/
Text
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО
СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР
ОБНИНСКИЙ ФИЛИАЛ
МОСКОВСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ИНЖЕ НЕР НО-ФИЗИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА
Е. А. САТАЕВ
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
ПО КУРСУ:
«ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
В ИНЖЕНЕРНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ»
Часть I.
Обнинск, 1983 г.
- 3 -
ВВЕДЕНИЕ
ДашЛо пособие предназначено для проведения лаборатор-
ного практикума в рамках курса "Применение вычислительной тех-
ники в инженерных и экономических расчётах", который читается
для студентов 4 курса специальности "Прикладная математика"
Обнинского Лилиала МИФИ. Основная цель той части указанного
курса, которая соответвтвует данному пособию - дать представ-
ление о применении вариационных методов, в особенности метода
конечных элементов, для решения задач матеметической физики
Вместе с тем преследуется цель накопления опыта применения
алгоритмических языков.
Метод конечных элементов начал активно применяться при-
близительно в начале шествдесятых годов. Его можно охарактери-
зовать следующими свойствами:
I. Область, в которой ищется решение уравнения, разби
вается на малые подобласти, называемые элементами.
2. Неизвестная функция аппроксимируется на каждой под-
области функцией специального вида, зависящей от небольшого
числа параметров.
3. Для определения неизвестных параметров используется
вариационный принцип; он позволяет найти систему линейных
уравнений для неизвестных параметров, определяющих неизвест-
ную функцию. Решая полученную систему линейных уравнений, на-
ходим приближённое решение задачи.
Для обоснования вариационных методов применяется поня-
тие обобщённого решения краевых задач. Следует отметить, что -
в большинстве случаев приближённое решение, которое находится
методом конечных элементов, является по существу обобщённым.
_ 4 -
Это решение не лежит в области определения соответствующего
оператора, но лежит в так называемом энергетическом пространст-
ве.
Следует отметить, что преимущество метода конечных
элементов по сравнению с обычным методом разностных схем
проявляется в основном в задачах, в которых область, в кото-
рой ищется решение задачи, составлена из большого числа под-
областей с различными свойствами и сложными границами.Такие
задачи возникают, например, при расчёте нейтронных падей в
активной зоне ядерного реактора. Для таких задач метод позво-
ляет сравнительно просто учесть граничные условия разного ти-
па.
Основной недостаток метода конечных элементов - это не-
обходимость применять ЭВМ для решения задач.
Начало пособия посвящено описанию лабораторных работ.
Для каждой из них приведены постановка задачи, ввд уравнения,
метод решения, варианты задания и контрольные вопросы и зада-
чи. В конце приведено приложение I, в котором описаны требо-
вания к выполнению работ; в приложении 2 описаны программные
модули, которые можно использовать при выполнении работ; в
приложении 3 изложены теоретические основы вариационных мето-
дов. Появление приложения 3 обусловлено тем, что необходимый
теоретический материал изложен в довольно разрозненном виде
в слабо распространённых источниках.
Автор надеется, что пособие окажется полезным не только
студентам, для которых!) оно предназначено.
- 5 -
ЛАБСРАТСРНАЯ РАБОТА I.
Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка методом прогонки.
Постановка задачи.
Найти приближённое решение уравнения
Atx) ^В(Х)^ * Ctx)ct =
cJyCz dx
с неизвестной функцией с с ( х) , удсвлетворяпцее краевым условиям
с<(а) = » 47
тдг> Zo * Z^ “ заданные константы.
Оценить точность. Решение вывести на печать в ввде графика,
используя программу £ RAF0 . Решение системы уравнений с трёх-
диагональной матрицей оформить в виде подпрограммы для того, чтобы
использовать эту подпрограмму при выполнении других лабораторных
работ.
Методические указания.
Решение ищется на сетка с постоянным шагом L - ,
И ’
в точках X; - а + Z к . Для нахождения приближённого ре-
шения производные заменяются приближёнными выражениями:
с/ CC(Xil Ut(X;,j) - 2СС(Хг)-С СС ОС
а lxi¥ (JC‘°
die 2 k
- 6 -
Если обозначить через IZ; приближённое решение, т.е.
значение искомой функции в точке Х(--с/+<.‘Л , то после замены
производных в этих точках приближёнными выражениями получим
систему линейных уравнений
- А (х;)-----------------+в (Х(9 —-------+C(Xi)Ut - t(xJ
которую удобно преобразовать к виду
Введём обозначения:
D; = 2А^ д • = А + ; Rt = A"гв;
f + 1
l АЧ- ; Z=2,..,^-Z
Тогда система линейных уравнений примет вид
- 2 1 + ~ - А
— Zij (Aq — F3
Г С 9 ь 9
~ ^r^-1
~ U’N-i ~
r^e /v= n-i
-7 -
В качестве входных параметров для подпрограммы решения
системы линейных уравнений рекомендуется взять число л/
и массивы D, 1л? R, F • результат решения разместить в мас-
сиве U
Варианты задания,
Вариант задания определяется преподавателем указанием
параметров N, а, 8? и функций / (х) ? В(х),
Это можно сделать, указав одну строчку в кавдой таблице из
двух нижеприведённых.
ТАБЛИЦА I.
№ варианта а £ /а N
I -1 1 0.4 о.г 50
2 -1.5 0.5 0.2 1.2 6 0
3 0 1-3 0.6 0.1 50
4 1.4 2.5“ 0.4 0. и 6 0
5 1.5 2.6 0.2 0.2 50
6 0.5 2.5 0.4 0.4 50
7 -0.5 1.5 0. ? 1»1 50
8 -0.2 0.8 0. ? 0. 1 50
9 0.2 2.4 0.8 0.9 60
10 -1.2 0.8 1 1 50
II -1.2 -0.2 0.9 2 50
12 о 2 0.11 0.12 50
13 0.2 1.2 0. Г 0. 7 50
14 0.4 1.4 0.5 0.6 50
15 1 2.2 0.4 0.3 60
ТАБЛИЦА 2
варианта I А w /2 + Si'rt2x Bae) 1+ S<*n x С C >C> V3 + x f ( X? 5*'«ZX
2 £n^tSi>ix) 2-COSK ^64+x; &fe+x2J
3 ^2 + fn(2+x; £лбз+>; siny+2. 1
4 S<X&i6}+xj) €-x 4.5~+ cosx i
2-ts!nzx
5 7г+Рп^+х? A-er* i.^-OSbin^ -/iiA-as-i e
6 sin*+ 2. ISi'nfil
7 J^S/nX e C0SX a-\c.os^xi
8 COS(2t)(.) e^1 Sin2*l
9 w i Nb* X Z-H-ZXJ
10 f ^2f fZ 4£^a-7/
4+Si'flJX
II 1 Vz+SZ/?2/1 cosf^.) 1 'T^' 4 ^2(4-X)2
12 Vn(4+CC>S)() xz+ J
13 1 । 2 Sz/ixtCe’V
14 4 i 0.z^+0.5~ 4+2 (2.Х-1У
{'Z-t Сс£гх /+-XZ
15 S«’#W-E£X У xV X + 1 g-4/x-f/
7+ X^
- 9 -
ЛАБСРАТОРНАЯ РАБОТА 2
Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка методом конечных элементов.
Постановка задачи.
Методом конечных элементов найти приближённое решение
уравнения
(р(х)~-\-^ qcx) и =
на заданном отрезке f @ J с краевыми условиями однонго из пере-
численных ниже типов.
»
Здесь р(х) , Cj(x) , -£(х? , -заданные кусочно-диффе-
ренцируемые функции г д(Х)^О
Краевые условия имеют один из следующих типов:
на левом конце: на правом конце:
а/ и (а) ~ иа &/ ц ф =
S/ р(а) ц'(а) = Ja p(g)U'(£) =
^/ка(и(А}-Ис (а)) =. Р(а ) и'(а) g/
Оценить погрешность. Результат распечатать в виде графика
с помощью программы GrPAF2.t
В каждом варианте Функции pi х) , С](х) - кусочно-посто-
янные. Отрезок [а, Д] разбит на три отрезка la^Q2 j ?
Cq= а 7 Cl^ ~ в ' на кавдом ИЗ которых функции р(. х)
й cj(x) постоянны. Таким образом, оТункции pi xj и C](Xj
определяются с помощью коеффициентсв p.t , рг 7 р^ тл соответственно
Cl2 > Ъ Так’ 410
- К) -
р(х)~ Pi на отрезке C.Q[,
q (xj =. (ft на отрезке L а [, ]
Функция £ (х.) определяется на каждом отрезке Гй;,
на отрезке
Различные варианты набора отрезков £Q[ ,0/itil • Функций
[[ (.х) и констант Р1 , рг , Р3 , 9/ , Яг •
и краевых условий приведены в таблицах 1,2 и 3. ОсЩий вариант
определяется указанием трёх чисел, определяющих ори строки
таблиц.
