/
Author: Милютин А.А. Дикусар В.В.
Tags: вычислительная математика численный анализ математический анализ монография оптимизация численные методы
ISBN: 5-02-006573-0
Year: 1989
Text
АКАДЕМИЯ НАУI( СССР
Институт проблем управления
В. В. Дикусар
А. А. Милютин.
кАчЕствЕнныIE
И числЕнныIE
мЕтодыI
в принципе
максимума
Ответственный редактор
доктор физико-математических наук
М.А.КРАСНОСЕЛЬСКИЙ
1)
Москва «Наука» 1989
УДК 519.6
Рецензенты:
доктор физико-математических наук
А. А. ПЕТРОВ,
доктор физико-математических наук
В. И. ОПОЙЦЕВ
Качественные и численные методы в принципе макси
MYMajB. В. Дикусар, А. А. Милютин. М.: Наука, 1989.
144 с.
ISBN 5 02 006573 O
в моноrрафии рассматриваются методические особенности числен
Horo решения нелинейных задач оптимальноrо управления при нали-
чии фазовых и смешанных оrраничений для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений. Основное внимание уделяется вопро-
сам приближенной оценки rеометрии оптимальной траектории. Под-
робно излаrаются методические особенности численноrо решения зада ч
нелинейноrо проrраммирования, задачи Коши и трансцендентной
системы уравнений. Все основные положения методики иллюстри ру-
ются на прикладных задачах динамики полета, экономики и приро-
допользования.
Для научных работников, занимающихся решением прикладных
задач оптимизации.
Табл. 2. Библиоrр. 19 назв.
д
1602110000 393 54 89. I(н. 2
055(02) 89
ISBN 5 02 006573 O
@ В. В. Дикусар, А. А. Милютин, 1989
ПРЕДИСЛОВИЕ
в книrе рассматриваются различные задачи оптимальноrо управ
ления, а также вопросы их численноrо решения. Общими для
них ЯВЛЯЮТСЯ два обстоятельства. Во первых, все задачи даны с
локальными оrраничениями (смешанными или фазовыми), т. е.
относятся к малоизученному классу задач. BO BTOpЫX, rлавным
и единственным инструментом их решения является принцип
максимума. Последнее не столь уж ориrинально, ибо до сих пор
для задач с реrулярными смешанными или фазовыми оrраниче
ниями принцип максимума единственное известное нам условие
экстремума. Однако уже для реrулярных задач (не rоворя уже
о нереrулярных) оптимальноrо управления принцип максимума
формулируется весьма rромоздко, что вполне может породить
сомнения в ero примеНИМGСТИ. Возможно этим и объясняется
чрезвычайная малость объема сведений, полученных к настоящему
времени о свойствах решений задач данноrо класса. Это положе
ние в ПО.ТIНой мере относится к численному решению задач опти
мальноrо управления.
Мы убеждены, однако, в том, что принцип максимума вполне
приемлем для исследования (и численноrо решения) любых за
дач оптимальноrо управления и дает нетривиальные результаты.
Мы надеемся, что книrа послужит подтверждением этоrо убеж-
дения.
Книrу не следует рассматривать как сборник задач по опти-
мальному управлению хотя бы уже потому, что почти каждая
из рассмотренных задач по постановке и по сложности исследо
вания заслуживает отдельной публикации. Достаточно упомянуть
задачу о структуре экстремалей в системе с rлубиной фазовоrо
оrраничения, равной трем, или такую задачу, как расчет ава-
рийноrо спуска самолета.
Книrа не является также исследованием, исчерпывающим ос-
новные вопросы теории задач оптимальноrо управления с ло-
кальными оrраничениями. Эта цель еще очень и очень далека.
Она не достиrнута даже для классических задач оптимальноrо
управления. Скорее Bcero, она является попыткой нащупать кон-
туры проблематики в теории оптимальноrо управления, отправ-
ляясь от решения конкретных задач или классов задач. Нам Ka
жется, что друrоrо пути построения теории задач оптимальноrо
управления нет и в настоящее время быть не может.
Материал книrи расположен следующим образом. rлавы 1 и
2, написанные А. А. Милютиным, посвящены исследованию ре-
rулярных задач оптимальноrо управления.
3
rлава 3 и три приложения написаны В. В. Дикусаром и по
священы вопросам существования и численноrо решения задач
оптимальноrо управления.
Здесь предлаrается методика определения маневренных воз
можностей самолета при наличии смешанных и фазовых оrрани
чений. При этом рассматриваются различные формулировки ис
ходной задачи для частных случаев. Основу решения всех задач
составляют методы введения и возмущения параметра . Метод BBe
дения параметра позволяет решать краевую задачу исходной
размерности за счет рассмотрения задачи меньшей размерности и
последующеrо продолжения решений по параметру . В качестве
примеров приведены распечатки решений задач о максимуме уrла
наклона траектории и о полете самолета на максимальную даль
насть.
Все тестовые расчеты по предложенным методам были выпол
нены Л. В. Евстиrнеевой.
В приложении 1 приведено доказательство теоремы существо
вания и единственности для канонической задачи оптимальноrо
управления [8]. Доказательство теоремы опирается на следующий
факт: полунепрерывная функция на компакте достиrает своей
нижней rрани. Подробный обзор различных подходов к доказа-
тельству теорем существования предложен в работе [12].
Теорема существования решений системы нелинейных уравне-
ний рассматривается в Приложении 11. Доказательство исполь
зует теорему Люстерника в эквивалентной форме теоремы о Ha
крывании [13].
В Приложении II 1 перечислены основные методы интеrриро
вания жестких систем [14 17].
Мы пользуемся случаем, чтобы поблаrодарить членов семина-
ра по исследованию задач оптимальноrо управления, которым
А. А. Милютин руководил В 1986 1987 rr.
Особо блаrодарим А. В. Дмитрука и Н. П. Осмоловскоrо за
помощь в подrотовке материала к публикации.
ВВЕДЕН НЕ
Эrа публикация посвящена некоторым применениям принципа
максимума. Задачи, которые мы рассматриваем, являются pery
лярными задачами. Теория и доказательство принципа максиму
ма для таких задач подрсбно изложены в [IJ.
Однако задачи, здесь рассмотренные, представляют самостоя
тельный интерес как для практики, так и для теории оптималь
Horo управления. J1x исследование дает достаточно полное пред
ставление о возможностях принципа максимума. С этой точки
зрения данная публикация вполне самостоятельна.
Класс реrулярных задач весьма широк, поскольку допускает
локальные оrраничения довольно сложной структуры.
Соответственно и принцип максимума формулируется для об
щеrо случая реrулярной задачи весьма rромоздко. Мы увидим
однако, что эта rромоздкость кажущаяся. При исследовании KOH
кретных задач или классов задач от нее не остается и следа.
Не следует забывать также, что в теории оптимальноrо уп
равления принцип максимума единственный аппарат, при по
мощи KOToporo можно находить решение задачи или описывать
ero свойства, если, конечно, не иметь в виду приближенные BЫ
числения.
Не следует думать, что принцип максимума иrрает в опти
мальном управлении rораздо большую роль, чем в вариационном
исчислении. Собственно rоворя, четкой rрани между задачами
оптимальноrо управления и задачами вариационноrо исчисления
нет.
Оптимальное управление, введя в рассмотрение задачи с or
раничениями достаточно общей природы , дало возможность MHO
rOKpaTHo и широко переформулировать одну и ту же задачу.
До появления оптимальноrо управления эта возможность
практически отсутствовала. Оказалось, что мноrие задачи вари
ационноrо исчисления, и среди них такие известные задачи, как
изопериметрическая или задача о брахистохроне, можно сформу
лировать как типичные задачи оптимальноrо управления.
Замечательно, что это оказалось также и выrодно.
В результате такой переформулировки решение этих задач
сильно упростилесь и появилась возможность столь же простоrо
решения их усложненных вариантов, вопрос о которых в рамках
классическоrо вариационноrо исчисления даже и не ставился.
J1TaK, принцип максимума оказался удобным аппаратом реше
ния и задач вариационноrо исчисления, rораздо более удобным
чем традиционное уравнение Эйлера. При этом первоначальные
предположения о характере rладкости искомой траектории в оп
5
тимальном управлении значительно слабее, чем в вариационном
исчислении.
Возможность широкой переформулировки задачи, связанная с
вводом новых оrраничений, безусловно, сильная сторона опти
мальноrо управления, быть может не оцененная еще в достаточ
ной степени.
Мы увидим также, что сложные оrраничения не приводят к
хаосу, а подчиняются cTporoMY порядку и накладывают простые
требования на структуру решений.
Исследование задач приводит к мысли О том, что усложнения
оrраничений не следует бояться, а нужно просто изучать особен
насти строения решений, которые при этом возникают, исходя
из Toro, что общая картина остается хорошо орrанизованной.
Мы рассматриваем в этой книrе задачи разной степени слож
НОСТИ ОТ совсем простых, как, например, классическая изопе
риметрическая задача, до весьма сложных, как, например, задача
с rлубиной фазовоrо оrраничения, равной трем.
Наряду с конкретными системами мы рассматриваем и классы
систем и выясняем роль принципа максимума для их исследова
НИЯ.
Так, например, мы используем принцип максимума для по
лучения условий BToporo порядка в задачах линейноrо быстро
действия, в которых ранее они не были известны.
Задачи, которые приведены в книrе, в разное время были
поставлены и решены автором, начиная от начала 70 x rодов
и кончая совсем недавним прошлым.
По мнению автора, важной особенностью изложения является
то обстоятельство, что рассматриваются не задачи, а системы и pa
зыскива ся их экстремали.
Коль скоро экстремали системы известны, то решение любой
задачи, которую можно поставить в данной системе, можно най
ти, подобрав соответствующую экстремаль. Такой способ изло
жения избавляет нас от тяжелой работы с rраничными услови
ями и позволяет сосредоточить внимание на качественных свой
ствах экстремалей, т. е. в конечном счете на свойствах, общих
всем решениям задач, которые можно поставить в данной системе.
Для удобства чтения приводим постановку реrулярной KaHO
нической задачи оптимальноrо управления. Здесь же дается оп-
ределение экстремали и ответ для поставленной задачи в виде
принципа максимума.
Каноническая реrулярная задача оптимальноrо управления
имеет вид:
J (р) min;
х == t (х, а, t),
Ф(х, t) O,
(х, а, t)EQ;
%(p) O, К(р)==О;
g(x, а, t)==O, О(х, а, t) O,
u == (и 1 , и 2 ), и 2 Е R,
р == (х ио), t o , х (1), t 2 ).
(1 )
6
Здесь х Е Rd (х) , и 1 Е Rd (ц 1 ) , и 2 Е Rd (и 2 ) , 'х Е R d (Х), К Е Rd (/(),
g Е Rd (g) , G Е Rd (й) , Ф Е Rd (Ф);
под d (х) мы понимаем размерность пространства, которому при-
надлежит Х, т. е. число скалярных компонент фазовой перемен-
ной х. Аналоrично содержание остальных символов d (.). R Е
Е Rd (ц 2 ) фиксированное произвольное множество. Множество Q
открытое множество Rd (w), rде w == Х, а, t. Минимум ищется cpe
ди траекторий w (t), L\, определенных на отрезке L\ == иО, t 1 ], Ta
ких, что w (t) оrраниченная измеримая функция на L\, компо-
нента х (t) абсолютно непрерывна на L\ и расстояние от w (t) до
rраницы Q отлично от нуля.
Положим в == {ш I w Е Q; и 2 Е R}. Предполаrается, что все функ
ции переменных х, а, t определены на в. Все функции перемен
ных р определены на некотором открытом множестве простран
ства Rd (р) .
Общие предположения относительно свойств функций, входя
щих В задачу, таковы:
функции J и 'Х В каждой точке имеют производную по на-
правлению, которая от Hero сублинейно зависит; К непрерывно
дифференцируема; f и g непрерывны и имеют непрерывные про
изводные по х, и 1 , t;
функция G непрерывна, имеет в каждой точке производную
по направлению по х, и 1 , t, которая является сублинейной функ
цией направления;
а' (ш; 'И 1 , 7) непрерывна сверху. Такие функции Ha3ЫBa
ются непрерывно сверху выпукло дифференцируемыми. Функция
Ф непрерывно сверху выпукло дифференцируема по х, t.
Реrулярность накладывает следующие требования.
В каждой точке w Е в, в которой g (ш) == о, выполнено paBeH
ство
rank g t (ш) ==d (g).
В каждой точке w Е в, в которой g (ш) == о, тах G (ш) == О cy
ществует и 1 такое, что g 1 (ш) и 1 ==0, (шах O) 1 (ш; и 1 ) < О. Пусть
допустимая траектория ш О (t); L\o является решением поставлен
ной задачи. Тоrда для нее должен быть справедлив следующий
принцип максимума.
Существуют постоянные а о , ах Е R d (Х), С Е Rd {Ю, p Е Rd (р) ,
p Е Rd {р> Х R d (Х);
функция 'Ф (t) == ('Фх (t), 'Фt (t)), 'Фх Е Rd (Х), 'Фt Е R;
'Ф(t) непрерывная слева функция оrраниченной вариации
на L\();
функции
а (t) Е L'!o (а) (L\O), Ь (t) Е L'!o (g) (L\O),
n (1) Е L (х) +d (иl)+ 1 +d (О) (L\O), n == (n х ' n а1 , nt),
n х Е Rd (х) Х Rd (О), n а1 Е Rd (Ц 1 ' Х Rd (О),
ntERxRd(o).
7
мера Радона "., определенная на АО;
функции
с (t) Е L (ф), I f.!1, <р (t) Е L 'j>:11
fP==(<Px' <Pt), <PxERd<x), <ptER
такие, что Выполнены следующие rруппы условий:
Условия принадлежности:
а) а О ;;;?: о; ах;;;?: О, Р; Е aJ (рО), Р; Е дх (рО);
6) a(t);;;?:O, n(t)EaG(wO(t», f.!(dt);;;?:O, c(t);;;?:O, (2)
с (t) == 1, qJ (t) Е де (t) Ф (ш о (t».
Условия на функции а (t) и п (t) выполняются почти всюду
на ,!\О.
условия на функции c(t) и <p(t) выполняются почти всюду
относительно меры ".,.
Условия дополняющей нежесткости:
а) ахх (рО) == о;
б) а (t) G (ш О (t» dt == о, с (t) Ф (х о (t), [) I-t (dt) == О. (3)
,10
Условия максимума:
а) .'lt'(1p(t), w°(t»==o почти всюду на АО;
б 1 ) шах.'lt'(1р(t), XO(t), и, t)==O, UEV(xO(t), t), tE(L\O];
62) тax.'lt'(1pop(t), x(t), и, t)==O, UEV(x°(t), t), tE[L\O);
в) .'lt' 1 (1р (t), ш о (t» a (t) п и \ (t) + Ь (t) g \ (ш о (t» == о
(4)
почти всюду на L\ О .
Здесь .'lt'(1p, w)==1pxf(W)+1pt; (АО] означает отрезок АО за выче
том левоrо конца, соответственно [АО) означает отрезок АО за BЫ
четом правоrо конца;
V(x, t)=={ulg(x, и, t)==O, О(х, и, t) O};
'Фор (t) == Нт 1р (t'),
" --+ '; " > t
'Фпр (t1) задается.
Условие в мы называем также локальным принципом макси-
мума.
Сопряженные уравнения
Обозначим через (dt) меру Радона, порожденную непрерыв-
ной слева функцией оrраниченной вариации 'Ф (t).
Тоrда, по определению (dt) == 'Ф (t") 'Ф (t'), rде [t', t")
[t', ''')
QТкрытый справа полуинтервал.
8
Сопряженные уравнения связывают между собой меру
меру Лебеrа dt и меру (dt). Они имеют следующий вид:
x (dt) == [.9t х ('1' (t), ш О (t)) a (t) n х (t) +
+ ь ( t) g х (ш О ( t)] d t ер х (t) ( d t),
t (dt) == [.7С t (1/' (t), ш О (t)) a (t) nt (t) +
+ ь (t) gi (ш о (t»] dt ept (t) (dt).
(dt),
(5)
Условия трансверсальности
Положим t и t соответственно левый и п равый концы OT
резка d O .
Условия трансверсальности дают выражение для значений
'ф (t ), 'l'пр и ):
1/'х (tZ) == схор: хо + СХХР: Хо + CK o (рО),
* * ,
1/'t (tg) == схоР of o + СХхР xfo + СК 'о (р О ),
'Рх пр (t ) == СХ О Р: Х1 + cxxP X1 + CK 1 (рО),
- 'l't пр (t ) == CX O P;t 1 + CX X P: t1 + CK 1 (рО).
Здесь P == Р;Х о ' P: to ' Р: х1 , P: tp P == P Xo' P to' P xp P t1' К' ==
=== K o, K o, K p K p р == Х О , t o , Х 1 , tl'
Условие нетривиальности:
(6)
СХ О + I схх I + I с I + I а (t) I dt + (dt) > о. (7)
Здесь Icxxl== cxXi' i==l, ...d(x); lal== ai' i==l, ...d(G).
Такова формулировка принципа максимума реrулярной задачи.
Уравнение х == f (х, и, t) вместе с локальными оrраничениями,
т. е. с оrраничениями
g (ш (t» == о, G (ш (t)) о, ф (х (t), t) о,
и 2 Е R, w Е Q назовем системой. Система реrулярна, если ее
локальные оrраничения реrулярны.
Выб ирая различные функции J, х, К, мы можем ставить в
рамках одной и той же системы различные задачи.
Любую траекторию, которая удовлетворяет оrраничениям си
стемы, мы назовем допустимой траекторией системы. Ясно, что
траекторий, допустимых для системы, rораздо больше, чем тра-
екторий, допустимых для задачи, поскольку не надо удовлетво
рять терминальным оrраничениям.
Функцию у == 1/' (t), w (t), определенную на некотором отрез
ке d, назовем экстремалью системы, если w (t), d допускаемая
для системы траектория и выполняются следующие требования:
1/' (t) == 1/' х (t), 1/' f (t) непрерывная слева функция оrраниченн€>й
вариации на d и существуют такие функции
а (t) Е L'!o <О> (d), n (t) Е 1,: (X)+d (и1)+ l+d (О) (d), Ь (t) Е L <ю (d),
9
мера
(dt), определенная на d, функции
с (t) Е L
r
1, ер (t) Е L
1),tt,
что выполнены пункт б условия принадлежности, пункт б усло
вия дополняющей нежесткости, условия максимума и сопряжен
ные уравнения. (Условия нетривиальности не предполаrаются.)
Из принципа максимума следует, что решение любой задачи, по
ставленной в рамках системы, т. е. решение задачи при любых
J, 'Х, К, является экстремалью системы.
Экстремаль назовем тривиальной, если
1/'(t)==O vtE(d).
Здесь (d)
интервал, состоящий из внутренних точек отрезка d.
В [1] показано, что, как правило, решение задачи оптималь
Horo управления является нетривиальной экстремалью системы.
Всюду в дальнейшем будем заниматься нетривиальными экст
ремалями систем. Мы будем также пользоваться понятиями ослаб
ленной экстремали и слабой экстремали . Условия, определяющие
ослабленную экстремаль, отличаются от условий, задающих экст
ремаль, тем, что опущено сопряженное уравнение на 1/'t. Опре
деление слабой экстремали отличается от TaKoBoro для ослаблен
ной экстремали тем, что из условий максимума оставлен только
локальный принцип максимума.
l
ЗАДАЧИ БЕЗ ФАЗОВЫХ оrРАНИЧЕНИЙ
Общей чертой принципа максимума в этом случае является от..
сутствие меры !l и, как следствие этоrо, абсолютная непрерыв
ность меры (dt). Отсюда следует, что 'Ф (t) является абсолютно
непрерывной функцией. Тоrда сопряженные уравнения имеют вид
d'Фх/dt ==п x aпx + bg;,
d'Фt/ dt ==п t aпt + bgi.
(1 )
Вначале мы приведем решения трех известных задач вариацион
Horo исчисления, которые сформулируем как задачи оптималь
Horo уравнения.
1.1. Изопериметрическая задача
Изопериметрическая задача, формализованная как задача опти
мальноrо управления, естественно, включается в некоторый класс
задач, имеющих на редкость изящное решение на основе прин
дипа максимума.
Как известно, изопериметрическая задача заключается в том"
чтобы охватить заданную площадь кривой наименьшей длины
Из всех возможных параметризаций кривой параметризация
при помощи длины отличается тем, что модуль производной почти
всюду равен 1.
Отсюда получаем
J == 51 5o min, dx/ds == и, I u I == 1,
1/2 Р xuds == а, хо == х 1 .
Здесь d(x) ==d(u) ==2, Р оператор поворота на n/2; (J заданная
площадь.
Удобнее, однако, воспользоваться несколько иной формализа
цией, заменив равенство I u 1== 1 на неравенство I u I 1, т. е.
рассмотреть вместо множества {и 11 u I == l} ero выпуклое замыка
ние.
Это удобно для решения вопроса о существовании, тем более,.
чrо подынтеrральнсе выражение и правая часть дифференциаль
Horo уравнения линейны относительно и.
В новой постановке 5 уже Не является длиной дуrи, поэтому
мы обозначим параметр на кривой t, что в значительной мере
традиционно для оптимальноrо управления.
tt
Приведем задачу к канонической форме. Для этоrо введем
новую фазовую переменную у, d (у) == 1 и положим
dy/d/ == 1/ 2р хи.
Тоrда задачу можно записать в виде J == /1 t o min;
У1 Уо == (j, Х 1 ХО == О,
у==1/ 2рхи , х==и, lul<l.
В этой форме мы имеем терминальный функционал и оrраниче
иие, дифференциальное уравнение и локальное оrраничение.
Однако она еще не является канонической. Следует указать,
к какому типу относится управление и: к типу и 1 или К типу
и 2 . Вопрос может быть решен в обе стороны.
Если u управление типа и 1 канонической формы, то локаль
ное оrраничение следует записать в функциональной форме G (и) <
1, полаrая G(u)==lul l.
Если u является управлением типа и 2 канонической формы,
то локальное оrраничение следует задать при помощи множества
R, полаrая u Е R при R == {и 11 u 1< 1}. Вообще rоворя, как по
казано в ([1, 5]), вопрос следует решать в пользу и 1 канони
ческой формы, однако в данном случае равно допустимо любое
решение.
Мы отнесем управление к типу и 2 . Тоrда задача становится
классической задачей оптимальноrо управления, т. е. задачей, в
которой отсутствуют варьируемые локальные оrраничения. По этой
причине классическая задача оптимальноrо управления всеrда
реrулярна. Как известно, для нее справедлив принцип максиму
ма Понтряrина. Леrко видеть, что он совпадает с принципом
максимума реrулярной задачи.
Итак, каноническая форма изопериметрической задачи имеет
вид
J==t1 to --+min; Y1 Yo==(j, X1 XO==0,
у == 1/ 2рхи, х == и, u Е R == {и 11 u I < 1 } .
В качестве множества Q выберем все пространство Rd (х) Х Rd (и) Х
Х Rd (у) Х Rl. Положим S система:
(1 )
y==l/zpxu, х==и, uER. (2)
Решение изопериметрической задачи, очевидно, реализуется на
экстремалях системы S, причем из условия нетривиальности сле
дует, что решение изопериметрической задачи реализуется на He
тривиальных экстремалях системы S. Найдем их.
Условия экстремальности в системе S имеют вид
:УС == 'Фу 1/ 2рхи + 'Фх u + 'Фt,
y == О, x == 'Фо 1 /2Р*U' t == О, (3)
.9't'('Фу, 'Фх' 'Фt, у, Х, и, t)==mах.9't'('Ф у , 'Фх' 'Фt, у,Х, и, t)==O. (4)
ц' eR '
12
Допустим сначала, что 'Фу == О. Тоrда из (3) следует, что
'i'x==const, а из (4), что l'Фхl+'Фt==О. Отсюда следует, что'Фх:;60,
ибо в противном случае экстремаль была бы тривиальной. Но
тоrда и 'Фt:;60. Так как 'Фх:;ЬО, то из условия максимума (4)
следует, что
u == 'Фх/I 'Фх I == const.
Движение, соответствующее данной экстремали, есть paBHOMep
ное движение по прямой. Экстремаль системы S в этом случае
как бы проектируется внетривиальную экстремаль системы
x==u,l u l<l.
Пусть теперь 'Ф у :;6 О. Рассмотрим для определенности случай
JI > О. Без оrраничения общности будем считать, что 'Фу == 1.
ИЗ условия максимума (4) следует, что
тах (l/2Рх+'Фх)u+'Фt==0.
I u I <: 1
Откуда
1 1 /2Рх+'Фхl+'Фt==0. (5)
Но из сопряженноrо уравнения следует, что -\Рх == 1/2P*X, значит,
'Фх== 1/2р*х+r, (6)
rде r не зависит от времени.
Подставляя в (5), получим
11/2(P p*)x+rl +'Фt==О.
Но р* == р, следовательно,
I рх + r I + 'Фt == О.
(7)
Если 'Фt==О, то траектория экстремали точка: x==pr. В этом
случае
u == о, 'Фх == r/2. (8)
Если 'Фt:;6 О, то траектория экстремали окружность радиуса 'Фt.
I1з (4) следует, что
и== 1/ 2рх +'Ч'х (9)
1 1 /2РХ+'Ч'Х I '
"Ч'х находится из (6). Движение представляет собой движение по
дуrе окружности с постоянной по модулю скоростью.
Экстремали, у которых 'Фу < О, отличаются от рассматривае
мых только изменением знака времени.
Действительно, рассмотрим замену переменных: У1 == у, x 1 == Х,
t 1 == t, и 1 == и. Нетрудно видеть, что при этом система S
перейдет в себя. Соrласно [1, 10], замена переменных порож
дает преобразование во множестве экстремалей системы S, причем
сопряженные переменные преобразуются по формулам
'Ф У1 == 'Фу' 'ФХ1 == 'Ф.\о, 'Фt l == 'Фt.
13
Мы видим, что экстремали с 'Фу> о переходят в экстремали
с 'Фу < О. Нетривиальные экстремали системы S полностью описаны.
Постановка задачи в форме оптимальноrо управления явно
ускорила ее решение. Очень удобным оказалось условие макси
мума (2) (4), которое редко применяется в вариационном исчис
лении, хотя оно в физических и механических постановках означает
закон сохранения энерrии.
Но постановка в форме оптимальноrо управления не только
упростила решение задачи.
Рассмотрим систему Sl, которая отличается от системы S ло
кальным оrраничением. Вместо оrраничения I u I 1 рассматри
вается оrраничение u Е и, rде U выпуклый компакт, имеющий
нулевую точку своей внутренней точкой.
Таким образом, система 81 имеет вид
у== 1/ 2рхи , х== и, u Е и. (10)
Исследование экстремалей системы Sl методолоrически ничем
не отличается от проведенноrо исследования системы 8. Положим
р == 'Ф//2РХ+ 'Фх' ер (р) == тах ри. Тоrда условия экстремальности
иеи
В системе Sl можно записать в виде
'Фх == 'Ф//2Р*U' ер (р) == 'Фt == const,
u Е arg тах ри'.
и'е U
Если 'Фи == О, то р == 'Фх == const =1= О. Если arg тах ри' состоит
из одной точки, то движение, соответствующее данной экстремали,.
есть равномерное движение по прямой. В общем случае, т. е.
в случае, коrда arg тах ри' есть некоторая выпуклая rpaHb KOM
пакта и, движение может быть произвольным с тем лишь orpa
ничением, что
х Е arg тах ри'.
и' е U
Если 'Фу =1= О, то движение, соответствующее экстремали, про
ходит ПО линиям
ер (рх + r) == const == 'Фt,
т. е. по полярам множества и, повернутым на nj2.
Если U не cTporo выпуклое множество и 'Фt =1= О, то скорость.
движения на любом достаточно длительном участке движения.
имеет точки разрыва.
1.2. Задача о минимальной поверхности вращения
Задача о минимальной поверхности вращения вообще не под
дается формализации в рамках вариационноrо исчисления.
Оказывается, что ее полная формализация представляет собой
задачу оптимальноrо управления с неrладкими реrулярными CMe
шанными оrраничения.ми.
14
в плоскости (х 1 , х 2 ) заданы две точки: ro и r 1 . Требуется
соединить их кривой так, чтобы поверхность вращения этой кри
вой BOKpyr оси Х 1 была минимальной.
Эта классическая задача вариационноrо исчисления на самом
деле вкладывается в нее не полностью. Дело в том, что для ва-
риационноrо исчисления нужно, чтобы кривая имела вид Х 2 == f (х 1 ),
и, что самое важное, она ниrде не должна совпадать с осью х].
Однако выполнение этих требований зависит от взаимноrо
расположения точек r о и r 1 и далеко не всеrда имеет место.
Полная формализация укладывается лишь в рамки реrуляр-
ной задачи с локальным смешанным оrраничением неравенства,
задаваемым с помощью непрерывно сверху выпукло
дифференци-
руемой функции.
Пусть x(s)==(x 1 (s), x 2 (s)). Кривая, соединяющая точки ro и r 1
и параметр S, отличается от длины дуrи лишь сдвиrом.
Тоrда площадь поверхности вращения пропорциональна
51
J ==
Ix 2 (s)lds, rде x(so)==ro, x(sl)==r 1 .
50
Обозначим через Р оператор проецирования на ось х 2 . Тоrда,
очевидно,
51
J ==
Ipx(s)lds.
50
Мы приходим К следующей задаче:
51
J == S I рх I ds
miп;
50
dx
liS == и,
I u I == 1,
x(So)==r o , x(Sl)==r 1 , d(x)==d(u)==2.
Оrраничение I u 1==1 можно овыпуклить, т. е. заменить на orpa-
ничение I u I < 1, так как u входит линейно в дифференциальное
уравнение и не входит в подынтеrральное выражение. Операция
овыпукления удобна не только для доказательства существова-
ния, но и для нахождения экстремалей. Как это ни странно, но
в теории оптимальноrо управления с неравенствами подчас рабо-
тать удобнее, чем с равенствами.
Параметр S
уже не длина дуrи, и поэтому мы обозначим
ero через t. Таким образом, мы имеем задачу
t 1
J ==
I рх I dt
min; х == и, I u I < 1,
t o
x(to)==ro, x(t1)==r 1 .
Однако и в таком виде задача нетрадиционна для оптималь-
Horo управления. Дело в том, что подынтеrральная функция не-
15
дифференцируема при Х 2 == О. Эту трудность, однако, леrко обойти,
и в результате мы получим реrулярную задачу в канонической
форме. Пусть v (t)
скалярное управление.
Рассмотрим следующую задачу:
J==Y1
Yo
min, xo==ro, x 1 ==r lt
y==v, х==и, lul
l, (1)
Ipxl
v
O, d(g)==d(u)==I, d(x)==u(u)==2.
Нетрудно видеть, что последняя задача эквивалентна предыду
щей. Задача будет поставлена в канонической форме, если мы
укажем, к какому типу управления канонической формы OTHO
сятся управления v и и.
Так как множество допустимых значений v зависит от значения
фазовой переменной , то управление v следует отнести к типу и 1
канонической формы. Что касается управления и, то ero можно
отнести как к типу и 1 , так и к типу и 2 канонической формы.
Отнесем ero к типу и 2 , поскольку условия принципа максимума
в этом случае будут выrлядеть несколько проще. Система S,
соответствующая задаче, имеет вид
.
y==v, х== и, I pxl
v
O, I u I
1.
Реrулярность этой системы совершенно очевидна.
Условия экстремальности для системы S следующие.
Условия существования и принадлежности:
1P(t)==1P y (t), 1Px(t), 1Pt(t), a(t)
O,
n (t) == (n х (t), nfJ (t», (3)
n (t) Е д (1 рх I
v).
(2)
Условия дополняющей нежесткости:
a(t)(lpxl
v)==O.
(4)
Сопряженные уравнения:
y==O,
x==anx,
t==O. (5)
Условия максимума:
9't'==1Pv+1Pxu+1Pt== тах (1PyV'+1Pxu'+1Pt)==O. (6)
у v'
I рх 1. I и' I < 1
Локальный принцип максимума: леrко видеть, что n Е д (1 рх I
v)
:::;> nv ==
1, поэтому локальный принцип максимума имеет вид
1р у + а и) === О. (7)
Таковы условия экстремальности.
Нас будут интересовать нетривиальные экстремали системы S,
ибо решение задачи о минимальной поверхности вращения, если
существует, то является траекторной компонентий нетривиальной
экстремали .
16
Действительно, условия трансверсальности принципа макси
мума имеют для данной задачи следующий вид:
'Фу == а о , 'Ф" (t o ) == С 1,
а о o; С Н С 2 Е R2.
СОrласно условиям нетривиальности,
'Ф" (t 1 ) == С 2 ,
t 1
а о + I с 1 / + I с 2/ + а и) dt > О.
[ о
Допустим, что хотя бы в одной точке t* Е [to, t 1 ] выполнено pa
венство 'Ф(t*)===0. Так как 'Фу==сопst, то отсюда следует, что
'Фу ==0. Из условий максимума следует, что тах 'Ф"И' ==0. Откуда
,и' ' 1
'Ф" === О. Из локальноrо принципа максимума следует тоrда, что
а (t) == О, а из условий тр ансверсальности, что а о === О, С 1 == С 2 == О.
Мы пришли к противоречию с условием нетривиальности.
Итак, решение задачи достиrается на нетривиальных экстре
малях, для которых 'Ф (t) =F О Vt. Найдем эти экстремали.
Пусть на экстремали 'Фу === О. Тоrда из условия максимума
1'Ф"I+'Фt==О. Следовательно, 'Фt*О, 'Фt<О.
Из сопряженных уравнений следует, что 'Ф,,===сопst, а из усло
вий максимума следует, что и === 'Фх/I 'Ф" 1== const. Фазовая перемен
ная х движется по прямой с постоянной скоростью. Это семейство
экстремалей совпадает с экстремалями укороченной системы:
х==и, lиl l.
Пусть 'Фу =F О. Тоrда из локальноrо принципа максимума (7)
следует, что 'Фу < О. Не оrраничивая общности, положим 'Фу == 1 ;
тоrда а (t) == 1 и, соrласно условию дополняющей нежесткости,
v == I рх 1. Таким образом, компонента v управления может быть
выражена через фазовые переменные.
СОrласно условию максимума (6), справедливо равенство
'Ф"и == I 'Фх 1. Отсюда и == 'Фх/I 'Ф" 1, если 1 " =F О, и является произволь
ным вектором длины не более 1, если 'Ф" == О.
Семейство экстремалей с 'Фу === 1 разобьем на три подсемейства:
а) 'Фt > о; б) 'Фt < о; в) 'Фt == О. в случае а из условия максимума
(6) следует, что на экстремали I рх / > О. Тоrда n х === рх/I рх I и
сопряженное уравнение на 'Ф" имеет вид
,р" === рх/' рх 1.
(8)
Но рх/I рх I BeKTop единичной длины, направленный вдоль оси х 2 .
Так как I рх I > О, то n" == px/l рх 1== const на экстремали. Тоrда
из сопряженноrо уравнения (8) следует, что 'Фх может сбратиться
в нуль не более чем в одной точке. Следовательно, движение
точки х на экстремали описывается уравнением
Х == 'Ф,,/I 'Ф" 1.
(9)
17
Итак, экстремаль описывается уравнениями (8), (9), причем усло-
вие 'Фt> О эквивалентно тому, что хотя бы в одной точке выпол-
нено неравенство I рх I > 1 'Фх 1.
Действительно, на рассматриваемых экстремалях функция
I рх I v, задающая локальное оrраничение неравенства, является
непрерывно дифференцируемой функцией, и, следовательно, со-
rласно [1, 4], ослабленная экстремаль является экстремалью.
Из сопряженноrо уравнения (8) следует далее, что компонента 'Ф
по ОСИ Х 1 'ФХl ===const. Таким образом, если 'Фх! *0, то на экстре-
мали I 'Фх 1> о и в каждой точке экстремали u === 'Фх/I 'Фх 1. Управ-
ление является rладкой функцией.
Если же 'Фх! === О, то на экстремали (точнее, на полной экстре-
мали, т. е. на экстремали, максимально продолженной) обязательно
будет точка переключения, т. е. точка разрыва управления, в ко-
торой управление скачком меняет знак. Таково семейство а.
В случае б из условия максимума следует, что на экстремали
I 'Фх I > О. Следовательно, u (t) === 'Фх и)/I 'Фх (t)1 rладкая функция,
и в каждой точке справедливо уравнение (9). Семейству б при-
надлежит экстремаль, на которой рх== о, 'Фх=== const. Действительно,
полаrая n х == О, 'ФХ2 == О, получим. что все УСЛОВ!lЯ экстремальности
выполнены. Обозначим эту экстремаль через у.
Пусть у произвольная полная экстремаль семейств б. Обо-
значим через Т У множество тех значений t, для которых
px(t)==O, x(t)Ey.
Докажем, что множеств) Т У не имеет оrраниченноrо смежноrо
интервала.
Допустим противное. Тоrда t o , t 1 (to < t1) КОНЦЫ смежноrо
ИН1ервала множества ТУ' На (to, t 1 ) рх (t) * о и, следовательно,
Х 2 (t) *0. Положим для определенности, что Х 2 (t) > о Vt Е (t o , t 1 ).
Но х== 'ФХ2 (t)/I 'Фх (t)I, следовательно. 'ФХ2 (t o ) О,. Далее, рх и) ==
==(0; 1) BC ДY на интервале (to, t 1 ). Следовательно, 'ФХ 2 == 1 Vt Е (to, t 1 ).
Но тоrда Х 2 > О Vt Е (to, ( 1 ), откуда Х 2 (t1) > О. Это противоречит
условию t 1 Е ТУ' Противоречие доказывает утверждение.
Таким образом, возможны следующие варианты: либо ТУ == е5,
либо Ty OДHa точка, либо Ту отрезок отличной от нуля длины.
В этом семействе, так же как и в семействе а, ослабленные
экстремали являются экстремалями, и поэтому неравенство I pxl+
+ I 'Фх I > О надо проверить лишь в одной точке.
Действительно, на любом отрезке экстремали, на котором
рх * О, ослабленная экстремаль является экстремалью cor ласно
[1, 4], и 'Фt == const. С друrой стороны, на ТУ, которое, как мы
установили, является отрезком, выполнено условие 'Фх == const и,
следовательно, 'Фt == const. Но 'Фt непрерывная функция. Следо-
вательно, 'Фt == const на любой ослабленной экстремали системы S.
Нам осталось рассмотреть семейство в. В этом случае на экст-
ремали выполнено равенство I рх 1== I 'Фх 1. Если 'Фх * О, то I 'Фх 1=1= О
на экстремали, и, следовательно, I рх 1=1= О в любой! момент времени.
18
Уравнение экстремали имеет вид
х == "'х/I "'х 1, x == Px/I Рх 1.
(10)
Условие "'t == О следует проверять лишь в одной точке.
Эти экстремали и рассматриваются при классической поста
новке задачи о минимальной поверхности враrцения.
Но есть erцe экстремали, на которых 'Фх ==0. На каждой такой
экстремали множество Tv =1= е5. Действитель 1 но, пусть внекоторый
момент времени t == t* имеем Рх (t*) =1= О. Очевидно, "'Х (t*) =1= о и
I 'РХ 2 (t*)I === I Х 2 (t*) 1. Тоrда и.з условий экстремальности следует, что
I х 2 \ == 1, пока Х 2 -::j:. О. Но Х2 непрерывная функция, если "'Х =l=0
Следовательно, Х2 непрерывная функция там, rде Х 2 =1= О. Но
Tor да из ( 11) следует, что Ту =1= е5 .
Аналоrично тому, как это было сделано для случая семей
ства б, можно показать, что Tv всеrда является отрезком.
На Т v выполнены равенства
рх == o, "'х == О, n Х == о;
u (t) произвольная функция вида u и) == (и 1 (t), и 2 и)), rде-
I и 1 (t)l 1, и 2 (t) == О. Эти экстремали MorYT встретиться при pe
шении задачи о минимальной поверхности враrцения в зависи
мости от rраничных условий, но они не поддаются формализаЦИIf
в рамках вариационноrо исчисления. Решение следует искать среди-
экстремалей семейства 8.
Нетрудно получить, что через каждую пару точек '0' '1 про
ходит не более трех экстремалей семейства 8.
Таким образом, задача о минимальной поверхности враrцения-
полностью решается.
С друrой стороны, задача о минимальной поверхности Bparцe
ния допускает также и такую формализацию:
у== х 2 , х== и, I u I 1, Х 2 O, Y1 YO min;
х ио), х (tl) фиксированы.
Здесь х == (х 1 , х 2 ). Это задача с фазовым оrраничением. COOTBeT
ствуюrцая система имеет вид
у==х 2 , х==и, lul<l, X2 0,
Интересно, что известная задача классическоrо вариационноrо
исчисления может быть формализована полностью либо как за
дача с реrулярными (именно реrулярными, а не снезависимыми
rрадиентами) смешанными оrраничениями, либо как задача с фа-
зовыми оrраничениями.
1.3. Задача о rеодезической
Задача о rеодезической ормализуется нами как задача
о быстродействии. В такой форме задача допускает интересные
обобщения, одним из которых является задача У лама о COBMe
19
щении отрезков. Мы приводим полное ее решение для случая,
коrда отрезок движется в Rn.
Пусть уравнение поверхности имеет вид g (х) == О. Мы пред-
положим, что в каждой точке, в которой g (х) == О, выполнено
условие полноrо paHra rank g' (х) == d (g). Пусть 'о, , 1 точки на
поверхности; х (S) кривая, лежащая на поверхности и соеди-
няющая точки 'о, '1; параметр S длина дуrи или сдвинутая
длина дуrи. Тоrда задача о rеодезической может быть сформули
рована следующим образом:
J==Sl SО-------+ min, x(So) =='0' X(Sl) =='1'
dxjds==u, lul==l, g(x)==O, d(x)==d(u).
Эта задача не является канонической, ибо в канонической форме
отсутствуют фазовые оrраничения типа равенства. Поэтому вместо
оrраничения g (х) == О мы введем оrраничение dgjds == g (х) u == О.
Овыпукляя затем оrраничение I u I == 1, получим окончательно
J == t 1 t o -------+ min, х (to) == r о, Х (t1) == r 1,
х==и, g (x)u==O, lul l.
Задача (1) является задачей быстродействия со смешанными orpa-
ничениями равенства. По предположению, условия полноrо paHra
выполнены. Управление является управлением типа и 1 канони
ческой формы, ибо значения ero зависят от значений фазовой
переменной х. Таким образом, задача (1) имеет каноническую
форму.
Система S, соответствующая задаче, имеет вид
(1 )
х==и, g (x)u==O, lul l. (2)
В качестве Q мы возьмем область, в которой выполнено условие
полноrо paHra rank g == d (р).
Cor ласно предположению, поверхность g == О лежит в Q. Сис
тема S является реrулярной, ибо rрадиенты по u локальных
оrраничений линейно независимы.
Действительно, rрадиенты g линейно независимы по условию
полноrо paHra. Но они ортоrональны к и. rрадиент же неравенства
в тех точках, в которых I u I == 1, коллинеарен и.
Таким образом, rрадиенты по u локальных оrраничений неза-
висимы, и система S является системой с независимыми rрадиен
тами. Следовательно, система S реrулярна.
Найдем нетривиальные экстремали системы S. Условия экстре-
мальности в системе S имеют следующий вид:
:yt == 'Фх u + 'Фt.
Существуют 'Ф (t) == ('Фх (t), 'Фt (t)), а (t) О, nN (1) Е д (1 u ' 1),
,Ь (t) (d (Ь) == d (р)) такие, что выполняются следующие условия.
