого-
нальности 2?i, ..., Rt.
Докажем положительность коэффициентов полученной
кубатурной формулы. Фундаментальный многочлен
Li i = 1, 2, ..., N, поэтому существует многочлен
Ri е а такой, что L* — 7?$ е Кубатурная формула
имеет тп-свойство, поэтому
N
I (L? - 1?*) = 2 (z&) = Ci.
3=1
Из б) следует, что G > 0.
Докажем еще утверждение о простоте общих корней
многочленов Т?4, Т?2, ..., Rt. Пусть ж(М — один из корней,
1 к N. Возьмем фундаментальный многочлен Lk(x).
Многочлены степени тп + 1
(хг — х^)Ьк(х)9 т = 1,2, ..., п9
обращаются в нуль во всех узлах кубатурной формулы
268 ГЛ. ,4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
и принадлежат 5?. Матрица Якоби этих многочленов в
точке совпадает с единичной матрицей. Теорема 13.9
доказана.
Укажем применение теоремы 13.9 в случае № 2
к установлению конструктивных условий существования
кубатурных формул с числом узлов, равным нижней гра-
нице.
Основные ортогональные (относительно /(/)) многочле-
ны степени 5 от двух переменных будем обозначать
s(s+l)/2
Р00 = (®, У), г = 0,1, 2, ..., s.
По сравнению с обозначением (8.27) здесь у многочлена
добавлен значок $, так как будем иметь дело с мно-
гочленами при 5 = к и при s = к — 1.
Введем многочлены
fe-i
Hi = + 2 уцР^, i = 0,1, 2, ..., к, (13.44)
;=о
где Yij — заданные вещественные числа.
Предположим, что для интеграла
I (/) = f Р (*, у) / (я* у) dxdy, р (х, у) > 0, > О,
Q
существует кубатурная формула
N
Itf)^%C}f(x},y}) (13.45)
3=1
с вещественными узлами и положительными коэффици-
ентами, у которой алгебраическая степень точности рав-
на т = 2к — 2, а число узлов совпадает с нижней грани-
цей: Mfc+D/2.
По теореме 3.7 при к > 2 узлы формулы (13.45) не
лежат на алгебраической кривой порядка к — 1, поэтому
можно утверждать, что существуют многочлены сте-
пени к
хк~*у* + у), i = 0, 1, 2, ..., к, deg S< < к — 1,
(13.46)
которые обращаются в нуль в узлах кубатурной форму-
лы (см. теорему 2.6). Многочлены (13.46) по теореме 8.1
m-ортогональны, поэтому они имеют вид (13.44).
§ 13. ДОБАВЛЕНИЕ
269
Образуем идеал
а=(Я0, ..., HJ. (13.4Z)
Так как многочлены (13.44) фундаментальны степени к,
то векторное пространство многочленов St = а П ^m+l со-
держит £ = 21/(2, тп + 1)—2V многочленов степени не ме-
нее к. Эти многочлены можно взять в качестве многочле-
нов Я1, Я2, ..Rt из теоремы 13.9. Действительно, эти
многочлены, очевидно, фундаментальны степени т +1,
а так как алгебраическая степень точности формулы
(13.45) равна тп, то они строго тп-ортогональны и, следо-
вательно, не все числа у у в равенствах (13.44) равны
нулю. Так как узлы (xj, у^ не лежат на алгебраической
кривой порядка к — 1, то в качестве °U из теоремы 13.9
можно взять ^\-i.
На основании теоремы 13.9 можно утверждать, что
если многочлены (13.44) обращаются в нуль в узлах ку-
батурной формулы (13.45), то выполнены условия а) и б)
этой теоремы. Кроме того, многочлены yHi-i — xHt, i = 1,
2, ..., fc, принадлежат линейной оболочке многочленов
Яо, Я4, ..., Нк. Действительно, многочлен уН^ — xHt
имеет степень не выше к, и по фундаментальности сте-
пени к многочленов Яо, Яъ ..., Hk можно указать такие
вещественные числа Ру, что многочлен
k
yH^-xH.-^Hj
имеет степень к — 1 или ниже. Этот многочлен обращает-
ся в нуль в узлах кубатурной формулы и, значит, яв-
ляется нулевым, так что получаем
h
yHt-i-xHi- i = 1, 2, .fc. (13.48)
Оказывается, что условия (13.48) не только необходи-
мы, но и достаточны для существования требуемой куба-
турной формулы.
Теорема 13.10. Чтобы существовала кубатурная
формула (13.45) с вещественными узлами и положитель-
ными коэффициентами, у которой алгебраическая степень
точности равна т = 2к — 2 и N = k(k + i)/2, необходимо
и достаточно, чтобы выполнялись условия (13.48), где
270 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
многочлены Hi и идеал а определены равенствами (13.44)
и (13.47) соответственно. Утверждение об алгебраической
степени точности справедливо тогда и только тогда, когда
числа fa в определении многочленов Hi не все равны
нулю.
Доказательство. Необходимость условий (13.48)
доказана выше. Докажем их достаточность, пользуясь
теоремой 13.9. Многочлены векторного пространства St =
== а П ^т+1 фундаментальны степени тп + 1 при любых
значениях параметров Чч и строго тп-ортогональны, если
не все эти параметры равны нулю. Положим <2/ = ^-!
и убедимся, что выполнены условия а) и б) теоремы 13.9.
Условие б) выполнено очевидным образом. Если мно-
гочлен U е <U, то deg U2 m и, следовательно,
в качестве Я* можно взять нулевой многочлен. Имеем
7(£72-7?*)=ДС72)>0.
Докажем, что из (13.48) вытекает условие а) а А 2/ «
= (0). Пусть Тогда deg^^A — l, и справед-
ливо равенство
k
(13.49)
j=0
где Q^!Pr. Равенство (13.49) следует из определения
идеала а, при этом целое неотрицательное число г может
быть большим. .
Если г = 0, то Qj — постоянные. Так как deg Q к — 1,
а однородная составляющая степени к многочлена Н$ сов-
падает с одночленом xh'~iyi степени к, то из равенства
(13.49) видно, что Q — нулевой многочлен.
Пусть теперь и г>1. Докажем, что наряду с
представлением (13.49) имеется также представление
h
Q = 2 Q*h}, (13.50)
где Q* е S^r-i- Этим будет доказано условие а).
Многочлен Qq из правой части (13.49) можно записать
в виде
+ (13.51)
v=o
где Ov0) — вещественное число и В (13.49)
§ 13. ДОБАВЛЕНИЕ
271
заменим Qo правой частью равенства (13.51). Получим
т k
Q = Яо 2 + H9yQ0 + 2 №•
v=o 5=1
Заменим в этом равенстве HQy с помощью равенства
(13.48) при i = 1:
Г / к \ к
Q = н0 2 <№> + № + 2 (?о + S QiH^
v=o \ 5=0 / 5=1
Слагаемое присоединим к первому слагаемому сум-
k
мы 2 QjHj, Получим
3=1
т к к
<2 = я0 2 + 2 (рн, + 2 Q^Hn (13.52)
v=o 5=1 5=о
где
й° = М>.е^ь
Вторую сумму из правой части равенства (13.52) за-
пишем в виде
k к
2 Q^Hi = + 2 Q^H}. (13.53)
5=1 5=2
Так как е ^г, то
$х) = 2 + yQi,
v=o
где dp — вещественное число и &т-1, и первое сла-
гаемое в правой части (13.53) можно записать в виде
v=o
Заменим в этом равенстве Hty с помощью равенства
(13.48) при г = 2:
<2(11)я1.= нг 2 <ffxv + (хй2 + 2 ₽^я,)
v=o \ 5=0 /
Теперь (13.53) можно переписать в виде
k г к к
2 = нх 2 + 2 Q^h} + 2
j=i v=o 5=2 5=0
272 ГЛ. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ фгЛЫ _'<|
где ~ $
Q\ ^тч p2j(?l £= г-1* J
Заменим в равенстве (13.52) вторую сумму правой
частью последнего равенства. Получим
1 / т \ k h
Q = 2 Hi 2 otfH + 2 Q^Hi + 2 Q^Hj,
i—0 \V=0 / J=2 j—0
где r, s Pr-i- Продолжая действовать та-
ким путем, придем к равенству
k—1 / т \ k
Q = .2 Hi 2 + <№нк + 2 Q^Hj, (13.54)
i=o \ v=o / j=o
где
Выделим однородную составляющую степени г из мно-
гочлена (№ <= &т'
<2kft) = Р0*г + №~1У + • • • + + Q*, Q* е ^r-i.
Так как однородная составляющая старшей степени мно-
г
точлена Hi равна х^у*, а у многочлена 2 о? равна
v=o
а^хг, то (13.54) можно записать в виде
fe—1 г ~
Q = 2 ®fe_Wr )«г + 2 Mr-v!/V + Q (*, у),
i—Q v=0
где deg Q г + к — 1.
х У многочлена в правой части этого равенства выделе-
на однородная составляющая степени r+Л, при этом од-
ночлены под знаком первой суммы отличны от одночле-
нов второй суммы. Так как в левой части равенства сто-
ит многочлен степени не выше к — 1, то коэффициенты
при одночленах выделенной однородной составляющей
(степени к + г^к+i) равны нулю:
<4° = О, i = 0,1, 2, ..А — 1, pv = O, v=0,l,2,
Теперь из равенства (13.54) ясно, что оно имеет вид
(13.50), где deg г — 1. Теорема доказана.
Условия (13.48) позволяют найти значения парамет-
ров Чгз, которые определяют многочлены Яо, Hh ..., Нь,
б 13. ДОБАВЛЕНИЕ
273
удовлетворяющие этим условиям. Считая Y»» неизвестны-
ми параметрами, можем найти числа как функции па-
раметров уг, такие, что имеют место равенства
н
yHt-i -xHl='^l faH} -f- (х, у), t = 1, 2, ..., к.
У=о
Чтобы выполнялись условия (13.48), необходимо и доста-
точно, чтобы коэффициенты многочлена Ri «Ри-t, кото-
рые являются функциями от Yr», были равны нулю. Это
приводит к нелинейной системе уравнений относительно
неизвестных Y»».
Система имеет Л(А+1) неизвестных y»« Л й*(й+1)/2
уравнений. Уже при к = 3 число уравнений больше чис-
ла неизвестных. Однако в симметричных случая* число
уравнений уменьшается, и при небольших значениях к
удается найти решение системы. Таким путс?м, в частно-
сти, была получена кубатурная формула для квадрата,
которая имеет 10 узлов и обладает 6-свойствам (см. фор-
мулу 38 § 14).
Конечно, рассматриваемая система уравнений может
не иметь решений, так как не всегда существует разыски-
ваемая кубатурная формула. Но если система имеет ре-
шение, то оно определяет многочлены Я», Hi, • Нк, ко-
торые имеют точно к(к +1)/2 общих корней:» веществен-
ных и попарно различных.
Рассмотрим отдельно случай, когда в определении
(13.44) многочленов Но, Ht, ..., Нк все параметры рав-
ны нулю и, следовательно, Hi — Р{к\ В этом случае мно-
гочлены векторного пространства ^ = аП^т4^1 фундамен-
тальны степени тп + 1 и строго (тп +1)-ортог овальны. Из
теоремы 13.10 вытекает следующая теорема.
Теорема 13.11. Чтобы существовала кубатурная
формула (13.45), у которой алгебраическая степень точ-
ности равна 2k—1 и N = k(k +1)/2, необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялись условия
k
? = 1,2,.. (13.55)
5=о
где Р^ — основные ортогональные многочлены степени
к и — вещественные числа.
18 и. П. Мысовских
4 гл. 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КУБАТУРНЫЕ Ф-ЛЫ
Рассматриваемая в этой теореме кубатурная формула
является формулой гауссова типа и, как мы видели в
п. 10.1, узлы такой формулы вещественны, а коэффици-
енты положительны.
Условие (13.55), очевидно, представляет собой иную
формулировку утверждения 1) из теоремы 8.3. Так как
по теореме 8.3 утверждение 1) равносильно тому, что все
числовые характеристики ортогональных многочленов
степени к равны нулю, то из теоремы 13.11 получаем
теорему 8.4. Ранее теорема 8.4 была доказана в предпо-
ложении, что справедлива ослабленная гипотеза о корнях
ортогональных многочленов.
ГЛАВА 5
ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
В §§ 14—17 приведены таблицы кубатурных формул
соответственно для куба, симплекса, шара и сферы в К".
Некоторые формулы даны для п любого, но большин-
ство— для отдельных небольших значений п. Алгебраи-
ческая степень точности формул не высока: до семи —
в случае куба и симплекса, до девяти — в случае шара.
Для сферы приведены формулы и более высокой алге-
браической степени точности. Всего дано 135 кубатурных
формул, из которых примерно половина не содержится в
книге А. Строуда [53, д].
Конечно, многие из приведенных в этой главе куба-
турных формул можно применять в практике вычислений.
В частности, кубатурные формулы для куба и симплекса
можно использовать при вычислении интегралов по обла-
стям, которые являются объединением непересекающихся
параллелепипедов и симплексов. Однако, эти таблицы
адресованы не только практику-вычислителю. Они содер-
жат интересные с теоретической точки зрения кубатур-
ные формулы с наименьшим числом узлов, которые при
п — 2 и даже при п = 3 вряд ли целесообразно применять
в вычислениях: проще пользоваться кубатурными форму-
лами, которые получаются повторным применением квад-
ратурных формул. С увеличением п ценность для практи-
ки кубатурных формул с наименьшим или близким к наи-
меньшему числом узлов сильно возрастает.
Сделаем пояснения по поводу строения таблиц. В на-
чале каждого параграфа приведены обозначения области
интегрирования, ее меры, а также обозначения, приме-
няемые при описании узлов кубатурной формулы.
Кубатурные формулы каждого параграфа занумеро-
ваны. После номера формулы в скобках обычно указы-
вается ссылка на источник, из которого взята кубатурная
формула. Затем последовательно указываются значения:
п — для кратности интеграла, d — для алгебраической сте-
18*
276
ГЛ. 8, ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
пени точности и N — для числа узлов. Если узлы и ко-
эффициенты получены для любого п, то значение п не
указывается. Эти данные содержатся в первой строке.
Нумерация кубатурных формул согласована с алгебраиче-
ской степенью точности: кубатурная формула более вы-
сокой алгебраической степени точности имеет больший
номер.
Во второй и, возможно, в нескольких следующих стро-
ках указываются координаты узлов (слева) и отвечающие
им значения коэффициентов (справа). Большинство куба-
турных формул относится к случаю единичной весовой
функции, поэтому весовая функция указывается только
тогда, когда она отлична от единицы. Весовая функция
записывается во второй строке, а описание узлов и коэф-
фициентов начинается с третьей строки.
Отдельные кубатурные формулы наряду с значениями
подынтегральной функции в узлах содержат значения ее
частных производных. В этом случае вместо координат
узла выписываются значения частной производной (или
линейной комбинации частных производных) от подын-
тегральной функции /(ж) в этом узле.
Далее, в некоторых случаях даются сведения о спо-
собе получения кубатурной формулы, о расположении уз-
лов й их минимальности.
§ 14. Кубатурные формулы для куба
Обозначения: Кп = {х е R" I — 1 х{ < 1, i — 1, 2, ...
..., п} — куб с центром в начале координат, грани которо-
го параллельны координатным плоскостям и находятся
на расстоянии 1 от центра.
OnG— группа всех ортогональных преобразований ги-
пероктаэдра О„ в себя.
OnG(at, а2, ..., ап) — О„б-орбита, содержащая точку
(а1г а2, ..., ап). Точки этой орбиты имеют координаты, ко-
торые получаются из координат (at, а2) ..., а„) всевозмож-
ными перестановками и изменениями знаков (см. п. 7.2).
