/
Text
и.м. ДУБРОВСКИЙ
Б. В. ЕГОРОВ
К. П. РЯБОШАПКА
СПРАВОЧНИК
ОИЗИКЕ
АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
Институт металлофизики
И. М. ДУБРОВСКИЙ
Б. В. ЕГОРОВ
К, П. РЯБОШАПКА
СПРАВОЧНИК
ФИЗИКЕ
КИЕВ НАУКОВА ДУМКА 1986
22.3я2
Д79
УДК 53(083)
Кратко и доступно изложены понятия и законы физики, описаны
основные физические процессы и явления. Кроме материалов расши-
ренной программы по физике для средних учебных заведений включены
разделы из программы по общей физике для вузов. Отражены основ-
ные достижения современной физики. Изложены основы классиче-
ской и квантовой механики, теории относительности, термодинамики,
статистической физики, оптики, электродинамики, теории колебаний,
атомной и ядерной физики, а также квантовой теории твердых тел.
Использован математический аппарат в объеме программы средней
школы, включая элементы дифференциального и интегрального ис-
числения. Приведены таблицы основных физических величин и единиц
их измерений.
Для инженеров, конструкторов, научных работников, преподава-
телей и учащихся средних и высших учебных заведений, а также всех
желающих пополнить знания по физике.
Ответственный редактор Л. Н, Лариков
Рецензенты М. В, Белоус, Л. 3. Жмудский, В. Е, Кузьмичев,
\Б. П, Стасюк\
Редакция справочной литературы
1704000000-378
М221(04)-86
203-86
{(^Издательство «Наукова думка»,
1986
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ..........................................................9
Р а з д е л 1. Классическая механика ................................11
1.1, Что такое механика?......................................... 11
1.1.1. Предмет механики (11).— 1.1.2. Классическая, релятивистская и кван-
товая нерелятивистская механики, общая теория относительности (11).—
, 1.1.3. Основные разделы механики (12).
1.2. Кинематика классической механики................................12
1.2.1. Основные понятия (12).— 1.2.2. Равномерное и равнопеременное дви-
жение (13).— 1.2.3. Преобразования Галилея (15).— 1.2.4. Кинематика вра-
щения (16).
1.3. Динамика материальной точки.....................................17
1.3.1. Основные понятия динамики в классической механике (17).— 1.3.2. Ос-
новные законы динамики материальной точки (17).
1.4. Законы сохранения...............................................19
1.4.1. Закон сохранения энергии (19).— 1.4.2. Закон сохранения импульса
(20).— 1.4.3. Закон сохранения момента импульса (21).—1.4.4. Законы со-
хранения и симметрия (21).— 1.4.5. Решение задач динамики с помощью
законов сохранения (22).
1.5, Динамика систем материальных точек..............................23
1.5.1. Описание систем материальных точек. Обобщенные координаты (23).—
1.5.2. Обобщенные координаты абсолютно твердого тела (24).— 1.5.3. Урав-
нения Лагранжа (24).— 1.5.4. Обобщенные импульсы. Уравнения Гамиль-
тона (25).— 1.5.5. Возмущения. Устойчивость движения (25).
1.6. Динамика движения по окружности.................................27
1.6.1. Ньютоновское описание. Центробежная и центростремительная силы
(27).— 1.6.2. Уравнения Лагранжа для движения по окружности. Момент
инерции (27).
1.7. Закон всемирного тяготения и определяемые им движения . . 28
1.7.1. Закон всемирного тяготения (28).— 1.7.2. Поле тяготения. Напряжен-
ность поля. Гравитационный потенциал (29).— 1.7.3. Движения планет и
спутников. Законы Кеплера (29).
1.8. Динамика абсолютно твердого тела.............................. 32
1.8.1. Вращение твердого тела (32).— 1.8.2. Статика абсолютно твердого тела
(35).— 1.8.3. Простые механизмы (36).
1.9. Динамика материальной точки в неинерциальной системе отсчета 38
1.10. Элементы механики деформируемых твердых тел....................40
1,10.1. Напряжение и деформация (40).—1.10.2. Всестороннее сжатие (42).—
1.10.3. Диаграмма растяжения (43).— 1.10.4. Реология (44).— 1.10,5. Нару-
шения идеальной кристаллической решетки. Точечные дефекты (44).—
1.10.6, Линейные дефекты. Дислокации (46).— 1.10.7. Поверхностные и
объемные дефекты кристаллической решетки (47).— 1.10.8. Упрочнение ма-
териалов (48).— 1.10.9. Процессы релаксации (49).— 1.10.10. Ползучесть
материалов (50).— 1.10.11. Рекристаллизация (51).—1.10,12. Процессы воз-
врата (52).—1.10,13. Усталость материалов (52).—1.10.14. Разрушение (52).
3
1.11. Гидро- и аэродинамика....................................... 53
1.11.1. '-Приближение сплошной легкоподвижной среды (53).—1.11.2. Уравне-
ния движения сплошной среды (54).— 1.11.3. Ламинарное и турбулентное
течение (54).—1.11.4. Гидростатика (54).—1.11.5. Уравнение Бернулли
(56).—1.11.6. Гидродинамическое сопротивление (57).—1.11.7. Аэродинами-
ка (58).—1.11.8. Аэродинамическая и подъемная силы (58).
1.12. Динамика неконсервативного движения.........................« 59
1.12.1. Трение (59).— 1.12.2. Вязкость и турбулентность (60).
Раздел 2. Основы теории относительности ..............................62
2.1. Кинематика специальной теории относительности....................62
2.1.1. Ограниченность механики Ньютона (62).—2.1.2. Опыт Майкельсона
(62).—2.1.3. Постулаты Эйнштейна (64).—2.1.4. Четырехмерный интервал
(64).— 2.1.5. Преобразование Лоренца (65).—2.1.6. Длина и объем тела в
разных системах (66).— 2.1.7. Понятие об одновременности событий в тео-
рии относительности и длительность событий в разных системах (66).—
2.1.8. Закон сложения релятивистских скоростей (67).—2.1.9. Преобразова-
ние ускорений в релятивистской механике (63).
2.2. Релятивистская динамика..........................................68
2.2.1. Закон преобразования массы (68).— 2.2.2. Уравнения движения (69).—
2.2.3. Работа сил в релятивистской механике (70).—2.2.4. Релятивистское
соотношение между массой и энергией (70).—2.2.5. Эффект Доплера в
оптике (71).— 2.2.6. Релятивистское преобразование термодинамических ве-
личин (71).— 2.2.7. Релятивистская электродинамика (72).— 2.2.8. Краткие
сведения об общей теории относительности (72).
Р а з д е л 3. Квантовая механика ...... *........................«74
3.1. Физические основы квантовой механики..........................74
3.1.1. Явления, не объяснимые классической физикой (74).—3.1.2. Основные
отличия квантовой механики от классической (76).
3.2. Основные понятия квантовой механики...........................77
3.2.1. Операторы (77).—3.2.2. Описание состояния системы в квантовой ме-
ханике (78).
3.3. Вычисление волновой функции...................................81
3.3.1. Уравнение Шредингера (81).—3.3.2. Свободная частица (82).—3.3.3. Час-
тица в потенциальном ящике (84).—3.3.4. Квантовый гармонический осцил-
лятор (84).—3.3.5. Движение в центральном поле. Момент импульса (85).
3.4. Теория возмущений и квантовые переходы........................87
3.4.1. Возмущения, не зависящие от времени (87).—3.4.2. Возмущения, зави-
сящие от времени (88).—3.4.3. Квазистационарные состояния. Туннельный
эффект (89).—3.4.4. Теория рассеяния (90).
3.5. Заряженная частица в магнитном поле...........................92
3.6. Некоторые вопросы релятивистской квантовой теории .... 94
Раздел 4. Молекулярная физика и термодинамика
96
4.1. Основы молекулярно-кинетической теории ......................96
4.1.1. Основа и содержание молекулярной физики (96).—4,1.2. Атомы и мо-
лекулы (97).—4.1.3. Понятие о температуре (98).
4.2. Кинетическая теория идеальных газов .. 7 ....... 98
4,2.1. Модель идеального газа (98).—4.2.2. Параметры состояния газа: дав-
ление, объем и температура (99).—4.2.3. Основные уравнения кинетиче-
ской теории для давления и объема газа (99).—4.2.4. Закон Дальтона
(101).— 4.2.5. Распределение молекул по скоростям (101).—4.2.6. Распре-
деление молекул по энергиям и энергии по степеням свободы (103).—
4.2.7. Средняя длина свободного пробега (104).—4.2.8.Распредсление Больц-
мана (104).—4.2.9. Закон Больцмана — Максвелла (105).—4.2.10. Статисти-
ка Больцмана (106).—4.2.11. Кинетическое уравнение Больцмана (107).—
4.2.12. Уравнение Клапейрона — Менделеева состояния идеального газа
(108).—4.2.13. Газовые законы (108).
4
4.3. Реальные газы .................... ... ИЙ
4.3.1. Силы взаимодействия молекул (ПО).—4.3.2. Уравнение Ван-дер-Ваальса
(111).—4.3.3. Экспериментальные изотермы реальных газов (112).—4.3.4.
Критические параметры состояния (113).—4.3.5. Пересыщенный пар и пе-
регретая жидкость (114).—4.3.6. Определение постоянных уравнения Ван-
дер-Ваальса из экспериментальных данных (115).—4.3.7. Закон соответствен*
ных состояний (115).
4.4. Термодинамика..................................................116
4.4.1. Содержание и метод термодинамики (116).—4.4.2. Термодинамическое
равновесие (116).—4.4.3. Термостат и принцип температуры (117).—4.4.4. Из-
мерение температуры (117).— 4.4.5. Внутренняя энергия термодинамической
системы (119).—4.4.6. Количество теплоты и работа (119).— 4.4.7. Тепло-
обмен (119).—4.4.8. Единицы теплоты (120).—4.4.9. Теплоемкость (120).~г
4.4.10. Уравнение теплового баланса (121).—4.4.11. Первое начало (закон)
термодинамики (121).—4.4.12. Первое начало термодинамики для идеаль-
ных газов (122).—4.4.13. Адиабатические процессы (123).—4.4.14. Политро-
пический процесс (125).—4.4.15. Циклические процессы (125).—4.4.16. Вто-
рое начало (закон) термодинамики (127).— 4.4.17. Цикл Карно (127).—
4.4.18. КПД никла Карно (129).— 4.4.19. Холодильная машина (130).—
4.4.20. Энтропия (130).— 4.4.21. Свободная энергия (131).— 4.4.22. Соотно-
шения между термодинамическими параметрами и энтропией (132).— 4.4.23.
Энтропия и вероятность состояния системы (132).— 4.4.24. Теорема Пери-
ста (132).— 4.4.25. Флуктуации (133).— 4.4.26. Броуновское движение
(136).— 4.4.27. Термодинамические потенциалы (137).
4.5. Фазовые превращения ...........................................140
4.5.1. Фазы вещества (140).—4.5.2. Фазовые равновесия. Диаграммы состоя-
ний (141).— 4.5.3. Фазовые переходы и их. классификация (142).— 4.5.4.
Свойства фазового перехода первого рода (142).— 4.5.5. Правило фаз
(142).—4.5.6. Уравнение Клапейрона — Клаузиуса (143).—4.5.7. Химический
потенциал (143).—4.5.8. Свойства фазового перехода второго рода (145).—
4.5.9. Конденсация и парообразование (147).— 4.5.10. Зависимость темпера-
туры кипения от давления. Явление кавитации (149).— 4.5.11. Водяной пар
в атмосфере (150).— 4.5.12. Кристаллизация и плавление (151).
4.6. Жидкое состояние . . ...................,......................153
4.6.1. Строение жидкости (153).—4.6.2. Особенности строения и физических
свойств воды (155).— 4.6.3. Поверхностный слой жидкости (155).— 4.6.4.
Смачивание (157).—4.6.5. Капиллярные явления (157).—4.6.6. Адсорбция
и абсорбция (158).—4.6.7. Сверхтекучесть гелия (159).
4.7. Кристаллическое состояние .....................................161
4.7.1. Симметрия кристаллов (161).—4,7.2. Типы кристаллов (162).—4.7.3. Теп-
ловое расширение твердых тел (164).
4.8. Физическая кинетика............................................165
4.8.1. Неравновесные процессы (165).— 4.8.2. Уравнение теплопроводности
(166).— 4.8.3.Диффузия (167).— 4.8.4. Вязкость (внутреннее трение) (169).
4.9. Статистическая физика квантовых систем.........................170
4.9.1. Основные понятия (170).—4.9.2. Распределение Ферми — Дирака (171).—
4.9.3. Распределение Бозе — Эйнштейна (172).
Раздел 5. Колебания и волны 173
,5.1. Механические колебания ...................................... 173
5.1.1. Периодические движения (173).—5.1.2. Гармонические колебания (174).—
5.1.3. Сложение гармонических колебаний (176).— 5.1.4. Биения (177).—
5.1.5. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний
(178).—5.1.6. Математический маятник (179).—5.1.7. Физический маятник
(180).—5.1.8. Упругие колебания пружинного маятника (181).—5.1.9. Пре-
вращения энергии при гармонических колебаниях (181).— 5.1.10. Затухание
(182).—5.1.11. Вынужденные колебания (183).—5.1.12. Механический резо-
нанс (184).— 5.1.13. Использование резонанса в технике и методы предот-
вращения опасных его последствий (186).— 5.1.14. Автоколебания (186).—
5.1.15. Параметрический резонанс (187).
5.2. Волны в упругой среде......................................... 187
6.2.1. Распространение колебаний (187).— 5.2.2. Плоская монохроматическая
волна (189).— 5.2.3. Сферическая волна (191).— 5.2.4. Отражение и прелом-
ление волн (192).—5.2.5. Интерференция (192).—5.2.6. Стоячие волны
(193).— 5.2.7. Сложение двух когерентных волн (194).—5.2.8. Энергия
5
упругой волны (195).—5.2.9. Дифракция. Принцип Гюйгенса — Фрепеля
(197),—5.2.10. Рассеяние волн (197).—5.2.11. Дисперсия волн (198).—5.2.12.
Волновой пакет (199).—5.2.13. Волны в нелинейных средах. Солитоны
(201).—5.2.14. Поляризация (202).—5.2.15. Эффект Доплера (203).
5.3. Акустика . .................................204
5.3.1. Звуковые явления (204).— 5.3.2. Скорость распространения звука (204).—
5.3.3. Интенсивность (сила) и громкость звука (205).— 5.3.4. Отражение
звука (205).— 5.3,5. Поглощение звука (206).— 5.3.6. Музыкальная акустика
(206).— 5.3.7. Инфразвук (207).— 5.3.8. Ультразвуковые волны (207).—5.3.9.
Звуковые удары (208).—5.3.10. Щумы (209).— 5.3.11. Резонанс в акустике
(210).—5.3.12. Эффект Доплера в акустике (210).
5.4. Электромагнитные колебания ......................................211
5.4.1. Колебательный контур (211).—5.4.2. Электромагнитные волны (213).—
5.4.3. Основы квантовой теории электромагнитных колебаний (216).—5.4.4.
Принципы радиосвязи (217),
Р а з д е л G, Электродинамика . «.................*............220
6.1. Электростатика......................* *...................220
6.1.1. Электрические заряды. Закон Кулона (220).— 6.1.2. Электрическое поле.
Напряженность поля (223).— 6.1.3. Потенциал электрического поля (223).—
6.1.4. Теорема Остроградского — Гаусса. Электрическая индукция (225).—
6.1.5. Поле диполя. Взаимодействие диполей (227).— 6.1.6. Мультиполи
(229).— 6.1.7. Проводники в электрическом ноле (230).— 6.1.8. Электрическая
емкость. Конденсаторы (231).—6.1.9. Энергия электрического поля (234).
6.2. Диэлектрики.................................................. 235
6.2.1. Диэлектрическая проницаемость (235).—6.2.2. Поле в диэлектриках
(237).—Влияние формы диэлектрика па поле в нем (238).— 6.2.4. Сегнето-
электрики и пьезоэлектрики (240).
6.3. Постоянный электрический ток .................................. 243 ’
6.3.1. Электрический ток (243).— 6.3.2. Закон Ома. Сопротивление (245).—
6.3.3. Электродвижущая сила (246).— 6.3.4. Разветвление цепи. Правила
Кирхгофа (247).— 6.3.5. Квазистационарные токи (249).— 6.3.6. Работа и
мощность тока. Закон Джоуля — Ленца (250).
6.4. Электрический ток в электролитах и газах . ....................251
6.4.1. Проводимость электролитов. Диссоциация (251).— 6.4.2. Электролиз.
Законы Фарадея (252).— 6.4.3. Гальванические элементы (253).— 6,4.4. Элек-
трический ток в газах (254).— 6.4.5. Возникновение. самостоятельного
газового разряда (255).— 6.4.6. Виды самостоятельного разряда (255).—
6.4.7. Плазма (257).
6.5. Магнитное поле токов...........................................258
6.5.1. Вектор магнитной индукции (258).— 6.5.2. Закон Ампера (260).—6.5.3.
Магнитное поле, создаваемое токами. Закон Био — Савара (261).—6,5.4.
Теорема Остроградского — Гаусса. Магнитный поток (264).— 6.5,5. Магнит-
ный момент (265).— 6.5.6, Работа и энергия магнитного поля (266).— 6.5.7.
Монополь Дирака (267).
6.6. Магнитное поле в веществе......................................267
6.6.1. Намагничивание. Напряженность магнитного поля (267).— 6.6.2. Диа-
магнетики. Парамагнетики (269).— 6.6.3. Влияние формы тела на магнитное
поле внутри него (272).— 6.6.4. Магнитоупорядоченные вещества (273).—
6.6.5. Магнитные цепи (276).
6.7. Электромагнитная индукция......................................277
6.7.1. Основной закон электромагнитной индукции (277).— 6.7.2. ЭДС индук-
ции в покоящихся и движущихся проводниках (277).— 6.7.3. Самоиндук-
ция (278).— 6.7.4. Исчезновение и установление тока (279).—6.7.5. Взаим-
ная индукция (280).— 6.7.6. Энергия магнитного поля тока (281).— 6.7.7.
Электромагнитное поле (282).— 6.7.8. Переменный ток 7286).— 6,7.9. Работа
и мощность переменного тока (287).— 6.7.10. Емкостное и индуктивное со-
противления (287).— 6.7.11. Векторные диаграммы (289).— 6.7.12. Трансфер*
матор (291).—6.7.13, Скин-эффект (292).— 6,7.14. Трехфазный ток (293),
6
Раздел 7. Оптика ...............294
7.1. Фотометрия ...................................294
7.1.1. Природа света (294)7.1.2. Источники светового излучения (294).—
.7.1,3. Световой поток (295).— 7.1.4. Сила света (296).— 7.1.5. Освещенность
(296).—7.1.6. Светимость п яркость (297).— 7.1.7. Визуальные и объективные
фотометры (297).
7.2. Основные законы лучевой оптики....................................298
7.2.1. Прямолинейность распространения света (298).— 7.2.2. Закон независи-
мости световых лучей (299).— 7.2.3. Закон зеркального отражения света
(299).—7.2.4. Обратимость направления распространения световых лучей
(299).— 7.2.5. Изображение с помощью плоского зеркала (299).— 7.2.6. За-
коц проломления света (300).— 7.2.7. Полное внутреннее отражение (301).—
7.2.8. Прохождение луча в призме (302).— 7.2.9. Преломление лучей света
в плоскопараллельных пластинах (303).— 7.2.10. Принцип Ферма (303).—
7.2.11. Скорость света (304).
7.3. Приближения геометрической оптики и теория оптических
изображений ...................................................305
7.3.1. Предельный случай очень малых длин волн (уравнение эйконала)
(305).— 7.3.2. Основные понятия и определения (305).— 7.3.3. Центрирован-
ные оптические системы (306).— 7.3.4. Изображение малых предметов (309).
7.4. Тонкие линзы и оптические приборы.............................310
7.4,1. Линза (310).— 7.4,2. Построение изображения в топкой линзе (312).—
7.4. 3. Формула линзы (313).— 7.4.4. Оптические приборы (314).— 7.4.5. Глаз
кйк оптический прибор (315).—7.4.6. Лупа (317).—7.4.7, Микроскоп (318).
7,4. 8. Зрительные трубы и телескопы (319).— 7,4,9. Погрешности оптических
систем (319),
7.5. Интерференция света.......................* . ..................321
7.5.1. Свет как электромагнитные волны (321).—7.5.2. Общие сведения об ин-
терференции света (321).—7.5.3. Методы получения интерферирующих волн
(323).— 7.5.4. Интерференция двух монохроматических воли (324).— 7.5.5.
Интерференционные полосы в случае плоских воли (327).— 7.5.6. Влияние
размеров источника света на интерференционную картину (328).— 7.5.7. Ин-
терференция в пленках и пластинках (329).— 7.5.8. Полосы равного накло-
на и равной толщины (330).— 7.5.9. Кольца Ньютона (331).— 7. 5. 10. Мно-
голучевая интерференция (332).— 7.5.11. Эталон Фабри — Перо (335).—
7.5.12. Пластинка Люммера — Герке (337).— 7.5.13. Интерферометр Жаме-
,на (338).
7.6. Дифракция света..................................................339
7.6. J. Зоны Френеля (339).— 7.6.2. Дифракция Френеля от простейших
преград (341).—7.6.3. Дифракция Фраунгофера (343).— 7.6.4. Дифракцион-
ная решетка (344).— 7.6.5. Дифракция рентгеновских лучей (346).— 7.6.6.
Голография (318).— 7.6.7. Трехмерные голограммы в толстослойных эмуль-
сиях (351).
7.7. Поляризация света................................................351
7.7.1. Естественный и поляризованный свет (351).— 7.7.2. Поляризация при от-
ражении и преломлении (353).— 7.7.3. Двойное лучепреломление. Одноос-
ные и двуосные кристаллы (354).— 7.7.4. Анализ поляризованного света
(356).— 7,7.5. Интерференция поляризованных лучей (357).— 7.7.6. Двойное
лучепреломление в электрическом поле (357).— 7.7.7. Вращение плоскости
поляризации (359).
7.8. Взаимодействие световых воли с веществом.....................360
7.8.1. Дисперсия света (360).— 7.8.2. Спектральный анализ (361).— 7.8.3. Осно-
вы теории дисперсии света (362).— 7.8.4. Рассеяние света (361).— 7.8.5. Ком-
бинационное рассеяние света (365).
7.9. Законы теплового излучения....................................366
7.9,1. Испускательная и поглощательная способность (366).— 7.9.2. Абсолютно
черное тело. Закон Кирхгофа (366).— 7.9.3. Законы излучения абсолютно
чёрного тела (367).— 7.9.4. Недостаточность классической теории. Кванты
излучения (367).
7.10. Нелинейная оптика..............................................369
7.10.1. Среда с нелинейной поляризацией (369).— 7.10.2. Оптическое детектиро-
' вание и генерация вторых гармоник (370).— 7.10.3. Генерация воли с сум-
марной и разностной частотами (371).— 7.10.4. Излучения с плавно пере-
страиваемой частотой (371).—7,10.5, Самофокусировка (372).
7
Раздел 8. Атомная и ядёрная физика. Элементарные частицы . . 374
8.1. Строение атома.............................................. 374
8.1.1. Составные части атома и их свойства (374).—8.1.2. Атом водорода
(374).— 8.1.3. Описание периодической системы элементов Д. И. Менделеева
(375.—8.1.4. Химическая связь. Валентность. Обменное взаимодействие (376).
8.2. Излучение, поглощение и рассеяние электромагнитного излучения
атомами и молекулами...............................................378
8.2.1. Спектры излучения и поглощения света атомами (378).—8.2.2. Законо-
мерности в оптических спектрах атомов (378).— 8.2.3. Рентгеновские спектры
атомов (380).— 8.2.4. Молекулярные спектры (381).—8.2.5. Рассеяние света
атомами, молекулами и электронами (382).— 8.2.6. Вероятности излучения
и поглощения квантов. Правила отбора (383).— 8.2.7. Квантовые усилители
и генераторы электромагнитного излучения (385).
8.3. Излучение и поглощение электромагнитных волн в постоянных
электрическом и магнитном полях....................................387
8.3.1. Эффект Штарка (387).—8.3.2. Эффект Зеемана (387).—8.3.3. Электрон-
ный парамагнитный резонанс (388).— 8.3.4. Ядсрный магнитный резонанс
(388).—8.3.5. Тормозное излучение (389).— 8.3.6. Синхротронное излучение
(389).— 8.3.7. Эффект Вавилова — Черепкова (390).
8.4. Строение и свойства атомных ядер..............................390
8.4.1. Состав и основные характеристики ядер (390).— 8.4.2. Капельная модель
ядра (392).— 8.4.3. Коллективная модель ядра (393).—8.4.4. Оболочечная
модель ядра (393).
8.5. Ядерные превращения *.............................. . . . . 393
8,5.1. Радиоактивность (394).—8.5.2. Ядерные реакции (397).
8.6. Ядерная энергетика................................ J . . . . 400
8.6.1. Энергетические характеристики ядерпых реакций (400).— 8.6.2. Ядерные
реакторы (401).—8.6.3. Проблема термоядерной энергетики (403).—8.6.4.
Действия ядерных излучений (404).
8.7. Фундаментальные взаимодействия и элементарные частицы . . 406
8.7.1. Краткая история и современное состояние физики элементарных частиц
(406).— 8.7.2. Принципы теории фундаментальных взаимодействий (406).—
8.7.3. Элементарные частицы и их взаимодействия (409).
Р аз дел 9. Элементы квантовой теории твердых тел . . а « < .416
9.1. Атомные свойства........................................... 416
9.1.1. Тепловое движение. Фононы (416).—9.1.2. Теплоемкость твердых тел
(420).—9.1.3. Тепловое расширение и теплопроводность твердых тел (421).—
9.1.4. Влияние дефектов кристаллической решетки на свойства кристаллов
(423).— 9.1.5. Эффект Мессбауэра (425).— 9.1.6. Жидкие кристаллы (425).
9.2. Электронные состояния в кристаллах...........................426
9.2.1. Образование зон (426).— 9.2.2. Зонная структура изоляторов и полупро-
водников (429).—9.2.3. Проводимость собственных и легированных полупро-
водников (431).—9.2.4. Экситоны и поляроны (433).— 9.2.5. Электронно-
дырочные переходы (434).
9.3. Нормальные металлы......................................... 434
9.3.1. Поверхность Ферми (434).— 9.3.2. Электронная теплоемкость (436).— 9.3.3.
' Теплопроводность и электропроводность (436).— 9.3.4. Контактные и термо-
электрические явления (437).—9.3.5. Методы исследования поверхности Фер-
ми (439).— 9.3.6. Эмиссионные явления (441).
9.4. Сверхпроводимость и сверхпроводники..........................443
9.4.1. Возникновение сверхпроводимости (443).— 9.4.2. Магнитные свойства
(445).— 9.4.3. Эффект Джозефсона (447).
Приложение 1. Сведения по математике..............................449
Приложение 2. Единицы физических величин . . . ...................453
Приложение 3. Константы и значения некоторых физических величин 482
Список рекомендованной литературы...............*.................539
Предметный указатель .............................................542
ПРЕДИСЛОВИЕ
Знание физики необходимо широкому кругу специалистов, ра-
ботающих в разных областях естествознания и техники, как для при-
менения физических методов исследования, так и для более глубокого
изучения фундаментальных понятий и закономерностей природы.
Являясь одной из важнейших естественных наук, физика опреде-
ляет такие понятия, как пространство, время, движение и материя»
Используемые в ней точные экспериментальные методы дают возмож-
ность изучать количественные закономерности явлений, что доказы-
вает существование материальных объектов природы в подтверждение
научного материалистического мировоззрения. Достижения совре-
менной физики составляют естественнонаучную основу диалектического
материализма.
Фундаментальные законы, установленные в физике, и физические
методы исследования используются в других областях науки и техни-
ки. Открытие и изучение новых физических явлений приводит к созда-
нию новых технологий и определяет темпы равития научно-техниче-
ского прогресса.
Быстрое развитие многих разделов физики привело к появлению
новых понятий, терминов, теорий (например, лазерный термоядерный
Синтез, квантовая хромодинамика, солитоны, флуктуационная теория кри-
тических явлений), без освоения которых трудно следить за новейшими
научными достижениями.
Справочники по физике, выпущенные различными издательства-
ми, можно разделить на три группы. К первой можно отнести справоч-
ники, в которых изложено содержание физики в соответствии с про-
граммой средней школы и средних специальных учебных заведений,
ко второй — справочники для инженеров, научных работников и сту-
дентов вузов, написанные по программе вузов и университетов с ис-
пользованием в полном объеме аппарата высшей математики, и к
третьей группе — универсальные энциклопедические издания, в ко-
торых на высоком научном уровне изложены общие проблемы и спра-
вочные сведения по специальным вопросам физики.
Настоящий справочник предназначен в основном для научных
работников смежных с физикой специальностей (например, биологов,
химиков, геологов), инженерно-технических работников и учащихся
средних и специальных учебных заведений. В нем даны определения
основных физических понятий и величин, сформулированы физиче-
ские законы и раскрыта сущность описываемых ими явлений. Выводы
законов и соотношений между физическими величинами не приведены.
Особое внимание уделено физическому описанию практически важ-
ных процессов и явлений природы. Физика рассматривается кал
единая наука, все разделы которой взаимосвязаны, что способствуе1?
9
развитию у читателя широкого кругозора и более глубокому понима-
нию законов физики. В справочнике отражены важнейшие достижения
современной физики. Используемый математический аппарат вклю-
чает начала дифференциального и интегрального исчисления и в ос-
новном соответствует программе по математике для средних учебных
заведений. Некоторые дополнительные математические сведения даны
в приложении.
В конце справочника приведен список основных использованных
источников, которые можно рекомендовать для более глубокого само-
стоятельного изучения физики. Подробный предметный указатель по-
может читателю найти необходимые сведения.
Разделы «Классическая механика», «Квантовая механика» и «Атом-
ная и ядерная физика. Элементарные частицы» написаны И. М. Дуб-
ровским, разделы «Электродинамика», «Элементы квантовой теории
твердых тел» и «Электромагнитные колебания» в разделе «Колебания
и волны» написаны Б. В. Егоровым, разделы «Основы теории относи-
тельности», «Молекулярная физика и термодинамика», «Колебания
и волны», «Оптика», а также «Элементы механики деформируемых
твердых тел» и «Гидро- и аэродинамика» в разделе «Классическая ме-
ханика» написаны К. П. Рябошапкой.
В справочнике последовательно используется Международная
система единиц (СИ). В теоретических работах по физике допускается
применение системы единиц Гаусса (СГС), в которой электрическая
с0 и магнитная р0 постоянные являются безразмерными величинами,
причем для вакуума е0 = р0 = Г, что упрощает коэффициенты в неко-
торых формулах электростатики и электродинамики. Поэтому в разде-
лах, связанных с электродинамикой, формулы приведены в двух сис-
темах. В случае, если система единиц не указана, это означает, что
написание формул в обеих системах одинаково. В приложении приведе-
ны таблицы важнейших устаревших систем и соотношения между ними*
и единицами СИ. Эти таблицы могут быть использованы при чтении
не потерявших своей ценности книг по физике, изданных до введе-
ния СИ.
Авторы благодарны ответственному редактору доктору техниче-
ских наук Л. Н. Ларикову и рецензентам доктору техни-
ческих наук М. В. Белоусу, доктору физико-математических наук
А. 3. Жмудскому, доктору физико-математических наук В. Е. Кузь-
мичеву и |Б. П. Стасюку) за цепные замечания при подготовке’'руко-
писи справочника,
/С, П, Рябошапка
Раздел 1
КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
1.1. ЧТО ТАКОЕ МЕХАНИКА?
1. 1. 1. Предмет механики. Механика — раздел физики, изучаю-
щий механическое движение, т. е. изменение взаимного положения
тел в пространстве с течением времени, и обусловливающие его взаимо-
действия тел. Взаимодействия тел в механике считают заданными,
а описывающие их законы изучают в других разделах физики. Телом
в механике называют частицу вещества, веществом — вид материи,
обладающий массой покоя. Результаты механики и методы решения ее
задач основываются на нескольких основных законах и принятых допу-
щениях, которые являются обобщением и выражением опыта.
1. 1.2. Классическая, релятивистская и квантовая нерелятивистская
механики, общая теория относительности. Важнейшими допущени-
ями механики являются определения процедур измерений, т. е. по-
лучения количественных выражений расстояний, направлений в
пространстве и временных промежутков. В зависимости от природы
изучаемого движения и необходимой точности принимают различные
допущения о процедурах и возможностях измерений. Соответственно
этим допущениям различными оказываются основные понятия, зако-
ны и методы описания механического движения.
Классическую механику применяют, если точность изучения рас-
сматриваемого движения позволяет:
1) пренебрегать величиной о'Чс2 (у — средняя скорость рассмат-
риваемого движения, с — скорость света в вакууме) по сравнению
с единицей;
2) пренебрегать величиной (р/с2, где ср — среднее значение потен-
. циала гравитационного поля (см. 1.7), по сравнению с единицей;
3) считать произведение допустимой ошибки в измерении скорости
движения Аи на допустимую ошибку в измерении координаты Аг и
на массу тела значительно большим некоторой постоянной й, назы-
ваемой постоянной Планка.
При нарушении первого из этих условий применяют механику
специальной теории относительности, другими словами, релятивист-
скую механику, первого и второго условий — общую теорию относи-
тельности, иначе, теорию тяготения Эйнштейна, а при нарушении
третьего условия изучаемую систему описывают квантовой механикой.
Полностью не созданы релятивистская квантовая механика (наруше-
ние первого и третьего условий) и релятивистская квантовая теория
тяготения (нарушение трех условий).
Неклассические механики удовлетворяют принципу соответствия.
Это означает, что если в фундаментальном законе или любом следст-
вии из него неклассической механики устремить к нулю величины,
считающиеся в классической механике пренебрежимо малыми (и2/с2,
(р/с2, /i), то как предел получим соответствующие законы и следствия
классической механики.
11
Релятивистская механика применяется при расчетах ускорителей
элементарных частиц, а теория тяготения Эйнштейна — при некото-
рых астрофизических исследованиях. Квантовая механика необходи-
ма при изучении строения атома и атомного ядра, строения и многих
важных свойств твердых тел и жидкостей, свойств вещества при низ-
ких температурах, вопросов оптики, спектроскопии и др.
1. 1.3. Основные разделы механики. Механика делится на кине-
матику и динамику.
Кинематика описывает механическое движение, ие рассматривая
взаимодействия тел и приложенных к ним силовых полей. Вводят по-
нятия, характеризующие движение, принимают основные допущения Об
измерении величин, устанавливает соотношения между величинами,
описывающими движение, и классифицируют движения.
В динамике рассматривают влияние взаимодействия тел и дейст-
вия силовых полей на характеристики их механического движения,
выясняют причины движения тела определенным образом. Вводят по-
нятия, описывающие свойства тел и систем, существенные для их ме-
ханического движения. Основные законы динамики устанавливают
связь между величинами, являющимися количественной мерой этих
свойств, и кинематическими характеристиками движения. Выводят
также фундаментальные и общие следствия основных законов — зако-
ны сохранения. Практически важным подразделом динамики является
статика, в которой изучают состояние покоя тел, находящихся под
воздействием других тел и силовых полей.
1.2. КИНЕМАТИКА КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
1.2.1. Основные понятия. Движение какого-либо тела можно
представить как изменение его положения относительно другого, на-
зываемого телом отсчета, имеющего фиксированную точку, от ко-
торой отсчитываются все расстояния, и три выделенных фиксирован-
ных и ие лежащих в одной плоскости направления, относительно кото-
рых определяются направления в пространстве. Другими словами,
существенным свойством тела отсчета является возможность связать
с ним систему координат, которую вместе со способами согласован-
ного измерения промежутков времени в различных точках простран-
ства (так называемые синхронизированные часы), расстояний и углов
называют системой отсчета.
Положение каждой точки движущегося тела характеризуют ее
радиусом-вектором, проведенным из начала отсчета в эту точку. Непре-
рывную линию, описываемую концом радиуса-вектора точки тела при
его движении, называют траекторией этой точки.
Абсолютно твердым телом в механике называют тело, расстояние
между любыми двумя точками которого не изменяется в процессе дви-
жения и под действием сил. Это понятие применимо в тех случаях,
когда изменением размеров и формы тела можно пренебречь.
Если при движении абсолютно твердого тела прямая, соединяющая
любые две его точки, остается параллельной самой себе, то такое дви-
жение называют поступательным. При поступательном движении все
точки тела описывают одинаковые траектории, поэтому можно огра-
ничиться рассмотрением движения одной точки.
Если при движении абсолютно твердого тела прямая, проходящая
через какую-либо его точку, остается неподвижной, то такое дви-
жение называют вращением тела относительно этой прямой — оси
вращения. Любое движение тела в каждый момент можно представить
как сумму поступательного движения и вращения относительночоси,
12
которая может изменять свое положение относительно тела и системы
отсчета с течением времени.
Длину отрезка траектории, пройденного за промежуток времени
Л/, называют путем As, пройденным за это время.
Производную радиуса-вектора точки по времени называют ско-
ростью этой точки. Под производной г (/) по времени следует понимать
вектор, направление которого определяется пределом, к которому
стремится разность Аг = г (/2) — г (/х) при /2 — = А/ —> 0 (рис-1.1),
а. длина равна | Аг |/А/. Эквивалентное определение: производная
!•(/) по времени есть вектор, координаты которого суть производные
цо .времени от координат вектора г (/). Эквивалентное определение ско-
рости точки: скоростью называют вектор, направленный в каждой
точке траектории по касательной к ней и равный по величине произ-
водной пути по времени. Формулы
скорости v по определению:
Аг dr • Z1 1Ч
ds
v==dt
s.
(1.2)
Производную скорости по
времени называют ускорением:
Av dv
а = = Л
г. (1.3)
В Международной системе единиц (СИ) измеряют расстояние в метрах
(м), время в секундах (с), значит, единицей скорости является метр
в секунду (м/с), а единицей ускорения метр на секунду в квадрате
(м/с2).
Если известны зависимости ускорения или скорости от времени,
а также значения радиуса-вектора и скорости в некоторый момент
tlt то зависимости скорости, радиуса-вектора и пути от времени опре-
деляют с помощью интегральных формул
сг
v(/2) = v(/1) + J a (t)dt,
г (/2) = Г (Zj) + j v(t)dt,
t,
с2
s (Z2) = J v (0 di-
(1.4)
(1.5)
(1-6)
Под интегралом от вектора следует понимать вектор, координаты ко-
торого есть интегралы от соответствующих координат подынтеграль-
ного вектора.
1.2.2. Равномерное и равнопеременное движение. Если ускорение
точки во все моменты времени тождественно равно нулю, то скорость
ее движения постоянна по величине и направлению, а траектория
представляет собой прямую линию. Движение точки в этом случае
13
называют равномерным прямолинейным. Основные уравнения кинема*
тики для такого движения имеют вид
v = r^--r/^ , as0;
ti — ti
r(/2) = r(/1)+v(/2-/1);
S A J.
V = , s = v&t.
Если ускорение остается постоянным во времени, то движение
называют равнопеременным. При начальной скорости, коллинеарной
ускорению или равной нулю, движение называют прямолинейным рав-
ноускоренным, если направления скорости и ускорения совпадают,
и равнозамедленным, если они противоположны. Начальная скорость
и ускорение могут быть направлены под углом друг к другу, тогда
траектория движения будет параболической. Уравнения кинематики
для равнопеременного движения имеют вид
а = const,
v(/2) = v(/1)+a(/2^/1),
г (/2) = г (/,) + v (/,) (/2 — G) + а — >.
а для прямолинейного равнопеременного движения
S = V (tj) (t2 — tj) ± а ~~ Z1-.
Верхний знак соответствует равноускоренному, нижний — равноза-
медленному движению.
Рассмотрим движение тела, брошенного вблизи поверхности
Земли с начальной скоростью v (/г) под углом а к плоскости, перпен-
дикулярной направлению к центру Земли и называемой горизонталь*
ной. Сопротивление воздуха не учитываем. За начало системы отсчета
примем точку земной поверхности, с которой началось движение. За
ось Y возьмем вертикаль (направление к центру Земли), проходящую
через эту точку, а за ось X — линию пересечения плоскости, проходя*
щей через эту вертикаль и вектор скорости, с горизонтальной плос*
костью (рис. 1.2). Направление осей выберем так, чтобы обе коорди-
наты вектора скорости были положительны. Из закона всемирного
тяготения следует, что если тело движется под действием земного тя-
готения, не взаимодействуя с другими телами, причем его расстояние
от центра Земли не изменяется, то ускорение тела в каждой точке тра*
ектории постоянно и направлено к центру Земли. При перемещениях,
малых по вертикали и горизонтали по сравнению с радиусом Земли,
можно считать значение и направление ускорения постоянными, а
14
движение тела равнопеременным. Ускорение такого движения называ-
ют ускорением свободного падения и обозначают буквой g. Вблизи по-
верхности Земли g 9,8 м/с2. Применяя формулы равнопеременного
движения, находим, что вертикальная составляющая скорости изме-
няется от v (/х) sin а до —и (/х) sin а по формуле
vy (t) = V (/х) since — /J;
горизонтальная остается постоянной, координата у зависит от времен
ни квадратично, а координата х — линейно:
Z1)' + v (О sin «(* — ^i).
х — v (/х) cos a (t — / J;
траектория является параболой, максимальная высота подъема тела
над горизонтальной плоскостью, проходящей через начало пути, h
и дальность полета до падения на эту плоскость L выражаются форму-
лами
a, sin2 а sin 2а
h = —------, L = ---------- .
g
Чтобы ускорение было постоянным, значения h и L должны быть
значительно меньше радиуса Земли R (6,386 « 106 м). Это условие
выполняется, если начальная скорость у0 значительно меньше скорости
vlf равной К/Л (7,9 • 103 м/с). Скорость 7,9 • 103 м/с называют пер-
вой космической скоростью.
' 1.2.3. Преобразования Галилея.
В классической механике, принимают,
что расстояния и временные промежут-
ки между событиями можно измерять
с любой требуемой степенью точности,
причем независимо от системы отсчета,
относительно которой рассматривается
движение. Эти допущения предполага-
ют, что сообщение о каком-либо событии
может быть мгновенно передано в любую
как угодно отдаленную точку простран-
ства. Математическим выражением этих
допущений являются правила преобра-
зования кинематических величин при
переходе от одной системы отсчета к дру-
гой, которые называют преобразования-
ми Галилея.
Если известен зависящий от времени радиус-вектор i*j = гт (/)
точки относительно системы I, а система I имеет в начальный момент
радиус-вектор R относительно системы II и, кроме того, движется от-
носительно нее с постоянной скоростью V (рис. 1.3), то согласно пре-
образованиям Галилея радиус-вектор точки относительно системы II
в момент t определяется так:
Гц (О = ч(О + R-I-W-
При этом время в обеих системах отсчета течет одинаково, т. е. вре-
менные промежутки между любыми двумя событиями не зависят от
системы отсчета.
15
рой оси, то все его
Скорость точки относительно системы II определяют по закону
сложения скоростей Галилея:
vn(0 = Vj (/)+V,
Классическая механика не накладывает ограничений па скорость
движения материальных тел одного относительно другого, т. е. ско-
рость может быть сколь угодно велика. Если для скорости v отноше-
ние о*1с\ где с — скорость света в вакууме, превышает требуемую точ-
ность, то классическая механика неприменима.
1.2.4. Кинематика вращения. Если тело вращается вокруг некото-
точки описывают окружности с центрами, лежа-
щими на этой оси. При движении точки по
окружности ее ускорение можно разложить
на две составляющие по направлениям ра-
диуса окружности и ее касательной. Первая
(радиальная) составляющая направлена к
центру окружности, равна у2//?, где R ра-
диус окружности, и определяет изменение
направления скорости. Ее называют центро-
стремительным ускорением. Вторая состав-
ляющая определяет изменение скорости и за-
висит от динамических свойств системы. Ее
называют тангенциальным ускорением. Если
тангенциальное ускорение равно нулю, то
точка равномерно движется по окружности,
причем величины ее скорости и центростре-
мительного ускорения остаются постоянными,
а направления их непрерывно меняются.
Рассмотрим, например, какую скорость
необходимо придать телу в горизонтальной
плоскости, чтобы оно стало спутником Земли.
Если считать Землю сферой, то при движении
центром в центре Земли ускорение свободного па-
Рис. 1.4
по окружности с
дения будет постоянно по величине и направлено к центру окруж-
ности, т. е. может служить центростремительным ускорением. Для
этого необходимо, чтобы скорость в горизонтальной плоскости была
= УgR (первая космическая скорость).
Вращение тела удобно характеризовать углом поворота а прямой,
проведенной через произвольную его точку перпендикулярно оси
вращения. Угол поворота аналогичен пути поступательного движения»
Производная угла поворота по времени определяет угловую скорость
вращения
da
° = dt~ ~ а'
Угловая скорость — это вектор, направленный вдоль оси вращения
и связанный с направлением вращения правилом правого винта: если
вращать винт в направлении вращения тела, то его перемещение укажет
, направление угловой скорости. Другое, эквивалентное, правило:
если смотреть на вращение с конца вектора угловой скорости, то оно
будет совершаться против движения часовой стрелки (рис. 1.4).
Производная угловой скорости по времени определяет угловое
ускорение'.
> db)
*~Л1=Ю'
16
которое имеет две составляющие: по направлению угловой скорости
и’перпендикулярно ему. Первая определяет изменение величины угло-
вой скорости (вращательное ускорение), вторая —- направления (осе-
стремительное ускорение).
Основные уравнения кинематики вращения и поступательного дви-
жения подобны, поэтому в уравнениях (1.1)—(1.6) следует заменить
путь, скорость и ускорение на соответствующие угловые величины.
Если выбрать начало системы координат на оси вращения, то скорость
,любой точки вращающегося тела можно выразить через ее радиус-
вектор и угловую скорость тела:
v = [to>xr].
1.3. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
1.3.1. Основные понятия динамики в классической механике.
В динамике каждое тело характеризуют массой. С развитием физики
понятие массы тела, введенное первоначально для меры инертности,
приобрело более глубокое содержание. Масса — это физическая ве-
личина, которая является количественным выражением одного из
фундаментальных свойств материи. В классической механике вводят
. приближенные допущения: 1) масса тела является его свойством, не
зависящим ни от состояния движения тела, ни от его взаимодействия
с другими телами; 2) общая масса системы тел равна сумме масс состав-
ляющих ее тел. Эти допущения согласуются с экспериментом в клас-
сической и нерелятивистской квантовой механике, но нарушаются
в релятивистской. Методы измерения массы следуют из основных за-
конов динамики.
Немаловажную роль играют и другие характеристики тел, напри-
мер, размер, форма и их изменяемость при различных воздействиях.
Когда они несущественны, удобно ввести понятие материальной точ-
ки, т. е. объекта, лишенного размеров и формы, но имеющего массу.
Разбивая каждое тело мысленно на части, размерами которых препе-
. брегаем, можем представить тело как систему материальных точек.
Количественной мерой взаимодействия тел является сила. Сила
характеризуется значением, направлением и точкой приложения,
т. е. является вектором. Методы измерения ее также следуют из ос-
новных законов динамики. Тела могут взаимодействовать при непо-
средственном соприкосновении и через силовые поля. Силовое поле —
это область пространства, в каждой точке которой на тело действует
сила, зависящая от свойств тела. Силовое поле — проявление суще-
ствующего в этой области пространства физического поля. Поля наря-
ду с телами являются одним из основных объектов изучения физики.
В классической физике тела и поля являются объектами с существен-
но различными природой и свойствами. В квантовой механике состоя-
ние тела описывается полем его волновой функции, а в релятивистской
квантовой механике разделение изучаемых объектов на частицы и поля
не имеет смысла.
1.3.2. Основные законы динамики материальной точки. Вид
основных уравнений динамики зависит от системы отсчета, относитель-
но которой рассматривают движение. Поэтому в первую очередь необ-
ходимо определить систему или класс систем, относительно которых
формулируют законы динамики. Этот класс систем, называемых инер-
циальными системами, £ШДО£1ШДуется с леДУю щи м свойством.
В инерциальной снст1:\^от^ч£;£}л^э^
покоя или равномерного йбка-паа него не
подействует какая-либо к .
! Ар«. Ч;—I 17
Это определение инерциальной системьГназывают законом инерции
или первым законом Ньютона.
Принципом относительности Галилея называют утверждение,
что все законы механики не изменяют своего вида при переходе от
одной системы отсчета к другой, которая движется относительно пер-
вой равномерно прямолинейно. Из принципа относительности Галилея
следует, что если имеется одна инерциальная система, то любая си-
стема, движущаяся относительно нее равномерно и прямолинейно,
также будет инерциальной. Вопрос о том, какая система является
инерциальной, решается на основании опыта и зависит от рассмат-
риваемой задачи. Например, во многих случаях можно считать инер-
циальной, т. е. такой, в которой в пределах заданной точности выпол-
няется закон инерции, систему, связанную с Землей, хотя наиболее
соответствует требованию инерциальности система, связанная с непод-
вижными звездами, относительно которой Земля вращается вокруг
своей оси и вокруг Солнца, т. е. движется неравномерно и непрямо-
линейно.
Существует несколько видов основных уравнений динамики. Они
эквивалентны и различаются способами описания изучаемой системы.
Выбор того или иного вида определяется соображениями удобства.
В формулировке Ньютона (остальные см. в 1.5) система описыва-
ется путем определения масс входящих в нее материальных точек и
действующих на них сил, которые могут зависеть от положения этих
точек в пространстве и от времени. Кроме того, необходимо знать на-
чальные условия, т. е. положения и скорости всех материальных точек
в начальный момент времени.
Основное уравнение динамики (его также называют уравнением
Ньютона) формулируется во втором законе Ньютока: ускорение, ко-
торое приобретает материальная точка массой т под действием силы
F, прямо пропорционально силе и обратно пропорционально массе
точки:
a = r = —F. (1.7)
т
Таким образом, основные уравнения динамики материальной точки
представляют собой систему трех дифференциальных- уравнений вто-
рого порядка относительно координат искомого радиуса-вектора
г (/). Действующая сила в общем случае сама зависит от положения
точки и времени: F = F (г, /).
Второй закон Ньютона еще не позволяет определить процедуру
измерения массы и силы, так как в его три уравнения входят четыре
неопределенные величины: три компоненты силы и масса. Необходимое
дополнительное соотношение дает третий закон Ньютона: при вза-
имодействии двух тел силы, действующие на них, равны по величине
и противоположны по направлению.
Измеряя ускорения, полученные телами при взаимодействии,
можно получить отношение их масс, т. е. сравнивать любую массу
с эталонной, называемой килограммом (кг). Измеряя ускорения, при-
даваемые одной и той же массе различными силами, можно измерить
силы. Таким образом, система трех законов Ньютона позволяет опре-
делить все входящие в них. некинематические величины, поэтому яв-
ляется замкнутой и полной. За единицу силы принят ньютон (Н) —
сила, которая массе 1 кг придает ускорение 1 м/с2 (1 Н ~ 1 кг • м/с2).
На практике для измерения сил используют динамометры, прин-
цип работы которых основан на свойстве пружин удлиняться под дей-
ствием одинаковых сил на одну илу же величину. Массу тела опреде-
ляют обычно по силе притяжения его Землей,
18
1.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
1.4.1. Закон сохранения энергии. Мощностью, развиваемой си-
лой F при движении со скоростью v материальной точки, на которую
эта сила действует, называют скалярное произведение векторов силы
и скорости:
/V = (F . v) == Fv cos а, (1.8)
где а — угол между векторами F и V»
Работой силы F за время А/ = t2 — или на пути As = s (/2) —
— s (У называют интеграл от мощности по времени на промежутке
Ui>
Л2
А = \ N dt=\ F • vdt.
fi ft
Когда точка движется прямолинейно, а сила направлена под углом
а к направлению движения, работа силы F на пути As определяется
формулой А = F As cos а.
Кинетическую энергию материальной точки массой т, движущейся
со скоростью vf находят так:
2
Из уравнения Ньютона следует, что изменение кинетической энергии
материальной точки за время А/ равно работе сил, действующих на нее
за это время:
ту* (<t) = j* F v dt p 9)
it
Кинетическая энергия, мощность и работа различны в разных инер-
циальных системах, движущихся одна относительно другой, но урав-
нение (1.9) не зависит от системы отсчета.
Силовое поле называют потенциальным, если при обходе телом
любого замкнутого пути в этом поле работа его сил равна нулю. Во
многих важных случаях силовые поля в физике являются потенциаль-
ными. Для потенциального поля можно ввести потенциал ср (г) —
функцию радиуса-вектора, частные производные которой по его коор-
динатам, взятые в дайной точке г0, пропорциональны соответствующим
координатам вектора силы в той же точке:
/?х(го) = -/г^Р|г==Г(1 ’ |r=r„’ /7г('-о) = -*^|г=г;
Коэффициент пропорциональности k определяется свойствами того
тела, на которое действует поле (массой, электрическим зарядом и
т. п.).
Невозможно определить процедуру измерения абсолютной вели-
чины потенциала силового поля в данной точке. Измерению подда-
ются только сила действия поля на тело и разность потенциалов в двух
различных точках, а эти величины не изменятся, если к потенциалу
силового поля прибавить не зависящую от координат произвольную
величину, поэтому величина потенциала не имеет физического
смысла» Неопределенность потенциала устраняют, задав некоторое
19
значение его в любой точке. Это произвольное значение не появляется
в результатах, которые могут быть непосредственно измерены.
Если тело находится под действием потенциального поля, то оно
имеет потенциальную энергию U — k<p (г). Для этого случая соот-
ношение (1.9) принимает вид
Формулы (1.10) выражают закон сохранения механической энергии'.
сумма кинетической и потенциальной энергий тела сохраняется при
его механическом движении.
Кинетическая и потенциальная энергии тела различны по своей
природе: потенциальная характеризует действие поля на тело и опре-
деляется положением тела относительно поля, а кинетическая явля-
ется количественной мерой механического движения. Закон сохране-
ния механической энергии утверждает, что эти два физических явления
(действие поля на тело и их механическое движение одного относитель-
но другого) связаны так, что сумма их определенных количественных
характеристик сохраняется, т. е. соответствующие величины превра-
щаются одна в другую без потерь, если при этом не происходит ника-
ких других процессов, кроме механического движения. Это частный
случай фундаментального закона природы — закона сохранения и
превращения энергии. Практически невозможно учесть все процессы
и взаимодействия, происходящие в рассматриваемохм явлении. При
заданной точности пренебрегают процессами, в которых превращения
энергии малы по сравнению с другими, выделяемыми как основные.
Кинетическая энергия системы материальных точек, отнесенных
к одной и той же системе отсчета, равна сумме их кинетических энер-
гий, т. е. аддитивна. Потенциальная энергия может быть гравитацион-
ной, связанной с взаимодействием тел по закону всемирного тяготе-
ния; электростатической, свойственной взаимодействию электрически
заряженных тел; упругой, обусловленной деформацией упругих тел.
В каждом конкретном случае ее вид устанавливается из теории соот-
ветствующего взаимодействия или определяется экспериментально.
Энергию измеряют в джоулях (Дж), 1 Дж = И • м.
1.4.2. Закон сохранения импульса. Импульсом материальной
точки р называют произведение ее массы на скорость
р = mv.
Импульсом силы Q, действующей на материальную точку, за
время А/ = /2 — h называют интеграл от этой силы по времени в пре-
делах от до
с2
Q == I F dt.
При этом сила может изменяться во времени вследствие как зависи-
мости от времени силового поля, так и перемещения материальной точ-
ки в поле, зависящем от координат. Из уравнения Ньютона следует,
что
Др = р (/2) — р (/,) = J Fdt. (1.11)
h
20
Импульс системы материальных точек, отнесенных к одной системе
отсчета, равен векторной сумме их импульсов, т. е. является адди-
тивной величиной.
Замкнутой системой называют конечную систему тел и полей,
которые взаимодействуют только между собой. Практически замкну-
тая система реализуется такой системой тел и полей, для которой все
внешние воздействия пренебрежимо малы по сравнению с их взаимо-
действием при заданной точности. Из соотношения (1.11) и третьего
закона Ньютона следует закон сохранения импульса: импульс замкну-
той системы тел не изменяется, какие бы движения в ней ни происхо-
дили. Этот закон является частным случаем фундаментального закона
сохранения импульса, для формулировки которого необходимо ввести
понятие импульса поля, выходящее за рамки классической механики.
1.4.3. Закон сохранения момента импульса. Моментом импульса,
или просто моментом, материальной точки относительно неподвиж-
ной точки (полюса) называют вектор L, равный векторному произведе-
нию радиуса-вектора, проведенного из полюса в место нахождения ма-
териальной точки, на ее импульс:
L = [r X р].
Момент импульса системы точек относительно одного и того же полюса
равен геометрической сумме моментов отдельных точек, т. е. величина
аддитивная.
Моментом силы F относительно полюса называют вектор М, равный
векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы г
на вектор силы: М = [г X F]. Из второго закона Ньютона следует, что
для материальной точки
Л м
(1-12)
Из третьего закона Ньютона и соотношения (1.12) следует закон
сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы
тел остается неизменным, какие бы движения в ней ни происходили.
Этот закон является частным случаем фундаментального закона со-
хранения момента импульса.
1.4.4. Законы сохранения и симметрия. Существует общая зако-
номерность: всякая симметрия рассматриваемого явления, т. е. инва-
риантность (неизменность) всех описывающих его уравнений относи-
тельно некоторого преобразования входящих в него величин, при-
водит к существованию определенной сохраняющейся количественной
характеристики этого явления.
Закон сохранения энергии обусловлен однородностью времени,
т. е. инвариантностью уравнений движения замкнутой системы мате-
риальных точек, находящейся под действием потенциального, не за-
висящего от времени силового поля, относительно переноса начала от*
счета времени.
Закон сохранения импульса для замкнутой системы связан с од-
нородностью пространства, т. е. с инвариантностью уравнений дви-
жения замкнутой системы относительно переноса ее как целого в дру-
гую область пространства, при условии, что и там она остается
замкнутой.
Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы обус-
ловлен изотропностью пространства, т. е. инвариантностью ее урав-
нений движения относительно поворота системы как целого.
Если пространство неоднородно, т. е. существует поле, изменяю-
щееся от точки к точке, но сохраняющее однородность по отношению
21
к переносу системы вдоль одного направления или вдоль любого на-
правления в какой-либо плоскости, то будут сохраняться проекции
импульса на это направление или плоскость.
Аналогично сохраняются соответствующие проекции момента
импульса, если уравнения движения инвариантны относительно по-
воротов вокруг одной или двух взаимно перпендикулярных осей.
1.4.5. Решение задач динамики с помощью законов сохранения.
Законы сохранения часто позволяют получать необходимые результаты
без выяснения деталей взаимодействия, которые могут быть весьма
сложными. Для примера рассмотрим две важные задачи динамики:
столкновение тел и реактивное движение.
Пусть два тела, размерами и формой которых можно пренебречь,
до и после столкновения движутся вдоль одной и той же линии (так
называемый прямой центральный удар). Массы тел и их скорости до
столкновения соответственно т19 т2 и vn v2. Случаи столкновения раз-
личаются долей механической энергии, которая переходит в другие
виды, например в тепловую. Максимально возможное превращение
энергии происходит при абсолютно неупругом ударе. При этом после
соударения тела «слипаются» и движутся как целое, а их скорость
и кинетическая энергия определяются законом сохранения им-
пульса.
Если скорость соединенных тел после соударения обозначим через
и, то из указанного закона получим
ц ... W1V1 + -l-jJv2 ,
«11+ «2
откуда легко находим количество кинетической энергии, перешедшей
в другие виды:
miui Z222u2 (тг + т2) п2 трп2 .
= — + “2------------------------2--------= (V1 ~ ’
не зная ни этих видов энергии, ни взаимодействия, которое привело
к ее превращению.
При абсолютно упругом ударе соблюдаются законы сохранения
импульса, и механической энергии. Поэтому, приравнивая соответ-
ствующие выражения для суммы импульсов и суммы кинетических
энергий тел до и после удара, получаем два уравнения для двух неиз-
вестных и и2 (скоростей тел после удара):
(тт —/722) vt + 2/?22v2 u = (т2 — тх) у2-\-2т1У1
/72-j—т2 * 2 т^ -j- т2
Рассмотрим движение ракеты, на которую не действуют внешние
силы. Начальная скорость ее равна нулю, а скорость истечения струи
из сопла относительно ракеты постоянна. Масса ракеты изменяется по
известному закону т (/) от начального значения /тг0. Закон сохранения
импульса для двух близких моментов времени t± и /2 имеет вид
/72 (/1) у (^ = /72 (/2) (у (/1) + Ау) + Ат(у (/,) — и). (1J3)
Здесь Ат — масса горючего и окислителя, превращенных в струю
продуктов сгорания за время А/ = /2 — v (/J — и — скорость этой
массы относительно точки старта. При вычислении импульса массы
пренебрегают тем, что скорости ракеты и продуктов сгорания измени -
лись за время А/ на одну и ту же величину Ау, т. е. от б расывают вели-
22
чину порядка произведения ДгпДо, пропорциональную (А/)*, Разде-
лив уравнение (1.13) на Д/0, получим уравнение Мещерского
dv dm
mdi^~U~dt ’
проинтегрировав которое по времени, найдем выражение для скорости,
т.е. формулу Циолковского
1 т (i)
V ~ —- и 1п —— .
т0
1.5. ДИНАМИКА СИСТЕМ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
1.5.1. Описание систем материальных точек. Обобщенные коор-
динаты. Под системой материальных точек понимают тело или сово-
купность тел, так как мысленно всегда можно разделить тело па малые
объемы, размерами и формой которых можно пренебречь.
Физическое пространство трехмерно. Это означает, что в нем могут
быть заданы три вектора так, что никакая их линейная комбинация
не обращается в нуль, однако для четырех векторов это невозможно,
т. е. четвертый линейно выражается через остальные три, если они ли-
нейно независимы. Поэтому всякое перемещение материальной точки
можно представить в виде векторной суммы трех его проекций на коор-
динатные оси системы отсчета. Если материальная точка может совер-
шать произвольные движения, то эти проекции не зависят одна от
другой. Могут существовать физические условия, которые математи-
чески описываются равенствами, связывающими между собой проек-
ции возможных перемещений или их модули. Такие условия назы-
вают связями. Количество независимых проекций при этом уменьша-
ется. Для одного равенства их остается две, для системы двух совмест-
ных и несводимых одного к другому равенств—одна.
Количеством степеней свободы системы называют число независи-
мых проекций возможных перемещений составляющих ее материаль-
ных точек. Например, система двух точек имеет шесть степеней свобо-
ды, а при фиксированном расстоянии между ними — пять. Система N
материальных точек с п совместными и несводимыми одно к другому
равенствами, связывающими их координаты в любой момент времени,
имеет 3N — п степени свободы.
Равенства, ограничивающие количество степеней свободы систе-
мы, являются математическим выражением физических условий дви-
жения. При моделировании этих условий абстрагируются от некото-
рых свойств физических тел, определяющих эти условия. Связи счи-
тают абсолютно жесткими, т. е. предполагают, что они действуют на
материальную точку, чье движение они ограничивают, с силой доста-
точной, чтобы обусловить наблюдаемое движение. Такие силы назы-
вают реакциями связи. Силы реакции связи не следуют из физических
свойств связи и не включаются в описание динамических свойств сис-
темы. Их определяют из уравнений динамики по известным силам,
массам и ускорениям, которые определяются кинематикой системы.
Например, для тела, катящегося по наклонной плоскости, последняя
является связью. Сила реакции наклонной плоскости должна уравно-
вешивать перпендикулярную этой плоскости составляющую веса тела.
В практических задачах определяют такие силы для обеспечения не-
обходимой прочности реальных связей.
Описание систем большого числа материальных точек с большим
числом связей между ними с помощью координат отдельных материаль-
ных точек может оказаться неудобным. В этом случае рассматривают
23
все реально возможные движения системы при учете связей и вводят
описывающие их обобщенные координаты. Например, для пули в
стволе таковыми могут служить расстояниекакой-либо ее точки от
начала ствола и угол поворота некоторой связанной с ней прямой,
перпендикулярной оси ствола, относительно фиксированного направ-
ления в плоскости, перпендикулярной этой оси. Обобщенные коор-
динаты должны полностью описывать любое движение системы. Для
этого необходимо, чтобы число их равнялось числу степеней свободы
системы и каждая из координат была независимой, т. е. не выража-
лась через другие.
1.5.2. Обобщенные координаты абсолютно твердого тела. Абсолютно
твердое тело произвольных размеров и формы без внешних свя-
зей имеет шесть степеней свободы. Его движение можно представить
как сумму поступательных дви-
жений вдоль трех взаимно перпен-
дикулярных осей и вращений во-
круг этих осей.Соответственно для
описания движения твердого тела
вводят шесть обобщенных коор-
динат: три координаты радиуса-
вектора центра масс и три угла
Эйлера.
Центром масс (центром инер-
ции, центром тяжести) системы
материальных точек называют
точку С, радиус-вектор которой
vqопределяется по формуле
Рис. 1.5
Здесь i — номер материальной точки. Координаты центра масс яв-
ляются удобными обобщенными координатами не только для абсолют-
но твердого тела, но и для других систем. Импульс системы материаль-
ных точек равен произведению суммы масс на скорость центра.
Углы Эйлера определяют три последовательных поворота, совме-
щающих декартову прямоугольную систему координат XYZ, имеющую
начало в центре масс и жестко связанную с телом, с системой X'Y'Z',
начало которой совпадает с началом предыдущей, а оси параллельны
осям системы отсчета (рис. 1.5). Указанные повороты обозначают угла-
ми: а— вокруг оси Z до совмещения оси Y с линией ML пересечения
плоскостей,содержащих оси X, Y и X', Y'\ Р — вокруг нового направ-
ления оси Y до совмещения этих плоскостей; у — вокруг нового на-
правления оси Z ro совмещения осей Y и Y'.
Г.5.3. Уравнения Лагранжа. Система материальных точек со-
вершает механическое движение, если какие-либо ее точки изменяют
свое положение относительно системы отсчета. В этом случае обобщен-
ные координаты являются функциями времени, а их производные по
времени называют обобщенными скоростями системы материальных
точек.
Если в качестве кинематических переменных, описывающих дви-
жение, выбрать обобщенные координаты и скорости, то динамические
свойства системы описывают функцией Лагранжа или лагранжианом»
Лагранжианом системы называют разность ее кинетической и потен-
циальной энергий, представленных как функции ее обобщенных коор-
динат й скоростей. Лагранжево описание системы эквивалентно нью-
24
ооновскому с помощью координат и скоростей, составляющих систему
материальных точек, и задания их масс и сил, действующих на них,
а также наложенных на них связей. Пределы применимости обоих
описаний совпадают, и выбор определяется соображениями удоб-
ства при решении конкретных задач. Лагранжево описание удобнее
для систем с большим числом связей, так как оно дает возможность
уменьшить количество рассматриваемых уравнений.
Если функция Лагранжа L (qlt ..., qN, q19 q2, ...., qN) задана,
то основные уравнения динамики (уравнения Лагранжа) имеют вид
6L 0/1
— =0, I = 1
JV,
А
dt \<Ч;
где N — число степеней свободы системы. Число уравнений Лагранжа
равно количеству степеней свободы системы. Если связи отсутствуют,
то в качестве обобщенных координат могут быть выбраны декартовы
координаты точек, составляющих систему. В этом случае уравнения
Лагранжа приобретают вид уравнений Ньютона.
1.5.4. Обобщенные импульсы. Уравнения Гамильтона. Обобщен-
ным импульсом р{ называют частную производную лагранжиана по
соответствующей обобщенной скорости qy.
dL
dqi
(1.14)
Обобщенные импульсы могут служить кинематическими перемен-
ными, через них выражаются обобщенные скорости с помощью урав-
нений (1.14). Динамические свойства системы в этом случае описы-
ваются ее функцией Гамильтона, или гамильтонианом. Гамильтони-
ан — это выражение полной энергии системы (суммы кинетической
и потенциальной) через обобщенные импульсы и координаты. Если
это выражение известно, т. е. задано в виде функции Н (р1? р2, ...
pN\ ^2» •••> то основные уравнения динамики, уравнения Гамиль-
тона, имеют вид
дН • дН . '
q, = ъ” , Pi = — » 1 = 1> ••• >
‘ др{' 'L dqt’
Здесь i — то же, что в уравнениях Лагранжа. Уравнения Гамильтона
являются системой 2/V уравнений первой степени относительно неиз-
вестных функций q. (/) и р (/). Гамильтонова формулировка механики
эквивалентна формулировкам Ньютона и Лагранжа.
1.5.5. Возмущения. Устойчивость движения. Во многих практи-
чески важных случаях гамильтониан системы можно представить
в виде двух слагаемых: основного, по простого, т. е. приводящего
к легко разрешимой системе уравнений (его часто называют нулевым
и обозначают //0), и более сложного, но по каким-либо физическим
причинам при всех значениях аргументов гораздо меньшего, чем ос-
новное, называемого возмущением. Уравнения динамики такой систе-
мы решаются методом последовательных приближений, начиная с ре-
шения для системы, описываемой нулевым гамильтонианом. Другим
видом возмущения является малое изменение начальных условий,
т. е. координат и импульсов системы (координат и скоростей, если при-
меняют лагранжево описание) в начальный момент времени, необхо-
димы^ для полной формулировки задачи динамики. При формулировке
зад^ч, касающихся реальных систем, всегда пренебрегают какими-’
25
либо слабыми воздействиями (например, притяжением отдаленных
звезд) и неизбежной неточностью в измерении начальных условий,
т. е. некоторыми возмущениями, считая их малыми.
Малость возмущения не является достаточным условием того,
что траектория возмущенной системы будет всюду близка к траектории
невозмущенной, т. е. что применим метод последовательных прибли-
жений (метод теории возмущений). Траектории, соответствующие
определенным начальным условиям, для которых этот метод неприме-
ним,так как малое возмущение вызывает большое изменение траекто-
рии, называют неустойчивыми. Например, для притягивающегося
к Земле шарика, катящегося по горизонтальной площадке ограничен-
ных размеров без бортиков, любая траектория, проходящая по краю
площадки, будет неустойчивой.
Фазовым пространством системы, имеющей N степеней свободы,
в котором выбрана декартова сис-
тема координат. По осям системы
откладываются значения коорди-
нат и импульсов системы. При
N — 1 фазовым пространством яв-
ляется плоскость с прямоуголь-
ной декартовой системой коорди-
нат, осью абсцисс которой служит
координата системы, а осью орди-
нат — ее импульс (рис. 1.6).
Решение уравнений Гамиль-
тона (ql (/), W) параметрически
задает кривую в фазовом прост-
ранстве, которую называют фа*
зовой траекторией системы. Для
называют 2М-мерное пространство,
Рис. 1.6
движущейся равномерно системы с одной степенью свободы фазовой
траекторией будет прямая линия, параллельная оси абсцисс, а движу-
щейся равноускоренно — парабола (см. рис. 1.6). Движение сис-
темы называют финитным, если ее фазовая траектория с течением
времени остается внутри ограниченного замкнутого объема в фазо-
вом пространстве. При периодическом финитном движении фазовая
траектория представляет собой замкнутую кривую (см. рис. 1.6),
а при устойчивом обладает тем свойством, что любая достаточно
близкая к ней траектория той же системы (т. е. соответствующая воз-
мущению начальных условий, а не гамильтониана) остается с тече-
нием времени близкой к ней.
Существуют совершающие финитное движение системы, где все
траектории, будучи близки в какой-то момент времени, расходятся
затем на любое расстояние, ограниченное лишь объемом фазового про-
странства, в котором находится траектория системы. Динамика
таких систем называется хаотической. К ним относятся, как
правило, системы с очень большим числом степеней свободы,
например 1023 (количество молекул в 1 см3 газа), а также некоторые
системы с несколькими степенями свободы. Для таких систем механи-
ческое описание неадекватно, так как не дает возможности по измерен-
ным значениям переменных в любой момент времени найти их
предыдущие и последующие значения. Определение количественных
характеристик, адекватно описывающих состояние таких систем
и связывающих их законов, рассматривается в статистической меха-
нике.
Если в фазовом пространстве невозможно выделить конечный
объем, который содержал бы всю траекторию, то такое движение на*
зывают инфинитным*
26
1.6. ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ ПО ОКРУЖНОСТИ
1.6.1. Ньютоновское описание. Центробежная и центростремитель-
ная силы. Если для материальной точки существует связь, не
позволяющая ей удалиться на расстояние, большее чем /?, от центра
вращения, то она движется по окружности.
Центростремительной силой называют силу Frt, создающую
центростремительное ускорение ап = ц2/7?, необходимое для того,
чтобы материальная точка массой т двигалась по окружности радиу-
сом R со скоростью V. В соответствии со вторым законом Ньютона
С такой силой должна действовать на точку связь, если на нее не
действует внешняя сила, имеющая радиальную составляющую. Рав-
ная центростремительной силе и противо-
положно ей направленная сила, с которой
точка согласно третьему закону Ньютона
действует на связь, называется центробеж-
ной силой. Центростремительная сила —
характерный пример сил реакции связи.
Рассмотрим пример. Гиря массой т
вращается на веревке длиной R в верти-
кальной плоскости. Определим силу натя-
жения веревки. Выберем систему отсчета
в плоскости движения с центром в центре
окружности-траектории и осью /V, направ-
ленной горизонтально (рис. 1.7). Обозна-
чим силу тяготения через F, искомую силу
реакции связи через Q. Последняя всегда
направлена по линии связи. За положительное направление для нее
выберем направление к центру. Уравнения Ньютона имеют вид
тх — — Q cos а,
ту — F — Q sin а.
Умножая первое уравнение на cos а, второе на sin а и складывая их,
получаем
т (х cos а -ф- у sin а) — F sin а — Q,
Здесь х cos а + у sin а — составляющая ускорения, направленная
к центру и равная центростремительному ускорению ап ~ v2/R. От-
сюда
г . то2
Q = Г sin а-------.
IX
1.6.2. Уравнения Лагранжа для движения по окружности. Мо-
мент инерции. В качестве обобщенной координаты материальной
точки, движущейся по окружности, выбирают угол поворота ее ради-
уса-вектора относительно осн системы отсчета, начало которой ле-
жит в центре окружности. Кинетическая энергия точки массой т,
движущейся по окружности со скоростью и, определяется по формуле
_ mv2 __ mR2(o2 __mR2a2
~ 2 ~~~ ~~~
27
Моментом инерции материальной точки относительно оси назы-
вают произведение ее массы на квадрат расстояния от оси:
1 = mR2.
Если обозначить обобщенную координату через а, а радиус окруж-
ности-траектории через R, то х = R cos а, у = R sin а, где х, у —
декартовы координаты точки. Если выраженная через декартовы ко-
ординаты потенциальная энергия материальной точки равна U (х, у),
то лагранжиан ее
/а2
L (а, а) = ~2-U(Rcosa, Rsina).
Тогда уравнение Лагранжа имеет вид
да
Величина dU/da равна моменту сил поля относительно оси вращения.
Обобщенный импульс == 1а совпадает с моментом импульса ма-
териальной точки относительно оси вращения-
1.7. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ
ИМ ДВИЖЕНИЯ
1.7.1. Закон всемирного тяготения. Открытый Ньютоном закон
всемирного тяготения формулируется так: между всякими двумя
материальными точками действуют силы взаимного притяжения, пря-
мо пропорциональные их массам и обратно пропорциональные квад-
рату расстояния между ними. Эти силы направлены вдоль линии,
соединяющей точки. Если массы точек т± и т%, а расстояние между
ними г, то действующая па каждую из точек сила
(1.15)
Коэффициент пропорциональности у называют гравитационной
постоянной, равной (6,6720 ± 0,0041) • 10-11
Чтобы определить силу взаимного притяжения двух тел, разме-
рами которых нельзя пренебречь по сравнению с расстоянием между
ними, необходимо мысленно разбить их на части малых размеров.
В случае притяжения двух сферически симметричных тел сум-
марные силы их притяжения приложены в их центрах и обратно про-
порциональны квадрату расстояния между центрами. Приближенно
сферически симметричными можно считать астрономические тела.
Силы притяжения между обычно встречающимися в земных ус-
ловиях телами (кроме самой Земли) пренебрежимо малы. Практически
закон всемирного тяготения играет важную роль в астрономии и при
учете притяжения тел Землей. В последнем случае, если при пере-
мещениях тел расстояния по вертикали (вдоль радиуса, проведен-
ного от центра Земли) и по горизонтали (в горизонтальной плоско-
сти) малы по сравнению с радиусом Земли, то можно пренебречь
изменением сил притяжения по величине и направлению. При пере-
мещениях на большие расстояния вдоль поверхности Земли сила
притяжения (вес) тела может существенно изменяться. Причины
этого — вращение Земли и неоднородность ее плотности. Там, где
28
вблизи поверхности находятся массы пород повышенной плотности^
вес тела увеличивается. Это используют для поиска полезных иско-
паемых.
Закон всемирного тяготения вкладывает новое физическое со-
держание в понятие массы и дает удобный способ ее измерения.
Обычно массу тела определяют, сравнивая его вес с весом эталона
массы.
1.7.2. Поле тяготения. Напряженность поля. Гравитационный
потенциал. В пространстве, окружающем тело, имеющее массу,
существует гравитационное поле. Оно проявляется в том, что на каж-
дое тело, помещенное в любую точку этого пространства, действует
сила притяжения к телу, создающему поле. Тело, с помощью которого
обнаруживают существование поля, называют пробным.
Количественной мерой поля является его напряженность. Для
гравитационного поля это сила, которая действует на единичную
пробную массу в нем. Напряженность поля, создаваемого мате-
риальной точкой массой т, определяется формулой
Здесь г — радиус-вектор, проведенный из этой точки.
Гравитационное поле обладает свойством суперпозиции, т. е.
напряженности гравитационных полей, создаваемых в одной и той
же точке пространства различными телами, складываются по пра-
вилам сложения векторов, и потенциально. Гравитационный потен-
циал— это скалярная функция декартовых координат, частные про-
изводные которой равны соответствующим компонентам напряжен-
ности гравитационного поля с обратным знаком. Как и всякий по-
тенциал, гравитационный определяется с точностью до произвольной
постоянной. Если выбрать эту постоянную так, чтобы на бесконечно
большом расстоянии от материальной точки массой т потенциал
обращался в нуль, то он определится формулой
Гравитационные потенциалы, создаваемые различными телами в од-
ной и той же точке пространства, складываются.
В классической механике принимают, что любые изменения гра-
витационного поля происходят мгновенно во всем пространстве, т. е.
гравитационное поле движущегося тела такое же, как и покоящегося,
занимающего мгновенное положение движущегося. Такое приближе-
ние допустимо, пока скорости всех движущихся тел значительно
меньше скорости света в вакууме.
Другое ограничение на применимость классической механики
и закона тяготения Ньютона накладывает гравитационный потен-
циал. Если он на бесконечности обращается в нуль, а в рассматри-
ваемой области столь велик, что безразмерное отношение ср/с2 превы-
шает требуемую точность, то необходимо применять теорию тяготе-
ния Эйнштейна — общую теорию относительности.
1.7.3. Движения планет и спутников. Законы Кеплера. Уравне-
ния классической механики дают возможность полностью и точно
решить задачу о движении двух материальных точек, взаимодейст-
вующих между собой так, что потенциальная энергия их взаимодей-
ствия зависит только от расстояния между ними,—так называемую
задачу двух тел. Задачу трех и более тел в общем случае точно ре-
шить нельзя, но если одно взаимодействие двух тел можно выделить
29
как главное, а остальные рассматривать как возмущения, то ее можно
решить приближенно. К подобным задачам двух тел с возмущениями
сводятся задачи небесной механики — теории движения планет вокруг
Солнца и спутников вокруг планет. При этом в качестве невозмущен-
ной задачи рассматривают взаимодействие планеты с Солнцем и спут-
ника с планетой.
Задачу двух тел путем тождественных преобразований можно
свести к задаче о движении одного тела, имеющего приведенную
массу
трп2
т ~
пц, т2 — массы взаимодействующих материальных точек, и дви-
жущегося в поле притягивающего центра, расположенного в центре
масс системы. При этом радиусы-векторы rf, г2 реальных материаль-
ных точек связаны с радиусом-вектором г материальной точки приве»
денной массы соотношениями
г =±— г, г2 —--------------г, г = гх — г2.
1 тх + Ш2 т1 + т2
Если масса одного из тел намного больше массы другого, как это
наблюдается в случае движения планет вокруг Солнца, то приведен-
ная масса равна приблизительно массе меньшего тела (планеты),
а положение центра масс совпадает приблизительно с положением
центра масс большего тела (Солнца), которое можно считать непод-
вижным, и говорят, что меньшее тело движется вокруг большего.
Решение задачи о движении материальной точки массой mt
имеющей в поле притягивающего центра потенциальную энергию
(1.16)
где а = ymitn2 (потенциал выбирается так, чтобы при стремлении
расстояния от центра к бесконечности он обращался в нуль), дает
следующие результаты.
1. Движение происходит по одной из трех плоских кривых —
гиперболе, параболе, эллипсу (в частном случае — по окружности),
называемых коническими сечениями. Каждое из них является гео-
метрическим местом точек, отношение расстояний которых е 0
(эксцентриситет) от данной точки (фокуса F-t F') и от данной прямой
30
(директрисы MN, M'N') постоянно. При е > 1 коническим сечени-
ем является гипербола (рис. 1.8), при е = 1 — парабола (рис. 1.9),
при е < Г — эллипс (рис. 1.10),а при е — 0 — окружность.
Траекторию движения небесных тел называют орбитой, В фоку-
се ее находится центр притяжения. Через фокус и ближайшую к не-
му точку траектории проходит фокальная ось симметрии. Для полного
описания орбиты необходимо кроме эксцентриситета определить фо-
кальный параметр р (половину длины хорды, проходящей через фо-
кус перпендикулярно фокальной оси).Ближайшую к притягивающему
центру точку орбиты в зависимости от того, какое небесное тело яв-
ляется центром притяжения, называют по-разному, например, если это
Солнце — перигелием (от Гелиос — Солнце), если Земля — перигеем
(от Гея — Земля) и т. п. При эллиптической траектории иногда вво-
дят соответствующие назв'ания
для наиболее удаленной точки
орбиты, например апогей для
Земли.
2. При движении материаль-
ной точки сохраняются ее полная
энергия Е и момент импульса М
относительно оси, проходящей
через фокус перпендикулярно
плоскости орбиты. Эти парамет-
ры полностью определяют движе-
ние материальной точки, которое
при Е > 0 инфинитно с парабо-
лической или гиперболической
траекторией, если 74 =7= 0, и проходит через притягивающий центр,
если 74 — 0. Так как потенциальная энергия материальной точки
в поле притяжения отрицательна, то полная энергия также может
быть отрицательной, а орбита—эллиптической (финитное движение).
Параметры орбиты выражаются через энергию Е и момент импуль-
са 74:
М*
та ’
е
2ЕМ2
та2
3. Секториальной скоростью материальной точки называют пре-
дел отношения площади А/, описанной радиусом-вектором за время
А/, к этому времени при стремлении его к нулю:
; .. &f_df
Если вся траектория материальной точки массой т лежит в одной
плоскости, то секториальная скорость выражается через момент им-
пульса:
/=Д м.
2т
При движении материальной точки в поле притягивающего центра
секториальная скорость постоянна.
4. Если орбита эллиптическая, то движение является периодиче-
ским. Его период Т (время полного обхода орбиты) определяется фор-
мулой
7 = 2^/^»/^, (1.17)
31
где а — то же, что и в формуле (1.16); а — большая полуось эллипса
(половина отрезка фокальной оси, лежащей внутри него):
р а
а==Т^2~ *
Кеплер, обобщая результаты наблюдений за движением планет,
вывел три закона движенияпланет вокруг Солнца'. 1) все планеты Сол-
вечной системы движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фо-
кусов которых находится Солнце; 2) за равные промежутки времени
радиус-вектор планеты прочерчивает равные площади (постоянство
секториальной скорости); 3) квадраты периодов обращения планет
вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит
(см. формулу (1.17)).
Эти законы выполняются приближенно, если пренебрегать мас-
сами планет по сравнению с массой Солнца и их взаимодействиями.
Рассмотрим, какую скорость следует придать ракете, находя-
щейся на экваторе, чтобы она могла удалиться от Земли как угодно
далеко. Для инфинитного движения ракеты необходимо, чтобы ее
полная энергия Е была неотрицательной. Если Е — 0, то е ~ 1,
т. е. орбита параболическая. Скорость ракеты складывается из двух
взаимно перпендикулярных составляющих: искомой радиальной ско-
рости vp и тангенциальной vt, обусловленной вращением Земли.
Последняя равна длине экватора, деленной на длительность суток:
vt — 463 м/с. Кинетическая энергия ракеты
а потенциальная
г г П
где — радиус Земли; т3 — ее масса; g — ускорение свободного
падения вблизи Земли. Приравнивая сумму кинетической и потен-
циальной энергий к нулю, для определения скорости получаем
уравнение, решая которое, находим
Vr = У~ vt-
Часть кинетической энергии, связанная с тангенциальной составля-*
ющей скорости, значительно меньше абсолютной величины потен-
циальной энергии, поэтому влиянием вращения Земли можно пре-
небречь. ___
Скорость v2 — V2gR « 1,12 • 104 м/с, необходимую для того,
чтобы движение тела относительно Земли стало инфинитным, назы-
вают второй космической скоростью, а относительно Солнца — тре-
тьей. Третья космическая скорость равна 1,65 . 104 м/с, если на-
правления движения тела и Земли по орбите совпадают.
1.8. ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
1.8.1. Вращение твердого тела. Движение твердого тела в каждый
момент можно представить в виде движения его центра масс как
материальной точки, имеющей массу, равную массе тела, и вращения
тела вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс. В част-
ности, кинетическая энергия такого движения равна сумме кинети-
ческих энергий поступательного движения материальной точки, име*
32
ющей массу тела и скорость его центра масс, и вращения. Вторая из
них определяется угловой скоростью тела, являясь квадратичной
формой ее декартовых координат, специальным выбором системы
которых можно привести кинетическую энергию вращения к про-
стому виду
+ + (1.18)
где Q,i (I ~ 1, 2, 3) — угловые скорости вращения вокруг осей коор-
динат. Оси декартовой системы координат, связанной с телом, в ко-
торой кинетическая энергия вращения тела имеет вид (1.18), назы-
вают главными осями, а коэффициенты Zx, /2, ?з — главными момен-
тами инерции тела.
Отыскание главных осей и главных моментов инерции представ-
ляет собой сложную математическую задачу. Она существенно упро-
щается, когда тело имеет сферическую или аксиальную симметрию.
В первом случае любые три взаимно перпендикулярные оси, пере-
секающиеся в центре сферы, являются главными осями инерции, а
все главные моменты равны между собой. Для однородного сферичес-
кого слоя, имеющего плотность р, внутренний г и внешний R радиусы,
главный момент инерции
о
/ = rgnp(7?5-rs).
В частности, для однородного шара массой т
I = -,8= пр/?5 = ~ mR*.
15 5
При аксиальной симметрии тела одна из главных осей инерции
совпадает с осью симметрии, две перпендикулярны ей и одна другой,
в остальном направлены произвольно. Главные моменты инерции
относительно этих двух осей равны, а момент относительно оси сим-
метрии может быть любым.
Для цилиндра радиусом R, высотой L и плотностью р момент
инерции /1 относительно оси симметрии определяется так:
Л = -J- pLR* = J mR*.
Если в цилиндре есть соосное отверстие радиусом г, то
Zt ==-^ р£ (Я*-r‘)==~m (/?* + /*).
Моменты инерции этих тел относительно главных осей, перпендику-
лярных высоте, находят соответственно по формулам
/а = 1 ПР/.3 (Д2 - 7-2) + ± яр/. (/?< - Г4) =
= l/nL2+|«(/?3 + r3).
Главные оси инерции прямоугольного параллелепипеда направлены
перпендикулярно его граням. Если его плотность р, а ребра Z>2,
2 5-1472 33
/,3, то главный момент инерции относительно оси, параллельной,
например, ребру L3, имеет вид
1 Z 1 z
Однородный по длине стержень имеет относительно параллельной
ему оси пренебрежимо малый главный момент инерции, если корень
квадратный из сечения стержня значительно меньше его длины. Два
других приблизительно равны между собой. Их находят по формуле
I = ZA
Момент инерции тела массой т относительно оси, проходящей
на расстоянии а от центра масс, выражается через его момент отно-
сительно параллельной оси, проходящей через этот центр, так:
I — /0 + та2. Момент инерции тела относительно произвольной оси
может быть непосредственно измерен. Для этого обычно используют
крутильные колебания. Если тело вращается вокруг оси, проходящей
через центр масс, то компоненты его момента импульса в системе
координат, оси которой направлены по главным осям инерции, вы-
ражаются через компоненты вектора угловой скорости формулами
ЛД- = Ц Qi (i = 1, 2, 3). Отсюда следует, что если главные момен-
ты инерции тела не все равны между собой и тело вращается не во-
круг одной из главных осей инерции, то направления момента им-
пульса и угловой скорости не совпадают.
Если свободному твердому телу сообщить момент импульса, то
вращение будет происходить относительно одной из двух свободных
осей. Свободные оси — это те главные оси инерции, относительно ко-
торых главные моменты инерции наибольший и наименьший. Враще-
ние относительно таких осей устойчиво, т. е. если оно совершалось
вокруг какой-либо оси, то малые возмущения приведут к вращению
вокруг свободной. Когда направления момента импульса и свободной
оси не совпадают, движение тела является очень сложным.
Относительно простой и важный для физики и техники случай
движения симметричного волчка, т. е. тела, обладающего аксиаль-
ной симметрией. Это движение можно представить в виде вращения
волчка вокруг оси симметрии и одновременно последней относитель-
но направления момента импульса, называемого нутацией. Так как
два вращения относительно пересекающихся осей всегда можно пред-
ставить как вращение относительно третьей, то существует мгновен-
ная ось вращения тела. Ее направление находят в каждый момент,
складывая угловые скорости вращения вокруг оси симметрии и нута-
ции по правилам сложения векторов. Мгновенная ось непрерывно
изменяет свое положение относительно тела, а относительно непод-
вижной системы отсчета вращается вокруг направления момента им-
пульса, оставаясь все время в плоскости, проходящей через ось
симметрии и момент импульса. Г
Если на вращающийся волчок действует сила, которая стремится
повернуть ось вращения, то ось будет смещаться не в направлении
действия силы, а в перпендикулярной плоскости, проходящей через
векторы момента импульса и силы. Это явление называют гиросно ты
ческим эффектом. Когда сила, действующая на волчок, постоянна
по величине и направлению, то в результате гироскопического эффекта
волчок двигается так, что вектор его момента импульса направлен
под углом к направлению действия силы и равномерно вращается
вокруг него. Это явление называют прецессией. Хорошо известна,
34
например, прецессия тяжелого волчка в однородном поле тяготения,
а также электрически заряженного тела, вращающегося в магнитном
поле. Если момент импульса волчка L, а момент вращающей силы Л1,
то угловая скорость прецессии
М
L
Статикой называют
равновесие абсолютно
1.8.2. Статика абсолютно твердого тела,
раздел динамики твердого тела, изучающий
твердого тела под действием сил, что
представляет интерес для многих
разделов техники.
Парой сил называют систему
двух равных по величине, парал-
лельных и противоположно направ-
ленных сил. Пара сил относитель-
но каждой точки имеет одинаковый
'вращающий момент, равный произ-
ведению величины силы на расстоя-
ние между линиями, на которых ле-
жат векторы сил. Этот момент направлен перпендикулярно
кости, в которой лежат векторы сил, в. ту сторону, откуда поворот,
совершаемый парой сил, виден происходящим против часовой стрелки
(рис. 1.11).
Равнодействующей некоторой совокупности сил, действующих
на абсолютно твердое тело, называют силу, действие которой на движе-
плос-
ние тела эквивалентно действию этой совокупности сил. Например,
для нескольких сил, приложенных в одной точке, равнодействующая
равна их векторной сумме, которую можно получить для”двух сил
по правилу параллелограмма (рис. 1.12, а), а в случае нескольких
сил — как вектор, замыкающий составленную из них ломаную
(рис^ 1.12, б). Совокупность сил может и не иметь равнодействующей,
например, действие пары сил нельзя заменить действием одной силы.
Особенность абсолютно твердого тела состоит в том, что точку
приложения силы, действующей на него, можно перенести в любую
Другую точку на линии, которой принадлежит вектор силы (линии
действия силы), и при этом результат действия силы не изменится.
Точку приложения силы можно переносить также в направлении,
2*
35
перпендикулярном линии действия силы, добавляя при этом пару
сил, состоящую из прежней силы, приложенной в прежней точке,
и силы, приложенной в новой точке и направленной в противопо-
ложную сторону (рис. 1.13). С помощью таких переносов все силы,
действующие на твердое тело, за исключением сил, входящих в пары,
могут быть сведены в одну точку. Затем их можно сложить и полу-
чить равнодействующую. Моменты всех сил, действующих на тело,
относительно какой-либо точки, а также моменты всех пар сил
также можно сложить по правилам векторного сложения и получить
суммарный вращающий момент, действующий на тело.
Условие равновесия абсолютно твердого тела' абсолютно твердое
тело находится в равновесии, т. е. сохраняет состояние покоя или
равномерного прямолинейного движения и равномерного вращения
вокруг постоянной оси, если равнодействующая всех сил, действую-
щих на него, и сумма всех их
моментов относительно какой-
либо точки равны нулю.
Для свободно движущегося
тела удобно искать равнодейству-
ющую, приложенную в центре
масс, относительно которого оп-
ределять суммарный момент. В
частности, суммарный момент сил
тяготения в однородном поле от-
носительно центра масс равен
нулю, поэтому центр масс называ-
ют также центром тяжести тела.
Если тело имеет ось враще-
ния или закрепленную точку, то удобно определять суммарный
момент относительно этой точки или точки, лежащей на оси, и к этой
же точке привести для сложения все силы. Если равнодействующая
всех активных сил при этом не равна нулю, а тело находится в по-
кое, то сила реакции опоры равна по величине этой равнодействую-
щей и направлена в противоположную сторону.
1.8.3. Простые механизмы^ Простым механизмом называют ме-
ханическое устройство, позволяющее изменить направление или ве-
личину силы, необходимой для совершения определенной работы.
Под механическим устройством понимают систему тел, в которой
происходят только механические процессы. Это, вообще говоря, не-
возможно, так как всегда существуют сопутствующие немеханические
процессы, в результате которых механическая энергия не сохраня-
ется. Поэтому работа, совершаемая с помощью простого механизма,
практически всегда больше тон, которая необходима непосредствен-
но, чем в дальнейшем будем пренебрегать, поскольку отношение этих.
работ обычно мало отличается от единицы. Простой механизм рас-
сматривают в равновесии, т. е. его части должны совершать только
равномерные прямолинейные движения или равномерные вращения
вокруг неизменных осей. Так как при этом изменение кинетической
энергии системы не происходит, то сумма работ, совершаемых внеш-
ними силами над простым механизмом, равна нулю. Из этого закона,
называемого золотым правилом механики, можно получить основную
характеристику простого механизма: соотношение между внешними
силами. Этот способ легче, чем прямой анализ условий равновесия.
Простые механизмы часто используют для поднятия груза с по-
мощью сил, меньших его веса. Рассмотрим примеры.
Наклонная плоскость (рис. 1.14) имеет высоту h, длину I. Вес
Р тела, лежащего на этой плоскости, можно разложить на две со-»
36
ставляющие: силу нормального давления Рп, перпендикулярную пло-
скости, и скатывающую силу F, параллельную ей. Первая компенси-
руется реакцией плоскости, поэтому для подъема тела необходимо
приложить только силу, равную по величине скатывающей, но про-
тивоположно направленную. Она определяется по формуле
Неподвижный блок (рис. 1.15). Прилагаемая сила должна быть
равна по величине весу поднимаемого тела, но данный механизм
позволяет в широких пределах изменять ее направление.
Подвижный блок (рис. 1.16). Здесь прилагаемая сила вдвое мень-
ше веса тела. При применении системы подвижных и неподвижных
блоков, называемой полиспастом (рис. 1.17), прилагаемая сила
в раз меньше веса поднимаемого тела (п — число подвижных
блоков).
Рычаг первого рода (рис. 1.18). Расстояния от точек приложения
сил: веса Р и поднимающей F до оси вращения соответственно 1р
и lF. Силы лежат в плоскости вращения рычага, образуют с ним
углы ар, aF и связаны формулой
Pip sin <%р = FIf sin aF.
Рычаг второго рода (рис. 1.19) отличается от предыдущего тем,
что точки приложения сил лежат по одну сторону от оси вращения,
37
поэтому силы направлены в противоположные стороны, а по величине
связаны той же формулой.
Ворот (рис. 1.20). На барабан радиусом г намотан трос с грузом
весом Р, к рукояти радиусом R приложена поднимающая сила F, лежа-
щая в плоскости вращения рукояти и направленная под углом а
к ней. Зависимость между указанными параметрами такая:
F sin а = Р 4г •
Винт (рис. 1.21) имеет шаг (расстояние, на которое продвигается
винт за одни оборот) h и головку радиуса /?, к которой приложена
поднимающая сила F, лежащая в плоскости вращения головки и на-
правленная под углом а к ее радиусу. Вес груза Р. Формула для
вычисления:
г • п h
Fsina = P2^R-
1.9. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ
СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА
Иногда движение тела удобно рассматривать относительно не-
инерциальной системы отсчета. Чаще всего встречаются два случая
неинерциальных систем отсчета: движущаяся прямолинейно равно-
переменно и равномерно вращающаяся. В этих системах законы
Ньютона не выполняются. Например, тело, которое не взаимодей-
ствует с другими телами и в инерциальной системе покоится, отно-
сительно системы отсчета, имеющей постоянное ускорение а, движет-
ся с ускорением — а.
Динамику тел относительно неинерциальных систем отсчета мож-
но формально свести к динамике Ньютона, если ввести фиктивные
силы инерции, определяемые ускорением системы. Силы инерции
отличаются от рассмотренных тем, что не являются силами взаимо-
действия тел, т. е. нельзя указать, какое тело создает силу инерции
и испытывает соответствующее противодействие; они имеют чисто ки-
нематическое происхождение,
38
В системе отсчета, движущейся с постоянным ускорением а,
на каждое тело массой т действует сила инерции
F = —ma, (1.19)
подобная силе тяжести, действующей на тела в однородном поле
тяготения. Подобие обусловлено тем, что инертная масса тела, вхо-
дящая в уравнения (1.7), (1.19), точно совпадает с его гравитацион-
ной массой, которой пропорциональна сила притяжения в формуле
(1.15). Если считать, что инертная и гравитационная массы связаны
между собой коэффициентом пропорциональности, равным корню
квадратному из гравитационной постоянной у, то последняя в форму-
лу закона всемирного тяготения не входит. В классической меха-
нике, где законы динамики и всемирного тяготения являются неза-
висимыми постулатами, это совпадение не получило объяснения и
логически необязательно. Равенство инертной и гравитационной
масс послужило одним из исходных пунктов построения общей теории
относительности Эйнштейна.
Как пример динамики в неинерциальной системе отсчета рас-
смотрим создание невесомости в кабине спутника.
Относительно инерциальной системы отсчета все тела в кабине
спутника под действием силы притягжения получают равные ускоре-
ния (ввиду малости размеров кабины по сравнению с расстоянием до
центра Земли поле тяготения в ней можно считать однородным).
Эффект невесомости состоит в том, что в результате равенства уско-
рений, являющегося следствием равенства инертной и гравитационной
масс, ни одно тело не оказывает воздействия на другое своим весом.
Аналогичное явление наблюдается в любой системе свободно падаю-
щих тел, например в кабине лифта, движущегося вниз с ускорением gt
или в кабине самолета, совершающего полет по параболической тра-
ектории, по которой летело бы брошенное тело, если бы не было со-
противления воздуха (такие полеты используют при тренировке кос-
монавтов).
Другое, эквивалентное объяснение эффекта невесомости можно
получить, если перейти к системе отсчета, связанной со спутником.
Эта система неинерциальна, так как спутник движется с центростре-
мительным ускорением, которое в пределах его размеров можно счи-
тать постоянным. При таком рассмотрении невесомость объясняется
тем, что сила инерции, действующая на каждое тело в кабине, в точ-
ности равна его весу и полностью его компенсирует. При разгоне ра-
кеты па взлете или торможении, а также при изменениях курса космо-
навты воспринимают ускорения как увеличение силы тяжести, пере-
грузки, поскольку для них системой отсчета является ракета.
Если материальная точка имеет в инерциальной системе отсчета
скорость v и ускорение а, то относительно равномерно вращающейся
с угловой скоростью (0 системы соответствующие величины выража-
ются формулами
V = у — [(д, г],
А = а— 2 [<*>, V]—[fe>, [to, г]],
где г — радиус-вектор точки (начала обеих систем отсчета предпола-
гают совпадающими), а уравнение ее движения имеет вид
тХ = F + Z + C = F — m[to, [со, г]]— 2/п[со, V]. (1.20)
Здесь F — истинная внешняя сила, действующая на точку в инерци-
альной системе отсчета, а остальные два члена представляют собой
силы инерции.
39
Первая из сил инерции всегда направлена по радиусу от оси вра-
щения перпендикулярно ей и называется центробежной силой инер-
ции. Если обозначить скорость точки, в которой находится тело во
вращающейся системе, относительно инерциальной системы через
пу, то центробежная сила инерции определится по формуле
Вторую силу инерции из правой части уравнения (1.20) называют си-
лой Кориолиса. Она действует на тела, движущиеся относительно вра-
щающейся системы отсчета, и перпендикулярна оси вращения и ско-
рости точки. Силы, которые всегда направлены перпендикулярно
скорости материальной точки, не могут совершать работы над ней
(изменять ее кинетическую или потенциальную энергию), так как.их
мощность согласно формуле (1.8) равна нулю. Их называют гироско-
пическими силами.
Землю во многих случаях выбирают телом отсчета. Ее вращение
вокруг своей оси можно считать равномерным, так как угловые ско-
рости прецессии и нутации относительно малы. Силы инерции, дей-
ствующие на тела в результате этого вращения, вызывают существен-
ный эффект. Так, центробежная сила инерции приводит к уменьшению
веса тела с уменьшением географической широты местности, где этот
вес измеряется. Следствием ее. действия есть и то, что Земля сплюс-
нута у полюсов и вытянута к экватору, что является дополнительной
причиной уменьшения веса с широтой. В результате этих эффектов
ускорение свободного падения на широте ф определяется формулой
Рф == (9,832 — 0,052 cos2 ф) м/с2. Действием силы Кориолиса объяс.
няется то, что в северном полушарии реки сильнее размывают правый
берег, а в южном — левый. Она также влияет на направления ветра
и морских течений, приводит к отклонению снарядов при стрельбе,
неодинаковому износу железнодорожных рельсов и т. п.
1.10. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ
ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
1.10.1. Напряжение и деформация. Происходящее под дейст-
вием внешних сил изменение взаимного расположения точек твердого
тела, которое приводит к изменению его формы или размеров, назы-
вают деформацией. Деформация может также возникать при тепловом
расширении твердых тел или при воздействии электрических или маг-
нитных полей.
Вектором деформации или смещения и (г) в данной точке назы-
вают разность между векторами г' и г, определяющими положение
точки после деформации и до нее, т. е. и (г) — г'— г. Если положения
двух точек до деформации определяются векторами гх и г2, то разность
векторов деформации и12 (гг, г2) = u (rj — и (г2) называют абсолют-
ной деформацией. Отношение | и12 | / | г12 | называют относительной
деформацией, где г12 = гг — г2 — взаимное расположение этих точек
до деформации. Простейшей деформацией является относительное
удлинение некоторого отрезка в = (Г — 1)11, где /, V — его длина до
и после деформации. На практике чаще всего встречаются малые де-
формации (8 < 1).
Под действием внешних сил в твердом теле возникают внутренние
силы, модуль и направление которых в отличие от жидкостей зависят
от положения рассматриваемой точки N (г) в объеме. Если провести
сечение плоскостью, проходящей через точку N (г), то взаимодействие
40
расположенных по обе стороны сечения пастей тела можно заменить
силами. Предел отношения силы ДР, действующей на элементарную
площадку AS этого сечения, к AS при AS -> 0 называют вектором
dP
упругого напряжения', р —
Составляющую этого вектора нормальную к сечению называют
нормальным упругим напряжением ап, а его проекцию на плоскость
сечения — касательным упругим напряжением т (| р | 2 — (Г2 + т2).
Если деформация после снятия нагрузки исчезает, то ее называют
упругой, если не исчезает, то пластической. Пока нагрузка не превы-
шает некоторого предела, состояние твердого тела можно считать упру-
гим. Действие сил на упругие тела и возникающие при этом напря-
жения и деформации как в состоянии равновесия, так и при механиче-
ском движении изучают в специальном разделе механики — теории
упругости.
При небольших деформациях (е < 1) твердых тел выполняется
закон Гука: напряжение.деформированного твердого тела пропорцио-
нально его относительной деформации. Коэффициент пропорциональ-
ности при этом называют модулем упругости.
Напряжение сг;;, при котором нарушается закон Гука, называют
пределом пропорциональности. При напряжениях больших сг^ может
наблюдаться нелинейная упругость твердых тел.
Простейшим видом деформации твердого тела является растяже-
ние (или сжатие) тонкого стержня, к концам которого приложены рас-
тягивающие (или сжимающие) силы F и —F. При этом нормальные
напряжения (У/г = | F \ /S (S — площадь поперечного сечения стержня)
одинаковы по всей длине, а относительное удлинение б = Ах/х (х —
длина стержня, Ах — его удлинение под действием силы F) при упру-
гих деформациях определяется формулой
ф = <?„/£, (1.22)
где Е — модуль упругости (модуль Юнга), равный нормальному на-
пряжению, изменяющему линейный размер тела в два раза (Е — ап
при Ах — х). При продольном растяжении стержень становится более
тонким, его поперечные размеры уменьшаются. Относительное попе-
речное сжатие у ~ &у/у пропорционально нормальному напряжению.
Здесь у — поперечный размер стержня, А// — его уменьшение под дей-
ствием (Тп. Отношение относительного поперечного сжатия к его отно-
сительному удлинению называют коэффициентом Пуассона
v = у/е = (xA//)/(z/Ax), v С [0, 1/2]. (1.23)
Другим простым примером деформации является чистый сдвиг
в твердом теле под действием касательных напряжений. Например,
если грань (рис. 1.22) закреплена, а на грань /VA^ действует сила
F, то плоскости, параллельные плоскости сдвига NNA (например, КК'),
смещаются параллельно одна относительно другой, причем смеща-
ется на \у. Согласно закону Гука касательное напряжение т равно
отношению | F|/Sx, где ST— площадь поверхности грани NN[, и про-
порционально относительному сдвигу i\y!xv т. е. т = G (хт =
= Здесь G—модуль сдвига, который равен касательному напря-
жению, вызывающему относительный сдвиг, равный единице (так как
G = т при ку = хт).
Если упругие свойства материала одинаковы во всех направле-
ниях, его называют у пр у го изотропным. В твердом теле, состоящем из
41
мелких беспорядочно ориентированных кристалликов (так называе-
мый поликристалл), упругие свойства не зависят от направления, хотя
в отдельных кристаллах такая зависимость наблюдается (упругая ани-
зотропия). Большинство монокристаллических материалов, состоя-
щих из одного кристалла, обладает упругоанизотропными свойствами,
т. е. в различных направлениях их упругие свойства неодинаковы.
Коэффициент Пуассона в случае упругоизотропных твердых тел
связан с модулями Юнга Е и сдвига G так:
Е___OQ . Р
v = 2G~ ’ ИЛ“ G~ = 2e + v). (1.24)
Для большинства металлов значение v близко к 0,3. Для пористых
материалов, которые при растяжении не изменяют своих поперечных
размеров (например, пробка) v = 0.
Обратную этому коэффициенту вели-
чину 1/v называют пуассоновым чис-
лом.
Рис. 1.22
Упругая энергия деформирован-
ного твердого тела пропорциональна
квадрату деформации и в случае од-
нородного растяжения стержня оп-
ределяется формулой
П _ 1 __ °п
U ~ 2 80/1 “ 2£ '
1.10.2. Всестороннее сжатие.
Рассмотрим твердое тело в виде пря-
моугольного параллелепипеда, кото-
рое подвергнуто сжатию (или растя-
жению) вдоль трех направлений,
перпендикулярных граням этого па-
раллелепипеда, с помощью равно-
мерно распределенных сил. Обозна-
чим создаваемые при этом напряжения
через
— Lx (j!
~SX’ °" S/
°z~sz
где FXi Fyi Fz — силы, действующие на три взаимно перпендикуляр-
ные грани; Sx, Sy, Sz — площади этих граней. Каждое нормальное
напряжение <ух, ву, (jz изменяет размеры рассматриваемого тела в со-
ответствии с формулами (1.22) и (1.23). Суммируя результаты трех
таких деформаций, которые в линейном приближении теории упругости
не взаимодействуют, получаем
_ Дх _ Ох — V (<Уу + о2)
е* - Т “ £ ’
Др _ <5ц — v(ox+ О2)
ъУ--у~-—£ >
£г аг — v (ах + Оу)
-----Е-------
При этом относительное изменение объема
AV Ах , Aw . Аг 1 — 2v, , , .
Т =t + v + 7=—+ +
42
Если тело подвергнуто одинаковому сжатию со всех сторон, т. е.
сух == (Уу = а2 = о (так называемое всестороннее сжатие), то
ДК_ о
V ~ К 1
где постоянную
^ = 3(1—2v) (,'25)
называют модулем всестороннего сжатия или модулем упругости при
всестороннем сжатии, а обратную величину
1 1 IdV|
Х “ К ~~ V | dp I
— коэффициентом сжимаемости. Для всех твердых тел К > 0.
Упругая энергия при всестороннем сжатии определяется формулой
Дх , Ду . Дг
^-+^-- + <72-
Л У & .
" 2К ’
Коэффициент Пуассона можно представить в виде
v =
3/( — Е
6/< ‘
(1-26)
Из формул (1.24), (1.26), следует, что независимыми являются два лю*
бых коэффициента из трех: £, G и /<, например, К можно определить
через Е по формуле (1.25). У ани-
Рис. 1.23
зотропных материалов связь меж-
ду напряжениями и деформация-
ми сложнее; число независимых
модулей упругости в общем слу-
чае равно 21.
1.10.3. Диаграмма растяжения.
Механические свойства материала
проявляются при различных ис-
пытаниях, отличающихся услови-
ями нагружения (растяжение,
сжатие, изгиб, кручение, срез и
т. д.), причем деформацию прово-
дят до разрушения материала.
Одноосное растягивающее нагру-
жение всего сечения образца яв-
ляется основным видом статиче-
ских испытаний, в результате которых получают зависимость на-
пряжений о от деформации е. На рис. 1.23 показана диаграмма
растяжения для пластического материала. Наибольшее напряже-
ние, при котором не обнаруживают остаточную деформацию, назы-
вают пределом упругости (Уу. (В общем случае предел пропорциональ-
ности (Ур (Уу). Пределом текучести ат называют напряжение, при
котором начинается горизонтальный участок (ВВ') на диаграмме за-
висимости о (s), т. е. удлинение тела происходит без увеличения на-
пряжения. Когда диаграмма растяжения не имеет явно выраженного
горизонтального участка, за условный предел текучести о0,2 прини-
мают напряжение, при котором остаточная деформация составляет
0,2 %. Если медленно спять нагрузку с образца, деформированного
до 8 (Л4), то его состояние будет изменяться в соответствии с прямой
43
MN на рис. 1.23. е0 (М) называют остаточной деформацией. Напряже-
ние Ив, соответствующее максимуму кривой сг (е), называют пределом
прочности (или временным сопротивлением). В точке D происходит
разрушение образца. Для материала, используемого в конструкции
или машине, вводят понятие допустимого напряжения в2и[, которое
определяют из соотношения ozui — (Ув/5, где S — постоянная
(S > 1), которую называют коэффициентом надежности.
1.10.4. Реология. Пластическая деформация твердых тел в за-
висимости от состояния материала, типа приложенной нагрузки, про-
должительности ее действия, скорости деформации и температуры под-
чиняется различным закономерностям. Изучением деформации реаль-
ных сплошных сред занимаются в специальном разделе механики —
реологии (от греч. «реос» — течение и «логос» — учение). В реологии
исследуются уравнения, описывающие связь между напряжениями и
деформациями с учетом как очень больших значений е и скоростей.де-
формации 8 в случае дисперсных систем (глин, смазок, красцк),так
и деформаций в эластичных и пластических материалах. Для описания
реологического поведения среды используют механические модели тел.
В модели Фойгта—Кельвина среда, претерпевающая остаточную
деформацию, всегда восстанавливает свою форму после снятия нагруз-
ки. Такую среду можно представить в виде демпфирующего твердого
тела, состоящего из идеального упругого элемента, который претер-
певает продольные колебания, и элемента, обладающего объемной
вязкостью и соединенного параллельно с упругим элементом.
В модели Максвелла упругий и вязкий элементы соединены после-
довательно. Эта модель успешно описывает поведение полимеров, ко-
торые часто ведут себя как вязкоупругие твердые тела, т. е. упруго
деформируются при быстром нагружении, и пластически деформиру-
ются при малой скорости нагружения. Примером вязкоупругого
тела может служить резиновый мяч, который подпрыгивает при ударе
и деформируется вязко при статистических нагрузках.
Широко применяется в реологии более сложная модель параллель-
ного соединения тел типа Фойгта—Кельвина и Максвелла. Такое сое-
динение называют стандартным линейным телом. В этом случае общая
обратимая деформация в материале при растяжении достигается не
сразу в момент нагружения, а с убывающей скоростью продолжается
в течение определенного времени после приложения нагрузки. Это явле-
ние называют неупругостыо среды.
Модель Бюргерса представляет собой систему последовательно
расположенных моделей типа Максвелла и Фойгта—Кельвина.
В модели Шведова—Бингама вязкопластического тела течение сре-
ды начинается лишь тогда, когда касательное напряжение сдвига до-
стигает некоторого предельного значения т0.
Математическое описание моделей в реологии возможно с по-
мощью электрических аналогий с использованием L—С—R цепей.
Реологические модели применяются при изучении механических
свойств полимеров, дисперсных систем типа смазок и глин, а также при
исследовании внутреннего трения и ползучести металлов и сплавов.
1.10.5. Нарушения идеальной кристаллической решетки. Точеч-
ные дефекты. Кристаллическая решетка реальных материалов обычно
содержит нарушения совершенного строения. Точечными или нуль-
мерными дефектами кристаллического строения называют нарушения,
размеры которых во всех измерениях сравнимы с межатомным рас-
стоянием. Различают три основных вида точечных дефектов: энерге-
тические, электронные и атомные. !
К энергетическим точечным дефектам относятся кванты тепловых
колебаний — фононы. Электронные точечные дефекты образуются
44
в кристалле, когда вблизи одного из узлов кристаллической решетки
возникают незанятые электронами уровни — дырки или присутствуют
избыточные электроны. Экситоны, которые представляют собой эле-
ментарные, электрически нейтральные возбуждения в полупроводни-
ках и диэлектриках, связанные с образованием пары электрон—дыр-
ка, также относятся к электронным точечным дефектам.
Простейшим примером атомных точечных дефектов является
вакансия — дефект, состоящий в отсутствии атома (или иона) на опреде-
ленном узле кристаллической решетки. В ионных кристаллах две
вакансии противоположного знака образуют дефект Шотки. Другим
примером точечного дефекта является такое нарушение правильного
расположения атомов в кристаллической решетке, когда один из ато-
мов в узле заменен атомами другого сорта (примесь замещения) или
когда в междоузельном пространстве располагается лишний атом
(примесь внедрения). Точечный дефект в ионных кристаллах, возникаю-
щий при переходе иона из узла кристаллической решетки в междоуз-
лие, расположенное недалеко от образовавшейся вакансии, называют
дефектом по Френкелю.
В ионных и ковалентных кристаллах при взаимодействии атомных
точечных дефектов с электронными могут образовываться точечные
дефекты смешанного вида. Электрон, захваченный вакантным узлом
отрицательного иона, называют F-центром. Вакансия положитель-
ного иона, связанная с дыркой, образует V-центр. В полупровод-
никовых кристаллах точечные дефекты могут увеличивать примесную
электронную проводимость (донорные дефекты) или обусловливать при-
месную дырочную проводимость (акцепторные дефекты).
К точечным дефектам относятся также небольшие скопления ва-
кансий (дивакансии, тройки вакансий и т. п.) и совокупность неболь-
шого числа внедренных атомов.
Смещения и (г), создаваемые точечными дефектами в упругоизо-
тролном приближении, есть функция расстояния рассматриваемой
точки г от центра дефекта:
и(г) = Лг+в£,
где А — постоянная, определяемая из граничных условий па поверх-
ности кристалла; В — постоянная, зависящая от мощности дефекта
(например, в случае примеси замещения она определяется разностью
размеров атомов, образующих дефект).
Точечные дефекты при температуре Т могут находиться в термо-
динамическом равновесии. Концентрацией с данного дефекта назы-
вают отношение числа дефектов к числу его возможных положений
в кристаллической решетке. Так, в чистом металле при тем-
пературе Т равновесная концентрация точечных дефектов с ~esofk ехрх
X (—EjkT). Здесь So — энтропия образования дефекта; k — постоян-
ная Больцмана; Ео — энергия образования дефекта. Величина S0/k
составляет порядка единицы (около 1,5 для вакансий и 0,8 для междо-
узельного атома). Значение Ео равно приблизительно 1 эВ для вакан-
сии и 2,5—3,5 эВ для междоузельного атома. Количество равновесных
вакансий вблизи температуры плавления достаточно велико. Напри-
мер, для металлов с = 10~3—10”4.
Точечные дефекты, в частности вакансии, играют определяющую
роль при диффузии в твердых телах. Они существенно влияют на фи-
зические свойства металлов и особенно полупроводников. Концентра-
ция точечных дефектов может быть больше равновесной, так как они
возникают при пластической деформации, закалке, облучении материа-
45
лов большими дозами жесткого излучения, бомбардировке частицами
высоких энергий, а также в осаждаемых в вакууме тонких пленках. J
Под воздействием облучения в кристалле может возникнуть одно-
мерное сгущение в расположении атомов, содержащее в данном направ-
лении один лишний по сравнению с идеальной решеткой атом. Это сгу-
щение называют краудионом.
1.10.6. Линейные дефекты. Дислокации. Линейными дефектами
кристаллической решетки называют нарушения совершенного строения,
которые имеют значительно большую протяженность в одном преимуще-
ственном направлении, чем в любом другом. Линейные дефекты, вдоль
и вблизи которых нарушено правильное расположение атомных плос-
костей, называют дислокациями. Различают краевую и винтовую дис-
локации. Если дислокация является нарушением правильного распо-
ложения атомных плоскостей в кристаллической решетке, в резуль-
тате которого одна из этих плоскостей обрывается вдоль некоторой пря-
мой, то такую дислокацию называют краевой, а край лишней полуплос-
кости— линией дислокации. Если из векторов трансляции кристалли-
ческой решетки образовать некоторый контур, охватывающий линию
дислокации так, чтобы в решетке без дислокации он был замкнут, то
при наличии дислокации этот контур, называемый контуром Бюргерса,
окажется разомкнутым. Вектор Ь, который замыкает контур Бюргерса,
называют вектором Бюргерса. Дислокация характеризуется величиной
и направлением вектора Бюргерса.Он может составлять некоторый угол
а с направлением линии дислокации. Для краевой дислокации а =
= я/2. Дислокацию с углом а = 0 называют винтовой. В случае винто-
вой дислокации атомные плоскости, перпендикулярные линии дисло-
кации, при обходе вокруг этой линии образуют единую винтовую (ге-
ликоидальную) поверхность, шаг которой равен модулю вектора Бюр-
герса. В общем промежуточном случае а £ (0, л/2) дислокацию
называют смешанной. Линия дислокации может быть кривой, однако
величина и направление вектора Бюргерса в точках на ней остают-
ся постоянными. Дислокационная линия не может оканчиваться (об-
рываться) внутри кристалла. Она либо представляет собой замкнутые
кривые, либо выходит на поверхность кристалла (зерна). Кроме того,
дислокационные линии могут разветвляться, образуя сложные струк-
туры, однако всегда выполняется закон постоянства суммарного век-
тора Бюргерса. Дислокации в реальных материалах могутсобираться
в объемные клубки, пространственные и плоские сетки.
Поверхность, определяемая линией дислокации и ее вектором
Бюргерса, является поверхностью скольжения. Если линия дислокации
лежит в одной плоскости, нормаль к которой перпендикулярна век-
тору Бюргерса, то поверхность скольжения называют плоскостью
скольжения.
В результате движения дислокации вдоль плоскости скольжения
происходит пластический сдвиг частей кристалла, расположенных по
разные стороны этой плоскости. При прохождении одной дислокации
через весь кристалл этот сдвиг равен вектору Бюргерса. Движение
большого числа дислокаций приводит к пластической деформации
твердого тела. При перемещении W дислокаций, находящихся в кри-
сталле, размеры которого L, на среднее расстояние 1/2Ь происходит
пластическая сдвиговая деформация
Если L ~ 1 см, b ~ 3 • 10“8 см, то деформация у ~ 0,01 происходит
при прохождении через весь кристалл около миллиона дислокаций.
46
Дислокации создают внутренние напряжения в кристалле. Вблизи
краевой дислокации в системе координат X, Y в плоскости, перпенди-
кулярной линии дислокации, на которой расположено начало коор-
динат, отличное от нуля, напряжения определяются формулами
___ Gb (Зх2 -'г у2) у
°хх ~~ 2л (1—v) (х2 4~ У2)2
, Gb (х2 — у2) у
Оуу = 2л (1 — v) (х2 + ’
= V (0ХХ + <3уу),
Gb (х2 — у2) х
°ху 2л (1 — V) (х2+ г/2)2' ’
(1-27)
(1.28)
(1.29)
(1.30)
Здесь ось X выбрана вдоль направления вектора Бюргерса, ось Z —
вдоль линии дислокации; вхх, вуу, gzz — нормальные напряжения по
отношению к плоскостям, перпендикулярным соответственно осям X,
Y, Z; вху — касательные напряжения вдоль направления оси Y в плос-
кости, перпендикулярной оси X. Формулы (1.27)—(1.30) приведены
для упругоизотропного материала.
В случае винтовой дислокации отличны от нуля только касатель-
ные напряжения:
Gb у _ Gb х
°Zx ~ ~ 2л х2+ г/2 ’ °z'> = 2л х2 + z/2 ’
Поля напряжений дислокации медленно уменьшаются с расстоянием
от ее линии по закону 1/г. В непосредственной близости от линии дис-
локации в области, которую называют ядром дислокации, искажения
кристаллической решетки велики и не могут описываться линейной
теорией упругости. При этом смещения атомов из положений в иде-
альной решетке достигают значений постоянной решетки. Энергия поля
упругих напряжений дислокации велика: приблизительно 1/2 Gb2
на единицу ее длины.
Общую длину линий всех дислокаций, находящихся в единице
объема кристалла, называют плотностью дислокаций р. В недеформи-
рованных металлических монокристаллах обычно р = 106—107 см~2,
в сильнодеформпровапных металлах р — 1011—1012 см~2. При макси-
мальной плотности дислокаций (р = 1012 см-2) среднее расстояние
между их линиями составляет несколько десятков межатомных рас-
стояний.
Дислокации существенно влияют на многие физические и особен-
но механические свойства кристаллов.
1.10.7. Поверхностные и объемные дефекты кристаллической
решетки. Дефекты, имеющие большую протяженность в двух направ-
лениях, но малую (порядка межатомных расстояний) в третьем, назы-
вают поверхностными. К ним относятся границы зерен, блоков, де-
фекты упаковки. Границы зерен и блоков представляют собой переход-
ную область между частями кристалла (зернами или блоками), кото-
рые отличаются взаимной разориентацией кристаллических решеток,
образующих эти части. Искажения кристаллической решетки обыч-
но локализованы в достаточно узкой области порядка нескольких меж-
атомных расстояний вблизи поверхности раздела.Если угол разориен-
тировки между кристаллическими частями 0 мал (<10°), то энергия
на единицу площади границы
Gb2
Е = ---ч0И-1п0),
4л(1—v) v "
где А — постоянная порядка единицы.
47
Дефекты упаковки являются нарушениями в порядке чередова-
ния слоев с плотнейшей упаковкой атомов. Поверхностные дефекты
существенно влияют на свойства кристаллических материалов. К ним
относятся также тонкие микротрещины — нарушения сплошности мате-
риала, ограниченные двумя свободными поверхностями. Эти поверх-
ности сходятся в вершине трещины, которая в общем случае распола-
гается вдоль некоторой кривой %. У идеально острой трещины в сече-
нии, перпендикулярном касательной, которая проведена кривой X
в рассматриваемой точке, радиус закругления составляет порядка
межатомного расстояния. Под действием внешних нагрузок вблизи
вершины трещины формируется поле напряжений, которое может быть
намного больше приложенного напряжения, так что вершина явля-
ется концентратором напряо&ений. Если материал пластичен, то в
вершине трещины при определенных внешних нагрузках может по-
явиться зона пластической деформации, которая приводит к частичной
релаксации напряжений.
Наличие трещин в материале снижает его прочность. Влияние
поверхностных дефектов на прочность и пластичность кристаллических
материалов обусловлено тем, что эти дефекты ограничивают свободное
перемещение дислокаций, в результате чего происходит эволюция дис-
локационного потока, и, например, создается упрочнение материалов.
Поверхностные дефекты могут также сильно повышать скорость диф-
фузии.
Скопления точечных дефектов, пор, а также включения второй фазы
образуют объемные дефекты, размеры которых значительно превосхо-
дят межатомное расстояние во всех трех направлениях. Высокопрочные
и жаропрочные сплавы состоят из поликристаллов со специальным
распределением мелких частиц других фаз.
1.10.8. Упрочнение материалов. Повышение сопротивления крис-
таллических материалов пластической деформации называют упрочне-
нием, Основным фактором, определяющим упрочнение, является сте-
пень блокировки движения и размножения дислокаций. Движению
последних могут препятствовать примесные атомы, которые изменяют
периодический потенциальный рельеф в кристаллической решетке.
Тормозящее действие на движение дислокаций оказывают и скачко-
образные изменения формы дислокационной линии в случае, когда
они выводят эту линию из ее плоскости скольжения (так называемые
пороги на дислокациях).
Локальными препятствиями для дислокаций являются дислока-
ции другой системы скольжения, линии которых расположены под
некоторым углом к плоскости скольжения первичных дислокаций
(так называемые дислокации леса), а также устойчивые скопления
и группировки дислокаций той же системы скольжения. Дислока-
ции и дислокационные скопления создают дальнодействующие поля
упругих напряжений, которые затрудняют движение дислокаций,
обеспечивающих пластическую деформацию.
Деформационное упрочнение возникает при нагрузках больше
предела текучести от за счет перестройки системы взаимодействующих
дислокаций в результате пластического течения. Поликристаллические
материалы упрочняются больше, чем монокристаллические. В резуль-
тате термического упрочнения создается оптимальное сочетание струк-
турных и концентрационных неоднородностей. При термической об-
работке могут образоваться малые (дисперсные) включения другой
фазы. В результате дисперсионного твердения выделяются оптимально
расположенные в пространстве частицы упрочняющих фаз. Для полу-
чения высоких прочностных свойств выполняют сложную термомеха-
ническую и химико-термическую обработку. Упрочнение частицами
48
тугоплавких соединений (т. е. создание композиционных материалов)
повышает жаропрочность материалов в случае, когда введение примеси
(легирование) и термическая обработка уже не дают нужных результа-
тов.
1.10.9. Процессы релаксации. При деформации в материале могут
происходить процессы, приводящие к установлению термодинамиче-
ского равновесия, которые называют процессами релаксации. При
этом наблюдают изменение (релаксацию) некоторых параметров физи-
ческой системы. При механическом нагружении материала релакса-
ция напряжений происходит за счет пластической деформации в ло-
кальных объемах твердого тела. В идеальном случае, когда суммарная
деформация 80 (рис. 1.24, а) остается постоянной, а упругая гу умень-
шается с течением времени t за счет увеличения пластической еп,
тогда е0 = ez/ + 8П. Одновременно с уменьшением е/у падает упругое
напряжение (рис. 1.24, б).
Рис. 1.25
Рис. 1.24
Существуют два типа релаксации напряжений.
1. Приложенное напряжение о мало, так что деформация обратима;
это обеспечивается, например, обратимостью движения дислокаций.
В этом случае многие механизмы релаксации напряжений описыва-
ются уравнением стандартного линейного тела:
а + теа = Л4^ (е + тдё),
где те — время релаксации при 8 — const; — релаксированный
модуль упругости. Если деформация 8 постоянна (е == е0 = const),
то зависимость напряжения а от времени t определяется решением
=Л4д804-(а0 — Л4Ле0)е //Те.
Релаксационный процесс термически активируем, т. е. при температу-
ре Т те определяется по формуле
т8^ 4'ехр (•—£//& 7), (1.31)
Здесь 4' — постоянная; U — энергия активации; k — постоянная
Больцмана.
2. Приложенное напряжение велико, так что происходит необра-
тимая пластическая деформация. Тогда релаксацию напряжений мож-
но описать суммой нескольких экспонент типа (1,31)»
43
В общем случае зависимость т8 от Т более сложная.
1.10.10. Ползучесть материалов. Если приложенная нагрузка
постоянна (о = const), то в широком диапазоне температур наблюда-
ется течение материала, которое называют ползучестью. При этом про-
исходит пластическая деформация, приводящая к перестройке мате-
риала, причем наряду с упрочнением идет разупрочнение (возврат).
Ползучесть кристаллических твердых тел наблюдается вплоть до гелие-
вых температур. Типичная кривая зависимости деформации е от вре-
мени t показана на рис. 1.25. (кривая I). Различают три стадии ползу-
чести: 1) переходную (скорость ползучести 8 постепенно уменьшается),
2) установившуюся (скорость ползучести постоянна), 3) ускоренную,
завершающуюся разрушением. Продолжительность стадий ползуче-
сти сильно изменяется в зависимости от материала.
Для некоторых материалов (например, стали, германия) харак-
терна измененная кривая ползучести (кривая II на рис. 1.25). Скорость
ползучести 8 вначале области 2 на кривой II медленно увеличивается
(инкубационный период). При низких температурах переходная стадия
(область 1 па кривой II) сокращается.
Зависимость скорости деформации от / описывается эмпирической
формулой
8 = ^/-™, (1.32)
где т б [0, 2], а коэффициент зависит от температуры и напряже-
ния. Для т = 1 из формулы (1.32) получаем логарифмическую зави-
симость деформации 8 от времени /:
8= a In (v/ + 1) + а0. (1.33)
Здесь а, а0 и v — постоянные. Для т = 2/3
е=₽/1/3 + ₽0. (1.34)
Ползучесть такого типа называют р-ползучестью. Логарифмическая
зависимость (1.33) выполняется при низких температурах, а Р-ползу-
честь (1.34) — при высоких. Для промежуточной области температур
временная зависимость на первой стадии часто описывается линейной
комбинацией логарифмической и Р-ползучести. На установившейся
стадии ползучести (значение показателя степени в формуле (1.32) равно
нулю) справедлив линейный закон
8=у/+С$ (1.35)
где коэффициенты у и С возрастают с температурой и напряжением.
Временные закономерности (1.32)—(1.35) зависят от структуры твердого
тела, т. е. коэффициенты а, р, у и С различны для разных материалов.
На первой стадии ползучести упрочнение преобладает над разу-
прочнением, и понижение скорости ползучести определяется термиче-
ски активированным движением дислокаций через препятствие в соот-
ветствии с законом
8 = exp {— [U — у (о — oG)]//?7}. (1.36)
Здесь Q — объемная плотность дислокационных сегментов, задержан*
ных у препятствия (например, у дислокаций леса); А* — площадь,
заметаемая дислокационным сегментом после преодоления одного пре-
пятствия; b — модуль вектора Бюргерса; v0 — частота колебаний по-
рядка дебаевской и меньше; U — энергия активации пересечения пре-
пятствия; у — активационный объем; о — приложенное напряжение^
gg — дальнодействующее поле напряжений отдельных дислокаций,
50
Интегрирование выражения (1.36) дает формулу (1.32) при Q =
e=const и uG — 6s, где oG — внутреннее напряжение, 0 — коэффициент
упрочнения. Тогда в законе логарифмической ползучести (1.33) а —
s= -Т. , v = Q4*6v0aexp [(U — уо)//гГ]. Экспериментально получена еле-
у0
дующая зависимость скорости деформации на установившейся стадии
ползучести от напряжения при 10"? £< о< 10~4 Е (здесь Е—-модуль
упругости):
е = (Я схр (— U/kT),
или
е = А2 ехр
U — уо]
kT J
при высоких напряжениях о ~ 10 4 Е и ё — Л3о при низких (меньше
10~6 Е).
Для оценки характеристики ползучести материалов в технике вве-
ден условный предел текучести, равный длительно действующему на-
пряжению, при котором деформация за определенное время не прево-
сходит допускаемой величины. Твердые тела обладают длительной
прочностью, характеризуемой временем, в течение которого тело не
разрушается под действием статической нагрузки и высокой темпера-
туры. Минимальное напряжение ctf, при котором материал при тем-
пературе Т разрушается за t часов под действием статической нагрузки,
называют пределом длительной прочности. Скорости ползучести, до-
пускаемые в различных технических установках, могут различаться
на много порядков. Например, в паровых котлах при расчетной долго-
вечности 2 • 10б ч допускаемая скорость ползучести порядка 10"7 в
час,- а для реактивного двигателя кратковременного действия — по-
рядка 0,1 в час.
1.10.11. Рекристаллизация. Изменение структуры кристаллов,
связанное с образованием и ростом новых структурно более совершен-
ных зерен и движением их границ, в результате которого в той же
фазе происходит уменьшение внутренней энергии, называют рекрис-
таллизацией. Различают рекристаллизацию трех типов.
1. Первичная рекристаллизация происходит в пластически де-
формированных материалах при невысоких температурах Д7Х1). Для
чистых металлов Д7ЧО 0,25—0,30Тпл, где Тпл—температура плав-
ления, для гетерофазных сплавов ДТП) приближается к 0,6—0,9 Тпл.
В’результате первичной рекристаллизации на месте зерен с повышенной
плотностью дефектов кристаллического строения возникают зерна
с более совершенной решеткой, причем кристаллографическая ориен-
тация новых зерен отличается от ориентации исходных. Характерной
особенностью рекристаллизации является формирование зародышей
в наиболее искаженных местах кристалла и последующий их рост
путем передвижения границ новых зерен в сторону деформированной
матрицы. В слабо деформированных материалах первичная рекристал-
лизация осуществляется за счет перемещения границ исходных зерен.
Скорость образования и роста центров рекристаллизации при повы-
шении температуры или степени деформации увеличивается.
2. Собирательная рекристаллизация наблюдается после первич-
ной и определяется ростом одних зерен за счет других. Она уменьшает
общую протяженность границ зерен, ее скорость максимальна в на-
чале процесса и уменьшается с понижением температуры и увеличением
среднего размера зерен.
51
3. Вторичная рекристаллизация происходит в материалах, которые
содержат примеси или дисперсные выделения фаз, тормозящие
собирательную рекристаллизацию. При этом некоторые зерна ока-
зываются в благоприятных для их аномального роста условиях, су-
щественно изменяется распределение зерен по размерам, возникает си-
льная разнозернистость (огрубление структуры). Вторичнаярекристал-
лизация наблюдается также при отжиге в чистых металлах, у кото-
рых первичная рекристаллизация привела к возникновению текстуры.
Если рекристаллизация происходит при ползучести, то может
наблюдаться увеличение скорости ползучести.
1.10.12 . Процессы возврата. До рекристаллизации или вместо
нее при отжиге деформированных кристаллов может происходить
явление возврата, при котором осуществляется перераспределение,
аннигиляция или залечивание точечных и линейных дефектов кристал-
лической решетки, но размеры и кристаллографическая ориентация
зерен и блоков не изменяются. Различают две стадии возврата: 1) от-
дых кристаллов — уменьшение концентрации и перераспределение
точечных дефектов и дислокаций при низких температурах (вбли ш
0,2 Гпл); 2) полигонизация •— дробление зерен и субзерен при высокой
температуре за счет образования дислокационных стенок. При этом
изменяется структура кристаллов и образуется субструктура внут-
ри зерен. Скорость возврата кристаллов экспоненциально зависит от
температуры. При определенных температурах процессы возврата могут
быть динамичными и происходить одновременно с упрочнением. В ре-
зультате процессов возврата улучшается пластичность материала при
неизменной зеренной структуре.
1.10.13 . Усталость материалов. ПоД действием циклических на-
грузок изменяются механические и физические свойства материалов,
что после определенного числа циклов приводит к их разрушению.
Это явление называют усталостью материалов. При усталости проис-
ходит накопление дефектов, образование микротрещин, перерастаю-
щих затем в макротрещины, которые и приводят к разрушению мате-
риала. Если напряжения не превышают предела текучести материала,
то число циклов до усталостного разрушения п = 10б—10G, а если
превышают предел упругости, что явление усталости сопровождается
макроскопической пластической деформацией и п~ 102—10s (малоцикло-
вая усталость). На ранних стадиях циклических испытаний проис-
ходит пластическая деформация, в материале выделяется значитель-
ное количество тепла, и может наблюдаться упрочнение. С увеличе-
нием числа циклов возникают и развиваются микротрещины. Пределом
выносливости называют наибольшее напряжение цикла о_1? кото-
рое материал может выдержать без разрушения при сколь угодно боль-
шом числе циклов напряжения. Для знакопеременного симметричного
цикла этот предел составляет (например, для испытаний стали на из-
гиб) около половины предела прочности на растяжение и зависит от
активности среды и температуры.
Усталостные явления в металлах могут сопровождаться фазовыми
превращениями, например выделением частиц на границах зерен, что
приводит к их ослаблению. При длительных испытаниях на таких
границах возникают трещины. Предел выносливости ряда материалов
(высокопрочные стали, сплавы титана) зависит от концентрации на-
пряжений, поэтому определяется состоянием поверхности материала.
Усталость металлов и сплавов можно повысить с помощью защитных
покрытий и упрочнением поверхностного слоя.
1.10.14 . Разрушение, Напряжение ор, при котором материал де-
лится на части, т. е. наступает разрушение, называют разрушающим,
52
Различают хрупкое и вязкое разрушение. При хрупком пластическое
течение материала затруднено, так как дислокации оказываются за-
блокированными препятствиями (атомами твердого раствора, приме-
сями, выделениями других фаз, трещинами и другими дефектами).
Хрупкими называют тела, которые при разрушении деформируются
только упруго вплоть до разрушения (керамические, металлокерами-
ческие материалы и некоторые металлы). Многие материалы при низких
температурах могут быть переведены в хрупкое состояние.Темпера-
туру такого перехода называют порогом хладноломкости или критиче-
ской температурой хрупкости. Для хрупких поликристаллических
материалов справедливо соотношение Холла—Петча
Op = + kd~xi2<
где d — средний размер зерна; о0, k — постоянные величины.
Вязкое разрушение происходит так, что повреждения материала,
приводящие к разрушению, накапливаются при пластической дефор-
мации. Перед вязким разрушением может происходить интенсивное
локальное утоньшение образца в области разрыва — образуется так
называемая шейка, где возникает сложное напряженное состояние.
Экспериментально установлено, что при таком разрушении в центре
образца появляются трещины, которые растут в радиальном направ-
лении в плоскости, перпендикулярной оси растяжения, приводя к так
называемому чашечному излому. При этом разрушение сопровожда-
ется очень большой пластической деформацией, в результате которой
формируется неровная поверхность излома, а на конечной стадии
происходит срез под углом л/4 к оси растяжения с образованием ров-
ных стенок излома.
1.11. ГИДРО- И АЭРОДИНАМИКА
1.11.1. Приближение сплошной легкоподвижной среды. Раздел
механики, в котором изучают движение несжимаемых жидких и газо-
образных сред во взаимодействии с ограничивающими их твердыми
телами, называют гидродинамикой. В отличие от молекулярно-кине-
тической теории жидкостей и газов в гидродинамике рассматривают
сплошную среду без учета ее молекулярного строения, но в предполо-
жении, что она обладает двумя основными свойствами: непрерывностью
и текучестью. Движение сжимаемых сред изучают в газовой динамике.
Основные законы движения жидкости и газа описываются в гидро-
динамике с помощью системы дифференциальных уравнений, которые
выводятся из общих законов классической механики и термодинамики.
Например, из закона сохранения получают уравнение неразрывности
। । дД, । = о (1 37)
dt^dx^dy'dz ’ и }
где р — плотность среды. Вектор j с компонентами jx, jy, jz называют
плотностью потока среды:
j = pv. (1.38)
Здесь v — вектор скорости среды, зависящий от координат рассмат-
риваемой точки М (х, у, г) и времени /; vAf = vA1 (х, у, z, t). При
выводе формулы (1.37) использовано понятие частных производных
d d d д , /п «хгг
di ’ дх * ду » ~дг 0Т ФУНКЦИИ многих переменных (см. Приложение 1). Для
53
несжимаемой среды D^/dt — 0. Направления вектора j и движения среды
совпадают, а значение модуля этого вектора равно количеству вещества
среды, протекающему в единицу времени через площадку, перпендику-
лярную направлению вектора v.
1.11.2. Уравнения движения сплошной среды. Если на сплошную
среду действует давление р (х, у, z, /), зависящее от положения точек
этой среды и времени /, то ее движение подчиняется уравнениям
Эйлера
dvx , dvx , dvx , dvx r 1 dp
if +v* if + v« ~ 7 £ ’
+ v V pl + VlJdJl + Vz = F y _ 1 ,
dt dx dy dz * p dy
dvz , dvz . dv2 , dvz г 1 dp
dt 1 Xdx dy dz pdz
(1.39)
где vX) Vy, vz— компоненты вектора скорости v; Fx, Fy. Fz—компоненты
действующей объемной силы F.
В общем случае плотность среды зависит от приложенного давле-
ния в соответствии с уравнением состояния
р=р(р). (1.40)
Для несжимаемой среды р = const. Система уравнений (1.37)—(1.40),
а также соответствующие начальные и граничные условия позволяют
при заданной силе F (х, у, г) определить v (vx, vy, vz], p и p как
функции координат х, у, z и времени /.
При выводе уравнений Эйлера не учитывались внутреннее трение,
и теплообмен между отдельными частями сплошной среды. Если про-
цессы диссипации (рассеяния) энергии, обусловленные теплопровод-
ностью и внутренним трением, несущественны, то среду называют
идеальной. Движение такой среды (жидкости или газа) описывают
уравнения Эйлера. В идеальной сплошной среде давление измеря-
ется силой, действующей перпендикулярно рассматриваемой поверх-
ности на единицу площади, и если сила F распределена на поверхности
равномерно, то давление р = F/S, где 5 — площадь этой поверхности.
За единицу давления— паскаль (Па) принято давление, создавае-
мое равномерно распределенной силой 1 Н на площадь 1 м2 поверх-
ности, перпендикулярной этой силе.
1.11.3. Ламинарное и турбулентное течение. Течение, при котором
соприкасающиеся слои сплошной среды не перемешиваются, назы-
вают, ламинарным. Наблюдается оно при малых скоростях. Возмуще-
ния, случайно возникающие в таком течении, быстро затухают, и дви-
жение среды становится устойчивым. Если скорость потока превысит
свое предельное значение, то произойдет перемешивание соприкасаю-
щихся слоев среды и течение станет турбулентным. Переход от одно-
го вида течения к другому совершается при средней скорости течения
< иср > и зависит от условий течения, плотности среды р, характер-
ного линейного размера I и динамического коэффициента вязкости г|«
Так, в длинной цилиндрической трубе диаметром Z= Sb переход ст
ламинарного течения к турбулентному происходит при р < v > fbh] =
== 2300. Это отношение называют числом Рейнольдса. Его обозначают
символом Re и определяют экспериментально (Re = р < и > й>/т])-
1.11.4. Гидростатика. Равновесие жидкости и действие покоя-
щейся среды на стенки ограничивающего эту среду сосуда, а также
64
погруженное в нее твердое тело изучают в гидростатике. В этом'слу-
чае V (х, у, z) — 0 и уравнения Эйлера (1.39) принимают вид
р __ 1 др р __ 1 др р _ _1_ др
х р дх ’ у р ду' 2 р дг '
(1.41)
Здесь обозначения те же, что и в формуле (1.39), Уравнения (1.41)
справедливы для идеальной и вязкой сред.
В гидростатике справедлив закон Паскаля: внешнее давление на
сплошную среду (жидкость или газ) передается во все стороны равно-
мерно. Это свойство сплошных сред использовано в гидравлическом
прессе, схема работы которого показана на рис. 1.26. Сила F2 второго
цилиндра больше силы первого в k = SjS^ раз, где Sx, S2 — пло-
щади сечения поршня в цилиндрах. Выигрыш в силе, в гидравлическом
прессе сопровождается проигрышем
ние /2 второго поршня в k раз
меньше перемещения Zx первого.
Если F — однородная сила тяже-
сти, то давление на глубине h под
поверхностью покоящейся несжи-
маемой сплошной среды называют
гидростатическим и определяют
по формуле р == р0+ pgft, гДе По-
давление на свободной поверх-
ности раздела жидкости, одина-
ковое во всех ее точках, g— ус-
корение свободного падения. По
верхности одинакового давления
в расстоянии, так как перемеще-
Рис. 1.26
и свободная поверхность перпен-
дикулярны направлению действующих сил тяжести. Плоскость свобод-
ной поверхности жидкости, находящейся в состоянии равновесия,
параллельна линии горизонта.
Гидростатическое давление учитывают при определении условий
равновесия жидкостей в сообщающихся сосудах. Согласно закону
сообщающихся сосудов высота уровня разнородных жидкостей в сооб-
щающихся сосудах обратно пропорциональна их плотности, т. е»
hxlh2 = p2/pi-
Рассматривая давление, с которым среда действует на различные
части погруженного в нее тела, можно установить основной закон
гидро- и аэростатики (закон Архимеда): на всякое тело, погруженное
в жидкость (или газ), действует со стороны этой среды выталкивающая
сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа), направленная
вертикально вверх и приложенная к центру тяжести вытесненного
объема. Эту силу называют архимедовой или гидростатической подъем-
ной силой. Если сила тяжести тела Р уравновешена архимедовой силой
F/b то погруженное тело находится в равновесии. Поскольку эти силы
приложены к центрам тяжести соответственно всего тела и вытеснен-
ного этим телом объема жидкости, называемого центром давления,
то для их устойчивого равновесия необходимо, чтобы центр давления
был расположен выше центра тяжести. Это возможно только для тел
с неоднородной плотностью. Если часть тела (на рис. 1.27, а заштри-
хована) обладает большей плотностью, чем остальная среда, то центр
тяжести тела перемещается в точку (О), расположенную ниже центра
давления (Ох). В противном случае возможно опрокидывание за счет
возникающей при отклонении линии ОО1 от вертикали пары сил
(рис. 1.27, б), Если Р = |Р| больше FA = | FA то тело тонет. Если
55
вес тела Р меньше выталкивающей силы, то тело всплывает на поверх-
ность.