ТАТЛИЦА I
№ варианта «7 «г °3 °-Ч h(Xl
I О о.з 0.9 1.2 О ^9+9х' tn(2 tX)
2 о. г а 9 0.1 1 CO.5X
3 0.1 0.5 ОЛ 1.2 <//+х' ?+e-x 0
4 0.1 a<i 0.9 1 1 it к 12 >ПР
5 О.Ч 1 1.2 7.4 1 itKz у1/9~х'
6 0.1 0.2 0.9 1 2 X e~^
7 О 0.1 0.9 1.2 ^Xtl 1 0.5t 0.2)2 tr> 62 tX)
8 О 0.1 О Л 1.2 20^(z^) ln(ltXl
9 0:1 0.1 ОЛ 1.6 5/*7/ 1S'S. h к cos-
Ю 0 Й4 с.е 1 crs x 1CO."
- II -
ТАБЛИЦА 2
ft варианта Р1 Рз Яг Яз
I ол 1.G 0,3 1 4 2
2 1 4 6 2 1 2
3 7 5~ ' О 1 2
4 7 3 <4 •7 О 3~
5 4 1 3 1 2. О
6 7 S" 6 О 1 0
7 4 3 4 7 О 1
8 О.'/ 7.4 о. 1 2 1
9 3.1 0. 7 2 1 2
ТО <1 1 1 О 1 1
ТАБЛИЦА 3.
Варианты краевых условий.
Левый конец Правый конец
Тип Параметры Тип Параметры
0/ аи _ 1. г г.
5/ 7а = о. 7 ®/ и& = w. S-
0/ и- О.Ц V 7g = - 4
е/ ка = ^ UcCa)^2.ti а/ = -4
о/ = 74.5~ G/ ^g = 7-; 14с(^=-1
& 7* -= - о.$- Liei ё)~о,г
е/ и с (а) /о. / с</
g/ Ка-О. S'* Uc(a)- /.4 Ic-'f
- 12 -
Метод решения.
Физически уравнение (2.1) соответствует распределению тем-
пературы в стержне при предпсложннии, что в поперечном сечении
стержня температура постоянна; член вида и учиты-
вает теплообмен с окружающей средой через боковые стенки стержня.
В соответствии с теорией (см. приложение 3) нам нужно опре-
делить оператор, соответствующий задаче, проверить симметричность
и положительную определённость оператора, соответствующего одно-
родной краевой задаче.
Однородные краевые условия на левой конце имеют один из
ъ/ Каи«*)=р(а)М(а)
следующих ввдов:
а/ U (&) -О б/ '(<*) = Р
на правом конце отрезка - один из видов
а/ и[в)=Р б/ с('(в) = 0
Оператор, соответствующий уравнению, рассматривается как
оператор в пространстве (Гя?вЗ ) и имеет
/I й - - J- (РСх‘) + Ч(Х) Lt
Область определения Q ( А ) оператора
таких функций, что
И_(х) дифференцируема всюду, кроме точек
Функцию р(х) в точках разрыва р(X) можно доопределить
так, что она станет дифференцируемой всюду.
1Л(х) удовлетворяет краевым условиям.
вид
Д состоит
из
I.
2.
разрыва Р(х)
3,
- 13 -
Прежде всего рассмотрим случав однородных краевых условий.
В этом случае оператор ZJ - линейный. Проверим его симметрич-
ность и положителз^ую определённости» Пусть U, z''c c2Y/) • Тогда
(А и, ц) — - J(Pt/O'^rt/x и fdx
a a
Интегрируя первый интеграл по частям, получим
(А и, ь') ~ -ури'У iPJx г = - ^J(pu')-tjqn^x^
~-р(&)и'(6)тУ(ё)т f>(a)u'(a)'£(ci) +
d d
Значение p(a)u'w v(a) ш-р^'^гЩ) в зависимости от
краевых условий равно либо 0 (если условия имеют тип а/ либо б/j
либо КдМ(о)г^(о) и соответственно Kg (в случае
краевых условий типа вД В любом случае
(Aci,v) - Jpa'zT'c/xi- jqu&c/x ^Sau(a)^(a)i-S^u^)^^
« a
где значения и Sg в зависимости от краевых условий
приведены в таблице:
ТАБЛИЦА. 4
левый край правый край
тип Г.У, Sq тип Г.У.
а/ О а/ 0
б/ О б/ О
в/ в/
Легко видеть, что во всех случаях выражение (А и, т?)
симметрично относительно U и гГ ; поэтому(/«,
и симметричность доказана.
- 14 -
Положительную определённость докажем для краевого условия
типа а/ на левом ко^це отрезка. В ^тсм случае
|(Р«'Гс/х + \цигс1х + кг(Ю
л а
дце Sg (У для любого условия на правом конце. Очевидно,
а «
Прменяя неравенство Пуанкаре, получаем
f> v
Р . (ю'Гс/х} (и1(Х)с/х
Положим у - И— . Как легко видеть,
<J (Ь 0)2 g
(Аи,и)^ №<*)dx
а.
и положительная определённость доказана.
Аналогично доказывается положительная определённость в
случае условия типа а/ на правом конце. Доказательство положи-
тельной определённости в случае условия типа в/ на одном из
концов несколько сложнее и основано на искуссивенном приёме,
так называемой интерполированной границе; см. задачу П и ука-
зания к ней. В случае условий типа б/ на обоих концах опера® р
А не является положительно определённым^ этом случае за-
дача не всегда разрешима, а в случае, когда она разрешима, она
разрешима неоднозначно.
Энергетическое пространство включает в себя все
функции ьс(х) , для которых выражение
^plu'fyx-r $c/uzo/oe t Иг(а) + SgUZ(&)
а а
имеет смысл; интегралы нужно понимать в смысле Лебега. В случае
условия типа а/ на левом конце нужно дополнительно требовать ра-
- 15 -
венство и (Л)- О, в случае условия типа а/ на правом конце -
равенство и (№)- С> . Нетривиальное замечание: в случае краевых
условий типа б/ дибо в/ для принадлежности функции U (Л’Э
пространству Ыд краевые условия не требуются? (см. задачу 9)
Краевые условия, которые сохраняются при переходе к энер-
гетическому пространству, называются главными; краевые условия,
которые не сохраняются при переходе к энергетическому простран-
ству, называются естественными. В нашем случае условия типа а/ -
главные, условия типа б/ или в/ - естественные.
Пример: для краевой задачи
a(ct)= 0, а'(0)= о
функция и(^)~Х-а принадлежит Н д ; функция И - X-CL+1
не принадлежит пространству Нд , так как нарушены главные
условия на левом конце отрезка.
Функционал, соответствующий уравнению, имеет вид д
Р& + Jt/ U2o/x + Sa c/2(a)rS^2(^~^^
La л а
Следует отметить, что функционал имеет смысл потенциаль-
ной энергии; однако, объяснение этого замечательного факта мы
опустим.
Перейдём к неоднородным краевым условиям. Пусть теперь
- оператор, соответствующий неоднородной краевой задаче. Соглас-
но теории, изложннной в приложении 3, нужно взять произвольную
- 16 -
Функцию Uc(x) удовлетворяпцую неоднородным краевым усло-
виям, и будем искать решение в виде U = Uc + и" ; функцию
UD (, как будет видно ниже, специально строить не надо.
Функция 1Л (X) удовлетворяет однородным краевым усло-
виям. Уравнение относительно М имеет вид
= 4 -Аи0
где А — оператор, соответствующий задаче с однородными
краевыми условиями.
Определим вид энергетического скалярного произведения
функции и(х) вида = и функции чГ тРе
По определению, g £
Е 2TJ = L a, 2TJ t(Aa0) - $(ри1}),1У1J* + J?
Й f ° а
+ ^pfr'l^dx* fauiTc/Xt StiU(a)2T(a)+$gu'( в )$(&) ~
а а
- ~(Р“0' $PUC' tfdx 4- ...
а
е z £
- ^ри'?г'с/эе +
Здесь R.d соответсвует дополнительному члену к интегра-
лу, соответствующему левому краевому условию, R д - правому.
Определил вид члена . Така как в случае уравнения
с условием а/ пространство состоит из функций, равных
О в точке а , то в этом случае /?й - С .В случае условия
- Г7 -
типа б/, Ry -Ja тГ(и) . В случае условия типа в/
Ra- ка“(а> V(a) ~ “е Са> ^а)
Вид Ra и R % в зависимости от граничных условий приведён
в таблице 5.
ТАБЛИЦА 5
левый край правый край
Тип Г.У. Rex. Тип Г.У. Re
а/ О а/ 0
б/ 7Й б/ -MV
в/ ка(И(а)-с/с(а)) ту^и) в/ Кд(и(е)-^))^(а] - - -
Для приближённого решения воспользуемся методом Галёркина.