1. d=l, N = i
- 0 = (0, 0, ..., 0) 2”
2. d = l, 2V = 2n
OnG(l, 1, ..., 1) 1
§ 14. КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КУБА
277
Кубатурная формула является декартовым произведе-
нием квадратурных формул трапеций.
3([53ад]). d^2£ N^rt + 1
(П,ц • • -2 П,п-1г П,п) 2п/(п + 1)
„ 1/"2~ л „ 2ifat i/T • 2Шг
П.2Л-1 = У — COS rit2k =y—sia —
= 2, ..., [п/2], i = о, 1, 2, ..., п
В случае п нечетного г«, „ = (—1)7УЗ.
Узлы — вершины правильного симплекса и лежат
внутри Кп. Число узлов минимально.
4. n = 3, d = 2, У = 4
(±У2/3, О, 1/УЗ), (О, ±У2/3, - 1/У-З) 2
Частный случай предыдущей кубатурной формулы.
5. и = 3, d = 2, 2V = 4
(г, -г, -г), (—г, г, -г)
2
(г, г, г), (—г, —г, г)
г=1/УЗ?
Узлы — вершины правильного симплекса. Узлы и цен-
трально-симметричные с ними относительно (0, 0, 0) точ-
ки образуют вершины куба с центром в начале координат
и с гранями, параллельными координатным плоскостям.
6([53,д]). d = 3, N = 2п
(Пд,. rit2, .. П,я_1, ri>n) 2n~1/n
Г- - 1/"ГСО8(2*~1),Я Г- ь- 1/"ГЧ1П(2*~1)1Я
— у ~ COS-------------n---Л ri,2k~ у ~Sin-------n----
= 1* 2f .. .2 [n/2], i — 1г 2Л .. 2n
В случае n нечетного r,-. „ = (—1)7УЗ.
Узлы —вершины гипероктаэдра и лежат внутри Кп.
Число узлов минимально.
7. n = 2, d = 3, iV = 4
<?аС(У27з, 0) 1
278
ГЛ. В. ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
Частный случай предыдущей кубатурной формулы.
8. d = 3, N = 2п
OnGUn/3, 0, 0,’..., 0) 2*"7ге
Узлы — вершины гипероктаэдра. При п > 3 все узлы
не принадлежат Кп. Число узлов минимально.
9. ([55]). d = 3, W = 2n+1
0 = (0, 0, ..., 0) (3 - п)2"/3
GnG(l, 0, 0, .... 0) 2-73
Число узлов минимально в классе всех кубатурных
формул, у которых d = 3 и 0 является узлом. При п = 3
число узлов уменьшается до шести и кубатурная форму-
ла совпадает с предыдущей.
10[(37П. d = 3, АГ = 2* + 1
0 = (0, 0, ..., 0) 2"+73
G„G(1, 1, ..., 1) 1/3
11. d = 3, 2V = 2"_ _ _
G„G(1/V3? l/VT, .... 1/ТУ) 1
Кубатурная формула является декартовым произведе-
нием квадратурных формул Гаусса с двумя узлами.
12 ([2D. п = 2, d = 3, 2V = 9
(0, 0) 5/3
G2G(1, 0) 1/2
G2G(1, 1) 1/12
13. n = 2, d = 3, N = 9
(0, 0) 16/9 «
G2G(1, 0) 1
G2G(1, 1) 1/9 j
Кубатурная формула является декартовым произведе- |
нием квадратурных формул Симпсона. ;
14([37]). п = 3, d = 3, W = 13 |
(0, 0, 0) * I
O3G(1, 1, 0) 1/3 1
§ 14. КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КУБА 279
15 ([37]). n = 3, d = 3, 7V== 15
(О, 0, 0) 16/9
O3G(1, 0, 0) 8/9
OSG(A, 1, 1) 1/9
16([2D. п = 3, d = 3, 7V= 19
(О, 0, 0) 2
O3G(1, 0, 0) 2/3
O3G(1, 1, 0) 1/6
17 ([37)]. n = 3, d = 3, ЛГ = 20
O3G(1, 1, 0) 4/3
O3G(1, 1, 1) -1
18 ([70, a]). n = 2, d = 4, N = 6
(О, у,) Ci
(О, Уг) Сг
(ж3, Уз), (-Ж3, Уз) С}
(ж3, Уз), (~Ж3, Уз) Ct
у, = (УЗ+ У15)/6, р2 = (УЗ-У15)/6, = У Т5/5
у3 = (У87 — 2УЗ)/15, у i = (-У87 - 2УЗУ15
G = 8(5 —У5)/45, С'2 = 8(5 + У5)/45
Cs = 5(29 + 2У29)/261, С4 = 5(29 - 2У29У261
Узлы являются общими корнями многочленов
Xs____—х х2и 4- и2_______— и
5 а:, ж р-f- 3 у 3i/_gf
xy* + ^¥ixy--±-x,
уЗ I VjLx* — — У®_____3 »
ортогональных ко всем многочленам степени не выше пер-
вой. Число узлов минимально.
280
ГЛ. 5. ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
19(163, 6D. d = 5,7V = 2n2 + l
(25га2 -115га +162)2-781
(70 - 25n)2—781
25 • 2—781
0 = (0, 0, ..0)
OnG(V375, 0, ..., 0)
О„'5(Г375, УЖ 0,..., 0)
20 ([53, д]). d = 5,2V = 2" + 2n
OnG(a, 0, 0, ..0) 5 • 2”+7(5ге + 4)2
OnG(b, b, Ъ, ..5) (5п - 4)7(5га + 4)2
а2 = (5п + 4)/30, Ь2 = (5п + 4)/(15п —12)
Узлы принадлежат Кп при 2 < п 5.
21. га = 2, <7 = 5, N — 8
G2G(V7/15, 0) 40/49
G2G(V7/3, Г7/3) 9/49
Частный случай формулы 20.
22. га = 3, <7 = 5, У=14
<93<3(УГэ730; О, 0) 320/361
GSG(V19733, Й9733, У19/33) 121/361
Частный случай формулы 20. Число узлов минималь-
но в классе кубатурных формул, у которых d = 5 и на-
чало координат не является узлом.
23 ([371). d = 5, 2V = 2n + 2ra+l
0 = (0, 0, ..., 0) (8 - 5га)2"/9
GnG(V2/5, 0, ..., 0) 5 • 2-79
G„G(1, 1, .... 1) 1/9
24([53, д; 40, eD. d = 5, 2V = 2n+1-l
0 = (О, 0, ..., 0) 2”+7(5га + 4)
(0,0, - .,0, ±/(5i + 4)/15, ± 1//3, ± 1//3, ...
..., ± 1/J/3) 5 • 2{+7((5( - 1) (51 + 4)>
1 = 1,2,...^
§ 14. КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КУБА
281
Фиксированному значению i отвечает 2л+1~г’ узлов, ко-
торые получаются при всевозможных комбинациях зна-
ков плюс и минус при п +1 — i ненулевых координатах.
Узлы —общие корни ортогональных многочленов
С 2 . 2 t I 2 5w + 4\
+ #2 + • • + ХП------15— у,
xi—l [хг-о/» J = 3, 4, . . ., 72,
\ о /
( а 9
Часть узлов не принадлежит Кп при п > 3.
25 ([53, д]). d = 5, 7У = 2ига+1.
OnG(a, b, Ъ, ..Ь) 5/(5га + 4)
0 = (0, 0, ..0) 2п+2/(5га + 4)
а2 = [5га + 4 + 2(га - 1) У5^+4]/15га
Ъ2 = (5га + 4 - 2У5п + 4)/15га
Узлы принадлежат Кп при 2 < га < 5.
26 ([53, д]). d = 5, N = 2”(га +1)
OnG(a, Ь, Ъ, Ь) 1/(га + 1)
OnG(c, с, с, ..., с) 1/(га+1)
а2 = (5га - 2У5 + 2(га - 1)У5га + 5)/15»
Ъ2 = (5га - 2Г5 - 2У57ГйЬ5)/15га,
с2 = (5 + 275)/15
Узлы принадлежат Кл при 2 < га < 6.
27 ([44D. га = 2, d = 5, У = 7
(О, 0) 8/7
(±У14/15, 0) 20/63
(±1/УЗ, ±УЗ/5) 5/9
Узлы — общие корни ортогональных многочленов
х(х2 + у2 — 14/15), у 6г2 —1/3).
Число узлов минимально.
28а
ГЛ. 5. ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
28. n = 2, d = 5, У = 9 1
(О, 0) 64/81 I
G2G(V3/5, 0) 40/81 j
O2G(V3/5, V375) 25/81 |
Кубатурная формула является декартовым произведе- I
нием квадратурных формул Гаусса с тремя узлами. |
29([55D. n = 2, d = 5, 2V=13 ' *
(0, 0) -112/45 i i
O2G(1, 1) 1/9
O2G(1, 0) 4/45
02G(O,5; 0) 64/45
30([2D. n = 2, d = 5, 2V = 13
(0, 0) 8/45 -p
O2G(i, 0) 8/45
G2G(1, 1) 1/15 1
G2G(0,5; 0,5) 32/45
31(140, c)). n = 2, d = 5, N = = 7 .A
(0, ±1) 112/405 |
(±/45/79, ±/25/79) 6241/10125
M 368/375
a8/ (o, o) dx2 - 8/225 J
Кубатурная сумма в узле (0, 0) кроме значения |
подынтегральной функции /(0, 0) содержит значение ее ?,
второй производной с коэффициентом —8/225. Узлы явля- "
ются общими корнями ортогональных многочленов а-
---|-у2), у(х2 + -|-1/2— 4
при этом узел (0, 0) является трехкратным корнем.' £
§ 14. КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КУБА
283
32*). n-З, d —5, TV—13
(0, 0, 0)
±(0, 0, 719715)
±(0, У14/15, 1/УЗ)
±(±а, Ь, 1/УЗ)
+(±с, d, 1/УЗ)
аг = (59 + 2У74)/105,
сг = (59-2У74)/105,
32/19
40/133
40/91
(2035 -15V 74У3367
(2035 + 15У74)/3367
Ьг = (39 - 2У74)/105
d2 = (39 + 2У74)/105
Число узлов минимально. Два узла не принадле-
жат Кг.
33 ([55D. n = 3, d = 5, TV = 21
(О, 0, 0) -496/45
O3G(0,5; 0, 0) 128/45
O3G(1, 0, 0) 8/45
O,G(1, 1, 1) 1/9
34 ([371). n = 3, d = 5, TV = 23
(О, 0, 0) -16/45
O3G(1, 0, 0) 16/45
O3G(0,5; 0,5; 0,5) 32/45
O3G(1, 1, 1) 1/15
35([37]).n = 3, d =5, TV = 25
(0, 0, 0) -152/15
O,G(0,5; 0, 0) 128/45
O3G(1, 0, 0) -4/15
O3G(i, 1, 0) 2/9
36 ([371). n = 3, d —5, TV = 27
(0, 0, 0) —32/3
OsG(0,5; 0, 0) 128/45
O3G(1, 1, 0) 4/45
O3G(1, 1, 1) 1/15
м ♦) Кубатурная формула получена Л. М. Шадурской в диплом-
ной работе, выполненной в 1971 г. в Ленинградском университете.
284
ГЛ. 5. ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
37([37]). n = 3, d = 5, N = 29
(О, О, О)
O3G(1, 1, 0)
OsG(0,5; 0,5; 0,5)
OsG(i, 1, 1)
16/45
8/45
32/45
-1/45
38 ([70, а]). п = 2, d = N = iO
(х{, у{) Ct, i = 1, 2, ..., 10
Значения параметров xt, yt, Ct приведены в таблице 14.1.
Число узлов минимально.
ТАБЛИЦА 14.1
i xi vi С1
1 0,842014455974 Х1 0,048915747263
2 0,899415955233 -0,162275240496 0,083324341062
3 0,123371211008 —0,508041021876 0,182164161066
4 0,415928576774 *4 0,168181712995
5 0,717834006786 —0,879425545262 0,060921468702
6 —0,503225927287 —0,921156200668 0,065041299041
7 Уз
8 Уг х2
9 Уз' *5 Съ
10 Уз а?3 С3
39 ([55D. n = 2, d=7, АГ = 12
OtG(16/7, 0) 98/405
O2G(b, Ь) В
O2G(c, с) С
Ъг = (114 - 37583)/287 = 0,144822
с2 = (114 + 375837/287 = 0,649603
В = 307/810 + 923/(2707583) = 0,520593
С = 307/810 - 923/(2707583) = 0,237432
§ 14. КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КУБА
285
Узлы — общие корни ортогональных многочленов
(х* — у») (х* + у® — -у-)»;
*+и-+<«•+»;+<+#(**-+)(»-4-)-
Число узлов минимально.
40(140, в]). n = 2, d = 7, Я-12
&tG(d, 0)
O2G(b, 0)
О2С(У375, УЗ/5)
а2 = 3(35 — У385У140,
Четыре узла O2G(.b, 0) не принадлежат К2. Число уз-
лов минимально.
4(77 + ЗУ385)/891
4(77 — 37385)7891
25/81
Ь2 = 3(35 +У385У140
41 ([36D. п = 2, d = 7, У = 13
(0, 0) 4/81
<92Ш12735, 0) 49/81
OtG(a, b) 31/162
а2 = (93 + ЗУ"186)/155, Ьг = (99 - ЗУ186)7155
Узлы — общие корни ортогональных многочленов
ху (х® + у® — -у)’ х* + у* — Х*У* - -Ц <х* + У*)-
Число узлов минимально в классе кубатурных формул,
у которых d = 7 и (0, 0) является узлом.
42 ([70, в]). 71 = 2, й = 7, АГ =13
(°, 0)
О2С(1/УЗ, 1/УЗ)
О2С(У6/7, У6/7)
Оа(?(У6/7, 0)
308/405
27/55
343/4455
98/405
286
ГЛ. 5. ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
43(118, а]), n-2, d-7, 2V-9
O2G (/6/7.0)
O2G (/3/5f/З/б)
(0,0)
a2/(Q,o) . a*/(o,Q)
а»2 ау2
44([36; 53, д; 63, б]). п = 3, d = 7, 2V-27
g 352
315а®
176/(945а«)
8/(1356®)
1/(27с®)
98/405
25/81
728/405
4/45
36______8_
45b* 27с®
(ОАО)
G8G (а, 0,0)
08<?(ЬЛО)
О8бг (с, с, с)
а2 = (33 7165)/28, Ь2 = (30± 7165)/35,
c2-(195=F47165)/337
Здесь указаны параметры двух кубатурных формул.
Одна из них получается, если в формулах для а2, Ьг, с2
взять верхний знак, вторая —если взять нижний знак.
Обе кубатурные формулы имеют часть узлов, не принад-
лежащих К». Число узлов минимально в классе кубатур-
ных формул, у которых d = 7 и (0, 0, 0) является узлом.
45([64; 53, д1). n-3, d-7, JV-34
GsG(a, 0, 0) 1078/3645
OsG(a, а, 0) 343/3645
G3G(6, b, b) 43/135 + 8297238/136323
GsG(c, c, c) 43/135-8297238/136323
, 6 ,2 960 — 33/238 « 960 + 33 /238
a2 = —, b2 =-------ш-------, c2 =-------------
46([38, в]). n —2, d = 9, 2V-17
(0, 0) С.
