Б. Μ. Макаров, Μ. Г. Голузина,
А. А. Лодкин, А. Н. Подкорытов
Избранные задачи
по вещественному
анализу
Издание 2-е, переработанное
и дополненное
ύ
НЕВСКИЙ
ДИАЛЕКТ
Санкт-Петербург
2004

УДК 517.1(075.8)
ББК 22.16я7
И32
Избранные задачи по вещественному анализу: Учеб. пособие для
И32 вузов / Б.М.Макаров, М.Г. Голузина, А. А. Лодкин, А. Н. Подкорытов.
— 2-е изд., псрсраб. и доп. — СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург,
2004. — 624 с: ил.
Эта книга — значительно расширенное издание задачника, опубликованного
изд-вом «Наука» в 1992 г., допущенного Государственным комитетом СССР по
народному образованию для обучения студентов математических специальностей
и выпущенного Американским математическим обществом на английском языке.
Задачник ориентирован в первую очередь на студентов младших курсов
физико-математических факультетов университетов и технических вузов с
расширенным курсом математики, желающих активно овладеть методами классического
и современного анализа, а также на преподавателей математики.
Особое внимание уделяется мало представленным в учебной литературе
классическим разделам анализа (асимптотика, выпуклые функции,
тригонометрические ряды) и теории функций вещественной переменной, а также избранным
вопросам современного анализа (меры Хаусдорфа, неравенство Хинчина, почти
периодические функции, элементы теории динамических систем).
Многие циклы задач могут быть использованы как материал для работы
студенческого кружка.
Почти все задачи сопровождаются подробными решениями или указаниями.
ISBN 5-7940-0104-6 («Невский Диалект»)
ISBN 5-94157-463-0 («БХВ-Петербург»)
© «Невский Диалект», 2004
© Б. М. Макаров, М. Г. Голузина,
А. А. Лодкин, А. Н. Подкорытов, 2004

Оглавление
Предисловие ко второму изданию 5
Предисловие к первому изданию 6
Список обозначений 8
Условия Указания
задач и решения
Глава I. Введение 11 221
§ 1. Множества 11 221
§ 2. Неравенства 19 227
§ 3. Иррациональность 29 242
[лава II. Последовательности 33 250
§ 1. Вычисление пределов 33 250
§ 2. Усреднение последовательностей 37 258
§ 3. Рекуррентные последовательности 41 264
Глава III. Функции 44 272
§ 1. Непрерывность и разрывы функции 44 272
§ 2. Полунепрерывные функции 48
§ 3. Непрерывные и дифференцируемые функции 49 278
§ 4. Непрерывные отображения 56 289
§ 5. Функциональные уравнения 58 294
Глава IV. Ряды 61 300
§ 1. Сходимость 61 300
§ 2. Свойства числовых рядов, связанные с монотонностью ... 63 305
§ 3. Различные утверждения о рядах 66 311
§ 4. Вычисление сумм рядов 69 318
§ 5. Функциональные ряды 71 321
§ 6. Тригонометрические ряды 74 330
Г л а в а V. Интеграл 78 344
§ 1. Несобственные интегралы от функций одной переменной . 78 344
§ 2. Вычисление кратных интегралов 84 350
Глава VI. Асимптотика 87 358
§ 1. Асимптотика интегралов 87 358
§ 2. Метод Лапласа 93 371

4 Оглавление
§ 3. Асимптотика сумм 101 386
§ 4. Асимптотика неявных функций и рекуррентных
последовательностей 109 399
Глава VII. Функции (продолжение) 112 407
§ 1. Выпуклость 112 407
§ 2. Гладкие функции 122 419
§ 3. Многочлены Бернштейна 127 430
§ 4. Почти периодические функции и последовательности .... 131 442
Глава VIII. Мера и интеграл Лебега 137 452
§ 1. Мера Лебега 138 452
§ 2. Измеримые функции 142 463
§ 3. Суммируемые функции 146 466
§ 4. Интеграл Стилтьеса 156 480
§ 5. ε-энтропия и меры Хаусдорфа 159 486
§ 6. Асимптотика интегралов высокой кратности 166 499
Глава IX. Последовательности измеримых функций 172 516
§ 1. Сходимости по мере и почти везде 173 516
§ 2. Сходимость в среднем. Закон больших чисел 176 519
§ 3. Функции Радемахера. Неравенство Хинчина 179 522
§ 4. Ряд и преобразование Фурье 188 536
Глава X. Итерации преобразований отрезка 201 564
§ 1. Топологическая динамика 201 564
§ 2. Преобразования с инвариантной мерой 210 584
Ответы 601
Список литературы 614
Предметный указатель 620

Посвящается светлой памяти
Станислава Александровича ВИНОГРАДОВА
и Гарольда Исидоровича НАТАНСОНА
Предисловие ко второму изданию
Во второе издание задачника внесены существенные дополнения.
Объём книги увеличился примерно в полтора раза. Это вызвано не
только включением новых задач, но и заметным возрастанием доли
указаний и решений. В связи с этим пополнился список
литературы (отметим, в частности, что несколько задач мы позаимствовали
из [Ар]). В интересах читателя, желающего получить дополнительную
информацию, во многих случаях расширены указания на источники.
Мы признательны всем читателям, обратившим наше внимание
на погрешности, допущенные в первом издании и в его переводе,
опубликованном Американским математическим обществом. Мы
благодарны нашим друзьям и коллегам — А. Б. Александрову, Е. А.
Горину, В. В. Жуку, А. Н. Петрову, А. А. Флоринскому, А. И. Храброву,
Н. В. Цилевич и С. М. Шиморину, сообщившим новые задачи и во
многом способствовавшим улучшению текста. Особую благодарность мы
выражаем К. П. Кохасю и Ф. Л. Назарову, которые не только
предложили ряд красивых задач, но и во многих местах значительно
усовершенствовали изложение, фактически взяв на себя труд по редактированию
книги.
В заключение мы хотим отметить благотворное влияние В. П. Хави-
на как на содержание книги, так и на её судьбу.
При работе над вторым изданием мы пользовались
поддержкой гранта ФЦП «Интеграция» № 326.53 и грантов Президента
РФ для поддержки ведущих научных школ РФ № НШ-2251.2003.1
и № НШ-2266.2003.1.
Авторы

Предисловие к первому изданию
Этот задачник предназначен в первую очередь студентам, желающим
углубить свои знания по математическому анализу, и преподавателям,
ведущим семинарские занятия и кружки на математических факультетах
университетов. От обычно используемых задачников он отличается несколько
большей трудностью задач, среди которых имеется ряд известных теорем
анализа. Несмотря на это, для решения задач глав I—VII и § 1 главы X не
требуется особой подготовки, и в значительной части задачи доступны уже
студентам первого курса во втором семестре. Все необходимые для
решения этих задач сведения содержатся в стандартных университетских
учебниках по математическому анализу, в частности в книгах В. А. Зорича [Зо],
Л.Д.Кудрявцева [Ку], У Рудина [Ру] и Г. М. Фихтенгольца [Ф]. Задачи
глав VIII и IX и § 2 главы X предъявляют несколько большие требования
к уровню подготовки читателя и предполагают его знакомство с
основными понятиями теории меры. Соответствующие сведения можно найти
в последней главе упомянутого учебника У Рудина и, в более полном
виде, в книгах А.Н. Колмогорова и СВ. Фомина [КФ] и Б.З. Вулиха [By].
Содержание первых семи глав, включающих около двух третей всех
задач, не выходит за рамки классических тем анализа (функции,
производная, интеграл, асимптотика). Как здесь, так и в последующих главах мы не
стремились к максимальной общности и, оказавшись перед
необходимостью выбирать между более и менее общей формулировкой задачи, часто
отдавали предпочтение последней. Главы VIII-X менее традиционны для
задачника по анализу. Кроме вкусов авторов критерием при отборе
материала для этих глав служила программа курса математического анализа,
принятая в Ленинградском университете. Задачи, выходящие за её рамки
и относящиеся к теории функций вещественной переменной (несмотря на
всю условность этого разделения), в задачник не включались. Так,
например, мы не использовали много привлекательных задач, решение которых
опирается на теорему Лебега о дифференцировании интеграла по
переменному верхнему пределу. В книге также почти не нашли отражения
задачи, связанные с комплексным анализом. Читателей,
интересующихся этим кругом вопросов, мы отсылаем к широко известному сборнику
Г. Полна и Г. Сегё [ПС] и к книге Е. Титчмарша [Т].

11редисловие к первому изданию
7
Мы стремились объединить задачи, посвященные отдельным темам или
методам, в циклы, в пределах которых можно было бы шаг за шагом
исчерпать тот или иной круг вопросов с достаточной полнотой. Отчасти
ш-за этого нам не удалось избежать известной неоднородности в степе-
ми трудности соседних задач, которая на протяжении одного цикла может
шметно возрастать. Поэтому нередко более трудные задачи сменяются
сравнительно простыми, и читатель, не решив какой-либо задачи, не
должен чувствовать себя обескураженным и вполне может надеяться на успех
мри решении последующих задач.
Краткие, а часто и подробные решения большинства задач приведены во
второй части задачника. Однако мы рекомендуем читателю не
торопиться использовать эту часть книги и не упускать шанс придумать лучшее
решение, чем то, которое там приведено.
Литература по анализу и, в частности, учебники и сборники задач
содержат необъятный материал, и мы думаем, что лишь немногие из
предлагаемых задач могут претендовать на оригинальность. Мы видели нашу
цель прежде всего в том, чтобы попытаться систематизировать и ввести
в повседневный обиход задачи, содержащиеся (иногда в неявном виде)
в труднодоступных (особенно для студентов) источниках, а также в
математическом фольклоре. Искушённый читатель заметит наряду с
традиционным материалом заимствования из «Математического просвещения»,
«American Mathematical Monthly», сборников [Ma], [Ρ], [СГК], [СП], [СТ],
[ΚΙ] и др. Литературными ссылками задачи сопровождались лишь в
исключительных случаях.
Общее редактирование задачника осуществлялось Б. М. Макаровым.
Мы выражаем искреннюю благодарность нашим друзьям и коллегам —
А. Б. Александрову, Д. А. Владимирову, Е. Д. Глускину, Ю. Г. Дуткеви-
чу, В. В. Жуку, К. П. Кохасю, М.Ю. Любичу, Г. И. Натансону, А. В. Оси-
пову, А. И. Плоткину, О. И. Рейнову, Б. А. Самокишу, С. В. Хрущёву
и Д. В. Якубовичу, многочисленные советы и критические замечания
которых оказали нам большую помощь. Мы обязаны им также рядом изящных
задач.
В задачнике принята следующая система нумерации задач и ссылок.
В пределах одной главы задачи нумеруются двумя числами, первое из
которых обозначает номер параграфа, а второе — номер задачи в
параграфе. При ссылках на задачу из другой главы сначала указывается (римской
цифрой) номер главы. Например, задача VII.2.5 — это задача 2.5 из
главы VII.
Мы будем признательны всем читателям за отзывы и замечания.
Авторы

Список обозначений
N — множество натуральных чисел;
Ζ — множество целых чисел;
Ζ+ — множество неотрицательных целых чисел;
Q — множество рациональных чисел;
К. — множество вещественных чисел;
R+ — множество положительных вещественных чисел;
К. — расширенное множество вещественных чисел;
С — множество комплексных чисел;
Жт — арифметическое m-мерное пространство;
(а,Ь) — промежуток вМс концами а и Ъ\
0 — пустое множество;
Ξ — множество двоичных последовательностей;
А х В — декартово произведение множеств А и В;
card(A) — мощность множества А;
А — замыкание множества А (А сШ.т);
Int(A) — внутренность множества А (А С Ш.т);
дА — граница множества А (А сШ.т);
В(х,г) — открытый шар с центром в точке χ и радиусом г;
Вт(г) — шар В (0, г) в пространстве Ш.т;
Вт— шарВт{1);
Sm~l — единичная сфера вМшс центром в нуле;
f(A) — образ множества А при отображении /;
f~l(A)— полный прообраз множества А при
отображении/;
{ап}п^с — последовательность (отображение, заданное на
множестве целых чисел, больших или равных с,
с еЩ;

Список обозначений
9
{ап} — последовательность {ап}п^\;
f Τ» / I — обозначение характера монотонности функции /
(неубывание, невозрастание);
хп Τ а, (хп [а) — обозначение равенства lim хп = а для неубы-
п—>+оо
вающей (невозрастающей) последовательности;
f(x)=0(g(x))
на множестве А— обозначение соотношения |/(jc)| ^ С|#(лс)| для
всех χ G А, где С — некоторое положительное
число;
f{x) = 0{g(x))
при χ —> а — обозначение соотношения f(x) = 0(g(x)) в
некоторой окрестности точки а;
при χ —> α— одновременно: /(*) = О (#(*)) и g(x) = 0(/(x))
при χ —> а;
/w~*(*)
при jc —> а — обозначение соотношения /(χ) = Φ (*)#(*), где
при л —► α — обозначение соотношения /(*) = <jo(jc)^(jc), где
φ(*) ^ 0;
/„(*)=*/(*)
на А — обозначение равномерной сходимости последова-
тельнсти функций {fn}n^c к функции / на
множестве Λ.
В обозначениях, связанных с последовательностями: lim an->
и—>·+οο
ап ~ Ъп при и —> +оо, Ди χ &„ при и —* +оо и т.д., мы часто
опускаем указание «п —* +оо» и пишем: lima,,, ап ~ Ьл, аи χ Ьп и т.д.
]ζ α π — обозначение ряда и его суммы;
]ζ an — обозначение для Σ αη\
С(Х) — множество функций, непрерывных на
множестве X;

10
Список обозначений
С (А) — множество функций, г раз непрерывно
дифференцируемых на промежутке Δ (Δ С Μ,
0 ^ г ^ +оо);
Πρα(Δ) — множество функций /, удовлетворяющих
условию f(x) - f(y) = 0(\х -у\а) на квадрате Δ χ Δ
(условие Липшица на промежутке Δ с
показателем а > 0);
Lipa — множество Lipa(R);
vraisup/— истинный супремум измеримой функции / на
Е множестве Е;
«2f°(E) — множество измеримых по Лебегу почти везде
конечных функций, определённых на измеримом
множестве Е;
£р(Е) — множество таких функций / из «2f°(E), что
функция \f\p суммируема на множестве Е;
£°°(Е)— множество таких измеримых функций /, что
vrai sup I/1 < +00;
Ε
2{E) — множество S£x (Ε);
Xm — мера Лебега в пространстве Ш.т (в
главах VIII-X);
Я — мера λ\ (в главах VIII—X);
ат — объём (m-мерная мера Лебега) шара Вт;
μηι-\ — мера Лебега на Sm~l;
[χ] — целая часть вещественного числа х;
χ mod у — обозначение для числа χ — [j]y (х9 у Ε R,
y>0);
γ — постоянная Эйлера.

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
Глава I
Введение
§ 1. Множества
1.1. На балу присутствует равное число юношей и девушек.
Известно, что для любой группы юношей найдётся по крайней мере столько
же девушек, каждая из которых имеет знакомого в этой группе.
Можно ли составить пары из знакомых друг с другом партнёров так, чтобы
танцевали все участники бала?
1.2. Пусть последовательность {гп} определена следующим
образом:
r\ = h r2k = l+rk, г2к+х = ±- (кеП).
Докажите, что отображение ш->гм есть биекция множества N на
множество Q+ = Q η (0, +оо).
1.3. Докажите, что на плоскости можно расположить континуум
попарно непересекающихся пятёрок, но лишь не более чем счётное
множество восьмёрок (рис. 1 и 2).
Рис. 1 Рис. 2
1.4. Птичьим следом будем называть множество на плоскости,
являющееся объединением трёх (лежащих на различных лучах) отрезков,

12
I. Введение
• УСЛОВИЯ
имеющих общий конец — вершину следа (рис. 3).
Докажите, что на плоскости можно расположить
лишь не более чем счётное множество попарно
непересекающихся птичьих следов.
1.5. Под Т-образной фигурой будем понимать
объединение двух взаимно перпендикулярных
отрезков, середина одного из которых является
концом другого. Оцените сверху число N попарно
непересекающихся Т-образных фигур,
образованных отрезками единичной длины и содержащихся
в квадрате со стороной а.
1.6. Докажите, что в пространстве можно расположить лишь не
более чем счётное множество попарно непересекающихся «обручей» —
цилиндрических колец фиксированного радиуса (толщина обручей
равна нулю).
1.7. После проигрыша всех соревнований Балде бесы (которых
было бесконечно много) решили заняться физкультурой и организовали
спортивные секции. В каждую секцию входило лишь конечное число
бесов, но секций было так много, что в любой бесконечной компании
бесов можно было указать по крайней мере двух, записавшихся в одну
секцию. Докажите, что за исключением конечного числа бесов-лентяев
каждый из бесов был записан в бесконечное множество секций.
1.8. Будем говорить, что последовательность {Ап} конечных
подмножеств множества N густо покрывает N, если для любого бесконечного
множества В С N найдётся такой номер /я, что card (В ПАт) ^ 2.
Докажите, что
а) натуральные числа, принадлежащие лишь конечному числу
множеств Ап, образуют конечное множество;
б) существует такое бесконечное множество Ε С Ν, что для любого
числа к G Ε справедливо включение Е\ (J Ап С {1,... ,к — 1} .
п'.АпЭк
1.9. Докажите, что если {Ап}, {Вп} — две последовательности
конечных множеств, каждая из которых густо покрывает N (см.
задачу 1.8), то найдутся такие номера ρ и q, что card (Ар Π Bq) ^ 2.
Двоичной последовательностью называется последовательность,
«состоящая из нулей и единиц», т.е. последовательность ε = {ε*}, где ε^ = О или 1
Рис.3

*ЛДАЧ ·
§ 1. Множества
13
при любом к £ N. Множество всевозможных двоичных
последовательностей мы будем обозначать буквой Ξ.
Говоря о множествах, элементами которых, в свою очередь, являются
множества, мы будем использовать термин «система множеств».
1.10. Пусть £^(N) — система всевозможных подмножеств
множества N. Докажите, что
а) множества Ξ и £^(Ν) равномощны;
б) множества Ξ и Ξ χ Ξ равномощны.
1.11. Докажите, что множество Ξ имеет мощность континуума.
1.12. Докажите, что множества Ш2 и М? имеют мощность
континуума.
1.13. Докажите, что множество ΜΝ всех последовательностей
вещественных чисел имеет мощность континуума.
1.14. Докажите, что множество непрерывных функций, заданных на
отрезке [я, Ь], имеет мощность континуума.
1.15. Существует ли система 21 подмножеств множества Ν,
удовлетворяющая условиям:
а) 21 имеет мощность континуума;
б) card(A Π В) < +оо для любых А, В е 21, ΑφΒΊ
1.16. Существует ли система 21 подмножеств множества Ν,
удовлетворяющая условиям:
а) 21 имеет мощность континуума;
б) для любого числа t и любых различных множеств А, В е 21
неравенство \а — b\ < t справедливо лишь для конечного числа точек
а еА,Ь еВ?
1.17. Существует ли система 21 подмножеств множества N,
удовлетворяющая условиям:
а) 21 имеет мощность континуума;
б) система 21 линейно упорядочена по включению, т.е. из любых
двух множеств, входящих в 21, одно содержится в другом?
1.18. Пусть ^(N) = {А С N | card (А) < +оо} — система всех
конечных подмножеств множества N. Докажите, что
а) система &{N) счётна;
б) существует такая биекция φ: &\Ν) —> Ν, что φ (Α) ^ φ(Β), если
А С В (А, В е &{Ν)).

14
I. Введение
• УСЛОВИЯ
1.19. а) Введём в множестве R+ = (0, +оо) отношение
эквивалентности, считая, что χ ~ у, если ^ £ Q. Докажите, что пересечение
каждого класса эквивалентности с любым (непустым) содержащимся в R+
интервалом непусто.
б) Введём на окружности S1 = {ζ £ С| \ζ\ = 1} отношение
эквивалентности, считая, что ζ ~ ξ9 если j = е2я , где Θ £ Q.
Докажите, что множество предельных точек любого класса эквивалентности
совпадает с 51.
1.20. Пусть Sl = {z eC\\z\ = 1}. Множества А, В с S1
называются конгруэнтными, если существует такое число а £ R, что
В = {zeia | ζ £ А}, т.е. «множество В получается из множества А
поворотом на угол а». Докажите, что существует такая
последовательность {Еп} попарно непересекающихся конгруэнтных множеств, что
Sl = U Еп.
1.21. Пусть Ε С R и ϊψ- £ £ для любых х,у е Е.
а) Верно ли, что Ε D [500, 1500], если Ε D [0, 1] и 2001 £ ΕΊ
б) Докажите, что если Int(E) Φ 0, то Ε — промежуток.
1.22. Найдите все предельные точки множеств
а) {п~1 +/я-1 |/и, η £ Ν}; в) {ν^ - \/й |/и, η £ Ν};
б) {m + nV2\m,neZ}; г) { ^~^| | т, η £ ν}.
1.23. Пусть £ с R+, Ε φ 0. Докажите, что если \/х2 -{-у2 £ Ε
и | £ Ε для любых х, ^ £ Ε, то £ = [0, +оо).
1.24. Пусть Ε С Ш2. Докажите, что
а) если семейство открытых кругов {Ва}аед таково, что Ε с [J Ва,
то существует такое не более чем счётное множество Aq с А, что
ЕС (J *<ь
<*£Ао
б) существует не более чем счётное подмножество множества £,
замыкание которого содержит Е.
1.25. а) Множество называется дискретным, если любая его
точка — изолированная. Докажите, что всякое дискретное множество на
плоскости не более чем счётно, а его замыкание не может иметь
внутренних точек.

ЗАДАЧ ·
§ 1. Множества
15
б) Точку а множества Ε С К. будем называть полуизолированной,
если существует такое ε > О, что по крайней мерс один из
интервалов (а — ε, α), (я, α + ε) не содержит точек множества Е. Докажите,
что множество полуизолированных точек любого множества Ε С R не
более чем счётно.
1.26. Пусть Ε С N, card£ = +оо. Докажите существование такого
числа а > 1, что бесконечно много чисел [ak] (k e N) содержится
в£.
1.27. Пусть G — открытое, не ограниченное сверху множество в R
Существует ли такое положительное число χ о, что множество G
содержит бесконечно много точек вида ήχο (η Ε Ν)?
1.28. Пусть {Grn} — последовательность открытых, не
ограниченных сверху подмножеств множества R. Докажите, что существует
такое число xq > 0, что каждое множество Gm содержит бесконечно
много точек вида пхо (w G Ν).
В задачах 1.29—1.34 изучаются канторово множество и его обобщения. Эти
множества часто встречаются в анализе и теории функций. Классическое
канторово множество С можно кратко описать следующим образом. Оно
получается удалением из промежутка [0, 1] счётного семейства интервалов.
Сначала выбрасывается один интервал — центральная треть исходного
промежутка [0, 1] (т.е. (|, |)), затем из оставшихся двух сегментов удаляются
их центральные трети и т.д. Точки из [0, 1], не попавшие ни в один из
удаляемых интервалов, образуют канторово множество С.
Рассмотрим подробнее обобщение описанной конструкции (вводимые при
этом обозначения будут в дальнейшем неоднократно использоваться). Пусть
Δ = [а, Ь] — произвольный невырожденный сегмент. Множество К\
получается удалением из Δ непустого интервала 8 = (р, q)9 концы которого не
совпадают с а и Ъ. Иными словами, К\ есть объединение двух невырожденных
сегментов Δο = [а9 р] и Δι = [q9 b], которые мы будем называть сегментами
первого ранга. Множество Л^ получается после удаления из сегментов Δο
и Δι интервалов <5q, δ\, концы которых не совпадают с концами Δο и Δ|
соответственно. Разность Δε \ δε (ε = 0, 1) состоит из двух невырожденных
сегментов, из которых левый мы обозначим Δεο, а правый — Δε\. Таким
образом, А^2 есть объединение четырёх сегментов Δοο, Aqi, Ajq, Δ\\,
которые мы будем называть сегментами второго ранга. Дальнейшее построение
продолжается по индукции. Пусть построено множество Кп, состоящее из
сегментов п-го ранга. «Нумерацию» сегментов п-го ранга удобно
производить с помощью индексов ε\, ... ,εη, где £j может принимать значение О

16
I. Введение
• УСЛОВИЯ
или 1. Индексы сегментов первого и второго рангов уже указаны,
дальнейшая индексация производится следующим образом. При построении
сегментов (п + 1)-го ранга из каждого сегмента п-го ранга Δ^.,.ε,, удаляется
непустой интервал <5q...c„, концы которого не совпадают с концами
сегмента Δ^.,.ε,,. Разность &г1т..€п \δεϊ...ε„ состоит из двух сегментов (п + 1)-го
ранга, из которых левый обозначается Δε....Cwo» а правый — Δε €п\.
Множество Кл+1 есть объединение всех сегментов (п + 1)-го ранга. Пусть,
наконец, К = р| Кп. Если множество К не имеет внутренних точек, то оно
называется обобщённым канторовым множеством.
Важный пример обобщённого канторова множества мы получим, если
длины всех сегментов данного ранга одинаковы. В этом случае длины всех
интервалов &!,...£„ (при фиксированном п) также одинаковы и эти интервалы
расположены симметрично относительно середин сегментов Α€ι...€η. Такие
множества мы будем называть однородными обобщёнными канторовыми
множествами. Положим |Δ| = /q, ΙΔ^.,.ε,,Ι = /„, где символ |ω| обозначает
длину промежутка ω. Последовательность {1п}п^о будем называть
определяющей последовательностью обобщённого однородного канторова
множества. Легко видеть, что всякая положительная последовательность {/л}л^о»
удовлетворяющая условию 21п < 1п-\ при всех η Ε Ν, может быть
определяющей для некоторого обобщённого канторова множества, которое
единственно с точностью до конгруэнтности.
Если величина θ = γ-2— одна и та же при всех η Ε Ν, то определяемое
'и—1
последовательностью \ In
}п>0 обобщённое канторово множество будем
называть множеством с постоянным отношением. Очевидно, θ может быть
любым числом из интервала (0, ^). Классическое канторово множество С
мы получаем, когда Δ = [0, 1] и 0 = ^.
1.29. Докажите, что
а) множество С имеет мощность континуума;
б) множество С замкнуто и не имеет изолированных точек;
в) сумма длин интервалов, составляющих множество [0, 1] \ С,
равна единице.
1.30. а) Докажите, что число t принадлежит С в том и только том
Σ2ε;·
-ту-, где €j равно нулю
или единице.
б) Опишите множества
С-С= {s -t\s,t еС} и C+C={s +t\s,t еС}.

*АДАЧ ·
§ 1. Множества
17
1.31. Пусть К — множество с постоянным отношением 0,
построенное на промежутке Δ = [О, L]. Пусть ε = {ε\, ει,...} — произвольная
двоичная последовательность, а ί(ε) — единственная точка из
пересечения р) Δει_ε„. Докажите, что
а)\А€^€п\=Ьв", |«C|...£J=L(l-20)0";
б) левый конец сегмента Δε,...ε„ равен L-S- Χ] ε*^;
θ
Β)ίΜ=ΐτΣ^;
*^1
г) интервал δσι...σ„ лежит левее точки ΐ(ε) тогда и только тогда,
когда (σ\ .. .ση) -< ε; последнее означает, что «слова» (σι ... ση) и ε
упорядочиваются по существу лексикографически, точнее: либо найдётся
такое натуральное число т, 1 ^ т ^ п, что ат = О, ειη = 1 и σ, = ε;
при j < т, либо σ/ = ε] при всех у = 1,..., η и ε„+ι = 1;
Λ)ί(ε) = ει\δ\ + Σ Σ l<W..J-
λί^Ι (σι...σ„)-<ε
1.32. Рассмотрим множество К, описанное при построении
обобщённого канторова множества. Докажите, что оно
а) имеет мощность континуума;
б) замкнуто и не имеет изолированных точек;
в) является обобщённым канторовым множеством в том и только
том случае, когда Ln —> 0, где Ln — максимальная длина сегментов
л-го ранга.
1.33. Докажите, что у любых двух точек однородного обобщённого
канторова множества АГ, не являющихся концами дополнительных
интервалов, достаточно малые относительные окрестности конгруэнтны
(относительная окрестность точки χ Ε К есть пересечение К с
интервалом, содержащим х).
1.34. Пусть ν = {пк} — строго возрастающая последовательность
натуральных чисел,
Εν = {Σ ε^-"* I ек = О или 1} .
Докажите, что
а) множество Ev замкнуто и не имеет изолированных точек;
б) эквивалентны следующие утверждения:
1) Εν не содержит внутренних точек;
2) щ+\ > 1 + щ бесконечно много раз;

18
I. Введение
• УСЛОВИЯ
3) для любого числа t Ε Ev разложение t = Σ ^~Пк
(где ££ = 0 или 1) единственно;
4) Ev — однородное обобщённое канторово множество.
Какова определяющая последовательность множества Εν? Когда Εν
будет множеством с постоянным отношением?
1.35. Пусть множество Ε с К. обладает свойством: между
любыми двумя его точками найдётся третья точка из этого множества.
Обязательно ли замыкание множества Ε содержит непустой
интервал?
1.36. Постройте на плоскости дискретное множество (см.
задачу 1.25), замыкание которого имеет мощность континуума.
Существует ли на прямой дискретное множество с таким же
свойством?
1.37. Пусть {Δει...ги}, где η Ε Ν, a ej принимают значения 0 или 1, —
семейство непустых ограниченных открытых промежутков,
удовлетворяющих условиям:
1)Δει...^ 3Δ£ι...εη0υΔ,1...,η1;
2) при каждом «eN интервалы Δει...ε„ и Δε/ ε/ не пересекаются,
если (εχ ... εη) Φ (ε[ ... ε'η).
Положим
Gn= U Δ*,...*,.
£,,...,£„€{0,1}
Докажите, что множество А = р) Gn имеет мощность континуума.
1.38. Докажите, что непустой интервал нельзя представить в виде
объединения последовательности попарно непересекающихся
замкнутых множеств.
1.39. Докажите, что плоскость нельзя покрыть семейством
замкнутых кругов без общих внутренних точек.
1.40. Пусть объединение множеств Еп сШ (η Ε Ν) имеет
внутреннюю точку. Докажите, что замыкание хотя бы одного множества Еп
имеет внутреннюю точку.
1.41. Докажите, что множество иррациональных чисел не является
объединением последовательности замкнутых множеств.

*ЛДАЧ ·
§ 2. Неравенства
19
§ 2. Неравенства
2.1. Докажите, что для любой конечной последовательности
{ак}к=\ вещественных чисел
а) найдётся такой номер т Ε {0, 1, ..., и}, что
Σ α*- Σ ак\ < max |αΑ|
(при т = О считаем, что равна нулю первая сумма, при т = η —
вторая);
б) справедливо неравенство
max \ak\ ^ 4г Σ Σ £k^k\
(сумма по всевозможным расстановкам знаков ε\,..., εη).
2.2. Пусть {й£}£=1 и {Ь^}^=1 — конечные неотрицательные
последовательности, причём последовательность {ак} не возрастает;
В = max b^. Докажите, что если номера /я, Μ не превосходят η
l^k^n
и удовлетворяют неравенству тВ ^ Σ ^к ^ ^^, то
я Σ α* ^ Σ α*^ ^ в Σ α* ·
п-т<к^п l^k^n l^k^M
2.3. Пусть {β£}£=1 — конечная последовательность положительных
чисел и Μ = max аь, т= min би. Докажите, что
^ ^£И Σ ^+ Σ £o(i + S);
v l^k^n l^k^n
6)n2< Σ ak Σ i^^f.
l^k^n l^k^n
2.4. Пусть {qk}^=\ — конечная последовательность чисел, причём
q^ ^ 1 для всех к. Докажите неравенство
Vi+ Vi + ...+ 'УТ$ ι+ ^ +-*- + ... + —*—.
2.5. Пусть {β£}£=1 — конечная последовательность
неотрицательных чисел, причём S = α\+αι + - --+ап < 1. Докажите неравенства
l^k^n l^k^n

20
I. Введение
• УСЛОВИЯ
правые неравенства строгие, если S > 0; левые неравенства строгие,
если среди чисел {α^}^=ι πο крайней мере два положительны.
2.6. Пусть {dk}1=\ — конечная последовательность вещественных
чисел, причём а^ > — 1 при к = 1, ..., п. Докажите, что
а) если S = а \ + ... + ап ^ 0, то
Π (ΐ + «*χι + $ + ... + £;
равенство возможно лишь в тех случаях, когда η = 1 или а\ — я 2 =
= ... =ап = 0;
б)еСлиа = ^ + ... + т^0,то
ι + ρ + ··· + ^ Π (1+**);
равенство возможно лишь в случае, когда а\ = ... = ап = 0.
2.7. Пусть {fljJjjLj и {Ь^}]^=1 — конечные последовательности
неотрицательных чисел. Докажите, что
а) если Δ = min (b^ - а^) ^ 0, то ^/Ь\ ... Ъп ^ Δ + ^Ja\.. .ап;
б) Ц(а\ +bi)...(an + bn) ^ ψα\...αη + ЦЪ\...Ъп
{неравенство Минковского).
2.8. Пусть {ζк}^=\ — конечная последовательность комплексных
чисел, Sn = \z\\ + ... + \zn\ и Pw = (1+ζι)...(1+2л). Докажите,
что |РЛ| ^es» и |1-P„|^S„£>4
2.9. Пусть г, /? > 0. Докажите, что для всех π Ε Ν выполняются
неравенства
ер~х при /? > 1;
(пе)* при р=1;
[exP(lz^1-;7) ПРИ Ρ < !·
Для каких ρ ^ 1 эти неравенства точны по порядку при
неограниченном возрастании п?
2.10. Докажите, что
а) (*)л<л! при О 1; б) л!<л(£)л при π > И.
Из этих неравенств следует, что п\ = (|)ппа", где ап Ε (0, 1). Более
точные представления факториала рассматриваются в задачах Н.2.9
и И.2.10.
π Ы)<
\^к^п

1ЛДАЧ ·
§ 2. Неравенства
21
В задачах 2.11—2.15 {рп} — последовательность простых чисел, занумеро-
ианных в порядке возрастания (р\ =2).
2.11. Пусть s > 0. Докажите что
■> ,^*<('-*Г0-*)"-(-*)"'
б) Σ £ = Π(ΐ-£) 'πρΗ^Ι.
2.12. Докажите, что при s > 1 выполняются неравенства
а)^<П(1-^Ь-1;
б) -ΐ+1η-^<Σ ^<Ытзт·
2.13. Пусть п(п) — число простых чисел, не превосходящих числа п.
Убедитесь в том, что
пя(2п)-я(п) < Г-| рк<С\п.
п<рк^2п
Выведите отсюда, что для всех «GN выполняются неравенства
а) Σ 1η/?*<3/?„; в)л(п)<6^;
б) Σ 4ir < 2ΐη/?„; г) ρη>%]ηη.
2.14. Пусть Qn — наименьшее общее кратное чисел η + 1, η + 2,...,
2л + 1. Проверьте, что
ι
а) £ <j>(i-*)»</*<£;
о
б) Qn < (2л+1)я(2"+1).
С помощью этих соотношений докажите, что оценки для л(п) и рп,
полученные в задачах 2.13 в), г), точны по порядку:
я(п) > Ъ^п и Рп < Ип\пп (п = 2, 3, ...).
2.15. Докажите, что
-1 +\п\прп <5 + 5 + Ι + ··· + ^< 2 + lnln/?„.

22
I. Введение
• УСЛОВИЯ
2.16. Для конечных последовательностей вещественных чисел
Λ Λ
{а&}£=1 и {ЬкУк=\ символами {я^}£=1 и {bjJjjLj (соответственно
V V
{ак}"=\ и {^&}£=ι) обозначим неубывающие (соответственно невоз-
растающие) перестановки этих последовательностей. Докажите
неравенства
а) Σ akbk < Σ афк ^ L akbk I
l^k^n l^k^n l^k^n
v^AV iv^ v^ v^AA
б) Σ akbk^n Σ ak Σ bk^ Σ akbk-
При решении следующих задач может оказаться полезным преобразование
Абеля (дискретный аналог формулы интегрирования по частям)
Σ акЬк=а„В„+ Σ {ак-ак+х)Вк,
где Вк = Ь\ + .. . + б* (£ = 1,..., и).
Это равенство особенно удобно использовать в тех случаях, когда
последовательность {ак} монотонна.
2.17. Пусть {Ьк}пк=\ — конечная последовательность вещественных
чисел. Докажите, что для любой конечной неотрицательной невозрас-
тающей последовательности {α^}^=ι выполняются неравенства
а) а\ min (b\ + ... + bk) ^ Σ akbk ^ a\ max (b\ + ... + bk);
l^k^n \<k<n \^k^n
б) Σ akPk <«i max \bx + ... + bk\;
в) β Σ ак^ Σ akbk^B Σ ак,
\^к^п \^к^п \^к^п
где β = mm ; и В = max ; . При этом множитель В
l^k^n к Х^к^п к
нельзя заменить на меньший, а множитель β — на больший.
2.18. Пусть {flfc}£=j — конечная последовательность вещественных
чисел. Докажите, что
δ2
g(*2-l)^ Σ al-(i Σ ак) ^(π'-l),
βΔ= max |fl*-fl*+i|, S= min |я*-я;|.
В каких случаях эти неравенства обращаются в равенства?

*ЛДАЧ ·
§ 2. Неравенства
23
2.19. Пусть {ajJJjLi — неубывающая выпуклая (или невозраста-
ющая вогнутая) последовательность вещественных чисел. Докажите
неравенства
J- Σ {п-к)\ам-ак)2^\ Σ al-П Σ akf <
^Σ (t + i)3(fl*+i-fl*)2·
^ 1<*<л
Если последовательность {ajJJjLi не возрастает и выпукла (или не
убывает и вогнута), то знаки неравенств следует заменить на
противоположные.
В задачах 2.21 и 2.22, посвященных классическим неравенствам для
многочленов, используются многочлены Чебышёва. Поэтому мы предваряем эту
тему задачей, в которой изучаются основные свойства этих многочленов.
Более подробную информацию можно найти в книге [Па].
2.20. Многочленом Чебышёва Тп называется многочлен,
определяемый на промежутке [—1, 1] равенством
Тп(х) = cos(n arccosx) (n = 0, 1, 2, ...)
(графики Тп при η = 1, 2, 3 изображены на рис. 4, при η = 8 —
па рис. 5).
Рис. 4 Рис. 5
Докажите, что
а) Тп — многочлен степени п\
б) при η G N старший коэффициент Тп равен 2"-1;
в) многочлены Чебышёва удовлетворяют рекуррентному
соотношению Τη+ι(χ) = 2хТп(х) - Тп_х{х) (леК);

24
I. Введение
• УСЛОВИЯ
г) многочлены Чебышёва удовлетворяют дифференциальному
уравнению (1 — х2)уп — ху' + п2у = 0;
д) при \х\ > 1 для многочленов Чебышёва справедливо равенство
т„(х) = £((* + Vx^\)n+{x - V^^Y);
1— tx
е) дробь —— - является производящей функцией для полиномов
Чебышёва, т.е.
1-/jc
= Σ tnTn{x) при x,t G (-1,1).
2.21. Докажите экстремальное свойство многочленов Чебышёва:
если Ρ — алгебраический многочлен степени η (с вещественными или
комплексными коэффициентами) и \Р(х)\ ^ 1 для всех χ е [—1, 1], то
\Р^Цх)\ ζ \T^J\x)\ для всех j = 0, 1,..., η и χ е R, \х\ > 1.
Неравенство строгое, если Ρ φ сТп, где с £ С, \с\ = 1.
В частности, при j =0 получаем \Р(х)\ ^ |Т^(jc)| вне
промежутка [—1, 1], а из неравенства при j = η вытекает, что старший
коэффициент многочлена Ρ по абсолютной величине не больше 2'1-1, причём
равенство возможно лишь для Ρ = сТп, где с Ε С, \с\ = 1.
η
2.22. Пусть Ρ (φ) = «о + Σ (ak cos£<p + fc* sin£<p) — тригономет-
рический многочлен порядка п с вещественными коэффициентами
«о» я ι, · · ·» &η и bi,..., bn. Положим Μ = max |Р(</>)|. Докажите
неравенство Бернгитейна:
\Ρ'{φ)\^ηΜ для всех φ eR.
Выведите отсюда неравенство Бернштейна для алгебраических
многочленов:
|р'(х)|^-^= для всех jcg(-I.I),
VI -χ2
где Ρ — алгебраический многочлен степени η с вещественными
коэффициентами, Μ = max ΙΡ (χ) Ι.
В каких случаях эти неравенства обращаются в равенства хотя бы
в одной точке?
2.23. Пусть η G N. Докажите неравенства
а) 4 е~Х < е~Х ~ 0 " TiT ^ Τ е~Х ПРИ х G [°· "]> л > ^

ЧАДАЧ ·
§ 2. Неравенства
25
б) £е-*^{1 + $)-п-е-*^£е-* при χ G [0, у/И\.
-х- \п
2.24. Пусть wGN и φη(χ) = е ь* — ех (\ — ^) . Докажите, что
функция φη неотрицательна на промежутке [0, п] и
4V™ [о, л] V^i
В следующей задаче рассматриваются соотношения, которые дополняют
классические неравенства
sinjc < χ < tgjc, 1η(1 Η- χ) < χ < ex - 1, arctgjc < χ < arcsinjc.
2.25. Докажите неравенства
а) (1 + jc)ln2(l + jc) < χ2 при χ > -1, χ ^ 0;
б) *2 < arctgjc при χ > 0;
в) χ2 < 1η(1 + tg2jc) < sin jc tgjc при χ G (0, |);
г) 3jc-jc3 < 2sin(fjc) прихе(0, 1);
д) χ3 < sin2* tgx при χ G (0, |).
е) Справедливо ли на (0, j) неравенство jc3+£ < sin2+£jctgjc при
каком-нибудь фиксированном ε > О?
2.26. Докажите, что на промежутке [—1, 1] выполняются
неравенства
а) (1 -х2)(\ - \х2) ζ cosfjc ζ (1 - jc2)(1 - Ijc2);
б) (l-x2)(l-jx2)^<(l-x2)(l-i4
2.27. Докажите неравенства
а) (е* - 1) 1п(1 + jc) > χ2 при jc > 0;
б) tgjc arctgjc > jc2 при jc G (0, у);
в) ((1+jc)^-1)((1+jc)1^- 1) >jc2npnjc>0,/7>0,/7^ 1.
Что будет при ρ < О?
г) ((1 -x)P-l)(l-(l+x)l/P) >jc2npnjc G(0, 1), р< -1.
Что будет при ρ G (—1, 0)?
2.28. Докажите неравенства
^ sin(yjc) arcsin jc < jc2 < sin χ arcsinjc при jc G (0, 1).

26
I. Введение
• УСЛОВИЯ
2.29. Докажите, что для любых χ Ε К. и η Ε Ν выполняются
неравенства
а)
б)
/ 1— cos;c\
*s - п!-
(1+*2) 2
(л+1)(л+2)'
2.30. Докажите, что | (^)'| < ^ при χ Ε [£π, Ля + π] {к Ε Ν).
2.31. Докажите, что при любом χ Ε [0, 1] справедливы неравенства
а) 2 $(1+jc)'+(1-jc)'^2' (р^ 1);
б) 2(1 + *') < (1 +х)Р + (1 - х)*7 ^ 2^"1(1 + χ') (ρ ^ 2);
в) (1 +х)Р + (1 -х)*7 ^ 2(1 + (р - 1)х2) 2 (р > 2);
г) (1 +;с)^ +(1 -х)Р ^ l(\ +xlby~~l (p ^ 2).
В случае, когда 1 ^ ρ ^ 2, знаки неравенств в б) — г) меняются на
противоположные.
2.32. Пусть /,g Ε С([0, 1]), причём функция / не убывает
и 0 ^ /, g ^ 1 на [0, 1]. Докажите неравенство
ι ι ι
ff{g(x))dx^ff(x)dx + jg(x)dx.
0 0 0
В задачах 2.33—2.39 рассматриваются интегральные неравенства, имеющие
очевидные сумматорные аналоги. Их доказательства можно получить двумя
путями: или предельным переходом в сумматорном неравенстве, или
модификацией доказательств, использованных в дискретном случае. Отметим
также, что с помощью предельного перехода некоторые неравенства (см.,
например, задачу 2.34) переносятся на случай несобственных интегралов
по промежутку [а, +оо).
2.33. Пусть функция / интегрируема на промежутке [а, Ь]
и 0 < т = inf/, Μ = sup/. Тогда справедливы неравенства
ь ь
2^(b-a)^±jf(x)dx + mjffc^(l + %)(b-a),
а а

ЧЛДАЧ ·
§ 2. Неравенства
27
2.34. Пусть функции / и g интегрируемы на промежутке [а9Ь],
X
причём f I, f ^ 0. Для χ G [а,Ь] положим G(x) = \ g(t)dt. Тогда
справедливы неравенства
ь
а) f{a) inf G(x)^ (f(x)g(x)dx^f(a) sup G(x);
б) If/(*)*(*)d*k/(fl) sup |G(*)|;
в) L^S)j/w^ <//(*)«(*)^<
^( SUp £&)ff(X)dx.
2.35. Пусть функции / и g интегрируемы на промежутке [a9b],
ь
причём /JnO^g^l. Положим с = I g(x) dx. Тогда
а
b b a+c
j f(x)dx^ff(x)g(x)dx^ j f(x)dx.
b-c a a
2.36. Пусть / G Cl([a, b])9 δ = min|/'|, Δ = max|/'|. Тогда
[a,b] [a,b]
Ub - a)2 < bh )f4*)dx ~ (j^)f{x)dx)2 <£(b- a)2.
a a
Равенства выполняются лишь для линейных функций.
2.37. Если непрерывно дифференцируемая функция / не убывает
и выпукла (или не возрастает и вогнута) на промежутке [0, 1], то
1 1 1 2
i J(l -x)3 {f'{x))2 dx < jf2(x)dx - (jf(x)dx) <
0 0 0 j
<$fx3(f'(x))2dx.
0
Для неубывающей вогнутой (или невозрастающей выпуклой)
функции знаки неравенств заменяются на противоположные. Равенство
возможно лишь для линейной функции.

28
I. Введение
• УСЛОВИЯ
2.38. Пусть функции / и g положительны и интегрируемы на
промежутке [а, Ь]. Тогда справедливы неравенства
ь ь
а) exV^j\nf(x)dx)^1^jf(x)dx
а а
(аналог неравенства Коши между средним арифметическим и средним
геометрическим);
ь ь
б) cxp^j\nf(x)dx)+cxp^j\ng(x)dx) ζ
а а ь
^е>ф(^/Ц/(*)+*(*))<**)
а
(аналог неравенства Минковского — см. задачу 2.7 б)).
2.39. Пусть функции / и g монотонны на промежутке [я, b], a
функция h неотрицательна и интегрируема на нём. Если монотонность
функций /, g одного типа, то выполняется неравенство
ь ь ь ь
jf(x)h(x)dxjg(x)h(x)dx ζ jh(x)dxjf(x)g{x)h(x)dx9
а а а а
а если монотонность разного типа, то знак неравенства заменяется на
противоположный.
2.40. а) Пусть / е С!([0, я]), причём /(0) = /(я) = 0. Докажите
неравенство л л
jf2(x)dx^j(f'(x))2dx,
о о
представив разность этих интегралов в виде интеграла от
неотрицательной функции.
б) Докажите, что неравенство сохранится, если вместо условия
π
f(0) = /(π) =0 предположить, что /(0) = /(я) и ( f(x)dx = 0.
о
2π
в) Пусть / G С]([0, 2я]), /(0) = /(2я) и (f(x)dx = 0. Докажите
неравенство Виртингера: 0
2л- 2л
jf2(x)dx^j(f'(x))2dx.
0 0
Для каких функций эти неравенства обращаются в равенства?

*ЛДАЧ ·
§ 2. Неравенства
29
2.41. Пусть гладкая замкнутая кривая длины L ограничивает на
плоскости фигуру площади S. Используя натуральную
параметризацию кривой и неравенство Виртингера, докажите изопериметриче-
ское неравенство: 4πΞ ^ L2. Выясните с его помощью, какова
максимальная площадь фигуры, которую можно ограничить лежащей в
полуплоскости кривой длины L с концами на границе полуплоскости —
«задача Дидоны» *\
§ 3. Иррациональность
3.1. Пусть хеМ. Докажите эквивалентность утверждений
а) χ £ Q;
б) существует бесконечно много таких несократимых дробей ^
(<yeN, ρ £ Ζ), что |jc-f| < -Ь
в) существует такая последовательность дробей -^ (дд. GN,^ £ Ζ),
что <7* —> +оо и0^-^= °(ϊγ) ПРИ * ~~* +°°·
В последующих задачах используется обозначение 8(х) — х — [х] —
дробная часть вещественного числа х.
3.2. Пусть χ — иррациональное число. Докажите, что
последовательность {8{пх)} плотна в (0, 1).
3.3. а) Докажите, что последовательности {sin и2} и {sin 4"} не
имеют пределов;
б) докажите, что если последовательность {sin(2"0)} имеет предел,
то он равен нулю и Θ = Щ, где q £ Ν, ρ £ Ζ.
3.4. Пусть χ £ R. Докажите эквивалентность утверждений
а) х £ Q;
б) множество {δ(η2005χ) | η £ Ν} конечно.
3.5. Покажите на примерах, что последовательность {5(10пх)}
может быть всюду плотной и может быть бесконечной, но нигде не
плотной в (0, 1).
*) Согласно легенде, корабль Дидоны, спасавшейся от преследований своего брата —
шрекого царя Пигмалиона, пристал к африканскому берегу. Местный царь Иарб на
просьбу беглецов дать им землю для проживания разрешил занять участок на берегу
моря размером с воловью шкуру. Дидона велела разрезать шкуру на тонкие ремни
и ограничила ими участок земли, на котором основала Карфаген.

30
1. Введение
• УСЛОВИЯ
3.6. Найдите множества частичных пределов последовательностей
а) {sin/i2/3}; г) {sinInn};
б) {χ/nsiny/n}; д) {sin(j77zlntt)}.
в) {sin(j77z3/2)};
3.7. Найдите множества частичных пределов последовательностей
а) {δ(ηχ)}9 где χ G Q; в) {δ{ηα)}, где а G (0, 1);
б) {δ(ηχ)}9 где χ g R \ Q; г) {δ{η5Ι2)}.
3.8. Существует ли такое вещественное число х, что δ(χη) G [j, |]
для всех номеров л?
3.9. Пусть / G С([0, 1]) и jc G R \ Q. Докажите, что
1
Хп Σ /(«(**))- f/(0* при л^+оо.
3.10. Пусть χ = (*!,..., jtw) G R"1. Докажите, что найдутся такие
дроби у,...,^- со сколь угодно большим знаменателем q 6 N
(РЬ '.-,Рт GZ), ЧТО
|ху - ~-| < <7-^ «^ для всех j = 1, 2,..., m.
3.11. Пусть cfy = min |\/2 — ^|, g G N. Докажите, что
pGZ '
а) (2^)-2 < а„ < (2*)"1;
б) если строго возрастающая последовательность номеров {qj}
такова, что aqj ^ -^ (j G Ν), где С — фиксированное число, то {qj}
растет по крайней мере как геометрическая прогрессия: —— ^ 1 + «^.
Таким образом, оценка снизу в неравенстве а) груба для большинства
номеров.
3.12. Пусть а — алгебраическое число степени не выше г (т.е. а
является корнем алгебраического многочлена степени г с целыми
коэффициентами). Докажите теорему Лиувилля: если а иррационально,
то \а — ^| > Цг для всех ρ G Ъ и q G N (положительный
коэффициент са зависит лишь от а).

*АДАЧ ·
§ 3. Иррациональность
31
Иррациональное число а называется лиувиллевым числом, если оно имеет
сколь угодно хорошие приближения дробями: для любого г > О
существует такая дробь ^ (р Ε Z, q Ε N, q > 1), что \а — ^ | < \ (примеры таких
чисел см. в задаче 3.19). Из теоремы Лиувилля сразу следует, что а —
трансцендентное число.
3.13. Пусть а — иррациональное нелиувиллево число: \а — 11 ^ Ц:
для любой дроби | (р gZ, q Ε Ν), где са и г — фиксированные
положительные числа (это возможно лишь при г ^ 2 — см. 3.1).
а) Обобщите результат задачи 3.11 б), доказав, что эта оценка груба
для большинства дробей £: если Ια - -^1 ^ -£·, где ρ/ Ε Ζ, я,- Ε Ν
Ч ' 4j ' Я;
и (^у+1 > qj для всех у Ε Ν, то последовательность {ду} растёт не
медленнее геометрической прогрессии (точнее, -^— ^ 1 + {%)г~1)·
б) Оцените снизу знаменатели ду, если последовательность
дробей { -г} такова, что для всех номеров j
рп ^ с_
при некоторых С > 0 и ρ Ε (1, г).
Заметим, что в силу теоремы Лиувилля в качестве а можно
взять любое иррациональное алгебраическое число. Кроме того, при
г > 2 почти все вещественные числа а удовлетворяют неравенству
Ια ~ а I ^ ^ ДЛЯ всех ДР°бей £ (см. V1IL1.7).
В задачах 3.14—3.20 {ε^} — произвольная последовательность из -f 1 и — 1,
{пк} — строго возрастающая последовательность натуральных чисел.
3.14. Докажите, что сумма ряда Σ £к^~Пк иррациональна, если
Пт(#1*+1 -пк) = +оо.
3.15. Пусть lim тг-р^-тг = +оо. Докажите, что
qj<qj+l и |α--|ζ —
\ V" (-1)
а) сумма ряда 2_ п иррациональна;
Пк
б) если -^- ^ 2 для всех к Ε Ν, то сумма ряда Σ κ~
иррациональна. Так ли это в случае -£— ^ Q > 1?

32
I. Введение
• УСЛОВИЯ
3.16. Пусть lim —p = +оо. Докажите, что
а) сумма ряда 2_^ п иррациональна;
б) если -^- ^ 2 для всех к е N, то сумма ряда Σ -£-
иррациональна.
3.17. а) Докажите, что сумма ряда S = Σ у иррациональна, если
Fk — 22 +1 — числа Ферма.
б) Пусть последовательность {пк} такова, что
пк+\ ^ п\ — пк + 1 при всех к е N.
Докажите рациональность суммы ^ ^-, если пк+\ = п2 — пк + 1
для всех достаточно больших к.
Верно ли обратное утверждение? Рационально ли число Σ ~т—?
22 -2
3.18. Пусть lim -^- = +оо. Докажите, что
а) число 2^ п не является квадратичной иррациональностью;
б) если -^ ^ 2 для всех к е N, то число 52 -^ не является квад-
ратичной иррациональностью.
3.19. Докажите трансцендентность чисел Σ £к2~к\
3.20. Пусть lim -^р > 0. Докажите, что
ν V^ (-1)*"
а) число 2_s n трансцендентно;
б) если -^ > 2 для всех к Ε Ν, то число ^ £ трансцендентно.
3.21. Иррациональность числа е. Пользуясь разложениями
докажите, что
а) число е иррационально;
б) Ае2 + Be + С ^ 0, если Λ, ^, С — целые числа, не равные нулю
одновременно.
3.22. Пусть σ(η) — сумма делителей натурального числа п.
Докажите иррациональность сумм рядов
*(л). *\ \^ , λ\ησ(η)
») Σ ψ; б) Σ(-ΐ)ηίΤ

1АДАЧ·
§ 3. Иррациональность
33
3.23. Иррациональность числа я.
л/2 2
а) Пусть Нп = Jj ί (χ ~ t2)n costdt (η = О, 1, 2,...). Докажите,
-π/2
что Η η = Рп{л2), где Р п — алгебраический многочлен степени не
выше η с целыми коэффициентами.
б) Выведите отсюда, что я2 (а следовательно, и я) —
иррациональное число.
3.24. Иррациональность значений экспоненты в рациональных
точках.
χ
а) Пусть Jn(x) = ± [{х2-г2)пегаг (/1 = 0,1,2,...). Докажите,
—χ
ЧТО J γι (χ) = Ап(х)ех +Вп{х)е х9 где Ап, Вп — алгебраические
многочлены степени не выше η с целыми коэффициентами.
б) Выведите отсюда, что ег £ Q, если г е Q, г φ 0.
3.25. Иррациональность значений тангенса в рациональных точках.
χ
а) Пусть Нп(х) = ^ Г (jc2 — t2)ncostdt (η = 0, 1, 2,...). Докажи-
—χ
те, что Нп(х) = C„(jc) cos jc -t- 5„(jc) sin jc, где СП9 Sn — алгебраические
многочлены степени не выше η с целыми коэффициентами.
б) Выведите отсюда, что tg г £ Q, если г £ Q, г ^ 0.
Глава II
Последовательности
§ 1. Вычисление пределов
1.1. Пусть хп = -у= \ Σ (-1)к Vk . Найдите \\тхп.
1.2. Найдите пределы
a) lim Τ 2"*cosa/£; б) lim T 2-пк/{п+к)^

34
II. Последовательности
• УСЛОВИЯ
л/2
1.3. Пусть Wn = Г sinnjc dx (η β Ν).
О
а) С помощью интегрирования по частям докажите, что
_ (л-1)й J 1 при нечётном п>
п" I f при ч^тном п-
б) Используя неравенства W^+i < W^ < W^-i, получите
формулу Валлиса
1.4. Пусть лс„ = у/п ,, ". Найдите sup;cn, inf;cn, lim;cn, lim;cn.
1.5. Пусть α G R и ;с„ = Σ (^Т^)"· Найдите lim;cn.
1<*^и
1.6. Пусть 5Л = Σ (Ι)*.
а) Найдите предел lim Sn.
б) Каков характер монотонности последовательности {Sn}?
в) Верно ли, что Sn ^ 2 при любом η £ Ν?
1.7. Вычислите предел
lim i (/(л+1)(л + 2)...(л + л).
1.8. Пусть последовательность натуральных чисел {кп} такова, что
к \ к
-jj- —> ρ, kn ^ п. Вычислите предел lim ± \пСп".
1.9. Найдите пределы
а) Ит Σ Tib; г) Km Σ sinf;
б) limi Σ ν^3^); Д) Mm Σ -τ^γ',
Β) lim Σ гН'> е) lim Σ 7 TVTT·
1.10. Пусть / е С1 ([0, 1]). Докажите, что
,£.'(0-/'<·>*-^

1ЛДАЧ ·
§ 1. Вычисление пределов
35
1.11. Вычислите пределы последовательностей {хп} в следующих
случаях:
а)*. = ^ Π «n-fe; 6)*я = 4 Π ring.
1.12. Докажите, что
iJxV Ы+ЬУ) T(b+a)T{b-a)
л>0
(a,b е R, fc ^ 0, & ± а ф О, -1, -2, -3,.. .)·
ГЮ
Выведите отсюда, что дробь г- , , возрастает на промежутке
(О, +оо).
1.13. Найдите пределы
а) limsin(2jren!); в) limn2sin(2jren!);
б) lim n sin(2jren!); г) lim ^sin(jr(\/2+l)n).
1.14. Пусть неубывающая положительная последовательность {хп}
имеет конечный предел а. Докажите, что сходимость ряда Σ (а ~ хп)
равносильна соотношению х\ - Х2 .. .хп ~ Сап при некотором С > 0.
1.15. См. также [Д]. Пусть а > О и jc„ = γα + \/α + ... + ^/а
{η корней). Докажите, что
а) *„->/„ =i(l + >/l+4fl);
б) la —*п ~ ?2П7Г ПРИ некотором Са > 0. Чему равно С2?
1.16. Пусть хп = γ 6 + γ 6 + ... + \/б (η корней). Докажите, что
2 - jc„ ~ щуг при некотором С > 0.
1.17. Пусть ρ > 1 и Хи = + ... + \/ϊ (η корней).
Докажите, что последовательность {хп} сходится к положительному корню
уравнения хр — χ — 1 = 0.
1.18. а) Пусть ρ > I и {сп} — неотрицательная последовательность.
Положим ап = у/с χ + yjci + ... + ζ/c^. Докажите, что сходимость
последовательности {ап} равносильна ограниченности сверху
последовательности {\\псп}.