Пространство пробных функций и пространство Нл мы будем
выбирать с псглсщью некоторой сетки из узлов
а ~ Хо < Х1 < Xz «б . .. < Х„„ - в .
В качестве АУм возьмём пространство таких функций тУ(х)3
что
I. гГГэс?} линейна на кавдом отрезке £_>СК,
2. гГСХ) непрерывна
В случае условия типа а/ на любом конце отрезка добавим
условие: г\У(.х}—О на соответствующем конце.
Кавдая функция из пространства Н и определяется по
своим значениям 2Q в узлах
Для кавдого из узлов Х( , t’-. построим базисную
функцию €.[ (X); это кусочно-линейная функция, равная 0 во всех
узлах, кроме t -го, цце она равна I. Назовём эту функцию функци-
- 18 -
ей-"зубчиком". График этой функции изображён на рис. I
о Хг X[.f1
рис. I
Отметим, что если гГск)- Ct (>.-
некоторне коеффициенты разложения, то Cf совпадают со значе-
ниями функции тГС х) в узлах.
В случаекраевого условия типа б/ или в/ на левом конце
к функциям-"зубчикам" следует добавить левую функцию-"ползубчикй"
в слу®е условия типа б/ или в/ на правом конце - правую функ-
цию-"ползубчикаи; их вид изображён на рис. 2.
рис. 2.
Аналитическая запись функции-"зубчика" € • ( X) имеет вид:
(X)~S ,XGl
i О
В качестве пространства пробных функций возьмём множество
- I8a-
функций, удовлетворяющих требованиям:
I. U Сх) линейна на каждом отрезке Ext' ,
2. U Сх) непрерывна
Пусть UC),tt, Uп+1 - значения дробной функции
Ц(х) в узлах сетки. Функцию и(х) , очевидно, можно пред-
ставить в виде
и с X) = 2Z uj ej(x)
1=0
Определяющая система уравнений для пробной функции
имеет вид
CAM; .... п <-2.4)
К этой системе добавляются два уравнения, соответствующие кра-
евым условиям на левей и правом концах отрезка [а, в J . Вид
соответствующего уравнения зависит от типа краевого условия; для
услоаия типа а/ на левей конце соответствующее уравнение имеет
вид цв - 1)а ; в случае б/ и в/ - вид Г ц, J - (f9
Аналогачные уравнения соответствуют правому концу.
Рассмотрим более подробно структуру уравнений (2.4). Ясно,
что так как (х)= О на краях отрезка для /= 1,2, . • » „ П
то эти уравнения не зависят от граничных условий; см. таблицу 5.
Поэтому уравнения (2.4) имеют вид
g в в
^u'(x)e‘Cx)pcx)cloc+ ^lx)C{(x)^(x)=
а а а
- 19 -
Интегралы выражаются в виде л
й t ИИ У
^PtXXArrtLlXldx - X Ц* Jf
a J—o a
& H+1 6
J=0
И+-7
S«V«/
J—° a J-0
Матрица X = // // называется глобальной матрицей жёсткости
матрица - глобальной матрицей массы. Вычислять их
удобно, вычислив вначале вклад каждого элемента, т.е. отрезка
Г;С'„“X, Л в эти матрицы. Вклад каждого элемента в глобаль-
ные матрицы v. М определяется так называемыми матри-
цами массы и жёсткости элемента. Приступим к их описанию.
Очевидно, что
й и Х*.-и
J р(х) ел'(х)e'i(x)dx - X Jptr) d(x)dec
K—o те
a XK41 f
Интеграл j pu'dtdeC можно выразить в виде
Х* ^К+7 Л>) (
J р < = С, "* ’
В этом выражении матрица - //^^'//определяется матрицей
Хк-ei
жесткости элемента. . , /
Легко видеть, что интеграл J Р и чХ
х* /
отличен от нуля только для i к
и
Функцию
виде
на отрезке определяются соотношениями
1Л (х) на отрезке L хк рхк+1] можно представить в
и(Х) ~ С(к €.^СХ) + &К+1
Отсюда получаем:
I ^*** .
J P - UK = ^it
X* X* X*
f1 I *“1 i / )
J pu'^^ jPe>Q^Tfi(K^pe'tfe;.~x.;,uKrX2Xff
Xie lk) XK 7K
Пусть X - матрица из элементов ввда
ото и
есть матрица жёсткости элемента. Положим t*-—;
Тотда, как легко ввдеть, матрица X 7 имеет вид
С’ "£> ]
Аналогично, матрица массы элемента имеет вид
Л«.+ 1
Кк
Хк±/
€*<7х
Хк
Хк+> .
Результирующие матрицы жёсткости и массы имеют вид
. 1 -
Mz,' м'г!гм',У М'^,,0
- o м';‘>/
Вектор /- вычисляется тоже с помощью величин
Тко СЮ Xtr1
Fftk) р2 \^)Qk+/^)Jx>
Tfc
К полученной системе необходимо добавить два уравнения, соответ-
ствующих граничным условиям на концах интервала. Вид дополнитель-
ных уравнений для левого конца приведён в таблице 6.
ТАБЛИЦА 6.
Вид Г.У. Вид уравнения
а/ М с - и
б/ 60 г ] 9 X’ (1° 1 + ]( РоГ/х *» *е 4 Хс
в/ X/ X, Жс/х ' Хц Xs
Вид дополнительных уравнений для правого конца определяется
аналогично.
- 22 -
Методические указания
Для повышения точности следует сетку выбрать так, чтобы
точки разрыва функции р(х) и QZXJ были узлами
сетки. Сетку удобно выбрать так, чтобы в кавдом отрезке
; сетка была бы равномерной. В этом случае матри-
цы жёсткости и массы для всех элементов, лежащих в одном отрезке
, одинаковы.
После определения сетки удобно сначала вычислить матрицы
жёсткости и массы для каждого элемента, сформир®ав соответству-
ицие массивы; для каждого элемента следует также вычислить ве-
г 02 с
личины F г и ' а
Для вычисления интеграл®, фигурирующих в матрицах жёст-
кости и массы и вектора правых частей, можно воспольз®аться,
например, квадратурной формулой Гаусса с двумя или тремя узлами.
Обычно бывает достаточно взять два узла на каждом из отрезк®
L к
Для решения системы уравнений с трёхдиагоналъной матрицей
следует воспольз®аться программой, составленной для выполнения
работы № I.
Оценку точности производить путём сгущения сетки, вычисле-
ния решения на более частой сетке и сравнением с первоначальным.
- 23 -
Контрольные вопросы и задачи
I. Какова роль положительной определённости Оператора?
2. Что такое обобщённое решение?
3. Доказать положительную определенность и мяли симметричность
оператора, соответствущего задаче
_L/
X \ '
с краевыми условиями
ц'Со)=С>; *(3)^0
4. Доказать, что всякая кусочно-линейная функция <7 0x9 дня
которой выполнено условие и (а)—С , U (в)—О лежит в области
энергетическом пространстве оператора, соответствущего задаче
- U"(x) = ; u(ct)=O, и (#)=(?
5. Пусть / - оператор А и — -U1'
определённый на множестве дважды дифференцируемых на отрезке
[а, в 1 функций, удсвлетвсрящих условиям:
U(a)= И(^)‘ и' (Q)= Св); ^U(x)olx =О
а
Будет ли А симметричным и положительно определённым?
6. Пусть А - оператор /) у -
определённый на множестве дважды дифференцируемых функций на
отрезке [Ct, ё J , удовлетворявших условиям:
1л'(.а)-о^ и*(в)=о; JcaxjcJx - о
о
Какие из этих условий главные, какие - естественные?
Доказать положительную определенность и симметричность А
- 24 -
7. Можно ли в качестве базисных функций в предыдущей задаче
брать функции-"зубчики"? Выписать систему определяющих урав-
'нений.
8. Пусть А - оператор, соответствующий задаче
= %(-х)'} и(а)^С>, и(в) = о
Можно ли б качестве пробных функций брать кусочно-постоянные?
9. Пусть А - оператор, соответствующий задаче
-и"ос)^ ^сх)‘ и(а), и'(в)-о
а/ Показать, что функция и ос) - х-a G Нд
б/Показать, что всякая функция, которая непрерывна, кусоч-
но-линейна и равна 0 в точке Х-а , принадлежит Нд
в/Псказать, что условие на левом конце - главное.
10. Определить матрицы жёсткости и матрицу массы для сетки с
I R —Ct
постоянным шагом Ь = и базисных функций-"зубчиков" для
следующих краевых задач:
а/ -^OOtUW^W', "(в)» О
б/ - и11 (х) (х) = и (а)-О, и'(
ъ/ ’ х£с(х
II. Доказать положительную определённость оператора,соответст-
вующего задаче
/ СР(а)<Л W =
> 1~Р(б)^(в)^кви(Ю
Указание. Использовать приём "интерполированной границы".