1.11.5. Уравнение Бернулли. Уравнения гидродинамики упро-
щаются в случае стационарного движения сплошной среды. Стацио-
нарным называют такое течение, скорость которого v в любой точке
пространства, занятого рассматриваемой средой, остается постоянной
во времени. Линиями тока называют линии, касательные к которым
совпадают с направлением вектора скорости течения среды в точке ка-
сания в данный момент времени. При стационарном течении линии тока
совпадают с траекторией движения частиц среды и остаются неизмен-
ными во времени. Совокупность частиц среды, заключенная между гео-
метрическим местом линий тока, образующих замкнутую поверхность,
называют струйкой. При стационарном течении идеальной несжимае-
мой сплошной среды струйки не перемешиваются. Уравнение Эйлера
в этом случае упрощается и записывается так:
р + 4- zd = const = Е, (1.42)
где d == pg — удельный вес среды; g— ускорение свободного падения;
г — геометрическая высота. Уравнение (1.42) называют уравнением
Бернулли, Все слагаемые в нем имеют размерность давления, поэтому
р называют статическим, -^-ру2 — динамическим, zd — весовым дав-
лениями, константа Е равна механической энергии, заключенной
в единице объема сплошной среды. Из этого уравнения следует, что
если вдоль струйки кинетическая энергия увеличивается, то одновре-
менно уменьшается на то же количество потенциальная энергия среды.
Уравнение Бернулли можно переписать в следующем виде:
г + p/d v2l2g = const = Н,
Здесь все слагаемые имеют размерность длины, поэтому г называют
нивелирной (геометрической), p/d— пьезометрической, v42g— ско-
ростной высотами, а их сумму И — полной высотой.
С помощью уравнения (1.42) решают практически важные задачи
гидравлики — области науки, где используются законы гидродина-
мики для расчета машин, сооружений, естественных и искусственных
русел, течения жидкостей по трубам, в пористых средах и т. п. Напри-
мер, скорость вытекания жидкости из отверстия малого сечения О
56
(рис. 1.28) в закрытом сосуде, внутри которого над поверхностью
жидкости поддерживается давление р, определяется по формуле
v = У 2gh + Ро),
(1.43)
где h — высота уровня жидкости по отношению к отверстию; g—уско-
рение свободного падения; р0 — наружное давление; р — плотность
жидкости. При р = р0 отсюда следует закон Торричелли: v2 = 2gh.
Течение идеальной сплошной среды по трубопроводу переменного се-
чения (рис. 1.29) описывается уравнением
и соотношением
зд. = ад- С1-44)
Здесь sr, s2 — поперечное сечение трубопровода в двух точках (точки
1 и 2 на рис. 1.29); Vj, v2 — соответствующие скорости течения среды;
рх, р2 — давления в этих точках; h2 — высота этих точек над не-
которым выбранным за начальный уровнем.
Из уравнения (1.44) следует, что отношение скоростей течения сре-
ды в некоторых двух точках обратно пропорционально сечениям тру-
бопровода в этих точках.
Уравнение Бернулли, обобщенное на случай неидеальной сплош-
ной среды, когда существенны процессы 'теплопроводности и внутрен-
него трения, имеет вид
Pi + “1 -+ zid == Рг + — Ц—- + М + Р12, (1.45)
где d=pg;p12—разность давлений между сечениями в точках 1 и
средняя скорость в Z-м (/ = 1,2) сечении; — поправочный коэф-
фициент на неравномерность распределения по сечению. Отсюда сле-
дует, что если реальная сплошная среда движется по горизонтальному
трубопроводу, то р2 == Pi — Р12, т- е- давление вдоль трубопровода
уменьшается.
1.11.6. Гидродинамическое сопротивление. Сопротивление дви-
жению среды, создаваемое стенками труб или каналов, и движению
твердого тела в сплошной среде называют гидродинамическим (или
57
гидравлическим) сопротивлением. При установившемся движении оно
определяется формулой
Др = %
/2 р(ц)2
0 2
Здесь I — длина участка трубы; FD — ее диаметр; ( v ) — средняя
скорость движения среды в трубе; % — коэффициент сопротивления.
Если в гладкой круглой трубе течение ламинарное, т. е. Re< R^p^
= 2300, то %л = 64/Re, если турбулентное, то справедливы полуэмпи-
рические формулы Никурадзе
0 921
= 0,0032 + при Re < 105,
и Блез нуса
л 0,3164
ХБ = т—— при Re > 105.
у Re
1.11.7. Аэродинамика. Законы движения газообразной (в частно-
сти, воздушной) среды и силы взаимодействия ее с движущимися в ней
твердыми телами изучают в разделе механики — аэродинамике. Сюда
входят: 1) аэростатика, в которой изучают равновесие газообразной
среды, обладающей в отличие от жидкой значительной сжимаемостью;
основные законы аэростатики совпадают с уравнениями гидромеха-
ники с учетом уравнения состояния идеальных (или при необходимо-
сти реальных) газов и применительно к атмосфере в условиях сил тя-
жести дают барометрическую формулу; при отсутствии объемных сил
здесь справедлив закон Паскаля, в поле сил тяжести выполняется за-
кон Архимеда; 2) внешняя балли-
стика — наука о движении неуп-
равляемых и управляемых реак-
тивных снарядов в атмосфере; 3)
учение о подъемной силе, вклю-
чающее теорию крыла самолета
и гребного винта самолета или
вертолета; 4) развитие экспери-
ментальной техники и специаль-
ных установок — аэродинамиче-
ских труб и моделей.
1.11.8. Аэродинамическая и
подъемная силы. Силу действия
газообразной среды в данной точ-
ке на поверхность твердого тела называют элементарной аэродина-
мической силой, а их сумму, определяющую результирующую силу, —
полной аэродинамической силой. Кроме того, создается результирую-
щий аэродинамический момент. Полную аэродинамическую силу раз-
лагают па трисоставляющие: 1) аэродинамическое сопротивление, на-
правленное в сторону, противоположную скорости движения; для
крыла его называют лобовым сопротивлением Fx (рис. 1.30); 2) подъем-
ную силу F у, перпендикулярную скорости движения; 3) боковую силу
Гг. Аэродинамический момент М определяется по формуле
где — плотность газовой среды на большом расстоянии от твердого
тела (крыла); и — скорость движения центра тяжести тела; S, I —
58
площадь и длина тела; ш — аэродинамический векторный коэффициент,
зависящий от формы, ориентации и критериев динамического подобия
данного тела. Аэродинамический момент для каждого тела определя-
ется с помощью испытаний в специальной установке, которую назы-
вают аэродинамической трубой, создающей поток воздуха для анализа
процесса обтекания твердых тел. Проекции аэродинамического момен-
та (Л1Х — момент крена, Му —- момент рыскания, Мг — момент тан-
гажа) на оси координат, связанные с летательным аппаратом опреде-
ляют устойчивость и управляемость этого аппарата.
Подъемная сила крыла есть следствие несимметричности потоков,
которые возникают при обтекании его профиля. Мерой завихрения
течения среды относительно твердого тела (крыла) служит циркуля-
ция скорости. Согласно постулату Чаплыгина—Жуковского, при обте-
кании потоком идеальной среды профиля крыла точками главного схода
струй с его контура являются точки N на хвостовой части контура
(см. рис. 1.30). Подъемная сила крыла рассчитывается по формуле
Ft/ = cySpv2/2, а се коэффициент— по формуле су — 2л sin (а + 2f).
Здесь а — угол атаки между хордой крыла NN' (см. рис. 1.30) и век-
тором v; f — относительная выгнутость крыла. Если а и f малы, то
су — 2л (а + 2 /).
При сверхзвуковых скоростях характеристики потоков среды рез-
ко изменяются. На верхней поверхности крыла возникает волна раз-
режения, а на нижней— ударная волна, и явление сильно услож-
няется.
1.12. ДИНАМИКА НЕКОНСЕРВАТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
В реальных механических системах наряду с механическими про-
цессами, т. е. перемещением макроскопических тел одного относительно
другого и взаимодействием их посредством потенциальных силовых
полей, всегда происходят и немеханические явления. Чаще всего —
это превращение части механической энергии в энергию хаотического
движения молекул, составляющих макроскопические тела. Этот про-
цесс не может быть описан в рамках механики, так как система моле-
кул обладает огромным числом степеней свободы и должна описываться
в статистической механике.
Механическую систему, в которой из-за немеханических процес-
сов механическая энергия не сохраняется, называют неконсервативной.
Процессы, приводящие к рассеянию этой энергии, называют диссипа-
тивными.
Иногда можно, не выходя из рамок механики, учесть диссипатив-
ные процессы путем введения диссипативных сил. Диссипативные
силы вводятся эмпирически, т. е. на основании опыта в каждом кон-
кретном случае, а не получаются из общих законов. Эмпирические фор-
мулы, как правило, приближенные и имеют весьма ограниченные пре-
делы применимости. Тем не менее они могут быть полезны во многих
практически важных случаях.
1.12.1. Трение. Трением или внешним трением называют диссипа-
тивный процесс, происходящий при движении соприкасающихся твер-
дых тел одного относительно другого. При трении часть механической
энергии движущихся тел переходит в тепло, т. е. в энергию хаотиче-
ского движения составляющих их молекул,— трущиеся тела нагре-
ваются. Рассматривают два важных случая относительного движения
соприкасающихся тел: скольжение и качение одного по другому, Если
тело, которое может скользить по другому телу, находится относитель-
но него в состоянии покоя, то для приведения его в движение необхо-
59
димо приложить силу не меньшую, чем некоторая сила Fo. Это явление
называют трением покоя. Сила трения покоя Fo пропорциональна силе
Рп, прижимающей скользящие поверхности одна к другой и назы-
ваемой силой нормального давления, и направлена вдоль этих поверх-
ностей противоположно сдвигающей силе: Fo — f0Pn. Здесь f0 — коэф-
фициент трения покоя, который зависит от качества скользящих по-
верхностей и не зависит от их площади. Угол ср, определяемый из фор-
мулы f0 = tg <р, называют углом трения. Под этим углом необходимо
наклонить скользящие поверхности к горизонтальной плоскости,
чтобы скольжение началось под действием тангенциальной составляю-
щей силы тяжести.
На скользящее тело действует сила трения F, пропорциональная
силе нормального давления Рп и направленная противоположно век-
тору скорости движения:
F-~'P"T
где / — коэффициент трения движения или просто коэффициент трения.
Он также зависит только от качества поверхностей и для одних и тех
же поверхностей, как правило, меньше коэффициента трения покоя.
Чистым качением или качением без проскальзывания называют
такое движение круглого тела, когда точка касания его с поверхностью,
по которой оно движется, имеет нулевую скорость в неподвижной сис-
теме отсчета, т. е. является мгновенным центром вращения. При ка-
чении цилиндра по плоскости линия касания является мгновенной осью
вращения.
Если колесо прижимается к плоскости силой Рп, то для его равно-
мерного движения необходимо, чтобы значение вращающего момента
М определялось формулой Л1 = рРп. Здесь р = 10-5—10~3м — коэф-
фициент трения качения. При вращающем моменте Q > Л4 (ведущее
колесо) возникает проскальзывание колеса, линия касания его с плос-
костью имеет в неподвижной системе отсчета скорость, противополож-
ную движению, а возникшая сила трения скольжения приводит к ус-
коренному движению колеса. Приложенная к оси колеса внешняя сила
(ведомое колесо) обусловливает появление силы трения покоя в точке
касания, создающей необходимый вращающий момент. Для равномер-
ного движения колеса радиусом г спелую к его оси приложить силу
1.12.2. Вязкость и турбулентность. При движении твердых тел
относительно жидкости или газа различают два вида диссипативных
процессов. .Превращение энергии механического движения непосред-
ственно в энергию хаотического движения молекул называют вязко-
стью, а в энергию движения макроскопических вихрей жидкости
или газа, динамика которых также хаотическая, —турбулентностью.
В отсутствие турбулентности диссипативная сила/создаваемая вяз-
костью, пропорциональна скорости тела с коэффициентом, зависящим
от формы и размеров тела и пропорциональным характеристике среды
(жидкости или газа), называемой коэффициентом вязкости. Для шара
радиусом г, движущегося со скоростью vb среде с коэффициентом вяз-
кости г|, сила сопротивления F = —6jtrr|v. Появление турбулентных
вихрей при движении тела определяется по числу Рейнольдса Re =
== — . Здесь I — размер тела; v — его скорость; р — плотность
жидкости. Для каждой формы тела можно определить эксперименталь-
но критическое значение числа Рейнольдса, при котором появляется
60
турбулентность. На этом основано изучение обтекания тел на малых
моделях: уменьшая размеры тела, но увеличивая при этом соответст-
венно скорость и плотность среды, можно получать те же значения чис-
ла Рейнольдса, а значит, и ту же картину обтекания тела.
При появлении турбулентности сила сопротивления становится
пропорциональной квадрату скорости тела, а при приближении по-
следней к скорости звука в среде — ее кубу. При сверхзвуковых ско-
ростях сопротивление пропорционально квадрату скорости.
Раздел 2
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
2.1. КИНЕМАТИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
2.1.1. Ограниченность механики Ньютона. Исследования явле-
ний, происходящих при скоростях у, близких к скорости света (с),
показывают неприменимость законов классической механики в фи-
зике высоких скоростей, которую называют релятивистской физикой.
Основные представления о пространстве и времени, созданные на
основе опыта повседневной жизни, когда скорости движения ничтожно
малы по сравнению со скоростью света, кардинально изменяются в реля-
тивистской физике. Специальная (частная) теория относительности,
описывающая явления, происходящие при высоких скоростях, рас-
крывает новые свойства окружающего мира. При этом законы механи-
ки Ньютона оказываются частным случаем (справедливым при малых
v < с) более общих законов движения.
Релятивистская физика является развитием и расширением клас-
сической физики. Результаты специальной теории относительности
при обычных скоростях v с практически не отличаются от получен-
ных с использованием законов классической физики, но при v ~ с
различия так велики, что приводят к принципиально новым качествен-
ным результатам. Наиболее общие пространственно-временные законо-
мерности с учетом тяготения описываются в общей теории относитель-
ности.
2.1.2. Опыт Майкельсона. Опыты, проведенные в конце XIX в.
по определению скорости увлечения гипотетического эфира движущи-
мися средами, потребовали критического пересмотра представлений
классической электродинамики. Вначале эфир считали невесомой и
невидимой средой, в которой действие сил передается на расстояние
без непосредственного контакта между частицами вещества. Эфир
рассматривали как среду, в которой распространяются упругие волны,
воспринимаемые как световые.Затем с развитием электромагнитной тео*
ряи света, эфиру приписали электромагнитную природу, считая, что
он заполняет все пространство, и любое движение якобы происходит
относительно этого неподвижного мирового эфира.
Майкельсон осуществил опыт, в котором пытался обнаружить
«абсолютное» движение Земли относительно покоящейся среды — ми-
рового эфира. Идея опыта состояла в следующем: если Земля движется
к эфире со скоростью v в некотором направлении, то вдоль этого и обрат-
ного направлений свет пройдет один и тот же отрезок I за различное
время. Действительно, в соответствии с законом сложения скоростей
механики Ньютона скорость распространяющегося в направлении уда-
ляющейся Земли света = с — vt а распространяющегося в противо-
положном направлении v2 — с + v. Соответственно время, за которое
лучи света проходят расстояние I:
/2 =_____.
C—V С + V
I
t
(2.1)
62
Для преодоления светом пути I в направлении, перпендикулярном
направлению движения Земли, необходимо время
1..-
(2.2)
Майкельсон предполагал, что можно обнаружить различия во
временах и /3 с помощью специального интерферометра, ход лучей
в котором взаимно перпендикулярен (рис. 2.1). Из источника S световые
л
лучи под углом попадают на полупрозрачную плоскопараллельную
пластинку Д, которая разделяет их .
на два взаимно перпендикулярных
пучка, каждый из которых, отразив-
шись от плоских зеркал М и М',
возвращается на ту же пластинку.
Часть света проходит к источнику,
а часть — попадает в точку S', где
наблюдается интерференция, связан-
ная с разностью хода лучей в этих
пучках. Если AM ~ AM', то раз-
ность хода может возникнуть только
за счет времени, в течение которого
свет преодолевает эти отрезки в пря-
мом и обратном направлениях. Пово-
рачивая интерферометр, можно до-
биться, чтобы одно из направлений,
например AM, оказалось параллельным скорости движения Земли.
Тогда свет пройдет туда и обратно путь AM согласно уравнению
(2.1) за время
21
с
1
& '
а путь AM' в соответствии с формулой (2.2) за время 2/3. Следователь-
но, разность
d с
]1
. _£2 1 —
С2" С*
Так как значение f/c = р < 1 (у ~ 3 « 104 м/с, с ~ 3 • Ю8 м/с), то
д/Л
с
При повороте всего интерферометра на угол ф™?г знак Д/ изменится;
и общее Д/о удвоится:
«, = 2!S’.
и с
Смещение интерференционной картины при этом должно произой-
ти на некоторую долю расстояния §0 между максимумами:
о/
63
При v == 3 • 10fi см/с, 1 — 5,9 • I0-5 см и I = 11 м получаем £ =
== О,4£о. Точность измерений в интерферометре позволяет фиксировать
смещение на несколько процентов от значения £0.
Однако в опытах Майкельсона никакого смещения полос интер-
зт
ференционной картины при повороте прибора на ф = обнаружить
не удалось; многократно повторяющийся отрицательный результат
этого опыта показал, что скорость света не зависит от состояния
движения системы, в которой производится измерение. Это противо-
речит закону сложения скоростей механики Ньютона. В последующее
время было неоднократно экспериментально обнаружено нарушение
закона сложения скоростей классической механики при скоростях у,
близких к скорости света. Например, доказательством независимости
скорости света от скорости движения источника является наблюдение
гамма-квантов высокой энергии, которые излучаются при распаде дви-
жущихся со скоростью v = 0,99975 с нейтральных л°-мезонов. При
этом скорость света, излученного таким релятивистским источником,
измеренная в направлении движения я°-мезона, оказалась равной с
(а не v 4- с, как следует из закона сложения скоростей классической
механики).
2.1.3. Постулаты Эйнштейна. Специальная теория относитель-
ности, описывающая законы релятивистской физики, исходит из двух
основных постулатов, сформулированных Эйнштейном в 1905 г. Пер-
вый постулат состоит в следующем: никакими измерениями в произ-
вольной системе нельзя обнаружить ее прямолинейное и равномерное
движение, т. е. все процессы, происходящие в системе, не зависят от
ее прямолинейного и равномерного движения. Следовательно, все
системы, находящиеся в таком движении, эквивалентны.
Эйнштейн обобщил принцип относительности, описывающий ме-
ханические явления, на все физические процессы, включая и электро-
магнитные.
Второй постулат можно сформулировать так: скоростьг света
в вакууме постоянна и не зависит от того, в какой из эквивалентных
прямолинейно и равномерно движущихся систем она измеряется.
Следовательно, если вести измерение в двух системах, находящихся
в прямолинейном равномерном движении одна относительно другой,
то время распространения света от точки А к В и от В к Я одинаково,
каково бы ни было движение этих точек относительно друг друга.
2.1.4. Четыргхмерный интервал. Трехмерное пространство и вре-
мя как полноправную координату в специальной теории относительно-
сти удобно представлять вместе, рассматривая четырехмерный мир.
Мировой точкой называют точку пространства, рассматриваемую в оп-
ределенный момент времени. Четырьмя ее координатами могут быть три
дскартовые х, г/, z и время t. Удобно пользоваться следующими обозна-
чениями: f
х — х1} у = х2, Z =*- х3, I ~ х4.
Инвариантами специальной теории относительности являются скорость
света в вакууме с и четырехмерный интервал 512 — расстояние между
двумя мировыми точками и М2 с координатами xlt ylf zlt ix и x2,
£/2, определяемое формулой
«и = У W ~ [(x2 - + ('Л - 11Ы + & - z,)2] =
= У (ДО* - 1 [(Дх)* + (Д^ + (Дг)*].
64
Кинематические свойства в специальной теории относительности есть
следствие инвариантности указанных величин с и S12.
Возможные четырехмерные интервалы делят на три класса:
1. Временно подобные, если Sj* > 0. В этом случае возможно рас-
пространение сигнала от точки xL^, у4, z4 к точке х2, у2, г2 за время
T2i — h — ^1» т- е- физические явления в этих точках имеют причинно-
следственную связь.
2. Пространственноподобные, если S212< 0. Здесь величина ин-
тервала 512 равна мнимому числу, и мировые точки не имеют причин-
но-следственной связи. Распространение светового сигнала от точки
*i> Уъ zi к точке х2, у2, z2 происходит за время т21 > т21.
3. Нулевые, если S12 — 0. Это предельный случай, когда причин-
но-следственная связь может осуществляться световыми сигналами..
Геометрическое место нулевых интервалов в четырехмерном простран-
стве образует поверхность, которую называют световым конусом.
Непрерывную последовательность мировых точек в пространстве—
времени называют мировой линией. В специальной теории относитель-
ности мировая линия свободно движущейся материальной точки явля-
ется временноподобной прямой линией.
2.1.5. Преобразование Лоренца. Преобразования четырехмерного
интервала, оставляющие этот интервал инвариантным, называют одно-
родными (или преобразованиями Лоренца), если они могут быть пред-
ставлены как вращения в четырехмерном пространстве. Частным слу-
чаем однородных вращений в таком пространстве является переход от
покоящейся системы координат х4, х2, х.3, х4 к системе х'4, х2, х3, x4t
движущейся в направлении оси х4 с постоянной скоростью v. Если
при х4 = 0 начала этих систем координат совпадают, то преобразова-
ния Лоренца для них имеют вид
х, — ох,.
х4 = ,
Ki-[^
х2 — х2, х'. = Х31
, X, vx} /С2
Х4 = -2——-±—
К1 - Р
х' + vx4
Х4 = ,
= Х2 , Х3 ” Х3,
*4 +
*»= Tzrpr- >
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
где р = < 1. Когда относительная скорость v имеет произвольное
направление, преобразования Лоренца записываются так:
г' = Г + ~~ [— 1 (г, v) V-------, (2.9)
H/1-Pa / /1 — Р2
Г = <г’ vV£2. (2.Ю)
/1 - (>2
Здесь г, г' — радиусы-векторы точки в покоящейся системе координат
и в той, которая движется со скоростью v относительно неподвижной.
В предельном случае малых скоростей при и 0 получаем р -> 0,
тогда формулы (2.3) и (2.5), (2.9), (2.10) переходят в классические пре-
образования Галилея. Преобразования (2.3)—(2.10) получил Лоренц
3 5-1472
65
при попытке спасти теорию абсолютно неподвижного мирового эфира.
Развитие специальной теории относительности привело к заключению,
что преобразования Лоренца отражают объективные свойства прост-
ранства и времени, вытекающие из экспериментальных данных.
Согласно основным постулатам теории относительности любой
физический закон должен удовлетворять преобразованиям Лоренца,
т. е. не изменяться при переходе от одной системы отсчета к другой,
эквивалентной. Все физические законы инвариантны по отношению
к этим преобразованиям.
Из формул (2.3)—(2.5) следует, что при v > с преобразования Ло-
ренца теряют смысл, т. е. движение тела со скоростью больше скорости
света невозможно.
2.1.6. Длина и объем тела в разных системах. Предположим, что
в системе координат XYZ покоится стержень, расположенный вдоль
направления ОХ так, что начало и конец его лежат в точках с координа-
тами и х2. Тогда в неподвижной системе длина этого стержня /0 ==
с= х2 — xj, а в движущейся со скоростью v относительно системы XYZ
следует измерять lf в одно и то же время t'. Тогда из формул (2.6) —
(2.8) получим
х\ = хх У 1 — |32— vte > х', = х2 У 1 — Р — vt'
или
I’ = 1„
Таким образом, длина стержня Г в системе координат, движущейся
относительно местоположения данного стержня, оказывается меньше,
чем длина стержня 10 в покоящейся системе координат. Следовательно,
размер тела и его объем оказываются не постоянными, а зависящими
оттого, в какой системе. (движущейся или неподвижной) они рас-
сматриваются. Тело имеет наибольший размер в той системе, относи-
тельно которой оно покоится.
2.1.7. Понятие об одновременности событий в теории относитель-
ности и длительность событий в разных системах. Постулат специаль-
ной теории относительности о постоянстве скорости света, измеренной
в любой из эквивалентных систем, движущихся прямолинейно и рав-
номерно одна относительно другой, позволяет ввести понятие одно-
временности событий в точках А и В. Событием называют любое фи-
зическое явление, происходящее в точке с координатами х, у, а в мо-
мент времени t. Событие в точке А называют одновременным с событием
в точке В, отстоящей от Л на расстоянии /, если световой сигнал, вы-
шедший из точки А в начале этого события, приходит в точку В спустя
время t — после того, как в В началось другое событие.
Для определения моментов времени, в которые происходят собы-
тия, необходим прибор для измерения времени — часы. Показания
часов, расположенных в произвольных точках пространства, должны
быть одинаковыми в каждый момент времени, а их ход — согласован.
Такие часы называют синхронными.
Для синхронизации часов, находящихся в точках М и ис-
пользуют световой сигнал. Согласно законам кинематики специальной
теории относительности ход времени в различных инерциальных сис-
темах неодинаковый. Временной интервал между двумя определенны-
ми событиями изменяется при переходе от одной инерциальной системы
отсчета к другой, т. е. длительность одних и тех же событий в этих си-
стемах разная. Пусть в неподвижной системе XYZ в точке М происхо-
дит событие в течение времени А/ = т21 — t2 — где /х, /2 — моменты
начала и конца этого события, которым в движущейся со скоростью
66
v вдоль направления оси х системе соответствуют моменты 1\ и t2 if той
же точке. Из формулы (2.5) получаем
= ^П-₽2 = Ь-₽7, =,—^.(2.11)
Отсюда следует, что т21 < т21. Значит, длительность события ока-
зывается наименьшей в покоящейся системе.
Время, измеряемое по часам, которые движутся вместе с рассмат-
риваемым объектом, называют собственным временем этого объекта.
Различие в длительности событий, измеренных в разных систе-
мах, тем больше, чем больше скорость относительного движения этих
систем.
2.1.8. Закон сложения релятивистских скоростей. Из основных
постулатов специальной теории относительности следует, что закон
сложения скоростей механики Ньютона (правило параллелограмма
скоростей) неприменим в релятивистской физике. Отношения диф-
ференциалов dx'lt dx2, dx’A к dx4, полученные из преобразований Лоренца
(2.3) — (2.8), в случае, когда система координату, х2, х4 неподвижна,
а система х{, х2, x*if х4, оси которой параллельны неподвижной системе,
движется в направлении оси х4 со скоростью vt дают следующие зна-
чения скоростей:
,, — с^х‘> — Uy * ~~~
Uy “ dx4 ~~ j uxv ’
с2
(2.13)
(2.14)
(2Л5)
__ dx2 __ Uyf Y1 — Р2
Uy ~ dx± upv ’
. " с2
dx, u‘'VT^
и? — —-— ---------
(2.16)
(2.17)
Эти формулы дают результаты, сильно отличающиеся от классических
при скоростях у, близких к скорости света. Например, если в дви-
жущейся системе распространяется луч света со скоростью ~ с, то
с 4- и „
в неподвижной системе его скорость ик =--!---= с. Скорость све-
1+07
та является предельной при любом движении тела. При этом модуль ско-
рости
............-2—-2 ^(«з + + (“Г- + о -- 02)
и ~ / w: +..+ и* =-----------———5-----------------,
3*
67
т. е. «абсолютная» релятивистская скорость не равна алгебраической
сумме относительной и переносной скоростей, как это справедливо
в классической механике.
2.1.9. Преобразование ускорений в релятивистской механике.
Компоненты ускорений для тех же координат, что и в 2.1.8, в спе-
циальной теории относительности имеют вид
аУ dx'
4
' _ _ / У1 — Р \3
а>с' “ dx't ~' йх — viix/c2 ; ‘
а + а 1.
С2 Уг са ad
du'.
2 dx4
1 VUX
С*
. vu2
az + -^ax
1 — Р2
з
1
С2
dx4
= ах,
уТ — р2 у
tw', I ’
1 +-Г /
сл /
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.21)
\3 ?
Формулы (2.18)—(2.23) существенно упрощаются в частных случаях,
например, когда в начальный момент скорость и' имеет направление
по оси х, а направление ускорения а с ним совпадает (тангенциальное
ускорение а/) или перпендикулярно ему (нормальное ускорение ап).
При этом
(1 — р2)3/2 ,
“ 7 A J ° '
(2.24)
з ’
1 — р
, \ 2
(1 + ^1
V с*
(2.25)
Для произвольного направления скорости и' преобразование нормаль-
ного и тангенциального ускорений более сложное и не описывается фор-
мулами (2.24)—(2.25).
2.2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
2.2.1. Закон преобразования массы. Чтобы уравнения движения
тел в релятивистской механике были инвариантны по отношению к пре-
образованию Лоренца, необходимо учесть, что в движущейся системе
релятивистская масса тела
68
где mQ —масса тела в системе, относительно которой оно покоится.
Соотношение (2.26) получается из закона сохранения количества дви-
жения с учетом формул (2.12)—(2.17).
Таким образом, в специальной теории относительности установ-
лено, что масса тела, как и время (или размер и форма его), является
величиной относительной.
Из формулы (2.26) следует, что масса движущегося тела больше
массы покоящегося. Если скорость тела приближается к скорости све-
та, то масса тела стремится к бесконечно большому значению. Следова-
тельно, если тело движется со скоростью света, то никакими конец-
ными силами нельзя ее увеличить, т. е. из формулы (2.26) также сле-
дует. что скорость света является предельно возможной.
Если скорость тела v мала по сравнению со скоростью света, то
увеличение массы (так называемая кинетическая масса)
Лш = т — тп
1
(2.27)
2
также мало. Для элементарных частиц, которые разгоняются в уско-
рителе до скоростей, близких к скорости света, величина кинетической
массы может оказаться большой. Релятивистский импульс (количество
движения)
rw_
у гйр
р = шу —
определяется нелинейной (в отличие от классического случая) функцией
скорости.
Из однородности пространства следует закон сохранения реляти-
вистского импульса: (р) — 0, т. е. для замкнутой системы он не
изменяется с течением времени. В силу этого закона в релятивистской
механике справедлив закон сохранения релятивистской массы. В за-
мкнутой системе все процессы происходят с сохранением полной реляти-
вистской массы этой системы.
2.2.2. Уравнения движения. Основной закон релятивистской ди-
намики материальной точки определяется уравнением
или
d I у \
т0 ...= F.
dt \у! _ р/
(2.28)
(2.29)
Здесь F — равнодействующая всех сил, приложенных к точке. Урав-
нение (2.29) инвариантно относительно преобразований Лоренца. Закон
движения (2.28) можно также записать в виде
dv dm dv ___
di + v dv dt ~ *’
(2.30)
где m определяется формулой (2.25'b-
Под действием силы F материальная точка массой т приобретает
ускорение
dv 1 ( dm\ 1
— ------( г---у--। --
dt tn \ dt J т
v
(2.31)
69
откуда видно, что в общем случае в релятивистской механике направ-
ление ускорения отличается от направления силы, которая это ускоре-
ние вызывает.
Если направления силы F и скорости v перпендикулярны, т. е.
(F, v) = 0, то
(2.32)
а если параллельны, то v (F, v) = u2F и
a = ^-(l-P2)3/2. ' (2.33)
Только в рассмотренных случаях (см. уравнения (2.32), (2.33)) направ-
ление ускорения совпадает с направлением силы, его вызывающей.
2.2.3. Работа сил в релятивистской механике. Если сила F дейст-
вует на материальную точку на малом отрезке dr, то совершаемая ею
в соответствии с законом (2.30) работа
6Л = (F dr) = (Fv) dt = tn (v dv) v2 dm — mv dv + v2 dm.
c2 — V2
Учитывая, что dv —------- dm. получаем
mv J
8A~c2dm, (2.34)
т. e. работа пропорциональна изменению релятивистской массы мате-
риальной точки.
2.2.4. Релятивистское соотношение между массой и энергией.
Приращение кинетической энергии 6Е материальной точки равно ра-
боте 6/1 т. е. 6£ = 6/4 = c2dm. Отсюда следует, что Е = Ате2 =
= (т — т0)с2.
Согласно специальной теории относительности движущееся со ско-
ростью v тело массой т0 имеет кинетическую энергию
Е = т0с2 j —р2 — 1 j .
Таким образом, обычное классическое выражение Е = ~т0и2
для кинетической энергии является первым приближением для малых
значений ц, а для больших v, близких к скорости света, кинетическая
энергия становится значительно большей, чем следует из этого выра-
жения; она стремится к бесконечно большой величине.
Энергию Ео = т0с2 называют энергией покоя тела массы т0.
Всякая покоящаяся масса содержит в себе очень большое количество
энергии.
Сумма кинетической энергии и энергии покоящегося тела равна
полной энергии:
= £ + = (2.35)
Из этого соотношения следует связь между энергией и количеством
движения:
W2 И — — т3с^,
или ________
17 = V pV- + mfc.
70
В релятивистской механике выполняется закон сохранения энер-
гии: в замкнутой системе полная энергия не изменяется с течением
времени. Из соотношения (2.35) видно, что законы сохранения энергии
и массы в релятивистской механике взаимосвязаны. Они следуют из
однородности времени.
2.2.5. Эффект Доплера в оптике. Изменение частоты, обусловлен-
ное движением источника или приемника электромагнитных воли
в случае, когда волны распространяются в вакууме, зависит только от
их относительной скорости v. В соответствии со специальной теорией
относительности воспринимаемая частота
/1 - РЕ 2 * * S
v '° 1 — Р cos <р '
где v0 — частота излучения при нулевой относительной скорости; р =
= —-; ср — угол между направлением скорости и липиеи наблюдения,
измеренный в связанной с приемником системе координат.
При движении источника электромагнитных волн в среде с показа-
телем преломления п (v) воспринимаемая частота
v0 /1 - Р2 „ . .
V = 7-- м ~ / X-- ПРИ (v) COS Ф < 1,
1 — [3/Z (v) cos ср 1 r v т *
vo/T^P2 p ,, .
v = з—/4------;—г при pn (v) cos <p > 1.
fin (v) cos cp — 1 r v 7 T
(2.36)
Формула (2.36) соответствует движению co сверхсветовой скоростью,
т. е. большей скорости света в данной среде, номейьшей, чем в вакууме
(при этом проявляется эффект Вавилова—Черенкова).
2.2.6. Релятивистское преобразование термодинамических вели-
чин. Если действие внешних сил на термодинамическую систему сво-
дится к скалярному давлению р, то преобразования энергии и импуль-
са при переходе от системы отсчета, в которой общий импульс и скорость
равны нулю, а энергия Е = к системе отсчета, где энергия равна
Е и общий импульс р, описываются формулами
Е =
К1-Р ’
_ U £о + РХ
«2 ’
(2.37)
(2.38)
Здесь рй, Vo — давление и объем в неподвижной системе координат.
Давление р при этом не изменяется (р = р0), а объем преобразуется
по формуле
У = У0УТ-р2.
(2.39)
Из первого начала термодинамики для количества тепла 6Q следует
закон преобразования
6Q = dE — 6 А = dE + р dV ~~ (н dp) == 8Qq У 1 — Р, (2.40)
где — работа внешних сил; 8Q0 — количество тепла в неподвижной
системе координат.
Энтропия системы является релятивистской инвариантной величи-
ной:
S = So. (2.41)
71
Температура Т = преобразуется по закону
(2.42)
Из формул (2.37)—(2.42) следуют законы релятивистских преобразо-
ваний для любых термодинамических величин.
2.2.7. Релятивистская электродинамика. Уравнения Максвелла
в релятивистском случае можно записать в четырехмерной форме, по-
этому электромагнитная теория инвариантна относительно преобра-
зований Лоренца. При этом составляющие напряженности электриче-
ского Е и магнитного Н полей, а также электрической D и магнитной В
индукции преобразуются при переходе от одной инерциальной системы
отсчета к другой в соответствии со следующими законами:
Е]| = Е1р £1 = {5Л - [v X В]х/с} (1 -
В[, = B||t В; = {Вх + [v X Е]±/С} (1
Я|'( = Я|(, я; = - [V X D]±/с} (1 - р2)-Ч
О' = О|р = {°х + [V X Н]х/с} (1 - р*)-^.
Здесь Е у, /7[|, В у ,Z> ц — составляющие векторов напряженности
электрического и магнитного полей, электрической и магнитной индук-
ции, параллельные направлению относительной скорости v двух
рассматриваемых инерциальных систем отсчета, a ELi £>±, Н
[v X Е]±> [v X В][v X D]±, [v X Н]±—составляющие этих векторов,
перпендикулярные v.
Плотности электрического заряда р и электрического тока j опре-
деляются аналогичными преобразованиями:
„_р +_ /ц — УР
р ”’ 11 = /п’ 'h ~ /Т^р5,
где /ц, /± —параллельная и перпендикулярная v составляющие век-
тора плотности электрического тока.
Постулаты специальной теории относительности требуют пере-
смотра представлений о независимости длины тела, его массы, а также
скорости протекания процессов от состояния его движения. Экспе-
риментальные исследования в области релятивистской физики под-
твердили справедливость постулатов специальной теории относитель-
ности и вытекающих из них следствий. Специальная теория относи-
тельности наряду с квантовой механикой описывает явления, проис-
ходящие с элементарными частицами, а также процессы, протекающие
в атомных ядрах, космических лучах и т. п.
2.2.8. Краткие сведения об общей теории относительности. Тео-
рия тяготения Ньютона предполагает, что при изменении положения
одного из взаимодействующих тел мгновенно изменяется сила притя-
жения между ними, что находится в противоречии с выводами спе-
циальной теории относительности, согласно которой всякое взаимодей-
ствие может распространяться со скоростью, не превышающей скорость
света. Закон тяготения Ньютона справедлив лишь приближенно при
малых относительных скоростях движения взаимодействующих
тел (у < с) и малых значениях гравитационных потенциалов.
72
В 1915 г. Эйнштейн создал основы общей теории относительности,
в которой проведено обобщение понятия относительности на системы,
движущиеся с ускорением (на неинерциальные системы отсчета).
Общая теория относительности связывает явление тяготения с кривиз-
ной пространства—времени. Исходным положением для построения
этой теории явился принцип эквивалентности инертной и гравитацион-
ной масс. Невозможно отличить движение тел в неинерциальной сис-
теме отсчета от их движения в поле тяготения. Однако эквивалент-
ность гравитационного поля и неинерциальной системы отсчета носит
локальный и приближенный характер, так как никаким выбором систе-
мы отсчета нельзя заменить во всем пространстве поле тяготения,
обусловленное реальным телом. В неоднородном гравитационном поле
на различные точки движущегося протяженного тела действуют раз-
личные силы, которые называют приливными силами. Относительное
ускорение пары точек протяженного тела под действием приливных
сил зависит от взаимного расположения этих точек и пропорционально
расстоянию между ними. Коэффициент пропорциональности (в общем
случае имеющий тензорный характер) называют кривизной простран-
ства—времени. Пространство—время называют плоским, если его кри-
визна в любой точке равна нулю. Кривизна пространства—времени
пропорциональна плотности энергии—импульса вещества, которое
создает гравитационное поле. В общей теории относительности движе-
ние в поле тяготения происходит по экстремальным, так называемым
геодезическим линиям пространства—времени. Малые дуги геодезиче-
ских линий являются кратчайшими расстояниями на поверхности
между точками на концах этих дуг. Движение в поле тяготения вос-
принимают в трехмерном пространстве—времени как движение с пере-
менной скоростью по искривленным траекториям.
Согласно общей теории относительности изменения гравитацион-
ного поля распространяются в вакууме со скоростью света. Если гра-
витационный потенциал ср, создаваемый телом, много меньше с2, а ско-
рость движения этого тела v < с, то предсказания общей теории отно-
сительности с точностью до поправок (р/с2 и v/c совпадают с результа-
тами теории тяготения Ньютона.
Экспериментально обнаружены предсказанные общей теорией
относительности в слабых гравитационных полях такие эффекты:
1) поворот перигелия эллиптической орбиты Меркурия, 2) отклонение
лучей света гравитационным нолем Солнца, 3) красное смещение
и запаздывание электромагнитных волн в гравитационном поле.
Наибольшие отличия общей теории относительности от теории
тяготения Ньютона проявляются в сильных гравитационных полях.
Теория тяготения Эйнштейна предсказала возможность существования
массивных компактных объектов, называемых черными дырами, ко-
торые обладают таким большим гравитационным потенциалом, что
никакие физические тела и никакие сигналы не могут вырваться на-
ружу.
Отметим, что требование релятивистской инвариантности уравне-
ний и законов, описывающих физические явления в квантовой механи-
ке, привело к обобщению уравнений Шредингера на случай скоростей,
близких к скорости света, при построении релятивистской квантовой
теории полей и релятивистской квантовой электродинамики.
Раздел 3
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
3.1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
3.1.1. Явления, не объяснимые классической физикой. К началу
XX в. стало известно большое количество явлений, которые не удава-
лось объяснить в рамках классической физики. Приведем главные из
них.
1. Равновесное излучение абсолютно чер-
ного тела, теплоемкость тел при низких тем-
пературах. Черным излучением называют электромагнитное
излучение, находящееся в состоянии теплового равновесия, например,
тепловое излучение абсолютно черного тела, излучение, замкнутое
в полости тела и находящееся в тепловом равновесии с ним. В класси-
ческой статистической механике доказано, что энергия системы с боль-
шим числом степеней свободы распределяется по этим степеням ста-
тистически равномерно, т. е. средняя энергия, приходящаяся на каж-
дую степень свободы в состоянии теплового равновесия, одинакова.
Следствием этого закона является функция распределения энергии
по частотам, которая не только противоречит эксперименту, но и при-
водит к физически бессмысленному выводу о бесконечности полной
энергии излучения, заключенного в полости. Из него же вытекает, что
теплоемкость твердых тел должна оставаться постоянной при любых
температурах, в то время как эксперимент показывает, что она умень-
шается при охлаждении, стремясь к нулю при приближении темпера-
туры к абсолютному нулю.
2. Строение и излучение атома, фр т о э ф ф е к т.
Экспериментально доказано, что атом состоит из плотного положи-
тельно заряженного ядра и окружающих его отрицательно заряженных
электронов. Но согласно классической физике никакая статическая
система электрических зарядов не может быть устойчивой. Если пред-
ставить себе, что электроны вращаются вокруг ядра подобно планетам
вокруг Солнца, то согласно классической электродинамике они долж-
ны испускать электромагнитные волны с непрерывно изменяющейся
частотой и, теряя таким образом постепенно энергию, за короткое время
падать на ядро. Следовательно, в рамках классической физики невоз-
можно объяснить стабильность атомов. Из эксперимента известно, что
атом является устойчивым образованием, при определенных условиях
он может излучать электромагнитные волны (свет), но не с непрерывно
изменяющейся частотой, как следовало бы из классической физики,
а со строго определенной для каждого химического элемента (ли-
нейчатый спектр). При этом излучение не приводит к разрушению
атомов,
При действии света на вещество в определенных условиях наблю-
дают появление свободных электронов, т. е. так называемый внешний
фотоэффект. При облучении в газообразных веществах происходит
74
вырывание электронов из отдельных атомов, а в твердых освобожда-
ются электроны наиболее высоко расположенных заполненных энерге-
тических зон. Фотоэффект и его количественные характеристики опре-
деляются следующими законами: а) для каждого вида атомов или
вещества существует минимальная частота облучающего света,начиная
с которой возможен фотоэффект; б) если частота облучающего света
больше минимальной на Av, то кинетическая энергия вылетающих
электронов пропорциональна Av и не зависит от интенсивности облу-
чения; в) количество вылетающих электронов зависит только от интен-
сивности облучающегосвета.(В настоящее время, когда благодаря изо-
бретению лазеров, стало возможным получать монохроматические из-
лучения больших интенсивностей, обнаружены отклонения от зако-
нов фотоэффекта, обусловленные двухфотонными процессами.) Законы
фотоэффекта невозможно объяснить исходя из представлений клас-
сической физики.
3. Радиоактивность. После установления явления радио-
активности, заключающегося в испускании ядрами некоторых элемен-
тов заряженных частиц, оказалось невозможным объяснить, почему
одни из находящихся в одинаковых условиях тождественных ядер
распадаются, а другие нет, причем доля распадающихся ядер в еди-
ницу времени не зависит от внешних условий.
4. Д и ф р акция э л е к т р о и о в. В экспериментах с элек-
тронными пучками было обнаружено, что они обладают волновыми
свойствами и способны к дифракции, т. е. электрон, отражаясь, напри-
мер, от поверхности кристалла, взаимодействует не с отдельным атомом,
а со всей кристаллической решеткой, что не согласуется с представле-
нием о нем как о частице.
Первую группу явлений удалось описать, введя противоречащее
классической физике правило, что энергия,приходящаяся на колеба-
тельные степени свободы, может изменяться не непрерывно, а пор-
циями, или квантами, энергия которых Е — hv, где v — собственная
частота соответствующей степени свободы; h— постоянная Планка,
равная 6,62676 • 10“34Дж • с. Это дало возможность Эйнштейну объя-
снить закономерности фотоэффекта: для отрыва электрона от атома или
от поверхности вещества необходимо затратить энергию ср, которую гдля
вещества называют работой выхода, а для атома — энергией иониза-
ции, т. е. использовать излучение с частотой не меньшей <р/й. Избыток
энергии кванта превращается в кинетическую энергию электрона со-
гласно уравнению hv = <р + W^, где W— кинетическая энергия
вылетающего электрона.
Устойчивость атома и линейчатые спектры излучения и поглощения
были объяснены в теории атома Бора, где постулировалось, что атом
подобно колебательным системам может изменять свою энергию не
непрерывно, как следовало бы из классической физики, а дискретно.
Другими словами, имеется дискретный набор возможных состояний
электрона в атоме, каждое из которых устойчиво и характеризуется
энергией Еп (п— номер состояния). Если атом взаимодействует с
электромагнитной волной такой частоты V, что энергия ее кванта
равна разности энергий каких-либо двух состояний, т. е.
Еп — Em^hv, , (3.1)
то квант может быть поглощен с переходом электрона из состояния т
в состояние п. Наоборот, атом из состояния с высокой энергией Еп
может перейти в состояние с низкой энергией Ет, при этом излучает-
ся квант электромагнитной волны, частота которой определяется из
уравнения (3.1),
75
Момент поглощения или испускания атомом кванта излучения в
теории Бора оставался непредсказуемым. В этом смысле переходы
электрона в атоме оказались аналогичными радиоактивному распаду.
В обоих случаях, хотя отдельные события испускания непредсказуемы,
количество событий в большом ансамбле атомов в единицу времени
пропорционально количеству атомов, т. е. вероятность испускания
в единицу времени в данных условиях одинакова для всех атомов. Эта
закономерность выявляется только в ансамбле атомов и не связана
с взаимодействием атомов ансамбля, которые могут быть расположены
как угодно далеко один от другого. :
Аналогично объясняется явление дифракции электронов. Оказа-
лось, что после отражения от поверхности кристалла электрон может
двигаться в любом направлении, предсказать которое заранее невоз-
можно, но вероятности различных направлений такие, что ансамбль
электронов дает дифракционную картину. Это не связано с взаимодей-
ствием электронов в пучке; их можно пропускать даже по одному с боль-
шими промежутками времени и картина не изменится.
Таким образом, неизвестный ранее тип закономерности, наблю-
давшийся сначала на явлении радиоактивности, когда некоторые ха-
рактеристики индивидуальных событий непредсказуемы, оказался
общим для различных необъяснимых в классической физике явлений.
3.1.2. Основные отличия квантовой механики от классической.
Гипотеза квантов излучения при анализе процесса измерения физиче-
ских величин приводит к тому, что в результатах этих измерений
всегда имеется неопределенность, которую можно сделать как угод-
но малой только за счет увеличения неопределенности в значении дру-
гой величины. Точнее, неопределенности значений пары динамических
или кинематических переменных, описывающих в классической меха-
нике движение тела, связаны соотношением (неравенством), которое
называют соотношением неопределенностей Гейзенберга. Такие пары
величин называют канонически сопряженными. Например, неопреде-
ленности в измерении декартовой координаты X/ и соответствующей
компоненты импульса, pi связаны неравенством А/.^ Ах, > й/2л =
— h. Здесь h обозначает постоянную Планка, деленную на 2лЛ; Соот-
ношения неопределенностей для других канонически сопряженных
нар имеют аналогичный вид. Канонически сопряженной парой пере-
менных являются угол поворота вокруг какой-либо оси и момент им-
пульса относительно этой оси. Соотношение неопределенностей озна-
чает, что в квантовой механике пе может существовать динамической,
т.е. однозначно определенной закономерности, связывающей канони-
чески сопряженные величины. Результаты экспериментов, произво-
димых с квантовомеханическими системами, описывают величинами,
введенными в классической механике, но характер закономерностей,
связывающих эти величины, оказывается существенно другим.
Наблюдаемой величиной (или просто наблюдаемой) в квантовой ме-
ханике называют такую характеристику состояния квантовомеханиче-
ской системы, которая может быть измерена с помощью прибора, опи-
сываемого в рамках классической механики. Кроме перечисленных
выше величин к наблюдаемым относятся также энергия квантовомеха-
нической системы и вероятность изменения ее состояния в единицу
времени. Обратная этой вероятности величина А/ и неопределенность
энергии этого состояния связаны соотношением А£ AZ > h. Наблю-
даемые величины подчинены статистическим закономерностям, т. е.
при любой степени тщательности подготовки одинаковых систем в ре-
зультате измерения получают различные значения и определенным
законам подчиняются вероятности появления этих значений. Кван-
товая механика позволяет в принципе точно вычислить эти верояг-
76
пости. Статистические законы присущи описанию квантовомеханиче-
ской системы с помощью наблюдаемых, т. е. любые попытки предска-
зать определенные результаты измерения наблюдаемых не могут
соответствовать эксперименту.
В отличие от классической механики, где наблюдаемые величины
могут всегда иметь непрерывный ряд значений для различных систем
или различных состояний;одной системы, возможные значения на-
блюдаемых для квантовомеханических систем могут образовывать как
непрерывный, так и дискретный набор величин. Набор возможных
значений наблюдаемой для данной системы называют ее спектром.
В классической механике благодаря непрерывному спектру значений
наблюдаемых практически невозможно образовать одинаковые систе-
мы. Все однотипные системы, описываемые в квантовой механике
(электроны, протоны или другие элементарные частицы, атомы одного
изотопа определенного элемента, молекулы одного вещества), абсо-
лютно тождественны. Различные объекты отличаются один от другого
на конечную величину по какому-либо параметру, хотя в масштабах
классической физики это отличие может быть мало. Например, раз-
личные частицы отличаются одна от другой по массе на определенную
конечную величину, тождественные в других отношениях атомы мо-
гут находиться в различных возбужденных состояниях, разделенных
определенным интервалом по энергии.
-Все особенности квантовой механики становятся несущественными
при описании механического движения тел большой массы (за исклю-
чением движения квантовых жидкостей).
3.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
3.2.1. Операторы. Для понимания простейших формул квантовой
механики необходимы некоторые сведения из математики, выходящие
за рамки программы средней школы.
Оператором называют действие, которое, будучи произведено
над какой-либо функцией, превращает ее в другую функцию. Например,
в квантовой механике встречаются операторы умножения любой функ-
ции координат на определенную функцию и операторы дифференци-
рования функций координат по их аргументам. Операторы часто обо-
значают буквами со «шляпкой» сверхуГД. Их можно складывать. Если
[ (х) — произвольная функция, то
(Д + В)/(х)-Д/(х) + Й/(х).
П ро изведенном операторов А и В, обозначаемым ДВ, называют
оператор, действие которого на любую функцию заключается в том,
что сначала иа эту функцию действуют оператором В, а затем на полу-
ченный результат оператором Д. Произведение операторов некоммута-
тивно, т. е. в общем случае АВ В А. Например, умножение произ-
вольной функции f (х) на х и оператор дифференцирования по х не ком-
мутируют:
+ <3-2>
Некоторые операторы коммутируют между собой, например операторы
умножения на различные функции координат.
Если действие оператора на некоторую определенную функцию
эквивалентно умножению этой функции иа постоянную, то эту по-
77
стоянную называют собственным значением оператора, а функцию —
собственной функцией, соответствующей этому собственному значению^
Например,
~ih3xe‘kX^hke<,!X- (3.3)
Множество всех собственных значений оператора называют его спект-
ром. Спектр оператора может быть непрерывным, дискретным или
состоять из непрерывной и дискретной частей. Собственное значение
оператора принадлежит непрерывному спектру, если в любой"как
угодно малой окрестности его имеются другие собственные значения
этого оператора. Функциональное уравнение, аналогичное уравнению
(3.3), из которого определяются собственные функции и собственные
значения оператора, называют задачей о собственных значениях. Воз-
можны случаи, когда одному и тому же собственному значению соответ-
ствуют несколько собственных функций или даже бесконечное их мно-
жество. Такие собственные значения называют вырожденными.
Линейной комбинацией функций называют их сумму с произволь-
ными постоянными коэффициентами. Функции линейно независимы,
если никакая их линейная комбинация с коэффициентами, не равными
нулю, не обращается тождественно в нуль. Любая линейная комбина-
ция собственных функций, принадлежащих одному и тому же собствен-
ному значению, также является собственной функцией, принадлежа-
щей тому же значению. Количество линейно независимых функций,
принадлежащих вырожденному значению, называют кратностью
вырождения.
В квантовой механике основную роль играют оператор, входящий
в уравнение (3.3), и оператор умножения на какую-либо из декартовых
координат, а также функции от них (их произведение, сумма и т. п.).
Все функции, встречающиеся в квантовой механике, должны быть ог-
раничены по модулю, непрерывны и иметь ограниченную первую про-
изводную. На множестве таких функций единственными собственными
функциями оператора — iih являются функции cikx с произвольным
действительным k. Собственные значения этого оператора равны hk
и образуют непрерывный спектр.
Собственные функции оператора умножения на декартову коор-
динату представляют собой особые, так называемые обобщенные функ-
ции. Функцию, соответствующую собственному значению а, обознача-
ют 6 (х — а) и называют дельта-функцией Дирака или дельта-рас-
пределением. Это математический объект, который определяется своими
свойствами
X,
j 6 (х — a) f (х) dx = f (a), f (х) 6 (х — а) = f (а) 6 (х — а),
где f (х) — произвольная непрерывная в точке а и ограниченная функ-
ция; промежуток интегрирования может быть любым, включающим
точку а. График дельта-функции можно представить как бесконечно
узкий и высокий пик при х = а и пуль при всех остальных значениях
х. В выражения, имеющие прямой физический смысл, дельта-функция
может входить только под знаком интеграла.
Собственные значения оператора умножения па переменную х
являются действительными числами и образуют непрерывный спектр.
3.2.2. Описание состояния системы в квантовой механике. Суще-
ствует несколько эквивалентных формулировок квантовой механики.
78
Наиболее широко применяется формулировка Шредингера, или вол-
новая механика, в которой состояние системы в каждый момент времени
описывает функция всех координат и времени, называемая волновой
или пси {^-функцией. Волновая функция зависит также от парамет-
ров, связанных со значениями наблюдаемых, определенных в этом
состоянии, называемых квантовыми числами. Ее знание даст наиболь-
шую возможную информацию о системе подобно зависимости коорди-
нат и импульсов системы от времени в классической механике. Опа не
является наблюдаемой, т. е. может быть вычислена, по не измерена
приборами. Знание волновой функции позволяет вычислить вероят-
ность любого возможного значения наблюдаемой и средние значения
результатов измерений любой из них, проведенных на ансамбле тож-
дественных систем. Волновая функция комплексная, хотя может быть
и действительной.
Каждой наблюдаемой соответствует определенный оператор, на-
пример, координате — оператор умножения на эту координату, ком-
поненте импульса рх — оператор — ihd/dx. Остальные наблюдаемые
в классической механике можно выразить в виде функций от коор-
динат и импульсов. В волновой механике им отвечают те же функции
от соответствующих операторов. Если в функцию входит произведение
координаты и импульса, его симметризуют с учетом некоммутативно-
ст и операторов каждого из них (3.2).
В классической механике динамические свойства системы описы-
ваются ее гамильтонианом, которому в квантовой механике соответ-
ствует оператор Гамильтона, получающийся из первого заменой коор-
динат и импульсов на операторы. Например, для частицы массой in,
находящейся в поле, где ее потенциальная энергия V (х, у, г), гамиль-
тониан имеет вид
Л/ = —----ф- V (х, у, г) —--н- + —- + -1 + V (х, у, г).
2т J ’ 2т \ дх2 1 ди2 дг2 / 1 v и '
(3.4)
Для квантовомеханической системы не всегда имеет смысл одно-
временное измерение нескольких наблюдаемых. Это невозможно, на-
пример, если они связаны соотношением неопределенностей. Операто-
ры, соответствующие наблюдаемым, одновременное измерение которых
возможно, коммутируют. Все возможные результаты измерения на-
блюдаемой являются собственными значениями соответствующего ей
оператора. Если можно одновременно измерить наблюдаемую, которой
отвечает оператор А, и зафиксировать момент /0 ее измерения, то ве-
роятность получения л-кратно вырожденного собственного значения а^
определится формулой
п
pi ~ 2 И 'Х’ у’ У> z> hjdxdydz^, (3.5)
й=1 J
где (х, у, z) — собственные функции оператора А, соответствующие at.
Функции могут не зависеть от некоторых из аргументов Чт, тогда
интегрирование производится только по аргументам а вероятность
оказывается зависящей от остальных аргументов V. Например, вероят-
ность получить определенное значение одной из координат Хо в момент
t0 такая:
рх„ (У> г’ zo) = | ' 5 (* — *о)(*, У, г, 1№) dx |2=
= |'F(xa, у, z, ta)\\ (3.6)
79
а полная вероятность равна интегралу от РХа (t/, z, /0) по переменным
у и z. Если операторы А и +5 коммутируют, то всегда можно постро-
ить систему собственных функций общую для обоих операторов. Ве-
роятность получения при одновременном измерении соответствующих
наблюдаемых собственных значений atl и Ь1П этих операторов вычисля-
ют по формуле
Рпт = | . 'I Т, (Г) 'К (г, /) dxdy dz |2. (3.7)
Здесь (рпт (г) — собственная функция обоих операторов, соответ-
ствующая этим собственным значениям.
Если собственное значение принадлежит непрерывному спектру,
то формулы (3.5)—(3.7) дают плотность вероятности для этого значе-
ния. Здесь следует говорить о вероятности получения в результате
измерения значения, лежащего в окрестности Да собственного значе-
ния ап. Эта вероятность равна произведению плотности вероятности
на Да. Например, если нужно определить вероятность обнаружить
частицу в окрестности ДЕ точки с координатами (х0, yQi г0), то согласно
формуле (3.7) получим
Уо, z0) Z) = |V(xl), у„, Zd, Z) |2 Alz. (3.8)
Так как частица где-то должна находиться, то волновая функция
подчиняется условию нормировки
У I Ч7 (х, у, г, 0 |2 dV — 1 (dV == dx dy dz).
(3.9)
Здесь интегрирование производится по всем}' пространству. При изме-
рении волновая функция системы изменяется так, что становится соб-
ственной функцией наблюдаемой, соответствующей полученному соб-
ственному значению. Это явление называют редукцией волновой функ-
ции. Оно отражает тот факт, что в случае квантовомеханических систем
нельзя пренебрегать влиянием процесса измерения на изучаемый
объект, как в классической физике. Только на ансамбле тождественных
и одинаково подготовленных систем, имеющих одинаковые волновые
функции, выявляется статистический характер квантовомеханических
законов.
Математическое ожидание (среднее значение по'большому числу
одинаковых экспериментов) а наблюдаемой А для системы, имеющей
волновую функцию ¥(х, у, z, t), вычисляется ио формуле
a (t) = С ¥* (х, у, г, t) А'Е (х, у, z, t)dV. (3.10)
Энергии соответствует оператор ihd/dt, ее точное измерение не-
совместимо с фиксацией момента измерения, поэтому зависимость
энергии от времени для квантовомеханических систем не имеет смысла.
В случае стационарной системы, гамильтониан которой не зависит от
времени, среднее значение энергии можно вычислить по формуле
(3.10) с оператором ihdldt пли вместо этого оператора использовать
гамильтониан Н, эквивалентный оператору энергии (это следует
из уравнения Шредингера, рассмотренного в следующем параграфе).
Вероятность, определенная формулой (3.8), может быть интер-
претирована и как доля Д/V/N из ансамбля N невзаимодействующих
частиц, находящихся в объеме ДЕ. В этом случае нормировка (3.9)
изменяется: интеграл по всему пространству должен равняться полному
числу частиц /V. Вводят также плотность потока таких частиц (плот-
ность тока вероятности). Число частиц, пересекающих в единицу
80
времени элемент площади ASX, перпендикулярный оси ОХ в окрест-
ности точки с координатами (х0, z/0, z0), определяют так:
Здесь т— масса одной частицы. /Аножитель при ASX называют плот-
ностью потока в направлении оси ОХ, Аналогично находят компо-
ненты, направленные вдоль других декартовых осей. Эти три компо-
ненты определяют вектор плотности потока вероятности, или плотно-
сти потока частиц. Если каждая из частиц имеет электрический заряд
е и взаимодействием частиц можно пренебречь, то вектор плотности
потока вероятности, умноженный на е, равен вектору плотности элек-
трического тока.
3.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ
3.3.1. Уравнение Шредингера. Динамические свойства квантово-
механической системы определяются ее гамильтонианом. Гамильто-
ниан системы частиц, как правило, состоит из суммы их кинетических
энергий, выраженных через импульсы, и потенциальной энергии, обус-
ловленной взаимодействием составляющих систему частиц и внешним
полем, которое может зависеть от времени.
Если известны гамильтониан системы Н и ее начальное состояние
(начальная волновая функция), то волновая функция в любой момент
времени может быть найдена из уравнения Шредингера
W
(3.11)
dt
Так как в оператор Гамильтона входят квадраты операторов импуль-
сов, то уравнение Шредингера представляет собой дифференциальное
уравнение в частных производных второго порядка по координатам
частиц и первого порядка по времени. Волновая функция и ее первые
производные по координатам частиц должны быть однозначны, ограни-
чены и непрерывны во всей области определения. Эти условия вместе
с начальным значением волновой функции определяют единственное
решение уравнения Шредингера с точностью до постоянного (не зави-
сящего от координат и времени) множителя, модуль которого находят
из условия нормировки (3.9). Остается неопределенным так называе-
мый фазовый множитель е1а, где а — постоянная величина. Его выбор
произвольный и не влияет на величину вычисляемых^с помощью вол-
новой функции вероятностей значений наблюдаемых.
Часто гамильтониан системы не зависит от времени. Тогда сис-
тема может находиться в одном из стационарных состояний, волновая
функция которого записывается в виде
—L--t
Чг = е h i|)„ (х, у, г),
где Еп и фп (х, у, г) определяют из задачи на собственные значения
для гамильтониана
Яфп(х, у, г) = Еп^п{х, у, г),
также называемой уравнением Шредингера, и тогда об уравнении (3.11)
говорят как о временном. Набор собственных значений гамильтониана
называют энергетическим спектром системы, а волновые функции
фп (х> У, описывают ее стационарные состояния. Собственные зна-
чения гамильтониана могут быть положительными и отрицательными в
зависимости от выбора произвольной постоянной в потенциальной
энергии. Среди них всегда есть наименьшее значение Ео, которое назы-
вают энергией основного состояния, а соответствующую функцию ф0 —
волновой функцией основного состояния системы. Остальные состоя-
ния называют возб уведенными. Энергетический спектр может быть непре-
рывным, дискретным или включать непрерывную и дискретную части.,
Собственная функция, соответствующая некоторому собственному
значению, зависит от него как от параметра.
В случае вырождения, как правило, существует наблюдаемая,
оператор которой коммутирует с гамильтонианом. Можно выбрать
набор собственных функций, принадлежащих вырожденному значе-
нию, так, чтобы они были собственными функциями этого оператора,
принадлежащими различным собственным значениям. (Если оператор
не коммутирует с гамильтонианом, то этого сделать нельзя.) В выбран-
ных таким образом собственных состояниях не только энергия, но и
эта наблюдаемая имеют определенные значения. Если собственные зна-
чения дополнительной наблюдаемой вырождены, то можно найти вто-
рую наблюдаемую, оператор которой коммутирует с гамильтонианом
и с оператором первой, и выбрать стационарные состояния так, что
и эта наблюдаемая будет иметь определенное значение. Таким образом,
можно найти полный набор коммутирующих операторов и выбрать
стационарные состояния зависящими от соответствующего набора
собственных значений. Эти собственные значения или зависящие толь-
ко от них функции, входящие в выражение для функции стационарного
состояния в качестве параметров, называют квантовыми числами.
В стационарном состоянии значения точно определенных наблю-
даемых и средние значения других наблюдаемых не зависят от времени.
В нестационарном состоянии среднее значение координаты частицы
массой т и среднее значение соответствующей компоненты силы, дей-
ствующей на нее в потенциальном поле, связаны соотношением, анало-
гичным уравнению Ньютона классической механики:
ДД f = — f V* /Л г)
d/2 J J дх
Если неопределенность в положении частицы Дхмала и потенциальная
энергия зависит от координаты плавно (мало изменяется на промежутке
неопределенности Дх), то частицу можно приближенно описать урав-
нением Ньютона.
Свойства стационарных состояний системы, ее энергетический
спектр, возможные полные наборы коммутирующих наблюдаемых и их
спектры определяют физические свойства системы (например, атома).
Поэтому в квантовой физике изучение стационарных состояний си-
стем является часто встречающейся задачей наряду с отысканием вол-
новой функции по заданному начальному состоянию.
3,3.2. Свободная частица. Частицу при отсутствии внешних полей
называют свободной. Ее потенциальная энергия ие зависит от координат
и может быть выбрана равной нулю. Уравнение Шредингера
а2-ф\
2т \ дх* ‘ а//2 +
имеет два линейно независимых решения, которые можно выбрать
в виде
ф/1! = cos (к • г), ф(2) = А2 sin (к • г), (3.13)
82
. Здесь к — вектор длиной
У^тЕ
(3.14)
называемый волновым. Энергия Е может принимать любые неотрица-
тельные значения, энергетический спектр непрерывен. Основное сос-
тояние Е= 0 невырождено, ему соответствует волновая функция,
тождественно равная постоянной. Все остальные собственные значения
вырождены, так как вектор к определен только по величине условием
(3.14) и может быть направлен произвольно. Вводят к-пространство,
по декартовым осям координат которого откладывают компоненты
вектора к. В таком пространстве возможные состояния с энергией Е
можно изобразить полусферой с центром в начале координат и радиу-
1 г----------
сом 2тЕ (рис. 3.1). (Выбрана полусфера, так как вектор, направ-
ленный противоположно вектору к,
соответствует состоянию с той же
волновой функцией для ф(1), с от-
личающейся только знаком — для
Ф^2).) Каждой точке на полусфере
соответствуют два состояния (3.13).
Гамильтониан в уравнении
(3.12) коммутирует с операторами
Рис. 3.1
значением импульса,
многих наблюдаемых, в частности
с операторами трех компонент им-
пульса, которые коммутируют
между собой. Собственные функ-
ции (3.13) не являются собствен-
ными функциями операторов ком-
понент импульса. Чтобы получить
состояния свободной частицы с определенным
необходимо взять их линейные комбинации:
i|>+ (г) = в1е‘кг = в, ~ .
ф_ (г) = В2е~‘кТ = В2 Q- — а 4,(2)^ .
Собственные значения импульса при этом такие:
р (ф J = Лк, р (ф J = —Лк.
(3.15)
Состояния (3.15) можно считать лежащими па сфере в к-пространстве,
т. е. каждой точке сферы соответствует одно из них. Поверхность
в пространстве квантовых чисел, каждая точка которой соответствует
состоянию с одной и той же энергией, называют изоэнергетической.
Например, сфера в k-пространстве является изоэнергетической по-
верхностью для свободной частицы. k-Пространство называют также
импульсным.
Невозможно выбрать постоянные множители в формулах (3.13)
или (3.15) так, чтобы удовлетворялось условие нормировки (3.9).
Причина состоит в том, что нельзя «размазать» вероятность найти одну
частицу по бесконечному пространству. Поэтому считают, что суще-
ствуют непроницаемые стенки, ограничивающие объем V достаточно
большой, чтобы их влияние па поведение частицы во внутренней час-
ти объема было несущественным, Такой прием в квантовой механике
83
называют нормировкой в ящике. Если его применить, то нормирующие
множители в формуле (3.15) станут К”1/2, где V — объем ящика.
3.3.3. Частица в потенциальном ящике. Рассмотрим случай,
когда частица находится в прямоугольном потенциальном ящике —
части пространства, ограниченной непроницаемыми стенками, влияние
которых следует учитывать. Пусть три стенки ящика совпадают с ко-
ординатными плоскостями, а три отсекают от осей OX, OY, OZ соответ-
ственно отрезки Ly, Lz. Влияние стенок ящика сказывается в том,
что поскольку частица не может проникнуть за стенки, то волновая
функция на них должна обращаться в нуль.
Уравнение Шредингера внутри ящика для этого случая имеет вид
(3.12), а граничному условию обращения волновой функции в нуль
па его стенках может удовлетворить только функция вида
„ п = I/ 7-7-7- sin—7—^ X sin -7-^ у sin г,
у LxLyLz Lx Ly Lz
где пь п2) п3 — натуральные числа, а соответствующие ей собственные
значения
F _ л2Л2 I П1 П2 .
2т \ z2 +
\ ьу
2 \
«3 \
образуют дискретный спектр. Состояния в k-пространстве изобража-
ются дискретными точками, кратность вырождения каждого собствен-
ного значения конечна.
Общее правило: если волновые функции локализованы, т. е. не
равны нулю только в ограниченной области пространства или убы-
вают пропорционально по мере увеличения расстояния г от
ограниченной области пространства (а, а—некоторые постоянные), то
соответствующие им собственные значения энергии образуют дис-
кретный спектр.
3.3.4. Квантовый гармонический осциллятор. Квантовым гармо-
ническим осциллятором называют систему, гамильтониан которой
получается из гамильтониана классического осциллятора заменой им-
пульса на его оператор:
- р2 твРх1
Н — —— '
2т
2
Здесь со — собственная циклическая частота гармонических колеба-
ний классического осциллятора. К гамильтониану квантового осцил-
лятора можно приближенно свести гамильтонианы многих систем:
молекул, кристаллов, квантовых полей, атомных ядер и др. Уравнение
Шредингера для квантового одномерного (линейного) осциллятора
имеет зид
№
(2т
clx2 2 т г
а его собственные функции
84
где Нп (у) — так называемые полиномы Эрмита, которые можно полу-
чить по формуле
и. «-»).
Волновая функция основного состояния
Соответствующее функции собственное значение
Еп = Кы
(3.16)
Спектр квантового осциллятора эквидистантный, т. е. соседние соб-
ственные значения различаются на одну и ту же величину гш. Собст-
венная частота классического осциллятора со оказывается пропор-
циональной расстоянию между соседними уровнями. Энергия основ-
ного состояния не равна нулю — существуют так называемые нулевые
колебания. Это является общим правилом для систем с финитным дви-
жением, отличающим квантовые системы от классических.
3.3.5. Движение в центральном поле. Момент импульса. Централь-
ным (центрально-симметричным) полем называют потенциальное поле,
энергия частицы в котором зависит только от расстояния ее до неко-
торого центра. Если обозначить это расстояние через г, то получим
гамильтониан такой частицы в виде
Д2 / Л2 Л2 Л2 \
Я —------+4т + -7ПГ + V(r).
2т \ дх2 ду2 dz2 /
(3.17)
К задаче о движении частицы в .центральном поле приводит теория
строения атомов и рассеяния частиц.
Операторы компонент момента импульса
Мх = yPz—гру, My^=zpx — xpz, Мг = хру — урх
коммутируют с гамильтонианом (3.17), но не коммутируют между со-
бой, поэтому только одна из компонент может иметь определенное
значение. С гамильтонианом коммутирует также оператор абсолютной
величины момента импульса, коммутирующий с любой из его компо-
нент. Для полного набора коммутирующих переменных при движении
частицы в центральном поле выбирают обычно энергию, абсолютную
величину момента импульса и его проекцию на ось 0Z и выражают их
в сферических координатах. Тогда гамильтониан (3.17) принимает
вид
_ 21 f± £ (21V_L[ 2 (• а 2Л , _L— 2111 д- )
2т (г2 дг \ дг/' г2 [ sin 0 60 \1П 60/"^ sin2 0 6<р2]/ ‘ f*
операторы квадрата абсолютной величины момента импульса и его
z-компоненты записываются так:
х2 Г 1 д2 I д / . Л д \] ~ д
АР = —fl2 | -(----—sin 0 Vn ’ ^Z == —>
[sm20 6(p2 sin 0 60 \ 60/j 6ф
а собственные функции
,n- W 0/m <0)
85
Здесь Z, т — азимутальное и магнитное квантовые числа, принимаю*
щие значения: первое — целые положительные, включая нуль, вто-
рое — целые положительные и отрицательные, не превосходящие
по абсолютной величине Z; 0/w (0) определяется формулами
в/ш (0) = (-I)'n il У (2/^1) Р‘‘ (cos 0)1
г & \1 "J" /‘I) !
1 / (Шп \
Р™ (cos 0) = -----sinm 0 | (я2 — 1 )п I При X ~ cos 0.
n ' > I dxm+n J
Функции Р™ (cos 0) называют присоединенными полиномами Лежандра,
а /?£(г) являются решениями радиального уравнения
--7г('аТг)~ Z(Z't [) #] + У (') # =-Efl,
2т L г2 dr \ dr / г2 J
зависящего от конкретного вида потенциальной энергии и определи*
ющего собственные значения энергии.
Квантовые числа / и т определяют собственные значения абсолют-
ной величины момента импульса и его проекции па ось OZ соответ-
ственно:
М = й УПГ+ 1), Мг = mh. (3.18)
Таким образом, полный момент импульса всегда направлен под
углом к оси OZ (Mz Л1). Компоненты Мх и Ми не имеют определен-
ного значения, что можно интерпретировать как прецессию направле-
ния момента импульса вокруг оси OZ. (Это наглядное представление
без физического смысла, как и представление о вращении электронов
вокруг ядра.) Угол прецессии изменяется дискретно с изменением чис-
ла т. Это явление называют пространственным квантованием.
В квантовой механике элементарные частицы обладают свойством,
не имеющим классического аналога: у них есть собственный момент
импульса, называемый спином. Спин иногда описывают, как незатухаю-
щее вращение частицы вокруг собственной оси, что не имеет физиче-
ского смысла. Он во многом аналогичен моменту импульса частицы,
движущейся в центральном поле, который в отличие от спина называют
орбитальным моментом. Как и для орбитального момента, компонен-
ты спина не могут одновременно иметь определенные значения, по-
этому направление его не является наблюдаемой. Абсолютная вели-
чина S спинового момента определяется квантовым числом $, которое
для каждой частицы является постоянной величиной, определяющей
ее свойства, и в отличие от числа Z принимает целые и полуцелые зна-
чения. Квантовое число sz определяет проекцию спина на ось OZ.
и, как и число т, пробегает значения от —s до 4-s, различающиеся
единицей (всего 2s + 1 значений). Собственные значения абсолютной
величины спина и его проекции на ось OZ определяются формулами
(3.18), где вместо / и т следует подставить s и sz. Для спина, как и для
орбитального момента, имеет место пространственное квантование.
Частица, имеющая спин, обладает дополнительной Степенью сво-
боды, связанной с ориентацией его относительно системы отсчета. Из-
за пространственного квантования переменная Sz, описывающая эту
степень свободы, приобретает 2s + 1 дискретных значений. Соответ-
ственно волновая функция такой частицы зависит не только от про-
странственных координат, во и от спиновой переменной. Спином часто
называют собственный момент импульса, который может иметь слож-
86
ная квантовомеханическая система в целом, например, спин атомного
ядра, спин атома и т. п.
Тождественность, т. е. принципиальная неразличимость кванто-
вых частиц с одинаковыми свойствами, приводит к тому, что волновая
функция системы, включающей несколько таких частиц, обладает
определенной симметрией относительно перестановки их координат.
При этом свойства симметрии зависят от спина частиц: если число s
целое или нуль (такие частицы называт бозонами), то при перестановке
их координат волновая функция остается неизменной, а если полуцелое
(такие частицы называют фермионами), то меняет знак. Следствием
этого является так называемый принцип Паули\ тождественные между
собой фермионы не могут занимать в системе состояний с одинаковыми
квантовыми числами.
3.4. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
3.4.1. Возмущения, независящие от времени. Теория не зависящих
от времени (стационарных) возмущений как метод решения стационар-
ных задач квантовой механики широко применяется, если гамильто-
ниан системы можно представить в виде
= + (3.19)
где Но—гамильтониан, решение задачи на собственные значения для
которого известно, а Н' — оператор возмущения.
Матричным элементом оператора А на собственных функциях
’ф!?? и гамильтониана Но называют величину
Атп = J С*Л<> dV.
Если собственные значения /70 не вырождены, то каждому из них
Е^ можно поставить в соответствие собственное значение Еп возму-
щенного гамильтониана, вычисляемое приближенно по формулам
£(0 __ I]'
п mtv
tn
где суммирование производится по всем остальным собственным значе-
ниям. Практически приближения выше второго используют редко.
Соответствующую- волновую функцию находят так:
% - +е €’ = V «> <« *»).
tn
tn
Для применимости теории возмущений необходимо, чтобы матрич-
ные элементы возмущения Ht'nn были малы по сравнению с разностями
соответствующих собственных значений нулевого гамильтониана.
Этот вопрос требует исследования в каждом конкретном случае и часто
оказывается очень сложным. Если собственное значение пулевого га-
мильтониана л-кратно вырождено, то возмущение может снять вырож-
87
дение, т. е. вместо одного энергетического уровня в спектре полного
гамильтониана (3.19) будет т < п близкорасположенных собственных
значений. При п — 2 они определяются по формуле
£(+), (_) = + 4 + Н'^ ± ВД + Н Я{2)*].
Здесь Ео — вырожденное собственное значение невозмущенного га-
мильтониана /70; индексами 1 и 2 пронумерованы соответствующие ему
собственные функции; Н'л> Н22, Н'12 — соответствующие матричные
элементы возмущения; выбор знака перед корнем определяет два уров-
ня полного гамильтониана. Снятие вырождения означает, что для того
чтобы высшие поправки к волновым функциям были малы, собствен-
ными функциями нулевого гамильтониана (функциями нулевого при-
ближения) следует брать не исходные волновые функции фх и ф2> с по-
мощью которых вычислялись матричные элементы, а их линейные
комбинации
срг = cos + sin
<р2 == —sin + cos 0г—^ф2,
tg О --------------------------------- .
- У +] л;21?
Н 12
1^12 1
Вычисление дальнейших приближений используется редко.
Существует метод получения расщепления уровня в случае
n-кратного вырождения при любом и, но его изложение требует более
сложного математического аппарата.
3.4.2. Возмущения, зависящие от времени. Если основной гамиль-
тониан Hq не зависит от времени, а возмущение H'(t) зависит, то систе-
ма не имеет стационарных состояний и нужно определять зависимость
волновой функции от координат и времени. При этом существенно за-
дание начального состояния системы. Если таким является одно из
стационарных состояний невозмущенного гамильтониана
£(°)
‘^(г, t) = e h !МГ).
то в момент t волновая функция в первом приближении имеет вид
k
где суммирование производится по всем собственным состояниям не-
возмущенного гамильтониана, а коэффициенты определяются
по формуле
/ f ... ,, , а Л /О при k=f=n\
akn — I Hkti \4 w* 4“ Oft/i I — j . J
n j \ \ 1 при U /> 1
0
Таким образом, под влиянием возмущения система «размазывается»
по всем состояниям невозмущенного гамильтониана, В частности,
68
если возмущение действовало в течение конечного времени, то вероят-
ность по’окончании его действия найти систему в стационарном состоя-
нии k вычисляется так:
(3.20)
Другой важный частный случай — когда возмущение является
периодическим во времени:
Н'— F (г) ei<s>t,
например, электромагнитная волна для атома. Здесь переход оказы-
вается возможным только в состояние, отличающееся по энергии от
начального на й(о. Вероятность
такого перехода в единицу вре- i
мени 1 X X
9тг / у
wkn = -l\Fkn\\ (3.21) / \
где k — начальное состояние, п — / \
конечное. Из формул (3.20) и
(3.21) видно, что матричные эле- ,-----
менты оператора возмущения опре- ЙГ
дел я ют вероятности переходов, и р о п
если один из них равен нулю, то ис’ *
говорят, что соответствующий пе-
реход в первом приближении запрещен. При вычислении высших
приближений вероятность запрещенного перехода может оказаться
не нулевой, но малой по сравнению с вероятностью не запрещенного
в первом приближении перехода.
3.4.3. Квазистационарные состояния. Туннельный эффект. По-
тенциальным барьером называют часть пространства, которая отделя-
ет две пространственные области одну от другой и в которой потенци-
альная энергия частицы выше, чем в отделяемых областях (рис. 3.2).
Он может быть одномерным, если разделяет две неограниченные об-
ласти пространства, и трехмерным, если одна из областей конечна.
В первом случае частица, находясь по одну сторону барьера, имеет
конечную вероятность проникнуть в другую, даже если ее энергия
меньше потенциальной энергии в области барьера (туннельный эф-
фект) , и наоборот, может отразиться от него, если ее энергия больше
потенциальной в области барьера (надбарьерног отражение).
Коэффициентом прохождения D называют отношение плотностей
тока вероятности прошедших частиц и падающих, а коэффициентом
отражения R — отношение плотностей тока отраженных частиц и
и падающих. Очевидно,
R + D = 1.
Если одномерный барьер описывается плавной функцией (J (х) в пре-
делах х< bt т. е. относительное изменение потенциала на длине
волны де Бройля s
I = 2л — ,
Р
89
где р— импульс частицы, значительно меньше единицы, то коэффициент
прохождения для частицы с энергией £, значительно меньшей высоты
барьера £/> вычисляется по формуле
ь
(9 Г_______________
— -j~ I V2т (U (х) — Е) dx
а
В противоположном случае, когда высота барьера мала по сравнению
с энергией частицы (точнее, когда U (b — a)mlhp < 1, где т — масса
частицы, и в то же время р (Ь — a)/h <; 1), коэффициент отражения
со
( U Me'2it’x/hdx\2.
1 J I
00
При трехмерном потенциальном барьере уравнение Шредингера
имеет непрерывный спектр, который характеризуют плотностью со-
стояний, т. е. пределом отношения числа состояний, приходящегося
на интервал энергии &Е, к величине этого интервала при стремлении
-> 0. Плотность состояний р определяется вырождением энергии,
и для свободной частицы в ящике объема V она как функция энергии
имеет вид
р(£) =
У .1/2
2л2/13 -
Плотность состояний при трехмерном потенциальном барьере повыша-
ется вблизи энергий, соответствующих стационарным состояниям, ко-
торые имела бы частица в потенциальной яме той же формы, если бы
барьер был абсолютно непроницаемым. Такие состояния называют
квазистационар ними. Вблизи глубоко лежащего квазистационарного
уровня Ео
h 1
Р(£)
2 пт
(£-£о)2 +
4т2
Величину Г = —
а время
называют шириной квазистационарного уровня^
ь
С \2tn(U—eq) dx
h J
т = тое а
(3.22)
— временем жизни частицы в состоянии £0. Здесь т0— характерно
время движения частицы в яме в состоянии Ео, например, если яма
сферическая, то т0 ~ vjd, где — скорость частицы; d — диаметр
ямы. Физический смысл времени жизни т такой: если за начальное
состояние частицы взять (г, 0), то вероятность найти ее через
время i в этом состоянии
t
Р (t) == т . (3.23)
3.4.4. Теория рассеяния. Рассеянием называют изменение состоя-
ния волн или частиц в результате взаимодействия их с каким-либо
90
объектом. Эксперименты по рассеянию служат источником информа-
ции о рассеивающем объекте (частицах, веществе) и о рассеиваемых
частицах и излучениях. Обычно эти эксперименты ставятся так, что
до взаимодействия с рассеивателем падающая волна представляет собой
пучок параллельно летящих с одинаковой скоростью частиц. В кван-
товой механике состояние такой частицы является собственной функ-
цией оператора импульса ф (г) = Aetk'r, которую называют плоской
волной.
Математически описание рассеяния излучения не отличается от
описания рассеяния частиц, так как последние в квантовой механике
обладают волновыми свойствами. Поэтому все относящееся к частицам
применимо и к волнам, например электромагнитным или звуковым.
Рассеиватель и рассеиваемая частица могут обладать внутренними
степенями свободы. Если они не взаимодействуют с движением частицы
как целого, то волновая функция последней представляет собой произ-
ведение функции, зависящей от внутренних координат, и плоской волны.
Существует рассеяние упругое и неупругое. В первом случае внутрен-
нее состояние частицы и рассеивателя не изменяется, поэтому зависи-
мость волновой функции от внутренних степеней свободы можно не
учитывать.
Область, в которой падающая волна взаимодействует с рассеива-
телем, ограничена в пространстве и результат рассеяния рассматри-
вается на большом расстоянии от области взаимодействия. В случае
упругого рассеяния волновая функция может быть представлена в виде
£‘>‘•'• + /(0, <p) -L— . (3.24)
Здесь первое слагаемое описывает падающую волну, второе — рассеян-
ную. Последнее выражено в сферических координатах, центр которых
находится в рассеивателе, а полярная ось совпадает с направлением
импульса падающей волны. Выбор нормировочной постоянной А не-
существен для изучения рассеяния, часто ее полагают равной единице.
Функцию f (0, ф) называют амплитудой рассеяния. Доля частиц Да,
рассеянных в элемент телесного угла Д(0, определяется формулой
Ao = | f(0, Ф) [2До. (3.25)
Если А = 1, то До имеет размерность^площади. Коэффициент "'при
Дсо называют дифференциальным эффективным сечением, а интеграл
от До по полному телесному углу — полным эффективным сечением
рассеяния. Классическим аналогом последнего является площадь проек-
ции области действия рассеивающего потенциала на плоскость, пер-
пендикулярную импульсу рассеиваемых частиц. Если потенциал стре-
мится к нулю только при расстоянии от рассеивающего центра г —> оо,
то в классическом случае сечение рассеяния оказывается бесконечным:
как бы далеко от центра ни пролетала частица, она обязательно от-
клонится на некоторый угол. В квантовой физике полное сечение рас-
сеяния остается конечным, если потенциал U (г) убывает на бесконеч-
ности быстрее чем г~п при п >• 2. Полное эффективное сечение - иногда
называют просто эффективным. Его можно вычислить в общем виде,
если рассматривать рассеивающее поле как возмущение. Для этого,
необходимо выполнение одного из условий
где а — радиус действия рассеивающего потенциала (7(г); U — поря-
док его величины в области существования; т — масса рассеиваемой
частицы; v — ее скорость. В этом случае дифференциальное эффектив-
ное сечение рассеяния в элемент телесного угла До) определяется фор-
мулой
Аст = | (D dV Ао>.
/ / / Здесь q — изменение волнового вектора
/ / / частицы при рассеянии в элемент Дсо
/л/л/ <рис’ 3,3)‘
Рассеяние может быть и неупругим.
///\ а Например, при рассеянии частиц на
/ // \ атоме может произойти его ионизация
/// \ или переход в возбужденное состояние,
/// \ а при столкновениях элементарных час-
Ж \ тиц могут появиться новые частицы.
__________/ __________Д При этом упругое рассеяние и .различ-
А ные варианты неупругого не исключают
один другого, каждый из этих так на-
Рис* 3.3 зываемых каналов рассеяния или кана-
лов реакции имеет определенную веро-
ятность, которую принято характеризовать сечением канала. Если
в формуле (3.24) выбрать А — 1, то сечение капала определит долю
падающих частиц, рассеиваемых по этому каналу.
3.5. ЗАРЯЖЕННАЯ ЧАСТИЦА
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
В магнитном поле Ж (г), которое можно описать векторным по-
тенциалом А (г), операторы импульса и гамильтониан частицы с заря-
дом е имеют вид
р = ( — Hi Ё. — еАх) , р„ = \—ih ~ — еА J ,
х \ дх / У \ ди и
II
( д . \ .
—т ч-----елг \ ;
\ dz )
~2 Т2
Pv Р 1! Рр
(3.26)
Выражение для плотности электрического тока в направлении оси
ОХ через волновую функцию имеет вид
iph / г) д \
1х = Ф 5' Ф* ~ Ф* Ф -----------Лфф*.
1 2т V дх г дх г/ т 4 4
Аналогично описываются остальные компоненты плотности тока.
Здесь т — масса частицы; V (х, у, г) — потенциальная энергия час-
тицы, обусловленная другими полями.
Если частица обладает моментом импульса М, то она, как правило,
имеет и собственный магнитный момент р, а если она заряжена, то
механический и магнитный моменты пропорциональны
ft.- = р ~~ М.
4 5 2т
(3.27)
92
Множитель называют гиромагнитным отношением, a g — «жи>-
фактором. В классической физике всегда, а в квантовой механике
в случае, когда механический момент обусловлен орбитальным движе-
нием частицы (например, электрона в атоме), g-фактор равен единице.
Для спина он имеет аномальные значения: для электрона приближенно
—2, для протона —2,79278. Собственный магнитный момент имеют
и некоторые незаряженные частицы, папример нейтрон. Под величине?!
механического или магнитного момента обычно понимают максимально
возможное значение его проекции. В квантовой физике принято изме-
рять магнитный момент магнетоном Бора
Мв = = 9)2741 • 10-2 (328)
где е — заряд электрона, т— его масса, а для тяжелых частиц—ядер-
ним магнетоном, определяемым аналогичной (3.28) формулой, во
вместо массы электрона в знаменателе необходимо брать массу
протона.
Если частица имеет магнитный момент, то энергия ее зависит от
ориентации этого момента относительно магнитного поля. Соответ-
ственно в гамильтониан добавляют выражение
= —Ио 0^), (3.29)
где р — оператор магнитного момента, собственные функции которого
описывают состояния частицы с определенной проекцией спинового маг-
нитного момента на направление магнитного поля,,.а собственные зна-
чения — величины этих проекций. Гамильтониан Н2 называют зеема-
новским, так как он обусловливает известный в атомной физике эффект
Зеемана. Если спиновая и пространственные степени свободы не вза-
имодействуют (говорят, что с пин-орбитальное взаимодействие отсут-
ствует или им можно пренебречь), то зеемановский гамильтониан мож-
но рассматривать отдельно. Его спектр — ограниченный набор ди-
скретных эквидистантных уровней от —р,0 pJSf до каждый из ко-
торых соответствует одной из возможных ориентаций спина относитель-
но магнитного поля, расстояние между соседними уровнями ~ р.^, а всего
2s -f 1 уровней.
В однородном магнитном поле Ж в отсутствие других полей час-
тица с зарядом е и массой т, спин которой равен нулю, имеет энерге-
тический спектр
^прг
2
! е , Рг_
т 1 1 ‘2т •
Здесь п — натуральное число или нуль; р2— проекция импульса
частицы па направление магнитного поля (может приобретать любые
значения). Спектр непрерывен из-за произвольности р2, но для фикси-
рованного значения р2 он является {дискретным и эквидистантным
(квантование Ландау). Если частица имеет спин $, то каждый.из уров-
ней Ландау расщепляется па 2s + Подуровней, отстоящих один от
другого на расстоянии popJ£7s.
Введение магнитного поля расширяет произвол в определении вол-
новой функции. Если в уравнение Шредингера с гамильтонианом
93
(126) вместо функции ф (х, у, г) подставить expb’a (х, у, г)] ф(х,г/,г)г
где а (х, у, г) — произвольная функция, и одновременно заменить
ЛХ~>Ах + д^,Ау-.Аи+д/у,
Л^Л. + g, (3.30)
то уравнение не изменится. Преобразование (3.30) не меняет значения
напряженности магнитного поля. Его называют калибровочным пре*
образованием.
3.6. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Квантовая механика имеет ряд ограничений применимости. Во-
первых, уравнение Шредингера (3.11) с гамильтонианом (3.4) не ин-
вариантно относительно преобразований Лоренца, а следовательно,
не может описывать динамику частиц, скорости которых такие, что
величинами порядка v2/c2 пренебрегать нельзя. Во-вторых, поля, в том
числе электромагнитное, рассматриваются классически, и ряд вопросов,
сказанных с квантовой природой полей, последовательно исследовать
не удается. Например, в рамках квантовой механики возбужденное со-
стояние какой-либо системы, обладающей дискретным спектром, явля-
ется таким же стационарным состоянием, как и основное, и самопроиз-
вольный (спонтанный) переход в основное состояние с излучением
кванта электромагнитного поля приходится дополнительно постули-
ровать.
При построении релятивистской квантовой теории необходимо
исходить из релятивистского соотношения между энергией и импуль-
сом свободной частицы:
Е2 = т2<А-\-с2р2. (3.31)
Принципиальная трудность получения отсюда выражения для гамиль-
тониана свободной частицы через операторы импульса состоит в том,
что формально из соотношения (3.31) следует, что энергия может быть
как положительной, так и отрицательной. Состояния с положительной
is отрицательной энергией разделены интервалом шириной 2/л0с2.
В классической физике этого достаточно, чтобы считать состояния с от-
рицательной энергией нефизическими, так как частица не может пере-
йти к ним, изменяя непрерывно свою энергию, но в квантовой физике
скачок через зону запрещенных значений энергии — вполне обычное
явление, поэтому отбросить отрицательные значения энергии нельзя.
Существуют два способа построения релятивистского уравнения Шре-
дингера исходя из соотношения между энергией и импульсом (3.31).
Один из них. приводит к обязательному существованию у частицы
полуцелого спина (уравнение Дирака), другой описывает частицу без
спина или имеющую целый спин (уравнение Шредингера). Дирак счи-
тал, что все состояния с отрицательной энергией заполнены частицами
(электронами), которые принципиально ненаблюдаемы. Тогда в силу
принципа Паули переход электрона в состояние с отрицательной энер-
гией невозможен. Возможным оказывается переход электрона из со-
стояния с отрицательной энергией в состояние с положительной (рож-
дение электрона). При этом одновременно в области отрицательных
энергий появляется незанятое состояние, на которое могут переходить
другие электроны из этой области, т. е. оно будет изменяться. Это яв-
ление наблюдается как движение частицы с массой электрона, но с по-
94
ложительным зарядом. Эта частица вскоре была открыта и названа
позитроном.
Таким образом, релятивистское волновое уравнение Дирака
описывает не одну частицу, а частицу в «море» частиц отрицательной
энергии, что оказалось общим свойством таких уравнений: они могут
быть интерпретированы только как описывающие поле частиц. При
этом теория может быть сформулирована так, что состояния с отрица-
тельной энергией в ней не появляются, а каждой частице соответствует
античастица с той же массой, но противоположными значениями
других квантовых чисел (зарядов). Иногда частица и античастица сов-
падают, например для фотона (частицы электромагнитного поля). Поле
частиц имеет нижайшее энергетическое состояние (вакуум), при кото-
ром частицы и античастицы данного вида отсутствуют, однако энергия
поля не равна нулю; существуют нулевые колебания подобно нулевой
энергии квантового осциллятора. Возбужденные состояния поля со-
ответствуют появлению частиц (квантов) и их движению. Если кванты
поля обладают массой покоя, то возбужденные состояния отделены от
вакуумного щелью конечной ширины.
Различные поля, существующие в пространстве, взаимодействуют.
Математически это описывается введением в уравнение членов, завися-
щих от волновых функций обоих полей. Решают такие уравнения
только с помощью теории возмущений, но взаимодействие не во всех
случаях можно считать малым. Удовлетворительные количественные
результаты получены в настоящее время только в квантовой электро-
динамике — теории взаимодействия электрон-позитронного и электро-
магнитного полей. На самом деле нельзя пренебрегать существованием
других полей, даже если они находятся в вакуумном состоянии, по-
этому квантовая теория поля не является завершенной и логически
замкнутой. В последнее время была построена теория, описывающая
с единых позиций электромагнитное и слабое взаимодействия — тик
называемая теория электрослабых взаимодействий. Целью квантовой
теории поля является построение единой теории, описывающей все
виды частиц и взаимодействий между ними. При взаимодействии полей
кванты одного ноля могут превращаться в кванты другого с соблюде-
нием закона сохранения энергии. При этом фермионы могут исчезать
только парами частица — античастица. Это явление называют анниги-
ляцией. Например, электрон и позитрон при столкновении аннигили-
руют, превращаясь в два фотона (превращение в один фотон невозмож-
но, так как при этом нельзя удовлетворить законам сохранения им-
пульса и энергии). Кванты одного поля взаимодействуют между собой
посредством другого поля, например заряженные частицы взаимодей-
ствуют, обмениваясь фотонами.
95
Раздел 4
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
4.1. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
4.1.1. Основа и содержание молекулярной физики. Раздел фи-
зики, в котором изучают физические свойства тела в зависимости от
его микроскопического строения и характера движения образующих
это тело атомов, молекул и ионов с учетом сил взаимодействия между
ними, называют молекулярной физикой. Основной задачей молекуляр-
ной физики является исследование агрегатных состояний вещества,
т. е. изучение микроскопического строения газов, жидкостей и твердых
тел, а также анализ переходов (фазовых превращений) из одного состоя-
ния в другое. Кроме того, здесь рассматриваются изменения в строе-
нии вещества под влиянием внешних воздействий (давления, темпера-
туры, магнитных, электрических и гравитационных полей), изучаются
явления переноса (теплопроводность, диффузия, внутреннее трение)
и поверхностные явления на границах раздела.
Задачи молекулярной физики решаются методами статистической
физики, термодинамики и физической кинетики, а микроскопической
основой ее является молекулярно-кинетическая теория, важнейшие
положения которой следующие: 1) все вещества состоят из огромного
количества частиц (атомов, молекул и ионов), которые находятся в бес-
порядочном тепловом движении и имеют малые линейные размеры
(около 10~8 см); 2) средняя кинетическая энергия теплового движения
определяет температуру тела, при повышении которой средняя
скорость хаотического движения частиц увеличивается; 3) на близ-
ких расстояниях (порядка размеров частиц) между ними действует
сила притяжения и отталкивания. В дальнейшем атомы, молекулы и
ионы для краткости будем называть просто молекулами.
Тела (или системы), состоящие из большого числа молекул, назы-
ва ют м акроскопи веским и.
Экспериментально измеряемые величины (так называемые макро-
параметры), например, давление газа, температура, параметры диф-
фузии, внутреннего трения, являются результатом суммарного дей-
ствия большого числа молекул. Поэтому при изучении связи макро-
параметров с характеристиками отдельных молекул используют
статистические методы.
Раздел физики, в котором вероятностные закономерности систем,
состоящих из очень большого числа частиц, изучают исходя из свойств
этих частиц и взаимодействий между ними, называют статистической
физикой. Кроме перечисленных выше важнейших положений молеку-
лярно-кинетической теории в классической статистической физике
приняты еще такие: 1) все молекулы движутся в соответствии с зако-
нами механики Ньютона, обладая в каждый момент времени опреде-
ленными значениями координат и вектора скорости; 2) при взаимодей-
ствии молекул выполняются законы сохранения энергии, импульса
и его момента; 3) выполняется принцип различимости молекул, т. е.
96
существует возможность выделения одной из множества одинаковых
молекул, так что можно проследить в любой момент времени за харак-
теристиками ее движения (траекторией, импульсом, столкновениями
и т. Ц.).
В статистической физике установлено, что большое число молекул
в макроскопических системах обусловливает появление новых законо-
мерностей в их поведении, которое в широких пределах не зависит от
точных значений начальных условий (координат и скоростей молекул
в начальный момент времени). Важным следствием этого является то,
что макроскопическая система, изолированная от внешних воздейст-
вий, с течением времени приходит в равновесное состояние, свойства
которого определяются только общими ее параметрами (числом моле-
кул, их суммарной энергией, температурой, давлением и т. п.).
Методы статистической физики оказались удачными для описания
не только тепловых явлений, но и явлений электризации, намагничива-
, ния, рассеяния и преломления электромагнитных волн, а также для
изучения процессов, происходящих в атомном ядре, в гальванических
элементах, и др. Статистический подход используют также при описа-
нии макроскопических систем, состоящих из объектов, движение кото-
рых характеризуют законами квантовой механики. Раздел физики, где
изучают такие макросистемы, называют квантовой статистической
физикой.
Микроскопическая теория процессов в статистически неравновес-
ных системах составляет содержание физической кинетики, к которой
относятся кинетическая теория газов, теория процессов переноса и
кинетика фазовых переходов.
4.1.2. Атомы и молекулы. Все вещества состоят из простых (назы-
ваемых химическими) элементов, которые, вступая в соединение, объе-
диняются в строго определенных пропорциях, причем массы соединя-
ющихся веществ сохраняются. Наименьшую часть химического эле-
мента, обладающую его свойствами, называют атомом. На основании
закона простых и кратных отношений удалось найти относительные
массы атомов. Большинство элементов имеет по несколько изотопов,
атомы которых обладают разными массами, но характеризуются одина-
ковым порядковым номером Z. Относительную массу атома называют
атомной массой (Аг). За атомную единицу массы (а. е. м.) принята
1/12 массы атома изотопа углерода 12С (тед ~ 1,66 • 10“27 кг).
Химическое соединение двух и более атомов образует молекулу.
Это наименьшая часть, которую нельзя измельчить, не нарушив хими-
ческих свойств вещества. Относительную массу молекулы, выраженную
в атомных единицах массы, называют молекулярной массой (Мг). Единицу
' количества вещества, равную количеству вещества системы, в которой
столько структурных элементов (атомов, молекул, ионов, электронов
и других частиц), сколько атомов в изотопе углерода 12С массой
0,012 кг, называют молем. Это основная единица СИ. Моль любого ве-
щества содержит одинаковое число частиц NА = 6,0221 . 1 Осмоль*"1
(постоянная Авогадро). Массу моля вещества называют молярной
массой и обозначают М = МАЛ4гтед. Масса моля, выраженная в грам-
мах, численно равна относительной молекулярной массе: М == МГ,
Здесь М измеряется в килограммах на моль, а Мг— величина безраз-
мерная.
Линейные размеры простых атомов и молекул составляют около
10~8 см, а сложных — намного больше, например 43 • 10-8 см у мо-
лекулы белка.
Атомы по своим размерам не имеют четких границ, поэтому для
их характеристики используют представление об атомных радиусах,
4 5-1472
97
которые дают возможность'приближенно оценить межатомные расстоя-
ния в молекулах, жидкостях или в твердых телах. Внутри сферы та-
кого радиуса заключена основная часть электронной плотности атома
(не менее 90—95 %). Линейные размеры атома или молекулы можно
найти различными .методами. Например, с помощью электронного
микроскопа сфотографированы некоторые крупные молекулы, а с по-
мощью ионного проектора (ионного микроскопа) изучено расположе-
ние отдельных атомов в кристаллической решетке. Атомы и молекулы
электрически нейтральны. Атомы состоят из положительно заряжен-
ного ядра и окружающих его электронов, которые компенсируют
заряд ядра. Их внутреннее строение очень сложное.
Макроскопические свойства вещества, описываемые в молекулярной
физике, не зависят от внутреннего строения молекул, которое можно
считать при этом неизменным. В газообразном, жидком или твердом
состояниях тела тепловое движение молекул разное и определяется
расстоянием между ними и характером взаимодействия.
4.1.3. Понятие о температуре. Поскольку совокупность большого
числа молекул, составляющих макроскопическое тело, описывается
статистическими закономерностями, то их состояние можно характе-
ризовать средними значениями физических -параметров. Например,
среднюю скорость теплового движения молекул можно характеризо-
вать температурой, которая в условиях равновесия пропорциональна
средней кинетической энергии хаотического движения молекул. Для
различных веществ при одной и той же температуре средняя кинетиче-
ская энергия движения молекул одинакова. Следовательно, скорость
движения молекул с разными массами при данной температуре разная.
При столкновении молекулы из горячей части тела передают опреде-
ленную долю своей кинетической энергии молекулам из холодной — так
происходит теплопередача и выравнивание температур. Понятие о тем-
пературе уточняется в кинетической теории газов (см. формулы (4.5),
(4.14) и (4.15)) и в термодинамике (см. 4.4.3).’
В общем случае температуру определяют как производную полной
энергии тела по его энтропии.
4.2. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
4.2.1. Модель идеального газа. Плотность газа в нормальных
условиях в тысячу раз меньше его плотности в жидком или твердом
состоянии, поэтому расстояние между молекулами газа в десятки раз
больше, чем в других состояниях. Молекулы в газе движутся равно-
мерно и прямолинейно с очень большой скоростью (порядка 500 м/с),
причем силы их взаимодействия между столкновениями пренебрежимо
малы. Среднее расстояние, которое частица проходит без столкнове-
ния, значительно больше ее размеров. При столкновении молекулы
взаимодействуют по законам, мало отличающимся от законов упругого
удара, изменяя величину и направление скорости.
В молекулярной физике используют модель идеального газа, в ко-
торой взаимодействием молекул пренебрегают. При этом потенциаль-
ная энергия (IFn) равна нулю, полная энергия — сумме кинетических
энергий молекул, а взаимодействие молекул сводится к соударениям
между ними. Эти соударения происходят с большой частотой (порядка
10Ю с-1), однако относительно редко, так что большую часть времени j
молекулы газа движутся как свободные частицы. Реальный газ можно
рассматривать как идеальный, если средняя потенциальная энергия
взаимодействия молекул значительно меньше их средней кинетиче-
ской. Это приближение можно использовать для разреженных газов.
98
Например, гелий при нормальном давлении и комнатной температуре
с хорошим приближением является идеальным газом.
4.2.2. Параметры состояния газа: давление, объем и температу-
ра. Состояние данной массы газа можно характеризовать давлением
р, объемом V и температурой Г, которые не всегда имеют одинаковое
значение во всех частях системы. Если температура в разных точках
тела разная, то тело нельзя характеризовать определенным значением
параметра Т, и такое состояние, не подверженное внешним воздействи-
ям, называют неравновесным. Со временем температура в разных точках
тела выравнивается, если система изолирована от внешних воздейст-
вий, и состояние становится равновесным. Примером неравновесного
состояния может быть газ, поступающий из небольшого отверстия в зам-
кнутый объем. В начальный момент времени распределение газа по
этому объему неравномерное, давление в разных частях системы не-
одинаковое, по если прекратить доступ газа, то давление в разных
точках объема через некоторое время выравнивается и состояние ста-
нет равновесным. Равновесным называют такое состояние системы,
при котором все макроскопические параметры имеют определенное
значение, неизменное при постоянных внешних условиях в течение
сколь угодно длительного времени.
Переход системы из одного состояния в другое называют процес-
сом. Если такой переход происходит через последовательность нерав-
новесных состояний, то процесс называют неравновесным, а если через
последовательность равновесных состояний, то равновесным. Равновес-
ный процесс должен быть достаточно медленным (в пределе бесконечно
медленным), чтобы в любой момент времени успевало установиться рав-
новесное состояние.
Различают внешние и внутренние параметры состояния системы.
Объем газа является внешним параметром, поскольку зависит от рас-
положения внешних по отношению к системе (газу) тел — стенок со-
суда, в котором находится газ. Давление и температура — внутренние
параметры, так как зависят от координат, скоростей молекул газа
и его плотности. При равновесном состоянии газа между его парамет-
рами существует функциональная зависимость, которую называют
термическим уравнением состояния'. & (р, V, Т) = 0, где функция &
в статистической физике для идеальных газов определяется теорети-
чески. Примером термического уравнения состояния может служить
уравнение Клапейрона — Менделеева (4.33) для идеальных газов и
уравнение Ван-дер-Ваальса (4.39) для реальных.
4.2.3. Основные уравнения кинетической теории для давления и
объема газа. Газ состоит из огромного числа частиц и представляет
собой систему, поведение которой определяется статистическими
закономерностями. Давление газа на стенки сосуда возникает в ре-
зультате столкновений движущихся молекул с этими стенками.
При этом молекулы передают стенкам сосуда свои микроскопические
импульсы, результирующая которых дает макроскопическую величину—
давление газа. Межмолекулярные столкновения внутри объема, в ко-
тором находится газ, на эту величину не влияют. Давление определяет-
ся как средняя сила, действующая на единицу площади в направлении
нормали к поверхности стенки сосуда, и вследствие хаотичности тепло-
вого движения молекул газа на всех участках этой поверхности оди-
наково.
Зависимость между давлением газа, его объемом и средним значе-
нием кинетической энергии Е поступательного движения молекул
имеет вид
2 —
pV—^NE, (4.1)
О
4*
99
Где ft — число молекул, находящихся в объеме V газа, а средняя кине’
тическая энергия Е определяется как сумма кинетических энергий
всех молекул, деленная на их число:
» 2
Н 1
N Za 2 ’
i=l
Здесь mt-, —масса и скорость Z-й молекулы (t = 1, 2, N),
Если все молекулы имеют одинаковую массу mi = mt то
1=1
Формулу (4.2) удобно записать так:
~ 2N ’
где М = Nm — масса газа, a (v) — средняя квадратичная скорость
поступательного движения молекул:
<4-3*
Для одного моля газа
2 —
(4-4)
Здесь —объем одного моля; МА—число Авогадро.
Уравнение (4.1) можно переписать в виде
где р = Nm/V — плотность газа. Таким образом, давление газа про-
порционально его плотности и средней квадратичной скорости движе-
ния молекул.
Если сравнить формулу (4.4) с уравнением Клапейрона — Менде-
леева (4.33), то получим зависимость средней кинетической энергии
одноатомных молекул от температуры:
£ = |йТ. (4.5)
Здесь
И == = 1,38 • IO"?» Дж/К (4.6)
называют постоянной Больцмана (R = 8,31441 Дж/(К-моль) — уни-
версальная газовая постоянная). Средняя кинетическая энергия тепло-
вого движения молекул идеального газа пропорциональна абсолют-
ной температуре.
>00
Из формул (4.1) и (4.6) следует, что
р ~ nkT
р
ИЛИ П = -т-=г
kl
(4.7)
где п = N/V — число молекул газа в одном кубическом сантиметре.
Для идеальных газов в нормальных условиях n=MLn ие зависит от
природы газа. Число NL—2,68 • 1019 см“3 называю*! числом (или по-
стоянной) Лошмидта.
4.2.4. Закон Дальтона. Если в объеме V находится смесь газов,
то разные по массе молекулы имеют разную среднюю скорость, но оди-
наковую среднюю энергию. В соответствии с формулами (4.7) давле-
ние
V
р = nkT ~ kT Uj.
/=1
Здесь nj — число молекул /-го сорта; v — количество газов в смеси.
Следовательно,
v
р= £ рр <4-8)
/=1
где р/ == п/ kT — давление, которое было бы в сосуде, если бы в нем
находились только молекулы /-го сорта. Давление, обусловленное мо-
лекулами какого-либо одного сорта, в случае, когда они находятся
в сосуде в том количестве, в каком присутствуют в смеси, называют
парциальным давлением соответствующего компонента газовой смеси.
Уравнение (4.8) описывает закон Дальтона', давление смеси иде-
альных газов равно сумме парциальных давлений этих газов. Этот
закон приближенно применим к
реальным газам, когда значения
давления и температуры далеки
от критических.
4.2.5. Распределение молекул
по скоростям. Среди молекул ве-
щества существуют такие, ско-
рость движения которых значи-
тельно превышает среднюю квад-
ратичную или меньше ее.
Однако большинство молекул для
каждой температуры Т имеет ско-
рость, мало отличающуюся от не-
которой наиболее вероятной скорости (Т). Молекулы, скорости
которых много больше или меньше (Г), встречаются очень редко.
Закон распределения молекул по скоростям для идеального газа
в состоянии статистического равновесия теоретически установил
Максвелл. Зависимость относительного числа молекул газа, имеющих
при данной температуре скорость в интервале (v, v + dv), от величины
этой скорости приведена на рис. 4.1 и называется распределением Мак-
свелла. Максимум на кривой распределения Максвелла соответствует
наиболее вероятной скорости. Из рис. 4.1 (кривая 1) видно, что число
молекул, имеющих скорость меньшую или большую вероятной, резко
падает по мере увеличения отклонения от нее. Например, для азота
в нормальных условиях цв = 500 м/с. Так, 60 % молекул имеют ско-
рости от 300 до 700 м/с, 0,6 % — от 0 до 100 м/с и 5,4 % — свыше
1000 м/с.
101
Относительная доля молекул, которые могут, оказавшись в верх-
них слоях атмосферы, покинуть Землю (т. е. имеют v *= 11 км/с),
очень мала и равна 10“300. Поэтому на Земле атмосфера устойчива и бу-
дет существовать еще миллиарды лет. Однако на небесных телах (на-
пример, на Луне), где гравитационная сила гораздо меньше, чем на
Земле, атмосфера не может удерживаться с помощью сил тяжести.
На рис. 4.1 кривые 1—3 представляют собой распределение Мак-
свелла для температур Т3> Т2> С повышением температуры
значение (Т) возрастает, кривая распределения становится более
пологой. При этом число молекул, имеющих скорость меньшую ц’в (Г),
падает, а'ббльшую ув (Т) — растет. Вероятность dW того, что скорость
молекулы лежит в интервале (v, v + dv) определяется формулой
dW = \2nkf) еХр [------------kT-----I dVx dVy dVz’ (4’9)
где m — молярная масса вещества; Т — абсолютная температура;
k — постоянная Больцмана; vxt vy, vz — проекции вектора скорости
молекулы на оси координат. Поскольку движение молекул хаотично,
то интегрирование выражения (4.9) по всем направлениям дает
л / fn W2 ( mV‘2 \ 9 J /л
. dW = 4n[^kr) exp\~^kT)vdv- (4J0>
Среднее число молекул со скоростями в пределах от v до v + dv нахо-
дят так:
dN = Nd\V. (4.11)
Здесь N — полное число молекул. Из формул (4.10) и (4.11) можно
получить значение максимума функции распределения -^- = /(0,
которое определяет наиболее вероятную скорость Она оказы-
вается прямо пропорциональной корню квадратному из абсолютной тем-
пературы и обратно пропорциональной корню квадратному из массы
молекулы;
= (4.12)
Распределение молекул газа по скоростям можно записать.в виде
4?Vn Г I v \21 I v V dv f / > « (л 1
diV = —^ехр - - - - =/(у)^> (4.13)
У Л L \VB/ J \VB/ VB
где Nq — число молекул газа в единице объема, скорость ув определя-
ется по формуле (4.12); f (v) — функция распределения Максвелла*
В соответствии с распределением (4.13) можно найти среднюю
арифметическую скорость
или
v ~ \ vf (v) dv,
102
(Vi — модуль скорости Z-й молекулы), йлй
Здесь(о)—средняя квадратичная скорость, определяемая форму-
лой (4.3); М — молярная масса газа. Значение
<У)= j/"j v2f(v)dv,
ИЛИ
<0 = ’ т- е- “ * <и>- <4-15)
Из формул (4.14) и (4.15) следует, что
а из формул (4.12) и (4.14) получаем
(Л = « = (О •
4.2.6. Распределение молекул по энергиям и энергии по степеням
свободы. Доля молекул идеального газа, которые имеют кинетическую
„ то2 „ , ,
энергию в пределах от Ek~ до Ek + aEk определяется формулой
dN (Ek) = (/гП-3/2 exp [- dEk = f (Ek) dEk, (4,16)
где
f (Ek) = A' exp [- J A' = (kT)~^\
f (Ek) — функция распределения молекул no энергиям.
Выражение для средней энергии молекулы (4.5) получено с учетом ‘
только поступательного ее движения. Но молекула может совершать
также вращательные движения, а отдельные атомы, уходящие в ее
состав,—колебаться. Таким образом, многоатомная молекула имеет
дополнительные степени свободы. Одноатомная молекула газа имеет
три равноправные степени свободы, поэтому в среднем на каждую
отдельную степень приходится 1/3 Е, т. е. для одной степени свободы
энергия Et = (l/2)kT.
В молекулярно-кинетической теории газов справедлив закон рав-
номерного распределения энергии по степеням свободы', средняя кине-
тическая энергия молекулы, приходящаяся на каждую степень сво-
боды, одинакова и равна kt/2. Для молекуды, имеющей I степеней
свободы, полная средняя кинетическая энергия
E(t) = i-^.
На колебательную степень свободы приходится кроме средней кинети-
ческой энергии Е также и потенциальная энергия 1Гц, которая равна
103
Ё. Среднее значение полной энергии колебательной степени свободы
равно kT.
4.2.7, Средняя длина свободного пробега. Расстояние, которое
молекула проходит между столкновениями, называют длиной свобод-
ного пробега.
Статистической характеристикой всех молекул газа является
средняя длина пробега X, которая определяется как отношение средней
арифметической скорости v к среднему числу соударений в единицу
времени v, которое определяется формулой
v = У 2 voN0i
где о — эффективное сечение молекулы, пропорциональное квадрату
ее диаметра, Л/о — число молекул в единице объема. Средняя длина
свободного пробега
л = 4- = J .
v
Поскольку при постоянной температуре число Af0 изменяется пропор-
ционально давлению, то Л ~ р"1. С ростом температуры значение о
уменьшается,а % увеличивается. Зависимость % от температуры опре-
деляется формулой Сёзерленда
- Т
Здесь Лоо — средняя длина свободного пробега при Т— оо; величину
С, имеющую размерность температуры, называют постоянной Сёзер-
ленда. Для каждого газа она принимает определенное значение, на-
пример для кислорода С = 125 К. В нормальных условиях для о =
= лА2, что соответствует эффективному радиусу молекулы 1 А,
Л = 2 • 10“- см, при давлении на шесть порядков меньше (10"1 Па)
Л А? 10 см, а на девять порядков меньше (10~4 Па) Л 10 м.
4.2.8. Распределение Больцмана. Давление окружающей Землю
газообразной оболочки (атмосферы) изменяется в зависимости от вы-
соты h над поверхностью. Если абсолютная температура на различных
высотах одинакова, то зависимость давления от высоты описывается
барометрической формулой
Р = Ро ехр
-^-1 - „ ехс [- ^-1,
RT J - Ро Р L kT J
(4.17)
где р0 — давление на поверхности (h = 0); р — средняя молярная
масса атмосферного газа; g — ускорение свободного падения; /? — уни-
версальная газовая постоянная; т — средняя масса одной молекулы,
k — постоянная Больцмана.
Известно, что температура атмосферы немонотонно изменяется
с высотой. Из заданного закона Т (h) обобщенную барометрическую
формулу можно получить, решив уравнение
dp _ И (ft) g dh
р~ R, Т (h)
(4.18)
104
Значение р, также зависит от h. Интегрирование выражения (4.18)
дает
Здесь
л
/М 1 С И W Л
о
Используя формулы (4.7), (4.17), получаем закон изменения с высо-
той числа молекул N в единице объема:
W = AZoexp[— = А/Оехр!— ^|> (4.19)
L а/ J L к* .1
где Мо — число молекул в единице объема при h = 0. Поскольку
U?n = — потенциальная энергия молекулы массой т на высоте
/г, распределение (4.19) можно записать в виде
N = No exp
L ьг\'
(4.20)
Больцман доказал, что формула (4.20) справедлива для молекул газа,
находящихся в тепловом движении и расположенных в любом внешнем
потенциальном поле сил. Эту формулу называют распределением Больц-
мана.
4.2.9. Закон Больцмана—Максвелла. Распределение Максвелла
(4.16) дает распределение молекул по значениям кинетической энергии
а распределение Больцмана (4.20) — по значениям потенциальной
энергии. Оба они объединяются в закон Больцмана—Максвелла, со-
гласно которому число молекул в единице объема, находящихся в по-
тенциальном поле с энергией 1^п и имеющих скорость в интервале
[у, v + dv], определяется из формулы
/ /л \3/2
dN(v, exp
Л I Е'
= Лехр[~kf
kT
v2 dv9
v2 dv = (4.21)
(4.22)
где полная энергия молекулы
£=ГП4
mv2
а постоянная
. и л, ( « F
А - 4nN0 [2nkr] •
Интегрирование уравнения (4.21) по v в пределах от 0 до оо дает рас*
пределение Больцмана (4.20).
Если полная энергия молекулы или другой частицы может прини-
мать только дискретные значения Eit Е%, Е{, то распределение
105
Больцмана для l-й молекулы согласно формуле (4.22) имеет вид
Г ]
Л\ = Л exp (4.23)
Суммирование по всем молекулам дает их общее число:
i I
Постоянная
Л = ==-------------. (4.24)
£ехр[-Ec/kT]
i
Окончательно из формул (4.23) и (4.24) следует, что
. = N ехр [~Ei/kT]
1 £ ехр[-£</ЙТ]
— распределение Больцмана для случая, когда полная энергия от-
дельных частиц принимает дискретные значения.
4.2.10. Статистика Больцмана. Функцию, характеризующую
среднее число молекул, находящихся в данном состоянии, называют
статистическим распределением. Для его определения Больцман
разработал специальный метод ячеек в фазовом пространстве. Фазовым
пространством в статистической физике называют пространство всех
обобщенных импульсов р^ и обобщенных координат qi частиц рас-
сматриваемой системы. Состояние (фаза) системы в любой момент вре-
мени определяется полным набором значений pt, q t ив фазовом про-
странстве изображается в виде точки. Фазовой траекторией называют
линию, некоторой движется точка в фазовом пространстве при изме-
нении состояния системы.
Метод ячеек Больцмана предполагает разбиение фазового про-
странства на JV* ячеек объемом i (i — 1, 2, ..., jy). В каждой 1-й
ячейке расположена точка, описывающая обобщенные координаты
и qt молекул газа, энергия которых соответствует заданному зна-
чению р[. Каждому распределению молекул по ячейкам соответствует
определенное микросостояние газа. Кроме того, предполагается, что
все микросостояния равновероятны и перестановка частиц между
ячейками их не изменяет. Число способов Рм, которыми можно размен
тить N частиц в JV* ячейках, находят так:
Р N =----------—-----------, (4.25)
N nx! n2! . . . nJ . . . n7
где ni — число молекул в i-й ячейке, а общая их сумма
Ж
И пг = N. (4.26)
i— 1
Величину Рм называют статистическим весом макросостояния. Ее
максимум при заданном числе частиц У и определенном значении
полной энергии молекул газа
Е = £ п(Е( (4.27)
I
106
соответствует наиболее вероятному распределению молекул по ячей-
кам, т. е. равновесному состоянию газа. Из условия максимума Рм
и того, что N и Е определяются формулами (4.26) и (4.27), получаем
распределение Больцмана (4.23). Из последовательного рассмотрения,
проведенного в квантовой статистике, следует, что нормировочная
постоянная
N ! № \
~ V \mkTj ’
где h — постоянная Планка.
Критерием применимости статистики Больцмана является нера-
венство
V \mkT) 1
которое выполняется при малых плотностях и высоких температурах,
т. е. для всех разреженных молекулярных газов. Для газа электронов
и фотонов статистика Больцмана неприменима.
4.2.11. Кинетическое уравнение Больцмана. С помощью метода
ячеек в фазовом пространстве можно рассматривать неравновесные
состояния газа и определять изменение статистического распределения,
которое описывается кинетическим уравнением Больцмана.
Для газа, состоящего из молекул одного сорта, это уравнение имеет
вид
tn
, df I df ! df Л
dt + Vx di + v« dy'VVz Jz +
^xdvx+ у dvu+dvz) \
(4.28)
где F {FFy, Fz}— объемная сила, действующая на молекулу массой
т; V— скорость молекулы; f — f (с, х, у, z, /)— функция распределения
молекул одноатомного газа по скоростям и координатам;
некие функции распределения в результате столкновений молекул, кото-
рое называют интегралом столкновений.
Величину
можно представить в виде разности
л/ = х> г, 0 f х, у, z, I) —
\О1/СТ J
— / (у, х, у, z. /) / (yn х, у, г, /)] I — v I о dQ. dvix dv[y dviz. (4.29)
Здесь v, и v't v[ — скорости молекул до и после столкновения;
cdQ — эффективное дифференциальное сечение рассеяния молекул
при столкновении. Формула (4.29) верна для случая, когда нет взаим-
ной связи между динамическими состояниями сталкивающихся моле-
кул и движение их описывается законами классической механики. При
решений кинетического уравнения Больцмана (4.28) используют раз-
личные модельные представления о законе взаимодействия молекул.
Это уравнение позволяет получить макроскопические уравнения для
Процессов переноса (диффузии, внутреннего трения, теплопроводности
и т. п.), Введено уравнение Больцмана в парном приближении, т. е.
107
с учетом столкновений только между двумя молекулами. Это справед-
ливо, если длина свободного пробега молекулы много больше ее эф-
фективных размеров, которые проявляются при столкновениях. При
этом применение уравнения (4.28) ограничивается случаем не слишком
больших плотностей газов. Более строгий вывод уравнения для плот-
ностей распределения молекул газа выполнил Н. Н. Боголюбов. Ки-
нетическое уравнение (4.28) можно обобщить на случай частиц, подчи-
няющихся законам квантовой механики.
4.2.12. Уравнение Клапейрона — Менделеева состояния идеального
газа. Экспериментально было получено уравнение состояния газа дан-
ной массы, связывающее параметры р, V и Г, в следующем виде (урав-
нение Клапейрона)'.
~ = const. ' (4.30)
Клапейрон установил, что константа в правой части этого уравнения
пропорциональна массе газа, т. е.
= Вт, (4.31)
где постоянная В принимает разные значения для разных газов.
Д. И. Менделеев уточнил уравнение (4.31) и показал, что для газа
с молярной массой М
Вм — const == R, (4.32)
где Z? — универсальная газовая постоянная. Согласно закону Авогадро
различные газы с количеством вещества 1 моль при одинаковых давле-
ниях и температурах занимают одинаковый объем. В нормальных
условиях объем моля газа V^m — 0,0224136 м3, а
п РоУОЛ4
Для моля идеального газа уравнение (4.31) имеет вид
pVm = RT,
а для массы т
рУ = ^ RT. (4.33)
Уравнение (4.33) называют уравнением Клапейрона—Менделеева или
уравнением состояния идеального газа.
Реальные газы с хорошим приближением подчиняются этому
объединенному газовому закону лишь при малых плотностях, т. е.
при не слишком больших давлениях и высоких температурах.
4.2.13. Газовые законы. Из уравнения состояния идеального газа
при условии, что один из параметров (р, V или Т) постоянен, следуют
основные газовые законы.
1. При постоянном давлении объем данной массы газа пропорцио-
нален его абсолютной температуре, т. е.
V
-тр = const, р = const, М = const. (4.34)
108
Происходящие при этом процессы называют изобарными (или изобари*
ческими). Для двух состояний, характеризуемых значениями
и Г2, ПРИ изобарном процессе выполняется закон
v2 т2
При Т2 == 273 К (или t = О °C) с учетом связи между значениями тем-
ператур в абсолютной шкале и шкале Цельсия: Т = t + 273,15
t + 273 закон (4.35) можно записать в виде
Vf — Уо О +
где V0,Vf— объем газа при начальной Ц=0°С) и конечной температурах.
Этот закон, который называют законом Гей-Люссака, установлен опыт-
ным путем. Постоянную av называют коэффициентом теплового рас-
ширения газов при постоянном давлении, который для всех газов при-
мерно равен
2тЬк-‘“5Як”- <4'36’
Зависимость объема газа от температуры при постоянном давлении
изображается прямой линией, которую называют изобарой. При
больших давлениях эта прямая проходит ниже прямой, соответству-
ющей меньшим давлениям. Если ее продолжить в область низких тем-
ператур, то она пересечет ось температур в точке t = —273,15 °C
(Т — О К). Однако в этой точке реальный объем газа не обращается
в нуль, так как закон Гей-Люссака для низких температур не выполня-
ется. Все газы при сильном охлаждении переходят в жидкое состояние.
2. При постоянной температуре произведение давления данной .
массы газа на занимаемый им объем есть величина постоянная:
рУ = const, 7 — const, М == const, (4.37)
Этот закон экспериментально установил Бойль и независимо от пего
Мариотт. Называют его законом Бойля—Мариотта.
Процессы, происходящие при постоянной температуре, называют
изотермическими. Закон (4.37) можно записать в виде
— = ~ , Т — const, М ~ const.
Pi Vi
Давление определенного количества газа.’(в изотермических условиях
обратно пропорционально занимаемому им объему. Поскольку любая
величина, обратно пропорциональная объему газа, пропорциональна
его плотности, то закон (4.37) можно сформулировать так: давление
заданного количества газа в изотермическом процессе прямо пропор-
ционально плотности этого газа.
Кривую зависимости давления газа от его объема называют изо-
термой. Графически она изображается гиперболой, асимптотами кото-
рой являются оси координат. Гипербола, соответствующая высоким
температурам, расположена выше гиперболы, соответствующей низкой
температуре. Закон Бойля—Мариотта для реальных газов выполня-
ется приближенно тем лучше, чем дальше значения параметров р и Т
от критических.
3. Давление данной массы газа при неизменном объеме пропор-
ционально температуре (закон Шарля):
Pt Ро (1 + сср/), У = const, М = const,
10Э
где Ро> Pi — давление при начальной (/= О °C) и конечной темпера-
турах; ар — термический коэффициент давления, который для идеаль-
ных газов равен 1/273,15 К”1 ~ 1/273 К"*1, т, е.
Процессы, происходящие при постоянном объеме, называют шю-
хорными. Закон Шарля можно записать в виде
—• = , V = const, М = const.
Pi *2
Зависимость давления газа от температуры при постоянном объеме
графически изображается прямой линией, которую называют изохо-
рой. Продолжение всех изохор в область низких температур пере-
секается в одной точке (I = —273,15 °C). Меньшему объему соответ-
ствует изохора, которая лежит выше.
Закон Шарля для реальных газов при низких температурах не
выполняется, так как все газы (кроме гелия) при низких температурах
переходят в жидкое состояние. Поэтому продолжение изохор идеаль-
ного газа в область низких температур вблизи абсолютного нуля не
корректно.
Газы, подчиняющиеся основным газовым законам (4.34), (4.37)
и (4.38), а следовательно, уравнению Клапейрона—Менделеева
(4.33), называют идеальными.
4.3. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ
4.3.1. Силы взаимодействия молекул. На расстояниях г 10~° м
между центрами молекул взаимодействие их сводится к силам притя-
жения, которые быстро убывают
с этим расстоянием. Примером могут
быть силы, описываемые степенной
функцией:
Fi (И = — аг7ег,
где ег — единичный вектор в ради-
альном направлении, когда центр
одной из молекул выбран за начало
сферической системы координат. По-
ложительная постоянная а прини-
мает различные значения для раз-
ных сортов молекул. На малых рас-
стояниях между центрами молекул,
когда они подходят одна к другой
вплотную так, что происходит взаим-
ное проникновение электронных обо-
лочек, действуют силы отталкивания, зависящие от этого расстояния.
При г 10~10 м действует сила
F2 (г) = br-i^r-
Взаимодействие молекул схематично показано на рис. 4.2. Результи-
рующую взаимодействия F (г) можно представить в виде
F (г) = Fx (г) + F2 (г) = (-а + Ьг-о) г'Чг
На расстоянии r0 = (b/a)^G сила F (г) = 0 и молекулы находятся в
положении равновесия, При г > г0 действует сила притяжения, при
ПО
г < r0 — сила отталкивания. Если смещение молекул от положения
равновесия мало, то силы притяжения или отталкивания линейно за-
висят от г (линия MN на рис. 4.2). На расстояниях, превышающих
г0 в несколько раз, силы взаимодействия молекул практически отсут-
ствуют. График потенциальной энергии взаимодействия молекул пока-
зан на рис. 4.3. Силы притяжения между молекулами малы, так что
для нормальной температуры (TQ — 273 К) выполняется условие
| Wn (г0) | « kT0. .
Начиная с некоторого расстояния р взаимодействием молекул можно
пренебречь. Это расстояние называют радиусом взаимодействия.
С помощью зависимости потенциальной энергии от расстояния
(см. рис. 4.3) можно проследить за взаимодействием молекул, которые
Рис. 4.4
имеют разные кинетические энергии на расстояниях больших р. Для
кинетических энергий (7\) и е2 (Г2) минимальное расстояние
на которое могут подойти молекулы одна к другой, разное и уменьша-
ется с ростом кинетической энергии £t-. Поскольку средняя кинетиче-
ская энергия молекул газа Е пропорциональна Г, то эффективный
диаметр молекул с? также зависит от температуры, повышение которой
приводит к его уменьшению и вследствие этого увеличению средней
длины свободного пробега молекул.
4.3.2. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Уравнение состояния реаль-
ного газа, которое называют уравнением Ван-дер-Ваальса, имеет вид
(р + и/V2) (V — b) = RT, (4.39)
где р — давление; V — уцелышй объем газа; Т — абсолютная тем-
пература. Константа b определяет суммарный объем, занятый всеми
молекулами газа вследствие конечности их размеров, а поправка
a/V2 — некоторое «внутреннее» давление, обусловленное взаимным
притяжением молекул. Это давление называют кохезионным.
Уравнение (4.39) записано для одного моля газа, а для v == —
Н
молей оно имеет вид
(4-40)
ш
Здесь М — масса всех молекул газа; р — молярная его масса. Фор-
мулы (4.39) и (4.40) являются кубическими уравнениями относительно
Объема V» Например, уравнение (4.40) можно записать так:
М М2 М3
+ + V-~a& = 0. (4.41)
Г JX JI
На рис. 4.4 показаны изотермы Ван-дер-Ваальса для температур
Tj < Т2 < Тк < Т3. Для температур 7\ и Т2 они имеют точки пере-
сечения с прямой р = const (три вещественных решения уравнения
(4.41)). Начиная с температуры Тк изотерма имеет только одну точку
пересечения с этой прямой для любых значений р (одно вещественное
решение уравнения (4.41)). Критическими называют температуру
Тк и точку К на изотерме Тк, к которой стремятся точки аир, когда
температура Т < Тк стремится к Тк,
В критической точке первая и вторая производные р по V равны
нулю:
М =0.
\dVJK ' \dV2)K •
Из этих условий и уравнения (4. 41) можно найти критические значе-
ния объема, давления и температуры:
V =3—&, к и (4.42)
__ а Рк “ 276* ’ (4.43)
_ 8Ма (4.44)
Произведение рЛк = 4 (4.45)
для этого случая и аналогичное произведение
(4.46)
для идеального газа существенно различаются.
Принятое при выводе уравнения Ван-дер-Ваальса предположение
о «внутреннем» давлении не совсем верно, однако это уравнение при
малых давлениях (до 500 кПа) и не очень низких температурах количе-
ственно, а при высоких давлениях и низких температурах качественно
согласуется с экспериментом.
4.3.3. Экспериментальные изотермы реальных газов. Схема полу-
чения изотерм реального газа опытным путем состоит в следующем.
Замкнутый сосуд (рис. 4.5) с перемещающимся в нем поршнем П поме-
щают в термостат 7, который обеспечивает постоянную температуру
эксперимента. К сосуду для определения давления подключают мано-
метр М. Вначале при уменьшении объема газа давление возрастает
в хорошем соответствии с отвечающей данной температуре изотермой,
которая получается из уравнения (4.40). Затем при некотором значении
объема экспериментальная кривая начинает отличаться дт изо-
термы Ван-дер-Ваальса (рис. 4.6). При объеме V < давление в со-
суде сохраняется постоянным, однако происходит расслоение вещества
112
на жидкую и газообразную фазы. Процесс перехода вещества из газо-
образного состояния в жидкое называют конденсацией, которая при
заданной температуре Т2 происходит при строго определенном давле-
нии р2 и сопровождается выделением теплоты L, равной теплоте паро-
образования. Давление р2 называют давлением насыщенных паров.
Паром называют вещество, которое находится в газообразном состоя-
нии при температуре ниже критической.
С уменьшением объема на промежутке [Ур У^] увеличивается
доля сконденсированного вещества. При достижении объема У^ про-
цесс конденсации заканчивается. Дальнейшее уменьшение объема
У <С У^ приводит к быстрому росту давления согласно уравнению
(4.40). Этому участку изотермы соответствует однофазное (жидкое)
состояние вещества. Изотермы реального газа для относительно низких
температур представляют собой ломаные линии (типа АааВ на рис.
4.6). Величина прямолинейного горизонтального участка ab умень-
шается с повышением температуры.
4.3.4. Критические параметры состояния. При температуре Тк,
которую называют критической температурой реального газа, отрезок
ab на рис. 4.6 превращается в точку К, называемую критической.
Кривую р (У), проходящую через эту точку, также называют критиче-
ской изотермой. Выше критической температуры существование
жидкости в равновесии с газообразной фазой невозможно ни при каких
давлениях.
Предельное состояние равновесия двухфазной системы, в котором
обе фазы становятся тождественными по своим свойствам, называют
критическим состоянием.
Для состояний, которые изображаются точками, лежащими выше
критической изотермы, вещество является однородным. Множество
точек а и Ь, где начинается или заканчивается конденсация, образуют
колоколообразную кривую с вершиной в точке К. Эта кривая делит
плоскость piV на три части (рис. 4.7). В нижней находится область
двухфазных состояний жидкости и пара, слева— область жидкого
состояния, ограниченная вверху критической изотермой, и остальное—
это область однородного газообразного состояния. Внизу под правой
ветвью критической изотермы расположена область, в которой газо-
образное состояние называют паром, выше ее находится газовое со*
стояние, которое никаким сжатием нельзя превратить в жидкое.
Чистое вещество характеризуется своими значениями критических
параметров состояния рк, VK, Тк> которые для реальных веществ от-
личаются от получаемых из формул (4.42)—(4.44). В двухкомпонент-
ных системах, состояние которых описывается давлением р,объемом V,
температурой Т и относительной концентрацией одного из компонен-
тов с, наблюдается не одна критическая точка, а одномерное их мно-
жество, совокупность которых задает критическую кривую. Вблизи
критического состояния наблюдают особые критические „ явления,
которые связаны со значительным возрастанием флуктуаций плотно-
сти вещества и относительной концентрации в двухкомпонентных си-
Рис. 4.7
Рис. 4.8
стемах и аналогичны явлениям, происходящим вблизи точки фазового
перехода второго рода.
4.3.5. Пересыщенный пар и перегретая жидкость. При темпера*
туре ниже критической в определенных условиях воздействия на си-
стему можно изменить ход изотермы в интервале [V^, Vgl. Для конден-
сации пара (фазовый переход первого рода) необходимы центры кон-
денсации (пылинки, капельки, заряженные ионы и т. п.), на которых
возникают зародыши новой фазы. Если в объеме сосуда отсутствуют
посторонние включения, то конденсация пара при V < Vg не проис-
ходит. В этих условиях изотерма будет следовать кривой аА, а не аВ±
(рис. 4.8). Если давление пара выше давления насыщенного рн, то пар
называют пересыщенным (или переохлажденным). Состояние такого
пара метастабильно, т. е. оно соответствует неустойчивому термо-
динамическому равновесию, в котором газ может находиться длитель-
ное время. Введение в пересыщенный пар центров конденсации (на-
пример, пыли) приводит к его скачкообразному переходу в двухфазное
состояние жидкость—пар. При этом давление резко падает от рА до
рн, т. е. вещество из состояния, характеризуемого точкой Д, быстро
переходит в состояние В± (рис. 4.8).
Можно получить жидкость при давлениях меньших насыщающего
рн для данной температуры, если в ней нет центров парообразования.
При этом необходимо, чтобы жидкость была хорошо очищена от твердых
включений и растворенных газов. В этих условиях увеличение объема
от значений Vf приведет к тому, что изотермический процесс пойдет
вдоль кривой bDt а не по горизонтальному участку ЬВ2> Жидкость при
114
давлениях pD меньших давления насыщенного пара называют перегре-
той. Чтобы жидкость бурно вскипела, достаточно бросить в нее пес-
чинку (вещество быстро переходит в равновесное двухфазное состоя-
ние, изображенное на рис. 4.8 точкой В2). При низких температурах
часть метастабильных состояний может находиться в области отрица-
тельных давлений (участок изотермы VxlV2 на рис. 4.8). Жидкость
в таком состоянии называют растянутой.
4.3.6. Определение постоянных уравнения Ван-дер-Ваальса из
экспериментальных данных. Определяя зависимость давления от тем-
пературы при постоянном объеме, можно установить ее поведение
для высоких давлений. Согласно уравнению Ван-дер-Ваальса (4.39)
находим производную
\dt]v V — b'
откуда получаем
(4-471
(4.48)
Здесь V = [iV0/М — молярный объем газа; Vo — объем сосуда; М —
масса газа; р — его молярная масса.
Установлено, что уравнение Ван-дер-Ваальса хорошо передает
качественные закономерности без количественного согласования с экс-
периментальными данными. Величины а и b зависят от температуры.
Значения критических параметров должны удовлетворять соотношению
(4.45), т. е. RTj(pKVv) = 8/3 2,67. Однако экспериментально пока-
зано, что для многих газов это отношение приблизительно равно 3,7,
а вместо равенства Ук = ЗАМ/р, лучше выполняется такое: =
= 2Мб/р. Состояние реального газа с большей точностью описывается
уравнением в виде ряда
pV==RT[\ + NB/V + ----], (4.49)
представляющего собой разложение давления в ряд по плотности
р = N/V. Определяемые из эксперимента постоянные В, С, ... назы-
вают вириальными коэффициентами, которые в общем случае зависят
от температуры. Если ограничиться первым из них (в — b — а/RT
при р- <£ 1^, а остальные положить равными нулю, то ряд (4.49)
перейдет в уравнение Ван-дер-Ваальса.
4.3.7. Закон соответственных состояний. Введя безразмерные пара-
метры Т/Тк = 0, р/рк == л, V/VK = со, уравнение Ван-дер-Ваальса можно
представить в виде
(«+»)(“-!) "Iе- <,-м>
Это уравнение называют приведенным уравнением состояния. Оно не
содержит постоянных, характеризующих конкретное вещество, по-
этому приближенно справедливо для всех веществ. Из него следует
закон соответственных состояний', если два приведенных параметра
двух веществ одинаковы, то и третьи их параметры также одинаковы.
115
Этот закон выполняется с большей точностью, чем уравнение Ван-дер-
Ваальса, хотя также является приближенным. Он дает возможность
с определенной точностью вычислять изотермы для различных газов,
если известны их критические параметры и определен ход изотерм для
других газов (особенно для групп веществ с близкими формами потен-
циала межмолекулярного взаимодействия).
4.4. ТЕРМОДИНАМИКА
4.4.1. Содержание и метод термодинамики. Изучение состояний
макроскопических систем можно проводить не с использованием мо-
дельных представлений о молекулярном строении вещества, а опираясь
на экспериментально установленные принципы или законы. Раздел
физики, в котором исследуются общие свойства вещества, связанные
с тепловым движением в состоянии равновесия, и процесса перехода
между этими состояниями, называют термодинамикой. В основе ее
лежат три принципа, которые являются обобщением эксперименталь-
ных данных, выполняются независимо от природы образующих си-
стему тел и принимаются без доказательств как аксиомы. Это — прин-
ципы энергии (первое начало термодинамики), энтропии (второе
начало) и теорема Нернста (третье начало). Иногда нулевым нача-
лом термодинамики называют принцип температуры. В термодинамике
устанавливаются связи и закономерности между физическими величи-
нами, измеренными опытным путем в макроскопических системах.
Такой подход называют феноменологическим. Физические параметры,
характеризующие макроскопическое состояние тел, называют термо-
динамическими параметрами. Для газообразных веществ таковыми
являются давление, объем и температура. Понятия энергии и объема
имеют также чисто механический смысл, а температуры и энтропии —
вообще неприменимы к немакроскопическим системам.
Поскольку метод исследования в термодинамике не связан с мо-
дельными представлениями, то он может быть общим и часто достаточ-
но простым. Здесь после формальных математических преобразований
получается конечный результат, который можно применять для реше-
ния конкретных задач. Однако физический смысл рассматриваемого
явления остается не раскрытым. Изучение молекулярно-кинетических
механизмов выполняется методами статистической физики, что дает
возможность выяснить также границы применимости методов термо-
динамики.
4.4.2. Термодинамическое равновесие. Изолированная система
находится в термодинамическом равновесии, если термодинамические
параметры, определяющие ее состояние, остаются постоянными сколь
угодно долго. Отдельные макроскопические части термодинамически
равновесной системы также равновесны. Тела, с которыми не происхо-
дит никаких изменений, кроме тепловых, при долгом их соприкоснове-
нии принимают одинаковое тепловое состояние. Пока равновесие не
установилось, тела могут находиться в неравновесном состоянии. От-
метим следующие особенности термодинамического равновесия. Г.Стро-
го говоря, параметры состояния не остаются постоянными, а испыты-
вают небольшие колебания вблизи своих равновесных средних вели-
чин. Такие колебания называют флуктуациями, которыми в термоди-
намике пренебрегают, поскольку они обычно ничтожно малы. 2. Тер-
модинамическое равновесие возможно только для большого числа час-
тиц, образующих макроскопическую систему.
Переход системы из термодинамически неравновесного состояния
в равновесное называют процессом релаксации. При этом для каждого
термодинамического параметра есть свое время перехода, которое
116
называют временем релаксации. Максимальное из всех времен релак-
сации для данной системы называют полным временем релаксации.
Определение времени релаксации для различных процессов является
задачей физической кинетики.
Методы термодинамики и полученные с их помощью результаты
применяют в теории фазовых равновесий, например равновесий между
различными агрегатными состояниями, а также в теории химического
равновесия. В классической термодинамике количественно описывают
равновесные (обратимые) процессы, а для неравновесных устанавли-
вают лишь возможные их направления. Общую теорию макроскопиче-
ского описания неравновесных процессов называют термодинамикой
неравновесных процессов, в которой изучают малые отклонения от
равновесных состояний, в частности определяют зависимости скорости
неравновесных, процессов от внешних условий, а также формулируют
локальные первое и второе начала термодинамики-и исследуют уравне-
ния переноса.
4.4.3. Термостат и принцип температуры. Тело, масса которого
очень велика по сравнению с другим рассматриваемым телом, так что
состояние его не изменяется при их соприкосновении, называют
термостатом.