Условия максимума:
'Фхu+'Фt== тах 'ФхU'+'Фt==О; (3)
g (X)U'=o. I и' I <: 1
20
локальный принцип максимума:
'Рх+ Ь (t) g (х) == а (t) Па (t);
(4)
условие дополняющей нежесткости:
а (t)( I u (t) I 1) == о;
(5)
сопряженные уравнения:
x == Ь (t) g;x (х) и, 'Pt == О. (6)
Нетрудно видеть, что Па == u/I u 1. Все нетривиальные экстре
мали разбиваются на два семейства: семейство, на котором 'Pt==O,
И семейство, на котором 'Pt =1= О.
В первом случае из локальноrо принципа максимума, умножая
ero на и, имеем 'Рхи == а (t) I и]. В силу условия дополняющей He
жесткости 'Рхи == а (t). Но из условия максимума следует, что
'Рхи == О. Следовательно, а (t) ==0. Из условия (4) получаем 'Рх +
+ bg == О. Дифференцируя это равенство по t и учитывая сопря
женное уравнение, получим bg (х) == О.
Отсюда, соrласно условию полноrо paHra, b(t) ==0 и, следова
тельно, Ь == const. Мы видим, что на первом семействе определены
сопряженные переменные и множители Лаrранжа а, б и COBep
тенно не определена траекторная компонента. Наличие этоrо ce
мейства связано с тем обстоятельством, что на любой допустимой
траектории функция g (х) постоянна. Выбором rраничных условий
это семейство можно исключить.
Рассмотрим теперь второе семейство, на котором 'Pt =1= О. Тоrда
из условий максимума следует, что 'Pt < О. Нормируем 'Pt на 1.
Из условия максимума имеем 'Рхи == 1 . Следовательно, а и) == 1
и на экстремалях этоrо семейства I u 1== 1. Отсюда Па == U.
Теперь мы леrко можем найти уравнение rеодезической. Дей
ствительно, локальный принцип максимума дает
'Рх + bg (х) == и.
(7)
Дифференцируя по t и учитывая сопряженное уравнение, получим
6g (х) == u == х == па' (8)
Выражение для 6 мы найдем, дифференцируя по t равенство
g (x) и==О. Действительно, учитывая (8), получим
6g (х) g (х) + (g x (х) и, и) == О.
Отку да
6 == (g (х), g (x)) l (g;x (х) и, и).
(9)
Подставляя найденное выражение для Ь в (8), получим ypaBHe
иие rеодезической.
Оно определено не на поверхности g (х) == О, а на открытом
множестве Q пространства Rd(x). Это обстоятельство связано с фор.
мализацией задачи.
21
Вместо оrраничения g (х) == О мы рассмотрели оrраничение
g (х) == const, которое допускает эквивалентную запись в виде сме-
шанноrо оrраничения dy/dt == О. Таким образом, уравнения (8), (9)
являются уравнениями rеодезических для целоrо семейства поверх
настей. rеодезическую для данной поверхности g (х) == О мы полу
чим, выбирая начальные данные соответствующим образом.
Мы уже rоворили о том, что система S является системой
снезависимыми rрадиентами. Поэтому, соrласно [1, 4], ее oc
лабленные экстремали являются также экстремалями. Отсюда
следует, что принадлежность экстремали к семейству а или б
надо проверять в одной точке.
Если x является линейной комбинацией rрадиентов g (x), то
экстремаль принадлежит семейству а. Если же x не является
линейной комбинацией rрадиентов g (x), то экстремаль принад
лежит семейству б.
Нетрудно видеть, что множитель Лаrранжа b(t) находится
как решение следующей задачи: I x +bg (х)1 min.
Для евклидовой нормы эта задача имеет однозначное решение,
которое на множестве Q является r ладкой функцией x' х (в той
мере, конечно, в какой является rладкой функция g (х)). Если
min I x + bg (х) I > О, то значение управления u данной экстре
ь
мали в данной точке дается формулой
и== 'Фх+Ьrniпg (х) ,
I 'Фх+ brningx tx) I
rде Ьrniп точка, в которой реализуется минимум. Таким образом,.
мы имеем выражение u через x' х: u == U ( x' х). Подставляя это
выражение для u в Н == xи, получим уравнение экстремалей в ra
мильтоновой ферме:
х == H , == H .
1.4. Обобщение задачи о rеодезической
Рассмотрим систему, которая отличается от системы преды
дущеrо раздела тем, что вместо оrраничения I u I 1 в ней имеется
оrраничение вида u Е и, rде U выпуклый компакт в Rd(u), имею
щий нуль своей внутренней точкой.
Обозначим через ер функцию Минковскоrо компакта и. То есть.
положим ер (и) == 1, если и Е U и ли U Vл> 1 и распространим ер'
на все остальные значения управления, потребовав, чтебы ер была
положительно однородной первой степени функцией. Тоrда сис
тема S имеет вид
х == и, g (х) и == О, ер (и) 1 . (1 ).
Нетрудно видеть, что ер сублинейная функция.
УСЛОЕИЯ экстремальности в системе S те же, что и в системе
предыдущеrо раздела, с той лишь разницей, что вместо функции
J u I надо поставить функцию ер (и).
22
Положим <Р1 (r) == шах (иl <р (и) 1. Для произвольных 'Рх' х
u
определим множества
В ('i'x' х) == {Ь I Ь Е argbI?in ер1 ('i'x + Ь' g (х»},
N('i'x' x)=={nulnu=='i'x+bg (x), bEB('i'x' х)},
U('Фх' х, n a )=={uluEaepl(n и )' nиЕN('Фх' х), g (x)u==O}.
Положим также т ('I'х' х) == ер1 (Па) I n и Е N ('I'х' х). Очевидно, ер1 (n и )
не зависит от n и на N ('Фх' х).
Нетрудно видеть также, что множество U ('i'x' х, n и ) не зави-
сит от Па' если n и Е N ('Фх, х). Действительно, как известно,
u Е дер! (n и ) ер (и) 1, Пии == 1. (2)
Пусть и", Е U ('I'х' х, nи ) и пусть n и Е N ('I'х, х). Тоrда, очевидно,
n и == n и + b",g (х). Следов тельно, и*n и == 1. Но ер (и*) == 1. Отсюда,
соrласIiо (2), вытекает, что и* Е дЧJl (n и ). Тем самым утверждение
доказано.
Таким образом, в определении можно опустить зависимость и
от Па И рассмотреть множество U ('Фх, х).
Предложение 1. Пусть в точке t экстремаль у довлетвор яет
локальным оrраничениям системы S и локальному принципу мак-
симума. Т or да
1) b(t) ЕВ ('i'x(t), x(t»,
2) а(t)==т('Фх(t), хи»,
3) и (t) Е U ('i'x (t), х (t».
Доказательство. Пусть и' таково, что (p(и') 1. Умножая
локальный принцип максимума на и', получим
'i' х ( t) и' + Ь ( t) g (х ( t» и' == а ( t) n и ( t) и' .
Но максимум правой части по и' равен
а (t) Па (t) и (t) == а (t) ер (и (t» == а (t)
(последнее равенство справедливо в силу условия дополняющей
нежесткости). Следовательно, и максимум левой части по и' также
равен а ( t). Мы доказали, что
ер1 ('Фх (t) + Ь (t) g (х (t» == а (t). (3)
Пусть Ь' произвольный элемент Rd <Ь>. Покажем, что
ер1 ('I'х (t) + (Ь (t) + Ь') g (х (t) а (t).
Действительн о,
'Рх (t) + (Ь (t) + Ь') g (х (t» u (t) == 'Рх (t) +
+b(t)g (x(t))u(t)==a(t).
Но ЧJ (и (t» 1. Следовательно,
ер1 ('Фх (t) + (Ь (t) + Ь') g (х (t» а (t).
23
Тем самым положение 1 доказано. Но тоrда из TpeTbero следует
справедливость BToporo утверждения. Но u (t) Е дС{)l (nи и»;
g (х (t» и (t) == О. Следовательно, и(t) Е и ('Фх (t), x(t». Таким обра
зом, положение 3 доказано. Предложение доказано.
Из предложения 1 следует, что 'Фх(t), хи) удовлетворяют на
экстремали следующей системе дифференциальных ВКЛючений:
х Е и ('Фх, х),
Фх Е В ('Фх, х) g;x (х) и ('Фх, х).
К системе следует добавить условие т ('Фх, х) == const, что COOT
ветствует уравнению на 'Фt.
Итак, при обобщении задач о rеодезической мы сталкиваемся
с тем обстоятельством, что экстремали удовлетворяют уже не диф
ференциальным уравнениям, а дифференциальным включениям_
В этом rлавная трудность при исследовании подобных задач. Ниже
мы рассмотрим одну из таких задач задачу Улама о совмещении
отрезков.
В этой задаче В ('Фх, х) всеrда является одноточечным MHO
жеством и, следовательно, Ь является функцией 'Фх' х.
Оказывается, что Ь ('Фх, х) липшицева функция, но не rладкая.
Из липшицевости функции Ь ('Фх, х) следует, 'что справедливы
уравнения (7, 8), связывающие Ь, х, и па' Но поскольку функ
ция Ь ('Фх, х) не rладкая, мы не можем выразить Ь через 'Фх' x
в этом специфика задачи Улама.
Рассмотрим следующий интересный случай.
Предположим, что мноrоебразие задано при помощи положи
тельной вне нуля сублинейной функции g (х) уравнением g (х) == 1.
Предположим также, что функции g(x), С{)1 (пu) rладкие функции
и что каждая точка поверхнестей уровня g (х) == 1 и С{)1 (Па) == 1
является ЭЛЛИПlической.
Рассмотрим следующие две системы:
81: х==и, g(x)==l, С{)(и) l;
82: y==w, C{)l(g)===l, gl(W) 1.
в этих системах мы будем рассматривать нетривиальные экстре
мали с 'Фt == 1. Оказывается, что между такими экстремалями
этих двух систем можно установить следующее взаимно однознач
ное соответствие.
Прежде чем сфсрмулировать соответствующее утверждение,.
заметим, что в силу сделанноrо предположения множества В 1 ('Фх, х)
и В 2 ('Фу, у) в системах 81 и 82 соответственно состоят из одной.
точки И что функции Ь 1 ('Фх, х) и Ь 2 ('Фу, у) непрерывно дифферен
цируемы по своим aprYMeHTaM. Отсюда следует, что уравнения
экстремалей в этих системах можно записать в форме (7, 8).
Теперь мы можем сформулировать утверждение о связи между
экстремалями систем 81 и 82'
Теорема 1. а) Пусть x(t), и(t), nll(t) экстремаль системы 81
24
Тоrда существует монотонная функция Т (t), d1'/dt < о такая, что
у (Т) == Па (t (Т)), W (Т) == g (х (t (Т))), NW (Т) == Х (t (Т)) экстремаль
системы 82'
б) Пусть y(t), w(t), nw(t) экстремаль системы 82' Тоrда
существует монотонная функция 1'1 (t), d1' 1 /dt < О такая, что
х (Т 1) == nw (t (1'1))' u (1'1) == {P (nw (t (1'1))), Па (1'1) == у (t (1'1)) экстре
маль системы 81'
Д о К а з а т е л ь с т в о. Докажем утверждение а теоремы.
Пусть х (t), u (t), Па (t) экстремаль системы 81' Так как 'Фt
по условию равно 1, то справедливы уравнения
х == и, Па == bg (х), g (х) == 1;
ср(и)==1, СР1(n а ) == 1.
( 4)
Найдем Ь. ПО определению, u == Ч) (Па). Поэтому, дифференци
руя равенство g (х) == 1, получим
g (х) cp (Па) == о.
(5)
Дифференцируя вторично, получим
g x (х) cp (Па) cp (Па) + 6cp' n ,п (Па) g' (х) g' (х) == о.
tl а
(6)
Имеем в силу однородности функции g g;x (х) х' ==0. Следова
iельно, х собственный вектор матрицы g;x (х), соответствующий
нулевому собственному значению.
Из сделанных предположений следует, что нулевое собствен
ное значение матрицы g;x (х) однократно. Из соотношения g (х) х ==
== g (х) == 1 и формулы (5) следует, что вектор cp (Па) не колли
неарен х. Следовательно,
g;x (х) cp (Па) cp (Па) > о.
Рассуждая аналоrично, получим, что
cp' п , n (Па) g (х) g (х) > о.
а а
Но тоrда из (6) вытекает
Ь == g" (х) {p (Па) cp (nа)/ср; (Па) g' (х) g' (х).
Таким образом, Ь оrраниченная отрицательная функция, OTдe
ленная от нуля. Определим Т (t) как решение уравнения
d1'/dt == ь (t). (7)
Положим У(1')==nаи(1')), W(1')==g (X(t(1'))), nw('t)==x(t(1')).
Тоrда из уравнений (4) (7) следует, что у (Т), Па (Т) удовлетво
25
ряют уравнениям
== g (х (t (т))) == w ('r),
dп w :::::2 U ( t ( т )) == т' ( п ( t ( т ))) == т' (у ( T )) ( 8 )
d1: ь (t (1:» ь (t (1:» '1"1 u '1"1 Ь (t (1:» ,
у 1 (у (r)) == 1, g 1 (w ( т)) == 1, g (п w (т)) == 1.
Но это уравнения, определяющие экстремаль системы 82'
Тем самым утверждение а теоремы доказано. Доказательство
утверждения б совершенно аналоrично, ибо предположения на g
и СР1 одни И те же. Теорема доказана.
Интересно было бы выяснить, в какой степени предположения
на функции g и q;1 можно ослабить, не затраrивая справедливости
доказанной теоремы. По видимому, можно потребовать лишь cтpo
rой выпуклости поверхностей уровня функций g и <Р1 при усло
вии их rладкости. Однако примеры показывают, что область
действия теоремы еще шире.
1.5. Задача Улама
в задаче Улама требуется перевести отрезок из одноrо положения
в друrое так, чтобы сумма длин траекторий ero концов была
наименьшей. Задача Улама как реrулярная задача оптимальноrо
управления исследовалась в работах [2, 3]. Наше изложение
ближе к изложению, принятому в [3], хотя и отличается в ряде
моментов.
Трактовка задачи Улама как задачи о rеодезических и BЫTe
кающее из нее рассмотрение двойственной задачи, в результате
чеrо решение задачи У лама приобрело исключительную прозрач
ность, ориrинальны.
Формализация задачи У лама пр и водит к системе 8:
х == и, у == V; (x у) (u v) == о,
I u I + I v I 1, d (х) == d (у) == d ( и) == d (v) 2, Q: х =1= у.
(1)
Задача быстродействия в этой системе и есть задача Улама. Оче
видно, система 8 есть частный случай системы разд. 1.4. Найдем
нетривиальные экстремали системы 8. Прежде Bcero покажем, что
система 8 реrулярна. Положим G (и, v) == I u I + I v I 1. Пусть х, у,
и, v удовлетворяет локальным оrраничениям задачи и G (и, v) == о.
Положим и== и, v== v.
Нетрудно видеть, что x y, u v==o; G' (и, v, и, v) == J.
Тем самым реrулярность доказана.
Выпишем условия экстремальности:
п == 'Рх и + 'i'yv + 'i't,
.7t==п a(lul+lvl I)+ b(x y)(u v).
Сопряженные уравнения:
26
x==b(u v); y== b(u v); t==O; (2)
1.\1х' 'Фу' 'Фt липшицевы функции.
Условия максимума:
'Фх U + 'Ф у V + 'Фt == 0== тах 'Фх и ' + 'ФуV' + 'Фt I (x y)(и' v') == о,
J и' 1 + I v' I 1. (3)
Локальный принцип максимума:
'Фх аnи+Ь(Х У) ==0,
'Фу аnt' Ь(Х У) ==0,
тде nu==u/lul, если и*О; Inul l, если и==О;
v * о; I nv I 1, если v == О.
Условия дополняющей нежесткости:
(4)
nv == v/I v 1, если
а(1 и ' ' vl 1) ==0.
(5)
Так как и' == о, v' == О удовлетворяет локальным оrраничениям
системы при любых х, у, то из принципа максимума следует, что
'Фхи + 'ФуV о. Следовательно, 'Фt О. Соrласно сопряженному
уравнению, 'Фt == const. Поэтому возможны два случая: 'Фt < о;
'Фt == О. Рассмотрим первый случай. Нормируем 'Фt на 1. Таким
образом,
'Фхи + 'ФуV == 1. (6)
Из локальноrо принципа максимума следует 'Фхи + 'ФуV ==
== а (nии + nvv). Но Пии == I и 1, nvv == I v 1. Следовательно, 1 ==
== а (1 и I + I v /) == а (1 и 1+1 v I 1) + а. Из условия дополняющей
нежесткости следует а == 1 и I и 1+ I v 1== 1. Локальный принцип
максимума мы можем переписать теперь в виде
'Фх + ь (x y) == n т
'Фу Ь (x y) == nv.
Рассмотрим
v (л) == тах I n и -+ л (x y) 1, I nv л (x у) 1.
(7)
Очевидно,
v (л) == тах (n и + л (x y)) и' + (nv л (x y)) v', I и' 1+ I v' I 1.
Следовательно,
v (л) (n и + л (х у)) и + (nv л (х у)) v == 1.
С друrой стороны, при л == о v (л) == 1. Отсюда следует, что в точке
л == О функция v (л) достиrает минимума. Положим
V 1 (л) == тах I 'Фх+ л (x y) 1, 1 'Фу Л (x y) 1.
Из (7) вытекает V 1 (л) == v (л Ь). Это означает, что функция V 1 (л)
достиrает минимума в точке л == Ь. Теперь можно выразить Ь
27
через 'Фх' 'Фу' x у. Очевидно,
"Нл) == тах I 'Фх+ л (x y) 12, l'Фу Л (x y) 12 ==
==тах 'Ф + 2'1'x(X Y) л + (х у)2л2; 'Фz 2'Фу (x y) л+ (x y) л 2 .
Следовательно, л == ь является точкой минимума максимума двух
полиномов BToporo порядка с одинаковым положительным старшим
коэффициентом. Так как парабола cTporo выпуклая функция,
то и максимум двух парабол является cTporo выпуклой функ
цией. Следовательно, точка минимума функции единственна. Таким
образом Ь однозначная функция 'Фх' 'Фу' x y. Точка минимума
всеrда расположена на отрезке, концами KOToporo являются точки
минимума каждой из парабол.
Ясно, что Ь является липшицевой функцией от 'Рх, 'Фу' x y.
Следовательно, соrласно (2), (7), мы можем записать уравнение
экстремали в виде
Па == Ь" nv == Ь"
(8)
rде ,==x y, которым и будем пользоваться в дальнейшем.
Займемся исследованием экстремалей. Пусть ,\, экстремаль
системы S. Без оrраничения общности будем считать, что на
экстремали I x y 1== 1. Действительно, из уравнений и оrраниче
ний системы S следует, что на каждой допустимой траектории
x y === const.
С друrой стороны, система S инвариантна относительно пре
образования переменных
Х 1 === ах, t 1 == at Уа > О, У1 == ау.
Введем обозначения: n == Z а' n; == Zv, Х у == " Па' == А, nV' == В,
nanv === е.
Очевидно,
,,2(л)==mахz а +2Ал+л 2 ; zv 2Вл+л2. (9)
Из условия min ,,2 (л) == ,,2 (О) == 1 следует
АВ о; тах Za, Zv == 1.
(10)
Рассмотрим два основных типа поведения экстремали . .Мы будем
их называть типами движения, имея при этом в виду изменение
во времени всех величин на экстремали. Мы будем rоворить, что
имеет место первый тип движения, если
А.В > о.
Мы будем rоворить, что имеет место второй тип движения, если
zи =1= zv'
Как мы знаем, функция ,,2 (л) достиrает минимума при л == О,
причем он равен единице.
28
Отсюда следует, что если АВ> О, то
zu==z'O==I,
(11 )
а если zu=l=z'O, то Zu>z'O=>zu==l, А==О;
Z'O > Z и=> Z" == 1, В == О. (12)
Так как nц, n'О есть, соrласно (7), функции 'Фх' 'Фу' Ь, r, а Ь,.
в свою очередь, есть липшицева функция 'Фх' 'Фу' r, то А,- В, Zu,'
Z'O, 8 липшицевы функции на экстремали. Следовательно, усло
вия (11), (12) выполняются на экстремали на открытых множест
вах значений t.
Найдем уравнения, описывающие движение первоrо типаr
Умножая первое уравнение (8) на nи' получим
nцnи == ЬА.
НО J n и / == 1. Следовательно, .ЬА == О. Поскольку A::j:: О, то Ъ == ()
и nu==const, n",==const. Но и==/и/n и , v==/v/n 'O , Таким образом,.
при движении первоrо типа концы отрезка движутся по прямым
линиям.
Из условия ru == rv вытекает I и I А == I v I В, откуда, УЧИ1ывая-
r и I + I v I == 1, получим
I и/ ==Bj(A + В), / v 1== Aj(A + В). (13)
Имеем 8 == const,
. B OA . OB A
А== А+В ' В== А+В . (14)
Найдем уравнения для BToporo типа движения.
Пусть Zu > Z'O, Тоrда Zu == 1, А == О (см. (12». Так как / n'О I < 1,.
то v == О. Следовательно,
и == nи'
(15}
Orрезок движется с постоянной уrловой скоростью BOKpyr непо
движноrо конца. Умножая первое уравнение (8) на r, получим
nur == ь.
Но nur == А nи; == Пии == 1. Следовательно, Ь == 1. Далее
получим ё == В,
в == 1 + 8; Zv == 2В.
Пусть Z'O > zu' Тоrда
z'O==I, В==О, и==О, v==n 'O ,
(16)
b== 1, ё==А, А == (1 +8), zи== 2A.
( 17)
Эти формулы выводятся аналоrично предыдущим.
Предложение 1. Пусть в некоторой точке t выполнены условия-
АВ==О, А+В:,=о, zu==z'O==I.
29
Тоrда точки, в которых А ==0, В> о; в ==0, А < о, являются
iочками перехода от движения BToporo типа к движению первоrо
типа. Точки, в которых А > о, в == о; А == О, В < О, являются
точками перехода от движения первоrо типа к движению BToporo
типа.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим, например, ТОЧКУ, в кото-
рой А==О, В>О, zu==zv==l. Так как miпv 2 (л)==v 2 (О)==I,
а значение минимума второй параболы меньше 1, то в окрест-
ности t справедливо равенство
I n и I == 1 .
Рассмотрим уравнение riv == 6,. Умножая ero на nv, получим
1j2iv == Ьв. Интеrрируя и учитывая, что Zv (t) == 1, получим
1j2(zv(t) 1)== (b(t) b(t*))B(t.)+o(/ t t.I), (18)
ибо В (t) непрерывная функция на экстремали.
Воспользуемся теперь уравнением nи == ь,. Умножая ero на "
получим nа' == ь. Но п и , == A ;nu == А I u 1 + nuv. Но I v I О при
t t.. Действительно, если в точке t I nv и) I == 1, то v и) ===
== А (t)j(A (t) + в (t)), а если 1 U v (t) I < 1, то I v 1== О. Но А (t) О
при t t*, ибо А (t) непрерывная на экстремали функция. Сле-
довательно, I v 1 О при t t*. Отсюда I u I 1 при t t*. Интеr-
рируя, получим
А (t) (t t.) == Ь (t) b и*) +. о (/ t t.I). (19)
Пусть t > t*. Так как Zv (t) 1, то левая часть (18) не положи-
тельна. Следовательно,
Ь (t) b и*) о (1 t t. 1).
Но тоrда из (19) вытекает
А и) t t. + о (1 t t. /).
Следовательно, при t > t* справедливо неравенство А (t) > О.
Откуда АВ > О. Таким образом, справа от [* мы имеем движение
первоrо тиПа.
Пусть t < [.. Так как на любой экстремали АВ O, то в окрест-
ности t* имеем А O. Но тоrда из (19) следует, что при t < t*
имеет место неравенство
Ь (t) b и*) I t t* I + о (1 t t* 1).
Но тоrда из (18) следует, что при t < t* Zv и) < 1. Таким обра-
зом, слева от точки t. мы имеем движение BToporo типа. Осталь-
ные варианты рассматриваются аналоrично. Предложение дока-
зано. Точки, которые рассматривались в предложении 1, назовем
переходными.
Предложение 2. Пусть на экстремали имеется хотя бы одна
переходная точка. Тоrда экстремаль определена на всей числовой
оси, функции Zu, zV' А, В, е являются периодическими функциями
30
времени. Каждая точка экстремали является либо переходной
либо АВ > (), либо Zu =1= Zv'
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть t o переходная точка. Предпол
жим для определенности, что А == О, В > О. Тоrда, соrласно
предложению 1, справа от точки t. имеет место движение первоrо
типа. Очевидно, 18 ио) 1< 1. Действительно, в противном случае
либо nu==n v , либо nu== nv. В обоих случаях IAI==IBI, что
противоречит условию. Из А == О вытекает, что nul..r. Откуда
82 (to) + В2 (to) Z (to) < 1.
Уравнения на А, В справа от точки t o имеют вид
А == (B 8A)j(A + В), в == (8B A)j(A + В), е == о.
Следовательно,
А +!з == (1 + 8) (Ai.B)j(A + В),
A B ==(1 8) (А + B)j(A+ В).
Откуда (l 8)(A + В)2+ (1 + е)(А B)2 == const. Таким образом
точка А, В движется по эллипсу, оси KOToporo совпадают с бис
сектрисами координатных yr лов в направлении от оси В и оси А
Через конечный промежуток времени движение первоrо типа
закончится в точке t 1 , в которой В (t 1 ) == О, А (t1) == В (to). Так как
на интервале (to, t 1 ) Zu == Zv == 1, то по непрерывности Zu (t1) :::::
Zv (t 1 ) == 1. Таким образом, точка t 1 является переходной
Соrласно предложению 1, справа от точки t 1 имеет место движе
ние BToporo типа. Величины zu, zv, А, В, 8 справа от точки t 1
подчиняются уравнениям
Zv == 1 , iu == 2А,
ё==А, A== 1 8, В==О.
Так как А (tl) == В (to), 8 (t 1 ) == 8 (to), то в точке t 1 справедливо
неравенство
8 2 +A2<zu. (21)
С друrой стороны, из (20) следует, что Zu (82 + А 2) == const
Следовательно, неравенство (21) справедливо, пока применимы
уравнения (20). Но они применимы тоrда и только тоrда, коrда
выполнено условие Zu < 1.
Из вида решения уравнения (20), а также из (21) вытекает, что
неравенство Zu < 1 выполняется на конечном интервале (t1, t2)
причем функция А нечетна, а функции 8 и zu четные относи
тельно ero середины. Таким образом, в точке t 2 8 то же, что
и в точках t 1 , t o , В == О, А == А (t1) == В (to), Zu (t2) == 1.
Дальнейшие рассуждения повторяют приведенные. Мы не будем
их приводить, а сразу сформулируем результат. Справа от точки t 2
движение вновь проходит по первому типу. Оно оканчивается
в переходной точке t з , в которой А == О, В == А (tz), 8 == 8 (to).
Длина отрезка и2, t з ) равна длине отрезка ио, t 1 ). Справа от
(20)
31
точки t з движение проходит по второму типу. Оно оканчивается
в переходной точке t 4 : t4 tз===t2 t1' причем А (t 4 ) ===0, B(t4) ==
== B (tз) === А (t2) == А (t 1 ) === В (to); 8 (t4) === 8 (to). Далее движение
периодически продолжается. Влево от точки t o имеет место та же
ка ртина. Это можно установить либо аналоrичными рассужде-
ниями, либо воспользоваться заменой переменных
Х 1 ==Х, У1===У' и1=== и, V1=== V, t1== t,
относительно которой система S инвариантна и которая позволит
свести рассмотрение ситуации слева от точки t o к рассмотрению
справа от t o . Предложение доказано.
Экстремали, на которых имеются переходные точки, мы назо-
вем экстремалями переменноrо типа.
Предложение 3. Пусть на экстремали имеется хотя бы одна
точка, в которой АВ> О. Тоrда величины n и , n v ' " А, В, 8 либо
постоянны на экстремали, причем 8 === 1, либо меняются.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в момент времени [. А (t.)B(f.) >
> О. Ясно, что 8 (t.) =I= 1. Ибо в противном случае nи (t.) ==
== nv (t.) и, следовательно, А (t.) === В (t.), что противоречит
условию.
Пусть 181 < 1. Тоrда, как мы знаем, движение точки А, В
справа от t o будет проходить по эллипсу С осями, совпадающими
с биссектрисами координатных уrлов, и окончится в переходной
точке. Из предложения 2 будет следовать, что в этом случае
экстремаль является экстремалью переменноrо типа. Пусть 8 === 1.
Тоrда А == В во все время движения первоrо типа. Но при дви-
жении первоrо типа
А + в == (1 +8) (A B)/(A + В)
и, следовательно, А+В==О. Отсюда А ==В ==const =1=0. Таким
образом, движение первоrо типа определено на всей числовой
прямой. Заметим, что постоянны не только nа, n v ' 8, А, В, но
и и, v, что следует из формул (13). Предложение доказано.
Исследуем экстремали , на которых есть хотя бы одна точка,
в которой Zu =1= Zv'
Предложение 4. Пусть на экстремали у в некоторой точке
выполнено неравенство Zu r::f:= Zv. Тоrда она является экстремалью
переменноrо типа.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в некоторой точке t === t* Zv (t.) ==
== 1, Zu (t.) < 1. Очевидно, что
zu(t.) 82(t.)+A2(t.). (22)
Нетрудно видеть, что экстремаль определена в окрестности точки t.,
при чем движение в этой окрестности является движением BToporo
типа.
Действительно, экстремаль может удовлетворять только урав_
нениям (20). Единственным препятствием является знак Zu (t).
32
Но из уравнений (20) следует, что
Zu (02 + А 2) == const. (23)
Из (22) вытекает, что Zu О на всем отрезке времени, на котором
решение уравнений (20) удовлетворяет неравенству 02 + А 2 < 1.
Обозначим этот отрезок через Д.
Из уравнения (20) следует также, что Zu имеет на Д единст-
венный минимум в точке, в которой А == О. Эта точка является
серединой отрезка д, и Zu является четной функцией относительно
нее на , растущей вправо и убывающей слева. На отрезке
найдутся точки, в которых Zu == 1. Действительно, если Zu == 02 + А 2
на , то эти точки совпадают с концами . Если же Zu> 02 + А2
на д, то в силу (23) эти точки будут лежать внутри Д. Нетрудно
видеть, что эти точки являются точками переходноrо типа. Так,
из условия Zu (t*) < 1 следует Zu min < 1. Следовательно, в точках,
в которых Z u == 1, выполнено неравенство А =;6 О. Мы доказали,
что на экстремали у есть точка переходноrо типа. Но тоrда по
доказанному экстремаль у является экстремалью переменноrо
типа. Предложение доказано.
Напомним, что нас все время интересуют полные экстремали,
т. е. экстремали , которые нельзя продолжить на более широкий
интервал.
Случай, коrда Zu == 1 Zv < 1 отличается от разобранноrо лишь
перестановкой в последнем индексов u и v. Мы полностью иссле-
довали экстремали, которые хотя бы в одной точке удовлетворяют
условиям: либо (А, В)=;60, либо Zu=;6Zv' Нам осталось исследо-
вать экстремали, в каждой точке удовлетворяющие условиям
Zu == Zv == 1, А == В == о.
(24)
Выполнение этих условий эквивалентно совпадению парабол. Тоrда
0== const. Действительно, nи == br, nv == br, е == ь (B A) ==0,
riu nv==2br. Умножая на r, получим (r, nu nv)==2b. Но
(r, nu nv)==(r, nu nv) (;, na nv)==A B (u v)(na nv) ==
=== (u v) (na nv) == (l u 1+ I v 1) (1 O) == (1 O). Отсюда Ь ==
=== (1 0)/2. (25)
Таким образом, Ь постоянная величина на экстремали. Имеем
далее Па + NV == О. Умножая это равенство на r, получим после
аналоrичных преобразований (;, na+nv)==(u v, na+nv)==O.
Отсюда
(1 + О) (1 u ' I v 1) ==0. (26)
Рассмотрим два случая: 0=;6 1 и 0== 1.
В первом случае I u I == I v 1== 1/2' Отсюда u + v == I u I па + I v Inv==
== 1/2 (па + nv) == const. Мы видим, что середина отрезка движется
с постоянной скоростью. Сам отрезок вращается BOKpyr своей
середины с постоянной yr ловой скоростью, равной 1.
2 Заказ N2 4479
33
Во втором случае n и == n v ' Ь == 1. Следовательно,
nu==r, r==a v==lulnu lvlnv==nll' (27)
Отрезок вращается с постоянной уrловой скоростью, равной 1.
Однако движение ero центра не определено. Имеем
и + v == I и I n и + I v Inv == (/ и I I v 1) nи. (28)
Из (27) (28) видно, что отрезок движется в плоскости. Функ
ция I и I I v I функциональный параметр экстремали. Этому
семейству экстремалей в определенных случаях соответствуют
траектории, на которых в задаче Улама достиrается минимум.
Задача У лама формализуется как задача быстродействия в системе S.
Нетрудно оценить снизу время перехода отреЗКа из одноrо положе
ния в друrое. Допустим, что ero длина равна единице. Тоrда время
оценивается снизу как время, необходимее для совмещения началь-
Horo и конечноrо положения вектора r == x у. Конец вектора r
движется по сфере со скоростью и v. Таким образом, 1; I 1.
Тоrда ясно, что время, необходимое для совмещения начальноrо
и конечноrо положения вектора " равно длине rеодезической на
сфере, соединяющей концы вектора r в начальный и конечный
моменты времени. Если за это время можно совместить отрезки,
то оно будет минимальным. Леrко видеть, что движение, при KOTO
ром конец вектора r движется по rеодезической на сфере, совпа-
дает с движением, соответствующим данному семейству экстрема-
лей. Если бы таким движением всеrда можно было совместить
отрезки, то задача У лама была бы тривиальной.
Однако это не так. Во первых, движение, соответствующее
данным экстремалям, плоское. Во-вторых, даже и в плоском случае
множество центров отрезка, которое можно достиrнуть за данное
время, не совпадает со всей плоскостью. Поэтому данноrо семейства
экстремалей недостаточно, и задача У лама решается уже с помощью
экстремалей переменноrо типа.
Мы рассмотрели экстремали, у которых 'Фt == 1. Проанализи
руем нетривиальные экстремали, у которых 'Фt == О.
в этом случае из принципа максимума следует, что 'Фхи+'ФуV==О.
Локальный принцип максимума запишется так:
'Фхи + 'ФуV + Ь. (x у) (и v) == а (Пии + nvv).
Следовательно, а (Пии + nvv) == о. Но Пии == I и 1, nvv == I v 1. Поэтому
в силу условия дополняющей нежесткости
а (1 и I + I v 1) == а(l и I + I v I 1) + а == а.
Таким образом, а == О. Отсюда следует, в частности, что экстремаль
является также экстремалью системы 8' (в отличие от 8 в 8'
опущено локальное оrраничение неравенства I и 1+ I v I 1). Ло-
кальный принцип максимума принимает вид
'Фх + ь (x y) == О,
'Фу Ь (x y) == О.
34
Из сопряженных уравнений следует, что ь==о. Следовательно,
Ь == const. Нетрудно видеть, что любая допустимая траектория
системы 5 является траекторной компонентой экстремали paCCMaT
риваемоrо типа. Достаточно положить 'Фх == " 'Фу == '. Наличие
этоrо семейства экстремалей связано с тем обстоятельством, что
функция ' ' достиrает абсолютноrо минимума, ибо на каждой
допустимой траектории равна нулю.
Это семейство связано именно с данной формализацией задачи
У лама. При друrой формализации, при которой неизменность
длины r будет заранее учтена и не будет, как в системе 5, обес-
печиваться смешанным локальным оrраничением, подобноrо се-
мейства не будет.
Мы полностью исследовали экстремали системы 5.
Нам осталось осветить два вопроса. Как уже отмечал ось выше,
задача Улама есть частный случай задачи о rеодезических на
поверхности g (х) == I x y I == 1, причем ер (а, v) == I u I + I v<l.
Поскольку функции g и ер сублинейны, то естественно поставить
вопрос о справедливости утверждения теоремы (1.4.1) в случае
задачи Улама. Функции g и ер1 (n а , nv) == шах I nи 1, I nv I не удов-
летворяют условиям теоремы 1 (разд. 1.4). Однако мы уже rOBO-
рили о том, что эти условия нельзя считать окончательными.
Поэтому проверка утверждения теоремы 1 (разд. 1.4) представляет
интерес.
Исследуем поведение nи, nv на экстремали. Из уравнений
nи == br, nv == Ь, следует, что
nи + nv ==0 nи + nv ==с о , (29)
rде Со постоянный вектор. Поскольку шах I nи 1, I nv 1== 1, то
I со I < 2. Если СО < 2, то nи' nv однозначно определены и равны
С о /2. Пусть экстремали системы У лама обладают тем свойством,
что тройка " nи, nv всеrда принадлежит некоторому трехмерному
пространству, не зависящему от времени. Поэтому с caMoro начала
можно считать, что задача поставлена в трехмерном пространстве.
Рассмотрим в R3 поверхность:
=={уlшах(lуl, ICo yl)==I}.
Очевидно, является rраницей пересечения двух шаров единич
Horo радиуса с центрами в нуле и в со и состоит из двух сфери-
ческих областей, 1 и 2' rде
l=={yllyl==l, 'Co yl <g},
2 == {у" у I < 1, I Co y 1== 1}.
Склеим их по окружности I у 1== I Co y 1== 1. Если СО =F О, то ра-
диус ее меньше 1. В случае Со == О является сферой радиуса 1
с центром в нуле. Из принципа максимума и (29) следует, что на
экстремали
nи (t) Е Vt.
2*
35
Теорема 1. Пусть 1'==n у и), nv(t), x(t), y(t), u(t), v(t)
экстремаль системы У лама. Тоrда nи (t) движется по rеодезической
поверхности .
Доказательство. Рассмотрим сначала случай со==о.
В этом случае сфера радиуса 1 с центром в нуле. Тоrда
в каждой точке экстремали А == В :=:.0, e== 1, откуда, соrласно (25),
следует, что 6== 1. Уравнения экстремали в этом случае имеют вид
nu== r, ;==u v, rде u==luln u , v==[v/nll.
Учитывая, что nv== na и lul+lvl==l, получим ;==nа' Эти
уравнения являются уравнениями большоrо Kpyra на . Таким
образом, па (t) в случае СО == О движется по rеодезической на .
Пусть теперь О < I со I < 2. В этом случае на экстремали
всеrда выполнены неравенства
1<e<l.
(30)
Экстремаль либо является экстремалью переменноrо типа, либо
на экстремали
А == В == о, е == const,
b== (I e)/2 < о.
(31 )
Рассмотрим сначала экстремаль переменноrо типа. В этом слу
чае па (t) попеременно принадлежит 1 и 2' а при переходе через
окружность I у I == I Co y 1== 1 задерживается на некоторое время
в точке перехода. В это время на экстремали осуществляется
движение первоrо типа. Во время этоrо движения, как мы знаем,
nи == const, n ll == const, е == const.
Покажем, что nи (t) на l и на 2 движется по большим KpyraM.
Пусть для определенности nи (t) Е 1' Следовательно, I nи (t) 1==1,
I nv (t) I < 1. Имеет место движение BToporo типа. Но тоrда u == nи,
v == о, 6 == 1. Уравнения экстремали примут вид nи == " ; == nи,
причем nи является радиусом сферы с центром в нуле. Отсюда
следует, что nи (t) движется по большому Kpyry на 1' К анало
rичному выводу мы придем, рассматривая движение по 2' Итак,
мы доказали, что движение по 1 и 2 проходит по rеодезической.
Исследуем переход nи (t) через ребро поверхности . Выше мы
отметили, что радиус окружности склейки меньше 1. Поэтому
кривая nи и) выходит на нее и уходит с нее под yr лом, отличным
от нуля.
Мы покажем, что при переходе через окружность склейки
уrол между кривой nи (t) и окружностью не меняется. Отсюда
будет, очевидно, следовать утверждение теоремы для экстремали
переменноrо типа. Рассмотрим для определенности переход экстре
мали с 1 на 2.
Переход осуществляется за время движения экстремали по
первому типу. При этом начальное положение r равно r лев
36
левому значению r в точке перехода, а конечное значение r
равно rпр правому значению r в точке перехода. Поло'>Ким у
единичный касательный вектор к окружности: I у I == (Co Y) == 1
в точке перехода. Очевидно,
у Па === У NV == о.
Во время движения первоrо типа выражение А 2 + В2 + 28АВ
остается ПОС10ЯННЫМ (см. 14)).
Следовательно, длина проекции r и) на плоскость Па, NV за
время движения первоrо типа не меняется. Но тоrда и проекция r
на ii не меняется во время движения первоrо типа. Следовательно,
r лев У == r пр у.
(32)
Что и требовалось доказать.
Тем самым мы установили, что для экстремали переменноrо
типа Па движется по rеодезической поверхности в случае, коrда
О < I со I < 2.
Если спроецировать 2 на 1 вдоль оси, на которой располо
жен вектор СО, то движение Па (t) можно представить как TpaeK
торию на сферическом бильярде.
Рассмотрим теперь экстремаль, на которой А == В == о. Соrласно,
(24), (25), уравнение экстремали имеет вид
Па == br, ь == cons t == (l 8)/2, I Па I == I NV I == 1 .
Отсюда следует, что Па (t) с постоянной скоростью движется по
ребру поверхности , хотя ни на каком своем участке оно не
является линией кратчайшеrо расстояния.
Однако оно предельно для rеодезических, соответствующих
экстремалям переменноrо типа.
Итак, теорема 1 полностью доказана.
Нетрудно видеть, что каждой rеодезической на соответствует
экстремаль системы Улама. Этот принцип справедлив не только
для разобранноrо варианта задачи У лама. Можно рассмотреть,
например, задачу Улама для ер == шах I и 1, I v 1, т. е. задачу о COBMe
щении отрезков, при котором минимизируется шах (1 dx 1, I dy 1).
Эта задача тесно связана с rеодезическими на эллипсоиде Bpa
щения:
I у I + I Co Y 1== 1.
Мы предоставляем читателю провести ее подробный анализ,
используя это обстоятельство.
Второе замечание состоит в следующем. Заметим, что на всех
экстремалях задачи Улама Ь о. Отсюда следует, что экстремали
системы У лама совпадают с экстремалями системы
х==и, y==v, Ix yl l, lul+lvl 1
в той их части, которая принадлежит фазовой rранице.
37
Разбор этой системы мы также предоставляем читателю.
Заметим, что всюду исследовались экстремали систем. Мы HaMe
ренно исследовали системы, а не задачи оптимальноrо управле
ния, которых для данной системы может быть бес онечно MHoro.
Конечно, конкретные особенности экстремали определяются зада
чей. Однако более общие особенности структуры экстремалей
определяются системой.
Рассмотренные примеры почти все не носили иллюстративноrо
характера. Это системы, которые имеют прикладной интерес и
к тому же далеко не просто устроенные. Их полное исследование
является полноценной математической работой, rде наряду с Tex
никой нужна еще и удача. Основным инструментом исследования
был принцип максимума.
1.6. Условия экстремума BToporo порядка в задаче
линейноrо быстродействия
Несмотря на то что эта задача является одной из самых старых
задач оптимальноrо управления, для нее до сих пор не было
известно никаких условиЙ экстремума, кроме принципа максимума.
Рассматривается следующая задача:
J == Т min; х === Ах + и,
х(О)===а, х(Т)===Ь, иЕи.
Здесь хЕ Rn, А постоянная матрица, v выпклыый компакт
в Rn. у этой задачи MHoro общеrо с линейной. Общность про
является в том, что слабый минимум здесь, как правило, и силь
ный. Во всяком случае, как мы увидим, типичным локальным
(т. е. не rлобальным) минимумом является минимум, весьма
близкий к r лобальному. Мы назовем ero почти r лобальным.
Оп р ед е л е н и е. Пусть J множество значений функцио
нала J на множестве допустимых траекторий. Мы скажем, что
на допустимой траектории х (t), u (t), [О, Т] реализуется почти
rлобальный минимум, если точка J (х (.), u ( .» является изоли
ров анной слева точкой множества J.