±(a<, bt), ±(—b{, at), C<, i = 1, 2, 3, 4
9 14. кубатурные формулы для куба
287'
Значения параметров а<, Ь<, Ct, Со приведены в табли-
це 14.2. Число узлов минимально. Кубатурная формула
инвариантна относительно группы вращений квадрата Аг-
ТАБЛИЦА 14.2
1
0 0
0,96884996636197772072 1
ai 0,75027709997890053354 2
0,52373582021442933604 3
0,07620832819261717318 4
0 0
0,63068011973166885417 1
bi 0,92796164595956966740 2
0,45333982113564719076 3
0,85261572933366230775 4
0,52674897119341563786 0
0,08887937817019870697 1
ci 0,11209960212959648528 2
0,39828243926207009528 3
0,26905133763978080301 4
47((39J). п = 2, й = 2Л, N—(к + 2)(к+i)/2, к - нату-
ральное ____ _______
р(х, у) — VI — ж2У1 — у*
Vi) = (cos Цтру—1 cos ^3) ‘Г’ С И
i = 1,2, ..., [(^+;2)/2], / = 1.2...., [(к + 2)12]
/ \ ( 21л (2j — 1) лЛ л2
(“**~ \C0S *+2’ C0S А+3 / Т Di*
i = V2. . •.Д(* + l)/2]t j = l, 2,?..., [(к + 1)/2] + 1
<# = 5 А7= 2
r+e^fe r+s<fe
Г>0.8>0 r>0,8>0
Здесь Ur(x) = sin (r + 1) arccos х/l/1 — x2 — многочлен Че-
бышева второго рода. Узлы — общие корни многочленов
и((х)ик+1-Ау) + Uh_i(x)Ui(y), i = 0, 1, 2, ..., к + 1
288
ГЛ. 5, ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
(считаем U-Sx) 0). Число узлов минимально.
48(1391). п = 2, d = 2ft + l, N = (к + 3)(ft + 1)/2, к
нечетное
p(x, y) = l/(Vl —x2Vl —y2)
л2
(± 1* *aj+ih (*2/+u ± 1) 7TV73
(« +1)
2л2
(iai* *ai+i)a (**i+u hi) ' T.a
(fc-M)
i = lt 24 .. .j (ft — 1)/2л / — 0, Ijj 2^ .. .s (ft — l)/2
Здесь tm = cos^yp
Узлы — общие корни многочленов
Тк-{+2(х)Т(-Ау) + i = 1, 2, ..., (ft + 3)/2,
где Tr(x) = cos r arccos « — многочлен Чебышева первого
рода. Число узлов минимально.
49(139]). n==2, d = 2ft+l, (ft + 3)(ft + 1)/2, ft-
нечетное
р(х,у) — «а/1 — у8
(^2i* (^si+ia hi)» .. , ч.а (1 — ^8i) (1 — ^2J+1)
Vе -j- o)
4-1, 2, ..., (ft + l)/2,/ = 0, 1, 2, ..., (ft + l)/2
Здесь tm = cos Число узлов минимально.
Формула, у которой d = 2ft+l при к четном и число
узлов совпадает с нижней границей (А +1)2/2 — 1
также существует, как указано в [70, д]. Таким
образом, для квадрата и веса р(х, у) = V1 —;r2Vl —у2
при любом натуральном т существует кубатурная фор-
мула, у которой число узлов совпадает с нижней грани-
цей и алгебраическая степень точности равна т. При т Д.
четном этой кубатурной формулой является формула 47. f
g 15. КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СИМПЛЕКСА
289
§ 15. Кубатурные формулы для симплекса
Обозначения: Тв = {жеКп|а:1>0, ..., х»>0, Xt + ...
... + хп < 1} — стандартный симплекс.
Тп,и — симплекс в R" с вершинами (и, и, ..., и),
(1 — пи, и, ..., и), (и, 1 — пи,..и), ..., (и, и,..., 1 — пи).
w — (A/(n+i), ..., l/(n +1)) — центр Tn,», aw(u)—
вершины Тп>и, b{i> (и) — середины ребер Тп,«, cw(u) —
центры двумерных граней T’n, u, b(iy(u, t) — 2-точки ребра
симплекса Т»,».
1. d = l, N = 1
w 1/n!
2. d = l, N = n + 1
a(i)(0) l/(n + l)l
3([53, д]). d = 2, N — n+i
aw(.u) l/U+D!
u = (n + 2 ± Yn + 2)/(n + D(n 4- 2)
Знак минус приводит к узлам, принадлежащим Тя. Знак
плюс при п>3 дает узлы, не принадлежащие Т„. Число
узлов минимально.
4. n = 2, d = 2, N = 3
а(<)(1/2) 1/6
Частный случай предыдущей формулы, когда берется
знак плюс и п = 2.
5([53, д]). <2 = 3, 2V = n + 2
w —(n +1)7(4(п+2)1)
a(!,(l/(n + 3)) (п + 3)7(4(п + 2)!)
Узлы являются общими корнями всех ортогональных
многочленов второй степени, которые обращаются в нуль
в точке w. Число узлов минимально.
6 ([67, aD. п = 4, 5, ..., 12, <2 = 4, 2V=l + (n + l)X
X (п -Ь2)/2
w Аа
a(i,(a) А
6(i)(p) В
19 и, ц. Мысовских
290
ГЛ. 5, ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
2<Z(n-13) + e(»+4) о 2d + c
а~ е (re + 1) (га + 4) « Р с (я 4-1)
Л 1 (п + 1)(» + 4)3 /eV п(п + 1) /с\4
° «I . 16 (13 — я)3 (я-f-3)1 \d' 32(n + 4)!\d/
Л - (”+*)3 М4 д _ 1 (_£_У
16(13— »)3(» + 3)1 \dl 1 16(«+4)!\dJ
где
с = (га + 4)[4(га + 4) + (га— 13)(га + 3)],
d = (3 — n)(ra + 4) ± (га+ 1)7(га + 4)(13 — га),
е = (га — 13)(га2 — 9) ±4(га+ 1)7(ге + 4)(13 — га).
Значения параметров приведены в таблице 15.1. Первые
девять строк таблицы содержат значения, которые полу-
чаются, когда в формулах для d и е берется знак плюс,
остальные строки — когда берется знак минус. Число уз-
лов кубатурной формулы лишь на единицу превышает
нижнюю границу.
7 ([67, aD. га = 3, d = 4, 7V=11
w
1184
125-61
686
125-61
448
25-61
8([5, al). га = 2, d = 4, 2V = 6
(x<t yf) C(, i = 1, 2, ..., 6.
Параметры приведены в таблице 15.2. Формула по-
лучена _методом воспроизводящего ядра. Узлы: (0, 0),
((10 4-У 10)/15, 0) и четыре точки пересечения кривых
второго порядка, определяемых указанными двумя точка-
ми. Точка (0, 0) определяет кривую 15(® + у)2 — 20(ж + у)+
+ 6 = 0, которая распадается на две прямые.
9([67, а; 38, в]). га>3, d = 5, У= (га + 2)(га + 3)/2
w Ао
а(,)(а) А
в
ТАБЛИЦА 15.1
я а 3
4 0,54816625(^1) 0,88947074(—1)
5 0,37756819(—1) 0,79598708(—1)
6 0,16638990(—1) 0,71885212(—1)
7 . —0,18349918(—1) 0,65362763(—1)
8 —0,12221266 0,59715871 (—1)
9 —0,91602513 0,54700196(—1)
10 0,17654692 0,50096482(—1)
11 0,52334322(—1) 0,45643546(—1)
12 0,89041096(—1) 0,40816326(—1)
4 0,10248674 0,36266582
5 0,10510032 0,34897272
6 0,10100806 0,36289739
7 0,95272995(—1) 0,43463723
8 0,89425774(—1) 0,79742698
9 0,83974852(—1) —0,10547001
10 0,79092175(—1) —0,16774354
11 0,74856845(—1) —0,45643546(—1)
12 0,71428571(—1) • 0
Ао х А в
—0,40970936(—2) 0,80384889(—3) 0,41744515(—2)
—0,91619854(—3) 0,61599556(—4) 0,59199563(—3)
—0,15324940(—3) 0,31655965(—5) 0,72379957(—4)
—0,18899428(—4) 0,86905202(—7) 0,77363173(—5)
—0,14710567(—5) 0,53681798(—9) 0,72966146(—6)
0,99431403(—8) 0,14486568(—12) 0,61017496(—7)
0,26592626(—7) 0,43699806(—10) 0,45181794(—8)
0,47941663(—8) 0,79875583(—10) 0,29241568(—9)
—0,14993044(—9) 0,77603353(—10) 0,15753366(—10)
0,12848637(—1) 0,39499114(—2) 0,90684721 (—3)
0,76738902(—3) 0,11839912(—2) 0,30799778(—4)
—0,46113134:—3) 0,26193855(—3) 0,78335072(—6)
—О,17782752(—3) 0,46992766(—4) 0,10646125(—7)
—0,39949397(—4) 0,71944621(—5) 0,22946518(—10)
—0,69845574(—5) 0,97402828(—6) 0,14453156(—12)
—0,10505038(—5) 0,12053845(—6) 0,28007431(—11)
—0,14653279(—6) 0,14287014(—7) 0,21322981(—11)
—0,21841064(—7) 0,18360840(—8) 0,76471637(—12)
292 ГЛ. 5. ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
, 4
ь°’(р) с I
a = l/(n+3), 0 = l/(n + 5) j
40 = (га + 1)732(п + 3)! .
А = -(п + 3)716(п + 4)!
В = С = (п + 5)716(п + 4)1 ;
10*). n = 3, d = 5,2V=14 ,i
а«>(а) А |
а«’(₽) В |
Ь(<)(у) С ;
а = 0,3108859, 0 = 0,09273525, у = 0,4544963 ?
Л =0,01878132, В = 0,01224884, <7 = 0,007091003
Здесь
а = (1 + а)/4, 0 = (1 + 6)/4, f = (l + 2c)/4.
Параметры а, Ь, с, А, В, С определяются как решение j
системы (7.39), в которой надо положить п = 3 и Ло = 0. ;
ТАБЛИЦА 15.2
* i ci
0 0 0,01388889
0,8774852 0 0,03041406
0,1321127 0,7453725 0,09741591
0,09633204 0,3595161 0,1105476
0,3595162 0,09633200 0,1105476
0,5592120 0,3182732 0,1371858
Обозначим i=l/c2. Как можно убедиться, t удовлетворя-
ет кубическому уравнению
9i3 - 284i2+ 2800J-8512 = 0.
Из трех корней этого уравнения • J
ft = 5,978181, /2 = 10,47664, *, = 15,10074 't
*) Узлы и коэффициенты вычислены в дипломной работе'
Ю. С. Рожкова, выполненной в 1971 г. в Ленинградском универ-7
ситете. См. также [11].
§ 15, КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СИМПЛЕКСА
293
первый приводит к указанной кубатурной формуле, при
этом с — 0,4089926, С — t\H\ Корень t2 приводит к куба-
турной формуле с узлами, не принадлежащими Ts, a tt
определяет комплексные значения а ъЪ.
Параметры а, Ъ, А, В находим как решение системы
Ла*4-ВЬ2 = (1-721)/5!,
Аа3 4- ВЬ3 = -2/6!, Аа3 4- ВЬ3 = 10/7!,
Аа3 + ВЬ3 =—6/71.
11 ([44]). n = 2, d = 5, N— 7
9/80
(155 — V15)/2400
(155 4-V15)/2400
(1/3, 1/3)
a(i,((6-V15)/21)
а(<>((64-Н5)/21)
Узлы являются общими корнями всех ортогональных
многочленов третьей степени, которые обращаются в нуль
в точке (1/3. 1/3).
12([40, я]). n>4, d
4-(п4-1)(и4-2)(п4-3)/6
w
aw(aft)
Ь(О(1/(п4-5))
5(<)(1/(п4-7))
с(О(1/(п4-7))
&<«(!/(» 4-7), 1/4)
7, АГ=14-(п4-1)(п4-2)4-
А^, к — 1,2,3
—(п4-5)’/2’(п4-6)!
10(п4-7)73’(и4-6)!
(и4-7)72’(ге4-6)!
2‘(п4-7)73’(п4-6)!
Значения параметров Ло, aft, Ак, к 1, 2, 3, для п =
= 4, 5, ..., 20 приведены в таблице 15.3.
13Q111). d = 2A:4-l, W = lf(n4-1, к), к — целое неот-
рицательное
Н Ц 2Ро+1 2₽я + 1 2Рп + * \\
₽o+Pi+--+₽n=k-«\ \ d 4"п ~ 2i 4-» — ’ ”* d 4-» — 2i J j
eo>p1>...>pn>o
z aft (d -f- a — 2l)d
' 2 i! (d 4- n — И)
i = 04lB2,
n a. a,
4 0,14291949 0,11075316 0,88717111(—1)
5 0,12504744 0,99684389(—1) 0,81301628(—1)
6 0,11114842 0,90627142(—1) 0,75026584(^1)
7 0,10003011 0,83078763(—1) 0,69647588(—1)
8 0,90933903(—1) 0,76691197(—1) 0,64985419(—1)
9 0,83354136(—1) 0,71215794(—1) 0,60905662(—1)
10 0,76940772(—1) 0,66470185(—1) 0,57305528(^1)
11 0,71443810(—1) 0,62317581(—1) 0,54105069(^1)
12 0,66679930(—1) 0,58653366(—1) 0,51241170(—1)
13 0,62511651(—1) 0,55396167(—1) 0,486633351—1)
14 0,58833848(—1) 0,52481736(—1) 0,46330690(—1)
15 0,55564759(—1) 0,49858672(—1) 0,44209788(—1)
16 0,52639841(—1) 0,47485361(—1) 0,42273002(—1)
17 0,50007459(—1) 0,45327754(^1) 0,40497306(—1)
18 0,47625817(—1) 0,43357723(—1) 0,38863362(—1)
19 0,45460718(—1) 0,41551826(—1) 0,37354801 (—1)
20 0,43483913(—1) 0,39890371(—1) 0,35957684(—1)
ТАБЛИЦА 15.3
(п+6)!А0 (n+6)!At (п+6)! А, (п+6)!А,
—0,18334680(5) 0,64001156(5) —0,76352525(5) 0,22638757(5)
-0,80295907(5) 0,17935177(6) —0,15952548(6) 0,36065800(5)
-0,28346765(6) 0,44637750(6) —0,31067599(6) 0,55064581(5)
-0,85309867(6) 0,10112968(7) —0,57091686(6) 0,81072168(5)
-0,22699449(7) 0,21227715(7) —0,99922577(6) 0,11567092(6)
—0,54760496(7) 0,41827522(7) —0,167771887) 0,16056311(6)
-0,12195790(8) 0,78142902(7) —0,27178678(7) 0,21753989(6)
-0,25414961(8) 0,13949735(8) —0,42677370(7) 0,28844580(6)
—0,50070132(8) 0,23943051(8) —0,65203135(7) 0,37513942(6)
-0,94010920(8) 0,39710294(8) —0,97230064(7) 0,47945148(6)
-0,16930918(9) 0,63902617(8) —0,14188387(8) 0,60314138(6)
-0,29400148(9) 0,10011647(9) —0,20306243(8) 0,74785317(6)
-0,49436428(9) 0,15314603(9) —0,28557021(8) 0,91507209(6)
-0,80783578(9) 0,22928304(9) -0,39526719(8) 0,11060827(7)
-0,12867131(10) 0,33666987(9) —0,53923316(8) 0,13219294(7)
-0,20027703(10) 0,48571154(9) —0,72594791(8) 0,15633808(7)
-0,30529583(10) 0,68955311(9) —0,96548805(8) 0,18308971(7)
в 16, КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ШАРА
295
Пусть (do, аи ..ая) е R"+‘, при этом выполняется ра-
п
венство 2 aj = 1. Рассмотрим множество А точек в Rn+1
i—o
с координатами (а«0, asl, aSn), где (s0, «i, — лю-
бая перестановка индексов 0, 1, 2, ..п. Точке (а,0, aSll
• • ч а«п)е -4 сопоставим точку (aS1, aS2, ..., aSn) е В cz Ra.