Для этого рассмотреть вспомогательную задачу: I;
tbm,x<ita,ly ~ ке~
* I о , KQDat62i Pi^)^P(^)
На [a, oj и Р(6) •
- 25 -
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3
Решение краевой задачи для обыкновенного .дцьу<сре1щизд>-
ного уравнения четвёртого порядка методом конечных элементов.
Постановка задачи
Методом конечных элементов найти приближённое решение
уравнения ,г г
а [ d и \ [)
на заданном отрезке g J с краевыми условиями
к (а) = U° и'(а) = Uq
и(в) = к$ ; к'(ё/ = К*
где Кд , , Kg , Kg , ~ заданные значения,
P(xj и £(эс) - заданные кусочно-дийференцируемые функции.
Оценить погрешность. Результат распечатать в випр. графика
с помощью программы G, /? X F3 . Результат выполнения работы
оформить в виде отчёта.
Варианты задания.
В каад«лл вариавте отрезок [ a, разбивается на три
отрезка [<?, ,л2], ? La3,a^,dt= Q, а ё
На каждом из этих отрезков определяется функция (х) и ве-
личина Р( , так что
Р(х) - р* на отрезке [ Q( 7 С/*+1]
((X) f;(x) на отрезке
Таким образом, каждый вариант определяется указанием ве-
личин , аг , , й/f , P-f , Рг. , Р3 , аа • Кд ,
Kg , ие1 и функций % рх) , -^2(Х) , /3(Х) •
Общий вариант определяется указанием трёх чисел, соответст-
- 26 -
вухщих строкам приведённых таблиц.
ТАБЛИЦА I
Я «1 ®г. а3 h (*) [3(^)
I О <9. 1 о. х 1 Si‘h9X ire* C^x
2 -0,1 О. 2. 0.9 1.Z \Mx' 15 1tXz
3 О. 1 0.4 О. 7 1,0 ше x Qn(4iXZ)
4 О 0. Г ол 1.5 7/<-ex ZC^fX ’ Si^X
5 О O.G 0,9 ±Л 4C>V2f*' eosx
6 ол о. 4 1.2 Ml" X a’tc^x
7 0,1 0.1 O.S i.e ^2+5<’и/ 15 V'Z+x' 1 2t x
8 О.Ч 0.9 1. 1 1-1 1+ S.'h X 191 1 1-r e*
9 0.3 1 7.2 1.5 1+WX 1 -tx
Таблица 2.
№ Й/ u1 иа “в
I 0,4 -7 0.5
2 O.L 4 1 2
3 ОЛ 4 -0.3 -2
4 6Л 2. o.e z
5 0.4 0.3 0.4 -0.3
6 0.3 1 os -1
7 ОЛ, 2 0,3 i
8 0 1 C.Z 0.5
9 ОЛ 0.1 0:1 2
- 27
ТАБЛИЦА 3.
Л вар, Р? Рг Р3
I 0.2 I 0.3
2 0.4 0.2 0.5
3 I 2 1.5
4 1.5 2.4 3
5 3 2.6 2
6 2.8 0.5 3
7 2 1.5 I
8 2.1 0.9 1.7
9 1.6 0.7 2.3
Ю 3 0.2 3
II 2.6 4.4 2.2
12 2.9 1.9 0.7
13 0.7 3 0.5
14 3.1 0.7 2.9
15 0.2 2.5 0.9
- 28 -
Метод решения.
Сначала рассмотрим случай однородных краевых условий,т.е.
случай - (Л% - ° ‘
Для этого случая определим оператор в пространстве/.^}#, g)
А Ч Л (Р'*> J~ )
dxzK dX2 Л
Область определения этого оператора состоит из таких функций,
что
I. (л"(Х) дифференцируема дважды во всех точках, креме то-
чек разрыва функции Р( х)
2. Функцию р(х) (л"(Х) можно доопределить в точках
разрыва функции p(xj так, что она будет иметь вто-
рую непрерывную производную.
3. Выполнены краевые условия
к (а) ~ и1 (а) - «'(в'} - О
Оператор А симметричен. Действительно, после того,
как мы дважды применим интегрирование по частям, получим
(ZI К, 2Р) X =
« Gt
I
- {РС1,')'у'[ * - pu"v4 $ t Jp“ "
! Id fa a
Так как в силу краевых условий гГ(а)- = с>
т0 (/) Ч) 1Г) = jp(x) u“(x)ir"cx)c/jc
а.
Это выражение ситметрично относительно w и i~ и, сле-
довательно, оператор / симметричен.
Применяя неравенство Пуанкаре сначала к Функции nix)
а затем к Функции ы'(Х) мы получил .неравенство
J'rt'"'9Vr г
a «Г a
откуда следует положительная определённость оператоара /
Энергетическое пространство включает в себя все функции,
для которых выполнено условие:
I. дважды дифференцируема
2. Jp
з. и'(а)^ u'(g/-р
Последнее условие означает, что наши краевые условия
являются главныг.®. Доказательство этого Факта мы предоставля-
ем читателю.
Перейдём к неоднородной задаче.
В силу симметричности и положительной определённости
оператора, соответствующего однородной задаче, применима тео-
рия приложения 3. Пусть Uc ( х) - Функция, лежалая в области'
определения оператора А , соответствующего неоднородной,
задаче, ТИШе^КА ) ; А - это оператор, соответству-
ющим однородной задаче. Очевидно, д
а
В силу однородных краевых условий для функции 2Г(Х) ,
- 3' -
и, следовательно,
в XV
Отсюда следует, что |сли W f и f ,то
[4/вггЛ = /р^'ггУх
а
Перейдём к построению пространства пробных функций и
подпространства ЦС Нд~ . Построил сетку
и = хо с х^=е
В качестве пространства пробных функций возьмём пространство
таких функций, что
I. и!х) - полином степени 3 на кавдом отрезке lx*
2. U (X) t и'(х) непрерывны
3. и(а)^иас, иЧа)^ и*, u(6)^g, .
В качестве пространства Нц возьмём пространство таких функ-
ций, что
I. V7X? - полином степени 3 на каждом отрезке С^, X^,J
2. 1Ях) , непрерывны
з. тгса) - - гГ'(а) - гГ'(#;= О
Полином степени 3 на отрезке Xопределяется
четырьмя параметрами; в качестве этих параметров можно взять
величины !л^ = !Л tXlc)f ~ f ^X»r>/9
Таким образом, если U к - значения пробной
функции и её производной в узлах сетки, то эти параметры пол-
- 31 -
нос тью определяют пробную функцию; то же самое относится и к
Функциям из 1~1п . Число параметров, определяющих нашу функцию,
равно 2и
Для нахождения системы определяющих уравнений введём оа-
зисные Функции в . Это - так называемые эрмитовы куби-
ческие функции; график этих функций изо ражён на рис.З.
С каждым узла? сетки связано две эрмитовы кубические фун-
кции Определяются они требованиями:
I. ^г‘(х)и непрерывны
2. (х) и £2!<-1 1^) “ полиномы степени 3 на каждом
из отрезков ?Х;] и lX[ } Xi+t], и равны L вне от-
резка [X;-!
3. ег1 (^.,)=^,-1х,^)-.ег.е*.о
-32 -
К базисным эрмитовым функциям добавим ещё четыре: две лев
вых и две правых "полсвинки" таких функций, обозначим их
Cf(l) и соответственно z-nt/*) > ^zn+j(x) . Тогда любая
пробная функция может быть выражена в виде
U‘x) - 2 €j(r)
j~0
Определяющая система уравнений для коеффициентам
имеет вид
za+i (3.2)
К этой системе добавляется 4 уравнения, соответствующие гранич-
ным условиям:
^Систему
3.2 можно переписать в виде
^‘4 th' ~ Fi f l = 2-, . . . 2 п + 1
J-О
где . Матрица Z=//%'///
называется глобальной матрицей жёсткости, как и для уравнения
второго порядка.
Эта матрица является семидиагональной; вычисляется она
с помощью матрицы жёсткости и вектора правых частей для каж-
дого элемента.
На каждом отрезке
функции
] определим четыре базисные
- 33 -
(х) - полином степени 3 на отрезке [эск 3 XIC+^J , кото-
рый определяется требованиями:
< ^.) - 4. .,)-о
ТЛ Ч* <ff(XK+,)^C’
Очевидно, что (X) _ след функции на отрезке
(х? - след функции ^з ^х) ~
функтдш %*(Х> - функции d^^lX) •
Положим _ „
„ ?*♦• J2- -1г кч
.. т«Гк v,“ Хк
матрица Л из элементов Л I] размера 4x4 является
матрицей жёсткости элемента t-^к. • <^ля еа вычисления
следует выписать явные формулы для функций .