Мы получим как необходимые, так и достаточные условия
почти rлобальноrо минимума первоrо и BToporo порядка.
Условия первоrо порядка. Из доказательства принципа MaK
симума видно, что он является необходимым условием почти rло
бальноrо минимума. Таким образом, необходимым условием пер
Boro порядка является принцип максимума.
Для данной задачи он выrлядит следующим образом.
Положим H==='/J(Ax+U)+'/Jt. Пусть y==x(t), u(t), [О, T]
допустимая траектория. Она удовлетворяет принципу максимума,
если существует функция '/J (t) Ф О такая, что
== н х' '/Jt === const == а о ,
Н ('/J и), х (t), u (t» == О,
'/J (t) u (t) == тах '/J (t) и.
uеи
(1)
(2)
(3)
а о О,
38
Обратим внимание на то, что сопряженное уравнение (1) не
зависит от рассматриваемой траектории. Именно это обстоятельство
роднит задачу быстродействия с линейной задачей. Из условий
(1 ) (3) видно, что все компоненты принципа максимума OДHO
значно определяются через 'Ф (t), а в конечном счете через 'Ф (О).
Множество всех 'Ф (t) в (1 ) (3), I 'Ф (О) I === 1 обозначим через Ао.
Множество всех 'Ф (t), удовлетворяющих условиям (1), (2) и
нормированных так же, обозначим через .л о . Для данной допусти
мой траектории множества Ао и Л о MorYT состоять и более чем из
одноrо элемента. Естественно, что Ао с .л о .
Необходимое условие первоrо порядка можно сформулировать
теперь следующим образом: для Toro чтобы на данной допустимой
траектории реализовался почти r лобальный минимум, необходимо.
чтобы Ао =1= е5 .
Сформулируем и докажем достаточное условие.
Теорема 1. Для Toro чтобы на данной допустимой траектории
реализовался почти rлобальный минимум, достаточно, чтобы
тах сх. о > О.
Ао
Доказательство. Положим y==XO(t), UO(t); [О, TO] дo
пустимая траектория, 'Ф (t) Е Ао и сх. о > О.
Предположим, ЧТ/J теорема неверна. Тоrда существует после-
довательность Уn == х n (t), а n (t); [О, Т n] допустимых траекторий
такая, что Т n < ТО И Т n ТО. На отрезке [О, Т n] разность дn===
==xO(t) xn(t) удовлетворяет уравнению dДn/dt===АДn+uо
а n дn (О) == О. Имеем
Тn
'ФДn (Т n) == ('Ф (t), aO an) dt.
о
Из условия (2) принципа максимума следует
'Ф (Т n) дn (Т n) О.
Но 'Ф (Т n) дn (Т n) =='Ф (Т n) (х О (Т n) b) ==='Ф (Т n) (х о (Т n) xo (ТО» ==
ТО ТО ТО
== 'Ф(Тn) xO(t)dt== ('Ф(Тn) 'Ф(t»хОdt 'Ф(t)хОdt.
Тn Т п Тn
Первое слаrаемое при Т n ТО есть о (TO Т n)' Второе, со-
rласно условию (2) принципа максимума, равно cx.o (TO T n)'
Отсюда следует, что при Т n' достаточно близких к ТО,
'Ф (Т n) дn (Т n) < о.
Мы пришли к противоречию. Тем самым теорема доказана. Из опре
деления почти rлобальноrо минимума следует, что если допусти-
мая траектория x(t), u (t), [о; Т] является точкой почти rло
бальноrо минимума, то и любая друrая допустимая траектория,
определенная на том же отрезке времени, является точкой почти
r лобальноrо минимума.
39
Таким образом, наличие почти r лобальноrо минимума есть
свойство уровня функционала J.
Мы покажем сейчас в дополнение к сказанному, что Ао и Ао
также являются характеристиками уровня, а не отдельной TpaeK
тории.
Теорема 2. Пусть '\'1===X 1 (t), и 1 и), [О, Т] и '\'2===X 2 (t), u 2 (t), [О, T]
две допустимые траектории.
Т or да
а) А О ('\'1)==А О ('\'2),
б) Ао ('\'1) == Ао ('\'2).
Доказательство. Пусть 'Ф(t)ЕА о (l'l). Мы покажем, что
Ф Е Ао ('\'2). Тем самым первое утверждение теоремы будет доказано.
Итак, пусть 'Ф (t) Е Ао ('\'1). Полаrая д === Х 1 X2' получим, что
A===AД+и1и) и2и), д(о)==о, Д(Т)===О.
Из принципа максимума следует, что
'Ф (t) (и 1 (t) и2 (t» dt == о.
Но, соrласно тому же принципу максимума,
'Ф (t) (и 1 (t) U2 (t» о.
Следовательно, 'Ф и) и 1 (t) === 'Ф (t) и 2 (t) почти всюду на [О, Т].
Но 'Ф (t) и 1 (t) === тах 'Ф (t) и, следовательно, и 'Ф(t) и 2 (t) == шах 'Ф(t) u.
uеи uеи
Отсюда, соrласно известному свойству принципа максимума, сле
дует, что 'Ф (t) (АХ 2 (t) + и 2 (t» === cons t. Но так как по крайней
мере в двух точках (t === о и t == Т) Х 1 (t) === Х 2 (t), то const === (х о .
Следовательно, 'Ф (t) Е Ао (1'2). Первое утверждение теоремы ДOKa
зано.
Второе доказательство совершенно аналоrично.
Итак, мы видим, что введенные характеристики тип минимума
и Ао являются характеристиками уровня. Это обстоятельство
общее для рассматриваемой задачи и линейной задачи. Перейдем
к условиям BToporo порядка. Они потребуют предварительных
исследований и некоторых предположений.
Предположение 1. Положим U('Ф)==аrgтах'ФU. Мы пред
uеи
положим, что для любоrо 'Ф (t) =т!= О === 'ФА множество U ('Ф (t»
состоит из одной точки для почти всех t на прямой. В дальнейшем
мы будем считать, что предположение выполнено, не оrоваривая
этоrо особо.
Пусть u* любая внутренняя точка и в ero носителе.
Определим функцию ер (Т, , 11) (Т Е R, Е R, 11 Е Rn""- О) сле
дующим образом:
ср(Т, , ll)==x(T),
(4)
40
rде х (t), 'Ф (t) удовлетворяют уравнениям
dxjdt == Ах + I1U ('Ф (t)) + (1 11) и*, == 'ФА
и начальным условиям х (О) == а, 'Ф (О) == f).
Рассмотрим конечномерную задачу на минимум:
Т -----+ min; О 11 1, <р (Т, 11, 11) == ь.
Имеет место следующая теорема, характеризующая связь между
задачей быстродействия и конечномерной задачей. Положим
Мо == {f) I 1') == 'Ф (О), 'Ф (t) Е Ао},
М о =={1')I1')=='Ф(О), 'Ф(t)ЕА о }.
Теорема 3. Пусть 1'0 ==х О (t), и О (t), [О, ТО] допустимая TpaeK
тория. Для Toro чтобы она была точкой почти rлобальноrо мини
мума, необходимо и достаточно, чтобы каждая точка вида ТО, 1, f),
(1') Е Мо (1'0)) была бы точкой локальноrо минимума конечномерной
задачи.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что существует
f)0 Е Мо (1'0) такое, что ТО, 1, 1')0 не является точкой локальноrо
минимума конечномерной задачи.
Тоrда существует последовательность {Т n' J.tn, f)n} такая, что
Т n -----+ ТО, Т n < ТО; J.tn -----+ 1, "n 1
1')n -----+ 1')0, <р (Т n' J.tn, f)n) == ь.
Определим 'Фn (t) из уравнения n =='Фn А и начальных условий
'Фn (О) == 1')n. Положим и n (t) == I1n U ('Фn (t) + (1 J.tn) и.. Наконец,
определим х n (t) из условий
х n == Ах n + и n (t); х N (О) == а.
Очевидно, и n (t) Е и, а в силу определения функции <р (и), х N (Т n)==
=- <р (Т n' J.tn, 1')n) == Ь. Таким образом, для любоrо n траектория
Уn == х n (t), и n (t), [О, Т n] является допустимой. Но тоrда из усло
вий Т n -----+ ТО Т n < ТО следует, что траектория 1'0 не является точкой
почти rлобальноrо минимума. Мы предположили, что Мо (1'0)=;6 е5-
Но если МО (1'0) == е5, то траектория 1'0 не удовлетворяет принципу
максимума, и поэтому, как отмечалось выше, не является точкой
почти r лобальноrо минимума.
Итак, мы доказали, что если траектория 1'0 является точкой
почти rлобальноrо минимума, то Мо (YO):f= е5 и каждая точка
Мо (1'0) является точкой локальноrо минимума конечномерной
задачи. Необходимость доказана.
Достаточность устанавливается сложнее. Пусть .Ао (1'0) ::f= fO и
каждая точка вида ТО, 1, 1') (f) Е.Ао (1'0)) является точкой локаль
Horo минимума конечномерной задачи. Пусть 1'== х (t), u (t),
41
[О, ТО] допустимая траектория, и 'Ф(t) ЕЛо(УО). Тоrда из теоремы 2
следует, что
'" (t) и О (t) == 'Ф (t) u (t) Vt Е [О, ТО].
Отсюда следует, что пара ( == 1, 1'0) является решением следую-
щей задачи.
задача:
-----+ min; О,
х==Ах+ и+ (l ) и*, х(О) ==а, х(ТО) ==ь, u Е и.
Мы будем рассматривать ее не только на отрезке [О, то], но
и на отрезках [О, Т], rде Т достаточно близко к ТО. Близость
определяется следующим соображением. Поскольку пара ( == 1, 1'0)
есть решение вспомоrательной задачи на [О, то], то решение
уравнения i == Ах + и*, х (О) == а в точке ТО не равно Ь. Но тоrда
оно не равно Ь и в достаточно близких к ТО точках.
Итак, мы будем рассматривать задачу на отрезках (О, Т]
таких, что решение уравнения х == Ах + и*, х (О) == а не равно Ь
в точке Т. Тем самым мы исключаем == О как возможное значение
минимума задачи.
Принцип максимума для задачи имеет вид: существуют
const О и функции 'ФJ.t, 'Ф, 'Ф =1= О такие, что
=='ФА, J.t=='Ф(U U*),
'ФJ.t (О) == О, 'ФJ.t (Т) == ,
'" (t) u (t) == шах 'Ф (t) и.
uеU
(5)
(6)
Из предположения 1 следует, что
т
== 'Ф (и и*) dt > о.
о
Нетрудно видеть, что если допустимая траектория 1'==11, х (t),
u (t), [О, Т], 11 > О удовлетворяет принципу максимума для l1-за
дачи, то она является ее решением, т. е. точкой r лобальноrо
минимума задачи на отрезке [О, TJ. Действительно, предполо
жим противное. Тоrда существует допустимая траектория задачи
1'1 == 111, Х 1 (t), и 1 (t), [О, Т] такая, что 1 < . Имеем
d (x x1)/dt == А (x xl) + (и (t) U*) l (и 1 (t) u*).
Отсюда следует, что
('Ф (и (t) U*) 111'" (и 1 (п и*» dt == о.
Соrласно принципу максимума для почти всех t Е [О, Т], спра-
ведливо неравенство
'" (и (t) и*) '" (и 1 (t) и*) > о.
42
Но тоrда левая часть последнеrо неравенства положительна. Мы
пришли к противоречию. Тем самым утверждение доказано.
Отметим также, что если задача имеет хотя бы одну допусти
мую траекторию, то она имеет решение. Это утверждение основано
на том факте, что множество функций со значениями в выпуклом
компакте слабо * компактно.
Теперь мы можем доказать достаточность утверждения теоремы.
Предположим, что траектория ,\,0 не является точкой почти r ло
бальноrо минимума. В таком случае существует последователь
ность допустимых траекторий '\'n == х n (t), а n (t), [О, Тn] такая, что
Тn < ТО, Тn -------+ ТО. Положим Yn== n' xn(t), иnи), [О, Тn] после
довательность решениЙ задачи на отрезках [О, Т "]' Так как '\'"
является допустимой траекторией задачи при == 1, то 1 п> О_
Далее, так как Уn удовлетворяет принципу максимума задачи,
то и n и) == u ('Фn (t», rде 'Фn (t) соответствующая компонента прин
ципа максимума задачи. Нормируем 'Фn условием I 'Фn (О) I == 1_
Соrласно определению задачи и ее принципу максимума, х N YДOB
летворяет на [О, Т "] уравнению
dXn/dt == Ахn+ n (а ('Фп) U*) +и*,
и, следовательно, Х" (Т n) == ер (Т т n' 'Yln), rде 'Yln == 'Фn (О). По усло
вию, х" (т) == Ь, и, следовательно Т n' n' 'Yln образуют последова
тельность, на которой
Т n -----+ ТО, Т n < ТО, !Ln < 1 ,
ер (Т n' n' 'Yln) == Ь.
Так как последовательность 'Yln компактна, то без оrраничения
общности можно считать, что она сходится к некоторой 'Yl 0 . Поло
жим, что '1'0 (t) решение уравнения =='ФА с начальными
условиями '1'0 (О) == 'Yl 0 . Очевидно, U ('Фn) -------+ U ('1'0) для почти всех
значений t Е [О, ТО]. Так как последовательность 'itn оrраничена,
то без оrраничения общности можно также предположить, что она
сходится к некоторому O. НО тоrда х п (t) равномерно сходится
к х О (t), удовлетворяющему уравнению
dxOjdt == Ахо + O (и ('ФО) u*) + и*
и rраничным условиям
х О (О) == а, х О (ТО) == Ь.
Отсюда следует, что
уО == х О и), O (и ('1'0) a*) + и*; [О, ТО] допустимая для задачи
быстродействия траектория.
По условию теоремы 1\.0 (,\,0) '* S?J, следовательно, по теореме 2 и
1\0 (уО) '* SZJ .
43
В таком случае уО является решением f-t-задачи на [О, ТО] и
f-t == 1. Следовательно, f-t0 == 1. Таким образом, f-tn ------+ 1, f-tn 1,
и функция x удовлетворяет уравнению
ixO/dt == Ах О + u ('1'0).
Следовательно, '1'0 Е АО (Уо) == АО (1'0). Но тоrда 'У]0 Е МО (1'0).
Итак, мы получили, что точка Т, 1, 'У]0 не является точкой
локальноrо минимума конечномерной задачи. Тем самым ДOCTa
точность, а вместе с ней и теорема полностью доказаны.
В теореме 3 особый интерес представляет случай, коrда Л О co
стоит из одноrо элемента. В этом случае вопрос о наличии почти
rлобальноrо минимума сводится к исследованию наличия локаль-
Horo минимума конечномерной задачи в изолированной точке.
Если функция ер дважды r ладкая в окрестности исследуемой
точки, то к исследованию можно привлекать условия BToporo
порядка, полученные для задач с оrраничениями в [4, 5].
Введем следующие предположения. Пусть у == i, и, [О, Т]
допустимая траектория и Ао (у)::;6 е5.
Пред п о л о ж е н и е 2. и мноrоrранник и Ао (у) состоит из
одноrо элемента. Пусть ,р (t) Е Ао (у).
Предположение 3. u( (t» состоит из одноrо элемента
для всех точек отрезка [О, ....Т], кроме конечноrо числа точек пере
ключения, расположенных внутри отрезка [О, Т]. Пусть (1 <...<
точки переключения, занумерованные в порядке возрастания. Так
как и мноrоrранник, то на каждом интервале (tj, [i+1) i=== 1, . -.
. . ., N 1 и полуинтервалах [О, 11), (tN' Т] u ( (t» == const. Поло
жим и о == u ( (t» t Е [О, 71],
Ui==U( (t»t E( , /i+1), i==l, ..., N I,
uN==u( (t»tE(l.v, TJ.
Пред п о л о ж е н и е 4. Мы будем предполаrать, что
u ( ( » == [Ui l' Ui]' i == 1, ..., N;
( ) [U]; > О,
rде [u1==ui ui 1, i==l,..., N;
Заметим, что в силу принципа максимума
( ) [и]; О,
i==l, ..., N.
....
В настоящем разделе мы исследуем траекторию l' в предпо
ложениях 2, 3, 4.
Положим 'P(t, 'У])=='Ри), rде 'P(t) удовлетворяет сопряженному
уравнению == 'РА и начальному условию '1' (О) == 'У]. Определим
в окрестности точки 11 == (О) функции t i ('У]), i == 1 ... N при по
44
мощи следующих условий:
ti( )==ti; 'P(ti('I1), '11) [U]i ==О,
t i ('11) -----+ при '11 -----+ , i == 1 ... N. (7)
Так как 'P(t, ) == (t), дф/дt(t, )== (t), то из предположения 4
следует, что
'l't (t i , ) [U]i > о, i == 1 ... N.
Из теоремы о неявной функции вытекает в таком случае, что
функция t i ('11) определена условиями (7) однозначно внекоторой
окрестности точки -.1. Так как функция '1' (t, '11) бесконечно диф
ференцируема по своим aprYMeHTaM, то функции t i ('11), i == 1 ... N
также бесконечно дифференцируемы по '11 в окрестности -r).
Предложение 1. Для всех '11, достаточно близких к , функция
u ('1' (t, '11)) устроена следующим образом:
u ('1' (t, '11)) == и о , t Е [О, t 1 ('11)),
u('P(t, 'I1))==Ui, tE(ti('I1), t i + 1 ('I1)), i==l,... N l,
u('P(t, 'I1))==UN' tE(tN('I1)), Т],
u ('1' (t i ('11), '11)) == [Ui 1' Ui].
Доказательство. Так как U мноrоrранник, а функция
u ('1') полунепрерывна сверху, то Ув > О 3б > о: I 'I1 1 < б:::;>
:::;> u ('1' (t, '11)) == u (,р (t)), min I t t I в, u ('1' (t, '11)) с [и 1' иа,
i
t t I < в.
Выберем в так, чтобы при малых '11 неравенству I t '1 < 2в
удовлетворил лишь один корень уравнения '1' (ti' '11) [U]i == О,
а именно
t i ('11), i == 1 ... N.
Такой выбор возможен по теореме о неявной функции. Поэтому
существует такая окрестность V точки и такое в > О, что '11 Е V:::;>
==> u ('1' (t, '11)) == u ( (t)) вне в окрестности точек переключения
. . . i == 1 ... N. В 2в окрестности точки t i t == t i ('11) является един
ственным корнем уравнения '1' (t, '11) [и1 ==0. Тем самым утвержде
ние предложения выполнено для '11 Е v. Предложение доказано.
Предложение 2. Ао (у) == Ао <у).
Доказательство. Допустим, что утвержденце неверно.
Тоrда существует '1'1 (t) Е 1\0 (у), причем '1'1 (t) ::j::,p (t). Вместе с тем
u ('1'1 (t)) == U ( (t)). Следовательно, '1'1 (t) * (t).
Положим '111 == '1'1 (О). Так как 1'111/ == I I == 1, ТО '111 . Рас-
смотрим '1' (t, + 't'l11) == (t) + '{''Р1 (t). Соrласно (2), '1' (ti' +'t'l11) Х
Х [U]i==O, i== 1 ... N. Следовательно, при малых 't ti( +'t'l11)==ti'
45
i === 1 ... N. Но тоrда, соrласно предположению 3, u ('Ф (t, ri'+'иъ»==
== u ( (t» для любых малых '{.
Выбирая 't соответствующеrо знака, всеrда можно добиться,
чтобы 'Ф (t 1 rl + '{111) удовлетворяло принципу максимума для траек-
тории у. Но + '{111:1= О. Следовательно, 'Ф ( t; +.t"r)l ) Е Ао (у).
I Ч+'t'Т)ll
С друrой стороны, из iJ-.111 следует, что
+'t'Ч1 :I= ,
Iч+'t'Чll
откуда
'Ф ( t, +'t'Ч1 ) =1= (t).
I Т)+ТТ)11
Однако это противоречит предположению 2. Тем самым предло-
жение доказано.
Из теоремы 3 следует, что в:шрос о реализации почти rлобаль-
Horo минимума на траектории у сводится к исследованию вопроса
о существовании локальноrо минимума конечномерной задачи
в точке (т, 1, ). Покажем, что в окрестности этой точки функ-
ция бесконечно дифференцируема.
В пространстве наборов Т, , t 1 , t 2 . . . t N рассмотрим множе-
ство Q: О < t 1 <. . . < t N < Т. Очевидно, Q OТKpbIToe множество.
Определим на Q функцию f (Т, , t 1 . . . t N ) следующим образом:
f(T, , t 1 , ..., tN)===x(T, , t 1 ... t N ),
rде x(t, , t 1 ..0 t N ) удовлетворяет уравнению
х == Ах+ (и (t 1 , . . ., t N , t) u*) + и*
и начальному условию
х (О) === а.
Функция u (t 1 , . . ., t N ; t) определена условиями
u(t 1 , .. о t N , t)===;;'o, t < t 1 ,
иин ... t N , t)===Ui' tE(t i , t i +1)' i===l ... N l,
u(t 1 , ... t N , t)===UN' t> tТ'V.
Эти условия, cTporo rOBOp я, не определяют функцию u (t 1 . . . t N' t)
однозначно как функцию t при фиксированных t 1 . .. t N . и именно
она остается неопределенной в точках t 1 . .. t N . Но это обстоятель-
ство никак не сказывается на решении уравнения. Совершенно
ясно, что f бесконечно дифференцируемая функция на Q. НО точ-
ка (т, 1, [1' "., ) Е Q, а из предложения 1 следует, что в окрест-
ности точки (Т, 1, ч) справедливо равенство
(Т, , 11) === f (Т, , t 1 (11), ..., tN (11».
46
Но функции t i ('11), i == 1 ... N, как уже упоминалось, беско
нечно дифференцируемы в окрестности . Следовательно, функ-
ция ер бесконечно дифференцируема в окрестности точки ('Т, 1, ).
Нам понадобятся формулы первых производных функции f
в точке (Т, 1, t 1 , ..., t n ) и функций t i ('11) в точке , а также
формулы вторых производных функции f по Т, t, . . ., t N В точке
(Т, 1, [1' ..., ). Поскольку вычисления проводятся элементарно,
мы приведем лишь результаты вычислений, оrраничиваясь, если
это необходимо, краткими пояснениями.
..... д
{т(Т, 1, t 1 ... t N ) ==д'tx(t, 1, t 1 ... tN)lt=T"
Но, соrласно определению, U (t; 4, ... lzv) == U ( (t» == u (t). Следо-
вательно, x(t, 1,71 ... i'.v)==x(t). Откуда
{т(Т, 1,11'''' tN)==x(T),
f 11 == ; (Т),
(8)
(9)
rде ; находится из уравнения ==A;+и и* и начальноrо условия
;(0)==0,
fti == (Т),
(10)
rде находится из уравнения
== A т; [U]i б (t t )
и начальноrо условия (О) == о.
Найдем форму ti'l'] ( ) . Имеем, по определению,
д'Ф.......... , д'Ф.....
дТ (t i , '11) [U]i ti'l'] ('11) '11 + а;ч(ti' '11) '11 [U]i ==0.
Но 'Ф (t, ) == -ф (t), следовательно, первое слаrаемое можно за-
писать в виде
'" (ti) [uJi' ti'l'] ( ) r].
Второе слаrаемое, пользуясь тем, что 'Ф (t, '11) зависит от '11
линейно, можно записать в виде 'Ф (7 i , 11) [и1. Отсюда леrко по-
лучим
t . ( ;; ) -;:; == 'Ф ( . ti' f}) [U]i . 1 N
1'1 '1 '1 , t == ... .
'Ф (t l ) [U]i
Таковы необходимые нам первые производные.
Выпишем вторые производные f по Т, t 1 . . . t N' Производные
с участием I-L нам не понадобятся.
(11)
f T == х (1'),
п. t. == i (Т),
1, 1
(12)
(13)
47
rде i == A i [U]i 6 (t ), i (О) == О,
ftitk==O, i=l=-k, (14)
ftiT == i ('Т). (15)
Теперь мы можем заняться конечномерной задачей. Мы пока
жем прежде Bcero, что множество множителей Лаrранжа конечно
мерной задачи не пусто и опишем ero. Оно состоит с точностью
ДО нормировки из одноrо элемент , который тесно связан с эле
ментом Ао (I'). Положим а о == и) х (t) (напомним, что в силу прин
ципа максимума правая часть не зависит от t и не отрицательна).
Множители Лаrранжа конечномерной задачи будем обозначать
а т , a/.l., С (С Е Rn).
Функция Лаrранжа конечномерной задачи имеет вид
L == атТ + a/.l. (f.t 1) + С (fP b). (16)
т
Теорема 4. Положим, а т == &0' a/.l. == (t) (и (t) u*) dt,
о
== (Т). Тоrда а т , a/.l.' t являются множителями Лаrранжа
конечномерной задачи в точке (Т, 1, ). Любой друrой набор MHO
жителей Лаrранжа отличается от данноrо лишь положительным
множителем.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Множители Лаrранжа конечномерной
задачи удовлетворяют следующим условиям:
CfP == О, Cf../.I. + C<p == О, а т + CfP == О,
а т , Cf..f..t 0, С::;60.
с==
(17)
Мы покажем, что сХт, cX/.I., С этим условиям удовлетворяют.
Действительно, в силу принципа максимума
т
а т == а о о, af..t == (t) (и (t) u*) dt > О,
о
С ==...... СТ) =1=- О.
Итак, условия типа неравенства выполнены.
Проверим условия 'типа равенства. Из формул (10), (12) сле-
дует, что <p (Т, 1, ) 11 == (Т), rде удовлетворяет уравнению
== A + (ti, ll)[U]i [ и ] . 6 ( t [. ) (18)
dt '=' ............. t t
'Ф (ti) [U]i
И начальному условию (О) == о.
Отсюда
(T)fP ('r, 1, ) == 'Ф 1i; fl)....[U]i (ti)[u1.
'Ф (ti) [U]i
(19)
48
Но в силу принципа максимума
( ) [и], == О, i == 1 ... N.
Следовательно, (T)cp [T, 1, ]==O. Откуда Ccp (T, 1, )==o.
Из формулы (8) следует, что
(Т) cp (т, 1, ) == (Т) х (Т) == а о == ат.
Отсюда а т + C(P (Т, 1, fl) == о. Наконец, из (9) следует, что
то
(Т) cp (Т, 1, ) == (t) (и (t) и*) dt == aJt.
о
Откуда aJt+Ccp (1', 1, )==o. Итак, все условия (17) выполнены
для а т , a Jt , С. Первое утверждение теоремы доказано.
Пусть а т , a Jt , С какой либо набор множителей Лarранжа
конечномерной задачи в точке Т, 1, . Определим 'Ф и) из сопря-
женноrо уравнения ф == 'ФА и концевоrо условия 'Ф (Т) == С.
Аналоrично (19) получим
N
'Ф(t)ср сr, 1, ) ==L '!'(ti, ) U]i (ti)[U]i ==0. (20)
1 'Ф (ti) [U]i
Положим fl=='Ф(О). Тоrда из (20) следует, что
'Ф ( ) [и] i == О, i == 1 ... N.
Рассуждая так же, как при доказательстве предложения 2,
получим 'Ф(t)==р,р(t), причем так как C=i=O, то p=i=O. Таким
образом, С==рС, p=i=O. Заметим попутно, что отсюда следует, что
образ Cp ll имеет размерность n 1.
Очевидно, а т == рат aJ.t === pa Jt , но aJt О, cXJ.t > О, следователь-
но, р > о. Теорема доказана.
Итак, множители Лаrранжа конечномерной задачи однознач о
определяются через компоненты принципа максимума траектории у.
Перейдем к условиям BToporo порядка.
Функция (р положительно однородна нулевой степени по fl.
Следовательно, в конечномерной задаче никоrда не может быть
изолированной точки локальноrо минимума. Чтобы избавиться от
этоrо недостатка, добавим оrраничение I fll l ==0.
Прежнюю конечномерную задачу назовем исходной, а новую
суженной. Совершенно ясно, что точка локальноrо минимума су-
женной задачи является таковой и для исходной задачи. Множи-
тели Лаrранжа исходной и суженной задачи взаимно однозначно
связаны между собой. Обозначим множители Лаrранжа суженной
задачи через T' Jt, В, . Функция Лаrранжа суженной задачи
имеет вид
L 1 == TT + Jt (f.t 1) + в (cp Ь) + (1 fll 1).
(21)
49
Очевидно, если а т , af.A" С множители Лаrранжа исходной задачи,
то T == а т , f.A, == af.A" В == С, == О множители Лаrранжа суженной
задачи. Верно и обратное утверждение.
Пусть T' f.A,' В, множители Лаrранжа суженной задачи.
Тоrда ==o, а aT== T' af.A,== f.A" С==В множители Лаrранжа
исходной задачи.
Для доказательства этоrо утверждения достаточно показать,
что == О. Остальное очевидно. Но это следует из однородности ср
по 11. Действительно, приравнивая нулю производную функции
Лаrранжа L 1 по 11, получим Bcp + == О. Умножая это paBeH
ство на , получим Bcp + == О. Но cp == О в силу OДHOpOДHO
сти ср ПО 11. Отсюда == О. Утверждение доказано.
Конус критических вариаций К задается условиями
К=={Т, , 1111'<0, <O, CP T T+CPllr)==O, r)==0}, (22)
а также условиями дополняющей нежесткости атТ == О, r.Xf.A,it == О.
Так как af.A, > О, то == О. Структура К целиком определяется
тем, равно или не равно нулю Сх т ' Имеет место теорема.
Теорема 5. Если а т > О, то К == {О}. Если а. т == О, то К луч,
причем в каждой точке К {O} выполнено неравенство Т < О.
ДОК а з а те л ь с т в о. В случае а т > О конус К задается усло
виями
т == О, == О, CP 1i == О, 1i == о.
(23)
Но, как мы упоминали, образ CP 11 имеет размерность п 1.
Размерность же равна п. Следовательно, есть лишь одномерное
подпространство в пространстве 11, на котором форма CP 11 обра
щается в нуль. Ясно, что это подпространство, натянутое на .
Н о 'ttl == О ;> 't == О.
Итак, в случае ат> О конус К вырождается в точку. Первое
утверждение теоремы доказано.
В случае а т == О конус К имеет вид
К=={1', it, IT<O, 'ii==0, CP T T+cpllll==O; ==O}. (24)
Так как образ CP 11 имеет размерность п 1, то образ ч) Т + CPll
имеет размерность либо п 1, либо п. Но умножая форму cp T +CP ll
на (Т), получим
'р (Т) cp T + 'р (Т) cp 11 == атТ == О.
Следовательно, размерность образа равна п 1.
Таким образом, в пространстве Т, имеется двумерное ПОk
пространство, на котором форма cp T + CP l1 обращается в нуль.
Прямая f == О, rj == "C принадлежит этому подпространству. Конус К
однозначно определяется условиями Т < О, 1l == О, выделяющими
50
в двумерном подпространстве нулей полупрямую. Действительно,
данные условия выделяют в двумерном подпространстве либо
прямую, либо полу прямую. Но из теории условий BToporo порядка
известно [5]: из равенства а т == О следует, что в К существует
элемент, на котором Т < О. Таким образом, условия Т О, чч == о
выделяют именно полупрямую. Всюду вне нуля на полупрямой
Т < О. Теорема доказана.
Теперь мы приведем условия BToporo порядка в точке (Т, 1, )
для суженной задачи. Отметим, что структура К целиком зависит
от компоненты а о принципа максимума траектории у. Если а о > О,
то К точка. Если o == О, то К полупрямая.
Разберем сначала случай К == {О}. Из теории условий BToporo
порядка для конечномерных задач известно [4, 5], что в этом
случае имеет место локальный минимум первоrо порядка, т. е.
функция нарушения
(J == (Т Т) + + ( 1 ) + + I ер ь I + 11111 1 I
оценивается снизу в окрестности точки (Т, l, ) через норму
IT tl+If.t ll+ll1 I, умноженную на некоторую положи
тельную постоянную соответственно с теоремой ]. Из теоремы 5
вытекает, что в случае а т > О в точке (1', 1, ) для суженной
задачи реализуется локальный минимум первоrо порядка. Но по
теореме 4 СХ т == а о . Таким образом, если а о > О, то суженная за-
дача имеет в точке (Т, 1, ч) локальный минимум первоrо порядка.
Тоrда по теореме 3 на траектории у реализуется почти rлобаль
ный минимум. Этот результат вполне cor ласуется с теоремой 1 и
принятой там терминолоrией.
В случае, коrда К полупрямая, условия BToporo порядка,
как известно [5], имеют вид неравенства для 0), rде
о) (т, ti) == L /f2+ 2L тчТ + L 1}l1Ч. (25)
Тоrда условие о) О I к является необходимым условием BToporo
порядка. Условие о) > О I К"-...{О} является достаточным условием
BToporo порядка.
В нашем случае L == атТ + aJ.t (,.,.. 1) + Сер. Следовательно,
о) == CepT/ r2 + 2Cep TtiT + Cep 1}fll1.
Но в окрестности точки (Т, 1, ч)
ер {Т, f.t, l1)==f{T, f.t, t 1 (11), t N {l1)).
Следовательно,
ep' TT2 + 2ср1}Т l1 Т + ер1}1} 1111 ==
== {ттТ2+ 2ftTt r)T + fttt rj t fl + ftt "Чl1.
Таким образом,
о) == Cf TT T2 + 2CftTt T + Cfttt fjt ti + 6ft t 1}fj .
51
Теперь мы можем воспользоваться формулами (12), (13), (14), (15).
Имеем
Cf TTT2=== (Т) (Т) тт == (Т) A (Т) T2=== (Т) (Т) Т2, (26)
CftiTt; ( ) T == (Т) i (Т) ti1} (t)} T == (Т) i (Т) ti1} ( ) T ==
== ,p ( ) [U]i t; ( ) fjT. (27)
Отсюда
N.
2 Cft.T ti ( ) fjf == 2 (ii) [U]i ti ( ) T,
i 1 1
C/;it/i ( ) ti ( ) == (Т) i (Т) (ti1) ( ) 2 ==
==,р ( ) [U]i (ti1) ( ) fj")2.
Откуда
(28)
(29)
N .
c6.t. (ti ( ) )2 == ,p ( ) [U]i (ti 1) ( ) fj)2.
1 1 1
(30)
Наконец,
Cf;t 1) ( ) fjfj" == (Т) (Т) == 1P ( ) [U]i ti1}1} ( ) fj == О,
ибо в силу принципа максимума ( .) [U]i == О, i == 1 . . . N. Получаем
.. N .
ffi == (Т) х (Т) T2 2 ,p (ii) [U]i ti1} (-;1> fj f +
1
N .
+ ,p ( ) [U]i (ti1) ( ) fj)2. (31)
1
Однако и это выражение можно привести к более компактному виду.
Дело в том, что на К Т и связаны соотношением CPTT+ 1} O.
НО СРт == f т' cp == ftt ( ) fj. Используя формулы (8), (10), получим
.
fTT==x(1') Т, ftt ( ) == (1').
Откуда
сртТ + СР1}l1 == х (Т) Т + (Т) == О.
Умножая последнее равенство на ер (Т), получим
(32)
(1') (T) T+ (1') (1')==o.
. N .
Но (Т) (Т) == ,p ( ) [U]i ti1) ( ) 11.
1
52
Следовательно,
.. N .
(Т) х (Т) т == ( ) [U]i ti1J ( ) r).
1
Используя это равенство, получим
., N .
ffi == 1р (Т) х (Т) Т2 + (iJ [и1 (ti1J ( ) r])2.
1
(33)
Нам осталось только воспользоваться формулой (11) для t ( ) .
Окончательно имеем
{t) == (Т) (Т) Т2 + (1J' ( ч) иИ2 . (34)
'Ф (ti)[U]i
Мы можем пользоваться для {t) одной из формул (31) и (34). Со-
ответственно конус К можно записывать двумя способами:
1) К=={Т, , fll ==O; 1i ==0; x(T)T+ (T)==O},
2) {Т, ii, 11Iii==0; fl ==O; fтТ+ftt ( )ч==о},
(35)
rде удовлетворяет уравнению
== A t; ( ) r)[u1 б (t )
и начальному условию (О) == О. Уравнение на можно, исполь-
зуя формулу (11), переписать в виде
==A + [ (ti [:Ji [U]iб(t ti). (36)
1J' (ti) [U]i
Однако и формулу (34) можно еще упростить. Заметим, что
(1J'( ,лrj)л(и:.»2 =='1'(1', tl) (t). (37)
1J' (ti) [U]i
Тоrда, учитывая (34),
ffi == 1р (Т) х (Т) Т2 + '1' (Т, 11) (Т).
Умножая (35) на '1' (Т, 11), получим
'1' (Т, r) х (Т) Т + '1' (Т, 11) (Т) == О.
(38)
(39)
Допустим, что
'1' (Т, 11) х (Т) =i= О,
(40)
-тоrда
т == 1J' (Т, rj (Т) .
1J' (Т, 11) х (Т)
53
Подставляя в (38), получим
ю==lр(Т, 11) (T) ( f):... T: +1 ) .
'1' (Т, 11) х (Т)
ИЗ допущения (40) и (37) следует 11'(1', 'ti) (1') > о. Следовательно,
знак формы ю на К совпадает со знаком выражения
(41 )
yt п + 1.
'1' (Т, 11) х (т)
Нетрудно видеть, что оно равно
'1' (О, rj) i (О)
'1' (т, t]) Х ('Т)
x (О)
'1'(1', "11)х(1)
(42)
Отсюда следует, что в. предположении (40) ю вырождено тоrда и
только тоrда, коrда x (О) == о. Н? если допущение (40) не имеет
места и, следовательно, 11'(1', l1)Х(Т)==О, то из (39) следует, что
11'(1', ti) (T)==O. Тоrда из (37) следует lp(ti' il)[u]i==O Vi. Откуда
вытекает, что lp(t, 11)==const",(t). Но rj",(O)==O. Следовательно,
lp(t, 11) == 0. Из (36) следует, что (t)==OVt. И, сл довательно,
х(1')==О (см. (35». Итак, предположив, что 11'(1', ti)x(1')==o, мы
получим, что каждый сомножитель также равен нулю. Из (38)
видно, что в этом случае ю == о. Из доказанноrо следует
а) ю =1= О fjx (О) =1= О,
б) 11 == О х (Т) == о.
(43)
Рассмотрим пример , из KOToporo хорошо видно, как обстоят
дела на плоскости, т. е. Korдa d (х) == 2. Положим
х == у, у == х + и, I U I 1.
(44)
в этой системе Н == lpxy lpyx + 1р у и + lpt.
Следует рассматривать лишь траектории, для которых выпол
нен ПРИНЦИП максимума, и 11',-- о. Тоrда из вида Н вытекает,
что точки переключения MorYT быть только при у== О, т. е. на
оси х. Действительно, в точке переключения 1р и... О, и, следова
тельно, из Н == О lpt == О вытекает, что lрху == о. Но в rочке пере-
ключения lрх#=о. Отсюда следует, что в этой точке у==О. Верно
и обратное: если точка переключения экстремали находится на
оси Х, то lpt==O.
Мы будем рассматривать экстремали, начало и конец которых
54
не расположены на оси Х, т. е. такие, для которых у (О) =1= О,
у(Т) *0.
Положим (х, у) == w. Таким образом, w (О), w (Т) =1= о. Тоrда из
(43) следует, что 11 =1= О. Из условия "'t == о имеем ",Ш == о. Следо-
вательно, из 11'" (О) == О получаем fiw (О) =1= О. Но тоrда из (43) сле-
дует, что на рассматриваемых экстремалях (U =р О. Нам предстоит
выяснить, коrда (i) > О, а коrда (U < О. На этот вопрос отвечает
следующее предложение.
Предложение 3. Если на экстремали имеется хотя бы одно
переключение и траектория не проходит через точки отрезка у == о,
I х I 1, то (i) > о. И, следовательно, на траектории реализуется
почти rлобальный минимум.
Если на траектории имеется хотя бы одно переключение и
траектория проходит через какую нибудь точку у == о, I х I 1, то
(J) < О, и, следовательно, траектория не является точкой r лоб аль-
Horo минимума.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сопряженное уравнение принципа MaK
симума для рассматриваемой системы имеет вид -Фх == "'У' -Фу == - "'x.
Таким образом, в плоскости "'х' "'У вектор '" == "'х' "'У вращается
по часовой стрелке с постоянной yr ловой скоростью. Из прин-
ципа максимума следует, что "'1/ > О ;> u == 1; "'У < О ;> u == 1.
Отсюда ясно, что одним переключением '" и) определяется одно-
значно с точностью до положительноrо множителя. Таким обра-
зом, условие теоремы, соrласно которому на траектории есть точки
переключения, эквивалентно тому, что Ао траектории состоит из
одной точки.
Далее, так как точки переключения MorYT быть только на
()си х, то концы экстремали точками переключения не являются.
Можно также проверить, что и все остальные предположения
(2, 3, 4) выполнены. Следовательно, применима формула (42). На
каждом отрезке между точками переключения '" (t, 11) w (t) по-
стоянные величины.
Рассмотрим два случая.
а) Траектория не проходит через точки: у == О I х 1== 1.
б) Траектория проходит хотя бы через одну из указанных
точек.
В случае а w и) -# О Yt Е [О, Т]. Но в силу условия ",w (t) == О
в каждой точке переключения w либо сохраняет направление,
либо меняет ero на противоположное, либо обращается в нуль
(слева или справа). Из условия 11W (О) =1= О следует, что в случае а
"'(t, ti)w(t)=I=O Yt. Если w не меняет направление в точке пере-
ключения, то 'Ф (t, 11) w (t) сохраняет знак. Если w меняет направ-
ление на противоположное, то '" (t, 11) w меняет знак в точке
переключения. Нетрудно видеть, что если точка переключения
находится вне отрезка у == О I х I 1, ТО в этой точке w не меняет
направление. А если точка переключения расположена на интер-
55
вале у == о, I х I < 1 (в случае а) траектория не проходит через
у==о, Ixl== 1), то w в этой точке меняет направление на проти-
воположное. На каждой полной экстремали системы, т. е. экстре-
мали, продолженной до бесконечности в обе стороны, имеется
только одна точка переключения, расположенная на интервале
у == о, 1 х I < 1. Отсюда следует утверждение предложения в слу-
чае а.
В случае б w не меняет направление, но обращается Б нуль
на отрезке, на котором 'Ф делает полоборота. Следовательно, при
переходе через этот отрезок 'Ф (t, ч) w также меняет знак, по-
скольку 'Ф (t, 1i) в концах этоrо отрезка имеет противоположные
направления. Отсюда следует справедливость утверждения пред-
ложения и в случае б. Тем самым предложение доказано.
2
ЗАДАЧИ С ФАЗОВЫМИ оrРАНИЧЕНИЯМИ
Фазовые оrраничения влекут за собой важное изменение в фор.
мулировке принципа максимума: в правой части сопряженноrо
уравнения появляется слаrаемое, зависящее от меры. По этой
причине сопряженное уравнение перестает быть дифференциаль.
ным уравнением.
Естественно возникает опасение, что пользоваться принципом
максимума в случае фазовых оrраничений будет rораздо труднее,
чем в случае их отсутствия. Поэтому оправдано стремление найти
условия, rарантирующие ту или иную степень простоты струк.
туры меры, которая позволяла бы сводить сопряженное уравне.
ние к дифференциальному.
В [1] было найдено условие, rарантирующее отсутствие t:инrу.
лярной составляющей меры, а также условие, rарантирующее
отсутствие скачков. В результате применений этих условий к клас.
сам реальных задач можно сделать вывод, что синrулярная со.
ставляющая меры, как правило, равна нулю. Что касается условия
отсутствия скачков, то оно часто не выполняется.
Следовательно, изучая задачу оптимальноrо управления, можно
рассчитывать на то, что синrулярной составляющей нет. Однако
нельзя рассчитывать, что мера является абсолютно непрерывной,
а значит, и на то, что сопряженное уравнение является диффе.
ренциальным.
