/
Author: Кедринский В.К.
Tags: движение жидкостей гидродинамика механика физика гидромеханика взрывчатые вещества взрывные работы
ISBN: 5-7692-0022-7
Year: 2000
Text
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК · СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ имени М. А. ЛАВРЕНТЬЕВА
Валерий Кириллович Кедринский
ГИДРОДИНАМИКА ВЗРЫВА
ЭКСПЕРИМЕНТ И МОДЕЛИ
Научное издание
НОВОСИБИРСК
ИЗДАТЕЛЬСТВО СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РАН
2000
УДК 532.5.013.2+532.5.031 + 532.539+532.528+532.529+534.222
ББК 22.223.31
К 33
Кедринский В. К.
Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели. — Новосибирск:
Издательство СО РАН, 2000. — 435 с.
ISBN 5-7692-0022-7
В книге представлены результаты исследований ряда проблем
подводного взрыва, включая детальный анализ структуры и
параметров волнового поля шнуровых и спиральных зарядов, описание
механизмов формирования широкого спектра кумулятивных течений
при малозаглубленных подводных взрывах и их математических
моделей. Анализируются особенности трансформации ударных волн в
пузырьковых средах, их усиление при столкновении и фокусировке,
проблемы формирования волн пузырьковой детонации в химически
активных системах. Особое внимание уделяется новому
направлению «Волновые процессы в кавитирующей жидкости»,
объединяющему такие понятия, как прочность реальных сред, содержащих
естественные микронеоднородности, релаксация растягивающих
напряжений и кавитационное разрушение жидкости, как процесс
инверсии ее двухфазного состояния при импульсном (взрывном) нагру-
жении.
Упомянутые проблемы составляют класс существенно
нелинейных нестационарных процессов, развивающихся в жидкости при ее
ударно-волновом нагружении, и могут представить интерес для
широкого круга исследователей в области физической акустики,
механики многофазных сред, ударно-волновых процессов в
конденсированных средах, взрывной гидроакустики и кумуляции.
Рецензенты
академик РАН В. Е. Накоряков,
чл.-корр. РАН В. П. Коробейников, профессор Б. Д. Христофоров
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (издательский проект 97-02-30015).
ISBN 5-7692-0022-7
© Институт гидродинамики СО РАН, 2000
© Издательство СО РАН, 2000
Памяти академика
Μ. А. Лаврентьева посвящается
ВВЕДЕНИЕ
Гидродинамика взрыва как наука о течении жидкости при
ударно-волновом нагружении получила широкое развитие в
последнее столетие. Прежде всего это направление связано с
исследованиями подводного взрыва, взрыва в грунтах и кумуляции, с
поведением металлов под действием продуктов детонации взрывчатых
веществ (ВВ), которые создают для среды экстремальные условия
в виде гигантских давлений, в сотни кбар, и температур,
достигающих нескольких тысяч градусов. Многие твердые среды при таких
условиях «забывают» о своих прочностных свойствах, жесткой
кристаллической структуре и предпочитают послушно следовать
классическим законам древней гидродинамики.
Хрестоматийным можно назвать пример с кумулятивным
зарядом, представляющим собой сплошной цилиндр из ВВ, имеющий
на торце коническую выемку (вершиной внутрь). Если поверхность
такой выемки покрыть металлической оболочкой, то заряд,
оказывается, приобретает мощные бронебойные свойства. Первый патент
на такую систему появился в 1914 году. Теория создается в 40-е годы
Биркгофом с коллегами и Лаврентьевым на основе идеи о
гидродинамической модели, использующей представление о кардинальном
изменении свойств среды при высоких импульсных нагрузках.
Согласно этому представлению, за фронтом детонационной волны,
инициированной с противоположного от конуса конца заряда и
набегающей на конус со стороны его вершины, металлическая оболочка
ведет себя как идеальная несжимаемая жидкость.
Под действием продуктов детонации оболочка схлопывается к
оси, ее стенки сталкиваются. В результате возникает течение в
виде струи, которая движется в направлении распространения
детонационной волны со скоростью ujet порядка 10 км/с. Теория
кумулятивного заряда рассматривается в рамках задачи о столкновении
4
Введение
свободных жидких струй. Причем эта модель оказывается
практически идентичной и для теории формирования кумулятивной струи,
и для теории пробивания. Последняя принимает во внимание, что
удар кумулятивной струи о броню в области торможения создает
давление p ~ 103 кбар, порядок которого легко оценить по формуле
p ~ ρmet · иjet · сmet, если известны плотность металла ρmet·,
скорость звука в нем cmet и скорость струи иjet. Проникание струи в
преграду описывается в рамках той же схемы струйного
взаимодействия только с обращенными скоростями. Сравнение полученных в
рамках этой модели результатов с данными экспериментов
подтверждает «гидродинамическое происхождение» этих эффектов.
Известно, что гидродинамическая кумуляция возникает и при
высокоскоростном (порядка километров в секунду) взаимодействии
ударника с металлическим образцом, на тыльной стороне которого
имеется кумулятивная выемка. Это результат взаимодействия
плоской ударной волны, возбуждаемой ударником в образце, со свободной
поверхностью выемки, точки которой получают различные
начальные скорости.
Аналогичные, только низкоскоростные течения наблюдаются в
жидкости, когда ее тяжесть играет основную роль: при падении
капли дождя на поверхность воды или при ударе о стол вертикально
падающей пробирки, наполненной водой (опыт Г. И. Покровского).
В первом случае полусферическая кумулятивная выемка на
поверхности создается при внедрении и растекании капли, во втором — она
существует изначально в виде мениска, как следствие капиллярного
эффекта и смачиваемости. После удара о стол жидкость в пробирке
«мгновенно» становится тяжелой, что приводит, как и в первом
случае с каплей, к кумулятивному затеканию выемки с формированием
струи.
Эти физические эффекты можно рассматривать как модели
формирования кумулятивных течений при крупномасштабных
подводных взрывах, когда веса зарядов превышают сотни килограмм,
а характерные размеры полости с продуктами взрыва достигают
десятков и сотен метров и тяжестью жидкости пренебречь уже
нельзя: перепад давления между верхней и нижней точками взрывной
полости, имеющий порядок ρliqgR (ρliq — плотность жидкости),
становится сравним с гидростатическим давлением.
Обычно, задачи о поведении различных сред при взрывном на-
гружении рассматриваются в так называемой импульсной
постановке. При этом вся среда первоначально рассматривается как идеаль-
Введение
5
ная несжимаемая жидкость, а ее течение считается потенциальным:
ν = Vy>. Тогда на основании закона сохранения импульса
при замене ν на φ несложно получить
Отсюда
где интеграл определяет значение потенциала на границе
исследуемой области, τ задает длительность действия взрывной нагрузки,
и, по сути, определяет начальное распределение φ. Этот параметр
вычисляется на основании данных по скорости звука в продуктах
детонации и по геометрическим характеристикам применяемого
заряда ВВ в каждом конкретном случае. Затем для известной области
решается уравнение Лапласа, находятся распределение потенциала
в ней и его градиенты, а значит и начальное распределение массовых
скоростей.
Рассмотренный подход является общим, а модель «слишком»
идеальной, чтобы применяться без каких-либо ограничений.
Последние, прежде всего, связаны с прочностными свойствами
рассматриваемой среды. Для облицовки кумулятивного заряда, например, эти
ограничения определяются очевидным условием превышения
кинетической энергии ее элементов ρu2/2 над динамическим пределом
текучести ее материала σ. Для задач внедрения,
высокоскоростного удара или контактного взрыва ситуация уже не такая простая:
объем мишени, как правило, велик, а указанное неравенство может
выполняться лишь в очень ограниченной зоне вблизи области
контакта.
Для решения такого рода проблем можно использовать
предложенную Лаврентьевым так называемую «жидко-твердую» модель,
суть которой чрезвычайно проста: вблизи заряда или зоны
контакта ударника, где величина массовой скорости больше некоторого
критического значения ν*, среда считается идеальной несжимаемой
жидкостью, во всей остальной области — абсолютно твердым телом.
Задача о крешере (деформации свинцового столбика под действием
6
Введение
взрыва накладного заряда) — наглядный пример возможности ис-
пользования этой модели в динамике, когда «фазовая» граница
меняется по мере потери частицами (в зоне контакта с твердым телом)
массовых скоростей и их «замораживания» в соответствии с
моделью.
Среди близких к гидродинамике взрыва задач можно назвать
взрывную магнитную кумуляцию (схлопывание проводящей
оболочки) и оригинальное решение проблемы пробивания при космических
скоростях (50-100 км/с), предложенное Лаврентьевым в конце 50-х
годов для определения размера воронки: потерянная телом при
ударе энергия переходит в тепло, и в зоне, где эта тепловая энергия
больше некоторого критического значения, твердое тело мгновенно
становится газом.
Наконец, остановимся на моделях, имеющих прямое отношение
к реальной жидкости. Своеобразным прообразом проблем
гидродинамики взрыва можно считать задачу Безанта (конец 19-го
столетия) о затекании пустой сферической полости, мгновенно
образованной в невесомой идеальной несжимаемой жидкости. Теперь
известно, что это хорошая модель одной из стадий пульсации полости
с продуктами детонации при подводном взрыве. Решение ее может
быть получено на основе закона сохранения энергии: изменение
потенциальной энергии жидкости равно приращению ее кинетической
энергии p0(V0 — V) = Tk. Здесь V = (4/3)πR3 — текущий объем
полости, а кинетическая энергия легко определяется из выражения
dTk = (v2/2)dm и имеет вид
Уравнение неразрывности dp/dt + ρ div v = 0 в случае несжимаемой
жидкости упрощается div ν = 0, откуда для произвольной
симметрии имеем dv/dr + vv/r = 0 и vry = f(t)· Из условия на границе
сферической яолости (v = 2) f{t) = R2(dR/dt). Тогда
Теперь из закона сохранения энергии легко получить
Введение
7
Нетрудно видеть, что при R — 0 скорость стенки полости dR/dt —
оо. Это типичный пример классической сферической кумуляции.
Заметим, что при этом кинетическая энергия жидкости, в целом,
стремится к своему пределу — начальной потенциальной энергии С/о·
Одна из интересных моделей гидродинамики взрыва — задача о
сильном точечном взрыве. Это классическая модель взрыва мощного
(например, ядерного) устройства, размером которого можно
пренебречь, а всю энергию считать выделившейся в точке (Л. И. Седов).
Здесь ограничимся случаем несжимаемой жидкости и отсутствием
противодавления, т. е. считаем, что при r — давление p — 0.
Определяющими параметрами задачи будут энергия взрыва Eq и
плотность жидкости ρ0. Из них и независимой переменной t можно
составить комбинацию, которая определит линейный размер полости
R как нижней границы области возмущения R = k(Е0/ρ0)1/5t2/5.
Видно, что течение автомодельно с показателем автомодельности
2/5. Считаем, что в нашей задаче вся энергия взрыва перешла в
кинетическую энергию жидкости (расширяющаяся полость пустая)
Подставляя выражения для радиуса и скорости взрывной
полости, несложно получить значение коэффициента k = (25/8π)1/5.
Интересно, что упомянутая выше задача Безанта тоже
оказывается автомодельной в окрестности точки фокусировки течения.
Причем течение жидкости вблизи точки R —> 0 оказывается
полностью идентичным эффекту сильного взрыва. Действительно,
положим, что в упомянутой окрестности R = ata. Подстановка этого
решения в уравнение Безанта показывает, что для удовлетворения
последнего, необходимо положить а = 2/5, а коэффициент а
должен иметь следующий вид: а = (25U0/8πρ0)1/5, где U0 — начальная
потенциальная энергия.
Гидродинамика взрыва богата интересными моделями,
парадоксами и часто их неожиданными аналогиями. Кажется, что общего
между разрушением днища корабля при подводном взрыве, кавита-
ционной эрозией и разрушением почечных камней в литотриптерных
установках? Ударно-волновое нагружение? Да, в какой-то степени,
но в главном — кумулятивные эффекты.
В 50-х годах исследовались предельные значения весов зарядов
ВВ W, требуемых для разрушения днища корабля при подводном
взрыве на различных расстояниях h от него. Естественно было ожи-
8
Введение
дать, что, начиная от контактного взрыва, по мере удаления от
днища вес должен увеличиваться. Однако в экспериментах был
зафиксирован неожиданный парадокс: начинал с некоторого расстояния h*
функция W(h) «выходит» на довольно продолжительную (в
интервале (2 – 3)h*) горизонтальную полочку. Таким образом,
расстояние увеличивалось, а разрушение достигалось без увеличения веса
ВВ. Обратило на себя внимание изменение характера разрушения:
вместо разрывов на большой площади зона разрушения была резко
локализована.
Механизм разрушения, как оказалось, определялся
воздействием высокоскоростной кумулятивной струи, формирующейся на
второй стадии подводного взрыва — захлопывании полости с
продуктами детонации после ее первого максимального расширения.
Близость твердой границы нарушает одномерность течения, даже
если в момент максимального расширения полость была
сферической. Частицы на дальней от стенки поверхности полости получают
большие скорости, т. е. возникает классический кумулятивный
эффект. Струя при этом направлена в сторону стенки и имеет скорость
порядка сотен метров в секунду.
Явление пузырьковой кавитации в жидкости известно давно.
Еще в начале XX века было обнаружено, что ее появление на
вращающихся гребных винтах сопровождается так называемой эрозией —
механическим повреждением поверхности. Многочисленные
исследования показали, что механизм повреждения определяется генерацией
ударных волн и ударом кумулятивных микроструек, возникающих в
результате захлопывания в зоне кавитации (пузырьковом кластере)
мельчайших пузырьков, расположенных вблизи поверхности.
Микроструктурный анализ образцов вибрационных тестов и модельных
экспериментов в системах «ударная волна — пузырек — образец»
показывает, что при высокоскоростном взаимодействии
микроструйки внедряются в образец на глубину, сопоставимую с их длиной, и
вызывают заметные локальные повреждения.
С развитием вблизи поверхности излучателей зоны
пузырьковой кавитации связывают и эффект ограничения (порог) мощности
гидроакустических систем.
В последние годы получили интенсивное развитие
исследования по фокусировке ударных волн в жидкости применительно к
проблемам литотрипсии (разрушению почечных камней). Одно из них
напрямую связано с анализом механизма разрушения камня в зоне
фокуса. На первый взгляд причина разрушения камня, размещае-
Введение
9
мого в одном из фокусов эллипса, довольно прозрачна:
сфокусированная волна преломляется в камень и в результате последующего
ее внутреннего отражения от границы раздела с акустически менее
жесткой средой (жидкостью) возникает волна разрежения,
«путешествие» которой по камню и приводит к его разрушению.
Считается, что наличие внешнего облака кавитационных пузырьков вокруг
камня подтверждает эту модель. На самом деле природа нагрузки,
приводящей к разрушению, может оказаться существенно сложнее.
Действительно, если проанализировать структуру сходящейся
к фокусу ударной волны, несложно заметить, что из-за
дифракционных эффектов на краях пьезоэлектрического преобразователя,
имеющего вид полуэллипсоида, положительная фаза давления за фронтом
ударной волны в ее «хвосте» переходит в фазу разрежения с весьма
заметной амплитудой и большой продолжительностью. Фокусировка
такой волны неизбежно должна привести к образованию в области
фокуса (и на поверхности камня, естественно) зоны пузырьковой
кавитации. С учетом того, что согласно опыту для разрушения
требуется серия таких ударных нагрузок, периодичность кавитационного
воздействия на объект может привести, например, к эрозийному
эффекту, описанному выше. Возникает вопрос, можно ли ожидать, что
и здесь в основе механизма разрушения лежит высокоскоростное
взаимодействие кумулятивных микроструек с мишенью.
Жидкость при взрывных нагрузках — все еще загадочная
стихия! И ее часто сложно «покорить», просто выписав полную
систему законов сохранения в виде дифференциальных уравнений и
замыкающих ее различного рода определяющих соотношений, путем
создания для их расчета уникальных программ и вычислительных
комплексов. Физические модели, включающие в себя все основные
элементы и признаки происходящих в жидкости процессов, должны
оставаться неизбежным атрибутом исследований. Иначе как
объяснить наличие гидродинамических свойств у металлов при
импульсном нагружении и, наоборот, проявление у воды свойств хрупкого
разрушения в интенсивных волнах разрежения, под действием
которых она рвется на фрагменты в виде плоских откольных слоев.
В исследованиях подводного взрыва условно можно выделить
следующие три блока основных проблем, которым в книге уделяется
основное внимание:
• ударные волны, уравнения состояния и динамика полости с
продуктами детонации (предполагается, что рассматриваемая среда
безгранична);
10
Введение
• поведение среды со свободными границами при взрывном на-
гружении, микронеоднородности в жидкости и растягивающие'на-
пряжения, инверсия двухфазного состояния среды и ее прочностные
свойства;
• высокоскоростные струйные течения при малозаглубленных
подводных взрывах, течение жидкости с неизвестными свободными
границами.
Все упомянутые направления исследований связаны прежде
всего с пониманием физики рассматриваемых явлений, поиском
управляющих ими механизмов, разработкой экспериментальных методов
и созданием математических моделей, наиболее адекватно
описывающих высокоскоростные процессы в жидких средах и динамику
структуры последних.
Очевидно, что и сами проблемы и их постановки, находки
решений часто возникают в результате общения с коллегами, среди
которых в первую очередь хотелось бы назвать Р. И. Солоухина, В. Е. На-
корякова, Р. И. Нигматуллина, Е. И. Шемякина, Б. Д. Христофоро-
ва, Kazujoshi Takayama, Leen van Wijngaarden, Charles Mader, Werner
Lauterborn, Brad Sturtevant, Larry Crum, сотрудников моей
лаборатории С. В. Стебновского, В. Т. Кузавова, С. В. Плаксина, Н. Н. Чер-
нобаева, А. С. Бесова, А. Р. Бернгардта, С. П. Таратуту, И. Г. Гетца,
а также Е. И. Пальчикова. Их вклад, а также результаты научного
сотрудничества последних лет с Ю. И. Шокиным, В. А. Вшивковым
и Г. И. Дудниковой трудно переоценить.
Автор признателен В. Е. Накорякову, В. П. Коробейникову и
Б. Д. Христофорову, просмотревшим рукопись и сделавшим ряд
ценных замечаний.
Появлением этой книги автор во многом обязан Льву
Васильевичу Овсянникову, его вниманию, постоянному интересу к
затронутым проблемам и, безусловно, Михаилу Алексеевичу Лаврентьеву, к
школе которого автор принадлежит. Интерес к рассмотренным здесь
задачам гидродинамики взрыва определялся и актуальностью
проблем, и кажущейся нелогичностью явлений, и притягательностью
предлагаемых Лаврентьевым моделей, которые, как правило,
оказывались тем фундаментом, на котором в итоге строилось
представление о явлении в целом.
Глава I
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ, НАЧАЛЬНЫЕ И
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
1. Уравнения состояния воды
Решения широкого спектра задач подводного взрыва, анализ
поведения сплошных сред в целом при импульсном нагружении
связаны, естественно, с возможностью использования различного рода
представлений об изменении их состояния при динамическом
сжатии, ударных переходах и разгрузке. Все эти определения
основываются на определенных термодинамических моделях и преследуют
цель по возможности точно описать состояние среды в широком
диапазоне температур и давлений.
Вследствие сложного характера зависимости
термодинамических функций воды от плотности ρ, температуры T или внутренней
энергии Ε, получение единого аналитического соотношения,
например, для р(Т,ρ) — далеко не простая задача.
Как известно, первая попытка описания состояния реальной
среды была сделана Ван-дер-Ваальсом, который учел эффекты
притяжения — отталкивания между молекулами. С тех пор интерес к этой
проблеме не иссякает и не только из-за попытки достичь
совершенства в эмпирическом описании реальных свойств реальных сред, но
и в связи с расширением «ассортимента» объектов исследований, из
которых нас будут интересовать жидкости (или «жидкие»
состояния) и продукты детонации взрывчатых веществ.
Уравнения состояния представляются обычно в одной из
следующих форм:
12
Глава I
• в виде суммы холодной и тепловой компонент (уравнение
Ми — Грюнайзена)
• в форме, содержащей некоторую функцию энтропии s,
• в наиболее распространенной вириальной форме
где коэффициенты B, С, D... с помощью статистической механики
могут быть выражены через потенциал межмолекулярного
взаимодействия, a v — удельный объем.
Рассмотрим различные варианты уравнений состояния жидких
сред, использующие указанные подходы. Наиболее известна модель
Тэта (см. [1, 2]), которая первоначально предназначалась для
описания сжимаемости воды
Однако интеграл от этого уравнения
приводит к противоречию: ln —> оо при p —> оо, а правая часть
равенства (V — 0) конечна. Второй вариант
был уже более логичным и по сути стал основой многочисленных
вариантов описания состояния жидких сред и в роли ударной
адиабаты, и в роли уравнения состояния:
При этом предполагалось, что B(s) = const = 305 МПа, а п = 7,15
для давлений до 3 · 103 МПа.
Ридах [3] предлагает использовать ту же форму уравнения
Тэта, но с другими значениями основных параметров: B(s) =
Уравнения состояния
13
321,4 МПа, п = 7,00. Основываясь на оценках и результатах
сравнения с более широкомасштабными данными, ряд авторов склонен
считать, что B(s) = const и η = const для давлений вплоть до 104 МПа.
Можно отметить удобство предлагаемых Ридахом параметров,
которые позволяют получить простые выражения для функции Ри-
мана σ, которая, как показано в [2], близка к массовой скорости в
окрестности фронта ударной волны в воде, для скоростей звука с и
ударной волны Ush
(ξ = ρ/ρ0), которые могут оказаться полезными при решении задач
подводного взрыва.
Кубическое уравнение состояния для жидкостей и жидких
смесей в виде модификации уравнения Ван-дер-Ваальса получено Пате-
лем и Тейджем в [4]
где b и с константы, а(Т) — функция температуры, R — газовая
постоянная, ν = ρ-1 — удельный объем.
Это уравнение должно удовлетворять условиям
(ξс — критический фактор сжимаемости), на основании которых и
определяются константы b, с и а(Т):
Здесь
Функция Ωb определяется как наименьший положительный корень
кубического уравнения
14
Глава I
Функция α(Τ) находится из выражений
где F — эмпирический параметр.
В [5] Гартман, Кещ и Хастингс предложили аналитическую
форму уравнения состояния воды (уравнение GKH), которая с
высокой степенью точности согласуется с существующими данными
для ее плотного состояния в области от 50 до 3 · 104 МПа.
Определяющее уравнение эквивалентно уравнению Ми — Грюнайзена при
cv = const. Это ограничение приводит к простому выражению для
внутренней энергии Е. Авторы [5] основываются на гипотезе, что в
окрестности адиабаты Гюгонио вода ведет себя, в некотором смысле,
подобно кристаллическому твердому телу и ее уравнение состояния
может быть описано в форме, аналогичной описанию состояния
плавящихся кристаллов:
Здесь h1 и h2 произвольные функции удельного объема, смысл
которых несложно определить на основании известного
термодинамического равенства
Сравнение приводит к очевидным соотношениям
При упомянутом выше условии, что (dE/dT)v = cv = const,
внутреннюю энергию как функцию E(T,v) теперь можно определить:
Уравнение состояния GKH при этом запишется в виде
где G = h2v/cv — коэффициент Грюнайзена, рH — давление
Гюгонио. В [5] в виде полиномов представлены
• коэффициент Грюнайзена
Уравнения состояния
15
при a0 = 2366,6324, α1 = -22 669,420, a2 = 91259,368, a3 =
-200175,85, a4 = 258585,11, a5 = -196872,84, a6 = 81850,023,
a7 = -14 342,530;
• адиабата Гюгонио
где ζ = vo/υ — относительный удельный объем, а b1 = 21,953 4,
b2 = 0, b3 = 1206,04, b4 = -4113,87, b5 = 7193,01, b6 = -5 594,03,
b7 = 1566,61;
• интеграл энергии сжатия
где с0 = -3,09-1012,c1i = 2,455-1013,с2 = -8,255-1012,с3 = 1,516·1014,
с4 = -1,624 7-1014, с5 = 1,006-1014, с6 = -3,284-1013, с7 - 4,238-1012.
Здесь G — величина безразмерная, рH измеряется в кбар, υ — в
см3/г, I — в эрг/г, v0 = 1,0018 см3/г. По данным [5] расчет тепло-
емкостей воды дает следующие результаты: ср = 0,86 кал/(г·°С),
сv = 0,78кал/(г·°С).
Кузнецов [6] исследовал близкий вариант уравнения состояния
который также представляет давление в виде холодной рх(ρ) и
тепловой составляющих и позволяет перейти к предельным
состояниям: уравнению состояния идеального газа при ρ — 0, f — 1 и
p0 — 0 или к уравнению состояния твердого тела. Функции рх(ρ)
и f(ρ) определялись путем экстраполяции экспериментальных
данных. Для диапазона 0 < ρ < 2,3 г/см3 получена интерполяционная
формула
Ударная адиабата обобщает адиабату Тэта
с погрешностью Δр/ρ ~ 0,05 относительно экспериментальных
данных. В [6] приводится интерполяционная формула для температуры
16
Глава I
на фронте ударной волны, полученная на основании данных для /,
Р0, РH и исходного уравнения состояния:
Здесь температура измеряется в °С, давление рн — в бар, ρH — в
г/см3; точность — ΔT/T ~ 0,1.
Окончательно уравнение состояния воды имеет вид
в диапазоне 1 < ρ < 2,3,
в диапазоне ρ < 1. Здесь
в диапазоне 0,8 < ρ < 1,
в диапазоне 0 < ρ < 0,8.
При высоких температурах (Τ > 1 000 К) Кузнецов предлагает
использовать в формуле для f(ρ) вместо ρ переменную τ ~ ρ(Τ1/Τ)3,
что существенно уменьшает погрешность в вычислении энергии.
Здесь Τ1 ~ 900 К — оценочное значение температуры, при которой
вращение молекулы воды предполагается свободным.
Первые слагаемые в правых частях уравнения состояния (оба
диапазона) представляют «холодную» компоненту. В работе [6]
проведен анализ вклада вращательно-поступательной и колебательной
степеней свободы (индексы i) в теплоемкость воды cv. Конечный
результат представлен для Τ > 273 Киρ <1 г/см3 в виде
Отмечается, что в диапазоне 1 < ρ < 1,2 значение cv не меняется.
Кочина и Мельникова [7] для решения задачи о подводном
взрыве сферического заряда конечного радиуса в сжимаемой жидкости
предложили основные уравнения использовать в следующем виде:
• уравнение состояния
Уравнения состояния
17
• ударная адиабата
• нормированная внутренняя энергия
Здесь основные функции и переменные ρ = ρ/ρ0, Τ = Τ/Τ0,
ε = Еρ0/p0, р = р/р0, энтропия S = s/cv — безразмерные, ρ0 =
101,865 кг·с2/м4, р0 = 61926 кг/м2, T0 = 288 К, cv = 3,3511 ·
103 м2/(с2·К).
Шуршалов [8] для расчета мощных подводных взрывов (в
диапазоне значений p > 102 МПа) использовал уравнение состояния в
виде
При этом
Здесь р* = 104 кг/м2 и ν* = 10-2 м3/кг — характерные
значения давления и удельного объема, штрихи означают
производную по θ, где θ = V/V0. Другие безразмерные переменные и
параметры определены следующим образом: V = v/vmj V0 = v0/v*.
S0 = 22,7 · 102 м2/(с2·К), cv = 3,66 · 103 м2/(с2-К), v0 = 1 см3/г.
Заметим, что в [8] рассматривался взрыв сферического заряда
на глубине 60 м для случаев реальной и мгновенной детонации и
использовались уравнения состояния Кузнецова для определения
• внутренней энергии
• энтропии
где ε, Τ, р безразмерные, р0 = 1 атм, ρ = 1 г/см3, Т0 = 273 К.
18
Глава I
Стернберг и Уолкер [9] для расчета подводной детонации пен-
толитовой сферы в диапазоне давлений до 2,5 · 104 МПа использовали
уравнение состояния воды в вириальной форме
где fi — полиномы от внутренней энергии Ε (Ε измеряется в
Мбар·см3/г, p — в Мбар, ν — в см3/г. Начальное состояние
воды берется при р0 = 1 атм, ρ0 = 0,998 21 г/см3 и T0 = 20 °С так,
чтобы Ε = 0. При этом f3 = 0,0268-0,41481E, f4 = -0,005+0,0741E,
остальные коэффициенты существенно зависят от поддиапазонов Е:
► при 0 < Ε < 0,006
f1 = 0,005 722 427 - 1,240 522Е + 50,425 35E2 - 1,400 579 · 103E3+
+4,137 950 · 106E4 - 2,726 437 · 108E5 - 1,295 684 · 1011E6+
+1,437988 1013E7;
► при 0,006 < Ε < 0,017
f1 = 0,001015091 - 0,327 0122Ε1 + 6,734 616Ε1 + 1,552 785 · 104Ε13-
-2,926 440106Ε14 + 2,139 341 · 108Ε15 - 5,615 358 · 109Ε16,
где Е1 = Е - 0,006;
► при 0,017 < Ε
f1 = 5,607 572 · 10-4 + 0,112 284 0Е2 + 5,275 769Ε22 + 82,217 45Ε23-
-147,1514Ε24 - 4,044093 · 103Ε25 - 3,130131 · 104Ε26,
где Е2 = Е - 0,017;
► при 0 < Ε < 0,0032
f2 = -0,02748180 + 1,691130Ε + 17,129 81Ε2 + 1,483 364 · 104Ε3-
-1,549 072107 Ε4 + 3,415591 · 109Ε5 - 2,357818 · 1011Ε6;
► при 0,0032 < Ε < 0,0245
f2 = -0,02215430 + 1,510990Εз - 10,562 99Ε32 - 5,411856 · 103Ε33+
+6,176 87 · l05Ε34 - 1,810118 · 107Ε35 - 6,205 700 · 108Ε36+
+4,406075 · 1010Ε37 - 6,587460 · 1011Ε38,
где Е3 = Е - 0,003 2;
Уравнения состояния
19
► при 0,0245<Е
где Е4 = Ε -0,024 5.
Температура воды определялась на основании уравнения
состояния при интегрировании вдоль изэнтропы следующих равенств:
Оказалось, что температура воды на границе с продуктами
детонации Tsh в момент падения на нее детонационной волны равна
примерно 1000 °С. Когда фронт ударной волны в воде отошел на
расстояние rsh = 1,1rсh, температура за ним упала до Tsh ~ 565 °С при
температуре на границе с продуктами детонации 640 °С. На
расстоянии rsh = 2rch температура во фронте ударной волны Tsh падает
уже до ~ 85 °С, на границе имеем 315 °С. Несложно заметить, что
тепло теряется довольно быстро.
Важность разработки экспериментальных подходов к
исследованию динамической сжимаемости воды в широком диапазоне
параметров несомненна. Поэтому, оригинальные методики, отличающиеся
простотой реализации, высокой степенью надежности и
однозначностью интерпретации результатов, становятся классической базой
для «добывания» последних. К ним можно отнести предложенную
около 40 лет тому назад, но не потерявшую свою значимость для
эксперимента оригинальную методику исследования ударной
адиабаты воды [10]. В ней используется предварительное нагружение
промежуточного экрана из алюминия с известной ударной адиабатой.
Часть объема экрана занята исследуемой жидкостью. Суть
эксперимента заключается в измерении на одной и той же базе скоростей
ударных волн в воде Dw и экране Dsc. Затем используется метод
ри-диаграмм для определения состояний за фронтом ударных волн
в материале экрана и в жидкости (рис. 1). Состояние за фронтом
ударной волны (1) в экране находится по его ударной адиабате s и
линии Dcs, которая легко строится на рu-диаграмме на основании
Psc = ρscuscDsc· Состояние за фронтом ударной волны в воде (2)
определяется по изэнтропе разгрузки экрана r, которая
практически симметрична ударной адиабате, и линии DW, определяемой по
аналогии из pw = ρwuwDw (рис. 1).
20
Глава I
В качестве экрана использовался А1, ударная адиабата которого
имеет вид
где ρ измеряется в кбар, и - - в км/с. Анализ результатов измерения
ударной адиабаты (в диапазоне давлений до 0,8 Мбар) показал, что,
начиная с давления в 115 кбар в воде возникает фазовый переход,
в зоне которого скорость ударного фронта оказывается
«замороженной» на значении Dw ~ 5,44 км/с.
Подурец и др. [11], используя указанную методику,
расширили диапазон регистрации давления в воде до 14 Мбар. При этом в
экране (А1) и в воде зафиксированы следующие значения основных
характеристик:
Da1 = 36,4 км/с, ua1 = 25,55 км/с, рA1 = 25,2 Мбар,
Dw = 43,95 км/с, uw = 32,42 км/с, pw = 14,25 Мбар, ρw =
3,815 г/см3 (при относительной ошибке в определении плотности
порядка 0,03). Хорошая корреляция данных [11], экстраполированных
в область давлений порядка десятков Мбар с расчетами по модели
Томаса — Ферми (статистическое описание электронов сильно
сжатых атомов), отмечена в обзоре [12], содержащем подробную
информацию об уравнениях состояния жидкости и продуктов детонации.
Подробный анализ состояния воды при мощных подводных
взрывах дал Кот [13], представив результаты в графическом виде
для термического (p,ρ,Γ) и калорического (p,ρ,Ε) уравнений
состояния. Буткович [14] по результатам анализа уравнения состояния
Бьерка выделил три диапазона ударного сжатия воды с точки
зрения изменения ее физического состояния: при p > 700 кбар вода при
Рис. 1. ри-Диаграмма
измерения ударной
адиабаты воды по
известной ударной адиабате
экрана [10]
Уравнения состояния
21
разгрузке полностью испаряется, при ρ < 50 кбар в результате
разгрузки пар не возникает, при ρ = 50–700 кбар происходит частичное
испарение с образованием смеси жидкость — пар.
Баум и др. [15], анализируя положение с уравнениями состояния
воды, отметили довольно общую тенденцию к сохранению весьма
удобной формы представления ударной адиабаты в виде,
аналогичном уравнению Тэта, и привели, в частности, один из возможных
вариантов:
для диапазона 30 – 115 кбар и
для диапазона 115 – 450 кбар.
Классической считается работа [16], послужившая своеобразной
базой для многих последующих исследований по ударной адиабате
воды, несмотря на ее некоторые неточности и ограничения [10, 17].
Ее результат можно представить в виде зависимости скорости
фронта ударной волны D от массовой скорости и за фронтом
где D и и измеряются в км/с.
Интересен анализ, выполненный в работе [18], где проверялась
корреляция между плотностью вещества в критической точке ρс и
в твердом состоянии ρs. Проблема связана с интересным
экспериментальным фактом — для многих веществ отношение ρs/3ρс ~ 1,
т. е. является константой, близкой к единице (в эксперименте
коэффициент в знаменателе равен 3,07). В упомянутой работе, используя
эту особенность в качестве нового критерия для оценки различных
усовершенствованных моделей уравнения Ван-дер-Ваальса для
жидкостей, предлагается следующая модификация уравнения состояния:
Казалось бы, ссылка на уравнения состояния для жидкостей
лишена смысла, когда речь идет о веществе в твердом состоянии,
плотность которого зависит от кристаллической структуры.
Однако следует обратить внимание на тот факт, что при охлаждении
материала ниже его критической точки происходит конденсация
вещества. При этом, вследствие действия сил сцепления отмечается
22
Глава I
тенденция к «правильной» расстановке молекул, аналогично
организованной структуре твердого состояния. Как отмечено в [19]
структура жидкости близка к структуре твердого состояния и может
рассматриваться, как «смесь» степеней свободы в твердом и
газообразном состояниях. Действительно, для многих жидкостей отношение
их плотности pliq в точке нормального кипения к критической
плотности ρс близко к 2,7, как например, для жидких водорода, аргона
и кислорода. Если прибавить 10 % на увеличение плотности при
отвердевании, получится цифра, близкая к упомянутой константе.
2. Уравнения состояния продуктов детонации
Как известно, проблема с определением состояния продуктов
детонации не менее сложна, чем рассмотренная выше. Это связано и с
необходимостью адекватного описания термодинамических свойств
газов в широких диапазонах температур и давлений, и, возможно, с
необходимостью принимать во внимание изменение структуры
молекул, а также особенности протекания химических реакций при
высоких давлениях [1]. И тем не менее, если учесть довольно быструю
«релаксацию» основных параметров продуктов детонации в
процессе расширения содержащей их полости, преимуществом часто
пользуются упрощенные модели, тем более, что, согласно [1], успешное
их применение «... в большой мере обязано тому, что описание
детонационных явлений мало зависит от вида уравнения состояния».
Некоторые из этих моделей, как например, уравнение Халфорда —
Кистяковского — Вильсона [1]
становятся классическими. Здесь К = const и определяется из
выражения К = Σni Κi, в котором ni — число молей i-го компонента
газа в 1 см смеси, Кi — эмпирические константы, характеризующие
каждую из химических компонент [1].
Кузнецов и Шведов, на базе уточненных экспериментальных
данных, в [20, 21] для диапазона плотностей 0 < ρ* < 2,3 г/см3
предложили систему трансцендентных соотношений, определяющих
состояние продуктов детонации гексогена
Уравнения состояния
23
Здесь Θ = 3200/T, μ = 25, Τ = 103Τ* Κ,
Ρ0 и E0 — упругие составляющие, зависящие только от
плотности (р0 измеряется в кбар, E0 — в кДж/г), μ — молекулярный
вес, R — газовая постоянная. Искомые характеристики
определяются по заданным значениям ρ и Ε (или p и ρ), общая погрешность не
превышает 10%. На основе полученных уравнений в [21] проведен
расчет зависимостей от плотности таких характеристик, как
давление, его тепловая компонента, работа адиабатического расширения
продуктов, скорость звука в них и показатель изэнтропы (данные
представлены в таблицах для случаев реальной и мгновенной
детонации).
Фонарев и Чернявский [22] для описания состояния продуктов
детонации использовали выражение для внутренней энергии
полагая, что показатель адиабаты γ зависит рт удельного объема V.
При этом диапазон изменения γ устанавливался следующим
образом:
γ = 2,63 - 0,96v при ν < 1,
γ = 1,16 + 0,12/(v - 0,63) при 1 < ν < 4,7,
γ = 1,18 + 0,0616/(v - 2,4) при 4,7 < ν < 24,3,
γ = 1,18 + 0,081(0,23 + 0,001ν)2 при 24,3 < ν < 815,
γ = 1,27 при ν > 815.
Здесь ν = V/V2, V2 = 1 см3/г, ν = Vγl, p = Ρ/Ρl, Ρl и ρl — давление
и плотность окружающей среды. Приведенное уравнение состояния
было использовано в [18, 22] для расчета взрыва тротилового заряда.
Джекобс [23] предложил уравнение типа Ми — Грюнайзена
24
Глава I
константы которого получены в результате обработки
экспериментальных данных и расчета, где
Здесь ρ1 — плотность в точке Жуге, а = 2,3466 · 1012, k = 11,12,
b = 4,2077108, А = -4,8557·109, В = -1,5574·1010, m = 2, α = 2,1051.
Ли и Хорниг [24] использовали тот же подход для расчета
продуктов состояния тэна. При этом уравнение изэнтропы считалось
известным, а коэффициент Грюнайзена определялся из зависимости
скорости детонации от начальной плотности ВВ.
Более простая форма использовалась Стернбергом и Уолкером
в [9] для расчета состояния продуктов детонации пентолита
при А = 0,35, В = 0,002164, С = 2,0755, К = 6. Здесь Ε
измеряется в Мбар·см3/г, p — в Мбар, ρ — в г/см3, а 5, С и К имеют
соответствующую размерность. Энергия, выделяющаяся }хри
взрыве пентолита, принималась равной 0,0536 Мбар·см3/г, что
эквивалентно 1,280 ккал/г, ρ0 = 1,65 г·см~3 — плотность ВВ до детонации.
Указанные константы определены с учетом следующих значений
параметров детонации ВВ в точке Чепмена — Жуге: D = 0,7655,
Ej = 0,077 5, pj = 0,245 2, cj = 0,5714, ρj = 2,21.
Приведенный обзор уравнений состояния жидкостей и
продуктов детонации конечно не претендует на полноту, но в значительной
степени представляет наиболее характерные модели, выбор которых
при решении задач будет определяться, в основном, удобством
представления и требуемым диапазоном параметров. Иногда
эксперимент подсказывает неожиданные решения, позволяющие упростить
постановку, как например, в случае с решением задачи о подводном
взрыве сферического заряда, предложенным Кирквудом и Бетте [2].
Упомянутые авторы приняли во внимание характерную
экспоненциальную (в окрестности фронта) форму ударной волны,
генерируемой в жидкости в результате взрыва, и предложили так
называемое «пиковое» приближение: динамику энтальпии на стенке
взрывной полости предлагалось рассматривать тоже в виде
экспоненциального затухания, а параметры этой функции определять из
граничных и начальных условий. Очевидно, что такой «физический»
Уравнения состояния
25
подход исключал необходимость решать проблему с уравнением
состояния продуктов детонации, поскольку последних как бы «не
существовало» .
3. Законы сохранения, pu-диаграммы,
формулы перехода
Естественно, современные вычислительные возможности
позволяют решать задачу о генерации и распространении ударных волн
при подводных взрывах в рамках полной постановки. Однако,
довольно очевидно, что расчет волнового поля даже в ближней
зоне (а это порядка 103 Rсh) включает ряд непростых проблем,
связанных, прежде всего, с разномасштабностью характерного времени
процессов, протекающих в продуктах детонации, а также
характерных времен динамики межфазной границы раздела (взрывной
полости в целом) и формирования ударной волны. Решение же задачи о
параметрах ударных волн в дальней зоне — так называемая
асимптотика — вообще может оказаться «неподъемным». С этой точки
зрения наиболее интересной представляется модель Кирквуда —
Бете, которая делит процесс на два блока: динамику взрывной полости,
уравнение которой выводится и анализируется независимо от
внешнего волнового поля, и расчет формирования ударной волны на базе
возмущений, которые в каждый момент времени генерируются этой
полостью.
Начальные условия формулируются и определяются, как
правило, методом ри-диаграмм в рамках задач о распаде произвольного
разрыва. Для решения последних требуется информация об
условиях перехода в ударных и простых волнах (см., например, [25, 26])
При этом первый шаг должен быть связан с выбором характера
детонационного процесса, который может быть инициирован в центре
заряда (тогда необходимо рассматривать распространение
детонационной волны до границы раздела с жидкостью) или процесс может
рассматриваться как мгновенная детонация при постоянном объеме.
Очевидно, задача о распаде произвольного разрыва, рассмотренная
для обоих процессов, даст разные результаты по начальным
условиям. Собственно решение самой задачи о формировании и
распространении ударной волны будет рассмотрено в главе, специально
посвященной проблеме генерации ударных волн, а здесь
ограничимся условиями переходов.
26
Глава I
• Переход в ударной волне. Если использовать уравнение
состояния для воды в виде
где р = р+В (В и n — параметры одной из моделей уравнения Тэта,
приведенных выше), а также соответствующее ему выражение для
удельной внутренней энергии ε
законы сохранения массы, импульса и энергии на сильном разрыве
можно записать в известной газодинамической форме
Здесь τ = ρ-1; υ1,2 = u1,2 — U — относительная массовая скорость,
U — скорость ударной волны; индексы 1 и 2 относится к условиям
перед и за фронтом волны, соответственно.
Из соотношения (2) следует
Полагаем, что массовая скорость перед скачком u1 = 0 и используем
(1). Тогда из последнего выражения несложно получить соотношение
на скачке через массовую скорость u2 и скорость ударной волны U:
В результате простых комбинаций на основе уравнений (1) и
(2) несложно получить следующие соотношения для относительных
скоростей:
Из закона сохранения энергии (3) на скачке с учетом полученных
для v12 и v22 выражений следует, что
Уравнения состояния
27
Подставляя выражения для внутренней энергии, несложно для воды
получить ударную адиабату
где μ2 = (n + 1)/(n - 1).
Из (2), исключая р2 на основании выражения для ударной
адиабаты, а τ2 на основании (1), получим связь массовой скорости u2 со
скоростью ударной волны U:
Отсюда (при принятом выше условии u1 = 0 и замене ν на и и U)
следует уравнение для скорости фронта ударной волны
где β = (η + 1)/4. Если ввести число Маха М2 = u2/с1 решение
можно получить в компактном виде
Тогда в первом приближении
или, для уравнения состояния Ридаха (п = 7, β = 2),
Во втором приближении (βМ < 1)
Преобразуя уравнение (4) (выделяя v2 — v1 и делая замену на и
и U), получим соотношение на скачке для массовых скоростей:
(Μ1 = v1/c1 = —U/c1). Для получения скачка давления используем
(2) и (6):
28
Глава I
Скачок плотности при переходе через ударную волну можно
определить на основании (1) и (6):
Соотношения (6)-(8) и определяют переход через ударную
волну.
• Переход в простой волне. Рассмотрим изэнтропическое
течение, которое описывается законами сохранения
— массы
— импульса
и замыкается уравнением состояния вида
Уравнение состояния в форме Тэта позволяет получить связь
плотности и давления со скоростью звука с
и преобразовать первые два уравнения представленной выше
системы (в одномерном случае) к виду
Умножая первое из этих уравнений на ±2/(n—1)и складывая
результат со вторым, после несложных преобразований получаем известное
уравнение газовой динамики
из которого следует, что инварианты Римана r = и + 2с/(п — 1) и
s = и — 2с/(n — 1) сохраняются на характеристиках,
распространяющихся, соответственно, со скоростями и + с (dx/dt = и + с) и
Уравнения состояния
29
Рис. 2. Определение по pit-диаграмме условий на контактной
границе:
а — удар поршня, движущегося со скоростью ир, по покоящейся
жидкости; 6— разрыв диафрагмы на границе «сжатый газ —
жидкость»
и — с (dx/dt = и — с). Инвариантность означает, что при переходе
из состояния р* (рис. 2,6), определяемого, например,
соответствующими параметрами продуктов детонации, в состояние 2 по r-волне
изменения
— массовой скорости
— плотности
— давления
определяют переход в простой волне, где ζ = c2/c*.
На основании полученных соотношений и равенства массовых
скоростей и давлений на контактном разрыве несложно определить
начальные условия в задачах генерации ударных волн в жидкости.
Рисунок 2 на примере ри-диаграмм иллюстрирует два классических
случая для этой проблемы.
30
Глава I
• Определение давления р2 и массовой скорости контактной
границы U2 в первоначально покоящейся жидкости и материале
поршня, движущегося со скоростью uр, после их столкновения, когда в
результате удара и по поршню, и по жидкости распространяются
ударные волны (рис. 2,а, пример для двухдиафрагменной
гидродинамической ударной трубки, sw, sp — ударные адиабаты жидкости
и материала поршня, соответственно).
• Определение начальных условий в задаче подводного взрыва
(или в гидродинамической ударной трубке Гласса): распад разрыва
на границе продуктов детонации и жидкости; в продуктах
детонации, находящихся при давлении р*, происходит переход в конечное
состояние (р2, u2) в волне разрежения по r, в жидкости — по ударной
адиабате sw (рис. 2,6).
4. Обобщенное уравнение пульсации
взрывной полости
Как известно, при подводном взрыве выделившаяся в
результате детонации заряда ВВ энергия распределяется между продуктами
детонации и ударной волной. Внутренняя энергия продуктов
детонации в процессе расширения полости до R = Rmax трансформируется
в потенциальную энергию жидкости (U* = Роо4πRmax3/З), что
позволяет, в частности экспериментально (через период пульсации),
оценить долю α теплоты взрыва Q [ккал/г], которая остается в
продуктах детонации
Для стандартных литых или прессованных ВВ α близка к 1/2, если
речь идет о сферических зарядах, и существенно меняется в
зависимости от геометрии течения и плотности ВВ.
Процесс распределения энергии носит динамический характер,
а взрывная полость играет роль поршня в формировании ударно-
волнового поля. Очевидно, чем точнее закон движения «поршня»,
тем реальнее результаты расчета параметров ударной волны. В
модели Кирквуда — Бетте это уравнение выводится, по сути,
независимо и является динамической границей, на которой непрерывно
«вырабатываются» параметры возмущений, формирующих
волновое поле.
Первые работы по динамике полости в сжимаемой жидкости
появились около полувека назад. Здесь прежде всего необходимо
отметить результаты Херринга [27], Кирквуда, Бете [2] и Гилмора
Уравнения состояния
31
[28], расчеты Триллинга [29]. Некоторый обобщенный анализ
моделей изложен в монографии Кнэппа [30], похожую информацию можно
также найти в обзоре Флинна [31].
Наибольший интерес с точки зрения задач подводного взрыва
представляет подход Кирквуда — Бете (КБ), позволяющий
рассчитать параметры ударной волны в ближней от заряда зоне, ее
асимптотику и построить уравнение пульсации, не ограничиваясь
рамками одного типа симметрии.
Рассмотрим одномерное изэнтропическое течение жидкости
которое для потенциала , ν = — V и энтальпии h можно
представить в виде следующей системы уравнений:
Здесь ν = 0, 1, 2 и определяет тип симметрии.
Введем в качестве новой неизвестной функции так называемую
кинетическую энтальпию Ω = h + v2/2. С учетом того, что
потенциал определен с точностью до произвольной функции по t, закон
сохранения импульса примет простую форму
Замена функции h на Ω, а затем на φ приводит (9) к виду
или, в акустическом приближении,
32
Глава I
Для новой функции Φ = τ^'2φ определяющая система законов
сохранения принимает более удобный для анализа вид
В случае плоской (и = 0) и сферической {у = 2) симметрии
уравнение (11) приводится к виду
Решение этого уравнения, как известно, имеет вид Φ Φ (О? гДе
ξ = t — г/со. Полагаем, что в асимптотическом приближении (с
точностью до члена Ф/4г2) оно описывает и течение с цилиндрической
геометрией (и = 1).
Введем функцию G = W2Ω и заметим, что
После подстановки волновое уравнение преобразуется к виду
который указывает на инвариантность функции G, сохраняющейся
на расходящихся со скоростью cq характеристиках. Этот результат,
согласно модели Кирквуда — Бете [2], обобщается на случай, когда
возмущение распространяется со скоростью с + ν:
(с — локальная скорость звука). Естественно, справедливость этого
обобщения должна проверяться сравнением с данными
эксперимента. Следует отметить, что последний результат носит
фундаментальный характер и составляет основу для построения одного из
интересных решений по определению параметров ударных волн в
воде в ближней и дальней от заряда зоне и исследования динамики
полости с продуктами детонации. Эта проблема является одной из
важнейших в области исследования подводного взрыва.
Уравнения состояния
33
Уравнение (13) позволяет вывести обобщенное уравнение
одномерной пульсации полости в сжимаемой жидкости [32, 33].
Подставляя в него выражение G = rv/2(h + v2/2), получим
или, после несложных преобразований,
В этом уравнении замена частных производных dh/dr и dv/dr на
полные с использованием законов сохранения импульса и массы
приводит к следующему результату:
Уравнение (14) справедливо для любой точки жидкости, в том
числе и для поверхности полости с продуктами детонации, переход к
которой легко осуществить, полагая r = R, υ = dR/dt = R, h = Η
(Η — значение энтальпии на стенке полости со стороны жидкости) и
оставляя то же обозначение с для соответствующей скорости звука
[33]:
Заметим, что уравнение (15) является общим для всех трех типов
одномерных течений и не содержит отмеченные выше особенности на
бесконечности для плоского и цилиндрического случаев,
характерных для несжимаемой жидкости. Получаем вполне реальные
уравнения пульсаций [32, 33]
• плоской полости
• цилиндрической полости
34
Глава I
• сферической полости
В плоском случае под R понимается половина ширины полости.
Уравнение (18), которое, как мы видим, является частным
случаем уравнения (15) [33], иногда называют уравнением Гилмора [28].
Выражение для локальной скорости звука с и энтальпии Η на
стенке полости может быть получено, если известно уравнение
состояния жидкости. Например, для его наиболее распространенной
формы (уравнения Тэта (р + В)/(р00 + В) = (ρ/ρоо)п) имеем
Здесь индексом оо отмечены соответствующие параметры
невозмущенного состояния, p(R) — давление в продуктах детонации,
которое может быть рассчитано, например, по одному из приведенных
выше уравнений состояния. Простейший вариант — уравнение типа
адиабаты с переменной γ.
Литература
1. Гиршфельдер Дж. и др. Молекулярная теория газов и жидкостей.
М.: Изд-во иностр. лит., 1961.
2. Коул Р. Подводные взрывы. М.: Изд-во иностр. лит., 1950.
3. Ridah S. Shock waves in water // J. Appl. Physics. 1988. V. 64, N 1.
4. Patel N. C, Teja A. S. A new cubic equation of state for fluids and
fluid mixture // Chem. Eng. Science. 1982. V. 37, N 3. P. 463-473.
5. Gurtman G. Α., Kirsch J. W., Hastings C. R. Analitical equation
of state for water compressed to 300 kbar // J. Appl. Phys. 1971. V. 42,
N 2. P. 851-857.
6. Кузнецов Η. Μ. Уравнение состояния и теплоемкость воды в
широком диапазоне термодинамических параметров // ПМТФ. 1961. № 1.
С. 112-120.
7. Кочина Н. Н., Мельникова Н. С. О взрыве в воде с учетом
сжимаемости // Неустановившиеся движения сжимаемых сред с взрывными
волнами / Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1966. С. 35-65.
Уравнения состояния
35
8. Шуршалов Л. В. Расчет мощных подводных взрывов // Изв. АН
СССР. МЖГ. 1971. Т. 5. С. 36-41.
9. Sternberg Η. Μ., Walker W. A. Calculated flow and energy
distribution following underwater detonation of a pentolite sphere // Phys.
Fluids. 1971. V. 14, N 9. P. 1869-1878.
10. Альт шулер Л. В., Баканова Α. Α., Трунин Р. Ф. Фазовые
превращения при сжатии воды сильными ударными волнами // Докл. АН
СССР. 1958. Т. 121, № 1. С. 67-69.
11. Подурец Μ. Α., Симаков Г. В., Трунин Р. Ф. и др. Сжатие
воды сильными ударными волнами // ЖЭТФ. 1972. Т. 62, вып. 2.
С. 710-712.
12. Коробейников В. П., Христофоров Б. Д. Подводный взрыв //
Итоги науки и техники. Гидромеханика. 1976. Т. 9. С. 54-119.
13. Кот К. А. Мощные подводные взрывы // Подводные и подземные
взрывы. М.: Мир, 1974. С. 10-43.
14. Butkovich Т. R. Influence of water in rocks on effects of underground
nuclear explosion // J. Geophys. Res. 1971 V. 76, N 8. P. 1993-2011.
15. Баум Φ. Α., Орленко Л. П., Станюкович К. П. и др. Физика
взрыва. М.: Наука, 1975.
16. Rice Μ. Η., Walsh J. M. Equation of state of water to 250 kbar // J.
Chern. Phys. 1957. V. 26, N 4. P. 814-830.
17. Papeti R. A.,Fijisaki M. The Rice and Walsh equation of state for
water: discussion, limitation and extension // J. Appl. Phys. 1968. V. 39,
N 12. P. 5412-5421.
18. Dharmadurai G. Solid state density in equations of state for liquids //
J. Physics III France. 1996. V. 6. P. 505-509.
19. Eyring H., John M. Significant Liquid Structure. N. Y.: John Wiley,
1969.
20. Кузнецов Η. Μ., Шведов К. К. Уравнение состояния продуктов
детонации гексогена // Физика горения и взрыва. 1966. № 4. С. 85-96.
21. Кузнецов Η. Μ., Шведов К. К. Изэнтропическое расширение
продуктов детонации гексогена // Физика горения и взрыва. 1967. № 2.
С. 203-210.
22. Фонарев А. С, Чернявский С. Ю. Расчет ударных волн при
взрыве сферических зарядов ВВ в воздухе // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968.
Т. 5. С. 169-174.
23. Jacobs S. J. On the equation of state for detonation products of high
density // 12th Intern. Symp. Combustion, Poitiers, 1968.
24. Lee Б. L., Hornig H. C. Equation of state of detonation products
gases // 12th Intern. Symp. Combustion, Poitiers, 1968.
36
Глава I
25. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики.
Новосибирск: НГУ, 1967.
26. Рождественский Б. Л., Яненко Η. Η. Системы квазилинейных
уравнений. М.: Наука, 1968.
27. Herring С. Theory of pulsation of the gas bubble produced by an
underwater explosion // OSRD Rep. 1941. № 236.
28. Gilmore F. R. The collapse and growth of a spherical bubble in a viscous
compressible liquid / Californ. Tech. Univ. Hydrodynamics Lab. 1952. Rep.
№ 26-4.
29. Trilling L. The collapse and rebound of a gas bubble // J. Appl. Phys.
1952. V. 23. P. 14-17.
30. Кнэпп Р., Дейли Дж., Хэммит Ф. Кавитация. М.: Мир, 1974.
31. Флинн Г. Физика акустической кавитации в жидкостях // Физическая
акустика / Под ред. У. Мэзона. 1966. Т. 1, ч. Б. С. 7-138.
32. Кедринский В. К. О пульсации цилиндрической газовой полости в
безграничной жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. //
АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1971. Вып. 8. С. 163—
168.
33. Кедринский В. К. Гидродинамика взрыва (обзор) // ПМТФ. 1987.
№ 4. С. 23-48.
Глава II
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ЖИДКОСТИ: МАТМОДЕЛИ,
УДАРНЫЕ ТРУБЫ, ГИДРОАКУСТИКА
1. Подводный взрыв
(приближение Кирквуда — Бете)
Практическое использование подводных взрывов сферических
и удлиненных зарядов делает необходимым проведение различного
рода оценок таких характеристик как параметры ударных волн в
ближней и дальней от заряда зонах, динамика взрывной полости с
продуктами детонации, ее максимальный радиус и период
пульсации, распределение энергии взрыва между продуктами детонации и
ударной волной.
Обзор части проблем в этой области можно найти в [1-3]. Целью
исследований, результаты которых изложены в настоящей главе,
было решение указанных выше задач на основе приближенной модели
Кирквуда — Бете (КБ) [1], разработанной для течений со
сферической симметрией и обобщенной на случай взрыва цилиндрических
зарядов [4]. Как и при любом приближении, результаты, полученные
в рамках модели КБ, требуют сравнения с данными эксперимента
либо с расчетами по другим методикам. Интерес к данной модели
связан, прежде всего, с возможностью построения уравнения
пульсации цилиндрической полости в сжимаемой жидкости. Отсутствие
этого уравнения ограничивало возможности в решении многих
практических задач, в частности таких, как использование удлиненных
зарядов для создания направленных выбросов при подводных
взрывах и взрывах в грунтах. Приведенные в данной главе результаты
исследований основаны на работах [4-6].
38
Глава II
1.1. Постановка задачи: основные предположения, начальные
условия. В безграничной идеальной жидкости расположен заряд радиуса
Rch (бесконечной длины в случае цилиндрической симметрии).
Рассматривается изэнтропическое потенциальное течение жидкости с
уравнением состояния Тэта.
Начальные условия для продуктов детонации и на границе
газовой полости со стороны жидкости определяются из условия распада
произвольного разрыва для мгновенной детонации при постоянном
объеме и адиабатичности процесса с показателем адиабаты для
продуктов взрыва γ(ρ)·
При определении поведения границы взрывной полости
пренебрегаем внутренними отражениями волн разрежения,
распространяющихся в продуктах взрыва после распада.
Задача рассматривается в так называемом «пиковом»
приближении. Это означает, что, во-первых, определение параметров
ударной волны производится только в области, близкой к фронту. Во-
вторых, на границе полости с продуктами детонации изменение
давления p и энтальпии h во времени задается экспоненциальным
законом
где постоянная спада экспоненты θ определяется из условия
равенства на контактной поверхности полных производных по времени от
давления (р,рg) и скорости (u, υ) по обе стороны границы:
Начальное значение θ(0) определяется следующим образом. Из
обобщенного уравнения пульсации взрывной полости
выделяем производную энтальпии и после замены dH = ρ-1dp и
R = и приводим (2) к виду
Аналогичное уравнение необходимо получить и для продуктов
детонации. Для этого воспользуемся решением волнового
уравнения для сходящихся волн Φ = Ф(t + r/cg,0) = Ф(ζ)· После
известных преобразований, аналогичных выполненным в гл. 1, Φtt = Gt,
Ударные волны в жидкости ...
39
Фr = Ф'/сg,0 = Фt/cg,0 = G/cg,0, где c9,0 — скорость звука в
невозмущенном газе, индексы t, r означают соответствующую производную,
а штрих — производную по ζ, получим уравнение для сходящихся
характеристик
которое после обобщения принимает окончательный вид
Здесь G — инвариант на характеристиках, сходящихся в продуктах
детонации со скоростью (сg — ν).
Раскрывая это уравнение по известной аналогии с заменой
частных производных на полные, для продуктов детонации получаем
Складывая правые и левые части уравнений (3) и (4), с учетом
условий (1) на контактной границе получаем
где с учетом условия и = ν
На основании пикового приближения имеем
или
что, с учетом (5), позволяет получить выражение для определения
начального значения постоянной спада экспоненты:
40
Глава II
Кроме того, начальные условия включают данные по р(0), и(0) из
распада разрыва (гл. 1), а также основные характеристики на
границе взрывная полость — жидкость
и в продуктах детонации
Здесь начальные параметры мгновенной детонации определяются по
известным соотношениям р* = ρ*(γ* — 1)Q, с*2 = D2γ*/2(γ* + 1)
(индекс * присвоен продуктам детонации).
1.2. Уравнение движения границы взрывной полости. Функция Ри-
мана. Время задержки. Предположение об инвариантности функции
G на характеристике (c+ v) является принципиальным и
существенно упрощает решение задачи об изэнтропическом течении идеальной
сжимаемой жидкости. Действительно, в силу инвариантности G
достаточно знать ее значение в каждый момент времени на
поверхности взрывной полости, чтобы она с учетом времени запаздывания
была определена в любой точке жидкости. Таким образом, с
принятием этого предположения основная задача сводится к решению
уравнения динамики взрывной полости (2) с одним из уравнений
состояния продуктов детонации, представленных, например, в гл. 1.
Для определения параметров ударной волны в окрестности ее
фронта воспользуемся оригинальной моделью Кирквуда — Бете и
применим пиковое приближение не только для определения
начального значения 0(0) (постоянной спада в профиле давления), но и
для моделирования поведения энтальпии на контактной границе.
Уравнение движения границы полости в «пиковом» приближении
(H(t) = H(0)ехр(-t/θ(0))) принимает вид
Ударные волны в жидкости ...
41
и при рассмотрении ближней зоны позволяет обойти непростой
вопрос об уравнении состояния расширяющихся продуктов детонации
(здесь Мb = и/с).
Следующий принципиальный момент в постановке задачи о
подводном взрыве состоит в замене массовой скорости и в
окрестности фронта ударной волны на функцию Римана
которая для уравнения состояния жидкости типа Тэта принимает
вид
Такая замена позволяет все основные характеристики и функции
задачи выразить через σ
при этом
В дальнейшем полезно ввести обозначение β = (n + 1)/4с0.
Заметим, что разное обозначение времени в приведенных выражениях не
случайно: t — время, «жестко» связанное с динамикой взрывной
полости, a tfr — время, «жестко» связанное с фронтом ударной волны.
Оно определяется очевидным условием
Интеграл в правой части (8) определяет время распространения
возмущения от его «зарождения» на поверхности взрывной полости в
42
Глава II
момент t до момента, когда оно догонит фронт ударной волны. Это
так называемый интеграл задержки, при расчете которого функция
G, определенная в момент t на границе взрывной полости, является
инвариантом.
Решение задачи о подводном взрыве проводится по следующей
схеме:
1. Уравнение (7) динамики полости с продуктами детонации (в
рамках пикового приближения) решается независимо от того, что
происходит с окружающим полем давления. В связи с этим его
можно рассматривать как некоторый закон движения поршня
(плоского, цилиндрического или сферического), генерирующего в жидкости
ударную волну.
В результате решения этого уравнения в каждый момент
времени t мы имеем R(t) и G = Rv/2[H(R) + R2/2].
2. Поскольку величина G является инвариантом на
характеристике, распространяющейся со скоростью (с + υ) или (с + σ),
справедливо равенство
3. Возмущение G(R), «зародившееся» на поверхности взрывной
полости в момент времени t, догонит фронт ударной волны через
время задержки
Действительно, напомним, что с + σ = со(1 + 2βσ), a U ~ c0(1 + βσ),
т. е. c+ σ > U. При этом, заметим, что положение фронта rfr заранее
не известно и по мере приближения к нему возмущения продолжает
динамически изменяться.
4. Для определения давления используется связь Ω(σ) : βσ =
(1/2)(v1 + 4βΩ/c0 — 1), которая с учетом равенства Ω = G/rv/2
переписывается в виде
В выражении для функции Римана ρ заменяется на р:
Ударные волны в жидкости ...
43
Отсюда после подстановки βσ и несложных преобразований
окончательно получаем
Основной проблемой в решении поставленной задачи является
интегрирование уравнения (8) для определения координаты
фронта ударной волны rfr. Методы решения уравнения (8) могут быть
различными. Остановимся на двух из них.
1.3. Вычисление интеграла задержки (для ν = 1, 2). Для
преобразования интеграла используем свойство инвариантности
функции G (dG = 0), которая сохраняется на всем промежутке
интегрирования для каждого своего значения при фиксированных R(t):
Это позволяет сделать замену переменных
и привести интеграл к промежуточному виду
Из условия инвариантности следует, что r = [G(R)/Ω(r)]2/v, и,
следовательно,
Из определения Ω, βσ(1 + βσ) = βΩ/c0, следует dβΩ,/c0 = (1 +
2βσ)d(βσ) и (1 + 2βσ) = \/1 + 4βΩ/c0, подстановка которых в
интеграл и замена переменных у = 4βΩ/c0 приводят интеграл к виду,
удобному для анализа:
Чтобы наглядно продемонстрировать схему решения,
рассмотрим случай у < 1, для которого несложно получить следующие
аналитические решения.
44
Глава II
• Сферическая симметрия
Здесь в силу инвариантности функции G сделаны замены: в первом
слагаемом в квадратных скобках G(R) на (G, под логарифмом — G
на G(R). Окончательно имеем
• Цилиндрическая симметрия
Схема расчета профиля давления в этой постановке выглядит
следующим образом:
1) задаем координату r точки в пространстве;
2) из решения уравнения (7) динамики взрывной полости
получаем для каждого момента времени t, «жестко» связанного со
взрывной полостью, значения R и G(R);
3) из уравнений (12а) или (126) для фиксированного r
получаем спектр значений времен задержек tdel соответствующих спектру
значений R и G(R), и, следовательно, спектр времен tr = (t + tdel) —
времен прихода в точку с координатой r возмущений, которые в
различные времена t «возникали» на поверхности полости в процессе
ее расширения и пробегали расстояние (R — r) за время tdel со
скоростями (с + σ);
4) на основании (11) строим в данной точке пространства
распределение р(t|r);
5) полученная функция p(t) неоднозначна, что физически
соответствует образованию ударной волны, для которой положение
фронта tfr и амплитуда pfr находятся из геометрического условия
«равенства площадей».
По этой схеме можно численно рассчитать интеграл (12) и
построить для фиксированного r распределение p(t). Эта процедура
довольно трудоемкая, поэтому наиболее практичным выглядит
непосредственный расчет уравнения (8) по алгоритму, изложенному
ниже.
Ударные волны в жидкости ...
45
1.4. Расчет сильных ударных волн (пиковое приближение,
цилиндрическая симметрия). Перепишем уравнение (8) в виде
и введем обозначения а = 4βΩ(0)/c0, τ = tc0/R(0), ξ = exp(—t/θ(0)),
r = r/R(0), R = R/R(0), rfr = rfr/R(0).
Запишем уравнение (13) для двух близких моментов времени
где, согласно пиковому приближению, ξ(1) = ехр(—t1/θ(0)), ξ(2) =
ехр(—t2/θ(0)), a ξ1,2 меняется, соответственно, в пределах ξ1 = 1 –
ехр(-t1/θ(0))), ξ2 = 1 - exp(-t2/θ(0)).
Представим первый интеграл второго уравнения в виде
где ξ меняется от ξ(1) до ξ(2). Теперь для шага по времени Δτ =
τ2 — τ1 имеем Δτ = I1 — I2 + I3, где
46
Глава II
При известных τ, rfr,1 (по предыдущему шагу) и заданном Δτ
интегралы I1, I2 находятся легко. Далее методом шагов подбиралась
такая координата фронта rfr,2, при которой I3 становился равным
Δτ + I2 — I1. После этого несложно вычислить давление во фронте
ударной волны по приведенной выше зависимости.
1.4.1. Результаты расчета. Сравнение с экспериментом. В
качестве примера были рассчитаны параметры ударных волн в области
фронта в зависимости от расстояния для шнуровых зарядов ДШ из
различных взрывчатых веществ (ВВ): тэна (ρ* = 1,42 г/см3, Q =
1,4 ккал/г, W = 10 г/м), тротила (ρ* = 1,59 г/см3, Q = 1,0 ккал/г,
W = 11,2 г/м) и гексогена (ρ* = 1,32 г/см3, Q = 1,29 ккал/г,
W = 15 г/м). Эти параметры сравнивались с экспериментальными
данными [7]. Скорость детонации для всех типов ВВ была
одинаковой — D = 7 км/с. Согласно постановке задача о взрыве
рассматривается в рамках условия «мгновенной детонации при постоянном
объеме», что означает очевидное равенство 12(0) = Rch.
Отметим, что для сравнения, так же как и при обработке
экспериментальных данных в [7], в диапазоне давлений pfr > 200 МПа
строился профиль конической ударной волны, скорость фронта N
которой находилась с учетом конечности скорости детонации ДШ
(метод независимых сечений) по формуле N = U[1 + (U/D))2]-1/2,
затем по N определялось давление во фронте.
Результаты расчета давления во фронте ударной волны (G ос
r0,5) приведены на рис. 1 (кривая 1), где они сравниваются с
экспериментальными данными [7] (темные точки) для приведенных
расстояний r0fr = rfr/vq [м3/2/ккал1/2] (q = QW — теплота взрыва
на единицу длины ДШ). Видно, что совпадение вполне
удовлетворительное. Для сравнения на рис. 1 (кривая 2) приведены данные
расчета Рича и Гинела для тротила (G ос r0,4) и данные
эксперимента [1] (светлые точки). Кривая 3 соответствует автомодельной
зависимости pfr = 0,29(r0fr) .
1.4.2. Динамика постоянной спада давления θ(rfr). Очевидно, что
решение задачи о распространении ударной волны в известном
смысле считается завершенным, если кроме давления во фронте волны
в каждой точке пространства также известно как меняется
постоянная экспоненты. Эта зависимость может быть определена из связи
между масштабами времени для газовой полости t и фронта tfr [1].
Зафиксируем границу полости в некоторый момент времени t0,
которому будет соответствовать момент tfr,0 прихода ударной волны
Ударные волны в жидкости ...
47
Рис. 1. Значения давления
во фронте
цилиндрической ударной волны
подводного взрыва (расчет):
i — инвариант G ос r 0,5, 2 —
инвариант G ос r0,4
(предположение Рича — Гинела),
светлые и темные точки —
экспериментальные данные
[1] и [7] соответственно, 3 —
автомодельная зависимость
в точку r. Ограничиваясь членом первого порядка, разложим t в ряд
Тейлора в окрестности t0·
Здесь η — коэффициент, определяющий динамику постоянной спада
Из (8) несложно определить
Если ввести переменную g = G(R,t)/G(0), использовать
приведенное выше соотношение для βσ и Ω и сделать замену переменных (dr
на da), то после несложных преобразований получим
Здесь θ(0) = θ(0)с0/R(0), индекс * присвоен параметрам на границе
полости. При известной связи t и rfr значение η легко определяется.
48
Глава II
Рис. 2. Расчетная
зависимость от расстояния
постоянной спада давления
за фронтом
цилиндрической ударной волны
подводного взрыва:
точки — экспериментальные
данные для тротила [7]
На рис. 2 представлены результаты расчета зависимости
постоянной спада за фронтом θ0 = θ/vq от приведенного расстояния rfr0,
которая сравнивается с экспериментальными данными работы [7].
1.4.3. Основные параметры. На основании данных [7] и
приведенного расчета можно определить зависимости давления во фронте
ударной волны ρ и постоянной спада θ для различных приведенных
расстояний r0 от шнурового заряда (индекс fr здесь опущен):
(Q измеряется в ккал/г, W — г/м, r — м, p — МПа, θ — с). Заметим,
что при измерениях в ближней зоне (< 5 см) в [7] использовались
насыпные заряды из тэна (ρ ~ 1 г/см3, W = 21 – 60 г/м, D = 5,5 км/с).
При этом давление определялось по скорости ударной волны, что и
определило максимальную степень 1,08 в зависимости р(r0).
На рис. 3 результаты расчета параметров цилиндрической
ударной волны методом характеристик (точки) сравниваются с
данными, полученными в рамках приближения Кирквуда — Бете
(кривая). Начальные условия определялись из распада произвольного
разрыва в момент падения детонационной волны на границу
раздела ВВ — жидкость при условии инициирования детонации в центре
Ударные волны в жидкости ...
49
Рис. 3. Амплитуда
цилиндрической ударной волны при
подводном взрыве тротилового
шнурового заряда (расчет):
точки — данные расчета методом
характеристик
шнурового заряда. Расчет проведен в предположении адиабатично-
сти (с показателем γ = 3) расширения продуктов детонации
тротила. При этом энтальпия на границе газовой полости со стороны
жидкости определялась уже не из условия пикового приближения, а в
предположении адиабатичности расширения продуктов детонации.
Совпадение приведенных на рис. 3 данных дает основание считать
приближение Кирквуда — Бете и выбранный метод расчета
уравнения (8) для сильных ударных волн вполне удовлетворительными.
Результаты расчета и обобщенные экспериментальные данные
можно представить и в более наглядном виде (для тротила) как
функцию безразмерной координаты r = r/Rch:
Сравнение этих данных с р(r0) для той же степени затухания
показывает, что результаты оказываются близкими (с точностью до
несколько процентов), начиная со значения r0 > 4 · 10-3.
На рис. 4, приведены экспериментальные данные по динамике
скорости Ufr, где нижняя кривая (точки Δ, ▲) получена для заряда
при
при
при
при
при
при
при
1 < r < 2,5,
1,6 < r < 8,5;
2,5 < r < 6,
8,5 < r < 50;
6 < r < 15;
50 < r <3 200;
15 < r <3200.
50
Глава II
Рис. 4. Зависимость скорости фронта цилиндрической ударной
волны при подводном взрыве шнурового заряда:
точки — экспериментальные данные для тэна (*), тротила (·) и
гексогена (о); точки Δ, А — данные для заряда из насыпного тэна
при D = 5,5 км/с
при
при
при
при
при
1 < r < 10,
r > 10,
0 < τ < 5,75,
5,75 < τ < 26,3,
26,3 < τ < 263.
тэна насыпной плотности. Данные по Ufr как функции координаты
фронта rfr одномерной цилиндрической ударной волны, полученные
в рамках модели Кирквуда — Бете (ниже в формулах индекс fr для
простоты опущен) могут быть представлены в виде следующих
степенных аппроксимаций:
1.5. О параметрах слабых цилиндрических ударных волн в воде на
большом расстоянии от заряда (у = 1, 2). Определение
асимптотических зависимостей для давления и постоянной спада за фронтом
основано на использовании известных соотношений теории
Кирквуда — Бете [5], которые существенно упрощаются при r >> Rch, когда
Ударные волны в жидкости ...
51
зависимость функции Римана σ от давления становится линейной.
Действительно, преобразуем σ при условии, что p < В:
Тогда
За исходную поверхность, параметры на которой определят всю
дальнейшую волновую картину, примем некоторую поверхность r1.
Будем считать, что на ней известно давление как функция времени,
p1(t1)> где t1 = 0 соответствует моменту прихода фронта ударной
волны в точку r1:
Основное уравнение для времен имеет тот же вид
При заданной зависимости p1(t1) определена функция G(t1), которая,
«зародившись» в момент t1 на поверхности радиуса r1, сохраняется
неизменной при дальнейшем распространении волны со скоростью
с + σ, что дает возможность сделать замену переменных. Так как
имеем
где r = (ρ0G(t1)/(p — р0)) · Подстановка и несложные
преобразования в рамках принятых приближений приводят к следующему
определению времени задержки для асимптотики:
Этот интеграл легко берется и, в конечном итоге, при учете
инвариантности функции G приводит к тому же результату, что и в
52
Глава II
ближней зоне, отличаясь, естественно, простотой определения
«граничных» условий.
• Сферическая симметрия
• Цилиндрическая симметрия
Ограничимся цилиндрическим вариантом асимптотики, для
которого
При этом t1 можно записать как
или, если использовать инвариантность функции G,
что позволяет записать tfr в виде
Если взять дифференциал от обеих частей и, исходя из
определения Ufr = drfr/dtfr ~ с0 + β(p — р0)/ρ0, сделать замену dtfr на
drfr/Ufr, несложно получить следующее дифференциальное
уравнение для асимптотики распределения давления во фронте ударной
волны:
Численный анализ этого уравнения показал, что в диапазоне 3 200 <
rfr < 106, где rfr = rfr/Rch, распределение амплитуды (в МПа)
можно аппроксимировать простой зависимостью
Ударные волны в жидкости ...
53
Здесь были использованы следующие граничные условия на r1: r1 =
3200, p1 = 4,73 МПа, θ1 = 59Rch/c0.
При rfr — уравнение (14) существенно упрощается: в
числителе и знаменателе (в скобках) остаются только последние члены.
Таким образом, функция pfr(rfr) определится дифференциальным
уравнением
из которого следует, что асимптотическая зависимость давления во
фронте ударной волны определяется по закону
где индекс in присваивается параметрам ударной волны,
определенным по (15) на одном из расстояний в конце упомянутого для этой
зависимости диапазона. Это решение совпадает с известной
асимптотикой Ландау — Христиановича [8, 9].
Асимптотика для θ может быть определена следующим образом.
Используя соотношение (15), уравнение
— время распространения фронта ударной волны до точки rfr — и
определение скорости фронта в виде U ~ C0-1 /[1 — (n + l)pf/r/4nB],
получаем
где τfr = tfrC0/r1.
Время τ, за которое давление в точке rfr примет значение р,
определится с учетом времени задержки прихода соответствующего
возмущения в эту точку, инвариантности функции G и замены ti
через pmax, и θ1:
Вычитая τfr из τ и полагая τ — τfr = θ, p = рfr/е, несложно получить
распределение для постоянной спада:
54
Глава II
Отсюда для расстояний, по крайней мере, до rfr ~ 106,
результаты расчета можно аппроксимировать простой зависимостью θ ~
Асимптотическое решение имеет несколько иную степень — θ ос
rfr0,25 , что также аналогично асимптотике Ландау — Христиановича
[8,9].
2. Гидродинамические ударные трубы
(лабораторные методы генерации
ударных волн в жидкости)
В ряде задач гидродинамики высокоскоростных процессов
возникает необходимость моделирования в лабораторных условиях
достаточно мощных ударно-волновых нагрузок с управляемыми
параметрами. Для этого создан целый спектр гидродинамических
ударных труб, отличающихся методами генерации, конструкция которых
определяется конкретными целями исследований. Можно выделить
четыре основные конструктивные схемы ударных труб: коническая
ударная труба, гидродинамическая с одной диафрагмой,
электромагнитная и гидродинамическая импульсная двухдиафрагменная труба
(рис. 5).
2.1. Коническая ударная труба. Конструкция предназначена для
моделирования подводного взрыва. В этой схеме (рис. 5,а)
предполагается, что параметры ударной волны от взрыва сферического
заряда в безграничной жидкости могут быть реализованы, если в
пространстве выделить некоторый телесный угол и поместить в его
вершину соответствующую долю заряда. Хотя и очевидно, что
система таких конусов не может полностью заполнить все сферическое
пространство, Филлеру [10] удалось в результате
экспериментальных исследований сформулировать в такой схеме условие
моделирования сферического взрыва (по весу заряда):
Здесь Q — моделируемый вес заряда, q — используемый в
установке вес заряда, k ~ 0,21 — экспериментальный коэффициент потерь,
2Θ — полный плоский угол конуса. В экспериментах использовалась
ударная труба с 2θ = 7°. Взрыв заряда тротила весом q = 0,5 г
оказался эквивалентным взрыву заряда весом в Q ~ 113 г в
безграничной жидкости.
Ударные волны в жидкости ...
55
Рис. 5. Принципиальные схемы гидродинамических ударных
труб:
а — коническая с ВВ, б — аналог газодинамической с газом G под
высоким давлением, β — электромагнитная со взрывающейся
проволочкой 1 или импульсным магнитным полем B(t), толкающем
мембрану, г — импульсная двухдиафрагменная с метаемым
жидким (или твердым) поршнем 2
Коэффициент усиления в такой схеме определяется
отношением полного телесного угла 4π к телесному углу, выделяемому
конусом ударной трубки 2π(1 — cos θ), который в более компактном виде
представлен в приведенной выше формуле как sin-2 (θ/2). Идеальное
значение коэффициента усиления (без потерь) равно 1070, реально
он оказался равным примерно 230. Судя по тому, что законы
изменения и амплитуды, и постоянной спада давления за фронтом с
расстоянием оказались подобными известным выражениям для
безграничной жидкости, основные потери в такой схеме (коэффициент
k) определяются условиями инициирования детонации микрозаряда
в «казеннике» ударной трубки.
2.2. Одномерная гидродинамическая ударная труба с одной
диафрагмой. Ее схема представлена на рис. 5,6: камера высокого
давления (газ G) отделена диафрагмой d от камеры низкого
давления (жидкость) [11]. При разрыве диафрагмы по жидкости побежит
ударная волна (индекс параметров sh), по газу — волна
разрежения (индекс rf). Индексы g и l относятся соответственно к газу и
56
Глава II
Рис. 6. Амплитуда ударной
волны в жидкости psh как функция
давления в секции G — рg
1 — вода, 2 — воздух
жидкости. Если теперь выписать соотношения
— для массовой скорости в волне разрежения
— для законов сохранения массы и момента на скачке
— для отношения плотностей и скорости звука в жидкости,
используя уравнение состояния Тэта
то их комбинация вместе с условиями равенства массовых скоростей
и давлений на контактном разрыве ush = urf и psh = prf позволит
получить уравнение для гидродинамической ударной трубы [11]:
(γg — показатель адиабаты газа, n = 7,15, В = 301 МПа). Из этого
уравнения следует интересный вывод, что данная схема генерации
приводит к предельному значению амплитуды psh,max ударной
волны в жидкости (рис. 6, пунктирные линии справа от кривых 1, 2),
Ударные волны в жидкости ...
57
Таблица 1
Среда
Вода
Воздух
Гелий
Водород
Psh,max, МПа
1,165 · 103
8,05 · 103
2,0 · 104
7,4 · 104
U, м/с
2,4 · 103
4,65 · 103
6,7 · 103
1,17 · 104
иsh, м/с
480
1720
2 980
6 300
Psh
1,25
1,59
1,80
2,165
Csh
1,76
4,19
6,09
10,8
Μ
1,6
3,1
4,46
7,8
[ревышение которого невозможно, так как оно возникает при
условии рg —> :
Этот результат показывает, что предельное значение psh,max (здесь
финято, что pl < psh и B, а В < Рsh,mах) существенно зависит
от типа газа в камере высокого давления: например, для воздуха
psh,mах = 8,05 · 103 МПа, для гелия — 2 · 104 МПа, для водорода —
7,4 · 104 МПа.