36
II. Последовательности
• УСЛОВИЯ
б) Для каках неотрицательных последовательностей {сп} сходится
последовательность {βη}, где βη = с\ + у с2 + ^/с3 -f ... + у^Сл"?
в) Пусть с > О, {/?и} — последовательность чисел, больших
единицы. Положим γη = ус + Ру/с -f . . . + ру/с. Докажите, что сходимость
последовательности {γη} равносильна ограниченности сверху
последовательности { „ Ln/I „ }.
ίρι-Рг—РпJ
1.19. Пусть α„ = \j 1+ "+^1 + ^ν^Γ+ΤΤ" (бе
эесконечное число
корней). Конечны ли эти величины? Чему равен lima„?
1.20. Докажите, что
а) 3 = у 1+ 2^ + 3ν/ΓΤνϊΤ7Τ ;
б) 3 = J5 + у6 + 2^7 + 3\/8Т^
+ ... ;
в) cosjc = Wsin2 | + cos Ц-л/sin2 | + cos ^л/si
sin^ 5- + cos ^л/sin2 § + ...
при*е[-|,|];
r) 9 = у Зи2"4 + u4yj3u4u6 + "бл/3м6м8 + · · · >
где {m„} — последовательность чг/ce/z Фибоначчи, т.е. и\=и2 = \
и ил+1 = ил + и„-1 при η > 2;
д) 2х2 = \1ъсТ0Тх + Г!^2хТхТ2 + Т2^2хТ2Т3 + . .=
при χ ^ 1; здесь {Г„} — последовательность значений многочленов
Чебышёва в точке ;с (см. задачу 1.2.20);
е) 2 = у 2 + 1 · 2у 3 + 2 · 3^4 + 3·4^5Τ~
1.21. Пусть хп = y/l + yjl + ... + ^/й. Докажите, что хп -+ a G
и #а -дс„ ~ 5γϊ·
1.22. Докажите, что лс„ —> 0, если лс„+1 — ^jc^ —> 0.

1ЛДАЧ ·
§ 1. Вычисление пределов
37
1.23. а) Докажите, что lim( 1 χ n+1)" ^ e для любой положительной
последовательности {хп}.
б) Для любого числа χ ^ е укажите такую положительную послед
οι- ч /*1+*и+1 \П
пательность {хп}, что (— ) —> χ.
1.24. Докажите, что для любой положительной стремящейся к нулю
последовательности можно построить мажорирующую её выпуклую
последовательность, стремящуюся к нулю (последовательность {хп}
называется выпуклой, если хп ^ j{xn-\ +*π+ι) ПРИ и = 2, 3,...).
1.25. а) Пусть последовательность вещественных чисел {хп} такова,
что Хп+т ^ Хп + хт Для всех п, т G N. Докажите, что ^ —> inf ^.
б) Пусть последовательность комплексных чисел {хп} такова, что
\хп+т —хп —хт\ ^ А для всех л, m e N. Докажите, что существует
конечный предел С = lim ^ и |~ - С\ ^ £.
в) Опишите все последовательности комплексных чисел {хп},
удовлетворяющие неравенству \xn+m — Хп — Хт\ ^ ^т^ Для всех w, /и € N.
1.26. Пусть последовательность вещественных чисел {;сп} такова,
что хп+\ — jcn —> 0. Докажите, что множеством её частичных пределов
является промежуток с концами Нписп и 1щиси.
1.27. а) Пусть последовательность вещественных чисел {хп} такова,
что хп+\ +хп —> 0. Докажите, что множество её частичных пределов
либо бесконечно, либо содержит не более двух точек.
б) Докажите, что в случае сходимости последовательности {хп +
-fJt/i+l + · · · +*/ι+ΐΟθ} множество частичных пределов
последовательности {хп} можно представить в виде объединения Διϋ...υΔιοι,
где Aj — замкнутые промежутки (возможно, вырожденные или
пустые) в R.
1.28. Пусть {хп} — такая последовательность вещественных чисел,
что при любом С > 1 существует предел lim x\rn]- Докажите, что
п—*-+оо L J
последовательность {хп} имеет предел.
§ 2. Усреднение последовательностей
2.1. Пусть {хп} — последовательность вещественных чисел.
Докажите, что ^(х\ -f... +хп) —> L, если хп —> L. Для конечного L

38
II. Последовательности
• УСЛОВИЯ
обратное утверждение справедливо лишь при условии
Σ k(xk -**-l) =o(n).
\<к^п
2.2 Пусть ап ^ 0 и Ап = а \ + ... + ап —> +оо. Для произвольной
последовательности {хп\ вещественных чисел положим хп = j-(a\x\ -f
+ «2-^2 + · · · + сщхп)- Докажите, что
\\mxn ^ ШпЗГи ^ limJcn ^ Нтлсл.
В частности, хп —> а, если лс„ —> а (при ап = 1 отсюда следует
первое утверждение задачи 2.1).
2.3. Пусть уп-\ < у η и lim jn = +оо. Если последовательность
вещественных чисел {хп} такова, что существует предел lim "_ =
Уп Уп—\
= I £ Μ, то γ- —> / теорема Штольца — дискретный аналог
правила Лопиталя). Сформулируйте и докажите подобное утверждение для
неопределённостей типа jj.
2.4. Пусть последовательность вещественных чисел {хп} такова, что
хп — хп-2 -^ О· Докажите, что \хп —> 0.
2.5. а) Приведите пример такой ограниченной расходящейся
последовательности {хп}, что хп+\ — хп —► 0.
б) Существует ли такая ограниченная последовательность {хп}, что
хп+\ — jc„ —> 0, но последовательность {ji(x\ -f ... -f хп)} не имеет
предела?
2.6. Пусть а > 0. Докажите, что
г) Σ ka~l\nk^^\nn;
д) у; Ja^ „ и».
к-^п
а)
б)
в)
2.7,
а)
б)
в)
Σ *—-£;
У -J— ^ 1 .
. Докажите, что
Σ как~пап
l^k^n
Σ *α* ~ «αη
Σ акк\~апп\
l^k^n
(a > 0);
(a < 0);
(« > 0);

1АДАЧ · § 2. Усреднение последовательностей 39
г) Σ (иГа/к~тЬп1-а (α<1);
д) Σ(«Γα/*-ή:Λΐ"α (α> !)·
Результаты задач 2.8 и 2.9 играют большую роль в математическом анализе.
Они будут использоваться при решении многих последующих задач.
2.8. Докажите, что
Σ £=1пл + у + о(1).
l^k^n
Число γ = 0,5772... называется постоянной Эйлера.
2.9. Докажите, что
1ηη!= Σ \пк= (п + ±)\пп-п + С+ о(1).
С помощью формулы Валлиса (см. 1.3 б)) докажите, что C=l ln(2jr).
Выведите отсюда формулу Стирлинга
п!~\/2та (£)л .
2.10. Уточните результаты двух предыдущих задач, доказав, что для
всех η £ N выполняются неравенства:
а) ln(„+l)+y<l + I + ... + i<ln(n + i)+y + ^IF;
б) \/7яп (£)" ейЬ <п\< \fbrn ((f)" е15.
в) Следующее неравенство даёт для л! ещё более тесные границы:
^^(f)X1+T^)<«!<V/2^(f)"(l + ^ + 58b)·
2.11. Докажите, что при η —> -foo
а) Σ *" = ^+αΡ + ο(1) (ре (-1,0]);
б) Σ *р = Й + т+^ + °(1) (ре (0,1]);
1<*<л И
) Σ ^ = 7ΓΓ + Τ + {-2ηΡ-'+γρ + ο{\) (ρ€(1,2]).
2.12. Докажите, что при η —> -foo
а) Σ ^ = ^1^+^ + ^+0(1) (/>>-!);
\<к^п

40
II. Последовательности
• УСЛОВИЯ
б) Σ г^=1п(1пп) + С + 1|(1);
\<к^п
в) Σ ^==еЫп + С' + о(1).
2.13. Докажите, что
Σ k\nk=(n2 + n+\)xlf-\n2 + Cx+o{\)y
Σ \nk\=(n2 + 2n+№-^ + (^-l)n + C2 + o(l).
2.14. Пусть Ε = {п\9 П2,...}, где «ι < «2 < · · ·> — бесконечное
подмножество N и Ет = {п е Е\п ^ /и}. Если существует предел
Θ(Ε) = lim ^card(Em)9 то он называется плотностью множества Ε
(или плотностью последовательности {п^}). Докажите, что
а)0(£)=Ит£;
б) для любого числа α G [0, 1] существует такое множество Ε с Ν,
что 0(E) = а.
2.15. Пусть {хп} — последовательность вещественных чисел.
Докажите, что
η
а) если хп —> α е R, то £ Σ Ι** — fl I —> Φ
б) если соотношение £ Σ I** ~~ fl I "~> 0 справедливо при некото-
к=\
ром α £ R, то существует такая последовательность {щ} плотности 1
(см. задачу 2.14), что хПк —> а;
в) если последовательность {хп} ограничена и хПк -^ а для некото-
п
рой последовательности {и^} плотности 1, то ^ Σ I** ~" fll ~~* 0·
2.16. Пусть 0 < ап < 1 при η е N.
а) Покажите на примерах, что существование одного из пределов
lim ^(α ι 4-... + ял) и lim i{a\ + ... + а2) не связано с
существованием другого.
б) Пусть \(ах + ... +ап) -> α и i (a f + ...+ а 2) —► Ь. Докажите,
что a2 ^b ^ а и что Ь может принимать любые значения между а2
и а.

1АДАЧ ·
§ 2. Усреднение последовательностей
41
2.17. Периодической плотностью множества Ε с N будем
называть число lim ^ card(Em), где
Ет = {п mod т | η € Ε}
— множество всевозможных остатков от деления на т чисел из Е.
а) Докажите, что если множество Ε имеет плотность, то она не
превосходит его периодической плотности.
б) Докажите, что множество с нулевой периодической плотностью
имеет нулевую плотность.
в) Приведите пример множества с нулевой плотностью,
периодическая плотность которого равна единице.
г) Чему равна периодическая плотность множества всех
натуральных чисел, представимых в виде суммы различных слагаемых
вида ±4*, k € Z+?
2.18. Докажите, что периодическая плотность множества простых
чисел равна нулю, и, следовательно (см. 2.17 б)), для л(п) (количество
простых чисел, не превосходящих п) справедлива оценка л (ή) = о(п)
(более точный результат содержится в задаче 1.2.13).
2.19. Пусть £ с М,
л+(г) = sup card (Ε Π [лс, χ -f г]),
jc€R
n-(r) = inf card IE Π [χ, χ + г}) (г > 0).
хеш L J
Докажите, что если л+(го) < оо при некотором го > 0, то существу-
, ,. п±{г)
ют конечные пределы а± = lim —-— (верхняя и нижняя плотности
г—>+оо
множества Е).
§ 3. Рекуррентные последовательности
3.1. Пусть лсо> *1 € R» хп+\ — з(2*и + хп-\) (п £ N). Докажите, что
существует предел Нписи и найдите его.
3.2. Пусть х$9х\ £ R. Докажите, что существует предел hmxn и
вычислите его в следующих случаях:
а) хп+х = (l - 1) хп + 1 хп_х (п е N);
6)χη+χ = (ΐ-±)χη + ^χη-\ (neN).

42
II. Последовательности
• УСЛОВИЯ
3.3. Пусть хх е R и jc„+1 = (2 + 1)хп - 1 (л G N).
а) Для каких значений χ \ последовательность {хп} расходится?
Какова асимптотика {хп}^
б) Для какихх\ последовательность {хп} сходится? Чему равен
предел \\тхп?
3.4. Пусть b еШ, ап —> а еШи хп+\ = ап + Ьхп. Докажите, что при
любом χ ι G R
а) χη -> yz£, если \Ъ\ < 1;
б) хп -> т=^, если \Ь\ > 1 и хх + £ g- = 0;
в) jc„ ~ Sbn~\ если |Ь| > 1 и 5 = хх + У] ^ ^ 0.
3.5. Пусть последовательность {хп} и число /? G R таковы, что
*л+1 ^ Рхп + (1 — р)хп-\ Для любого η = 2, 3,... Докажите, что если
ρ > 0, то существует предел lim;cn G R, а при ρ ^ 0 это утверждение
неверно для некоторых последовательностей.
3.6. Пусть положительная последовательность {хп} и число ρ еШ
таковы, что хп+\ ^ ΧηχηΖ\ ПРИ « = 2,3,... Докажите, что если
ρ £ (0, 2), то последовательность {*„} сходится, а для /? £ (0, 2) это
утверждение неверно для некоторых последовательностей.
3.7. Пусть х\ > 0, x„+i = -jp— (n G Ν). При каком значении х\ по-
следовательность монотонна? Каков характер монотонности?
3.8. Пусть ρ > 0 и Lp = \\тхп, где {хп} — такая
последовательность, что х\ £ (0, 1) и χ„+ι = Хи + (^)р для всех η G N. Докажите,
что Lp < -foo лишь при ρ > 1. Сколь быстро растёт предел L2, если
первый член последовательности χ \ приближается к единице?
3.9. При решении уравнения χ = -J- -f а (а — положительный
параметр) методом итераций возникает рекуррентная последовательность
хп = —'—ha, хо > 0. Докажите, что существует предел / = ИтхП9
и найдите асимптотику разностей хп — I.
3.10. При решении уравнения х2 — а = 0 (а — положительный
параметр) методом Ньютона возникает рекуррентная
последовательность хп = \ (хп-\ + zr^—), хо > 0. Докажите, что хп —> у/а и что при
этом имеет место «сверхсходимость»: хп — у/а ~ Cq2" для некоторых
q G (0, 1) и С > 0. Чему равны Сия?

J А ДАЧ · § 3. Рекуррентные последовательности 43
3.11. а) Пусть / G С([а, Ь])9 причём f(x) G [я, b] для всех χ G [я, b].
Докажите, что последовательность {хп}9 где ;ciG[a,b], хп+\ —
;τ(/(·*ΐ) + · · · +/(*л))> сходится, и её предел х* — неподвижная
точка функции / (т.е. f(x*) = χ*).
б) Справедливо ли аналогичное утверждение в двумерном случае,
когда вместо непрерывной на отрезке функции рассматривается
непрерывное отображение некоторого выпуклого компакта на плоскости
(например, круга) в себя?
3.12. Пусть / G С([а9 Ь])9 причём f(x) G [я, b] для всех χ G [я, b].
Рассмотрим такую последовательность {хп}9 что х\ G [я, Ь] и хп+\ =
- (1 - сп)хп + cnf(xn)9 cn G (0, 1) для всех η G N.
а) Докажите, что если сп —> 0, то существует предел лс* = \imxn.
Можно ли отказаться от условия сп —> О?
б) Если с η —> 0 и ]ζ сп = -foo, то х* — неподвижная точка
функции /. Можно ли отказаться от условия Σ сп — +оо?
3.13. Пусть последовательность {хп} неотрицательных чисел такова,
что хп ^ \(хп-\ +*п-2) ДДя η ^ 3. Докажите, что х„ = 0(4).
3.14. Пусть & G Ν, Α„ | -foo и пусть {хп} — такая неотрицательная
последовательность, что
Хп ^ ~к{хп-\ +Хп-2 + '-+Хп-1с)
при η > &. Положим 5/1 = 4- + ... + 4-. Докажите, что
а) хп = 0(А д1 л е(1+с)^"), где ε — произвольное положительное
число;
б) если ]Г А~2 < +оо, то дсл = θ(Α^ Α е5").
3.15. Пусть & G Ν, Α„ | -foo и пусть {*„} — такая неотрицательная
последовательность, что
Xn^tf (*"-l + *"-2 + · · · + хп-к)
при п> к. Предположим, что Ап+\ - Ап ^ δ > 0. Докажите, что
а) если δ > щЬ), то хп = 0(^-^);
б)если5<^то1«=о(^А")'где^Нь^)

44
III. Функции
• УСЛОВИЯ
3.16. Пусть к е N, С > 0 и пусть {хп} — такая неотрицательная
последовательность, что
Хп ^ ^г(*л-1 +Хп-2 + ---+Хп-к)
при η > &. Докажите, что хп = θ(^·ηρ), где /? = j- (С 2 У ^е"
дитесь, что эта оценка не может быть улучшена.
3.17. Пусть к е Ν, Αη Τ +оо, п{\ - η^) ->^0и {хп} — такая
неотрицательная последовательность, что
*л = 01 —к 1 при п>к.
Докажите, что хп = 0(Ап )9 если О < β < -Л*.
Глава III
Функции
§ 1. Непрерывность и разрывы функций
1.1. Опишите множества функций /:
следующих свойств (ε, δ, х\, Х2 Ε R):
I, обладающих одним из
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
Vc
Ve>0
Vc> 0
Υε>0
Vc>0
Υε>0
Ve>0
3ε >0
νε> 0
3<S>0 (
38 (
38 >0 (
V<S>0 (
38 >0 (
38 >0 (
3<S>0 (
V<S>0 (
35 >0 (
>,-дс2|<« =» |/(*ι)
>1 --«21 <* =► Ι/(*ΐ)
>1 -χ2 <8 => |/(λι) ■
;|x, -χ2| <<5 =► |/(*,)
>ι -*2| <<* =>· Ι/(*ι)
>, -χ2| > ε => |/(*ι)-
:ι/(*ι)-/(*2)ΐ>ε=> ι
[\χΐ -χ2\ <δ =$■ \f(xx)
>1 -λ2 < δ => /(jci)-
-/(^2)1 < ε);
-/(*2)1<ε);
-/(*2)Ι<0;
-/(*2)Ι<0;
-/(*2)|>ε);
-/(*2)Ι>«);
χι -λ2| > δ);
-ί(χ2)\<ε);
-f{xi) <ε).
1.2. Пусть функция / определена на R. Докажите эквивалентность
свойств а)-д) функции /:
а) функция / непрерывна на R;

J А ДАЧ · § 1. Непрерывность и разрывы функций 45
б) множество / l(G) = {χ G R \ f{x) G G} открыто для любого
открытого множества GcM;
в) множество f~l(F) = {χ G R | f(x) G F} замкнуто для любого
замкнутого множества F С R;
г) для любого с G R множества Г\(-оо,с)) и /-1((с,+(х.))
открыты;
д) для любого с G R множества
тмкнуты.
ж) Достаточно ли условие «для любого с G R множество /_1({с})
шмкнуто» для непрерывности функции /?
1.3. Докажите, что любая функция, определённая на множестве
Ε С R, имеет не более чем счётное множество точек разрыва первого
рода.
1.4. Пусть Ejj, E/j — счётные множества, содержащиеся в [0, 1],
EjjC\Ejj= 0. Определите на [0,1] функцию, которая в точках Ел
непрерывна только слева, в точках E/j — только справа и непрерывна
в остальных точках отрезка [0, 1].
1.5. Пусть Djj(f) {D[j(f)) — множество точек, в которых
определённая на R функция разрывна слева (соответственно, справа).
Верно ли, что если одно из этих множеств не более чем счётно, то и
другое также не более чем счётно?
1.6. Пусть /о — функция Дирихле:
f (х) = Z1 При х GQ'
J0(X) [0 при jcgR\Q.
а) Докажите, что при любом χ G R
/о(х) = lim lim cos2" (2лхт\).
б) Существует ли такая последовательность непрерывных на R
функций {/и}, что /оОО = Hm fn{x) при любом χ G R?
η—*·οο
1.7. Докажите, что множество точек разрыва произвольной
функции, определённой на промежутке Δ с R, есть множество типа ¥σ
(т.е. объединение последовательности замкнутых множеств). Верно ли
это, если функция определена на произвольном метрическом
пространстве?

46
III. Функции
• УСЛОВИЯ
1.8. Определите на R функцию с заданным множеством точек
разрыва Е, если:
а) Е — замкнутое множество;
б) Ε = (J Еп, где каждое множество Еп замкнуто.
1.9. Определите на интервале (0, 1) такую функцию, что любой
непустой интервал Ас (0, 1) содержит континуум её точек
непрерывности и точек разрыва.
1.10. Докажите, что функция /, определённая на промежутке (я, Ь),
непрерывна тогда и только тогда, когда
а) функция обладает свойством Коши (т. е. образ каждого
промежутка (/?, q), содержащегося в (я, Ь), является промежутком) и
б) множество f~l({y}) замкнуто для любого у Ε R.
1.11. Докажите, что определённая на отрезке [я, Ь] функция
непрерывна тогда и только тогда, когда её график связен и замкнут.
1.12. Пусть Ε С М, функция / определена на £ и имеет в каждой
неизолированной точке множества Ε локальный экстремум.
Докажите, что тогда множество /(E) не более чем счётно. Верно ли это, если
Ε — сепарабельное метрическое пространство? произвольное
метрическое пространство?
1.13. Опишите все непрерывные на отрезке [я, Ь] функции, имеющие
в каждой точке интервала (я, Ь) локальный экстремум.
1.14. Пусть функция / определена и взаимно однозначна на
промежутке (а,Ь) и непрерывна в точке с G (я, Ь).
а) Обязательно ли функция /_1 непрерывна в точке /(с)? Всегда
ли /_1 имеет односторонние пределы в точке /(с)?
б) Будет ли функция /_1 непрерывна в точке /(с) при условии, что
/ строго монотонна?
1.15. Пусть / G С((я, Ь)). Докажите, что функция / взаимно
однозначна тогда и только тогда, когда она строго монотонна.
1.16. Пусть положительная функция / определена и дифференциру-
ff(x)
ема на промежутке [я, -foo). Докажите, что если inf j-jj^- > 0, то для
х^а J\x)
любого ε > 0
a) f(x) = о(/((1 + ε)χ)) при χ -> +оо;
б)/-1()0 ~Г~1(еу) при у ^+оо.

ЧАДАЧ · § 1. Непрерывность и разрывы функций 47
1.17. Докажите, что если / G С([0, +оо)) и для любого χ > О
существует предел lim f(nx), то существует предел lim f(x).
η—*·οο *—*·+οο
1.18. Определите на промежутке [0, +оо) функцию /,
удовлетворяющую условиям:
а) lim / (пх) = О для любого χ G [0, +оо);
и—>·οο
б) / ограничена на любом конечном промежутке и имеет разрывы
только первого рода;
в) множество частичных пределов функции / на бесконечности
заполняет Ш. (сравните с задачей 1.17).
1.19. Определите на промежутке [0, +оо) функцию /,
удовлетворяющую условиям:
а) lim f(nx) = О для любого χ G [О, +оо);
η—>·οο
б) множество значений / на любом непустом интервале Δ с [0, +оо)
шполняет Ш. (сравните с задачей 1.17).
1.20. Докажите, что если / G С([0, +оо)) и f(x + h) - f{x) —► 0
при χ —> -foo для любого h G R9 то f(x + h) — f(x) =3 0 при χ —> -foo
па любом конечном промежутке и, следовательно, функция /
равномерно непрерывна на [0, -foo).
1.21. Пусть 8 > 0, / G С([0, 1]). Будем говорить, что график /
имеет горизонтальную хорду длины <5, если найдётся такая точка
χ G [0, 1 — δ], что f(x) = f{x + δ). Докажите, что если /(0) = /(1),
то для любого η G N найдётся горизонтальная хорда длины i.
Покажите, что для хорд другой длины это, вообще говоря, неверно.
1.22. Докажите, что если / G С(Щ и для любого χ G К.
/(jc+A)-2/(jc)+/(jc -/г) -> 0 при h -+ -foo,
то / — линейная функция.
1.23. Будем говорить, что функция /: К. —> R непрерывна по Чезаро
в точке xq G R, если
i (χι + ... + хя) -> х0 =» я (/(χ0 + · · · + /(*")) - Л*о) ·
Опишите все функции, непрерывные по Чезаро хотя бы в одной точке.
1.24. Пусть f(x) = Π (Ι +*4*)
при 0 ^ χ < 1. Докажите, что
а) существуют такие числа С\9 С2, что 0 < С\ ^ у/\ —xf(x) ^ С2
для всех* G [0, 1);

48
III. Функции
• УСЛОВИЯ
б) функция \/1 — xf(x) не монотонна на [0, 1);
в) функция у/1 —xf(x) не имеет предела при χ —> 1 — 0.
1.25. Существует ли непрерывная на промежутке [0, 1] функция,
у которой все множества постоянства счётны (равномощны Ν)?
1.26. Всякий ли положительный многочлен от двух вещественных
переменных достигает своей нижней грани на плоскости?
1.27. Пусть функция / определена и раздельно непрерывна на
квадрате Q = [0, I]2. Докажите, что найдётся такая последовательность
fn функций, непрерывных на β, что fn(x,y) —> f(x>y) при любых
лс, у Ε [0, 1] (т.е. / — функция первого класса Бэра на Q).
1.28. Пусть функция / определена и раздельно непрерывна на R2.
Докажите, что если / обращается в нуль на всюду плотном множестве
(т.е. множестве, замыкание которого совпадает с R2), то / = 0.
§ 2. Полунепрерывные функции
Пусть Δ С Μ — произвольный промежуток. Функция /, определённая на Δ
и принимающая, может быть, значение — оо (+оо), называется
полунепрерывной снизу (сверху), если для любой точки a Ε Δ
f(a) ^ lim f(x) (f(a) > Ш /(*)) .
jc—α \ x~*a /
2.1. Пусть функция / определена на R. Докажите, что следующие
свойства функции / эквивалентны (сравните с задачей 1.2):
а) функция / полунепрерывна снизу;
б) множество /_1 ((с, +оо)) открыто для любого cGlR;
в) множество /_1 ((—оо, с]) замкнуто для любого с Ε R;
г) если хп -> а, то f{a) ^ sup/(xn);
д) для любой точки а Е К. и любого числа ε > 0 найдётся такая
окрестность V точки а, что f(x)^f(a)—e при χ Ε V.
2.2. Докажите, что
а) характеристическая функция множества Ε с К. полунепрерывна
снизу тогда и только тогда, когда множество Ε открыто;

ЗАДАЧ·
§ 2. Полунепрерывные функции
49
б) функция /: К. —> R, определяемая равенством
О, если jc — иррациональное число,
/W
^, если χ = ™9 где η G N, /w G
и ™ — несократимая дробь,
полунепрерывна сверху.
2.3. Докажите, что если функция полунепрерывна снизу на отрезке
[а9Ь] и принимает лишь конечные значения, то она достигает
наименьшего значения на [а9Ь] (и, следовательно, ограничена снизу). Верно
ли, что она ограничена сверху?
2.4. Пусть g — произвольная функция, определённая на промежутке
Δ с R, /(jc) = lim g(y) (χ G Δ). Докажите, что функция / полунепре-
у->х
рывна снизу.
2.5. Пусть {fa}aeA — семейство полунепрерывных снизу функций,
определённых на промежутке Act, f(x) = sup/a(x) и f{x) < -foo
для любого χ G Δ. Докажите, что функция / полунепрерывна снизу.
Верно ли это для функции й = inf /a? Будет ли функция й полуне-
а£А
прерывна снизу, если семейство {fa}aeA конечно? счётно?
2.6. Докажите, что функция /: [а, Ь] —> К. полунепрерывна снизу,
если и только если
f = sup{g\geC([a9b})9 g^f}.
§ 3. Непрерывные и дифференцируемые функции
3.1. Пусть
Aj[/(*) = Δ„/(χ) = /(χ + А) - f(x), AZ+lf(x) = Δ*(Δ£/(*)).
Докажите, что функция / G С (Ж) является полиномом степени не
выше т тогда и только тогда, когда Δ™+ /(*) = 0 при любых *, й Ε R.
3.2. Пусть / G С1 ([0, +оо)). Докажите, что /'(jc) + /(jc) -> L G R
при χ —> -f-oo тогда и только тогда, когда f(x) —► L и /' равномерно
*—*-+оо
непрерывна на (0, -foo).
3.3. Пусть функция / дифференцируема на отрезке [а9Ь].
Докажите, что если ff(a)ff(b) < 0, то существует такая точка с G (я, й), что
/'(с) = 0 (теорема Дарбу).

50
III. Функции
• УСЛОВИЯ
3.4. Пусть функция / дифференцируема на отрезке [а,Ь].
Докажите, что если множество {х G [я, b] | f'{x) — у} замкнуто при любом
у еШ,то f еС1([а,Ь}).
3.5. Пусть функция / определена на интервале (а,Ь).
Докажите, что f€Cl((a,b)) тогда и только тогда, когда отношение
\{f{x + h) — f(x)) стремится при /ι-^Ок конечному пределу
равномерно на каждом промежутке [α,β] из (я, Ь).
3.6. Пусть / € С((а, Ь)) и для любого χ G (а, Ь) существует конеч-
r f(x+h)-f(x-h) , ч π
ныи предел hm — %ь = £(*)· Докажите, что
а) если g ^ 0 на (а, Ь), то функция / возрастает;
б) если g = 0, то функция / постоянна;
в) если g G С((в, ft)), то / G С1 ((а, Ь)).
3.7. Пусть / G С ((а, ft)) и для любого χ G (я, ft) существует конеч-
v f(x+h)+f(x-h)-2f(x) f ч ^
ньш предел hm — 2——"^"^ = £(·*) · Докажите, что
а) если g ^ 0 на (я, ft), то функция / выпукла;
б) если g = 0, то функция / есть многочлен не выше первой
степени (теорема Шварца);
в) если g G С((я, ft)), то / G С2((я, ft)).
3.8. Пусть функция / дифференцируема на (я, ft) и
удовлетворяет условию: для любой точки хе(а,Ь) существует такое число
δχ > 0, что f(x + К) — f(x —h) = 2hff(x) при 0 < h < δχ. Докажите,
что функция / есть многочлен не выше второй степени.
3.9. Пусть F сШ — замкнутое множество без внутренних
точек. Докажите, что существует такая строго возрастающая функция
f eCl (JR), что {х G R | f'{x) = 0} = F.
3.10. Пусть / G С([0, 1]). Эквивалентны ли утверждения:
а) функция / постоянна на [0, 1];
б) Уд: G (0,1) 3{х„}: хп^ху хп > jc, f{Xnx]Zfx{x) - 0;
b)Vxg(0, 1) 3{xn}:*n^x, *пфх, ηχίΖ{{χ) - 0.

ЗАДАЧ · § 3. Непрерывные и дифференцируемые функции 51
3.11. Может ли производная всюду дифференцируемой и не
постоянной на интервале функции обратиться в нуль
а) во всех иррациональных точках этого интервала?
б) на плотном подмножестве (в каждом непустом подынтервале
имеется корень производной)?
Изменится ли ответ, если дополнительно потребовать
ограниченности производной?
ь
Пусть функция / определена на промежутке (а> Ь) С R. Вариацией V(/)
а
функции / на (я, Ь) называется наименьшая верхняя граница всевозможных
сумм
п-\
Σ |/(**+ι) -/С**)|, где** <**+ь хк в (а9Ь)9 к = \ п.
Функция / называется функцией ограниченной вариации на {а, Ь), если
ъ
V(/) < +оо. Символом V((a, b)) будем обозначать множество всех функ-
а
ций, имеющих ограниченную вариацию на (я, Ь).
3.12. Пусть feV([a9b])9 g(x) =
= V(/) (xe(a9b])9 8(a) = 0.
Докажите, что если функция / непрерыв- 1
на в точке с Ε [я, Ь]9 то и функция g
непрерьгона в этой точке.
3.13. Пусть / G С1 ([а, Ъ]).
Докажите, что
v(/) =/!/'(*)! «**·
Пусть при χ Ε [0, 1]
/W=sup{E| | Σ^<χ, г,=0или1}.
График функции / изображен на рис 6. Функцию / называют канторовой
функцией (а её график — «канторовой лестницей»).

3.14. Докажите, что
а) если χ = Σ -^, где ек = 0 или 1, то f(x) = Σ ^;
б) на средней трети каждого промежутка А£1...£я, определённого при
построении канторова множества (см. § 1 гл. I), функция / постоянна
и принимает значение Σ ek^~k + 2~("+1);
в) / e c([o, l]);
r)/(f) = ±/(*) при0<^1;
Д) /(* + Jr) = /(*) + ^при0<^1;
e)/(*)+/(l-*) = l при<К*<1;
ж) (|)σ < f(x) < χσ при 0 < χ < 1, где σ = log3 2.
3.15. Найдите длину графика канторовой функции.
3.16. При каких а > О канторова функция входит в класс
Lipa([0, 1])?
3.17. Пусть К — обобщённое канторово множество (см.
определение перед задачей 1.1.29), Δε,...ε/Ι — его сегменты η-го ранга. Пусть,
далее, а = mfK9 Ъ = supAT, δει.,.£η — интервалы, удаляемые из
сегментов Δε,...ε/Ι при построении сегментов (п + 1)-го ранга.
Определим на [а, Ь] функцию φ следующим образом:
φ(α)=0; φ{χ) = \, если x е [я, b] \ (Δο υΔι);
<Р(х)= Σ § + i' если ^«£1.,.£я;
1<*<л z z
<р(лс) = sup{<p(r) I a < t < jc, t £ К], если χ £ Ky a < χ.
Функцию φ будем называть канторовой функцией,
соответствующей множеству К. Докажите, что
а) функция φ возрастает и непрерывна на [а,Ь];
б) для любой точки xq G К и любого числа h > О справедливо
неравенство φ(χο + h) — φ(χο — h) > 0 (функция φ строго возрастает
в любой точке множества К).

ЗАДАЧ · § 3. Непрерывные и дифференцируемые функции 53
3.18. Пусть F с К. — замкнутое множество без изолированных
точек. Докажите, что существует такая функция / G С (К), что
а) f'(x) = 0 при любом χ eR\F;
б) f(x -f h) — f(x — h) > 0 при любом χ G F и любом h > 0.
3.19. Пусть 1 < а < 2, f(x) = χ2 cos ^ при 0 < χ ζ 1, /(0) = 0.
Докажите, что / G V([0, 1]),/ дифференцируема на [0, 1], но функция
χ
g(x) = V(/) не дифференцируема в нуле. Существует ли g (0) при
а= 1?
3.20. Пусть α, β > 0, /(jc) = χα cos -^ при 0 < χ ^ 1, /(0) = 0.
Докажите, что
а) / G V([0, 1]), если и только если а > β;
δ) f e Lip^O, 1]) лишь при α ^ β + 1;
в) если а < β + 1, то / G 1лру([0, 1]), где у = β^.
3.21. Пусть 0 < γ < 1. Постройте функцию / из класса Lipy([0, 1]),
не имеющую ограниченной вариации ни на каком невырожденном
промежутке Δ с [0, 1].
3.22. Укажите такие функции /, g G С([0, 1]), что
а) / G V([0, 1]) и / £ Lipa([0, 1]) при любом α > 0;
б) g £ V([0, 1]) и g G Lipa([0, 1]) при любом а < 1.
3.23. Пусть функция / : К. —> К. непрерывна и 2л--периодична,
—я
Докажите, что φ G Lipi/2» точнее, что
\φ[μ) - φ(υ)| ^ 8 \и - v\xt2 max |/(jc)| .
xER
3.24. Пусть f{x) = Σ 2-ncos4n;c. Докажите, что / G Lipi/2? H0
/ £ Lipa при α > ^.
3.25. Пусть /(χ) = Σ A~nsin3nx, где A G (1, 3). Докажите, что
/ G Lipa, где α = log3 А, но / g Lip^ при β > a.
3.26. Пусть /(jc) = ]ζ 3~" sin3";c. Докажите, что / G Lipa при
любом α G (0, 1). Верно ли, что / G Lipj?

54
III. Функции
• УСЛОВИЯ
В задачах 3.27—3.29 рассматриваются различные варианты примера Вей-
ерштрасса всюду непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции.
В своё время этот пример вызвал оживлённое обсуждение. Широко
известны слова Ш. Эрмита, что он «с ужасом отворачивается от внушающей
сожаление язвы непрерывных функций, не имеющих ни в одной точке
производной». *) Большая свобода приводимой ниже конструкции позволяет,
основываясь на общей идее, строить недифференцируемые функции,
принадлежащие классам Lipa при любом а е (0, 1). Отметим, что в классе
Lipj такие примеры заведомо невозможны, так как в силу теоремы Лебега
функции ограниченной вариации (и тем более функции из класса Lip!)
дифференцируемы на множестве полной меры (см., например, [By], [КФ], [Т]).
Однако существуют нигде не дифференцируемые функции, модуль
непрерывности которых «сколь угодно мало» отличается от липшицевского.
3.27. Пусть f{x) = Σ Ъ^п (2п1лх). Докажите, что
а) / G Lipa при а < 1;
б) функция / не дифференцируема ни в одной точке.
Оцените сверху модуль непрерывности функции /.
3.28. Пусть ω — произвольная определённая на полуоси [0, оо)
непрерывная возрастающая функция, удовлетворяющая условиям:
ω(0) = 0, Ω(ί) = ^Р- убывает при t > О и Ω(ί) —► +оо.
t—►+()
Докажите, что существует такая непрерывная, нигде не
дифференцируемая 2я-периодическая функция F вида
F(x) = Σ ω[^Γ)ήη{2πιηηχ),
модуль непрерывности которой есть О (ω).
3.29. Пусть / — периодическая и не постоянная на К. функция,
принадлежащая классу Lipj.
а) Докажите, что для любого q € (0, 4) непрерывная функция
W(*) = Σ ^AO"*) (jc€R)
не дифференцируема ни в одной точке, если параметр Q достаточно
велик.
*) По мнению Н.Бурбаки [Бу1], это сказано «не без некоторого юмора, который,
по-видимому, дошёл не до всех комментаторов».

ЗАДАЧ · § 3. Непрерывные и дифференцируемые функции 55
б) Докажите, что если последовательность положительных
чисел {тп} такова, что т\ +Ш2 + - - -+ пгп-\ — О (тп), то при любом
а G (О, 1) функция !
Wa(x) = L· a/fan*)
принадлежит классу Lipa, а при α = 1 это уже, вообще говоря, не так.
Говорят, что функция /, определенная на промежутке Δ, содержащем точку
с, принадлежит классу Lip (а, с) (а > 0), если существуют такие
положительные числа L и 8, что |/(*) — f{c)\ ^ Цх — с\а для любой точки jc из
пересечения Δ Π (с — <5, с + δ).
Точка, в которой производная гладкой функции (в случае функций
нескольких переменных — градиент гладкой функции) обращается в нуль,
называется критической точкой этой функции, а значение функции в критической
точке называется её критическим значением.
3.30. Пусть а > 0, / G С1 (A), N0 = {x eA\ /'(jc) = 0} —
множество критических точек функции /. Докажите, что
а) если /' G Lip(a, с) для любой точки с G Δ, то
N0 = {xeA\feLip(l+a,x)};
б) если функция / дважды дифференцируема на Δ, то
N0 = {xeA\feUp(2,x)}.
3.31. Докажите, что существует функция / G C^R), у которой
множество критических значений совпадает с классическим канторовым
множеством С (см. задачу 1.1.29 и текст перед ней).
По теореме Сарда (см., например, [МУ]) множество критических значений
функции из класса С (Ш ) имеет меру нуль и, следовательно, не содержит
внутренних точек. Предположение о С2-гладкости функции не может быть
существенно ослаблено.
3.32. Взяв функцию /, построенную в предыдущей задаче, и
положив F(x,y) = f(x) + f(y), покажите, что утверждение теоремы Сарда
перестаёт быть верным в классе функций, у которых частные
производные первого порядка удовлетворяют условию Липшица с
показателем ^. Модифицируя это построение, убедитесь, что контрпример
к теореме Сарда можно получить и в классе гладких функций,
частные производные которых удовлетворяют условию Липшица с любым
показателем а < 1.

56
III. Функции
• УСЛОВИЯ
§ 4. Непрерывные отображения
4.1. Пусть
P(z)=a0 + aiz+...+amzm (z в С).
Докажите, что образ P(F) любого замкнутого множества F с С снова
есть замкнутое множество. Верно ли это для произвольного
многочлена от двух переменных?
4.2. Пусть
Г0 = {геС|И = 1,г^-1}; φ(ζ) = J^.
Докажите, что φ взаимно однозначно отображает Го на R.
Найдите φ-1.
4.3. Существует ли разбиение отрезка [0, 1] на два
непересекающихся множества А и В, каждое из которых можно отобразить на другое
взаимно однозначно и взаимно непрерывно (гомеоморфно)?
4.4. Определим на отрезке [0, 1] функции φ и хр следующим
образом. Пусть t G [0, 1], t = Σ 3~*<*ь где щ G {0, 1, 2}. Тогда
φ{ί) = Σ 3~*/?ь где β\=α\, βι = <*з> если а2 — чётное чис-
ло> /Ъ = 2 — «з, если с*2 — нечётное число, βη=&2η-\·> ес_
ЛИ С*2 + а4 + · · · + а2п-2 — ЧёТНОе ЧИСЛО, И βη = 2 — (22/1-Ь если
«2 + а4 + · · · + а2и-2 — нечётное число (η ^ 2). Аналогично,
ψ(ή = ]ζ 3~*уь гДе У1 = а2> если а1 — чётное число, yj = 2 — с*2,
если αϊ — нечётное число, γη = а2п, если α\+α$ + ...+ «2/1-1 —
чётное число, и у„ = 2 — d2n, если αϊ + с*з + · · · + а2л-1 — нечётное
число.
а) Докажите, что функции φ и ψ корректно определены и
непрерывны.
б) Пусть /: [0, 1] —> R2 — отображение с координатными
функциями φ и ψ (f(t) = (φ(ί)> ^(0) ПРИ * G [0» 1])· Докажите, что /
отображает отрезок [0, 1] на квадрат [0, I]2. Схематически отображение /
описано на рис.7. Каждый из отрезков Δ* (к = 1, 2,..., 9)
отображается на квадрат с тем же номером (рис. 7, а). На рис. 7, б показан обход
единичного квадрата при разбиении отрезка на 92 частей.
в) Докажите, что система уравнений
φ(ή=ξ, Ψ(ή=η
имеет не более четырёх решений при любых |, η G [0, 1]. Укажите
пары |, η, для которых эта система имеет четыре решения.

ЗАДАЧ·
§ 4. Непрерывные отображения
57
3
2
1
1
ι
4
5
6
9
1
8
1
7
ι
I
1~
1
1
1
А
1_
ι-
Α
'
·.
Τ
I"
τ
τ
г
1
"I
1
I
I
i
-
■-
τ
.-
τ
I
τ
,-
\
~ι
Α
'-
i
-*
...
τ
ι
;
t
τ
ι-
1
ι
i
·.
ι-
i
-Ι ,
ш
ι ι j
"Ί
i 1
-, !:
t !
i_ I ,
Рис.7
г) Докажите, что множества постоянства функций φ и ψ (т. е.
множества <р~1({с}) и ip~l({c})9 с е R) не имеют изолированных точек.
д) Докажите, что φ, ψ G Lip ^2 ([О, 1]), но φ, ^ £ Lipa([0, 1]), если
α > i
4.5. Непрерывное отображение отрезка на квадрат называется
кривой Пеано. Пусть и и υ — координатные функции
произвольной кривой Пеано, заданной на отрезке [0, 1]. Докажите, что если
и, ν е Lipa([0, 1]), то а < ^. (Таким образом, гладкость координатных
функций кривой Пеано, построенной в предыдущей задаче, —
наилучшая из возможных).
4.6. Докажите, что любые два обобщенных канторовых множества
гомеоморфны, т.е. между ними можно установить взаимно
однозначное и взаимно непрерывное соответствие.
4.7. Пусть Χ, Υ с (0, 1) — счетные всюду плотные в [0, 1]
множества. Постройте диффеоморфизм отрезка [0, 1] (отображение на
себя, непрерывно дифференцируемое вместе с обратным отображением),
переводящий X на Υ.
4.8. Пусть Л С R", χ Ε R". Точка у о из Л называется наилучшим
приближением к χ в А, если \\х — уо\\ < ||jc —y\\ для всех у е А.
Докажите, что если Л — выпуклое компактное множество, то
а) для всякой точки xGR" существует единственное наилучшее
приближение в Л;

58
III. Функции
• УСЛОВИЯ
б) метрическая проекция Г, сопоставляющая точке её наилучшее
приближение в А, есть сближающее отображение: \\Т(х) - Т^лс')!! ^
^ ||jc - лс'|| при любых х, xf e W1;
в) если Int(A) φ 0 и А содержится в компактном множестве В, то
Т(дВ) = дА, где дА и дВ — границы множеств А и В.
§ 5. Функциональные уравнения
5.1. Опишите все функции / G С(Х), удовлетворяющие уравнению
f(2x) = f(x) при любом χ е X, в следующих случаях:
а) X = R;
б) X = (0, +оо).
5.2. Пусть функция /: К. —> К. удовлетворяет уравнению /(jc -f у) =
= /(лс) -f /(у) (х, у € К). Докажите, что
a)f(rx) = rf(x) (r€Q, xGM);
б) если функция / ограничена сверху на некотором непустом
интервале, то она линейна, те. f(x) = ах (х G Ш), где а = /(1);
в) если функция / разрывна хотя бы в одной точке, то её график
есть плотное в М? множество.
5.3. Опишите все монотонные функции /: R+ —> R,
удовлетворяющие уравнению f(xy) = /(χ) -l· /(у) для всех х,у > 0.
5.4. Опишите все функции / е C(R), удовлетворяющие уравнению
f{xy) = jc/(y) -l· ;у/(х) ПРИ любых xjGi
5.5. Найдите все функции /: К. —> R, удовлетворяющие системе
уравнений
Я*+?)=/(*)+/(?)> f(xy)=fW(y) при χ, yeR.
5.6. Пусть η е Ν, η > 1. Опишите все такие функции /: К. —> R, что
f(x+yn) = Я*) + (Я)>)Г ПРИ любы* *, 3> е R.
5.7. Пусть функция / Ε С (К) при некотором σ > О удовлетворяет
условию |/(χ) -l· /(у) - f{x +у)\ ^ 0" для любых лс, у е М.
Докажите, что / представима в виде суммы линейной функции и функции,
не превосходящей σ по абсолютной величине.

ЗАДАЧ·
§ 5. Функциональные уравнения
59
5.8. Пусть функция / G С (К) удовлетворяет условию f(x) -f f(y) =
= f(Vx2 +J2) ПРИ любых х, j G R Докажите, что /(jc) = ax2 при
любом jc G R, где α = /(1).
5.9. Пусть функция / G C(R) удовлетворяет условию / φ О,
f(x)f(y) = f(Vx2 +J2) ПРИ любых jc, у G R Докажите, что
2
/(jc) = efl* при любом jc G R (a — фиксированное число).
Обобщите этот результат на случай, когда
/(*)/(?) = /((Мр + М")1/р)
при jc, у еШи некотором ρ > 0.
5.10. Пусть а > Ь > 0. Опишите все такие функции / из C(R+), что
разность f(ax) - f(bx) не зависит от jc G1R+.
5.11. а) Опишите все функции φ G С((0, 1]), удовлетворяющие
условию φ{χ2) = 2φ{χ) при 0 < jc ^ 1.
б) Опишите все неубывающие функции / G С((0, 1)),
удовлетворяющие условию /(jc2) = f2{x) при 0 < jc < 1.
5.12. Найдите такую непрерывную строго возрастающую
функцию /: R -> R, что /(jc2) = /4(jc) при любом jc G R
5.13. Пусть В = {z G С | \ζ\ ^ 1}. Найдите все непрерывные
взаимно однозначные отображения / круга В на себя, удовлетворяющие
условию /(г2) = /2(г) для всех ζ G В.
5.14. Докажите, что существует единственная монотонная
функция /: [0, 1] —> R, удовлетворяющая условиям
/(л) =2/(|) и /(*) + /(1-*) = 1
при любом jc G [0, 1].
5.15. Найдите все функции / G C2(R2), удовлетворяющие при
любых х, у, ζ G К. условиям
Я*»3>) =/()>>·*)>
5.16. Для каких непрерывных функций /: R—>R найдется такая
(функция g: R2 —> R, что /(ху) = g (x, f(y)) для всех xjGM?

60
III. Функции
• УСЛОВИЯ
5.17. Опишите все непрерывные функции /: Ш.п —> R,
удовлетворяющие условиям:
а) min{xi,x2» · · · >χη} ^ /(*) ^ тах{х\,Х2,... ,хп} для всех
χ = (х\,х2, · ·. ,хп) £ R;
б) если f{x) < f(y)9 то /(jc + ζ) < f{y +z) при любом ζ £ Μ".
Какие из этих функций симметричны (значение f(x) сохраняется
при любых перестановках координат х\,...,χη)Ί
Пусть GhG; — произвольные группы (с мультипликативной записью
групповой операции). Отображение φ: G —» G* называется гомоморфизмом,
если оно сохраняет групповую операцию, т.е. если φ(χγ) = φ(χ)φ(γ) для
любых jc, у G G. Гомоморфизм группы G в группу S1 комплексных чисел,
равных по модулю единице, называется характером группы G.
5.18. Найдите общий вид характеров в группах:
a)Z;
б) Ζ χ Ζ;
в) Zw (группа вычетов по модулю т).
5.19. Найдите общий вид непрерывных характеров в группах
(аддитивных)
а) R; в) R χ Ζ;
б) W1; г) С
и группах (мультипликативных)
д)^; ж)С* = С\{0}.
е) R+ = (0, +оо);
5.20. Непрерывную функцию /: R —> 51 будем называть характером
второй степени, если она удовлетворяет функциональному уравнению
(x9y,z GR)
f(x +У +z)f(x)f(y)f(z) = fix +y)f(y+z)f(z + x).
Докажите, что
а) при каждом у eR функция χ н-> I, \/(\ является характером;
б) формула f(x) = el(ax +bx^ (x G Ш), где я, Ъ G К, описывает
общий вид характеров второй степени.

ЗАДАЧ·
§ 5. Функциональные уравнения
61
5.21. Опишите все непрерывные гомоморфизмы φ группы G в
группу Gf в следующих случаях (используются обозначения, введённые
в задаче 5.19):
a) G = R, G' = R; г) G = R+, G' = R+;
6)G = R, G' = R+; a)G = R, G' = 5!;
в) G = R+, G' = R; e) G = C*, G' = C*.
Глава IV
Ряды
§ 1. Сходимость
1.1. Сходится ли ряд*) Σ тР"? где εη = 0, если в десятичной записи
числа η имеется цифра 9, и εη = 1 в противном случае?
1.2. Сходятся ли ряды
ν у- |cos2"|. ν ν- |tgn| .
-ν ν^ |sin(w+lnw)| . ν ν^ tg2/i .
υ' ^ η Ν L·*, „i+|tgn| '
в) Σ1^; e) ς1^?
1.3. Докажите, что ряд 2_, —Ч—" сходится лишь при а > 1.
1.4. При каких ρ > О сходятся ряды
'!десь ν (и) — число цифр в десятичной записи числа п.
*) Напомним, что Σ ап — обозначение ряда ^ Яп·

62
IV. Ряды
• УСЛОВИЯ
1.5. Пусть τ (и) — число делителей числа п9 рп — п-е простое число,
φ(ή) — число взаимно простых с η чисел, меньших п. Сходятся ли
ряды
«О Σψ; в) Σψι
лр«-(л-1)ря-1
1.6. Пусть φ G С([д, Ь]) и
■у (О А
а" = J 7+ΙΚ7Γ ПРИ п ^ N > e *
Для каких функций φ сходится ряд Σ <2П?
1.7. Пусть φ G С ([—π, π]). Для каких функций φ сходятся ряды
) 2-* J cosr+lnn ' б) 2-r J
л J cosi+lnn' ; ^ J sini+lnn *
л^З _ и^З _
■^ —я ^ —я
1.8. Докажите, что при а > 1 сходится ряд
V _L !
*-* "а |яп(ял/2л)| '
1.9. Сходятся ли двойные ряды
а) Σώ; д) Σ
ε(η,ηι) #
2_j-m2>
^ч y^ тиф^/л). ч y^ HOJX(n,m).
ч v^ maxM. ν v^ HOK(я,iw).
b/ 2_^ 4 , 4 » Ж/ 2_^ 4,4»
ιι,^Ι л+,я η%\ (ΚΟΚ{п9т))Р
Здесь HOK (n, m) — наименьшее общее кратное чисел пит;
НОД (и, т) — наибольший общий делитель чисел пит; ε(η, т) = 1,
если числа пит взаимно просты, ε(η, т) = О в противном
случае.

ЗАДАЧ·
§ 1. Сходимость
63
1.10. Проверьте, что сумма ряда
1+2+2 1+4+4 2+4+4 2+
^8^8 4^8^8 4^8^8 4^8^8 4^*·*
(фуппа членов -^у + —^ — — повторяется 2п раз) равна 1. Укажите
перестановку, после которой сумма ряда станет равной —1.
§ 2. Свойства числовых рядов, связанные с монотонностью
2.1. Пусть ап > О, ап |. Докажите, что ограниченность
последовательности {ап} равносильна сходимости ряда Σ arccos2(;^-).
2.2. Пусть а п | 0. Докажите, что
а) ряды Σ ап и Σ 2Π<22" сходятся или расходятся одновременно
{признак Коши);
б) если Σ ап = +оо, то Σ niin{<2n, л } = +°°>
в) если Σ if = +оо, то Σ \ min{a„, ^} = +оо.
2.3. Пусть <2П | 0, Ьп I О и Σ ап = Σ ^я = +°°· Всегда ли
расходится ряд Σ ™п{д„, Ьп}?
В решениях многих последующих задач используется признак
Абеля для рядов: если последовательности {ап} и {Ьп} таковы, что
последовательность {апВп} сходится (здесь Вп = Ь\ + ... + Ьп)9 то
ряды Σ anbn и Σ (an — ап+\)Вп сходятся или расходятся одновременно.
В случае, когда ряд 2^ Ьп сходится, может оказаться полезным
другой вариант этого утверждения: если последовательность {αηβη} сходится
(здесь рп=Ьп+ Ьп+\ + ...), то ряды Σ anbn и Σ (αη - αη+\)βη
сходятся или расходятся одновременно. Доказательства этих утверждений
легко получить, применяя преобразование Абеля (см. § 2 гл. I) к суммам
/, апЬп. Признак Абеля особенно удобно использовать, если
последовали ^ЛГ
тельность {ап} монотонна.
2.4. Пусть ап [ О, ρ > — 1. Докажите, что ряды Σ (ап — an+\)nP+l
и Σ ηΡαη сходятся или расходятся одновременно и в случае
сходимости ап = о(п~р~1). В частности, ряды Σ ап и Σ (ап — ап+\)п
сходятся или расходятся одновременно и в случае сходимости ап = o(i).

64
IV. Ряды
• УСЛОВИЯ
2.5. Пусть ап J, 0. Докажите, что рады ^ ^ и ^Ц — ап+\)\пп
сходятся или расходятся одновременно и в случае сходимости
2.6. Пусть ап ^ 0 для всех η е N и ]ζ <2ПInn < со. Для ρ > 0
положим Ъп — Σ ак· Докажите, что Σ it < °°·
2.7. Пусть /? > 1 и α„ | 0. Докажите, что из сходимости рада
У^ арп~ п~^/р вытекает сходимость рада Σ αη- Существенна ли
монотонность?
2.8. Пусть а п | 0. Докажите, что
а) если рад ]Р апхп сходится, то ап(х\ + ... + хп) —* 0;
б) если α η > 0 для всех η G Ν, то существует такая неотрицательная
последовательность {*„}, что
ап(хх 4-... +Хл) ->0 и ]Г β„χ„ =+оо.
Существенна ли монотонность {<2„} в утверждениях а) и б)?
2.9. Пусть <2и | 0 и ряд ]ζ χπ сходится. Докажите, что рад Σ αη^η
сходится и Σ акхк = о{ап).
к^п
2.10. Пусть хп > 0, jc„ —> 0. Докажите, что существует такая
убывающая к нулю последовательность {ап}9 что У^ ап = оо
2.11. Пусть ρ > 0, q, Q eN9 Q > 1. Пусть {я„} — неотрицательная
последовательность и Ап = а\ + ... + ап. Докажите эквивалентность
следующих утверждений:
а) Σ % < +°°; в) Σ ψ-η < +οο.
б) Σ^<+οο;
2.12. Докажите, что рад Σ ~н7 сходится, если ε > 0 и
последовательность {хп} такова, что \ (х \ + ... + хп) —* 0. Всегда ли сходимость
абсолютная? Всегда ли сходится ряд Σ 7Γ?

ЗАДАЧ·
§ 2. Свойства числовых рядов...
65
2.13. Пусть ап > О и Sn = а \ + ... + ап, Sn —> +оо. Докажите, что
а)Е^ = +оо; .)ΣΪ<1.
б) Σ ^т? < +°о при ε > 0;
2.14. Пусть ап > Ο,Σ ап < +°о и απ = Σ яд.. Докажите, что
а) Σ^ = +οο; в) Σ^<1·
б) У! -тЬ < +оо при ε > 0; г) Всегда ли У] -^= < +оо?
2.15. Пусть ρ ^ I, ап ^ 0 и гп = ^2 αζ < +оо. Докажите, что
а)Е«.<4Е^;
б) если гп = 0(п а) для некоторого а > 0, то Σ я| = 0(п ρ q)
для любого q > γ?—.
2.16. Пусть {ап} — положительная монотонная последовательность,
апф\ для всех номеров η и ап -> α < +оо. Докажите, что ряд
расходится, если а = 0 или я = 1, и сходится в остальных случаях.
Что будет при α = +оо?
2.17. Пусть / — положительная строго возрастающая на
промежутке [1, +оо) функция и /(*) —> +оо при χ —> +00. Докажите, что ряды
сходятся одновременно (f~l — обратная к / функция).
2.18. Пусть функция / убывает к нулю на промежутке [0, +оо);
последовательность {ап} неотрицательна и ограничена, Σ ^л = +°о.
Докажите, что ряды
Σ f(n) и Σ алЯя1 + ··· +ап)
сходятся или расходятся одновременно.