Таким образом, следует r лубже изучить атомарную состав.
ляющую меры для различных классов задач оптимальноrо управ.
ления. С этим вопросом также связана задача о структуре мно.
жества значений времени выхода экстремали на фазовую rраницу.
При решении этих вопросов нельзя обойтись без моделей, будь
то отдельные системы или некоторые их классы. Основной MaTe
риал rлавы (разд. 2.1, 2.2, 2.3) представляет собой исследование
моделей. В качестве моделей мы берем либо класс всех линейных
систем с линейным фазовым оrраничением (разд. 2.1), либо отдель.
ные линейные системы с линейным фазовым оrраничением (разд.
2.2, 2.3). В разд. 2.1, 2.2 оrраничение на управление имеет вид
u 2 dt const. В разд. 2.3 задано оrраничение на модуль управ.
ления, т. е. lul l.
Нам кажется, что для решения вопроса о структуре атомарной
составляющей меры в значительной степени безразлично, какое
из этих двух оrраничений выбрать. Результаты получаются одни
и те же. Однако с первым оrраничением работать проще.
57
Важным представляется нам понятие r лубины фазовоrо orpa-
ничения. Под r лубиной фазовоrо оrраничения мы подразумеваем
число дифференцирований функции, задающей фазовое оrраниче
ние, необходимое, чтобы получить функцию, явно зависящую от
управления.
В [1] нами доказано, что при фазовых оrраничениях r лубины 1
мера, как правило, не имеет скачков. В разд. 2.1 для линей
ных систем с интеrральным оrраничением на управление и линей
ным фазовым оrраничением мы доказываем, что в случае r лу
бины 2 на каждом конечном интервале времени мера может иметь
не более конечноrо числа скачков. Таким образом, при rлубине
фазовоrо оrраничения, равной 2, атомарная составляющая уже
появляется, но она устроена весьма просто.
В разд. 2.2, 2.3 мы исследуем две системы с фазовым оrрани
чением rлубины 3. Эти системы отличаются друr от друrа лишь
оrраничениями на управление. В системе разд. 2.2. рассматри
вается интеrральное оrраничение, а в системе разд. 2.3 локаль
ное. В обеих системах структура атомарной составляющей меры
оказывается качественно одинаковой. Структура атомарной COCTaB
ляющей меры существенно усложняется по сравнению со структу-
рой, соответствующей r лубине 2. Носитель атомарной составляю-
щей может быть счетным множеством с одной или двумя п редель
ными точками. Замечательно, что именно в этом наиболее слож
ном случае носитель можно до конца описать аналитически.
Возникает вопрос, верно ли, что для любой rлубины, боль-
шей 3, носитель атомарной составляющей, как правило, обладает
счетным замыканием. Мы rоворим «как правило», имея ввиду,
что для справедливости утверждения потребуются необременитель-
ные условия.
Система разд. 2.3 является не просто модельной. Она имеет
прикладной смысл. Мы занимались ей еше в начале 60 x rодов.
Но тоrда нам удалось установить только то, что среди экстре-
малей есть экстремали со счетным числом выходов на фазовую
rраницу и что точки выхода накапливаются к точке «посадки»
экстремали на фазовую rраницу (или «схода» с нее). Точноrо
описания процесса посадки (схода) тоrда получить не удалось.
Вопрос об этом даже не ставился. Наоборот, наличие счетноrо
множества накапливающихся выходов и связанное с этим счетное
множество накапливающихся переключений воспринимались как
иллюстрация хаоса, который может иметь место в задачах опти-
мальноrо управления.
2.1. Фазовые оrраничения rлубины 2
Рассматривается система S вида
х==Ах+Ви, ==и2/2; lx const==Co' (1)
Здесь А, В, l постоянны. Размерности х и u произвольны. То
обстоятельство, что фаЗОЕое оrраничение имеет rлубину 2, экви-
58
валентно условиям
[В О, [АВ =1= О.
(2)
Пусть I' нетривиальная экстремаль системы s. Из условий (2)
следует, что синrулярная составляющая меры равна нулю. (Со-
rласно [1], наличие синrулярной составляющей повлекло бы за
собой выполнение условий lAkB O k O, 1,2, ...)
Обозначим через Т+ множество точек полной экстремали , на
котором происходит контакт с фазовым оrраничением и которое
является носителем меры .
Теорема 1. На каждом конечном отрезке множество Т+ имеет
не более чем конечное множество смежных интервалов.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала случай, коrда 11'6 ==0.
Из условий максимума следует тоrда, что
lрВ ==0. (3)
Следовательно, dфВjdt == О. С друrой стороны, сопряженное урав-
нение дает
d'iJB I'AB + [В 'd ( 4 )
dt 'у dt .
Так как [В, по условию, равно нулю, то из (4) и (3) следует,
что на экстремали
'ФА В ==0. (5)
В точке скачка меры скачок 11' коллинеарен [. Тоrда из (5) следо-
вало бы, что из наличия скачка вытекает равенство [АВ О.
Однако оно противоречит условию (2). Следовательно, мера не
имеет скачков. Таким образом, если '1'6 О, то мера имеет плот-
ность.
Проведенное рассуждение не имеет, однако, прямоrо отноше-
ния к доказательству теоремы, а лишь дополняет утвержденче
теоремы. Теперь займемся доказательством. Допустим, что теорема
неверна. Тоrда существует точка t o , являющаяся предельной для
смежных hнтервалов множества Т+. Конечно, t o также является
точкой множества Т+.
Без оrраничения общности можно считать, что t o является
левой предельной точкой.
В противном случае мы сделаем замену t 1 t и перейдем
к новой системе, у которой фазовое оrраничение также имеет rлу-
бину 2, а точка t o является уже левой предельной точкой для
смежных интервалов множества Tt Т+ .
На каждом смежном интервале множества Т+ (кроме, возможно,
двух крайних, на которых экстремаль может быть не определена)
экстремаль l' является экстремалью системы S', которая отличается
от системы S лишь тем, что в ней нет фазовоrо оrраничения.
В системе S' из условия 11'6 == О следует, что
lрА s В О, S == О, 1, . . .
(6)
59
Следовательно, условие (6) выполнено на каждом смежном интер
вале множества Т+.
Положим r=={rlrAsB==O 8==0, 1, .. .}. Из (6) следует, что
на каждом смежном чнтервале множества Т+, а по непрерывности
и в точке t o выполнено включение '1' Е r; нетрудно видеть, что r
является инвариантным подпространством системы уравнений
=='ФА. (7)
Это следует, например, из аналитичности функции 'ФВ и формул
'Ф(S>В =='Ф АSВ , 8==0, 1, . .. (8)
Действительно, из (6) следует, что если '1' (t') Е r, то 'Ф{S) (t') В==О.
Следовательно, в силу аналитичности функция '1' (t) В тождественно
равна нулю. Но тоrда '1' (t) Е rVt. Тем самым инвариантность r
относительно системы уравнений (7) доказана. Отсюда следует,
что '1' (t) == '1'1 (t) + '1'2 (t), rде '1'1 Е r, а '1'2 удовлетворяет системе
уравнений
2 == 'Ф2 А + l d Jdt (9)
и начальным условиям
'1'2 ио) == о.
Но тоrда для всех t, больших t o и достаточно близких к t o ,
справедлива оценка
'Ф2(t)==l ([t, to])+o( ([t, t o ]»' (10)
Соrласно УСЛОВIIЮ (2), l r. Так как ([t, t o ]) > О, то из (10)
видно, что '1'2 (t) r для всех t, больших t o и достаточно близких
к t o . Тоrда это же утверждение справедливо и для '1' (t).
Однако если t принадлежит смежному интервалу множества Т+,
то, как мы видели, должно выполняться включение '1' и) Е r. Но
точка t o является, по предположению, предельной справа точкой
последовательности t n , rде t n Т+. Следовательно начиная с HeKOTO
poro n для t n должны выполняться противоречивые условия. Тем
самым утверждение теоремы доказано для случая 'Фs == О.
Перейдем к рассмотрению OCHOBHoro случая: 'Ф =1= О. Из усло
вия максимума следует, что без оrраничения общности можно по
ложить 'Ф == 1. Тоrда
'ФВ == и. ( 11 )
Положим w == (х; '1'). Тоrда сопряженные уравнения примут вид
w == Mw + 1 d /dt,
(12)
rде
( А В*В )
М == О А* ,
1==(0, l).
def ::::
Положим y==(l, x)==(l, W).
60
Предложение 1. Существует дифференциальное уравнение по
рядка 2п (п == d (х» с постоянными коэффициентами, которому
удовлетворяет У (t) на любой экстремали системы S'.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Уравнения экстремали в системе S' те
же, что и в (12), с той лишь разницей, что в правой части 1 d /dt
отсутствует.
Отсюда следует, что
y(S) == 7M S w, S == О, 1 (13)
Пусть т О ма!<с мальное,", целое число, обладающее тем СВОЙ
ством, что векторы [М, . .. TMm l линейно независимы. Оче
видно, т 2п == d (w). Тоrда существует линейная заВИСI1МОСТЬ
'"' т I '"'
[Мm + aslMs == О_
5=0
Отсюда и из (13) следует, что
т 1
у(m) + asy(S) == О. (14)
о
Предложение доказано.
Предложение 2. Пусть w 2 И w 1 таковы, что
W2 W1 == (О; l) == [.
Тоrда
Y2 Y1 == Y2 Y1 == Y2 Y1 == О, y y > О.
Доказательство представляет собой простую проверку. Дейст
вительно, так как х 2 ==х 1 , то У2==У1' Далее, y==lAx+lBu, но
lB == О, и, следовательно, У2 == У1'
у.== lAx + lBu == lA (Ах + Ви) + lB ( 'PA) В ==
== lA2X + lABu lB'PAB.
Отсюда Y2 Y.1 == lAB (U2 U1)+lBlAB. Но и2 и1 ==('P2 'P1)B== lB.
Так как, соrласно условию, lB == О, то У2 == У1' Наконец,
у' == lA 2х + lABu lB AB == lA 2х + lABu.
Откуда y y == lAB (и2 и1)' Но u == ,pB==- 'PAB. Следовательно,
.Y2 Y == (lAB)2. Соrласно условию (2), правая часть этоrо paBeH
ства отлична от нуля. Предложение доказано.
С л е Д с т в и е 1. Из доказанноrо предложения следу ет, что
порядок уравнения (14) больше TpeTbero.
Действ',пельно, соrласно предложению, у линейно незави симо
от у, у, ,;: Следствие доказано.
6 1
Положим р (t); t О решение уравнения (14) с начальными
данными
р (О) == Y2 Y1P(S) (О) == y S) y S) 1 8 т 1.
Положим У (w) == lw == lx. Имеет место следующее.
Предложение 3. Пусть w (t) непрерывное слева решение урав.
нения w == Mw + 7 df1/dt, определенное при t t o и w (to) == W o .
Тоrда У (w (t» представим в виде
Y(w(t»==y(t) + p(t a)f1(da) aE[t o , t), (15)
rде у (t) является решением уравнения (14) с начальными дан.
ными в точке t o :
y(S) == У (Wb S » == У (MSw o ) 8 == О, ... т 1.
Доказательство следует из формулы
w(t)==w(t)+ W(t a)f1(da),
[t о. t)
(16)
rде w(t) решение уравнения w == Mw с начальными данными
w (to) == W OJ а WJt) I t О решение уравнения w == Mw сначаль.
ными данными [. Применяя к обеим частям равенства оператор У
и замечая, что У (W) == р, получим в силу предложения 1 фор-
мулу (15). Тем самым предложение доказано.
Теперь мы уже можем заняться непосредственно доказатель.
ством теоремы.
Пусть tо предельная справа точка для множества смежных
интервалов множества Т+. Через w (t) мы обозначим пару х (t),
'Ф (t), соответствующую экстремали у.
Положим W o W np (to). Тоrда, очевидно (см. предложение 3
при t > t o ),
y(t)==y(t) + p(t a)f1(da), (17)
(to t)
rде у (t) является решением уравнения (14) с начальными данными
y P)==Y(WbS», 8==0, ..., т l.
Нетрудно видеть, что при t, близких справа к t o , справедлчва
оценка
О < p(t a)f1(da) constf1«(to, t)(t to)3+0«(t to)3), (18)
(t о t)
Положим sо наименьшее целое число в ряду 1, 2, . . ., удовле-
творяющее условию Yh S ) =1= о. Справедливо
Предложение 4.
3 < 80 < т; Yb So ) < о.
62
Доказательство. Во-первых, ясно, что если 80<+00,
то y so) < О. Действительно, предполаrая противное, мы получили
бы, что У (t) положителен справа от t o при t, близких к t o . Но
тоrда из (17) и (18) следовала бы положительность у (t) в пра-
вой окрестности t o , что противоречит предположению о том, что t o
предельна справа для смежных интервалов Т+. Далее, I1З 80> т
следует у (t) == Со. Но тоrда из (17), (18) вытекает, что у (t) Co > О
в правой окрестности t o . Вновь противоречие. Итак, 80 < m. Оста-
лось показать, что 80> 3. Это неравенство сразу следует из (18),
так как в противном случае из (18) получаем, что у (t) Co имеет
постоянный знак в правой окрестности t o , что противоречит пред-
положению о точке t o . Таким образом, предложение полностью
доказано.
Смежный интервал множества Т+ будем обозначать через ,
а через 't ( ) левый ero конец.
Мы будем рассматривать последовательности { n} такие, что
def
't n === 't ( n) монотонно справа стремится к t o .
По предположению, множество таких последовательностей не
пусто. Обозначим ero через П. Очевидно, П замкнуто относительно
взятия подпоследовательности.
Возможны два случая:
а) в П существует последовательность такая, что
f.-t «(to, Т п ]) 00'
(Т п tO)So 3 '
б) такой последовательности в П не существует.
Рассматривая каждый из этих случаев, мы придем к противо-
речию. Тем самым будет доказано, что множество смежных интер-
валов множества Т+ не имеет правых предельных точек. Отсюда
будет следовать, что множество смежных интервалов множества Т+
не имеет предельных точек. Таков план доказательства.
Итак, рассмотрим случай а. Введем некоторые обозначения.
Положим l1n == 11 «(to, 't n ]). Пусть
6у == р (t a) 11 (da).
ио, t)
На смежном интервале n справедливы разложения
6у === А оn +А 1п (t 'tn)+A2n (t 'tn)2+Азl1n (t 'tn)3 (1 + n (l 't)),
у == воn + В 1n (t 'tn) + В 2n (t 'tn)2 + . . .
... +Bson(t 'tn)So(1 +lln(t 'tn)). (19)
Здесь, cor ласно предложению 4,
Bsn C == So(So l)...(So S) C С>О.
(Tn to)So S n S SI '
(20)
Функции n (а)/О', lln (а)/а при п 00 и достаточно малых а> О
оrраничены вместе со своими первыми производными. Из условия
63
y('tn)==y('t n ) ==0; .Y('tn) o следует Аоn+Воn==Со;
А 1п + В 1n == о; А 2n + В 2n о.
Поэтому у CO допускает разложение на п:
Y Co == б n (t 'tn)2 + A 3 J.tn (t 'tnP (l + 6 п ) + В зn и 't n )3 + . . .
... +Bson(t 'tn)So (1 +lln). (21)
Но соrласно (20), В зп --.J ('tn to)So 3. Следовательно, B 3n ==o(J.tn).
Итак, первые три члена разложения (21) представляют собой
монотонно растущую положительную на n функцию, а остальные
члены являются монотонно убывающимtJ отрицательными на n
функциямt1. Из разложения (21) следует, что rлавный член асимпто-
тики I п 1== t np ( n) 'tn удовлетворяет уравнению
б п I n 12 + A 3 J.tn I n 13 == ё I n ISo. (22)
Следовательно, I nl 'tn to' Разложение производной Y Co
имеет вид
(y Co) == 2б п (t Tn) + 3А з J.tп (t 'tn)2 (1 + 6n) +
+3А з J.tn (t 'tn)3 n + 3В зп (t 'tn)2 + . . .
... +80Взоn(t 'tn)Sо 1(1 +lln)+Bson(t 'tn)So n'
(23)
Нетрудно видеть, что rлавный член асимптотики по п произ-
водной в правом конце n дается формулой
2б п I n 1+ 3A 3 J.tn I п 12 8il n ISo l.
Соrласно (22),
2б п I n I + 2А з J.tп I n 12 == 2ёl n I So l.
тсюда rлавный член асимптотики (y ёo) равен
2ёl n ISo l + A 3 J.tn ' n 12 80c 1 п ISo l.
Но, cor ласно (22),
A 3 J.tn I n 12 < ё I п ISo l.
(24)
(25)
Следовательно,
(y Co) (3 80) ё I п ISo l < о.
(26)
Отсюда следует, что правый конец I1n является простым корнем
функции Y Co'
Но это утверждение противоречит условию Y Co о, которое
выполнено в силу выполнения фазовоrо оrраничения. Тем самым
мы показали, что случай а невозможен.
Разбирая случай б, мы также придем к выводу о том, что пра-
вый конец n является простым корнем функции Y Co, однако
иным путем.
64
Оценим четвертую производную у на L\n. Имеем
бу(4) (t) == р(4) (t a) f-t (da).
ио. 't'n]
Следовательно,
mаХ Ап I бу(4) (t) I ;<OOJ f-tn;<ooJ ('tn to)So 3.
С друrой стороны, из предложения 4
y(t)==G(t to)So+ ...
Отсюда
y(4)(t)==G(t to)So 4So(So 1) ... (So 3)+o(t tO)So 4
+ const ('tn t o ) So..4 < О. (28)
Но тоrда из (27) и (28) следует, что у(4) (t) < О. Таким образом,
на L\n
у(4) (t) < О. (29)
(27)
Из неравенства (29) следует, что в правом конце интервала L\n
функция y Co имеет простой корень. Мы вновь пришли к про-
тиворечию. Тем самым теорема полностью доказана.
3 а м е ч а н и е. При рассмотрении случая 'Фs;::/= о мы ниrде не
пользовались тем обстоятельством, что f-t> О. Поэтому в формули-
ровке теоремы для этоrо случая множество Т+ можно заменить на Т.
Несколько слов о фазовом оrраничении rлубины 1. В этом
случае [В =1= О. Тоrда в случае, если 'Ф s =1= О, У испытывает отри-
цательный скачок, откуда следует, что скачков нет. Но незави-
симо от этоrо можно поставить вопрос о структуре Т+ (или Т).
В этом случае справедлива та же теорема. Доказательство похоже
на предыдущее. Однако у должно быть положительно правее t o .
А из условия у ('t n ) О следует, что f-tn;<ooJ ('tn to)So l.
После этоrо получаем у> о на L\n' Тем самым теорема доказана.
Отсутствие скачков приводит к тому, что нет примыкающих
смежных интервалов Т+.
В данном разделе мы занимались выяснением структуры мно-
жества Т+ носителя меры f-t. В результате получили, что мно-
жество Т+ на каждом конечном интервале времени состоит не
более чем из конечноrо числа непересекающихся отрезков и конеч-
Horo числа изолированных точек. Однако вопрос о структуре ме-
ры f-t нельзя считать выясненным до конца.
Соrласно [1], мы получили, что синrулярная составляющая
меры f-t равна нулю, т. е. мера f-t содержит лишь абсолютно не-
прерывную и атомарную компоненты. Нам предстоит еще выяснить
структуру атомарной составляющей. Ясно, что в каждой изолиро-
ванной точке множества Т+ мера f-t имеет скачок. Но как она
ведет себя на отрезке, принадлежащем множеству Т+? Докажем
следующую теорему.
3 Заказ N2 4479
65
Теорема 2. Мера может иметь скачки только в полуизоли
рованных точках множества Т + .
Под полуизольрованной точкой множества мы понимаем точку,
изолированную либо слева, либо справа.
Доказательство. Пусть интервал, принадлежащий Т+.
Покажем, что мера абсолютно непрерывна на Д. Тем самым
теорема будет доказана. Мы, естественно, будем считать, что 'Ф; '* О,
иначе мы установили, что мера вообще не имеет скачков.
Напомним, что в случае 'Ф; == 1 имеет место равенство u == 'ФВ
(см. (11 ». Очевидно, на выполнено у == Со. Следовательно,
у == ;; =='у == о. (30)
Но у == (lx) == lAx + lBu == lAx, ибо, соrласно (2), lB == О. Отсюда
;; == lA 2х + lABu == lАВ'ФВ.
Тоrда на
lАВ'ФВ == О.
(31 )
Слева стоит функция оrраниченной вариации, непрерывная слева.
Следовательно, мера, порожденная ею, удовлетворяет равенству
lAB,p(dt)B==O. Соrласно сопряженному уравнению -ф(dt) ==-
== 'ФА dt + l (dt), получаем lAB ( 'ФАВ) dt + lABlB (dt) == О.
Но lB == О. Следовательно,
lАВ'ФАВ == о.
(32)
Слева вновь стоит реrулярная функция оrраниченной вариации.
Переходя к порожденной ею мере и используя сопряженное урав-
нение, получим
lAB ( 'ФА) АВ dt + (lAB)2 (dt) == о.
Но соrласно (2), (lAB)2> О. Следовательно,
lA B'i'A А В
Jt(dt)== (lAB)2 .
(33)
(34)
То есть мера оказывается абсолютно непрерывной, ибо мера
в правой части (34) именно такова. Теорема доказана.
Из теоремы 2 следует, что мера может иметь скачки либо
в изолированных точках Т+, либо в концах отрезков, принаk
лежащч:х Т+. Из теоремы 1 вытекает в таком случае, что на каж
дом конечном интервале времени мера может иметь не более
чем конечное число скачков. Из (34) следует также, что плотность
меры оrраничена на каждом конечном интервале времени.
Итак структура меры на экстремалях системы S (см. (1» пол-
ностью выяснена. Можно поставить для дальнейшеrо исследования
следующий вопрос. Как изменятся результаты l.сследования, если
вместо системы 8 рассмотреть систему 81:
х==Ах+Ви, lx Co, lul 1,
66
т. е. от интеrральноrо оrраничения на управление
а 2 /2 dt const
перейти к локальному? Нам кажется, что все полученные резуль-
таты останутся в силе, хотя совершенно очевидно, что получить
их будет сложнее. Подтверждение этой мысли мы найдем в разд.
2.2, 2.3.
2.2. Фазовое оrраиичеиие rлубииы 3 с иитеrральиым оrраии
чением на управление
Система S цмеет вид
==a2/2, х==у, y==z, z==w, W==U, y l. (1)
Соrласно [1, 9 7], мера, соответствующая экстремалям системы,
не имеет синrулярноЙ составляющеЙ. Выпишем условия экстре-
мальности.
Сопряженные уравнения:
,p ==o, x==o, ,ру(==)'i'х+л(t), 'i'z=='i'y,
w == 'i'z, 'i'упр (t) + "'у (t) == v ([ t]),
rде л (t) о абсолютно интеrрируемая на каждом конечном oт
резке функция, v (dt) дискретная мера.
Условия дополняющей нежесткости:
(2)
(у l)л(t)dt==О, (y l)v(dt)==O.
Условие максимума:
'Ф s u2 / 2 + 'i'wU == тах ('i' u,I/2 + 'ФwU'), и' Е R. (4)
из принципа максимума следует, что 'Ф о. Мы рассмотрим
сначала случай, коrда "' < о. в этом случае нормируем 'Ф на
1. Из принципа максимума имеем
U == 'Фw. (5)
Через 5' обозначим систему, отличающуюся от S тем, что фазовое
оrраничение опущено. Условия экстремальности в системе S' мы
получим из условий экстремальности системы 5, если в (2) положим
л==о v==O. Из сопряженных уравнений в системе S' следует, что
у (t) является полиномом степени не выше шестой, причем спра-
ведливы формулы
. ..
y==z, y==w, У=='Ф W , (6)
y(tJJ == 'i'z' y(S) == "'у' у(6) == 'ФХ'
МЫ будем рассматривать полные экстремали. В системе 5 есть
экстремаль, целиком находящаяся на фазовой rранице. Характе-
з*
67
ристики этой экс.тремали следующие:
y(t)==l, z(t)==w(t)==O; 'Фw(t)==О, 'Фz(t) ==0,
'Фу (у) == о.
Отсюда следует, ЧТО
'Фх+ л(t)==О.
(7)
(8)
Следовательно, 'Фх < О.
Если 'Фх == О, то экстремаль является также экстремалью си
стемы S'. Поскольку речь идет об экстремали системы S, то
'Фх < О. (9)
В этом случае л==сопst > О.
Обозначим экстремаль, удовлетворяющую условиям (7), (8),
(9), через у. Начиная с HeKoToporo момента времени, например
с момента времени t == О, положим л == О и продолжим экстремаль
как экстремаль системы S'. Как упоминалось выше, lJ (t) при t> О
будет полиномом, причем из (2), (7) следует, что
у (t) == 1 + ( 6i' x) t 6 .
Мы видим, что продолжение экстремали '\' уходит внутрь фазовой
области. Таким образом, мера выполняет роль механизма, притя
rивающеrо экстремаль к rранице фазовоrо оrраничения. Механпзм
посадки экстремали на rраницу фазовоrо оrраничения в системах
предыдущеrо раздела был следующим. Движение происходило по
экстремали системы S' непосредственно до момента посадки на
фазовую rраницу. Таким же был механизм схода экстремали с фа
зовой rраницы. В данной системе такой механизм также есть, как
мы это видели. Так как мера является фактором, притяrивающим
экстремаль к фазовому оrраничению, то посадка и сход с фазовой
rраницы осуществляются без скачка. Поэтому экстремаль системы S' ,
«садящаяся» в момент времени t* на фазовую rраницу, имеет вид
y(t)==a(t t*)6+ 1, t<t*, (10)
rде а> О, а экстремаль системы S', уходящая в момент t** с фа
зовой rраницы, имеет вид
у (t) == Ь (t t**)2 + 1, t t**, Ь> о.
(11)
Но такие экстремали проходят далеко не через каждую точку. Более
Toro, множество фазовых точек, через которые проходит такая
экстремаль, не открыто в пространстве х, у, z, w. Так как оно
цилиндрично по Х, то достаточно установить, что множество троек
у, z, w, соответствующих экстремалям (10), имеет размерность
меньше трех. Но из (1 О) видно, что на экстремали у == а (t t*)6 + 1,
z==6а(t t*)Б, w==30a(t t*)4. Следовательно, множество троек
у, z, w, принадлежащих экстремали (10), зависит от двух пара
метров: времени посадки I t t* I и а. Таким образом, оно двумерно.
68
Двумерным является и множество троек, принадлежащих «уходя-
щим» экстремалям (11).
С друrой стороны, решение задачи оптимизации всеrда является
экстремалью. Можно представить себе, что в ряде задач оптими-
зации «выrодно» некоторое время находиться на фазовой rранице.
Например, пусть в системе S минимизируются Х 1 xo, т. е. у dt,
причем за большое время. Пусть начальное состояние системы
задано, а конечное свободно. Наименьшим допустимым значением у
в системе S является 1, т. е. оно реализуется на фазовой rранице.
Поэтому ясно, что решение должно достаточно большое время
находиться на ней. Понятно также, что если такой режим имеет
место для данных начальных значений, то более чем вероятно,
что он имеет место и для близких начальных значений. Но из
Bcero этоrо следует, что данный механизм «схода посадки» экстре
мали на rраницу фазовоrо оrраничения не единственный и не
rлавный в системе S. Следует искать друrой механизм. ПО ВIЩИ-
мом у , экстремаль, как правило, не может непосредственно выйти
на фазовую rраницу и остаться на ней, а должна предварительно
I\ОСНУТЬСЯ ее. Итерируя это рассуждение, мы придем к тому, что,
прежде чем «сесть» на фазовую rраницу, экстремаль должна счетное
множество раз коснуться фазовой rраницы. Но у (t) на экстремали
системы S' полином степени не выше шестой. Следовательно,
в точках касания должен быть «переход» от одноrо полинома
к друrому, иными словаМI1, склейка их. Склейка в системе с фа-
зовым оrраничением( осуществляется при помощи скачка меры,
соответствующей данной экстремали системы S. Таким образом,
счетное множество склеек означает счетное множество скачков
у меры 'V. Надо искать в системе S механизм посадки, осущест-
вляемой при помощи счетноrо множества скачков меры v. Все это,
конечно, наводящие соображения. Однако они полезны хотя бы
в том отношении, что картина, которую мы совершенно cTporo
получим, не будет для Мас неожиданной.
Из сопряженных уравнений видно, что на экстремали системы S
'Фх постоянна. Экстремали системы S мы поделим на два типа:
'Фх о и 'Фх < о.
Взаимодействие с фазовой rраницей экстремалей первоrо типа
совсем иное, чем экстремалей BToporo типа; оно rораздо прими
тивнее и проще исследуется. Поэтому начнем с первоrо типа.
Пусть ,\, экстремаль системы S первоrо типа и пусть
'Фх>О. (12)
Через Т обозначим множестЕ'О контактов экстремали '\' с фазовой
rраницей, т. е. Т==:{ t I у (t) ==: 1}. Очевидно, что Т замкнутое мно-
жество. Из (8) 'Следует, что Т не содержит никакоrо отрезка.
Предложение 1. Множество Т имеет не более одноrо внутрен-
Hero смежноrо интервала.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ио, t1) внутренний смежный ин-
тервал множества Т, т. е. такой, что левее t o и правее t 1 сущест-
69
вуют точки множества Т. Отсюда следует, что
y(to) 1 ==0, у(tд 1 ==0,
уио) ==0, уид==О.
(13)
На интервале (t o , t 1 ) экстремаль l' совпадает снекоторой экстре-
малью 1'0 системы S'. Следовательно, Уо (t) 1 == Ро и) является
полиномом степени не выше шестой, причем
y(t) 1 ==ро(t), tE(to, t 1 ). (14)
Так как 'Фх> о, то, соrласно (2), Ро является полиномом шестой
степени с отрицательным старшим коэффициентом (равным, очевидно,
'Фх/6!). Из (1) и сопряженных уравнений (2) следует,:что в точке t 1
PO(1)==yи1) I; p k)(t1)==y(k>(t1)' k==l, ...,5. (15)
в точке t o
Ро ио) == у иo) 1, p k) (t o ) == y(k) ио), k == 1, ..., 4,
p 5) (t o ) == 'Фу, пр ио) == y ио).
Из сопряженных уравнений следует, что
y( ) (t) p 5) (t) == л dt ,,(dt). (17)
Следовательно, у(5) (t) p 5) (t) невозрастающая функция. Но тоrда
ИЗ (15), (16) и (17) следует, что Po(t) y(t) при
/ (to, t 1 ). (18)
Из неравенства (18) можно сделать ряд выводов. Во первых, так
как старший коэффициент Ро отрицателен, то множество значений t,
на котором Ро (t) о, оrраничено. Из (18) следует в таком случае,
что l' определена на конечном отрезке. BO BTOpЫX, из неравенства
(18), из отрицательности старшеrо коэффициента Ро и, наконец,
из Toro, что интервал (to, t1) внутренний смежный интервал MHO
жества Т, следует, что /0 и /1 двукратные корни полинома Ро'
Следовательно, р ио) == р ио) == о, р (to) > о;
р (tд == р (t1) == о, р (/1) > О.
Но, соrласно (15), (16), р (tk) == у (tk) 1, Р (tk) == у (tk), р. (t k) == jj (tk)'
k == о, 1. Следовательно,
y(to) > о, y(t1) > о. (20)
Отсюда следует, что точки t o , t 1 являются изолированными точками
множества Т. Тоrда слева от точки /0 и справа от точки t 1 В не-
которой их окрестности экстремаль l' проходит внутри фазовой
области, 11, следовательно, слева от точки /0 l' совпадает с 1' 1
(экстремаль системы S'), а справа с 1'1 (экстремаль системы S').
Следовательно,
(16)
( 19)
Y l(t) I==p 1(t), t</(I;
У1 (t) == 1 == Р1 «), t> t,.
(21)
70
Из сопряженных уравнений (2) следует, что
P l (t) == Ро (t) + v ([t o ]) (t to)5/51, t < t o ,
P1(t)==PO(t) v([t]])(t t1)5/51, t> t 1 . (22)
Совпадение экстремали у с экстремалью "(k (k == 1, + 1) про-
должится до тех пор, пока "(k удовлетворяет фазовому оrраничению,
т. е. пока
P l(t»O, t<t o ; P1(t»0,. t>t 1 .
Покажем, что Р1 имеет единственный простой корень при t > t 1 .
Для этоrо заметим, что Ро (t) обязательно имеет, помимо t o и t]t еще
два простых вещественных корня: tJI < t o и t np > t 1 . Это элемен-
тарно следует из условий Po(tk) > О, k==O, 1 и отрицательности
старшеrо коэффициента Ро' Положим р (t) == + 7 и tJ1) (t tO)2 Х
Х (t tl)2. Тоrда, очевидно,
ро==р(t)(tпр t). (23)
Из (22) ясно, что Рl и) может иметь корень, больший t 1 , только
на интервале (t 1 , t np ). Но на этом интервале уравнение Р1 (t) == о
эквивалентно в силу (22) и (23) уравнению
р (t) == (t tl)5 '\1 ([t 1 ]) .
tпр t 51
Последнее, в свою очередь, эквивалентно
17(t) 1 '\1 ([t 1 ])
(t t1)5 == tnp t 5\'
Все корни мноrочлена p(t) лежат не правее точки t 1 . Следова-
тельно, все ero коэффициенты относительно точки t 1 положительны
начиная со BToporo. Так как р мноrочлен пятой степени, то левая
часть уравнения (24) является cTporo убывающей функцией, при
нимающей значения между +00 (при t t 1 , t > t 1 ) и р(tпр)/(tпр tl)
при (t t пр ). Производная левой части отрицательна на интервале
(t 1 , t np )' С друrой стороны, правая часть уравнения является cTporo
возрастающей функцией с положительной производной на интер-
вале и1, t np ), принимающей значения между [l/(tпр t 1 )] [" ([t 1])/51]
при t t 1 И +00 при t t np , t < t np . Отсюда следует, что урав-
нение (24) имеет единственный простой корень на интервале (tl, t np ).
Но тоrда Р1 имеет единственный простой корень правее t 1 . Обозначим
ero через t 2 . Таким образом, экстремаль "( оканчивается в точке t 2 .
Аналоrично доказывается, что уравнение P l (t) == О имеет левее
точки t o еДltнственный простой корень. Обозначим ero t l' Тоrда "(
начинается в точке t l' Множество Т экстремали "( состоит из
четырех точек, причем крайние точки являются концевыми для
экстремали "(. Предложение 1 доказано.
Выше мы отмечали, что множество Т на экстремалях системы S,
у которых 'Фх > О, не содержит отрезков. Следовательно, из пред-
(24)
71
ложен ия 1 вытекает, что в случае, коrда 'Фх> о, множество Т
состоит не более чем из четырех точек, а так как экстремаль
обязательно определена лишь на конечном отрезке, то крайние
точки множества Т являются концевыми точками экстремали.
Экстремаль склеена не более чем из трех экстремалей системы 8'.
Предположим, что Фх == о. В этом случае существует экстремаль 1'...
системы 8, целиком находящаяся на фазовой rранице. Поскольку
Фх==О, 'Фу==О, то соответственно л==о, v==O. Следовательно, 1'...
является экстремалью системы S'. В отличие от экстремали си
стемы 8 с Фх < о, постоянно находящейся на фазовой rранице,
рассмотренной нами выше, экстремаль 1'... нельзя склеить ни с какой
друrой экстремалью. Действительно, любая экстремаль системы S,
совпадающая на некотором интервале с У... и отличающаяся от
нее, пробивает фазовое оrраничение. Отсюда следует, что если
экстремаль l' обладает свойствами 'Фх == о l' =1= 1'..., то множество Т
экстремали l' не содержит отрезка. И в этом случае справедливо
предложение 1.
Д о к а з а те л ь с т в о. Пусть ио, t1) внутренний интервал MHO
жества Т. I'о экстремаль системы 8', совпадающая на интервале
(t o , t 1 ) с 1', Poи)==yo(п 1. В этом случае ро полином степени
не выше пятой. Неравенство (18) справедливо независимо от зна
чения 'Ф.х' следовательно, t o и t 1 ДВУl}ратные корни Ро' Тоrда
рu либо полином пятой степени, либо четвертой.
Пусть ро полином пятой степени; так как Ро положителен на
интервале ио, t 1 ), то вне этоrо интервала Ро имеет еще простой
корень. Допустим, что этот корень расположен левее точки t o ,
и обозначим ero t л . В этом случае старший коэффициент полинома
Ро положителен. Полином Р1 связан с поли.номом Ро формулой
Р1 (t) == Ро (t) == " ( !1]) (6 t 1 )5. (25)
Все корни полинома Ро лежат не правее точки t 1 , следовательно,
коэффициенты разложения Р1 по степеням t t 1 не отрицательны.
Отсюда следует, что в ряду коэффициентов Р1 имеется не более
одной перемены знака. Но тоrда полином Р1 имеет не более одноrо,
причем простоrо, корня правее точки t 1 . Утверждение, что P l
имеет один простой корень левее t o доказывается аналоrично пред
ложению 1. Если ро полином четвертой степени, то аналоrичными
рассуждениями доказывается, что Р1 имеет не более одноrо, причем
простоrо, корня правее t 1 , а P l He более одноrо простоrо корня
левее t o . Тем самым мы распространили предложение 1 на случай
'Фх == о. В случае 'Ф.х == о экстремали не обязательно оканчиваются.
Они склеены не более чем из трех экстремалей системы 8'.
Перейдем к рассмотрению случая 'Фх < О. Если множество Т
не содержит внутренних смежных интервалов, то либо оно состоит
не более чем из трех точек, либо является отрезком, ибо если
экстремаль с 'Фх < о на некотором отрезке находилась на фазовой
rранице, то до посадки и после схода она, как мы видеЛУ1, Haxo
дится внутри фазовой облаСТh. Разумеется, один или оба конца
72
отрезка MorYT уходить в бесконечность. Экстремаль в этом случае
либо склеена не более чем из четырех экстремалей системы S',
ЛFбо склеена из двух экстремалей системы S' и экстремали y
Перейдем к изучению экстремалей, множество Т которых имеет
внутренний смежный интервал. Если экстремаль не находится
постоянно на rранице фазовоrо оrраничения и 'Ф6 == 1 , то осталь
ные сопряженные переменные и множество Т однозначно опреде-
ляются функцией р (t) == У (t) 1. Это ВИДНО из сопряженных урав-
нений и условий максимума.
Мы покажем, что для любых с> 0,8> О функция ер (8t) также
соответствует некоторой экстремали c}-lстеМbI S. Для этоrо paCCMOT
рим две замены переменных.
Пусть с> о, c2 == 1'
cx (c l)t==X1' c(y I)+ 1 ==У1; CZ==Zl'
cw == W 1 , си == и 1 , t == t 1 .
Нетрудно видеть, что при этом система S перейдет в себя. Сопря
женные переменные преобразуются, соrласно [1], по формулам
1 1 1
'Ф61 == ё2 'Ф 6 , 'ФХ 1 === С 'Фх' 'Ф У1 == С 'Фу'
1 1 c 1
'ФZ 1 == С 'Фz' 'ФWl == С 'Фw' 'Фt t =="""'"'с 'Фх + 'Фt.
(26)
Но класс экстремалей инвариантен относительно умножения 'Ф (t)
на положительное ЧhСЛО. Умножая эти равенства на с', получим
'ФSt == 'Ф s , 'Фх! == сФ.х' 'Фу! == СФу'
'Фz! == СФz, 'ФWl == С'фw' 'Фt! == (c 1) 'Фх + С'фt.
Если ,\,==('Ф 6 , ..., 'Ф'аН 'Фt; , ..., w, и I t) экстремаль системы S,
то, соrласно [1],
'\'1 ==('Ф61' . .'Фw 1 , 'Фt 1 ; Х 1 , У1'. .W 1 , U 1 \t 1 ),
rде компоненты '\'1' связанные с компонентами,\, по формулам (26),
(27), также являются экстремалью системы S.
Нетрудно видеть, что Рl == ер. Первая часть утверждения дo
казана.
Пусть е > о. Рассмотрим замену переменных:
85 == H х==8х 1 , У==У1' 8Z==Zl'
8 2 w==w 1 , 8 З и==и 1 , t==8tl"
(27)
(28)
При этой замене система S переходит в себя. Сопряженные пере
менные преобразуются по формулам
1
'Ф61 == w'Ф6'
1
'Фz! ==е'Фz,
'ФХ 1 == 8'Фх' 'Ф Уt == 'Фу'
. 1
'ФWl == 1)2 'Фw, 'Фt! == 8Фt.
73
Если пронормировать сопряженные переменные, умножив их
на 85, то, соrласно [1], формулы (28) и полученным выражениям 1'1
является экстремалью S'. Пусть 1'== ('Фs' ..., u (t» экстремаль
системы S. ПОЛОЖhМ 1'1 == ('Ф61 , 'ФХ1' ..., и 1 (t», rде компоненты 1'1
связаны с компонентами у по формулам (28). Леrко видеть, что
Р1 (t 1 ) == Р ( 8t д. Вторая часть утверждения доказана.
Пусть 1' полная экстремаль системы S, 'Ф == 1, 'Фх < О
и ио, t1) внутренний смежный интервал множеСТ8а Т. Мы пред-
положим, что 'Фх == 61 По доказанному выше это предположение
не затраrивает структуру множества Т. Оно лишь упростит вы-
кладки_
Пусть 1'о экстремаль системы S', совпадающая с у на hHTep-
вале (tо, t 1 ). Тоrда Ро (t) == Уо (t) 1 является полиномом шестой
степени со старшим коэффициентом, равным единице. Из неравен-
ства (18) следует, что t o и t 1 являются четно-кратными корнями
полинома Ро' Следовательно,
Ро (t) == qo (t to)2 + а о (t tO)3 + Ь о (t tO)4 + со (t to)5 + (t to)6,
(29)
qo O; qo===O ;> ао==О, Ьо>О,
Положим t 1 to == Т.
Предложение 2. Справедливо равенство
3qo + 2a o 't + Ь о т 2 == т 4 . (30)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся разложением (29). Сокра-
щая на (t tO)2, запишем условия Ро (1) == Ро (t1) === О в виде
qo + ao't + Ь о т2 + со т 3 + т 4 === О,
а о + 2Ь о т + 3с о т2 + 4т З == О.
(31)
(32)
Умножая первое уравнение на 3, а второе на т и ВЫЧl1тая, получим
3qo + 2a o 't + boT2 T4 == о.
Предложение доказано.
Относительно точки t 1 полином Ро имеет разложение
Ро (t) == q1 (t t1)2 + а 1 (t t 1 )3 + Ь 1 и t 1 )4 + С 1 (t t 1 )5 + (t t 1 )6.
(33)
Предложение 3. Справедливы следующие равенства:
ql == 2T4 aoT boT2,
а 1 === 20/ зт3 7/ з а о 8/ з Ь о Т ,
Ь 25 / T 2 5 / ао 7 / Ь
1 3 3 't' 3 О,
С 1 == 14/ з 't 1/ з a 2/3 !!д.. .
't' 't'
(34)
(35)
(36)
(37)
74
Доказательство. Из (33) следует, что
q1 == qo + 3а о 'Т + 6Ь о 'Т 2 + 1 ОС о 'Т 3 + 15т',
а 1 == а о + 4Ь о т + 1 ОС о 'Т 2 + 20'Т 3 ,
Ь 1 == Ь о + 5с о т + 15т2,
С 1 == со + 6т.
Исключая из этих равенств qo, соrласно (31), и со, соrласно (32),
и приводя подобные, получим требуемое. Извлечем некоторые
следствия из предложений 2, 3.
Предложение 4. Пусть а о О. Тоrда q1' а 1 , Ь 1 , С 1 > О.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Соrласно (29), qo О. Тоrда из (30) сле
дует, что
'Т' 2ao'Т bo'Т2 о. (38)
Отсюда следует, что T' ao'Т bo'Т2 ao'Т 0. Отсюда и из фор-
мулы (34), дающей выражение для q1, следует, Ч10 q1 'Т' > О.