Пуеть I = ,/ = . Тогда i х t, 1 и
ЛкгГх*; 1 X^j-X^
(f2\x)^(XK+-x^td-if
(х) - (zt,i-l)(l-±,)Z= tZ(3 -z b)
(X)
- 34 -
ciX (Лк+/ лк)
,z
^lxl-i^(6~’zt)
Глобальная матрица жёсткости и вектор правых частей
составлены из матриц жёсткоати элементов и векторов правых час-
тей для элементов. Заметим, что глобальная матрица жёсткости
будет семидиагональной.
Методические указания.
Для повышения точности сетку следует выбирать так, чтобы
точки разрыва функции р (УС) совпадали с узлами сетки.
Рекомендуется сетку на каждом отрезке £ q J
выоирать равномерной; зто приводит к тому, что матрицы жёст-
кости элементов, лежащих в одно?.; отрезке Qit-i J > оудут
одинаковыми.
Следует вначале сформировать массивы из элементов матрицы
жёсткости элементов и векторов правых частей элементов, а затем
составлять глобальную матрицу жёсткости и глобальный вектор
правых частей.
Для решения системы уравнений с семвдиатонажной матри
цей рекомендуется воспользоваться программой ВАЛШь
которая предназначена для решения системы линейных уравнений с
симметричной ленточной матрицей. Для получения системы с симмет-
ричной матрицей следует вместо уравнений, соответствующих гра-
ничным условиям, считать UB , ’ ttzn+j, известными
и перенести их в правую часть.
- 35 -
Контрольные вопросы и задачи
I. Почему для задачи не подхадят базисные функции-"зубчики”?
2. Являются ли функции Эйлера допустимыми?
3. 1'едет ли, симметричным ои псложитально определённым опера-
л “Чи
тор А и - с краевыми условиями
а/ U(.o^-O'r и'(а)- о; !Л(в)-С>; и'"(в)
б/ (Л (а) = О; « '"(а) - О' и (в) = О) 1Л "'(в) = О
ъ/ и'(а) = е; и"(а) = С>; и'(в)-С>‘, и"'(в)^О
4. Определить матрицы жёсткости элементов для задачи
~Ц<-Х— - и (а) = о, и'"(0()= о, и(8)=о ы'(в)-р
Сетка имеет равномерный шаг А =
h.
5. Какие из условий главные, какие - естественные для задачи
М • и ( а) = и‘" (а) = о; U'l8)= О* и ) ~о
6. Определить глобальную матрицу жёсткости для задачи 4.
7. Найти определящую систему уравнений для задачи
-/(я) ; О, UC'lL) = Cj и"
при представлении пробной функции в виде
и (-г.) = Z? Si'*i к х
к- 1
с использованием базисных йункций с эсJ к X
ЛА’ХРАПРНАЯ РАБОТА 4
Аппроксимация «Т.ункции с помощью кубического
сплайна
Постановка задачи
На заданном отрезке [а,в] построить кубический
сплайн U (X) , значения которого в узлах сетки Хс ... х^
с шагал И— совпадают со значениями заданной функции
Оценить 5 -maji /fa-um/ путём вычисления приближения
где 3 £ - узлы сетки с шаном А 7 ~
Различные варианты приведены в та .лице.
ТА ЛИЦА I.
ДО а. е К
I о 1 \l It 5/ г/х
2 -1 1 10 frt (ZrCfsS )
3 -1 1 го е-С^5Х
4 —и It г о -С*Г ) с
5 -1 / гс (i t £ )
6 с 2 15~ (г л ti)
- 37 -
Метод решения
Кубическим сплайном называется функция , опре-
делённая на отрезке [а, в J такая, что
I. 4YZ7 на отрезках + zJ является поли-
нсмал степени 3; здесь Т/ - узлы некоторой сетки
Q - Те < JC, Z , , , < - g
2. d/Z) , м'(х), U‘'fT) непрерывны при переходе через
узлы сетки.
з. 4/ %; =
сдни интересное свойство сплайнов определяется следухшей
теоремой:
Теорема. Пусть - Функция, удовлетворяющая условиям
Т
Ь j г.
а
2. =
где - сплайн, построенный на сетке , r , ,
Тогда Q g
J / гГЪр/г</г с/
а о
Равенство достигается только тогда, когда 2Г(Т) и СТ}
Доказательство. Покажем сначала, что если
% (Го) = ^(Tf) -,е. - ~ о
Я , то
°
J 4/7 г; ^(Т) </1 -д
а
- ЗВ -
Действительно,
£ А7
j / "(j?) и "(X) ъ $'(х)ц >'(х) / ^_ J / (Г) и '"(х) dx
а а с
Первый член равен 0 в силу 1<"(а) -«"(в) -С- далее, на ка.дом
отрезке ГХЛ функция и'^Х) -СХн^х -Ск, и-о ucxj
полином степени 3 на этом отрезке. Поэтому
£ п хк и
f'(X^U^Cx)olx~ u'^cxidx = ^‘(x)dx
a K=,XK.t К"'
Далее,
%-к
Z J('cx)cb = z екff(Хк) -.fcx*.,))
г
- dx
а
Но, в силу (4.2),
и в силу (4.1)последнее выражение равно 0, и (4.2)дсказано.
Теперь выведем утверждение теоремы из (4.2).
g Полагая , получим
с/х - -
g д
2 \ Uu (iT'Ufdlcc + dx.
а а
£
2 [ и" ( 1Г-и) dX • О
Поэтому £
а
а
и так как
ZdX^D то и) и первая часть
теоремы доказана.
Если = то гГ"-^*, Отсюда следует
♦I
что Uh( X‘) - "(xtj г T.e. 2’7^7 - i*(X) to<f yo^z. Д"'
Но, поскольку гЦх;)- Ц( я\) , d1 -^г- Q,
и теорема доказана полностью.
Перейдём к построению сплайна, принимающего заданные зна-
чения в узлах сетки.
Так как И(х ) - полином степени 3 на каждом отрезке
[Х» X. 7 то и "(Х) на каадогл таком отрезке линейна.
*- к-7 ? *
По условию, и"(Х) непрерывна и ц"(А)-Ц11((>)~С> . Следова-
тельно, (х) полностью определяется значениями в узлах
X1 } ... у X, эти значения мы обозначим ЛЛ/ .
На кандсм отрезке I Xк-, f X к J выполнено равенство
„ Х^Х _
U,f(X)=mK_t — - + А» К
Хк XK-i * к-1
Дважды проинтегрировав, получаем
и СХ) -- 7ТГ~ 4
i№ liк -1 • Подставляя поочерёдно X к. и
вместо х • получигл г
1л(хк_л) = ^к-1^- +ГН.-О1-А + л
е*К * Лц
А3 А А*
Отсюда г
utxK^-
- 4С -
Подставляя
и Р> , находит.: (Т, к, (Л(ХК) ~
(-** ~У3 р _т 1
Ак * ~Г~
+ И. (Х~ХК.^ 7 }
с г* i, в 'к
"к
Представляя на отрезке Xt J и fJT<5Л”*г+J
получаем
и в итоге получаем систему уравнений относительно
которая дополняется равенствами
ГУ10 = V
Разрешая эту систему линейных уравнений, найдём неизвест- •
ные к , X-ff29 U (Я) t как мы видели выше,
выраглется через к . Следовательно, сила.® мы построили.
- 41 -
ЛАБСРАТСРНАЯ РАБОТА 5.
Решение нестационарной задачи теплопроводности
методам конечных элементов.
Постановка задачи.
Методам конечных элементов найти приближённое решение
уравнения
с краевыми условиями
U U* (4)
и начальным условием Uix^) - Uo (X) — заданная функция.
Здесь С(х) , рсх) , щх), %(Xpt) - заданные функции,
Q и в заданные константы.
Результат оформить в виде графиков.
Варианты заданий.
В каждом варианте функции Р/1 х) , Cj (X) , С (Я) -
постоянные на каадсм из отрезков fQi,Q2J , [й2 9 cfjJ »
[а 3,0^1 • ^7-С( • Q4 .Функция f(X,+)
определяется так же на каждом множестве [а? ? ] xL&, У]
так что / (х) f. ( х£ ) tQi f Q.fi о, Г J
Ойций вариант определяетея указанием двух строк из таблиц.
prf , у, , g Га^.
Лас^е. kd с~7-р. //.
- 42 -
ТАБЛИЦА I. -
л вар а» Qz v Q3 G Cz G
I 0 0.3 0.9 1.2 1.2 2.1 0.5
2 0.2 0.4 0.7 I 0.5 5.2 1.6
3 0.1 0.5 0.8 1.2 0.8 0.2 0.4
4 0.1 0.4 0.9 I 0.9 1.5 3.4
5 0.4 I 1.2 1.4 4.3 2.2 2.4
6 0.1 0.2 0.9 1.4 4.2 0.5 3.4
7 0 0.4 0.9 1.2 5.5 6.9 4.2
8 0 0.3 0.8 1.6 5 6 I
9 0.1 0.7 0.8 1.5 0.4 7.8 0.9
10 0 0.4 0.6 I 7.4 I 5.8
ТАБЛИЦА 2.