66
IV Ряды
• УСЛОВИЯ
2.19. Пусть ап 10 и ^2 ап = А. Для произвольного множества
ν С N суммой частичного ряда, соответствующего ν, будем называть
величину Α(ν) = Σ ап (по определению А(0) = 0). Докажите экви-
валентность следующих утверждений:
а) суммы частичных рядов заполняют промежуток [0, А];
б) ап < ап+\ + <2п+2 + · · · для всех номеров п.
2.20. Существует ли такой ряд Σ а1Ъ что ап [ 0 и суммы его
частичных рядов (см. 2.19) заполняют канторово множество?
2.21. Пусть ап [0 и Σ ап = +°°- Докажите, что существует
такая последовательность номеров {и*}, что щ < и^+ь аПк < j- и ряд
Σ anjt расходится. Можно ли отказаться от монотонности {ап}?
2.22. а) Докажите, что если ряд Σ αη сходится, то найдётся такая
последовательность сп | +оо, что ряд Σ спап сходится.
б) Пусть ряд Σ ап расходится, сп —> +оо. Всегда ли будет
расходиться ряд Σ спап? Что будет, если сп | +оо?
2.23. Пусть {tn} — последовательность положительных чисел.
а) Докажите, что ряд Σ л —Г^" расходится.
б) Верно ли, что ряд Σ ап—~j— Расх°Дится> если Σ αη = +°о
иап|0?
§ 3. Различные утверждения о рядах
3.1. Существует ли такая последовательность {ап}9 ап φ 0, что
ряды Σ а" и Σ ~2 СХ°ДЯТСЯ? Можно ли подобрать положительную
последовательность {ап}?
3.2. а) Укажите такой сходящийся ряд Σ αη·> что ряд Σ α\
расходится.
б) Существует ли такой сходящийся ряд Σ αη* что для любого
ρ е Ν, ρ > 1, ряд Σ αη расходится?
оо
3.3. Пусть feC1 ([1, -f-οο)) и Г |/'(jc)| dx < +оо. Докажите, что
1 оо
сходимость ряда Σ f(n) равносильна сходимости интеграла \f(x)dx.

1АДАЧ·
§ 3. Различные утверждения о рядах
67
3.4. Пусть α η > Ои^ ап < -foo. Докажите, что
а) Σ Ы1"" < +оо; б) Σ ЩГы) 1η ^ < +оо.
3.5. Пусть 0 < ап < 1. Докажите, что из сходимости ряда Σ {^~
следует сходимость рада Σ Г77+Т ВеРН0 ли обратное утверждение,
если ап I О? Можно ли отказаться от монотонности?
3.6. Пусть ап ^ 0 и Σ тг < +°°· Докажите, что существует такая
последовательность номеров {щ} плотности 1 (см. задачу Н.2.14), что
аПк -> 0.
3.7. Докажите эквивалентность двух утверждений:
а) Σ \αη\ < +°°;
б) для любой последовательности номеров {п^} плотности 0 (см.
задачу Н.2.14) ряд Σ апк сходится.
3.8. Пусть ряд Σ ап абсолютно сходится и Σ акп — 0 Для любого
к е N. Докажите, что ап = 0 для любого п. Верно ли это утверждение
для рядов, сходящихся не абсолютно?
3.9. Докажите, что если ряд Σ ап*п сходится для любой
последовательности {хп}, стремящейся к нулю, то Σ \ап\ < +°°-
3.10. Докажите, что следующие два свойства последовательности
{сп} эквивалентны:
а) Σ kn-cn+i| < +оо;
б) если ряд Σ ап сходится, то и ряд Σ спйп сходится.
3.11. Пусть функция φ монотонна и ограничена на промежутке
[0, -foo). Докажите, что для любого сходящегося ряда Σ αη
Σ ψ{εη)αη —> φ(+0) Σ αη при ε -> +0.
3.12. Постройте положительную последовательность {ап} со
свойствами:
а) ап -> 0;
б) Σ αη = +°°;
в) если аПк | 0, где {п^} — строго возрастающая
последовательность номеров, то У^ апь < 2.

68
IV. Ряды
• УСЛОВИЯ
3.13. Постройте положительную последовательность {ап} со
свойствами:
а) ап -> 0;
б) Σ ап = +сю;
в) если строго возрастающая последовательность номеров {щ}
такова, что sup{ank/anj \ к, j eN9 к ^ j} < +оо, то ряд Σ аПк
сходится.
3.14. Пусть {ап} — последовательность положительных чисел.
Положим Ап — α ι +... + ап, ап = ~ 4- ^—Ь ... Докажите, что
следующие шесть утверждений эквивалентны:
а) Ап = 0(ап);
6)<fc = o(i);
А
в) χ-2- < q\ < 1 для всех π G Ν;
г) а\ < +оо и -~J- < ^2 < 1 Для всех « G N;
д) а[ + ... +арп = 0(а£),если /? > 0;
е) 7 + У~ + * * * = °(30' если Ρ > α
Из утверждений а)—е) следует утверждение
ж) для любого Q > 1 существует такой номер L = Lq, что
Яи+Z. ^ С?Ял для всех η G Ν, т.е. последовательность {я„} распадается
на L подпоследовательностей {сгп'} = {anL+/}n^l (/ = 0, 1,..., L— 1),
каждая из которых растёт не медленнее геометрической прогрессии:
ап+\ ^ Qan - Докажите, что если последовательность {ап}
монотонна, то ж) => а). Верно ли это утверждение для немонотонных
последовательностей?
3.15. Пусть {ап} — последовательность положительных чисел.
Положим Ап = α χ + ... + <2„, ап = ^- + -г-!—Ь ... Докажите, что следу-
ющие семь утверждений эквивалентны:
а) Λ„_ι = о(ап);
б) αη+ι = о(±);
β)Λ„_ι =о(А„);
г) «ι < +оо и απ+ι = ο(α„);

ЗАДАЧ·
§ 3. Различные утверждения о рядах
69
д) а\ + ... + αρη_χ = о(д£), если /? > 0;
е) J~ + ~J~ + * * * = *Ш> если ^ > 0;
"п+1 ап+\ а"
ж) απ_! = о(я„).
Из утверждений а)—ж) следует утверждение
з) Усы —► +оо.
Покажите на примерах, что з)т4>а) даже для монотонных
последовательностей; однако з)=>а), если ^/а^ | -foo.
3.16. Пусть ρ > 1, ап ^ 0 и Α„ = \{а\ + ... + ап) (п G Ν).
Докажите, что
а) Σ^ϊ&Σβ/ΜΓ1;
б) ΣΜζ^ΥΣ'Ζ-
3.17. Пусть ап > 0 для всех η G N и ряд Σ <2„ сходится.
Докажите, что ряд Σ \/α\α2· · ·αη сходится (заметим, что ряд
Σ ъ(а\ + ... +ап)9 очевидно, расходится).
3.18. Пусть функция / определена на R. Докажите, что следующие
свойства функции / эквивалентны:
а) /(*) = 0(х) при χ —> 0;
б) для любого абсолютно сходящегося ряда Σ ап ряд Σ fian)
абсолютно сходится;
в) для любого абсолютно сходящегося ряда Σ ап ряд Σ /О3 л)
сходится.
3.19. Пусть функция / определена на R. Докажите, что если для
любого сходящегося ряда Σ ап ряд Σ f(an) сходится, то f(x) = Сх
в некоторой окрестности нуля.
3.20. Пусть счётное множество β содержится в интервале (0, 1),
inf β = 0, sup β = 1. Докажите, что для любого числа χ е (0, 1) можно
так занумеровать множество β = {<?ь <?2> · · ·}> что х = Σ %-
§ 4. Вычисление сумм рядов
В задачах 4.1—4.17 вычислите суммы рядов (некоторые из них выражаются
через постоянную Эйлера — см. задачу П.2.8).

70
IV. Ряды
• УСЛОВИЯ
4.1. Σ 3" sin
3"
4.2. Σ(-1)«Ξ^.
4·3· Sarctg^-.
4.4. Σ arcte ^2 ·
4-5. Ση^ (re Ν).
«. Σ^*Ι<4).
4.7. a) Σ'"^
nil
6) Σ'"5^ ('€[0,1]).
4.8. Σ "(ch2« - e)e~"2 ■
4.9. Σ U Σ »-) ·
4.10. Σ^'ηη.
4.ΐ3. i:(i-in(n-i)).
4.14. ^(1-(в+1)Ц1 + 1)).
4.15. ££*£·
οο
4.16. Σ„" J5^·
2лги
οο
4.17. Σϊ^ψάχ.

4.18. Докажите, что
я/2
у ± 4J2AQL ( X2COS2Nxdx
В частности, 1 + ^ + ^ + ... + 4 + ··· = 7Γ·
4.19. Докажите, что
6
«>1 · · - "2
Ш'-*)-*
Здесь /?ι = 2, /?2 = 3,... — простые числа, занумерованные в порядке
возрастания.
4.20. Докажите, что при |ί| < 1
а) Σά = ΣΦ№ б) Σι$ = Σ^)'"
(τ (η) — число делителей, σ(η) — сумма делителей числа п).
4.21. Вычислите сумму ряда Σ „ , где /w G N, m > 1 и ап(т) = 1,
если η не делится на /я, ап(т) = 1 — т, если η делится на т.
§ 5. Функциональные ряды
5.1. При каких р, q > 0 их,у еШ сходится ряд
Σ cos -^ + sin -2- ?
5.2. Пусть λη —> 0. Сходится ли ряд ]ζ Хпе~\х~п\ равномерно на R?
Оцените sup^j^ Α^-!*-^! при условии, что |Лл| < 1 при любом
«GN.
5.3. Сходится ли ряд
S(x) = V *!
V ; ^ (1+*)(1+*2)...(1+*«)
равномерно на [0, +оо)? Оцените sup S(x).
5.4. Сходится ли ряд Σ min(jcn!, ^) равномерно на (0, +оо)?
Дайте равномерную оценку его суммы при χ > 0.
5.5. При каких ρ > 0 ряд ]Г -^ min(npxn, -^) равномерно
сходится на (0, +оо)?

72
IV Ряды
• УСЛОВИЯ
5.6. Пусть α η > О при η G N. Докажите, что ряд Σ (1+*1η)π
а) сходится равномерно на [0, 1], если supan < 1;
б) не сходится равномерно на [0, 1], если Итап > 1.
5.7. Пусть ап Gt, bn > 0, ап = 0(Ьп), ^2 Ьп = +оо и пусть ряд
B(t) = Σ bntn сходится при \t\ < 1. Докажите, что ряд A(t) = Σ antn
сходится при \t\ < 1 и
lim^< lim ^< Ш фг^Ш^
(сравните с задачей П.2.2). В частности, если ап ~ cbn, с φ 0, то
A(t) ~ cB(t) при г —^ 1 — 0; если ап = о(Ьл), то A(t) = o(B(t)) при
f —♦ 1 — 0.
5.8. Докажите, что если ряд Σ я„ сходится, то
Σ α"ί" -^ Σ α* при t -+ 1 - 0
л^О л^О
(теорема Абеля).
5.9. Если частичные суммы Sn ряда Σ аи таковы, что существует
л^О
конечный предел lim ^ (51 4-... -f 5Π) = /, то ряд A(t) = Σ α"*η cxo~
дится при |ί| < 1 и A(t) —> I (теорема Фробениуса).
Таким образом, метод Абеля суммирования рядов (вычисление
предела lim Σ antn ) сильнее метода средних арифметических (метод
Чезаро).
5.10. Пусть Ъп ^ 0, Σ bn = +°о и ряд B(t) = Σ ^л*л сходится при
л^0
|ί| < 1. Если последовательность {яя}л^0 такова, что существует
конечный предел flo+...+β. ,
ТО рЯД Α(ί) = Σ ап*П СХОДИТСЯ ПрИ \t\ < 1 И ;rW ► /.
п>с) ϋν> '—1-0
5.11. Пусть последовательность {ап} такова, что ап > — 1 при η G N
и[](1 + «л) = А € (0, -Их>). Докажите, что при \t\ < 1 сходится про-

ЗАДАЧ ·
§ 5. Функциональные ряды
73
изведение A(t) = Y[(l -f я^") и, если ]Р α^ < -foo, то A(t) —> Л при
/ -> 1 - 0.
Можно ли отказаться от условия Σ °ы < +оо?
5.12. Пусть ап еШ при η G N и произведение Ρ (г) = ]~[ (1 + tan)
сходится хотя бы для двух ненулевых вещественных значений t.
Докажите, что ряды Σ ап и Σ ап сходятся.
5.13. Пусть {ν/ζ} — строго возрастающая последовательность
положительных чисел, {сь}к^о С К. Рассмотрим обобщённый степенной
ряд со + c\tVl -f C2tVl + ... при t ^ 0. Докажите, что
а) существует такое число R е [0, -foo] («радиус сходимости»), что
ряд сходится при г < R и расходится при t > R;
б) если R > 0, то сумма ряда S непрерывна в нуле и бесконечно
дифференцируема на (0, R);
в) число корней функции S на (0, R) (без учёта их кратности) не
превосходит числа перемен знака последовательности *) {q}*^o
(правило Декарта).
5.14. Пусть f(x) = Σ ап\ sinwjc|, где ап > 0 и Σ ап < +00·
Докажите, что / G Lipj тогда и только тогда, когда ^2 пап < -\-оо.
5.15. Пусть α, χ е R. Докажите, что
а) ряд ]ζ п~аsm(nxy/n) сходится при а > ^ для любого * Ε К,
а если α < i и χ φ 0, то он расходится;
б) при χ φ 0 этот ряд сходится абсолютно лишь в случае а > 1;
в) при ^ < а < 1 сходимость равномерная на любом
промежутке [я, Л], 0 < а < А, но неравномерная на [0, Л].
5.16. Пусть ряд Σ ап сходится и Σ ап cos f —> L Ε К при χ —> -foo.
Докажите, что яп = 0 для всех η Ε Ν.
5.17. Сходятся ли ряды Σ \ sin | и Σ ^ sin -^ равномерно
на [0, +оо)?
5.18. Пусть сп ^ 0 для всех «GN. Докажите, что равномерная
сходимость ряда Σ сп sin ^тг на [0» -foo) влечёт сходимость ряда Σ сп·
*) В случае, когда ск φ 0 для всех Л, это число тех к, для которых c*c*+i < 0.

74
IV. Ряды
• УСЛОВИЯ
5.19. Пусть /(χ) = Σ \ sin ^. Докажите, что
ν /(*) л у— f(x)
—оо < lim r-j-1- < О < lim f-r2- < -f оо.
5.20. Существует ли равномерно сходящийся на К. ряд вида
]ζ с η sin ^-, где сй > 0 и ^] с„ = -foo, а {тп} — возрастающая
последовательность натуральных чисел?
5.21. Пусть —оо < а < Ъ < -foo и пусть F, /„, g^ G С ((α, b))9
fn^O,gn^O (ne Ν). Докажите, что если ]Г g„ < F < ]Г /л, то
Σ fgn(x)dx ^JF(x)dx < Σ jfn(x)dx.
a a a
b b
В частности, если F = ]ζ /„, то Г F(jc) d* = ]ζ Г /л(дс) <£дс.
§ 6. Тригонометрические ряды
6.1. Пусть {Ап}> {φη} — числовые последовательности, Ап —> -foo.
Докажите, что
а) в любом непустом интервале найдётся такая точка jcq, что
lim cos(Anx0 + <pn) = 1;
и—*·+οο
б) в канторовом множестве С найдётся такая точка jcq, что
cos(Anx0 + ψη) />0.
6.2. Пусть а < β. Докажите, что ап, Ьп —> 0, если
(ал cos ид· 4- Ьп sin тс) —> 0 для любого jc G [а, β].
6.3. Укажите такое множество Ε С [0, 2л] мощности континуума
и такую последовательность Вп —> -foo, что sinBnx =3 0 на
множестве F.
6.4. Пусть а < β. Докажите, что Σ (\ап\ + \Ьп\) < +оо, если
Σ \ancosnx + bnsmnx\ < const на [α,β].
6.5. а) Укажите иррациональную точку, в которой ряд Σ s^n (2п πχ)
сходится.
б) Докажите, что ряд Σ flnsin(2njr;c), где ап —> 0, абсолютно
сходится хотя бы в одной иррациональной точке.

ЗАДАЧ · § 6. Тригонометрические ряды 75
6.6. Рассмотрим рад Σ sin(n!jrjc).
а) Докажите, что он сходится в точках χ = sin 1, χ = cos 1, χ = |
и их кратных, а в точках те (т G N) сходится лишь при нечётном т.
Будет ли сходимость абсолютной?
б) Докажите, что этот рад расходится в точках χ = sh 1 и (вопреки
утверждению Римана, см. с. 260 и 505 в [Ри]) χ = ±shl.
в) Укажите множество мощности континуума, во всех точках
которого этот рад абсолютно сходится.
6.7. Докажите, что рады
Σ_Α- s>nin(x— Цл/й]) ля V^ 1 „л'т{х+с 1ηη)
у/И ^ у/Я
расходятся для любых х, с G R, с φ 0.
6.8. Докажите, что при χ е (0, л)
а) Σ \ыппх>0; 6)1+ ]ζ ^cosnx>0.
6.9. Пусть {ап}^ и {bn}^ такие конечные последовательности
вещественных чисел, что суммы
А(х) — Σ αηύηηχ и В(х) = Σ bnsinnx
неотрицательны на [0, π]. Докажите, что
С(х) = Σ ^ΊΓ ыппх ^0 для любого χ G [0, π].
6.10. Докажите, что при х е (0, л)
Sn(x) = sinjc -f sin2x -f ... +smnx = 0(min(n, j));
Cn(x) = cosjc -fcos2x -f ... -f cosnx = 0(min(n, |)).
6.11. Вычислите пределы
π/2 ш я/2
lim Л f i^^ и lim Л Г ^Лс.
In Л J sin* A—t+oQ In Л J sin*
0 0
д-Н-ооША J sin* Д—+oo
0
Какова асимптотика интегралов
π π
Ln= j \C„(x)\ dx и L„= j \S„(x)\ dx
—π —π
(определения Сп(х) и Sn(x) см. в задаче 6.10)?

76
IV. Ряды
• УСЛОВИЯ
В задачах 6.12—6.19 последовательность {ап} убывает к нулю. При решении
этих задач может оказаться полезным преобразование Абеля.
6.12. Докажите, что ряды Σ ^n^osnx и Σ flnsinnx сходятся
равномерно на любом замкнутом промежутке, не содержащем точек
2лк (к е Z).
6.13. Докажите, что для любого т Ε Ν ряды
Σ ап c°s nx sin mx и Σ αη sin nx sinmx
равномерно сходятся на R.
6.14. Докажите, что при χ е (О, л)
]Г ancosnx = 0(^); Σ fl„sinrac = Ο(χ).
6.15. Рассмотрим ряд Σ ап sin шт. Докажите, что
а) равномерная ограниченность частичных сумм ряда равносильна
соотношению ап = О(^);
б) равномерная сходимость ряда равносильна соотношению
6.16. Пусть g(x) = Σ ап sin nx. Докажите, что
а) g(x) ^ -^х при* G (0,я);
б) непрерывность функции g в нуле равносильна соотношению
Qn ~ °(η)'·> в частности> из непрерывности g в нуле следует её
непрерывность всюду;
в) %^~- —>Σηαη при χ —> 0; в частности, из дифференцируемости
функции g в нуле следует её дифферендируемость всюду;
г) если последовательность {ап} выпукла, то g(x) ^ 0 на [0, л].
6.17. Докажите, что Σ ^ sin их ^ 0 на [0, л].
π
6.18. Пусть 1р = $\g(x)\jj9 где g(x) = ]Г a„sinrcx и ρ G R. Дока-
0
жите, что
а) при ρ < 0 интеграл 1р сходится;
б) при /?>2он сходится лишь в случае g(x) =0;

ЗАДАЧ·
§ 6. Тригонометрические ряды
77
в) при ρ G [О,2) его сходимость равносильна сходимости рада
Σ ηρ~ιαη. В частности,
π
J\g(x)\dx < оо <=> Σ \ап < оо.
О
6.19. Пусть /(jc) = Σ ап cos их и Σ ^ < оо. Докажите, что
а) Г |/(дс)|й?дс < +оо; б) [/(*)<** > 0 при t G [0, я].
о о
6.20. Пусть f(x) = у + Σ ancosnx. Докажите, что если
последовательность {ап}п^0 выпукла и а„->0, то / ^ О на К.
я
и \ f(x)dx < +оо.
О
6.21. Пусть α G (О, 1). Докажите, что при χ —> +0
Е^ = рЬ + о(1) и Σ ^ = ^j + o(i),
где Л, β — положительные числа, зависящие от а.
6.22. Докажите, что существует такое число а$ G (О, 1), что для
любого а ^ с*о частичные суммы ряда Σ C0S™ равномерно ограничены
снизу, а для любого а G (О, с*о) это неверно.
Что можно сказать об ограниченности снизу частичных сумм рада
Σ п~а sin их при χ G [О, я]?
6.23. а) Пусть χχ,..., jc# G R. Докажите, что для всех Μ < Ν
справедливо неравенство Ван дер Корпута
м N-r
\eix> + ... + eix»\2 ^ !££Ш + 2Σ Σ ef<*"+'-*"> ).
б) Пусть Ρ — вещественный многочлен, Р(0) = 0, у которого
хотя бы один коэффициент иррационален. Докажите, что в этом случае
сумма Вейля дг
Wn(P) = Σ ^ίΡ(Β)
п=\
есть ο(Ν).

78
V. Интеграл
• УСЛОВИЯ
в) Пусть Ρ — вещественный многочлен, у которого старший
коэффициент — иррациональное нелиувиллево число (см. 1.3.13). Докажи-
те'что IWKffl1-»,
где С, Θ — положительные числа, зависящие только от старшего
коэффициента Р.
6.24. а) Пусть {xn}neZ — двусторонняя вещественная
последовательность и __ . .
tN= Σ \е1Х".
Докажите, что
|^<20 + 2 2^ Γι ·
i*i+i;kw j
к,]фО
б) Пусть Р — вещественный многочлен степени т и
ЫР)= Σ 1це(Р(п)-
Докажите, что \ΤΝ(Ρ)\ < %\ηι~ε'η(Ν + 1), где ет = -^-j-.
Глава V
Интеграл
§ 1. Несобственные интегралы от функций одной переменной
В задачах 1.1 — 1.14 исследуйте сходимость интегралов.
1.1.
оо
/
| sinjc | dx
exp(;t2sin2;t)*
1
оо
1.2. Г , dx. . .
1
оо
13 Г *****
lmDm J l+xP\smx\r'
1

ЗАДАЧ · § 1. Несобственные интегралы от функций... 79
оо
1.4. j *"«*
exp(jcP|sinjc|r)*
1
1.5. fUjPdx.
1
1.6. f|sin(jc'+ln*jc)|£.
1.7. JV|sinjc|*'rfjc.
1
oo
1.8. Г cos(jc3 — x) dx.
1
oo
1.9. I sm(x\nx)dx.
1
1.10. Г sin(jc^ + ax + b) dx, p> 1.
.п./
oo
sin χ dx
lrur+cos-v/x*
π
1.12. j ^xdx
*+COSJt*
π
·13· I ъ
oo
sinx dx
1.14.
jt+cosjr+sin*
2π
oo
sinxdx
J lnx
+cos;t2 *
π

80
V. Интеграл
• УСЛОВИЯ
1.15. Вытекает ли из сходимости интеграла \ f(x)dx сходимость
1
интегралов
оо оо
а) ff3{*)dx; б) J|/(*)|$?
1 1
1.16. а) Докажите, что для ограниченной функции /, убывающей
к нулю при χ —> +00, интегралы
оо оо
Г | smx\f(x)dx и \ f(x)dx
О О
сходятся или расходятся одновременно.
б) Убедитесь, что в двумерном случае аналог этого утверждения
неверен:
оооо оо оо
! ! i™lw2)dxdy<+O0> Н° \\т^\ф+у+2)
0 0 0 0
1.17. Пусть
dxdy .
у- = 4-оо.
/(х) = ^/1п|1-/2|^ (х>0).
О
оо
При каких ε > 0 сходится интеграл Г f(x) dxl
О
1.18. Вычислите интеграл Фруллани
о
где а, Ъ > 0, функция / непрерывна на [0, оо) и удовлетворяет одному
из условий:
оо
а) интеграл Г -^- dx сходится;
ι
б) при некотором Τ > 0 для всех χ ^ 0 справедливо равенство
/(* +г) = /(*);
в) существует конечный предел / = lim f(x).

ЗАДАЧ · § 1. Несобственные интегралы от функций... 81
1.19. Пусть интеграл Г f(x) dx сходится. Докажите, что
О
оо
а) для любого ε > О сходится интеграл je-exf(x)dx;
О
оо оо
б) Г e~exf(x)dx —> \ f(x)dx при ε —> +0 (сравните с теоремой
О О
Абеля — задача IV.5.8).
1.20. Пусть φ — непрерывная 2л--периодическая функция. Докажите,
что интеграл оо
" φ(χ)άχ
J 1пл
IJT+COS*
л
сходится лишь в том случае, когда φ — нечётная функция.
В задачах 1.21 — 1.44 вычислите интегралы. Некоторые из них выражаются
через постоянную Эйлера γ (см. задачу И.2.8).
оо
1.21. fln|l-jc2|J|.
О
я/2
1.22. Г ln(sinjc)djc.
О
1
1.23. j !^.
о
1.24. /Й£&
О
оо
1.25. f-4-dc.
J chzj:
О
оо
1.26. (ψ-β~αχάχ (α>0).
0

82
V. Интеграл
• УСЛОВИЯ
оо
S1I1JC
1.27. fs^+dx.
О
χ
X— S1I1JC
оо
1.28. j^^^dx.
О
оо
т
X
1.29. je *ZcosxdX.
О
1.30. J (^-y-1)^ (e,ft6;
—оо
оо
1.31.
1.32.
1.33.
J^*·
0
оо
0
1
Г x2dx
J (l-jc)ln2(l-jc)'
0
1.34. ffedx.
О
1 оо 1 оо
1.35. a) je-^=±dx + je-^dx; б) J £25^1 Λ + J ^ώ.
0 1 0 1
оо
1.36. а) —-—'———L dx (p, q > 0);
0
оо
б) jexp(-^)-exp(-^)^ (л ^ > 0).
0
оо
х f 2Х п dx {{χ} — дробная часть числах).
1

ЗАДАЧ · § 1. Несобственные интегралы от функций... 83
1.38. Используя результат задачи 1.2.23 а), докажите, что
je-*2dx = V-n^+o(l).
О
С помощью формулы Стирлинга найдите значение интеграла
оо
Эйлера—Пуассона I е~х dx.
1.39.
оо
j e X~ep dx, где р=§-1, *=0, 1, 2, 3, 4, 5.
о
оо
1.40. Г е ' , <fa.
оо
1.41. j e-(x4a2x~2Ux.
О
оо оо
1.42. а) Г sinjc2Jjc; б) Г cosjc2Jjc
О О
(интегралы Френеля).
оо
L43. Jizi£2i^^ (/>>-!).
о
оо
1.44. Г ^ψ^-dx, где jt(jc) — число простых чисел, не превос-
2
ХОДЯЩИХ JC.
1.45. Пусть φ(χ) = е ™~1, jc G R. Докажите, что для любого η G Ζ,
Г <р(лс)<р(х — η) dx = 0.
—оо
Чему равен этот интеграл при η = 0?
оо
1.46. Докажите, что Г лс" sin(2jr lnjc) ~j = 0 при и = 0, 1, 2, ...

84
V. Интеграл
• УСЛОВИЯ
π/2
1.47. Докажите, что Г cos(p + 1)jc cos*7-1 x dx = 0 для всех ρ > 0.
0
§ 2. Вычисление кратных интегралов
В задачах 2.1—2.7 вычислите данные интегралы.
+оо +оо
2.1. Г Г \\nx-\ny\e-(x+yUxdy.
0 0
2.2. а) Г max(jci,..., xn)dx\.. .dxn\
(0.1)"
б) Г min(xb ...,xn)dx\ ...dxn;
(0,1)"
r) , *>..*. (£>0)
[l.+oo)-*1·"*^"1"^1 *"^
2.3. JVW2/2^.
dxdy_.
1A. а) Г Г |адс + ty
R2
6) jKa.^P-j^- (fleR»,p>-l).
R"
2.5. / ^ (,,y€R3).
2·6, J / / / ^2+у2_"2_1;2^ *у du dv-
x2+y2+u2+v2^l
2.7. f e(^.*W
(Α*,*)<1
(* e R4, A — положительно определённая матрица).

ЗАДАЧ ·
§ 2. Вычисление кратных интегралов
85
2.8. Пусть А = {(*ьХ2>хъ>ха) € ^4 | ух\ + х\ + х\ < х\}· Д™
каких t e R4 конечен и чему равен интеграл
K(t) = fe-lx^dx?
В задачах 2.9-2.13, говоря о случайном выборе точек, мы подразумеваем,
что вероятность выбрать точку, принадлежащую некоторому множеству,
пропорциональна его мере (длине, площади, объёму).
2.9. На отрезке [а, Ь) случайным образом выбираются две точки.
Найдите среднее значение Μ расстояния между ними. Какова
вероятность Ρ того, что расстояние больше Μ? При каком т события
«расстояние больше т» и «расстояние меньше т» равновероятны?
2.10. На отрезке [0, а] случайным образом выбираются три числа.
Какова вероятность того, что они являются длинами сторон
некоторого треугольника?
2.11. На отрезке [—α, α] случайным образом выбираются две
точки и, υ.
а) Что вероятнее: корни уравнения z2 + uz +v =0 лежат на
вещественной оси (вероятность Р\{а)) или корни этого уравнения не
лежат на вещественной оси (вероятность Р2(а))? К чему стремятся
вероятности Р\{а), Piia) при а —> -foo?
б) Какова вероятность того, что биквадратное уравнение г4 + uz2 +
-f у = 0 имеет как вещественные, так и комплексные корни?
2.12. В единичном круге случайным образом выбираются две точки.
Каково среднее значение S площади круга, построенного на
соединяющем их отрезке как на диаметре?
2.13. На окружности радиуса R случайным образом выбираются две
точки. Найдите среднее значение L длины соединяющей их хорды.
2.14. Пусть
A = {(xu...,xn)eRn\ Σ τ^1,χι,...,Χη>θ\.
Докажите, что при любом t еШ. справедливо равенство

86
V. Интеграл
• УСЛОВИЯ
2.15. Докажите, что при т, η Ε Ν, т ^ η, α > О, справедливо
равенство
J (α+*ι+...+*„)"' \ λ' (т-Щп-т)\ '
[0,1]"
где Δι/(β) = Δ/(β) = /(α + 1) - f(a\ Anf(a) = Δ(Δ„_ι/(α)).
2.16. Пусть aQy...yan — положительные числа, £0=дь
h = fljk+i - α* при * = 1, ..., л (я„+1 = я0),
W„ = {(*!,...,χ„)€Μ" Ι Σ **<1, *ι,...,*„>θ).
а) Докажите, что для любой неотрицательной и непрерывной на
(0, +оо) функции / справедливо равенство
/Λ 1 \и Λ 1
= f... ί/(βθ + Σ(α* -αο)**)<**1 ···<***.
J «, J ч *=ι у
(0,1)"
б) Вычислите интегралы
* /. χ"_1Χ2_2···^/ί-ι dx\...dxn
J " J (b0+blxl+b2xiX2+..-+b„xi...x„)n+iy
(0,1)"
Γ Γ dx\...dxn
^ (αο+(αι-αο)^ΐ+(«2-αο)*2+·.·+(«π-αο)^π)
2.17. Докажите, что
а) если функция / непрерывна и неотрицательна на R, то для любых
вещественных чисел а и Ь справедливо равенство
+оо
R2 — оо
б) при 0 < /? < 1 и α = (αϊ,..., аи) £ ^" справедливо равенство
(х = (^,...д«)еГ)
/- |(а,лО|г </*!...</*„ = яп ( Τ \α \У
£я(1+х*)(1+х1)...(1+х1) cosfA^J *7 *

ЗАДАЧ·
§ 2. Вычисление кратных интегралов
87
2.18. Пусть / G С ([О, I]2). Найдите предел
2.19. Пусть ρ < 1 и
Мол]2 \tjfn
Ф(х,у)= jj ({x-u)2 + (y-v)2)~p,2dudvy
Ф(*,зО = jj in((jc -u)2 + (y -v)2)dudv.
ιι2+ι>2^1
Докажите, что Φ, Ψ е С1 (М2), и найдите Ψ.
Глава VI
Асимптотика
§ 1. Асимптотика интегралов
1.1. Докажите, что (/?, q еЩ
χ
а) [tPJdt ~ х?ех\
J jc—»+оо
1
+оо
б) Г tPe-'dt ~ jc^e"*;
J ;с—>+οο
jc
в) Г г/7"1 In* tdt ~ ^ In* jc (р > 0);
J jc—>·+οο "
2
jc
г) jtP-l\\nt\idt ~ y|lnx|* (p>0).
О
10
1.2. Вычислите интеграл I xxdx с относительной погрешностью не
О
более 5%.

88
VI. Асимптотика
• УСЛОВИЯ
1.3. Пусть —оо < а < Ь ^ -foo; f,g,he С([я, &)), причём / > О
на [а, Ь) и g(t) = o(f(t))9 h(t) ~ f(t) при t -» b — 0. Докажите, что
при г —> Ь — 0 справедливы соотношения:
а) если Г f(t)dt = -foo, то
χ л: л: л:
jg(t)dt = o(jf(t)dt), jh(t)dt~jf(t)dt;
а а а а
Ь
б) если Г f(t)dt < +оо, то
fc & & &
fg(t)dt = o(ff(t)dty jh(t)dt~jf(t)dt.
Χ XXX
1.4. Найдите асимптотику при г —> 1 — 0 интегралов
о
ι
б)эд=/^
dx
\-x2)(\-t2x2)
0 v
я
В) Z{t) = ( —-^ г.
у w J 1-2/cosjc+r2
0
1.5. Найдите асимптотику при Λ —> -foo интегралов
) /£; г) J|sinjc|efl/*rfx (agR);
а,
2А +оо
,2
б) ί лс* dx; д) ί е х dx;
А А
А +оо
) (ее~х dx; е) Г jcfle"* dx (a e .
в,
о л

ЗАДАЧ·
§ 1. Асимптотика интегралов
89
1.6. Найдите асимптотику при Л —» -foo интегралов
1 +оо
а) je^dx; в) j ex~xllAdx\
О О
+оо +оо
б) Г e~xPtA Ц- (р>0); г) Г e-*'AlnPxdx (pGR).
1.7. Найдите асимптотику при η —» -foo интегралов (л G N)
я(и+2) я(л+1)
а) j ψάχ {ρφΰ); в) J ^dx {ρφϋ);
πη πη
+οο +οο
б) j ψάχ (ρ>0); г) j ψάχ (ρ>0).
1.8. Докажите, что при ε —» 4-0
+οο +οο
а
ι ο
+οο +οο
6) / ?£*-& Γ) / ^^-fe.
1.9. Найдите асимптотику при ε —* +0 интегралов
ΟΟ 2 °° · / 2
dx_. ъ\ f sin(* +€)dx
ЧеуД '
0 0
oo
0
oo
cr\ С sinex2dx.
0
1.10. Докажите, что при Л —»-foo
oo oo
) f sin(jcA) Jjc ~ |- б) Г cos(jtA)djt -> 1.
oo
a^
о

90
VI. Асимптотика
• УСЛОВИЯ
д:+1 д:+1
1.11. Пусть Сх = Г cost2dt и Sx = Г sin r2 dt для χ > 0. Докажи-
X X
те, что
а) \/С2 4- S2 < j для всех χ > 0;
б) v/c| + S2 = i |sin(* + ί) | + О (i) при jc-> Ч-оо.
1.12. Пусть функция φ непрерывна на R и имеет период Τ > О,
г
причём Сφ = γ: Γ φ(ί) dt ф 0. Докажите, что
О
+оо
/$А~£ при ε^+0.
1
1.13. Найдите асимптотику при Λ —> 4-оо интегралов
А А
a) f^dx (р<1); в) /Ц^Л (/> < 1);
о о
А +оо
^ч Г I sin а: I ^ I cosjcI , / 1λ ч Г Isinxl , / 1λ
б) J—χ—dx (р>~1У> г) J L-Xrldx (р>1)·
1.14. Докажите, что при А —> 4-оо
я/2 2 я/2
*) /(ΐ£)* = |Α + 0(1);.) /fSt^
о о
π/2
О О
1.15. Используя интегральное представление Пуассона для функций
Бесселя
(±у л/2
JV(A) = -η= j1 )i Γ cos(Asin<p)cos2v<ji>d</) (ν > -i),
докажите, что при А —» 4-оо
уо(Л) = rin^gA 4- О (А'У2), У! (А) = ™^Л 4- О (А"3/2).

ЗАДАЧ·
§ 1. Асимптотика интегралов
91
1.16. Найдите асимптотику при Л —» -foo следующих интегралов:
оо оо
а> 1Щ%) {~2<р<1); в) l^dx (0<ρ<2);
о о
оо оо
о ое
1.17. Пусть функция / убывает к нулю на [я, +оо), а функция φ
непрерывна на К. и имеет период Τ > О, причём I <p(t) dt = 0. Докажи
те, что +оо τ
J J f(t)<p(t)dt\ ζ/(Α)^|φ(0|Λ при Λ^α.
л о
1.18. Пусть функция / убывает к нулю на [а, +оо), а функция φ
непрерывна на К. и имеет период Г > 0. Докажите, что
j f(t)<p(t)dt =Οφ f f(t)dt +1 + 0(f(A)) ,
a a
™e Γ +oo
Сф = 1/φ(ί)Α, /= J (ф(0-СФ)/(0*.
0 β
1.19. Пусть функция / неотрицательна и монотонна на [α,+οο),
а функция φ непрерывна на И и имеет период Τ > 0, причём
г
Сф = γ ( ψ(ή dt Φ 0. Докажите, что
0
оо Л+1 А
а) если Г f(t) dt = +оо и Г /(i) dt = o( (f(t) dt) , то
α Да
А А
\f{t)<p(t)dt ~C<p[f(t)dt при Л -» +оо;
оо Л+1 оо
б) если Г f(t) dt < +оо и Г /(ί) Л = of Г /(г) </Л , то
а А А
+оо +оо
J /(ήφ(ήώ~€φ j f(t)dt при A-»+oo.

92
VI. Асимптотика
• УСЛОВИЯ
1.20. Пусть / G С([а, Ь])9 φ G C(R). Найдите пределы
ь
a) lim |/(f) φ(Αή dt, если φ имеет период Τ > 0;
б) lim Α ί/(ί)φ(Αί)Λ, если f |φ(ί)|Λ < оо.
А—»+оо J J
1.21. Пусть / G С([я, ft] χ [-1, 1]). Докажите, что
b b 2π
1(A) = ( f(x9sinAx)dx —► 1я\{ f f(x>&nt)dt\dx.
a a 0
1.22. а) Пусть ρ (A) ^ 0 и ρ (A) = o(A2) при А —► 4-oo. Докажите, что
π/2
IA = j *^cosPMxdx-> f при A-++oo.
0
б) Вычислите интеграл
π/2
LA= j Щ^соН"1**/* (А>0).
о
1.23. Найдите асимптотику при ε —► 4-0 интегралов
+оо +оо
а) Г г-^1-*"*)*/*; б) Г г"*^-1)*/*.
о
1.24. Докажите, что при ε —► 4-0
1
a) J*«rf* = ι-£ + §! +0(с3);
о
б) je'e^dx = 1-2ε-ε2\ηε + 0(ε2);
0

ЧАДАЧ·
§ 1. Асимптотика интегралов
93
1.25. Пусть функция / положительна и интегрируема на
промежутке (0, 1) и для некоторого числа ρ из промежутка (1,2] конечен интег-
1
рал Г | lnf(x)\p dx. Докажите, что при ε —► 4-0
О ι 1
(fe(x) dx=l + ejln/(jc) dx + Ο (εΡ).
О О
1.26. Найдите асимптотику при η —> оо следующих интегралов:
л л
\ С ι · ι dx \ С sin far //χ
a) f\smrvc\d-; в) /max L_J _;
О О
I sin far | dx
ишл
1=а^и
о о
б) Г max Isinfocl^r; г) Г max
J \<k<n x j ια^>
1<*<л * * "
1.27. Пусть P(jc) = fljjc 4-... -l· anxn — многочлен с вещественны-
1
ми коэффициентами,/(Ρ) = ГelP^dx. Докажите, что |/(Р)| < -^г-,где
о ^
А = \а 11 4- |«2l 4-... 4- |яи|, а коэффициент Сп зависит лишь от п.
§ 2. Метод Лапласа
2.1. Пусть / G С([0, §]). Найдите предел
л/2
lim n \ xf(x)cosnxdx.
О
с
г2
2.2. Пусть с > О и 1С = \ е * dt. Докажите, что при А —> 4-оо
О
с/у/А с/у/А
а) Г (1-,ψΛ~£; б) J ^~^·
2.3. Пусть с > 0. Найдите асимптотику при А —> 4-оо интеграла
Г CO^ JC i/jC .
о

94
VI. Асимптотика
• УСЛОВИЯ
2.4. Убедитесь в том, что асимптотика при А —»-f-οο следующих
интегралов не зависит от параметра с > 0:
а) /(1-,ψΛ (с<1); д) )'(^)"A;
о о
о о
с 1+с
в) fcos^xdx (с ^ |); ж) { х-Ах dx\
0 1
г) J^^; з) )xn\e-X)dx{c^e-X).
о о
Характерная особенность задач 2.1-2.4 заключается в явлении
локализации — асимптотика интеграла зависит от поведения подынтегральной
функции лишь в окрестности одной точки. Этот эффект отчетливо проявляется
и в более общем случае при изучении важных интегралов вида
ь
<b(A) = ff(x)<pA(x)dx,
а
где функции / и φ неотрицательны и φ кусочно монотонна. При
больших значениях параметра Λ график функции <рА имеет резко выраженные
«горбы» в окрестностях тех точек, в которых функция φ имеет строгий
локальный максимум. Разбивая при необходимости промежуток [а,Ь] на
несколько промежутков, можно считать, что φ монотонна на [а,Ь]. При
этом достаточно рассмотреть лишь случай, когда φ убывает. Тогда
значения функции φΑ в точках, далёких от точки а, пренебрежимо малы по
сравнению с её значениями в точках, близких к я, которые и дают
основной вклад в интеграл Ф(А). Для нахождения главной части Ф(А) остаётся
аппроксимировать в окрестности точки а функции / и φ более простыми
и вычислить получившийся интеграл. В реализации изложенной схемы и
заключается метод Лапласа исследования интегралов вида Φ (А), а также их
модификаций.
Чаще всего встречается случай, когда разность φ{α) — φ(χ) является
бесконечно малой степенного типа, т. е.
φ(α)-φ(χ) ~ С{х - а)р (С,р>0).
х—*а+0
Он исследуется в задаче 2.7. Получающийся при этом результат называют
асимптотической формулой Лапласа (в задаче 2.7 ради краткости формули-

1ЛДАЧ t
§ 2. Метод Лапласа
95
ровки предположено, что φ (а) = 1 и/ = 1). Читатель без труда
сформулирует аналогичное утверждение, если функция φ возрастает на [а,Ь] и
<р(Ь)-<р(х) ~ C(b-x)P.
x—+b—0
Отсюда сразу вытекает асимптотическая формула Лапласа и для кусочно
монотонной функции.
Подходящей заменой переменной в интеграле Ф(А) можно случай с
непостоянной неотрицательной функцией / свести к случаю / = 1 (в каче-
X
стве новой переменной надо взять первообразную J f(t)dt). Результат за-
а
дачи 2.8 позволяет существенно уменьшить возникающие при этом
технические трудности.
В задачах 2.5—2.8 мы будем предполагать, что φ — положительная невоз-
растающая функция на промежутке [а, Ь) (—оо < а < Ъ ^ Н-оо), причём
φ[α) — lim φ(χ) = 1 — строгий максимум φ на [а, Ь).
дг-»я+0
Будем считать также, что / Ε С ((я, &)), / ^ 0 на (а, Ь) и / ф О вблизи
ъ
точки я, а интеграл I f(x)q> (x) dx конечен для достаточно больших А.
2.5. Докажите следующие свойства интеграла Ф(А) = \ /(χ)φΑ(χ) dx
а
при А —► +оо:
а) Ф(А) убывает к нулю;
б) Ф(А) не может экспоненциально убывать: 1пФ(А) = о(А);
в) усилить утверждение б), вообще говоря, нельзя: для любой
функции ω(Α)9 убывающей к нулю при А —> -foo, и такой, что
In ω (А) = о(А), найдётся такая неотрицательная убывающая на [0, 1)
1
функция φ, lim φ(χ) = 1, что Г φΑ(χ) dx = о (ω (Α));
χ—►и J
0
г) Φ (А) может убывать сколь угодно медленно: для любой
функции ω(Α), убывающей к нулю при А —> -f-oo, существует такая функ-
ция φ, что ίφΑ(х) dx ^ ω(Α) для достаточно больших А;

96
VI. Асимптотика
• УСЛОВИЯ
д) асимптотика Ф(Л) определяется поведением функций φ и /
в сколь угодно малой окрестности точки а:
β
<b{A)~^f{x)cpA(x)dx для любого числа β G (я, 6);
а
е) Ф(А) ~ Ф(А + Я) для любого числа Η eR
Заметим, что утверждение е) позволяет, не умаляя общности, считать, что
I f(x)dx < оо, так как в противном случае, не меняя асимптотики интег-
а
рала Ф(А), функцию f(x) можно заменить на f(x)q>H(x) при достаточно
большом Н.
2.6. Пусть Ф(А) = \ φΑ(χ)άχ. Докажите, что
а) если при некоторых L, ρ > 0 вблизи точки а выполняется
неравенство <р(х) ^ 1 - L(jc - а)р, то
А^ф(д)^ Jl^+^i) при Д^+оо;
б) если /~^flfp —> 0 при jc —> α + 0, то Α1/ί7Φ(Α) —> -boo при
А —> -hoo;
в) если при некоторых /, ρ > 0 вблизи точки α выполняется
неравенство <р(х) ^ 1 — /(* — а)р, то
r(l+i)
Λ^ΦίΛ) ^-7i7^+^(l) ПРИ Λ^+οο;
г) если tx_\p —► -Ьоо при jc —> α -f 0, то
А1/рФ(А)^0 при Λ^-hoo.
</>(*) - С(.
χ—»α+0
тотическую формулу Лапласа
2.7. Пусть 1 - <р(лс) ~ С(* — я)*7 (С, ρ > 0). Докажите асимп-
х—*а+0
Г л Γ(ΐ+Ι)
В частности,
Ф(Л)~^ прир=1, ф(А)~1^ при ρ = 2.

*ЛДАЧ ·
§ 2. Метод Лапласа
97
Дополните формулу Лапласа, доказав, что для любого q > -1
j А^+ооЧ+l {АС) —
2.8. Пусть g G С((я, £)) и функция g(x)(pA(x) абсолютно
интегрируема на (я, Ь), если Λ достаточно велико. Докажите, что
ь ь
[f{x)(pA{x)dx ~ fg(x) </(*)</*, если /(л) ~ *(*)·
а а
В частности, если функция / непрерывна в точке а и f(a) φ О, то
для любого β е (ауЬ)
b β
Φ(Λ) = (f(x)<pA(x)dx ~ /(α) (V(*)</;c.
2.9. Найдите асимптотику при Λ —> -foo следующих интегралов:
1 +оо
sin* </х / . ov
в) J xPcosAxdx (p> -1); к) J -^=dx;
0 0
Я/2 +°°;tCOs(-^
r) j xPsmAxdx(peR); л) J —^
a) J(l-^)A<M/?>0);
0
+oo
6> /(Tfei(p>0);
0
я/2
3) /■
0
+oo
и) j
0
π/2
dx .
eAx2 '
0 -oo
+oo +oo
0 -oo
+oo 1
0 0
Λ 1
ж) (ex(A-x)Adx; о) j(Ax)Px dx (ре

98
VI. Асимптотика
• УСЛОВИЯ
2.10. Найдите асимптотику при η —> -foo (п е Ν) следующих
интегралов:
а) f(a+cosx)ndx (а > 0); в) f(l - 4х + 2х2)п ^=;
о о
+оо +оо
б) j(^)"dx; г) /cos"*£.
о о
2.11. Пусть р, q, С > 0 и г е R. Докажите, что
/(А) = J л:ге-с/дс,е-Адг'' dx ~ jg e~vW при Л -► +00,
О
1+г+|
В частности, при А —> -foo
0 р W v*c
S
Отметим, что экспоненциальный множитель е γ(Α' не зависит от г
и, следовательно, этот параметр не влияет на асимптотику In 1(A).
2.12. Вычислите интеграл
+оо
dx
S
(jt4+4jt+4)100
—00
с относительной погрешностью не более 10%.
В следующих задачах рассматриваются интегралы Φ (Л) = J /д(лс)</лс,
а
где функция /д, не будучи теперь функцией вида, рассмотренного в
задачах 2.5—2.8, сохраняет, однако, её характерную особенность: с ростом Л
график функции /д имеет всё более резко выраженный «горб» в окрестности
той точки лсд, где /д достигает наибольшего значения. Хотя результат
задачи 2.7 здесь не применим, тем не менее идея решения сохраняется:
представив функцию /д в виде еы?А и заменив в некоторой окрестности точки
лсд функцию ln/д её тейлоровским разложением, а интеграл по
промежутку (а, Ь) — интегралом по окрестности точки лсд, находим главную часть
Φ (Л). Основную трудность при этом представляет выбор окрестности. С
одной стороны, она должна быть не слишком большой, так как в противном

ЗАДАЧ·
§ 2. Метод Лапласа
99
случае скажется погрешность, вызванная применением формулы Тейлора.
С другой стороны, для нейтрализации погрешности, возникающей при
замене интеграла по промежутку (а, Ь) интегралом по окрестности, её нельзя
брать слишком малой. Удачный выбор окрестности, который позволил бы
хорошо оценить обе указанные погрешности, и составляет главное
содержание решения. Отметим также, что в случае, когда лсд —► *о ПРИ А —► Н-оо,
может оказаться более удобным рассматривать тейлоровское разложение
функции ln/д в окрестности точки jcq.
2.13. Найдите асимптотику при А —> -foo интегралов
о о
A Me .
б) ^exP{A-x)Adx{0<p<\); г) \{} + ш) dx.
О О
2.14. Докажите, что при А —* +оо
1/2
о
1
б) \\\nx\P{\-x)Adx~WjA (pGR).
О
2.15. Пусть функции ψ, Θ строго возрастают и не превосходят 1 на
[О, 1], lim ψ (χ) = lim Θ(χ) = 0. Докажите, что если ψ~ι(γ) ~ 0_1Су)
а:—>0 х—+0
при у —> +0, то
1 1
Г(1 -ip{x))Adx~ Г(1 -θ{χ))Αάχ при А^+оо.
о о
2.16. Пусть
ъ ъ
Ф(А) = jf(x)e-WWdx и 0(A) = J/(jc)e-A0Wrfjc,
α α
где функция / неотрицательна и интегрируема, а функции грив
непрерывны и возрастают на [я, Ь), 0(α) = θ(α) = 0. Предположим, что
1) 0(jc) - 0(jc) = 0(ψ2(χ)) при χ -н. α;

100
VI. Асимптотика
• УСЛОВИЯ
2) интеграл Ψ (А) не слишком быстро убывает к нулю:
1ηΨ(Λ) =о(у/А) при А^+оо.
Докажите, что Ψ(Α) ~ Θ(Λ) при А —> -foo.
В частности, если ^ < 1, то, взяв θ = — 1η(1 — ψ), получим
Ъ Ъ
J7(jc)(1 - ip(x))Adx ~ f/(jc)e"A*Wrfjc при А —> -f-oo.
Можно ли ослабить условие 2), заменив его на 1ηΦ(Λ) = 0(у/Х)?
Ъ
2.17. Пусть /, ψ е С((а9 Ь))9 Г f(x)dx < оо, 0 < ^ < 1, ^ возрас-
тает и ^(лс) = 0((х — а)р) при χ —> α (/? > 0). Докажите, что если
функция / положительна и не слишком мала вблизи точки я, точнее,
1п/(х) = о((х - а)~р) при χ —> а, то
Γ/(χ)(ΐ-^(χ))Λ^~ Γ/(χ)^"Λ^(χ)ί/χ при А^+оо.
В задачах 2.18—2.21 изучаются асимптотические свойства Т-функции
Эйлера
+оо
Г(х) = j 1Х-Хе~*dt, x> 0.
о
2.18. Докажите формулу Стирлинга
χ—»+оо ve/
Дополните этот результат, доказав, что для любого г Ε Ν
Γ(Γ)(1+χ) = Γ(1+χ)1ηΓχ(ΐ + θ(-^)) при jc->+oo.
2.19. Докажите, что Т(х + с) ~ хсГ(х) (с G R).
JC—» + 00
2.20. Докажите, что (^е~1 dt ~ А Г(1 + jc).
J jc—»+оо z

ЗАДАЧ·
§ 2. Метод Лапласа
101
'dt^k
2.21. Пусть φ — положительная функция, определённая на (0, +оо).
Докажите, что при χ —> -foo
0
о
О
2.22.*) Пусть / — канторова функция (см. задачу Ш.3.14 и текст
перед ней). Докажите, что
1
jf2"(t)dt~^ при п-++оо.
0
2.23. Пусть / — канторова функция. Докажите, что
1
(t3" df{t) ~ ^ при η —► +оо .
0
§ 3. Асимптотика сумм
3.1. Пусть Q > 1, р, q G R. Докажите, что при η —> -foo справедливы
соотношения
а) Σ kpwk ~ Sfln^ (p>-i);
в) Σ *'б*~ πζϊηΡ&>
Докажите, что χη ~ min(l, α) Inn.
3.2. Пусть α > 0 и хп = Σ Η1 "π)
* ) Задача предложена Ε. Α. Гориным.

102
VI. Асимптотика
• УСЛОВИЯ
3.3. Пусть ап > 0, Ьп = о(ап)9 сп ~ ап. Докажите, что*)
а) если Σ αη = +оо, то
Σ bk=o( Σ яД Σ с* ~ Σ я*;
б) если Σ an < +°°> то
3.4. Пусть a n I 0, /? ^ 0, a e R. Докажите, что
а) если Σ *"α* = О (л'), то а" = ^К"а_1)'
б) если Σ itaait=o(n',),TOfln=o(n',-a-1);
в) если Σ *α«* = ^(«"р), то я„ = 0(п-Р-а-1);
к^п
г) если Σ kaQk = ° (п~р )> то ап = о(п~р~а~^).
к^п
3.5. Пусть ρ > 0, a G I и Σ £α·*& ~ w^· Докажите, что
а) если ρ > а, то Sn = х\ + ... + хп ~ -^ пр~а;
б) если ρ = α, то Sn = χ j + ... + xn ~ /? In n;
в) если /? < α, то рад Σ χη сходится и σ„ = Σ хк ~ ^ζ~ >^_α ·
к^п Р
3.6. Пусть ρ > 0, a G К. и рад Σ ^a;c£ сходится, причём
Σ кахь ~ п~р. Докажите, что
к^п
а) если ρ < -α, то Sn = χ ι + ... + дсл ~ j^j n^+al;
б) если /? = —а, то iS« = χ ι + ... + хп ~ ρ In n;
в) если ρ > -а, то рад Σ χη сходится и σ„ = Σ хк ~ ^+^ п~(р+а).
3.7. Пусть й„>0и у^ | +оо. Докажите, что
ак ап
а) Σ кРап~ пРап; б) ^-~-
\^к^п к^п
*) Напомним, что ^ ап — обозначение рада ^ ап.