Из (38) получаем T' 7/8ao'Т bo'Т2 9/ 8 а о О. Умножая это нера-
вевство на 8/з и деля на т, получим 8/зт3 7/зао 8/зЬот o. Из
формулы (35) следует тоrда, что а 1 4'Т 3 > о.
Имеем далее из (38) 'Т4 5/7aoT boT2 9/ 7 а о 'Т О. Умножая это
неравенство на 7/з и деля на 't2, получим 7/з'Т2 5/з!!::1.. 7/зЬо 0_
't'
Тоrда из (36) Ь 1 6'Т 2 > О.
Наконец, опять-таки из (38) имеем 'Т4 1/2aoT bo'Т2 3/ 2аот о.
Умножая это неравенство на 2/3 и деля на 'Т 3 , получим 2/зт
а О Ь
l/з""""'2 2/ з ...J!.. О. Отсюда и из (37) следует С 1 4'Т > О.
't' 't'
Предложение доказано.
Предложение 5. Пусть qo, а о , Ь о О и не все равны нулю.
Тоrда уравнение 3qo + 2ao + bo 2 == 4 имеет единственный положи
тельный корень, равный в силу (31) 'Т.
Д о К а з а т е л ь с т в о. Поделим обе части уравнения на 4:
3 q o / 4 + 2ao/ 3 + bo/ 2 == 1.
Слева стоит cTporo монотонно убывающая функция, принимающая
на положительных все ПОЛОЖJ1тельные значения. Отсюда следует
утверждение предложения.
Как мы уже отмечали, точки t o и t 1 являются четно-кратными
корнями полинома Ро' Следовательно, Р> О в некоторой окрест-
ности точек t o , t 1 , исключая их самих. Но тоrда к интервалу (to, tд
и справа и слева примыкают смежные интервалы множества Т.
Пусть и1, t2) смежный интервал, примыкающий справа. Если
интервал (t1' t 2 ) не является внутренним, то точка t 2 является
крайней правой точкой множества Т. Тоrда либо экстремаль KOH
чается в t 2 , либо при t> t 2 находится внутри фазовой области.
Предположим, что (t 1 , t2) внутренний 'смежный интервал MHO
жества Т.
Положим 't==(t1 tO); T1==(t2 t1)' СправеДЛltВО
Предложение 6. Пусть Т 1 т. Тоrда а 1 о.
75
д о к а з а т е л ь с т в о. Без оrраничения общности можно считать,
что 't == 1. В противном случае мы перейдем к экстремали, COOT
ветствующей функции
р' == p('tt).
't'
Ясно, что знаки коэффициентов разложения функции р' и функ
ции р совпадают. Итак, будем считать, что 't == 1, 1'1 1. Соrласно
предложению 2, 3qo + 2а о + Ь о == 1. Но qo о. Следовательно,
1 2ao bo o. (39)
На интервале (t 1 , t 2 ) l' совпадает с 1'1 экстремалью системы S'.
Следовательно, р == у 1 совпадает с Р1 == У1 1, r де Р1 полином
шестой степени. Ро (t) и Р1 (t) связаны равенством
Р1 (t) == Ро (t) v ( !1]) (t t1)o. (40)
Следовательно, коэффициенты разложения полиномов Ро и Р1 по
aprYMeHTY (t t1) при степенях, отличных от пятой, совпадают.
Но тоrда из предложения 2 применительно к интервалу (t 1 , t 2 )
вытекает
3q1 + 2а 1 1' 1 + b1't == 'tt.
Подставим в это равенство выражения q1' а 1 , Ь 1 через ао, Ь о , co
rласно формулам предложения 3. Мы получим
18+40't 1 +25ti 3'tt (9+14't1 + 5't )ao (9+16't1 + 7't )bo==0.
(41)
Соrласно предложению 3,
а 1 == 20/з '1/зао 8/зЬо. (42)
Мы покажем, что при 'Т 1 1 из неравенства (39) и равенства (41)
следует неравенство
20/з '1/зао 8/зЬо о.
Тем самым предложение будет доказано.
При 'Т 1 == 1 левая часть (41) равна
80 28ao 32bo == 12 (20/з '1 /зао 8/зЬо).
Следовательно, а 1 ==0 при 1'1 == 1. Найдем выражение (42) на пря
мой (41) как функцию а о . Для этоrо выразим Ь о через а о при
помощи уравнения (41) и подставим это выражение в (42). Имеем
18+40Т1 + 25T 3 9+ 14Т1 +5T
Ь О == 9+ 16Т1 + 7T 9+ 16Т1 + 7T а о . (43)
Умножим (42) на 3 и, используя (43), получим
3а 1 ==20 7ao 8 (. . .),
76
rде в скобках стоит правая часть (43). Умножая обе части равен-
ства на знаменатель (43), придем к выражению
3 (9 + 16'1'1 + 7 't ) а 1 ;:::: 20 (9 + 16'1' 1 + 7 'tП
8 (18 + 40'1'1 + 25't 3'tt) + [8 (9 + 14'1'1 + 5ti)
7 (9 + 161'1 + 7't )] а о . (44)
После несложных преобразований запишем свободный член правой
части (44):
12 (3 21'i) (1 'tП.
Коэффициент при а о в правой части (43) равен 9 (1 1' ). Таким
образом,
3 (9 + 161'1 + 7'tП а 1 ;:::: 12 (3 2't ) (1 1'i) + 9 (1 'tП а о .
Разделив это равенство на 3, получим
(9 + 16'1'1 + 7'ti) а 1 ;:::: 4 (3 2't ) (1 'tП'+ 3 (1 'tl) а о . (45)
Отсюда видно, что а 1 обращается в нуль при
а о ;:::: 4/ з (2'ti 3) ;:::: 4 + 8/ з 't ,
положительно при 1'1 > 1 и
а о < 4 + 8/з't ,
(46)
(47)
отрицательно при
а о > 4 + 8/ з 'ti.
(48)
Покажем, что любая точка а о , Ь о , rде Ь О определяется фор-
мулой (43), а а о > 4+ В/з'ti при '1' > 1 не удовлетворяет нера-
венству (39). Действительно, выполнение (42), (48) дает
Ь о > (20 7а о )/8.
Подставляя в (39) вместо Ь о правую часть этоrо неравенства, по-
лучим
1 2ao bo < 1 2ао (20 7ао)/8== З/2 9/8ао.
При '1'1 > 1 и а о > 4 + 8/ з 'ti
3/2 9/8aO < З/2 9/8 ( 4/з + 8/ з ('ti 1» == 3 ('ti 1) < о.
Утверждение доказано. Из Hero следует, что неравенство (39) и
равенство (43) совместны при '1'1> 1 лишь при а о 4 + 8/з't .
Но в этом случае из (45) следует, что a1 0, Предложение 6
доказано.
Обозначим Q2' а 2 , Ь 2 , С 2 коэффициенты разложения полинома
Р1 (t) по степеням t t2 при степенях второй, третьей, четвертой
и пятой соответственно.
Пусть выполнено условие предложения 4, т. е. а о o. Так
как у полиномов Ро И Р1 коэффициент а 1 общий, то из предло-
77
жения 4 следует, что q2' а 2 , Ь 2 , С 2 положительны. Теперь мы рас-
смотрим следующую ситуацию.
Пусть tо изолированная точка множества Т; qo, а о , Ь о , Co O
и qo, а о , Ь о не равны нулю одновременно. Здесь Qo, а о , Ь о , со
коэффициенты разложения полинома Ро, совпадающеrо с Р слева
от точки t o в некоторой ее окрестности. Из предположения ясно,
что Ро (t) > О при t> t o . Рассмотрим различные возможности про-
должения экстремали за точку t o вправо. Ясно, что вопрос сво-
дится к изучению возможных продолжений функции р. Поскольку
p(S) (to) == p S) (to), S == О, ..., 4, то справа от точки t o внекоторой
ее окрестности р совпадает с полиномом Р1' связанным с Ро со-
отношением
Р1 (t) == Ро (t) v o]) (t tо)Б.
(49)
Различные варианты продолжения определяются значением скачка
меры в точке t o ' т. е. величиной v ([t o ])'
Пусть '(о положительный корень уравнения (30).
Из предложения 5 следует, что 'То единственый положительный
корень уравнения (30).
Положим Л О == l/зао/'Т + 2/ з Ь о /'Т о + 4/ з 'Т о .
Предложение 7.
а) пусть со + Л О > 'v ([t o ])/5!,
тоrда полином Р1 положителен при t> t o ;
б) пусть со + Л О < 'v ([to])/5!,
тоrда на интервале (to, t o + 'То) существует единственный корень
полинома Р1' который является простым;
в) пусть с о +л о =='V«(t о ]/5!, тоrда ио+'Т о ) является единствен-
ным корнем полинома Р1 на полуоси t > t o , причем ero кратность
равна двум.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Разложение полинома Р1 по степеням
(t t o ) имеет вид
Р1 (t) == Qo (t t O )2+ а о и t O )3 + Ь о (t t O )4 +
+ (Co " (ио])/5!) (t tо)Б + (t t o )6.
Так как Qo, а о , Ь о , со О, то в ряду коэффициентов разложения
может быть не больше двух перемен знака. Следовательно, поли-
ном Р1 имеет не более двух корней, больших t o , общей крат-
ности 2.
Начнем доказательство с пункта в. Положим Co " [(to)]/5! == л
и будем искать л из условия, что полином Р1 имеет двукратный
корень, больший t o . Из доказательства предложения 2 видно, что
это будет лишь при л == л о , и корень будет равен (to + 'То)' Поли-
ном Р1 положителен на полуоси t t o , исключая точки t o и ио '(о).
Пункт в доказан. В случае в Р1(t)==ро(t) (Со+Ло)(t tо)Б-
В случае а при t > t o . Р1 (t) > ро (п (co + л о ) и t o )5. Следо-
вательно, Р1 (t) > О при t > t o . Пункт а доказан.
78
В случае б Pl (t) < Ро (t) (co + ло)(t tо)5, t> ' о . Отсюда сле-
дует, что Р1 (to + то) < о. Но в окрестности точки t o ' исключая
ее самое, Pl и) > О. Следовательно, на интервале (to, t o + То) есть
корень Р1' С друrой стороны, старший коэффициент Р1 равен 1.
Следовательно, правее точки ио + То) есть корень Р1' Но суммар-
ная кратность этих корней равна 2. Следовательно, эти корни
простые. Пункт б доказан, а вместе с ним и все предложение.
Из предложения 7 следует, что есть три типа продолжения
функции Р. В случае а функция Р совпадает с полиномом Р1'
Экстремаль правее точки t o все время находится внутри фазовой
области. Точка t o является крайней точкой множества Т. В слу-
чае б полином Pl имеет правее t o простой корень. В этой точке
экстремаль оканчивается; множество Т имеет правее t o одну
точку, в которой экстремаль оканчивается. В случае в через
время, равное То, полином Р1 обращается в нуль, причем корень
является двухкратным. Экстремаль вновь выходит на rраницу
фазовоrо оrраничения, касаясь ее. Интервал (to, t 1 ) является
смежным интервалом множества Т.
Положим
Р1 (t) === q1 (t tl)2 + а 1 (t t 1 )3 + Ь 1 (t t 1 )4 + С 1 (t t1)5+(t t 1 )6.
Тоrда из предложения 4 следует, что Ql, а 1 , Ь 1 , С 1 > О. в точке t 1
возникла ситуация, аналоrичная той, которую мы предположили
в точке t o . Только роль полинома Ро теперь иrрает полином Р1'
Продолжение в можно итерировать. Мы получим продолже
ние со счетным числом выходов экстремали на фазовую rраницу.
Пусть t o , t 1 , t 2 , ..., t n , .,. точки выхода экстремали на фазо-
вую rраницу, расположенные в порядке возрастания. Функция Р
на интеr вале ио, t 1 ) совпадает с полиномом Р1, на интервале
(t1, t2) C полиномом Р2 И т. д. Таким образом, на интервале
иn 1' t n ) функция Р совпадает с полиномом Рn' Наконец, поло-
жим T1===(t1 to); Т2===(t2 tд, ..., Tn===(tn tn l) ...
Предложение 8.
Тn+1/Тn 3, n === 1, 2, 3 ...
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку для продолжения экстремали
используется всякий раз один и тот же тип продолжения,
а именно тип в, и так как мы не делали никаких дополнитель-
ных предположений о коэффициентах Qo, а о Ь о , кроме их неотри-
цательности и нетривиальности, то, очевидно, предложение будет
доказано, если мы докажем, что Т 2 3т 1 . Доказывается методом
индукции.
Положим
1
Р (t) ===""'6' p(T 1 t).
1'1
Тоrда смежный интервал (to, t 1 ) перейдет в интервал длины 1,
а интервал (t 1 , t2) B интервал длины Т2/Т1 === т. Между коэффи-
циентами разложения полиномов Р1 и Р1 по степеням (t t o )
79
имеется, очевидно, следующая связь:
qo == qo/'tt, а о == a o /1:f, Ь о == b o /1:f.
Из уравнения (30) получаем
3q + 2а о + 60 == 1.
Соrласно предложению 3,
q1 == 2 tlo bo,
а 1 == 20/з 7 /зао 8/зЬо,
Ь .... 25 / 5 / а '" 7 / "' ь
1 3 3 О 3 о.
(50)
(51)
Тоrда, cor ласно предложению 2, 1: == 1: 2 1'Т: 1 является корнем урав-
нения
3q1 + 2а 1 1: + Ь 1 т 2 == '{ 4 .
докажем, что из неравенства
формул (51) следует, что
't 3.
Очевидно, равенство (50) и неравенство O эквивалентны не-
равенству 1 2ao bo О. Нетрудно проверить, что при условиях
1 2ao 60 0, ao O, 6o 0 минимумы minQ1, mina 1 , miпЬ 1 до-
стиrаются в одной и той же точке (tlo == о, Б о == 1). Следовательно,
при 00 == о, Ь О == 1 каждый из коэффициентов уравнения (52) дости-
raeT CBoero минимальноrо значения. Но так же леrко видеть, что
положительный корень уравнения (52) является монотонно воз-
растающей функцией коэффициентов. Следовательно, наименьший
корень получается при q1 == 1; а 1 ==20/з 8/з == 4; Ь 1 == 25/з 7/з===6.
В этом случае корень уравнения (52) равен 3. Предложение до-
казано.
Из доказанноrо предложения следует, что точки касания ухо-
дят в 00, причем расстояния между ними возрастают не медлен-
нее rеометрической проrрессии. Заметим, кстати, что максималь-
ное отношение 't 2 /'t 1 , Т. е. максимальный корень 1: уравнения (52)
получается при а о == о, 60 == О, ибо при этих значениях одновре-
менно достиrается максимум всех трех коэффициентов: q1' а 1 , Ь 1 -
Максимальное 't не превосходит 4. Коэффициенты iiп l' an 1' fi,, l
1
полинома '"'6" Рn ('tnt) относительно точки t n -- 1 /1: n назовем норм и-
'tn
рованными коэффициентами полпнома Рn относительно точки. 'n 1'
Связь между нормированными коэффициентами qn l' an 1' b n -- 1 и
коэффициентами Qn--1' an 1' bn 1' очевидно, дается формулами
(52)
Qo, 00, 60 О, равенства (50) и
Qn--1 == qn--1/т;h; an 1 ==an 1/1: ; 6n 1 == bn l/t .
O
Обозначим через симплекс
a O, b O, 1 2a b O.
Из уравнения 3qn--1 + 2a n -- 1 't n + bn--1't == 't следует, что нормиро
ванные коэффициенты а n -- 1 , bn 1 принадлежат . Нормированные
коэффициенты с номером n получаются из нормированных коэф-
фициентов с номером n 1 следующим образом: Положим
q == 2 an--1 Бn l'
А ....
a == 20/з 7/ з а n __ 1 8/ЗЬn__1'
b == 2Б/з 5/заn__1 7/ з Ь n __ 1 -
(53)
Пусть 't KopeHb уравнения 3q + 2a 't + b 't2 == 't 4 .
Тоrда
.... ,,4'" , / ,3 b Ь ' / ,2
qn == qn/'t n ; а n == а n 't n ; n == n 't n -
(54)
[tоказательство ЭТhХ формул элементарно. L(ействительно, смеж-
ный интервал, соответствующий полиному Рn ('tnt) имеет длину 1.
'rn
Тоrда коэффициенты q , a , b яВляются коэффициентами поли-
1
нома 6"' Рn+1 ('tnt) В точке tn/'t n .
'rn
Соrласно предложению 8, 't === 't n -- 1 /'t n . Отсюда следует, что
... .... .... 1
qn, а n , Ь N являются коэффициентами полинома Pn+l('tn+1t)
'{n+1
В точке t === t n /'t n + 1 , Т е. нормированными коэффициентами поли-
нома Рn+l' Из формул (53), (54) Видно, что переход от Qn--1,
an 1' --1 к q....n' а""", Ь: задается преобразоваНhем, не зависящим
от номера n, мы имеем преобразование симплекса в себя. Обо-
значим ero через f. Итак,
f: ' 'lao, bo p', а', Ь';
р', а', Ь' 't' а 1 , Ь 1 ,
(55)
rде переходы совершаются, соrласно формулам (53), (54). Совер-
шенно ясно, что f непрерывно дифференцируемое отображение,
определенное в некоторой окрестности . Нас будут интересовать
инвариантные множества отображения f. Они заведомо сущест-
вуют, ибо у f существуе r неподвижная точка, (f непрерывное
преобразование симплекса в себя).
Интерес к инвариантным множествам естествен. Если у точки
Go, ho есть прообраз, то экстремаль можно продолжить влево еще
на один интервал (t I' t o ) так, чтобы р (t) == Ро (t), rде Ро (t)
полином, положительный на интервале (t 1, t o ), имеющий четно-
кратные корни t-- 1 , t o и неотрпцательные коэффициенты Q--1'
а.. 1 , Ь.. 1 .
81
Следовательно, если а о , b принадлежат инвариантному MHO
жеству, то экстремаль можно продолжить счетное число шаrоВ
влево от точки t o , не нарушая неотрицательности коэффициентов
q, а, Ь. Но тоrда нз предложения 8 будет следовать, что после-
довательность t n t (n+1) убывает не медленнее rеометрической
проrрессии с показателем 1/3. Следовательно, последовательность
точек t n сходится справа к некоторой точке t*. Экстремаль можно
продолжить слева от точки t*, просто оставив ее на фазовой rpa
нице, ибо в точке t* необходимые rраничные условия выполнены.
Мы получим в таком случае новый тип схода экстремалп с фа-
зовой rраницы схода при помощи счеТноrо множества скачков
меры v. Итак, с каждым инвариантным множеством связан опре-
деленный способ схода экстремали с фазовой rраницы при по-
мощи счетноrо множества скачков меры v. Поэтому нас и инте-
ресует вопрос описания инвариантных множеств преобразования f.
Выше мы rоворили, что хотя бы одно инвариантное множе
СТВО, а именно неподвижная точка, существует. В этом случае,
очевидно, последовательность {t n } n == 00, + 00 является в точ
ности rеометрической проrрессией. Следовательно, механизм схода
при помощи сч тноrо множества скачков действительно сущест-
вует в системе s.
Наша задача выяснить полностью как механизм схода, так
и механизм посадки экстремали на фазовую rраницу.
Предложение 9. Отображение f стяrивающее отображение.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Оценим отображение f'. Из формул (53)
следует, что
q' == a., bo, а' == 7 / зао 8/зho, У? == 'iJ/зао 7/ зЬо' (56)
Здесь чертой сверху обозначим линейные части приращений.
Нетрудно видеть, что ? связано с величинаМИ ct', а', У?
уравнением
3(;' + 2а' -r' + ь' -r,2 == (4-r,a 2а' 2Ь' -r') ? .
Р ,-1,
азделив это равенство на -r , получим
3q' j-r,4 + 2а' /-r,a + ii' /-r''I. == (4 2а' /-r,a 2Ь' /-r''I.) :r' /-r' ==
==(4 2a1 2b1):r'/-r'. (57)
Из (54) следует, что
а' а' ( :f' ) l? -fi
а == 3 == 3a1
1 '{'3 '{'3 'f '{,а 'f '
l? ?
Ь 1 == 2b1 .
'{,2 'f
(58)
Из формул (56), (57), (58) можно выразить а 1 , Ь 1 через а о , ь о '
Так как эта зависимость линейна, то
а 1 == Аа о + вь о ;
== Са о + Dbo.
(59)
82
Мы покажем, что
IAI, IBI, ICI, ID/ < 1/2.
(60)
Эrо устанавливается прямым подсчетом:
А 7 3ai ( 3 14 5 )
== 3't,a 4 2а1 2Ь 1 ? 3't" 3't,2 ==
+ 3а1 ( + + )
3't" 4 2а1 2b 1 '{,4 3't'З 3't,2 .
А представим в виде разности двух положительных членов.
Ясно, что достаточно показать, что каждый из них не превос-
ходит 1/2' Соrласно предложению 8, 1" 3. Отсюда модуль пер..
Boro слаrаемоrо меньше 1/2' Так как а 1 , Ь 1 e: , то
а 1 1/2' 4 2a1 2b1 2.
Второе слаrаемое оценивается сверху числом
3/4 (1/з3 + 14/3.38 + 5/33) == 1/36 (1 + 14/з + 5) < 1/2.
Поэтому I А I < 1/2'
Далее имеем
B== + 3а1 ( + +...!.. )
3't,8 4 2а1 2Ь 1 '{,4 3't,8 3't,2 .
Первое слаrаемое не превосходит по абсолютной величине 8/34<11'1..
Второе не превосходит
3/4(1/з3+ 16/з.з8+ 7/33) ==1/36 (1 + 16/з+ 7) < 1/2'
Поэтому I в I 1/2' Рассуждения для С и D аналоrичные, приве-
дем лишь их исходные выражения:
C== + 2Ь 1 ( ..2..+ + ) .
3't,2 4 2а1 2Ь 1 '{,4 3't,8 3't,2 '
D == ....!.........+ 2Ь 1 ( ..2..+ + )
3't,2 4 2a1 2b1 '{,4 3't'З 3't,2 .
Из неравенства (60) следует, что
'а 1 1 <11/2(/aol+l 1),
'Ь 1 1 < 1/2(laol+J I),
(61 )
отк уда
I I+ I I < 1 I+t /.
Поскольку выпуклое множество, то из (61) следует, что f
стяrивающий оператор относительно нормы, равноЙ I а о I + I Ь о 1.
Предложение доказано.
Из предложения 9 сразу следует, что отображение f имеет
единственную неподвижную точку и что эта точка является ero
единственным инвариантным множеством. Отображение f стяrи-
83
вает симплекс к этой неподвижной точке. Теперь
можем завершить исследование системы S.
Рассмотрим замену переменных:
S==Sl' X==X1' У==У1' Z==Zl' W==W 1 ,
U == и 1 , t == t 1.
мы уже леrко
(62)
Элементарно проверяется, что система S переходит в себя. Сопря-
женные переменные преобразуются, соrласно [1], по формулам
'Ч>;, == 'Ф , 'Фх, == + 'Фх; 'Ф У1 == 'Фу;
'ФZ s == + 'ФZ' 'ФWs == 'Фw, 'Фt l == 'Фt.
Соrласно [1], любая экстремаль системы S преобразованиями (62),
(63) переводится в экстремаль системы S. Функции р и Р1 при
этом связаны соотношением
(63)
P( t1)==P1(t1)' (64)
Используя эту замену, мы получаем возможность исследовать
«прошлое» экстремалей на основании полученных предложений
о их «будущем».
Посмотрим, что мы можем сказать о поведении экстремалей,
о их взаимодействии с фазовой rраницей. Речь, конечно, пойдет
об экстремалях типа 'Ф :.::: 1; 'Ф. == 6! При преобразовании (62),
(63) экстремаль сохраняет эти характеристики. Мы уже отмечали
выше, что к каждому внутреннему смежному интервалу множе-
ства Т справа и слева примыкают смежные интервалы множе-
ства Т.
Пусть l' экстремаль системы S, причем 'Ф s == 1, 'Фх == 6!
Пусть «о, t 1 ), (t 1 , t2) примыкающие внутренние интервалы мно-
жества Т экстремали 1'.
Предложение 10.
а) пусть t 1 t2 (tO t1)' Тоrда правее точки t 2 множество
т либо конечное множество, либо Т является возрастающей
последовательностью, причем расстояния между соседними точками
возрастают не медленнее rеометрической проrрессии с показа-
телем 3;
б) пусть t 1 t2 < (tO t1)' Тоrда левее точки t o множество
т либо конечное множество точек, либо Т убывающая после-
довательность, причем расстояние между двумя соседними точ
ками возрастает не медленнее rеометрической проrрессии с пока-
зателем 3.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение а следует из предложе-
ний 6, 7. Случай 6 сводится к случаю а при помощи преобра-
зования (62), (63), ибо, как леrко Вhдеть, экстремаль с характе-
ристиками 'Ф s == 1, 'Фх == 6! переходит в экстремаль с теми же
характеристиками. Предложение доказано.
Следствие 1. Если t2 t1==(t1 tO)' то справа от точки t 2
множество т устроено по типу а, а слева от t o по типу б дан-
Horo предложения.
84
Таким образом, в этом случае мы имеем полное описание MHO
жества Т. Назовем точку t предельной точкой для множества
смежных интервалов множества Т, если в любой ее окрестности
существует хотя бы один смежный интервал, целиком ей принад
лежащий.
С л е Д с т в и е 2. Множество точек Т, предельных для ero
смежных интервалов, состоит не более чем из двух точек.
Доказательство. Пусть t** точка, в любой правой
окрестности которой имеется хотя бы один смежный интервал
множества Т. Тоrда в сколь уrодно малой правой окрестности
-rочки t** найдется пара примыкающих внутренних интервалов
множества Т, правый из которых имеет большую длину, чем ле
вый. Тоrда из предложения 10 следует, что правее этой пары
множество Т не содержит предельных точек. Так как такая пара
существует сколь уrодно близко от точки t**, то множество Т не
имеет предельных точек правее точки t**. Отсюда следует, что
существует не более одной точки, предельной справа для множе-
ства смежных интервалов Т.
Пусть точка t* предельна слева для смежных интервалов MHO
жества Т. Рассуждая аналоrично, получим, что левее t* множе
ство Т не имеет предельных точек. Следовательно, левых пре-
дельных точек также не более одной. Кроме Toro, ясно, что
i. t**. Следствие доказано.
Выясним, как устроено множество Т правее точки t**, левее точ-
ки t* и между точками t*, t** .Введем для удобства изложения сле-
дующее, может быть спорное, обозначение. Пусть у экстремаль
системы s. Тоrда через y обозначим экстремаль системы S, свя-
занную с у отображением (62), (63). Очевидно, ( у) ==1'.
Предложение t 1.
а) правее t** в каждой точке Т, не являющейся крайней,
нормированные коэффициенты являются неподвижной точкой пре
образования {;
б) левее t* для каждой точки t Е Т, не ЯВJlяющейся крайней,
нормированные коэффициенты экстремали y в точке t являют-
ся неподвижной точкой преобразования {;
в) каждая точка отрезка [t*, t**] принадлежит Т.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из предложения 1 О следует, что правее
i** для любых двух внутренних смежных инте рвалов множества Т
длина левоrо меньше длины правоrо.
Но тоrда из предложения 6 следует, что во всех точках Т
правее точки t**, исключая крайнюю, функция Р (t) имеет поло
жительные коэффициенты q, а, Ь.
Пусть t o Е Т, t o > t** и t o не является крайней точкой Т.
Тоrда существуют точки t 1 , t 2 , ..., t n , принадлежащие Т, моно-
тонно убывающие при n -------+ 00 И t n -------+ t**. Ясно, что нормирован-
ные коэффициенты в точке t o связаны с нормированными коэффи-
циентами в точке t n преобразованием { n . Так как n произвольно,
то нормированные коэффициенты принадлежат образу симплекса
при сколь уrодно кратном применении отображения {. Но по
85
предложению 9 отображение f стяrивает. Следовательно, норми
рованные коэффициенты в точке t o являются неподвижной точкой
отображения f. Положение а доказано.
Случай 6 следует из а в результате перехода от экстремали у
к экстремали y, ибо левая предельная точка экстремали у,
взятая с обратным знаком, является правой предельной точкой
экстремали y.
Докажем положение в. Из предыдущеrо предложения следует,
что на отрезке [t*, t**] имеется не более конечноrо числа смеж
ных интервалов.
Допустим, что отрезок [t*, t**] не принадлежит множеству Т.
Пусть ио, t 1 )c[t*, t**] смежный интервал множества Т. Тоrда,
как мы установили раньше, точки t o и t 1 изолированные точки
множества Т. Отсюда следует, что и точки t* и t** являются
концами смежных интервалов, принадлежащих отрезку [t*, t**].
Но тоrда точки t., t** изолированные точки множества Т, что
противоречит условию предложения. Таким образом, на отрезке
и., '**] нет смежных интервалов множества Т. Следовательно,
отрезок [t*, t.*] с Т. Предложение доказано.
Нам остается заметить, что отрезок может вырождаться в точку,
коrда t. == t.*, или становится неоrраниченным, коrда t*. == +00
или t* == oo. Ранее мы видели, что возможен и вариант t. == oo
t** == +00, т. е. экстремаль все время находится на фазовой rpa-
нице. Таким образом, мы полностью описали характер экстрема
лей системы S с 'Ф s == 1. В начале исследования мы rоворили,
что следует ожидать наличие механизма посадки экстремали на
фазовую rраницу и схода с нее при помощи счетноrо множества
скачков.
Предложение 11 полностью описывает этот механизм.
Посадка и сход осуществляются при помощи счетноrо множе
ства скачков меры, принадлежащей экстремали. В каждой точке
скачка экстремаль касается фазовой rраницы. Так как нормиро-
ванные коэффициенты в точках касания постоянны, то при посадке
смежные интервалы убывают CTporo по rеометрической проrрес
сии, причем знаменатели их постоянны, не зависят от экстремали
и взаимно обратны. Отсюда следует, что сопряженные перемен
ные в точких скачка убывают по соответствующей проrрессии при
посадке и возрастают при сходе. Причем для каждоrо сопряжен
Horo переменноrо знаменатель не зависит от экстремали. Знаме-
натели при посадке и сходе для каждоrо сопряженноrо перемен-
Horo взаимно обратны.
Посмотрим, сколько параметров определяет, например, сход.
Пусть сход осуществляется в момент времени t == О. Функция
правее точки схода, соrласно предложению 11, имеет два пара-
метра: КОэффl/.циент изменения масштаба времени и множитель
при р. Иными словами, сход может осуществляться при помощи
любой функции из семейства ер (et). Мы имеем уже два пара
метра: е. и е. Третьим параметром является время, прошедшее
после схода. Обозначим ero t.
86
По времени t и по величине е определяется наибольшая точка
касания, меньшая времени t. Обозначим ее t max .
Четвертым параметром является скачок меры в точке t max .
С помощью этоrо скачка мы покидаем экстремаль, при помощи
которой осуществлялся сход.
Итак, мехаНFЗМ схода обладает четырьмя параметрами, на еди
ницу больше, чем число переменных у, z, w. Совершенно такая
же картина при посадке. Нестроrие соображения, которые мы
привели в начале исследования, не обманули нас. По-видимому, и
вообще в любой системе механизмы схода и посадки достаточно
боrаты.
Нам остается привести уравнения, при помощи которых мы
можем вычислить знаменатели проrрессий и коэффициенты в точ
ках касания, на экстремалях, осуществляющих сход и посадку.
Достаточно их вычислить для схода. Для посадки они получаются
с помощью преобразования (62), (63).
Неподвижная точка отображения f характеризуется в силу (54)
следующими уравнениями:
q /T4 == Qo, a /т;3 == а о , b /т;2 == Ь о .
Используя формулы (53), получим
6 т;4 == (3 2т;4) а о + (3 т;4) Ь о ,
20 == (7 3т;3) а о + 8Ь о ,
25 == 5а о + (7 3T2) Ь О '
ДЛЯ Toro чтобы система была совместна, необходимо и доста-
точно, чтобы определитель
6 т;4 3 2т;4 3 т;4
20 7 3т;3 8 == О.
25 5 7 3т;2
Положительные корни этоrо уравнения и есть знаменатели схода и
посадки. Нетрудно показать, что уравнение имеет только два поло
жительных корня. После Toro как найдено т;, нормированные
коэффициенты а о и Ь о определяются из Лl1нейной системы.
Мы полностью изучили экстремали, у которых 'Ф6== 1. Нам
осталось изучить экстремали, у которых "'6 == О. Но тоrда из
принципа максимума следует, что 'Фw==О, откуда 'Фz==О и 'Фу ==0.
Так как экстремаль не тривиальна, то 'Фх :;60, 'Фх+ л==О. Следо-
вательно, 'Фх < о. Поскольку л == 'Фх == const, то экстремаль все
время находится на фазовой rранице.
В работе [6] рассмотрена следующая задача:
t 1
J == (у+ u 2 /2)dt тin, у==и, у;::: 1;
t o
t o , У ио), у ио), У ио), t 1 , у (1), у (1), ii ид заданы.
87
Эта задача допускает каНОНhческую запись в системе s:
X1 XO+ Sl SO min,
х==у, y==z, z==w, W==U, y l;
t o , уо, Zo, W o ; t], У1' Zl' w 1 фиксированы.
Экстремали задачи [6] являются подклассом экстремалей системы S,
дЛЯ которых выполнено неравенство 'Фх < О. Неудивительно поэто-
му, что в задаче [6] может осуществляться сложная посадка (сход)
экстремали на фазовую rраницу. В работе [6] не исследуется
структура полных экстремалей, однако доказывается, что посадка
(сход) экстремаЛI1 на фазовую rраницу при помощи счетноrо мно-
жества скачков меры, осуществляется автомодельно.
Доказательство основано на существовании автомодельноrо
решения и на строrой выпуклости функционала задачи. Наше
исследование опирается исключительно на условия экстремаль-
ности и является значительно более полным.
2.3. Система с фазовым оrраничением fлубины 3 и локальным
оrраничением на управление
Мы рассмотрим систему, отличающуюся от системы из разд. 2.2
несколько иным оrраничением на управление. Если в системе
разд. 2.2 управление подчинялось интеrральному оrраничению, то
здесь оно будет подчиняться локальному оrраничению.
Локальность оrраничения на управление приводит к дополни-
тельным сложностям, ибо связь между сопряженными перемен-
пыми и управлением становится нелинейной. И без Toro rромозд-
кое исследование разд. 2.2 станет еще более rромоздким. Мы,
однако, исходим из Toro, что rромоздкость исследования во мно-
rOM кажущаяся. Пожалуй она состоит более Bcero в том, что для
исследования (качественноrо) привлекаются конкретные вычисле-
ния. Но следует обратить внимание на то обстоятельство, что,
казалось бы, в разных системах разд. 2.2, 2.3 используется и
приводит к цели одна и та же процедура исследования и что
вычисления (разные в разных системах) обосновывают общий вы-
вод. Все это rоворит о том, что rде-то недалеко «лежат» общие
теоремы, реrулирующие исследование систем r лубины 3. Начи-
нать, однако, надо с исследования конкретных моделей, а при
этих исследованиях, если учесть отсутствие общей теории возни-
кающих при этом систем, использование конкретных оценок не-
избежно.
Итак, приступим к исследованию экстремалей системы дан-
Horo раздела.
Система S ймеет вид
х==у, y==z, z==w, w==u,
lul l, y l.
(1)
88
Соrласно [1], мера, соответствующая экстремали данной си-
стемы, не содержит синrулярной составляющей. Следовательно,
условия экстремальности выrлядят так:
Н == 'ФхУ + 'Ф у Z + 'Фz W + 'Фw U + 'Фt.
Orкуда
x==o, у(==)'Фх+л(t), 'Фz=='Фу,
w === 'Фz, 'Фt == о; (2)
('Фу пр (t) 'Фу (t)) == v ([t]),
r де л (t) О . бсолютно интеrрир уемая на каждом конечном ин-
тервале функция, а v (dt) дискретная неотрицательная мера.
Условия дополняющей нежесткости:
s (у l)(л(t)dt+v(dt)) ===0.
(3)
Условие максимума:
'Фw U == I 'Фw 1.
(4)
Внутри фазовой области, т. е. при У> 1, экстремаль системы S
совпадает с экстремалью системы S', которая отличается от си
стемы S тем, что опущено фазовое оrраничение.
Условия экстремальности в системе S' мы получим из условий
экстремальности в системе S, положив л==о, v===o. Как и в пре-
дыдущих разделах, мы будем изучать полные экстремали. Пусть
1' экстремаль системы S. Мы предположим сначала, что l' нетри-
виальна на любом подотрезке своей области определения. Тоrда
на каждом временном интервале, на котором l' находится внутри
фазовой области, она совпадает снекоторой нетривиальной экстре-
малью системы S'. Выделим экстремаль 1' целиком проходящую
по фазовой rранице. Очевидно, у == 1, z == о, w === о, u == о. Из по-
следнеrо равенства и условия максимума следует, что -Фw == о. От-
сюда и из сопряженных уравнений получаем -Фz == о; -фу == о. По-
скольку экстремаль нетривиаJlьна, то -Фх =1= о. Из сопряженных
уравнений следует тоrда, что
-Фх < о, -фх+л==о, v==O.
Пусть экстремаль l' совпадает левее точки t == t* с экстре-
малью у, а правее точки t* находится внутри фазовой области.
Если v ([t*]) > о, то
'Фу пр (t*) == v ([t*]) < о.
Но из сопряженных уравнений вытекает -Фw == 'Фу' Следовательно,
правее точки t* 'Фw < о, откуда в силу условия максимума u == l.
Но тоrда правее точки t* фазовое оrраничение нарушено, а это
89
означает, что 'V ([t*]) == О. Тоrда, как леrко видеть, правее точки t.
уи)== 1 + ! (t t*)3.
Из проведенноrо рассмотрения ясно, что мера в системе 5 является
притяrивающим фактором (так же, как и в системе предыдущеrо
примера) и что «простейший» сход С фазовой rраницы не имеет
параметров. Все соображения, которые мы привели в связи с этим
в предыдущем примере, остаются, конечно, в силе и в данном
случае.
Положим, p(t)==y(t) I. Как и выше, положим T=={tlp(t)==O}.
Пусть ио, t1) смежный интервал множества Т, на котором экстре-
маль У определена. Тоrда на ио, t 1 ) У == Уо, rде Уо нетривиаль-
ная экстремаль системы 5'. Очевидно,
p(t)==po(t), tE[to, t 1 ]. (5)
Предложение 1. Пусть t == t. принадлежит области определе-
ния экстремали у. Тоrда р и*) ро и*).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для t. Е ио, t 1 ] утверждение предложе-
ния следует из (5).
Пусть t* > t 1 . Так как 'Фw, 'Фz' 'Фу I t 1 == 'Фоw, 'Фоz' 'Фо у I t 1 , то из
сопряженных уравнений следует, что на отрезке [t 1 , t*] справед-
ливо равенство
'Фw и) 'Фоw и). (6)
С друrой стороны, 'Фоw полином степени не выше третьеЙ, не
равный тождественно нулю, ибо уо нетривиальная экстремаль.
Тоrда из условия максимума следует, что u (t) и о (t), t Е [t 1 , t*].
Но р (1) == Ро (t1); р (1) == Ро ид. Следовательно, р (t) Ро и),
t Е ин t*]. Утверждение предложения доказано.
Случай t. < t o мы сведем к уже рассмотренному при помощи
замены переменных. Положим
х== X1; У==У1; z== "1; w==w 1 ; t== t 1 ;
u == и 1 .
(7)
При такой замене система переходит в себя. Cor ласно [1], сопря-
женные переменные преобразуются следующим образом:
'Фх! == 'Фх' 'Фу! == 'Фу' 'ФZ 1 == 'Фz' 'ФW 1 == 'Фw' 'Фt 1 == 'Фt. (8)
Из [1] следует, что преобразованиями (7), (8) экстремаль У пере-
ходит в экстремаль У' системы 5, а экстремаль Уо В экстремаль
y системы 5'. При этом р' (t) == Р ( t); p (t) == Ро ( t). Следова-
тельно, p'(t)==p (t), tE[ t1' to]' a t*> to'
Тоrда по доказанному имеем
р' ( t.) p ( t*),
откуда следует утверждение предложения.
Предложение 2. Пусть ио, t1) оrраниченный смежный интер-
вал множества Т, причем экстремаль У определена в окрестности
90
точек t o и t 1 . Тоrда точки t o и t 1 являются изолированными точ-
ками множества Т.
Доказательство. Покажем, что t1 изолированная точка
множества Т. На интервале (t o , t 1 ) l' совпадает с 1'0 нетривиаль-
ной экстремалью системы S'. Следовательно,
р (t) == Ро (t), t Е ио, t 1 ].
(9)
Из условия предложения получаем
Ро ио) == Ро ио) == Ро (t 1 ) == Ро (11) == о;
Ро (t) > о, t Е (to, t 1 ).
(10)
Из сопряженных rуравнений ясно также, TO функции р И Р I
дважды непрерывно дифференцируемы. Если р (t 1 ) > о, то точка t 1 ,
очевидно, является изолированной точкой множества Т. Пусть
jj (1) == о. Из (9) следует, что и Ро (t1) == о. Из сопряженных урав-
нений инеравенства (10) вытекает, что в левой окрестности точ-
кь t 1 и о (t) == 1 и, следовательно, 'Фош < О. Отсюда 'Фош (t1) о.
Если 'Фоw(t 1 ) < о, то uO(t)== 1 в окрестности точки t 1 , и тоrда
Ро и) == (t t1)3' t> t 1 .
Следовательно, Ро (t) < О при t> t 1 . Из предложения 1 р (t) < о
t 1 > t 1 . Стало очевидным, что экстремаль l' непродолжима за
точку t 1 . Это противоречит условию данноrо предложения. Отсю-
да следует, что 'Фош (t1) О.
Рассмотрим 'Фоz (t 1 ). Если 'Фоz (t1) > о, то 'Фош (1) < О в правой
окрестности точки t 1 , откуда и о (t) == 1 в правой окрестности
точки t 1 . Но, как мы видели, это противоречит условию пред-
ложения.
Пусть 'Фоz (1) < О. Так как 'Фw непрерывно дифференцируе
мая функция, то из совпадения l' и 1'0 на интервале ио, t 1 ) сле-
дует, что 'Фw (1) == 'Фоw (t1) == О. Из сопряженных уравнений тоrда
следует, что 'Фw и) > о в правой окрестности точки t 1 . Из условия
максчмума получим, что u (t) == 1 в правой окрестности ТОЧКh tl' Сле-
1
довательно, p(t)==3i(t t1)3' t>t 1 . Отсюда следует, что точка
t 1 изолированная точка множества Т.
Наконец, рассмотрим случай 'Фоz (t1) == О. Примем во ВНЕмание,
что 'Фоw является полиномом степени не выше третьей, и, следо-
вательно, в случае 'Фоw (t 1 ) == о; 'Фоz (t1) == о точка t 1 является дву-
кратным корнем полинома 'Фош' При этом из неравенства 'Фош (t) < о,
справедливоrо, как мы видели, в левой окрестности точки t 1 ,
следует, что 'Фо у (t 1 ) О. Если 'Фх о, то 'Фош не меняет знака на
интервале (to, t 1 ). Если же 'Фх > о, то на интервале (to, t 1 ) может
быть не более одной перемены знака у функцьи 'Фоw, причем по-
следовательность знаков имеет вид «+», « » (в порядке возра-
стания 1).
91
В этих случаях нельзя удовлетворить равенствам условия (10).
Таким образом, все случаи разобраны и доказано, что t 1 является
изолированной точкой множества Т.
Точка t o рассматривается совершенно аналоrично. Тем самым
предложение доказано.
Пусть l' полная экстремаль системы S. Мы рассмотрим два
случая: 'Фх о; 'Фх < о. Так же как и в разделе 2.2, эти случаи
ярко отличаются друr от друrа.