Выведенный из многочисленных экспериментальных данных прин-
цип температуры формулируется так: существует параметр состояния
системы, называемый температурой, который остается постоянным для
любого процесса, протекающего в термостате. Поскольку разным теп-
ловым состояниям соответствуют разные значения внутренней энергии,
то и температура связана с этой энергией, а точнее, со средней кинети-
ческой энергией движения молекул. Температура характеризует со-
стояние равновесия и при термодинамическом равновесии для всех тел
одинакова. Если два тела находятся в термодинамическом равновесии
с третьим, то они будут в таком же равновесии и между собой. Это дает
возможность определять температуру разных тел.
4.4.4. Измерение температуры. Температуру тела непосредственно
измерить невозможно. Ее изменения можно установить, изучив изме-
нение зависящих от нее физических свойств (например, объема, давле-
ния, ЭДС, электросопротивления, интенсивности излучения и др.).
Различают контактные и бесконтактные методы измерения температу-
ры. В бесконтактных методах, которые называют термометрией
излучения или пирометрией, измеряют интенсивность теплового излу-
чения тел. В контактных методах сравнивают температуры разных тел
с помощью специального пробного тела, которое называют термомет-
рическим. Его приводят в соприкосновение с каждым из сравниваемых
тел до установления теплового равновесия. По изменениям свойств
пробного тела можно судить о том, одинакова температура исследуемых
тел или разная. Числовое значение температуры определяют по изме-
нению какого-либо удобного для измерения свойства, называемого
термометрическим свойством вещества, задав начальную точку отсчета
и размер единицы (градус). В результате получают определяемую эм-
пирически шкалу температур, которая представляет собой систему со-
поставимых числовых их значений. Фиксируемые в этой шкале основ-
ные температуры называют реперными или постоянными точками,
которые обычно соответствуют точкам фазового равновесия одпоком-
понентных систем. Расстояния между реперными точками называют
основным температурным интервалом, определенную долю которого
принимают за градус. Например, в шкале Цельсия за реперные точки
приняты температуры таяния льда и кипения воды в нормальных
условиях, а интервал между ними разделен на 100 равных частей, на-
виваемых градусами Цельсия (°C).
117
Температурные шкалы существенно зависят от термометриче-
ского вещества, термометрического свойства и реперных точек. При
сравнении температурных шкал, использующих разные по природе
термометрические вещества и свойства, оказывается, что их значения
могут совпадать из-за способа градуировки при 0° и 100° и не совпадать
при других температурах. Без специальных экспериментальных дан-
ных невозможен пересчет для температурных шкал, отличающихся
реперными точками, термометрическим веществом и свойством.
У. Томсон (Кельвин) предложил температурную шкалу, не зависящую
от термометрического вещества. Эту шкалу определяют исходя из
цикла Карно, КПД которого зависит только от термодинамической
температуры. Шкала Кельвина основана на одной реперной точке —
тройной точке (0,01 °C) равновесия воды (в твердой, жидкой и газооб-
разной фазах), которая реализуется в пространстве над водой со льдом,
находящейся в запаянном сосуде. Для этой точки принята темпера-
тура 273,16 К. Абсолютный нуль температуры Т — 0 К введен экстра-
поляцией и не требует его реализации. Экспериментально получены
температуры, лишь на 10~G К отличающиеся от 0 К. Шкалу Кельвина
называют термодинамической температурной шкалой или абсолют-,
ной шкалой температур. За единицу температуры принят кельвин
(1 К), равный -х температуры тройной точки воды. Соотношение
Z / 0,1 о
мэжду значениями температур по шкале Цельсия и шкале Кельвина
имеет вид
Т (К) = t (°C) + 273,15,
причем ГС = 1 К.
Осуществить абсолютную температурную шкалу практически
очень сложно. Поэтому обычно применяется между народная практи-
ческая температурная шкала (МПТШ-68), которая совпадает с абсо-
лютной с достижимой экспериментально точностью. Для градуировки
ее используют набор специальных реперных точек (см. табл. 37).
Измеряют температуру с помощью термометра, который состоит
•из чувствительного к ее изменениям элемента и измерительного устрой-
ства для определения численных ее значений. Термометр обладает
инерционностью: только через определенное время его температура
становится такой, как измеряемого тела или вещества.
Контактные термометры могут быть газовыми, жидкостными и
твердотельными. Различают биметаллические термометры, термометры
сопротивления, термопары и пирометры. В каждом из них использо-
вано изменение определенного свойства термометрического вещества,
например: объема и давления в газовых (N2, Н2, Не), объема в жидкост-
ных (ртутных, спиртовых), электрического сопротивления проводни-
ков в термометрах сопротивления, термоэлектродвижущей силы в
термопарах (термоэлементах), теплового расширения двух металлов
в .биметаллических термометрах, интенсивности излучения в бескон-
тактных термометрах (пирометрах). Градуировка шкал в этих при-
борах соответствует МПТШ-68.
Иногда для измерения температуры используют шкалы Реомюра
и Фаренгейта. Начальные точки в шкалах Реомюра и Цельсия совпа-
дают. Величина градуса в шкале Реомюра в 1,25 раза больше, а в
шкале Фаренгейта в 1,8 раза меньше, чем в шкале Цельсия. Темпера-
тура кипения воды в первой из них соответствует 80 °R, а во второй —
212 °F. Зависимость между значениями температур в этих шкалах
и в шкале Цельсия можно записать в виде
t (°R) = 0,8 t (°C),
t (°F) = 1,8 t (°C) + 32 (°F).
118
В США часто используют термодинамическую температурную
шкалу Ранкина, температура по которой связана с абсолютной
температурой соотношением
5
Г(К)= 9 TR.
4.4.5. Внутренняя энергия термодинамической системы. Всякую
термодинамическую систему можно характеризовать внутренней энер-
гией Uy которая зависит от состояния этой системы. Внутренняя энер-
гия равна сумме энергий движения всех молекул и энергии взаимодей-
ствия молекул и отдельных частей термодинамической системы. Она мо-
жет изменяться за счет работы, совершенной данной системой (6Л) или
произведенной внешними силами над системой (6А'), а также в резуль-
тате теплового контакта (теплообмена) системы с более или менее на-
гретым телом (нагревателем или холодильником).
4.4.6. Количество теплоты и работа. Количество энергии, передан-
ное термодинамической системой при силовом воздействии на внешние
тела, называют работой 6А, совершенной системой. В дифференциаль-
ной форме
64 = £ Qi (Т) 6?(. (Г),
i
где qt (Т) — обобщенные координаты (объем, напряженность внешнего
магнитного или электрического поля и т. п.); Qi (Т) — обобщенные
силы (давление и др.). Количество энергии, переданное (или получен-
ное) термодинамической системой при теплообмене с внешними тела-
ми (без изменения ее внешних параметров), называют количеством
теплоты 6Q. Значения 6А и 6Q могут быть положительными и отрица-
тельными. Если 6А > 0, то система передает часть энергии внешним
телам, т. е. совершает работу 6А над ними, если 6Q < 0, то сообщает
менее нагретому внешнему телу количество теплоты 6Q.
В соответствии с третьим законом Ньютона работа б А', совершае-
мая над термодинамической системой внешними силами, равна по ве-
личине, по противоположна по знаку работе 6Л, которую система вы-
полняет над внешним телом, т. е.
М = -М'.
Например, при расширении газа с увеличением его объема па dV со-
вершается работа 6А = рвнешн dV, где ^внешн ~ внешнее давление. При
квазиравновесиом расширении Рвпешп“^ (давление в системе) и М =
— pdV, Работа и количество теплоты характеризуют изменение энергии
термодинамической системы, а значит, имеют смысл только при нали-
чии процесса, - изменяющего эту энергию. Поэтому неверны утвержде-
ния, что система имеет запас работы или запас количества теплоты.
Величины 6Q и 6А не являются полными дифференциалами, и их
обозначают через &Q и М, а не dQ и dA. Передаваемое системе коли-
чество теплоты Q и совершаемая ею работа А зависят от того, каким
способом система переходит из начального состояния в конечное.
4.4.7. Теплообмен. Между термодинамическими системами с раз-
ными температурами может происходить процесс передачи некоторого
количества теплоты от более нагретой системы к менее нагретой. Само-
произвольный необратимый процесс переноса теплоты при различии
в температурах называют теплообменом. Различают три вида тепло-
обмена: теплопроводность у приводящую к выравниванию темпера-
тур,— передача тепловой энергии от части системы с большей темпе-
119
ратурой к части с меньшей температурой; теплообмен через излучение
(лучистый теплообмен) — передача теплоты от одной термодинамиче-
ской системы к другой без непосредственного их контакта, а путем
обмена электромагнитным излучением, т. е. теплообмен, обусловлен-
ный процессами испускания, распространения, рассеяния и поглоще-
ния; конвективный теплообмен — перенос теплоты при движении
потока жидкости, газа или сыпучих веществ от более нагретой термо-
динамической системы к менее нагретой.
Скорость передачи теплоты внутри данного тела зависит от со-
ставляющего его вещества. В нормальных условиях различают тела
с большой теплопроводностью или хорошие проводники тепла (метал-
лы), со средней теплопроводностью или плохие проводники тепла
(газы и жидкости, кроме ртути), а также теплоизоляторы (асбест,
шерсть, хлопок, пробка). В сильных магнитных полях и при больших
давлениях эти различия нарушаются.
Количество теплоты Q, которая передается через тело длиной I
и сечением S за время т, если разность температур на его концах равна
—fj, определяется формулой
где % — коэффициент теплопроводности тела, равный количеству теп-
лоты, передаваемой за единицу времени через единицу поверхности,
когда разность температур равна 1 К на расстоянии в единицу длины
(X зависит от агрегатного состояния вещества, температуры, давле-
ния, состава и т. д.).
4.4.8. Единицы теплоты. Единицей количества теплоты в системе
СИ является джоуль (Дж). До введения системы СИ за единицу коли-
чества теплоты применяли калорию (кал) — количество теплоты, необ-
ходимое для нагревания 1 г чистой воды от 19,5 до 20,5 °C; 1 кал =
= 4.1868 Дж.
4.4.9. Теплоемкость. Количество теплоты, необходимое для нагре-
вания вещества на 1 К (или на 1 °C), называют теплоемкостью, а тепло-
емкость единицы массы вещества называют его удельной теплоемкостью
-
с" тДГ-
где 6Q — количество теплоты, сообщенное телу; АТ — изменение тем-
пературы. Если Q — количество теплоты, переданное телу массой М
при нагревании его от температуры 7\ до температуры Т2, то в данном
интервале температур
C = M(T2Q-T1)- (4-51)
Удельная теплоемкость любого вещества увеличивается с повы-
шением температуры, что необходимо учитывать при точном определе-
нии количества теплоты по формуле
<2 = сМ (Т2 - 7\). (4.52)
Молярной теплоемкостью см называют теплоемкость одного моля
вещества см = Мс, где М — молярная масса.
Теплоемкость вещества зависит от условий его нагревания. Состоя-
ние тела определяется температурой и физическими параметрами,
которые могут изменяться независимо от нее. Как видно из уравнения
состояния идеального газа (4.33), такими параметрами могут быть
120
объем и давление. Поэтому теплоемкость зависит от их изменения при
нагревании. Теплоемкость при р — const называют теплоемкостью при
постоянном давлении ср, а при V = const — теплоемкостью при по-
стоянном объеме су. Всегда выполняется условие ср > су, поскольку
при нагревании системы при постоянном давлении увеличивается ее
внутренняя энергия и производится работа, а при постоянном объеме
увеличивается только внутренняя энергия.
4.4.10. Уравнение теплового баланса. Теплота представляет со-
бой энергию беспорядочного движения атомов и молекул, которая
передается в результате теплообмена. Она не возникает и не исчезает,
а только переходит в другой вид энергии или от более нагретых тел
к менее нагретым. Формула (4.52) дает возможность учесть перераспре-
деление количества теплоты при установлении теплового равновесия.
Для /V тел с массами Мх, Л13, ...» и удельными теплоемкостями
с2, с3, ..., сдг, нагретых до температуры Т2, Т3, ..., соответ-
ственно, после соприкосновения их друг с другом и установления
одинаковой для них температуры То получим уравнение
CiMt (То - Л) + с2М2 (То - Т2) + ... +
+ (То— TN) — 0, (4.53)
представляющее собой математическое выражение закона сохранения
энергии при теплообмене, или уравнение теплового баланса, которое
справедливо только тогда, когда обмен энергией между рассматривае-
мыми телами и их окружающими отсутствует, т. е. когда термодинамиче-
ская система изолирована.
4.4.11. Первое начало (закон) термодинамики. Многочисленными
экспериментами установлено, что все явления в природе происходят
в соответствии с законом сохранения энергии', энергия не возникает
и не исчезает, а переходит из одного вида в другой. Этот закон сохра-
нения энергии в механических и тепловых процессах называют первым
началом (законом) термодинамики. Его можно еще сформулировать так:
изменение внутренней энергии Д£/12 термодинамической системы, ко-
торое происходит при переходе системы из одного состояния в другое,
равно сумме работы ДЛ12, совершенной над системой внешними сила-
ми, и количества теплоты AQi2, сообщенной этой системе извне:
Д^12 АЛ12 AQ12*
Количество теплоты, сообщенной системе, идет на приращение внут-
ренней энергии и совершение системой работы над внешними телами:
6Q = dU + 6Л.
Внутренняя энергия является функцией независимо изменяю-
щихся величин Q и Л. В термодинамике функцию независимых пара-
метров, определяющих равновесное состояние системы, не зависящую
от пути, по которому система приведена в это состояние, называют
функцией состояния. Изменение внутренней энергии не зависит от
способа перехода системы из одного состояния в другое, а определя-
ется свойствами начального и конечного состояний. В одинаковых со-
стояниях система обладает одинаковой внутренней энергией. Из первого
начала термодинамики следует, что внутренняя энергия есть функция
состояния. Если система состоит из нескольких частей, то ее энергия
равна сумме энергий каждой части, т. е. является аддитивной величи-
ной, для которой справедлив принцип суперпозиции. Более того, если
система обладает механическим, тепловым, магнитным, электрическим
и другими видами энергии, то полная ее энергия равна их сумме. В изо-
лированной системе сумма приращений всех видов энергии равна
121
нулю, а убывание одних видов энергии сопровождается эквивалент-
ным возрастанием других.
Особое значение имеют круговые или циклические процессы, при
которых термодинамическая система, пройдя ряд состояний, возвра-
щается к исходному. Такими периодически действующими системами
являются тепловые двигатели. Первое начало термодинамики часто
формулируют так: невозможно построить вечный двигатель (перпетуум
мобиле первого рода)> т. е. периодически действующий двигатель,
который совершал бы работу неограниченное время, не заимствуя
энергию извне.
4.4.12. Первое начало термодинамики для идеальных газов. Рабо-
та, производимая внешними силами при сжатии газа,
М' == -р^У,
где р — давление этого газа, dV — изменение его объема, а совершае-
мая газом при его расширении,
6Д = pdV.
Всякое изменение объема газа сопровождается работой, которая равна
произведению давления газа на величину этого изменения. При изме-
нении объема газа от Vi до VQ совершаемая работа
V3
л12 = f р (V) dV. (4.54)
vt
В случае изобарного процесса (р = const)
Л12 = p(V2- VJ.
Количество теплоты, сообщаемое газу при изменении его темпе-
ратуры на величину dT, определяется формулой
6Q = cdT,
где с — теплоемкость газа, т. е.
Теплоемкость любого тела при постоянном объеме су равна част-
ной производной:
_(dQ\
cv~\df/v \dTJv ’
(4.55)
так как при этом вся теплота идет на изменение внутренней энергии.
Для идеального газа массой т внутренняя энергия
^/ = ж17?7’’ (4-56)
где М — молярная масса газа: i — сумма чисел поступательных, вра-
щательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы моле-
кулы газа; R — универсальная газовая постоянная. Из формул (4.55)
и (4.56) получаем
г ~L£Lr
cv~ 2 М
122
Первое начало термодинамики для идеального газа можно записать
так:
dU — cdT — pdV.
При изохорном процессе dV — 0, и все количество теплоты, под-
водимое к газу, идет на изменение его внутренней энергии:
dUv = cv dT.
Для изобарного процесса, происходящегос идеальным газом, пер*«
вое начало термодинамики имеет вид
8Qp = dUp + pdV.
Теплоемкость с„ = -.-.М
р \М !р
при этом больше теплоемкости cv!
. (dV\ т ГI D . ldV\ 1
cp-cv+ р \дТ)р ~~М [ 2 R + р W/J *
Для идеального газа
и
дТ)р р
с — р> l. л..г
Р~ М 2
Разность
cP-cv=i^-
Универсальная газовая постоянная численно равна работе, кото-
рую совершает 1 моль идеального газа при расширении в процессе
нагревания на 1 К.
Для одноатомного идеального газа молярная теплоемкость
3 о _ 3 * 5 П
cmv — ~2 сМр ~ "2
_ 3 пг _ 5 m
Су~ ~2~М Сму' Ср ~ ЛГ СмР'
Для изотермического процесса совершаемая идеальным газом ра-
бота
А
12
== —
М '
У1Г
Используя закон Бойля—Мариотта, можно записать
Л12=-2-/?Т 1п
где pi, р2 — давление газа в начальном и конечном состояниях. В этом
случае теплоемкость с?— оо.
4.4.13. Адиабатические процессы. Термодинамический процесс,
при котором система не поглощает и не отдает теплоту (6Q = 0), назьь
123
вают адиабатическим процессом. Он может происходить только в ус*
ловиях тщательной тепловой изоляции от окружающей среды. При этом
первое начало термодинамики принимает вид
cvdT = — pdV. (4.57)
В адиабатическом процессе работа, связанная с изменением объема
газа, сопровождается изменением внутренней энергии, что сопровож-
дается изменением температуры. Если работа совершается за счет
внутренней энергии газа, то его температура понижается, а если ра-
бота совершается внешними силами, то внутренняя энергия газа и
его температура повышаются.
Из уравнения состояния идеального газа (4.33) в общем случае
получаем
^RdT = pdV + Vdp. (4.58)
Из формул (4.57), (4.58) следует, что
dp
~Р
dV СР
V Су
1,
(4.59)
откуда при х = const для равновесного адиабатического процесса
рУ* =: const.
(4.60)
Уравнение (4.60) называют уравнением Пуассона. Из соотношений
(4.33) и (4.60) выводим связь между параметрами р, Т и V, Т\
И
рТ1~~* — const, (4.61)
УТ*-"1 = const, (4-62)
При адиабатическом процессе с увеличе-
нием объема газа давление уменьшается
быстрее, чем при изотермическом. На
рис. 4.9 в координатах р, У показаны поло-
жения изотермы (кривая I) и адиабаты
(кривая II).
Уравнения Пуассона (4.60) и (4.61),
(4.62) справедливы в некотором интервале
давлений, когда величина х постоянна, ко^
торая в общем случае зависит от темпера:
туры, объема и давления. Более общие за-
висимости для адиабатических процессов
в широком интервале изменения термодинамических параметров необ-
ходимо получать из дифференциального уравнения (4.59), учитывая,
что х — х (р, V, Т).
Работа, совершаемая газом при адиабатическом расширении от
Vi До V2, определяется формулой
V1
Р1У^
—jv,
ух
(4.63)
т. е. описывается площадью криволинейной трапеции (на рис. 4.9)
заштрихована), заключенной между, ординатами = const и V2 =
124
= const. Интегрирование выражения (4.63) и замена pxVt = RTt
T1V^1 = T2V*~l дают
_ М R7\ Г /ИЛ*-1
или
Л12==Су(^,1-------------------------Т%),
или
]=V-jT=T(7’i-7'2)- <4-64)
J /V 1
где pi, Tf — давление и температура в начальном состоянии /; Т2 —
температура в конечном состоянии 2 (см. рис. 4.9).
' 4.4.14. Политропический процесс. Любой процесс, при котором
изменение состояния происходит с сохранением постоянной теплоем-
кости с = , называют политропическим. Дифференциальное уравпе-
аТ
ние этого процесса имеет вид
(4.65)
c — cvV р
где, как и раньше,
с -И с -№]
Р~\дТ)р’ v \dT/v’
— теплоемкости при постоянных р и V соответственно, а с — тепло-
емкость газа в данном процессе. Когда ср и cv не зависят от термодина-
мических параметров, интегрирование уравнения (4.65) дает
pVn = const, (4.66)
где
называют показателем политропы. Для адиабатического процесса
с = 0, п = к = Ср/су, для изотермического с = оо (так как dT = 0),
пТ — 1; для изобарного с = ср, пр = 0, т. е. из формулы (4.66) следует,
что р = const; для изохорного с = cv, nv~oo, V — const.
4.4.15. Циклические процессы. Совокупность термодинамически»
процессов, в результате которых система возвращается в первоначаль-
ное состояние, называют циклом или циклическим процессом, В реаль-
ных машинах и механизмах подводимая извне теплота преобразуется
в работу циклически. Машину, в которой в результате обмена тепло-
той, происходящего, например, за счет нагревания ее частей при сго-
рании топлива, производится механическая работа, называют тепло-
вым двигателем (двигатель внутреннего сгорания, паровая машина).
При этом термодинамическая система после получения некоторого ко-
личества теплоты от источника совершает работу, затем после теплового
контакта с холодильником возвращается в исходное состояние и по-
вторяет тот же процесс. Термодинамическую систему, которая совер-
шает циклический процесс, обмениваясь энергией с другими системами,
125
называют рабочим телом. Часто рабочим телом в цикле служит газо-
образное вещество. Циклический процесс иногда называют круговым,,
поскольку на диаграмме состояния, например в координатах р, V,
он изображается замкнутой кривой (рис. 4.10, кривая 7 а 2Ь). Работа,
совершаемая при циклическом (круговом) процессе, численно равна
площади, охватываемой этой кривой. Любая функция состояния термо-
динамической системы, например внутренняя энергия, принимает
в начале и в конце цикла одинаковые значения.
Круговой процесс называют прямым циклом, если рабочее тело
совершает положительную работу. При этом замкнутая кривая на
диаграмме р — V описывается по часовой стрелке (см. рис. 4.10).
В тепловом двигателе рабочее тело совершает прямой цикл, если за
счет сообщенного ему от внешних источников некоторого количества
теплоты происходит изменение внутренней энергии тела в процессе
совершаемой им работы.
Круговой процесс называют обратным циклом, если рабочее тело
совершает отрицательную работу, т. е. над ним совершается работа
и от него отводится соответствующее количество теплоты.На диаграмме
р— V обратный цикл изображается замкнутой кривой, которая опи-
сывается против движения часовой стрелки. Обратный цикл осущест-
вляется в холодильной установке, где рабочее тело получает энергию
за счет совершаемой внешними источниками работы, а затем передает
некоторое количество теплоты от менее нагретой системы к более на*
гретой. В случае газообразного рабочего тела согласно первому началу
термодинамики для кругового процесса А[/ = 0 и общее изменение
количества теплоты AQ, сообщенное газу, равно работе газа: AQ = А.
Но не вся поступающая извне теплота совершает работу. При цикли*
ческом процессе газ сначала расширяется от объема Ki до объема К2,
а затем снова сжимается до объема (рис. 4.11). Цикл будет прямыме
если при расширении давление выше, чем при сжатии. Для этого необ*
ходимо в первом случае сообщить газу некоторое количество теплоты^
в во втором передать его во внешнюю среду.
Согласно первому началу термодинамики для первой части пря*
мого цикла (см. рис. 4.11, кривая 1а2Ь)
Ql = Щ + Ai, (4.67)
для второй
==(/!- t/2 + л2. (4.68)
Суммируя эти выражения, получаем
Ях + Л2 = А = Qi - Q2 == AQ12. (4.69)
126
Поступающая извне теплота Qx не вся используется для совер-
шения работы. Чтобы тепловой двигатель работал периодически, не-
обходимо некоторое количество теплоты Q2< Qi передавать во внеш-
нюю среду. Тепловой двигатель характеризуют коэффициентом по-
лезного действия (КПД)
П = A/Q1,
где А — совершаемая за цикл работа; Q] — получаемое за цикл
количество теплоты. С учетом формулы (4.69)
Всегда Ц < 1.
Холодильную установку характеризуют холодильным коэффициен-
том
_ Q.2 _ ________J___
5 A~Qt-Q2 l-QJQz'
Значение t < — 1.
4.4.16. Второе начало (закон) термодинамики. Совершая над тер-
модинамической системой работу, можно добиться, чтобы вся затра-
ченная энергия пошла на ее нагревание. Например, в квазистатичс-
ских адиабатических процессах произведенная внешними силами ра-
бота равна изменению внутренней энергии термодинамической си-
стемы. Отметим, что первое .начало термодинамики не запрещает со-
здание так называемого вечного двигателя второго рода, т. е. такой
циклически действующей машины, в которой полезная работа совер-
шается исключительно за счет подводимой к ней теплоты. Однако
многочисленными опытами по конструированию тепловых машин
показано, что их КПД всегда меньше единицы, т. е. определенное
количество теплоты передается в окружающую среду (рассеивается).
В реальных процессах, например при совершении работы в тепловом
двигателе, часть теплоты должна быть передана от более нагретого
тела (нагревателя) к более холодному телу (холодильнику). Обоб-
щение большого количества экспериментов положено в основу вто-
рого начала (закона) термодинамики', невозможен процесс, единствен-
ным результатом которого является превращение всего количества
теплоты, полученного от некоторого тела, в работу. Это значит, что
нельзя построить двигатель, который совершал бы работу только
за счет охлаждения теплового резервуара. Вечный двигатель второго
рода практически мог бы действовать очень долго, поскольку не тре-
бовалось бы наличие более или менее нагретого тела, а работал бы
он за счет охлаждения окружающих веществ, например воды океа-
нов, земной коры, до температур более низких, чем остальные тела.
Так как затем происходило бы выравнивание температур, то такой
двигатель понижал бы среднюю температуру всех окружающих тел.
Второй закон термодинамики можно сформулировать еще так:
невозможен вечный двигатель второго рода, т. е. такой периодически
действующий тепловой двигатель, который получал бы теплоту от
одного резервуара и превращал бы полностью в работу. Второе
начало термодинамики устанавливает необратимость макроскопиче-
ских процессов.
4.4.17. Цикл Карно. Обратимым процессом называют процесс
перехода термодинамической системы из одного состояния в другое,
который допускает возможность ее возвращения в первоначальное
состояние через гу же последовательность промежуточных состояний,
127
что и в прямом процессе, но проходимых в обратном порядке. Обра-
тимый круговой процесс в термодинамической системе, состоящий
из последовательно чередующихся двух изотермических и двух адиа-
батических процессов, называют циклом Карно. Для его реализации
необходимо, чтобы рабочее тело находилось в контакте с двумя тепло-
выми системами (термостатами): нагревателем с температурой
и холодильником с температурой Т2 (Т± > Т2). При переходе из
состояния 1 в состояние 2 рабочее тело находится в контакте с нагре-
вателем, его объем увеличивается от Vi до К2, а давление уменьша-
ется от до р2 (рис. 4.12, а). При этом нагреватель сообщает ему
количество теплоты Qf. При переходе из состояния 2 в состояние 3
Рис. 4.12
рабочее тело адиабатически расширяется до объема V3 с уменьшени-
ем давления р3. При этом его температура изменяется от Т\ до 72,
а приток количества теплоты равен нулю (AQ = 0). На участке 3—4
рабочее тело изотермически сжимается, отдает холодильнику количе-
ство теплоты Q2. Его объем уменьшается от V3 до У4, а давление воз-
растает до р4. Сжимать рабочее тело необходимо до такого значения
объема V4, чтобы при последующем адиабатическом сжатии достиже-
ние температуры произошло при объеме Vlt иначе цикл не зам-
кнется. Наконец, на участке 4—1 рабочее тело адиабатически сжи-
мается до исходного состояния, характеризуемого объемом дав-
лением pi и температурой 7\. На рис. 4.12, б показан цикл Карно
на диаграмме Т — V. Работа А при реализации цикла Карно чис-
ленно равна площади, заключенной кривой 1—2—3—4 на рис. 4.12,а.
Согласно первому началу термодинамики
А — Qi — Q2,
т. е. часть количества теплоты преобразуется в механическую работу.
Если рабочим телом является идеальный газ массой m и моляр-
ной массой Л4, на участке 1—2 им совершается положительная ра-
бота
= =
J28
где Qi — количество теплоты, полученное идеальным газом от нагре-
вателя, а иа участке 2—3 в соответствии с формулой (4.64)
2 М к - 1 | IVJ J М и — 1
На участке 3—4 изотермического сжатия над газом совершается ра-
бота
А3 = RT 2 In (V4/V3).
И, наконец, на последней стадии 4—1 адиабатического сжатия
работа
л ____т
4“ м •
Совершаемая газом и над газом суммарная работа
. Л = Д1 + Л2 + Л3 + Л4 = ^/?[т11п[^-Г21п(^)]- (4.70)
Уравнения соответствующих адиабат на участках 2—3 и 4—1
имеют вид
(Vx/E^-1 = Т4/Т2. (4.71)
Из формул (4.70) и (4.71) следует, что если рабочим телом явля-
ется идеальный газ, то полученная в результате цикла Карно полез-
ная работа
Л = Л (Tx —Та) Inr,
Г
где
1П Г- 1П (ЗД)^!!! (V5/V4).
Поскольку 7\ > Т2 и V2 > Их, то А > 0, т. е. работа, совершаемая
газом при расширении, больше работы внешних сил, совершаемой
при его сжатии. Однако работа, совершенная рабочим телом в цикле
Карно, меньше энергии, полученной им в виде теплоты от нагрева-
теля, на величину, которую рабочее тело в виде теплоты передало
холодильнику.
В обратимом цикле Карно выполняется равенство Qi/Tx = Q2/T2t
т. е. отношение количества теплоты, полученного рабочим телом от
нагревателя, к его температуре равно отношению количества теплоты,
переданной холодильнику, к температуре холодильника. Отношение
количества теплоты, которое получено термодинамической системой
от какого-либо тела, к температуре этого тела называют приведен-
ным количеством теплоты. Для обратимого кругового процесса общее
приведенное количество теплоты равно нулю.
4.4.18. КПД цикла Карно. Термодинамический (термический)
КПД обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего тела
и определяется только температурами нагревателя и холодильни-
ка Т 2’
rl/C ~ 1 — I'd?ъ 11/< < !•
Это утверждение составляет содержание второй теоремы Карно.
5 5-1472 129
Значение 1) для любого обратимого цикла, осуществленного между
температурами и Т2, не может превышать значения г){<- для тех же
температур (rj < г]^).
Термодинамический КПД произвольного необратимого цикла
всегда меньше т)^, если температуры нагревателя и холодильника в этих
циклах одинаковы (т]^ < т]^). Два последних утверждения составляют
содержание первой теоремы Карно.
Для получения более высокого КПД реальной тепловой машины
необходимо: 1) чтобы цикл машины был как можно ближе к обратимому
(необратимые процессы свести к минимуму); 2) температуру нагрева*
теля повысить, а холодильника понизить.
4.4.19. Холодильная машина. Обратный цикл Карно состоит из
двух изотерм и двух адиабат, которые проведены в обратном направ-
лении (против движения часовой стрелки) на рис. 4.12, а. При этом
энергия в виде теплоты передается от холодильника к нагревателю,
а над рабочим телом совершается работа внешних сил. Машину, кото-
рая действует в соответствии с обратным циклом типа цикла Карно,
называют холодильной машиной. За счет внешней механической ра-
боты с помощью холодильной машины можно понизить температуру
в некотором объеме до значений ниже температуры окружающей
среды.
4.4.20 Энтропия. Приведенное количество теплоты, сообщенное
термодинамической системе на бесконечно малом участке произволь-
ного обратимого процесса, оказывается полным дифференциалом не-
которой функции состояния этой системы:
dS = 6Q/7\
Эта функция, называемая энтропией, характеризует направление
протекания самопроизвольных процессов в изолированной (замкну-
той) термодинамической системе. Значения dS и 6Q одного знака. При
нагревании (6Q > 0) энтропия возрастает (dS > 0), при охлаждении
(6Q < 0) — убывает (dS < 0). Возрастание или убывание энтропии
указывает на направление теплообмена. В любых двух состояниях
термодинамической системы разность энтропий
7\
f Й(?отр/'Д (4.72)
Л
где 6Qo6p — количество теплоты, сообщенное термодинамической сис-
теме при бесконечно малом квазистатическом изменении ее состояния.
Из первого начала термодинамики следует, что
dS = (dU 4- pdV)lT.
Здесь U — внутренняя энергия; р — давление; V — объем.
. Для идеального газа
Q т ( dT dV\
dS==M{ VM Т + R ~v ) ’
где m — масса газа; М — его молярная масса; cVM— молярная тепло-
емкость газа при постоянном объеме; К — универсальная газовая по-
130
стоянная. При переходе идеального газа из состояния 1 в состояние 2
энергия изменяется в соответствии с формулой
AS12 = S2 — S± = In yrj + # 1° (j/*)] *
Здесь St, S2 — энтропия, Tlt T2 — температура и Vti V2 — объем газа
в состояниях 1 и 2.
Энтропия любой термодинамической системы равна сумме энтро-
пий ее отдельных частей, т. е. величина аддитивная.
Для изолированной системы ее значение возрастает (при необра-
тимом процессе) или остается постоянным (при обратимом процессе):
Д5НЗол > 0. Обратимый адиабатический процесс называют изо энтропий-
ным, а соответствующую адиабату — изоэнтропной. Цикл Карно состоит
из двух изотерм и двух изоэнтроп.
Количество теплоты, получаемое, термодинамической системой
при обратимом изотермическом процессе, определяется формулой
Q = г (s2 - sj,
где 8Ъ S2 — энтропия в начале и в конце процесса. Для произвольного
процесса, который происходит в термодинамической системе, справед-
ливо неравенство
6Q < TdS. (4.73)
Здесь 6Q — количество теплоты, получаемое системой в процессе бес-
конечно малого изменения состояния системы; Т — температура внеш-
него тела, передающего энергию в форме теплоты в рассматриваемую
систему. Используя первое начало термодинамики, неравенство (4.73)
можно записать так:
TdS^dU+^A, (4.74)
где dU — бесконечно малое изменение внутренней энергии; 6Л — эле-
ментарная работа, выполняемая при бесконечно малом изменении
состояния системы. Для изолированной системы, совершающей обра-
тимый процесс, выполняется равенство (4.74).
4.4.21. Свободная энергия. При обратимом изотермическом про-
цессе элементарная работа
dA = TdS — dU.
Поскольку Т = const, то dT == 0 и
dA = d (TS) — dU = —d (U — TS).
Следовательно, энергия в обратимом изотермическом процессе, кото-
рая в форме работы передается системой внешнему телу, равна умень-
шению величины
F — U — TS,
которую называют свободной энергией или энергией Гельмгольца.
Разность между внутренней U и свободной F энергиями называют
связанной энергией. Она равна TS. Уменьшение свободной энергии оп-
ределяет наибольшую работу, которую может совершить система при
любых изотермических процессах (обратимых и необратимых). Свобод-
ная энергия является функцией состояния термодинамической систе-
мы, т. е, однозначно определяется значениями термодинамических
параметров системы в начале и в конце произвольного процесса.
5*
131
Свободная энергия является характеристической функцией пере-»
менных Т и V, т. е. значения давления р и энтропии 5 могут быть по-
лучены дифференцированием F по V и Т:
Р =
\дУ)т
S =
(dF_\
\0TJv
(4.75)
(4.76)
где производные берутся при постоянных значениях Т и V.
4.4.22. Соотношения между термодинамическими параметрами
и энтропией. Рассматривая энтропию как функцию состояния, полу-
чают соотношения
/dS\ -1/ЗД « — = — <^ =
\др/Т~Т \др/т \дт)р Т ’ \dp/v Т \dp/v
(dS\ __±Mj /dS\
Wp Т \dV)p W/r Т \дУ]т \dtjv
ldS\ -Ср
\dT/v~ Т> \дТ]р~Т *
4.4.23. Энтропия и вероятность состояния системы. Больцман
показал, что в изолированной системе энтропию S можно найти по
формуле
S = Мп w,
Здесь k — постоянная Больцмана; w — термодинамическая вероят-
ность состояния системы, т. е. число различных способов, с помощью
которых может быть достигнуто данное состояние.
Таким образом, энтропия изолированной термодинамической сис-
темы является мерой вероятности пребывания ее в данном состоянии.
Принцип возрастания энтропии означает, что изолированная система
стремится перейти из менее вероятного состояния в более вероятное.
Переходы изолированной макроскопической системы в состояние
с меньшей энтропией возможны, но вероятность их ничтожно мала, по-
этому такие переходы макроскопических систем практически не на-
блюдаются в природе.
4.4.24. Теорема Нернста. В любых обратимых изотермических
процессах, совершаемых между двумя равновесными состояниями при
температурах, приближающихся к абсолютному нулю, изменение
энтропии AS стремится к нулю, т. е.
lim AS = 0.
Это утверждение (теорема), установленное Нернстом, называют
третьим началом (законом) термодинамики. При Т = 0 термодинами-
ческая система находится в осповнохМ состоянии, для которого вероят-
ность W = 1, а следовательно, S =0, т. е. при стремлении абсолютной
температуры тел к нулю энтропия тел обращается в нуль (формулиров-
ка Планка третьего начала термодинамики):
lim S = 04
132
Следовательно, для термодинамической системы с температурой Т
т
s = J (6Q/T),
О
или
т
s = $ [cp(T)/T]dTt
о
где ср(Т) — теплоемкость системы при постоянном давлении. При
Т О К теплоемкости при постоянных объеме и давлении стремятся
к нулю:
ср->0,
так что отношение
При этом обращается в нуль также коэффициент объемного расширения,
Из теоремы Нернста следует, что невозможен такой термодинами
ческий процесс, который приводил бы к охлаждению системы до тем-
пературы Т = 0 1\ (принцип невозможности достичь абсолютного нуля
температуры).
4.4.25. Флуктуации. Все физические величины, которые харак-
теризуют находящуюся в равновесии макроскопическую термодинами-
ческую систему, принимают с очень большой точностью значения,
равные своим средним значениям. Однако возможны малые случайные
отклонения от средних значений, которые называют флуктуациями.
Для макроскопических тел сколь-либо значительные флуктуации встре-
чаются очень редко.
Явление флуктуаций можно наблюдать практически в двух слу-
чаях: 1) для малых систем, таких, что число молекул, их составляющих,
не очень велико; при этом флуктуации могут принимать заметные
значения; 2) для больших систем, когда изучаются очень малые
флуктуации.
Рассмотрим флуктуацию термодинамического параметра X (на-
пример, плотности газа ) в условиях, когда полная энергия системы со-
храняется. Вероятность W того, что рассматриваемая изолированная сис-
тема находится в состоянии, которое характеризуется параметрами,
лежащими в интервале от X до X + АХ, определяется формулой
dW = W (X)dX,
где функцию W (X) называют плотностью вероятности. Она описыва-
ется формулой Больцмана
U7(X) = exp [AS//?].
Здесь слабо зависит от X и определяется из условия нормировки
вероятности; AS = S (X) — S (Хо) есть разность значений энтропий
S (X) в соответствующих состояниях; Хо — равновесное значение.
J33
Для квазизамкнутой системы, т. е. макроскопической системы,
составляющей малую часть замкнутой системы,
KW_^ex,,[aSW + AS'W]. (4-77)
Здесь квазизамкнутую систему считают подсистемой, погруженной
в термостат, которым является остальная часть замкнутой системы.
В формуле (4.77) через AS (X) и AS' (X) обозначено изменение энтро-
пии термостата и подсистемы при переходе параметра от равновесного
значения Хо до значения X = Хо + АХ. Если переход из равновесного
состояния в неравновесное происходит под действием внешних сил,
которые при этом совершают над подсистемой работу АЛ (X), то плот-
ность вероятности
W (Х)=Л' exp [- (X)/kT],
где — нормировочная постоянная; Т — абсолютная температура
термостата; 117 (X) — потенциальная энергия поля внешних сил,
за начало отсчета которой выбран уровень 1ЕП (Хо).
Мерой вероятности малых флуктуаций является работа, которую
необходимо совершить для изменения параметра Хо на величину АХ =
= х — Хо- Это утверждение справедливо также в случае, когда нет
никаких внешних сил и флуктуация параметра происходит самопро-
извольно в изолированной системе.
Для малых флуктуаций потенциальную энергию можно разложить
в ряд по степеням малого параметра АХ = X — Хо:
П7п (М
dX
1
х—х + 2 х—х
А — Л о iv | л — Л о
(ЛХ)2 + ...
а поскольку в состоянии равновесия она имеет минимум, то
dKw =0. mI
dx x=x0 ’ dX* |x=x„
W (X) = exp
f (X-X„)4
i [ d№ jx=x„ 2kT J
(4.78)
Распределение вероятности с плотностью типа (4.78) называют рас-
пределением Гаусса.
Постоянная нормировки
Г Г ( HWn(XH
\ ехр 1 — --у-
LJ I L
(Х-Хо)
2kT
Квадрат среднего квадратичного отклонения
134
^Величину <т, характеризующую среднюю интенсивность флуктуаций
Называют дисперсией. Распределение вероятности флуктуаций для
Малых значений АХ = X — Хо описывается формулой
<°01
Рероятность флуктуаций резко уменьшается с ростом самих флуктуа-
ций и уменьшением о, а интенсивность их падает с уменьшением абсо-
лютной температуры, так как согласно формуле (4.79) о пропорцио-
нально^ Т,
Распределение (4.80) неприменимо в случае больших флуктуаций,
а также при низких температурах, когда наблюдаются квантовые
Эффекты, Различают флуктуации классических физических величин,
обусловленные конечностью числа частиц в системе X, и флуктуации
квантовых величин, связанные с соотношением неопределенности. Кри-
терием классичности флуктуаций является соотношение
/г/(2лтТ) 1,
где т — время, определяющее скорость изменения рассматриваемой
величины около ее среднего значения; h — постоянная Планка.Средний
квадрат флуктуации аддитивной классической физической величины
пропорционален числу частиц N в системе:
(АХ)2 = (X — X)2 ~ N. (4.81)
Относительная флуктуация обратно пропорциональна корню квадрат-
ному из числа частиц:
V (SXy/X ~ 1 /VW. - (4.82)
В формулах (4.81), (4.82) параметр X может принимать значения давле-
ния газа, его объема и температуры.
Если флуктуирующими являются основные термодинамические
параметры р, И, Г, S, то флуктуации можно выразить через равновес-
ные значения этих величин и их производные:
---- ( dV\
(АИ)2- — т нн »
\др)т
W)* = T2/cv,
ATA? - о,
AVkp = — Т,
ASAp = 0,
Для флуктуации энергии Е системы справедливо равенство
____ Г [дп\ 12/дУ\
(А^ = -ТТИ -р ~~ + cvT*>
L \дТ)т J \др/т v
135
а при изохорическом процессе
----2
(A£)v = cvT2
л обращается в нуль при Т -> 0. Относительная флуктуация энергии
может возрастать при понижении температуры. Так, для кристалли*
ческой решетки при Т < 0, где 0 — температура Дебая,
[И]и
Флуктуация чисел заполнения в идеальном ферми-газе определяй
ется формулой
(Д«р)2 = пр (1 — пр),
где
пр = {ехр[(8р-И)/^] + 1}-1.
Здесь 8Р— энергия частицы в р-м состоянии; ц — химический потен-
циал.
Для идеального бозе-газа при температуре выше температуры
вырождения То
(^=Пр(1+пр),
Пр = {exp [(ер — р.)/kT] — 1
а при Т <Т0 макроскопически большое число частиц п0 находится в со-
стоянии с р = 0 и флуктуация
« п2 ~ N2,
N — полное число бозе-частиц.
4.4.26. Броуновское движение. Одним из первых опытов, нагляд-
но подтверждающих справедливость основных положений молеку-
лярно-кинетической теории строения вещества, является обнаружен-
ное Броуном своеобразное движение мельчайших частиц, находящихся
во взвешенном состоянии в жидкости, в которой они не растворяются.
Наблюдения с помощью микроскопа показывают, что частицы неболь-
ших размеров (около 10-4—10~5 см) находятся в непрерывном беспо-
рядочном движении, скорость которого очень быстро изменяется по
величине и направлению. Установлено, что интенсивность случайного
блуждания частиц зависит от вязкости жидкости и возрастет с повыше-
нием температуры. Такое беспорядочное движение частиц называют
броуновским движением. Броуновское движение никогда не прекраща-
ется. Скорость его тем выше, чем меньше размер частиц. Движение
частиц больших размеров (больше 10“2 см) трудно обнаружить.
Молекулярно-кинетическая теория строения вещества объясняет
броуновское движение с позиций теории флуктуаций. Совершая тепло-
вое движение, молекулы жидкости при столкновении с поверхностью
частиц передают им некоторое количество движения. При этом моле-
кулы непрерывно бомбардируют поверхность частиц со всех сторон
одновременно. Но если частица, находящаяся в жидкости, мала, то
случайно число ударов с одной стороны может оказаться больше, чем
с другой. Под действием избыточного давления (флуктуации давления)
с одной стороны частица приходит в движение, затем следует толчок
с другой стороны, изменяющий ее скорость. Так, испытывая беспорядоч-
ные удары от молекул жидкости, находящихся в тепловом движении,
136
частица совершает броуновское движение. При изучении броуновско-
го движения фиксируют положение частицы через определенные рав-
ные промежутки времени. Уменьшение этих промежутков приводит
к тому, что траектория движения частиц становится очень сложной.
Теоретически определенное значение среднего квадрата проек-
ции смещения на ось X пропорционально времени наблюдения т (за-
кон Эйнштейна):
(Дхр = 2^т. (4.83)
Постоянную 3) называют коэффициентом диффузии броуновской час-
тицы. Для частиц сферической формы
0 = (бллЯо)-1,
где 7?0 — радиус броуновских частиц; k — постоянная Больцмана;
Т — абсолютная температура; т] — вязкость среды.
Среднее квадратичное угловое смещение, связанное с беспорядоч-
ным вращением броуновских частиц, определяется так:
= 2й)прт. (4.84)
Коэффициент диффузии вращательного броуновского движения для
сферических частиц имеет вид
й)пр = *7’(8т)7?с3)-\
Флуктуация проекции импульса па ось X:
(ДрД2 = 2 (/гТ)2 Т0-1. (4.85)
Средний квадрат проекции момента количества движения!
(ДЛ4Х)2 = 2(/г7)2 W~‘. (4.86)
Теоретические закономерности (4.83)—(4.86) хорошо согласуются с
полученными экспериментально.
4.4.27. Термодинамические потенциалы. Функции независимых
макроскопических термодинамических параметров, которые полно-
стью задают термодинамическое состояние, называют термодинамиче-
скими потенциалами. Любые макроскопические параметры системы
и описание термодинамических процессов, происходящих в ней, можно
получить из термодинамических потенциалов. Каждому полному на-
бору независимых термодинамических параметров соответствует свой
«естественный» термодинамический потенциал.
Параметрами, определяющими термодинамическое состояние сис-
темы, являются: число молекул N. j-ro типа, давление р, объем V,
температура Т, внешние поля х2> ..., х/г, обобщенные силы Xlf Х2,
..., Xft, энтропия S и химические потенциалы р2, ..., |xt«. Устойчиво-
му термодинамическому состоянию соответствует экстремум характе-
ристической функции в выбранных переменных.
Для описания адиабатически изолированных систем пользуются
термодинамическим потенциалом, который соответствует выбору в
качестве независимых переменных таких параметров: объема Vt энтро-
пии S, числа частиц УУ и обобщенных координат л\- (обобщенных сил
XJ. Этим термодинамическим потенциалом оказывается внутренняя
энергия U = U (S, V, Af, х(-). Выбору в качестве независимых перемен-
ных Т, V, N и соответствует термодинамический потенциал — сво-
137
бодная энергия (энергия Гельмгольца) F = F (Т, V, N, *0, которая
имеет минимум для системы, находящейся в термостате* Термодинами-
ческим потенциалом Гиббса (свободной энтальпией) G == G (Т, р, X,
Xi) называют функцию переменных Т, р, N, X;, которая дает минимум
в равновесном состоянии по этим переменным.
Термодинамический потенциал в переменных S, р, N, называют
энтальпией и обозначают Н = И (S, р, N, X;). Если однофазная сис-
тема состоит из нескольких химически реагирующих веществ, то
часто используют термодинамический потенциал Q = Q (Т, V, xz),
где pt- — химический потенциал Z-й компоненты из множества этих
химических веществ (Z=l, 2, /; /—число реагирующих веществ).
Термодинамические потенциалы являются функциями состояния,
т. е. в заданных переменных их бесконечно малое приращение явля-
ется полным дифференциалом. Полный дифференциал функции многих
переменных (х, р, z, ...) можно записать в виде
d^ = dx+~ dy+~dz + ... (4.87)
• дх ' ду дг '
Из основного термодинамического тождества в случае, когда в системе
действуют обобщенные силы и число частиц N в системе переменное,
следует, что
dU = TdS — pdV—Yt Xtdx{ +
i
Уравнения типа (4.87) для полного дифференциала dU дают возмож-
ность записать следующие соотношения:
/сИЛ ’
\dS !v, N, х? Р ~~ \dV7s, х/
(4.88)
(dU\ v (dU\
\dN/S, V, XI 1 \дх^s,v, N, Xj
Индексы у частных производных в формулах (4.88) означают, что соот-
ветствующие переменные считаются постоянными.
Термодинамические потенциалы связаны между собой:
U = F + TS = Н — pV, (4.89)
F = U — TS = И — TS — pV, (4.90)
Н - U + pV = F + TS + pV, (4.91)
G U - TS + pV = F + pV H - TS, (4.92)
Q - — TS — рЛ/ = F - рЛ/ = // — TS pAZ, (4.93)
U = G + TS — pV = Q + TS + - (4.94)
F = g — pV = Q + p/V, (4.95)
H = G + TS = Q + TS + p,N, (4.96)
G = Q + pV + рУ, (4.97)
p = g — pV — p/V. (4.98)
Из этих соотношений следует, что
(4.99)
(4.100)
138
(4.101)
(4.102)
Здесь частные производные от определенного термодинамического
потенциала берутся для случая, когда все остальные переменные, ха-
рактерные для этого термодинамического потенциала, считаются по-
стоянными. Для упрощения записи в формулах (4.99)—(4.102)
опущены соответствующие индексы у частных производных.
Кроме того, справедливы дифференциальные соотношения, кото-*
рые называют уравнениями Гиббса—Гельмгольца'.
Вторые, производные от термодинамических потенциалов по выбран-
ным переменным дают;
1) теплоемкости
dU\ T(d2F\
— дт )v~ [дт*)’
i ои \ / аэд \
СР ~ \ дТ )р [дТ* )’
2) коэффициенты сжимаемости для различных процессов
!dV\ / d2G I dV \ / д*Н \
/ Г \ дР2 / \ дР /S \ др2 / ’
( др \ __ / d2F \ / др \ _ / d2U \ .
)Т ) *
3) термические коэффициенты
/ др \ / d2F \ t
дТ )v^ dV дТ ) ;
4) значение диэлектрической постоянной как функции различи
вых переменных
где D = | D 1 — модуль вектора диэлектрической индукции.
139
С помощью термодинамических потенциалов можно определить
условие равновесия термодинамической системы.Так, в адиабатиче-
ской изолированной системе равновесие определяется максимумом
энтропии S:
6S = 0, 625<0;
для изотермически-изохорной системы его находят из минимума сво-
бодной энергии F:
6F = О, 62F > 0;
для изотермически-изобарной — из минимума термодинамического
потенциала G:
6G = 0, 62G > 0,
а для системы с переменным числом частиц — из минимума термоди-
намического потенциала Q:
6Q = 0, 62Й > 0.
При решении практических задач необходимо исследовать гра-
ничное условие для термодинамических потенциалов, которое следует
из третьего начала термодинамики: при Т -> 0
S = 0, F = U, G = Н и т. д.
Теоретическое определение термодинамических потенциалов явля-
ется основной задачей статистической физики. Например, в статисти-
ческой физике показано, что термодинамический потенциал Q непосред-
ственно связан с большим каноническим распределением Гиббса.
4.5. ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ
4.5.1. Фазы вещества. При одних и тех же значениях температуры
и давления могут существовать два или три состояния вещества, от-
личающиеся свойствами, например, агрегатные состояния вещества:
газообразное, жидкое и твердое. Однородное по физическим и химиче-
ским свойствам .состояние вещества называют фазой. Каждая фаза
характеризуется уравнением состояния, которое задается соотноше-
нием вида
0(Г)=/(Р, п, xL, ... , хп), (4.103)
где 0 (Т) — функция температуры, a f — функция характеризующих
состояние системы параметров, например давления р, средней плот-
ности п = N/V и др. Параметрами xlf ..., хп могут быть напряженно-
сти внешних полей: электрического (Е), магнитного (Н) и гравита-
ционного (G), а также такие характеристики системы, как намагни-
ченность (М) и поляризация (Р). Фазы вещества могут различаться,
во-первых, наборами переменных, от которых зависит правая часть
уравнения (4.103), и видом функций 0 и /; во-вторых, при данном
значении 0 (Т) областью возможных значений хотя бы одного из
параметров правой части соотношения (4.103), при этом области воз-
можных значений разделены областью конечной ширины, где суще-
ствование системы как однородной (однофазной, гомогенной) невозмож-
но. Пример первого случая: парамагнитное и ферромагнитное состоя-
ния железа представляют собой различные фазы, так как ферромагнит-
ное состояние характеризуется спонтанной намагниченностью М,
которая отсутствует в уравнении состояния парамагнитного железа.
Пример второго случая: жидкая и газообразная фазы описываются од-
ним и тем же набором параметров (например, р и п при отсутствии внеш-
140
них полей), но чтобы система была однородной при определенной тем-
пературе Т, необходимо, чтобы средняя плотность п была либо больше
некоторого значения пх(Т) (жидкая фаза),либо меньше значения п2(7)
(газообразная фаза). Если и2(Т) < п < (Г), то система расслаи-
вается, т. е. становится двухфазной.
В термодинамике уравнение состояния вещества в каждой фазе
считают заданным. Оно может быть определено эмпирически или вы-
ведено теоретически, если известен явный вид зависимости одного из
термодинамических потенциалов от температуры, давления, плотности
и других параметров.
4.5.2. Фазовые равновесия. Диаграммы состояний. Если ввести
многомерное пространство (пространство состояний), по декартовым
осям которого откладывать значения
термодинамических параметров, то каж-
дой фазе в этом пространстве будет со-
ответствовать некоторая область су-
ществования. Эти области могут сопри-
касаться или разделяться областями,
где система существует только как не-
однородная (гетерофазная, гетероген-
ная, многофазная). Так как размерность
пространства состояний не меньше трех
(Т, р, п), то обычно изображают на гра-
фиках плоскости, например (Т, р) или
(р> V) при постоянных значениях других
параметров. Такие графики называют
фазовыми диаграммами или диаграмма-
ми состояний (рис. 4.13). Кривые на
диаграмме состояний называют кри-
выми фазового равновесия. Например,
при значениях р и Т, соответствующих точкам кривой RK, могут со-
существовать газ и жидкость. Вдоль кривой равновесия давление за-
висит от температуры. Точку К конца кривой равновесия газ — жид-
кость называют критической точкой. Критическая точка может сущест-
вовать для кривых фазового равновесия таких фаз, которые различа-
ются только областью определения параметров. В этом случае можно
произвести переход от одной фазы к другой, не пересекая кривую равно-
весия. При этом система остается все время однородной. В случае,
когда фазы различаются определяющими их параметрами, кривые
равновесия уходят на бесконечность или переходят в кривые равно-
весия с другой фазой, критические точки отсутствуют, а непрерывный
переход от одной фазы к другой невозможен.Например, твердое тело
отличается от газа и жидкости более низкой симметрией.В частности,
твердое тело анизотропно, и его состояние следует характеризовать
не давлением, а напряжениями. Поэтому кривая равновесия твердое
тело—газ переходит в кривую твердое тело-—жидкость (кривая MN),
которая уходит на бесконечность. Точку R, в которой могут находи-
ться в равновесии три фазы — газ, жидкость и твердое тело — назы-
вают тройной точкой.
Диаграммы состояний реальных веществ обычно сложнее, чем диа-
грамма на рис. 4.13. Многие химически однородные вещества имеют
несколько твердотельных фаз, различающихся кристаллическим строе-
нием, магнитными или электрическими свойствами. Еще сложнее диа-
граммы веществ, представляющих собой смеси нескольких сортов моле-
кул (компонентов).Для таких смесей вместо одной плотности п необхо-
димо рассматривать плотности каждого из компонентов в отдельности.
Соответственно увеличиваются размерность пространства состояний
141
системы и количество возможных фаз. В частности, возможны жидкие
фазы, различающиеся концентрациями компонентов. Это явление на-
зывают расслоением растворов. Кривая равновесия расслоенных раство-
ров может заканчиваться в критической точке, которую называют
критической точкой смешения.
4.5.3. Фазовые переходы и их классификация. Изменение фазо-
вого состояния системы называют фазовым переходом. Если фазы,
между которыми происходит переход, описываются разными пара-
метрами, то переход характеризуется изменением симметрии системы,
т. е. при переходе появляется (или исчезает) свойство системы оста-
ваться макроскопически неизменной при некотором преобразовании
переменных, описывающих ее микроскопическое строение. Например,
никакие макроскопические измерения не позволяют отличить два со-
стояния газа, различие между которыми состоит в том, что все радиусы-
векторы молекул второго состояния повернуты на один и тот же про-
извольный угол вокруг произвольной оси по отношению к радиусам-
векторам молекул первого состояния. Это свойство называют изотроп-
ностью системы. Изотропностью обладают также жидкости, однако
кристалл имеет только дискретный набор преобразований вращения,
которые связывают его макроскопически неотличимые состояния.
Симметрия является качественным свойством, т. е. она не может
присутствовать в большей или меньшей степени. Одна ко-во всех слу-
чаях фазового перехода можно ввести количественную характерис-
тику состояния системы, которая равна нулю в одной фазе и отлича-
ется от нуля в другой. Эту количественную характеристику называют
параметром порядка. Может быть несколько параметров порядка.
В частности, они могут являться компонентами вектора. Например,
при фазовом переходе парамагнетик — ферромагнетик параметром
порядка является спонтанная намагниченность. Парамагнетик сим-
метричен относительно поворота всех спинов образующих его атомов
на один и тот же угол. В ферромагнетике такая симметрия отсутствует.
Здесь поворот всех спинов приводит к повороту спонтанной намагни-
ченности, которая макроскопически измерима.
. Симметрия как качественное свойство всегда возникает и исче-
зает скачком, но параметр порядка может при фазовом переходе воз-
никать с конечного значения либо непрерывно от нуля. Соответст-
вующие переходы называют переходами первого и второго рода.
К переходам первого рода относятся также переходы, при которых
симметрия фаз одинакова, но термодинамические параметры различа-
ются на конечную величину. Таким переходом является, например,
переход жидкость — газ.
4.5.4. Свойства фазового перехода первого рода. При фазовом пере;
ходе первого рода между фазами существует конечная разность не толь-
ко параметра порядка, но и других термодинамических величин, ко-
торые являются первыми производными термодинамических потен-
циалов по соответствующим переменным: внутренней энергии, плот-
ности, энтропии. При переходе первого рода выделяется или поглоща-
ется энергия, которую называют скрытой теплотой перехода. Разность
плотностей приводит к расслоению системы. При фазовом переходе
первого рода существует многофазная область, в которой фазы нахо-
дятся в равновесии одна с другой.
4.5.5. Правило фаз. В термодинамической теории фазовых пре-
вращений изучают равновесные фазовые превращения, при которых вы-
полняются условия фазового равновесия. Число'фаз ц, находящихся
в равновесии, определяется правилом фаз Гиббса
п < k + 2,
142
где k — число ком понентов в термодинамической системе. Правило фаз
дает возможность определить число независимых переменных, измене-
ние которых не нарушает фазового равновесия. Число
f^=k-~n+2 (4.104)
называют числом термодинамических степеней свободы (или вариант-
ностью системы). Это правило справедливо при большом объеме фаз,
когда поверхностными явлениями можно пренебречь, и при отсутствии
полупроницаемых перегородок на границе раздела фаз, так что каж-
дый компонент может проходить через эту границу.
Условие f = 0 соответствует безвариантной системе, в которой
равновесие устанавливается при определенных значениях температуры,
давления и состава каждой фазы. Это условие определяет максималь-
ное число фаз пмакс в равновесной системе. Так, для одного вещества
(k — 1) лмакс = 3 (пар, жидкость, твердое состояние в тройной точке).
При /= 1 систему называют одновариантной или моновариантной>
в которой одной из переменных, например температурой, можно варьи-
ровать, а остальные определять через нее.
4.5.6. Уравнение Клапейрона—Клаузиуса. При фазовом равно-
весии одного вещества (например, жидкое состояние — пар) [ = 1
и давление представляет собой функцию заданной температуры, кото-
рая подчиняется уравнению Клапейрона—Клаузиуса
dp (Т)
dT
(4.105)
где </12 — теплота перехода из фазы 1 в фазу 2; Vlt У2 — соответ-
ствующие объемы фаз. Производная обратно, пропорциональна
разности объемов ДУ. Уравнение Клапейрона — Клаузиуса справед-
ливо для любого фазового перехода чистого вещества, т. е. для фазо-
вого перехода первого рода. С его помощью можно находить изменения
равновесной температуры фазового перехода в зависимости от равно-
весного давления и рассчитывать величины, трудно определяемые
экспериментально. При переходе жидкости или твердого тела в газо-
образное состояние давление насыщенного пара над ними увеличи-
вается с ростом температуры. Так как объем газообразной фазы
тела всегда больше его объема в жидком или твердом состояниях, то
при положительных значениях </12 выполняется условие
^->0- (4.106)
При переходе из твердого состояния в жидкое для большинства
веществ ДУ > 0 и температура плавления с повышением давления
растет, но для некоторых веществ (например, вода, висмут, гелий, гер-
маний, кремний, плутоний, сурьма и др.), обладающих аномальными
свойствами, ДУ < 0, температура плавления понижается с ростом
давления и неравенство (4.106) меняется на противоположное.
4.5.7. Химический потенциал. При фазовом превращении в систе-
ме количество вещества может в определенной фазе изменяться. Внут-
ренняя энергия dU такой системы, с переменной массой зависит не
только от объема У и энтропии S, но и от количества вещества в f-й фазе,
которое можно выразить через число молей
dU (V, S, Ni) = Tds — pdV + £ pz dNt,
i
143
где величину pt-, определяемую как энергия, на которую возрастает
любой термодинамический потенциал системы при добавлении к ней
одной частицы, называют химическим потенциалом i-й фазы. Поскольку
dU является полным дифференциалом, то
где Nj принимает все значения, кроме Z-го. Через остальные термодина-
мические потенциалы выражаются аналогично в соответствии с
формулами (4.89)—(4.98):
. - ( дН \ _ ( dF \
\ dNl )s,p,Nj \ dNi /T.V.Nf
Удобнее всего определять химический потенциал из термодинамиче-
ского потенциала Гиббса G (Г, р, N;), в который кроме переменных V
входят переменные Т и р, не зависящие от Из формулы
dG = — SdT + Vdp + Hi d‘Vi
i
следует, что
I dG \ . _
V /Ttp,Nj
Химический потенциал однокомпоиентной системы равен термодина-
мическому потенциалу Гиббса, отнесенному к одному молю соответ-
ствующей фазы вещества, является функцией состояния, не зависит
от размеров системы и относится к классу неаддитивных величин, на-
зываемых интенсивными. Для одной фазы с переменным числом частиц
dp = —SdT +~Vdp. (4.107)
Здесь S = S/JV, V — V/N — молярная энтропия и молярный объем
системы соответственно.
Согласно формуле (4.107) выполняются равенства
I др \ ! др \_________L —
\d^)v,T~‘\d^)N,T~ V ~ V '
/ dN \ N* ( дУ \
\ )t,v \ др /N'T
Если система состоит из п компонентов и содержит т фаз, то усло-
вие равновесия определяется из равенства всех химических потен-
циалов: '
= tl<2> =... =
Р2П = |42) = • • • = Н(2П)-
„(1) _ „(2) _ _ „(/«)
r/i • • • Гп »
где — химический потенциал /г-го компонента, находящегося
в /-й фазе. Например, для двухфазной системы при переходе в равно-
144
веское состояние поток вещества направлен от фазы с большим хи ми*
ческим потенциалом к фазе с меньшим и прекращается, когда эти по-
тенциалы выравниваются, т. е. щ (Г, р) = |ы2 (Т, р), При фазовых пе-
реходах первого рода производные
I дт)р ’ ( dp Jr
изменяются скачком, т. е. молярный объем и молярная энтропия в раз-
ных фазах не равны между собой:
Поскольку AS12 — 6Q12/7* и в точке фазового перехода Т =
= const, то молярная теплота перехода
Я12 ™ 0.2 - Ql “ Т (52 <$1)
связана со скачком энтропии и при S2 =h «$1 не равна нулю.
При фазовом переходе первого рода возможны явления перегрева
или переохлаждения, когда точки диаграммы состояний соответст-
вуют одной фазе, но существует и другая фаза. Такое состояние сис-
темы неустойчивое, под влиянием какого-либо возмущения или само-
произвольно оно переходит в гетерофазное, причем выделение или по-
глощение скрытой теплоты перехода приводит к изменению темпера-
туры, так что система возвращается в состояние равновесия. Если
на кривой равновесия есть критическая точка, то по мере приближения
к ней скачки термодинамических величин (параметров и функций от
них, например, таких характеристик, как плотность, концентрация
компонентов и д12) уменьшаются, а в самой точке обращаются в нуль.
4.5.8. Свойства фазового перехода второго рода. Фазы, переход
между которыми второго рода, вблизи точки перехода по всем термо-
динамическим параметрам отличаются сколь угодно мало, а в самой
точке значения этих параметров совпадают. Поэтому при фазовом
переходе второго рода невозможно существование двух фаз, разделен-
ных межфазной границей. В явлениях, наблюдаемых вблизи точки
такого перехода, большую роль играют флуктуации термодинамиче-
ских величин. Работа, необходимая для создания флуктуации пара-
метра порядка в некоторой области системы, т. е.образования области со
значением параметра порядка, отличным от среднего, оказывается вблизи
точки перехода аномально малой. Соответственно отклонение парамет-
ра порядка от среднего значения становится аномально большим, и
флуктуации уже не подчиняются гауссовому закону (4.80). Вместе
с параметром порядка аномально флуктуируют некоторые другие тер-
модинамические величины, в TOxM числе плотность внутренней энергии
вещества.
Кроме амплитуды флуктуации характеризуются корреляцион-
ной функцией. Корреляционной функцией термодинамической величины
А называют разность среднего по статистическому распределению
произведения ее значений в двух точках системы и квадрата среднего
равновесного значения А:
УС (Г, Г') = Л (г) Л (г') — (Л)2.
Если система однородна и изотропна, то корреляционная функция
зависит только от модуля разности радиусов-векторов точек:
УС (г, г') = (| г — Г' |) = (Я).
145
В случае, когда величина Л ’слабо флуктуирует, К (R) убывает с рос*»
том R:
~ ехр -- П
L г с J
Величину гс называют радиусом корреляции. При R > гс значения
А в точках г и г' слабо связаны между собой. В общем случае радиус
корреляции зависит от термодинамических параметров. Радиус корре-
ляции для аномально флуктуирующих величин сильно растет и стре-
мится к бесконечности по мере приближения к точке перехода. В точ-
ке перехода корреляционная функция пропорциональна Я~1— \ где т|
называют критическим индексом.
Флуктуации вблизи точки фазового перехода второго рода приво-
дят к тому, что к бесконечности стремятся и некоторые другие термо-
динамические характеристики системы: теплоемкость cv, магнитная
восприимчивость X (для переходов парамагнетик—ферромагнетик).
Поведение этих величин описывается степенными функциями разно-
сти Т — Тс, где Тс — температура перехода. При заданных значениях
других параметров
cv^(T-Tcra, (4.108)
Показатели степени этих функций также называют критическими инде-
ксами (критическими показателями). Полагают, хотя это окончательно
не доказано, что если значения параметров достаточно близки к точке
перехода, то значения критических индексов для любых веществ с оди-
наковым количеством параметров порядка равны, т. е. критическое
поведение не зависит от деталей межмолекулярпого взаимодействия
и других микроскопических характеристик системы. Теоретическое
вычисление критических показателей и их экспериментальное опреде-
ление представляют собой весьма трудные задачи, решение которых
удалось только в последнее десятилетие. Приближенные значения их
для жидких однокомпонентных систем такие: а « 0,11 ± 0,01; v-^
0,63 ± 0,01; у 1,22 ± 0,02; q 0,05 ± 0,01.
Вводят еще два критических индекса в связи с зависимостью пара-
метра порядка от других термодинамических параметров. Так, при
отсутствии влияющих на параметр порядка внешних полей (например,
магнитного, влияющего на намагниченность), средний параметр поряд-
ка ср зависит от температуры следующим образом:
Ф । т — Тс р при Т < Тс,
ср — 0 при Т > TCt
где р — критический индекс (£ р* 0,34 ± 0,01).
Если имеется внешнее поле, то фазовый переход, вообще говоря,
не происходит (намагниченность магнетика во внешнем магнитном ноле
не равна нулю при любой температуре). Вблизи температуры, при ко-
торой в отсутствие поля происходит переход, зависимость параметра
порядка ср от поля Я описывается степенной функцией
<р ~
Здесь б — критический показатель. Его значение 6 4,60 ± 0,2.
Аномальные флуктуации и критическое поведение обнаружива-
ются в некоторой области температур вблизи температуры перехода.
Эта область определяется природой вещества, в котором происходит
переход. Так, при переходе гелия в сверхтекучее состояние ширина
146
области аномальных флуктуаций велика и критическое поведение хоро-
шо наблюдается. При переходе металла в сверхпроводящее состоя-
ние ширина температурной области, в которой велики флуктуации,
настолько мала, что оказывается значительно меньше достигнутой
к настоящему времени точности установки температуры, поэтому влия-
ние флуктуаций обнаружить экспериментально пока невозможно.
Большие флуктуации могут возникать при переходах не только
второго, но и первого рода, если скачки плотности и удельной энер-
гии в этом переходе малы. В частности, большие флуктуации наблю-
даются вблизи критической точки перехода первого рода. Эти флук-
туации проявляются также в явлении критической опалесценции, кото-
рое состоит в аномально сильном рассеянии света *и других излу-
чений (например, нейтронов) вблизи точки фазового перехода второго
рода.
Некоторые характеристики фаз, переход между которыми второго
рода, отличаются на конечную величину, т. е. при переходе должны
изменяться скачком. Эти скачки не связаны с аномальными флуктуа-
циями вблизи точки перехода и могут быть измерены вне флуктуацион-
ной области. При этом скачки испытывают только вторые производ-
ные термодинамических потенциалов: теплоемкость, сжимаемость,
коэффициент теплового расширения и т. п. Эти скачки связаны соот-
ношениями
Для теплоемкости су., которая ведет себя аномально в точке перехода,
скачок означает, что коэффициент пропорциональности при IT — Tf
в формулах (4.108) принимает разные значения по разные стороны
от точки перехода. Такой же смысл имеют скачки и для других рас-
ходящихся величин (например, для сжимаемости при переходе
жидкость — газ в критической точке).
Явления, сходные с фазовыми переходами второго рода, наблю-
дают в самых различных системах, которые описываются статистиче-
ски. Примером таких явлений служат турбулентные течения жидкости
и газа, возникновение и течение эпидемий и т. п. Некоторые моменты
космогонических теорий описываются математически аналогично фа-
зовым переходам.
4.5.9. Конденсация и парообразование. При изменении тем-
пературы и давления газообразное вещество может перейти в жидкое,
а затем и в твердое состояние. Процесс сжижения газов возможен
только при температуре ниже критической. При температурах выше
критической возможно только газообразное состояние вещества.
Процесс превращения вещества из газообразного состояния
в жидкое называют конденсацией (фазовый переход первого рода).
При этом число молекул, проходящих через единицу поверхности
жидкости в единицу времени из газообразного состояния вещества
в жидкое, определяет скорость конденсации. В температурном интер-
вале между критической и тройной точками конденсация происходит
в жидкую фазу. Ниже тройной точки газообразная фаза переходит
в твердую (кристаллическую). Это превращение также называют кон-
денсацией. При заданной температуре конденсация происходит при
определенном давлении рп (Г), которое называют давлением насыщен-
147
кого пара, и сопровождается выделением теплоты L^. Эти величины
связаны между собой уравнением Клапейрона—Клаузиуса (4.105),
в котором им соответствуют величины р (Т) и q12.
Процесс перехода вещества из конденсированной фазы (жидкой
или твердой) в газовую называют парообразованием (фазовый пере-
ход первого рода). Различают парообразование со свободной поверх-
ности жидкости — испарение, с поверхности твердого тела— субли-
мация (переход вещества из твердой фазы в газообразную, минуя
жидкую) и возникновение пузырьков насыщенного пара вблизи по-
верхности нагрева (стенок сосуда) и их рост в объеме жидкости —
кипение.
При испарении происходит охлаждение жидкости: из нее вылета-
ют молекулы, обладающие достаточно большой энергией теплового
движения, согласно условию
«^«/2 > Чсп> (4.109)
где m — масса молекулы; оп — нор-
мальная к поверхности жидкости со-
ставляющая ее скорости; Лисп — ра-
бота испарения. В соответствии с
распределением Максвелла (4.13) и
(4.16) число молекул, для которых
выполняется условие (4.109), растет
с повышением температуры.
Удельная (молярная) теплота
парообразования г (Дж/моль) опре-
деляется суммой внутренней р и
внешней ф теплоты испарения, первая из которых расходуется на
поддержание постоянной температуры жидкости, а вторая выражается
работой, совершаемой при увеличении объема, занимаемого вещест-
вом. Зависимость этих величин от давления показана на рис. 4.14.
В критической точке различие между жидким и газообразным состоя-
ниями исчезает, а значение г обращается в нуль:
г(Рк) = °-
Сублимация происходит во всем температурном интервале, в ко-
тором сосуществуют твердая и газообразная фазы. Скорость субли-
мации mw, равная массе вещества, сублимирующего в единицу вре-
мени, приближенно может быть определена из уравнения Кнудсена—
Ленгмюра
mw ’=а(рн — р9) j у 2л— , (4.110)
где а коэффициент испарения; рИ — давление насыщенного пара;
р() — давление пара на расстоянии длины свободного пробега от по-
верхности твердого тела; ц — молярная масса пара; R — уни-
версальная газовая постоянная; Т — абсолютная температура. Если
сублимация происходит в вакууме (р0 == 0), то используя урав-
нение (4.110) можно экспериментально определить коэффициент
испарения а.
Кипение осуществляется при температуре в интервале между
тройной и критической точками. Для заданного внешнего давления
кипение происходит при определенной температуре Ts, которую
называют температурой кипения, С ростом давления значение Г5уве-
148
лнчивается. Кипение происходит только тогда, когда жидкости со-
общено количество теплоты
Q — гт.
Здесь т — масса испаряющейся при кипении жидкой фазы; г—
удельная теплота парообразования данной жидкости — количество
теплоты, необходимое для того, чтобы единицу массы жидкости, на-
ходящейся при температуре кипения, перевести в газообразное сос-
тояние. Удельная теплота парообразования вещества равна удельной
теплоте конденсации (r= L;<). При конденсации происходит выделе-
ние теплоты.
При кипении жидкая фаза у поверхности сосуда, через которую
происходит нагрев, находится в перегретом состоянии, что объясняется
затрудненностью возникновения начальных пузырьков. В пузырьке
кроме внешнего и гидростатического давления есть еще и капиллярное
давление = 2сг//?, где о — поверхностное натяжение жидкости;
R — радиус пузырька. Общее давление внутри пузырька определя-
ется формулой
Ps = Po + P^ + 2a/tf. (4.111)
Здесь — внешнее давление; р — плотность жидкости; h — расстоя-
ние от центра пузырька до поверхности жидкости. Кипение начинается,
если
(4.Н2)
Минимальный радиус пузырька, возникающего в жидкости при
ее перегреве у стенки на величину ДГ = Тс — Т (Тс — температура
стенки сосуда), находят так:
п - 2g Pl
АМИН / , \ п л ’
[ dp ) Лт Pi —Ра
\dT /
гч dp
Здесь производная определяется из уравнения Клапейрона —
Клаузиуса (4.105), a pi, р2 — плотность жидкости и пара соответст-
венно. Следовательно, при кипении образуются пузырьки конечных
размеров R > ЯМИн» ПОЭТОМУ процесс кипения зависит от наличия
центров парообразования (шероховатостей на поверхности сосуда,
пылинок и других зародышей пузырьков пара). Жидкость, помещенная
в сосуд с гладкими стенками и очищенная от посторонних включений,
способных стать центрами парообразования, закипает при более вы-
соких температурах. Кипение в такой перегретой жидкости начинается
за счет тепловых флуктуаций ее плотности и происходит очень бурно
с выбросами жидкости.
4.5.10. Зависимость температуры кипения от давления. Явление
кавитации. Поскольку процесс кипения происходит тогда, когда давле-
ние пара, заключенного в пузырьках жидкости, превышает внешнее
давление, то. понижение внешнего давления приводит к понижению
температуры кипения. При низком давлении закипает совсем холодная
вода. Однако варить мясо, заваривать чай в таком холодном кипятке
практически невозможно. Если из замкнутого сосуда с жидкостью отка-
чивать насосом пар, то температура кипения будет понижаться. Так как
при этом расходуется теплота парообразования, то многие жидкости
Ю
могут быть охлаждены и заморожены при быстрой откачке газа и пара,
С повышением внешнего давления температура кипения также повы-
шается. При высоких давлениях воду можно нагреть настолько, что
в ней расплавляются олово (/ = 230 °C, р — 28 ат == 2,835 • 106 Па)
и свинец (I = 327 °C, р = 122'ат = 1,236 • 107 Па), а вода все еще не
будет кипеть. Особенно высокую температуру получают в специаль-
ных прочных закрытых сосудах (автоклавах), где можно создавать
высокие давления. Автоклавы широко применяются в химической и пи-
щевой промышленности. Кипение при высоких давлениях используется
в парогенераторах. При расчетах паровых двигателей необходимо знать
зависимость давления насыщенного водяного пара от температуры.
Если давление жидкости кратковременно понижать, а затем вновь
повышать, то пузырьки газа, образующиеся внутри жидкости при
понижении давления, будут захлопываться. При этом стенки пузырька
сближаются, пар внутри него конденсируется, и захлопывание сопро-
вождается гидравлическим ударом. Явление возникновения разрывов
в сплошности жидкости (пузырьков или каверн) при локальном пониже-
нии давления называют кавитацией. Явление кавитации возможно
также при быстром движении твердого тела в жидкости (гидродина-
мическая кавитация) и вследствие прохождения звуковых волн боль»
шой интенсивности (акустическая кавитация). Из-за неоднородности
потока, обтекающего твердое тело, в отдельных местах вблизи поверх-
ности раздела жидкость—твердое тело создаются места с пониженным
давлением, происходит локальный разрыв сплошности, в результате
чего пузырьки газа или пара быстро растут. После перехода в зону
повышенного давления эти пузырьки захлопываются, причем из-за
кавитации возникают резкие удары жидкости в поверхность движуще-
гося4 тела, вызывающие значительную вибрацию со звуковой и даже
сверхзвуковой частотой (от Ю2 до 105 Гц). Эта вибрация может оказаться
достаточно мощной и создавать опасность разрушения движущихся
твердых тел (кавитационная эрозия).
Явление кавитации наблюдается при вращении лопастей гребных
винтов, лопаток мощных турбин, при движении судов на подводных
крыльях, а также при работе быстроходных поршневых насосов у па-
ровых машин и двигателей внутреннего сгорания. Вредные действия
кавитации можно ослабить посредством специальных конструктивных
решений, создавая специальные формы поверхности тел, движу-
щихся в жидкости. Кроме того, если в область пониженного давленья
подать сжатый воздух, то он будет служить упругой подушкой при за-
хлопывании кавитационных полостей, что резко снижает опасное дей-
ствие кавитации. Это используется в мощных гидро- и насосных стан»
циях.
4.5.11. Водяной пар в атмосфере. Количество водяных паров,
содержащихся в атмосфере, влияет на процессы, происходящие в ней.
Еще большее влияние оказывает влажность на жизнедеятельность
растений, животных и человека. Воздух никогда не бывает совершен-
но лишенным влаги, даже над пустыней. Количество водяных паров
в 1 м3 воздуха, выраженное в граммах, называют абсолютной влажно*
стыо. Значение ее при данной температуре ограничивается количеством
насыщенного водяного пара. Отношение количества водяного пара,
фактически имеющегося в воздухе, к тому, которое необходимо для его
насыщения при заданной температуре, называют относительной влаж-
ностью. '
Атмосфера Земли — газовая среда вокруг нее с массой около
5,15 • 101- т, состоит из смеси различных газов и водяного пара. Упру-
гостью водяного пара е (или парциальным давлением) называют давле-
ние р, которое он оказывал бы, если бы не было других газов, Состав
150
атмосферы Земли: 78,1 % азота, 21 % кислорода, 0,9 % аргона, незна-
чительные доли процента углекислого газа, водорода, гелия,неона и др.
Относительную влажность ср можно определить как отношение упруго-
сти е к максимальной упругости Е (Т) (упругости насыщения) при дан-
ной температуре, выраженное в процентах:
ф==_^. 10О»/о.
Абсолютная влажность
а = 2,17- 10*-Ц,
где е измеряется в паскалях, а Т — в кельвинах.
Относительная влажность влияет на самочувствие человека и его
здоровье. Человек хорошо переносит жару при температуре 25—30 °C
и относительной влажности 25 %, но очень плохо при той же темпера-
туре и относительной влажности 80—90 %. При температуре воздуха
18 °C и относительной влажности 25 % ощущается холод, а при той
же температуре и относительной влажности 60 % — не ощущается.
Это различие в самочувствии объясняется интенсивностью испаре-
ния при дыхании. Высокая относительная влажность замедляет про-
цесс, испарения и не допускает охлаждения. Поэтому при низкой тем-
пературе повышенная влажность обеспечивает удовлетворительное
состояние, а при высокой температуре и большой относительной влаж-
ности может наступить перегрев.
Если при р = const понижать температуру воздуха, относитель-
ная влажность будет увеличиваться. Для данного значения абсолют-
ной влажности существует такая температура, ниже которой часть
паров воды будет конденсироваться. В атмосфере при этом образуется
туман или выпадает роса. Температуру, при которой водяной пар ста-
новится насыщенным, называют точкой росы. Между упругостью паров
е и точкой росы tp (°C) существует зависимость
и (.
W с + ip
Здесь Ео — 6,11 • 102 Па;
b ~ 7,5, с = 237,3 для воды;
b = 9,5, с = 265,5 для льда.
Относительная влажность измеряется специальными приборами —
гигрометрами и психрометрами. В гигрометре используется свойство
человеческого волоса изменять длину при изменении влажности. Прин-
цип действия психрометра основан на сравнении температуры влаж-
ного и сухого тела. Вследствие охлаждения при испарении температу-
ра влажного тела ниже температуры’сухого. Простейший психрометр
состоит из двух одинаковых термометров. Нижняя часть одного из них
обернута кусочком чистого батиста, частично опущенного в резервуар
с водой. Разность показаний термометров тем больше, чем меньше влаж-
ность воздуха. С помощью специальной таблицы по разности темпера-
тур сухого и влажного термометров определяют относительную влаж-
ность.
4.5.12. Кристаллизация и плавление. Образование кристаллов
из жидкостей (расплавов, растворов и электролитов), твердых тел
(с другой кристаллической решеткой или аморфных) и паров, а также
при химических реакциях называют кристаллизацией. Она происходит
151
при нарушении термодинамического равновесия начальных фаз, на-
пример при переохлаждении расплава и пересыщении раствора или
пара. Кристаллизация является фазовым переходом, сопровождающим-
ся выделением скрытой теплоты, которую характеризуют удельной
теплотой кристаллизации Л.
Процесс кристаллизации можно разделить на два этапа. На пер-
вом этапе при достижении предельного для данных условий критиче-
ского переохлаждения или пересыщения происходит возникновение
маленьких кристалликов, которые называют зародышами кристалли-
зации. Обычно они возникают на центрах кристаллизации — неод-
нородностях первичной фазы (пылинках, примесях, кристалликах дру-
гих веществ, на шероховатостях стенок сосуда и т. п.), т. е. наблю-
дают так называемое гетерогенное зарождение. Гомогенное (однородное
зарождение в чистых жидкостях или газе возможно лишь при очень
больших переохлаждениях. На втором этапе наблюдают рост зароды-
шей кристаллизации, скорость которого увеличивается с переохлаж-
дением. Кристаллизация в металлургических процессах происходит
в условиях, когда при сильном переохлаждении расплава возникают
многочисленные зародыши. В результате их роста отдельные крис-
таллики смыкаются один с другим, образуя поликристаллическое
твердое тело. Если жидкость тщательно очищена от возможных цент-
ров кристаллизации, то можно сохранить жидкое состояние при темпе-
ратурах ниже температуры плавления. Такая переохлажденная
жидкость будет находиться в метастабильном состоянии. Достаточно
внести в нее какую-либо примесь, которая может стать центром кр» с-
таллизации (например, пылинку), чтобы произошло быстрое превра-
щение всего объема жидкости в твердое кристаллическое состояние.
Сильно переохлажденную жидкость, которая обладает малой теку-
честью и сохраняет свою форму, называют аморфным твердым телом.
Поскольку для начала процесса кристаллизации необходимы
центры кристаллизации, то практически переход жидкость—твердое
тело может начаться только при переохлаждении не меньше некото-
рого порогового значения ДГпор = Тпл — Гпор, где Тпл — температу-
ра плавления вещества; Тпо —пороговая температура.
Для получения монокристалла в жидкость, находящуюся при тем-
пературе кристаллизации, вносят затравочный монокристаллический
образец. При небольшом переохлаждении из жидкости начинает расти
монокристалл, который приобретает характерную для данного веще-
ства многогранную форму.
Для заданного давления обратный переход кристаллического тела
в жидкое состояние (фазовый переход первого рода), который назы-
вают плавлением, происходит при определенной для каждого вещества
температуре Гпл и требует затраты определенного количества теплоты,
которую называют теплотой плавления ql2 (она равна удельной теп-
лоте кристаллизации К). Зависимость температуры плавления Тпл от
давления определяется уравнением Клапейрона — Клаузиуса (4.105),
где
— удельное изменение объема при плавлении, происходящее скачком\
в очень малом интервале температур вблизи точки плавления или от-
вердевания. Большинство твердых тел увеличивает свой объем при
плавлении, поэтому твердые тела тонут в образовавшихся жидкостях.
Исключение составляют вода (лед), висмут, галлий, гадолиний, крем-
ний и некоторые сплавы. Например, плотность льда при температуре
0 °C равна 0,917 г/см3в
152
У твердых тел, объем которых увеличивается при плавлении, точ-
ка плавления повышается с ростом давления. У льда (и других веществ,
уменьшающих объем при плавлении) увеличение давления понижает
точку плавления. Это, в частности, проявляется в подвижности лед-
ников, когда большое давление приводит к таянию соприкасающейся
с почвой части льда и его замерзанию при ослаблении давления.
Аналогичное явление происходит при скольжении на коньках.
В результате таяния льда под давлением происходит образование не-
большого количества воды, которая обеспечивает хорошую смазку при
скольжении. На рис. 4.15 показана зависимость изменения темпера-
туры во времени вблизи температуры плавления Тпл, когда кристал-
лическому телу сообщается одинаковое количество теплоты в едини ну
времени. Сначала температура растет, а затем, достигнув значения
Т ~ Тпл, остается постоянной до тех пор, пока не расплавится все
вещество. После этого температура жидкости снова начинает повыша-
ться.
Аморфные тела (смола, кани-
фоль, воск, стекло) обладают изо-
тропными свойствами и не имеют
определенной температуры плавле-
ния. Они не плавятся, а размягча-
ются, постепенно меняют свое со-
стояние, оставаясь все время однород-
ными при повышении температуры.
Из твердого состояния происходит
постепенный переход к мягкому, за-
тем к густой жидкости, вязкость ко-
торой постепенно уменьшается. Это
Рис. 4.15
связано с тем, что даже в твердом состоянии аморфные тела не обла-
дают строгой периодичностью в расположении атомов, однако имеют
ближний порядок. Аморфное состояние можно рассматривать как пе-
реохлажденную жидкость с очень высоким коэффициентом вязкости.
4.6. ЖИДКОЕ СОСТОЯНИЕ
4.6.1. Строение жидкости. Большинство веществ в определенных
условиях, т. е. в заданных интервалах температур и давлений, может
.находиться в жидкой фазе, которая является конденсированным состоя-
нием, промежуточным между твердым и газообразным. Жидкое агре-
гатное состояние сохраняет отдельные свойства газообразного и твер-
дого тела. Например, жидкость, как и твердое тело, характеризуется
определенным объемом, образует поверхность раздела, обладает проч-
ностью на разрыв, ио подобно газу не сохраняет своей формы, а при-
нимает форму сосуда, в котором находится. Сжимаемость жидкости
значительно меньше сжимаемости газа. Жидкость характеризуется
особым для данного агрегатного состояния свойством — текучестью,
а также упругостью. Большинство веществ имеет только одну жидкую
фазу.
Исключением являются жидкие кристаллы, у которых кроме
нормальной жидкой фазы существуют еще и анизотропные. Жидкий
гелий (так называемая квантовая жидкость) также может находиться
в двух разных фазах: Не I и Не II (сверхтекучее состояние). Выше
критической температуры жидкость в равновесии с собственным паром
существовать не может.
Значение характерного параметра еф (Г, р), равного отношению
средней потенциальной энергии молекулы к ее средней кинетической
153
энергии, для жидкостей близко к единице, для твердых тел значителен
но больше единицы, а для газов много меньше единицы.
Расположение молекул в жидкости характеризуется ближним по-
рядком. Ближайшие соседние молекулы располагаются в определен-
ном, заданном для данной жидкости порядке. Вероятность нахожде-
ния данной молекулы жидкости в некоторой точке объема зависит от
того, в какой точке находятся другие молекулы. Однако по мере уда-
ления от данной молекулы расположение других молекул относи-
тельно нее становится все менее упорядоченным и достаточно быстро
порядок в расположении молекул жидкости исчезает (т. е. характер-
ный для кристаллических
фдых тел дальний порядок в жидкости
отсутствует).
Число молекул dN в сферическом
слое, заключенном между радиусами г
и г + dr, для произвольной молекулы
в случае простейших одноатомных
жидкостей можно определить по формуле
dN = 4np0G (r)r2dr,
где р0 = N/V (N — число молекул в
объеме И) — плотность жидкости; G (г) —
радиальная функция распределения мо-
лекул, которая в случае жидкости имеет
несколько резких максимумов. На рис.
4.16 приведены графики функций 4л(?(г)Х
X г2 (сплошная линия) для жидкого
натрия и 4лг2 (штриховая), определяю-
щей расположение молекул в газе
(Gr(r) = 1). Отрезки ординат с числами
сверху проведены в местах, где нахо-
дятся атомы в кристаллической решетке
натрия. Числа обозначают количество
атомов, расположенных на соответствую-
щем расстоянии в твердой фазе данного вещества.
Для жидкостей, состоящих из многоатомных молекул (например,’
воды), структура и свойства имеют более сложную природу. Физиче-
ские свойства большинства жидкостей пространственно однородны.
Но жидкости, молекулы которых имеют вытянутую линейную форму,
в некотором интервале температур могут обладать анизотропными
свойствами (жидкие кристаллы).
Тепловое движение молекул жидкости'согласно упрощенным пред-
ставлениям состоит в следующем: молекула жидкости некоторое время
совершает колебания вблизи определенного положения равновесия
в окружении ближайших соседних молекул. Затем она спонтанно
переходит в другое равновесное положение, совершая колебания в ок-
ружении новых соседей, в результате чего происходит перемешивание
молекул (самодиффузия). Таким образом, тепловое движение молекул
жидкости можно характеризовать частотой колебаний в положении
равновесия v0 и временем оседлой жизни т (временем релаксации), а так-
же средним расстоянием d смещения молекулы при изменении равно-
весного положения. Величина v0 имеет порядок частоты колебаний
атомов в твердом теле: v0 ~ 1011—1012 с*-1. Среднее значение т межко
определить по формуле
т = vox exp [ IF//еТ],
где W — энергия активации, определяемая высотой потенциального
барьера, который разделяет два соседних равновесных состояния
154
молекулы жидкости; k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная
температура. Среднее расстояние d по порядку величины равно рас-
стоянию между молекулами жидкости:
Здесь [1 — молярная масса жидкости; Nд — число Авогадро; р — плот-
ность жидкости. Для воды d ~ 3 • 10“1() м.
4.6.2. Особенности строения и физических свойств воды. Вода —
простейшее устойчивое химическое соединение водорода с кислородом,
или оксид водорода (Н2О). Она является неотъемлемой частью живот-
ных и растительных организмов. Это почти бесцветная, голубоватая
жидкость, обладающая аномальными физическими свойствами. Рас-
ширение воды при нагреве отличается от расширения других жидко-
стей. При нагревании воды от 0 до 4 °C ее объем уменьшается, достигая
минимального значения при 4 °C. Дальнейший нагрев сопровождается
увеличением объема воды. Другой особенностью является увеличение
плотности воды при замерзании, так что лед плавает на поверхности
воды. Подавляющее большинство твердых тел тонет в жидкостях,
образующихся при их плавлении. Вода имеет аномально большие
значения теплоемкости и теплоты плавления. Эти аномалии связаны
с особенностями ее молекулярного строения. Три атома в молекуле
воды образуют равнобедренный треугольник: два атома водорода рас-
полагаются у его основания, один атом кислорода — в его вершине,
причем угол у вершины составляет 105° 3' (в газообразной фазе).
В твердой фазе, когда образуется лед, каждая молекула связана че-
тырьмя водородными связями с ближайшими к ней молекулами, обра-
зуя тетраэдрическую конфигурацию, которая сохраняется и в жидкой
фазе. Такая структура определяет характерные свойства воды, имеющие
большое значение для развития и сохранения жизни на Земле.
В земных условиях, когда температура воздуха опускается ниже
0 °C, происходит охлаждение верхних слоев воды в водоемах. Плот-
ность их становится больше плотности теплых нижних слоев, так что
холодные верхние слои опускаются вниз, теплые нижние поднимаются
вверх. Такое перемешивание происходит до тех пор, пока температура
воды не достигнет 4 °C. При дальнейшем охлаждении верхние слои ос-
таются на поверхности водоема и при температуре 0 °C замерзают.
Образовавшийся лед, плотность которого меньше плотности воды,
плавает на поверхности, предохраняя водоем от замерзания. Из-за
малой теплопроводности льда и воды водоемы обычно не промерзают
до самого дна.
Вода легко реагирует со многими химическими элементами, обра-
зуя гидроксиды. Она является наилучшим растворителем для боль-
шинства соединений.
4.6.3. Поверхностный слой жидкости. Характерной особенностью
жидкости является наличие свободной поверхности* раздела
жидкость — газ, которая расположена перпендикулярно направлению
силы тяжести. При отсутствии силы тяжести свободная поверхность
принимает форму сферы, так как на поверхность жидкости действуют
силы, стремящиеся ее уменьшить (сжать) и направленные вдоль каса-
тельной плоскости в каждой ее точке.
Поверхностный слой жидкости обладает особыми свойствами, так
как молекулы его находятся в непосредственной близости от газообраз-
ной фазы и имеют вблизи границы раздела ближайших соседей в
жидкости только с одной стороны. Поэтому равнодействующая всех сил,
действующих на них, направлена внутрь жидкости, Любая молекула,
155
находящаяся вблизи свободной поверхности, имеет дополнительную
потенциальную энергию по сравнению с молекулами, находящимися
внутри жидкости. Чтобы перевести молекулу из объема жидкости на
поверхность, необходимо совершить работу против нескомпенсирован-
ных у границы раздела межмолекулярных сил. При увеличении по-
верхности заданного объема жидкости ее внутренняя энергия возрас-
тает пропорционально площади этой поверхности. Ее называют по-
верхностной энергией. Удельную полную поверхностную энергию оп-
ределяют из уравнения Гиббса—Гельмгольца
и=а-Т(-^)’
Где о — удельная свободная поверхностная энергия, которую называют
т ( до \ .
поверхностным натяжением\ —1 I I — скрытая теплота образова-
ния единичной поверхности раздела в необратимом изотермическом
до
процессе при заданной температуре; —О— поверхностная энтропия.
Поверхностное натяжение определяется нескомпенсированной
силой, действующей на поверхностный слой жидкости со стороны мо-
лекул, расположенных в ее глубине. Значение о не зависит от вели-
чины и формы поверхности для макроскопической жидкости. Если сде-
лать воображаемый разрез поверхности жидкой фазы, то оба его края
окажутся под действием сил, направленных в противоположные сто-
роны вдоль поверхности перпендикулярно линии разреза. В предполо-
жении, что поверхность с одной стороны разреза отсутствует, молеку-
ла на линии разреза будет испытывать действие сил со стороны моле-
кул, лежащих на поверхности раздела и направленных вдоль этой по-
верхности. Сила F, действующая на единицу дины I разреза, связана
с поверхностным натяжением жидкости соотношением
F = al.
Поверхностное натяжение зависит от сил молекулярного взаимо-
действия и принимает разные значения для разных жидкостей. Напри-
мер, у легкоиспаряющихся жидкостей (эфир, спирт, бензин) молекуляр-
ные силы, следовательно и поверхностное натяжение, меньше, чем у
нелетучих (ртуть и другие жидкие металлы). При повышении темпе-
ратуры жидкости поверхностное натяжение ослабевает, а при стремле-
нии к критической — стремится к нулю. Растворение в жидкости приме-
сей снижает значение о. Поверхностным натяжением объясняются
характерные для жидкого состояния вещества явления, такие, как об-
разование пены, формирование капель, и др. Пузырек газа, поднима-
ясь из глубины и достигая поверхности, образует над собой куполооб-
разный тонкий слой жидкости. Для малого пузырька выталкивающей
силы недостаточно, чтобы он разорвал двойной поверхностный слой.
Пузырьки, застрявшие вблизи поверхности, образуют пену.
При вытекании жидкости из малого отверстия образуются капли.
Под действием силы тяжести происходит выгибание сфероидальной
поверхности, которая постепенно принимает грушевидную форму.
В верхней части капля сужается под действием увеличивающейся ее.
массы и в определенный момент отрывается. При этом в нижней части
образуется основная капля, а в месте сужения формируется малая
капелька. Затем процесс повторяется. Так, под влиянием переменных
сил равномерное вытекание заменяется прерывистым течением с обра-
зованием капель. Если давление со стороны'' жидкости и отверстие
156
ее вытекания очень малы, то капля может вообще не оторваться, по-
этому вода не протекает через мелкосетчатую структуру ткани зонтика
или палатки.
4.6.4. Смачивание. Явление, наблюдаемое на границе соприкосно-
вения жидкостей с твердыми телами и другими жидкостями, называют
смачиванием. Оно обусловлено взаимодействием молекул на границе
существования трех фаз (твердой, жидкой и газообразной) и характе-
ризует растекание жидкости по поверхности твердого тела. На рис. 4 J7
схематически показаны три случая смачивания при нанесении капли
жидкости на поверхность твердого тела. Линию, ограничивающую
поверхность раздела твердого тела и смачивающей жидкости, назы-
вают периметром смачивания. Стационарное состояние смачивающей
л/^///////////////7^/Л
а
Рис. 4J7
жидкости, когда положение периметра смачивания не изменяется во
времени, характеризуют параметром
п о а2з — а13
Ь = cos и =--------------
а12
JL,
а12
где 0—краевой угол, образуемый касательными к поверхностям
жидкости и твердого тела, нормальными касательной к кривой перимет-
ра смачивания; о12, о13 и сг23 — поверхностное натяжение на границах
соответствующих фаз. Смачивание тем лучше, чем больше значение
₽= сг2з — а1з- При (Т23 > (Т13 + о12 жидкость неограниченно расте-
кается по поверхности твердого тела (рис. 4.17, а), т.е. наблюдается
полное смачивание. При о13 > о23 + о12 получим полное несмачива-
ние. В этом случае периметр смачивания стягивается в точку и
жидкость отделяется от твердого тела. Если выполняется условие
I а23 Q13 I а12»
то происходит либо частичное смачивание, когда краевой угол 0 <
£
JT
(рис. 4.17, б), либо частичное несмачивание, когда 0 > (рис. 4.17, в),
4.6.5. Капиллярные явления. В природе часто встречаются по-
ристые тела, объем которых пронизан множеством мелких каналов.
Такое строение имеют бумага, кожа, дерево, почва и многие строи-
тельные материалы. Вода или другая жидкость, попадая на такое тело,
впитывается в него или поднимается вверх на большую высоту. Так
поступает влага к стеблям растений, керосин к фитилю, промокатель-
ная бумага впитывает капельки чернил и т. п. Это возможно только
в том случае, когда жидкость смачивает поверхность вещества, из кото-
рого составлено пористое уело,. Явление, обусловленное поверхностным
натяжением и происходящее в тонких узких трубчатых каналах (ка-
пиллярах), называют капиллярным явлением.
В узкой цилиндрической трубочке, расположенной вертикально,
частично смачивающая жидкость ^0< i образует поверхность вогну-
157
той формы, а частично несмачивающая ^0 > —выпуклой. Изогнутую
в'лизи стенок сосуда свободную поверхность жидкости называют
мениском. Под вогнутым мениском появляется дополнительное давле-
ние, направленное вверх, а под выпуклым— направленное вниз. В пер-
вом случае уровень жидкости в капилляре устанавливается выше уров-
ня свободной поверхности, во втором — ниже его. Дополнительное
давление Др пропорционально поверхностному натяжению жидкости
с и обратно пропорционально радиусу кривизны мениска R (закон
Лапласа):
Ар=-^-- (4.113)
В случае произвольной поверхности справедливо соотношение '
= l + ’ (4,114)
где R2 — радиусы главной кривизны мениска. Для плоской по-
верхности Др == 0.
Жидкость в капиллярной трубке поднимается на такую высоту,
чтобы избыточное давление в пей было уравновешено давлением столба
жидкости. Эта высота тем больше, чем больше поверхностное натя-
жение и чем меньше радиус трубки и плотность жидкости. Если ра-
диус внутреннего сечения трубки г, плотность жидкости р, а уско-
рение свободного падения g, то
, 2а cos 0
п —--------.
Здесь 0 — краевой угол. Насыщенный пар над искривленной поверх-
ностью мениска оказывает дополнительное давление
где рн — плотность насыщенного пара; рж— плотность жидкости;
Др — дополнительное давление, обусловленное кривизной поверх-
ности раздела жидкость — пар. Это давление определяется формулами
(4.113) и (4.114).
Под действием внешних сил происходит искривление свободной
поверхности жидкости, что приводит к появлению на ней «ряби» —
коротких поверхностных волн длиной % < = 2л Vо/gp, где g —
ускорение свободного падения, р — плотность жидкости, которые
называют капиллярными волнами.
4.6.6. Адсорбция и абсорбция. Явление, аналогичное смачива-
нию, наблюдается при соприкосновении твердой и газообразной фаз.
Это возможно, когда силы взаимодействия молекул твердого тела и
газа велики и твердое тело в газе покрыто слоем его молекул. Явле-
ние захвата молекул газа в результате их взаимодействия с молеку-
лами поверхности твердого тела (жидкости) называют адсорбцией.
Количество адсорбированного газа зависит от природы, свойств газа
и твердого тела и пропорционально поверхности твердого тела. Поэтому
пористые вещества обладают большой адсорбционной способностью.
Свойство активированного угля (освобожденного прокаливанием от смо-
листых примесей) адсорбировать газ используется в противогазах.
158
В более общем смысле адсорбцией называют явление 'аномально
высокой концентрации газообразного или жидкого вещества (адсорбата)
на поверхности его раздела с жидкостью или твердым телом (адсорбен-
том). Различают адсорбцию физическую (обратимую) и химическую
(хемисорбцию). Физическая адсорбция при данной температуре проис-
ходит с определенной скоростью и не сопровождается химическими
изменениями молекул адсорбата. Одновременно часть их может поки-
дать поверхность адсорбата, так что с некоторой скоростью происхо-
дит процесс десорбции. При равенстве скоростей адсорбции и десорбции
наблюдают адсорбционное равновесие. С повышением температуры
уменьшается количество молекул, находящихся в адсорбционном рав-
новесии. Процесс хемисорбции сопровождается образованием хими-
ческих связей между молекулами адсорбата и адсорбента. С ростом
температуры скорость хемисорбции обычно увеличивается.
Процесс адсорбции сопровождается выделением теплоты, которую
называют теплотой адсорбции Л<|Д. Для физической адсорбции значе-
ние Лад обычно составляет от 8 до 25 кДж/моль, а для хемисорбции
оно превышает 80 кДж/моль. Явление адсорбции играет важную
роль в процессах теплообмена, разделения газовых и жидких смесей,
а также в химической промышленности, например, для улавлива-
ния полезных или вредных газов, ускорения химических реакций
(катализ).
Объемное поглощение вещества из газовой смеси жидкостью или
твердым телом называют абсорбцией. Определяется она растворимостью
атомов газа в объеме жидкости или твердого тела и зависит от их диф-
фузии, а значит, от температуры. Скорость абсорбции определяется раз-
ностью концентрации газа в жидкости и газовой смеси. Явление аб-
сорбции используют для разделения газов, а также в производстве
кислот, соды и т. п.
4.6.7. Сверхтекучесть гелия. Наиболее распространенный в при-
роде стабильный изотоп 4Не находится в жидком состоянии при давле-
ниях насыщенных паров и температурах ниже критической Т — 5,2 К.
При нормальном давлении и Ткпп ~ 4,44 К он кипит, а при давлении
выше 2,5 • 10G Па затвердевает. Это обусловлено слабым взаимодейст-
вием между атомами 4Не, их малой массой и тем, что длина волны де
Бройля этих атомов, вычисленная из энергии их теплового движения
при температуре 2—3 К, оказывается сравнимой с межатомными рас-
стояниями. Поэтому изотоп 4Не (как и 3Не) представляет собой кванто-
вую жидкость, амплитуда нулевых колебаний в которой порядка рас-
стояния между ее атомами, так что гелий в нормальных условиях
остается жидким вплоть до абсолютного нуля температур. При Т\ =
= 2,17 К и давлении насыщенного пара 4Не испытывает фазовый пере-
ход второго рода в состояние со специфическими квантовыми свойст-
вами, основным из которых является сверхтекучесть— свойство кванто-
вой жидкости протекать через узкие щели и капилляры без трения.
Гелий при температуре ниже называют Не II, а выше — Не I.
При температуре перехода наблюдается излом на температурной зави-
симости плотности гелия и аномалия теплоемкости типа Л-точки. С уве-
личением давления температура перехода понижается. Теплопровод-
ность Не II в несколько миллионов раз превышает теплопроводность
Не I, которая равна 4,2 Дж/(К. м. с.). Свойства сверхтекучести
4Не были исследованы П. Л. Капицей, а теория сверхтекучести Не II,
получившая название двухжидкостной гидродинамики, создана
Л. Д. Ландау. Согласно этой теории Не II можно представить состоя-
нием из смеси двух взаимно проникающих и обладающих разной плот-
ностью жидкостей (компонентов): сверхтекучей с плотностью р5 и
159
нормальной с плотностью prt, причем ps + = р — общая плотность
Не II. Движение первого компонента происходит без трения, а вто-
рого— характеризуется вязкостью. Таким образом, при Т < 7\ в
Не II могут происходить два движения с разными скоростями. Если
Т Tfc то Р,- О» и сверхтекучесть исчезает. В Не II наблюдают
термомеханический эффект (эффект фонтанирования), состоящий в
появлении разности давлений при наличии разности температур, что
связано с выравниванием плотности сверхтекучего компонента, сво-
бодно протекающего в направлении нагретой части жидкости. Обрат-
ный эффект — охлаждение Не II при продавливании его через узкие
щели или капилляры — называют механокалорическим. При этом тем-
пература оставшейся в сосуде жидкости повышается, так как вытека-
ет, главным образом, сверхтекучий компонент, который не несет теп-
лоты. Теория сверхтекучести Ландау основана на том, что свойства Не II
обусловлены характерными особенностями его элементарных возбуж-
дений (квазичастиц).
Энергетический спектр Не II яв-
ляется бозе-спектром, так что элемен-
тарные возбуждения, которые отсут-
ствуют в основном состоянии (при
Т — 0), могут при Т > 0 появляться
и исчезать поодиночке, имея цело-
численный момент. Длинноволновые
квазичастицы (фононы) в Не II обла-
дают энергией е, линейно зависящей
от их импульса р. Равновесное рас-
пределение возбуждений пр в бозе-
жидкости определяется статистикой
Бозе с равным нулю химическим по-
тенциалом:
«р = {ехр [Вр/йТ] — I}-1.
Линейный (фононный) закон дисперсии квазичастиц справедлив
лишь для случая hl2np d, где h — постоянная Планка; р — значе-
ние импульса квазичастицы; d — межмолекулярное расстояние.
В жидком гелии закон дисперсии элементарных возбуждений опи-
сывается сложной кривой (рис. 4.18), которая имеет максимум емак0
и минимум емин. Большинство элементарных возбуждений в жидком
Не II имеет значения энергий, приближающиеся к минимуму: Д =
= емин (р0). С точностью до слагаемых второго порядка по малой раз-
ности др ~ р— р0 энергия таких квазичастиц, называемых ротонами,
определяется формулой
В-Л + ».
2тЛ
где Д, /и* — постоянные, эмпирические значения которых и величины
р0 такие: Д/& = 8,6 К; %lpjh == 1,9 < 108 см-1; т* = 0,16 т (4Не).
Здесь k — постоянная Больцмана; т (аНе) — масса атома 4Не.
Особенностями энергетического спектра жидкого Не II объясняют
явление сверхтекучести. Так, если жидкость (при Г = 0) движется со
скоростью V, то элементарные возбуждения с энергией 8 и импульсом
р возможны лишь при изменении энергии жидкости
ДЕ = 8 + р • V.
160
При этом должно выполняться условие < 0, т. е. е + р • v < О,
которое не может быть выполнено, если
v < min ~ М (4.115)
Р
(критерий Ландау).
Из спектра Не II (см. рис. 4.18) видно, что Л4 > 0, следовательно,
при выполнении неравенства (4.115) элементарные возбуждения в
жидкости, движущейся со скоростью v, не будут появляться. При этом
движение жидкого Не II происходит без рассеяния энергии, чем объяс-
няется его сверхтекучесть.
При низких температурах (Г < 7\), но отличных от абсолютного
нуля, в Не II происходят элементарные возбуждения, которые образу-
ют газ из невзаимодействующих квазичастиц (бозонов), однако если
жидкость движется со скоростью, меньшей критической, то согласно
особенностям спектра Не II появление новых бозонов невозможно.
Газ элементарных возбуждений о!:ень слабо взаимодействует со стен-
ками сосуда, так что возникает небольшое трение и создается ничтожно
малая вязкость, обусловленная разреженным газом квазичастиц. Для
объяснения этого можно использовать упомянутую выше двухкомпо-
нентную модель: будто одна часть массы ведет себя как нормальная
жидкость, а другая обладает свойством сверхтекучести. По мере на-
гревания Не II растет число элементарных возбуждений и увеличива-
ется масса нормальной жидкости. При температуре масса сверхте-
кучей составляющей становится равной нулю и Не II переходит в Не I.
При температуре 2,6 • 10-6 К и давлении 3,4 • 106 Па становится
сверхтекучим 3Не, свойства которого существенно отличаются от
свойств сверхтекучего 4Не, поскольку в этом случае 3 Не образует кван-
товую ферми-жидкость.
4.7. КРИСТАЛЛИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ
4.7.1. Симметрия кристаллов. Большинство твердых тел имеет
кристаллическое строение. Кристаллами называют твердые тела, атом-
но-молекулярная структура которых состоит из упорядоченно распо-
ложенных атомов (молекул), образую-
щих определенную для данного вещест-
ва периодическую кристаллическую ре-
шетку. Для описания кристаллической
структуры вещества достаточно задать
расположение атомов в элементарной
ячейке (рис. 4.19), а затем параллельно
перенести эту ячейку в трех направле-
ниях: а, Ь, с,образуя весь кристалл.
Атомы в кристаллических решетках
периодически повторяются в трех поло-
жениях равновесия, причем периоды,
которые называют постоянными решетки, обычно составляют несколько
ангстрем (1 А = 10~10 м).
Физические (механические, тепловые, электрические, оптические
и др.) свойства кристаллических твердых тел зависят от направления,
т. е. анизотропны. Анизотропия свойств проявляется у единичных
кристаллов (монокристаллов).
Твердые тела, состоящие из многочисленных сросшихся между
собой мелких кристалликов, взаимная ориентация которых в большин-
стве случаев произвольная, называют поликристаллами. Анизотропия
6 5-1472
161
их свойств выражена слабо или отсутствует совсем, однако в пределах
одного кристаллика анизотропия сохраняется.
При некоторых пространственных перемещениях (трансляциях,
поворотах и зеркальных отражениях) кристаллическая решетка сов-
падает сама с собой, т. е. обладает свойством симметрии. При рассмот-
рении свойств симметрии кристаллической решетки ее считают беско-
нечно протяженной. Граничные эффекты на поверхностях твердых
тел требуют специального рассмотрения.
Осью симметрии п-го порядка кристаллической решетки называют
ось, поворот вокруг которой на угол
пр вводит ее к положению, физически не отличающемуся от начального.
В кристаллах возможны оси симметрии второго, третьего,четвертого
и шестого порядков.
Плоскостью симметрии кристаллической решетки называют плос-
кость, зеркальное отражение относительно которой совпадает с решеткой.
Е. С. Федоров показал, что возможны 230 комбинаций элементов сим-
метрии, которые называют пространственными группами.Их разби-
вают на 32 класса, а последние группируют в семь кристаллографиче-
ских систем (сингоний). Специальную координатную систему, опреде-
ляющую элементарную ячейку с помощью периодов идентичности
в трех измерениях (векторов а, Ь, с) и трех углов между ними (а, р, у),
называют кристаллографической системой координат (см. рис. 4.19)*
В порядке возрастания симметрии различают системы:
я
1) триклинную (а =£ b =£ с, у g-),
2) моноклинную [а Ф b с, а = у ~ л/2, Р =£ — j,
3) ромбическую (а =£ b =£ с, а = р = у = л/2),
4) тетрагональную (а — b =£ с, а — = у — л/2),
5) ромбоэдрическую, или тригональную (а — b = с, ос = Р = у =А
¥= л/2),
6) гексагональную
(, . л _ л 2л ।
а= b с, а=р = --, у =
7) кубическую (а — b — с, ос = р — у ~ л/2).
4.7.2. Типы кристаллов. Различают четыре типа кристаллов, силы
взаимодействия атомов (поновили молекул) которых имеют разный
характер.
Ионные кристаллы, в узлах кристаллической решетки которых
располагаются ионы разных знаков, характеризуются в основном
электростатическими (кулоновскими) силами взаимодействия разно-
именно заряженных ионов. Такую связь называют гетерополярной
(или ионной). Вклад в энергию решетки U в этом случае может быть
определен по формуле Борна—Майера
(4.116)
где е — заряд электрона; d — расстояние между’ ионами; А — кон-
станта, которую называют постоянной Маделунга. Второе слагаемое
в уравнении (4.116) представляет собой эмпирическое выражение,
учитывающее силы отталкивания между ионами. Постоянные Вир
находят по измерению сжимаемости. Па рис. 4.20 показаны ионные
кристаллические решетки NaCl (a), CsCl (б) и CaF2 (в).
162
Атомные кристаллы, в узлах кристаллической решетки которых
размещены нейтральные атомы, характеризуются пространственно
направленными связями электрической природы, называемыми кова-
лентными (или гомеополярными). При этом у атомов, имеющих неза-
полненные (ns + пр)-оболочки, происходит обобществление электро-
нов, необходимых для заполнения этих оболочек, так что, например,
атомы N-н группы периодической системы элементов могут образовать
(8 — А') ковалентных связей. Существуют определенные угловые соот-
ношения между отдельными ковалентными связями, которые зависят
от числа и типа электронов, участвующих в образовании связи. Атом-
ные кристаллические структуры имеют алмаз и графит (рис. 4.21, а
и б соответственно). Полупроводниковые кристаллы германия и крем-
ния также являются структурами с ковалентными связями.
Металлические кристаллы, в узлах кристаллической решетки
которых расположены положительные ионы, характеризуются нали-
чием коллективизированного электронного газа, образованного из
внешних (валентных) электронов атомов металла. С помощью электро-
статических сил взаимодействия с электронным газом происходит урав-
новешивание сил отталкивания
ионов и стабилизация Кристал- <j>
лической решетки (при рассто- I
яниях между ионами, равными ?
периоду решетки). I О. ]1о-о-L-6L
Составляющие энергии
кристалла, обусловленные си- Г
лам и металлической’ связи,
можно представить в виде
иы~ — — +-Ё- + — > (4.117) а
м Vх/* »7з и
Рис 4 21
где v — объем, приходящийся
на один атом (атомный объем);
А, В, С — постоянные. Первое слагаемое в выражении (4.117) опреде-
ляет потенциальную энергию свободных электронов, второе — их ки-
нетическую энергию, а третье — кинетическую энергию связанных
электронов в низких энергетических состояниях.Кристаллические ре-
шетки большинства металлов делятся на объемно-центрированные
кубические (ОЦК), гранецентрированные кубические (ГЦК) и гексаго-
нальные плотно у пакованные (ГПУ). Структуры этих решеток показаны
на рис. 4.22, а, б и в соответственно. Наиболее плотная упаковка оди-
наковых атомов осуществляется в ГЦК и ГПУ решетках.
0=
163
Молекулярные кристаллы) в узлах кристаллической решетки кото-
рых расположены определенным образом ориентированные молекулы,
характеризуются силами взаимодействия Ван-дер-Ваальса, связан-
ными со взаимной поляризацией молекул. Вклад этих сил в энергию
решетки UB определяется формулой
_ З/tVp ЗЛу0««
В” 2л 8nd« ’
(4.118)
где v0 — частота колебаний молекул; а — постоянная, определяемая
их поляризуемостью; Л — постоянная Планка; d — расстояние между
молекулами. Первое слагаемое в формуле (4.118) выражает энергию
изолированных молекул, а второе — энергию взаимодействия соседних
молекул в кристалле. Молекулярными кристаллами являются обычный
лед, а также водород, азот, кислород и углерод.
Рис. 4.22
Классификация кристаллов по типам связей очень условна. Мно-
гие твердые тела, например висмут, мышьяк, сурьму, трудно отнести
к какому-либо одному типу связи. В реальных кристаллических струк-
турах наблюдаются отклонения от идеальной кристаллической решетки,
обусловленные присутствием различных дефектов (точечных, ли-
нейных, поверхностных и объемных). Более сложную структуру могут
иметь твердые растворы внедрения и замещения, в частности упорядо-
чивающиеся сплавы, образующие различного рода сверхструктуры.
4.7.3. Тепловое расширение твердых тел. При нагревании твердые
тела расширяются, а при охлаждении сжимаются. В монокристалли-
ческих материалах даже при равномерном нагревании расширение
в разных направлениях может оказаться разным, что приводит к изме-
нению формы тела. Однако у большинства поликристаллических тел
форма при равномерном изменении температуры практически не изменя-
ется. Увеличение линейных размеров твердых тел при повышении тем-
пературы называют линейным расширением. Если изменение темпера-
туры не очень велико, то линейное расширение прямо пропорционально
температуре тела. Таким образом, длина тела /, нагретого до темпе-
ратуры t, определяется с помощью соотношения
//== Zo (1 + a/), (4.119)
где /0 — длина тела при t — О °C; а — коэффициент линейного расши-
рения, который определяет долю начальной длины, на которую удли-
няется тело при нагревании его на 1 °C. Коэффициент линейного расши-
рения а имеет различные значения для разных материалов.
164
Если тело состоит из двух или нескольких материалов, то при его
нагревании возникают упругие напряжения, приводящие к деформа-
ции или разрушению. Поскольку величина деформации зависит от
температуры, то такое тело можно использовать в качестве индикатора
температуры (например, термометр из биметаллических спиралей,
реле терморегулятора из биметаллических пластин и т. п.).
При неравномерном нагревании (или охлаждении) твердого тела
в нем возникают внутренние упругие напряжения, которые могут вызы-
вать трещины и приводить к разрушению. В результате неоднородной
деформации стеклянный сосуд с толстыми стенками лопается, если в
него налить горячую воду. Сосуды из кварцевого стекла не разруша-
ются при неравномерном нагревании (или охлаждении), так как коэф-
фициент линейного расширения его очень мал. Способность тела рас-
ширяться при нагревании учитывается в технике. Детали и механизмы
рассчитываются с учетом опасных напряжений и нежелательных де-
формаций (поэтому оставляют зазоры в стыках железнодорожных рель-
сов, создают специальные компенсаторы, изгибающиеся при удлинении
труб паропровода).
Тепловое расширение одновременно изменяет линейные размеры
твердого тела и его объем. Коэффициент объемного расширения р
показывает, на какую долю по сравнению с первоначальным Уо (при
t — О °C) увеличился объем тела при нагревании на 1 °C. Объем тела V,
нагретого до температуры t, можно вычислить по аналогичной (4.119)
формуле
V, = Vo (Ц- ₽/)•
Если твердое тело расширяется при нагревании одинаково по всем
направлениям, то между коэффициентами линейного и объемного рас-
ширения существует зависимость р — За. Тепловое расширение объяс-
няется ангармонизмом колебаний атомов в кристаллических решетках.
4.8. ФИЗИЧЕСКАЯ КИНЕТИКА
4.8.1. Неравновесные процессы. В природе помимо обратимых
и равновесных процессов, которые изучают в термодинамике и стати-
стической физике, происходят еще процессы, возникающие при нару-
шении равновесия. Их называют неравновесными процессами. Микро-
скопическую теорию процессов в статистически неравновесных системах
называют физической кинетикой. Различают феноменологическую кине-
тику или термодинамику неравновесных процессов, в которой рас-
сматривают законы изменения параметров в неравновесных процессах,
и статистическую кинетику, в которой с помощью функций рас-
пределения молекул определяют кинетические коэффициенты этих
процессов. Неравновесными являются процессы теплопроводности,
диффузии, внутреннего трения, а также различные термоэлектрические
явления (например, явления Зеебека, Пельтье и Томсона), обуслов-
ленные связью между тепловыми и электрическими процессами в
проводниках.
При рассмотрении неравновесных процессов изучают потоки,
определяемые как количество вещества, проходящее через некоторую
поверхность в единицу времени. Например, потоки жидкости через
поперечное сечение трубы, света через линзу, элементарных частиц
через отверстие и т. п. Обычно исследуют случай небольших отклоне-
ний системы от равновесного состояния, который характеризуется
градиентами температуры уТ и химического потенциала ур. Здесь
165
ат аг
дх dy ~r"
, дТ
,£-^>где
i, j, к-—единичные взаимно перпен-
дикулярные векторы.
4.8.2. Уравнение теплопроводности. При наличии градиента тем-
ператур возникает поток энергии, стремящийся выравнять темпера-
туру,'?. е. происходит процесс распространения теплоты от более на-
гретых элементов тела к менее нагретым. При сохранении числа моле-
кул в среде из закона сохранения энергии следует уравнение тепло про-
вод нести
(1.120)
_ д2Т . д2Т , д2Т
где v2^ = +“Т^-
дх2 ду2 1 dz-'
оператор Лапласа, действующий на
Т\ и — коэффициент теплопроводности; с — теплоемкость единицы
объема. Уравнение (4.120) можно решить, если заданы начальные
и граничные условия. В изотропной среде, структура и свойства ко-
торой одинаковы по всем направлениям, вектор плотности теплового
потока (поток через единицу поверхности) q совпадает по направлению
с нормалью к поверхности при постоянной температуре в каждой ее
точке и имеет вид (закон Фурье)
q — — Х'рТ.
(4.121)
Уравнение (4.121) приближенное и справедливо с достаточной точ-
ностью, когда относительное изменение_температуры на расстоянии,
равном средней длине пробега молекул /, мало по сравнению с едини-
цей, т. е.
дх
и, как показано экспериментально, верно для большинства веществ
в газообразном,жидком и твердом состояниях (кроме жидкого Не II),
причем значение х изменяется в зависимости от температуры и давле-
ния. Для газов
*г =
где рг —плотность газа; cv — удельная теплоемкость газа при постоян-
ном объеме; v — средняя арифметическая скорость движения молекул.
Для жидкостей
Здесь рж— плотность жидкости; ср — теплоемкость жидкости при по-
стоянном давлении; us — скорость звука в жидкости; L — среднее меж-
молекулярное расстояние. Процессы теплопроводности в твердых телах
очень сложные. Например, для металлов
X = Ид + ие,
где xL — решеточный, а хе — электронный коэффициенты теплопровод-
ности. При обычных температурах хе > В приближении свободных
электронов из теории следует, что
I k\2
хе = 2(^-1 оТ. (4.122)
166
Здесь k постоянная Больцмана; е — заряд электрона; а — электро-
проводность металла. Уравнение (4.122) эквивалентно закону Виде-
мана—Франца. Строгие кваптовомехаиические расчеты дают в уравне-
нии (4.122) вместо числового коэффициента 2 постоянную я2/3.
4.8.3. Диффузия. Явление, когда в результате теплового движения
происходит самопроизвольное взаимное проникновение соприкасаю-
щихся различных веществ одного в другое, называют диффузией. Она
обычно происходит в направлении уменьшения концентрации вещест-
ва и приводит к равномерному их распределению в объеме.
Примером диффузии в газах служит распространение запахов
в воздухе при отсутствии прямого перемешивания. Аналогичное яв-
ление наблюдают в жидкостях и твердых телах. Если вначале есть чет-
кая граница раздела между двумя жидкостями с разной плотностью
(раствором медного купороса, налитого в стакан, и водой), то с тече-
нием времени происходит ее размытие в результате проникновения мо-
лекул одной жидкости в другую. У соединенных хорошо отполирован-
ных пластинок свинца и золота, находящихся при комнатной темпе-
ратуре под грузом в течение длительного времени (около 5 лет), проис-
ходит сцепление за счет взаимопроникновения их атомов через поверх-
ность раздела, обусловленного диффузией. Такое взаимное проникно-
вение веществ связано с тепловым движением атомов и молекул вещест-
ва. С течением времени глубина проникновения молекул в «чужое»
пространство увеличивается, причем эта глубина существенно зависит
от температуры.
При сохранении числа частиц в изотропной среде и наличии гра-
диента концентрации \с уравнение диффузии имеет аналогичный урав-
нению теплопроводности вид (второй закон Фика)
А п
(4.123)
где с — концентрация; D — коэффициент диффузии. В результате
диффузии в изотермических условиях происходит выравнивание хими-
ческих потенциалов. Значение потока каждого Z-ro компонента Д в мно-
гокомпонентной системе определяется формулой
i
(4.124)
где коэффициенты Ьц симметричны относительно перестановки индек-
сов (L.j — L..). При одномерной диффузии в идеальных растворах,
когда внешние силы равны пулю, уравнение (4.124) упрощается;
(4.125)
Здесь Di — коэффициент диффузии Z-ro компонента.
Уравнение (4.125) называют первым законом Фика. Пренебрегая
всеми Ьц{, кроме случая I ~ kf получаем
р ^7^-Л + SlnyiA
4 -С[ \ 1 d]ncj v '
где — коэффициент активности. Величину ц/ = называют по-
движностью.
167
Решение уравнения (4.123) для полубесконечного стержня, на
торец которого в начальный момент t = 0 нанесено диффундирующее
вещество, имеет вид
с (х, /) = exp
VnDt
Здесь с0 — количество диффундирующего вещества на единицу площа-
ди торца стержня; х — расстояние по нормали к торцу.
В широком интервале температур экспериментально измеряемые
значения коэффициентов диффузии в большинстве случаев можно
описать соотношением
Г Q]
D = Do exp I — I,
(4.127)
где энергия активации Q и предэкспоненциальный множитель £>0 не
зависят от температуры. Если Q зависит от температуры, то
д (In D) __ Q
дТ ~ kt'
и экспериментально определяемая энергия активации
Согласно уравнению Эйнштейна
где 6, т — средние значения элементарного акта блуждания при диф-
фузии и времени такого блуждания. Коэффициент х* зависит от меха-
низма диффузии.
Для газов коэффициент самодиффузии
n 1 /2л - „
Do = g- рл = —— w2n0.
Здесь v — средняя скорость молекул; Л. — длина свободного пробега;
а — эффективный диаметр молекул; — число молекул в единице
объема. Коэффициент самодиффузии изменяется с температурой про-
порционально УТ в изохорных процессах (V = const) и пропорцио-
нально приблизительно Т (от Т 1,7 до Т2) в изобарных (р = const).
Кроме того, Dq обратно пропорционально давлению газа. Для жидкостей
температурная зависимость D обычно определяется формулой (4.127),
причем энергия активации в большинстве случаев принимает зна-
чения (5—0,5) • 106 Дж/кг . атом, а предэкспоненциальный множитель
Dq — значения 1 —10~4 см2/с.
Диффузия в электролитах характеризуется разной подвижностью
ионов. Например, для двухкомпонентного электролита коэффициент
диффузии
где R — универсальная газовая постоянная; Т — абсолютная темпе-
ратура; ц+ и — подвижности катиона и аниона; F — 96484,56(27)
168
Кл/моль — число Фарадея. На границе соприкасающихся растворов,
отличающихся составом, возникает разность электростатических по-
тенциалов, обусловленная разной подвижностью ионов (диффузионный
потенциал). Для двух растворов одинакового состава, но отличающихся
содержанием одного из компонентов (сх или с2), диффузный потенциал
«_-и+ RT ( С1\
Д"Ф и+ nF \ cj
где п — за рядность иона.
При диффузии в твердом теле с использованием соотношения между
коэффициентами Ьц и подвижностью атомов /-го сорта up.
Ьц — N
(Ni — число атомов г го сорта в единице объема) из уравнения (4.126)
для коэффициента диффузии атомов f-го сорта получаем
D[ — uikT
1
I д(1пу/)1
г d (In J
(4.129)
Здесь — коэффициент активности атомов f-го сорта; С[
носительная концентрация атомов г-го сорта; N —общее число атомов
в единице объема. Если у. не зависит от q, то из уравнения (4.129)
следует соотношение Эйнштейна между коэффициентом диффузии и под-
вижностью:
Di = uikT.
Для твердых растворов замещения возможны различные механизмы
диффузии: прямой обмен двух соседних атомов; движение атомов по
междоузлиям; обмен атомов местами с соседней вакансией;одновремен-
ное согласованное движение нескольких атомов по замкнутой траекто-
рии (кольцевой механизм). Температурная зависимость коэффициента
диффузии для каждого из них описывается уравнением (4.127) с раз-
личными значениями параметров £>0 и Q. Для металлов более вероятны
вакансионный и кольцевой механизмы. При взаимной диффузии DZ/. =
== D£Cj + DjCi называют коэффициентом взаимной диффузии атомов
сорта i и /,. a D£ и D £ — парциальными коэффициентами диффузии.
Обычно Dt =£ D j ив направлении диффузии компонента с более вы-
соким коэффициентом диффузии возникает поток вещества, а в обрат-
ном направлении (при вакапсионпом и междоузельном механизме диф-
фузии) — поток вакансий. В результате наблюдается макроскопиче-
ское течение вещества как целого со скоростью
v = (£). —о
' 1 I дх
которое называют эффектом Киркендалла. На диффузию в твердом
теле существенное влияние оказывают структурные несовершенства,
особенно дислокации, мозаичная и зеренная структура, а также раз-
личные примеси.
4.8.4. Вязкость (внутреннее трение). Сопротивление среды ее
движению под действием внешних сил называют внутренним трением.
При движении слоев жидкости или газа с неодинаковой скоростью
между ними возникает сопротивление перемещению одной их части от-
носительно другой. Это свойство текучих веществ называют вязкостью.
169
Тангенциальная сила (сила трения), вызывающая сдвиг одного
слоя вещества относительно другого, определяется по формуле
где т] — коэффициент внутреннего трения (или вязкости)\ v — ско-
рость движения одного слоя относительно другого; d — расстояние
между слоями; S —. площадь соприкосновения. Коэффициент 1] опре-
деляется касательной силой, которую необходимо приложить к еди-
нице площади сдвигаемого слоя, чтобы в нем произошло ламинарное
течение с равной единице скоростью относительного сдвига. Силу тре-
ния между слоями можно еще записать так:
г I du I о
о du
Здесь —скорость изменения скорости жидкости или газа в направ-
лении г, которое перпендикулярно поверхности действия силы трения.
Для газов
= 4 Ц хр,
о
где v— средняя скорость теплового движения молекул; к— длина
свободного пробега; р — плотность газа. Для идеальных газов коэффи-
циент т| не зависит от давления и зависит от температуры как YT,
Для жидкостей и твердых тел он обратно пропорционален коэффициен-
ту самодиффузии:
I W \
n==X(r)exp^J. (4.130)
Здесь предэкспоненциальный множитель А (Т) слабо зависит от Т;
W — энергия активации вязкого течения, определяемая периодом ре-
лаксации упругих касательных напряжений. Из формулы (4.130)
следует, что коэффициент т] резко уменьшается с повышением темпе-
ратуры.
Внутреннее трение в твердых телах имеет сложную природу и оп-
ределяется процессами, вызванными превращением механической
энергии в тепловую при деформации, т. е. неупругостыо, связанной
с релаксацией, или вязким сопротивлением течению, аналогичным
вязкости жидкости.
4.9. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
4.9.1. Основные понятия. Поведение большого количества частиц,
которые подчиняются законам квантовой механики, исследуют в раз-
деле физики, называемом квантовой статистикой. В квантовой ста-
тистике все одинаковые частицы принципиально не различимы одна
от другой, а состояние макроскопической системы не изменяется от
перестановки тождественных частиц (принцип неразличимости тож*
дественных частиц). Элементарный фазовый объем
ДГ = &х&укгАрх&р Арг
в соответствии с принципом неопределенности не может быть меньше
ft3, т. е.
170
где h — постоянная Планка. В любом фазовом объеме 6Г4- число кван-
товых состояний
о -6-‘-
Si Л»
Если в 6Г\- находится <5.VZ частиц, обладающих энергией из интервала
[V7f, Wi -|- diFJ, то эти частицы могут распределяться по 8g i состоя-
ниям.
4.9.2. Распределение Ферми—Дирака. Если система состоит из
невзаимодействующих частиц, заполняющих общий объем и имеющих
полу целый спин (фермионов), то согласно принципу Паули полная
волновая функция ее антисимметрична относительно перестановки
любых двух частиц. Такую систему называют идеальным ферми-газом.
Термодинамический потенциал Й для идеального ферми-газа имеет вид
Й =
йу, Йу — —kT In (1 exp
Г^~ g/ll
L kT Jj •
где суммирование no j ведется по всем состояниям частиц в данном
объеме; р — химический потенциал; в у — энергия частицы в /-м со-
стоянии; /г — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура.
Функция распределения Ферми—Дирака Tij определяется как сред-
нее число заполнения в /-м состоянии:
-
tll др
При больших энергиях
(4.131)
в, — р
-V-»1
приближенно
т. е. распределение Ферми—Дирака в области высоких энергий ана-
логично классическому распределению Больцмана (см., например,
формулу (4.23) для р = 0). Следовательно, распределение Больцма-
на приближенно выполняется при в > 0 , если
ехр (—р//гТ) » 1. (4.132)
Для химического потенциала идеального газа справедливо соотноше-
ние
ехр (—р/ЛТ) = V/W,
где V/N — объем, приходящийся на одну частицу; X — длина волны
де Бройля частицы, обусловленная ее тепловым движением. Например,
для атомов газа атмосферы при нормальном давлении хорошо выполня-
ется условие (4.132), так что этот газ можно описывать классической
статистикой Больцмана. Для газообразного гелия при Т — 4 К и
нормальном давлении ехр (—р//гТ) 7, и классическое приближение
не очень надежно. Для электронов в металле при Т— 300 К имеем
ехр (—[i/kT)^ 10“4, т, е. классическое распределение не имеет смысла,
171
а необходимо применять распределение Ферми—Дирака. Если класси-
ческое распределение неприменимо, то распределение называют вырож-
денным.
Распределение (4.131) для вырожденного ферми-газа показано
на рис. 4.23 для абсолютного Пуля (кривая 1) и низких температур
Т ^TF~p/k~ EF/k (кривая 2). Здесь TF называют температурой
Ферми, a Ef — энергией Ферми.
4.9.3. Распределение Бозе—Эйнштейна. Система частиц с це-
лым спином (бозоны) обладает симметричными волновыми функ-
циями. Число частиц, находящихся в одном и том же состоянии, не
ограничено, а перестановка двух тождественных частиц не изменяет
состояние. Такую систему называют бозе-газом. Термодинамический
потенциал Q для идеального бозе-газа имеет вид
где Eq — энергия нижайшего состо-
яния системы; е,- — энергия t-го со-
стояния частицы.
Функция распределения Бозе—
Эйнштейна для средних чисел за-
полнения
_______1_______
ехр НН “1
При температуре ниже критической Т®, которую называют тем-
пературой вырождения, все частицы находятся в состоянии с нулевым
импульсом, т. е. происходит своеобразная конденсация частиц в про-
странстве импульсов. При этом в системе возможен фазовый переход
второго рода, который называют конденсацией Бозе—Эйнштейна
(бозе-конденсация). Температура перехода (вырождения)
к h2 / V \2/3
ГОБ^3,31 - ' т „t v К, ^==27+1,
° 4я2/Л^2/3 \ V j 6 1
где h — постоянная Планка; т — масса частицы; k — постоянная
Больцмана; N — число частиц; V — объем системы; J — спин части-
цы. Примером конденсации Бозе—Эйнштейна является переход Не I—
Не II при температуре Тц = = 2,17 К.
Для большинства газов температура вырождения очень мала, и
вещество переходит в твердое состояние раньше, чем наступает бозе-
конденсация.
Раздел 5
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
5.1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
5.1.1. Периодические движения. Часто можно наблюдать движе-
ния, которые точно повторяются во времени, например, равномерное
вращение тела, расположенного на окружности (любой точки на ободе
колеса, спутника вокруг Земли и т. п.), а также колебание струны,
ветвей дерева на ветру, маятника часов, корабля на волнах, движение
шатуна и поршня паровой машины и более сложные периодические
явления морских приливов и отливов, пульсации излучения звезд, пе-
ремещения ног и рук бегуна, биение сердца и т. п.
Движение, отдельные этапы которого повторяются во времени, на-
зывают периодическим. Периодические или почти периодические дви-
жения составляют широкий класс физических явлений, который охва-
тывает кроме механических процессов электрические и магнитные,
а также процессы, происходящие в атоме, твердых телах и т. п. Эти
процессы могут быть качественно разными по своей физической при-
роде (например, механические и электрические процессы), но описы-
ваться с помощью одинаковых количественных закономерностей.
Периодические явления и процессы играют важную роль в физике,
технике и живой природе.
Периодическое движение можно разделить на отдельные циклы
так, что после окончания одного из них начинается другой, точно сов-
падающий с предыдущим. Продолжительность одного цикла Т называ-
ют периодом. Например, при равномерном вращении периодом явля-
ется время, в течение которого вращающееся тело совершает один обо-
рот. В периодическом движении временную зависимость характери-
зующих его параметров можно представить в виде
S (t+ Т) - S (/). (5.1)
Часто периодическое движение совершается телом или частицей,
которая колеблется около положения равновесия. В более общем смысле
колебанием называют движение, которое совершается в ограниченном
объеме пространства. Например, материальная точка, обладающая
одной степенью свободы, совершая колебательное движение, не выхо-
дит за пределы некоторого конечного отрезка линии и многократно
проходит через одни и те же положения. При этом колебание может
не повторяться во времени, т. е. не быть периодическим. Колебание,
повторяющееся во времени, называют периодическим.
Число колебаний, совершаемых за 1 с, называют частотой. Меж-
ду периодом Т и частотой v существует простое соотношение
v == 1/7. За единицу частоты принят герц (Гц), равный одному циклу
в секунду. Циклическая или круговая частота периодических колеба-
ний со = 2jiv = 2л/Т.
Системы, в которых наблюдаются колебания, называют колеба-
тельными системами. Периодическое движение, возникнув в такой
173
системе, может осуществляться без постоянного воздействия внешних
сил длительное время. Свободными или собственными называют коле-
бания, происходящие в системе, на которую не действуют внешние
силы. У всякой механической системы, способной совершать свободные
колебания, есть устойчивое положение равновесия, вблизи которого
происходит колебательное движение. В положении равновесия потен-
циальная энергия такой системы минимальная, т. е. система на-
ходится в потенциальной яме (рис. 5.1). Например, в одномерном слу-
чае на малом участке вблизи положения равновесия, т. е. при малых
отклонениях х от этого положения, зависимость потенциальной энер-
гии от х можно описать параболическим законом
В механической системе возвращающая сила
случаем закона Гука. Наибольшее
весия при колебании называют
F = —hx, (5.2)
дх 4 '
Постоянную /г называют коэффи-
циентом упругости возвращающей
силы. Численно k равно силе, воз-
никающей при смещении на едини-
цу длины. Коэффициент k характе-
ризует упругие свойства колеба-
тельной системы, а формула (5.2)
является частным (одномерным)
отклонение от положения разно-
амплитудой. Колеблющееся тело
может быть закреплено в одной или нескольких точках так, что поло-
жение их остается неизменным в процессе движения. Всякое тело,
точка закрепления которого находится выше центра тяжести этого
тела, называют маятником. Устойчивое положение равновесия маят-
ника обеспечивается тогда, когда его центр тяжести находится на верти-
кали, проходящей через точку закрепления.
При изучении статистических процессов наблюдают случайные
колебания.
5.1.2. Гармонические колебания. Причиной колебаний являются
возвращающие силы, стремящиеся вернуть колебательную систему
в положение равновесия. Простейшее периодическое колебание,
которое совершается под действием силы, пропорциональной сме-
щению из положения равновесия (5.2), называют гармоническим ко-
лебанием. Сила F всегда направлена к положению равновесия, от ко-
торого отсчитывается смещение х. Поэтому сила F и смещение х про-
тивоположны по знаку.
Если масса тела т, ускорение движения этого тела а, то согласно
второму закону Ньютона а — Flm, т. е.
|а;
— х
т
Ускорение при гармоническом колебании прямо пропорционально
смещению из положения равновесия.
Гармонические колебания в одномерном случае описываются урав-
нением
х со’х = 0.
(5.3)
174
Систему, описываемую уравнением (5.3), где со2 — постоянная,
называют гармоническим осциллятором (или гармоническим вибрато-
ром), импульс которого р = тх связан со смещением х соотношением
а2 Р2
А2 г т2(о2А2
(5.4)
В координатной плоскости р, х, называемой фазовой, зависимость
(5.4) определяет эллипс с полуосями А и тсоА. График зависимости р
от х называют фазовой траекторией. С течением времени точка, соот-
ветствующая данному состоянию гармонического осциллятора, пере-
мещается от фазовой траектории по часовой стрелке, совершая один
полный оборот за период колебаний.
Площадь S, ограниченная фазовой траекторией (эллипсом), равна
полной энергии осциллятора, деленной па его частоту v:
n 1 /и оз2 А2 Е
— х--- — •
v 2 v
В общем случае
S = у р (х) dx.
Энергия гармонического осциллятора
Е = v J р (х) dx — vS.
Общее решение дифференциального уравнения гармонических колеба-
ний (5.3) выражается линейной комбинацией
х ~ Ai sin со/ + А2 cos со/, (5.5)
где Alf А2 — постоянные, которые определяются из начальных усло-
вий. Например, если известно, что смещение х (/ = 0) = х0 и скорость
х (/ = 0) = v0, то
Al — А2 ~ xQ,
Решение (5.5) можно записать в стандартном виде
х — A sin (со/ + <Ро)» (5.6)
где
А = V А2 + А2, ф0 = arctg (А2) .
Положительную величину А, определяющую наибольшее смещение
х, называют амплитудой колебаний. Функцию времени ср (/) = со/ +
+ фп называют фазой колебаний, постоянную ср0 — начальной фазой.
Если принять за начальную фазу
Фо -- Фо---2~ ’
то из формулы (5.6) получим
х — A cos (со/ + сро)•
175
Изменение скорости и ускорения гармонических колебаний под-
чиняется также гармоническому закону
х — Део cos (со/ + фо)»
х — —До2 sin (о/ + фо).
Разность фаз между скоростью х и смещением х всегда постоянна
л
и равна у, а между ускорением х и смещением х равная;.
Гармонические колебания можно наглядно представить с помощью
кругового движения. Каждому возможному значению смещения х со-
поставляют проекцию радиуса-вектора постоянной длины А на вер-
тикальный диаметр окружности 2Д, которая описывается концом этого
вектора при его вращении против часовой стрелки с постоянной угловой
скоростью со (рис. 5.2). Такое графическое изображение гармониче-
ских колебаний с помощью вращающегося с угловой скоростью со век-
тора, модуль которого равен амплитуде, называют методом векторных
диаграмм.
5.1.3. Сложение гармонических колебаний. Колебания, совершае-
мые в произвольной колебательной системе, в общем случае не явля-
ются гармоническими. Их часто удобно рассматривать как результат
наложения нескольких гармонических колебаний. Любое периодиче-
ское колебание, параметры которого описываются законом (5.1),можно
представить в виде ряда Фурье, т. е. в виде суммы бесконечного числа
гармонических колебаний с циклическими частотами, кратными основ-
2 л
нои циклической частоте со = — :
где
5 (!) = у + У [Д/г COS (neo/) + Вп sin (nd)t)], (5.7)
п=1
Т/2
2 С
Дп = у I S (t) cos (neo/) dt (п — 0, 1, 2, . . . );
—T/2
Г/2
2 c
Bn — | S (I) sin (neo/) dt (n = 1, 2, . . .).
-772
176
Такое описание S (f) называют гармоническим анализом сложного пе-
риодического движения. Отдельные слагаемые ряда Фурье (5.7) для зна-
чений п — 1, 2, ... называют первой, второй и т. д. гармониками,
а полный набор всех гармоник образует спектр колебания S (/). Перио-
дическая функция S (/) описывается дискретным набором кратных час-
тот /ко (п = 1,2, ...). Такой спектр называют дискретным (линейча-
тым) спектром частот.
Сложение двух гармонических колебаний одинакового направле-
ния, частоты которых равны ((Dj = со2 = (Оо), удобно проводить с по-
мощью векторной диаграммы (рис. 5.3). Два колебания
х, = sin (a>ot + <р01),
х2 = А2 sin ((£>ot + <р02)
можно представить в виде векторов Aj и А2 (см. рис. 5.3). Результи-
рующий вектор А вращается с той же угловой скоростью (Оо, т. е. в ре-
зультате сложения гармонических коле-
баний х± и х2 получается также гармо-
ническое колебание с циклической час-
тотой со0, амплитудой А — | А [и началь-
ной фазой ф0, где ,..j
А2 = А? + А% -|- 2AjA2 cos (Ф02 — Toi) >
sin ср01 + Л2 sin ф02
ё 0 Ai cos ф01 + Л.2 cos ф02 *
При ф02 — ф01 — 0 амплитуда А — Лх+
+ Л2, при ф02 — Фог = ±я амплитуда
Л = | Л1 — Л21.