ЗАДАЧ·
§ 3. Асимптотика сумм
103
3.8. Пусть ап | 0, Sn = а \ + ... + ап ~ *^, где 0 < /? < 1.
а) Докажите, что я,2 ~ п~р.
б) Можно ли утверждать, что α л ~ ^, если 5„ ~ Inn?
3.9. Пусть ап 10 и Σ ап < +оо, причём ]Р я^ ~ п-^, где ρ > 0.
Докажите, что я„ ~ рп~^~р.
3.10. Пусть я„ | 0. Докажите, что
а) lim . * . У] α^+£ = lim . . ,!.—г V fl/i»
y £._+01п(1А) ^ " W->oo lnln(l/aN) j^^
б) Пт ^fll+4 πΉ ^i—г X] an^e Ш εΣ*ί+£·
ε-++0 Ν-*οο Щчаы) \<η<Ν ε-*+0
Можно ли уменьшить коэффициент е в неравенстве б)?
3.11. Пусть ап > 0, У] ап < +оо и fit) = г У] —^— при г ^ 0.
Докажите, что поведение функции / при t —> -foo тесно связано с
поведением последовательности {«у^}:
? lim η л/5^ ^ lim /(г) ^ lim /(ί) ^ ? limn ν/δ^.
Ζ ί—+οο ί->+οο ζ
Кроме того,
sup/(i) ^ fsupn,/^,
причём коэффициент ^ уменьшить нельзя.
3.12. Пусть /: [0, -foo) —> К. — неотрицательная невозрастающая
функция, h > 0. Докажите, что
+оо
Дп^Л Σ/(**) = J /(ί)Λ.
~* о
Верно ли это, если функция / непрерывна, но не монотонна?
3.13. Определите асимптотику следующих сумм при А —> +оо:
6) Σ г-'1"11;
*>1

104
VI. Асимптотика
• УСЛОВИЯ
3.14. Пусть функция / неотрицательна и убывает на [1, +оо).
Докажите, что
+оо
а) если Г f(t) dt = -foo, то
Σ /(*)= ί f(t)dt + C + o(l), (КС^/(1),
η
в частности ]Р f{k)~ (f(t)dt;
+oo
б) если Г f(t)dt < +оо, то
1
+оо
Σ/(*)= ί f(t)dt + 0{f(n))9
+oo
в частности, если f(x) = ol I f(t)dtj при х —> +оо, то
+оо
Σ/(*)~ ί /(0Λ-
3.15. Если функция / монотонна на [т, п] {т, η е Ζ), то
/ι
Ι Σ /(t)-f/(f)Akmax(|/(n)|,|/(m)|).
оо
В частности, если функция / монотонна на [1, оо), Г f(t) dt = -foo и
1
χ η
f(x)=o( [f{t)dt] прих^+<х>,то Σ f(k)~ (f(t)dt.
Х^к^п
3.16. Пусть Μ, N е Ζ, Μ ^ Ν, функция / (вообще говоря, комплекс-
нозначная) интегрируема на промежутке [М - ^, 7V + ^], и пусть
Λ7+1/2
δ= Σ /(*)- ί /(ο*·
MZW M_1/2

ЗАДАЧ·
§ 3. Асимптотика сумм
105
, ЛН-1/2
а) Докажите, что |Δ| ^ ^ V (/). В частности, если /
монотонна, то
\*\^±\f(N+\)-f(M-\)
б) Если / G С1 ([М - \9 N + i]), то
ЛЧ-1/2
Δ= S {*-ι*]-ϊ)f'ν*·
Af—1/2
в) Если/ eC2([M-i,7V+i]),TO
ЛЧ-1/2 2
Δ = 4 J ('-M-i) АО*.
Λί—1/2
Λ^+1/2
и следовательно, |Δ| ζ | Г \f"(t)\dt. В частности, если / выпукла
Af—1/2
или вогнута, то |Δ| ζ \\f'(N +±)-f'(M- \)
3.17. Пусть f(p) = 2L ^rf>— ПРИ Ρ > 0· Докажите, что
л^1
/(/>) = j + Ofr).
3.18. Докажите, что при ρ —> +0
]ζ —~ = i-|-y+o(l) (у — постоянная Эйлера).
3.19. Докажите, что
Π (ι+ ι ^«еМ,
Π (l + 1L)~B^exp(|(n2/3-nl/3))
для некоторых положительных чисел А и В.
3.20. Пусть α е R \ N. Докажите, что
(п-а\ _ (я-а)(л-а-1)...(1-а) Са /^ / Пч

3.21. Докажите, что
а) ΐ/ΐ·22·33...„»-:£;
v y/e
б) ^1!·(2!)2.(3!)3...(η!)«~^;
в) ;/1·22-33...„«-(-*= )"/2>.
3.22. Пусть α > 0. Докажите, что при η —» +оо (п е N)
а) Т как1п~а^; в) F (*!Га/л ~-?Ч
' л *—* α 1η η' ' ^—' ν ' α Inя'
К*л _ _JT
,ои
б) Σ *-а*/л --f-; г) У] к°
^7ΐs alnn th^ \-e~a
3.23. Докажите, что Σ \ ~ \еП'
3.24. Докажите, что
б) Σ с*у/Щ^\~т^^г».
3.25. Пусть Ν eN и χ > 0. Докажите, что
Σ>-^= (l^Tj + i + ofo)).-^.
где постоянная в оценке 0-члена не зависит от χ и N.
3.26. Пусть последовательность чисел {хп} такова, что ~=
0 ^ С ^ +00. Найдите асимптотику суммы
«tf = Σ е~х"^
в следующих случаях:
а) С = 0; в) 0 < С < +оо.
б) С = +оо;

ЗАДАЧ·
§ 3. Асимптотика сумм
107
Μ
3.27. Пусть ρ > 0 и 5(;с) = Σ (х ~ к)р. Докажите, что при некото-
к=0
ром С > 0 для всех χ > 0 справедливо неравенство
3.28. Пусть ^еС1 ([α, +οο)), ψ, ψ' > 0 и ^ = <Э(^') на [а, +оо).
Докажите, что
+оо
( е-е*Мл = ф-1(±)+0(1) при ε^+0.
3.29. Найдите асимптотику при t —► 1 — 0 сумм рядов
а) Σ!'1""" (р>0); г) Σ*α" (a>i);
б) Ег1"'" (Р>1); Д) Σ'(ί,,,)" (α>0);
в) Ε'"' (Р>0); е) Σ'"!·
3.30. Найдите асимптотику при г —► 1 — 0 сумм радов
а) XV *" (Р>-1); б) E0n^in(pell
п^2
3.31. Найдите асимптотику при г —> 1 — 0 сумм радов
ж) Σ τγζ^Ι'
а) 2^ тт^г»
б) Σ&
в) Σ —
г) Σ "'"
(1-/-)2
_п£_.
(I-/")2'
з) Σ
и) Σ^$Α
к) Σ4^;
м) Σ Μ)"/ι/"
(1+ί»)2'
д) Σ τ^;
3.32. Найдите асимптотику при t —► 1 — 0 сумм радов
а) Σ т^; г) 2^ ]~^;
б) Σ (1+/2»)2» Д) Σ (1_,2„)2·

108
VI. Асимптотика
• УСЛОВИЯ
3.33. Пусть τ (к) — число делителей натурального числа к.
Докажите, что
Σ τψ)=η{\ηη + 2γ- 1) + 0(у/п).
Здесь γ — константа Эйлера (см. задачу Н.2.8).
3.34. Найдите асимптотику при t —> 1 — 0 сумм радов
а) Πί) = Στ(«)ίΒ, б) S(t) = Σ °{n)t\
(т (η) — число делителей, σ(η) — сумма делителей числа ή).
3.35. Пусть гладкая функция φ выпукла или вогнута на [1, +оо),
lim φ(χ) = +оо. Докажите, что
х—»+оо
а) если \ηφ(χ) = о(х) при χ —► +оо, то
Σ φ(η) ί" ~ τζ7 Σ <P'(n)t" (r - 1 - 0);
б) если φ(χ) = О(лс) при χ —► +оо, то
Σ <?(")'" = Τ^(Σ q/(n)t»+C + o(l)) (ί - 1 -0),
где С = иш(ф(и) - (φ'(1) + ... + <р'(п))).
В частности, взяв φ(χ) = lruc, получим уточнение результата
задачи 3.30 б) при р=1:
Σ^ΐηη=|1η(1-<,)17+°(1)·
3.36. Найдите асимптотику при Λ —► +оо сумм (С > 0)
«О Σ*-0,(ι-^)Λ; б) E^ii-tf1·
3.37. Пусть 1 < Ъ < а. Докажите, что при s —► +оо
а) Σ ^ ~ (|)'Ф(0; б) Σ^φτΓψ,
где φ, ψ — 1-периодические положительные гладкие функции:
*(') = Ej£b. ^) = Σ^·
Чему равно среднее значение функции ψ при а = b2?
3.38. Найдите асимптотику суммы
(\ 2т
I — 9^ )

3.39. Докажите, что
max Σ \χ\ + ~k + · · · + ^7f) ~ nlnn.
3.40. Пусть s > 1, {pk} — последовательность всех простых чисел,
занумерованных в порядке возрастания. Для нечётного номера 2п + 1
положим φ(2η + 1) = (-1)".
Рассуждая так же, как при решении задач 1.2.116) и 1.2.126),
докажите, что
а) Π(ι-^)~' = Σ^;
k^2K Рк } п>0[ +U
б) Σ ψ = o(i).
к>\ Рк
С помощью результата задачи 1.2.126) выведите отсюда
асимптотические соотношения
^ = lmod4 P* J->1 w=-lmod4 P* ί"^1
Из п. в) следует, что каждая из арифметических прогрессий {Am ± 1}
содержит бесконечно много простых чисел. Это частный случай
знаменитой теоремы Дирихле, согласно которой любая арифметическая прогрессия
{am Η- b} с взаимно простыми натуральными а и Ъ содержит бесконечно
много простых чисел (см. [ГЛ], [Ка], [Тр]). Интересные сведения, связанные
с этой теоремой, можно найти в [Кп].
Видно также, что прогрессии {4т ±1} содержат «примерно поровну»
простых чисел. Этот результат (а также задачу 1.2.15) можно дополнить
следующими асимптотическими соотношениями.
3.41. Докажите, что
lnlnW V^ l lnlnW
T^ л л Рк N~oo 2 ' ι л л Рк N-Zoo 2
Pit = 1 mod 4 'v-»oo pk=-\ moaA 'v—>oo
Pk<N Pk<N
§ 4. Асимптотика неявных функций
и рекуррентных последовательностей
+оо
4.1. Пусть у(х) = Г е~* I1 dt (χ G Μ), x(y) — обратная к у (χ)
функция. Докажите, что χ (у) ~ J 2 In \.
ν—»+0 V У
у->+0

по
VI. Асимптотика
• УСЛОВИЯ
4.2. Докажите, что каждое из следующих уравнений определяет
в некоторой окрестности точки (xq, со) бесконечно
дифференцируемую неявную функцию у, и найдите первые η коэффициентов
разложения у(х) = с0 + с\(х -xq) + .. . +сп(х -хо)п + . . .
а) уеу — χ = О,
б) у2 + \п2у -х = 0,
в) ху + е*У-х = 0,
г) у \пу — χ = 0,
п)ехУ +х2+у-1=0,
xq = cq = 0, η = 3;
*0 = с0 = 1, п = 3;
xq = 1, cq = 0, π = 3:
*0 = 0, с0 = 1, л = 3;
х0 = с0 — 0j η = 6:
е) arctg(x + у) - х - 2;у = 0, х0 = ^о = 0,
6.
4.3. Убедитесь в том, что область определения неявных функций,
рассматриваемых в задаче 4.2, содержит полуось [xq, +oo), и
докажите, что при χ —> +оо
а) у W = lnx - lnlnx + схах{х) + с2я2(х) + °(ЙЙ);
б) у{х) = v^(c0 + c,fl,(*) + с2я2(х) + θ(^));
г) уМ = 1^(со + С1£11(Л)+с2£12(х) + о(^)),
, (lruc)m (1п1п*)т
где cq, cj, с2 — постоянные, а я# — функции вида -—^— или —
Ыпх
при надлежащих т, π е Ν;
д) у (jc) = -х2 + 1 - ех~хЪ + θ(χ^2^~χ3));
е) Я*) = -! + ?" ± + o(i)·
4.4. Докажите, что уравнение у* + J = 1 определяет при всех χ > 0
единственную неявную функцию у и что
а) jGC°°((0,oo)),0<j< l,/>0;
б) у(х) = jc|Injc| +jcln|ln;c| + о(х) при χ —► +0;
в) у (jc) = 1 - ψ + ^ + о(±) при χ - +οο.
4.5. Сколько существует непрерывных решений у уравнения
х5 +х2у =)>3, стремящихся к нулю при χ —> 0? Какова их
асимптотика при χ —► 0?

ЗАДАЧ · § 4. Асимптотика неявных функций... 111
4.6. Докажите, что уравнение Кеплера у = Μ + χ sin у, где Μ —
фиксированный положительный параметр, определяет в окрестности
точки (О, М) бесконечно дифференцируемую функцию у, причем
у(х) =M+;csinM+ i;c2sin2M + 0(jc3) при χ -+0.
4.7. Задача про «земной шар в авоське». Земной шар опоясали
нерастяжимой нитью. Затем нить удлинили на 1 см и натянули, потянув за
узелок. Вычислите высоту, на которую он поднялся, с относительной
погрешностью не более одной десятитысячной процента (радиус шара
считаем равным 6400 км).
4.8. Найдите производные по ε длин полуосей эллипсоида
х2 +у2 + z2 +xy +yz + ζχ = 1 + еху при ε = 0.
4.9. Пусть хп — корень уравнения χ = tgjc, лежащий в интервале
(πη9 π η + я), η Ε Ν. Докажите, что
a) *я=я(п+1)-^ + о(£);
} я(л+1) (яп)3 V 2) я(я+1)
4.10. Пусть хп =h(xn_i), где h(x) = ,χ+*χΡ)1/ρ при χ ^ 0 (а, р —
положительные постоянные, η Ε Ν, jcq > 0)· Докажите, что ;сп ~ (ап)~^р.
4.11. Пусть xq = Ю-3, jc« =jcw_i — х2_\ (η Ε Ν). Докажите, что
jqooo ~ ^Ю-3 с точностью Ю-6.
4.12. Найдите асимптотику рекуррентных последовательностей
хп = /(jcw_i) (η Ε Ν, jcq > 0) в следующих случаях:
а) /(*) =х(1 -х), *о < 1; Д) /(*) = 1п(1 +х);
б) /(дс) = sinx, х0 < я; е) f(x) = 1 - е-*;
г) f(x) = arctgx; з) /(дг)
ν^ϊ
+ХН
4.13. Пусть С, р, xq > 0 и хп = хп_\ + Схп_^ {η Ε Ν). Докажите,
что
а) xn~(Cpn)VP;
б) Хя = (с„п)^(1 + ^1Ш1 + 0(1)).

112
VII. Функции (продолжение)
• УСЛОВИЯ
4.14. Постройте такую положительную на (0, +оо) функцию /, что
последовательность хп = f(xn_\) {η Ε Ν, xq > 0) удовлетворяет
соотношению хп ~ ι—.
" In я
4.15. Найдите асимптотику рекуррентных последовательностей
в следующих случаях (п Ε N, xq > 0):
а) хп =хп-\ +1п(/1 + дс^_1); б) хп =хп-\ +
Inn
4.16. Пусть хо£(_1>2), хп=хп_\{хп_\ — \) (n G N). Найдите
асимптотику последовательности {хп}.
4.17. Пусть х0 = 1, хп = хп_х + ( Σ хк) (л € Ν). Д<
что ;сп ~ у/2 In п.
.окажите,
0^*<и
4.18. Пусть |/?| < 1,х0 = 1,х„ = хп_\ + [ Σ хк) (п е Ν)· Най_
дите асимптотику последовательности {хп\-
4.19. Пусть peR,x0=hxn= хп-\ + ( Σ **) (" Ξ N)· Най~
дите асимптотику последовательности {хп}.
Глава VII
Функции (продолжение)
§ 1. Выпуклость
Функция /: Δ = (я, Ь) —► Ж называется выпуклой {строго выпуклой), если
для всех точек х\, х2 £ Δ, л:ι ^ JC2, и чисел λ\, Xj > 0, λ\ Η- Я2 = 1,
выполняется неравенство
/(Я!*! + Λ2χ2) <Αι/(*ι)+Α2/(*2)
{№\х\ +Я2^2) < λι/(χι) +Я2/(*2)).
Если функция (—/) выпукла, то функция / называется вогнутой.

ЗАДАЧ·
§ 1. Выпуклость
113
1.1. Докажите, что выпуклая на промежутке Δ функция
удовлетворяет неравенству Иенсена f( Σ ^jxj) ^ Σ ^jf(xj) Для всех
хь...,хпеА, АЬ...,Я„ G [0, 1], Αι+...+Απ = 1.
1.2. Пусть функция / задана на промежутке Δ, х\ < χ2 < *з — точ~
ки из Δ. Рассмотрим три хорды, соединяющие пары точек графика /
с абсциссами х\ и χ2, х\ и *з> х2 и *з· Угловые коэффициенты этих
/(*2)-/(*l) /fo)-/(*l) /fob/fo)
хорд суть, соответственно,
. Дока-
Х2-Х\ Х3-Х\ -Ϊ3--Ϊ2
жите, что для выпуклости функции / необходимо и достаточно, чтобы
для любой тройки точек х\ < χ 2 < *з из А выполнялись неравенства
/(*2)-/(*l) < Л*з)-/(*0 < fM-f(*l)
Х2~Х\ "^ ХЪ~Х\ "^ *3~·*2
{лемма о трёх хордах, см. рис. 8).
Проверьте, что это двойное неравенство равносильно тому, что
|1 х\ f{x\)\
1 *2 f(x2)\>0.
|l *ъ /(*з)|
1.3. Пусть функция /, заданная на промежутке Δ, удовлетворяет
неравенству / ί —~— )
^
/(*l)+/fo)
для всех х\,Х2 € Δ. Докажите,
что
а) / удовлетворяет неравенству Иенсена
/( Σ WH Σ Ijttxj). ^^Δ (j=l9...9n)
ч1<;<я 7 Kj^n
для любых рациональных Ay Ε [0, 1], Α ι + ... + λη = 1;
б) если функция / непрерывна, то она выпукла.

114
VII. Функции (продолжение)
• УСЛОВИЯ
1.4. Докажите, что условие непрерывности в задаче 1.3 б) можно
заменить следующим: функция / ограничена сверху на каком-нибудь
непустом интервале (р, q) С Δ (или даже на (р, q) \ Q).
1.5. Докажите, что для функции /: (а,Ь)-+Ш равносильны три
утверждения:
а) / выпукла;
б) надграфик функции /
Г+ = {(х,у)еЖ2\хе(а,Ь), y>f(x)}
— выпуклое множество;
в) через каждую точку графика функции / можно провести опорную
для надграфика прямую (т. е. такую прямую, что все точки надграфика
лежат не ниже неё).
1.6. Докажите, что если функция, заданная на промежутке, выпукла
локально, то она выпукла.
1.7. Пусть / — выпуклая на промежутке [я, Ь] функция. Докажите,
что тогда
а) функция φ(χ) = f(x) + f(a + b - χ) убывает на [я, ^у-];
б) функция ψ (χ) — f(x +h) — f(x) возрастает на [я, b — h] для
любого h e (0, b -a).
1.8. Пусть функция / вогнута на промежутке [0, +оо), /(0) = 0.
Докажите, что для всех лс, у ^ 0 выполняется неравенство
Я*+з0 </(*) +/00.
1.9. Докажите, что если функция / выпукла и строго монотонна,
то /*-1 либо выпукла, либо вогнута.
1.10. Пусть функция / выпукла, а функция g выпукла и возрастает.
Докажите, что если имеет смысл суперпозиция g о f9 то она выпукла.
1.11. Пусть / G С((0, +оо)). Докажите, что тогда функции
χ ν-* xf{x),x ·—^ /(j) выпуклы или нет одновременно.
1.12. Пусть функция / выпукла на [а, +оо). Докажите, что суще-
f(x) —
ствует предел lim ll-L =/Gt, причём / > — оо.
х—*+оо х
1.13. Докажите, что выпуклая функция /, заданная на промежутке
(а9Ь), непрерывна на (а, Ь) и имеет там конечные возрастающие од-

ЗАДАЧ·
§ 1. Выпуклость
115
посторонние производные f'_(x), f+(x)9 a f'(x) существует всюду, за
исключением не более чем счётного множества точек. Докажите, что
/ G Lipj (Δ) для любого замкнутого промежутка Δ С (а, Ь).
1.14. Докажите, что функция / е С((я, Ь)) выпукла тогда и только
тогда, когда для всех χ Ε (α, b) выполняется неравенство
Мл)=1Ш/('+^/('Н/(*-*)>0.
В частности, если Ly(jt) = 0 при всех χ G (α,&), το / — линейная
функция; если / дважды дифференцируема в (а,Ь), то она выпукла
тогда и только тогда, когда /"(*) ^ 0 в (а, Ь).
1.15. Пусть / G С((я, Ь)). Докажите, что для выпуклости функции /
необходимо и достаточно, чтобы для всех χ Ε (я, Ь) и таких /г > 0, что
jc — /г, jc + /г G (а, Ь), выполнялось неравенство
ДГ+/2
x-h
fix)
1.16. Пусть функция / выпукла на R и lim -^г1 = 0. Докажите,
что / постоянна.
Следующая задача часто позволяет при доказательстве тех или иных
утверждений о выпуклых функциях предполагать дополнительно их гладкость
(в частности, так могут быть решены некоторые из предыдущих задач).
1.17. Докажите, что всякая выпуклая на [а,Ь] непрерывная
функция является пределом равномерно сходящейся убывающей
последовательности:
а) кусочно линейных выпуклых функций;
б) дважды непрерывно дифференцируемых выпуклых функций.
1.18. Докажите, что если функция /: [0, +оо) —> К.
дифференцируема, вогнута и неотрицательна, то jc/'(jc) ^ f(x) для всех χ ^ 0.
1.19. Пусть функция / выпукла и возрастает на промежутке
[0,+оо), /(0) = 0. Докажите, что для любых чисел яо^а1^
^ ... ^ ап ^ 0 выполняется неравенство
Σ (-!)*/(«*)>/( Σ (-ΐ)4).

116
VII. Функции (продолжение)
• УСЛОВИЯ
1.20. Последовательность {ап} С R называется выпуклой, если
Δ2αη = ап+2 ~ 2я„+1 + ап ^ 0, т.е. ял+1 ^ \{ап + ап+2) ДЛЯ любого
η G N. Докажите, что если последовательность {я„} выпукла, то
а) а"+Р ^ ikq а"+Р+Я + ~^ап & У β Ν);
б) последовательность {ап} монотонна или существует такой номер
т > 1, что α! ^ а2 ^ ... > ат ^ ят+1 ^ ят+2···
1.21. Пусть {ап}п^о — ограниченная выпуклая последовательность
(см. задачу 1.20). Докажите, что
а) ап I a G R; в) ]Г (/ι + 1)Δ2α„ = д0 - д.
б) αη-αη_χ = ο(£);
L
1.22. Пусть L > 0, / G С([0, L]), / ^ 0. Положим Μ = (f(x) dx,
0
L L
Ιλ = jxf(x)dx9 I2 = jx2f(x)dxy
0 0
71=iJ/2(x)^, 72 = 5 J73(*)<**.
0 0
Докажите, что если функция / вогнута, то
а) iML</,<fML; в) I *£ < Jx < § *£;
б) \ML2^I2<\ML2; г) 1^</2<2^5
причём коэффициенты в этих неравенствах нельзя улучшить.
Все неравенства имеют простой механический смысл. Например,
неравенства а) означают, что среди равновеликих подграфиков
вогнутых функций наименьшим и наибольшим статическими моментами
относительно оси у обладают треугольники, а неравенства г) — что
среди таких фигур наименьший и наибольший моменты инерции
относительно оси χ имеют, соответственно, треугольник и прямоугольник.
1.23. Сохраним обозначения предыдущей задачи, но будем
рассматривать не вогнутые, а выпуклые функции.
а) Докажите, что дроби — и—~ могут принимать любые значения
из интервала (0, 1).

*АДАЧ ·
§ 1. Выпуклость
117
б) Докажите, что при Η = max / > О дроби —— и —^ также могут
принимать любые значения из интервала (0, 1).
Уточните оценку сверху в случае, когда величины Μ и Η
фиксированы.
1.24. Пусть функция / не убывает на [0, |] и f(l—x)=f(x)
на [0, 1]. Докажите, что для любой выпуклой на [0, 1] функции φ
справедливо неравенство
1 1 1
j f(x)<p(x)dx ^ j f(x)dx ^φ(χ)άχ.
О 0 0
1.25. Пусть функции /, g неотрицательны и выпуклы на промежутке
[а9Ь], причём один из концов промежутка — корень обеих функций.
Докажите неравенство
ь ь ъ
ff(x)dxjg(x)dx^l(b-a)jf(x)g(x)dx.
а а а
1.26. Пусть функции / и g неотрицательны и вогнуты на
промежутке [а,Ь]. Докажите неравенство
ь ь ь
j f{*)dx j g{x)dx ^ \{b - a) j f(x) g(x)dx .
a a a
1.27. Пусть 0 < a < b, К — множество всех таких неотрицательных
невозрастающих на промежутке [я, Ь] функций /, что
ь
af(a) = bf(b) и jf(x)dx = l.
а
Докажите, что для любых функций / и g из К справедливо
неравенство
2y/b
Jmax{/W,g(*)}^-|^.
) 1ля каких функций достигается равенство?
1.28. Пусть функция / интегрируема на промежутке [а,Ь]. До-
ь
кажите, что неотрицательность интеграла \f(x)q>(x)dx для любой

118
VII. Функции (продолжение)
• УСЛОВИЯ
выпуклой на [а, Ь] функции φ равносильна тому, что функция /
удовлетворяет трём условиям:
ь
a) jf(x)dx = 0;
б) jxf(x)dx=0;
а
с
в) Г (с — x)f(x)dx ^ 0 для любого с€(а,Ь).
а
1.29. Пусть функция / убывает к нулю на (0, +оо) и а > 0. Докажи-
оо оо
те, что Г f(x) sin ax dx ^ 0, а если / выпукла, то \ f{x) cos αχ <£x ^ 0.
0 0
В обоих случаях знак равенства возможен лишь для / = 0.
1.30. а) Пусть ап, λη ^ 0 (п е Ν), /(дс) = Σ я„£?~я"*. Докажите,
что In / — выпуклая функция на R.
б) Положительная функция / называется логарифмически
выпуклой, если функция In/ выпукла. Докажите, что логарифмически
выпуклая функция выпукла и что сумма логарифмически выпуклых
функций логарифмически выпукла.
в) Докажите, что Г-функция Эйлера логарифмически выпукла
на (0, +оо).
г) Пусть / — логарифмически выпуклое на (0, +оо) решение
функционального уравнения f(x + 1) = xf(x) (x > 0). Докажите, что
f(x) = f(\)T(x) для всех χ > 0.
1.31. Пусть / G С((0, +оо)), /(1) = 1. Докажите, что системе
неравенств
1/W/W > f(xy),
где χ и у — произвольные положительные числа, удовлетворяет лишь
степенная функция /(х) = хр с показателем ρ G [0, 1], а если оба знака
неравенств заменить на знаки ^, то лишь степенная функция с
показателем ρ £ (0, 1). Убедитесь в том, что это не так, если заменить знак
только во втором неравенстве.

*АДАЧ ·
§ 1. Выпуклость
119
1.32. Пусть ay, bj ^ 0, j = 1,..., η; ρ, q > 1, i + A = 1. Докажите
неравенство Гёльдера
1.33. Пусть лсу > 0, j = 1, ..., η, ρ ^ 0. Положим
«)»(1Σ ^)"р.
Докажите, что
а) а: возрастает;
б) limι κ(ρ) = ^ . ..хл;
в) lim х(р) = max{xj,... ,хп}\
р—>+оо
г) lim x(p) =min{x !,...,*„};
ρ—> —оо
д) функция φ(ρ) = (κ{ρ))ρ логарифмически выпукла на промежутке
(0, +оо).
Сформулируйте аналоги этих утверждений, заменив х(р)
выражением ( -г^- I fp(x)dx) , где / — непрерывная положительная на [а, Ь]
а
(функция.
1.34. Пусть кусочно непрерывные на [я, Ь] функции f и ρ удовлетво-
ь
ряют условиям f([a,b]) С [/я, М], ρ ^ О, Гp(x)dx = 1, а функция φ
ныпукла на [/я, М]. Докажите, что
Ь ь
б) ^(J/WpW^)<J^(/W)pW^;
в) если / > 0, то
U
(fj^dx) ^cxpQp(x)lnf(x)dx) < jp(x)f(x)dx.

120
VII. Функции (продолжение)
• УСЛОВИЯ
1.35. Пусть Aq,A\, ... ,Ап — вершины вписанного в окружность
выпуклого многоугольника, причём вершины Aq и Ап фиксированы. Как
при заданном η выбрать точки А\9..., Ап_ь чтобы
а) периметр; б) площадь многоугольника
были наибольшими?
1.36. Источник света, помещённый в точке (0, Ь), Ъ > 0,
освещает область, которая является подграфиком неотрицательной выпуклой
функции feC1 ([0, +оо)), /(0) > Ь. Лучи света отражаются от
графика / и от оси абсцисс по известному закону. Будет ли освещена вся
область, если lim f(x) =0?
*—>·+οο
Пусть / — выпуклая функция, /: R —» R. Преобразованием Лежандра
функции / называется функция
/*(*)= sup(*/-/(0) (*GR).
Величина f*(x) показывает, насколько нужно сместить по вертикали
проходящую через начало координат прямую с угловым коэффициентом х, чтобы
она стала опорной к надграфику функции / (рис. 9).
Рис.9
1.37. Пусть функция /: R. —> (—оо, +оо] выпукла, D(f) —
промежуток {х е R | f(x) < -foo}, а Δ — интервал (inf/'(f), sup/'(i)), где
infimum и supremum вычисляются по множеству тех точек г, в которых
существует f'(t). Докажите, что
а) функция /* выпукла;

ЗАДАЧ·
§ 1. Выпуклость
121
б) если точка t не лежит на границе D(f), то
fit) = sup{g(i) I g — линейная функция, g ζ /} ;
в) (/*)*(*) = /(0> если * не принадлежит границе D(f);
г) выполняется неравенство Юнга
fit)+f*{x)>xt для всех x,teR;
д) функция /* конечна в интервале Δ и для χ G Δ supremum в
определении f*(x) достигается;
е) если s- = f'_{t) < /+(ί) =s+, то /* линейна на промежутке
[я_,$+]; если / линейна на промежутке [а,Ь], то /* не
дифференцируема в точке ρ = f'{t), t G (я, b);
ж) если D(f) — (a,b)9 a / — строго выпуклая и дифференцируемая
в (я, Ь), то /' непрерывна на (а, Ь), /* дифференцируема на интервале
Δ и при этом функции /' и (/*)' взаимно обратны;
з) если / ^ g, то /* ^ g*.
1.38. Докажите, что если функция φ строго возрастает и непрерывна
на [0, +оо), <р(0) = 0, φ = φ-1, то для a G [0, +оо) и Ъ G [0, sup<p)
выполняется неравенство
и υ
ab ζ (<p{t)dt + (ip(t)dt.
0 0
1.39. Найдите преобразование Лежандра и напишите неравенство
Юнга (см. задачу 1.37 г)) для следующих функций:
а) /(0 = 'Г,
б)/(') = *£ 0>>1);
в) график / — выпуклая ломаная;
если г > О,
если t ^ 0;

122
VII. Функции (продолжение)
• УСЛОВИЯ
1.40. Рассмотрим совокупность W пар (/, g) выпуклых на К.
функций, удовлетворяющих условию χ у ^ f(x) +g{y) для всех х, у eR
Назовём пару (/о, £о) € W экстремальной, если из соотношений
/ ^ /о, g ^ #0> (/»gj^W следует, что / = /0, g = g0. Докажите,
что пара (/о> £о) экстремальна тогда и только тогда, когда /q = go,
#0 = /ο-
Ι. 41. Укажите примеры функций, для которых /*(*)=/(—лс)
(jc Ε R). Докажите, что единственной функцией, совпадающей со сво-
2
им преобразованием Лежандра, является функция f(t) = у.
§ 2. Гладкие функции
2.1. Докажите, что если функция / дифференцируема т раз на
интервале (я, Ь) и χ, χ + mh Ε (а, Ь), то
A£/(jc)=ftm/(w)(jc+0A).
где 0 < Θ < т (определение A™f(x) см. в задаче Ш.3.1).
2.2. Пусть функция / дифференцируема η раз на [0, 1] и /^(0) —
— /(*)(1) = 0 для к = 1,..., « — 1. Докажите, что для некоторого
jc G [0, 1] выполняется неравенство
|/(")(х)|>и!2»-Ч/(0)-/(1)|.
2.3. Пусть функция / непрерывна на К. и существуют такие
вещественные числа Я£, ^ь ск 0 ^ ^ ^ и), что
f(x)= Σ akf(bkx +cky) для всех xjGi.
Докажите, что если q Φ 0 для всех к,то f — многочлен.
2.4. Пусть f(x)=Px{x)e^x>>+ ...+Рп{х)е^х\ где Рк, Qk
(к = 1, 2,..., п) — вещественные многочлены, χ е R. Докажите, что
если / ^ 0, то / имеет конечное число нулей.
2.5. Пусть / G С°°([0, оо)), /(0) = lim f(x). Докажите, что для
х—*+оо
каждого η Ε N функция /М обращается в нуль.
2.6. Пусть /GC2((0,1)) и /(jc)=o(1), /"(jc) = 0(*~2) при
χ —► +0. Докажите, что f'(x) = о(х~1) при χ —> +0.

*ЛДАЧ ·
§ 2. Гладкие функции
123
2.7. Пусть Δ — промежуток, / G С2(А), Мк = supA |/W|, it = 0, 1, 2.
а) Докажите, что в случае Δ = К. выполняется неравенство
Af! ^^/2^V^
и что константа у/2 не может быть уменьшена.
б) Получите аналогичное неравенство в случае, когда Δ = R+.
в) Докажите, что если Δ = [0, 2] и Mq, Mj ^ 1, то Μ ι ^2 (оценка
точная).
г) Изучите вопрос для произвольного промежутка Δ = [a,b].
2.8. Пусть / е С2([0, +оо)) и Г \f(x)\dx < +оо. Докажите нера-
0
нснства:
+оо +оо
а) |/(0)|2^2 j \f(x)\dx j \f"(*)\dx;
о о
б) л/2 |/(0)|^ j (\f(x)\ + \f"(x)\)dx.
о
Являются ли они точными?
1
2.9. Найдите min \\f"(x)\2dx при условии, что / G С2([0, 1]),
0
/(0)=/(1)=0,//(0)=а.
2.10. Пусть / G С2([0, 1]), /(0) = /(1) = 0 и \f"{x)\ ζ 1 для всех
* G [0, 1]. Докажите неравенства:
ι
а) I l/C*)l dx ^ jj. Для каких функций достигается равенство?
0
1 1
б) (|/(*)М* < 4^> если I f{x)dx = 0. Можно ли уменьшить пра-
0 0
ную часть?
2.11. Пусть / G C°°([a9 b]), f ψ 0. Докажите, что если функция /
обращается в нуль на некотором непустом интервале, то
sup|/W(;c)| =+оо.
Существует ли такая точка х, что sup |/^(x)| = +оо?

124
VII. Функции (продолжение)
• УСЛОВИЯ
2.12. Пусть / G С°°([я, Ь]). Докажите, что если последовательность
производных {/' ч*)}л^о ограничена в каждой точке χ G [я, b], то она
равномерно ограничена: |/^(*)| ^ С, где С не зависит от η и х.
2.13. Пусть f еС°°([ауЬ]) и всюду на [а,Ь] существует
конечный предел φ(χ) =limf(n\x). Докажите, что функция φ имеет вид
φ(χ) = const · ех.
2.14. Докажите, что если в каждой точке вещественной оси хотя бы
одна из производных бесконечно дифференцируемой функции
обращается в нуль, то эта функция есть многочлен.
2.15. Докажите, что любая функция вида
бесконечно дифференцируема на К. и что за счёт надлежащего выбора
чисел сп можно добиться, чтобы все её производные в точке χ = О
имели любые наперёд заданные значения (теорема Бореля).
2.16. Пусть а = (а \,..., ап) G Кл, / G C°°(R"). Докажите, что если
f(a)=0,Tof можно представить в виде
/(*)= Σ (xj-aj)gj(x)> * = (*!,...,*„) еМ",
где gJ G C°°(R"), gJ(a) = ^(а) (j = l,...9 n).
2.17. Пусть a G Rn и F — отображение множества C°°(Rn) в R,
удовлетворяющее трём условиям (/, g G С°°(М'г)):
VF(f+g) = F(f)+F{g);
2)F(af) = aF(f) (α е R);
l)F(fg)=F(f)g(a) + f(a)F(g).
Докажите, что F(f)= Σ c7 a~ (α) Д·1151 некоторых с ι,..., cn G R.
\<j<n Xj
2.18. Пусть f,g — неотрицательные непрерывные функции,
заданные на [0, -foo). Докажите, что если для некоторого числа С ^ О
выполняется неравенство
t
f(t)^C+(f(x)g(x)dx для всех t ^ О,
О

то
t
f(t) ^ Cexpi Г g(x)dxJ для всех ί)0
О
(неравенство Гронуолла).
Выведите отсюда, что если функция h Ε С1 ([0, оо)) и число Μ ^ О
таковы, что Л(0) = 0 и |Л'(г)| ζ M\h(t)\ при t ^ 0, то h = 0.
Функция /: Еп —> С называется положительно определённой, если
Σ f{tj-tk)zjzk>0 (1)
для любых векторов t\,..., rm Ε Εη, ζ ι, .. ·, Zm Ε С и любого m Ε N.
Функция / называется условно положительно определённой, если
неравенство (1) выполняется при дополнительном условии ζ \ + ... + Zm = 0.
2.19. Пусть α Ε Μ", А, В Ε R. Докажите, что
а) функция /(i) = e*(fl'r) (t Ε Μ") — положительно определённая;
б) функция /(г) = A cos(a ,t) +В (t £ Μ"), где А > 0, — условно
положительно определённая.
2.20. Докажите, что если μ — конечная мера в R", то функция
/(f) = J" <?-'■(*·') 4ф) (геКи)
(преобразование Фурье меры μ) положительно определена.
2.21. Докажите, что положительно определены функции
f(t)=e-\'\ и £(0 = -^ (f€R).
2.22. Докажите, что
а) функция /(ί) = — ||ί||2 (t еШ.п) — условно положительно
определённая;
б) при 0 < ρ < 2 функции f(t) = -\\t\\p (t Ε Ш.п) условно
положительно определены.
2.23. Докажите, что если функция /: Ш.п —> С положительно
определена, то
а) / положительно определена;
б) / ограничена;
в) из непрерывности в нуле следует равномерная непрерывность /.

126
VII. Функции (продолжение)
• УСЛОВИЯ
2.24. Докажите, что если функция/(0 =<?**(') положительно
определена при всех s > 0, то функция φ: Ш.п —> С является условно
положительно определенной.
Пусть Δ = [a,b], f G С3(Δ), /'(jc) ф О (jc G Δ). Производная Шварца
(шварциан) Sf функции / определяется формулой
8ί(χ)-Ά-ΐ(Π2Ϊ\ - —
(AT))
2.25. Проверьте, что для вещественных функций /, g,
удовлетворяющих перечисленным выше условиям, справедливы утверждения:
а) если суперпозиция fog определена, то
S(fog) (χ) = Sf(g(x))(g'(x))2+Sg(x);
б) если h(x) = а*Л и суперпозиция hof определена, то
S(hof)=Sf;
в) если Sf < О на Δ и /(Δ) С Δ, то для любого η G N также
S(fn) < О на Δ, где fn = f о ... о f (n раз);
г) если Sf(x) < О, то S(f~l)(y) > 0 в точке у = /(jc);
д) для того чтобы выполнялось неравенство Sf(x) < О (jc G Δ),
необходимо и достаточно, чтобы функция φ = \f'\~^2 была
выпуклой;
е) если Sf(x) < О для всех jc G Δ, то функция \f'\ не имеет строго
положительного локального минимума в (а,Ь) (принцип минимума
модуля).
Почему важна именно отрицательность (а не положительность)
шварциана, можно узнать из задач Х.1.38-41.
2.26. а) Проверьте, что функции f(x) = sinjc, f(x) = arctgjc,
f(x) = xe~x, f(x) = e x , /(jc) = Axz + Bx + С удовлетворяют
условию Sf(x) < О, если f'(x) ф О, а функции f(x) =x + jc3, /(jc) = tgjc,
/(jc) = ctgjc — нет (χ, A,B,Ce R).
б) Проверьте, что любой многочлен / степени η ^ 2, все нули
которого вещественны, удовлетворяет условию Sf(x) < О, если /'(jc) фО.
2.27. Пусть /?(u7,*,3>,z) = ^Z^I^\ (w> х,У, ζ — попарно
различные числа). Докажите, что если / G С1 (А), /' кусочно монотонна

ЗАДАЧ·
§ 2. Гладкие функции
127
и для любых точек х\ < xj < х?> < *4> принадлежащих одному
интервалу монотонности функции /, выполняется неравенство
Я(Я*1), Д*2)> Д*3)> Д*4)) > Д(*1,*2»*3»*4)»
то функция \ff\ не имеет строго положительного локального
минимума во внутренних точках промежутка Δ.
§ 3. Многочлены Бернштейна
3.1. Пусть η е Ν, г = 0, 1, 2,... Для χ еШ положим
SnA*)= Σ Cknxk(l-x)n-k(k-nx)r.
О^к^п
Докажите, что
а) Sn9r+l(x)=x(l-x)(S'nAx)+nrSntr-l{x))9 r e N;
б) SntQ(x) = l; SnJ(x)=0; Sn^) =nx(l - χ);
SnA*)=nx{l-x)(l-2x);
SnA(x) =пх{1 — jc)(1 + 3(w — 2)jc(1 -jc)).
3.2. Пусть η e Ν, δ > 0. Для jc G [0, 1] положим
*ηΑ*)= Σ c***(i-*)»-*.
O^k^n
\k/n-x\>8
Докажите, что
a) σηΑχ) < ^ B) σηΑχ) ^j^e~
6) σηΑχ) < -1-
454n2'
Пусть и e Ν, /: [0, 1] —> IR. Многочлен
**(/.*) = Σ cS/(|)x*(i-x)"-*
назьгоается многочленом Бернштейна функции /.
3.3. Найдите многочлены Бернштейна следующих функций:
а) fm(x) =хт, т = 0, 1, 2; б) /(*) = я*, а > 0.
3.4. Пусть функция / определена на промежутке [0, 1], η G N.
Докажите, что
а)М/,0)=/(0)иВй(/,1)=/(1);
б) #„(/2, х) ^ #2(/, jc) для всех χ е [0, 1].

128
VII. Функции (продолжение)
• УСЛОВИЯ
3.5. Докажите, что
а) если функция / возрастает (убывает) на промежутке [0, 1], то
многочлен Бернштейна Bn(f) возрастает (убывает) на [0, 1];
б) если функция / выпукла (вогнута) на [0, 1], то Bn(f) —
выпуклый (вогнутый) на [0, 1] многочлен.
3.6. Пусть функция / определена и ограничена сверху на
промежутке [0, 1]. Докажите, что
а) Bn(f,x) < sup/ для всех η Ε N и χ £ [О, 1];
[ОЛ]
б) если интервал Δ содержится в промежутке [0, 1], то
lim Bn(fy χ) ^ sup/ для всех χ Ε Δ;
П—*+00 д
в) если интервалы Δ и Δ' таковы, что Δ С Δ' С [0, 1] и sup / < sup/,
Δ'\Δ Δ
то можно указать столь большой номер N = N(f9 Δ, Δ'), что
Bn(f, χ) < sup f для всех χ Ε Δ и η > Ν.
Δ
3.7. Пусть функции / и g ограничены на промежутке [0, 1] и
совпадают в окрестности точки xq ε [0, 1]. Докажите, что
последовательности {£„(/, лсо)} и {Bn(g,xo)} сходятся или расходятся одновременно
и в случае сходимости имеют общий предел.
3.8. Пусть функция / ограничена на промежутке [0, 1]. Докажите,
что
а) если / непрерывна в точке xq ε [0, 1], то Bn(f, xq) —> Я*о);
б) если / непрерывна в каждой точке замкнутого промежутка Δ,
Δ с [0,1], то *„(/)=*/на Δ;
в) если xq Ε (0, 1) — точка разрыва первого рода функции /, то
Bn(f,хо) - \(/(*о + 0) + /(*о - 0)) ·
3.9. Пусть / Ε С([0, 1]). Докажите, что
ι
а) если Г f(x)xndx = 0 для η = 0, 1, 2, ..., то / = 0;
0
1
б) если Г f(x)(xn+l(l —x)2)ndx = 0 для всех η Ε Ν, то / — ли-
0
нейная функция.

ЗАДАЧ · § 3. Многочлены Бернштейна 129
1
3.10. Пусть / G С([0, 1]) и Г f(x)g"(x)dx = О для любой функции
О
# G С2 ([0, 1]), равной нулю в окрестностях точек 0 и 1. Докажите, что
/ — линейная функция.
3.11. Пусть / G С([0, л]) и ε > 0. Докажите, что существует
такой тригонометрический многочлен Τ вида T(t) = Σ α η cos nt, что
|/(/) - Γ(ί)| < ε для всех / G [0, я].
3.12. а) Пусть / G C([0, l]2). Для «gNhxjgR положим
Яп(/,*,зО = Σ C*clf&i)xkyJ(l-x)n-k(l-y)»-J.
O^k^n
Докажите, что SBn{f) =3 / на [0, l]2 при η —> -foo.
б) Пусть / G С([0, л]2) и ε > 0. Докажите, что существует такой
тригонометрический многочлен Τ вида
T(u,v)= Σ akj cosku cos jv ,
что |/(и, ν) - Τ (и, υ)\ < ε для всех и, υ е [0, π].
3.13. Пусть / G С([0, 1]). Докажите, что д£г)(/) =3 /(г) на [0, 1].
3.14. а) Пусть / G Lipa[0, 1]. Докажите, что для всех n G N
и χ G [0, 1] справедливо неравенство
\Bn(f,x)-f(x)\^M{^)a/2,
где Μ — некоторая положительная постоянная, зависящая только от
функции /.
б) Пусть a G (0, 1] и fa{x) = \х - \\а· Докажите, что для всех
η G N справедливо неравенство
\Bn{fa,\)-fam>\n-"i\
3.15. а) Пусть функция / выпукла на промежутке [0, 1]. Докажите,
что Bn(f, x) I f(x) для всех х G [0, 1].
б) Пусть / G С([0, 1]) и Bn(f, χ) ^ f(x) для всех η G N и χ G [0, 1].
Докажите, что / выпукла на [0, 1].

130
VII. Функции (продолжение)
• УСЛОВИЯ
3.16. Пусть / G С2([0, 1]). Докажите, что
Bn(f, χ) - f{x) = ί££0 (/"(*) + ε„(χ)),
где последовательность функций {εη} равномерно на [0, 1] сходится
к нулю (формула Е. В. Вороновской).
3.17. Пусть / G С([0, 1]), g e С2([0, 1]) и функция g равна нулю вне
интервала (а,Ь), где 0 < а < Ъ < 1. Докажите, что
Σ [вп(/, *)-/(£)>(£) -\)тπι -хш)и<ь.
3.18. Докажите, что функция / [0, 1] —> К. линейна, если
sup \Вп(/,х)-/(х)\=о(±).
3.19. Пусть / G С([0, 1]). Докажите, что целочисленность /(0)
и /(1) равносильна тому, что функция / является пределом
равномерно сходящейся на [0, 1] последовательности алгебраических
многочленов с целыми коэффициентами.
3.20. Пусть функция / определена на промежутке [0, 1]. Докажите,
что
Ba(f,x)=f(0)+ Σ хкСкпА"к/(0),
ще A1f(y) = f{y + ^)-f(y), A»+lf(y)=A"i(A"kf(y)), к е N.
В частности, если / — многочлен, то степень Bn(f) не превосходит
степени /.
3.21. Пусть f(x) = хт (х е R), т = 0, 1, 2, ... Докажите, что
а) Bn(f) =3 / на любом конечном промежутке;
б) \Bn(f, х)\ ^ тах(1, \х\т) при любом χ е R.
3.22. Пусть f(x) = Σ стхт для χ е (-Д, Д), где R > 1.
Докати ^0
жите, что
а) #л(/) =4 / на любом промежутке [-г, г], если 0 < г < 7?;
б) если ст ^ 0 для любого /я, то #л(/) ^ / на [0, 1] и Вn(f) ^ /
на [1,/?).
3.23. а) Докажите, что при фиксированном η G N многочлены
лс*(1 - х)'1-*, & = 0, 1,..., п, образуют базис в пространстве
многочленов, степень которых не превышает п.

*АДАЧ·
§ 3. Многочлены Бернштейна
131
б) Докажите, что коэффициенты а \ разложения многочлена Ρ
степени т по таким базисам при п^ т, образующие таблицу
а0 ах ат~1 ат
О 1 т /я+1
ат+\ ат+\ ат+\ ат+\
а0 а1 ап~х
удовлетворяют равенствам
α°„+1=α°η· <t\=<- °кп+1 =ап~1+ап (* = 1.2,...,и)
(сравните с равенствами для биномиальных коэффициентов С*).
в) Докажите, что условие Р(х) > 0 при jc Ε (0, 1) необходимо и
достаточно для того, чтобы при достаточно большом η числа я*,
к = О, 1,..., п, не обращались одновременно в нуль и были
неотрицательны.
§ 4. Почти периодические функции и последовательности
Будем писать χ = у, если \х — у\ < ε, и χ = у (modi), если существует
такое целое число к, что \х — у — к\ < ε.
Множество X С Ε назовем относительно плотным, если существует
такое число L > О, что в каждом промежутке длины L найдётся хотя бы одно
число из X.
Вещественные числа Х\, ..., Xk называются линейно независимыми над
полем Q (или рационально независимыми), если линейная
комбинация т\Х\+ ...+ т^Хк с целыми коэффициентами т\у ..., т^ обращается
в нуль лишь при т\ = ... = mjc = 0. Будем говорить, что Х\у..., Я^
линейно независимы над Q по модулю 1, если из условий т\> ..., т* £ Z,
Σ щХ% £ Ζ следует, что т\ — ... — т^ = 0 (это также означает, что рас-
ширенный набор Х\у..., Я*, 1 линейно независим над Q).
4.1. Докажите, что если Я — иррациональное число, то для любых
а е [0, 1) и ε > 0 найдётся такое «gZ, что пА = α (modi).
Проверьте, что множество таких η относительно плотно на прямой (сравните
с задачей 1.3.2).

132
VII. Функции (продолжение)
• УСЛОВИЯ
4.2. а) Докажите, что если Aj, λ2 φ О и отношение λ\/λ2
иррационально, то для любых а\, Я2 Ε [0, 1) и ε > О найдётся такое t Ε Μ,
что
λ\ί = aj(modl), λ2ί = ci2{modl). (1)
Обратно, если система (1) разрешима относительно t при любых а \,
а2, ε, то частное λ\/λ2 иррационально.
б) Докажите, что если λ\ и λ2 независимы над Q по модулю 1, то
существует относительно плотное на прямой множество целых решений
системы (1).
4.3. Какому условию должны удовлетворять вещественные числа
Αι, ..., А#, чтобы при любом ε > О система уравнений
λ;ί = 0(modl), j = 1,2,... Д,
имела решение t, удовлетворяющее условию \t\ > |Ау|-1 для
некоторого у?
4.4. Какому условию должны удовлетворять вещественные числа
λ\,..., А#, чтобы для любых я j, ..., я# Ε [0, 1) и ε > О система
уравнений
Ayr = ay(modl), у = 1, 2,... Д,
имела
а) вещественное решение t\
б) относительно плотное множество решений?
4.5. Какому условию должны удовлетворять вещественные числа
λ\, ..., А#, чтобы для любых α \, ..., α^ Ε [0, 1) и ε > 0 система
уравнений
Xjrn = ay (modi), j' = 1, 2, ... Д ,
имела
а) целое решение /я;
б) относительно плотное множество целых решений?
4.6. Пусть f{x)= sin(ax + b) + sin(cx + d), χ € Μ, причём ас φ 0.
Докажите, что если функция / не равна тождественно нулю, то она
принимает значения разных знаков.
Определённая на R комплекснозначная функция / называется равномерно
почти периодической (р. п. п.), если для любого ε > 0 существует такое

ЗАДАЧ · § 4. Почти периодические функции и последовательности 133
число L = L(e) > О, что в каждом интервале длины L найдётся по крайней
мере одно число τ {ε-почти период), для которого
\f(x + T)—f(x)\<e при всех* eR.
4.7. Докажите, что каждый квазитригонометрический многочлен
/(*)= Σ *keikkX (Я* GR, акеС)
обладает свойством равномерной почти периодичности. Проверьте,
что многочлен / периодичен тогда и только тогда, когда множители
Я],..., Ял попарно соизмеримы (т.е. их отношения рациональны).
4.8. Пусть / € С(МЛ) — функция, имеющая период 1 по
каждому аргументу, а\,..., ап eR — линейно независимые над Q числа,
β\, ..., βη е R. Докажите, что функция
Ф(0 = f{<*\* ~ βΐ> · · ·. <Ы - βη), t e R,
равномерно почти периодична.
4.9. Докажите, что если / — непрерывная р. п. п. функция и её
ε-почти периоды ограничены при малых ε, то / периодична.
4.10. Докажите, что р. п. п. непрерывная на R функция равномерно
непрерывна на прямой и ограничена. Существуют ли неограниченные
непериодические р. п. п. функции? Следует ли непрерывность из
ограниченности?
4.11. Докажите, что предел равномерно сходящейся на R
последовательности р. п. п. функций — р. п. п. функция.
4.12. Докажите, что если у р. п. п. функции производная существует
и равномерно непрерывна, то она также является р. п. п. функцией.
4.13. Докажите, что если первообразная F непрерывной р. п. п.
функции / ограничена, то она также является р. п. п. функцией.
4.14. Пусть / е C(R), heR, fh(x) = f(x + К). Докажите, что
функция / обладает свойством р. п. п. тогда и только тогда, когда для
каждой числовой последовательности {hn} из последовательности {fhn}
можно выбрать равномерно сходящуюся на R подпоследовательность
(компактность семейства сдвигов).
4.15. Докажите, что сумма и произведение непрерывных р. п. п.
функций — снова р. п. п. функция.

134
VII. Функции (продолжение)
• УСЛОВИЯ
4.16. Докажите, что для каждой р. п. п. функции / существует
среднее значение
τ
M(f)= ton ^ i f(x)dx.
Τ—>·+οο Δ1 J
-Τ
4.17. Пусть (ftg) =M(fg)9 где f,g — непрерывные р.п.п.
функции, а функционал Μ определён в предыдущей задаче. Докажите, что
а) (/»#) обладает свойствами скалярного произведения (в
частности, (/, /) =0 тогда и только тогда, когда / = 0);
б) функции φχ(χ) = elXx, λ Ε К, образуют несчётное семейство,
ортогональное относительно этого скалярного произведения;
в) величины сх = Μ(/ψχ) при попарно различных вещественных
числах λ\, ..., λη удовлетворяют неравенству
Σ кя*12<м(|/|2)
(неравенство Бесселя для системы {ψχ}). Выведите отсюда, что с χ Φ 0
лишь для не более чем счётного множества значений Я. Может ли это
множество быть произвольным счётным подмножеством М?
4.18. Пусть {ап}, ап Ε {0, 1, 2}, — непериодическая
последовательность. Последовательности {Ьп} и {сп} определим следующим
образом:
(0, еслия„ = 0, |1, если ап = 2,
Сп= \
1, если ап ф0; 10, если апф 2.
Докажите, что хотя бы одна из последовательностей {Ьп}, {сп}
непериодична.
Назовём двоичную последовательность ε = {ε^} почти периодической,
если для любого содержащегося в ней «слова» (ε*+ι> · · ·» £*+/) — будем
также писать fy+ity+2 · · · £k+i — существует такое число L £ N, что
множество
{и G N | εη+] = €k+j9 ; = 1,...,/}
пересекается со всеми отрезками натурального ряда длины L. Аналогично
определяется почти периодичность для двусторонних последовательностей.
4.19. Пусть {fy}*eZ — почти периодическая последовательность,
f(x)= ε\χ\ (χ G Μ, [χ] — целая часть числа χ). Является ли / р.п.п.
функцией?

ЗАДАЧ · § 4. Почти периодические функции и последовательности 135
4.20. Верно ли, что для всякой почти периодической
последовательности {е^кеъ существует предел чезаровских средних
lim
-пСкСп
4.21. Пусть к > 0 —
иррациональное число, S = {(ху у) | кх ^ у <
<k(x + l) + l} — полоса в R2,
а Σ = S Π Ι? — множество целых
точек в S. Проверьте, что
ортогональные проекции точек из Σ на
сторону полосы (рис. 10) разбивают её
на отрезки, длины которых
принимают лишь два значения: а и Ъ.
Перенумеровав отрезки целыми числами
в порядке их расположения на
прямой, положим £; = 0, если /-й
отрезок имеет длину я, и ε,· = 1 в
противном случае. Докажите, что
последовательность {ci}ie% почти
периодична.
4.22. Рассмотрим последовательность Морса
e = {Cjj=0 110100110010110...,
определяемую равенствами ε\ = 0, ε2 — 1, ε* = 1 - ε^_2η при
2η < к ^ 2Π+1 (η Ε Ν). Докажите, что она почти периодична.
4.23. Пусть для конечной последовательности («слова»)
А = ε\ε2.. -εη
из нулей и единиц А0 означает А, А1 = Έ\ε2... εη, где ε* = 1 - ε*.
Определим последовательность ε, задавая её начальные отрезки Ар,
которые определяются рекуррентно: Aq — любое слово, Aq = ε\ε2 ... ε„,
Рис.10
— А А& А&
ξι
Ας/
где 4ι ... 4/
л\ — ΛοΛο ло
некоторое слово из нулей и единиц,
Αη=ΑΛΑψΑψ...ΑΤ*9 q*e{0, 1},
^2 _Λ1Λ1 ~1
и т.д. Таким образом, Aq служит началом Αι, Αι — началом А2 и т.д.
Бесконечная последовательность {Ар} определяет некоторую
последовательность ε. Докажите, что она периодична или почти периодична.

136
VII. Функции (продолжение)
• УСЛОВИЯ
4.24. Последовательностью складок называется
последовательность s = {sn} нулей и единиц, начальные отрезки которой Ап длины
2k - 1 (k = 2п) имеют вид
*ι*2···**-ι****-ι ■•■*ι (гДе Jj = 1 ~sj)·
Название последовательности объясняется тем, что со словом Ап
можно связать последовательность складок бумажной полоски,
образующихся на ней в результате (п -f1 )-кратного ее сгибания (сначала
пополам, потом еще раз пополам и т.д.). Если, двигаясь по полоске,
каждой складке, приводящей к повороту налево, поставить в
соответствие единицу, а складке «поворот направо» — нуль, то получится Ап
(рис. 11). Последовательность однозначно определяется заданием
чисел 52", η = О, 1, 2,...
Докажите, что всякая последовательность складок почти
периодична, но не периодична, даже если ограничиться членами со сколь угодно
большими номерами.
4.25. Докажите, что последовательности складок (см. задачу 4.24)
обладают следующим свойством (почти периодичность по Безико-
вичу): для каждого ε > 0 найдутся такое число L > 0 и такие числа
тт е N (т е Ν), что
а) если ν(Δ) — число тех тт, которые попадают в интервал Δ С R+,
то ν(Δι) < 2ν(Δ2) для всех интервалов Δΐ5 Δ2 длины L;
б) lim \ Σ \sj+rm ~ sj\ < ε Для каждого т G Ν;

ЗАДАЧ · § 4. Почти периодические функции и последовательности 137
в) !™ !™ Έβ Σ Σ \sj+rm ~5j\< ε.
n p U^/2 l^m^p
4.26. Докажите, что если хп = (—l)Sn, «eN, где {sn} —
последовательность складок, то при любом t e R существует предел
(«коэффициент Фурье»), причём
ct = -ι(-1)1^Γ7τχ2'"> если ί = Ψ^^ т>0,
и ct = 0 в остальных случаях. Убедитесь в том, что справедливо
«равенство Парсеваля»
и< Σ Μ2= Σ id2.
4.27. Рассмотрим двоичную последовательность
{гп}= 000100100001 1101000100 101 1100010...
(последовательность Рудина—Шапиро), у которой начальные
отрезки Ап длины 2п имеют вид Ап = CnDn, где Сп и Dn — слова длины
2Л~1, причем А\ =C\D\ = 00, а при η > 1 слова Ап, Сп, Dn
определяются рекуррентно:
С п = Ал_ь D* = Cn-iD\_v An = CnDn
(D^_j получается из Dn_\ заменой 0 <-► 1). Докажите почти
периодичность этой последовательности.
Заметим, что последовательность {(—1)г"} является
последовательностью коэффициентов многочленов Рудина- Шапиро (см.
задачу IX.4.25).
Глава VIII
Мера и интеграл Лебега
В этой главе слово «мера» означает меру Лебега в Шт или на сфере
sm-\ _ ^χ G r«JЦлН = i}. Мера Лебега в Em обозначается символом Aw,
а при т = 1 — буквой Я.