Множества А и В содержат одинаковое число точек
и, кроме того В совпадает с орбитой группы преобра-
зований симплекса Тп в себя, содержащей точку
(а», а2, а„): B = TaG(aif а2, ..., ая) [53, д]. В приве-
денной кубатурной формуле для множества В использова-
но обозначение ((а0, аь ..., а„)).
Все узлы кубатурной формулы принадлежат Тп. Име-
ется гипотеза, что число ее узлов минимально при п > 2к.
Это справедливо при к = 0, 1. Среди коэффициентов ку-
батурной формулы имеются отрицательные, и сумма
абсолютных величин коэффициентов быстро возрастает
с увеличением к.
Частными случаями кубатурной формулы при к —
= 0, 1, 2 являются соответственно кубатурные формулы
15 9
14. d = 7, 2V=(re + 4)(» + 3)(n + 2)/6
384 (в 4- 4)1
(» + 3)*
128 (в 4-5)1
(»4-5)а
64 (в 4-6)1
(»4-7)*
64 (в 4- 7)1
Частный случай предыдущей кубатурной формулы, от-
вечающий к = 3.
§ 16. Кубатурные формулы для шара
Обозначения: Ва = [х е R" | х% 4- ... 4- хп 1| — шар
с центром в начале координат и радиусом 1.
р (Вп) — пп 4-1) — объем шара В„.
296 ГЛ. 5, ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ j
OnG — группа всех ортогональных преобразований ги- |
пероктаэдра Оп в себя. 3
OnG(at, аг, ..яп) — О„С-орбита, содержащая точку |
(ai, аг, ..., яп). Точки этой орбиты имеют координаты, ко-
торые получаются из координат at, а2, ..., яп всевозмож- К
ными перестановками и изменениями знаков. I
Сп — правильный симплекс в R".
aw — вершины Сп, 5
Ь(<) — проекции середин ребер Сп из 0 на поверхность j
единичной сферы Sn-i, v
с(<) — проекции центров двумерных граней Сп на 5n-i.,}
И — икосаэдр в R’, *
4(<> — вершины Я, i
Вт — проекции середин ребер И из 0 на S2,
Cw — проекции центров двумерных граней И на 52.
По поводу приведенных обозначений см. п. 7.2.
1. d = l, N = i
0 |i(Bn)
2. d = 2, N = n+1 x
Уп/(п+2)я(<) p(Bn)/(ra + l)
Число узлов минимально.
3([53, д]). d = 3, 2V = 2n f
р(х) = (i® 4- xl + ... + Xn)s,\ s> — n
OnG(a, 0, ..., 0) p,(l?n)/2n
a — V(n + s)/(n + s + 2)
Число узлов минимально. f
4. d = 3, ^ = 2n J
OnG(a, a, ..., я) 2_"p,(Rn)
я = 1/Уп + 2
5 ([26]). n = 2, d = 2V = 6
(0, 0) л/4 i
(V2/3 cos (2nfc/5), V2/3 sin (2л/с/5)) Зл/20
к = 1, 2, 3, 4, 5
Число узлов минимально. '
: Я
§ 16. КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ШАРА 297
6([8, a]). n = 4, d = 4, TV = 16
(1, 0, 0, 0), (—1/2, ±ГЗ/2, 0, 0)
л2/54
(-1/2, О, ±УЗ/2, 0), (-1/2, О, О, ±ГЗ/2)
(-1/2, О, 0, 0) 2л2/27
(1/4, ±ГЗ/4, ±УЗ/4, ±УЗ/4) л727
N = 16 лишь на единицу превышает нижнюю границу
для числа узлов. Кубатурная формула получена методом
воспроизводящего ядра. В качестве определяющих точек
брались _точки на поверхности шара В4: (1, 0, 0^ 0),
(-1/2, V3/2, 0, 0), (-1/2, О, V3/2, 0), (-1/2, О, О, V3/2).
Использовано следующее свойство воспроизводящего
ядра
М(п,2)
К2(а,х) — 2 Fi(a)Fi(x)
г=1
(смг. п. 8.3). Если точка а = (аь а2, ..ап) лежит на по-
верхности шара Вп, то К2(а, х) с точностью до ненулевого
постоянного множителя совпадает с произведением двух
многочленов первой степени
' п
Н*
г=1
, 1-]Лг4-5.
‘ п + 4
7(153, д]). d=5, 2V = 2n2+l
р{х) = (х* + х2 4- ... + а£)’/2, s> — п
6 Со
OnG(a, 0, ..., 0) С,
OnG(a, а, 0, ..., 0) С2
аг = 3(n + s + 2)/((п + 2) (п+ з + 4))
Со = ц(В„) — 2пС, — 2»(п — 1)С2
С, = (4 - п) (и + 2) (п + s) (n + s + 4)р(Вя)/[18п(п + s + 2)2]
С» = (ге+2)(n+s)(n+s+4)|х(В„)/[36и(п+s + 2)2]
298
ГЛ. 5. ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
8 ([53, д]). d = 5,2V = 2» + 2n
OnG(a, 0, 0, 0) Ci
OnG(b, &, Ь, ..., Ь) Сг
аг - 1 - У2/(« + 4), Ьг = (п + 272/(ге + 4))/(га2 + 2п - 4)
C1 = p(Bn)/[(n + 2)(n + 4)a1]
Сг = g(Bn)/[2n(n + 2) (п + 4) 6*]
Узлы лежат внутри Вп при п > 4.
9 ([53, д; 40, е]). d = 5, N - 2"+* -1
О
(О, 0, .. ,t0, ± ai, ± ь, ± Ъ,•..., ± Ь)
I = 1,2, .,.,п
4И(Вя)/(га + 2)9
__ (» + 4)ц(Вп)
(п+2) (Ж) (Г+2)2”-‘
а< = У(» + 2)/(п + 4), Ь = 1/Уи + 4
Фиксированному значению i отвечают 2"+1_* узлов,
которые получаются при всевозможных комбинациях зна-'
ков плюс и минус при п + 1 — i ненулевых координатах.
Узлы — общие корни ортогональных многочленов
хп (®i + * * * * * * * * хг И- • • • ~Ь хп — (га 4* 2)/(ге + 4)),
xi-M— 1/(га + 4)), [ = 3,4,...,в,
xikxi —
Узлы лежат внутри В„.
10. ([13D. n = 3, d = 5, У =13
(0, 0, 0) 16л/75
У577Л“> 7л/75
Число узлов минимально.
И ([131). n = 3, d = 5, # = 21
(0, 0, ..., 0) 16л/75
• 15/7С(П 1n/i25
12([44]). п = 2, d = 5, W = 7
(0,0) л/4
9 18. КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ШАРА
299
(У2/3 cos (лЛ/3), У 2/3sin (л/с/З)) л/8 '
* = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Узлы — общие корни ортогональных многочленов
х(х2 + уг — 2/3), у(у2 — Зх2).
Число узлов минимально.
13(153, д]). n = 2, d = 5, 2V = 9
(0,0) л/6
О2С(1/У2, 0) л/6
1/УТ) л/24
Узлы — общие корни ортогональных многочленов
х(х2 —1/2), у(у2-1/2).
14 ([40, ю]). п = 4, 5,, 6, d = 5, N= (n + l)(n + 2)
± aa<0 A
± В
а = 1/Уи р = 1/Уп
А = (7 - n)n2u2p(B„)/[2(n + l)2(n + 2)(n + 4)1
В = 2(n - l)2p2p(B„)/[(n + l)2(n + 2)(n + 4)]
где
U “ n + 2 n(» + 2) (7 —») — K) (n + 4)n
’ = 7ТГT-—!)<+ 2) +
При /1 = 5", 6 верхние знаки в значениях и a v при-
водят к узлам, принадлежащим Ва. Во всех остальных
случаях среди узлов имеются не принадлежащие Вп.
Кубатурные формулы инвариантны относительно преоб-
разований группы CnG*.
15 ([40, ю]). n = 3, d —5,14
± аа(<) А
РЬ«> В
300 ГЛ. 5. ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
• 4
а =]Л(105Т10/14)/1191 р = ]Л(7 ± /14)/7 5
, 71 ± 12/14 4 „ . 9 т 2/14 4 ?
А ~ 1000 3 я ’ & ~ 125 3 я Т
£
Узлы этой кубатурной формулы выбираются так же, ;
как в предыдущей. Разница состоит в том, что число I
узлов N = 14 (а не 20), так как середины ребер С3 об-
разуют центрально-симметричное множество. Часть узлов а.
выходит из области интегрирования. Число узлов мини- ?
мально. <
16 ([65, a]). n = 2, d = 6,2V=11
(0, 0) 19л/108
. cos у- 2ks rx sin -у 2к j Сх
(r2 cos у (2к - 1), rasiny(2fc-l)] Са
гх = (3 /22 + /б)/16, г2 = (3 /22 - /б)/16
С, = (2937 - 361733)л/35640, С2 = (2937 + 361733)735640
г4>1, пять узлов находятся вне В2. Число узлов лишь
на единицу превышает нижнюю границу.
17 ([63, 61). и = 2, d = 7,2У= 12 1
OaG(V3/2, 0) 2л/27
O2G(b, b) В
O2G(c, с) с :
Ь* = (27 - 3729)/104, с2 = (27 + ЗУ29)/104
В = (551 + 41У29)л/6264, С - (551 - 41У29)/6264 ;
Узлы — общие корни ортогональных многочленов
(ж2 — у2) ^2 + У2 — 4), ж4 -I- у4 4- -у- «2у2 —
Число узлов минимально.
в 16. КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ШАРА 301
18([65, aD. га = 2, d = 4,5,6,7, N = 2d+2
( 2л/ . 2л/ \ л
ViC0S d + 1t risind + l) 2d 4-2
1 = 1,2, 7 = 1, 2, ...,d 4-1
r? = (3-/3)/6, r| = (3 4-/3)/6
Каждая из этих четырех кубатурных формул имеет
одинаковые коэффициенты.
19 ([40, d). n = 2, d = 7, 2V = 9
(0, 0)
dsf (о, 0) а2/ (о, 0)
ar2 + ay2
I Уз л . Уз . л Д
(VC0ST^ 2 sinv)
/ = 1,2, ...м8
20([40, d). « = 2, d = 7,2V = 12
Нл/27
л/72
2л/27
(zZ, Ct)
O2G(b1b)
Оа<?(1//3,0)
df (l/УЗ, О) df (— 1//3, О)
дх . дх
(52 4-21 ]/б)л/28
(52— 21/6) л/28
- 9л/16
+
pfSWrt). _ pt(f>>-v№ 5 /Зл/64
ду ду г 7
а2 = (3-/б)/6, Ь2 = (3 4-/б)/б
Узлы — общие корни ортогональных многочленов
+у*—4 х*у*—4 с*2+ху ~ у*)-
21 ([40, в]). п > 3, d = 7, N = 2n(2n2 - 3n + 7)/3
OnG(a, а, а, 0, 0, ..., 0) А
OnG(b, b, 0, 0....0) В
OnG(ci 0, 0, .... 0) С
OnG(d, 0, 0, 0) D
302 ГЛ- б. ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
а = /(« + 4)/(Зп +18)/ b = У(П + 4)/(2п +12)
с]/р - / Р _прд„ + 4)j d = К₽ + /Ра“ »?/(« + 4)
о _________________(» 4~ 4)8 (ва — 9в 4~ 38)_
Н (в + 6) (в4 + п3 — 28п2 + 60» +1216)
А = 27<в + 6>а Ц(В ) В = 2(» + 6)а(5-») (в
8(»+2)(» + 4)4 **•' *'* (в4-2)(»4-4)? "
Г - »а-9» + 38 (» + 6)8а —» —4 ,д .
4(» + 2)(»+4)a(» + 6) c4(da —са)
г)_______»а — 9» + 38___»4~4 — (»4~6) са /п \
4(в + 2) (»4-4)а (п 4- 6) d4(d2- — с2) “
При п>4 параметр d удовлетворяет неравенству
й>1, так что 2п узлов находятся вне области интегри-
рования. При п > 6 коэффициент В отрицателен.
22. » = 3, d = 7,2V = 32
OsG(a, а, а) А
OtG(b, Ь, 0) В
0&(с, 0, 0) С
OtG{d, 0,0) D
a = Vll21a Ъ = УТИВ
с =/7 (245 - /17770)/2817
d = /7 (245 4- /17770)/2817
А - 729л/24010, В = 432л/12005
С = 2(2965 4-227816/V 17770)л/108045
D = 2(2965 - 227816/Г17770)л/108045
Частный случай формулы 21.
23. n = 5, d = 7, W=100
OsG(a, а, а, 0, 0) А
О£(с, 0, 0, 0, 0) С
OtG(d, 0, 0, 0, 0) D
§ 16. КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ШАРА
303
а =-3/11,с= /3 (81 - 4 /111)/319
d =]/ 3 (81 + 4/Ш)/319
А = 121л725515
С = (982 + 7923/ЙТТ)л7127575
D = (982 - 7923/УШ)л7127575
Частный случай формулы 21.
24 ([40, в]). п - 4, d = 7, N = 72
OiG(a, а, а, 0) А
OtG(.b, &, 0, 0) В
O,G(c, О, О, О,) С
OtG(d,0,0,0) D
а = 1/2, Ь = 1/У2
с = ]/’(39-3/41)/8, d=j/”39 +3/41/8
Л = л7120, В = л®/480
С = (33 + 109/V 41)л*/2880
Р = (33 — 109/У41)л*/2880
25 ([63, 6D. п = (0,0,0) = 3, d = 7, 27 = 27 М 8___8 (3 63а* 3156е 945с’/"
O3G(#f 0, 0) о3а(ъ, ъ, о) б?3(т(с, (?, (?) 4л/(189ав) 2л/(945Ь®) л/(1890св)
а® ±=(45 Т /30)/57, Ь® = (18± /30)/42,
с® = (27 =£ 2/Зб)/87.
Здесь указаны параметры двух кубатурных формул.
Одна из них получается, если в формулах для а®, 6®, с*
взять верхний знак, другая —если взять нижний знак.
Обе кубатурные формулы имеют часть узлов, не принад-
лежащих В3. Число узлов минимально в классе кубатур-
ных формул, у которых d “ 7 и (0, 0, 0) является узлом.
304
ГЛ. 5. ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
26(1131). n = 3, tZ = 7, 7V = 33
(0, 0, 0) 64л/525
27л/350
С<{) л/70
27 ([65, б]). n=2, d = 8, TV =16
(0,0) 23л/216
(г, cos?- 2к, г, sin 4 2аА Cj
Iх О * О у
(r2 cos ?- (2к — 1), r2 sin 4 (2к — 1Й С2
I D О j
^r8 cos 4 2fc, r3 sin у 2k j C3
к— 1,2,3,4,5
rt, r2, r3 — положительные корни многочлена
-в _ 152 , - J2 2___6_
Г 75 Г 25 Г 25
c, -(t- «Д5 M- ГЭ M- r«l
C, = (-1 - ги) "/[5 (r? - r!) (r!, - rj)]
Cz - (4 - + 4g- rW) J[5 (r! - ri) И - г» ]
Численные значения параметров приведены в таблице
16.1.