В табл. 1, в предположении, что во всем используемом диапа-
зоне справедливо уравнение Тэта, приведены асимптотические зна-
чения параметров ударных волн, достигаемых в схеме однодиафраг-
менной гидродинамической ударной трубки для различных газов.
Наиболее интересный результат для практического использова-
ния ударных труб такого типа получается в случае генерации отно-
сительно слабых ударных волн в жидкости, когда psh Б 100 МПа.
В этом случае рsh ~ ρlucl, где и — массовая скорость жидкости
зa фронтом ударной волны. Тогда условие на контактном разрыве
заметно упрощается
и после несложных преобразований приводится к виду
Примечание.
58
Глава II
Рис. 7. Принципиальная схема экспериментальной установки
по генерации ударных волн в жидкости импульсным
магнитным полем (а) и волновой профиль (б):
1 — кювета, 2 — дюралюминиевая мембрана, 3 — плоская спираль,
4 — искровой разрядный промежуток, 5 — медный диск
из которого следует, что Psh/Pg ~ 1 — γPg/clclρl. Таким образом,
давление в ударной волне р8h после разрыва диафрагмы
оказывается практически равным начальному давлению газа рg. Тарировка
датчиков давления в такой ударной трубе становится элементарной
задачей.
Из результатов работы [11] также следует вывод о
возможности использования адиабаты Тэта в качестве ударной адиабаты для
воды в диапазоне динамических давлений до 45000 МПа, что
подтверждается сравнением с экспериментальными данными Раиса —
Уолша [12] и теорией Кирквуда — Ричардсона [13] по скорости
ударных волн, массовым скоростям и скорости звука. Аналогичные
результаты были отмечены в [14].
2.3. Электромагнитная схема ударной трубы. Эта схема обычно
реализуется в виде двух версий, в основе действия которых лежит
один и тот же принцип накопления энергии батареей конденсаторов.
В качестве нагрузки в первой версии схемы используется либо
разрядный промежуток в рабочей среде, либо взрывающаяся
проволочка, стабилизирующая канал разряда. Во второй версии батарея
нагружается на проводник в виде плоской спиральной катушки,
переменный ток в которой генерирует импульсное магнитное поле.
Остановимся на последней схеме, показанной на рис. 7,а [15].
Электромагнитная гидродинамическая ударная труба, предна-
Ударные волны в жидкости ...
59
значенная для генерации ультракоротких (микросекундной
длительности) ударных волн в жидкости, представляет собой прозрачную
рабочую секцию 1 диаметром 80 мм, наполняемую
дистиллированной водой. Центральной частью дна секции служит проводящая
дюралюминиевая мембрана 2 диаметром 30 мм и толщиной 0,8 мм.
Управляющая секция ударной трубы (электромагнитный источник)
состоит из высоковольтной батареи конденсаторов (Б) и плоской
спиральной катушки 3, которая помещается между мембраной и
массивным медным диском 5. Батарея емкостью 2 мкФ с
индуктивностью 25 нГ может накапливать энергию до 100 Дж при
напряжении 10 кВ. В разрядной цепи батарея конденсаторов соединена со
спиралью искровым разрядным промежутком 4, играющим роль
выключателя.
При поджигании разрядного промежутка внешним
высоковольтным импульсом происходит разряд батареи конденсаторов на
плоскую катушку, генерирующую мощное импульсное магнитное
поле. Этот магнитный импульс приводит в движение мембрану,
которая возбуждает в исследуемом образце жидкости плоскую
ударную волну. При низкой индуктивности разрядной цепи контур
«батарея — спираль» может быть замкнут за очень короткое время.
Параметры контура подобраны таким образом, чтобы генерировать
ударную волну с амплитудой порядка 10 МПа, временем нарастания
около 1 мкс и длительностью 3 – 4 мкс.
Минимальные потери магнитного поля в промежутке между
мембраной и диском и практически апериодический характер
разряда достигаются при условиях
где h — толщина мембраны (диска), δ — глубина скинслоя, ε —
диэлектрическая постоянная, с — скорость света, σ — проводимость
материала, ω — угловая частота разряда, R — сопротивление, L,
С — индуктивность и емкость контура соответственно.
При высоте столба жидкости 30 мм в рабочей секции
установки линейный размер волновой зоны, генерируемой мембраной, из-за
диффракционных эффектов уменьшается с 30 мм вблизи нее до 20 мм
вблизи свободной поверхности жидкости. Можно утверждать, что
в исследуемом образце жидкости возникает свободная волновая
зона. Таким образом, в разумном временном интервале регистрации
можно не учитывать влияние стенок рабочей камеры на
исследуемый процесс (например, при исследовании начальной стадии разви-
60
Глава II
тия кавитации вблизи свободной поверхности при отражении от нее
ударной волны). Экспериментальные данные по измерению массовой
скорости электромагнитным датчиком подтвердили, что в
исследуемой области в течение времени наблюдения регистрируются только
падающая и отраженная от свободной поверхности волны [15].
Электромагнитный датчик представлял собой узкую полоску
лавсановой алюминизированной пленки толщиной 15 мкм и длиной
l = 20 мм, свободно соединенную с контактами и помещенную в
постоянное магнитное поле с индукцией В = 0,06 Тл. При
движении полоски со скоростью потока и за фронтом падающей ударной и
отраженной волн в полоске индуцировалось напряжение в
соответствии с известным соотношением U = —Blu.
Как показали эксперименты, параметры ударной волны,
генерируемой таким электромагнитным источником, оказались
устойчивыми и воспроизводимыми. На рис. 7,б показаны
экспериментальные данные по профилю фронта ударной волны, измеренному
датчиком давления на PVDF-основе в исследуемой области на двух
расстояниях от мембраны — 5 и 23 мм (штриховая линия). Видно, что
волновой профиль стабилизируется, когда датчик перемещается от
мембраны к свободной поверхности, вблизи которой профиль фронта
ударной волны сглаживается.
Схема установки включает также He-Ne лазер (Л) и
фотоумножители (ФЭУ) — систему, позволяющую исследовать
особенности начальной стадии развития пузырьковой кавитации, и
емкостной датчик смещения свободной поверхности (Д) (см. рис. 7,а).
Последний представляет собой две плоскости, внутреннюю 15 мм
диаметром и внешнюю 30 мм, расположенных на расстоянии 0,5 мм.
Внешняя плоскость делалась из тонкой алюминизированной
пленки толщиной 15 мкм и помещалась непосредственно на свободную
поверхность жидкости. Напряжение между пластинами
поддерживалось на уровне 100 В. Чувствительность такого датчика по
смещению порядка 1 мкм.
2.4. Импульсные двухдиафрагменные гидродинамические ударные
трубы. Как очевидно из изложенного, несмотря на положительные
результаты, достигнутые в схеме с микронавесками ВВ в
конических ударных трубах, этот метод не может обеспечить в
лабораторных условиях регулировку амплитуд и длительностей
генерируемых волн в сколько-нибудь широком диапазоне параметров из-за
трудностей как конструкторского характера (при применении
больших зарядов), так и из-за существования критического размера у
Ударные волны в жидкости ...
61
а
Рис. 8. Схема 2-х диа-
фрагменной ударной трубки
(а), моделирование
движения жидкого поршня в
гладком разгонном канале с
ударом о торец (б, Ι) и в канале
с неровностью (б, II):
1, 4 — датчики давления, 2 —
рабочая секция, 3 — лампа-
вспышка, 5 —
фоторегистратор, 6 — кран, 7 —
импульсный трансформатор, 8 —
жидкий поршень, 9 — твердый
поршень, 10 — газовый
ресивер
62
Глава II
зарядов малого веса. Газодинамический вариант с одной
диафрагмой требует высоких давлений в газовой камере и чисто технически
не может обеспечить постоянную амплитуду в волне и регулировку
ее длительности. Для реализации широкого диапазона параметров
при исследовании распространения ударных волн в жидкостях и
многофазных средах ударные трубы со взрывающимися
проволочками требуют использования достаточно больших накопительных
батарей конденсаторов, сложные системы блокировки и защиты от
мощной наводки.
Между тем для получения высоких амплитуд и длительностей
не обязательно использовать источники с еще более высокими
давлениями типа сжатых продуктов детонации или большие батареи
конденсаторов. Можно использовать высокоскоростные потоки
жидкости. Действительно, например для давлений Ё 100 – 150 МПа и
меньше, справедлива линейная зависимость между амплитудой
стационарной ударной волны ρ и массовой скоростью частиц за фронтом
и: p ~ ρlсlи, из которой следует, что давлению в 150 МПа
соответствует массовая скорость всего в 100 м/с. Получение одномерного
потока жидкости с такими скоростями не составляет проблемы, а
мгновенное его торможение на препятствии (твердом или жидком)
позволит получить соответствующие давления. Такой метод
впервые был предложен в [16] и затем рассмотрен в [17]. Проанализируем
его более подробно.
2.4.1. Экспериментальная установка. Как уже отмечалось,
предлагаемый метод основан на мгновенном торможении жидкого
(твердого) поршня, метаемого сжатым газом. Принципиальная
схема показана на рис. 8,а.
Ударная труба расположена вертикально и, как правило,
состоит из трех секций: газового ресивера высокого давления 10
(рассчитан на статическое давление до 20 МПа), разгонного канала с
метаемым жидким 8 или твердым 9 поршнем (вакуумируется через кран
6 частично или полностью в зависимости от типа поршня) и
рабочей секции 2 с исследуемой жидкостью. Последняя, как и ресивер,
отделена от разгонного канала диафрагмой (d2).
Один из рабочих вариантов установки может
ограничиваться двумя первыми из упомянутых секций, если в качестве
жидкого поршня используется исследуемая жидкость. Жидкий поршень,
естественно, отделяется от диафрагмы ресивера легким
герметично уплотненным промежуточным поршнем 9, предотвращающим
прорыв газа в жидкость при раскрытии диафрагмы d1. Ударная
Ударные волны в жидкости ...
63
волна в такой системе генерируется при ударе жидкого поршня о
жесткий закрытый торец разгонного канала. Такая двухсекционная
схема с метаемым жидким поршнем была использована для
создания мощных ударных волн типа ступеньки с амплитудой в сотни
МПа и длительностью в сотни микросекунд.
В этих экспериментах диафрагма d\ изготавливалась из
отожженной листовой меди толщиной 0,5 мм и имела специальные насечки,
глубина которых калибровалась в зависимости от требуемого
давления разрушения (нагрузки на метаемый поршень). Длина разгонного
канала вырьировалась от 1 до 2 м. В опытах с визуальными
наблюдениями часть секции вблизи торца изготавливалась из оргстекла и
помещалась в стальную обойму с узкими продольными щелями. В
боковой и торцевой стенках канала имелись вводы для датчиков
давления (4, 1) и контактных датчиков, служащих для синхронизации
процесса регистрации и импульсной подсветки. Движение жидкого
поршня на конечном этапе перед ударом фиксировалось на
вращающуюся пленку скоростного фоторегистратора в режиме непрерывной
развертки.
Для анализа структуры метаемого жидкого столба была
создана специальная аналоговая установка с прозрачным разгонным
каналом прямоугольного сечения. Съемки (рис. 8,5), сделанные на этой
установке, показали насколько важна гладкость стенок канала (см.
II): незначительная неровность (н) приводит к развитию
возмущения в метаемом жидком столбе (п) и, как следствие, к нарушению его
сплошности до момента удара [16]. С учетом того, что объем
газового ресивера намного превышает объем разгонного канала, движение
поршня можно считать равноускоренным, а его скорость оценивать
по элементарному соотношению ип ~ v2ppSxm-1, где рр —
давление в ресивере, S — площадь поперечного сечения канала (на
действующей установке ~ 7 см2), x — путь, пройденный поршнем, т —
его масса.
Так, например, при длине жидкого поршня около 0,4 м, массе
в 370 г и начальном давлении в ресивере 4 МПа на участке длиной
около 1,25 м поршень разгоняется до 140 м/с. При ударе о торец
трубы в нем возбуждается ударная волна типа ступеньки с
амплитудой более 200 МПа и длительностью около 600 мкс. Уменьшение
длины поршня в 4 раза при сохранение прочих условий увеличивает
амплитуду волны практически до 500 МПа, уменьшая ее
длительность примерно до 130 мкс.
64
Глава II
Для относительно слабых волн с амплитудой порядка 10 МПа
[18] обе диафрагмы (в двухдиафрагменной схеме) изготавливали из
тонкой пленки. Запуск процесса при этом осуществляли при
помощи электромагнита с иглой, помещенного внутрь газового
ресивера и предназначенного для принудительного разрыва диафрагмы
d\. В экспериментах со слабыми волнами использовали поршень из
фторопласта, который изготавливали в виде диска с кольцевым
стабилизатором для увеличения устойчивости его положения при
движении по каналу. Применяли в основном четыре вида поршней,
имеющих длину (включая стабилизатор) 33; 18,5; 11,5; 8 мм при
толщине диска 8,5; 11; 7; 4 мм соответственно. Скорость поршня
регистрировали двумя оптическими волоконными датчиками, принцип
действия которых основан на отражении света от стенки поршня.
Пучок оптический волокон общим диаметром 2 мм, помещался
торцом заподлицо со стенкой ударной трубы в конечной части канала
разгона поршня. Другой конец пучка разделялся надвое: к одному
присоединяли источник света, к другому — фотоприемник ФД-27К.
Свет от источника по части волокон излучался в канал разгона.
Когда поршень закрывал датчик, свет отражался от его стенки и по
части волокон приходил к фотодиоду. Сигнал с фотодиода через
усилитель поступал на частотомер Ч3-34а.
Скорость поршня определяли по времени прохождения им двух
датчиков на базе 20 мм. Ближний к диафрагме d2 датчик размещали
от нее на расстоянии 20 мм. Амплитуда ударной волны определялась
по известному выражению p ~ ρlисl, где и — скорость контактной
поверхности после удара. Последняя определялась на основании
данных о распаде произвольного разрыва, если рассматривался случай
удара жесткого поршня по диафрагме d2, или равнялась либо
скорости и (при ударе жидкого поршня о жесткий торец), либо и/2 —
при схеме удара «жидкость — жидкость».
Точность измерений зависит от расстояния между датчиками,
их диаметра и расстояния до диафрагмы. Система усиления
сигналов с датчиков обеспечивала их срабатывание в момент прохождения
кромкой поршня оси каждого из датчиков с точностью 0,25 мм, что
давало относительную погрешность измерения скорости около 2,5 %.
Несложно оценить, что измеренная скорость отличается от скорости
в момент удара не более, чем на 5 %, что составляет
систематическую погрешность.
Диафрагма d2, изготовленная из лавсановой пленки толщиной
0,05 мм, имела прогиб в несколько милиметров при вакуумировании
Ударные волны в жидкости ...
65
канала, что могло исказить волновую картину в результате удара
поршня по выпуклой поверхности. Поэтому для формирования
плоского фронта ударной волны на лавсановую диафрагму эпоксидным
клеем приклеивался металлический диск толщиной 0,8 мм. Для
исключения возможного демпфирующего влияния воздуха,
оставшегося после вакуумирования, в верхней части канала предусмотрена
узкая кольцевая щель и специальная полость.
2.4.2. Методы измерений. Профиль импульса слабых ударных
волн (~ 10 МПа) в жидкости регистрировался пьезодатчиками,
рабочий элемент которых располагался заподлицо со стенкой рабочей
секции ударной трубы. Пьезоэлемент датчика — посеребренная
пластинка ЦТС толщиной 0,5 мм и диаметром 1 мм — припаивался
сплавом Вуда к цинковому стержню длиной 150 мм с акустическим
сопротивлением, близким по величине к сопротивлению
материала керамики. К внешней поверхности элемента припаивался
тонкий проводник диаметром 0,09 мм, соединенный с корпусом датчика
(трубкой с внутреним диаметром 3 мм). Стержень датчика
акустически развязан от корпуса слоем воска. Стержень и корпус датчика
соединялись с центральной жилой и оплеткой кабеля РК-50,
соответственно. Собственная емкость пьезоэлемента с емкостью кабеля,
имеющего длину около 4 м, составляла 600 пФ, что с учетом
входных параметров регистрирующей системы (С = 30 пФ, R = 1 МОм)
дает постоянную времени 600 мкс. Это позволяло с достаточной
точностью измерять сигналы длительностью около 100 мкс.
Датчики тарировались ударными волнами от взрыва
стандартного детонатора ЭД-8в в бассейне с водой. Зависимость напряжения
от давления оказалась линейной в диапазоне от 5 до 30 МПа.
Эксперименты показали, что измеренная пьезодатчиком амплитуда
ударной волны (в случае слабых ударных волн) может быть примерно на
40 % меньше рассчитанной по скорости поршня. Причина
рассогласования связана как с влиянием металлического диска, наклеенного
на диафрагму, так и с пластическими деформациями
фторопластового поршня. Специальные измерения с использованием ряда пье-
зодатчиков, размещавшихся вдоль канала трубы как заподлицо со
стенкой, так и по оси в центре канала, показали, что при
распространении по столбу жидкости в металлической трубе амплитуда
ударной волны и ее профиль для исследуемого диапазона давлений
(до значений порядка 30 МПа) практически не изменяются.
В [16, 19] для измерения давления в сильных ударных волнах
были предложены германиевые датчики. В основу идеологии измере-
66
Глава II
ния был положен известный факт зависимости сопротивления
германия от статического давления [20]. Физически этот эффект
обусловлен изменением ширины запрещенной зоны Eg (ширина
энергетического интервала между заполненной валентной зоной и вакантной
зоной — зоной проводимости) с давлением р, которое, согласно
экспериментальным данным [20], можно определить зависимостью
(а = 5 · 10-6 эВ/атм), справедливой до 1,5 ГПа (15 кбар). Как
оказалось, изменение ширины запрещенной зоны, в конечном итоге,
существенно влияет на величину квадрата концентрации собственных
носителей [20], определяемую как
где p – давление, атм; Τ — температура, К; k — постоянная Больц-
мана. Для германия при комнатной температуре и атмосферном
давлении Eq00 = 0,75 эВ, при p = 10 кбар Eg = 0,8 эВ, a ni2 при этом
изменяется почти на порядок.
Схема датчика приведена на рис. 9 [19]. Германиевый элемент
1, имеющий размеры 1 x 1 x 0,5 мм, заливался эпоксидной смолой
3 с наполнителем (корундовый порошок), которая полимеризовалась
при комнатной температуре. Один его электрод замыкался
непосредственно на металлический корпус, в котором он заливался смолой,
другой (2) — изолировался. Электрическая схема включения
датчика (Д) показана на этом же рисунке. Здесь R — сопротивление
нагрузки (того же порядка, что и у датчика), С = 0,6 мкФ,
стандартная батарея аккумуляторов (Б) в несколько десятков вольт. Корпус
датчика устанавливался в стальную камеру 4 таким образом,
чтобы полупроводниковый элемент становился частью торца ударной
трубки и регистрировал генерируемую либо при ударе о торец,
либо падающую (при ударе по покоящейся жидкости) ударную волну
5. Камера 4 является рабочей секцией ударной трубки, которая
используется как часть разгонного канала в схеме удара о стенку или
как третья секция с исследуемой жидкостью.
Полупроводниковые датчики применялись при регистрации
ударных волн в диапазоне 30 – 500 МПа [16, 19]. При этом
нижний предел этого диапазона определялся практически
чувствительностью используемого в схеме усилителя (0,25 см/мВ). Чувствитель-
Ударные волны в жидкости ...
67
Рис. 9. Схема регистрации давления полупроводниковым
датчиком при ударе жидкого поршня о торец:
1 — германиевый элемент, 2 — электрод, 3 — эпоксидная смола,
4 — камера, 5 — ударная волна
ность регистрирующей схемы была не ниже 1/300 мВ/атм.
Минимальное время нарастания фронта в экспериментах составляло
менее 2 мкс и определялось наличием слоя смолы на поверхности
полупроводникового элемента, так как его собственная частота при
скорости звука в Германии 4930 м/с составляла примерно 3 · 10 Гц.
Чувствительность регистрирующей схемы может быть увеличена за
счет увеличения напряжения на батарее. Однако, как показал опыт,
для каждого конкретного элемента германия существует свое
оптимальное напряжение (подбираемое экспериментально), превышение
которого ведет к появлению тепловых шумов.
На рис. 10 показаны два метода тарировки полупроводниковых
датчиков: (а) оптический (по времени между двумя соседними
градиентами плотности 2 и осциллограмме давления 1); (б) —
статический (масло, Τ = 18 °С) [19]. В последнем случае тарировались
полупроводниковые датчики с сопротивлением элементов 471 (1) и
747 Ом с р-п переходом (2). По вертикали отложена величина
относительного сопротивления элемента. Зависимость носит линейный
характер и, кроме того, для 1 таковой сохраняется до 20 кбар. На-
Глава II
Рис. 10. Методы тарировки полупроводниковых датчиков:
а — оптический, б — статический
личие р-п перехода (рис. 10,б, кривая 2) значительно увеличивает
чувствительность регистрирующей схемы, но уменьшает
сопротивляемость механическим нагрузкам.
На рис. 11 приведена типичная осциллограмма давления,
записанная в торце двухдиафрагменной ударной трубы в случае
столкновения жидкого поршня с неподвижной жидкостью в рабочей секции.
При ударе по покоящейся и заторможенной средам
распространяются ударные волны. Датчик в торце регистрирует первую
отраженную волну 1 с практически постоянным давлением за фронтом.
Второй скачок 2 — результат взаимодействия волн, отраженных от
поршня и торца трубы. За фронтом этой волны наблюдается спад
давления, вызванный разгрузкой на нижнем торце поршня. Третий
скачок 3 — результат повторного взаимодействия упомянутых волн.
Сравнение осциллограммы со схемой взаимодействия волн в ударной
трубе подтверждает, что датчик точно воспроизводит все волновые
процессы, происходящие после столкновения двух столбов
жидкости.
Ударные волны в жидкости ...
69
Рис. 11.
Осциллограмма системы
отраженных ударных волн в
торце 2-х диафрагмен-
ной ударной трубки
(германиевый датчик)
Рис. 12. ри-Диаграмма для
схемы удара жидкого поршня по
неподвижной жидкости
Естественно, один из надежных способов тарировки — это
тарировка в самой гидродинамической ударной трубе [16].
Амплитуда волны рассчитывается по скорости столба жидкости и в момент
торможения и уравнению состояния (например, Тэта):
где ρ и ρ — плотность и давление во фронте ударной волны.
2.4.3. ри-Диаграммы для расчета параметров гидродинамических
Ударных труб по схеме удара, ри-Диаграмма схемы удара
представлена на рис. 12. Здесь состояние 1 отнесено к неподвижной среде, 4 — к
движущейся. Из диаграммы несложно определить, что при ударе по
обеим средам распространяются ударные волны, если выполняются
Два приведенных ниже условия:
70
Глава II
1) p4 < p1 гДе p1 соответствует пересечению вертикали u4 с
правой ударной веткой (рис. 12) и определяется по формулам
ударного перехода для покоящейся жидкости:
где р1 = (р1 + Β)/(pι + В).
Используя определение λ = —U/c1, получаем выражение
из которого легко найти такое и4, при котором р4 < р1.
Альтернатива решению I очевидна. Если свойство среды в состоянии 1 таково,
что при ударном переходе в состояние со скоростью u4 давление
скачком увеличивается до р" < р4, среда 4 в результате удара будет
разгружаться: получаем решение II.
2) p4 > p1, где р4 соответствует пересечению вертикали и = 0 с
левой ударной веткой. Для этого случая
Используя определение λ = (и4 + U)/c4, получим выражение
Можно показать, что в реальных случаях оба условия выполняются
и по обеим средам распространяются ударные волны. Отметим, что
последнее выражение определяет р4 — давление в ударной волне,
генерируемой при столкновении летящего со скоростью u4 столба
жидкости с твердой стенкой.
Для давления р2 (соответствует точке I) в ударной волне,
генерируемой в покоящейся жидкости при ударе, несложно получить
выражение
На рис. 13 приведены логарифмические зависимости давления в
ударной волне от скорости жидкого поршня, расчитанные по
нелинейной зависимости (кривая 1) и в акустическом приближении
(кривая 2) р2 ~ ρ1u4Сl. Видно, что акустический вариант для давлений
Ударные волны в жидкости ...
71
Рис. 13. Амплитуда ударной волны как функция скорости
жидкого поршня:
а — удар о твердую стенку, б — о неподвижную жидкость
выше 103 атм лежит заметно ниже точного решения. Приведенные
оценки показывают, что в рассмотренных случаях простыми
средствами легко получить ударные волны типа ступеньки с давлением
порядка 104 атм, для чего необходимо разогнать жидкий поршень до
скорости в несколько сотен метров в секунду. Меняя длину поршня,
можно задавать необходимую длительность сжатого состояния
жидкости до прихода волны, отраженной от свободного конца поршня.
В заключение этого параграфа, используя принятые выше
обозначения, отметим работу [17], в которой показано, что при u4/с4 <
1,2, где и4 — массовая скорость за фронтом ударной волны,
скорость фронта можно аппроксимировать соотношением типа с + кщ,
где k ~ 2 для воды, k ~ 1,56 для золота, k ~ 1,36 для стали, k ~ 1,28
для вольфрама. Последние результаты определены в задаче
соударения частиц с преградой при скоростях u4 < 3,6 км/с.
Если мишень жесткая, то для давления и скорости фронта
ударной волны в жидком поршне имеем соотношения
Здесь индекс 4 по-прежнему определяет характеристики взаимодей-
72
Глава II
ствующей с преградой среды (жидкости, летящих частиц и т. п.).
Если мишень упругая, для нее справедливо приближение р2 cz
ρ1u2c1, где ρ1c1 — акустический импеданс мишени. Если мишень —
жидкость, получаем
где и1 = u4 — u2 определяется из уравнения
(М4 = u4/с4), или, приближенно,
что справедливо, если импедансы жидкости и мишени сильно
отличаются.
2.5. Применение ударных труб для исследования быстрых
реакций в химических растворах за фронтом сильных ударных волн.
Метод ударных волн, как известно, эффективно применяется в
практике экспериментальных исследований релаксационных процессов в
газах при высоких температурах и, иногда, при физико-химических
исследованиях в конденсированных средах.
Предложенный в [16] и описанный в предыдущих параграфах
метод получения сильных одномерных ударных волн в жидкости
можно рассматривать как один из способов получения скачка
температуры 3.. .30 °С в исследуемом объеме жидкости [21].
Температурный скачок согласно оценке [22] определяется по
величине давления psh за фронтом ударной волны
где Т0 — начальная температура [°С]; psh — плотность [кг/м3], рsh
— давление за фронтом ударной волны [МПа]. Несложно оценить,
что при амплитуде в 100 МПа скачок температуры за фронтом не
превысит 3 °С.
Метод температурного скачка весьма эффективен для изучения
быстропротекающих химических реакций в растворах с временем
релаксации > 10-6 с. Температурный скачок достигается
различными способами:
а) высоковольтный разряд (жидкость нагревается током за
время порядка 1 мкс, однако при этом требуется высокая проводимость
Ударные волны в жидкости ...
73
раствора, т. е. приходится ограничиваться растворами с высокой
концентрацией ионов);
б) применение СВЧ (требуется высокий коэффициент
поглощения СВЧ, обеспечивает приращение температур лишь в интервале
0,1 – 1 °С);
в) оптический нагрев (поглощение видимого света,
ультрафиолетовое излучение от импульсной лампы, лазерные системы
нагрева) [23].
Все указанные способы имеют свои достоинства и недостатки и,
как правило, накладывают сильные ограничения на рабочий объем
исследуемого раствора. Кроме того, для этих способов характерен
кратковременный импульсный метод сдвига равновесия, когда
температурный скачок имеет незначительную протяженность во
времени, во всяком случае, много меньшую времени релаксации.
Применение же метода скоростного соударения с целью
определения скорости и величины сдвига термодинамического
равновесия для обратимых химических превращений в растворе позволяет
исследовать релаксационный процесс при сохранении температуры
или давления (по аналогии с [24]) после скачка, а также может найти
применение при комплексном исследовании реакций в жидкой фазе
с одновременным влиянием изменений давления и температуры.
На рис. 14 представлена схема рабочей установки. Исследуемый
раствор 2 помещался в камеру 3, выполненную из нержавеющей
стали. В качестве источника света использовалась лампа накаливания
4 (12 В, 100 Вт). Смещение равновесия за фронтом ударной
волны регистрировалось в виде поглощения на соответствующей длине
волны с помощью ФЭУ-18А (9). Для выделения требуемой длины
волны использовались интерференционные светофильтры 8 или мо-
нохроматор РМ-2М. Давление, создаваемое падающей ударной
волной, составляло 110 МПа, температурный скачок — 3 °С, время
нагрева исследуемого раствора — не более 2 мкс.
Проверка эффективности применения разработанной методики
для указанных целей была осуществлена на двух химических
реакциях [21], исследованных ранее другими релаксационными методами
[25, 26]. Кроме того, выбор был специально ограничен реакциями с
характерно выраженным температурным эффектом. Параметры
системы p и Τ выбирались так, чтобы согласно [27] исключить влияние
скачка давления на константы скоростей реакций. Система
позволяла исследовать кинетику быстрых реакций со временем
полупревращения от нескольких микросекунд до 600 мкс.
74
Глава II
Рис. 14. Схема рабочей секции гидродинамической ударной трубки
для исследования быстрых реакций в растворах:
1 — датчик давления, 2 — раствор; 3 — камера, 4 — лампа накаливания,
5 — конденсор, б — диафрагма, 7— объектив Юпитер-9, 8 — светофильтр,
9 — ФЭУ-18А, 10 — конические окна из оргстекла (размеры окна: dmin —
3 мм, dmax = 8 мм, l = 42 мм), 11 — тонкая латунная мембрана (0,05 мм),
12 — поршень
Рис. 15. Релаксационные процессы в быстрых реакциях в растворах
Ударные волны в жидкости ...
75
При прохождении ударной волны через раствор, находящийся
в состоянии равновесия, скачок температуры за ее фронтом
приводит к смещению равновесия, которое регистрируется по изменению
концентрации компоненты реакции, имеющей наибольший
коэффициент поглощения. С помощью спектрофотометра предварительно
определялись длины волн, на которых имеет место максимальное
поглощение света для каждого компонента реакции.
Константы скоростей прямой k1 и обратной k2 реакций
определялись по известным соотношениям (для случая равных исходных
концентраций) 1/τ = 2c0k2 k = 2с0k1/vк, где τ — постоянная
времени (определяется из эксперимента), c0 — исходная концентрация
реагирующих веществ, k = k1/k2 — константа равновесия
(определялась на спектрофотометре СФ-10 статическим методом).
Одна из исследуемых реакций — реакция тропеолина-0 (слабая
кислота) с водой — позволила провести проверку чувствительности
предложенного метода и определить время релаксации, значение
которого сравнивалось с определенным в работе [25]. В эксперименте
регистрировалось смещение за фронтом ударной волны в водном
растворе тропеолина в нейтральной среде при изменении концентрации
тропеолина от 0,78 · 10-5 до 6 · 10-5 моль/л. Максимум поглощения
тропеолина приходится на 4250 А.
Типичный снимок приведен на рис. 15,б (масштаб времени
10 мкс, амплитуда скачка давления во фронте ударной волны ~
102 МПа). Результаты опытов при T = 22 °С для постоянной
времени τ первого участка релаксации представлены в виде таблицы
с0 · 105 моль/л 0,78 1,08 1,86 2,90 3,97 6,0
τ · 106 с 30,5 20,0 16,6 13,5 10,1 6,0
На осциллограмме хорошо видны два участка
релаксационного процесса: первоначальное, после скачка температуры,
увеличение (примерно в течение 50 мкс) концентрации с тропеолина —
раствор темнеет, и последующее ее уменьшение до нового
равновесного состояния. Каждое значение τ определялось по результатам
нескольких измерений. Разброс величин составлял не более ±10%.
Эксперименты показали, что с увеличением концентрации
тропеолина время релаксации существенно уменьшается.
Для раствора тропеолина в щелочной среде зарегистрован
релаксационный процесс (рис. 15,в), полностью соответствующий ха-
76
Глава II
рактеру экспериментальных данных работы [25]. Значения
постоянных времени релаксации также оказались близкими.
При проведении измерений в этом случае было отмечено, что
в области с малой концентрацией тропеолина (при Τ = 20° С и
k = 0,714 · 10-2) постоянная времени релаксации слабо зависит от
концентрации:
с0 · 105 моль/л 0,78 1,56 1,92 2,25
τ-106с 25 23,7 21,7 21,7
k1 · 10-4 л/(моль·с) 1,2 1,30 1,40 1,40
k2 · 10-6 л/(моль·с) 1,7 1,83 2,0 2,0
Константы скоростей переноса электрона были измерены с
помощью описанной методики для реакции
Оптические характеристики компонентов реакции [21]
представлены в табл. 2.
Как видно, наибольший коэффициент поглощения имеет
комплекс двухвалентного железа, по изменению концентрации которого
и регистрировалось смещение равновесия. Типичная осциллограмма
релаксационного процесса приведена на рис. 15,а. Для равных
исходных концентраций реагирующих веществ с0 = 4,35 · 10-5 моль/л
и ионной силы 0,1 моля новое равновесное состояние
характеризуется временем релаксации τ = 20,7 мкс при Τ = 22,1 °С.
Вычисленные константы скоростей прямой и обратной реакций (при
Таблица 2
Комплекс
Fe (DMBPy)**
Fe {DMBPy)\+
IrCl*-
λтах, A
4 900
5 290
5 430
4150
εmax, МОЛЬ/СМ
3 920
8470
350
76
Примечание. λmах — длина волны, на которой
имеет место максимум поглощения (εmах — его
коэффициент). ·
Ударные волны в жидкости ...
77
константе равновесия к = 1,95), равные соответственно ~ 8 · 108 и
~ 4 * 108 л/(моль·с), близки к величинам, полученным в [26].
Приведенные экспериментальные результаты указывают на
возможность использования предлагаемого метода для исследования
неравновесных процессов в растворах, вызываемых скачком
температуры за фронтом сильной ударной волны.
3. Взрывная гидроакустика
Высокоскоростные изменения в физическом и химическом
состоянии среды, сопровождаемые практически мгновенным
выделением тепла, увеличением давления и температуры обычно
определяют как взрывной процесс. Химические среды, способные к такого
рода превращениям называют взрывчатыми веществами.
Процессы, происходящие со скоростями порядка 1 км/с и выше, называют
взрывными процессами.
Источники излучения или системы, основанные на такого рода
процессах называют взрывными источниками звука. Они
генерируют ударные волны и волны сжатия, которые можно определить как
поля давления с высокой плотностью энергии.
К таким источникам, кроме ВВ и взрывчатых газовых смесей,
высоковольтных электрических разрядов и различного типа
гидродинамических ударных труб, следует отнести так называемые
источники взрывного типа — «airgun», «watergun», «watershock» и
сфокусированные в жидкость мощные лазерные пучки. Основное
достоинство такого рода источников по сравнению с
традиционными — это высокий уровень преобразования энергии взрыва в
акустическую в форме мощного широкополосного сигнала, способного
распространяться на сотни километров и выделяться на фоне
естественного шума.
Ниже будут рассмотрены различные типы источников, их
характеристики, параметры детонации, ближние и дальние
волновые поля от взрывов стандартных В В, их спектральные
характеристики, а также нетрадиционные источники, специально
разработанные для решения проблем направленности и управления энергией
излучения [28].
3.1. Основные характеристики взрывных источников звука.
Взрывной процесс может быть представлен как двухстадийный процесс.
На его первой стадии гигантская энергия накапливается внутри
ограниченного объема. Например, в случае ВВ эта энергия выделя-
78 Глава II
Таблица 3
Тип ВВ
2Н + 02
СН4 + 202
2С2Н2 + 502
TNT
RDX
PETN
TETRYL
ρвв, г/см3
1,17 · 10-3
1,17 · 10-3
1,17 · 10-3
1,62
1,8
1,77
1,7
D, м/с
2630
2220
3090
7050
8600
8400
7850
р*a, кбар
0,038
0,027
0,051
215
360
340
265
т*, к
3 960
4 080
5 570
2 350
3 750
4150
2 940
ется на фронте волны детонации вследствие химических
превращений (порядка 1 ккал/г вещества). При электрическом разряде
накопленная в батарее конденсаторов энергия «перекачивается» в
разрядный канал. Процесс излучения сам по себе может быть определен как
вторая стадия, хотя часто невозможно точно разграничить эти
стадии по времени, так как вторая может начаться еще до завершения
процесса накопления энергии. Рассмотрим прежде всего энергетику
упомянутых источников, чтобы проанализировать их возможности.
3.1.1. Параметры детонации. Горение и детонация — это два
основных типа взрывных химических превращений. Под
детонацией понимают процесс распространения ударной волны по ВВ, за
фронтом которой возникает устойчивая зона химической реакции,
сопровождаемой выделением тепла. Скорость этого процесса D (для
данного типа ВВ D = const) вместе с плотностью ВВ ρвв,
теплотой взрыва Q, теплоемкостью продуктов реакции cv,* и показателем
изэнтропы γ определяет основные физические характеристики
продуктов реакции (давление р*, плотность ρ* и температуру Т*) [29]:
В табл. 3 приведены параметры детонации газовых смесей и
конденсированных ВВ.
Как видно, давление в детонационных волнах в
конденсированных ВВ (ρ ~ 3) и газовых смесях (ρ ~ 1,25) отличаются по
величине на несколько порядков. Порядки величин тех же параметров
при подводных ядерных взрывах оцениваются как рnucl ~ 10 и
Тnucl ~ 107 К. В большинстве случаев физическая модель мгновенной
детонации вполне применима к ВВ. Согласно этой модели заряд
детонирует по всему своему объему одновременно. При этом его объем
Ударные волны в жидкости ...
79
Рис. 16.
Принципиальная схема
экспериментальной установки по
электроразряду в воде
не меняется, давление р* и температура Т* считаются одинаковыми
во всем объеме, а плотность продуктов детонации ρ* равной
начальной плотности заряда ρвв. Согласно модели мгновенной детонации
значение р* находится из условия, что теплота взрыва полностью
определяет внутреннюю энергию продуктов детонации
3.1.2. Электрические взрывы. Принципиальная схема генерации
гидроакустического сигнала этим методом представлена на рис. 16
[30]. Батарея конденсаторов емкостью С заряжается через
сопротивление R от высоковольтного источника до напряжения U. Цепь
содержит электрический контур 1 с газовым промежутком G, с
рабочим промежутком W длины l, погруженным в воду, а также
индуктивность L, позволяющую контролировать режим разряда в
контуре. Как правило, промежуток G ионизуется внешним
высоковольтным импульсом, при этом батарея конденсаторов замыкается на
нагрузку в виде столба слабо проводящей жидкости между
электродами в промежутке W. В этом довольно сложном процессе можно
выделить две основных стадии:
1) предразрядная стадия, когда проводящий канал создается в
диэлектрике вследствие диссоциации и ионизации молекул;
2) собственно пробой, при котором формируются
характеристики взрывного промежутка W как источника энергии высокой
плотности.
Если разряд является апериодическим, т. е. осцилляционных
процессов в контуре 1 не наблюдается, гидродинамические и
физические характеристики разряда в жидкости оказываются подобными
тем, что типичны для взрывных процессов. Энергия, накопленная в
оатарее конденсаторов, определяется известным соотношением
80
Глава II
Таблица 4
U, кВ
30
21,2
15
10
С, мкФ
0,1
0,2
0,4
0,9
l, см
5,0
2,5
1,2
0,5
τd, МКС
7,5
17,5
25,0
140,0
ηsh, %,
32
25
13
3
Тип разряда
Апериодический
Апериодический
Периодический
Периодический
Опыт показывает, что общий коэффициент трансформации энергии
η — ηcav + ηsh выделяемой в промежутке, во внутреннюю энергию
продуктов разряда ηcav, содержащихся в разрядной полости, и в
энергию ударной волны ηsh зависит от емкости С и длины l
разрядного промежутка W при фиксированном значении энергии E0.
Однако, значение ηsh, как параметр эффективности, используется чаще.
Данные по ηsh и времени разряда τd в зависимости от
параметров контура для различных типов разрядов приведены в табл. 4.
Чтобы оценить энергию, остающуюся в продуктах взрыва
после генерации ударной волны, достаточно знать период пульсации
взрывной полости, который определяет максимальный радиус
полости и, следовательно, внутреннюю энергию при известной
гидростатике. В экспериментах с электровзрывом при параметрах цепи
С = 0,1 мкФ, U = 30 кВ и l = 4 см было установлено, что значение
периода пульсации лежит в интервале 5-6 мс. Внутренняя энергия
полости (цилиндрической по форме), найденная на основе
теоретического соотношения
оказалась порядка 0,1E0 при окружающем давлении р0 = 0,1 МПа.
Следовательно, ηcav ~ 10 %. Таким образом, с учетом оценки ηsh (см.
табл. 4), полный КПД η ~ 40 %, что в два раза ниже по сравнению с
цилиндрическими зарядами ВВ. В принципе, в компактной
емкостной батарее, увеличивая емкость С и напряжение U, можно накопить
энергию порядка нескольких кДж, что эквивалентно энергии
взрыва примерно 1 г ВВ. Но при этом необходимо помнить, что согласно
экспериментальным данным (табл. 4) при увеличении С значение
ηsh резко уменьшается. Чтобы стабилизировать разряд, разрядный
промежуток W иногда закорачивают, например, тонкой
манганиновой проволочкой (метод генерации ударной волны взрывающимися
проволочками).
Ударные волны в жидкости ...
81
3.2. Гидродинамические источники взрывного типа. Как уже
отмечалось к источникам взрывного типа относят так называемые
«airgun», «watergun» и «watershock». Принцип их действия состоит
в накоплении энергии сжатого газа и передаче этой энергии либо
непосредственно в жидкость в форме расширяющейся взрывным
образом полости — модель «airgun», либо путем трансформации в
потенциальную энергию окружающей жидкости — модель «watergun»,
либо путем формирования волны сжатия по принципу работы
двухсекционной гидродинамической ударной трубы.
• Airgun. Рассмотрим схему работы гидроакустического
источника такого типа, который в простейшем случае может быть
представлен в виде двух основных элементов (рис. 17): камеры давления
с постоянным объемом (PC) и самого источника в виде газовой
полости в окружающей жидкости (GC) [31]. Сжатый воздух поступает
из камеры давления через систему портов, оборудованных
контролирующим поршнем, в окружающую жидкость. В идеальном случае,
если не принимать во внимание потери в портах и остаток газа в
камере давления, считается, что внутренняя энергия сжатого в
камере газа перешла во внутреннюю энергию газа в образующейся
газовой полости. Предполагается, что сформированная полость имеет
сферическую или цилиндрическую форму, а газ внутри нее
подчиняется адиабатическому закону. Динамика такой полости радиуса R
и объема V может быть описана законом сохранения энергии
Здесь часть внутренней энергии сжатого газа (левая часть
уравнения) расходуется на создание внутренней энергии газа в рабочей
полости pV/(γ—1), потенциальной энергии p0V и кинетической энергии
pV2 /8πR окружающей полость жидкости, а также на генерацию
акустического излучения Erad. Заметим, что V01 = V1, так как речь идет
о неизменном объеме камеры давления PC.
Значение E0 таких систем может быть сравнимо с энергией
взрыва «классических» ВВ. Например, для Vo1 ~ 2 · 104 см3 при
Ρ01 = 34,5 МПа, это составит примерно 1,7 МДж, что эквивалентно
0,4 кг тротила. Естественно, коэффициент трансформации энергии в
акустическую в этом случае несравненно меньше, в основном, из-за
низкой скорости формирования самой «взрывной» полости. В
случае ВВ она формируется по сути со скоростью детонации, в случае
82
Глава II
Рис. 17
Рис. 18
Рис. 17. Принципиальная модель работы «airgun»
Рис. 18. Экспериментальная модель «watershock»:
1 — пневматический цилиндр, 2, 3 — поршни, 4 — пружина,
5 — упор, 6 — датчик давления
«airgun» она определяется скоростью переноса массы газа из камеры
давления [30]
где kе — коэффициент потерь, зависящий от особенностей
конструкции системы, А — площадь порта, ри,Рd — давление в отверстии
вверх и вниз по потоку соответственно. Такие системы часто
используются в сейсмических исследованиях для создания мощного
импульсного источника низкочастотного звука с частотами в
диапазоне от 10 до 200 Гц. Можно ожидать, что эффективность такого
источника должна зависеть от глубины, на которой он работает.
Ударные волны в жидкости ...
83
• Watershock. Рисунок 18 иллюстрирует случай, когда один из
принципов работы гидродинамических ударных труб реализован в
качестве мощного источника звука — так называемый «watershock»
[32]. Поршень 2, помещенный внутри пневматического цилиндра
1, ускоряется в вакууме под действием приложенного давления ρ
и накапливает кинетическую энергию, которая через передающий
поршень 3 частично трансформируется в энергию ударной волны,
генерируемой в результате ускорения жидкого столба в хорне.
При резкой остановке на упоре 5 в окрестности поверхности
передающего поршня возникают кавитационная зона и волны
разрежения, которые подавляют возможные осцилляции и определяют
профиль результирующей волны. На выходе хорна регистрируется
треугольный профиль ударной волны с последующей фазой
разрежения. Амплитуда волны в начальной области хорна оценивается
простым выражением psh = ρирс, где ир — скорость передающего
поршня в момент удара по столбу жидкости. Изменение давления
в волне по мере ее распространения по хорну авторы связывают с
уменьшением плотности потока энергии.
• Watergun. Эти импульсные пневматические системы,
предназначены для генерации мощных одиночных импульсов в результате
кумуляции потока и представляют собой камеру, частично
наполненную морской водой и сжатым газом. Последний выталкивает
воду через специальные порты с помощью «челнока». После того, как
челнок остановится, жидкость движется по инерции, отделяется от
системы, в результате чего в окружающем пространстве
формируется паровая полость с потенциальной энергией р0Vmах и очень
низким давлением. Последующее схлопывание этой практически пустой
полости генерирует в окружающем пространстве импульс сжатия.
3.3. Поле давления и спектральные характеристики взрывных и
взрывного типа источников звука. Для большинства
вышеупомянутых источников стуктура волны и связь с динамикой источника
аналогичны подводному взрыву (рис. 19). После того как детонационная
волна преломляется на границе раздела ВВ — жидкость, в
последней начинает распространяться ударная волна, а продукты взрыва
формируют газовую полость с высоким внутренним давлением.
Полость совершает затухающие радиальные колебания? которые
являются источником акустических волн (пульсаций) в море. Число их
ограничено, как правило, эффектом нестабильности формы схлопы-
вающейся полости и, естественно, потерей энергии при излучении.
84
Глава II
Рис. 19. Структура
волнового поля при подводном
взрыве
3.3.1. Параметры подводного взрыва. Общие особенности
структуры и параметров волн, генерируемых такими источниками
хорошо известны [1, 33-36]. Рисунок 19 представляет классическую
волновую структуру (ударная волна и две последовательных
пульсации) и синхронную динамику состояния взрывной полости,
включающую сам момент взрыва, три максимума и два минимума. Для
заряда весом основные характеристики взрыва в ближнем к
заряду поле можно рассчитать по следующим соотношениям [33]:
Здесь za = h + 33 — полная глубина, h и r — глубина и
расстояние, p — давление, Τ — время**). Ударная волна имеет форму
экспоненты вблизи фронта с амлитудой psh и длительностью
положительной фазы τ0. Пульсации представляют собой сдвоенные
экспоненты с амплитудами, соответственно, p1, p2 и
длительностями положительных фаз τ1 и τ2. Необходимо отметить, что профиль
волновой картины (рис. 19) характеризуется фазой разрежения [34]
*)Вес заряда 1 фунт (0,453 кг).
**}3десь h и r даны в футах (1 фут = 0,3048 м), p — в psi (1 psi = 6,8948· 103 Па),
Τ — вс.
Ударные волны в жидкости ...
85
Рис. 20. Теоретический
спектр энергетических
уровней для заряда
весом в 453 г и глубины
взрыва ~ 56,6 м,
рассчитанный на
расстоянии ~ 91,4 м
Δt = 3,lW1/3/za5/6 , которая определяет время существования
полости в состоянии, когда давление продуктов детонации ниже
гидростатического.
3.3.2. Характерный энергетический спектр взрывных источников.
Как видно из рис. 20, спектр состоит из трех компонент [35-37].
Первая определяет спектральную характеристику ударной волны (УВ)
и описывает высокочастотную часть спектра, где энергетический
уровень с ростом частоты падает на 6 дБ на октаву (~ f-2). Вторая
определяет спектральный состав 1-й и 2-й пульсаций. Третью
компоненту связывают с определением низкочастотного интервала
спектра (НЧ) как функции комбинации импульсов I0, I1 и I2 ударной
волны и пульсаций. Тb и Т2 — их характерные времена, к которым
необходимо добавить длительность фазы разрежения между I0 и I2:
Т3 ~ Тb + Т2. Рисунок 20 представляет также теоретическую
асимптоту (ТА), суммарный результат (СР) и частоту пульсации
взрывной полости (ВП, 15 Гц).
При этом, для фундаментальной частоты пульсации полости с
продуктами взрыва, определяемой как
спектр (рис. 21) [36] имеет острый максимум, который уменьшается
по мере увеличения глубины взрыва [38]
86
Глава II
Рис. 21. Спектральное распределение потока энергии при
крупном взрыве на глубине ~ 1372 м
и в области f < fb описывается соотношением
Экспериментальные данные для относительно небольших
зарядов (меньше ~ 4,5 кг) при больших глубинах (< 6 708 м), записанные
над зарядом вблизи свободной поверхности, указывают на
изменение в распределении энергии между ударной волной и пульсациями
с глубиной. Этот эффект является следствием трансформации
профиля волны и пульсаций. Глубина взрыва ВВ становится одним из
наиболее существенных параметров. Она определяется по
характерному периоду спектра Тs [33]
При этом спектр приобретает зубчатую форму и сохраняется на
больших расстояниях, даже если сигнал заметно искажается. Здесь
ве = 2,3 мс — эмпирическая константа, полученная на основании
данных, записанных на расстоянии от 460 до 570 км и от 1150 до
1300 км от взрыва заряда весом 817 г на глубине ~ 18,3 м
(приемник располагался на глубине около 3 км).
Ударные волны в жидкости ...
87
Рис. 22. Идеализированная форма
волнового сигнала в ближнем поле
«watergun»
Необходимо отметить, что по вышеупомянутой причине
трансформацию спектра необходимо оценивать с большой
осторожностью, так как при взрыве больших зарядов на больших глубинах
может иметь место миграция (всплытие) взрывной полости. При
этом кинетическая энергия радиальной пульсации полости
переходит в энергию вертикального движения полости при ее схлопывании.
В результате, значение минимального размера полости и,
следовательно, амплитуда пульсации могут значительно меняться.
3.3.3. Особенности пневматических систем. Как было отмечено
выше, принцип действия «watergun» [39] состоит в создании
паровой полости с низким давлением, которая в процессе схлопывания
под действием окружающего давления р0 излучает одиночный
импульс сжатия (рис. 22). Процесс излучения здесь эквивалентен
фазе первой пульсации взрывной полости, а ее характеристики могут
быть использованы (с соответствующими поправками на
коэффициенты) для оценки действия систем «watergun».
Профиль волны, генерируемой системой типа «airgun» подобен
приведенному на рис. 19 для ВВ, но амплитуда волны значительно
меньше, а пульсации затухают слабее, что объясняется
незначительной излучающей способностью этой системы. В рамках сферической
или цилиндрической модели частота пульсаций, являясь
фундаментальной частотой в спектре системы «airgun», определяется
следующими соотношениями [40]:
где E0,l — начальная энергия системы на единицу длины. На
основе приведенного ранее закона сохранения энергии давление в волне
88
Глава II
можно представить в виде
Экспериментально было подтверждено, что эффективность «airgun»
максимальна при низких частотах (порядка 10 Гц) и резко
уменьшается при увеличении глубины взрыва.
3.3.4. Сравнительные характеристики спектра. Интересующую
нас спектральную эффективность преобразования накопленной
энергии в акустическую можно проиллюстрировать
экспериментальными данными по низкочастотной области спектра энергии
акустических сигналов, излученных различными источниками [41], например,
такими, как стехиометрическая смесь пропан — бутан — кислород
и камера «airgun» объемом в 1 дм3 при давлении 138 атм (2000 psi).
В табл. 5 приведена эффективность преобразования энергии в
зависимости от типа излучателя (случаи 1-7). Как видно,
наибольшая величина энергии выделяется в полосе до 1 кГц. Однако в
системе «airgun» основная доля энергии выделяется уже в области от
0 до 100 Гц. При практически одинаковой энергии излучателя от 35
до 45 ккал (случаи 2, 5-7) эффективность преобразования
запасенной энергии в акустическую в полосе от 20 до 50 Гц одного и того
же порядка.
Таблица 5
№
1
2
3
4
5
6
7
Тип излучателя,
энергия, масса
Тротил, 1,5 г
Тротил, 44 г
Тротил, 255 г
Тротил, 1274 г
Горение газовой
смеси, 45 ккал
Детонация смеси,
39 ккал
« Airgun»*,
35 ккал
Эффективность преобразования энергии, %
Общая
24
24
24
24
1,95
1,45
0,75–1,5
0-100 Гц
0,3
1,07
1,96
3,24
1,2
0,7
0,74–1,47
20-50 Гц
0,09
0,317
0,595
1,03
0,415
0,233
0,31–0,61
100-1000 Гц
2,77
5,94
10,1
12,8
0,656
0,659
0,03
Примечание. * Разные скорости открытия порта.
Ударные волны в жидкости ...
89
Рис. 23. Схема экспериментов с антенной из n-«airgun»
Заметим, что использование низкоскоростных ВВ в качестве
акустических источников менее эффективно по сравнению с
конденсированными ВВ вследствии низкой скорости детонации. Их
спектральные особенности оказываются ближе к газовым смесям.
3.4. Антенные системы. Системы из «airgun» и «watergun».
Цель такого рода систем — концентрация энергии излученных волн
в заданном направлении [42, 43]. Система включает η
индивидуальных источников (рис. 23) с фиксированным расстоянием d между
ними. Максимальная энергия сигнала Етлх, генерируемая такой
системой, зависит от параметров системы и длины волны.
Конфигурация источников и временной интервал между их «инициированием»
определяет направление излучения, степень которого выражается
соотношением [40]
Проблема синхронизации инициирования каждого «airgun» в
антенне безусловно очень важна. Например, если все источники
инициировать одновременно, излученная энергия для 7 источников
(18,6 ± 2,3) кДж будет много выше, чем в случае
индивидуального инициирования (7,5 ± 0,9) кДж. Общая эффективность систем из
«airgun» несколько меньше 2 %. Для описания поведение
произвольной антенны из «airgun» успешно используют численные методы
Взрывные источники антенного типа. Как уже отмечалось,
взрывные источники звука на протяжении многих лет привлекают
90
Глава II
внимание иследователей в качестве основного элемента различного
рода гидролокационных устройств, предназначенных для создания
квазитональных направленных импульсов большой длительности и
акустической мощности. Их диапазон, как было показано, довольно
широк и включает искровые разрядные генераторы [44],
конденсированные жидкие [45] и твердые ВВ [46-48], газовые взрывчатые смеси
[49-51], а также устройства, в которых ударные волны генерируются
схлопывающимися полостями [37, 52, 53]. Сравнение интегральных
энергетических параметров излучений некоторых взрывных
источников в воде приведено в табл. 5 [41], спектральные характеристики
экспериментально исследованы в [38, 54, 55].
Естественно, что взрывные источники обладают большой
мощностью и их излучение регистрируется на больших расстояниях.
Однако, этого качества оказывается недостаточно для широкого круга
задач геофизических исследований, акустической навигации, а
также научных исследований процессов распространения ударных волн
в океане. Возникают проблемы такие, как направленность (может
решаться, как было показано, с помощью антенных систем) и
необходимость в относительно большой длительности сигнала, что,
вообще говоря, является нетривиальной задачей для преимущественно
«точечных» взрывных источников.
Важна проблема тональной «окраски» сигнала для его защиты
от реверберационных помех. Поэтому не удивительно, что в
основу некоторых найденных решений положены известные
представления классической акустики о направленном излучении специальным
образом распределенных источников.
Такими зарядами являются линейный шнуровой заряд,
обеспечивающий преимущественное распространение ударной волны в
плоскости, перпендикулярной его оси [48]; вертикальная цепочка
сосредоточенных зарядов, инициируемых с определенной частотой [46],
позволяющая получить заданную последовательность ударных волн,
т. е. каким-то образом решить вопрос о длительности и «окраске»
излучаемой посылки за счет ее направленности. Эффект кумуляции
использован при создании направленного излучения в результате
взрыва заряда в основании специально спрофилированного конуса
[47]. Среди работ, посвященных этим проблемам, можно также
указать работы [56-59].
В 70-80-х годах определенный интерес был проявлен к
источникам типа пространственных спиралей [60-62] из высокобризантного
шнурового заряда, излучение которых обладает рядом преимуществ:
Ударные волны в жидкости ...
91
направленностью как в области оси (типичный кольцевой источник,
благодаря высокой скорости детонации), так и в перпендикулярной
ей плоскости (некоторая модель линейного источника в случае
длинной спирали), длительностью и относительно легко регулируемой
частотой последовательности генерации ударных волн при одной и
той же длине шнурового заряда.
Основу такого типа заряда составляет кольцевой элемент из
ДШ, инициируемого с одного конца. Скорость детонации
стандартных ДШ примерно в пять раз превышает скорость звука в
жидкости, что дает основание для предварительных оценок применять
модель мгновенного взрыва, а в экспериментах исследовать
некоторые особенности процесса формирования волн на примере взрыва
кольцевого проводника.
Эксперименты в такой постановке и результаты исследования
взрыва реальных кольцевых зарядов будут рассмотрены в
следующей главе. Здесь представляется целесообразным рассмотреть более
подробно особенности формирования волнового поля при подводном
взрыве спиральных зарядов.
3.5. Структура волн при взрыве спиральных зарядов. Из
приведенных выше экспериментальных и расчетных данных следует, что
непрерывное вращение детонационного фронта по окружности
должно привести к излучению в окружающее пространство
периодической последовательности ударных волн [62]. Экспериментальные ре-
гистрограммы и осциллограммы, показанные на рис. 24 и 25,
доказывают это.
На рис. 24 показано формирование последовательности из трех
ударных волн, излучаемых в жидкость при подводном взрыве трех-
витковых пространственных спиральных зарядов. Период
следования волн в таком пакете точно равен времени прохождения
детонационным фронтом длины одного витка спирали. На рис. 25 показаны
результаты натурного эксперимента с плоской спиралью (спираль
Архимеда), изготовленной из одного отрезка ДШ, состоящей из 10
витков с шагом около 10 см. Детонация инициирована с внешнего
кольца. Видно, что на расстоянии 20 м от плоскости спирали на
ее геометрической оси регистрируется «пакет» ударных волн (рис.
25,а). На рис. 25,б представлена осциллограмма давления,
зарегистрированная от того же отрезка ДШ, вытянутого в горизонтальную
линию. Вполне очевидно, что в зависимости от скорости детонации
и линейных размеров спиралей (шаг, диаметр) к моменту выхода
Детонационного фронта на начало последующего витка могут иметь
92
Глава II
а
Рис. 24. Формирование последовательности ударных волн при
подводном взрыве пространственного спирального заряда:
а — ось спирали горизонтальная, б — вертикальная, кадр 10 —
взаимодействие волны от второго витка со взрывной полостью
Ударные волны в жидкости ...
93
Рис. 25. Форма
гидроакустического сигнала,
зарегистрированного при подводном
взрыве плоского спирального
заряда на расстоянии 20 м
вдоль его оси (в) и
короткого одиночного сигнала от
вытянутого в линию шнурового
заряда (б)
место две ситуации (рис. 26,а, 26,6).
1. Координата фронта ударной волны, отсчитываемая от
предыдущего витка, существенно больше шага спирали, что
соответствует условию Dax < Ush, где Dax — осевая сотавляющая скорости
детонации, Ush — скорость фронта ударной волны в жидкости. В
этом случае взрыв очередного витка будет происходить в области
далеко за фронтом ударной волны от предыдущего витка и, таким
образом, при постоянных параметрах спирали излучение будет
определяться последовательностью ударных волн практически
одинаковой амплитуды для однородной по параметрам спирали (рис. 26,а).
2. Скорость фронта ударной волны и осевая составляющая
скорости детонации совпадают (Dax ~ Ush)» Рисунок 24,б
демонстрирует подобный вариант формирования волнового поля,
который достаточно четко различим при вертикальном расположении
оси спирали. В этом случае осциллограммы давления указывают
на усиление волны, меняется общий характер излучения:
последовательность ударных волн трансформируется в одиночную длинную
волну, модулированную по амплитуде с частотой вращения фронта
Детонации по кольцевым элементам заряда (см. рис. 26,б).
Естественно, эти частоты могут быть различны, если заряд
содержит кольцевые элементы с различными линейными
характеристиками (что влияет на структуру пакета ударных волн и в первом
94
Глава II
Рис. 26. Последовательность
ударных волн при условии
Dax < Ush (a); излучение
длинной ударной волны при
DaX ~ Ush (б)
варианте). Длительность такой волны близка к времени пробега
детонационным фронтом всей длины детонационного шнура, из
которого составлен спиральный заряд. Заметим, что 6, 7-й и 10, 11-й
кадры рис. 24,б демонстрируют взрыв, соответственно, 2-го и 3-го
витков спирали непосредственно за фронтом ударной волны в
жидкости. Кроме того, на 10-м кадре хорошо видно, что взаимодействие
ударной волны от второго витка со взрывной полостью 1-го
приводит к формированию дополнительной волны, существенно усложняя
общую картину излучения.
Рисунок 27 представляет покадровую и непрерывную развертки
процесса формирования ударных волн при подводном взрыве
зарядов типа плоской спирали из ДШ (три плоских витка).
Осциллограмма излучения на геометрической оси при взрыве такого заряда
представлена на рис. 25 (временной масштаб — 1 мс). Процесс
формирования последовательности ударных волн при взрыве плоской
спирали из пяти витков, инициированной с внешней стороны,
наглядно демонстрируется непрерывной разверткой (рис. 27,б,
плоскость спирали расположена горизонтально и перпендикулярна плос-
Ударные волны в жидкости ...
95
Рис. 27. Формирование пакета ударных волн при взрыве
плоской спирали из ДШ (а); волновая картина перед плоскостью
заряда типа спирали Архимеда (б)
кости рисунка). При взрыве такого заряда можно ожидать
преимущественного излучения акустического сигнала в направлении оси
симметрии или близким к нему. Инициирование заряда с внешнего
участка приводит к сходящимся детонационным фронтам и к
сложному характеру взаимодействия излучаемых волн, результатом
которого очевидно, является периодическая амплитудная модуляция.
Последняя развивается на фоне естественно ожидаемой амплитудной
модуляции волнового пакета из-за переменности радиусов кольцевых
элементов плоской спирали.
Проведенный анализ дает возможность довольно просто
оценивать параметры излучения от взрыва зарядов сложной формы из
кольцевых или близких к ним элементов. Суть оценки состоит в
следующем. Излучаемая зарядом посылка состоит из последователь-
ности ударных волн, амплитуды которых определяются по данным
96
Глава II
для сосредоточенных зарядов с эквивалентным весом ВВ каждого
витка. Частота следования ударных волн в пакете определяется
длиной витка и скоростью детонации ВВ, а длительность всего пакета
(или одиночной модулированной по амплитуде волны) — полным
временем пробега детонационым фронтом нитки ДШ, из которой
изготовлена спираль.
Последний факт подчеркивает, что спиральные заряды дают
уникальную возможность управлять длительностью излучения
волнового пакета. Несложно представить, что все эти особенности
исчезают, если ту же нитку ДШ из спирального заряда растянуть
в линейный (цилиндрический) заряд. В этом случае в
экспериментах со стандартными ДШ, содержащими пресованные ВВ весом 11-
14 г/м, регистрируется одиночный сигнал с амплитудой,
определяемой только весом ВВ на единицу длины, и короткой положительной
фазой, составляющей несколько десятков мкс (рис. 25,5).
Литература
1. Коул Р. Подводные взрывы. М.: Изд-во иностр. лит., 1950.
2. Коробейников В. П., Христофоров Б. Д. Подводный взрыв //
Итоги науки и техники. Гидродинамика. 1976. Т. 9.
3. Замышляев Б. В., Яковлев Ю. С. Динамические нагрузки при
подводном взрыве. Л.: Судостроение, 1967.
4. Кедринский В. К. Приближение Кирквуда — Бете для
цилиндрической симметрии подводного взрыва // Физика горения и взрыва. 1972.
№ 1.
5. Кедринский В. К. О параметрах слабых цилиндрических ударных
волн на большом расстоянии от заряда // Динамика сплошной среды:
Сб. науч. тр. / АН СССР Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1972.
Вып. 10.
6. Кедринский В. К., Кузавов В. Т. Динамика цилиндрической по-
лости в сжимаемой жидкости // ПМТФ. 1977. № 4.
7. Христофоров Б. Д., Широкова Э. А. 1962 Параметры ударной
волны при подводном взрыве шнурового заряда // ПМТФ. 1962. № 5.
С. 147-149.
8. Ландау Л. Д. Об ударных волнах на далеких расстояниях // Прикл.
математика и механика. 1945. Т. 9, вып. 4.
9. Христианович С. А. Ударная волна в воде, удаленная от места
взрыва // Прикл. математика и механика. 1956. Т. 20, вып. 5.
Ударные волны в жидкости ...
97
10. Filler W. S. Propagation of shock waves in a hydrodynamic conical shock
tube // Physics Fluids. 1964. V. 7, N 5. P. 664-667.
11. Glass I. L, Heuckroth L. E. Hydrodynamic shock tube // Physics
Fluids. 1963. V. 6, N 4. P. 543-549. "
12. Rice M. H., Walsh J. M. Equation of state of water to 250 kbar // J.
Chem. Phys. 1957. V. 26. N 4, P. 814-830.
13. Kirkwood J. G., Richardson J. M. The pressure wave produced by an
underwater explosion III // Office of Sci. Research and Development Rept.
1942. N 813.
14. Кедринский В. К. Особенности динамики сферического газового
пузырька в жидкости // ПМТФ. 1967. № 3. С. 120-125.
15. Бесов А. С, Кедринский В. К., Пальчиков Б. И. Изучение
начальной стадии кавитации с помощью дифракционной оптической
методики // Письма в ЖТФ. 1984. Т. 10, № 4.
16. Воротникова М. И., Кедринский В. К., Солоухин Р. И.
Ударная трубка для исследования одномерных волн в жидкости // Физика
горения и взрыва. 1965. № 1.
17. Хейман Ф. Скорость ударной волны и давление при соударении
жидкости и твердого тела с высокой скоростью // Теор. основы инж.
расчетов. 1968. Т. 90, № 3.
18. Бернгардт А. Р. Динамика зоны кавитации при импульсном нагру-
жении жидкости: Дис канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1994.
19. Кедринский В. К., Солоухин Р. И., Стебновский С. В.
Полупроводниковый датчик давления для измерения сильных ударных волн в
жидкости (J> 102 МПа) // ПМТФ. 1969. № 4.
20. Пол В., Варшауэр Д. Роль давления при исследовании
полупроводников // Твердые тела под высоким давлением. М.: Мир, 1966.
21. Кедринский В. К., Сердюк Н. К., Солоухин Р. И.,
Стебновский С. В. Исследование быстрых реакций в растворе за фронтом
сильных ударных волн // Докл. АН СССР. 1969. Т. 187, № 1. С. 130-
133.
22. Кузнецов Η. Μ. Уравнение состояния и теплоемкость воды в
широком диапазоне термодинамических параметров // ПМТФ. 1961. № 1.
23. Гофман, Егер, Стьэр. Прибор с лазерным формированием
температурного скачка для релаксационного исследования реакций в растворах
электролитов // Приборы для научных исследований. 1968. № 5.
24. Гофман, Егер. Релаксационное исследование химических реакций
методом скачка давлений // Приборы для научных исследований. 1968
№ 8.
25. Jost A. // Berich. Phys. Chem. 1966. Bd 70. S. 9-10.
98
Глава II
26. Hurwitz P., Kustin К. // Inorg. Chem. 1964. V. 3, N 6. C. 823.
27. Бенсон С. Основы химической кинетики. М.: Мир, 1964.
28. Kedrinskii V.K. Underwater explosive sound sources // Encyclopedia oi
Acoustics. Ed.M.Crocker, 1997, John Wiley & Sons, Inc.,v.l, chapter 47,
pp.539-547.
29. Bay μ Φ. и др. Физика взрыва. М.: Наука, 1975.
30. Roy N., Prolov D. Generation of sound by spark discharges in water //
Proc. 3d Intern. Congress on Acoustics.. Elsevier Publ., 1961. P. 321-325.
.31. Laws R., Hatton L., Parkes G. Energy interaction in marine airgun
arrays // E. A. E. G. 1989. Paper № 1756, 18 Oct. P. 1-37.
32. Laake Α., Meier G. Sound generation by the watershock // Proc. ICA-
12, Toronto, Canada, 1986. P. 1-3.
33. Mitchell S., Bedford N., Weinstein M. Determination of source depth
from the spectra of small explosions observed at long ranges // JASA. 1976.
V. 60, N 4. P. 825-828.
34. Blaik M., Christian E. Near-surface measurements of deep explosives //
JASA. 1965. V. 38, pt I-II, N 1. P. 50-62.
35. Weston D. Underwater explosions as acoustic sources // Proc. Phys.
Society. 1960. V. 76, pt 2, N 488. P. 233-249.
36. Arons A. Underwater explosion shock wave parameters at large distances
from the charge // JASA. 1954. V. 26, N 3. P. 343-346.
37. Chriastian E. Source levels for deep underwater explosions // JASA.
1967. V. 42, N 4. P. 905-907.
38. Kibble white Α., Denham R. Measurements of acoustic energy from
underwater explosions // JASA. 1970. V. 48, N 1. P. 346-351.
39. Tree E., Lugg R., Brummitt Y. Why waterguns? // Geophys.
Prospecting. 1986. V. 34. P. 302-329.
40. Barger J·, Hamblen W. The airgun impulsive underwater transducer //
JASA. 1980. V. 68, N 4. P. 1038-1045.
41. Бадашканд М. 1970 Сравнение акустической эффективности
некоторых взрывных источников звука в воде // Докл. АН СССР. Т. 194,
№ 6. С. 1309-1312.
42. Bailey R., Garces P. On the theory of airgun bubble interaction //
Geophysics. 1988. V. 53, № 2. P. 192-200.
43. Laws R., Parkers G., Hattou L. Energy interaction. The long-wave
interaction of seismic waves // Geophys. Prospecting. 1989. V. 36. P. 333-
348.
44. Wright Η. Α., Tobey J. P. Acoustic generator of the spark discharge
type // JASA. 1969. V. 45, N 1.
Ударные волны в жидкости ...
99
45. Smith N. D., Roever W. L. Liquid seismic explosive and method of
using // JASA. 1968. V. 44, N 4.
46. Method and device for echo ranging / № 3514748. Patented May 26,
1970.
47. Directional explosive echo ranging device / Filler W. P. J. № 3521725.
Patented May 18, 1962; Publ. July 28, 1970.
48. Deep depth line charge / Johnson R. M., Axelson C. A. (USA).
№ 3276366. Patented USA, Oct. 4, 1966.
49. Любошиц В. М. Волновое поле направленного взрыва // Изв. АН
СССР. МЖГ. 1968. № 1.
50. Kilmer L. G. Underwater gas explosion seismic wave generator // JASA.
1969. V. 45, № 2.
51. Максаков Α. Α., Рой Н. А. О подводном взрыве гремучего газа
с высокой начальной объемной плотностью энергии // Акуст. журн.
1979. Т. 25, вып. 2.
52. Brand R. S. Shock wave generated by cavity collapse // J. Fluid Mech.
1965. V. 2, pt 1.
53. Urick R. J. Implosions as sources of underwater sound // JASA. 1963.
V. 35, N 12.
54. Turner R. G., Scrimger J. A. On the depth variation in the energy
spectra of underwater explosive charge // JASA. 1970. V. 48, N 3.
55. Parkis В. Е., Worley R. D. Measurement of spectrum levels for shallow
explosive sources // JASA. 1971. V. 49, N 1.
56. Buck В. М. Relative measurements of pulse component source energies of
the USN explosive sound signal MK61 detonated at 60 ft // JASA. 1974.
V. 55, N I,
57. Способ получения направленной взрывной волны с помощью
подрывных зарядов / Sieffert Μ. № 2541582. Patented Germany, 1977.
58. Noddin G. Sonic pulse generator // JASA. 1964. V. 36, N 4.
59. Лаврентьев Ε., Кузян О. Взрывы в море. Л.: Судостроение, 1977.
60. Кедринский В. К. О пульсации тороидального газового пузыря в
жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР
Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1974. Вып. 16.
61. Кедринский В. К. Об одномерной пульсации тороидальной газовой
полости в сжимаемой жидкости // ПМТФ. 1977. № 3. С. 62-67.
62. Кедринский В. К. Особенности структуры ударных волн при
подводных взрывах спиральных зарядов // ПМТФ. 1980. № 5. С. 51-59.
Глава III
ВЗРЫВ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
И КОЛЬЦЕВЫХ ЗАРЯДОВ
1. Динамика цилиндрической полости
в сжимаемой жидкости
Уравнение одномерной пульсации цилиндрической полости
[1,2]
было выведено на основе предположения о возможности
аппроксимации функцией G = rl/2Ω инварианта, сохраняющегося вдоль
характеристики с + и
в рамках асимптотического приближения, используя уравнения
неразрывности и сохранения импульса для замены частных
производных на полные, а также переход от r — R и u — R. Здесь
Ω = ω + и2/2 — кинетическая энтальпия, ω = f(dp/p) —
энтальпия, r — координата, и — скорость частиц жидкости, с — местная
скорость звука.
Значение энтальпии Η на стенке полости со стороны жидкости
определялось на основании уравнения Тэта [3] в виде
Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов
101
где В = 305 МПа, n = 7,15 — константы, p(R) — давление в
продуктах детонации, а местная скорость звука определяется формулой
(с0 — скорость звука в невозмущенной жидкости).
Обратимся к анализу некоторых особенностей
асимптотического приближения, принятого при определении инвариантности
функции G в случае ν = 1. Оказывается, это приближение
допускает определенный произвол в выборе числового коэффициента перед
квадратом скорости в уравнении пульсации. Введем коэффициент β
(вместо 3/4) перед инерциальным членом основного уравнения (1),
переписав его в безразмерном виде так, что динамика полости
исследуется в масштабе начального радиуса заряда Rch в зависимости
от времени τ = tc0/Rch:
Здесь с = с/с0, у = R/Rch, H = H/c02, точка означает
производную по τ. Уравнение численно исследовалось для диапазона
значений коэффициента β = 0,75 – 1,25 с целью выбора решения,
наиболее близкого к экспериментальным данным по пульсации
полости с продуктами детонации при подводном взрыве цилиндрических
зарядов.
Эти данные были получены в процессе лабораторных
экспериментов с нестандартными цилиндрическими зарядами типа
детонационного шнура (ДШ) из гексогена с медной оболочкой. Диаметры
ВВ в упомянутых ДШ — d = 0,65 и 1,65 мм [4]. Плотность
заряда ρch = 1,55 г/см3 и скорость детонации D = 7,7 км/с определены
экспериментально, отношение длины заряда к его радиусу в
экспериментах было не менее 103.
В расчетах динамики взрывной полости для таких типов
зарядов естественно ограничиться случаем только «мгновенной»
детонации, определив начальные параметры задачи (плотность и скорость
звука в продуктах детонации и на границе полости со стороны
жидкости, давление на контактном разрыве и скорость контактного
разрыва) из условия распада произвольного разрыва. Расчет велся
для Двух типов изэнтроп: γ = 3 и переменной γ, диапазон измене-
ния значений которой как функции плотности продуктов детонации
брался из работы [5].
102
Глава III
Рис. 1. Расширение цилиндрической полости с продуктами
детонации:
расчетые кривые 1 соответствуют постоянному значению
показателя адиабаты, 2 — переменному; штрихи — различные значения
коэффициента β
Рис. 2. Пульсация цилиндрической полости (точки и крестики —
эксперимент)
Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов
103
При этом использовались наиболее близкие к
экспериментальным табличные данные [5] для ρсh = 1,6 г/см3, которые были
аппроксимированы следующим образом:
p ~ ρ-2·78
2,14
p ~ ρ-
p ~ ρ-1,73
p ~ ρ-1',36
p ~ ρ-1,26
(0,625 < ρ-1 < 1,66)
(1,66 < ρ-1 < 2,51);
(2,51 < ρ-1 < 5,0);
(5,0 < ρ-1 < 20,0);
(20,0 < ρ-1).
Заметим, что в рассматриваемом случае значению ρ-1 = 0,625 см3/г
соответствовало давление ρ = 1,295 · 104 МПа.
Результаты расчета расширения полости приведены на рис. 1,
где у = R/Rch, а кривые 1, 1', 1" (γ = 3) и 2, 2', 2" (γ переменное)
соответствуют значениям β = 0,75 (данные без штрихов); 1,0 (один
штрих); 1,25 (два штриха).
Штриховой линией показан наклон экспериментальной кривой
у(τ), крестиком отмечено экспериментальное значение положения
максимума Rmax/Rch. Зависимость 2' (β = 1) изображена точками
специально, чтобы выделить численный результат, наиболее
близкий к экспериментальным данным: видно полное совпадение
данных по времени расширения взрывной полости и вполне
удовлетворительное — по наклону. Каждая зависимость ограничена
справа вертикальной чертой, определяющей момент остановки полости,
достигшей максимального размера.
Как и следовало ожидать, наиболее близкими к реальным
оказались параметры полости, рассчитанные для случая переменной γ.
Из приведенных графиков видно, что при увеличении
коэффициента β наклон кривых у(τ) уменьшается: для кривых 2 он составляет
0,55 при β = 0,75, затем уменьшается до 0,5 при β = 1,0 и 0,49 при
β = 1,25. Наклон экспериментальной кривой — 0,45.
На рис. 2 приведена расчетная зависимость 21 из рис. 1, график
которой продолжен и включает три пульсации цилиндрической
полости. Здесь же для сравнения нанесены экспериментальные данные
Для зарядов диаметрами d = 1,65 (x) и 0,65 (·) мм. Совпадение
расчета и эксперимента в области у > 10 можно считать
удовлетворительным. Причем, в диапазоне 30 < τ < 104 динамику
расширяющейся взрывной полости можно описать простой зависимостью
В табл. 1 сведены основные характеристики пульсации
полоти с продуктами взрыва цилиндрического заряда ВВ, полученные
104
Глава III
в результате расчета и эксперимента.
Экстремальные значения для внутренней энергии продуктов
детонации Е, приведенные в таблице, дают возможность записать
выражения для периодов пульсации цилиндрической полости в
общем виде через исходную энергию ВВ на единицу длины Ql =
Здесь αi = 0,218; 0,14; 0,11 — доля энергии ВВ, расходуемая на
радиальное движение потока жидкости в процессе 1, 2 и 3-й
пульсаций, соответственно.
Сравнение экспериментальных и численных результатов
исследований подводного взрыва шнуровых зарядов, в том числе и по
распределению энергии между продуктами детонации и
излучаемыми ударной волной и пульсациями, подтверждает реальность
предложенного уравнения динамики цилиндрической полости (2) и
позволяет сделать вывод о целесообразности использования значения
коэффициента β = 1 вместо 3/4 перед инерциальным членом.
Таблица 1
Характеристики
Rmax/Rch
τmax
E1
E2
E3
τ*,1
τ*,2
τ*,3
Эксперимент [6]
~135
~ 3 · 104
~ 0,22 · Ql
—
~ 6 · 104
—
—
Расчет
141
3·104
0,218 · Qx
0,14Ql
0,11Ql
6·104
4,95 · 104
4,5 · 104
Примечание. Индексы 1, 2, 3 означают номера
периода пульсации τ*; Ql — теплота взрыва ВВ на
единицу длины заряда; Ε — энергия, остающаяся
в продуктах детонации после расширения полости;
τmax — время первого расширения взрывной полости.
Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов
105
2. Приближенные модели одномерной
пульсации цилиндрической полости
в несжимаемой жидкости
Как известно, в противоположность случаю сферической
симметрии динамика цилиндрической полости в безграничной
несжимаемой жидкости не может быть описана точным уравнением из-
за логарифмической особенности на бесконечности. Действительно,
уравнение движения такой полости можно записать в виде
откуда следует первый интеграл
который при известном уравнении состояния газа может быть
определен окончательно. Здесь рr — давление в жидкости в точке с
координатой r, рg — давление в газе.
Однако в случае r — (рr = р ) решить его относительно R,
как это видно из уравнения, не удается. Можно, правда, определить
один из характерных параметров пульсации полости:
минимальный радиус
максимальный радиус
Результаты получены при условии R(0) = 0. Однако, как и в случае
сферической симметрии, без учета влияния сжимаемости эти оценки
будут существенно отличаться от реальных.
Между тем, наличие хотя бы приближенной модели весьма
желательно, поскольку целый ряд практических задач подводного
взрыва и взрыва в грунтах распределенных зарядов, где часто
используется модель несжимаемой жидкости, связан с необходимостью
получения простых оценок динамики цилиндрической полости с
продуктами детонации. Можно рассмотреть три довольно очевидных
106
Глава III
подхода к такого рода приближенным оценкам [6]. Один из них
связан с формальным предельным переходом (с0 —> ) в уравнениях (1),
(2), в результате которого можно получить приближенные
уравнения пульсации цилиндрической полости в несжимаемой жидкости
[1], что, как будет показано ниже, позволяет оценить период
пульсации полости с продуктами детонации и сравнить его с
экспериментальными данными для зарядов ДШ различного диаметра.
Два других подхода связаны с ограничением пространства, в
котором рассматривается исследуемая полость: вводится свободная
поверхность жидкости. Так Кузнецов [7] обратил внимание на то,
что в реальных экспериментальных постановках всегда
присутствует свободная поверхность, а это дает возможность получить точное
уравнение для несжимаемой жидкости, в котором, правда,
появляется параметр такой, как глубина взрыва. Ниже сопоставим различные
приближенные модели и сравним их с экспериментальными
данными [6].
2.1. Предельный случай обобщенного уравнения пульсации.
Следуя изложенному выше подходу к выводу уравнения пульсации
одномерной полости в сжимаемой жидкости несложно получить его
акустический аналог:
Заметим, что асимптотическое приближение в цилиндрическом
варианте использовалось только при выводе основного уравнения
для инварианта rv/2Ω
а при переходе к полным производным замена осуществлялась уже
на основании точных законов сохранения. Модель несжимаемой
жидкости, как известно, получается в результате предельного перехода
(с0 — )
или
Здесь Η = (рg - p )/ρ.
Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов
107
Если учесть, что согласно расчетам совпадение с
экспериментальными данными по двум основным параметрам (утах, τmax)
имеет место только при значении β = 1, целесообразно рассмотреть
предельный переход в (2). Он приводит к следующему уравнению
пульсации:
Изменение внутренней энергии продуктов детонации (газа) на
единицу длины определится очевидным выражением
или, с учетом адиабаты pSγ = const,
Изменение потенциальной энергии жидкости на единицу длины:
Первый интеграл уравнения (3б) при нулевой начальной
скорости принимает вид
Из опыта исследований динамики сферической полости следует, что
первый интеграл уравнения пульсации является законом сохранения
энергии. Умножаем обе части последнего равенства на π и видим,
что левая часть равенства представляет собой уменьшение
внутренней энергии продуктов детонации, а второй член справа —
приращение потенциальной энергии жидкости. Таким образом, есть все
основания заключить, что оставшийся член этого равенства
(умноженный на π)
представляет кинетическую энергию жидкости, окружающей
пульсирующую цилиндрическую полость, если R(0) = 0.