JS вар. & с*,*;
I 5<*WX СИХ 5<й€
2 <f£n(z+x)^"* c.os-b
3 £n(2-i-x) e'* cost- Vz-tx’ C1
4 ^2^z'(l-3ih2t)
5 Cost
6 егг* 4-e~* 1 /X2 Sin
7 gH(2fX^ S'COS b V^x"' / ice**~ \РП^
8 Ы ПЦ* losln+/ cossr-t^h
9 v 1+t) tr
- 43 -
Метод решения
Приближённое решение будем искать в виде функции U.
которая при каждом фиксированном t С> является кусоцно-ли-
нейной функцией переменной X . Если (X, р) при фикси-
рованном -£ является кусочно-линейной функцинй от X ,
тс она определяется своими значениями в
узлах сетки по переменной X ; эти значения являются функци-
ями переменной 4 . Таким образом, решение определяется
функциями ив(4) , ..... и„(+) . Если ^0(Х), е/т),
... . ~ базисные функции-"зубчики", введённые при описа-
нии лабсратсрнрй работы 2, то
и
ZUjOMjtX)
Для нахождения неизвестных коэффициентов М исполь-
зуем метод Галёркина. Умножим обе части исходного уравнения на
функцию ef(x) и проинтегрируем по переменной X £ резуль-
тате получаем: £
Л }C(x)u(x,-i)Ci(x)dx - S
а п а а
_ J %lX,bQi (x)dx
второй °
Яерйый^интеграл в этом выражении возьмём по частям
~} Zx;(Р +
Q **
+ ;Р(Х) =
a ci
- 44 -
Подставляя вместо Функцию и вме сто и Cx,t)
Функцию iFttpb) получаем систему равенств:
_ / Ъ У . *1 ъ
'х *. м j4 27ujU) jptj
а J=O a j~pa
V
- ^(x)dx.
Cl
Переписывая эту систему в матричной форме, получим
л t XU + MU FW
д+
пде I,,
= 11
Ct
/>/ = нMijH // J (fix) е^юе^сЬс//
A ~ H - /i ^C(X) Cc‘(x) Qj(x)cfx //
F - // F) // .? // /дх t) (X) cFc //
a
Полученную систему обыкновенных дифференциальных урав-
нений можно решить каким-либо стандартным методом, предназначен-
ным для этого. По-видимому, один из наиболее удачных в данном
случае методов - это описанный в общих чертах нике и приводя-
щий к схеме, которую можно считать аналогом схемы Кранка-Никод-
еона.
Выберем шаг пс переменной ~t . Каждое урав-
нение проинтегрируем по промежутку от {к до
Получится системе равенств, в матричном виде имешцая вид:
45 -
A J 77^ + + = / !~
ik" tK K„
Приближая интагралы с помощью формулы трапеций и отбрасывая
остаточный член, получим
J Udi « UH
a(v“’” v"“)^ ^(yCtM)(v‘4 u^ij =
Перенеся все неизвестные, содержащие ]J (*+1) , в леВую
часть, получаем
(/I * = fy-^jy<tM))U(Kl^(F%F(K^
Полагая Д = /| r R^A- й/(Х+Ю£
получим систему уравнений в более компактной записи:
Z. R U,K> i-GM
Патрица Л является трёадиагональной. Решается система
уравнений с матрицей Л методсм прогонки. Прогоночные
кое&Тициенты для решения системы лучше всего вычислить вна-
чале, ибо вычислять их на кавдом шаху по переменной
будет весьма неэкономно. Патрицы L , R , А , Х? F!
следует хранить в памяти в виде двух массивов ввиду симметрич-
ности; один из этих массивов - диагональ, другой - поддиагональ.
- 46 -
ПРИЛОЖЕНИЕ I.
Требования к оформлению работ,
Выполнение каждого задания состоит из следующих этапов:
I. Построение аппроксимации уравнения
2. Разработка алгоритма решения задачи
3. Составление программы на алгоритмическом языке и её
отладка
4. Решение задачи на ЭВМ, оценка точности.
Ь. Оформление отчёта.
Г
отчет должен содержать следующие разделы:
I. постановка задачи, параметры, описание сетки
2. Описание особенностей метода применительно к данному
варианту задания
3. Пдок-схема и программа на алгоришическсм языке
4. Результат решения задачи на ЭВМ и оценка точности
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.
Описание программных модулей
I. Программа GRAF0 .
Предназначена для печати на АЦПУ графиков функций, за-
данных таблично. Может печатать до 5 графиков одновременно.
Написана на языке ФСРТРАН-1У. Обращение:
CALL F, U1V2JP)
Значения параметров:
Z) , Р> концы отрезков, на котором заданы функции
М - число функций
- 4’.-
/V - число точек, в которых заданы значения функций.
I- - массив значений функций, расположенных в порядке
ip*t)> у * f)? ^2- ), < с г , (Х2), с с с
• МА А/ - массив, в котором в виде строки располагаются таена
графиков;
NAM(1) - МАМ 12 0) - имя первого графика
IVfyM(2l) - МАМ (40) - имя второго графика
И т. д.
{/2 , U1 - заданные минимальное и максимальное
значения функций, т. е. масштаб по оси у
IP - признак; если IР ~ О , то масштабы оси у
не меняются, если же I Р - 1 » то масштабы по оси у
могут быть изменены. Изменения масштабов происходит заеной
(Z 2 и 17 1 на максимальное и минимальное зна-
чения среди всех значении всех функций в следующих случаях:
I. Имеется такое (Xj) } что (Xj) 0> W2.
2. Имеется такое у 410 А W) V
3. Все значения функций находятся в полосе
171 + О. 3 Г172 -VI) < + (72 ~Ot 3 ^Uz
Рекомендуется при обращении к программе задавать K=Wx.t1
Массив МАМ можно, сформировать следующим набором опера-
DO is 1,М
- 2.0* (2-1) И
К2 - 20*J
1S- pf= AP(£77f00) (МАМ(К),к = к^к2.)
100 FOPM АТ(20 ау)
- 48 -
2. Программа GRAF 2
Предназначена для печати на АЦПУ графиков кусочно-линей-
ных функций. Обращение:
С А Л Д G RA F2 (/^, X S, КА М, FS, KG R )
Значения параметров:
NS - число узлов сетки, на которой задана фуиция
X S - массив узлов сетки
КАМ- имя функции в виде строки из 20 слов
F S - массив значений функции в узлах сетки
Л'С/? - число точек графика
Используемые программы: Q RAF0 .
3. Программа В А К S О .
Предназначена для решения системы уравнений с ленточной
симметричной положительно определённой матрицей.
Обращение: CALL В А /И 5 О Ь (.К? А,В> ? Р? X )
№ - число уравнений
М - (число диагоналей+1)/2
F - вектор правых частей
/1 - матрица; элементы матрицы располагаются в массиве
в следующем порядке / 0 . , , О \
О ' • • О С(г1 С(г^ \
' » « О в *
, . . а»,-
- вспомогательный массив той же размерности, что Д
X - массив решения системы уравнений /1 X - F-
- 4У -
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ТЕ1РЕТИЧЕСКИЕ ОСНСВЫ ИЕТСДА КСНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.
Предполагаются известными те понятия функционального
анализа, которые будут использоваться. Изложение их можно
найти в книге: А.Н.Колмогорсв, С.В.^омин,Элементы теории Функций
и функционального анализа,изд. "Наука", Москва, 1972г.
стр. 131 - 135, 146, I6b - Г77, 206 - 221.
Все линейные пространства, которые у нас будут встре-
чаться, являются вещественными. Элементы пространств мы бу-
дем называть Функциями.
Неограниченные линейные операторы.
Для определения неограниченного оператора в гильбер-
товом пространстве Н необходимо задать область опреде-
ления оЬ(А) оператора А . Область определения явля-
ется всюду плотным подцространством в пространстве Н
Линейный оператор А , определённый на всюду плот-
ном подпространстве <$)(/}) С Н - это цравило, согласно ко-
торому для кавдой Функции U &£) (А) определена функция
A U & Н ; при этом выполнены условия:
для любых вещественных чисел р, и и любых
U ,2Гб: ъ$(А) функция р, 25"6 Л?
и, кроме того,
А(+ р2 v) - Д и гГ
Введение области определения обусловлено тем, что
неограниченные операторы, вообще говоря, не могут быть про-
должены на всё пространство, если мы хотим сохранить линей-
ность.