28([1J). n = 2, d = 9,7V=19
(0,0) 251Я/2304
(fat . fat\ л
rtcos-g-, rjSin-yl Ci
(кл • kst \ zv
Fj COS 2 SIQ j ^2
§ 16. КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ШАРА
305
ТАБЛИЦА’ 16.1
i 1 2 3
ri 0,582334 0,882458 0,953321
Ci tn 0,0973630 0,0533578 0,0279830
cos (2к -1) J, sin (2к — 1) 125л/3072
£ = 1,2,3,4,5,6
rt = (96 - 4 /Ш)/155, rl= (96 + 4 /П1)/155
Ci = (110297 + 5713 /Ш) л/2045952
С2 = (110297 - 5713 ]/Ш) л/2045952
29'([40, ч]). п = 2, d = 9, АГ =19
(0,0) л/9
cos y к, rjsin-j kj Сг
к = 1,2,... ,8
(0, ±г2) С2
(± Лц ± &1) Сз
(± ®з. ± &з) Ci
rt =/(3-/£б)/5 = 0,595861
гj =/(3 + /13)/5 = 0,919211
di и а2 (at > в2) — положительные корни уравнения
а*-X (Ц/£5-3)а« + ±.(2/£5-1) «О
at = 0,872822, = 0,534228
bi =]/rt-a? = 0,288323, &2 =/rt-at = 0,748030
20 и. П. Мысовских
<1
306 ГЛ 6. ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
сг = (8 +' VT& я/ш = ъ,штя •/
Сг = (3 - /1^) я/48 = 0,0369845л |
[9 + 2/Г5-(23-УТ5)<.;1=-
боо I «1 — tig I
= 0,0381523л
= 0,0374562л
Узлами являются общие корни ортогональных
многочленов
/ = Ptl + 2Pi3 + Р05 = у [Н - | г* + г* = х* + у\ '
S — Р50 + ^32 + ~
= xgr = х [а* 4- XxV 4- де4 — rlx* 4- 3rij/2].
Здесь _Д=-4-2/1Д ц = -14-2/1Д г? =
— (3— ]/1,5)/5. Значения % и ц получены из требования:
компонента gi кривой g проходит через точки (0, 0) и
(п, 0). Узлы лежат внутри В2, коэффициенты положи- .
тельны.
30([38, a]).n = 2,d«9, N =49
л/9
Ct
Сг
Сг
Сг
(О, 0)
0)
O2G(a2, bz)
Cottis,
(±а4, ±Ь4)
Ctg —
«1 =
Л
cosy, Ь2==
6—/6 . я'
-1Т-8ШТ
а3 = (5 /6 - 6 +У213 - 78 /б)1/2
в 16. КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ШАРА
307
h —1 /”б+/в 2
Ьз~У ~чт—03
а* = (5 /6- б-/213-78/б//г
h ~-\f 6+vg 3
i4-y-io--------а*
с __ 53-8-|/б _ 16+1/6
1^1 873 л, с2 — 288 п
Г -[ 47 11-1/5 ' 6.767- 17471^!/^ го-./с1-
63 [12-97 96-97 + 8-27-97-197 Г 21г> 78]/bjn
С = [_JZ___Н1/6 6-767- 17471/6 3/+Л" 7рУб1п
°4 L 12«97 96-97 8-27-97-197 И 7о И О]
Кубатурная формула получена методом воспроизво-
дящего ядра, приспособленным к случаю центральной
ТАБЛИЦА 16.2
i
0,91921106078980457937 1 и
ai 0,55050432045385573680 2
0,73930517186176132196 3
0,27959387377058282814 4
0 V 1
0,22802635567697147768 ^2
bi 0,54623880962155130001 *3
0,87565760433418106956
0,03826355333073834503 1
Cj 0,06406072827355270173 2
0,03785074593215247979 3
л 0,03711824307759516646 4
симметрии. В число узлов входит центр круга (0, 0Ъ
которому отвечает воспроизводящее ядро
(0, 0; xt у) = 30 (х3 + у* - (ж3 + у3 - .
20*
308
ГЛ. 5, ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
В качестве второй определяющей точки берется
/, Г 6+уё тт
I 1/ ——* и I. Численные значения параметров при-
ведены в таблице 16.2.
31 ([23, 6D. n = 3, (2 = 9, ЛГ = 45
(0,0,0) 8384я/127575
а4<‘> А
£Л(Й -В
-%= С™ 1331л/51030
уп
а =/81-6/31/11. ₽ =/81+6/31/11
л _ 491691 + 54101/31 д _ 491691 — 541011/31
Л ~ 15819300 ° 15819300 Я
Число узлов отличается от нижней границы только
на две единицы.
32 ([65, в]). » = 2, d - И, N - 25
(0.0) 49л/540
cos у Л, rxsinyA:j С8
(ra cos у kt r2 sin -у к j Са
(г3 cos у (2к — 1). r8 sin у (2к — l)j С3
(rt cos у (2к — 1). г. sin у (2к — l)j С.
к = 1,2, 3.4,5. 6
rj = (80 -15/2 -/730 + 48 /2J/102
г! = (80 -15 /2 +/730 + 48 /2)/102
г| = (80 + 15 /2-/730 - 48 /2)/102
Л = (80 + 15 У 2 +/730 - 48 / 2J/102
§ 16. КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ШАРА
309
Cl = [((9+ /2)/Зб) rl - (40 + /2)/240] л/[бг? (г| - г?)]
С, = [- ((9+ /2)/Зб) г? + (40 + /2)/240] «/[бг2(г1—г?) ]
С3 = [((9 - / 2)/Зб) г* - (40 - /2)/240] л/[бг| (г2 - r|)]
Ct = [- ((9 - /2)/Зб) rl +(40- /2)/240]л/[бг2 (г2-г2)]
Численные значения параметров приведены в таблице
16.3. Шесть узлов не принадлежат В2. Число узлов ми-
ТАБЛИЦА 16.3
I 1 2 3 4
ri 0,547185 0,923726 0,860241 1,115597
Ci!n 0,0746524 0,0303096 0,0452968 0,00128486
нимально в классе кубатурных формул, у которых d — 11
и среди узлов имеется начало координат.
33 ([40, в]).
( я .
r.COS-тг I,
\ о
( л .
r2cosTi,
п = 2, d = ll, /V = 28
rx sin £ г) (340 + 25 /10) л/10368
ra sin у г) (340 - 25 /10) п/10368
* = 1,2,4,5,7,8,10,11
Rx cos у /, Rt sin у yj (857 + 12707/ /601) л/20736
й2соз4л tf2sin-£/) 125л/3456
fl3cos-J/, T?3siny7j (857 - 12707/1/601) Л/20736
j = 1,2,3,4
Г2 = (10 - /10)/15, rl = (10 + /10)/15
Rl = (31 - /60i)/60, Rl = 3/5, Rl = (31+/601)/60
310 гл. 5. ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ f
Узлы расположены внутри B2t коэффициенты положи-
тельны. '
34([18, a)). н = 2, d = 11, 2V = 25 (
(0,0) 23л/108
. ад/(0.0) + ^<0,.0) л/288
дха ду*
cos т\ sin jj (340 + 25 10) я/10368
^r2 cos 7, r2 sin jj (340 — 25 Y10) л/10368
/ — lj- 2, .. .s 12
r® = (io - /io)/15, rl = (10 + /10)/15
35 ([10)). n = 2, d = 4/ + 3, 2V = (2Z4-1)2,
I — натуральное
(0,0) 1-1-i я
\ i=lri/
a2/ (o, o) , a2/ (o, 0) (1 -у л
ф ay2 U
/ -i/*- я/ i/7” • п1 )
^y/icos^q^, У*isin2i_|.2J г|(^ + 4)
у = 142....,4/ + 4
Здесь t{ и di — узлы и коэффициенты квадратурной
формулы типа Гаусса для отрезка (0, 11 и веса /2:
1 i
I t2(p(t)dfssS di^(ti).
о <=i
Для простоты записи не отмечена зависимость узлов и
коэффициентов квадратурной формулы от I.
Частными случаями этой кубатурной формулы явля-
ются кубатурные формулы 19 и 34.
в 17. КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СФЕРЫ
311
§ 17. Кубатурные формулы для сферы
Обозначения: Sn-i ={х s Rn |+ ... + 11—
сфера с центром в начале координат и радиусом 1.
р(5я_х)^2лп/’/г(|).
Оп — гипероктаэдр в R”.
OnG(ai, а2, ..., On) — О«бг-орбита, содержащая точку
(at, а2, ..ап). Точки этой орбиты имеют координаты
которые получаются из координат at, а2, ..., а„ всевоз-
можными перестановками и изменениями знаков. Это
обозначение позволяет записать проекции из 6 на Sn-i
центров /с-мериых граней Оп следующим _образом:
OnG(l, 0, ..0) — вершины Оп, OnG(A/l!2, 1/V2, 0,
.. .,_0) — проекции середин ребер Оп на Sn-t, OnG(A/lf3,
1/V3, 1/V3, 0, ..., 0)—проекции центров двумерных
граней О„ на Sn-t.
Обозначения орбит в случае п = 3, отличных от проек-
ций центров граней;
OsG(p, q, 0), где р, q положительны и различны,
рг + q*«1, содержит 24 точки; порождающая орбиту
точка (р, q, 0) есть проекция из 0 на S2 точки ребра
октаэдра, соединяющего вершины (1, 0, 0), (0, 1, 0).
OsGkl, I, тп), где I, т положительны и различны,
21г 4- тг«1, содержит 24 точки; точка (Z, I, т) есть
проекция из 0 на S2 точки, которая лежит на высоте
треугольника с вершинами (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),
опущенной из (0, 0, 1).
O3G(.r, и, w), где г, и, w положительны и попарно
различны, r2 + u! + w2 = l, содержит 48 точек; точка
(г, и, w) есть проекция из 0 на S2 внутренней точки
треугольника с вершинами (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),
не лежащей ни на одной из высот этого треугольника.
Сп — правильный симплекс в R", а(<) — вершины Сп,
Ь<*' — проекции середин ребер Сп на Sn-t, — проек-
ции 1-точек ребер Сп на Sn-i, с(<) — проекции центров
двумерных граней Сп на Sn-i, И — икосаэдр в R’, 40> —
вершины И, Bw — проекции середин ребер И на S2, Cw —
проекции центров двумерных граней И на S2.
77G*(V1 —$2, 0, s) содержит 60 точек, если порожда-
ющая орбиту точка (У1 — s2, 0, s) не совпадает с проек-
312
ГЛ. 5. ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
циями из 0 на S2 вершины, середины ребра и центра
двумерной грани икосаэдра И.
По поводу приведенных обозначений см. § 7.
1 . n>2, d=l, N = 2
±а р(|$п-1)/2
а — любая точка на сфере Sn-i, например а =
= (1, 0, 0, ..., 0).
Число узлов минимально. Кубатурная формула ин-
вариантна относительно группы вращений R” вокруг оси,
проходящей через начало координат и точку а.
2 .(Е40, ъ, ь]). n>2, d — 2, У = тг + 1 '
а(<) и(5»ч)/(п+1>
Число узлов минимально. Кубатурная формула ин-
вариантна относительно CnG. При п = 3 эту кубатурную
формулу получил С. Л. Соболев [51, а].
3([53, д]). n>2, d = 3, N = 2n
OnG(i, 0, 0, ..., 0)
Число узлов минимально. Кубатурная формула ин-
вариантна относительно OnG.
4 ([40, ъ, ь]). n>2, d = 3, N = 2n + 2
±а<*> ji(5„_t)/(2ra + 2)
А
В
Кубатурная формула инвариантна относительно груп-
пы CnG*. При п — 5 эту формулу получила Ф. Шарипход-
жаева [68].
5 . ге = 3, 4, cZ = 4, 2V = (n + l)2
а(/)
£>«>(*)
t — корень уравнения tz — t — р/(тг + 1) = 0, где
р = 1+1 (п + 9 - /(5n3 + 39n2 + 99n + 81)/(га + 1)).
'{ п \8/а
— 0* “Ь ^Р) 1 —j—I f9 \
л г/\« + 2р/ И(5п-1)
А~ 1 п W* » + 1
П_(П+3Р)(_£_)
§ 17, КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СФЕРЫ 313
в _ _________1________(Sn-1)
° I п \«/г п + 1
«-(п + ЗР) "
\п 2р/
Численные значения t, А, В приведены в таблице 17.1.
ТАБЛИЦА 17.1
4— п t A/tl(Sn-l) B/Ii(s„-1)
3 0,341081 —0,165491 0,138497
4 0,405870 —0,123872 0,0809681
Кубатурные формулы инвариантны относительно груп-
пы CnG*.
6([2D. n = 3, d = 5, TV = 12
Aif> я/3
Число узлов минимально. Кубатурная формула ин-
вариантна относительно группы преобразований икосаэд-
ра HG*.
7 ([40, ъ, ь]). n>4, d = 5, ДГ = (п + 1)(п + 2)
±a(i) А
±bliy В
A~rAl- пУуАВп-Л/Шм + 1)2(га + 2)]
В = 2(n - l)2p.(5n_l)/[n(Ti + 1)2(га+. 2)1
При п = 7 число узлов 56 минимально. Кубатурная
формула инвариантна относительно CnG*. При п = 5
формулу получила Шарипходжаева [68].
8([2D. n = 3, d = 5,2V = 14
±а(,) Зл/10
Ь(<) 4л/15
5(0 — проекции середин ребер Ct из (0, 0, 0) на S2 — об-
, разуют центрально-симметричное множество. Кубатурная
формула инвариантна относительно CaG*.
'i-
314 ГЛ. 5. ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
9([2D. га = 3, d = 5, # = 20 1
C(i> я/5 у
Кубатурная формула инвариантна относительно EG*.
10 ([40, ь]). п - 3, 4, 5, 6, 7, d = 5, N = 2га(га +1)
t = 1/2 - ]//(« + 2)/(2ra + 2) — 3/4
Кубатурная формула инвариантна относительно CnG*.
При га = 7 параметр t = 1/2, число узлов равно 56, и мы
приходим к формуле 7.
И ([53, д]). га>3, d = 5, # = 2га2
OnG(l, 0, 0, ..., 0) А
OnG(l/V2, 1/1% 0, ..., 0) В
А = (4-ra)g(5„-1)/[2ra(ra+ 2)], +
При п = 4 число узлов N = 24, так как А = 0.
12([48, в]). n = 4, d = 5, # = 24
O.Gd, 0, 0, 0) л712
O4G(l/2, 1/2, 1/2, 1/2) л712
Кубатурная формула инвариантна относительно OtG.
Ее можно рассматривать как инвариантную относительно
группы преобразований с инверсией правильного 24-гран-
ника, вершины которого и являются узлами кубатурной
формулы.
Приводимые ниже кубатурные формулы 13—20 ин-
вариантны относительно группы CnG* преобразований
правильного симплекса [40, ь].
13. га>6, d = 7, # = п(п + 1) + (га +!)(«+ 2)(га + 3)/3
±а(0 А
±bw В
±с(,) С
' ±5(i)(l/4) D
A = nW-793n+1800)p„/36, В = 4(га-1)3(4-п)р.
С = 13,5(« —2)’р„, D = (Юга — 6)3р„/36
в 17. КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СФЕРЫ
315
где
рп - цСЯиЛ/Ып + 1)8(п + 2) (п+4)]
14. n = 3, d = 7, # = 38
±a(i) —Зя/14
6“» 4л/105
±Ь(0(1/4) 8я/35
Проекции середин ребер £><0 образуют центрально-
симметричное множество, поэтому отсутствует знак минус.
15. п = 4, d = 7, # = 70
±a(i) -307j*(&)/3375
±b(t> 9p(S»)/2000
±Ь(<>(1/4) 4913p(iS's)/108000
16. n = 5, d = 7, #=122
±a(,) -242500p(5J/2449440
±Ь(,) - 9216ц(54)/2449440
c(i> 26244p(St)/2449440
±5‘«(l/4) 85184p(5*)/2449440
Центры двумерных граней Cs образуют центрально-сим-
метричное множество, поэтому пет знака минус перед с(,).