138
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УСЛОВИЯ
§ 1. Мера Лебега
N
1.1. Пусть Ек С (0, 1) {к = 1, 2,..., ΛΓ), Σ *(Ek) > Ν - 1. Докажи-
к=\
те, что Ν
А( П Я*) > 0.
1.2. Пусть £ с 51, ζ ь ..., ζν £ 51, μ — мера Лебега на S1 («длина
дуги»). Докажите, что если
/i(£)> 2ir(l-i),
то повёрнутое надлежащим образом множество Ε содержит все
точки ζ\,..., ζν, те· найдётся такая точка ζο £ 51, что zq££ £ £ ПРИ
А: = 1 7V.
1.3. а) Докажите, что если Ε с Rm, λτη{Ε) > 1, то найдутся две
(различные) точки х', хп е £, у которых разности соответствующих
координат суть целые числа.
б) Пусть V С Ш™ — выпуклое центрально симметричное
относительно нуля множество, AW(V) > 2m. Докажите, что V содержит точку
а ф 0 с целыми координатами.
в) Пусть V С Ш71 — выпуклое центрально симметричное
относительно нуля множество, Xm(V) > N2m, N — некоторое натуральное
число. Докажите, что V содержит по крайней мере 2Ν отличных от
нуля точек с целыми координатами.
1.4. Какова мера множества тех точек из интервала (0, 1), у которых
при разложении в десятичную дробь
а) на заданном месте стоит цифра 4;
б) стоящая на заданном месте цифра — простое число;
в) на двух заданных местах стоят заданные цифры;
г) на двух заданных местах стоят цифры разной чётности?
1.5. Какова мера множества чисел из интервала (0, 1), в десятичной
записи которых присутствует цифра 0?
1.6. Пусть Ек С (0, 1) (к € N). Верно ли, что существует такая
подпоследовательность {£*.}, что А(р)££ ) > 0, если выполнено одно из
j
условий:
а) ШХ(Ек) = 1; б) ИщА(£*) > \ ?

ЗАДАЧ·
§ 1. Мера Лебега
139
1.7. Пусть 0£ > О, Σ ^к < +°°· Рассмотрим множество
Г I неравенство \х - £ I < -f (ρ G Z, oGN)!
A= Ье(0, 1) * * l·
I I имеет бесконечно много решений J
Докажите, что λ(Α) = 0. В частности, если г > 2, то для почти каждого
χ G R найдётся такое число сх > 0, что \х - ^ | ^ ^ для всех ρ G Ζ,
</gn.
1.8. Пусть 0 < 0 < 1, Ε cRm, 0 < Аш(£) < оо. Докажите, что
найдётся такой куб Δ, что 6Лт(А) < λιη(Ε Π Δ).
1.9. Пусть Ε с Μ, £с = R \ E, Et = {t + χ \ χ G Ε} — сдвиг
множества Ε. Докажите, что если λ(Ε) > 0 и А(£с) > 0, то А(£, Π Ес) > 0
при некотором t G Μ.
1.10. Пусть Ε, Eq С Μ — произвольные измеримые множества
положительной меры. Докажите, что
а) точка 0 — внутренняя для множества
Ε — Ε = {χ — у \х,у G Ε} ;
б) в Ε найдутся две (различные) точки, расстояние между которыми
рационально;
в) множества
Е + Е0 = {х+у\хеЕу у G Е0} и Ε · Е0 = {ху \ χ G £, у G Е0}
имеют внутренние точки.
1.11. Пусть £сМ, λ(Ε) > 0. Докажите, что если ^ (х +;у) G £ для
любых точек х, у G £, то Ε — промежуток (сравните с задачей 1.1.21).
1.12. Найдите лебегову меру ортогональной проекции декартова
квадрата канторова множества на произвольную прямую.
1.13. Пусть ν = {щ} — строго возрастающая последовательность
натуральных чисел и Εν = < Σ £к^~Пк \ £к — 0 или 1 \ (см·
задачу 1.1.34).
а) В каком случае λ(Εν) = 0?
б) Докажите, что если \\m(nk+i - щ) ^ 2 + log2 m (m G N), то
множество £(ш) = Εν + Εν + ... + Ev (m слагаемых) имеет меру нуль.

в) Пусть
Η = { ]Г rkxk Ι η G Ν, rk G Q, jc* G £v, * = 1,..., η j .
Докажите, что если \im(nk+i - щ) = -foo, το λ(Η) = 0.
1.14. Пусть Ε = \Σ Τϊ \ ек =® или 1 г· Докажите, что Ε — одно-
родное обобщённое канторово множество нулевой меры (см.
определение перед задачей 1.1.29). Какова его определяющая
последовательность {/л}«^о? Верно ли, что мера множества Ε -f Ε -f ... -f Ε (m
слагаемых) равна нулю при любом т G N?
1.15. Докажите, что обобщённое канторово множество с
постоянным отношением (см. определение перед задачей 1.1.29) имеет
нулевую меру.
1.16. Постройте однородное обобщённое канторово множество
Ε с [0, 1] положительной меры. Покажите, что она может быть сколь
угодно близкой к единице.
1.17. Докажите существование такого множества А с [0, 1], что
λ(Α Π Δ) > 0 и λ(Α\Α) > 0 для любого (непустого) интервала
Δ С (0,1).
1.18. Пусть АсМ2 — выпуклое компактное множество, Αε —
ε-окрестность множества А, т.е. множество (J В(х, е). Докажите, что
.VGA
Α2(Λε) = а + be -f се2, и найдите коэффициенты я, Ь, с.
1.19. Пусть А, В — выпуклые компактные множества в R3, причём
А С В. Докажите, что площадь границы множества А не больше
площади границы множества В.
1.20. Докажите, что всякое (непустое) открытое подмножество
пространства Rm может быть представлено в виде объединения
последовательности попарно непересекающихся шаров и множества нулевой
меры.
1.21. Докажите, что объединение произвольного (даже несчётного)
семейства невырожденных сегментов измеримо.
1.22. Пусть {Еп} — последовательность попарно конгруэнтных
подмножеств множества 51, удовлетворяющая условиям (см. зада-

чу 1.1.20):
Sl = (J ЕПу En Π Em = 0 при η φ т (η, m G Ν).
л^1
Докажите, что множества £п не могут быть измеримыми.
1.23. Под сдвигом на Θ по модулю 1 будем понимать отображение
χ н-► {х + 0}, χ G [0, 1), где {у} — дробная часть числа у. Заменяя
поворот окружности на угол 2πθ сдвигом на θ по модулю 1, постройте
по аналогии с задачами 1.1.20 и VIII. 1.22 неизмеримое подмножество
промежутка [0, 1).
1.24. Используя результат задачи 1.23, покажите, что множество
Ε с М, имеющее положительную меру, содержит неизмеримое
подмножество.
1.25. Пусть 21 — система подмножеств множества Ν,
удовлетворяющая условиям *) :
1) если card (А) = card(N\A) = оо, то А Е 21 тогда и только тогда,
когда Ν\Λ ί 21;
2) если А G 21, С С N, card(C) <оо, toAUCg21h A\C Ε 21.
Докажите, что множество Ε = {]ζ 2~* | A G 21} неизмеримо.
1.26. Будем говорить, что множество £cMw порождает паркет,
если его сдвиги на всевозможные векторы с целочисленными
координатами покрывают Ш.т и не налегают друг на друга, т. е.
R>" = у (/ + £), (/ + £) П (/' + £) = 0 при / φ V (/, /' G Ζ"1).
Докажите, что мера измеримого множества, порождающего паркет,
равна единице.
1.27. Пусть Ε с Жт, ληι{Ε) > 0, А — счётное плотное в Rm
множество. Докажите, что AW(MW\ (J (a + Ε)) = 0.
αΕΛ
1.28. Имеется последовательность /w-мерных шаров, радиусы
которых стремятся к нулю, а суммарный объём бесконечен. Докажите, что
в кубе можно так разместить конечное число этих шаров, что они
заполнят 99 % его объёма.
*) Существование такой системы множеств можно доказать с помощью леммы Цор-
на, см., например, с. 55 в [Ке].

142
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УСЛОВИЯ
1.29. Докажите, что если содержащиеся в квадрате попарно
непересекающиеся круги покрывают его с точностью до множества меры
нуль, то сумма длин граничных окружностей бесконечна.
1.30. а) Приведите пример такой последовательности открытых
множеств Gn С (0, 1) (we N), что
A(G„) = \, X(Gn DGk) = ^ при всех к, η G Ν, к φ η.
б) Пусть Αη С R, λ(Αη) ^ ^ при любых «eN, причём хотя бы одно
неравенство строгое. Докажите, что если X(Anr\Afc) ^ | при к φ η
(*, η G Ν), το A((JA„) > 1.
η
§ 2. Измеримые функции
Символом 5?°(Е) мы обозначаем множество всех измеримых по Лебегу
почти везде конечных функций, определённых на измеримом множестве
Ε С Ет. Две функции из 5? (Ε) называются эквивалентными на множестве
Ео С Е, если они совпадают почти везде на Е0. Символом %д обозначается
характеристическая функция множества А С Шт.
2.1. Пусть / — произвольная (не обязательно измеримая) функция,
заданная и почти везде конечная на произвольном множестве Ε с Жт.
Докажите, что при любом ε > О
а) функция χ »—> g(x) = sup{/(y)|y G Ε, \\χ — у \\ < ε} есть сужение
на Е некоторой функции, измеримой на Жт (возможно, принимающей
и бесконечные значения);
б) при т = 1 функция
х t-*h(x) = sup{f(y)\y g£H(jc,jc + £:)}
есть сужение на Ε некоторой функции, измеримой на R.
2.2. Пусть / — произвольная определённая на Ш. функция с
конечными значениями. Докажите, что
а) функция /', где
у—* χ У х
измерима;
б) множество точек, в которых функция / имеет производную,
измеримо.

*АДАЧ·
§ 2. Измеримые функции
143
2.3. Пусть / — определённая на К. функция с конечными
значениями. Докажите, что
а) функция /'+, где f'+(x) = lim ^v _ ^^ , измерима, если из-
у —»*+0 У х
мерима функция /;
б) если Ε с К. — множество, не имеющее, как и его дополнение,
внутренних точек, а / = χΕ, то
|0 при.еЕ;
I+оо при х ψ. Ε.
Таким образом, функция /'+ может быть неизмеримой, если
неизмерима функция /.
2.4. Пусть / G «2?°(Е), |/| < 1 почти везде на £ С R"1. Докажите, что
если |/| < 1 на множестве положительной меры, то найдутся такие не
эквивалентные друг другу функции /ь /2 £ &°(Е), удовлетворяющие
условиям |/i| < 1, I/2I ^ 1 почти везде на £, что / = \(fx +/2).
2.5. Приведите пример определённой на Ш. монотонной функции, не
эквивалентной непрерывной функции ни на каком (непустом)
интервале.
2.6. Функция Дирихле (равная единице в рациональных точках и
нулю в иррациональных точках вещественной прямой) разрывна в
каждой точке, но эквивалентна непрерывной функции. Существует ли
такая функция из «2?°([О, 1]), что любая эквивалентная ей на [0, 1]
функция разрывна в каждой точке этого промежутка?
2.7. Пусть С — канторово множество, / — канторова функция
(см. задачу Ш.3.14), и пусть g(x) = ^{х +/(*)) (х G [0, 1]). Докажите,
что
а) функция g строго возрастает;
б)Л(£(О)>0;
в) найдётся такое (измеримое!) множество Η С С, что множество
g(H) неизмеримо.
Пусть Ε С Шт, f G ЗГ°(Е). С функцией / можно связать две монотонные
функции Ff9 F-f, определяемые равенствами
Ff(t) = Xm{E{f < ή) при t G R,
F*(t)=km(E(\f\>t)) при г >0.

144
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УСЛОВИЯ
При этом в первом случае мы предполагаем, что при всех г
ЯШ(Е(/ < ί)) < оо, а во втором — что Xm(E(\f\ > г)) < оо при всех t > 0.
Очевидно, иногда какую-то из функций Ff9 F? или ни одну из них
невозможно определить. Однако если Хт(Е) < оо, то обе они имеют смысл. Важно
отметить, что в случае суммируемости функции |/| или хотя бы
суммируемости некоторой её положительной степени определена функция F^, даже
если мера Ε бесконечна. Ясно, что функция Ff возрастает, a F^ — убывает.
Функции Ff и F? называются функциями распределения (возрастающей
и убывающей соответственно) функции /. Функции / и g, имеющие
одинаковые возрастающие функции распределения, называются равноизмеримы-
ми (при этом не предполагается, что / и g определены на одном и том же
множестве).
2.8. Докажите, что возрастающая функция распределения
непрерывна слева. Когда она непрерывна в точке to Ε Ш
2.9. Найдите возрастающие функции распределения на [0, 2π]
функций
а) sinx; в) sin ^;
б) cosjc; г) sin(2x - ^).
2.10. Равноизмеримы ли функции sinx и sin(nx + α) (η Ε Ν, α Ε Ж)
на множествах
а) [0,2я]; б) [0,л]?
2.11. Пусть F — возрастающая функция распределения функции
feZ°([09T)), C,x0etiL
а) Найдите возрастающие функции распределения функций / + С,
Cf (С > 0), f\
б) Пусть / — продолжение функции / на множество К. с
периодом Т, g(x) = f(x —xq) (χ Ε [0, Г)). Найдите возрастающую
функцию распределения функции g.
2.12. Пусть Ε с Rw, Xm(E) = 1, / Ε Й°(Е).
а) Докажите, что существует единственное число to, такое что
Xm(E(f ^ ί0)) > \ и λη(Ε(/ ^ ί0 + ε)) < \ Для любого ε > 0.
б) Докажите, что Xm(E(f < ί0)) > \·

ЗАДАЧ ·
§ 2. Измеримые функции
145
в) Число М, удовлетворяющее неравенствам
λη(Ε(/ > Μ)) > I, Xm(E(J < Μ)) > Ι,
называется медианой функции /. Единственна ли медиана?
Пусть Ε С Em, / Ε 5?°(Е). Положим
/*(r)=inf{r |λ«(Ε(/>0) ^г}
для τ ^ 0.
Функция /* называется невозрастающей
перестановкой функции / (рис. 12).
Рис.12
2.13. а) Докажите, что функции / и /* равноизмеримы.
Предполагая, что функция распределения Ff функции / строго возрастает
и непрерывна, выясните, как связаны Ff и /*.
б) Докажите, что если функция / вогнута (выпукла) на конечном
интервале, то такой же будет и функция /*.
2.14. Найдите невозрастающие перестановки следующих функций:
а) sinx на [0, 2л}; в) tgjc на (0, л).
б) sin | на [0, 2л};
2.15 Найдите невозрастающую перестановку функции
f(x,y)=x2+y2 (x2+y2 ζ 1).
2.16. Пусть /(*)= 2^ j±- где ах > 0,
1<*<л
с* ι,..., сп G R Докажите, что при любом t > 0
Я {χ G Ш | /(дс) > ί} = γ, A{jc G R I /(jc) < -r} =
где Л = «! + ... +α„.
2.17. Пусть £ с Rw, AW(E) = 1, / G ^°(£) и пусть
0 < Л < JV(x)|<fc, /|/(х)|2Лс < С2А2
Ε Ε
при некотором С ^ 1. Оцените снизу меру множества
ЕА = {х€Е\ |/(*)|>f}.
, fl/i > 0,

146
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УСЛОВИЯ
2.18. Пусть функция / непрерывно дифференцируема η раз на
промежутке / и |/(л)(*)| ^ Δ > 0 для всех χ Ε /. Докажите, что
λ{ΧΕΐ\\/(χ)\^ή^2η^γ/η.
§ 3. Суммируемые функции
В этом параграфе все рассматриваемые множества и функции
предполагаются измеримыми. Множество функций, суммируемых по мере Лебега
на множестве Ε С Ет, обозначается символом <2Т(Е); для обозначения
интеграла по мере Лебега от функции / по множеству Ε мы, как правило,
используем символ \ f(x)dx. Характеристическая функция множества А
Ε
обозначается символом %д. Символ μ,η-\ обозначает меру Лебега
(площадь поверхности) на сфере Sm~l = {χ G Em|||jc|| = 1}. Площадь сферы,
т.е. величина /iOT_i(5",_1), в этом параграфе обозначается символом σηι_\.
Напомним, что στη_\ = тат =
2л1
.т/2
Г(т/2)·
3.1. Пусть объединение любых трёх множеств семейства Е\9..., Е^
совпадает с промежутком [0, 1]. Положим
S\= Σ *(£*). S2= Σ ЦЕ]ПЕк).
1 / N \3
Выразите через S\ и S2 интеграл У — Ι (Σ ХЕк{х)) dx.
О *=1
3.2. Пусть каждая точка промежутка [0, 1] принадлежит по крайней
мере к множествам Е\,..., £дг. Докажите, что для некоторого η
справедливо неравенство λ(Εη) ^ ^.
3.3. Пусть Ε С Rm, Хт(Е) < оо, / е 2°(Е). Докажите
эквивалентность следующих условий:
а) / G 2(E);
б) Σ я«(е(|/| >*)) < оо;
*)ΣΜ>η(Ε(Ια:\/\<Ιζ+1))<<χ>.
к>\

ЗАДАЧ·
§ 3. Суммируемые функции
147
3.4. Пусть множества Е^ с Шт (к G Ν) удовлетворяют условию
Σ Хт{Ек) < оо, и пусть
Ап = {jc G Μ™ I jc G £& в точности при п значениях к}>
Вп = {jc G Μ™ I jc G £jt не менее чем при п значениях к}.
Докажите что множества Ал, £„ измеримы и
AW(S„) = ]T А,„(А*),
Σ пХт{Ап) = Σ *w(*n) = Σ Я|я(Ел) ·
/ί^Ι /ί^Ι η^\
3.5. Пусть jc„ > 0, хп —> О, /(ί) = card{rc G Ν | χπ > г}. Докажите,
+оо
что J /(ήώ = Σχη.
о
3.6. а) Докажите, что ряд Σ 2~"|χ -г„|-1/2, где {г„} —
произвольная числовая последовательность, сходится почти везде на R
б) Постройте функцию из «2?°(R), не суммируемую ни на каком
(непустом) интервале.
3.7. Может ли всюду дифференцируемая на [О, 1] функция иметь
производную, не суммируемую на [О, 1]?
3.8. При каких ρ G К следующие функции суммируемы на полуоси
(О, +оо)
aj *' ' В; l+^sin2* *
б) β~χΡύη2χ;
3.9. Суммируемы ли указанные ниже функции / на квадрате
[—1, 1] χ [—1, 1]? Найдите повторные интегралы
11 11
f(f f(x,y)dy)dx и j( f f(x,y)dx)dy9
-1 -1 -1 -1
если:
a) /('.у) = ^; в) /('.» = (^jji;
б)/(*.» = ^; r)/(x,,) = ^
(во всех случаях значение /(О, 0) может быть определено
произвольным образом).

148
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УСЛОВИЯ
3.10. При каких ρ €R функция f(x,y) = \\-xy\ p суммируема на
множестве Ε в следующих случаях:
а) Е = [О, I]2;
б) Ε = [О, 2]2;
ъ)Е = {(х,у)е[0, I]2 | (х-2)2+у2^2, х2 + (у-2)2^2}?
3.11. а) Пусть р> 0,Е сШт и Хт(Е) = Хт(В(0, г)). Докажите, что
Jp^ffF^ j щ? при любом χ е Rm .
£ В(0,г)
б) Докажите, что
|JV**c| ^2sin^
Ε
для любого множества Ε с [0, 2л].
в) Докажите, что
Ε
для любого множества Ε конечной меры (Е С М2).
3.12. Пусть /?, г > О, Ε с Rw, / G ^°(£). Докажите, что
Яда(£(|/|>0)<^/|/(^Лс·
В частности, при /? = 2 мы получаем неравенство Чебышёва:
Xm(E(\f\>t))^±j\f(x)\2dx.
Ε
3.13. Докажите, что если \f\P е 2(E) (р > О, Ε с Mw), то
Ят(£(|/|^0)=^"р) приг^+оо.
Приведите пример, показывающий, что обратное утверждение
неверно.
3.14. Пусть ρ > О, Ε С Rw, / G ^°(£) и Яда(£(|/| ^ О) = ^(^р)
при г —> +оо. Докажите, что если Aw(£) < оо, то \f\p~£ e 2(E) при
любом ε е (О, /?).
3.15. Пусть Ε cRm,f e 2(E). Докажите, что
(\f(x)\Pdx —► Яш(£(/^0)).

*АДАЧ ·
§ 3. Суммируемые функции
149
3.16. Пусть f,ge «2?°(Ε), f,g^O. Докажите, что если I g(x)dx=\
Ε
и jg{x)f{x)dx < оо, то
Мр
(ffP(x)g(x)dx) P -+oexV(fg(x)\nf(x)dx).
Ε Ρ~* Ε
Можно ли отказаться от условия \ g(x)f(x)dx < оо?
Ε
3.17. Пусть / — измеримая на К. неотрицательная функция.
Докажите, что при всяком ε > О справедливы неравенства:
2
а) (Υ Σ f(kexj)dx^Uf(x)dx;
2
б) f( Σ f(±))dx^4eff{x)dx.
\ Kkez,k^o 7 £
3.18. Пусть / — суммируемая на R неотрицательная функция,
{(αл, Ьп)}пе% — двусторонняя последовательность интервалов.
Предположим, что существует такое δ > О, что ап+\ ^Ьп+8 при всех
η Ε Ζ. Докажите, что тогда
+оо
Σ /i^-<+»·
Απ+Ι
3.19. Пусть χ Ε Μ, χ = [χ] + Σ ε*2 к — двоичное представление
числа х.
а) Найдите интегралы ί ε^(χ) dx, ί ε/ί(χ)εΜ(χ) dx (к, т Ε Ν, к φ т).
О О
1
б) Найдите интеграл Г\sn(x) - i| dx, где 5л(х) = i Σ ε*(·*)·
1
в) Докажите, что Г|$/ι(χ) — ^| dx = 0(л-2).

150
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УСЛОВИЯ
3.20. Пусть jc G R, jc = [jc] + ]Р ε^ · 10 k — десятичное
представление числа jc. Пусть j — одна из цифр 0, 1,..., 9, и пусть
[0, ecjme\(x)^j.
Найдите интегралы (к9 т G N, к φ т)
1 1
а) Гв^Н)*-1*)^; б) jaj{\0k-lx)aj{lOm-lx)dx.
о о
3.21. Пусть аеШ, афО, аф\, χ = Σ £k(x)' Ю~* — десятичное
представление числа jc, jc G (0, 1). Положим
Г α, если εη(χ) φ0 при любом п;
f{x) = < 1, если первый знак εη(χ) φ 0 имеет чётный номер;
[0 в остальных случаях.
1
Докажите, что функция / измерима, и найдите I f(x) dx.
0
3.22. При построении канторова множества из промежутка [0, 1]
последовательно удалялись интервалы длины ^, ^ и т. д. (см. текст перед
задачей 1.1.29). Пусть f(x) = η на интервалах длины 3~п, f(x) = 0 на
канторовом множестве.
1
а) Докажите, что функция / измерима, и найдите I f(x)dx.
0
б) Найдите возрастающую функцию распределения F функции /
и невозрастающую перестановку /* функции / (см. определения
перед задачами 2.8, 2.13).
3.23. Пусть К — замкнутое подмножество промежутка [а,Ь]9
p(y)=mf{\y-t\\teK}
— расстояние от точки у G R до множества К. Докажите, что при
любом s > 0 функция
а
суммируема на К.

*АДАЧ·
§ 3. Суммируемые функции
151
3.24. Докажите, что для неотрицательной функции / справедливы
равенства (О < а ^ оо)
а
а) Г / ( max \xk |) dx = т2т Г Г~1№ dt;
[-a,a]m 0
a
б) j f(x)dx = ftm-l( j f{ty)dXm_x{y))dt,
\-a,a\m 0 max |y*l = l
где Aw_i — (m— 1)-мерная мера Лебега на границе куба [-1, \]т.
3.25. Вычислите интеграл (р > -1)
г fm'mxk\P
[0,1]"'
Напомним, что символ μτη-\ обозначает меру Лебега (площадь
поверхности) на сфере Sm~l = {χ е Шт\\\х\\ = 1}·
3.26. Докажите по индукции справедливость равенств (т ^ 2)
а) j /(^b--..^ifi-b^iw)^ifi-l(^) =
Sm-\
π
= Г sin771-2 ^< Г /(mi sin0, ..., ит_\ sin0, cos0)d/iw_2(w) }d0;
0 5W"2
оо
б) J/(*)<& = J>"1{ J /M^w_!(a>)}^,
где функция / предполагается суммируемой соответственно на 5m_1
или R"1. При ш = 2в формуле а) под 5° следует понимать границу
отрезка [—1, 1], т.е. двухточечное множество { —1, 1}, а меру μ§ считать
состоящей из единичных нагрузок, помещённых в точках +1 и —1.
3.27. а) Пусть г — неотрицательная непрерывная функция,
определённая на 5W-1, Τ = {χ е Ш.т | 0 < ||х|| ^ Г{'\П\)}· Докажите, что
UT) = ± j г-»НФга-,И.
Sm-\

152 VIII. Мера и интеграл Лебега · УСЛОВИЯ
б) Пусть непрерывная на Жт функция / удовлетворяет условию
f(tx) = tf{x) > О при χ φ О, t > 0. Докажите, что
I djj^=mXm{V), где V = {х е Г" |/(*) ζ 1} .
Sm-\
3.28. Пусть непрерывная на Ш.т функция / удовлетворяет условию
f(tx) = t f(x) > 0 при χ φ 0, t > 0, Λ — невырожденное линейное
преобразование в Rm. Докажите, что
Г Фт-1(*) _ 1 Г άμ,η_λ(χ)
J Г(Ах) - |det(A)| J /»(*) *
При решении задач 3.29—3.31 полезно использовать формулу (см.
задачу 3.26 б)) ь
j /(||jc||) dXm{x) = mamftm-lf(t)dt,
где / — измеримая неотрицательная на промежутке (я, Ь) (0 < а < Ъ < оо)
функция, ат = Хт{Вт) = jrw/2/r(f + l).
3.29. Пусть Ε — измеримое подмножество полуоси (0, +оо),
АЕ = {х е Rm\ \\х\\ е Е}. Докажите, что
Хт(АЕ) = тат jtm~l dt.
Ε
В задачах 3.31 и др. символом ут обозначена стандартная гауссова мера
в Ет, т. е. мера с плотностью
(2лГт'2е-^2/2.
3.30. Чему равен «гауссов объём» шара В(0, г)?
3.31. Пусть а > 0, Ка — конус в пространстве R4:
Ка = {(*ь*2.*3.*4) £t4 \xl+xl+xl^a2x]}.
Найдите γ^{Κα).
3.32. Вычислите объём обобщённого тора Τ С R4
Г= {(*ь*2»*з»*4) еМ4 | (дсь V:c|l^cfTjc| ) GB CR2|,
где В — круг с центром в точке (0, а) и радиусом R ^ а.

ЗАДАЧ·
§ 3. Суммируемые функции
153
3.33. Пусть АсМ — компактное множество, лежащее в верхней
полуплоскости. Если Го — тело в R3, получаемое вращением
множества Л вокруг оси х\, то по теореме Гульдина Аз(7о) = A2(A)2jryc,
где ус — ордината центра тяжести множества А. Считая, что Ш2
канонически вложено в R4, рассмотрим тело Τ в IR4. «получающееся при
вращении А вокруг оси jc \»:
Т= {(*b*2>*3»*4) £^4 | (*Ь \/λ'2+-^3+χ4 ) €Л}·
Докажите, что справедлива следующая модификация теоремы
Гульдина:
λ4(Τ)=λ2(Α).4πρ2,
где ρ — «радиус инерции» множества А относительно оси jcj,
т. е. положительное число, определяемое равенством
^ = ш/РЛ*·
3.34. Пусть А С R2 — компактное множество, лежащее в верхней
полуплоскости. Считая, что R2 канонически вложено в Rm,
рассмотрим в Rm множество Τ — «тело, полученное при вращении А вокруг
оси χ ι»:
τ = {(*ι,χ2. ---,χηι) eMw J (xh л/х| +... + jc^ ) ga|.
Докажите, что
a) Xm{T)=am_2^x™-2dxxdx2',
A
(2*r)"
A
rm—2
где σ^_2 — площадь сферы Sm , ym(T) — «гауссов объём»
множества Т.
3.35. Вычислите интеграл
Г ехр(- Σ Σ XjXk)dx.
3.36. Найдите лебегову меру множества
\(xh...,xm)eRm\ Σ \*к\р^Л (Р>0).
1 ' l^k^m J

154
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УСЛОВИЯ
3.37. а) Вычислите интеграл
7=ъЬ \ \(χ>α)\ρΊμη-ΐ(χ).
Sm-\
б) Докажите, что при т, η G Ν, 1 ^ η ^ /я, η + q > 0, справедливо
равенство
5/7]-1 ν 2 / V2/
3.38. Пусть F G C(R), α G Mw. Сведите интегралы от F((jc, α)) по
единичному шару и по единичной сфере в Жт к интегралам по отрез-
ку [-1, 1].
3.39. Пусть a G Ш", А: W" —► Мт — невырожденное линейное
преобразование, F е С(Ж). Докажите, что
где с = IKA"1)*^)!!, σ„_ι =^m-i(5'"-1).
3.40. Пусть 0 — угол между ненулевыми векторами a,beRm
(О ^ Θ ^ я). Докажите, что
J sign(a,jc)sign(b,jc)^w_i(jc) = (l - |β)σ^_ι .
k<f m— 1
OO
3.41. Пусть /w = Гуш(Я(0, г)) (1 - yw(£(0, r))) dr. Докажите, что
a) Im = \ j f\\\x\\-\\y\\\dyM(x)dyM{y);
RmRm
3.42. Пусть Λ С Μ771 — открытое звёздное относительно нуля
множество,
qA(x) = inf{t > 0 | ГХх G A) (x G Шт)
— калибровочная функция множества А, и пусть μ — такая
вероятностная мера на Жт, что Г |(лс,;у)|^(лс) < +оо при любом у G Шт.

Докажите, что
+оо
j μ(ίΑ)(\ -μ{ΐΑ))ώ = \ j j \qA(x) - ςΑ(γ)\άμ(χ)(Ιμ(γ) < +oo.
0 Rm Rm
3.43. Пусть функция / суммируема на кубе Q = [О, 1 )т и имеет
период 1 по каждой переменной. Докажите, что
а) при сдвиге Q на любой вектор интеграл (f(x) dx не изменяется,
т. е. при любом а е Rm
jf(x)dx= f f(x)dx, где a + Q = {a +y \ у e Q} ;
Q a+Q
б) если A — произвольная целочисленная матрица размера т χ т
с определителем, равным единице, то
jf(x)dx= j f(x)dx.
Q A(Q)
Верно ли это утверждение, если определитель матрицы А равен
единице, но её элементы могут не быть целочисленными?
3.44. Пусть Τ — произвольное выпуклое компактное тело в Rw,
V = Хт{Т). Докажите, что если (т - 1)-мерный объём проекции Τ на
любую гиперплоскость не меньше 5, то diam Τ ^ mV/S.
3.45. Пусть Τ с Rm — выпуклое компактное центрально
симметричное относительно нуля тело, § — эллипсоид максимального
объёма, содержащийся в Т:
£ С Г, λγη($) — sup{Aw(£) Ι Ε с Γ, Ε — эллипсоид}.
Докажите, что Τ с фп$.
3.46. Пусть К С С — замкнутое ограниченное множество
положительной (плоской) меры. Определим функцию φ равенством
К
Докажите, что
а) φ е С(С), ζφ(ζ) -> λ2(Κ) при ζ -> оо;
б) функция φ голоморфна вне К.

156
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УСЛОВИЯ
3.47. Отождествляя естественным образом С2 с R4, рассмотрим на
сфере 53 функции φΜ η (т,п = 0, 1,2,...), определяемые равенствами
Фт,п&, &)=&&■ '
а) Вычислите интегралы
j |фт,л(й, &)l24"3(fb &) К п = О, 1, 2,...);
б) докажите, что система {ψηι,η}^п=о ортогональна;
в) докажите, что если ряд Σ ат,пЧ>т,п равномерно сходится на В4
и его сумма равна /, то справедливо следующее обобщение
интегральной формулы Коши:
^bfe) = ^f(14^-2)2^3(zi,z2),
где (ξχ,ξ2) е В\ В4 = {&, ξ2) ε С2 | й|2 + |&|2 < 1}.
§ 4. Интеграл Стилтьеса
В задачах 4.1—4.4 функция h определена на промежутке, по которому
берётся интеграл в правой части равенства, измерима и неотрицательна.
4.1. Пусть —оо<а < Ъ ^ оо. Докажите, что
Ь
Г hi max xk)dx = m((t-a)m-lh(t)dt.
{a,b)m ^ «
4.2. а) Пусть
ow(r) ={(хь...,х,„) e Μ"1 Ι Σ 1**Ю).
l^k^m
Докажите, что
/ *(,£ ы)<ь = ^!<*-*№.
Om(r) 0
б) Пусть A = (fl! flw)GR5, £ = {x e Щ\ (χ, α) > 1}.
Вычислите интеграл I e~{a'x> dx.

ЧАДАЧ ·
§ 4. Интеграл Стилтьеса
157
4.3. Докажите, что при ρ > О
/*(( Σ Ыр) Ux=mCm{p)^r-xh{t)dty
те €Μ(ρ)=ληι{(χι,...,χ„ι)£π>η\ \х\\Р + ... + \хт\Р^ 1} (по
поводу значения Ст(р) см. задачу 3.36).
4.4. Пусть Ε С Rm, gE{t) = λ„ι(Ε η Β(О, г)) (г > 0). Докажите, что
оо
jh(\\x\\)dx = jh(t)dgE(t).
Ε 0
4.5. Пусть Ε С Μ™, f eZ°(E), и пусть для любого г > 0
Ят{х G £ | |/(*)| > t}< +оо. Докажите, что для любой
неотрицательной функции φ G C(R) справедливо равенство
+оо
|φ(|/(*)|)& = - J φ(0^(0.
Ε 0
где F — убывающая функция распределения функции / (см.
определение перед задачей 2.8).
4.6. Пусть А С Ш2 — выпуклое ограниченное множество, р(х) =
-= inf{||;c - у || \у G Л} — расстояние от точки χ G R2 до А. Найдите
интеграл Г е~р(^> dx.
К2
4.7. Пусть £ С R"1, /, g — неотрицательные, почти везде конечные
на Ε функции, имеющие убывающие функции распределения F и G
соответственно. Допустим, что в точке tQ > 0 разность F — G
меняет знак с «-» на «+», т.е. F(t) ^ G(t) при t G (0, г0) и F(t) ^ G(t)
нри t > Го· Пусть, наконец, Δ = {ρ > 0|/*\ g*7 G 5?{Е)}. Докажите,
что функция
<P(p) = -fef(fp(*)-8p(x))<b
Ε
мозрастает на множестве Δ. В частности, если I fpo(x)dx ^ I gPo(x)dx,
Ε Ε
10 ί fp{*)dx ^ Γgp(x)dx для всех р > pq.

158
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УСЛОВИЯ
4.8. Используя результат предыдущей задачи, докажите, что
+оо
Г l^^l^d* < -7= при ρ > 2, а при 1 < ρ < 2 справедливо проти-
воположное неравенство.
4.9. Пусть σ — канторова функция (см. задачу Ш.3.14). Вычислите
интегралы
1 1
а) \χάσ(χ); г) \ σ(χ)άσ(χ);
0 О
1 1
б) jx2da(x); д) jσ(1 -x)da(x).
О О
1
в) (σ(χ)άχ;
О
4.10. Пусть С — канторово множество, σ — канторова функция.
При каких ρ G Ш конечны интегралы
1 1
яч С fda(x)da(y)^
} J J (хЧу2)Р'2 '
0 О
1 1
оо (^-M)2+(^-y)2)
1 1
ν Γ Γ da(x)da(y) ?
о о
(Обобщение утверждения в) см. в задаче 5.25.)
4.11. Пусть С — канторово множество, σ — канторова функция.
Определим функцию φ равенством
0 0
Докажите, что
а) φ G С(С), ζφ(ζ) -> 1 при ζ -> оо;
б) функция φ голоморфна вне множества Г χ Γ (сравните с
задачей 3.46).

ЗАДАЧ ·
§ 4. Интеграл Стилтьеса
159
4.12. Пусть А С Жт9 В с Ш.п — выпуклые компактные центрально
симметричные множества. Какую долю объёма множества А х В
составляет объём выпуклой оболочки множества (А х {0}) U ({0} χ В)?
4.13. Пусть ρ > 1, Ε С Rm9 f G S°(E)9 и пусть /* — невозраста-
ющая перестановка функции |/|. Докажите, что если конечен интеграл
+оо j
h(f)= j f 4ή t~^~l dt. το j\f(x)\Pdx <oo.
0 Ε
4.14. Сохраняя обозначения предыдущей задачи, положим для «GZ
Еп = {хеЕ | 2п< \f(x)\}9 S
еп = {хеЕ \ 2"<|/(х)|^2"+1}, s
Докажите, что (s < +оо) => (lP(f) < +оо) => (5 < +оо).
§ 5. ε-энтропия и меры Хаусдорфа
Рассмотрим подмножество Λ пространства Шп и положительное число ε.
Множество СсЕ" называется ε-сетью множества А, если Ac (J В(ху ε).
χ ее
Пусть
Ν(Α, ε) = min{card(C) | С— ε-сеть для А}
— минимальная мощность ε-сети множества А. Если множество А
ограничено, то Ν(Α, ε) < со при любом ε > 0. Функция Я (Α, ε) = log2N(A, ε)
называется ε-энтропией множества А.
5.1. Множество Ε сЖп называется ε-различимым, если расстояние
между любыми двумя его точками не меньше ε. Пусть
Μ (Α, ε) = max {card (Ε) | £ С А, множество Е ε-различимо}
— максимальная мощность ε-различимого подмножества множества А.
Докажите, что
Ν(Α,ε) ^Μ(Α,ε) ^N(Ay §).
5.2. Пусть А — ограниченное подмножество пространства W1.
а) Докажите, что если А имеет внутреннюю точку, то
Η (Α, ε) ~nlog2± (ε^+0).
nez
= E2"(i»W)1/p.
nez

160
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УСЛОВИЯ
б) Напомним, что внешней мерой А* (А) множества Act"
называется величина
А*(А) = inf{A„(G) | А С G С Кл, G открыто} .
Докажите, что если λ*(А) > 0, то Ν(Α, ε) ^ Се~п, где С — некоторая
положительная постоянная.
5.3. Найдите асимптотику (при ε —> +0) ε-энтропии множеств:
а) {2~п | η G Ν}; г) {2"л2 | η G N};
6){n-"|nGN} (α>0); д) {^ | ne Щш
в) {п~п | η G N};
5.4. Пусть £сМп — ограниченное множество, 0 < λη(Ε) < со,
М(£, ε) — максимальное число ε-различимых точек, лежащих в Е.
Докажите, что
?г^Г" < Af (£, ε) < -—^— ,
где £ε/2 — (е/2)-окрестность множества £, ап — объём п-мерного
единичного шара.
Метрической размерностью M-dim(A) и метрическим порядком г (А)
ограниченного подмножества А пространства Жп называются величины
M-dim(A)= Ш г^т, r(A)= lim г^т.
5.5. Найдите метрические размерности и метрические порядки
графиков следующих функций:
a) f(x) = sin ял, 0 ^ χ ^ 1; б) f(x) = sin |, 0 < χ ^ 1.
5.6. Найдите метрические размерности и метрические порядки
следующих множеств:
а) Α χ [-1, 1] с М2, где А = {n~^2 \ η е Щ;
б) графика функции f(x) = sin -^, 0 < χ ^ 1;
Β) U ^(~7=)» где ^(r) — окружность с центром в нуле и радиу-
сом г.

ЧАДАЧ · §5. ε-энтрогшя и меры Хаусдорфа 161
5.7. Найдите метрические размерности и метрические порядки
следующих множеств:
а) Л χ [-1, 1] С М2, где А = {щ^ \пеЩ;
б) графика функции f(x) — sin^e1/*), 0 < χ ^ 1;
в) (J S(j^) (обозначение S(r) см. в задаче 5.6 в)).
п>\
5.8. Найдите метрическую размерность и метрический порядок кан-
горова множества (см. задачу 1.1.29).
5.9. Найдите асимптотику ε-энтропии множества
л= {Σ π I Ч = 0или lj.
5.10. Определим возрастающую последовательность {щ}
натуральных чисел, положив щ = к + т!, если т! ^ к < (т + 1)!, и рассмотрим
множество
А = {]Г ек2~Пк I ек = 0 или 1 } .
11усть, далее,
А/ =А + . .. +А = {jq + . . . +*/ | jq, .. . , х\ G A} .
Докажите, что
а) M-dim(A) = 1, г(А) = \\
б) Я (А/) = 0 при любом / G N.
5.11. Пусть Ψ: [0, +оо) —> [0, +оо) — такая строго возрастающая
функция, что Ψ(Ν) С N. Рассмотрим множество
Α = {Σ^2-φ(*)|εΛ=0ιιπΗΐ}.
Докажите, что Я (Α, ε) ~ Ψ-1 (log2 |) при ε —> +0.
5.12. Найдите метрическую размерность и метрический порядок
множества
|* = Σ**2-*, ε*=0, Ι;
У = Е%3-*, %=0, 1,2;
цифры ε к, щ имеют одинаковую
четность при каждом к
А = <
(*.зОе:
[кривая Хиронака).

162
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УСЛОВИЯ
5.13. Пусть AcR,Am=A + ...+A (m слагаемых). Докажите, что
а) если г (А) =0, то Х{Ат) = О для любого т G N;
б) если г (А) < ^, то Х(Ат) = 0.
в) Верно ли, что если г (А) > ^, то Х(А +А) > 0?
(Рассмотрите множество из задачи 5.3 д).)
Меры Хаусдорфа. Пусть А С R", ρ, ε > 0. Положим
vp(A,e) =inf{ Σ r[ \A С (J B{xkyrk)y гк < ε\ .
Отметим, что в определении νρ(Α, ε) нижняя грань вычисляется по
всевозможным счетным покрытиям множества А шарами, в том числе и такими,
центры которых не принадлежат А. Функция νρ, определённая на системе
всех подмножеств пространства Шп равенством
vp(A) = sup {νρ{Α, ε) \ ε > 0} = lim νρ(Α, ε),
ε-++0
называется р-мерной {внешней) мерой Хаусдорфа.
5.14. Пусть ρ > 0. Докажите, что
а) если множество А счетно, то νρ(Α) = 0;
б) если А С А\ то vp(A) ^ vp(A');
в) если А с \jAk9 то νρ(Α) ^ Σ vp(Ak)l
г) если расстояние между множествами А и В положительно, т.е.
d = inf{\\x -у\\ \х еА, у еВ} > 0, то
vp(AUB,e) = νρ(Α,ε) + νρ(Β,ε) при ζ<\ и
vp(AUB)=vp(A) + vp(B);
д) мера vp инвариантна относительно изометрий.
5.15. Пусть А с W1. Докажите, что
а) если 0 < ρ < η и νρ(Α) < со, то Хп(А) = 0;
б) если ρ > η, то Vp(A) = 0;
в) ν,ι(Α) =0 тогда и только тогда, когда ЯП(Л) = 0.
5.16. Пусть А С 5Л~1, μ„_ι — лебегова мера на S"-1 («площадь
поверхности»). Докажите, что
а) если 0<р<л-1и vp{A) = 0, то μη-\(Α) = 0;
б) vn_\(A) =0 тогда и только тогда, когдаμη_\{Α) = 0.

ЗАДАЧ·
§ 5. ε-энтропия и меры Хаусдорфа
163
5.17. Докажите, что
а) если 0 < ρ < q, то vp(A) ^ vq(A);
б) если 0 < vp(A) < со, то vq(A) = О при q > ρ и ν^(Α) = со при
Число ρ — inf{q \ vq(A) = 0} = sup{g | vq{A) = оо} называется хаусдорфо-
вой размерностью множества А. Мы будем обозначать его символом
dimH{A).
5.18. а) Докажите, что для любого ограниченного множества Л С Ш.п
справедливо неравенство
б) Пусть Ak cW1 (к = 1,2,...). Докажите, что
dim,/ ( (J Ak) = sup dimH(Ak).
ч^1 7 к>\
5.19. Диаметром ограниченного множества С C.W1 называется
число diam(C) = sup{||jc - у || | х, у G С}. Пусть ρ > 0, А с Мл. Определим
модифицированную р-мерную меру Хаусдорфа νρ(Α) следующим
образом:
vp(A) = sup inf { Σ (dmm(Ck))p Ι А с \J ck> diam(Q) < ε\.
ε>0 4^1 ' *^1 j
Докажите, что vp(A) ^vp(A) ^ 2^ур(Л) и, следовательно, в
определении хаусдорфовой размерности вместо vp можно использовать vp.
5.20. Найдите хаусдорфову размерность ρ и вычислите меру
Хаусдорфа νρ следующих множеств:
а) отрезка [а,Ь];
б) окружности S1;
в) открытого подмножества G пространства W1.
5.21. Найдите хаусдорфову размерность ρ и вычислите vp(C) для
канторова множества С. Докажите, что функция φ, определяемая
равенством
<р{х) = 2Pvp(CD [0, χ]) (0 ^ χ ^ 1),
совпадает с канторовой функцией (см. определение перед
задачей Ш.3.14).

164
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УСЛОВИЯ
5.22. Найдите diiri//(A) и M-dim(A) для следующих множеств:
а) А = С — канторово множество;
б) А = Д0, где Д0 = {1 + щ^ц \пеЩ;
в) A = CU До-
Однородное обобщённое канторово множество, построенное на
отрезке [0, 1] по определяющей последовательности {2~np}n^Q, где ρ > 1,
будем обозначать символом К(р). Заметим, что K(\og2 3) = С— классическое
канторово множество.
5.23. Пусть £ С [0, 1] — однородное обобщенное канторово
множество, 0 < Vp(E) < со, Ge — соответствующая ему канторова функция
(см. Ш.3.17). Докажите, что
νρ{Ε η [0, χ]) = νρ{Ε)σΕ{χ) (О ^ χ < 1).
5.24. Пусть 0 < ρ ^ 1,£сК — однородное обобщенное канторово
множество, 1п — длина промежутков п-го ранга. Докажите, что
а) если \пп2п1% = О, то νρ(Ε) = 0;
б) если \т\2п1% > 0, то vp(E) > 0;
в) Vp(E) = со тогда и только тогда, когда 2П1% —> со;
г) dimH(E χ Ε) = 2dimH(E).
5.25. Пусть Ε — однородное обобщенное канторово множество,
σ — соответствующая ему канторова функция (см. Ш.3.17), и пусть
τ f+\ С С da(x)da(y)
Iev) — — _ ,, — «интеграл г-энергии».
ЕхЕ
Докажите, что
а) если /е(0 < со, то t ^ dim//(£);
б) если t < dimH(E), то /^(ί) < со.
Покажите, что при t = dimH(E) интеграл /^(ί) может быть как
конечным, так и бесконечным (рассмотрите определяющую
последовательность 1П = прЪ~п при различных р).
5.26. Пусть Д — множество из задачи 5.10.
а) Проверьте, что Д — однородное обобщенное канторово
множество, и найдите его определяющую последовательность {Ιη}η^0·
б) Найдите хаусдорфову размерность ρ множества Д.
в) Найдите \im2nl%.

ЗАДАЧ ·
§ 5. ε-энтропия и меры Хаусдорфа
165
5.27. Пусть А, В — однородные обобщенные канторовы
множества с определяющими последовательностями {3~п/(п + 1)}п^о
и {3~пу/п + 1}л^о соответственно, и пусть /? = dim//(A), q = dim//(β).
Докажите, что
а.) р = q = log3 2 (напомним, что log3 2 — хаусдорфова размерность
канторов а множества);
б) vp(A) = О, vp(B) = +оо и, следовательно, при любом г > 0
величины vt(A), vt(B) могут принимать лишь значения 0 или +оо.
5.28. Пусть η е Ν, Ε с {0,..., η - 1}, т = card(£), 1 < т < п.
Найдите хаусдорфову размерность множества
А = { Σ Τ ak^E ПРИ любом A: G Ν) .
5.29. Пусть
А = { Σ ^ I flA: ^ {0, 1, 2, 3, 4} при любом £ G N j .
Найдите dim//(Л) и dim//(Л + А) и убедитесь в том, что dim//(Л) > ~>
но dim//(Л + А) < 1.
5.30. Множество Ε сШР называется ^-равномерно суперпористым,
0 < θ < 1, если для любых χ е Жп9 г > 0 найдется такая точка
уеВ(х, г), что £П5(у,^г)=0. Докажите, что существует такое
число ά(θ) < η, что всякое ^-равномерно суперпористое множество
имеет хаусдорфову размерность не больше чем d(6).
5.31. Множество В сШп будем называть гомотетичным множеству
ДсМ", если В = xq + М, где ί > 0. Число t будем называть
коэффициентом гомотетичности. Рассмотрим центрально симметричное
выпуклое компактное множество А с непустой внутренностью. Будем
исчерпывать открытое ограниченное множество Gel"
множествами, гомотетичными А, следующим образом. На первом шаге
рассмотрим содержащееся в G гомотетичное А множество В с максимальным
коэффициентом гомотетичности (как легко убедиться, такое
множество существует). Положим G\ = G\B. Заменив G на G\ и
повторив процедуру, получим множество Gj и т.д. Рассмотрим пересечение
С = П G*.
к^\
Докажите, что dim//(С) < d(n) < η, где d(n) — некоторое
число, не зависящее от выбора А и G. Иными словами, множество G

166
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УСЛОВИЯ
исчерпывается множествами, гомотетичными А, с точностью до
остатка, хаусдорфова размерность которого «существенно меньше» п.
5.32. Пусть К — обобщенное однородное канторово множество,
dim// (К) > ^. Докажите, что существует такая непрерывная функция
φ: С —> С, что lim ζφ(ζ) = 1 и φ голоморфна вне множества К χ К
ζ—+οο
(ср. с задачей 4.11).
§ 6. Асимптотика интегралов высокой кратности
В этом параграфе символы Вп(г) и Sn~l(r) обозначают соответственно п-
мерный (открытый) шар и (п — 1)-мерную сферу с центром в нуле и
радиусом г. Если радиус равен единице, то мы будем просто писать Вп и 5Л_1.
Меры Лебега в Шп и Sn~ обозначаются соответственно символами λη
(объём) и μ„_ι (площадь поверхности). Объём единичного шара Вп
обозначается ап, а площадь сферы Sn~ — &η-\· Символом γη обозначается
стандартная гауссовская мера в Ел, т.е. мера с плотностью (2л)~п/2е~"х" ^2.
Если jc = (jcι, ..., хп) — «-мерный вектор, О < ρ < Н-оо, то положим по
определению
Ир=( Σ Ыр)1/Р. Woo = max \хк\.
Для обозначения евклидовой нормы вектора jc, т.е. величины ||jc||2 мы, как
и прежде, будем использовать обозначение ||jc||, опуская индекс. Множество
функций, суммируемых по мере Лебега на множестве £cR", обозначается
символом 2{Е)9 £Р(Е) = {/ G 2°(Е) \ \f\p G %{Е)}.
Под средним значением функции /, суммируемой по мере μ на множестве
Ε (θ < μ(Ε) < +оо), мы, как обычно, понимаем величину -γ— I f άμ.
Ε
При решении ряда задач этого параграфа удобно пользоваться формулой
(см. задачу 3.26 б)): для / е 5Г(КЛ)
оо
jf{x)dx = jrn-l( j ί{νω)άμη^{ω)λάτ. (*)
Ш" О си-1
6.1. Докажите, что
а) klx\dx = ^i>
Вп

ЗАДАЧ · § 6. Асимптотика интегралов высокой кратности 167
В"
β"
6.2. Толщина арбузной корки равна — радиуса арбуза (считаемого
шаром). Какой процент от объема арбуза составляет корка
а) в трёхмерном пространстве?
б) в 100-мерном пространстве?
6.3. Докажите, что для любого наперед заданного радиуса R в кубе
[О, \]п достаточно большой размерности η найдется трехмерное
сечение, содержащее трехмерный шар радиуса R. Таким образом, земной
шар можно поместить в «n-мерный кубометр».
6.4. а) Шар Вп(г) касается всех рёбер n-мерного куба [—1, 1]п.
Сравните при больших η объём куба и объём шара.
б) Куб [—1, 1]/ι разбивается координатными плоскостями на 2п
кубов. В каждый из них мы вписываем шар, а затем рассматриваем шар
Вп(р), касающийся внешним образом всех шаров, вписанных в кубы.
При каких η справедливо включение Вп(р) С [-1, 1]"? Что больше
при больших п: объём куба [-1, 1]" или объём шара Вп(р)?
6.5. Пусть / =; [-±, ±], r eR, wGR", ω φ 0. Пусть далее
Ηη_\(ω, г) = {χ G In I (jc, ω) = r} — сечение куба In
гиперплоскостью (jc, ω) — г.
а) Докажите, что
Яи_1(И„_1(й),г)) = ||И| Γ cos(2rr) Π -Jrdt-
ο ;=1
б) Найдите предел при η —> +оо меры центрального сечения,
ортогонального главной диагонали куба, т.е. предел величины
Л„_! (//„_! ((1,...,1),0)).
в) Докажите, что λη_\(Ηη_\(ω, г)) ^ \2 для всех η = 2, 3,...,
геШиа)еМ.п,а)у£0. Для каких сечений будет равенство?

168
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УСЛОВИЯ
Рис. 13
6.6. Попавшую в 1000-мерное
пространство Алису спросили, как делать
тонкие стеклянные обручи
(сферические пояса), чтобы их ширина
равнялась -L диаметра. «Нет ничего
проще, — ответила Алиса, — нужно
выдувать сферы, а потом отрезать лишнее»
(рис. 13). Каков будет процент отходов
при этой технологии?
6.7. Пусть a G Шп, \\а\\ = 1. В шаре Вп случайным образом
выбирается точка х. Что вероятнее при больших п: \(а,х)\ < 10_3 или
|(fl,*)|> 10"3?
6.8. На сфере Sn~l случайным образом выбирают две точки.
Пусть Ln — среднее значение расстояния между ними. Докажите, что
limLfl —> \/2. Этот результат свидетельствует, что при больших η
радиусы, проведенные в две случайно взятые на сфере точки, «как
правило», почти ортогональны.
6.9. Пусть Ρп — нормированная мера Лебега на сфере Sn~l(y/n).
Докажите, что координаты на этой сфере «асимптотически
распределены по нормальному закону», т.е. для любых я, Ъ е R, а < Ь,
справедливо соотношение
Ъ т,
Pn{{xh...,xn)£Sn-l(yfii)\a <xn<b} —^-^=je i dt.
6.10. Пусть функция / непрерывна на замкнутом шаре Вп,
Μ = тах^тт |/|, и при любых ω 6 Sn~l и г е [О, 1] справедлива
оценка |/(го>) — f(a))\ < h{\ — г), где h — возрастающая непрерывная на
промежутке [0, 1] функция, обращающаяся в нуль в нуле. Докажите,
что среднее значение функции / на шаре Вп и на сфере Sn~l близки
в следующем смысле: при любом ε Ε (θ, 4)
|±J/(x)Ac-JL j /(ω)άμη_ι(ω)\^2(Μ(\-ε)η+Η(ε)),
Β" S«-i
\x\ .. .xn\n dyn(x)
R"
имеют при η —> oo конечный положительный предел.

ЗАДАЧ · § 6. Асимптотика интегралов высокой кратности 169
6.12. Докажите, что при любых q eR, 0 < ρ < оо
И Mldxn-Tooi J IMI£*»-i(*)·
В" $1.-1
6.13. Пусть уи — мера вЕпс плотностью (^) е~л11*11 /2;
а) убедитесь, что γη(Ήίη) = 1;
б) найдите предел lim γη(Βη);
п—*оо
в) докажите, что при 0 < ε < 1
J ^ул(х)<2Л/л^-Л£2/2.
||Μ|-ΐ|>ε
6.14. Докажите, что при любых q eR, 0 < ρ < оо
JMldUx)^^ j ΜηΡάμη_χ{χ)
R" S"~]
(определение меры γη см. в задаче 6.13).
6.15. Докажите, что Г \\х\\ч άγη(χ) ~ rf/2 (q e Щ.
J η—юо
К"
6.16. Докажите, что при любом q e К.
f \\x\\lo dyn(x) ~ (2 In л)*/2.
К"
Для положительных последовательностей {ап}, {Ьп} запись ап х Ъп
означает, что fl|I β|Ι
О < mf τ2· ^ sup τ2· < оо
(последовательности {««}, {^л} одного порядка). В аналогичном смысле
это обозначение используется нами не только для последовательностей, но
и для произвольных семейств положительных чисел.
6.17. Пусть q e R, /и, л е N, 2 < /я < л, /л + <? > 0, хбГ,
^т,п = ^- ί max Ι-χ^Φ,ζ-lW·
Sn-\
Докажите, что
а) Λ,,ι, ~ ( —J , б) Л,,и ~ ^-jp- J .