- 50 -
Пример J, Обозначим через В
рывнфс функций, определённых на отрезке
лим скалярное произведение функций а
в
( 1У(‘Х)с!т
а
и соответствующую норму
Ич//-
пространство непре-
. Опреде-
и 2Г формулой
что и
вил:
Через (i Q, ) обозначим пополнение В по этой
норме. Легко проверить, что полученное пространство - гиль-
бертово. «2)Мх) определим как подпространство таких функций,
непрерывна на L а, в J я выполнены краевые уело
и (а) - и (в ) — о
Для функций (Л С 3)(А) положим
Прмер 2, Пространство Н - то же самое, что и в
примере I. - это подпространство таких Ы (X)
что и*ск) непрерывна на [а, в J я выполнены краевые
условия:
и1 (а) ~ и' (4) -О
Оператор А2 определим равенством Аг1) - -t///
Операторы / и 2 , несмотря на формально
одинаковую запись, различные: они имеют разные области опре-
делиния.
Оператор А , определённый в гильбертовом прост-
ранстве Н , называется симметричным, если для любых
-51-
U и
С ТВ о
из области определения выполнено равен-
(Аи, ТУ) - (U, А1У)
Сопряжённый оп/ератор к оператору А определяется
равенством , . Л .. .
(/Ч гу) * (и, /*гГ)
которое нужно понимать следупцим образом.
Для каждого 2У из цространства Н определим
линейный функционал Z (*) на пространстве 3)(А)
(Ч) = (№, ТУ)
В качестве области определения оператора А возь-
мём множество тех ?У£ Ч? для которых L-y ограничен.
В силу теоремы Висса о представлении линейного ограниченного
функционала в гильбертовом пространстве, для 3)(АК>)
имеется функция такая, что тд С и) = ( д.)
Положим = А * ТУ
Оператор А называется самосопряжённым, если /)-/?*
Т.е. <3 (А}=ЗХА*) И Аи = А*и для всякого МбЗ)(А)
Отметим, что не всякий симметричный оператор является
самосопряжённым; у операторов Д и А * могут быть
различные области определения. Довольно часто происходит
путаница между самосопряжённостью и симметричностью.
Симметричный оператор называется положительно опре-
делённым, если существует такая константа )[>£> , что
для всякой функции ы G 3) С А )
(Ач,и)^ [(и, 4/;
- 52 -
Энергетическое пространство.
Пусть Z) - положительно определённый симметричный
оператор. На области определения оператора /I опреде-
лим так называемое энергетическое скалярное произведение:
= (А и, ту)
Энергетическая норма определяется равенством:
Отметим, что для любого 1УбО)СА) ,ПтГП£ НтЯ!л
У
Энергетическим пространством, соответствующим опера-
тору А
оператора А
называется пополнение области определения
по энергетической норме. Обозначается энер-
символом Н. .
А
А - симметричный положительно
гильбертовой пространстве Н
гетическое
пространство
Теорема. Пусть
определенный оператор в
Тогда Нд С А/.
Доказательство. Пусть-f J - фундаментальная
последовательность функций из <0 (А ) по отношению к
энергетической норме. По определению пополнения, ц ю
имеет предел и вНд . Покажем, что ] являет-
ся фундаментальной по отношению к исходной норме в прост-
ранстве //
Действительно, фундаментальная по отонсшению к энер-
гетической норме последовательность является фундаменталь-
ной и по отношению к исходной норме, так как НМ*
- 53 -
^4= tfl/„// и если
V A ?
TO //И„ //-> £> „
//z/„ - Нд -? C' co
*1., «1 -7» O<~>
Так'Х как H полно, то £ Un} имеет предел
в Н . Но, по построению Нд , всякий элемент из
Нд - предел фундаментальной последовательности элемен-
тов из 3)(А) по отношению к энергетической норме; так как
каждая такая последовательность имеет предел в Н
, то
теорема доказана.
Обобщённые решения.
Рассмотрим уравнение
/ П ~
в гильбертовом пространстве Н с симметричным положи-
тельно определённым оператором /i . Поставим задачу:
найти такую функцию U G Н , для которой выполнено
последнее равенство.
Решение для заданного ./ может и не существовать.
От исходного уравнения перейдём к уравнению в слабой
форме
f Л п, V') - ( £ 2TJ
которое перепишется в виде
С й, trj - , V)
где I и, - энергетическое скалярное произведение ц
и . Поставим задачу: найти такой элемент /Л
Лт
что цри любой т) с- выполненэ равенство 6*7
- 54 -
Отметим, что правая часть этого равенства определена
В СИЛУ ТОГО, ЧТО Hfi С И
Покажем, что = - ограниченный линейный
функционал на пространстве (Чд по отношению к энергети-
ческой норме. Действительно, в силу неравенства Ксши-.’уня-
ковского
!L^ с г-)/ = /(!, v)i/ < /////’
и так как //tfVЧ Vi/д
*
! (2Г)! <
то .
IiVI'a
✓////
- митщ
и ограниченность доказана. Применяя теорему Рисса о представ-
лении линейного ограниченного функционала на гильбертовом
пространстве Н д к функционалу / 5айдём
единственный элемент £ Мд такой, что для люсого
H fl выполнено нужное равенств о. Следовательно,
существование и единственность доказана.
Функционалы в гильбертовом пространстве.
Функционал <f> (К) - это вещественнозначная функция
с областью определения Н • Функционал (f(K)
называется непрерывны.! в точке Uc € Н если для лю-
бого £ найдётся такое Ь>0 , что для любого
такого, что /и ~ис /< Ь , выполнено ра неравенство
/ Ч>(^1>)/ < £
Функционал называется непрерывным, если он непрерывен
во всех точках области определения.
- 55 -
Слабой производной, или производной в смысле Гато,
функционала в точке Цо по направлению гГ
называется Функционал
% С/t It~o
Интересно, что с/^Г'гг) - не обязательно лиейный Фун-
кционал.
Если функционал дифференцируем в смысле Гато
в каждой точке определения и достигает минимума при U — С1 *
то слаб' ч производная в точке U* по любому направле-
нию равна 0.
Действительно, (/*+£ 2Г ) при фиксированном 13'
является функцией вещественного аргумента i . Если 6/*
является точкой минимума, so g (+) = гГ) имеет
минимум в точке t - С . Следовательно,
Квадратичным функционалом, соответствующим опрратору
А , называется функционал
- ГА*/;
ft
где -/ - произвольный элемент из //
В качестве области определения следует взять 7//
- 56 -
Через (И) обозначим. линейный функционал вида
Z^ би ~
Очевидно, что iCt) непрерывен по отношению к исходной
норме. Норма равна П % И .
Лета, функционал ограничен в энергетической
норме.
Доказательство. В силу неревенства Коши-Зуняковского
< /////- /W
Отсюда выведем цепочку равенств и неравенств
/ Z^ (и) / = /(f, и)/ < /////• ПСП/ <
//#//
* 7F 11
= М псп/д
и лемма доказана.
В силу ограниченности
норме, (f (Ю непрерывен по
найти точку минимума функционала
по энергетической
отношению к энергетической
норме. Поставим задачу:
Теорема А. Пусть
определённый оператор в
Тогда для любой функции
(и}
А - симметричный положительно
гильбертовогл пространстве
/ё и функционал
имеет единственную точку минимума U на энергетическом
пространстве . При этом U* — обобщённое решение
уравнения »
i- етод Ритца
Этот метод используется для приближённого решения
уравнения / и - + с симметричным положительно определён-
ный оператором А . Приближённое решение ищется в нес-
колько этапов
/а/ Вместо уравнения А и ~ / мы ищем точку ми-
нимума । ункционала
(U) = у
По теореме А , это и есть обойдённое решение.
/'5/ Выбираем конечномерное подпространство С. Ид
и ищем точку минимума функционала if на Н
/ъ/ Для нахождения точки минимума функционала if
на подпространстве //л выберем базисные функции ,
..., Гони образуют базис в ) . Точка минимума
на Н п выражается в виде комбинации
с неизвестными коесТфициентами С t , , С >, .
/г/ Для нахождения величин С/ , ... , Сц под-
ставляем выражение U * через С ............ Ch в функци-
онал . Получаем
П л
V(ct,..., е„) = *;= { - г F&
- 58 -
/д/ Для нахождения точки минимума функционала '\]Г
приравниваем к 0 частные производные В результате
PC'
получаем систему линейных уравнений
и
’S F‘J с: =Fi 1 !
•> п
/е/ Решив полученную систему линейных уравнений, най-
дём неизвестные коебШщиенты С f , ... , Сп и соответ-
ственно точку минимума функционала Ц>(м) на
С ходи:’ость к U* может ;ыть доказана в
случае, если при п-» сл , /у —> Нд . Хто означает,
что для лю 'Ого ы 6 Нд и любого £_ > О найдётся
такое п ( U, £ ) , что при w >n(u,£) имеется некоторый
элемент & Нп f для которого //44, И д <£.