. 17. n = 3, d = 7, # = 32
±a(i> —9я/80
±5(<)(t) 49л/240
f = (5 —V5)/10
18. ra = 4, d = 7, # = 50
±at0 -р(5,)/15
|*(S,)/24
« = (5-V5)/10
19. n = 5, d = 7, # = 92
±a(<) —25p(5*>/168
±b<0(t) 3|a(SJ/70
316
ГЛ. 5. ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
c(i> Зц(54)/280 !
г = (3—У3)/6 I
20. ге = 6, d = 7, А =168
±а(0 -25758ц(55)/82320
±Ь(,)(П 4913jx(Ss)/82320
±с<’> 432ц(55)/82320 ,
. i = (2-V2)/4 >
21 [(40, ь]). n>3, d = l, A = 2n(2re2-3re + 4)/3 !
O„G(1, 0, 0, ..., 0) А |
O„G(1/V2, 1/V2, 0, ..0) В I
OnG(l/V3, 1/V3, 1/V3, 0, ..0) С
А = W - 9ге + 38)ц(5„_1)/[4ге(ге + 2) (ге + 4)]
5 = 2(5 —ге)ц(5„-1)/[п(ге + 2)(ге+4)1 ;
С = 27р(5„_1)/[8ге(ге + 2)(ге + 4)]
При п = 3 кубатурную формулу получили Альбрехт,
Коллатц [2]. При п = 5 число узлов А = 90, так как
коэффициент 5 = 0.
22 ([14]). ге = 3, d = 9, А = 32 i
А({> 5л/42 I
С<‘> 9л/70 '
Кубатурная формула инвариантна относительно HG*.
23 ([40, ь]). n>3, d = 9, A = 2ra(ras —4n2+Иге —5)/3
0„5(1, 0, 0, .... 0) А '
Опб/ г , 0, 0, 5
\K2t2 —2«4-1 V2t3-2t + i\ /
OnG (1/ /3, 1/ /3, 1/ /3, 0, 0, .... 0) С !
(?nG(l/2, 1/2, 1/2, 1/2, 0, 0, ..., 0) D '
f = (1 — V(1 — s)/(l + s))/2
s = V(re2 - lire + 36)/(гег - lire + 42)
§ 17. КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СФЕРЫ
317
Л = U* + 26п‘ - 437п’ + 3988»’ -18732» 4-
+ 31536)Оп/[12(»* -11» + 36)]
В = (»’ -11» + 42)’ов/(га* -11» + 36)
<7 = 81(6- »)о„/8
D = 16<Jn
о„ = ц(Вп-,)/[»(» + 2)(» + 4)(»+6)]
При га = 3 отсутствуют узлы, отвечающие коэффици-
енту D. При и = 6 число узлов 2V = 372, так как <7 = 0.
24([31, б]). n = 3, d = 9, TV = 38
O3G(1, 0, 0) 4Л/105
OaG (1 + o') 4»/35
V 21/3-Уб- 2/з-Уб /
O3G (l/]/3, 1/ /3, 1/ /3) 9п/70
Кубатурная формула является частным сличаем пре-
дыдущей формулы, когда » = 3, #=1 — 73 + 72. В этом
случае отсутствуют узлы, которые являются проекциями
центров трехмерных граней.
25 ([31, б; 341). n = 3, tf = 11,2V = 50
OaG(A, 0, 0)
0,6(1/72, 1/72, 0)
OaGWV3, 1/73? 1/73)
0,6(1/711, 1/711, 3/7Н)
16л/315
256я/2835
27л/320
14641я/181440
26 ([34]). »-3, d= 11,2V = 62
А(1) 125л/1386
В(<> 256я/3465
Cw 27л/770
Центры всех ^-мерных граней икосаэдра И при
к = 0, 1, 2 лежат в шести плоскостях
®8 ~ 0* ^8 §* / = / = 2? Зя 4j
проходящих через центр (0, 0, 0) икосаэдра, и, следова-
тельно, лежат на алгебраической поверхности шестого
318
ГЛ. б. ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
порядка. Из существования • формулы 26 следует, что
центры всех Л-мерных граней (к = 0, 1, 2) икосаэдра не
лежат на алгебраической поверхности пятого порядка.
27 ([48, ri). n = 4, d = U, У = 120
О({> л760
В множество узлов входят:
О4бг(1, 0, 0, 0) — совокупность вершин гипероктаэд-
ра €>4,
O4G(l/2, 1/2, 1/2, 1/2) — совокупность проекций из
(0, 0, 0, 0) центров трехмерных граней О4 на S3.
Пусть / — один из корней уравнения z2 + z-2 —3 = 0,
например t = ]/"(3 4- У5 )/2. Остальные 96 узлов состав-
ляют точки (±1/2, ±1/2, ±1/2/, 0) и получаемые из них
всеми четными перестановками координат точки. Четные
перестановки номеров координат точки четырехмерного
пространства таковы:
(1, 2, 3, 4) (2, 3, 1, 4) (3, 2, 4, 1)
(2, 1, 4, 3) (3, 1, 2, 4) (4, 2, 1, 3)
(3, 4, 1, 2) (1, 3, 4, 2) (2, 4, 3, 1)
(4, 3, 2, 1) (1, 4, 2, 3) (4, 1, 3, 2)
Узлы кубатурной формулы являются вершинами
правильного 600-гранника. Кубатурная формула инва-
риантна относительно группы преобразований с инверси-
ей этого многогранника в себя.
Эту формулу можно рассматривать также как инва-
риантную относительно преобразований правильного 24-
гранника в себя. Узлами являются вершины и середины
ребер этого многогранника.
28 ([31, б]). n = 3, d= 15, У = 86
O3G(1, 0, 0) Л
O3G(p, q, 0) В
O3G(1/13, 1/13, 1/13) С
O3G(lt, li, uti) Ct
4 G3G(l3,13, Ш2) G3
= (40 - 2V13)/43, t2 =_(65 - 14H3)/559,
у = (13 — V13)/78
S 17, КУБАТУРНЫЕ) ФОРМУЛЫ ДЛЯ СФВРЫ 319
ii и tz (li > tz > 0) — корни квадратного уравнения
I2 — т,1 + т2 = 0
р и q — положительные корни уравнения р‘ — рг + v =
= 0, р = 0,9'27330657151, q = 0,189063552885
= —1*)/2, w* = 7tk, А: = 1,2
Zx = 0,369602846454, т1 = 0,852518311701
Za = 0,694354006603, т2 = 0,189063552885
А = 16 (т? - 20тх + 22)/[3465 (Зтх-4)2]=0,0115440115441
В= 1/[45045у2 (1/4 — р)] =0,0118123037469
С= _ 243(27тх - 20тх - 4)/[24640 (Зтх - 4)2] =
= 0,0119439090859
Сх= - 4 (12 - 7/13)/[311851х (1х-1)2 (1Х — l/З)2 (1х -1,)] =
= 0,0111105557106
Са=4(1х— 7/13)/[311851/(1а - 1)2(12 - 1/3)2(1х -12)] =
= 0,0118765012945
29 ([23, rJ). n = 3, d=15,2V = 92
,«) 25 (35 — 2 Узб) 4л _
Л 7 • 8 • 9 • 11 • 13
= 0,008340 808098116008 204 • 4я
r<i> З5 (- 9 + 2 УЗО) 4л
Ь 5-8-1001
= 0,011861 429307570112 67 -4я
Ж?*(Vr=TF, 0, а) (2923 ~9^г39-- =
= 0,011044 695277 853427 47 - 4п
I f 35 + 2 Узб + 2 У85 — 10 Узб _
S ~ |/ 65
= 0,936034 219504 782984 4
у 1 - s2 = 0,351908 993798 214463 2
320
ГЛ, 6, ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
30 ([23, г]), п- А(<) 3, d — 17, TV-122 52 (31 —2 У 34) 4л _ 23 • 7 • 9 • 11 • 13 = 0,006707 908830 859903 658 • 4л
B{i) 210(10-Уз4)4л __ 5 • 7 • 9 • П3 • 13 - 0,008615 839230 826572 050 • 4л
Cw 3е (69 — 2Уз4)4л =г 2s • 54 • 7 • 11 • 13 - 0,008351542884578531851 • 4л
Яб*(/1-у2,0,в) 173 (21+32 У 34) 4л _ 2 • 54 • 7 • 9 • II3 • 13
- 0,008233317656888555960.4л
лГ51 —2J/34 4-2 /17(9-Ь2Уз4) _
К 85 ~
- — 0,950675 004756 3142612
71^7-0,3101887092264672627
31 (131, 61). n-3, d- 17, /V- 110
O»G(1, 0, 0) 0,00382827049494 • 4л
О,(7(1/73, 1/73, 1/73) 0,00979373751249 • 4л
O»G(p, a, 0) 0,00969499636166 • 4л
OtG{lt,k, mt) В(-4л,1 = 1, 2, 3
p-0,878158910604, q = 0,478369028812
Значения параметров It, mt, Bf приведены в таблице 17.2,
32 (148, rl). n = 4, d - 19, N = 720
O(i> л7252
R(i) 4n71575
O(,) — узлы кубатурной формулы 27.
Пусть ( — корень уравнения z2 + z-2 — 3 = 0, напри-
мер t =s )Л(3+ У5)/2. Узлами Л<!) являются точки, коор-
динаты которых получим при всевозможных перестановках
I 17, КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СФЕРЫ
32
(ТАБЛИЦА 17.2
i ч т1
1 0,185115635345 0,965124035087 0,008211737283194 "
2 0,395689473056 0,828769981253 0,00959547133607 “
3 0,690421048382 0,215957291846 0,00994281489118
координат точек
~yr= (± 1* ± О* 0)* (± 1^5* ± 1* ± 1* ± 1),
(± f-2i ± ** ± ** ± *)«
и при четных перестановках координат точек
2-W(±i2’±r8i±^0)1
' 2уТ 1/5* ± * \ ± t* О)*
2 у 2” ± * )’
О(<) — вершины правильного 600-гранника, а Я(<) —
проекции центров его трехмерных граней на 83. Точки
R{i) являются также вершинами правильного 120-гран-
ника. Кубатурная формула инвариантна относительно
группы преобразований с инверсией правильного 600-
гранника в себя.
33 ([23, в]). п == 3, d = 19, N == 152
4(i) 0*0071832689107291355 • 4л
C(i) 0,0084548699947574088 • 4л
UG* ( ]/1 - 4, 0, Sj) 0,0077804336033250811.4я
HG* 05 s2) 0*0046312892829432888 • 4л
s, = -0,9500659379814119924,
s2 = 0,8801342767336557085
21 И. П. Мысовских
322
ГЛ. 5. ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
34 ([31, rl). n =
O3G(1, 0, 0)
O3GU/V2; 1/У2, 0)
O3G(l/n, 1/ГЗ, 1/УЗ)
OsG(p, q, 0)
G3GLli, Zf, 77i,)
03G(r, u, w)
p = 0,938319218138,
r = 0,836036015482,
w = 0,525118572443
3, <2 = 23, TV = 194
0,00178234044724 • 4л
0,00571690594988 • 4л
0,00557338317884-4л
0,505184606462 -4л
Bi • 4л, i = 1~2, 3, 4
0,553024891623 • 4л
q = 0,345770219761
и = 0,159041710538,
Значения параметров Zt, mt, В{ приведены в таблице 17.3.
ТАБЛИЦА 17.3
i mi
1 0,444693317871 0,777493219315 0,00551877146727
2 0,28924656275$ 0,912509096867 0,00515823771181
3 0,671297344270 0,314196994183 0,00560870408259
4 0,129933544765 0,982972302707 0,00410677702817
35 ([31, е]). n = 3, d = 29, 2V = 302
OSG(1, О, 0)
O»G(1/V3, 1/ГЗ, 1/V3)
O3G(pi, qt, 0)
O3G(p3, q3, 0)
O3G(li, It, TTli)
O3G(ri, wt)
O3G(r3, u3, w3)
Pi = 0,820326419828,
0,000854591172878 -4л
0,00359911928502• 4л
0,00360082093222-4л
0,00298234496317 • 4л
Bi • 4л, i = 1,2,3,4,5,6
0,00357154055427 • 4л
0,00339231220501 • 4л
qi = 0,571895589188
§ 17. КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СФЕРЫ
323
р2 = 0,964408914879, q2 = 0,264415288706
rt = 0,251003475177, щ = 0,800072749407,
wt = 0,544867737258
Ъ = 0,902442529533, и2 = 0,412772408317,
и>2 = 0,123354853258
Значения параметров h, т(, Bt приведены в таблице 17.4.
ТАБЛИЦА 17.4
< m. г
1 0,701176641609 0,129238672710 *0,00365004580768
2 0,656632941022 0,371034178385 0,00360482260142
3 0,472905413258 0,743452042987 0,00357672966173
4 0,351564034558 0,867643624544 0,00344978842429
5 0,221964523631 0,949454317226 0,00310895312238
6 0,0961830852303 0,990705621379 0,00235210141366
36([23, в]). n = 3, d = 29, TV = 302
4(<) 0,002964194398464004-4л
B(i> -0,001904672204695065 • 4л
С(<) 0,003861884571290004 • 4л
IIG* (К 1 - 4,-0, si) Ci -4л, i = 1, 2, 3, 4
Значения параметров Ci приведены в таблице 17.5.
ТАБЛ.ИЦА 17.5
i *i ci
1 -0,6112537383570408 0,004634703943700789
2 —0,9091923316244851 0,003779820989879175
3 —0,9785124301222476 0,003546078083588158
4 0,9358105831263126 0,003778266015056609
21*
324 ГЛ. 6. ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
ТАБЛИЦА 17.i
< ч т1 Bi
1 0,690934630477 0,212646826487 0,00253040228828
2 0,645666470687 0,407712665072 0,00251326717721
3 0,491434260701 0,719016505247 0,00250172540316
4 0,392725992478 0,831584385173 0,00244537392125
5 0,286128918282 0,914472790326 0,00230269459658
6 0,177483645532 0,967987144097 0,00201427834049
7 0,0756809954734 0,994255889522 0,00146249191186
ТАБЛИЦА 17.7
0,0992176963644
0,205482369640
0,106801826076
0,310428365683
мм**
0,937180985855
0,868946032287
0,799927854386
0,771746251489
1
2
3
4
0,334436314534
0,450233038258
0,590515704892
0,555015272846
0,00223660776044
0,00241693004432
0,00251223685455
0,00249664418594
1
2
3
4
37 ([31, ж]). п = 3, d = 35, N = 434
OsG(i, 0, 0)
OSG(1/V2, 1/V2, 0)
OSG(1/V3, 1/V3, 1/73)
OiGtpb qh 0)
OsG(pt, qt, 0)
OtG(li, lt, mJ
OtG(rh uh Wj)
^ = 0,977642811118,
p» = 0,881813287779,
0,000526607119170 • 4л
0,00254822067342 - 4л
0,00251231747026 • 4л
0,00191095193375 • 4л
0,00241744213033-4л
Bi • 4л, i = 1,2,3,4,5,6,7
Di -4л, 7 = 1, 2, 3, 4
qt = 0,210272522857
дг = 0,471598691151
Значения остальных параметров приведены в таблицах
17.6 и 17.7.
ЛИТЕРАТУРА
1. Альбрехт (Albrecht J.). Formein zur numerischen Integrar-
tion iiber Kreisbereiche.— Z. angew. Math, und Meeh., 1960, 40,
№ 10—11, p. 514—517.