Можно определить потенциал скорости, которому
соответствовало бы приведенное выше определение кинетической энергии
жидкости. Для этого используем традиционный подход и рассмотрим
108
Глава III
потенциал в виде φ ~ . Значение Φ(t) найдем из
кинематического условия R = — φr|r=R, что окончательно определит
потенциал и его градиент как
В случае цилиндрической симметрии кинетическая энергия
элемента массы (dm = 2πρlrdr) должна рассматриваться как
энергия на единицу длины /, исходя из очевидного определения
dE l = (v2/2)dml. Конечный результат
как видим, соответствует приведенному выше выражению. На этом,
к сожалению, достоинства «угаданного» потенциала заканчиваются,
так как подстановка его в интеграл Коши — Лагранжа не приводит
к уравнению пульсации типа (3б).
2.2. Цилиндрическая полость в полупространстве идеальной
несжимаемой жидкости. Пусть в жидкости имеется цилиндрическая
полость радиуса R0, центр которой расположен на глубине h от
свободной поверхности. Предполагается, что h > R0, свободная
поверхность горизонтальна и потенциал скорости на ней равен нулю. В
такой постановке удобно использовать биполярную систему координат
с переменными γ и β, где γ, β = const — ортогональные окружности.
Координаты декартовой (x, у) и плоской биполярной систем связаны
соотношениями
где а = h2 — К2 ~ h, а значение γ = 0 соответствует свободной
поверхности. Уравнение Лапласа в принятой системе имеет вид
В силу указанных выше условий в качестве поверхности
цилиндрической полости можно выбрать координатную поверхность γ0.
Решение уравнения Лапласа имеет простой вид φ = φ0γ/γ0· Значение
φ0 находится из кинематического условия , где ζ = 0
(γ – γ0 = 0) — уравнение границы полости. Коэффициенты Ламе в
принятой системе координат равны . Тогда.
■
Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов
109
φ0 = a2(dγ0/dt)γ0(ch γ0 + cosβ)-2, и окончательное выражение для
потенциала с учетом соотношения ch γ0 = h/R > 1 примет вид
Отсюда
В последнем выражении можно использовать условие h > R, тогда
th γ0 ~ 1. Подставляя выражения для и dφ/dt в интеграл Ко-
ши — Лагранжа и выполняя условие γ = γ0, получим следующие
уравнения пульсации цилиндрической полости при наличии
свободной поверхности:
• в биполярной системе
• на физической плоскости
Здесь использовано соотношение γ0 = ln(2h/R).
Последнее уравнение другим способом было впервые получено
Кузнецовым [7] в рамках метода конформных отображений. Вид
этого уравнения указывает на существенную зависимость динамики
цилиндрической полости от глубины погружения заряда.
2.3. Модель жидкого цилиндрического слоя. К этой модели
приводит вполне естественное предположение, что в реальных условиях
пульсация полости затрагивает лишь конечную массу окружающей
ее жидкости. В этой модели значение внешнего радиуса
цилиндрического слоя r0 не определено. Уравнение пульсации цилиндрической
полости в такой постановке, как легко показать, имеет вид
и существенно упрощается в случае r02 > R2:
110
Глава 111
(индекс 0 присвоен начальным значениям соответствующих
параметров).
Таким образом, уравнения (3)-(5), представляющие три
различных подхода, остается сравнить с экспериментальными данными
для определения их достоверности. При сравнении обычно
имеются в виду два основных параметра: максимальная степень
расширения (сжатия) полости под действием взрывной нагрузки и период
пульсации полости с продуктами детонации. Однако первый из них
существенно зависит от величины излучаемой при взрыве энергии
в виде ударной волны, что делает нецелесообразным сравнение
приближенных моделей несжимаемой жидкости по этому параметру.
Относительно периода пульсации из практики оценок для
сферической (например [3]) и цилиндрической [1, 2] симметрии известно,
что он достаточно точно определяется удвоенным временем схлопы-
вания пустой полости в несжимаемой жидкости, начальный радиус
которой R0 соответствует максимальному радиусу первого
расширения полости с продуктами детонации. Последний может быть
определен экспериментальным путем (например, методом оптической
регистрации).
После замены переменных R = yR0, t = τ ρ/p R0 указанные
модели для пустой цилиндрической полости в несжимаемой
идеальной жидкости перепишутся в следующем виде:
2.4. Период пульсации цилиндрической полости. Уравнение (а)
позволяет получить первый интеграл. Умножив обе части на у1/2,
после несложных преобразований для времени схлопывания имеем
Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов
111
Здесь F(α,β,γ,z) — гипергеометрическая функция Гаусса. В
размерном виде период пульсации цилиндрической полости с
продуктами взрыва (через ее максимальный радиус и гидростатическое
давление p ) будет иметь вид
Наиболее интересный результат получается, если
остановиться на модели (б), первый интеграл которой приведен выше. Если
полость пустая, что, как известно, практически соответствует ее
состоянию при достижении после взрыва максимального размера,
то при принятой замене переменных и нулевой начальной скорости
получаем простое уравнение
которое допускает точное решение
Отсюда безразмерные время схлопывания τmах и первый период
пульсации полости τ*,1 равны
что достаточно близко к результату модели (а).
Учитывая известный характер схлопывания полости с резким
уменьшением радиуса лишь в окрестности его минимума и тот факт,
что именно в этой области кинетическая энергия жидкости
становится заметной частью начальной потенциальной энергии системы,
можно рассмотреть приближенный вариант уравнений пульсаций
(в), (г), пренебрегая членом yτ2/2 и полагая под знаком логарифмов
y = 1. Очевидно, при таких условиях модели (в), (г) становятся
аналогичными моделям предельного перехода, а их решения
принимают, по сути, тот же вид
где С = 2h/R0 (для полости в полупространстве) или r0/R0 (для
цилиндрического слоя). Естественно, что период первой пульсации
для этих моделей запишется в виде τ*,/c,d) ~ 2\/lnС.
Отсюда следует очевидный вывод, что результаты оценок
совпадают, если в моделях (в), (г) величина ln С ~ 2, что не реально
112
Глава III
для модели (β), где глубина взрыва может устанавливаться
произвольно. Для модели (г) это означает, что в процессе пульсации
действительно принимает участие ограниченое количество жидкости,
определяемое условием, согласно которому радиус слоя и радиус
полости должны отличаться примерно на порядок.
Период пульсации цилиндрической полости с продуктами
детонации как интервал времени между моментом прихода к датчику
давления фронта ударной волны и моментом записи максимального
давления первой пульсации был экспериментально исследован для
случаев взрыва ДШ из гексогена (диаметром d = 0,65,1,65 и 3,0 мм)
в диапазоне глубин погружения зарядов h = 0,21 – 3,5 м от
свободной поверхности. Диаметр заряда и глубина взрыва выбирались из
расчета возможности четкого определения предполагаемой, согласно
[7], зависимости периода пульсации от глубины взрывы. В каждом
эксперименте взрывался заряд длиной 1,5 м, датчик помещался на
средней линии заряда в 0,5 м от него. Точность определения
периода не хуже 1 мс. Экспериментальные данные по периоду пульсации
τ*,эксп (размерные) и расчетные оценки по упомянутым моделям
сведены в табл. 2.
Как видно из табл. 2, глубина погружения не оказывает
ожидаемого, согласно [7], влияния и модель (в) использовать
нецелесообразно. Наоборот, модели (а), (б) достаточно надежны для оценок
исследуемого параметра. Можно отметить, что рассчитанное по
экспериментальным данным (согласно формуле для τ*,d) значение ln
колеблется (для достаточно широких значений глубин взрыва и
радиусов зарядов) относительно среднего значения 2,05 и отличается
по r0 в 1,5–2 раза от приведенной выше оценки реального объема
жидкости, участвующего в пульсации полости.
Таблица 2
d, мм
0,65
1,65
3,00
h, м
0,21
2,10
0,54
2,10
0,54
2,10
3,50
τ*,экст МС
13,2-14,2
13,0-13,8
31-32
29-30
58
57-57,5
54-55
τ*,а(τ*§b), МС
13 (12,34)
13 (12,34)
33,1 (31,43)
33,1 (31,43)
60,1 (57,1)
60,1 (57,1)
60,1 (57,1)
τ*,с, мс
13,3
18,7
33,4
42,3
52,1
70,3
76
1n(r0/R0)
2,26-2,62
2,20-2,47
1,94-2,1
1,7-1,8
2,05
1,98-2,01
1,78-1,84
Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов
113
Эксперимент показал, что степень первого максимальйого
расширения полости с продуктами детонации (Rmax/Rch) есть величина
постоянная, не зависящая от радиуса заряда Rch, и лежит в
диапазоне 130-140 для исследованых типов ДШ, имеющих скорость
детонации 7,7 км/с и плотность ВВ 1,55 г/см .
Максимальный относительный разброс экспериментальных
значений, приведенных в табл. 2, приходится на самый тонкий заряд,
что связано с малостью амплитуды его 1-й пульсации и с
трудностью определения точного положения ее максимума на
осциллограмме давления. Это вполне естественно, так как, например, исходная
потенциальная энергия жидкости, часть которой идет на излучение
1-й пульсации в процессе схлопывания полости с продуктами
детонации, в случае заряда с d = 0,65 мм примерно в 20 раз меньше, чем
для заряда с d = 3 мм.
3. Кольцевые заряды
Ряд задач гидродинамики взрыва связан с особенностями
формирования структуры ударно-волнового поля при подводных
взрывах зарядов сложной формы или с изменением топологии
течения, как, например, в случае трансформации в поле тяжести
первоначально сферической полости с продуктами детонации в
тороидальную. Упомянутые топологические эффекты имеют место, в
частности, при крупномасштабных подводных взрывах, когда
максимальный радиус полости достигает десятков и сотен метров, а полость
находится на достаточно большой глубине. В процессе ее всплытия и
схлопывания в нижней части полости (из-за значительного
градиента давления по вертикальному сечению) формируется кумулятивное
течение. Расчет, выполненный Притчетом [8], показал, что со
временем кумулятивная струя «пробивает» верхнюю часть поверхности
полости, придавая последней кольцевую форму. С динамикой такой
полости вблизи свободной поверхности связаны струйные эффекты
Другого рода [9], которые имеют отношение к проблеме «султана» и
будут рассматриваться отдельно.
В связи с этим представляется целесообразным исследовать
особенности течения, возникающего в геометрии такого рода. В
экспериментах по моделированию подобных течений были
использованы два типа источников: кольцевой заряд из ДШ,
инициируемый с одного конца, и кольцевой проводник, моделирующий случай
мгновенного взрыва [10]. Экспериментальные исследования волно-
114
Глава III
Рис. 3. Динамика формирования фронта ударной волны в
жидкости при взрыве кольцевого заряда для двух (а, б)
последовательных положений фронта детонации (расчет)
вой структуры первого типа источников были проведены на витках
ДШ диаметром 0,65, 1,65 и 3 мм в диапазоне радиусов колец от 3 до
30 см и расстояний от заряда 0,5-5 м. Типичные картины
процесса формирования волнового поля в ближней зоне кольцевого заряда
представлены на рис. 3 и 4.
На рис. 3 показан пример формирования фронта ударной волны
в жидкости (расчет, акустическое приближение) в плоскости
кольцевого заряда для двух последовательных положений фронта
детонации при ее скорости 7,5 км/с.
Экспериментальные исследования подтверждают правомерность
подобного рода построений и дают основание в дальнейшем при
оценке структуры волнового поля в жидкости, возникающего при
взрыве системы кольцевых зарядов, применять акустическую модель
(см. рис. 4,а: покадровая развертка, где цифры указывают
последовательные номера кадров, интервал между которыми равен 4 мкс).
На регистрограммах рис. 4,б,в приведена непрерывная
развертка развития волнового процесса во внутренней области кольца
(диаметр кольца 5,4 см) и витка спирали, плоскость которого
располагалась параллельно окну наблюдения. Окно закрывалось непрозрачной
бумагой так, чтобы на нем оставалась только щель,
ориентированная вдоль диаметра кольца. Заряд располагался относительно ще-
Рис. 4. Формирование ударной волны в жидкости при взрыве кольцевого заряда (а), взаимодействие
волн внутри кольца (б), динамика тороидальной полости с продуктами детонации (в),
взаимодействие волн внутри витка спирали (эксперимент) (г)
116
Глава III
Рис. 5. Динамика тороидальной полости и фокусировка
ударной волны при взрыве кольцевого проводника в жидкости
Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов
117
Рис. 6. Структура излучения при взрыве кольцевого заряда в
жидкости радиусом а = 30 см для трех расстояний (I — 2, 2 —
3,5, 3— 5 м) и трех положений датчика давления относительно
заряда:
а - на оси, б — на образующей, в — в плоскости кольца (вне его)
118
Глава III
ли так, чтобы точка фокусировки оказалась на ней, так как в
противном случае не исключалась возможность регистрации фазовой
скорости сходящихся волн и, следовательно, кажущегося увеличения
скорости фронта. На самом деле, как показал эксперимент, для
использованных типов и параметров ВВ имеет место «чистая»
акустика. Щель «вырезала» два диаметрально противоположных участка
кольца ДШ: дальний от точки инициирования виден на верхней
части снимка слева в виде тонкой темной линии, ближний —
сливается с нижней границей кадра. В случае витка щель «вырезала» три
элемента (рис. 4,г): начальный, промежуточный и заключительный
участки витка.
Несложно заметить, что в пространство излучается три волны,
порядок следования которых зависит от расположения точки
регистрации относительно участка инициирования детонации. Во всех
случаях первой приходит ударная волна от ближайшего к
датчику участка кольца, затем волна 2 или 3. При этом волна 2
возбуждается за фронтом волны 1 заключительным участком кольца,
когда фронт детонационной волны завершает полный оборот. Этот
момент, если рассматривать непрерывное вращение детонационного
фронта по окружности, соответствует началу нового витка. Волна 3
возникает в результате фокусировки волны во внутренней области
кольца. Заметим, что временной интервал между двумя последними
кадрами СФР-граммы (рис. 4,а) в шесть раз превышает
предыдущие.
Отсутствие осевой симметрии заряда (рис. 4,г) приводит к
существенному изменению картины взаимодействия волн из-за
неопределенности процесса фокусировки в схеме витка. На снимке видно,
что ударная волна от начального участка (нижняя «нитка») чуть
опережает начало инициирования детонации заключительного
элемента витка («нитка» в центре снимка), ударная волна от которого
взаимодействует со взрывной полостью: регистрируется
ослабленная ударная волна 2. В результате этого взаимодействия возникает
волна разрежения, которая ослабляет ударную волну 3 —
результат взаимодействия волн от начального и промежуточного
элементов витка. Подобные эффекты взаимодействия должны приниматься
во внимание при использовании зарядов типа плоских спиралей (см.
гл. 2).
Учитывая, что скорость детонации стандартных ВВ примерно в
пять раз превышает скорость звука в жидкости, можно ожидать, что
течение жидкости в целом должно быть близко к осесимметричному.
Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов
119
Действительно, кинограмма пульсации взрывной кольцевой полости
(рис. 4,в) показывает, что полость сохраняет форму тора, по
крайней мере в течение 1-й пульсации. Здесь диаметр кольца 30,5 см,
диаметр заряда ВВ d0 = 0,65 мм, скорость детонации 7,7 км/с,
частота 1500 кадр/с. По данным этой кинограммы максимальный
размер сечения полости с продуктами детонации в момент ее остановки
составляет ~ 120Rch. Видно, что область внутри кольца сильно ка-
витирует.
Как уже отмечалось, скорость детонации стандартных ДШ
существенно превышает скорость звука в жидкости, что дает
основание в рамках предварительных оценок применять модель
мгновенного взрыва. Для этой цели, в частности, может быть использован
взрыв кольцевого проводника.
Эксперименты такого рода были выполнены на
высоковольтной установке с конденсаторной батареей, позволяющей
накапливать энергию до нескольких кДж и выделять необходимую ее часть
на кольцо диаметром около 5 см (нихромовая проволочка толщиной
около 0,15 мм). Взрыв такого кольца в жидкости позволил
обнаружить одну принципиальную особенность в формировании волнового
поля. Типичная картина в виде СФР-граммы приведена на рис. 5.
Здесь четко видно, что фронт ударной волны имеет форму
тороидальной поверхности, в области оси кольца происходит
фокусировка волны и ее отражение, регистрируемое датчиком давления в
виде волны сжатия. При дальнейшем развитии процесса в
результате взаимодействия отраженной волны со взрывной полостью внутрь
кольца распространяется сходящаяся волна разрежения, за
фронтом которой развивается интенсивная пузырьковая кавитация. Этот
факт указывает на то, что к моменту взаимодействия отраженной от
оси ударной волны с полостью, давление в последней заметно ниже
гидростатического.
Отметим некоторые особенности структуры волнового поля
кольцевых зарядов (рис. 6). Измерения давления подтвердили
отмеченную выше зависимость регистрируемой структуры излучения
от положения точки регистрации в ближней от заряда зоне. По мере
удаления от заряда наблюдался переход от четкого расслоения
волны на три упомянутых выше типа к постепенному вырождению в
одну волну.
Различным оказался и характер изменения параметров
волнового поля. На рис. 7 приведены изменения максимальных амплитуд
первой волны p1,max в зависимости от относительного расстояния
120
Глава III
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 7. Изменение амплитуды 1-й ударной волны pi,max вдоль
оси кольцевого заряда в жидкости для радиусов колец а = 10
(о), 20 (·), 30 см (х)
Рис. 8. Распределение давления для 1-й ударной волны p1 в
плоскости кольцевого заряда
вдоль оси для заряда с R0 = 0,0325 см и различных значений
радиусов колец заряда а = 30, 20 и 10 см.
Все три зависимости имеют идентичный степенной характер
Pi,max ~ A(r)-1/3, где коэффициент А зависит от веса заряда, т. е.
определяется значениями радиусов заряда Rch и кольца а для
фиксированных плотности заряда ρ* и типа ВВ. Необходимо отметить,
однако, что использование вне указанного диапазона обобщенных
данных по трем значениям радиусов колец ВВ может привести к
заметным расхождениям. Тем не менее, приближенная оценка
амплитуды первой волны на оси кольца, представленная в простом
виде
может иметь практическое значение. Интересно отметить, что
амплитуда первой волны растет с уменьшением радиуса кольца а при
Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов
121
Рис. 9. Асимптотическое
поведение амплитуды волны от
кольцевого заряда в
жидкости на больших расстояниях
от заряда (эксперимент)
фиксированном значении r/а.
Экспериментальные данные по распределению р1 в плоскости
кольца приведены на рис. 8. Оказалось, что давление на фронте
ударной волны от заряда большего радиуса а падает с
расстоянием быстрее (степень ~ 1,65), чем для малого (~ 1,15). Данные
для а = 20 см оказались промежуточными. Полученный
результат позволил предположить, что в плоскости кольца на расстояниях
r = r/а >> 1 характер распределения давления аналогичен случаю
сосредоточенных зарядов с весом, равным весу ВВ в кольце.
Экспериментальная проверка подтвердила это предположение
(см. рис. 9): удовлетворительное совпадение с данными для
эквивалентных сосредоточенных зарядов наблюдается в плоскости-кольца с
расстояний r ~ 10, вдоль образующей цилиндрической поверхности
радиуса а (точки *) с расстояний r ~ 30 – 40.
Измерения максимальных амплитуд вторых волн (рис. 10)
показали, что они могут достигать значительных величин и иногда
превышать амплитуду 1-й волны, но в плоскости кольца с
расстоянием они убывают быстрее, чем вдоль оси. Этот эффект может
определяться как фокусировкой волн в области оси, так и их
ослаблением вследствие взаимодействия отраженных волн со взрывной
полостью в плоскости кольца.
Приведенные экспериментальные факты дают основание для
исследования динамики тороидальной полости в осесимметричной
постановке (полагая, что она сохраняет свою форму в процессе
пульсаций) и использования соответствующего приближения при мате-
122
Глава III
Рис. 10. Распределение
давления для вторичных ударных
волн при взрыве кольцевого
заряда в жидкости для
различных расстояний и положе-
нийдатчика давления
(эксперимент)
а — на оси, б— в плоскости
кольца, в — на образующей
Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов
123
матическом моделировании этого процесса. Так, например,
можно считать, что сечение полости сохраняет форму окружности.
Полученные результаты могут быть применены к анализу
структуры волнового поля зарядов, имеющих сложную пространственную
структуру. Эксперименты с ДШ показали, что для исследования
динамики полости вполне применима модель мгновенной детонации,
позволяющая упростить и расчет начальных параметров задачи.
4. Динамика тороидальной полости,
численные модели
4.1. Идеальная несжимаемая жидкость. Пусть в безграничной
идеальной несжимаемой невесомой жидкости находится газовая
полость радиуса R0 в форме тора с поперечным сечением в виде
окружности радиуса а. Предполагаем, что давление внутри полости
меняется по адиабатическому закону p = p(0)(V)-γ*, где V = V/V0 —
относительный объем тора. Необходимо найти уравнение движения
границы тора. Для этого рассмотрим ортогональную тороидальную
систему координат
где с — масштабный множитель (радиус «базисной» окружности).
Координатными поверхностями в такой системе будут торы α =
const, образованные вращением вокруг оси z круга радиуса R =
с/ sh α с центром на расстоянии а = с cth α. от оси; сферы β = const,
образованные вращением вокруг оси z окружности радиуса R1 =
с/ sin β с центром на оси z, находящимся на расстоянии α1 = cctg β
от начала координат, и плоскости γ = const.
Рассмотрим краевую задачу [11]. В области Ω(t), ограниченной
замкнутой гладкой тороидальной поверхностью σ(t), найдем
потенциал φ(α, β, γ, t) такой, чтобы при t > 0 выполнялись следующие
условия:
в области ;
= 0 — уравнение границы тора; (6)
= 0 — кинематическое условие;
на поверхности σ(t):
124
Глава III
при t = 0: p = p(0), α = α*, ά = 0,
σ(0) — поверхность тора.
Будем искать решение уравнения Лапласа в виде
Тогда для ψ оно примет вид
Здесь и далее индексы по переменным α, β, γ означают
соответствующие частные производные. Решение этого уравнения для осесим-
метричного случая (ψ не зависит от γ) известно и выражается через
сферические функции. Таким образом можно показать, что
Нас будет интересовать краевая задача для области Ω(t),
внешней относительно σ(t). При этом α и β меняются в диапазонах
0 < α < α0, —π < β < π (α = 0, β = π — центр координат,
α = 0, β = 0 — бесконечность). Поскольку задача симметрична
относительно плоскости тора, решение (9) существенно упростится:
Рассмотрим частный случай, когда π = 0. Тогда (10) можно
записать в виде
где К(к) — полный эллиптический интеграл 1-го рода, к =
th (α/2) — его модуль. Коэффициент А определится из
кинематического условия, см. (6), которое, в силу предположения о тороидально-
сти полости и, следовательно, условия, что уравнение границы есть
а — α0 = 0, принимает простой вид
где Ηα,β = c(ch α — cosβ)-1 — коэффициенты Ламе, α0 —
координата границы полости. Полагая, что а >> R (ch (α0/2) >> 1), для А
получим
Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов
125
Отметим, что th(α0/2) — 1, Е(k0) — 1 (значение полного
эллиптического интеграла на границе полости k0 = th (α0/2)) при
ch(α0/2) >> 1, а величина К(k0) с достаточной степенью
точности аппроксимируется выражением К ~ ln(4ch(α0/2)), что было
использовано при выводе (13). Компоненты скорости частицы
жидкости и φt определяются выражениями
В последнем выражении пренебрегаем величиной (Е — K)/Esh α0
по сравнению с 2.
Подставляя (14) в интеграл Коши — Лагранжа (см. постановку
задачи), получим для давления в любой точке жидкости
соотношение
где
Таким образом, предполагая, что σ(t) является координатной
поверхностью, можно на основании интеграла Коши — Лагранжа
получить уравнение пульсации полости
в тороидальной
и полярной
126
Глава III
системах. Нетрудно видеть, что последнее уравнение имеет
общую форму с различными вариантами уравнений для
цилиндрической симметрии. Естественно, не следует ожидать
асимптотического перехода (при а — ) тороидальной полости в цилиндрическую,
поскольку точного решения этой задачи, как было показано выше,
не существует. Такое требование было бы аналогично требованию
перехода от полупространства к безграничной жидкости в
постановке Кузнецова [5], которое, как известно, не приводит к желаемому
результату.
Запишем закон сохранения энергии
T+U1 + U2 = E = const,
где Е = — ρ/2 / φ(dφ/dη) dσ — кинетическая энергия жидкости,
U1 — работа против сил внешнего давления, U2 — внутренняя
энергия газа в полости. Выражения для Τ и Ε имеют вид
где 2π2с3/ sh 2 а00 — начальный объем тора. Тогда закон сохранения
энергии принимает вид
Несложно показать, что он в точности соответствует первому
интегралу от (16).
Для определения точности выражения (11) для φ относительно
разложения (10) можно рассмотреть задачу Дирихле по определению
давления в области Ω, которая приводит к выражению
Здесь р, р(0) — избыточные давления относительно давления на
бесконечности. Первое слагаемое в скобках соответствует значению р,
Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов
127
определенному зависимостью (15) при α0 = 0. Оценим следующий
член разложения (n = 1). Имеем
Теперь для относительного давления p = (p — p )/(р(0) — P ) с
учетом двух членов разложения можно получить выражение
Так как α меняется в пределах 0 < α < α0, то второе слагаемое в
скобках будет максимальным при α = α0, а именно — 4е-3а0/2/π.
Но при принятых выше условиях а > R (ch(α0/2) > 1) и
можно считать, что exp(α0/2) ~ 2ch(α0/2) и выражение для давления
предельно упрощается
Ясно, что при принятых условиях вторым членом в скобках
можно пренебречь, а это означает, что выражение (11) можно считать
достаточно точным.
Приведем некоторые оценки для давления при t = 0:
— в плоскости тора, вне его (β = 0)
— в центре тора (β = π, α = 0)
— на оси симметрии (α = 0, 0 < β < π)
Видно, что на больших расстояниях характер изменения давления в
первом и последнем примере одинаков и определяется, практически,
128
Глава III
аналогично случаю сферической симметрии с точностью до
некоторого масштабного множителя. Данный результат вполне
коррелирует с выводом о возможности оценки амплитуды ударной волны
на большом расстоянии от кольца по взрыву эквивалентного по весу
ВВ сферического заряда.
4.2. Сжимаемая жидкость. Рассмотрим задачу о пульсации
тороидальной полости, образованной в результате взрыва кольцевого
заряда ВВ в рамках акустического приближения, полагая, что α >> R
[12]. При этом, как показывают экспериментальные данные,
сечение тороидальной полости практически сохраняет форму
правильного круга в течение 1-го периода пульсации при а ~ 103Rch, а при
а ~ 102Rch — в течение 1-го полупериода. Напомним, что Rch —
радиус заряда. Рассмотренная выше задача о пульсации тора в
несжимаемой жидкости не дает возможности оценить такие важные
параметры, как максимальный радиус полости с продуктами
взрыва и распределение энергии между ними и ударной волной.
Решение этой по сути осесимметричной задачи связано со
многими трудностями и, в частности, со сложностью решения
волнового уравнения. Поэтому прежде всего необходимо найти метод по-
стоения уравнения одномерной пульсации, ограничиваясь
известными рамками, который позволил бы упростить поставленную задачу.
Так как для ряда пространственных потенциальных задач
идеальной несжимаемой жидкости при определенных допущениях может
быть найдено выражение для потенциала скорости, естественна
попытка его использования для перехода к акустическим моделям.
Реальность такого метода оценим ниже на примере построения
уравнения одномерной пульсации пузырьков.
1. Пусть потенциал скорости в случае несжимаемой жидкости
имеет вид φ = Ф(t)/f(r), где вид функции f(r) зависит от типа
симметрии. Тогда его акустический вариант может быть представлен
как φ = Φ(t — r/c0)/ f(r). Так как рассматривается потенциальное
течение жидкости и = — Vφ, где и — массовая скорость жидкости,
то
где подстрочный индекс означает соответствующую частную
производную, а штрих — производную по ζ = t — r/c0. Интеграл Коши —
Лагранжа с учетом вида φ можно записать в виде
Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов
129
Здесь ω = I dp/ρ, p — давление в жидкости, ρ — ее плотность.
Из этих двух уравнений, делая замену Ω = ω + и2/2, можно найти
выражение для Ф:
производная по t от которого имеет вид
Здесь Ωt = ut + иut, учтено также, что Фt = Ф', а функция / зависит
только от r. На основании уравнений неразрывности (акустический
вариант) и сохранения импульса
(v = 0, 1, 2 соответственно для плоского, цилиндрического и
сферического случаев) найдем выражения для частных производных ut и
ωt в выражении для Ф':
Подставляя (20) в (19) и приравнивая полученное выражение
выражению (18), окончательно получим
В этом уравнении, справедливом для любой точки жидкости,
можно перейти к стенке полости, положив r = i2, и = dR/dt и H =
(p(R) — p )/ρ0 где p(R) — давление в продуктах детонации, р —
давление в жидкости на бесконечности, ρ0 — плотность
невозмущенной жидкости. Таким образом имеем
— для плоской полости (v = 0, f = 1, fr = 0)
" для сферической полости (v = 2, f = r, fr = 1)
130
Глава III
— для цилиндрической полости (у = 1, примем f = r, тогда fr =
r-1/2/2)
Все три уравнения полностью эквивалентны уравнениям,
полученным на основании точного решения задачи об инвариантности
функции G на характеристике c0
Здесь G = rv/2Ω.
Предлагаемый метод довольно прост, однако, остается еще
одна проблема: в двумерных задачах уравнение неразрывности не
позволяет производить замену частных производных компонент
скорости на полные. Анализ метода показал, что он допускает следующее
упрощение. Предположим, что в уравнении неразрывности можно
пренебречь членом (ω/c02), т. е. считать, что связь между
компонентами скорости определяется в основном рамками приближения для
идеальной несжимаемой жидкости. При этом, если найдено решение
уравнения Лапласа для потенциала скорости и при
соответствующей постановке задачи граничные условия допускают разделение
переменных, каждая компонента скорости выразится через полную
производную от радиуса полости по t.
Можно показать, что сделанное предположение несущественно
изменит уравнение (21): в его правой части в круглых скобках при ω
исчезнут члены u/c0 и (u/c0)2. Но в рамках акустики ими и так
можно пренебречь, поскольку основные потери на излучение при
пульсации полости в сжимаемой жидкости определяются членом Rω/c0.
Полученные результаты используем для нахождения в акустическом
приближении уравнения динамики полости при взрыве кольцевого
заряда.
2. Пусть в жидкости имеется тороидальная полость,
образовавшаяся в результате «мгновенной» детонации кольцевого заряда,
линейные размеры которой удовлетворяют условию а >> R. Тогда в
рамках приближения кольцевого источника можно записать
следующее выражение для потенциала скорости:
Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов
131
Здесь Ф = dS/dt; S = πR2 — площадь сечения полости тора;
f = v z2 + r2 + a2 — 2ar cos α в цилиндрической системе координат
(r,a,z), где а отсчитывается от произвольно выбранного
направления, которое в случае реального заряда ДШ целесообразно выбирать
с учетом точки инициирования детонации. Согласно п. 1, можно
было бы выписать в явной форме выражение для φ в случае
несжимаемой жидкости. Однако, при этом неясно, как записать аргумент
функции Φ при переходе к акустической модели. Поэтому
выражение для потенциала скорости сохраним в виде (22) при условии, что
из-под знака интеграла можно выносить функцию Ф', полагая, что
она обладает свойствами инварианта G. Для построения уравнения
пульсации полости это предположение несущественно и может
сказаться только при оценке тонкой структуры ударной волны в
ближней от заряда зоне.
По аналогии с вышеизложенным можно записать
где и,v,V — компоненты и полная скорость частицы жидкости.
Берем от второго уравнения в (23) частную производную по t. Тогда,
вынося Ф' из-под знака интеграла, получим
Можно показать, что ωt = ω + VV. Частные производные ut и vt
найдутся из решения для несжимаемой жидкости. При этом,
используя для потенциала скорости выражение
окончательно получим
132
Глава III
Подставляем ωt, ut,vt в (24) и выражаем Ф' из первого уравнения
системы (23). Получаем общее уравнение
где
Если ввести обозначения
z2 + a2-r2,ξ4 = z2+a2+r
функции F в конечном виде запишутся следующим образом:
Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов
133
Здесь K(k), Е(k) — полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го
рода соответственно; k — их модуль. Переходя к стенке тора, после
ряда преобразований в выражениях для коэффициентов F из (25),
получим уравнение пульсации тороидальной полости в сжимаемой
жидкости:
4.3. Сравнение с экспериментом. Экспериментальные
исследования [9], с которыми ниже сравниваются расчетные данные по
уравнению (26), проводились на зарядах в медной оболочке. Как показала
скоростная киносъемка, конечная скорость детонации не влияет на
форму полости. Исходные параметры задачи для расчета
определялись из условия распада произвольного разрыва и мгновенной
детонации при постоянном объеме. Для показателя изэнтропы
использовались данные работы [5] (начальная плотность заряда 1,55 г/см,
скорость детонации 7,7 км/с, диаметр заряда 0,65 мм). Результаты
расчета и эксперимента сравниваются в табл. 3:
Анализ приведенных в табл. 3 данных позволяет отметить
следующее:
1) расчетные данные удовлетворительно совпадают с
экспериментальными при а > 3 · 102Rch;
2) с увеличением радиуса кольца заряда значения параметров
пульсации взрывной полости Rmах и Rmin, характеризующих
энергетический баланс взрыва, асимптотически приближаются к
соответствующим значениям параметров взрыва с цилиндрической
симметрией;
3) кольцевая геометрия заряда существенно влияет на период
пульсации полости с продуктами детонации: согласно расчету,
даже при радиусе кольца заряда а = 10 м (вторая снизу строка
таблицы) период пульсации тора практически в два раза превышает
его значение в случае цилиндрического заряда; экспериментальные
результаты подтверждают тенденцию к увеличению периода
пульсации при увеличении радиуса кольца;
134
Глава III
Таблица 3
a/Rch
1,54 · 10*
3,08 · ΙΟ2
4,60 · ΙΟ2
1,54· ΙΟ3
3,08 · ΙΟ3
3,08 · ΙΟ4
οο
ymax
125,83
127,8
128,8
131,5
132,8
136,4
140,9
Расчет
ymin
4,02
3,82
3,72
3,48
3,37
3,09
3,15
τ*, с/см
0,21
0,24
0,256
0,3
0,323
0,394
0,2
Эксперимент
ymах
103
119,5
123,6
—
—
—
135
τ*, с/см
0,21
0,237
0,256
—
—
—
0,2
Е,%
11,8
15,9
17,0
—
—
—
22
Примечание. уmax= Rmax/Rch, Уmin = Rmin/Rch, τ* = tmax/Rch,
tmax — время расширения полости с продуктами детонации до 1-го
максимума, Ε — доля энергии, остающаяся в продуктах детонации
к моменту 1-го расширения полости, a/Rch = — соответствует
цилиндрическому заряду, Rmax — 1-й максимальный радиус
полости с продуктами взрыва, Rmin — радиус полости в момент 1-го
сжатия, Rch — радиус заряда.
4) согласно экспериментальным данным, с уменьшением
радиуса кольцевого заряда (до значения, когда нарушается круговое
сечение тороидальной полости в процессе расширения) доля энергии,
приходящаяся на ударную волну, которая генерируется этим
зарядом, увеличивается и при значении а ~ 150 · Rch составляет
практически 90%. При увеличении радиуса кольца энергетический баланс
приближается к данным по взрыву с цилиндрической симметрией.
Приведенные результаты подтверждают эффективность
предложенного в работе метода и полученного на его основе уравнения
пульсации тороидальной полости в сжимаемой жидкости (26).
Полученные результаты можно применить для анализа
структуры волнового поля в приближении кольцевого источника,
полагая, что источник «включается» мгновенно или аппроксимируется
набором точечных источников, «включаемых» последовательно со
скоростью детонации. Изменение мощности источника во времени в
каждой точке кольца полагаем идентичным и определяем на
основании решения вышеупомянутого уравнения (26) с учетом сдвига
пульсации по фазе из-за конечности скорости включения элементов
источника (скорости детонации). Таким образом, численные расчеты
структуры волны, излучаемой при взрыве кольцевого заряда, про-
Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов
135
Рис. 11. Структуры ударных волн при мгновенном взрыве
кольцевого заряда в жидкости (1), при взрыве с конечной
скоростью детонации (2) и на первом витке при непрерывном
вращении фронта детонации (3) (расчет)
водятся с учетом времени задержки на скорость распространения
детонации D и скорость акустической волны с0. В соответствии с
изложенной постановкой акустическое давление можно определить
как
где f = z2 + r2 + а2 — 2ar cos α; r, α, z — координаты
цилиндрической системы, угол α отсчитывается от направления центр кольца —
точка инициирования; S — площадь сечения тороидальной полости.
Расчет можно существенно упростить, если использовать «пиковое»
приближение [3].
На рис. 11 приведен результат расчета структуры волны в
точке, лежащей на расстоянии r = 2а в плоскости кольца на линии
«точка инициирования — центр». Расчет проведен для R0 = 0,15 см,
α = 15 см, D = 7,7 км/с. По вертикали отложена величина
относительного давления p = 4πρ/αp(0), где р(0) — начальное давление
в продуктах детонации, рассчитанное в рамках модели мгновенной
детонации после распада разрыва. Время τ1 взято относительно
константы θ0 = 2,7Rch/c0.
136
Глава III
Кривая 1 соответствует мгновенному взрыву, при котором
генерируются только две волны (прямая и отраженная от оси кольца);
профиль 2 получен для конечной скорости детонации. Здесь в
полном соответствии с экспериментом возникают три волны. Первая и
вторая — ударные волны от начального и конечного участков
кольца, соответственно, третья — отраженная после фокусировки
волна сжатия. Кривая 3 описывает начальный неустановившийся
профиль волны для случая непрерывного вращения фронта детонации
по кольцу радиуса а (начальный участок совпадает с профилем 2).
4.4. Основные характеристики. Анализ результатов численных
исследований (26), проведенных в широком диапазоне значений
радиуса кольца а, позволил получить приближенное аналитическое
выражение для максимального значения радиуса тороидальной
полости с продуктами взрыва
которое удовлетворительно согласуется с данными эксперимента на
реальных ДШ и соответствует изложенным выше выводам. Как
отмечалось, и эксперименты, и расчеты показали, что период
пульсации цилиндрической полости не является асимптотикой для периода
пульсации тора при увеличении радиуса кольцевого заряда. Оценка
периода может быть получена в рамках традиционного подхода
(модель несжимаемой жидкости): в пренебрежении членом R2/2 делая
замену R на Rmax под знаком логарифма, понимая, что
проявленная при этом «вольность» должна быть оправдана экспериментом.
Уравнение (26), таким образом, приводится к виду
и может быть проинтегрировано
Полагая в этом выражении R = О, для времени схлопывания пустой
тороидальной полости в несжимаемой жидкости получим
Оказалось, что время схлопывания, определенное на основании этого
выражения с точностью до некоторой константы совпадает с резуль-
Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов
137
татами эксперимента и расчета исходного уравнения. С учетом
этого факта окончательное выражение для первого периода пульсации
взрывной полости кольцевого заряда имеет вид
(R измеряется в см, Τ в с, коэффициент у второго слагаемого
имеет размерность).
Литература
1. Кедринский В. К. О пульсации цилиндрической газовой полости в
безграничной жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. /
АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1971. Вып. 8. С. 163—
168.
2. Кедринский В. К. Приближение Кирквуда — Бете для
цилиндрической симметрии подводного взрыва // Физика горения и взрыва. 1972.
№ 1.
3. Коул Р. Подводные взрывы. М.: Изд-во иностр. лит., 1950.
4. Кедринский В. К., Кузавов В. Т. Динамика цилиндрической
полости в сжимаемой жидкости // ПМТФ. 1977. № 4. С. 102-106.
5. Кузнецов Н. М., Шведов К. К. Изэнтропическое расширение
продуктов детонации гексогена // Физика горения и взрыва. 1967. № 2.
6. Кедринский В. К. О некоторых приближенных моделях одномерной
пульсации цилиндрической полости в несжимаемой жидкости //
Физика горения и взрыва. 1976. № 5. С. 768-773.
7. Кузнецов В. М. О расширении цилиндрической полости в идеальной
несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. /
АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1973. Вып. 14.
8. Притчетт Дж. У. Расчеты явлений при подводных взрывах в
условиях несжимаемости // Подводные и подземные взрывы. М.: Мир, 1974.
9. Кедринский В. К., Кузавов В. Т. Подводный взрыв кольцевого
заряда вблизи свободной поверхности // ПМТФ. 1983. № 4.
10. Кедринский В. К. Особенности структуры ударных волн при
подводных взрывах спиральных зарядов // ПМТФ. 1980. № 5. С. 51-59.
11. Кедринский В. К. О пульсации тороидального газового пузыря в
жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР.
Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1974. Вып. 16.
12. Кедринский В. К. Об одномерной пульсации тороидальной газовой
полости в сжимаемой жидкости // ПМТФ. 1977. №3. С. 62-67.
Глава IV
ДИНАМИКА СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ
1. Взрыв в несжимаемой жидкости
Модель идеальной несжимаемой жидкости является наиболее
распространенным и простым приближением многих задач
гидродинамики взрыва. Как известно, она предполагает постоянство
плотности жидкости ρ = const и позволяет в рамках законов сохранения
исследовать ряд важных характеристик взрывного процесса. Как было
показано выше, уравнение неразрывности в этом случае допускает
решение в виде vry = f(t), которое при фиксированном значении
t является инвариантом и сохраняется для любой точки жидкости.
Интегрирование уравнения сохранения импульса по r после
подстановки в него f(t)
приводит к уравнению пульсации полости с продуктами взрыва и
дает возможность оценить характер распределения давления в
окружающей жидкости:
Заметим, что первый и второй интегралы в (1) в плоском случае
(v = 0) и первый в случае цилиндрической симметрии (у = 1) при
r — расходятся. Точное уравнение модель позволяет получить
лишь для сферической полости:
Динамика сферической полости
139
Это известное уравнение Релея [1]. При р0 = const его первый
интеграл находится легко, если известно уравнение состояния продуктов
детонации (или газа) внутри полости. Для адиабаты ρVγ = const он
имеет вид
где точка означает производную по t. Это уравнение, умноженное на
2πρ, представляет собой закон сохранения энергии: изменение
внутренней энергии продуктов детонации
равно приращению кинетической Tk = 2πρR3R2 (если R(0) = 0) и
потенциальной U = (4/3)πρ0(R3 — R03) энергий жидкости.
Продукты детонации считаются идеальным газом с постоянным (в данном
частном случае) показателем адиабаты γ. Наиболее удобна форма
записи уравнения (3) в безразмерных переменных для у = R/R0 и
Здесь индекс означает производную по г, второе слагаемое слева -
компонента начальной кинетической энергии жидкости. Из этого
уравнения могут быть определены два основных параметра: период
пульсации τ* и максимальный радиус полости с продуктами
детонации ymax (соответствует условию уτ = 0), оценка которого
упрощается при условии, что ymах > 1:
По сути, (5) определяет тот же баланс энергии, о котором
упоминалось выше, только отнесенный к начальной потенциальной энергии
P0V0.
Параметры р(0) и уτ(0) определяются на контактном разрыве
как начальные условия задачи и находятся по pu-диаграмме в
точке пересечения кривой ударного перехода в жидкости с кривой
разгрузки в продуктах детонации (гл. I, рис. 2). Заметим, что при их
140
Глава IV
определении, естественно, ни о какой модели несжимаемой жидкости
речи не идет. К ней вернемся, определив начальные условия.
• Ударный переход (при u1 = 0)
Скорость ударной волны U можно выразить из условия сохранения
массы на разрыве (см. гл. I)
и окончательно получить для скорости контактного разрыва со
стороны жидкости
• Переход в волне разгрузки в продуктах детонации
Здесь индексом * отмечены соответствующие параметры,
относящиеся к продуктам детонации. С учетом уравнения состояния
жидкости (типа уравнения Тэта) давление на контактном разрыве после
распада определится из соотношения
Уточним, что для рассматриваемой задачи р2 = p(0), u2 = uτ(0), а,
R0 = Rch — начальный радиус заряда.
Считаем детонацию заряда мгновенной, объем неизменным, а
плотность продуктов детонации равной начальной плотности
заряда взрывчатого вещества (ВВ). В этом случае давление в
продуктах детонации можно определить по известному соотношению
р+ = (γ* — l)ρ*Q*, которое следует из условия равенства удельной
внутренней энергии продуктов детонации теплоте взрыва Q* на
единицу массы ВВ. Скорость звука с* в продуктах мгновенной
детонации определяется по скорости детонации D*:
Динамика сферической полости
141
Заметим, что результаты для р(0) и уτ(0) не зависят от типа
симметрии.
Рассмотрим конкретный пример для заряда гексогена с ρ* =
1,65 г/см3, Q* = 1,32 ккал/г и D* = 8,35 км/с. По данным
Кузнецова и Шведова [2] изэнтропа расширения продуктов детонации этого
ВВ характеризуется практически неизменным значением γ*, которое
при уменьшении плотности продуктов в процессе их расширения от
2,2 до 0,8 г/см3 изменяется в узком интервале 2,95 – 2,75.
Заметное изменение наблюдается в диапазоне плотностей 0,6 – 0,05, где γ*
уменьшается от 2,5 до своего минимального значения 1,26.
Принимаем γ* = 2,85, тогда р* = 168,4 кбар, с* = 5,08 км/с.
Решение (6) дает р(0) = 90 кбар, R(0) = 1,85 км/с, т. е. уτ(0) = 185.
Таким образом, если в (5) положить γ = γ* = const, то ymax — 46,4.
В принципе этот результат (с поправкой на начальную скорость)
можно было бы получить сразу, приравняв энергию взрыва Q*ρ*V*
потенциальной энергии: жидкости p0Vmax в момент максимального
расширения полости:
Полученная оценка дает лишь порядок величины, так как в рамках
модели несжимаемой жидкости не учитываются потери на излучение
ударной волны, которая, как известно [3], уносит около половины
энергии, выделившейся в процессе взрывчатого превращения.
Когда радиус полости достигает максимального значения (у =
ymах, время расширения полости τ = τ+), давление в продуктах
детонации оказывается на несколько порядков меньше
гидростатического р0 и полость можно считать пустой. Под действием этой
разницы давлений полость схлопывается с нулевой начальной скоростью
за время τ = τ-, которое легко определяется из (4), принимающего
форму уравнения Безанта:
Необходимо только заметить, что в этом уравнении радиус полости
нормирован на Rmах· Время τ- определится из соответствующего
интеграла этого уравнения в предположении, что полость
схлопывается до нуля,
142
Глава IV
Здесь В — бета-функция. Экспериментальные исследования
показывают, что пульсация взрывной полости симметрична: время ее
расширения τ+ до R = Rmax с высокой степенью точности равно
времени ее последующего схлопывания τ-. Таким образом, период
первой пульсации полости τ* с продуктами детонации можно
определить как сумму τ+ и τ-:
Как известно, в реальной ситуации, при подводном взрыве
расширение продуктов детонации сопровождается формированием в
жидкости ударной волны, которая сменяется фазой разрежения, а
затем волной сжатия (так называемой пульсацией), излученной
полостью при схлопывании. Интервал между фронтом ударной волны
и максимумом первой пульсации (а их может быть несколько, если
форма полости остается устойчивой) и составляет период Т1. Если
в эксперименте удается зарегистрировать профиль давления p(t), a
следовательно, и T1, то становится автоматически известным (на
основании (7)) и Rmax, что позволяет, зная коэффициент передачи
энергии в излучение, оценить энергию взрыва, если она неизвестна,
и наоборот: если известна теплота взрыва, оценить энергию,
унесенную ударной волной.
Если в качестве определяющих параметров задачи о подводном
взрыве в идеальной несжимаемой жидкости принять плотность ρ,
гидростатическое давление p0 и энергию взрыва Q1 = Q*ρ*V* (ρ*V* —
масса заряда ВВ), то из них можно составить комбинацию с
размерностью времени. Для этого достаточно в уравнении (7) выразить
Rmax через отношение Q1/p0. Результатом является известная
формула Виллиса [3]
в которой коэффициент αi отражает степень передачи энергии ВВ в
жидкость при детонации и последующих пульсациях (индекс i
означает номер пульсации).
2. Взаимодействие ударной волны с пузырьком
Многочисленные экспериментальные и теоретические
исследования динамики газовой полости в безграничной жидкости связаны
Динамика сферической полости
143
с существованием ряда проблем подводного взрыва,
гидроакустики, пузырьковой кавитации, проблемы инициирования жидких ВВ
при ударах и лежат в основе анализа структуры ударных волн и
волн разрежения в двухфазных средах, играя принципиальную роль
при разработке соответствующих математических моделей,
позволяющих описать указанные процессы.
2.1. Короткие ударные волны. Как правило, в экспериментах с
пузырьками приходится иметь дело с импульсными ударными
волнами или волнами сжатия, для которых характерны явно
выраженный относительно крутой фронт со скачком давления и профиль
типа экспоненты. Длительность положительной фазы таких волн
может составлять десятки микросекунд (соответствует 5 – 10 см), что
существенно превышает размеры пузырьков, но, как правило,
имеет тот же порядок, что и время их схлопывания. Эта особенность
лежит в основе модели взаимодействия пузырька с ударной волной,
согласно которой временем распространения фронта волны вдоль
пузырька можно пренебречь по сравнению с характерным
временем его пульсации, и считать, что пузырек схлопывается
сферически симметрично, а набегающая волна моделируется давлением на
бесконечности, изменение которого со временем задается в точном
соответствии с ее профилем [4, 5].
Аналитические зависимости для времени схлопывания t- =
0,915R0 и относительного минимального радиуса пузырька
((R0/Rmin)3γ-3 = 1 + (p /p0)(γ - 1)), которое легко получить из
(4), в случае переменного давления на бесконечности не работают.
Здесь γ — показатель адиабаты газа в пузырьке, R0, Rmin — его
начальный и минимальный радиусы, р0 — начальное давление газа в
пузырьке, равное гидростатическому, p — амплитуда падающей
стационарной ударной волны.
Солоухин [4] провел численный анализ уравнения Релея для
экспоненциального изменения давления, соответствующего
классическому профилю ударной волны подводного взрыва psh = p · е-τ.
Это уравнение было приведено к удобной для анализа безразмерной
форме
где у = R/R0, τ = t/θ, μ = (θ/R0vρ/po)2, A = p /p0. Несложно
видеть, что в уравнении появился безразмерный параметр μ,
определяющий отношение постоянной времени спада давления θ к характер-
144
Глава IV
ному времени сжатия R0vρ/po пустого пузырька радиуса R0
постоянным гидростатическим давлением р0. Расчет проводился в
широком диапазоне значений параметров А = 10 – 103, γ = 1,33 – 1,67 и
μ = 10-2 – 103.
На основании этих расчетов в [5] удалось установить
приближенную аналитическую зависимость минимального радиуса
пузырька от амплитуды и постоянной спада набегающей ударной волны θ
(через параметр μ)
Видно, что при μ —> минимальный радиус будет определяться
только амплитудой А и показателем адиабаты, что и следует из
уравнения (4) для волн типа ступеньки при нулевой начальной
скорости (уτ(0) = 0).
Несложно догадаться, что и оценка времени схлопывания
пузырька под действием короткой ударной волны должна содержать
такие комбинации параметра μ, чтобы при μ — (0 —> )
асимптотически стремиться к значению τ_ = 0,915. Для этого можно
воспользоваться идеей, предложенной в оценке Rmin, и рассмотреть
следующую последовательность преобразований: используем
комбинацию μΑ вместо р
делим обе части выражения на θ
вводим обозначение τа = t-/θ, получаем
В табл. 1 приведено сравнение безразмерных характеристик,
полученных в результате расчета по уравнению Рэлея (τp,, Rp) и по
аналитическим соотношениям (τa, Ra)· Несложно видеть, что
последние вполне пригодны для приближенных оценок поведения
газового пузырька под действием давления, сильно меняющегося во
времени. Наиболее существенны расхождения по времени схлопывания
Динамика сферической полости
145
Таблица 1
А
10
10
10
10
100
100
100
100
100
100
100
100
1000
1000
1000
μ
10
1
0,1
0,01
10
1
0,1
0,01
10
1
0,1
0,01
1
0,1
0,01
7
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,67
1,67
1,67
1,67
1,33
1,33
1,33
θ, с
3,16 · 10-3
1,0 · 10-3
3,16 · 10-4
1,0 · 10-4
3,16 · 10-3
1,0 · 10-3
3,16 · 10-4
1,0 · 10-4
3,16 · 10-3
1,0 · 10-3
3,16 · 10-4
1,0 · 10-4
1,0 · 10-3
3,16 · 10-4
1,0 · 10-4
Ш
0,105
0,35
1,27
5,11
0,029 4
0,092
0,308
1,096
0,029 5
0,094 4
0,309
1,1
0,029
0,093
0,304
га
0,092
0,303
1,294
9,59
0,028 9
0,095
0,303
1,294
0,028 9
0,092
0,303
1,294
0,028 9
0,092
0,303
Кр
0,262
0,307
0,404
0,738
0,046
0,048
0,053
0,074
0,123
0,126
0,136
0,167
0,003 04
0,00317
0,003 58
Ra
0,262
0,28
0,4
0,772
0,046
0,045 7
0,049
0,079 3
0,121
0,122
0,127
0,17
0,003 02
0,003 02
0,003 33
τ0 (t-) для наименьших из рассмотренных значений А и μ. Заметим,
что значениям μ = 0,01 и θ = 10-4 соответствуют крупные пузыри
радиуса R0 ~ 1 см.
2.2. Образование кумулятивной струи при схлопывании пузырька
(эксперимент). Экспериментальные исследования показывают, что
взаимодействие ударной волны с одиночным газовым пузырьком в
жидкости часто оказывается весьма далеким от рассмотренной
идеальной одномерной схемы. Процесс обтекания фронтом ударной
волны пузырька, как бы ни был он краток относительно
характерного времени пульсации, сопровождается взаимодействием фронта с
поверхностью, детальный анализ которого, проведенный при
помощи высокоскоростной оптической съемки в двух режимах развертки
процесса (непрерывном и покадровом) показал, что это
взаимодействие играет принципиальную роль для понимания (и описания)
реальной картины деформации формы пузырька [6, 7].
Непрерывный режим регистрации с записью волновой
картины осуществлялся при помощи оптического прибора ИАБ-451 через
горизонтальную щель на вращающуюся с линейной скоростью до
100 м/с фотопленку. В покадровом режиме использовались СФР и
фоторегистратор непрерывной развертки в комбинации со
специальной схемой покадровой подсветки (рис. 1), идея которой основана на
Двойном разряде [6]. Схема включает накопительную (C1 = 1 мкФ)
146
Глава IV
Рис. 1. Схема частотной водородной лампы-вспышки
и разрядную (С2 = 0,1 мкФ) емкости, а также водородный
искровой разрядник. После пробоя промежутка, являющегося
высоковольтным ключом, емкость С1 разряжается через сопротивление
R1 = 2 600 Ом на емкость С2, напряжение на обкладках которой
поднималось до пробойного значения разрядника, помещенного в
специальный прозрачный корпус. Последний герметически закрывали,
вакуумировали и заполняли водородом (р = 1 атм). Разрядник
изготавливали из нихромовой проволоки (d ~ 1 мм) с расстоянием
между электродами около 2 см. Водород обеспечивает малое время
деионизации и предотвращает появление дуги. Индуктивность
конденсатора и подводящих проводов была порядка 1 – 2 мкГн, что
при сопротивлении R2 ~ 1 – 2 Ом обеспечивало продолжительность
разряда (а следовательно, и вспышки) не более 1 мкс. Частота
вспышек достигала 40 кГц. Точность определения скорости вращения
пленки фоторегистра около 1 %.
Процесс пульсации одиночного сферического пузырька под
действием ударной волны (амплитуды в пределах 1 – 3 МПа,
длительность положительной фазы давления порядка 100 мкс) показан на
рис. 2,а,б и рис. 3 [6].
На рис. 2,а, в виде непрерывной развертки демострируется
изменение диаметра пузырька в Виде вертикальной переменной
ширины темной полосы. Вспышка в верхней части снимка — взрыв
проволочки, генерирующий ударную волну в жидкости. Волновая
картина хорошо видна на обоих кадрах (а, б). Рисунок 2,б демон-
Динамика сферической полости
147
Рис. 2. Теневая непрерывная (а) и покадровая (5) развертки
пульсации пузырька под действием ударной волны
148
Глава IV
Рис. 3. Формирование кумулятивного течения при
охлопывании пузырька ударной волной
стрирует снятую при помощи импульсной водородной лампы
теневую покадровую развертку процесса схлопывания пузырька под
действием ударной волны, распространяющейся слева направо.
Несложно заметить явную несимметрию формы пузырька и несколько
угловатый профиль его задней стенки на последнем кадре.
Причина такой деформации формы пузырька становится ясной из рис. 3
(СФР-грамма, время между кадрами — 40 мкс), на котором
четко наблюдается развитие внутри пузырька кумулятивного
струйного течения в направлении распространения ударной волны [6]. Как
следует из регистрограммы, на задней стенке пузырька фиксируется
удар кумулятивной струйки (кадры 9-12), что проявляется в
образовании на стенке локальной выпуклости. Эксперименты показывают,
что скорость струйки достигает 30 м/с при скорости задней стенки
10 – 15 м/с. Струя четко видна на кадрах на стадии расширения
пузырька, но и после ее разрушения ассимметрия формы пузырька
остается.
Динамика сферической полости
149
Как показали анализ экспериментальных данных и численные
оценки [6, 7], кумулятивный эффект развивается в результате
особого распределения начальных скоростей стенки пузырька,
возникающего за время прохождения по нему плоского фронта ударной
волны. Последний взаимодействует со стенкой пузырька как со
свободной поверхностью и сообщает различным ее точкам
неодинаковые начальные скорости, распределенные по поверхности по закону
(2Δр/ρ0с0) cos ε, где ε — угол, составленный радиусом, проведенным
к поверхности пузырька в точку контакта с фронтом ударной волны,
и горизонтом [6,7]. По этой причине, несмотря на равномерность
распределения давления в жидкости, окружающей пузырек, после
обтекания его фронтом волны (размер пузырька много меньше длины
ударной волны), сферическая симметрия процесса нарушается, что
приводит к схлопыванию с образованием кумулятивной струйки,
направленной по ходу волны: имеет место классическое кумулятивное
течение при выходе плоской волны на кумулятивную выемку.
Обнаруженный в [6, 7] эффект кумуляции, а также влияние на
характер взаимодействия с волной вероятных искажений
сферической формы в результате движения пузырьков относительно
жидкости приводят к их разрушению, увеличивая диссипативные потери и
искажая форму переизлучения при трансформации энергии ударной
волны, если речь идет о распространении последней по
пузырьковой среде. При выполаживании фронта и уменьшении амплитуды
давления во фронте эти эффекты могут заметно ослабляться.
2.3. Влияние относительного движения. При наличии начальной
поступательной скорости схлопывание пузырька в идеальной
жидкости существенно отличается от случая, когда его центр неподвижен
в течение всей пульсации [8]. Законы сохранения энергии и
импульса при относительном движении приводят к появлению предельного
радиуса схлопывания даже в случае пустой полости, что связано
с резким возрастанием энергии поступательного движения по мере
уменьшения ее радиуса, в области малых (относительно исходных)
значений которого резко уменьшается присоединенная масса
жидкости, происходит перераспределение кинетических энергий
радиального и поступательного движений в сторону последнего.
Несложно получить простую оценку этого эффекта из закона
сохранения энергии, записав его для начального и конечного моментов,
когда радиальная скорость стенки пузырька равна нулю.
Предполагается, что пузырек сохраняет свою сферическую форму. Запишем
выражения для кинетической Τ = 2πρR3(R2 + x2/6) и потенциаль-
150
Глава IV
ной U = p0V энергий жидкости, где R — радиус пузырька, V —
его объем, R и x — радиальная и поступательная скорости
соответственно, р0 — гидростатическое давление в жидкости, газ в полости
отсутствует. Поскольку конечное значение x однозначно связано с
минимальным радиусом полости R* законом сохранения импульса
V*x* = V0x0 (начальное и конечное значения R = 0), то условие для
нахождения R* запишется в виде
откуда
Видно, что только при x0 = 0 пустая полость может схлопнуться до
конца (R* = 0).
Эффект поступательного движения аналогичным образом
скажется и в случае взаимодействия плоской ударной волны с
первоначально покоящимся пузырьком. Правда, понятие «покоящийся»
здесь справедливо только до начала обтекания пузырька фронтом
волны. В результате этого обтекания пузырек приобретает
некоторую поступательную скорость, которая определяется эпюрой
распределения массовых скоростей по поверхности пузырька, сообщенных
фронтом [6, 7], упругостью стенок и может рассматриваться как
начальная.
2.4. Реальное состояние газа. Оценка реального состояния газа
является одним из важных элементов исследования динамики
пузырька в поле давления, необходимым как для понимания в целом
процесса преобразования ударной волны пузырьковой средой, так и
для построения и численного исследования его математических
моделей. В этой связи постановка прямого эксперимента для выяснения
изменений в состоянии газа пульсирующего пузырька представляет
несомненный интерес. Такой эксперимент был проведен автором в
1960 г. совместно с Солоухиным и опубликован в дипломной работе
автора [6] и работе [9]. Суть его состоит в следующем.
В воде на пути распространения ударной волны помещался
пузырек из очень тонкой резины, заполненный стехиометрической
газовой смесью 2Н2 + О2 или 2С2Н2 + 5O2. Пульсация его
регистрировалась через щель в режиме непрерывной развертки
фоторегистратора с импульсной подсветкой и соответствующей синхронизацией.
Ожидалось, что в процессе адиабатического схлопывания пузырька
Динамика сферической полости
151
за фронтом ударной волны смесь в нем сможет нагреться до
температуры воспламенения. Предположение полностью подтвердилось.
Воспламенение фиксировалось как по самосвечению смеси в
полости в момент воспламенения (в этом случае эксперимент
проводился без подсветки), так и по резкому изменению радиуса полости во
времени (рис. 4), что прямо указывало на взрывной характер
расширения, как правило, опережавшего по фазе начало расширения в
случае инертного газа. Как отмечалось выше, темная полоса (слева)
в центре рис. 4 — начальный диаметр пузырька, светлая
поперечная полоса — момент взрыва проволочки, генерирующего в
жидкости ударную волну. На снимке видны две пульсации. Факт взрыва
отмечается резким отклонением задней (на снимке — верх) стенки
пузырька. Заметим, что из-за формирования кумулятивного
течения передняя стенка на развертке всегда будет сглажена. На фоне
подсветки вспышки смеси не видно.
Расчет зависимости температуры от степени сжатия пузырька
проводился по закону адиабатического сжатия Тd = T0(V0/Vd)γ-1.
Сравнение полученных в экспериментах температур воспламенения
указанных смесей показало, что они находятся в пределах известных
значений, соответствующих адиабатическому нагреву [10].
Очевидно, представляет интерес использование стехиометрической смеси
водорода с кислородом в качестве наполнителя для исследования
особенностей динамики схлопывающейся полости. Продуктом
детонации такой смеси является водяной пар, который в процессе
расширения полости охлаждается и конденсируется. В результате в стадии
схлопывания полость оказывается практически пустой, что
позволяет, в частности, достичь относительно высоких скоростей движения
ее границы.
Рис. 4. Развертка пульсации пузырька со взрывным
расширением после воспламенения внутри него газовой смеси
152
Глава IV
3. Влияние тяжести
Хорошо известно, что сила тяжести оказывает существенное
влияние на динамику взрывной полости при крупномасштабных
подводных взрывах: нарушается ее сферическая форма и
возникает вертикальное движение (всплытие), импульс которого за время t
(если предположить, что полость остается сферически
симметричной) определяется интегралом
С учетом присоединенной массы, которая составляет половину
объема вытесненной полостью жидкости, несложно получить
выражение для скорости всплытия взрывной полости
Замышляев, Яковлев [11] проанализировали развитие взрывной
полости и предложили простую аппроксимацию ее динамики,
разделив время расширения, равное половине 1-го периода пульсации Т,
на два интервала:
Формулу для импульса J удобно выразить через относительные
переменные z = R/Rmax и τ = t/Т, а предел интегрирования
ограничить временем расширения τ = 1/2. Тогда импульс, приобретаемый
системой за указанный цикл, определится зависимостью
Множитель перед интегралом можно выразить через энергию
взрыва Q1 и гидростатическое давление р0. Для этого необходимо
вспомнить, что потенциальная энергия системы U = р0Vmах и Q1 связаны
зависимостью U = α1Q1, аT= 1,14α11/3 Q11/3ρ1/2p0-5/6. По данным [3]
Динамика сферической полости
153
для первой пульсации α1 ~ 0,41, для второй α2 = 0,14. Используя
приведенные выше данные [11] для R(t) несложно оценить интеграл
в последнем определении импульса. Он оказывается равным
примерно 0,1. Таким образом, импульс можно определить как
Оценка скорости всплытия взрывной полости в момент τ = 1/2 для
массы заряда W = 1 кг на глубине 600 м, проведенная в соответствии
с соотношением
дает значение около 58 см/с, для заряда в 30 кт — порядка 180 м/с
при удельной энергии взрыва Ε ~ 1 ккал/г.
Можно предположить, что на следующих стадиях движения
вертикальный импульс сохранится, так же как и полная энергия
системы (в виде суммы текущих значений потенциальной энергии,
кинетических энергий радиального и поступательного движений плюс
внутренняя энергия продуктов взрыва с учетом потери энергии на
излучение при первой пульсации). После первой пульсации
внутренняя энергия сжатых продуктов взрыва существенно уменьшается
(до 0,14Q1), а размер полости Rmin в первом минимуме имеет
величину, соответствующую примерно трем начальным объемам заряда
ВВ. Этот результат легко получается из условия, что при
выделении энергии в 0,14Q1 достичь того же значения Rmax можно лишь
при объеме заряда, превышающем исходный в α1/α2 раз.
Процесс сжатия полости может быть остановлен не только
противодавлением сжатых продуктов детонации, но и в результате
перераспределения энергии между радиальной и поступательной
компонентами скорости. Притчетт [12] в рамках модели несжимаемой
жидкости рассчитал динамику полости с продуктами детонации 30-
килотонного устройства, взорванного на глубине 600 м.
Данные [12] приведены на рис. 5. Они весьма наглядны и в
особых коментариях не нуждаются. Видно, что за 7,5 с полость
всплывает примерно на 300 м, совершив три пульсации. Особый интерес
представляет расчет изменения формы взрывной полости, которая,
как оказалось, уже в процессе первого схлопывания
трансформируется из сферической в тороидальную в результате развития в ее
нижней части направленного вверх кумулятивного струйного течения:
радиус полости при первом максимуме оказался равным 115 м, что
соответствует разнице давлений между верхней и нижней точками
154
Глава IV
Рис. 5. Динамика всплытия и пульсации взрывной полости с
продуктами детонации от взрыва 30-килотонного заряда [12]:
1 — первичный брызговой купол, 2 — вторичный брызговой купол,
3 — султаны, 4 — основная ударная волна, 5-7 — соответственно
первый, второй и третий импульсы от пузыря, 8 — газовый пузырь,
9, 10 — верхняя и нижняя поверхности пузыря
полости в 2,3 МПа. Естественно, что говорить о каком-либо
сохранении сферической симметрии при схлопывании полости в таких
условиях уже не приходится. Так как кумулятивная струя направлена
вверх, после ее касания верхней границы полости начинается
процесс формирования течения типа вихревого с образованием довольно
устойчивого (на первой стадии) тора с продуктами детонации.
Заметим, что при этом схлопывание взрывной полости продолжается,
пока его не остановит давление в продуктах детонации.
В [12] приведены интересные данные Снея о влиянии стенок
резервуара на период пульсации полости. Если Tf — период
«свободного» колебания, η — отношение максимального радиуса полости
к радиусу резервуара, а ζ — к расстоянию до его дна, то период
пульсации определится эмпирической зависимостью
Динамика сферической полости
155
которая представляет интерес не только для численного анализа
динамики полости в естественно ограниченном расчетном
пространстве, но и для экспериментальных исследовании, как в
лабораторных условиях, так и при подводных взрывах в относительно мелких
водоемах.
4. Вязкость, эффект неограниченной кумуляции
Теоретическое исследование динамики кавитационных
пузырьков в рамках уравнений Навье — Стокса было проведено в [13-15],
где показано, что при анализе этих уравнений можно придти к
парадоксальному выводу о том, что сферически симметричное течение
вязкой жидкости описывается уравнением движения идеальной
жидкости [16]. Действительно, известная система
в правой части уравнения Навье — Стокса имеет член,
обусловленный влиянием вязкости. Это влияние формально исчезает, когда
рассматривается потенциальное (v = grad φ, Δφ = 0) сферически
симметричное движение несжимаемой жидкости: rot ν = 0, div v = 0.
Возникший парадокс разрешается в результате рассмотрения
граничных условий. Равенство нулю результирующей вязких сил
в объеме жидкости не означает исчезновения касательных
напряжений на границе фаз. В случае вязкой жидкости нормальное
напряжение, действующее на площадку, перпендикулярную радиусу
r, определится соотношением
где и = ρν — динамический коэффициент вязкости. На границе
пузырька (r = R) оно отождествляется с давлением внутри пузырька.
Используя полученное ранее решение потенциальной задачи о
динамике пузырька, производную скорости по радиусу можно выразить
через параметры стенки пузырька как
156
Глава IV
подставить в выражение для рrr и на основе интеграла Коши —
Лагранжа при переходе к стенке полости получить уравнение ее
динамики в вязкой несжимаемой жидкости
Пусть полость будет пустой (p(R) = 0). Введя безразмерные радиус
(у), время (τ) и число Рейнольдса (Re)
получаем уравнение Порицкого — Шу (см. [13-16]):
Несложно видеть, что его решение существенно зависит от
параметра 4/Re, который Шу определил как приведенный коэффициент
кинематической вязкости v'. Дело в том, что радиальная скорость
пузырька при схлопывании отрицательна, из-за чего правая часть
уравнения в целом может быстро стать положительной и начать
гасить инерционные эффекты. Настает момент, когда радиальное
ускорение становится положительным, абсолютное значение
скорости схлопывания уменьшается и, таким образом, вязкость может
остановить процесс, не допустив замыкания полости в точку:
начальная потенциальная энергия жидкости (р0V0) полностью
переходит в тепло.
Уравнение несложно преобразовать, сделав замену переменных,
и проинтегрировать при нулевой начальной скорости. Получаем
Отсюда следует, что при v' yyτ dy — 1/3 радиальная скорость
стенки полости стремится к нулю для сколь угодно малого, но
отличного от нуля значения у.
По данным [13] критическое значение приведенной вязкости
оценивается как υ' =0,46, что позволяет найти критическое значение
радиуса пузырька, для которого этот эффект может иметь место
Динамика сферической полости
157
Рис. 6. Физическая и фазовая (уτ,у) плоскости схлопывания
пузырька в вязкой жидкости [15]
Для воды это значение оказывается равным R0* = 0,87 мкм.
Заметим, что согласно экспериментальным данным, оно близко к
радиусам микропузырьков свободного газа, практически всегда
содержащихся даже в тщательно очищенной дистиллированной воде.
На фазовой плоскости (уτ, у) и плоскости (τ, у) процесс схлопывания
в свете этого результата выглядит вполне наглядно (см. рис. 6):
при радиусах пузырька, не превышающих критического значения,
происходит асимптотическое замыкание и скорость в окрестности
точки фокуса стремится к нулю, а при R0 > R0* она неограниченно
растет.
Забабахин [15] показал, что если рассматривать кумуляцию
пустой полости с некоторой начальной скоростью R(0) при отсутствии
внешнего давления (р0 = 0), то исследуемое уравнение упрощается
и в размерной форме приобретает вид
Первый интеграл этого уравнения
позволяет получить аналитическую оценку условия
неограниченной кумуляции (асимптотическое замыкание полости за бесконечно
158
Глава IV
большое время). Для этого введем число Рейнольдса
учтем, что скорость схлопывания отрицательна, и, положив R = 0,
получим условие остановки процесса кумуляции вязкостью на
некотором конечном радиусе R = R*:
Отсюда следует, что при Re* < 8 полость останавливается, не
достигая центра, при критическом значении (Re* = 8) заполняется
неограниченное время, при больших значениях схлопывается с
неограниченной скоростью. При учете давления критическое число
Рейнольдса оказывается равным 8,4, что соответствует приведенному
выше результату [13].
5. Сферическая кумуляция в сжимаемой жидкости
Рассмотрим схлопывание пустой полости в сжимаемой
жидкости. Эта постановка хороша тем, что позволяет практически в
неограниченном диапазоне скоростей схлопывания стенки полости
сопоставить ее «модельную» динамику [5] с наиболее точным
результатом [17]. Если полость пустая, то Η = —р0/ρ0 = const, с = с0, а
уравнение для сферической полости
принимает вид
В некотором приближении можно получить первый интеграл
этого уравнения [5]
который в окрестности точки схлопывания допускает автомодельное
решение типа R = А(-t)ae с показателем аe = 2/3 (t = 0 — момент
Динамика сферической полости
159
остановки полости). Как оказалось, это значение показателя авто-
модельности довольно заметно отличается от «точного» решения,
полученного Хантером [17], который численно исследовал полную
систему уравнений гидродинамики методом характеристик и
показал, что в окрестности точки схлопывания пустой сферической
полости решение автомодельно с показателем ае = 0,555 2. Однако это
еще не означает, что в реальном диапазоне массовых скоростей
модель Кирквуда — Бете (КБ) не работает, поскольку рассмотренный
диапазон соответствовал «предельному» условию R > c0.
В [5] была сделана попытка проанализировать возможные
решения в рамках формального подбора условия на скорость
распространения возмущения, которое в конечном итоге может
рассматриваться как аппроксимация численного решения Хантера [17]. В несколько
измененной форме она имеет вид
В рамках модели (КБ) несложно получить акустический вариант
(А) уравнения пульсации, совпадающий с результатом [18]. В случае
пустой полости он дает точное решение [5]
Полезно напомнить, что для несжимаемой жидкости решение имеет
вид
Несложно видеть, что все четыре интеграла (КБ, К, А и НЖ)
имеют похожую структуру и отличаются, по сути, степенью при
квадратной скобке: несжимаемый вариант (НЖ) — 0, акустика
(А) — 1, аппроксимация (К) [5] — 2, модель (КБ) — 4. В табл. 2
и на рис. 7 численные результаты Хантера (Н) для относительного
радиуса у = R/R0 сравниваются с приведенными решениями для
диапазона значений скоростей ii, превышающих с0.
Видно, что аналитическая аппроксимация (К) достаточно
полно отражает численное решение Хантера (Н), включая и
асимптотику при R —> 0: показатель автомодельности в варианте решения
(К) (ae = 0,5714) весьма близок к точному, указанному выше. В [19]
дается ссылка на точное решение Шнейдера (1949): имеется в виду
160
Глава IV
Рис. 7. Охлопывание пустого
пузырька в сжимаемой
жидкости на фазовой плоскости
численное решение системы точных дифференциальных уравнений
в рамках задачи о схлопывании пустой полости, с которым
решение уравнения (8) практически совпадает до скоростей R/c0 ~ 2. По
уравнению (К) можно восстановить уравнение пульсации полости.
Для этого необходимо продифференцировать (К) по R и
использовать последний член в полном уравнении пульсации с dH/dt для
восстановления недостающего слагаемого, учитывающего потери на
излучение. Конечный результат имеет вид
и может быть использован в широком диапазоне скоростей
пульсаций.
6. Параметры пульсации
В этом разделе специально выделены характерные параметры
динамики отдельных пузырьков под действием ударных волн и
взрывных полостей с продуктами детонации [20].
Динамика сферической полости
161
Таблица 2
R/C
1,46
2,05
2,50
2,93
3,56
4,00
4,62
5,50
6,88
9,50
11,30
19,50
50,00
80,00
100,00
yH
0,0148
1,00
7,84 · 10-3
6,42
5,00
4,27
3,56
2,85
2,14
1,43
1,14
5,70 · 10-4
1,72
9,42 · 10-5
7,16
Ук
0,0132
9,12 · 10-3
7,29
6,07
4,82
4,20
3,53
2,85
2,16
1,44
1,15
5,70 · 10-4
1,66
8,90 · 10-5
6,62
yКБ
0,0141
9,56 · 10-3
7,48
6,08
4,66
3,97
3,22
2,49
1,75
1,03
7,66 · 10-4
2,91
4,90 · 10-5
2,10
1,34
yA
0,0168
1,24
1,03
8,90 · 10-3
7,40
6,62
5,80
4,90
3,94
2,96
2,44
1,43
5,62 · 10-4
3,51
2,81
yнж
2,40 · 10-2
1,92
1,68
1,51
1,33
1,23
1,12
1,00
8,55 · 10-3
6,90
6,13
4,26
2,28
1,67
1,44
1. Несжимаемая жидкость (сферическая полость, минимальный
радиус и время схлопывания):
• Р > Р0 = const
• P = p* exp-t/θ
где
для А = p*/p0 = 10 – 103, μ > 0,1, γ = 5/3, 4/3, 1,4.
2. Сжимаемая жидкость (сферическая полость, минимальный
радиус, р = const):
• p = 1 – 1,8 · 103 МПа
162
Глава IV
3. Полости с продуктами детонации (максимальный радиус,
период пульсации):
• сферическая
динамика полости
• цилиндрическая
динамика полости
• тороидальная
Здесь E0 — теплота взрыва ВВ [Дж/кг]; W и Wl — веса заряда [кгэ
кг/м]; i = 1, 2, 3 — номера пульсаций; α,β — доли энергии ВВ,
остающиеся в продуктах детонации, а — радиус тора [см], Rch —
радиус заряда, р0 в Па, t в с, ρ в кг/м3.
Литература
1. Rayleigh J. W. On the pressure developed in a liquid during the collapse
of a spherical cavity // Phil. Mag. 1917. V. 34. P. 94-98.
2. Кузнецов Η. Μ., Шведов К. К. Уравнение состояния продуктов
детонации гексогена // Физика горения и взрыва. 1966. № 4. С. 85-96.
3. Коул Р. Подводные взрывы. М.: Изд-во иностр. лит., 1950.
Динамика сферической полости
163
4. Солоухин Р. И. О пульсации пузырьков газа в несжимаемой
жидкости // Тр. Учен, совета по народнохозяйственному использованию
взрыва. Новосибирск. 1961. Т. 18.
5. Кедринский В. К. Особенности динамики сферического газового
пузырька в жидкости // ПМТФ. 1967. № 3.
6. Кедринский В. К. Сжатия газовой полости в воде ударной волной:
Дипломная работа, Ленинградский политехнический институт, 1961.
7. Кедринский В. К., Солоухин Р. И. Сжатие сферической газовой
полости в воде ударной волной // ПМТФ. 1961. № 1. С. 27-29.
8. Воинов О. В., Петров А. Г. Движение сферы переменного объема
в идеальной жидкости около плоской поверхности // Изв. АН СССР.
МЖГ. 1971. № 5.
9. Солоухин Р. И. О пузырьковом механизме ударного воспламенения
в жидкости // Докл. АН СССР. 1960. Т. 136, № 2.
10. Зайцев С. Г., Солоухин Р. И. К вопросу о воспламенении
адиабатически нагретой газовой смеси // Докл. АН СССР. 1958. Т. 112,
№ 6.
11. Замышляев Б. В., Яковлев Ю. С. Динамические нагрузки при
подводном взрыве. Л.: Судостроение, 1967.
12. Притчетт Дж. Расчеты явлений при подводных взрывах в условиях
несжимаемости // Подводные и подземные взрывы. М.: Мир, 1974.
13. Poritsky Η. The collapse or growth of a spherical bubble or cavity in a
viscous fluid // Proc. 1st US Nat. Congress on Applied Mechanics, ASME,
1952. P. 822.
14. Shu S. S. Note on the collapse of a spherical cavity in a viscous
incompressible fluid // Ibid.
15. Забабахин Б. И. Заполнение пузырьков в вязкой жидкости // Прикл.
математика и механика. 1960. Т. 24, вып. 6.
16. Пер ник А. Д. Проблемы кавитации. Л.: Судостроение, 1966.
17. Hunter С. On the collapse of an empty cavity in water // J. Fluid
Mechanics. 1960. V. 8. P. 241.
18. Herring C. Theory of pulsation of the gas bubble produced by an
underwater explosion // OSRD Rep. 1941. № 236.
19. Флинн Г. Физика акустической кавитации в жидкостях // Физическая
акустика / Под ред. У. Мэзона. 1966. Т. 1, ч. Б. С. 7-138.
20. Кедринский В. К. Гидродинамика взрыва // ПМТФ. 1987. № 4.
С. 23-48.
Глава V
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ПАССИВНЫХ
ПУЗЫРЬКОВЫХ СРЕДАХ
В 50-70-х годах был выполнен большой цикл
экспериментальных исследований механизма трансформации ударных волн при их
распространении в жидкости с пузырьками газа, предложен ряд ма-
тематическтих моделей, позволяющих анализировать как
аналитически, так и численно основные особенности процесса
взаимодействия ударных волн с пузырьковыми системами [1-14]. Наиболее
интересные особенности этого процесса обусловлены
неравновесностью давлений в жидкой и газовой фазах, сложным характером
поглощения и переизлучения энергии падающей ударной волны
двухфазной средой [1-3]. Они наглядно проявляются как в случае
коротких ударных волн (достаточно произвольной интенсивности), так и
при исследовании длинных волн с крутым фронтом, если речь идет
об относительно продолжительном релаксационном процессе, малых
исходных объемных концентрациях газа в среде и существенно
нелинейных пульсациях пузырьков. Под короткими волнами обычно
подразумеваются волны, положительная фаза которых сравнима с
временем схлопывания пузырьков.
Принципиально другие эффекты наблюдаются при
распространении ударных волн в смесях с высоким (десятки процентов)
газосодержанием и с малыми временами релаксации, т. е. достаточно
быстрым установлением соответствия давления в пузырьках
среднему давлению в жидкой фазе, а их переносной скорости — средней
массовой скорости жидкости. Они наблюдаются также и при
взаимодействии ударных волн большой интенсивности и длительности с
пузырьками газа, включая растворение последних. Результаты
экспериментальных и численных исследований волновых процессов в
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
165
таких смесях [4-6] не содержат упомянутых выше особенностей
взаимодействия «волна — среда», поскольку определяются в основном
условиями равновесности по давлению, скорости, а иногда и по
температуре обеих фаз.
Некоторые из этих моделей полезно рассмотреть с точки
зрения возможности использования классических подходов к описанию
сложных физических процессов, протекающих в пузырьковых
средах.