Если частоты колебаний и х2 неодинаковые, то векторы Aj и А2
вращаются с разной скоростью, а результирующий А — с непосто-
янной скоростью и его модуль принимает пульсирующие значения.
В этом случае результирующее движение будет описывать сложный
колебательный процесс, который не сводится к одному простому
гармоническому колебанию.
5.1.4. Биения. Сложение двух гармонических колебаний одинако-
вого направления с близкими частотами приводит к колебанию с пуль-
сирующей амплитудой, которое называют биением. Уравнения этих ко-
лебаний с одинаковой амплитудой и начальной фазой имеют вид
хг = A sin ((Oi t),
х2 — A sin [((Ojl+ Ай))/],
где A(o — o2 — (o1 — разность их циклических частот. Результирую-
щее колебание описывается уравнением
х = Xi + ~ 2А sin
Если выполняется условие
(О ЕЕ (В р
. Д со
то (о-р —2~ ~ (о, а период изменения cos
тельно больше, чем Т ~ 2л/со.
Такое изменение по определенному закону какого-либо параметра
периодических колебаний называют модуляцией колебаний. В случае
биений происходит модуляция амплитуды колебаний (рис. 5.4),
оказывается значи-
177
5.1.5. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических коле-
баний. Если на материальную точку, перемещающуюся в трехмерном
пространстве, действует центральная сила
F = —J/Y,
где — постоянная величина, то точка движется по эллипсу, центр
которого совпадает с центром силы. При этом круговая частота
Рис. 5.4
Если сила имеет только две составляющие
Fx = -Ж^х,
Fy = — Жту, * Ж™,
то точка совершает колебания в направлении оси х с круговой частотой
т
а в направлении оси у с круговой частотой
Сложение этих колебаний приводит к тому, что материальная точка
движется в общем случае по трансцендентным траекториям, которые
называются фигурами Лиссажу. Если частоты колебаний в двух взаим-
но перпендикулярных направлениях совпадают ((ох = (02)> то уравне-
ние траектории результирующего движения материальной точки описы-
вается уравнением эллипса
-7Г + -ГТ - тт cos (<р2 — <рх) = sin2 (<р2 — ф2).
(5.8)
178
Такие движения называют эллиптически поляризованными колеба-
ниями. Направление осей эллипса (5.8) зависит от величин Alf А2
и <р2 — фр Если ф2 — ф! — (2/г + 1) у, где п — 0, ±1, ±2, ..., то
направления его полуосей и осей координат х, у совпадают, а урав-
нение траектории принимает вид
, I/2 1
А2 ' Д2
Если ф2 — ф1 == /ш, где п = 0, 1, 2, ...., то колебание происходит
вдоль прямой линии, которая проходит через начало координат и со-
ставляет с осью х угол
4 I А 2
ф = arctg cos /гл
Такое гармоническое колебание называют линейно по-
ляризованным.
5.1.6. Математический маятник. Простейшим при-
мером гармонических колебаний служит движение ни-
тяного маятника. Если груз, подвешенный на тонкой
нити, толкнуть так, чтобы амплитуда его колебаний
была мала, то под действием силы тяжести Р он будет
совершать гармонические колебания. Из рис. 5.5 вид-
но, что в положение равновесия груз возвращает сила
F = Р sin а,
где а — угол отклонения маятника из положения рав-
новесия. Если угол а мал, то можно считать, что дуга,
описываемая маятником при движении, приближенно
равна длине прямолинейного отрезка АВ, которую обо-
значим через х. Если длина нити маятника /, то для
малого угла
Рис. 5.5
Знаки х и F противоположны:
F = — £ X.
Таким образом, в случае малых колебаний (при а < 1) нитяной маят-
ник колеблется под действием силы, пропорциональной смещению маят-
ника и направленной к положению его равновесия, т. е. совершает
простое гармоническое колебание. При этом не учитываются трение
нити, ее упругость и вес. Такое рассмотрение справедливо для некото-
рой абстрактной модели математического маятника, под которым под-
разумевают материальную точку, подвешенную на тонкой нерастяжи-
мой и невесомой нити. Уравнение движения математического маятника
при а < 1 имеет вид
а + со2а — 0.
Период его колебания пропорционален корню квадратному из отноше-
ния длины маятника к ускорению свободного падения;
17,9
и не зависит от амплитуды колебания. Такое колебание называют изо-
хронным.
Для любых а уравнение плоского движения математического маят-
ника имеет вид
/а — —gsin а. (5.9)
Проинтегрировав по t уравнение (5.9), получим интеграл энергии:
у/2 (a* —a2) = gl (1 — cos а),
гдеа0 — угловая скорость в средней точке траектории. Если выполня-
ется неравенство
«о < 4g/l,
то имеются две точки поворота а — ±а, где "а — определяется из
уравнения
/ад = 4g sin2 (а/2).
Период таких негармонических колебаний маятника
Г =4///^/-
где
Я/2
W(k)= § [1 — k2 sin2 х]-|/2 dx
О
— полный эллиптический интеграл первого рода. Приближенно для
не очень больших значений а
7 = 2jl]/7[1 + Vin2(t) + r4sin4(?)+ •••]• (5J0)
Уравнение (5,10) дает возможность количественно определить отклоне-
ния от изохронизма при конечных амплитудах а. При а0 > 4g/1 маят-
ник проходит через высшую точку, расположенную над точкой подве-
са, и совершает полный оборот, а при а0 — 4g/1 он асимптотически
приближается к высшей точке в течение неограниченного интервала
времени.
5.1.7. Физический маятник. Твердое тело, закрепленное на не-
подвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр тя-
жести, которое имеет возможность качаться под действием силы
тяжести, называют физическим маятником. В пренебрежении силами
трения уравнение движения физического маятника имеет вид
Ja — — mgd sin а,
где а — отсчитываемый из положения равновесия угол поворота маят-
ника вокруг оси качания; J — момент инерции маятника относительно
этой оси; т — масса маятника; g — ускорение свободного падения;
d — расстояние от центра инерции с (который совпадает с центром тя-*
жести) маятника до оси качания О (рис. 5.6). Приведенная длина физи-
ческого маятника
I = J jmd
180
равна длине эквивалентного математического маятника, имеющего тот
же период, что и данный физический. При а < 1 движение физиче-
ского маятника описывается уравнением гармонического типа
а +—у— а = О,
а период гармонических колебаний
Т = 2л 1/ .
V mgd
Малые колебания физического маятника изохронны. Маятник можно
использовать как наиболее простой и удобный способ определения
ускорения свободного падения.
5.1.8. Упругие колебания пружинного ма-
ятника. При деформации твердых тел возни-
кает упругая сила, стремящаяся восстано-
вить первоначальную форму тела. Эта сила
пропорциональна смещению и является при-
чиной возникновения упругих колебаний
в твердых телах. Простейшим примером уп-
ругих колебаний могут служить колебания
пружинного маятника, состоящего из шарика,
закрепленного с обеих сторон с помощью спи-
ральных пружин. Если масса шарика зна-
чительно больше массы пружины, а деформа-
ция его в процессе колебаний мала (по сравне-
нию с амплитудой колебаний), то такой пру-
жинный маятник при небольших амплитудах
совершает гармонические колебания, период которых определяется
формулой
где m — масса шарика; k — коэффициент жесткости пружины, равный
силе, необходимой для растяжения пружины на 1 см. Период упругих
гармонических колебаний тем меньше, чем больше упругость системы,
и тем больше, чем больше колеблющаяся масса.
5.1.9. Превращения энергии при гармонических колебаниях.
Кинетическая энергия гармонического колебания
my2 тсо2Л2 _ . . ,
W = “2“ = —~ cos2 (со/ + ф0)
и потенциальная
X
тл \ С г / ч . znCd2*2 /72(О2Л2 . _ . . .
(7 (X) == — J F (х) dx = —— = —— sin2 (со/ + Фо)
о
периодически изменяются от нуля до (т<о2Л2)/2 с циклической частотой
2о) и сдвигом по фазе на л. Полная механическая энергия
E=W(x) + U(x)=
не зависит от смещения х и времени t и при гармонических колебаниях
остается постоянной.
181
При всяком колебании происходит переход потенциальной энер-
гии в кинетическую и наоборот. В положении, когда отклонение
от равновесия максимальное, скорость и кинетическая энергия маят-
ника равны нулю, а потенциальная имеет наибольшее значение. При
движении в направлении положения равновесия потенциальная
энергия маятника уменьшается и переходит в кинетическую. При этом
скорость движения увеличивается до тех пор,пока не будет достигнуто
положение равновесия. В этом положении скорость и кинетическая
энергия колебательного движения максимальны. Дальнейшее движе-
ние происходит с уменьшением скорости до нуля, когда отклонение
вновь становится максимальным. Если не учитывать трение, то макси-
мальные отклонения в разные стороны от положения равновесия равны
между собой. Далее движение происходит в обратном направлении,
повторяя в точности колебание первой половины периода в обратной
последовательности. Колебание, при котором амплитуда остается по-
стоянной и не зависит от времени, называют незатухающим.
5.1.10. Затухание. В реальных колебательных системах всегда
часть энергии колебания расходуется на работу по преодолению сил
внутреннего трения. При этом амплитуда колебаний по истечении оче-
редного периода уменьшается до тех пор, пока колебание вовсе не
прекратится. Такие колебания называют затухающими. Практически
все свободные колебания затухающие. Кроме работы по преодолению
сил трения часть колебательной энергии идет на создание колебаний
окружающей среды. Затухающие колебания не являются гармониче-
скими. Однако при небольшом затухании, когда сила трения намного
меньше силы упругости, можно приближенно считать затухающие коле-
бания почти гармоническими с убывающей амплитудой и некоторым пе-
риодом То. При этом значения амплитуд, измеренные через равные
промежутки времени, образуют геометрическую прогрессию, а период
затухающих колебаний практически не изменяется во времени. Сила
трения, вызывающая затухание, при небольших скоростях движения
пропорциональна скорости v:
FTp = —/гщ (5.11)
где h — коэффициент трения; максимальное значение v для гармони-
ческого колебания равно произведению собственной круговой частоты
со0 на амплитуду Л; знак «минус» означает, что сила трения направлена
в сторону, обратную скорости.
Уравнение затухающих колебаний имеет вид
х + 2₽i + cojx = 0. (5.12)
Общее решение этого уравнения, когда затухание не очень велико, так
что р < <о0, можно записать в виде
х = Лое"“^ sin (со/ + ф0),
где со — — р2, а значения Ло и ф0 определяются для конкретного
колебания из начальных условий. Период затухающих колебаний
Т __ 2л 2л
всегда больше периода Т = 2л/со0, т. с. силы трения увеличивают пе-
риод колебаний. Амплитуда затухающих колебаний
А У) = Аое~^.
182
Время т = р~\ в течение которого амплитуда уменьшается в е раз,
называют временем релаксации.
Отношение амплитуд колебаний в начале и в конце периода назы-
вают декрементом затухающих колебаний:
A {t + Го) = ехр
а 6 = рГо — логарифмическим декрементом затухающих колебаний.
При этом коэффициент сопротивления
о
у4д2 + 6? ‘
Добротностью колебательной системы Q называют отношение
энергии колебания системы Е (/) в момент времени t к изменению
энергии за один период То, умноженное на 2л:
п ЕМ
4~ZJT£(/)-£(/+r0)-
Добротность связана с логарифмическим декрементом затухания
соотношением
Если 6 < 1, то
ч б .
В колебательной системе с большим значением добротности сво-
бодные колебания затухают очень медленно, так что такие колебания,
практически могут рассматриваться как гармонические. Время т,
ва которое колебания практически полностью затухнут, приближен-
но равно отношению добротности к собственной частоте колебаний.
Чтобы поддерживать незатухающие колебания, необходимо непрерыв-
но пополнять энергию колебания по мере ее расходования. При уве-
личении сил трения в колебательной системе период колебаний возрас-
тает и при р = соо становится бесконечным. При дальнейшем увели-
чении Р > со0 движение становится апериодическим.
5.1.11. Вынужденные колебания. Если ва колебательную систему
действует внешняя переменная сила (/), то такая система совершает
вынужденные колебания. Силу FB (/) называют вынуждающей пли воз-
мущающей силой. Уравнение одномерного вынужденного колебания с
линейной силой трения имеет вид
х + 2рх 4- ~ (О-
Если вынуждающая сила периодическая, то в течение некоторого
начального интервала времени колебательная система находится в пере-
ходном режиме вынужденных колебаний:
х = •''собств (О 4" ^ВЫН (01
183
где хсобств (0 собственные (свободные) затухающие, а хвын (/) — вы-
нужденные колебания системы. Свободные колебания при р<соопрак-
Зл2
тически полностью затухают за время т = . По истечении времени
/0 т колебательная система переходит в состояние установившихся
вынужденных колебаний, которые происходят с частотой вынуждающей
силы. Если возмущающая сила изменяется по закону косинуса
FB (/) = F0 cos QZ,
то вынужденными колебаниями являются гармонические колебания
с частотой Q, амплитудой
П2)2+4pQ2
и начальной фазой
. I 20Q \
ф-“-агс,8и^#
Различают три области изменения угловой частоты Q по отношению
к собственной частоте колебаний (о0.
1. Область низких частот: О < о)0. Тогда сдвиг фаз <р0 близок к
нулю, а амплитуда вынужденного колебания
~ х0 стат»
где хОстат— статическое смещение под действием постоянной силы F —
= Fo. При малом трении (р < соо) колебание почти без искажений сле-
дует за изменением вынуждающей силы.
2. Область высоких частот: Q > О)о. Тогда ср0 — —л и колебания
происходят в противофазе с вынуждающей силой так, что когда вынуж-
дающая сила положительная, смещение отрицательное, и наоборот.
Амплитуда вынужденных колебаний убывает с ростом частоты вынуж-
дающей силы по закону
Д-х0стат(ш0/£2)2. (5.13)
3. Область резонанса: Q — G)o*
5.1.12. Механический резонанс. Явление резонанса в колебатель-
ной системе происходит, когда частота вынужденных колебаний близка
к собственной частоте колебательной системы.Амплитуда колебаний при
этом достигает максимального значения:
А
макс 2/nfko т<в26 ’
Частоту вынужденных колебаний, равную смещенной частоте собствен-
ных затухающих колебаний системы, называют резонансной частотой".
^рез = V Ыц — 2р2.
При Р С со0 Ррез (о0.
Трение, существующее в колебательной системе, влияет на резо-
нанс: если затухание системы небольшое, то резонанс сильный (острый),
если велико, то слабый (тупой). Резонансные кривые, иллюстрирующие
зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты силы, дей-
184
ствующей на систему, показаны на рис. 5.7. Кривая /, имеющая узкий
и высокий максимум, соответствует резонансу в системе с малым зату-
ханием, кривая 2, более низкая и пологая, описывает резонанс в си-
стеме с большим затуханием (тупой резонанс). Амплитуда острого
резонанса для любой частоты больше амплитуды тупого, причем раз-
личие особенно велико вблизи резонансной частоты. Количественно
остроту резонанса при Р € (О0 можно характеризовать полушириной
резонансной кривой Дсо, определяющейся как разность между
резонансной частотой О)о и частотой со1/2, при которой энергия вынуж-
денных колебаний равна половине максимальной энергии. Полушири-
на резонансной кривой прямо пропорциональна резонансной частоте
и обратно пропорциональна доб-
ротности:
Следовательно, с ростом доб-
ротности колебательной системы
уменьшается полуширина резо-
нансной кривой.
5.1.13. Использование резонанса
в технике и методы предотвраще-
ния опасных его последствий. Яв-
ления резонанса широко исполь-
зуются в науке и технике, напри-
мер, в акустике для усиления
звука, в радиотехнике для на-
стройки радиоприемных устройств
на определенную радиостанцию, и ы
в атомной и ядерной физике в ус-
корителях элементарных частиц Рис. 5.7
(циклотроне, синхрофазотроне и
т. п>). Иногда явления резонанса опасны: амплитуда, колебаний
становится так велика, что в системе наступают необратимые измене-
ния. Амплитуда резонансных колебаний моста, по которому проходит
войсковая часть или проезжает железнодорожный состав, может до-
стигать предельных значений и приводить к разрушению моста. По-
этому на мосту рекомендуется идти не в ногу, а поезда должны про-
ходить с очень малой скоростью. Пароход на волнах может попасть
в область резонанса, и тогда следует изменить скорость или направле-
ние движения судна, чтобы изменить частоту ударов набегающих волн.
Недостаточная центровка, изгиб вала могут создать вынужденные
колебания, совпадающие с собственной частотой самого вала или фун-
дамента двигателя. В этом случае резонансные явления могут при-
вести к заклиниванию и поломке вращающихся деталей или разру-
шению фундамента.
Большинство инженерных конструкций и машин в процессе эк-
сплуатации подвергается периодическим воздействиям со стороны
внешних или внутренних сил, что приводит к возникновению колеба-
ний. Эти колебания, если их частота близка к собственной частоте
колебаний системы, могут обладать значительной амплитудой, что при-
водит к усталостному разрушению инженерных конструкций. Для пре-
дотвращения воздействия качки корабля на различные приборы их де-
лают достаточно массивными и подвешивают на мягких пружинах.
Тогда собственная частота колебаний системы <о0 будет гораздо меньше
частоты качки Й, ив соответствии с законом (5.13) амплитуда колеба-
185
ний приборов, подвешенных таким образом, будет много меньше ам-
плитуды колебаний корабля на волнах.
При больших скоростях движения самолета под действием аэро-
динамических сил возникают колебания крыла самолета с нарастаю-
щей амплитудой, которые называют колебаниями типа флаттер.
С учетом возможности этого явления на различных несущих поверх-
ностях и органах управления самолета принимают специальные меры
при их проектировании. Необходимо устранять или ограничивать
вредное воздействие разонансных явлений на инженерные конструк-
ции и сооружения.
Статистика показывает, что основной причиной поломок и аварий
в машиностроении (около, 80 %) являются недопустимые амплитуды
колебаний. Двигатель обычно работает на больших оборотах, так что
частота вращения его вала со больше собственной частоты системы соо.
При малом трении в подшипниках вала и самом двигателе (а это являе-
ется необходимым условием его экономич-
пости) вблизи резонансной частоты (о0
'\\4 амплитуда вынужденных колебаний может
уж/возрасти до опасного предела. Во избежа-
// \\ ние этого следует изменять режим работы
/ двигателя в области резонансных частот
\ х ’ с большим ускорением, т. е. резко изме-
у j» пять частоту со, чтобы пройти опасную
ее область вблизи со0, и тогда резонансные
е U1/ явления не успевают проявиться.
р гл 5.1.14. Автоколебания. Для поддержа-
’ ’ ния незатухающих собственных колебаний
в системе необходим источник энергии, из
которого пополнялась бы убыль энергии, вызываемая затуханием.
Если за один период в колебательную систему поступает ровно столь-
ко же энергии, сколько ее расходуется за это же время на процесс за-
тухания, то колебания будут стационарными.
Колебательные системы, в которых предусмотрены специальные
схемы поступления из некоторого источника энергии для компенсации
потерь энергии на затухание, называют автоколебательными система-
ми. В отличие от вынужденных колебаний частота автоколебаний
совпадает с собственной частотой системы. В фазовом пространстве
периодическому автоколебанию соответствует замкнутая траектория,
к которой стремятся все средние траектории.
Примером автоколебательной системы является часовой механизм.
Маятник часов расположен на одной оси с изогнутым рычагом (анке-
ром), на концах которого имеются выступы специальной формы (палет-
ты) (рис. 5.8). Зубчатое ходовое колесо связано зубчатой передачей
с закрученной пружиной (или с помощью цепочки с гирей), которые
создают вращающий момент по часовой стрелке относительно оси ко-
леса. В момент, когда ходовое колесо касается своими зубьями анкера,
маятник испытывает толчок. Затем маятник с анкером движутся сво-
бодно, а ходовое колесо проворачивается на один зуб. Так маятник
за один период получает два толчка по ходу движения, в результате
чего энергия закрученной пружины (или поднятой гири) восполняет
убыль энергии на трение. Скорость вращения ходового колеса, а вмес-
те с ним всего механизма часов определяется периодом колебания маят-
ника. Для того чтобы часы пошли, маятнику нужно сообщить началь-
ный толчок, однако амплитуда хода часов не зависит от начальных
условий. Если потери энергии на трение в автоколебательной системе
малы, то автоколебания близки к гармоническим и их частота близка
186
к частоте собственных колебаний. Это обеспечивает точность хода
часов.
Характерной особенностью автоколебательной системы является
наличие обратной связи, которая обеспечивает воздействие на сис-
тему со стороны источника энергии в определенный момент времени.
5.1.15. Параметрический резонанс. Незатухающие колебания мо-
гут возбуждаться при периодическом изменении параметров колеба-
тельной системы. Такое возбуждение колебаний называют параметри-
ческим резонансом. Примером его является маятник, длина которого
периодически изменяется. Пусть в любой момент, когда нить маятника
проходит через вертикальное (равновесное) положение, ее длина I
уменьшается на AZ. Тогда дважды в течение каждого периода будет
происходить укорачивание I на AZ по некоторому закону.
Рассмотрим простейший случай, когда в течение каждого периода
Т колебаний маятника два раза происходит укорачивание I по закону
I = Zo — AZ cos ос0,
где а0 — угловая амплитуда колебаний маятника. За одно укороче-
ние п удлинение нити необходимо произвести работу против сил тя-
жести
. , к /лрАУос2
= трМ (1 — cos а0) —о
и работу против центробежной силы
Здесь ь’о = Z со а0 — максимальная скорость маятника. Суммарная
работа по укорачиванию нити маятника, производимая внешней силой
за один период,
7/ О 2
<7^ — 3 hivq
пропорциональна энергии колебаний маятника. Таким образом, энер-
гия маятника при параметрическом резонансе систематически возрас-
тает, причем амплитуда колебаний в случае малого трения в системе
экспоненциально возрастает.
Примером параметрического резонанса является раскачивание ка-
челей человеком, который периодически приседает в момент, когда
качели отклонены па максимальный угол, и выпрямляется, когда они
проходят положение равновесия. Параметрический резонанс наблю-
дают также в электрическом колебательном контуре с переменными
реактивными параметрами.
5.2. ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ
5.2.1. Распространение колебаний. Колеблющееся тело расхо-
дует часть энергии, вовлекая в колебательное движение окружающую
упругую среду, т. е. такое тело излучает энергию в виде воли. Процесс
распространения колебаний в пространстве, сопровождающийся пере-
носом энергии, называют волной. Сначала приходят в колебание сосед-
ние точки окружающей среды, находящиеся в непосредственном кон-
такте с поверхностью колеблющегося тела, а потом все более отда-
ленные.
Рассмотрим пример распространения упругих волн в тонком стерж-
не. Удар по торцу стержня сжимает слой, прилегающий к поверхно-
187
сти, и сообщает скорость вдоль направления удара частицам этого слоя.
Расположенные в следующем слое частицы под действием сил упру-
гости получают ускорение, в результате чего этот слой деформируется.
Упругие силы, возникающие при такой деформации, останавливают
частицы первого слоя и придают определенную скорость частицам
второго. Таким образом, частицы в первом слое возвратились в поло-
жение равновесия, а во втором пришли в движение в направлении
вдоль стержня. Затем приходят в движение частицы третьего слоя, а вто-
рого возвращаются в положение равновесия и т. д. Так движение
и деформация передаются от слоя к слою, и по стержню распространя-
ется упругая волна.
Волновое движение периодично в пространстве и времени. Волны
могут быть двух типов: поперечные и продольные. Если колебания
частиц среды происходят в направлении, перпендикулярном направ-
лению распространения волны, то такие волны называют поперечны-
ми. Поперечная волна распространяется в среде, при изменении формы
которой возникают упругие силы (т. е. в среде, обладающей сопротив-
лением сдвигу). Поэтому в жидкостях и газах поперечные волны воз-
никать не могут. Их можно получить, если конец шнура, свободно ле-
жащего на поверхности, резко поднимать и опускать в направлении,
перпендикулярном линии шнура. Еще одним примером служит колеба-
ние струны. Электромагнитные волны также являются поперечными.
Если направление колебания совпадает с направлением рас-
пространения волны, то такую волну называют продольной. Про-
дольные волны распространяются в среде, при изменении объема
которой возникают упругие силы, например, вдоль тонкого стержня,
спиральной пружины, если витки этой пружины привести в колеба-
тельное движение в направлении оси. Распространение звука — еще
один пример продольных волн.
Волны на поверхности воды называют гравитационно-капилляр-
ными. Они имеют сложную природу и не являются чисто упругими.
Частицы на поверхности движутся по окружности, так что волны на-
поминают поперечные, а частицы, расположенные глубже,— по эл-
липсам, эксцентриситет которых увеличивается с глубиной, где
могут распространяться только чисто продольные волны. Отдельные
частицы среды при распространении упругих волн колеблются в про-
дольном или поперечном направлении, оставаясь вблизи положений
равновесия.
Область пространства, в которой колеблются все частицы среды,
называют волновым полем. Поверхность, во всех точках которой
волна в данный момент времени имеет одинаковую фазу, называют
фронтом волны (или волновым фронтом). Передний фронт волны яв-
ляется границей, отделяющей колеблющиеся частицы среды от еще
не начавших колебаться.
Распространение волны можно рассматривать как движение ее
фронта. Волну, проходящую через данную точку среды, характери-
зуют направлением распространения, которое в однородной изотроп-
ной среде перпендикулярно фронту волны, и скоростью. Лучом назы-
вают линию, касательная к которой в каждой точке совпадает с направ-
лением распространения волны. Перемещение волнового фронта в про-
странстве во времени в однородной среде происходит с постоянной ско-
ростью, зависящей только от свойств среды и характера колебаний.
В случае упругих волн эта скорость определяется скоростью распро-
странения механического возмущения (деформации) в упругой среде.
При волновом движении различают скорость колебательных движений
частиц среды; скорость перемещения фронта волны, которую называют
волновой или фазовой скоростью; групповую скорость нескольких волн
188
(волнового пакета), определяемую как скорость распространения мак-
симума амплитуды наложения этих волн.
5.2.2. Плоская монохроматическая волна. Если волновой фронт
представляет собой плоскость, волну называют плоской. Уравнение
плоской монохроматической волны имеет вид
§ = A cos [<о/ + -у (n, г) j , (5.14)
где со == 2л/Т — круговая частота; Т — период колебаний; v — ско-
рость распространения волны; п — единичный вектор нормали к
фронту волны; г — радиус-вектор любой из точек поверхности фронта
волны. Отношение k = co/v называют волновым числом, а вектор к =»
= kn с направлением вдоль нормали к волновому фронту — волновым
вектором.
В произвольной точке г = г0 колебания совершаются по гармони-
ческому закону. Функция g периодическая во времени и по пространст-
венной координате х = (п, г), ось X которой выбрана в направлении
нормали п. Пространственный период колебаний определяется отрез-
ком х, на котором расположены два ближайших, одинаковых для за-
данного времени / = /0, значения g. Длину этого отрезка
называют длиной волны.
Уравнение (5,14) является решением дифференциального волно-
вого уравнения
,515х
д^~иг№' ( '
которое для х ~ (и, г) > 0 описывает плоскую монохроматическую
волну, распространяющуюся в сторону меньших значений х. Волна
для возрастающих значений х описывается уравнением
g — A cos —tT*)’ (5.16)
При этом
определяет фазовую скорость волны. Фазовая скорость косинусоидаль-
ной (гармонической) волны равна скорости перемещения в пространстве
точек волновой поверхности или скорости движения фронта волны.
Общее решение волнового уравнения (5.16) имеет вид
5 = -|-Л2/2 (/ + -£)’
где Л, /2 — достаточно общего вида дважды дифференцируемые по х и t
функции своего аргумента, определяющие профиль волны. Скорости
распространения продольной упругой волны в тонком стержне ох =
=--= (£ — модуль упругости вещества, из которого сделан стержень,
р — его плотность), в неограниченной твердой среде ог =
= j/" —, а поперечной в твердом теле и2 = УG/p (G —
модуль сдвига; v — коэффициент Пуассона).
189
В жидкостях и газах могут распространяться только продольные
волны соответственно со скоростями
Где _ объемный модуль упругости, р — плотность жидкости, и
vr = V0 "К (-
Здесь Vo = р-1 — удельный объем газ1, а — > О — модуль сжи-
маемости газа, который принимает разные значения в зависимости от
длины волны. Для изотермического процесса распространения волны, т. е.
при малой частоте, когда распространяется изотермическая волна, и адиаба-
тического, т. е. для быстрых колебаний высокой частоты (адиабати-
ческая волна), эта формула принимает соответственно вид
изотерм _ I/ RT
~ V М
(R — универсальная газовая постоянная, М — молярная масса, Т
абсолютная температура газа) и
^адиабат = % RT = у-^изотерм
(к = cp[cv — отношение теплоемкостей таза при постоянных давления
и объеме). В газах и жидкостях звук обычно распространяется адиаба-
тически.
Скорость распространения гравитационно-капиллярных воли на
свободной поверхности жидкости
(5.17)
г 2л лр
Здесь g — ускорение свободного падения; о — поверхностное натяже-
ние; X — длина волны; р — плотность жидкости. Для коротких волн
преобладающим является второе слагаемое под знаком корня, а для
длинных — первое. Минимальное значение скорости
i/4j5
VMHH у р
соответствует длине волны
^мин = 2я •
На границе раздела вода — воздух \Ш11 = 1,72 см, При X > %мин с ко-
рость распространения волн зависит в основном от сил тяжести. Такие
полны называют гравитационными, а их скорость определяют по фор-
муле
Cl4>= V
ISO
При ^<^мин скорость распространения гравитационно-капиллярных
волн зависит от сил поверхностного натяжения. При этом ск
У2ло/Ар.
По типу возникновения гравитационных воли различают: прили-
вы— от действия притяжения Солнца и Луны; корабельные волны —
при движении корабля; ветровые волны — от действия локально не-
однородного давления атмосферы; цунами — от землетрясений, вулка-
нических извержений и больших взрывов. Наиболее распространен-
ными являются ветровые волны. Поскольку скорость и направление
ветра изменяются быстро, то ветровые волны имеют сложный характер,
представляющий некоторый (в большинстве случаев нормальный)
случайный процесс. Если амплитуда волн мала по сравнению с их дли-
ной, то с хорошим приближением можно при сложении множества от-
дельных волн использовать принцип суперпозиции. Перенос жидкости
волнами малой амплитуды отсутствует, т. е. колеблющиеся частицы
жидкости движутся по замкнутым траекториям. Если высота поверх-
ностных волн сравнима с их длиной, то траектория частиц жидкости не
замкнута, так что в результате распространения таких волн наблю-
дается перенос жидкости в направлении вектора фазовой скорости.
Фазовую скорость волн на поверхности раздела двух жидкостей с плот-
ностями и р2 находят так:
1/_ 2яо12
1“ У 2л рх 4~ р2 А (рх + р2) ’
где о12 — поверхностное натяжение границы раздела.
5.2.3. Сферическая волна. Волны, возникающие в некоторой малой
области I и распространяющиеся в однородной изотропной среде, под-
чиняются волновому уравнению
^=44*, • (5.18)
где оператор Лапласа имеет вид
д2 д2 д2
Л ” дх* + ду* + dz2 *
Решение уравнения (5.18)
. /1 — г) . /2 + г)
g = Л, '-^—г--+ А2 ; (5.19)
fit ft — любые дважды дифференцируемые по каждому из своих аргу-
ментов функции; г — расстояние между точками нахождения излуча-
теля и рассматриваемой точки. Первое слагаемое в выражении (5.19)
описывает расходящуюся волну, а второе — сходящуюся. Если I <г,
то фронт волны и волновая поверхность являются сферами. Такую вол-
ну называют сферической, и распространяется она в каждой точке пря-
молинейно, т. е. луч, соответствующий этой волне, совпадает с прямой,
расположенной по радиусу сферической поверхности фронта волны.
Если излучатель создает возмущения гармонического типа, то
возникает сферическая гармоническая волна, которая описывается
уравнением
Ег= у sin£ у (vt — r)j + -j sin {pt + r) I .
л •
Амплитуда ее Л/ = -- с ростом г убывает как г-1.
191
5.2.4. Отражение и преломление волн. При распространении волн
в неоднородной среде прямолинейность лучей нарушается. Если неод-
нородность имеет четкие границы, например, разные области про-
странства заполнены веществами с разными свойствами (в частности, уп-
ругими), то к волновым уравнениям (5.15) и (5.18) необходимо добавить
граничные условия на поверхностях, разделяющих эти среды. При этом
на границах раздела возникает преломление и отражение волн.
Преломлением волны называют изменение направления распро-
странения волны, обусловленное переходом ее из одной среды в дру-
гую. Фронт волны на границе раздела двух сред претерпевает излом.'
Преломленный луч всегда лежит в одной плоскости с падающим лучом
и перпендикуляром, восстановленным к касательной плоскости в точ-
ке преломления на границе раздела двух сред. Если волна падает
на плоскую границу под углом то угол преломления /2 можно найти
из соотношения (закона преломления)
sin __ _
~---- - - - Tin 1 ,
sin l2 V2
где vlt v2 — скорости распространения волны в первой и второй средах
соответственно, а постоянную я21 называют относительным коэффи-
циентом преломления второй среды по отношению к первой.
Если свойства среды, влияющие на скорость распространения
волны, изменяются плавно в объеме, то происходит постепенное пре-
ломление волны, которое называют рефракцией.
На границе двух разных сред происходит отражение волны, т. е.
на поверхности раздела возникает волна, которая распространяется
в первой среде вдоль направления, изменившегося скачком на гра-
нице. При этом выполняются законы отражения. Отраженный луч ле-
жит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром к отра-
жающей поверхности, восстановленным из точки отражения. Под уг-
лом отражения понимают угол между перпендикуляром к отражаю-
щей поверхности в месте отражения и отраженным лучом, а под углом
падения — угол между этим перпендикуляром и падающим лучом.
Угол отражения равен углу падения.
Если поверхность раздела двух сред неплоская, то па их границе
может происходить изменение типа фронта волны. Например, на сфе-
рической поверхности плоская падающая волна может превратиться
в сферическую (сходящуюся или расходящуюся в зависимости от знака
кривизны поверхности). Это явление используется при создании оп-
тических систем и приборов.
5.2.5. Интерференция. При распространении в среде нескольких
волн малой амплитуды выполняется принцип суперпозиции: колебание
каждой частицы среды определяется как сумма независимых колебаний,
которые совершали бы эти частицы при распространении каждой вол-
ны в отдельности. Принцип суперпозиции нарушается только для волн
с очень большой амплитудой (например, в нелинейной оптике). Волны,
характеризуемые одинаковой частотой и постоянной (не зависящей от
времени) разностью фаз, называют когерентными (например, синусои-
дальные с одинаковой частотой).
Интерференцией называют сложение когерентных волн, в резуль-
тате которого возникает устойчивое во времени усиление колебаний
в одних точках пространства и ослабление его в других. При этом
происходит перераспределение энергии колебаний между соседними
областями среды. Интерференция волн происходит только, если они
когерентны.
192
5.2.6. Стоячие волны. При отражении волн может произойти сло-
; жение падающей и отраженной волн. В результате образуются так на-
зываемые стоячие волны — периодическое во времени колебание с ха-
рактерным распределением амплитуды в пространстве. При этом каж-
дая частица совершает колебание со своей амплитудой А (х), значение
которой изменяется от точки к точке. Некоторые точки остаются в со-
стоянии покоя (Д (х) = 0). Их называют узловыми точками. Расстоя-
ние между ними равно половине длины волны. Участки, колебание
которых происходит с максимальной амплитудой, называют пучно-
стями. Расстояние между пучностями также равно половине длины
волны. Они расположены точно посредине между узловыми точ-
ками. Характерной особенностью стоячих волн является то, что все
частицы, совершающие такие колебания, проходят одновременно через
положение равновесия.
Стоячими волнами называют такие колебания, при которых узлы
и пучности волны остаются на одном месте. В общем случае стоячие
волны возникают в результате сложения бегущих волн, имеющих
одинаковые или смещенные на величину л фазы и распространяющихся
в противоположных направлениях.
Если отражение происходит от границы раздела с более плотной
средой, то в месте отражения возникает узловая точка. На границе
раздела с менее плотной средой в результате отражения возникает
пучность стоячей волны. Сложение двух противоположно распростра-
няющихся волн, например для одномерного случая, в соответствии
с формулами (5.14) при х~ (п, г) и (5.16) с одинаковыми частотами и
амплитудами дает уравнение стоячей волны
Амплитуда ее
(х \
2л j
принимает различные значения для разных х. В точках, где
Хп
2л -т- = пл (п = 0, ±1, ±2, ...),
А
т. е. при
К
^П = « 2’
расположены пучности стоячих волн (амплитуда в этих точках мак-
симальная).
В точках, где
Xv I 1 \
2л-— = I и + I л (п = 0, ±1, ±2, ..,),
А \ 2 /
т. е. при
I , И
ху + 2 / 2 ’
расположены узлы стоячих волн (амплитуда для значений х = Ху
равна нулю).
При переходе через нулевое значение амплитуда Дст меняет
знак, поэтому фаза колебаний для точек, расположенных по разные
7 5-1172
193
стороны от узла, отличается на л. Точки, лежащие по разные стороны
от данного узла, колеблются в противофазе. Все частицы среды, распо-
ложенные между двумя соседними узлами, колеблются в одной и той
же фазе (синфазно). При этом относительная деформация среды
. dt 4л ( х\ . .
£ = =-----г- A sin 2л -г- со/.
ъ dx л \ л /
Соответственно скорость частиц
. dt п Л х
t = -~ — — 2(о/1 cos 2л v
b dt \ X
sin со/.
Узлы и пучности скорости и смещений совпадают, а отпоситель*»
ной деформации и смещений расположены наоборот. Кинетическая
энергия стоячей волны сосредоточена
в основном вблизи пучностей, а потен-
циальная — вблизи узлов. Дважды за
период энергия стоячей волны перехо-
дит полностью в кинетическую, а за-
тем — в потенциальную. В результате
происходит переход энергии от пучно-
стей . к соседним узлам и наоборот.
В среднем перенос энергии в любом се-
чении отсутствует. При возникновении
стоячих волн энергия колебаний не рас-
пространяется в пространстве.
5.2.7. Сложение двух когерентных
волн. Если из точечных источников
и S2 (рис. 5.9) распространяются две
одинаковой частоты гармонические сферические волны
' А А
^ = ^sin®u g2 = pSin<D2,
Г1 '2
где
(Dz = со/ — kr{ + а, (I — 1,2),
то к произвольной точке пространства М каждая из них пройдет не*
которое расстояние г/ и будет иметь различные амплитуду и фазув
Результирующее гармоническое колебание
£ =41 + = Л sin Ф
в этой точке имеет амплитуду
л , МйУ2 , Л^1^2 г/./ Xi 1
А = V \ 7/ + L / ’ C0S (Г2 — Г1) + а1 а21
Г V1 / V2 / '1'2
и фазу
_ , [Лгг2 sin Ф.+ sin Ф21
Ф = arc tg 1 А. -.А-----J .
L^lr2 C0S ^1 + ^2Г1 C0S Ф2 J
Значение A = r2 — называют разностью xoda волн.
Максимумы интерференции волн находятся в точках, для которых
Д = + (п^О, 1, 2, ...). (5.20)
194
F
Условие для интерференционных минимумов имеет вид
А=±(2п-1)|+?г~а1% (« = 0,1,2,...). (5.21)
Число и определяет порядок интерференционного максимума и мини-
мума. В максимуме и минимуме интерференции амплитуды результи-
рующего колебания определяются формулами
Л ~ dj _L d_2
макс г 1 r г
'1 '2
А -121
Ш1Н /г, Г2 Г
Геометрическое место точек, для которых Д = const, представляет
собой гиперболоид вращения, а сечение его плоскостью (см. рис. 5.9)—
две гиперболы. Условия (5.20) и (5.21) определяют на рис.5.9 семейства
гипербол (для первого из них — сплошные линии, для второго —
штриховые).
Поскольку амплитуда сферической волны уменьшается обратно
пропорционально расстоянию, то в минимуме результирующего коле-
бания она будет близка (или равна) к нулю только тогда, когда рас-
стояния и г2 незначительно различаются, т.е. при
Д « /*1, г2. (5.22)
Во всех областях, где равенство (5.22) не соблюдается, интерфе-
ренционная картина менее резко выражена. Вблизи плоскости, про-
ходящей через середину отрезка, соединяющего источники и S2,
и перпендикулярной ему, эта картина более отчетливо видна. Практи-
чески будут видны только средний, ближайший к прямой NN' макси-
мум, и несколько соседних с ним максимумов и минимумов на рис. 5.9.
Сложная интерференционная картина наблюдается в случае трех
и более когерентных волн. При сложении некогерентных волн интер-
ференционная картина не наблюдается, и среднее значение квадрата
амплитуды результирующей волны равно сумме квадратов амплитуд
всех волн, достигших данной точки. Например, для двух некогереит-
ны х волн
А = Af ^2-
5.2.8. Энергия упругой волны. Распространение волны сопровож-
дается переносом энергии, плотность которой в данной точке опреде-
ляется величиной возмущения, обусловленного волной в этой точке.
Объемная плотность кинетической энергии среды
1 2
= 2“
где — скорость частиц среды, совершающих колебания в рассмат^
риваемой точке; р — плотность этой среды. Объемная плотность потен-
циальной энергии
=4рг/2е2.
Здесь v — фазовая скорость волны; в — относительная деформация
среды. Общая объемная плотность энергии упругих волн
w = а»к + ~ р (V® + v2e2).
7*
195
Наличие двух форм энергии упругой волны связано с процессом
переноса энергии волной. Энергия упругой волны передается от одного
слоя среды к другому в результате деформации и взаимодействия этих
слоев, причем, поскольку частицы среды приходят в движение, то силы
взаимодействия при этом совершают работу, которая затем переходит
в кинетическую энергию движения и потенциальную энергию дефор-
мации соседнего слоя.
Для плоской волны
соЛ . Г
= =----Sin (О
дх v L
W = рЛ2(й2 sin2 СО
= рЛ2со2 sin2 (со/ — kx).
При этом выполняется равенство = шп.
Среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке
среды
w = ~ рД2со2.
Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверх-
ность, называют потоком энергии Ф. Скорость переноса энергии гармо-
нической волной равна фазовой скорости этой волны v. Вектор
U — CDV
называют вектором Умова, Направление вектора фазовой скорости
v совпадает с направлением распространения волны и переноса энер-
гии. Среднее по времени значение вектора Умова
U* = — M2co2v.
Модуль среднего по времени значения вектора Умова называют интен-
сивностью волны: 7 = ] U* |. Интенсивность сферической волны по
мере удаления от центра волны убывает обратно пропорционально
квадрату расстояния. Поток энергии АФ, переносимый волной через
любую малую площадку AS, определяется так:
АФ = (U • n)AS,
где п — нормаль к плоскости рассматриваемой площадки AS.
При распространении упругой волны наблюдается поглощение
энергии средой, которое вызывается вязкостью и теплопроводностью
зтой среды. При этом интенсивность волны с удалением от источника
постепенно уменьшается, т. е. наблюдается затухание волны. Ам-
плитуда волны убывает по экспоненциальному закону, так что
уравнение плоской волны имеет вид
§ = Ае~~ух cos Гео (t — — .
I \ v / J
196
Здесь у — линейный коэффициент поглощения упругих волн. При этом
интенсивность волны
I = J р©42 =
где /0 — ее интенсивность в точке х = 0.
5.2.9. Дифракция. Принцип Гюйгенса—Френеля. Если на пути
волны встречаются препятствия (неоднородности среды, в которой
волны не могут распространяться), то наблюдается их проникновение
в область геометрической тени, в результате чего волны частично или
полностью огибают это препятствие. Такое явление называют дифрак-
цией волн. В более широком смысле дифракцией волн называют любые
отклонения распространения волн от законов геометрической оптики.
Для решения задачи о распределении волн, возбужденных источником
в бесконечной или конечной области пространства, которое заполнено
(в общем случае неоднородной средой), следует рассматривать волновое
уравнение для вынужденных колебаний с учетом граничных условий
и неоднородностей. При этом получаются сложные функциональные
уравнения, решение которых во многих случаях затруднительно. В
большинстве случаев для приближенного решения задач о распростра-
нении волн используют принцип Гюйгенса—Френеля. С помощью этого
принципа можно объяснить явление дифракции и построить положе-
ние фронта волны, распространяющейся за препятствием.
Вначале Гюйгенс сформулировал следующий принцип: каждую
точку волнового фронта в данный момент времени молено считать ис-
точником вторичной волны, причем огибающая всех таких вторичных
элементарных волн будет определять фронт волны в следующий мо-
мент времени. Здесь учитываются только вторичные волны, распростра-
няющиеся впереди фронта волны, и не учитываются обратные. Прин-
цип Гюйгенса описывал распространение волн в соответствии с зако-
нами геометрической оптики, но не объяснял явлений дифракции. Фре-
нель дополнил этот принцип утверждением, что все вторичные волны
когерентны, поэтому при их наложении происходит интерференция.
Согласно принципу Гюйгенса—Френеля любое волновое возмуще-
ние в некоторой точке перед фронтом волны можно рассматривать как
результат интерференции вторичных элементарных волн, излучае-
мых каждой точкой, расположенной на фронте волны. При рассмотре-
нии дифракции волн на препятствии необходимо выбирать положение
фронта волны так, чтобы волновая поверхность касалась краев пре-
пятствия. Тогда с помощью принципа Гюйгенса—Френеля можно
объяснить явление огибания препятствия и распространения волн
в область геометрической тени. Приближенность принципа Гюйгенса-
Френеля при рассмотрении задач дифракции заключается в том, что
не учитываются граничные условия па поверхности раздела препят-
ствие-среда. Этот принцип практически неприменим, когда влияние
граничных условий на поверхности препятствия существенно изменяет
распределение интенсивности волн. Например, при рассмотрении диф-
ракции на поглощающей поверхности, когда волны распространяются
вдоль этой поверхности или когда форма препятствия плавно изменя-
ется, применение принципа Гюйгенса—Френеля может дать значи-
тельные ошибки.
5.2.10. Рассеяние волн. При наличии в среде, где распространя-
ется волна, нерегулярных неоднородностей, т. е. локальных измене-
ний свойств среды, возникают вторичные волны, распространяющиеся
в отличном от первичной волны направлении. Если расположение
(возможно, и форма) неоднородностей изменяется во времени, то на-
блюдается явление, которое называют рассеянием волн. Распредели
197
ние интенсивности рассеянных волн существенно зависит от размеров
неоднородностей среды. Если эти размеры значительно больше длины
волны, то рассеяние происходит в основном в направлениях, близких
к направлению падающей волпы, а если меньше длины волны,— то
во всех направлениях. Такое явление наблюдается при рассеянии звука
на турбулентных неоднородностях атмосферы и при молекулярном
рассеянии света в газах.
Если среда состоит из статически распределенных, не изменяю-
щихся во времени (не флуктуирующих) неоднородностей, которые бес-
порядочно расположены в пространстве, то при прохождении через
такую среду волн возникает явление, аналогичное рассеянию. При этом
в результате дифракции воли на отдельных неоднородностях и последу-
ющего их сложения в любой точке возникает распределение интенсив-
ности интерферирующих волн, которое мало отличается от рассеяния
на флуктуирующих неоднородностях. Это различие тем меньше, чем
большее число локальных, беспорядочно расположенных неоднород-
ностей принимает участие в формировании интерференционной кар-
тины. Такое явление распространения волны в статически неоднород-
ной среде также называют рассеянием. В результате рассеяния воли
происходит их ослабление, так что плотность потока энергии распро-
страняющейся волпы уменьшается с расстоянием быстрее, чем в слу-
чае, когда рассеяние отсутствует.
5.2.11. Дисперсия волн. Зависимость фазовой скорости распро-
странения гармонической волны от длины волны (частоты) называют
дисперсией. Среду, в которой наблюдается дисперсия волн, называют
диспергирующей средой. Для упругой волны различают два вида дис-
персии: зависящую от свойств среды и обусловленную условиями на
ее границе.
Если при распространении упругой волны часть се энергии пере-
ходит на внутренние степени свободы молекул (колебательные или
вращательные) и обратно, то такое явление называют релаксационной
дисперсией. Механизм релаксации, например, в случае многоатомного
газа, состоит в том, что для низких частот изменение энергии поступа-
тельного движения молекул, вызываемое волновым движением в тече-
ние периода, успевает посредством соударений перераспределиться
по другим степеням свободы молекул. При этом время релаксации (ус-
тановления равновесного состояния) сравнимо с периодом упругой
волны. Для высоких частот перераспределение энергии по степеням
свободы за время, равное периоду, не успевает произойти, и газ ведет
себя как одноатомный. Это приводит к тому, что с увеличением частоты
растет упругость газа, которая определяется энергией, приходящейся
на одну степень свободы молекул газа. Следовательно, с увеличением
частоты растет скорость распространения упругой волны, что вызывает
положительную дисперсию последней.
Поскольку перераспределение энергии между волной и молекула-
ми необратимо, то релаксационная дисперсия сопровождается поглоще-
нием энергии волны. Зависимость изменения скорости волпы от частоты
в случае релаксационной дисперсии имеет вид
v = id 1 +
^оо — ' (ют)2 1
ц0 1 + (сот)2] '
где у0, — скорости волны при малых (сот < 1) и больших (сот > 1)
частотах; со — круговая частота волны; т — время релаксации (уста-
новления равновесного состояния из возмущенного упругой волной
состояния),
198
5.2.12. Волновой пакет. Если дисперсия волн отсутствует, то
волновое возмущение любой формы и амплитуды перемещается в среде
с определенной скоростью без изменений. Гармонические волны в сре-
де, в которой интенсивность волны не влияет на ее распространение
(в так называемой линейной среде), не изменяются и обладают постоян-
ной скоростью. В общем случае распространение негармонической
волны в диспергирующей среде приводит к изменению формы волны.
Скорость распространения поверхности, в которой значение амплитуды
негармонической волны принимает фиксированное значение (напри-
мер, А — 0 или Л — 4макс), называют групповой скоростью. С исполь-
зованием принципа суперпозиции и метода разложения Фурье любую
негармоническую волну можно представить в виде группы эквива-
лентных гармонических волн, которую, если она в каждый момент вре-
мени занимает ограниченную об-
ласть пространства, называют волно-
вым пакетом. Спектр частот негар- У<ГГП\ \ __
монической волны — это совокуп- fa ||\/ xs
ность значений частот эквивалент- |У\ ~/\ ~~у
ных гармонических волн.
Рассмотрим простейший волно-
вой пакет, состоящий из двух гар-
монических волн с равными ампли- Рис» 5.10
тудами, но разными частотами, раз-
личающимися на малую величину До) = со2 — (Oi < <X>i> Такой пакет
называют квазикосину со ид альной волной. Его уравнение имеет вид
t _ о л Рпч Г Да f + Afe X ] Г (со, + <о8) / - (/г, + /гг) х
t —-• zS/a С. О о I I Wo I Г - /-х
L 2 J [ 2
где Д& = kf — /г2 — разность волновых чисел составляющих волн.
Амплитуда волнового пакета модулирована в пространстве и времени
и медленно изменяется с частотой Дсо7 2 и волновым числом (k1— k2)/2.
Частота волны равна (фц + о>2)/2, т- е- близка к частоте любой из сла-
гаемых гармонических волн (рис. 5.10). При (сох + со2)/ — (/?г + k2)x~
= 4/гл, где п — целое число, амплитуда такого волнового пакета
4.п=2Л
/ Дсо i 4- Д/г х
cos ---------------
т. е. его групповая скорость
Дсо/ +
определяется условием
Akx — const
или
__ dx _ Дсо
Р*-Р ~ ~di Xk ‘
(5.23)
В однородной среде волновой пакет распространяется с одинако-
вой скоростью, равной групповой скорости (5.23), а профиль его не
изменяется во времени (см. рис. 5.10). В общем случае групповую ско-
рость можно определить как предельное значение отношения (5.23)
при Д/г -> 0, т. е. в виде производной:
da
Т) ZZCZ .. •
гр dk
Это определение можно использовать для описания распространения
более сложных волновых пакетов, состоящих из большого числа гармо-
нических составляющих, если спектр пакета не слишком широк.
199
Групповая frp = di&Idk и фазовая v = m/k скорости связаны
соотношением (формула Рэлея)
* dv dv
%==v“x-dT’ или v^=v~kdk'
где k = 2л/Х — волновое число.
v dv л ,
Если --77- = 0 (дисперсия в среде отсутствует), то t, = ц. Если
ид Гр
dv
> 0, то Угр < V, и такую дисперсию называют нормальной. При
<0 наблюдают аномальную дисперсию (vrp > и).
Время, в течение которого имеет смысл понятие групповой ско-
рости, определяется неравенством
'•«тгт-
I d\ I
Сложение п гармонических волн при малой разности частот 6о)
между соседними компонентами сводится к нахождению суммы ряда
п~1
£= S Ancos[(w1 + mS<o)/ + femx].
ш=0
Зависящая от времени амплитуда такого волнового пакета при Ат —
= А == const имеет вид
. Intel]
sin I— )
ДЛ(/) = Д --------COSO)/
. /6о)Л
sin (~2/
где
со = со1 — (п — 1) бсо
— средняя круговая частота пакета. Для больших п
л ... л sin а — До) t
An(t)~nA———cos со/, а = —
Волновой пакет, спектр которого изображается прямоугольным им-
пульсом, состоящим из п равноотстоящих на бсо гармонических волн,
представлен на рис. 5.11.
Максимальная амплитуда Ап (/)макс “ п& Достигается при t = 0. Че-
рез время
Д/ = 2л/Дй) (5.24)
суммарная амплитуда Ап(М) = 0. Это время определяет ширину цент-
ральной части волнового пакета. Для средней частоты Av = До)/2л .
и времени Д/ из (5.24) следует соотношение AvA/ «= 1. Чем больше
ширина полосы До) = 2лAv, тем короче интервал Д/. Сложение гар-
монических колебаний с частотной шириной До) дает заметную ампли-
туду An(t) только в течение времени Д/ ~ 2л/До) (теорема о ширине
частотной полосы).
200
Если Д(0 — 0 и распространяется только одна гармоническая
(монохроматическая) волна, то ее длительность должна быть беско-
нечной (Д/ оо). Аналогично для пространственного параметра
волнового пакета Дх справедливо соотношение ДхД/г 2л, где Д/г—
интервал волновых чисел составляющих гармонических волн. В слу-
чае монохроматической волны ДЛ = 0 и Дх -> оо, т. е. ей соответ-
ствует бесконечно протяженная волна.
В квантовой механике теорема о ширине частотной полосы форму-
лируется в виде принципа неопределенности Гейзенберга.
Рис. 5.11
5.2.13. Волны в нелинейных средах. Солитоны. При больших
значениях энергии волны, распространяющейся в физической системе
(среде), когда волны изменяют ее физические свойства, наблюдают на-
рушение закона суперпозиции волн. В такой среде в результате вза-
имодействия волн происходит изменение их спектра. Распространение
волн при этом описывается нелинейными волновыми уравнениями.
Физические среды, в которых нарушается закон суперпозиции волн,
называют нелинейными по отношению к таким волнам. Среди решений
нелинейного волнового уравнения существуют непериодические, ло-
кализованные решения,соответствующие уединенным бегущим волнам.
Уединенной волной называют такое возмущение среды, амплитуда ко-
лебаний точек которого в направлении, перпендикулярном фронту
волны, отлична от нуля только в очень узкой области пространства.
Установлено, что в нелинейной среде с дисперсией возможно распро-
странение устойчивой уединенной волпы (солитона), которая не из-
меняет свою форму и движется на значительные расстояния с постоянной
скоростью. Уединенную локализованную волну называют солитоном,
201
если она не затухает и не поглощается, а сохраняет свои размеры и
форму как угодно долго. Стабильность солитона может быть обуслов-
лена тем, что изменение, сто формы вследствие дисперсии полностью .
компенсируется изменением формы вследствие нелинейности.Солитоны
описываются точными аналитическими решениями нелинейных волно-
вых уравнений, например уравнения, исследованного Д. И. Кортезе*
гом и Г. де Фрисом (уравнение Кортевега — де Фриса)
ди г ди д3и
------би ~ 0 (5.2-5)
dt дх ох3
/ о ди д*и\
I нелинейность п в точности уравновешивает дисперсию
Решение типа уединенной волпы для уравнения Кортевега—
де Фриса (5.25) имеет вид
и = -—2 ц2 {ch [ц (х — 4ц2/)]}-2,
Такие солитоны распространяются со скоростью 4ц2, т. е. пропорцио-
нальной амплитуде волны. Аналогичные решения солитонного тина
имеют нелинейные уравнения сипус-Гордоиа
д*и
дх*
д*и
~.т- — sin ц,
dt*
а также нелинейные уравнения Шредингера
. ди . д*и . о . Л
f “г?—Н т? 4" w 2 — О,
dt дх*
Солитоны могут наблюдаться на поверхности жидкости, в твердых
телах, плазме, нелинейных линиях электромагнитных передач, рабо-
чей среде лазера и т. п.
5.2.14. Поляризация. У поперечной волны в различных точках
вдоль направления распространения могут наблюдаться отклонения
в распределении смещения и скорости колебаний частиц среды от осевой
симметрии относительно этого направления. Такое нарушение осевой
симметрии колебаний называют поляризацией вол н ы, наблюдается оно
только в случае поперечных волн. Если при распространении попереч-
ной волны направление смещений частиц упругой среды в любой точке
расположено в одной и той же плоскости, т. е. в перпендикулярном
направлении смещение равно нулю, то такую волну называют плоско-
поляризованной. Плоскость, в которой лежит вектор направления
распространения волны и происходит смещение частиц среды, называ-
ют плоскостью поляризации.
Каждый отдельный излучатель поперечной волны, как правило,
возбуждает плоскополяризовапную волну, плоскость поляризации
которой при распространении в однородной среде сохраняется постоян-
ной. При сложении распространяющихся вдоль одного и того же на-
правления поперечных волн от двух независимых излучателей, плос-
кости поляризации которых образуют двугранный угол <р, результи-
рующая волна поляризована достаточно сложно. Здесь различают два
случая.
1. Если закон изменения смещений в обоих источниках одинаков,
то результирующая волна поляризована эллиптически. Например,
пусть обе волны распространяются вдоль оси X, а их плоскости поля-
202
ризации взаимно перпендикулярны и совпадают с плоскостями Лг2
и XY соответственно. Тогда их уравнения имеют вид
== Ау cos (со/ — kx — а^),
= Az cos (о/ — kx — а2).
Результирующий вектор смещений при этом вращается в плоскости
YZ с угловой частотой со, а конец его описывает эллипс. Такую волну
называют эллиптически поляризованной.
2. Если от двух источников вдоль одного и того же направления
распространяются две поперечные волны и закон изменения смещения
во времени у каждой из них случайный, то в результате получаем не-
поляризованную волну. В каждой точке на линии распространения
смещения от этих двух волн векторно складываются. Если мгновенные
значения этих смещений изменяются быстро, причем для каждой из
составляющих волн независимо и в значительной мере беспорядочно,
так что их средние значения равны нулю, то результирующее мгновен-
ное смещение беспорядочно изменяется по величине и направлению^
При этом среднее квадратичное смещение по всем возможным направле-
ниям в плоскости, перпендикулярной направлению распространения
волны, одинаково. Такая волна не поляризована, ее называют есте-
ственной волной.
Суперпозиция большого числа плоскополяризоваиных волн, обла-
дающих беспорядочным законом изменения смещения, дает естествен-
ную волну. Поляризованная волна может быть получена, если есте-
ственная волна распространяется в среде с анизотропными свойства-
ми, а также в результате преломления или отражения естественной
волны на границе двух сред.
5.2.15. Эффект Доплера. Скорость волны, излучаемой движущимся
источником, постоянна, однако частота и длина волны, измеряемые
неподвижным приемником, изменяются. Это явление изменения час-
тоты волны, воспринимаемой приемником, при приближении или уда-
лении источника называют эффектом Доплера. При сближении источ-
ника и приемника наблюдается повышение частоты, а при их удале-
нии — понижение. Если приемник и источник упругой волны дви-
жутся относительно неподвижной среды со скоростями и v(l соответ-
ственно под углами фп и сри по отношению к линии распространения вол-
ны, то наблюдаемая частота определяется формулой
1 - -- cos <рп
v=v«——’
1 - - cos <Р„
где v0, v — частота и скорость волны в неподвижной среде. Когда при-
емник неподвижен (vn = 0), а источник удаляется в направлении рас-
пространения упругой волны (cos гри = —1), то частота
Если в этом случае источник приближается (cos фи = 1), то
203
Когда источник покоится (ои = 0), а приемник движется вдоль направ-
ления распространения волны, то при его удалении (cos(pn = 1)
V= v0—
a если приемник приближается (cos (рп ==—1), то
v= v0—
Следовательно, для упругих волн эффект Доплера существенно
зависит не только от движения источника и приемника волн относи-
тельно друг друга, но и от движения их относительно среды. В оптике
эффект Доплера определяется из теории относительности и зависит
только от движения источника и приемника электромагнитных волн
'относительно друг друга.
5.3. АКУСТИКА
5.3.1. Звуковые явления. Колебательные явления в определенном
.'интервале частот человек воспринимает органами слуха. Упругие
волны частотой от 16 до 20 000 Гц называют звуковыми волнами или
звуком. Звук распространяется в газе, жидкости, твердом теле и не
’распространяется в вакууме. С помощью речи люди общаются, а с по-
мощью слуха получают информацию об окружающем мире. Не меньшее
значение имеет слух для животных. Раздел физики, в котором изуча-
ют звуковые колебания, их взаимодействие с другими явлениями и
применение звука, называют акустикой.
В более широком смысле под звуковыми колебаниями понимают
распространение колебаний и волн любой частоты в упругой среде.
Каждая частица среды при распространении звуковых волн остается
на одном месте, совершая колебания вокруг своего положения равно-
весия, а направления смещения в жидкости и газе и направление рас-
пространения волны совпадают. Таким образом, звуковые явления
в жидкостях и газах связаны с распространением продольных волн
в упругой среде. В твердых телах могут распространяться продольные
и поперечные упругие волны, а также волны изгиба и кручения.
Источником звука может быть тело, способное совершать упругие
колебания, например, струна, стержень, столб воздуха в трубе, ме-
таллическая пластинка, колокольчик, голосовые связки человека
и т. п. При изучении звуковых явлений в качестве простейшего ис-
точника звука используют металлический U-образный стержень —
камертон, а также специальное радиотехническое устройство — звуко-
вой генератор.
5.3.2. Скорость распространения звука. Скорость распространения
фазы волны в упругой среде жидкости или газа зависит от сжимаемости
и плотности этой среды. В жидкостях и газах звук распространяется
адиабатически без дисперсии и его скорость пропорциональна корню
квадратному из абсолютной температуры газа Т. В сухом воздухе, со-
держащем 0,03 % углерода, при температуре 0 °C скорость звука рав-
на 331,5 м/с, а с повышением температуры увеличивается:
с =331,5 faT,
где а = 1/273 — коэффициент расширения газа. В воде звук распро-
страняется примерно в 4,25 раза быстрее, чем в воздухе, а в твердых
телах — еще быстрее (около 5 • 103—6 • 103 м/с).
204
;i 5.3.3.. Интенсивность (сила) и громкость звука. Громкость звука
определяется действием звуковой волны на органы слуха человека,
т. е. является характеристикой слухового ощущения и зависит от зву-
кового давления, частоты и формы звуковых колебаний. Звуковым дав-
лением кр называют переменную часть давления, которая возникает
при распространении звуковой волны в среде. Соответствующее порогу
слышимости звуковое давление Др0 = 2 • 10'- Па называют порого-
вым. Следует звуковое давление Др отличать от давления звукового
излучения Р, которое определяется постоянным давлением, действую-
щим на тело, расположенное в стационарном звуковом поле. Обычно
Р < Др. Например, Р — 0,1 Па при Др — 100 Па. Среднюю по вре-
мени энергию, переносимую звуковой волной через единичную пло-
щадку, перпендикулярную направлению ее распространения, в еди-
ницу времени, называют интенсив-
ностью звука (или силой звука), ко-
торая измеряется в ваттах на квад-
ратный метр.
Интенсивность звука прямо про-
порциональна квадрату амплитуды
колебания, площади поверхности
тела, которое вызывает звуковые ко-
лебания, и обратно пропорциональна
квадрату расстояния рассматривае-
мой точки от точечного источника
звука.
Если звук распространяется в
узком пространстве, то его интенсив-
ность практически мало изменяется
с расстоянием, что используется, на-
пример, при создании рупоров. В че-
ловеческом ухе таким рупором служит ушная раковина. Диапазон
слышимости человека равен 10'6—106 мкВт/м2. Чувствительность к ин-
тенсивности звука у людей разная. Особенность восприятия звуков
такая: если интенсивность звуковых колебаний возрастает в геометри-
ческой прогрессии, то громкость восприятия — в арифметической.
Приближенно справедлив закон: громкость звука, ощущаемая ухом,
пропорциональна логарифму физической интенсивности.
Для сравнения интенсивности звука различной громкости поль-
зуются единицей уровня звука — бел. Если интенсивность одного
звука в 10 раз больше другого, то и громкость его на один бел выше.
Уровень интенсивности звука I в шкале бел определяется формулой
N == 1g (7//0), где /0 = 10~12 Вт/м2 — порог слышимости. Число бел
при звуковом давлении Др в анализируемом случае N — 21g (Др/Др0),
где Др0 — пороговое звуковое давление. Таким образом, за нулевой
уровень (бел) слышимости принят звук интенсивностью 10~6 мкВт/м2
при частоте v0 = 1 кГц. Человеческое ухо может улавливать из-
менение громкости на одну десятую долю бела— децибел (дБ).
Звуки разной частоты воспринимаются человеком по-разному.
На рис. 5.12 схематически изображены усредненные данные по уров-
ню восприятия звуковых волн органами слуха человека. Здесь частота
звуковых воли приведена в логарифмической шкале, а интенсивность—
в децибелах. Кривая 1 ограничивает область восприятия колебаний
любого типа, кривая 2 — музыкальных звуков, кривая 3 — речи.
Лучше всего воспринимаются звуковые волны частотой в несколько
тысяч герц.
t 5.3.4. Отражение звука. Если на пути распространения звуковой
волны встречается неподвижная плотная преграда, то происходит
205
отражение этой волны по законам упругого удара. При этом сгущение
превращается в разрежение и наоборот. При отражении от более плот-
ной среды происходит потеря полуволны. Примером отражения звука
является эхо. Повторный звук есть не что иное, как вернувшаяся к ис-
точнику звуковых колебаний отраженная звуковая волна (от леса,
крутого берега, стены и т. п.). В большом помещении после каждого
звука возникает гул, который является результатом наложения звуко-
вых воли, отраженных от различных преград в этом помещении (стены,
потолка, колонны и т. п.). Это явление называют реверберацией. Если
в помещении много отражающих поверхностей, особенно мягких, силь-
но поглощающих звук, то реверберация отсутствует. Явление ревербе-
рации учитывают в архитектуре, при проектировании больших залов,
добиваясь определенной окраски звука, который приобретает мягкость
и объемность.
На границе раздела двух сред пр исходит частичное поглощение
и прохождение звука в другую среду. Доля отраженной энергии звуко-
вой волны зависит в основном от соотношения плотностей этих сред
и состояния поверхности раздела. Отражение звука, распространя-
ющегося в воздухе, от твердого тела или жидкой поверхности проис-
ходит практически полностью. Звук, распространяющийся в плотной
среде, также практически полностью отражается па границе раздела
с воздухом.
Если преграда представляет собой менее плотную среду (напри-
мер, легкий газ — водород, гелий и т. п.), то звуковая волна, распро-
страняющаяся в воздухе, проходит через нее, вовлекая частицы этой
среды в волновое движение и частично отражаясь. При отражении от
менее плотной среды не происходит потеря фазы волнового движения.
5.3.5. Поглощение звука. При распространении плоской звуко-
вой волны происходит затухание звука, связанное с различными необ-
ратимыми процессами. При этом интенсивность звуковой волны описы-
вается законом 1 — а коэффициент поглощения звука ос = 2у
обусловлен внутренним трением и теплопроводностью:
где v — частота звуковой волны; v3 — скорость звука; р — плотность
среды; 1] — коэффициент внутреннего трения; — коэффициент объем-
ной вязкости; х ~ eje^ — отношение теплоемкостей при постоянных
давлении и объеме; теплопроводность среды. Коэффициент звука
в таблицах часто приводится в виде не зависящего от частоты отношения
а' — oc/v2.
5.3.6. Музыкальная акустика. Реальный звук является наложе-
нием гармонических колебаний с набором частот, который определяет
акустический спектр звуковой волны. Различают три вида звуковых
колебаний: музыкальные звуки, звуковые удары и шумы. Периодиче-
ское колебание определенной частоты вызывает простой музыкальный
тон. Высота тона определяется частотой колебаний. Чем больше часто-
та, теэд выше тон. Сложные музыкальные звуки—это сочетания от-
дельных тонов. Тон, соответствующий наименьшей частоте сложного
музыкального звука, называют основным тоном, а остальные тоны —
обертонами. Если частота обертона кратна частоте основного тона,
то обертон называют гармоническим. При этом основной тон с мини-
мальной частотой v0 называют первой гармоникой, обертон с частотой
2v0 — второй гармоникой и т. д.
206
Относительная интенсивность, а также характер нарастания и спа-
да их амплитуд во время затухания определяют окраску (или тембр)
звука. Различные музыкальные инструменты (рояль, скрипка, флейта
и т. п.) отличаются тембром издаваемых этими инструментами звуков.
Совокупность звуков разной высоты, которыми пользуются в музыке,
составляет музыкальный строй. Относительный музыкальный строй
состоит из звуков, находящихся в определенных соотношениях. Если
звуки музыкального строя заданы высотой (частотой) исходного тона,
с которого начинается настройка инструментов, то такой строй называют
абсолютным. Исходный (стандартный) тон в европейском абсолютном
музыкальном строе равен 440 Гц (звук «ля» первой октавы). Откоси-
тельное различие в высоте двух тонов, обусловленное соотношением
между частотами этих тонов, называют интервалом. Соотношение
частот 2 : 1 определяет октаву, 5:4 — большую терцию, 4:3 —
кварту, 3:2 — квинту.
В принятой европейской музыкальной практике октава делится
на 12 равных интервалов, которые составляют равномерно темперит
рованный слой. Отношение частот последовательных полутонов
1.
Единицей измерения интервала является
Ю-2
1 цент = -р^- 1g 2.
Кроме темперированного строя различают два точных строя —
пифагорейский и чистый, в основе которых лежат интервалы, частот-
ные коэффициенты которых представляют собой отношения первых
соседних чисел натурального ряда. Пифагорейский строй основан
на октаве и чистой квинте с частотным коэффициентом 3 : 2, а чистый
строй — на октаве, квинте и большой терции с частотным коэффициен-
том 5 : 4. Пифагорейский строй более выразительно передает мелодию,
а чистый лучше соответствует аккордовой музыке. Для исполнения
сложной музыки используют компромиссно темперированные строи и
равномерно-темперированный 12-ступенчатый музыкальный строй.
Музыка неевропейских народов отличается другими интервальные
ми соотношениями и другим числом звуков в октаве.
5.3.7. Инфразвук. Упругие волны с частотой колебаний меньше
16 Гц называют инфразвуком. Колебания земной коры при землетря-
сениях происходят с частотой инфразвука. При штормовом волнении
на море возникают мощные инфразвуковые волны, которые в связи
с малым поглощением низкочастотных колебаний практически без за-
тухания распространяются на сотни и тысячи километров. Рыбы и
морские животные чутко улавливают эти колебания и, таким образом,
заранее чувствуют приближение шторма. Инфразвук — это составля-
ющая звуков леса, моря, атмосферы. Источником инфразвука являются
ветер и турбулентность в воздухе, грозовые разряды, орудийные выстре-
лы. Ввиду малого поглощения инфразвука можно определить местона-
хождения больших взрывов, а также предсказать особые огромные вол-
ны, возникающие на море при землетрясениях (цунами).
5.3.8. Ультразвуковые волны. Упругие волны с частотой колеба-
ний больше 15000 Гц называют ультразвуковыми. Верхняя граница
частоты ультразвуковых колебаний в газах определяется длиной сво-
бодного пробега молекулы газа и составляет около 109 Гц. Звуковые
колебания, частота которых выше 109 Гц, называют гиперзвуковыми.
Возбуждение ультразвуковых колебаний можно получить, преобразуя
207
высокочастотные электрические колебания с помощью электростр иц-
ционного эффекта, например, в кварце или в поликристаллическом ке-
рамическом титанате бария, поляризованном в электрическом поле.
Широко применяются также магнитострикционные ультразвуковые
преобразователи. Механические излучатели ультразвука (воздушные
свистки, сирены и жидкостные свистки) просты в эксплуатации. Их
питание осуществляется от насосов и компрессоров, но они излучают
очень широкий спектр ультразвуков и нестабильны по частоте и ампли-
туде, что не позволяет использовать их для измерительных целей.
КПД механических излучателей ультразвука низкий (около 10—20 %).
Ультразвуковые колебания высокой интенсивности (порядка
100 Вт/см2) используют, воздействуя на свойства материалов (измельче-
ние в тонкий порошок, получение однородной эмульсии, очистка по-
верхностей, пайка, лужение, а также механическая обработка материа-
ла: резание, шлифование, сверление и т. п.). Ультразвуковая кавита-
ция используется при очистке от загрязнений материалов. В случае,
когда необходимы более высокие интенсивности, используют концен-
траторы излучения, дающие плотность потока ультразвуковой энергии
порядка 106 Вт/см2. Так как размер излучателя гораздо больше длины
волны, то ультразвуковые колебания можно излучать в избранном на-
правлении с небольшим расхождением лучей. Это позволяет применять
ультразвук в эхолотах и гидролокаторах. Ультразвуковая локация
(сонар) используется также некоторыми животными (летучие мыши,
дельфины, киты и др.). В новой области акустики (акустоэлектронике)
разрабатываются приборы для обработки сигнальной информации
в микрорадиоэлектронике.
5.3.9. Звуковые удары. Ударные волны возникают при выстреле,
взрыве, электрическом разряде и т. п. Основной особенностью удар-
ной волны является резкий скачок давления на фронте волны. В момент
прохождения ударной волны максимум давления в данной точке воз-
никает практически мгновенно за время порядка 10“10 с. При этом
одновременно скачком изменяются плотность и температура. Затем
давление медленно падает. Мощность ударной волны зависит от силы
взрыва. Скорость распространения ударных волн может быть больше
скорости распространения звука в данной среде. Если, например, удар-
ная волна увеличивает давление в полтора раза, то температура при
этом повышается на 35 °C, и скорость распространения фронта такой
волны равна примерно 400 м/с. Стены средней толщины, встречающиеся
на пути распространения такой ударной волны, будут~’разрушены.
Мощные взрывы могут сопровождаться ударными волнами, кото-
рые создают в максимальной фазе фронта волны давление, в 10 раз
превышающие атмосферное. При этом плотность увеличивается в 4 ра-
за, температура повышается на 500 °C, и скорость распространения
такой волны близка к 1 км/с. Толщина фронта ударной волны имеет
порядок длины свободного пробега молекул (10-7—10~8 м), поэтому
при теоретическом рассмотрении можно считать, что фронт ударной
волны представляет собой поверхность разрыва, при переходе через
которую параметры газа изменяются скачком.
Скорости частиц среды перед фронтом ударной волны и за ним
определяются соответственно формулами
208
т. е.
I Vo — »i I = V(pl (Ve —V,),
где р0, Vo — давление и объем перед фронтом ударной'волны, a pi9
— за ним. Зависимость конечного давления от конечного объема
определяется из уравнения ударной адиабаты
81 — е0 = 1/2 (Pi + р0) (Ко — К,),
W1 — to0 = 1/2 (pj — р0) (Vo — Vj).
Здесь е0, ех — соответствующие удельные внутренние энергии среды, а
0)£. = е -f- Р//Р — удельная энтальпия; р — плотность среды. Скорость
распространения ударной волны и0 больше скорости звука, в связи
с чем ударная волна устойчива, так как никакие возмущения не могут
проникнуть за фронт ударной волны и размыть его.
Ударные волны возникают также при движении твердых тел со
скоростями, превышающими скорость распространения звука. Перед
летящим со сверхзвуковой скоростью (более 1200 км/ч) самолетом
образуется ударная волна, которая является основным фактором,
определяющим сопротивление движению самолета. Чтобы ослабить
это сопротивление, сверхзвуковым самолетам придают стреловидную
форму.
Быстрое сжатие воздуха впереди движущегося с большой скоро-
стью предмета приводит к повышению температуры, которая быстро
увеличивается с нарастанием скорости движения. В момент достижения
самолетом звукового барьера температура воздуха составляет 60 °C.
При скорости движения вдвое выше скорости звука v3 температура
повышается на 240 °C, а при скорости, близкой к 3v3 — становится
820 °C. При скоростях около 10 км/с повышение температуры приво-
дит к плавлению и превращению движущегося тела в газообразное
состояние. Падение метеоритов со скоростью в несколько десятков
километров в секунду приводит к тому, что уже на высоте 150—200 км
даже в разреженной атмосфере метеоритные тела заметно нагреваются
и раскаляются. Большинство из них на высотах порядка 100—60 км
полностью распадается.
5.3.10. Шумы. Наложение большого количества колебаний, бес-
порядочно смещенных одно относительно другого и произвольно изме-
няющих интенсивность во времени, приводит к сложной форме колеба-
ний. Такие сложные колебания, состоящие из большого числа простых
звуков различной тональности, называют шумами. Примерами могут
служить шелест листьев в лесу, грохот водопада, шум на улице горо-
да и т. п. Шумы могут отличаться распределением силы звука по час-
тоте и продолжительности звучания во времени. Длительное время
звучат шумы, создаваемые ветром, падающей водой, морским прибоем.
Относительно кратковременны раскаты грома, рокот волн — это низ-
кочастотные шумы. Механические шумы могут вызываться вибрацией
твердых тел. Возникающие при захлопывании пузырьков и полостей
в жидкости звуки, которые сопровождают процессы кавитации, приво-
дят к кавитационным шумам.
В прикладной акустике изучение шумов проводится в связи с про-
блемой борьбы с их вредностью, для усовершенствования шумопелен-
гаторов в гидроакустике, а также для повышения точности измерений
в аналоговых и цифровых устройствах обработки информации. Про-
должительные сильные шумы (порядка 90 дБ и более) оказывают
вредное действие на нервную систему человека, шум морского прибоя
или леса — успокаивающее.
209
5.3.11. Резонанс в акустике. Звук вызывает колебания в системе,
собственная частота которой близка к частоте звуковой волны. Перио-
дическая сила звуковых волн приводит к явлению акустического резо-
нанса. Если в камертоне возбудить сильные колебания (например,
смычком) и поднести его к нескольким камертонам с разными собствен-
ными частотами, то камертон, частота которого близка к частоте зву-
чащего камертона или равна ей, придет в состояние колебания.
Если создать достаточно громкий звук вблизи рояля, то можно услы-
шать отзвук рояля, при этом приходят в колебание те струны, частота
которых совпадает с частотой издаваемого звука. Если источник прекра-
щает звучать, отзвук рояля еще слышится некоторое время, причем
он достаточно точно воспроизводит первоначальный звук. Явление
акустического резонанса наблюдается в любом полом теле с отверсти-
ем (труба, колба), а также в струнах, мембранах и т. п. Так как сила
звука пропорциональна поверхности колеблющегося тела, то, исполь-
зуя явление резонанса и вызывая колебания в телах с большой поверх-
ностью, можно добиться усиления звука. Тела, усиливающие звуковые
колебания, называют акустическими резонаторами. Резонатор Гельм-
гольца представляет собой полый сосуд, соединенный с внешней средой
трубкой с небольшим отверстием. Собственные колебания этого резо-
натора имеют низкую частоту v0, так что соответствующая длина волны
значительно больше размеров резонатора. Частота v0 не зависит от
формы сосуда и формы сечения трубки:
уз 1/3
v» = 2Tt V IV’
где v3 — скорость звука; V — объем сосуда; S—площадь поперечного
сечения трубки; / — длина трубки.
Если резонатор Гельмгольца поместить в звуковое поле с частотой
V и амплитудой давления р, то в нем возникнут вынужденные колеба-
ния с амплитудой
Ро = -у . Р -~=гг. ,
V (1 — V2/Vy)2 +(6v/nVo)2
где 6— коэффициент затухания, вызванного трением в отверстии ре-
зонатора и излучением звуковой волны. Резонатор Гельмгольца, поме-
щенный в шумовое звуковое поле, сильно поглощает звуковую волну
частотой v0, что используется при создании резонансных звукопо-
глотителей в архитектурной акустике. Из специальной резины, кото-
рая имеет воздушные полости разных размеров, делают звукопогло-
щающие покрытия.
5.3.12. Эффект Доплера в акустике. Частота звуковых колебаний,
которые слышит неподвижный наблюдатель в случае, если источник
звука приближается или удаляется от него, отлична от частоты звука,
воспринимаемой наблюдателем, который движется вместе с этим источ-
ником. Изменение частоты звуковых колебаний (высоты звука), связан-
ное с относительным движением источника и наблюдателя, называют
акустическим эффектом Доплера. Когда источник и приемник звука
сближаются, высота звука повышается, а если они удаляются,— пони-
жается. Это связано с тем, что при движении источника звука относи-
тельно среды, в которой распространяются звуковые волны, скорость
такого движения векторно складывается со скоростью распростране-
ния звука, Пусть скорость приближения источника v. Тогда за одну
210
секунду v колебаний достигают наблюдателя с отрезка v3 — v, следо<
вателыю, воспринимаемая им частота
= V-----
g v3 — V
При - удалении источника
V3
V----------
уз + v
Если источник звука неподвижен, а наблюдатель приближается
к нему со скоростью v, то колебания воспринимаются чаще, чем они
генерируются источником. При этом
Если наблюдатель удаляется, то воспринимаемая им частота колеба-
ний оказывается меньше v и может быть определена из формулы
из — v
Например, если машина с включенной сиреной приближается, а затем,
проехав мимо, удаляется, то сначала слышен звук высокого тона,
а затем низкого.
5.4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
5.4.1. Колебательный контур. Электромагнитными колебаниями
называют состояние электромагнитного поля, при котором электриче-
ское и магнитное поля изменяются во вре-
мени по гармоническому закону
Е = Еэ sin о/, И = Но sin (со/ -ф- ф),
где Ео, Но — амплитуды колебаний напря-
женностей электрического и магнитного
полей; о — угловая частота колебаний;
Ф — сдвиг фаз. Простейшей системой, в ко-
торой происходят электрические колебания,
является колебательный контур, состоящий
из соединенных в замкнутую цепь конден-
сатора емкости С, катушки индуктивности
L и сопротивления 7? (рис. 5.13). Если применить к такому контуру
второе уравнение Кирхгофа, то для изменения заряда Q на обкладках
конденсатора во времени t получим уравнение
LQ + RQ + •§- = О,
(5.26)
совпадающее с волновым уравнением свободных затухающих колебаний.
Циклическая частота этих колебаний со — ]/ (LC)"1 — R2 (4L2)-1, коэф-
фициент затухания у = R[%L) амплитуда Л при i = 0 и фаза колебаний
211
<р0 определяются из начальных условий. Решение уравнения (5.26)
имеет вид
Q == Ae~yt sin (со/ -ф- Фо)-
Если в начальный момент времени заряд на обкладках конденса-
тора Qo, а ток в цепи отсутствует, то
А _______------
/ ^су/2-
\ 4£ /
<р0= arctg-^ = arctg )/1 •
Период затухающих колебаний
_ 2л __2л
~ ~ /”j _ ‘
К LC 4L2
Сила тока I в контуре выражается формулой
I R \
I — Q — Qoe ь 1<о cos (со/ <р0) — gj- sin (со/ + ср0)I •
Зависимости от времени заряда конденсатора, тока в цепи, падений
напряжения на катушке и конденсаторе и пропорциональных им ве-
личин, например напряженности электрического поля в конденсаторе
и магнитного поля в катушке, имеют характер затухающих колебаний
и описываются формулой (5.12) только в случае, когда выполнено нера-
венство R < 2 L/C. Если R 2 УL/Ct то изменение этих величин во
времени описывается формулой
Л (/)= Л (0)г И (5.27)
где А (0) — значение рассматриваемой величины при t = 0. В этом
случае колебательное движение не происходит, а зависимость заряда,
тока и пропорциональных им величин от времени будет монотонно за-
тухающей, апериодической. Колебания электромагнитных величин
в колебательном контуре происходят без дополнительного сообщения
энергии внешним источником, поэтому являются свободными. Если
активное сопротивление R < ’/"L/C мало, то уменьшение амплитуды
колебаний во времени невелико, и колебания можно считать незатуха-
ющими, а амплитуды — постоянными. Математически такие колеба-
ния описываются формулами (5.26), (5.27), в которых положено
R == 0.
Для незатухающих колебаний сдвиг фаз ср между колебаниями
заряда на обкладках конденсатора и силы тока составляет л/2:
Q — Qo sin w0/, I = Io cos (оо/ = /0 sin ^со0/ + •
Здесь Qq и /0 = Q0(o0 — амплитуды колебаний заряда и силы тока.
Период свободных незатухающих колебаний определяется формулой
Томсона
Т^-==2л>УьС.
(0о
212
Амплитуды колебаний силы тока 70 и разности потенциалов t/0 на об-
кладках конденсатора (или на катушке индуктивности) связаны со-
отношением
где YL/C называют волновым сопротивлением контура. При таких ко-
лебаниях происходит периодический переход энергии магнитного поля
тока, протекающего через катушку, в энергию электрического поля,
сосредоточенного между обкладками конденсатора, и наоборот. В любой
момент времени суммарная энергия W постоянна:
Q4Q , Z.P (/) <?» //»
2С Г 2 2С 2 *
В момент времени, когда абсолютная, величина заряда ] Q | на кон-
денсаторе максимальна, вся энергия сосредоточена в энергии электри-
ческого поля, а магнитное поле в катушке отсутствует. Через четверть
периода значение тока максимально, полная энергия является энергией
магнитного поля, а напряженность электрического поля в конденсаторе
равна нулю. Еще через четверть периода ситуация становится такой
же, как и первоначальная, с той лишь разницей, что .заряды на об-
кладках конденсатора меняются местами. Через четверть периода
опять значение тока максимально, но его направление изменилось па
п ротивоположное.
Если не пренебрегать активным сопротивлением R, то суммарная
энергия не будет постоянной, а уменьшается во времени по закону
г (/) = W (0) е”2(/,
где 17 (0) — суммарная энергия контура в начальный момент времени.
При этом энергия электромагнитных колебаний переходит в тепловую
(джоулево тепло), выделяющуюся в проводниках, из которых состоит
контур.
Для возбуждения незатухающих колебаний к контуру подводят
периодически изменяющуюся ЭДС е = 80 sin При этом возникают
вынужденные колебания, амплитуда которых тем больше, чем ближе
частота к частоте собственных колебаний контура со0. Амплитуда
колебаний тока
Т \__________________________
—г
CcoJ
имеет максимум при резонансной частоте (£>е = о)п. Зависимость /0 (сое)
называют резонансной кривой данного контура. Полуширина резонанс-
ной кривой определяется добротностью контура
5.4.2. Электромагнитные волны. Поскольку всякое изменение маг-
нитного поля вызывает появление электрического (и наоборот), то
существует электромагнитное поле, при котором в отсутствие зарядов
и токов переменные во времени электрическое и магнитное поля под-
держивают одно другое. Электромагнитное поле, распространяющееся
с конечной скоростью, называют электромагнитными волнами (напри-
213
мер, радиоволны, видимый свет, инфракрасное и ультрафиолетовое излу-
чение, рентгеновские и у-лучи). Электромагнитные волны различаются
частотой, но имеют одинаковую скорость распространения в ва-
кууме с 3 • 108 м/с, называемую скоростью света. Скорость света
связана с магнитной р0 и электрической е0 постоянными соотношением
1
С — —7= •
V еоГо
Для среды с диэлектрической е и магнитной р, проницаемостью
скорость распространения электромагнитных волн v меньше:
с
/ер.
Для волн различной частоты она неодинакова в связи с тем, что
соответствующие диэлектрические проницаемости различны. Такое явле-
ние называют дисперсией электромагнитных волн. В среде с диспер-
сией фазовая и групповая скорости могут быть различными.
Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, справед-
ливы выражения, вытекающие из уравнений Максвелла:
д2Е д2Е 32Н д2Н /Г 00ч
дх2 ~ <9/2 > дх2 ~ <9/2 > (J-28)
а в единицах СГС
2^Е_ера2Е д2Н _ ер д2Н
дх2 с2 dt2 ' дх2 с2 дI2 ’
где Е, Н — напряженности соответственно электрического и магнит-
ного полей.
Решением уравнений (5.28) является монохроматическая электро-
магнитная волна (с учетом других уравнений, входящих в систему урав-
нений Максвелла):
G)/----I >
(5.29)
Н ~ Но sin (со/ — kxx) —H0sinlo)/---- j .
л л 2л
Здесь со — циклическая частота волны; к ~ (kx, 0, 0) = — п = у- п —
V л
волновой вектор; п — единичный вектор, проведенный вдоль распро-
странения волны; X — 2ло/со = vT — длина волны; v — скорость. Если
Е(), Но — постоянные векторы, то такую волну называют плос ко поля-
ризованной, а плоскость, образованную векторами Ео и п, — плос-
костью поляризации. Направление вектора Ео называли направле-
нием колебаний, а плоскость, содержащую Ео и п, — плоскостью коле-
баний. В плоскополяризованной волне векторы Ео и Но, являющиеся
амплитудами электромагнитной волны, перпендикулярны один другому
и оси п (направлению распространения). Электромагнитные волны явля-
ются поперечными волнами (рис. 5.14).
Амплитуды электрического Ео и магнитного Но полей в волне свя-
заны соотношением
]О^~Ео = /iIjrc/Z0,
а в единицах СГС
V ьЕй = /р/70.
214
В бегущей электромагнитной волне фазы изменяющихся электриче-
ского и магнитного полей различаются на л/2.
Если электромагнитная волна состоит из двухплоскополяризован-
пых волн, таких, что разность хода между ними составляет четверть
длины волны, а плоскости поляризации взаимно перпендикулярны,
то ее уравнение имеет вид
Е = Е01 cos (со/ — /?х) + Е02 sin (со/ — /ех), (5.30)
где Ео1, Е02 — взаимно перпендикулярные векторы колебаний двух
волн. При распространении волны (5.30) конец вектора Е описывает
эллипс, лежащий в плоскости, перпендикулярной направлению рас-
пространения волны. Этот эллипс можно вписать в прямоугольник со
сторонами 2Е01 и 2Е02. Волны, описываемые уравнением (5.30), назы-
вают эллиптически поляризованными. При £01 — £02 эллипс вырож-
дается в окружность и волна имеет круговую (циркулярную) поляриза-
цию. Если наблюдателю, смотрящему навстречу лучу, кажется, что
Рис, 5.14
конец вектора Е описывает эллипс, двигаясь по часовой стрелке, то
такую поляризацию называют правой, в противоположном случае —
левой.
Электромагнитные волпы переносят определенную энергию, объем-
ная плотность которой складывается из равных плотностей энергии
электрического и магнитного полей:
W = J (еЕ0Е2 + р.|10Я2) = —ев0Е2 pji0/72,
а в единицах СГС
Г = 8-^(еЕ3+И/72) =
8л 8л *
Энергия, переносимая через единицу поверхности, перпендикуляр-
ной направлению луча, определяется вектором Пойнтинга S (см. фор-
мулу (6.88)), который имеет мгновенное и среднее значения. Средним
значением вектора Пойнтинга для волны, описывающейся уравнением
(5.29), называют отношение энергии, переносимой волной через едини-
цу поверхности, перпендикулярной направлению распространения
волны, за один период колебаний, к величине этого периода; в вакууме:
S ~ -i l/' ~ а в единицах СГС 5 = —° и.
z г v 8л
Значение S называют интенсивностью волны.
Электромагнитная волна наряду с энергией характеризуется им-
пульсом (количеством движения), плотность которого g равна отноше-
215
нию импульса Р участка, намного меньшего длины волны %, к объему
этого участка ДЕ:
__ Р _ S
g~AV~c2 •
Полный импульс G находится векторным суммированием импульсов
всех участков пространства, в которых сосредоточено электромагнитное
поле. Если в системе действуют только внутренние силы, т. е. система
является изолированной, полный импульс, состоящий из суммы механи-
ческого импульса и импульса электромагнитного поля, есть величина
постоянная (закон сохранения импульса). Наличие у электромагнит-
ных волн импульса приводит к тому, что они оказывают давление
на соприкасающиеся с ними поверхности. Если волна падает на по-
верхность тела наклонно, то ее давление
Р = -5- (1 -р k) cos 0,
где 0 — угол между направлением луча и нормалью к поверхности;
S — интенсивность волны (среднее значение потока ее энергии); k —
коэффициент отражения волны от поверхности; с — скорость света
в вакууме.
5.4.3. Основы квантовой теории электромагнитных колебаний.
Согласно представлениям квантовой механики амплитуда и энергия
волновых процессов не могут принимать произвольных значений. Каж-
дая волна является суперпозицией целого числа элементарных волновых
возбуждений — квантов. Это относится и к электромагнитным волнам,
кванты которых называют фотонами. Фотоны являются элементарны-
ми частицами, участвующими в электромагнитных взаимодействиях,
и характеризуются импульсом р и энергией
р _ — ft к, в — Лео = рс.
Здесь со — частота волны; к — волновой вектор; h — постоянная
Планка. В зависимости от частоты фотоны называют также световыми
квантами или у-квантами. Они обладают нулевой массой покоя и дви-
жутся со скоростью света.
Фотоны одинаковой частоты могут различаться поляризацией.
Поскольку электромагнитные волны поперечны, то поляризацию фото-
нов можно характеризовать только двумя числами (например, двумя
компонентами вектора Е (5.29) в системе координат, лежащей в плос-
кости, образованной векторами Ео и Но). Таким образом, фотоны кроме
импульса и пропорциональной ему энергии характеризуются одним
из двух возможных значений поляризации. Каждому фотону соответ-
ствует определенная монохроматическая волна с волновым вектором
к — p/h.
Любое свободное электромагнитное поле можно рассматривать
как определенную совокупность частиц — фотонов. Число фотонов
с одинаковым импульсом р и поляризацией называют числом запол-
нения фотонов данного вида. Произвольные процессы электромагнит-
ных взаимодействий можно представить как акты уничтожения одних
фотонов и рождения других.
Фотоны обладают моментом количества движения (моментом им-
пульса), который может принимать значения nti, где п — любое на-
туральное число. К фотону, строго говоря, не применимо разделение
момента импульса на орбитальный и спин (момент покоящейся частицы),
216
поскольку фотон движется со скоростью света и для него не сущест-
вует системы координат, в которой он покоится. Однако формально
иногда удобно разделить момент фотона на орбитальную и спиновую
части, при этом его спин s = 1, но следует помнить, что такое разделе-
ние имеет ограниченный смысл. Фотоны подчиняются статистике Бо-
зе — Эйнштейна и являются бозонами.
Поскольку фотоны не обладают никаким зарядом, то они не имеют
античастиц. Фотоны могут поглощаться и излучаться другими частица-
ми без преобразования этих частиц в другие. Взаимодействие фотонов
с частицами, обладающими зарядом или магнитным моментом, опреде-
ляет один из классов взаимодействий — электромагнитное. Величина
его характеризуется константой а == e4hc « 1/137. По величине элек-
тромагнитное взаимодействие занимает промежуточное положение
между классами сильных и слабых взаимодействий.
5.4.4. Принципы радиосвязи. Электромагнитные волны распро-
страняются с очень большой скоростью, поэтому являются удобн ым
средством для передачи разнообразных сообщений и используются
в радиотехнике для связи. Такой вид связи называют радиосвязью.
В радиосвязи диапазон длин волн составляет от 103 м (длинные волны)
до 10“2м (ультракороткие). Необходимым условием радиосвязи явля-
ется наличие излучателя несущих информацию электромагнитных
волн (передатчика) и их преобразователя в исходные сигналы (прием-
ника).
В передающих устройствах в энергию распространяющихся элек-
тромагнитных волн преобразуется энергия текущих в них токов про-
водимости. С точки зрения классической (не квантовой) электродина-
мики к появлению электромагнитных волн ведут любые ускоренно
движущиеся электрические заряды. Последнее связано с тем, что элек-
трическое поле неравномерно движущегося заряда переменно во всех
системах отсчета, что и обусловливает излучение. Равномерно движу-
щийся заряд не излучает электромагнитных волн. Это следует из того,
что его можно рассматривать в инерциальной системе координат, дви-
жущейся с той же скоростью, в которой этот заряд покоится, а покоя-
щиеся заряды не излучают электромагнитных волн.
Полная энергия /, излучаемая зарядом q, движущимся с ускоре-
нием а, в единицу времени, определяется формулой
Т Я'а<2 nvn I 2q'la2
1 ~ ----х у а в единицах СГС 1 = —,
6ле0с3 Зе3 ’
и называется интенсивностью излучения.
Обычно излучателем является не один движущийся заряд, а це-
лая их система, имеющая определенные дипольный, квадрупольный
и магнитный моменты, изменение каждого из которых приводит к из-
лучению электромагнитных волн. Эти излучения называют соответст-
венно дипольным, квадрупольным и магнитно-дипольным. Амплитуды
квадрупольного и магнитно-дипольного излучений в dv > 1 раз мень-
ше, чем амплитуда дипольного, если через v обозначить характерную
скорость движения зарядов в излучателе. Поэтому дипольное излуче-
ние является определяющим, его полная интенсивность
~~ 6Л80С3 *
а в единицах СГС
'-да1* -₽ (да)’’ М)
где р — дипольный момент излучателя.
217
Излучатель помимо интенсивности излучения характеризуется
также диаграммой направленности — зависимостью интенсивности
излученных им электромагнитных волн от направления. Интенсив-
ность поля дипольного излучения S в направлении вдоль вектора п
зависит от угла 0, который составляет этот вектор с вектором р ускоре-
ния дипольного момента:
S (0) = S sin2 0.
Здесь —максимальная интенсивность излучения в направлении,
перпендикулярном р. Диаграмма направленности дипольного излучения
представлена на рис. 5.15.
Амплитуду напряженности
электрического Ео и магнитного Но
полей на расстоянии R от диполь-
ного излучателя, большом по
сравнению с длиной излучаемой
волны и размерами самого излуча-
теля, определяют по формулам
".«-Jsslfx «1.
Рис. 5.16
ИР X R] X
а в единицах СГС (гауссовой)
Но (R) = 7^5- [р X R], Ео (R) = ~ Цр X R] X R].
Примером излучательной системы может служить открытый ко-
лебательный контур, содержащий емкость не в виде закрытого плос-
кого конденсатора, электрическое поле которого заключено между
обкладками, а в виде системы проводников, электрическое поле кото-
рых распространяется на окружающее пространство. При возбуждении
колебаний определенной частоты контур будет излучать электромаг-
нитные волны той же частоты. Если со — частота колебаний диполь-
ного излучателя, то его дипольный момент можно представить в виде
р = posin со А а р == — co2posin со А Согласно формуле (5.31) средняя
интенсивность излучения такого контура
со4/?о й)4/?о
I = -гх---- , а в единицах СГС I — -—-.г •
12ле0с3 ос*
218
Быстрый рост энергии излучения при повышении его частоты дик-
тует необходимость использования в целях радиосвязи высоких частот,
значительно превышающих звуковые. Эти высокочастотные волны на-
зывают несущими. Для передачи звука несущую, синусоидальную вол-
ну модулируют — изменяют ее параметры с помощью медленно меня-
ющихся во времени колебаний звуковой частоты. Различают частот-
ную, амплитудную и фазовую модуляции.
Амплитудная модуляция заключается в медленном изменении ам-
плитуды несущей волны
А == Ао (1 + /г cos Q/) cos со/,
где со — высокая (несущая) частота; Q — низкая (со > Q); k — коэф-
фициент модуляции. В приемнике из модулированных колебаний вы-
сокой частоты выделяют низкочастотную огибающую Ао (1 + k cosQ/).
Этот процесс называют демодуляцией или детектированием (см.
рис. 5.16: а — смодулированное колебание, б— модулированное
колебание, в — низкочастотная огибающая).
При частотной модуляции изменяется несущая частота колебаний
со:
А ~ Ао cos со/ == /10 cos [со0 (1 + cos Q/) /].
Частота модуляции Q значительно меньше несущей соо. Значение < I,
характеризующее максимальное отклонение частоты со = соо (1 + /9 cos QZ)
от средней со0, называют глубиной модуляции, a /^coo/Q, обычно зна-
чительно превышающее единицу, называют индексом частотной моду-
ляции. При фазовой модуляции изменяется фаза колебаний. Однако ее
применение в технике более ограничено, чем амплитудной и частотной
модуляций.
На распространение радиоволн оказывают влияние как физические
свойства земной поверхности, так и атмосферные явления. Длинные
и средние волны могут огибать выпуклую поверхность Земли за счет
дифракции, поэтому проникают на большие расстояния. Короткие
волны с л < 100 м отражаются от ионосферы и за счет их многократных
отражений также существует возможность передачи с их помощью
информации на большие расстояния. Ультракороткие волны с X < 10 м,
на которых ведется телевизионная связь, проникают через ионосферу,
не дифрагируют от крупных объектов земного рельефа, поэтому не
огибают поверхности Земли. В связи с этим телепередачи осущест-
вляются практически только в пределах прямой видимости, а на боль-
ших расстояниях необходима их ретрансляция.
Раздел 6
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
6.1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
6.1.1. Электрические заряды. Закон Кулона. Предметом электро-
динамики является изучение электромагнитных полей и взаимодейст-
вий. Электромагнитное взаимодействие можно в каждой инерциальной
системе отсчета разделить на электрическое и магнитное. Электрическое
взаимодействие связано с наличием у тел электрического заряда: по-
ложительного или отрицательного. Положительным зарядом обладают
протоны, ионы атомов металла, позитроны; отрицательным — элект-
роны, антипротоны, ионы неметаллических элементов в растворе и т.д.
Существуют электрически ие заряженные частицы (нейтральные):
нейтрон, нейтрино. Их электрический заряд равен нулю, в электриче-
ских взаимодействиях они не участвуют. Абсолютная величина электри-
ческого заряда определяет интенсивность электрического взаимодейст-
вия, для элементарных частиц она одинакова и называется элемен-
тарным зарядом, приближенно равным 1,6 • 10“19 кулона (Кл) или
4,8 • 10~10 единиц заряда СГС (под системой единиц СГС здесь и далее
понимается гауссовая система СГС, в которой у индукции и напряжен-
ности электрического и магнитного полей одинаковая размерность,
а уравнения электродинамики имеют наиболее простой вид); 1 Кл—
= 3 • 109 единиц заряда СГС. Кулон является производной единицей
и определяется как заряд, проходящий за 1 с через сечение проводни-
ка, по которому течет постоянный ток силой 1 А; 1 Кл = 1 А • 1 с.
Поскольку все тела построены из атомов, состоящих из электро-
нов, протонов и нейтронов, то заряд любого тела кратен элементарно-
му. Если числа положительно и отрицательно заряженных элементар-
ных частиц совпадают, то суммарный заряд тела равен нулю и оно
оказывается неэлектризованным (незаряженным). Электрические заря-
ды могут перемещаться. Тела, в которых всякое электрическое поле
вызывает движение заряда (электрический ток), называют проводни-
ками. В противном случае тело является диэлектриком (изолятором).
Процесс электризации тела (трением, соприкосновением с другими те-
лами) состоит в добавлении или изъятии из него определенного числа
электронов. В первом случае тело оказывается заряженным отрица-
тельно, а во втором — положительно. В изолированной (замкнутой)
системе выполняется закон сохранения заряда: алгебраическая сумма
зарядов всех частей системы постоянна:
?! + <?2 + 9з+•••+= const.
Заряды называются точечными, если размеры тел, на которые
они сосредоточены, намного меньше расстояний между телами. В этом
случае можно пренебречь формой и размерами заряженных тел и счи-
тать, ч го каждый! заряд сосредоточен в одной точке. Раздел электро-
220
динамики, в котором изучаются свойства неподвижных в какой-либо
инерциальной системе отсчета зарядов, называется электростатикой.
Взаимодействие двух покоящихся точечных зарядов в вакууме
определяется основным законом электростатики — законом Кулонт
сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропорциональна
их модулям и обратно пропорциональна квадрату расстояния между
ними:
р = k I <71 I I I F = k
Г2 Г3 ’
(6.1)
где F — сила, действующая на первый заряд со стороны второго; г —
радиус-вектор, проведенный от второго заряда к первому; k = 1/4jxf0,
а в единицах СГС k = 1; в0 — электрическая постоянная) равная
8,85 • 10^ Кл2/Н • м2 = 8,85 • 10’6 Ф/м.
Вектор силы F12, действующей со стороны второго заряда на пер-
вый, ориентирован вдоль прямой, соединяющей оба тела, и направлен
в сторону второго заряда, если заряды разных знаков, и в противопо-
ложную, если заряды одного знака (оба положительны или оба отрица-
тельны). Одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притя-
гиваются. В соответствии с третьим законом Ньютона силы F12 и
F2] одинаковы по величине и противоположны по направлению;
F2i = f 12.
Закон Кулона в форме (6.1) справедлив также для взаимодействия
двух непроводящих сфер, заряд в которых распределен однородно
по объему или поверхности, только под расстоянием между зарядами
понимается расстояние между центрами сфер. Если два точечных за-
ряда помещены в диэлектрик и расстояние от этих зарядов до границ
диэлектрика значительно больше расстояния между зарядами, то сила
взаимодействия между ними определяется законом Кулона для ди-
электриков:
F = k 1 атот
8 Г2 ’
где fc — диэлектрическая проницаемость. Поскольку для любого ве-
щества е > 1, то всегда сила, с которой взаимодействуют два заряда
в диэлектрике, меньше силы взаимодействия их на том же расстоянии
в вакууме.
6.1.2. Электрическое поле. Напряженность поля. Электрические
заряды создают вокруг себя электрическое поле, которое действует
на них с некоторой силой и является частным случаем электромагнит-
ного поля. Электрическое поле неподвижных зарядов называется
электростатическим полем. Оно неизменно во времени и существует
только в присутствии электрических зарядов. Переменное электриче-
ское поле создается не только зарядами, но и электромагнитными ко-
лебаниями.
Электрическое поле характеризуется вектором напряженности Е.
Напряженность поля в данной точке равна отношению силы F, с кото-
рой поле действует на пробный заряд помещенный в эту точку, к ве-
личине этого заряда (заряд называется пробным, если он достаточно
мал, чтобы не вызывать искажений поля и перераспределения зарядов).
Единицей» напряженности принят вольт на метр (В/м). Напряженности
поля часто называют просто полем:
221
Согласно закону Кулона сила, действующая на пробный заряд,
пропорциональна его величине. Поэтому напряженность поля не
зависит от этого заряда, а является характеристикой поля в данной
точке. Направления вектора напряженности и силы, с которой поле
действует на положительный заряд, совпадают.
Напряженность поля, созданного точечным зарядом Q на рас-
стоянии г от него, определяется формулой
Е = k , Е = k -Я г. (6.2)
8Г2 8/г 4 7
Вектор напряженности направлен по радиусу-вектору от заряда, если
Q > 0, и к заряду, если Q < 0.
Поле называется однородным, если его напряженность по величине
в направлению одинакова во всех точках области. Поле точечного за-
ряда неоднородно.
Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плос-
кости определяется формулой (о — заряд на единицу поверхности):
О г' 2jT0
Е — —, а в единицах СГС Е =-------,
288q 8
Вектор Е перпендикулярен плоскости, а его модуль всюду одинаков.
Если плоскость заряжена положительно, вектор направлен от нее,
а если отрицательно, то к ней. Поле, создаваемое бесконечной равно-
мерно заряженной плоскостью, с каждой стороны от нее однородно.
Поле, создаваемое бесконечным равномерно заряженным цилинд-
ром, внутри него отсутствует (Е = 0), а вне его направлено перпен-
дикулярно оси цилиндра и определяется формулой
qT
Е — ------, а в единицах СГС Е — — , (6.3)
2я8Е0Г 8Г 47
где г — расстояние от оси; qL— заряд, приходящийся на единицу длины
цилиндра.
Поле, создаваемое Сферой, р-авномерпо заряженной по поверхно-
сти, внутри ее равно пулю, а снаружи совпадает с полем точечного за-
ряда, находящегося в центре сферы и равного по величине се полному
заряду Q (см. формулу (6.2), где г — расстояние до центра сферы).
Если тело сферической формы заряжено равномерно по объему, т. с.
заряды равных объемов этой сферы в любом месте одинаковы, то поле
внутри нее отлично от нуля и определяется выражением
r<R,
е/?3
где г — расстояние до центра сферы; /? — ее радиус; Q — полный за-
ряд. Поле Е направлено по радиусу. В точках вне сферы поле опреде-
ляется формулой (6.2), совпадая с полем точечного заряда Q, помещен-
ного в центре сферы.
Если на пробный заряд действует поле от нескольких источников,
то результирующее поле определяют из принципа суперпозиции или
наложения этих полей: напряженность электрического поля системы
зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых
отдельными зарядами:
E = Ex+E2+ ... +Е„.
222
Графически электрическое поле представляется силовыми линия-
ми. Силовой линией или линией вектора напряженности поля назы-
вают линию, у которой в любой точке направления касательной и век-
тора напряженности совпадают. Силовые линии начинаются на поло-
жительных'зарядах и заканчиваются на отрицательных (рис. 6.1),
а для точечного заряда, удаленного от других зарядов, направлены
по прямым. Силовые линии электрического поля непрерывны и нигде
не пересекаются. Чтобы с помощью силовых линий наглядно изобра-
зить направление и величину напряженности поля, условились про-
водить их так, чтобы число линий, проходящих через единицу поверх-
ности, перпендикулярной им, было пропорционально напряженности
поля в данном месте. Таким образом, напряженность поля больше там,
где силовые линии расположены
гуще.
Важным свойством электроста-
тических сил является то, что^заря-
женные тела не могут находиться
в устойчивом равновесии под дей-
ствием только этих сил (теорема
Ирншоу). Поэтому невозможно соз-
дать устойчивую модель атома из
неподвижных частиц. Для устойчи-
вого равновесия необходимо, чтобы
частицы находились в движении.
6.1.3. Потенциал электрического
поля. При перенесении заряда в элек-
трическом поле силы поля совершают
работу. В электростатическом поле
работа перемещения заряда между
двумя точками не зависит от формы
пути, соединяющего эти точки. Если
это замкнутая траектория, то работа сил равна нулю. Поля, обла-
дающие таким свойством, являются потенциальными или консерва-
тивными.
В потенциальном поле можно ввести величину, описывающую по-
тенциальную энергию вносимых в поле зарядов, например разность
потенциалов или напряжение. Разность потенциалов — <р(г2)
точек 1 и 2 с радиусами-векторами и г2 в электростатическом поле
равна работе, совершаемой силами поля при перемещении един ичного
положительного заряда из точки 1 в точку 2:
~ = Ф (',) — Ф fo).
ч
(6.4)
где Л1з — работа по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2.
Работа сил электрического поля по перемещению заряда q соглас-
но закону Кулона пропорциональна величине q, поэтому разность
потенциалов ср (гх) — ф(г2) не зависит от пробного заряда q, а является
только характеристикой электростатического поля. Значение qq(r)
является потенциальной энергией точечного заряда Ер в точке г:
Ер = <7.Ф (г)-
За единицу разности потенциалов (или напряжения) принят вольт (В).
Напряжение или разность потенциалов двух точек равно 1 В, если при
перемещении заряда 1 Кл между этими точками совершается работа
в 1 Дж,
223
Поскольку в формулу закона сохранения энергии (например, в
формулу (6.4)) входит не сам потенциал ср (г), а разность потенциалов
в каких-либо двух точках, то прибавление к нему произвольного по-
стоянного числа не изменяет значения разности ср (г,) — ср(г2). Поэтому
потенциальная функция определена не однозначно, а зависит от
выбора начала отсчета энергии. Точку, в которой потенциал равен ну-
лю, можно выбрать произвольно, исходя из соображений удобства,
в зависимости от условий задачи. За нулевое значение потенциала при-
нимают, если это возможно, - потенциал бесконечно удаленной точки
(т. е. полагают, что ср -> 0 при г->оо) или потенциал Земли. При таком
выборе начала отсчета потенциал электростатического поля равен
работе, совершаемой силами поля при перемещениии единичного поло-
жительного заряда из данной точки в бесконечно удаленную точку
или на поверхность Земли.
Если на пробные покоящиеся заряды, помещенные в поле, дейст-
вуют только электрические силы, то эти заряды начнут двигаться,
стремясь уменьшить свою потенциальную энергию, т. е. положитель-
ные заряды силами поля перемещаются из точек с более высоким по-
тенциалом в точки с более низким, отрицательные заряды, наоборот,
из точек с более низким потенциалом в точки с более высоким.
Энергетическая и силовая (напряженность) характеристики поля
связаны соотношением
£ = _ д(Р (*. lh г> £ = _ дф (*, У. ?) Е _ _ d<jp (х, у, г) б 5
х дх ' у ду ’ г dz ’ ' ' '
где Ех, Eg, Ez — проекции вектора напряженности поля на оси х, у, г
прямоугольной системы координат. Напряженность всегда направлена
в сторону убывания потенциала. Если потенциал поля зависит только
от одной переменной г, то выражение (6.5) упрощается:
Е = —<р' (г), ф (г) — — J Е (г) dr.
В частности, потенциал поля точечного заряда или равномерно заря-
женного тела сферической формы с суммарным зарядом q на расстоя-
нии г от центра определяется выражением
Ф = -—-— , а в единицах СГС ф — — . (6.6)
4JTEEq^" ЕГ
Если заряду распределен равномерно по поверхности сферы, то внутри
нее потенциал постоянен:
Ф = -—2— а в единицах СГС ф — Д-
‘ 4лее0Я * е /?'
где R — радиус сферы, а если по объему шара,чТо внутри шара он из-
меняется по закону
ф = (4/? “ 7 R») ’/ < R’ . , (6,7)
а в единицах СГС
* 2е\4/? 4/?*/
Разность потенциалов между точками 1 и 2, удаленными на рас-
стоянии г3 и г2 от оси бесконечного равномерно заряженного цилиндра
или нити, определяется по формуле
t r2
fPi — Фг = о---Ь - ,
2ле08
а в единицах СГС
. г2
Ф1 ~ ф2 = — in ~ ,
е Г1
где q^— линейная плотность заряда, т. е. заряд, приходящийся на еди-
ницу длины цилиндра или нити.
однородном поле — const) разность
потенциалов между точками 1 и 2 связана
с н а п р я же н н ост ь ю фо р м у л о й
фг — Фа — (Е • tai) = Ed cos а.
Здесь г23 — вектор, проведенный из точки 1
в точку 2; d — расстояние между этими точ-
ками; а — угол между векторами Е и г23(рис.
6.2) . В частности, между двумя параллель-
ными плоскостями с одинаковой, но разнои-
менной поверхностной плотностью зарядов а
разность потенциалов
od
Ф1 “ Ф2 = — ,
а в единицах СГС
/
Рис, 6.2
(плоский конденсатор)
где d — расстояние между плоскостями (обкладками конденсатора).
В соответствии с принципом суперпозиции полей потенциал поля
<р, создаваемого системой зарядов, равен сумме потенциалов полей,
создаваемых в рассматриваемой точке источником поля:
Ф>) = Ф1 0‘) + Фг (г) + .••+ Фл(г).
Это дает возможность найти потенциал поля произвольно распреде-
ленных зарядов. Такое распределение можно разделить па малые эле-
менты, каждый из которых представляет собой точечный заряд, а затем
найти сумму потенциалов каждого из них.
Графически распределение потенциала поля представляется в виде
эквипотенциальных поверхностей, все точки которых имеют один и
тот же потенциал. При любом перемещении заряда по одной экви-
потенциальной поверхности работа сил поля равна нулю и силовые
линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Экви-
потенциальными поверхностями поля точечного заряда являются
сферы с центром в точке нахождения заряда, а однородного поля —
плоскости, перпендикулярные направлению напряженности поля.
6.1.4. Теорема Остроградского — Гаусса. Электрическая индуащгш.
Электрическая индукция (или электрическое смещение) в вакууме
определяется как
D - е0Е.
8 .5-1472
•225
Единицей индукции служит 1 Кл/м2. (В гауссовой системе вектор элек-
трической индукции в вакууме равен вектору напряженности поля.)
В однородном диэлектрике, не проявляющем сегнетоэлектрических
свойств,
D — ве0Е, а в единицах СГС D = Ее, (6.8)
где е — диэлектрическая проницаемость (безразмерное число). В од-
нородном диэлектрике, заполняющем все пространство, напряженность
обратно пропорциональна 8 (см., например, формулу (6.7)), поэтому
индукция в этом случае не зависит от диэлектрических свойств среды.
Графически распределение электрической индукции изобража-
ется линиями, касательная к которым совпадает с направлением век-
тора электрической индукции в данной точке, а густота пропорциональ-
на модулю этого вектора. Линии электрической индукции непрерывны,
начинаются и заканчиваются на заря-
дах.
Поток, электрической индукции че-
рез плоскую поверхность площади S
определяется по формуле
Ф = SD cos а = SD cos (и • D) — SDn,
где а — угол между вектором нормали п
к поверхности и вектором D; Dn—про-
екция вектора D на эту нормаль (рис. 6.3).
Если поле неоднородно и поверх-
Рис. 6.3
ность не является плоскостью, то ее
можно разбить на малые элементы, каждый из которых считать плос-
ким^ поле в его пределах — однородным. Тогда полный поток индук-
ции через поверхность находится как сумма потоков через все ее эле-
менты.
Поток через поверхность пропорционален числу линий электриче-
ской индукции, пронизывающих эту поверхность. Полный поток ин-
дукции через сферу радиуса г, в центре которой находится заряд q,
Ф — q, (6.9)
а в единицах СГС
гл о г?4л/'2
Ф = DS — — — — 4nq,
от радиуса сферы не зависит.
В общем случае справедлива теорема Остроградского—Гауссах
поток индукции через произвольную замкнутую поверхность равен
алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью-
Например, если внутри замкнутой поверхности находится п зарядов,
то
Ф — + Яг + * ’ • + <7zp
а в единицах СГС
Ф = 4 л (<?! + +.......h q,,).
Если заряды скомпенсированы или отсутствуют, то поток индукции
через произвольную замкнутую поверхность равен нулю.
Теорема Остроградского—Гаусса проиллюстрирована на рис. 6.4..
Поверхности Sj и S2 пронизывает одинаковое число линий, поэтому
соответствующие потоки индукции равны между собой. Суммарное ко-
личество силовых линий, пронизывающих поверхность S3, равно
нулю (число входящих и выходящих линий одинаково, а значит, сум-
марный поток индукции через поверхность равен нулю). Эта теорема
226
используется при решении задач электростатики с симметричным рас-
пределением зарядов.
Определим с помощью теоремы Остроградского—Гаусса поле,
создаваемое равномерно заряженным по объему шарообразным телом
радиуса и плотностью заряда р. Поле направлено вдоль радиусов
и зависит только от расстояния рассматриваемой точки от центра шара.
Поток индукции через сферу радиуса г < R (внутри тела) рассчитыва-
ется по формуле
Ф = D4№. (6.10)
Здесь учтено, что cos а == I, поскольку поле направлено строго пер-
пендикулярно поверхности. Так как полный заряд, охватываемый этой
поверхностью, равен 4лг3р/3,
то используя формулу (6.10),
получаем
D = гр/3.
Индукцию поля при г > R (впе
тела) находим, учитывая, что
внутри сферы содержится за-
ряд q = 4лр7?3/3. Тогда в со-
ответствии с теоремой Острог-
радского—Гаусса
Зг2 •
6.1.5. Поле диполя. Взаи-
модействие диполей. Диполем
называют совокупность двух
равных по величине и проти-
Рис. 6.4
воположных по знаку точеч-
ных заряда ±7, расположенных на расстоянии I друг от друга. Ли-
нию, проходящую через заряды, называют осью диполя. Диполь ха-
рактеризуется моментом р — ql (вектор 1 лежит на оси диполя и на-
правлен от отрицательного заряда к положительному).
Напряженность поля диполя в точке, расположенной на расстоя-
нии г от него (г > /), определяется по формуле
а в единицах СГС
3 (рг)г ___ р
4Л88О Г5 4п880Г3 ’
(6.Н)
Е 3 (рг) Г J
8Г5 8Г3 *
Составляющие напряженности поля в направлении радиуса-вектора г
я перпендикулярно ему имеют соответственно вид
z Ег = р cos а/2лееог, = р sin а/4ле0г3.
Здесь а — угол между векторами г и р. Абсолютная величина напря-
женности Е ~ А2 + Е& вычисляется по формуле
£ -—£—_ у з COS2 а |
4лее0г3 г 1
tg ₽ =’ =- V
1 Z-f у
8*
227
где р — угол между вектором Еи направлением вектора г (см. рис. 6.5).
Силовые линии поля электрического диполя представлены на
рис. 6.6. Потенциал поля диполя
1 р cos а „„„ pcosa zp
Ф — ------—— , а в единицах СГС гр — -—-— (6.12)
1 4ле08 г2 * ег2 '
Формулы (6.11)—(6.12) приближенные и применимы только при г>/.
Если это условие не выполняется, то следует пользоваться точными
выражениями, полученными из закона Кулона с применением прин-
ципа суперпозиции.
Если диполь помещен в однородное поле Ео, то действующая на
него результирующая сила равна нулю, а пара сил с отличным от нуля
моментом М ориентирует его вдоль поля:
М=[рХЕ0]. (6.13)
Если обозначить угол между направлениями векторов Ео и р через 0,
то М = pEQ sin 0, а энергия диполя р во внешнем поле Е
W = —рЕ0 — р£0 cos 0. (6.14)
Формулы (6.13) и (6.14) справедливы и в неоднородных, но слабо ме-
няющихся на расстоянии I полях.
Два расположенных па одной оси и одинаково ориентированных
диполя с моментами pt и р2, находящихся на расстоянии г один от дру-
гого, взаимодействуют с силой
/г 6Р^
12 4яе80г4 ’
а в единицах СГС Fl2 = —— .
(6.15)
Минус в правой части формулы (6.15) означает, что диполи, направлен-’
ные один к другому разноименными зарядами, взаимно притягиваются.
В случае противоположной ориентации диполей сила их взаимодсйст*
228
вия совпадает по модулю с силой (6.15), но отличается направлением*
и диполи отталкиваются. Знак в формуле (6.15) изменяется на противо-
положный. Если дипольные моменты рх и р2 перпендикулярны г, то
сила взаимодействия
F 3PiP2
12 4лее0г1 ’
З/ЛЩ»
а в единицах СГС Е12 = ••• ,
является силой отталкивания при одинаковой ориентации диполей,
и силой притяжения — в противоположном случае.
Потенциальная энергия двух произвольно ориентированных вза-
имодействующих диполей, расположенных на расстоянии г один от
другого, определяется по формуле
IV = РхРа _ 3 (ГР1) (Фа) (6 16)
4лее0г3 4пев0/^ ’
а в единицах СГС
IV == ЦЬ _ 3 (rPi) (гРз)
; er3 ег5
6.1.6 Мультиполи. Чтобы найти напряженность и потенциал
электростатического поля протяженного тела с распределенными в
нем зарядами в точке, расположенной от тела на расстоянии, значи-
тельно превышающем его размеры, удобно применять разложение по
мультиполям. Потенциал поля как функцию расстояния можно раз-
ложить по целым степеням малого параметра г/R, т. е. представить
в виде числового ряда суммы, в котором последующий член содержит
параметр г! R в степени, на единицу большей, чем предыдущий. Здесь
г — максимальное расстояние между точками поверхности тела, a R —
расстояние от тела до рассматриваемой точки. Таким образом, потен-
циал поля можно представить в виде ряда с убывающими по абсолют-
ной величине слагаемыми
<P(R) = -^ + J + ^+... . (6.17)
являющегося разложением по мультиполям, коэффициенты <рп которого
определяются мультипольными моментами /г-го порядка.
В первом приближении можно считать, что весь заряд тела сосре-
доточен в одной точке, и определить потенциал как потенциал поля,
создаваемого точечным зарядом, по формуле (6.6). Такое приближение
соответствует учету только первого слагаемого в выражении (6.17),
а полный заряд тела называют мультипольным моментом нулевого
порядка. Если полный заряд равен нулю, т. е. равно нулю первое
слагаемое в разложении (6.17), то потенциал поля определяется уче-
том следующих слагаемых: второго (дипольного), третьего (квадру-
польиого), четвертого (октупольного) и т. д. Дипольный момент тела
(первый мультипольный) определяется формулой р = lLiviqi, где сум-
ма берется по всем зарядам, распределенным в теле; qt — величина
i-ro заряда; г/ — его радиус-вектор. Вклад дипольного момента в потен-
циал определяется по формуле (6.12) и совпадает с потенциалом поля,
созданного диполем, дипольный момент которого равен дипольному мо-
менту тела. Если точность дипольного приближения недостаточна или
он равен нулю, то учитывают квадрупольный момент тела. Наиболее
простой вид квадрупольный момент имеет в том случае, когда распрсде-
229
ление зарядов симметрично относительно некоторой оси (например,
г). Для такой системы зарядов квадрупольный момент
i
где rz — его радиус-вектор; 2i — проекция вектора г4- на ось г; на рас-
стоянии R от тела потенциал квадруполя
D
а в единицах СГС (р = - (3 cos2 0 — 1).
Здесь 0 — угол между радиусом-вектором R рассматриваемой точки
поля и осью г.
4- — Д- Простейшая система (трех точсч-
9____________Я____ р пых зарядов), поле которой опреде-
9 % ляется квадрупольным моментом, по-
г казана на рис. 6.7. Общий заряд и
дипольный момент этой системы рав-
Рис- 6.7 иы нулю. Распределение зарядов
симметрично относительно проходя-
щей через них прямой, а квадрупольный момент их определяется
формулой D — 2qa2.
Квадрупольный момент равномерно заряженного эллипсоида
2
вращения равен -Q (Ь2 — а2), где Q — полный заряд; Ь, а — соот-
о
ветствеппо большая и малая полуоси. При необходимости рассматри-
вают октупольный момент. Поле следующего мультиполя слабее поля
предыдущего в г/R < 1 раз, поэтому в зависимости от условий задачи
и требуемой точности вычислений ограничиваются первыми мульти-
полями (диполями или квадруполями).
6.1.7. Проводники в электрическом поле. В проводниках элек-
трические заряды могут свободно перемещаться. В одних из них (на-
пример, металлах) это не связано с заметным переносом вещества пли
химическими превращениями, а в других (например, растворах элек-
тролитов, ионизированных газах) — связано. Будем рассматривать
только проводники металлического типа, в которых часть электронов
свободно перемещается по всему объему. Если такой образец поместить
во внешнее электрическое поле, то электроны в металле движутся до
тех пор, пока на них действуют силы, т. е. пока поле внутри металла
не станет равным нулю (Е — 0), а потециал постоянным (ср — const)
во всем объеме металла. Согласно теореме Остроградского — Гаусса
плотность заряда внутри проводника равна нулю. Весь заряд скапли-
вается на его внешней поверхности.
Электрическое поле вне проводника вблизи его поверхности и си-
ловые линии поля всегда перпендикулярны поверхности металла. В
противном случае на электроны действовала бы сила, приводящая к их
перемещению вдоль поверхности. Это перемещение продолжалось бы
до тех пор, пока заряды не перераспределились таким образом,
чтобы исчезла сила, вызывающая их движение.
Напряженность поля вблизи поверхности заряженного проводника
с поверхностной плотностью заряда а определяется выражением Е
Е — о/г0, а в единицах СГС Е ~ 4ло.
230
Поскольку поле внутри проводника равно нулю, оно раЪпо нулю и в
любой его полости. Поэтому полый металлический проводник полно-
стью экранирует (ослабляет) внешнее электрическое поле (рис. G.8).
Это свойство используется для устройства электростатической защиты.
Если внести заряды внутрь полого замкнутого проводника, то поверх-
ностные индукционные заряды возникают не только на внешней, но и
на внутренней его поверхности. Причем, чтобы при отсутствии внеш-
него поля полностью скомпенсировать поле в толще проводника, не-
обходим суммарный поверхностный заряд на внешней поверхности,
равный как заряду на внутренней, но отличающийся знаком, так и за-
ряду внутри полости.
Поверхностная плотность зарядов сферического проводника пос-
тоянна, а проводника более сложной формы распределяется не рав-
номерно: вблизи выступов опа больше, а вблизи впадин — меньше.
Рис. 6.8
Это означает, что напряженность поля наибольшая вблизи острых краев
проводника.
6.1.8. Электрическая емкость. Конденсаторы. Физическую вели-
чину, характеризующую способность проводника накапливать па себе
заряды, называют электрической емкостью (электроемкостью). При
переносе заряда с одного проводника на другой совершается работа
против сил электрического поля, которая согласно закону Кулона и
принципу суперпозиции пропорциональна этому заряду. Таким обра-
зом, разность потенциалов U после переноса заряда между провод-
никами пропорциональна заряду этих проводников q, т. е.
q = CU,
(6.18)
где С — коэффициент пропорциональности, называемый электрической
емкостью двух проводников. Электроемкость зависит от геометриче-
ской формы, размеров и взаимного расположения проводников и ди-
электрических свойств окружающей их среды. Под электроемкостью
отдельного проводника понимают электроемкость системы двух провод-
ников, в которой один удален па бесконечно большое расстояние
(намного превышающее размеры рассматриваемого проводника). Еди-
ницей электроемкости является фарад (Ф), 1 Ф = 9 • 1011 см. Электро-
емкость двух проводников равна 1 Ф, если при сообщении им зарядов
1 Кл и—1 Кл между ними возникает разность потенциалов 1 В. В си-
стеме СГС единицей электроемкости является сантиметр (см).
Электроемкость уединенного шара радиуса /?, т. е. шара, удален-
ного от других проводников на расстоянии значительно большем R,
находящегося в однородной диэлектрической среде с проницаемостью е,
определяется по формуле
С — а в единицах СГС С — &R,
231
Большую электроемкость имеет конденсатор, представляющий собой
два проводника, разделенных слоем диэлектрика, толщина которого
мала по сравнению с размерами проводников. Проводники в этом
случае называют обкладками конденсатора. Заряды обкладок всегда
равны по величине и противоположны по знаку. Электроемкость кон-
денсатора не зависит от окружающих его тел.
Плоским называют конденсатор, состоящий из двух параллельных
пластин с одинаковой площадью S, расположенных на малом рас-
стоянии d одна от другой. Его электроемкость
С — , а в единицах СГС С = -Л—-,
d 4nd
где 8 — диэлектрическая проницаемость среды между обкладками. На-
пряженность поля между пластинами определяется по формуле
т-1 о /-'г'/-' г-> 4до .п .
Е — — , а в единицах СГС Е =--------------. (6.19)
е0£ 8
Здесь о — поверхностная плотность заряда. Поле вне пластин равно
нулю.
Электроемкость шарового конденсатора с обкладками в виде двух
концентрических сфер радиусами и г2 (г2 > г-J, между которыми на-
ходится диэлектрик с проницаемостью е, вычисляют так:
а в единицах СГС
4яе80/-1г2
Г2 — г1 ’
' Г2—Гг'
Электроемкость цилиндрического конденсатора
г =
. In (Г2/Г1) ’
а в единицах СГС
с =_____Ц__
2 In (гг/Г1) ’
где r2, г, — радиусы внешнего и внутреннего цилиндров, I — их длина.
При имеющемся наборе конденсаторов можно получить батареи
конденсаторов заданной электроемкости с помощью параллельного или
232
последовательного их соединений. В первом случае соединяют между
собой одноименно заряженные пластины конденсаторов (рис. 6.9, а),
разность потенциалов cpt — <р2 на обкладках каждого из них оди-
накова, накопленный заряд равен сумме зарядов конденсаторов:
q ~ + <7я + ••• а электроемкость — сумме электроемкостей
отдельных конденсаторов:
С == -—L— = + Са + • • • + Сп. (6.20)
ЧТ — г2
Во втором случае на обкладках каждого конденсатора находится один
и тот же заряд (рис 6.9, б}, а емкость определяется из формулы
Здесь суммарная электроемкость меньше электроемкости любого вхо-
дящего в соединение конденсатора.
При смешанном соединении конденсаторов (рис. 6.10) суммарную
электроемкость определяют в несколько этапов. Например, сначала
находят сумму электроемкостей С\ и С2 двух конденсаторов по формуле
(6.21) и заменяют их одним (см. рис. 6.10) полученной электроемкости.
Затем определяют сумму электроемкостей этого конденсатора и С3
по формуле (6.20).
Иногда при расчете электроемкости или электрического поля
сложных систем используют метод зеркальных изображений, основан-
ный на том, что если заменить эквипотенциальную поверхность про-
водником той же формы и создать на нем потенциал, равный се потен-
циалу, то электрическое поле вне проводника не изменится. С помощью
этого метода определим поле точечного заряда q, расположенного на
расстоянии h от бесконечной проводящей пластины (рис. 6.11), потен-
циал которой равен нулю. Поместим с другой стороны пластины
на том же расстоянии заряд —q. Теперь создаваемый зарядами q и —q
потенциал ср = q/r — q/r = 0, т. е. такой, как и потенциал пластины,
т. е. согласно принципу зеркального изображения электрические
поле между точечным зарядом и бесконечной проводящей плоскостью
совпадает с полем между зарядом и его зеркальным изображением в
этой плоскости.
Поле совокупности зарядов в присутствии проводящей плоскости
согласно принципу суперпозиции можно найти, построив их зеркаль-
ные изображения относительно этой плоскости. Во многих задачах
за такую плоскость принимают поверхность Земли. Если проводящих
233
плоскостей несколько, то результирующее поле находят построением
всех изображений исходных зарядов по правилам геометрической
оптики.
•Метод зеркальных изображений можно применить к задаче на-
хождения поля точечного заряда t/, расположенного на расстоянии а
от центра проводящей сферы радиусом R (рис. 6.12). Сфера заземлена,
поэтому потенциал па ней всюду равен нулю. Если поместить изобра-
жение q' = —(R/a)q в точку Л, находящуюся от центра на расстоянии
b = R2/a (так что треугольники ЛОВ и ОВС подобны, где В— произ-
вольная точка сферы), то на сфере потенциал <р — q/r — Rq/ar'.
В силу подобия треугольников R/r' ~ а/r и ср = 0, т. е. условие прцн;
ципа зеркальных изображений выполнено и поле заземленной прово-
дящей сферы вне ее эквивалентно полю заряда q'. Если сфера не за-
электронейтралыюсти и постоянства
потенциала следует поместить в ее
центр заряд— q'. Таким образом,
поле изолированной сферы можно
представить как поле двух точечных
зарядов q' и —q', расположенных
в точках А и О.
6.1.9. Энергия электрического
поля. Для создания электрического
поля требуется совершить внешними
силами работу по перемещению за-
Рис. 6.12 рядов, равную энергии этого поля.
Электрическое поле проводника или
конденсатора емкостью С, на котором сосредоточен заряду, имеет
энергию
"7=£-!«’-Iе’’'
землена, то для сохранения ее
где ср — потенциал проводника или разность потенциалов между об-
кладками конденсатора. Для плоского конденсатора согласно форму-
ле (6.19)
2
а в единицах СГС
с Д’з
1У = к
8л
Здесь Е — напряженность поля; V — объем, заключенный между
обкладками конденсатора; е — диэлектрическая проницаемость
Поскольку энергия поля пропорциональна объему, в котором на-
ходится поле, имеет смысл ввести плотность электрической энергии
W еое£2 DE D2
V ~ 2 “ 2 - 2ee0 9
а в единицах СГС
__ V7_ _ e£2 __ DE _ D2
W V 8л ~~ 8л ~ 8ел ‘
(6.22)
Здесь D — индукция поля. Если поле неоднородно, то под плотностью
электрической энергии w понимают предельное отношение энергии
поля ДУГ', сосредоточенной в малом объеме ДУ, к этому объему:
w =
А Г
и га -—
ду->с ДУ
234
В малом объеме всякое поле можно считать однородным, поэтому плот-
ность энергии неоднородного поля в данной точке определяется по
формуле (6.22).
Для вычисления энергии, приходящейся на конечный объем V, сле-
дует разбить его на малые объемы AV/, определить для каждого из них
энергию AF/— W/АУ/ и просуммировать ее:
Г = \Wi = w.-AVf = J w dV.
i i
Представление о плотности электрической энергии следует интерпре-
тировать так, что эта энергия не локализована на зарядах, а сосредо-
точена в пространстве, в котором поле отлично от пуля.
6.2. ДИЭЛЕКТРИКИ
6.2.1. Диэлектрическая проницаемость. Диэлектриками или изо-
ляторами называют вещества, не проводящие электрического тока.
Заряженные частицы в диэлектрике связаны между собой и не могут,
как в проводнике, перемещаться по всему объему, а закреплены вблизи
определенных положений равновесия. Такие заряды называют связан-
ными. Под действием электрического поля заряды диэлектрика не-
сколько смещаются из старых положений равновесия в новые. Электри-
чески нейтральные молекулы остаются такими же, но их заряды, про-
тивоположные заряду поля, смещаются в противоположные стороны,
т. е. изменяется дипольный момент этих молекул.
Диэлектрики можно разделить на полярные и неполярные. В по-
лярных диэлектриках центры распределения положительных и отри-
цательных зарядов в отсутствие внешнего поля не совпадают, т. е. их
молекулы имеют собственные отличные от нуля дипольные моменты,
которые из-за теплового движения ориентированы хаотически, а при
наличии поля упорядочиваются. В неполярных диэлектриках центры
распределения положительных и отрицательных зарядов совпадают.
При помещении их в электрическое поле заряды в молекулах смеща-
ются и возникает индуцированный дипольный момент.
Смещение связанных положительных и отрицательных зарядов
диэлектрика в противоположные стороны под действием поля называют
поляризацией. Количественной характеристикой этого процесса яв-
ляется вектор поляризации Р, равный сумме дипольных моментов
молекул, заключенных в единице объема:
i=l
где п — число поляризованных молекул, содержащихся в объеме V диэ-
лектрика; р/ — дипольный момент j-й молекулы. В отсутствие внешнего
поля в неполярных диэлектриках р/ = 0, поэтому Р = 0. В полярных
диэлектриках векторы р/ не равны 0, по хаотично направлены, поэтому
п
V р/ = 0 и Р = 0, так что в вектор поляризации дают вклад не сами
векторы дипольных моментов молекул, а их изменения под действием
внешнего поля. Единицей поляризован мости служит кулон на квадрат-
ный метр (Кл/м2).
235
Если диэлектрик однороден и изменения дипольных моментсв
о Ушаковы для всех молекул, то вектор Р постоянен по всему диэлек-
трику. Такую поляризацию называют однородной. При наличии элек-
трического поля она пропорциональна его напряженности Е:
Р = аЕ. (6.23)
Здесь а характеризует свойства данного диэлектрика и называется его
поляризуемостью,
В анизотропных средах направления векторов Р и Е не совпадают,
однако связь между их компонентами остается линейной:
Рх —
= Сй2iEx a22^Z/ +
Pz = “f“ °^32^// + аЗзДг«
Коэффициенты ац, a12> • ••> «33 образуют тензор поляризуемости
диэлектрика.
Вектор поляризации связан с векторами индукции D и напряжен-
ности Е электрического поля формулой
D = Р + е0Е,
а в единицах СГС
D = Е + 4лР. (6.24)
Выражение (6.24) справедливо для всех диэлектриков.
Для изотропных диэлектриков векторы D и Е связаны формулой
(6.8), поэтому из формулы (6.24) получаем диэлектрическую проницае-
мость е, выраженную через поляризуемость:
в = 1 + а,
а в единицах СГС
е=1 + 4ла. (6.25)
Поскольку всегда а > 0, то е > 1 для любого вещества.
Электрическое поле внутри диэлектрика в разных точках различ-
но и достигает больших значений вблизи заряженных частиц. Поле
Е , сильно изменяющееся на расстояниях порядка расстояний меж*
ду заряженными частицами (ионами диэлектрика), называют микроско-
пическим. Оно определяет силу, которая действовала бы на пробный
заряд размером много меньше межатомных расстояний. Однако в реаль-
ных опытах имеем дело с макроскопическими заряженными телами, т. е.
состоящими из большого числа атомов или молекул. В этом случае
Е = Ец, где черта сверху означает среднее значение по какому-либо
малому объему, по содержащему большое количество атомов.Именно
такая усредненная величина фигурирует в выражениях (6.23) и (6.24).
При написании формулы (6.25) принималось, что электрическое
поле, вызывающее смещение зарядов в молекуле, равно среднему
электрическому полю Ец, которое учитывает действие всех зарядов,
включая заряд данной молекулы, а па самом деле эффективное поле
Е', действующее на заряды данной молекулы, должно учитывать поле
всех зарядов, за исключением поля этой молекулы. Таким образом,
эффективное внутреннее поле, действующее па молекулы диэлектри-
ка, отлично от среднего макроскопического поля Еп в нем.
236
- В кристаллах с простой кубической решеткой Е' и Е связаны
между собой:
Р
Е'-Е + зео’
а в единицах СГС
4л Р
+ (6.26)
< . о
Су четом отличия Е и Е' связь между ос и £ выражается уравнением
Клаузиуса — Моссотти
8—1 1
-----= — а.
£4-2 3 ’
а в единицах СГС
е — 1 4 ла
которое при значениях е, близких к единице, переходит в формулу
(6.25).
6.2.2. Поле в диэлектриках. Если диэлектрик находится в однород-
ном электрическом поле, то любой элемент его объема остается электри-
чески нейтральным. Однако в тонком слое вблизи границ диэлектрика
получается избыток зарядов определенного знака, например, отрица-
тельных у границы, где выходят силовые линии. В результате на по-
верхности диэлектрика возникают поверхностные заряды плотностью
о = Р cos а,
где а — угол между вектором поляризации Р и нормалью к поверх-
ности диэлектрика.
Электрическое поле Е как внутри, так и вне однородного поляри-
зованного диэлектрика состоит из внешнего поля Ео (поля, которое
создавали бы имеющиеся источники в данной точке в вакууме) и поля,
созданного поверхностными зарядами. Вблизи поверхности диэлект-
рика напряженность поля определяется формулой
Е — Ео ± оп/2е0,
а в единицах СГС
Е = Ео ± 2лсгп, (6.28)
где п — единичный вектор, перпендикулярный границе раздела и
направленный из диэлектрика в вакуум. Знаки в формуле (6.28) соот-
ветствуют полю вне и внутри диэлектрика.
Таким образом, как следует из формулы (6.28), на границе двух
диэлектриков тангенциальная компонента электрического поля (па-
раллельная поверхности раздела) является непрерывной: /4/ =
в то время как нормальная перпендикулярная ей претерпевает разрыв,
равный | о| /е0, или 4л | (Т | в единицах СГС (рис. 6.13, а). Для вектора
диэлектрической индукции D, наоборот, нормальная составляющая
Din — D2n непрерывна, а тангенциальная испытывает скачок (рис. 6.13, б).
При переходе через поверхность раздела между двумя диэлектри-
ками силовые линии изменяют свое направление, т. е. угол а между
нормалью к поверхности раздела и вектором напряженности поля,
причем
tg at/tg a3 = (6.29)
Этот закон преломления силовых линий справедлив в изотропных ди-
электриках для линий напряженности поля и линий индукции, так
237
как в них векторы D и Е параллельны. Но если линии индукции толь-
ко преломляются на границе, силовые линии поля частично разре-
жаются, заканчиваясь на поверхностных зарядах о (см. рис. 6.13, а).
Чем больше диэлектрическая проницаемость, тем количество линий
напряженности меньше, т. е. напряженность поля в диэлектрике мень-
ше. В соответствии с формулой (6.29) линии индукции в плотной среде
Рис. 6.13
сгущаются. Это означает, что индукция в отличие от напряженности
увеличивается при росте в. Графически это можно представить так,
будто диэлектрик «втягивает» в себя линии индукции (рис. 6.14).
6.2.3. Влияние формы диэлектрика на поле в нем. Согласно форму-
лам (6.2), (6.3) напряженность поля в диэлектрике в е раз меньше, чем
Рис. 6.14
в вакууме, причем направления по-
лей совпадают. Это справедливо для
бесконечных однородных диэлектри-
ков, заполняющих все пространство,
а для незаполняющих,, т. е. имеющих
границу, изменения поля не ограни-
чиваются одним уменьшением ампли-
туды поля в е раз, а приводят к су-
щественной перестройке последнего
как внутри, так и вне диэлектрика.
Рассмотрим поле, возникающее
при помещении диэлектрика с ди-
электрической проницаемостью е,
имеющего форму шара радиусом г0,
в однородное внешнее поле Ео. На-
пряженность поля и поляризация
внутри этого диэлектрика являются
однородными и определяются фор-
мулами
р
Зе/ Р==о80Г+2
8 1
’-'О’
(6.30)
Ez-E0
DZr=e0—Е.-х-^Ео,
а в единицах СГС
р______р________i? р р — J-? £_________________L р
238
Di-е +2 Ео. Е<-~£Тр2 Е«-
Здесь Е/, Dt- — напряженность и индукция поля внутри шара.
Образование поверхностного заряда в результате поляризации
приводит к появлению у шара дипольного момента
= 3~ г0Р.
Поле вне шара можно найти, прибавив к Ео поле диполя с моментом &
(см. формулу (6.11)), помещенного в центре шара. Изменения однород-
ного поля Ео, вносимые тонкой диэлектрической пластинкой, зависят от
ее ориентации относительно этого поля. Если пластинка перпендикуляр-
на полю, то из-за непрерывности нормальной составляющей индукции
на границе раздела
Dt- — De — е0Е0, Е, — Е0/е,
а в единицах СГС
D/ -- De = Ео, Е i = Е0/е,
где индексы е, i относятся соответственно к полям вне и внутри плас-
тинки. На обеих ее сторонах скапливается заряд с поверхностной
плотностью
о = М£_^12е0, (6.31)
С
а в единицах СГС
Если пластинка ориентирована вдоль поля, то напряженность и ее
тангенциальная составляющая поля в пластинке не изменяются, т. е.