2. Альбрехт, Коллатц (Albrecht J., Collatz L.). Zur nume-
rischen Auswertung mehrdimensionaler Integrate.— Z. angew.
Math, und Meeh., 1958, 38, p. 1—15.
3. Анашко Г. В. Основные ортогональные многочлены для
треугольника.— В кн.: Методы вычислений. Л.: ЛГУ, 1978.
Вып. 11, с. 91—94.
4. Аппель (Appel Р.). Sur une classe de polynomes a deux
variables et le calcul approche des integrates doubles.—Anna-
tes de la faculte des sciences de Toulouse, 1980, 4, p. Hl — H20.
5. Быкова T. M.
а) Кубатурные формулы с наименьшим числом узлов в слу-
чае плоской области, точные для многочленов четвертой
степени.— Вестник Ленингр. ун-та, 1969, № 7, с. 145—147.
б) Кубатурная формула для вычисления тройного интеграла,
точная для многочленЬв четвертой степени и имеющая
одиннадцать узлов.—Изв. АН БССР. Сер. физ.-матем., 1970,
№ 1, с. 51-54.
6. Быкова Т. М., Мысовских И. П. Кубатурная формула
Радона для области с центральной симметрией.— ЖВМ и МФ,
1969, 9, № 3, с. 687-691.
7. Вилсон (Wilson М. W.). Uniform approximation of nonne-
gative continuous linear functionals.— J. Approxim. Theory,
1969, 2, № 3, p. 241—248.
8. Гегель Г. H.
а) Об одной кубатурной формуле для четырехмерного шара.—
ЖВМ и МФ, 1975, 15, № f, с. 234-236.
б) Построение кубатурных формул, точных для многочленов
2тп-ой степени.— В кн.: Вопр. вычисл. и прикл. матем. Таш-
кент, 1975. Вып. 32, с. 5—9.
в) Об одном способе выбора узлов кубатурной формулы по
гипершару.—В кн.: Вопр. вычисл. и прикл. матем. Таш-
кент, 1978. Вып. 51, с. 13—18.
9. Георгиев Г. Формулы 'механической квадратуры с мини-
мальным числом членов при многократных интегралах.— ДАН
СССР, 1952, 83, № 4, с. 521—524.
' 10. Г о б р а н А. В. Построение кубатурных формул для вычис-
ления двойных интегралов.— В кн.: Методы вычислений. Л.:
ЛГУ, 1976. Вып. 10, с, 60—68,
326
ЛИТЕРАТУРА
И. Грундман, Мёллер (Grundmann A., Moller Н. М.). In-
variant integration formulas for the n-simplex by combinatorial
methods.— SIAM J. Numer Anal., 1978, 15, № 2, p. 282—290.
12. Гюнтер (Gunther C.)
a) Zur Konstruktion mehrdimensionaler Integrationsformeln.—
Z. angew. Math, und Meeh., 1973, 53, № 4, p. T194, T195.
6) Third degree integration formulas with four real points and
positive weights in two dimensions.—SIAM J. Numer. Anal.,
1974, 11, Ns 3, p. 480-493.
в) Zweidimensionale Quadraturformeln vom Grad sieben mit
vierzehn Punkten.— Numer. Math., 1975, 24, № 4, p. 309—316.
r) Nichtnegative Polynome in zwei Veranderlichen.— J. Appro-
xim. Theory, 1975, 15, № 2, p. 124—131.
13. Д и т к и н В. A. '• О некоторых приближенных формулах для
вычисления трехкратных интегралов.—ДАН СССР, 1948, 62,
Ks 4, с. 445—447.
14. Д и т к и н В. А., Л ю с т е р н и к Л. А. Об одном приеме
практического гармонического анализа на сфере.— В кн.: Вы-
числительная математика и вычислительная техника, 1953,
№ 1, с. 3-13. .
15. Дэвис (Davis Р. 1)
a) A construction of nonnegative approximate quadratures.—
Math. Comput., 1967, 21, № 100, p. 578-582.
6) Approximate integration rules with nonnegative weights.—
In: Lecture Series in Differential Equations.— N. Y.: Van
Nostrand Reinhold, 1969, li, p. 233—256.
16. Дэвис, Рабинович (Davis P. I, Rabinowitz P.) Methods
of numerical integration.—N. Y.: Acad. Press, 1975.
17. Ермаков С. M. Метод Монте-Карло и смежные вопросы.—
М.: Наука, 1975.
18. И с м а т у л л а е в Г. П.
а) О некоторых кубатурных формулах, содержащих производ-
ные подынтегральной функции.—В кн.: Вопр. вычисл. и
прикл. матем. Ташкент, 1972. Вып. 14, с. 117—129.
б) Построение кубатурных формул пятой степени точности
для специальных областей.— В кн.: Вопр. вычисл. и прикл.
матем. Ташкент, 1973. Вып. 21, с. 61—66.
в) Построение кубатурных формул для вычисления трехкрат-
ных интегралов.— В кн.: Вопр. вычисл., и прикл. матем.
Ташкент, 1975. Вып. 32, с. 60—68.
г) О построении кубатурных формул для гипершара и поверх-
ности сферы.— В кн.: Вопр. вычисл. и прикл. матем. Таш-
кент, 1978. Вып. 51, с. 191—203.
19. Канторович Л. В. Об особых приемах численного инте-
грирования четных и нечетных функций.— Труды Матем.
ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, 1949, 28, с. 3—25.
20. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный
анализ.—М.: Наука, 1977.
21. Карлин С. Математические методы в теории игр, програм-
мировании и экономике.—М.: Мир, 1964.
22. Кокет ер (Coxeter Н. S. М.). The product of the generators
of a finite group generated by reflections.—Duke Math. J., 1951,
18, № 4, p. 765-782.
ЛИТЕРАТУРА
327
23. Коняев С. И.
а) Квадратурные формулы на сфере, инвариантные относи-
тельно группы икосаэдра.— В кн.: Вопр. вычисл. и прикл.
матем. Ташкент, 1975. Вып. 32, с. 69—76.
б) Квадратурные формулы девятого порядка, инвариантные
относительно группы икосаэдра.— ДАН СССР, 1977, 233,
№ 5, с. 784—787.
в) Квадратуры типа Гаусса для сферы, инвариантные относи-
тельно группы икосаэдра с инверсией.—Матем. заметки,
1979, 25, № 4, с. 629-634.
г) Квадратурные формулы на сфере, инвариантные относитель-
но группы икосаэдра. I.—М., 1975. (Препринт/ИАЭ: 2516).
24. К о р о о о в Н. М. Теоретико-числовые методы в приближен-
ном анализе.— М.: Физматгиз, 1963.
25. К о сю к С. Д. Некоторые кубатурные формулы для круга
и квадрата.— В кн.: Вопр. вычисл. и прикл. матем. Ташкент,
1970. Вып. 38, с. 42—54.
26. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов.—
М.: Наука, 1967.
27. К р ы л о в В. И., Шульгина Л. Т. Справочная книга по
численному интегрированию,— М.: Наука, 1966.
28. Кузьменков В. А.
а) Конечная проблема моментов для многих переменных,—
Вестник Ленингр. ун-та, 1975. № 19, с. 261—31.
б) О существовании кубатурных формул с наименьшим воз-
можным числом узлов.— ЖВМ и МФ, 1976, 16, № 5.
в) Кубатурные формулы гауссова типа и конечная проблема
моментов.—В кн.: Методы вычислений. Л.: ЛГУ, 1978.
Вып. 11, с. 21—42.
29. Кулидж (Coolidge J. L.). A treatise on algebraic plane cur*
ves.— Oxford; Clarendon Press, 1931.
30. Лайнис, Джесперсен (Lyness J. N., Jespersen D.). Mo-
derate degree symmetric quadrature rules for the triangle.—
J. Inst. Math, and Appl., 1975, 15, № 1, p. 19—32.
31. Л e б e д e в В. И.
а) О квадратурах на сфере наивысшей алгебраической степе-
ни точности.—В кн.: Теория кубатурных формул и при-
ложения функционального анализа к некоторым задачам
математической физики. Новосибирск, 1973, с. .31—35.
б) Значения узлов и весов квадратурных формул типа Гаус-
са — Маркова для сферы от 9-го до 17-го порядка точности,
инвариантных относительно группы октаэдра с инвер-
сией.—ЖВМ и МФ, 1975, 15, № 1, с. 48—54.
в) Вычисление квадратур типа Гаусса — Маркова для обла-
стей и весов, инвариантных относительно группы октаэдра
с инверсией.— В кн.: Вопр. вычисл. и прикл. матем. Таш-
кент, 1975. Вып. 32, с. 77—84.
г) О квадратурах на сфере.— ЖВМ и МФ, 1976, 16, № 2.
д) Об одном типе квадратурных формул повышенной алгеб-
раической точности для сферы.— ДАН СССР, 11976, 231,
№ 1, с. 32-34.
328 ЛИТЕРАТУРА
/
е) Квадратурные формулы для сферы 25—29-го порядка точ-
ности.—Сиб. матем. журнал, 1977, 18, № 1, с. 132—142.
ж) Квадратурная формула 35-го порядка для сферы.—В кн.:
Теория кубатурных формул и вычислительная математика.
Новосибирск, 19180, с. 110—114.
32. Л ю с т е р н и к Л. А. Некоторые кубатурные формулы для
двойных интегралов.— ДАН СССР, 1948, 62, № 4, с. 449—452.
33. Люстерник Л. А., Д и т к и н В. А. Построение прибли-
женных формул для вычисления кратных интегралов.—ДАН
СССР, 1948, 61, № 3, с. 441-444.
34. Макларен (McLaren A. D.). Optimal numerical integration
on a sphere.— Math. Comput., 1963, 17, № 84, p 361—383
35. Маколей (Macaulay F. S.). Algebraic theory of modular
systems.—In: Cambridge tracts in mathematics and mathema-
tical physics, Cambridge university press, 1916, № 19
36. Максвелл (Maxwell J. C.). On approximate multiple inte-
gration between limits by summation.—Proc. Cambridge Philos
Soc., 1877, 3, p. 39—47. ё
37. Мастед, Лайнис, Блэт (Mustard D., Lyness J. N.,
Blatt J. M.). Numerical quadrature in n dimensions.—Compu-
ter J., 1963, 6, № 1, p. 75—87. F
38. M ё л л e p (Moller H. M.)
a) Polynomideale und Kubaturformeln.—Dissertation in der
Abteilung Math, der Univ. Dortmund, Dortmund, 1973.
6) Mehrdimensionale Hermite-Interpolation und numerische In-
tegration.— Math. Z., 1976, 148, № 2, p. 107—118.
в) Kubaturformeln mit minimaler Knotenzahl.— Numer. Math.,
1976, 25, № 2, p. 185—200.
r) Hermite interpolation in several variables using ideal-theo-
retic methods.—Leet. Notes Math., 1977, 571, p. 155—163.
д) Lower bounds for the number of nodes in cubature formu-
lae.— In; Numerische Integration/Herausgegeben von G. Ham-
merlin, ISNM 45. Basel: Birkhauser Verlag, 1979, p. 221—230,
e) The construction of cubature formulae and ideals of princi-
pal classes.— In; Multivariate Approximation Theory, ISNM 51,
Basel: Birkhauser Verlag, 1979, p. 249—263.
ж) Linear abhangige Punktfunktionale bei Zweidimensionalen
Interpolations — und Approximationsproblemen.— Math. Z.,
1980, 173, № 1, p. 35—49.
39. Морроу, Петтерсон (Morrow C. R., Patterson T. N. L.).
Construction of algebraic cubature rules using polynomial ideal
theory.— SIAM J. Numer. Anal., 1978, 15, Xs 5, p. 953—976.
40. M ы с о в с к и x И. П.
а) Кубатурные формулы для вычисления интегралов по ги-
першару.—ДАН СССР, 1962, 147, № 3, с. 552—555.
б) О кубатурных формулах для круга и шара.—В кн.: Мето-
ды вычислений. Л.: ЛГУ, 1963. Вып. 1, с. 3—11.
в) О построении кубатурных формул для простейших обла-
стей.— ЖВМ и МФ, 1964, 4, № 1, с. 3-14.
г) О кубатурных формулах для вычисления интегралов по
поверхности сферы.— Сиб. матем. журнал, 1964, 5,^№ 3.
д) Доказательство минимальности числа узлов одной кубатур-
ной формулы для гипершара.— ЖВМ и МФ, 1966, 6, № 4,
ЛИТЕРАТУРА
329
е) Построение кубатурных формул и ортогональные много-
члены.— ЖВМ и МФ, 1967, 7, № 1, с. 185—189.
ж) Л РаботеА РаД°на 0 кубатурных формулах.— ЖВМ и МФ,
1967, 7, № 4, с. 889—891.
з) К построению кубатурных формул с наименьшим числом
узлов.—ДАН СССР, 1968, 178, № 6, с. 1252—1254.
и) К построению интерполяционных кубатурных формул с
наименьшим возможным числом узлЪв.— Труды 2-й рес-
публиканской конференции математиков Белоруссии. Минск,
1969, с. 42-48.
к) Кубатурные формулы и ортогональные многочлены.— ЖВМ
и МФ, 1969, 9, № 2, с. 419—425.
л) Об оценке остатка кубатурной формулы для гипершара.—
Матем. заметки, 1969, 6, № 5, с. 627—632.
м) К статье «Кубатурные формулы и ортогональные много-
члены»-ЖВМ и МФ, 1970, 10, № 2, с. 444-447.
н) Многомерный аналог квадратурной формулы гауссова типа
и обобщенная проблема Радона.— В кн.: Вопр. вычисл. и
прикл. матем. Ташкент, 1970. Вып. 38, с. 55—69.
о) Задачи по кубатурным формулам.— В кн.: Вопр. вычисл.
и прикл. матем. Ташкент, 1970. Вып. 38, с. 70—72.
п) Числовые характеристики ортогональных многочленов от
двух переменных.—Вестник Ленингр. ун-та, 1970, № 19,
с. 46-53.
p)v О кубатурных формулах для симплекса.— В кн.: Методы
вычислений. Л.: ЛГУ, 1971. Вып. 7, с. 46—55.
с) Применение ортогональных многочленов к построению ку-
батурных формул.— ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 2, с. 467—475.
т) Интерполяционные кубатурные формулы и ортогональные
многочлены— В кн: Вопр. вычисл. и прикл. матем. Таш-
кент, 1972. Вып. 14, с. 90—98.
у) Задачи по интерполяционным кубатурным формулам.—
В кн.: Вопр. вычисл. и прикл. матем. Ташкент, 1972.
Вып. 14, с. 99—102.
ф) Общие нули многочленов и кубатурные формулы. Вест-
ник Ленингр. ун-та, 1973, № 7, с. 40—49.
х) К интерполированию многочленами от двух переменных.—
В кн.: Методы вычислений. Л.: ЛГУ, 1973. Вып. 8, с. 3—14.
ц) Интерполяционные кубатурные формулы.— В кн.: Теория
кубатурных формул и приложения функционального ана-
лиза к некоторым задачам математической физики. Ново-
сибирск, 1973, с. 73—90.
ч) К построению кубатурных формул.—В кн.: Вопр. вычисл.
и прикл. матем. Ташкент, 1975.’ Вып. 32, с. 85—98.
ш) О теореме Чакалова.— ЖВМ и МФ, 1975, 15, № 6, с. 1589—
1593.
щ) Ортогональные многочлены многих переменных.— В кн.:
Методы вычислений. Л.: ЛГУ, 1976. Вып. 10, с. 26—35.
ъ) О вычислении интегралов по поверхности” сферы.— ДАН
СССР, 1977, 235, № 2, с. 269-272.