Модель Ляхова [5] использует адиабатическое приближение для
обоих компонентов пузырьковой смеси при условии, что их взаимного
проникновения не происходит:
Если ρg и αg, ρl и αl — плотность и объемное содержание газа и
жидкого компонента смеси соответственно, а плотность среды
определяется как ρ = αgρg + αlρl, то уравнение состояния пузырьковой
системы имеет вид
где Ρ = п(р — p0)/ρlcl2 + 1. На основании (1) из формальных
соображений несложно получить выражение для скорости звука в
пузырьковой системе
которое для невозмущенной среды существенно упрощается:
Скорость ударной волны Ush и массовая скорость и определяются
как
Как видно, с0 падает с увеличением αg, что связано с резким ростом
сжимаемости пузырьковой среды (—(l/V)(dV/dp)) при практически
постоянной плотности.
166
Глава V
Модель Кембелла — Питчера [4] использует малый параметр
μ (отношение массы газа к массе жидкости), при этом жидкость
считается несжимаемой, а газ подчиняется закону Бойля. Плотность
среды ρ определена как (1 + μ)/ρ = μ/ρg + 1/ρl, что приводит к
уравнению состояния вида
Скорость звука при этом находится как
В [4] в рамках стандартных соотношений на скачке рассмотрена
задача о стационарных ударных волнах в пузырьковой смеси и об их
столкновении. Упомянутые соотношения для средних ρ, и, p
выписаны в виде
где С, Cvg — теплоемкости жидкости и газа при постоянном объеме.
Уравнение состояния для смеси принимает вид
Пренебрегая теплоемкостью газовой фазы, Кембелл и Питчер
получили довольно наглядные соотношения для скачков
температуры
плотности и массовой скорости
а также энтропии
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
167
где ρ2/ρ1 = ρ, p2/p1 = p, В — газовая постоянная, т —
средний молекулярный вес газа. Проведенные на диафрагменной
ударной трубке эксперименты по распространению волн сжатия в воде с
очень мелкими 0,1 – 0,4 мм пузырьками при объемной концентрации
газа 10 % и выше подтвердили хороший физический уровень модели
в части вывода о переходе волн сжатия в ударные волны и выпола-
живании волн разрежения.
В [1] была предложена энергетическая оценка, основанная на
простых физических соображениях о характере взаимодействия волн
сжатия с пузырьковой средой. Если считать, что в среде имеются
пузырьки только одного сорта и число их n в единице объема остается
неизменным, то приращение внутренней энергии газа и
кинетическая энергия жидкости (при нулевых начальных скоростях
пузырьков и отсутствии относительного движения фаз) за фронтом
падающей ударной волны в единице объема смеси определятся как
где к — объемная концентрация газовой фазы (индекс 0 присвоен
начальным значениям). В процессе распространения ударная
волна расходует энергию на увеличение внутренней энергии Еg
сжимаемого в пузырьках газа и сообщение окружающей его жидкости
кинетической энергии Тliq, что можно записать как
Известно, что первый интеграл уравнения пульсации пузырьков
выражает энергетический баланс, который для единицы объема смеси
можно представить в виде
где интеграл выражает работу в единице объема, совершенную
внешним полем по изменению потенциальной энергии пузырьковой
системы, и может быть представлен в виде
168
Глава V
Тогда на основании (4) уравнение (3) принимает вид
Здесь p — среднее давление в смеси. Таким образом, уравнение
пульсации пузырька, соотношение k = n(4/3)πR3, предположение
о том, что массовая скорость может быть приближенно оценена как
и ~ p/ρ0c0, и уравнение (5) составляют замкнутую систему
уравнении для описания волн в пузырьковых средах. С другой стороны,
использование (5) в моделях двухфазной среды вместо уравнения Ре-
лея может понизить порядок определяющей системы уравнений.
Этот подход был использован в [2] для численного анализа
распространения и трансформации волны типа ступеньки (при t = 0
на границе полубесконечной среды задавалось постоянное давление
рb = 10 МПа). Результаты расчета эволюции профиля давления p(t)
представлены на рис. 1 для двух точек, расположенных на
расстояниях l = 1,35 (а) и 7,5 см (в) от границы.
На рис. 1 показаны также динамика объемной концентрации
k(t) (б) пузырьков для точки l = 7,5 см и распределение
давления р(х) (г) в среде для момента времени t = 180 мкс. Нетрудно
видеть, что предложенная модель вполне адекватно описывает
характерные особенности начальной стадии трансформации волны в
процессе распространения.
Необходимо отметить, что 60-70-е годы прошли под «знаком»
повышенного внимания к проблемам распространения волн в
пузырьковых системах, которые в России подробно исследовались
В. Е. Накоряковым, Р. И. Нигматуллиным и их школами в
Институте теплофизики СО РАН и Институте механики МГУ, В. Ф.
Мининым и автором в Институте гидродинамики СО РАН, а также
в Институте химической физики РАН. Среди теоретических работ
следует прежде всего отметить модели Иорданского, Когарко и ван
Вингардена [7-10], построенные для сред, состояние которых
динамически меняется в результате пульсации газовых пузырьков и
описывается некоторой подсистемой, учитывающей уравнение Рэлея.
Большой цикл исследований был выполнен по
распространению слабых возмущений в пузырьковых системах, их результаты
подробно изложены в монографиях Нигматуллина [11] и Накоряко-
ва, Покусаева, Шрейбера [12]. Здесь, в частности, следует отметить
математические аналоги моделей Кортевега — де Вриза, Буссине-
ска и Бюргерса и создание на их основе подробной карты структур
течений.
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
169
Рис. 1. Динамика структуры квазистационарной ударной волны
для двух точек, расположенных на разных расстояниях от
границы (а, в) и объемной концентрации пузырьков (б), а также
распределение давления в среде для момента времени t = 180 мкс
Для экспериментальных работ в этой области характерны
исследования по распространению слабых волн, а взрывные
нагрузки рассматривались, как правило, с точки зрения возможности их
демпфирования пузырьковыми завесами. Причем, в рамках
последней проблемы формулировались довольно ограниченные цели:
определить динамику амплитуд ударных волн в процессе их
взаимодействия с завесой, эффективность снижения интенсивности ударной
нагрузки и возможность управления ее спектральным
распределением. Но даже в такой постановке одних сведений о поглощении
энергии ударной волны оказалось недостаточно для объяснения
характера нагрузки, возникающей за пузырьковым экраном, эффекта
усиления волн, существенного изменения ее длительности и т. п.
Экспериментальные исследования показали, что процесс
демпфирования падающей ударной волны носит, в основном,
второстепенный характер, а наибольший интерес представляют механизм
170
Глава V
трансформации волн и переизлучение энергии, поглощенной
пузырьковой средой, а также релаксационные, дисперсионные и диссипа-
тивные эффекты, сопровождающие процесс проникновения волны в
пузырьковую среду.
Все это привело к необходимости детального
экспериментального исследования процесса взаимодействия ударной волны с
пузырьковой средой, а также проведения численного эксперимента на
базе математических моделей [7-10], результаты которых изложены в
предлагаемой главе. Анализ результатов естественно начать с
некоторых особенностей взаимодействия газового слоя с ударной волной,
рассматривая слоистую структуру как предельно упрощенную
модель пузырьковой среды.
1. Ударная волна и плоский газовый слой
При анализе поведения одиночного пузырька в поле ударной
волны обычно считается, что его энергоемкость, т. е. способность
в процессе схлопывания поглотить сколько-нибудь существенную
часть энергии падающей ударной волны, незначительна. Тем самым
вводится предположение о независимости поля ударной волны (или
давления на бесконечности, согласно упомянутой выше модели) от
динамики полости. Но то, что допустимо при исследовании одного
пузырька, оказывается неверным при анализе взаимодействия как
длинных, так и коротких ударных волн с ансамблем пузырьков и в
силу конечности величины энергии, переносимой волной на отрезке
времени взаимодействия, и вследствие относительно большой
энергоемкости пузырьковой области в целом.
На работу, совершаемую ударной волной над такой системой
(увеличение внутренней энергии газа в пузырьках, создание
радиальных потоков жидкости вокруг них в процессе схлопывания), уже
при небольших значениях объемной концентрации газа
затрачивается ощутимая часть переносимой волной энергии. Ясно, что такая
область «не пропустит через себя» часть энергии волны и,
следовательно, изменит ее профиль. Можно увеличить размер области
или объемную концентрацию газа в ней и таким образом довести
энергоемкость среды до значения, превышающего энергию
падающей короткой ударной волны. Очевидно, через такой слой ударный
импульс вообще не пройдет. Заметим, что аналогичный эффект
будет наблюдаться и для длинных волн с постоянной амплитудой за
фронтом, но только на участке волны, соответствующем времени
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
171
схлопывания пузырьков в заданной области.
В случае одномерной плоской ударной волны простейшей
предельной моделью такой области будет конечный слой газа
(плоская полость), занимающий все поперечное сечение, через который
проходит фронт волны. Рассмотрим эту модель [2] и
предположим, что фронт волны распространяется в направлении оси х.
Расположим газовый слой так, чтобы его передняя стенка в
начальный момент имела координату x0(0) = 0, а задняя — x1(0) = h0·
При падении на слой ударной волны с амплитудой р* его
передняя стенка в результате отражения волны получает начальную
скорость V0 = 2(р* — р0)/ρ0С0 и начинает двигаться вправо, сжимая
газ. Распространяющаяся влево (вдоль отрицательной оси х)
волна разрежения определит уравнение движения этой стенки,
которое можно получить, исходя из условий инвариантности функции
G = x0(ω + ν2/2) = ω + υ2/2 вдоль характеристики,
распространяющейся со скоростью с0 — ν влево [2]:
Здесь ω — энтальпия, ν - массовая скорость. Это уравнение имеет
вид
Здесь ω и υ — упомянутые характеристики, но уже на границе слоя
со стороны жидкости. Если давление в газе подчиняется адиабате
p1 = p0[h0/(x1 — x0)]γ, профиль волны задан в виде треугольника
p(t) с положительной фазой τ, а энтальпия может быть записана
как ω = ρ0-1[p1 — p(t)], то первый интеграл уравнения (6) определит
выражение для текущей скорости передней стенки газового слоя
По мере увеличения давления в газе р1 задняя стенка слоя будет
двигаться в положительном направлении оси x со скоростью x1 и,
действуя в качестве поршня, генерировать волну давления, по
параметрам полностью соответствующую давлению р1 в газе,
172
Глава V
Очевидно, что датчик давления, расположенный в жидкости за
слоем, зарегистрирует не ударную волну, а только эту волну
сжатия p1(t) с некоторой максимальной амплитудой, определяемой
минимальным размером слоя h* на основании совместного решения (7)
и (8), и длительностью порядка т. Предельное значение амплитуды
p1 будет соответствовать случаю τ — . При этом скорость
изменения толщины слоя h = x1 – x0 запишется с учетом v0
Ясно, что схлопывание слоя будет происходить до момента,
когда скорости обеих стенок станут равными, т. е. выполнится условие
h = 0. Из (9) видно, что в этот момент давление в газе станет
равным р1 = р*, a x0 = x1 = (p* — p0)/ρ0vc0, как это следует из (7) и (8),
и далее во времени не изменится. Таким образом, датчик давления
за слоем зарегистрирует ту же стационарную волну, но с пологим
фронтом, время нарастания которого близко к времени схлопывания
пустой полости t* = ρ0c0h0/2p* согласно уравнению (9), т. е. линейно
зависит от ширины слоя h0.
Запишем уравнение динамики слоя в переменных x = h/h0 и
t1 = t/τ для коротких волн
Безразмерный параметр δ = ρ0c0h0/2p*τ в уравнении
указывает на зависимость значения максимальной амплитуды давления р1
в газе от величины h0. Условие x = 0 определяет связь x*(t1*).
Расчеты показывают, что с увеличением h0 максимум р1
уменьшается, смещаясь в сторону больших значений t1* и оставаясь все время
на линии, определяющей спад давления за фронтом ударной волны.
Наблюдается характерное «расплывание» сигнала и задержка
максимума переизлучения, определяемая только временем схлопывания
слоя. Заметим, что в случае x1 = 0 (слой расположен на твердой
стенке) амплитуда стационарной волны после схлопывания
удваивается, амплитуда короткой — увеличивается с коэффициентом
меньше 2.
Анализ поведения газового слоя при его взаимодействии с
ударными волнами, несомненно, полезен для понимания процесса
трансформации волн в пузырьковых средах. Эти механизмы довольно
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
173
близки, а отличие можно ожидать в появлении сильных
инерционных эффектов за счет сферической симметрии полости и
возможности прохода через пузырьковую среду трансформированного ею
ударного импульса. С точки зрения изложенного в этом разделе
материала представляется целесообразным для более детального
анализа процесса исследовать взаимодействие ударных волн с
пузырьковыми слоями конечной длины.
2. Ударные волны и пузырьковые слои
2.1. Короткие ударные волны. Под короткими волнами будем
понимать волны с временем положительной фазы давления порядка
времени схлопывания пузырьков. В экспериментах это
соответствует ударным волнам с амплитудой порядка рmах ~ 1 МПа, и
положительной фазой ~ 100 мкс при радиусах пузырьков около 3 – 4 мм.
Как уже отмечалось, при взаимодействии ударной волны с
пузырьками воздуха последние сжимаются под действием разницы
давлений в них и на «бесконечности», что приводит к увеличению
внутренней энергии газа и появлению радиальной кинетической энергии
окружающей пузырек жидкости. В результате наблюдается
интенсивное поглощение энергии падающей ударной волны по мере ее
распространения в пузырьковой среде. Но одновременно с поглощением
энергии ударной волны происходит ее переизлучение пульсирующим
пузырьковым слоем. Эти два процесса происходят одновременно, но
их максимальные проявления (остаток импульса от волны при
прохождении некоторого исследуемого слоя пузырьков I и максимальное
переизлучение этим слоем части поглощенной энергии)
существенно разделены во времени [1, 3]. Этот временной интервал является
функцией размера пузырьков, и как увидим в дальнейшем, зависит
также от их концентрации в смеси, исходных параметров ударной
волны и толщины слоя. Практически это время определяется как
время «коллективной» пульсации соответствующего пузырькового
слоя.
На рис. 2а и 25 представлены осциллограммы давления
соответственно исходной ударной волны (рmax = 3 МПа, τ+ = 100 мкс,
второй пик — пульсация взрывного пузыря) и волны, прошедшей
слой пузырьков радиусом R = 2 мм с объемной концентрацией газа
k0 = 0,004 и размером 12 x 23 x 4 см. Эксперименты проводились в
баке (1x1x1м), слой из пузырьков создавался по всему сечению
бака. Источник ударной волны был по существу точечным, поэтому
174
Глава V
Рис. 2. Трансформация ударной волны от электроразряда в
жидкости в пузырьковом слое с концентрацией k0 = 0,004:
а — исходная ударная волна, б— волна, прошедшая слой пузырьков
датчик давления в любой точке за слоем регистрировал
суперпозицию переизлучений от различных участков слоя с естественными
сдвигами по фазе.
Легко видеть, что импульс падающей волны (рис. 2) после
прохождения пузырькового слоя распадается на три импульса:
первый — остаток исходной волны, второй и третий — переизлучение
слоя. Причем переизлучение за счет энергии первой волны здесь
быстро спадает и поэтому успевает зарегистрироваться переизлучение
поглощенной слоем второй пульсации. Некоторое видимое
несоответствие вторых пульсаций нижнего и верхнего снимков
объясняются нестабильностью разряда и возможным значительным
увеличением амплитуды второй пульсации.
Изучить в деталях процесс трансформации ударной волны
удается только в одномерной постановке на гидродинамической
ударной трубке. Для этой цели использовалась трубка
электроразрядного типа, в которой ударная волна создавалась в результате взрыва !
проволочки у ее нижнего торца (рис. 3).
Устойчивый профиль плоской волны с установившимися
параметрами формировался на некотором расстоянии L* от места
взрыва. Начиная с L > L* на определенной базе (около 0,5 м) рабочего
участка располагались датчики давления 1 и 2, регистрирующие
форму и параметры результирующей и падающей волн,
соответственно. Между ними на фиксированном от датчика 2 расстоянии
помещался слой калиброванных газовых пузырьков из тонкой
резины, закрепленных на специальном легком каркасе, конструкция
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
175
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 3. Схема установки по генерации ударных волн в
пузырьковом слое:
1, 2 — датчики давления, 3 — запускающий датчик, 4 —
ионизирующий высоковольтный импульс
Рис. 4. Расслоение ударной волны на предвестник и основное
возмущение для различных k0 и l
которого практически не влияла на структуру волнового поля.
Этот способ создания двухфазного слоя, заполняющего в трубке
все поперечное сечение, позволял легко менять концентрацию газа
k0 и размер пузырьков R0, контролировать толщину слоя l и
получать стабильные результаты. Верхний торец трубки закрывался,
если исследовалось отражение в слое на твердой стенке, или имел
специальное приспособление для поглощения волны, что позволяло
рассматривать трубку как бесконечно длинную.
176
Глава V
Детальное исследование процесса прохождения пузырькового
слоя ударными волнами было проведено для широкого диапазона
изменения параметров: 1 < l < 30 см, 0,004 < k0 < 0,3,1 < р* < 3 МПа,
50 < τ < 100 мкс, диаметр пузырьков около 7 мм.
Типичные осциллограммы давления, показывающие начальный
процесс поглощения короткой ударной волны слоем, приведены на
рис. 4 для различных k0 и l. Масштаб усиления сигнала на
осциллограммах относительно падающей на слой ударной волны (рис. 4,а)
составляет 2,5 : 1.
Осциллограммы на рис. 4,б, β четко фиксируют эффект
расслоения падающей ударной волны на две волны [1]:
трансформированный слоем (l = 1 см, k0 = 0,025, 0,08) импульс ударной волны и
переизлучение короткого пузырькового слоя. На 3, 4 и 5-й
осциллограммах (в, г, д соответственно) тот же эффект наблюдается при
фиксированной концентрации пузырьков (k0 = 0,08), но
меняющейся толщине слоя (l = 1; 2; 3 см). Видно, что крутизна фронта
остаточного ударного импульса сохраняется практически до полного его
поглощения, а положительная фаза резко уменьшается. Линейный
размер этого импульса становится сравним с расстоянием между
пузырьками, т. е. среда для такого импульса перестает быть
«сплошной» и теперь уже «индивидуальные» пузырьки будут не только
поглощать, но и рассеивать его. Факт расслоения впоследствии
неоднократно регистрировался в экспериментах других авторов [15,
16].
Вторая волна — это переизлучение поглощенной слоем энергии
падающей волны, которая в процессе взаимодействия с
пузырьками газа диссипирует, переходя в кинетическую энергию радиальных
пульсаций и внутреннюю энергию сжатого газа. В конечном итоге
вся поглощенная слоем энергия при отсутствии других типов потерь
в момент окончания схлопывания пузырьков будет сосредоточена в
сжатом газе. Таким образом, степень «коллективного» сжатия при
фиксированных параметрах среды и волны определит степень
диссипации энергии ударной волны и амплитуду переизлучения, а
инерционность процесса схлопывания — задержку возникновения
максимума переизлучения.
Поглощение энергии волны и ее переизлучение пузырьками
слоя — это неразрывно связанные и одновременно идущие процессы,
экстремальные проявления которых не совпадают во времени в силу
инерционности процесса схлопывания. По мере схлопывания
пузырьков давление в них повышается, давление в волне уменьшается, из-за
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
177
ее нестационарности с одной стороны и «диссипативных» процессов
в слое — с другой. В некоторый момент времени эти давления
выравниваются, а затем, в силу инерционности жидкости, происходит
пересжатие пузырьков. Теперь градиент давления направлен в
жидкость и стремится погасить рост скорости сходящихся радиальных
потоков вокруг пузырьков. В момент, когда скорость этих потоков
достигает максимума, давление в трансформируемой волне будет
минимальным.
При расслоении короткой ударной волны остаточный импульс
и волна переизлучения, как правило, разделены областью
разрежения. Этот эффект объясняется тем, что в результате
«диссипативных» потерь (при достаточно большой энергоемкости слоя) давление
в волне уменьшается настолько интенсивно, что оказывается не в
состоянии компенсировать разрежение, возникающее в среде из-за
сходящихся радиальных потоков вокруг пузырьков. Волна разрежения
регистрируется также и датчиком перед слоем, что особенно
наглядно в случае длинных ударных волн. Этот интересный
экспериментальный факт важен для понимания процесса отражения ударной
волны от пузырькового слоя.
По мере увеличения значений k0 или l время схлопывания
пузырьков в слое растет, радиальная скорость и степень сжатия, а
следовательно, и максимум переизлучения — уменьшаются. При этом,
оказывается, существует такое значение l = lk при котором слой
ведет себя «коллективно», полностью поглощает энергию ударной
волны (датчики давления регистрируют только некоторый
предвестник) и переизлучает ее в виде затухающих пульсаций со своей
характерной частотой.
При дальнейшем увеличении l описанный процесс будет
повторяться, но уже для волны, переизлученной слоем lk: возникает новый
слой lk1, на котором первое переизлучение будет полностью
поглощено и переизлучено, и вместо него датчик зарегистрирует
только предвестник и т. д. Величина максимума второго переизлучения
определится параметрами слоя и первого переизлучения и будет
зарегистрирована с задержкой во времени относительно его
предвестника.
Эффект синхронной пульсация пузырьков в слое носит
принципиальный характер, поскольку не только определяет четкую
структуру переизлученной волны сжатия, но и указывает на способность
пузырьковой системы «самостоятельно вырабатывать»
своеобразные когерентные структуры в своей среде. Заметим, что требова-
178
Глава V
ние малого разброса пузырьков по размеру для объяснения эффекта
когерентности в данном случае не достаточно. Действительно, в
описанном эксперименте на толщине слоя в 3 см (рис. 4) ударная
волна полностью поглощается, что свидетельствует о наличии резкого
градиента давления по толщине слоя, который неизбежно должен
был бы привести к существенному разбросу параметров пульсаций
пузырьков в слое даже при одинаковом начальном размере, чего,
однако, не наблюдается.
На рис. 5 представлены осциллограммы динамики волнового
поля при взаимодействии ударной волны со слоями пузырьков
толщиной до 30 см и объемными концентрациями газовой фазы k0 = 0,04;
0,06; 0,08; 0,10; 0,15.
Легко заметить, что по мере увеличения толщины слоя
наблюдается формирование пакетов импульсов с четкой периодической
структурой, с определенным законом спада амплитуд и постоянной
частотой следования. Несмотря на существенную разницу
параметров среды на этих снимках можно проследить общий характер
поглощения исходной волны, прохождение последовательных
переизлучений через слой и формирование пакета. Особенности процесса
трансформации рассмотрим на примере осциллограмм на рис. 5,б
(объемная концентрация газовой фазы k0 = 0,06).
Во-первых, поглощение энергии волны происходит сразу за
фронтом, оно изменяет амплитуду и продолжительность импульса и
как бы «расщепляет» его, но не меняет при этом крутизны фронта.
Во-вторых, «отщепленный» импульс сохраняет свое положение
во времени, а максимум переизлученной средой волны смещается
на осциллограммах вправо (см. последовательность осциллограмм
сверху вниз). Причем, характер переизлучения указывает на то, что
пузырьки схлопываются синхронно, т. е. слой ведет себя как
некоторая когерентная структура. Экспериментальные данные
подтверждают существование серии предвестников и указывают на четкую
периодическую структуру результирующего сигнала.
В-третьих, толщина такого когерентного слоя lk ограничена и
является вполне определенной для каждой концентрации и исходных
параметров ударной волны. На рис. 6 построены зависимости времен
задержек Tdel максимума переизлучения для 4-х значений k0 = 0,04;
0,08; 0,15 и 0,3.
За начало отсчета величины Tdel принят момент полного
поглощения исходной ударной волны слоем, толщина которого lk,0(k0)
отмечается на графике как координата пересечения зависимости Tdel(l)
Рис. 5. Трансформация ударной волны при различных объемных концентрациях газовой фазы [3]:
а-д— k0 = 0,04; 0,06; 0,08; 0,10; 0,15 соответственно
180
Глава V
0 5 10 15 20 25 l, см
Рис. 6. Зависимость времен задержки максимума
переизлучения Tdei от толщины пузырькового слоя / для различных
значений объемных концентраций газовой фазы
с осью /, что дает возможность провести анализ особенностей
процесса формирования результирующего сигнала на примере
распространения уже относительно слабого переизлучения с пологим
фронтом и наметившейся периодической структурой. Основная
особенность процесса трансформации волн пузырьковым слоем четко
выражена осциллограммами давления (см. рис. 4): момент регистрации
первого предвестника соответствует скорости распространения c0 в
чистой жидкости, переизлучение смещено относительно него, и это
смещение, согласно рис. 6, линейно возрастает с увеличением
толщины слоя.
С ростом времени задержки регистрации максимума
переизлучения связан один из принципиальных вопросов о механизме
формирования и распространения так называемого длинноволнового
возмущения. Дело в том, что это смещение часто служит основанием
для вывода о том, что низкочастотная составляющая сигнала
(переизлучение слоя) в отличие от высокочастотной его части
(предвестник) распространяется практически с равновесной скоростью
звука c*2 = γр0/ρ0k0 [1], характерной для длинноволнового возмущения
в двухфазной среде [5]. Амплитуды переизлучения в эксперименте
достаточно малы, фронты пологие и оценка для с* представляется
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
181
реальной, по крайней мере, для высоких концентраций и больших
l. В таком случае, если задержка Tdel действительно связана с
малой скоростью распространения основной части результирующего
сигнала, величина аe = c*2k0 должна быть постоянной (γр0/ρ0) для
одного и того же газа и гидростатического давления и не зависеть
от k0. Но в указанном на рис. 6 интервале значений k0 величина ае
меняется примерно в два раза, что ставит под сомнение отмеченный
выше вывод о природе задержки и ее соответствии скорости
распространения с*. Очевидно, это кажущаяся скорость и в этом состоит
некоторое противоречие в прямом «волновом анализе»
экспериментальных данных.
Другие особенности возникают при численном анализе процесса
в рамках математической модели двухфазной среды [7-10] в
приближении несжмаемости жидкого компонента. В этом случае c0 — и,
согласно волновым представлениям, структуры волны типа
«предвестник — переизлучение» быть не должно. Однако данные работы
[1] указывают на возможность существования такой структуры и
в этом случае. Напрашивается вывод, что противоречие кроется в
самой трактовке механизма возникновения задержки Тdel. Как
показывает пример плоского газового слоя, а также анализ осциллограмм
вонового поля (рис. 5) и данных, представленных на рис. 6,
величина Tdel определяется временем схлопывания пузырьков в слое или
самого слоя.
Таким образом, задержка регистрации максимума
переизлучения — результат задержки его генерации, а не малой скорости
распространения. При этом и начальная ударная волна, и возмущения,
которые формируют результирующее переизлучение,
распространяются в среде с одинаковой скоростью c0, характерной для
жидкого компонента. Полная задержка является суперпозицией
последовательных задержек переизлучения волн (рис. 5,а), а ширина фронта
результирующего переизлучения определяется временным
интервалом от его максимума до ближайшего предвестника.
В-четвертых, в результате этих процессов за слоем пузырьков
формируется переизлучение в виде волновых пакетов, структура
которых для различных k0 и l показана на рис. 5. Длительность их
превышает длительность положительной фазы падающей ударной
волны на порядок, а частота v зависит от толщины слоя l при
фиксированном k0.
Анализ зависимости частоты волнового пакета от толщины
слоя и концентрации газа в широком диапазоне их значений показал
182
Глава V
Рис. 7. Общая частотная характеристика переизлучений
пузырькового слоя
(рис. 7), что v(l) при k0 = const имеет максимум v*, который при
увеличении k0 смещается в область меньших значений l и
уменьшается по абсолютной величине. Так при k0 = 0,04 частота пакета
vm = 4 кГц на расстоянии / = 22 см, а при k0 = 0,23 максимальное
значение частоты уменьшается до v* = 1,4 кГц при толщине слоя
l = 3,5 см.
Динамика частотных характеристик процесса в принципе
одинакова, все они на определенной толщине слоя lk имеют четко
выраженный максимум. Причем, как показал эксперимент, начиная с
этого момента, v1 становится равной частоте следования остальных
импульсов vп. Наступает своеобразный резонанс, который
выражается в том, что переизлучение «коллективного» слоя целиком
поглощается последующим слоем и излучается уже с частотой, во-первых,
одинаковой (что характерно для одиночного пузырька особенно при
малых амплитудах колебания), во-вторых, зависящей от k0 и
толщины слоя «сверх» lk. На lk имеем четко сформированный пакет волн с
постоянной частотой следования и закономерным спадом амплитуд.
Здесь, видимо, необходимо еще раз остановиться на факте
обратной связи — самом существенном из всего процесса
формирования пакета переизлучений. Вернемся к рис. 5,б (k0 = 0,06). Если
давление после 14 см слоя принять за исходное, т. е. граничное для
последующих 8 см (причем, это давление фиксировалось при отсут-
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
183
Таблица 1
k0
0,20
0,15
0,10
0,08
0,06
0,05
0,04
0,025
vn,ι, кГц
(pm = 1 МПа)
1,87
2,25
2,9
1,875
1,375
1,1
0,95
0,75
vn,2, кГц
(рт = 2,5 МПа)
2,87
3,125
3,5
3,625
3,75
3,8
3,75
3,5
Vn,2/Vn,1
1,59
1,39
1,52
1,93
2,73
3,45
3,95
4,67
ствии этой 8-сантиметровой добавки), то получить осциллограммы в
виде, представленном на последнем кадре рисунка, невозможно.
Дело в том, что по мере вступления в действие дополнительных слоев
среды происходит перераспределение поглощаемой энергии в
окрестности границы сопряжения слоев, из-за которого скорость пульсации
пузырьков, а значит и частота переизлучения уменьшаются.
Естественно, нелинейный характер пульсаций сохраняется, что
сказывается на виде переизлучения. Анализ экспериментальных данных
позволяет утверждать, что несмотря на дискретный характер
формирования «коллективных» слоев, процесс трансформации волн
носит безусловно непрерывный характер.
Упомянутый максимум наблюдается и у зависимости частоты
следования переизлучений в пакете от концентрации для любой
фиксированной длины, которые с увеличением k0 смещаются к малым
значениям /.
Так как период пульсации одиночной полости обратно
пропорционален корню квадратному из амплитуды действующей волны,
если давление за ее фронтом постоянно, или носит более сложный
характер для волн с градиентом давления за фронтом, можно
предположить, что увеличение амплитуды приведет к увеличению
частоты пульсации, а следовательно, и частоты следования волн в пакете.
Подобная проверка была произведена для нескольких концентраций
газа при l = 6 см и двух амплитуд ударной волны соответственно
в 1 и 2,5 МПа. Результаты сведены в табл. 1, из последней графы
которой видно, что увеличивая давление, можно поднять частоту в
несколько раз.
Обычно в работах, посвященных распространению ударных
волн в пузырьковой среде, в качестве основного ставится вопрос о
степени затухания ударной волны, и действующим фактором счита-
184
Глава V
Рис. 8. Затухание
амплитуды ударной
волны как функция
параметра β = lv3k0/R0:
значки соответствуют
экспериментальным
данным: * — k0 = 0,004, · —
0,02, о — 0,06, δ — 0,08
ется именно то, что от нее остается после поглощения. Однако
экспериментальные исследования трансформации волн показали, что
максимальные нагрузки за пузырьковым слоем уже при
относительно небольших значениях / определяются, в основном,
переизлучением пузырьковой среды, а не прошедшей ударной волной.
Графики, приведенные на рис. 8, 9, подтверждают
справедливость сделанных выводов. Рисунок 8 иллюстрирует относительное
изменение амплитуды ударной волны по мере распространения как
функцию параметра β: так для концентрации k0 = 0,06 уже на
толщине слоя / = 3 см от первоначальной амплитуды не остается и 10 %.
Для более плотной пузырьковой среды этот эффект еще заметнее:
при k0 = 0,15 на толщине слоя / = 2 см от ударной волны
остается только слабый след в виде предвестника, а максимум амплитуды
переизлучения p1/pmax составляет примерно 0,3р* (рис. 9). Причем,
эксперименты обнаружили более слабый (относительно поглощения
амплитуды ударной волны) спад максимума переизлучения с
увеличением толщины слоя пузырькового экрана.
Сравнение рис. 8 и 9 показывает, что, действительно, основным
действующим фактором в процессе взаимодействия ударной волны
с пузырьковой средой очень скоро становится переизлучение самой
среды и что приведенные на них данные отражают
экспоненциальный характер рассматриваемых зависимостей.
По данным рис. 5,д была произведена оценка величины
изменения импульса и энергии волны переизлучения в зависимости от
толщины слоя. Оказалось, что при k0 = 0,15 относительная
величина импульса практически не меняется, а относительная энергия на
единицу площади меняется экспоненциальным образом. При этом
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах 185
Рис. 9. Затухание амплитуды переизлучения слоя
значение концентрации существенным образом сказывается на
величине энергии переизлучения: при k0 = 0,04 и l = 12 см при той
же исходной ударной волне (рис. 5) относительная энергия в
переизлучении составляет примерно 30% против 3% при k0 = 0,15 и
практически одинаковом импульсе.
Увеличение амплитуды исходной ударной волны для
рассмотренных диапазонов давлений почти не влияет на относительную
энергию переизлучения: при k0 = 0,05, l = 6 см и pmах = 2,5 МПа
имеем Ε ~ 75 %, то же самое получаем и для pтах = 1 МПа.
В [1,3] по результатам обработки экспериментальных данных
показано (рис. 8), что амплитуда ρ трансформируемой ударной
волны для различных параметров пузырькового слоя изменяется
подобным образом, если их комбинация β = y3k0l/R0 = Ωl/c* постоянна.
Здесь Ω — собственная частота осцилляции пузырька. При этом
оказалось, что р* уменьшается практически мгновенно на ширине
слоя I и соответствует теоретической зависимости р*(β),
полученной в предположении несжимаемости жидкого компонента среды.
Действительно, фронт волны проходит слой пузырьков толщиной
1 см примерно за 7 мкс независимо от концентрации k0 (см. рис. 4,
5). За это время в условиях обсуждаемого эксперимента радиус
пузырьков практически не изменяется, скорость радиальных потоков
остается близкой к нулю, а амплитуда ударной волны (например,
для k0 = 0,08) уменьшается в 2,5 раза.
186
Глава V
С физической точки зрения указанный эффект очевиден и
объясняется ослаблением давления в области фронта волны за счет
взаимодействия его с волнами разрежения от свободных поверхностей
газовых пузырьков. Представляет интерес возможность описания
этого эффекта в рамках предположения о неизменности начальных
значений k(0), k(0) за время прохождения фронтом волны толщины
«коллективного» слоя, что эквивалентно представлению о
бесконечной скорости распространения фронта. Анализ математической
модели процесса распространения волн в пузырьковых средах [2]
подтвердил, что основные особенности трансформации волн связаны
с характером изменения функции d2k/dt2, которая в начальные
моменты времени определяется скачком давления во фронте, в то время
как k ~ k0, дк/dt ~ 0. Этот и другие эффекты будут
проанализированы ниже в рамках двухфазных математических моделей.
2.2. Длинные ударные волны, отражение от границы раздела
«вода — пузырьковая среда». Экспериментальные исследования
длинных волн в пузырьковых средах были проведены по классической
схеме однодиафрагменной гидродинамической ударной трубки, в
которой слой пузырьков располагался на твердой стенке (нижний
торец трубки), а ударная волна создавалась в результате разрыва
диафрагмы, разделяющей камеру высокого (газ) и низкого (жидкость
со слоем пузырьков) давлений. Простота этой постановки состоит в
том, что амплитуда падающей волны, распространяющейся в
жидкости после разрыва диафрагмы, с большой точностью равна
начальному давлению в газе. Естественно, эта постановка приводит к
дополнительным сложностям при анализе осциллограмм давления,
так как последние регистрируют не только падающую и
отраженную от торца трубки волны, но и волну разрежения, как результат
отражения упомянутой волновой системы от свободной поверхности
столба жидкости в окрестности диафрагмы (рис. 10,а, луч 2
записывает отраженный от пузырьковой границы сигнал, луч 1 — давление
в пузырьковом слое).
Исследование распространения длинных волн, положительная
фаза давления которых значительно больше времени схлопывания
пузырьков, проводилось в основном с целью выяснения механизма
отражения ударной волны от передней границы среды, поскольку
механизм взаимодействия длинной волны с пузырьковой средой (рис.
10) аналогичен случаю коротких волн: по мере увеличения / при
k0 = const наблюдается аналогичная изложенному выше картина
трансформации волны с поглощением энергии головной части, реги-
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах 187
Рис. 10. Динамика отражения ударной волны от границы
раздела с пузырьковым слоем
страцией предвестника и переизлучением, что было вполне
предсказуемо и, по сути, требовало лишь экспериментального
подтверждения, продемонстрированного этими осциллограммами.
Наибольший интерес здесь представляет запись давления
датчиком, расположенным на расстоянии L перед границей
пузырьковой среды (луч 2 на рис. 10,а). Вид ее указывает на динамичность
развития растягивающих напряжений и их рост по мере увеличения
k0. Действительно, учитывая существенное отличие акустического
сопротивления ρс граничащих сред, в месте расположения датчика
можно было ожидать появления отраженной от передней границы
пузырьков волны в виде волны разрежения через время t* = 2L/c0 с
момента записи им фронта падающей на границу раздела волны.
На рис. 10 показано, что через определенный интервал времени
датчик перед средой действительно регистрирует появление волны
разрежения, однако этот интервал существенно отличается от
времени t*, необходимого фронту волны на преодоление расстояния от
датчика до границы и обратно со скоростью c0 и составляет 180 мкс
вместо предполагаемых 20 мкс.
188
Глава V
В результате в отраженной волне регистрируется узкий пик
давления и довольно продолжительная по времени зона пониженного
давления. Очевидно ширина пика определяется временем, за которое
частицы среды за счет схлопывания пузырьков приобретают
дополнительную массовую скорость относительно скорости за фронтом
падающей волны сжатия. Действительно, по мере схлопывания
увеличивается радиальная скорость стенок пузырьков, а следовательно)
и средняя скорость частиц жидкости, и когда она достигнет
величины ~ 2Δр/ρ0c0 можно считать, что отражение произошло.
Подобного явления для коротких волн не наблюдалось. Это означает, что их
отражения (в используемом диапазоне параметров среды и волн) не
происходит из-за слабого вклада радиальных колебаний пузырьков
в относительно слабых коротких волнах. Хотя, в принципе, оно
может существовать и быть так же динамично связано с пульсацией
пузырьков.
3. Неравновесная двухфазная ИКВ-модель
пузырьковой жидкости.
Три оценки волновых эффектов
Неравновесная по давлению двухфазная математическая модель
Иорданского — Когарко — ван Вингардена (ИКВ-модель) в начале
60-х годов была предложена независимо Иорданским (I960), Когарко
(1961) в России и ван Вингарденом (1964, 1968) в Нидерландах для
описания волновых процессов в жидкости с газовыми или
парогазовыми пузырьками [7-10].
Можно сказать, что ИКВ-модель была революционным
достижением в области механики многофазных сред. В ее основе лежит
простая физическая модель:
а) законы сохранения записываются для осредненных
определенным образом давления p, плотности ρ и массовой скорости
среды υ;
б) состояние среды описывается динамической системой,
включающей уравнение Релея для пузырьков радиусом Л, соотношения для
плотности ρ, объемной концентрации газовой (парогазовой) фазы k
и R.
Основные уравнения этой модели имеют вид
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
189
Эта система должна быть дополнена уравнением состояния для газа
в пузырьках: в простейшем случае это может быть адиабата типа
pR3γ = const.
В рамках акустического приближения ИКВ-система была
сведена к форме, более удобной для анализа [1-3]:
Здесь k = (R/R0)3.
В принципе теперь мы можем забыть о пузырьках и считать
среду однородной, но обладающей некоторыми особыми свойствами,
описываемыми упомянутой подсистемой уравнений состояния.
Оценим возможность приложения этой модели для описания волновых
эффектов, наблюдаемых в экспериментах.
3.1. Предвестник. Как было показано выше, предвестник
представляет собой остаточный импульс набегающей ударной волны,
сохранивший крутизну ее фронта, и имеющий осциллирующий
профиль. Волновой пакет является результатом переизлучения
поглощенной слоем энергии падающей волны, которая трансформируется
в кинетическую энергию радиальных пульсаций пузырьков и
внутреннюю энергию сжимаемой в них газовой фазы. Как оказалось,
степень сжатия «коллективных» пузырьков в слое для
фиксированных параметров среды и ударной волны определяет уровень
диссипации энергии волны и амплитуду переизлучения пузырькового слоя,
в то время как инерционный характер процесса схлопывания
пузырьков определяет задержку максимума переизлучения. При этом,
как отмечалось выше, поглощение энергии падающей волны и ее
190
Глава V
переизлучение пузырьковым слоем — постоянно идущие и
«конкурирующие» процессы, чьи максимумы не совпадают во времени по
указанной выше причине.
В соответствии с экспериментальными данными можно
считать, что в процессе формирования предвестника пузырьки
получают только радиальное ускорение, при этом к ~ 1, дk/dt ~ 0, и,
следовательно, уравнение для концентрации к принимает вид
что позволяет на основании системы (11) получить уравнение типа
уравнения Клейна — Гордона
описывающее формирование предвестника. В этом уравнении
появляется параметр подобия
зависящий от характеристик пузырьковой среды.
Решение уравнения Клейна — Гордона имеет вид
где Pbond(t) — заданное давление на границе пузырьковой среды, I1
— функция Бесселя.
Сравнение с экспериментальными данными (рис. 8) показало,
что параметр
(l — толщина пузырькового слоя), является критерием подобия
затухания амплитуды ударной волны в пузырьковой жидкости.
3.2. Дисперсионное соотношение. Определение скорости
распространения малых возмущений может быть использовано в качестве
критерия для оценки степени соответствия ИКВ-модели реальному
процессу [3]. В качестве примера можно привести характерный для
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
191
многофазных сред эффект дисперсии скорости звука,
экспериментально исследованный Фоксом и др. в [17] для некоторого спектра
пузырьков по размерам.
Пусть имеется дискретное распределение пузырьков, для
которого в подсистеме, описывающей состояние среды (система (11)),
уточняется выражение для плотности
N
где кb = Σ kj, kj = kj0(Rj/Rj0)3, а уравнение для концентрации
i=i
переписывается для kbj = (Rj/Rj0)3.
Если малые возмущения плотности и концентрации каждого
сорта пузырьков представить в виде
то исходная система (11) для одномерной задачи примет вид
где — собственная частота пузырька сорта j.
Решение ищем в виде p = Аеi(ωt - тх), kbj = Вei(ωt - тх).
Подстановка их в линеаризованную систему (12) после несложных
преобразований приводит к следующему выражению для фазовой скорости
звука cph = ω/m (здесь m — волновое число):
Здесь ceq — равновесная скорость звука в двухфазной среде по
Ляхову [5].
При N — в пределе получаем дисперсионное соотношение
Для непрерывного распределения пузырьков по размерам [1]
192
Глава V
При этом
a k(R) — доля концентрации пузырьков радиуса R.
Интеграл в уравнении (13), преобразованный как
при условии четности функции k(R) принимает вид
Теперь (13) можно переписать в виде
где а =
Экспериментальные данные Фокса и др. [17] по спектру
концентраций пузырьков представим в виде
где Ъ — некоторый произвольный масштабный множитель, который
выбирается, исходя из каких-либо физических соображений, a q на-
ходится из очевидных условий
Так как особые точки подинтегральной функции (1 + i)/v2 и
(—1 + i)/\/2, то согласно теореме о вычетах [18]
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
193
Откуда q = 2v2πb. Тогда интеграл в выражении для фазовой
скорости можно преобразовать следующим образом:
Таким образом, дисперсионное соотношение для непрерывного
распределения пузырьков по размерам принимает вид
Здесь Ω(6) — масштабный множитель, который выбирается,
например, из условия совпадения теоретических и экспериментальных
данных в точке дисперсионной кривой cph = c0.
На рис. 11 представлены результаты расчета дисперсионной
кривой по уравнению (14) и экспериментальные данные [17],
полученные для следующих условий: р0 = 0,1 МПа, γ = 1,4, k0 = 2,5·10-4,
2·10-4 и 1,5·10-4 (кривые 1-3 соответственно). Заметим, что именно
результаты исследований [17] натолкнули на мысль, что
зарегистрировать ожидаемую резонансную особенность авторам не позволил
разброс экспериментальных данных.
Расчет проведен для трех указанных значений концентраций,
как средних концентраций трех вариантов непрерывного
распределения по размерам, с целью большей корреляции модели с
экспериментом. Значение Ω(b) было выбрано в точке срh = с0, что
соответствовало частоте f = 80 кГц. Штриховая линия — дисперсионная
кривая для пузырьков одного сорта с размером R = 0,055 мм,
который соответствовал наибольшей из представленных в эксперименте
«парциальных» концентраций k0 = 1,5 · 10~4 .
Несложно видеть, что при f — ∞ фазовая скорость стремится
к своему «замороженному» значению, которое выше с0, так как
пузырьки в этом случае «превращаются» в твердые частички. Нетруд-
194
Глава V
Рис. 11. Дисперсионные кривые для различных объемных
концентраций пузырьков:
но заметить достаточно хорошее совпадение эксперимента с
моделью, показывающее, что экспериментальный факт появления
«акустически прозрачного окна» в области резонансных частот
объясняется существованием начального спектра концентраций пузырьков,
т. е. их дисперсией по размерам, а не диссипативными потерями.
3.3. Структура ударной волны в пузырьковой среде с
несжимаемым жидким компонентом.
Опыт приложения полной двухфазной модели, преобразованной
для двух основных характеристик (средних давления и скорости)
при условии монодисперсности газовой фазы, к анализу структуры
ударной волны в пузырьковой среде на стадии выделения
предвестника [1], затем — волн разрежения в реальной жидкости [19-21] (см.
гл. 7), показал, что эта модель допускает дальнейшие существенные
упрощения. Одни из них физически вполне обоснованы. Например,
можно пренебречь
а) сжимаемостью жидкого компонента по сравнению со
сжимаемостью газовой фазы, которая определяет эту характеристику
пузырьковой среды в целом;
б) нелинейными членами в законах сохранения для средних
величин, сохранив нелинейный член в уравнении пульсации.
Другие далеко не очевидны и требуют теоретического
обоснования. Однако, если их использование дает численные и
аналитические оценки, как минимум не противоречащие экспериментальным
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
195
данным, то соответствующее приближение можно считать вполне
оправданным. Основное из таких приближений связано с введением
новой функции ζ = р — рg (вместо давления) и новой
пространственной переменной η = rаk1/6, содержащей и начальные параметры
пузырьковой системы в виде параметра подобия а = v3k0/R02, и
текущее значение концентрации к1/6 = у1/2 = (R/R0)1/2, что можно
рассматривать как учет микроструктуры среды при определении в
ней среднего волнового поля.
В этих условиях система (2) преобразуется к виду [3]
где ν — О, 1, 2 определяет тип симметрии течения. Наиболее
важный результат такого подхода к описанию процессов в пузырьковых
средах состоит в том, что первое уравнение системы (15) позволяет
получить аналитические соотношения, связывающие среднее
давление в среде ρ с объемной концентрацией к для плоских (у = 0),
цилиндрических (у = 1) и сферических (v = 2) пузырьковых
кластеров:
Здесь I0, К0, T1/2, Κ1/2 — модифицированные функции Бесселя, а
коэффициенты A is. В определяются на основании граничных условий
для каждой конкретной постановки задачи.
В рамках такого подхода было получено два принципиальных
результата. Во-первых, оказалось, что и при несжимаемом жидком
компоненте численный эксперимент дает расслоение волны на
предвестник и переизлучение [1], подтвердив таким образом, что
задержка регистрации максимума давления соответствует времени схлопы-
вания (рис. 12).
Во-вторых интересна динамика распределения давления в
пузырьковом полупространстве такого типа, если на его границе
задается давление как функция времени в произвольной форме — ведь
196
Глава V
Рис. 12. Трансформация ударной волны пузырьковой средой
для k0 = 8 · 10-2 (численный анализ)
все возмущения должны (при несжимаемом жидком компоненте)
«распространяться» мгновенно. В [1] для «падающей» на границу
ударной волны треугольного профиля с максимальной амплитудой
в 2 МПа и временем положительной фазы давления 100 мкс (при
k0 = 0,002 и R0 = 0,4 см) проведен расчет распределения давления
в среде для различных фиксированных моментов времени. Расчет
показал, что по среде с переменной скоростью и с экспоненциально
убывающей по времени амплитудой распространяется волна
сжатия (рис. 13).
Через некоторое время (в силу того, что пузырьки
продолжают пульсировать) в начальных слоях вновь возникает волна
сжатия, которая распространится внутрь слоя: в фиксированной точке
пространства возникает периодическая система волн с убывающей
амплитудой.
Как видно из приведенных примеров, ИКВ-модель позволяет
получать вполне адекватные эксперименту численные результаты
по развитию волновых процессов в пузырьковых средах.
На основании рассмотренных результатов полезно еще раз
подчеркнуть характерные особенности процесса распространения
ударных волн в инертных пузырьковых средах:
— взаимодействие волны сжатия со средой характеризуется
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах 197
Рис. 13. Профиль
«бегущей» волны сжатия
в полупространстве
пузырьковой жидкости
с несжимаемым
жидким компонентом
тем, что на некоторой толщине слоя в результате поглощения вся
энергия ударной волны переходит в энергию волн сжатия,
переизлученных пузырьковой средой в виде «пакета» волн через время,
определяемое временем схлопывания пузырьков в слое и зависящее
от параметров среды и исходной ударной волны;
— энергия полностью сформированного пакета составляет 20 –
30 % энергии исходной ударной волны и практически сосредоточена
в узком спектре переизлучения.
4. Усиление, столкновение и фокусировка ударных
волн в пузырьковой жидкости
История экспериментальных, теоретических и численных
исследований эффектов усиления и фокусировки ударных волн в
различных средах связана преимущественно с проблемой генерации
высоких давлений и температур в однородных и многофазных системах
и насчитывает не одно десятилетие. Что касается многофазных
систем, то наибольшее внимание в последние годы привлекают три
проблемы, имеющие явное прикладное значение: исследование
механизма разрушения почечных камней (литотрипсия) сходящимися
ударными волнами в жидкости, исследование механизма
инициирования взрывных процессов (будет рассмотрен в следующей главе) и
так называемая проблема «акустического лазера».
Среди работ первого направления можно выделить обзоры Гре-
нига и Стертеванта, сделанные на Международном семинаре по
фокусировке ударных волн (1989 г.), а также эксперименты и числен-
198
Глава V
ные модели по сходящимся цилиндрическим ударным волнам в
однородной среде, которые выполнили Такаяма, Ватанабе, Нагойя,
Стука, Кувахара, Исузукава, Фудживара и ряд других авторов [22-35]
(1989-1993 гг.), а также упоминавшиеся выше результаты автора
по анализу роли кавитационных эффектов в механизме разрушения
[21].
Появление работ по так называемому акустическому лазеру [36,
37], в которых обсуждаются возможные методы возбуждения
когерентного акустического излучения и его усиления, вновь привлекли
внимание к пузырьковым средам, обладающим, как известно,
способностью не только усиливать ударные волны при взаимодействии
с ними, но и формировать систему слоев с когерентными
свойствами, в каждом из которых пузырьки синхронно и поглощают энергию
падающей ударной волны, и переизлучают ее [1, 2].
Кавитационный кластер, возникший в неоднородной жидкости
под действием растягивающих напряжений, и жидкость с
пузырьками взрывчатой газовой смеси могут рассматриваться
соответственно как гидродинамический и физический аналоги накачки в
лазерных системах. При взаимодействии даже со слабой ударной волной
кавитационный кластер излучает серию импульсов сжатия с
частотой коллективных пульсаций пузырьков [1, 2], а взаимодействие волн
в пузырьковой жидкости может привести к формированию мощного
импульса давления. Эти эффекты могут рассматриваться в качестве
основы одного из принципов создания акустических аналогов
лазерных систем. Поэтому проблема адекватного численного
моделирования такого рода процессов, возможность оценить уровень усиления
волнового поля в результате таких взаимодействий, приобретает не
только фундаментальное, но и прикладное значение.
4.1. Усиление ударной волны кавитационным кластером на
твердой стенке. Обнаружение возможности генерации на твердой
стенке интенсивных динамических нагрузок [1] при пульсации вблизи'
нее кавитационного (пузырькового) кластера открыло неожиданные
эффекты, вероятность которых невозможно было предугадать. Как
уже отмечалось, при резком восстановлении гидростатического
давления на границе кавитационного кластера кумулятивный харак-,
тер схлопывания пузырьков и сильные инерционные эффекты
приводят к генерации на всей поверхности стенки серии мощных
импульсов давления [1].
Этот эффект был обнаружен при численных расчетах
динамики слоя на стенке, выполненных в рамках модели (15). Рассмотрим
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
199
постановку этой задачи подробнее. На твердой стенке имеется слой
толщиной / равномерно распределенных кавитационных пузырьков
с начальным радиусом R0 к объемной концентрацией k0,
сформированный в результате падения давления от гидростатического рhs
до р0 например вследствие выдвижения стенки из жидкости. В
момент времени t = 0 на границе слоя мгновенно «восстанавливается»
и в дальнейшем поддерживается постоянным гидростатическое
давление phs· Давление на твердой стенке определяется на основании
решения системы
при следующих граничных условиях:
(последнее — в силу симметрии).
Расчет был проведен для широкого диапазона степеней
разрежения в слое phs/p0 = 300; 200; 100; 70 и значений параметра /3 = 1;
2; 3; 4. Характерная картина развития давления на твердой стенке
представлена на рис. 14. Несложно видеть, что несмотря на низкое
давление на границе кавитационной зоны (phs = 0,1 ΜПа), на
стенке возникает серия мощных импульсов давления с амплитудами в
несколько МПа. Это подтверждает вывод работы [20] о том, что
схлопывание кавитационных пузырьков на плоскости приводит не
только к эрозионному повреждению поверхности, но и к генерации
пузырьковой средой мощных импульсов давления на всей
поверхности стенки.
Анализ численных оценок показал, что усиление давления на
стенке может быть описано зависимостью
в которой основную роль играет второй член. Очевидно, максимум
давления на стенке, генерируемого пузырьковым кластером, будет
200
Глава V
Рис. 14. Эффект усиления ударной волны при схлопывании
кавитационного слоя на твердой стенке (при рhs/р0 = 100)
соответствовать условию k = kmin, в котором kmin можно оценить
следующим образом:
Расчет (рис. 14) показал, что при амплитуде скачка
гидростатического давления всего в 0,1 МПа, в диапазоне начальных давлений
в пузырьковом слое р0 = (0,33 – 10) · 103 Па и при значениях
параметра подобия β = 1 – 6 нагрузки на стенку меняются в диапазоне
от 10phs до 80phs и имеют максимум при β ~ 3.
Данные рис. 14 позволяют судить о наличии акустической
диссипации в двухфазной среде с несжимаемым жидким компонентом:
снижение амплитуд импульсов излучения есть следствие
затухающего характера пульсаций пузырьков в слое, т. е. акустических
потерь.
4.2. Столкновение стационарных ударных волн (постановка
проблемы). Здесь рассмотрим общую постановку по взаимодействию
ударных волн, которая позволяет решать более широкий спектр
задач взаимодействия [38].
Пусть на двух противоположных границах, расположенных на
расстоянии L друг от друга в момент времени t = 0 скачком
возникает и поддерживается постоянным давление рb. При t > 0 по
пузырьковой среде навстречу друг другу начнут
распространяться ударные волны, разделяясь, как и положено, на предвестники и
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
201
основные возмущения в виде ударных волн с осциллирующим
фронтом.
Двухфазная математическая модель, позволяющая описать
процессы формирования, распространения и взаимодействия волн,
включает:
— законы сохранения для средних р, ρ, и
— уравнение Релея
— уравнение для температуры
— параметры и уравнение состояния жидкости
Коэффициент δ в уравнении для энергии используется в двух
случаях: для «включения» теплообмена и для корреляции его
интенсивности. Необходимость последнего шага связана с приближенностью
используемых в системе соотношений для чисел Нуссельта (Nu) и
Пекле (Ре), предложенных Р. И. Нигматуллиным, которая вполне
допустима в случае относительно слабых волн.
В связи с тем, что скорости основных возмущений заметно ниже
скоростей предвестников, последние первыми сталкиваются в
плоскости симметрии течения, отражаются от нее и взаимодействуют с
основными волнами, несколько искажая их профиль перед
столкновением.
202
Глава V
Таблица 2
k0 %
0
0,5
0,75
1,0
2,0
3,5
5,0
6,5
9,0
L = 10 см
2
7,5
9,7
10,7
12,4
12,8
13,7
14,4
—
Pref, МПа
L — 8 см
—
—
—
10,5
13,0
—
—
—
—
Ζ = 7 см
—
—
—
—
—
—
—
—
15,3
Динамика процесса столкновения стационарных волн будет
рассмотрена подробно в следующей главе на примере активных
пузырьковых сред. Здесь мы лишь ограничимся замечанием, что эффект
усиления амплитуды волны при столкновении объясняется инерци-
альными свойствами системы «жидкость — пузырек», аномальной
величиной сжимаемости пузырьковой среды и динамическим
характером столкновения. Так, сравнение скоростей звука в газе сg,
жидкости сliq и в пузырьковой системе сьиы
показывает, что в пузырьковой среде равновесная скорость звука
может быть много меньше скорости звука в газе.
Сжимаемость пузырьковой среды можно определить через
относительную среднюю плотность
полагая массу газа несущественной, а жидкий компонент
практически несжимаемым (τυ = (R/R0)3). При этом скорость звука
стремится к минимальному значению с2bиb1 ~ 4γp/ρliq (порядка 10 м/с),
когда k0 ~ 0,5.
Данные по усилению при столкновении эквивалентных ударных
волн (аналог отражения от твердой стенки) в пузырьковой
жидкости приведены на рис. 15 и в табл. 2 в виде зависимости pref от
k0 (амплитуда падающей волны 1 МПа, R0 = 0,1 см). Расчет
проведен для различных значений L, достаточных для формирования
стационарной волновой структуры до отражения. Разброс данных
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
203
Рис. 15. Усиление ударных
волн при столкновении:
амплитуды падающих волн
pl,τ = 1 МПа (время
столкновения τcol указано в мкс)
связан с различием фаз взаимодействия отраженных предвестников
с основной падающей волной.
Нетрудно видеть, что объемная концентрация играет
определяющую роль в эффекте усиления: увеличение k0 ведет к монотонному
росту максимального давления в плоскости столкновения (на
«твердой стенке»), которое можно аппроксимировать следующей
зависимостью (рис. 15, пунктирная кривая):
Процесс столкновения стационарных ударных волн в
пузырьковой среде является существенно динамическим и занимает
определенное время τcol (отмечено на рис. 15 цифрами в мкс). Чем выше
концентрация, тем продолжительнее этот процесс (рост давления)
в плоскости столкновения, что, очевидно, определяется крутизной
фронта падающей волны.
4.3. Фокусировка ударных волн (цилиндрическая симметрия).
Естественно ожидать, что эффекты столкновения могут быть
существенно усилены за счет фокусировки ударных волн. Эта проблема
для пузырьковых сред ранее не рассматривалась, хотя очевидно, что
особенности формирования тонкой структурой волнового поля при
этом не изменятся — формирование и фокусировка предвестника,
его отражение и взаимодействие с основной падающей волной.
Управляющая система уравнений двухфазной среды для
описания цилиндрической фокусировки волн, как и ранее, состоит из двух
подсистем:
204
Глава V
— подсистема газодинамических уравнений для средних р, ρ, и
— подсистема кинетических уравнений, описывающих
динамическое состояние среды с теплообменом и полностью идентичных
соответствующим уравнениям, представленным в системе (17),
начиная с уравнения Релея.
Численный метод решения этой системы основан на неявной
схеме, уравнения газодинамики сводятся к нелинейным уравнениям
второго порядка для давления р, которые решаются итеративным
ньютоновским методом. Управляющая разностная схема,
разработанная В. А. Вшивковым, выглядит следующим образом:
где (k) — число итераций,
Давление и плотность рассчитываются как
Итерации выполняются до
тех пор, пока maxi|Δρi(k)| < ε. Кинетические уравнения решаются в
каждой точке временного интервала tm < t < tm+1 = tm + τ методом
Рунге — Кутты — Мерсона с переменным шагом по времени.
На рис. 16 представлен результат расчета фокусировки
стационарной волны в однофазной жидкости. Несложно заметить
корреляцию между крутизной фронта падающей волны (1,5 мкс) и
длительностью процесса столкновения. По аналогии с процессами
отражения можно ожидать, что по сравнению с чистой жидкостью, в
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
205
t, МКС
Рис. 16. Фокусировка ударной волны в чистой жидкости
которой амплитуда ударной волны увеличилась в 20 раз,
фокусировка в пузырьковой системе даст несравнимо больший эффект.
В рамках системы (18) для пузырьковой среды были
рассчитаны сходящиеся одномерные цилиндрические ударные волны при
аналогичных начальных и граничных условиях, упомянутых в
предыдущей проблеме (при радиусе фокусировки r = 5 см).
Полная картина фокусировки на ось ударной волны в
пузырьковой среде при k0 = 0,01, R0 = 0,2 см и рb = 1 МПа показана на рис. 17.
Здесь прежде всего необходимо отметить фокусировку предвестника
(интервал времени 20-40 мкс), отражение которого, естественно,
повлияет на профиль основной волны, достигающей фокуса примерно
к 100 мкс. Можно также отметить, что амплитуда волны в фокусе в
пузырьковой среде увеличивается на порядок по сравнению с чистой
жидкостью.
Рисунок 18 для наглядности содержит только часть области
фокусировки и отличается от рис. 17 значением объемной
концентрации. Данные по зависимости максимального давления в фокусе
pf от объемной концентрации k0 (рb = 1 МПа, R0 = 0,1 см)
k0 0,0 0,005 0,01 0,02 0,03 0,05 0,07 0,09
pf, МПа 21,1 69,3 170,0 346,8 509,4 625,0 686,8 827,5
Рис. 17. Фокусировка ударной волны в пузырьковой среде
Рис. 18. Усиление ударной волны при фокусировке:
k0 = 0,02, R0 = 0,1 см, рb = 1 МПа, r = 5 см
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
207
Рис. 19 Динамика амплитуды ударной волны при фокусировке:
k0 = 0,03, R0 = 0,1 см, рb = 1 МПа, r = 5 см
Рис. 20. Распределение давления в фокусе в зависимости от k0
демонстрируют интересную особенность: в диапазоне концентраций
k0 = 0,01 – 0,03 амплитуда в фокусе возрастает практически
пропорционально увеличению концентрации.
Как показал анализ результатов расчета для широкого
диапазона значений k0 динамика давления во фронте волны рmax(r) по мере
ее фокусировки на ось аппроксимируется лоренцианом (L)
параметры которого для различных значений k0 приведены ниже:
k0
а
b
с
0,01
4192
0,795
-0,413
0,02
7191
0,435
-0,319
0,03
8 565
0,305
-0,245
0,05
10 069
0,194
-0,202
0,07
10 242
0,141
-0,171
Характерный пример динамики амплитуды ударной волны при
фокусировке представлен на рис. 19 для объемной концентрации k0 =
0,03. Пунктиром отмечена апроксимация лоренцианом (L, пунктир).
208
Глава V
Совпадение вполне приемлемо. Из этих примеров также следует, что
усиление волны происходит по сути в окрестности фокуса.
На рис. 20 показано влияние концентрации на максимальное
давление, которое достигается в результате фокусировки
стационарных волн в пассивных пузырьковых средах. Можно заметить явный
осциллирующий характер расчетных данных, которые объясняются
влиянием отраженных предвестников. Аппроксимация этой
зависимости может быть представлена полиномом второй степени
(сплошная линия)
описывающим результат фокусировки с достаточной степенью
точности.
Литература
1. Кедринский В. К. Распространение возмущений в жидкости,
содержащей пузырьки газа // ПМТФ. 1968. № 4. С. 29-34.
2. Кедринский В. К. Ударные волны в жидкости с пузырьками газа //
Физика горения и взрыва. 1980. № 5. С. 14-25.
3. Кедринский В. К. Распространение возмущений в жидкости,
содержащей пузырьки газа: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1968.
4. Campbell I. J., Pitcher A. S. Shock waves in a liquid containing gas
bubbles // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1958. V. 243, N 1235. P. 534-545.
5. Ляхов Г. М. Ударные волны в многокомпонентных средах // Изв. АН
СССР. Сер. механика и маш. 1959. № 1.
6. Паркин Б. П., Гил мор Ф. Р., Броуд Г. Л. Ударные волны в воде
с пузырьками воздуха. Подводные и подземные взрывы. М.: Мир, 1974.
С. 152-258.
7. Иорданский С. В. Об уравнениях движения жидкости, содержащей
пузырьки газа // ПМТФ. 1960. № 3.
8. Когарко Б. С. Об одной модели кавитирующей жидкости // Докл.
АН СССР. 1961. Т. 137, № 6.
9. Когарко Б. С. Одномерное неустановившееся движение жидкости
с возникновением и развитием кавитации // Докл. АН СССР. 1964.
Т. 155, № 4.
10. Van Wijngaarden L. On the equations of motion for mixtures of liquid
and gas bubbles // J. Fluid Mech. 1968. V. 33. P. 465-474.
П. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука,
1987.
Ударные волны в пассивных пузырьковых средах
209
12. Накоряков В. Б., Покусаев Б. Г., Шрейбер И. Р. Волновая
динамика газо- и парожидкостных сред. М.: Энергоатомиздат, 1990.
13. Nordzii L. Shock waves in bubble-liquid mixtures // Phys.
Communications. 1971. V. 3, № 1 (Twente Institute of Technology,
Enschede, Netherlands).
14. Nordzii L., van Wijngaarden L. Relaxation effects caused by relative
motion on shock waves in gas-bubble/liquid mixture // J. Fluid Mech.
1974. V. 66. Pt. 1.
15. Накоряков В. Б., Покусаев Б. Г. и др. Экспериментальное
исследование ударных волн в жидкости с пузырьками газа // Волновые
процессы в двухфазных системах. ИТФ СОАН СССР: Новосибирск,
1975.
16. Гасенко В. Г., Накоряков В. Е., Шрейбер И. Р. Двухволновая
модель распространения возмущений в жидкости с пузырьками газа //
ПМТФ. 1979. № 6.
17. Фокс Ф., Керли С, Ларсон Г. Измерение фазовой скорости и
поглощение звука в воде, содержащей воздушные пузырьки // Пробл. совр.
физики. 1956. № 3.
18. Лаврентьев Μ. Α., Шабат Б. В. Методы теории функции
комплексного перемененного. М.: Наука, 1965.
19. Кедринский В. К. Динамика зоны кавитации при подводном взрыве
вблизи свободной поверхности // ПМТФ. 1975. № 5.
20. Manen I. D. Bent trailing edges of propeller blades of high powered single
screw ships // Int. Shipbilding Progress. 1963. V. 10.
21. Kedrinskii V. K. The role of cavitation effects in the mechanisms of
destruction and explosive processes // J. Shock Waves. 1997. V. 7, N 2.
P. 63-76.
22. Gronig H. Past, present and future of shock focusing research // Proc.
Intern. Workshop on Shock Wave Focusing / K. Takayama (Ed.). Sendai,
Japan, 1989. P. 1-38.
23. Stertevant B. The physics of shock wave focusing in the context of
extracorporeal shock wave lithotripsy // Ibid. P. 39-64.
24. Book D., Lohner R. Quatre foil instability of imploding cylindrical
shock // Proc. Intern. Workshop on Shock Wave Focusing / K. Takayama
(Ed.). Sendai, Japan, 1989. P. 193-206.
25. Takayama K. High pressure generation by shock wave focusing in
ellipsoidal cavity // Proc. Intern. Workshop on Shock Wave Focusing /
K. Takayama (Ed.). Sendai, Japan, 1989. P. 217-226.
26. Watanabe M. et al. Shock wave focusing in a vertical annular shock
tube // Proc. 19th Intern. Symp. on Shock Waves. Marseille, France, 26-
30 July, 1993. V. 4. P. 99-104.
210
Глава V
27. Nagoya H. et al. Underwater shock wave propagation and focusing
in inhomogeneous media // Proc. 19th Intern. Symp. on Shock Waves.
Marseille, France, 26-30 July, 1993. V. 3. P. 439-444.
28. Stuka C. et al. Nonlinear transmission of focused shock waves in
nondegassed water // Ibid. P. 445-448.
29. Kuwahara M. et al. The problems of focused shock waves effect on
biological tissues // Proc. 18th Intern. Symp. on Shock Waves. Sendai,
Japan, 21-26 July, 1991. V. 1. P. 41-48.
30. Isuzukawa K., Horiuchi M. Experimental and numerical studies of
blast wave focusing in water // Proc. 19th Intern. Symp. on Shock Waves.
Marseille, France, 26-30 July, 1993. V. 3. P. 347-350.
31. Fujiwara K. et al. New methods for generating cylindrical imploding
shock // Proc. 19th Intern. Symp. on Shock Waves. Marseille, France, 26-
30 July, 1993. V. 4. P. 81-86.
32. Demmig F. et al. Experiments and model computation of cylindrical
shock waves with time-resolved deformation and fragmentation // Ibid.
P. 87-92.
33. Hiroe T. et al. A numerical study of explosive-driven cylindrical
imploding shocks in solids // Proc. 19th Intern. Symp. on Shock Waves.
Marseille, France, 26-30 July, 1993. V. 3. P. 267-272.
34. Itoh S. et al. Converging underwater shock waves for metal processing //
Ibid. P. 288-294.
35. Neemeh R. Propagation and stability of converging cylindrical shocks in
narrow cylindrical chamber // Proc. 18th Intern. Symp. on Shock Waves.
Sendai, Japan, 21-26 July, 1991. V. 1. P. 273-278.
36. Volkov I. V., Zavtrak S. Т., Kuten I. S. // Rev. E. 1997. V. 56, № 1.
P. 1097-1101.
37. Zavtrak S. Т., Volkov I. V. // JASA. 1997. V. 102, № 1. P. 204-206.
38. Кедринский В. К., Вшивков В. Α., Дудникова Г. И., Шокин
Ю. И. Усиление ударных волн при столкновении и фокусировке в
пузырьковых средах // ДАН, 1998. Т. 361, No 1. С. 41-44.
Г л а в a VI
ПУЗЫРЬКОВАЯ ДЕТОНАЦИЯ:
ВОЛНЫ В ХИМИЧЕСКИ АКТИВНЫХ
ПУЗЫРЬКОВЫХ СРЕДАХ
Пузырьковой детонацией называют квазистационарный
самоподдерживающийся режим формирования и распространения в
химически активных пузырьковых средах волновой структуры типа
волнового пакета [1].
Исторически сложилось так, что открытие этого явления
затянулось практически на четверть века. События, хоть и медленно,
развивались по вполне логичной последовательности от
исследования динамики одиночного пузырька [2] до обнаружения в процессе
взаимодействия ударной волны с цепочкой пузырьков режима
типа «катящейся» с постоянной скоростью волны [3] и, наконец, до
нормальной постановки задачи о трансформации волн в химически
активных пузырьковых средах [1].
В явлении пузырьковой детонации процесс формирования
квазистационарной уединенной волны во многом зависит от того, как в
замкнутом микрообъеме отдельного газового пузырька, схлопываю-
щегося под действием падающей ударной волны, развивается
химическая реакция. Но она, как известно, характеризуется целым
спектром возможных режимов протекания. Несмотря на это, в
опубликованных в течение последних 10 лет работах, посвященных
формированию и взаимодействию волн пузырьковой детонации [4-8],
исследованию различных подходов к определению скорости ее
распространения [8-10], детальный анализ динамики одиночного пузырька
остался, по сути, вне поля зрения. Априори предполагалось, что
химически активная газовая смесь в пузырьках взрывается, если обеспечена
соответствующая степень адиабатического сжатия. Не обсуждался
212
Глава VI
и механизм существенного усиления волн в активных пузырьковых
средах.
Эксперименты, выполненные в Канаде в 1994 г. [11], в
определенной степени повторили и уточнили известные до того факты,
связанные с особенностью динамики химически активного
одиночного пузырька, показав лишний раз, что взаимодействие одиночного
пузырька с ударной волной, являясь своеобразным «элементарным»
актом сложного процесса трансформации волны и выделения
взрывающимися пузырьками энергии, это далеко не полностью
исследованный процесс.
В этом смысле анализ возможности возникновения
детонационного режима логично начать с процесса адиабатического сжатия
газа, заполняющего пузырек, рассмотрев особенности динамики
последнего, определяемые инерционными свойствами жидкости.
1. Динамика одиночного пузырька
1.1. Кинетика Тодеса, инициирование детонации преломленной
волной. Взаимодействие ударной волны с одиночным газовым
пузырьком, наполненным химически активной газовой смесью, и
поведение газа в пузырьке в процессе его сжатия впервые было
исследовано автором в 1960-1961 гг. [2].
Использование в качестве газа в пузырьках стехиометрической
водородно-кислородной и ацетилено-кислородной смесей позволило
обнаружить их способность детонировать при степенях сжатия
пузырьков, соответствующих адиабатическому нагреву смесей до
температур воспламенения, известных из литературы по газовой
детонации. Рис. 1,а демонстрирует динамику схлопывающегося
неактивного пузырька (непрерывная развертка) и относительно резкий
излом его профиля в момент взрыва активного газа (рис. 1,б). Светлая
поперечная полоса слева — засветка от взрыва проволочки,
генерирующего в жидкости ударную волну. Заметим, что свечение
продуктов детонации в пузырьке наблюдается при регистрации
процесса без импульсной подсветки, интенсивность которой «экранирует»
вспышку взрыва.
Первые численные оценки динамики активного пузырька с
учетом химической кинетики Тодеса были выполнены в [5] в рамках
следующей системы уравнений, представленной в безразмерной форме
Пузырьковая детонация ...
213
Рис. 1. Пульсация пузырька (непрерывная развертка) с пассивным
газом (а) и с химически активной газовой смесью (б)
Здесь Еа — энергия активации; R — универсальная газовая
постоянная; Q — теплота, выделяемая в процессе реакции; ст —
теплоемкость; N = N/a, a — начальная концентрация исходного
вещества, N — число молекул, формирующихся в единице объема
в процессе реакции; z — константа, связанная с радиусами
молекул r1, r2 и их массами m1, m2 соотношением z = N0(r1 +
r2)2(8πR/N0)v1/m1 + l/m2, N0 — число Авогадро, Т = T/Τ0 —
температура смеси, Re = R0v-1 vp0/ρ0, p = Р /р0 — внешнее
давление, ν — кинематическая вязкость.
214
Глава VI
Рис. 2. Распределение давления (а) и
температуры (б) в пузырьке,
инициированное преломленной волной;
распределение плотности в окрестности
пузырька (б):
t = 10,5 мкс, psh = 50 МПа, R0 = 2 мм
Расчеты показали, что в процессе взаимодействия пузырька
с ударной волной в результате адиабатического нагрева активная
смесь внутри него взрывается практически мгновенно (при
неизменном объеме) и на кривой радиальной скорости схлопывания
пузырька в результате взрыва возникает излом. Эти результаты можно
рассматривать в качестве первого шага в понимании
«элементарного» акта в пузырьковой детонации.
Правда, следует отметить возможность инициирования
процесса пузырьковой детонации совершенно по другому «сценарию»: в
результате расчета осесимметричной задачи о взаимодействии
сильной ударной волны с пузырьком ацетилено-кислородной смеси
обнаружено, что преломленная в пузырек ударная волна может играть
принципиальную роль, возбуждая детонацию локально, внутри
пузырька в окрестности его стенки со стороны прихода ударной
волны [4] (рис. 2). В этой ситуации пузырек еще не успевает получить
радиальную скорость, его объем не изменяется по отношению к
начальному, а детонационная волна внутри него уже начинает
распространяться, отставая от фронта ударной волны в жидкости: рис. 2
Пузырьковая детонация ...
215
демонстрирует скачки давления (а) и температуры (5). На рис. 2,β
представлена нижняя половина области расчета с распределением
плотности: в верхней средней части рисунка выделяется половинка
пузырька, координаты границ которого соответствуют координатам
рис. 2,а. Это был новый неожиданный результат, который до сих пор
экспериментально не исследован.
1.2. Обобщенная кинетика детонации в газовой фазе. Напомним,
что согласно современным представлениям для возбуждения
самоподдерживающейся (многофронтовой) детонации в свободном
газовом объеме требуется выделить в некоторой зоне минимальное
количество энергии, которое определяется как критическая энергия
инициирования Е*. Процесс имеет характерные масштабы — размер
элементарной ячейки а и радиус формирования rform, определяющий
область, вне которой детонация выходит на стационарный режим.
Из известных приближенных моделей инициирования
детонации, адекватно описывающих экспериментальные данные, отметим
модель многоточечного инициирования. Она основана на
представлении о базовой роли соударений поперечных волн детонационного
фронта как микроинициаторов многофронтовой детонации. Энергия
этих соударений E0 оценивается с помощью предложенной в [12]
модели ячейки и учитывается при оценке Е*. В приведенных ниже
расчетах для смеси 2H2 + О2 использована модель кинетики, согласно
которой период индукции τi завершается мгновенной химической
реакцией, так как время химического превращения много меньше τi, и
для нестационарных условий определяется из интегрального
равенства
где t* — момент достижения температуры самовоспламенения
смеси, сf и c0x — концентрации топлива и окислителя,
соответственно, n1, n2 — порядок реакции. Температура T(t) смеси в пузырьке
определяется по адиабате с различными значениями показателя γ до
начала химической реакции (γ = 1,3971) и после нее (γ = 1,2109).
Для свободного объема конкретной газовой смеси критическая
энергия инициирования сферической детонации и размер
элементарной ячейки а определялись по данным [12, 13] и использовались при
расчете процессов в пузырьке. Для смеси 2Н2 + O2 при р0 = 0,1 МПа
и T0 = 298 К (А = 5,38 · 10-5 мкс·моль/л, Еа = 17,15 ккал/моль)
216
Глава VI
оказалось, что а ~ 1,6 мм, а Е* ~ 6 Дж. Очевидно, что при таких
условиях понятие многоточечного инициирования и, следовательно,
детонационного режима протекания реакции в микрообъеме
активного газа радиусом порядка 1 мм неприемлемо. К тому же при этом
не «выдерживаются» и требования к относительным характерным
размерам: R > rform > a.
Однако при повышении давления ρ (что собственно и
реализуется в результате схлопывания) условия для возбуждения
детонационного режима в пузырьке существенно улучшаются как по
характерному масштабу процесса (α ~ 1/р), так и по критической энергии
инициирования E*, которая уменьшается как 1/р2 [14]. Параметры
основных характеристик детонации для свободного объема и
различного начального давления (соответствующего давлению pad,
достигаемому при адиабатическом сжатии водородно-кислородной смеси)
приведены в табл. 1 [12, 13]. Отсюда, на основе данных по изменению
относительного параметра R/a, следует вывод о возможности
возбуждения детонационного режима в пузырьке в процессе его сжатия
[14].
Этот момент является принципиальным для пузырьковой
системы, так как необходимые для детонации условия по R/a и Е*
легко могут быть реализованы в результате взаимодействия системы с
ударными волнами. Таким образом, вопрос о характере реакции в
пузырьках, по сути, сводится к определению «динамики» числа
детонационных ячеек в микрообъеме пузырька, а также природы
возможного инициирования детонационного процесса. Здесь важным
становится понятие самоинициирования реакции в смеси как результата
повышения температуры под действием внешних факторов
(адиабатического сжатия внешней ударной волной). На рис. 3,а приведена
динамика соотношения «пузырек — ячейка» (R/a) в зависимости
от текущей относительной степени сжатия пузырька R0/R.
Пунктиром отмечены данные, соответствующие одному из моментов,
когда приращение внутренней энергии газовой смеси АЕ превышает
критическую энергию инициирования Е* (рис. 3,б, логарифмический
масштаб).
Начальные условия: R0 = а = 1,6 мм, γ = 1,4, скачок
давления на бесконечности в окружающей пузырек жидкости равен
p = 10 МПа. Увеличение R/a и резкое уменьшение значения Е*
по мере сжатия пузырька говорят о том, что если детонационный
режим на начальной стадии нереален, то по мере адиабатического
сжатия газа возможность его существования не вызывает сомнений
Пузырьковая детонация ...
217
Рис. 3. Динамика изменения числа ячеек (а) и величин Е* и
Εad в схлопывающемся пузырьке при его адиабатическом
сжатии (б)
[14]. Более того, начиная с определенной стадии сжатия, смесь
оказывается способной к самоинициированию за счет роста внутренней
энергии (ΔΕ).
1.3. Динамика пузырька с химически активной смесью. Динамика
пузырька в поле мгновенно приложенного на бесконечности
постоянного давления Р описывается уравнением Рэлея, которое с учетом
вязкости в акустическом приближении для безразмерных
переменных и параметров имеет вид
где β = с0-1vр0/ρ0, ρ0, с0 — плотность и скорость звука в жидкости
(индекс нуль присвоен начальным данным). Последнее слагаемое в
правой части (2) учитывает акустические потери. Температура
смеси в пузырьке в каждый момент определяется из известного
уравнения состояния: pV = mRT/μ. При этом изменение молярной массы
в результате реакции с μ0 = 12 до μch = 14,71 рассчитывается из
условия т = const. Начало расчета периода индукции t = t*
можно определять двумя способами. Например, на основе выполнения
неравенства
Таблица 1
R/a
a
ΔΕαά
Ε*
Td
Ρ*
Tch
Pch
Ead
Tad
Pad
Rq/R
1
1,594
0,0
5,946
3681,6
18,79
3504,1
0,96
4,3 · 10~3
298,15
0,1
1
3
0,375
0,0026
0,2001
3888,7
12,09
3694,4
2,57
6,9 · 10~3
478
0,41
1,4
9,7
0,0822
0,0056
0,00651
4160,9
8,82
3943,7
8,5
9,9 · 10~3
681
1,827
2
42,2
0,0126
0,0117
910-5
4522
5,68
4278,9
30,9
1,6 · 10~2
1104
9,994
3
123
0,00324
0,0177
4,1 · 10"6
4844,4
4,18
4582,1
78,8
2,2 · 10~2
1555
33,37
4
277,2
0,00115
0,0247
4,4 · 10"7
5155
3,3
4877,9
164,1
2,9 · ΙΟ"2
2028
85,03
5
Примечание. pad —· давление, МПа; Tad — температура, К; Ead — внутренняя энергия смеси, Дж;
Pchi Tch — параметры продуктов взрыва при постоянном объеме, рассчитанные по программе [11];
р# = Pd/pad, Td — параметры в детонационной волне.
Пузырьковая детонация ...
219
Рис. 4. Динамика температуры смеси Τ и относительной доли
прореагировавших молекул N (t* = 13,3 мкс) при взрыве на
стадии сжатия (а), задержка реакции до 2-й пульсации (t* =
68,75 мкс) (б)
где Ε*, Ε — соответственно энергия инициирования и внутренняя
энергия, отнесенные к начальной внутренней энергии газовой смеси.
Величина Е* и температура продуктов реакции вычислялись по
интерполяционным формулам, полученным на основании анализа
расчетных данных (табл. 1),
где Е0 = 6,4746 Дж, δ = 10,2385, А0 = 2925,65947, А1 = 667,16983,
А2 = -95,94769 иА3 = 8,1264.
В этом случае время индукции τi находится на основании (1), а
реакция запускается в момент tch = t* + τi и протекает мгновенно.