170
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УСЛОВИЯ
6.18. Докажите, что при любых q eR, 0 < ρ < оо
Уп(р,я) = j\\x\\qpdyn(x)^n^P,
К"
Рассмотрите последовательно случаи
а) q > 0, 0 < ρ ^ 2; в) 2 ^ ρ ^ q;
б) 0 < q ^ ρ, ρ ^ 2; г) ^ < 0.
6.19. Докажите, что при любых q eR, 0 < ρ < оо
5я"1
£_2
Ρ 2
6.20. а) Докажите, что радиус шара Вп(гп), объём которого равен
единице, выражается формулой
"- = /5г(1+«^ + 1 + «Ш).
и найдите коэффициенты а и Ь.
К чему стремится мера Лебега (размерности η - 1) сечения этого
шара гиперплоскостью, проходящей через его центр?
б) Найдите асимптотику радиуса рп шара Вп(рп), гауссовский объём
которого равен ^.
6.21. Пусть А и В -■■ выпуклые центрально симметричные (с
центром в нуле) компакты в Ш!1. Можно ли утверждать, что λη(Α) < λη(Β),
если всякое центральное сечение множества А гиперплоскостью
имеет лебегову меру (размерности η — 1) меньшую, чем такое же
сечение множества В? (Сравните при больших η сечения единичного куба
и шара, имеющего единичный объём).
6.22. Пусть ап, Ьп, сп — средние значения функции цЛ- на
множествах Оп, Вп, [—1, \]п, где Оп есть n-мерный октаэдр:
On = {(*ь . ·., Хп) | Σ \хк\ ^ 1}· Докажите, что
_ η ж_ 1 .. ^ 1
ΙΜΙ?
6.23. Пусть 1п, Уп, £„ — средние значения функции ψγ- на
октаэдре Оп, шаре #" и кубе [-1, 1]п соответственно. Докажите, что
2.
а) /„ - i; в) *л ж 1.
б) Jn ж -L;

ЗАДАЧ · § 6. Асимптотика интегралов высокой кратности 171
6.24. Пусть Оп + εΒη — ε-окрестность октаэдра Оп.
а) Найдите предел hm —±—
7 л-Ч-оо\ а" )
б) Найдите асимптотику отношения ч а при η —> +оо.
6.25. Докажите, что Α„(Α„) ~ 2(|)"+ , где
\хк +хк+\ ^ 1 (1 < А: < п) "1
\η = <(χ\,...,χη) eRn
χχ ^0, ...,дс„ ^0
6.26. Пусть Vn — центрально симметричное относительно нуля
выпуклое множество, содержащееся в кубе (—1, 1)п. Докажите, что если
λη(νη) > (|)п, то при достаточно большом η множество 2Vn содержит
такую точку а = (а\9... 9ап) с целочисленными координатами, что
Σ 1**1 >ΐδ-
6.27. Найдите асимптотику интегралов
, г minjtit , г max**
а) J maSu^ б) J ШЪах·
6.28. Докажите, что при η —> +оо
а) ^ / |[*||*-^;
[0,1]"
б) / /(£i±^)^-/(^) (/ec([0,i]));
[0,1]"
в) J /(^ТТ7^)Лс-/(1) (/еС([0,1]));
[0,1]"
г) J/(|xil+;+|j"l)^„(^)-/(v/?) (/еС(П sup|/| < оо).
К"
6.29. Пусть / ^ О, Г f(t)dt = 1, 0 < /? < оо. Докажите, что при
—оо
η —> +оо (далее χ = (xj,... ,хп) е R")
а) J J(xl) -f(x2)---f(xn)dx ->0 при любом с > 0;

172 IX. Последовательности измеримых функций · УСЛОВИЯ
б) f /(*i) -f(x2) · .-f(xn)dx -* 0 при любом θ е (0, ±).
\\*\Un°
в) Можно ли в п. б) заменить ηθ на (ηωηγ/ρ, где ωπ > 0, ωη —> О?
6.30. Пусть р>1, /е«2^(0, 1), ||/||р^0. Докажите, что при
'»= J" (ΣΙ/(**)Ι') α^*1'"
(o,i)M k~]
(коэффициенты соотношения χ зависят от / и р).
6.31. Пусть F — убывающая функция распределения
измеримой на (0,1) функции /. Как известно, если /е«2?Р(0, 1), то
F(t) = o(\/tp) при t —> +оо (см. задачу 3.13). Предположим, что F
удовлетворяет лишь более слабому условию: F(t) = 0(l/tp) при
t —> -fee. Докажите, что в этом случае при ρ > 1
а) интеграл 1п из предыдущей задачи допускает оценку
/n = 0((nln(n + l))1/p);
б) эта оценка точна в следующем смысле:
если F(t) χ Ι/tP при t —► +оо, то /„ χ (л1п(л + 1))1/р.
6.32. Докажите, что для любого η и любого вектора a eW1
справедливо неравенство
Ар\\а\\ *ζ (l-n j \(x9a)\Pdxy,P ζΒρ\\α\\,
где Ар, В ρ — положительные постоянные, зависящие только от ρ > 0
(ср. с задачей 3.37 а)).
Глава IX
Последовательности измеримых функций
В этой главе, как и в предыдущей, символом Хт обозначается мера Лебега
в пространстве Шт (Я = λ\)9 символом 3?(Е) — множество всех измеримых
почти везде конечных функций, определённых на множестве Е.

'ЗАДАЧ · § 1. Сходимости по мере и почти везде 173
Мы предполагаем, что читатель знаком с основными фактами теории
функций (теоремы Лебега и Рисса о связи между сходимостями по мере и
почти везде, теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла,
теорема о почленном интегрировании положительных функциональных
рядов, неравенство Бесселя, теорема Рисса—Фишера, полнота
тригонометрической системы функций). Некоторые из перечисленных теорем постоянно
используются в решениях (например, теорема о почленном
интегрировании положительных рядов), без других (например, теорем Лебега и Рисса)
сама постановка ряда задач, как нам кажется, не может быть понята с
достаточной полнотой, даже если эти теоремы формально не используются
ни в формулировках, ни в решениях.
§ 1. Сходимости по мере и почти везде
1.1. Сходятся ли указанные ниже функциональные
последовательности {fn} по мере и почти везде на промежутках Δ? Имеют ли они
суммируемые мажоранты?
»>/·(*> = 7да δ =(0,1);
б>/я(*> = ife' Δ=(1,+οο);
в) fn(x) = пхе-"*\ Δ =(0,1);
T)fn(x) = n2xe-"x\ Δ=(1,+οο);
д) ·>»(*) = ife' Δ=(1,+οο);
K)fn{x) = \x-\\-y2, Δ =(0,1).
1.2. Пусть a G Μ, {α} = а — [а] — дробная часть числа я, и пусть
fn — характеристическая функция промежутка с концами {Inn},
{\п(п + 1)} (п G N) (если {Inn} > {\п(п + 1)}, то мы считаем fn
тождественным нулём). Докажите, что
а) lim fn(x) = 1 при любом χ е (0, 1);
б) f\Ck](x) —► 0 почти везде на (0, 1) при любом С > 1.
1 J к—>·οο
Сравните этот результат с утверждением задачи П. 1.28.

174 IX. Последовательности измеримых функций · УСЛОВИЯ
1.3. Постройте такую последовательность {gn} из ^°(0, 1),
что gn —> 0 по мере, lim gn{x) = +оо почти везде на (0,1)
и—+оо
и Ши £л(-х) = — оо почти везде на (0, 1).
п—>оо
1.4. Пусть функции fn (n G Ν) монотонны на промежутке (0, 1)
и fn -* f по мере. Докажите, что функция / почти везде совпадает
с монотонной функцией /о и fn{x) —► /о(х) в точках
непрерывности /о·
1.5. Пусть /и(дс) = \*т(АпХ + <рп)\Р\ где χ G (0, 2я), а {А„}> {φ„},
{/?„} — вещественные числовые последовательности,
удовлетворяющие условиям lim \Ап\ > 0 и рп —> +оо. Докажите, что /я —> 0 по мере
на (0, 2я). Обязательно ли fn —> 0 почти везде на (0, 2я)?
Рассмотрите пример: /я(*) = |cos у/т (χ — ^г)|™, где /я = [\/и], к = п — т2.
1.6. Пусть {А«}, {</>«} — вещественные числовые
последовательности, Ап —> +оо. Докажите, что почти везде на R
lim cos(A„.x + φη) = 1, lim cos(Anx + Φ«) = — 1.
n-+oo „^oo
Сравните это утверждение с задачей IV.6.1.
оо
1.7. Докажите, что и1/3 \ е~х ύηη(ηχ + φη) dx —> 0 для любой
0
вещественной последовательности {</>/!}.
1.8. Пусть {/л} С «2f°(R), α G Μ. Докажите, что lim /л(дс) < α
почти везде на М, если ]Р Я{х G Μ \fn{x) > α} < +оо.
1.9. Пусть {fn} С «2?(М) и εη —> 0. Докажите, что если
Ε А{х G Μ | |/„(х)| ^ ε„} < +сю, то
а) /л(^) —> 0 почти везде на Ж;
б) для любого числа ε > 0 найдется такое множество ^сМ, что
λ{β) < ε и /„ =3 0 на R\e.
1.10. Докажите, что сходимость почти везде «устойчива» в
следующем смысле: если {fn} С «2?°(0, 1) и fn(x) —> 0 почти везде на (0, 1),
то существует такая числовая последовательность {Ап}, что Ап —> оо
и Anfn(x) —> 0 почти везде на (0, 1). Останется ли это утверждение
верным, если интервал (0, 1) заменить на Ж?

^АДАЧ · § 1. Сходимости по мере и почти везде 175
1.11. Пусть /, fn G «2Г°(0, 1), fn(x) -> f(x) почти везде на (0, 1).
Докажите, что существуют функция g G «2?° (О, 1) («регулятор
сходимости») и числовая последовательность {εη}, такие что εη —► О
и \fn(x) — fix)\ ^ £/?#(*) почти везде на (0, 1) при любом η G N.
Останется ли это утверждение верным, если заменить интервал (0, 1) на М?
1.12. Опираясь на результат предыдущей задачи, докажите теорему
Егорова: если /, fn G ^°(0, 1) и /„(лс) —> /(лс) почти везде на (0, 1),
то для любого числа ε > О найдется такое множество е С (0, 1), что
Х{е) < ε и fn =} / на (0, 1)\е. Останется ли это утверждение верным,
если интервал (0, 1) заменить на W?
1.13. Пусть {fn} С ^°(0, 1). Докажите, что /„ -> 0 по мере
тогда и только тогда, когда для любой подпоследовательности {fnk}
найдется, в свою очередь, подпоследовательность {fnk.}, сходящаяся
к нулю почти везде на (0, 1).
1.14. Пусть {/„} С 2°{Щ, g G 2°{Щ, \fn(x)\ < g(x) почти везде
на R при любом η G N. Докажите, что если функция g удовлетворяет
условию
λ{χ G Μ I g(x) > ε} < -гоо при любом ε > 0, (*)
то из сходимости последовательности {fn} к нулю почти везде на R
следует, что fn —> 0 по мере. Верно ли это, если условие (*)
нарушено?
1.15. Пусть {/„,*}„,*>! С ЗГ°(0, 1), {fn} С 2°(0, 1), f0 e J?°(0, 1),
и пусть fn^k ~* fn по мере, fn —> /о по мере. Докажите, что найдется
такая строго возрастающая последовательность номеров {кп}, что
fn,kn ~"> /о по мере (теорема о диагональной последовательности).
Верно ли аналогичное утверждение, если сходимость по мере
заменить
а) сходимостью почти везде на (0, 1);
б) поточечной сходимостью на (0, 1)?
1.16. Пусть ап ^ О, Σ ап < °°, Δ = (О, 1). Докажите, что
а) если Σ ап 1пи < оо, то ряд
сходится почти везде на Δ (относительно меры Лебега) для любой
последовательности {хл} С 1;

176 IX. Последовательности измеримых функций · УСЛОВИЯ
б) если Σ Ял In л = оо и X — всюду плотное в Δ счетное
множество, то в зависимости от способа нумерации {хп} множества X
рад (1) может как сходиться почти везде на Δ, так и расходиться
почти везде (и даже везде) на Δ.
§ 2. Сходимость в среднем. Закон больших чисел
Всюду в этом параграфе буква Ε обозначает измеримое подмножество
пространства Rm положительной конечной (лебеговой) меры. Символ
Zr(E) (-2Г°°(Е)), где г — положительное число, обозначает множество
функций из 5? (Е), удовлетворяющих условию
j\f(x)\rdx < оо (11/Цос = vraisup|/(*)| < оо).
Ε хеЕ
Символом ||/||г обозначается величина ( I \f(x)\r dx) . Мы будем гово-
Е
рить, что fn —> /о в пространстве 5?г (Е) (сходимость в среднем с
показателем г), если ||/л —/о||г —* 0.
2.1. Пусть / е J£r(E). Докажите, что
а) если 0 < s < г, то / е ZS(E)\
б) если А/и (Я) = 1, то функция s »-> ||/||s возрастает на (0, г].
2.2. Пусть {/«}, {g„}c2rr(E), /0, g0 G ЗГГ(Е), причём
Н/я - /ollr -> 0 и ||g„ - goll· ~+ 0. Докажите, что
а) /л -> /о по мере; б) ||/л^л - /о£0Иг/2 -> 0.
2.3. Пусть {fn}c.Z^(E). Докажите, что если /л —> 0 по мере
и sup„ Ц/,ιΙΙι < оо, то Г \/1/л (*)#(*) Ι*** —> 0 для любой функции
ge^(£).
2.4. Пусть {/Л С ^2(£), /о G ЗГ2(Е). Докажите, что если fn - /0
по мере и ||/л||2 -> Ц/olb, то \\fn - /0||2 -> 0.
2.5. Пусть /, g е 2°(Е) и 0 < а < Хт(Е). Положим
Ja(f) = inf{ t I Xm{x e E\ I f(x)\ > t} < a} .
Величинас/а(/) называется квантилью (сравните определение^/^/)
с определением невозрастающей перестановки функции / перед зада-

ЗАДАЧ · § 2. Сходимость в среднем. Закон больших чисел 177
чей VIII.2.13; квантиль^щС/) есть медиана функции |/| — см.
задачу VIII.2.12). Докажите, что
»)«/«(/)<«//»(/) при 0 </?<«;
б)/в(а/) = \a\JJJ) при любом a е К;
вШ/ + *) <Л/г(/) +Л/2Ы;
г) //г —► /о по мере (/„, /о ^ 2®{Е]) тогда и только тогда, когда
Ja{fn - /о) -* 0 при любом а, 0 < а < ληι(Ε).
2.6. Пусть Μ С £2(Е) и пусть Ц/Ц2 ^ C||/||i для любой функции
/ Ε М. Докажите, что
а) если 0 < г < 1, то найдётся такое число θ = θ (г), что
11/111 < С0Ц/Иг Для любой функции f е М;
б) найдётся такое число а = а(С) > О, что ||/||i ^ 2km{E)</a{f)
для любой функции / G М;
в) если {fn} С Л/, то ||//г||2 ~^ ^ тогда и только тогда, когда fn —> О
по мере.
2.7. Докажите, что если ряд*) ]Р |я„ sin(n;c + <Рл)| сходится на
множестве положительной меры, то ]Р \ап\ < оо.
2.8. Пусть {/„} С ^2(Е) и ||/я||2 < С, ||/π||! > 5 при некоторых С,
6 > О и любом η Ε N. Докажите, что если ряд ]Р anfn(x) сходится
абсолютно почти везде на Е, то ^Z \ап\ < °°-
2.9. Пусть {/„} — ортогональная система в £2(Е), <?п = Ι Σ /*·
Докажите, что если -- ]Р НА II2 —► 0, то σ„ —► О по мере. (Различ-
ные варианты этого утверждения носят название закона больших
чисел.)
2.10. Докажите, что указанные последовательности {fn} сходятся
по мере на интервале (—я, я), и найдите их пределы:
а) /<■(*) = й Σ sin2**; B)/„(*) = i E (1 + J)*sin2fcx;
б) /«(*) = и Σ #sinfcx; г) /„(*) = Ι Σ (l-|)sin2ikx.
*> Напомним, ЧТО /_ Сц — обозначение ряда > сп.

178 IX. Последовательности измеримых функций · УСЛОВИЯ
2.11. Найдите предел
л
lim Г arctg( \ Σ к sin2 kx) dx .
—л ^
2.12. Пусть {fn} — ортогональная система в £2(Е), ση = ——-—-.
Докажите, что
а) ак2(х) —> 0 почти везде на Е, если ограничены нормы ||/я||2;
б) ση{χ) —> 0 почти везде на Е, если ограничены нормы ||/я||оо·
Последнее утверждение часто формулируют, говоря, что для
последовательности {fn} справедлив усиленный закон больших чисел.
2.13. Пусть {/„} — ортогональная система в £2(Е), ση = 1 "п—-.
Докажите, что если ]Р -~\\fn\\\ < °°> т0 ση(χ) —> 0 почти везде на Е,
т.е. для последовательности {fn} справедлив усиленный закон
больших чисел. Докажите, кроме того, что функция h = sup„ \ση\
принадлежит^2^).
2.14. Пусть εη(χ) — и-й двоичный знак разложения числа jce(0, 1],
ση{χ) — уг(е\(х) + ... + εη(χ)). Докажите, что ση(χ) —> ^ почти везде
на (0, 1), т.е. у почти всех чисел из промежутка (0, 1) нули и единицы
в их двоичных разложениях встречаются одинаково часто.
2.15. Пусть т — одна из цифр 0, ..., 9, и пусть ст(х) = 1, если
десятичное разложение числа χ — [χ] имеет вид Ο,/w..., в противном
случае ст(х) — 0. Положим ση(χ) = ^ ]Г] cw(10*;c). Докажите, что
0^к<п
ση{χ) —> jq почти везде на (0, 1).
Число χ Ε (0, 1) называется нормальным, если при любом ρ Ε Ν его
разложение в р-ичную дробь содержит все «цифры» (числа 0, 1,..., ρ — 1)
одинаково часто. Известно, например, что число
jc = 0,12345678910111213141516171819202122 ...
(десятичное разложение jc состоит из выписанных одно за другим всех
натуральных чисел в десятичной записи) нормально [Кац].
2.16. Обобщая результаты задач 2.14 и 2.15, докажите, что почти все
числа интервала (0, 1) нормальны.

iАДАЧ · § 2. Сходимость в среднем. Закон больших чисел 179
2.17. Пусть / G ^2(0, 1), (f(x)dx = 0. Для произвольных л е N
0
и ε > 0 положим
Σ /ы|>4·
Ея(е) = |(хь...,хя)е(0,1)я
Докажите, что А„ (£„(£)) —> 0 при η —> оо.
2.18. Пусть {/„} С ^2(0, 1), jfn(x)dx = 0 при любом η е N. Для
произвольных η G N и ε > 0 положим
Яя(е)
j (дсь..., дс„
) е (0,1)л
Σ fk(xk)\ > ε\-
1^л ' )
Докажите, что λη(Εη(ε)) —> 0, если -^ ]Γ ll/itll?-*0·
2.19. Пусть φ е С (Μ), sup^ \φ\ < оо. Найдите предел
2.20. Пусть {а„} С С, {/л} — ортонормированная
последовательность в £2(Е), Sn = Σ a*/fc· Докажите, что если Σ \/л |ял|2 < оо,
\<к^п
то
а) Σ \\s - sk2\\l < оо, где 5 = Σ akfk;
б) ряд Σ Qnfn{x) сходится почти везде на Е;
B)suV\Sn\e£2(E).
§ 3. Функции Радемахера. Неравенство Хинчина
Пусть η £ Ν, к е Ζ, А„д = (~, -zjr). Определим функцию r,z на Ε
равенством r/i(jc) = (—1)* при jc G А„д, гл(~) =0. Функции г л называются
функциями Радемахера.

180 IX. Последовательности измеримых функций · УСЛОВИЯ
3.1. а) Докажите, что для любого ибМи любого набора {^}ι^£^η>
где числа ε^ принимают значения +1 или —1, найдётся такая точка
jcq Ε (0, 1), что г/с(хо) = ££ при к = 1, ..., п. Какова мера множества
таких точек?
б) Докажите, что г\(х + 1) = Π С*), гп(х) = г\(2п~хх).
в) Пусть ап(х) — п-й знак двоичного разложения числа χ Ε (0, 1).
Докажите, что ап(х) = ^(1 - гп(х)) почти везде на (0, 1).
г) Найдите сумму ряда ]Р 2~пгп(х) (χ Ε (0, 1)).
3.2. Докажите, что
1
а) (<p(ri(x),...,rn{x))dx = 2~п Σ φ{ε{,..., εη);
J0 £,,...,£„€{-1,1}
1 1
б) f( Π Φ* ('*(*)) W = П ((фкЫх))ах).
JQX\^k^n ' lsCJK" q '
3.3. Пусть т\,...,тп — попарно различные натуральные числа.
Докажите, что
а) \ф{гтх{х)*Гтг{х)* ·· .,rmn{x))dx =
°
= /<Р(Г1 (*)» г2(*)> · · · > rn(x))dx;
о
1
б) §rmi{x)rm2(x). ..rmn(x)dx =0.
о
В частности, {гп} — ортонормированная система в ^2(0, 1).
3.4. Вычислите интегралы
а) fe/iS2~*r*Wdc;
0
1
б) J^iS3"*r*Wrfjc;

ЧАДАЧ · § 3. Функции Радемахера. Неравенство Хинчина 181
В) jez{ciri(x)+...+c„r„(x)) άχ (Z)C/tgC).
г) Докажите, что если t, ап € R, ап —> О, Σ а\ = °°> то
Сeit{ain(x)+-+a„rn(x)) άχ _^ 0 при^0.
J η—+00
о
3.5. Докажите, что для любых комплексных чисел с \,..., сп
справедливы неравенства:
а) (1 Σ ckrk(x)\4dx^A( Σ Ы2)2;
б) ( Σ \ск\2)1/\в(\ Σ с*г*(*)|л,
где Л, β — абсолютные постоянные.
3.6. Докажите, что для любых комплексных чисел ckj- (&, j e N)
справедливы неравенства:
а) ί ί Σ ckjrk(x)rj(y)\ dxdy *ξΑ[ Σ \ckj\2) ',
i 1 1
б) ( Σ k*/l2)2^sff| Σ с^гИх)гу(у)|л^
где Λ, β — абсолютные постоянные.
3.7. Докажите, что
а) {rjrk}j<k — ортонормированная система в «2?2(0, 1);
б) для любых комплексных чисел cjk справедливы неравенства:
Μ Σ cjkrj{x)rk{x)
dx^Ai Σ Μ2) ;
( Σ \cjk\2) ^B(\ Σ Cjkrj{x)rk{x)\dx9
где А, В — абсолютные постоянные.

182 IX. Последовательности измеримых функций · УСЛОВИЯ
3.8. Докажите, что для любых комплексных чисел с\9 ..., сп
справедливы неравенства:
|4 / _ Л2
а) Г Ι Σ с* sin 2**1 dx^A( Σ Μ2) ;
JQ ' l^k^n ' ч1<*<л J
б) ( Σ Ы2У/2^Я f Ι Σ ckan2k.
где А, В — абсолютные постоянные.
3.9. Докажите, опираясь на результаты задач 3.5-3.8, что для
любого г > О и любых комплексных чисел q, сд справедливы неравенства:
а) А{*е(0,1) ||Σ'*Μ*)|>'}<7γ(Σ 1с*12)2;
б) λίχ е (О,1)
Σ Cjkrj{x)rk{x)\ > Α ζ
с
1 Х\^)<к^п J
в) λ{χ е (0, 2я) Ι Ι Σ с* sin 2**1 > Л < §(£ Ы2)2,
где Λ], Α2> ^3 — абсолютные постоянные.
3.10. Пусть ση(χ) = ^ Σ *"*(·*)(·*£ (0» 1))· Докажите, что
а) Σ^^(0, 1)|σ,(χ)>η-1/5}<οο;
б) Σ Ισ/ι(*)|4 < °° почти везде на (0, 1).
Каждое из утверждений а), б) влечёт почти везде на (0, 1)
равенство lim ση(χ) = О, которое известно под названием усиленного за-
п—>оо
кона больших чисел. Используя связь между функциями Радемахера
и знаками двоичного разложения (см. задачу 3.1 в)), выведите отсюда,
что двоичное разложение почти каждого числа содержит «поровну»
нулей и единиц (см. задачу 2.14).
3.11. Пусть С — произвольная квадратная η χ η матрица, А —
множество всевозможных векторов в Жп, координаты которых равны ±1.

ЗАДАЧ · § 3. Функции Радемахера. Неравенство Хинчина 183
Докажите, что
а) Σ (Сх,у)4<д:1-2-2»( Σ (Сх,у)2)2;
х,у£А х,у£А
б) ( Σ (Сх,у)2)1/2^К2-2-» Σ \(Сх,у)\,
х,у£А х,у€А
где К\, К2 — абсолютные постоянные.
3.12. Пользуясь теоремой единственности для преобразования
Фурье конечных борелевских мер (см. §4), найдите возрастающие
функции распределения следующих функций:
а) № = Ι+Σ3ΛΜ; б) f(x) = Σ 2-krnlk(x),
где χ Ε (0, 1), a {m^} — произвольная (не обязательно возрастающая)
последовательность попарно различных натуральных чисел.
3.13. Пусть Rn = а\г\ + ... + апгп (а\, ..., ап G М)> Δ — один из
промежутков AW)y (см. определение функций Радемахера). Докажите,
что при т ^ η справедливы неравенства:
а) j\Rm(x)\dx^j\Rn(x)\dx;
Δ Δ
б) feR*Wdx^ feR»Wdx.
Δ Δ
в) Докажите, что неравенства а), б) сохранятся, если Δ заменить на
множество Ε = {χ е (0, 1) | | Σ akrk(x)\ > *}·
3.14. Пусть
ΚΛ=αΐΠ +. .. + апгП9 А2 = \а]\2 + ... + \ап\2 (аьа2» ··· ,ап€Щ-
Используя неравенство chw < еи I2 (и е Е), докажите, что при t > О
а) Я {х е (0, 1) | |Ля(х)| > ί} < 2^"ί2/(2Λ2);
б) если£={х G (0, l)|max{|/?i(jc)|,...,|Rn(jc)|} > r},ToA(£)^f,
λ(Ε) < 2^-i2/(^2).
Убедитесь, что для комплексных яд неравенство а) заменяется на
Я{...}<4е-'2/(4А2).

184 IX. Последовательности измеримых функций · УСЛОВИЯ
3.15. Пусть Σ \ак\2 < °°. Докажите, что
а) рад Σ akrkix) сходится почти везде;
1
б) если Af(jc) = supn^i\a\ri(x) + ... +апгп(х)\, то \ esM (x'dx<oo
О
для любого числа s > 0.
3.16. Докажите, что если ряд ]ζ а^г^ сходится по мере на
каком-нибудь множестве Ε положительной меры, то Σ \ак\2 < °°.
3.17. Докажите, что эквивалентны утверждения:
а) Σ \ак\2 < оо;
б) рад Σ акгк сходится в 2?р(09 1) при некотором ρ Ε (0, 2);
в) ряд Σ акгк сходится по мере на интервале (0, 1);
г) ряд Σ акгк сходится почти везде на (0, 1).
3.18. Докажите, что если ряд Σ я* sin2*;c сходится по мере на
каком-нибудь множестве положительной меры, то Σ \ак\2 < °°.
3.19. Пусть Σ \ак\2 < сю, Δ — непустой интервал. Докажите, что
если vraisup|]T} а^гк{х)\ < оо, то Σ \ак\ < °° (СР· с задачей 4.15).
χΕΔ
3.20. а) Пусть {φη}η^\ — ортонормированная система в
пространстве i^2(0, 1). Докажите, что
„ ι г |2
2^ \\<Pn{t)dt\ ^Х(е) для е С (0, 1).
б) Уточните это неравенство для системы Радемахера.
В задачах 3.21 и 3.22 мы будем рассматривать систему функций Ха-
ара {h,n}m^0' Она определяется следующим образом. Каждое
натуральное число т единственным образом представимо в виде т = 2п + к, где
пук — целые неотрицательные числа, 0 ^ к < 2п. По определению
полагаем ho(x) = 1 для любого χ Ε (0, 1), а при т Ε N
( 2п/2 при2~пк<х <2~п(к+1-),
М*) = \ -2п/2 при 2~п(к + ±) < χ < 2~п(к + 1),
[ 0 при прочих значениях χ Ε (0, 1).

ЗАДАЧ · § 3. Функции Радемахера. Неравенство Хинчина 185
3.21. Докажите, что
а) {hm}m>0 — ортонормированная система в ^2(0, 1);
б) если Ε = lx Ε (0, 1) Σ akhk(x)\ > ί k то при η > т
Ν Σ akh{x)\dx =ξ Μ Σ М*С*)|^;
в) если Ε = \x e (0, 1) max Σ αΛ(·*) > * k то
λ{Ε)^ΑΓι, где А2=|в!|2 + ... + |вя|2;
г) если Σ Ια*|2 < °°> то РЯД Σ akhfc(x) сходится почти везде
на (0, 1);
д) частичная сумма Sy* ряда Фурье функции / из £?1(0, 1)
по системе Хаара есть результат усреднения / на промежутках
Л t=fi Ш.\ к - 0 1 2п - 1·
е) выведите из д), что ||52n||i < ||/||ι·
3.22. Известно, что ряд Фурье по системе Хаара любой
суммируемой функции сходится к ней*) в £?^0, 1). Опираясь на это, докажите,
что
а) этот ряд сходится почти везде на (0, 1);
б) если Ε = {х е (0, 1) | sup„ |5w(x)| > ί}, где Sn — п-я частичная
сумма ряда Фурье функции / по системе Хаара, то λ(Ε) ^ ^-^-.
3.23. а) Используя результат задачи 3.14, докажите, что при любом
ρ > 0 и любых α ι,..., ап G Ш справедливо неравенство Хинчина
Ар( Σ al) dl Σ акгк\\ ^Βρ( Σ *{) >
где Ар, В ρ — положительные постоянные, зависящие только от /?,
и lim Bp/Jp ^ 1/v^".
Отметим, что оценка снизу при ρ > 2 очевидна (с коэффициентом
Лр = 1, который нельзя увеличить), а оценка сверху очевидна при
ρ ^ 2 (с коэффициентом Z?^ = 1, который нельзя уменьшить).
*) Читатель, знакомый с элементами функционального анализа, заметит, что это
легко вывести из теоремы Банаха—Штейнгауза.

186 IX. Последовательности измеримых функций · УСЛОВИЯ
б) Докажите, что Ар ^ ар = 22 ρτηιη{\9γρ} при ρ е (О, 2],
Βρ^βρ = 22 РУр при /7^2, где ур - (-ртту-) Р (Р > 0) (в [Haag]
доказано, что ар, >3р — наилучшие значения коэффициентов Ар и Вр).
В частности, Z?2m 5^ {(^т ~ 1)") W Для всех w £ N.
3,24. Докажите, что если при ρ > 2 и некотором #^ неравенство
Λ1/2
Σ акГк
Х^к^п
^
вР( Σ Ы2)
справедливо для любых вещественных чисел а\, ..., ап, то оно
справедливо и для любых комплексных а \9 я 2,..., cin.
При 0 < ρ < 2 аналогичное утверждение верно для неравенства
Σ \ak\2)' ·
l^k^n
l^k^n
3.25. Пусть ρ > 0, η е N и а\,..., ап G Ш. Докажите, что
1
II п ПР+2 wll "
а) ΣакгЛ l={p + l)Έa2j(\\tajrj + Σaιcrk
" k=l UP+2 j=l ·> м к=\
0 кф}
dt;
б) наилучшие постоянные Вр в неравенстве Хинчина
удовлетворяют неравенству Я£+2 ^ (^ + 1)^£; кроме того, В^ = (2т - 1)!!.
3.26. Пусть nGNHfli,...,flnGi. Докажите, что
°°/ л \
a) J|fl1n(jc) + ...+flllr„(jc)|rfx = | J(l- Π cosflfcij^;
0 0 к=гЛ
в) при ρ Ε (0, 1] наилучшая константа А^ в неравенстве Хинчина
равна 22 р.
3.27. Докажите, что утверждения а)-г) задачи 3.17 эквивалентны
утверждению:
д) ряд Σ акгк сходится в ^(0, 1) при любом ρ из (0, со).

ЗАДАЧ · § 3. Функции Радемахера. Неравенство Хинчина 187
3.28. а) Докажите, что для любого тригонометрического многочлена
У^ с^е1^ можно указать такие числа ε# = ±1 (\к\ ^ и), что
|*|<п л
ГΙ Σ ^c^/fafk^c(E k*l2)1/2.
где с > 0 — абсолютная постоянная.
б) Рассмотрим тригонометрический многочлен Τη(φ) = Σ akelkq>·>
к=\
коэффициенты которого а\,...,ап образуют перестановку чисел
1, 2,..., п. Докажите, что тривиальная оценка
л
Ш\\= j \Τη{φ)\άφ ^ у/7л \\Тп\\2 = 2я\Л2 + ... + η1 ^ constn3/2,
—π
вообще говоря, не может быть улучшена по порядку: для каждого
η G N существует такая перестановка а \9 ..., ап чисел 1,..., и, что
IITwill ^ сп3/2 (с > 0 и не зависит от п).
3.29. Докажите, что для любого тригонометрического многочлена
У^ c^elkx (η ^ 2) можно указать такие числа ε# = ±1 (\к\ ^ и), что
Σ w4ooVh^(E IqI2)1/2·
|*|<и |*|<и
3.30. Докажите, что при любом а > 2 найдутся такие числа д^ > О,
у, /1π(*)+...+Γ„(*)ΐγ
~г% \ \/аи1пи /
sup
xGM
что ряд
Н — '\Г1(х)+...+гн(х)\\Яп
п^2
сходится почти везде. Выведите отсюда, что почти везде
п—>оо V2n In n
3.31. Пусть {rij} — произвольная возрастающая последовательность
натуральных чисел. Докажите, что
\rl(x)+r2(x)+...+r„(x)\
lim -===. ζ 1
У->+оо ^/2nj\nj
почти везде на (0, 1). Если j = 0(ln wy), то мы получаем отсюда весьма
слабый вариант закона повторного логарифма:
\ri(x)+r2(x)+...+rHj(x)\
lim ^ 1 почти везде на (0, 1).
У—*+оо у/2rij In In rij

188 IX. Последовательности измеримых функций · УСЛОВИЯ
§ 4. Ряд и преобразование Фурье
Всюду далее в этом параграфе символ f(n) обозначает п-и коэффициент Фурье
суммируемой на промежутке (—я, π) функции / относительно ортогональной
системы {е1ПХ}пе%:
я
/(«) = £//(*)«"""<** (»ez).
—я
Sn = Sn(f) — п-я частичная сумма ряда Фурье функции /. Мы считаем, что
читателю известна теорема об однозначной (в существенном) определённости
суммируемой функции её коэффициентами Фурье: если f\(n)=f2(n) при
всех η £ Ζ, то f\(x) = /2М почти везде на (—я, π). Напомним, что
свёртка f двух 2я-периодических и суммируемых на промежутке (—я, π)
функций g и h определяется равенством
я
/(*) — I 8(х — У) Ь(у) dy ДЛ* почти всех х £ К.
—я
Как обычно, мы обозначаем её символом g * h.
4.1. Пусть |α| < 1 и /«(*) = \х\а при 0 < |jc| < л. Найдите
асимптотику коэффициентов Фурье функции f а.
4.2. Пусть / G «2Г 1(0, 2я). Докажите, что
а) если / убывает, то её синус-коэффициенты Фурье
неотрицательны;
б) если / выпукла, то её косинус-коэффициенты Фурье
неотрицательны.
4.3. Используя результат задачи IV.6.20, докажите, что
коэффициенты Фурье суммируемой функции могут стремиться к нулю сколь
угодно медленно.
4.4. Используя косинус-коэффициенты Фурье чётной функции,
приведите пример такого ненулевого ряда Σ ап, что Σ akj — О ПРИ люг
бом k G N (ср. с задачей IV.3.8).
4.5. а) Пусть 0 < а < 1, / е С([—я, л]). Докажите, что если
f(n) = 0(|η|-(1+α)), то / G Lipa. Верно ли это при α = 1?
б) Докажите, что если 0 < а ^ 1 и f — 2я-периодическая функция,
входящая в класс Lipa, то /(и) = 0(|η|-α). Убедитесь, что эта оценка
точная.

ЗАДАЧ ·
§ 4. Ряд и преобразование Фурье
189
4.6. Пусть ρ G (0, 1),
fp{*) = Σ ^, Μ*) = Σ ^>
и пусть Лр — 2я-периодическая функция, определённая на промежутке
(О, 2л) равенством
Μ*)^50((έΓι + (1 + έΓι + ···+(^ + έΓ1-τ)·
Убедитесь, что hp есть линейная комбинация функций f p и gp.
Выведите отсюда, что на интервале (0, я) функции fp, gp убывают,
выпуклы и
/pW = ;fe + 0(l), Ы') = ^ + 0(1),
где Лр, В р — некоторые положительные коэффициенты.
4.7. а) Докажите, что если / — функция ограниченной вариации на
промежутке [-я, я], то /(и) = О (и-1).
б) Пусть f(x) =xcos^· при 0 < \х\ ^ я, /(0) = 0. Докажите, что
/(и) = 0(п-1), хотя вариация функции / на [-я, я] бесконечна.
4.8. Пусть / G «2?°°(—я, я). Докажите, что числа /(w)/y^jwf (η е Ζ,
и ^ 0) являются коэффициентами Фурье функции, входящей в класс
Lip^ (используйте конструкцию задачи Ш.3.23).
4.9. Пользуясь равенством Парсеваля, докажите неравенство Вир-
тингера*): если / е С!([0, 2я]), причём /(0) = 0 и /(0) = /(2я), то
f\f(x)\2dx^f\f'(x)\2dx.
о о
Для каких функций это неравенство обращается в равенство?
4.10. Пусть /£&ι(—π9π). Докажите, что Σ \f(n)\ < °° тогда
nez
и только тогда, когда / представима в виде свёртки двух 2я-пери-
одических функций из ^2(-я, я).
4.11. При каких ρ > 0 сходятся ряды
a)EVEIp>; 6)Е(_,).и^ш?
*) Доказательство, не использующее ряды Фурье, см. в указании к задаче 1.2.40.
Различные обобщения неравенства Виртингера можно найти в [ХЛП] на с. 221, 384.

190 IX. Последовательности измеримых функций · УСЛОВИЯ
4.12. Докажите сходимость рядов
4.13. Пусть Sn(x) = sinx + \ sin 2л; + ... + \ sinnx — п-я
частичная сумма ряда Фурье функции f(x) = \(n—x) (χ Ε (0,2л)),
Gn = maxSn{x). Докажите, что суммы Sn(x) положительны на (0, я)
и что л
G» = s»{jZi) T G = S SJ7Tdu > f =/(+0)
0
(явление Гиббса).
4.14. Пусть f(x) = Σ \ sin(nn"\x\) (\x\ ^ я). Докажите, что
а) ряд Фурье функции / расходится в точках χ = 0, χ = ±я и
сходится в остальных точках промежутка [-я, я];
б) если непрерывная функция g совпадает с / на промежутке [а, я],
а на промежутке [—я, а] линейна, то её ряд Фурье расходится в точке а
при почти всех а Е (—я, я).
4.15. Докажите, что следующие три свойства тригонометрического
ряда Σ (аηcos2Πχ + bnsin2nx) эквивалентны:
б) частичные суммы Sn(x) = X] (ancos2nx + bnsin2nx)
равномерно
но ограничены на некотором промежутке [ayb], a <b\
в) суммы S#(jt) равномерно ограничены на R.
Будем называть вещественным квазитригонометрическим многочленом
функцию / вида
/СО = Σ я it cos(2^mjtx Η- </>0 (jc G R),
где mk, </>ь я it Ε % mk ^ 0. Множество {ть ..., mn} будем называть
спектром квазитригонометрического многочлена /, а числа т^ — его
частотами.
Произведения вида
Π (1 + соь(2лткх 4- <рк)) (п G N)
к=\
называются произведениями Рисса.

ЗАДАЧ·
§ 4. Ряд и преобразование Фурье
191
Последовательность {тк } С Ш+ будем называть лакунарной, если она
удовлетворяет условию
mk+\/mk ^ Q > 1 при всех £ Ε N. (*)
4.16. Пусть {тк} — последовательность положительных чисел,
удовлетворяющая условию (*) при некотором Q > 1. Докажите, что
а) если Q > 3, то при любом натуральном η произведение Рис-
п
са Rn(x) = Π (1 + cos(2jrm£* +ф*)) есть квазитригонометрический
к=\
многочлен вида
η s
Rn(x) = 1 + Σ cos(2^m^x + φ*) + Σ c; cos(2jrn;;c + i/)j),
*=1 7=1
где rij Φ mk при всех j = 1,..., s, & e N;
б) существует такое натуральное число г = r(Q), что при
любом целом /?, 0 ^ ρ < г, и любом и, «GN, произведение Рисса
Я/?(*) = Π (1 + cos{2mnkr+px + φ*)) не содержит слагаемых с часто-
к=\
тами т^ отличными от mr+p, m2r+n,..., тпг-\-р^ т.е. имеет вид
~ п s ~
Rn(x) = 1 + Σ cos^jrm^+pX + щ) + Σ ^/ cos(2jrn;-x + ^;·),
*=ι ;=ι
где rij φ тк при всех j = 1,..., Ι, к G Ν.
4.17. Пусть F(jc) = Σ akcos{2mnkx + φ*) — вещественный ква-
*=1
зитригонометрический многочлен, частоты которого образуют ла-
кунарную последовательность, удовлетворяющую условию (*),
Μ = sup |F(jc)|. Докажите, что существует такое число С = C(Q), что
xeR
N
Σ \ак\ ^ C^> каковы бы ни были коэффициенты я^.
А--=1
В нескольких следующих задачах используются суммы Чезаро-Фейера.
Суммой Чезаро-Фейера функции / е &1(-л,л) называется
тригонометрический многочлен
σΛ(/, χ) = ση(χ) = (леК),
где Sq,S\, ... ,Sn — частичные суммы ряда Фурье функции /.
Суммы Чезаро-Фейера представляются в виде свёртки функции /

192 IX. Последовательности измеримых функций · УСЛОВИЯ
и ядра Фейера Фп:
π
<*n(f,x) = j Фп(х ~y)f(y)dy,
—π
Отметим также важное равенство
<*.(/,*)= Σ (1
|*|<л
4.18. Пусть Τ — тригонометрический многочлен порядка не выше п.
Докажите, что
Т' = -2п Τ * Ψ„, где Ψ„(χ) = Фп(х) sin nx .
Выведите отсюда ослабленное неравенство Бернштейна:
тах|Г'(дс)| ^ 2птах|Г(х)|
и аналогичные оценки для //-норм (по поводу неравенства
Бернштейна см. задачу 1.2.22).
4.19. Пусть / — 2л--периодическая функция, суммируемая на
(—л, л). Докажите, что
а) если / непрерывна в точке xq, то ση(χο) —> f(xo), a если /
непрерывна всюду, το ση =3 / на R;
б) если / непрерывна во всех точках компактного множества Δ, то
max\an{x) -f(x)\ ^ 0;
хеА
в) если в точке χ существуют конечные односторонние производные
/'+(*) и/'_(*), то
^-(^(х)-Лх))-1(Д(х)-Г_(х));
г) сходимость {ση} к f не может быть слишком быстрой: если
limn||/ - ση\\\ = 0, το / = const почти везде.
4.20. Пусть / — 2л--периодическая функция, / е Lipa, 0 < а < 1.
Докажите, что при η —> оо
а) \\ση -/Нос = О (/!"«); в) ||S„ -/||оо = О (η"α1ηπ).
6)||S„-/||2 =0(n-«);
4.21. Пусть / — 2я-периодическая функция, / е Lipj. Докажите,
что при η —> оо
а) К-/||00 = 0(л-11пл); в) \\Sn - /||оо = 0(п~х Inn).
6)||S„-/||2 =0(n-1);
где Фл(х) =
1 sin (rue/2)
2л" sin2(jc/2)
_Ш) ,(*)*«■**.

ЗАДАЧ ·
§ 4. Ряд и преобразование Фурье
193
4.22. Пусть / — 2я-периодическая функция, / е Lipa. Докажите,
что если а > ^ то Σ \f(n)\ < °°· При α = ^ утверждение становится
неверным (см. задачу 4.30).
4.23. Пусть / — 2я-периодическая функция, суммируемая на
(-я, я). Докажите неравенство
sup |σ„(/,χ)| ζ CAf (/,*),
где С — абсолютная постоянная, аМ(/д) — максимальная функция
Харди—Литтлвуда:
x+h
M(x) = suv± f \f(y)\dy.
h>0 x-k
Покажите на примере, что функция χ ι—► sup„ |σΛ(/, лс)| может быть не
суммируемой на промежутке (0, 2я).
4.24. Пусть f(x) = Σ 9γτί (χ Ξ Щ. Докажите, что
aj/GC1 (R), / G C2(0, 2я), /" e %x (0, 2я);
в) En(f) χ j^L. Здесь £„(/) = inf ||/ - Г||оо, где нижняя грань
вычисляется по всем тригонометрическим многочленам Т, порядок
которых не превышает п.
4.25. Рассмотрим две последовательности алгебраических
многочленов {Рп}п^0 И {Qn}n^o (многочлены Рудина—Шапиро), которые
определяются рекуррентно следующим образом: Pq = Qq = 1 и для
л = 0, 1,2, ...
Pn+i(z)=Pn(z) + z2"Qn(z), Qn+i(z) = Pn(z)-z2"Qn(z).
Докажите, что
а) степень многочленов Рп и Qn равна 2п — 1;
б) все коэффициенты многочленов Рп и Qn равны ±1;
в) если ζ е С, \ζ\ = 1, то |Ρ„(ζ)|2 + \Qn(z)\2 = 2п+х.
4.26. Пусть Rn (Ν = 0, 1, 2, ...) — естественная проекция
множества всех алгебраических многочленов на множество многочленов
степени не выше N (## аннулирует одночлены, степень которых
больше Ν, и не меняет одночлены, степень которых не превосходит Ν).

194 IX. Последовательности измеримых функций · УСЛОВИЯ
Докажите, что при ζ Ε С, \ζ \ = 1, и любых Ν, η eN, для многочленов
Рудина-Шапиро Рп и Qn (см. задачу 4.25) справедливы неравенства:
\RN(Pn)(z)\ < 10V7V, \RN(Qn)(z)\ ^ lOVN.
4.27. Докажите, что существует ряд Σ е^е1^, где ε^ = ±1, для всех
частичных сумм Sn которого справедливы неравенства:
2/г
a) max |5„(0)К 10^; б) Г |5„(0)|</0 > A/f.
0
4.28. Используя последовательность {ε^^ο из задачи 4.27,
убедитесь в том, что существует такой равномерно сходящийся на К.
ряд /(0) = ]ζ α^βιΙίθ, что ^ |д^|^ = +оо для любого /? < 2
(особенно
ноешь Карлемана).
4.29. Пусть последовательность {ε^} С С удовлетворяет условию
η
Σ ε/,βι,ίθ\ = 0{\/п) (ср. с задачей 4.27). Докажите, что при а > 0
max
0£К
*=1
a) maxl £ lJheiM\ = 0(n°);
Μ/2-α
б) max Ι Τ -£- eike\ = Ο (η~α);
в) функция /(Θ) = Σ Li/2+a ^ ВХ°ДИТ в класс Lipa при α Ε (0, 1).
4.30. Докажите, что существует такая функция / Ε Lipi/2 виДа
/(0) = £ Ckelke, что X] |q| = oo (ср. с задачей 4.22).
4.31. а) Пусть /, g Ε &2(—π, я), h = fg. Докажите, что если
f(n) = g(n) = 0 при п < 0, то и h(n) = 0 при η < 0.
б) Пусть / Ε .Sf°°(—я, я), Φ = еЛ Докажите, что если /(и) = 0 при
η < 0, то и Ф(и) = 0 при η < 0.
4.32. Пусть / ε «S?2(—я, я). Рассмотрим функцию /, определяемую
равенством
/(*) = -* Σ /Μ sign(n) е/ш: (χ Ε (-я, я)).
«ΕΖ
Докажите, что функция / вещественна, если вещественна функция /.

ЗАДАЧ · § 4. Ряд и преобразование Фурье 195
Функция / называется сопряжённой к /. С одним из многочисленных
применений этого важного понятия читатель может познакомиться в двух
следующих задачах, заимствованных из [MGPS].
4.33. Пусть 1 = по < п\ < П2 < ·. · < пт — натуральные, а а\,
ci2> · · ·, ат — произвольные комплексные числа, и пусть
/*(*)= Σ ajeinix (*€R)
2*-ι</<2*
(мы считаем, что к ^ 1 и α у = 0 при j > m). Пусть, далее,
8k = \fk\> hk=gk-igk, Η^ = Σ/*ΓεΣ^,
к>\
где ε — произвольное положительное число, g^ — функция,
сопряжённая к gk (см. определение в задаче 4.32). Докажите, что
а) |F£(jc)| ^ ε~ι при любом χ Ε (—л, л)',
б) если 2?~l ^q < 2?, то
|F,K)-^|^|EllAll2Ell/yll2.
к^р j^k
4.34. Пусть 1 ίξ п\ < П2 < .. · < пт (rij Ε Ν). Используя результат
предыдущей задачи, докажите, что для любых комплексных чисел
с\9С2> ·· · ,ст справедливо неравенство
ί| Σ cje^Adx^S Σ ψ,
_V U^"
где δ — положительная абсолютная постоянная (δ ^ 10 2).
Преобразованием Фурье функции /G5f1(Em) называется функция /,
определяемая равенством
f(s)= f /(ήβ-^ώ (sGRm),
где (s,t) — скалярное произведение векторов s, t Ε Еш. Напомним, что
преобразование Фурье инъективно в том смысле, что если / = g, то /(г) = g(r)
при почти всех ί Ε Ew. Как и в периодическом случае, свёртка двух
суммируемых в Ет функций g и h обозначается символом g * h. По определению
(g * Λ)(χ) = J g(* - y)h(y)dy для почти всех jc E Em.

196 IX. Последовательности измеримых функций · УСЛОВИЯ
4.35. Найдите преобразование Фурье и свёртку функций fCl * fC2
в следующих случаях (с > 0):
а) fcix) = 77^e'x2/{2c2) (леМ);
б) fc(x) = (2л-с2)-т/2е-ИхИ2/(2с2) (jc е Rm);
4.36. Найдите преобразования Фурье функций Эрмита
hn(x) = ^2/2(в-*2)(л) (jc e R, л = 0, 1, 2, .. .)·
4.37. Докажите, что если свертка суммируемой на Ш.т функции /
с функцией e~IWI тождественно равна нулю, то /(jc) = 0 почти везде.
Преобразованием Фурье конечной меры μ, заданной по крайней мере на
борелевских подмножествах пространства Ет, называется функция μ,
определяемая равенством
μ(5)= j β-^^άμ(ΐ) (s GEm),
где (s,t) — скалярное произведение векторов sy t G Em. Как и
преобразование Фурье суммируемых функций, преобразование Фурье мер инъективно
(см., например, с. 302 в [П]).
Преобразование Фурье меры в Е, порождённой неубывающей ограниченной
функцией g, мы обозначим символом #".
4.38. Пусть F — возрастающая функция распределения функции
/ G SP{E\ где Ε С Rm, Xm(E) < оо. Докажите, что
F(s)=je-isfWdx (s еЩ.
Ε
1
4.39. Пусть d(s) = Гe~lst da(t) (s G Щ, где σ — канторова функ-
0
ция (см. определение перед задачей Ш.3.14). Докажите, что S(s) /> 0
при s —> оо.
1
4.40. Пусть σ\(χ) = \ σ(χ — у)da(y) (x G Ш), где σ — канторова
0
функция (σ(χ) = 0 при χ < 0, σ(χ) = 1 при χ > 1). Докажите, что
а) σι строго возрастает на промежутке [0, 2];
б) d\(s) /> 0 при 5 —> оо.

ЗАДАЧ·
§ 4. Ряд и преобразование Фурье
197
4.41. Пусть при t > О
g(t) = sup{ Σ *к2~к Ι Σ Ck2-{2k-l) ^ t, ек = О или ΐ) ,
g(0 — О ПРИ ί < 0. Докажите, что
а) g Ε C(R);
б) g'(0 = 0 почти везде на R;
в) g{s)=e-is'3Y[ cos(s/4");
п£\
+оо
г) j g(x-t)dg(2t) =
0 при х < 0,
χ при 0 ίξ jc ίξ 1,
Ι 1 при χ > 1.
4.42. Пусть ν = {пк} — произвольная строго возрастающая
последовательность натуральных чисел, ν\ = {п2к-\}к^\> v2 — {п2к}к^\-
Пусть, далее, при t > 0
g(t) = supjX; ek2~k I Σ ек2~п* ^ ί, ε* = 0 или l) ,
g(i) = 0 при t ^ 0, функции g\ и #2 строятся аналогичным образом
с помощью последовательностей vj и V2 соответственно. Докажите,
что
а) g Ε C(R);
б) #{ (0 = #2^) = ^ почти везде на R;
в) функция g «делима» в том смысле, что g = g\ * g2, то есть
#(*) = Г £ι(* ~0^£2(0 при любом χ Ε R.
—оо
4.43. Докажите, что если две конечные борелевские меры в Ш.т
принимают одинаковые значения на всевозможных полупространствах
(т.е. множествах вида {jc Ε Ш.т \ (х9 а) ^ с}, где а Ε Ш.т, с Ε Μ), то они
совпадают.
4.44. Найдите общий вид вероятностной борелевской меры в
пространстве Ш.т, инвариантной относительно ортогональных
преобразований и являющейся в то же время произведением двух мер,
сосредоточенных на нетривиальных ортогональных подпространствах.
4.45. Пусть W — симплекс в Ш.т с вершинами vq, ..., vm.
Докажите, что преобразование Фурье характеристической функции χψ

198 IX. Последовательности измеримых функций · УСЛОВИЯ
множества W равно
Xw(s) = f *"'<'■'>* = ^ψΐ Σ e-'^j) Π
4.46. Пусть %λ(5) — I e~l(SJ^dt — преобразование Фурье характе-
Q
ристической функции квадрата Q = [-1, I]2. Так как функция %q
разрывна, то её преобразование Фурье не суммируемо на Ш2. Докажите,
что тем не менее %Q G £P(R2) для любого ρ > 1. Какова асимптотика
интеграла /# = I \x0(s)\ds при 7? —> +оо?
||s||<*
4.47. Пусть 2β(5) — I e~l^s,t'dt — преобразование Фурье характе-
в
ристической функции круга В = {t G Ш2 | ||ί|| < 1}.
а) Для каких ρ > 1 справедливо включение χβ € ^^(М2)?
б) Какова асимптотика интеграла .7/? = Г |2θ($)|β?$ при
R -++оо?
Тригонометрическим многочленом от двух переменных jc, у е R будем
называть сумму
Т(х,у)= Σ с^пе^^К
в которой лишь конечное число коэффициентов cm,n GC отлично от нуля.
С каждым множеством Ω С R2 свяжем проектор Р&, действующий в
пространстве всех таких многочленов:
Рп(Т;х,у)= Σ си,я*/(тг+я>>
(ради краткости указание m, n G Ъ будем опускать). Таким образом,
проектор Ρςι оставляет в тригонометрическом многочлене только слагаемые,
соответствующие частотам из Ω. Допуская вольность речи, мы будем
говорить, что Ρςι — «проектор на Ω». Проектор Ρςι назовем ограниченным,
если существует такое число С, что для всякого многочлена Τ справедливо
неравенство
max \Pq(T;x, у)\ ^ С max \Т(х, у)\.
х,уеш х,уеш
Наименьшее из всех таких чисел С обозначим \\Pq\\.

ЗАДАЧ·
§ 4. Ряд и преобразование Фурье
199
Аналогично проектор и его норма определяются в пространстве
тригонометрических многочленов от одной переменной. Проектор на множество
Ω = [—Ν, Ν] есть не что иное, как Л/-я частичная сумма ряда Фурье. Ясно,
что если множество Ω С Ε ограничено, то
Pq(T;x) = j T(u)DQ(x - u)du,
где . τ—Λ
1Л ηΕΩ
— ядро Дирихле, соответствующее множеству Ω. В этом случае проектор
Pq естественным образом определяется не только на тригонометрических
многочленах, но и на всех суммируемых на {—л, л] функциях. Можно
доказать, что π
\\Pn\\ = \\DQ\\i= j |Dq(h)|Ai<oo.
—я
При Ω/ν = [—Ν, Ν] функция Dq (и) = ~ z2 e~mu есть классическое яд-
ро Дирихле и
\\PnJ= j \DQN(u)\du = ± f\^n-^\du.
-я -я 2
Заметим, что ЦРд^Н ^< InN при N —> со (см. задачу IV.6.11). Аналогичные
факты справедливы и для многочленов от двух переменных. Если
множество Ω С Е2 ограничено, то
dudv,
Ра(Т;х,у)= jj T(u,v)DQ{x-u,y-v)
[-я,я]2
где
DQ(n, ι;) =-Ь Σ e-^u+nv)
4я (m,n)eQ
— «двумерное» ядро Дирихле, соответствующее множеству Ω. Как и в
одномерном случае,
\\Ра\\ = IIDqIIi = Я 1°о(и. v)\dudv < оо.
4.48. Докажите, что проектор на луч Ω = (α, 4-ос) не ограничен.
4.49. Пусть N GN. Докажите, что
_1_
2л·
ΐ|8ω(ΛΤ+ί)ιΐ| -- l+'i-+~r^
J I sin; ! π2 fr*.
2
3 2*(2V+1)-1
ш 4k2~l
В частности, нормы проекторов на [—Ν, Ν] возрастают с ростом N.

200 IX. Последовательности измеримых функций · УСЛОВИЯ
4.50. Пусть Ωο С Ω С R. Верно ли, что \\Pq0\\ ^ ||^ω||, если Ω
ограниченное множество?
4.51. Используя результат задачи 4.34, докажите, что нормы
проекторов на промежутки Ω# = [—Ν, Ν] имеют минимальный порядок
роста: для любого множества Ω С R, card (Ω Π Ζ) = Ν, выполняется
неравенство \\Pq\\ ^ c\\Pqn\\ с абсолютной константой с > 0.
4.52. Докажите, что для любой полуплоскости Ω С Ш2 проектор Pq
не ограничен. Ограничен ли проектор на полосу
QA = {(s,/)€R2 | И ^Δ}?
4.53. Докажите, что проектор на наклонную полосу
Ω = {(s, t) е Μ2 I \t - as Ι ζ Δ} (a G R, Δ > 0)
с коэффициентом наклона а еШ ограничен лишь при рациональном а.
4.54. Пусть Ω С Ш2 и N = card^ Π Ζ2) < -foo. Докажите, что
тривиальная оценка
\\Pn\\<2*\\Dn\\2 = VN9
вообще говоря, не улучшаема по порядку: существует такое
подмножество Ωο С Ω, что ||Pq0|| ^ с y/N, где с > 0 — абсолютная константа.
4.55. Докажите, что норма проектора на квадрат [—7?, R}2 имеет
порядок роста In2 R (при R —> -foo), а нормы проекторов на круг B(R)
растут значительно быстрее — как y/R.
4.56. Пусть Sn^m — проекторы на прямоугольники Ω#,μ =
= [—Ν, Ν] χ [-Μ, Μ] (Ν, Μ G Ν). Рассмотрим такие 2л--периодические
по обеим переменным функции fv (ν ^ 1), что fv(x*y) — eivxy при
χ, у G (0, 2л). Докажите, что для любых χ и у из (0, 2л) справедливы
неравенства:
а) \SNM{fv\x,y)\^±\nN + 0{\)\
б) если Μ > 2лv, то \SNtM(fv;x9y)\ < θ(ϋζ^) +0(1);
в) \SNMfv'>x> У)\ > |г + 0(1) при N = [vy] иМ = [vx]
(константы в О-членах зависят только от χ и у).