Ее == Ej = Ео, а индукция претерпевает скачок: Dti = е0Е0, Dz- = Е8оЕо>
а в единицах СГС De•= Ео, D< —еЕ0. Поверхностный заряд накапли-
вается при этом на торцах пластинки и оказывает малое влияние на
поле внутри пластинки.
Когда пластинка направлена под углом у к полю Ео, то характе-
ристики ее поля можно получить из формул
п г • n n £osiny
—’ Ео-^о 51Я У — in — ~ ?
ь
Ееп = Eq sin у, Def = ZqEq cos у, (6.32)
Dit = cos у, Eit = Ect = EQi
В системе СГС формулы (6.32) получаются, если е0 заменить на еди-
ницу, индексами п, t обозначены соответственно перпендикулярные
и параллельные пластинке компоненты поля.
Поле внутри диэлектрического эллипсоида однородно, когда
его ось совпадает с направлением внешнего однородного поля и опре-
деляется по формуле
Е/ = Е0-^, P^8o(e_l)Ef,
а в единицах СГС
Е, = Ео — 4.чЛ'Р, Р = (8~ ])- Е..
1 и ’ 4л 1
239
Здесь численньпй коэффициент М называют коэффициентом деполяриза-
ции (или размагничивания). В случае вытянутого эллипсоида враще-
ния
• » 1 У?" /. 1 Э— V \
N = In 7--------------2v , (6.33)
. \ 1 — v у
где v — эксцентриситет, связанный с меньшей а и большей b полуосями
эллипсоида выражением v = К1—(а/b)2. Для шара (а = b) N — 1/3,
для бесконечного ориентированного вдоль поля цилиндра (Ь ~ оо,
a jb =*= 0) К “ 0.
Формулы, приведенные в этом разделе, справедливы не только
для находящихся в вакууме диэлектриков, но и для погруженных
в другой диэлектрик. В последнем случае под е следует понимать
отношение диэлектрических проницаемостей первого ко второму. В час-
тности, характеристики поля, создаваемого пустотами плоской или
сферической формы в диэлектрике, можно получить из формул (6.30) —
(6.31) заменой в них е на 1/щ
6.2.4. Сегнетоэлектрики и пьезоэлектрики. Многие диэлектри-
ческие материалы обладают способностью к электрической поляриза-
ции только во внешнем электрическом поле, а в его отсутствие вектор
поляризации Р — 0. Однако существует ряд кристаллов, в которых по-
ляризация и электрическое поле могут возникать спонтанно, т. е.
без внешнего поля. Это явление называют сегнетоэлектричеством,
а вещества с такими свойствами-— сегнетоэлектриками, так как впер-
вые это явление было обнаружено у сегнетовой соли.
Поляризованное состояние существует в сегнетоэлектрических
кристаллах в определенном температурном интервале и исчезает при
температуре выше некоторой критической Тс, называемой температу-
рой или точкой Кюри. При Т — Т'с в кристалле происходит фазовый
переход первого или второго рода, и при Т > Тс он является обычным
диэлектриком (т. е. находится в параэлектрическом состоянии/3 = 0).
’Возникновение сегнетоэлектричества связано с тем, что в этих кристал-
лах возможны две или более конфигураций расположения ионов в эле-
ментарной ячейке.
Молекулярные механизмы возникновения спонтанной поляриза-
ции различны у сегнетоэлектриков типа смещения и типа порядок —
беспорядок. В кристаллах первого типа в точке Кюри происходит
искажение решетки, при котором положительные заряды смещаются
относительно отрицательных, так что дипольный момент каждой эле-
ментарной ячейки и,таким образом, вектор поляризации отличны от
нуля. Такое искажение решетки называют внутренней деформацией,
возникновение которой при Т = Тс может происходить непрерывно
(фазовый переход второго рода) либо скачком (фазовый переход пер-
вого рода). В обоих случаях деформация снижает симметрию кри-
сталла.
Однако не каждая деформация кристалла приводит к появлению
поляризации, а только та, которая совершается вдоль полярного на-
правления. Например, при сдвиге атомов с зарядом —2q (рис. 6.15)
вдоль осп х сегнетоэлектричество не возникает, а при сдвиге вдоль
оси у возникает. Кристаллы, в которых фазовые переходы, связан-
ные со спонтанной внутренней деформацией, не приводят к сегнето-
электр ячеству, н азыва ют ферродисторайонным и.
Особый случай представляют кристаллы, у которых внутренняя
деформация вызывает такие же искажения, как и однородная механи-
ческая деформация (сжатие и сдвиг кристалла).Кристаллы с наличием
фазовых переходов ю такой деформацией называют фсрроэлас тиками f
240
а сами переходы — ферроупругими. Ниже температуры фазового пере*
хода появляется спонтанная механическая деформация.
Изменение симметрии кристалла и появление поляризации может
происходить не только за счет внутренней деформации кристалла, но
и вследствие упорядочения отдельных ионов в одном из нескольких эк-
вивалентных положений. Если график зависимости потенциальной
энергии иона от его координаты представляет собой кривую (рис. 6.16),
то у атома есть два эквивалентных положения равновесия в точках
Рис. 6,15
и —х0. При больших температурах тепловое разупорядочение при-
водит к тому, что ионы находятся с одинаковой вероятностью в обоих
положениях. Поляризация в этом случае равна нулю. При температуре
ниже Tq происходит частичное упорядочение ионов, т. е. число атомов
в одном положении равновесия (например, х0) становится больше их
числа в другом. Это приводит к появлению спонтанной поляризации,
т. е. сегнетоэлектричества. Такие фазовые переходы называют пере-
ходами типа порядок — беспорядок. При температуре ниже Тс число
атомов, находящихся в положении, со-
ответствующем одному из минимумов, . *
увеличивается, что сопровождается рос- \ /т /
том поляризации сегнетоэлектрика. При \ /
приближении к .абсолютному нулю тем- \ /
пературы все атомы занимают одпнако- \ ____х0 J
вое положение. Это соответствует их * *
полному упорядочению и максимуму
поляризации.
К сегнетоэлектрикам типа смеще-
ния относятся, например, титанат бария Рис« 6.16
(t^aTiO3) и сульфоиодид сурьмы (SbSI),
а типа порядок—беспорядок — сегнетова соль (KNaC4H4Ob- • 4ILO)
и дигидрофосфат калия (КН2РО4) (сокращенно KDP).
i При переходах типа смещения и порядок—беспорядок появление
сегнетоэлектричества связано с понижением симметрии кристалла при
температурах ниже Тс, Это позволяет для описания сегнетоэлектриче-
ских переходов, как в теории фазовых переходов второго рода, ввести
параметр порядка, характеризующий количественное отклонение
состояния системы от наиболее симметричного положения, при кото-
24!
ром этот параметр считается равным нулю. Для сегнетоэлектрических
кристаллов наиболее симметричному положению соответствует отсут-
ствие внутренней деформации у кристаллов типа смещения и равно-
вероятность распределения атомов по возможным положениям у крис-
таллов типа порядок—беспорядок. Параметром порядка для сегнето-
электриков является вектор поляризации Р.
Если сегнетоэлектрический фазовый переход есть переход вто-
рого рода, то термодинамический потенциал при температурах, близ-
ких к Тс, согласно теории Ландау выражается степенной функ-
цией Р:
ф = а (т — ТС)Р2 + ЬР* — РЕ, (6.34)
где я, b — некоторые коэффициенты; Т — температура; Е — напряжен-
ность электрического поля.
Минимум Ф определяет
электрика. Находя при Е~
циала как функции Р (6.34),
зации
' 0 при
равновесные характеристики сегнето-
0 минимум термодинамического потен-
получаем значение спонтанной поляр и-
т > тс,
л/~а\Т—Тс\
± к —23—' При Т < Тс'
Два знака соответствуют двум возможным равновероятным направ-
лениям спонтанной поляризации, которая существует только при
Т< Тс.
Поскольку поляризация в сегнетоэлектрике существует и без
электрического поля, то зависимость вектора поляризации от напря-
женности не является линейной, т. е. диэлектрическая проницаемость
s или поляризуемость а являются характеристиками не только свойств
диэлектрика, но и напряженности приложенного поля. В этом случае
удобно определить дифференциальную поляризуемость
, dP
а — Р (Е),
характеризующую изменение поляризации при малом изменении поля.
Минимизация функции (6.34) по Р приводит к выражению
1
а 2а (Г — ТС) + 12ЬР2'
Как а', так и в (см. формулу (6.25)) зависят от Р. Однако для очень
малых полей, когда значения Р и Ро практически не различаются*
диэлектрическая проницаемость не зависит от поля:
._ 1 । 2л
1 т л
8“ + а(Тс-Т)’
т>тс,
<ТС.
(6.35)
В точке Кюри при фазовом переходе второго рода она стремится к беско-
нечности. При этой температуре скачок испытывает также теплоемкость
242
сегнетоэлектрика. Если при Т > Тс удельная теплоемкость с0, то для
т<т0
с = с0 + ~. (6.36)
Формулы (6.35) и (6.36) являются следствиями общих закономерностей
фазовых переходов второго рода.
Возникновение поляризации в сегнетоэлектрике и связанное с
этим появление электрического поля приводят к увеличению энергии,
что термодинамически не выгодно. Понижение энергии происходит,
когда сегнетоэлектрический кристалл разбивается на отдельные домены.
Под доменом понимают участок сегнетоэлектрического кристалла,
в котором вектор поляризации направлен одинаково. Направления век-
торов поляризации доменов различаются (а модули их одинаковы),
так что электрические поля различных доменов компенсируют друг
друга таким образом, чтобы энергия поля была минимальной. Разде-
ляются домены доменными стенками, в которых происходит плавный
поворот вектора поляризации от его направления в одном домене к на-
правлению в соседнем.
Спонтанная электрическая поляризация есть также в пироэлек-
триках. Это вещества, у которых во всей температурной области суще-
ствования кристаллического состояния ионы расположены существен-
но асимметрично в элементарной ячейке, что и приводит к поляриза-
ции. У пироэлектриков отсутствует диэлектрический фазовый переход,
а зависимость поляризации от внешнего поля при всех температурах
линейна, как у несегнетоэлектрнческих диэлектриков.
В сегнетоэлектриках деформация, приводящая к возникновению
поляризации, происходит спонтанно, т. е. без внешних воздействий.
Однако поляризацию можно создать и путем механической дефор-
мации кристаллов. Кристаллы, механическая деформация которых
приводит к появлению поляризации и электрического поля, называ-
ют пьезоэлектриками, а явление возникновения поля — пьезоэлек-
трическим эффектом (пьезоэффектом). К пьезоэлектрикам относится,
например, кварц. Напряженность возникающего поля пропорциональ-
на деформации. При изменении деформации па противоположную (на-
пример, замена сжатия растяжением ) направление поля изменяется.
В пьезоэлектриках наблюдается также обратный эффект — самопроиз-
вольная деформация при наложении поля вдоль определенных кристал-
лографических осей.
6.3. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
6.3.1. Электрический ток. Электрическим токам называют направ-
ленное (упорядоченное) движение электрических зарядов, носителями
которых являются электроны в металлах, полупроводниках, вакуум-
ных лампах (радиолампах, кинескопах, рентгеновских трубках и т. д.)
или движущиеся ионы обоих знаков в электролитах, газах. Направ-
ленное движение зарядов в проводнике происходит под действием
приложенного электрического поля.
За направление тока принимают направление движения положи-
тельно заряженных частиц. В металлах отрицательно заряженные
электроны движутся в направлении, противоположном направлению
электрического тока. Направленное движение зарядов в проводнике
непосредственно не наблюдаемо, однако о его наличии можно судить
по явлениям, сопровождающим ток: а) проводник, по которому течет
ток, нагревается (этот эффект отсутствует только у сверхпроводников);
243
б) ток приводит к магнитному воздействию — появлению магнитного
поля у всех без исключения проводников; в) электрический ток может
приводить к изменению химического состава проводника (например,
в электролитах, газах).
Силой тока называют отношение заряда переносимого через
поперечное сечение проводника за небольшой интервал времени Д/,
к этому интервалу:
Если сила тока не изменяется во времени, то такой ток называют по-
стоянным. Сила тока может быть как положительной, так и отрица-
тельной. Если I > 0, то направление тока совпадаете положительным
направлением вдоль проводника, если I < 0, то ток направлен в про-
тивоположную сторону. За единицу силы тока принят ампер (Л), ко-
торый определяется на основе магнитного взаимодействия токов (см,
формулу (6.63)). ••••.♦• Я
Распределение тока по проводнику характеризуется вектором плот-
ности или плотностью тока
N
j = др X
1=1
где — заряд Z-й частицы; vz- — ее скорость; сумма здесь берется, по
всем W частицам, находящимся в небольшом объеме ДЕ.
Если проводником является металл, в котором заряд переносят
электроны,то
j = —п | е | v. (6.37)
Здесь v — средняя скорость упорядоченного движения электронов;
|е|— абсолютная величина заряда электрона; п — концентрация
электронов (и = N/ДУ). Минус в правой части формулы (6.37) озна-
чает, что направление тока противоположно направлению движения
электронов.
Сила тока, проходящего через элемент сечения проводника пло-
щадью S, связана с плотностью тока соотношением
/ = jS cos а, (6.38)
где ос —- угол, образованный направлением j и нормалью к рассматри-
ваемому сечению. Применяя формулу (6.38) ко всему поперечному
сечению металлического проводника, для полной силы тока / получаем
выражение
i = i/s.
Здесь S — площадь поперечного сечения проводника.
Закон сохранения зарядов в электрически нейтральном проводнике
обусловливает постоянство силы тока по всей его длине, т. е. сила тока
в проводнике без разветвления постоянна вдоль всего проводника и
не зависит от площадей поперечного сечения, материала и длин от-
дельных его частей. Плотность постоянного тока зависит от попереч-
ного сечения проводника.
• Для возникновения и поддержания электрического тока в непод-
вижном и несверхпроводящем проводнике необходимо наличие элек-
трического поля, которое воздействует с некоторой силой на заряды
и является причиной упорядоченного движения заряженных частиц,
Между концами проводника, внутри которого имеется электрическое
244
поле и течет ток, существует разность потенциалов (напряжение). Если
эта разность потенциалов не изменяется во времени, то по проводнику
течет постоянный электрический ток. Вдоль проводника значение
потенциала монотонно убывает от максимального значения на одном
из его концов до минимального на другом.
Если сила тока в проводнике не изменяется по всей его длине,
то напряженность поля больше на тех его участках, где площадь по-
перечного сечения меньше, а удельное сопротивление больше, причем
Е1/В2 :=
где Si, S2 и pj, р2 — соответственно сечение и удельное сопротивление
в двух разных точках проводника; Ех, Е2 — напряженности поля
в этих точках. Направление вектора напряженности совпадает с направ-
лением тока. Линии напряженности поля направлены вдоль провод-
ника. Они не могут пересекать его поверхности и повторяют все его
изгибы. Число линий напряженности в любом сечении проводника оди-
наково.
6.3.2, Закон Ома. Сопротивление. Для каждого проводника суще-
ствует определенная зависимость силы тока от напряжения (разности
потенциалов), приложенного к концам проводника. Эту зависимость
называют волып-амперной характеристикой проводника, выражается
она законом Ома
R1 = U. (6.39)
Для участка однородной цепи сила тока прямо пропорциональна при-
ложенному напряжению. Коэффициент пропорциональности /?, кото-
рый не зависит от приложенного напряжения, называют электрическим
сопротивлением проводника. Величину 1/R называют электропровод-
ностью.
За единицу сопротивления принят ом (Ом). Проводник имеет со-
противление 1 Ом, если при разности потенциалов 1 В сила тока в нем
равна 1 А.
Сопротивление зависит от геометрической формы, размеров и ма-
териала проводника. Для проводника длиной I и поперечным сечением
S сопротивление
R = Р |.
О
где р — удельное сопротивление, которое зависит только от материала
проводника и его состояния, в основном от температуры. Удельное
сопротивление численно равно сопротивлению проводника, имеющего
форму куба со стороной 1 м, если ток направлен параллельно одному
из его ребер. За единицу удельного сопротивления принят ом-метр
(Ом • м).
Величина о = 1/р, обратная удельному сопротивлению, называ-
ется удельной электропроводностью (или проводимостью) вещества.
Удельная электропроводность и удельное сопротивление зависят от
температуры:
Р = Ро (1 + «0. а = а0 (1 — а/),
где р0, с>у — значения удельного сопротивления и удельной электро-
проводности при температуре 0 °C; t — температура в градусах Цель-
сия. Положительный для всех металлических проводников коэффи-
циент а называют температурным коэффициентом сопротивления.
Закон Ома можно записать в эквивалентной дифференциальной
форме:
j ~ оЕ. (6.40)
246
В отличие от формулы (6.39), которую называют интегральной формой
закона Ома, выражение (6.40) содержит величины, характеризующие
электрическое состояние среды в одной точке.
На практике часто возникает необходимость составления электри-
ческих цепей различной степени сложности, в частности необходимость
использовать различные типы соединений сопротивлений между собой.
К наиболее простым и широко используемым относятся последователь-
ное (рис. 6.17, а) и параллельное (рис. 6.17, б) соединения проводников.
При последовательном соединении сила токов в проводниках одинакова,
т, е. 7Х = 72 = 7, а напряжение на концах рассматриваемого участка
Рис. 6.17
равно сумме напряжений на каждом из них: U = Ur + U2- Применяя
закон Ома, получаем 7? = U/I = 7?]+ Т?2. Аналогично для после-
довательного соединения N проводников суммарное сопротивление
R = 7?,-]- 7?., + ... + Rn.
При параллельном соединении напряжение на проводниках оди-
наковое, а полный ток равен сумме токов /х и 72, проходящих через
каждое из сопротивлений 7?х и Т?2 в отдельности: 7 == 7Х + 7Й. Поэто-
му согласно закону Ома результирующее сопротивление между выво-
дами соединения R = 7?17?2/(7?1 + Т?2). Для произвольного числа У
проводников, соединенных между собой параллельно, результирующее
сопротивление R находится из формулы
Я /?, ' R.£ 1 1 Rn’
где 7?1} 7?2, ... , RN—сопротивление каждого из проводников.
6.3.3. Электродвижущая сила. Для того чтобы в проводнике под-
держивать постоянное напряжение, которое движущиеся заряды стре-
мятся уменьшить, необходимо дополнительное устройство, переме-
щающее заряды в направлении, противоположном направлению дви-
жения, вызываемому электрическими силами. Любые силы, действу-
ющие на заряженные частицы, за исключением сил электростатического
происхождения, называют сторонними силами. Устройство, в котором
возникают сторонние силы, называют источником тока, например,
гальванический элемент, где сторонними являются химические силы
электромагнитного взаимодействия электронов и ионов, генератор
электрического тока, где сторонними являются силы, действующие на
носители тока со стороны магнитного поля.
-Энергетической характеристикой источника тока является элек-
тродвижущая сила (ЭДС), которая в замкнутом контуре равна отно-
шению работы сторонних сил по перемещению заряда вдоль контура
к этому заряду:
° =
246
Единицей ЭДС, как и напряжения, служит вольт (В). ЭДС источника
тока численно равна разности потенциалов его зажимов при разомкну-
той цепи.
Связь тока с ЭДС выражается законом Ома для полной цепи
Рис. 6.18
Ома для этого участка следует
Где r — сопротивление внешней цепи , а г — внутреннее сопротивле-
ние источника тока. Сумму /? + г называют полным сопротивлением
цепи.
Произведение силы тока на сопротивление участка цепи называют
падением напряжения на этом участке, т. е. ЭДС равна сумме падений
напряжений на внешнем и внутреннем участках цепи. Если сопротив-
ление внешней цепи равно нулю (короткое замыкание), то сила тока
является максимально возможной
при данном источнике тока:
/
макс г
Здесь /макс называют током короткого
замыкания.
Если в каком-либо участке цепи
находятся источники тока, то закон
записать в виде
/ (R + г) = ф! — ф2 -f- (6.41
где ф2, фх — потенциалы концов рассматриваемого участка (рис. 6.18);
& — алгебраическая сумма (ЭДС) всех источников тока, находящихся
на этом участке (г— их суммарное внутреннее сопротивление). При
пользовании формулой (6.41) необходимо соблюдать правило знаков:
ЭДС считается положительной, если, перемещаясь по направлению
тока от точки 1 к точке 2, проходим источник от отрицательного полюса
к положительному, в противном случае — отрицательной и в формулу
(6.41) входит — • j $ I.
Первоначально направление тока можно выбрать любое. Если
после решения задачи значение тока получилось положительным, зна-
чит, направление его было выбрано правильно, если отрицательным,
то действительное направление тока противоположно выбранному
вначале.
6.3.4. Разветвление цепи. Правила Кирхгофа. Иа практике часто
приходится производить расчеты сложных разветвленных цепей, т. е.
находить по заданным сопротивлениям и ЭДС источников токи, про-
текающие через все разветвления цепи, и падения напряжения на на-
грузках. Для решения этой задачи применяют правила Кирхгофа.,
Первое правило Кирхгофа (правило узлов) выражает закон сохране-
ния заряда и утверждает, что в каждой точке разветвления цепи, в ко-
торой сходятся более двух проводников, алгебраическая сумма сил
токов, притекающих к точке разветвления (узлу) цепи, равна пулю:
X Л=0- (6.42)
Г-1
В противном случае в точке разветвления происходило бы накопление
заряда. Положительными в формуле (6.42) считают токи, входящие
247
в узел, а отрицательными — выходящие; п обозначает число токов,
сходящихся в данном узле.
Второе правило Кирхгофа относится к произвольным замкну-
тым контурам, которые можно выделить в рассматриваемой разветв-
ленной цепи. В таком контуре сумма всех падений напряжений равна
алгебраической сумме всех ЭДС:
п т
у IkRk = у sk.
(6.43)
k=l
При записи формулы (6.43) необходимо соблюдать правило знаков:
токи, совпадающие с направлением обхода контура, выбранного про-
извольно, следует брать с положительными знаками, а идущие в об-
ратном направлении — с отрицательными; ЭДС считаем положитель-
Рис. 6.19
ными, если в выбранном направле-
нии сначала проходим отрицательный
полюс, а затем положительный, и от-
рицательными — при обратном про-
хождении полюсов.
Для расчета разветвленных це-
пей составляют систему уравнений
Кирхгофа следующим образом: 1) вы-
бирают каким-либо способом направ-
ления токов во всех участках цепи;
2) для всех узлов, кроме одного, со-
ставляют уравнения по правилу уз-
лов (для нерассматриваемого узла
уравнение будет . следствием уже со-
ставленных для всех остальных уз-
лов); 3) для различных контуров записывают уравнения по второму
правилу Кирхгофа, причем каждый контур должен содержать участок
цепи, не вошедший в предыдущие. Таким образом получают систему
линейных алгебраических - уравнений, в которой число неизвестных
токов в различных участках равно числу уравнений. Ее решение даст
значения неизвестных токов.
Покажем применение правил Кирхгофа на примере соединения,
схема которого приведена на рис. 6.19. Выберем направления токов
7Ъ -^2’ Л,- как показано на этом рисунке. Поскольку узлов всего два,
достаточно записать уравнение по правилу узлов только для одного
из них, например а:
Л + /2 - /з = 0, (6.44)
а для узла b оно имеет вид —— /2 + /3 = 0, т. е. эквивалентно
уравнению (6.44), и его действительно можно не рассматривать.
Уравнения по второму правилу Кирхгофа для контуров Rj^Ra
и R3R2$2 запишутся так:
hRl + Л^З + hrl =
I2R2+ I3R9 + I2r2 = <$2. (6.45)
Здесь направление обхода контуров выбрано вдоль направлений токов
7, и /2. Рассматривать контур R\r1r2R2 не следует, поскольку все его
участки уже содержатся в контурах Ri&iR3 и R3R2&2, и уравнение по
второму правилу Кирхгофа для этого контура, которое можно записать
в виде 7Х7?Х + I1r1 — hRz — 72г2 ~ ®х — $2, никакой новой информа-
ции о системе не содержит, так как является разностью уравнений
(6.45),
248
Система трех уравнений (6.44), (6.45) содержит три неизвестных
/у ^2, и может быть разрешима относительно них. Решая ее, нахо-
J = Mfrs + 'a)-|-^n(gi-g2)
1 (Ry + г у 4- /?з) (Яа -I- г2 + R3) - /?3а ’
2 (Ry + 'у + /?з) (Яа + r2 + R3) - Rl ’
] + +
3 (Ry + >'y -I- Z?:)) ~(R2 + r2 + R3) - Rt'
Еслй при подстановке численных значений для или /2 получим отри-
цательную величину, значит, действительное направление данного
тока противоположно указанному на ри-
сунке.
6.3.5. Квазистационарные токи. Законы
постоянного тока можно применять и к пе-
ременному, если только его изменения про-
исходят не очень быстро. Когда изменения
тока такие, что за время установления
электрического равновесия в цепи относи-
тельные изменения токов и ЭДС малы, то
их мгновенные значения подчиняются за-
конам постоянного тока. Такие токи назы-
вают медленноменяющимися или квазиста-
ционарными. Следует отметить, что ско-
рость установления электрического равновесия очень велика, так что
все переменные токи частотой 50 Гц, применяемые в технике, являются
квазистационарными.
Рассмотрим квазистационарный процесс зарядки конденсатора
емкости С, включенного в цепь (рис. 6.20). При разомкнутом ключе
конденсатор не заряжен (U ~ 0, q = 0), при замкнутом — по цепи
перемещаются заряды, т. е. проходит ток. Применим к этому контуру
второе правило Кирхгофа:
Ri + U = о,
(6.46)
где i— мгновенное значение силы тока; U — мгновенное значение
напряжения на конденсаторе; R — общее сопротивление, включающее
внутреннее сопротивление источника тока; $ — его ЭДС.
Учитывая, что U = q/C (q — мгновенное значение заряда на кон-
денсаторе) и i = 7', исключаем две из трех неизвестных q, i и U и по-
лучаем уравнение для одной из них. Например, исключив i и q, для
определения U получим уравнение
£7'(0 + ^=^ = 0, (6.47)
содержащее производную от U. Решение этого дифференциального
уравнения ищем в виде
и = & + (6.48)
где т,.Uo — некоторые неизвестные константы. Подставляя U в выбран-
ном виде в уравнение (6.47), находим т = RC. Постоянная £/0 опреде-
ляется из начальных условий. Действительно, в начальный момент
времени t = 0 конденсатор был полностью разряжен, т. е. q — О. Под-
249
ставляя значение U = 0 при / = Ов выражение (6.48), получаем UL} ~
— —$, т. е. окончательное выражение для напряжения на конденса-
торе имеет вид
t/ = & (1 — e~t,l<c).
С увеличением t напряжение U растет и асимптотически приближается
к ЭДС источника. Сила тока, протекающего через конденсатор, убы-
вает по закону
I - JL е-икс
1 Re
Она имеет максимальное значение в начальный момент времени и асимп-
тотически стремится к нулю с ростом времени /.
Зависимость заряда на обкладках конденсатора от времени имеет
вид q — С& (1 — е~*^с).
Процессы зарядки и разрядки конденсатора, таким образом, про-
исходят не мгновенно, а за конечное время, которое пропорционально
т = RC. Здесь т имеет размерность времени и называется временем
релаксации цепи. Оно показывает, за какое время напряжение и сила
тока в контуре изменяются в е 2,72 раз.
6.3.6. Работа и мощность тока. Закон Джоуля—Ленца. В элект-
рической цепи происходит превращение энергии, обусловленное про-
теканием тока. При переносе заряда Aq между двумя точками провод-
ника, разность потенциалов между которыми (/, совершается .. работа
А = U Aq.
Так как Aq — /А/, то работа постоянного тока силой I за время А/
определяется выражением, которое с помощью закона Ома можно
записать в виде
/72
A^IUAt = PR A? = jC
Если ток выразить в амперах, разность потенциалов — в вольтах,
время — в секундах, а сопротивление — в омах, то работа тока будет
выражена в джоулях (Дж).
Мощностью Р электрического тока называют его работу, произве-
денную в единицу времени:
л
P=--=:1U^PR^ IP/R.
txt
За единицу мощности тока принят ватт (Вт).
, Согласно закону сохранения энергии работа тока является мерой
превращения энергии источника тока из одного вида в другой. Она мо-
жет изменить химический состав и внутреннюю энергию проводника,
перейти в механическую работу, например в электродвигателе. Опре-
деленная доля энергии всегда превращается в тепловую, т. е. проис-
ходит нагревание проводника с током. Если при этом в проводнике
не происходит никаких химических или механических изменений (про-
водники неподвижны), то работа электрического тока полностью пере-*
ходит в тепловую энергию (Д = Q), т. е.
и*
Q = PR At = UI At = At, (6.49)
R
где Q — количество тепла, выделяющегося в проводнике за время А/.
Выражение (6.49) называют законом Джоуля—Ленца. Его можно за-
250
писать в дифференциальной форме относящейся к одной определенной
точке:
<7T=(f'E).
Здесь j — вектор плотности тока; Е— напряженность электрического
поля; qT — удельная тепловая мощность тока, т. е. количество тепла,
выделяющегося в единице объема проводника за 1 с.
6.4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ
6.4.1. Проводимость электролитов. Диссоциация. Жидкости, как
и твердые тела, могут быть проводниками и диэлектриками. К провод-
никам относятся растворы электролитов: кислот, щелочей, солей,
которые от неэлектролитов (диэлектриков ) отличаются тем, что в вод-
ном растворе происходит распад (диссоциация) их молекул на ионы.
Положительно заряженные ионы называют катионами (ионы металлов
в растворах солей, водорода в растворах кислот), а отрицательно заря-
женные — анионами (номы кислотных остатков и гидроксильной
группы).
Степенью диссоциации а называют долю молекул растворенного
вещества, распадающихся на ионы. Зависит она от температуры, ди-
электрической проницаемости растворителя и концентрации электро-
лита. При повышении температуры степень диссоциации возрастает,
так как тепловое движение способствует разрыву молекул на ионы.
Чем больше диэлектрическая проницаемость 8 растворителя, тем выше
степень диссоциации, поскольку сила взаимодействия ионов в молекуле
электролита в растворе уменьшена в 8 раз.
< Ионы разных знаков могут объединяться (рекомбинировать) в ней-
тральные молекулы, в результате чего в растворе устанавливается ди-
намическое равновесие, при котором число молекул, распадающихся
на ионы, равно числу образующихся посредством рекомбинации. Если
в единице объема раствора имеется и молекул электролита, из которых
п' — ап диссоциировались на ионы, то п" — п — п' — (1 — а)п оста-
лось в том же виде. Число молекул А/г", распадающихся на ионы за не-
который промежуток времени, пропорционально имеющемуся количе-
ству молекул:
А/Г = а (1 — а)п, (6.50)
где А — коэффициент пропорциональности. Количество ионов, соеди-
няющихся в молекулы, пропорционально числу положительных
(п' = ап) и такому же числу отрицательных ионов, поскольку вероят-
ность встречи этих ионов, в результате которой может произойти ре-
комбинация, пропорциональна концентрации ионов обоих знаков.
Таким образом число нейтральных молекул, образующихся за некото-
рый промежуток времени в единице объема, определяется по формуле:
Дп'—/?а2п2 — Вп'2. (6.51)
Здесь В — коэффициент пропорциональности. В состоянии равновесия
число ионов нс должно изменяться, поэтому число диссоциирующих
молекул равно числу молекул, вновь образованных вследствие реком-
бинации. Приравнивая выражения (6.50) и (6.51) и вводя вместо кон-
центрации п молярную, равную числу молей вещества в единице
объема раствора: c--n!NA, где NA—число Авогадро, получаем
а2 В „
\~ас ANa К'
251
Величина Д’ не зависит от концентрации растворенного вещества, а
только от его химической природы, вида растворителя и температуры.
Ее называют константой диссоциации. По значению этой константы
можно при любой концентрации электролита найти степень диссоциа-
ции
К + /№ + 4сК k '
Из формулы (6.52) видно, что степень диссоциации увеличивается по.
мере уменьшения концентрации электролита, а при очень сильном разве-,
дении (с —> 0) стремится к единице, т. е. практически диссоциируют
все ионы.
Если сосуд с раствором электролита включить в электрическую
цепь, то анионы начнут двигаться к положительному электроду (ано-
ду), а катионы — к отрицательному (катоду), т. е. пойдет электри-
ческий ток. Таким образом, ток в электролите обусловлен движением
ионов, поэтому его проводимость называют ионной. В отличие от
металлов ток ,в. электролите сопровождается переносом вещества.
Определяется ток количеством и зарядом ионов обоих знаков и средней
скоростью направленного их движения (ср. с формулой (6.37)):
j = ?+«+v+ + v_q_n_ '= qn (v+ + v_),
где j — плотность тока; q+, q_—заряды ионов; n+, и v+, v_ — соот-
ветственно концентрации передние скорости ионов.. Для электроней-
трального раствора q+n+ = q_n_, поэтому можно рассматривать одно
qn — q+n+q_n_. Средняя скорость ионов зависит от природы электро-
лита и приложенного к ним напряжения. Поскольку скорость ионов
пропорциональна напряженности Е электрического поля 'внутри раст-
вора, справедлив закон Ома в форме
j = qn (b+ + b_) E.
Здесь b±, b_ — так называемые подвижности ионов, через которые вы-
ражаются скорости v+ = Ь+Е и v_ — Ь_Е этих ионов. Единицей подвиж-
ности ионов служит 1 м2/(В • с). Подвижность ионов зависит от хими-
ческой природы молекул электролита, вязкости растворителя и темпе-
ратуры и не зависит от концентрации электролита и приложенного поля.
Заряд ионов может принимать дискретный ряд значений q =
= —Ze, rjs$ Z — целое число, е — элементарный заряд. Поскольку
заряды электрона и протона равны по величине, но противоположны
по знаку, значение Z определяется разностью между числами электро-
нов в попе и протонов в ядре этого иона. Анионы имеют избыток элек-
тронов, а катионы — их недостаток. Поскольку ионы обоих типов име-
ют, как правило, полностью заполненную внешнюю электронную обо-
лочку, Z является химической валентностью атомов.
Величину
or == qn (b+ + b_)
называют электропроводностью электролита. Она значительно меньше
электропроводности металлов и с ростом температуры повышается,
что связано с увеличением константы диссоциации, т. е. с возрастанием
числа носителей тока и уменьшением вязкости растворителя, а значит,
трения, создаваемого его молекулами.
6.4.2. Электролиз. Закон электролиза Фарадея. При протекании
тока через электролит на электродах выделяется вещество, входящее
в его состав. Этот процесс называют электролизом. Отрицательно заря-
женные ионы (анионы) отдают электроду лишние электроны, а положи-
252
телыю заряженные (катионы) приобретают недостающие электроны.
Таким образом, на аноде происходит реакция окисления, а на катоде —
восстановления. Количественные характеристики электролиза опреде-
ляются законами Фарадея. Первый закон Фарадея определяет массу
вещества, выделившегося на электроде за время А/ при прохождении
электрического тока силой /:
т = /ДА/.
Здесь k — коэффициент пропорциональности, называемый электро-
химическим эквивалентом вещества. Этот закон является следствием
закона сохранения заряда.
Полный заряд Q — /А/, протекший через электрод за время А/,
равен заряду, принесенному ионами па электрод, т. е. Q — NZe, где
Л/ — число окисленных или восстановленных ионов. Поскольку масса
выделившегося вещества пропорциональна этому числу, отсюда следует
утверждение первого закона Фарадея.
Второй закон Фарадея устанавливает пропорциональность между
электрохимическим и химическим эквивалентами вещества:
1 Л4
где/VI — молярная (или атомарная) масса вещества;/ — его валентность
М//— химический эквивалент (или грамм-эквивалент) вещества; NA —
число Лвогадро (количество молекул в одном моле); е — элементарный
заряд. Произведение eNА называют постоянной Фарадея F
96 500 Кл/моль. Законы Фарадея можно объединить выражением
6.4.3. Гальванические элементы. При соприкосновении проводников
(металлов или полуметаллов) с электролитом они перезаряжаются. На
поверхности часть атомов металла растворяется и положительно за-
ряженные ионы перемещаются в электролит. Металл при этом заря-
жается отрицательно и приобретает относительно электролита некото-
рый потенциал. Поле, созданное разностью потенциалов между элек-
тродом и электролитом, противодействует переходу следующих ионов
из металла в раствор, а при некотором ее значении устанавливается
динамическое равновесие: число ионов, покидающих металл, равно
числу возвращающихся на него под действием поля установившейся
разности потенциалов, которую называют электрохимическим потен-
циалом. Электрохимический потенциал зависит от двух параметров:
вида металла и концентрации его ионов в электролите. Наличие
в электролитах других ионов на его значение не влияет. При
нормальной концентрации раствора (1 г. экв. ионов металла на 1 л)
электрохимический потенциал называют абсолютным нормальным.
Гальванический элемент состоит из выполненных из разных метал-
лов двух электродов, погруженных в электролит. Электрохимические
потенциалы металлов различны, т. е. потенциалы электродов относи-
тельно электролита различны, поэтому при замыкании цепи между
электродами протекает ток. Разностью электрохимических потенциалов
Vi и У2 этих электродов определяется ЭДС гальванического элемента
которая не зависит от его размеров.
253
Различают обратимые и необратимые гальванические элементы.
В необратимом элементе Вольты, состоящем из медного и цинкового
электродов, погруженных в серную кислоту, химические реакции проис-
ходят и при разомкнутой внешней цепи. В обратимом элементе Даниэля
химические превращения пе происходят. Элемент Даниэля состоит
из медного и цинкового электродов, погруженных соответственно в
растворы сернокислой меди и сернокислого цинка, которые разделены
пористой перегородкой, препятствующей осаждению меди на цинковом
электроде. При замыкании элемента Даниэля химически более актив-
ный цинк переходит в раствор в виде ионов, а ноны меди восстанавли-
ваются иа медном электроде в виде нейтральных атомов. Если прене-
бречь нагреванием обратимого элемента во время работы, то изменение
химической энергии А£ равно работе тока:
А£ = q&,
v№<q— перенесенный полный заряд.
6.4.4. Электрический ток в газах. Газы при нормальных условиях
не проводят электрический ток, т. е. являются диэлектриками, по-
скольку состоят из нейтральных молекул, а не из заряженных частиц,
являющихся его носителями. Проводимость тока в газах достигается
их ионизацией, т. е. разделением молекул на положительно и отрица-
тельно заряженные ионы или положительно заряженные ионы и элек-
троны. Процесс ионизации осуществляется двумя способами: 1) ионы
возникают за счет явлений, не связанных с электрическим полем, на-
пример вследствие нагрева или рентгеновского облучения газа;
2) электрическое поле само создает заряженные частицы. Проводимость
газов в первом случае не является самостоятельной, поэтому протека-
ние электрического тока называют несамостоятельным газовым раз-
рядом в этом случае и самостоятельным газовым разрядом — во втором.
Механизм несамостоятельной про-
Рис, 6.21
водимости газов подобен механизму
проводимости электролитов.При при-
ложении поля отрицательно заряжен-
ные ионы движутся к положитель-
ному электроду, а положительно за-
ряженные — к отрицательному. Если
Ь+ и /?_ — соответствующие по знаку
подвижности этих ионов, а — их
концентрация, то для плотности тока
j справедлива формула
j = qn$ (b+ +b_) E, (6.53)
где q — абсолютная величина зарядов ионов. Равенство (6.53) выра-
жает закон Ома для газов (рис. 6.21, участок ab).
Подвижности Ь+ и Ь_ связаны с длиной свободного пробега I ионов
или с пропорциональной ей величиной т (средним временем между двумя
соударениями молекул газа) и увеличиваются с ростом т. В свою оче-
редь I и т обратно пропорциональны плотности газа, поскольку при ее
увеличении возрастают концентрация молекул газа и во столько же раз
вероятность их столкновения между собой, что приводит к уменьше-
нию значений I и т. Так как согласно законам идеального газа его
плотность при данной температуре обратно пропорциональна давле-
нию, то для подвижностей Ь+ и Ь~ ионов в газе справедлив закон
. . 1 . . 1
b^. - р , р f
254
где /г+, Е_—некоторые коэффициенты, зависящие от рода газа него
температуры; Р — давление газа.
Закон Ома для несамостоятельной проводимости газов справедлив
при небольших значениях напряженности поля, когда число ионов
отдающих за некоторое время свой заряд электродам, намного меньше
числа рекомбинировавших п2 или созданных полем /г3 за то же время
ионов. Когда числа пх и п2 сравняются, т. е. все ионы, созданные иони-
затором, отдадут свой заряд электродам, не успев рекомбинировать, то
наступит насыщение несамостоятельного газового разряда, т. е. плот-
ность тока будет максимально возможной при заданной мощности иони-
затора и изменение напряжения U между электродами на него не по-
влияет (см. рис. 6.21, участок cd). Однако при повышении напряжен-
ности плотность тока начинает расти, но уже за счет дополнительной
ионизации, производимой самим полем (см. рис. 6.21, участок de)* Дру-
гими словами, при напряжении, соответствующем точке d на рис. 6.21,
наступает пробой газа и. становится возможным самостоятельный газо-
вый разряд.
6.4.5. Возникновение самостоятельного газового разряда. При са-
мостоятельном разряде возникновение свободных зарядов в газе яв-
ляется результатом ударной ионизации, механизм которой состоит
в следующем. В промежутках между столкновениями кинетическая
энергия любой заряженной частицы (иона или электрона)увеличивается
за счет работы сил приложенного электрического поля. При определен-
ной напряженности этого поля приращение кинетической энергии ста-
новится больше энергии ионизации атома газа Л/ — работы, необхо-
димой для ионизации нейтрального атома (молекулы) газа. При столк-
новении быстрого иона или электрона с нейтральным атомом (молеку-
лой) может произойти отрыв электрона от этого атома с образованием
двух заряженных частиц. Последние, ускоряясь и соударяясь, при-
водят к следующей ионизации и т. д. Таким образом, количество заря-
женных частиц будет быстро возрастать по мере приближения их к
электродам. Этот процесс называют электронной пли ионной лавиной.
Приращение кинетической энергии электрона (или иона), получае-
мое им между двумя столкновениями, равно разности потенциалов
между местоположениями двух последовательных столкновений, по-
этому критическое напряжение, при котором происходит начало само-
стоятельного разряда, определяется условием
Е$е1 ~~
где / — длина свободного пробега электронов; е — элементарный
заряд; Eq — напряженность поля. Напряжение между электродами,
соответствующее напряженности Ео, называют напряжением пробоя
или напряжением зажигания газового разряда. Для воздуха при нор-
мальных давлениях и температуре Ео = 3 • 10° В/м. '
Образование электронных лавин не является гарантией появления
самостоятельного разряда. Необходимо, чтобы оно индуцировалось
постоянно возникающими ионами или электронами. Одним из процес-
сов, поддерживающих стабильность газового разряда, служит вторич-
ная электронная эмиссия с катода при бомбардировке его положитель-
ными ионами. Может происходить также термоэлектронная эмиссия,
т. е. термическое испарение электронов с поверхности разогретого то-
ком металлического катода.
6.4.6. Виды самостоятельного разряда. В зависимости от характе-
ристик газа различают несколько видов его самостоятельной прово-
димости.
Тлеющий разряд возникает при низких далениях (1 —10 Па) и
имеет характерные области свечения, которые показаны па рис. 6.22:
255
a — слабое свечение вблизи катода (первое катодное свечение или ка-
тодная пленка); б — темное катодное пространство; в — тлеющее све-
чение, имеющее резкую границу у катодного конца; г — второе или фа-
радеево темное пространство; д — интенсивное свечение, простираю-
щееся до анода и называемое положительным столбом. Области а—г
часто называют катодной частью разряда. Свечение происходит за счет
рекомбинации электронов и положительных ионов. Освобождаемая
при этом энергия ионизации переходит в световую. Основная доля
падения напряжения между катодом и анодом приходится на темное
катодное пространство (см. рис. 6.22,6). В нем электроны движутся
практически без соударений и сильно разгоняются, после чего иници-.
ируют ионизацию газа и образование лавин. Такие быстрые электрон-
ные потоки называют катодными лучами. Ширина темного катодного
пространства приблизительно равна длине
свободного пробега элект-
ронов.
В настоящее время тлеющий
разряд широко применяется в лам-
пах дневного света, в трубках для
получения рентгеновских лучей.
В тлеющем разряде катод непре-
рывно бомбардируется потоком
положительных ионов газа, имею-
Рис. 6.22
щих большую скорость. При на-
личии в катоде отверстий часть этих ионов будет пролетать сквозь
них и за катодом (в закатодном пространстве) образуются потоки по-
ложительных ионов. Такне потоки называют копаловыми лучами.
Дуговой разряд (электрическая дуга) возникает, когда температура
катода настолько велика, что с его поверхности происходит термоэлект-
ронная эмиссия. Наличие высокотемпературных электронов (с большой
кинетической энергией) приводит к ударной ионизации газа и появле-
нию дугового разряда, для которого характерна большая сила тока
и небольшая разность потенциалов (так как отпадает необходимость
специально ускорять электроны для ударной ионизации, как в тлеющем
разряде). В дуговом разряде вольт-амперная характеристика падает,
напряжение между электродами уменьшается с увеличением силы
тока. Наряду с высокотемпературными дугами могут существовать и
дуги с холодными электродами. В них интенсивная электронная эмис-
сия вызывается не высокой температурой, а скоплением положительных
ионов у катода, которое создает сильное локальное поле. Дуговой раз-
ряд является мощным источником света, поэтому применяется в проек-
ционных аппаратах и прожекторных установках. Высокая темпера-
тура дуги обусловливает ее широкое применение для сварки и резания
металлов, для плавления материалов в электропечах.
Искровой разряд наблюдается при большой разности потенциалов
между двумя холодными электродами. Этот разряд можно рассматри-
вать как электрический пробой газа. Поскольку при искровом разряде
отсутствует постоянная эмиссия электронов, то искра возникает не как
стационарное свечение, а как эпизодические разряды, имеющие вид пуч-
ка разветвляющихся полос, сопровождающихся выделением большого
количества тепла и ярким свечением. Примером искрового разряда
является молния. Молнии возникают между облаками или между обла-
ком и землей. Сила тока в молнии колеблется от 10 000 до 50 000 А, а
напряжение между грозовым облаком и землей может достигать 109 В.
Возникновение молнии начинается с появления слабосветящегося ка-
нала (лидера). При достижении лидером земли образуется нить ионизи-
рованного проводящего газа между облаком и землей, что эквива-
лентно соединению их проводником, и по пути, проложенному лиде-
256
ром, устремляются заряды, вызывающие яркое свечение и разогрева-
ние воздуха, приводящее к возникновению ударной волны (грома).
Коронный разряд наблюдается в сильно неоднородных полях,
например вблизи участков поверхности проводников, имеющих малый
радиус или вид острия. Вблизи таких участков силовые линии элек-
трического поля сильно сгущаются, т. е. напряженность резко увели-
чивается. Если напряженность поля равна или превосходит напряжен-
ность пробоя газа £0, то в таких областях возникает свечение, называе-
мое коронным разрядом. Пространство, охваченное им, определяется
объемом участков, в которых напряженность поля больше Ео. В корон-
ном разряде электронные лавины не пронизывают весь слой газа, т. е.
наблюдается неполный пробой, что связано с появлением нежелатель-
ных для техники токов утечки, во избежание которых высоковольт-
ные линии изготовляют из проводов большого диаметра. Действие ко-
ронного разряда используется в громоотводах. Когда напряженность
поля в воздухе большая, то коронный разряд возникает около острия
громоотвода, что приводит к сильной ионизации воздуха и уменьшению
напряженности поля (как внутри любого проводника). Это способст-
вует уменьшению вероятности удара молнии: энергия, которая пошла
бы на создание молнии, идет при наличии громоотвода на поддержание
безвредного коронного разряда.
6.4.7. Плазма. Плазма — это частично или полностью ионизиро-
ванный газ, в котором плотности положительных и отрицательных за-
рядов практически одинаковые. В целом плазма электронейтральна.
Из-за специфических свойств ее считают четвертым состоянием ве-
щества. Например, в состоянии плазмы находятся вещества в положи-
тельном столбе тлеющего и главном канале искрового разрядов, звез-
ды и межзвездная среда, верхние слои атмосферы Земли (ионосфера).
Плазма обладает большой электропроводностью, и если в ней возникает
электрическое поле, то свободные заряды,перераспределяясь, могут
сделать напряженность поля равной нулю, а потенциал постоянным.
Если в плазму поместить пробный заряд, нарушающий ее электронейт-
ральность, то его поле приведет к тому, что свободные заряды перерас-
пределятся так, что оно уменьшится. Такое уменьшение поля назы-
вают экранировкой. •' !
Характеристикой плазмы является дебаевский радиус экранирова-
ния (расстояние от заряда, на котором его поле становится пренебре-
жимо малым)
d - а в единицах сгс d=Vw *
где k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура; е —
заряд электрона; п — концентрация заряженных частиц (заряды всех
частиц считаются одинаковыми и равными ±е). Электрически заряжен-
ные частицы плазмы взаимодействуют по закону Кулона. Электроста-
тические силы медленно убывают с расстоянием в отличие от коротко-
действующих сил, возникающих только при соударениях частиц,
как в нейтральном идеальном газе. Каждая частица плазмы взаимодей-
ствует сразу с большим их количеством. Это определяет возможность
возникновения в плазме различных коллективных движений, в кото-
рых на хаотическое тепловое движение каждой частицы накладыва-
ется определенное упорядоченное и согласованное движение некоторого
числа таких частиц. Простейшим типом такого согласованного движения
являются плазменные (лснгмюровские) колебания. Они возникают при
локальном нарушении нейтральности плазмы, г. е. при избыточном
скоплении электронов в одном участке и их недостатке в другом. Плаз-
9 5-1172
257
менные колебания представляют собой распространяющиеся волны из*
быточной концентрации электронов (или волны зарядовой плотности').
Частоту плазменных колебаний называют плазменной частотой:
if 4ле2ле
р= У ’ а в единицах сгс “р = у •
где т — масса электронов, пе— их концентрация. Кванты плазменных
колебаний (т. е. с минимально возможной энергией) часто называют
плазмонами.
Если плазма состоит из положительных ионов и электронов, то
при включении электрического поля более подвижные электроны при-
обретают энергию быстрее, чем ионы. При малой концентрации носи-
телей тока, когда число соударений мало, электроны за характерное
время изменения поля не успевают передать свою энергию ионам по-
средством столкновений. В этом случае средняя кинетическая энергия
электронов выше, чем ионов, т. е. электронная температура выше ион-
ной. Такую плазму называют неизотермической. При высоких давле-
ниях из-за увеличения числа столкновений происходит интенсивный
теплообмен между электронной и ионной подсистемами, их температу-
ры выравниваются. В этом случае плазму называют изотермической.
Изотермическая плазма находится в объектах, где ионизация осущест-
вляется термическим путем (например, в звездах, в основном канале
искрового разряда), а неизотермическая — за счет сил электромагнит-
ного поля (например, в тлеющем разряде).
На процессы, происходящие в плазме, оказывает сильное влияние
магнитное поле. Это воздействие лежит в основе исследований управля-
емых термоядерных реакций, для получения которых необходимо
нагреть дейтериево-тритиевую плазму до температуры (2—3) • 108 кель-
вин. При этом должен выполняться критерий Лоусона 1014 ионовX
‘Х-с/см3, где п — плотность плазмы (число ионов в кубическом сантимет-
ре), т — время охлаждения (или удержания) плазмы, в течение кото*
рого она будет нагрета до требуемой температуры. Для удержания
плазмы применяют магнитные ловушки различных видов: токамаки,
стеллараторы, открытые ловушки, действие которых основано на за-
кручивании траекторий частиц вокруг силовых линий магнитного поля
под действием силы Лоренца.
6.5. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
6.5.1. Вектор магнитной индукции. Подобно тому как вокруг
неподвижного электрического заряда возникает электрическое поле,
так в пространстве вокруг движущихся электрических зарядов воз-
никает поле особого вида. Сила действия этого поля на находящиеся
в нем заряды зависит от их скорости, причем для неподвижных зарядов
она равна нулю. Поле, окружающее движущиеся заряды или электри-
ческие токи, называется магнитным. Магнитное поле,как и электриче-
ское, есть проявление единого электромагнитного поля, разделение
которого на электрическое и магнитное зависит от выбора инерциаль-
ной системы отсчета. В различных движущихся одна относительно
другой инерциальных системах отсчета электрическое и магнитное
поля могут быть различными. Магнитное поле характеризуется векто-
ром магнитной индукции (или индукцией) В. Если величина и направ-
ление этого вектора во всех точках некоторой области пространства
одинаковы, то поле называют однородным. Как и электрическое,
магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции, те. результирую-
258
щая индукция поля от нескольких источников равна сумме индукций
полей каждого из них:
в = + В2 4~ * • • +
На заряд е, движущийся со скоростью v в магнитном поле с индук-
цией В, действует сила F, направленная перпендикулярно векторам v
и В и определяемая формулой
F = е [v X В], а в единицах СГС F = [v X В], (6.54)
где с — скорость света в вакууме, символ [v X Bj обозначает векторное
произведение. Согласно формуле (6.54)
F = evB sin (v, В),
а в единицах СГС
где (v, В) — угол между векторами v и В. Выраженную формулой
(6.54) силу называют силой Лоренца. Направление ее определяется с
помощью правила левой руки: если левую руку расположить так, чтобы
составляющая вектора магнитной индукции В, перпендикулярная
скорости заряда, входила в ладонь, а четыре пальца были направлены
вдоль скорости движения положительного заряда или противоположно
скорости отрицательного, то отогнутый па 90° большой палец покажет
направление действующей на заряд силы Лоренца.
Если скорость v заряженной частицы перпендикулярна направле-
нию однородного поля с индукцией В, то под действием силы Лоренца
частица движется по окружности, а сама сила является центростреми-
тельной. Угловая скорость (ос этого движения определяется формулой.
(ос — еВ/т,
а в единицах СГС
(Ос = еВ/тс, (6.55)
где т — масса частицы. Если частицей является электрон, то величину (ой
называют циклотронной частотой свободного электрона. Она не зави-
сит от скорости электрона, а определяется только величиной поля.
Радиус окружности, по которой движется электрон, вычисляют по
формуле
г = vm/eB,
а в единицах СГС
г = vmcjeB.
Поскольку магнитное поле на величину составляющей скорости,
направленной вдоль поля, не влияет, траекторией движения частицы
будет спираль, ось которой параллельна вектору индукции, а радиус
определяется приведенной выше формулой, где под у следует понимать
составляющую вектора скорости, перпендикулярную направлению
магнитного поля. Шаг спирали определяется выражением
а в единицах СГС
№ 25Э
Здесь v я —составляющая вектора скорости, параллельная В. Если
заряд находится одновременно в электрическом и магнитном полях,
то действующая на него результирующая сила
F = e(E + [vx В]),
а в единицах СГС
F = е (ё +В1) . (6.56)
6.5.2. Закон Ампера. Если на один движущийся заряд, помещен-
ный в магнитное поле, действует сила, то проводнике током, составля-
ющий систему зарядов^ также испытывает ее действие. Для
прямолинейного проводника длиной Z, помещенного в однородное
магнитное поле с индукцией В, эта сила выражается так:
F = B7Zsina, F = [1 X В] Z, (6.57J
а в единицах СГС
F = ^ВП sin a, F = -1 [1 X В] I,
где / — сила тока в проводнике; а — угол между направлением тока
и вектором магнитной индукции; 1 — вектор, соединяющий начало
и конец участка проводника и совпадающий с направлением протека-
ния в нем электрического тока. Силу, определяемую формулой (6.57),
называют силой Ампера, а выражение (6.57) — законом Ампера. На-
правление силы Ампера определяют по правилу левой руки: если ла-
донь левой руки расположить так, чтобы перпендикулярная провод-
нику составляющая вектора магнитной индукции В входила в ладонь,
а четыре вытянутых пальца были направлены вдоль тока, то отогнутый
на 90° большой палец покажет направление действующей на отрезок
проводника силы (рис. 6.23).
В формулировку закона Ампера входит сила, действующая
лишь па участок цепи тока, однако в реальных условиях для проте^
кания тока необходим замкнутый контур (сам по себе участок провод-
ника с током существовать не может), поэтому для исследования маг-
нитного поля удобно рассматривать его воздействие на замкнутую
электрическую цепь, например рамку, по которой протекает ток. Если
рамка в виде квадрата со стороной Z помещена в однородное магнитное
поле так, что ее плоскость параллельна вектору индукции В (рис. 6.24),
то на участки ab и cd рамки сила не действует, так как 1 |[ Вив фор-
муле (6.57) sin а = 0. На участки Ъс и ad действуют одинаковые по ве-
260
личине силы F == ВII, но противоположные по направлению. Так что
В результате появится момент силы М Fl ~ ВII2, стремящийся по-
вернуть рамку. Если плоскость рамки составляет с вектором В угол
0, то вращательный момент силы, действующий на рамку, определится
формулой
М = В/Seos р,
а в единицах СГС
М= 1 BIS cos Р,
С
где S, I — площадь рамки и сила тока в ней.
Согласно закону Ампера за единицу магнитной индукции поля
принята индукция такого поля, которое на участок расположенного
перпендикулярно вектору магнитной индукции проводника длиной
1 м, по которому протекает ток 1 А, действует силой 1 Н. Эту единицу
называют тесла (Тл), 1 Тл = 1Н/(А м). В системе СГС единица магнит-
ной индукции такая же, как напряженности и индукции электриче-
ского поля, но имеет свое название — гаусс (Гс), 1 Гс — 10~4 Тл.
Для графического изображения магнитного поля удобно ввести
линии магнитной индукции. Магнитной силовой линией или линией
индукции магнитного поля называют линию, касательная к которой
в каждой точке совпадает с направлением вектора индукции этого
поля.
6.5.3. Магнитное поле, создаваемое токами. Закон Био—Савара.
Источниками магнитного поля являются движущиеся заряды или про-
водники с токами. Если токи в проводниках не изменяются с течением
времени, то и магнитные поля, созданные ими, также не изменяются.
Такие магнитные поля называют постоянными. Величину магнитного
поля, создаваемого контурами постоянного тока, находят с помощью
закона Био—Савара. Закон Био—Савара определяет индукцию поля В,
создаваемого прямолинейным участком А! цепи, в которой течет по-
стоянный ток /, на расстоянии г от этого участка (А/ < г):
В = ц -/Ц[А1 X г],
‘ 4лг3 L
в единицах СГС
В = И^[Д1 хг]. (6.58)
Здесь г — радиус-вектор, проведенный из участка проводника в рас-
сматриваемую точку; А1 —вектор, совпадающий по величине с длиной
участка, а по направлению с течением тока (рис. 6.25); р0 = 4л х
X Ю"7 В • с/А • м — магнитная постоянная', pi — магнитная про-
ницаемость среды. Если векторы г и А1 образуют угол а, то для модуля
вектора В справедлива формула
В = li - sin а,
4лг2
а в единицах СГС
п / А/ . г
В = у, sin а. (6.59)
Вектор В перпендикулярен плоскости, образованной векторами
Д1 и г, и направлен в ту сторону, куда перемещался бы буравчик (пра-
вый винт), вращающийся, как вектор AJ, если поворачивать его по крат-
чайшему пути к вектору г (правило буравчика). Формулы (6.58) и
261
(6.59) справедливы только тогда, когда расстояние до рассматриваемой
точки намного превышает длину участка проводника (г > Д/). Для
нахождения результирующего поля, создаваемого проводником с то-
ком, необходимо согласно принципу суперпозиции просуммировать
индукцию поля от каждого малого участка проводника. Магнитное
поле бесконечного линейного проводника, по которому течет ток силой
/, на расстоянии г от него определяется по формуле
Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости, прове-
денной через рассматриваемую точку и проводник, и направлен соглас-
но правилу Максвелла (или буравчика): если ввинчивать буравчик
вдоль направления тока, то направление вращения рукоятки покажет
направление вектора магнитной индукции.
Как видно из рис. 6.26, силовые линии магнитного поля не имеют
начала и конца, т. е. замкнуты. Это основное свойство линий магнит-
ной индукции означает, что не существует магнитных зарядов,подоб-
ных электрическим, у которых силовые линии начинаются и закапчи-
ваются на зарядах. Поля с замкнутыми силовыми линиями называют
вихревыми или соленоидальными. Характерной особенностью их яв-
ляется то, что работа сил поля при любом перемещении в нем заряда
равна нулю. Отсутствие магнитных зарядов означает также отсутствие
магнитного тока. Линин магнитной индукции всегда охватывают линии
электрического тока.
Из формулы (6.60) видно, что индукция магнитного поля прямо-
линейного тока в точках окружности с центром, лежащим на проводе,
одинакова. Если умножить индукцию поля в этих точках на длину ок-
ружности, то получим так называемую циркуляцию индукции магнит-
ного поля
им = 2лг!3~ |.1Ц0/,
а в единицах СГС
UM = 2nrB = ^-, (6.61)
которая не зависит от радиуса окружности, а только от магнитны::
свойств среды и силы протекающего внутри этой окружности тока.
262
В случае проводников произвольного вида циркуляция UM магнит-
ного поля определяется следующим образом: эту кривую разбивают
на N коротких дуг, длины которых малы по сравнению с длиной всей
кривой и расстояниями до проводов с токами, для каждой из них вы-
числяют скалярное произведение BZAIZ, где — вектор индукции маг-
нитного поля на рассматриваемом участке дуги, — вектор, проведен-
ный из начала участка дуги в ее конец. Тогда циркуляцию магнитного
поля получают суммированием этих произведений по всем дугам:
t/AI= £в,д|<.
Для циркуляции индукции магнитного поля по произвольному
замкнутому контуру справедлив закон полного тока
им = P-Но У] Z<-
а в единицах СГС
(6.62)
где S/f—алгебраическая сумма токов, пронизывающих контур, при-
чем токи считают положительными, если движению буравчика вдоль
тока соответствует вращение его рукоятки выбранному направлению
обхода, и отрицательными — в противном случае.
Рис. 6.28
Магнитное поле в произвольной точке на оси кругового провод-
ника радиусом /?, по которому течет ток /, определяется так:
п ______ЩЦ/К* _
2 -I-Лу/а 1
а в единицах СГС
__ 2лц 7/?а
с (7?а + Л2)3/2‘
Здесь h — расстояние от рассматриваемой точки до центра кругового
проводника (рис. 6.27). Направление В определяется с помощью пра-
вила буравчика.
Соленоидом называют систему одинаковых круговых токов с об-
щей прямолинейной осью. Обычо соленоид представляет собой провод-
ник, намотанный на цилиндрическую поверхность, Во внутренней
263
части очень длинного соленоида, т. е. такого, у которого длина значи-
тельно больше радиуса R (рис. 6.28), поле практически однородно?
В = рцоп/,
а в единицах СГС
В ~ ^~\.ynl!c,
где п = N/1 (W — полное число витков) — плотность витков, т.е.
число их иа единицу длины соленоида. Произведение In называют чис-
лом ампервитков на метр (А/м).
Система одинаковых круговых токов, намотанных на тороидальную
поверхность, образует тороидальную катушку. Если радиус тора R
намного превышает радиус намотки, то магнитное поле однородно и
полностью сосредоточено внутри катушки:
2nR 1
а в единицах СГС
И 2А7
с R ’
Здесь N — число витков; / — сила протекающего тока; ц — относи-
тельная магнитная проницаемость вещества, находящегося внутри
тора.
Зная магнитное поле проводника с током, можно по формуле
(6.57) вычислить силу, с которой рассматриваемый проводник взаимо-
действует с другим проводником. В случае взаимодействия двух бес-
конечно длинных параллельных проводов, находящихся на расстоянии
d один от другого, сила, с которой второй провод действует на отрезок
длины / первого провода, определяется формулой
а в единицах СГС
f = (6.63)
где /1? /2 — токи, текущие по двум проводам; с — скорость света.
Провода притягиваются, если токи в них текут в одном направлении,
и отталкиваются — в противоположном случае.По формуле (6.63) опре-
деляется единица силы тока — ампер (А): если по двум бесконечным
параллельным проводам, расположенным на расстоянии 1 м один от
другого, в вакууме (р, = 1) текут равные по величине постоянные токи,
в результате взаимодействия которых на каждый метр этих проводов
действует сила 2 • 10-7 Н, то по этим проводам текут токи силой 1 А.
6.5.4. Теорема Остроградского—Гаусса. Магнитный поток. 77о-
током магнитной индукции В через небольшую площадку AS, как
и в электростатике, называют величину АФ ~ BAS cos а = Bn&S,
где а — угол между вектором В и перпендикуляром к площадке' AS,
а Вп = В cos а — нормальная составляющая вектора В. Поток маг-
нитной индукции через произвольную поверхность находят суммиро-
ванием потоков магнитной индукции АФг- через малые площадки, на
которые разбита рассматриваемая поверхность:
ф=£дф£ = 2^д5,.
i i
264
За единицу магнитного потока принят вебер (Вб), 1 Вб~1 Кл-Ow*
В системе СГС такой единицей служит максвелл (Мкс), 1 Мкс =
=’ 10" 8Вб.
Поток магнитной индукции, пронизывающий некоторую поверх-
ность, пропорционален алгебраической сумме магнитных силовых ли-
ний, проходящих через эту поверхность. Поскольку силовые линии
магнитного поля замкнуты, то количество входящих в замкнутую по-
верхность силовых линий и выходящих из нее одинаково, так что сум-
марное их число равно нулю. Поэтому поток магнитной индукции
через произвольную замкнутую поверхность равен нулю:
Ф = 0. (6.64)
Это утверждение называют теоремой Остроградского—Гаусса для
магнитного поля. Формула (6.64) является одним из уравнений Макс-
велла для электромагнитного поля.
6.5.5. Магнитный момент. Для вычисления сил взаимодействия
токов на больших расстояниях удобно ввести понятие магнитного
момента. Магнитным моментом плоского замкнутого контура с то-
ком / называют вектор
ш = ISn,
а в единицах СГС
m = /Sn/c,
где 5 — площадь, охватываемая контуром; п — единичный вектор (орт),
перпендикулярный плоскости, в которой находится контур, и направ-
ленный так, что видимое из его конца направление тока соответствует
вращению против часовой стрелки.
Индукция магнитного поля контура с током и магнитным моментом
m на большом расстоянии R от него есть
рц0 3R (mR) — m/?2
4л /?5
а в единицах СГС
R 3R(mR)-m7?2
в = Н------^5---- • (6.65)
Формулы (6.65) аналогичны формулам (6.11) для напряженности
электрического поля, создаваемого диполем с моментом р. Таким обра-
зом, в теории магнетизма магнитный момент играет ту же роль, что и
дипольный момент в электростатике. Из-за отсутствия свободных маг-
нитных зарядов магнитный момент (дипольный момент воображаемых
связанных магнитных зарядов) является элементарной характеристикой
магнитных взаимодействий.В частности, элементарные частицы наряду
с зарядом характеризуются определенным магнитным моментом, суще-
ствование которого связано с характеристикой частицы, получившей
название спина.
Магнитный момент электрона складывается из магнитного момента
его орбитального движения и спинового магнитного момента:
m = yhJ = — = — рв (1 + 2s).
Здесь J — квантовое число полного момента количества движения элек-
трона; 1 — орбитальное квантовое число; s—его спин; pB~\e\h/2m=
=9,27 . КН* Дж/Тл (или рв = |е| h/2mc = 9,27 * 10’21 эрг /Гс в еди-
265
ницах СГС) называют магнетоном Бора, где е — заряд электрона: ti —
постоянная Планка; с — скорость света в вакууме; т — масса электрона.
Можно считать, что магнетон Бора приближенно равен спиновому маг*
нитному моменту электрона. Величина у есть отношение магнитного мо-
мента m к механическому 7М, поэтому ее называют гиромагнитным
отношением. Множитель Ланде g называют g-фактором или фактором
магнитного расщепления. Если орбитальный момент электрона равен
нулю, то g = 2,0023 (обычно считают g = 2). Если орбитальное кван-
товое число / велико, то g близко к единице. Всегда 1 < g < 2.
Магнитный момент ядра определяется спинами составляющих его
протонов и нейтронов. Для любой из этих частиц m = g^Ns. Здесь
— | е | h/2M = 5,05 • 10~27 Дж/Тл (или = | г? | Лг/2 /Ис = 5,05 X.
X эрг/Гс в единицах СГС) называют ядерным магнетоном; М —
масса протона. Для протона g = 2,79, для нейтрона g ——1,91.
Магнитный момент системы является векторной суммой моментов
составляющих ее частиц. Магнитный момент, связанный с орбиталь-
ным движением, создается отдельным зарядом q, движущимся с по-
стоянной скоростью v по замкнутому контуру длиной L, охватывающе-
му площадь S:
т = qvS/L,
а в единицах СГС
т = qvS/cL,
На вектор магнитного момента ш в магнитном поле В действует
сила с моментом Q, стремящаяся повернуть вектор ш в направлении
вдоль поля:
Q — [m X В], Q = тВ sin а,
где а — угол между векторами m и В.
6.5.6. Работа и энергия магнитного поля. При повороте замкну-
того контура тока с магнитным моментом m во внешнем поле с индук-
цией В на контур действуют силы с моментом Q, а поле совершает над
контуром работу А. Если контур повернется на малый угол Да в плос-
кости, в которой расположены векторы В и т, то работа сил поля
А = QAa = mBsin aAa.
Эта работа равна уменьшению потенциальной энергии Upt которую
имеет магнитный момент тока во внешнем поле:
ир = — (in • В) == —тВ cos a,
или
Up = IS В cos a = —7Ф, (6.GG)
а в единицах СГС
Up = — ~ SB cos a == — /Ф/с.
Здесь / — ток, протекающий по контуру; 5 — площадь контура;
a — угол между перпендикуляром к плоскости контура и вектором
магнитной индукции поля; Ф — магнитный поток, пронизывающий
контур. Поскольку магнитный поток Ф пропорционален числу линий
магнитной индукции, пронизывающих контур, работа сил поля при
перемещении контура с постоянным током совершается только тогда,
когда при движении проводника он пересекает магнитные силовые
линии, причем эта работа пропорциональна числу пересеченных
линий.
266
6.Б.7. Монополь Дирака. Хотя магнитныезаряды до сих пор в при-
роде не наблюдались, для объяснения квантования электрического
заряда Дирак предположил существование частиц с магнитным заря-
дом. Эту гипотетическую частицу называют монополем Дирака. Мь-
нополь должен создавать вокруг себя поле, подчиняющееся закону
Кулона:
п___
“ 4лг2 ’
а в единицах СГС
о___ Ят
” г2 *
Из условия квантования момента количества движения системы, состоя-
щей из монополя qin п электрического заряда q(:, вытекает, что произ-
ведение qtnqe должно также быть квантованной величиной, т. е. qe
не может принимать произвольные значения, а только кратные неко-
торому значению <?, a qm ~ tic/2e 68,5е. Несмотря на ряд предприни-
мавшихся попыток, монополи Дирака экспериментально не обнаружены.
6.6. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
6.6.1. Намагничивание. Напряженность магнитного поля. Маг-
нитное поле в веществе изменяется по сравнению с полями, создавае-
мыми теми же источниками в вакууме. Это связано с тем, что, во-пер-
вых, в молекулах электроны участвуют в движении около ядер и созда-
ют микроскопические токи, которые могут создать у молекул магнит-
ный момент,во-вторых, электроны, протоны и нейтроны, составляющие
атом, обладают собственным моментом (спином), не связанным с дви-
жением этих частиц в веществе. Магнитные моменты ядер, складываю-
щиеся из магнитных моментов входящих в них протонов и нейтронов,
более чем в тысячу раз меньше магнитных моментов электронов, по-
этому, как правило, магнитные свойства вещества обусловлены свой-
ствами электронов.
Свойства, которые проявляют вещества в магнитном поле, назы-
вают магнитными, а сами вещества — магнетиками. Магнитные свой-
ства веществ определяются наличием у их атомов магнитных моментов.
У большинства элементов в отсутствие внешнего магнитного поля
магнитные моменты электронов,входящих в атомы, равны нулю, так
как имеют разные направления и полностью компенсируют друг друга.
Однако в атомах ряда элементов, например в железе, имеются не
полностью заполненные внутренние электронные оболочки, магнитный
момент которых отличен от нуля. Такие атомы называют магнитными-
При температурах выше критической магнитные моменты направлены
хаотично, однако при понижении температуры приобретают некоторое
преимущественное направление и при тепловом движении колеблются
около этого направления. Вещества, в которых существуют такие вы-
деленные направления, называют магнитоупорядоченными, а у кото-
рых магнитные моменты из-за теплового движения направлены беспо-
рядочно или вообще отсутствуют, немагн неупорядоченными.
Наложение внешнего магнитного поля приводит к переориента-
ции моментов магнитных атомов и появлению отличного от нуля маг-
нитного момента у немагнитных. При этом суммарный магнитный мо-
мент частиц становится отличным от нуля и изменяет магнитное поле.
267
Для характеристики намагничивания тела вводят вектор намсрг*
ниченности, равный по величине магнитному моменту единицы объема
тела:
и
Здесь mn — магнитный момент n-й частицы или молекулы, из которых
состоит тело; N — их число в объеме AV. Если вектор М одинаков во
всех точках магнетика, то такую намагниченность называют однород-
ной. Индукция магнитного поля в магнетике определяется суммой
поля, созданного внешними источниками, и поля магнитных моментов
самого магнетика:
В = р0Н + р0М,
а в единицах СГС
В = Н + 4лМ. (6.67)
Величину Н, не зависящую от магнитных свойств среды, называют
напряженностью магнитного поля. Если магнетик однороден и без-
граничен, то напряженность совпадает с вектором В/р0 (или вектором
индукции В в единицах СГС) поля, созданного такими же токами
в вакууме.
Единицей напряженности магнитного поля является ампер на
метр (А/м), а единицах СГС эрстед (1 Э — (1/4л) • 103 А/м).
В формулу (6.67), как и в аналогичную формулу (6.24), входят
не микроскопические значения векторов В, М, Н, которые сильно
изменяются на расстояниях порядка межатомных, а их усредненные
макроскопические значения.
Если магнетик не магнитоупорядочен, т. е. отсутствует внешнее
поле (Л4 = 0),тов слабых магнитных полях М пропорциональна на-
пряженности поля Н. Если при этом направления М и Н совпадают,
то вещества являются изотропными магнетиками. Если направление
вектора М зависит от направления поля относительно кристаллографи-
ческих осей, то вещества являются анизотропными магнетиками.
Графически напряженность магнитного поля изображают с помощью
линий, касательная к которым в каждой точке совпадаете направле-
нием напряженности в этой точке. Густота этих линий пропорциональна
величине вектора напряженности. В отличие от линий магнитной индук-
ции, линии магнитной напряженности начинаются и заканчиваются
на границе раздела между двумя веществами с разными магнитными
свойствами. Из сравнения формул (6.67) и (6.24) видно, что напряжен-
ность магнитного поля Н в магнетике аналогична электрической индук-
ции D в диэлектрике.
В изотропных немагнитоупорядоченных веществах
М = хН. (6.68)
Здесь х называют магнитной восприимчивостью. Из формул (6.67)
и (6.68) следует, что
В = |ip0H, р, = 1 + х,
а в единицах СГС
В = цН, р — 1 + 4лх, (6.69)
где р — магнитная проницаемость вещества. Магнитная проницае-
мость в отличие от диэлектрической проницаемости,которая не меньше
2С8
ёДйМицы, может быть как больше, так и меньше единицы. Немагнито-
уПорйдочснные вещества при 4u < 1 называют диамагнитными, а при
[1 > 1 — парамагнитными.
Магнитное поле, как и электрическое, обладает энергией. Плот-
ность энергии магнитного поля в среде с магнитной проницаемостью ц
определяется формулой
ВН Н* В2
ш = “тг = Го Г лс = п--,
2 гиг2 2рр0 ’
а в единицах СГС
ВН р/72 В2
= о— = = о--- .
8л 8л 8|,1л
Для получения полной энергии магнитного поля необходимо разбить
все занимаемое им пространство на небольшие участки AVZ, в пределах
которых В и Н мало изменяются, найти энергию каждого участка
и просуммировать ее: Е = Wj&V i — j w dV.
i
Энергия однородного магнитного поля длинного соленоида
почти полностью сосредоточена внутри него и рассчитывается но
формуле
2IP ’
а в единицах СГС
п 2л /V2VZ2
Е = Г -? —тг~ ,
f с2 Z? ’
где L — длина соленоида; Z — сила тока в нем; N — число витков;
V — его объем.
6.6.2. Диамагнетики. Парамагнетики. В диамагнитных веществах
вектор намагниченности М направлен противоположно намагничи-
вающему полю И и отсутствует собственный магнитный момент, кото-
рый появляется лишь в результате действия внешнего поля. Возник-
новение диамагнетизма связано с ларморовой прецессией орбит электро-
нов во внешнем поле, заключающейся в том, что под действием прило-
женного магнитного поля вектор орбитального (не спинового) магнит-
ного момента электрона начинает вращаться вокруг вектора индукции
поля, причем угол между ними остается неизменным. Ларморова пре-
цессия электронных орбит эквивалентна образованию дополнительного
тока, создающего магнитный момент и магнитное поле, противополож-
ное по направлению вызвавшему его внешнему магнитному полю.
Частота ларморовой прецессии
(oL — eB!2mf
а в единицах СГС
(oL = еВ/2тс,
т — масса электрона; е — его заряд.
В парамагнетиках вектор намагниченности направлен вдоль при-
ложенного поля. Магнитные моменты атомов и молекул отличны от
нуля, во направлены хаотично. При наложении внешнего магнитного
поля происходит перераспределение их направлений. Число магнитных
моментов, приближающихся по направлению к магнитному полю, ока-
зывается преобладающим. Это приводит к тому, что появляется отлич-
ная от нуля намагниченность, направленная вдоль вектора индукции
поля,
269
В отличие от диамагнетиков у парамагнетиков магнитная воспри-
имчивость сильно зависит от температуры. В слабых магнитных полях г
когда намагниченность далека от намагниченности насыщения (т. е,
максимально возможной в данном веществе) Ма = Nm, где N — число
магнитных частиц в единице объема, т—их магнитный момент, маг-
нитная восприимчивость подчиняется закону Кюри
Nm* Nni2 _Л.
х = Мо> а в единицах СГС х = , (6.70)
ок / ОК I
где k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура. В силь-
ных магнитных полях, когда намагниченность приближается к намаг-
ниченности насыщения, линейная связь индукции и напряженности
магнитного поля нарушается. Если магнитный момент атомов или моле-
кул т парамагнетика намного превышает магнетон Бора то спра-
ведлива формула Ланжевена, выражающая зависимость намагничен-
ности М парамагнетика от индукции магнитного поля В:
М = ПтЦх).
Здесь N — число атомов или молекул парамагнетика в единице объема;
L(x) — функция Лаижевена; х = mB/kT\ Цх) = cthx — 1/х.
Если магнитные моменты молекул парамагнетика имеют тот же
порядок, что и магнетон Бора, то необходимо учитывать квантование
орбитального момента, приводящее к квантованию магнитного момен-
та. Так как проекции квантового числа полного момента J атома могут
принимать только целочисленные значения, т. е. — J, —J + 1, ...,
J — 1, J, то в соответствии с изложенным в 6.5.5 суммарные проекции
магнитного момента meZ электронов этого атома на ось г, вдоль которой
направлено магнитное поле, не могут принимать произвольные значения,
а только дискретные: meZ = где Му — целое число (| М. | < J),
g— множитель Ланде. Число М. называют магнитным квантовым
числом. Для намагниченности в этом случае справедлива формула
М = NmeB. (х),
теВ
™Х==~кТ>
„ . . 2J + 1 ,, (2J + 1) X 1 х
Ri = - 27- cth ~^Г---------2J cth 27 •
Здесь те—абсолютная величина магнитного момента электронов одного
атома или иона; N — число атомов или ионов в единице объема; те ~
= = У J (J 1) где р — эффективное число магнетонов Бора
в магнитном моменте частицы. Функцию В. (х) называют функцией Брил*
лю эн а.
В металлах, в которых суммарный магнитный момент атомов равен
нулю (те = 0), магнитные свойства обусловлены электронами прово-
димости. Поскольку электроны имеют собственные магнитные моменты,
приблизительно равные магнетону Бора то при переориента-
ции этих моментов под действием магнитного поля появляется парамаг-
нетизм электронов (парамагнетизм Паули)t магнитная восприимчи-
вость которых
_ тЛ (Зп\'/3
*р ~ |1° К \пН >
270
а в единицах СГС
_ 'Щ*в/Зп\/3
Нр '= ’
где п — концентрация электронов; т — их масса; й — постоянная Планка.
Кроме того, квантование уровней электронов в магнитном поле (кван-
тование Ландау) приводит к диамагнитному вкладу в проницаемость
hd ~ —Кр/3- Возникновение диамагнитной составляющей восприимчи-
вости электронов называют диамагнетизмом Ландау. Поскольку диа-
магнитная восприимчивость втрое меньше парамагнитной элект-
ронный газ в целом парамагнитен. В магнитных металлах (те 0) маг-
нитная восприимчивость, обусловленная магнитными атомами, в 1(Я раз
Рис. 6.29
превышает вклад в нее электронов проводимости, поэтому их влияние
на магнитные свойства таких металлов мало.
Определение напряженности магнитного поля внутри ограничен-
ного тела не сводится просто к вычислению величины магнитного поля
от тех же его источников в вакууме и умножению полученного значе-
ния В на р,.
Наличие границы раздела между средами с различными магнит-
ными свойствами приводит к преломлению линий магнитной индук-
ции и напряженности магнитного поля, а также к изменению их зна-
чений по обеим сторонам поверхности раздела.
Поскольку линии магнитной индукции непрерывны, то на границе
раздела двух магнетиков нормальная составляющая вектора В непре-
рывна, т. е. удовлетворяет условию (рис. 6.29)
- В2П9 (6.71)
а вектора Н — претерпевает разрыв:
HinlH^n = Р2/Р1, (6.72)
где Pi, р2 — магнитные проницаемости первой и второй сред (pi < j.t2)*
Из формулы (6.72) видно, что напряженность магнитного поля больше
в среде с меньшей магнитной проницаемостью, т. е. часть линий напря-
женности обрывается на границе раздела и не проникает в среду с боль-
шей магнитной проницаемостью р. Если более магнитная среда (т. е.
с большим значением р) ограничена, то количество заканчивающихся
на поверхности раздела линий напряженности и начинающихся на ней
одинаково. Часть поверхности раздела, из которой эти линии выходят,
называют северным полюсом (N), а куда они входят — южным (S)«
271
Тангенциальная (параллельная границе раздела) составляющая
напряженности поля непрерывна на границе раздела, т. е.
ни =
а магнитной индукции — претерпевает разрыв:
(6-73)
Величина магнитной индукции больше в той среде, где магнитная
проницаемость больше. Линии индукции «втягиваются» в теле с боль-
шей магнитной проницаемостью.
Из соотношений (6.71)—(6.73) вытекает закон преломления линий
магнитной индукции и линий напряженности магнитного поля:
tg aj/tg а2 = (6.74)
где alt a2 — углы, которые составляют эти линии в первой и второй
средах соответственно с нормалью к поверхности раздела.
6.6.3. Влияние формы тела if а магнитное поле внутри него. Если
в однородное магнитное поле напряженностью Но в среде с проницае-
мостью рх внести некоторое тело, то напряженность магнитного поля
внутри этого тела И будет равна сумме напряженностей внешнего (пер-
воначального) поля Но и поля Ндр создаваемого молекулярными тока-
ми тела:
Н = НО + НЛ1.
Здесь Н/Ч называют полем размагничивания. Несмотря на то что
поле Но однородно, результирующее поле может оказаться неоднород-
ным, поскольку НД1 зависит от координат рассматриваемой точки
тела, его формы и ориентации относительно исходного поля. Если тело
имеет эллипсоидальную форму, то поле И, следовательно и Н^, а так-
же намагниченность М будут однородными внутри тела.
Когда одна из главных осей внесенного эллипсоида ориентирована
вдоль вектора Но, то
Н = Но-Л'М/|Хо>
а в единицах СГС
Н = но — 4лД/М,
где N — коэффициент размагничивания, зависящий только от соот-
ношения между осями эллипсоида. Численно он равен коэффициенту
деполяризации диэлектрического эллипсоида (см. формулу (6.33)).
Для сферы N — 1/3. Напряженность и индукция поля внутри такого
эллипсоида с магнитной проницаемостью р2 определяются формулами
—- В
Н п п°
Н =--------, в =---------------.
1 + д/ /Ъ _ 1) 1 + N (1--2 — 1)
\|Ч / \ш /
Здесь Bq — индукция внешнего поля; /70 = а в единицах' СГС
//0 = Н1£о. Для цилиндра с той же проницаемостью, ось которого сов-
падает с направлением внешнего поля, /V = 0 и
Н = Но, В =
Для очень тонкой пластинки, ориентированной перпендикулярно сило-
вым линиям поля, N = 1 и
II = /7о[ч/|л2» В == BQ.
272
- 6.6.4. Магвнтоупорядочснные вещества. Существует~много крис-
таллов (например, железо, кобальт, никель), намагниченность которых
отлична от нуля (а при низких температурах равна намагниченности
насыщения) в отсутствие внешнего магнитного поля. Такие вещества
н а з ы ва ют ферро магнет и кам и.
Ферромагнетизм наблюдается в кристаллах, в которых есть атомы
с отличным от нуля суммарным спином электронов, например во мно-
гих переходных металлах и редкоземельных элементах. Возникновение
ферромагнетизма обусловлено квантовомеханическим эффектом тож-
дественности элементарных частиц, заключающимся в том, что между
электронами помимо обычного электростатического кулоновского вза-
имодействия существует еще взаимодействие, обусловленное неразли-
чимостью электронов и названное обменным. Такое обменное взаимо-
действие зависит не только от расстояния между электронами, но и от
других их характеристик (квантовых чисел), в том числе и спинов.
Энергия обменного взаимодействия двух электронов зависит от ориен-
тации их спинов (т. е. магнитных моментов) относительно друг друга.
Эта зависимость выражается гамильтонианом (энергией) Гейзенберга.
Взаимодействие двух атомов, содержащих электроны с иескомпенси-
роваииым спином, описывается выражением
Е = — 7s1s2, (6.75)
где sr, s2 — суммарные спины электронов взаимодействующих атомов,
а I — так называемый обменный интеграл. Если I > 0, то электронам
обоих атомов энергетически выгодно направить свои спины, а значит,
и магнитные моменты параллельно один другому и в одну сторону.
При низких температурах, когда тепловое разупорядочение спинов не-
значительно, наблюдается структура, когда пескомпенсированные
спины всех электронов направлены в одну сторону, т. е. образец ока-
зывается намагниченным. Такую намагниченность называют спонтан-
ной в отличие от намагниченности, индуцированной внешним полем.
Совокупность ориентированных спинов образует магнитную решетку.
Если 1 < 0, то спинам соседних атомов энергетически выгодно
быть направленными в противоположные стороны. Эго значит, что при
низких температурах направления спинов будут чередоваться: рядом
с атомом, спины электронов которого направлены в одну сторону, будут
находиться атомы с противоположным направлением спинов и наобо-
рот. Вещества с таким типом магнитного упорядочения (например,
FeO) называют антиферромагнетиками. В антиферромагнетиках на-
магниченность отсутствует из-за того, что магнитный момент атомов,
электронные спины которых направлены в одну сторону, полностью
компенсируется магнитным моментом атомов с противоположным на-
правлением спинов. Совокупности одинаково направленных спинов
называют магнитными подрешетками. Антиферромагнетик может
содержать более двух магнитных подрешеток, магнитный момент кото-
рых в целом равен нулю.
Разновидностью антиферромагнетиков являются кристаллы со
спир.альиьнм (или геликоидальным) упорядочением спинов. В таких
кристаллах можно выделить атомные плоскости, содержащие атомы
с одинаковым направлением спинов. Однако спины атомов соседних
плоскостей повернуты один относительно другого на определенный
угол, так что концы векторов магнитных моментов атомов, располо-
женных на прямой, перпендикулярной этим плоскостям, описывают
спираль.
< Существует класс кристаллов,'у которых спины соседних магнит-
ных атомов направлены под некоторым углом один к другому, так что
273
в целом намагниченность таких кристаллов не равна нулю. Их назы-<
вают ферримагнетиками.
В аморфных магнетиках, т. е. твердых телах, в которых магнит-
ные и немагнитные атомы или ионы размещены случайным образом,
возможно состояние, называемое спиновым стеклом. В спиновом стекле
магнитные моменты различных атомов направлены беспорядочно, но
в отличие от парамагнетиков их направления фиксированы, т. е. не
изменяются под действием температурных флуктуаций. Суммарный
магнитный момент спиновых стекол равен нулю. В аморфных магнетиках
возможно также ферромагнитное состояние. Аморфными ферромагне-
тиками являются многие сплавы.
В ферромагнетиках при повышении температуры увеличивается
тепловое разупорядочение спинов атомов, их направления колеблются
около некоторых средних значений. Намагниченность уменьшается.
При низких температурах зависимость М (Т) определяется формулой
Блоха
[Л1 (0) — М (Т)]/М (0) = т3/2/д3'2,
где М (0) — намагниченность при Т -> 0 К, называемая намагни-
ченностью насыщения; постоянная 0, имеющая размерность темпера-
туры, по порядку величины совпадает с температурой Кюри.
В антиферромагнетиках уменьшается намагниченность каждой
из подрешеток. При определенной температуре намагниченность
в ферромагнетиках обращается в пуль (в аптиферромагнетиках обра-
щается в нуль намагниченность каждой подрешетки). При температуре
которую для ферромагнетиков называют температурой Кюри
(Тс), а для антиферромагнетиков — температурой Нееля \TN), проис-
ходит фазовый переход в парамагнитное состояние. При температурах
выше температуры Кюри намагниченность появляется лишь при нало-
жении внешнего магнитного поля. При этом зависимость магнитной про-
ницаемости от температуры выражается формулой Кюри — Вейсса
Н = . (6.76)
1 “ 1 C(N)
Здесь С — Ilk — постоянная Кюри—Вейсса; I — величина порядка
обменного интеграла; k — постоянная Больцмана.
При Т Tc(N) формула (6.76) переходит в формулу (6.70), а при
Т->ТС магнитная проницаемость, как и магнитная восприимчивость,
достигает очень больших значений, что характерно для фазового перехода
второго рода. При Т < спины электронов магнитных атомов участ-
вуют в согласованных колебаниях около средних значений. Такие коле-
бания приводят к волнообразному движению отклонений спинов атомов
от этих значений. Возникновение так называемых спиновых волн в маг-
нитоупорядоченных кристаллах аналогично возникновению звуковых
волн в обычных кристаллах. Кванты спиновых воли называют магно-
нами.
Поскольку из-за спонтанной намагниченности ферромагнетика
в пространстве вокруг него создается магнитное поле, энергия этого
поля для образца больших размеров будет очень большой. Чтобы вос-
препятствовать столь большому росту энергии, ферромагнетик разби-
вается на домены — области (содержащие очень большое число ато-
мов), в которых все спины магнитных атомов ориентированы в одном
направлении и намагниченность максимальна. Намагниченности доме-
нов направлены в разные стороны так, чтобы их магнитные поля ком-
пенсировали одно другое. Толщина переходного слоя между двумя доме-
274
нами (его называют доменной стенкой) значительно меньше их разме-
ров, но больше расстояния между атомами. Спины магнитных атомов
в доменной стенке плавно изменяют свое направление — от того, кото-
рое они имели в одном домене, до соответствующего другому домену.
Для ферромагнетиков характерен гистерезис намагничивания —
различие между кривыми В(Н) зависимости магнитного поля магнетика
В от внешнего поля Н при намагничивании и размагничивании маг-
нетика внешним полем (рис. 6.30). При намагничивании (кривая 1)
индукция магнитного поля меньше, чем при размагничивании (кривая
2). Наличие петли гистерезиса связано с необратимыми процессами,
происходящими в ферромагнетике при намагничивании (с движе-
нием доменных стенок). При этом энергия поля превращается в тепло-
вую, которая для полного цикла перемагничивания увеличивается на
величину
Q == VS/2,
а в единицах СГС
Q = VS/8n,
где V — объем образца; S — площадь петли гистерезиса.
Напряженность магнитного поля /7С, при которой индукция рав-
на нулю, называют коэрцитивной силой (см. рис. 6.30). Магнетики
с большой коэрцитивной силой называют магнитножесткими, а с ма-
лой — магнитномягкими. Первые применяют там, где необходимо
сохранять заданную величину индукции магнитного поля, например
в постоянных магнитах, вторые — в приборах, где значение индукции
непрерывно меняется.
Рис. 6.31
Изменение намагниченности ферромагнетика приводит к его
деформации. Это явление называют магнитострикцией. Возникнове-
ние магнитострикции связано с тем, что при изменении намагниченно-
сти изменяется обменное взаимодействие (6.75) между двумя магнит-
ными атомами, в результате чего появляется дополнительная сила
притяжения или отталкивания, а это ведет к деформации тела. Между
электронами кроме обменного существуют другие виды взаимодейст-
вий, в том числе чисто магнитостатическое взаимодействие магнитного
момента (спина) электронов с магнитным полем, созданным оставши-
мися частицами, а также воздействие магнитного поля этого электрона
на движение остальных частиц. Такое взаимодействие, называемое
спинор витальным, приводит к появлению магнитной анизотропии,
т. е. к тому, что спонтанная намагниченность в ферромагнетиках
появляется не в произвольном направлении, а вдоль определенных
275
осей, связанных с кристаллической структурой. Направление эТй'Я’
осей называют направлением легкого намагничивания.
6.6.5. Магнитные цепи. Совокупность тел, внутри которых про-
ходят замкнутые линии магнитной индукции, называют магнитной
цепью. Магнитная цепь состоит из источника магнитного поля (обычно
соленоида, по которому течет ток) и пластины из ферромагнитного
материала, изогнутой в необходимом направлении для передачи магнит-
ного поля к прибору (рис. 6.31, а). Эта цепь аналогична цепи постоян-
ного электрического тока (рис. 6.31, б). Источник магнитного поля иг-
рает роль источника тока, ферромагнитные сердечники — проводни-
ков. Разрывы в сердечниках, в которые помещены приборы (потреби-
тели магнитного поля), служат сопротивлениями. Роль электрического
тока выполняет магнитный поток.
Расчет магнитной цепи основан на том, что все магнитное поле
практически полностью сосредоточено в ферромагнетике. Силовые ли-
нии индукции повторяют все изгибы металлических пластин (ярмо).
В соответствии с законом сохранения магнитного потока во всех сече-
ниях неразветвленной магнитной цепи поток одинаков, а в точках
разветвления (см. рис. 6.31, а\ точки а и б) алгебраическая сумма маг-
нитных потоков в участках цепи, входящих в узел, равна нулю:
N
У (1^ = 0. (6.77)
1=1
Магнитный поток в узлах считается положительным, если линии
магнитной индукции направлены к узлу (см. рис. 6.31, а, участки cat
hb, fb), и отрицательным — в противном случае (см. участки ае, ag, db).
Формулу (6.77) называют первым правилом Кирхгофа для магнитных
цепей. В данном случае оно имеет вид Фх — Ф2 + ®з-
Магнитодвижущей силой источника магнитного поля (соленоида)
называют произведение тока I, текущего в соленоиде, на число витков
N в катушке:
<Sm =
Магнитодвижущая сила в магнитных цепях играет ту же роль, что и
электродвижущая сила в цепях постоянного тока.
Магнитным сопротивлением участка цепи с магнитной проницае-
мостью р, длиной I и площадью поперечного сечения S называют ве-
личину
__ 1 *
Rm = ’
где р0 — магнитная постоянная. Выражение 1/ рр0 = рш эквивалент-
но удельному магнитному сопротивлению. В железе, из которого в ос-
новном делают сердечники, значение р очень велико (р~ 103), поэто-
му удельное магнитное сопротивление гораздо меньше сопротивления
воздушного зазора, где р ~ 1.
Из выражения для циркуляции магнитного поля (6.62), справед-
ливого для любого замкнутого контура цепи, можно получить закон,
называемый вторым правилом Кирхгофа и аналогичный закону пол-
ного тока:
i i
т< е. алгебраическая сумма магнитодвижущих сил равна сумме произве-
дений магнитных потоков на сопротивление в каждом участке, из кото-
276
рых состоит замкнутый контур. Магнитодвижущую силу источника
считают положительной, если силовые линии поля, создаваемого ис-
точником, направлены вдоль выбранного направления, и отрицатель-
ной — в противном случае.
Правила Кирхгофа для магнитных цепей и электрических цепей
постоянного тока совпадают. Поэтому расчеты этих цепей полностью
эквивалентны.
6.7. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
6.7.1. Основной закон электромагнитной индукции. Явление элек-
тромагнитной индукции заключается в том, что во всяком замкнутом
проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции через
площадь, ограниченную этим контуром, возникает электрический ток.
Ток этот называют индукционным. Возникновение индукционного тока
связано с появлением в проводнике контура электродвно/сущей силы
индукции, которая в движущихся проводниках обусловлена силой
Лоренца, действующей со стороны магнитного поля на заряды в про-
воднике.
Поскольку магнитный поток пропорционален числу линий магнит-
ной индукции, пронизывающих контур (см. 6.5.4.), ЭДС индукции
возникает в том случае, если проводник или его часть пересекает ли-
нии магнитной индукции. При этом результирующая ЭДС в замкнутом
контуре равна алгебраической сумме ЭДС индукции в каждом пересе-
кающем линии индукции участке контура.
Направление индукционного тока определяется правилом Ленца'.
возникающий в замкнутом контуре индукционный ток имеет такое на-
правление, что созданный им самим магнитный поток через площадь,
ограниченную тем же контуром, стремится компенсировать то измене-
ние магнитного потока, которое вызвало данный ток. Правило Ленца
является следствием закона сохранения энергии. Действительно, если
бы возникающий индукционный ток имел противоположное направле-
ние, то вызванная им ЭДС индукции в контуре привела бы к появле-
нию добавочного тока в том же направлении, т. е. сила тока сама по
себе неограниченно возрастала бы без всякой работы внешних сил, что
конечно, противоречит закону сохранения энергии.
Величина ЭДС индукции определяется законом электромагнитной
индукции Фарадея'.
= -Ф' (/) = -Ф, (б.78)
а в единицах СГС
где Ф — магнитный поток, охватываемый контуром; — ЭДС ин-
дукции; с — скорость света; знак в правой части выражает правило
Лепца.
. С. помощью закона электромагнитной индукции установлена еди-
ница магнитного потока — вебер (Вб): магнитный поток через пло-
щадь, ограниченную контуром, равен 1 Вб, если при равномерном убы-
вании,этого потока до нуля за 1 с в контуре возникнет ЭДС индукции
1 В (Вб ~ В/с). Этой единицей определяется также единица магнитной
индукции — тесла (Тл — Вб/м2).
6.7.2. ЭДС индукции в покоящихся и движущихся проводниках.
ЭДС индукции возникает в неподвижном проводнике, помещенном в из-
меняющееся во времени магнитное поле, или в проводнике, движущемся
277
в поле. В последнем случае магнитное поле может быть постоянным*
т. е. неизменным во времени. В первом случае ЭДС индукции провод-
ника, содержащего покоящиеся заряды, не может быть вызвана силами,
создаваемыми магнитными полями (силами Лоренца), поскольку ско-
рость зарядов равна нулю. Силы, действующие на заряды, обусловле-
ны возникающим в присутствии изменяющегося магнитного поля элек-
трическим полем. Силовые линии такого электрического поля в отли-
чие от линий электростатического поля, вызванного зарядами, пред-
ставляют собой замкнутые линии, лежащие в плоскости, перпендику-
лярной направлению магнитной индукции. Такое поле называют вих-
ревым электрическим полем. Напряженность вихревого поля прямо
пропорциональна скорости изменения магнитного поля.
Вихревое электрическое поле вызывает'в проводниках токи. По-
скольку направления электрического тока и напряженности совпадают,
то линии тока образуют замкнутые кривые. Такие токи называют
вихревыми или токами Фуко. В случае движущихся проводников ЭДС
индукции вызвана действующей на перемещающиеся заряды силой
Лоренца. В различных инерциальных системах отсчета значения силы
Лоренца и напряженности вихревого электрического поля могут от-
личаться, однако значение ЭДС индукции остается неизменным. На-
правление индукционного тока определяется с помощью правила пра-
вой руки: если правую руку расположить так, чтобы линии магнитной
индукции входили в ладонь, а отогнутый большой палец совпадал с на-
правлением движения проводника, то вытянутые четыре пальца ука-
жут направление индукционного тока. В прямолинейном участке про-
водника длиной Z, движущемся в однородном магнитном поле с индук-
цией В со скоростью v, причем направление индукции составляет
угол а с плоскостью, в которой движется проводник, ЭДС индукции
~ —Blv sin ос,
а в единицах СГС
В; —------ Blv sin а.
с
При вращении плоского витка площадью S вокруг оси, перпени
дикулярной вектору индукции однородного магнитного поля В, с уг-
ловой частотой со ЭДС индукции изменяется:
$1 = Жоз.чпсо/, (6.79)
а в единицах СГС
(§, = BS® sin со/.
1 с
6.7.3. Самоиндукция. При любом изменении силы тока в каком-
либо контуре в нем возникает ЭДС индукции, которая вызывает допол-
нительныйток в контуре. Это явление называют самоиндукцией, а до-
полнительные токи, вызываемые ЭДС самоиндукции,— экстратоками
самоиндукции. Экстраток имеет такое направление, чтобы частично
компенсировать изменение тока, которое его вызвало.,
Магнитный поток Ф, создаваемый током самого контура, пропори
ционален силе тока Г.
Ф = LI,
а в единицах СГС
Ф = Ы/с.
Коэффициент пропорциональности L называют коэффициентом само-
индукции или индуктивностью контура. Единицей индуктивности слу-
278
жйт генри (Гн) — индуктивность такого контура, в котором при силе
тока 1 А возникает магнитный поток 1 Вб (Гн = Вб/А).
С учетом основного закона индукции (6.78) ЭДС самоиндукции
в контуре
&i = ~L = ~Ll'{/) = ~L1, (6.80)
а в единицах СГС
Отсюда следует, что индуктивность — это физическая величина, чис-
ленно равная ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре при измене-
нии силы тока на 1 А за 1 с..Индуктивность контура зависит от его
формы и размеров, а также от магнитных свойств среды.,
Индуктивность соленоида длиной I и
площадью поперечного сечения S, содер- L
жащего У витков, определяется форму- о------------а
лой
r №S
= Гис. 6.32
где р — магнитная проницаемость сердечника соленоида.
Индуктивность длинного коаксиального кабеля длиной Z:
Здесь /?2, Ri — радиусы внешнего и внутреннего цилиндров, а ц —
магнитная проницаемость среды между двумя цилиндрами.
Индуктивность двухпроводного кабеля длиной Z:
л \ 2 а /
где d — расстояние между осями проводов; а — их радиус.
В электрических схемах индуктивность обозначается, как, на
рис. 6.32.
6.7.4. Исчезновение и установление тока. Индуктивность в цепи
проявляется в замедлении процессов исчезновения или установления
тока. Так, при включении и выключении цепи постоянного тока значе-
ния силы тока изменяются не скачком, а постепенно в течение опре-
деленного промежутка времени. При замыкании цепи, изображенной
на рис. 6.33, согласно второму правилу Кирхгофа, примененному к
контуру LRK,
RI = &=-L^-LI' (t). (6.81)
Функция вида I = /оехр (—Z/r), где т = L/R, удовлетворяет
уравнению (6.81), /0 равно значению тока в момент времени t == О,
а т называют постоянной времени цепи, определяющей время, за кото-
рое происходит установление в цепи электрических процессов.
При размыкании ключа /С в цепи начнется процесс установления
тока. В этом случае применение второго правила Кирхгофа к контуру
LR& приводит к уравнению
= О — о
dt ’
279
решение которого имеет вид
/=4
t
Электрический ток в цепи монотонно возрастает, асимптотически
стремясь к своему предельному значению / = c<£lR.
6.7.5. Взаимная индукция. Рассмотрим два контура, изображен-
ные на рис. 6.34. Ток, протекающий по одному замкнутому контуру,
создает магнитное поле, силовые линии которого пронизывают поверх-
ность, охватываемую вторым проводником. Поток магнитной индук-
ции Ф21, создаваемый током в контуре 1 и пронизывающей контур 2,
определяется формулой
Ф21 “ ^21Л>
а в единицах СГС
где 7Х — сила тока в контуре 7; коэффициент L21 называют коэффициен-
том взаимной индукции этих контуров. А ток /2 по контуру 2 создает
через поверхность, охватываемую контуром 7, поток
Ф12 —
а в единицах СГС
Ф12 ~ ^12^‘JC-
Для любых двух контуров, помещенных в неферромагнитную среду,
Г12 = Л21, поэтому коэффициент взаимной индукции двух контуров
численно равен потоку магнитной индукции, создаваемой током 1 А,
протекающим в одном из контуров и пронизывающим второй. Зависит
этот коэффициент от геометрической формы контуров, их взаимного рас-
положения и магнитной проницаемости среды, в которую помещены
контуры, если эта среда неферромагнитна. Единицей измерения коэф-
фициента взаимной индукции является генри (Гн).
При изменении тока в одном из контуров изменяющееся магнит-
ное поле индуцирует ЭДС во втором контуре. Это явление называют
взаимной индукцией, ЭДС которой определяется формулами
—-----“ ~Ф21 (О “ 1»
^2 ~ —^12 ~ ^12^2>
260
а в единицах СГС
1 ЛФ21
с dt
$
I ф' (/\ — 1 т т т
С (0 - С2 ' 21 dt - с2
__ ^12 2 __ ^12 j
°2”““ с2 dt ~~~~ с2 2*
: 6.7.6. Энергия магнитного поля тока. Вокруг всякого провод-
ника, по которому течет ток, существует магнитное поле, обладающее
определенной энергией. Полную энергию магнитного поля, созданного
проводником постоянного тока, удаленным от других источников магнит-
ного поля, называют собственной энергией тока.
Если магнитное поле создано одним контуром, сила тока в котором
/, то собственная энергия тока
а в единицах СГС
Е
с 2с« ’
где L — индуктивность (коэффициент самоиндукции) контура. В слу-
чае N контуров с токами, создающими взаимно проникающие магнит-
ные поля, полная энергия поля
Б*1 ~ *2 Xj
п—1
а в единицах СГС
N
16 84
/1=1
Здесь 11г — сила тока в л-м контуре; Фп — полный магнитный поток,
пронизывающий этот контур. Сумма берется по всем контурам. Энергия
(6.82) состоит из собственной энергии контуров и энергии их взаимо-
действия:
.V N
£.. = У М/2 + £ LnmInIm/2,
//,/«=!
а в единицах СГС
W N
£л = Е ^/2ce + S LnmInIm/‘2c\ (6.83)
/1=1 m, //=1
где'£л— индуктивность л-го контура; Lntn— коэффициент взаимной ин-
дукции л-го и /л-го контуров. Поскольку справедливо неравенство
Г J 1 2
Ltim'
то энергия Еп в формуле (6.83) всегда положительна. В формуле
(6.83) необходимо соблюдать правило знаков. Токи имеют одинаковые
281
знаки, если силовые линии полей, созданных каждым из них внутри
любого из этих контуров, одинаково ориентированы, и разные —
в противном случае, т. е. слагаемое LnniInIml2 в формуле (6.83), соот-
ветствующее энергии взаимной индукции этих контуров, будет отрица-
тельным. В частности, в случае двух контуров
г /2 т /2
а в единицах СГС
LJ* !
где L2 — индуктивности контуров; 1Ь12 — токи в них;£12 — коэф-
фициент их взаимной индукции.
6.7.7. Электромагнитное поле. Постоянные электрические и магнит-
ные поля в различных инерциальных системах отсчета, в общем, раз-
личаются. Это следует хотя бы из того, что значения скорости движе-
ния какого-либо заряда в движущихся одна относительно другой си-
стемах различны, поэтому силы Лоренца в них неодинаковые. Однако
результирующая сила, действующая на заряд, должна быть инвариан-
том, т. е. не зависеть от выбора системы отсчета, поэтому из формулы
(6.56) следует, что это возможно только, если векторы Е и В в различ-
ных системах различны. Кроме того, изменение одного из полей неиз-
бежно ведет к изменению (или появлению) другого. Например, при
изменении электрического поля путем перемещения зарядов вокруг
последних возникает вызванное ими магнитное поле. Изменение этого
поля приводит к появлению вихревого электрического поля. Это свиде-
тельствует о том, что электрическое и магнитное поля зависимы одно
от другого. Фактически они являются различными проявлениями
единого электромагнитного поля — особой формы материи.
Закономерности электромагнитного поля определяются системой
уравнений, называемых уравнениями Максвелла, решения которых
дают возможность в любой момент времени найти величины, характе-
ризующие электрическое и магнитное поля.
Первое уравнение Максвелла, связывающее напряженность вих-
ревого электрического поля со скоростью изменения магнитного поля,
выражает закон электромагнитной индукции Фарадея: циркуляция век-
тора напряженности вихревого электрического поля вдоль любого зам-
кнутого контура пропорциональна скорости изменения магнитного
потока через поверхность, охватываемую этим контуром:
(6.84)
а в единицах СГС
где Д1п — вектор, связывающий начало и конец достаточно малой дуги,
принадлежащей контуру. Сумма берется по всем дугам, составляющим
контур.
Уравнение (6.84) представляет собой интегральную форму первого
уравнения Максвелла. Это уравнение посредством введения компонент
282
векторов Е — (£х, Еу, Ez) и В = (BXf Ву, Bz) в декартовой системе
координат можно выразить в дифференциальной форме (в единицах СГС)
дЕх дЕу __ 1 dBz
ду дх с dt 1
дЕу dEz_____ 1 дВх ог-ч
dz ду “ с dt ’ ( }
дЕ? дЕх=== 1 дВу
дх д2 с dt 9
В СИ 1/с необходимо заменить на единицу.
Второе уравнение Максвелла дает зависимость индукции магнит-
ного поля от состояния электрического поля, действие которого
связано с двумя факторами. Во-первых, магнитное поле может появ-
ляться в результате перемещения зарядов, т. е. за счет имеющихся
в системе токов; во-вторых, при его изменении появляется вихревое
электрическое поле, изменение индукции которого также приводит
к появлению магнитного поля. Переменное электрическое поле создает
такое же магнитное поле, как и ток плотностью
L = dD/dt,
а в единицах СГС
. _ £ 3D
с ~ 4л dt '
который называют током смещения-. Сила тока смещения, протекаю-
щего через поверхность, охватываемую замкнутым контуром, опреде-
ляется потоком напряженности электрического поля через эту поверх-
ность:
7
С dt ’
а в единицах СГС
с 4л dt '
После преобразования закона полного тока (формула (6.62)) с уче-
том тока смещения получаем второе уравнение Максвелла в интеграль-
ной форме
^ = 7 + /. = / + -^,
а в единицах СГС
иИ = = 1- / + -
77 с с с dt ’
где UH — циркуляция напряженности магнитного поля; Un — UM/lWo*>
в единицах СГС; U м— циркуляция индукции.
В дифференциальной форме второе уравнение ?4аксвелла можно
записать в виде (в единицах СГС)
дНу дНх 4л . , 1 dDz
дх ду с к 1 с dt ’
dHz дНу 4л . J dDx
ду dz = " Jx + с dt * (6.86)
дНх dHz 4л . , J dL)y
дг dx = 7/,+ с dt *
283
Здесь Нх, IIу, Иz — компоненты вектора напряженности магнитного
поля И в декартовой системе координат; Dx, Dy, Dz — компонентьгип-
дукции электрического поля; jx, jy, jz — компоненты плотности тока
в той же системе. Для записи второго уравнения Максвелла в единицах
СИ необходимо в правой части выражений (6.86) заменить коэффициенты
4л/с и 1/с на единицы.
Третьим и четвертым уравнениями, входящими в систему у равно-
ний Максвелла, являются формулы (6.9), (6.64), выражающие теорему
Остроградского — Гаусса для электрического и магнитного полей»
В дифференциальной форме для индукции магнитного и электриче-
ского полей эти уравнения имеют вид
, дВу М,
дх ду дг ’
+ (6 87|
дх ду дг
а в единицах СГС
дх ду дг
Здесь р — плотность заряда.
Уравнения (6.85), (6.86) и (6.87) (или аналогичные уравнения в ин-
тегральной форме) образуют систему уравнений Максвелла электро-
магнитного поля. Уравнения Максвелла содержат в себе все законы элек-
трических и магнитных полей, а также электромагнитных воли.
При решении системы уравнений Максвелла ее необходимо допол-
нить уравнениями, учитывающими свойства среды, т. е. так называе-
мыми материальными уравнениями, связывающими между собой
векторы Е, D, В, Н, j:
D = е08Е, В = |iouH, j = аЕ,
а в единицах СГС
D = еЕ, В = pH, j = оЕ,
где е, р — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемо-
сти среды; о — ее проводимость. При учете условий, налагаемых на
II, В, Е, D на границах раздела двух сред (формулы (6.29) и (6.74)),
и заданных начальных условиях, т. е. значениях Е, D, И, В, j в началь-
ный момент времени, решение системы уравнений Максвелла и мате-
риальных уравнений всегда существует и единственно.
Электромагнитное поле обладает энергией и импульсом. Плот-
ность энергии w равна сумме энергий, заключенных в электрическом
и магнитном полях. В несегнетоэлектрнках и неферромагнетиках
р0НВ + ерЕР
2
а в единицах СГС
HB + ED
w —---------
8л
Здесь Н, Е и В, D — соответственно напряженность и индукция маг-
нитного и электрического полей.
Энергия электромагнитного поля не распределена с постоянной
плотностью, а может переноситься в пространстве. Энергия, пере-
284
носимая электромагнитным полем в единицу времени (т. е. dW/df)
через площадку 5 в вакууме, определяется так:
Г. О
— — П8 cos а,
dt
где а — угол между направлением вектора потока электромагнитной
энергии (или вектором Пойнтинга) П и нормалью к площадке S.
В диэлектрической среде
П = [ЕХН], (6.88)
а в единицах СГС
П = / [Ех Н].
4л J
Вектор П и его модуль П определяют направление и количество рас-
пространяющейся энергии. Вектор II перпендикулярен векторам Е
и В, поэтому перенос энергии электромагнитным полем также проис-
ходит в перпендикулярном этим векторам направлении.
При рассмотрении уравнений электромагнитного поля необходи-
мо иметь в виду, что векторы электрического Е и магнитного В полей
неодинаковы в различных инерциальных системах отсчета. Если в де-
картовой системе х, у, z известны значения Е и В, то в системе х', с/,
г', движущейся относительно первой равномерно и прямолинейно со
скоростью v, значения Е' и В' в вакууме можно найти из формул (спра-
ведливых при v < с)
E' = E + [v X В], В' = В-1 [v х Е], (6.89)
а в единицах СГС
E' = E + l[vxB],
В' = В —l[v X Е].
Отсюда видно, что электрическое и магнитное поля не существуют
независимо одно от другого. Одно из них может отсутствовать лишь
в. определенной системе отсчета, и всегда существует другая система
отсчета, в которой они отличны от нуля. Несмотря на то что значения
электрического и магнитного полей в различных системах отсчета раз-
личны, сила, действующая на заряды, не изменяется при переходе из
одной системы координат в другую.
В теоретической электродинамике для описания электромагнитного
поля вводят четырехмерный потенциал А^ — (Ло, Ах, Ад, Л2), где ЛЛ,
Ад, А2 — пространственные компоненты в некоторой прямоугольной
декартовой системе координат, образующие трехмерный вектор А, назы-
ваемый векторным потенциалом; временную компоненту Ло (обозначае-
мую часто Ао ~ ср) называют скалярным потенциалом. Потенциал Л;
является вектором в четырехмерном пространстве — времени.
Компоненты напряженности электрического Е и индукции магнит-
ного В полей в вакууме связаны с компонентами потенциала Л; по фор-
мулам
1 дАх dtp
х с 'dt дх ’
1 дА,у dip
с dt dy ’
(6.90)
285
1 dAz дф
z~~ c dt dz 1
dAy dAz
h=--di + ^'
, дЛг дЛх
= дх ф dz •
В СИ в правой части (6.90) — необходимо заменить на единицу. Если
поля не зависят от. времени, то потенциал ф является электростати-
чес к им.
Введенный таким образом четырехмерный потенциал не является
однозначно определенным. Если в уравнения (6.90) вместо четырех-
мерного вектора А( подставить четырехмерный вектор At такой, что
А —А
лв-я0— с dt ,
Ах=Ах+?,
dx: 1
А — А А
АУ~Л!^ ду'
~А -4 4-
- -1г + •
где ф (х, //, г, t) — произвольная дифференцируемая функция, то
значения Е и И получим точно такими же, как и по формулам (6.90)
с потенциалом Д/. Такое свойство потенциала At называют калибра-
вочной инвариантностью. Следствием калибровочной инвариантности
является тот факт, что электростатический потенциал постоянного элек-
трического поля определяется с точностью до произвольной постоян-
ной величины.
6.7.8. Переменный ток. Под переменным током понимают ток,
возникающий в цепи, в которой ЭДС (напряжение) зависит от време-
ни. Часто эта зависимость выражается синусоидальной функцией
£/=(/osincot (6.91)
Здесь £/0 называют амплитудой напряжения, со — частотой тока.
ЭДС вида (6.91) возникает в генераторах переменного тока, в кото-
рых рамка с проводником вращается с угловой скоростью (О в постоян-
ном магнитном поле, перпендикулярном оси вращения (см. формулу
(6.79)). Частота промышленного тока равна 50 Гц. Сила перемен-
ного тока в цепи также изменяется по синусоидальному закону с той
же частотой:
/ = Zosin (оД + ф).
Значение ф определяет cdeue (раз между колебаниями тока и на-
пряжения и зависит от емкости и индуктивности цепи. Если значения
этих характеристик пренебрежимо малы, то фаза тока совпадает с фа-
зой напряжения и мгновенное значение тока пропорционально мгно-
венному значению напряжения:
I (t) = , 4 = , (6-92)
286
где — активное сопротивление. Формула (6.92) выражает закон Ома
для переменного тока.
Поскольку сила и напряжение переменного тока все время изме-
няются, то они не могут быть характеристиками тока. Такой характе-
ристикой является эффективное или действующее значение тока /эф,
равное корню квадратному из среднего значения квадрата силы тока.
В случае синусоидального переменного тока, удовлетворяющего фор-
муле (6.91), действующие значения тока и напряжения связаны с мак-
симальными силой тока и напряжением соответственно формулами
/эф=/0//2, {/Эф = ^/К2.
6.7.9. Работа и мощность переменного тока. Работа переменного
тока в цепи, как и постоянного, определяется его напряжением и си-
лой. Но поскольку обе эти величины изменяются во времени, мощность
тока также является переменной. Для характеристики работы тока
в определенный момент времени вводят понятие мгновенной мощности
тока как отношения работы, совершенной током за промежуток вре-
мени Д/, намного меньший периода колебаний тока Г, к этому проме-
жутку. Мгновенная мощность Р равна, таким образом, произведению
значений тока и напряжения в интервале времени Д/ < Т:
Р = Л/д/ = U1.
Для синусоидального тока мгновенная мощность зависит от времени
и разности фаз между током и напряжением:
Р ~ /o^osin (со/ + ф) sin щ/.
Общую энергию, выделившуюся в результате прохождения перемен-
ного тока, характеризуют средней по периоду мощностью, т. е. отно-
шением полной работы, совершаемой током за время одного периода
колебания к длине этого периода:
т
— 1 Г j и
P^f | Р(/)^£<рсо5ф.
b
Средняя мощность зависит от сдвига фаз между напряжением и током.
Она максимальна, когда они софазны и ф = 0, и равна нулю, когда
Ф = л/2. В электротехнике cos ф называют коэффициентом мощности.
Если емкость и индуктивность цепи малы (ф = 0), то действующее
значение силы тока равно силе такого постоянного тока, который вы-
деляет в проводнике то же количество тепла, что и рассматриваемый ток
за то же время. В этом случае средняя мощность переменного тока
, ейр. и2,.ь и*
= —= ^- = 2^- ,(6.93)
Равенство (6.93) выражает закон Джоуля—Ленца для переменного
тока.
6.7.10. Емкостное и индуктивное сопротивления. Конденсаторы
и катушки индуктивности составляют реактивные элементы в цепи
переменного тока. Их наличие в цепи дополнительно влияет на за-
висимость тока от напряжения. Через цепь, содержащую конденсатор,
постоянный ток проходить не может. Но если ее подключить к генера-
тору синусоидального переменного тока, то в пей возникнет перемен-
ный электрический ток, Возникновение этого тока не связано с про-
287
хождением заряда между обкладками конденсатора, а сопровождается
периодически повторяющимися процессами зарядки и разрядки кон-
денсатора.
При подключении к конденсатору источника тока с ЭДС, задавае-
мой формулой (6.91), накапливаемый на обкладках заряд Q также будет
периодически изменяться во времени по закону
Q = CU = Ct70sin со/,
где С — емкость конденсатора. Поскольку ток в цепи есть производ-
ная по времени от перемещенного по ней заряда, то
/ = = Q == C(l)U0 cos б)1 = CmUq sin (со/ -p л/2). (6.94)
Из формулы (6.94) видно, что сдвиг фаз между током, протекающим
через конденсатор, и напряжением на его обкладках составляет п/2
(90°), причем колебания тока опережают колебания напряжения. Со-
гласно этой формуле амплитуда колебаний силы тока
Ia=CaUa = ^-.
Ас
(6.95)
Коэффициент пропорциональности между амплитудами тока через кон-
денсатор и напряжения, имеющий размерность сопротивления, на-
зывают емкостным сопротивлением'.
Хс = 1/Ссо.
Мгновенное значение мощности тока, выделяемой в конденсаторе:
Р — Щ ~ /0U0 sin (со/) sin (со/ + л/2) —
= cos (20/ + ^ = ^5 sin (2а>0. (6.96)
В течение первой четверти периода 0<(е/<л/2 значение
sin (2со/) в формуле (6.96) положительно, Р > 0. В это время энергия
тока расходуется на зарядку и превращается в энергию электриче-
ского поля, создаваемого между его обкладками. Во второй четверти
периода л/2 < со/ < Л значение мощности электрического тока, полу-
ченное по формуле (6.96), отрицательно. Это соответствует тому, что
энергия электрического поля возвращается обратно в сеть. В течение
третьей и четвертой четвертей опять происходит зарядка и разрядка
конденсатора, но при этом полярность зарядов на обкладках противо-
положна по знаку той, которая была в первой половине периода.
В среднем по периоду энергия, выделяемая на конденсаторе, равна
нулю в отличие от активного сопротивления.
Включение катушки большой индуктивности и малого сопротив-
ления в цепь постоянного тока не изменяет соотношения между током
и напряжением. Если же в цепь включена переменная ЭДС, то возни-
кающее в катушке вихревое поле будет создавать силы по правилу Лен-
ца, препятствующие изменению электрического тока. Наличие ЭДС
самоиндукции приводит к иному соотношению между током и на-
пряжением по сравнению с этим соотношением в цепи постоянного тока.
Если ток в цепи изменяется по закону / = 70sin со/, то возникаю-
щая ЭДС самоиндукции согласно формуле (6.91) пропорциональна
288
производной по времени от силы тока, и падение напряжения на катуш-
ке /7, равное — $/, определяется так:
U = L = Lco/O cos со/ == Lco/0 sin /со/ -ф- , (6.97)
где L — индуктивность катушки. Колебания напряжения на катушке,
таким образом, опережают по фазе колебания тока на л/2: когда на-
пряжение по модулю максимально, сила тока равна нулю, и наоборот.
Амплитуды протекающего через катушку тока и падение па ней
напряжения связаны согласно формуле (6.97) соотношением
U0==Lg)I0 = XlI0. (6.98)
Коэффициент пропорциональности между напряжением и током XL =
— имеющий размерность сопротивления, называют индуктивным
сопротивлением. Мгновенное значение мощности, выделяемой током
в катушке, определяется выражением
Р = UI = UqIq sin (со/ 4- ф) sin (со/) = —sin (2со/).
Здесь, как и в случае прохождения переменного тока через конденса-
тор, в течение первой четверти периода мощность тока положительна
и энергия источника тока превращается в энергию магнитного поля
тока катушки. Во вторую четверть периода Р < 0 и энергия магнит-
ного поля возвращается в сеть. В течение второго полупериода проис-
ходит тот же процесс, но направление тока и, следовательно, линий
магнитной индукции поля этого тока меняется на противоположное.
Средняя выделяемая на катушке энергия равна нулю, т. е. в катушке
не происходит необратимого превращения энергии, как, например,
в активном сопротивлении, а лишь периодическое накопление и расхо-
дование ее в виде энергии магнитного поля.
6.7.11. Векторные диаграммы. Для определения зависимости тока
от напряжения в случае сложной цепи, содержащей активные сопро-
тивления и реактивные элементы (конденсаторы и катушки индуктив-
ности), удобно применять векторные диаграммы. Наиболее прост в при-
менении этот метод в случае цепи без разветвлений, т. е. последова-
тельного соединения приборов (рис. 6.35).
Принцип метода векторных диаграмм заключается в том, что ам-
плитуда и фаза тока одинаковы вдоль всего контура, в то время как
падение напряжения на различных нагрузках имеет различные фазы.
Для построения векторной диаграммы выбирают ось токов. Затем для
каждой из нагрузок на диаграмме откладывают вектор, модуль кото-
рого совпадает с амплитудой падения напряжения на этой нагрузке,
а угол, который составляет этот вектор с осью токов, равен разности
фаз между этим напряжением и током. Сумма векторов напряжений
10 5-1472
28Э
для всех нагрузок дает вектор суммарного падения напряжения на
всей цепи, т. е. по модулю равна амплитуде приложенного напряже-
ния, а угол, который образует этот вектор с осью токов, равен сдвигу
между полным падением напряжения и током.
Рассмотрим применение метода векторных диаграмм на примере
схемы, изображенной на рис. 6.35. Учитывая, что падение напряжения
на конденсаторе С опережает по фазе ток па л/2, напряжение на актив-
ном сопротивлении Д имеет такую же фазу, как ток, а напряжение на
катушке индуктивности L отстает от него по фазе па л/2, построим
векторную диаграмму (рис. 6.36). Используя формулы (6.92),
(6.95), (6.98) и теорему Пифагора, для амплитуды полного падения
напряжения UtlQ получаем
(6.99)
Сдвиг фаз ср между UllQ и /0 определяется соотношением между
активной и реактивной частями сопротивления:
— -J- col')
ф = arctg ----------------L . (6.100)
Формулы (6.99), (6.100) справедливы не только для цепи, изображен-
ной на рис. 6.35, но и для любого замкнутого контура, если под С, L,
R понимать полные значения емкости, индуктивности и сопротивления
этого контура. Формулу (6.99), устанавливающую коэффициент про-
порциональности между током и напряжением в цепи переменного тока,
называют законом Ома для переменного тока, а значение
7__Uпо
полным сопротивлением или импедансом.
Если coL > 1/соС, то напряжение опережает по фазе ток,— цепь
называется индуктивной; если l/coC > со£, то напряжение отстает по
фазе от тока,—цепь называется емкостной. Если частота тока в контуре
удовлетворяет условию
О=1/УГ1С, (6.101)
то полное сопротивление минимально и по цепи протекает ток макси-
мальной амплитуды. В этом случае сдвиг фаз между током и напряже-
нием равен нулю и контур ведет себя как активное сопротивление.
Этот случай называют резонансом напряжений, а частоту со, удовлет-
воряющую условию (6.101),— резонансной.
В случае параллельного соединения реактивных элементов век-
торные диаграммы строят по другому принципу. Для схемы рис. 6.37
падение напряжения иа нагрузках L и С одинаково, в то время как
токи, текущие через них, и их фазы различны. Но согласно первому
правилу Кирхгофа ток, текущий по контуру, равен сумме токов, про-
текающих через каждый прибор в отдельности. Для нахождения
этой суммы будем откладывать на диаграмме векторы, соответствующие
этим токам, последующему правилу: модуль вектора должен равняться
амплитуде проходящего через нагрузку тока, найденную по формулам
(6.92), (6.95) и (6.98), а угол, который составляет этот вектор с выбран-
290
ной осью напряжений, должен быть равен сдвигу фаз между током и
напряжением. Сумма этих векторов и даст вектор полного тока. При-
менение этих правил зависимости тока от напряжения цепи к контуру,
изображенному на рис. 6.37, дает формулу
t/o=/o|i-wC|. (б-102)
из которой следует, что если частота со приближается к резонансной,
то сопротивление контура стремится к бесконечности, т. е. токи в под-
водящих проводах становятся очень малыми, в то время как ток, про-
текающий через конденсатор или катушку индуктивности, имеет боль-
шие значения. Это явление называют резонансом токов.
Для определения зависимости тока от напряжения сложной! цепи
переменного тока, содержащей последовательно и параллельно сое-
диненные элементы, необходимо применить метод векторных диаграмм
последовательно ко все более, усложняющимся участкам цепи.
Рис. 6,37
Рис. 6.38
6.7.12. Трансформатор. Трансформатор является устройством,
предназначенным для преобразования напряжения и силы тока. В ос-
нове его работы лежит явление электромагнитной индукции. Транс-
форматор (рис. 6.38) состоит из замкнутого сердечника, выполненного
из мягкого (имеющего малый гистерезис) ферромагнетика, на который
намотаны две обмотки, называемые первичной и вторичной. Первичная
включена в сеть переменного тока, вторичная — к потребителю элек-
трической энергии.
При прохождении тока по первичной обмотке возникает магнит-
ное поле, линии индукции которого направлены вдоль сердечника.
Если пренебречь малым потоком рассеяния, то окажется, что поток
магнитного поля, пронизывающий обе обмотки, одинаков. При измене-
нии во времени магнитного потока в первичной и вторичной обмотках
возникает ЭДС самоиндукции, а именно:
р _ ЙФЛ7 о _
где Nf, N?i — число витков в этих обмотках. Если пренебречь сопро-
тивлением обмоток, то ЭДС самоиндукции равна по асболютной вели-
чине падению напряжения на них, откуда
Vi-Ki
U2 n2 •
(6.103)
Здесь Ui, U2 — падения напряжения на первой и второй обмотках.
Коэффициент называют коэффициентом трансформации, пока-
зывающим, во сколько раз.напряжение на выходе превышает (или ни-
1*
291
же) напряжение на входе трансформатора в режиме холостого хода.
Еслй вторичная обмотка замкнута на какую-нибудь нагрузку, сопро-
тивление которой ненамного больше сопротивления обмоток трансфор-
матора, то напряжение на вторичной обмотке меньше ЭДС самоиндук-
ции, и формулой (6.103) в этом случае пользоваться нельзя.
Иногда вторичной обмоткой трансформатора служит часть первич-
ной, и наоборот. Такой трансформатор называют автотрансформатором.
Если в идеальном трансформаторе не происходит диссипации энергии
и вся энергия первичной обмотки передается вторичной, то
1JI. = UJU21
где Л, Ц — соответственно токи в первичной и вторичной обмотках.
6.7.13. Скин-эффект. Плотность постоян-
ного тока, текущего в однородном проводнике
с неизменным поперечным сечением, одина-
кова во всех точках проводника. Если по та-
кому проводнику течет переменный ток, то он
создает в проводнике магнитное поле с индук-
цией В, силовые линии которого лежат в плос-
кости, перпендикулярной оси проводника.
Изменяющееся магнитное поле В приводит
к появлению вихревого электрического поля*
Направление этого поля такое, что измене-
ния тока вблизи оси проводника ослабляются,
а вблизи поверхности проводника усилива-
ются (рис. 6.39), поэтому в толще проводника
ток слабее, чем вблизи поверхности. Эффект
вытеснения переменного электрического тока
и электромагнитного поля из толщи проводни-
ка на его поверхность называют скин-эффек-
том (от англ, skin — кожа, оболочка).
Распределение плотности переменного
тока по сечению проводника зависит от час-
тоты тока и определяется глубиной проникновения тока d или толщи-
ной скин-слоя. Для проводника с удельной электропроводностью о и
магнитной проницаемостью g
а в единицах СГС
Г р0о
г 2ло|1со
где со — частота тока. Если d > R (R — радиус проводника), то плот-
ность тока практически постоянна по всему сечению проводника. Если
d < R, то зависимость плотности тока / от расстояния х до оси провод-
ника имеет вид
д~х
1 — <6-104>
Здесь /0 — значение плотности тока вблизи его поверхности. Из формулы
(6.104) видно, что в этом случае значение плотности тока быстро уменье
шается в глубь проводника и фактически весь ток переносится неболь”
шим приповерхностным слоем толщиной d.
292
Влияние скин-эффекта приводит к уменьшению эффективного се-
чения проводника и вследствие этого увеличению сопротивления про-
водника с ростом частоты со.
6.7.14. Трехфазный ток. Трехфазным током называют систему
трех переменных токов одинаковой частоты и амплитуды, фазы которых
сдвинуты на 1/3 периода (120°) относительно друг друга. Трехфазный
ток создается генератором, содержащим обмотки, расположенные под
углом 120° одна к другой и равномерно вращающимся в однородном
магнитном поле. В этих обмотках возникают ЭДС
sin со/,
где со — частота тока; t — время; о0 — амплитуда ЭДС. Обмотки
генератора могут соединяться звездой (рис. 6.40, а) и треугольником
(рис. 6.40, б). Провод, выходящий из общей точки соединения звездой,
называют нулевым. При равных нагрузках на обмотках всех трех фаз
суммарный ток, текущий по нулевому проводу, равен нулю.
Трехфазный ток дает возможность по трем проводам передавать
ту же мощность переменного тока, что и по шести проводам, необхо-
димым для передачи той же энергии тремя независимыми однофазными
токами. Различают линейные и фазные токи и напряжения. Линейным
напряжением 17л называют напряжение между любыми двумя прово-
дами (при соединении звездой), исключая нулевой. Ток /л, текущий
по этим проводам, называют линейным. Фазным напряжением U $ назы-
вают напряжение на обмотках генератора. Токи, текущие по этим
обмоткам, называют фазными. При соединении звездой Iл — /ф, U л ~
= УЗ//ф, при соединении треугольником U л ~ 1Л ~ КЗ/ф.
Раздел 7
ОПТИКА
7.1. ФОТОМЕТРИЯ
7.1.1. Природа света. Электромагнитные волны (с длиной волны
от 400 до 760 нм), которые воспринимаются человеческим глазом,
называют световыми волнами или видимым излучением. Понятие «свет»
охватывает более широкий диапазон — от инфракрасного (с длиной
волны от 0,75 до 2000 мкм) до ультрафиолетового (с длиной волпы от
10 до 380 нм) излучений, включая и видимое. Электромагнитные волны
этого диапазона называют оптическим излучением, для которого ино-
гда устанавливают интервал длин волн от 10~п до 10~2 м, куда частич-
но входит рентгеновское излучение.
Раздел физики, в котором изучают законы испускания и распро-
странения света, а также его взаимодействие с веществом, называют
оптикой. Область электромагнитных волн, которые включаются в по-
нятие «свет», не имеет четких границ. В диапазоне оптических частот
существенно проявляется квантовый характер электромагнитного
излучения. Световые волны изучают с помощью оптических методов,
которые исторически сложились при анализе законов видимого света.
Действие света на человеческий глаз, фотоэлемент, фотопленку
и другие приборы обусловлено вектором напряженности электромаг-
нитного поля волны Е. Этот вектор называют световым вектором. Сила
действия его на электроны вещества, с которым взаимодействует свет,
определяется формулой
F - — еЕ, (7.1)
где —е — заряд электрона. По модулю сила Лоренца действия магнит*
ного поля на электроны вещества значительно меньше силы | F |.
7.1.2. Источники светового излучения. Большинство предметов
можно видеть, если они освещены световыми волнами, которые распро-
страняются от других тел, например Солнца, пламени костра, электри-
ческой лампочки и т. п. Тела, создающие освещение окружающих пред-
метов, называют источниками света. В источниках света происходит
преобразование различных видов энергии в электромагнитное излуче-
ние оптического диапазона. Различают три класса источников света*
тепловые, люминесцентные и когерентные.
Тепловым источником света является любое нагретое тело, излуча-
ющее электромагнитные волпы, диапазон длин которых зависит от тем-
пературы и расширяется при ее повышении. По достижении определен-
ной температуры тело начинает излучать в диапазоне видимого света.
Люминесцентным называют источник света, излучающий при
данной температуре избыточное над тепловым излучение, которое
обусловлено нагреванием тела. Люминесцентное излучение является
неравновесным. Оно связано с переходом небольшого числа центров
люминесценции (атомов, ионов или молекул) из возбужденного со-
294
стояния в основное пли в менее возбужденное. Центры люминесценции
предварительно облучают специальным источником электромагнит-
ного излучения, который переводит их в возбужденное состояние. В за-
висимости от способа возбуждения люминесценции различают источни-
ки: а) электролюминесценции, которая возникает при электрическом
возбуждении; б) флуоресценции, которая возбуждается коротковолно-
вым электромагнитным излучением или потоком элементарных частиц
(электронов, протонов, ос-частиц и др.) и прекращается сразу после
того, как прекращается действие возбуждающего фактора; в) фосфо-
рисцснции, которая возбуждается так же, как и флуоресценция, по
сохраняется длительное время после прекращения действия возбуж-
дающего излучения; г) хемолюминесценции, сопровождающей, напри-
мер, процесс гниения. I
Когерентными источниками света являются квантовые генераторы
электромагнитного излучения в оптическом (лазеры) и микроволновом
(мазеры) диапазонах. Это источники когерентных узконаправленных
волн с высокой степенью монохроматичности, строго определенной
фазой и плоской поляризацией. При их работе происходит явление
вынужденного (индуцированного, стимулированного) излучения или
рассеяния света в активной среде с инверсией заселенности энергети-
ческих уровней. Квантовые генераторы характеризуются очень узким
пучком направленных лучей (например, для жидкостных лазеров угол
расходимости составляет около 0,2 мрад) и обладают высокой степенью
когерентности излучения (для лазеров время когерентности составляет
несколько секунд, что в 108 раз больше, чем для обычных источников
света).Пространственная когерентность сохраняется по всему сечению
пучка у выходного отверстия такого источника. Мощность'генерируе-
мого лазерами импульса может достигать очень больших величин, на-
пример, у твердотельного лазера, активной средой которого является
стекло с примесью неодима, работающего в режиме импульсной свобод-
ной генерации при длительности импульсов 1 нс, мощность излучения
равна 1013 Вт.
7.1.3. Световой поток. Распространение света сопровождается
переносом энергии. Источник света при излучении часть своей энергии
теряет, а тело, поглощая свет, увеличивает свою внутреннюю энергию.
Энергию световых волн, которые распространяются через площадку S
в единицу времени, называют световым потоком через эту площадку.
Световой поток равен световой энергии Q в единицу времени:
Фр = Q/t, или Ф„ = , (7.2)
где / — время действия излучения; вторая формула определяет мгно-
венное значение светового потока Фу в случае, когда он не постоянен
во времени.
Световой поток, заключенный между прямолинейными лучами,
которые распространяются от точечного источника, остается постоян-
ным внутри конической поверхности, образуемой этими лучами. Если
провести сечение этого конуса несколькими поверхностями S2,
..., Sn, то световой поток через эти сечения окажется одинаковым.
Полный поток световой энергии, испускаемой любым источником, ра-
вен световому потоку через замкнутую поверхность (например, сфе-
ру), охватывающую этот источник. Распределение светового потока
по разным направлениям может быть неоднородным. Например, наи-
большая интенсивность светового потока в прожекторе достигается '
вдоль его оси. За единицу светового потока принят люмен (лм), пред-
ставляющий собой поток, излучаемый при равномерном испускании
295
точечным источником внутрь телесного угла, равного 1 ср при силе
света 1 кд.
Раздел оптики, в котором изучают измерение световых потоков
и количественные характеристики световых процессов, называют
фотометрией.
7.1.4. Сила света. Световой поток Фа, приходящийся на единицу
телесного угла Q, составляет силу света
б/Ф
/ == Фу/Q, или I — .
Если источник света излучает равномерно во все стороны (изо-
тропный), то
/и = Фп/4л, (7 3)
где Фп — полный световой поток, испускаемый источником. Для неизо-
тропного источника, у которого сила света разная по всем направле-
ниям, можно ввести понятие средней сферической силы света Zcpi
определяемой формулой (7.3).
Введение понятия «силы света» позволяет сравнивать различные
источники. Единицей силы света является кандела (кд). Она равна
силе света, испускаемого специальным источником, за который при-
нимается поверхность 1/600000 мй полого излучателя при температу-
ре затвердевания платины (2042 К) в условиях нормального давления
(101325 Па). Полный световой поток, излучаемый источником, сила
света которого 1 кд, равен 4л люменов.
7.1.5. Освещенность. Отношение светового потока Фу к площади
освещаемой поверхности S называют освешрнностью’.
E=<t>v/S, или Е =
За единицу освещенности принят люкс (лк) — освещенность поверх-
ности площадью 1 м2 при падающем на нее световом потоке 1 лм.
Освещенность, которую обеспечивает данный источник света, за-
висит от расстояния между рассматриваемой поверхностью и источни-
ком. Поскольку поверхность сечения телесного угла плоскостями, пер-
пендикулярными распространению света, пропорциональна квадрату
расстояния от вершины конуса, то освещенность Е поверхности обратно
пропорциональна квадрату ее расстояния г от источника света:
Е = 7/г2, (7.4)
где / — сила света источника. Формула (7.4) справедлива только при
отсутствии поглощения света. При наличии в воздухе частиц пыли,
тумана, дыма освещенность уменьшается. В случае неоднородного и за-
висящего от расстояния поглощения зависимссть Е (г), описываемая
формулой (7.4), нарушается. Освещенность зависит от наклона поверх-
ности по отношению к падающим лучам и принимает максимальное
значение, когда угол наклона равен л/2. Если лучи падают на поверх-
ность под углом <р, то ее освещенность
Е = (//r2)cos(p. (7.5)
Освещенность заданной поверхности Е прямо пропорциональна
силе света источника /, косинусу угла между направлением распро-
странения световых лучей и нормалью к рассматриваемой поверхности,
и обратно пропорциональна квадрату расстояния г этой поверхности
до источника. Формула (7.5) справедлива только для плоских поверх-
296
ностей. Если освещаемая поверхность имеет более сложную формуле
ее освещенность меняется от точки к точке, и в каждой точке находит-
ся по аналогичной (7.5) формуле, где под (р следует понимать угол
между направлением распространения световых лучей и касательной
плоскостью к поверхности в данной точке.
7.1.6. Светимость и яркость. Для характеристики способности
источника излучать (или отражающей поверхности отражать) вводится
понятие светимости данной поверхности. Светимость М численно рав-
на полному световому потоку, испускаемому с единицы площади светя-
щегося тела:
М = Ф /S, или Л4
Go
Здесь Фп — полный световой поток, излучаемый с поверхности S. Еди-
ница светимости — люмен на квадратный метр (лм/м2).
Между светимостью и освещенностью поверхности, отражающей
лучи, существует прямая пропорциональная зависимость
М = kE,
где k — постоянная, называемая коэффициентом отражения (рас-
сеяния). Для всех тел, пассивно отражающих падающие лучи, k < 1.
Обычно коэффициент рассеяния k есть функция длины волны X.
Тела обладают определенной цветовой окраской, если они отра-
жают световые волны, длины которых лежат в характерном для дан-
ного тела интервале. Черным кажется тело, отражающее все длины
волн более-менее одинаково, но очень слабо (т. е. k < 1). Для белого
тела коэффициент отражения k близок к единице и не зависит от дли-
ны волны.
Мерой излучения светящейся или отражающей поверхности явля-
ется яркость L, характеризующая излучение поверхности в данном
направлении. Если яркость L не зависит от направления, то поверх-
ность называют идеально рассеивающей. Суммарная яркость по всем
направлениям равна светимости. Для идеально рассеивающей поверх-
ности между ‘светимостью М и яркостью L существует простое соотно-
шение
L ~ М/п.
Яркость численно равна силе света, излучаемой единицей поверхности
в направлении, перпендикулярном этой поверхности:
L = I/S.
За единицу яркости (1 кд/м2) принимают яркость такого источника,
который излучает с 1 м2 светящейся поверхности свет силой 1 кд.
7.1.7. Визуальные и объективные фотометры. Для сравнения ис-
точников света или световых потоков используют специальные приборы—
фотометры. Фотометры, основанные на способности человеческого гла-
за устанавливать равенство яркости двух расположенных рядсм светя-
щихся поверхностей, называют визуальными. Примером визуального
фотометра является фотометр Люммера—Бродхуна, в котором световые
потоки от двух разных источников, один из которых эталонный, с по-
мощью специальной оптической системы подаются на две граничащие
по окружности плоскости. Яркость этих концентрических полей,
пропорциональная силе света соответствующих источников, оценива-
ется визуально. Одинаковую яркость можно получить, изменяя расстоя-
ние источников света до фотометра (или с помощью фильтров). Неиз-
297
вестиую силу света 1Х находят из значений эталонной
по формуле
силы света /э
где гх, гэ — расстояние до исследуемого и эталонного источников со-
ответственно. Равенство яркостей можно определить глазом доста-
точно точно для излучений, имеющих одинаковый цвет, затруднитель-
но для излучений, имеющих разные цвета, и практически невозможно
для излучений с большим различием цветов.
В фотометрии используют также объективные методы сравнения
источников света и световых^потоков, среди которых различают такие:
1) фотографические методы, основанные на том, что почернение фото-
чувствительного слоя пропорционально падающему на него световому
потоку; 2) электрические методы, основанные на использовании фото-
элементов, фотоумножителей, фотосопротивлений, балометров и тер-
мопар. В импульсных фотометрах применяются цифровые ЭВМ. Объек-
тивные фотометры позволяют измерять световые потоки в широком
диапазоне длин волн, далеко выходящем за диапазон видимого света.
7.2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЛУЧЕВОЙ ОПТИКИ
7.2.1. Прямолинейность распространения света. В однородной
среде распространение световой энергии происходит прямолинейно.
Световые лучи совпадают с нормалью к волновым поверхностям в каж-
дой точке. В однородной среде они прямолинейны.
Доказательство прямолинейности распространения света легко
получить, наблюдая световую тень от источника света небольших раз-
меров на расстоянии, значительно большем его размеров.Источники све-
та больших размеров образуют полутень, формирование которой можно
рассмотреть с помощью двух источников малых размеров, расположен-
ных один от другого на расстоянии, равном размеру большого источ-
ника. При этом полная тень образуется позади непрозрачного предме-
та в области, куда при прямолинейном распространении не могут про-
никать лучи ни от первого, пи от второго источников. Полутень обра-
зуется в области, где проходят лучи только от одного источника, в то
время как другой заслонен предметом. Если источник большой, то
каждая точка его поверхности может рассматриваться как точечный
источник. При формировании полутени в этом случае будет происхо-
дить сложение излучения от отдельных частей излучающей поверх-
ности.