Второй способ наиболее простой: так как температура смеси
начинает расти сразу при схлопывании пузырька, в интеграле (1) можно
положить t* = 0, что практически не меняет характерные времена
взрывного процесса. Если реакция не запускалась на первой
пульсации, то интеграл (1) продолжал вычисляться на следующих
пульсациях с учетом определенной ранее части периода индукции.
Как показал расчет, при достаточно высоких значениях р
скачок давления в продуктах реакции (р) в момент взрыва резко
меняет величину (но не знак) скорости схлопывания пузырька:
инерция окружающей пузырек жидкости оказывается значительной и не
220
Глава VI
позволяет остановить процесс схлопывания. Происходит «дожатие»
газа до 920 МПа при pch = 44 МПа и увеличение температуры до
7,3 · 103 К при Tch = 4,3 · 103 К (рис. 4,а, р = 10 МПа, R0 = 1,6 мм).
Этот эффект определяет наиболее вероятный механизм
существенного усиления волны при формировании устойчивого режима.
Анализ результатов расчета показал, что потери на
акустическое излучение для рассматриваемого случая уменьшают
максимальную температуру «пересжатых» продуктов реакции примерно
на 10%.
На рис. 4,б показана динамика процесса для слабых волн с
амплитудой р = 0,52 МПа. Видно, что реакция запускается на второй
пульсации. В этом случае взрыв газовой смеси в пузырьке
происходит в окрестности его минимального радиуса или даже на
начальной стадии расширения. При этом, естественно, максимальная
температура продуктов реакции будет определяться только
энергетикой самой реакции. Этот факт может оказаться принципиальным,
поскольку интенсивности слабой ударной волны типа ступеньки с
упомянутой амплитудой может оказаться достаточно, чтобы
возбудить самоподдерживающийся режим в пузырьковой системе.
2. Динамика одиночного пузырька
при наличии химических реакций
и межфазного массообмена
Напомним, что еще в работах [15-18] в рамках модели «горячих
точек» инициирования детонации жидких ВВ обсуждался вопрос о
важной роли микрокапель ВВ, возникновение которых в пузырьках
связывалось с неустойчивостью их формы при пульсации за
фронтом ударных волн, образованием в связи с этим микроструй и их
разрушением на капли.
С другой стороны, как известно [19, 20], детонация пузырьковых
сред тоже определяется процессами тепло- и массообмена,
интенсивность которых заметно возрастает с развитием неустойчивости
поверхности пузырьков, приводящей к образованию микрокапель [18].
Испарение последних, естественно, существенно влияет на ход
химической реакции в газовой фазе в пузырьке. Более того, в системе,
где горючее и окислитель находятся в разных фазах [19],
формирование детонационной волны вообще невозможно без межфазного тепло-
и массообмена, приводящего к образованию внутри пузырька
химически реагирующей смеси. Заметим, что вопрос о детонационном
Пузырьковая детонация ...
221
режиме протекания реакций в пузырьке уже обсуждался в [14].
Очевидно, создание адекватной модели пузырьковой детонации
в таких средах должно в значительной степени определяться
влиянием инертных и химически реагирующих добавок на взрывной
процесс и динамику реакции в процессе формирования смеси. Указанные
ниже эффекты рассматриваются в зависимости от времени инжек-
ции tinj, начальных размеров микрокапель D0 и массы испаренной
жидкости ΜL,, как в случае мгновенного испарения микрокапель,
так и с учетом динамики испарения [21].
2.1. Мгновенное испарение микрокапель. Пусть газовый пузырек
пульсирует в жидкости в поле мгновенно приложенного постоянного
внешнего давления. Реальные процессы тепло- и массообмена
заменялись мгновенным однократным испарением жидкости массы Ml
в момент времени tinj от начала сжатия. Динамика пузырька
описывалась уравнением Рэлея, при этом полагалось, что пузырек не
теряет своей сферичности, а газ является идеальным
Здесь штрихи — производные по безразмерному времени τ
(обозначения аналогичны сделанным выше), под p понимается
следующее выражение, учитывающее потери на акустическое излучение
пузырька и диссипацию за счет вязкости:
Здесь ρg — плотность газа, В1 = В/р0 и n - - константы уравнения
Тэта, с0 — скорость звука в жидкости, μ — молярная масса газа.
Предполагается, что состояние парогазовой смеси
соответствует химически не реагирующему газу до истечения времени
индукции и химически равновесному — после. Период индукции (здесь ti)
определялся общепринятым условием
где τi = (Аi/η)ехр(.Еа/RТ) — период индукции при постоянных
параметрах [22], η = ρμ-1(ίH2vO2)-1/2, vH2 и vO2 — мольные доли Н2
и O2 соответственно, Аi и Еа — константы.
222
Глава VI
Термодинамические параметры смеси рассчитываются по
модели кинетики [23-25], обладающей высокой точностью, без
традиционного в таких задачах использования адиабаты инертного газа.
Модель кинетики включает в себя
— уравнение изэнтропы, которое с учетом того/что
принимает вид
— уравнение химического равновесия
где внутренняя энергия газа вычисляется по формуле
Здесь Τ и ρg0 — температура и начальная плотность газа; Uμ, Ut,
μT и μρ — производные по указанным в индексе параметрам; ЕD —
СреДНЯЯ ЭНерГИЯ ДИССОЦИаЦИИ ПРОДУКТОВ реаКЦИИ; μa, μmin, μmax —
молярные массы соответственно в атомарном, полностью
диссоциированном и полностью рекомбинированном состояниях; θ —
эффективная температура возбуждения колебательных степеней
свободы молекул; А и К+ — константы скоростей диссоциации и
рекомбинации обобщенных продуктов реакции. При этом величины
μa, μmin, μmax определяются составом газа и не меняются до
момента t = tinj. После инжекции они испытывают скачок, после которого
вновь остаются неизменными. Величина скачка зависит от
химического состава и массы испаренной жидкости.
Указанная модель применима для водородно-кислородных
систем произвольного химического состава (в том числе в присутствии
Пузырьковая детонация ...
223
инертных компонентов). Она позволяет адекватно учесть
существенные изменения молекулярной массы, показателя изэнтропы, тепло-
емкостей и теплового эффекта химической реакции вследствие
процессов рекомбинации и диссоциации, а также изменения
соотношения горючее — окислитель в газовой фазе. Например, для системы
Ι [H2 (газ) — О2 (жидкость)] при криогенных начальных условиях
молекулярная масса газа может меняться на порядок:
Случай равенства 2ΜL,/μO2 = М0//μн2 соответствует
испарению такого количества кислорода, при котором устанавливается
стехиометрия, если меньше, соответствует недостатку кислорода,
больше — его избытку. Заметим, что при t = ti газ мгновенно приходит в
состояние химического равновесия, которое непрерывно сдвигается
вследствие динамики пузырька.
Мгновенное изменение параметров газа при скачке
рассчитывалось по уравнению химического равновесия (4) и условию U1 = U2,
где U1, U2 — внутренние энергии газа до и после скачка. Радиус
пузырька, плотность газа и параметры μa, μmin, μmax в момент скачка
не меняются. В момент испарения массы жидкости Ml
термодинамические параметры и состав газа меняются скачком, величина
которого при фиксированных времени и радиусе пузырька
рассчитывается в три этапа:
1) на основании закона сохранения массы M0 + Ml = М2
вычисляются масса М2 газа в пузырьке и его плотность после испарения
жидкости (М0 — начальная масса газа в пузырьке);
2) используя известный алгоритм [23], по величине М2 и
известному начальному составу газа и жидкости рассчитываются
параметры μa, μmin,μmaxосле испарения;
3) давление и температура газа после испарения определяются
из уравнения состояния и закона сохранения энергии U1 + Ul = U2,
где U1 и U2 — внутренние энергии газа перед и после момента
испарения, Ul — внутренняя энергия инжектируемой жидкости. Если
испарение происходит до истечения периода индукции, молярная масса
224
Глава VI
Рис. 5. Области физичности решений:
а — смесь I; б — смесь II
Рис. 6. Зависимость динамики температуры от Ml:
а — смесь I, tinj = 14,7 мкс; б— смесь II, tinj = 14, 5 мкс
Пузырьковая детонация ...
225
газа μ рассчитывается по [23], в противном случае μ вычисляется по
(4)·
По предложенной модели рассчитана динамика пузырька в
зависимости от tinj и Ml в системах I и II [2Н2+О2 (газ) — H2О
(жидкость)] как без, так и в присутствии инертного разбавителя. Расчеты
производились при следующих начальных параметрах: Т0 = 87 К (в
смеси I), T0 = 293 К (в смеси II), начальное давление газа в
пузырьке р0 = 1,011 · 105 Па, внешнее давление р0 = 100р0, R0 = 1,6 мм.
Остальные константы брались из [6, 25, 26].
В расчетах проверялось выполнение условия на парциальное
давление испаренной компоненты, которое не может превышать
давление соответствующего насыщенного пара рнас Результат в виде
областей, где решения имеют физический смысл, представлен на рис.
5 для системы Ι (α) и системы II (б).
Расчет (см. рис. 6) показал, что поведение температуры газа в
зависимости от Ml для смесей Ι (α) и II (б) существенно отличается.
Например, в системе I при увеличении Ml/M0 [8 (1); 13,5 (2); 4 (3); 0
(4)] средняя температура газа в пузырьке проходит через максимум,
а в системе II увеличение ML [0 (1); 1 (2); 1,95 (3); 3,5 (4); 5,1 (5)]
приводит к монотонному уменьшению температуры газа в пузырьке.
Как было показано в [27], использование только «чистой»
кинетики химических реакций для описания явлений пузырьковой
детонации не приводит к формированию уединенной волны.
Распределение температуры после выхода процесса на стационарный режим с
соответствующими эксперименту амплитудой и скоростью
указывает на существование нереально длинного «хвоста» у детонационной
волны, амплитуда которого близка к амплитуде инициирующей
волны.
Очевидно, один из вероятных механизмов формирования
уединенной волны определяется интенсивным испарением жидкости,
которое приводит к уменьшению температуры и давления газа в
«хвосте» волны пузырьковой детонации. Так, из рис. 6,б следует, что
испарение небольшого (сравнимого по порядку величины с массой
газового пузырька) количества жидкости снижает конечную
температуру газа практически до начальной.
На рис. 7 (а — криогеника, б— смесь II) представлена
динамика температуры газа для различных времен инжекции микрокапель
tinj. Расчеты показывают, что параметры газа (например, значение
конечной температуры Тf после затухания колебаний) могут
существенно зависеть от времени инжекции tinj, если оно близко к момен-
226
Глава VI
Рис. 7. Зависимость динамики температуры от tinj:
а — смесь I (Ml/M0 = 0,4); б — смесь II (Ml/M0 = 5,1)
Рис. 8. Зависимость конечной температуры газа от времени
испарения жидкости:
а — смесь I (ML/M0 = 4); б— смесь II (ML/M0 = 0,23)
Пузырьковая детонация ...
227
ту максимального сжатия пузырька. В противном случае эта
зависимость оказывается незначительной (рис. 8). Отметим, что низкое
значение Tf при tinj > 15 мкс в смеси I (рис. 8,а) связано с тем,
что вызванное испарением понижение температуры газа в пузырьке
значительно увеличивает период индукции, что в сумме с
акустическими потерями пузырька приводит к «срыву» реакции.
На рис. 9 показано влияние инертного разбавителя (аргона) на
динамику температуры газа в системе I. Кривая 1
иллюстрирует процесс с испарением жидкого кислорода при МL(1) = 0,43 М0
(без аргона). Введение в газовую фазу равной молярной доли
аргона при том же соотношении ML/M0 приводит к резкому
увеличению температуры газа (кривая 2). Дело в том, что с
добавлением аргона величина М0 увеличивается, при этом увеличивается
масса испаренной жидкости Ml и соотношение газовой фазы
«водород — кислород» приближается к стехиометрическому, что
приводит к большему энерговыделению. При соотношении водорода и
кислорода, аналогичном первому случаю (кривая 3), а также при
испарении Ml = Ml(1) присутствие аргона повышает температуру
газа (кривая 4). Кроме того, как показал расчет, увеличение доли
газообразного аргона в пузырьке всегда приводит к повышению
конечной температуры в системе I и ее уменьшению в системе П. Давление
и степень сжатия в обоих случаях уменьшаются, а температура на
первой пульсации увеличивается.
На рис. 10 представлена динамика показателя изэнтропы η в
зависимости от Ml для смеси II при tinj = 14,5 мкс, из которой
следует, что испарение приводит к существенным колебаниям значения
γ. Учет этого фактора носит принципиальный характер и является
одним из достоинств представленной модели.
2.2. Непрерывное испарение. В реальных условиях микрокапли
испаряются не мгновенно. В связи с этим в качестве следующего
этапа моделирования процессов в газовой фазе полагалось, что в
момент времени tinj в пузырьке мгновенно возникает система
микрокапель жидкости диаметром Dκ(0) и суммарной массой Ml. На
каждом шаге интегрирования непрерывное испарение микрокапель
моделировалось мгновенным испарением массы Δm, величина
которой определялась по текущему диаметру микрокапли DK из
известного уравнения горения жидкой капли в газе [28]:
228
Глава VI
Рис. 10
Рис. 9. Влияние инертного разбавителя на температуру газа
(смесь I)
Рис. 10. Динамика показателя γ (смесь II)
где коэффициент испарения k вычисляется по формуле
Здесь kg — теплопроводность продуктов сгорания, ср —
теплоемкость при постоянном давлении, L — теплота парообразования,
PL — плотность жидкости, Nu = hDK/kg — число Нуссельта, h —
коэффициент теплопередачи. Если текущая температура газа в
пузырьке становится меньше начальной, то принимается, что
микрокапли не испаряются (dDK/dt = 0).
Скачок параметров и их последующие изменения
рассчитывались по тому же алгоритму и в тех же предположениях, что и в
случае мгновенного испарения микрокапель.
На рис. 11 для смеси II показано изменение во времени массы
микрокапель при tinj = 13 мкс и Ml/M0 = 0,45. Кривые 1, 2 и 3
соответствуют начальным диаметрам, равным 1, 5 и 15 мкм. Для
сопоставления процессов испарения капли и динамики пузырька на
рисунке штриховой линией показано изменение радиуса пузырька у
при DK = 5 мкм. Видно, что микрокапли размером порядка 1 мкм
Пузырьковая детонация ...
229
Рис. 11. Динамика
изменения массы микрокапли
(смесь II) для DK = 1 (1),
5 (2), 15 мкм (3)
Рис. 12. Область физично-
сти решений в случае
непрерывного испарения для
смеси II
испаряются практически мгновенно (за время много меньше
периода пульсации пузырька). Видно, что для относительно крупных
микрокапель учет динамики испарения может играть принципиальную
роль. Здесь, как и в случае мгновенного испарения микрокапель,
проверялось выполнение условия на давление насыщенного пара. При
этом контролировался суммарный объем микрокапель, который в
каждый момент времени должен быть существенно меньше объема
пузырька, чтобы не пересчитывать давление в газовой фазе.
На рис. 12 показана область существования решений в виде
плоскостей (Ml, Dk), для которых упомянутые условия для сме-
230
Глава VI
си II выполняются. Аналогичная область рассчитана и для смеси
I. Причем, максимальное значение Ml/M0 = 12 в ней
достигается при мгновенном испарении капель (DK = 0) и tinj = 14,5 мкс.
Из рис. 12 видно, что сечение трехмерного пространства
плоскостью (Ml, tinj) при DK = 0 представляет собой двумерную область
физичности решений для случая мгновенного испарения жидкости
(см. рис. 5,б). Резкое увеличение максимально возможного значения
Ml/M0 для сечений tinj > 16 мкс вызвано увеличением давления
насыщенных паров вследствие повышения температуры газа в
результате химической реакции и адиабатического сжатия пузырька.
Зависимость Ml/M0 от Dk для любого tinj имеет максимум.
Начальный диаметр микрокапель DK, соответствующий максимуму,
составляет 1–1,5 мкм при tinj < ti, 0 при ti < tinj < tmax и ~ 10 мкм
при tmах < tinj (tmax — момент максимального сжатия пузырька).
С точки зрения формирования уединенной волны пузырьковой
детонации интерес представляют данные рис. 13 по зависимости
конечной (после затухания колебаний пузырька) температуры Tf газа
от величины Ml/M0 для смеси Ι (α) и II (б). Видно, что
увеличение массы инжектируемой жидкости в смеси II (рис. 13,5) ведет
к монотонному уменьшению конечной температуры Tf, что в свою
очередь приводит к небольшому монотонному увеличению конечных
Рис. 13. Зависимость Tf от величины Ml/M0:
а — смесь I (tinj = 14 мкс π DK = 0,75 мкм); б — смесь II (tinj =
14 мкс и DK = 1 мкм)
Пузырьковая детонация ...
231
величин μ и γ. При этом μ достигает своей максимальной
величины μmax уже при Ml/M0 = 1, после чего остается постоянным. В
рассматриваемом случае Tf > Т0, однако существуют такие
значения параметров tinj и DK (например tinj ~ 15 мкс и Dk ~ 1 мкм),
при которых конечная температура газа уменьшается практически
до начальной и волна пузырьковой детонации «отрывается» от
инициирующей, становясь действительно уединенной.
В смеси I зависимости Τf, μ и γ от Ml/M0 принципиально
другие. При увеличении Ml/M0 величина Тf проходит через максимум
(рис. 13,а), который соответствует стехиометрическому
соотношению между горючим и окислителем. При этом γ проходит через
минимум, a μ увеличивается в несколько раз (рис. 14).
На рис. 15 представлена динамика температуры газа и радиуса
пузырька в окрестности его первого минимума ymin для смеси II.
Расчеты проведены для различных величин Ml/M0 при tinj = 14,5 мкс
и DK = 1 мкм. Кривые 2-6 представляют динамику температуры
газа при значениях ML,/M0, равных соответственно 0; 0,5; 1; 1,5; 1,95.
Кривая 1 — набор слабо различимых в масштабах рисунка кривых
y, рассчитанных при указанных параметрах Ml/M0. Скачок
температуры при t = 14,2 мкс связан с началом химической реакции, а ее
последующее увеличение — с адиабатическим сжатием продуктов
детонации вследствие инерционных свойств системы «пузырек —
Рис. 14. Зависимость конечных величин μ (а) и γ (б) от
Ml/M0 для смеси I:
tinj = 13 мкс, DK = 1 мкм
232
Глава VI
Рис. 15. Динамика температуры газа и радиуса
пузырька на первой пульсации при различных Ml/M0
жидкость» [14], которое в отсутствии испаренной жидкости доводит
температуру продуктов реакции до 6200 К (кривая 2).
Инжекция микрокапель в данном примере происходит на стадии
инерционного сжатия пузырька и, естественно, снижает
температуру газа Τ с увеличением Ml/M0. При этом ее максимум оказывается
четко выраженным в момент максимального схлопывания
пузырька лишь для величин ML/M0 < 0,5 (область между кривыми 2, 3).
Для остальных ML/M0 уменьшение температуры вследствие
интенсивного испарения значительного количества жидкости оказывается
существеннее, чем ее рост вследствие сжатия газа, а ее максимум не
превышает значения температуры газа в момент инжекции
микрокапель t = tinj.
При увеличении DK интенсивность испарения жидкости
уменьшается. Поэтому предельная величина Ml/M0, при которой
максимум температуры соответствует максимальному схлопыванию
пузырька, будет расти. В смеси I независимо от величины Ml/M0
максимум температуры приходится на максимальное сжатие.
В случае непрерывного испарения микрокапель введение
дополнительного параметра DK существенно изменяет параметры
рассматриваемого процесса. Так, в смеси I зависимость Tf от tinj
качественно соответствует рис. 8,а. В смеси II при DK < 3 мкм эта
зависимость аналогична представленной на рис. 8,5, а при больших DK
величина Ту не зависит от tinj.
Пузырьковая детонация ...
233
3. Ударные волны
в активной пузырьковой системе
3.1. Экспериментальные постановки. Хасегава и Фудживара в
1982 г. [3] экспериментально исследовали распространение ударной
волны в столбе жидкости, содержащем вертикально расположенную
цепочку пузырьков с химически активной газовой смесью.
Параметры ударной волны и пузырьков в цепочке подбирались так,
чтобы расположенный на пути ударной волны первый пузырек цепочки
мог практически полностью поглотить энергию волны, и при этом
схлопнуться до температуры воспламенения смеси. В результате
химической реакции пузырек взрывался и излучал вторичную ударную
волну, процесс взаимодействия которой с последующим пузырьком
повторял предыдущую стадию. Этот эффект был назван
пузырьковой детонацией.
Очевидно, что скорость распространения такой «катящейся»
волны определяется не равновесной скоростью в «условно
однородной» двухфазной среде, а временем схлопывания пузырьков в цепочке
до момента инициирования детонации в газовой смеси.
Пинаев и Сычев в 1983-1986 г. первые [19, 29] выполнили
детальные экспериментальные исследования структуры ударных волн
в реактивных пузырьковых системах (пузырьки заполняли все
поперечное сечение ударной трубы) и обнаружили существование
самоподдерживающегося режима генерации волн в виде одиночного
волнового пакета, скорость распространения которого D
превышала скорость ударных волн в пассивных пузырьковых системах при
той же объемной концентрации.
В частности, в [19] обнаружено существование нижнего и
верхнего пределов по объемной концентрации пузырьков (> 0,5% и <
8 %), вне которых детонации не происходит. В экспериментах с аце-
тиленокислородной смесью С2Н2 + 2,5O2 показано, что в
пузырьках диаметром 3–4 мм и с объемной концентрацией k ~ 6 %
упомянутый детонационный процесс имеет следующие характерные
параметры: давление в волновом пакете может меняться в интервале
15–40 МПа, длина зоны инициирования составляет 6–7 см, время
свечения — 2–3 мкс, длительность волны пузырьковой детонации —
1004-200 мкс, а ее скорость — около 560 м/с.
На рис. 16,а, б показаны осциллограммы волны пузырьковой
детонации (данные Пинаева и Сычева) при объемной концентрации
смеси k0 = 0,02, диаметре пузырьков d0 = 2 – 4 мм, распространя-
234
Глава VI
Рис. 16.
Экспериментальные осциллограммы волн
пузырьковой
детонации (а) и свечения (б),
зависимость скорости
волны от объемной
концентрации (в)
ющейся со скоростью порядка 760 м/с. Нижняя осциллограмма (см.
рис. 16,5) демонстрирует свечение в волне пузырьковой детонации.
На рис. 16,б приведен график затухания скорости волны в
зависимости от k0. Штриховой линией отмечена нижняя по концентрации
граница существования детонации.
Следует отметить результаты Бейлиха, Гюльхана (1989) [30],
Ли, Фроста и др. (1991) [31], которые провели аналогичные
исследования, по сути, подтвердив основные выводы работ [19, 29].
В заключение этого раздела можно сделать одно
принципиальное замечание: сопоставление результатов исследований детонации
конденсированных ВВ и взрывов контейнеров с горючим, которые
совершенно независимо велись в течение нескольких десятков лет
специалистами, не имеющими отношения к механике многофазных
систем, с результатами исследований формирования режима
пузырьковой детонации позволило сделать вывод об адекватности механиз-
Пузырьковая детонация ...
235
мод, управляющих этими процессами [7, 32-34], и, следовательно,
использовать пузырьковую детонацию в качестве их модели.
3.2. Механизмы инициирования детонации жидких ВВ и горючих
смесей под давлением. Действительно, опыт показывает, что
неоднородность состояния жидкости и физика кавитационных явлений
имеют прямое отношение к таким проблемам, как инициирование
детонации в жидких ВВ (модели горячих точек и дробного удара) [15-
18, 35-37], взрывные процессы в легко испаряющихся и
воспламеняющихся жидкостях, содержащихся под давлением в контейнерах,
а также проблемы формирования газокапельных сред в
результате кавитационного разрушения этих жидкостей (паровые взрывы,
объемно-детонирующие системы) [11, 38, 39]. Зачастую детальное
изучение роли того или иного механизма, ответственного за
развитие процесса, его обоснование или экспериментальная проверка
сталкиваются с большими трудностями. С этой точки зрения
важной становится возможность адекватного численного моделирования
процессов. Рассмотрим некоторые подходы к решению
перечисленных проблем.
В частности, нас будут интересовать два разных аспекта
поведения жидких сред с микронеоднородностями при импульсном на-
гружении:
— гидродинамический (механизм кавитационного разрушения
жидкости в интенсивных волнах разрежения);
— волновой (возможность возбуждения режима типа
пузырьковой детонации при взаимодействии ударных волн и волн
разрежения).
Принципиальными здесь могут оказаться кавитационные
процессы в легкоиспаряющихся и воспламеняющихся жидкостях,
возникающие при внезапной разгерметизации контейнеров и
накопительных емкостей и часто приводящие к их катастрофическим
разрушениям. Этот процесс может иметь отношение и к так называемым
паровым взрывам. Упомянутые эффекты рассматривались многими
авторами, среди которых можно отметить работы группы Фроста и
Др. (1994) [11], Хилла и Стертеванта (1989) [38], Чейвса и др. (1985)
[39]. Причины катастрофического разрушения, как правило,
объясняли двумя механизмами [11]:
а) возможное извержение сжатых жидкостей в виде двухфазных
кавитирующих струй и их последующее распыление, в результате
которого формируется газокапельное облако (возникает так
называемый объемно-детонирующий заряд);
236
Глава VI
б) распространение волны разрежения внутрь жидкого
горючего (при частичной разгерметизации контейнера), вызывающее
быстрые процессы типа кипения: давление внутри контейнера резко
увеличивается (но не намного).
В [32-34] был предложен принципиально новый механизм
генерации высоких давлений в сжатых легковоспламеняющихся
жидких системах. Суть его состоит в том, что при заполнении
контейнера в жидкости может образоваться большое число пузырьков,
содержащих смесь воздуха с парами горючего, способную
воспламеняться при адиабатическом сжатии. Если контейнер, движущийся с
большой скоростью, сталкивается с препятствием, то в результате
удара в жидкости возникает система волн сжатия, которые могут
возбудить волну пузырьковой детонации. Наоборот, при
разгерметизации контейнера в жидкости возникает система волн разрежения,
результаты взаимодействия которых, как будет показано ниже,
приводят к неожиданным эффектам.
Влияние неоднородностей на механизм инициирования жидких
(ВВ) исследовалось давно. Так Боуден и Иоффе [15] указали на
тепловую природу инициирования взрыва жидких ВВ ударом,
подчеркнув, что небольшие газовые пузырьки, которые обычно
присутствуют в жидкостях, являются возможными тепловыми
источниками взрыва (модель «горячих точек»). Андреев [16] и Иохансон [17]
предположили, что небольшие частички или газовая фаза ВВ в
пузырьках — наиболее реальная причина инициирования детонации.
Дубовик и Боболев [18] в рамках той же модели исследовали
возможность влияния капелек или паров ВВ в газовой атмосфере
пузырька на развитие механизма «горячих точек», оценив величину
адиабатического периода индукции ti и критический размер Dк, при
котором капелька успеет быстро прогреться за время схлопывания
пузырька:
Здесь Т* температура жидкой капли, Ea, A · энергия
активации и предэкспоненциальный множитель для мономолекулярной
реакции, Q — тепловой эффект, R — универсальная газовая
постоянная, сp — удельная теплоемкость, τR — время схлопывания
пузырька, ξ0 — коэффициент температуропроводности. Предложенная
оценка имеет смысл лишь в случае постоянства Т* в интервале ti.
Рассматривался также механизм дробного удара, когда
детонационный процесс инициируется последовательностью ударных волн:
Пузырьковая детонация ...
237
первая волна отражается от свободной поверхности, возникает
кавитация, затем вторая волна сжимает пузырьки, образуя систему
«горячих точек», и возбуждает детонацию.
Кэмпбелл и др. [35] экспериментально доказали, что механизм
ударного инициирования определяется взаимодействием волны с ми-
кронеоднородностями, приводящим к формированию «горячих
точек» и к последующему усилению волны по мере ее распространения
до параметров, когда выделяемой за фронтом энергии оказывается
достаточно, чтобы возникла детонация.
Филд и др. [36], исследуя взаимодействие сильных ударных волн
с амплитудой порядка 3 ГПа с одиночной полостью и антенной из
пузырьков, при схлопывании последних в реактивных эмульсионных
системах наблюдали вспышки света, возникающие при ударе
кумулятивной струи о дальнюю стенку полости, и схлопывание
образовавшихся при этом газовых лепестков. Робертс и Филд (1993) [37]
показали, что неоднородности диаметром 1,5 мм, введенные в
образец в окрестности точки удара, были основными источниками
инициирования реакции.
Упомянутые исследования приводят к естественным выводам:
1) чувствительность жидкого ВВ к удару действительно
зависит от количественных характеристик и характера микронеоднород-
ностей различной природы;
2) детонационные процессы в жидких ВВ развиваются только
при наличии (зарождении) этих неоднородностей.
И наконец, сопоставление модели горячих точек и
взрывающихся пузырьков прямо приводит к заключению, что между
механизмами, управляющими упомянутыми процессами, и
пузырьковой детонацией можно поставить знак равенства. Рассмотрим
некоторые сценарии развития волновых процессов и возможности
усиления волн в пузырьковых средах, которые могли бы обосновать
справедливость такого утверждения.
3.3. Формирование и распространение волн пузырьковой
детонации: модель с мгновенным выделением энергии. Уже упоминалось, что
волновые процессы в пузырьковой жидкости описываются
неравновесной по давлению двухфазной математической моделью.
Используем ее для химически активной среды, слегка изменив уравнение
. Рэлея [4]:
238
Глава VI
Обратим внимание на множитель δ в уравнении Рэлея. Он равен
единице вплоть до момента, когда газовая смесь в пузырьке
адиабатически сжимается до температуры инициирования химической
реакции. При этом, в результате так называемого адиабатического
взрыва при постоянном объеме давление скачком поднимается до
величины, определяемой выражением
где Qexpl — теплота взрыва. Это выражение следует из условия, что
вся энергия, выделяемая в результате реакции, идет на увеличение
внутренней энергии ее продуктов.
Можно считать, что давление в пузырьке мгновенно
изменяется на указанную величину (именно это изменение и определяет
упомянутый коэффициент), меняется значение показателя адиабаты
7, которое принимается равным 1,25, и процесс продолжает
развиваться при новых условиях без каких-либо изменений в
математической модели. Заметим, что первый численный анализ задачи в такой
постановке (без уравнений химической кинетики) был сделан по
такой предельно упрощенной модели в предположении несжимаемости
жидкого компонента пузырьковой среды в [4]:
где
здесь определяет тип симметрии течения.
Первое уравнение системы (6) позволяет получить
аналитическую связь между давлением ρ в кластере и объемной концентрацией
k. Для плоского случая эта связь имеет наиболее простой вид
Пузырьковая детонация ...
239
Рис. 17, Динамика формирования волны пузырьковой
детонации при несжимаемом жидком компоненте системы
На рис. 17 показан процесс формирования волны пузырьковой
детонации, рассчитанный по модели (6) при k0 = 0,05. Здесь
масштабы по осям определены как у0 = 5 МПа, x0 = 0,6 см,
распределение давления в пространстве р(х) соответствует моментам времени
t = 136, 256, 348, 400 мкс. Заметим, что при t > 400 мкс, как показал
расчет, система выходит на квазистационарный режим.
Сравнение параметров и структуры формирующейся при этом
волны пузырьковой детонации (рис. 18) указывает на вполне
адекватное описание моделью (6) реального процесса.
В [4, 10] была предложена следующая аппроксимационная
формула для определения скорости распространения волны пузырьковой
детонации:
(7)
Здесь индекс * присвоен продуктам детонации; λ — эмпирический
коэффициент, который выбирается из условия совпадения (7) с
экспериментальными данными в какой-то точке (рис. 19). При выводе (7)
было использовано понятие времени tco\ «коллективного» схлопыва-
ния слоя пузырьков толщины /, введенного в [40] на основе анализа
240
Глава VI
Рис. 18. Сравнение расчетной (а) и экспериментальной (б)
осциллограмм давления в волне пузырьковой детонации
Рис. 19. Зависимость
скорости волны пузырьковой
детонации от
объемной концентрации газовой
фазы k0
численных оценок его динамики
Функция Dbubl(k0) (см. рис. 19) была получена для смеси С2Н2 +
2,5O2 и теплоты взрыва Qexpl = 15,2 МДж/м3 при γ* = 1,15, λ2 ~
0,16 и ρ* = ρg0(R0/R*)3, где R* — радиус пузырька в момент взрыва
смеси.
Предположим, что химически активная пузырьковая система
может рассматриваться как специфический тип конденсированного
Пузырьковая детонация ...
241
ВВ, и используем классическое соотношение для амплитуды рbиbl и
СКОРОСТИ Dbиbl·
Здесь ρ = ρliq(1 - k0k*), ρ0 = ρliq(1 - k0), k* = (R*/R0)3· Тогда
окончательно имеем
или
Полученный результат соответствует экспериментально
установленному факту слабой зависимости амплитуды детонационной
волны от концентрации.
3.4. Формирование и распространение волн пузырьковой
детонации: механизм «горячих точек» (hot-spots). Система (5), дополненная
кинетической моделью адиабатического взрыва химически активной
газовой смеси при постоянном объеме (бимолекулярная кинетика
Тодеса [41])
может быть приведена к следующему виду (лагранжевы
координаты, безразмерные характеристики):
242
Глава VI
Здесь плотность ρ берется относительно начального значения, N =
Ν/a — относительная доля прореагировавших компонент газовой
смеси; а — начальная концентрация исходной компоненты; N —
число молекул, образующихся в единице объема в процессе реакции;
Τ — температура газовой смеси (взята относительно начальной T0);
у = R/Ro0; ε — относительная энергия активации; ζ — константа,
зависящая от начальных параметров и состава смеси; η = Q/cmT0 —
удельная теплота реакции; Еа — энергия активации; R — газовая
постоянная.
Коэффициент δ в уравнении для энергии используется в двух
случаях: для «включения» теплообмена и для корреляции его
интенсивности. Необходимость последнего шага связана с
приближенностью используемых в системе соотношений для чисел Нуссельта
и Пекле, предложенных Р. И. Нигматуллиным, которая вполне
допустима в случае относительно слабых волн.
В качестве примера приведем расчет волнового процесса для
случая взрыва водородно-кислородной смеси в пузырьках при
следующих параметрах: ε = 51,5, ζ/R0 = 2,7 · 109, η = 70. К сожалению,
данных о начальном состоянии микронеоднородностей в жидких ВВ
и легковоспламеняющихся жидкостях нет и при расчетах
предполагалось, что они близки к параметрам свежей или отстоявшейся
водопроводной воды.
Формирование волны пузырьковой детонации для плоского
одномерного случая показано на рис. 20 в виде распределения
давления и параметров динамики пузырьков для 3-х моментов времени
при k0 = 5 · 10-3, R0 = 0,2 см, pl = 5 МПа. Здесь p — среднее
давление в волне пузырьковой детонации, R/R0 — относительный радиус
пузырьков, S — их радиальная скорость. Распределение
относительной температуры Τ в продуктах детонации газовой смеси приведено
на рисунке в виде слабо выделенных горизонтальных осцилляции.
Хорошо известно, что по мере распространения волны по
пузырьковой среде происходит ее затухание из-за потерь на сообщение
жидкому компоненту кинетической энергии и увеличение
внутренней энергии газовой фазы в пузырьках при их сжатии. Если
пузырьки наполнены взрывчатой газовой смесью, то при ее адиабатическом
нагреве возможно возникновение реакции с большим выделением
энергии. В этом случае в окружающую жидкость будет
излучаться волна сжатия, которая компенсирует потерю энергии падающей
Пузырьковая детонация ...
243
Рис. 20. Формирования волны пузырьковой детонации
Рис. 21. Усиление детонационных волн при столкновении
244
Глава VI
Рис. 22. Детонация при столкновении слабых ударных волн
Рис. 23. Детонация при столкновении волн разрежения
Пузырьковая детонация ...
245
волны, в результате чего в среде может установиться
самоподдерживающийся режим.
Расчет показывает, что модель (8) вполне адекватно описывает
процесс формирования и распространения волны пузырьковой
детонации. Ее амплитуда при объемной концентрации газовой фазы
k0 = 5 · 10-3 неустойчива, что отвечает экспериментальным
данным Сычева и Пинаева, и устанавливается в интервале 80–100 МПа.
Столкновение таких волн приводит к дополнительному их усилению
(амплитуда возрастает примерно до 300 МПа). Процесс
формирования и столкновения двух волн пузырьковой детонации показан
рис. 21 (k0 = 5 · 10-2, R0 = 0,2 см, рl,г = 1 МПа).
При анализе возможных сценариев развития волновых
процессов естественно возникает вопрос о пороговых значениях
интенсивности волн, соответствующих началу возбуждения детонационного
процесса в пузырьковых активных средах. Частично ответ на этот
вопрос дает рис. 22, где демонстрируется эффект столкновения
слабых ударных волн (рl,r = 0,4 МПа, k0 = 0,02, R0 = 0,1 см). Сами
по себе такие волны не способны возбудить детонацию, однако в
результате их столкновения необходимые условия могут возникнуть:
здесь процесс с химической реакцией в газовой фазе возбуждается
только в плоскости столкновения (t = 361 мкс, заметен сильный
скачок температуры в продуктах детонации Г) при усилении
падающей волны до 2 МПа. В результате взрывав центре распределения
в течение 2 мкс среднее давление p в пузырьковой среде возрастает
до 8 МПа и, таким образом, отраженная после столкновения
волна становится волной детонационной, которая формируется по мере
распространения к периферии, достигая уже 60 МПа на расстоянии
5 см от центра. Пузырьковый слой как бы взрывается изнутри.
Неожиданный эффект был открыт при численном анализе
столкновения волн разрежения (рис. 23, pl,r = - 10ехр(—t/τ) МПа,
τ = 2 мкс, k0 = 0,001, R0 = 0,01 см) [7]. Эта постановка
моделирует как вероятное развитие волнового процесса в контейнере при его
частичной разгерметизации, так и естественный процесс
импульсного нагружения образца жидкого ВВ со свободной границей. В
последнем случае возбужденная при ударе волна сжатия
взаимодействует со свободной поверхностью, от которой по образцу должна
распространяться волна разрежения.
Расчет (рис. 23) демонстрирует возможность инициирования
волны пузырьковой детонации в центре образца в результате
столкновения волн разрежения. Эффект основан на особенностях
246
Глава VI
трансформации волны разрежения по мере ее распространения в
среде с микронеоднородностями и возбуждения ею кавитации: за
фронтом волны возникает пульсация с интенсивной положительной
фазой, которая при столкновении волн и отвечает, в конечном счете, за
разогрев газовой смеси до температур воспламенения. Заметим, что
интенсивности положительной фазы одиночной волны разрежения
для этого, как правило, оказывается недостаточно. Согласно
расчету, столкновение волн (рис. 23) в центре образца шириной 2 см
происходит через 8,5 мкс от начала распространения. При этом
отраженные волны становятся волнами пузырьковой детонации,
амплитуда которых уже к 17,5 мкс вблизи свободной поверхности
достигают практически 40 МПа. И здесь наблюдается по-сути тот же
процесс взрыва образца изнутри. Однако в этом случае условия на-
гружения с точки зрения инициирования взрывного процесса
«парадоксальны»: нагружение происходит растягивающими
импульсными напряжениями с развитием кавитации за фронтом волн
разрежения.
Не исключена в реальной обстановке и возможность
фокусировки ударных волн в пузырьковых пассивных и активных средах,
которая также может привести к значительному повышению
давления в среде и стать причиной упомянутых выше катастрофических
разрушений.
Результаты, представленные на рис. 21-23, показывают, что
процессы столкновения ударных волн заслуживают специального
анализа, как эффективные методы усиления.
3.5. Фокусировка ударных волн в активной пузырьковой системе.
Как отмечалось выше, гетерогенные структуры реальных
жидкостей играют принципиальную роль в инициировании взрывных
процессов, что обсуждалось в работах групп Фроста (1994) [11] и
Филда (1992) [36], Кедринского, Шокина, Вшивкова, Дудниковой [32-
34, 42, 43] и других. Безусловно, пузырьковые среды с химически
активной газовой фазой не могли не привлечь внимание как один из
вероятных источников мощного акустического излучения, который
может представлять интерес для уже упоминавшейся проблемы так
называемого акустического лазера.
Пузырьковый кластер, содержащий взрывчатую газовую смесь,
можно рассматривать как физический аналог накачки в лазерных
системах. При взаимодействии даже со слабой ударной волной (или
при столкновении волн) такой кластер будет генерировать мощный
импульс давления в виде волны пузырьковой детонации [1], что мо-
Пузырьковая детонация ...
247
жет рассматриваться в качестве основы одного из принципов
создания акустических аналогов лазерных систем. С этой точки зрения
проблема адекватного численного моделирования сложных
процессов, в результате которых инициирующая волна, взаимодействуя с
неоднородностями, возбуждает систему «горячих точек» и
усиливается по мере распространения, представляет несомненный интерес.
В рассмотренных задачах формирования и столкновения эти
эффекты уже наблюдались.
Можно ли добиться большего уровня усиления интенсивности
ударных волн, например в результате их фокусировки в активных
пузырьковых средах? Ответ, очевидно, положительный.
Управляющая двухфазная система для описания
цилиндрической фокусировки волн уже приводилась. Напомним, что она
состоит из двух подсистем:
- законы сохранения для средних р, ρ, и
— подсистема кинетических уравнений, описывающих
динамическое состояние среды, теплообмен и кинетику химических
реакций (см. (8)).
Формирование самоподдерживающегося волнового режима
требует определенного времени и «базы» — расстояния, которое
зависит от k0. И хотя в приведенных выше примерах линейные размеры
рассматриваемых областей были меньше «базы», усиление
расходящихся волн было вполне достаточным, чтобы говорить о
пузырьковой детонации и как о механизме инициирования взрывных
процессов в контейнерах с горючим, и как о мощном источнике
излучения гидроакустического сигнала. Заметим, что пузырьковая среда
со сталкивающимися волнами пузырьковой детонации, несмотря на
существенное увеличение их амплитуд (рис. 21), очевидно менее
интересна в качестве взрывного акустического источника, поскольку
после отражения волны распространяются уже по пассивной среде
и заметно затухают.
Фокусировка волн в химически активных пузырьковых средах,
естественно, может только усилить упомянутые эффекты, что
несложно продемонстрировать на следующих двух примерах (при
расчетах принимались те же параметры: ε = 51,5, ζ/R0 = 2,7 · 109,
248
Глава VI
6 8 χ, см
Рис. 24. Фокусировка
короткой ударной волны с
возбуждением детонации в
окрестности фокуса:
k0 = 10~ , R0 = 0,1 см, рb =
5 МПа
η = 70). Первый из них (рис. 24) по сути эквивалентен случаю
столкновения слабых волн: рассматривается фокусировка короткой
ударной волны с амплитудой рb = 5 МПа, длительностью
положительной фазы давления t+ = 5 мкс, отрицательной — t- = 15 мкс. Такой
профиль ударной волны моделирует профиль волны, генерируемой
при подводном взрыве. Концентрация реактивной газовой фазы в
пузырьковой среде бралась специально ниже критического значения —
k0 = 0,001. Волна фокусировалась с расстояния r = 10 см.
Расчет показал, что сначала волна затухает и ее амплитуда
уменьшается до 1,2 МПа (рис. 24, t = 37 мкс). При этом падающая
волна оказалась неспособной возбудить детонационный режим при
столь низком значении k0. В окрестности фокуса амплитуда волны
увеличилась до 15 МПа (t = 65 мкс), что оказалось достаточно,
чтобы сжать пузырьки до температуры воспламенения смеси — начала
химической реакции. Детонационная волна, возбужденная в фокусе,
в дальнейшем распространяется к периферии. Давление в
результате взрыва пузырьков увеличивается до 27,5 МПа (t = 200 мкс) и
сохраняется практически неизменным вплоть до достижения фронтом
волны пузырьковой детонации внешней границы заданной области.
Пузырьковая детонация ...
249
Рис. 25. Возбуждение и фокусировка волны пузырьковой
детонации (k0 = 10-2, R0 = 0,1 см, рb = 3 МПа)
250
Глава VI
Этот вариант постановки задачи очевидно тоже может
рассматриваться как одна из моделей реализации гидроакустического
источника.
Если объемную концентрацию газовой фазы увеличить на
порядок, k0 = 10-2, R0 = 0,2 см, волновая картина в корне меняется.
При уменьшении амплитуды генерирующей волны (и тех же
параметрах ее положительной и отрицательной фаз) удается в процессе
фокусировки отделить падающую ударную волну, возбудив
детонационный процесс на границе примерно в тот момент, когда
инициирующая волна достигает линии фокуса.
На рис. 25 для рb = 3 МПа и радиусе фокусировки r = 5 см
показано распределение давления вдоль r для различных моментов
времени. Видно, что в момент времени t = 26 мкс (с задержкой
времени на схлопывание пузырьков до температуры воспламенения
смеси) на периферии возбуждается пузырьковая детонация (скачок
температуры на рис. 25 справа), а инициирующая ее ударная волна
к 32 мкс достигает фокуса: амплитуда волны возрастает в 5 раз.
Однако, концентрация пузырьков в этом примере существенно больше
и интенсивности сфокусированной волны оказывается недостаточно,
чтобы возбудить в фокусе детонационный режим.
А вот волна пузырьковой детонации, движущаяся с
периферии, и фокусируется, и формируется одновременно. Ее амплитуда к
t = 60 мкс (на расстоянии 2 см от оси) достигает уже 40 МПа. Расчет
показывает, что в окрестности оси амплитуда детонационной
волны достигает фантастической величины — порядка 103 МПа. Нет
сомнений, что возникновение таких напряжений, например в
«содержимом» контейнеров, может привести к катастрофическим
последствиям.
Необходимо отметить, что возникающие при фокусировке
высокие давления являются следствием инерционных эффектов,
сопровождающих процесс пульсации пузырьков, и пересжатия продуктов
детонации до высоких степеней. Температура последних достигает
значений (1,5–2)·104 К, что, естественно, требует введения в
систему (9) дополнительных условий на изменение состояния продуктов
детонации.
Тем не менее приведенные выше экспериментальные данные,
постановки и результаты расчета показали, что многие физические
явления, возникающие при импульсном нагружении жидкости, а
также механизмы их развития могут рассматриваться с точки
зрения волновых процессов в неоднородных средах.
Пузырьковая детонация ...
251
Литература
1. Сычев А. И., Пинаев А. В. Самоподдерживающаяся детонация в
жидкостях с пузырьками активного газа // ПМТФ. 1986. № 1.
2. Кедринский В. К. Сжатие газовой полости в воде ударной волной:
Дипломная работа. Ленинградский политехнический институт, 1961.
3. Hasegawa Т., Fujiwara Т. Detonation in oxyhydrogen bubbled
liquids // Proc. 19th Intern. Symp. on Combustion. Hafia, 1982.
4. Kedrinskii V. K., Mader Ch. Accidential detonation in bubbly
liquids // Proc. 16th Intern. Symp. on Shock Tube and Waves / H. Groenig
(Ed.). 1987. P. 371-376.
5. Kedrinskii V. K., Zamarayev F. N. Wave amplification in chemically
active bubble media (plenary lecture) // Proc. 17th Intern. Symp. on Shock
Tubes and Waves / W. Yong (Ed.). 1989. P. 51-62.
6. Троцюк А. В., Фомин П. А. Модель пузырьковой детонации //
Физика горения и взрыва. 1992. Т. 28, № 4. С. 129-136.
7. Кедринский В. К., Вшивков В. А., Дудникова Г. И., Шокин
Ю. И. Взаимодействие волн в химически активных пузырьковых
средах // Докл. РАН. 1996. Т. 349, № 2. С. 185-188.
8. Шагапов В. Ш., Вахитова Н. К. Волны в пузырьковой жидкости
при наличии химических реакций в газовой среде // Тр. XI Между-
нар. Симпоз. по нелинейной акустике / Под ред. В. К. Кедринского.
Новосибирск, 1987. С. 56-58.
9. Ляпидевский В. Ю. О скорости пузырьковой детонации // Физика
горения и взрыва. 1990. Т. 26, № 4. С. 138-140.
10. Kedrinskii V. К., Mader Ch. L. On the velocity of bubble
detonation // Proc. 13th Intern. Symp. on Nonlinear Acoustics. Bergen,
Norway, 1993. P. 442-447.
11. Barbone R., Frost D., Makris Α., Nerenberg J. Explosive boiling
of a depressurized volatile liquid // Proc. IUTAM Symp. on Waves in
Liquid-Gas and Liquid-Vapor Two-phase Systems (Kyoto, May 9-13,
1994). Kluwer Acad. Publ., 1995. P. 315-324.
12. Vasil'ev Α. Α., Nikolaev Ju. A. Closed theoretical model of a
detonation cell // Acta Astraun. 1978. V. 5. P. 983-996.
13. Васильев А. А., Валишев А. И., Васильев В. А. и др.
Параметры детонационных волн при повышенных давлениях и
температурах // Хим. физика. 1997. Т. 16, № 9. С. 113-117.
14. Васильев Α. Α., Кедринский В. К., Таратута С. П. Динамика
одиночного пузырька с химически активным газом // Физика горения
и взрыва. 1998. Т. 34, № 2. С. 121-124.
252
Глава VI
15. Bowden F. P., Yoffe A. D. Fast Reaction in Solid. London: Butter worths
Sci. Publ., 1958.
16. Andreev К. К. Some consideration on the mechanism of initiation of
detonation in explosive // Proc. Roy. Soc. London. A. 1958. V. 246. P. 257-
267.
17. Johansson С. Н. The initiation of liquid explosives by shock and the
importance of liquid break-up // Proc. Roy. Soc. London. A. 1958. V. 246.
18. Дубовик А. В., Боболев В. К. Чувствительность жидких систем к
удару. М.: Наука, 1978.
19. Пинаев А. В., Сычев А. И. Обнаружение и исследование
самоподдерживающихся режимов детонации в системах жидкое горючее —
пузырьки окислителя // Докл. АН СССР. 1986. Т. 290, № 3. С. 611-615.
20. Пинаев А. В., Сычев А. И. Структура и свойства детонации в
системах жидкость — пузырьки газа // Физика горения и взрыва. 1986.
Т. 22, № 3. С. 109-118.
21. Кедринский В. К., Фомин П. Α., Таратута С. П. Динамика
одиночного пузырька в жидкости при наличии химических реакций и
межфазного тепло- и массообмена // ПМТФ. 1999. Т.40, N 2, С. 119-127.
22. White D.R. Density induction times in very lean mixture of D2, H2, C2,
С2H2 and C2H4 with O2 // XI International Symposium on Combustion.
Pittsburgh: Acad. Press, 1967. С 147-154.
23. Николаев Ю. Α., Фомин П. А. Приближенное уравнение кинетики
в гетерогенных системах типа газ — конденсированная фаза // Физика
горения и взрыва. 1983. Т. 19, № 6. С. 49-58.
24. Николаев Ю. Α., Зак Д. В. Согласование моделей химических
реакций в газах со вторым началом термодинамики // Физика горения и
взрыва. 1988. Т. 24, № 4. С. 87-90.
25. Фомин П. Α., Троцюк А. В. Приближенный расчет изэнтропы
химически равновесного газа // Физика горения и взрыва. 1995. Т. 31,
№ 4. С. 59-62.
26. Физические величины: Справочник / Под. ред. И. С. Григорьева,
Е. 3. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991.
27. Замараев Ф. Н., Кедринский В. К., Мейдер Ч. Волны в
химически активной пузырьковой среде // ПМТФ. 1990. № 2. С. 20-26.
28. Ламбарайс С, Комбс Л. Детонация и двухфазное течение. М. Мир,
1966.
29. Пинаев Α., Сычев А. Влияние физико-химических свойств газа и
жидкости на параметры и условия возникновения детонационных волн
в системах «жидкость — газовые пузырьки» // Физика горения и
взрыва. 1987. Т. 23, № 6. С. 76-84.
Пузырьковая детонация ...
253
30. Beylich A. E., Gulhan A. Waves in reactive bubbly liquids // Proc.
IUTAM Symp on Adiabatic Waves in Li quid-Vapor Systems. Gettingen,
FRG, 1989. P. 39-48.
31. Scarinci Т., Bassin X., Lee J., Frost D. Propagation of a reactive
wave in a bubbly liquid // Proc. 18th ISSW / K. Takayama (Ed.). V. 1.
P. 481-484.
32. Kedrinskii V. K. The role of cavitation effects in the mechanisms of
destruction and explosive processes // J. Shock Waves. 1997. V. 7, N 2.
P. 63-76.
33. Kedrinskii V. K. Bubbly cavitation in intense rarefaction waves and
its effects (plenary lecture) // Proc. 20th Intern. Symp. on Shock Waves.
Springer-Verlag, New York, 1996.
34. Кедринский В. К., Вшивков В. Α., Дудникова Г. И., Шокин
Ю. И. Роль кавитационных эффектов в механизмах разрушения и в
крупномасштабных взрывных процессах // Вычисл. технол. 1997. Т. 2,
№ 2. С. 63-77.
35. Campbell A. W., Davis W. С, Travis J. R. Shock initiation of
detonation in liquid explosives // Phys. Fluids. 1961. V. 4, N 4. P. 498.
36. Field J. E. et al. Hot-spot ignition mechanisms for explosives and
propellants // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1992. V. 339. P. 269-283.
37. Roberts P., Field J. Simulated of fragment attack on cased munition //
Proc. 10th Intern. Det. Symp. Boston Nass., 12-16 July, 1993.
38. Hill L., Stertevant B. An experimental study of evaporation waves in a
superheated liquid // Proc. IUTAM Symp. on Adiabatic Waves in Liquid-
Vapor Systems / G. Meier, P. Thompson (Eds). 1989. P. 25-37.
39. Chaves H., Lang H., Meier G., Speckmann H. Flow in Real Fluids //
Lecture Notes in Phys. Berlin: Springer, 1985.
40. Кедринский В. К. Распространение возмущений в жидкости,
содержащей пузырьки газа: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1968.
41. Todes О. М. Adiabatic term explosion // J. Phys. Chem. 1933. V. 4, N 1.
P. 71.
42. Кедринский В. К., Вшивков В. Α., Дудникова Г. И., Шокин
Ю. И. Усиление ударных волн при столкновении и фокусировке в
пузырьковых средах // Докл. РАН. 1998. Т. 361, № 1. С. 41-44
43. Kedrinskii V. К., Shokin Yu. I., Vshivkov V. Α., Dudnikova G. I.
Shock amplification by bubbly systems with energy release (SABSER) //
Proc. 6th Japan-Russian Joint Symposium on Computational Fluid
Dynamics, Nagoya, Sept. 21-23, 1998. P. 58-61.
Глава VII
ПРОБЛЕМЫ КАВИТАЦИОННОГО РАЗРУШЕНИЯ
1. Поведение жидкости
при импульсном нагружении
Проблема разрушения жидкости в интенсивных волнах
разрежения, возникающих при взрывном нагружении жидкости со
свободной поверхностью, представляет собой новое направление в
гидродинамике взрыва, несмотря на то, что ее решение связано с такими
понятиями, как критические растягивающие напряжения и прочность
жидкости, которые имеют практически вековую историю.
Исследования начинались со статических постановок и первые результаты
в этой области (Berthelot) относятся к 50-м годам XIX века [1].
Первая динамическая постановка с подводным взрывом заряда ВВ
вблизи свободной поверхности принадлежит, очевидно, Хиллиару (1919).
Одно из недавних исследований выполнено Вильсоном и др. в [2],
где прочность жидкости оценивалась по измерению скорости
купола брызг при неглубоких подводных взрывах: за критическое
растягивающее напряжение р* принималось значение амплитуды волны
р, при которой скорость свободной поверхности, определяемая как
ν = (2р — р*)/ρ0c0, становилась равной нулю. Значение р*,
найденное таким образом, для отстоявшейся водопроводной воды составило
0,85 МПа, для деионизованной и вакуумированной — 1,5 МПа.
Карлсон и Генри [3] использовали высокую скорость нагружения тонкого
жидкого слоя импульсным электронным пучком и получили
значение р* = 60 МПа, что может объясняться ультракоротким временем
нагружения.
Практически во всех экспериментах этим данным
сопоставляются видимые разрывы в жидкости, развивающиеся на ядрах кави-
Проблемы кавитационного разрушения
255
Рис. 1. Скоростная фоторегистрограмма формирования отколов
(свободная поверхность расположена вертикально, заряд ВВ слева за
кадром)
тации под действием интенсивных волн разрежения. Такие разрывы
(отколы) были зарегистрированы автором в экспериментах в
плоской постановке при подводном взрыве линейного заряда ВВ вблизи
свободной поверхности (рис. 1) [4].
При этом отмечалось, что отколы формируются только в узкой
зоне вблизи свободной поверхности, несмотря на то, что
интенсивная кавитация охватывает на порядки больший объем. Сами
отколы представляют собой сильно кавитирующие слои, а их структура
напоминает скорее пену, которая затем быстро разваливается на
отдельные фрагменты и капли, формируя купол брызг [5].
Процесс разрушения жидкости при взрывном нагружении
представляет собой целый комплекс существенно нелинейных явлений.
Его можно определить как эффект инверсии двухфазного
состояния среды, состоящий в трансформации кавитирующей жидкости в
газокапельную систему. Схема инверсии включает следующие
этапы:
— формирование и развитие пузырьковых кластеров;
— неограниченный рост кавитационных зародышей до «пенной
структуры»;
— разрушение «пенной структуры» на кавитирующие фрагменты;
— переход в капельное состояние и его эволюция.
Каждый из этапов представляет самостоятельную область
исследований и в то же время является неотъемлемой частью
процесса разрушения в целом. Поэтому знание механизмов, отвечающих
256
Глава VII
Рис. 2. Структура микронеоднородностей (а) и спектр ядер
кавитации (6):
a: Ι — пузырьки свободного газа, 2 — комбинационные структуры; б: 1-
3 — экспериментальные данные [7-9]
за развитие каждого этапа, принципиально. В данной главе
предлагается обзор основных результатов, включая данные
экспериментов, методические разработки, физические и математические модели
процессов [6].
1.1. Пузырьковая кавитация (физика состояния реальных
жидкостей). В физической акустике проблемы пузырьковой кавитации
исследуются не одно десятилетие. В области фундаментальных
постановок, внимание уделяется, в основном, вопросам состояния
реальной жидкости с точки зрения ее однородности, механизму
формирования в ней пузырьковых кластеров, а также проблеме прочности.
Интенсивность развития кавитации указывает на необходимость
учета двухфазности состояния реальной жидкости. С этой точки
зрения создание математической модели для описания кавитационного
процесса в жидкости, анализа структуры и параметров волнового
поля, предельных значений растягивающих напряжений,
допускаемых кавитирующей жидкостью, является принципиальным.
В отличие от процесса разрушения твердых тел при
импульсном нагружении в жидкости нет стадии инициирования очагов
разрушения. Структура жидкости в макромасштабе такова, что даже
Проблемы кавитационного разрушения
257
при специальных очистках от примесей, при дисцилляции и деиони-
зации в ней оказывается множество микронеоднородностей, которые
играют роль зародышей (ядер) кавитации. Это могут быть
микропузырьки свободного газа, твердые частички или их конгломераты
(рис. 2,а). На рис. 2,б представлен вероятный спектр размеров
микронеоднородностей, построенный на базе осредненных (по
большому разбросу экспериментальных данных) результатов группы Хеми-
та (1) [7], а также данных Страсберга (2) [8] и результатов,
полученных в лаборатории автора (3) [9]. Определение природы этих
микронеоднородностей, их параметров, плотности и спектра размеров —
одна из основных задач анализа состояния реальной жидкости.
Наиболее надежные результаты в этой области дает
комбинация двух методик: светорассеяния и ударной трубки с
электромагнитным источником (рис. 3).
Рис. 3. Схема электромагнитной ударной трубки (а),
зависимость интенсивности рассеянного света от размеров
микронеоднородностей и углов наблюдения β (б); динамика лепестков
индикатрис рассеяния за фронтом ударной волны и волны
разрежения (б):
а: 1 — система фотоумножителей, 2 — He-Ne лазер, 3 — мембрана,
4 — плоская спиралевидная катушка в высоковольтном разрядном
контуре, 5 — прозрачная рабочая секция, б — емкостной датчик
258
Глава VII
Схема установки (рис. 3) включает рабочую секцию 5 с
исследуемым образцом дистиллированной воды, электромагнитный
источник импульсного магнитного поля 4, генерируемого в узком зазоре
между мембраной 3 и плоской спиралевидной катушкой 4, на
которую разряжается высоковольтный конденсатор [9]. Особенности
источника обсуждались в главе, посвященной гидродинамическим
ударным трубам. Здесь же только отметим, что параметры
высоковольтного контура подобраны таким образом, чтобы обеспечить
апериодичность разряда и исключить колебания давления в
ударной волне, которая создается в исследуемой жидкости в результате
движения мембраны, толкаемой магнитным полем. Приведенная
схема с ее параметрами позволяет генерировать ударные волны с
амплитудами порядка 10 МПа и длительностью положительной фазы
3–5 мкс.
Исследуемая жидкость помещается в рабочую (прозрачную)
секцию ударной трубки, в качестве источника света используется
He-Ne лазер, луч которого диаметром 1,5 мм пропускается на
глубине 3 мм под свободной поверхностью исследуемой жидкости.
Рассеянный свет регистрируется системой фотоумножителей,
расположение которых относительно направления луча лазера выбирается
исходя из конкретных особенностей поставленной задачи [9].
Сигнал с фотоумножителей подается на аналогово-цифровые
преобразователи и компьютер. Емкостный датчик 6
регистрирует смещение свободной поверхности при отражении ударной
волны. Как известно, распределение интенсивности рассеянного света
по углу (так называемая индикатриса рассеяния) имеет
характерные максимумы, которые являются своеобразным паспортом
размеров микронеоднородностей (рис. 3,б). Наиболее наглядно этот факт
показан на рис. 4 (кривая 1, для угла > 32° усиление увеличено на
порядок), на котором также представлены результаты расчета по
известным соотношениям [10]
где f(q) = 3(sinq — q cosq)/q3, q = 4πasin(β/2)/λ, υ = 4πa3/3, α —
радиус частицы, ε = 3(m2 — l)/4π(m2 + 2), λ = λ0/n, n, m —
показатели преломления среды и частицы относительно среды, угол
β отсчитывается от направления распространения светового пучка
до вектора R (направление на фотоумножитель), φ — угол
между направлением вектора электрического поля Ε и проекцией R на
Проблемы кавитационного разрушения
259
Рис. 4.
Экспериментальная индикатриса
рассеяния для
дистиллированной воды (1), расчет
индикатрис для частиц с
радиусом 1,5 мкм (2), для
смеси частиц с радиусами
1,3, 1,5 и 1,7 мкм (3)
плоскость, перпендикулярную волновому вектору к. Согласно [11]
полученное для т > 1 выражение применимо и для определения
интенсивности рассеянного света на микропузырьках свободного
газа, если свет поляризован перпендикулярно плоскости наблюдения
(рис. 3).
Методика светорассеяния ранее применялась в [12] для изучения
динамики субмикротрещин в диапазоне 200–2000 А в
экспериментах по импульсному нагружению образцов оргстекла.
Индикатриса рассеяния была близка к релеевской и состояла практически из
одного лепестка. Динамика субмикротрещин восстанавливалась по
изменению отношения интенсивностей, измеренных в двух
фиксированных направлениях в пределах нулевого максимума. В случае с
микропузырьками индикатриса содержит несколько лепестков,
интенсивность, количество и положение которых очень чувствительны
к размерам рассеивающих частиц, что позволяет восстановить их
динамику, регистрируя количество лепестков фотоприемником при
фиксированном угле наблюдения, и снизить требования к точности
измерения интенсивности. Применение этого метода позволило
получить ряд принципиальных результатов по состоянию микронеод-
нородностей в дистиллированной воде.
В рамках статических измерений в [9] обнаружена
стабилизация размеров микронеоднородностей, показано, что индикатриса
рассеяния имеет кроме нулевого четко выраженный максимум при
260 Глава VII
β = 17,5° и два сглаженных при β = 28° и 37°. Их положение
однозначно определяет, что радиус рассеивающих частиц а та 1,5 мкм.
Естественно предположить, что лепестки индикатрисы сглажены за
счет дисперсии размеров микрочастиц. Для проверки этого
предположения была рассчитана интегральная индикатриса для смеси
частиц радиусом 1,3, 1,5 и 1,7 мкм (рис. 4, кривая 3). Сглаживание 2-го
и 3-го максимумов в расчетах подтвердилось в такой же степени, что
и в эксперименте.
Как отмечалось, эксперименты были проведены в статической
постановке (невозмущенная жидкость) с дистиллированной водой
при длине волны рассеиваемого света λ = 0,63 мкм. Радиус
зародышей оказался равен примерно 1,5 мкм с отклонением ±0,2 мкм и
распределением, близким к монодисперсному. Заметим, что
последний результат может быть связан с определенной избирательностью
регистрирующей системы, что ограничивает возможность оценки
истинного распределения.
Измерения распределения и размеров микрочастиц в
дистиллированной воде, выполненные на установке Malvern Instrument Мб.10,
показали, что максимум распределения в свежей воде приходится
примерно на 4 мкм, в отстоявшейся в течение 10-12 часов — на
0,85 мкм (при работавшей магнитной мешалке).
Экспериментальные результаты [7] по отстоявшейся воде были обобщены в [13] в
виде простого соотношения vNiVi = С, где i — сорт пузырьков,
Ni, Vi — число пузырьков данного сорта и их объем, а константа
С ~ 10-9.
Естественно, это соотношение описывает далеко не все
распределение, которое из физических соображений должно иметь
максимум и асимптотически стремиться к нулю при стремлении объема
пузырьков к нулю и на бесконечности. Такое распределение (см. рис.
2,5, кривая) можно представить в виде [14]
Здесь содержатся два неизвестных параметра: общее число
пузырьков в единице объема N0 и нормировочный параметр V*, за
который можно принять объем пузырька радиуса R*, соответствующий
максимуму распределения. Если упомянутое выше
экспериментальное значение R ~ 0,85 мкм принять за R* и учесть необходимость
совпадения «хвоста» распределения (1) с данными [7, 8] для
диапазона Ri > 3 мкм, будет несложно оценить общую плотность микро-
Проблемы кавитационного разрушения
261
Рис. 5. Треки дифракционных пятен в лазерном луче,
высвечивающем микронеоднородности, которые пересекают его в
результате естественной конвекции воды в кювете
неоднородностей, которая оказывается равной N ~ 1,5 · 105 см-3.
Эта оценка вполне коррелирует с экспериментальными данными
105 – 106 см-3, полученными путем регистрации треков
дифракционных пятен при рассеянии лазерного пучка света на микронеодно-
родностях любой природы (рис. 5).
Принципиальным является вопрос о природе микронеоднород-
ностей в исследуемой жидкости. В [9] была предложена
оригинальная методика, основанная на комбинации двух методов (ударной
трубки и динамики индикатрисы рассеяния), позволившая получить
однозначный ответ на поставленный вопрос. Идея основана на
существенной зависимости интенсивности рассеянного света от размеров
неоднородностей. Для ее реализации выбирались два угла
наблюдения β = 10° и 15°. Распределения интенсивности света, рассеянного
под этими углами, имеют вид, представленный на рис. 3,5. Стрелкой
отмечен начальный размер микрочастицы, равный 1,5 мкм.
Если неоднородности — микропузырьки свободного газа, то
при прохождении по жидкому образцу ударной волны ядра
кавитации будут схлопываться и интенсивность рассеянного света должна
изменяться, причем по-разному для выбранных углов регистрации
(рис. 3,5): в большую от фона сторону для β = 10° и меньшую для
β = 15° [9].
В эксперименте луч лазера диаметром 4 мм пропускался вдоль
диаметра трубки (рис. 3) на глубине 6 мм под свободной
поверхностью воды. Осциллограммы, представленные на рис. 3,в для β = 10°
(луч 1) и 15° (луч 2), имеют три характерных участка:
колебания, вызванные динамикой частицы в ударной волне, практическое
262
Глава VII
восстановление невозмущенного состояния и участок возрастания
интенсивности с осцилляциями и последующим спадом. Падающая
ударная волна состояла из трех затухающих импульсов давления с
амплитудой 6–7 МПа и периодом следования около 3 мкс. Колебания
интенсивности рассеянного света совпадают с периодом следования
импульсов и характеризуют динамику среднего радиуса
рассеивающих частиц.
Как следует из рис. 3,в, предложенная экспериментальная
постановка действительно позволила продемонстрировать
противофазное изменение двух сигналов с ФЭУ (первый участок
осциллограмм), связанное с уменьшением размеров кавитационных
зародышей, что явилось прямым доказательством существования
микропузырьков свободного газа среди зародышей кавитации. Третий
участок осциллограмм отражает синхронный рост микропузырьков в
волне разрежения (после отражения ударной волны от свободной
поверхности) от начального размера до 4–5 мкм. При росте именно до
таких размеров верхний луч фиксирует явных два, а нижний — три
всплеска интенсивности на фоне ее роста. Затем пузырьки схлопы-
ваются, что и отмечается спадом интенсивности.
Следует напомнить о двух проблемах, связанных с состоянием
реальной жидкости. Это проблема стабилизации зародышей и
вопрос об их плотности N в единице объема, что имеет
непосредственное отношение к механизму формирования пузырьковых кластеров
в волнах разрежения. Решение первой связывают с несколькими
физическими моделями, среди которых отметим
• флуктуирующие дырки: R* = vκΤ/σ (Я. Френкель, 1945);
• гидрофобные частицы с ядрами в расщелинах: R* = 2σ/ρ0
(Ε. Гарвей, 1944);
• поверхностные органические пленки (К. Херцфельд, Ф. Фокс,
1954);
• ионный механизм (Ф. Блейк, 1949; В. Акуличев, 1966);
• ядра в виде твердых микрочастиц (М. Плессет, 1969);
• микропузырьки при равновесии тепловых потоков, сил Стокса
и подъемных сил: R* = (v2кТ/ρ0g2)1/7 (В. Кедринский, 1985);
• комбинационные структуры, см. рис. 2,б (А. Бесов, В.
Кедринский, Е. Пальчиков, 1991).
Здесь ν — вязкость, к — постоянная Больцмана, g — ускорение
силы тяжести, ρ0 — плотность жидкости, Τ — температура, σ —
поверхностное натяжение.
Проблемы кавитационного разрушения
263
Таблица 1
Авторы
Страсберг, 1956 [8]
Гаврилов, 1970 [15]*
Хэммитт и др., 1974 [7]
Бесов и др., 1984 [9]
Кедринский, 1989 [14]
R0, мкм
6
22
13
50 – 0,5
6
3
1,5
спектр
(рис. 2,б)
N0, см 3
^1
<1
<1
<1
~1
~ 100
103 – 104
105 – 106
k0
6 · 10-10
2 · 10-10
3 · 10-10
10-8 – 10-12
< 10-6
спектр
Примечание. * Приведен диапазон изменения размеров
зародышей в процессе отстаивания образца свежей водопроводной воды в
течение нескольких часов.
1.2. Механизм формирования пузырьковых кластеров. Все
перечисленные типы микронеоднородностей с их особенностями
стабилизации могут существовать в реальной жидкости, обеспечивая широкий
спектр распределения по размерам от нанометров до десятков
микрон (рис. 2). Вторая проблема — регистрируемое число зародышей
N0 в зоне кавитации и их объемная концентрация k0·
Результаты по акустической диагностике микропузырьков
свободного газа, полученные, в частности, Страсбергом [8] (см. табл. 1),
указывают на их чрезвычайно низкую плотность. С другой
стороны, в развитых кавитационных кластерах плотность пузырьков
оказывается несопоставимо высокой. Эти факты послужили
основанием для предположения о лавинообразном механизме «заселения»
зародышами зоны развивающейся пузырьковой кавитации. Такая
модель, например, рассмотрена в [16], где приводятся эксперимен-
тальные данные высокоскоростной покадровой съемки процесса
развития кавитации в фокальной зоне ультразвукового концентратора
(/ = 550 кГц).
Несколько кадров из этой развертки приведены на рис. 6. Видно,
что в начальный момент после приложения поля в кадре появляется
только один пузырек. Казалось бы данные Страсберга полностью
подтверждаются, но примерно через 10 периодов в области фокуса
264
Глава VII
Рис. 6. «Размножение» кавитационных зародышей в фокальной
зоне концентратора [16]:
интервал между кадрами — три периода, вертикальный размер 6 мм
кавитационные пузырьки образуют плотное облако. Считается, что
произошло лавинообразное размножение зародышей, причина
которого состоит в неустойчивости формы пузырьков и их разрушении
на отдельные фрагменты при интенсивном схлопывании.
Фрагменты играют роль новых ядер кавитации и далее процесс многократно
повторяется: предполагается, что дальнейшее их поведение в
ультразвуковом поле полностью повторяет «судьбу своих прародителей».
Таким образом, можно заключить, что процесс развития кавитации
состоит в своеобразной ультразвуковой накачке жидкости
зародышами. Вероятность такого механизма не исключена и имеет
вполне логичное физическое обоснование для кавитации в
ультразвуковых полях. Но можно назвать два факта, которые не вписываются в
эту схему:
1) скорость фрагментов разрушенного пузырька должна быть
достаточно высокой, чтобы они могли так быстро и равномерно
распределиться в пространстве (обычно на снимке вместо пузырька
оказывается плотная «гроздь» его фрагментов);
2) плотная зона кавитации возникает и в поле одиночного
импульса разрежения (например, при отражение ударной волны
подводного взрыва от свободной поверхности, когда отсутствует
элемент «накачки зоны зародышами»).
Заметим, что первые четыре результата по плотности N0, из
приведенных в табл. 1, относятся только к газовым зародышам (см.
1 на рис. 2,а), последний учитывает микронеоднородности любой
природы, включая твердые ядра и их комбинации с газовыми
зародышами 2, на которых под действием растягивающих напряжений
Проблемы кавитационного разрушения
265
могут развиваться парогазовые пузырьки.
Принципиально новый механизм развития зоны кавитации был
предложен автором в [17]. Суть его состоит в следующем:
а) считается, что реальная жидкость содержит спектр ядер с
диапазоном размеров 10-7 – 10-3 см и постоянной плотностью 105 –
106 см-3;
б) вводится понятие «видимого», т. е. детектируемого в рамках
используемой методики, размера кавитационного пузырька;
в) кажущееся размножение кавитационных зародышей в
относительно слабых ультразвуковых полях объясняется
последовательным насыщением зоны пузырьками, достигшими видимого размера
за различные интервалы времени в зависимости от их начального
положения в спектре зародышей (рис. 2,б);
г) при высокой интенсивности фазы разрежения весь спектр
зародышей может достичь видимого размера одновременно;
д) за фронтом сильных волн разрежения плотность
насыщения зоны кавитации пузырьками становится максимальной, спектр
трансформируется в монодисперсную структуру.
Последние три утверждения являются результатом
теоретического и численного анализа влияния начального размера на время
выхода зародыша на определенный размер [18]. Рассмотрим
простейший случай постоянных растягивающих напряжений, для которого
динамика относительного· объема пузырька V описывается первым
интегралом уравнения Рэлея
где
при γ = 1, а безразмерные переменные и параметры введены
следующим образом: V = (R/Rv)3, Rv — видимый размер пузырька,
R0 — размер зародыша, V0 = (R0/Rv)3, p = p /р0 (р — давление,
задаваемое на бесконечности), We = 2σ/p0Rv, η = p0/ρ0c02, точка —
производная по τ = t'c0/Rv. Функция F в правой части уравнения
(2) описывает семейство кривых, зависящих от V0 и р. Очевидно,
решение существует лишь для участков кривых, где F > 0.
266
Глава VII
Для качественного анализа возможных решений полезно
выписать производную
Функции F и Fv обладают следующими свойствами:
Разобьем интервал значений ρ на две области: 0 < p < I и p < 0.
При выполнении первого неравенства функция F имеет вид кривой 3
на рис. 7,а. Здесь p = 0, V0 = 0,01 и в масштабе рисунка первая точка
пересечения функции F с V находится практически в нуле. Область
осцилляций объема пузырька справа будет ограничена второй
точкой пересечения функции F с осью V. Если в этой точке V = 1
(обычно считается, что «невооруженным глазом» можно рассмотреть
частицы размером Rv = 0,01 см), то из условия F(l, V0, p) = 0 несложно
получить выражение
определяющее порог выхода пузырьков (в режиме пульсаций) на
видимый размер: при ρ < f видимый размер достигается, при p > f —
нет.
Во второй области при различных значениях p < 0 возможны
два типа решений (рис. 7). При ρ = —0,01 для любых значений V
функция F > 0 (рис. 7,а, кривая 1), что означает неограниченный
рост пузырька. Асимптотика выхода на предельный размер за
бесконечное время определяется условиями одновременного равенства
нулю функции F и ее производной Fv. Для принятых параметров
задачи это соответствует случаю ρ = —0,0081 и V = 6 (рис. 7,
кривая 2).
Интегрирование уравнения (2) в пределах от V0 до 1 дает
возможность определить время τν выхода пузырьков на видимый размер
На рис. 7,б эти результаты представлены как функция R0/Rv
для p = —1 и —10 (точки 1, 2, соответственно). Начиная примерно с
Проблемы кавитационного разрушения
267
Рис. 7. Качественный анализ динамики кавитационных
зародышей в поле растягивающих напряжений (а), время выхода
зародыша на детектируемый размер Rv (б):
Rv = 0,01 см, We = 0,015, γ = 1,4 и V0 = 0,01
радиуса в 10 мкм (за видимый размер принято 100 мкм), для
меньших размеров зародышей значение τυ при заданных p и R0 < Rv
практически не зависит от начального радиуса зародышей
кавитации и определяется приведенной выше простой аналитической
зависимостью.
На примере группы расчетных точек 1 видно, что зародыши в
интервале размеров 10 < R0 < 100 мкм выходят на видимый размер
постепенно, и примерно через 12 мкс (τυ = 183,7) после
приложения напряжения становится видимым весь спектр начальных
размеров, принадлежащих данному интервалу. При увеличении
амплитуды растягивающих напряжений на порядок значения τυ для всего
спектра меняются незначительно (рис.7,б, точки 2), т. е. выходят на
видимый размер практически одновременно.
При низких амплитудах растягивающих напряжений
возникают эффекты, объясняющие экспериментальные факты слабого
насыщения кавитационной зоны диагностируемыми пузырьками.
Например, при ρ = —0,1 зародыши с начальным радиусом 5 · 10-3 см
достигают видимого размера за 12,5 мкс, радиусом 5· 10-4 см — за
47,5 мкс; радиус ~ 4,3 10-4 см является своеобразным порогом: эти
пузырьки растут до видимого размера бесконечно долго.
Естественно, ниже этого порога «содержимое» спектра вообще не диагности-
268
Глава VII
руется, что и объясняет низкую плотность пузырьков в видимом
кавитационном кластере.
В [18] показано, что приведенные рассуждения и выводы в
определенной степени относятся и к ультразвуковой кавитации.
Рассмотрим некоторые особенности динамики одиночного пузырька в поле
ультразвуковой волны р = р0 + Ap0cos(ωt), где А > 0 и процесс
взаимодействия начинается с фазы сжатия (четверть периода). При
А = 1,5 (р = —1,5 в максимуме отрицательной фазы) и ω = 116 кГц
время выхода зародышей из спектра 8,610-3 – 8,6 10-4 см на
видимый размер меняется в интервале 20 – 42 мкс. Выход
происходит практически в течение первой фазы разгрузки (период волны
54 мкс). При увеличении А даже при одновременном росте частоты
поля наблюдается тенденция к одновременному выходу
достаточно широкого спектра ядер кавитации на видимый размер. Так, для
А = 5 и ω = 450 кГц при изменении значения радиуса зародышей в
30 раз (R0 = 7 · 10-3 – 2,210-4 см) время выхода на видимый размер
меняется лишь в интервале 7,4 – 12,3 мкс.
1.3. Математическая модель кавитирующей жидкости.
Приведенные данные дают однозначное толкование реальной жидкости как
двухфазной среды, несмотря на ничтожно малое начальное
газосодержание с объемной концентрацией в диапазоне k0 ~ 10-8 –
10-12 см . В таком случае логично предположить, что механизм
трансформации волн (фаз) разрежения в реальной жидкости с
учетом инверсии процесса подобен эффектам распространения ударных
волн в пузырьковых средах, и использовать математическую модель
такой среды для кавитирующей жидкости [6, 19]. Напомним, что
модель представляет собой комбинацию законов сохранения для
средних ρ, p, ν и подсистемы, описывающей динамику состояния
пузырьковой жидкости. В наиболее удобной для анализа форме (как было
показано в гл. 5) она может быть записана в виде системы
уравнений для двух основных характеристик — давления ρ и объемной
концентрации парогазовой фазы k:
Преимущество системы (3), (4) состоит в том, что она допускает
аналитические решения, если в задаче сформулированы
соответствующие физические условия. В частности, в реальной жидкости при
Проблемы кавитационного разрушения
269
ничтожном начальном газосодержании и микронных размерах
зародышей можно считать, что за фронтом ударной волны пузырьковая
система мгновенно становится равновесной и самой ударной волной
полностью «игнорируется».
Особенность изменения состояния среды с микронеоднородно-
стями за фронтом волн разрежения (или во внешнем ультразвуковом
поле [20]) позволяет в качестве упомянутых физических условий
назвать предположение о несущественной роли газа в
расширяющихся пузырьках кавитационного облака и инерционного члена kt2/6k в
(4). Тогда динамику объемной концентрации в пузырьковом
кластере можно описать уравнением
Замена на этом основании правой части уравнения (3),
пренебрежение сжимаемостью жидкого компонента среды (несущей
фазы), введение пространственной переменной η = ark1/6 в рамках
предположения о выполнении неравенств Ip^^l ^ lify^rrl и к >·
|rkr/6|, где α = V3k0/R0, позволяют для давления в кавитирующей
жидкости получить уравнение типа уравнения Гельмгольца
Подобный «эвристический» подход вполне оправдал себя при
математическом моделировании процесса трансформации ударных волн
в пузырьковых системах [21].
Совместное решение уравнений (4), (5) определяет и
параметры волн разрежения, и динамику кавитационного процесса [4, 19,
22]. Заметим, что полученное приближение при сравнении с
численными решениями полной системы и экспериментальными данными
показало достаточную надежность модели при оценке основных
характеристик волновых процессов в кавитирующих жидкостях.
1.4. Проблема предельной прочности жидких сред. Как известно,
растягивающие напряжения во фронте волны разрежения не
претерпевают разрыва и достигают своего максимального значения за
конечный промежуток времени Δt*, который определим как крутизну
фронта. Расчет осесимметричной задачи о развитии зоны
кавитации при подводном взрыве вблизи свободной поверхности показал,
что этот факт является принципиальным в проблеме предельных
напряжений, которые жидкость способна выдерживать [22].
Оказалось, что за время Δt* объемная концентрация парогазовой фазы k
270
Глава VII
возрастает относительно k0 на несколько порядков, значительно
изменяя состояние среды и приложенное поле напряжений. В
результате максимальные амплитуды отрицательных давлений в кавити-
рующей жидкости могут уменьшаться иногда на порядки [22] по
сравнению с идеальной однофазной моделью.