Пусть 'Фх О и (to, t1) оrраниченный смежный интервал мно-
жества Т, причем l' определена в окрестности точек t o , t 1 . Тоrда
справедливо
Предложение 3. Левее точки t o и правее точки t 1 имеется
не более одной точки множества Т.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Соrласно предложению 2, точки t o и
t 1 изолированные точки множества Т. Следовательно, в левой
окрестности точки t o , на интервале (to, t 1 ), в правой окрестности
точки t 1 экстремаль l' совпадает соответственно с l' lt 1'0' 1'1
нетривиальными экстремалями системы S'. Покажем, что правее
точки t 1 имеется не более одной точки множества Т.
Пусть 'Фх> о. Тоrда из сопряженных уравнений следует, что
'ФОW является полиномом третьей степени с отрицательным стар-
шим коэффициентом.
Из условия максимума вытекает
Ро (t) == sign 'Фоw (t).
(11)
Из условий (10) следует, что на интервале (to, t 1 ) и О (t) имеет
хотя бы одно переключение, причем если 'Фоw положительно в пра-
вой окрестности точки t o , то переключений будет хотя бы два.
Из сказанноrо вытекает, что 'Фоw имеет три вещественных
корня, по крайней мере два из которых расположены правее
точки t o . Но, соrласно сопряженному уравнению, 'Фоw и 'Ф1W свя-
заны условием
'Ф1W (t) == 'Фоw и) v 1]) (t t1)2. (12)
Orсюда видим, что 'Ф1W (t) также имеет три вещественных корня,
по крайней мере два из которых лежат левее точки t 1 . Но тоrда
функция Р1 (() имеет правее точки t 1 единственный, причем про-
стой, корень. Следовательно, в этой точке экстремаль l' окан-
чивается.
Предположим, что 'Фх == о. Тоrда 'Фоw полином степени не
выше второй, причем из условий (10) следует, что на интер-
вале (to, t 1 ) 'Фоw имеет не менее одноrо корня, а если 'Фоw> О
в некоторой правой окрестности точки t o , то не менее двух кор-
ней. Orсюда и из формулы (12) следует, что правее точки t 1
функция 'Ф1W имеет не более одной перемены знака. Следовательно,
либо Р1 (t) не имеет корней при t > t 1 , либо Р1 (t) имеет один
простой корень. В первом случае экстремаль l' совпадает с 1'1 на
92
полуоси (t 1 , 00), во втором оканчивается в точке, в которой Р1 (t)
обращается в нуль. Мы полностью доказали утверждение пред-
ложения для точки t 1 , т. е. для правоrо конца смежноrо интер-
вала.
ДоказатеЛЬСТЕО предложения для t o сводится к предыдущему
при помощи преобразования (7), (8). Предложение доказано.
Из этоrо предложения сразу следует, что при 'Фх О экстре-
маль склеивается не более чем из трех нетривиальных экстремалей
системы S', причем точек склейки не более двух. Множество Т
состоит не более чем из четырех точек. Исследование случая
'Фх О не представляет труда. В этом отношении случай 'Фх < О
сильно от Hero отличается.
Пусть 'Фх < О. Так как сопряженные переменные можно нор-
мировать, то мы предположим, что 'Фх === 3! Ясно, что никакоrо
нарушения общности в этом нет. Мы уже упоминали экстремали
этоrо класса. Это экстремаль у и экстремали , «склеенные» из
отрезка у и двух экстремалей системы 51. Отрезок, конечно, мо-
жет превращаться в полупрямую. С точностью до времени сдвиrа
множество таких экстремалей зависит от одноrо параметра длины
отрезка экстремали 1' На этих экстремалях множество Т совпа-
дает с отрезком, на котором экстремаль совпадает с у. Таким
образом, множество Т любой экстремали этоrо семейства не содер-
жит оrраниченноrо смежноrо интервала.
Мы начнем изученvе экстремалей с изучения оrраниченноrо
смежноrо интервала (to, t 1 ) множества Т, в окрестности концов
KOToporo экстремаль l' определена.
Как всеrда, обозначим через 1'0 экстремаль системы S', совпа-
дающую на ио, t 1 ) с 1'. Мы предположим, что t1 to===1 и 'Фоw(tо) О,
ow (to) О. Последние два предположения не должны вызывать
удивления. В предыдущем примере подобные смежные интервалы
множества Т иrрали важную роль. Естественно поэтому рассмот-
реть их и в настоящем примере. Из условий (10) следует, что
u о (t) имеет не менее одноrо переключения на (to, t 1 ).
Рассмотрим сначала случай ('Фоw (to), .фоw (t 1 » =1= О. В этом слу-
чае 'Фоw (t) положительно в некоторой правой окрестности точки t o .
Следовательно, и О (t) == 1 в некоторой правой окрестности точки t o .
Но тоrда условия (1 О) требуют не менее двух переключений на
интервале ио, t 1 ). Обозначим точки переключения через
t o + s, t o + 11, О < s < 11 < 1.
Очевидно, t o + s, t o + 11 являются корнями функции 'Фоw (t). Но
'Фоw полином третьей степени со старшим коэффициентом 1, сле-
довательно, третий корень лежит левее интервала ио, t 1 ). Обозна-
чим ero to p. Очевидно, р О. Обозначим 'Фоw ио) через СХ о ,
ow (to) == 'Фоz (tо) через o, W o (tо) через %0'
93
Предложение 4. Справедливы следующие формулы:
'11 == (20 (1/ + 1/'11) + o, (13)
%0==(1 )2+(1 'I1)2 1/2' (14)
('112/2 '113/3) (62/2 3/3) == 1/12. (15)
Доказательство. Имеем p 'I1==ao, 0==6'11 6P 'I1P. Исклю-
чая р, получим (13). Далее, расстановка знаков 'ФО'W на ио, t 1 )
имеет тип «+ + ». Следовательно, и о (t) == 1 2X[s, 1] (t) +
+ 2X[t]. 1] (t); t Е ио, t 1 ). На отрезке [to, t 1 ] справедливы формулы
W o (t) ==%0 + (t to) 2 и )+ + 2 (t 'I1)+,
Zo (t) ==%0 (t to) + (t to)2/2 2 и )2/2+ 2(t 'I1)2/2,
Ро (t) ==%0 (t to)'1./2 + (t to)3/6 2 и )3/6 + 2 (t 1')3/6.
Соrласно (10), ZO(t1) ==0. Следовательно, %0+1/2 (1 6)2+(l 1')2==0,
Т. е. имеет место (14). Из условия Ро (t 1 ) ==0 следует
%0 + 1/з 2/з (1 6)3 + 2/3 (1 1'))3 ==0.
Исключая отсюда и из (14) %0' получим (15). Предложение до-
казано.
Из (15) получаем О < 6 < 1/2; 1/2 < 1') < 1 и '11 зависит от 6,
монотонно возрастая. В дальнейшем мы будем считать, что '11
является функцией 6 соrласно (15). Как нетрудно видеть, 6 моно-
тонно убывает при уменьшении (20' O.
Случай а о == o == О следует рассматривать как предельный,
коrда (а о , o) О. в этом случае
6 О, 1') 1/2' %0 1/4'
Таким образом, если а о , o == О, то на интервале ио, t 1 ) имеется
только одно переключение, а расстановка знаков функции и О (t)
имеет тип « + ».
Получим следствия из формул (13), (14), (15). Из условий (10)
следует, что %o o. Но из формул (14), (15) %0 монотонно
убывающая функция . Действительно,
dxo == 2 (1 ) ( 1 (1 11) d1') )
ds (1 6) ds .
Но из формулы (15) получаем
d1') 6 (1 6)
lЩ" 1') (1 11) ,
(16)
откуда
dd x ; == 2 (1 6) ( 1 ) . (17)
Но О 6 1/2; О /'11 < 1, следовательно, d%0/d6 < О. При ==0
')(0 == 1/4 > О. При == 1/2' %0 == 1/4 < О. Следовательно, существует
О < * < 1/2 такое, что %0 (6*) == О. Условие %0 О эквивалентно,
94
таким образом, условию О 5 5",. Соответственно 1/2 1') "1""
rде 5", и 1')", связаны формулой (15).
Оценим сверху величину 5",. Для этоrо покажем, что
11(5) 1/2+252, (18)
0 5 1/2'
Действительно, подставляя в формулу (15) на место 11 функ
цию 1/2 + 252, получим
1/2 (1/4+ 252 + 454) 1/з (1/8 + 3/4252 + 3/2454 + 856} 52/2 + 53/3 ===
== 1/12 + 53/3 8/з56.
Но при 0 5 1/2 имеем 53/3 8/з56 0. Следовательно, левая
часть не меньше 1/]2' Но функция 112/2 'Y)3/3 монотонно возрастает
на участке от О до 1, следовательно, тем более на участке от 1/2
ДО 1. Следовательно, для Toro чтобы удовлетворить формуле (15),
величину 11 == 1/2 + 252 надо уменьшить. Таким образом 11 (5)
1/2 + 252. Но в таком случае
"'о (5) (1 5)2 (1/2 252)2 1/2 === 1/ 4 25 + 352 454
1/4 25+352. (19)
Уравнение 1/4 25+ 352 ===0 имеет корень, равный 1/6" Следо
вательно, S'" < 1/6, откуда
11* < 1/2 + 1/18 == 5/9' (20)
Оrраничения на 5, 11 леrко переписать как оrраничения на (1.0, O'
Действительно, должно выполняться неравенство
5",'11", (1.0 (l/5* + 1/11",) + o. (21)
В противном случае уравнение (13) не будет иметь корня
5 5"" 11 11",. Таким образом, оrраничение Xo O выделяет симплекс,
задаваемый неравенством (21) и условиями неотрицательности
(1.0 O, o O"
Обозначим этот симплекс через . Очевидно, 5, 11, хо функции,
заданные на .
Выпишем коэффициенты разложения 'Фоw относительно точки t 1 .
Обозначим их (1.', ', б', а также W o (t 1 ), который обозначим х'.
Так как корни 'Фоw есть t o p, t o + 5, t o + 11, а t 1 t o == 1, то
(1.'==(1 +P)(1 5)(I 11),
' == (1 + р) (1 5) + (1 + р) (1 'Y) + (l s)(1 11),
б' ::; 2 [(1 + р) + (1 5) + (1 'Y)].
Но р == (1.u/5'Y). Следовательно,
(1.' == (1 + (1.0/5'11) (1 5) (1 11),
' == (1 + (1.0/511) (1 5) + (1 + (1.0/5'11) (1 11) + (1 5) (1 11), (22)
б' == 2 [1 + (1.0/511 + (1 5) + (1 11)].
95
Мы видим, что все коэффициенты cTporo положительны. Очевидно,
1
х' ==х о + и о (t) dt ==х о + 1 2 (1 5) + 2 (1 11).
о
Подставляя сюда выражение для хо через 5, 1'), получим
х' == 1/2 + 52 112. (23)
Мы видим из (20), что х' > о. Дальше нас будут интересовать
а', ', х' как функции на .
Предложение 5. Максимальные значения а', ', х' достиrаются
в вершине симплекса :
а о == О , o == о.
инимальные значения а', ', х' достиrаются в вершине :
а о == о, o == 5.11..
Эти значения соответственно равны
а'==1/ 2 , '==2, х'==1/ 4 (максимальные),
а' == (1 ) (1 11.); ' == (1 s..) + (1 1').) + (1 5.) (1 11.),
х' == 1/2 + 5: 11: (минимальные).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Значениям а о ==0, o ==0 соответствуют
5 7"' О, 1') == 1/2, ХО == 1/4' Но из уравнения (13) следует, что а о /511 5.
Следовательно, а' (1 + 5) (1 5) (1 11) == (1 52) (1 1'). Ясно,
что функция справа принимает наибольшие значения на
наименьших 5, 11. Таким образом, а' 1/2' НО В вершине а о == о,
o ==0 значение 1/2 достиrается. Из неравенства а о /511 5 следует
также, что
' (1 + 5) (1 11) + (1 5) (1 11) + (1 + 5) (1 5) ==
== 2 (1 1') + (1 52).
Максимальное значение правой части также достиrается на мини-
мальных 5, 11, т. е. 5==0, 11 ==0 и равно 2.
Рассмотрим функцию 112 52 И покажем, что она растет с рос-
том 5. Действительно, ее производная по 5 равна
2 (11 d11/d5 5) == 2 (5 (1 5)/(1 11) 5) == 25 «1 5)/(1 11) 1)
-== 2 (11 5) 5/(1 11) > о, ибо 11 > 5.
Соrласно (23), максимальное значение функции х' соответствует
минимальному значению разности 112 52 == 1/4, которое достиrается
при 5 == о, т. е. при а о == o == О. Таким образом, максимальное
значение х' == 1/4' Минимальное значение х' достиrается при макси-
мальном значении 112 52, т. е. при 5==5., 11==11. и равно 1/2+5: 11:.
в итоrе минимальное значение х' достиrается на rрани , не
96
содержащей вершину ao== o==O. Из формулы (21) ясно, что
а' (1 6) (1 11) (l 6*) (l 11*),
' (1 6) (1 11) + (l 6)(1 11) (1 6*) + (1 11*) +
+ (1 6*) (1 1').).
Но эти значения достиrаются в вершине а о == О, o == 6*11*. Пред-
ложение доказано.
Продолжим исследование. Так как точка t 1 по даказанному
(см. предложение 2) является изолированной точкой множества Т,
то справа к точке t 1 примыкает смежный интервал множества Т.
На этом интервале l' совпадает с 1'1 экстремалью системы S'.
Экстремали 1'0 и 1'1 «склеены» в точке t 1 по формулам
'ФО'w (t 1) === 'Ф1«' (t 1); 'ФОZ (t 1 ) === 'Ф1Z (t 1)'
'Фо у (tд v ([t 1 ]) == 'Ф1у (t 1 ), 'Фох === 'Ф.1ХI
которые леrко получаются из сопряженных уравнений. 'Ф1W, так же
как и 'Фоw' является полиномом третьей степени со старшим коэф-
фициентом, равным 1. Из сопряженных уравнений п формул (24)
следует, что коэффициенты разложения 'Фо w и 'Ф1W относительно
точки t 1 совпадают, кроме коэффициента при второй степени,
который у полинома 'Ф1W не больше, чем у полинома 'Фоw'
Рассмотрим случай, коrда смежный интервал, примыкающий
справа к точке t 1 , оrраничен 11 экстремаль l' не оканчивается
в ero правом конце. Обозначим ero правый конец через t 2 и
положим
(24)
T==t2 t1'
Из формул (24) следует, что
'Ф1W (t 1 ) == а'; 1Ш (t1) == ',
а из непрерывности фазовых переменных
W 1 (t 1 ) == х'.
Предложение 6. (а 1 ==а'/т 3 ; 1== '/T2)E , х'/т==(1 6э)2
(1 111)2 1/2' rде 1' 111 определены по а 1l 1 при помощи
уравнений (13), (15).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим замену переменных:
t == Tt 1 ; U == и 1 ; w == TW 1 ; z == T 2 Z 1 ;
у == Т 3 У1 + 1 T3;
х === т 4 Х 1 + т (1 T3) t 1 .
(25)
Нетрудно видеть, что система S пнвариантна по отношению к этой
замене. Сопряженные переменные преобразуются по формулам [1].
Деля новые сопряженные переменные на Т\ получим
'ФХl === 'Фх' 'Фу! === 'Фу/Т, 'ФZ 1 === 'Фz/ т2 ,
'ФW 1 === 'Ф'1t/-r 3 , 'Фt 1 === (1 т3) 'Фх/ Т3 + 'Фt/ Т3 .
(26)
97
Преобразованием (25), (26) экстремаль у переводится в экстре-
маль у' той же системы S. Множество Т' множество выхода у'
на фазовую rраницу имеет смежный интервал (t 1 /T, t 2 /T), длина
KOToporo равна 1. Соrласно формулам (25), (26),
w' (t 1 /T) == х' /т,
'Ф (t1/T) == а' /т З == а 1 ; -ф == ' /т 2 == l'
Orсюда следует, что а 1 , 1 Е .
х' /т == (1 51)2 (1 1ъ)2 1/2'
rде 51, 'YJl определяются по а 1 , 1 из уравнений (13), (15). Пред-
ложение доказано.
Из неравенств а', ', х' > О следует, что точка (ан ])
внутренняя точка .
Предложение 7. Пусть а, В, х о; (а, , х) =1= о. Тоrда cy
ществует единственное т> О такое, что а/тЗ, f3/T 2 E ,
х/т == (1 )2 + (l )2 1/2'
rде , определены по а/тЗ, /T2 из уравнений (13), (15).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Итак, следует доказать, что система
уравнений
('YJ2/2 'YJЗ/3) (52/2 5З/3) == 1/12,
5'YJ == (1/5 + 1/'YJ) а/тЗ + /T2, (28)
х/т == (1 5)2 + (1 'YJ)2 1/2
имеет единственное решение: О 5 < 'YJ < 1, т> О.
Предположим сначала, что а == == О. Тоrда решение первых
двух уравнений не зависит от т 11 равно
==o, ';==1/2.
Таким образом, нам остается удовлетворить уравнению %/т == 1/4'
Но, по условию, х. > О. Следовательно, последнее уравнение имеет
единственное решение: т==4х. В этом случае предложение доказано.
Пусть (a, ) =1= О. Обозначим т", положительный корень ypaB
нения
5* 'YJ* == (1/5* + l/'YJ*) а/тЗ + /T2.
Так как правая часть монотонно убывающая функция т, меняю
щаяся на положительной полуоси от + 00 до о, а 5",'YJ* > о, то
этим уравнением т", определяется однозначно. При т т* решение
первых двух уравнений (28) удовлетворяет неравенствам О < 5 5*,
1/2 < 'YJ*, причем (т), (т) монотонно убывают с ростом т
от 5*, 'YJ* до 5 == о, 'YJ == 1/2' Отсюда следует, что при т т* а/тЗ,
{3/т 2 E . Покажем, что уравнение
X/T==([(T) 1)2 ( (T) 1)2 1/2 (29)
(27)
98
имеет единственный корень, не меньший, чем 1'",. Действительно,
левая часть на полуоси 1'", l' монотонно убывает от "'/1'", до о.
в то же время правая часть монотонно растет (см. предложение 5)
от нуля до 1/4. Следовательно, У данноrо уравнения существует
единственный корень, не меньший, чем 1'",. Но корней, меньших,
чем 1'"" уравнение (29) не имеет, ибо при l' < 1'", (1') > "" (1') > 11",.
Отсюда видим, что правая часть уравнения (29) отрицательна.
В то же время левая часть, по условию, не отрицательна. Пред-
ложение полностью доказано.
Определим некоторое отображение симплекса в себя, анало-
rичное тому, которое мы рассматривали в предыдущем примере.
Положим f: --------+ I (10, o --------+ (21, 1' rде а 1 === а' /1'3, 1 === ' /1'2;
%1 == "'/1', а l' определяется из уравнений
11 /2 11 /3 ( /2 иЗ) == 1/12,
1111 == СХ 1 (1/ 1 + 1/111) + 1' (30)
"1 == ( 1 1)2 (111 1)2 1/2'
Из предложения 7 следует, что отображение f определено на .
Величины (21, 1' 1' 111' l' есть, таким образом, функции на .
Мы докажем следующее предложение.
Предложение 8. Для любой точки справедливо неравенство
'{> 5.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Оценим снизу на величины а', ', х'.
В предложеНJ1И 5 доказано, что
а:пiп == (1 "') (1 '11",),
:пiП == (2 ", '11",) + (1 "') (l '11",), (31)
х:пiп == 1/2 + : '11:.
Но '" < 1/6, '11", < 5/9 (см. (19)).
Поскольку правые части (31) MOHOTOHHO убывающие функции
от ('11 есть функция , определяемая уравнением (15)), то спра-
ведливы оценки
, 10 / R' 89 / ' > 1 / + 1 / 25 / 1
amin> 27' I"min> 54, "miп 2 36 81 ==6'
Далее, из очевидных неравенств
'11 '11", < 5/9,
а' /1'3 (1 / + 1/'11) + ' /1'2 > (а:пiп/1'3) (1/ + 1/'11",) + :пiп 1'2 >
> 1°/27(1/1'3)(1/ +9/5)+89/541/1'2
следует, что 1 > , rде есть положительный корень уравнения:
def
fJ. ( ) == 5 / 9 10/27 (1/1'3) (1 / + 9/5) 89/54 1/1'2 == о.
Следовательно,
х' /1' < (1 )2 (1 )2 1/2'
99
Но х'/т: > 1/(6T), ибо х' > 1/6' а соrласно (18), (1 )2 (1 )2
1/2 < 1/4 2 + 3 2. Следовательно,
1/(6T) < 1/4 2 +з12. (32)
Покажем, что при т: == 5 имеет место обратное неравенство. Тем
самым предложение будет доказано.
Оценим снизу при т: == 5. Найдем L.\ (1/6)' Имеем
L.\ (1/6) == 5/ 54 4. 39 /54'125 89. 5/54'125 == 4/9 '125' (33)
Имеем далее
А (s) == 5/9 10/27 .1/125 .1/s 2 > 5/9' (34)
Положим s == 1/6 бs. Соrласно формуле конечных приращений,
0== L.\ ( ) == L.\ (1/ 6) Li (s) бs.
После несло ных преобразований получаем бs < 4/625' Отсюда
следует, что
1/4 2 +3€2< 8/625.
с друrой стороны, при т: == 5
1/(6T) == 1/30; но 1/30 > 8/625'
Мы установили неравенство, обратное неравенству (32). Тем
самым предложение доказано.
Нам понадобятся также верхние оценки дифференциалов da',
d ', dx' через ds, da o , d o' Соrласно (22),
а' == (1 + a o /S'l1) (1 s) (1 'I1).
Но из уравнения (13) следует, что
a o /S'l1 == s ao/'I12 0/'I1.
Следовательно,
а' == (1 + s ao/'I12 0/'I1) (1 s) (1 'I1).
(35)
Соответственно
'== (1 + s ao/'I12 0/'I1) (2 s 'I1) + (1 s) (1 'I1). (36)
Эти формулы уже удобно дифференцировать, ибо в знаменателе
стоят не малые величины.
Имеем
da' [ds + (2а о /'I1 3 + 0/'I12) d'l1 dao/'I12 d 0/'I1] (1 s) (1 'I1)
(1 + a o /S'l1) (1 'I1) ds (1 + a o /s'l1) (1 s) d'l1. (37)
Но соrласно (16), d'l1 == = ds. Следовательно, da' == А 1 ds +
+ В 1 da o + C 1 d o. Оценим сверху величины I А 1 1, I В 1 1, I С 1 1. Имеем
А 1 == A A , rде
100
A == [1 + (2а о /11 3 + 0/112) (1 )/11 (1 11)] (1 ) (1 11),
A == (1 + ao/ fj) (1 11) + (1 + ao/ 11) (1 ) (1 )/11 (1 11).
Очевидно,
шах I А I шах {шах I A 1, шах I A '}.
Оценим A . Так как fj 1/2, то
2а о /11 3 16а о , 0/112 4 0,
(l )/11 (1 11) MOHOTOHHO возрастающая функция , ибо на
отрезке О 1/2 числитель растет, а знаменатель на отрезке
1/2 11 1 падает с ростом 11. Поэтому (1 )/fj (1 fj) < 6/36 х
Х 9/5.9/4 == 9/16' Наконец, (1 ) (1 11) 1/2' Таким образом,
A < 1/2 + (8а о + 2 0) 9/16 == 1/2'+ (сх о /2 + 0/8) 9.
Но сх о , o Е и, следовательно, по определению, удовлетворяют
неравенству *11* сх о (1/ * + 1/11*) + o, откуда 5/54 СХ О (6+9/5) + o'
Следовательно, сх о 5/54' 5/39; o < 5/54' Таким образом,
А 1/2 + 25 . 9/1 08 . 3 9 + 5/54 . 9/8 < 1.
Оценим A . Из уравнения (13) следует, что CXo/ 11 < . Но
< 1/6; используя п()лученную выше оценку для d11/d , имеем
А; < 7/6.1/2.+ 9/16 < 3/2' Отсюда I А1/ < 3/2'
Оценим I В 1 1, I С 1 [. Соrласно (37), В 1 == 2 (1 ) (1 11). Сле
довательно, 1 В 1 1 < 2. С 1 == .!.. (1 ) (1 fj), откуда 1 С 1 1 < 1.
'l1
Из полученных оценок следует, что в каждой точке
I dcx' I 3/2/ dS I + 21 da o 1+/ d {) /, (38)
Далее,
dfЗ' == (d т (2СХ о /11 3 + 0/112) d11 dСХо/112 dfЗо/fj) (2 11)
(1 + cxo/ 11) (d + d11) (l 11) d (1 ) df). (39)
Имеем dfЗ' == А:а d6 + В 2 dcx o + С 2 d o.
Оценим /А 2 /, 'В2/' IC 2 /. Имеем A2===A A;, rде
A == (1 + (2CX o /fj3 + 0/112) d11/d ) (2 11),
А; == (1 + cxo/ 11) (1 + d11/d ) + (1 11) + (1 ) d11/d .
Cor ласно оценкам df)/d , сх о , o, имеем
А; < (1 +(16'25/54'39 +20/54).9/16)'3/2 < 2,
А; < 7/6 (l 9/16) + 1/2 + 9/16 < 3.
Следовательно, /А 2 1<3. Далее, B2== (2 f)/112, следовательно,
'В 2 / < 6, С 2 == (2 11)/11, откуда / С 2 / < 3. Таким образом?
в любой точке
/ d ' / < 31 d I + 61 dcx o I + 31 d o 1.
(40)
101
Оценим, наконец, I dx' 1. Соrласно (23), х' == 1/2 + 2 1l2; сле
довательно,
dx' == 2 d 211 dl1 == [2 211 (1 )/(11 (1 11))] d . (41)
Имеем dx' == Аз d . Нетрудно видеть, что Аз < О. При этом
Аз > 2 ( (1 )/4/9) > l/з,
Следовательно, I А з1 < 1/ З и
Idх'l<l/зld l. (42)
Введем на :2: метр ику р с помощью сублинейной формы dp ===
== 1 d I + I da o I + 1 d o 1,
р (А; В) == min dp,
с с
тде А, В ТОЧКh :2:, а С кривая, соединяющая точки А и В
и принадлежащая :2:.
Предложение 9. Отображенье f является стяrивающим в MeT
рике р.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы докажем предложение, если YCTaHO
8ИМ, что для иекотороrо О < е < 1 и любой точки :2: выполняется
неравенство
1 d ll + I da 1 1 + I d ll е (1 d 1+ I da o I + I d o 1).
Из уравнения
1111 == а 1 (1/ 1 + 1/111) + 1' (43)
которое имеет место, cor ласно (30), следует, что d l == Р аа 1 + Q d l'
Относительно Р и Q нам важно лишь то, что они положительны.
Из уравнения Х 1 == (1 1)2 (1 111)2 1/2' справедливоrо, co
тласно (30), следует d l == Rdx1' Нетрудно видеть, что R > О.
Оценим R сверху. Имеем
dx} == 2 (1 1) (1 1/111) d l'
Но, соrласно (20),
(1 })(1 1/1l1) > б/ 6 .4/6 == б/ 9 .
Следовательно,
R < 9/10 < 1. (44)
Исключая d l' получим
Р da 1 + Q d l + R dX 1 == о. ( 45)
Но da} == da' /-с 3 (3а' /-С З ). (d-c/-c),
d l == d ' /-c2 (2 ' /-с 2 ). (d-c/'t), (46)
dx} == dx' /-с (x' /-с). (d-c/-c).
Следовательно,
Р da' /-с з + Q d ' /-с 2 + R dx' /-с == (Р 3а' /-с 3 + Q 2 ' /-с 2 + R х' /-с) d-c/-c.
(47)
102
Отсюда мы найдем выражение dT;f't через da', d ', dx':
2Р'
d't/r: == Р da' /т;3 + Q d ' /'t 2 + (R dx' /'t)/(P 3а' /'t 3 ) + Q""'"'2"" + R х' /'t.
't'
(48)
Так как R < 1 и выполнено (46), то справедливо
I d ll + I da 1 1 + I d ll :::;; I da' 1/'t 3 + I d ' 1/'t 2 + I dx' I/,t +
+ (3а'/т;3 + 2 '/'t2+ x'/'t) I dr: I/'t. (49)
Отсюда и из (48) с учетом оценок (38), (40), (42) получим
I d l I + I da 1 I + I d l I :::;; М I d I + N I da o I + к I d o 1. (50)
Оценим сверху коэффициенты М, N, К. Оценка М:
М == 3/ 2 't 3 + 3/т;2 + 1/з", + (3k' /т;3 + 2Р' /т;2 + х' /т;) х
р 3/2't'3+ Q 3/'t'2+ R 1/3't'
Х P3a'/'t'3+Q2 '/'t'2+Rx'/'t' . (51)
Обозначим
М 1 == 3/ 2 т;3 + 3/'t 2 + l/ з 't,
М ( 3 ' 3 2 R' / 2 + ' / ) P3/2't'3+Q 3/-r 2 +R 1/3't'
2 а/", + jJ т; х т; P3a'/'t'3+Q2B'/'t'2+Rx'/'t' .
Очевидно, М == М 1 + М 2 .
Оценим М 1 ; М 1 MOHOTOHHO убывающая функция "с. С друrой
стороны, мы доказали, что -с> 5. Следовательно,
М 1 < 3/250 + 3/25 + 1/15.
(52)
Оценим М 2 . Очевидно, sup М 2 == шах M , М;, M ", rде
р, Q, R > О
M == [З/2't 3 (3а' /'t 3 + 2 ' /'t 2 + х' /'t)]/[3a 2 /'t 3 ],
М; == [3/'t 2 (3а' /'t 3 + 2 ' /'t 2 + х' /'t)]/[2 ' /'t 2 ],
M " == [1/3'" (3а' /т;3 + 2 ' /'t 2 + х' /'t)]/[ х' /'t].
(53)
Обозначим
т' == (3а' /'t 3 + 2 ' /'t 2 + х' /'t)/(За' /'t 3 ),
т" == (За' /'t 3 + 2 ' /'t 2 + х' /'t)/(2 ' /'t 2 ),
т'" == (3а' /'t 3 + 2 ' /'t 2 + x'/'t)/(x' /т;).
Очевидно,
т' < (3a 1in/'t3 + 2 r'nax/L2 + X ax/'t)/(3a 1in/'t3),
т" < (3a ax/'t3 + 2 in/'t2 + x axl't)/(2 r'nin/L2),
т'" < (3a:nax/'t 8 + 2 ax/'t2 + Xr'nin/'t)/(Xr'nin/'t).
103
Отсюда и из (53) следует
( , ' ) de f
M < 3/2 l/т3+ 2 ax 2..+ X ax 1. ==m' '3/2'
3amin 't 2 3a. m in 't
( , ' ) def
м; < 3 3a. ax ...!... + 1 /т 2 + X ax ..!.. == т" .3,
2Bmin 't 3 2Bmin 't
( ' , ) def
М ,,, < 1 / 3а.mах 1 + 2 max 1 + 1 '" ,,, 1 /
2 3 .........,..... == т . 3'
Xmin 't 3 Xmin 't 2 't
(54)
Соrласно предложеНI:IЮ 5,
, 1 / А' 2 , 1 /
СХ mаХ == 2' jJmax == , Х mах == 4'
Оценим снизу a:пin, i", X 'Йn'
Имеем, соrласно предложению 5 и (20),
СХ:Пiп==(1 s*)(I fJ*) > 5/6.4/9 > 1/з,
:Пiп == (2 fJ*) + (1 s*) (1 fJ*) > (2 ) + > 3/2'
х:Пiп == 1/2 + s: fJ: > 1/2 + 1/36 25/81 == 1/6'
Итак,
M < 3/2 (l/т3 + 4/'t 2 + 1/(4't»,
м; < 3 (1/(2т) + l/т2+ 1/(12т», (55)
M " < 1/3 (9/(2т 3 ) + 24/1:2 + 1/1:).
Так как справа стоят монотонно убывающие функции 1:, то МЫ
получим верхние оценки величин M , м;, M ", подставив в пра
вые части т == 5.
Соrласно (52), (55),
М 1 + M < 3/2'125 + 3/25 + 1/15 + 3/2.1/125 + 6/25 + 3/40 < 14/25;
М 1 + м; < 3/2'125 + 3/25 + 1/15 + 3/2'125 + 3/20 + 1/20 < 11/25;
М 1 + M " < 3/2'125 + 3/25 + 1/15 + 3/2'125 + 6/2'6 + 1/15 < 14/25'
Из полученных оценок следует, что
М < 14/25' (56)
Оценка N':
N 2 3 6 2 ( 3 ' / 3 2Й' / 2 ' / ) P2/'t3+Q6/'t2
== /т + /т + а т + t' 't + Х 't P3a.11't3+Q2 1/'t2+Rx'I't '
Повторяя предыдущие рассуждения, получим
N <N1(5)+maxN (5), N;(5), N "(5).
Имеем
N 1 + N < 2/125 + 6/25 + 2 (1/125 + '/25 + 1/20) < 16/25'
N 1 +N; < 2/125+6/25+6(1/28126+1/26+1/60) < 16/25'
104
Так как N " == О, то окончательно имеем
N < 16/'/.5" (57)
Оценка К:
К 1 3 3/ 2 ( 3' 3 2 R' / 2 + ' / ) Pl/",3+Q3/-r2
== /т; + т; + а /т; + 1-' т; Х т; Р 3а' /",3+ Q 2 ' /",2 + R 'Х,' /",.
Мы предоставляем читателю самому убедиться, что
К < 10/25'
Сравнивая оценки (56), (57), (58), получим
I d ll + I da 1 1 + 1 d ll < 16/25 (1 dS I + I da o 1+ I d o 1).
(58)
(59)
Отсюда следует, что отображение f является стяrивающим в MeT
рике Р, причем постоянная стяrивания не превосходит 16/25' Пред
ложение доказано.
Из доказанноrо предложения следует, в частности, что непод
вижная точка отображения f (которая, кстати, существует хотя бы
уже потому, что f непрерывно отображает симплекс в себя) яв
ляется единственным инвариантным множеством отображения '.
Обозначим неПОДВJ-!ЖНУЮ точку отображения f через а, (3, COOT
ветственно ее характеристики через Ч, Х. Система уравнений,.
определяющая точку (а, (3), имеет вид
'f] == а (1/6 + 1/'f]) + , а, О,
'f]2/2 fJ3/3 62/2 + 63/3 == 1/12, О < 6 < fJ < 1,
х == (1 6)2 (1 fJ)2 1/2' х О,
а' == (1 + a/6'f]) (1 6) (1 fJ), (60)
' == (1 + a/6f1) (2 6 fI) + (1 6) (1 'f]),
х' == 1/2 + 62 fl2,
а' /т;3 == а, ' /т;2 == f3, х' /т; == х, т; > о.
Теперь мы можем завершить исследование экстремалей системы s.
Пусть /0 Е Т. Назовем /0 точкой типа а, если
у (/0) == о, ('Рш, ,рш, ш I /0) о, (у ио), 'Рш, ш) * О.
Назовем точку /0 точкой типа Ь, если
у (to) == о, 'Рш о, ,рш О, ,рш пр О,
У (/0), 'Рш, ,рш (/0) =F О.
Нетрудно видеть, что преобразованием (7), (8) точки типа а пере
ходят в точки типа Ь и обратно.
Пусть /0 изолированная точка множества Т и является точкой
типа а. В некоторой ее окрестности экстремаль "i совпадает с эксrре
малью 1' 1 системы S' при / < /0 и с экстремалью 1'0 системы S'
при / > /0' Сопряженные переменные экстремалей 1' 1 и "io в точке /()
105
связаны между собой и с сопряженными переменными экстремали у
в точке t o следующим образом:
'Ф ]'W (to) === 'ФО'W (to) === 'Ф'W (to),
1'W (to) === 0'W (to) == 'W (to) == 'Фz (to), (61)
1ш ио) == 'Фу (to), ош (to) == 'Фу пр(t о ).
Следовательно,
ош (to) 1 (to) == 'V (ио]).
Обозначим ii (to) через к, 'Ф1w (to) через сх, ,р lШ (to) через 13. Cor ласно
предложению 7, существует единственное "( о > О такое, что
сх о , 130 Е:2:, КО == %/'t o == (1 s)2 (1 1'})2 1/2'
rде (хо == cx/'t , 130 == 13/'t 2 , а s и 1') связаны с а о , 130 и между собой
уравнеНhЯМИ (13), (15). Обозначим через ер (t) полином третьей
степени со старшим коэффициентом 1, производные KOToporo
в точке t o равны:
ер (to) == сх, (to) == 13,
(to) == 2 (cxo/S1'} S 1'}) "( о '
Из предложений (4), (6) следует, что экстремаль у сис емы S',
исходящая из точки у (to), Z (to), W (to) и для которой 'Фw == ер (t)
на интервале (to, t 1 ), t 1 == t o + "( о , проходит внутри фазовой области.
Причем в точке t 1
(62)
y(t1)==I, y(t1) ==0, y(t1) >0, w(t1»0,
w (t 1 ) > О, w (t]) > О.
Из предложений (4), (7) следует, что этими условиями "( о опреде-
ляется однозначно. Нетрудно видеть, что (to) < О. Действительно,
из уравнения (13) следует, что cx o /S1') < S. Следовательно, из (62)
видно, что
(63)
(to) < 21'}'to < О.
(64)
Отметим, что точка t 1 также является точкой типа а для экстре-
мали системы S, совпадающей на интервале (to, t 1 ) с у. Причем
у (t 1 ) > О. При t > t 1
У (t) > 1. (65)
Действительно, из условий (63) следует, что w (t) > О, t> t 1 .
Следовательно, й (t) == 1, t> t 1 . Но тоrда у (t 1 ) == 1, У (t 1 ) == О,
У (t 1 ) > О, У (t) == 1, t > t 1 . Отсюда справедливо (65).
Если ,pow ио) > (to), то 'Фоw (t) > ер (t) при t > t o , и, следова-
тельно, Уо (t) > У (t) при t > t o . Но тоrда Уо (t) > 1, t> t o и экстре-
.106
маль "1 совпадает с экстремалью "10 на полуоси (to, 00) и нахо-
дится внутри фазовой области.
Если fow (to) < еР ио), то Уо (t) < У (t) при t> t o , и, следовательно,
Уо (t) имеет простой корень на интервале (to, t 1 ). В этой точке
экстремаль "1 оканчивается.
Наконец, если ow ио) === еР (to), то на интервале (to, t 1 ) экстре-
маль "1 совпадает с у. Как мы уже отмечали, точка t 1 в этом
случае будет также изолированной точкой типа а, и приведенные
рассуждения можно повторить.
Соrласно предложению 8, длина следующеrо смежноrо интер-
вала будет не менее 5т о и т. д.
Итак, если есть изолированная точка типа а, то существует
единственная экстремаль, проходящая через нее и имеющая справа,
от нее бесконечное множество контактов с фазовой rраницей. Это
множество представляет собой последовательность, уходящую
в +00, причем длины интервалов возрастают не медленнее про-
rрессии со знаменателем 5. Соответственно для любой точки t o
типа Ь существует единственная экстремаль, которая левее имеет
бесконечно MHoro контактов с фазовой rраницей. Множество точек
.левее t o является последовательностью, уходящей в oo, причем
длины интервалов растут не медленнее rеометрической проrрессии
-со знаменателем 5.
Предложение 10. Пусть (to, t1) оrраниченный смежный интер-
вал множества Т, причем
у ио) == о == у (t 1 ).
Тоrда либо t 1 является точкой типа а, либо tо точкой типа Ь.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как ii непрерывная на отрезке [t o , t 1 ]
функция, то из условия у (t) > 1, t Е ио, t 1 ) следует
у (to), у (1) о.
(66)
Обозначим через "10 экстремаль системы S', совпадающую на ин-
тервале (to, t 1 ) с "1. Очевидно, 'Фоw полином третьей степени со
старшим коэффициентом, равным единице. Условия предложения
требуют не менее одноrо переключения на интервале (to, t 1 ). Сле-
довательно, 'Фоw имеет на интервале (to, t 1 ) по крайней мере один
корень.
Пусть 'Фоw имеет только один вещественный корень, который
мы обозначим через . Очевидно, Е (to, t 1 ). Вещественную часть
двух остальных корней обозначим через 6. Если 6 , то
'Фоw ид, ow (t1), 'Pow (t 1 ) > о.
Но
'Фоw (t1) == 'Фw (t1), ow (1) == w (t1),
ош (1) == ш (t 1)'
107
Таким образом, точка /1 является точкой типа а. Если () , то
'Фоw (to) < о, ow (to) > о, 'Pow ио) < о. Но 'Фоw (to) == 'Фw ио), ow (to) ==
== "'w ио), ,pow (to) ;Pw пр (to).
Следовательно, t o является точкой типа Ь. Пусть 'Фоw имеет три
корня.
Заведомо исключается случай, коrда интервал (10' t 1 ) лежит
между наимеНЬШИ\1 и наибольшим корнями. В этом случае на
интервале (/0' t 1 ) будет только одно переключение типа «+ »
и условиям предложения невозможно удовлетворить. Следовательно,
либо правее интервала (to, t 1 ), либо левее корней 'Фоw нет. В пер
вом случае точка t 1 является точкой типа а, во втором точка to
точкой типа Ь. Предложение доказано.
Cor ласно предложению 2, концы каждоrо смежноrо интервала
множества Т, в окрестности KOToporo экстремаль определена, яв
ляются изолированными точками множества Т.
Отсюда следует, что и справа и слева к такому смежному интер
валу примыкают смежные интервалы множества Т, может быть
и неоrраниченные. Мы естественно приходим к понятию цепочки
смежных интервалов. Это не более чем счетное множество orpa
ниченных интервалов, которое можно нумеровать подмножеством
множества целых чисел так, что большему номеру соответствует
интервал, лежащий правее, и интервалы, соответствующие соседним
номерам, примыкают друr к друrу.
Цепочка называется компонентой, если она не содержится ни
в какой друrой цепочке. Мы изучим компоненты экстремали у.
Концы смежных интервалов, принадлежащих компоненте, будем
называть точками компоненты.
Предложение 11. Пусть компонента обладает конечным числом
смежных интервалов. Пусть t. наименьшая, t.. наибольшая точка
компоненты. Тоrда точка t. либо является началом экстремали y
либо у определена на полупрямой t < t. и находится внутри фа
зовой области. Точка t.* либо является концом экстремали, либо
экстремаль определена при t > t.. и проходит внутри фазовой
области.
Доказательство. Действительно. Рассмотрим сначала слу
чай, коrда компонента содержит более одноrо интервала. Тоrда.
если у не начинается в точке t., то, по предложению 2, точка t.
является изолированной точкой множества Т. Следовательно, левее
точки t. в некоторой ее окрестности у находится внутри фазовой
области. Но левее точки t. у не выходит на фазовую rраницу
ибо в противном случае t. не была бы наименьшей точкой KOM
поненты.
Следовательно, при t < t. у находится внутри фазовой области.
Аналоrичные рассуждения справедливы и для точки t... в случае,
коrда компонента содержит более одноrо интервала, предложение
доказано.
Пусть компонента содержит только один интервал. Пусть t..
t.. ero концы. Предположим, что у не начинается в точке /..
108
Пусть t* является предельной слева точкой множества Т. Отсюда
следует, что y(t*) ==0, y(t.) ==0. Но тоrда 'Фw(t.)==о, ибо в про
тивном случае в окрестности точки t. имело бы место равенство
у (t) == 1 + sign 7 (t*) (t t.)3
и фазовое оrраничение не Mor ло бы быть выполнено в OKpeCTHO
сти t..