Сходимость и. % И при т следует из
теоремы:
Теорема Б. Пусть 4/*
на пространстве Нд ,
на подпространстве Нп С Нд
/а/ О
- точка минимума tfCn)
- точка минимума фСь)
. Тогда
для любого lTh Е: Нп
/6/llU*-u„*ljA £UU*-iyhllA для любого
Доказательство. Мы докажем, что для любого гГ^ е
1^,
- 59 -
Действительно, (p(Uf) t для любых 4 ;
следовательно, для любого 6 Нп
4?(Ч*^ггЛ)/ •= О
dt <t~v
Преобразуем выражение ( и *
При дифференцировании и подстановке 4-0 получим
f Ч W< i ff„)^= гг„ц
В силу свойств скалярного произведения, f 4/ъ* T^nl-L Л» d„*]
n°aTW
Далее, так как для любого 2ГсНд , $) , то
Г^* гГ^] = ( для любого 27? е Ни . Отивда следует,
что для любого 2^, 6 Нп у
Таким образом, /а/ доказано. Докажем /б/, выводя его
из /а/. Положим A - 1Л • Пусть М?
Положим 2^, - 2^ -1^. Очевидно, что
Ии*-1У^ =
= - z7,//J=rzJ^-zi;7zi^-i7j =
= ПЛ и* - г ja и, и\
- 60 -
Так как , то в силу /а/ .и 2^J--p
HH*-ZT^ - НЛи*Цд + К
и /б/ доказано.
Метод Галёркина.
Для нахождения обойдённого решения манно не перехо-
дить к функционалу, о применять метод Галёркина.
Выберем подпространство f-/„ С , размерности К
Для функции G Нпотребуем, чтобы для любого 2^6Н»
la*-u*9 - О
т.е. сшибка/)^ = ортогональна пространству Нп
Учитывая, что fw*, 2^1 - & , это равенство
можно переписать в виде
Г 2J~nl - (.{, 2^) для люо'ого 7ГИ 6 Н п
Заметим, что если (?; , ... , и - базисные функции из
/-/ , то последнее равенство достаточно проверить только
дця них. Действительно, если LU»*, ^1)
и 2Jh-o(,^e? + о » + , то
, гГ„] = X ГМ *, е‘ - 2 о(• (^t) = (2TJ
<’ ,у #
Поэтому определякщая система уравнений для - это
- bl -
и
Если искать в виде (Л * = 27 Ct &,• , то
j=1 J
определявшие уравнения для Cj имеют вид
и
ДЧ-г <W; :=<,..> п
J=1
Если обозначить через F вектор с координатами (%} О.’),
через Q - матрицу из элементов g£*y ~L%>, l 9 то
система уравнений относительно С] имеет вид ’ Q - р
где 8 - та же самая матрица, которая фигурировала в
методе Ритца.
Заметим, что метод Галёркина и метод Ритца приводят к
одной и той же системе уравнений относительно Cj . Одна-
ко, область применимости метода Галёркина шире, чем метода
Ритца. Метод Ритца применим только для случая положительно
определённого симметричного оператора.
Неоднородные задачи.
Весьма часто область определения оператора А
не является линейным подпространством. Пример: задача
- и"- ffr) • и(а)-19 U(%)=2
Здесн А определён на множестве дважды дифференцируемых
(функций, удовлетворявших граничным условиям.
Действительно, если UCa)-i ,тО2и1а} 4= 1 и поэтому
2 и (’х) <ЁЗ) (А) - В этом случае вся предыдущая теория не
проходит.
Мы сведём эту задачу к однородной. Зафиксируем функцию
Uc>eS)(A) и будем искать решение в виде и = w
- 62 -
Тотда в задаче из нашего примера U удовлетворяет уравнение
- и и (а) - it (в) - О
т.е. задача превратилась в однородную.
В общем случае поступим точно так же. Зафиксируем про-
извольную функцию 6 оЭ СА). Обозначим через оператор
с областью определения 3)(А )} которая состоит из функций,
имеющих вид Ц-U-tio , UG Qj(A) ; положим
д'u - Au -Auc
Для линейности оператора А нужно, чтобы были выполне-
ны условия:
а/ функции вида U - U 0 , М £ &(АЬ , Uc & 5)СА)
образуют линейное пространство ,
б/ Определит,' оператор Д для Функций вида U - Uo
равенством A u - Au — A U 0 . Тотда А -
линейный оператор.
Далее мы предполагаем, что оператор А симметрич-
ный и положительно определённый. Положим f ~ А Uc
Пусть U * - обобщённое решение задачи и~ - £ .
Тогда t/* - и* +ие назовём обойдённым решением неодно-
родной задачи А и -
Пусть - энергетическое пространство оператора
> £ и, гг~} - энергетическое скалярное произве-
дение cf и TJ~ . Обобщённое решение хотелось бы запи-
сать с помощью равенства
= (А
- 63 -
Однако, левая часть неравенства не определена. Но мы её опре-
делил для функций U ввда (я = Ц + и0 ,и & f полагая
£ и, vj =(/>a0^tr)i гг]
где оба слагаемых в правой части, очевидно определены.
С целью иэоавиться при дельнейшем рассмотрении от фун-
кции введём некоторые понятия.
Линейным многообразием А/ + Uq • параллельным неко-
торому подпространству // с' Н , называется множество
ФУНКЦИЙ ВИДа с/ = + 4? , Z? 6 /?
Ясно, что Н можно не указывать; достаточно ука-
зать само А/4 + Uо . Размерностью многообразия называется раз-
мерность Н
Выберем некоторое многообразиег размерностью п
(проходящее через Чс ) . Это многообразие называется простран-
ств ал пробных функций. Оно должно состоять из допустимых фун-
кций, т.е. функций вида и ~ иот и , н & . Выберем
также некоторое подпространство Н„ С Нд- той № самой
размерности, что иАУи+4/0. Приближённое решение будем искать
из требований:
а/ (я * е Н„ t^o
">/ Г«Д 2ГИ] - (£ для любого € Ну,
Справедливы теоремы, аналогичные тесремам А и 3.
Теорема Al. Пусть оператор х? , полученный из неод-
нородной задачи описанным выше способом, линейный, симметрич-
ный и положительно определённый, - обобщённое решение
полученное описанным выше способа.-!. Тогда - точка мини
- 64 -
мука функционала
на множестве функций ввда IAD + Н д ,
Теорема Б1, Пусть выполнены те же условия, что и в тео-
ремё Al, z/* - обобщённое решение, t/»* - приближение,
полученное описанным выше способом. Тогда
а/ } гГц! _ о для любого Н„
б///< ИU*-1У„Нд' для любого 2ГИ ё. Нh + о
Неравенство Пуанкаре.
Для доказательства положительной определённости различ-
ных операторов весьма полезно неравенство Пуанкаре или его
аналоги.
Летала (неравенство Пуанкаре,? . Пусть (X (т) непрерыв-
но дифференцируемая на отрезке 1^, ёЗ функция, U(a)—o
Тогда g ё
f (^'(x))Zcix^ (ё-а)2 J^Z^) с/х
а °
Доказательство. Заметим, что
и (-х) - (а) - fu'Csjc/s
Так как И (а) —О , то (^) ~
а
Покажем, что для любой йункции 2г~ ,
Х а х
J J Q
' а
- 65 -
Действительно, применяя неравенство Коши-Буняковского,
X 2 Л' X
( * J > J = («•-«) 5 тУг(^
п а &
Выпишем цепочку очевидных неравенств
« h х * г/ Х г \
ju2wc/x = J| J u'lsldbjdx. $ Jpc-aj fa'cs)) ctsjc/^
a a a c, °
Как легко видеть, отсюда неравенство Пуанкаре следует.
Литература,
I. А.Н.Калмогорсв, С .В .Фомин, Элементы теории функций и функци-
онального анализа, Москва, "Наука", 1972г.
2. Г.Стренг, Дж. Фикс, Теория метода конечных элементов,
Москва, "Мир", 1977 г.
3. Д.Нррри, К.де Фриз, Введение в метод конечных элементов,
Москва, "Мир", 1981г.
4. С.Г.Михлин, Вариационные методы в математической физике,
Москва, "Наука", 1370 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр
Введение 3
Лабораторная работа 1 5
Лабораторная работа 2 9
Лабораторная работа 3 25
Лабораторная работа 4 36
Лабораторная работа 5 41
Приложение 1 46
Приложение 2 47
Приложение 3 . 49
ТБ-02821 Заказ 1482 Объем 4,25 п. л. Тиражи 500
Подписано к печати 2.11.83 г.
Обнинская городская типография
Управления издательств, полиграфии и
книжной торговли Калужского облисполкома
г. Обнинск, ул. Комарова, 6.