На рис. 8,а показаны профили ударных волн и фаз
разрежения, рассчитанные для трех точек на оси симметрии (r взято
относительно радиуса заряда Rch, Δt* = 0,1 мкс) по двухфазной
модели (4), (5) для подводного взрыва заряда весом 1,2 г на
глубине 5 см (соответствует примерно 10Rch). Профили фаз разрежения,
показанные на основном графике штриховой линией,
соответствуют однофазной модели, сплошной — двухфазной модели кавитиру-
ющей жидкости. Сравним данные по параметрам волны
разрежения, обведенные кружочком (случай r = 3,5). Здесь штриховая
линия соответствует профилю фазы разрежения с крутизной фронта
Δt* = 0,1 мкс. Максимальные растягивающие напряжения
уменьшаются до pmin ~ —17 МПа по сравнению с —100 МПа в однофазной
жидкости. Если крутизну фронта увеличить до 1 мкс, то зароды-
Рис. 8. Профили ударных волн и фаз разрежения при
подводном взрыве (а), сравнение численных оценок профилей волн
разрежения с экспериментальными данными (б)
Проблемы кавитационного разрушения
271
ши за это время существенно увеличат свои размеры и кавитирую-
щая жидкость не допустит роста растягивающих напряжений ниже
—3 МПа (сплошная линия).
На рис. 8,5 приведено сравнение численных оценок профилей
фаз разрежения, полученных при различных условиях, и
экспериментальных данных (точки) в точке с координатой r = 4,5 см на оси
симметрии: заряд весом 1,2 г взрывался на глубине 18,5 см.
Кривая 0 — однофазная модель, кривые 1-3 получена для R0 = 5 мкм,
k0 = 10-11 и Δt* = 0, 1 и 5 мкс соответственно, кривая 4 — для
k0 — Ι0-10, Δt* = 1 мкс. Результаты 2 и 4 отличаются объемной
концентрацией. Можно заметить, что экспериментальные точки
лежат в окрестности кривой 3 и подтверждают реальную возможность
оценки параметров волнового поля.
1.5. Релаксационные эффекты (кавитация в трубке с
вертикальным ускорением). Один из интересных экспериментальных и
численных вариантов оценки времени релаксации растягивающих
напряжений в кавитирующей жидкости может быть рассмотрен на
примере кавитационных эффектов, возникающих в окрестности дна
трубки, заполненной исследуемой жидкостью и получившей в результате
удара ускорение, направленное вертикально вниз (рис. 9) [20].
Как показывают экспериментальные данные, полученные
автором совместно с И. Хансоном и К. Мёрхом в Датском техническом
университете, на дне трубки развивается интенсивная зона
пузырьковой кавитации (см. рис. 9), которая при достаточно высокой
амплитуде ускорения может трансформироваться в сплошную
парогазовую прослойку, что приведет к отрыву столба жидкости от дна.
Численная модель этого эксперимента в рамках одномерной
постановки реализуется на базе уравнений (4), (5) при граничном условии
на дне трубки (z = 0):
Здесь a(t) — ускорение трубки, z — вертикальная координата.
Для простоты предполагается, что жидкость занимает все
полупространство z > 0. Решение (5) дает аналитическую зависимость р(k)
подстановка которой в (4) приводит уравнение для объемной концен-
272
Глава VII
Рис. 9. Динамика кавитационной зоны в трубке с жидкостью,
получившей импульс ускорения вертикально вниз
трации в окрестности дна трубки (z = 0) к виду
Напомним, что давление газа внутри пузырьков в фазе их
расширения исключается, что вполне оправдано для оценки времени
релаксации. Последнее уравнение решается аналитически, если
известна явная зависимость a(t).
Полагая, что ускорение, а следовательно, и импульс
разгрузки, имеет вид экспоненты, оценим трансформацию его профиля (в
качестве модели отражения подводной ударной волны от свободной
Проблемы кавитационного разрушения
273
поверхности). В этом случае решение уравнения (7)
позволяет получить, используя (6), основные оценки
релаксационных процессов в кавитирующей жидкости.
Если максимальное растягивающее напряжение приложено к
жидкости мгновенно и ускорение имеет вид a(t) = amaxe-t/t*,
несложно оценить
• релаксацию растягивающих напряжений (к моменту t = t*)
• время релаксации напряжений (в е раз)
Простые оценки по этим зависимостям для k0 = 10-10, R0 —
1 мкм, amax = 5 · 107 см/с2 (соответствует, примерно, —30 МПа
отрицательного давления) и t* = 10 мкс показывают, что
- амплитуда волны разрежения в кавитирующей жидкости
снижается в 20 раз по сравнению с р/ртaх = 1/е в однофазной жидкости;
- время релаксации растягивающих напряжений в кавитирующей
жидкости меньше 0,1 мкс.
Если крутизну фронта растягивающих напряжений определить
как линейный рост амплитуды прикладываемого ускорения a(t) =
amax(t/t*), несложно найти
• предельное растягивающее напряжение
Согласно этой оценке, кавитирующая жидкость при t = t* допускает
только —3 МПа вместо «положенных» —30 МПа по однофазной
модели, если k0 = 10-11, R0 = 0,5 мкм, а крутизна фронта t* = 1 мкс.
Расчет в [22] дает тот же порядок, что указывает на
достоверность полученных выражений для оценки как времени релаксации,
так и предельных растягивающих напряжений.
Полностью система уравнений для описания кавитирующей
жидкости без каких-либо предположений, в том числе и о состоянии
газа, с учетом теплообмена при расчете давления внутри пузырька
274
Глава VII
была применена к задаче об ударной трубке разрежения. Это —
полный аналог классической схемы ударной трубки, у которой в камере
высокого давления содержится исследуемая жидкость, в камере
низкого давления — газ, и задачи о распаде произвольного разрыва с
существенно нестационарным и нелинейным «продолжением». В (4)
давление в газе рg определяется известным уравнением
в котором используются следующие зависимости, предложенные
Р. И. Нигматуллиным и позволяющие существенно упростить
задачу с теплообменом:
Пример динамики структуры волнового поля в кавитирующей
жидкости показан на рис. 10 [23]. Расчет проведен для
следующих условий: ν = 0,01 см2/с, cv = 0,718 · 107 см2/(с2-град), λg =
2470 г-см/(с3-град), k0 = 10-4, R0 = 50 мкм. Динамика
формирования волны разрежения в начальные моменты времени (t = 3,3; 10;
20; 30; 40 мкс) после распада разрыва показана на рис. 10,а (профили
1-5 соответственно). На рис. 10,б и 10,в сравниваются профили волн
разрежения с учетом теплообмена (кривые 1) и для адиабатического
варианта (кривые 2) для моментов времени 90 и 440 мкс,
соответственно. Видно, что волновое поле разделяется на две характерные
части: предвестник, формирующийся центрированной волной
разрежения и распространяющийся с «замороженной» скоростью звука
по невозмущенной жидкости, и основное возмущение в виде волны с
осциллирующим фронтом, которая распространяется с равновесной
скоростью, характерной для двухфазной пузырьковой среды.
Можно отметить практически полную аналогию с обнаруженным ранее
эффектом расслоения ударных волн в пузырьковых средах на
предвестник и волновой пакет [21].
1.6. Переход к стадии фрагментизации. Методы регистрации. Как
отмечалось выше, при достаточно интенсивных волнах разрежения
развитие пузырьковой кавитации характеризуется неограниченным
Проблемы кавитационного разрушения
275
Рис. 10. Расчет волновой картины в камере высокого давления в
гидродинамической трубке разрежения:
а — в начальные моменты времени после распада разрыва, б — при 90 мкс,
в — при 440 мкс; 1 — с учетом теплообмена, 2 — для адиабатического
процесса
ростом зародышей из всего теоретически возможного спектра
размеров. Малые времена релаксации растягивающих напряжений в зоне
кавитации по сравнению с характерными временами развития самой
зоны до объемных концентраций в несколько десятков процентов
привели к идее двухфазной модели с мгновенной релаксацией [24].
Согласно этой модели за фронтом волны разрежения
растягивающие напряжения мгновенно исчезают, а процесс развития кавитацй-
онной зоны определяется лишь инерционными свойствами системы.
Очевидно, что при таком подходе ограничения на объемную
концентрацию снимаются и зона может развиваться вплоть до образования
структуры типа пены.
В настоящее время, к сожалению, еще нет полного понимания
существенно нелинейных процессов неограниченного роста пузырь-
276
Глава VII
Рис. 11. Кавитационная зона под свободной поверхностью (а)
и два слоистых кавитирующмх откола (б) при
малозаглубленном подводном взрыве (ранняя и поздняя стадии развития ка-
витационного процесса соответственно)
ков в кавитационных кластерах, их гидродинамического
взаимодействия при формировании плотной упаковки с объемной
концентрацией 0,5 – 0,75, перехода через пенную структуру к откольным
эффектам и выделению капельной фазы. Поэтому принципиальным
становится этап накопления экспериментальной информации и развития
методик, позволяющих определять характерные особенности
процесса. Заметим, что в механике твердого тела обычно
рассматриваются два типа разрушения при импульсных нагрузках: пластический
и хрупкий. Для последнего характерно образование разрывов
(отколов) в виде поверхностей, на которых возникают критические
напряжения.
Исследования структуры потока кавитирующей жидкости при
подводном взрыве вблизи свободной поверхности показали, что ее
разрушение в интенсивных волнах разгрузки протекает по обеим
схемам — регистрируются кавитирующие отколы (рис. 11) [25]. На
рис. 11,a показан один из начальных моментов развития зоны
кавитации (темная дугообразная зона под горизонтальной свободной
поверхностью) при подводном взрыве, к которой примыкает полость с
продуктами детонации. В более поздние моменты времени (рис. 11,б)
кавитационная зона распадается на несколько откольных слоев,
причем, каждый из них кавитирует.
Проблемы кавитационного разрушения
277
Рис. 12. Динамика
электрического потенциала (а) и
двухимпульсная структура
давления торможения в ка-
витирующей жидкой
оболочке (б)
1 — кавитирующая жидкость,
2 — система «газ — капли»,
3 — однофазная жидкость
Таким образом, кавитирующая жидкость проявляет хрупкие
свойства, что не характерно для идеальной жидкости. Природа
этого эффекта еще ждет своего объяснения. Нет также ответа на
вопрос, где и почему в каком-то месте большого массива кавитирую-
щей жидкости формируются отколы. Возможно, предпосылка к их
формированию «закладывается» волновым полем изначально.
Укажем на ряд методик, которые позволяют в определенной
мере оценить основные элементы процесса. Эксперименты со
взрывающейся проволочкой [24] показали, что при осевом нагружении
цилиндрического жидкого образца течение разбивается на две зоны:
кавитирующую внешнюю и внутреннюю в виде сплошного
жидкого кольца, прилегающего к полости с продуктами взрыва.
Очевидно, что при развитии процесса внешний кавитирующий слой
должен разрушаться на фрагменты (среда перестает быть сплошной)
и, следовательно, датчик, регистрирующий на каком-то расстоянии
(от начального положения свободной поверхности) динамический
напор, должен показать плавный переход от одного состояния среды к
другому.
На рис. 12,б показана «двухимпульсная» структура давления
торможения в виде пространственной диаграммы давления как
функции времени и расстояния датчика δ до свободной
поверхности. Видно, что по мере удаления точки регистрации импульс I,
соответствующий потоку кавитирующей жидкости, заметно
ослабевает. Примерно к 150 – 200 мкс он практически исчезает, что можно
считать результатом формирования пенной структуры, как
промежуточного этапа в процессе разрушения. Импульс 3 отвечает слою
сплошной жидкости, который разрушается заметно позже из-за раз-
278
Глава VII
вивающейся неустойчивости сплошного жидкого слоя, который по
мере расширения взрывной полости утоншается. Эксперимент
показывает, что процесс развития кавитации в вязких средах (например,
в водном растворе глицерина) может быть обратимым — пузырьки
в кавитационной зоне захлопываются, разрушения не происходит и
оба импульса давления через некоторое время сливаются.
Факт инверсии состояния среды может быть зарегистрирован
также при измерении ее электрического потенциала ψ (см. рис. 12,а).
В дисперсной системе, как известно, при относительном движении
фаз возникает разность потенциалов в направлении относительной
скорости. Причиной является наличие двойного электрического слоя
на границе раздела фаз и срыв при обтекании пузырька или капли
адсорбированных на их поверхности ионов. Естественно, знаки их
будут различны для каждой двухфазной структуры: кавитирующей
жидкости (1) и газокапельной системы (2). Таким образом,
регистрируя момент изменения знака потенциала, можно утверждать,
что инверсия двухфазности произошла. Такие измерения были
выполнены в [26] при постановке эксперимента, аналогичной [24]. Они
показали, что примерно к 500 – 600 мкс процесс инверсии
завершается полностью.
Непрозрачность интенсивно развивающейся кавитационной
зоны и экранировка ее внутренней структуры пузырьковым слоем на
стенках ударной трубки делают нерезультативным использование
стандартной высокоскоростной оптической киносъемки. Однако
возможности существенно расширяются при использовании
импульсного рентгена [27].
Исследования поздней оптически непрозрачной стадии кавита-
ционного процесса в интенсивных волнах разрежения проводились с
использованием трех рентгеновских аппаратов на двухдиафрагмен-
ной гидродинамической ударной трубе (рис. 13,а). Последняя
состояла из трех секций: камеры высокого давления б, вакуумированного
разгонного канала (с метаемым поршнем ρ и двумя
разделяющими диафрагмами d на концах) и рабочей секции 4 из дюралюминия с
исследуемой жидкостью. Разрыв нижней диафрагмы инициировался
электромагнитной системой с иглой, скорость поршня перед ударом
по верхней диафрагме, отделяющей канал от рабочей жидкости,
регистрировалась волоконно-оптическими датчиками 5. Вся система
синхронизована с тремя рентгеновскими аппаратами,
запускаемыми с различными наперед заданными задержками и позволяющими
осуществлять сверхскоростную покадровую рентгеновскую съемку.
Проблемы кавитационного разрушения
279
Рис. 13. Ударная труба с системой импульсного рентгена (а);
эффект «замораживания» профиля массовой скорости в кави-
тирующей жидкости (б); профиль ударной волны (б):
1 — рентгеновские аппараты, 2 — фотопленка, 3 — датчик
давления, 4 — рабочий канал с жидкостью, 5 — оптические датчики
скорости поршня, 6 — камера высокого давления
Для исследования динамики внутренней структуры зоны
кавитации (кластера) в лаборатории импульсной электрофизики
Института гидродинамики (Новосибирск) были созданы импульсные
рентгеновские аппараты ПИР-100/240 со спектром энергии γ-квантов,
подходящим для разрешения структурных неоднородностей в кави-
тирующей жидкости в слоях толщиной до нескольких сантиметров:
средняя энергия γ-квантов 70 кэВ, максимальная — 200 кэВ,
длительность вспышки излучения по полувысоте импульса — 80 нc. По
схеме рентгенооптической регистрации сигнал ос пьезодатчика 3,
расположенного в рабочем канале ударной трубы вблизи диафрагмы,
запускал одновременно развертку осциллографа С1-74 и генератор
импульсов ГИ-1, который с заданной задержкой запускал
рентгеновские аппараты или лампу-вспышку, применявшуюся для подсветки
на ранней «оптической» стадии.
В результате удара поршня в жидком образце возбуждалась
ударная волна со следующими параметрами: длительность
положительной фазы — несколько десятков микросекунд, амплитуда — в
диапазоне 20 – 30 МПа. Отражение ударной волны от свободной
поверхности жидкости приводило к интенсивному развитию кавита-
280
Глава VII
Рис. 14. Рентгеновское изображение динамики зоны кавитации
(интервал между кадрами 200 мкс)
ции, типичные рентгенограммы которой для различных моментов
времени от нуля до 1 мс приведены на рис. 14. Первый кадр
соответствует моменту прихода фронта ударной волны к свободной
поверхности (диаметр жидкого столба 30 мм).
Нетрудно видеть, что уже к 600 мкс кавитационная зона
достигала плотной «упаковки» с крупными парогазовыми ячейками.
Для анализа процесса была применена компьютерная обработка
распределения плотности изображения негативов рентгенограмм, что
позволило исследовать динамику процесса, не вмешиваясь в среду
какими-либо датчиками. Компьютерные версии экспериментальных
данных легко поддаются обработке, предоставляя уникальную
возможность исследования динамики структуры зоны кавитации
(нижний предел разрешения по концентрации около 2 %) в любом сечении.
На рис. 15 показаны характерная компьютерная версия одного
из моментов развития зоны кавитации. Темные вертикальные
полосы по краям фотографии соответствуют стенкам дюралюминиевой
трубки, зона светлых пятен в центре и на стенках трубки — зонам
интенсивной пузырьковой кавитации.
Метод построения компьютерной версии по данным
рентгеновских снимков, представленный на рис. 16,а, подробно изложен в [28]
и состоит в разбиении объекта на конечное число элементарных
объемов, плотность в которых рассчитывается по данным
оцифрованного рентгеновского снимка зоны на основании законов поглощения
Проблемы ка.витационного разрушения
281
Рис. 15. Характерная компьютерная версия рентгеновского
изображения зоны кавитации
и фотометрических соотношений. Путь элементарного пучка
интенсивности I0 (рис. 16,а) через цилиндрический образец, помещенный в
ударной трубке (Г), включает серию элементарных отрезков,
являющихся пересечением лучевой линией концентрических колец,
составляющих поперечное сечение образца. Прошедшее через объект
излучение, попадая на пленку, формирует изображение,
составленное из соответствующих элементов-пикселов размером, равным
поперечному сечению элементарного пучка. Интенсивность j-гo луча
на выходе трубки определяется величиной средней плотности среды
ρi в i-м кольце, эффективным массовым коэффициентом поглощения
излучения, который зависит от эффективной энергии излучения и
различен для элементарных лучей, прошедших стенки
дюралюминиевой трубки и кавитирующий образец, а также тем, какой путь
прошел j-й луч в i-м кольце жидкого образца и в стенке ударной
трубки. Естественно, все эти параметры должны быть
просуммированы по г в выражении для Ij.
На рис. 16,б представлены два кадра (вид зон кавитации справа
от оси симметрии) после обработки на компьютере и «вычитания»
стенки трубки. Нетрудно видеть, что уже к 800 мкс наблюдается ин-
282
Глава VII
Рис. 16. Схема построения компьютерного аналога зоны
кавитации (а); компьютерная версия рентгеновского
изображения зоны кавитации на поздней стадии развития процесса при
t = 400 (1) и 800 (2) мкс (б)
тенсивное разрушение образца (здесь темная зона имеет плотность
воздуха, белая — жидкости): крупные пустоты в области оси и
практическое отделение образца от стенки трубки, в окрестности которой
наблюдается плотная зона кавитации.
Сканирование негативов рентгеновских изображений кавитаци-
онной зоны, развивающейся за фронтом отраженной от свободной
поверхности ударной волны, и их компьютерная обработка
позволили исследовать динамику средней плотности ρ кавитационной зоны
и время t* достижения кавитирующей средой состояния «насыпной
плотности» пузырьков как функции скорости деформации среды έ
[28] (рис. 17):
Отсюда несложно получить оценку величины t* в виде t* ~ (έ)-1,
удобном для анализа при известном профиле и параметрах падаю-
Проблемы кавитационного разрушения
283
Рис. 17. Динамика средней
плотности зоны кавитации
(по данным компьютерной
обработки рентгенограмм)
Рис. 18. Рентгеновская томограмма зоны кавитации:
0 — центр, 1, 2 — левая и правая части
щей на свободную поверхность ударной волны.
Согласно экспериментальным данным, время релаксации
среды до состояния типа пены для έ ~ 1330 с-1 составляет примерно
700 мкс, для έ ~ 500 с- — около 2000 мкс, что вполне соответствует
приведенной выше зависимости.
Этот же метод позволил зарегистрировать томографическую
картину зоны кавитации, продемонстрировавшую, что зона
кавитации развивается в основном в центральной области объема жидкости
и является практически осесимметричной (см. рис. 18).
1.7. Динамика распределения массовых скоростей. Результаты
экспериментальных исследований свидетельствуют о том, что
продолжительность процесса кавитационного разрушения жидкости, в
отличие от твердых тел, может на порядки превышать длитель-
284
Глава VII
ность волны разгрузки. Тем не менее откольные эффекты, как
показано выше, возможны и в кавитирующих жидкостях. С учетом
быстрой релаксации напряжений за фронтом волны разгрузки,
вызванной интенсивным ростом кавитационных зародышей, естественно
предположить, что эти эффекты связаны с установлением больших
градиентов массовых скоростей в определенных местах кавитацион-
ной зоны. Особенности распределения таких мест в волне разгрузки,
очевидно, связаны с профилем ударной волны и характеризуют
процесс деформирования двухфазной среды.
Экспериментальные исследования динамики распределения
массовых скоростей во всей зоне кавитации на начальной стадии ее
развития были проведены с использованием последовательной
импульсной рентгеновской съемки нагружаемого образца, имевшего в своем
объеме специальные метки из свинцовой фольги. Одни из них
изготавливались в виде ленточек размером 25 x 0,5 x 0,04 мм,
прикрепляемых кусочками папиросной бумаги к полоскам лавсана. Другие
метки имели размер 1x1 мм и укреплялись на тонких нитях,
подвешиваемых независимо параллельно оси образца [28, 29].
В каждом из экспериментов в одинаковых условиях в
фиксированные моменты времени производилась съемка процесса с
предварительной регистрацией начального положения меток. Это давало
возможность получить в каждом эксперименте по шесть снимков:
три — начального состояния с разных углов наблюдения и три — в
задаваемые моменты времени. По неподвижному маркеру на
внешней стороне ударной трубки обеспечивалась привязка начального
положения меток относительно трубы и их смещения в течение
заданных интервалов времени. При этом рентгеновские трубки
размещались на дуге окружности через 60° в плоскости,
перпендикулярной оси трубы. Такая система позволяла контролировать
пространственное расположение меток и их удаление от стенок трубки,
а также обеспечивала вид зоны с разных сторон.
По смещению меток при заданном интервале между кадрами
рентгенограмм, включая кадр начального состояния, определялась
массовая скорость среды. Плоскость линейных меток
устанавливалась горизонтально, что позволяло наблюдать динамику скоростей
в поперечном сечении кавитационной зоны. Надежность метода
меток была проверена с помощью электромагнитного датчика,
применявшегося для измерения профиля массовой скорости в коротких
ударных волнах [30]. Он был выполнен из алюминизированной
лавсановой пленки, имеющей размеры, близкие к размеру линейных ме-
Проблемы кавитационного разрушения
285
ток, помещенной в поле постоянного магнита. В этих экспериментах
сравнивались показания электромагнитного датчика и
конденсаторного датчика, регистрировавшего смещение свободной поверхности.
При допороговых нагрузках, когда кавитация не развивается,
определенные с помощью меток и электромагнитным датчиком профили
волн совпадали, а отраженная от свободной поверхности короткая
волна практически повторяла форму падающей. Это дает основание
полагать, что скорость применяемых меток совпадает с массовой
скоростью окружающей их жидкости.
Так как в каждом эксперименте измерялись только три
значения средней массовой скорости, с учетом статического кадра, то
моменты съемок выбирались с таким расчетом, чтобы получаемые
в различных экспериментах данные частично перекрывались.
Толщина изображения меток на рентгеновских снимках определялась
нерезкостью из-за конечности фокуса рентгеновской трубки (для
«линейных» меток она составляла 0,2 мм, а для «точечных»
определялась их размером и составляла 0,5 мм), что ограничивало точность
вычислений средней скорости. Кроме того, точность измерения
зависела от промежутка времени усреднения. Так как скорость меток
ограничена, то интервал времени между рентгеновскими
вспышками выбирался так, чтобы его величина не сказывалась на
разрешении смещения меток. Относительная погрешность, связанная с
интервалом времени между вспышками, находится в пределах от 7 %
для интервала 0,3 мс до 20 % для интервала в 0,1 мс. Одной из
причин случайных погрешностей являлось также образование пузырей
на поверхности меток, вызывавшее их локальное смещение.
Определение временной зависимости средней массовой скорости
по результатам одной серии экспериментов с идентичными
условиями нагружения показало, что в течение первых 0,6 – 0,8 мс скорость
частиц практически постоянна и разница в скоростях меток по
глубине сохраняется. В этой серии экспериментов средняя амплитуда
ударных волн составляла (11,4 ± 0,6) МПа, длительность — 70 мкс,
профиль волны в районе фронта имел «полочку» (рис. 13,в).
Положение линейных меток на снимках определялось по центру
свинцовых полосок. И хотя измерений радиального распределения
скорости не проводилось, эксперименты обнаружили на более
поздних временах изгиб линейных меток, который качественно
характеризует радиальную структуру потока и дает профиль скоростей,
присущий течению вязкой жидкости. Очевидно, что мы имеем дело
с двухфазной средой, обладающей значительной вязкостью.
286
Глава VII
Для того, чтобы показать распределение массовых скоростей по
глубине, результаты их измерений в двух идентичных
экспериментах выведены точками в координатах «скорость — лагранжева
координата — время» (рис. 13,5). Начало координат связано со свободной
поверхностью. Эти результаты сравнивались с расчетами по модели
мгновенной релаксация растягивающих напряжений за фронтом
волны разрежения [24], выполненными в рамках следующей постановки.
Пусть в момент t = 0 ударная волна, профиль которой задается в
виде некоторой монотонной функции рsh == рfrf(x), где рfr —
давление во фронте ударной волны, выходит на свободную поверхность
(координата x = x0). При t > 0 в жидкость (с монодисперсным
распределением микронеоднородностей в виде микропузырьков
свободного газа радиусом 1 мкм и концентрацией 104 см-3) со скоростью
звука со распространяется волна разрежения, за фронтом которой
происходит мгновенная релаксация растягивающих напряжений.
Следуя далее анализу Η. Η. Чернобаева [24], систему
уравнений для описания течения в кавитирующей жидкости в массовых
лагранжевых координатах запишем в виде
где ξ — лагранжева координата, и — массовая скорость, ρ, ρ0 —
плотности смеси и жидкости соответственно, vьиы — объем кави-
тационных пузырьков в единице массы смеси, ро — атмосферное
давление.
Если принять ξ = x1, то в рамках принятого приближения
давление в точке x1 в момент прихода волны (фазы) разрежения
мгновенно падает с р1 = рfrf(2ξ - x0) до р0, массовая скорость и1
становится равной 2p1/ρ0c0, а ее распределение (в силу закона сохранения
импульса, du/dt = 0) в зоне кавитации оказывается стационарным
и = и(ξ) и определяется профилем исходной ударной волны:
Теперь несложно найти скорость деформации кавитирующей
жидкости
Проблемы кавитационного разрушения
287
и после интегрирования уравнения неразрывности получить
уравнение для определения функции ρ(t)
Индекс ξ у функции f означает производную по лагранжевой
координате. Исходя из экспериментального профиля давления (рис. 13,б),
на рис. 13,б приведены модельные распределения скорости для
соответствующих моментов времени (сплошные линии). Видно, что
расчетные кривые вполне адекватны экспериментальным данным,
в целом подтверждают тенденцию к сохранению профиля скорости
для различных моментов времени и дают основание говорить о «за-
мороженности» профиля массовой скорости в кавитирующей
жидкости. На более поздних временах на больших глубинах от свободной
поверхности заметно отклонение расчетных кривых от
экспериментальных данных, что может быть связано как с идеализацией
профиля давления, так и с приближенным характером модели, не
учитывающей неоднородность макроструктуры кавитационной зоны.
1.8. Об одной физической модели разрушения (модель
«мгновенной» фрагментизации). Как показали эксперименты, минимальная
величина поверхностной плотности энергии, необходимая для кави-
тационного разрушения жидкости при ее импульсном нагружении,
составляет 0,15 ± 0,03 Дж/см2, что оказывается достаточным для
разрушения образца длиной 16 мм. При этом, критической
величины энергии оказывается достаточно лишь для приведения среды в
состояние пенной структуры.
По данным [24, 26] величина минимальной удельной энергии
кавитационного разрушения равна 0,4 Дж/г (в этих экспериментах
нагружение носило взрывной характер). И хотя приведенная оценка
имеет интегральный характер, не учитывающий неоднородностей
структуры потока по радиусу, она имеет несомненное право на
существование, так как дает простой ответ на вопрос, какая энергия
должна быть выделена в центре жидкого образца для его
диспергирования.
Из экспериментов по взрывному нагружению следует, что зона
интенсивно развитой кавитации по внешним признакам может быть
определена как зона с пузырьками «насыпной плотности». При этом
цепочки касающихся друг друга пузырьков могут заполнять объем
смеси смещением на радиус пузырька или параллельным переносом.
Предполагая неизменность их сферической формы при начальном
288
Глава VII
числе зародышей порядка 106 см-3, несложно оценить, что размер
жидких фракций, возникающих в пространстве между касающимися
пузырьками в такого рода структурах, в зависимости от
конфигурации заполнения колеблется в интервале 7 – 25 мкм. Эта оценка
сделана по центральному ядру, хотя оно, исходя из конфигурации
заполнения, должно иметь несколько тонких «шлейфов», которые
в процессе разлета и разрушения могут дать в спектр капельной
структуры формирующейся инверсионной двухфазной среды
частицы с микронным размером.
Основные черты процесса разрушения конечного объема
жидкости со свободной поверхностью при взрывном нагружении,
получившего название кавитационного разрушения [4], можно описать
следующим образом. Отражение сильной ударной волны от свободной
поверхности приводит к формированию волны разгрузки. За фронтом
последней наблюдается интенсивное развитие пузырьковой
кавитации на ядрах, роль которых играют микронеоднородности, всегда
содержащиеся в реальных жидкостях.
Неограниченное развитие кавитационных пузырьков приводит
к образованию пенной структуры в «кипящей» жидкости.
Последняя в процессе инерционного расширения, начало развития которого
можно связать с завершением релаксации растягивающих
напряжений, трансформируется в конечном итоге в газокапельную
структуру. Естественно, что в каждом конкретном случае длительность
той или иной фазы процесса разрушения может быть различна и
существенно зависеть от динамики нагружения. Тем не менее,
основываясь на результатах экспериментальных и численных
исследований, можно отметить характерные времена процесса,
исследованного в лабораторных постановках: релаксация растягивающих
напряжений — порядка микросекунд, развитие плотного кавитационного
кластера — десятки микросекунд, формирование пенной
структуры — сотни микросекунд, ее развал на жидкие (возможно, кавити-
рующие) фрагменты — порядка миллисекунд. Остановимся на
проблеме моделирования последней фазы процесса.
Пренебрегая деталями процесса перехода из пенной
структуры в капельную, будем считать, что фрагментизация произошла
мгновенно, как только структура зоны кавитации достигла
состояния плотной упаковки пузырьков. Предположим также, что плотная
упаковка пузырьков мгновенно трансформировалась в плотную
упаковку упругих сферических несливающихся жидких капель, спектр
возможных размеров которых оценивался выше. Эта модель была
Проблемы кавитационного разрушения
289
названа «песчаной», принимая во внимание, что рассматриваемая
структура среды характеризуется только упругими
взаимодействиями частиц [31].
Предварительно было проведено экспериментальное
сопоставление характерных деталей процесса взрывного разрушения
сплошной жидкой и натуральной песчаной оболочек при соблюдении всех
геометрических параметров системы «заряд — оболочка».
Высокоскоростная киносъемка процесса разлета обоих типов
цилиндрических оболочек при осевом взрывном нагружении показала
идентичность основных структурных особенностей формирующихся при
этом двухфазных потоков [6]. На рис. 19 показаны кадры
скоростной кинограммы характерной картины разлета песчаной оболочки с
распадом потока на стримерную структуру для относительно
малого (около 3-х) и большого (порядка 10-ти) калибров сборки «заряд
ВВ — оболочка».
Если сравнивать структуру разлетающихся песчаных и
водяных оболочек для одинаковых калибров исследуемых систем, можно
отметить идентичность возникающих в близкие времена (после
начала инициирования детонации заряда) стримерных структур
газокапельных и песчаных потоков, характерных для тонких оболочек,
и сохранение цилиндрической формы при больших калибрах.
Для изучения тонкой структуры потока при формировании
песчаного облака было разработано специальное устройство для
регистрации динамики распределения частиц в потоке в произвольной
локальной точке. Оно представляло собой плоский диск с ободом
высотой около 2 см, радиусом около 15 см, который устанавливался на
вал двигателя и мог вращаться с линейной скоростью до 150 м/с.
По внешнему периметру обода крепилась лента специальным
клеящим составом наружу. Вся конструкция размещалась в
герметически закрытом кожухе с небольшим окошком 2 χ 2 см,
расположенным напротив ленты, и вентилятором. Эта ловушка располагалась
на заданном расстоянии от сборки «заряд — оболочка» и заранее
выводилась на нужный режим по скорости, которая устанавливалась
в соответствии с длительностью потока таким образом, чтобы
исключить возможность повторного наложения потока» Длительность
потока определялась в результате анализа скоростной кинограммы
развития процесса в окрестности данной точки. Так как окошко в
ловушке постоянно открыто, то какой-либо синхронизации ее запуска
с процессом не требовалось. При взрывном разрушении часть потока
попадала в ловушку, частички фиксировались на вращающейся лен-
290
Глава VII
Рис. 19. Разлет песчаной оболочки при взрывном нагружении при
относительно малых (порядка 3-х, а) и больших (порядка 10, б)
калибрах сборки
Проблемы кавитационного разрушения
291
L = 0,5 м
L =1,0м
Рис. 20. Разлет песчаной оболочки при взрывном нагружении:
динамика структуры потока, измерения на двух различных
расстояниях от сборки
292
Глава VII
те, которая таким образом регистрировала изменение концентрации
частиц во времени и их распределение по мере прохождения потока
через данную точку.
На рис. 20 представлены две развертки структуры песчаного
потока для калибра 6Rch на расстояниях 0,5 и 1 м (интервал
между кадрами 1 мс). Интересно отметить, что поток характеризуется
своеобразной стратификацией частиц по размерам. На расстоянии
0,5 м более мелкие частицы расположены в «хвосте» потока
(фиксируются в более поздние моменты времени), а на расстоянии 1 м
ловушка фиксирует только крупные частицы. Таким образом
песчаное облако к моменту остановки должно оказаться существенно
стратифицированным: мелкие частицы занимают центральную его
часть, а крупные располагаются на периферии. При внимательном
рассмотрении данных скоростных кинограмм внутренней
структуры разлетающейся жидкой оболочки можно заметить ее помутнение,
вызванное либо возвратом каких-то частиц в центр, либо их
большой инерцией. Численный анализ упомянутой песчаной модели дал
возможность понять наблюдаемый эффект стратификации в
структуре «песчаного» потока.
Модель с мгновенной трансформацией пенной структуры в
капельную была исследована в следующей постановке [31].
Сферический заряд ВВ с плотностью ρсh и радиусом r1 окружен
оболочкой с внешним радиусом r2, которая представляет собой двухфазную
смесь «жидкие частицы — воздух» с объемной долей дисперсной
фазы 74%, равной концентрации плотной упаковки шаров. Детонация
заряда моделируется мгновенным взрывом при постоянном объеме
с некоторым средним значением давления в продуктах детонации,
имеющих ту же плотность ρch. Сферически-симметричное
движение такой двухфазной смеси можно описать системой уравнений
механики гетерогенных сред, выписываемых для каждого компонента
отдельно:
Проблемы кавитационного разрушения
293
Здесь
u2|(u1 – u2), индексы 1 и 2 присвоены газовой и дисперсной фазам
соответственно; d — диаметр частиц, ρi, ρi0, аi, щ, рi, Ei, ei — средняя
и истинная плотность, объемная концентрация, скорость, давление,
полная и внутренняя энергия i-й фазы. Выражения для
коэффициентов сопротивления приведены в [31]. Для дисперсной фазы
используется уравнение состояния в форме Тэта. Система замыкается
условием совместного деформирования фаз при следующем
предположении: при a2 > 0,74 частицы деформируются так, что укладываются
в вершинах правильных тетраэдров, поверхность соприкосновения
двух частиц плоская, а вне точек соприкосновения они сохраняют
сферическую форму.
Численные расчеты проводились по методу крупных частиц.
При этом в силу большой скоростной неравновесности фаз для
устойчивости счета правая часть в уравнениях сохранения импульсов
аппроксимировалась следующим образом: один множитель брался с
нижнего (по времени) слоя разностной сетки, другой — с
верхнего. В качестве ВВ брался гексоген с плотностью ρch = 1,65 г/см3
и калорийностью 1,32 ккал/г. Другие исходные параметры
задачи: r1 = 0,3 см, r2 = 1,5 см, е = 5 526 Дж/г, ρ1 = 1,65 г/см3,
a2 = 0,74, ρ20 = 1 г/см3, u2 = 0, e2 = 0. Внешняя (относительно
капельной оболочки) среда — воздух, начальные параметры
которого ρ1 = 0,001 г/см3, и1 = 0, е1 = 250 Дж/г.
Расчеты проведены для трех сортов жидких частиц: d = 1, 6
и 60 мкм. Анализ численных исследований показал, что можно
выделить три стадии развития процесса. Первая связана с распадом
разрыва на внутренней границе двухфазной области (рис. 21,а),
который приводит к возникновению волны разрежения в продуктах
детонации и ударной волны в газовой (сплошные кривые) и дисперсной
(штриховые кривые) фазах. При этом ударная волна в газе
(сплошные кривые) несколько отстает и заметно меньше по амплитуде, чем
в жидких частицах диаметром 1 мкм (кривые 1-3 соответствуют
t = 3, 6 и 9 мкс).
Под действием ударной волны дисперсная фаза сжимается и
приобретает большую по сравнению с газом скорость: граница
продуктов детонации отстает от внутренней кромки дисперсного слоя.
294
Глава VII
Рис. 21. Распределение давления (а), концентрации (б) и
массовой скорости (в) при взрывном метании оболочки из жидких
капель
После выхода ударной волны на внешнюю границу в воздухе
возникает отошедшая ударная волна, а в частицы распространяется волна
разрежения, которая наряду с дивергентными эффектами приводит
к быстрому падению напряжений в частицах и их плотность
становится ниже насыпной (частицы разделяются, оболочка становится
проницаемой). На рис. 21,6 показано распределение концентрации
дисперсной фазы по толщине слоя для / = 0(1)и20 мкс (2).
На второй стадии идет перекачка кинетической энергии в
дисперсную фазу. Можно считать, что этот этап заканчивается к
60 4- 70 мкс, когда давление в продуктах детонации падает до
атмосферного, частицы начинают тормозиться. На рис. 21,β показано
распределение массовых скоростей для t = 20 (1) и 100 мкс (2) для
частиц диаметром 6 мкм.
Третий этап характеризуется кумуляцией волны разрежения к
центру и достаточно интенсивным возвратным течением газа (рис.
22, кривые 1, 2), который тормозит, а затем и увлекает мелкие
частицы к центру (рис. 22, кривые 3, 4, скорость жидких частиц
отрицательна), определяя, по сути, механизм стратификации частиц по
размерам, замеченный в экспериментах. Давление во внутренней
полости таким образом вновь повышается, частицы останавливаются
и затем увлекаются расходящимся потоком газа. В результате воз-
Проблемы кавитационного разрушения
295
Рис. 22. Динамика распределения массовой скорости газа и
дисперсной фазы (штриховые кривые) при взрывном метании
оболочки из жидких капель (третья стадия процесса, диаметр
частиц 1 мкм)
1, 2 — t = 300, 350 мкс; 3, 4 — t = 400, 500 мкс
никают затухающие колебательные движения двухфазного потока
относительно легких частиц.
На рис. 23 представлена динамика внешних и внутренних
границ потока для d = 1 (штриховые кривые) и 6 мкм (штрихпунк-
тирные кривые). Амплитуда и частота колебаний дисперсной зоны
в первом случае (d = 1 мкм) больше, чем во втором (d = 6 мкм), в
силу ее меньшей проницаемости. Таким образом, волновые
процессы в газовой фазе накладывают заметный отпечаток на динамику
внутренней границы слоя, которая формируется из мелких частиц
и осциллирует с характерной для этих процессов периодичностью
отражения и фокусировки волн в расширяющейся двухфазной
оболочке.
Иначе дело обстоит в случае крупных частиц d = 60 мкм.
Сопротивление такого облака оказывается достаточно малым и хотя
оно и создает разрежение во внутренней области (порядка 50 кПа),
возвратное течение газа не оказывает большого влияния на его
движение. Поэтому именно траектория тяжелых частиц определяет
внешнюю границу капельного облака. С упомянутыми эффектами
связано и резкое (примерно в 40 раз) увеличение толщины
двухфазного слоя при его разлете, в котором частицы спектра с интервалом
размеров l–60 мкм к моменту времени t = 3 мс займут пространство
от rin = 5 см до rех ~ 45 см (рис. 23).
296
Глава VII
Рис. 23. Динамика
расширения и структуры «песчаной»
оболочки при взрывном
метании
2,0 t, мс 3,0
«Песчаная» модель одной из стадий процесса разрушения
жидкости при взрывном нагружении может найти интересное
продолжение в рамках результатов экспериментальных исследований
структуры течения пылевидного слоя в волне разрежения [32]*.
Постановка экспериментов состояла в следующем: слой высотой 60 см из
стеклянных шариков диаметром 125 мкм насыпался на дно
цилиндрической рабочей камеры, наполненной воздухом под давлением и
отделенной от камеры низкого давления диафрагмой. После
разрушения последней волна разрежения распространялась по
воздушному промежутку, достигала границы слоя, отражалась от него и
частично преломлялась внутрь. Эксперименты показывают, что
преломленная волна вызывала быстрое расширение газа в порах
между частицами. Причем расширение происходило таким образом, что
первоначально образовывались горизонтальные разрывы типа
отколов в жидкости (рис. 24), которые трансформировались затем в
систему полостей, образуя сотовую структуру (можно сравнить с
кадрами рентгенограмм кавитационной зоны) [32].
Согласно экспериментальным данным [32] толщины
«откалываемых» зон в пылевидном слое составляют несколько диаметров
частиц, которые в верхней части слоя получают среднее ускорение
около 275g в первые 5 мс и достигают скоростей порядка 15 м/с.
* Исследования выполнены в Кarman Laboratory of Fluid Mechanics and Jet
Propulsion (California Institute of Technology) под руководством проф. Брэда
Стертеванта.
Проблемы кавитационного разрушения
297
Рис. 24. Динамика структуры 125-микронного слоя
стеклянных шариков в волне разрежения
Заметим, что плотность частиц в пылевидном слое равна примерно
5 · 105 см-3 и соответствует числу зародышей кавитации в реальной
жидкости, а сам слой моделирует состояние кавитирующей
жидкости, когда пузырьковая зона достигает «насыпной» плотности.
Приведенный анализ существенно нелинейных эффектов,
определяющих поведение реальных жидкостей под действием
взрывных нагрузок, показал, что, несмотря на значительную сложность,
возможно построение адекватных физико-математических моделей,
описывающих волновые процессы в кавитирующих и
разрушающихся жидкостях, а также динамику их состояния. Рассмотренные
экспериментальные постановки и предложенные методики позволили
решить ряд принципиальных вопросов, касающихся механики
развития процесса разрушения жидкости.
Из круга нерешенных проблем необходимо прежде всего
отметить механизм «хрупкого» разрушения пенной структуры и переход
пена — капли, разработку методик, позволяющих разрешить весь
возможный спектр зародышей, вопросы устойчивости их
комбинационных структур типа «газовые ядра — твердые частицы», проблему
метастабильного состояния жидкости в «глубокой» отрицательной
298
Глава VII
Рис. 25. Схема эксперимента
по кавитационному разрушению
капли жидкости
фазе и кинетику формирования паровых центров на фронте
интенсивной волны разрежения.
Необходимо, правда, отметить, что в последнее время в
проблеме инверсии двухфазного состояния наметились некоторые
принципиальные сдвиги, связанные с особенностями структуры течения
кавитирующей среды на поздних стадиях разрушения.
1.9. Кавитационное разрушение жидкой капли. По результатам
экспериментальных исследованиях поздней стадии разрушения при
компьютерной обработке рентгеновских негативов после оцифровки
на лазерном сканере FEAG был проведен анализ динамики
распределения плотности и обнаружены резкие пульсации локальной
плотности, указывающие на сильную неоднородность зоны разрушения.
Эти результаты соответствуют принятой модели инверсии
структуры течения с промежуточным состоянием типа пены, но не
дают представления о характере ее структуры и физическом
механизме перехода в капельное состояние. Здесь важной оказалась
постановка, позволившая существенно ограничить область разрушения и
разрешить основные элементы динамики структуры течения. Суть
ее состоит в разрушении мелкой водяной капли в результате удара
микросекундной длительности. Последнее условие является
принципиальным, так как генерируемая в капле ударная волна должна быть
ультракороткой — меньше характерного размера капли, чтобы речь
шла о кавитационном разрушении.
Экспериментальная установка (рис. 25) представляла собой
силовой элемент электромагнитной ударной трубки, на диафрагму
которой помещалась капля дистиллированной воды, радиус
которой варьировался от нескольких миллиметров до сантиметра. При
разряде батареи конденсаторов на плоскую спиральную катушку,
помещенную между проводящими мембраной и диском D, в зазоре
между мембраной и катушкой возникает импульсное магнитное
поле. Осциллограммы тока и скорости мембраны имели слабо осцил-
Проблемы кавитационного разрушения
299
Рис. 26. Разрушение жидкой капли при ударно-волновом на-
гружении (общий вид)
лирующий характер. При ударе мембраны по капле в ней
формировалась ударная волна с амплитудой 5 – 6 МПа и длительностью
порядка 3 – 5 мкс. Параметры волны оценивались по динамике
свободной поверхности тонкого слоя жидкости на мембране, записанной
емкостным датчиком.
На рис. 26 представлены два последовательных кадра процесса
разрушения. На каждом кадре светлый овал с неровными краями —
диафрагма, в центре которой можно видеть каплю в одном из
промежуточных состояний процесса разрушения.
Первый кадр показывает каплю с возмущенной поверхностью
в центре (примерно через 100 мкс после генерации ударной волны),
второй — одно из состояний разрушающегося объема со
сферическими контурами пустот, диспергированной нижней частью капли и
разросшимися «пузырями» кластеров на поверхности. Специальные
съемки с импульсной подсветкой микросекундной длительности
позволили разрешить динамику тонкой структуры разрушаемой капли
(рис. 27, 28) [33].
Эксперименты показали, что процесс разрушения можно
охарактеризовать двумя стадиями. Начальная стадия — формирование
плотной кавитационной зоны (рис. 27). Первый кадр — начальное
состояние: капля прозрачна и сквозь нее четко видна
поверхностная структура дюралюминиевой диафрагмы. При ударе диафрагмы
по капле (диаметр капли около 2 см, диафрагмы — 8 см)
появляется кольцевая кумулятивная струя в виде тонкой пелены и первые
макрокластеры кавитационных пузырьков миллиметровых размеров
(рис. 27, кадр 2). Нетрудно заметить, что структура зоны кавита-
300
Глава VII
Рис. 27. Формирование системы пузырьковых кластеров в
разрушающейся капле при нагружении ее ультракороткой
ударной волной
ции определяется системой возрастающего числа макрокластеров,
формирующихся, очевидно, в процессе роста микр'онеоднородностей
и их объединения.
К 70 мкс вся капля «вскипает» (рис. 27, кадр 4), приобретая
явно выделяющуюся ячеистую структуру. В дальнейшем происходит
инерционное развитие зоны кавитации и капля трансформируется в
пространственную сетку с четко выделяющимися зонами в виде
ячеек из жидких жгутов (рис. 28,6), в которых, очевидно, сосредоточена
основная масса исходной капли. Элементы жидкой сетки при
дальнейшем растяжении постепенно разделяются на отдельные
фрагменты — струйки, которые в силу неустойчивости разрушаются на
отдельные капли (рис. 28,б — увеличенный масштаб части снимка б).
Характерно, что даже в капельном состоянии поток сохраняет
ячеистый рисунок структуры в течение длительного времени.
Таким образом, возникающая в сильных волнах разрежения
кавитационная зона представляет собой систему пузырьковых ми-
Проблемы кавитационного разрушения
301
Рис. 28. Трансформация
капли диаметром ~ 1 см из
начального состояния (а) в
ячеистую структуру в виде
сетки из жидких жгутов (б),
распад ячеек на жидкие жгуты и
затем на микрокапли (б)
крокластеров, сформировавшихся на начальной стадии расширения
и объединения кавитационных зародышей. Инерционное развитие
этих микрокластеров приводит к формированию ячеистой
структуры типа жидкой сетки с тонкой пленкой. Распад ячеек жидкой
сетки на отдельные струйки и, затем, на капли (рис. 28,б)
составляет основу механизма инверсии двухфазного состояния жидкости при
динамическом разрушении.
2. Кластер, кумулятивные струи
и кавитационная эрозия
Типичные эксперименты по лабораторному моделированию
ультразвуковой кавитационной эрозии, описанные в [20], показывают,
что в жидкой прослойке между преобразователем и исследуемым
образцом развивается пузырьковый кластер как результат действия
растягивающих напряжений в фазах разрежения. Типичная картина
этого процесса представлена на рис. 29 в виде кадров
высокоскоростной киносъемки динамики кавитационной зоны. Частота пульсаций
302
Глава VII
Рис. 29. Эрозийный тест: динамика кавитационной зоны в
жидком слое между хорном и образцом
Проблемы кавитационного разрушения
303
хорна 20 кГц, амплитуда 3,9 мкм, объем кавитационной зоны
составляет 0,226 см3. Несложно видеть, что пузырьки во всей зоне
пульсируют практически синхронно, определяя, таким образом, динамику
видимого кавитационного кластера в целом: его развитие,
достижение максимума плотности парогазовой фазы (t = 32 мкс, рис. 29) и
схлопывание (t = 100 мкс). Однако оказалось, что частота
пульсации кластера не совпадает с частотой внешнего поля, создаваемого
хорном.
Как отмечалось ранее, парогазовые пузырьки образуются на
так называемых ядрах кавитации — гетерогенных включениях,
практически всегда содержащихся в реальных жидкостях. Так,
например, в часто используемой модели Гарвея [34] предполагается
существование зародышей кавитации в виде твердых гидрофобных
микрочастиц со щелями, в которых могут сохраняться газовые или
паровые ядра. Другой тип структур, названных комбинационными,
зарегистрирован экспериментально в [35], где показано, что
микропузырьки могут «закрепляться» на сильно шероховатых
поверхностях твердых ядер, обеспечивая устойчивость их взвешенного в
жидкости состояния. Наличие таких структур объясняет и эффект
«просветления» жидкости после прохождения ударной волны как
результат разрушения комбинационной структуры и осаждения
«очищенных» от газовых пузырьков твердых ядер.
Многочисленные исследования проблемы кавитационной
эрозии, например [36-41], подтверждают важность анализа
взаимодействия одиночного пузырька с твердой поверхностью, механизм
повреждения которой принято связывать с воздействием на нее
ударных волн и кумулятивных микроструек, возникающих при схлопы-
вании пузырька. Здесь особый интерес представляют
экспериментальные данные по корреляции тонкой структуры локальной зоны
разрушения с гидродинамическими параметрами пульсации
индивидуального пузырька в кавитирующей жидкости [38-40].
Эти данные указали, в частности, на существование порогового
энергетического барьера [39] и на монотонную зависимость потери
массы от максимального диаметра пузырька Dmax, т. е. от исходной
потенциальной энергии системы Umax [40]. Последняя
трансформируется в энергию волны сжатия и кумулятивной струйки,
возникающих в процессе схлопывания пузырька. Заметим, что согласно
[42] амплитуда ударной волны, генерируемой одиночным кавитаци-
онным пузырьком при схлопывании, на расстоянии порядка
начального радиуса пузырька настолько мала, что не может вызвать раз-
304
Глава VII
Рис. 30. Параметры зоны
повреждения при ударе
кумулятивной микроструи по
образцу:
крестики — расчет,
кружочки — эксперимент
рушения образца.
Данные [40] были обобщены в [43] в виде двух зависимостей для
потери массы на одиночный импульс нагрузки:
(Δm измеряется в мг, a Umax — в Дж). Первая зависимость
используется для Umax > U*, вторая — для Umax < U*, где U* ~ 2,1610-5 Дж,
и определяет, по мнению авторов [40], порог хрупкого разрушения.
Числовые коэффициенты и значение Umax получены для
используемого в работе алюминия.
Как уже отмечалось, в процессе развития пузырьковой
кавитации среда существенно меняет и свое состояние, и параметры
волнового поля. Это естественным образом приводит к идее
использования двухфазной модели реальной жидкости для оценки результатов
эрозийных тестов. Важность такого подхода определяется тем, что,
несмотря на локальный характер эрозийных эффектов, их частота и
интенсивность должны определяться гидродинамическими
характеристиками пузырькового кластера и особенностями структуры
волнового поля в нем. Первые исследования, учитывающие
неоднородность среды в постановках по эрозийным тестам, выполнены в [13,
20]. Ниже, на основе двухфазной модели кавитирующей жидкости и
обобщения экспериментальных и численных данных по локальному
разрушению образца кумулятивными микроструйками,
рассматриваются возможные подходы к оценке эрозийных эффектов.
2.1. Одиночная полость, кумулятивные струи: эксперимент и
модели. Как уже упоминалось, интересные экспериментальные
результаты с системой «падающая ударная волна — пузырек — образец»
Проблемы кавитационного разрушения
305
получены в работе [39], где для алюминия исследованы
зависимости глубины ямки hp, образованной ударом кумулятивной
микроструйки, от амплитуды ударной волны psh, сжимающей
находящийся вблизи образца пузырек, и от твердости материала образца Ηυ
(рис. 30). Воспользуемся результатами работы [39] для определения
связи глубины проникания струи с потерей массы при однократном
воздействии на образец. Очевидно, что частота воздействия и его
интенсивность могут быть определены только в рамках двухфазной
модели динамики кавитирующей жидкости.
Оказалось, что в достаточно широком диапазоне параметров
глубина ямки hp ос psh/Hv. Заметим, что микротвердость Ηυ в
классических задачах пробивания преград кумулятивными струями
входит в условие равенства давлений на границе раздела «струя —
преграда» и рассматривается как параметр, отвечающий за дисси-
пативные процессы
Здесь Vp, Vj — скорости внедрения и свободной струи
соответственно. Это условие, в частности, позволяет найти минимальное
значение скорости кумулятивной струи, при которой проникания в
преграду не происходит: Vj,min = \/2Hv/ρj. Так, для используемого в
[39] диапазона значений Ηυ = 14 – 70 минимальная скорость струи,
действующей на образец, меняется в пределах 170 – 375 м/с.
Экспериментальные данные [39] показывают, что при
амплитудах ударной волны psh ^ 35 МПа для любого значения Ηυ в пределах
указанного диапазона алюминиевый образец фактически не
пробивается: hp ~ 0. Очевидно, при этих значениях psh и радиусе пузырька
.R0 = 0,85 мм величина скорости кумулятивной микроструйки не
превышает прочностного порога мишени. Указанные данные
можно интерпретировать как пороговое значение начальной
потенциальной энергии системы, которая в этом случае определяется величиной
U* ~ 0,1 Дж.
В экспериментах [39] начальный объем пузырька V0
фиксировался, поэтому практически hp pshV0 или hp Umax, что
соответствует данным [40]. Учитывая характер трансформации течения
при кумуляции, логично рассматривать зависимость hp от
отношения Umax/Sj, где Sj = πdj2/4 — площадь сечения струи. Таким
образом, появляется новый параметр, который можно оценить
следующим образом. Диаметр ямки dp как функцию глубины проникания
306
Глава VII
hp находим на основании данных [39]:
(здесь размеры берутся в микронах). Связь dj и dp оценивается из
[44] в рамках классической теории кумуляции для плоской задачи
обтекании пластины бесконечным потоком несжимаемой жидкости
где в терминах параметров кумуляции tg μ = Vp/(Vj — Vp) = λ,
Vp — скорость проникания струй, λ = ρj/ρm, ρт — плотность
материала образца (видно, что при одинаковых плотностях Vp =
Vj/2). Подстановка данных по алюминию дает dj ~ dp/3.
Наконец, естественно предположить, что диаметр струи
пропорционален максимальному размеру пузырька R* (или у* = R*/R0).
Тогда полуэмпирическая зависимость глубины проникания струи от
основных параметров задачи и интеграла потенциальной энергии
системы определится как
(hp, R0 измеряются в мкм, ρ, Ην — в МПа, коэффициент 11,6
определен по данным эксперимента [39]).
На рис. 30 для сравнения с экспериментальными данными (2)
нанесены данные (1), рассчитанные по зависимости (12) [39].
Совпадение вполне удовлетворительное. Согласно [44] в случае мишени из
мягких материалов около 20 % объема выбрасывается из ямки,
пробитой кумулятивной струей. Если ямка представляет собой конус,
выброшенный объем можно вычислить на основании (11)
где hp определяется из (12). В предположении, что именно эта масса
определяет эрозийный эффект (потерю образцом массы) для
пластических материалов, соотношения (10) дают возможность численно
оценить динамику повреждения, если известна плотность
пузырьков на единицу площади и частота их пульсаций. Эти параметры
Проблемы кавитационного разрушения
307
определяются на основе анализа начального состояния микронеод-
нородностей в жидкости и решения задачи о кавитационном
кластере.
Заметим, что указанный порог не является единственным
ограничением при оценке эрозийного эффекта. Вторым принципиальным
фактором служит длина кумулятивной струи. Согласно [45] глубина
проникания кумулятивной струи Lip, длина струи Lj, ее плотность
ρj и плотность материала мишени ρт связаны соотношением
Таким образом, в жидкости кумулятивная струйка пробивает
только свою длину (λ = 1) и наличие слоя жидкости между кавита-
ционным пузырьком и стенкой образца существенно снижает
эффективность ее воздействия. Как показывает расчет осесимметричной
задачи [46] о схлопывании первоначально сферической пустой
полости у твердой стенки, выполненный Курбацким, уже при толщине
прослойки L = 0,5Rmax микроструйка формируется в окрестности
начального положения центра пузырька. Она имеет длину порядка
половины его радиуса (Lj = L) при расстоянии до образца около
трех своих длин. Несмотря на довольно высокую скорость (более
180 м/с), такая струйка не может оказать какого-либо воздействия
на образец.
При контакте пузырька с поверхностью формируется струйка
длиной Lj ~ Rmax и диаметром dj ~ 0,2Rmax с практически
однородным полем скоростей. На рис. 31 показана динамика профиля
пузырька и траектории частиц для различных моментов времени.
Профиль b соответствует безразмерному времени 0,812 5, профиль
h — 1,0906, при времени схлопывания пустой полости в
безграничной жидкости 1,092 9 (0 — начальный профиль). Скорость вершины
струи в момент касания нижней границы можно оценить в м/с как
Vj ~ 1,3 · 104 p/ρj, если давление измерять в МПа, а плотность —
в кг/м3. Таким образом, только при внешнем давлении р,
превышающем 0,2 МПа, может быть преодолен упомянутый выше порог
прочности для самого мягкого материала при контакте пузырька
с поверхностью. Можно показать, что кинетическая энергия струй
составляет всего 0,4% от U/max, что заметно выше данных [40] —
0,01%.
С точки зрения внешнего поля, все предыдущие рассуждения
касались гидростатики, а форма пузырька перед фазой схлопывания
308
Глава VII
Рис. 31. Формирование кумулятивной микроструйки (расчет,
осесимметричная постановка) (а), траектории частиц на
поверхности полости (б)
задавалась произвольно. Между тем, в реальной ситуации кавитаци-
онный пузырек растет из зародыша вблизи стенки в фазе разрежения
ультразвукового поля. В момент своего максимального расширения
он принимает форму эллипсоида, нижняя часть которого искажена
в зависимости от начального положения зародыша. При этом
пузырек может отойти от стенки на некоторое расстояние. Другая
особенность реального процесса состоит в том, что создаваемое хорном
внешнее поле существенно искажается из-за затрат энергии на
образование кавитационной зоны.
2.2. Кавитационный кластер. Как уже отмечалось, эрозия —
результат коллективного воздействия кавитационного кластера,
динамика которого определяет и характерные времена схлопывания,
и динамику поля давления в зоне кавитации, и структуру течения
в окрестности индивидуального пузырька вблизи твердой стенки.
Чтобы воспользоваться приведенными оценками, необходимо в
рамках двухфазной математической модели рассчитать указанные
характеристики.
2.2.1. Начальное состояние жидкости. Возможные расчеты
кавитационного процесса, естественно, должны опираться на
достоверную информацию о начальных параметрах газосодержания:
значение объемной концентрации k0 и размеров зародышей R0· Экспе-
Проблемы кавитационного разрушения
309
Таблица 2
Среда
Водопроводная вода
Дистиллированная вода
t*, час
0
2
17
21
0
24
k*
2,8 · 10-4
8 · 10-6
1 · 10-6
< 10~6
< 1·10-6
< 1·10-6
D, мкм
40–120
1,2–15
1,2–l0
1,2–11
1,2–1З
1,2–3,4
рименты с дистиллированной, свежей и отстоявшейся
водопроводной водой по анализу динамики распределения микронеоднородно-
стей были выполнены на специализированном оборудовании Malvern
Instruments M 6.10 с использованием магнитной мешалки [43]. В
основе измерения — метод светорассеяния на микронеоднородностях
в жидкости. Результаты приведены в табл. 2 и 3, где t* — время
отстаивания в часах, k* — объемная концентрация зародышей, D —
диапазон размеров [мкм], R* — размер зародышей [мкм], β* — доля
данного размера неоднородностей [%].
В табл. 2 показана динамика газосодержания в процессе
отстаивания жидкости. Распределение зародышей кавитации по размерам
для отстоявшихся образцов приведено в табл. 3. Видно, что в случае
водопроводной воды верхняя граница спектра заметно выше, а сами
Таблица 3
R*, мкм
11,1
8,3
6,2
4,6
3,0
2,6
2,2
1,9
1,6
1,4
β*,%
Водопроводная
вода
0,1
8,3
18,8
13,5
3,5
2,3
1,3
0,8
0,6
0,3
Дистиллированная
вода
—
—
—
—
0,2
1,7
15,0
33,9
30,0
13,8
310
Глава VII
спектры имеют область пересечений. При этом в дистиллированной
воде частицы с размерами в диапазоне 1,4–2,2 мкм составляют более
90% объемного состава микронеоднородностей, разрешаемых
данным методом. Заметим, что упомянутое оборудование имеет предел
разрешения объемной концентрации до величины 10-6 и не
позволяет получать количественные данные по числу частиц в
распределении из-за сложности подбора стандартного тестового образца.
Для их оценки мы использовали результаты анализа треков
дифракционных пятен микронеоднородностей, приведенные ранее, которые
показали, что общее число микронеоднородностей любой природы в
образце дистиллированной воды достигает 105 – 106 см-3.
2.2.2. Двухфазная модель. Постановка задачи. Процесс развития
кавитации в тонких жидких слоях будем исследовать в рамках
простой схемы, позволяющей рассматривать несколько вариантов осе-
симметричных и плоской постановок: неподвижная жесткая сфера
радиуса а размещена внутри полой осциллирующей с частотой f
сферы (хорн) радиуса аex, заполненной жидкостью. Величина
зазора δ между ними регулируется смещением их центров L.
Как отмечалось выше, течение кавитирующей жидкости
описывается законами сохранения для средних характеристик и
замыкается уравнением для концентрации к в монодисперсной смеси
пузырьков. В качестве определяющей системы уравнений используем
систему (4), (5) [20, 21]:
с пространственной переменной η = αrk1/6.
В нашем случае осесимметричной задачи о развитии кавитации
в тонком зазоре между двумя сферическими поверхностями решение
уравнения (14) представляется через комбинацию функций Бесселя
Κn+1/2(ζr) и полиномов Лежандра Pn(cosΘ) и имеет вид
Здесь ζ = αk1/6, α = 3k0/R02. В приведенном ниже анализе
ограничимся двумя членами ряда. Тогда приближенное решение уравнения
(14), определяющее аналитическую зависимость р(k), найдется в
виде
Проблемы кавитационного разрушения
311
Коэффициенты B0,1 в разложении определяются из граничных
условий
где η — единичная нормаль к поверхности αeχ,βS(ί) = — nbω2 sin(ωt) —
ускорение поверхности, а b — его амплитуда.
Окончательно, давление в зоне кавитации на поверхности хорна
(r = r*) определится соотношением
где
Подстановка (16) в уравнение (15) по-сути сводит задачу к
решению обыкновенного дифференциального уравнения второго
порядка, в котором пространственная координата r играет роль
параметра. Угол Θ отсчитывается от линии центров, начало координат
помещено в центр сферы а, r* — координата точки на сфере радиуса
2.2.3. Анализ результатов расчета. На основании приведенных
выше данных объемная концентрация k0 рассматривалась в
диапазоне значений 10-6 – 10-12. Все расчеты проведены для R0 = 1 мкм.
Вообще говоря, с учетом приведенных экспериментальных данных
по спектру зародышей, система уравнений (14), (15) должна
усложниться: для каждого участка спектра необходимо писать свое
уравнение типа (15). Однако, как было показано в [13], в
интенсивных ультразвуковых полях первоначально полидисперсная
структура распределения быстро становится монодисперсной (рис. 32).
На рис. 32 показаны результаты (выполненного в рамках
одномерной двухфазной модели) расчета фаз расширения и схлопыва-
ния пузырьков, отличающихся начальными размерами (от 6 для R1
до 2,88 мкм для R10)j а также профиль давления в зоне кавитации
(рис. 32,б). По синхронному и одновременному схлопыванию видно,
что пузырьки, по крайней мере к моменту достижения
максимального размера, стали одинаковыми.
На основе изложенных выше оценок эрозийного повреждения
попытаемся смоделировать экспериментальный результат [37]. Схема
двух сфер в этом случае должна иметь следующие геометрические
параметры: аех = 20 см, а = 1 см, смещение центров L = 18,95 см,
312
Глава VII
Рис. 32. Численные результаты расчета спектра динамики
пузырьков в кавитационной зоне (а), давление в центре кавита-
ционной зоны (б):
f = 20 кГц, b = 3 мкм, R1 = 6 мкм, R10 = 2,8 мкм
зазор между поверхностями «хорна» и образца δ = 0,5 мм.
Используемая частота в оборудовании 14,5 кГц.
Исследование тонкой структуры профиля давления как функции
k0 показало, что увеличение его значений от 0 (или 10-12, при
котором амплитуда поля уже заметно уменьшается, но профиль волны
еще остается неизменным) до 10-6 приводит к постепенному
формированию «разрешенного» кавитирующей жидкостью «портрета»
нагрузки [43]. В кавитирующей жидкости подавляющая часть
генерируемой хорном волны поглощается, заметно возрастает скорость
нагружения образца, что характеризуется возникновением в зазоре,
как правило, нерегулярных пиковых нагрузок достаточно высокой
амплитуды. Резко изменяются поведение и параметры кавитацион-
ного пузырька по сравнению с его «одиночной» динамикой [43].
Используем численную интерпретацию (10)
экспериментальных данных [40] по оценкам потери образцом массы, приходящейся
на однократный импульс нагрузки, и попытаемся связать скорость
эрозии с потенциальной энергией пузырька Umax. Заметим, что эти
данные получены для условий, в которых при длительном
циклическом нагружении образца возникают усталостные эффекты, поэтому
оценки на единичную нагрузку могут оказаться сильно
усредненными.
Проблемы кавитационного разрушения
313
Рис. 33. Экспериментальные данные по поверхностной эрозии
(характерная динамика структуры разрушения [35])
Рис. 34. Сравнение экспериментальных (кружочки) [35] ш
численных (штриховая линия, крестики) данных по объему зоны
и скорости (W*) эрозии (звездочка в кружочке)
Значение потенциальной энергии UmaX определяется
интегралом pdv, а суммирование ее по всем пульсациям дает динамику
скорости потери массы W*. Результаты расчета для амплитуды
колебаний b = 25 мкм и значения k0 = 10-8, усредненные по всему
текущему интервалу времени, показывают, что с течением времени
значение W* имеет тенденцию к стабилизации на уровне примерно
0,1 мг/с. С известной долей осторожности (расчет ведется на
десятки миллисекунд, а обобщается на минуты) эти расчеты можно
перенести на эксперименты [37] с мягкими металлокерамическими
материалами, учитывая достаточную близость значений твердости
образцов: Ηυ = 140 [40] и 133 [37]. По функции Wt несложно
оценить динамику потери массы W(t), которая согласно [37] в
интервале 10 -г 30 мин близка к линейной функции W ~ 2(t — 5)/3 (t
измеряется в мин, W — в мм3).
На рис. 33 представлены данные работы [37] по динамике
профиля поверхности, подверженной эрозийному воздействию, для
моментов времени 2, 6 и 18 мин при различных масштабах глубины
314
Глава VII
эрозии по вертикали. Данные по динамике потери объема W(t) и
скорости потерь Wt (мм3/мин) для этого эксперимента приведены
на рис. .34. Здесь же показаны расчетные оценки W*(t) (штриховая
линия, крестики) и величина Wt* (звездочка в кружочке) для
момента времени t = 40 мин, полученные в рамках указанных выше
условий. Видно, что порядок величин примерно тот же.
Выполненный анализ показал, что комбинация двухфазной
модели с подходами классической теории кумуляции дает возможность
получать оценки эрозийных эффектов, основанные на обобщении
экспериментальных тестовых результатов, с точностью до
порядка величины без рассмотрения полной проблемы кавитационного
разрушения образца. Расчет развития кавитационных пузырьков на
микронеоднородностях, выполненный в [46] с учетом трансформации
поля давления в кавитирующей жидкости показал, что существует
положение ядер, которое определяет оптимальное с точки зрения ка-
витационной эрозии соотношение между скоростью кумулятивной
струи, ее длиной и расстоянием до поверхности образца.
3. О механизме дезинтеграции
мишени при фокусировке
ударных волн
Как показывает практика, физика кавитационных явлений
имеет самое непосредственное отношение к широко известным
эффектам вскипания жидкости под действием растягивающих
напряжений и эрозии — механическому разрушению поверхностей в
результате ударов кумулятивных микроструек, развивающихся при схло-
пывании кавитационных микропузырьков на этих поверхностях. В
медицинской практике с этими эффектами сталкиваются, в
частности, при ультразвуковой диагностике и использовании литотрипте-
ров для разрушения почечных камней. Как нежелательный элемент
процесса, эрозия может проявляться на кожном покрове пациента
или в тканях из-за фазы разрежения, возникающей, в частности, в
результате дифракции волны на кромке эллипсоида, как элемента
системы фокусировки ударных волн.
В то же время роль зоны кавитации, развивающейся вокруг
мишени в процессе фокусировки на нее ударной волны, может
оказаться существенной для процесса дезинтеграции мишени в лито-
триптерных системах. В лабораторных исследованиях фокусировки
волн в жидкости, как правило, мало внимания уделяется фазе разре-
Проблемы кавитационного разрушения
315
жения, несмотря на то, что она естественным образом возникает при
использовании открытых сегментов эллипсоидов и сфер в качестве
отражателей или источников.
3.1. Основные результаты по моделированию литотрипторных
систем. Грёниг в своем обзоре [47] дает краткую информацию по
истории исследования литотрипторов (ESWL — Extracorporeal Shock
Wave Lithotripsy), отметив работы*, в которых достаточно
подробно изучены структура и параметры волнового поля в зоне фокуса.
Но кавитационные эффекты в них моделируются, в основном, как
результат взаимодействия ударных волн с искусственно создаваемыми
пузырьками газа и не имеют отношения к кавитации, как новому
состоянию среды, существенно меняющему параметры волнового поля
[6] и условия, при которых возможно схлопывание пузырька с
образованием кумулятивной струйки.
Физические аспекты фокусировки волн в контексте ESWL
анализируются Стертевантом в [48], где ставится вопрос о механизме
разрушения почечных камней («kidney stone») и о роли волны
разрежения в нем. Согласно [48] сильные волны разрежения, следующие
за фронтом ударной волны, приводят к сокращению длительности ее
положительной фазы, резкому обострению ее формы и ограничению
амплитуды. Такая волна, проникая в мишень, вызывает появление
в ней сдвиговых напряжений и, как следствие, откольных явлений.
Кувахара [49] приводит экспериментальные данные по
процессу дезинтеграции, зарегистрированному высокоскоростной
видеокамерой. Согласно им при падении ударной волны на мишень вокруг
нее сначала развивается интенсивная кавитационная зона, затем
камень деформируется и разрушается. Кувахара считает, что именно
кавитационные пузырьки определяют механизм разрушения.
Аналогичные эффекты наблюдались Китаямой и др. [50],
которые отметили, что после фокусировки волны давление вокруг
мишени резко уменьшается, что приводит к возникновению кавита-
ционной зоны. При этом считается, что в течение этого времени
внутри камня растут трещины, которые расширяются до
некоторого максимального размера и затем схлопываются. Затем начинается
вторая стадия расширения с ростом трещин и камень
разрушается. Очевидно, что это лишь предположение, поскольку наблюдать
*Jutkin, Goldberg (1959), Forssman (1975), Chaussy et al., Reichenberger and
Naser, Ziegler and Wurster (1986), Muller (1987), Deliuo and Brendel, Takayama et
al., Coleman and Saunders (1988).
316
Глава VII
Рис. 35. Процесс формирования пузырькового кластера на
поверхности камня [52]
описываемый процесс невозможно, так как объект наблюдения был
«экранирован» окружающим его кавитационным облаком.
Грюневальд с коллегами [51] предложили одну из акустических
схем расчета поля давления в области фокуса ударной волны,
учитывающую смещение источника. Делюс [52] рассмотрел три
возможных механизма повреждения ткани ударными волнами:
тепловой эффект, эффект прямого механического воздействия и
косвенный эффект, вызываемый кавитацией. Оценки показывают, что для
типичных волновых форм, генерируемых в системах, можно
ожидать повышения температуры примерно на 2 °С при частоте
повторения импульсов 100 Гц. Механизм повреждения Делюс связывает
с формированием кумулятивных микроструек, возникающих либо в
результате несимметричного схлопывания пузырька у твердой
стенки мишени, либо в результате взаимодействия кавитационного
пузырька с ударной волной [53]. Заметим, что это один из типичных
механизмов кавитационной эрозии в ультразвуковых полях. Но не-
Проблемы кавитационного разрушения
317
обходимо отметить, что при ультразвуковой эрозии кумулятивные
микроструйки возникают с частотой порядка десятков килогерц, что
нереально для литотриптерных систем из-за низкой частоты
генерации последовательности ударных волн и сложной структуры ка-
витационной зоны в окрестности мишени, имеющей вид плотного
облака пузырьков [50].
На рис. 35 представлены три различных интервала (1-3)
высокоскоростной съемки процесса формирования пузырькового кластера
на поверхности камня в результате фокусировки ударной волны
(эксперименты выполнены Делюсом в 1990 г.). Время между кадрами в
каждом интервале — 40 мкс, время задержки между
последовательными интервалами 200 мкс. Ударная волна генерировалась Дорнье
Литотриптором с амплитудой во фронте 65 МПа и фазой разрежения
с максимальной амплитудой —6 МПа. Камень размещался на
металлической фольге в геометрическом фокусе литотриптора. Заметим,
что эти эксперименты проводились с водой, а не с моделирующим
раствором, развитие кавитации в котором может быть заметно
слабее.
Типичные профили ударных волн с фазами разрежения,
генерируемые в различных литотриптерных схемах (рис. 36) и их
взаимодействие с микропузырьками микронных размеров представлены в
[54, 55]. Прат [56] рассмотрел возможность применения кавитацион-
ных эффектов для терапии опухолей желудка, высказав заключение,
что генерируемая импульсным способом кавитация может быть
использована для селективного и неинвазивного метода разрушения
глубоких опухолей. Зондирующий импульс для этих целей
формируется в виде последовательности фаз «разрежения — сжатия».
Результаты экспериментального исследования диаграммы
«давление — плотность» тканей человека и моделирующего их
желатина, а также численное моделирование для предсказания уровня
генерации высокого давления в тканях и их взаимодействия изложены
в [57]. В частности, в работе сообщается о гистерезисных
эффектах, обнаруженных при исследовании крови, когда плотность среды
не достигает начального значения после снятия нагрузки. Отметим,
что аналогичный эффект в дистиллированной воде впервые был
описан в [35]. Как оказалось, его природа определяется двухфазным
состоянием среды, содержащей микронеоднородности, играющие роль
ядер кавитации и изменяющие свою структуру под действием
волнового поля. Вероятно, подобный механизм мог определять и
природу гистерезиса, обнаруженного в крови [57]. С другой стороны, в
318
Глава VII
Рис. 36. Профили ударных волн, характерные для различных
типов литотрипторов
некоторых исследованиях, например [58], можно встретить весьма
скептическое отношение к мнению о значительной роли кавитации
в механизме разрушения почечных камней.
Сато и др. [59] предложили использовать мягкий импульсный
рентген для визуализации в живых тканях кавитационной зоны,
вызванной ударными волнами. Как было показано выше, метод
импульсного рентгена с той же целью был применен в исследованиях
динамики развития необратимых кавитационных процессов в
дистиллированной воде с высокой плотностью парогазовой фазы [27,
60].
Исузугава и др. [61] экспериментально исследовали формы
рефлекторов для генерации сферических ударных волн в воде и
фокусировку их в некоторых типах нефти.
Ссылки можно было бы продолжить, но мы остались бы в
рамках тех же объяснений причин разрушения, которые изложены выше:
кумулятивные струйки при схлопывании кавитационных пузырьков
или (и) сдвиговые напряжения, возникающие внутри мишени при
действии ультракоротких мощных ударных волн, приводящие к
развитию микротрещин в разрушаемой мишени.
Проблемы кавитационного разрушения
319
Попытаемся на основе упомянутых постановок и известных
экспериментальных фактов проанализировать другие (возможно,
основные или сопутствующие) механизмы дезинтеграции мишени.
3.2. Гидродинамическая модель механизма разрушения в зоне
кавитации. Как видно из рис. 35, в результате фокусировки ударной
волны с фазой разрежения мишень оказывается полностью окруженной
плотным пузырьковым слоем уже на начальной стадии эволюции
кавитационного кластера. Анализ и предсказание дальнейшего
поведения этого кластера и влияния его динамики на мишень в прямой
постановке не возможны.
Однако, принципиальные моменты процесса вероятного
воздействия кластера на мишень могут быть промоделированы на
примере развития кавитационных эффектов, возникающих на дне
вертикальной трубки с жидкостью, получившей импульс ускорения вниз
в результате удара [20]. Очевидно, что в этом случае в силу
инерционных свойств жидкость будет стремиться остаться на месте, а
движение дна трубки будет моделировать выдвигаемый из
жидкости поршень: в жидкость будет распространяться волна разрежения.
Естественно, при достаточно интенсивном ударе (и, соответственно,
при какой-то критической амплитуде волны разрежения) дно может
отделиться от жидкости. Последний эффект можно расценивать как
неограниченное развитие кавитационного кластера вблизи дна
трубки вплоть до образования структуры типа пены или практически
сплошной парогазовой прослойки. Таким образом, мы снова
приходим к уже упомянутому эффекту инверсии двухфазного состояния
жидкости. Однако здесь нас будут интересовать другие его
последствия.
На рис. 37 показана уже упомянутая последовательность
событий в окрестности дна трубки, получившей ускорение а* типа
симметричной полуволны с амплитудой около 2 · 104 м/с2 и шириной
импульса около 300 мкс. На дне трубки были вмонтированы
датчики ускорения и давления. Их осциллограммы представлены
соответственно на рис. 38 и 39. Эксперименты были выполнены автором во
время исследований в Датском техническом университете в рамках
совместного с И. Хансоном и К. Мёрхом проекта по кавитационной
эрозии.
Интервал между кадрами на рис. 37 равен 1 мс, номер
каждого кадра минус единица соответствует значению t в мс.
Нетрудно видеть, что под действием растягивающих напряжений вблизи
дна трубки формируется плотная кавитационная зона, которая к
Рис. 37. Последовательность развития пузырькового кластера в окрестности дна трубки,
получившей ускорение 2 · 10 мс-2 (интервал между кадрами 1 мс)
Проблемы кавитационного разрушения
321
4 мс трансформируется в парогазовый слой и, практически,
отделяет жидкость от дна трубки. Затем, под действием разницы давлений
слой начинает схлопываться и через 7–8 мс исчезает. В этот момент
датчики записывают резкий скачок ускорения с амплитудой,
превышающей а* (рис. 38, t = 7,735 мс), и импульс давления с амплитудой
около 1,5 МПа и длительностью в 1,5 мс (рис. 39,6). Поясним
данные рис. 39: а — осциллограмма с короткой разверткой около 2 мс
(записан профиль растягивающих напряжений на дне трубки,
который, естественно, трансформирован кавитационным процессом по
сравнению с упомянутым выше); б — серия пульсаций на фоне
фазы разрежения (полная развертка 10,235 мс), из которых один самый
мощный по времени совпадает со вторым скачком ускорения (рис.
38); β — две мощных последовательных пульсации.
Вполне очевидно, что второй скачок ускорения и импульс
давления вызваны гидравлическим ударом жидкости по дну трубки
при схлопывании парогазового слоя. Заметим, что метка (рис. 37:
черный треугольник слева), жестко связанная с движущейся вниз
трубкой, на всех представленных кадрах перемещается только вниз,
исключая, таким образом, возможное предположение об осцилляциях
трубки из-за упругости пружины, на которую она опирается (видна
снизу на кадрах).
Рис. 38. Осциллограмма ускорения дна трубки
(регистрируются повторяющиеся гидравлические удары)
322
Глава VII
Рис. 39. Осциллограмма давления, записанная на дне трубки
(пики — повторяющиеся гидравлические удары)
В результате гидравлического удара трубка получает второе
ускорение (рис. 38), а в окрестности дна трубки начинает
развиваться новый кавитационный кластер (рис. 37, кадры 9-12). Этот
процесс повторяется несколько раз: осциллограммы ускорения (рис.
38) и давления (рис. 39) регистрируют повторяющиеся
гидравлические удары.
Таким образом, можно ожидать, что фокусировка в литотри-
пторных системах только одного ударного импульса с фазой
разрежения способна вызвать серию гидравлических ударов по мишени,
которые можно рассматривать как один из реальных механизмов ее
дезинтеграции.
Проблемы кавитационного разрушения
323
Рис. 40. Удар капли. Шероховатость поверхности мишени как
благоприятных фактор ее разрушения [62]:
1 — центральная ямка; УВ — фокусирующаяся ударная волна
Интересно отметить, что, как следует из рис. 39, в
промежутке между основными ударами возможно возникновение серии более
слабых ударов, связанных с пульсацией отдельных крупных
парогазовых пузырьков.
Заметим, что данные, приведенные на рис. 39, указывают
параметры кривой p(t) (время в мс и амплитуду в мВ) в месте
расположения на осциллограмме вертикальной метки. Минус означает
отрицательное давление на дне трубки. Видно, что первая кривая (а)
дает информацию о структуре растягивающих напряжений. Вторая
(б) показывает первый мощный положительный пик давления как
результат гидравлического удара. Третья осциллограмма (в)
подтверждает наличие серии последовательных ударов.
Необходимо отметить, что грубая поверхность мишени с
возможным сочетанием бугров и впадин может только
благоприятствовать процессу разрушения, в соответствии с механизмом,
предложенном Филдом и др. [62], для объяснения эрозии поверхности при
ударе по ней жидких капель. Действительно, согласно этой модели
в результате удара и затекания капли вероятно образование
сходящихся ударных волн (УВ) и кумулятивных струй (рис. 40).