Изображение предметов с помощью малого отверстия свидетельст-
вует о прямолинейности распространения света. Простейшее устрой-
ство, позволяющее наблюдать перевернутое изображение предметов,
представляет собой ящик с небольшим отверстием в передней стенке
(так называемая камера-обскура}. Луч света, распространяясь прямо-
линейно от данной точки предмета, попадает на заднюю стенку камеры-
обскуры, па которой появляется световое пятно с соответствующей ин-
тенсивностью. Совокупность световых пятен от всех точек предмета
создает на задней стенке камеры-обскуры перевернутое изображение
этого предмета.
В большинстве случаев представление о прямолинейном распро-
странении света позволяет правильно описывать оптические процессы.
Этот раздел оптики называют геометрической оптикой. Однако в ряде
случаев свет проявляет свою волновую природу, тогда наблюдаются
явления интерференции, дифракции и поляризации, которые изучают
298
в физической оптике. Прямолинейность распространения света нару-
шается при прохождении его через узкое отверстие диаметром d, когда
наблюдения ведут на очень большом расстоянии L от экрана. Условие
применимости геометрической оптики для световых лучей длиной
волны % определяется неравенством
d » V LK.
Анализ приближений геометрической оптики приведен в 7.3.
7.2.2. Закон независимости световых лучей. Световые лучи неболь-
шой интенсивности при пересечении не взаимодействуют. Две (или
больше) электромагнитные волны распространяются в пространстве
в различных направлениях независимо, если интенсивность этих волн
не очень велика. При большой интенсивности световых потоков, напри-
мер от оптических квантовых генераторов, независимость световых лучей
нарушается. Возникающие при этом явления изучают в нелинейной
оптике. В геометрической оптике используют принцип суперпозиции
световых волн, который называют законом независимости: пересечение
световых лучей не вызывает их возмущения, и каждый луч может
рассматриваться независимо от остальных.
7.2.3. Закон зеркального отражения света. Большинство тел не
является источниками света, а лишь отражает падающее на них излу-
чение. Освещенные предметы видны со всех сторон, поскольку от их
поверхностей свет рассеивается в разные стороны (диффузное отраже-
ние). Однако некоторые тела, имеющие гладкую поверхность, отража-
ют падающие на эту поверхность под определенным углом лучи пре-
имущественно в одном направлении.Такое отражение называют зеркаль-
ным, а отражающую поверхность —зеркалом. Зеркальное отражение
происходит в том случае, если неоднородности отражающей поверх-
ности малы (меньше длины световой волны). Зеркальные поверхности
можно считать оптически гладкими, если размеры неровностей и не-
однородностей меньше 1 мкм. Для них выполняется закон отражения
света: отраженный луч света всегда лежит в одной плоскости с пада-
ющим лучом и перпендикуляром к отражающей поверхности, вос-
становленным из отражающей точки; угол отражения равен углу па-
дения. Под углом падения понимают угол между падающим лучом
и перпендикуляром к отражающей поверхности в месте падения, под
углом отражения — угол между этим перпендикуляром и отраженным
лучом. Углы принято измерять от перпендикуляра, восстановленного
из соответствующей точки поверхности.
7.2.4. Обратимость направления распространения световых лучей.
При отражении справедлив принцип обратимости направления све-
товых лучей. Если луч падает вдоль линии, по которой первоначально
шел отраженный луч, то направление распространения отраженного
луча будет совпадать с линией первоначально падающего, т. е. падаю-
щий и отраженный лучи поменяются местами, и весь ход лучей будет
совершаться в обратном направлении по тому же пути. Следовательно,
если отраженный луч, пройдя систему зеркал, на последнем этапе
отразится точно в обратном направлении, то он вернется к источнику,
пройдя в системе зеркал тот же путь в противоположном направле-
нии.
7.2.5. Изображение с помощью плоского зеркала. Зеркало, отра-
жающая поверхность которого представляет собой плоскость, дает
возможность видеть предметы, находящиеся перед зеркалом, причем
эти предметы кажутся расположенными за зеркальной плоскостью.
Размеры и взаимное расположение предметов сохраняются при этом
такими, как и в реальном случае, однако в зеркале левая сторона пред-
299
мета становится правой, а правая — левой. Для изображения, возни-
кающего с помощью плоского зеркала, характерно, то что каждая точ-
ка предмета и его изображения находится па одинаковом расстоянии
от зеркала и лежит на одном и том же перпендикуляре к зеркальной
плоскости (т. е. симметрично относительно плоскости зеркала).Изоб-
ражение, при котором отсутствует действительное пересечение лучей
света в точках этого изображения, называют мнимым изображением
предмета. Параллельность падающих на плоское зеркало световых
лучей после отражения не нарушается.
В технике часто применяют зеркала со сложной кривой отражаю-
щей поверхностью. Параллельность лучей при отражении от таких по-
верхностей нарушается. Если поверхность выпуклая, то параллельные
световые лучи рассеиваются в разные стороны, если вогнутая, то соби-
раются в одной точке. Поэтому вогнутое зеркало называют собираю-
.щим, а выпуклое — рассеивающим.
7.2.6. Закон преломления света. Если лучи света переходят из
одной прозрачной среды в другую, то на границе между этими средами
они меняют свое направление. Угол между преломленным лучом и.пер-
пендикуляром к поверхности, на которой происходит изменение на-
правления луча, называют углом преломления. При преломлении часть
световой энергии отражается, так что на границе раздела происходит
рассеяние света. При преломлении, как и при отражении лучей, вы-
полняется принцип обратимости. Следовательно, если из второй среды
направить световой луч обратно вдоль преломленного луча, то он прой-
дет тем же путем и после преломления продолжит свой путь вдоль на-
правления падающего луча.
Изменение направления лучей на границе двух сред происходит
в соответствии с законом преломления', преломленный луч всегда лежит
в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, восстанов-
ленным к касательной плоскости к границе раздела двух сред в точке
преломления.
Отношение синуса угла падения к синусу угла отражения есть
величина постоянная, зависящая только от веществ, на границе кото-
рых происходит преломление. Эту постоянную обозначают ц2£ и на“
зывают относительным коэффициентом преломления второго вещества
по отношению к первому, а также показателем преломления света при
переходе из первой среды во вторую. Если а — угол падения,а (3 —
угол преломления, то
Из принципа обратимости распространения световых лучей следует
что для любых двух веществ между относительными коэффициентами
преломления света второго вещества по отношению к первому (n2t)
и первого по отношению ко второму (п12) существует обратно пропор-
циональная зависимость
Коэффициент преломления щ данного f-ro вещества по отношению
к вакууму называют абсолютным коэффициентом преломления этого
вещества.
Относительный коэффициент преломления двух веществ равен
отношению их абсолютных коэффициентов преломления:
«21 = ?. (7.7)
пк
300
Уравнение (7.6) с учетом формулы (7.7) можно записать в симметрич-
ном виде
r/iSin а = fl2sin р. (7.8)
Абсолютный показатель преломления вещества равен отношению
скоростей распространения света в вакууме с и в данном веществе
с
п — — .
и
Если абсолютный коэффициент преломления одной среды больше
абсолютного коэффициента преломления другой (пг > п2), то эту сре-
ду называют оптически более плотной.
В общем случае абсолютный и относительный коэффициенты пре-
ломления зависят от длины волны падающего света. В дальнейшем это
обстоятельство в ряде случаев не учитывается, т. е. подразумевается,
что происходит преломление монохроматического пучка лучей (с одина-
ковой длиной волны).
7.2.7. Полное внутреннее отражение. Из формулы (7.6) следует,
что при переходе из вещества оптически менее плотного (с меньшим
коэффициентом преломления) в более плотное лучи света приближаются
к перпендикуляру к поверхности раздела этих веществ, а при обратном
переходе лучи света отходят от перпендикуляра, так что угол л/2 — а
между направлением преломленного луча и поверхностью преломле-
ния становится меньше. Существует некоторый предельный угол паде-
ния апр> для которого угол преломления равен л/2. При углах падения
ос > сспр преломленных лучей не существует. Все падающие лучи све-
та в этих условиях полностью отражаются. Это явление называют
полным внутренним отражением. Предельный угол при таком отраже-
нии зависит от относительного коэффициента преломления рассматри-
ваемых сред. Из формулы (7.8) при р — л/2 следует, что
sina =^ = п21. (7.9)
п1
Отсюда видно, что предельный угол существует только при п2 < nit
т. е. полное внутреннее отражение возможно только при прохождении
света из вещества оптически более плотного в менее плотное.Частичное
отражение наблюдается при углах падения меньших предельного.
Если угол падения приближается к предельному углу со стороны
меньших значений, то интенсивность преломленного луча уменьша-
ется, а отраженного — возрастает.
Явление полного внутреннего отражения световых лучей широко
используется в оптических приборах, особенно в поворотных стеклян-
ных призмах. Изготовляют также специальные изогнутые стержни
(например, из прозрачной пластмассы) — так называемые светопроводы
(световоды). Лучи света, попадая внутрь такого светопровода со стороны
торцевого сечения, распространяются вдоль светопровода, повторяя
в своем движении все его изгибы. В любом месте световые лучи подхо-
дят изнутри к боковой поверхности стержня под углом, который больше
предельного угла полного внутреннего отражения. Поэтому свет проходит
вдоль всего светопровода с минимальными потерями, которые обусловле-
ны в основном поглощением электромагнитных волн в веществе. Полное
внутреннее отражение лучей используется также при огранке и шлифов-
ке драгоценных и полудрагоценных камней. При этом стремятся придать
обрабатываемому камню такую форму, чтобы большинство падающих на
него лучей, преломляясь, отражалось, от внутренних граней. Если
301
таких граней много и они полностью отражают каждый луч, то камень
сильно сверкает при любом повороте. Особенно большой эффект до-
стигается, если оптическая плотность обрабатываемого вещества вели-
ка (как в случае алмаза).
7.2.8. Прохождение луча в призме. Использующиеся в оптике
призмы обладают поверхностями раздела, которые представляют собой
три плоскости, пересекающие одна другую под разными углами так,
что линии их пересечения взаимно параллельны. Угол между гранями
призмы, через которые проходят лучи света, называют преломляющим
углом. Наиболее широко применяются равнобедренные призмы.
Рассмотрим ход лучей в равнобедренной призме с острым прелом-
ляющим углом ос. Пусть призма (рис. 7.1) изготовлена из оптически
более плотного вещества, чем окружающая среда. Тогда лучи света,
проходя сквозь такую призму? отклоняются к ее основанию на угол е.
Если лучи света падают на переднюю грань призмы под углом ф, то
е = ф — а -|- arcsin I — [sin аТЛj_____/z2 sjn2 (D — cos a sin
1Л12 L 12 1
(7.Ю)
где П12— показатель преломления призмы по отношению к окружающей
среде. Анализируя формулу (7.10), устанавливаем, что минимальное
отклонение емип происходит при симметричном относительно граней
призмы ходе лучей. В этом случае
р
мин
п . Г 1 • а I
— 2 arcsin — sin -7, — а.
2 J
Отсюда находим
— s*n 1
"12 ~ sin [(а + '
Измеряя минимальное отклонение
луча и зная преломляющий угол
а призмы, можно определить по-
казатель преломления призмы н12
относительно окружающей среды.
Если углы а и ф малы, то угол 8
отклонения лучей от своего пер-
воначального направления оказы-
вается не зависящим от угла па-
дения:
е = а (л1г — 1).
Если световые лучи, распространяющиеся в призме, падают на
ее грань под углом больше предельного, то они полностью отражаются
внутрь призмы и могут выйти через другую грань. Это используется
для создания поворотных и оборачивающихся призм, ход лучей в кото-
рых показан на рис. 7.2. Поскольку для различных сортов стекла пре-
дельный угол составляет 35—40°, удобно использовать призмы с пря-
мым углом преломления, направляя лучи перпендикулярно граням
(поворотная призма) (рис. 7.2, а, б) или параллельно основанию (обо-
рачивающаяся призма) (рис. 7.2, в). Такие призмы применяются в пе-
рископах, биноклях и других оптических приборах. Призмы, изготов-
ленные из оптически менее плотного вещества, чем окружающая среда,
при углах преломления а < 1 могут отклонять лучи в сторону вершины
призмы.
332
7.2.9. Преломление лучей света в плоскопараллельных пласти-
нах. При прохождении луча света сквозь пластинку, ограничивающие
поверхности которой параллельны, выходящий луч всегда параллелен
падающему. Ход лучей в плоскопараллельной пластине показан на
рис. 7.3. Смещение луча при прохождении сквозь эту пластинку про-
порциоиально ее толщине d и зависит от угла падения луча на се по-
Рис. 7.2
верхность а и показателя преломления вещества пластинки я12:
- К/г2 —sin2 а
L 12 J
7.2.10. Принцип Ферма. В неоднородной среде прямолинейность
световых лучей может нарушаться (искривление лучей). Для опредё*
лен и я траектории распространения
света используют принцип Ферма,
который состоит в том, что свет рас-
пространяется по такому пути, для
прохождения которого ему необхо-
димо минимальное время по сравне-
нию с любым другим путем между
теми же точками. В геометрической
оптике принцип Ферма принимается
за аксиому, которую называют акси-
омой о кратчайшей оптической длине
пути. Элементарной оптической дли-
ной пути называют
dL = ndS, (7.12)
где dS — элементарный участок пути
между двумя точками.
В однородной среде оптическая
длина пути L равна произведению
геометрической длины пути | S | на абсолютный показатель прелсмле”
ния этой среды п:
L — п\ S |.
В неоднородной среде с показателем преломления п = п (х, у, z)
оптическая длина может быть определена интегрированием уравнения
(7.12). Если кривая, по которой происходит распространение света,,
йзвестна как функция координат, например в случае плоской кривой
$ = Щ)> то
Х2 _________
L = п(х, у (х)) j/1 + dx.
*1
?03
Здесь пределами интегрирования необходимо брать значения коорди-
наты х в начале (х — xj и конце (х — х2) геометрического пути
(рис. 7.4). На рис. 7.4 вдоль оси z отложены значения функции
п (х, у (х)).
Используя понятие оптической длины пути, принцип Ферма можно
сформулировать следующим образом.* свет распространяется по такому
пути, оптическая длина которого минимальна. Как следствие из этого
принципа можно получить законы отражения и преломления света.
7.2.11. Скорость света. Световые сигналы распространяются с ко-
нечной скоростью. Впервые скорость света определил Ремер на осно-
вании астрономических наблюдений затемнения спутников Юпитера.
Обращение спутников является периодическим процессом, поэтому
можно определить точное время,
когда эти спутники входят в тень
планеты. Между началом одного
затмения и появлением следую-
щего за ним интервал времени А/
разный. Он зависит от взаимного
расположения Солнца, Земли и
Юпитера. Максимальное разли-
чие в значениях периода велико
(около 15 с). Еще более заметное
запаздывание затмений накапли-
вается в течение полугода. На-
пример, измеренное Ремером А/
оказалось равным 22 мин. Запаз-
дывание объясняется тем, что за
полгода Земля, двигаясь вокруг
Солнца, удаляется от Юпитера на
расстояние 2,99 • 108 км. Посколь-
ку свет проходит это расстояние
за 22 мин, скорость света с 215000 км/с. Более поздние измерения
показали, что запаздывание равно 994 ± 2 с , а соответствующее значе-
ние с = (301000 ± 600) км/с.
Скорость света в земных условиях определил Физо с помощью
зубчатого колеса. Свет от сильного источника проходил между зуб-
цами вращающегося колеса, попадал на расположенное на большом
расстоянии (около 8,6 км) от источника зеркало и, отразившись от него,
возвращался к наблюдателю, снова проходя между зубцами вращаю-
щегося колеса. При определенной скорости вращения зубчатого колеса
отраженный свет становился невидимым для наблюдателя, так как
на обратном пути луч света попадал не на промежуток, а на зубец
колеса. При удвоении скорости вращения колеса свет опять можно за-
фиксировать. Зная угловую скорость вращения колеса, при которой
наблюдается первое попадание отраженного от зеркала света, количе-
ство зубцов в колесе N и расстояние I между источником света и зер-
калом, вычисляем скорость света по формуле
с —-----.
л
Для определения скорости света применяются ячейки Керра, с по-
мощью которых можно прерывать световой поток с частотой порядка
10 ~7 с-1. Этот способ дает возможность проводить измерения в лабора*
ториях при расстоянии между источником света и зеркалом в несколько
метров. По современным данным с = 299792456,2 ± 0,2 м/с. В боль*
шмнстве случаев с достаточной точностью можно полагать с =
= 2,998 ‘ 108 м/с, а при более грубых оценках с = 3 • 108 м/с»
304
7.3. ПРИБЛИЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
И ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
7.3.1. Предельный случай очень малых длин волн (уравнение
эйконала). Положения геометрической оптики справедливы только
в предельном случае, т. е. для длин волн, стремящихся к нулю. В этом
приближении из уравнений Максвелла следует уравнение для оптиче-
ской длины пути L:
г), (7.13)
\дх / ' \ду/ ‘ \дг/ ' \ /
где п (х, у, г) — абсолютный показатель преломления среды; функцию
L называют эйконалом, а уравнение (7.13) — уравнением эйконала,
являющегося основным уравнением геометрической оптики. Поверх-
ности
L = const
называют геометрическими волновыми поверхностями или геометриче-
ским волновым фронтом. Уравнение (7.13) можно записать в виде
dL dL dL t ч е
н— ех + -ч- е„ + - — = п (х, у, z) S,
дх х ду J dz }
где ех, е^, ег— единичные векторы в направлении осей прямоугольной
системы координат; S — единичный вектор нормали к фронту волны
со/ — kQL = const,
проведенный в сторону ее распространения (здесь kQ = 2тс/Х — боль-
шой размерный параметр).
В приближении геометрической оптики усредненные по времени
плотности электрической и магнитной энергии световой волны равны
между собой, среднее по времени значение модуля вектора Умова—
Пойнтинга равно произведению средней плотности энергии на скорость
v — с/п, а направление этого вектора совпадаете нормалью к геометри-
ческому волновому фронту. Это значит, что в геометрической оптике
средняя плотность энергии световых волн распространяется со скоро-
стью v — с/п вдоль световых лучей, которые представляют собой траек-
тории, ортогональные геометрическим волновым поверхностям. В гео-
метрической оптике пренебрегают явлениями интерференции и дифрак-
ции световых волн, что справедливо в том же приближении исчезающе
малых длин волн.
7.3.2. Основные понятия и определения. Совокупность световых
лучей образует пучок. Совокупность лучей, пересекающихся в одной
точке, называют гомоцентрическим пучком. Гомоцентрическому пучку
соответствует сферическая волна. Пучки, которые пересекаются не
в одной точке, а в совокупности точек, расположенных на двух взаим-
но перпендикулярных прямолинейных отрезках, называют астигмати-
ческими (рис. 7.5). Расстояние между отрезками и QiQ2 называют
астигматической разностью. Астигматическому пучку лучей соответ-
ствует волновая поверхность двоякой кривизны.
Если пучок световых лучей, исходящий из точки Р, в "результате
отражений, преломлений и изгибов в неоднородной среде сходится
в точке Pi, то эту точку называют оптическим изображением или про-
сто изображением точки Р. Если в точке РА пересекаются не сами све-
товые лучи, а их продолжения в обратном распространению света
305
направлении, то изображение точки Р называют мнимым.Еслц световые
лучи пересекаются в точке Р± при распространении в прямом направле-
нии, то такое изображение точки Р называют действительным. Мни-
мое изображение можно преобразовать в действительное с помощью
оптических систем.
Точки Р и Рх (источник света и его изображение) в соответствии
с принципом обратимости называют взаимно сопряженными или просто
сопряженными точками. При этом выполняется следующий принцип:
оптические длины всех лучей, соединяющих сопряженные точки Р
и одинаковы. Это утверждение справедливо также и для мнимых
изображений, если продолжение луча в сторону мнимого изображения
считать мнимым лучом.
Рис. 7.5
Указанный принцип эквивалентен принципу таутохронизма (ра-
венства времен распространения): световые волны затрачивают одно
и то же время, распространяясь вдоль различных лучей от точечного
источника до его изображения. Если пучок лучей, исходящий из точки
Р, пересекается строго в одной точке РА, то изображение называют
стигматическим. Обычно световые лучи пересекаются не в одной точ-
ке, а в некоторой ее окрестности, образуя световое пятно. При этом
качество изображения снижается. Ц I
Совокупность точек, отражаемых оптической системой, называют
пространством предметов. Пространством изображений называют
совокупность точек, являющихся изображениями какого-либо пред-
мета.
7.3.3. Центрированные оптические системы. Совокупность отра-
жающих и преломляющих поверхностей, которые отделяют одну от
другой оптически однородные среды, называют оптической системой.
Как правило, используют сферические или плоские поверхности раз-
дела, реже — более сложные, имеющие ось симметрии (например,
поверхности эллипсоида, гиперболоида, параболоида вращения и т. п.).
Если центры всех поверхностей лежат на одной прямой (или все оси
симметрии совпадают), то такие оптические системы называют центри-
рованными. Прямую, па которой расположены все центры поверхно-
стей в центрированной оптической системе, называют главной оптиче*
ской осью.
306
Простейшая центрированная оптическая система состоит из одной
сферической преломляющей поверхности (рис. 7.6). Главная ось такой
системы является осью симметрии поверхности и проходит через центр
ее кривизны (точку С на рис. 7.6) и центр поверхности (точка О на
рис. 7.6). Любой луч из точечного источника света Ру, находящегося
на главной оптической оси ОС, после преломления в некоторой точке
А на сферической поверхности пересечет ось ОС в некоторой точке Р2.
Из закона преломления следует, что
Пу П2 _ П1 C0S Ф1 — П2 C0S Ф2 /у ।
Uy и2~ R 1
где Пу, п2 — показатели преломления первой (находящейся слева от
поверхности раздела) и второй (расположенной справа) сред, Uy ~
= РуА, и2 — АР2 — длина пути луча в первой и второй средах соот-
ветственно; cpi, ср2 — углы падения и преломления на сферической по-
верхности; R — се радиус кривизны. При этом для определенности на-
правление ОРг принято за положительное, т. с. начало координат рас-
положено в точке О и ось ОХ направлена вдоль О/Д. Все отрезки, рас-
положенные влево от точки О, необходимо брать со знаком минус.
Положение точки Р2 на главной оптической оси зависит от угла
наклона 0 падающего луча к этой осн. Если углы 0, <рх, ср2 малы, так
что можно считать отрезки ОР2 и АР2 равными, то узкий пучок лучей,
заключенных между отрезком Ру А и главной оптической осью, назы-
вают параксиальным (приосевым). Для параксиальных лучей Uy ~
— РуО = —и и2 — ОР2 = а2. Из формулы (7.14) в этом случае сле-
дует, что
( 1 1 \ /1 1 \
п1--------— П2\------------F7 ,
1\Л1 R / \«2 R /
(7.15)
т. е. положение точки Р2 пе зависит от угла 0 и
Q = п.
1 \
Я/
при преломлении на сферической поверхности для параксиальных лу-
чей есть величина постоянная, которую называют нулевым инвариантом
Аббе, Соотношение (7.15) можно записать в виде
ni п2 _ 1h — П2
«1 02 R 1
(7.16)
307
Величину
называют оптической силой преломляющей поверхности.
При заданных параметрах «1} п2 и Я расстояние а2 зависит
только от расстояния Все лучи параксиального гомоцентрического
пучка, выходящего из точки Plt пересекаются в одной точке Р2,
которая определяет положение стигматического изображения источ-
ника Таким образом, гомоцентрический параксиальный пучок при
преломлении на сферической поверхности остается гомоцентрическим.
Фокусом сферической поверхности называют точку, в которой схо-
дятся после преломления параллельные лучи, т. е. идущие из беско-
нечно удаленней точки. Из соотношения (7.16) при а± ~ оо получаем
/?2 — пг
а при ~ 00
n^—nj Т1'
где расстояния Д и /2, зависящие от показателей преломления /?А, па
и радиуса кривизны преломляющей поверхности /?, называют соответ-*
ственно передним и задним фокусными расстояниями этой поверхности
Точки Ft и Е2,расположенные на [расстояниях аг и а2 соответственно
от центра О (рис. 7.7), называют передним или первым и задним или
вторым фокусами.
Если учесть, что закон отражения вытекает из закона преломле-
ния, и положить п± = —п2, то 113 соотношения (7.16) получим формулу
сферического зеркала
i + l = A
«4 а2 R
В этом случае изображение считают действительным, если оно располо-
жено по одну сторону с источником, и мнимым, если оно лежит за
зеркалом. Случаи вогнутого и выпуклого зеркал различаются лишь
знаком R (для выпуклого R < 0). Фокус вогнутого зеркала действи-
тельный, а выпуклого — мнимый. При = — ц2 фокусное расстояние
f = R/2. Следовательно, формула сферического зеркала принимает
вид
1+1=1.
«1 а2 f
308
Для плоского зеркала необходимо произвести предельный переход
R оо. Тогда at = —а2, т. е. изображение в плоском зеркале распо-
ложено симметрично относительно плоскости раздела и является мни-
мым.
7.3.4. Изображение малых предметов. С помощью приближения
параксиальных гомоцентрических пучков можно построить изображе-
ние небольших предметов при преломлении лучей на сферической по-
верхности. Если точечный источник не лежит на главной оптической
оси ОС (рис. 7.8), то прямую соединяющую эту точку с центром
кривизны сферической поверхности, называют оптической осью.
Тогда для параксиального пучка лучей построение изображения точки
(Д проводится относительно этой оптической оси аналогично построению
изображения точки Рл (см. 7.3.2). В соответствии с формулой (7.16) все
светящиеся точки, расположенные на дуге будут давать изображе-
ния на дуге Q'Q2. Выполняются равенства Q^C = РгС = QC ~ аг +
4- R и CQ2 — CQ' = СР2 = а2 + R. Любая точка, расположенная
на части поверхности шара радиусом аг 4" R> отобразится в соответ-
ствующей точке на поверхности шара радиусом а2+Я- Диафрагма MN,
расположенная вблизи центра С, ограничивает достаточно узкие пуч-
ки, чтобы их можно было считать параксиальными. Поскольку дуги
(элементы шара) Q±Q и Q'Q2 малы, вместо них можно брать хорды (эле-
менты плоскости). Малая площадка, перпендикулярная главной оси,
с помощью параксиального пучка лучей изображается в виде площадки,
также перпендикулярной этой же оси. Плоскости предмета QtQ и его
изображения Q'Q2 называют сопряженными по отношению к данной
оптической системе.
Линейным или поперечным увеличением оптической системы (3 на-
зывают отношение линейных размеров изображения предмета у2 =
*= Q2^2, перпендикулярного оптической оси, к линейным размерам
У1 = Q1P1 (рис. 7.9). Увеличение считают положительным, если изобра-
жение прямое, и отрицательным, если оно перевернутое:
о {h
Р п2 at ’
Для параксиального пучка справедлива теорема Лагранжа—Гельм-
гольца, выражающаяся формулой
6i = y2n2sin 02,
а с учетом малости углов 0! и 02
= »/2«202>
309
где 02 — углы между главной оптической осью и направлением
лучен, падающих на граничную точку и отраженных от нее. Эта точка
расположена на максимальном расстоянии от оптической оси 4макс •
Максимальное раскрытие пучков называют апертурой оптической
системы. Величину и//0 называют инвариантом Л аг раною а—Гельм-
гольца. Для центрированной системы сферических поверхностей в при-
ближении параксиального пучка инвариант Лагранжа—Гельмгольца
постоянен.
Рис. 7.9
7.4. ТОНКИЕ ЛИНЗЫ И ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
7.4.1. Линза. Систему, состоящую из двух сферических прелом-
ляющих поверхностей, называют линзой. Если расстояние d между
вершинами этих поверхностей мало, так что при построении изображе-
ния им можно пренебречь, то такую линзу называют тонкой. В зави-
симости от сочетания различных форм ограничивающих поверхно-
стей различают линзы: 1) двояковыпуклые, обе поверхности которых вы-
пуклые; 2) плоско-выпуклые, где одна поверхность выпуклая (сфери-
ческая), а другая — плоская; 3) вогнуто-выпуклые, у которых одна
поверхность выпуклая, другая — вогнутая, причем радиус кривизны
у выпуклой меньше, чем у вогнутой; 4) двояко-вогнутые, обе поверх-
ности которых вогнутые; 5) плоско-вогнутые, где одна поверхность вог-
нутая, другая — плоская; выпукло-вогнутые, у которых одна поверх-
ность вогнутая, а другая выпуклая, причем радиус кривизны у вы-
пуклой больше, чем у вогнутой. Три первые называют собирающими,
а три последние — рассеивающими. Собирающие линзы можно пред-
ставить как большое число плоскопараллельных пластинок и призм,
основания которых обращены к середине линзы, рассеивающие —
как призмы, основание которых обращено по направлению к краям
линзы. Середина любой линзы действует как плоскопараллельная
пластинка. Поскольку лучи при прохождении в призме отклоняются
в сторону ее расширения, собирающие линзы, утолщенные к середине,
отклоняют падающие лучи к середине, а рассеивающие (утолщенные
к краям) — от середины.
Оптическим центром линзы называют точку, расположенную на
половине расстояния между преломляющими поверхностями в центре
линзы. В тонких линзах радиусы кривизны ограничивающих линзу
поверхностей гораздо больше расстояния между этими поверхностями
в центре линзы. При этом точки О2 и О3 (рис. 7,10) практически
совпадают.
310
Любая прямая, проходящая через оптический центр линзы, является
оптической осью линзы. Оптическая ось, проходящая через центры
обеих ограничивающих линзу поверхностей, является главной оптиче-
ской осью линзы. Плоскость, проходящую через ее оптический центр
перпендикулярно главной оптической оси, называют главной плос-
костью линзы.
Если иа собирающую линзу падают лучи света параллельно глав-
ной оптической оси, то, изменяя направление своего распространения
на преломляющих поверхностях линзы, они собираются на главной
оптической оси. Точку, в которой параллельные лучи пересекаются
после прохождения сквозь линзу, называют фокусом линзы. Расстоя-
ние от фокуса до линзы называют фокусным расстоянием. Плоскость,
проходящую через фокус перпендикулярно главной оптической оси,
называют фокальной плоскостью. Каждая линза имеет два фокуса по
разные стороны от нее. В случае тонкой линзы фокусное расстояние
одинаковое обеих сторон. Величину, обратную фокусному расстоянию,
называют оптической силой линзы
Лучи света, падающие параллельно главной оптической осн рас-
сеивающей линзы, отклоняются в сторону от этой оси. Однако, если
продолжить рассеянные лучи в обратном направлении, то они пересе-
кут главную оптическую ось в точке, расположенной перед линзой.
Поскольку пересекаются не сами лучи, а их продолжения, то точка их
пересечения является мнимым фокусом. Любая рассеивающая линза
имеет два мнимых фокуса — по одному с каждой стороны от прелом-
ляющих поверхностей линзы. Фокусное расстояние f для мнимого
фокуса берется со знаком минус. Оптическая сила Ф = у рассеи-
вающей линзы есть величина отрицательная. Единицей оптической
силы линз является диоптрия(дп); 1 дп равна оптической силе линзы
или сферического зеркала с фокусным расстоянием 1 м.
Преломленные линзой лучи собираются не в одной точке, а в неко-
тором интервале вблизи фокуса, т. е. наблюдается явление сферической
аберрации. Сферическую аберрацию можно ослабить путем комбина-
ции собирающей и рассеивающей линз, у которых вклады в сфериче-
скую аберрацию от зон линзы, равноудаленных от главной оптической
оси, имеют разные знаки и в значительной мере могут компенсиро-
ваться.
Для линз с малым диаметром D, когда радиус кривизны поверх-
ности R гораздо больше максимально возможного отклонения луча
от главной оптической оси, сферическая аберрация мала, и можно с хо-
рошим приближением считать фокус такой линзы точечным, т. е. для
такого случая хорошо удовлетворяется приближение параксиальных
пучков.
311
7.4.2. Построение изображения в тонкой линзе. Если известно
положение светящейся точки относительно линзы и ее фокусное рас-
стояние, то легко определить изображение этой точки. Световой поток,
освещающий поверхность линзы, заключен в телесном угле, вершила
которого совпадает с рассматриваемой точкой, а боковые образующие
опираются на края преломляющей поверхности линзы. Каждый луч
в этом телесном угле после прохождения сквозь линзу дает вклад
в изображение рассматриваемой точки. Считаем, что сферическая абер-
рация пренебрежимо мала и все лучи, прошедшие через тонкую линзу,
собираются в одной точке. Тогда для построения изображения данной
точки достаточно рассмотреть ход любых двух лучей света. Из всех
возможных лучей удобнее выбрать два таких, ход которых легко про-
следить. В тонкой линзе три луча могут быть легко построены. Это
прежде в сего, луч АО (рис. 7.11), идущий вдоль побочной оптической
оси. Поскольку он проходит через центральную часть линзы, которая
с хорошим приближением может считаться плоскопараллельной плас-
тинкой, направление его не изменяется, а сам луч немного смещается
па расстояние /, пропорциональное толщине линзы. Этим смещением
в виду тонкости линзы можно пренебречь и считать, что луч, идущий
вдоль побочной оптической оси, распространяется прямолинейно. Вто-
рым лучом, построение прохождения которого не вызывает затрудне-
ний, есть луч АЛ1 (см. рис. 7.11), падающий на поверхность линзы
параллельно главной оптической оси. После преломления он проходит
через фокус, расположенный за линзой, и далее до пересечения с пер-
вым лучом. Наконец, третий луч ВМг проходит через фокус, лежащий
впереди линзы. Согласно принципу обратимости лучей после преломления
он будет распространяться параллельно главной оптической оси линзы.
Выбирая любые два из этих трех лучей, нетрудно построить изображе-
ние в тонкой линзе. Например, для построения изображения линейно-
го предмета АВ (см. рис. 7.11) достаточно построить изображения двух
крайних точек А и В, которые определяют положение всех остальных.
Если предмет расположен от собирающей линзы на расстоянии а >
> 2/, то изображение будет уменьшенным и перевернутым. Предмет,
находящийся на расстоянии а ~ 2f от линзы, создает перевернутое,
но равное изображение. Увеличенное перевернутое изображение в тон-
кой собирающей линзе получается от предмета, находящегося между
двойным фокусным расстоянием и фокусом этой линии. Если предмет
расположен от линзы на расстоянии, которое меньше фокусного, то
лучи света после прохождения через линзу не пересекаются, а образу-
ют расходящийся пучок. Продолжив лучи назад до их пересечения
(рис. 7.12), получим мнимое изображение данного предмета. Оно ока-
312
зывается прямым и увеличенным, но расположено дальше, чем сам
предмет. Собирательную линзу используют как увеличительное стек-
ло. Для получения увеличенного изображения предмет помещают на
расстоянии от линзы несколько меньшем ее фокусного расстояния.
7.4.3. Формула линзы. Связь между расстояниями от линзы до
предмета аг и от линзы до его изображения а2 можно найти, зная фокус-
ное расстояние линзы f:
1 1 п — п0 /1____1_\
^0 \^1 ^2/
где п0 показатель преломления среды в пространстве предмета и за
линзой; и — показатель преломления вещества, из которого изго-
товлена линза; R2 — радиусы кривизны передней и задней поверх-
ностей линзы. При этом знаки величин и R2 необходимо выбирать
.в зависимости от взаимного расположения центра кривизны сфериче-
ской поверхности и ее вершины (если центр кривизны С лежит справа
от вершины О, то Ri > 0, а если слева, то Ri < 0, где i = 1, 2).
Фокусное расстояние f определяется соотношением
Тогда
1 __ п — п0( 1 J \
f п у/?! R2)
J _ 1 - 1
а2 а± “ f
(7.17)
При at -> оо отсюда следует, что а2 — f, т. е. изображение точечного
источника, расположенного на бесконечности, находится в фокусе
линзы (параллельные лучи сходятся после преломления в фокусе лин-
зы). Уравнение (7.17), связывающее расстояния предмета и его изоб-
ражения от главной плоскости линзы и фокусное расстояние, называют
основной формулой тонкой линзы.
Отношение линейных размеров изображения и предмета называют
линейным или поперечным увеличением'.
р = ^.
тл 1
Иногда используют обратную величину у = -g-, которую называют угло-
вым увеличением линзы.
313
Угловое увеличение равно отношению тангенсов углов Oj и 02,
образуемых между осью линзы и лучом (выходящим из линзы и падаю-
щим на линзу соответственно). Из формулы (7.17) следует, что чем
больше линейное увеличение, тем меньше ширина пучка лучей, создаю-
щих изображение, а следовательно, тем меньше яркость изображения.
Ход лучей в тонкой рассеивающей линзе показан на рис. 7.13.
Лучи после преломления не пересекаются. В фокусе собираются их
продолжения, поэтому получаемое изображение прямое и мнимое.
Расположено оно между фокусом и оптическим центром линзы, поэтому
всегда уменьшенное.Для рассеивающей линзы формула (7.17) также
применима, следует только учитывать, что фокус этой линзы всегда
мнимый, поэтому фокусное расстояние брать со знаком минус.
Рис. 7.13
7.4.4. Оптические приборы. Увеличение изображения необходи-
мо для многих целей. Чтобы его получить, создают оптические системы,
состоящие из многих линз. Этим достигается большое увеличение и
четкость изображения. Оптические системы имеют самые различные
назначения.
П роекционные аппараты дают па экране действительное увеличен-
ное изображение. Схема аппарата,предназначенного для демонстрации
прозрачных объектов, показана па рис. 7. И.Источник света Я помещен
в фокусе сферического зеркала, которое формирует параллельный пу-
чок света. Затем с помощью конденсора Я этот пучок преобразуется
в слабо сходящийся пучок, вследствие чего повышается интенсивность
и улучшается равномерность освещенности прозрачного объекта Я,
светящиеся точки которого формируют с помощью линзы Л (объектива)
изображение на экране Э. Для улучшения резкости изображения вме-
сто одной линзы часто применяют скорректированную оптическую си-
стему. Фокусировка изображения на экране выполняется путем измене-
ний расстояния от объектива до предмета. Аналогичная оптическая
схема применяется в кинопроекторах.
Демонстрация увеличенного изображения непрозрачных предме-
тов на экране осуществляется с помощью эпископа. Принцип действия
эпископа состоит в том, что создают сильное боковое освещение рас-
сматриваемого предмета, изображение которого затем проектируется
через плоское зеркало и объектив па экран. :
Широко распространенный фотоаппарат имеет очень простую
оптическую схему. На фотопленку или фотопластинку, расположенные
ЗИ
в задней части светонепроницаемой камеры, с помощью объектива
проектируется уменьшенное перевернутое изображение окружающих
предметов. Для фотографирования предметов, расположенных на раз-
ных расстояниях от камеры, предусмотрена возможность передвиже-
ния объектива относительно задней стенки камеры. Качество фото-
снимков сильно зависит от фотообъектива. Фотоаппарат снабжен высо-
кокачественным фотообъективом, который обеспечивает достаточное
освещение и четкое изображение. Обычно объектив представляет собой
сложную конструкцию из многих линз. Основные параметры фото-
объектива — фокусное расстояние и светосила. Светосила линзы
(или объектива) характеризует освещенность изображения, которая
обеспечивается данной линзой. Геометрическая светосила пропорцио-
нальна квадрату диаметра D линзы и обратно пропорциональна
квадрату ее фокусного расстояния:
На фотоаппаратах вместо светосилы обычно указывается величина от-
носительного отверстия линзы 1/я, которая есть частное от деления
диаметра линзы па ее фокусное расстояние:
£ D
а ~ /
Обычно па объективе относительное отверстие указывают в виде дроби
1/ц, где а = f/D, Физическая светосила учитывает потери световой
энергии па поглощение и отражение в оптической системе 6ф = тб,
где постоянная т< 1.
7.4.5. Глаз как оптический прибор. Передняя прозрачная часть,
защитной оболочки глаза, которую называют роговой оболочкой,
кристаллик и пространство между ними, заполненное жидкостью,
составляют в целом оптическую систему, представляющую собой соби-
рательную линзу с переменным фокусным расстоянием. Схематически
разрез глаза показан на рис. 7.15. Плотную белую непрозрачную
оболочку в которую заключено глазное яблоко, называют
315
склерой. Переднюю прозрачную часть склеры Р называют роговой
оболочкой или роговицей. Передняя глазная камера /С, хрусталик X
и задняя глазная камера Г вместе с роговицей преломляют лучи и фо-
кусируют их на внутреннюю поверхность сосудистой оболочки, на кото-
рой расположена светочувствительная сетчатая оболочка или сетчатка
(ретина). Показатели преломления жидкости в передней камере и стек-
ловидного тела в задней камере практически одинаковые и равны при-
близительно 1,336. Показатель преломления роговой оболочки равен
1,376. Радужная оболочка ЦЦъ окрашенная по-разному у разных лю-
дей и определяющая цвет глаз, ограничивает круглое отверстие, на-
зываемое зрачком глаза. Зрачок в зависимости от яркости света может
сужаться и расширяться с помощью мышц М и Mlf причем его диаметр
изменяется от 2 до 8 мм. На задней стороне сетчатой оболочки нахо-
Рис. 7,15
дится желтое пятно Ж, кото-
рое имеет в горизонтальном на-
правлении размер 1—3 мм, а
в вертикальном 0,8 мм. В цент-
ральной части желтого пятна
находится небольшое углубле-
ние размером около 0,2—
0,3 мм, которое называют цен-
тральной ямкой. Наиболее чув-
ствительными к световым лу-
чам при дневном зрении явля-
ются желтое пятно и централь-
ная ямка. Линию NN', соеди-
няющую середину центральной
ямки с центром хрусталика,
называют линией прямого зре-
ния. Условная ось симметрии
глаза, проходящая через наи-
более выступающую точку вы-
пуклой поверхности роговицы и центр зрачка, составляет с линий
прямого зрения угол около 5° и пересекает поверхность сетчатки не-
сколько ниже центральной ямки, ближе к точке 27, в которой сходятся
разветвления зрительного нерва.
Прозрачный твердый хрусталик состоит из слоев разной плотно-
сти, имеющих волокнистое строение. Передняя его поверхность имеет
меньшую кривизну, чем задняя. С помощью мышц эта кривизна может
изменяться в определенных пределах, устанавливающих область акко-
модации глаза. Ближней точкой ясного видения называют точку, изо-
бражение которой на сетчатке получается при максимальном напряже-
нии мышц. В ненапряженном состоянии нормальный глаз дает четкое
изображение на сетчатке от предметов, лучи от которых парал-
лельны между собой. Для нормального глаза оптимальное расстояние
для чтения, которое называют расстоянием ясного зрения, составляет
около 25 см.
Глаз называют близоруким, если его граница ясного видения да-
леких предметов ограничена. У такого глаза в ненапряженном состоя»
нии параллельные лучи сходятся перед сетчаткой, а ближняя точка
ясного видения расположена ближе, чем у нормального. Глаз назы-
вают дальнозорким, если его ближняя точка ясного видения распо-
ложена дальше, чем у нормального. У такого глаза в ненапряженном
состоянии параллельные лучи сходятся за поверхностью сетчатки.
Дальнозоркий глаз не может отчетливо видеть близкие предметы, од-
нако видимость далеких предметов у него не лучше, чем у нормального
глаза, поэтому термин «дальнозоркий» неудачный. Дальнозоркость
316
Рис. 7.16
значениям Л. Относительной све-
можно устранить с помощью собирающих линз, а близорукость — с по-
мощью рассеивающих.
Глаз характеризуют разрешающим угловым расстоянием, которое
равно минимальному углу между двумя лучами от светящихся точек,
воспринимаемых раздельно. Обратную разрешающему угловому рас-
стоянию величину называют разрешающей способностью или. остротой
зрения глаза. Средняя острота нормального глаза равна одной обратной
угловой минуте.
Поле зрения, соответствующее желтому пятну, невелико, поэтому
для обозревания достаточно больших предметов глаз быстро повора-
чивается в глазной впадине и за короткое время может осмотреть поле,
заключенное в телесном угле, для которого линейный угол по горизон-
тали равен 150 °, а по вертикали 120°.
Сетчатка глаза содержит светочувствительные рецепторные клет-
ки — палочки, обладающие значительной чувствительностью к свету,
п колбочки, которые фиксируют излу-
чение с различной длиной волны X,
т. е. обеспечивают цветовое зрение.
Изображение воспринимается отчет-
ливо, если оно попадает на желтое
пятно (особенно на центральную
ямку). Восприятие изображения, по-
лучаемое на сетчатке вне желтого
пятна, называют периферическим зре-
нием.
Чувствительность глаз относи-
тельно длин волн X разная. Макси-
мум ее при дневном свете и сумереч-
ном освещении соответствует разным
товой эффективностью V называют число, показывающее, во сколько
раз чувствительность глаза к излучению данной длины волны меньше,
чем к излучению в максимуме. На рис. 7.16 приведена зависимость
У^(Х) при сумеречном освещении (штриховая кривая) и дневном (сплош-
ная кривая) для людей с нормальным зрением. Сетчатку глаза необхо’
димо оберегать от сильного освещения и попадания на нее ультра-
фиолетовых лучей.
7.4.6. Лупа. Простейшую оптическую систему, состоящую из
одной или нескольких линз и имеющую небольшое фокусное расстоя-
ние (/ < 10 см), называют лупой. Ее используют для рассматривания
мелких деталей предметов. При этом предмет располагают на неболь-
шом (немного меньше ее фокусного) расстоянии от глаза, и прямое мни-
мое увеличенное изображение предмета получается на расстоянии яс-
ного зрения (dQ = 25 см) или на бесконечности. В первом случае глаз
находится в заднем главном фокусе лупы, а во втором предмет помеща-
ется в переднем главном фокусе лупы. В обоих случаях увеличение
лупы р практически одинаково:
где — расстояние ясного зрения; f — фокусное расстояние лупы.
Увеличение лупы определяется отношением угла, под которым ви-
ден предмет через нее в одном из двух положений (глаз находится в зад-
нем фокусе лупы или предмет помещен в передний) к углу, под кото-
рым предмет виден невооруженным глазом, если этот предмет помещен
на расстоянии ясного зрения от глаза. В зависимости от конструкции
лупы Р = 2 ~~ 50.
317
ТАЛ. Микроскоп. С помощью специальной оптической системы
(микроскопа) за счет углового увеличения можно рассматривать мелкие
предметы, не видимые невооруженным глазом. Ход лучей в микроско-
пе показан на рис. 7.17. Увеличение в микроскопе происходит в два'
этапа. Объектив и окуляр О2, оптические оси которых совпадают,
представляют собой сложные системы линз, обеспечивающих высокое
качество изображения. Рассматриваемый предмет АВ помещают перед
объективом Ох на расстоянии несколько большем его фокусного рас-
стояния. Пройдя через объектив, лучи создают увеличенное перевер-
нутое действительное изображение AОкуляр О2 Дает увеличенное
прямое мнимое изображение А2В2. Изображение А17?i рассматривают
через окуляр 02 таким образом, чтобы увеличенное мнимое изображение
Л2В2 получалось либо на расстоянии ясного зрения от глаза, либо в бес-
конечности (тогда наблюдение ведется ненапряженным глазом), Пол-
нее увеличение микроскопа
К
(7.18)
где 6 — расстояние между задним фокусом объектива и передним фоку-
сом окуляра; d0 = 25 см — расстояние наилучшего зрения глаза;
Flt F2 — фокусные расстояния объектива и окуляра соответственно,
Знак минус означает, что изображение получается перевернутым.,
Увеличение микроскопа при визуальном наблюдении может достигать
2590 раз. Предметы, размер которых меньше 0,3 мкм, визуально нераз-
личимы в микроскопе из-за явления дифракции света.
Важной характеристикой объектива ^является его числовая апер*
тура
А = п sin Оо.
Здесь п — показатель преломления среды в пространстве предмета;
20й — угол, под которым виден диаметр объектива из точки предмета,
лежащей на оптической оси (угловая апертура). Величина А опреде-
ляет светосилу объектива и его разрешающую способность, которая
пропорциональна А. В микроскопах применяются объективы с боль-
318
шими числовыми апертурами А — 0,9, поэтому в них должны быть
исправлены сферическая и хроматическая аберрации, а также кома
(см. 7.4.9). Для повышения разрешающей способности микроскопа
пространство между предметом и объективом заполняют жидкостью.
Конструкции микроскопов и характеристики их оптических си-
стем зависят от цели применения и типа излучения. Для исследования
в невидимых для глаза (ультрафиолетовой и инфракрасной) областях
спектра используют микроскопы, изображение в которых фиксируется
на специальных пленках. Существуют люминесцентные, поляризацион-
ные, интерференционные и рентгеновские микроскопы.
7.4.8. Зрительные трубы и телескопы. Для наблюдения далеких
предметов и небесных светил применяются зрительные трубы и теле-
скопы. Объектив Ог зрительной трубы дает в задней фокальной плос-
кости обратное уменьшенное изображение удаленного предмета АВ
Рис. 7,18
(см. ход лучей в зрительной трубе Кеплера на рис. 7.18), которое рас-
сматривают в окуляр О2 как в лупу. Задний фокус объектива при этом
совмещается с передним фокусом окуляра, т. е. параллельный пучок
лучей, падающий иа объектив, после прохождения через зрительную
трубу остается параллельным на выходе из окуляра. Такую систему
называют телескопической оптической системой, Угловое увеличение
ее
Для получения значительных угловых увеличений используют длин-
нофокусные объективы и короткофокусные окуляры.
Астрономические зрительные трубы (или телескопы) существуют
двух типов: рефракторы (преломляющие), в которых объективом слу-
жит линза, и рефлекторы (отражающие), в которых объективом служит
вогнутое зеркало, называемое главным зеркалом. В рефракторах приме-
няют объективы больших размеров (диаметром около 1 м). Самым круп-
ным рефрактором с диаметром 1 м является телескоп Иеркской лабора-
тории в США. Поверхность главного зеркала рефлектора обычно имеет
форму параболоида. Самым крупным рефлектором является телескоп
с диаметром главного зеркала 6 м, установленный недавно в СССР.
7.4.9. Погрешности оптических систем. В реальных оптических
системах приближение параксиальных лучей может в большей или
меньшей степени нарушаться. При.этом стигматическое изображение
искажается и возникают погрешности реальных оптических систем,
называемые аберрациями. Применяя специальные корректирующие
наборы линз, можно добиться практически полного устранения абер-
рации оптических систем.
319
Сферическая аберрация линзы возникает в силу того, что на ее
краях лучи отклоняются сильнее, чем в средней части (рис. 7.19).
В результате изображение точки Рг будет представлено отрезком
Р2?2, так что сечение пучка лучей (формирующих изображение) лю-
бой плоскостью, перпендикулярной главной оптической оси и пересе-
кающей ее на отрезке Р^Р'^ будет давать изображение в виде пятна
конечных размеров. Из-за сферической аберрации может происходить
существенное искажение изображения предмета. Практически полно-
стью устранить ее можно, комбинируя собирательные и рассеивающие
линзы, показатели преломления которых разные.
Линзы, у которых сферическая аберрация исправлена для объек-
тов, расположенных на главной оптической оси, может сохранять по-
грешность для косых пучков, исходящих от точек, которые лежат
в стороне от этой оси. Изображение точечного источника в этом случае
будет на экране иметь вид несимметричного вытянутого пятна. Такую
аберрацию называют комой. Ее можно устранить также соответству-
ющим подбором собирательных и рассеивающих линз.
В оптических системах наблюдается хроматическая аберрация,
обусловленная зависимостью показателя преломления от длины
волны (дисперсии). Это приводит к тому, что даже для параксиальных
пучков лучи разных длин волн собираются линзой в разных точках.
Комбинируя собирательные и рассеивающие линзы, изготовленные из
разных сортов стекол с разной дисперсией, можно устранить хромати-
ческую аберрацию. Оптическую систему, исправленную на хроматиче-
скую аберрацию, называют ахроматической.
В косых лучах линза формирует изображение точечного источника
в виде двух взаимно перпендикулярных и смещенных относительно
друг друга прямолинейных отрезков, так как косые пучки астигма-
320
тические. Подбором линз с различными радиусами кривизны и опти-
ческими силами преломляющих поверхностей можно устранить явле-
ние астигматизма.
Оптическую систему, исправленную на сферическую и хромати-
ческую аберрации, а также на астигматизм, называют анастигматом.
Систему, исправленную только на сферическую и хроматическую абер-
рации, но у которых не устранен астигматизм, называют апланатом.
Искажение изображения, обусловленное неодинаковым попереч-
ным увеличением различных частей предмета в пределах поля зрения,
называют дисторсией. Различают подушкообразную дисторсию
(рис. 7.20), когда увеличение растет с отклонением от оси системы,
и бочкообразную дисторсию (рис. 7.21), когда увеличение уменьшается
с ростом отклонения от оси системы. Одновременное устранение всех
аберраций требует создания очень сложных оптических систем.
7.5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
7.5.1. Свет как электромагнитные волны. Оптические явления,
в которых проявляется волновая природа света, изучают в физической
или волновой оптике. Видимый свет является электромагнитным излу-
чением, длины волн которого лежат в интервале от 380 до 760 нм. Крас-
ный цвет соответствует длине волны в интервале 760—630 нм, оранже-
вый — 630—590 нм, желтый — 590—570 нм, зеленый — 570—495 нм,
синий — 495—435 им, фиолетовый — 435—380 нм. Отметим, что рас-
пределение длин, волн по цветам условное и немного отличается для
разных наблюдателей. По физической природе видимый свет ничем
не отличается от других электромагнитных волн. В табл. 74 приве-
дена шкала электромагнитных волн — от самых длинных радиоволн
до коротких гамма-лучей. Частота колебаний электромагнитных волн
изменяется в пределах от 0,3 до 1022 Гц. В зависимости от способа полу-
чения различают: радиоволны (длиной от 105 км до 0,1 мм), которые
излучаются при колебаниях в электрических цепях; инфракрасные
лучи (длиной от 0,5 мм до 780 нм), которые излучаются нагретым телом
вне видимого света: узкий диапазон частот видимого света, за которым
следуют ультрафиолетовые лучи (длиной волны от 400 до 1 нм), полу-
чаемые с помощью тлеющего разряда; рентгеновские лучи (длиной
волны от 40 до. 10 нм), излучаемые специальными рентгеновскими труб-
ками; гамма-лучи (длиной волны больше 5 • 10~2 нм), которые испус-
каются некоторыми радиоактивными элементами. Между перечислен-
ными участками электромагнитных спектров нет четких границ.
В ряде случаев диапазоны соседних лучей перекрываются, и разли-
чить их невозможно, если не известен способ получения.
>•=•• Волновые свойства света, не существенные в геометрической оп-
тике, могут проявляться в целом ряде физических процессов, таких,
как интерференция, дифракция, поляризация, дисперсия и т. п.
7.5.2. Общие сведения об интерференции света. Явление интер-
ференции света состоит в образовании чередующихся в пространстве
светлых и темных полос, которые возникают в результате сложения
световых пучков. При этом в одних местах из-за взаимодействия свето-
вых лучей происходит усиление интенсивности, причем ее значение в
максимуме превышает сумму интенсивностей составляющих пучков, а
в других наблюдается ослабление интенсивности света, причем в мини-
муме она может равняться нулю. Это свойство световых потоков опре-
деляется их волновой природой. Две системы волн будут усиливаться
в тех местах, куда приходят одновременно гребни волн обеих систем,
и ослабляться или даже полностью гаситься, если в данное место одно-
временно приходят гребни от одной волны и провалы от другой.
1 1 5-1472
321
Одним из важных условий наблюдения интерференции является
условие когерентности Излучения. Источники, которые излучают свето-
вые волны, обладающие одинаковым периодом и неизменной или зако-
номерно изменяющейся на протяжении всего времени наблюдения раз-
ностью фаз, называют когерентными. Соответствующие волны назы-
вают когерентными волнами. При сложении когерентных волн резуль-
тирующая интенсивность не равна сумме интенсивностей от каждой
отдельной волны и происходит интерференция колебаний. Если период
колебаний различен или разность фаз беспорядочно изменяется за вре-
мя наблюдения, то интенсивность результирующего колебания оказы-
вается равной сумме интенсивностей исходных колебаний. Такие коле-
бания называют некогерентными. Явление интерференции при сложе-
нии некогерентных колебаний не наблюдается.
Если разность фаз Дер — epj — ф2 складываемых колебаний изме-
няется очень медленно, то в течение определенного времени колебания
остаются частично когерентными до тех пор, пока значение Дер не ста-
нет близким к л. Для волны, исходящей из одного источника, через
некоторое время т случайное изменение фазы может оказаться поряд-
ка л, в результате чего когерентность по отношению к своему первона-
чальному состоянию нарушается. Количественной характеристикой
частичной когерентности является функция корреляции R (т). Напри-
мер, при сложении двух волн, испущенных одним источником в разное
время t\ и /2 так, что — tL — т, общая амплитуда А =
“ “Н (т) cos wcpT, где (Z = 1,2) — амплитуды Z-й
волны; соср — средняя частота колебаний. Время тк, удовлетворяющее
равенству (тк) _ 1/2, называют временем когерентности. По истече-
нии времени / > тк волна, испускаемая источником, изменяет свою фа-
зу, т. е. становится некогерентной по отношению к первоначально испу-
щенной волне. Расстояние /к = стк называют длиной когерентности
или длиной гармонического цуга. При R (т) == 1 когерентность между
волнами полная, при R (т) = 0 — отсутствует.
При наблюдении световых потоков с помощью человеческого гла-
за, фотопластинок и других приборов необходимы некоторые промежут-
ки времени, чтобы зафиксировать данное распределение интенсивности
света. Например, восприятие глазом света характеризуется инерцион-
ностью, т. е. зрительное впечатление сохраняется некоторое время
(около 0,1 с) после того, как действие света прекратилось. Это время
в случае любого приемника называют временем установления или
разрешения приемника света т0. Для фотоматериалов время разрешения
т0 (время экспозиции) составляет 10“2—10~4 с, в ячейках Керра —
порядка 10"8—10“9 с. Наиболее быстродействующие фотоэлектриче-
ские приемники характеризуются временем разрешения 10“10 с. Ульт-
ракороткие импульсы лазеров позволяют исследовать быстропроте-
кающие процессы (~10~12 с).
Если распределение света меняется за время меньшее времени раз-
решения, то наблюдателем фиксируется некоторая усредненная кар-
тина. Поэтому нельзя наблюдать интерференционную картину от ана-
логичных, но независимых источников света. В каждом из таких ис-
точников излучение исходит от отдельных атомов, причем условия излу-
чения для каждого атома быстро меняются обычно за время порядка
10"8 с. Это обусловлено механизмом излучения света атомами (молеку-
лам или ионами), из которых состоит источник. Возбужденный атом,
переходя в нормальное (невозбужденное) состояние, излучает в тече-
ние короткого промежутка времени (около 10“8 с), которое называют
временем высвечивания. Через некоторое время тот же атом может
322
вновь перейти в возбужденное состояние, получив энергию каким-либо
образом извне или от соседних атомов, и опять излучать световые вол-
ны в течение времени высвечивания. Такой прерывистый режим излу-
чения света атомами в виде отдельных кратковременных импульсов
(их называют цугом волн) характерен для любого нелазерного источ-
ника света. Излучение при самопроизвольном переходе атома из воз-
бужденного состояния в невозбужденное называют спонтанным излу-
чением. При спонтанном излучении атомы совершают переходы неза-
висимо один от другого, их начальные фазы случайны и беспорядочно
изменяются от атома к атому. Совокупность спонтанно излучающих
атомов является некогерентным источником света. '
Интерференционная картина, получаемая от независимых источ-
ников, остается неизменной очень короткое время. За время наблюде-
ния около 10“3 с происходит смена более ста тысяч различных ин-
терференционных картин, и в результате фиксируется усредненная
картина, представляющая собой практически равномерное распределе-
ние интенсивности.
7.5.3. Методы получения интерферирующих волн. Для наблюде-
ния явления интерференции можно использовать излучение одного и
того же источника, разделив излучаемые нм лучи на части так, чтобы
различные пучки света достигали точки наблюдения, проходя разные
пути. Тогда между этими пучками возникает постоянная разность
хода, а значит, соблюдается условие когерентности.
Существует два метода искусственного разделения светового по-
тока от одного источника. Если перед источником помещают непро-
зрачный экран с малым отверстием, формирующим световой пучок,
а затем устанавливают еще один непрозрачный экран с двумя близко
расположенными малыми отверстиями, то за этими отверстиями полу-
чают два пучка когерентных световых волн. Это так называемый метод
деления фронта волны, который пригоден только для малых источни-
ков света. Разность хода этих волн в некоторой точке будет определя-
ться величиной пройденного пути. Следовательно, за вторым экраном
в некоторых случаях можно наблюдать интерференционную картину.
Рассмотренная схема была использована в классических опытах Юнга.
Аналогичный эффект получается, если применять две очень тонкие при-
змы с малым преломляющим углом, сложив их одну с другой основа-
ниями (бипризма Френеля). При этом волна, идущая от источника,
расположенного на продолжении основания этих призм, преломляясь
в каждой из призм, доходит до точки наблюдения разными путями, со-
храняя разность фаз постоянной. Аналогично два когерентных световых
пучка можно получить, применяя два зеркала, развернутые одно от-
носительно другого на малый угол (зеркало Френеля).
Все ограничения, накладываемые па расстояние между отверстиями
в экране, угол преломления в призмах и угол разворота зеркал, свя-
заны с ограничением разности хода между интерферирующими лучами.
Атом испускает гармонические волны в течение 10"8 с. Длину волнового
цуга называют временной (или хроматической) длиной когерентности
излучения атома и определяют формулой
А/ = сМ,
где А/ — длительность одного волнового цуга излучения атома, кото-
рую называют его временем когерентности; с — скорость света. Для
вакуума А/ = 3 м.
Если испускаемая волна состоит из суперпозиции монохроматиче-
ских составляющих, которые распределены в частотном диапазоне
Av , Av
v0--2-<v<v0-|--2-
11*
323
или в диапазоне длин волн
л AAi л « ДА/
До-------------------------2~ < Л С Ло + ,
то
Av ДХ
Здесь Ао — средняя длина волны в цуге. Например, для диапазона
видимого солнечного света время когерентности Д/ = 10~14 с, а вре-
менная длина когерентности Д/— 10_(i м.
Условие, необходимое для наблюдения явления интерференции
при использовании метода деления фронта волны, '^заключается в том,
чтобы разность путей, которыми пришли в рассматриваемую точку
два луча, была не больше длины когерентности цуга испускаемых волн.
В этом методе получения когерентных волн следует использовать по
возможности менее протяженный источник света и более точно монохро-
матизированные волны.
Световые волны характеризуются еще одной величиной, опреде-
ляющей согласование колебаний в различных точках пространства
в направлении вдоль фронта волны. Когерентность колебаний, которые
совершаются в один и тот же момент времени в разных точках волнового
фронта, называют пространственной когерентностью. В зависимости
от условий излучения и формирования световой волны пространствен-
ная когерентность может быть разной. Волна от точечного источника
обладает полной пространственной когерентностью, так как во всех
точках на сферическом волновом фронте в этом случае совершаются
один ако в ые колебания.
В волне, излучаемой источником спонтанного излучения, разность
фаз, с которыми совершаются колебания в любых двух точках на плос-
кости, перпендикулярной направлению распространения излучения,
является случайной функцией. В этом случае длиной пространственной
когерентности/пр называют расстояние между двумя точками, в кото-
рых случайные изменения достигают значения л. Так, если в схеме
Юнга расстояние между отверстиями во втором экране больше или
равно /пр, то интерференционная картина не наблюдается. Пространст-
венную когерентность количественно характеризуют функцией корреля-
ции (1). Размер (или радиус) пространственной корреляции /пр
определяют из условия (1пр) = 1/2. В общем случае он является век-
торной величиной. Длина пространственной когерентности /пр сфери е-
ской волны увеличивается по мере удаления от источника. Площадь
круга радиусом/пр называют размером пространственной когерентности.
Объемом когерентности называют объем усеченного конуса, в основа-
нии которого расположены соответствующие размеры пространственной
когерентности, а высотой служит временная длина когерентности волны.
Вторым методом получения интерферирующих пучков является
метод деления амплитуды с использованием частично пропускающих
и частично отражающих пластинок. Этот метод может применяться
в случаях, когда источники имеют протяженные размеры, что обеспе-
чивает значительно большую интенсивность интерференционной кар-
тины, чем в методе деления волнового фронта.
7.5.4. Интерференция двух монохроматических волн. Интенсив-
ность света /, наблюдаемая на практике, определяется как усредненная
по времени интенсивность. Это обусловлено большими частотами
волн оптического диапазона, для которых средний период колебаний
324
Тс электромагнитного поля составляет около 10~15 с. Средняя по вре-
мени плотность электрической энергии
т
GM9)
—т
где время Т Тс\ е — относительная диэлектрическая проницаемость
среды; е0 — электрическая постоянная; Е — вектор напряженности элект-
рического поля. Интенсивность света в случае плоской волны можно
найти по формулам
/= t»(«7£> = a£(E2) = aw(H2). (7.20)
Здесь v = — магнитная проницаемость среды; с — скорость
света в вакууме; И — вектор напряженности магнитного поля; постоян-
ные аЕ и ан определяются так:
a ' ‘ 1/лД а
L 4л г 4л Г ее0
(р0 — магнитная постоянная).
Соотношение (7.20) приближенно справедливо не только для пло-
ских волн, но и для волн более общего типа. В случае монохроматиче-
ской волны вектор напряженности электрического поля Е можно пред-
ставить в виде
Е (г, /) = 1 [А (г) e~ia>t + А* (г) (7.21)
где Afr) — комплексный, а А* (г) — комплексно-сопряженный к А (г)
векторы. В декартовых координатах компоненты вектора А (г) в общем
случае можно записать так:
= «I (О ехР №1 (г)]> = а2 (г) ехр [tg2 (г)],
/12 = а3 (г) ехр [/£з(г)].
Здесь а;-(г), £;-(г) (/=1, 2, 3) — некоторые вещественные функции, за-
висящие от радиуса-вектора точки г. Для плоской однородной волны
(г) — const, а фазовые функции g^v) имеют вид
g;.(r) = (k, Г) —6/,
где к — волновой вектор; 6у.— постоянные фазы, которые определяют
поляризацию плоской волны.
Квадрат вектора напряженности электрического поля
(Е)2 = i [А2 ехр (—2/со/)(A*)2 exp (2tco/)-f-2 (А, А*)]. (7.22)
Согласно формулам (7.19) и (7.22) среднее по большому периоду
Т > То = 2л/со времени значение
(Е2) = 1 (А, А*) = 1 (| Ах |2 + | Ау (2 + | Az |2) =
1 / 2 , 2 । 2.
— ~2 (ai + а^’
325
В случае, когда складываются две монохроматические волны Bi и Е3
вида (7.21), интенсивность
/ = /1 /о -|- ^12,
где /х — /2 — (Ер — интенсивности первой и второй волн
соответственно, а
^12 = 2((Е1( Е2))
называют интерференционным слагаемым. Его можно представить так:
^12 = 4 (АЛА* + А*А2) = a(il)fl(‘) cos +
-I- 4’>a22) cos IgP — Й2’1 + n3 >аз2> cos U’3” — 8з2>1- (7-23)
Здесь верхний индекс у функций ajZ), gW (/==1, 2) определяет но-
мер волны, к которой относится соответствующая функция. Форму-
ла (7.23) показывает, как интерференционное слагаемое зависит от
амплитуд и разности фаз обеих волн. Если между соответствующими
волнами Ех и Е2 возникла одинаковая разность фаз 6, то
^12 = [а(1|)и1(2) + «2’ef’ + аз,£гз2>1 cos 6- (7.24)
В частном случае, когда две волны распространяются в направле-
нии Z и вектор Ех лежит в плоскости XZ, а вектор Е2 — в плоскости
YZ, т. е.
~ а(2^ — О
* 1
и в силу поперечности световых воли
а<» = а<2> = О,
из формулы (7.24) следует, что
^12 ~ О*
Две световые волны, поляризованные под прямым углом одна
к другой, не интерферируют.
Если линейно поляризованные в одной плоскости (например,
XZ) две волны распространяются в направлении Z, т, е.
a(l) = a<l)==a(2) = o(2) = 0,
то полная интенсивность
7 = 71+Л + 2//^со86, (7.25)
где
A = 4Eai°Is; (7.26)
^12 = cos 6 = 2 /х/2 cos 6. (7.27)
Максимумы полной интенсивности появляются при условии
cos 6=1, |6| = 2/гл (£ = 0, 1, 2, ...); (7.28)
при этом
'макс = 4 + 7ь + 2УШ (7-29)
326
а минимумы — при
cos 6 == — 1, 1 6 | = (2Z + 1)л (/ = О, 1, 2, „..); (7.30)
при этом
/мии = Л + 4-2К7л. (7.31)
Если /х = /2, то полная интенсивность
I = 2/, (1 cos б) = 4/х cos2 j . (7.32)
В этом случае
7м.,н = 0, (7.33)
7мак= = 4Л, (7.34)
. вдвое больше суммы интенсивностей первичных волн 2/Р Для
волн интенсивность во всех точках одинакова и равна
т. е
некогерентных
27Р Формулы (7.25)—(7.34) спра-
ведливы также и для когерентного
естественного иеполяризованного
света.
7.5.5. Интерференционные по-
лосы в случае плоских волн. Две
монохроматические волны, векто-
ры напряженности электрических
полей у которых параллельны
= aicos[<o/ + (klt г) + 6i],
= a2cos [со/ + (k2, г) + 62],
в результате интерференции будут
иметь разность фаз
Аср - (Кг) + (62 - 6Д,
Рис. 7.22
где вектор К = kr — k2 параллелен биссектрисе угла, внешнего по
отношению к углу а между волновыми векторами kr и к2 (рис. 7.22).
В плоскостях, перпендикулярных направлению вектора К, сум-
марная интенсивность постоянна (Аср = const). Условия максимума
и минимума интенсивности имеют соответственно вид
ДФмакс - 2я//г- Дфмии = 2л <2т + Н ('» = 0, 1, 2, . . .).
На плоском экране, который параллелен плоскости (кх, к2), воз-
никают при этом светлые и темные интерференционные полосы. Расстоя-
ние между максимальным значением интенсивности в темных полосах,
которое называют шириной интерференционной полосы, определяется
так:
ДХ = , ,>, = ёг-г ,0; > (7.35)
/г sin (а/2) 2 sin (а/2) 4 7
где k ~ — волновое число; % — длина интерферирующих пло-
ских волн. Для малых углов
АХ Va.
Измеряя АХ и зная сс, можно определить длину волны %.
Поскольку ширина интерференционных полос зависит от X, то в
случае иемоиохроматической волны интерференционная картина будет
327
смазана. На рис.;7.22 показано возможное изменение направления вск-
тора К в случае, если одна из плоских волн, например вторая, харак-
теризуется набором значений модулей параллельных между собой вол-»
новых векторов. При этом к2 принимает значения от к2мнн до ^2 макс*
а вектор К — значения внутри угла 0, т. е. имеет набор направлении
и модулей К. Только в центральной части при х = 0 максимумы для
всех длин волн совпадают. По мере удаления от центра будет наблю-
даться смещенное расположение максимумов для разных длин волн,
так что на некотором расстоянии от центра явление интерференции
не наблюдается.
7.5.6. Влияние размеров источника света на интерференционную
картину. Интерференция двух сферических волн рассмотрена в 5.2.7.
Два точечных источника А и В, излучающие световые волны неза-
висимо, т. е. между которыми когерентность нарушена, создают в неко-
торой точке Р интерференционную картину в том случае, если лучи
каждого источника каким-либо способом разделяются на части (пуч-
ки) так, чтобы каждый отдельный пучок проходил к месту интерфе-
ренции своим оптическим путем. Такая ситуация показана схематиче-
ски на рис. 7.23, где в области С находится специальная система, кото-
рая обеспечивает разделение волновых лучей на две части, каждая
из которых отличается длиной оптического пути (это может быть
система отверстий в экране, система зеркал, призм, линз и т. п.).
Если расстояние АВ — I < АР, то при небольших отклонениях!
углов а и рот л/2 различие А в разностях 63, 62 оптических путей лу-
чей, исходящих из точек А и Д,% находят по формуле
А = — б2 = I (cos a-i — cos а2),
где — разность хода между лучами А^Р и А2Р, определяющая ин-
терференционную картину, создаваемую лучами, исходящими из точки
А; д2 — разность хода между лучами В±Р и В2Р, определяющая ин-
терференционную картину, создаваемую лучами, исходящими из точ-
ки В. Значение А определяет сдвиг интерференционной картины от ис-
точника А относительно интерференционной картины от источника В.
В случае, когда А мало по сравнению с длиной волны Л, максимумы
интерференционной картины от источника А складываются с максиму-
мами от источника В, расположенными приблизительно в том же месте,
а минимумы также располагаются соответственно близко один от дру-
гого. При этом интерференционная картина усиливается. В случае,
когда значение А приближается к Л/2, контраст интерференционных по-
лос сильно ухудшается. При А = Л/2 максимумы одной интерферен-
328
ционной картины накладываются на минимумы другой, в результате
чего интерференционные полосы исчезают.
Условие хорошего контраста интерференционных полос
А = тХ (т = 0, 1, 2, ...),
условие пропадания интерференционной картины
Д = [т + 1) Л (т =0, 1,2, ..
условие неплохой контрастности
+ (m = 0, 1, 2, .. .).
Два точечных источника, вза-
имное расположение которых в со-
ответствии с условием (7.36) та-
кое, что наблюдается интерферен-
ционная' картина, называют про-
странственно когерентными , в
противном случае, когда интерфе-
ренционная картина не наблю-.
дается — пространственно не ко-
герентными.
7.5.7. Интерференция в пленках
и пластинках. Световая волна, ко-
торая падает на тонкую прозрач-
ную пластинку (пленку), может
отражаться от обеих ее поверхно-
стей, в результате чего возникают
(7.36)
когерентные волны. Ход лучей в плоскопараллельной пластинке по-
казан на рис. 7,24, Оптическая разность хода лучей 1 и 2 составляет
или
Д = 2/it/cosrp2 — А/2,
(7.37)
________________ Л
Д ~ 2d Уп2 — sin2 ср!----------% ,
(7.38)
где d — толщина пластинки; п — ее коэффициент преломления; cpt,
ср2 — углы падения на внешнюю и внутреннюю поверхности пластин-
ки; % — длина волпы. Слагаемое А/2 в формулах (7.37) и (7.38) появля-
ется в связи с тем, что при отражении от границы раздела сред оптиче-
ски менее плотной и оптически более плотной в точке О (см. рис. 7.24)
происходит изменение фазы на л, а в точке — не происходит.
Условие максимума интенсивности
2d Yп2 — sin2 ср! = (т + тН А.
Целочисленные значения т называют порядком интерференционного
максимума, который для пластинки с заданными d, п лежит в интер-
вале
329
При d ~ 0,1 мкм для п — 1,5, % = 0,5 мкм единственно возможным
есть значение т — 0. При большей толщине пластинки могут наблю-
даться несколько максимумов более высокого порядка.
Оптическая разность хода лучей 3 и 4, проходящих через пластин-
ку (см. рис. 7.24), такая:
Д' = 2tfrtcos<p2. (7.39)
Значения Д из формулы (7.37) и Д' из формулы (7.39) различаются на
Z/2, т. е. максимумам проходящего света соответствуют минимумы отра-
женного. При освещении пластинки белым спектром наблюдается ее
окраска в дополнительных цветах для отраженного и проходящего света.
7.5.8. Полосы равного наклона и равной толщины. Из условия
(7.38) следует, что разность хода лучей в плоскопараллельной плас-
тинке зависит от угла падения
ср! этих лучей на внешнюю ее
поверхность. В случае, когда
пластинку освещают монохро-
матическим пучком, который
состоит из набора л у чей,отлича-
ющихся направлением падения,
то каждому значению фх будет
соответствовать своя разность
хода. Примером является схо-
дящийся пучок лучей, или слу-
чай освещения пластинки рас-
сеянным монохроматическим
светом, в котором имеются
лучи различных направлений.
Лучи одинакового наклона, от-
разившись от верхней и ниж-
ней граней пластинки, идут
параллельно один другому,
следовательно, интерференци-
онные полосы локализованы на
бесконечности. Поэтому для их наблюдения необходимо собрать лучи
с помощью линз. Таким образом, на экране Э, который расположен
в фокальной плоскости линзы Л (рис. 7.25), возникнут круговые кон-
центрические интерференционные полосы с общим центром в точке /7
на главной оптической оси линзы. Каждая полоса образована лучами,
падающими на пластинку под одинаковым углом фп поэтому их назы-
вают интерференционными полосами равного наклона. Лучи, падающие
на пластинку под другим углом дадут изображение в другой точке фо-
кальной плоскости линзы.
Интерференционные полосы равного наклона можно наблюдать
невооруженным глазом. При этом роль линзы играет хрусталик, а
роль экрана — сетчатка глаза. В белом свете получается совокупность
смещенных относительно друг друга полос равного наклона, в связи
с чем интерференционная картина приобретает радужную окраску.
Освещенная параллельным пучком лучей пластинка с переменной тол-
щиной будет давать интерференционную картину, где каждая полоса
образуется за счет отражения лучей от мест с одинаковой толщиной.
Поэтому такие интерференционные полосы называют полосами равной,
толщины.
Ход лучей в клиновидной пластинке с углом 0 при вершине^пока-
зан на рис. 7.26, а. При небольших углах 0 разность хода лучей с хо-
рошей точностью может быть определена из формулы (7.38) для каж-
дого значения толщины пластинки bi в точке падения па нее данного
330
луча. При этом лучи Q и Q' (отраженный и преломленный) пересекутся
в некоторой точке Qo над поверхностью (рис. 7.26, а) или под поверх-
ностью (рис. 7.26, б) пластинки, когда пластинка имеет другой наклон
относительно направления падающих лучей. Линзу необходимо рас-
полагать в плоскости, параллельной верхней поверхности пластинки,
а экран — в,плоскости, сопряженной с плоскостью Qo Q'o относительно
этой линзы. Тогда па экране возникнет система светлых и темных по-
лос равной толщины. Если световые волны интерферируют после отра-
жения от такой прозрачной клиновидной пластинки, то полосы равной
толщины имеют вид прямоугольных полос, направление большей гра-
ни которых параллельно ребру клина.
Рис. 7.26
При падении ортогональной к поверхности клина монохроматиче-
ской волны длиной Л ширина интерференционных полос равной тол-
щины
Ah = Ао/2п0,
где п — показатель преломления вещества клина. Если клиновидную
пластинку освещают белым светом, то получают радужно окрашенные
полосы равной толщины. Так, растекшиеся по поверхности воды тон-
кие пленки масла, нефти или мыльные пленки имеют характерную
радужную окраску полос равной толщины. В реальных условиях часто
на такие пленки падает рассеянный свет, поэтому наблюдаемые радуж-
ные интерференционные полосы имеют смешанный характер. Они воз-
никают как полосы равной толщины и полосы равного наклона. Ана-
логичные интерферепдионные картины могут наблюдаться в тонких
пленках при рассмотрении в проходящем свете.
7.5.9. Кольца Ньютона. Интерференционную картину, которая
наблюдается при освещении монохроматическими световыми волнами
толстой стеклянной пластинки, на которой лежит выпуклой поверх-
ностью вниз плоско-выпуклая линза большого радиуса кривизны
(R ~ 1м), называют кольцами Ньютона. Интерференционные по-
лосы, имеющие форму концентрических, возникают при этом как по-
331
лосы равной толщины в малом зазоре между плоскостью пластинки
ilfli и сферической поверхностью линзы Л, если падающие лучи ор-
тогональны плоскости ПП^, которая параллельна плоскости ЛЛ$
(рис. 7.27). При наклонном падении луча кольца преобразуются в эл-
липсы. Радиусы светлых и темных колец Ньютона при нормальном
падении света определяются формулой
гт=У"^(т — 1).
Светлое кольцо в отраженном свете получаем при т — 2k, а темное —
при т = 2k — 1 (k = 1, 2, 3, ...). Значение т = 1 соответствует
г = 0, т. е. точке касания линзы и
пластинки. Центр колец в отражен-
ном свете темный, а в проходящем —
светлый. Это обусловлено тем, что
отраженная волна изменяется на я
на одной из границ воздушной пло-
слойки (при отражении от среды
с большим показателем преломле-
ния).
Если линзу ЛЛ± перемещать
вверх параллельно самой себе, то
интерференционные кольца начнут
стягиваться к центру, который в ре-
зультате становится попеременно то
светлым, то темным. Одновременно
с краю зарождаются и перемещаются
новые кольца более высоких поряд-
ков. Это явление связано с увеличе-
нием толщины воздушной прослойки.
Для наблюдения интерференционных
колец Ньютона очень высоких по-
рядков необходимо, чтобы световые
волны обладали большой степенью монохроматичности.
При освещении системы (рис. 7.27) белым светом наблюдаются
цветные кольца, причем в определенной последовательности цветов,
которую называют цвета Ньютона. Дальше от центра кольца разных
порядков перекрываются, и освещение кажется равномерно белым.
В проходящем свете наблюдаются цветные оттенки дополнительно
к тем, которые отражают кольца Ньютона.
При нормальном падении луча кольца Ньютона для трех первых
порядков имеют такую цветовую последовательность. Для отраженных
волн: первый порядок — черный, серо-синий, зелено-белый, соломен-
но-желтый, ярко-желтый, коричневато-желтый, красновато-оранже-
вый, темно-красный; второй — пурпурный, небесно-голубой, светло-
зеленый, желтый, темно-фиолетово-красный; третий — светло-сине-
фиолетовый, зеленовато-голубой, блестяще-зеленый, карминово-крас-
ный, фиолетово-серый. Для проходящих волн: первый порядок —
белый, коричнево-белый, коричневый, темно-фиолетовый, голубой,
серовато-голубой, голубовато-зеленый, желтовато-зеленый; второй —
светло-зеленый, оранжевый, пурпурный, цвет индиго, зеленый; третий—
желтовато-зеленый, мясо-красный, фиолетовый, зеленый, желтовато-
зеленый.
7.5.10. Многолучевая интерференция. Интерференционная кар-
тина может возникать при сложении не только двух лучей, но и боль-
шего их числа. Например, при падении света на прозрачную пластинку
232
на ее поверхности происходит многократное отражение лучен, вслед-
ствие чего с каждой стороны выходит ряд пучков с убывающей интен-
сивностью. Если поверхности пластинки обладают малой отражатель-
ной способностью, то лишь первые два пучка имеют заметную интен-
сивность, а остальные, образовавшиеся при более чем двух отражениях,
имеют очень слабую интенсивность, незначительно влияют на формиро-
вание интерференционной картины, поэтому их можно не учитывать.
Анализ интерференционных картин для полос равного наклона и равной
толщины, проведенный выше для пластинок и пленок, справедлив
при малой отражательной способности раздела. Когда отражательная
способность поверхности большая, распределение интенсивности полос
существенно изменяется, и для описания интерференционной картины
необходимо учитывать многократные отражения.
Ход лучей при многократном отражении от поверхностей плоско-
параллельной пластинки показан на рис. 7.28. Луч, падающий в на-
правлении 5ЛЬ составляет угол <pt с плоскостью поверхности Л1Л41
пластинки и в точке At разделяется на две плоские волны. Одна из
них является отраженной и распространяется в направлении Л1Сг,
а другая — проходящей волной которая в точке Ву расщепля-
ется в свою очередь на отраженную волну в направлении ВГА2 и про-
шедшую волну, распространяющуюся в направлении В фу. Аналогич-
но процесс разделения волны на отраженную и прошедшую происходит
в точках Л2, В2, Л3, В3, ... При этом волна, распространяясь вдоль
ломаной Л1В1Л2В2Л3В3Л454Л5В5, остается внутри пластинки, ослаб-
ляясь за счет волн, прошедших в направлениях Вфъ А2С2, B2D2i
А3С‘Л, ... Суперпозиция первых р отраженных волн приводит к ре-
зультирующей волне, амплитуда которой
А (р) = Ло {R + TT'R' ехр (Z6) [1 + (R'y ехр (Z6) + . *.
----Н/?')2(р 2) ехр |z (р — 2) 5]},
(7.40)
где R — отношение амплитуд отраженной и падающей волн, идущих
из окружающей среды в пластинку (коэффициент отражения); Т —
отношение амплитуд прошедшей и падающей волн, также идущих
в пластинку (коэффициент пропускания); R' ,Т'—соответствующие ко-
эффициенты отражения и пропускания для волны, идущей из пластин-
ки в окружающую среду; Ло — амплитуда вектора напряженности
333
электрического поля падающей волны; 6 — разность фаз для каждого
участка совокупности отраженных и прошедших волн:
о 4л ,
о = -т- nLd cos cpv
Л
Здесь X — длина волны в окружающей среде; d — толщина пластинки^
— показатель преломления вещества пластинки.
В формуле (7.40) сумма равна
A (p) = AAR +
1 — (Z?z)2(p охр [Z (р — 1) 6]
1 — (А')2 ехр №)
TT'R' ехр (Z6)
Когда число отраженных волн велико, в. пределе р->оо
Л (оо) = —Ло
R'{^-W'r+ 7T'|-exp(Z6)}
1 — (А')2 ехр (Z6)
или
А (оо) = Ао
[1 — ехр (Z6)] V $1
1 — $1 ехр (Z6)
(7.41)
где & — R — (Ах)2 — отражательная способность поверхности .плас*
тинки. При получении формулы (7.41) учтено, что способность пропуск
кания поверхностей пластинки определяется как
= 7Т', = 1.
Интенсивность отраженного света
1 (oq) = А (оо) А:,: (оо) = /0
2(1 — cos 6)
1 + Ж2 — cos 6
4Д?, sin2 (6/2)
0 (l-^)2+4^sin2(6/2)‘
(7.42)
Здесь /0 = A0A* — интенсивность падающего света. Аналогично для
амплитуды прошедшего света
В пределе р -> оо
или
л _ л 1 — (A')2/7exp(Zp6)
A j (р) — А у ——j ууу тдд 1 * •
iV/ U 1— /?'ехр(/6)
ТТ'
А, (о°) — -----——-----—г ,
147 1 — (А )2 ехр (io)’
Л1(о°)==/1о1-,Ххр(/е) >
и соответственно интенсивность прошедшего света
ср 2 &2
/] (оо) = /о J + ^2 _ 2^ cos s = /о (1 _^2 + 4^sin3(6/2) • (7-43)
Формулы (7.42) и (7.43) называют формулами Эйри.
Плоские волны равной интенсивности, падающие на пластинку
под разными, но мало различающимися углами, собираются линзой
в фокальной плоскости в виде интерференционных полос. При этом
для прошедшего света максимумы появляются тогда, когда порядок
334
интерференции равен целым числам т = 1, 2, 3, а минимумы —
когда т~ 1/2, 3/2, 5/2, где
w “ 2Тс ~ cos Ф1) А-
Для отраженного света максимумы появляются при tn — l/2s
3/2, 5/2, ...., а минимумы — при т — 1, 2, 3, ...
Распределение интенсивностей в интерференционных картинах
в отраженном и прошедшем свете имеет вид
7(со)_ F sin2 (6/2)
/о ~ 1 + F sin2 (6/2) ’
Л(°°)_ 1
/0 1 + F sin2 (б/2) »
где
4 <7?
(7.44)
Эти интенсивности дополняют одна другую, так что
У (ос) + (оо) = /0.
При Ж близких к единице, интерференционная картина в прошедшем
свете имеет вид узких светлых полос на темном фоне, а в отраженном
свете — узких темных полос на светлом фоне.
Полуширина интенсивности е (или просто полуширина), которая
определяется как расстояние между точками по обе стороны от макси-
мума, в которых интенсивность равна половине максимальной, опреде-
ляется из соотношения
J
sin2
где F находят по формуле (7.44). При
31 — 1 значение F велико и е — 4/У F,
Резкостью F3 называют отношение
расстояния между соседними полосами
к полуширине распределения интенсив-
ности:
X = 2л/8 - (л |/ГF){2.
Распределение интенсивности в многолучевых интерференционных
полосах равного наклона в прошедшем свете показано на рис. 7.29.
Кривые 1—4 соответствуют значениям 31 = 0,046 (К — 0,2); 0,27
(F = 2); 0,64 (F == 20); 0,87 (F — 200). Кривые /, 2 типичные для двух
интерферирующих пучков, кривые 3,4 — %ля многолучевой интерфе-
ренции.
7.5.11. Эталон Фабри—Перо. Прибор, принцип действия которого
основан на явлении интерференции волн, называют интерферометром.
Как измерительные приборы большое распространение получили оп-
тические интерферометры, например интерферометр или эталон Фаб-
ри—Перо, который состоит из двух стеклянных или кварцевых плас-
тин Пу и П2 (рис, 7.30). Поверхности пластин, обращенные одна к дру-
гой, выполнены в виде плоскостей с точностью до 0,01 длины волны.
Они покрыты слоем специального вещества (серебро, алюминий или
многослойное диэлектрическое покрытие), имеющего высокий коэффи-
335
пиент отражения световых лучей. Внешние поверхности этих пластин
обычно образуют небольшой угол с внутренними поверхностями, чтб
позволяет исключить влияние лучей, отраженных от внешних поверх-
ностей. Интерференция происходит на плоскопараллельной воздушной
пластинке, образованной внутренними поверхностями пластин
и П2. Параллельность этих поверхностей достигается с помощью опор-
ного кольца из инвара или плавленого кварца, которые обладают ма-
лым коэффициентом термического расширения. В результате интер-
ференции возникают кольца равного наклона. Для двух разных длин
волн и Х2 выполняются равенства
где лчн — цельте числа.
Рис. 7.30
Набор опорных эталонных колец различной толщины дает воз-
можность изменять значения / обычно от 1 до 100 мм, в результате чего
получают интерференции очень высокого порядка. Так, при Z = 5 мм
для ~ 5 • 10~7 м получаем т 20 000.
Распределение освещенности Е в плоскости экрана Э (см. рис. 7.30)
определяется по формуле
Lnd*
E=4pF-
Здесь
47?
sin Ы.1
L — яркость источника; d — диаметр пластин интерферометра; f —
фокусное расстояние линзы Л2; a, R — коэффициенты поглощения
и отражения внутренних поверхностей; б — разность фаз между дву-
мя вторичными волнами:
б — 4л n± cos О,
где I — расстояние между внутренними поверхностями пластин FIt
и 772; tii — показатель преломления вещества, находящегося между эти-
ми пластинами; 0 — угол падения луча на их внутреннюю поверх-
ность.
336
Смещение максимумов пропускания в интерферометре Фабри —
Перо, обусловленное изменением длины волны, определяется диспер-
сией
Л0__ _/1 \
dx \Х,0/ ’
При 0 10~2 рад дисперсия интерферометра Фабри—Перо велика.
В этом его преимущество по сравнению с другими (например, при-
вменными) спектральными аппаратами. Этот интерферометр имеет
большую светосилу. Разность хода интерферирующих лучей содержит
огромное число длин волн (~108 А), поэтому для наблюдения интер-
ференционной картины требуется высокая степень монохроматичности
света. Принцип действия интерферометра Фабри—Перо использован
в объемных резонаторах оптических квантовых генераторов.
7.5.12. Пластинка Люммера—Герке. Плоскопараллельную плас-
тинку из однородного стекла или кристаллического кварца, поверхно-
Рис. 7.31
сти которой параллельны с очень высокой степенью точности, выпол-
ненную так, что один из ее концов срезан под углом или снабжен
дополнительной призмой, чтобы обеспечить нормальное падение света
на поверхность среза и уменьшить потери на отражение, называют
пластинкой Люммера—Герке (рис. 7.31). Направление плоскости среза
NN' выбирается таким, чтобы угол падения луча на границу поверх-
ности пластинки с воздухом был несколько меньше, чем угол полного
внутреннего отражения. При этом лишь небольшая доля интенсивности
выходит из пластинки по направлению, которое близко к ее поверх-
ности. Отражение внутри пластинки происходит многократно, причем
в результате любого отражения интенсивность света изменяется незна-
чительно. Так, с помощью пластинки Люммера—Герке получают 10—
15 близких по интенсивности волновых пучков, которые отличаются
разностью хода. Освещая такую пластинку световыми лучами от про-
тяженного источника, получают преломленные под разными углами
лучи. В результате их интерференции наблюдают в фокальной плоско-
сти линзы Л ряд узких ярких максимумов на темпом фоне (липни рав-
ного наклона). Если толщина пластинки Люммера—Герке от 3 до 10 мм,
длина 30 см и угол отражения от внутренней поверхности близок
к л/4, то получают интерференционные полосы высокого порядка
(т ~ Ю4). Число интерферирующих пучков по одну сторону плас-
тинки
/V г /^’1,
337
где L, d — длина и толщина пластинки; п— ее показатель’ преломле*
пия. Спектральная разрешающая способность прибора
n I М Т (п2 dn\
R“ j ёХ I “ L ( л " «Д ’
Здесь 6А — наименьшая разность волн двух спектральных линий, при
которой главный интерференционный максимум для одной длины вол-
ны А совпадает по своему положению с первым минимумом того же
порядка для длины волны А + б А.
Максимальную ширину спектрального интервала АА, при которой
спектры соседних порядков не перекрываются, называют дисперсионной
областью спектрометра. Для пластинки Люммера—Герке
АА = А2
х(.-
pd У п2 — 1 X
Ап 1
п^Лб/А/] ’
Дисперсия показателя преломле-
ния п = п (А) приводит к увели-
чению разрешающей способности
пластинки Люммера — Герке и
уменьшению дисперсионной об-
ласти.
7.5.13. Интерферометр Жаме^
на. Две толстые (d 20 см) плос-
копараллельные пластинки из од-
Рис. 7.32 породного стекла или кварца строго
одинаковой толщины, установлен-
ные под углом около эт/4 к линии, соединяющей их центры, образуют
интерферометр Жамена (рис. 7. 32). Луч света после отражения от
передней и задней посеребренной поверхности пластинки /7Х, разде-
ляется на два, разность хода которых
6 _ d s-in о
У п2 — sin2
где d — толщина пластинок; <pj — угол падения луча на внешнюю
поверхность первой пластинки; п — показатель преломления пласти-
нок; 0 — угол поворота одной пластинки относительно другой. В фо-
кальной плоскости линзы, с помощью которой рассматривают прошед-
шие лучи, наблюдаются прямые полосы равного наклона с угловой
шириной
к У(п2 —- sin2 Cpj)3 ... 09-9 I
У = --------9М-----— <51П <Р1 — 2«2 «Ш2 Ф1 + «-) Х.
Интерферометр Жамена применяется для измерения показателей пре-
ломления газов (лг), которые помещаются в специальные кюветы /Q
и Кч- При этом из данных по смещению интерференционных полос можно
определить пГ с точностью до седьмого знака. Обычно интерферометр
Жамена используют для измерения разности показателей преломления
исследуемого и хорошо изученного газа. Измерение абсолютных значе-
ний показателей преломления этим прибором затруднительно»
338
7.6. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
7.6.1. Зоны Френеля. В соответствии с общим определением диф-
ракции волн, которое дано в 5.2.9, под дифракцией света понимают
любое отклонение распространения световых волн от прямолинейного,
не обусловленное законами геометрической оптики отражения и пре-
ломления. Явление дифракции наблюдается при распространении све-
товых волн вблизи резких краев непрозрачных или прозрачных ве-
ществ, сквозь узкие отверстия^ в среде с резкими неоднородностями.
Открытие и объяснение этого явления послужило основным доказа-
тельством волновой природы света. Для наблюдения дифракции свето-
вых воли необходимо создать специальные условия, чтобы длина волн
была сравнима с размерами препятствий.
Дифракцию света в большинстве случаев можно объяснить с по-
мощью принципа Гюйгенса—Френеля (см. 5.2.9), обобщенный Рэлеем
вариант которого можно сформулировать так: если окружить все ис-
точники света ОА, О2, ... некоторой произвольной замкнутой по-
верхностью S (рис. 7.33), то каждую точку этой поверхности можно
рассматривать как источник вторичных когерентных волн, которые
распространяются во всех направлениях. Распределение интенсивности,
которое формируется при интерференции таких волн в пространстве
вне поверхности 2, совпадаете действительным распределением интен-
сивности света.
Зонами Френеля называют части сферической поверхности
радиусом (т. е. волнового фронта света) с центром в источнике света
(рис. 7.34), полученные при пересечении сфер- с центром в точке на-
блюдения Р и радиусами
lm = L + т у >
где т = 0,1, 2, ...— целое число, определяющее номер зоны Френеля
(на рис. 7.34 показаны четыре зоны); L — расстояние от точки Р до
ближайшей точки сферы К — длина световой волны. Значения R
и L велики по сравнению с X. Аналогичными точками зон Френеля на-
зывают точки, расположенные подобным образом относительно края
своей зоны, например точки, попарно расположенные у внутренних кра-
ев зоны или в ее середине.
339
Вторичные волны от аналогичных точек двух соседних зон прихо*
дят в точку наблюдения Р в противофазе. Результирующая амплитуда,
создаваемая каждой соседней зоной, отличается в целом по фазе па
Площадь m-й зоны Френеля для небольших т в линейном по X прибли-
жении определяется по формуле
ASm
nRL
т. е. эти площади примерно одинаковы и не зависят от номера зоны /и.
Радиус гт внешней границы т-и зоны Френеля при rtn < R выра-
жается формулой
и растет с номером зоны как Кт. При R — L = 1 м и X == 0,5 мкм
радиус первой зоны Френеля гг = 0,5 мм. Амплитуды вторичных волн
Ат, возбуждаемые в точке Р т-й зоны Френеля, образуют монотонно
убывающую последовательность
> А'2 > ’ ’ ’ > Ащ-1 > > ^т+1 > ’ * * •
Результирующая амплитуда всех вторичных волн от зон Френеля опре-
деляется знакопеременным рядом
А = Aj — Л2 + А3 — А4 + • • • + А2/г_1 — А2/г + • • •,
сумма которого
А ~ -J
2
При свободном распространении света волновое возмущение от
всего фронта волны равно половине возмущения, создаваемого только
первой зоной Френеля.
Если на пути световой волны поставить непрозрачный экран
с отверстием, радиус которого равен радиусу первой зоны Френеля,
то амплитуда волны в точке Р будет вдвое больше амплитуды всего
волнового фронта, а интенсивность света — в четыре раза больше, чем
в отсутствие экрана.
Интенсивность света в точке наблюдения Р можно во много раз
усилить, если прикрыть все четные (или все нечетные) зоны Френеля.
Зоны, оставшиеся неприкрытыми, будут иметь усиленную интенсив-
ность. Для этого используют специальную зонную пластинку, состоя-
щую из концентрических колец переменной толщины, внутренние ра-
диусы которых пропорциональны квадратным корнЯхМ из последова-
тельности нечетных чисел, а внешние — корням квадратным из после-
довательности четных чисел. Ширина колец должна быть большой по
сравнению с длиной волны. Полученная зонная пластинка будет иметь
светлый центр. Можно изготовить аналогичную зонную пластинку о
темным центром. Светлоцентровая зонная пластинка при надлежащих
размерах колец прикрывает все четные зоны Френеля, а темноцентро-
вая — все нечетные зоны.
Усиливающее действие зонной пластинки подобно фокусирующему
действию линзы и описывается формулой, аналогичной формуле линзы
(7.14):
340
где
R2
fx m
' ~~ mK
(7.45)
Здесь для светлоцентровой зонной пластинки т нечетно, Rm — внеш-
ний радиус светлого m-го кольца, а для темноцентровой т четно, Rm—
внешний радиус темного /n-го кольца. С помощью зонной пластинки
можно получать изображения предметов, но низкого качества.
Зонная пластинка в общем случае имеет несколько фокусов, фо-
кусное расстояние до которых можно определить по формуле
f f-
tn 2п + 1 ’
где f соответствует значению, полученному по формуле (7.45), а п —
целые числа, которые могут быть также отрицательными (мнимые фо-
кусы).
Интенсивность в точке Р можно увеличить в четыре раза, если из-
готовить зонную пластинку с обращением фазы. В такой пластинке в
местах, где в обычной зонной пластинке расположены темные кольца,
должны быть зоны, изменяющие на л фазы вторичных волн. Действие
зонной пластинки с обращением фазы эквивалентно действию линзы:
вторичные волны от всех точек волнового фронта приходят в точку на-
блюдения в одинаковых фазах.
7.6.2. Дифракция Френеля от простейших преград. Дифракцион-
ная картина на экране Э2 (рис. 7.35, а) от круглого отверстия радиусом
г0, которое расположено в непрозрачном экране 3lt находящемся на
расстоянии R от источника О, представляет собой систему концентриче-
ских чередующихся светлых и темных колец. В ее центре находится
светлое пятно, если число открытых зон Френеля т, построенных для
точки Р, нечетное, и темное, если оно четное. Значение т определяется
по формуле
да=т(г+т)’ {7-4б)
Л/ \ г\ Li j
где L — расстояние точки Р от точки О на волновом фронте, который
касается краев отверстия. Такую дифракцию в сходящихся непарал-
лельных лучах называют дифракцией Френеля.
341
Зависимость'иптснсивиости света 7 от расстояния г от центра для
нечетного tn показана на рис. 7.35, б, а для четного т — на рис. 7.35л.
Если отверстие в экране Э\ мало, так что открытой является только
первая зона Френеля (частично или полностью), то на экране Э2 полу-
чается размытое светлое пятно. Когда отверстие велико, так что число
открытых зон т > 1, чередование светлых и темных колец наблюдается
лишь в очень узкой области границы геометрической тени, а централь-
ное поле при этом оказывается практически однородно освещенным.
Дифракционная картина в случае непрозрачного круглого диска
(рис. 7.36, а) имеет вид чередующихся темных и светлых концентриче-
ских колец, причем в центре всегда получается светлое пятно. Зависи-
мость интенсивности света 7 от расстояния г от центра картины показана
на рис. 7.36, б. Когда диск Д закрывает много зон Френеля (т. е. зна-
чение т, определенное из формулы (7.46), где г0 — радиус диска, го-
раздо больше единицы), чередование темных и светлых пятен на-
блюдается в области вблизи границы геометрической тени от диска.
Если г0 < г (радиус первой зоны Френеля), то тени от диска практиче-
ски нет, освещенность экрана Эг всюду однородна и фактически равна
освещенности, наблюдаемой при отсутствии диска.
Дифракция от прямолинейного края непрозрачной полуплоскости
может быть описана с помощью векторных диаграмм, определяющих
последовательное сложение амплитуд колебаний волн, создаваемых
отдельными частями зон. Плавную кривую, в которую превращается
такая векторная диаграмма при стремлении ширины частей зоны к нулю,
называют спиралью Корню. Ее уравнение в параметрической форме
представляется через интегралы Френеля
V
I / ТГ JJ%\
?(») = ] cos Уу- I du, (7.47)
о
V
т) (и) = sin 1 du, (7.48)
0
которые нельзя представить в замкнутом виде с помощью элементарных
функций. Для каждого значения у интегрирование можно провести
численно. На основании этого составлены таблицы значений интегра-
лов Френеля для различных v.
342
Распределение интенсивности 7 в зависимости от расстояния х,
отсчитываемого от края геометрической тени, показано на рис. 7.37.
На границе геометрической тени I = 70/4, где /0 — интенсивность,
создаваемая источником на экране в отсутствие преграды. Справа от
этой границы интенсивность имеет ряд максимумов и минимумов.
Максимальные значения она принимает, например, для частного случая,
когда дифракционная картина фиксируется на расстоянии 1 м от
края плоскости при X = 0,5 мкм, 0,61 мм, х2 == 1,17 мм, =
= 1,54 мм, Л'4 = 1,85 мм.
Рис. 7.37
Рис. 7.38
волн происходит практически
Дифракционная картина от прямолинейной длинной щели также
описывается с помощью спирали Корню. При этом наблюдается свет-
лая либо темная центральная прямоугольная полоса, по обе стороны .
которой располагаются чередующиеся черные и светлые полосы. В слу-
чае большой ширины щели интенсивность вблизи границ геометриче-
ской тени распределена в виде очень узких темных и светлых густо рас-
положенных полос, а вся остальная область вне тени освещена практи-
чески одинаково.
7.6.3. Дифракция Фраунгофера.
Различают дифракцию в сходящихся
непараллельных лучах (дифракция
Френеля) и дифракцию в параллель-
ных лучах, которую называют диф-
ракцией Фраунгофера. При первой
из них на экране формируется диф-
ракционное изображение препят-
ствия, а при второй — источника
света. Дифракция Фраунгофера на
малом круглом отверстии от точеч-
ного источника будет наблюдаться
в том случае, когда в отверстие поме-
щается лишь небольшая часть первой
зоны Френеля. При этом во всех точ-
ках плоскости отверстия колебание
в одинаковой фазе. Дифракция Фраунгофера встречается в оптике
значительно чаще, чем дифракция Френеля.
Иа рис. 7.38 показана схема дифракции в параллельных лучах
на длинной прямоугольной щели. Обычно параллельный пучок лучей
получают, помещая источник света в фокусе линзы, и наблюдают диф-
ракцию Фраунгофера в фокальной плоскости другой линзы. Если на
щель шириной b падают параллельные лучи, т. е, плоская волна с ам-
343
плитудой Ло, то амплитуда результирующего колебания в направле-
нии, составляющем угол 0 с нормалью к плоскости щели, будет
такой:
л _|л sin[(n/A)6sin0]l
А0 “ I Л0 (n/M&sinO I • (7Л9)
При значениях 0, удовлетворяющих условию
b sin 0 = ±k% (k = 1, 2, 3, ..(7.50)
Ло обращается в нуль, т. е. условие (7.50) определяет положение ми-
нимумов интенсивности:
/ _ / sin2 [(л/А) b sin 0]
0 [(Я/A) Ь sin ер •
График функции 70 представлен на рис. 7.39. Количество минимумов
ее определяется условием
tn < b/Kt
а угловая ширина центрального максимума
бср = 2 arcsin (A/Z?).
При b А
я 2А
Интенсивность центрального максимума функции 7е значительно
превосходит интенсивность остальных максимумов.
Когда ширина щели гораздо меньше расстояния от щели до экра-
на, на котором наблюдается дифракционная картина, лучи, идущие
от краев щели к любой точке на экране, практически параллельны,
и дифракция Фраунгофера с хорошим приближением будет наблю-
даться на экране без фокусирующей линзы.
7.6.4. Дифракционная решетка. Совокупность большого числа
одинаковых и отстоящих одна от другой на равных расстояниях,
щелей, называют дифракционной решеткой* Ширина щели а и расстоя-
ние между ними b (рис. 7.40) в сумме определяют период дифракцион*
ной решетки
d = а + bt
344
Если перпендикулярно решетке падает плоская монохроматиче-
ская волна, то разность хода между волнами, проходящими через
Соседние щели, определяется формулой
б = /г d sin О,
где 0 — угол дифракции (см. рис. 7.40). Амплитуда волны после про-
хождения через первую щель в соответствии с формулой (7.49) равна
д а после прохождения через остальные щели составляет геометри-
ческую прогрессию, m-е слагаемое которой
A —
Общая амплитуда от /V щелей равна сумме слагаемых:
т
Распределение интенсивности от всех щелей
//М _ I sin2(A’6/2)
1 - '» sin2 (6/2) •
Когда направления дифракции составляют углы 0, удовлетворяющие
условию
б == k d sin 0 = trih (т = 0, ± 1, ± 2, ....),
функция I (б) принимает максимальные значения
Амане ~ АА2»
которые называют главными максимумами. Число т называют поряд-
ком главного максимума или порядком спектра. Часть главных макси-
мумов может не проявляться. Это происходит в случае тех направлений,
когда /0 — 0 (см. условие минимумов /0 (7.50)).
Интенсивность I (6) обращается в нуль при
d sin 0 = [т + j Л (р = 1, 2, . .. , т — 1).
При таких значениях 0 получаются дифракционные минимумы, между
которыми располагаются второстепенные или добавочные максимумы.
Между двумя соседними главными максимумами находятся (N — 1)
минимум и (N — 2) добавочных максимума. На эту картину наклады-
ваются минимумы функции /е, возникающие при дифракции на одной
щели. Приблизительно между соседними дифракционными миниму-
мами располагаются второстепенные максимумы,значение интенсивно-
сти в которых значительно меньше, чем в главных. Если число щелей
N 1, то второстепенные максимумы создают слабый, более-менее
однородный фон с выступающими резкими главными максимумами.
Для нулевого главного максимума угловая ширина
60О = 2 arcsin (VNd),
а при больших N, когда X/Nd < 1,
60ti 2K/Nd.
345
Для m-го главного максимума
X 1 . Г /
-j — arcsin т
a J [\
1 \ X]
N / d ]
а кри больших N, когда X/Nd < 1,
60m =qi - m2 (X/d)2]-’^ (2%/A'd),
Угловая ширина главных максимумов обратно пропорциональна
д;шпе дифракционной решетки Nd и возрастаете увеличением порядка
максимума.
Дифракционную решетку можно использовать как спектральный
аппарат, поскольку положение главных максимумов зависит от длины
волны X. Угловую дисперсию дифракционной решетки D определяют
кай отношение углового расстояния 60 между спектральными линиями
к разности длин волн 6Х:
D = 6J =
6Х d cos 0 *
Для небольших углов 0 таких, что cos 0^1,
D m/d, (7.51)
т. е. угловая дисперсия дифракционной решетки пропорциональна
порядку спектра m и обратно пропорциональна периоду решетки d.
Отношение линейного расстояния 6/ на экране или фотопластинке
между спектральными линиями с разностью длин волн 6Х к этой раз-
ности называют линейной дисперсией'.
Дл111, =
При малых углах 0
^лин ~
где f — фокусное расстояние линзы, которая расположена за дифрак-
ционной решеткой, a D определяется из формулы (7.51).
Разрешающая сила дифракционной решетки пропорциональна по-
рядку спектра т и числу щелей N:
R=N - mN.
OX
Различают прозрачные и отражательные дифракционные решетки.
Прозрачные решетки изготовляют из плоскопараллельных стеклянных
или кварцевых пластинок, на поверхность которых наносят алмазным
резцом на делительной машине прямые равноотстоящие штрихи. Число
штрихов очень большое (около 104 на 1 см). Наблюдать дифракционную
картину в случае прозрачных пластинок можно в проходящем и отра-
женном свете. Отражательные решетки получают, нанося штрихи
алмазным резцом на поверхности металлических зеркал. Применяют
также вогнутые металлические решетки.
7.6.5. Дифракция рентгеновских лучей. От двухмерной периоди-
ческой структуры, состоящей, например, из отверстий, расположенных
в шахматном порядке на плоском непрозрачном экране, получается
система правильно распределенных дифракционных пятен. Такую диф-
ракционную картину можно получить также, если наложить одну
на другую две одномерные дифракционные решетки (например, описан-
ные выше штрихованные прозрачные пластинки) так, чтобы их штрихи
346
были взаимно перпендикулярны или в общем случае пересекались под
углом а #= 0- Тогда положение дифракционных пятен будет задаваться
двумя наборами чисел и /п2, которые удовлетворяют условиям
diSin 0х = ±т^ (mi = 0, 1, 2, ...),
d2sin 0t = ±/н2Х (/л2 = 0> U 2, ...),
где (1^ d2 — периоды первой и второй решеток; углы 0] и 02 отсчиты-
ваются от нормали к плоскости пластинок в двух взаимно перпендику-
лярных направлениях, каждое из которых нормально к соответствую-
щей системе штрихов. Из дифракционных картин, измеряя
и зная длину волны X, можно определить периоды дифракционной ре-
шетки t/t, d2 и угол а.
Дифракционная картина наблюдается также на трехмерных струк-
турах. Такими структурами являются все кристаллические твердые
тела. В большинстве случаев значительное количество атомов в твер-
дом теле распределяется в правильные, повторяющиеся в трех измере-
ниях структуры, образующие кристаллическую решетку. В кристал-
лах расположение атомов соответствует определенньнм законам симмет-
рии, причем вся кристаллическая решетка может быть получена путем
повторения трехмерного ее элемента. Наименьший из возможных
параллелепипедов, повторением которого воссоздается кристаллическая
решетка, называют элементарной ячейкой этой решетки. Существует
230 типов симметрии пространственных решеток, называемых лр?-
странствеиными группами. В кристаллической решетке всегда можно
выделить ряд параллельных атомных плоскостей, удаленных одна от
другой на постоянном расстоянии d.
Такие атомные плоскости могут быть выделены различными спосо-
бами, при этом они отличаются величиной d. Период кристаллической
решетки мал (около 10-8 см), так что дифракция наблюдается не в ви-
димом свете, а для излучения с А ~ 10-4 мкм, т. е. условие d > л
выполняется лишь для рентгеновских лучей.
Кристалл является естественной трехмерной дифракционной ре-
шеткой для рентгеновских лучей. Направления на дифракционные
максимумы, образующие углы ct, Р, у с осями кристалла, удовлетворя-
ют одновременно трем условиям:
dx (cos а — cos а0) = ЛЛ,
dy (cos р — cos р0) = М, (7.52)
dz (cos у — cos у0) == /Л,
где dx, dy, dz — периоды кристаллической решетки по трем ее осям;
«о, Ро> То — углы, образованные падающими лучами с осями кристал-
ла; числа h, k, I принимают целые значения (0, 1, 2, ....). Уравнения
(7.52) называют уравнениями Лауэ. Решения этих уравнений при це-
лочисленных /1, /г, I существуют не для всех значений а0, ро, ?0. Чтобы
получить дифракционную картину, используют немонохроматическое
тормозное излучение с набором длин волн X б [A-i, Х2] (метод лауэ-
грамм). Вращая кристалл и изменяя углы падения а0, ро, у0, получают
рентгенограмму вращения. Наконец, освещая монохроматическими
рентгеновскими лучами поликристаллические образцы, которые со-
стоят из большого числа мелких кристалликов разной ориентации,
получают дебаеграмму. Вульф и Брэгг независимо друг от друга пока-
зали, что условие дифракции можно вывести следующим простым
способом. Рентгеновские лучи, падающие на систему атомных плоско-
стей под углом ср = л/2 — 0 (рис. 7.41), отражаются согласно законам
отражения под таким же углом. Угол 0 называют углом скольжения-
Отраженные лучи, пришедшие от разных атомов, в значительной мере
гасят один другого, так что интенсивность отраженного излучения
мала. Однако для определенных значений угла 0, когда разность кода
между лучами А'В'С' и АВС равна целому числу длин волн, отражен-
ные лучи распространяются в одинаковой фазе и, следовательно, уси-
ливают один другого. Разность хода 6 = DB' + В'Е, где Е, D — ос-
нования перпендикуляров, опущенных из точек В на прямые О', В'
и В'А';
ЕВ' = B'D = d sin 0.
Интенсивность отраженных лучей максимальна при выполнении усло-
вия (условия Брэгга—Вульфа)
2d sin 0 = т К.
Отражение при tn = 1 называют отражением первого порядка, при
т — 2 — второго и т. д.
Распределение интенсив-
ности дифракционных рентге-
новских лучей фиксируют на
фотопленке в специальной ка-
мере (рентгенография) или
с помощью ионизационных
счетчиков в дифрактометре
(дифрактометрия). В послед-
нее время используют двух-
координатные счетчики для из-
мерения распределения интен-
сивности па некотором участке
(в некотором угловом интер-
вале).
С помощью методов рент-
генографии и дифрактометрии получают большой объем информации
о кристаллическом строении твердых тел: определяют симметрию
в периоды кристаллической решетки, измеряют коэффициент терми-
ческого расширения, изучают фазовый состав, исследуют текстуру
материала, изучают дефектную структуру и напряжения в кристал-
лах. Изучив уширение рентгеновских линий, обусловленное искаже-
ниями кристаллической решетки, а также измерив ослабление и сме-
щение этих линий, можно определить параметры,характеризующие тип
дефектов, их плотность и пространственное распределение. Из рентге-
новских данных можно установить особенности тонкой структуры
кристаллов, исследовать тип, концентрацию и расположение точечных
дефектов, а также различить дислокации в зависимости от формы их
линий: прямолинейные дислокации, дислокационные диполи, стенки
из дислокаций с одинаковым вектором Бюргерса, избыточные дисло-
кации одного знака и т. п. Дифракционные и рентгеновские методы
являются массовыми и эффективными при изучении реальных кри-
сталлов.
7.6.6. Голография. Метод безликзового объемного изображения,
основанный на явлении интерференции, называют голографией (от
греч. «голос» — полный и «графо» — пишу). При этом оптические изоб-
ражения получают с помощью восстановления волнового фронта. Идею
голографии выдвинул и экспериментально проверил Вольке. Неза-
висимо от него Габор предложил и обосновал принцип голографии.
Первые изображения, основанные на явлении голографии, получили
Лейт и Упатниекс. В голографии используются источники света, кото-
рые обладают высокой степенью пространственной и временной коге-
рентности.
348
Голография отличается от обычной фотографии тем, что на фото-
пластинке фиксируется не только интенсивность, но и фаза световых
волн, которые отразились от предмета. Основная идея голографиче-
ского метода состоит в следующем: две когерентные волны от одного
и того же источника на фотопластинке Ф формируют интерференцион-
ную картину, причем волна 7, которую называют опорной, попадает
на пластинку после отражения от зеркала 3 (рис. 7.42, а), а волна 2,
которую называют сигнальной или предметным пучком, рассеивается
на предмете 77, а затем попадает на пластинку Ф. Зафиксированную
Рис. 7,42
на фотопластинке интерференционную картину называют голограммой
предмета 77. Она представляет собой сложное сочетание интерферен-
ционных максимумов и минимумов — почернения фоточувствительного
слоя. Голограмма предмета существенно отличается от его изображе-
ния и, как правило, не имеет пи малейшего сходства с предметом. Слож-
ная интерференционная картина содержит большое число мелких де-
талей, часто не различимых невооруженным глазом. При этом види-
мые иногда крупные дифракционные кольца обычно не связаны с пред-
метом, и возникают при дифракции на случайных пылинках, которы?.
встречаются па пути распространения света. Однако закономерности
расположения, форма и интенсивность дифракционных пятен полно-
стью определяются формой и оптическими свойствами предмета.
В закодированной с помощью интерференции голограмме содер-
жится полное описание амплитуд и фаз волны, которое зафиксировано
на фотопластинке. Поскольку разность хода между опорной и рассеян-
ными волнами очень велика (несколько метров), то время когерент-
ности света должно быть не менее Ю"*5—10"7 с, что в настоящее время
может быть обеспечено только лазерными источниками. Кроме того,
для получения четкой голограммы необходимо, чтобы все элементы
34J
установки были строго (с точностью до долей длины волны) неподвиж-
цы, Это предъявляет высокие требования к механической жесткости
системы. Освещая голограмму предмета светом того же лазера, который
был использован при ее получении, восстанавливают изображение пред-
мета. Лазер должен быть расположен так, чтобы ориентация его лучей
iw отношению к голограмме совпадала с направлением распростране-
ния опорной волны, с помощью которой получена голограмма. В ре-
зультате возникает дифракция волны от лазера на фотопластинке с го-
лограммой предмета, что приводит к появлению двух объемных изобра-
жений предмета — действительного П' и мнимого П" (рис. 7.42, б).
Действительное изображение находится перед голограммой и явля-
ется зеркальным отображением предмета. Мнимое изображение по зри-
тельному восприятию тождественно с предметом, оно находится на том
же месте, где располагался предмет, и его можно рассматривать сквозь
голограмму как через окно. Никаким из существующих в настоящее
гремя приборов нельзя отличить восстановленные волны от тех, кото-
рое исходили от самого предмета. Изменяя положение глаза, можно рас-
сматривать изображение предмета с нескольких сторон, можно даже
<• заглянуть» за предмет, который находится в передней части изобра-
жения.
Для ослабления фона, который появляется на голограмме, необ-
ходимо, чтобы интенсивность опорной волны была значительно больше
интенсивности предметной волны. Разрешение мелких деталей интер-
ференционной картины, которые могут иметь размер порядка длины
волны, может быть достигнуто только при использовании фотоэмуль-
сии очень высокого качества. Следует добиваться также, чтобы про-
зрачность полученного позитива была точно равна интенсивности
света, падающего на пластинку в процессе получения голограммы, так
как в противном случае при восстановлении изображения предмета
кроме основного могут появиться дополнительные изображения, кото-
рые ухудшают качество основного голографического изображения-
Метод голографии по сравнению с другими имеет следующие преиму-
щества.
1. Получаемые изображения трехмерны. Можно также получать
голограммы от предметов, которые перемещаются с большими ско-
ростям и.
2. Часть голограммы дает изображение, аналогичное всей голо-
грамме. Любой участок ее содержит информацию о всем предмете.
Для восстановления изображения предмета пригоден любой кусок
разорванной голограммы, но чем он меньше, тем слабее четкость и
объемность изображения.
3. На одной фотопластинке можно последовательно фиксировать
несколько голограмм, располагая предметы в различных местах или
меняя направление опорного пучка. Затем изображение любого пред-
мета можно восстановить независимо. Голография отличается боль-
шой емкостью и компактностью.
4. При восстановлении изображение предмета всегда получается
позитивным. Даже если контактным способом фотопечати получить
голограмму, обращенную по отношению к первоначальной (зачернен-
ные участки становятся прозрачными, а прозрачные — зачерненными),
то при просвечивании будет восстановлено то же самое позитивное изо-
бражение предмета. Это парадоксальное на первый взгляд свойство
голограмм объясняется тем, что на фотопластинке зафиксировано изме-
нение контраста интерференционных полос и расстояний между ними,
а эти факторы не изменяются при обращении голограмм.
5. Можно получать цветные изображения с помощью черно-белой
фотопленки, освещая последовательно предмет несколькими монохро-
350
эмульсии,
рис. 7.43*
показана на
Рис. 7.43
матичсскими источниками света с разными длинами волн, подобранными
так, чтобы наиболее полно передать цвет предмета. Затем такая много-
компонентная голограмма освещается одновременно такими же источ-
никами с теми же направлениями опорных пучков. При этом мнимые
изображения всех цветов накладываются в одном месте и дают цвет-
ное изображение предмета, а действительные (разных цветов) распола-
гаются в других местах, не пересекаясь с основным изображением*
7.6.7. Трехмерные голограммы в толстослойных эмульсиях.
10. Н. Денисюк получил объемные голограммы в пластинках с толстым
слоем (около 15—20 мкм) светочувствительной прозрачной
Схема получения трехмерных голограмм
Параллельный пучок от лазерного источ-
ника проходит через стеклянную пластинку
С, толстый слой фотоэмульсии Ф и попа-
дает на предмет /7. После рассеяния на
• предмете лучи направляются обратно в фо-
тоэмульсию и образуют вместе с падающим
пучком (который служит в этой схеме одно-
временно и опорным пучком) интерференци-
онную картину — стоячие волны. В объеме
фотоэмульсии возникает распределение по-
черненных мест, состоящее как бы из не-
скольких десятков плоских голограмм.
Для восстановления изображения пред-
мета в этом случае достаточно осветить
объемную голограмму расходящимся пуч-
ком белого света. Возникающая многолу-
чевая интерференция приводит к усилению
только тех воли, длина которых равна длине
волны опорного пучка лазера, и только в на-
правлениях, противоположных направле-
нию падающих от предмета лучей. Осталь-
ные изображения при этом не воспроизво-
дятся; они гасятся в результате интерфе-
ренции. Наблюдаемое изображение имеет тот же цвет, что и излучение
лазера, т. е. на объемной голограмме происходит монохроматизация
белого света, который ее освещает. Объемная голограмма может быть
многоцветной. Тогда освещение белым светом приводит к тому, что вос-
становление изображения предмета будет цветным.
Голография представляет собой самостоятельный, быстро разви-
вающийся раздел оптики с большими возможностями применения
в технике и искусстве. Перспективы развития голографии огромны*
Это — высокоскоростное распознавание образцов, объемное гологра-
фическое кино и телевидение, голографическая микроскопия, акусти-
ческая голография, контроль качества изделий, анализ деформации
и г. п.
7.7. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
7.7.1. Естественный и поляризованный свет. Направление напря-
женности электромагнитного поля в солнечном свете быстро и беспоря-
дочно изменяется перпендикулярно световым лучам, т. е. в излучении
Солнца содержится большой набор поперечных волн, плоскость колебаний
которых перпендикулярна направлению их распространения. Если через
луч ООЪ вдоль которого распространяется световая волна, провести
пучок плоскостей (рис, 7,44)? то число волн в любой из этих плоскостей
351
будет в среднем одинаково. Такой свет называют естественным или
не пол яризованным.
Свет называют линейно поляризованным или плоско поляризован-
ным, если вектор Е напряженности электрического поля все время
лежит в одной плоскости, которую называют плоскостью поляризации
или плоскостью колебаний. Раньше плоскостью поляризации называли
плоскость, содержащую вектор Н напряженности магнитного поля,
т. е. плоскость, которая перпендикулярна плоскости колебаний. Это
определение неудачно и его заменили, чтобы плоскость поляризации
совпадала с плоскостью колебаний.
В случае плоской волны нормаль к плоскости поляризации лежит
в плоскости фронта волны. Смесь естественного света с линейно поля-
ризованным называют частично поляризованным светом. Линейно поля-
ризованный свет получают, пропуская ес-
тественный свет через пластинку турмалина
вдоль нормали к его кристаллографической
(оптической) оси. При этом интенсивность
света уменьшается вдвое, так как все лучи,
вектор Е которых перпендикулярен опти-
ческой оси турмалина, сильно в нем по-
глощаются. Свойством пропускать только
волны со строго определенным направле-
нием вектора Е обладают искусственно из-
готовленные коллоидные пленки, которые
называют поляроидами или поляризацион-
ными светофильтрами. Примером поляро-
ида служат одинаково ориентированные
кристаллики герапатита, представляющие
собой соединение иода с хинином, а также
поливиниловые пленки. Прибор, с помощью
которого получают поляризованный свет,
называют поляризатором. Он также используется как анализатор для
исследования поляризации света.
Интенсивность плоскополяризованного света, проходящего через
поляризатор, ось которого составляет угол а с плоскостью поляриза-
ции падающей волны, определяется формулой
I = /0cos2 а, (7.53)
где 10 — интенсивность плоскополяризованного света, падающего
на поляризатор. Соотношение (7.53) называют законом Малюса.
Если естественный свет пропускают через два поляризатора, оп-
тические оси которых составляют между собой угол ср, интенсивность
прошедшего света
1 = у Zecr cos2 ф-
Здесь Iест— интенсивность естественного света, падающего на первый
поляризатор. Свет, прошедший через два поляризатора, имеет макси-
мальную интенсивность при ср = 0, когда оси обоих поляризаторов
параллельны. При этом
макс (0) ~2 ^ест*
При ср = л/2 /мнн (л/2) = 0, т. е. два поляризатора со взаимно перпен-
дикулярными оптическими осями свет не пропускают,
352
Две когерентные плоскополяризованные волны, плоскости поля-
ризации которых взаимно перпендикулярны, при наложении дают
эллиптически поляризованную волну, в которой вектор Е изменяется
во времени так, что конец его описывает эллипс. При разности фаз в
этих волнах а = лп, где п — целое число, эллипс вырождается в пря-
мую, и в результате наблюдается плоскополяризованная волна. Если
а = (2п+ 1)л/2 и амплитуды первичных волн равны между собой, то
получаем свет, поляризованный по кругу.
В зависимости от направления вращения вектора Е различают
правую и левую эллиптическую (в частном случае круговую) поляри-
зацию. Вращение вектора Е, наблюдаемое из конца вектора, в направ-
лении которого распространяется волна, называют правым, если оно
происходит по часовой стрелке, и левым — в противном случае. При
рассмотрении в квантовой оптике электромагнитного излучения как
йотока фотонов явление поляризации света связывают с одинаковым
их спиновым состоянием.
7.7.2. Поляризация при отражении и преломлении. В теории от-
ражения и преломления света учитываются граничные условия, кото-
рым удовлетворяют векторы электромагнитного поля на границе раз-
дела двух сред.
Отраженный и преломленный лучи оказываются частично поляри-
зованными. При отражении от непроводящей поверхности, например
поверхности диэлектрика, наблюдают эллиптически поляризованный
свет. Степень поляризации зависит от угла падения q>t. Если выпол-
няется закон Брюстера
tg<PB=«i2. (7.54)
то отраженный луч полностью плоско поляризован и его плоскость
поляризации перпендикулярна плоскости падения. В формуле (7.54)
п12 — показатель преломления второй среды по отношению к первой;
Фб — Угол полной поляризации, который называют углом Брюстера.
При выполнении закона (7.54) преломленный луч также полностью
плоскополяризован, и его плоскость поляризации совпадает с плос-
костью падения. Если угол падения равен углу Брюстера, то прелом-
ленный и отраженный лучи плоскопараллельны, плоскости поляриза-
ции их взаимно перпендикулярны, причем направления распростране-
ния преломленной и отраженной волны также взаимно перпендику-
лярны.
Амплитуды падающей Alf отраженной Д2 и преломленной А3
волн связаны формулами Френеля
= (7.55)
х х sin (<рх +<р2) ’ ’ '
(Л ) (Л , Ssh^cos^-
л -*• Sin (фх + ф2) ’ ' '
МЛ tg(<Pl-T2) ,-7-71
(Л Ч = (Л X 2бшф2 cosфх
3 11 1 11 sin (Фх + фа) cos (фх — ф2) '
Здесь знаками перпендикулярности (х) и параллельности (||) обозна-
чены соответствующие составляющие светового вектора относительно
плоскости падения; фХ — угол падения; ф2 — угол преломления.
12 5-1472
353
Коэффициенты отражения, которые по определению равны отно-
шению энергий отраженной и падающей волн, в соответствии с форму-
лами Френеля имеют вид
(\ 2
cos <Pi — n32 cos Ф21
cos <px + л12 cos <p2/
— ("12 C0S Ф1 ~~ C0S fp2 Y
P 11 ~ \"12 C0S Ф1 + COS Ф2 /
где индексы возле коэффициентов отражения относят их к соответ-
ствующей составляющей вектора Е. Если волна падает перпендикуляр-
но поверхности раздела, то коэффициент отражения называют отража-
тельной способностью:
(1 \2
"12 М
"12 + 1/
Для границ раздела воздух—стекло (ц12 = 1,5)/? = 0,04, а воздух—
Вода (п12 = 1,33) R = 0,02.
Коэффициенты пропускания, которые по определению равны от-
ношению энергий падающей и прошедшей волн, имеют вид
, __ 4лг12 cos срг cos <р2
1 (cos (рх + л12 cos ф2)2 ’
Ь = 4/г]2 cos ср3 cos ср2
11 ~ (nla cos срх + cos <р2)2 ‘
Коэффициенты pj_, р л и b±, b ц связаны соотношениями
Pj_ = К Р || + b и = 1.
Поверхностной прозрачностью В называют коэффициент пропускания
при нормальном падении:
В = —1112 —
("12 + I)2 •
Измеряя отражательную способность и поверхностную прозрачность,
можно определить показатель преломления, что позволяет изучать его,
например, в инфракрасной части спектра.
Когда плоскость поляризации падающей волны составляет относи-
тельно плоскости падения угол а, который называют азимутом по-
ляризации падающей волны, коэффициент отражения
Ра = Рц cos2 а + р± sin2 а.
Для неполяризованного (естественного) света среднее значение
cos2 а = sin2 а = у
и
р=4 (рп +Р1).
7.7.3. Двойное лучепреломление. Одноосные и двуосные крис-
таллы. Большинство кристаллов обладает разными оптическими
свойствами в разных направлениях. Их называют оптическими ани-
зотропными. Оптическая анизотропия проявляется при двойном луче-
354
преломлении в кристаллах. Оно состоит в том, что световой луч, про-
ходя через некоторые кристаллы, разбивается на два, один из которых
удовлетворяет закону преломления и лежит в одной плоскости с падаю^
щнм лучом и нормалью к границе раздела, а другой, как правило, не
лежит в одной плоскости с направлением падающего луча и нормалью
к преломляющей поверхности. Первый луч называют обыкновенным,
а второй — необыкновенным. Для необыкновенного луча отношение
синусов углов падения и преломления зависит от угла падения.
Явление двойного лучепреломления наблюдается во всех про-
зрачных кристаллах, например в исландском шпате (разновидности
углекислого кальция), который встречается в природе в виде больших
оптически чистых кристаллов. Его показатель преломления для обык-
новенного луча л0 = 1,6585, а для необыкновенного пе = 1,4863 (для
желтой линии). Большое различие в значениях /?0 и пе дает хорошо
выраженный эффект двойного лучепреломления. Исландский шпат име-
Рис. 7,46
ет гексагональную кристаллическую решетку и легко приводится
к форме ромбоэдра с углами 78°08' и 10Г52' в вершинах подобных
параллелограммов, составляющих грани ромбоэдра (рис. 7.45). Оп-
тическая ось, вдоль которой лучи света не испытывают двойного пре-
ломления, в кристалле исландского шпата проходит через вершины М
и АГ, в каждой из которых сходятся стороны трех тупых углов, рас-
положенных на гранях ромбоэдра.
Различают одноосные и двуосные кристаллы. Одноосные имеют
одно направление, вдоль которого обыкновенный и необыкновенный
лучи не разделяются и распространяются с одинаковой скоростью.
Это направление называют оптической осью кристалла. Любая прямая,
параллельная оптической оси кристалла, является его оптической осью.
Всякую плоскость, проходящую через оптическую ось кристалла,
называют главным сечением или главной плоскостью кристалла. Обык-
новенный и необыкновенный лучи п®ляризованы в перпендикулярных
плоскостях, причем плоскость поляризации обыкновенного луча пер-
пендикулярна главному сечению кристалла. Выходящие из кристал-
ла лучи различаются направлением поляризации.
В некоторых кристаллах наблюдается явление дихроизма, состоя-
щее в том, что один из лучей поглощается в кристалле сильнее другого.
Так, в кристалле турмалина обыкновенный луч практически полно-
стью поглощается на расстоянии около 1 мм. Таким же свойством обла-
дает целлулоидная пленка (поляроид), в которой расположены одина-
ково ориентированные кристаллики сульфата йодистого хинина. В этом
случае поглощение одного из лучей происходит на расстоянии 0,1 мм.
Хорошим поляризатором является призма Николя, изготовленная
из исландского шпата и имеющая острый угол 68°. Ее называют также
николем. Эта призма разрезана по диагонали и склеена канадским
бальзамом, показатель преломления которого ла лежит между показа-
телями преломления л0 и пв обыкновенного и необыкновенного лучей
12*
355
(nQ> пь> пе). При этом обыкновенный луч претерпевает на про-
слойке канадского бальзама полное внутреннее отражение и выходит
через боковую грань кристалла (рис. 7.46). Необыкновенный луч про-
ходит через эту прослойку и выходит из передней грани АВ призмы.
Таким образом, призма Николя является хорошим поляризатором.
В ряде кристаллов наблюдают две оптические оси, вдоль которых
световая волна не разделяется на два луча. Такие кристаллы называют
двуосными (например, слюда и гипс). В двуосных кристаллах оба рас-
пространяющиеся луча необыкновенные, т. е. их показатели прелом-
ления зависят от направления.
7.7.4. Анализ поляризованного света. Используя призму Николя
или любой другой поляризатор, можно провести анализ степени поля-
ризации световых волн. Для этого необходимо установить поляризатор
на пути исследуемого света и вращать его вокруг оси, параллельной
направлению распространения световой волны. В общем случае интен-
сивность проходящего через поляризатор света будет изменяться. Если
существует положение поляризатора, при котором интенсивность света
практически равна нулю, то падающая световая волна будет плоско-
поляризованной.
Если падающий свет поляризован по кругу или неполяризован
(естественный свет), интенсивность светового потока, проходящего
через поляризатор, не изменяется при вращении поляризатора.Чтобы
различить эти два случая, используют компенсатор, или так называе-
мую пластинку в четверть длины волны, которую вырезают параллельно
оптической оси одноосного кристалла. При этом вносится дополнитель-
ная разность фаз л/2 между обыкновенным и необыкновенным луча-
ми. Если через такую пластинку проходят поляризованные по кругу
волны, разность фаз между которыми всегда равна ± л/2, то происхо-
дит преобразование этих волн в линейно поляризованные. Естествен-
ный свет при прохождении через четвертьволновую пластинку не изме-
няется. С помощью этой пластинки можно отличать правую круговую
поляризацию от левой, используя следующее правило.
Установить в исходном положении плоскость главного сечения по-
ляризатора параллельно оптической оси четвертьволновой пластинки
и вращать поляризатор до полного гашения света. Положительным
считать вращение поляризатора по часовой стрелке, отрицательным —
против нее, если смотреть со стороны выходящего из поляризатора
света. Тогда, если знаки пластинки в четверть длины волны и вращения
поляризатора одинаковые, то круговая поляризация будет левой,
а если разные — правой.
Можно сформулировать более общее правило, применимое при
изучении света произвольной поляризации. Если при вращении поля-
ризатора интенсивность проходящего света не изменяется при любом
положении пластинки в четверть длины волны,то свет является есте-
ственным, а если изменяется и падает до нуля, то такой свет поляри-
зован по кругу. Когда интенсивность проходящего света изменяется,
но не падает до нуля, такой свет состоит из частично поляризованных и
поляризованных эллиптических волн. В последнем случае необходимо
вращать пластинку вокруг направления луча, и если можно найти та-
кое ее положение, при котором прошедший через нее свет гасится после-
дующим вращением поляризатора, значит, падающий свет был эллип-
тически поляризованным. Если этого сделать нельзя, то падающий свет
представляет собой смесь естественного света с линейно поляризован-
ным либо с эллиптически поляризованным. Различают два последних
случая следующим образом .Сначала ставят на пути света один поляри-
затор, вращением которого добиваются минимальной интенсивности
проходящего света, Затем перед поляризатором ставят пластинку
356
в четверть длины волны и их вращением снова фиксируют минималь-
ную интенсивность прошедшей волны. Если этот минимум приходится
на то же самое положение поляризатора или отличается от него пово-
ротом нц л, то падающий свет представляет собой смесь естественного
с линейно поляризованным, если же поляризатор следует повернуть
на некоторый угол а =# 0, л относительно первоначального положения,
то падающий свет будет представлять собой смесь естественного с
эллиптически поляризованным.
7.7.5. Интерференция поляризованных лучей. Если естественный
свет от независимых атомных источников (т. е. некогерентный) прохо-
дит через одноосный кристалл, то обыкновенный и необыкновенный
лучи формируются разными волнами, входящими в состав естествен-
ного света. Обыкновенные и необыкновенные лучи, распространяю-
щиеся в прозрачном кристалле, при падении на него естественного света
некогерентны, а при падении плоскополяризованного света— когерен-
тны. Поскольку в кристалле каждый из этих лучей распространяется
со своей скоростью
с/0 — c/n0, ve = с!пе,
то при прохождении ими расстояния d на выходе из кристалла на-
блюдается сдвиг фаз
8=~(п0-пс), (7.59)
л
где % — длина световой волны в вакууме; п0, пе — показатели прелом*
ления обыкновенного и необыкновенного лучей соответственно. В ре-
зультате сложения этих лучей на выходе из кристалла получают
эллиптически поляризованный свет.
Когерентные волны, прошедшие через кристаллическую пластин-
ку, не интерферируют, так как поляризованы во взаимно перпендику-
лярных плоскостях. Если за пластинками установить поляризатор, то
из падающих волн будут выделены только те, которые поляризованы
в одной плоскости. Они интерферируют в зависимости от разности хода
б, возникшей между обыкновенным и необыкновенным лучами, а также
от их амплитуды и угла между главными плоскостями первого и вто-
рого поляризаторов. Если на пластинку падает белый свет, то наблюдае-
мая через поляризатор картина получается окрашенной. В неоднород-
ных кристаллах наблюдают поверхности одинакового цвета или изо-
хроматические поверхности. Для одноосных кристаллов — это по-
верхности вращения вокруг оптической оси, для двуосных — их форма
более сложная.
Явление интерференции поляризованных лучей положено в основу
очень чувствительного метода исследования оптической анизотропии
тел, особенно когда эта анизотропия мала. Для этого используют си-
стему скрещенных поляризаторов, между которыми помещают исследу-
емое твердое тело (образец). В его отсутствие свет не проходит через
систему. Если образец обладает оптической анизотропией, система
частично пропускает свет. С помощью этого метода можно исследовать
появление двойного лучепреломления при деформации изотропных тел,
а также при течении жидкостей с анизотропными молекулами в
электрическом и магнитном полях (эффект Максвелла).
7.7.6. Двойное лучепреломление в электрическом поле. Оптиче-
ские свойства вещества изменяются при внесении его в электрическое
или магнитное поле. Электрический эффект, называемый эффектом
Керра, состоит в том, что многие изотропные тела при введении в по-
стоянное электрическое поле становятся оптически анизотропными.
357
Это можно установить, поместив между двумя скрещенными поляриза-
торами, например призмами Николя Н1 и Н2 (рис. 7.47), образец в виде
плоскопараллельной кюветы Я» заполненной исследуемым веществом.
В кювете находятся пластины конденсатора, с помощью которых может
быть создано электрическое поле напряженностью Е 15000 В/см.
Такое устройство называют ячейкой Керра. В отсутствие электрического
поля свет через систему не проходит. При включении электрического
поля возникающее в ячейке Керра двойное лучепреломление приводит
к прохождению света через всю систему, причем на выходе кюветы свет
эллиптически поляризован. С помощью специального компенсатора К
можно измерить разность фаз между обыкновенным и необыкновенным
лучами, возникшими в результате двойного лучепреломления, и опреде-
лить разность пе — п0 показателей преломления. Эта разность оказы-
вается пропорциональной квадрату напряженности приложенного
электрического поля £0:
Рис. 7.47
Пе - nv = q (X) Е%, (7.60)
где коэффициент q (X) зависит от
типа и состояния вещества, а так-
же длины волны X. Согласно фор-
мулам (7.59) и (7.60) разность фаз
между обыкновенным и необыкно-
венным лучами
б' = 2£ (пе —* л0) d — ЪпВйЕ^.
Здесь d — толщина проходимого слоя вещества, а константу В ~
= q (Х)/Х называют постоянной Керра. Она уменьшается с увеличением
длины волны X и сильно растет с повышением температуры. Для боль-
шинства веществ
ле>п0, (7.61)
поэтому В > 0, что соответствует анизотропии положительного крис-
талла. Реже встречаются вещества, у которых неравенство (7.61) изме-
нено на противоположное, а В < 0 (например, этиловый эфир, спирт,
масло). Максимальным значением постоянной Керра характеризуется
нитробензол, для которого при температуре 20 °C и нормальном дав-
лении В == 2,4 • 10“° м/В2 (X = 598 нм).
Эффект Керра объясняется анизотропией оптических свойств мо-
лекул. В отсутствие электрического поля анизотропные молекулы хао-
тически распределены по ориентациям в пространстве, так что любой
макроскопический объем вещества изотропен. Наложение электриче-
ского поля приводит к преимущественной ориентировке молекул, кото-
рые располагаются так, чтобы оси анизотропии были направлены вдоль
электрического поля. В результате вещество становится анизотроп-
ным.
Расчет с учетом полярности молекул с дипольным моментом Ро дает
для постоянной Керра следующую формулу:
р
5Х \kT) ’
где п — показатель преломления изотропной среды в отсутствие элек-
трического поля. Поскольку процессы поляризации молекул и их
ориентация в электрическом поле происходят за очень короткое время,
то время возникновения и уничтожения эффекта Керра очень мало
358
(~10~10 с). Поэтому с помещаю эффекта Керра можно получить прак-
тически безынерционный световой затвор. Для этого ячейку Керра по-
мещают между двумя скрещенными поляризаторами и при включе-
нии электрического поля световой затвор будет мгновенно (т. е. за
время около 10~1° с) открываться, а при отключении его — мгновен-
но закрываться.
7.7.7. Вращение плоскости поляризации. В некоторых случаях
при прохождении плоскополяризованного света через вещество проис-
ходит поворот плоскости поляризатора относительно своего исходного
положения. Это явление называют оптической активностью вещества
или вращением плоскости поляризации. Оптическую - активность назы-
вают естественной, если вращение плоскости поляризации происходит
без внешнего магнитного поля. Эффектом Фарадея или магнитным
вращением плоскости поляризации называют появление оптической
активности вещества в магнитном поле.
Естественную оптическую активность впервые обнаружил Араго
на пластинке кварца, вырезанной перпендикулярно оптической оси.
Для ее наблюдения вещество помещают между двумя скрещенными
поляризаторами. Если вещество оптически активно, то интенсивность
света, которая без этого вещества была бы равна нулю, становится от-
личной от нуля, т. е. свет проходит через систему. Его можно погасить
вращением одного из поляризаторов. Угол поворота плоскости поля-
ризации зависит от длины волны. Поэтому для наблюдения оптической
активности обычно применяют монохроматический свет.
Различают право- и левовращающие вещества. Вращение вправо
принято называть положительным, а влево — отрицательным. Если
в естественно активной среде плоскость поляризации вращается вправо,
то при изменении направления распространения света на противопо-
ложное она по-прежнему будет вращаться вправо. Свойство естествен-
но активных веществ быть право- или левовращающими не изменяется
при изменении направления распространения света на противополож-
ное.
Кварцевые пластинки из природных кристаллов могут быть право-
и левовращающими. Это свойство объектов образовывать зеркально
равные модификации называют энантиоморфизмом. При этом любой
кристалл одного типа не конгруэнтен другому, т. е. левовращающий
кварц отличается от правовращающего, как правая рука от левой.
Предполагают, что все естественно активные вещества существуют
в двух энантиоморфных модификациях, хотя не во всех случаях обе
модификации обнаружены экспериментально.
Оптическую активность характеризуют вращением а на единицу
длины вещества, которое зависит от длины волны, природы вещества
и температуры. В области прозрачности и малого поглощения значение
йс можно получить из формулы Друде
i
где Ь[ — постоянные, зависящие от вещества и температуры; К — дли-
на волны в вакууме; X/ — длины волн, которые соответствуют собст-
венным частотам данного вещества. Оптическую активность жидко-
стей характеризуют удельным вращением
[а] = а/р.
Здесь р — плотность жидкости; а — вращение на единицу длины. Про-
изведение удельного вращения [а] на молярную массу активного веще-
359
ства М называют молекулярным вращением жидкости или раствора
и обозначают
[Л1] = 7И[а].
Зависимость вращения а от концентрации активного вещества ис-
пользуют для определения сахара в растворе (сахарометрия).
Оптически естественно неактивные вещества могут приобретать
свойство вращать плоскость поляризации, если их поместить в сильное
магнитное поле. Это явление называют эффектом Фарадея. Угол пово-
рота плоскости поляризации пропорционален длине пути света I и на-
пряженности внешнего магнитного поля Н или магнитной индукции В
в веществе:
= VLB,
где коэффициент V, зависящий от вещества, его состояния и длины
волны X, называют мйенитной вращательной способностью или по-
стоянной Верде.