Отсюда, в свою очередь, следует, что w (t.) == О, ибо в противном
случае либо точка t* была бы изолированноЙ точкой множества Т
( w и*) > О), либо в окрестности t. фазовое оrраничение не моrло
бы быть выполнено ( w (t*) < О). Обозначим 1'0 экстремаль системы S',
совпадающую на (t., t**) с у. Из условий у (t.) == О, 'Фw и.) == w (t.) == о
следует, что -Фоw (t*) ::=о О. Действительно, если ow (t.) > О, то на
интервале (t., (..) 'Фоw> О, и, следовательно, и о (t) == 1. Но тоrда
у (t) == 1 + 1/з, (t t*)3, и тоrда у (t*.) > 1. То есть t** Т, что про-
тиворечит условию.
Если -Фош t .) < О, ТО В правой окрестности точки t* 'Фоw < О,
и, следовательно, и О == 1. Но тоrда у (t) == 1 1/ 3' (t t.)3 в пра
вой окрестности точки t*. Следовательно, фазовое оrраничение
нарушается.
Итак, 'Pow(t*) ==0. Но тоrда 'Фоw(t)===1/ З1 (t t.)З/(t*,t**) откуда
и о (t) ==- 1, и, следовательно, у (t.*) > 1. Мы показали, что t. не может
быть неизолированной точкой множества Т. То же самое анало
rичными рассмотрениями можно сказать и о точке t**. Точки t*,
t*. либо концевые точки экстремали У, либо изолированные точки
множества Т. Дальнейшие рассуждения те же, что и в первом
случае. Предложение полностью доказано.
Из Hero следует, что если экстремаль У обладает компонентой
с конечным числом интервалов, то множество Т совпадает с мно-
жеством точек этой компоненты.
Перейдем к рассмотрению компонент с бесконечным множеством
интервалов. В этом случае компонента уже не обладает парой точек
t*, t*., из которых t. наименьшая, а t** наибольшая. Либо KOM
понента обладает наименьшей точкой и не обладает наибольшей,
либо обладает наибольшей точкой и не обладает наименьшей, либо
компонента не имеет ни наибольшей точки, ни наименьшеЙ.
Пусть компонента обладает наибольшей точкой t.*. Тоrда ясно,
что либо в точке t** экстремаль оканчивается, либо она определена
справа от t*. и проходит внутри фазовой области. Возможны два
случая. Либо среди точек компоненты, исключая точку t**, есть
точки типа Ь, либо их нет.
Рассмотрим первый случай. Пусть [ точка компоненты, при
надлежащая типу Ь и не равная {**. Тоrда l изолированная точка
множества Т. Как мы установили выше, множество точек компо
ненты левее точки t представляет собой уходящую в 00 после
109
довательность, причем длины интервалов возрастают не медленнее
проrрессии со знаменателем 5. В этом случае множество Т экстре
мали совпадает с множеством точек компоненты. Мы доказали
следующее предложение.
Предложение 12. Если компонента обладает бесконечным числом
интервалов, наибольшей точкой и хотя бы одной точкой типа Ь,
отличной от наибольшей, то множество Т совпадает с множеством
точек компоненты и является уходящей в oo последовательностью,
причем расстояния между соседними точками растут не медленнее
проrрессии со знаменателем 5.
Рассмотрим второй случай. Соrласно предложению 1 О, все точки
компоненты, кроме, быть может, t**, имеют тип а.
Тоrда по доказанному выше длина каждоrо смежноrо интервала
не менее чем в 5 раз превышает длину смежноrо интервала, при
мыкающеrо к нему слева. В порядке убывания множество точек
компоненты является сходящейся последовательностью. Таким об
разом, множество точек компоненты оrраничено. Точки компоненты
всеrда представляют собой монотонную последовательность.
Пусть t**, t l' t 2' ... ,t n, .../ t k > t k l множество точек
компоненты.
Положим
CX k == 'Pw (t k),
k ==,pw (t k),
't'k== t (k l) t k'
CX Ok == ak/'t'g, Ok == k/'t'i.
Величины CX k , k будем называть коэффициентами экстремали у
в точке t k' Из предложений 6, 7 следует, что нормированные
коэффициенты точки t k принадлежат и что нормированные
коэффициенты в точке t k связаны с нормированными коэффици-
ентами в точке t (k l) преобразованием '. Иными словами,
(CXOk l' Ok l)==f(ao!p Ok) Vk. (67)
Отсюда следует, что
(CXOk l' ok l) Е fS ( ) VS 1.
Но, cor ласно предложению 9, отображение f стяrивает в HeKOTO
рой метрике р с постоянной стяrивания, меньшей единицы. Отсюда
следует, что
aOk l ==а, Ok l == jf, 't'k/Tk l == 't' Vk. (68)
Итак, мы доказали следующее предложение.
Предложение 13. Если компонента имеет бесконечное множе-
ство интервалов, имеет наибольшую точку t** и не содержит точек
типа Ь, исключая t**, то множество точек компоненты оrраничено
и в порядке убывания представляет собой последовательность,
11 о
у которой расстояния между двумя соседними точками убывает
по rеометрической проrрессии со знаменателем 1/; Нормирован
ные коэффициенты в каждой точке не зависят от номера точки и
равны а, (3, т. е. их пара совпадает с неподвижной точкой oтo
бражения ,. Случай, коrда компонента имеет наименьшую точку,
сводится к исследованному при помощи, преобразований (7), (8).
Читатель леrко найдет правильную формулировку.
Наконец, рассмотрим случай, коrда компонента не обладает
ни наименьшей, ни наибольшей точкой. Если среди точек компо
ненты встречаются как точки типа Ь, так и точки типа а, то,
повторяя рассуждения, которые мы привели при доказательстве
предложения 12, получим, что множество точек компоненты пред
ставляет собой последовательность t k , k===O + I, + 2, ..., такую,.
что t k +oo, k +oo, t k oo, k oo. Полаrая 't k === tk+1 tk'
получим, что 't k растет при k +oo и при k oo не медлен
нее проrрессии со знаменателем 5. В этом случае множество Т
совпадает с последовательностью {t k }, т. е. с множеством точек
компоненты. Если же все точки компоненты являются точками
типа а, то последовательность t k оrраничена снизу. И повторяя
рассуждения доказательства предложения 13, получим, что
(1,Ok === (1" Ok ==;3, 't k + 1 /'t k === 't.
(68)
Случай, коrда все точки компоненты имеют тип Ь, получается
аналоrично, путем применения преобразований (7), (8). Теперь
мы можем дать полное описание множества Т. Точки компоненты,
ОТ.ТIичные от наименьшей и наибольшей, будем называть BHYTpeH
ними точками компоненты.
Нам осталось описать множество Т, коrда компоненты coдep
жат бесконечное множество интервалов и коrда все внутренние-
точки каждой компоненты имеют одинаковый тип.
Компоненту, все внутренние точки которой имеют тип а, Ha
зовем компонентой типа а. Компоненту, все внутренние точки
которой имеют тип Ь компонентой типа Ь.
Предложение 14. Множество Т содержит не более одной KOM
поненты каждоrо типа.
Доказательство. Как следует из предложений 11, 12,13,
компоненты типа а либо имеют наибольшую точку, либо множе
ство их точек не оrраничено справа. Пусть К 1 и K2 ДBe раз
личные компоненты типа а. Пусть множества их точек не orpa
ничены справа. Тоrда, соrласно предложению 13, множество Т
правее любой точки компоненты К 1 совпадает с множеством точек
этой компоненты, а правее любой точкн компоненты K2 C MHO
жеством точек компоненты К 2' Отсюда следует, что множества
точек компонент К 1 И К 2 имек>т непустое пересечение. Но тоrда
они совпадают, т. е. компоненты К 1 И К 2 не отличны одна от
друrой.
Пусть 4 максимальная точка компоненты К 1 . Правее точки
111
{ 1 В силу предложения 13, нет точек множества Т и, следова
тельно, нет точеК компоненты К 2 . Отсюда следует, что множество
точек компоненты К 2 также оrраничено и что ее максимальная
точка [2 t1' Повторяя это рассуждение, получим, что 4 t2'
Откуда 4 == . Но тоrда множества точек компонент К 1 и К 2
совпадают, а следовательно, совпадают и сами компоненты. Таким
образом, компонент типа а не может быть более одной.
Аналоrично доказывается, что компонент типа Ь также не
может быть более одной. Предложение доказано.
Предложение 15. Пусть экстремаль l' обладает одной компо
нентой типа а и одной компонентой типа Ь. Пусть t* верхняя
rраница точек компоненты типа Ь, t** нижняя rраница точек
компоненты типа а. Т оrда t* t** и множество Т состоит из точек
'Каждой компоненты и отрезка [t*, t**].
Доказательство. Пусть К1 компонента типа а, а K2
типа Ь. Из предложения 13 следует, что множество Т правее
любой внутренней точки. К 1 совпадает с множеством ее точек.
Поскольку множества точек компонент К 1 и К 2 не пересекаются,
1'0 отсюда следует, что любая точка компоненты К 2 лежит левее
любой точки компоненты К 1 . Следовательно, t* t**.
Допустим, что множество Т имеет смежный интервал, не BXO
дящий в компоненты К 1 и К 2 . Соrласно предложению 13, он не
может лежать правее любой точки компоненты К 1 И левее любой
точки К 2 . Следовательно, он принадлежит отрезку ft*, t**]. Пусть
Кз компонента, ero содержащая. Она не может быть компонен
той типа а или типа Ь, ибо это противоречило бы предложению 14.
Но в таком случае она принадлежит к тому классу компонент,
множество точек которых совпадает с Т, что следует из предло-
жений 11, 12. Но это противоречит тому, что множество точек К 3
не пересекается с множеством точек, например К 1 . Следователь
но, множество Т не содержит смежноrо интервала, не входящеrо
в компоненты К 1 и К 2 . Но тоrда отрезок [t*, t**] принадлежит Т.
Предложение доказано.
Если экстремаль обладает только компонентой типа а, то не-
"Трудно видеть, что либо множество t < t** принадлежит Т, и
тоrда экстремаль левее t** совпадает с у, либо множество Т сос.
тоит из отрезка ио, t**], а левее t o экстремаль находится BHYTpl-1
фазовой области. Случай, коrда экстремаль обладает только одной
компонентой типа Ь, можно получить из oroBopeHHoro, применив
преобразование (7), (8).
На этом мы завершим исследование экстремалей, у которых
СРх < о.
Мы установили, что экстремали, у которых 'Фх О, выходят
на фазовую rраницу лишь в оrраниченном числе точек. Cor ласно
предложению 3, их не больше четырех.
Исключение составляет экстремаль вида у == 1, ..., 'ф х о.
Эта экстремаль целиком принадлежит фазовой rранице, но явля
ется экстремалью не только системы S, но и системы S', ибо
112
Л, v == о. Все боrатство отношений экстремали с фазовой rраницей
принадлеж,1Т классу экстремалей, у которых 'Фх < о.
Для экстремалей этоrо класса мы полностью описали механизмы
схода l: фазовой rраницы и посадки на нее. Посадка и сход с
фазовой rраницы осуществляются Прl1 помощи компонент соответ-
ственно типа Ь и а. Нормированные коэффициенты внутренних то-
чек этих компонент являются неПОДВИЖRОЙ точкой отображения f
и MorYT быть найдены из уравнений (60).
Нам осталось рассмотреть нетривиальные экстремали системы
S, которые тривиальны на некотором подотрезке.
Пусть I' нетривиальная экстремаль системы S, тривиальная
на некотором подотрезке, и пусть t* точка, в окрестности KO
торой экстремаль нетривиальна, но в левой окрестности три
виальна.
Покажем, что у (t*) == 1, У (t*) == О. Действительно. Если бы в
точке t* имело место неравенство у (t*) > 1, то в окрестности
точки t* экстремаль l' совпадала бы с экстремалью у' системы S'.
Но из сопряженных уравнений следовало бы, что 1" тривиаль
ная экстремаль S'. Следовательно, l' была бы ТРИВJ,.альна в ок-
рестности t*, что противоречит условию.
Итак, у и*) == 1. Но поскольку экстремаль определена в OK
рестности точКI,. (*, а у (t) непрерывно дифференцируемая функ-
ция, то у (t*) == О, что и требовалось.
Далее. Если бы в некоторой левой окрестности точки t*
л, v == о, то из сопряженных уравнений вытекало бы, что экстремаль
l' тривиальна в окрестности t *. Следовательно, для любой левой
окрестности d точки t* и содержащей t* имеет место неравенство
лdt+v(L1) >0.
.1.
Но тоrда из сопряженных уравнений следует, что в левой ок-
рестности точки t* справедливо неравенство 'Фw < о, и, следова-
тельно, cor ласно условию максимума, и (t) == 1. Отсюда следует,
что у (t*) > о. Ибо в случае у (t*) == о фазовое оrраничение не Mor-
ло бы быть выполнено в правой окрестности точки t*.
Таким образом, ii(t*) > о, и точка t* является изолированной
точкой множества Т. Следовательно, в правой окрестности t*
л == о, а мера v сосредоточена в точке t*. Правее точки t* экстре-
маль l' совпадает с экстремалью 1" системы S', причем
'Фw' (t) == v *1) (t t*)3.
Отсюда следует, что экстремаль 1" выходит в некоторой точке на
фазовую rраницу, причем в точке выхода у < О. Экстремаль окан-
чивается в этой точке. Аналоrично исследуется точка, в окрест-
ности которой экстремаль нетривиальна, а в правой окрестности
тривиальна.
113
Мы приходим К аналоrичным результатам.
На rлубине 3 появляется новый тип экстремалей, мера KOTO
рых имеет счетное множество скачков. Причем это не экзотика, а
необходимый механизм посадки на фазовую rраницу и схода с
нее. Было бы интересно проверить это положение на широком
классе систем. То обстоятельство, что управление имеет счетное
множество переключений, не столь интересно, на наш взrляд.
Если бы управление было неодномерно, то этоrо, пожалуй, и не
было. Не было этоrо 1-1 в примере разд. 2.2, в то время как
счетное множество скачков меры соответствующей экстремали было.
Вообще нам представляется интересным исследование типичной
(по числу параметров) посадки экстремали на фазовую rраницу
и схода с нее в зависимости от rлубины фазовоrо оrраничения.
Именно этот вопрос естественным образом стал ключевым при
исследовании систем разд. 2.2, 2.3.
Нам представляется также интересным явление различной роли
меры в зависl'.МОСТИ от rлубины фазовоrо оrраничения. На четной
rлубине 2 мера иrрает роль фактора, отталкивающеrо экстремаль
от фазовой rраницы. На нечетных r лубинах 1, 3 мера является
фактором, притяrивающим экстремаль к фазовоЙ rранице.
Интересно выяснить, насколько обща эта закономерность.
Работа по теоретическому применению принципа максимума, по
сути дела, только начинается.
Впереди MHoro интересных и важных исследований. Мы Ha
деемся, однако, что уже приведенных примеров достаточно, чтобы
стало ясно, что принцип максимума мощный и необходимый
инструмент теоретическоrо исследования.
3
Рассмотрим частный случай движения центра масс летательноrо
аппарата в скоростной системе координат [9 11]. Движение центра
масс относительно системы O 'YJ соответствует полету над плос-
кой, невращающейся Землей.
. Р Q .
v ==m m g sш 8, t Е ио, t 1 ],
е Ра cos у + У cos У g cos 8
mv ,
· sin у [ Ра У ]
у mv cos 8 ,
==vcos8cosep, ==vsin8, == vcos8sinep.
Для системы (1) заданы начальные и rраничные условия:
v (to) == V o , 8 (to) == 80, (р (t o ) == (Ро,
(to) === o, 11 (to) === 110" (to) == o;
v (t1) == v 1 , 8 (t 1 ) == 81, ер (1) == ер1,
(t1)== 1, 11 (t 1 ) ===111, (t1)== 1.
ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА
3.1. Постановка задачи
(1)
(2)
(3)
Функции, входящие в уравнения (1), определяются соотношениями
Q== 1/2 C x PV 2 S, Y==1/ z C y pV 2 S, Cy==C a, (4)
Cx===CX'0+XC +CX1' p===poe (3'YJ, g==goR2/(R +11)2.
Кроме уравнений (1) и условий (2) (4), заданы фазовые и сме-
шанные оrраничения, а также оrраничения на управляющие
функции.
Оrраничения на управляющие функции:
h 1 === a1 a < О, h 2 == a a2 < О, h3 == P1 P < О, h 1 == P P2<0,
(5)
СХ 1 Е {С ll , С и }, h5 == 1'1 1' < О, h6 === 1' '\'2 < О.
Фазовые оrраничения:
gl === V ll v < О, g2 == V V12 < О,
gз === 1111 11:::( О, g4 == 11 1112 < О.
Смешанные оrраничения:
pv 2 S I С у I
2mg N ч == g 5 < о,
I (Ра + У) sln у sin 8 1 N о
mv cos 2 8 qJ g 6 .
5*
(6)
(7)
(8)
115
Принятые обозначения:
у уrол CKOpocTHoro крена,
а уrол атаки,
Р сила rяrи двиrателя,
С х1 коэффициент сопротивления тормозных щитков,
У подъемная сила,
Q сила лоБОВОI'О сопротивления,
V CKOpOCTb аппарата,
e уrол наклона траектории к местному rоризонту,
ер уrол CKOpocTHoro курса,
11 высота полета,
дальность в продольном направлении,
дальность в боковом направлении,
, 11, прямоуrольные координаты (ось 06 направлена по
касательной к меридиану на север, O BBepx по местной верти
кали для правой системы коордьнат),
p плотность атмосферы,
q == рv2S/2 скоростной напор,
g ускорение силы тяжести на высоте 11,
т масса аппарата,
S характерная площадь аппарата,
R радиус Земли.
а 1 , а 2 , S, т, 1111, 1112, V L1 , V 12 ' С хо , Св, С 12 , В, Х, Ро, C , Р 1 .
Р 2 , go, R, Уl, У2, Ny, Nер заданные константы. Требуется пере
вести систему (1) из начальноrо положения (2) в конечное (3) за
минимальное время t 1 при наличи и оrраничений (4) (8).
Фазовые оrраничения gl, g2, gs, g4 О представляют собой
оrраничения на скорость и высоту полета. Соотношение (7) xa
рактеризует оrраничение на нормальную переrрузку.
Условие примеНИМGСТИ принципа максимума требуют OДHCKpaT
ной rладкости правых частей дифференциальных уравнениЙ (1)
по фазовым переменным и, е, ер, , 11, . Указанное требование
сводится к выполнению неравенства (8).
3.1.1. Боковое движение. Рассмотрим движение аппарата в
плоскости на фиксированной высоте 11. В этом случае е (t) == О,
е (t) == О и смешанные оrраничения g-s, g4, g5' g6 О выполняются
автоматически. Система уравнений (1) переходит в систему
. Р Q
V==
т т'
==vcosep,
== s:vv [Ра+ У],
== V sin ер.
(9)
(10)
к системе оrраничений (5) и gl, g2 О добавляется смешан-
ное оrраничение типа равенства
ё (t) == О.
(11 )
3.1.2. Нереrулярный принцип максимума. Исследуем возмож
ность существования нереrулярных точек в случае движения по
116
оrраничению V == О при Р == Р2, и н == и:
A71/т + А7 == О, A 7 V == О, А4 h4 == О,
2А7 (C )2(1.q/m == О, А 4 , А7 О, А4 + А7 == 1. (12)
Из системы (12) следует
А4 == 1/(1 + т), А7 == т/(1 + т), (1. == о. (13)
Таким образом, система (12) имеет нетривиальное решение
относительно А 4 , А7 (13), что, в свою очередь, означает сущест
вование нереrулярной точки , в котерой
ин==и, Р==Р2, (1.==0, P2==(CX O +Cx 1 )q+mgsin8. (14)
Для прод(\лжения оптимальной траектории справа от Hepery-
лярной точки несбходимо, кроме условий (14), выполнить допол-
нительное условие v == о в самой точке t*. Продифференцировав
v по t, получим (g считаем константой)
(С ХО + С Х) pи4 S sin 8 == 2mg cos 2 8. (15)
Из Р==Р2 следует C Xt ==C ll . Уравнения (14) и (15) позволяют
определить значения 8 (t*) и 11 (t*). Из условия интеrрируемости
А7 (t) следует, что 'Ф2 (t*) == о. Действительно, имеет место COOTHO
шение
2crl(1. (C )2q/m + 'Ф2[Р /т'{) + C q/mv] == 2А 7 (1. (C )2q/m, (16)
откуда следует paBeHl тво нулю 'Ф2 (t:j.)'
Окончательно нереrулярная точка определяется следующими
ус ловиями :
V == и н , (1. == О, 'Ф2 (t*) == о, 11 и*) == а, 8 (t*) == ь. (17)
Условиям (17) можно удовлетворить за счет выбора 'Ф1 (to),
'Ф2 ио), 'Ф4 (to), 'Ф5 (to), контролируя конец траектории по одному
из соотношений (17). Отсюда следует, что стационарность траек-
тории определяется не Функциона.тIOМ t 1 , а оrраничением v == и l1 :
с условиями (17). Справа от нереrулярной точки t* можно решать
любую задачу, например рассматривать задачу о быстродействии
для заданных rраничных условий и начальных условий
11 (t*) == а, 8 (t*) == ь, V (t*) == и 1 1! (t*) == с. (18)
Рассмотрим 1er::epb оrраничение g2 О. в реrулярном случае
характер оптимальной траектории определяется точно так же,
как и для оrраничения gl::::;; о. Выясним возможность существо-
вания нереrулярных точек при Р == Р1, V == V 12 :
Ав/m Аз==О, AB(и и12)==0, АЗ(Рl Р)==О,
2А в (C )2 a.q/m == О, Ав, Аз О, Ав + А7 == 1. (19)
Оrраничение g2 О также Емеет нереrулярную точку, для которой
справедливы все рассуждения, проведенные для v == о (14) (18).
t t 1
3.1.3. Оrраничение на высоту полета. Рассмотрим оrраничение
gз == 1111 11 О. ДЛЯ указанноrо оrраgичения возможен как од-
ноточечный, так и пр )Тяженный контакт с оптимальной траекто-
рией. При одноточечном контакте в точке касания должны быть
выполнены условия
1111 == 11, == v sin 8 == О. (20)
Кроме Toro, в указанной точке t* сопряженная функция ЧJ5 MO
жет, вообще rоворя, терпеть разрыв l ro рода:
1P(t*+O) 1P(t* O)== l1, l1 0. (21)
Здесь l1 произвольная постоянная. Величина l1 является свобод-
ным параметром, что в совокупности с начальными значениями
для сопряженных переменных позволяет удовлетворить rранич
ным условиям и условиям в:) внутренней точке == О. Число CBO
бодных параметров равно числу одноточечных выходов на фазо
вое оrраничение 1111 == 11, т. е. в ТJЧНОСТИ равно числу условий
во внутренних точках. При этом размерность краевой задачи
увеличивается на число выходов на оrраничение.
Изучим теперь возм)жность протяженноrо контакта оrраниче
ния gз О с оптимальной траекторией. В точке выхода на orpa
ничение 1111 == 11 в таком случае необходимо выполнить условия (20)
"'111 == 11, siп 8 == о. (22)
Кроме Toro, для продолжения движения по 1111 == 11 следует по
требовать 8 == о. Указанн)е ТJждество содержит яв но управляю
щие функции I1 принадлежи.т к классу смешанных оrраничений:
gs == 8 == Ра + aC q mg cos 8 == О. (23)
Исследуем в)прос о характере оптимальной траектории. При
одноточечном и протяженном контакте необходимо выполнить одно
и то же условие sin 8 == о. rеJметрия оптимаЛЬНJЙ траектории
справа от точки выхода определится соrласно принципу максимума,
Аналоrичные рассуждения можно провести и дл я оrраничения
g4==Ч 1112 o.
3.1.4. Совместные оrраничения на высоту и скорость полета.
Рассмотрим возможность одновременноrо выполнения двух He
равенств: gl О и gз о. Пусть существует общий отрезок Bpe
мени, на котором gl == О и gз == О. в результате получим систему
соотношений
gg==Pa+ aC q lilg==O, P Q==O. (24)
Видно, что система (24) дает возм')жность определить Р (t) и а (t).
Выпишем функцию rамильтона:
Yt'==1PI V +1P2 8 '+ 1P4 +1Р5 Аl(Q Р) Л2 [mg a(P+C q)]. (25)
118
Тоrда сопряженная система имеет вид
,p1== agc/av, 2== дп/дe, 4==0, 5== a,9t/av.
Множители Лаrранжа А 1 (t) и А 2 (t) определяются из услевия
Блисса:
дп/дР==О, дп/да==О, A1(Q P)==0, A 2 g 9 ==0. (26)
Пусть а == а 2 , Р == Р 2, gl == О, gз == О. Проверим возможность
существования нереrулярных точек:
A2 (Р + C q) + 2А 1 а (C )2q + Аз == О,
A2a A1 + А4 == О, (27)
А 1 (Q P)==O, A 2 g 9 ==0, Аз(а а2)==0, a.4(P P2)==0,
А 1 + А 2 + Аз + А 4 == 1, А 1 , А 2 , Аз, А 4 О.
Система (27) имеет нетривиальное решение А 1 , А 2 , Аз, А4' удов-
летворяющее условию положительности.
Движение при условиях v == V 11 , '11 == YJ11, Р == Р 2, а == а 2 , siп 0;== О
будет стащюнарным движением. При этом С Х1 == С 11 . Изменить
такое движение можно, лишь нарушив одно из заданных оrрани
чений: gl==O либо gз==О.
При v == V 12 ' '11 == '1111, а == а 2 , Р == Р 1 имеем
2A1a (C )2 q А 2 (Р + C q) + Аз == О,
А 1 A2a A4 == О, (28)
A1(P Q)==0, A 2 g 9 ==О, Аз('Х а2)==0, A4(P1 P)==0,
А 1 +А 2 +А з + А 4 == 1, А 1 , А 2 , Аз, A4 0,
Из (28) следует существование множества нереrулярных точек,
определяемое условиями
V==V 12 , '11=='1111' а==а 2 , Р==Р 1 , С х1 ==С 12 , ==o, 8==0. (29)
в СJIЛУ произвольности '1111, V 11 , V 12 множество нереrулярных то-
чек по существу означает возможность аппарата сохранять paB
номернсе прямолинейное движение на заданной высоте '1111 при
заданных скоростях V 11 и V 12 .
Рассмотрим более подробно способность аппарата сохранять
равнсмерный ПРЯМОЛlIнейный полет на заданноЙ высоте с мини-
мальной скоростью. Такой полет определяется условиями
а==а 2 , Р==Р 2 , '11=='1111' V==V ll , С х1 ==С l1 , и==О, 8==0. (30)
Соотношения (30), по существу, содержат конструктивные па
раметры а 2 , Р 2, С 11 , выбор которых при заданном '1111 определяет
минимально допустимую скорость V 11 .
Таким образом, в нереrулярном случае (29), (30) исходная
дифференциальная задача (1) при соответственно заданных на-
чальных условиях сводится к алrебраической.
119
с друrой стороны, оптимальная траектория может содержать
нереrулярные участки типа (29) (30).
На самом деле исходная задача (1) с условиями (29) пред
ставляет собой задачу о динамическом потолке летательноrо ап-
парата. Ее решение сводится к отысканию TaKoro '1111, при кото-
ром возможен полет со скоростью выше минимальной для Toro,
чтобы самолет имел возможность совершать маневр в rоризонтальной
плоскости.
3.1.5. Пространственное движение. Для изучения оптимальноrо
пространственноrо движения выпишем ту часть функции Понтря-
rина, которая явно зависит от управления:
Н*==1\'1 [ !!.... (x(Cya)2a2+Cx1).!L. ] + '1'2 [Pa+aCyaqJcosy
т т mv
'1'з sin 1:. [ Ра + aC y a qJ . ( 31)
mvcose .
Пусть на оптимальной траектории априори выполнено условие
cos е =1= О. Рассмотрим сначала задачу без учета фазовых и сме-
шанных оrраничений.
Из условий aH*jaa === О и aH*jay == О следует
* [2P+cyapv 2 S] ['1'2 cos V 'Фз sin v/cos е]
а == 2'Ф1 х (Суа)2 р v 3 S '
t g У * sin У * === 'Фз
'Ф2 cos е ' ('Ф cos 2 е + 'Ф;У/2 '
* '1'2 cos е
cosy ('Ф соs2е+'Ф У/2'
По условию задачи выбираем для проверки на оптимальность
только те а* и у*, которые удовлетворяют условию
а 1 а* а 2 , Yl у* У2.
Оптимальное управление C l определяется из условий
о { С 11, если 1\'1 О, С 12 > С 11,
С х1 == С О
12, при 1\'1 < .
Введем обозначен ия:
C pV2S == а, '1'2 cos v 'Фз sin y/cos е Ь
2'Ф1 Х ( )2 pv 3 S '
В соответствии с принятыми обозначениями
а*==(2Р+а)Ь.
(32)
(33)
(34)
(35)
'1'2 cos у '1'з юп у
mvcose ==C'
(36)
Теперь подставим а* в уравнение (31):
Н*==1Р1 [P/m (x(C )2(2P+a)2b2+Cx) q/m] +
+ [Р (2Р + а) Ь + (2Р + а) bC q ] С.
ИЗ aH*jDp == О получае.\1
Р* == 'Ф1/m 2аЬ2'Ф1q (c )2jm + аЬс+ 2bC qc .
7b2x(c )2 q/m+4bc
120
(37)
Выражение (37) дает возможность вычислить
p == р* ('\'1), p == р* ('\'2), р; == р* ('\'*),
* * (р * ) * * (р * ) * * (р * * )
а 1 ==а 1, '\'1, а 2 ==а 2, '\'2, а з ==а 3, '\' ,
Hll==H*(a , p ), Н 12 == Н* (а;, р;), Н lз ==Н*(а;, р;), (38)
Н 21 ==Н*(а 1 , Р1, '\'1), Н 22 == Н* (а 1 , Р1,'\'2), Н 2з ==Н*(а 17 Р1, '\'*),
Выбрав среди полученных значений Ни, i == , j == [J, макси.
мальнЫЙ элемент, найдем тем самым оптимальное управление.
3.1.6. Об особенности в уравнениях движения. Наличие в зна-
менателе cos е для основной системы и cos 2 е для сопряженной
системы создает вычислительные трудности при cos е о. С дру-
rой стороны, rраницы применимости принципа максимума требуют
однократной r ладкости правых частей основной системы по фазо-
вым переменным, что отражено в оrраничении g6 О. ДЛЯ пре-
одоления вычислительных трудностей в итеративном процессе
будем искать решение для 'Ф3 (t) В виде
'Фз == С (t) cos 2 e. (39)
В результате получим
. * с (t) cos 8 * 'Ф2
SШ '\' == cos '\' ==
('Ф + С 2 (t) cos 2 8)1/2 ' ('Ф + С 2 (t) cos 2 8)1/2 .
Скажем несколько слов о поиске решения в форме (39). Система
дифференциальных уравнений для сопряженных переменных имеет
особенность в правой части для 2:
'1'" == 'Фз sin у sin 8 [ Ра + аса ] + А ( t ) .
'1'2 mv cos 2 8 yq
Здесь через А (t) обозн ачены остальные члены. Выражение в пра-
вой части (41) будет конечно, если потребовать
'Фз sin '\' == С (t) cos 2 е.
С друrой стороны, учитывая выражение для sin '\' (33), получим
биквадратное уравнение для 'Ф3:
'Ф 'Ф С2 (t) cos 4 е 'Ф cos 6 еС 2 (t) == О.
В результате решения у равнения (43) получим
'Ф == [С 2 (t) cos 4 е + V С 4 (t) cos 8 е + 4'Ф cos 6 еС 2 (t )]/4,
'Ф == [с и) cos 3 е (с (t) cos е + V 4'Ф + С 2 (t) cos 2 е) ]/4.
Окончательно п олучае м
'Ф3 == С 1 (t) V, cos е Iз.
По предположению, 'Ф3 является rладкой функцией
'r3 == V ('Ф4 cos е sin ер + 'Ф6 cos е cos ер),
(40)
(41 )
(42)
(43)
(44)
(45)
( 46)
121
так как на ер накладываем услов е интеrрируемости. Кроме Toro
из условия интеrрируемости для ер следует
siny==C 2 (t)cose. (47)
Тоrда из условий (47) и (42) получим (39). Вычислим производ-
ную по t от 'Фз (39):
з == С (t) cos 2 e 2 cos е sin еёс (t). (48)
Из (46) и (48) следует
v ('Р4 sin ер + 'Ф6 cos ер) == с и) cos е 2 sin еес (t). (49)
На функцию С и) наложим оrраничение
IC(t)I<C o ' (50)
в результате полаrаем при I cos е I 8, 8> О
С (t) == [2 sin еёс и) + v ('Ф4 sin (р + '1'6 cos ep)]/cos 8,
а при I cos 8 I < 8
IC(t)I==C o , си) == о.
(51)
При движении по оrраничению С и) == о имеем
[Р + С а ] и ('Ф4 sin qJ+'Ф6 cos 'Ф) (52)
а yq cos у 2 sin ее и) .
Отсюда следует, что при С (t) -------+ 00, а -------+ О. При конечном С и)
управление а (t) выбираем из у ловия
v ('Ф4 sin qJ+'Ф6 cos qJ)
a==
2 sin ее (t) [Р + q] cos ".'
(53)
3.2. Примеры
3.2.1. Самолет ЯК 18Т. Самолет ЯК-18Т имеет следующие
основные характеристики: максимальный взлетный вес, 1500 Krc;
расчетная предельная скорость по прибору, 360 км/ч (100 м/с);
минимальная скорость сваливания по прибору , 97 км/ч (27 м/с);
площадь крыла S == 18,8 м 2 ; теоретический потолок, 6000 м; прак-
тпческий потолок 5520 м; максимальная мощность у земли, N 0==
==2,2.105 вт (300 л. с.); Сх о ==0,026; уrол атаки нулевой подъем-
ной силы, а о ::,= 0,026 рад; c ax == 1,54; максимальное аэродинами-
ческое качество Ктах == 1 о; % == 7,24.1 0 2; зависимость тяrи винта
от скорости полета имеет вид
Р == 1iNV l, rде 1i КПД винта, 1i == 0,75; N == KN o (l P1Y\)'
1===9.10 2KM 1; К управляющая функция, которая меняется
в пределах: К 1 <К<К 2 , К 2 ==1, К 1 ===0; 0,25; C ===6,3.
В задаче на максимум дальности, т. е. (1) -------+ шах, рассмот-
рим одномерное движение. При этом ер ио) === о, (t) == о, 8 ио) == О,
122
е и) == о. в этсм случае уравнения движения примут вид
v == KN о (1 Р1 'У)) n'/ mv С xpv 2 S/2пz, С х == сх о + %C , (1 )
e==PCy/пzvC +CypvS/2m g/v == 0, ==и, Cy==C (a ao).
Составим функцию Понтряrина и выпишем дифференциальные
уравнения для сопряженных переменных:
н == 'Ф1 [KN o (1 P1'Y))1i/mv == C x pv 2 S/2m J + 'Фз v ,
Ф1 == 'Фlа \j:'з, а == CxpvS/m + KN o (1 1'Y)) 1l/ mv2 ,
з == О, 'l'з (t1) == 1, 'l'з (t) == 1, '1'1 (t 1 ) == О.
(2)
(3)
(4)
Из (4) следует, что решение поставленной задачи сводится к одно-
точечной краевой задаче по выбору свободноrо параметра '1'1 ио)
таким образом, чтобы удовлетворить краевым условиям '1'1 (t1);:::= О.
Оптимальное управление Ко (t) выбирается из условия максимума
функции Понтряrина (2), а управление ё == О из условия свя-
зи (1) имеем
Су (t) == 2mgC [2Р + pV2SC J 1. (5)
Оптимальное управление Ко (t) ссстоит из двух кусочно-постоян-
ных функций:
Ko(t)== { К2'
К1'
t Е [t o , t*J,
t Е [t*, t 1 J,
(6)
rде t* точка переключения управления. CZ и) по-прежнему опре-
деляется формулой (5).
В силу монотонности функционала G (t1) задача на быстродей-
ствие при заданных rраничных условиях (полученных в резуль-
тате решения одномерных задач) эквивалентна задаче G (t 1 ) шах,
т. е. полученное время будет равно t 1 .
Рассмотрим движение самолета в rоризонталъной плоскости.
v==P/т Cxpv2S/2m, ==vcosep, t== vsinep,
== sinI'Cy/mv[P/C + pv 2 S/2J, иио)==и о , иo)==o, (to)==O,
(7)
ер ио) == О, е ио) == О, ё == cos VCy/mv [P/C + pv2S/2J g/v == О.
Пусть для системы (7) при фиксированном времени t 1 и сво-
бодном правом конце заданы два функционала: Ч J (tl) шах,
ер (t1) шiп. Тоrда для поставленных задач 4 == О, Ф6 == О,
'Фз (t1) == 1. Отсюда следует '1'4 == О, '1'6 == О, 'Фз (t) == 1. При
этом поставленные задачи сводятся к одноточечной краевой
задаче. Оптимальное управление в каждой расчетной точке
t определяется из условия решения задачи нелинейноrо
123
проrраммирования:
Но (и о (t), '1' (t), хо (t» == extr Н (и (t), '1' (t), хо (t»,
ueV
V == {К 1 < К < К2' c in < Су < c ax, ;1' == l' (е == О)}; (8)
Н == 'I'l V + 'I'з + 'I'и + 'I'6 '
Для задачи (8) ищется максимум функции Понтряrина для ер (1)
---------+ min и минимум для ер (t1) тах.
Предположим, что на оптимальной траектории выполнены усло
вия К 1 < Ко (t) < К 2 , c:;1in < C (t) < c ax. Тоrда из условий
Блисса имеем
H == л (t) ё , '1'з cos l' == л (t) sin 1', 11'1 11'з sin Су ==
т mи у
== л / ( t ) Су cos у % I С v2Sm 1 11'3 sin 'V [ + PV2S J ==
· С а' '1'1 уР mи С а 2
mи у у
== л и) cos l' [ + vS J .
mиСу т
Из полученных соотношений следует
sin l' == 'I'зСу/vС 'I'l' Л (t) == 'I'lC cos 1'/С у .
С друrой стороны, hЗ условия связи определяется
[P/тиC + pvS/2m] COSl' ==g/Cyv. (10)
Соотношения (9) и (1 О) дают возможность определить 1'0 (t), C (t),
Ко (t). Полученные выражения должны удовлетворять оrраниче
ниям (5) разд. 3.1. В противном случае, например при I sin l' I ;::::
1, следует полаrать C (t)==c ax или Ko(t)=={K1' К 2 } и pac
сматривать задачу (8) при указанных условиях.
При решении задачи ер (t 1 ) тах оказалось, что существует
окружность определенноrо радиуса R, на которой v (t) == v (KOH
станта). Оптимальное управление на этой окружности (правиль
ный вираж) следующее:
C (t) == c ax, Р О (t) == Cxpv 2 S/2,
COS1' == а 1 == 2mgC [2РС у + CyC pVS] l. (11)
Решение одноточечной краевой задачи разбивается на незави
симый поиск кусков оптимальной траектории. Сначала для раз-
ворота на 3600 выбирается такое v (to) (tо время начала раз
ворота), что время прохождения окружности минимально. В этом
случае CZ (t) == CZlaX, Р (t) определяются iиз условия связи v == О
при заданном v ио), а COS l' определяется из соотношения (11).
После найденноrо v (to) на отрезке .[0, t o ] рассматривается OДHO
точечная краевая задача по выбору '1'1 (to) таким образом, чтобы
удовлетворить условию v (to) == v(t o )' При этом само время t o под-
лежит определению, поскольку из всех времен выбирается мини-
(9)
124
мальное. В процессе решения задачи оказалось, что для v (О) <
< v (to)
c и)===c ax, K o (t)===K 2 , cosy===a 1 .
Для v (О) > v ио) имеем
c и)===c ax, Ко (t)===K 1 , cosy===a 1 .
При расчете получилось: R === 175 м, v (t о) == 58 м/сек, tg у === 1,95.
При м е ч а н и е. При склеивании решений из двух кусков
в точке t o сопряженная переменная '1'1 ([о + О) терпит скачок на
поверхности v (t) === v ио), t t o + О. Поскольку траектория при
i === t 1 заканчивается на мноrообразии v (t) == v ио), то достаточно
положить 'I'l(tO+O)==O. Таким образом, краевые условия '1'1 (t 1 )..-=:0
будут выполнены и для указанной траектории справедлив прин
цип максимума. Для самолетных задач оптимизации характерно
наличие участков, rде соответствующие переменные являются по
стоянными. При выходе на такой участок соответствующая сопря
женная переменная не определена, однако в принципе максимума
она не фиrурирует. При сходе с участка постоянства в момент
7 =1= t 1 , т < t 1 величина сопряженной переменной '1' (1) является
свободным параметром.
Рассмотрим задачу ер (t1) тах для системы (7) при краевых
условиях
v(t 1 )===V 1 , (t1)=== 1' (t1)== 1, 'I'з(t1)== I. (12)
Для условий (12) 'I'4(t) == C 4 , '1'6 и) == с 6 , rде с 4 , C6 KOHCTaHTЫ,
отличные от нуля. С формальной точки зрения задача (7), (12)
сводится к четырехпараметрической краевой задаче (свободные
параметры: '1'1 (to), '1'3 (to), с 4 , Св)' Непосредственное решение YKa
занной задачи затруднительно. Для получения решения предва
рительно рассмотрим решение краевых задач различной размер
ности.
Положим v == О, т. е. v (t) == v (to). При этом
Фз(t)==С 4 vsiпер+ C 6 vcosep. (13)
Выбор оптимальноrо управления осуществляется с помощью ре-
шения задачи нелинейноrо проrраммирования:
Н* ( и I Х ) === тах Н* === тах { 'Ф3 sin 'v Су [ + P V 2 S ] }
О о, '1" о ти С а 2 '
ueV 1 ueV 1 у
V 1 == {К 1 К К 2 , c in Су c ax, К, Су, У /fЗ == О, v == О}.
(14 )
Составим функцию Лаrранжа:
L === Н* + Л 1 V+ л 2 8, v === 2p CXpV2S,
ё == Су CoS у [2Р + C pV2S] 2mgC .
(15)
125
Из (15) следует (при условии K=I==K1' К2' C=i=C in, c ax)
'Фз cos у Су .
2 с;; [2Р + С рv2S] Л2 sш у [2Р + C pV2S] Су == О,
mv у
'Фз sin уСу 2 'l 2 'l С
а + /\'1 + /\,}. у cos у == О,
mvC y
2Р == C x PV 2 S, cos У == 2mgC [2РС у + CyC pV2S] 1, (16)
Л2== 'ФзсоsуСу[2mvС siny] l, siny== + Vl cos2y,
Л 1 == ('Фз sin уСу 2Л1Су cos ymvC ) [2mC v] 1. (17)
В результате последовательноrо исключения получаем два алrеб
раических уравнения относительно Су:
11 ('Фз, Су, v, р)==о, 12 ('Фз, Су, v, р)==о. (18)
Указанные у равнения возникают в с вязи с вы бором
sin У1 == V 1 COS21', sin У2 == v 1 COS2 у. (19)
Окончательный выбор управления из совокупности получен
ных решений (18) производится по принципу максимума (14)_
При этом может оказаться, что решение (18) дает I С; 1> I C}Fin 1,
C}Fax либо уравнение (18) решений не имеет. В первом и во BTO
ром случаях полаrаем Су == c ax, а Р и cos у вычисляем по (16).
Выражение для sin у берем из (19), причем нужный знак опреде
ляется по принцицу максимума (14). .
Таким образом, задача ер (tз) тах при v == О сводится к Tpex
точечноЙ. Трехточечную задачу можно свести кодноточечноЙ,.
если рассматривать краевое условие
(t 1 ) == G1.