3.3. Роль фокусировки на мишень фазы разрежения ударной волны
«стандартного» профиля. Рассмотрим задачу о фокусировке ударной
волны, имеющей фазу разрежения. Для этой цели нет
необходимости рассматривать полную постановку с генерацией ударной волны
в одном фокусе (или на поверхности) эллиптического отражателя, ее
распространение, отражение и дифракцию. Достаточно
воспользоваться многочисленными экспериментальными данными, например
[47, 48, 54], по структуре и параметрам «стандартных» профилей
ударных волн (рис. 36), генерируемых в литотрипторных системах,
324
Глава VII
и ограничиться только областью течения в окрестности фокуса. В
этом случае задачу, по существу, можно свести к постановке, в
которой одномерная цилиндрическая волна фокусируется на твердое
ядро а. Для этой цели нужно выбрать соответствующим образом
закон изменения давления на внешней границе области одномерного
течения, который обеспечивал бы моделирование реальной
структуры ударной волны в окрестности мишени. Цилиндрический вариант
постановки выбран в связи с тем, что реальный фокус в
эллипсоиде (уже при регистрации фокусировки волны в отсутствии мишени)
заметно отличается от точечного, не говоря уже о том, что реальная
волна фокусируется на объекте конечных размеров.
Вторая особенность постановки наиболее принципиальна: будем
считать, что жидкость, заполняющая пространство вокруг
мишени — реальная жидкость, т. е. двухфазная среда, содержащая
микронеоднородности в виде микропузырьков свободного газа,
которые играют роль ядер кавитации. Как было показано выше, течение
кавитирующей жидкости описывается системой законов сохранения
для средних характеристик среды, а ее состояние — динамической
подсистемой, включающей соотношение между плотностью ρ,
объемной концентрацией газовой фазы k, средним давлением в среде р.
В лагранжевых координатах эта система приобретает вид
Здесь Τ — температура газа в пузырьке, у = R/R0, R — газовая
постоянная, и — коэффициент вязкости, μ — молярная масса газа.
На рис. 41 представлена динамика распределения радиусов
пузырьков и давления в пространстве при фокусировке ударной волны
с расстояния в 10 см для трех моментов времени: 50, 60 и 170 мкс
от начала процесса фокусировки (k0 = 10-4, R0 = 1 мм). Видно, что
уже к 60 мкс ударная волна достигает поверхности мишени
(пунктирная линия, радиус мишени 1 см) и имеет параметры, близкие к
Проблемы кавитационного разрушения
325
170 мс
Рис. 41. Развитие зоны кавитации в окрестности фокуса
(относительное изменение радиуса пузырьков R/R0 в зоне) и
динамика профиля ударной волны в процессе фокусировки для
моментов времени 50, 60 и 170 мкс
упомянутым в [48], включая и довольно продолжительную с
амплитудой в несколько мегапаскалей фазу разрежения. Распределение
радиусов пузырьков к этому моменту времени не содержит каких-либо
особенностей: они интенсивно схлопываются под действием ударной
волны в окрестности мишени и их радиус немного возрос в
окрестности периферии (граница «запуска» ударной волны на
цилиндрическую мишень).
К 170 мкс ситуация существенно меняется: в результате
отражения на мишени образуется плотный пузырьковый кластер
(толщиной ~ 1 – 2 см), в котором к этому моменту времени значение
объемной концентрации к увеличивается примерно в 300 раз, а
давление в пузырьках близко к нулю. Можно ожидать, что в
соответствии с экспериментальными данными, приведенными ранее,
разница давлений на внешней границе пузырькового кластера и среднего
давления внутри него приведет к схлопыванию кластера и
возникновению упомянутого гидравлического эффекта.
326
Глава VII
Литература
1. Trevena D. H. Cavitation and Tension in Liquids. Bristol; Philadelphia:
Hilger, 1987.
2. Wilson D. Α., Hoyt J. W., McKune J. W. Measurement of tensile
strength of liquid by explosion technique // Nature. 1975. V. 253, N 5494.
3. Carlson G. Α., Henry K. W. Technique for studying tension failure in
application to glycerol // J. Appl. Phys. 1973. V. 42, N 5.
4. Кедринский В. К. Поверхностные эффекты при подводном взрыве
(обзор) // ПМТФ. 1978. № 4.
5. Коул Р. Подводные взрывы. М.: Изд-во иностр. лит., 1950.
6. Кедринский В. К. Нелинейные проблемы кавитационного
разрушения жидкости при взрывном нагружении (обзор) // ПМТФ. 1993. № 3.
С. 74-91.
7. Hammitt F. G., Roller A.9 Ahmed O., et al. Cavitation threshold
and superheat in various fluids // Proc. Conf. on Cavitation. Edinburg,
Sept. 3-5, 1974. London; N. Y.: Mech. Eng. Publ., 1976.
8. Strasberg M. Undissolved air cavities as cavitation nuclei // Cavitation
in Hydrodynamics. London: National Phys. Lab., 1956.
9. Бесов А. С, Кедринский В. К., Пальчиков Б. И. Изучение
начальной стадии кавитации с помощью дифракционной оптической
методики // Письма в ЖТФ. 1984. Т. 10, вып. 4.
10. Шифрин К. С. Рассеяние света в мутной среде. М.; Л.: Гостехтеоре-
тиздат, 1951.
11. Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами. М.: Изд-во иностр.
лит., 1961.
12. Воловец Л. Д., Златин Η. Α., Пугачев Г. С. Возникновение и
развитие субмикротрещины в полиметилметакрилате при динамическом
растяжении (отколе) // Письма в ЖТФ. 1978. № 18. С. 1079-1084.
13. Kedrinskii V. К. Peculiarities of bubble spectrum behavior in cavitation
zone and its effect on wave field parameters // Proc. Conf. Ultrasonics
Intern. 85. London, Gilford, 1985.
14. Kedrinskii V. K. On relaxation of tensile stresses in cavitating liquid //
Proc. 13th Intern. Congress on Acoustics (Beograd, 1989). Sabac: Dragan
Srnic Press, 1989. V. 1, C. 327-330.
15. Гаврилов Р. Л. Мощные ультразвуковые поля. М.: Наука, 1970.
16. Сиротюк М. Г. Экспериментальное исследование ультразвуковой
кавитации // Мощные ультразвуковые поля. М.: Наука, 1968. Ч. 5, 167-
220.
17. Kedrinskii V. К. On multiplication mechanism of cavitation nuclei //
Proc. 12th Intern. Congress on Acoustics. Toronto, 1986.
Проблемы кавитационного разрушения
327
18. Кедринский В. К., Ковалев В. В., Плаксин СИ. Об одной
модели пузырьковой кавитации в реальной жидкости // ПМТФ. 1986. № 5.
19. Кедринский В. К. Динамика зоны кавитации при подводном взрыве
вблизи свободной поверхности // ПМТФ. 1975. №5.
20. Hans son I., Kedrinskii V., Morch К. On the dynamics of cavity
cluster // J. Physics. D: Applied Physics. 1982. V. 15.
21. Кедринский В. К. Распространение возмущений в жидкости,
содержащей пузырьки газа // ПМТФ. 1968. № 4.
22. Kedrinskii V. К. Negative pressure profile in cavitation zone at
underwater explosion near free surface // Acta Astronaut. 1976. V. 3,
N 7-8.
23. Kedrinskii V. K., Plaksin S. Rarefaction wave structure in cavitating
liquid // Проблемы нелинейной акустики: Сб. Тр. симпоз. IUPAP-
IUTAM по нелинейной акустике. Новосибирск, 1987. Ч. 1.
24. Chernobaev N. N. Modelling of shock-wave loading of liquid volumes //
Proc. IUTAM Symp. Adiabatic Waves in Liquid-Vapor Systems.
Gottingen, 1989. Berlin et al.: Springer, 1989.
25. Kedrinskii V. K. The experimental research and hydrodynamical models
of a «sultan» // Arch. Mech. 1974. V. 26, N 3.
26. Стебновский С. В. О механизме импульсного разрушения жидкого
объема // ПМТФ. 1989. № 2.
27. Berngardt Α., Bichenkov E., Kedrinskii V., Pal'chikov Б. Optic
and x-ray investigation of water fracture in rarefaction wave at later
stages // Proc. IUTAM Symp. on Optical Methods in the Dynamics of
Fluids and Solids. Prague, 1984.
28. Бернгардт А. Р., Кедринский В. К., Пальчиков Е. И. Эволюция
внутренней структуры зоны разрушения жидкости при импульсном
нагружении // ПМТФ. 1995. Т. 36, № 2. С. 99-105.
29. Бернгардт А. Р. Динамика зоны кавитации при импульсном
нагружении жидкости: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. 1995.
30. Besov A. S., Kedrinskii V. К., Pal'chikov Ε. I. On threshold
cavitation effects in pulse rarefaction waves // Proc. 13th Intern. Congress
on Acoustics (Beograd, 1989). Sabac: Dragan Srnic Press, 1989. V. 1, C.
355-358.
31. Гетц И. Г., Кедринский В. К. Динамика взрывного нагружения
конечного объема двухфазной смеси // ПМТФ. 1989. № 2.
32. Anilkumar A. V. Experimental Studies of High-Speed Dense Dusty
Gases: Thesis. Pasadena, 1989.
33. Кедринский В. К., Бесов А. С, Гутник И. Э. Инверсия
двухфазного состояния жидкости при импульсном нагружении
Докл. РАН. 1997. Т. 352, № 4. С. 477-479.
328
Глава VII
34. Harvey Ε. Ν., Whiteley Α. Η., McElroy W. D, et al. Bubble
formation in animals. II. Gas nuclei and their distribution in blood and
tissues // J. Cellular and Comparative Physiology. 1944. V. 24, N 1.
35. Besov A. S., Kedrinskii V. K., Matsumoto Y., et al.
Microinhomogeneity structures and hysteresis effects in cavitating liquid //
Proc. 14th Intern. Congress on Acoustics. Beijing, China, Sept. 3-10, 1992.
36. Okada Т., Iwai Y., Yamamoto A. A study of cavitation erosion of cast
iron // Wear. 1983. N 84.
37. Okada Т., Iwai Y., Hosokawa Y. Comparison of surface damage
caused by sliding wear and cavitation erosion on mechanical face seal // J.
Tribology. 1984. N 42.
38. Tomita Y., Shima Α., Takayama K. Formation and limitation of
damage pits caused by bubble-shock wave interaction // Proc. National
Symp. Shock Wave Phenomena. Sagamihara, 1988. Tohoku: Tohoku Univ.,
1989.
39. Sanada N., Asano Α., Ikeuchi J., et al. Interaction of a gas bubble
with an underwater shock wave, pit formation on the metal surface // Proc.
16th Intern. Symp. Shock Tubes and Waves. Aachen, 1987. Weinheim: VCH
Publ., 1988.
40. Makarov V., Kortnev Α. Α., Suprun S. G., Okolelov G. I.
Cavitation erosion and spectrum analysis of pressure pulse heights
produced by cavitation bubbles // Proc. 6th Intern. Symp. Nonlinear
Acoustics (Moscow, 1975). M.: Moscow State Univ., 1976. V. 2.
41. Fujikawa S., Akamatsu T. Experimental investigations of cavitation
bubble collapse by a water shock tube // Bull. ASME. 1978. V. 21, N 152.
42. Ivany R., Hammitt F. Cavitation bubble collapse in viscous
compressible liquids numerical analysis // Trans. ASME. Ser. D. 1965. N 4.
43. Kedrinskii V. K., Stepanov V. A. Cavitation effects in thin films //
Proc. 12th Intern. Symp. on Nonlinear Acoustics. Austin, Texas, 1990. L.;
N. Y.: Elsevier Applied Sci., 1990.
44. Алексеевский В. П. К теории бронепробивающего действия
кумулятивной струи. Киев: изд-во АН УкрССР, 1953.
45. Лаврентьев М. А. Кумулятивный заряд и принципы его действия //
Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, № 4. С. 41-56.
46. Kurbatskii К. Α., Kedrinskii V. К. Collapse of a bubble in the
cavitation zone near a rigid boundary // Abstr. 124th Meeting of ASA.
New Orlean, USA, Oct. 31-Nov. 4, 1992. P. 2453.
47. Gronig H. Past, present and future of shock focusing research // Proc.
Intern. Workshop on Shock Wave Focusing. Inst, of High Speed Mechanics,
Sendai, Japan, March 22-23, 1989. P. 1-38.
Проблемы кавитационного разрушения
329
48. Sturtevant В. The physics of shock focusing in the context of ESWL //
Ibid. P. 39-64.
49. Kuwahara M. Extracorporeal shock wave lithotripsy // Ibid. P. 65-89.
50. Kitayama O., Ise H., Sato Т., Takayama K. Non-invasive gallstone
disintegration by underwater shock focusing // Proc. 16th Intern. Symp.
on Shock Tubes and Waves, Aachen: VCH, 1987. P. 897-904.
51. Grunevald M., Koch H.9 Hermeking H. Modeling of shock wave
propagation and tissue interaction during ESWL // Ibid. P. 889-895.
52. Delius M. Effect of lithotripter shock waves on tissues and materials //
Proc. 12th ISNA, Frontiers of Nonlinear Acoustics. London: ESP, 1990.
P. 31-46.
53. Kedrinskii V. K., Soloukhin R. I. Collapse of a spherical gas bubble
in water by a shock wave // J. Appl. Mech. Tech. Phys. 1961. N 1.
54. Church C, Crum L. A theoretical study of cavitation generated by four
commercially available ESWL // Proc. 12th ISNA. Frontiers of Nonlinear
Acoustics. London: ESP, 1990. P. 433-438.
55. Church C. A theoretical study of cavitation generated by an
extracorporeal shock wave lithotripter // JASA. 1989. V. 86, N 1. P. 215-
227.
56. Prat F. The cytotoxicity of shock waves: cavitation and its potential
application to the extra-corporeal therapy of degistive tumours // Proc.
19th Intern. Symp. on Shock Waves. Marseille, France, July 26-30, 1993.
57. Nagoya H., Obara Т., Takayama K. Underwater shock wave
propagation and focusing in inhomogeneous media // Proc. 19th Intern.
Symp. on Shock Waves. Marseille, France, July 26-30, 1993. V. 3, P. 439-
444.
58. Stuka C, Sunka P., Benes J. Nonlinear transmission of the focused
shock waves in nondegassed water // Ibid. P. 445-448.
59. 56. Sato E. et al. Soft flash x-ray system for shock wave research // Ibid.
P. 449-454.
60. Bayikov I., Berngardt Α., Kedrinskii V., Pal'chikov Б.
Experimental methods of study of cavitation cluster dynamics // J. Appl.
Mech. Tech. Phys. 1984. N 5.
61. Isuzugawa K., Fujii M., Matsubara Y., et al. Shock focusing across
a layer between two kinds of liquid // Proc. 19th Intern. Symp. on Shock
Waves. Marseille, France, July 26-30, 1993.
62. Field J. E., Lesser M. В., Dear J. P. Studies of two-dimensional liquid-
wedge impact and theirrelevance to liquid-drop impact problems // Proc.
Roy. Soc. London. 1985. V. A401. P. 225-249.
Глава VIII
КУМУЛЯТИВНЫЕ СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ПРИ
МАЛОЗАГЛУБЛЕННЫХ ПОДВОДНЫХ ВЗРЫВАХ
1. Состояние проблемы
Очевидно впервые в относительно полном объеме проблемы
течения жидкости при малозаглубленных подводных взрывах нашли
свое отражение в монографии Коула [1]. Результаты
отечественных и зарубежных исследований за последующие четверть века
были обобщены в [2-4], где показано, что наблюдаемые в окрестности
свободной поверхности изменения структуры среды и
формирование направленных высокоскоростных течений связаны с отражением
ударных волн и динамикой полости с продуктами детонации.
Интенсивное развитие кавитационных явлений, отколы, механизмы
формирования кумулятивных струйных течений — тема исследований,
анализируемых в настоящей главе, предысторию которых
естественно начать с кавитационных проблем.
Пузырьковая кавитация вблизи свободной поверхности.
Вообще говоря, пузырьковая кавитация — это классическая задача
физической акустики, связанная, как правило, с
гидроакустическими источниками генерации подводного звука, кавитационной
эрозией, инерционными и прочностными свойствами жидкости. Основная
причина возникновения пузырьковой кавитации хорошо известна:
появление в среде с изначально гетерогенной структурой
растягивающих напряжений. Последние могут возникать и при взрывных
процессах в средах со свободными границами, в результате
отражения от них ударных волн.
Вопрос о возникновении кавитации и особенностях структуры
волн вблизи свободной поверхности рассматривался в работах [2,
Кумулятивные струйные течения ...
331
5-10]. Так, в [5] экспериментально исследованы параметры ударной
волны и дан анализ развития зоны кавитации при взрыве зарядов
весом 1 г и 100 кг на глубинах (1–8)Rch. Измерения проведены в
диапазоне глубин (1–16)Rch. Для расстояний от точки взрыва до 120Rch
(Rch — радиус заряда). Зона нелинейного взаимодействия ударной
волны подводного взрыва со свободной поверхностью определена в
[6-8]. Оказалось, что снизу зона ограничена траекторией «тройной
точки», в которой сходятся фронт ослабленной ударной волны,
невозмущенный фронт падающей ударной волны и волна разрежения.
«Плавное» снижение давления за фронтом возмущенной волны,
характерное для нелинейной зоны, дает основание заключить, что в
этой зоне видимых кавитационных разрывов не возникает [5].
Таким образом, траектория «тройной» точки может
рассматриваться как теоретически возможная верхняя граница зоны
кавитации, что, как будет показано, не противоречит экспериментальным
данным. Следовательно, развитие видимой зоны кавитации
должно наблюдаться в области регулярного отражения, для которой, как
известно [2, 6], справедлив акустический метод определения
давления, использующий принцип наложения поля давления от взрыва
мнимого заряда. Работы, посвященные этой проблеме и
использующие акустический метод, сводятся как правило, либо к вычислению
зоны отрицательных давлений [9], что в лучшем случае
определяет лишь исходные условия для развития кавитации, либо к оценке
размеров и числа откольных зон [2, 10], используя результаты
исследований прочностных характеристик жидкости [11]. Интересно
отметить, что расчет зоны растягивающих напряжений,
выполненный в [9] для глубин погружения 1–12 м и весов заряда 50, 100 и
5000 г показал, что увеличение глубины взрыва практически не
сказывается на положении нижней границы зоны, а следовательно, и
кавитации. Так, для заряда весом в 5 кг при изменении глубины
взрыва от 1,5 до 12 м радиус зоны изменяется от 60 до 200 м, а
нижняя граница остается на урозне 4 м.
Однако, несмотря на простоту акустического метода, динамика
зоны кавитации (ее возникновение, развитие) долгое время
оценивалась по характеру поведения одиночного кавитационного пузырька
при неизменных параметрах прикладываемого волнового поля,
которые одиночный пузырек изменить, естественно, не мог. Поэтому и
возникали проблемы с оценкой величины растягивающих
напряжений в области регулярного отражения (в зоне кавитации):
акустический метод, используемый обычно в рамках однофазной жидкости,
332
Глава VIII
приводил к завышению (иногда на порядки) абсолютных величин
отрицательных давлений по сравнению с их реальными значениями
[2].
Направленные выбросы на свободной поверхности (султаны).
Первые исследования поверхностных эффектов относятся к началу
20-го века, упоминание о них имеется в обзоре к диссертации [7]. Им
посвящены работы [1, 3, 12], которые содержат качественное
описание характера выбросов на свободной поверхности и результаты
экспериментальных исследований их параметров. В частности, в [12]
получена эмпирическая зависимость величины начальной скорости
подъема купола vk [м/с] от веса заряда W [кг] и глубины его
погружения Η [м]
которая справедлива в диапазоне 0,4 < W1/3/H < 5,2.
В [12] же сделана попытка оценить структуру направленного
выброса на свободной поверхности и приведены экспериментальные
данные по высоте подъема выброса для зарядов 0,45 и 4,5 кг и
различных глубин взрыва. Например, при взрыве заряда весом 4,5 кг на
глубине 75 см высота подъема выброса достигает 100 м и
оказывается оптимальной: изменение глубины погружения в ту или другую
сторону ведет к уменьшению максимальной высоты выброса.
В [1], по-видимому впервые, указано на существование при
взрыве на определенных глубинах аномального увеличения
амплитуды первой пульсации полости с продуктами детонации и
высказано спорное предположение о возможном его механизме: в стадии
максимального расширения в полость с продуктами детонации
попадает атмосферный воздух и в результате последующих реакций в
образовавшейся смеси происходит дополнительное выделение
энергии, что и проявляется в увеличении давления в продуктах реакции
(и, соответственно, в жидкости) при схлопывании полости.
Экспериментальные работы [13-15] — одни из немногих,
посвященных оценкам параметров выбросов жидкости на свободной
поверхности. В [13] исследовано совместно развитие газовой полости и
выброса, радиуса его шейки и основания, а также на примере зарядов
в 0,256 г и 100 кг показана принципиальная возможность
моделирования поверхностных явлений в лабораторных условиях до времен,
соответствующих началу разрушения султана под действием силы
Кумулятивные струйные течения ...
333
тяжести. Здесь же приведена ориентировочная оценка массы
жидкости в выбросе, определяемая «по верхнему пределу» зависимостью
и эмпирическая зависимость высоты подъема центральной точки
купола
где А = Δ(pliq/pair), Δ — толщина выбрасываемого слоя жидкости.
В [12] найдено более точное, хорошо совпадающее с
экспериментальными данными, выражение, позволяющее в любой момент времени
оценить размер и форму купола по координате точки R на
поверхности купола относительно оси симметрии
Здесь Η — глубина погружения заряда, B, С и D — константы,
зависящие от природы заряда.
Работа [14] посвящена результатам исследования параметров
султана и поверхностных волн при взрывах зарядов весом в 100 кг в
относительно мелких водоемах — до 12Rch· В [15] найдено
эмпирическое выражение для оптимальной глубины подрыва Hopt ~ W1/3
(W [кг], Η [м]), соответствующей максимальному выбросу
количества воды в султане и оценено, что общий вес воды при этом
составляет примерно 150W. В [16] приведены результаты
экспериментальных исследований и расчетов течения жидкости при
поверхностном взрыве и взрыве полностью погруженного заряда.
В 60-х годах было сделано две попытки создать модель
султана. Первая физическая модель была предложена М. А. Лаврентьевым
и впервые опубликована в [17]. Согласно этой модели ударная
волна откалывает часть жидкости над зарядом, образуя на свободной
поверхности кумулятивную выемку, а газовая полость, в которой
заключено около половины всей энергии сдетонировавшего ВВ,
создает поле скоростей, ортогональное поверхности выемки (аналог
сферической кумуляции). Таким образом, только совместное действие
ударной волны и полости с продуктами детонации, согласно этому
механизму, способно привести к формированию султана.
334
Глава VIII
Другая модель предложена Л. В. Овсянниковым [18] в
результате проведенного им в точной математической постановке
аналитического исследования задачи о всплывании пузыря. На основе
приближенного представления аналитического решения (для начальных
моментов времени) выдвинута гипотеза о том, что при надлежащих
глубине погружения и весе заряда в процессе всплытия и
деформации взрывной полости образующаяся в его нижней части и
направленная вверх кумулятивная струя сформировывается к моменту
выхода полости на свободную поверхность, «пробивает» взрывную
полость и определяет течение, называемое султаном.
Необходимо заметить, что под словом «султан» (выброс) часто
подразумеваются различные стороны одного и того же явления. В
[17, 18] султаном называют кумулятивную струю, т. е. сплошную
струю, которая особенно часто наблюдается над откольным
куполом при взрыве на определенных глубинах зарядов малого веса. В
[12] эта струя названа «central spout» и отмечено, что она
возникает задолго до того, как полость с продуктами детонации достигает
своего максимума. В [13, 14] под султаном понимают полый столб
жидкости в основании облака прорвавшихся в атмосферу продуктов
детонации и водяных брызг. В [15] султаном называют всю картину
в целом: струю над куполом, в основании которой находится полый
столб жидкости (эксперименты проведены в диапазоне весов заряда
W = 0,075–136 кг). Следует, однако, отметить некоторую
неопределенность в понимании авторами [15] природы вертикальной струи: в
одном случае, по их словам, это узкая «струя прорвавшихся в
атмосферу продуктов детонации», в другом, исследуя высоту ее подъема,
авторы [15] определяют количество жидкости в струе как 150W,
которое практически невозможно получить за счет брызг,
окружающих газовую струю.
Как видно из приведенного краткого обзора, отсутствие в
упомянутых работах четкого представления о структуре выбросов на
свободной поверхности приводит к неопределенности оценок, в
частности, таких параметров, как высота и скорость подъема султана,
масса выброшенной жидкости. Существование вертикальных (так
же как и боковых) струй при малозаглубленных подводных взрывах
является экспериментальным фактом. Однако механизм их
формирования, включая и аномальный эффект первой пульсации,
оставался до определенного периода неизвестным, несмотря на
принципиальную важность проблемы с точки зрения понимания в целом этого
уникального гидродинамического явления.
Кумулятивные струйные течения ...
335
2. Динамика кавитационной области
при подводном взрыве
вблизи свободной поверхности
Данный раздел посвящен выяснению роли ударной волны,
исследованию особенностей развития кавитационной зоны при малоза-
глубленных подводных взрывах, форм образующегося откола, а
также анализу некоторых расчетных моделей динамики кавитационной
зоны. Достаточно полно изменение профиля ударной волны
вблизи свободной поверхности экспериментально исследовано в [5]. Здесь
нас будут интересовать волны разрежения и максимальные
отрицательные давления, допускаемые жидкостью. Исследуемую область
глубин погружения заряда ограничим диапазоном (0 – 30)Rch.
2.1. Экспериментальное исследование развития кавитационной
зоны. Формы откола. Экспериментальное исследование развития
кавитации и откола проводилось в осесимметричной и плоской
постановках при взрыве заряда ВВ (или проволочки) во взрывных бассейнах
размером 2 x 2 x 2 м (рис. 1,1) и 0,01 x 0,5 x 0,5 м (рис. 1, II).
Рис. 1. Схема постановки эксперимента и регистрации
поверхностных явлений при подводных взрывах:
I:1 — электромагнитный ключ, 2, 3 — высоковольтные источники
питания, 4 — блок задержки, 5 — импульсный трансформатор, б —
фоторегистратор СФР-М, а—высоковольтный импульс, запускающий подсветку,
ключи б, в, г — элементы системы блокировки и зарядки
высоковольтных схем, е —разрядный промежуток; II — «щелевая кювета» с зарядом
336
Глава VIII
Батарея конденсаторов С заряжалась высоковольтным
источником питания 2 через зарядное сопротивление до напряжения U ~
20 кВ. Подрыв заряда ВВ (или проволочки) производился при
ионизации промежутка е высоковольтным импульсом в 50 кВ с пульта
управления фоторегистратора СФР-М (б). Сигнал с пояса Рогов-
ского, возникающий при разряде батареи С в результате замыкания
промежутка е, являлся входным для блока задержки 4 и импульсного
трансформатора 5, запускающего систему подсветки
высоковольтным импульсом а. Схема позволяла с требуемой задержкой
времени регистрировать различные фазы взрыва в жидкости. При этом
параметры системы подсветки могли легко меняться в
зависимости от требований эксперимента выбором соответствующих типов
импульсных ламп (рис. 1, ИФП-2000) и параметров батареи для ее
«зарядки».
На рис. 2 приведены кадры скоростной развертки процесса
взрыва проволочки на поверхности жидкости, время между кадрами
4 мкс. Видна ударная волна (кадры 5-7, темный полукруг),
распространяющаяся от свободной поверхности вглубь жидкости. Справа
на кадрах видна конфигурация падающей и отраженной от
свободной поверхности жидкости воздушных ударных волн (II). Несложно
заметить, как по мере увеличения угла падения воздушной ударной
волны на свободную поверхность, начиная примерно с 10-го кадра,
формируется Маховское отражение (МО). Таким образом, взрыв на
поверхности жидкости можно использовать как метод исследования
перехода к нерегулярному отражению от поверхности сильных
импульсных ударных волн в атмосфере.
На рис. 3,а (плоская постановка) показан взрыв на глубине
Η = 4 см, соответствующий условию .H/Rmax ~ 1, где Rmax —
максимальный радиус взрывной полости. Энергия, выделившаяся в
результате взрыва проволочки, незначительна (порядка 50 Дж). Этот
взрыв относительно глубокий и соответствует примерно 100Rch, для
обычных удлиненных зарядов ВВ. На снимке четко видна ударная
волна, при отражении которой вблизи свободной поверхности
возникает узкая, едва заметная зона кавитации. Характерной
особенностью приведенного снимка является образование вторичной волны
(кадры 14-16) при взаимодействии волны разрежения со взрывной
полостью. В связи с этим естественно ожидать, что при подводном
взрыве вблизи свободной поверхности в области между полостью с
продуктами детонации и свободной поверхностью может
образоваться система волн сжатия и разрежения. При неглубоких взрывах упо-
Рис. 2. Взрыв на поверхности жидкости, отражение воздушной ударной волны от поверхности,
динамика угла отражения, формирование ножки Маха
Рис. 3. Распространение ударной волны при взрыве проволочки, взаимодействие волны разрежения
со взрывной полостью (а); развитие зоны кавитации (б, в)
Кумулятивные струйные течения ...
339
мянутая вторичная волна должна быть волной сжатия из-за явного
превышения давления в продуктах детонации. Возможно,
формирование отколов в зоне кавитации связано с этой волной.
На рис. 3,б,в представлена динамика развития кавитационной
зоны вблизи свободной поверхности соответственно для глубин 4 и
2 см при малой энергии взрыва. Кавитационная зона освещается
только за счет свечения продуктов взрыва в полости. Как видно из
рис. 3,б, кавитация практически полностью исчезает до того, как
свободная поверхность, которая угадывается по светящейся черте
над полостью, успевает исказиться.
На рис. 4 представлена регистрограмма взрыва капсюля-
детонатора весом в 1,2 г на глубине 5 см от свободной поверхности.
Время между кадрами (слева направо) 8 мкс. Видно, что для
подводных взрывов вблизи свободной поверхности характерна вытянутая с
опущенными концами форма кавитационной зоны, верхняя граница
которой отходит от свободной поверхности, разделяя зоны
регулярного и нерегулярного отражения. В последующие моменты времени
область кавитации распространяется вглубь жидкости.
Анализ структуры кавитационной зоны в осесимметричных
постановках затруднен. В связи с этим был проведен ряд контрольных
экспериментов в плоской постановке (рис. 1, II). Для этого заряд
ВВ из тротила помещался между двумя плоскими металлическими
пластинами, толщиной 15-20 мм, расположенными параллельно на
расстоянии 10–15 мм друг от друга и жестко скрепленными между
собой. Обе металлические пластины надставлялись сверху
пластинами из оргстекла так, что внутренние их поверхности составляли
одно целое. Таким образом, часть стенок, между которыми
развивался процесс, была прозрачной (см. рис. 1, II). Вся указанная сборка
(«щелевая кювета» с зарядом) помещалась вертикально в бак с водой
(рис. 1,I) так, чтобы нижняя граница прозрачных стенок
располагалась на некотором уровне под свободной поверхностью.
На рис. 5 двумя последовательными кадрами 1 и 2
представлено развитие зоны кавитации для глубин погружения 10 (а) и
6 см (б)) заряда с Rch = 3,2 мм. Как было показано выше, Rmax/Rch
для цилиндрических зарядов значительно превышает то же
соотношение для сферических зарядов [19] и равно примерно 130, т. е.
H/Rmax ~ 0,25 для Η = 10 см. Первый снимок (рис. 5,а, взрыв на
глубине > 30Rch) демонстрирует эффект образования системы
плоских отколов, определяющих слоистую структуру зоны интенсивного
развития кавитации, характерных для хрупкого разрушения твер-
Рис. 4. Динамика кавитационной зоны при подводном взрыве капсюля-детонатора (W ~ 1,2 г)
Кумулятивные струйные течения ...
341
Рис. 5. Развитие отколов в зоне кавитации при подводном
взрыве (плоская постановка)
дых тел при нагружении плоскими ударными волнами. При
уменьшении глубины подрыва (рис. 5,б) наблюдается концентрация от-
кольной зоны вблизи оси симметрии, указывающая на тенденцию к
образованию кумулятивной (близкой к сферической) выемки на
свободной поверхности.
Ранее уже говорилось о модели султана, предложенной М. А.
Лаврентьевым, в которой существенным условием было наличие
кумулятивной выемки на свободной поверхности жидкости. На основании
приведенных на рис. 5,6 экспериментальных данных идею
формирования выемки можно считать обоснованной. Остается проверить
необходимость указанного условия для формирования султана.
Подчеркнем следующий экспериментальный факт. Уже при
глубинах взрыва около 10 см (рис. 5,а) откольные слои не являются
сплошной жидкостью, а кавитируют. Этот результат принципиален,
так как имеющееся в настоящее время представление о механизме
образования плоских отколов основывается на предположении, что
разрыв жидкости в поле волны разрежения происходит на
некоторых критических изобарах, по линии образования кавитации. При
этом возникновение видимых кавитационных пузырьков (>0,1 мм)
отождествляется с возникновением откола.
342
Глава VIII
Факт развития кавитации во всей области, ограниченной
фронтом волны разгрузки, ставит под сомнение такое представление.
Кроме того, критические величины растягивающих напряжений,
необходимые для возникновения разрыва (как того требует указанная
модель), согласно экспериментальным данным различных авторов
лежат в довольно широком диапазоне от нуля до сотен
отрицательных атмосфер и зависят от постановки эксперимента. В связи с этим
необходимость их введения не является оправданной и важным
оказывается не столько величина разгрузки, сколько характер ее
приложения. Ниже остановимся на некоторых оценках, связанных с
развитием кавитационной зоны и проблемой динамической прочности
реальной жидкости, которые естественно начать с анализа
поведения одиночного пузырька в волне разрежения. При этом исходными
параметрами являются размер кавитационного зародыша и
параметры волны.
2.2. Рост кавитационного пузырька в жидкости, вызванный
резким падением давления. О наличии кавитации, как правило, судят по
визуальным наблюдениям. Следовательно, прежде чем пытаться
численно определить ее зону, необходимо знать условия, при которых
кавитационный пузырек может расшириться за данный
промежуток времени до видимых размеров (~ 0,1 мм) [20]. Для этого, следуя
[20, 21], рассмотрим задачу о поведении кавитационного зародыша в
волне разрежения в случае мгновенного приложения отрицательного
давления на бесконечности (жидкость несжимаема). Введем
безразмерные переменные и параметры следующим образом:
Здесь р0, R0 — начальные давление газа и радиус пузырька, σ —
коэффициент поверхностного натяжения, νd — коэффициент
динамической вязкости жидкости, ρ0 — плотность жидкости. Анализ
решения полного уравнения пульсации пузырька
при начальных условиях у(0) = 1, у(0) = 0 и внешней нагрузке в виде
отрицательного импульса в форме ступеньки с амплитудой «–р» и
длительностью τ* показывает, что если |р| > 1, динамика пузырька
Кумулятивные струйные течения ...
343
быстро выходит на асимптотику с постоянной скоростью роста и
линейной динамикой роста зародыша в интервале 0 < τ < τ*:
(здесь имеется в виду, что p — величина абсолютная).
Аналогичный результат получается аналитически, если пренебречь
поверхностным натяжением, вязкостью жидкости и внутренним давлением
газа.
После прекращения действия импульса разрежения дальнейшее
расширение пузырька до его максимального размера определится
инерционным движением на основании уравнения
с начальными у* и у*, определяемыми из (2) при τ = τ*. Отсюда
Очевидно, что время tmax расширения пузырька от y* до уmax
можно оценить в рамках классического выражения t
которое в рассматриваемом случае принимает вид
Из экспериментальных данных следует, что в зоне видимой
кавитации пузырьки возникают за волной разрежения практически
«мгновенно». По мере распространения волна разрежения
ослабевает и за ее фронтом появляется оптически прозрачная зона. Последнее
однако не всегда означает, что кавитация исчезла: вполне вероятно,
что кавитационные пузырьки в этой зоне просто не достигают
видимых размеров. Полученные соотношения позволяют оценить
параметры волны, необходимые для роста зародыша до видимого
размера, требуемое для этого время, а также проанализировать динамику
видимой кавитационной зоны при известных (в данной постановке,
неизменных!) параметрах волны разрежения.
2.3. Оценка зоны кавитации по динамике одиночной полости. При
неглубоких подводных взрывах (Н ~ 10Rch и менее, где Η —
глубина погружения заряда радиуса Rch) построить зону кавитации по
данным динамики одиночного зародыша можно, если использовать
344
Глава VIII
принцип суперпозиции при известном профиле падающей ударной
волны в виде функции p(t) в окрестности свободной поверхности и
известной области регулярного отражения [22]. В рамках этого
подхода величина отрицательного давления в конкретной точке
рассматриваемой области будет определяться характером спада давления
за фронтом ударной волны и временем, которое прошло с момента
прохождения этой точки фронтом ударной волны до прихода волны
разрежения. При этом, естественно, время задержки должно
учитывать скорость фронта ударной волны на ее траектории до момента
отражения от свободной поверхности и акустику — после.
Для определения параметров ударной волны в ближней от
заряда зоне используем данные работы [23], справедливые в диапазоне
5 – 180 кбар.
• Уравнение траектории фронта сферической ударной волны:
• Уравнение скорости фронта:
• Связь давления, массовой скорости и и скорости фронта U:
• Распределение давления при t = const:
Здесь p — давление во фронте волны [кбар], и — массовая
скорость [км/с], U — скорость фронта [км/с] (при начальной
плотности жидкости ρ0 = 1 г/см3 = 10 кбар· с2/км2), М* = 1 - М2,
Μ = (U — и)/с, с — скорость звука за фронтом ударной волны,
определяемая из таблиц [24], dp/dt|s — скорость изменения давления за
фронтом, ди/др|s — изменение скорости частиц относительно
давления вдоль кривой Гюгонио, t = t0D/Rch + 1, D = 8,18 км/с —
скорость детонации, t0 — время, отсчитываемое с момента выхода
Кумулятивные струйные течения ...
345
R
1 -1,13
1,13-2,31
2,31-4
4 -12
>12
ε
5,4
2,6
2,13
1,5
1,13
Ρ*
1,82 · 105
1,325 · 105
9 · 104
3,7 · 104
1,47 · 104
Примечание. Значения р* и
ε для последних двух
диапазонов взяты из [2] и
экстраполированы до значения R = 4.
Рис. 6. Динамика полости с
продуктами детонации при взрыве
капсюля-детонатора
детонационной волны на границу раздела «продукты детонации —
вода». При R = 1, t = 1 начальные значения на фронте ударной
волны равны p ~ 182 кбар, U ~ 6,35 км/с, и ~ 2,86 км/с.
Как известно, давление в ударной волне на различных
расстояниях от сферического заряда можно представить в виде степенной
зависимости p(R) = p*/Re [бар], где R = r/Rch. Параметры p*, ε
взяты из разных источников, обобщены и представлены в таблице.
Необходимо отметить, что в процессе формирования кавита-
ционной зоны газовая полость с продуктами детонации интенсивно
расширяется. На рис. 6 показано изменение безразмерного радиуса
полости а = a/Rch со временем в диапазоне 0 < t < 100 мкс для
зарядов малого веса (W = 1,2 г). Этот результат получен
экспериментально и используется при представлении картины в целом. При
этом предполагается, что давление в полости подчиняется адиабате
Джонсона [1] (рис. 6, сплошная линия), показатель которой
принимает значение γ = 3 в интервале а = 1 – 1,685, что соответствует
временному интервалу 0 < t < 13,5 мкс, и γ = 1,25 при а > 1,685. В
случае необходимости последующие значения a(t) могут быть
оценены в диапазоне 100 < t < Τ1/4 мкс (Τ1 — период первой пульсации
пузыря) по приближенной зависимости [25]
если а измеряется в мм, W — в кг, t — в мс.
346 Глава VIII
Значение постоянной спада давления за фронтом сферической
ударной волны определяется по формуле [26]
где W измеряется в кг, rfr — в м, v — в мкс.
Если .R, R1 — координаты точки в единицах радиуса заряда,
отсчитываемые соответственно от центра мнимого источника и
заряда ВВ, Η — глубина погружения заряда, несложно профиль
давления с фазой разрежения после преобразования приведенных выше
выражений представить в виде
Здесь принято ρch = 1,6 г/см3, что дает возможность оценить радиус
заряда при известном его весе.
Согласно полученным выше оценкам, для расширения кавита-
ционного пузырька до видимых размеров за заданный промежуток
времени необходимо, чтобы максимальная амплитуда волны
разрежения была не ниже определенной величины. Назовем эту величину
давления критической ркр и оценим по ней верхнюю границу кавита-
ционной зоны. Вблизи свободной поверхности выражение (9) можно
упростить, полагая β малым. Тогда, разлагая показательную
функцию в ряд и ограничиваясь первым приближением, получим
Кумулятивные струйные течения ...
347
Обозначим проекцию рассматриваемой точки на свободную
поверхность через x, на ось симметрии через δ выразим через них R
и R1. После ряда преобразований (для β и R), получим
Заметим, что отход верхней границы области кавитации от
свободной поверхности объясняется пологим спадом давления в
«хвостовой» части ударной волны, характерным для зоны нерегулярного
отражения. В этой зоне волна разрежения догоняет ударный фронт
и деформирует профиль волны. Вместо обычной суперпозиции двух
волн — положительной и отрицательной (как в случае регулярного
отражения) — в области, близкой к свободной поверхности,
образуется «тройная» конфигурация из ослабленной ударной волны,
невозмущенной и огибающей волн разгрузки. В таком случае естественно
предположить, что теоретически возможная верхняя граница зоны
кавитации определится уравнением траектории «тройной» точки [7]:
Здесь у — вертикальная координата «тройной» точки, R1 —
расстояние от заряда до точки свободной поверхности, H — глубина
погружения заряда, tgω определяется из выражения
где а — угол падения фронта ударной волны на свободную
поверхность, θ — угол наклона траектории «тройной» точки, с = с0[1 +
(п — 1)(р — р0)/2пВ] —скорость звука за фронтом, и = с0(р — р0)/пВ,
U = со[1 + (п + 1)(р — ро)/4пВ] — соответственно массовая скорость
и скорость фронта, n = 7,15, В = 3,05 · 103 бар.
Положение верхних границ зоны кавитации (кривые 1-6) для
различных заглублений зарядов ВВ рассчитано по (10) и приведено
348
Глава VIII
Рис. 7. Положение границ зон нерегулярного отражения
ударной волны от свободной поверхности (СП)
на рис. 7. Цифры по горизонтали и вертикали взяты относительно
радиуса заряда, кривые 1-6 соответствуют глубинам зарядов Η = 0,
1, 2, 3, 4 и б (для наглядности точки смещены по горизонтали).
Области ниже кривых 1-6 определяют для каждого заглубления заряда
потенциально возможную зону возникновения кавитации.
Оценки, выполненные в рамках изложенного подхода,
показывают, что при правильном расчете времени задержки в
окрестности взрывной полости может сохраняться зона однородной
жидкости. Этот эффект подтверждается экспериментальными фактами.
2.4. Двухфазная модель развития кавитационной области.
Изложенный подход к оценке кавитационной зоны вблизи свободной
поверхности, основанный на использовании акустического метода в
рамках однофазной жидкости, не решает основной проблемы —
установление связи между понятием прочности жидкости, динамикой
растягивающих напряжений и изменением состояния среды в
результате развития кавитационных процессов в жидкости при ее
динамическом нагружении. Естественно, что при этом любые оценки
величин отрицательных давлений, допускаемых жидкостью,
оказываются сильно завышенными по сравнению с их реальными
значениями. Обходя эти осложнения, в работах, как правило, такие
параметры «назначают», исходя из каких-либо физических представлений,
Кумулятивные струйные течения ...
349
например, предельным минимальным давлением считается
давление насыщенного пара [27]. При этом естественно предполагается,
что растягивающие напряжения, ниже принятых, существовать в
жидкости не могут. Неопределенность такой постановки очевидна.
Между тем, как было отмечено в гл. 7, в реальной жидкости
всегда присутствует свободный газ в виде кавитационных зародышей
[28, 29] и согласно современным представлениям [30] в зависимости
от состояния жидкости радиусы кавитационных зародышей в ней
колеблются в пределах 5 · 10-7 – 5 · 10-3 см, а объемная
концентрация газа в интервале 10-8 – 10-12 см-3. Приведенные параметры
газосодержания очень малы. Однако рост этих зародышей в волне
разрежения приводит к возникновению зоны кавитации с высокой
концентрацией парогазовой фазы и изменению как состояния
среды, так и структуры волнового поля. Поэтому естественно считать,
как уже отмечалось ранее, что реальная жидкость с содержащимися
в ней микронеоднородностями является по сути двухфазной средой
[22].
Рассмотрим двухфазную модель развития зоны кавитации [22]
при отражении ударной волны подводного взрыва от свободной
поверхности, сохранив принцип наложения поля давления от взрыва
мнимого заряда. Структуру исходного волнового поля до развития
кавитации будем определять в рамках изложенного выше подхода.
При этом жидкий компонент двухфазной среды можно считать
несжимаемым, принимая во внимание, что сжимаемость двухфазной
среды определяется, в основном, сжимаемостью свободного газа в
ней, а нелинейность процесса — динамикой кавитационных
зародышей. Основная задача в этом случае состоит в определении
приближенной аналитической зависимости среднего давления от объемной
концентрации газа в среде р(k). Заметим, что первыми работами в
области создания математической модели жидкости с пузырьками
газа, динамика которых описывается уравнением Релея, были
работы [27, 31, 32]. Затем эта модель была адаптирована к проблемам
пузырьковой кавитации [22].
2.4.1. Определение функции р(k). Рассмотрим систему
уравнений, описывающую осесимметричное течение двухфазной среды,
где k = (R/R0)0 — относительная объемная концентрация газа,
τ = p0/ρ0R02, ζ = p – k-γ, p — давление в среде, взятое отно-
350 Глава VIII
сительно начального невозмущенного р0, γ — показатель
адиабаты газа в кавитационных зародышах. Для простоты предположим,
что несферичностью пузырьков, массой газа в них и их движением
относительно жидкости можно пренебречь. Будем считать, что ка-
витационные зародыши имеют один и тот же размер, размещены в
жидкости равномерно, а их плотность на единицу объема постоянна.
Напомним, что в процессе преобразований вводятся
дополнительные предположения о малости членов типа krrr/kγ+1
относительно рrr и членов типа rkr по сравнению с 6k (здесь индекс означает
соответствующую производную по r). Первое из них довольно
очевидно: множитель l/kγ+1 при развитии кавитационного процесса резко
уменьшается. Справедливость второго предположения можно
оценить, используя, в частности, полученную выше зависимость для
роста зародыша под действием отрицательного давления. Эта
оценка (с погрешностью порядка 20 – 30%) допустима для начальной
стадии расширения кавитационных зародышей в зоне, когда их
взаимодействие еще не велико, и является, по-видимому, оценкой
сверху для следующих стадий, когда взаимодействие пузырьков
практически выравнивает их концентрацию в кластере и kr существенно
уменьшается. Такие условия на введение переменной r (см. ниже)
приводят к необходимости поставить знак ~ в (11) при
постановке задачи, чтобы подчеркнуть несколько эвристический характер
уравнения, в котором пространственная координата «отслеживает»
изменение микромасштаба течения — размера кавитационных
пузырьков.
Следует напомнить, что особенностью системы (11) является
сложная форма записи состояния среды, которая включает в себя
уравнение второго порядка для к (аналог уравнения Релея). В
правой его части роль давления на бесконечности играет осредненное
давление в двухфазной среде.
В случае взрыва сферического заряда вблизи свободной
поверхности задачу удобно рассматривать в осесимметричной постановке.
В качестве пространственных переменных вводятся θ и r = rаk1/6,
где а = 3k0/R0. Тогда для первого уравнения системы (11) имеем
Уравнение допускает разделение переменных и решение ищется в
виде ξ — Ψ(r)Θ(θ). Подставив его в (12) и обозначив константу раз-
Кумулятивные струйные течения ...
351
деления переменных через v{y + 1), получим уравнения
Решение второго уравнения может быть выражено через
сферические функции Лежандра Рv(соsθ) и Qv(cosθ). Подстановка в
первом уравнении системы (13) функции Ψ = r-1/2v показывает, что
решением его для функции ν являются модифицированные
функции Бесселя. В конечном итоге с учетом ограниченности решения
в рассматриваемой области, определяемой интервалами изменения
0 < θ < πиr>0, для ν = 0, 1, 2,... — целого положительного —
решение (12) запишется его в виде
Полученное выражение в рамках принятых выше допущений и
определяет искомую связь р(k).
2.4.2. Постановка задачи. Задачу о развитии кавитационной
области промоделируем следующим образом [22, 33]. Пусть в
жидкости, содержащей кавитационные зародыши радиуса R0 с объемной
концентрацией газа k0 имеются две одинаковые полости радиуса
a и a1 с продуктами детонации, расположенные соответственно в
точках О и Ο1 на расстоянии h друг от друга. Обе полости могут
расширяться по адиабатическому закону, начальное давление в них
известно и равно р(0). Считаем, что динамика реальной взрывной
полости a1(t) и ее мнимого аналога а(t), а также показатель
адиабаты продуктов детонации γ известны. Полагаем для полости в точке
О (точка размещения мнимого заряда) pi(a) < 0, в точке O1 р(а1) > 0
и сдвигаем по фазе множителем σ0(t — (r — r1)/c0) влияние мнимого
источника в точке О относительно источника в точке Ο1, моделируя
задержку прихода волны разрежения в данную точку:
Здесь r и r1 — физические координаты рассматриваемой точки в
системах с центром в О и Ο1 соответственно, c0 — скорость звука
352
Глава VIII
в невозмущенной жидкости. Тогда давление в любой точке среды
определится суперпозицией решений типа (14)
Заметим, что углы θ и θ1 отсчитываются от направления О — Ο1
каждый в своей системе. Коэффициенты в (15) найдутся из граничных
условий на поверхностях взрывных полостей
Здесь принят во внимание экспериментально установленный факт
отсутствия кавитации в окрестности границы взрывной полости,
откуда следует, что в жидкости на границе с продуктами детонации
давление в них и среднее давление в двухфазной среде ρ равны.
Отметим, что (15) справедливо и для малых заглублений h/2 заряда
ВВ, естественно, в разумных интервалах времени, когда свободную
поверхность жидкости можно считать плоской.
Нетрудно показать, что при разложении в (15) можно
ограничиться случаем ν = 0сли отношение радиусов взрывных полостей
к расстоянию между ними h считать достаточно малым. Тогда
имеем
Коэффициенты А0, B0 определим на основании следующих
граничных условий.
Первое граничное условие:
Второе граничное условие:
Кумулятивные струйные течения ...
353
Здесь
Давление в продуктах детонации
определяется по адиабате p = p(0)(a1)-3γ, а динамика взрывной полости
описывается эмпирическими зависимостями
(начальный радиус заряда ВВ а0 берется в см, t — в с). Если
считать, что r* ~ r1* ~ h и pi = –p, получаем A0 = —B0. Представляя
Κ1/2 в виде Κ1/2(z) = π/2zехр(—г) [34], с учетом принятых
допущений относительно a/h для Bq получаем простое выражение
Таким образом, коэффициенты А0, В0 (1б) определены, и исходная
система уравнений (11) приводится к виду
(18)
и при известных начальных данных позволяет решить задачу о
развитии зоны кавитации и профиле волны разрежения в ней.
Очевидно, в такой постановке (система (18)) координаты r, r1 играют роль
параметров, что, в принципе, сводит задачу к решению теперь уже
обыкновенного дифференциального уравнения для к при заданных
r, r1.
2.4.3. Динамика зоны кавитации (расчет). Прежде чем решать
полученную систему, необходимо знать два основных физических
параметра: начальный радиус кавитационного зародыша R0 и
объемную концентрацию свободного газа в воде k0. Для этой цели
используем экспериментальные данные [29, 35, 36], обобщенные в
[30], согласно которым k0 ~ 10-12 для дистиллированной воды,
k0 ~ 10-12 – 10-10 для отстоявшейся в течение 7 – 12 часов
водопроводной воды, k0 ~ 10-9 – 10-8 — для водопроводной воды,
отстоявшейся в течение ~ 1 часа.
Размеры кавитационных зародышей: R0 ~ 2 · 10-2 см —
верхний предел, R0 ~ 5 · 10-3 см в свежей водопроводной воде,
354
Глава VIII
Рис. 8. Динамика k(t)
в зоне кавитации вблизи
свободной поверхности
Фронт волны разрежения
Рис. 9. Динамика видимой кавитационной зоны (h/2 = 5,3 см):
а — расчет, б — эксперимент
Кумулятивные струйные течения ...
355
До ~ 5 · 10-4 см в воде, отстоявшейся в течение нескольких часов,
До ~ 5 · 10-5 см для воды со стабилизировавшимся содержанием
свободного газа (после 7-fl2 часов отстаивания).
Для расчета примем следующие значения: k0 = 10-11, R0 = 5·
10-5 см. Поскольку видимым кавитационный пузырек становится
при радиусе R* ~ 10-2 см [20], зафиксировать кавитационную зону
можно лишь в том случае, если в волне разрежения радиус кавитаци-
онных зародышей увеличится на 3 порядка. И, как показал расчет,
кавитационные зародыши достигают таких размеров за короткий
промежуток времени.
Рассмотрим в качестве примера случай взрыва заряда весом
1,2 г (капсюль-детонатор) радиусом Rch ~ 0,53 см на глубине
h/2 = 5,3 см [22, 33]. Начальное давление р(0) в продуктах
мгновенной детонации примем равным 4 · 104 атм, γ = 3. Заметим, что
динамика зародышей при распространении ударной волны (ее
положительной фазы) в процессе расчета не рассматривается, считается,
что зародыши за ее фронтом мгновенно принимают равновесный по
давлению размер, газосодержание чрезвычайно мало и на
структуре ударной волны не сказывается. Система (18) начинает решаться
только с момента возникновения в среде отрицательного давления.
На рис. 8 представлены результаты расчета динамики
объемной концентрации k(t) в различных точках вблизи свободной
поверхности (СП), схема расположения точек приведена в верхней части
рисунка. Для всех построенных кривых момент t = 0
соответствует моменту прихода фронта волны разрежения в данную
точку. Горизонтальная пунктирная линия отмечает границу видимого
размера кавитационных пузырьков. Несложно заметить, что в
интервале 2 · 10-6 < t < 10-5 с видимая зона появляется только
в области оси симметрии вблизи свободной поверхности (точки 2,
3). При t = 10-4 с кавитационные пузырьки вышли на видимый
размер во всех, кроме 1, точках, представленных на схеме, однако
интенсивность развития кавитации в фиксированный момент
времени в них существенно различна: например, в точках 3 и б величина
к отличается на два порядка. Интервал времени между моментами
пересечения штриховой линии кривой k(t) определяет «время
жизни» видимого пузырька в данной точке: примерно к 400 мкс видимая
кавитация исчезает на оси и в точке 4 на луче (пузырьки
захлопываются), что вполне соответствует экспериментальным данным.
Расчет динамики видимой зоны кавитации для моментов
времени t = 16, 32, 48 и 64 мкс представлен на рис. 9,а. Область, в которой
356
Глава VIII
Рис. 10 Рис. 11
Рис. 10. Качественная динамика видимой кавитационной зоны
(Л/2 = 3 см) (расчет)
1 — начальный радиус заряда, 2 — полость с продуктами
детонации, 3 — кавитация, 4 — фронт волны разрежения
Рис. 11. Оценка времени нарастания фронта в волне
разрежения
пузырьки на данный момент превысили минимально видимый
размер, показана затемненной. На рис. 9,б для тех же моментов времени
показаны кадры высокоскоростной фотографии развития зоны
кавитации при взрыве однограммового заряда на глубине 5,3 см.
Сравнение расчетных и экспериментальных данных
показывает, что двухфазная модель вполне удовлетворительно описывает
динамику зоны кавитации.
На рис. 10 показаны результаты расчета зоны для взрыва на
глубине h/2 = 3 см, для моментов времени 20 и 100 мкс.
Естественно, рисунок представляет лишь качественную динамику зоны
кавитации при уменьшении глубины взрыва. Как и в эксперименте,
«усы» кавитационной зоны в этом случае более резко уходят вниз,
а ее основная плотность приходится на периферийную зону
относительно заряда.
Кумулятивные струйные течения;»*!
357
2.4.4. Профиль волны разрежения в зоне кавитации (расчет).
Система (18) также позволяет рассчитать параметры и профиль волны
разрежения в зоне кавитации, которые, как оказалось, существенно
зависят от времени нарастания фронта волны разрежения [37, 38].
Этот параметр в первом уравнении системы формально можно
регулировать множителем σ0. Значение его может быть принято за
единицу в момент t = 0 (случай мгновенного приложения
максимального отрицательного давления) или представлено в виде
временной функции, определяющей закон нарастания растягивающих
напряжений во фронте волны разрежения — «завал» фронта.
Последний берется из каких-либо дополнительных соображений,
определяется экспериментально или численно, например, на основании
данных [2], по разнице времени прихода в рассматриваемую точку
характеристик волны разрежения с нулевой и максимальной
амплитудами.
На рис. 11 представлена ориентировочная оценка (на
основании данных [2]) «завала» фронта волны разрежения для случаев
Л/2 = 5,3 (кривые 1, 2) и 14 см (кривые 3, 4) для вертикального (1,
3) и горизонтального (2, 4) лучей при различных расстояниях от
заряда. С учетом этих данных дальнейшие исследования проводились
в интервале времен «завала» фронта ТфР = 0 — 1 мкс.
Результаты расчета параметров и профиля волны разрежения
представлены на рис. 12-14. На рис. 12 показано изменение во
времени объемной концентрации газа k (а) и давления в волне разрежения
p (б) в точке с координатами z = 3,8 см и r = 0 (на оси
симметрии) при взрыве однограммового заряда на глубине 5,3 см. Расчет
проведен для τфp = 0 мкс (кривые 1, случай мгновенного скачка
амплитуды растягивающих напряжений), τфp = 0,1 мкс (кривые 2)
и τфp = 1 мкс (кривые 3). Здесь же для сравнения показаны
зависимость p(t) в однофазной жидкости и граница видимой зоны
(пунктирные линии). Исходные параметры: k0 = 10-11, R0 = 5·10-5 см,
W ~1,2 г, а0 = 0,53 см, h/2 = 5,3 см, pdet = 4 · 104 атм.
Нетрудно видеть, что «завал» фронта всего на 1 мкс (кривые 3)
приводит к тому, что кавитирующая среда снижает на два порядка
величину допустимых растягивающих напряжений. Как показали
расчеты, на изменение концентрации газа «завал» влияет не столь
значительно.
На рис. 13 для тех же условий приведены результаты
расчета распределения длительностей (Δtmах, рис. 13,а) и максимальных
амплитуд (Δртлх, рис. 13,5) растягивающих напряжений на верти-
358
Глава VIII
Рис. 12. Влияние времени нарастания фронта в волне
разрежения на величину предельных растягивающих напряжений и
динамику зоны кавитации
кальной (Н) и горизонтальной (r1, рис. 13,б) осях. При этом, номера
кривых 1, 2 и 3 соответствуют временам «завала» τфp = 0; 0,1;
1 мкс. Видно, что большие отрицательные давления в сотни
атмосфер (кривые I, рис. 13,б,в) двухфазная среда может сохранять лишь
в пределах 0,1 мкс (кривая 1', рис. 13,а), в течение которых
давление уменьшается на порядок и более. Этот результат соответствует
известным экспериментальным фактам, когда реальная жидкость,
специально подвергнутая мгновенному растяжению в 100 атм,
сохраняла это давление только в течение 0,2 мкс.
Как отмечалось, давление во фронте реальной волны
разрежения достигает своего максимального значения за некоторый конеч-
Кумулятивные струйные течения ...
359
Рис. 13. Распределение параметров волнового поля в зоне
кавитации вблизи свободной поверхности при различной крутизне
фронта волны разрежения
ный отрезок времени. Согласно расчетам, размеры кавитационных
зародышей за это время успевают значительно увеличиться,
объемная концентрация газа возрастает на несколько порядков,
существенно изменяя состояние среды. В результате расчетные
отрицательные давления, максимально допускаемые средой, снижаются на
два порядка (рис. 13,б,в, кривые 2, 3) при изменении τфр от 0 до
1 мкс. Эти значения по порядку величины становятся сравнимыми
с экспериментальными данными.
На рис. 14 показано распределение по углу θ1 (расстояние r1 =
4,4 см от центра заряда фиксировано) для максимальных
растягивающих напряжений Δpmах (а), продолжительности фазы
отрицательного давления Δtmах (б) и максимальной объемной
концентрации газа kmax (в).
360
Глава VIII
Рис. 14. Распределение по углу параметров растягивающих
напряжений и концентрации
Расчет проведен для исходных параметров, указанных выше,
и τфp = 0,1 мкс. Видно, что резкое изменение kтлх на интервале
углов cosθ1 = 0,4—1,0 сопровождается столь же резким изменением
продолжительности действия растягивающих напряжений и
относительно слабым изменением их амплитуд.
Напомним, что сравнение расчетного и экспериментального
профилей волн разрежения в точке с координатами θ1 = 0 и r1 ив
14 см для случая взрыва однограммового заряда на глубине 18,5 см
было проведено в гл.7 (рис. 8,б). Оказалось, что
экспериментальные точки лежат между двумя расчетными профилями фаз
разрежения: кривой 3 (исходные параметры R0 = 5 · 10-4 см, k0 = 10-11,
τфp = 5 мкс) и кривой 4 (исходные параметры R0 = 5 · 10-4 см,
k0 в 10-10, τфр = 1 мкс). Параметры брались на основании данных
приведенного выше диапазона изменений газосодержания и
реальных условий эксперимента. По порядку величины и форме профиль
3 оказался наиболее близким к экспериментальным данным.
Принципиальное отличие результатов, полученных в рамках
двухфазного представления реальной жидкости с микронеоднород-
ностями, от однофазной модели налицо. Кроме того, заметим, что
вблизи свободной поверхности на относительно большом
расстоянии от заряда кавитационные зародыши в волне разрежения могут
не достичь видимых размеров, и тем не менее амплитуда
растягивающих напряжений в этой зоне также будет существенно снижена. На
этот кажущийся парадокс обращено внимание в монографии Коула,
Кумулятивные струйные течения ...
361
отметившего странный факт регистрации существенно заниженной
(относительно ожидаемой) амплитуды в фазе разрежения при явном
отсутствии кавитации.
Полученные результаты дают основание полагать, что
предложенная двухфазная модель реальной жидкости позволяет рассчитать
профиль волны разрежения и зону кавитации, близкие к реальным,
по данным действительного газосодержания в жидкостях, не
рассматривая задачу об образовании ядер кавитации.
В заключение необходимо упомянуть о близких по постановке
работах [39, 40], в которых рассматривалась одномерная задача о
развитии кавитации и волне разрежения за неравномерно
движущимся поршнем в канале. В предположении, что скорость и
плотность в среде связаны однозначной функциональной зависимостью,
получено решение, из которого следует, что профиль кавитацион-
ной волны не искажается, а изменение амплитуды в волне
пропорционально изменению объемной концентрации газа. Несоответствие
этого вывода полученным выше результатам очевидно.
3. Кумулятивные струйные течения (султаны) и их
гидродинамические модели
Экспериментальные исследования развития зоны кавитации
при подводном взрыве заряда ВВ вблизи свободной поверхности
показали, что брызговой купол, возникающий в начальной стадии при
взрывах на глубине порядка 30 радиусов заряда (и более),
представляет собой слоистую структуру из системы кавитирующих отколь-
ных слоев. При уменьшении глубины взрыва наблюдается
концентрация откольной зоны вблизи оси симметрии, что указывает на
тенденцию к образованию кумулятивной выемки на свободной
поверхности. В частности, можно предположить, что плоский слоистый
откол, формирующийся при взрыве на глубине 10 см, кумулятивной
выемки на свободной поверхности практически не создает и
отсутствие струи султана при таком взрыве или существенное
ослабление эффекта было бы подтверждением ведущей роли ударной волны.
Однако, эксперимент ожидаемого эффекта не подтвердил, поставив
под сомнение определяющую роль кумулятивной выемки в
механизме формирования султана.
Действительно, кадры скоростной киносъемки развития
поверхностных эффектов при взрыве заряда в «щелевой кювете» на
глубине 7,5 см (рис. 15) наглядно демонстрируют структуру течения
362
Глава VIII
Рис. 15. Развитие струи под отколом при подводном взрыве в
плоской постановке
Кумулятивные струйные течения . ·.
363
Рис. 16. Развитие султана над свободной поверхностью (плоская
постановка):
1 — поверхность жидкости, 2 — струя, 3 — взрывная полость,
разделенная струей, направленной вниз, 4 — заряд ВВ
(интервал между кадрами 1 мс, кадры сняты под небольшим углом
к поверхности жидкости). На кинограмме хорошо видно, как под
отколом (кадр 5), практически одновременно с ним, над полостью
с продуктами детонации формируется вертикальная струя, которая
затем пронизывает откольный купол (рис. 16) и формирует
вертикальный выброс в атмосферу, получивший название «султана».
Заметим, что еще на стадии расширения взрывную полость
пронизывает струя, направленная вниз (см. рис. 16), — эффект
поверхностного замыкания взрывной полости после разгерметизации (причина
будет рассмотрена ниже). В этих экспериментах использовалась
микронавеска ВВ и плоская «щелевая кювета» с полностью
прозрачными стенками.
Напомним, что при анализе явлений, возникающих на
свободной поверхности жидкости в результате подводного взрыва,
внимание исследователей было сосредоточено в основном на описании
внешних параметров направленных выбросов, получивших название
«султанов». Проведенные эксперименты, теоретические
исследования и ряд модельных постановок, результаты которых будут
обсуждаться в настоящем разделе, позволили выяснить механизм
образования и условия существования таких течений, а также внести
ясность в определение основных параметров султана и в
представление о его структуре. Оказалось, что в зависимости от глубины
взрыва на свободной поверхности формируется целый класс
кумулятивных струйных течений, начиная от вертикального струйного
тандема в начальной стадии 1-го расширения полости с
продуктами детонации и кончая «извержением» вертикального выброса при
всплытии на поверхность гигантской полости с продуктами взрыва
ядерного заряда.
364
Глава VIII
Ниже будут рассмотрены особенности течения при взрывах на
глубинах Η = (0 — 2)Rmax, где Rmax — максимальный радиус
полости с продуктами детонации при взрыве в безграничной
жидкости. Эксперименты ограничены в основном зарядами малого веса.
На основании исследований взрывов крупных зарядов, проведенных,
например, в [1, 13-15], дано обобщение результатов лабораторных
исследований на крупномасштабные эксперименты, естественно, в
рамках определенных условий.
3.1. Формирование вертикальных струй на свободной поверхности
(эксперимент, Η < iimax)· Особенности течения удобно
рассматривать, приведя геометрические параметры к величине первого
максимального радиуса взрывной полости, которая автоматически
связана с весом заряда при его известной плотности и теплоте
реакции. Известно, что максимальные радиусы взрывной полости для
различных пульсаций Rmax,i и периоды пульсаций Тi определяются
зависимостями
где p0 — гидростатическое давление [бар]; Ε — теплота взрывчатого
превращения ВВ [ккал/г]; αi — коэффициент, определяющий часть
энергии, остающейся в продуктах детонации, i — номер пульсации,
W — вес заряда [г].
Для однограммовых зарядов несложно получить значения
максимальных радиусов полости с продуктами детонации Rmax,i ~
1/3 -· In
23ai [см], а также периодов ее пульсаций Т,- ~ 42аг 10~3 [с], где
а1?2,з равно соответственно 0,41, 0,14 и 0,076 [1] для сферических
зарядов, которые по существу и использовались в экспериментах. В
реальных цифрах получим Rmax,1f2,3 — 17,1; 11,9; 9,7 см и Т1,2,3 — 31,3;
21,9; 17,8 мс.
На рис. 17-19 представлены различные фрагменты развития
поверхностных явлений при взрывах на глубинах Η = 15; 5; 2 см (или
Η = H/Rmax ~ 0,88; 0,29; 0,12).
Анализ экспериментальных результатов показывает, что. явно
выраженная вертикальная струя появляется над куполом в
следующие моменты времени, отсчитываемые от начала взрыва (ниже —
Рис. 17. Поверхностные эффекты (H ~ 0,88)
Рис. 18. Поверхностные эффекты (Н ~ 0,29)
Рис. 19. Поверхностные эффекты (Н ~ 0,12)
368
Глава VIII
при
при
при
при
Η ~ 0,9,
Η ~ 0,6,
Η ~ 0,3,
Я ~ 0,12.
Причем, на глубину взрыва Η ~ 1–0,9 приходится начало
образования струйного течения с весьма незначительной максимальной
скоростью подъема струйки — около 15 м/с и высотой 1,3 –1,5 м.
Основную структуру выброса на свободной поверхности при этих
глубинах взрыва составляет конусообразный купол брызг. На
кадрах рис. 17 внизу видна газовая полость с продуктами детонации,
«герметичность» которой на этих глубинах уже нарушена
(интервал времени ί2 = 30 – 36 мс и далее): видна трубчатая область,
возникшая в результате поверхностного замыкания взрывной
полости после ее разгерметизации и образования вертикальных струй,
направленных вверх и вниз.
С уменьшением глубины подрыва заряда струйное течение
вырисовывается все более четко: при Η ~ 0,6 скорость струи уже около
30 м/с, ее средний диаметр на высоте 1,2 м порядка 1 — 1,5 см, а у
основания (вершина купола, высота которого 0,4 м) 5 -г 7 см.
Дальнейшее уменьшение величины Η приводит к резкому росту скорости
струи, которая достигает уже 100 м/с при H ~ 0,3 и около 300 м/с
при Η ~ 0,15 и четко выделяется на фоне купола брызг (рис. 18).
Тенденция к образованию струйного течения сохраняется и на
меньших глубинах (рис. 19). По данным работ [41, 42] скорость подъема
вершины выброса (в данном случае вершины купола) на свободной
поверхности при взрыве заряда на глубине двух его радиусов в
начальные моменты может превышать 2 км/с, а числа Маха
набегающего потока достигать 4 (в случае малых зарядов) и 7 (в случае
весов порядка 100 кг).
Изменение максимальной скорости струи Vjet показано на
рис. 20,а. Здесь же для сравнения приведены данные по
скорости вершины купола vk [41, 42], полученные в диалазоне глубин
Η ~ 0,06 – 0,1 для заряда из тэна весом 0,2 г и тротилового заряда
весом 100 кг.
Под максимальной скоростью струи понимается скорость,
зафиксированная в момент выхода струи из купола. Зависимость
Кумулятивные струйные течения ...
369
Рис. 20. Скорости вершины струи и купола как функция
глубины взрыва
является хорошей аппроксимацией экспериментальных данных по
скорости струи в достаточно широком диапазоне глубин взрыва
0,15 < Η < 1, приведенных на рис. 20,а. На этом рисунке
экспериментальные данные отмечены точками, расчетные (по полученной
зависимости) — сплошной линией. Как показали
экспериментальные исследования в названном интервале глубин взрыва для
указанных выше моментов времени скорости образующихся струй заметно
выше скоростей вершины брызгового купола. Поэтому можно
предположить, что экспериментальные данные [41, 42] для скорости vk
вершины «выброса», полученные для глубин взрыва H/Rch ~ 2–3 и
W = 0,2 г и представленные на этом же рисунке, вероятно относятся
не к куполу, а к пробивающей его струе. Такой вывод, в частности,
следует из того, что приведенные на рис. 20,a данные и по
«куполу» vk, и по струе vjet, суммированные в виде точек на рис. 20,5,
аппроксимируются одной зависимостью в интервале глубин взрыва
0,06 < H < 1 (рис. 20,б):
370
Глава VIII
Другой, важной для практики, характеристикой является
количество жидкости в струе султана. Данные работ [13,15] по этому
вопросу расходятся: в [13] приводится зависимость mjet ~ 540WH/Rch
и считается, что масса султана определяется весом жидкости в
объеме газовой полости в момент завершения основной стадии развития
процесса (по-видимому, что-то около полупериода пульсации), в [15]
эта зависимость определена как mjet ~ 150W на глубине взрыва
Η ~ W1/3 м (если вес заряда W в кг). Причем, по обе стороны от
этой глубины вес жидкости в султане уменьшается до 50W.
Для решения этой проблемы были проведены эксперименты,
в которых при помощи специальной ловушки (в виде цилиндра с
конусообразным сужающимся кверху входом, аналог опрокинутой
чернильницы-непроливашки) можно было ловить струю султана на
различных высотах от поверхности жидкости и точно определять ее
массу. Для того, чтобы исключить влияние брызг, ловушка
помещалась на высоте нескольких метров, заряд под водой центрировался
относительно узкого входного отверстия ловушки по отвесу, а
процесс развития струйного течения и вход струи в ловушку
контролировались высокоскоростной киносъемкой. Ее характерные кадры
представлены на рис. 21,a для ловушки, расположенной на высоте
2,4 м над свободной поверхностью при глубине погружения заряда
Η = 10 см (вес заряда около 1 г).
Оказалось, что количество жидкости в струе султана
существенно зависит как от глубины взрыва, так и от высоты ловушки.
Эксперименты показали, что масса жидкости в струе составляет 260
и 550 г соответственно, для Η = 5 и 10 см при высоте ловушки 2,4 м,
и 440 г — при Η = 10 см и высоте ловушки 4,4 м. Для того, чтобы
определять в «чистом виде» количество жидкости, содержащейся
в струе, ловушка располагалась на возможно большей в условиях
эксперимента высоте, чтобы исключить попадание в нее брызгового
купола.
На рис. 21,5 представлено изменение количества жидкости в
струе на высоте 4,4 м в зависимости от глубины взрыва. Эта
зависимость имеет резко выраженный максимум для глубины Η = 0,6, что
близко к данным [15] по оптимальной глубине подрыва (Η ~ 0,1 м
W1/3 для W ~ 1 г или Η ~ 0,1/0,17 ~ 0,6). Полученные
здесь данные по максимальному количеству жидкости в выбросе
mjet|L=4,4 ~ 450W и mjet|L=2,4 ~ 500W отличаются от
приведенных в [15].
Кумулятивные струйные течения ...
371
Ловушка
Рис. 21. Метод измерения
скорости струи султана (а)
и ее распределение как
функция глубины взрыва (б)
Таким образом, не только максимальная скорость султана, но и
его высота, и масса жидкости в нем определяются струйным
течением. Полученные экспериментальные данные по сложной структуре
течения в окрестности свободной поверхности приводят к
необходимости детального исследования механизма ее формирования. При
этом, естественной представляется попытка в экспериментальных
(и математических) моделях рассматриваемого процесса разделить
влияние двух эффектов: ударной волны и расширяющейся полости.
372
Глава VIII
Роль ударной волны, согласно изложенным выше результатам
сводится, по крайней мере, к образованию отколов и кумулятивной
выемки (что и было предсказано М. А. Лаврентьевым). Вопрос:
насколько это принципиально? Оказывается — принципиально, так
как если предположение о механизме классической кумуляции в
формировании струйных течений при подводных взрывах справедливо,
то и кумулятивная выемка, созданная в результате откола, и
динамика взрывной полости в одинаковой мере должны определять
природу этих течений.
Для доказательства реальности такой модели была необходима
«чистая» постановка, так как можно предположить, что и большой
радиус кривизны откольной поверхности, как в случае со взрывом
на глубине 10 см (рис. 5), может сыграть свою положительную роль
в формировании султана. С этой целью в экспериментах
использовались; в частности, специальные заряды с инертными оболочками,
позволяющими существенно снизить интенсивность ударной волны,
не оказывая при этом влияния на динамические характеристики
газовой полости с продуктами детонации. Контроль за процессом
осуществлялся при помощи датчика давления путем регистрации
одновременно ударной волны и давления от первой пульсации
(естественно, с разрешением последней во времени). Интенсивность
ударной волны таким образом удалось снизить в несколько раз, не
изменяя параметров пульсации газовой полости (характер струйного
течения при этом также не изменился). Несмотря на это, полностью
разделить оба эффекта (расширение полости и ударную волну) в
такой постановке оказалось практически невозможным: отражение от
свободной поверхности даже сильно ослабленной ударной волны от
взрыва малозаглубленного заряда все равно приводило к появлению
значительной кавитационной области и брызгового купола.
Задачу удалось решить при использовании малых энергий
взрыва (порядка 100 Дж) в модельных экспериментах со
взрывающейся проволочкой. Уровень передачи энергии, накопленной в
конденсаторной батарее, в жидкость в виде волны сжатия невелик из-за
относительно низкой (легко регулируемой параметрами
электрического контура) скорости выделения энергии, что позволило
практически исключить образование кавитационной зоны и, следовательно,
отколов.
На рис. 22 приведены кадры скоростной съемки развития
течения на свободной поверхности при взрыве проволочки (осевая
симметрия), которые демонстрируют формирование вертикальной струи
Кумулятивные струйные течения ...
373
Свободная поверхность
Взрывная полость
Рис. 22. Развитие струи султана при подводном взрыве
проволочки вблизи свободной поверхности
и в отсутствии на поверхности кумулятивной выемки. Этот факт
позволяет сделать два принципиальных вывода:
— основная роль в исследуемом механизме образования струй
принадлежит взрывной полости
— развитие султана можно моделировать в рамках идеальной
несжимаемой жидкости.
3.2. Аналоговая модель развития султана. Рассмотрим в плоском
случае математическую модель неустановившегося течения
жидкости со свободной поверхностью при подводном взрыве [43,44]. Пусть
нижнюю полуплоскость z < 0 занимает идеальная несжимаемая
невесомая жидкость (область Q(t)), в которой на расстоянии Η от
свободной поверхности ξ(ί) имеется полость R(t) с продуктами
детонации. Давление на ξ(t) постоянно и равно атмосферному р0 а на
R{t) меняется по адиабатическому закону p(t) = p(0)[S(t)/S0]~γ, где
начальное давление в продуктах детонации р(0) и показатель
адиабаты γ известны. Движение жидкости потенциально: ν1 = — V φ'.
(19)
(20)
(21)
Постановка задачи:
в области Q(t): Δφ = 0, φ — 0 при |r| — ∞,
на поверхностях
374
Глава VIII
Начальные условия (t = 0)
— в Q(0): сечение взрывной полости S(0) = S0 = πRch2
— на ξ(0) (горизонтальная поверхность): φ = 0, p = 1,
— на R(0) (окружность радиуса Rch): φ = 1
Здесь φ = φ'/p0/ρ0ch, t = t'/ρ0/p0Rch, r = r'/Rch, p = р'/р0,
Η в Η'/Rch) Qb(r,t) = 0 — уравнение границы области Q(t), pdet =
р(0)/р0, γ = 3, штрихами обозначены размерные величины.
Задача состоит в отыскании функции φ = φ(r,t) в пере_
менной области Q(t). Решение осуществляется путем комбинации
метода электрогидродинамических аналогий (ЭГДА) и конечно-
разностных аналогов интегралов Коши — Лагранжа. Первый
используется для решения уравнения Лапласа (19), вторые —
уравнений (20), (21). Решение при этом сводится к определению в
каждый момент времени ti, распределения значений потенциала
скорости φj,k,i и его градиента Vφj,k,i на границах ξ(ti) и R(ti)< Индексы
i, j, k присвоены соответственно шагу по времени и точкам на ξ и
R.
В постановке не упоминается кинематическое условие
на границе рассматриваемой области Q(t), выполняемое при
решении уравнения Лапласа методом ЭГДА автоматически: при его
реализации на электропроводной бумаге при определении потенциала
и построении линий тока на всех интервалах времени
отслеживаются одни и те же «частицы жидкости» (точки) на обеих границах
области Q(t).
Используя определение dφ/dt = φt + vΔφ = φt — ν2, нетрудно
записать условия (20), (21) на границах области для потенциала в
разностном виде
Как было упомянуто выше, в задачах, связанных с
исследованием взрывных процессов, часто применяется так называемая
импульсная постановка, суть которой сводится к тому, что при
действии в жидкости только «мгновенных» давлений (в течение очень
Кумулятивные струйные течения ..
375
малого промежутка времени, за которое положение границ области
практически не меняется) на основании закона сохранения импульса
потенциал на границе может быть определен как
где τ0 задает длительность действия взрывной нагрузки [45]. Эта
величина на границе R(0) и принимается за аналоговую единицу.
Связь гидродинамического потенциала φh с электрическим φе
выражается различными для каждого момента времени ti
масштабными коэффициентами. Определяя эти коэффициенты, можно
реализовать известные в данный момент граничные значения
гидродинамического потенциала через их электрические аналоги на
электропроводной бумаге. Для этого на контуры границ области
накладываются намотанные на изоляционные каркасы (которым заранее
придается форма границ) шины [46] с выводами в точках j и k.
После того, как значения потенциала в соответствии с (22)
установлено на границах, распределение φ в Q(t) практически получено и
остается лишь отметить его на бумаге в виде эквипотенциальных
линий. Затем, выбрав шаг по r, вдоль границ ζ и R определяем
распределение гидродинамических скоростей vjtk,i как Δφ/Δr (значок
Δ здесь означает приращение величины, а Δr берется по нормали к
эквипотенциальным линиям) и строим линии тока. Таким образом в
момент ti картина течения полностью определена, а для следующего
шага по времени ti+1 = ti + Δti пo vj,k,i можно найти новое
положение границ ζi+1 и Ri+1 и из (22) — новое распределение φj,k,i+1 на
них.
Это распределение снова реализуется на электропроводной
бумаге после определения масштабного коэффициента и расчет
продолжается далее практически для любого интервала времени,
представляющего интерес в исследуемом процессе. На рис. 23 приведен
результат расчета начальной стадии неустановившегося течения
жидкости со свободной границей для различных моментов времени при
pdet = 4 · 104 (определенном в предположении мгновенности
детонации ВВ по всему объему заряда), H = 4, Rch = 1,5 см, ρ0 = 1 г/см3,
376
Глава VIII
Рис. 23. Начальная стадия динамики форм границ ζ(t) и R(t)
(расчет)
Кумулятивные струйные течения
377
Рис. 24. Развитие кумулятивного течения при расширении
взрывной полости вблизи свободной поверхности (расчет)
Рис. 25. Динамика массовых скоростей на границах ζ(t) и R(t)
при расширении взрывной полости вблизи свободной
поверхности (расчет)
378
Глава VIII
ра = 1 бар и τ0 = 10-7 с (в безразмерном виде — 6,66 · 10-5). В
силу симметрии течения относительно вертикальной оси,
проходящей через центр взрывной полости, при расчете (и на рисунке)
рассматриваются только половинки полуплоскости (ось симметрии на
электропроводной бумаге реализуется линией отреза).
На рис. 23 (1-6 — t = 0; 2,7; 5,8; 87; 127; 208 мкс) показаны
эквипотенциальные линии φ = const и линии тока. Общая картина
развития кумулятивного течения (султана) представлена на рис. 24,а
для t = 0; 2,7; 5,8; 87; 127; 208; 308; 408 мкс. Здесь же (рис. 24,б) для
одного из моментов времени (t = 127 мкс) показаны эквипотенциали
и линии тока, которые помогают представить картину
формирующегося течения.