ЗАДАЧ·
§ 4. Ряд и преобразование Фурье
201
4.57. Используя результат предыдущей задачи, постройте
ограниченную и непрерывную на (0, 2л)2 функцию F, для которой
sup |S# m{F\x, )0| = °° в каждой точке (jc, у) G (0, 2л)2
Ν,Μ
(пример Феффермана). Таким образом, частичные суммы по
прямоугольникам двойного ряда Фурье функции F неограниченно
расходятся всюду на (0, 2л)2.
Глава X
Итерации преобразований отрезка
§ 1. Топологическая динамика
1.1. Пусть для функции /: N —> N при любом «GN выполняется
неравенство /(и + 1) > f(f(n)). Докажите, что /(и) = η при любом
пе N.
1.2. Существует ли непрерывная функция /: К. —> R,
удовлетворяющая уравнению / о / = F, в следующих случаях:
а) F(x) = -jc; в) F(x) = х2-2?
б) F(x) = ех\
Обозначим символом Ιάχ (или просго Id) тождественное отображение
множества X в себя (т.е. Id(jc) = jc для любого jc из X). Отображение h: X —» X
назовем инволюцией, если h о h = Μχ.
1.3. Пусть /(jc) = χ -f 1, g(x) = jc — 1 (jc G R). Подберите две
инволюции h и к таким образом, чтобы выполнялись соотношения
hok = f, k oh = g.
1.4. Докажите, что каждая биекция множества на себя есть
композиция двух инволюций.
Неподвижной точкой отображения / называется такая точка jc из области
его задания, что f(x) — jc.

202 X. Итерации преобразований отрезка · УСЛОВИЯ
1.5. Докажите, что непрерывное отображение /: Δ —> R, где Δ —
некоторый промежуток, обладает неподвижной точкой в каждом из
следующих случаев:
а) Δ = [ау Ь], /(Δ) С Δ; в) Δ = (я, b), f — инволюция.
6)Д = [а,Ь],/(Д)эД;
1.6. Пусть функция f еС([а,Ь}) возрастает, f([a, b]) С [а9 Ь].
Докажите, что для каждого χ о G [а,Ь] последовательность хп = f{xn-\)
(η G Ν) сходится к неподвижной точке. Верно ли это, если / —
убывающая функция?
1.7. Пусть/ G C(R). Для*о £ К положимxj =f(xo)ixk — f(xk-\)
(к G Ν). Докажите, что если для некоторого jcq G Μ.
последовательность <ji Σ f(xk)\ ограничена, то / обладает неподвижной точ-
кой. Верно ли это для непрерывных отображений /: С —> С?
1.8. Докажите, что конечная группа аффинных преобразований
плоскости обладает неподвижной точкой (общей для всех преобразований
группы).
Отображения /: Δι ---+ А\ и g: Δ2 — > Δ2 (Δ], Δ2 — интервалы на
прямой) называются топологически сопряжёнными, если существует такая
непрерывная биекция (гомеоморфизм) h: Δ2 —*Δι, что f = hogoh~l
(т.е. hog =■- f oh). В этом случае будем употреблять обозначение f ~ g,
а отображение h будем называть сопрягающим.
В задачах 1.9—1.12 предполагается, что отображения непрерывны, заданы
на интервалах и переводят их в себя.
1.9. Докажите, что отношение топологической сопряжённости есть
отношение эквивалентности, т. е.
а) / ~ /;
б) / ~ g тогда и только тогда, когда g ~ /;
в) если fx ~ /2, /2 ~ /з> то /l ~ /з·
1.10. Докажите, что топологически сопряженные отображения
одновременно обладают или нет следующими свойствами:
а) взаимная однозначность;
б) монотонность определённого типа;
в) односторонняя ограниченность (без уточнения её типа);
г) ограниченность.

ЗАДАЧ·
§ 1. Топологическая динамика
203
1.11. Докажите, что топологически сопряженные отображения
имеют
а) одинаковое количество промежутков монотонности;
б) одинаковое количество неподвижных точек.
1.12. Докажите, что если / ~ g, то промежутки, на которых
выполняется неравенство f(x) > χ, переводятся сопрягающим
отображением h в промежутки, на которых (в зависимости от характера
монотонности К) выполняется такое же или противоположное строгое
неравенство для отображения g. Докажите, что если отображения / и g
заданы на К. и одно из них нечетно, то сопрягающую биекцию h можно
выбрать возрастающей.
1.13. Выясните, будут ли определенные на К. отображения / и g
топологически сопряжены в следующих случаях:
a)f(x)=x2-a, g(x) = l-ax2 (аф-0);
б) f(x) = cosx, g(x) = sinjc;
в) f(x) = cosjc, g(x) = —cosx;
r) f(x) = sinx, g(x) = - sinx;
д) f(x) — x + sinx, g(x)=x+cosx.
1.14. Пусть a > 0, α φ 1, fa(x) = *α, £α(*) = *~a (·* > 0). При
каких а и β топологически сопряжены функции
а) fa и /^; в) /а и g£?
б) £а и gp;
1.15. а) Пусть /(χ) = χ2, g(x) = χ2 + αχ + b (χ G Ш). Опишите
множество тех пар (а, Ь), для которых / ~ g.
б) Для каких a G К. можно указать такое fc G К, что отображения
f(x) = 1 — ах2 и g(x) = bx{\ —χ) (χ G Ш) топологически сопряжены?
Опишите множество В всех возникающих при этом чисел Ь.
в) Докажите, что отображения g ng: [0, 1] —► [0, 1], g(x) = 2g(x) =
= Зх(1 — χ), не являются топологически сопряженными.
г) Для какого a G R и для какого промежутка Δ = [ρ, q] С К
отображение /: Δ —> Δ, /(χ) = 1 — αχ2, топологически сопряжено с
отображением g: [0, 1] —> [0, 1] вида g(;c) = Ьх(1 -х)?

204 X. Итерации преобразований отрезка · УСЛОВИЯ
1.16. Докажите топологическую сопряженность непрерывных
отображений f,g: [—1, 1] —> [—1, 1], задаваемых следующим образом:
а) /(*) = 1 - 2\х\, g(x) = l-2x2 (хе [-1, 1]);
б) / = fn (и £ N) — «пилообразное» отображение, принимающее
значения ( — 1)к+п в точках — 1 + ^, О^&^п, и линейное в
промежутках между ними (рис. 14), a g = Тп — п-й многочлен Че-
бышёва, определяемый равенством Тп(х) = cos(n arccosjc) (см.
задачу 1.2.20 и рис. 15);
в) докажите, что функции из п. а) сопряжены как отображения из Ш
вМ.
1.17. Пусть /: [аь Ъ\] -> [а\, b\], g: [а2, Ь2] -> [а2,Ь2] —
гомеоморфизмы отрезков, не имеющие неподвижных внутренних точек.
Докажите, что / ~ g. Проверьте, что утверждение остается в силе, если
отрезки заменить открытыми интервалами.
1.18. Расклассифицируйте, с точностью до топологической
сопряжённости, гомеоморфизмы отрезка на себя, имеющие конечное
множество неподвижных точек, в число которых входят концы отрезка.
Пусть / — отображение промежутка Δ С Ε в себя,
/°(х)=*. /'(*)=/(*), /"(*)=/(/""'(*)) при и>1.
Будем говорить, что метод последовательных приближений с начальной
точкой jcq £ Δ сходится, если существует предел limjcn, где хп = /я(*о)·
1.19. Пусть функция / £ С ([а, Ь\) возрастает. Докажите, что метод
последовательных приближений сходится для любой начальной точки
xq £ [а у Ь], если
а) f(x) < χ при χ > я, f{a) = a;
б) f{x) > x при χ < b, f(b) = b.

ЗАДАЧ ·
§ 1. Топологическая динамика
205
1.20. Докажите сходимость метода последовательных приближений
при любой начальной точке xq Ε Δ и найдите \imxn для следующих
отображений /:
a)/(*) = arctg*, A = R;
б) f(x) = Vx~T2, Δ - [-2, +οο);
в)/(*) = i* - 1, Δ = Κ;
г) f{x) = fif!±l)5 Δ = Μ;
JX)f{x) = \{x+1-), Δ = (0,+οο);
e) /(л) = | arcsin -f*-, Δ = (0, +oo);
ж)/(Л) = 2+1' Д=[0,+сх>).
1.21. Выясните, для каких начальных точек xq из области задания
отображения / сходится метод последовательных приближений, и
найдите Иписи, если
a) f(x) = χ + sinjc;
6)f(x)=x(x-\);
в)/(х) = \+ах2 (0<α<1);
г) /(χ) = 1 - α*2 (0<а<|);
a)f(x)=x2 + c (H^|);
e) /(jc) = x2 + (1 - 2c)x +c2 (c € K);
5 ПРИ х = ϊ>
{-Ц—, если |*| φ -*=»
±1, если jc = ±-7=.

206 X. Итерации преобразований отрезка · УСЛОВИЯ
Будем называть неподвижную точку jc* отображения / притягивающей,
если для всех jcq, взятых из некоторой окрестности точки jc*,
последовательность хп = fn(xo) сходится к точке jc*. Если для некоторой окрестности
U неподвижной точки jc* и произвольной точки jcq Ε U, xq φ х*9 найдётся
такой номер п, что jcn £ £/, то точка jc* называется отталкивающей.
1.22. Пусть х* — неподвижная точка отображения /, причём /
дифференцируемо в х*. Докажите, что
а) если |/'(х*)| < 1, то х* — притягивающая;
б) если |/'(х*)| > 1, то х* — отталкивающая;
в) покажите на примерах, что неподвижная точка может не быть ни
притягивающей, ни отталкивающей.
1.23. При каких значениях параметра а и при каких xq 6 R
последовательность итераций хп = fn(xo) сходится, если
а) f(x) = 1+ах; в) f(x) = 1 - ах2 {а > 0);
б) f(x) = l-a\x\(a> 0); г) /(*) = а* (а > 0).
Пусть φ — дифференцируемая функция, заданная на промежутке Δ, Νφ —
отображение, заданное в тех точках jc е Δ, где <р'(х) ф 0, равенством
Νφ(χ) =χ-φ(χ)/φ'(χ).
Легко видеть, что неподвижные точки отображения Νφ совпадают с
корнями функции φ. Будем говорить, что итерационный процесс Ньютона
с начальной точкой xq сходится к с, если jc* = Νφ(χο) —► с.
1.24. Пусть φ 6 С2(Δ), с 6 Δ, <р(с) = 0, \<р'(х)\ > т > 0 для χ £ А.
Докажите, что если точка xq достаточно близка к с, то
а) итерационный процесс Ньютона, начатый в χ о? сходится к с;
б) имеет место «сверхсходимость»: \х^ — с\ ^ Mq2 , где Μ > 0,
0 < q < 1, k eN (ср. с задачей П.3.10).
1.25. Докажите, что если φ G С^(А), с G Δ, <р(с) = φ'[с) = ... =
= <р("-1)(с) = 0, q>(n\c) Φ 0, то для начальных точек xq, достаточно
близких к с, итерационный процесс Ньютона сходится к с, причём
\хк - с\ ^ Mqk (Μ > 0, 0 < q < 1).
1.26. Пусть <рбС2([я,Ь]) — такая функция, что φφπ > 0 в (я, Ь)
и φ (а) = </>"(£) = 0 (или <р(Ь) = </>"(я) = 0). Проверьте, что для
любой начальной точки из [а, Ь] итерационный процесс Ньютона
сходится к корню φ.

ЗАДАЧ·
§ 1. Топологическая динамика
207
1.27. Пусть Ρ — многочлен, имеющий лишь простые вещественные
корни. Докажите, что если xq — точка перегиба Ρ (т. е. P/f(xo) = 0), то
итерационный процесс Ньютона, начатый в точке jcq, сходится к
корню Р. Подобным образом, варьируя точки перегиба, можно найти все
корни, за исключением минимального и максимального.
Назовем множество {хп = fn(xo) Iп £ N} траекторией точки jcq-
Если траектория конечна, то, очевидно, существует такое η G Ν, что точки
jcq, jcj, ..., χη-\ попарно различны, а хп = jcq, x„+\ = х\> ... В этом
случае jcq называется периодической точкой, число η — её периодом, а набор
(jcq, ... уХп-\) — η-циклом. Будем говорить, что η-цикл притягивающий,
если точка jcq — притягивающая неподвижная точка для /", и
отталкивающий, если jcq — отталкивающая неподвижная точка fn.
1.28. Пусть (jcq, JCp ..., jc* ι) — η-цикл отображения /. Докажите,
что
а) если \{fnY(xo)\ < 1, то для jcq, взятых из некоторой
окрестности jcq, выполняется соотношение
/™+*(х0) —> χ* *=0,...,/ι-1;
б) если \(/пУ(хо)\ > 1, то для некоторого ε > 0 и
любого *о G (*q — ε, Xq + ε), xq Φ Xq, найдётся такой номер т, что
\fm{xo) - х1\ ^ ε для всех * = 0,..., и - 1.
1.29. Пусть / — непрерывное отображение отрезка Δ в себя,
Iq, 1\,... — конечная или бесконечная последовательность отрезков,
причём /q С Δ, /„+1 с /(/л) при любом η ^ 0. Докажите, что
а) существует такая последовательность отрезков KqD К\ э К^ D
ЭК3Э...9 К0 С /0, что fn(Kn) =In(n> 0);
б) существует такая точка χ G Δ, для которой хп = fn(x) G In при
любом п.
1.30. Докажите, что если непрерывное отображение отрезка в себя
имеет 4-цикл, то оно имеет также 2-цикл.
1.31. Пусть /: Δ —► Δ — непрерывное отображение отрезка в себя.
Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:
а) существует такая точка а G Δ, что точки b -■ f(a), с = /2(я),
d=f^(a) удовлетворяют неравенствам d^a <b <с или с <b <a ^d;
б) в Δ существует точка, имеющая период три;
в) для любого т G N в Δ существует точка, имеющая период т.

208 X. Итерации преобразований отрезка · УСЛОВИЯ
Импликация б) => в) и задача 1.30 являются частными случаями
теоремы А. К Шарковского [Ш]. Пусть /: Δ —> Δ — непрерывное отображение
(Δ = [я, Ь\). Рассмотрим натуральный ряд, упорядоченный следующим
образом:
1, 2, 4, 8,..., 2\ ...,..., 2т · 7, 2т · 5, 2т · 3,...,
.... 2-7, 2-5, 2-3, ...,7,5,3.
Если ρ стоит в этом ряду левее q и / обладает д-циклом, то / обладает
также р-циклом.
1.32. Докажите, что при η ^ 2 многочлен Чебышёва Тп (см.
задачи 1.2.20 и 1.16 б)), заданный на [—1, 1], обладает циклами
произвольного порядка.
1.33. Найдите значения параметра я, при которых отображение
f(x) = 1 - а\х\ (х G Ж) обладает
а) 2-циклом; в) 3-циклом,
б) 4-циклом;
и выясните, когда эти циклы являются притягивающими.
1.34. Пусть а > 0, f(x) = 1 - ах2 (х G R). Выясните, при каких
значениях параметра а существуют притягивающая неподвижная точка
и притягивающий 2-цикл. Найдите «моменты рождений» 2-, 4- и 3-цик-
лов (т.е. нижние границы значений а, при которых эти циклы
существуют).
1.35. Пусть /(*) = Ьх(\ -х) (х е [0, 1]), 0 < Ъ ^ 4. Найдите
нижнюю границу значений параметра Ь, при которых / имеет
а) притягивающий 2-цикл; в) 4-цикл;
б) отталкивающий 2-цикл; г) 3-цикл.
1.36. Пусть xq е (0, 1) — неподвижная точка непрерывного
отображения /: [0, 1] —> [0, 1]. Докажите, что если односторонние
производные /±(*о) отрицательны и f+(xo)f'-.(xo) > 1> то / имеет 2-цикл.
В частности, 2-цикл существует, если f'(xo) < — 1.
1.37. Пусть g — кусочно гладкое отображение отрезка [0, 1] в себя.
Докажите, что если |#'(лс)| ^ я > 1 во всех точках, где производная
существует, то g имеет 2"-цикл при любом η G N. Покажите на примере,
что это неверно, если гладкость отображения нарушается в счётном
множестве точек.

ЗАДАЧ·
§ 1. Топологическая динамика
209
В задачах 1.38—1.40 мы будем рассматривать такие отображения /
отрезка Δ = [я, Ь] в себя, что / Ε С3 (А) и производная Шварца Sf (см.
задачи VII.2.25, VII.2.26 и определение перед ними) отрицательна в тех точках
jc, которые не являются критическими точками / (т.е. там, где f'(x) φ 0).
Класс таких отображений обозначим символом 5(A).
1.38. Пусть f e S(A) и множество критических точек / конечно.
Докажите, что для каждого η Ε Ν преобразование / может обладать
лишь конечным числом и-циклов.
1.39. Пусть / Ε S(A), g = fn (η ^ 1), χ < у < ζ —
последовательные неподвижные точки отображения g. Докажите, что если отрезок
[х,у] не содержит критических точек g, то gf(y) > 1.
1.40. Пусть отображение / Ε 5 (Δ) имеет единственную
критическую точку с Ε (а9Ь). Докажите, что каждый притягивающий цикл
отображения / притягивает траекторию одной из точек я, с, Ъ и,
следовательно, / может иметь не более трех притягивающих циклов.
1.41. Докажите, что отображение вида f(x) = 1 - ах2 (х Ε Ш) при
а ^ 2 не может иметь более одного притягивающего цикла, а при
а = 2 имеет η-цикл для любого η Ε Ν, но ни один из них не является
притягивающим.
1.42. Пусть φ — непрерывное отображение окружности в себя,
имеющее неподвижную точку и 3-цикл.
а) Докажите, что φ имеет также η-циклы при всех η > 3.
б) Обязательно ли φ имеет 2-цикл?
1.43. Пусть / — непрерывная возрастающая функция на прямой,
удовлетворяющая условию /(х + 1)=/(лс) + 1. Докажите, что
а) отображение ζ = е2*11* н-> φ(ζ) = е^'/М задает гомеоморфизм
окружности S1 = {ζ | |ζ| = 1}, сохраняющий порядок следования
любых трёх точек, и что произвольный сохраняющий ориентацию
гомеоморфизм окружности может быть задан таким образом;
fn(x)
б) если предел lim ^ = а существует для некоторого xq ε Μ,
η—»οο
то он существует и для любого χ Ε Μ;
в) если отображение φ™ имеет неподвижную точку при некотором
т Ε Ν, то предел а существует и является рациональным числом;

210 X. Итерации преобразований отрезка · УСЛОВИЯ
г) если никакая степень φ не имеет неподвижных точек, то предел а
существует и является иррациональным числом;
д) если две различные функции f\^fi определяют один
гомеоморфизм φ, то соответствующие пределы а \ и а^ различаются на целое
число.
Определённое таким образом для произвольного сохраняющего
ориентацию гомеоморфизма φ: S1 —► S1 число a mod 1 называется числом
вращения этого гомеоморфизма. Это понятие введено А. Пуанкаре.
§ 2. Преобразования с инвариантной мерой
Пусть X — измеримое подмножество пространства Ж1, μ — σ -конечная
мера, заданная на измеримых (по Лебегу) подмножествах множества X.
Неотрицательная измеримая функция / называется плотностью меры μ,
если μ(Α) = I f(x)dXn{x) для произвольного измеримого множества Λ С X
А
(в этом случае принято обозначение άμ = f dXn = f dx). Две плотности
порождают одну и ту же меру тогда и только тогда, когда они
совпадают почти везде на X. По известной теореме Радона-Никодима мера μ
имеет плотность тогда и только тогда, когда она абсолютно
непрерывна (относительно меры Лебега), т.е. когда μ(Α) = 0, если λη(Α) = 0 (см.
[By], [КФ]). Говорят, что мера μ эквивалентна мере Лебега, если μ (А) = 0
тогда и только тогда, когда λη(Α) = 0. Будем говорить, что отображение
Τ: X —> X сохраняет меру μ или что мера μ инвариантна относительно
Т, если μ(Α) =μ(7,~1(Α)) для любого измеримого множества Λ С X.
Если ν — мера, заданная на измеримых подмножествах множества Υ С Кт,
то говорят, что ν — образ меры μ при отображении Т: X —► Υ, если
ν(Β) = μ(Τ~ι (5)) для любого измеримого множества В с Υ (будем в этом
случае писать ν = Τ μ).
Все множества и отображения в этом параграфе преполагаются
измеримыми.
2.1. Проверьте, что следующие преобразования сохраняют меру
Лебега:
а) Т(х) = (2х) mod 1 (χ G [0, 1]);
6)Γ(ζ) = ζ" (ζ eC,\z\ = l),neN;
в)Т(х)=х-±(хеШ\{0}).
2.2. Проверьте, что преобразование
Т{х9у) =-- ((2х) mod 1, \{у + [2х])), (х9у) G [0, 1) χ [0, 1)
(«преобразование пекаря») сохраняет меру Лебега λ^

ЗАДАЧ · § 2. Преобразования с инвариантной мерой 211
2.3. Пусть X = [О, 1) χ [0, 1), А = (£ &) — целочисленная матрица,
причём detA = ±\. Определим преобразование ТА: X —> X формулами
Та(х\>Х2) = (У\>У2) Для (*Ь*2) ΞΧ, где
у j = (αχ ι + bx2) mod 1, у2 = {сх\ + dxj) mod 1.
Докажите, что
а) Та взаимно однозначно;
б) ТА сохраняет меру Лебега.
Отображение (jq, X2) *-» (e2jlix\ е2711*2) позволяет отождествить X
с тором Т2 = S1 χ S1 и ТА с автоморфизмом Т2 как группы. Это даёт
право назвать преобразование Тд автоморфизмом тора.
Напомним принципиальный результат: на всякой компактной группе С
существует нетривиальная конечная борелевская мера μ, инвариантная
относительно сдвигов:
μ(8Α) = μ(Α8) = μ(Α),
где А с G, g G G, gA = {gx \x е A}, Ag = {xg \х е А}. В случае метризу-
емой группы эта мера определена однозначно (с точностью до постоянного
множителя) и называется мерой Хаара. Её единственностью можно
воспользоваться при решении следующей задачи.
2.4. Пусть отображение ТА\ X —> X — такое же, как в предыдущей
задаче, но detA Ε Ζ, | detA| > 1. Такое отображение (уже не взаимно
однозначное) называется эндоморфизмом тора. Докажите, что оно
сохраняет меру Лебега.
2.5. Проверьте, что отображение Т(х) = j mod 1 (χ 6 (0, 1]) сохра-
няет меру άμ = ут- dx.
2.6. Найдите абсолютно непрерывную инвариантную меру
а) для отображения Тп: [—1, 1] —> [—1, 1], где Тп — многочлен Че-
бышёва (см. задачи 1.2.20 и 1.166));
б) для отображения /: К. —> R, где f(x) = 1 — 2х2.
2.7. Докажите, что преобразование Τ обладает инвариантной
(соответственно, конечной инвариантной, абсолютно непрерывной
инвариантной) мерой тогда и только тогда, когда этим свойством обладает
некоторая его степень Тп (п G N).
2.8. Пусть Τ: [а, Ь] —> [а, Ь] — строго монотонное непрерывное
преобразование. Докажите, что оно обладает абсолютно непрерывной
инвариантной мерой (вообще говоря, бесконечной).

212 X. Итерации преобразований отрезка · УСЛОВИЯ
2.9. Пусть преобразование Τ: [а, Ь] —> [а, Ь] кусочно монотонное и
гладкое. Докажите, что если оно обладает притягивающим циклом
(см. § 1), то Τ не сохраняет никакую конечную меру, эквивалентную
лебеговой.
2.10. Существует ли ненулевая мера на R, инвариантная
относительно всех
а) гомотетий На: х *-* ах (а Φ 0);
б) аффинных преобразований Аау. χ н-> ах + Ъ {а,Ъ Ε К, а φ 0)?
В случае утвердительного ответа приведите пример.
2.11. Существует ли нетривиальная мера на (0, +оо), инвариантная
относительно всех преобразований вида
а) Тр: χ -+ χΡ (ρ φ 0); б) SbtP: χ -► bx? (ρ φ 0, b > 0)?
В случае утвердительного ответа приведите пример.
Мера jUbM" называется квазиинвариантной относительно сдвигов, если
для каждого a GRn условие μ (А) =0 равносильно условию μ(Α + α) = 0.
2.12. Докажите, что
а) если мера μ в Шг эквивалентна лебеговой мере λη, то μ квазиин-
вариантна относительно сдвигов;
б) если μ квазиинвариантна относительно сдвигов, причём мера
любого ограниченного множества конечна, то μ эквивалентна λη.
2.13. Пусть Τ — такое преобразование множества X С Ш" в
себя, что образ Τλη меры λη абсолютно непрерывен относительно λη,
и пусть / — произвольная суммируемая на X функция. Докажите
следующие утверждения:
а) Существует такая функция /* Ε 2х (X), что
j f(x)dx=ff*(x)dx (Λ С Χ), (1)
Τ~ι (Α) Α
и при этом /* определяется однозначно с точностью до значений на
множестве меры нуль.
Соответствие Р: f *-* f* называется оператором Перрона—Фро-
бениуса, связанным с Т.
б) Если X cW1 — область, Τ — гладкое взаимно однозначное
отображение, причём detT'(x) ф0 (χ Ε Χ), то
Pf(Tx)= , f{x\ ч, (χ EX).

ЗАДАЧ · § 2. Преобразования с инвариантной мерой 213
в) Если X = [О, 1], Τ кусочно дифференцируемо и множество
Т~1(х) конечно (х б X), то
Pf(y) = Y _/(£)_
во всех точках, для которых определена правая часть равенства.
г) Если X = [О, 1], / 6 С([0, 1]) и Τ кусочно монотонно, то
Pf(*) = £ f f(t)dt.
7-»([0,*])
д) Для того чтобы мера άμ—fdx была инвариантной относительно
Г, необходимо и достаточно, чтобы для почти всех χ е X выполнялось
равенство Pf(x) = /(лс).
Пусть и е Ν, Δ, = [~-, £) (/ = 1, ..., л). Рассмотрим неотрицательные
функции на [0, 1), постоянные на промежутках Δ,-. Каждая такая
функция задаётся вектором с = (с\у..., сп) значений, которые она принимает
на Δι,..., Δη. Будем для наглядности такую функцию обозначать
символом /с. Множество неотрицательных векторов в Шп обозначим R+.
2.14. Пусть Т: [0, 1) —> [0, 1) — произвольное преобразование.
а) Докажите, что для каждой функции вида fc (с Ε R+) существует
единственная функция fd (d 6 R+), удовлетворяющая равенствам
Г fc{x)dx = jfd(x)dx, ί = 1 л,
причём вектор d имеет вид d = лс, где л = (pij)" =1 — некоторая
матрица, определяемая отображением Т.
Отображение с у-* лс — дискретный (конечномерный) вариант
оператора Перрона-Фробениуса.
б) Найдите матрицу л и докажите, что р1} ^ 0 и Σ Pij — 1·
в) Докажите, что существует такой вектор г; Ε R+, v ^ О, что
πυ = г; (с этой целью рассмотрите последовательность векторов

214 X. Итерации преобразований отрезка · УСЛОВИЯ
2.15. Пусть Г: [0,1] -> [0, 1].
а) Найдите общий вид абсолютно непрерывной инвариантной
относительно Τ меры, если
{2х при χ ίξ ^,
з
| - х при χ > ^.
б) Укажите какую-нибудь абсолютно непрерывную инвариантную
относительно Τ меру, если
(^2 - 2х при χ > |.
в) Пусть Т(х) = j. Найдите неподвижную точку υη для
дискретного оператора Перрона—Фробениуса (при чётном п) и докажите
отсутствие инвариантной конечной абсолютно непрерывной меры для Г.
К чему сходятся меры άμη = fVfl dx при η —> оо, если их нормировать
условием μ„([0, 1)) = 1?
2.16. Пусть Ω = {ζ Ε С I Imz > 0}. Найдите абсолютно
непрерывную меру, инвариантную относительно всех конформных
автоморфизмов Ω, т.е. преобразований Τ(z) = ff+?> где α, b, с, d e К.
и<И«*)>0.
2.17. Пусть Ρ = {(χ, у) Ε Ш2 |χ > 0}. Для каждой точки (я, Ь) е Ρ
определим преобразования La b и Ra b полуплоскости Ρ в себя:
La,b(x>y) = (ax, ay + £), tffl^(x,y) = (ах, Ъх + у).
Найдите абсолютно непрерывные меры μι и μ# на Р, инвариантные
относительно всех преобразований Labi\Rab соответственно.
Отметим, что преобразования, о которых идёт речь, отвечают
преобразованиям левого и правого сдвигов на группе (по умножению)
матриц
м^ = (о ϊ)· (*·>)€Ρ·
т.е. преобразованиям MXty ь-> Ма^Мху, Мх^у н-> МХуУМа^. Меры μ/,
и μ/? называются мерами Хаара (левой и правой) для этой группы.
2.18. Докажите, что если преобразование Т: [a,b] —>[a,b]
сохраняет некоторую конечную абсолютно непрерывную меру, то Τ
топологически сопряжено с некоторым преобразованием того же промежутка,
сохраняющим меру Лебега.

ЗАДАЧ · § 2. Преобразования с инвариантной мерой 215
Существование инвариантной меры (не обязательно абсолютно
непрерывной) часто устанавливается с помощью следующей теоремы Боголюбова—
Крылова [КСФ]: для всякого непрерывного отображения компактного
множества в себя существует конечная инвариангная мера.
2.19. Докажите, что если Τ — гомеоморфизм окружности S1 с
иррациональным числом вращения а (см. задачу 1.43), то Τ связан
с поворотом Та окружности на угол а (т.е. Та(е2л1Х) = e^l(x^a)^
следующим образом: h о Τ = Та о h для некоторого непрерывного
отображения h: S1 —> S].
В дальнейшем будем предполагать, что мера μ конечна и удовлетворяет
условию нормировки μ(X) — 1 (такие меры называются вероятностными).
Пусть Τ — преобразование множества X. Множество Л С X называется
инвариантным, если Г-1 (Л) —А. Преобразование Т, сохраняющее меру
μ, называется эргодическим, если для каждого инвариантного множества
Л С X справедливо одно из двух: либо μ (А) = 0, либо μ(Χ\Α) = 0.
2.20. Измеримую функцию /, заданную на множестве X с мерой
μ, назовём инвариантной относительно преобразования Т: X —> X,
если f(Tx) — f(x) для почти всех х. Докажите, что для эргодичности
Τ необходимо и достаточно, чтобы всякая инвариантная измеримая
функция совпадала с константой почти везде.
2.21. Эргодичны ли следующие преобразования:
а) Т(х) = (х + a) mod 1, χ е X = [0, 1), μ = Я;
б) Т(х) = (2х) mod 1, χ G X = [0, 1), μ = Я;
в) Τ (ζ) = ζη, ζ е Χ = S1, μ — мера Лебега на окружности (п е. Ν);
г) Г — автоморфизм тора (см. задачу 2.3);
д) Τ — эндоморфизм тора (см. задачу 2.4)?
2.22. Пусть X — множество в W1, которое является замыканием
множества своих внутренних точек, Τ — преобразование X,
сохраняющее меру Лебега. Докажите, что если Τ эргодично, то для почти всех
χ £ X траектория точки χ всюду плотна.
2.23. Пусть X = [0, 1)л — л-мерный тор (n e N), S — сдвиг
χ н-> у = S(x), задаваемый формулой у^ — (х^ + а#) mod 1,
k = 1,..., п. При каких значениях а\,..., ап сдвиг эргодичен?

216 X. Итерации преобразований отрезка · УСЛОВИЯ
2.24. Докажите, что отображения отрезка [0, 1] в себя, задаваемые
формулами
ψ к J T(x) = {2x)mod 1, S(x) = 1 - |2х-1|,
метрически сопряжены. (Отображения Т: X —► X и S: Υ —> Υ,
сохраняющие меры μ и ν соответственно, называются
метрически сопряжёнными, если существует такое измеримое
отображение h: X —> Υ, что Ημ = ν и S о h(x) = h ο Τ (χ) для почти всех х G Χ.)
2.25. Докажите, что отображение Τ отрезка [—1, 1] в себя,
сохраняющее меру μ, эргодично, если
а) Т(х) = 1 -2\х\, μ = \dx\
б) Г(х) - 1 - 2х2, μ = -7=7^
в) Τ = Тп — многочлен Чебышёва, (см. 1.166)), άμ = —} dx.
Лу/\—Х2
2.26. Докажите, что если Τ: X —> X — преобразование,
сохраняющее вероятностную меру μ, а / — положительная функция, то
Σ f(Tk(x)) = +оо для почти всех (относительно μ) χ G X.
к
Основной теоремой теории преобразований с инвариантной мерой (или «эр-
годической теории») является эргодическая теорема Биркгофа—Хинчина
(см. [Би], [КСФ]):
Пусть Τ — сохраняющее вероятностную меру μ преобразование множества
X, f — измеримая функция, причём
f\f(x)\dn(x)<+oo.
X
Тогда для почти каждого (по мере μ) χ G X существует предел
limi Σ f(Tk(x))=f(x),
который называется средним значением функции f вдоль траектории
точки х. При этом функция / инвариантна и
Ι7(χ)άμ(χ)=1/(χ)άμ(χ).
X X
Если Τ эргодично, то / оказывается константой (см. задачу 2.20), равной
I f(x) άμ(χ) (т.е. среднему значению / на X).
х
2.27. Пусть Τ: X —> X — эргодическое преобразование,
сохраняющее вероятностную меру μ, А — измеримое подмножество в X.

ЗАДАЧ · § 2. Преобразования с инвариантной мерой 217
Пусть εη = О, если Тп(х) £ А, и εη = 1, если Тп(х) е А (О 0).
Докажите, что для почти всех χ G X существует предел lim \ Σ ek
(среднее число попаданий траектории в множество А), и найдите его.
Вероятностные меры μ\, μι на X называются взаимно сингулярными, если
существует такое множество А С X, что μ\ (А) - 1 и μ2{Α) = 0.
2.28. Пусть μχ и μι — две вероятностные меры на Χ, Τ —
преобразование, эргодическое относительно как μχ, так и μ2· Докажите, что
меры μχ и μ 2 либо совпадают, либо взаимно сингулярны.
2.29. Рассмотрим иррациональный сдвиг
S(x) = (х+а) mod 1 (χ G [0, 1) = Χ, α G R\Q).
Он эргодичен согласно 2.21 а). По эргодической теореме для любой
суммируемой функции / на X и для почти всех χ G X выполняется
равенство !
Кт£ Σ /(S*(*))=f/(f)*. (1)
0<*<л ^
а) Докажите, что если / G С([0, 1]), то для сдвига S можно
утверждать большее, а именно что равенство (1) справедливо для любого
χ G [0, 1). (Предположите вначале, что /(0) = /(1), а затем
рассмотрите общий случай.)
б) Докажите, что если Δ = (а, Ь) С [0, 1), Χδ(χ) = 1 при χ G Δ,
Χδ(χ) = 0 ПРИ * ί Δ> то
Kmi Σ Za(«*W)=*-« (2)
0<*</ι
для всех χ G [0, 1).
Если {S*(χ)} заменить произвольной последовательностью {**}, то
свойство б) называют равномерной распределенностью этой
последовательности (см. [ПС], [КН]).
Для равномерного распределения последовательности {лс#} и
непрерывной на [0, 1] функции / выполняется соотношение,
аналогичное (1): п ι
АС-1 0
В частности,
η
i У] е2я1тХк —> 0 для любого целого т φ 0.

218 X. Итерации преобразований отрезка · УСЛОВИЯ
Это условие не только необходимо, но и достаточно для
равномерной распределенности. Последнее утверждение называется
критерием Вейля (ср. с за/дачей 1.3.9).
2.30. а) По окружности движугся две точки, раз в секунду скачком
перемещаясь на один и тот же угол, который не соизмерим с π.
Какую часть достаточно большого промежутка времени обе точки будут
одновременно находиться на некоторой (заранее фиксированной)
полуокружности, если в начальный момент времени угол между точками
равнялся а?
6) Ответьте на тот же вопрос, если ежесекундно одна точка
перемещается на угол β\, а другая — на угол /?2, причём числа βχ,βι, π
линейно независимы над Q (см. определение в начале § 4 гл. VII).
2.31. Пусть χ — Σ -fj xk £ {0» '} — двоичное разложение числа
χ е [0, Г). Используя эргодичность преобразования удвоения (см.
задачу 2.21 б)), докажите, что для почти всех χ Ε [0, 1) существует предел
lim \ ]Р х/с (частота появления единицы), и найдите его. Решите
0^к<п
аналогичную задачу для разложений в /?-ичную дробь (ср. с
задачами IX.2.14, 1Х.216).
2.32. Докажите, что если преобразование Τ: X —> X, сохраняющее
вероятностную меру μ, обладает свойством
\\π\μ(ΑΓιΤ"η{Β)) = μ(Α)μ{Β) {А, В С X) (*)
(свойство перемешивания относительно меры μ), το Τ эргодично.
2.33. Докажите, что преобразование
Т(х) = (2jc)mod 1 (χ 6 [0, 1))
перемешивающее, а иррациональный сдвиг (см. задачу 2.29) — не
перемешивающее относительно меры Лебега.
2.34. Пусть ρ е (0, 1), q = 1 - ρ, μρ — мера на отрезке [0, 1],
задаваемая следующим образом: если ε\,..., εη Ε {0, 1} и
Ье1...ея = {хе[0,1] ! хк=ек (* = 1,...,л)}
(здесь χ = Σ — — двоичное разложение числа х), то
μΡ{^..,„)= Π pW*.

ЗАДАЧ · § 2. Преобразования с инвариантной мерой 219
а на остальные отрезки мера распространяется по аддитивности.
Проверьте, что
а) преобразование Т(х) = (2х) mod 1 перемешивающее
относительно меры μρ (см. задачу 2.32);
б) μι/2 = А;
в) меры μρ и λ взаимно сингулярны при ρ φ ^;
г) μΡ] взаимно сингулярна с μΡ2 при р\ φ Р2-
2.35. Пусть α^ — первая цифра десятичной записи числа 2к
(к = О, 1,...), т.е. «о — 1> а\ — 2, «2 — 4, «з — 8, «4 — 1» ·· · Какова
частота появления в этой последовательности цифры /?е{1,...,9}?
Как известно, всякое число jc из промежутка (0, 1] можно однозначно
представить в виде непрерывной {цепной) дроби
х = —L_.
что также записывается в виде jc = [я ι, с/2, ·..], где а\ = α ι (jc ), я 2 = ягМ»
<?3 = яз (*)>·♦ · — натуральные числа. Такая дробь содержит конечное число
членов лишь в том случае, когда jc рационально. Конечная цепная дробь
[а\, ..., ап] однозначно записывается в виде несократимой дроби ^-. Под
значением бесконечной цепной дроби понимается предел конечных:
[аиа2, ...] =lim[alf ...faw] = Hm^f
число ψ- = ^-^1 назьшается подходящей дробью. Несложно проверяется,
что
Рп(х)
х - , \
Йп{х)чп+\{х) '
Разнообразные сведения о цепных дробях можно почерпнуть из книги [X].
С разложением чисел в цепную дробь связано преобразование Гаусса
Т(х) = } mod 1 (jc e (О, 1]).
Действительно, пусть χ = [а\, а2, ...], у = [а2, #з> · · ·]· Тогда jc = —\—,
откуда следует, что у = Т(х). С помощью Τ числа ап записываются так:
*ΐ(*)=ίϊ]. а2{х) = а1(Цх)), .... ап{х) = ах (Г""1 (х)) .
Преобразование Гаусса сохраняет меру dp = -ρ- dx (см. задачу 2.5). Мера
μ вероятностная при с = —. С интересными приложениями эргодической
теории к теории чисел и цепным дробям читатель может познакомиться
в [Ро].

220 X. Итерации преобразований отрезка · УСЛОВИЯ
2.36. а) Для преобразования Гаусса Τ установите справедливость
при некотором С > 0 неравенства
±μ(Α)μ(Β)^μ{Τ-»(Α)ηΒ)^€μ(Α)μ(Β),
где АУВ С (0, 1], η 6 N. Выведите отсюда эргодичность
преобразования Т.
б) Докажите, что для почти всех χ = [а\9 я2, · · ·] справедливы
четыре утверждения:
1) относительная частота, с которой число к 6 N встречается
(*+1)2.
среди чисел аъ я2,..., равна log2 к^к+2у
_ч л. а\+...+ап .
2) hm —— = +оо;
3) limψαχ...αη = Ц (l +
±А
log2k
к2+2к)
4) limyefa = exp\\2\n2r где ^n — знаменатель п-й подходящей
дроби.

УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
Глава I
Введение
§ 1. Множества
1.1. Это утверждение известно как «лемма о свадьбах».
Доказательство проводится по индукции. Предполагая, что утверждение верно,
если на балу не более т пар, и доказывая его для т + 1 пары,
рассмотрите два случая:
1) При каждом к ^ т каждые к юношей знакомы больше чем с к
девушками. Тогда партнершей одного из юношей может быть любая его
знакомая, а остальная группа допускает применение индукционного
предположения.
2) Найдётся к юношей (1 ^ к ^ т), знакомых ровно с к девушками.
Тогда следует рассмотреть по отдельности две группы: этих юношей
и знакомых с ними девушек и всех остальных юношей и девушек —
и проверить, что каждая из этих групп допускает применение
индукционного предположения.
1.2. См. [Ан]. Сначала с помощью индукции проверьте, что числа г η
обладают следующими свойствами:
а) гп > 0; в) г2п+\ < 1;
б) г2п > 1; г) r2kn =k + rn
для любых η, к 6 N.
Соответствие ии гп взаимно однозначно. Действительно, очевидно,
что г\ ^ гт при т > 1. Если же гп — гп+р при η > 1, то (ввиду
одинаковой четности η и η + ρ) совпадают и члены последовательности
с меньшими (и снова различными!) номерами. Повторяя это
рассуждение, приходим к противоречию.
В заключение докажите по индукции (используя свойство г) для
получения базы), что при каждом N eN последовательность {гп}
содержит всевозможные дроби вида |, где р, q e N, 1 ^ q ^ N.
1.3. Сопоставьте каждой восьмёрке пару точек с рациональными
координатами, взяв по одной точке внутри каждой из петель.

222
I. Введение
• УКАЗАНИЯ
ОМ
1.4. Рассмотрите вначале птичьи следы, у которых длины
составляющих отрезков отделены от нуля. Используйте ту же идею, что и в
задаче 1.3, сопоставляя птичьему следу три точки с рациональными
координатами, лежащие в его углах достаточно близко к вершине.
1.5. С каждой Т-образной фигурой свяжем
полукруг радиуса 4, построенный так, как показано
на рис. 16. Покажите, что эти полукруги попарно
не пересекаются. Складывая их площади,
получаем: \π(\)2Ν < а2, т.е. N < § а2 < Па2. Рис·16
1.6. Пусть Ρ — плоскость симметрии обруча б, перпендикулярная
его оси. На этой оси зафиксируем симметричные относительно
плоскости Ρ точки МиМ', расстояние между
которыми равно диаметру обруча. Рассмотрим
шары с центрами в точках МиМ'и радиусом δ
(рис. 17). Назовём эти шары сопутствующими
обручу б. Будем рассматривать обручи, ширина
которых не меньше числа ε > 0. Докажите, что
при любом ε > 0 найдётся такое число δ > 0, рИс. 17
что если оба шара, сопутствующие обручу б, пересекаются с шарами,
сопутствующими обручу б\ то и сами обручи б и б1 пересекаются.
1.7. См. решение задачи 1.8 а).
1.8. Пусть Ат = {п 6 N | Ап э т).
а) Рассуждая от противного, рассмотрите такое бесконечное
множество Μ = {т\, /Я2>·. · } С Ν, что card(AW;.) < +оо при любом j e N.
Убедитесь, что в некотором бесконечном подмножестве множества Μ
не может быть двух точек, входящих в одно и то же множество Ап.
б) В силу пункта а) найдётся такой номер т\, что множество
Е\— U Ап бесконечно. Заменяя N на Е\, Ап на А'п = Ап Π Ε\ и сно-
ва используя утверждение а), мы видим, что найдётся такой номер
Ш2 > т\, что множество £2 — U А'п бесконечно. Используя индук-
пеА,
im2
цию, мы построим искомое множество Ε = {т\у Ш2,...}.
1.9. Рассмотрите множество Ε из задачи 1.8 6) и убедитесь в том,
что если card (Е П Вq) ^ 2, то найдётся такой номер р, что
card (Ар Π Bq) ^ 2.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Множества
223
1.10. б) Рассмотрите отображение ε н-> (ε', ε"), где ε — {ε^},
ε1 = {ε2ΐί-\}·> ε" = {^2к)-> и убедитесь в том, что это биекция.
1.11. Используйте разложение чисел промежутка [0, 1) в двоичные
дроби.
1.12. Используйте результаты задач 1.11 и 1.10 б).
1.13. Замените множество R множеством Ξ всех двоичных
последовательностей и докажите, что оно равномощно
множеству ΞΝ —■ Ξ χ Ξ χ Ξ χ ... Для этого рассмотрите отображение
ε = {ε„}^{4ω,4(2),...}6ΞΝ, где ηΜ = {η\*\η%\...}, nf}^
= ^2k-42j-l) (k> J ^ ^)> и убедитесь в том, что это биекция (сравните
с решением задачи 1.10 б)).
1.14. Используйте результат задачи 1.13, опираясь на то, что
непрерывная на промежутке [а, Ь] функция определяется своими
значениями в рациональных точках.
1.15. Замените множество N множеством Q и рассмотрите,
например, систему, состоящую из неубывающих десятичных приближений
вещественных чисел.
1.16. Используйте результат задачи 1.15, заменив множество N
множеством {2, 22, 23,...}.
1.17. Замените множество N множеством Q и рассмотрите систему
множеств вида (—оо, а) П Q, где α Ε Μ.
1.18. б) Рассмотрите множество &п — {Α Ε 5F(N)I max Л = η}
(η Ε Ν) и докажите, что card(^) = 2n~l. Полагая ψ(0) — 0,
определите ψ по индукции с помощью равенства
ψ(Α) = 2η~ι +ψ{Α\{η}) (Ае&п, neN)
и убедитесь в том, что при таком определении функция ψ + 1 обладает
всеми требуемыми свойствами.
1.20. Опираясь на аксиому выбора, образуйте множество Е\,
выбирая по одной точке из каждого класса эквивалентности, описанного
в задаче 1.19 б). Рассмотрите всевозможные повороты множества Е[
на углы 2πθ, где θ Ε Q и 0 < θ < 1.
1.21. б) Сначала с помощью индукции докажите, что если х, у Ε Ε,
к = 0,..., 2", то |гχ + (1 - ^п)у Ε Ε для всех η Ε N.
Пусть [p,q] с Ε, α Ε Ε и для определённости а > q. Докажем,
что [/?, а] С Е. Положим с = sup{;c > ρ | [ρ, χ) С Ε}. Ясно, что

224
I. Введение
• УКАЗАНИЯ
1 1—ι 1—ι 1—
ρ q P±*> с а0 а
Рис. 18
[ρ, с) с Ε. Допустим, что с < а. Рассмотрим такую точку «о £ £, что
с < «о и —γ^- < с (рис. 18). Тогда
Γ*+α0 ι ^ / ч1 /р+яо с+а0\
£ э |-2~ | χ е (р, c)j = ^-j-, -y-J
и, следовательно, Ε D [ρ, —у-^), что противоречит определению с, по-
с+я0
скольку —у- > с.
1.23. Убедитесь, что вместе с каждой точкой а множество Ε
содержит все точки вида ау/п (п eN),a также содержит сколь угодно малые
числа.
1.24. а) Пусть S — система всевозможных кругов, у которых
координаты центра и радиус рациональны. Ясно, что если χ Ε Ва, то
найдётся такой круг В' е $, что χ е В' с Ва. Для каждого круга из S
произвольным образом зафиксируем содержащий его круг Ва (если
такой круг существует). Убедитесь, что система выбранных таким
образом кругов является искомой.
б) При каждом η 6 N найдите такое не более чем счётное
множество Еп с Е, что Ее (J В(х9^). Рассмотрите (J Еп.
хеЕп п^\
1.25. а) Докажите счётность множества
Еп = {хеЕ | ЕПВ(х, ±) = {*}}·
б) Докажите счётность каждого из множеств
£+ = {х е Ε | Ε Π (χ, χ + i) = 0},
£- = {хб£ I En(x-i,x) =0}.
Для этого проверьте, что для различных точек х, х1 е £+ (или
х,х' G Е~) промежутки (χ, χ -f ^), (*', х1 + ^) (соответственно,
(jc - ^, лс), (jc' - \, jc')) не пересекаются.
1.26. Примените результат задачи 1.27 к множеству
G= (J (1пл,1п(л+1)).

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Множества
225
1.27. Заметим сначала, что если 0 < ρ < q, то найдется такое
число С, что [С, -foo) С (J (np, nq).
Пусть 0 < ρ < q, m Ε N. Используя сделанное замечание, мы видим,
что существуют числа х\ Ε (ρ, q) и п\ Ε Ν, удовлетворяющие
условиям: п\ > т, п\х\ Ε G. Следовательно, найдётся такой невырожденный
сегмент [р\, q\] С [p,q], что п\х Ε G при любом χ Ε [ρ\, q{\. Заменяя
\ру q] на [/?i, q\], m на «ι и повторяя рассуждения, мы построим такой
невырожденный сегмент [pj, qi[ С [р\, q\] и такое натуральное число
/22 > п\, что П2Х Ε G для всех χ Ε [/?2> Ят\- Продолжая этот процесс,
получим последовательность вложенных промежутков, общая точка
которых будет искомой.
1.28. Рассуждайте так же, как при решении задачи 1.27, заменяя
на каждом шаге множество G одним из множеств Gm так,
чтобы каждое из них использовалось бесконечно много раз (например,
G\, G2, G\9 G2, G3, G\9 G2, G3, G4, ... )·
1.29. а) Убедитесь в том, что канторово множество равномощно
множеству двоичных последовательностей (см. задачу 1.11).
1.30. а) Докажите равносильность соотношений
te П41>(,п и ί = Σψ·
б) Одно из возможных решений основано на разложении,
полученном в пункте а).
Другое решение связано с использованием геометрических
соображений. Равенство t - s = с, где s, t E С, равносильно тому,
что прямая Lc = {(5, t) \ t — s = с}
пересекается с множеством С χ С. Последнее
множество равно пересечению множеств
Мп = Кп χ Кп, где Кп С [0, 1] —
множество, используемое при построении кан-
торова множества С (объединение
сегментов η-го ранга). Каждое из множеств Ιχινι4νικι>|
Μп состоит из 4п квадратов со сторонами Ржта
длины 3~п, которые мы будем называть
квадратами п-го ранга (на рис. 19 квад- /
раты второго ранга заштрихованы, а тре- Рис·19
тьего — закрашены). Рассмотрим прямую Lc, пересекающую квадрат
[0, 1] χ [0, 1], что возможно, лишь если \с\ < 1. Как легко
убедиться, она пересекает некоторый квадрат первого ранга. Из соображений
S
V
А

226
I. Введение
• УКАЗАНИЯ
подобия ясно, что она должна пересекать хотя бы один из вложенных
в него квадратов второго ранга и т. д. Общая точка получаемых таким
образом квадратов — обозначим её (s,t) — лежит на прямой Lc и,
очевидно, входит в f]Mn = С χ С. Поэтому s, t G С, г — s = с. Ввиду
произвольности с G [—1, 1] мы получаем, что С — С — [—1, 1].
Множество С Л-С исследуется аналогично (следует рассмотреть
прямые вида г + s — с, где с е [О, 2]).
1.31. а), б) Эти утверждения доказываются по индукции.
в) Из б) следует, что равенство t — t{e) равносильно включению
t е П Δ^..ε„.
г) Докажем достаточность условия (σι ... ση) -< ε. Так как
δει...ε„ι_ιΟσ„ι+ι...ση С Δ£ι £mlQ y
а последний сегмент лежит левее ^£l...£m_l\ D ^ει...εηι_ιΐεηι+ι...εη^> το
при (σ\ .. ,ση) Φ [ε\ ... εη) интервал δσι...σ„ лежит левее t. Это же
верно и при (σ\ .. .ση) = (ε\... εη), εη+\ = 1, поскольку по
построению δει.„ε„ лежит левее Δει...εΛ э t.
Проверка необходимости условия (σι ... ση) -< ε проводится
аналогично.
д) При любом η 6 N сегмент [0, t] содержится в объединении
всевозможных интервалов δσι...σ^, лежащих левее г, и множества
Кп = (J Δει.,.£η. Следовательно,
£,=0,1
<^ιΙ<5| + Σ Σ Κ...σΐι\+ Σ |Δει...ε„|·
k^\ (σ\...σ^ε ε,=0,1
Так как последняя сумма равна L(\ — q)n —► 0, то мы получаем тре-
п—+oo
буемое равенство.
1.35. Рассмотрите множество C\Q или множество, образованное
серединами интервалов, дополнительных к С.
1.36. См. указание к предыдущей задаче.
1.37. Убедитесь в том, что разность К\А, где К = f] Gn, не более
чем счётна, и используйте результат задачи 1.32 а).
1.38. Допустим, что интервал (а,Ь) ограничен и {Fn} —
последовательность попарно непересекающихся непустых замкнутых
множеств, содержащихся в (я, Ь). Докажем, что (a,b)\ (J Fn ^ 0. Пусть
л^1

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Множества
227
ρ = infFi, q = supFj. Тогда интервалы Aq = (я, ρ) и А\ = (qt b)
непусты и множества F„° = F„ П Aq, F^1 = F„ Π Δι замкнуты. Заменяя (α, b)
на Aq и множества Fn на непустые множества F%9 мы получим
интервалы Δοο и Δοι· Проведя это построение для интервала Δι, мы построим
интервалы Δίο и Ац. Интервалы Δοο, Аоь ΑΐΟ> Δι ι не пересекаются
с множеством F\ U F2 и друг с другом. Продолжая этот процесс по
индукции, мы построим интервалы A£l..m£n9 удовлетворяющие услови-
п
ям задачи 1.37 и равенству A£l„m£n Π (J F# = 0 при любом п и любых
к=\
ε\9..., εη. Теперь остается сослаться на утверждение задачи 1.37.
1.39. Найдите прямую, не содержащую точек касания данных кругов.
Используйте результат задачи 1.38.
1.40. По условию множество [jEn содержит непустой интервал
(а9Ь). Рассуждая от противного, постройте такую последовательность
вложенных сегментов Ап С (а9Ь)9 что Ап Г\ Еп = 0 при любом η 6 N.
1.41. Используйте результат задачи 1.40.
§ 2. Неравенства
2.1. а) Пусть Sm = Σ ак~ Σ ак· Ясно, что Sq = —Sn. Поль-
l^k^m т<к^п
зуясь тем, что последовательность {Sw}q меняет знак, подберите такой
номер р, что Sp и Sp_\ имеют разные знаки, и покажите, что хотя бы
одно из чисел \Sp\ и |Sr,_i| не превосходит max \ак\.
l^k^n
б) Считая, что max \ак\ = \а\\9 разбейте сумму абсолютных вели-
l^k^n
чин, стоящую в правой части неравенства, на две: в одной должны
быть слагаемые, соответствующие наборам индексов (1, ^2,..., εη)9
а в другой — (—1, £2> · · ·» εη)· Каждая такая сумма не меньше чем
абсолютная величина суммы слагаемых, т.е. не меньше 2"-1|αι|.
2.2. Доказывая правое неравенство, заметим, что
в Σ ак - Σ akh= Σ (B-bk)<*k- Σ аФк-
l^k^M l^lc^n l^lc^M M<k^n
Заменив в получившихся суммах ак на а м-, мы уменьшим первую из
них и увеличим вторую. Поэтому разность этих сумм не меньше чем
ам( Σ (В-Ьк)- Σ bk)=aM(MB- Σ Ьк)>0.
х\^к^М М<к^п ' ч 1<*<л '
Левое неравенство доказывается аналогично (ак заменяется на ап-т).