Направление вращения плоскости поляризации определяют по
отношению к направлению магнитного поля. Если направление маг-
нитного поля и направление вращения образуют правовинтовую систе-
му, то вещество называют положительным, если левовинтовую от-
рицательным. Знак магнитного вращения плоскости поляризации не
изменяется при изменении направления луча на противоположное.
Для большинства веществ V > 0 (правовращающие вещества). Эффект
Фарадея связан с прецессией электронных орбит в магнитном поле.
Естественно, активные вещества под действием магнитного поля при-
обретают дополнительную активность, т. е. вращение на единицу дли*
ны увеличивается.
7.8. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТОВЫХ ВОЛН С ВЕЩЕСТВОМ
7.8.1. Дисперсия света. Свет разных длин волн преломляется не-
одинаково на границе двух сред, обладающих разной оптической плот-
ностью. Зависимость коэффициента преломления вещества от длины
волны называют дисперсией света.
Если на пути узкого пучка белого света поставить призму, то
на экране получим растянутую световую полоску, цвет которой непре-
рывно меняется. При прохождении через призму меньше всего откло-
няются красные лучи, больше всего — фиолетовые. Между ними рас-
положены лучи других цветов, например оранжевый, желтый, зеленый,
голубой и синий. Цветную полоску, получаемую при разложении излу-
чения по длинам волн в результате прохождения света через прелом-
ляющую призму, называют спектром. Солнечный свет дает сплошной
спектр, т. е. в нем присутствуют колебания всех возможных длин волн.
Спектр некоторых искусственных источников света имеет линейча-
тую структуру, когда отдельные светлые подрсы (линии спектра)
разделены темными промежутками. Этот свет соДёрЖИт электромагнит-
ные колебания с определенными длинами волн. Для Ьсех прозрачных
бесцветных веществ зависимость п == п (X) такая, что с уменьшением
длины волны показатель преломления увеличивается. При этом
(7.62)
пХ
где X — длина волны в вакууме. Величину ^*,4-'- называют дисперсией
UAi
вещества. Если выполняется неравенство (7.62), дисперсию называют
360
нормальной. В области нормальной дисперсии п (X) можно приближенно
представить в виде ряда
b с
п (К) = а + ^~ + . (7.63)
Здесь постоянные а, Ь, с, ... определяются экспериментально. Для
большинства веществ можно ограничиться двумя первыми слагаемыми
в формуле (7.63), а именно:
Тогда
dn (X) _ 2b
Дисперсию света называют аномальной, если
(1) п
с$г ’
т. е. показатель преломления вещества уменьшается. Аномальная
дисперсия наблюдается в области частот, где происходит сильное
поглощение света в данном веществе. Так, у обыкновенного стекла
эти области лежат в инфракрасной и ультрафиолетовой частях спектра.,
7.8.2. Спектральный анализ. Для изучения спектра различных
источников света применяют спектрографы или спектроскопы. Основ-
ной частью спектрографа является призма, на которую с помощью
щели и объектива коллиматора проектируются исследуемые лучи, при-
чем щель коллиматора помещается в главной фокальной плоскости
объектива. Прошедшие через призму лучи с помощью второго объек-
тива собираются на экран, который располагают в фокальной плоско-
сти этого объектива. Если спектр фиксируется на экране с помощью
фотопластинки, то аппарат называют спектрографом, если наблюдается
на экране визуально, то спектроскопом. Для получения хороших
спектров необходимо изготовлять призмы и объективы из прозрачных
материалов, обладающих большой дисперсией (например, из кварца
или флюорита и каменной соли для спектрографов, работающих в
ультрафиолетовой или инфракрасной частях спектра).
Свечение газов или паров малой плотности характеризуется линей-
чатым или полосатым спектром, расположение линий в котором подчи-
няется определенным закономерностям. Бальмер установил, что час-
тоту линий спектра водорода можно найти с помощью простой фор-
мулы
’"«(i-V.)' (7-М>
где т, Л4Н— масса электрона и ядра атома водорода, п = 3, 4, 5, ..., а
R^—постоянная Ридберга. Совокупность линий, имеющих частоту,
соответствующую формуле (7.64), называют серией Бальмера. Кроме
этой серии в спектре водорода обнаружены и другие, частоты линий
в которых удовлетворяют более общему соотношению (см. формулу
(8.9)).
Спектральные линии других атомов также могут располагаться
сериями, но формулы для частот у них сложнее. Наличие спектральных
серий отражает внутреннюю структуру атома и особенности испуска-
ния им света при возбуждении. Поскольку каждый атом испускает
определенные серии линий, то с помощью спектрального анализа
361
(т. е. анализа спектров светящихся паров) можно установить его при-
сутствие в исследуемых светящихся парах. При спектральном анализе
могут быть зафиксированы вещества в количестве до 10"8 г, а иногда
и до 10-10 г. Так были открыты такие химические элементы, как руби-
дий, цезий, таллий, индий, галлий. Описание спектров излучения и
поглощения приведено в 8.2.
Если световое излучение проходит сквозь прозрачную среду
(цветное стекло, раствор краски, пары металлов и др.), то спектр
такого света обладает некоторыми особенностями. Определенные ли-
нии в нем сильно ослаблены, т. е. волны соответствующей длины силь-
но поглощаются рассматриваемой средой. Такие спектры называют
спектрами поглощения, Вид спектра поглощения зависит от рассмат-
риваемого вещества» Наиболее характерны спектры поглощения паров
металлов. Линии поглощения любого атома точно соответствуют ли-
ниям спектра этого атома при испускании. Сравнивая положение
линий поглощения с линиями испускания различных элементов,
можно определить состав поглощения паров. Такое сравнение позво-
лило установить состав атмосферы, окружающей Солнце и некоторые
другие звезды.
7.8.3. Основы теории дисперсии' света. Дисперсия возникает при
прохождении света через вещество в результате вынужденных колеба-
ний заряженных частиц вещества (электронов и ионов) под действием
электромагнитного поля световой волны. Частицы вещества стано-
вятся источниками вторичных волн. Вторичные волны, распространя-
ясь во всех направлениях, являются когерентными, поэтому интерфе-
рируют между собой. Если вещество оптически однородно, то в резуль-
тате интерференции происходит взаимное гашение вторичных волн во
всех направлениях, кроме направления распространения первичной
волны. Интерференция приводит к возникновению световой волны,
которая распространяется в том же направлении, что и первичная,
но с отличной от скорости света с в вакууме фазовой скоростью
V — с/п — c/КецвоИо’
где п — абсолютный показатель преломления среды; 8, р— относитель-
ные электрическая и магнитная проницаемости среды, е0, р0—электри-
ческая и магнитная постоянные.
Излучение и поглощение света осуществляется в основном внеш-
ними электронами, которые называют оптическими электронами атома
(или молекулы). Собственные частоты электронов внутренних оболочек
значительно больше частоты световых волн, поэтому колебания внут-
ренних электронов практически не возбуждаются.
В случае классического приближения уравнение колебаний одного
оптического электрона в электрическом поле напряженностью Е имеет
вид
г + 2уг + <o„r = Е. (7.65)
Здесь т, е — масса и заряд электрона; &% = k/m(k— коэффициент ква-
зиупругой силы, возвращающей электрон в положение равновесия);
у — g/tn (g—коэффициент трения, обусловленный поглощением энергии
световой волны). Магнитная сила FH = ~ [v X Н] в уравнении (7.65)
не учитывается из-за малости (v/c < 1).
Когда электрическое поле света описывается плоской волной
Е = A exp I [со/ — (k, r)]f
362
решение для вынужденных колебаний оптического электрона выража-
ется формулой
------е.
coj — со2 + 2/соу
Вектор индукции вещества, состоящего из N атомов в единице
объема, имеет вид
D = еуЕ + Р = ££0Е.
Здесь вектор поляризации вещества Р = Л;р, где р —дипольный момент
атома в электрическом поле световой волны, определяемый как
р = ег.
В этом случае зависимость диэлектрической проницаемости е от
частоты световой волны со можно пред-
ставить так:
^nNe2!m
Е (СО) = 1 + —--------------
соу — со2 + 2/соу
Комплексный показатель прелом-
ления
п = п — ix — V ее0,
где п — вещественный показатель пре-
ломления; х — показатель затухания.
Для газов, когда п — 1 < 1, т. е.
Я(ь>)
2 co/cjq
Рис. 7.48
п /1 +2 (л — 1),
справедливы формулы
р2 (Ом —со2
п = 1 + — —-------Ц---------,
« (<Do — (О2)2 + ?2<02
п »; «2
X = 2лМ-----—------4-------.
т (о2 — <о2)2 + у2ша
Зависимости п (со) и х (<о) для значений y/<oo = 10-1 и 2nNezltn = 1,1
приведены на рис. 7.48.
В области, где поглощение невелико, так что выполняется крите-
рий
I «о — ®2 I > 2<оу,
вещественный показатель преломления п (со) возрастает с частотой.
Такую дисперсию называют нормальной. В области, где
j <jl>o — со2 | 2соу,
показатель п (со) уменьшается с частотой (аномальная дисперсия),
однако его практическое измерение в этой области затруднено сильным
поглощением.
У вещества, имеющего набор заряженных частиц с разными соб-
ственными частотами (например, состоящего из различных ионов),
появляются некоторые особенности в зависимости е (со). Например,
363
если взаимодействием между соседними заряженными частицами в газах
можно пренебречь, то
п
1=1
где суммирование проводится по всем типам различных заряженных
частиц вещества.
В квантовой теории излучения показано, что атом даже в одном
данном состоянии с энергией Еп эквивалентен набору осцилляторов,
т. е. может совершать под действием световой волны переходы в со-
стояния с энергией Ek (Ek — En~ h(dnk/23i). В случае атома с одним
валентным электроном без учета поглощения можно записать следую-
щую формулу дисперсии:
п? (и) = 1 + 4nN — У .
k^n
Здесь постоянную fnk* пропорциональную вероятности перехода атома
за определенное время в отсутствие внешних полей из состояния с вы-
сокой энергией Ek в состояние с более низкой энергией Еп, называют
силой осциллятора с частотой В общем случае постоянная fnk
может быть как положительной, так и отрицательной. При этом
f kn— fnkt
следовательно, fkn — ^ при k=n. Если в атоме Z валентных электро-
нов, то выполняется правило сумм:
£ fnk = Z.
k
1.8А. Рассеяние света. Рассеянием света называют изменение
направления распространения световой волны в процессе прохождения
ее через вещество. При этом возникает свечение вещества, называемое
несобственным свечением. Различают упругое рассеяние света, когда
частота световых волн не изменяется и не происходит обмен энергией
между светом и веществом, и неупругое рассеяние света, когда частота
световых волн изменяется.При упругом рассеянии сохраняются фазовые
соотношения между падающей и рассеянной волнами, т, е. эти волны
когерентны. При неупругом рассеянии когерентность этих волн нару-
шается, т. е. наблюдается некогерентное рассеяние.
Оптическая однородность вещества может быть нарушена при на-
личии частиц другого вещества, беспорядочно распределенных в объ-
еме (например, частиц пыли в воздухе). Оптически мутной средой назы-
вают среду, в которой показатель преломления п (х) беспорядочно
изменяется во всем объеме, однако среднее его значение по достаточно
малому объему есть величина постоянная. В оптически мутной среде
рассеяние происходит во все стороны.
Если в оптически однородном теле беспорядочно расположены
малые частицы, среднее расстояние между которыми значительно
больше длины волны света Л, то интенсивность рассеянного света 1
обратно пропорциональна четвертой степени длины волны (закон
Рэлея), Например, для случая рассеяния естественного света на час-
364
тицах сферической формы й объема К1 = 4/Зл^ (2?0 —радиус частиц)
закон Рэлея можно записать в виде
9е02
е —е0
е. + 2е0-
VJ
ал
1 + cos2 е
NVI„,
где е0 — диэлектрическая проницаемость среды, из которой удалены
частицы; е — диэлектрическая проницаемость частицы; 0 — угол
между направлениями распространения падающей световой волны
и рассеянной (угол рассеяния); N — среднее число частиц в единице
объема; V —•* рассеивающий объем; /0 — интенсивность падающего
света.
При рассеянии белого света в мутной оптической среде с мелкими
беспорядочными неоднородностями рассеянный свет кажется голубым,
так как в соответствии с законом Рэлея голубые и синие лучи, имею-
щие меньшую длину волны, рассеиваются сильнее желтых и красных.
Закон Рэлея нарушается, если размеры рассеивающих частиц больше
длины волны. Для таких частиц интенсивность рассеянного света об-
ратно пропорциональна квадрату длины волны. Например, туман,
состоящий из очень маленьких капелек, кажется голубоватым, а из
более крупных — белым.
Неоднородностями оптической среды, на которых происходит
рассеяние света, могут служить флуктуации плотности вещества, обус-
ловленные тепловым движением молекул. Такое рассеяние называют
молекулярным. Интенсивность молекулярного рассеяния растет с по-
вышением температуры. Голубой цвет неба объясняется молекулярным
рассеянием на флуктуациях плотности воздуха.
Из-за рассеяния интенсивность падающей волны экспоненциаль-
но убывает с расстоянием z от границы оптически мутной среды:
I (г) = / (0) е~^г.
Здесь постоянная у является коэффициентом рассеяния} I (0) — ин-
тенсивность света, падающего на границу оптически мутной среды,
т. е. при z=0.
7.8.5. Комбинационное рассеяние света. Спектральные исследо-
вания показывают, что каждая линия в рассеянном свете сопровож-
дается системой линий с измененной частотой (сателлитами), число
и расположение которых связаны с молекулярным строением веще-
ства. Это явление называют комбинационным рассеянием света или
эффектом Рамана.
Комбинационное рассеяние подчиняется следующим законам.
1. Отличие частот сателлитов от возбуждающей частоты Дсо • за-
висит от номера сателлита /. При переходе к другой спектральной7 ли-
нии падающей волны набор значений Дсо. оказывается таким же и ха-
рактерен для данного вещества. 7 \
2. Сателлиты расположены симметрично относительно линии па-
дающего света. Сателлиты с частотой со — ДсОу называют красными
или стоксовыми, а с частотой со + А со у — фиолетовыми или антисток-
совыми.
3. Число различных сателлитов и их относительная интенсивность
зависят от рассеивающего вещества и температуры. Интенсивность
красных сателлитов гораздо больше, чем фиолетовых.
4. Частота Асоу- обычно совпадает с собственной частотой инфра-
красных волн рассеивающего вещества.
365
5. Комбинационно-рассеянные волны частично поляризованы,
причем характер поляризации волны, соответствующей данному зна-
чению Асду, всегда одинаков и не зависит от частоты основной линии.
В соответствии с упрощенной классической теорией комбина-
ционное рассеяние света возникает вследствие вынужденных колебаний
дипольного момента молекул рассеивающего вещества, причем свето-
вая волна рассеивается в основном электронной оболочкой, а взаимное
расположение ядер в молекуле определяет внутреннее поле, в котором
находится электронное облако. Комбинационное рассеяние света
связано с переходами между колебательными и вращательными уров-
нями рассеивающих молекул.
7.9. ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
7.9.1. Испускательная и поглощательная способность. Испуска-
ние и поглощение света происходит в результате колебаний заряжен-
ных частиц в атомах и молекулах. Законы, описывающие процессы
излучения, имеют квантовый характер, однако ряд явлений можно
описать в рамках термодинамического подхода, не вникая в детали
механизма взаимодействия излучения с веществом, а рассматривая
только энергетические преобразования п изменения, происходящие
при излучении.
Любое нагретое тело излучает электромагнитные волны. Энергия
излучения черпается за счет поглощения некоторого количества тепла.
Излучение, возникающее за счет внутренней энергии вещества, назы-
вают тепловым излучением. Состояние равновесно излучающего тела
можно характеризовать определенной температурой. Равновесное из-
лучение устанавливается в замкнутой адиабатической системе, в кото-
рой температура всех тел одинакова. Испускательная способность теп-
лового излучения равна потоку световой энергии, излучаемой единицей
поверхности тела во всех направлениях, и соответствует светимости
Му. Испускательную способность иногда называют спектральной
плотностью энергетической светимости.
Если на поверхность какого-нибудь тела падает световой поток
с?Ф, то часть его йФ' будет поглощена телом. Отношение этого потока
к падающему называют поглощательной способностью тела
А - —
йФ '
которая в общем случае зависит от интервала частот поглощаемых све-
товых волн и температуры.
7.9.2. Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа. Тела, поглоща-
тельная способность которых для всех частот и температур равна еди-
нице, называют абсолютно черными. Моделью абсолютно черного тела
может служить небольшое отверстие в полой сфере из непрозрачного
вещества. Лучи света, попадая через такое отверстие внутрь сферы,
испытывают большое количество отражений и практически полностью
поглощаются.
Кирхгоф установил закон, согласно которому отношение испуска-
тельной способности тела к поглощательной не зависит от природы
тела и является одинаковой для всех тел функцией температуры и час*
тоты излучения, т. е.
(7.66)
7-V=e(X, Г).
/1 у
366
Следовательно, при данной температуре и длине волны излучения ис-
пускательная способность тела прямо пропорциональна его поглоща-
тельной способности. Поскольку поглощательная способность Av С
< 1, то из соотношения (7.66) следует, что абсолютно черное тело яв-
ляется самым интенсивным источником теплового излучения. Кроме
того, при = 1 универсальная функция 8 (% Т) равна испускатель-
ной способности абсолютно черного тела.
7.9.3. Законы излучения абсолютно черного тела. Основной $а-
дачей теории о тепловом излучении является определение вида функ-
ции е (X, Т). Стефан экспериментально, а Больцман теоретически уста-
новили закон для суммарного интегрального излучения черного тела
8 (Т) = ^8 (X, T)dk. Закон Стефана—Больцмана формулируется так!
интегральная испускательная способность абсолютно .черного тела
пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры:
8 = ОТ4,
где о — постоянная Стефана—Больцмана, равная 5,67032 • 10-8
Вт/(м2 • К4). Если поглощательная способность тела отлична от
единицы, то этот закон неприменим.
При заданной температуре То функция в (X, То) представляет со-
бой кривую с максимумом, положение которого обратно пропорцио-
нально абсолютной температуре:
^макс = 4 <7'67>
(постоянная Ь — 2,898 • 10~3м • К). Формула (7.67) математически
описывает закон смещения Вина. По излучению Солнце очень близко
к абсолютно черному телу, причем максимум излучения соответствует
длине волны 470 нм. Из закона Вина следует, что температура на по-
верхности Солнца составляет около 6200 К.
Исходя из законов статистической физики и классической электро-
динамики можно вывести формулу для испускательной способности
абсолютно черного тела (формулу Рэлея—Джинса)'.
Mv = 2^? kT’ (7-68)
где k — постоянная Больцмана. Формула Рэлея—Джинса согласуется
с экспериментальными данными только для малых частот.
Энергетическая светимость тела определяется формулой
00
R = dv.
6
В соответствии с соотношением (7.68) при любой температуре энерге-
тическая светимость абсолютно черного тела бесконечно велика. Та-
ким образом, применение формулы Рэлея—Джинса в области больших
частот приводит к так называемой ультрафиолетовой катастрофе.
7.9.4. Недостаточность классической теории. Кванты излучения.
Попытки получить теоретически зависимость 8 (X, Т) долгое время
были неудачными. Причина этого заключалась в принципиальной
неприменимости классической электродинамики к рассмотрению эле-
ментарных процессов, обусловливающих тепловое излучение, Эту про-
367
блему удалось решить лишь после создания основ квантовой теории пу-
тем кардинальных изменений в представлениях о законах излучения.
Планк высказал гипотезу, что процесс испускания и поглощения
света происходит не непрерывно, а определенными порциями (кван-
тами), Электромагнитная энергия, излучаемая светящимся телом,
кратна определенной ее доле е0, пропорциональной частоте колебаний
волны:
е0 = Av,
где h =» 6,626176 ♦ 10“34 Дж • с — универсальная константа, назван-
ная постоянной Планка.
Квантовые законы в области длинных волн (радиоволн) совпадают
с законами классической электродинамики. Действительно, если
с
v == — мало, то значение 80 настолько мало, что опытным путем не-
л
возможно обнаружить дробности излучения, и оно практически неот-
личимо от непрерывного. Так, при Л = 0,3 см значение 80 составляет
6,62 • 10~23 Дж, а это порция энергии, которую невозможно измерить
экспериментально. Таким образом, классическая электродинамика пра-
вильно описывает поведение макроскопических систем. При высоких
частотах расхождение между классической электродинамикой и кван-
товой теорией излучения становится существенным. Излучение атомов
и молекул рассматривают на основе квантовой механики.
Применение квантовых представлений дало возможность устра-
нить ряд принципиальных трудностей, возникших при использовании
классической электродинамики для описания атомных процессов. Так,
учитывая квантовые законы, Планк нашел выражение для функции
распределения энергии излучения абсолютно черного тела по длинам
волн:
2лс2А 1
8(Х>Г) = —-----------------, (7.69)
ехр[*тх| —1
где с — скорость света; k — постоянная Больцмана. При малых час-
тотах, когда
Av
/7' с ’
из формулы Планка приближенно следует формула Рэлея—Джинса.
Формула Планка (7.69) хорошо согласуется с экспериментальными из-
мерениями зависимости 8 (X, Т). Из этой формулы следует закон Сте-
фана—Больцмана, причем постоянная Стефана—Больцмана связана
с постоянной Планка соотношением
__ 2лбА4
° “ ГбсТ3'
Испускательная способность абсолютно черного тела описывается в за-
висимости от длины волны в соответствии с формулой (7.69) функцией
мк = [exp (/ic/MT) — I]-1.
368
Максимум этой функции определяется из уравнения
he / he \ Г / he \1
i kT I у ьт) "Ь ехР I 1 лу I
Лмакс^^ \Лмаксй* / [ х^макс^*/]
решение которого имеет вид закона смещения Вина (7.67) с тем же зна-
чением постоянной b = /гг/4,965К — 0,29 см • К.
7.10. НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
7.10.1. Среда с нелинейной поляризацией. Интенсивные свето-
вые пучки, создаваемые квантовыми генераторами, обладают напря-
женностью электрического поля, сравнимой и даже превышающей на-
пряженность Ед внутримолекулярных и внутриатомных электрических
полей. При таких полях (| Еа | ~ 1010—1011 В/м) показатель прелом-
ления среды зависит от напряженности Е и нарушается принцип супер-
позиции при распространении световых волн, так что волны оказывают
влияние одна на другую. При распространении интенсивных световых
волн вектор поляризации среды Р может нелинейно зависеть от напря-
женности Е электрического поля световой волны. В случае анизотроп-
ной среды, если напряженность электрического поля Е сравнима,
но меньше напряженности Еа, /-я компонента вектора поляризации
Р будет такой:
р,:= X Ek + S е» ajki EkEi + X kinEkE‘E'n+ ••• ’
k k,l k,l,m
где e0= 8,85418782 • 10~12Ф/м— электрическая постоянная; линей-
ная поляризуемость среды; и Ujkim называют квадратичной а
кубической поляризуемостями среды. Если излучение Е монохроматично
с частотой со, то поляризуемости a.k, a.klt ajkim и т. д. являются
функциями со. Если каждая точка среды обладает центральной симмет-
рией, то поляризуемости четных порядков такой среды равны нулю.
При качественном рассмотрении нелинейных оптических явлений
можно приближенно пользоваться моделью изотропной среды, в кото-
рой поляризуемости описываются скалярными величинами. Тогда век-
тор поляризации можно записать в виде
Р = еоа Е + ^а2Е Е + e^E2 Е + . ..
Разлагая Р на линейную
Рл = 80а Е
и нелинейную
РНЛ = еоа2£ Б + е0а3^2 Е + . . .
части, выделяют линейную часть индукции
Ол = е0 Е + Рл = еое Е,
где 8 — диэлектрическая проницаемость среды, и нелинейную
36Э
Уравнения Максвелла в этом случае имеют вид
i _ ™у\ + i J-
\ ду дг )' 3 \ дг дх ) '
+ к JI- (7.70)
’ \ дх ду / dt dt
I (dEz дЕу\ /дЕх dEz\ . /дЕу дЕх\ д Н /у 71 \
Ча?—+ л"0, ( ’
д (рЕх) , д (еЕу) . д (еЕг) =
дх ду dz
[ дР дР ___ ХНЛ | унл , дРгнл] (7 72)
[ дх ду ' 1 ’
дНх , дНу , дНг
дх г ду dz = 0, (7.73)
TPS i, j, к — единичные векторы в направлениях X, У, Z соответственно.
Решение уравнений (7.70)—(7.73) можно получить, применив метод
последовательных приближений. За нулевое приближение использу-
ют обычные уравнения электродинамики, а для Е — уравнение пло-
ской волны Ео = E00cos (со/ — кг).
7.10.2. Оптическое детектирование и генерация вторых гармоник.
Нелинейная часть вектора поляризации в нулевом приближении
имеет вид
о2™ р
Рнл = бр а2£0 Ео = ц + cos2 «о/ - кг)] Е00. (7.74)
Первое слагаемое здесь определяет постоянный вектор поляризован-
ное™ среды
8?
р2 = -J “2^00 Еоо = const,
который в свою очередь определяет оптическое детектирование. На-
пример, в кристалле кварца, помещенном в плоский конденсатор, в ре-
зультате оптического детектирования, обусловленного полем интенсив-
ной волны, возникает импульс электрического тока в направлении,
перпендикулярном направлению распространения света.
Второе слагаемое в выражении (7.74) определяет генерацию второй
гармоники исходной волны в нелинейной среде. Поле второй гармо-
ники
Е = е'(й>) — е (2<о) £°° Е°° [c0S 2 ~ — C°S ~ <7,75)
k% = | k2|2 = 4<о2е (2 (о)/с2.
Из формулы (7.75) следует, что вторая гармоника формируется при
наложении двух волн с частотой 2со, имеющих разные фазовые скоро-
сти и распространяющихся в одном направлении. В результате сложе-
ния этих волн возникают биения, в которых происходит переход энер-
гии от исходной волны ко второй гармонике и наоборот. По мере рас-
пространения исходной волны наблюдается своеобразная периодичен
370
т 7
ская перекачка энергий. Расстояние, на котором осуществляется один
цикл перекачки, называют когерентной длиной*.
j I ___________________
0 2<о | л (со)—/2(2со) | *
где п (со), п (2со) — показатели преломления исходной волны и второй
гармоники.
Если разность j п (со) — п (2со) | велика, то значения /0 малы, что
ограничивает возможности получения высоких интенсивностей вторых
гармоник. Например, для кварца при распространении красного света
/0 ~ Ю“б м. Когда
п (со) = п (2со), (7.76)
фазовые скорости обеих волн одинаковые:
с __ _ с
V1 ~ п (со) V'2 ~ п (2<о)
и значение когерентной длины стремится к бесконечности. Условие
(7.76) называют условием фазового синхронизма. Если это условие вы-
полняется, то вторую гармонику можно генерировать со значительной
интенсивностью даже при слабой нелинейности.
В некоторых одноосных кристаллах для определенного угла 0
между обыкновенным и необыкновенным лучами возможен фазовый
синхронизм. Угол 0 называют углом синхронизма, а соответствующие
направления распространения обыкновенного и необыкновенного лу-
чей — направлениями синхронизма. Например, в кристалле дегидро-
фосфата калия 0 == 4Г35' при длине волны к — 1,15 мкм.
7.10.3. Генерация волн с суммарной и разностной частотами.
Если в нелинейной среде распространяются два монохроматических
пучка с частотами и со2, обладающие большой интенсивностью, то
в результате их взаимодействия могут возникать световые волны с час*
тотой
cos — Cl>1 ± со2.
При этом получают генерацию электромагнитного излучения в инфра-
красной и ультрафиолетовой областях спектра,
7.10.4. Излучения с плавно перестраиваемой частотой. Если в не-
линейной среде, вектор поляризации которой содержит нелинейное
слагаемое в квадратичном приближении по Е, определяемое формулой
(7.74), то распространяется волна накачки большой интенсивности
cos С®н* — k//r)
и две слабые волны
Ед- = E(n- cos (со,/ — ktr) (i = 1, 2).
При выполнении условия
(Оуу — COj -f- (02 (7 • ^7)
наблюдается явление параметрического усиления света. Это явление
возникает как результат модуляции показателя преломления среды
в процессе ее взаимодействия с волной накачки. Такое взаимодействие
особенно сильно, когда выполняется условие
(со1) -J- к2 ((в2) = k/у (w^)t (7.78)
371
Уравнение (7.78) определяет условие фазового синхронизма между вол-
ной накачки и слабыми волнами с частотами (ot и <о2. При этрм анергия
волны накачки в нелинейной среде передается волнами с указанными
частотами и о2.
Для увеличения эффективности процесса параметрического усиления
используют оптический резонатор в виде двух зеркал, вследствие чего
волна накачки многократно проходит через нелинейную среду. В таком
резонаторе могут происходить самовозбуждения волн с частотами (Oj и
со2. Они возникают из-за тепловых флуктуаций, а затем усиливаются в
соответствии с условием фазового синхронизма (7.78). Условие (7.78)
и соотношение (7.77) могут удовлетворяться в некоторых кристаллах
для обыкновенного и необыкновенного лучей. В общем случае такие ус-
ловия могут быть представлены одним из следующих равенств:
к* = к?+к*.
к* = к» + к’,
к?/ = к? + к*
к°,=кг+к*
Здесь индекс нуль относится к обыкновенному, а звездочка — к необык-
новенному лучам.
Изменяя показатель преломления кристалла за счет изменения
температуры, включения постоянного электрического поля или изме-
нения ориентации его оптической оси, можно плавно перестраивать
частоты Oh и (о2, для которых направление, перпендикулярное плоско-
стям зеркал оптического резонатора, является направлением синхро-
низма. На этом принципе основаны параметрические генераторы коге*
рентного света с плавно регулируемой частотой. Такие лазеры с пере-
страиваемой частотой позволяют генерировать частоты, перекрываю-
щие весь оптический диапазон, что дает возможность продвинуться да-
леко в инфракрасную часть спектра, а это очень важно для спектраль-
ного анализа и других приложений. Отношение интенсивности пара-
метрически генерируемых волн к интенсивности волны накачки опреде-
ляет КПД параметрических лазеров, который обычно мал и достигает
нескольких процентов, чем, однако, обеспечивается выходная мощ-
ность генерируемого когерентного света порядка сотен киловатт.
7.10.5. Самофокусировка. Кубические нелинейные эффекты дают
добавку к вектору поляризации среды в виде
Рнл = ®о«2 (£о + Ег) (Ео + Е,) + e’a3£j Ео.
Для изотропной среды или кристаллов, обладающих центром симмет-
рии, а2 = 0, а для плоской падающей волны Ео = E00cos (со/ — кг)
нелинейное слагаемое имеет вид
F2 F
0^3^00 ^00 г о / х 1 /7
Рнл -------4----[3cos кг) + cos 3 (со/ — кг)}, (7.79)
т/е. возникает генерация третьей гармоники (<о3 = Зсо), для которой
условие фазового синхронизма определяется соотношением
п (<о) = п (Зсо),
где п (Зсо) — показатель преломления третьей гармоники.
372
Первое слагаемое в правой части формулы (7.79) Может быть до-
бавлено к линейному слагаемому Р, и суммарная поляризация среды
для волны с частотой <о примет вид
I Зео 0 \
Р = еДсс + -j- «з^ооj Еоо cos (со/ — кг).
Кубические нелинейные эффекты в среде приводят к изменению
диэлектрической восприимчивости среды е* (со), которая становится
зависящей от интенсивности исходной волны:
2
е* (о) = е (<о) + -Л а3Еоо .
Для не очень интенсивных излучений, когда
аз^оо 1»
показатель преломления среды с учетом кубических эффектов опреде-
ляется приближенно:
ор2
П* ~ Л 4- _о а3Е30 = По + п2Е2,
. 4
где п0 — постоянная составляющая, а величина и знак коэффициента
п2 могут быть разными для разных веществ.
Когда интенсивная световая волна проходит сквозь однородную
среду, обладающую кубической нелинейностью, происходит наруше-
ние оптической однородности среды и луч света отклоняется в сторону
больших значений показателя преломления, что при п2 >’0 обеспечи-
вает самофокусировку (или дефокусировку при п2< 0) узкого светового
пучка. В сечении самссфокусированиого пучка плотность энергии волны
принимает максимальное значение в центре и уменьшается вдоль ра-
диуса к внешним частям пучка. Для некоторых значений интенсив-
ности световой волны явление самофокусировки луча компенсирует
обычную дифракционную расходимость световых лучей. Дальнейшее
увеличение интенсивности приводит к усилению фокусировки, в резу-
льтате чего возникают тонкие и яркие «стрелы», плотность потока
энергии в которых на много порядков выше, чем в исходной волне.
Под действием высокоинтенсивного излучения может наблюдаться
явление просветления, когда непрозрачная для слабого излучения среда
становится прозрачной. Отмечают также эффект затемнения (нелиней-
ного поглощения), когда прозрачные для слабого излучения среды
становятся непрозрачными под влиянием мощного излучения.
Явления нелинейной оптики широко используют в технике —
при создании новых мощных источников когерентного излучения и ус-
тановок для преобразования частоты излучения, сигналов и изображе-
ния, систем детектирования, а также при конструировании новых
Приборов.
Раздел 8
АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
8.1. СТРОЕНИЕ АТОМА
8.1.1. Составные части атома и их свойства. А томом называют
частицу вещества микроскопических размеров и массы, наименьшую
часть химического элемента, являющуюся носителем его свойств.
Атом состоит из положительно заряженного ядра, которое занимает
около его объема и в котором сосредоточена почти вся масса.атома,
и электронов с отрицательными электрическими зарядами. Любой
наблюдаемый в эксперименте электрический заряд кратный элемен-
тарному заряду е~ 1,60219 • 10~19 Кл, равному по величине заряду
электрона. Число элементарных зарядов ядра является основной ха-
рактеристикой атома, определяющей все химические и многие физиче-
ские свойства, а также номер элемента в периодической системе
Д. И. Менделеева. Его называют атомным номером.
Другая важная характеристика атома — его масса (масса ядра).
Для каждого элемента (атомного номера) существуют атомы различ-
ной массы, которые называют изотопами.
Количество электронов в атоме в основном состоянии равно его
атомному номеру, поэтому атом в целом электрически нейтрален. Мож-
но лишить атом одного или нескольких электронов или, наоборот,
присоединить к нему дополнительные электроны, тогда атом превра-
щается соответственно в положительно или отрицательно заряженный
одно- или многозарядный ион. Электрон обладает спином S = 1/2,
модуль проекции на избранную ось его собственного механического
момента^Л == (1/2)й, а магнитного момента & рв (%— постоянная
Планка,- деленная на 2л, рв— магнетон Бора). Он подчиняет-
ся принципу Паули, поэтому два электрона не могут на-
ходиться в одном стационарном состоянии. Теоретической основой
количественного описания строения и свойств атомов является кван-
товая механика. Свойства атомов определяются их энергетическим
спектром и соответствующими стационарными состояниями.
8.1.2. Атом водорода. Простейшим атомом является атом водо-
рода с единичным зарядом ядра и одним электроном. Изучение стацио-
нарных состояний атома водорода сводится к задаче о движении час-
тицы в центрально-симметричном поле. Для получения более точного
описания в гамильтониан вводят члены, учитывающие релятивистские
эффекты: зависимость массы электрона от его скорости и взаимодей-
ствие собственного магнитного момента электрона с магнитным полем,
создаваемым орбитальным движением.
Состояние электрона в атоме водорода характеризуется четырьмя
квантовыми числами: главным п, азимутальным I, магнитным т, пол-
ного момента импульса j. Эти числа могут принимать такие значения:
п — любые натуральные, I — целые от 0 до п — 1, т — от —I до /#
а всего (27 + 1) значений, j = / ± 1/2 при / 0 и / = 1/2 при
1= 0.
374
Энергии стационарных состояний описываются формулой
Еп^ = 2nhc
R«>Z* Г,
I tn \ \
П + Mz] L
a2Z2 /13
1 4/i
2
n3
(8.1)
Здесь слагаемое в квадратных скобках мало по сравнению с едини-
цей и обусловлено релятивистскими поправками; 7?^ — 64я3£Т3 ~
= 1,097373177 • 107м~х — постоянная Ридберга^ Z, Mz—соответственно
заряд ядра, кратный элементарному заряду, и его масса. Формула (8.1)
применима не только к атому водорода, но и к водородоподобному иону,
т. е. состоящему из ядра с любым зарядом Z и любой массой М z
п - ц0^2
и одного электрона. Постоянная тонкой структуры а = =
4лп
= 7,297 35 • IO"3.
Формула (8.1) учитывает движения атомного ядра и хорошо согла-
суется с экспериментальными данными. Величину
Т>ч' ~ 2nhc Eni
называют спектральным термом или просто термом. Для термов при-
няты обозначения, определяющие их квантовые числа. Азимутальное
число / обозначают так, что значениям 0, 1, 2, 3, 4 соответствуют бук-
вы s, р, dt f, g, а далее по латинскому алфавиту, главное квантовое число
п ставится в виде коэффициента при букве, обозначающей /, а число
полного момента импульса j—внизу справа в виде индекса. Так,
запись 2р3/2 обозначает состояние электрона, в котором п = 2, I ==
= 1, j — 1/2. Если не учитывать релятивистских поправок, то энер-
гия электрона зависит только от главного квантового числа, и каж-
дый уровень будет вырожден с кратностью 2л2.
Распределение электронной плотности как функция расстояния
от ядра имеет несколько максимумов и минимумов. Для основного
состояния lSi/з атома водорода максимум наблюдается на расстоянии
а0 = - 5,29177 • Ю’11 м,
и 4^x7?^ те2 ’
которое называют боровским радиусом. Для s-состояний плотность
сферически симметрична, а для других зависит от азимутального и
полярного углов.
8.1.3. Описание периодической системы элементов Д. И. Менде-
леева. В многоэлектронных атомах взаимодействие электронов значи-
тельно усложняет расчеты, но приближенно электронные состояния
можно характеризовать четырьмя квантовыми числами. Обычно при
этом вместо числа / используют спиновое магнитное квантовое число
т$, которое может принимать значения ±1/2. Состояния с одина-
ковыми числами п образуют слой (оболочку), а с одинаковыми числами
/ — подгруппу. В каждой оболочке может быть 2п2 электронов, в каж-
дой подгруппе их 2(2/ + 1). Действительное число электронов, кото-
рое находится в данном атоме в определенной подгруппе, обозначают
справа вверху у буквы, определяющей подгруппу. В периодической
системе элементов иногда не выписывают состояний всех электронов
атома, а ограничиваются теми, которыми отличаются атомы одного
375
периода. По мере увеличения заряда ядра (атомного номера) растет
количество электронов в атоме, и они в основном состоянии атома за-
полняют последовательно нижайшие по энергии уровни.
В периодической системе элементов номер периода (горизон-
тальной строки) равен главному квантовому числу слоя, который начал
заполняться у атомов этого периода. В первом периоде таблицы за-
полняется первый слой, он содержит всего два элемента: водород 1s1
и гелий 1s2. Во втором периоде идет заполнение второго слоя, он со-
держит восемь элементов: от лития ls22sx до неона ls22s22p6. Второму
периоду аналогичен третий, в котором заполняются состояния от
Is^s^Ss1 у натрия до ls22s23p63s23p8 у аргона. В третьем слое/может
приобретать значение 2, т. е. имеют место 3d состояния. Однако оказы-
вается, что энергии 4s состояний ниже, чем состояний 3d. Поэтому у
калия и кальция заполняется подгруппа 4s, а затем от скандия до цинка
у десяти элементов идет заполнение подгруппы 3d. При этом в четвер-
том слое остаются два s-электрона, за исключением меди, имеющей
электронное строение 3s23p83d1(’4s1. Химические свойства этих элемен-
тов (их называют переходными) изменяются с ростом номера иначе,
чем у элементов второго и третьего периодов. Начиная с четвертого
каждый период располагается в двух строках, причем элементы первой
строки пишут в левой части соответствующей клетки таблицы, а вто-
рой — в правой. Столбцы таблицы Менделеева называют группами,
непереходные элементы образуют главную подгруппу, а переходные —
побочную. Элементы подгрупп одной группы сходны по своим хими-
ческим свойствам.
От галлия до криптона идет застройка подгруппы 4р, поэтому
эти элементы сходны с соответствующими элементами второго и тре-
тьего периодов, в которых застраиваются подгруппы 2р и Зр. Анало-
гично четвертому периоду периодической системы строится ее пятый
период: сначала у рубидия и стронция заполняются уровни 5sx и 5s2,
затем от иттрия до кадмия строится подгруппа 4d, причем у некоторых
элементов в 4d подгруппу переходят один и даже два электрона из
5s, и от индия до ксенона заполняется подгруппа 5р.
В шестом периоде аналогичная последовательность застройки
пятой и шестой оболочек нарушается: после лантана у так называемых
лантаноидов или редкоземельных элементов идет заполнение подгруппы
4/, при этом количество электронов в подгруппе 6s не меняется. Из-за
этого химические свойства лантаноидов очень похожи. В подгруппе
4/ может быть до 14 электронов, соответственно имеется 14 редкозе-
мельных элементов. В седьмом периоде у франция и радия заполняется
подгруппа 7s, актиний имеет структуру 6dx7s2, торий 6d27s2 ,а начиная
с протактиния 5/26dx 7s2 до лоуренсия 5/146dx7s2 застраивается подгруп-
па 5/. У этих элементов наружный слой имеет строение 7s2, свойства
их подобны. Эти элементы называют актиноидами.
8.1.4. Химическая связь. Валентность. Обменное взаимодействие.
Природу сил, объединяющих атомы в молекулы, можно объяснить за-
конами квантовой механики. Свойство атомов соединяться, образуя
молекулу, описывается с помощью понятия валентности. Атомам
приписываются определенные валентности, которые при их присоеди-
нении взаимно насыщаются, т. е. валентной связи одного атома соот-
ветствует валентная связь другого. Валентность, как правило, равна
удвоенному спину атома или его низколежащего (мало отличающегося
по энергии от основного) возбужденного состояния. Если таких сос-
тояний несколько, атом может проявлять различные валентности. Спин
заполненных оболочек и подгрупп равен нулю, поэтому в образовании
химической связи участвуют только электроны незаполненных под-
групп и оболочек — так называемые валентные электроны. Например,
376
атомы щелочных металлов, спин которых равен 1/2 (элементов главной
подгруппы первой группы периодической системы) имеют по одному
валентному электрону, а следовательно, единичную валентность. Для
элементов второй группы в основном состоянии спин равен нулю, но
в низколежащем возбужденном состоянии с конфигурацией в неза-
полненной оболочке s1p1 он становится равным единице, поэтому атомы
этих элементов двухвалентны. Две валентности имеют атомы,
у которых спины основного и низколежащего возбужденного состоя-
ний отличаются на единицу. Например, у атомов главной подгруппы
четвертой группы периодической системы (углерод, кремний и др.)
в основном состоянии с конфигурацией незаполненной оболочки s2p*
спин равен единице, а в возбужденном состоянии с конфигурацией
s1/?3 —- Двум. Эти атомы могут быть двух- и четырехвалентными, причем,
как правило, атомы более легких элементов чаще проявляют высшую
валентность.
Существенно другие закономерности наблюдаются в валентности
переходных элементов, расположенных в побочных подгруппах перио-
дической системы. Особенность их состоит в том, что в них происходит
застройка подгруппы d глубоко лежащей оболочки с низшим квантовым
числом. Поэтому их химические свойства в основном определяются
электронами наружной оболочки (валентными). Эти элементы назы-
вают переходными металлами.
Связь между спином атома и его валентностью объясняется тем,
что в большинстве случаев при образовании молекул спины атомов
компенсируются и спин молекулы становится нулевым. Исключения
составляют соединения переходных металлов, в которых спины d-
электронов могут не компенсироваться. При соединении атомов в мо-
лекулу заполненные ее оболочки существенно отличаются от атом-
ных. В частности, максимум плотности вероятности для электрона мо-
жет сместиться и оказаться значительно ближе к другому атому. В
связи с этим говорят об ионной или гетерополярной связи в молекуле.
Когда асимметрия распределения заряда отсутствует или слабо выра-
жена, связь называют ковалентной или гомеополярной.
Частным случаем гомеополярной связи является объединение в
двухатомную молекулу одинаковых атомов. Связь в этом случае обу-
словлена обменными силами — квантовым эффектом, не имеющим ана-
лога в классической физике и играющим большую роль в природе
молекул и кристаллов. В частности, обменные силы считают ответствен-
ными за явления ферромагнетизма и антиферромагнетизма. Природа
этих сил связана с тождественностью электронов. Если два атома нахо-
дятся настолько далеко один от другого, что взаимодействием валент-
ных электронов можно пренебречь, то состояние последних является
вырожденным, так как очевидно, если обменять электроны местами, то
энергия системы не изменится. Взаимодействие электронов, рассмат-
риваемое как возмущение, снимает вырождение. Один из двух образо-
вавшихся в результате расщепления уровней оказывается ниже не-
расщепленного уровня, причем тем ниже, чем ближе расположены
атомы (до некоторого предела). Этот выигрыш в энергии порождает
силу притяжения и определяется обменным интегралом
1 = (Г’г"*2 г ’| (р*' (Г1) ‘Р* (Гг) (Га) (Г1)
V I ! — >2 1
где ф/ (г), ф& (г) — состояния валентных электронов в невзаимодейст-
вующих атомах I и k; rlt r2 — радиусы-векторы соответственно первого
и второго электронов; интегрирование производится по всем координатам
обоих электронов.
877
Координатная волновая функция системы после снятия вырождения
оказывается симметричной или антисимметричной комбинацией функций
ф/ (г) и срk (г):
ф8 = Л [<Pz (rj) <Р* (г2) + <р(- (г2) <р* (г,)], (8.2)
ipa = Аа [<р,- (Г1) ср* (г2) — <р,- (r2) (pk (гх)].
Какая именно из функций (8.2) соответствует низшей энергии, зависит
от знака обменного интеграла. Так как полная волновая функция
системы электронов, являющаяся произведением координатной функ-
ции и функции, зависящей от спиновых переменных, должна быть
антисимметричной, то симметричной орбитальной функции соответст-
вует антисимметричная спиновая, и наоборот. Поэтому обменное
взаимодействие может быть представлено как взаимодействие спинов,
стремящееся выстроить их параллельно или антипараллельно. Оно
не связано с диполь-дипольным взаимодействием магнитных моментов
электронов и обычно значительно сильнее его.
8.2. ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ АТОМАМИ И МОЛЕКУЛАМИ
8.2.1. Спектры излучения и поглощения света атомами. Все хи-
мические элементы в газообразном состоянии дают линейчатый строго
характерный для каждого из них спектр излучения, что составляет
основу спектрального анализа. Интенсивность различных линий зави-
сит от условий, в которых находится газ. В частности, при тепловом
равновесии она зависит от температуры, а гьри определенной темпера-
туре — от количества атомов элементов.
Спектром поглощения вещества называют распределение интенсив-
ности поглощения облучающего света в зависимости от его частоты.
Спектр поглощения элемента в газообразном состоянии в точности
соответствует его спектру испускания. Если испускающие атомы дви-
жутся со скоростью, сравнимой со скоростью света, положение линий
в спектре изменяется без изменения расстояний между ними, т. е.
спектр смещается как целое. Это является результатом эффекта Доплера
в дает возможность с помощью спектрального анализа изучать дви-
жение звезд. Смещение спектра как целого в длинноволновую сторону
можно наблюдать также у атомов, помещенных в очень сильное гра-
витационное поле. Этот эффект объясняет общая теория относительно-
сти. Атомные спектры в настоящее время с большой точностью можно
рассчитать с помощью теории строения атома.
8.2.2. Закономерности в оптических спектрах атомов. Наиболее
простым и хорошо изученным является спектр атома водорода. В первом
приближении при малой разрешающей силе спектрографа оптический
спектр водорода может быть представлен в виде нескольких спектраль-
но х серий: Бальмера, Пашена, Лаймана и др. (табл. 99). В оптике при-
нято характеризовать спектральные линии соответствующими им вол-
новыми числами, т. е. величинами, обратными длинам волн электро-
магнитных колебаний в вакууме.Волновые числа любой спектральной
серии можно вычислить по формуле у 7
v т2)'
Здесь пит — натуральные числа, первое из которых для данной се*
$ии фиксировано, а второе принимает возрастающий ряд значений на*
чиная с п + 1. Для серии Бальмера п = 2, для серии Пашена п = 3,
для серии Лаймана п = L В этом приближении волновое число любой
т
линии спектра вычисляется как разность двух термов, соответствующих
различным значениям главного квантового числа и, и наоборот, раз-
ность любых двух термов определяет волновое число одной из спект-
ральных линий. Вторым слагаемым в квадратных скобках формулы
(8.1) следует пренебречь. Это правило вычисления волновых чисел
называют комбинационным принципом.
Применение спектрометров с более высокой разрешающей способ-
ностью позволило установить, что многие линии спектра имеют слож-
ный вид зависимости интенсивности линий от волнового числа с не-
сколькими максимумами или вообще распадаются, т. е. проявляется
тонкая структура линий, которая объясняется релятивистскими по-
правками к энергии электронных состояний (второе слагаемое в квад-
ратных скобках в формуле (8.1)). В этом приближении энергия зависит
от квантовых чисел п и j. Для s-состояний релятивистские поправки
приводят только к изменению энергии, а p-состояние расщепляется
на два терма: одинс/= 1/2 совпадает с s-термом притом же п, а другой
с j = 3/2 имеет соответственно меньший релятивистский^сдвиг. Таким
образом, терм с п = 1 только изменяется по величине, а терм с п — 2,
которому соответствовали s- и p-состояния, расщепляется на два. Из
их комбинаций с термом п = 1 получится тонкая структура первой
линии серии Лаймана. Аналогично объясняется наблюдаемая тонкая
структура других линий.
Учет влияния магнитного поля протона на энергию электрона при-
водит к снятию вырождения по магнитному квантовому числу т. Эти
эффекты слабее, чем спин-орбитальное взаимодействие, приводящее
к тонкой структуре (вместе с другими релятивистскими эффектами),
так как магнитный момент протона почти в 103 раз меньше магнетона
Бора. Получающееся расщепление линии называют сверхтонким рас-
щеплением и наблюдают на опыте в полном согласии с теорией.
Наиболее тонким эффектом является сдвиг энергии электронных
состояний в атоме водорода, связанный со взаимодействием электрона
с вакуумом электромагнитного поля —так называемый лэмбовский
сдвиг. Это взаимодействие приводит, в частности, к различию в энер-
гиях 2sjy2- и 2р^2’состояний» которые при вычислении по формуле
(8.1) совпадают. Теоретический расчет лэмбовского сдвига, произведен-
ный на основе квантовой электродинамики, полностью согласуется
с экспериментом.
Оптические спектры других атомов обусловлены переходами ва-
лентных электронов. Относительно простую структуру имеют спектры
щелочных металлов (главная подгруппа первой группы периодиче-
ской системы). Они имеют один валентный электрон, для которого ни-
жайшим является s-состояние. Его термы можно описать формулой
где — поправка, характеризующая экранирование ядра электро-
нами внутренних оболочек. Приближенно она равна числу этих элек-
тронов. Из-за влияния валентного электрона на их состояния эта по-
правка оказывается зависящей от квантового числа /. Из получающих-
ся термов можно составить формулы спектральных серий по определен-
ным правилам отбора комбинаций, так как комбинационный принцип
не выполняется (т. е. не всякая разность термов соответствует реаль-
но наблюдаемой линии).
379
Термы атомов со многими электронами зависят от суммарнцх
орбитальных моментов количества движения L, спина электронов S
и полного момента количества движения J = L + S. Соответственно
они расщепляются на мультиплеты, количество членов которых равно
iS + 1, так как J принимает значения от L — S до £ + 5 через едини-
цу. В обозначении терма указывают L с помощью большой буквы ла-
^йнского алфавита (соответствие между буквами и численными зна-
чениями L такое же, как в обозначении электронных состояний),
число J пишут справа внизу, а мультиплетность, т. е. значения
2S + 1 — вверху слева. Например, запись обозначает состояние,
в котором L = 1,S = 1, J = 1. Спектральные термы последователь-
ных элементов периодической системы имеют попеременно четную
и нечетную мультиплетности.
8.2.3. Рентгеновские спектры атомов. Рентгеновские лучи обыч-
но получают при бомбардировании электронным пучком металличе-
ской пластинки, называемой антикатодом. Если энергия электрон-
ного пучка выше критического значения, в спектре рентгеновских
лучей появляются резкие максимумы, длины волн которых характер-
ны для атомов, входящих в вещество антикатода. Такое рентгеновское
излучение называют характеристическим.
Характеристическое рентгеновское излучение испускают атомы,
из глубоко лежащих слоев которых выбит электрон в результате столк-
новения с высокоэнергетическим электроном пучка. Ионизация атома
с потерей электрона глубоколежащей оболочки может быть также
результатом фотоэффекта при облучении рентгеновскими лучами с
энергией кванта, превосходящей энергию связи внутреннего электро-
на. На освободившееся место во внутреннем слое атома переходит
электрон с одного из вышележащих слоев, в результате чего испуска-
ется характеристический рентгеновский квант.
В рентгеновской спектроскопии принято обозначать внутренние
оболочки атомов буквами латинского алфавита. Оболочку с главным
квантовым числом 1 называют К-оболочкой, с числом 2 — L-оболочкой,
с числом 3 — УИ-оболочкой и т. д. Соответственно характеристический
рентгеновский спектр содержит /(-серию, L-серию, а у тяжелых эле-
ментов наблюдаются также М- и TV-серии. К-серия состоит из линий
и К (в порядке возрастания волнового числа). Линия
излучается электроном при переходе с L-оболочки, — с М-оболочки,
— с N-оболочки. Другие серии имеют более сложную структуру.
Все линии рентгеновских спектров описываются формулой
v = 7?oo(Z-ap^-±), (8.3)
где п — главное квантовое число, соответствующее названию серии;
т — переменное целое число большее п\ б — постоянное для рассмат-
риваемой серии число, характеризующее экранировку ядра. Другим
выражением формулы (8.3) является закон Мозли: квадратный корень
из волнового числа линейно зависит от атомного номера. Рентгенов-
ские спектральные линии имеют также тонкую структуру, обусловлен-
ную расщеплением термов в результате релятивистских взаимо-
действий.
В отличие от оптических рентгеновские спектры атомов, находя-
щихся в химическом соединении, не изменяются. Рентгеновские спект-
ры поглощения представляют собой полосы с резким длинноволновым
краем, соответствующим энергии, связи электрона в слое. Тонкая
структура края такая же, как и слоя.
380
8.2.4. Молекулярные спектры. Оптические спектры молекул и со-
ставляющих их атомов совершенно различны. В молекулярных спект-
рах отдельные линии образуют характерные группы, в каждой из котог
рых линии у одного края располагаются настолько тесно, что при на-
блюдении в прибор средней разрешающей силы они сливаются в поло-
су. Отдельные полосы также собираются в группы. Такая структура
спектра объясняется тем, что энергию молекулы можно в некотором
приближении представить в виде трех слагаемых: энергии электронного
состояния Ее, энергии колебаний составляющих молекулу атомов £к
и энергии вращения молекулы как целого £в:
E = £e + £K + FB.
При переходах между различными состояниями молекулы излуча-
ются кванты света. При этом могут изменяться одна,хдве или три со-
ставляющие энергии. Наибольшими являются разности между элект-
ронными термами. Каждой паре термов, между которыми возможен
переход, соответствует группа полос. Следующими по величине явля-
ются разности энергий между колебательными состояниями, каждой
из которых соответствует отдельная полоса. Отдельные линии в полосе
отвечают различным переходам между вращательными состояниями
молекулы.
Электронные термы двухатомной молекулы классифицируют по
тем же квантовым числам, что и атомные. Квантовое число орбиталь-
ного момента обозначают большими буквами греческого алфавита:
значениям 0, 1, 2, ... соответствуют буквы 2, П, А, ... Значения пол-
ного момента количества движения Q ставят справа внизу, а мульти-
плетность, равную 25 + 1, где 5 — квантовое число полного спина,—
слева вверху. Например, запись 2п3/г обозначает состояние с орбиталь-
ным моментом 1, полным моментом 3/2 и спином 1/2, относящееся к дуб-
лету. Расчет энергии таких состояний представляет собой сложную
квантовомеханическую задачу. Двухатомная молекула имеет не сфери-
ческую, а аксиальную симметрию, поэтому сохраняются только проек-
ции орбитального и полного моментов на ось симметрии, а не сами эти
моменты, и зависимость энергии от квантовых чисел П и Q не имеет
ничего общего с соответствующей зависимостью в атоме.
Рассмотрение колебаний двухатомной молекулы можно приближен-
но свести к задаче о квантовом осцилляторе. Колебательные термы
описываются формулой (3.16). Наиболее вероятны переходы с измене-
нием числа и на единицу, однако возможны и ббльшие скачки. Величи-
на со определяется массами атомов и силой их взаимодействия. При
больших значениях и (большие амплитуды колебаний) приближения
гармонического квантового осциллятора недостаточно и спектр будет
более сложным.
В квантовой механике показано, что спектр энергии вращения
твердого тела вокруг одной из его главных осей имеет вид
М
•£'в = 27т(/и + 1)- (8.4)
Здесь 7 — момент инерции тела относительно оси вращения ; т— на-
туральное число или нуль. Такую систему называют квантовым рота-
тором. Молекула представляет собой частный случай такого ротатора.
Энергия ее вращательного движения может изменяться с изменением
числа т на единицу.
Так как электронные состояния и момент инерции молекулы за-
висят от положения атомов в ней, то разбиение энергии на три незави-
симых слагаемых является приближенным. Средние скорости движе-
381
ния электронов значительно больше скоростей движения колеблю-
щихся ядер, поэтому можно считать, что расстояние между ядрами
атомов входит как параметры в уравнение Шредингера для электро-
нов и электронные термы в каждый момент соответствуют мгновенному
положению ядер. Наоборот, частота вращения, вычисляемая как энер-
гия (8.4), деленная на h, обычно существенно меньше частоты колеба-
ний, поэтому момент инерции определяется средним положением ато-
мов в молекуле.
8.2.5. Рассеяние света атомами, молекулами и электронами. Ре-
зонансным называют такое рассеяние света, при котором частоты рас-
сеянного света и облучения совпадают. Резонансное рассеяние наблю-
дается, если частота облучающего света совпадает с одной из собствен-
ных частот спектра рассеивающего вещества. При этом происходит
поглощение кванта падающего света, а затем испускание такого же
кванта, но в другом, случайно выбранном направлении. При некото-
ром наборе частот,падающего света излучение с попавшей в резонанс
частотой рассеивается сильнее остальных. Иначе это явление называют
резонансной флуоресценцией. Резонансное рассеяние является част-
ным случаем флуоресценции. При флуоресценции излучаемый свет
согласно правилу Стокса может иметь и другую, меньшую, чем падаю-
щий, частоту. Это наблюдается, если при поглощении кванта падающего
света атом или молекула переходят в такое возбужденное состояние,
возврат из которого возможен в несколько этапов, путем последова-
тельного перехода с уровня на уровень и испускания нескольких кван-
тов излучения. При этом обычно один из переходов дает излучение,
близкое по частоте к поглощенному, а остальные лежат в инфракрас-
ной области спектра.
Другим видом рассеяния света с изменением его частоты является
комбинационное рассеяние света молекулами. В этом случае правило
Стокса нарушается: наряду с линией, смещенной в длинноволновую
сторону, симметрично расположена другая, смещенная в коротковол-
новую сторону, как правило, менее интенсивная. Эти линии называют
сателлитами. Механизм комбинационного рассеяния света состоит
в том, что молекула при электронном переходе поглощает квант излу-
чения, а при электронно-колебательном — испускает. При этом, если
энергия колебаний молекулы повышается, то испускается квант крас-
ного сателлита, если понижается, — фиолетового. При конечной тем-
пературе всегда есть некоторая определяемая распределением Больц-
мана доля молекул, колебательные степени свободы которых возбужде-
ны и которые дают вклад в фиолетовый сателлит. Соответственно интен-
сивность фиолетового сателлита уменьшается с понижением температу-
ры. Аналогичную роль в комбинационном рассеянии может играть и
вращение молекулы, но так как расстояния между вращательными
уровнями меньше, чем между колебательными, вращательные сателлиты
располагаются ближе к основной линии. Комбинационное рассеяние
света — важный источник информации о строении молекул.
При рассеянии рентгеновских лучей веществом наблюдают явле-
ние, которое называют эффектом Комптона. Если в спектре падающе-
го излучения имеется один достаточно острый максимум, например
характеристическая линия рентгеновского излучения какого-либо
элемента, то в спектре рассеянного излучения наряду с ней будет
наблюдаться линия, смещенная к длинноволновому концу спектра.
Смещение по длине волны АХ зависит только от угла рассеяния ф и оп-
ределяется по формуле
дл = 2^751п21’ <8-5)
iiIqV
582
Здесь /п0 — масса покоя электрона. Отношение htm^c называют ком-
птоновской длиной волны электрона. Формулу (8.5) легко получить,
если рассмотреть столкновение фотона с импульсом hv/c с покоящимся
свободным электроном как упругий удар. Свободным можно считать
электрон, энергия связи которого в атоме значительно меньше энергии
рентгеновского кванта. Если рассеяние происходит на сильно связан-
ном электроне, то вместо массы последнего в формулу (8.5) следовало
бы подставить массу атома. Это означает, что изменение длины волны
практически не происходит. Таким рассеянием на сильно связанных
электронах объясняется присутствие несмещенной компоненты в рас-
сеянном излучении. Ее интенсивность зависит от вещества, в котором
происходит рассеяние: чем больше атомный номер рассеивателя, тем
больше сильно связанных электронов и интенсивнее несмещенная ком-
понента рассеянного излучения.
8.2.6. Вероятности излучения и поглощения квантов. Правила
отбора. В рамках нерелятивистской квантовой механики построить
полную последовательную теорию излучения и поглощения электро-
магнитного излучения квантовомеханическими системами невозможно.
Дело в том, что квантовая механика рассматривает электромагнитное
поле с классической точки зрения. Например, возбужденное состоя-
ние атома оказывается таким же стационарным состоянием, как и ос-
новное, и нет никаких причин для самопроизвольного перехода атома
в основное состояние с излучением кванта света. Между тем такие
переходы наблюдаются на опыте, в теории они были постулированы
Эйнштейном еще до построения квантовой механики и позволили ему
доказать формулу Планка для теплового излучения абсолютно черного
тела.
В релятивистской квантовой теории атом и электромагнитное поле
рассматривают как единую систему, имеющую непрерывный энерге-
тический спектр. Состояния, когда атом возбужден, а поле находится
в вакуумном состоянии, и наоборот, атом находится в основном со-
стоянии, а существует фотон с энергией, равной энергии возбуждения
атома, имеют одинаковую энергию. Следовательно, возбужденное со-
стояние атома может быть только квазистационарным и имеет конечное
время жизни, а значит, конечную ширину. Это приводит к так называе-
мой естественной ширине спектральных линий. Для большинства ли-
ний атомных спектров отношение естественной ширины к частоте сос-
тавляет 10”8 и много меньше, чем наблюдаемое, обусловленное дру-
гими причинами, например, неоднородностью образца.
В большинстве случаев длина волны излучения X значительно
больше размеров атома а (размер той области, где волновая функция
электрона существенна). Поэтому вероятности излучения и поглоще-
ния вычисляют, пренебрегая величиной порядка а/Х по сравнению
с единицей. Такое приближение называют дипольным. Иногда исполь-
зуют и следующее приближение, называемое квадрупольным-
В выражения для вероятностей переходов в дипольном приближении
входят матричные элементы дипольного момента электрона — век-
тора, компоненты которого пропорциональны величинам
j ^*x^ndV, § ^*^ndV, \ idV. (8.6)
Здесь ф/г, ф/i — волновые функции состояний, между которыми происхо-
дит переход. Эти три величины составляют вектор с комплексными
компонентами. В выражения для вероятностей переходов входит ска-
лярное произведение этого вектора на комплексно-сопряженный:
I (r)to I2 = (г)м • (8.7)
383
Вероятность спонтанного перехода из состояния в состояние фп
с излучением кванта электромагнитного поля с энергией h = Е =»
= Ek-—En в единицу времени определяется по формуле
Эта вероятность не связана с тем, сколько времени атом находится в
возбужденном состоянии, и представляет собой характерное проявле-
ние квантовых свойств: невозможно указать время, когда испустит
квант отдельный выбранный атом.
Если поле находится в возбужденном состоянии, то атом имеет
возможность поглотить квант излучения. Кроме того, вероятность
для возбужденного атома испустить квант также изменится. В этом слу-
чае излучение называют вынужденным (индуцированным). Вероятности
переходов как с испусканием, так и с поглощением кванта равны между
собой и выражаются так:
(8.8)
Здесь / (со) — плотность потока энергии электромагнитного поля на
частоте со (I (со) До равно абсолютной величине вектора Пойнтинга,
усредненной по периоду колебаний 2л/со).
Существуют такие пары состояний k и п, для которых матричный
элемент дипольного момента электрона равен нулю. Переходы между
такими парами состояний называют запрещенными. Правилами отбора
называют соотношения между квантовыми числами, определяющие за-
прещенные переходы. Их часто можно получить, не зная детального
вида волновых функций, а из соображений симметрии.
Правило отбора для осциллятора: переходы возможны только
между такими состояниями осциллятора, квантовые числа которых
различаются на единицу. Следовательно, осциллятор может поглощать
только кванты, частота которых совпадает с его собственной.
Правило отбора для электрона в сферически симметричном поле:
переходы возможны только между состояниями, орбитальные кванто-
вые числа которых отличаются на единицу, а магнитные — на едини-
цу или нуль.
Правила отбора не являются вполне строгими. Переход, запрещен-
ный в дипольном приближении, может быть разрешен в квадруполь-
ном. Это означает, что интенсивность соответствующей линии в спектре
будет существенно меньше интенсивности разрешенных линий. Суще-
ствуют пары состояний, переход между которыми запрещен в любом при-
ближении по а/%. Такие переходы называют строго запрещенными, на-,
пример переход между двумя состояниями, обладающими полной сфе-
рической симметрией (два s-состояния для электрона в атоме). Правила
отбора могут также нарушаться за счет малых возмущений (отклоне-
ния электрического поля в атоме от сферической симметрии за счет
других электронов, ан гармон изма осциллятора и т. п. ). Особым слу-
чаем является учет высших порядков теории возмущений по электро-
магнитному полю. Например, при учете второго порядка оказывается
возможным поглощение и испускание атомом одновременно двух кван-
тов электромагнитного поля —так называемые двухфотонные процессы.
Такие процессы могут играть важную роль при очень больших плот-
ностях потока энергии электромагнитного излучения, которую полу-
чают в лазерах.
384
8.2.7. Квантовые усилители и генераторы электромагнитного излу-
чения. Квантовым, усилителем (генератором) называют устройство,
в котором усиление (генерация) электромагнитных волн создается
путем использования сред с инверсной заселенностью квантовых энер-
гетических уровней. Если среда содержит множество тождественных
квантовых систем (атомов или молекул газа, примесных центров в крис-
талле), то количество систем N, энергия которых на ДЕ больше, чем в
основном состоянии, при термодинамическом равновесии описывается
формулой
ЛЕ
N = Noe кТ. (8’9>
Здесь Nq — количество систем в основном состоянии; Т— температура;
k — постоянная Больцмана. При этом отношение количества систем в
двух выделенных состояниях 1 и 2 (Е2> Ei) будет таким:
= e kT . (8.10)
Если состояние среды такое, что N2 > Ni, то говорят, что в среде
создана инверсная заселенность уровней 1 и 2. Иногда это состояние
называют состоянием с отрицательной температурой, имея в виду,
что формально инверсную заселенность можно описать формулой
(8.10) с отрицательной температурой.
Усиление электромагнитных волн средой с инверсной заселенно-
стью основано на явлении индуцированного излучения. Если через
такую среду пропускать излучение с энергией кванта, равной Е2— Eit
то количество актов индуцированного излучения будет больше, чем
актов резонансного поглощения, интенсивность излучения будет уве-
личиваться. Этот эффект называют отрицательным поглощением. Ин-
дуцированное излучение всегда имеет то же направление, фазу и поля-
ризацию, что и индуцирующее. Чтобы усилитель превратить в гене-
ратор, необходимо создать положительную обратную связь, т. е.
часть испущенного излучения вернуть па вход усилителя. Для кван-
товых генераторов радиодиапазона это достигается путем помещения
среды с инверсной заселенностью в резонатор — замкнутую полость
с проводящими стенками, размеры и форма которой приводят к уста-
новлению в ней стоячей волны нужной частоты. Генератор самовоз-
буждается вследствие спонтанного излучения. Условие самовозбужде-
ния имеет вид
1 ______До________
2n2Q 21 (со^ — о21)2 + До)2 (^2 ^i) > Ь
где<2 — добротность резонатора; До) — ширина линии излучения кван-
тового перехода; — частота резонатора. Разность заселенностей,
определяемую условием самовозбуждения, называют порогом генера-
ции. Когда инверсия заселенности достигает порога генерации, спон-
танное излучение одного кванта вызывает лавину индуцированных
квантов, в результате чего- заселенности выравниваются. Резонатор
из всех возможных типов колебаний (мод) выделяет один, на который
он настроен. В результате излучение оказывается высокомонохрома-
тичным и когерентным. Квантовые генераторы радиодиапазона называ-
ют мазерами, а оптического диапазона — лазерами. Принцип работы
у них один и тот же. Резонатором в лазерах служат два зеркала, уста-
новленные параллельно одно перед другим (интерферометр Фабри-
13 5-1472
385
Перо). Условие самовозбуждения лазера описывается формулой,
аналогичной предыдущей, где
2n2L
У ~ 3(1 — а) V
Здесь L — расстояние между зеркалами; а — коэффициент их отраже-
ния; X — длина волны излучения. Условие генерации в лазере выпол-
няется только для волн, распространяющихся в малом телесном угле
вблизи перпендикуляра к плоскостям зеркал. Поэтому излучение ла-
зера не только монохроматично и когерентно, но и узконаправлено.
Существует много способов создания инверсной заселенности в
активной среде. Для мазеров активной является среда с парамагнит-
ными примесями, т. е. с атомами, имеющими ненулевой спин (равный
обычно 1/2). Во внешнем магнитном поле Н в спектре такого атома есть
два зеемановских уровня энергии
± р0 (ft • Н) (нуль отсчета — энер-
гия атома в отсутствие поля), где
р, — магнитный момент атома. При
низкой температуре в основном засе-
лен низший уровень, и достаточно
изменить направление магнитного
поля, как на короткое время (так
называемое время релаксации) соз-
дается инверсная заселенность, ко-
торую можно использовать для им-
пульсного усиления.
^ис’ °-* Создание инверсной заселенно-
сти уровней в лазере называют на-
качкой. При оптической накачке инверсная заселенность создается
фотовозбуждением активных центров при облучении их мощной (им-
пульсной) лампой.При этом используют трехуровневую схему, выбирая
такие активные центры, спектр которых состоит из трех уровней
(рис. 8.1) со следующими свойствами: 1 — основное состояние, 2 и 3 —
возбужденные, причем переходе уровня 3 на уровень 2 имеет высо-
кую вероятность, а с уровня 2 на уровень 1 менее вероятен. Накачка
производится светом с энергией кванта й(0= £3 — Е{. Если бы не было
перехода с уровня 3 на уровень 2,то создать инверсную заселенность
оптической накачкой было бы невозможно, так как вероятности инду-
цированных переходов с излучением и поглощением кванта одинаковы
(см. формулу (8.8)). В результате выравнивания заселенностей погло-
щение становится равным излучению, и говорят, что переход насыща-
ется. Фактически насыщение наступает раньше выравнивания, так как
существует вероятность спонтанного излучения. Но быстрый переход
с уровня 3 на уровень 2 предотвращает насыщение, и создается инвер-
сия заселенности между уровнями 1 и 2, которая используется для ге-
нерации. Переходе уровня 2 на уровень / называют рабочим.
Существует много других способов накачки. Например, накачку
производят пучками электронов или ионов, разогнанных в электриче-
ском поле, которые при столкновении с рабочими атомами или молекула-
ми возбуждают их. При химической накачке используется то, что при
некоторых химических реакциях продукты реакции получаются в воз-
бужденном состоянии. Третий способ: накачивают оптически один из
газов в смеси, а его атомы при столкновении передают энергию возбуж-
дения рабочим атомам. Эти методы накачки не требуют использования
трехуровневой схемы.
Лазеры могут работать в непрерывном или импульсном режиме.
Если между зеркалами лазера поместить быстродействующий затвор,
386
то можно управлять импульсами лазера, в частности получать гигант-
ские импульсы, открывая затвор только на короткое время, когда со-
здается максимальная инверсная заселенность. В настоящее время
созданы лазеры для диапазона частот от инфракрасного до ультра-
фиолетового излучения, существуют лазерные устройства, с помощью
которых можно получать излучение разных частот в широком диапа-
зоне. Уникальные свойства лазерного излучения — высокая степень
когерентности и монохроматичности, узконаправленность, возможность
сконцентрировать в коротком импульсе огромную энергию — обусло-
вили широкое научное и техническое применение лазеров.
83. ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В ПОСТОхЧННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ
8.3.1. Эффект Штарка. Эффектом Шторка называют расщепле-
ние спектральных линий атомов в постоянном электрическом поле»
Этот эффект можно наблюдать как в однородном, так и в неоднородном
сильном электрическом поле. Для атомов и молекул, имеющих ненуле-
вой средний дипольный момент (например,водородных и водородопо-
добных атомов и ионов), сдвиг линий пропорционален напряженности
электрического поля, а в других случаях — квадрату напряженности.
Компоненты линии, получающиеся при эффекте Штарка, могут быть
поляризованы.
Эффект Штарка объясняется тем, что диполь с дипольным момен-
том р в электрическом поле Е имеет дополнительную энергию
V = -(Р • Е).
Эта энергия, рассматриваемая как возмущение, приводит к сдвигу
и расщеплению (снятию вырождения) атомных термов. Если средний
дипольный момент атома в отсутствие электростатического поля равен
цулю, то под действием поля он приобретает дипольный момент, про-
порциональный напряженности поля. В этом случае эффект Штарка
будет квадратичным по полю.
8.3 2. Эффект Зеемана. Эффектом Зеемана называют расщепле-
ние спектральных термов атомов в постоянном магнитном поле. Раз-
личают нормальный и аномальный эффекты Зеемана.
При нормальном эффекте Зеемана спектральная линия расщепля-
ется на три компоненты при наблюдении в направлении, перпендику-
лярном полю, или на две при наблюдении вдоль поля. В первом случае
расщепленные линии имеют линейную поляризацию: крайние — пер-
пендикулярно полю, средняя — по полю. Во втором случае обе линии
поляризованы по кругу с противоположными направлениями враще-
ния. Нормальный эффект Зеемана проявляется у синглетных линий.
Он объясняется расщеплением термов, имеющихs = 0 по орбитальному
квантовому числу за счет зеемановской энергии. Смещение терма
в магнитном поле Н определяется формулой
^Т = &-ст,^И' (8-1!)
где — магнетон Бора. Правило отбора = 0, ±1 приводит
к появлению трех линий с расщеплением по волновым числам:
' где т — масса электрона.
13*
387
В аномальном эффекте Зеемана число компонентов, на которые
расщепляется линия, больше трех и сдвиги линий другие. Если спи-
новое квантовое число терма не равно нулю, то сдвиг компонентов,
на которые он расщепляется по магнитному квантовому числу полного
момента такой:
ДТ = ёт^оЦвН. (8.12)
Здесь g — фактор магнитного расщепления (множитель Ланде), оп-
ределяемый по квантовым числам терма:
о- 1 । /(/+D + s(s + l)^Z(/+l)
При переходе между компонентами термов 1 и 2 с магнитными кванто-
выми числами соответственно т.^ и т.2 (согласно правилам отбора
m р и Щу2 равны или различаются на единицу) сдвиг линии относи-
тельно ее положения в отсутствие магнитного поля находят по формуле
Av == — т i2g2) /7.
В очень сильных магнитных полях, когда энергия взаимодействия
спинового магнитного момента с внешним магнитным полем станови-
тся больше, чем с магнитным орбитальным моментом, аномальный
эффект Зеемана переходит в нормальный, каждый из компонентов
которого имеет тонкую структуру. Это явление называют эффектом
Паше на—Бака.
8.3.3. Электронный парамагнитный резонанс. Электронным пара-
магнитным резонансом (ЭПР) называют резонансное поглощение пере-
менного электромагнитного поля веществом, находящимся в постоян-
ном магнитном поле, за счет переходов между компонентами расщеп-
ленных в результате ^эффекта Зеемана термов (см. формулы (8.11),
(8.12)). В обычно применяемых магнитнык полях зеемановское рас-
щепление атомных термов соответствует радиочастотному диапазону.
В состоянии теплового равновесия заселенность уровней (компо-
нентов терма) определяется формулой (8.9). Переменное электромагнит-
ное поле соответствующей частоты поглощается, в результате чего за-
селенность уровней стремится к выравниванию. По отношению засе-
ленностей из формулы (8.10) можно определить спиновую температуру,
при которой наблюдаемая заселенность уровней была бы равновесной.
При поглощении радиочастотного поля спиновая температура повы-
шается. Взаимодействие спиновых степеней свободы с другими приво-
дит к процессу релаксации, т. е. выравниванию температур между спи-
новой и другими системами, препятствующими насыщению перехода.
Те же процессы приводят к уменьшению времени жизни возбужден-
ного состояния и, следовательно, уширению линии поглощения.
Так как магнитные моменты атомов связаны о электронами на-
ружных оболочек, положение и форма линий ЭПР существенно зави-
сят от взаимодействия атома с его окружением. Поэтому ЭПР явля-
ется мощным средством исследования внутреннего строения кристал-
лов и молекул, механизма и кинетики химических реакций и других
важных научных и практических вопросов.
8.3.4. Ядерный магнитный резонанс. Ядра многих атомов имеют
собственный магнитный момент. В постоянном магнитном поле обра-
зуется зеемановская система эквидистантных уровней (см. формулу
(3.29)) и система атомных ядер оказывается способной к резонансному
888
поглощению радиочастотного электромагнитного поля. Качественно
этот эффект подобен ЭПР, но количественные характеристики ядер-
ного магнитного резонанса (ЯМР) существенно отличаются. Ядерные
магнитные моменты на два-три порядка меньше атомных, соответст-
венно в тех же полях во столько же раз меньше и частоты. Релаксация
ядерных спинов обычно существенно слабее, чем электронных, по-
этому линии ЯМР уже.
Ядерные магнитные моменты взаимодействуют с электронными,
которые во внешнем магнитном поле поляризованы, т. е. имеют пре-
имущественную ориентацию. Это взаимодействие сдвигает зееманов-
ские уровни, поэтому характеристики ЯМР существенно зависят ст
электронного строения вещества. Атомные ядра с большим 1/2 спином
имеют квадрупольный электрический момент, поэтому их энергия за-
висит от неоднородности электрического поля в области, занимаемой
ядром. Это взаимодействие также сдвигает зеемановские уровни и от-
ражается на положении и форме линий ЯМР.
ЯМР используют для изучения строения конденсированных сред
и молекул, прецизионного измерения магнитного поля, изотопного
анализа и других целей.
8.3.5. Тормозное излучение. Тормозным излучением называют
излучение, испускаемое заряженной частицей, имеющей энергию,
лежащую в области непрерывного спектра, при изменении ее скорости
под действием электростатического поля. Наиболее интересен случай,
когда частицей является электрон, а электростатическое поле создают
-ядра атомов вещества, облучаемого электронами. Вероятность тор-
мозного излучения возрастает пропорционально квадрату заряда ядра.
Тормозное излучение приводит к потере энергии электроном, движу-
щимся в среде. При высоких энергиях электронов эти потери пропор-
циональны корню квадратному из энергии.
Тормозное излучение применяют для получения широкого спект-
ра высокочастотных электромагнитных волн, в частности рентгенов-
ских и мягких (длинноволновых) у-лучей. Для этого пучок электронов,
испускаемый катодом, направляют на анод, изготовленный из тяжелого
металла (молибдена, вольфрама). Тормозное излучение имеет в этом
случае сплошной спектр с высокочастотной границей:
где е — заряд электрона; V — разность потенциалов анода и катода.
При этом почти вся энергия преобразуется в тепло.
8.3.6. Синхротронное излучение. Синхротронным излучением на-
зывают испускание электромагнитных волн заряженной частицей,
движущейся в постоянном магнитном поле. В однородном магнитном
поле траектория частицы представляет собой спираль, поэтому если
только ее скорость не направлена строго в направлении магнитных си-
ловых линий, то ее движение всегда является ускоренным.
Полная мощность излучения частицы с энергией Е > тс2, (реля-
тивистский случай) определяется по формуле
UjU4 О
N = 5 4 Н ! Е2-
Здесь е — заряд частицы; т — ее масса; с — скорость света в ваку”
уме; Н— составляющая магнитного поля, перпендикулярная ско-
389
рости. Спектральное распределение мощности излучения имеет макси-
мум при
v = 0,29
Алт
/ Е \2
Уте2) '
Синхротронное излучение является существенным фактором в про-
цессе ускорения частиц, когда их движение происходит по кругу в
магнитном поле. Генерация синхротронного излучения происходит так-
же в космосе при движении релятивистских частиц космических лучей
в магнитных полях. Синхротронное излучение называют иногда магни-
тотормозным.
8.3.7. Эффект Вавилова — Черенкова. Эффектом Вавилова —
Черенкова (или эффектом Черенкова') называют излучение электромаг-
нитных волн заряженной частицей, движущейся в среде со скоростью,
большей фазовой скорости света в этой среде. В отличие от тормозного,
излучения, которое обусловлено взаимодействием с ядрами атомов,
черепковское излучение связано с диэлектрическими свойствами среды,
которые определяются ее электронным строением.
Черенковское излучение направлено вперед по отношению к дви-
жению частицы и составляет угол "
а с
U — arccos —
vn
с траекторией ее движения. Здесь с — скорость света в вакууме; v
скорость частицы; п — показатель преломления среды.
Энергию Е, излучаемую частицей с зарядом е на 1 см пути в сре-
де, можно определить по формуле
4лс2е0
/ с2 \
Ю 1-----TV
\ v2n2 J
(8.13)
где (о = 2ж/А0 — циклическая частота света; Хо — длина волны излу-
чаемого света в вакууме. Эта формула дает также распределение энер-
гии в спектре. Излучается свет с такими частотами, для которых
п (со) настолько велико, что выполняется условие
vn (со)
с
определяющее область интегрирования в формуле (8.13). Существова-
ние такой области — необходимое условие эффекта Вавилова — Че-
ренкова.
Эффект Вавилова — Черенкова используют в так называемых че-
репковских счетчиках для регистрации высокоэнергетически заря-
женных частиц. По характеристикам получаемого излучения можно
судить об энергии частиц.
8.4. СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА АТОМНЫХ ЯДЕР
8.4.1. Состав и основные характеристики ядер. Ядра атомов со-
стоят из двух видов элементарных частиц: протонов и нейтронов, кото-
рые являются фермионами со спином 1/2. Протон имеет положитель-
ный элементарный заряд, нейтрон электрически нейтрален. Массы их
близки, у нейтрона — несколько большая. Часто протон и нейтрон
объединяют одним названием — нуклоны.
390
Ядро характеризуют общим количеством содержащихся в нем нук-
лонов А, протонов Z (равным заряду ядра и атомному номеру) и ней-
тронов N = А — Z. Определенный тип ядер с фиксированными чис-
лами A, Z и N называют нуклидами, а с одинаковыми А (массовым
числом), но различными N и Z — изобарными. Атомы с такими ядра-
ми имеют одинаковую относительную атомную массу, по различные
химические свойства. Ядра с одинаковыми числами Z, ио разными А
и называют изотопами. Атомы с изотопными ядрами имеют одина-
ковые химические свойства, но различные относительные атомные
массы. Каждый химический элемент в природных условиях представ-
ляет собой смесь изотопов, среди которых один, как правило, сильно
преобладает, а другие представлены незначительной примесью. Су-
ществуют методы разделения изотопов, а также определения изотоп-
ного состава вещества, по кото-
рому можно проследить его пре-
дысторию. Это имеет большое на-
учное и прикладное значение в ге-
ологии, археологии и др.
Масса ядра не равна сумме
масс составляющих его нуклонов,
а всегда меньшее се. Разность
AM = ZmnpЛ/тн •—Л<яд
называют дефектом массы. Энер-
гией связи ядра называют энер-
гию, необходимую для разделе-
ния ядра на составляющие его нуклоны. Согласно теории относи-
тельности эта энергия связана с дефектом массы ядра формулой
£св = ДЛ1с2.
Важной характеристикой ядра является средняя энергия связи па
один нуклон. Зависимость е ~ £СВ/А приведена на рис. 8.2, откуда
следует возможность получения энергии при слиянии легких (А < 20)
или делении тяжелых (А >200) ядер.
Из-за большой массы длина волпы де Бройля для ядер мала, по-
этому можно говорить об их размерах и форме. Размеры ядер имеют
порядок 10”13—10~15 м и для ядер с А > 4 приблизительно пропорцио-
нальны А. Ядра могут иметь сферическую и более сложную, предполо-
жительно эллипсоидальную форму.
Многие ядра имеют собственный механический момент — спин.
Спины ядер, выраженные в единицах h, могут быть целыми и полуце-
лыми небольшими числами, только у отдельных ядер спин равен 9.
Ядра с ненулевым спином имеют также и магнитный момент. Но если
представить связь между спином и магнитным моментом формулой
Q
(3.27), то гиромагнитное отношение g-^ — для различных ядер окажет-
ся различным.
Для несферических ядер распределение плотности электрического
заряда характеризуют квадрупольным моментом Q. Если плотность
заряда в точке г равна р (г), то квадрупольный момент выражается
формулой
Q = Z dVp (г) (Зг3 — г2),
(Ю
391
где ось OZ выбирается в направлении спина. Если квадрупольный мо-
мент не равен нулю, то в неоднородном электрическом поле ядро при-
обретает дополнительную энергию, по которой можно определить квад-
рупольный момент экспериментально. Ядро представляет собой кван-
товомеханическую систему с дискретным энергетическим спектром,
который является индивидуальной характеристикой ядра. Переходы
между ядерными уровнями происходите излучением или поглощением
высокоэнергетических фотонов с частотами, обычно превышающими
рентгеновские (у-квантов). Возбужденные состояния ядра, имеющие
измеримое время жизни, называют метастабильными состояниями*
Время жизни метастабильных состояний может достигать нескольких
тысяч лет. Ядра, отличающиеся только квантовым состоянием, назы-
вают ядерными изомерами.
Природа ядерных сил пока полностью не выяснена. Предполагают,
что они являются остаточными силами хромодинамичсского взаимодей-
ствия кварков, объединенных в бесцветные нуклоны (см. 8.7.2 и 8.7.3)<
Их качественные характеристики вытекают из свойств ядер и экспе-
риментов по рассеянию нуклонов. Ядерные силы являются притя-
гивающими, но не приводят к слиянию нуклонов, быстро убывают,
обращаясь в нуль на расстоянии порядка 10“15 м, но на малых рас-
стояниях намного больше кулоновских сил отталкивания протонов. Они
не зависят от зарядов взаимодействующих нуклонов, т. е. одинаковы
для пар протон — протон, протон — нейтрон и нейтрон — нейтрон.
Ядерные силы обладают свойством насыщения, т. е. каждый нуклон
взаимодействует только с ограниченным количеством других нуклонов.
В этом отношении они подобны ван-дер-ваальсовым силам взаимодей-
ствия молекул или химическим связям. Свойство насыщения приводит
к тому, что все ядра имеют приблизительно одинаковую плотность.
Ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов взаимодей-
ствующих нуклонов и имеют нецентральные составляющие, т. е. на-
правлены не вдоль линии, соединяющей нуклоны.
8.4.2. Капельная модель ядра. Если в атомной физике уравнение
Шредингера для электрона в атоме можно точно записать, но нельзя
точно решить, за исключением атома водорода, то в ядерной физике его
даже невозможно записать из-за неизвестной формы потенциала ядер-
ных сил. Поэтому ядерная физика основывается на гюлуфеноменоло-
гических моделях, в которые входят параметры, определяемые из экс-
перимента. Первая из таких моделей, представляющая ядро в виде
капли жидкой ядерной материи, позволила получить формулу для энер-
гии связи ядра, хорошо согласующуюся с экспериментом:
Есв = а.А - - а^А~х‘3 - at И^У13. (8>, 4)
Первым членом этой формулы учитывается, что из-за насыщения
ядерных сил энергии связи всех нуклонов равны, вторым вносится по-
правка на то, что нуклоны, находящиеся на поверхности, имеют мень-
шее количество связей, третий представляет собой электростатическую
энергию отталкивания протонов, четвертым, называемым симметрий-
ной энергией, учитывается влияние принципа Паули, выражающееся
в том, что ядра с одинаковым количеством протонов и нейтронов имеют
большую энергию связи, чем изобарные им ядра. Постоянные я,- в фор-
муле (8.14) подбирают экспериментально. Они должны быть одинаковы
для всех ядер.
Капельная модель ядра послужила основой для создания теории
деления ядер, но не дала объяснения механических, магнитных и квад-
рупольных моментов ядер, а также спектров возбужденных состояний,
392
так как является в основном (за исключением учета симметрийной
энергии) классической.
8.4.3. Коллективная модель ядра. Экспериментально установле-
но, что ядра, в которых количестве нейтронов и протонов четное,
имеют большую энергию связи. Если взять два изотопа с количеством
нейтронов N, отличающимся на единицу, то энергия связи того из них,
у которого N чётное, будет приблизительно на 2 МэВ больше. Это
объясняют спариванием одинаковых нуклонов с противоположно на-
правленными спинами, образующих куперовские пары подобно элек-
тронам в сверхпроводящем металле. В этом смысле говорят о сверх-
текучести ядерной материи и применяют в теории ядра математические
приемы и идеи, развитые в теории сверхтекучести и сверхпроводимости.
Эффект спаривания объясняет некоторые уровни возбуждения ядер
энергией, необходимой для разрыва пары.
Другие серии уровней энергетического спектра ядер можно
описать, если с точки зрения квантовой механики рассмотреть колеба-
ния поверхности жидкой капли — так называемые рэлеевские вол-
ны. Спектры многих ядер по своей структуре напоминают спектры мо-
лекул; их линии сгруппированы в полосы. Это объясняется несфериче-
ской формой таких ядер даже в основном состоянии, поэтому имеются
уровни вращения ядра как целого. Такое объяснение подтверждается
наличием у этих ядер больших квадрупольных моментов. Движения,
охватывающие все нуклоны (колебания жидкости, вращения), назы-
вают коллективными модами.
8.4.4. Оболочечная модель ядра. Магическими числами в ядерной
физике называют числа 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Экспериментально
установлено, что ядра, для которых числа Af или Z, или оба они равны
одному из магических чисел, отличаются особой устойчивостью. Изо-
топы, у которых N магическое, как правило, наиболее распространены
в природе. Энергия возбуждения ядер, имеющих магические числа,
аномально велика. Наоборот, ядра, у которых одно из чисел отлича-
ется от магического на единицу, имеют низколежащне возбужденные
уровни и малую энергию отрыва «лишнего» нуклона. Этим фактам дает
объяснение оболочечная модель ядра.
В оболочечной модели ядра предполагают, что все нуклоны со-
здают самосогласованное среднее поле, потенциал которого пропор-
ционален плотности распределения нуклонов в ядре (это следствие
короткодействия ядерных сил). Далее считают, что в этом поле нуклоны
движутся как невзаимодействующие, за исключением взаимодействия,
связанного с принципом Паули. При этом подобно электронам в куло-
новском поле ядра в атоме возможные состояния нуклонов образуют
оболочки, в каждой из которых имеется определенное количество со-
стояний. Когда оболочка полностью заполняется, так же, как и в атоме,
создается наиболее устойчивая конфигурация. При расчете ядерных
оболочек оказалось очень существенным спин-орбитальное взаимо-
действие, которое в атомной физике дает только малые релятивистские
поправки. В оболочечной модели ядра удалось объяснить магические
числа и построить теорию ядер с числами, отличающимися от магиче-
ских на единицу. Дальнейшим обобщением ее является модель Нилс-
сона, в которой рассматривается иесферическое самосогласованное
поло. Объединенная модель ядра включает основные черты оболочеч-
ной и коллективной моделей.
8.5. ЯДЕРНЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ
Процессы, при которых одни ядра переходят в другие, называют
ядерными превращениями. Ядерные превращения разделяют на радио»
393
активность, когда одно ядро (так называемое материнское) превра-
щается в одно или два других (дочерних), путем самопроизвольного ис-
пускания элементарных частиц или ядер, и ядерные реакции, когда
ядро переходит в другое при столкновении с элементарными частицами
или ядрами. Ядерные превращения принято записывать аналогично
химическим реакциям. При этом нуклид обозначают символом
А,Х, где вместо X ставят символ соответствующего химического эле-
мента, a Z и А — зарядовое и массовое числа нуклида. Обозначения
для элементарных частиц такие: р — протон, е~ (или_ 0") — электрон,
е+ (или 0+) — позитрон, ve — электронное нейтрино, уе — электронное
антинейтрино, Y — фотон, п — нейтрон, а для изотопов водорода: Ю
(или (У) — дейтрон, дейтерий, fT (или /)— тритий. Ядро2 Не называют
а-частицей и наряду с обычным его символом обозначают также а.
8.5.1. Радиоактивность. Различают искусственную и естественную
радиоактивность. Естественная радиоактивность — это самопроизволь-
ные (спонтанные) превращения ядер, встречающихся в природе в земных
условиях, а искусственная — это радиоактивность изотопов, получен-
ных в результате ядерных реакций. Их различие определяется спосо’
бом получения материнских ядер. Кроме того, при искусственной ра-
диоактивности наблюдаются некоторые виды распадов, неизвестные
при естественной.
Можно выделить четыре типа радиоактивности: а-распад, рас-
пад, Е-захват, протонная радиоактивность. К радиоактивности
относится и спонтанное деление тяжелых ядер. Первоначально при
изучении естественной радиоактивности было установлено, что ра-
диоактивное вещество испускает а-, 0-и у-лучи, являющиеся соответ-
ственно ядрами гелия, электронами и коротковолновым (длина волны
порядка 10~9—10 11 м) электромагнитным излучением. В настоящее
время доказано, что большинство нуклидов распадается одним опреде-
ленным образом. Иногда имеется несколько каналов распада, каждый
из которых характеризуется своим сечением, т. е. относительной веро-
ятностью. Различные каналы распада или различные сечения в одина-
ковых каналах имеют изомеры. Испускание радиоактивным веществом
трех видов лучей обусловлено тем, что это вещество представляет
собой смесь атомов, ядрами которых являются различные нуклиды,
образующиеся одни из других в результате радиоактивных ’превра-
щений.
Самопроизвольное испускание ядром а-частиц называют а-рас-
падом. Эти частицы являются дважды магическими ядрами, имеют наи-
большую среди всех ядер удельную энергию связи, поэтому очень устой-
чивы. Образуются они внутри ядра, а затем вылетают наружу вслед-
ствие туннельного эффекта. Потенциальный барьер для их вылета
возникает из-за больших короткодействующих ядерных сил. На не-
котором расстоянии от ядра, в подбарьерной области, куда частицы
могут проникнуть согласно законам квантовой механики, ядерные
силы становятся слабее кулоновского отталкивания и частицы вылета-
ют из ядра. Состояние а-частиц внутри ядра является квазистационар-
ным. Поэтому а-распад описывается формулой (3.23). В ядерной фи-
зике принят другой вид этой формулы
t
Ti/2, (8.15)
где Af0 — количество ядер рассматриваемого вида в данном образце в мо-
мент t -- 0; N — количество тех же ядер в момент t; Тц2— период по-
ЗЭ4
лураспада— время, за которое количество ядер уменьшается в два раза.
Период полураспада пропорционален времени жизни а-частицы в ядре*
определяемому формулой (3.22):
^1/2 = т In 2,
и для различных ядер может составлять от 109 лет до 10~7 с. Энергии
вылетающих а-частиц образуют дискретный спектр, что свидетельст-
вует о дискретности спектра квазистационарных состояний а-частиц
в ядре.
В результате испускания а-частицы образуется новое ядро с мас-
совым и зарядовым числами, уменьшенными соответственно на четы-
ре и на два. Дочернее ядро может образоваться в возбужденном со-
стоянии, тогда оно переходит в основное состояние, испуская у-квант.
Фотон может и не вылетать из атома, а поглотиться одним из электро-
нов внутренних оболочек, который в результате перейдет в свободное
состояние. Это явление называют внутренней конверсией у-лучей*
Альфа-распад встречается в искусственной и в естественной радиоак-
тивности. Как правило, он наблюдается у тяжелых ядер (А > 200).,
Испускание ядром электронов или позитронов, а также захват
ядром электрона с одной из внутренних атомных электронных оболо-
чек называют распадом. Последнее явление называют также Е-за-
хватом или К-захватом, так как чаще всего захватывается электрон
с К-оболочки атома. Электроны и позитроны не могут находиться
внутри атомного ядра. Они образуются в момент распада или исчеза-
ют в момент захвата в результате превращений элементарных частиц.
Электронный 0-распад обусловлен превращением нейтрона в протон:
п -> р -L е~ -|- vc. (8.16)
Аналогично позитронному 0-распаду соответствует превращение
одного из протонов ядра в нейтрон:
р -> п + + vt>,
а £-захвату — другая'реакция превращения протона в нейтрон:
p + ^-->« + ve. (8.17)
Превращение элементарных частиц нельзя описать в рамках не-
релятивистской квантовой механики, поэтому теория 0-распада зна-
чительно сложнее, чем а-распада. Изменение во времени количества
0-активных ядер описывается формулой (8.15) с периодом полураспада,
характерным для каждого ядра. Существуют ядра с периодами от
2,5 • 10~2 с до 4 • 1012 лет.
В результате электронного и позитронного 0-распадов образуются
три частицы: дочернее ядро, электрон (позитрон) и антинейтрино (ней-
трино)^ системе отсчета, в которой материнское ядро покоилось, они
могут иметь различные импульсы, ограниченные только законом со-
хранения импульса (векторная сумма всех импульсов равна нулю).
Энергия распределяется между тремя частицами соответственно их
импульсам. Поэтому энергетический спектр электронов (позитронов),
получаемых при 0-распаде, является непрерывным с резкой верхней
границей, соответствующей нулевой энергии дочернего ядра и анти-
нейтрино (нейтрино). В результате £-захвата образуются две частицы,
поэтому энергии их однозначно определяются законами сохранения
энергии и импульса.
Электронный 0-распад встречается у природных и искусственных
ядер. Он характерен для ядер, имеющих большой избыток нейтронов.
395
Другие виды p-распада присущи только искусственной радиоактивности.
Нейтрон в свободном состоянии нестабилен и распадается по реакций
($.16) с периодом полураспада 11,7 мин. Однако при очень большой
массе вещества (например, звезды), когда гравитационные силы со-
здают большие давления, может оказаться термодинамически выгод-
ным захват электронов протонами по реакции (8.17) и переход вещества
из электронно-ядерного в нейтронное состояние. При этом.высвобож-
дается огромная энергия за счет гравитационного сжатия, которому
не препятствуют кулоновские силы. По представлениям современной
астрофизики образование нейтронной звезды—конечный этап эволю-
ции массивных звезд (масса которых больше десяти солнечных). При
сопровождающем переход вещества в нейтронное состояние взрыве,
называемом взрывом сверхновой звезды, попутно образуются и рассе-
иваются в окружающем пространстве ядра всех элементов тяжелее
гелия. Нейтронная звезда при радиусе около 10 км имеет плотность
1017—1018 кг/м3. Она должна быть источником радиоволн с периодиче-
ски меняющейся амплитудой. Такие объекты открыты радиоастроно-
мией. Их называют пульсарами.
Протонная радиоактивность наблюдается у некоторых искус-
ственных ядер. Основные закономерности ее такие, как и а-распада*
Спонтанным делением называют самопроизвольный распад тяже»
лого ядра на два с почти одинаковыми массами. При этом выделяется
несколько свободных нейтронов. Спонтанное деление сопровождается
выделением энергии, так как удельная энергия связи средних по массе
ядер существенно больше, чем тяжелых. Энергия выделяется в'виде
кинетической энергии дочерних ядер и нейтронов, а также -у-из-
лучения.
Устойчивость ядер по отношению к спонтанному делению опреде-
ляется отношением /Э/’Л. Ядра, для которых это отношение больше
49, абсолютно нестабильны, т. е. делятся за время порядка 10-22 с.
Чем меньше это отношение, тем больше время жизни ядра по отно-
шению к делению (но такое ядро может оказаться нестабильным по от-
ношению к другим распадам, например, 0-распаду). Если Z*/A мень-
ше 17, то ядро вообще не может спонтанно делиться. Большое практи-
ческое значение для ядерной энергетики имеет способность и
239Ри к спонтанному делению. Искусственные трансурановые (с атом-
ным номером большим 92) элементы, как правило, нестабильны по
отношению к спонтанному делению, причем с ростом атомного номера
нестабильность растет, т. е. уменьшается время жизни. Учет эффектов
заполнения ядерных оболочек приводит к предсказанию существования
так называемого острова стабильности при Z — 114, N — 184. Получе-
ние ядер острова стабильности представляет большой научный, а воз-
можно, и практический интерес.
Возникшее в результате радиоактивного распада ядро может ока-
заться также нестабильным. Существуют цепочки ядер, переходящих
одно в другое последовательно путем радиоактивного распада. Такие
цепочки называют радиоактивными семействами. Известны четыре
радиоактивных семейства: три естественных и одно искусственное.
Поскольку превращение ядер в семействах происходит путем а-распада,
изменяющего массовое число на четыре или вследствие электронного
0-распада, не изменяющего этого числа, массовые числа каждого се-
мейства описываются формулой
Л == 4/г + т,
где т — постоянная для данного семейства величина, а значение п из-
меняется иа единицу при а-распадах и остается неизменным при 0-рас-
396
падах. Для естественных семейств т принимает значения 0 (семейство
тория . qTh), 2 (семейство урана ^U) и 3 (семейство актиния sTAc).
Искусственным называют семейство нептуния ^Np, для которого т=1.
На рис. 8.3 показаны радиоактивные семейства: а — тория, б — непту-
ния, в — урана, г — актиния. По осям координат на этом рисунке отло-
жены числа протонов Z и нейтронов /V. Рядом с точками, изображаю-
щими нуклиды, приведены их иногда употребляемые символы. Химиче-
ский символ каждого ядра, можно установить по зарядовому числу Z,
Рядом с линиями переходов указаны периоды полураспада в секундах.
Видно, что некоторые нуклиды, например 2gjAc, имеют два канала рас-
пада.
Кроме радиоактивных семейств существует несколько сот радио-
активных изотопов более легких элементов. В настоящее время для
всех элементов известны радиоактивные изотопы. Большинство из
них получают искусственно в ядерных реакциях, некоторые образу-
ются в природных условиях под воздействием космических лучей.
Радиоактивные изотопы широко применяются в науке и технике.
Их используют как маломощные, но очень стабильные источники энер-
гии, как компактные источники ионизирующего и глубоко проникаю-
щего у-излучения, а также как источники электронов, позитронов и
а-частиц. Благодаря тому что химически радиоактивные изотопы неот-
личимы от стабильных и в то же время их легко обнаружить по харак-
терным излучениям, широкое распространение в химии, медицине,
биологии получил метод меченых атомов, позволяющий проследить
путь незначительного количества элементов в сложных химических
и биологических процессах. Анализ изотопного состава дает возмож-
ность определить возраст горных пород, археологических и палеон-
тологических объектов. Большую роль естественная радиоактивность
играет в природе. От нее происходит внутреннее тепло Земли, она яв-
ляется одной из причин биологических мутаций. Активностью радио-
активного источника называют число спонтанных ядерных превращений
в нем за единицу времени. За единицу активности принят беккерель
(Бк) — активность нуклида, при которой за 1 с происходит один акт
распада. Ранее применяли единицу кюри (Ки); 1 Ки = 3,7 • Ю10 Бк.
8.5.2. Ядерные реакции. В ядерпую реакцию вступают ядро, на-
зываемое мишенью, и частица, в результате реакции в большинстве
случаев получается ядро и другая частица. Вступающие в реакцию
ядро и частицу называют исходными, получающиеся — конечными.
Записывается реакция аналогично химической или в виде
А (а, Ь)В.
Здесь А, а и В, b — соответственно исходные и конечные ядро и части-
ца. Иногда конечные ядро и частица совпадают с начальными, отлича-
ясь только кинетической энергией (случай упругого рассеяния). В реак-
ции неупругого рассеяния конечная частица совпадает с начальной,
а конечное ядро является возбужденным состоянием начального, кото-
рое обозначают А*. В реакциях с высокой энергией (сотни и тысячи
МэВ) исходных частиц конечными продуктами могут быть несколько
ядер и элементарных частиц, в том числе и не стабильных в природе
в свободном состоянии. Два ядра и несколько нейтронов являются
также конечными продуктами реакции деления тяжелых ядер нейтро-
нами, например:
2Э&-, т . о i I'lSr, । ‘Цтл'
82U п = Зп Ва + Зб1\г.
397
St W 83 $ S3 87 83 63 SO 31 32 Z
0
Рис. 8.3
Исходными частицами в ядерных реакциях служат нейтроны,у-квапты
и заряженные частицы: протоны, дейтроны (^-ядра изотопа водо-
рода, состоящие из одного протона и одного нейтрона), а-частицы,
многозарядные ионы.
В большинстве случаев ядерные реакции происходят в два этапа.
На первом частица проникает в исходное ядро (мишень), ее энергия
распределяется между всеми его частицами и образуется составное
ядро (компаунд). Составное ядро неустойчиво, но время его жизни
(10~15 с) значительно больше характерного ядерного времени (10“22 с).
На втором этапе происходит распад составного ядра, не зависящий от
способа его образования. Может существовать несколько способов рас-
пада составного ядра, называемых каналами реакции. Относительная
вероятность каждого из каналов характеризуется его сечением,которое
определяется аналогично сечению рассеяния. Вероятности образования
составного ядра и всей ядерной реакции описывают соответствующими
сечениями. Вероятность ядерной реакции можно также характери-
зовать ее выходом — отношением числа произошедших реакций к числу
попадающих на мишень исходных частиц.
Прямые ядерные реакции не проходят через этап составного ядра.
В них исходная частица передает почти всю свою энергию одной из
частиц ядра-мишени. Приобретенной энергии оказывается достаточно
для вылета этой частицы из ядра. Проникновению заряженных частиц
в ядро препятствует кулоновское отталкивание на расстояниях боль-
ших по сравнению с радиусом действия ядерных сил — так называе-
мый кулоновский барьер. В остальном механизмы реакций, вызывае-
мых протонами, нейтронами и а-частицами, сходны. При малых энер-
гиях исходных нейтронов преобладает реакция (п, у) — радиационный
захват нейтронов, при энергиях больших 10 кэВ — упругое рассеяние
нейтронов. При дальнейшем росте энергии становится возможным не-
упругое рассеяние, а также прямые реакции (п, р) и (/г, а).
у* В фотоядерных реакциях (например, реакциях (у, и), (у, р) и деле-
ния ядер под действием у-кванта) исходной частицей является у-квант.
Зависимость сечения поглощения у-квантов от их энергии обнаружи-
вает ряд пиков, соответствующих ядерным переходам между энергети-
ческими уровнями, при энергии 10—20 МэВ сечения поглощения почти
для всех ядер имеют высокий и широкий пик (гигантский резонанс),
связанный с перекрывающимися тесно расположенными уровнями.
Ядерные реакции под действием дейтронов происходят в большинстве
случаев по каналу реакции срыва. При реакции срыва дейтрон вблизи
ядра распадается и в ядро проникает лишь одна из его составляющих.
При низких энергиях — это обычно нейтрон, так как проникновению
протона препятствует кулоновский барьер, при высоких энергиях се-
чения реакций (J, п) и (J, р) сравниваются. При реакции срыва состав-
ное ядро получается обычно в слабовозбужденном состоянии.
Механизмы протекания ядерных реакций при высоких (больше
100 МэВ) энергиях существенно другие. При таких энергиях нале-
тающая частица взаимодействует не с ядром-мишенью в целом, а с сос-
тавляющими его нуклонами. Испытав несколько столкновений, она не
растрачивает всей своей энергии и пролетает ядро насквозь. При стол-
кновениях высокоэнергетической частицы с нуклонами происходит
рождение вторичных частиц, которые могут растратить свою энергию в
столкновениях внутри ядра, а могут и вылететь из него. Этот процесс
называют внутриядерным каскадом. Получающееся составное ядро
может сильно отличаться от исходного.
В эксперименте и в технике исходные частицы для ядерных реак-
ций получают с помощью радиоактивных источников, ускорителей эле-
ментарных частиц, ядерных реакторов и космических лучей.Радиоак-
399
тивные источники могут испускать не только а-частицы, но и нейтроны.
Для этого источник составляют таким образом, чтобы в нем происхо-
дила реакция (а, п). Ядерные реакции используют для изучения
строения ядер, для получения новых искусственных ядер, в частности
трансурановых элементов и имеющих практическое применение радио-
активных изотопов, а также в ядерной энергетике и для активационно-
го анализа. Активационным анализом называют количественное и ка-
чественное изучение химического состава вещества путем анализа
его наведенной радиоактивности, получающейся в результате облучения
вещества нейтронами и другими частицами. По спектрам наведенной
радиоактивности можно определить химический и изотопный состав
вещества с очень большой точностью и чувствительностью, причем ис-
следование может быть проведено дистанционно, например в глубокой
буровой скважине (нейтронный каротаж).
8.6. ЯДЕРНАЯ ЭНЕРГЕТИКА
8.6.1. Энергетические характеристики ядерных реакций. Энер-
гией ядерной реакции называют разность Q суммарной кинетической
энергии конечных п исходных ядер и частиц. Эндотермической реак-
цией называют реакцию, идущую с поглощением энергии (Q < 0),
а экзотермической— идущую с выделением энергии (Q > 0). Эндотер-
мические реакции невозможны, если кинетическая энергия исходных
ядер и частицы в системе отсчета, в которой их центр масс покоится,
меньше пороговой энергии
Экзотермические реакции возможны при любой энергии вступающих
в реакцию ядер и частиц, по если эти ядра и частицы одного заряда,
то существует кулоновский барьер, и вероятность реакции экспонен-
циально зависит от разности между высотой барьера и кинетической
энергией исходных компонентов. Важную роль в природе и технике
играют два вида экзотермических реакций: синтеза легких и деления
тяжелых ядер.
Реакциям синтеза (слияния) легких ядер препятствует кулонов-
ский барьер, поэтому они идут с заметной вероятностью только при
очень высоких температурах (107—109 К). Кинетические энергии ядер,
преодолевающих кулоновский барьер и вступающих в реакцию, при
таких температурах значительно выше средней кинетической энергии,
но их доля уже достаточна для того, чтобы реакция была самоподдер-
живающейся. Такие реакции называют термоядерными. Конечным
продуктом термоядерных реакций, протекающих иногда в несколько
этапов, является ядро ^Не, которое, будучи дважды магическим, обла-
дает большой энергией связи.
Предполагают, что термоядерный синтез гелия является одним
из основных источников энергии звезд. Теоретически рассчитаны не-
сколько вариантов термоядерных циклов, т. е. цепочек последователь-
ных термоядерных реакций, в результате которых из четырех протонов
образуется ядро ^Не. Один из вариантов водородного (рр) цикла имеет
вид
р + р ->1D + е+ + v,
е+ + е~ -у 2Y,
400
p+^D->’He + Y,
>+>->> + 2^-
Суммарная энергия, выделяемая при всех превращениях, равна
26,21 МэВ. При этом энергию 0,514 МэВ уносят нейтрино. Если темпе-
ратура превышает 2 • 107 К, то большую скорость имеет другой цикл,
в котором роль катализатора играет ядро J2C, поэтому его называют
углеродным (углеродно-азотиым) циклом:
р + 7N + Y,
+ v,
p+1=C-^“N + Y,
Р + “N ~^О + Y,
ls8O->167N + e++v,
р+157мЮ62с + >.
В этом цикле выделяется энергия 25,03 МэВ. Нейтрино уносят энергию
1,7 МэВ. В старых звездах, в которых водород в основном уже выго-
рел и велико содержание гелия, могут идти реакции образования 12С,
Х|О и 2oNe из гелия.
Реакция деления ядер под действием нейтронов не требует для
своего протекания высоких температур. Нейтроны даже самых малых
энергий, захватываясь ядрами ||5U и g^Pu, вызывают деление.
Реакция деления является самоподдерживающейся при условии, что
она протекает как цепная реакция. Цепными реакциями (ядерными
или химическими) называют реакции, в которых активные частицы
(нейтроны, атомы, свободные радикалы) вызывают большое число
(цепь) превращений неактивных ядер или молекул вследствие регене-
рации активной частицы в каждом элементарном акте реакции (в каж-
дом звене цепи). Возможность цепной реакции при делении тяжелых
ядер нейтронами обусловлена тем, что тяжелые ядра по сравнению со
средними содержат больше нейтронов на один протон. В результате при
делении ядра выделяется несколько нейтронов (мгновенные нейтроны),
и осколки деления оказываются тяжелыми изотопами элементов, кото-
рые способны испускать нейтроны (запаздывающие нейтроны).
Коэффициентом размножения системы k называют отношение числа
нейтронов, поглощаемых делящимся веществом в данном и предыдущем
звеньях цепи. Самогюддерживающаяся цепная реакция происходит
при k > 1. Системы с k > 1 называют надкритическими (с лавинооб-
разно нар'астающей скоростью реакции), с k = 1 — критическими,
а с k < 1 — подкритическими. Коэффициент размножения системы
сильно зависит от изотопного и химического состава вещества, содер-
жащего делящиеся ядра, от его размеров, формы, массы и т. п. В при-
роде, по-видимому, самоподдерживающиеся реакции деления встре-
чаются редко. В настоящее время известен один случай, когда в ура-
новом месторождении обнаружены следы протекавшей в течение де-
сятков лет цепной реакции деления.
8.6.2. Ядерные реакторы. Ядерные реакторы — технические
устройства, позволяющие в земных условиях получить самоподдер-
живающуюся реакцию деления ядер. Часто ядерными (атомными)
401
реакторами называют устройства, в которых происходит управляемая
цепная реакция деления. Устройство, в котором реакция происходит
неуправляемо, лавинообразно нарастает и приводит к взрыву, называют
атомной бомбой. У природных минералов, содержащих уран и торий,
как правило, коэффициент размножения нейтронов 1. У чистого
урана природного изотопного состава (0,7 % 2g2U) при любой массе
&< 1. Самоподдерживающуюся цепную реакцию можно получить только
в чистом или в смеси природного урана с замедлителем нейтронов.
Критической массой называют такую массу делящегося вещества,;
в которой k становится равным 1. Для критическая масса состав-
ляет около 50 кг. Это было использовано в устройстве первых атомных
бомб. Принцип их действия заключался в быстром соединении несколь-
ких кусков "ggU, масса которых каждого в отдельности была меньше
критической, в один, для которого А’> 1, вследствие чего начиналась
лавинообразная цепная реакция.
Наиболее распространенный в природе изотоп 23j делится, погло-
тив только быстрый нейтрон (с энергией 107 эВ), а нейтроны меньшей
энергии ~активно поглощает, давая начало цепочке реакций:
29^-|^->2^и + Y,
-ЛзМр + с- + у,
239 м 239О . _ . ~
озNp -> 94P11 + е + v.
Получающийся в результате может делиться под действием ней-
тронов тепловой энергии с большей вероятностью, чем В бриде-
ре попутно с производством энергии при делении 2go U в сильно обога-
щепном этим изотопом ядерном топливе происходит переработка ^92 и в
294 Pu в природном уране. Количество производимого плутония больше,
чем количество истраченного 292 U, г. е. бридер размножает ядерное
горючее.
Ядерные реакторы, в которых происходит управляемая цепная
реакция деления, по своему назначению разделяются на энергетиче-
ские; исследовательские для изучения свойств,испытания конструкций
и получения мощных потоков нейтронов и у-излучения; бридерные,
производящие 2у4Рц, и многоцелевые. У каждого из них свои конст-
рукционные особенности. Независимо от типа реактор имеет активную
зону, где происходит реакция. Активная зона окружена отражателем
для уменьшения утечки из нее нейтронов, что повышает коэффициент
их размножения.. За отражателем расположена биологическая защита,
задерживающая У-излучение. В исследовательских целях, а также для
получения радиоактивных изотопов облучением нейтронами в отражателе
и защите могут быть сделаны специальные каналы. В бридерных регк-
юрах в отражатель помещают 92U для превращения его в 94Рц или
2g$Th, который, поглотив нейтрон и испустив два электрона, превра-
233гт о
вдается в изотоп также пригодный как ядерное горючее.
402
Реакторы могут работать па быстрых (бридерные), промежуточных
или тепловых (энергетические) нейтронах. Сечение деления тепловы-
ми нейтронами U в 250 раз больше, чем сечение захвата U, по-
этому реакторы на тепловых нейтронах могут работать на обогащенной
изотопом^0 U смеси или на природном уране. В активную зону реак-
тора на тепловых нейтронах помещают делящийся материал и замед-
литель, ядро которого должно иметь большое сечение неупругого рас-
сеяния нейтронов и малое сечение их захвата. Этим требованиям удов-
летворяют ядра дейтерия, углерода и бериллия. Как замедлитель
используют графит, тяжелую воду, иногда и обыкновенную, хотя
}Н имеет относительно большое сечение захвата. Из тех же материалов
строят отражатель реактора.
По конструкции активной зоны реакторы делят на гомогенные
и гетерогенные. В гомогенном реакторе ядерное горючее и замедлитель
(тяжелая вода) равномерно перемешаны, а в гетерогенных ядерное
горючее в виде тепловыделяющих элементов (твэлов) помещено в за-
медлитель. В активной зоне реактора размещается также система регу-
лирования, включающая элементы, сильно поглощающие нейтроны
(обычно это сплавы кадмия). Коэффициент размножения нейтронов
регулируется положением этих элементов и автоматически поддержи-
вается равным единице. Для экстренной остановки цепной реакции
в случае аварии подобные элементы быстро вводятся в активную
зону специальным устройством. Для отвода тепла, выделяющегося при
реакции, по системе охлаждения активной зоны циркулирует теплоно-
ситель.
Из существующих источников энергии ядерные реакторы явля-
ются наиболее перспективными как по имеющимся запасам горючего,
так и по экологической безопасности. Хотя остающиеся после выгора-
ния делящегося материала вещества обладают высокой радиоактив-
ностью, они имеют небольшую массу и объем, нелетучи, компактны
и могут быть легко обезврежены захоронением в достаточно глубоких
шахтах.
8.6.3. Проблема термоядерной энергетики. Проблемой термоядер-
ной энергетики называют задачу получения в земных условиях энер-
гии из реакций термоядерного синтеза. Решение этой задачи практиче-
ски навсегда сняло бы угрозу энергетического кризиса — истоще-
ния доступных человечеству запасов способной к преобразованиям
энергии.
Наиболее перспективными для термоядерной энергетики являются
реакции
®Т + 1D -> *Не + п + 17,6 Мэ В. .
Единственный реализованный в настоящее время путь получения само-
поддерживающейся термоядерной реакции — нагрев дейтерий-три-
тиевой плазмы до температуры порядка 107 К. При этой температуре
доля ядер, имеющих кинетическую энергию, достаточную для вступ-
ления в реакцию, такая, что выделяемой в реакции энергии хватает
на поддержание температуры плазмы. Кинетическая энергия ядер,
вступающих в реакцию, не обязательно должна превышать кулонов-
ский барьер, достаточно, чтобы вероятность туннельного эффекта была
велика.
В настоящее время удалось осуществить только неуправляемую
термоядерную реакцию в экспериментальных взрывах водородных
403
бомб. Тритий радиоактивен, он претерпевает p-распад с периодом
полураспада 12,262 года. Поэтому водородные бомбы непосредственно
заряжать тритием нельзя. Один из вариантов реакций в водородной
бомбе имеет вид
|Ь1 + п -> *Не + ®Т + 4,8 МэВ,
1Т + 1D -> ,Не 4- п + 17,6 МэВ.
Необходимая для термоядерной реакции температура и нейтроны для
получения трития создаются с помощью атомной бомбы на g? U или
э^Ри. Особенно большую мощность имеют бомбы, устроенные по схеме
деление — синтез — деление, в которых поток быстрых нейтронов, созда-
ваемых термоядерным взрывом, вызывает деление в оболочке из
232 q-м
или go Th.
Основная проблема термоядерного реактора— удержание плаз-
мы во время реакции. Никакой материал не способен удерживать вы-
сокотемпературную плазму.В настоящее время известны два способа
удержания плазмы во время термоядерной реакции: инерционный
и магнитный. Инерционный способ заключается в очень быстром на-
греве плотного газа, при этом в образовавшейся плазме реакция про-
ходит раньше, чем она успевает разлететься. Этот способ осуществля-
ется в водородной бомбе. Разрабатываются проекты установок управ-
ляемого термоядерного синтеза, основанные на быстром нагреве веще-
ства пучком высокоэнергетических частиц или лучом лазера. Магнит-
ный способ удержания плазмы основан на том, что заряженные час-
тицы, из которых состоит плазма, не могут двигаться поступательно
поперек магнитных силовых линий. Их траектория всегда представля-
ет собой спираль, навитую на магнитные силовые линии. Специальная
конфигурация магнитного поля позволяет в течение некоторого вре-
мени удерживать плазму от соприкосновения со стенками реактора.
В управляемом термоядерном реакторе реакция не должна быть
самоподдерживающейся. Необходимо только, чтобы затраты энергии
всей установкой на создание и удержание плазмы были меньше энер-
гии, выделяющейся в результате реакции. Определяющей характерис-
тикой для термоядерного реактора является параметр удержания.
Параметром удержания называют произведение плотности плазмы на
время ее охлаждения или разлета, Чтобы производство энергии пре-
высило ее затраты, должен выполняться критерий Лоусона', параметр
удержания должен быть больше некоторой величины, зависящей от
температуры плазмы. Эта величина минимальна при температуре
(100 — 300) • 106 градусов и составляет около 1014 (ион/см3) • с.
Построить термоядерный реактор— чрезвычайно сложная и мно-
госторонняя инженерная проблема, в ходе разработки которой по-
стоянно возникает множество научных и технических задач. В настоя-
щее время ближе всего к выполнению критерия Лоусона подошли уста-
новки типа токамак. Предполагают, что иа них уже в ближайшее время
удастся получить управляемую термоядерную реакцию с положительным
энергетическим выходом. Но это не означает, что в будущем не могут
оказаться выгоднее и удобнее в эксплуатации установки другого типа.
8.6.4. Действия ядерных излучений. Ядерные излучения
(сс-, Р- и Т-лучи, протоны, нейтроны), взаимодействуя с электронами
атомов или их ядрами, способны оказывать разнообразные воздействия на
вещества. Заряженные частицы и у-кванты, взаимодействуя с электро-
нами, могут ионизировать атомы или возбуждать их, а также возбуж-
404
дать и разрушать молекулы. Эти явления существенно влияют на ход
многих химических реакций и могут стимулировать такие реакции»
которые не происходят в обычных условиях. Те же действия косвенно
могут производить и нейтроны, которые при радиационном захвате
их ядрами порождают у-лучи. Влияние ядерных излучений на химиче-
ские процессы изучают в радиационной химии.
В живых организмах химические изменения, вызванные ядерными
излучениями, могут приводить к различным физиологическим наруше-
ниям, а также к мутациям. Эти вопросы рассматриваются в радиацион-
ной биологии и медицине.
В твердых телах ядерные излучения могут выбивать атомы из их
положений в кристаллической решетке, приводя к появлению много-
численных дефектов (вакансий, междоузельных атомов, кластеров
вакансий и междоузельных атомов, дислокационных петель и т. п.),
Существенно влияющих на прочность, электропроводность и другие
свойства твердых тел. Эти явления исследуют в радиационной физике
твердого тела.
Взаимодействуя с веществом, ядерные излучения могут превра-
щаться одно в другое. Например, нейтроны в результате радиацион-
ного захвата порождают у-кванты, у-кванты при ядерном фотоэффекте
приводят к появлению нейтронов и протонов, а при комптоновском
рассеянии — быстрых электронов, -заряженные частицы порождают
фотоны в результате тормозного и черепковского излучений и т. п. При
всех этих процессах часть энергии передается веществу, в котором
происходят превращения. В результате ядерные излучения постепен-
но растрачивают свою энергию и затухают. Пробегом частицы в веществе
называют длину ее пути до полной остановки или поглощения. Пробег
частицы определяется ее кинетической энергией, а также плотностью
и другими свойствами среды. Существуют эмпирические формулы и
таблицы среднего пробега частиц в зависимости от их энергии.
Дозой излучения (для любого вида ядерных излучений) называют
отношение поглощенной энергии к массе облучаемого вещества^' Еди-
ницей дозы облучения является грэй (Гр) — доза излучения, при кото-
рой облученному веществу массой 1 кг передается энергия излучения
1 Дж. Внесистемной единицей дозы излучения является рад (1 рад =
~ 0,01 Гр). Мощность дозы излучения — это доза, отнесенная к еди-
нице времени. Единицей измерения мощности дозы излучения служит
грэй на секунду (Гр/с).
Флюэнсом называют количество частиц (нейтронов, у-квантов
и т. п.), прошедших через единицу поверхности облученного образца
за время его облучения. Флюэнс измеряют в сантиметрах в минус вто-
рой степени.
Экспозиционная доза излучения представляет собой энергетическую
характеристику рентгеновского или у-излучения, оцениваемую по эф-
фекту ионизации сухого атмосферного воздуха. Единицей ее служит
кулон на килограмм (Кл/кг)— это экспозиционная доза рентгенов-
ского или у-излучения, при которой сумма электрических заря-
дов одного знака, образованных в 1 кг воздуха, равна 1 Кл. Исполь-
зуется также внесистемная единица рентген (Р), 1 Р= 2,58Х
X Ю~4 Кл/кг. Единицей мощности экспозиционной дозы принят ампер
на килограмм (А/кг) — мощность электромагнитного излучения, при
котором за время 1с экспозиционная доза возрастает на 1 Кл/кг. При-
меняют внесистемные единицы: рентген в секунду (1 Р/с — 2,58 X
X 10“4 А/кг), рентген в минуту (1 Р/мин — 4,30 • 10~G А/кг), рентген
в час (1 Р/ч — 7,17 • 10"8 А/кг).
Эквивалентная доза излучения оценивается по биологическому
его воздействию. Она равна произведению дозы излучения на коэффи-
403
циент качества /<, характеризующий относительную биологическую
активность рассматриваемого излучения. Для рентгеновского и у-из*
лучений К ~ 1, для тепловых нейтронов /< — 3, для нейтронов с энер-
гией 0,5 МэВ К ~ Ю. Единицей эквивалентной дозы служит джоуль
на килограмм (Дж/кг). Применяют также внесистемную единицу —
биологический эквивалент рентгена (бэр), 1 бэр = 0,01 Дж/кг.
8.7. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
8.7.1. Краткая история и современное состояние физики элемент
тарных частиц. Начало физике элементарных частиц и неразрывно
связанной с ней релятивистской теории квантованных полей было по*
ложено в конце 20-х — начале 30-х годов XX в. релятивистской тео-
рией электрона Дирака и экспериментальными открытиями позитрона
и нейтрона. Следующим большим успехом было построение квантовой
электродинамики. За этим последовал длительный период, в течение
которого быстро накапливались экспериментальные данные. С ростом
энергии ускорителей и развитием экспериментальной техники быстро
увеличивалось число элементарных частиц и резонансов (так называют
очень быстро распадающиеся частицы, которые современная теория
считает возбужденными состояниями других частиц), к настоящему
времени их известно более 300. Были созданы также теории, успешно
описывающие отдельные совокупности экспериментальных данных,
но только к концу 70-х годов создалось мнение, что выяснены основные
принципы построения единой теории фундаментальных взаимодействий
и элементарных частиц. Эти принципы будут изложены ниже. Несмот-
ря на широкое признание их физиками, они не являются твердо уста-
новленной научной теорией и со временем могут оказаться в какой-то
части неправильными.
8.7.2. Принципы теории фундаментальных взаимодействий. Все
многообразие взаимодействий различных физических систем можно
свести к проявлению нескольких фундаментальных взаимодействий.
Первым примером такого сведения в истории физики было открытие
Ньютоном единого взаимодействия, управляющего движением небес-
ных тел и падением земных предметов. Это взаимодействие, описывае-
мое законом всемирного тяготения Ньютона, а более точно общей
теорией относительности Эйнштейна, называют гравитационным
взаимодействием. Различие его проявлений в законах падения и в
строении астрономических объектов объясняется различием масштабов
этих явлений.
Другой пример: рассматривавшиеся вначале как совершенно раз-
личные и не связанные между собой электростатическое и магнитное
взаимодействия оказались различными аспектами единого электромаг-
нитного взаимодействия, которое проявляется по-разному в зависи-
мости от относительного движения взаимодействующих зарядов и си-
стемы отсчета.
Третий пример: силы взаимодействия между молекулами (силы
Ван-дер-Ваальса) сложным образом зависят от расстояния и могут
быть нецентральными, т. е. зависеть не только от расстояния между
молекулами, но и от их взаимной ориентации. Эти силы можно свести
к электромагнитному взаимодействию заряженных частиц, из которых
состоят электронейтральные в целом молекулы. Такие взаимодействия
называют иногда остаточными', они «остаются» при объединении за-
ряженных объектов в нейтральные системы.
Большинство физиков убеждены, что все взаимодействия могут
быть сведены к проявлениям единого фундаментального взаимодей-
406
ствия, ио построение такой теории — дело будущего. В настоящее вре-
мя известны три фундаментальных взаимодействия, не сводимых одно
к другому и не выводимых из общего закона.
1. Гравитационное взаимодействие. Гравитационное взаимодей-
ствие очень слабо для частиц малой массы, для которых существенны
квантовые эффекты. Поэтому для таких частиц не обнаружены пока
никакие экспериментальные проявления гравитационного взаимодей-
ствия. Построение квантовой теории гравитации также наталкивается
на значительные трудности.
2. Электромагнитное и слабое взаимодействие (иногда применяют
термин электрослабое взаимодействие). Теория Вайнберга — Салама-
Глэшоу, объединяющая считавшиеся различными фундаментальные
взаимодействия—электромагнитное и слабое,— является общепри-
знанной.
3. Сильное (цветовое, хромодинамическое) взаимодействие. До не-
давнего времени сильным называли взаимодействие, связывающее
протоны и нейтроны в атомном ядре. Согласно современной теории
протоны и нейтроны состоят из кварков, которые сильно взаимодей-
ствуют, а ядерные силы являются остаточными по отношению к этому
взаимодействию.
Все фундаментальные взаимодействия связаны с определенными
группами симметрии законов природы. Группой симметрии закона
природы, выраженного некоторым уравнением, называют совокупность
преобразований величин, входящих в это уравнение поставляющих
вид уравнения неизменным. Чтобы совокупность преобразований обра-
зовывала группу, необходимо, чтобы: 1) произведение (последователь-
ное применение) двух преобразований давало преобразование, также
принадлежащее этой совокупности, 2) совокупность содержала тож-
дественное преобразование и 3) каждому преобразованию соответст-
вовало обратное, т. е. такое, что произведение этих преобразований
является тождественным преобразованием.
Например, совокупность всех преобразований координат, соответ-
ствующих поворотам координатной системы при неизменном ее нача-
ле, образует группу. Каждый элемент этой группы (каждый поворот)
определяется тремя параметрами (углами Эйлера). Такую группу на-
зывают трехпараметрической. Она является группой симметрии зако-
нов механического движения замкнутой системы. Те же законы сим-
метричны и относительно другой трехпараметрической группы преоб-
разований: группы переносов начала координат на любой вектор.
В этом случае говорят, что законы движения замкнутой системы сим-
метричны относительно прямого произведения этих групп — группы,
образованной всеми элементами первой и второй групп и всеми их
произведениями. Прямое произведение групп поворотов и переносов
является шестипараметрической группой, каждый элемент которой
определяется тремя компонентами вектора переноса и тремя углами
Эйлера.
Другой пример: уравнение Шредингера нерелятивистской кванто-
вой механики и формулы, определяющие физические величины, не
изменятся, если волновую функцию умножить на фазовый множитель
вида е1а, где а — постоянное число (параметр группы преобразований).
Связь взаимодействий, описываемых силовыми полями, с симмет-
рией уравнений движения состоит в том, что при включении полей
в уравнения они становятся симметричными относительно более общей
группы преобразований.
Уравнения релятивистской механики инвариантны относительно
группы преобразований Лоренца, описывающей переходы к другим
инерциальным системам отсчета. В общей теории относительности
407
в уравнения включается гравитационное поле, вследствие чего стано-
вятся возможными более общие преобразования координат в про-
странстве—времени, в частности переход к неинерциальным системам
•отсчета. Параметры таких преобразований являются функциями коор-
динат в пространстве—времени.
Введение магнитного поля в уравнение Шредингера (см. 3.5) по-
зволяет ввести преобразование умножения волновой функции на фа-
зовый множитель, зависящий от координат. В общем случае все фунда-
ментальные взаимодействия связаны с группами симметрии, параметры
которых зависят от координат. Поля, позволяющие ввести такие пре-
образования, называют калибровочными. Все фундаментальные вза-
имодействия описываются калибровочными полями.
Другие принципы теории фундаментальных взаимодействий свя-
заны с квантовой механикой. Каждое взаимодействие описывается
квантованным полем. Функции, описывающие квантованное поле, од-
новременно являются волновыми функ-
\ / циями некоторых частиц — квантов
X. / поля. Эти частицы являются бозонами,
X f т. е. имеют целочисленный или нулевой
rfl Л Л А Л Л П Пт спин. Они рассматриваются как пере-
^uuuUl/1/UJL носчики взаимодействия. Взаимодей-
/ ствующие частицы способны испускать
/ и поглощать частицы-переносчики, при
/ \ этом соблюдаются законы сохранения
энергии, импульса и момента импульса.
Рис. 8.4 в квантовой механике на основании со-
отношений неопределенности допускает-
ся существование в течение временного промежутка А/ частицы-пере-
носчика с энергией А£, такой, что ДЕД/ ей, без изменения состояния
испустившей ее частицы. Такие частицы-переносчики называют вирту-
альными. Прямое взаимодействие осуществляется путем обмена вирту-
альными частицами-переносчиками. Такой процесс принято изобра-
жать так называемой диаграммой Фейнмана (рис. 8.4), на которой
стрелками,входящими в точки 1 и 2,показаны состояния частиц до взаи-
модействия, волнистой линией — виртуальная частица-переносчик,
выходящими стрелками — частицы после взаимодействия. Частица-
переносчик может передать некоторую энергию и импульс от одной из
взаимодействующих частиц к другой. Взаимодействие никогда не про-
исходит в одной точке пространства. Может ли оно произойти при
любом расстоянии между точками 1 и 2, зависит от того, имеет ли час-
тица-переносчик массу покоя. Если она не имеет массы покоя (такой
частицей; является переносчик электромагнитного взаимодействия —
фотон), то ее. энергия ДЕ может быть как угодно малой и, следова-
тельно, она может быть удалена от испустившей ее частицы на как
угодно большое расстояние. В этом случае взаимодействие имеет бес-
конечный радиус, т. е. спадает с расстоянием по степенному закону.
Если масса покоя частицы-переносчика /я0, то взаимодействие будет
убывать с расстоянием экспоненциально. В этом случае радиусом
взаимодействия называют
-А
Г° “ тис'
На расстоянии г0 взаимодействие убывает в е раз.
Если не только уравнения теории, но и получающееся в результате
их решения основное состояние взаимодействующих частиц и калибро?
вочного поля симметрично относительно преобразований группы, то
частицы-переносчики оказываются безмассовыми. Возможна ситуа-
408
ция, когда существует множество основных состояний, каждое из кото-
. рых не симметрично относительно преобразований группы и переходит
одно в другое при этих преобразованиях. Подобное явление встреча-
ется в физике конденсированных тел. Например, основное состояние
изотропного ферромагнетика характеризуется не равной нулю намаг-
ниченностью, но направление этой намагниченности безразлично. Реа-
. лизуется одно направление намагниченности, определяющееся случай-
но (спонтанно), и таким образом исходная изотропия оказывается на-
. рушенной. Если такое спонтанное нарушение симметрии основного
состояния наблюдается в теории фундаментального взаимодействия, то
по крайней мере некоторые виды частиц-переносчиков имеют ненуле-
вую массу покоя.
Свойства каждой частицы, описываемой теорией, характеризуются
ее массой, спином и значениями различных зарядов. Каждая частица
имеет античастицу с той же массой и спином и противоположными
значениями всех зарядов. Если все заряды у частицы равны нулю, то
она является собственной античастицей.
8.7.3. Элементарные частицы и их взаимодействия. В настоящее
.время не существует точного определения элементарной частицы.
В соответствии со сложившейся практикой этот термин применяется
для обозначения большой группы мельчайших частиц материи, не яв-
ляющихся атомами или атомными ядрами, а также протона (ядра атома
водорода). Иногда элементарные частицы называют субъядерными.
Элементарные частицы не могут быть разложены на составные части
(по крайней мере современными средствами). Они могут распадаться
на другие элементарные частицы, но это нельзя рассматривать как
разделение на составные части. Например, хотя известен распад ней-
тронов
п-> ре~ -\-ve,
но нельзя считать, что нейтрон состоит из протона, электрона и элек-
тронного антинейтрино, так как известна реакция
Р + -> п + е+.
Элементарные частицы могут превращаться одна в другую при рас-
падах и столкновениях.
В зависимости от участия в тех или иных видах взаимодействий все
элементарные частицы, за исключением фотона, разбивают на две ос-
новные группы: лептоны и адроны. Адроны в отличие от лептонов
кроме гравитационного и электрослабого взаимодействий участвуют
еще и в сильном. Однако эту классификацию нельзя в настоящее время
считать окончательно установившейся. Часто лептонами называют бес-
структурные фермионы, участвующие только в гравитационном и элек-
трослабом взаимодействиях. Их известно двенадцать: электрон в”,
.электронное нейтрино ve, мюон мюонное нейтрино v^, таулептон
т~, таулептонное нейтрино vT и их античастицы. Античастицу электро-
на называют позитроном. Особую группу составляют кванты калиб-
ровочного поля — переносчики электрослабого взаимодействия: фо-
тон и промежуточные бозоны. Остальные элементарные частицы (ад-
роны) состоят из кварков. В свободном состоянии кварки не обнару-
жены, и считают, что адрон в принципе нельзя разделить на составля-
ющие его кварки. В настоящее время экспериментально доказано суще-
ствование десяти видов (их иногда называют ароматами) кварков:
d, s, b и их античастицы. Теоретически предсказано и почти несом-
ненным является существование кварка t и его античастицы. Массы
и заряды лептонов и кварков приведены в табл. 102.
409
Все лептоны и кварки являются фермионами (спин равен 1/2)«
Импульс частицы в избранной системе отсчета задает направление, от-
носительно которого определяется пространственное квантование спи-
на. Если проекция спина частицы на направление ее импульса положи-
тельна, то частицу называют правовинтовой (если представить спиц
ках вращение шарика, то направление вращения и импульс связаны
направлением правого винта). Левовинтовой называют частицу, про-
екция спина которой иа направление импульса отрицательна. Для
частиц, имеющих массу покоя, импульс зависит от выбора системы от-
счета, следовательно, является ли она право- или левовинтовой, опре-
деляется этим выбором. Безмассовые частицы движутся со скоростью
света, их импульс и соотношение между импульсом и спином пе зави-
сят от системы отсчета. В некоторых теориях безмассовыми частицами
являются все нейтрино, экспериментально наблюдают только левовин-
товые нейтрино и правовинтовые антинейтрино. Окончательно вопрос
о том, имеют ли нейтрино массу, еще не решен. Экспериментально для
всех видов нейтрино известны только верхние пределы возможных
значений их масс.
Все левовинтовые частицы и правовинтовые античастицы объеди-
нены в дублеты:
/е~\ /И~\ /т~\ / и\ (с \ /1 \
W ’ ’ \vv ’ \+ ’ Vc7 ’ +/ ’
Дублеты античастиц строятся аналогично. dc и sc являются линейными
комбинациями кварков d и s:
dc ~ d cos 0с -|- s sin 0с,
sc =—d sin 0c + s cos 0c, (8.18)
где Ос 15° — так называемый угол Кабиббо. В другом варианте
теории три нижних компонента кварковых дублетов являются линей-
ными комбинациями кварков d, s и b. Обе частицы в каждом дублете
имеют заряд, обозначаемый U (1) и равный среднему электрическому
заряду дублета (его называют слабым гиперзарядом). Кроме того, верх-
ние компоненты дублетов имеют слабый заряд (слабый изотопический
спин), равный 1/2, а нижние — (—1/2), для дублетов античастиц
знаки слабых зарядов соответственно противоположны. Правовинто-
вые частицы и левовинтовые античастицы имеют слабый заряд, равный
О, и являются синглетами. Их слабый гиперзаряд равен их электри-
ческому заряду. Электрический заряд любой частицы равен сумме ее
слабого гиперзаряда и слабого заряда. Электрические заряды электро-
на, мюона и таулептона равны (—1) (в единицах элементарного элек-
трического заряда), а их античастиц — (+1). Кварки w, с и / имеют
электрические заряды (+2/3), a d, s и b и их линейные комбинации
(8.18) — (—1/3). Все нейтр ино электрического заряда не имеют. Элек-
трический заряд является строго сохраняющейся величиной, т. е.
при любых распадах и взаимопревращениях частиц алгебраическая
сумма электрических зарядов остается неизменной. Слабый заряд не
сохраняется. То, что правовинтовые и левовинтовые частицы по-раз-
ному участвуют в слабом взаимодействии, отражает экспериментально
подтвержденный факт отсутствия симметрии слабого взаимодействия
относительно изменения знаков всех координат (так называемого зер-
кальною отражения).
Симметрия теории слабого и электромагнитного взаимодействия
(теория Вайнберга — Салама — Глэшоу) заключается в том, что урав-
нения теории инвариантны относительно замены любой частицы, име-
410
ющей слабый заряд, на линейную комбинацию ее с другой частицей,
принадлежащей тому же дублету. Коэффициенты этой комбинации мо-
гут быть комплексными функциями координат и времени, ограничен-
ными условием нормировки: сумма квадратов их модулей равна еди-
нице. Кроме того, со слабым гиперзарядом связана симметрия уравне-
ний относительно умножения волновых функций частиц на фазовый
множитель вида ехр[ш (д, у, г)]. Все эти преобразования симметрия
образуют так называемую группу SU (2)Х U (1). Калибровочное поле,
связанное с этой симметрией, имеет В°- бозон, связанный со слабым
гиперзарядом, и IF+-, IF”-, И7°-бозоны, испускаемые частицами, име-
ющими слабый заряд. Бозоны В0 и IF0 не имеют ни слабого, ни элек-
трического заряда, a IF+ и IF” несут соответственно положительный
и отрицательный электрический и слабый заряды. Физически наблю-
даемыми оказываются линейные комбинации бозонов В° и IF0:
У = cos 0^ • В® + sin Оде, • IF0,
Z° == —sin 0lF • BQ 4- cos Оде, • IF0,
где Оде, — угол Вайнберга, определяемый из эксперимента; Оде, 29°.
Симметрия 5(7(2) X (7(1) является спонтанно нарушенной. С этим
связано возникновение в теории еще одного бесспинового массивного
бозона (бозона Хиггса) и массы покоя порядка 100 ГэВ у бозонов JF+,
IF” и Z°. Бозон у остается безмассовым, он тождествен фотону. Соответ-
ственно процессы взаимодействия, связанные с поглощением и испус-
канием виртуальных фотонов, имеют бесконечный радиус действия.
Радиус взаимодействия, осуществляемого виртуальными бозонами IF'1’,
IF” и Z°, порядка 10”16 см. При энергиях взаимодействующих частиц
в системе отсчета, связанной с их центром масс, большей 100 ГэВ, воз-
растает вероятность испускания ими массивных бозонов, и сим-
метрия теории восстанавливается.
Кварки помимо электрослабого взаимодействия могут участвовать
во взаимодействии, называемом хромодинамическим. Это взаимодей-
ствие описывает квантовая хромодинамика. В этой теории введено три
новых заряда, называемых цветами", красный, зеленый и синий. Су-
ществуют и противоположные цвета: антикрасный, антизеленый и аи-
тисиний. Кварк любого аромата может иметь один из трех цветов, а
антикварк — любой из трех антицветов. Уравнения теории симметрич-
ны относительно замены кварка определенного аромата и цвета линей-
ной комбинацией кварков того же аромата, но разных цветов. Коэффи-
циенты комбинации являются комплексными функциями времени и про-
странственных координат. Эти преобразования образуют группу 5(7(3).
Калибровочное поле, связанное с. этой группой симметрии, образовано
восемью безмассовыми бозонами, которые называют глюонами. Шесть
из них обладают свойством изменять цвета кварков при обмене ими, два
оставляют цвета взаимодействующих кварков неизменными. Симметрия
квантовой хромодинамики не нарушается, поэтому глюоны не имеют
массы покоя, но радиус хромодинамического взаимодействия оказывает-
ся мал (порядка 10“13 см). Причина этой малости во взаимодействии
окрашенных глюонов, которое, как показывает теория, приводит к то-
му, что силы взаимодействия окрашенных частиц возрастают с рас-
стоянием, в результате чего при достижимых энергиях окрашенные час-
тицы не могут разойтись на расстояние, большее 10~13 см. По этой же
причине кварки не удается наблюдать в свободном состоянии. На ма-
лых расстояниях цветовое взаимодействие становится малым (так назы-
ваемая асимптотическая свобода кварков), и теория дает возможность
вычислить ряд результатов, подтверждаемых экспериментом.
411
Существует теория, еще не получившая общего признания, не-
смотря на некоторые подтвержденные экспериментом предположения,
объединяющая электрослабое и цветовое взаимодействия. Группу
симметрии этой теории обозначают S(/(5). Эта симметрия сильно на-
рушена. Теория S(/(5) предсказывает значение угла Вайнберга, близ-
кое к экспериментально наблюдаемому, и отсутствие массы у всех
видов нейтрино, объясняет квантование электрического заряда. В то
же время из нее следует, что возможен распад протона на лептоны.
Время жизни протона по теоретическим оценкам оказывается порядка
1031—1033 лет. Нарушение симметрии SU(5) должно сниматься (т. е.
соответствующие бозоны должны иметь вероятность рождения такого
же порядка, что и фотоны и бозоны электрослабого взаимодействия) при
энергиях взаимодействующих частиц порядка 1016 ГэВ. В настоящее
время ставят эксперименты по проверке предсказаний этой теории о не-
стабильности протона (большое время жизни компенсируют большим
количеством наблюдаемых протонов) и об отсутствии массы у нейтрино.