На рис. 25 приведены графики изменения скорости частиц
жидкости ν на свободной поверхности (кривая I — для частицы
жидкости на оси (точка I), кривые II, III — для частиц жидкости вдоль
границы (точки II, III соответственно)) и на границе взрывной
полости (кривые 1,3 — для частиц жидкости в верхней и нижней
точках (1 и 3) полости на оси, кривая 2 — для частицы жидкости
на поверхности полости (точка 2) на уровне горизонтального
диаметра). Видно, что примерно до t ~ 10 мкс характер движения всех
точек идентичен, причем после 5 — 6 мкс ускорение частиц
жидкости меняет знак (сказывается атмосферное давление), их скорости
начинают падать и примерно в интервале 10 – 20 мкс уменьшаются
в несколько раз. При этом, скорости частиц жидкости на свободной
поверхности сначала «следят» за поведением границы газовой
полости, но примерно в интервале 20 – 40 мкс «стабилизируются» и
начинают расти. Для частиц в точках II и III этот рост
заканчивается при t = 100 мкс, и характер динамики скорости в этих точках
вновь становится идентичным динамике для точек на поверхности
взрывной полости, в то время как скорость частиц в окрестности
точки I на оси симметрии продолжает увеличиваться.
Сопоставляя рис. 23-25, нетрудно обнаружить причину
упомянутого эффекта: в интервале 20 – 40 мкс начинает формироваться
вертикальная кумулятивная струя. В чем же состоит механизм
этого эффекта? Анализ результатов расчета показывает, что
практически уже в интервале 5 < t < 10 мкс (рис. 23, 3) линии тока
заметно наклоняются к оси симметрии. Очевидно, начинают проявляться
инерционные свойства жидкого слоя над взрывной полостью,
получившего в начальные моменты времени мощный импульс. Инерция
слоя уменьшает влияние атмосферы, падение скорости замедляет-
Кумулятивные струйные течения ...
379
ся практически во всех точках в окрестности оси, кроме области
в нижней части полости. Это приводит к некоторой стабилизации
скорости в интервале 20-40 мкс (рис. 25), эффект которой наиболее
очевиден для слоя, прилегающего к свободной поверхности, и частиц
жидкости над полостью в окрестности оси симметрии.
Давление в продуктах детонации продолжает падать. В области
оси между свободной поверхностью и взрывной полостью
возникают растягивающие напряжения, что приводит к понижению
давления и, как следствие, к усилению кумуляции потока на ось
симметрии: начало роста скорости частиц в точках I—III подтверждает
этот эффект. В совокупности с вертикальным течением он
приводит к формированию направленного выброса — султана. Скорость
частиц жидкости в окрестности оси симметрии в районе свободной
поверхности резко возрастает, а частиц в точках II, III, отдаленных
от оси, уменьшается. Эти частицы вскоре начинают «следить» за
поведением газовой полости, влияние которой для них оказывается
более существенным, что и определяет структуру течения:
формирование узкой вертикальной струи.
Отметим влияние кумулятивного течения на динамику верхней
половины взрывной полости, скорости которой (в точке 1)
убывают заметно медленнее, чем скорости нижней половины (точки 2, 3):
взрывная полость вытягивается вверх, трансформируясь в
эллипсоид.
Как уже отмечалось ранее, модель султана, предложенная
М. А. Лаврентьевым, содержала в себе как обязательный элемент
выемку на свободной поверхности жидкости. При
экспериментальном исследовании, а также в расчетах по приведенной выше модели
было показано, что наличие выемки для формирования
направленного струйного течения не обязательно. Однако, результаты анализа
расчетов позволяют высказать предположение, что выемка,
возникающая как результат откола при взрыве на определенных
глубинах: погружения, может усилить эффект, что и регистрируется в
виде сверхзвуковой скорости «вершины купола» (по сути, струи) при
взрывах на глубинах в несколько радиусов заряда.
Действительно, приведенный на рис. 26 расчет
неустановившегося движения жидкости в результате расширения полости с
продуктами детонации под выемкой на свободной поверхности,
подтверждает это предположение. Постановка задачи полностью
соответствует изложенной выше, за исключением начальной формы
свободной поверхности. Глубина погружения заряда Η = 4 и отсчитывает-
380
Глава VIII
Свободная поверхность
Рис. 26. Развитие вертикальной струи при расширении
взрывной полости вблизи свободной поверхности с кумулятивной
выемкой (расчет)
ся от нижнего уровня свободной поверхности. Данные представлены
для моментов времени, начиная от 0, и далее через 10 мкс.
Для начального момента времени показана картина
эквипотенциальных линий и линий тока. Уже их сравнение с аналогичными
данными рис. 23 позволяет ожидать ощутимой разницы в результате
расчетов. Действительно, наблюдается формирование более узкой,
резко выраженной высокоскоростной струи, скорость частиц
жидкости в окрестности которой заметно отличается от скорости частиц
в самой струе. Кумулятивный эффект усиливается.
3.3. Гидродинамическая модель султана (импульсное движение
твердого тела из-под свободной поверхности). Расшифровка
механизма формирования вертикальных струй выброса на свободной
поверхности при подводном взрыве позволила построить чрезвычайно
наглядную модель султана. Действительно, струя султана
формируется в результате полученного жидкостью импульса с максимальной
скоростью на оси, резкого уменьшения скорости полости с
продуктами детонации, возникновения в окрестности оси растягивающих
напряжений и кумуляции потока на ось. Очевидно, что эти эффекты
можно промоделировать, если считать, что взрывная полость игра-
Кумулятивные струйные течения ...
381
Рис. 27. Процесс формирования вертикальной струи из слоя
жидкости, получившей импульс вертикально вверх (расчет)
Рис. 28. Общая
картина формирования
метания струи при
импульсном движении твердого
тела из-под поверхности
жидкости (расчет)
382
Глава VIII
ет роль поршня. Такой моделью может служить
неустановившееся течение при импульсном движении из-под свободной поверхности
твердого тела, погруженного в жидкость [43, 44].
Рассмотрим задачу в плоской постановке. Пусть в идеальной
несжимаемой жидкости, занимающей нижнюю полуплоскость z < 0,
вертикально вверх движется цилиндр радиуса R со скоростью V0·
В момент времени t = 0 цилиндр находится на расстоянии Η =
H/R > 1 под горизонтальной свободной поверхностью ζ(0).
Оказавшись частично над поверхностью в момент t = t0, цилиндр
мгновенно останавливается, сохранив сверху слой жидкости, который таким
образом получает импульс и остается «предоставленным самому
себе». Спрашивается: как, начиная с этого момента, будет вести себя
жидкость? Решение этой задачи осуществлялось с использованием
метода ЭГДА и сводилось к отысканию неизвестной границы ζ(t) и
потенциала φ(r,t) такого, чтобы выполнялись условия
— при t > 0:
в области
на поверхностях
— при t = 0:
ζ(0) — горизонтальная поверхность, на ζ(0) φ = 0, p = 1.
Здесь r, θ — полярные координаты, угол θ отсчитывается от
вертикальной оси.
Кинематическое условие здесь опускается, поскольку, как
указывалось ранее, в процессе нахождения границы ζ(t), оно
выполняется автоматически. Условие на R при t > t0 выполнялось просто —
на электропроводной бумаге вырезалась окружность радиуса R.
На рис. 27, начиная с момента времени t0 = 7 мс,
представлен процесс формирования струйного течения как
неустановившегося инерционного течения жидкости под действием полученного ею
импульса. Полная картина метания струи твердым телом при его
импульсном движении из-под свободной поверхности показана на
рис. 28. Можно согласиться, что несмотря на различия в
динамике «поршней» (взрывная полость расширяется, а твердое тело при
Кумулятивные струйные течения ...
383
Рис. 29. Метание струи при импульсном движении твердого тела
из-под поверхности жидкости (эксперимент)
неизменном размере движется только поступательно), характер
течения поразительно идентичен! (ср. рис. 22 и 28).
Анализ динамики массовых скоростей в выполненных расчетах
показал, что после остановки цилиндра скорость частиц на
свободной поверхности (в окрестности оси) сначала заметно снижается, а
затем быстро возрастает, практически повторяя характер
динамики и распределение скорости в случае со взрывом. При этом момент
остановки тела соответствует моменту появления отрицательных
ускорений стенки газовой полости с продуктами детонации .Расчет
(рис. 27, 28), выполненный для V0 = 10 м/с, R = 5 см и Η = 1,4,
показывает, что со временем слой жидкости на теле после
остановки вместо того, чтобы стекать вниз, стягивается с его поверхности
и формируется в струю. Качественно картина не меняется, если
цилиндр R, имея при t = 0 скорость V0, движется с отрицательным
ускорением вплоть до V = 0 или мгновенно сообщает жидкости
импульс, а сам остается на месте. Приведенные расчеты полностью
подтверждаются экспериментальными исследованиями.
Опыты по экспериментальному моделированию султанов
проводились как для плоского, так и для осесимметричного случаев. В
качестве метаемого тела использовались металлические сферы,
полые полуцилиндры или полусферы. Импульс полым телам
сообщался в результате взрыва распределенного или сосредоточенного
заряда (ВВ или взрывающаяся проволочка), помещенного непосредствен-
384
Глава VIII
Рис. 30. Формирование струи при метании твердой полусферы
из-под поверхности жидкости взрывающейся проволочкой
(эксперимент)
Рис. 31. Поздняя стадия развития струи при метании твердой
полусферы (эксперимент)
Кумулятивные струйные течения ...
385
Рис. 32. Поздняя стадия развития струи при метании
твердого полуцилиндра (эксперимент, б — полуцилиндр в два раза
тяжелее)
386
Глава VIII
но под поверхностью тела, внутренняя часть которого (обращенная
к заряду) при необходимости покрывалась специальными
прослойками для поглощения ударных волн. Те волны, которые огибали
метаемую поверхность, были уже достаточно слабыми и
нарушения сплошности жидкости над метаемой поверхностью не создавали.
Как следует из расчетных оценок, начальное распределение
скорости частиц на свободной поверхности является в данных
постановках весьма важным фактором и должно иметь относительно резкий
градиент с максимумом на оси симметрии. В связи с этим радиус
кривизны метаемой поверхности выбирался порядка максимального
радиуса взрывной полости в безграничной жидкости.
На рис. 29, 30 представлены кадры скоростной киносъемки
экспериментального моделирования процесса формирования и метания
струи. Рисунок 29 демонстрирует два случая:
а) сфера выталкивается из воды полностью,
б) сфера останавливается, коснувшись ее поверхности.
Горизонтальная черта в нижней части кадра — свободная
поверхность, под ней — жидкость, над ней — воздух. На рис. 30
показано, как полусфера диаметром 8 см (ее верхняя точка находится
на глубине 2 см) метается из-под поверхности жидкости полостью,
образованной взрывом проволочки, и тормозится естественным
образом над поверхностью жидкости. Скорость съемки 600 кадров в
секунду, энергия, накопленная в разрядном промежутке, около 200 Дж.
На рис. 31 показано дальнейшее развитие струи, скорость съемки 25
кадров в секунду, вертикальный масштаб кадра около 2-х метров
(здесь глубина погружения полусферы 4 см). Из-за градиента
скорости струя вытягивается и впоследствии распадается на капли. В
зависимости от глубины первоначального погружения и скорости
метаемого тела можно наблюдать струю в свободном полете.
На рис. 32,а с интервалами 20 мс между кадрами показано
развитие струи султана при метании полуцилиндра взрывом
однограммового заряда ВВ с глубины 2 см (на рис. 32,б глубина та же, но
полуцилиндр в два раза тяжелее). Струя развивается на фоне
вертикально расположенной «масштабной линейки», расстояние между
метками которой равно 1 м. Представленные кадры скоростных
киносъемок показывают, что метаемое тело сообщает слою жидкости
над ним импульс, а его торможение создает условия, моделирующие
формирование струйного течения в слое при подводном взрыве.
Приведенные экспериментальные результаты и численный
анализ позволяют сделать вывод о подобии механизмов формирования
Кумулятивные струйные течения ...
387
струйных течений при малозаглубленных подводных взрывах и
метании слоя жидкости твердым телом (сферической или
цилиндрической формы) из-под свободной поверхности.
3.4. Первая пульсация взрывной полости (механизм аномального
усиления). Вторая стадия подводного взрыва при глубинах Η > Rmax
начинается после расширения полости с продуктами детонации до
максимального размера и вносит свой вклад в систему струйных
течений [43, 44, 47]. При этом взрывная полость не
разгерметизируется, на поверхности образуется купол из относительно тонкого
жидкого слоя, а в момент остановки полости давление в ней
практически равно нулю и полость можно считать пустой. Под действием
гидростатического давления полость схлопывается, оставаясь
«пустой» значительную часть этого полупериода, и в конце схлопыва-
ния излучает волну сжатия (первую пульсацию).
В экспериментальных исследованиях параметров первой
пульсации при подводных взрывах вблизи свободной поверхности
отмечалось резкое и совершенно не очевидное усиление ее максимальной
амплитуды по сравнению с глубоководными взрывами [1]. Это
изменение амплитуды (иногда в несколько раз) оказывается
характерным только для очень узкой зоны глубин погружения заряда ВВ,
которые, как установлено в результате многочисленных исследований
с зарядами различного веса [1], близки по величине к
максимальному радиусу полости с продуктами детонации для случая взрыва в
безграничной жидкости.
На рис. 33 для зарядов весом в 137 кг (о) и 250 г (δ) приведены
данные работы [1] по изменению относительной величины
максимальной амплитуды 1-й пульсации р1 = p1/p1,∞ в зависимости от
глубины погружения заряда, выраженной в величинах
максимального радиуса взрывной полости. Необходимо отметить следующие
особенности постановки экспериментов. Данные по взрыву заряда
137 кг приведены с учетом возможных отражений от свободной
поверхности и дна, но не учитывают, естественно, влияния границ на
размеры и форму полости как в процессе первого, так и второго
полупериода. Максимальный диаметр полости при взрыве заряда
весом 137 кг равен примерно 17 м (эквивалент тротила), а глубина
места, где проводились эксперименты с зарядами такого веса,
составляла всего 33 м. В данных по эксперименту с зарядом в 250 г не
исключено влияние отражений от границ на величину и форму
волны давления, а соотношение «глубина места взрыва/максимальный
диаметр полости» более удовлетворительное — 6.
388
Глава VIII
Рис. 33. Аномальное увеличение максимальной амплитуды 1-й
пульсации (эксперимент)
Естественно, что при таких условиях существенной
оказывается точность расположения заряда от опыта к опыту. Тем не менее,
данные, приведенные на рис. 33 [1], указывают на существование
аномального увеличения амплитуды 1-й пульсации для различных
весов зарядов в области Η = H/Rmax — 1· Здесь же приведены
результаты (точки *), полученные для заряда весом ~ 1,2 г и
демонстрирующие тот же характер зависимости p1(H) (но уже
практически в «полубесконечной» области). Отметим, что на
приведенных графиках заметно резкое исчезновение вторичного поля
давления (первой пульсации) при незначительном уменьшении глубины
взрыва по сравнению с «аномальной».
В монографии [1] указывается на предложенное Кирквудом
объяснение наблюдаемого аномального эффекта, суть которого
заключается в том, что в стадии максимального расширения полость
разгерметизируется и засасывает атмосферный воздух. Затем, в
результате каких-то последующих реакций в смеси газообразных
Кумулятивные струйные течения ...
389
продуктов взрыва и воздуха происходит выделение дополнительной
энергии, которое и проявляется в форме усиления первой пульсации
при последующем схлопывании полости. Этот вывод был сделан,
очевидно, на основании того факта, что примерно на этих же
глубинах погружения заряда при фотосъемках исследуемого процесса
наблюдалось появление трубчатой области, соединяющей схлопыва-
ющуюся газовую полость со свободной поверхностью (см. рис. 17).
Однако, как отмечается и в [1], объяснение Кирквуда звучит не
убедительно.
По этому поводу можно сделать одно замечание. В процессе
схлопывания полости часть жидкости вблизи свободной поверхности
в области оси симметрии продолжает по инерции двигаться вверх
под действием импульса, полученного в первый полупериод. В
результате этого между свободной поверхностью и полостью может
возникнуть зона разрежения, в которой развивается зона кавитации.
При высокоскоростной съемке эта область хорошо просматривается
в виде нитевидных скоплений, состоящих из кавитационных
полостей, расположенных по траекториям частиц. Естественно, что при
относительно большой экспозиции фотосъемки вся эта картина
будет иметь вид сплошной области, что и может привести к
неправильному выводу относительно связи полости со свободной поверхностью
при аномальных глубинах взрыва.
Для выяснения природы аномального эффекта были проведены
эксперименты по одновременной регистрации давления (с помощью
датчиков давления), оптической визуализации вторичных волн
сжатия на теневой установке и формы схлопывающейся полости при
различных глубинах взрыва. Результаты проведенного
исследования указали на прямую связь поля давления первой пульсации с
изменением формы схлопывающейся вблизи свободной поверхности
взрывной полости [47, 44]. С приближением начального положения
заряда к свободной поверхности сферическая для Η > 2 форма
газовой полости начинает нарушаться и для диапазона глубин Η = 1 – 2
приобретает, по мере схлопывания, форму сплющенного эллипсоида
вращения (см. рис. 34,а, свободная поверхность за кадрами слева).
Для этих глубин характерно также уменьшение амплитуды
первой пульсации (рис. 33, точки *), что вполне естественно при
нарушении условия сферической кумуляции. При H ~ 1 схлопы-
вание взрывной полости сопровождается образованием
кумулятивной струи, направленной от свободной поверхности вглубь жидкости
(рис. 34,б). При Η < 1 продукты взрыва прорываются в атмосферу,
390
Глава VIII
Рис. 34. Влияние глубины взрыва на форму схлопывающейся
вблизи свободной поверхности полости (эксперимент)
наблюдается поверхностное замыкание взрывной полости, и первая
пульсация полностью исчезает.
Таким образом, наиболее вероятной причиной аномального
увеличения давления можно считать внедрение в жидкость
высокоскоростной кумулятивной струи, образованной в процессе 1-го схлопы-
вания взрывной полости вблизи свободной поверхности.
Рассмотрим в плоской постановке математическую модель
исследуемого явления (рис. 35). Пусть под свободной поверхностью ξ(0)
идеальной несжимаемой жидкости находится пустая полость R(0) с
давлением ρ = 0, центр которой расположен на глубине Η от
уровня свободной поверхности жидкости на бесконечности. При этом, на
ξ(t) ρ = р0 = const. Необходимо найти положение границ ξ(ί) и R(t),
Кумулятивные струйные течения ...
391
а также потенциал скорости φ при условии, что
в области Q(t):
на поверхностях
ξ(t):
R:
При t = 0: ξ(0) и R(0) взяты из эксперимента, на ξ(0) φ = 0, на
R(0) φ = 1.
Расчет проведен для случая Η = 19 см, .R+ = 19 см, R_ = 16 см,
где R+, R_ — соответственно, вертикальный и горизонтальный
максимальные радиусы полости в момент t — 0. Результаты
решения, полученного в рамках изложенного выше подхода
(комбинация метода ЭГДА и конечно-разностного метода), представлены
на рис. 35. Видно, что действительно, схлопывание полости вблизи
свободной поверхности сопровождается формированием
интенсивного кумулятивного струйного течения, направленного от свободной
поверхности. Причем, к моменту достижения струей нижней
границы полости скорость ее головной части Vtop достигает 300 м/с при
средней скорости стенки полости около 20 м/с. Несложно оценить
порядок давления в головной части струи в жидкости, скорость
которой, как известно, имеет порядок Vtop/2 (согласно стационарной
кумуляции): pjet ~ 2 · 103 бар. .
Этот результат соответствует моменту времени t ~ 17,8 мс, в
то время как полное время схлопывания пустой цилиндрической
полости радиуса 17,5 см в безграничной жидкости составляет 26 мс
[19]. Дальнейшее схлопывание полости (при t > 18 мс) приведет
к быстрому увеличению скорости ее границы и кумулятивного
течения соответственно. Оценка изменения скорости схлопывающей-
ся цилиндрической полости в безграничной сжимаемой жидкости в
акустическом приближении показывает, что при начальном
давлении газа в полости р0 = 10-8 бар и γ = 1,25 скорость стенки
полости в районе Rmin может достигать значений порядка скорости
звука в невозмущенной жидкости. При этом, естественно, следует
ожидать значительного увеличения скорости кумулятивной струи в
процессе схлопывания. Заметим, что согласно экспериментальным
данным, период 1-й пульсации на аномальных глубинах
практически не изменяется и в пределах погрешности экспериментальных
измерений остается равным периоду пульсации при взрыве в
безграничной жидкости.
392
Глава VIII
В заключение заметим, что расчет поля давления при
аномальном эффекте связан с задачей о внедрении в жидкость
нестационарной кумулятивной струи. Это весьма сложная задача с неизвестной
свободной границей, включающая сразу и проблему формирования
струи, и проблему ее внедрения, которые должны решаться
одновременно. Некоторые качественные оценки в рамках модели идеальной
несжимаемой жидкости в плоской постановке получены в [44, 48].
3.5. Две модели образования радиальных султанов. В
результате внедрения кумулятивной струи в жидкость, взрывная полость с
продуктами детонации оказывается разделенной на две,
симметричные относительно оси полости (в плоском случае), или приобретает
форму тора (осесимметричный случай). При этом, в силу инерции
жидкости, эти полости схлопываются до некоторого минимального
размера с давлением ρ > ρ0, хотя и значительно меньшим, чем при
симметричной первой пульсации. Далее начинается расширение
полостей (тора) и, в этом смысле, задача оказывается эквивалентной
первой стадии взрыва, рассмотренной выше. Только теперь и
полость с продуктами детонации имеет сложную форму, и свободная
поверхность существенно отличается от плоской.
В рамках принятых выше модели и метода расчета рассмотрим
плоское течение жидкости, возникающее при расширении двух
полостей, симметрично расположенных относительно оси (рис. 36). На-
Рис. 35. Охлопывание пустой полости вблизи свободной
поверхности полости на аномальной глубине (расчет):
t = 0; 12,95; 15,96; 17; 17,76; 17,82 мс; Й = Я/Д+ = 1
Кумулятивные струйные течения ...
393
чальные формы полостей и свободной поверхности возьмем из
решения задачи о схлопывании вблизи свободной поверхности пустой
цилиндрической полости с исходным сечением в виде круга [44] при
глубине погружения центра Η = 0,8 относительно радиуса
полости и из экспериментальных данных по моделированию процесса в
постановке со взрывающимися проволочками.
Пусть в идеальной несжимаемой невесомой жидкости в момент
t = 0 на некотором одинаковом расстоянии Η от свободной
поверхности £(0) находятся две газовые полости R(0), расположенные
симметрично относительно оси (рис. 36). Давление на ξ(t) постоянно и
равно p0 на R(t) — меняется по известному адиабатическому
закону. Решение задачи сводится к отысканию нестационарных границ
ξ(t) и R(t) и потенциала скорости, для которого справедливы
условия, указанные в постановке задачи о султане. При t = 0:
начальные формы поверхностей ξ(0) и R(0) имеют вид, изображенный на
рис. 36. Моделировалась ситуация со взрывом заряда весом около 1 г,
глубина вторичного «взрывного» расширения полостей Η = 13 см
отсчитывалась от уровня свободной поверхности на бесконечности
до верхней точки границы R(0), начальное давление продуктов
детонации в полостях принято равным р(0) = 104 бар.
На рис. 36а приведены результаты расчета формы поверхностей
ξ(t) и R(t) для t = 0, 110, 130, 160 и 190 мкс. Нетрудно видеть, что
на свободной поверхности жидкости симметрично развивается
радиальное струйное течение (кольцевая струя в случае «взрывного»
расширения тора).
Рис. 36. Формирование радиальных выбросов (расчет):
а — общая картина течения, б — система эквипотенциален и линий
тока для t = 130 мкс
394
Глава VIII
Анализ результатов расчета динамики массовых скоростей для
контрольных точек, отмеченных на рис. 36 (см. границу f (0)),
показал, как постепенно в окрестности точки с четвертым порядковым
номером (первый — на оси симметрии) развивается течение со
скоростями значительно большими, по сравнению с периферийными и
центральными точками. То есть, течение на свободной
поверхности в области этой точки принимает явно направленный характер.
Не вызывает сомнений, что рассмотренное течение аналогично
первой стадии формирования султанов с той лишь особенностью, что
свободная поверхность здесь наклонена к оси, имеет форму
кумулятивной выемки и направленный выброс развивается под углом к оси
симметрии.
Радиальный характер султана при взрыве около наклонной
свободной поверхности наглядно подтверждается и модельными
экспериментами. На рис. 37,а представлены кадры высокоскоростной
съемки образования направленного радиального выброса в
результате последовательного взрыва двух проволочек (на концах
электродов I и II). Как видно (рис. 37,а, кадр 1), в результате первого
взрыва образовалась полость, на наклонной поверхности которой в
результате второго взрыва (кадр 2), инициированного с задержкой
по времени для формирования заданного заглубления второго
«заряда» (Й < 1), формируется радиальный султан (3-6). На рис. 37,б де-
монстрируется тот же эффект направленного радиального выброса
при последовательном взрыве (с задержкой на формирование
взрывной полости) двух зарядов ВВ на дне водоема (эксперимент проведен
в Институте водного транспорта, г. Новосибирск).
Радиальные султаны на стадии второго расширения взрывной
полости (рис. 22, кадр 7) возникают и при моделировании процесса
метанием полусферы (рис. 31, кадры 1, 2, результат второй
пульсации взрывной полости под метаемой полусферой), когда роль
наклонной поверхности играет искривленная поверхность в области
основания струи султана, образовавшаяся еще на 1-й стадии
метания. В [1] указывается на существование радиальных фонтанов,
имевших место при взрыве крупных зарядов ВВ (137 кг) на
небольших глубинах. При изменении глубины взрыва (от поверхности —
вниз) радиальные фонтаны иногда предшествовали вертикальным.
Один из механизмов их образования может быть связан с кавитаци-
онными эффектами. Действительно, большие растягивающие
напряжения, возникающие при отражении сильных ударных волн от
свободной поверхности приводят к образованию кавитационной области
Кумулятивные струйные течения ...
395
Рис. 37. Формирование радиальных выбросов (эксперимент):
а — моделирование со взрывающимися проволочками, б — натурный
эксперимент
со значительной концентрацией кавитационных пузырьков, время
«жизни» которых может оказаться сравнимым с характерным
временем рассматриваемого процесса. При этом быстрое расширение
полости с продуктами детонации будет происходить в среде с
существенно нарушенной сплошностью. Тогда внешне эффект может
быть эквивалентен взрыву в грунте вблизи свободной поверхности,
на которой, как правило, наблюдаются выбросы радиального
характера, не имеющие отношения к кумулятивным струйным
течениям, рассмотренным выше. Это больше напоминает так называемую
стриммерную структуру (см. гл. 7), определяемую эффектами не-
396
Глава VIII
Рис. 38. Поверхностный эффект при взрыве на глубине Η = 10 см
в нормальной (а) и пузырьковой (5) жидкостях
Кумулятивные струйные течения ...
397
устойчивости, возникающими при расширении кавитирующего слоя
жидкости.
Качественно эта модель продемонстрирована на рис. 38, где
приведены результаты двух экспериментов: взрыв однограммового
заряда ВВ на глубине 10 см в чистой жидкости (а), то же — в
жидкости с пузырьками газа диаметром 3-5 мм и концентрацией в
несколько десятков процентов (б). Заметим, что подводный взрыв в
пузырьковой среде может представлять интерес с точки зрения
моделирования взрывов в грунтах. Действительно, при определенной
концентрации газовой фазы пузырьковая жидкость теряет связность
и развитие в ней взрывных процессов может следовать принятым
«грунтовым» моделям, согласно которым
— в ближней от заряда зоне грунт ведет себя как идеальная
жидкость (в модельной среде в ближней зоне пузырьки под
действием сильных ударных волн будут разрушаться и растворяться —
двухфазная среда становится однородной);
— в средней зоне в грунтах волна сильно затухает
(моделируется поглощением ударной волны пузырьковой системы);
— в дальней зоне насыщенная пузырьковая среда будет вести
себя как бессвязный грунт (например, разлетаться со свободной
поверхности под действием расширяющейся полости с продуктами
детонации ВВ).
Приведенные выше модели радиальных выбросов
рассматривались для случаев заглубления зарядов порядка 30-ти их радиусов и
меньше. Следует отметить, что радиальные выбросы имеют место
и при взрыве крупных зарядов ВВ на глубинах около (50 – 60)Rch
[49] в момент выхода взрывной полости на поверхность.
З.б. Основные параметры султанов. На рис. 39 на примере
подводных взрывов зарядов малого веса демонстрируются особенности
исследуемого процесса при изменении глубины взрыва: Η > 0,9 —
область существования первой пульсации, H ≈ 1,1 — аномальный
эффект, Η < 0,9 — разгерметизация взрывной полости, Η ≈ 0,6 —
максимальный выброс жидкости в струе. В интервале Η = 0,5 — 0,15
скорость вершины струи возрастает в 6-7 раз, а количество
жидкости в ней уменьшается на порядок.
Основные параметры вертикального выброса по обобщенным
данным [12, 13, 15] и результатам, изложенным в этой главе, можно
представить в следующем виде:
398
Глава VIII
Рис. 39. Аномальные амплитуды первой пульсации pi, динамика
массы жидкости Μ и скорости вершины струи султана ν (эксперимент)
— максимальная высота подъема;
— соответствующая ей глубина взрыва;
время подъема до hmax;
■ максимальная скорость
вершины струи для диапазона
глубин взрыва H = H/Rmax =
0,15 – 1.
Здесь W, Μ измеряются в кг, h, H — в м, vjet — в м/с, Τ —в с, Ε —
теплота взрыва, тротиловый эквивалент, в ккал/кг, разброс < 15 %.
На рис. 40 представлена общая картина развития султана при
взрыве заряда весом W = 10 кг на глубине H = 1,1 м: на фоне
максимальное количество
жидкости в струе;
глубина взрыва, соответствующая МmaХ;
Кумулятивные струйные течения ...
399
откольных явлений четко просматривается направленное струйное
течение.
3.7. Струйный тандем — структура султанов, аналогия с
высокоскоростным внедрением тела в воду, общая схема формирования.
Необходимо отметить, что структура первого вертикального выброса
(султана) на начальной стадии расширения газовой полости с
продуктами детонации не ограничивается упомянутым струйным
течением. Действительно, как показал расчет, при глубине взрыва всего
4Rch (что примерно в 4 раза меньше Rmax) развитие струйного
течения и расширение взрывной полости сопровождается утоньшени-
ем жидкого кольцевого слоя в основании струи, который отделяет
продукты детонации от атмосферы. Толщина этого слоя по мере
развития процесса уменьшается и наступает момент, когда струя
отрывается от основной массы жидкости, взрывная полость
разгерметизируется, продукты взрыва эжектируются через кольцевой
разрыв в атмосферу, образуя вокруг струи своеобразный венец. Форма
оторвавшейся первой струи по структуре напоминает кумулятивное
течение при обратной кумуляции [50, 51].
В работах [12, 14] отмечалось, что для глубин взрыва Й < 0,9,
на которых происходит разгерметизация взрывной полости
(образуется открытая каверна), наблюдаются
— «центральный столб, по-видимому, сплошной жидкости,
регистрируемый на фоне полого цилиндрического выброса» при малых
глубинах взрыва;
— «перьевая» структура поверхностного выброса [1, 12].
Рис. 40. Развитие султана (эксперимент): вес заряда 10 кг, глубина
взрыва 1,1 м
400
Глава VIII
Рис. 41. Поверхностное замыкание каверны:
а — образование вертикальных струй на фоне брызгового купола, б —
развитие течения при глубине взрыва, близкой к аномальной
(эксперимент)
Как показали дальнейшие исследования, все эти течения имеют
одну природу и определяются быстрым поверхностным замыканием
разгерметизированной каверны, в результате которого развиваются
вертикальная вверх и обратная струйки (рис. 41,а), а при Η ≈ 1
радиальные струйки (рис. 41,6), дополняющие структуру выброса
на стадии первого полупериода расширения полости с продуктами
детонации при малозаглубленных подводных взрывах.
Как упоминается в [52], эффект поверхностного замыкания
каверн описан еще в начале 20-го века при наблюдении процесса
вхождения тела в воду. Более детальное его исследование, выполненное
в [4], позволило обнаружить весьма неожиданный феномен.
Оказалось, что при высокоскоростном внедрении пули в жидкость (рис. 42)
не только формируется целый спектр струйных течений, но он
практически совпадает с характером течений при подводном взрыве
(правда при обратном порядке развития событий): поверхностное
замыкание 2, отрыв каверны, ее схлопывание 2 и последующее
расширение 3, приводящее в соответствии с изложенным выше
механизмом к развитию вертикального струйного течения 4-7, несмотря
на то, что полость опять захлопывается и удаляется от свободной
поверхности.
Кумулятивные струйные течения ...
401
Рис. 42. Струйные течения при высокоскоростном вертикальном
внедрении пули в жидкость (эксперимент): инверсионный,
относительно взрывного, характер процесса развития султанов
В заключение заметим, что согласно [53] для больших зарядов
обычных ВВ и при ядерных взрывах развитие вертикального
выброса наблюдается также и на глубинах Η > 1. Время появления
его оказывается кратным периоду пульсации полости с продуктами
взрыва, а условием возникновения является наличие свободной
поверхности вблизи полости в период ее максимального сжатия. Этот
выброс согласно модели Л. В. Овсянникова [18] также имеет
струйный характер, механизм которого, в силу больших размеров
взрывного пузыря и влияния силы тяжести, имеет кумулятивную природу,
что подтверждается экспериментальными и расчетными данными
Притчетта [53].
На рис. 43 схематично представлены обобщенная картина
поверхностных эффектов, соответствующих четырем характерным
глубинам (а-г), а также структура течений для каждой из них
(например а1,2,3). Справа, для наглядности, показаны динамика
полости с продуктами детонации с учетом возможного всплытия и
относительное заглубление заряда Η [53].
В заключение еще раз подчеркнем основные особенности
формирования спектра кумулятивных струйных течений при подводном
взрыве сферического заряда ВВ на разных глубинах:
— при малозаглубленных подводных взрывах основу выброса
составляет струйный тандем, первая струя которого формируется
в результате инерциального движения слоя жидкости над полостью
с продуктами детонации и кумуляции течения в области оси сим-
402
Глава VIII
Рис. 43. Поверхностные эффекты при подводных взрывах и схемы
их развития (на основе экспериментальных данных)
метрии, вторая — в результате поверхностного замыкания полости
после ее разгерметизации;
— взрыв на аномальных глубинах сопровождается
формированием направленной вниз вертикальной кумулятивной струи,
изменением топологии течения и последующих радиальных кумулятивных
струйных течений при вторичном расширении полости с
продуктами детонации, имеющей форму тора;
— в случае крупномасштабных взрывов на глубинах,
соответствующих области существования первой пульсации также
наблюдаются вертикальные выбросы, чей механизм определяется
развитием кумулятивной струи в нижней части всплывающей и схлопы-
вающейся гигантской (радиусом в сотню метров) взрывной полости
в тяжелой жидкости, если она в соответствующий момент
оказывается вблизи свободной поверхности и кумулятивная струя способна
пробить оставшийся слой жидкости.
Кумулятивные струйные течения ...
403
4. Струйные течения при подводном взрыве малоза-
глубленных кольцевых зарядов
Из изложенного выше очевидно, что при относительно
глубоководных взрывах крупных зарядов ВВ (или ядерных взрывах)
кумулятивная струя, формирующаяся в процессе первой пульсации при
всплытии полости в тяжелой жидкости, пронизывает ее, нарушая
односвязность области течения, и образует тор. Пульсирующая
тороидальная взрывная полость будет продолжать всплывать к
свободной поверхности. Возникает вопрос, не являются ли упомянутые
в [1] «глубоководные» султаны результатом динамики такой
полости вблизи свободной поверхности. Анализу этой проблемы и
будет посвящен настоящий раздел, в котором рассматриваются
экспериментальные постановки, моделирующие развитие упомянутых
поверхностных эффектов на примере малозаглубленных подводных
взрывов кольцевых зарядов [54].
Напомним, что особенности структуры волнового поля,
возникающего при взрыве таких зарядов были детально исследованы
выше. Как при этом отмечалось, конечность скорости детонации не
играет заметной роли в процессе формирования кольцевой
взрывной полости, которая сохраняет форму правильного тора
достаточно долго. Таким образом, можно быть уверенным в
результатах моделирования осесимметричного течения, если радиус кольца
ar > 150 Rch.
Первые же эксперименты, проведенные в естественном бассейне
в натурных условиях на кольцевых зарядах диаметром до 2-х
метров из стандартных ДШ (Rch = 1,5 мм), подтвердили реальность
предлагаемой модели (рис. 44). На рис. 44,а приведены три
последовательных момента из скоростной кинограммы развития кольцевого
выброса при взрыве заряда ДШ диаметром 2 м на глубине 30 см.
Заметим, что максимальный радиус полости с продуктами детонации
для линейного заряда из того же ДШ составляет примерно 20 см.
По мере уменьшения диаметра кольца при фиксированной глубине
взрыва характер поверхностного выброса меняется: рис. 44,б
демонстрирует развитие центрального султана в эксперименте с
кольцевым зарядом диаметром 0,4 м, практически подтверждая
вероятность появления вертикального выброса на свободной поверхности
при глубинных крупномасштабных взрывах.
Детальные лабораторные исследования позволили выяснить
структуру таких течений, используя постановки с зарядами в виде
404
Глава VIII
Рис. 44. Развитие кольцевого (а) и центрального (б) султанов при
подводном взрыве кольцевых зарядов
полукольца, плоскость которого располагалась параллельно
свободной поверхности, а концы заряда (или взрывающейся проволочки)
располагались на прозрачной вертикальной стенке. Такая
постановка дает возможность, в частности, наблюдать за развитием течения
в области оси кольца. На рис. 45 показаны кадры скоростной
кинограммы процесса при взрыве полукольца 1 из ДШ (Rch — 0,0325 см)
диаметром 18 см на глубине 9 см под свободной поверхностью 2.
Интервал между кадрами 0,5 мс.
Можно отметить две особенности: цилиндрический след 3
(кадры 3-7) в зоне кавитации (область оси симметрии) и тонкий
вертикальный выброс 4 на поверхности в центре купола, который, как
известно, состоит из откольных кавитирующих слоев. Очевидно,
структура откола (с образованием выброса фонтанного характера
4) в экспериментах с кольцевыми зарядами определяется формой
квазитороидального фронта ударной волны и ее фокусировкой. Для
подтверждения этого предположения заряд помещался в заглушён-
Рис. 45. Структура течения при взрыве полукольца ВВ:
J — вблизи поверхности 2; 3 — центральная струя; 4 — «фонтанный» выброс; 5 — зона кавитации
Рис. 46. Взрыв полукольца проволочки; динамика структуры вертикального струйного течения 3
406
Глава VIII
ное кольцо из металлической трубки, заполненной водой, параметры
которой подбирались таким образом, чтобы герметичность
контейнера и его размеры при взрыве сохранялись. Естественно, в этих
условиях «работала» только ударная волна.
Результат эксперимента: фонтанный выброс остался,
центральный цилиндрический след в зоне кавитации исчез. Последний
результат по сути является подтверждением того, что в области оси
симметрии кольцевого заряда при расширении тороидальной полости с
продуктами детонации развивается струйное течение в результате
кумуляции потока жидкости на ось. Детали структуры
центральной струи удалось выяснить в аналогичных постановках со
взрывающейся проволочкой. На рис. 46 представлена последовательность
развития течения на свободной поверхности 2 и динамика полости
1 при взрыве на глубине 4 см полукольца нихромовой проволочки
диаметром 5 см. Время между кадрами 4/3 мс. Видно, что для
условий этого эксперимента выделившаяся при разряде высоковольтной
батареи энергия на единицу длины проводника довольно велика:
полость сильно деформируется в центре, а ее максимальный размер
порядка глубины взрыва.
Что же показывает этот своеобразный «разрез» течения с
разрешением его особенностей в центральной зоне? Оказывается,
развивающийся на свободной поверхности вертикальный султан
представляет собой полую центральную кольцевую струю 3, природа
которой определяется исходной формой заряда, а не разгерметизацией
полости, и связана, очевидно, с замыканием кольцевого струйного
течения на поверхности, как одной из структур вертикального
султана при такого рода геометрии течения. В более поздние моменты
(кадры 5-7) структура выброса на поверхности напоминает случай
со сферическими зарядами.
Результаты экспериментальных исследований зависимости
высоты подъема центральной струи h(τ) при подводных взрывах
кольцевых зарядов диаметром 40 – 80 см из стандартных ДШ на глубинах
Η = 20 – 80 см обобщены на рис. 47. Несмотря на заметный разброс
экспериментальных данных в начальной стадии подъема султана,
который может быть связан с наложением «фонтанного» выброса от-
кольного купола, можно сделать вывод о подобии в целом процессов
развития центральных струйных течений для различных линейных
параметров заряда и глубин взрыва. В основном интервале
времени (τ = 4 101 – 104) зависимость h(τ) носит степенной характер и
Кумулятивные струйные течения ...
407
Рис. 47. Динамика высоты подъема центральной струи
при взрыве кольцевых зарядов
аппроксимируется простым выражением
где
или
Здесь Ε — энергия взрыва на единицу массы ВВ, W — масса ВВ в
кольцевом заряде, ρсh — плотность заряда ВВ, t — размерное время.
Естественна попытка использовать предложенную выше
гидродинамическую модель султана с метанием слоя жидкости твердым
телом. Однако, в случае с кольцевой геометрией заряда эта проблема
значительно осложняется необходимостью моделирования
сходящегося потока, динамика которого существенно меняется в процессе
расширения тороидальной полости. И тем не менее, оказалось, что
если твердому тору придать размеры, соответствующие
максимальным размерам полости с продуктами взрыва, то ожидаемый эффект
может быть получен.
На рис. 48 представлены кадры скоростной съемки развития
кольцевой 4 и центральной 3 струй при импульсном движении из-под
408
Глава VIII
Рис. 48. Формирование кольцевой и центральной струй при
импульсном движении твердого тора из-под поверхности жидкости
поверхности жидкости 1 твердого тора 2, получившего импульс
вертикально вверх. Этот импульс сообщается приведенной на рисунке
конструкции в результате взрыва микронавески ВВ под
специальным устройством, жестко связанным с тором и расположенным на
глубине в несколько его диаметров. Первый интервал между
кадрами — 4 мс, последующие — 4,3 мс. Несложно видеть, что как и
в натурных экспериментах после остановки тора формируются две
системы струйных течений: кольцевая (полная аналогия с метанием
цилиндрических и сферических оболочек) и осевая — в результате
кумуляции к оси потока, получившего радиальные массовые
скорости в процессе движения твердой тороидальной поверхности вверх.
Приведенные результаты показывают, что один из вероятных
механизмов формирования струйного выброса на свободной
поверхности, образующегося при глубоководном взрыве
крупномасштабных зарядов, определяется кумуляцией потока к оси на стадии
расширения тора, формирующегося в процессе всплытия в тяжелой
жидкости первоначально сферической полости с продуктами
детонации и изменения структуры течения с образованием устойчивой
тороидальной полости.
Литература
1. Коул Р. Подводные взрывы. М.: Изд-во иностр. лит., 1950.
2. Замышляев Б. В., Яковлев Ю. С. Динамические нагрузки при
подводном взрыве. Л.: Судостроение, 1967.
3. Коробейников В. П., Христофоров Б. Д. Подводный взрыв //
Гидромеханика (Итоги науки и техники). 1976. Т. 9.
Кумулятивные струйные течения ...
409
4. Кедринский В. К. Поверхностные эффекты при подводных взрывах
(обзор) // ПМТФ. 1978. № 4.
5. Христофоров Б. Д. Взаимодействие ударной волны в воде со
свободной поверхностью // ПМТФ. 1961. № 1. С. 30-38.
6. Рябинин А. Г., Христианович С. Α., Гриб А. А. Об отражении
плоской ударной волны в воде от свободной поверхности // Прикл.
математика и механика. 1956. Т. 20, вып. 4.
7. Рябинин А. Г. Отражение ударной волны в воде от свободной
поверхности: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Л. 1957.
8. Заславский Б. И. Об отражении сферической ударной волны в воде
от свободной поверхности // ПМТФ. 1963. № 6. С. 50-59.
9. Dubesset Μ., Lavergne M. Calcul de Cavitation Due aux Explosions
Sous-Marines a Faible Profoundeur // Intern. J. Acustica. 1968. V. 20, N
5.
10. Wentzell R. Α., Scott H. D., Chapman R. P. Cavitation due to shock
pulses reflected from the sea surface // JASA. 1969. V. 46, N 3. Pt 2.
11. Briggs L. I. Limiting negative pressure of water // J. Appl. Phys. 1950.
V. 21, N 7.
12. Kolsky H., Lewis I. P., et al. Splashes from underwater explosion //
Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1949. V. 196. P. S79-402.
13. Заонегин В. Л., Козаченко Л. С, Костюченко В. Н.
Экспериментальное исследование развития газового пузыря и султана при
подведном взрыве // ПМТФ. 1960. № 2.
14. Козаченко Л. C., Христофоров Б. Д. Поверхностные явления при
подводных взрывах // Физика горения и взрыва. 1972. Т. 8, № 3.
С. 433-439.
15. Степанов В. Г., Навагин Ю. С. и др. Гидровзрывная штамповка
элементов судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1966.
16. Майдер Ч. Л. Взрывы вблизи поверхности воды // Подводные и
подземные взрывы. М.: Мир, 1974.
17. Лаврентьев Μ. Α., Шабат Б. Д. Проблемы гидродинамики и их
математические модели. М.: Наука, 1973.
18. Овсянников Л. В. О всплывании пузыря // Некоторые проблемы
математики и механики. Л.: Наука, 1970.
19. Кедринский В. К. О пульсации цилиндрической газовой полости в
безграничной жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. /
АН СССР Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1971. Вып. 8.
20. Се Дин-Ю. Рост пузырька в вязкой жидкости, вызванный
кратковременным импульсом // Теоретические основы инженерных расчетов.
1970. № 4. С. 121-124.
410
Глава VIII
21. Перссон Б. О границах пороговой величины падения давления,
вызывающей рост пузырей // Теоретические основы инженерных расчетов.
1973. № 1.
22. Кедринский В. К. Динамика зоны кавитации при подводном взрыве
вблизи свободной поверхности // ПМТФ. 1975. №5.
23. Hantel L. W., Davis W. S. Spherical explosions in water // 5th Symp.
on Detonation. Pasadena, California, August 18-21, 1970.
24. Walsh I. M., Rice M. N. Dynamic compression of liquids from
measurements on strong waves // J. Chem. Phys. 1957. V. 26, N 4. P. 821—
823.
25. Христофоров Б. Д. Параметры ударной волны и газового пузыря
при подводном взрыве зарядов из тена малого веса // ПМТФ. 1960.
№ 2.
26. Weston D. Ε. Underwater explosions as acoustic sources // Proc. Phys.
Soc. 1960. V. 76. Pt 2. P. 488.
27. Когарко Б. С. Об одной модели кавитирующей жидкости // Докл.
АН СССР. 1961. Т. 137, № 6. С. 1331-1333.
28. Флинн Г. Физика акустической кавитации в жидкостях // Физическая
акустика / Под ред. Мэзона. 1967. Т. 1. Ч. Б.
29. Гаврилов Л. Р. Содержание свободного газа в жидкостях и методы
его измерения // Физика и техника мощного ультразвука. Физические
основы ультразвуковой технологии. 1970. Ч. 2.
30. Kedrinskii V. К. On relaxation of tensile stresses in cavitating liquid //
Proc. 13th Intern. Congress on Acoustics. Beograd, 1989. Sabac: Dragan
Srnic Press, 1989. V.l, C. 327-330.
31. Иорданский С. В. Об уравнениях движения жидкости, содержащей
пузырьки газа// ПМТФ. I960. № 3.
32. van Wijngaarden L. On the equation of motion for mixtures of
gasbubbles in liquit // J. Fluid Mechanics. 1968. V. 33, N 3. P. 465.
33. Кедринский В. К. Динамика полости и волны // Динамика
сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР Сиб. отд-ние. Ин-т
гидродинамики. 1979. Вып. 38. С.48-70.
34. Град штейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений. М.: Физмат, лит. 1962.
35. Hasan Μ. Μ., Jyengar K. S. Size and growth of cavitation bubble
nuclei // Nature. 1963. V. 199, 4897, 995,
36. Strasberg M. Onset of ultrasonic cavitation in tap water // JASA. 1959.
V. 31, N 2. P. 163.
37. Kedrinskii V. K. Negative pressure profile in a cavitation zone at
underwater explosion near free surface // Acta Astronaut. 1976. V. 3,
N 7-8.
Кумулятивные струйные течения ...
411
38. Кедринскии В. К. Влияние развивающейся зоны кавитации на
параметры волны разрежения //Тр. 20 Сибирского теплофизического
семинара, 1976. Новосибирск: Ин-т теплофизики СО АН СССР, 1977.
С.90-99.
39. Когарко Б. С. Одномерное неустановившееся движение жидкости
с возникновением и развитием кавитации // Докл. АН СССР. 1964.
Т. 155, № 4. С. 779-782.
40. Богуславский Ю. Я. К вопросу о возникновении и развитии кавита-
ционной волны разрежения // Акуст. журн. 1967. Т. 13, вып. 4. С. 538-
540.
41. Цикулин М. А. О возникновении воздушной ударной волны при
подводном взрыве // ПМТФ. 1961. № 1.
42. Костюченко В. Н., Симонов Η. Η. Экспериментальное
исследование воздушной ударной волны при подводном взрыве в мелком
водоеме // ПМТФ. 1960. № 1.
43. Кедринский В. К. О подводном взрыве вблизи свободной
поверхности // Докл. АН СССР. 1973. Т. 212, № 2.
44. Kedrinskii V. К. The experimental research and hydrodynamical models
of a «sultan» // Arch. Mechanics. 1974. V. 26, N 3.
45. Кочин Η. Б., Кибель И. Α., Розе Η. В. Теоретическая
гидромеханика. М.: Физмат. лит. 1963. Ч. 1. Гл. 4.
46. Фильчаков П. Ф., Панчишин В. И. Моделирование потенциальных
полей на электропроводной бумаге. Киев: Наукова Думка, 1961.
47. Кедринскии В. К. Образование султана при подводном взрыве //
Изв. АН СССР. МЖГ. 1971. № 4.
48. Гопкинс Д. Ф., Робертсон Дж. М. Проникание двумерной струи
несжимаемой жидкости // Механика. 1969. № 1.
49. Snay Η. G. Underwasser-Explosionen Hydromechanische Vorgange und
Wirkungen // Naval Hydridynamics. 1957. Nat. Acad. Sci., Nat. Research
Council. Publ. 515. Ch. XII.
50. Титов В. М. Возможные режимы гидродинамической кумуляции при
схлопывании облицовок // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247, № 5.
51. Кедринский В. К. Гидродинамика взрыва (обзор) // ПМТФ. 1987.
№ 4. С. 23-48.
52. Биркгоф Г. Гидродинамика // М.: ИЛ. 1963.
53. Притчетт Дж. У. Расчеты явлений при подводных взрывах в
условиях несжимаемости // Подводные и подземные взрывы. М.: Мир, 1974.
С. 44-57.
54. Кедринский В. К., Кузавов В. Т. Подводный взрыв кольцевого
заряда вблизи свободной поверхности // ПМТФ. 1983. № 4. С. 124-
130.
ПРИЛОЖЕНИЕ:
Три задачи со свободными границами
Как уже отмечалось во введении, можно только поражаться
эффективности «простейших» моделей, основанных на представлении
среды идеальной несжимаемой жидкостью и способных описывать
ее поведение под действием взрыва. Три примера на эту тему —
«жидко-твердая» модель крешера, струя из мениска и эффект
обратной кумуляции завершат представленные в этой книге результаты
экспериментальных исследований, физического и математического
моделирования высокоскоростных гидродинамических явлений,
характерных для конденсированных сред при их импульсном нагруже-
нии.
• Задача о крешере. Крешером называют свинцовый или медный
образец в виде вертикально расположенного цилиндра, над торцом
которого или на самом торце располагается заряд ВВ или система
«ВВ — метаемая пластина». В результате взрыва крешер
деформируется, а уменьшение его высоты служит мерой бризантности
испытуемого ВВ.
Как отмечалось выше, для описания поведения реальных сред,
таких как металл и грунт, М. А. Лаврентьевым была
предложена так называемая «жидко-твердая модель», суть которой
состоит в следующем. В простейшем случае тело, на которое действует
взрывная нагрузка, представляется в виде компакта из двух частей.
Одна — та, в которой скорости деформации настолько велики, что
прочностными свойствами среды можно пренебречь, представляет
собой идеальную несжимаемую жидкость. Другая — твердое тело,
в котором деформации не выходят, например, за предел упругости.
Граница между этими частями определяется по величине
критической скорости, принятой на основании каких-либо физических
представлений. Здесь можно упомянуть работу [1], в которой
использован такой подход для анализа гидродинамических моделей взрыва в
Три задачи со свободными границами
413
Рис. 1. Задача о крешере (расчет):
а — постановка, 6 — динамика границы зоны течения (зона
отмечена горизонтальными штрихами)
грунте и решения задачи о форме воронки выброса при взрыве на
его поверхности.
С течением времени поле скоростей в жидком объеме будет
меняться, возникнут новые участки со скоростями, меньше
критических и, таким образом, согласно модели будет происходить процесс
«затвердевания», который завершится, естественно, когда
«гидродинамическая» часть тела вся станет твердой. Очевидно, чтобы
«довести» этот процесс до конца, необходимо в модели учесть
соответствующим образом потери энергии (потерю на тепло и т. п.).
В задаче о крешере рассмотрим только начальную стадию
деформации без учета диссипативных потерь. Пусть на торцевой
поверхности цилиндра радиуса R, стоящего на абсолютно твердом
основании, расположен заряд ВВ (рис. 1, t = 0). Будем считать,
414
Приложение
что в момент времени t = 0 цилиндр представляет собой идеальную
несжимаемую жидкость с плотностью, равной плотности
соответствующего металла, а фронт детонационной волны от взрыва заряда
ВВ, сдетонировавшего в какой-то момент времени t < 0, достиг
поверхности жидкого крешера. Как известно, взрывная нагрузка крат-
ковременна и использование импульсной постановки для
определения начального распределения потенциала вполне оправдано. Если
время действия давления в продуктах детонации т, то потенциал φ
определится интегралом
Здесь τ = τ(r): τ = О при r = R, τ = τmax при r = 0. Таким
образом, учитывая соответствующие физические характеристики ВВ и
металла, можно найти распределение потенциала (φ0(r)) на
поверхности крешера. Задача решается в стандартной постановке (схема
показана на рис. 1,a, φ0(r)) [2]:
в области
на поверхности
При t = 0: на горизонтальной части границы ζ(0) φ = φ(r,0), на
вертикальной — φ = 0.
Расчет проведен для металла с плотностью ρо = 7,8 г/см3 при
полуширине крешера R = 8 см, скорость детонации заряда ВВ
принималась равной D = 8 км/с, его плотность ρ* = 1,7 г/см3, высота
заряда h = 2R = 16 см. Начальное распределение потенциала на
торцевой поверхности жидкого крешера задавалось выражением
где r = 0 — ось симметрии, к = 3 — показатель адиабаты
продуктов взрыва. Критическое значение скорости υ* принималось равным
250 м/с, чтобы увеличить чувствительность схемы расчета. При
этом граница критической скорости в момент t = 0 оказалась на
уровне В (рис. 1,б) и была горизонтальной. Можно отметить, что в
Три задачи со свободными границами
415
соответствии с данными [3] значение критической скорости (в
задачах с соударением), определяющей переход к гидродинамической
модели, для свинца, например, составляет 400 м/с. Считается, что при
достижении этой скорости материал теряет сопротивление
практически любым касательным напряжениям.
Результаты расчета представлены на рис. 1,б в виде динамики
форм твердой границы и зоны идеальной жидкости для моментов
времени t = 0, 15, 20, 25, 35 и 50 мкс (в силу симметрии показана
только половина области течения). Нетрудно видеть, что наличие
боковой свободной границы у жидкой части крешера привело к
оттоку жидкости от оси симметрии и, соответственно, уменьшению
массовой скорости в ее окрестности. Последнее привело к
существенному изменению формы твердой границы, которая практически
мгновенно приобрела форму «горки» в области оси. Интересно отметить,
что форма границы «затвердевания» в крешере качественно
совпадает с формой воронки выброса, определенной для случая взрыва
шнурового заряда на поверхности грунта [4] и содержащей область
типа «горки» в окрестности оси.
• Эффект Г. И. Покровского [5]. Упомянутый во введении опыт
Покровского можно считать одним из примеров нестационарных
кумулятивных струйных течений с классическими «атрибутами»
этого феномена: кумулятивная выемка и начальное распределение
давления с максимумом на оси симметрии. Внешне эффект состоит в
образовании тонкой выбрасываемой вверх струйки при
вертикальном падении и ударе о стол пробирки с водой. Суть его заключается
в затекании кумулятивной выемки в жидкости, которая, как
предполагается, в результате удара о стол мгновенно становится тяжелой.
Сама же выемка существует изначально в виде мениска,
образованного в пробирке смачиваемой жидкостью. Очевидно, что понятие
«мгновенности» условно и означает, что временем распространения
волны сжатия от дна пробирки, при ударе, до свободной поверхности
жидкости и последующих отражений можно пренебречь.
Эти времена в экспериментах, представленных на рис. 2,
составляют всего несколько сот микросекунд. Эксперименты были
проведены с наполненной водой пробиркой, свободной поверхности
которой была придана форма полусферического мениска при помощи
тонкого стекла, легко разрушаемого упомянутой волной сжатия. На
втором кадре рис. 2 (t = 1 мс) он виден в виде летящего вверх
откола. На последующих кадрах можно наблюдать процесс
формирования (t = 4-9 мс) вертикальной кумулятивной струи и ее разрушения
416 __ __ Приложение
из-за градиента скоростей и развития неустойчивости (ί = 163 мс).
В плоской постановке эта задача рассматривалась в рамках
комбинационной методики, изложенной выше. Она сводилась к
отысканию функции φ(r,t), гармонической по пространственным
координатам r = (x,z) в переменной области Q(t), равной 0 на
бесконечности, а на границе Q(t) (свободной поверхности) удовлетворяющей
условию
Рис. 2. Формирование кумулятивной струи при вертикальном
ударе пробирки с жидкостью (эксперимент)
Три задачи со свободными границами
4tf
Рис. 3. Опыт Покровского (расчет)
которое, с учетом соотношения
переписывается в виде
Ecли через i обозначить индекс точки на свободной
поверхности, через j — индекс шага по времени, то распределение φi,1 на
известной свободной поверхности в начальный момент времени (j = 0)
имеет вид
Здесь Δt0 выбирается как некоторое характерное время, за которое
волна сжатия, например, пробегает размер выемки.
Результат расчета представлен на рис. 3 и качественно
соответствует экспериментальному эффекту (номера кривых 0-9
соответствуют моментам времени 0, 28, 38, 43, 45, 47, 49, 50, 51, 52 мс)·
Несовпадение по временам на начальной стадии определяется малым
значением выбранного Δt0 и предположением о равенстве нулю
начальных скоростей vi,0 поверхности мениска, что не совсем коррект-
но по сравнению с условиями эксперимента. Оба эти фактора могут
418
Приложение
заметно повлиять на время развития, но не на качественный
характер процесса.
• Некоторые особенности проблемы классической кумуляции [6].
Созданная М. А. Лаврентьевым школа по физике и механике
взрывных процессов, опираясь на сформулированные им постановки и
модели, развила под его руководством и при непосредственном участии
новые направления в этой области. Достаточно упомянуть,
например, явление сварки взрывом, проблемы высокоскоростного метания
частиц, направленный взрыв в грунтах и, безусловно, проблему
кумулятивных струйных течений, представление о механизме
формирования которых при обжатии металлических конусов (облицовок)
продуктами взрыва, пробивания брони кумулятивными струями
было развито М. А. Лаврентьевым [7], который предложил считать,
что при взрывных нагрузках метал ведет себя как идеальная
несжимаемая жидкость, и свел задачу к классической теории
стационарных струйных течений.
Принципиальная схема структуры такого течения показана на
рис. 4. В системе точки контакта, перемещающейся слева направо
со скоростью Vc (рис. 4,а), она изображается струей, набегающей со
скоростью V на горизонтальную стенку из бесконечности. В
лабораторной системе скорость метания элементов облицовки определяется
вектором W, составляющим угол (π — φ)/2 относительно ее
поверхности, изображенной на рис. 4,б штриховой линией. Здесь φ — угол
мгновенного поворота облицовки скользящей детонационной волной.
Из рисунка следует, что
Отсюда несложно найти скорости струи Vjet и песта V*
Три задачи со свободными границами
419
Рис. 4. Схема классической кумуляции (а); эффект изменения
угла раствора конуса а (б)
Структура течения при (α+φ) < π/2 хорошо изучена: это
система из скоростной кумулятивной струи с относительно высокой
удельной кинетической энергией и так называемого низкоскоростного
песта, содержащего основную часть массы исходной облицовки. Связь
между их массами определяется соотношением mjet/m* = tg2(β/2).
Очевидно, угол поворота φ зависит в основном от физических
параметров задачи: материала облицовки и типа ВВ, соотношения
их масс и т. п. Если его зафиксировать и увеличивать угол α (на
рис. 4,6 приведены три различных полуугла раствора конуса, 1-3),
то несложно заметить, что вектор скорости метания W
уменьшает наклон относительно оси симметрии — кумуляция ослабляется.
Наконец в ситуации 3 (большой угол раствора конуса) возникает
эффект инверсии потока: происходит своеобразное прощелкивание —
конус при метании элементов облицовки как бы «выворачивается» в
обратную сторону. Масса струи в направлении оси исходного конуса
существенно увеличивается, хотя в оптимальном режиме скорость
ее падает в 1,5-2 раза. Такой режим получил название «обратной»
кумуляции [8].
420
Приложение
Рис. 5. Динамика структуры течения при схлопывании
«мелкой» облицовки («обратная» кумуляция, расчет).
Три задачи со свободными границами
421
Рис. 6. Области существования струйных течений
В экспериментах, выполненных в [9], было измерено
распределение скорости вдоль струи для обратного режима, восстановлена
динамика угла между сходящейся облицовкой и конусом и показано,
что процесс формирования струи происходит частично по классике,
частично по обратной схеме. В [6] проведен расчет начальной
нестационарной стадии формирования структуры кумулятивного
течения для упомянутых «мелких» облицовок (рис. 4,6, 3). Расчет
выполнен комбинационным методом в плоской импульсной постановке.
Облицовка рассматривалась в виде полосы идеальной несжимаемой
жидкости, изогнутой под углом 2а (рис. 5, 1). Воздействие
продуктов детонации моделировалось по изложенной выше схеме линейным
(с максимумом на оси симметрии) распределением импульса
давления вдоль внешней границы полосы. На рис. 5 представлена
расчетная форма облицовки для моментов времени t = 3,7 (2), 20,6 (3),
25,8 мкс (4) (пунктиром обозначено начальное состояние
облицовки). Несложно видеть, как в области оси происходит обращение
течения: образование обратного конуса, из которого в результате
обжатия формируются обратная кумулятивная струя и пест как основной
элемент данного режима течения. Расчет показал, что для
свинцового конуса с углом 2а = 150°, толщиной δ = 2 см и радиусом
основания около 17 см (материал ВВ — ТГ) скорость песта оказалась
равной 1,32 км/с. Начальная стадия обращения фиксировалась уже
при t = 3,7 мкс.
422
Приложение
Как видно, приведенное решение дает хорошее качественное
описание эффекта формирования «обратного песта» при обжатии
«мелкой» облицовки. Однако, в заключение полезно напомнить, что
в реальной ситуации имеется ряд принципиальных физических
ограничений, заметно сужающих область существования струйных
течений (рис. 6). Два из них касаются скорости схлопывания
облицовки, которая должна быть дозвуковой [10] (ниже кривой 3 течение
бесструйное), и монолитности струи, которая сохраняется, если ее
скорость не превышает (в области кривых
2-3 струя неустойчива, диспергируется на части) [11].
Очевидно, динамический предел текучести σT является одним
из главных параметров, определяющих долю энергии системы,
потраченной на преодоление прочностных сил и, следовательно,
возможность струеобразования для реальных металлов. Последняя
оценивается по критической скорости соударения W*, при которой этот
процесс прекращается: W* = cos а. Приведенное
соотношение определяет кривую 1 на рис. 6, ограничивающую область
струеобразования слева [11].
Литература
1. Кузнецов В. М. Гидродинамические модели взрыва в грунтах //
Некоторые проблемы математики и механики. Л.: Наука, 1970. С. 171-181.
2. Кедринский В. К. Модели М. А. Лаврентьева в задачах
неустановившихся течений со свободными границами // Проблемы математики
и механики. Новосибирск: Наука, 1983. С. 97-116.
3. Жданов В. А., Конусов В. Ф., Жуков А. В. Характеристические
скорости соударения твердых тел // Изв. вузов. Физика. 1973. № 1.
С. 66-70.
4. Кузнецов В. М. О форме воронки выброса при взрыве на поверхности
грунта // ПМТФ. 1960. № 3. С. 152-156.
5. Лаврентьев Μ. Α., Шабат Б. Д. Проблемы гидродинамики и их
математические модели. М.: Наука, 1973.
6. Кедринский В. К. Гидродинамика взрыва (обзор) // ПМТФ. 1987.
№ 4. С. 23-48.
7. Лаврентьев М. А. Кумулятивный заряд и принцип его работы //
УМН. 1957. Т. 2, вып. 4(76).
8. Титов В· М. Возможные режимы гидродинамической кумуляции при
схлопывании облицовок // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247, № 5.
Три задачи со свободными границами
423
9. Горшков Η. Η. Применение гидродинамической теории для описания
формирования струй при «обратной» кумуляции // Физика горения и
взрыва. 1983. № 3.
10. Уолш Дж., Шрефлер Р., Уиллиг Ф. Предельные условия для
образования струи при соударении на высоких скоростях // Механика.
1954. Вып. 2(24).
11. Кинеловский С. Α., Тришин Ю. А. Физические аспекты
кумуляции // Физика горения и взрыва. 1980. № 5.
ι
ЗАКЛЮЧЕНИЕ:
Комментарии к моделям
Рассмотренные выше подходы к исследованию
высокоскоростных гидродинамических течений показывают, что «эвристические»
модели, т. е. угаданные на основе каких-то физических принципов,
часто позволяют правильно (и не только качественно) описать
явления, когда практически невозможно получить точные решения или
достоверно обосновать приближенную математическую модель. В
этих случаях роль «теоремы существования» играет эксперимент,
определяющий рамки достоверности предложенных подходов.
• Подводный взрыв. Действительно, например, формально
бездоказательным является переход от точной акустической модели
инвариантности функции G = r · (h + и2/2) на характеристике c0 к
инвариантности ее на характеристике (с + и)
решивший по сути проблему подводного взрыва и позволивший
рассчитывать динамику взрывной полости, а также параметры
волнового поля от ближней к заряду зоны до асимптотики. Согласование
расчетных данных и эксперимента доказало справедливость
предложенной идеи.
Наиболее сложный случай цилиндрической симметрии при
моделировании взрыва в несжимаемой жидкости оказался разрешимым
благодаря своего рода «обратной задаче», схема которой включает
— вывод уравнения динамики полости в сжимаемой жидкости
Комментарии к моделям
425
— экспериментальное определение коэффициента β(β = 1),
— предельный переход по скорости звука (с — ∞),
— преобразование (1) к уравнению
Первый интеграл этого уравнения, умноженный на 2π,
является законом сохранения энергии, согласно которому убыль
внутренней энергии продуктов детонации (первое слагаемое
справа) должна равняться изменению потенциальной энергии системы
«жидкость — полость» (второе слагаемое справа) и приращению
кинетической энергии. Отсюда следует, что выражение
определяет кинетическую энергию Ε несжимаемой жидкости,
окружающей цилиндрическую полость. Естественно, не нужно забывать,
что это, в конечном счете, результат асимптотического
приближения и «эмпирической поправки». Но поскольку этот результат
положительный, он приобретает права «гражданства».
• Пузырьковая кавитация и кавитационное разрушение жидкости
при ударно-волновом нагружении. Определение состояния реальной
жидкости с естественными микронеоднородностями как состояния
двухфазной среды в корне изменило подходы к описанию кавита-
ционных явлений. И, самое главное, появилась возможность
логически объединить две проблемы: динамику развития кавитации и
прочность жидкости. Оказалось, что, по сути, они сводятся к одной
проблеме — волновые процессы в кавитирующей жидкости, когда
структура и параметры волнового поля и определяют, и зависят от
кавитационных процессов. Предложенная математическая модель
426
Заключение
содержит только две искомые функции — среднее давление ρ в
пузырьковой среде и объемную концентрацию газовой фазы к.
Первое приближение (несжимаемость жидкого компонента), принятое
при построении этой системы, вполне физично: сжимаемость кави-
тирующей жидкости определяется сжимаемостью парогазовой
фазы. Второе — учет микромасштаба гетерогенной структуры среды
через новую пространственную переменную ζ = ark1/6 — носит
скорее «эвристический» характер в отсутствии строго доказательства
выполнения требуемых неравенств (см. гл. 7).
В итоге, давление в кавитирующей жидкости определяется
уравнением типа уравнения Гельмгольца, а уравнение для
концентрации к в системе (3) решается при условии, что пространственные
координаты r, θ (в осесимметричной постановке) играют роль
параметров. Эксперимент показал, что такой подход вполне себя
оправдал. Мало того, при описании развития зоны кавитации в
окрестности дна вертикальной трубки с жидкостью, получившей импульс
ускорения вниз, удается получить и аналитическое решение
уравнения (3), и оценки релаксации волнового поля в кавитирующей
жидкости в явном виде.
Только физически обоснованной представляется идея
мгновенной релаксации растягивающих напряжений в зоне интенсивно
развивающейся кавитации. Однако она позволила, существенно
упростив математическую модель, практически снять ограничение на
развитие кавитации вплоть до «плотной упаковки» пузырьков. При
этом, анализ параметров течения в зоне кавитации, проведенный
в рамках модели мгновенной релаксации, привел к неожиданному
выводу: профиль массовой скорости в зоне кавитации оказывается
«замороженным». Целенаправленные эксперименты по измерению
массовых скоростей при помощи специальных меток и импульсного
рентгена, проведенные на гидродинамической ударной трубке,
подтвердили этот эффект. Таким образом, модель мгновенной
релаксации получила права «гражданства».
Как отмечалось, механизмы разрушения жидких сред,
содержащих микронеоднородности, при их импульсном нагружении
включают кавитационные процессы в качестве начальной стадии. Конечной
фазой разрушения жидкости является образование отдельных кави-
тирующих фрагментов (это могут быть отколы), их дальнейший
распад на более мелкие части и, как итог, формирование
газокапельной среды. Весь процесс в целом был определен как инверсия
Комментарии к моделям
427
двухфазного состояния среды. Сложность его казалось бы не
оставляет шансов не только на сколько-нибудь вразумительное
математическое моделирование, но и на создание физического аналога
процесса перехода. И тем не менее некоторая адекватная физическая
модель была предложена: предполагалось, что при достижении
значения к ~ 0,6 - 0,7 плотная «упаковка» пузырьков мгновенно
трансформируется в плотную упаковку упругих не сливающихся жидких
капель. Модель получила название «песчаной».
Расчет разлета такой оболочки с каплями и сравнение с
экспериментальными данными высокоскоростных съемок динамического
разрушения жидких оболочек и оболочек из песка, имеющего
широкий спектр размеров частиц, показали, что модель не только
«работает», но и позволяет объяснить непонятные до того факты
установления распределения частиц по размерам по сечению
разлетающейся оболочки и эффект возникновения «тумана» в центральной части
сформированного взрывом облака газокапельной системы.
К «эвристической» можно отнести идею ограничения размера
исследуемого образца разрушаемой при ударно-волновом нагруже-
нии жидкости, казалось бы, до абсурда — размера капли. Эта идея
оказалась плодотворной для представления физической модели
разрушения и позволила зарегистрировать тонкую структуру
инверсионного перехода одного двухфазного состояния (кавитирующая
жидкость) в другое: систему «газ — капли».
Оказалось, что в процессе инверсионного перехода плотная ка-
витирующая зона трансформируется в пространственную «жидкую
сетку», ячейки которой распадаются на отдельные «жидкие жгуты»,
«жгуты» — на капли. Однако этот процесс связан скорее с
объемным разрушением. Физический же механизм формирования плоских
отколов в плотной кавитационной зоне до сих пор остается
непонятым.
• Султаны. В исследованиях структуры и механизмов
формирования направленных выбросов на свободной поверхности при мало-
заглубленных подводных взрывах принципиальную роль в решении
проблемы сыграло сочетание подходов «эксперимент —
математическая модель — физическая модель — эксперимент».
Действительно, эксперимент показал, что роль ударной волны несущественна и,
следовательно, течение с двумя неизвестными границами
(свободная поверхность и взрывная полость) можно анализировать в
рамках модели идеальной несжимаемой жидкости. Этот анализ
показал, что полость с гигантским давлением в продуктах детонации
428
Заключение
(4 · 103 МПа), погруженная на глубину всего 4-х радиусов заряда,
для поверхностного слоя жидкости играет роль поршня,
движущегося сначала с положительным, затем с отрицательным ускорениями.
Инерция поверхностного слоя жидкости, получившего мощный
начальный импульс, торможение «поршня» и возникновение
растягивающих напряжений в области оси симметрии приводят к
изменению структуры течения в этом слое: повороту его к оси и
последующей кумуляции. Экспериментальная проверка этой физической
модели на примере импульсного движения твердой сферы из-под
свободной поверхности полностью подтвердила предложенный механизм
формирования 1-й струи султана из слоя над взрывной полостью.
Сочетание указанных подходов позволило последовательно
разрешить все проблемы сложной структуры вертикальных и
радиальных султанов и открыть целый класс кумулятивных струйных
течений, развивающихся на различных глубинах. Эти исследования
завершились демонстрацией гидродинамической модели
формирования султанов при высокоскоростном внедрении тела в воду,
разработкой прямого метода измерения массы жидкости в струе султана.
Введение 3
Глава I. Уравнения состояния, начальные и граничные
условия 11
§ 1. Уравнения состояния воды 11
§ 2. Уравнения состояния продуктов детонации 22
§ 3. Законы сохранения, pu-диаграммы, формулы перехода 25
§ 4. Обобщенное уравнение пульсации взрывной полости .. 30
Литература 34
Глава П. Ударные волны в жидкости: матмодели,
ударные трубы, гидроакустика 37
§ 1. Подводный взрыв (приближение Кирквуда — Бете) ... 37
1.1. Постановка задачи: основные предположения,
начальные условия 38
1.2. Уравнение движения границы взрывной полости.
Функция Римана. Время задержки 40
1.3. Вычисление интеграла задержки 43
1.4. Расчет сильных ударных волн (пиковое
приближение, цилиндрическая симметрия) 45
1.4.1. Результаты расчета. Сравнение с
экспериментом 46
1.4.2. Динамика постоянной спада давления 0(rjr) 46
1.4.3. Основные параметры 48
1.5. О параметрах слабых цилиндрических ударных
волн в воде на большом расстоянии от заряда .... 50
§ 2. Гидродинамические ударные трубы (лабораторные
методы генерации ударных волн в жидкости) 54
2.1. Коническая ударная труба 54
2.2. Одномерная гидродинамическая ударная труба с
одной диафрагмой 55
2.3. Электромагнитная схема ударной трубы 58
2.4. Импульсные двухдиафрагменные
гидродинамические ударные трубы 60
2.4.1. Экспериментальная установка 62
2.4.2. Методы измерений . 65
2.4.3. ри-Диаграммы для расчета параметров
гидродинамических ударных труб по схеме удара 69
2.5. Применение ударных труб для исследования
быстрых реакций в химических растворах за фронтом
сильных ударных волн 72
§ 3. Взрывная гидроакустика 77
3.1. Основные характеристики взрывных источников
звука 77
3.1.1. Параметры детонации 78
3.1.2. Электрические взрывы 79
3.2. Гидродинамические источники взрывного типа ... 81
3.3. Поле давления и спектральные характеристики
взрывных и взрывного типа источников звука .... 83
3.3.1. Параметры подводного взрыва 84
3.3.2. Характерный энергетический спектр
взрывных источников 85
3.3.3. Особенности пневматических систем 87
3.3.4. Сравнительные характеристики спектра ... 88
3.4. Антенные системы 89
3.5. Структура волн при взрыве спиральных зарядов . 91
Литература 96
Глава III. Взрыв цилиндрических и кольцевых зарядов 100
§ 1. Динамика цилиндрической полости в сжимаемой
жидкости ... 100
§2. Приближенные модели одномерной пульсации
цилиндрической полости в несжимаемой жидкости 105
2.1. Предельный случай модели обобщенного уравнения
пульсации 106
2.2. Цилиндрическая полость в полупространстве
идеальной несжимаемой жидкости 108
2.3. Модель жидкого цилиндрического слоя 109
2.4. Период пульсации цилиндрической полости 110
§ 3. Кольцевые заряды 113
§ 4. Динамика тороидальной полости, численные модели .. 123
4.1. Идеальная несжимаемая жидкость 123
4.2. Сжимаемая жидкость 128
4.3. Сравнение с экспериментом 133
4.4. Основные характеристики 136
Литература 137
Глава IV. Динамика сферической полости 138
§ 1. Взрыв в несжимаемой жидкости 138
§ 2. Взаимодействие ударной волны с пузырьком 142
2.1 Короткие ударные волны 143
2.2 Образование кумулятивной струи при схлопывании
пузырька (эксперимент) 145
2.3 Влияние относительного движения 149
2.4 Реальное состояние газа 150
§ 3. Влияние тяжести 152
§ 4. Вязкость, эффект неограниченной кумуляции 155
§ 5. Сферическая кумуляция в сжимаемой жидкости 158
§ 6. Параметры пульсации 160
Литература 162
Глава V. Ударные волны в пассивных пузырьковых
средах 164
§ 1. Ударная волна и плоский газовый слой 170
§ 2. Ударные волны и пузырьковые слои 165
2.1. Короткие ударные волны 173
2.2. Длинные ударные волны, отражение от границы
раздела «вода — пузырьковая среда» 186
§3. Неравновесная двухфазная ИКВ-модель пузырьковой
жидкости. Три оценки волновых эффектов .. 188
3.1. Предвестник 189
3.2. Дисперсионное соотношение 190
3.3. Структура ударной волны в пузырьковой среде с
несжимаемым жидким компонентом 194
§ 4. Усиление, столкновение и фокусировка ударных волн в
пузырьковой жидкости , 197
4.1. Усиление ударной волны кавитационным кластером
на твердой стенке 198
4.2. Столкновение стационарных ударных волн
(постановка проблемы) 200
4.3. Фокусировка ударных волн (цилиндрическая
симметрия) 203
Литература 208
Глава VI. Пузырьковая детонация: волны в химически
активных пузырьковых средах 211
§ 1. Динамика одиночного пузырька 212
1.1. Кинетика Тодеса, инициирование детонации
преломленной волной 212
1.2. Обобщенная кинетика детонации в газовой фазе .. 215
1.3. Динамика пузырька с химически активной смесью 217
§2. Динамика одиночного пузырька при наличии
химических реакций и межфазного массообмена 220
2.1. Мгновенное испарение микрокапель 221
2.2. Непрерывное испарение 227
§ 3. Ударные волны в активной пузырьковой системе 233
3.1. Экспериментальные постановки 233
3.2. Механизмы инициирования детонации жидких ВВ
и горючих смесей под давлением 235
3.3. Формирование и распространение волн пузырьковой
детонации: модель с мгновенным выделением
энергии 237
3.4. Формирование и распространение волн пузырьковой
детонации: механизм «горячих точек» (hot-spots) . 241
3.5. Фокусировка ударных волн в активной пузырьковой
системе 246
Литература 251
Глава VII. Проблемы кавитационного разрушения 254
§ 1. Поведение жидкости при импульсном нагружении 254
1.1. Пузырьковая кавитация (физика состояния
реальных жидкостей) 256
1.2. Механизм формирования пузырьковых кластеров . 263
1.3. Математическая модель кавитирующей жидкости 268
1.4. Проблема предельной прочности жидких сред 269
1.5. Релаксационные эффекты (кавитация в трубке с
вертикальным ускорением) 271
1.6. Переход к стадии фрагментизации. Методы регистрации
регистрации 274
1.7. Динамика распределения массовых скоростей 283
1.8. Об одной физической модели разрушения (модель
«мгновенной» фрагментации) 287
1.9. Кавитационное разрушение жидкой капли 298
§2. Кластер, кумулятивные струи и кавитационная эрозия 301
2.1. Одиночная полость, кумулятивные струи:
эксперимент и модели 304
2.2. Кавитационный кластер 308
2.2.1. Начальное состояние жидкости 308
2.2.2. Двухфазная модель. Постановка задачи 310
2.2.3. Анализ результатов расчета 311
§3. О механизме дезинтеграции мишени при фокусировке
ударных волн 314
3.1. Основные результаты по моделированию литотри-
пторных систем 315
3.2. Гидродинамическая модель механизма разрушения
в зоне кавитации 319
3.3. Роль фокусировки на мишень фазы разрежения
ударной волны «стандартного» профиля 323
Литература 326
Глава VIII. Кумулятивные струйные течения при мало-
заглубленных подводных взрывах 330
§ 1. Состояние проблемы 330
§ 2. Динамика кавитационной области при подводном взрыве
вблизи свободной поверхности 335
2.1. Экспериментальное исследование развития
кавитационной зоны. Формы откола 335
2.2. Рост кавитационного пузырька в жидкости,
вызванный резким падением давления 342
2.3. Оценка зоны кавитации по динамике одиночной
полости 343
2.4. Двухфазная модель развития кавитационной
области 348
2.4.1. Определение функции р(к) 349
2.4.2. Постановка задачи 351
2.4.3. Динамика зоны кавитации (расчет) 353
2.4.4. Профиль волны разрежения в зоне кавитации
(расчет) 357
§ 3. Кумулятивные струйные течения (султаны) и их
гидродинамические модели 361
3.1. Формирование вертикальных струй на свободной
поверхности (эксперимент, Η < Rmax) 364
3.2. Аналоговая модель развития султана 373
3.3. Гидродинамическая модель султана (импульсное
движении твердого тела из-под свободной
поверхности) ..... ... 380
3.4. Первая пульсация взрывной полости (механизм
аномального усиления 387
3.5. Две модели образования радиальных султанов .... 392
3.6. Основные параметры султанов 397
3.7. Струйный тандем — структура султанов, аналогия
с высокоскоростным внедрением тела в воду, общая
схема формирования .... 399
§4. Струйные течения при подводном взрыве малозаглу-
бленных кольцевых зарядов 403
Литература 408
Приложение: Три задачи со свободными границами 412
Литература 423
Заключение: Комментарии к моделям -.. 424
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Страница
Строка
Напечатано
Должно быть
207
398
Нумерация
рисунков
11-я (снизу)
Рис. 20
Рис. 21
Mmах = 300Q
Рис. 19
Рис. 20
Мmах = 300 W
Валерий Кириллович Кедринский
ГИДРОДИНАМИКА ВЗРЫВА
ЭКСПЕРИМЕНТ И МОДЕЛИ
Монография
Техническое редактирование Н. Д. Белостоцкая, Т. П. Плотникова
Верстка Т. П. Плотникова
Компьютерная обработка рисунков В. В. Зыков
Изд. лиц. ЛР № 021076 от 12.09.96. Подписано в печать 10.02.00.
Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная.
Уч.-изд. л. 27,7. Усл. печ. л. 27. Тираж 495 экз. Заказ № 191.
Оригинал-макет подготовлен
в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева.
630090 Новосибирск, пр-т Лаврентьева, 15.
Отпечатано РПО СО РАСХН г. Краснообск Новосибирской обл.