ы) О двух теоремах С. Л. Соболева в теории кубатурных фор-
мул.—В кн.: Пятое советско-чехословацкое совещание по
330
ЛИТЕРАТУРА
применению методов теории функций и функционального
анализа к задачам математической физики (материалы со-
вещания). Новосибирск, 1978, с. 208—211.
ь) О кубатурных формулах, инвариантных относительно групп
преобразований.— В кн.: Методы вычислений. Л.: ЛГУ, 1978.
Вып. И, с. 3—21.
э) О числовых характеристиках ортогональных многочленов.—
В кн.: Методы вычислений. Л.: ЛГУ, 1978. Вып. 11,
с. 84—91.
ю) Об инвариантных кубатурных формулах.—В кн.: Терия
кубатурных формул и приложения функционального ана-
лиза к задачам математической физики (Труды семинара
С. Л. Соболева). Новосибирск, 1978, № 1, с. 69—78.
я) Об одной кубатурной формуле для симплекса.—В кн.:
Вопр. вычисл. и прикл. матем. Ташкент, 1978. Вып. 51,
с. 74-90.
i) The approximation of multiple integrals by using inter-
polatory cubature formulae.— In: Quant. Approximat. N. Y.:
Acad. Press, 1980, p. 217—243.
41. Мысовских И. П., Черницина В. Я. Ответ на один
вопрос Радона.— ДАН СССР, 1971, 198, № 3, с. 537—539.
42. Никольский С. М. Квадратурные формулы.—М.: Наука,
* 1974.
43. П о н о м а р е н к о А. К.
а) Кубатурные формулы для некоторых интегралов по про-
странству.— ЖВМ и МФ, 1968, 8, № 6, с. 1341—1344.
б) О построении кубатурных формул для квадрата.— В кн.:
Вопр. вычисл. и прикл. матем. Ташкент, 1970. Вып. 38,
с. 93-99.
в) Числовые характеристики ортогональных многочленов
второй степени от трех переменных— В кн: Вопр. вычисл.
и прикл. матем. Ташкент, 1972. Вып. 14, с. 30—39.
г) Вычисление некоторых интегралов по пространству.— В кн.:
Вопр. вычисл. и прикл. матем. Ташкент, 1975. Вып. 32,
с 105-113. , к
44 Радон (Radon I). Zur mechanischen Kubatur —Monatsh.
Math., 1948, 52, № 4, p. 286-300.
45. Распутин Г. Г.
а) Численное решение систем нелинейных алгебраических
уравнений.— В кн.: Методы вычислений. Л.: ЛГУ, 1978.
Вып. И, с. 57—81.
б) Некоторые кубатурные формулы для треугольника и квад-
рата.— В кн.: Вопр. вычисл. и прикл. матем. Ташкент, 1978.
Вып. 51, с. 119—128.
в) Кубатурные формулы и общие нули ортогональных много-
членов.—Вестник Ленингр. ун-та, 1978, № 13, с. 40—45.
46. Реншух (Renschuch В.). Elementare und praktische Ideal-
' theorie.—Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften,
1976.
47. Рис л ep (Risler J. J.). Une characterisation des ideaux des
varietes algebriques reelles.—C. R. Acad. Sci. Paris, 1970, 271,
№ 23, p. A1171-A1173.
ЛИТЕРАТУРА
331
48. С а л и х о в Г. Н.
а) Об одном способе повышения эффективности кубатурных
формул С. Л. Соболева на сфере.— В кн.: Вопр. вычисл. и
прикл. матем. Ташкент, 1971. Вып. 8, с. 3—9.
б) Группы правильных многогранников и кубатурные форму-
лы на гиперсферах.— В кн.: Вопр. вычисл. и прикл. ма-
тем. Ташкент, 1972. Вып. 14, с. 139—147.
в) К теории кубатурных формул на сферах.— В кн.: Теория
кубатурных формул и приложения функционального ана-
лиза к некоторым задачам математической физики. Ново-
сибирск, 1973, с. 22—27.
г) Группа правильного 600-гранника и кубатурные формулы
наивысшей алгебраической степени точности на гипер-
сфере.— В кн.: Вопр. вычисл. и прикл. матем. Ташкент,
1975. Вып. 32, с. 139-154.
д) Кубатурные формулы для гиперсферы, инвариантные от-
носительно группы правильной) 600-гранника.—ДАН СССР,
1975, 223, № 5, с. 1075-1078.
49. Салихов Г. Н., Шарипходжаева Ф.
а) Кубатурные формулы для вычисления интегралов по
поверхности гиперсферы.— ДАН УзССР, 1974, № 4,
с. 8-9.
б) О кубатурных формулах на сфере пятимерного простран-
ства, инвариантных относительно группы 32-гранника.—
В кн.: Вопр. вычисл. и прикл. матем. Ташкент, 1978.
Вып. 51, с. 204—222.
50. С е г ё Г. Ортогональные многочлены.— М.: Физматгиз, 1962.
51. С о б о л е в С. Л.
а) О формулах механических кубатур на поверхности сферы.—
Сиб. матем. журнал, 1962, 3, № 5, с. 769—191.
б) Введение в теорию кубатурных формул.—М.: Наука, 1974.
52. С о б о л ь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функ-
ции Хаара.— М.: Наука, 1969.
53. Строуд (Stroud А. Н.) . '
a) Quadrature methods for functions of more than one variab-
le.— N. Y.: Acad. Sci., 1960, 86, № 3, p. 776—796.
6) Integration formulas and orthogonal polynomials.— SIAM J.,
Numer. Anal., 1967, 4, № 3, p. 381—389.
в) Integration formulas and orthogonal polynomials for two va-
riables.—SIAM J. Numer. Anal., 1969, 6, № 2, p. 222—229.
r) Integration formulas and orthogonal polynomials IL—SIAM
J. Numer. Anal., 1970, 7, № 2, p. 271—276.
д) Approximate calculation of multiple integrals.—Englewood
Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1971.
54. Строуд Секрест (Stroud A. <H., Secrest D.). Gaussian
quadrature formulas.— Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-
Hall, 1966.
55. Тайлер (Tyler G. W.). Numerical integration of functions
of several variables.— Canad. J. Math., 1935, 5, p. 393—412.
56. Ф а д д e e в Д. К., С о м и н с к и й И. С. Сборник задач по
высшей алгебре.—М.: Наука, 1968.
57. Ф а д д е е в Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные ме-
тоды линейной алгебры.—М.: Физматгиз, 1960.
332
ЛИТЕРАТУРА
58. Ф л я т т о, Хабер (Flatto L., Haber S.). A quadrature for-
mula of degree three.—J. Approxim. Theory, 1973, 9, № 1,
p. 44—52.
59. Франк (Franke R.)
a) Orthogonal polynomials and approximate multiple integra-
tion.— SIAM J. Numer. Anal., 1971, 8, № 4, p. 757—766.
6) Minimal point cubatures of precision seven for symmetric
planar regions.—SIAM J. Numer. Anal., 1973, 10, № 5,
p. 849—862.
60. Фрич (Fritsch F. N.)
a) On the existence of regions with minimal third degree in-
tegration foripulas.— Math. Comput., 1970, 24, № 112.
p. 855-861.
6) On the number of nodes in self-contained integration for-
mulas of degree two for compact planar regions.— Numer.
Math., 1970, 16, p. 224—230.
в) On self-contained numerical integration formulas for sym-
metric regions.—SIAM J. Numer. Anal., 1971, 8, № 2,
p. 213—221.
61. Хабер (Haber S.). Numerical evaluation of multiple inte-
grals.— SIAM Review, 1970, 12, № 4, p. 481—526.
62. Хаммер, Мэрлоу, Строуд (Hammer P. C., MaHo-
we O. J., Stroud A. H.). Numerical integration over simplexes
and cones.—Math. Tables and other Aids Comput., 1956, 10,
№ 55, p. 130-137.
63. Хаммер, Строуд (Hammer P. C., Stroud A. H.)
a) Numerical integration over simplexes.— Math. Tables and
other Aids Comput., 1956, 10, № 55, p. 137—139.
6) Numerical evaluation of multiple integrals II.— Math.
Tables and other Aids Comput., 1958, 12, № 64,
p. 272—280.
64. Хаммер, Уаймор (Hammer P. C., Wymore A. W.). Nu-
' merical evaluation of multiple integrals I.—Math. Tables and
other Aids Comput., 1957, 11, № 58, p. 59—67.
65. Хеккер В.
а) Некоторые кубатурные формулы для круга.—В кн.: Ме-
тоды вычислений. Л.: ЛГУ, 1968. Вып. 5, с. 10—14.
б) О построении кубатурной формулы для круга, точной для
многочленов восьмой степени.—В кн.: Методы вычисле-
ний. Л.: ЛГУ, 1974. Вып. 9, с. 3—6.
в) О построении кубатурных формул для круга.—В кн.: Ме-
тоды вычислений. Л.: ЛГУ, 1976. Вып. 10, с. 73—80.
66. Чакалов (Tchakaloff V.). Formules de cubatures mecani-
ques a coefficients non negatifs.—Bull. Sci. Math. Ser. 2, 1957,
81, Яа 3, p. 123—134.
67. Черницина В. Я.
а) Кубатурные формулы для симплекса, точные для много-
членов четвертой» и пятой степени.— В кн.: Вопр. вычисл.
и прикл матем. Ташкент, 1972. Вып. 14, с. 15—23.
б) Построение областей, для которых существуют интерполя-
ционные кубатурные формулы с наименьшим числом уз-
лов.— Вестник Ленингр. ун-та, 1973, № 1, с. 144—147.
ЛИТЕРАТУРА
333
в) О существовании области, имеющей наименьшее число
узлов в кубатурной формуле пятой степени точности,—
В кн.: Вопр. вычисл. и прикл. матем. Ташкент, 1978.
Вып. 51, с. 157—164
68. Шарипходжаева Ф. О кубатурных формулах на сфере
пятимерного пространства, инвариантных при преобразова-
ниях группы вращений правильного шестигранника.— В кн.:
Вопр. вычисл. и прикл. матем. Ташкент, 1975. Вып. 32,
с. 179-192.
69. Шевалле (Chevalley G.). Invariants of finite groups gene-
rated by reflections.— Amer. J. Math., 1955, 77, № 4, p. 778—782.
70. Шмид (Schmid H. J.)
a) On cubature formulae with a minimal number of khots.—
Numer. Math., 1978, 31, p. 281—297.
6) On Gaussian cubature formulae of degree 2k — 1.— In: Nu-
merische Integration, Herausgegeben von G. Hammerlin,
ISNM 45. Basel: Birkhauser Verlag 1979, p. 252—263.
в) Construction of cubature formulae using real ideals.— In:
Multivariate Approximation Theory, ISNM 51, Basel: Birkhau-
ser Verlag 1979, p. 359—377.
r) Interpolatorische Kubaturformeln und reelle Ideale.— Math. Z.,
1980, 170, p. 267—282.
д) Interpolator cubature formulae and real ideals.—In; Quant.
Approximat. N. Y.: Acad. Press, 1980, p. 245—254.
e) On the numerical solution of non-linear equations characte-
rizing minimal cubature formulae.— Computing, 1980, 24,
№ 2, 3, p. 251-257.
71. Энгельс (Engels H.). Numerical quadrature and cubature.—
London, Acad. Press, 1980.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебраическая гиперповерх-
ность 26
— кривая 26
— степень точности 9, 76
Алгоритм построения кубатур-
ной формулы с 2-свойством
216
Аннулятор подпространства 224
Аффинное преобразование ку-
батурной формулы 76
Базис идеала 45
Я-базис идеала 52
Вандермонда матрица 29
Весовая функция 7, 70
Гипероктаэдр Оп 134-
Гиперплоскость 26
Грани гипероктаэдра О* 135
— правильного симплекса Сп
136
Группа ЯС* 138
- OnG 137
— CnG 137
- CnC* 138
- TnG 151
Идеал (полиномиальный) 44
— вещественный 262
— главного класса 46
— однородный 45
Икосаэдр И 136
Инвариантная функция 129
Инвариантное множество 129
Инвариантные базисные формы
132
-------ЯС ♦ 138
-------О„С 137
Инвариантные базисные формы
CnG 138
-------TnG 151
Интерполяционный многочлен
Лагранжа 8
-------в случае многих пере-
менных 69
----Эрмита 21
Касательный конус гиперпо-
верхности 34
Квадратурная формула 7
----гауссова типа 14
----интерполяционная 9
----Лобатто 20
----Маркова 20
----наивысшей алгебраиче-
ской степени точности 15
---------------с ’ частично
фиксированными узлами 18
----Ньютона — Котеса 9
----прямоугольников 10
----Радо 20
----, содержащая значения
производных 21
----Чебышева 10
Коэффициенты кубатурной фор-
мулы 70
Кратность точки на гиперпо-
верхности 34
Куб Кп 107
Кубатурная формула 70
----инвариантная 129
----интерполяционная 71, 74
Лежандра многочлены 165
----приведенные (таблица)
166
Метод воспроизводящего ядра
223, 240
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
335
Метод повторного применения
квадратурных формул 114
------------для куба Кп 114
---------------симплекса Тп
116
— -------------сферы Sn-\
119
---------------шара Вп 123
Многообразие идеала 45
Моменты веса и области 9, 70
— симплекса Тп 112
— сферы Sn_i 141
— шара Вп 171
Мультииндекс 24
Независимые' линейные связи
38
Нижняя граница для числа по-
ложительных коэффициентов
82
----------узлов 81, 85, 249, 251,
253
-------------в случае цент-
ральной симметрии 196, 203,
253
Ньютоновская система точек 32
Однородная составляющая мно-
гочлена 24
Орбцта G(a) 129
Ортогональное преобразование
128
Ортогональный многочлен 160
---деления окружности 236
тп-ортогональный многочлен 261
Ортонормированная система
многочлена 174
Ортонормированные многочле-
ны круга В2177
Основные ортогональные много-
члены 160
-------круга В2 (таблица) 173
-------куба Кп 165
-------симплекса Тп (табли-
ца) 168
-------------в форме Грунд-
м^иа и Мёллера 171
---треугольника Т2 (таб-
лица) 169
-------шара Вп (таблица) 172
Отражение 132
Погрешность кубатурной фор-
мулы 70
Проективное пространство 49
Размерность идеала 45
Ранг идеала 45
Симплекс правильный Сп 135
— стандартный Тп 111
- Тп, и 112
След гиперповерхности 27
Средняя по группе функция 130
Строго m-ортогональное множе-
ство многочлена 261
Сфера Sn-\ 84
тп-свойство 9, 71
Теорема Безу 51
— Маколея 46
— Нетера 65
---в многомерном случае 66
— о корнях ортогональных мно-
гочленов 14
-------------многих перемен-
ных 179
— о независимости линейных
связей 38
—- о неособенности матрицы
Вандермонда 29, 44
— о пересечении гиперповерх-
ности и гиперплоскости 27
— о формулах гауссова типа
квадратурных 11
-------------кубатурных 206
— о якобиане базисных инва-
риантных форм 133
— Соболева о представлении
функционала 78
---, об инвариантных куба-
турных формулах 130
— Стеклова 17
— Чакалова 92
— Шевалле 132
Теоремы, аналогичные теореме
Нетера 58, 62
Сточка Оп 143
- Сп 146
— ребра Гп, и 153
336
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Тригонометрическая степень
точности И
Узлы кубатурной формулы 70
Фундаментальный многочлен
интерполирования 68
Центральная симметрия Q и
р(х) 109
Числовые характеристики ор-
тогональных многочленов
185
Шар 108
Эквивалентный однородный
идеал 52
Элементарные члены идеала 45