Цветовое взаимодействие объединяет кварки в бесцветные системы
(адроны), которые наблюдаются непосредственно в эксперименте. Бес-
цветные системы можно построить двумя способами (подобно тому, как
белый цвет можно получить смешением трех основных цветов или од-
ного из основных цветов с его дополнительным): либо из трех кварков,
несущих три разных цвета, либо из кварка и антикварка, несущих
соответственно цвет и антицвет. Обе возможности реализуются в при-
роде. Из трех кварков образованы элементарные частицы, называемые
барионами, из кварка и антикварка составлены мезоны. Кварки в ад-
ронах могут иметь орбитальный момент относительно общего центра
тяжести. Согласно общим законам квантовой механики орбитальный
момент кратный h. Поэтому все барионы являются фермионами, а ме-
зоны — бозонами (напомним, что кварки — это фермионы). Закон сох-
ранения цвета приводит к тому, что барионы могут рождаться и исче-
зать только в паре со своими антибарионами.(Этот закон и наруша-
ется нестабильностью протона в теории симметрии SU(5) с очень малой
вероятностью.) Это правило называют законом сохранения барион-
ного числа (заряда). Барионам (составленным из кварков) приписы-
вают барионный заряд (+1), а антибарионам (составленным из анти-
кварков) — барионный заряд (—1). Барионный заряд в отличие от
электрического не связан с каким-либо силовым взаимодействием. В
природе преобладают барионы с положительным барионным зарядом.
Если бы он был связан с силовым взаимодействием, то это можно было
обнаружить во взаимодействии макроскопических тел.
Лептоны также появляются и исчезают парами со своими анти-
частицами или с соответствующим лептону антинейтрино. Этот закон
называют законом сохранения лептонного заряда. В некоторых тео-
риях вводят три лептонных заряда', электронный, мюонный и may леп-
тонный, каждый из которых сохраняется. По этим зарядам различают
три сорта нейтрино.
Экспериментально открыты более трехсот адронов. Еще до откры-
тия кварков была построена систематика адронов, позволяющая вы-
явить связь их масс, электрических и барионных зарядов, спинов и не-
которых других квантовых чисел с закономерностями превращений
частиц. Эта систематика в настоящее время полностью объясняется
теорией кваркового строения адронов подобно тому, как теория строе-
ния атомов объяснила систематику химических элементов, описанную
периодической системой элементов. Систематику адронов называют
теорией унитарной симметрии SU(3).
Адроны с одинаковым спином, близкие по массе, но различающиеся
электрическим зарядом, объединяют в изотопические мультиплеты.
412
Все частицы изотопического мультиплета имеют одинаковый по
величине изотопический спин (изоспин)— квантовое число, являюще-
еся вектором в абстрактном изотопическом пространстве, по свойствам
аналогичное спину в физическом пространстве. Направления изото-
пического спина пространственно квантованы аналогично простран-
ственному квантованию обычного спина. Частицы мультиплета отли-
чаются направлениями своих изотопических спинов, точнее их треть-
ими проекциями, принимающими ряд значений. Количество возмож-
ных значений равно 2/ + 1, где I — величина изотопического спина.
Примером изотопического мультиплета является дублет, состоящий из
протона и нейтрона. Изоспины протона и нейтрона равны 1/2. Протон
имеет третью проекцию (+1/2), а нейтрон — (—1/2). В отсутствие
электромагнитного взаимодействия протон и нейтрон неразличимы
подобно атомным термам, отличающимся только магнитным спиновым
квантовым числом. При наличии электромагнитного взаимодействия
вырождение снимается.
С точки зрения кваркового строения частицы изоспинового мульти-
плета различаются соотношениями кварков и и d. Если приписать
d-кварку число (—1/2), ц-кварку — (+1/2) и s-кварку — 0, то сложив
эти числа для каждой частицы, получим значение третьей проекции
изоспина. Наблюдают мультиплеты с / — 0 (синглет), / = 1/2 (дуб-
лет), / =* 1 (триплет) и / = 3/2 (квартет).
Каждый изоспиновый мультиплет имеет еще одно квантовое число,
называемое гиперзарядом У и одинаковое для всех его членов. Гипер-
заряд равен удвоенному среднему электрическому заряду частиц муль-
типлета. Мультиплеты, различающиеся только гиперзарядом, объеди-
няются в супермультиплеты. Для частиц, состоящих только из кварков
и, d и s, имеющих орбитальный момент L — 0 (основное s-состояние)
известны октет и декуплет барионов и две девятки мезонов. Частицы,
объединяемые в один супермультиплет, обладают близкими свойства-
ми по отношению к сильным взаимодействиям. Разбиение частиц на
супермультиплеты и предсказание существования и свойств некоторых
еще не открытых частиц, входящих в них, было сделано на основании
теории унитарной симметрии SU(3) еще до открытия кваркового строе-
ния элементарных частиц. Супермультиплеты барионов и мезонов по-
казаны на рис. 8.5 и 8.6. Кварковое строение и массы некоторых адро-
нов приведены в табл. 103. На рисунках, изображающих супермуль-
типлеты, по оси абсцисс отложен электрический заряд частиц, а по-
оси ординат — гиперзаряд. В октете барионов (рис. 8.5, а) спин одного
из кварков направлен противоположно двум другим, и полный спин
частицы равен 1/2. В декуплете (рис. 8.5, б) все спины параллельны
и результирующий спин равен 3/2. В мезонах спины кварка и анти-
кварка могут быть параллельны или антипараллельны,соответственно
спин мезонов первой девятки (рис. 8.6, а) равен нулю, а второй девят-
ки — единице (рис. 8.6, б). Кроме перечисленных частиц существуют
такие, в которых орбитальный момент кварков больше нуля. Их можно
рассматривать как возбужденные состояния перечисленных частиц,
все они имеют очень малое время жизни (10~?2 с) и в результате распа-
да, порождая пары частица—античастица, переходят в состояние
с £ " 0. ;
Вместо гиперзаряда иногда используют другое квантовое число —
странность. Странность частицы равца разности ее гиперзаряда и ба-
рионного числа. С точки зрения кваркового строения странность s-
кнарка равна (—1), а любой частицы — числу содержащихся в пей
s-кварков с отрицательным знаком. Антибарионы образуют аналогич-
ные мультиплеты с противоположными знаками всех квантовых чисел.
Антимезоны входят в те же супермультиплеты, что и мезоны.
413
Рис. 8.5
5
В начале 70-х годов был сначала теоретически предсказан, а затем
экспериментально открыт четвертый кварк, обозначаемый с. Он имеет
электрический заряд (+2/3) и массу порядка 1500 МэВ. С ним связано
новое квантовое число, называемое «очарованием» (шармом). Части-
цы, включающие в себя с-кварки, называют «очарованными». С учетом
этих частиц рассмотренные супермультиплеты расширяются. Многие
«очарованные» частицы уже обнаружены экспериментально. Теория
предсказывает расширение семейств частице открытием новых, вклю-
чающих Ь- и /-кварки. Так, Г-мезоп, представляющий собой связан-
ное состояние 6-кварка и его антикварна, уже открыт.
Кроме зарядов (электрического, барионного, лептонного, гипер-
заряда или странности, «очарования») и спинов (квантовомеханиче-
ского, связанного с собственным моментом км пульса, изотопического),
каждую частицу характеризуют четностью.Четность частицы может
быть положительной или отрицательной. Она определяется правилом
изменения знака волновой функции частиц при изменении знаков ко-
ординат. Если волновая функция является собственной функцией
оператора момента с квантовым числом момента /, то при замене знаков
всех пространственных координат па противоположные (зеркальное
414
отображение координатной системы) ее необходимо умножить на
jx (—l)z, где л = ± 1 — четность частицы.
Процессы взаимопревращения элементарных частиц могут проис-
ходить за счет сильного или слабого взаимодействия, а процессы рас-
сеяния — за счет сильного, слабого и электромагнитного взаимодей-
ствий. Если процесс идет за счет сильного взаимодействия, то измене-
ние кварковых ароматов не происходит, могут только рождаться новые
кварк-антикварковые пары. Такие процессы имеют малое характерное
время (10~23 с ) и высокие энергии. В процессах сильного взаимодей-
ствия соблюдаются законы сохранения всех зарядов (алгебраическая
сумма значений какого-либо заряда всех частиц до реакции равна такси
же сумме для частиц, получающихся в результате реакции). Кроме
того, в этих процессах сохраняются изотопический спин и его третья
проекция. Соблюдается также закон сохранения четности: произведе-
ние четностей частиц до реакции на (—l)z, где / — квантовое число ор-
битального момента частиц, равно аналогичному произведению для
продуктов реакции. Реакция распада за счет сильного взаимодействия
имеет вид
Л “ п + л “,
(ddd) -> (add) (ad).
При слабом взаимодействии сохраняются только электрически!!,
барионный и лептонный заряды. Гиперзаряд, странность, «очарование»,
изоспин и четность могут не сохраняться. Это связано с тем, что при
слабом взаимодействии изменяются ароматы кварков.Пример реакции
распада за счет слабого взаимодействия:
ДО р+ ft~,
(ads) -> (uud) + (ad).
-НЮ.? т
Раздел 9
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
9.1. АТОМНЫЕ СВОЙСТВА
9.1.1. Тепловое движение. Фононы. В идеальном кристалле
атомы занимают определенные положения в узлах строго периодиче-
ской кристаллической решетки. Координаты R ее узлов, соответству-
ющих одинаковым атомам, характеризуются основными векторами
решетки Ьп Ь2, Ь3:
R — Hjbj + n2b? + fi3b3, (9 1)
где nlf п2, «з — произвольные целые числа. Положения атомов в точ-
ках, определяемых формулой (9.1), соответствуют минимально воз-
можной энергии взаимодействия атомов. Формула (9.1) записана в
предположении, что покоящийся атом помещен в определенную точку,
(т. е. рассматривается с позиции классической механики), и в пренебре-
жении квантовыми эффектами. Как следует из соотношения неопре-
деленности Гейзенберга, координаты атомов не являются определен-
ными величинами, а существует только большая вероятность нахож-
дения атомов в какой-то области пространства (говорят, что атом со-
вершает нулевые колебания). Если размеры этой области малы по сравне-
нию с межатомными расстояниями, то такой кристалл приближенно
можно рассматривать с помощью классической механики. Если эти
размеры того же порядка, что и расстояния между атомами, методы
классической механики неприменимы и необходимо пользоваться кван-
товой механикой. Кристаллы, обладающие такими свойствами, назы-
вают квантовыми. К ним относятся кристаллы, состоящие из атомов
легких элементов (водорода и гелия). Если кристалл не квантовый, то
к отличию реального положения атомов от определенного формулой
(9.1) приводит движение атомов (тепловое или под действием внешней
силы).
Энергия Е кристалла состоит из кинетической энергии атомов
и потенциальной энергии их взаимодействия:
1 = 1 4=1
где N— число атомов в кристалле; т—масса f-го атома; vi — его ско-
рость; U— его потенциальная энергия в силовом поле, создаваемом дру-
гими атомами. Разность между энергиями реального и идеального кри-
сталла, состоящего из тех же атомов, определяет его внутреннюю энер-
гию. Поскольку в идеальном кристалле кинетическая энергия атомов
равна нулю, а потенциальная минимальна, то внутренняя энергия всегда
положительна. Увеличение потенциальной энергии зависит от отклонения
416
атомов от равновесного положения, соответствующего ее минимуму.
Если это отклонение и значительно меньше расстояния между атомами,
то увеличение энергии
ДУ=^. (9.3)
Здесь ср — коэффициент, зависящий от вида составляющих решетку
атомов. На отклоняющийся атом действует направленная к положению
равновесия сила
F ~ —сри
(и — вектор, проведенный из точки равновесия в точку реального по-
ложения атома), т. е. возвращающая сила, пропорциональная откло-
нению. Таким образом, атом представляет собой механический осцил-
лятор, который, будучи выведен из состояния равновесия, должен со-
вершать около него колебания. Однако, совершая колебания, атом
воздействует с переменной силой на соседние атомы, отдавая им часть
своей энергии и увлекая их в колебательный процесс. Значит, возбуж -
дения в кристалле представляют собой колебания не отдельных ато-
мов, а связанные коллективные колебательные движения большого их
количества. Такие движения являются упругими волнами.
Согласно квантовой механике энергия волновых процессов может
изменяться не непрерывно, а определенными порциями — квантами,
соответствующими энергиям элементарных (минимально возможных)
возбуждений. В квантовой механике каждое элементарное волновое
возбуждение с энергией & можно сопоставить с частицей, обладающей
такой же энергией и импульсом:
р = Лк,
где h— постоянная Планка; к — волновой вектор. Эту частицу (точ-
нее, квазичастицу) в случае упругих волн в твердом теле называют
фононом, а импульс р в случае фононов называют квазиимпульсом.
Любую волну в твердом теле или любое возбужденное его состояние
можно представить как набор определенного числа фононов с различ-
ными квазиимпульсами.
Рассмотрим два колебания в кристалле с простой кубической решет-
кой, у которой расстояние между атомами обозначим а. Пусть волновые
векторы этих колебаний к и кх — к -ф 2ле./а, где е,. — один из трех еди-
ничных векторов, направленных вдоль кубических осей кристалла. По-
скольку радиус-вектор R/z любого узла кристалла согласно выражению
(9.1) можно представить в виде Rrt = п^а^ + п2ае2 -ф где пг, п2,
п3 — целые числа, фазы ср и ср-, колебаний с волновыми векторами к и kL
отличаются на 2л, т. е. ср2 — IqR^ = kRn -ф- 2лп. — ср -ф 2лп.. Если фазы
отличаются на число, кратное 2л, то колебания неразличимы, т. е.
атомы в обеих волнах совершают одинаковые движения. Отсюда следует,
что волновой вектор к этих колебаний не однозначно определен, а может
быть выбран из множества
К = k -ф- «iKi + п2К2 + «3К3,
где К1Э К2, К3 — так называемые векторы обратной решетки, обла-
дающие свойством
К.Ь. = 1, К.Ьу = О, I j, i, / == 1, 2, 3.
Здесь by — основные векторы решетки.
14 5-1472
417
Поскольку для колебаний в кристалле выбор волнового вектора
неоднозначен, значение квазиимпульса также неоднозначно. Чтобы они
были однозначными, значения к задают некоторым множеством волновых
векторов, называемым зоной Бриллюэна. В зону Бриллюэна входят
все волновые векторы, которым соответствуют различные колебания
атомов решетки и разность любых двух таких векторов не равна век-
тору обратной решетки. Определяется она размерами и конфигураци-
ей примитивной ячейки.
Для простой кубической решетки с ребром «зона Бриллюэна так-
же является кубической с ребром 2л/а. Центру зоны Бриллюэна соот-
ветствует волновой вектор к = 0. Значения волнового вектора, лежа-
щие на границе зоны Бриллюэна, и соответствующие им квазиимпуль-
сы р73 называют бриллюэновскими.
В твердом теле существует несколько типов коллективных коле-
баний, называемых нормальными. В одном из них атомы, находящиеся
в разных узлах решетки, смеща-
А 1 д ются один относительно другого.
О Г) о О А Их колебания сильно различают-
Y э ся по фазе (рис. 9.1). Такой тип
У ~ У колебаний называют оптически-
ми. В кристаллах, у которых
в узлах расположены ионы,такие
. д 4 д смещения в Случае продольных
0 Д I 1 4 колебаний сопровождаются воз-
° О О никновением дипольного момента
V поэтому колебания могут всту-
пать во взаимодействие с электро-
Рис« 9.1 магнитным излучением. Оптиче-
ские колебания (рис. 9.1, а) на-
блюдаются, если кристалл состоит из атомов по крайней мере двух
разных сортов.
Ко второму типу нормальных колебаний относятся акустические
(рис. 9.1, б), все атомы в элементарной ячейке которых колеблются
синфазно, т. е. фаза колебаний плавно изменяется от ячейки к ячейке,
а сама ячейка колеблется как единое целое. Смещение атомов в каждый
момент времени в длинноволновом колебании соответствует опреде-
ленной механической деформации. В продольных волнах этого типа
участки сжатия, в которых расстояния между атомами в среднем
меньше, чем в идеальном кристалле, сменяются участками растяжения/
где это расстояние больше равновесного. Такие продольные волны
являются волнами изменяющейся локальной плотности, т. е. звуко-
выми, поэтому их называют акустическими. Поперечные волны акус-
тических колебаний соответствуют периодически изменяющейся упру-
гой сдвиговой деформации. Каждому типу колебаний соответствует
определенное число видов волн (мод) с тем же волновым вектором к,
но с различными относительными смещениями атомов. Число мод п
с одинаковым волновым вектором к соответствует числу степеней сво-
боды атомов, находящихся в одной примитивной ячейке. Каждый из
атомов предполагается точечным, поэтому у него есть три степени сво-
боды. Если в примитивной (элементарной) ячейке кристалла нахо-
дится v атомов, то для каждого волнового вектора к имеется п—3v
мод.
Все моды нормальных колебаний независимы между собой, т. е.
возбуждение одной моды колебаний не зависит от другой (от того, уча-
ствует ли уже атом в другом колебательном движении). Поскольку
все моды независимы и обладают определенным импульсом р с энер-
гией 6 (р), то вместо них можно рассматривать совокупность (газ)
418
независимых квазичастиц (фононов), обладающих теми же энергией
и квазиимпульсом, что и соответствующая мода.
При малых р 0 (длинноволновых колебав,иях) энергия трех из
мод также мала (<§ (р) -> 0). Эти моды являются акустическими (зву-
ковыми). Одна из них— продольная, а две — поперечные. Колебания
атомов в поперечных модах происходят в плоскости, перпендикулярной
скорости распространения волны, вектору к. Остальные п— 3 (v — 1)
моды данного вектора к оптические.
Каждой моде кристаллических колебаний соответствует свой тип
фононов. Поскольку энергия колебательного движения зависит от
волнового вектора, энергия фонона & является функцией его квази-
импульса:
& - О. (р), (9.4)
где функцию соу- (р) называют законом дисперсии фононов, число j (1 С
< j < 3v) определяет, какой моде колебаний принадлежит фонон (все
моды нумеруют от 1 до 3v). Каждую из функций
(Оу (р) называют ветвью фононного спектра. Ква-
зиимпульс р в формуле (9.4) во многом аналогичен
импульсу в механике. В процессах взаимодействия
фононов выполняется закон сохранения квазиим-
пульса
Pt = Р2 + п — 0, ±1, ±2, .
где р;, р2 — суммарные квазипмпульсы частиц
до ’ и после взаимодействия; К — один из век-
торов обратной решетки.
Закон дисперсии фононов различен для раз-
ных ветвей спектра. Энергия акустических фо-
нонов (соответствующих акустическим ветвям)
при малых р является линейно возрастающей
функцией квазиимпульса (рис. 9.2):
в = и3р при р < рв.
Для фононов, как и для обычных частиц, производная (р) ~ ip явля-
ется скоростью распространения пакета волн (частиц). Таким образом,
и3 — скорость звука.
В симметричных направлениях зоны Бриллюэна для простых ку-
бических кристаллов закон дисперсии оптических фононов выражается
медленно убывающей функцией квазпимпульса (см. рис. 9.2).
В пределах зоны Бриллюэна квазиимпульс принимает дискрет-
ные значения, которые равномерно распределены, так что на каждый
из них приходится объем v = vVB/Nt где N — полное число атомов
в кристалле; v — число ионов в примитивной ячейке; VB — (2пй)3/л3 —
объем зоны Бриллюэна для простой кубической решетки. Покажем,
что во всей зоне Бриллюэна есть N/v возможных значений кзазиим
пульса. Кристалл состоит из N точечных атомов, поэтому его состоя-
ние описывается 37V независимыми переменными (степенями свободы
или координатами, по три для каждого атома). С другой стороны,
этот же кристалл можно характеризовать как отдельную совокупность
фононов с разными квазиимпульсами, принадлежащими разным вет-
вям. Поскольку способ введения независимых переменных на их число
не влияет, а количество фононных ветвей для каждого квазиимпульса
составляет 3v, число возможных значений квазпимпульса есть N/v.
14*
419
Так как это число очень велико, то часто пренебрегают дискретностью
значений квазиимпульса и считают его непрерывной переменной.
Фононы, как и связанные с ними нормальные моды, являются не-
зависимыми (или невзаимодействующими): возникновение или исчез-
новение одного не влияет на состояние других. Введение концепции
фононов позволяет рассматривать любое состояние кристалла как
определенную совокупность невзаимодействующих фононов с различ-
ными квазиимпульсами и из различных ветвей. Число фононов из од-
ной ветви, имеющих одинаковый квазиимпульс, всегда целое, и его
называют числом заполнения п^. Номер ветви / и квазиимпульс р
фонона называют его квантовыми числами. Состояние кристалла можно
полностью описать заданием всех чисел заполнения. Так, внутренняя
энергия кристалла является суммой энергий фононов, возбужденных
в нем:
3v
Е = S S "/ W га/р- <9-6>
р /==1
где суммирование производится по всем N/v типам фононов и 3v вет-
вям .
Фононы являются невзаимодействующими квазичастицами только
в так называемом гармоническом приближении, т. е. в предположении,
что потенциальная энергия атомов квадратична по их смещениям (см.
формулу (9.3)). Учет ангармонизма (малых отклонений истинной по-
тенциальной энергии от вида (9.3)) приведет к появлению взаимодей-
ствия между фононами.
9.1.2. Теплоемкость твердых тел. При 7’ ->- ОК энергия кристал-
ла минимальна, и числа заполнения всех фононов равны нулю, т. е.
нет ни одного фонона, так как каждый из них имеет определенную по-
ложительную энергию (см. выражение (9.4)). Повышение температуры
способствует росту количества фононов. Поскольку у фононов спин
S “ 0, их числа заполнения подчиняются функции распределения
Бозе — Эйнштейна (т. е. фононы являются бозонами) ' '
------ (9-7J
/б7'-1
где Цур — среднее число заполнения фононов /-и ветви спектра с квази-
импульсом р при температуре Т (в кельвинах); /гБ—постоянная Больц-
мана.
Числа заполнения фононов разные и, как видно из выражения
(9.7), чем меньше энергия фононов, тем эти числа больше. Таким об pi*
эом, при данной температуре число фононов с малой энергией выше,
чем с большой. При низких температурах числа заполнения высокоэнер-
гетических фононов очень малы, что означает отсутствие таких фононов
в кристалле. Существует характерная температура (температура
Дебая) Од ~ «3Рд/^Б, где Рд — дебаевский квазиимпульс, не отличаю-
щийся по порядку от бриллюэновского. Для простой кубической ре-
шетки рд = 'УЪрв/2 ’V"я. При температуре выше дебаевской возбуждены
все моды, т. е. присутствуют фононы со всеми возможными квантовыми
числами.
420
Тепловая энергия кристалла определяется формулой (9.6), а с уче-
том выражения (9.7) имеет вид
Удельная теплоемкость с является производной полной внутренней энер-
гии Ет по температуре (рассчитана на единицу объема кристалла):
(9.8)
Здесь V — объем кристалла. Для точного вычисления удельной тепло-
емкости по формуле (9.8) необходимо знать детальное поведение со/р, что
затруднительно. В этом случае применяют приближенные методы. При
Т < Од используют приближение Дебая, в котором пренебрегают вы-
сокоэнергетическими оптическими фононами, а спектр акустических фо-
нонов представляют линейной функцией (начальной частью кривой дис-
персии) (см. рис. 9.2 и формулу (9.5)). В дебаевском приближении для
очень низких температур
2л3 а
с= 5 Б
'fegTx з
(hu3)
При Т Од применяют приближение Эйнштейна, в котором пренебре-
гают дисперсией оптических фононов, спектр которых считают незави-
симым от квазиимпульса $ = со0 (см. рис. 9.2), а акустические фонойы
учитывают по Дебаю
При Т > Од числа заполнения всех фононов очень велики («/р> 1),
различия между результатами квантовой и классической механики ста-
новятся пренебрежимо малыми. В этом случае, используя справедливое
при со/р ~ £б0д < k^T равенство
eaiv/k^T = 1 _|_ <о/р/йБ7’,
из формулы (9.8) получаем
3/V
1‘
(9.9)
с = k
где р — молекулярная масса; р — плотность; R — универсальная га-
зовая постоянная. Выражение (9.9) называют законом Дюлонга иПши.
9.1.3. Тепловое расширение и теплопроводность твердых тел.
Тепловым расширением твердого тела называют увеличение его линей-
ных размеров или объема при повышении температуры. Этот эффект
связан с энгармонизмом кристалла, т. е. с тем, что потенциальная
энергия атома в кристалле отличается от квадратичного выражения
(9.3) и при учете ангармоничных членов третьего порядка имеет вид
. ср аи*
(9.10)
421
Здесь и — отклонение атома от того положения равновесия, которое
он имеет при Т — 0; а и ср — постоянные коэффициенты. Тогда сила,
действующая на атом, определяется формулой
F = — U' (и) = — ерц + аи2.
Но средняя сила А, действующая на колеблющийся атом, должна быть
равна нулю, иначе в результате действия этой силы атом приобретал
бы импульс и двигался поступательно, а не колебательно. Поэтому
аи2 — фц,
где и — среднее смещение атома; и2 — среднее от квадрата смещения.
Поскольку U2 — величина положительная, растущая с повышением
температуры (с повышением температуры увеличивается энергия, а
значит, и амплитуда колебаний), значение и увеличивается с ростом
температуры, что является причиной теплового расширения.
Относительное удлинение тела при повышении температуры опре-
деляется коэффициентом линейного расширения со. При Т Од коэф-
фициент а слабо зависит от температуры:
Здесь /гБ — постоянная Больцмана. Связь а с другими термодинамиче-
кими величинами определяется формулой Грюнайзена
а — ус! ЗВ,
где с — удельная теплоемкость; В — модуль всестороннего сжатия;
у — численный коэффициент порядка единицы, называемый парамет-
ром Грюнайзена. При низких температурах а стремится к нулю про-
порционально Т3.
Часто используют также коэффициент объемного расширения, ха-
рактеризующий относительное увеличение объема кристалла при его
нагревании на один градус (или кельвин):
~ V ЛТ ” V дТ '
Здесь V — объем тела; ЛV — его увеличение при нагревании па ДТ
градусов (или кельвин). Коэффициент р связан с а по формуле Р =
— За.
Ангармонические члены в выражении энергии атомов определяют
решеточную теплопроводность кристалла (т. е. обусловленную движе-
нием атомов или ионов, а не электронов), которая возникает вследствие
движения фононов. Поскольку фононы обладают энергией, их движе-
ние сопровождается переносом тепла. Коэффициент фононной тепло-
проводности кристалла
7( = 1 cvl,
О
где с — удельная теплоемкость; у — средняя квадратичная скорость
фононов, определяемая температурой; I — длина свободного пробега,
т. е. среднее расстояние, проходимое фононом между двумя столкнове-
ниями. Сталкиваться фононы могут с какими-либо искажениями крис-
таллической решетки или один с другим. При этом частота соударений
определяется их взаимодействием, которое называют фонон-фононным*
Такое взаимодействие обусловлено наличием ангармонических членов
422
в энергии атомов и пропорционально коэффициенту а в формуле (9.10).
Частота столкновений v/l пропорциональна концентрации фононов
и увеличивается с ростом температуры Т, что приводит к уменьшению
теплопроводности. Например, д ~ \/Т при температуре выше дебаев-
ской.
9.1.4. Влияние дефектов кристаллической решетки на свойства
кристаллов. Многие важные свойства кристаллов обусловлены дефек-
тами. Например, проводимость некоторых полупроводников может
целиком определяться концентрацией химически инородных приме-
сей. Дефекты во многих случаях определяют окраску и люминесценцию
кристаллов, а также оказывают сильное влияние на процессы диффу-
зии в твердых телах, на механические и пластические их свойства.
Дефекты влияют на колебания атомов решетки, поскольку вокруг
дефектов создаются искажения, приводящие к изменению расстояний
между смежными с дефектом атомами решетки, а вместе с этим и сил
их взаимодействия. Эти искажения изменяют характер тепловых коле-
баний атомов в окрестности дефекта. Если дефектом является примес-
ный атом, имеющий меньшую массу, чем атомы кристалла, то возмож-
но такое колебание, при котором движутся лишь атомы, находящиеся
в непосредственной близости к дефекту. При этом не происходит рас-
пространение колебательного процесса на далекие от искаженного
участка расстояния, как в совершенном кристалле. Колебания этого
типа называют локальными.
/Минимальное количество дефектов кристалл имеет при температу-
рах, близких к абсолютному нулю. С повышением температуры флук-
туации теплового движения ведут к переходу отдельных атомов в меж-
доузлия с одновременным образованием вакансий.
Появление точечных и других дефектов может вызвать также лю-
бое другое физическое воздействие — радиационное, механическое,
электромагнитное и др.
В состоянии теплового равновесия дефекты появляются и исче-
зают, но их концентрация остается постоянной. В соответствии с рас-
пределением Больцмана вероятность того, что данный узел является
вакантным, можно найти по формуле
-С.у/А’вТ’
р — е ,
где Т—абсолютная температура; А’в— постоянная Больцмана; Ev —
энергия, необходимая для перемещения атома из узла кристаллической
решетки внутри кристалла в узел на поверхности. Если всего в кри-
сталле N атомов одного сорта, то число вакансий в нем
п = Л'р = М? « N).
Концентрация атомов внедрения (дефектов Френкеля) характеризу-
ется не только энергией, необходимой для перемещения атома из узла
решетки в междоузлие Ер но и общим числом возможных междоузель-
ных позиций N':
*7
п = (NN'^'-e — .
Дефекты не остаются неподвижно закрепленными на одном узле
или междоузлии, а могут перемещаться по кристаллу диффузионно.
Дефект отделен от другого эквивалентного положения в соседней ячей-
ке некоторым потенциальным барьером, и тепловые колебания соседних
423
атомов могут флуктуационным путем сообщить ему энергию для прео-
доления этого барьера. Если в некоторой части твердого тела имеется
избыток дефектов, то возникает поток их, который движется в направ-
лении участков кристалла с меньшей концентрацией. Поток атомов
или вакансий определяется законом Фика', если концентрация дефек-
тов п изменяется вдоль оси х, то
J = —D = —Dn' (л),
Ах v 7
где J — число атомов, пересекающих единичную площадь в единицу
времени; D — коэффициент диффузии', знак в правой части формулы
означает, что диффузия происходит из области с высокой концентра-
цией в область с низкой.
Диффузионный поток атомов самого кристалла называется само-
диффузией. В одноатомных металлах самодиффузия осуществляется,
как правило, путем перемеще-
ния вакансий. Коэффициент
диффузии зависит от темпера-
туры по закону
D = ййё~Г'а/къТ.
Здесь Еа — энергия активации
процесса (энергетический барьер
Рис, 9.3
между двумя минимумами эпер-
тии, который необходимо преодолеть дефекту).
В ионных кристаллах перемещению дефекта сопутствует связан-
ное с ним перемещение заряда, из-за чего возникает ионная проводи-
мость диэлектрика. В ряде диэлектриков, особенно в щелочно-галоид-
ных кристаллах, прозрачных в видимой части спектра, наличие точеч-
ных дефектов приводит к появлению окраски. Такие дефекты называют
центрами окраски, простейшим из которых является F-центр (от нем.,
Farbe — краска). F-центр представляет собой образование, состоящее
из анионной вакансии, около которой локализован избыточный элек-
трон, перешедший на вакансию с одного из атомов металла.
Обычно при повышении температуры сопротивление кристаллов
растет. Однако если в нормальных металлах имеются магнитные при-
меси, т. е. атомы инородного металла, в которых на внутренних оболоч-
ках суммарный спин электронов отличен от нуля, то может наблюдаться
эффект Кондо — понижение сопротивления при повышении темпера-
туры. Эффект Кондо обусловлен квантовомеханическим обменным
взаимодействием между коллективизированными электронами металла
и электронами внутренних оболочек магнитных атомов примеси.
Веществами с большим количеством дефектов являются сплавы —
однородные соединения нескольких элементов. Атомная структура
сплавов изменяется в широких пределах — от структуры аморфного
тела до кристаллической с различной концентрацией и видом дефектов.
К сплавам относятся, например, сталь, бронза, латунь, Если сплав
состоит из двух элементов, его называют бинарным. Сплавы, в которых
соотношения компонентов можно изменить без нарушения однород-
ности, называют твердыми растворами. Твердые растворы образуют
элементы с малой разностью атомных радиусов и со сходными химиче-
скими свойствами. Они имеют кристаллическую решетку, ио распреде-
ление атомов различного сорта по узлам может быть хаотично
(рис. 9.3, а). В этом случае сплав называют неупорядоченным. При по-
нижении температуры происходит процесс упорядочения — атомы раз*
424
вых элементов занимают преимущественно узлы решетки отличаю-
щегося типа. При дальнейшем понижении температуры доля атомов
одного сорта на каждом из типов узлов увеличивается, и при очень
низких температурах наступает полное упорядочение: на узлах каж-
дого типа находятся атомы только одного элемента (рис. 9.3, б). Атомы
каждого сорта в упорядоченном состоянии образуют периодическую
решетку (подрешетку), которая является частью решетки всего крис-
талла. Если во время упорядочения появляются подрешетки из атомов
разного сорта, то в сплаве устанавливается дальний порядок. В неупо-
рядоченном сплаве дальний порядок отсутствует. Часть неупорядо-
ченных сплавов при понижении температуры испытывает не упорядо-
чение, а распад — выделение компонентов сплава в виде отдельных
кристаллов.
Я»; Особую роль играют дефекты (примеси или вакансии) в квантовых
кристаллах. Из-за большой амплитуды нулевых колебаний атомов в них
вакансии легко переходят с узла на узел за счет квантового туннели-
рования. В связи с этим движение вакансии происходит не диффузион-
но, как в обычных, не квантовых кристаллах, а представляет собой
свободное перемещение без диссипации энергии, носящее характер
движения квазичастицы. Такую квазичастицу в зависимости от вида
дефекта называют примесоном или вакапсионным дефектоном.
9.1.5. Эффект Мессбауэра. Важную роль в исследовании свойств
твердых тел играют методы, основанные на применении у-лучей, ис-
пускаемых ядрами атомов кристалла. При излучении у-кванта по за-
кону сохранения импульса ядро атома кристалла приобретает импульс,
направленный в сторону, противоположную импульсу вылетевшего
у-кванта (отдача). На отдачу расходуется часть энергии у-кванта, и он
имеет частоту меньшую, чем частота другого у-кванта, испускаемого
покоящимся атомом. Энергия отдачи определяется формулой
„___й2со2
(9.Н)
где со — частота испускания покоящегося атома; 714 — масса ядра,
испытывающего отдачу. В результате испущенный у-квант имеет не-
достаточную частоту (энергию), чтобы поглотиться другим ядром
элемента, и явление резонансного поглощения у-лучей на свободных
атомах отсутствует.
Если излучающий атом находится в кристалле, то существует воз-
можность того, что энергия отдачи передается не одному атому, а всей
кристаллической решетке в целом (эффект Мессбауэра), т. е. под М
в формуле (9.11) следует понимать массу всего кристалла. Поскольку
масса всего кристалла неизмеримо больше массы атома, частота у-
кванта практически не изменяется (энергия отдачи по формуле (9.11)
ничтожно мала), и испущенный у-квант может вновь поглотиться дру-
гим ядром, т. е. будет наблюдаться явление резонансного поглощения.
Эффект Мессбауэра наблюдается тогда, когда энергия отдачи мала
по сравнению с частотой фононов, ее недостаточно, чтобы в результате
излучения появился фонон, и она передается всему кристаллу в целом.
9.1.6. Жидкие кристаллы. Жидкими кристаллами называют ве-
щества, которые способны течь, не оказывая сопротивления при меха-
нических нагрузках, но в то же время обладают анизотропией опти-
ческих, электрических и магнитных свойств, характерной для твердых
кристаллов. Жидкие кристаллы — органические соединения, имеющие
очень вытянутые молекулы. Для них существует промежуточная об-
ласть между кристаллическим состоянием и состоянием изотроп-
ной жидкости, когда еще сохраняется упорядоченность в направле-
«25
ниях молекул, что обусловливает их анизотропию. В жидкокристалличе-
ской фазе существует выделенное направление (его называют директо-
ром), вдоль которого вытянуто большинство молекул.
По виду молекул жидкие кристаллы делят на хиральные (от греч.
X8tp — рука) и нехиральные. Хиральные — это жидкости, которые
состоят из молекул, через ось которых нельзя провести плоскость сим-
метрии. Такие молекулы имеют вид спирали, закрученной вправо или
влево. Молекулы нехиральных жидких кристаллов зеркально симмет-
ричны относительно некоторой плоскости, проходящей через их ось.
По способу расположения молекул в веществе различают немати-
ческие и смектические жидкие кристаллы. В нематических молекулы
вытянуты в одну сторону, по их центры тяжести расположены совер-
шенно беспорядочно. В смектических возникает дополнительное упо-
рядочение: молекулы расположены слоями, так что центры тяжести
молекул одного слоя лежат в одной плоскости, называемой плоскостью
смектических слоев. Существуют различные типы смектических жидко-
стей, в частности, различающихся углом, который образует директор
со смектической плоскостью. Разновидностью нематических жидких
кристаллов являются холестерические. В них направление директора
непрерывно изменяется так, что молекулы накручиваются на спираль,
период которой (обычно порядка 10~5 см) значительно превышает раз-
меры молекул. Направление директора является периодической функ-
цией координаты, соответствующей оси спирали. Такую молекулярную
структуру называют иногда геликоидальной.
В последнее время ведется интенсивное исследование жидких
кристаллов в связи с их уникальными электрооптическими свойствами
и возможностью использования в устройствах сбора и отображения
информации (цифровые индикаторы, ячейки памяти и др.).
Важнейшим свойством жидких кристаллов является их способ-
ность изменять оптические свойства под воздействием слабого электри-
ческого поля (с напряженностью от нескольких единиц до десятков
вольт на сантиметр при чрезвычайно малом потреблении мощности).
Этот эффект обусловлен тем, что при помещении в электрическое поле
жидкого монокристалла, обладающего сильной анизотропией диэлек-
трической проницаемости и электропроводности, этот кристалл испыты-
вает вращающий момент, стремящийся понизить его энергию в поле.,
В отличие от твердых кристаллов в жидких из-за небольшой вязкости
этот момент приводит к переориентации молекул жидкости, что легко
фиксируется оптически. Поскольку жидкокристаллическая фаза за-
нимает промежуточное положение по степени упорядоченности между
твердым кристаллом и аморфной жидкостью, ее иногда называют
мезофазой (мезо — промежуточный). Переход вещества в мезофазу
происходит как фазовый переход первого рода. Некоторые жидкости
имеют две мезофазы — нематическую и более упорядоченную, смек-
тическую. Переход из одной из них в другую также является переход
дом первого рода.
9.2. ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КРИСТАЛЛАХ
9.2.1. Образование зон. Любой электрон в твердом теле испытыва-
ет большое количество различных взаимодействий. Во-первых, он
взаимодействует с ядрами атомов, из которых.состоит кристалл. Это
взаимодействие в основном электростатическое и подчиняется закону
Кулона. Во-вторых, электрон взаимодействует с другими электронами,
находящимися в кристалле. Это взаимодействие включает как куло-
новское отталкивание электронов, так и обменное взаимодействие,
обусловленное тождественностью электронов.
426
Из-за огромного количества атомов в кристалле точный учет
всех этих взаимодействий невозможен. Поэтому применяют разные
приближенные методы. В одноэлектронном, или хартри-фоковском
приближении взаимодействие рассматриваемого электрона со всеми
остальными заменяют его взаимодействием с некоторым эффективным
полем, создаваемым остальными электронами. Кристалл рассматри-
вается как идеальный, тепловыми колебаниями решетки пренебрега-
ют. Поэтому поле ядер атомов и эффективное поле электронов будут
периодичными с периодом кристаллической решетки. Таким образом,
исследование электронных состояний в идеальном кристалле сводится
к решению уравнения Шредингера с периодическим потенциалом (см,
раздел 3):
---н— v? + -кЧ + т~- + У (х> У> ?) Ф =
2т \дх2 ду2 az- / J 7 r r
где V (x, у, z)— суммарный потенциал поля ядер и остальных элект-
ронов; ф (%, у, г) — волновая функция электрона; Е— его энергия;
Е —постоянная Планка; т — масса электрона.
С точки зрения классической механики электрон, имеющий малую
энергию, должен находиться вблизи минимума потенциальной энергии,
испытывая колебания лишь вблизи этого минимума. Однако квантово-
механический эффект туннелирования дает возможность перемещения
электрона в соседний минимум и далее по всему кристаллу, т. е. при-
водит к тому, что в кристалле без сопротивления (и диссипации энер-
гии) распространяется электронная волна. Таким образом, рассмотре-
ние электронных состояний в кристалле методами классической меха-
ники в принципе неверно.
Периодический потенциал для электронной волны представляет
собой аналог дифракционной решетки, поэтому прохождение элект-
рона сквозь металл подобно возникновению дифракционной картины.
Если амплитуда периодического потенциала невелика, то для большин-
ства состояний электрона он дает малые поправки к волновой функ-
ции, имеющей тот же вид, что и для свободного электрона. Но та элек-
тронная волна, для волнового вектора которой выполняются условия
Брэгга — Вульфа, испытывает многократные отражения, и волновая
функция электрона сильно видоизменяется по сравнению с волновой
функцией свободного (т. е. ни с чем не взаимодействующего) электро-
на. Волновые векторы, для которых выполняются условия Брэгга—
Вульфа, принадлежат границам зоны Бриллюэна.
Из-за изменяющегося в пространстве потенциала импульс элект-
рона не является больше неизменным (или, как говорят в квантовой
механике, хорошим квантовым числом). Новым квантовым числом в
твердом теле является квазиимпульс — вектор, заменяющий обычный
вектор импульса свободной частицы. Сходство квазиимпульса и им-
пульса заключается в том, что во внешнем электрическом поле Е, не
связанном с периодичностью решетки, уравнение для изменения ква-
зиимпульса р такое же, как и для изменения импульса частицы в клас-
сической механике:
где е — заряд частицы.
В отличие от классической механики возрастание вектора квазиим-
пульса р не всегда означает, что движение частицы (электрона) уско-
ряется. Если д2е/др2 < О (8'—энергия частицы), что возможно в кри-
сталле, то движение электрона замедляется с ростом р, так как v =
s= д&!др.
427
Сильное рассеяние электронов с квазиимпульсами, принадле-
жащими границам зоны Бриллюэна (либо отличных от них на целое
число векторов обратной решетки), обусловливает появление щелей
в спектре при этих квазиимпульсах. Зависимость энергии электрона
от квазиимпульса показана па рис. 9.4, где Л ~ Рд/2-
Вместо непрерывного параболического спектра, т. е. зависимости
энергии от импульса для свободной частицы, у электрона в кристалле
появляется спектр, состоящий из чередующихся областей разрешен-
ных и запрещенных энергий. Полосы разрешенных энергий (Ео — £г,
£2 — £з> £д — £5) называют разрешенными зонами энергии. Энергии,
лежащие в промежутках £L — £2, £3 — £4, отсутствуют в спектре.
Эти промежутки, называют запрещенными зонами. Запрещенные зоны
можно перенумеровать, начиная с нижайшей зоны. По мере увеличе-
ния номера их ширины уменьшаются. В кристаллах возможно перекры-
тие зон, т. е. частичное совпадение разрешенных энергий из различных
зон.
Зависимость энергии & электрона от его квазпимпульса р в кри-
сталле ($ — £ (р)) определяет закон дисперсии электрона.
Энергетические зоны на рис.9.4,а соответствуют схеме расширенных
зон, в которой квазиимпульсы, соответствующие разным зонам, при-
нимают различные значения. Наряду с этой применяют схему приве-
денных зон. Возможность иного, нежели изображенный на рис. 9.4, а,
способа представления энергетического спектра обусловлена тем, что
введение квазиимпульса неоднозначно (см. п. 9.1.3). Каждому ква-
зиимпульсу можно найти соответствующий ему в зоне Бриллюэна.
Энергетический спектр в схеме приведенных зон можно получить из
спектра схемы расширенных зон переносом кусочков кривых диспер-
сии в зону Бриллюэна, проделав смещения кривых на вектор обрат-
ной решетки (рис. 9.4, б). При этом спектр зависимости энергии от ква-
зиимпульса должен характеризоваться не только величиной квази-
импульса, но и номером зоны.
Поскольку квазиимпульс принимает не непрерывный, а дискрет-
ный ряд значений (см. 9.1.3), то уровни разрешенных энергий в зоне
428
расположены на некотором расстоянии один от другого. Число элек-
тронных состояний в зоне очень велико и равно 2Д/7т, где N — пол-
ное число атомов в кристалле, v — число атомов в примитивной ячей-
ке, а коэффициентом 2 учитываются два возможных направления спи-
на, поэтому расстояния между соседними уровнями в зоне очень малы.
Спектр такого вида называют квазине прерывным.
Если в схеме приведенных зон для двух или более зон одному зна-
чению квазиимпульса соответствуют равные энергии, то такие зоны
н аз ыва ют вы р ож де и и ым и.
9.2.2. Зонная структура изоляторов и полупроводников. Элект-
роны — элементарные частицы, имеющие полуцелый спин (s = 1/2),
поэтому они подчиняются принципу Паули\ в каждом квантовом со-
стоянии не может находиться более одного электрона. Это значит, что
электроны могут заполнять все уровни в зоне: 27V/v электронов полно-
стью заполняют зону так, что другие электроны не могут находиться
в состояниях этой зоны (иначе не выполнялся бы принцип Паули).
В зависимости от числа электронов в кристалле зоны могут быть пол-
ностью заполненными (их иначе называют валентными — это нижай-
шие зоны с меньшей энергией), незаполненными (пустыми — это высо-
коэнергетические зоны), не содержащими электронов вообще, и частич-
но заполненными (зоны проводимости), расположенными между ва-
лентными и пустыми.
Так как любая система в равновесном состоянии имеет наименьшую
энергию, электроны заполняют зонные уровни начиная с самых ниж-
них. Электрические свойства кристаллов зависят от соотношения меж-
ду числом уровней и электронов в верхней из заполненных зон, т. е.
от того, полностью ли она заполнена или в ней наверху остались пустые
уровни.
Наличие или отсутствие частично заполненной зоны решает воп-
рос, является ли данный кристалл изолятором или проводником. Про-
хождение тока связано с ускорением электронов под действием электри-
ческого поля. Ускоряясь, электрон увеличивает свою энергию, т. е .
переходит на близкий более высокий энергетический уровень. Но со-
гласно принципу Паули такой переход возможен только при условии,
что этот уровень свободен. В кристаллах с частично заполненными зо-
нами имеются свободные состояния (уровни энергии) с большей энер-
гией, на которые электроны могут переходить за счет действия внешне,
го поля (рис. 9.5, а). Такие кристаллы являются проводниками
(металлы).
В кристаллах, в которых частично заполненная зона отсутствует,
нижние зоны полностью заполнены, а верхние пусты. Свободные со-
стояния отделены от занятых энергетической щелью, которую в слабых
полях электроны преодолеть не могут. Прохождение электрического
тока в таких кристаллах невозможно, и они являются диэлектриками.
В сильных полях переход электронов из заполненной зоны в пустую
становится возможным. Величина этого поля зависит от ширины запре-
щенной зоны (энергетической щели) Eg между заполненной и пустой
зонами и соответствует напряжению пробоя данного диэлектрика. Зон-
ная схема диэлектрика приведена на рис. 9.5, в, где пустая и последняя
заполненная зоны разделены широкой запрещенной зоной.
Существует большой класс кристаллов (германий, кремний, раз-
ные химические соединения), запрещенная зона в которых разделяет
заполненные и пустую зоны, но ширина ее невелика (рис. 9.5, 6).
Тогда небольшой энергии теплового возбуждения может оказаться
уже достаточно для перехода электрона из заполненной (валентной)
зоны в свободную. С повышением температуры все большее количество
электронов переходит в верхнюю зону проводимости. Электроны, на-
429
ходящиеся в этой зоне, имея близкие свободные уровни, могут приво-
дить к появлению тока, если к кристаллу приложить внешнее напря-
жение. Вещества с подобными свойствами называют полупроводни-
ками.
Перешедший в зону проводимости из заполненной валентной зоны
электрон оставляет в последней незаполненное состояние, называемое
дыркой. В это незаполненное состояние может перейти нижележащий
электрон валентной зоны, приняв при этом участие в проводимости
и в свою очередь оставив дырку в своем первоначальном состоянии,
и т. д. Таким образом, перенос заряда в полупроводнике осуществля-
Рис. 9.5
ется не только за счет электронов, находящихся в зоне проводимости,
но и за счет дырок в валентной зоне. Дырка, т. е. недостаток электро-
на на каком-либо месте в зоне, кажется перемещающейся навстречу
реально перемещающимся электронам, что удобно описать, приписав
ей как частице массу и положительный заряд. Под действием поля опа
перемещается в противоположную электронам сторону.
Дырка, как и электрон проводимости, является квазичастицей,
т. е. в совершенном полупроводнике она может перемещаться по крис-
таллу, не изменяя своих свойств и не испытывая сопротивления, подоб-
но тому, как движется обычная частица в вакууме, изменяя направле-
ния движения лишь при столкновениях с другими квазичастицами.
Энергия дырки тем меньше, чем больше энергия соответствующего
ей незанятого электронного состояния в валентной зоне. Это вызвано
тем, что при переходе электрона на более низкий (а дырки па более
высокий) энергетический уровень в зоне энергия понижается.
Дырки подчиняются тем же закономерностям, что и электроны
(с учетом изменения знака заряда). При столкновении электрона и
дырки они могут рекомбинировать, т. е. электрон переходит обратно
на незаполненное место валентной зоны, приводя к исчезновению
одного электрона в зоне проводимости и одной дырки в валентной
зоне. Выделенная при этом энергия обычно излучается в виде кванта
света. Рекомбинация — процесс, во многом подобный аннигиляции
частиц и античастиц.
430
Рождение пары электрон — дырка также может быть вызвано све-
том-: при поглощении кристаллом света энергия светового кванта
(фотона) расходуется на переход электрона из валентной зоны в зону
проводимости. Число носителей тока при этом увеличивается, что при-
водит к снижению сопротивления кристалла. Это явление называют
фотопроводимостью.
Фотопроводимость возникает при облучении кристалла светом
с частотой выше пороговой соп. Пороговая частота определяется из
условия, что энергии светового кванта (фотона) достаточно для пере-
хода в зону проводимости:
= Eg,
где h— постоянная Планка, a Eg—ширина запрещенной зоны, т. с.
Eg— минимальная разность между энергиями валентной зоны и зоны
проводимости.
Электронам и дыркам энергетически выгодно находиться в состоя-
нии с наименьшей энергией, т. е. электронам — вблизи минимума
энергии (или дна) зоны проводимости, а дыркам — вблизи максимума
энергии (потолка) валентной зоны. Если минимум энергии зоны про-
водимости достигается, когда значение квазпимпульса р() — (роХ, роу,
А'ог), вблизи этого минимума закон дисперсии для электрона можно
представить в виде
(Рх pQx^2 । j ^2 PozP*
2т х 2т у 2т z
Здесь рх, Ри, Pz—компоненты вектора квазпимпульса р. Аналогичный
вид имеет закон дисперсии дырок вблизи потолка валентной зоны.
Величины m.v, ту, mz образуют тензор эффективных масс. В куби-
ческом полупроводнике, в котором дно зоны находится в центре зоны
Бриллюэна (ро = О), компоненты тензора эффективных масс одинаковы:
тх — ту~ mz ~ tn* и зависимость энергии электронов от квазпимпульса
~ р2!2т* принимает такой же вид, как зависимость кинетической
энергии частицы от ее импульса в классической механике, если под ш*
понимать массу частицы. В ряде явлений электрон и дырку можно
представить как частицы, подчиняющиеся классической механике, массы
т* которых определяются параметрами кристалла и могут сильно от-
личаться от массы электрона.
У большого числа полупроводников (кремний, германий и др.) зо-
на проводимости имеет пе одно, а несколько эквивалентных положе-
ний минимума энергии. Соответствующие им векторы квазиимпульсов
равны по модулю, но направлены в различные стороны вдоль эквива-
лентных кристаллографических осей. Полупроводники такого типа
называют многодолинными.
Различают особый класс веществ — полуметаллы (например, вис-
мут, графит). У полуметаллов зона проводимости п валентная зона
незначительно перекрываются и лишь малая часть электронов перете-
кает в зону проводимости. Эти электроны и дырки в валентной! зоне обус*
ловлнвают проводимость кристаллов. Их количество значительно мень-
ше, чем концентрация электронов в металлах, а сопротивление в 102—
10б раз больше. Полуметаллы по многим свойствам качественно не от-
личаются от металлов, поэтому их иногда относят к металлам.
431
9.2.3. Проводимость собственных и легированных полупроводни-
ков. В полупроводнике, не содержащем дефектов, концентрация
дырок равна концентрации электронов в зоне проводимости и, кроме
параметров кристалла, определяется температурой:
1 l2^^ < /3/4
п = —_________ -I (m„mnrz^ е L ,
где п1г, пр— концентрации электронов и дырок соответственно: тп,тр—
их эффективные массы; Т—абсолютная температура; —постоянная
Больцмана; Н — постоянная Планка; Е&— ширина запрещенной зоны.
Проводимость полупроводника, обусловленную температурно-активиро-
ванными носителями тока, а также сам полупроводник называют соб-
ственными. Проводимость собственных полупроводников растет при
повышении температуры.
На практике часто применяют иной способ создания носителей тока.
Если, например, в кристалле германия заменить один его атом атомом
мышьяка, внешняя электронная оболочка которого содержит на один
электрон больше, чем германия, то лишний электрон мышьяка попадет
в зону проводимости. При этом из-за отсутствия одного электрона в ато-
ме мышьяка в решетке создастся заряженный дефект. Концентрация
электронов в зоне проводимости определится при этом концентрацией
дефектов: чем больше дефектов (т. е. примесных атомов), тем больше
электронов в зоне. Если атом примеси имеет на один электрон меньше,
чем атом решетки, то в валентной зоне образуется одно незанятое со-
стояние— дырка. Поскольку дырки, как и электроны проводимости,
являются носителями тока, примеси такого типа также увеличивают
проводимость.
Добавление в кристалл атомов постороннего вещества называют
легированием. Легирование полупроводников атомами определенных
элементов сильно изменяет концентрацию носителей тока (электронов
проводимости и дырок). Такие полупроводники называют легирован-
ными, а их проводимость— примесной. Примеси, которые приводят
к появлению электронов в зоне проводимости, называют донорами,
а к появлению дырок — акцепторами.
Проводимость как собственного, так и примесного полупровод-
ника складывается из проводимости дырок и проводимости электронов.
Каждая квазичастица, двигаясь по кристаллу, время от времени стал-
кивается с другими квазичастицами, примесями и изменяет свое сос-
тояние. Среднее время между двумя столкновениями т называют вре-
менем релаксации. Проводимость полупроводника
° = П,^пе + npVpe = -- Хпе“ + V2- (9J2)
тп nip ‘
где р,д = е%п1тп — подвижность электронов; р. — подвижность дырок;
т/р т— среднее время между столкновениями для электронов и дырок
соответственно; пп, пр— их концентрации; тп, тр— их эффективные
массы; е — элементарный заряд. Формулу (9.12) называют формулой
Др уде для полупроводников.
Полупроводник, легированный таким образом, что концентрация
электронов проводимости значительно превышает концентрацию дырок
(я/г^яр), назь1ва10Т полупроводником /г-типа. Если выполняется про-
432
тивоположное неравенство (п/г < пр), то полупроводник называют полу-
проводником p-типа. В первом случае основными носителями заряда
являются электроны, во втором — дырки.
Электроны и дырки являются фермионами; они подчиняются ста-
тистике Ферми—Дирака, но при высоких температурах отличие этой
статистики от классической статистики Больцмана мало. Полупровод-
ник, распределение носителей тока в котором может быть удовлетво-
рительно описано формулой Больцмана, называют невырожденным,
в противном случае — вырожденным.
9.2.4. Экситоны и поляроны. Электроны и дырки в твердом теле
не являются свободными (невзаимодействующими) квазичастицами.
На больших расстояниях их взаимодействие становится электроста-
тическим и подчиняется закону Кулона. Поскольку заряды электрона
и дырки противоположны, они притягиваются. При определенных усло-
виях образуется связанное состояние, состоящее из движущихся около
общего центра масс электрона и дырки. Необходимая для совместного
вращения центростремительная сила сообщается кулоновской силой
взаимного притяжения. Такую связанную пару называют экситоном
Ванье — Мотта. Он напоминает атом водорода, у которого вместо про-
тона имеется положительно заряженная дырка.
Энергетические уровни экситона, как и атома водорода, определя-
ются формулой Бора
£ = _п= 1, 2, 3,
2zrs2 п2.
mDmtl „ , .
где тп$ — —--------приведенная масса; тп, тр —эффективные массы
тр “Г тп
электрона и дырки; s— диэлектрическая проницаемость кристалла.
Экситон Ванье — Мотта по своему размеру значительно превышает
примитивную ячейку. Если размеры экситона малы, а электрон и дырка
располагаются вблизи одного атома решетки (т. е. этот атом переходит
в возбужденное состояние), то такие пары называют экситонами
Френкеля.
Центр масс экситона может перемещаться по кристаллу, его пове-
дение подобно движению квазичастицы. Поскольку его суммарный
заряд равен нулю, экситон не может участвовать в переносе электри-
ческого заряда, и образование экситонов приводит к увеличению со-
противления.
Спин экситона складывается из спинов электрона и дырки. По-
скольку спины электрона и дырки равны 1/2, их суммарный спин
может быть только целым числом (0 или 1), поэтому экситоны являются
бозе-частицами. При низких температурах может наступить бозе-кои-
деисация экситонов, т. е. отдельные экситоны сливаются в капли,
представляющие собой плотную плазму, состоящую из электронов и
дырок.
В ионных кристаллах могут образоваться связанные состояния
электронов иного типа. Электрон — заряженная частица, создающая
вокруг себя электрическое поле. Это поле в некоторой области крис-
таллической решетки может несколько сдвинуть ионы из положения
равновесия. Возникшая при этом деформация в свою очередь приведет
к появлению в этой области поляризации и связанного с ней электри-
ческого поля. Электрическое поле поляризации действует на электрон
с некоторой силой и притягивает его в область этой поляризации. В та-
кой области деформированной решетки образуется связанное состояние
электрона. Это состояние получило название полярона. Поляроны
являются квазичастицами. Они могут перемещаться по кристаллу.
433
При этом вместе с электроном перемещается область деформации
кристалла.
О поляронной деформации, сопутствующей электрону, говорят как
об облаке виртуальных оптических фононов, поскольку любое откло-
нение атомов от положения равновесия можно представить как опре-
деленную совокупность фононов. Электрон, окруженный облаком час-
тиц, называют одетым электроном. Одно из существенных свойств
одетых частиц — их большая эффективная масса по сравнению с мас-
сой неодетого электрона. Поскольку поляроны — заряженные части-
цы, они могут быть носителями тока.
9.2.5. Электронно-дырочные переходы. Если создать контакт из
двух полупроводников, один из которых n-типа, а другой — р-типа
(такой контакт называют р — /г-переходом), то электроны и дырки
будут диффундировать через этот контакт в полупроводник другого
типа и рекомбинировать один с другим. Процессы диффузии приводят
к нарушению электрической нейтральности. Одна часть контакта,
которая состоит из полупроводника n-типа, оказывается заряженной
положительно (с нее ушла часть электронов), а другая — отрицатель-
но. Из-за этого в самом контакте возникает скачок электростатического
потенциала. Если не приложено внешнее напряжение, ток через кон-
такт не течет, поскольку в состоянии равновесия ток, вызванный этим
потенциалом, точно компенсиру-
ется обратным диффузионным по-
током частиц.
Приложение внешнего напря-
жения изменяет это динамическое
равновесие. Если знак приложен-
ного напряжения такой, что раз-
ность потенциалов между полу-
проводниками и- и р-типа отрица-
тельна (т. е. потенциал левого
конца на рис. 9.6 больше потен-
циала правого), то поскольку
электроны движутся в сторону увеличения потенциала, а положи-
тельно заряженные дырки — в сторону его уменьшения, через контакт
пойдет ток. Величина этого тока пропорциональна концентрации
электронов в полупроводнике /г-типа и дырок в полупроводнике
р-типа. Напряжение, имеющее такое направление, называют прямым.
Если к р— n-переходу приложено напряжение обратного знака, т. е.
такое, которое способствует перетеканию электронов из полупровод-
ника p-типа в полупроводник n-типа, а дырок — наоборот, то ток
окажется очень малым, поскольку концентрация носителей тока в по-
лупроводниках с противоположным основным типом носителей нич-
тожно мала.
Таким образом, р — ^-переход представляет собой систему с одно-
сторонней проводимостью и может быть использован для выпрямления
переменного тока в полупроводниковых диодах. Резкое изменение силы
тока в таких переходах при небольших изменениях потенциала ис-
пользуется в полупроводниковых транзисторах.
Рис. 9.6
9.3. НОРМАЛЬНЫЕ МЕТАЛЛЫ
9.3.1. Поверхность Ферми. Нормальным называют немагнитоупо-
рядоченный и несверхпроводящий металл. Металлическими являются
твердые тела, имеющие частично заполненные зоны, которые возни-
кают по двум причинам.’Во-первых, они появляются в случае пере-
434
крытня валентной зоны и зоны проводимости, когда части электронов
первой из них выгодно находиться во второй. При этом обе зоны явля-
ются частично заполненными. Во-вторыХ, они образуются в кристал-
лах, состоящих из элементов, атомы которых имеют частично запол-
ненные наружные электронные оболочки. Кристаллические зоны,
получающиеся при расщеплении этих оболочечных уровней, также не
будут заполнены полностью.
Поскольку электроны подчиняются принципу Паули, их состоя-
ния должны отличаться квазиимпульсом или спиновым квантовым
числом. Электроны занимают состояния в зоне таким образом, чтобы
их энергия была минимальной. Значения векторов квазиимпульсов,
соответствующие занятым состояниям, образуют в обратном прост-
ранстве (т. е. в пространстве волновых векторов пли квазиимпульсов)
некоторое множество, ограниченное поверхностью, которую называют
поверхностью Ферми. Значения энергий электронов, имеющих квази-
импульсы,' лежащие на поверхности Ферми, одинаковы и максимальны
для всех запятых состояний. Поверхность Ферми — изоэнергетиче-
ская поверхность в обратном пространстве. Энергию, соответствующую
этой поверхности, называют энергией Ферми &F. При низких темпера-
турах все состояния с энергией меньше 3F заняты, а больше QP— сво-
бодны, т. е. значение &F является также значением химического потен-
циала pt. Для большинства металлов значения $F и |Л близки даже при
комнатной температуре.
Существует несколько подходов к теории металлов. В исторически
раннем подходе (теория Друде) электроны в металле рассматривались
как невзаимодействующие классические частицы, подчиняющиеся рас*
пределеншо Больцмана. В теории Зоммерфельда учитывается, что
электроны представляют собой квантовые частицы, распределение кото-
рых по уровням энергии описывается формулой Ферми—Дирака.
Но по-прежнему электроны считались невзаимодействующими. Взаимо-
действие между электронами учитывается в теории ферми-жидкос*
ти Ландау. Под ферми-жидкостыо понимают квантовую жидкость,
состоящую из сильновзаимодействующих ферми-частиц. Однако мно-
гие результаты, полученные в теории Зоммерфельда, качественно пра-
вильно описывают характеристики металлов, поэтому большинство
формул здесь приведено в рамках этой теории.
Если рассматривать металл как газ свободных (невзаимодейст-
вующих) электронов с законом дисперсии $ — р“12т\ то поверх-
ность Ферми является сферой, величина которой зависит от числа за-
нятых состояний, т. е. концентрации электронов, Если п — концент-
рация электронов проводимости, то
Г’
1
Радиус сферы Ферми определяется волновым вектором kF = (Зле/г) 3
таким, что & F = h1 2k2F/2m*. Волновой вектор kF, называемый фермиев-
ским, зависит только от концентрации электронов. Скорость электронов
на поверхности Ферми
1
vF =
tikF
т*
А(З^)3
435
В реальных металлах поверхность Ферми отличается от сферы.
Она может выходить за границы зоны Бриллюэна, в схеме расширен-
ных зон может состоять из несвязных участков, но может быть и связ-
ной поверхностью. Поскольку многие электронные свойства обуслов-
лены электронами, находящимися вблизи поверхности Ферми, ее фор-
ма имеет большое значение.
9.3.2. Электронная теплоемкость. При нагревании металла элек-
троны испытывают тепловое возбуждение. Часть электронов переходит
в состояния, расположенные над поверхностью Ферми, оставляя при
этом незаполненные состояния внутри нее. Энергия при этом увели-
чивается. Суммарная энергия электронного газа
g^)d.S,
где pi — — химический потенциал; g ($) — плотность состояний
электронов, т. е. число состояний, энергии которых заключены между
значениями & и $-\-d&, отнесенное к d$. Если электроны считать сво-
бодными, то
g(«) =
771* I Г2т* 8 __ т*р
Я2л2 г h2 7г3л2
О,
, £>0,
$ <0,
где (9 — 0 соответствует энергии дна зоны проводимости.
Зависимость Е от Т определяет удельную электронную теплоем-
кость металла
Тт2 »rr2 /
Изменить свою энергию могут только электроны, чьи энергии находятся
вблизи поверхности Ферми, поэтому теплоемкость определяется лишь
вкладом состояний вблизи поверхности Ферми g (&F). Поэтому статистика
Ферми — Дирака приводит к понижению теплоемкости металла по
сравнению с формулой классической статистики с — 3nk^/2.
9.3.3. Теплопроводность и электропроводность. В теории Зоммер-
фельда электроны нельзя считать полностью независимыми. Они могут
испытывать соударения между собой, с дефектами решетки, с фонона-
ми. Эти соударения приводят к изменению квазиимпульса электрона,
его энергии и вектора его скорости. Возникает сопротивление металла
прохождению электрического тока. Если бы такие изменения состояний,
электронов отсутствовали, то их направленное движение (ток) сох-
ранялось бы бесконечно долго и сопротивление равнялось бы нулю,
Ускоряться электрическим полем и участвовать в соударениях могут
только электроны, квазиимпульсы которых находятся вблизи поверх-
ности Ферми, так как любой такой акт сопровождается переходом элек-
трона в свободное состояние с близкой энергией. Для электронов с
квазиимпульсами, находящимися глубоко под поверхностью Ферми,
такие состояния отсутствуют. Таким образом, электропроводность
определяется свойствами электронов вблизи поверхности Ферми. Ко-
личество соударений электронов учитывается длиной свободного про-
436
бега I — yFT, где vF—скорость электронов па поверхности Ферми, а
т—среднее время между двумя соударениями.
Проводимость (удельная электропроводность) металла определя-
ется формулой Блоха—Грюнайзена
о =
1 9 2 /о . яе2т
"3 ($/?) — ,
1 __ ЗлС/п*
т ~ vnk^MM
е/т
С хь dx
J (ех — 1) (1 — е~х) 1
о
(9.13)
Т
0
5
где п — концентрация электронов; т*— их эффективная масса; Л4 —
масса атома металла; е— заряд электрона; Ъ.—постоянная Планка; —
постоянная Больцмана; 0 — дебаевская температура; С — величина,
имеющая размерность энергии (~1— 10 эВ), характеризующая взаимо-
действие электронов с фононами; v — объем элементарной ячейки.
Электроны могут участвовать в переносе не только электрического
заряда (тока), но и энергии. Вклад их в теплопроводность определя-
ется электронами, квазиимпульсы которых лежат вблизи поверхности
Ферми. Коэффициент теплопроводности
1 л2 о 9 тРпЦТх
х == у clvF = g ($f) =---------
Здесь с — удельная электронная теплоемкость; Т — абсолютная тем-
пература. Последнее равенство справедливо только для металлов со
сферической поверхностью Ферми.
Отношение
х _ л2 /^б\2
о “ 3 U )
(9.14)
является универсальной постоянной (пе зависящей от химических
свойств металла), пропорциональной абсолютной температуре.Его на-
зывают соотношением Видемана—Франца.
Вводят число Лоренца L = x/tfT. Согласно формуле (9.14)
Вт • Ом
К2
(9.15)
Для температур порядка 100 К формула (9.15) дает для многих
металлов хорошую оценку.
9.3.4. Контактные и термоэлектрические явления. Чтобы с по-
верхности металла удалить электрон, необходимо совершить работу
А против силы, действующей со стороны металла. Эта сила обуслов-
лена, во-первых, силами, имеющими квантовую природу и удержива-
ющими электроны в металле, и, во-вторых, электростатическим притя-
жением электрона к металлу, имеющему избыточный положительный
заряд, возникающий в результате удаления электронов.
Совершаемую работу А называют работой выхода. Она определяет
контактную разность потенциалов (р между металлом и вакуумом. Если
437
за начало отсчета энергии выбрать потенциальную энергию электрона
в вакууме, то
A &f
1 е е
Здесь ftp — энергия Ферми.
При соприкосновении двух металлов с различными величинами
работы выхода в контакте разность потенциалов
Дф = срх — ф2 —L—---------
$F2 ~~
е
(9.16)
где одинаковые индексы относятся к одному веществу. В пределах
поверхностного слоя вблизи контакта элементарные ячейки кристалла
искажены и плотность электронов изменена, что приводит к дополни-
тельному вкладу в Дф. Этот вклад определяется характером поверх-
ности контакта. Если вклад этих поверхностных явлений велик, то
формулами (9.16) п (9.17) пользоваться нельзя.
При постоянной температуре контактная разность потенциалов
не может привести к появлению электрического тока, так как ее зна-
чения во всех контактах замкнутого контура полностью компенсируют
одно другое, и суммарная электродвижущая сила равна пулю (правило
Вольты). Если температура контакта отлична от температуры осталь-
ной части контура, то в нем появляется отличная от нуля термоэлектро-
движущая сила. ЭДС такого контакта (термопары) пропорциональна
разности температур 7\ — Т2 между температурами контакта и краев
термопары:
= (Q, _ q2) (Л - Т2), (9.17)
где Qlt Q2 — дифференциальные термо-ЭДС первого и второго провод-
ника. Причина возникновения термо-ЭДС заключается в том, что пере-
мещение электронов из более нагретых участков в менее нагретые со-
провождается перераспределением заряда и появлением разности
потенциалов.
В модели свободных электронов для металлов
лЧ'г?
Q =----— •
Для полупроводников Q = akje, где а — число порядка единицы,
зависящее от температуры, концентрации носителей тока и степени ле-
гирования. Коэффициент Q определяет эффект Зеебека — установление
электростатической разности потенциалов и появление электрического
поля между областями одного и того же металла, имеющими различ-
ную температуру: Е ~ QAT/Ax — QT'(x) (Е — напряженность поля,
АТ — разность температур между точками проводника, удаленными
на малое расстояние Ах).
Обратный эффект — выделение или поглощение тепла в слое при
прохождении через контакт электрического тока — называют эффек-
том Пельтье. Эффект Пельтье обусловлен тем, что ток в металле сопро-
вождается потоком тепла
QT = П/,
438
где 1 сила тока; LIt— коэффициент Пельтье; QT = qTS — суммар-
ный тепловой поток через сечение проводника; qT — плотность тепло-
вого потока; S — сечение проводника. Поскольку / в контуре постоян-
но, а II различно для разных материалов, то в контакте в зависимости
от направления тока выделяется или поглощается энергия. Коэффи-
циент II связан с дифференциальной термо-ЭДС Q соотношением
Кельвина (Томсона): П = TQ. Поскольку П зависит от температуры,
в неравномерно нагретом проводнике тепловые потоки в участках кон-
тура, имеющих различную температуру, не совпадают. Это приво-
дит к возникновению или поглощению дополнительного (кроме джо-
улевого) тепла в проводнике (эффект Томсона}'.
Д(?г = ± П' (Т) 1ЬТ = ±~ 1ST.
Здесь — количество тепла, выделяющегося в единицу времени
на участке проводника, разность температур концов которого Д7\
Верхний знак следует брать, если направление тока противополож-
но направлению роста температуры, а нижний — в противном
случае.
9.3.5. Методы исследования поверхности Ферми. Если металли-
ческий или полупроводниковый образец, по которому течет постоянный
ток, помещен в однородное магнитное поле с индукцией В, направле-
ние которой перпендикулярно вектору тока, то на перемещающиеся
электроны проводимости действует сила Лоренца (см. формулу (6.54)).
Эта сила отклоняет электроны в направлении, перпендикулярном току,
и создает их скопление на одной из боковых сторон образца. Эта
грань окажется заряженной отрицательно. Противоположная грань,
на которой имеется недостаток электронов, зарядится положительно.
Такое перераспределение заряда приводит к появлению составляющей
напряженности электрического поля Еу, перпендикулярной оси про-
водника. Величина этой составляющей определяется формулой
а в единицах СГС
г еВх
Еу~~т*сЕх’ 0-18)
439
где т — среднее время между столкновениями электронов (время ре-
лаксации); Ех — напряженность электрического поля вдоль провод-
ника; е — элементарный заряд; т* — эффективная масса электронов;
с — скорость света. Поле Еу называют полем Холла. Явление возник-
новения поперечного электрического поля в проводнике с током при
помещении его в магнитное поле называют эффектом Холла (рис. 9.7).
Знак перед правой частью формулы (9.18), связанный со стандартным
выбором направления оси у, указывает на то, что ток вызван переме-
щением отрицательно заряженных электронов. В аналогичных форму-
лах для положительных дырок знак будет положительным.
Коэффициентом (или постоянной) Холла называют положитель-
ную величину
Еу
jXB'
(9.19)
где ]х— плотность текущего по образцу тока. Подставляя выражение
(9.18) в (9.19) и учитывая, что проводимость G~jx/Ex задается фор-
мулой (9.13), получаем
н пе1
а в единицах СГС
пес ‘
Эффект Холла дает возможность определить концентрацию и
внак заряда носителей тока в образце. Одновременно измеряя постоян-
ную Холла и электропроводность, можно найти характеристику крис-
талла—отношение времени релаксации к эффективной массе, а также
получить определенную информацию о топологии поверхности Ферми
в металлах. Эффект Холла наблюдается в слабых магнитных полях,
когда циклотронная частота (см. формулу (6.55)) значительно меньше
1/т, т. е. о)ст < 1. При сост ~ 1 проводимость кристалла уменьшается.
Дополнительное сопротивление, возникающее при наложении магнитного
поля, называют магнето сопротивлением.
В сильных магнитных полях,
когда сост > 1, под действием маг-
нитного поля электроны обраща-
ются по круговым орбитам с угло-
вой скоростью, равной циклотронной
частоте
еВ
С0с ™ - --Т ,
а в единицах СГС
еВ
со.
т*с ’
где т* — циклотронная эффективная
масса. Это приводит к резкому уве-
личению поглощения электромагнит-
ных колебаний, имеющих угловую
частоту, равную циклотронной или
кратную ей. Такое явление называют
циклотронным резонансом»
440
Циклотронный резонанс является мощным методом исследования
поверхности Ферми металлов, поскольку доминирующий вклад в по-
глощение вносят так называемые экстремальные орбиты. Под экстре-
мальной орбитой понимают траекторию в обратном пространстве,
имеющую максимальный или минимальный радиус. Если поверхность
Ферми — сфера, то эти траектории представляют собой окружности
максимального радиуса.
При помещении металла в сильное магнитное поле уровни электро-
нов квантуются (квантование Ландау см. в разделе 3) и поверхность
Ферми видоизменяется. Увеличение магнитного поля влияет на энер-
гш<5 электронного газа. В этом случае есть два конкурирующих про-
цесса: возрастание энергии электронов за счет увеличения энергии
каждого уровня Ландау и уменьшение этой энергии за счет роста числа
состояний на каждом таком уровне и перехода части электронов с более
высоких уровней на более низкие. Комбинация этих процессов приво-
дит к тому, что энергия электронов, а следовательно, и их магнитная
восприимчивость в металле периодически зависят от магнитного поля,
точнее, от обратной магнитному полю величины (рис. 9.8). Возникно-
вение квантовых осцилляций магнитной восприимчивости называют
эффектом де Хааза — ван Альфе на.
Период осцилляций (в единицах СГС)
д I__1_\ — %пе
где Sfn—максимальная площадь сечения ферми-поверхности, перпен-
дикулярной вектору В индукции магнитного поля. Возникновение
осцилляционной проводимости при изменении магнитного поля назы-
вают эффектом Шубникова — де Хааза.
9.3.6. Эмиссионные явления. Под эмиссией понимают испускание
твердыми телами электронов. Для создания эмиссии вылетающему
электрону необходимо сообщить энергию, достаточную для преодоле-
ния потенциального барьера на границе тела, равную работе выхода
Д. Эмиссия может быть вызвана различными причинами. Необходи-
мая электронам энергия может быть сообщена термическим путем (на-
греванием). Эмиссию в этом случае называют термоэлектронной. Тер-
моэлектронная эмиссия используется в электронных радиолампах.
Причиной эмиссии может являться внешнее электрическое поле, ве-
личина которого достаточна для сообщения электрону металла энергии,
равной работе выхода. Такой вид эмиссии называют холодной (или
автоэлектронной). Эмиссия может также происходить в результа-
те бомбардировки поверхности металла, полупроводника или диэлект-
рика пучком первичных электронов. Низкотемпературную эмиссию
электронов с поверхности твердого тела, возникающую в результате
разнообразных внешних воздействий (деформации, механической и
термической обработки, окисления, адсорбции и др-:), называют экзо-
электронной эмиссией (эффектом Крамера). Наконец, эмиссия может
быть вызвана падающим на металл светом, частота которого выше неко-
торой пороговой (внешний фотоэффект).
Стационарная эмиссия возникает, если в пространстве поблизости
от испускающего электроны металла (эмиттера) существует электриче-
ское поле соответствующего знака, отводящее вылетевшие с поверх-
ности металла электроны, чтобы они не создавали запирающего поля,
противодействующего эмиссии. Если эмиссия термоэлектронная, то
число испущенных электронов пропорционально числу электронов,
энергия которых превышает работу выхода Д. Плотность тока /1Щ
441
которую создают вылетевшие электроны, определяется формулой
Ричардсона — Дэшмана
____А _____А
. (9.20)
где tn—-масса электрона; h — постоянная Планка; е — абсолютная вели-
чина заряда электрона; С = emk^/2n2h3 — 1,2 • 106Л • м~2 . К"*2 называют
эмиссионной постоянной, которая теоретически для всех металлов оди-
накова. Однако на практике она варьируется в широких пределах, при-
чем ее значение сильно зависит от чистоты поверхности металла.
Знак в правой части формулы (9.20) означает, что носителями тока
являются отрицательно заряженные частицы (электроны). Величина /н
определяет ток насыщения, т. е. максимально возможную плотность
тока, когда все эмиттированные электроны попадают на положительно
заряженный электрод (анод). Эмиттер при этом является катодом.
При малых значениях напряжения между катодом и анодом, ког-
да плотность тока j между ними далека от насыщения (/ < / ), ее за-
висимость от напряжения определяется законом 3/2 Ленгмюра—Бо-
гуславского
где U — напряжение между электродами, а В определяется их геомет-
рической формой и взаимным расположением.
Если электроды имеют форму плоского конденсатора, состоящего
из пластин площадью S, расположенных на расстоянии d одна от дру-
гой, то
Если электроды образуют коаксиальные цилиндры, из которых
эмиттером является внутренний, то
2/2 I
D=— V 7'
где I — длина обоих цилиндров, а г — радиус внешнего цилиндра.
Закон 3/2 применим и в случае, когда наблюдается электрический
ток в вакууме при условии, что, во-первых, он значительно мень-
ше тока насыщения, во-вторых, число заряженных частиц практи-
чески не зависит от приложенного напряжения, в-третьих, скорость
электронов вблизи эмиттера значительно меньше их скорости у
анода.
Холодная эмиссия возникает за счет квантового туннелирования
электронов с поверхности металла. Зависимость плотности тока j от
напряженности внешнего электрического поля Е имеет вид
i = СЕЧ 'е'г.
442
4 i/*2т г_ е 1/"$f 1
Здесь у - 3 у h2’C~ 4}l2h V А у ’
где &F— энергия Ферми; U — высота потенциального барьера на гра-
нице металла, отсчитанная от энергии Ферми. Эмиссия за счет выры-
вания электронов светом (фотоэффект) возможна при условии, что час-
тота света выше пороговой со, которая определяется соотношением
Эйнштейна
лсо = А.
9.4. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ И СВЕРХПРОВОДНИКИ
9.4.1. Возникновение сверхпроводимости. При низких темпера-
турах ряд металлов и сплавов переходит в сверхпроводящее состояние.
Явлением сверхпроводимости называют полное исчезновение сопро-
тивления. Вещества, в которых наблюдается явление сверхпроводи-
мости, называют сверхпроводниками. Если в замкнутом контуре,
состоящем из сверхпроводящего материала, возникает электриче-
ский ток, то он остается неизменным в цепи неограниченное время при
отсутствии внешнего электрического поля. Такие токи называют неза-
тухающими.
Металлы находятся в сверхпроводящем состоянии прн’температуре
ниже некоторой температуры Тс, называемой температурой перехода.
Выше температуры перехода они являются нормальными металлами
с конечным значением сопротивления. Переход металла из нормального
состояния в сверхпроводящее является фазовым переходом второго
рода. При температуре ниже Тс происходит скачкообразное увеличе-
ние теплоемкости кристалла. Значения Тс Для большинства металлов
и сплавов очень малы. Максимальное значение Тс — 22,3 К из извест-
ных в настоящее время материалов имеет пленка из соединения
Nb3Ge.
Сверхпроводимость возникает из-за наличия между электронами
помимо обычного электростатического отталкивания по закону Куло-
Рис. 9.9
на дополнительного косвенного взаимодействия, которое обусловлено
тем, что электрон своим электростатическим полем деформирует ре-
шетку и появляющаяся в результате деформации поляризация в свою
очередь создает потенциал, притягивающий второй электрон. Такое
косвенное притяжение между электронами может при низких темпе-
ратурах превысить их отталкивание по закону Кулона. В этом случае
состоянием с минимальной энергией является связанное состояние
двух электронов. Электронные пары, находящиеся в связанном со-
443
стоянии, называют ку перовскими. Уровни энергии куперовской пары
принадлежат не квазинепрерывному спектру, как первоначальные
уровни энергии зонных электронов, а дискретному. Энергия возбуж-
денного зонного состояния электронов в них отделена от основного
энергетической щелью Д.
На рис. 9.9 приведена схема заполнения уровней энергии в зоне
в нормальном (а) и сверхпроводящем (б) металлах. В сверхпроводнике
в отличие от нормального металла между заполненными и незаполнен-
ными состояниями имеется энергетическая щель. Сверхпроводимость
осуществляется спаренными электронами с энергией, соответствующей
верхней границе энергии заполненных состояний.
При наличии щели рассеяние электронов на неоднородностях
кристалла не всегда возможно, так как каждое из них сопровождается
переходом рассеянного электрона в иное, близкое зонное состояние
(если оно существует и свободно). В случае связанных электронов
куперовской пары для акта рассеяния необходима дополнительная
энергия Д, поэтому при малых скоростях движения пары, т. е. в сла-
бых электрических полях, куперовские пары могут без трения двигаться
по всему кристаллу, а это означает полное отсутствие для таких полей
(и напряжений) электрического сопротивления. При повышении тем-
пературы значение Д уменьшается и при Т = Тс становится равным
нулю.
Пропускание через сверхпроводник сильного тока разрушает
сверхпроводящее состояние. Это связано с тем, что в данном случае
куперовские пары приобретают большую скорость и разрыв пары мо-
жет произойти за счет ее кинетической энергии. Плотность тока, раз-
рушающего сверхпроводящее состояние, называют критической.
Среднее расстояние £0 между электронами в куперовской паре
называют длиной когерентности. Обычное значение ^10~4 см зна-
чительно превышает расстояние между атомами в решетке (~10”8см).
Связь явления сверхпроводимости с состоянием атомов кристалла
подтверждает изотопический эффект’.
ТСМ = const,
где М — атомная масса изотопа одного металла, а Тс — температура
перехода в кристалле, полностью состоящем из атомов этого изотопа.
Связанные пары образуют электроны проводимости, энергии кото-
рых близки к энергии Ферми ($ — t? 10~4 &F ). В куперовскую
пару спариваются электроны с противоположными импульсами и спи-
нами, поэтому пара обладает не полуцелым значением спина, как от-
дельный электрон, а целым (спин пары равен нулю). Таким образом,
куперовские пары являются бозонами. Для бозонов принцип Паули
не справедлив, т. е. в одном и том же состоянии может находиться не-
ограниченное число частиц. Поэтому все куперовские пары в кристал-
ле находятся в одинаковом для всех квантовомеханическом состоянии
с наименьшей энергией и описываются одной и той же волновой функ-
цией. Явление накапливания бозе-частиц при низкой температуре в
нижайшем состоянии с наименьшей энергией называют конденсацией
Бозе — Эйнштейна. Совокупность находящихся в этом состоянии
частиц называют бозе-конде нс атом.
В металлах сверхпроводимость обеспечивается наличием бозе-
конденсата куперовских пар. Единую для всего конденсата куперов-
ских нар волновую функцию ф можно записать в виде
ф = | ф | е1^
(9.21)
444
где । лрI, <р — вещественные величины, постоянные в однородном сверх-
проводящем образце, по которому не проходит ток; i — мнимая еди-
ница. Значение |ф| пропорционально концентрации куперовских пар.
Если же по сверхпроводнику проходит электрический ток плотностью
/, то изменение фазы волновой функции ф вдоль направления вектора j
пропорционально величине / (см. раздел 3):
/ = (х), (9.22)
Г/4 ч С/Л //4
где т — масса электрона; е — его заряд; h — постоянная Планка;
ось х направлена вдоль вектора /.
9.4.2. Магнитные свойства. Если сверхпроводник поместить в маг-
нитное поле, то на поверхности образца возникнут незатухающие
электрические токи, магнитное поле которых в точности скомпенсирует
внешнее поле в толще образца так, что внутри магнитного поля индук-
ция В = 0. Тот же эффект выталкивания магнитного поля из сверх-
проводника наблюдается, если металлический образец поместить в маг-
нитное поле в нормальном состоянии, а затем перевести его в сверх-
проводящее. Для сверхпроводника магнитная проницаемость р,= 0,
а вычисленная по формуле (6.69) восприимчивость х =— 1 их —— --
в единицах СГС.
Сверхпроводники представляют собой диамагнетики с максималь-
но возможной абсолютной величиной х (считают, что сверхпроводник —
идеальный диамагнетик).Явление полного выталкивания магнитного
поля из сверхпроводника называют эффектом Мейснера. При повы-
шении напряженности-магнитного поля происходит разрушение сверх-
проводимости и фазовый переход металла в нормальное состояние.
Минимальную напряженность поля,приводящего к такому разруше-
нию, называют критическим магнитным полем Нс> Критическое маг-
нитное поле зависит от температуры (чем ниже температура, тем оно
больше)
(Т2 \
1 с/
где Нс (0), НС(Т)— критическое магнитное поле при абсолютном нуле
и температуре Т. Если при намагничивании сверхпроводника полем Н€
весь образец как целое может переходить в нормальное состояние, то
такие сверхпроводники называют сверхпроводниками первого рода.
На границе, отделяющей сверхпроводник от вакуума, не происхо-
дит резкого скачка индукции магнитного поля, как в обычном магне-
тике. Убывание магнитной индукции В в глубь сверхпроводника про-
исходит по закону
х
В(х) — В(0)е
Здесь В (х) — индукция магнитного поля
на расстоянии х от поверхности сверх-
проводника; В (0) — значение индукции
на поверхности. Характеристику име-
ющую размерность длины, называют лон-
Ооновской глубиной проникновения (числен-
ное ее значение установили Ф. Лондон
и Г. Лондон). Вычисляется она по фор-
445
муле
%L=l/ _£L_
r
а в единицах СГС
F Ik1 IQ ’*5
где in—масса электрона; e — его заряд; с—скорость света; ns— кон-
центрация сверхпроводящих электронов. При приближении темпера-
туры к Тс значение уменьшается и глубина проникновения рас-
тет. В точке фазового перехода, когда ns = 0, магнитное поле прони-
кает во весь образец.
Разрушение сверхпроводимости в сверхпроводниках первого рода
(жестких) магнитным полем, при котором весь образец целиком пере-
ходит в нормальное состояние, происходит только в том случае, когда
магнитное поле одинаково в любой точке поверхности кристалла, па-
пример, когда сверхпроводящий образец является цилиндром с осью,
параллельной магнитному полю. Если форма сверхпроводника такова,
что на каких-то участках поверхности магнитное поле уже достигло кри-
тического значения, а на других — пет, то происходит частичное раз-
рушение сверхпроводника и он переходит в состояние, называемое про-
межуточным. В промежуточном состоянии слои, состоящие из нормаль-
ного металла, чередуются со слоями, находящимися в сверхпроводя-
щем состоянии. При этом силовые линии магнитного поля пронизы-
вают только слои нормального металла. С ростом магнитного поля тол-
щина сверхпроводящих слоев сокращается, а когда магнитное поле до-
стигает критического значения во всех точках поверхности, они исче-
зают, и образец полностью оказывается в нормальном Состоянии.
Если через тороидальное кольцо, состоящее из сверхпроводящего
материала, пропустить электрический ток (рис. 9.10), то поток магнит-
ного поля Ф через поверхность» охватываемую кольцом, принимает
значения, равные целому числу некоторой величины Фо = zthc/e ==
= 2,0679 • 1О'х5 Во:
.. nhc
Ф = п----== /гФ0,
е
где к — постоянная Планка; п — произвольное целое число. Это явле-
ние называют квантованием магнитного потока. Максимально воз-
можное значение Фо называют квантом магнитного потока или флюк-
соном.
Возникновение эффекта квантования магнитного потока связано
с тем, что поток пропорционален силе протекающего в кольце тока,
которая не может изменяться непрерывно. Последнее обусловлено
тем, что плотность тока пропорциональна изменению фазы волновой
функции (см. формулу (9.22)), а для однозначности волновой функции
необходимо, чтобы приращение ее фазы при полном обороте по коль-
цу было кратным 2л (см. формулу Эйлера в Приложении 1). Эта дис-
кретность в изменении фазы волновой функции приводит к дис-
кретности изменений тока и в результате к квантованию магнитно-
го потока.
Наряду со сверхпроводниками первого рода существуют сверхпро-
водники второго рода (мягкие). Обычно это сплавы, а из чистых ме-
таллов— ниобий и ванадий. Для таких сверхпроводников существуют
446
нижнее НС\ и верхнее НС2 критические поля (ЯС1 < НС2). Если поле
меньше Нто сверхпроводник его полностью выталкивает и оно не
проникает в образец, если Нс^ < И < HC2i то происходит частичное
проникновение магнитного поля в образец. В последнем возникает мик-
роскопическая структура чередующихся нормальных и сверхпроводящих
областей, которая называется смешанным (вихревым) состоянием. Участ-
ки металла в нормальном состоянии представляют собой регулярно
расположенные нити. Их называют вихревыми. Сверхпроводящие" купе-
ровские пары вращаются в окружающей нити сверхпроводящей части
образца вокруг оси вихревой нити. Скорость их вращения возрастает
ио мере приближения к оси. Магнитный поток, пронизывающий каждую
вихревую нить, оказывается равным по величине кванту магнитного
потока (флюксону) Фо. Вихревые нити называют также флюксоидами.
При увеличении напряжен-
ности магнитного поля число вих-
ревых нитей растет, происходит
их сближение, и при достижении
верхнего критического поля НС2
сверхпроводимость полностью
разрушается. Металл переходит
в( нормальное состояние.
В сверхпроводниках первого
рода лондоновская глубина про-
никновения меньше длины коге-
рентности g0, а в сверхпроводниках второго рода, наоборот, g0 <
9.4.3. Эффект Джозефсона. Если два сверхпроводящих металла
А и В разделены тонкой диэлектрической перегородкой С (рис. 9.11)
толщиной около 10“7 см, то электроны одного металла могут туннели-
ровать в другой (см. раздел 3). При этом могут туннелировать также
куперовские пары.
Фазы сверхпроводящих волновых функций (см. формулу (9.21))
имеют определенное значение и по обе стороны контакта могут быть
различными. Это приводит к тому, что в окрестности туннельного
перехода существует область изменяющейся фазы и, следовательно
(см. формулу (9.22)), через контакт в отсутствие приложенной раз-
ности потенциалов протекает ток. Это явление называют стационарным
эффектом Джозефсона. Плотность тока
j = — /osin(cpa— <pj),
где <pj, <р2 — фазы волновых функций куперовских пар (9.21) в первом
и втором свехпроводниках; /0 — положительная постоянная, завися-
щая от свойств туннельного перехода; знак указывает на то, что при
малой разности фаз электроны перетекают из сверхпроводника с боль-
шей фазой, значит, ток идет в обратном направлении.
Если, между двумя сверхпроводниками в туннельном кон-
такте приложить разность потенциалов 7, то сверхпроводящая вол-
новая функция ф изменится во времени. При этом значение |ф| по-
стоянно, так как оно зависит только от концентрации куперовских пар;
зависящей от времени окажется только фаза (р. После подстановки вол-
новой функции в виде (9.21) в уравнение Шредингера получим уравне-
ние для разности фаз Дер = ср- — ср2 волновых функций двух сверх-
проводников:
й — = 2eV, ЙД<р' (/) = 2eV. (9.23)
447
Здесь t — время, 2е — заряд куперовской пары. Изменение фазы в этом
случае линейно во времени:
2eV
Дф = <Р1 — ф2 = -j- t. (9.24)
Из формул (9.23), (9.24) видно, что через туннельный переход протекает
переменный ток, плотность которого
/ — jQ sin со^,
где (о = 2eV/h — частота тока. Явление протекания переменного тока
под действием постоянного напряжения в туннельном контакте между
двумя сверхпроводниками называют нестационарным эффектом Джо-
зефсона.
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Акоста В., Кован К-, Грин Б, Основы современной физики. — М. 3
Просвещение, 1981.— 495 с.
Астахов А. В. Курс физики : В 2-х т. — Т.1. Механика : Кинетиче-
скал теория материи.— М. : Наука, 1977.— 384 с.
Ахиезер Л. И. Общая физика. Электрические и магнитные явления 9
Справ, пособие.— Киев : Наук, думка, 1981.— 472 с.
Ахиезер А. И., Пелетминский С. В. Методы статистической физики.—
, М. : Наука, 1977.— 368 с.
Барьяхтар В. Г., Иванов Б. А. Магнетизм — что это? — Киев з
Наук, думка, 1981.— 207 с.
Бурдун Г. Д', Б азаку ца В, Л. Единицы физических величин : Спра-
вочник.— Харьков : Вища шк., 1984.— 208 с.
Бутиков Е. И., Быков А. Л., Кондратьев А. С. Физика для поступаю-
щих в вузы.— М. : Наука, 1978.— 608 с.
Гайдучок Г. М., Лободюк В. А., Рябошапка К- П. Дов1дннк з ф!зики
(для учшв).— к. : Рад. шк., 1981.— 241 с.
Гончаренко С. У. Ф1зика для допитливих : Термодинамика.— К. :
Техника, 1977.— 195 с.
Дефекты в кристаллах и их моделирование на ЭВМ / Под ред.
10. А. Осипьяна.— Л. : Наука, 1980.— 214 с.
Енохович Л. С. Справочник по физике. —М. : Просвещение, 1978.—
415 с.
Зисман Г. Л., Тодес О. А/. Курс общей физики : В 3-х т.— 6-е изд.—
М. : Наука, 1974.
Каганов М. И. Электроны, фононы, магноны.— ЛА. : Наука, 1979.—
192 с.
Каганов М. И., Цукерник В. М. Природа магнетизма.— М. : Наука,
1982.— 192 С;
Калашников С. Г. Электричество.— М. : Наука, 1985.— 576 с.
Крауфорд Ф. Волны.— 2-е изд.— М. : Наука, 1976.— 528 с.
Китайгородский А. И- Фотоны и ядра.— М. : Наука, 1979. — 207 с.
Китайгородский А. И. Электроны.— М. : Наука, 1979.— 207 с.
Киттель Ч- Введение в физику твердого тела.— М. : Наука, 1978. —
Киттель Ч. Статистическая термодинамика.— М. : Наука, 1977. —
336 с.
Косевич Л. М. Физическая механика реальных кристаллов.— Киев:
Наук, думка, 1981.— 328 с.
Кошкин И, И., Ширкевич М. Г. Справочник по элементарной физике.—
8-е изд.— М. : Наука, 1980.— 208 с.
Кухлинг X. Справочник по физике.— М. : Наука, 1982.— 520 с.
Кэй Д^ Лэби Т. Таблицы физических и химических постоянных /
Под ред. К-П. Яковлева.— М. : Физматгиз, 1962.— 571 с.
539
.. Ландау Л. Д’. Курс общей физики. Механика и молекулярная'
физика.— 2-е изд.— М. : Наука, 1969.— 399 с.
Ландау Л. Д., Китайгородский А. И. Физические тела.— 4-е изд.—
м: : Наука, 1978.— 208 с.
Ландау Л. Д., Китайгородский А. И. Молекулы. — М. : Наука,
1978.— 207 с.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика : В 10-ти т.
Т. 1. Механика.— М. : Наука, 1973.— 208 с.; Т. 3. Квантовая
механика. М. : Наука, 1974. 752 с.; Т. 5. Статистическая физика.
М. : Наука, 1976. 584 с.; Т. 7. Теория упругости. М. : Наука,
1965. 207 с.
Лободюк В. А.у Рябошапка К- П-, Шулишова О. И. Справочник по
элементарной физике.— Киев : Наук, думка, 1978. — 448 с.
Милантьев В. П., Темко С. В, Физика плазмы.— М. : Просвещение,
1983.— 158 с.
Мэрион Дж. Б. Физика и физический мир.— М. : Мир, 1975. — 624 с.
Новое в жизни, науке, технике. Сер. Физика.— М. : Знание, 1972 —
1983.
Обозначения, единицы измерения и терминология в физике : Док.
U. 7. D. 20(1978).— Успехи физ. наук, 1979, 129, вып. 2, с. 290 —
335.
Паташинский А. 3., Покровский В. Л. Флуктуационная теория фазо-
вых переходов.— М. : Наука, 1982.— 382 с.
Пикин С, А.у Бликов Л. М. Жидкие кристаллы.— М. : Наука, 1982.
207 с.
Поль Р. В. Механика, акустика и учение о теплоте. — М. : Изд-во
иностр, лит, 1957.— 484 с.
Рейф Ф. Статистическая физика.— 2-е изд.— М. : Наука, 1977.—
352 с.
Савельев И. В. Курс общей физики : В 3-х т. — 2-е изд. — М. : Наука,
1982.
Селезнев 10. А. Основы элементарной физики.— 4-е изд.— М. : Наука,
1974.- 544 с.
С иву хин Д. В. Механика.— 2-е изд.— М. : Наука, 1979.— 520 с.
Сивухин Д. В. Оптика. — М. : Наука, 1980.— 752 с.
Сивухин Д. В. Термодинамика и молекулярная физика.— 2-е изд.—
М. : Наука, 1977.— 688 с.
Сиротин 10. И.у Шаскальская М. П. Основы кристаллофизики. —
М. : Наука, 1977.— 640 с.
Смородинский Д'. А. Температура.— М. : Наука, 1981.— 159 с.
Таблицы физических величин: Справочник/Под ред. И. К. Кикоина.—
М. : Атомиздат, 1976.— 1008 с.
Тамм И. Е. Основы теории электричества.— М. : Наука, 1971.— 476 с.
Физика : Пособие для подготов, отд-ний / Под ред. М. В. Белоуса.—
Киев: Вища шк., 1983.— 360 с.
Физический энциклопедический словарь: В 5-ти т./Под ред. Б. А. Вве-
денского.— М. : Сов. энцикл., 1960—1966.
Физический энциклопедический словарь / Под ред. А. М. Прохорова.—
М. : Сов. энцикл., 1984.— 944 с.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэнде М. Фейнмановские лекции по физике :
В 9-ти т.—М. : Мир, 1965—1967.
Фундаментальные константы физики и химии.— М. : ВНИЦ ГСССД,
1975.— 5 с.
Храмов IO. А. Физики : Биограф, справочник.— Киев : Наук, думка,
1977.— 509 с.
Школьникам о современной физике : Сб. / Сост. В. Н. Руденко.— М, :
Просвещение, 1982.— 141 с.
540
Шмидт В. В. Введение в физику сверхпроводников.— М. : Наука,
1982.— 238 с.
Элементарный учебник физики : В 3-х т. / Под ред. Г. С. Ландсберга.—
9-е изд.— М. : Наука, 1975.
Энциклопедия неорганических материалов.— Киев: Укр. сов. эн цикл.;
1977.—840 с.
Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике для инженеров
и студентов вузов.— 6-е изд. — М. : Наука, 1974.— 942 с.
Яворский Б. Детлаф А. А. Справочник по физике.— М. : Наука,
1981._ 507 с.
Яворский Б. М., Слезнее Ю. А. Справочное руководство по физике для
поступающих в вузы и самообразования.—[2-е изд. — М. : Наука,
1979.— 512 с.
Яворский Б, M.f Пинский А, А. Основы физики : В 2-х т.— 3-е изд. —
М.: Наука, 1981.
Шпольский Э. В. Атомная физика : В 2-х т. — М. : Наука, 1974.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аббе инвариант 307
Абберрация оптических систем 319
— сферическая 320
•— хроматическая 320
Адиабата 124
Адрон 409
Активационный анализ 400
Актиноиды 376
Акцептор 432
Альфа-распад 394
Альфа-частица 394
Амплитуда 174
— колебаний гармонических 175
----затухающих 182
Анастигмат 321
Ангармоннзм 420
Анизотропия кристаллов 161
----магнитная 42, 275
•---упругая 161
Анион 251
Аннигиляция 95
Анод 252
Аитиферромагиетик 273
Античастица 95, 409
Апертура числовая 310, 318
Аплант 321
Апогей 31
Асимптотическая свобода 411
Атом 374
внедрения 44
— водорода 374
Атомный помер 374
Ахроматизм 320
Барион 412
Барьер потенциальный 89
— кулоновский 400
Бел 205
Бета-распад 394, 395
Биения 177
Бозе-конденсат 172, 444
Бозон 87, 172
Вакансия 44
Вакуум поля 95'
Валентность 376
Валентные электроны 376
Вектор Бюргерса 46
— волновой 83, 189
— деформации 40
— Умова—Пойитинга 196, 285, 215
Векторное произведение 449
Векторные диаграммы 176, 289, 342
Векторы обратной решетки 417
— решетки основные 416
Вероятность значения наблюдае-
мой 76, 79
— перехода 89, 384
— состояния термодинамического
132
Взаимодействие гравитационное
407
— обменное 377, 273
— сильное 407
— слабое 407
— спип-орбитальное 93, 275
— цветовое (хромодинамическое)
411
— электромагнитное 95, 217, 407
542
— электрослабое 95, 407
Винт 38
Вихревая нить 446
Внутренняя конверсия гамма-лу-
чей 395
Внутриядерный каскад 399
Возврат 50, 52
Возмущение 25, 87
— стационарное 87
Волна де Бройля 89
• — монохроматическая 189
• —плоская 189
уравнение 189
— поверхностная гравитацион-
ная 190
Волновая механика 79
Волновое число 189, 378
Волны 187
— вторичные Гюйгенса 197
— гравитационные 190
— зарядовой плотности 257
— звуковые 204
— когерентные 192, 194, 322
— поверхностные (гравитационно- .
капиллярные) 190
— стоячие 193
— электромагнитные 213
Ворот 38
Восприимчивость магнитная 268
Вращение 12, 32
— плоскости поляризации света
359
Время жизни состояния 90
—релаксации 183, 432
Выпрямление тока 434
Вырождения кратность 78
Вырожденное значение энергии 82
Вязкость 60, 169
Газ идеальный 98, 108, НО, 122
— реальный ПО
---Ван-дер-Ваальса 111
Гамильтониан 25, 79
— Гайзеиберга 273
---зеемановский 93
квантовомехапической систе-
мы 79
Гармонический анализ 177
Гексагональная решетка 163
Геометрические законы отражения
и преломления 192
Герц 173
Гетерополярпая связь 162
Гидродинамика 53
Гидростатика 55
Гипербола 30
Гпперзаряд 413
— слабый 410
Гиромагнитное отношение 93
Гистерезис намагничивания 275
Главная оптическая ось 306, 311
Главное зеркало 319
Главные моменты инерции 33
— оси инерции 33
Глаз 315
— близорукий 316
— дальнозоркий 316
Глубина проникновения лондопов*
ская 445
Глюон 411
Голограмма 349
Голография 348
Границы зерен 47
Группа волн 199
— симметрии 407
Давление 99
Двигатель вечный первого рода .122
---второго — 127
Движение броуновское 136
— инфинитное 26
— механическое 11
— по окружности 27
— поступательное 12
— равномерное прямолинейное 14.
— равнопеременное 14
— устойчивое 26
— тепловое 96
— финитное 26
Двухфотонные процессы 75, 384
543
Дебая приближение 421
Действующее значение тока 287
Дейтерий 394
Дейтрон 394
Декремент затухающих колеба-
ний 183
Дельта-функция Дирака 78
— распределение 78
Дефект акцепторный 45
-донорный 45
— линейный 46
— массы 391
— объемный 48
— поверхностный 47
— точечный 44
• энергетический 44
электронный 44
атомный 45
— упаковки 48
— Френкеля 45
— Шотки 45
Дефектен 425
Деформации упругие 41
Деформация абсолютная 40
— внутренняя 240
— остаточная 44
— относительная 40
— пластическая 41
— растяжения 41
Диамагнетизм Ландау 271
Диамагнетик 269
Диаметр молекул 97
Динамика газовая 53
— классической механики 12
— хаотическая 26
Диполь 227
Дипольное приближение теории из-
лучения 383, 217
Диоптрия 311
Дислокация 46
Дисперсия 198, 360
— аномальная 200, 361
— нормальная 200, 361
— отрицательная 200
— положительная 200
— света 360
— фононов 419
“Электромагнитных волн 214
— электронов 428
Диссоциации константа 251
Диссоциация 251
Дисторсия 321
Дифракция 197
— рентгеновских лучей 346
— Фраунгофера 343
— Френеля 341, 343
Диффузия 167, 168, 169
Дихроизм 355
Диэлектрик 235
Длина волны 189
— когерентности 322
---в сверхпроводнике 443
---приведенная физическая ма-
ятника 180
— пути оптическая 303
Добротность колебательной систе-
мы 183
Доза излучения 405
— эквивалентная 405
— экспозиционная 405
Домен в сегнетоэлектрике 243
---ферромагнетике 274
Дуга электрическая 256
Доменная стенка 243, 275
Донор 432
Дырка 45, 430
Е-захват 394, 395
Емкость электрическая 231
Естественная ширина спектральной
линии 383
Желтое пятно 316
Жидкости 153
—, ближний порядок 153
— , внутреннее давление 158
— ,— трение 169, 170
— , время релаксации 154
— , диффузия 168
— , краевой угол 157
— , поверхностное натяжение 156
544
— текучесть 153
Жидкость кипящая 149
— несмачивающая 156
перегретая 114, 115
— смачивающая 156
«Жи»-фактор (g-фактор) 93, 266
Задача о собственных значениях 78
Закон Ампера 260
— Архимеда 58
— Био — Савара 261
— Брюстера 353
— всемирного тяготения 28
— Гука 41
— Джоуля—Ленца 250
-— дискретности (кратности) элект-
рического заряда 220
— Дюлонга — Пти 421
— инерции 18
— Кюри 270
— Масквелла (распределения мо-
лекул идеального газа по скоро-
стям) 101
— Малюса 352
— Мозли 380
— Ома 245
---для газов 254
полной цепи 247
— отражения света 299
— Паскаля 55
— полного тока 263
— преломления света 300
силовых линий 237, 272
— распределения энергии по степе-
ням свободы молекул 103
— Рэлея 364, 365
— смещения Вина 367
— сообщающихся сосудов 55
— сохранения импульса 20
•--момента импульса 21
---электрического заряда 220
---энергии 19
— Стефана — Больцмана 367
— термодинамики второй 127
• первый 121, 122
* -третий 132
— Торричелли 57
---трех вторых 441
— Фика 167, 424
— Фурье 166
— электромагнитной индукции Фа-
радея 277
— Кеплера движения планет 29, 32
Законы механики Ньютона 18
— Фарадея 253
— фотоэффекта 74
Замыкание короткое 247
Запрещенный переход 384
Заряд барионный 412
— слабый 410
— точечный 220
— электрический 220
---элементарный 220, 324
Заряды лептонные 412
— связанные 235
Затухание колебаний 182, 183
Звук 204
Золотое правило механики 36
Зона Бриллюэна 418
— энергетическая 428
Зоны Френеля 339
Зонная пластинка 340
Излучатель дипольный 217
Излучение видимое 321
— вынужденное 295
— дипольное 217
— индуцированное 295, 384
— инфракрасное 321
— рентгеновское 321
— стимулированное 295
— тепловое 321
— тормозное 389
— ультрафиолетовое 321
— характеристическое рентгенов-
ское 380
— электромагнитных волн 217
Изобара 109
Изобарные ядра 391
Изображение действительное ЗОр
— мнимое 300, 306, 309, 312, 314
— оптическое 305
545
— стигматическое 306
Изопроцессы 109
Изотерма 109
— реального газа 112
------критическая 113
Изотопический мультиплет 412
— спин 413
Изотопы 391
Изотропность пространства 21
Импеданс 290
Импульс 20
— релятивистский 69
— силы 20
Импульсное пространство 83
Инвариант Лагранжа — Гельмголь-
ца 310
Инвариантность калибровочная
286
Инверсная заселенность 385
Индуктивность 278
Индукция взаимная 280
— магнитная 258
— электрическая 225
Интенсивность излучения 217
— звука 205
Интервал 64
— временеподобный 65
— музыкальный 207
— пространственноподобный 65
Интерференционные полосы 321,
334
---равного наклона 330
---равной толщины 330, 331
---локализации 330
— ширина 331, 335
Интерференционное слагаемое 326
Интерференция 192
— в пленках 329
— многолучевая 332
— , порядок 195, 329
• —, ширина полос 331, 335
Интерферометр Жамена 338
— Фабри— Перо 335
Инфразвук 207
Ионная (гетерополярная) связь 377
Ионосфера 257
Искровой разряд 256
Испарение 148
Источники волн 294
---когерентные 295
— света 294
Калибровочное преобразование 94
Канал реакции 92, 399
— распада 394
Кандела 296, 452
Катион 251
Катод 252
Качение 60
Квадруполь 229
Квазиимпульс 471
— бриллюэновский 418
— Дебая 420
Квазичастица 430
Квант поля 408
— магнитного потока 446
Квантование Ландау 93
— зарядов 220
— магнитного потока 446
Квантовое число азимутальное 86,
374
---главное 374
---магнитное 86, 374
---полного момента импульса
374
Квантовые числа 79
Квантовый усилитель 385
— генератор 385
Квант поля 95
Кварк 409
Кварка аромат 409
Кинематика 12
Кипение 148
Ковалентная (гомеополярная)
связь 377
Кольца Ньютона 331
Когерентность волн 192, 322
---временная 322
--- пространственная 324
Колебания 173
—акустические 418
— вынужденные 183
546
•—гармонические 174
— затухающие 182
---, декремент затухания 183
— изохронные 180
— когерентные 192
— локальные 423
— некогерентные 322
— нулевые 85, 96, 416
— оптические 418
— периодические 173
— плазменные 257
— пружинного маятника 181
— свободные 174
— установившиеся 183
— электромагнитные 211
Кольца Ньютона 331, 332
Кома 320
Комплексного числа аргумент 450
---модуль 450
Комплексное число 450
Комплексно-сопряженное число 450
Комптоновская длина волны 383
Конденсатор 232
Конденсация Бозе—Эйнштейна,
172, 144
Конденсор 314
Контур Бюргерса 46
— колебательный 211
---открытый 218
Концентратор напряжений 48
Коронный разряд 257
Коэффициент взаимной индук-
ции 280
— внутреннего трения 170
— вязкости 60, 170
— деполяризации 240
— диффузии 167—169, 424
— мощности 287
— надежности 44
— отражения 99
— поглощения 197, 206
— преломления 192
— прохождения 99
— Пуассона 41
— самоиндукции 278
• —сжимаемости 43
— сопротивления температурный
245
— размагничивания 272
— размножения системы 401
— теплового расширения линейный
164
------объемный 109, 165
— теплопроводности 166, 437
— трения качения 60
покоя 60
скольжения 60
— упругости 174
Краудиоп 46
К-прострапство 83
Кривые резонансные 184
Кристалл 161
Кристаллизация 151
Кристаллы двуосные 355
— жидкие 425
— квантовые 416
— одноосные 355
Критерий Ландау 161
— Лоусона 258, 404
Критическая опалесценция 146
Критические индексы 146
Лагранжиан 24
Лазер 385
Ламинарное течение 54
Лантаноиды 376
Легирование 432
Легкого намагничивания направле-
ние 276
Лептон 409
Линейная независимость функций
78
— комбинация функций 78
Линза 3'10
— тонкая 312
— , фокусное расстояние 313
—, формула 313
Линии тока 56
Ловушки магнитные 258
Лупа 317
Луч 188
— параксиальный 307
547
Лучепреломление двойное 354, 355
Лучи каналовые 256
— катодные 256
— рентгеновские 347
Люкс 296
Люмен 295
Люминесценция 294
Лэмбовский сдвиг 379
Магические числа 393
Магнетик 267
Магнетон Бора 93, 266
— ядерный 93, 266
Магнетосопротивление 440
Магнитострикция 275
Магнон 274
Мазер 385
Майкельсона опыт 62
Масса 17
— критическая 402
— приведенная 30, 433
— релятивистская 68
---, зависимость от скорости 68
— эффективная 431
Математическое ожидание наблю-
даемой 80
Матричный элемент 87
Маятник 174
— математический 179
— пружинный 181
— физический 180
— , приведенная длина 180
Мезон 412
Мениск 153
Металл 429
— нормальный 434
Метод исследования статистиче-
ский 97
---термодинамический 116
Механика 11
— квантовая 11, 74
— классическая 11
— небесная 30
— релятивистская 11, 62
Микроскоп 318
Мировая линия 65
— точка 64
Мишень 397
Мпимая единица 450
Мнимое число 450
Модуляция колебаний 177
— электромагнитных волн 219
Модель ядра капельная 392
--- коллективная 393
--- оболочечная 393
---объединенная 393
Модуль всестороннего сжатия 43
— сдвига 41
— упругости 41
— Юнга 41 ♦
Модуляция колебаний 177
Молекула 96
Молния 256
Моль 97
Момент дипольный 227
---электрона в атоме 383
— импульса 21
--- орбитальный 86
— инерции 28
— квадрупольный 230
---ядра 391
— магнитный 265
— силы 21
Моноклинная решетка 162
Монокристалл 161
Монополь Дирака 267
Мощность 19
— дозы излучения 405
— экспозиционной дозы излучения
405
Мультиполь 229
Мюон 409
Наблюдаемая величина 76
---, среднее значение 80
Нагреватель 127
Надбарьерное отражение 89
Накачка 386
Наклонная плоскость 36
Намагниченность 268
— спонтанная 273
548
Напряжение касательное упругое
41
— линейное 291
— нормальное (упругое) 41
— пробоя 255
— фазное 291
Начало термодинамики второе 127
•--первое 122
---третье 132
Нейтрино мюонное 409
—таулептонное 409
— электронное 409
Нейтрон 390
Некогерентность 322
Неподвижный блок 37
Николя призма 355, 358
Нормировка волновой функции 84
Нуклид 391
Нуклон 391
Нутация 34
Обертон 206
Обменный интеграл 273, 377
Обобщенные импульсы 25
— координаты 24
— скорости 24
Обратная связь 187
Объем когерентности 324
— молярный 100
— фазовый 106, 170
Одновременность 64
Однородность времени 21
—пространства 21
Окуляр 318
Оператор 77
Оператора собственная функция 78
— собственное значение 78
Оператор импульса 79
---в магнитном поле 92
— координаты 79
— момента импульса 85
— энергии 80
Определенный интеграл от функ-
ции многих переменных 448
Оптика 294
— геометрическая 298, 305
— линейная 299
— нелинейная 369
— физическая 321
Оптические оси 306, 311
Оптический центр линзы 310
Орбита небесных тел 31
Освещенность 296
Осциллятор 175
Ось вращения 12
— свободная 34
Отражение диффузное 299
— зеркальное 299
«Очарование» 414
Пар 113
— насыщенный 113
Парабола 30
Параллельное соединение 232
Парамагнетизм 269
— Паули 270
Параметр удержания 404
Пара Купера 443
— сил 35
Параметры системы термодинами-
ческие 99
— состояния 99
Парообразование 113
Переходные металлы 377
Переходные элементы 376
Переход вынужденный 384
— фазовый первого рода 142
---второго рода 142, 145
Перигей 31
Перигелий 31
Период полураспада химических
элементов 173
— таблицы 376
Пироэлектрик 243
Плавление 152
Плазма 257
Плазмон 258
Планка постоянная 11
— формула 368
Пластинка зонная 341
— Люммера — Герке 337
— плоскопараллельная 303
549
Плоский конденсатор 232
Плоскость главная одноосного
кристалла 355
—- поляризации 214
— сдвига 42
— скольжения 46
Плотность вероятности значений
наблюдаемой 80
— дислокаций 47
— потока вероятности 80
— состояний 90, 436
— среды 53
— энергии 114
Поверхность изоэпергетическая 83
— эквипотенциальная 225
— Ферми 435
Поглощение волн 197
— света 365
Подвижность 252, 432
Подвижный блок 37
Подгруппа таблицы химических
элементов 376
— электронов в атоме 375
Подрешетка магнитная 273
Позитрон 95
Показатель адиабаты 124, 125
— преломления 300
Ползучесть 50
Полигонизация 52
Полный набор коммутирующих
операторов 82
Поле вихревое 262
— гравитационное, напряженность
29
— калибровочное 408
— квантовое 408
— магнитное 258
---вихревое 262
--- критическое 444
— потенциальное 19
— размагничивания 272
— силовое 17
— центральное 85
— электрическое 221
— электромагнитное 282
— эффективное 237
Поликристалл 42
Полиномы Лежандра присоединен-
ные 86
Полиномы Эрмита 85
Постоянная Больцмана 100
— Верде 360
— Вина 367
— времени цепи 279
— газовая универсальная 108
— гравитационная 28
— Керра 358
— магнитная 261
— Ридберга 375
— Стефана — Больцмана 367
— тонкой структуры 375
— Фарадея 253
— Холла 439
— электрическая 221
— эмиссионная 441
Постулаты специальной теории от-»
носительности 64
Потенциал 19
— векторный 285
— электрохимический 253
---абсолютный нормальный 253
— четырехмерный 285
— гравитационный 29
— термодинамический 137
— химический 137, 144
— электрического поля 223
Потенциальный ящик 84
Поток излучения (световой) 295
— магнитной индукции 264
— электрической индукции 226
— энергии 196
Правила Кирхгофа 247
---для магнитной цепи 276
— отбора 384
Правило буравчика 261, 262
— Дюлонга— Пти 421
— левой руки 259, 260
Полное отражение 301
---, предельный угол 301
Полуметалл 431
Полупроводник 430
550
• — вырожденный 433
— легированный 432
— много долинный 431
— собственный 432
Полутень 298
Полуширина линии 335
Поляризатор 352
Поляризация колебаний 202
— света 352
*----круговая 353
линейная (плоская) 202
• эллиптическая 203, 353
Поляризуемость 236
— дифференциальная 242
Полярные координаты 449
Поляроиды 352
Полярон 433
Порог генерации 385
•----в жидкости 154
— интерференционного максимума
195, 329
Последовательное соединение 232
Правило Ленца 277
— Максвелла 262
— правой руки 278
— Стокса 382
— фаз Гиббса 142
Предел пропорциональности 41
— прочности 44
— текучести 43
-----условный 43, 51
— упругости 43
Преобразования Галилея 15
— Лоренца 65
Прецессия 34
— Лармора 269
Призма 302
Примесь внедрения 45
— замещения 45
Принцип комбинационный 379
— относительности Галилея 18
— Гюйгенга 197
— Гюйгенса — Френеля 197, 339
‘— недостижимости абсолютного
нуля температуры 133
— относительности Эйнштейна 64
— Паули 87, 429
— соответствия 11
— суперпозиции 222
----волн 299
— Ферма 303
Пробег частицы 405
Проводимость 245
Проводимость металла 436
Проводник 220
Произведение операторов 77
Проницаемость диэлектрическая
236
— магнитная 268
Пространство изображений 306
— предметов 306
Простой механизм 36
Пространственное квантование 86
Протон 390
Протонная радиоактивность 394,
396
Процесс диссипативный 59
— идеального газа адиабатический
123, 124
(------изобарический (изобарный)
109
-------изотермический 109
-------изохорический НО
— термодинамический 117
----адиабатический 123
----изобарический 109
----изотермический 109
----изохорический 110
----необратимый 130
----неравновесный 116
----обратимый 127
----равновесный 116
----циклический (круговой) 125
Пси-функция 79
Пульсар 396
Путь 13
Пучность стоячей волны 193
Пучок лучей астигматический 305
----гомоцентрический 305
----параксиальный 307
Пьезоэлектрик 243
Пьезоэффект 243
551
Работа 19
— выхода 75, 437
Равновесие твердого тела 36
Радиационный захват 399
Радиоактивность 393
— естественная 394
— искусственная 394
— наведенная 400
Радиоактивные семейства 396
Радиус боровский 375
Радиус-вектор 12
Радиус взаимодействия 408
— экранирования дебаевский 257
Радужная оболочка 316
Разность потенциалов контактная
440
— хода 194
---- оптическая 328
Разрушение 52
Разряд газовый 256
Распад сплава 425
Рассеяние 90, 197
— неупругое 91
— резонансное 382
— света 382
----комбинационное 382
— — молекулярное 382
----рэлеевское 364, 365
— упругое 91
Рассеяния амплитуда 91
— канал 92
— сечение дифференциальное эф-
фективное 91
полное эффективное 91
Расстояние межплоскостное в кри-
сталле 347 i
— ясного зрения 316
Раствор твердый 424
Реверберация 206
Редкоземельные элементы 376
Редукция волновой функции 80
Резонанс акустический 210
— механический 184
— напряжений 290
— параметрический 187
— токов 291
— электронный парамагнитный '388
— ядерный магнитный 388
Резонаторы 210
Рекомбинация 251
Рекристаллизация 51
Реология 44
Решетка дифракционная 344
— кристаллическая 161, 347
— кубическая 163
— , период 161
— ромбическая 162
— ромбоэдрическая 162
— триклинная 162
Рефлектор 319
Рефрактор 319
Роговица 316
Рычаг второго рода 37
— первого — 37
Сателлиты 382
Сверхпроводимость 442
Сверхтекучесть 159
Сверхтонкое расщепление 379
Свет 321
Свет видимый 321
— естественный 352
— линейно поляризованный 353
— поляризованный частично 352
— неполяризованный 352
Светимость 297
Световой вектор 294
Связи 23
Связь массы с энергией 67
Сдвиг 41
— фаз 286
• —чистый 41
Сечение реакции 399
Сжатие относительное поперечное
41 ,
Сила 17
— аэродинамическая 55 i
— диссипативная 59
— звука 205
— инерции центробежная 40
— Кориолиса 40
— магнитодвижущая 276
552
— оптическая 308
— подъемная 55
— равнодействующая 35
— разрешающая 346
— реакции связи 23
— света 296
— тока 244
— центростремительная 27
— электродвижущая 246
Силы гироскопические 40
— инерции 38
— обменные 273, 377
— сторонние 246
— ядерные 392
Симметрии спонтанное нарушение
409
Симметричный волчок 34
Симметрия унитарная 412
— явления 21
Синхротронное излучение 389
Система единиц 451
---международная (СИ) 451
— замкнутая 21
— критическая 401
— надкритическая 401
— неконсервативная 59
— отсчета 12
вращающаяся 38
инерциальная 17
неинерциальная 38
— подкритическая 401
Скачок фазы при отражении 329
Скин-эффект 292
Скорость 13
— вторая космическая 32
— групповая 188, 199
— звука 204
Скорость молекул газа наиболее
вероятная 102
------средняя арифметическая
102
---------квадратичная 100
— первая космическая 15
— секториальная 31
— света 304
— третья космическая 32
— угловая 16
— фазовая 188, 189
Слой электронный 375
Сложение скоростей релятивист-
ское 64
— гармонических колебаний 176
-------взаимно перпендикуляр-
ных 178
-------ОдНОГО направления 177
Смещение 40
Собственная длина 62
Собственное время 67
Сокращение лоренцово 68
Солитоны 201
Соотношение Видемана — Франца
437
— Кельвина (Томсона) 438
— неопределенностей 76
— Эйнштейна 442
Сопротивление магнитное удельное
276
— электрическое 245
--- активное 287
---волновое 213
---емкостное 288
— индуктивное 289
— индуктивное полное 290
---реактивное 287
Сопряженные точки 306
Составное ядро 399
Состояние вещества критическое
ИЗ
— возбужденное 82
— основное 82
— собственное 82
— стационарное 82
— равновесное 99
Спектр акустический 206
— атома водорода 378
— волны 199
— дифракционный (порядок) 345
— значений наблюдаемых 77
— излучения атомный 378
— квазинепрерывный 429
— колебания 177
— оператора 78
553
---дискретный 78
---непрерывный 78
— поглощения атомный 378
—частот колебаний 177
— энергетический 81
---эквидистантный 85
Спектральные серии 378
Спин 86
— слабый изотопический 410
Спиновое стекло 274
Спираль Корню 342
Сплав 424
Спонтанное деление 396
Спонтанный переход 384
Стандартное линейное тело 44
Статика 12, 35
Статистика Больцмана 106
— квантовая 170
---Бозе — Эйнштейна 172
---Ферми — Дирака 171
Статистические закономерности 76
Степени свободы 23
Стерадиан 452
Странность 413
Сублимация 148
Супермультиплеты адронов 413
Сферические координаты 448
Таулептон 409
Твэл 403
Телескоп 319
Тело 11
— абсолютно твердое 12
---черное 366
— рабочее 126
— твердое амфорное 152, 153
---кристаллическое 161
Тембр 207
Температура 98, 117
— абсолютная 118
Температура кипения 148, 149
— Кюри 274
— Нееля 274
— отрицательная 385
— перехода 442
* — плавления 152
— спиновая 388
~ характеристическая Дебая 420
Тензор поляризуемости 236
Теорема Иришоу 223
— Остроградского — Гаусса 226,
264
Теория атома Бора 75
— кинетическая газов 98
— металлов Зоммерфельда 436
— относительности общая И, 29
---специальная 62
— строения вещества молекулярн
но-кинетическая 96
— ферми-жидкости 436
Теплоемкость 120
— идеальных газов 123
— металлов 436
— молярная 120
— твердых тел 120, 421
— удельная 121
Теплообмен 119
Теплота 119
— кристаллизации удельная 152
— парообразования удельная 149
— плавления 152
— фазового перехода 142, 143
Терм 375
— водородоподобного иона 375
— двухатомной молекулы 381
— многоэлектронного атома 379
Термодинамика 116
Термо-ЭДС 438
Термоядерная энергетика 403
Термоядерные реакции 400
Термоядерный цикл водородный
400
----углеродный 401
Тетрагональная решетка 162
Тлеющий разряд 255
Тождественность квантовых си-
стем 77
Ток электрический 243
---переменный 286
---, плотность 244
--- постоянный 243
---, работа 250
554
--трёхфазный 293
Токи вихревые 278
— индукционные 277
— квазистационарные 249
— линейные 293
— смещения 283
— фазовые 293
— Фуко 278
Тонкая структура линий 375
Тон музыкальный 206
Точка критическая 114, 141
— материальная 17
— тройная 141
Траектория 12
— неустойчивая 26
— фазовая 26
Трансурановые элементы 396
Трансформатор 291
Трение 59
— покоя 60
Трёхуровневая схема 386
Трещины 48
Тритий 394
Турбулентное течение 54
Турбулентность 60
Угол апертурный 318
— дифракции 345
— отражения 192, 299
— падения 192, 299, 347
— предельный 301
— преломления 192, 300
— трения 60
Удар абсолютно неупругий 22
--упругий 22
— звуковой 208
— прямой центральной 22
Узел стоячей волпы 193
Ультразвук 207
Упорядочение сплава 424
Упрочнение деформационное 48
— термическое 48
Уравнение Бернулли 56
— Ван-дер-Ваальса 111
— волновое 189
— волны плоской 189
---сферической 191
---упругой 189
— движения ракеты 22
— динамики основное 18
- -Дирака 94
— кинетической теории газов 99
— Клапейрона — Клаузиуса 143
— Клапейрона — Менделеева 108
— Клаузиуса — Моссотти 237
— Лауэ 347
— Мещерского 23
— состояния идеального газа 108
— Шредингера 81
---временное 81
--- релятивистское 94
— Эйлера 54
Уравнения Гамильтона 25
— Лангранжа — Гельмгольца 309
— Максвелла 282
--- материальные 284
Ускорение 13
- -- вращательное 17
— осестремительное 17
— свободного падения 15
— тангенциальное 16
— угловое 16
— центростремительное 16
Условие фазового синхронизма 371
— Брэгга — Вульфа 348
Уширение спектральных линий 383
Фаза (в термодинамике) 140
— волны 193, 194
— колебаний 175
Фазовая пластинка в четверть дли-
ны волны 356
Фазовое пространство 26
Фазовый множитель 81
Фактор Ланде 266, 388
Фермион 87
Ферримагнетик 274
Ферродисторсионные вещества 240
Ферромагнетизм 273
Ферромагнетик 273
— жесткий 275
— мягкий 275
555
Ферроэластик 240
Фигуры Лиссажу 178
Флуктуации 133—136
Флуоресценция 382
Ф люксон д 446
Ф люксон 446
Флюэнс 405
Фокус 308, 311
— главный 311
Фонон 44, 417
Формула барометрическая 104
— Блоха 274
— Блоха — Грюиайзепа 436
— Грюиайзепа 422
— Друде 359, 432
— Кюри — Вейсса 242, 274
— Л а иже вен а 270
— линзы 313
— Ричардсона — Дэш мана 441
— Рэлея 200
— Рэлея — Джинса 267
— сферического зеркала 308
— Томсона 438
— Циолковского 23
Формулы Эйри 334
Фосфоресценция 295
Фотоаппарат 314
Фотообъектив 315
Фотометр визуальный 297
— объективный 297
Фотон 216
Фотопроводимость 431
Фотоэффект 74
— внешний 74, 441
Фронт волны 188
Функция Бриллюэна 270
— Гамильтона 25
— Лагранжа — Гельмгольца 24
— локализованная 84
— состояния 121
Характеристика вольт-амперная
245
Холодильник 127
Хромодинамика квантовая 41М
Хрусталик 316
Цвета Ньютона 332
Центральная ямка 316
Центральное поле 85
Центр давления 55
— инерции 24
Центрированная оптическая систем
ма 306
Центр масс 24
— окраски 424
— тяжести 24
Цвета (заряды) 411
Цепь магнитная 276
Цикл в термодинамике 125
----обратный 126
----прямой 126
— Карно обратный 130
----прямой 128
Циклотронный резонанс 440
Цилиндрические координаты 448
Циркуляция магнитного поля 262
— электрического поля 282
Цуг волн 323
Частицы виртуальные 408
— элементарные 409
Частная производная 448
Частота 173
— волны 200, 321, 323
----циклическая (круговая) 189
— колебаний 173
----круговая 173
— резонансная 184
-- плазменная 258
— тока 286
— циклотронная 259
Четырехмерный интервал 64 !
Четность 414
Число (постоянная) АвогадрО 97
— заполнения 420
— Лоренца 437
— массовое 391
— Пуассона 42
— Рейнольдса 54, 60
556
Шейка 53
Ширина квазистационарного уров-
ня 90
Шумы 209
Щель энергетическая 429, 443
Эйлера углы 24
Эйнштейна приближение 421
Эквивалент химический 253
— электрохимический 253
Экранирование 257
Экситон 45, 433
Экстраток 278
Электрическое поле 220
---вихревое 278
•--, напряженность 221
Электрод 254
Электродинамика 220
— квантовая 95, 216
Электролиз 251
Электролит 251
Электрон 409
Электронная лавина 255
Электронно-дырочные переходы
434
Электропроводность 245
— удельная 245
— электролита 245
Элемент гальванический 253
— реактивный 287
Эллипс 30
Эмиссия электронная вторичная
255
---, термоэлектронная 256
*--холодная 441
Энергия активации 424
— внутренняя 119, 137
— Гейзенберга 273
— ионизации 251
— кинетическая 19
— магнитного поля, плотность 269
— потенциальная 20
— связи ядра 391
— свободная 131
— тока собственная 281
— Ферми 435
— электрического поля, плотность
234
— ядерной реакции 400
Энтропия 130
Эффект Вавилова — Черепкова 390
— гироскопический 34
— де Хааза — ван Альфена 440
— Доплера 203
— — в акустике 210
— Зеебека 438
— Зеемана 387
— Керра 357
— Комптона 382
— Кондо 424
— Мейсснера 444
— Мёссбауэра 425
— Пашена — Бака 388
— Пельтье 438
— Томсона 438
— туннельный 89
— Холла 439
— Штарка 387
— Шубникова — де Хааза 441
Эффекты Джозефсона 446
Ядерные изомеры 392
Ядерные реакции 394, 397
---деления 397
------ — спонтанные 396
---прямые 399
---синтеза 400
---срыва 399
---фотоядерные 399
---цепные 401
•--экзотермические 400
---эндотермические 400
Ядерпый реактор 401
---бридер 402
Ядро дислокации 47
Яркость 297
Ячейка Керра 358
ИЛЬЯ МАРКУСОВИЧ ДУБРОВСКИЙ
БОРИС ВЛАДИСЛАВОВИЧ ЕГОРОВ
КАРЛ ПЕТРОВИЧ РЯБОШАПКА
СПРАВОЧНИК ПО ФИЗИКЕ
Печатается по постановлению ученого совета
Института металлофизики АН УССР и решению
редакционной коллегии справочной литературы
АН УССР
Редактор А. С. Слыщенко
Оформление художника В. Г. Самсонова
Художественный редактор Л. В. Косяк
Технический редактор Г. Р. Боднер
Корректоры С. А. Евецкая,
Э. Я. Белокопы това?
Т. Я. Чорная, Л, М. Тищенко
ИБ № 6514
Сдано в набор 05.11.85. Поди, в печ. 29.05.86.
БФ 00212. Формат 81X108/32. Бум. тип. Ха 3.
Лит. гарн. Выс. печ. Усл. печ. л .29,4. Усл.
кр.-отт. 29,72. Уч.-изд. л. 40,76. Тираж 55 500 экз»
Заказ 5-1472. Цена 2 р. 20 к.
Издательство «Наукова думка».
252601 Киев 4, ул. Репина, 3.
Книжная фабрика им. М. В. Фрунзе. 310057
Харьков 57, ул. Донец-Захаржевского, 6/8.
В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «НАУКОВА ДУМКА»
В 1987 ГОДУ ВЫЙДУТ В СВЕТ КНИГИ:
Гороновский И. Т., Назаренко Ю, П.,
Н е к р я ч Е. Ф. Краткий справочник по химии. 5-е иерераб.
И доп. изд — 50 л .— 2 р. 90 к.
Приведены физико-химические характеристики неорга-
нических и органических веществ, сведения по номенкла-
туре химических соединений, лабораторной технике,, хими-
ческому анализу и ряду других вопросов, представляющих
интерес для химиков различных специальностей и квали-
фикации.
В соответствии с современными требованиями уточне-
ны номенклатура химических соединений и обозначение
единиц физических и химических величин. Дополнены
и переработаны разделы: «Химические элементы и изотопы»,
«Простые вещества и неорганические соединения», «Газы»,
«Твердые вещества и жидкости», «Вода», «Растворы».
Для широкого круга работников химических специаль-
ностей, производственных и научно-исследовательских лабо-
раторий, преподавателей вузов, студентов, учащихся тех-
никумов.
Те решу к Р. М., Те ре щук К. М., Седов С. А.
Полупроводниковые приемно-усилительные устройства:
Справочник радиолюбителя.—2-е изд., перераб. и доп.—
55 л.—4 р. 20 к.
Приведены основные сведения об усилительной и ра-
диоприемной аппаратуре на полупроводниковых приборах
и интегральных микросхемах. Даны характеристики электро-
и радиоматериалов, радиодеталей и намоточных узлов,
полупроводниковых приборов и микросхем, громкоговори-
телей и телефонов, источников питания, а также принципы
построения стерео- и квадрафонических систем звуковос-
произведения и практические схемы приемно-усилительных
устройств.
Для широкого круга радиолюбителей, инженеров и тех-
ников, работающих в области приемно-усилительной тех-
ники.
Предварительные заказы па эти книги принимают все
магазины книготоргов, магазины «Книга — почтой» и «Ака-
демкнига». Просим пользоваться услугами магазинов —
опорных пунктов издательства: Дома книги — магазина
№ 200 (340048 Донецк 48, ул. Артема, 147а), магазина
«Книжковий cbJt» (310003 Харьков 3, пл. Советской Укра-
ины, 2/2), магазина научно-технической книги № 19 (290006
Львов 6, пл. Рынок, 10), магазина «Техническая книга»
(270001 Одесса 1, ул. Ленина, 17) и магазина издатель-
ства «Наукова думка» (252001 Диев 1, ул. Кирова, 4).
Магазины во Львове и Киеве высылают книги иного-
родним заказчикам наложенным платежом.
1 II III IV V VI VII VIII ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ Д. И. МЕНДЕЛЕЕВА
1 н i ВОДОРОД 1 0079 2 ,s2 He 2 ГЕЛИЙ*'"6’ 1
2 Li . 3 6.94 2S ЛИТИЙ 2 Be , 4 9,01216 2s БЕРИЛЛИЙ 2 5 , , в 2S72p‘ 10.81 2 БОР 6 - 4 C 2s‘2p2 12.011 2 УГЛЕРОД 7 2 N 2s 2p3 14.0067 5 2 АЗОТ 8 0 2s?2p4 15.9994 2 КИСЛОРОД 9 F 2s22p 5 18.99840 2 ФТОР '° Ne 2$г2р6 20.179 2 НЕОН 2
3 Na " 2298977 3s' 1 НАТРИЙ 2 Mg 24.305 3s2 2 МАГНИЙ 2 13 Al 3 чр’ 2 АЛЮМИНИЙ 14 Si 4 3s23p2 28-086 2 КРЕМНИЙ 15 p 5 3s23p3 3fl'97376 2 ФОСФОР 16 s 6 35?3p 4 32 06 2 СЕРА 17 Cl 7 3s23p5 3*<53 2 ХЛОР 18 Ar 0 3s23p* 8 2 АРГОН 3
4 К 19 350,1 4s, I КАЛИЙ 2 Ca 40,08 4s2' 7 КАЛЬЦИЙ 2 Sc 2> 3d'is’ 9 СКАНДИЙ 2 Ti 22 4'-’° 3d2 4 s’ j ТИТАН 2 У 23 50.9414 з г 2 3d 4s2 и ВГАДИЙ _ 2 Cr 24 3d’Is' . A HOM Mu 54.9380 , 5 ? 2 3d 4s 13 МАРГАНЕЦ 2 Fe 26 3d‘4S’ ,24 ЖЕЛЕЗО 2 Со 6,"3г 3d’4s2 !52 КОБАЛЬТ 2 Ni 28 58.7 0 , 2 2 3d 4s7 16 НИКЕЛЬ 2
29 Cu ,i S3i“ 8 2 МЕДЬ 39 Zn 2 2 65,38 18 .Id 4s 2 ЦИНК 31 Ga 10 ds’dp1 И,! 2 ГАЛЛИЙ 32 Ge 10 4s’4p2 ”•» 8 2 ГЕРМАНИИ 33 A s ,f 4S’4P> 2 МЫШЬЯК 34 Se i u’dp* ' СЕЛЕН 35 Br 1 4 = V '9"‘ 2 БРОМ 36 Kf if AsV ,3'° 8 2 КРИПТОН 4
5 Rb 32 ,5«” ’ 5s' f РУБИДИЙ 2 5г 38 87.62 о >f СТРОНЦИЙ 2 у 39 88,9059 , , I ^'5s2 ’ ИТТРИЙ 2 Zr 49 9122 2 4d25s2 |8 ЦИРКОНИЙ 2 Nb 4‘ 92.9064 . ' 4d 5s' g НИОБИЙ 2 Mo 42 «’«s’ li МОЛИБДЕН 2 Tc 43 9U062 . , ,2 4ds-,s2 ]3 ТЕХНЕЦИЙ 2 Ru 44 W'.ll ' 4d 5s' || РУТЕНИЙ 2 R 102. h 43 4d'5s' * РОДИЙ 2 pd 46 106.4 0 4d'°'ic0 ’ 18 •id js |8 ПАЛЛАДИЙ 2
47 Ag 18 4d,o51, 2 СЕРЕБРО 48 Cd , ”241 4d °5s2 2 КАДМИЙ 49 In 1? 2 ИНДИЙ 59 Sn 18 "1H 18 3S ;,P 2 ОЛОВО 5 Sb 18 2 3 ’«.75 18 5s 5P 8 2 СУРЬМА “ Те 1Я , 127,60 g “V ’ ТЕЛЛУР 53 1 if -2^P’ ”‘"‘S 8 2 ИОД 34 Xe ,f - 2. 6 l3'.3« [8 3S up 2 КСЕНОН 5
6 Cs 55 132,9054 2 6s' 18 18, ЦЕЗИЙ 2 Ba шл i tis2 18 18 БАРИЙ 2 La * 57 138.9055 ? 5d' (is2 |8 18 ЛАНТАН 2 Hf 5d26S2 iS 18 ГАФНИЙ 2 Ta 73 180,9479 || 5d36s2 32 18 ТАНТАЛ 2 W 74 33,15 |2 5d4t.s7 32 18 ВОЛЬФРАМ 2 Re 78 186.207 |3 3d5 (is2 32 18 РЕНИЙ 2 Os 79 H0.2 li 5d (is2 32 18 ОСМИЙ 2 1г 77 192.22 5 d 6 s7 32 18 ИРИДИЙ 2 Pt 78 195.09 I? 5 d * ti s1 32 18 ПЛАТИНА 2
79 Au I» 196,9665 32 5d'°Cs’ 18 2 ЗОЛОТО 80 Hg 18 ,„ , 32 ad bs 18 2 РТУТЬ 81 Tl 18 204.37 32 Cs’tip* 18 f ТАЛЛИЙ 82 Pb li 2®7-2 32 6‘s?ep’ 18 1 СВИНЕЦ 88 Bi 5 208.9804 32 fis26p3 18 2 ВИСМУТ 84 Po II , . I’M. 32 6l?Cp 18 2 ПОЛОНИЙ 88 At 18 , , 131») 32 ti S 2 1i p ' 18 2 АСТАТ 89 Rn '» 2,. 2 32 bs'bp 18 2 РАДОН 6 Символ Атомный
элемента Атомная " масса элемента - и 92 ,238.029 2 । , 21 5f36d 7s2 32 \ 18 — УРАН \ 2 номер - Распределение электронов по уровням
1 Fr 8; (223) 8 7si 18 7S 32 18 ФРАНЦИЙ 2 Ra 226,0254 8 -„2 18 * s 32 18 РАДИЙ 2 Ac** i (227/ 9 6d’7s2 18 18 АКТИНИЙ 2 Ku '2S" 2 2 32 6d27s2 18 КУРЧАТОВИЙ 2 Ns 195 2 126,1 6d27s2 32 18 НИЛЬСБОРИЙ 2 E-V 106. 1313 E-Re 197 12611 Нззванир
\ Распределение электронов no застраивающимся подуровням
4t'5d76s2 19 ЦЕРИЙ 2 Pr 59 140.9077 4|’б42 * ПРАЗЕОДИМ ° Nd 99 144.24 2 4f46s2 22 ' 18 НЕОДИМ 2 Pni 91 11451 | 4t^s’ 23 ПРОМЕТИЙ 2 Sm 62 150,4 2 •If6 (is2 24 r 18 САМАРИЙ 2 Eu 93 151.96 2 4f'6s2 25 ЕВРОПИЙ 2 Gd 94 157.25 . 9 4f 7 5d'6s2 25 ГАДОЛИНИЙ 2 Tb 98 151,1» 2 J'6S2 27 18 П1ЙЙ 2 Dy 99 167.50 I 4 f10 ti s2 28 1 18 ДИСПРОЗИЙ 2 Ho 97 164.9304 g 4f"tis2 29 f 18 ГОЛЬМИЙ 2 Er 68 167.26 2 4f'26s2 30 r 18 8 ЭРБНИ 2 Tm 99 168.9342 2 4 f13 tis2 31 1 18 ТУЛИЙ 2 Yb 70 173.04 2 4f'46s2 32 r 18 ИТТЕРБИЙ 2 Lu Я 174.967 ЧЙ «fVcs2 32 ЛЮТЕЦИЙ 2
**A H T И H Oil Ы
Th 99 232,0381 |0 6d27s2 if 18 ТОРИЙ 2 Ра 9'2 231.0359 9 ? з । 7 20 5f? (>d 7$2 32 18 ПРОТАКТИНИЙ 2 и 92 238,029 9 5f3 6d17s2 32 18 УРАН 2 Np 93 237.0482 9 4 1 2 22 5f 6d 7s 32 18 НЕПТУНИЙ 2 Pu 94 I244| 8 6 , 2 24 5f 7s7 32 18 ПЛУТОНИЙ 2 Ain 9f 17431 $ , , 2 25 5f 7s 32 18 АМЕРИЦИЙ 2 Cm 9* (247) 9 r 7^*7 2 25 5f bd 7s7 32 18 КЮРИЙ 2 Bk 97 (247 9 S/Gd' 7s2 32 18 БЕМНЙ 2 Cf (251) 8 r io— 2 28 5f / s 32 18 КАЛИФОРНИЙ 2 Es 99 (254) I - (l - 2 29 ;>t" xs2 32 18 ЭЙНШТЕЙНИЙ 2 Fm 199 IW 8 _ 12 - 2 30 3f /s 32 18 ФЕРМИЙ 2 Md (258) 8 . 0-2 31 ;»f /s 32 18 МЕНДЕЛЕВИЙ 2 (No) 102 (255) 8 P и. 2 32 5f /s 32 •18 (НОБЕЛИЙ) 2 (Lr) 193 |!Л , , 32 Jf (id 7s 32 18 8 (ЛОУРЕНСИИ) 2