(20)
При этом считаем, что (t 1 ) не фиксировано и в правую часть
для Фз (t) (13) вводим параметр и 2 , значение KOToporo сначала
полаrаем равным нулю, т. е. Фз(t)==u 2 С 4 vсоs ер. Тоrда решение
задачи с краевым условием (20) зависит только от выбора 'Фз ио) ==
== 'Фз (t). После решения указанноЙ задачи полаrаем и 2 == В, В> О
и решаем двухточечную задачу с условиями
(t 1 ) == 1' 'Фз (1) == 1 ,
(21 )
используя в качестве первоrо приближения для 'Фз (to) решение,
полученное в предыдущеЙ задаче. Продолжая указанныЙ процесс,
получаем решение задачи (21) при и 2 == 1. В результате на правом
конце получим значение (t 1 ) == [=i= 1' Затем задаем следующие
rраничные условия:
(t 1 ) == 1' 'Фз (1) == 1, (1) == а 1 [ + (1 а 1 ) 1'
(22)
Для условиЙ (22) при а 1 == 1 B, В> О имеем трехточечную Kpae
вую задачу по выбору 'Фз ([о)' С 4 , Св' При В == 1 получаем реше
126
ние задачи ер (1) тах с краевыми условиями
(t 1 ) == 1' '1'3 (t1) == 1, (1) == 1'
(23)
После указанной процедуры считаем v =1= О и рассматриваем
задачу (12) по выбору '1'1 (to), '1'3 ио), С 4 , С 6 .
При М е ч а н и е. При переходе от задачи меньшей размерности
к задаче большей размерности в качестве первоrо приближе
ния для некоторых переменных используются решения, по
лученные в предыдущей задаче. При появлении новой пере
менной , например С 4, В процессе получен и я решени я сначала
rрубо варьируем только С 4' оставляя неизменными друrие CBO
бодные параметры. Затем полученное С 4 В совокупности С друrи
ми начальными значениями (взятыми из решения предыдущей
задачи) используют в качестве первоrо приближения в задаче
большей размерности. С друrой стороны, поскольку С 4 == О
В задаче (20), то в задаче (21) можно положить С 4 == 8 В силу
непрерывной зависимости решения (13) от параметра С 4' Анало
rичное утверждение справедливо и для параметра СВ' Значение
параметра '1'1 (to) на предыдущих решениях не было известно,
поэтому вначале ero нужно rрубо проварьировать с определен
ным шаrом.
3.2.2. Подъем на максимальную высоту за фиксированное Bpe
мя. Рассмотрим задачу о тах у\ (1) при условии
. Р С xpv 2 S <. .
v== g sш8 'Y1==vsin8 ,
т 2т ' '1
е РС у + CypvS g cos е
mиc 2т и'
(24)
При свободном правом конце поставленная задача сводится к Tpex
точечной краевой задаче с условиями
'1'1 (t1) == о, '1'2 (t 1 ) == О, '1'5 (t1) == 1. (25)
Задача (24) с краевыми условиями (25) оказалась очень чувствут
тельной к выбору первоrо приближения '1'1 (to), '1'2 (to), '1'5 (to).
Первый подход к решению поставленной задачи состоит в умень
шении размерности краевой задачи и введении оrраничений на
изменение 8 (t):
8 10 8 (t) 820' (26)
Однопараметрическая задача рассматривается при == О, р == Ро
И краевом условии '1'1 (t 1 ) == О совместно с оrраниченияМИ (26).
УСЛОВ!lе '1'5 (t 1 ) . 1 выполняется тождественно, т. е. 'Ф5 (t 1 ) == 1.
При v == О и 8 Ф О управление C (t) определяется из ПРhнципа
максимума, а Ро (t) из условия связи v == о:
р о (t) == CZpv 2 Sj2 + mg sin 8, (27)
а при движении по оrраничению е == о оптимальное управление
определяется однозначно из условий связи v == о и ё == О. Реше
127
ние задачи очевидно: сначала 8 и) меняется (растет) до величины
820, а затем дальнеЙшее движенне происходит по закону 8 (t) == 820'
Затем можно рассмотреть двухточечную краевую задачу, по
лаrая р и) ==- Ро Ii и 7':: О. т оrда
'1'1 (t 1 ) == О, '1'2 (t 1 ) == О, '1'5 (ll) == 1. (28)
Однако такой подход не приводит к решению исходной задачи
в рамках применяемой схемы. С одной стороны, выяснилась очень
сильная чувствительность концевых значений функционала от BЫ
бора '1'1 (to), '1'2 (10) начиная с некоторых высот, а с друrой сла
бое riзменение ё и v на траектории, причем 11 (t) при этом меняется
очень быстро. Таким образом, необходимо решить вопрос с чувст
вительностью решений и выбрать схему интеrрировання для же-
стких систем.
Рассмотрим на отрезке [t o , t 10 ], t 10 t1 краевую задачу с про
межуточным сечением То Е ио, t 10 ), Для Р (t) == Ро в точке 10 долж-
НЫ выполняться условия непрерывности
v(to+O)==v(to O), 8( +0)==8( 0),
'1'1 (70 + О) == ЧJ1 ( O), '1'2 (70 + О) == '1'2 (4 O).
Условия (29) можно выполнить за счет выбора '1'1 (to), '1'2 (to),.
8 (t 10 ), V (t 10 ), При этом '1'4 (io + О) == '1'4 (tо о) == 1, '1'1 (t 10 ) == О,.
'Ф2 (t 10 ) == О. Систему (24) на отрезке ио, t;] интеrрируем в CTO
рону возрастания aprYMeHTa t, а на [То, t 10 ] интеrрируем от точки
t 10 В сторону убывания aprYMeHTa. При дсстаточно малом t 10
краевая задача (29) совместно с оrраничениями (26) решается
сравнительно леrко методом Ньютона, так как матрица Якоби
в промежуточном сечении t;, хорошо обусловлена. Далее варьируем
точку t 10 в сторону возрастания. Аналоrьчно поступаем и с 70'
Для получения последующих приближений используем метод
экстраполяции по предыдущим решениям. Получение хорошей
обусловленности связано с ростом размерности краевой задачи.
Точку 70 можно выбирать до определенной высоты (примерно до
3/4 потолка подъема самолета). При таком подходе решение по
ставленной задачи удается довести до конца.
Для интеrрирования системы (24) сделаем замену
Y1==V+X 1 , У2==8+х 2 , x 1 ==a 1 t IX1 , x 1 ==a 2 t IX2 ,
У1==Ь+Х 1 , У2==8+х 2 , X1==a1a1tIX1 1, x2==a2a2tIX2 1. (30)
В задаче на 11 (1) тах принималось а 1 == а 2 == 1, а 1 == а 2 == 3/2'
В этом случае система (30) с начальными условиями Х 1 ио) ==
== Х 2 (to) == о интеrрируется явным методом Рунrе Кутта 4 ro по
рядка. После каждоrо шаrа интеrрирования находим v и 8 по
формулам
(29)
V==Yl X1' 8==Y2 X2'
128
110 результатам расчетов оказалесь, что
Су V схо/% , Р о (t) == Р шах == Р 2 (К == К 2 ).
Аналоrичным образом с введением промежуточноrо сечения
решается задача на тах 11 ([1) с краевыми условиями
V (t 1 ) == и 1 , 8 (t 1 ) == 81, ФБ (1) == 1. (31)
Для этой цели сначала решаем задачу с краевыми условиями
'\'1 (t 1 ) == О, 8 (t 1 ) == а з 8 1 + (1 аз) ё(1), '1'5 (1) == 1. (32)
При аз == О по существу имеем решение со свободным правым
концом, причем 8 (t 1 ) ==8 и)1' Затем, меняя параметр до аз == 1,
получаем решение задачи (32). Потом точно такую же процедуру
применяем для получения решения в задаче (31):
V (t 1 ) == а 4 и 1 + (1 a4) v (t 1 ), 0< а 4 < 1. (33)
3.3.3. Движение по спирали. Рассмотрим задачу о тах ер (t 1 )
в пространственном случае, если
. Р C x pv 2 S .
v== g sш8 ==vcos8coscp,
т 2т '
8 . РС у cos 'V + СуfЮS cos 'V g cos е .
== 11==vsin8,
mv(jff 2т v
. sin'VCy [ CapV2S ] .
ер== а p+ , == vcosesin(p,
mvC y cos е
х (to) == хо, х == (и, 8, ер, , 11, ).
(34)
При спуске самолета вниз по спирали наступает момент, коrда
скорость достиrает предельноrо значения
[ 13 / . В 2 . 8[ 13
и mах == и 20 п 2, и mах == 2" и 2 0 SlП '11,
(35)
причем движение по спирали подчиняется оrраничению по нор..
мальной переrрузке
nу == Y/mg, У cos у == mg, nу == l/cos у. (36)
Задание nу автоматически определяет cos у по формуле (36). Из
(35) и (34) следует
В 2 . 8l f3 Р С xpv 2 s . 8
2 V20SШ 'I1==т 2т gsш.
(37)
Из принципа максимума получаем КО (t) == К 1 . При этом CZ (t)
определяется из условия связи (37). Увеличение \ sin 81 приводит
к увеличению C (t), что, в свою очередь, уменьшает производную
ё (t) (34), т. е. C (t) выбирается таким образом, что происходит
демпфирование увеличения 1 sin 81. В случае уменьшения I sin 8\
растет абсолютная величина I ё (t) 1.
129
Для задачи со свободным правым концом rраничные условия
задаются для сопряженных функций
'Ф1 (1) === о, 'Ф2 (t 1 ) === О, 'Фз (t 1 ) === 1,
'Ф4 (t 1 ) === О, 'Ф5 (1) === о, 'Ф6 (t 1 ) == О.
Из 'Ф4 (t) == 'Ф6 (п == о следует 'Фз (1) == 1. Тоrда пеставленная
задача сводится к трехпараметрической. При V (t) <и mах для задан
Horo 11 (t) оптимальное управление выбирается из принципа MaK
снмума. В момент V (t) == и mах управление и о и) == {CZ (t), '\'0 (t), Ко (t)}
определяется соrласно (36), (37). Таксе рассмотрение дает воз
можность довести решение задачи до конца, причем при V(t)<V max
необходимо оrраничивать значение 8 (t) определенной величиной
е (t) 8. Указанная задача решается методом проrснки по пара
метру t. Сначала для фиксированноrо t 11 на отрезке ио, t 11 ] с
с ио, t 1] решается трехточечная задача с условиями (38). Затем
краевая задача рассматривается на отрезке [to, t 12 ] с [to, t 1 ],
ио, t 11 ] с [t o , t 12 ], причем на каждом псследующем отрезке в Ka
честве первоrо приближения используются решения, полученные
на предыдущих отрезках. Для этой цели применяются методы
линейной и квадратичной экстраполяции.
При решении задачи с фиксированными rраничными условиями
(38)
v (t1) === и 1 ,
11 (t1) == 111'
8(t 1 )==8 1 ,
(t 1) === 1'
(t1) === 1'
Фз (t 1 ) === 1
(39)
используем решение задачи со свободным правым концом. В этом
случае на участке траектории с v (t) == и mах выбираем момент Bpe
мени 711 Е [to, t 1 ]. Для указанноrо 711 определены значения и( 1)'
8 ( 1)' ер (41), (41),11 (t--;l) , (41) ,которые выбираем в качестве началь
ных значений для задачи (39), (34) на отрезке [41' { 1 ], причем
время 711 является параметром. В качестве начальных парамет
ров задаем 'Фi (7"11), i === . Варьируя 711' определяем наименьшую
длину отрезка [111' t 1 ), при котором задача (39), (34) имеет решение.
Кроме спуска, аналоrичным образом можно рассматривать
подъем по спиральной траектории. Для получения первоrо Прii
ближения введем следующие упрощения основной системы (34).
Полаrаем е == о, РС у cos ,\,/mvC == О, РС у sin ,\,/тиC === О, cos 8== 1.
Такое упрощение оправдано тем, что уrол подъема 8 очень мал,
а член PC l } [тиC;] l мал по сравнению с остальными членами.
Т or да с
Су == 2mgjpv 2 S.
(40)
Обозначим pv 2 S [2т] 1 == Z И найдем минимум выражения
у == C x pv 2 Sj2m == Cxz == Cxoz + xg 2 jz.
(41 )
130
При z == gV х/С ХО ФУНКЦИЯ у имеет м инимум. Отсюда следует
Cy V C:, . v { 2;Sg y C:, . (42)
Если положить К о ([) == к 2, С у == V Схо/х, cos "1' == l/п у и v (to) == V'
(42), то систему (34) можно проинтеrрировать на отрезке ио, t 1 ].
Поскольку фазовый вектор известен в любой момент времени t,
то указанное обстоятельство позволяет проинтеrрировать сопря
женную систему уравнений, построенную на базе основной системы
(34). Выберем теперь начальные значения 'Ф1 (to), 'Ф2 (to), 'Ф5 (to)
таким образом, чтобы удовлетворить краевым условиям (38).
Полученные значения для начальных значений сопряженных пе
ременных затем используем в качестве первоrо приближения для
решения задачи подъема по спирали.
По аналоrии со спуском можно рассматривать краевые усло
вия (39). Решение краевой задачи в этом случае производится
точно таким же образом.
3.3.4. Оrраничения на скорости полета. Для простоты изложе
ния рассмотрим полет самолета в вертикальной плоскости. Сис
тема уравнений движения имеет вид
v == P/m Cxpv2S/2m g sin е, == v cos е,
== PCy/mvC + С ypvS/2m g cos e/v, == v sin е,
V H V (t) v 12 ' Р 1 Р Р 2 , С tiп Су c ax.
Требуется найти шах 11 (t 1 ) при заданных начальных
условиях
(43)
(44}
и краевых
v (to) == V o , е (t o ) == ео, ; (to) == ;0, '11 (t о) == '110,
'Ф1 (t 1 ) == о, 'Ф2 (t1) == о, 'Ф4 (t 1 ) == о, 'Ф5 (t1) == 1.
Пусть gl1 == V ll V (t) о. При gl1 == О имеем
h l1 == V l1 и (t) == vio sin elf3'YJ/2 P/m+Cxpv2S/2m+g sin е==о. (46)
(45)
Составим функцию Понтряrина
н == 'Ф1V + 'Ф2 ё + 'Ф4 + 'Ф5 .
(47)
Тоrда при движении по оrраничению V H === V (t) сопряженная сис
тема задается соотношениями
. I дН '1 ah ll
'Фl== +""l1
ди ди '
. дН ah ll
'Ф2=== де + All де '
. дН А ah ll
'Ф5 дч + 11 дr1 '
Allhll == о,
;Р4 == о,
(48)
'Ф4 (t) == О,
131
rде множитель Лаrранжа Ан определяется из условия Блисса
дп a.'lt 5
дР == о, дС" === о, :7t == Н + L. A 1i h H ,
у q 1
h Р Р }! Р Р h C min С
12 1 , 13 2, 14 У у,
( 49)
h 15 == Cy CJFax, A H h 1i == о, i == 1
Для h ll == О точка Р == Р 2, Су == О является нереrулярной. Из
условий Блисса имеем
'Фн/m + 'Ф2Су/mvС AH/т + А 1з == О,
'Ф1хСурv2S/m + 'Ф2рvS/2m + A ll xC y pv 2 S/m == О.
Из (50) следует, что множитель Ан в точку Су == О не определен.
При этом принцип максймума накладывает на Ан (t) условие ин
теrрируемости
t 1 t 1 t 1
S Ан и) dt == S 'Ф1 (t) dt S 2 y dt< +00. (51)
t о t o t o
(50)
Кроме Toro, в Hepery лярной точке h ll == о:
v 2 о . . . . pv 2 S
+ [8 cos О + Y} sin O]l(31) + gO cos О + хСуС у т == о. (52)
Условия (46), (52) совместно с соотношениями V == и н , Су == о,
р == Р2 позволяют определить е, в нереrулярной точке. Тоrда
поиск оптимальной траектории сводится к выбору 'Ф1 ио), 'Ф2 ио),
'Фб ио). Таким образом, чтобы удовлетворить условиям
0(7) == е, У} (1) == 11, 'Ф2 (7) == о, (53)
причем условие 'Ф2 (t) == О следует из (51). При этом конец траек-
тории контролируется по условию V (1) == V.
Рассмотрим более подробно условие интеrрируемости (51).
При движении по оrраничению V (t) == и н управление Су (t) выби-
раем из принципа максимума
C и) == 'Ф2 [ т:c + P; ] [ %"' V2S ] \
а Ро(t) из условия связи h ll ==O (46). Если под ставить (54) в
(51), получим
t 1 t 1 t 1
5 5 5 2"'1 (t) pV2SC
AH(t)dt== 'Ф1 (t)dt [2P+PV2Sc ] dt.
t o t o t o
(54)
(55)
Отсюда следует, что условия интеrрируемости выполняются авто-
матически, если выбирать Су (t) соrлас о вые.аж!нию @4):...
При переходе через поверхности О (t) == О, У) и) == У}, V и) == V
132
соответствующие сопряженные переменные испытывают скачок.
Выбирая скачки соответствующим образом, можно удовлетворить
краевым условиям (45).
Теперь исследуем оrраничение g21 == V (t) V12 о. Для h 21
(см. 46» точка Р == Р 1, Су == c ax будет нереI'УЛЯРНОЙ. Считаем,
что Су (t) выбирается из условия (54), а Р (t) определяется из
связи hH == О. Нереrулярную точку контролируем по условию
v (п == и, требуя при этом выполнения соотношений
е (7) == 8, У\ (7) == 11,
c axx'l', pv 2 Sjm== '1'2 [PjmvC + pvSj2m]. (56)
в этом случае множитель Лаrранжа Л:Н определяется из уравнения
'I'lXCypv2Sjm + 'I'2pvSj2m + л 21 хС у рv 2 Sjm == О. (57)
Во всех остальных отношениях к оrраничению gZl О примени
мы те же рассуждения, что для gl1 О.
3.3.5. Оrраничение на высоту полета. Для системы (43) (45)
рассмотрим оrраЮ'lчение g31 == У\1l Y\ и) о. При точечном KOH
такте с оrраничением g31 == О В точке касания неоБХОДhМО выпол
нить условие g31 == (t) == v sin o o. Так как v=l=.o, то sin 0==0.
В этом случае, например,
дН d!-L31 ag 31
5 дl1 dt дl1'
т. е. сопряженная функция в точке касания с оrраничением g31 == О
испытывает скачок
'1'5 (t* + о) 'I'5 (t* O) == 31, 31 О.
Здесь Р'31 произвольная постоянная, t* точка контакта. Таким
образом, число произвольных постоянных И число краевых усло
вий (45) совместно с соотношениями "in О (t*) == о равны друr друrу.
При протяженном контакте g31 == О на отрезке [t , t;]. Тоrда имеем
g31==0, g31==0, g31==0. (59)
Из (59) получаем следую;цую совокупность условий:
У\ == У\11, sin О == о, h 31 == е == О.
словие ё == о выполняется за счет выбора управления. Выпишем
уравнения для сопряженных переменных:
I, == дН + л ah 31 d!-L31 ( t* ) ag31 . 1 2 4 5
'Уl aXi 31 aXi dt 1 aXi' L == , , , ,
х== {v, О, ер, , У\, }.
(58)
(60)
Отсюда видно, что при точечном и протяженном контакте необ
ходимо выполнить одно и то же условие sin 0==0. И в том и в
друrом случае появляется свободныЙ параметр 31' Характер
контакта с оrраничением g31 ==0 определяется принципом макси
мума. В каждом случае рассматриваем ситуацию (59), (60). Если
133
Таблица 1. Задача о шах () (t 1 ) (ЯI( 18Т)
Т н в ТЕТТА А СУ
О 500 72 О О
1 509,851461 70, 188734 16,067922 70,402191 0,826859
4 626,553312 49 , 713204 72,390808 204,700389 1,293381
7 719,999222 26,510779 160,984945 174, 16305 1,54
10 665,066365 43,799387 263,031222 11 О , 409977 1,363341
13 520,325472 68,432302 324, 100654 187,838537 0,826861
16 477,100368 73,30]762 371 ,337109 395,846785 0,760232
19 587,264758 55,432353 423,693011 552,736175 1,101482
22 700,487662 29,448647 506, 134833 539,644785 1,54
25 666,139379 41 , 207596 611,419652 466,026104 1 ,37687
28 516,064731 68,007548 674,841713 516,20957 0,805801
31 437,545446 77,765159 720,930422 719,87057 0,676778
34 521,452815 65,447878 767,00294 816,914729 0,858863
Таблица 2. Полет самолета ИЛ 62 на максимум дальности
Т I в м А СУ пеИ1 пеИ2
О 849,99902 16326,531 О 0,025828 38,717682 101,99974
0,5 838,92236 15903,789 422,23511 0,025828 38,718002 100,67039
1 827,69751 15481,047 838,89453 0,025827 38,718231 99 , 32304
1,5 816,31836 15058,305 1249,9102 0,025827 38,718231 97,956497
2 804,77832 1435,563 1655,1924 0,025827 38, 717560 96, 56895
2,5 793,07007 14212,82 2054,6575 0,025827 38,714981 95, 156601
3 781,18677 13790,078 2448,2322 0,025826 38,707245 93,710907
3,5 769, 11987 13367,34 2835,8113 0,025826 38,685471 92,21017&
4 756,86035 12944,598 3217,3164 0,025826 38,625351 90,59806&
4,5 744,39893 12521,855 3592,6372 0,025825 38,460983 88,725937
5 731 ,72559 12099,117 3961,6741 0,025825 38,013306 86 , 198776
5,5 718,828860 11676,375 4324,3203 0,025824 36,795273 81 ,964813
6 705,69629 11253,633 4680,4648 0,025824 33,483215 73,2 2824
6,5 692,3147 10830,895 5029,9727 0,25823 24,478668 52,515121
7 678,66943 10408,152 5372,7305 0,25823 0,0 0,0
в точке (t + О), соrласно принципу максимума, будет сход с orpa-
ничения gЗ1 == О, то характер контакта будет одноточечным. В про-
тивном случае он будет протяженным.
3 а м е ч а н и е 1. Для всех рассмотренных задач в случае мало'
меняющеЙся правой части дшрференциальных уравнений движения
применялись специальные схемы и преобразования вида (30) и
134
(31). При расчете траекторий с большим параметром применялись
неявные схемы.
З а м е ч а н и е 2. В задачах, для которых время протекания
процесса мало, считаем т (t) === то. Для самолета ИЛ-62 при полете
на максимальную дальность рассматриваем дифференциальное ypaB
нение для т (t), т. е. учитываем изменение массы по мере BbIro
рания топлива.
В табл. 1 приведены результаты расчета оптимальной траек-
тории в задаче О тах 8 (t 1 ). Принятые обозначения: Н BЫCOTa;
B CKOpOCTЬ; ТЕТТА уrол 8; А дальность, СУ управление
уrлом атаки.
Пример расчета на максимум дальности самолета ИЛ 62 при
веден в табл. 2. Здесь M Macca; ПСИl, ПСИ2 сопряженные
функции.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Задача Во. Найти min J
t 1
J == F (х, и, t) dt
t a
при наличии следующих оrраничений
х== а1 (х, t) и+ Ь 1 (х, t), К (р) == О, <р (р) О, (2)
g (х, и, t) == а2 (х, t) +Ь 2 (х, t) == О, (3)
Ф(х, и, t) O. (4)
Будем предполаrать, что u Е u (t) сЕТ; U(t) замкнуто и выпукло для
любых t, измеримо по t и содержится в некотором шаре, т. е. I U(t) I СО,
х ЕЕn, F (х, и, t), Ф (х, и, t) выпуклы по и; F непрерывна по х, u и из
мерима по t; а2, Ь 2 , Ф непрерывны по совокупности переменных; для пра-
вой части (2) выполнено неравенство Филиппова А. Ф. [12]; а1, Ь 1 удовлет-
воряют условию Липшица по х; пх(fо)z оrраничена и замкнута (либо П х (t 1 )Z
оrраничена и замкнута), [де Z мноrообразие, которое высекают BeKTOp
функции К (р) и <р (р), р== (х (to), Х (t1), t o , t 1 ); П проекция; размерность
<р(р) и К(р) любая.
Теорема существования. Пусть в задаче Во выполнены сформулирован-
ные выше предположения. Предположим, что существует хотя бы одна пара
(t, и), удовлетворяющая условиям задачи. Тоrда существует пара (хо, ио),
доставляющая абсолютный минимум в задаче Во.
Задача на быстродействие сводится к исходной задаче путем v замены
(1)
't
t == t o + v (1") d1",
О
Задача на min J
ний к функции р(х,
новую переменную
й==р (х, и, t), Z (0)==0,
v (1") > о, 1"Е [О, 1"0].
в интеrральной форме более обща5I в смысле требова-
и, t), чем задача J (р) -------+ min. Действительно, вводЯ!
приходим К исходной системе дифференциальных уравнений.
Доказательство теоремы проще Bcero разбить на четыре леммы.
1
Лемма 1. Пусть J (х, и) == F (х, и, t) dt В пространстве пар (х, и) Е w
о
== CxLoo функционал J является :полунелрерывным снизу в тополоrип
(С, 0':) (в пространстве W рассматриваются две тополоrии: С СИЛЬНЮJ
тополоrия, О': слабая * тополоrия).
Лемма 2. Пусть
А 1 == {р: К (р) == О, <р (р) о},
А 2 =={х, и, t: g(x, и, t)==O, tE[O, 1]},
Аз=={х, и, t: Ф(х, и, t) O, tE[O, 1]}.
Тоrда множества А1' А 2 , Аз замкнуты в тополоrии (с, а:').
136
Лемма 3. Пусть и n сходится К ио в тополоrии а:. Тоrда х n сходится
К хо в тополоrии С.
Лемма 4. Существует компакт D С W такой, что если (х, и) удовлетво-
ряет оrраничениям (2) (4), то (х, и) Е D.
Соrласно лемме 3, из слабой * сходимости управлений вытекает равно-
мерная сходимость траекторий Теорему 1 можно доказать в предположении
равномерной непрерывности аl по х, сохранив остальные требования, кроме
требований липшецевости аl и Ь 1 , если постулировать существование по
,следовательности х n , сходящейся к хо для и n , сходящейся к и о в соответ-
ствующей тополоrии. Аналоrичным образом можно рассматривать пару
(х п , и n ) (хо, и о ) в таких же предположениях.
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 1. (с, <1:) > (с, <1 ). Для случая
u(t)E.Lq, q 1 полунепрерывность J в тополоrии (с, а:) доказал Берко-
виц Л. Д. Отсюда следует полунепрерывность J в тополоrии (с, <1:').
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 2. Рассмотрим
f 1 1
А l == \ х, и, t l (t) Ф (х, и, t) dt О,
l(t)E.Loo,
\
l и) ?= О J .
Соrласно лемме 1, множество Al замкнуто Тоrда А == n Al замкнуто. Отсюда
1
следует замкнутость множества Аз
Оrраничение типа равенства g (х, и, t) == О можно представить в виде
двух неравенств g (х, и, t) О, g (х, и, t) О. Из последних двух нера-
венств следует замкнутость множества А 2 .
Д о К а з а т е л ь с т в о л е м м ы 3. Рассмотрим
t t
х n (t) == аl (х n , t) dt + Ь 1 (х n , t) dt +хn (О),
о о
t t
lim х n (t) == Нт \' аl (х n , t) и n dt + Нт r Ь 1 (х n , t) dt + liт х n (О),
n OO n OO n OO n J)
t t t
Нт Ь 1 (х n , t) dt == Нт Ь 1 (х n , t) dt == Ь 1 (х, t) dt
n ф О О n ф О
в силу непрерывности Ь 1 (х, t) по х, t:
аl (х т t) и n == [аl (х n , t) al (х, t] и n +аl (х, t) и n ;
в силу условий Филиппова и Каратеодори множество решений уравнения
у == аl (х, t) и, удовлетворяющеrо начальным условиям у (О) == Уо, относительно
компактно в пространстве с [О, 1].
По теореме Лебеrа
t t
liт аl (х, t) и n dt == аl (х, t) u dt ,
n ф О О
поскольку lаl(Х' t)unl C lаl(Х, t)l, unELoo;
t t
I [аl(Х и , i) al(x, t)] undtl Ltllxn xllllunlldt,
о о
137
rде Lt KOHcTaHTa Липшица, зависящая от t. Отсюда СJlедует, что
t
Нт [аl (х n , t) аl (х, t)] и n dt == О.
U Ф О
в силу замкнутости Пх<tо)Z Нт х N (О) == Х (О).
n ф
Д О к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 4. Из условий Филиппова и I и(t) I СО
вытекает, что существует такая константа Ro, что для любых (х, и) Е Ао и
u Е и (t) выполнено неравенство 1/ х Ilc Ro. В силу предположения о аl (х, t)
и Ь 1 (х, () инеравенства 11 х Ilc Ro имеем 11 х IIс Rl. Действительно,
I х I I аl (х, t) 11 u 1+1 Ь 1 (х, t) I Cl (R O )+C 2 (R о ):С з ==R 1 .
В качестве D выберем следующее множество:
D == {(х, и): u Е И(t), 11 х Ilc Ro, "Х I/с Rд.
Из теорем Арцела Асколи и Алаоrлу следует, что D компакт в тополоrии
(с, а:).
Д о к а з а т е л ь с т в о тео рем ы 1. Возьмем минимизи рующую последо
вательность {х n , и n }, Тоrда
. f t l
J (х т и n ) == шf t F (х n , и n , t) dt, (х n , и n ) Е D f'
Поскольку D компакт, то без оrраничения общности можно считать, что
(х n , и n ) -------+ (хо, ио). Так как Ао, А 1 , А 2 , Аз замкнуты, то (хо, Но) Е A i
i==O Из условий полунепрерывности (лемма 1) имеем
J (хо, ио) Нт J (х n , и n ).
n ф
Отсюда следует, что (хо, ио) точка минимума.
Теорема 2 (теорема единственности). CTporo выпуклый функционал J
на выпуклом множестве имеет единственный минимум.
Указанная содержательная теорема единственности доказывается три
виально. Соrласно предположениям теоремы 1, множество допустимых управ
лений в задаче Во является выпуклым. Пусть J имеет локальный минимум
в двух различных точках, иl и и2. В силу строrой выпуклости J имеем
J(ul+a(u2 ul» < J(Ul)(J(U 2 », О < а < 1. (5)
Неравенство (5) противоречит тому, что J (и) имеет локальный минимум
в точках иl, и2. Полученное Ilротиворечие доказывает теорему.
ПРИЛОЖЕНИЕ 11
Теорема существования решений. Пусть оператор g, отображающий OT
крытое множество банахова пространства Х в банахово пространство У, дЛЯ
любоrо х Е м cTporo дифференцируем в точке х, причем существует а > О
такое, что для любых хЕМ производная g' (х) a HaKpЫBaeT. Кроме Toro,
пусть для HeKoToporo а' < а шар
В == {II x xo 11 :' 11 g (хо) 11} сМ. (1)
Тоrда в шаре В существует точка х*. g (х*) == О.
Здесь g' (х) производная Фреше. Строrая дифференцируемость опера
тора g в точке хо означает, что '</8>0 зб==б(8) такое, что 'ч'Х', х"ЕВб(х)
выполнено неравенство
11 g (х") g (х') g' (хо) (х" х') 11 < 8.
(2)
138
Из непрерывной дифференцируемости оператора в точке хо следует
строrая дифференцируемость в этой же точке.
Пусть A==g' (х); А:Х У. Тоrда Aa HaKpЫBaeT [13J, если ,</уЕУ,
Ilyll== 1, зх:Ах==у, IIxll a l, а> О. Если A l существует, то указанное
утверждение эквивалентно неравенству
11 А 111 a l. (3)
в теореме необходимо выбрать окрестность М С Х и константу накры-
вания а. Если оrраничиться шаровой окрестностью
M=={I!x xoll < R (М)},
то из условий теоремы вытекает неравенство
aR (М) > 11 g (хо) 11.
(4)
Из (4) вытекает, что требования выбора константы накрывания и радиуса
окрестности М противоречивы. Увеличение а приводит к уменьшению R (М),
и наоборот. Таким образом, выбор константы накрывания и размера окрест-
ности является предметом исследования в каждой конкретной задаче.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 24 [13] '</8> О g (a 8) HaKpЫBaeT
на М, т. е. ,</а' < а, а' > О g а' -накрывает на М. Отсюда следует
g (В р (хо» Ba'g (g (хо»). (5)
1
Положим p==....,llg(xo)ll. Выберем шар'
а
11 у g (х о ) 11 а' р == 11 g (хо) 11.
'Так как OEBa'g(g(xo» (действительно, положим у==о, тоrда II g(x)ll
g (хо) 11), то из (4) следует, что существует х* Е Вр (хо): g (х...) == О.
ПРИЛОЖЕНИЕ 111
I(омментарии к численным методам интеrрирования
задач I(оши
Рассмотрим практическое применение численных методов решения задачи
Коши:
y==f(y, t). у(О)==а, tE[O, Т].
Здесь относительно правой части предполаrается, что она удовлетворяет
условию Липшица в равномерной метрике
11 f (Уl, t) f (У2, t) 11 R 11 Уl У211, t Е [О, Т]
для всех компонент векторов Yl и У2. В этом случае решение единственно,
если оно существует [14 19J.
К числу явных универсальных методов численноrо интеrрирования
()тносят: экстраполяционные методы Адаса; методы проrноза и коррекции;
явные методы PYHre KYTTa. Иноrда методы проrноза и коррекции называют
fIОЛУЯВНЫМИ. С точки зрения теории управления основными управляющими
'Параметрами в перечисленных методах являются: величина шаrа интеrри
рования, тип метода, порядок метода и ero внутренние параметры. Сюда
{:ледует также отнести выбо р последовательности вычисления компонент по
методу Зейделя, а также способ формирования последовательности методов.
Применяемые разностные методы характеризуются точностью, устойчи-
ЕОСТЬЮ И эффективностью. При численной аппроксимации выделяют три
источника поrрешностей:
1. Поrрешность окруrления, возникающая при представлении чисел
'в ЭВМ с оrраниченным числом разрядов.
2. Поrрешность усечения, связанная с использованием при аппрокси-
;мации функции лишь несколько членов вместо бесконечных рядов.
139
3. Поrрешность распространения является результатом накопления
поrрешностей, появившихея на предыдущих вычислениях.
Указанные три источника поrрешностей являются причиной ошибок
двух типов: локальной ошибки суммы поrрешностей, вносимых в числен-
ный процесс на каждом шаrе вычислений; rлобальной ошибки суммарной
поrрешности в конце счета. Неустойчивые методы численноrо интеrриро-
вания приводят к накоплению и усилению ошибки метода и ошибки oKpyr-
ления. В устойчивых методах отсутствует поrрешность распространения.
ЭффектИl НОСТЬ разностной схемы опр=деляется как полное число ариф-
метических, лоrических и обменных операций, выполняемых центральным
процессором машины, для получения решения на характерной единице вре-
мени задачи. Ясно, что требования эффективности и точности противоречивы.
Существуют задачи, для которых невозможно получить решение задачи
Коши явными методами в соответствии с заданной точностью, варьируя
лишь метод, ero внутренние параметры, порядок метода и величину шаrа
интеrрирования. В этом случае считают, что в задаче появляется большой
параметр. Перечислим основные причины, которые приводят к экстремаль-
ной ситуации в задаче Коши: большая точность решения задачи Коши
большой промежуток интеrрирования; высокий порядок системы; наличие
сильно осциллирующих решений; существование ДОС1аточно большоrо числа
точек нарушения rладкости в правой части; жесткие системы.
Для интеrрирования систем в экстремальных ситуациях применяют
неявные и специальные схемы. Здесь при решении нелинейных алrебраи-
ческих уравнений возникают проблемы, связанные с плохой обусловлен-
ностью матрицы Якоби Иноrда можно «улучшить» свойства интеrрируемой
системы за счет нормировки и замены переменных (l4 19].
Контролем точности вычислительноrо процесса служит функция [а-
мильтона. Будучу интеrралом основной и сопряженной системы, она чув-
ствительна к выбору метода, ero порядка и величине шаrа интеrрирования.
На характер постоянства функции rамильтона также влияет точность поиска
точек нарушения rладкости правой части дифференциальных уравнений.
Неявные схемы позволяют увеличить шаr интеrрирования по сравне-
нию с явными методами. Методы высоких порядков типа методов rира
требуют получения разrонных точек Их получают с помощью методов
более низкоrо порядка Методы rира целесообразно применять с постоян-
ным шаrом и при умеренных числах жесткости [14 ]6]
Для интеrрирования систем с большими временами следует применять.
неявные схемы Адамса или PYHre KYTTa с использованием в качестве пер-.
Boro приближения соответствующих явных методов.
При интеrри ровании жестких систем применяют метод экспоненты
уnн==уn+ехр [f (Уn, t n )] tJ.t ].
Такая схема является весьма эффективной для слабо меняющихся функций
при малых f (у, t). Друrими словами, требуется оrраниченность по модулю
собственных чисел матрицы Якоби
Можно указать и друrие специальные методы [14 19] До сих пор тре-
бует cBoero решения проблема интеrрирования жестких систем колебатель-
Horo типа.
Следует отметить, что существуют различные определения жесткости.
В работе [15] понятие жесткости содержит идеолоrию синrулярно возму-
щенных уравнений. Друrие авторы к классу жестких систем относят урав-
нения, в которых в качестве большоrо параметра выступает отношение
максимальноrо и минимальноrо по модулям собственных чисел матрицы
Якоби. Все приводимые определения укладываются в рамки схемы задач
с большим параметром [14].
При применении неявных схем используют также методы реrуляриза-
ции [18 19] Основные трудности получения обобщенноrо решения связаны
с выбором параметра реrуляризации. Хотя в настоящее время существует
MHoro методов определения указанноrо параметра, наиболее надежным
следует считать контроль решения по функции rамильтона Задача выбора
параметра сводится к задаче сохранения функции rамильтона.
140
Рассмотрим метод введения параметра для случая больших по модулю
значений правой части дифференциальных уравнений. На базе уравнения
Эйлера имеем
Уn+ 1 == ChYn+l + ChYn+l + Уn + g (Уn, t n) h.
Теперь построим итерационный процесс:
k k
Я == chyn + + НУn, tn)h о
Уn+ 1 +ch 1 +ch 1 +ch ' уn == Уn'
Предложенная схема содержит два параметра, с и h. Величину с выбираем
из условия
с == шах I fi (y , t n ) 1, i == I1i
i
Здесь проще ввести два новых независимых параметра, В == ch и с. Шаr
интеrрирования h определяется из уравнения h== Bc l. При достаточно
больших значениях с можно положить
k k
НУn, t n ) h '" f (Уn, t n)
1 + ch с
chy k
l+ch Yn'
На практике обычно оrраничиваются 4 5 итерациями. Выбор пара
метра В проводится по принципу PYHre [18 19].
ЛИТЕРАТУРА
1. Афанасьев А. П., Дикусар В. В., Мuлютuн А. А., Чуканов С. В. Необ-
ходимое условие экстремума. М.: Наука, 1988.
-2. Дубовuцкuй А. Я. Решение задачи Улама об оптимальном совмещении
отрезков: Препринт. Черноrоловка: Ин т хим. физики АН СССР, 1975.
З. Дубовuцкuй В. А. Задача Улама об оптимальном совмещении отрезков:
Препринт. Черноrоловка: Ин т хим. физики АН СССР, 1981.
4. Левuтuн Е. С., Мuлютuн А. А., ОС'м'оловскuй Н. П. Условия высших
порядков локальноrо минимума в задачах с оrраничениями / / УМН.
1978. Т. 33, вып. 6.
5. Левuтuн Е. С., Мuлюmuн А. А., ОС'м'оловскuй Н. П Теория условий
высших порядков в rладких задачах на экстремум с оrраничениями / /
Теоретические и прикладные вопросы оптимальноrо управления. Ир
кутск: Иркут. вычисл. центр, 1983.
6. Robbiпs Н. Function рЬепоmепа for optima1 contro1 with statevariable
inequality constraints of third] order. IOTA 3]:1. Р. 85 99.
7. Понтрясuн Л. С., Болтянскuй В Т., Та'м'крелuдзе Р. В , Мuщенко Е. Ф.
Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматrиз, 1951.
8. Дубовuцкuй А. Я., Мuлютuн А. А. Теория принципа максимума // Me
тоды теории экстремальных задач в экономике. М.: Наука, ]981.
9. l орбатенко С. А., Макашов ЭМ., Полушкuн Ю. Ф., Шефтель Л. В.
Механика полета. М.. Машиностроение, 1969.
10. Шкадов Л. М., Буханова Р. С, Илларuонов В Ф., Плохuх В. П. Mexa
ника оптимальноrо пространственноrо движения летательноrо аппарата
в атмосфере. М.: Машиностроение, 1972.
11. Kopeпhageп W , N eustadt R. Das grope Flugzeug ТурепЬисЬ. В.: Trans
press УЕВ, 1977.
12. Мордуховuч Б. Х. Существование оптимальных управлений / / Итоrи
науки и техники. Современные проблемы матеМатики. М.: ВИНИТИ,
1976. Т. 6.
13. Д'м'итрук А. В., Мuлютuн А. А., ОС'м'оловскuй Н. П. Теорема Люстер-
ника и теория экстремума // УМН. 1980 Т. 35, вып. 6(216) С. 11 46.
14. Теоретические основы и конструирование численных алrоритмов задач
математической физики/Под ред. К. И. Бабенко М.: Наука, 1979.
15. Ракuтскuй Ю. В., Устинов С М., Черноруцкuй И. Т. Численные ме-
тоды решения жестких систем. М.: Наука, 1979.
16. Холл Дж. , Уатт Дж. Современные численные методы решения обык-
новенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979.
17. Чуа Л. О., Пен-Мuн Лuн. Машинный анализ электронных схем. Алrо-
ритмы и вычислительные методы. М.: Энерrия, 1980.
18. Калuткuн Н. Н. Численные методы. М.: Наука, ]978.
J9. Марчук Т. И. Методы вычислительной математиКи. М.: Наука, ]980.
оrЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Введение.
3
5
1
ЗАДАЧИ БЕЗ ФАЗОВЫХ оrРАНИЧЕНИЙ
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
l1зопериметрическая задача . . . . . . .
Задача о минимальной поверхности вращения
Задача о rеодезической .
Обобщение задачи о rеодезической
Задача Улама . . . . . .
Условия экстремума BToporo порядка в задаче линей
Horo быстродействия
11
14
19
22
26
38
2
ЗАДАЧИ С ФАЗОВЫМИ оrРАНИЧЕНИЯМИ
2.1. Фазовые оrраничения rлубины 2 . . . . . . 58
2.2. Фазовое оrраничение rлубины 3 с интеrральным оrрани
чением на управление . . . . " ..... 67
2.3. Система с фазовым оrраничением rлубины 3 и локаль
ным оrраничением н а управление . . . . . . . . . .. 88
3
ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА
3.1. Постановка задачи
3.2. Примеры
Приложение 1 .
Приложение 11
Приложение 11 1
Л итера тура
] 15
122
136
138
139
142
Научное издание
Дикуса р
Василий Васильевич
Милютин
Алексей Алексеевич
КАЧЕСТВЕННЫЕ
И ЧИСЛЕННЫЕ
МЕТОДЫ
в принципе максимума
Утверждено к печати
Институтом проблем управления
Редактор издательства Т. И. Охотникова
Художник с. А. Резников
Художественный редактор А. В. 3дРилько
Технический редактор Л. В. Прохорцева
Корректоры Н. Б. rабасова, Р. 3. 3емлянская
ИБ ,N'g 40162
Сдано в набор 17.11.88 Подписано к печати 150889
T 12159. Формат 60X90j16. Бумаrа типоrрафская N22
rарнитура литературная новая. Печать высокая
Уел. печ. л. 9,0 Уел. Kp. OTT. 9,38 Уч изд. л. 8,8
Тираж 1600 экз. Тип. зак. 864. Цена 1 р. 80 к.
Ордена Трудовоrо KpaCHoro Знамени издательство «Наука»
117864, rСП-7, Москва, B 485. Профсоюзная ул , 90
2 я типоrрафия издательства «Наука»
121099, Москва, r-99, Шубинекий пер., 6 ЗаКdЗ М 4479