2.3. а) Воспользуйтесь неравенствами
б) Правая часть неравенства сразу следует из правой части
неравенства а). Левая часть доказывается по индукции. Отметим также,
что левая часть неравенства б) является частным случаем
неравенства 2.16 б) при Ъ^ — ^-.
2.4. Воспользуйтесь неравенством
(l+x)q > Ι+qx (О 1, х > -1).
2.5. Левые неравенства легко доказываются по индукции.
Для доказательства правых неравенств достаточно заметить, что
\\ (1 +<2β) \\ (1-й^1 и воспользоваться левыми неравен-
ствами.
2.6. а) Воспользуйтесь неравенством Коши (среднее
арифметическое не меньше среднего геометрического) и биномом Ньютона.
б) Воспользуйтесь неравенствами
1+х^ех'(1+х) и еа > 1+ £ + ... + <£ при χ > -1, σ^Ο.
2.7. а) С помощью неравенства Коши докажите, что производная
функции φ(χ) = у/(а \ + χ)... (ап + χ) при χ ^ 0 не меньше единицы.
б) Используя неравенство а), докажите сначала частный случай,
когда а к = 1 при к — 1,..., п. Общий случай сводится к частному, если
положить Ъ^ = сkdk при к = 1, ..., п.
2.8. Воспользуйтесь методом математической индукции и
неравенством es ^ 1 + S для S еШ.
2.9. Для оценки сомножителей примените неравенство 1 + χ < ех
(х еЩ. Оценивая возникающую при этом сумму, воспользуйтесь тем,
к
что к~р < Г и~р du при к > 1.
к-\
Полученная оценка точна по порядку для ^ < ρ < 1, что вытекает
из неравенства 1 + χ ^ е 2 при χ ^ 0. При 0 < /? < ^ более точную
оценку можно получить, используя неравенство 1 + χ < е 2 з ? что
позволяет существенно уменьшить правую часть доказываемого
неравенства — там возникает дополнительный бесконечно малый множи-

И РЕШЕНИЯ ·
§ 2. Неравенства
229
тель. Это даёт оценку, точную по порядку при | < ρ ^ ^.
Аналогичным образом, учитывая всё большее число членов тейлоровского
разложения 1п(1 + х), оценку можно уточнить для g</7^4'8<:^^6
и т.д.
2.10. Неравенства доказываются по индукции. Для обоснования
индукционного перехода воспользуйтесь соотношением
(1 + 1)" <*<(! +ΙΓ1·
Для доказательства неравенства б) при η = 11 воспользуйтесь тем,
что е < ^.
2.11. а) Представьте каждый сомножитель в виде суммы
геометрической прогрессии и перемножьте полученные ряды.
б) Проверив, что сумма не больше произведения, перейдите к
пределу в неравенстве а).
2.12. а) В силу результата задачи 2.11 б) достаточно оценить
сумму Σ m~s сверху и снизу. Для этого воспользуйтесь неравенствами
т
< \ и sdu < (т - 1) s для т > 1.
т
т-\
б) Для доказательства правого неравенства воспользуйтесь
неравенствами p^s < — In (l — p~j^s) и левым неравенством пункта а).
Доказывая левое неравенство, заметим, что
_ι +°°
п(,-*)"-5.*>,+ /**_,+й·
Поэтому из неравенства - 1п(1 - t) ^ г +12 (0 < t < 1/2) следует
Отсюда с помощью доказанного правого неравенства б) получаем
Поэтому
Осталось оценить аргумент второго логарифма. Убедитесь в том, что,
уменьшив 21-5 до 2 — s при 1 < s < 2 и до нуля при s ^ 2, мы

230
I. Введение
• УКАЗАНИЯ
получим дроби, ограниченные снизу числом |. Таким образом,
Σ^ΐηίΐτ+1η1>-1+,η7ΐτ·
2.13. См. [Тр], [Ц].
а) Пользуясь неравенством
Π p*<q„<(i + i)2n = 4\
n<pfc<2n
получаем при η = 2-i
Σ In ρ* = In Π Pk<2Jln4. (*)
V <pk<2J+l V < pk < 21 +l
Следовательно, при 2J < pn < 2·/+1 мы имеем
Σ lnPk < Σ lnPk <
< (1 + 2+4 + ...+2>)ln4 < 2->+11п4 < 3 · V < Ърп.
б) Из неравенства (*) сразу следует, что Σ ~Б^ < ^п^· ^ле"
2J<pk<2J+l
довательно, при 2J < рп < 2·/+1
Е^Рк ^ 1п2 , 1пЗ , V* V^ [nPk s
l^k^n 2^m^j 2'"<pk<2m+l
< ψ + ψ + (j - 1)1η4 < ./In 4 < 21np„.
в) Так как /ι^ΡΌ-^Μ < 4", то я(2л) - я(л) < ^1п4.
Следовательно,
я(2'+1)-я(2') < ^.
Суммируя эти неравенства, получаем
*&+*)-1<2$ + ... + $)<%$
(последнее неравенство легко доказывается по индукции). Поэтому
при У < η < 2·>+1
л(п) < 1 +8^- < -f-+81n2^- <6^-.
v ' 7 + 1 ^ еIn и In и In и
г) Неравенство очевидно при In и < 6. Далее считаем, что Inn > 6.
Если бы для какого-то номера оказалось рп < | In л, то из неравен-

ства в) следовало бы
η = π(ρη) < 6r^ < 6 Ι }ηη χ,
что невозможно для рассматриваемых номеров.
2.14. См. [Ти1].
а) Оценка сверху следует из неравенства л (1 - х) ^ | при χ G [0, 1].
Для получения оценки снизу представьте интеграл с помощью бинома
Ньютона в виде
1
f хп(\ - х)п dx = -- ·—- 4- 4- ^-i'- = —
j χ [ι χ) αχ ;Η1 „+2 ^*·- ^ 2л+1 Qn >
О
где Рп е Ν.
б) Представим Qn в виде <2и = Р^1 ρψ · · · Так как Qn —
наименьшее общее кратное чисел, не превосходящих 2л + 1, то каждый
сомножитель ρ -j не превосходит 2 л -f 1, а число таких сомножителей,
очевидно, не больше (на самом деле равно) л(2п + 1).
Из а) и б) следует, что 4п < (2л + l)^2^1^ откуда вытекает, что
я(2л f 1) ^ In2 . /22^_ι\· Следовательно, при любом /я ^ 4
_/- \ ^ In 2 /я _ 1 т
v J ^ 2 lnm 3 lnm
Ясно, что это неравенство справедливо и при т = 2, 3.
Чтобы оценить рп заметим, что л(рп)=п и, следовательно,
л ^ Jr^-. Отсюда вытекает, что рп < 9л2, и поэтому
рп < Зл1п(9л2) < 12л In л при л ^ 3.
Отметим, что данное Чебышёвым детальное исследование
разложения биномиального коэффициента С^ на простые множители
позволяет улучшить оценки величин я(/г), р,и найденные в задачах 2.13 и 2.14,
и показать, что „ ( } „_
' Inn v 7 ' In и
(см. [Тр], [Ц]). Значительно труднее доказательство гипотезы Гаусса,
согласно которой л(п) ~ р~. Её справедливость впервые была
установлена Адамаром и Балле Пуссеном (см., например, [Ин], [Ка], [Тр]).
2.15. Сначала докажем левое неравенство. С помощью
неравенств 2.11 а) и ln(l +1) < t имеем
m(i+/>„)= Σ h.(i + i)< Σ к*
<
Π (i-i) = Π (ι + sb).

232
I. Введение
• УКАЗАНИЯ
Логарифмируя, получаем
mind +Рп) < Σ m(i + ^К Σ ^ ο + Σ £■
Доказывая правое неравенство, заменим -^ на \ при некотором
s > 1, близком к единице. Для оценки погрешности такой замены
воспользуемся неравенством \ - а~х ζ х\п а, а. также
неравенствами 2.126) и 2.13 6):
Σ i= Σ £+ Σ i(i-^)<
Стремясь минимизировать правую часть последнего неравенства,
возьмём 5 = 1 + ~-р— (точное значение s, доставляющее минимум, ЧИТа-
^с in рп
тель может легко найти самостоятельно). Это даёт при η > 3
Σ ^ <1η(1 + 21ηρ„) + 1 <2 + lnln/?„
(при η = 1 и η = 2 доказываемое неравенство очевидно).
2.16. а) Достаточно доказать только правое неравенство (левое
неравенство следует из правого, применённого к последовательностям
{at}" и {—Ь*}|). Можно считать, что последовательность {Ь^}" не
убывает — этого можно добиться, изменив нумерацию. Допустив, что
для некоторых номеров j < i выполнено неравенство ctj > at,
докажите, что перестановка чисел a j и α ι в последовательности {α^}"
увеличит сумму ^ афк-
Эти неравенства имеют простое механическое истолкование. Пусть
имеется η гирь весом а\,... 9ап и рычаг, вращающийся в
вертикальной плоскости вокруг неподвижной точки О. Гири подвешены к
рычагу на η крюков, удалённых от точки О на расстояния Ь\,..., Ьп. Тогда
Σ α Φ к — статический момент этой системы. Он максимален, если
вес гирь растёт при удалении от точки О. Если же вес гирь убывает,
то статический момент будет минимальным.
б) Для доказательства правого неравенства рассмотрите двойную
Λ Λ Λ Λ
сумму 2L zL (ak — aj)(Pk — bj) и воспользуйтесь тем, что её
слагаемые неотрицательны.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 2. Неравенства
233
Левое неравенство доказывается аналогично или может быть
выведено из правого, применённого к последовательностям {а^}"
и {-&*}?·
2.17. Для доказательства неравенств а) и в) воспользуйтесь
преобразованием Абеля. Неравенство б) следует из неравенства а).
Чтобы показать, что множитель В нельзя уменьшить, а множитель
β — увеличить, зафиксируем номер j, не превосходящий п, и
рассмотрим последовательность а^ = 1 при 1 ζ к ζ j, а^ =0 при j < к ίξ η.
Тогда . .
а\Ъ\ + . . . + апЬп = Ь\ + . .. +bj ,
и поэтому если неравенство выполняется с коэффициентами β и В, то
β]=β Σ "к^ Σ <*kh^B Σ "k=Bj.
l^k^n l^k^n l^k^n
~ b\+...+bj ~
Следовательно, β $ξ : < В для любого j.
2.18. Воспользуйтесь тождеством
\ Σ а\-{\ Σ **)2 = i Σ Σ {аъ-α,Ϋ.
Для оценки двойной суммы сверху примените неравенство |а* — яу| ^
^ Δ|& — у'|. Оценивая её снизу, можно считать последовательность
{ак}? монотонной. Тогда δ = min |α*+1 - α^Ι и \ак ~ aj\ ^ Я|^ ~~ .Л·
\^к<п
2.19. Решение аналогично решению предыдущей задачи, но вместо
неравенств 8\к — j\ ^ \а^ — aj\ ^ А\к - j\ используются неравенства
U ~ *)(**+1 ~ а к) ^ aj ~ ак < U ~ k){aj - tfj-i)
при 1 ^ к < j ^ п.
2.20. а)-в) Используйте индукцию.
г) Проверяется непосредственным вычислением.
д) Убедитесь, что правая часть равенства есть многочлен* и
воспользуйтесь соотношением
cos ηφ = ^((cos(/> + / simp)" + (cosφ - i simp)")
при χ = cos φ.
е) Считая, что * = cos<p просуммируйте ряд Σ tnein(f> и выделите
его вещественную часть.

234
I. Введение
• УКАЗАНИЯ
2.21. Рассмотрим сначала многочлен с вещественными
коэффициентами.
Пусть j = 0. Проверим, что в любой точке xq (jcq > 1) дробь
L — _, °ч по абсолютной величине не больше единицы. Допу-
стим противное: \L\ > 1. Рассмотрим новый многочлен Q = LTn - Р.
Так как r„(cos ^) = (-1)* при к = 0, 1,..., п, а \Р\ ^ 1, то
знаки значений многочлена Q в этих точках чередуются. Поэтому он
имеет не менее η корней на интервале ( — 1,1) и, кроме того,
Q(xo) = LTn(xQ) — Р(хо) -·= 0. Таким образом, многочлен Q
степени η имеет по крайней мере η + 1 корень. Следовательно, Q = 0,
т.е. Ρ = LTn. Но тогда |Р(1)| = |L| > 1, что противоречит условию
Μ = max|P(jc)| ^ 1.
Неравенство для производных доказывается аналогично
(многочлен
QU)
имеет слишком много корней).
Наконец, в случае комплексных коэффициентов можно считать, что
производная P^(xq) вещественна (этого можно добиться, умножив Ρ
на е~ш, где а = ащР^Цхо)), а затем применить уже доказанное
неравенство к вещественной части Р.
2.22. Из многочисленных доказательств этого знаменитого
неравенства мы рассмотрим одно из самых элементарных. Оно предложено
Балле Пуссеном. См. также [Ти2].
Очевидно, можно считать, что Μ - 1. Кроме того, с помощью
сдвига можно свести задачу к случаю, когда тах|Р'(<р)| -- |Р'(0)|. Домно-
жив при необходимости Ρ на —1, получим, что тах|Р'(<р)| = Р'(0).
Обозначим эту величину символом L. Надо доказать, что L ^ п.
Допустив, что L > п, рассмотрим новый тригонометрический многочлен
Q(q>) = Ρ {φ) - \ sinn<p. На каждом промежутке вида
(|L(2*-l)f|L(2* + l)) (* = 1,2,...,2п)
он меняет знак (вычитаемое меняется от — ^ до £, ^ > 1,
а \Ρ{φ)\ ^ 1). Поэтому на интервале (^, Ъг + ^) многочлен β имеет
не менее 2п корней. В силу периодичности таково же и число корней
на (0, Ъг). Следовательно, производная Q1 имеет там по крайней мере
2п - 1 корень, а так как Q'{2n) = <2'(0) = Р'(0) - L = 0, то на отрезке
[0, 2л) имеется по крайней мере 2п + 1 корень многочлена Q'. Тогда

И РЕШЕНИЯ·
§ 2. Неравенства
235
число корней многочлена Qff на интервале (0, 2л) не меньше 2л. В то
же время <2"(0) = Р"(0) = 0, так как в нуле многочлен Р' достигает
своего наибольшего значения. Таким образом, на промежутке [0, 2л)
тригонометрический многочлен Qff порядка η имеет 2п + 1 корень, что
невозможно, и следовательно, L = max |Р'(ф)| ^ п.
Из этого рассуждения легко вывести, что одновременное
выполнение равенств
л = Р/(0)=тах|Р/(<р)| и тах|Р(<р)| = 1
возможно лишь при Q = 0, т.е. при Ρ (φ) = smn<p. Поэтому
неравенство Бернштейна обращается в равенство только на многочленах
вида Ρ (φ) = ±Μύηη{φ — φ$). Заметим, что все чётные экстремальные
многочлены имеют вид Ρ (φ) = ±Mcosrc<p.
Для доказательства алгебраического варианта неравенства
достаточно сделать замену переменной χ = cos φ и применить уже доказанное
неравенство к чётному многочлену Ρ (φ) = Ρ (cos φ). Равенство
возможно лишь в случае Ρ (cos φ) = ±М cos ηφ, τ. е. для многочленов вида
Р(х) = ±МТп(х), где Тп — п-й многочлен Чебышёва.
Неравенство Бернштейна для алгебраических многочленов
малосодержательно вблизи концов промежутка. Там хорошую оценку даёт
неравенство А. А. Маркова:
\Р'(х)\ ζη2Μ для всех jt€[-l, 1],
где Ρ — вещественный алгебраический многочлен степени л,
Μ = max |Р(лс)|. Приведём для полноты его доказательство.
Будем считать, что Μ = 1. Для χ из промежутка [- cos ~, cos ^]
доказываемое неравенство следует из неравенства Бернштейна:
у/\-Х2 sin-
Допустим, что неравенство нарушается в некоторой точке
л:о € (cos ^, 1]: Р'(хо) > л2. Тогда Ρ ^ Тп (легко проверить, что
Ι^ίίΜΙ ^ п2 ПРИ х ^ [~Ь 1])· Ясно, что Q = Тп - Ρ имеет на
интервале (—1, 1) по крайней мере η корней. Чтобы получить многочлен со
слишком большим числом корней, заменим Q на близкий многочлен.
Пользуясь тем, что при χ Ε [cos ^, 1] значения Тп(х) возрастают от —1
до 1, рассмотрим такой малый сдвиг Тп(х - х*) (О ^ х* ^ 1 - cos ^),
что разность Q(x) = Тп(х — х*) — Р{х) имеет своим корнем xq.
Легко видеть, что при этом слева от χ о многочлен Q имеет по крайней

236
I. Введение
• УКАЗАНИЯ
мере η — 1 корень. Но кроме этих η корней существует ещё один
корень, лежащий справа от xq. Действительно, с одной стороны,
Q(x0) = О и Q'(*o) < 0 (так как ρ'(χθ) > η2 и Т„ < п2). Поэтому
справа от точки xq многочлен Q принимает отрицательные значения.
С другой стороны, так как Μ = max |Р(лг)| = 1, то старший коэффи-
циент многочлена Ρ меньше 2"-1 (см. задачу 2.21). Поэтому разность
Q{x) = Тп(х) — Р(х) положительна для достаточно больших х. Итак,
многочлен Q степени η с положительным старшим коэффициентом
имеет не меньше чем η + 1 корень. Это невозможно.
2.23. а) Докажем левое неравенство (заметим, что, в отличие от
правого неравенства, оно неверно при η = 1). Достаточно проверить, что
функция <р(х) = ^j + e*(l - ji)" не превосходит единицы на
промежутке [0, п]. Поскольку на концах промежутка это неравенство
выполнено, то достаточно установить, что φ(χ) ^ 1, если φ'{χ) = О,
т.е. ех[\ — ft)n = \. Но в этом случае
<*>(*) = S + «(1_ и)*51' *е[о,п], л>2.
Правое неравенство доказывается аналогично.
б) Доказывая левое неравенство, заметим, что
(1 + *_)-" _ е-х = е-*(ехр(* - nln(l + £)) - l) >
> в'* (χ-η\η(\+ *-)).
Остается воспользоваться легко проверяемым неравенством
1п(1 4-0 ζί- ^ при t е [О, 1].
Правое неравенство равносильно неравенству
О ζ φ(χ) = /iln(l + I) +ln(l + £)-*.
Так как φ(0) = О, то достаточно проверить, что φ'(χ) ^ 0 при
χ е [О, у/Я].
2.24. Неотрицательность функции φη следует из неравенства
1п(1 — t) ^ — t — у. Так как на концах промежутка φη не
превосходит —р=, то для оценки максимума сверху достаточно доказать, что
φη(χ) ^ -j=, если φ'η(χ) = 0, т.е. £>-*2/(2л) = <?*(1 - ^)л"1. Но в этом
случае φη(χ) = $ £>-·*2/(2") <ζ -L.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 2. Неравенства
237
Оценка максимума снизу следует из легко проверяемых
соотношений
<Pn(yfti) = ^-exp(v« + "ln(l -^)) >
> 1 _ exp f-I - -U > 4= f tV " ll·) > Γ7=·
2.25. а) Доказывая неравенство
φ(χ) = ^-\η2(1+χ)>0,
представьте функцию φ1 в виде φ\χ) = γ^- и проверьте, что
sign ^(лс) = sign χ.
б) Изучите характер монотонности функции
φ(χ) = arctg* %-
и воспользуйтесь тем, что 0 = φ(0) = lim φ (χ).
χ—»+οο
г) Рассмотрите функцию <р(лс) = 2sin(| jc) + jc3 - 3jc при jc G [0, 1].
Исходя из графика <р'", последовательно постройте графики
функций φ", φ' и φ.
д) Рассмотрите функцию φ(χ) = sin2 jc tgjc — jc3 и последовательно
докажите, что φπ > 0, φ' > 0, φ > 0 {φη,(χ) = (6 + 8 cos2 χ) tg4 jc).
е) Сравните тейлоровские разложения функций cosjc и (^—) +С-
2.26. а) Выясните, при каких значениях параметра к функция
f(x) = cos(^jc) - (1 -jc2)(1 - foe2) сохраняет знак на промежутке
[0, 1]. Для этого изучите её поведение вблизи концов
промежутка и докажите, что для неотрицательности необходимо, чтобы
2
к ^ ^— 1 « 0, 23, а для неположительности — к ^ 1 - ^ « 0, 21.
Чтобы показать, что эти неравенства не только необходимы, но и
достаточны для сохранения знака функции /, постройте её график. Для
этого, исходя из графика /(4), последовательно постройте графики
функций /'", /", /' и /.
б) Решение аналогично решению задачи а). При этом полезно иметь
в виду, что в левом неравенстве коэффициент | может быть заменён
на^-1.

238
I. Введение
• УКАЗАНИЯ
2.27. Эти неравенства являются частными случаями неравенства
fW~l(y)>xy, (*)
fix)
где χ, у > 0, у ^ f(x) и функция / такова, что -γ1 |. Неравенство
(*) следует из неравенства ^р- ^ —р- при ζ =f~l{y) ^x. В
неравенстве в) при ρ < О следует изменить знак. Для доказательства
достаточно заметить, что при ρ < О справедливы неравенства
\(1+х)Р-1\^\р\х и \(1+x)Lp-1\<JL.
При ρ е (—1, 0) неравенство г) справедливо для лс, близких к
единице, но в окрестности нуля оно не выполнено — для доказательства
достаточно рассмотреть тейлоровское разложение функции, стоящей
в левой части неравенства.
2.28. Правое неравенство является частным случаем
неравенства (*). Левое неравенство является частным случаем неравенства,
обратного к (*): ,
f(*)f-l(y)^xy. (**)
где χ > 0, y^f{x) и положительная функция / такова, что
^-· |. Неравенство (**) следует из неравенства Щ^- ^ —р- при
2.29. а), б) Воспользуйтесь равенствами
1 1
Ц± = jcosxtdt и ^у±= f(\-t)cosxtdt.
0 0
в) Воспользуйтесь формулой
(arctgjc)W = (η - l)!cos"y sin(y + |ет), где у = arctgx .
2.30. Ясно, что
Отметим, что на левом конце промежутка неравенство обращается
в равенство.
2.31. При доказательстве неравенств б)-г) полезно сделать замену
переменной χ = j^ (t G [0, 1]). В задачах в) и г) этот приём заметно
упрощает решение; в задаче б) он показывает, что левое и правое
неравенства равносильны, а в задаче г) — что равносильны случаи
ρ > 2 и ρ < 2.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 2. Неравенства
239
б) Для доказательства правого неравенства рассмотрим функцию
φ{χ) = 2Р-\\ + χΡ) - ((1 + х)Р + (1 - х)Р).
Знак <//(*) совпадает со знаком функции
A(j) = 2^-1-((3; + l^-1-(j-l^-1), где у = j ·
Так как Δ(1) = 0 и Δ'()>) < 0, то А(у) < 0. Таким образом, функция φ
убывает и, следовательно, φ(χ) > φ(1) =0.
Доказанное неравенство вытекает также из более сложного
неравенства г). Для сравнения их правых частей воспользуйтесь выпуклостью
функции tp~1.
в) Положим q = -^-j-, χ = у~, 0 < ί ^ 1. Тогда исходное
неравенство легко преобразовать в следующее:
22/«(1+^)2/^(1+02 + (/>- 1)(1 -О2 при ге[0Л].
Выясним характер монотонности функции
/(0
_ (i+o2+(p-i)(i-02
на промежутке [0, 1]. После несложных вычислений выясняется, что
знак f'(t) совпадает со знаком функции
Δ(ί) = 2-p + pt- ptP~x +{p- 2)tP .
Легко видеть, что Δ"(ί) ^0, т.е. Δ'(ί) убывает. Так как Δ'(1) — 0,
то Δ'(ί) ^ 0 на промежутке [0, 1], т.е. функция Δ(ί) возрастает.
Учитывая, что Δ(1) = 0, получаем, что Δ(ί) ^ 0 на промежутке [0, 1]. Таким
образом, f(t) убывает и, следовательно, f(t) ^ /(1) = 22/^, что
доказывает исходное неравенство.
г) Тот же приём, что использован при решении задачи в), приводит
к неравенству
2(1+^)^^(1+0*+ (1-0* при re [0,1].
Знак производной функции
() = (1+о?+(1-о*
J \ > {\+tp)q,p
совпадает со знаком функции
Δ(ο = (ι + о*-1 - (1 - О*"1 - ^_1 (0 + О'7-1 + 0 - О*-1) =
_?V {д-\)...(д-\-2к) Лк+\ _ Ър-\ _ Ър-\ V^ (g-U-(<?-2*) 2k
ko (2*+1)! k\~ m
Так как q G (1, 2] при /? ^ 2, то все коэффициенты в первой
сумме неотрицательны, а во второй — неположительны. Поэтому

240
I. Введение
• УКАЗАНИЯ
функция Δ(ί) раскладывается в ряд вида Σ cktVk, где
последовательность показателей степени {vk} неограниченно возрастает, а
среди коэффициентов {с^} имеется только один отрицательный. По
правилу Декарта (см. IV.5.13 в)) на интервале (0, 1) функция Δ(ί)
меняет знак не более двух раз. Учитывая, что Δ(0)=Δ(1) = 0,
Δ'(0) = 2(q - 1) > 0 и Δ'(1) = +оо, получаем, что функция Δ(ί) на
интервале (0, 1) один раз меняет знак с плюса на минус. Поэтому
функция /(/) сначала возрастает, а затем убывает. Так как /(0) = /(1) = 2,
то f(t) ^ 2 на всём промежутке [0, 1].
Доказательства неравенств б), в) при 1 < ρ ^ 2 аналогичны.
Легко видеть, что неравенства б)—г) равносильны «симметризован-
ным» однородным неравенствам, где сумма |и + υ|^ + |и — υ\ρ
оценивается суммой степеней чисел \и\, \υ\. Такие неравенства лежат в
основе доказательств некоторых геометрических фактов, связанных с
пространствами 2р. На б) и г) опирается вывод неравенств Кларксона,
гарантирующих равномерную выпуклость 2р соответственно при ρ > 2
и при 1 < ρ ^ 2. С помощью в) можно получить доказательство
неравенства Хинчина (см. ΙΧ.3.23 а)) и его обобщения для векторнознач-
ных функций (см. [LT], а также [М]). Неравенство, двойственное в):
(1 + x)2 + {q- 1)(1 -х)2 ^41-^(1 +χη~> при хе [0,1], 1 < q ^ 2,
позволяет найти точную по порядку оценку модуля выпуклости
пространства ЗУ.
2.32. Пусть xq — та точка из промежутка [0, 1], в которой функция
h(x) = f(x) —x достигает наибольшего значения. Тогда
1 1
jf{x)dx > jf(x)dx > (1 -дг0)/(*о) = Hx0)+xo(l -f(xo)) >
0 χο 111
^ h(x0) = max/z ^ jh(g(x))dx = j f(g(x))dx - jg{x)dx.
1 ' J о о о
2.39. Если обе функции / и g не убывают (или не возрастают), то
произведение (f(x) — f{y))(g(x) — g{y)) неотрицательно для всех jc,
у е [а,Ь]. Поэтому неотрицателен повторный интеграл
ь ь
j(j{f(x)-f(y)){g(x)-g(y))h(x)h(y)dy)dx.
а а
Остаётся раскрыть скобки под знаком интеграла.
Доказанное неравенство Чебышёва для монотонных функций —
аналог уже рассмотренного в задаче 2.16 неравенства для сумм. Раз-

И РЕШЕНИЯ ·
§ 2. Неравенства
241
личные обобщения этого неравенства и другие интересные связанные
с ним результаты можно найти в [НМ].
2.40. а) Проверьте равенство
]({f,(x))2-f2(x))dx = Jj(ff(x)-f(x)ctgx)2dx.
О О
б) Продолжив / на всю ось Ш с периодом π, рассмотрите
функцию f(x) = f(x 4-*о)> гДе х0 — корень /. Покажите, что, несмотря
на возможную недифференцируемость функции / в точке л - χq, она
удовлетворяет неравенству пункта а).
в) Продолжим функцию / на всю вещественную ось с периодом
2л. Не умаляя общности, можно считать /(л) = /(0) (в
противном случае следует заменить / подходящим сдвигом). Представим
функцию / в виде /=/о + /ь гДе /о(*) = 5 (Я*) +/(-*)) —
чётная, a f\(x) = \[f{x) — /(—χ)) — нечётная функция. Тогда
л
/l(0) = /ι (я) = 0, /о(0) = /0(я) и jf0(x)dx = 0. Остаётся приме-
0
нить неравенство а) к /ι и неравенство б) к /о· Таким образом,
неравенство Виртингера доказано.
Другое доказательство см. в ΙΧ.4.9.
2.41. Не умаляя общности, можно считать, что L = 2л.
Рассмотрим натуральную параметризацию кривой (x(s), у (л-)), 0 О ^ 2л.
Тогда х(0) =χ(2π)9 у (О) =у(2л) и х1 (л) 4-у' (s) = 1. За счёт
сдвига всей кривой вдоль оси абсцисс можно добиться равенства
2л
I x(s)ds = 0 (сместить центр масс кривой на ось ординат). Как из-
0 2л
вестно, S = ± I x(s)y'(s)ds (выбор знака зависит от направления об-
0
хода фигуры при движении по кривой). Поэтому
2л 2л
g - S = i J (x'2(s) + y'2(s))ds τ j x(s)y'{s)ds =
0 0
2л 2л
= I j (x(s) qF y'(s))2ds + i j (x'2(s) - x2(s))ds > 0,
0 0

так как
2л 1м
j x'2{s)ds ^ j x2(s)ds
О О
в силу неравенства 2.40 в).
Для решения задачи Дидоны отразите кривую симметрично
относительно граничной прямой и примените изопериметрическое
неравенство к полученному таким образом замкнутому контуру.
§ 3. Иррациональность
3.1. а) => б). Достаточно доказать, что для любого числа Q G N
найдутся такие целые числа ρ и q, что I ^ q ^ Q и \х — д\ < -q (так
как правая часть стремится к нулю при Q —> +оо, а левая часть по
условию а) положительна, то отсюда следует, что найдутся решения
неравенства |jc - £| < ~ со сколь угодно большими знаменателями q).
Ч qL
Зафиксировав число Q 6 N, разобьем промежуток [0, 1) на β
конгруэнтных промежутков [0, 4), [^, 4),..., [^Н, 1) и рассмотрим
точки δ„ = пх - [пх] при η = 0. ..., Q. Ясно, что δη G [0, 1). Поскольку
число этих точек больше числа промежутков, то по крайней мере один
из них содержит две точки: δ^ и Sj, 0 ^ к < j ^ Q. Следовательно,
i > \Sj - Sk\ = \jx - [jx] -~кх + [кх}\:
Взяв q — j — к и ρ = [jx] — [кх], получим, что ^ > \qx - р\.
Доказанное утверждение известно как теорема Дирихле (см. [Ши],
[Шм]).
в) => а). Допустив, что χ = γ, где ρ G Ъ и q G Ν, получим
РЧк — ЧРк ~* 0 ПРИ & —► +оо. Так как pq^ — qp^ G Ζ, то отсюда
следует, что pq^ — qpjc = 0, т. е. χ = -^ для всех достаточно больших к,
а это противоречит условию.
3.2. Воспользуйтесь результатом задачи 3.1.
3.3. а) Достаточно доказать, что последовательность {sin 4"} не
имеет предела. Допустим, что это не так: sin 4" —> /. Если / = 0, то
4п = лкп + εη и 4"+1 = лкп+\ + εη+\9 где кп, кп+\ е Ъ и εη -> 0.
Следовательно, 0 = я(4кп — кп+\) + 4εη — εη±\. Поэтому для достаточно
больших η имеем 4кп = &л+Ь т.е. кп =А- 4п, где A G Q. Но тогда из

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Иррациональность
243
равенства 4п = лкп + εη вытекает, что 1 = лА. Это невозможно, так
как число л иррационально (см. задачу 3.23).
Если / φ 0, то из равенства
sin4"+1 = 4sin4п cos4п(1 -2sin24")
получаем, что последовательность {cos 4"} имеет предел.
Следовательно, 4п = 2лкп + φ + εη, где 0 < \φ\ < π, кп G Z, £„ —> 0. Так как
4"+1 = 2яЛл+1 + φ + ε„+ι, то
0 = 2π(4£„ - *„+ι) + 3φ + 4ε„ - εη+\,
а это возможно лишь при φ = ±|ет. Поэтому для достаточно
больших η разность 4&л — &„_;_ ι постоянна и равна либо 1 (если φ = — |ет),
либо —1 (если φ = |π). В первом случае по индукции легко
показать, что кп = А · 4п + т, где А Е Q. Но тогда из равенства
4" = 2лк п - ^л + εη следует, что л G Q. Случай φ = |ет
рассматривается аналогично.
б) Представьте число 0 в виде Θ = лт + л Σ ek^~k-> гДе w — [f ]
и £д. = 0 или 1.
3.5. Рассмотрите числа 0,101001000100001000001... (после п-й
единицы следуют η нулей) и 0,12345678910111213141516...
(выписываются подряд все натуральные числа в десятичной записи).
3.6. В случаях а), б), г) можно использовать результат задачи П. 1.26.
В случае в) рассмотрите числа η = (2&)4 + у, j = 1,..., 4к. Считая к
большим, покажите с помощью формулы Тейлора, что
sin(OT3/2) = sin(gi!)+0(±).
3.7. б) Воспользуйтесь результатом задачи 3.2.
в) Воспользуйтесь результатом задачи П. 1.26.
г) Используйте тот же приём, что и в решении задачи 3.6 в).
3.8. Докажем, что для любого промежутка [р, q], 0 ^ ρ < q ^ 1,
существует такое число χ G R, что δ(χη) G [p9 q] при η G N. Для этого
подберем такое число т G Ν, что числа а = т + ρ и Ь = т + q
удовлетворяют неравенству
<*(q-p)>2. (*)
Ясно, что δ (у) G [p,q] для всех у G [а,Ь]. Из неравенства (*) следует,
что Ь2 — а2 ^ 2. Поэтому промежуток [я2, Ъ2\ содержит промежуток
вида [т\ + /?, mi + g], где /wi G N. Пусть [α\, b\] С [α, b] — такой
промежуток, что а2 = т\ + ρ и Ь2 = т\ + q. Ясно, что £(у2) G [/?, д] для

244
I. Введение
• УКАЗАНИЯ
всех у G [яь^м]. Из неравенства (*) следует, что длина промежутка
[a j, b\\ не меньше двух:
Ъ\ -a\^ax{b\-a\) = ax{q-p) ^ a{q - ρ) ^ 2.
Поэтому при некотором т2, тг £ Ν, промежуток [а\, b\] содержит
промежуток вида \mi + pynt2 + q]. Пусть [а2, Ь2] с [аЬ ^l] — такой
промежуток, что а\ — т2 + Ρ·> b\ = mi + #· Ясно, что £(у ) G [/?, д]
для всех у G [«2» ^г]· ^ СИЛУ неравенства (*) длина промежутка \а\, Ь*]
не меньше двух:
b\-a\^ а2(р\ -а\) ^ a2{q - ρ) ^a(q- p) ^2.
Продолжая построение по индукции, получим последовательность
вложенных промежутков {[яь^*]}· Искомая точка берется из их
пересечения.
В заключение отметим, что числа лс, удовлетворяющие условию
задачи, образуют множество мощности континуума. Для доказательства
достаточно незначительно изменить решение, заменив неравенство (*)
неравенством a(q — ρ) ^ 3. Это позволяет на каждом шагу удваивать
число промежутков, обладающих требуемым свойством. В результате
получаем обобщенное канторово множество, все точки которого
удовлетворяют условию задачи.
3.9. Непосредственные вычисления доказывают утверждение для
функций вида f(t) = cos(2jz7wr), f(t) = sin(2jz7wr) (m = 0, 1, 2,...)
и, следовательно, для всех тригонометрических многочленов. По
теореме Вейерштрасса (см. задачу VII.3.11 или IX.4.19) отсюда следует
утверждение для любой непрерывной функции, принимающей
равные значения на концах промежутка [0, 1]. Избавимся от этого
дополнительного ограничения. Для этого произвольную функцию /
из С([0, 1]) представим в виде / = fe + const · φε, где fe G C([0, 1])
и /ε(0) = /c(l), а функция φε равна нулю на промежутке [ε, 1] и
линейна на [0, ε], φε(0) = 1 (параметр ε — любое число из интервала
(0, 1)). Остаётся оценить величину ^(φε(δ(χ)) + ... + φε(δ(ηχ))). Так
как она неотрицательна, то нужна лишь оценка сверху, а её можно
получить, заменив функцию φε(ί) на большую: ψε(ί) = φε(ί) + φε(\ — t).
Эта функция непрерывна на промежутке [0, 1] и принимает равные
значения на его концах. По уже доказанному утверждению соответ-
1 ι
ствующая ей сумма стремится к интегралу I rp£(t)dt = 2 Гφε{ί)άί = ε.
0 0

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Иррациональность
245
3.10. Используйте ту же идею, что и в доказательстве
утверждения а) => б) в задаче 3.1: для любого числа Q G Ν существуют
такие целые числа q, р\,..., рт, что 1 ^ q ^ Qm и \xj - -}-1 < -^
при 7 = 1, ..., т. Для доказательства разбейте куб [0, \)т на
β771 конгруэнтных непересекающихся кубов и рассмотрите точки
δη = (ί(ηχι),..., i(nxw)) G [0, l)"1 при η = 0, ..., Qm.
3.11. а) Правое неравенство очевидно. Допустив, что | л/2 — f | ^ т^
для некоторых /?, q G Ν, получим
V
2-^
ч1
<i(^+f)<i(2^+J)<^·
Следовательно, \2q2 — р2\ < 1, что невозможно.
б) Из неравенств
С
^
^-г
^
и а,
<7;fl
ν <7;+ι
«J+.
следует, что \V2(qj+\ -qj)- (pj+\ ~ Pj)\ ^ |s т.е.
Так как aQ > -^ для любого q G N, то
^ 4gz
1 2C
%У+,-^·)2 < a"J+i-1J ^ qj(qj + i-qj)'
откуда следует доказываемое неравенство.
3.12. Пусть Ρ — такой алгебраический многочлен степени г с
целыми коэффициентами, что Ρ (а) = 0. Достаточно рассмотреть
дроби 2? столь близкие к а, что \а — ^| < 1 и Р(^) фО. Так как
qrP{^) G Ъ \ {0}, то \Р(%) | ^ <3,_г. С другой стороны, разложив
многочлен P(t) по степеням t — α, получим
**(£)
<
α
Σ ы
Таким образом, q 'r ^ |P(|) | ^ const · j | - a|.
Этот результат был значительно усилен К.Ротом (см.,
например, [Шм]), который доказал, что для любого иррационального
алгебраического числа а и любого 8 > 0 найдется лишь конечное число
дробей §, удовлетворяющих неравенству
ч

246
I. Введение
• УКАЗАНИЯ
В то же время (см. 3.1 б)) неравенство Ια - § I < \ имеет бесконечно
много решений для любого иррационального (не только
алгебраического) числа а.
3.13. а) Решение аналогично решению задачи 3.11 б).
б) Для q G N положим aq — min|a - ^|. По условию aq ^ Ц?.
Рассуждая так же, как при решении задачи 3.11 б), получаем
И4/+1 -Я])- (Pj+ι ~ Pj)\^ -jtr и, следовательно,
с ОС
jjj~7 ^ ai^-<» ^ qf-\qj+l-q]) ·
Поэтому qj+\ — qj > Kqe-, где К = (^)Γ_1 и 0 = ^—ρ С помощью
индукции отсюда несложно получить оценку снизу qj ^ const · j ι~θ.
3.14-3.16. Проверив, что остаток ряда не равен нулю и
мажорируется первым слагаемым этого остатка, покажите, что выполнено
утверждение в) задачи 3.1.
Чтобы показать, что условие -£— ^ Q > 1 не влечет
иррациональности суммы, рассмотрите ряд вида
_! ! L + +J ! L +
2/«i 3m\ 6mi 2тк Ътк 6тк '
где /n^eN для всех номеров к и т^ —> +оо. Ясно, что его сумма равна
нулю. Если последовательность {т^} достаточно быстро возрастает, то
будет выполнено как условие lim п к+п — +оо, так и -^— ^ | для всех
к G N. Небольшие изменения в этой конструкции позволяют заменить
число | на любое число из промежутка (1,2). Более того, так можно
построить ряд с рациональной суммой, для которого — ► 2.
3.17. а) Так как F^ — 2 делится на Fj при j < к, то сумма первых
к — 1 слагаемых равна у-^, где ^ е Z. Учитывая ещё два следующих
слагаемых, получаем
ι £i ι £*±I _L (Л-\ — Nk+£k , £k+l-2£k , / 1 \
Fk-2 + Fk + Fk+l ^0\Fk+l)- F*-2 + FM ^°\Fk+l)'
Поэтому
Nk+ek ek+{-2ek , j ,
8--Κ^2^-Κ^-=°Κψ^2)
и можно воспользоваться критерием 3.1 в).
s= *

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Иррациональность
247
б) См. [ES] и [Sy]; на этот результат наше внимание обратил
О. А. Тараканов.
Заметим, что равенства
пк+\ = nl - пк + 1 и -f- = —i-r —г
АС^1 К К Пк Пк — \ rifc+i — 1
равносильны. Если они верны при всех & ^ L, то
k^L
и, следовательно, сумма ряда рациональна.
Докажем теперь иррациональность суммы ряда в случае, когда
пк+\ > п% — пк + 1 для бесконечного множества номеров к.
Действительно, в противном случае рациональна не только сумма ряда, но
и каждый его остаток:
гк = Тк + ^7 + ' *' = к9 где Рк' qke N и взаимно ПР0СТЫ·
С помощью (1) оценим остаток сверху: ψ = гк < ^4τγ· Поэтому
Ркпк ~ Як < Ρ к Для всех к. В то же время
Pk+i _ i_ _ El L — РкПк ~qk
qk+l ~ Г*+1 — Гк пк ~ qk nk ~ qknk '
Поскольку числа рк+\ и qk+\ взаимно просты, отсюда вытекает
неравенство рк+\ ίξ Ркпк ~ Як· По тогда рк+] < рк, т.е. числители дробей
на каждом шаге уменьшаются по крайней мере на единицу, а это
невозможно, так как они положительны. Следовательно, сумма
ряда иррациональна. В частности, это так, если пк4-\ ^ и£ при всех к.
Как легко проверить, числа пк — 22 —2 удовлетворяют последнему
условию.
3.18. б) Положим а = Σ jt и Д°кажсм> что Для любого ε > 0
существует решение неравенства \а — γ \ < -^ со сколь угодно большим
q Ε N. Так как a (fc Q (см. задачу 3.16), то по теореме Лиувилля отсюда
следует, что число а не является квадратичной иррациональностью.
Поскольку
«- Σ
\^к^т
ίξ -^—, то достаточно доказать, что
пт+\
lim ln" т — 0. Допустив противное, получим, что пт+\ ^ Сп\... л^,
причём можно считать, что С > 1. Положим Lm = п\П2... пт. Тогда
последнее неравенство примет вид Lm+\ < С£ю> и поэтому
nw+1 ζ Lw+1 ^ CI?m < С(С^_!)3 < ... <
^ci+3+...+3-L3«<(CLl)3-^e

248
I. Введение
• УКАЗАНИЯ
Следовательно, \ппт+\ ^ 3W+1 In CL\ — О (3W), что противоречит
условию.
3.19. См. решение следующей задачи.
3.20. б) Рассуждения, аналогичные решению задачи 3.18,
показывают, что из равенства lim —ρ = +оо при некотором Ν Ε Ν, Ν > 1, сле-
дует, что сумма ряда Σ —■ не является алгебраическим числом
степени N. Осталось заметить, что из условия следует, что
lim -^ = +СО для всех N е N.
3.21. а) Ясно, что е - Σ ρ = ы "lV где ^ < ^п < ^' Д0ПУская>
что е = γ, где р, q e N, и умножая на qn\, получаем
ч
|»!-*п! Σ ii = S>0·
Левая часть этого неравенства есть натуральное число, а правая
стремится к нулю с ростом п, что ведёт к противоречию.
б) Если Ае2 + Be + С = 0, то Л^ + Се-1 G Z. Это возможно лишь
при А - С — 0; доказательство аналогично решению задачи а).
3.22. а) Допустим, что сумма рациональна:
Σσ(η) _ а
п\ ~ Ь9
где я, Ь G N. Умножим это равенство на (р - 1)!, где ρ — простое
число, ρ > Ъ. Так как σ(ρ) = ρ + 1, то мы получим
{р-Щ-{р-П Σ ^ = ^ + (р-1)!Е^·
Левая часть этого равенства — целое число, поэтому и правая часть
должна быть целой. Убедимся в том., что в действительности она
принадлежит интервалу (1, 2), если ρ выбрано достаточно большим.
Оценка снизу очевидна, а для оценки сверху применим неравенство
σ(η) ίξ 2 · Поэтому оцениваемая величина не превосходит
ι
1 , I , iEzDly _5±L < i + I + £±2 , у (
1Ч>+ 2 tP{n"l)l P 2p nk+2{n~2)l
< 1,3, у ι = з,4

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Иррациональность
249
б) Решение аналогично решению задачи а). Для оценки остатка
проверьте, что последовательность —ψ- убывает при η ^ 2.
3.23. См. [Бу2], с. 158; [Ши], с. 56.
а) Интегрируя по частям, проверьте, что
Нп+1 = (4л + 2)Ηп - π2Ηη __! (η £ Ν).
б) Допустим противное: я" = ^, где р, q Ε N. Тогда
</"Л,φ =<?"//„ >0.
Это равенство ведёт к противоречию, так как его левая часть есть
натуральное число, а правая стремится к нулю с ростом п.
Полученный результат, как и результаты двух следующих задач,
установлен ещё И. Ламбертом. Его рассуждение сложнее изложенного
здесь доказательства Ш. Эрмита. В книге [Ши] читатель найдёт
историю и развёрнутое изложение этой темы. Ш.Эрмит и К.Линдеман
доказали значительно более сильные утверждения — числа е и π трас-
цендентны (доказательство см. в [Ф], [Ши]). Отметим ещё, что, как
доказал К.Малер (см. [ФШ]), число π нельзя слишком хорошо
приблизить дробями. В настоящее время известно (см. [Hata]), что
*-\
> 9j^ для любых /?, с] е N.
3.24. Решение аналогично решению предыдущей задачи.
3.25. а) Решение аналогично решению задачи 3.23 а).
б) Допустим противное: tgr = £ где ρ 6 Ζ, q e N. Пусть г — ~, где
я, Ь G N. Тогда
Нп(г) = C„(f) cos г + Sn(f) sin г .
Отсюда следует, что
&r"n(r)=qb"Cn(f)+b"Sn(l)p.
Правая часть этого равенства есть целое число, а левая стремится
к нулю с ростом п. Чтобы прийти к противоречию, остаётся убедиться
в том, что Ял (г) ^ 0 для достаточно больших п. Если г ^ у, то это
очевидно. Пусть г > ^. Тогда
я/2
п!Я„(г)=2 | (г2 - t2)n costdt + о((г2 - ?£)") >
0 я/3

Глава II
Последовательности
§ 1. Вычисление пределов
1.1. Воспользуйтесь равенством
у/а - у/гГ^п: = i (у/я - \/тг^2) + о(«-3/2).
1.2. Покажите, что рассматриваемые суммы мало отличаются от
суммы геометрической прогрессии.
1.4. Проверьте, что последовательности {xik} и {х2к-\}
возрастают. Для вычисления их пределов можно воспользоваться формулой
Валлиса.
1.5. Первая половина слагаемых даёт бесконечно малый вклад.
Поэтому
*-= Σ №)"+ο(ΐ)= Σ (ι + α-^Υ + o(i) =
л/2<*<л 0^j<n/2 ч '
= Σ ea~J (l + θ({^^)) +ο(1) = Σ ea~j +o(l).
1.6. а) Основной вклад дают последние слагаемые:
Σ (»)'- Σ 0-ίΓ'-
Сумма остальных слагаемых бесконечно мала, так как
тах (£)* = 4·
1<А:<и— yTi
б) Представьте разность Sn — Sn+\ в виде Un + V/j, где
Г/ =1а.1±27- /0_ 4- 4 4- 27 4- 256 ^
л п ' я2 ^ V^+l (л+1)2 (л+1)3 (/2Н-1)4У'
v.- Σ ((!)'-(gif)-
Неравенство V,2 ^ 0 получите, используя убывание на (0, +оо)
функции f(x)= (α+ι)* ПРИ лю^ом « > 0. Проверьте, что Un > 0 при
и ^ 8. Неравенства между 5W при 1 ^ η ^ 8 установите
непосредственно.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Вычисление пределов
251
1.7. Для исследования величины (и + 1)(и + 2)... (и + и) = ^р
воспользуйтесь результатом задачи 1.2.10.
Другое решение получим, если, записав в виде суммы величину
1η — , заметим, что она сходится к 1п(1 +х)ах.
0
1.8. Воспользуйтесь результатом задачи 1.2.10.
1.9. В пунктах а)-г) воспользуйтесь тем, что рассматриваемые
суммы мало отличаются от интегральных сумм.
В пункте д) покажите, что сумма заключена между интегралами
l-1/л 1
Г ώ и Г *
\/п 0
В пункте е) проверьте, что вклад первой половины слагаемых
бесконечно мал, а во второй половине замените In к на 1η η. Убедившись в
том, что погрешность такой замены бесконечно мала, воспользуйтесь
результатом задачи 2.6 а).
1.10. Интегрируя по частям, получаем
/φ-» 7 /с)л=» 7 /'w('-^)*=Ь/'(^)*·
(к-\)/п (*-1)/л 0
Поэтому исследуемая разность равна интегралу
J4 Σ /'(¥)*·
^ 0<*</ι
который при п —> +оо стремится к
1 1
о о
1.11. а) Запишите лс„ в виде хп = ]^[ sm " и изучите 1пх«, ис-
, г „ ια<π к/п/
пользуя формулу Тейлора.
б) ЗапишитеХп в в„де,п = ^η!(£)" Π ^ri = ^(f)V·.
где Sn = Σ /(Ι) и f(t) = In sin^ · Для изучения суммы Sn при-
мените результат предьщущей задачи. Возникающий при этом
интеграл вычислен в задаче V.1.22.

252
И. Последовательности
• УКАЗАНИЯ
1.12. Пользуясь тождеством Г (ζ + 1) = ζΓ(ζ), выразите частичное
N
произведение Π · · · чеРез Г-функцию и воспользуйтесь формулой
п=0
Стирлинга.
Из полученного равенства вытекает, что
^ = /nil- ι 1
ν^Γ(^) ]J^Q\ (2*+2y+1)2>/ '
откуда следует требуемый результат.
1.13. а)—в) Используйте равенство е = Σ π·
г) Сравните (\/2 + 1)" с целым числом (\/2+ 1)" + (1 - у/2)п.
1.14. Сходимость последовательности {-^- · -£■ · · · ^-} к
положительному пределу равносильна сходимости рада Σ I*1 ^= Σ ^η(^_^^")·
1.15. а) Сходимость последовательности вытекает из её
монотонности и неравенства хп ^ 1 + %/я, которое доказывается по индукции.
Для вычисления предела воспользуйтесь тождеством хп = у/а +jc„_i.
б) Поскольку /^ = а + /а, то 1а — хп = ,а , " = * ,"" и, следова-
тельно,
Поэтому У^ (ία — χ η) ^ {la - x \) Σ F < +°° и можно воспользовать-
ся результатом задачи 1.14:
la-Xn = (la-X\) Π (k +^)_1 ~ JWY·
l^k^n { a)
При a = 2 нетрудно убедиться в том, что ;сп = 2 cos -^-, и поэтому
1.16. Так как
0 _ 8-x;J _ 2— jcm_ ι _ 2-х ι
Ζ — xn
4+2x„+*2 4+2xn+*2
Π(4+2χ,+^2)
Лг = 1
то 2 — xn = 0(4~n). Пользуясь результатом задачи 1.14, получаем, что
Π (4 + 2*£ + xj) ~ const -(12)".

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Вычисление пределов
253
1.17. Монотонность последовательности {хп} очевидна. Из
неравенства хп ^ \/1 +хп ^ \/2хп следует её ограниченность: хп ^ 21^р~1\
1.18. а) Если ап —> С < +оо, то ап = у/с\ + ... + ξ/c^, ^ С и,
следовательно, \1 у/· · · у/ей. ^ С, т.е. сп ^ С*7". Для доказательства
обратного утверждения достаточно заметить, что из неравенства сп ^ СрП
вытекает неравенство
αηζ \]ср + Vcp2 + ... + VC^ = C\]\ + УП-... + vT.
Используя результат предьщущей задачи, получаем, что
последовательность {а„} ограничена, а этого достаточно для сходимости, так
как последовательность возрастает.
б) Если βη ^ С < +оо для всех η е Ν, то, заменив ci, С2,..., сп_\
нулями, получим fycn~ ^ С, т. е. последовательность { —^ } ограничена
сверху.
Пусть теперь ^ψ- ^ С < +оо, т.е. сп ^ С"! для всех η Ε N. Тогда
βη < с + γ с2 + γc3! + ...+ " y/c^-w + Va* =
= ci ι + γι + ν^ι + ...+ "~^ι + 7Γ J.
Остаётся воспользоваться неравенством 1.2.4. Таким образом,
сходимость {/Зл} равносильна ограниченности последовательности {—у^}
сверху.
в) Легко видеть, что, не умаляя общности, можно считать с = 1.
Допустим, что
у η = V^ VTT7..+ VT ^ с < +оо
для всех η G N. Последовательно применяя неравенство
которое справедливо при /?, q, χ, у > 1, получаем nViPi-Pn) ^ у„ <ζ С,
откуда следует ограниченность последовательности { 1п" }.

254
И. Последовательности
• УКАЗАНИЯ
Пусть теперь 1η η ^ Ср\ ... рп. Положим и = е2с. Тогда uPl-~p" ^ п2
для всех η G N. Поэтому
Уи
\ и"1 "^ у иР\Р2 ^ γ M^iW3 "Г" · · · "Τ" γ и/>,..
Рп ^
«"
N
1+ 1/4+ V9+---+ V^·
Проверим, что правая часть этого неравенства не превосходит трёх.
Для этого достаточно (так как р\ ^ 1) проверить, что
",2А+...+ "ί/Λ<2 или *?/»+...+ ^/Х<2-1
Повторяя это рассуждение, мы на к-ы шаге возводим обе части
неравенства в степень /?£, а затем, пользуясь тем, что правая часть
больше единицы, уменьшаем её, снизив показатель степени с р^ до
единицы, после чего переносим дробь 4^ в правую часть.
Возможность осуществления этой процедуры обеспечивается неравенством
1 ^ 2 — (ζ + ο+···+2)' Д·1151 доказательства которого достаточно
заметить, что -γ < ^γ - £ при всех к > 2.
1.19. Ясно, что ап > 1 для всех η е N. С помощью неравенства 1.2.4
получаем оценку сверху:
а" ^ ! + л + лТлП) + л(л+1)(л+2) + · · · <
< 1 + Ij 1 ι 1 μ = 1 _l 2
^ L ^ я + л(л+1) ^ (л+1)(л+2) ^ ' · · 1 ^ η '
Поэтому ап —> 1.
1.20. Из результата задачи 1.18 а) следует, что сходимость
последовательности
хп = Jay +biyJa2 + ...+bn-2y/an-\ + Ьл-1^> (*)
где Я£, bjt ^ 0, равносильна ограниченности сверху
последовательности
L \<к<п z }

И РЕШЕНИЯ·
§ 1. Вычисление пределов
255
Поэтому выражения, стоящие в правых частях равенств а)— д),
являются пределами сходящихся последовательностей (в примере г) надо
воспользоваться неравенством ип ^ 2", а в примере д) -—
неравенством Тп ^ (2х)п при χ > 1, которые легко доказываются по
индукции). Для вычисления предела последовательности, определённой
равенством (*), рассмотрим такую последовательность {Θη\, что
в* = а„+Ьпв„+1 {пеЩ. (**)
Заменив в равенстве (*) ап на θ%, получим оценку сверху для хп:
хп^Уп= Ja\ + &ΐγ/β2 + ... +Ь„_2у/ап-1 + V-lfti = θ\
(последнее равенство следует из соотношения (**)). Чтобы
получить для хп оценку снизу, воспользуемся (п — 1) раз неравенством
Va +Cb ^ \fC\/a +b (при я, b ^ 0 и С ^ 1). При С = -% это даёт
2" Γφ-
У η ^ *п \ j-· Таким образом,
V дП
и следовательно, хп —> θ\9 если 2~п 1п( ^j-) —» 0.
Проверьте, что в примерах а)— д) соотношению (**) удовлетворяют
следующие последовательности {θη}:
а) п + 2; г) Зи2п+Г,
б) η+ 2; д) 2хТп.
При решении примеров г) и д) воспользуйтесь представлением
чисел Фибоначчи и многочленов Чебышёва:
-*((¥)·-(¥)').
Эти равенства доказываются по индукции.
е) Решение аналогично решениям примеров а)-д), но рекуррентное
соотношение (**) заменяется на θ% = ап + Ьпвп+\ (с коэффициентами
ап = п+ 1 и^ = «(«+1)). Тогда все члены последовательности

256
II. Последовательности
• УКАЗАНИЯ
не превосходят Θ\. Многократное применение неравенства \/а + СЪ ^
^ у/С у/а +Ь (здесь я, Ъ ^ О, С ^ 1) даёт оценку снизу
з" Г& з" / 03
^ ^** V ^ " я V ^ *
Поэтому χη—>Θ\, если 1п0„ = о (3"). Ясно, что и этому
требованию, и рекуррентному соотношению удовлетворяет
последовательность θη = η -f 1. Итак, λ·„ —» 0ι = 2.
1.21. Сходимость последовательности {хп} вытекает из
результата задачи 1.18 а). Для оценки разности а — хм запишем её в виде
а — χ/ν = Σ С*л+1 ~~ χη) и рассмотрим величину хп+\ — хп:
п+\ -хп = yl + y2 + ... + \/n + >/n+l- \Jl + x/2 + ... + y/n:
.+ >//2+>ΛΤΤ-ν/2+ν/3+-.+^
ν^ + ν/2+··.+\/^+ϊ+ν/ι+ν/2+···+ν^
Π (*«,+*?>)'
где л:„ — λ/λ + у^(£ + 1) + ... + χ/η. Используя рекуррентную фор-
{к) л/Г~ (*+i)
мулу Хп = γ к +хп \ последовательно докажите, что:
а) у/к^хпк) ζ VX+1;
б) 4*) = VX+ 5 + 0(^) при 1 О < и;
в) 4Λ) - V* ехр(^ + О(^)) при 1 ζ * < и.
(при этом постоянные в О-членах не зависят не только от к, но и от ή).
С помощью равенства в) покажите, что
Поэтому хя+1 - *„ ~ ^°"st (см. задачу 2.11 а)). Отсюда немед-
2ne^n\J (η— Ι)!
ленно вытекает, что
п г ~ γ , - г ~ const
"+1 п 2»е^уДп^Л)\
Применив формулу Стирлинга, получим tya — хп ~ \\1%

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Вычисление пределов
257
1.22. Положим jc„ = jc„ ^—. Тогда
_ Χχ — У^ Хк — Х^ Хк _l У^ Хк
Так как х^ —» О, то при больших т вторая сумма будет малой для всех
п^т. При фиксированном т первая сумма сколь угодно мала, если η
достаточно велико.
1.23. а) Допустив противное, получим для больших п, что
/х\+хп+\ \П / \+п\П х\ Хц хп+\ r-w
(——) < (-±-) , откуда _ < ^ - _. Это невозможно, так
как частичные суммы ряда ]ζ (тр ту) не превосходят χ γ.
б) Рассмотрите последовательности
хп = пс (при с > 1) и хп=п\п(п+\).
1.24. Не умаляя общности, данную последовательность {ап} можно
считать строго убывающей. В этом случае искомая мажоранта {Ьп}
может быть построена, например, следующим образом:
b\=a\, b2 = a2, 6„+i =max{a„+i, 2bn - bn_\) при η ^2.
1.25. а) Пусть / = inf(^) Ε [—оо,+оо) и L > /. Зафиксируем такой
номер m, что ^ < L. Представив произвольный номер η > т в виде
η = кт + j, где ^gNhj g{1,..., /я}, получим, что
«и = akm+j ^ α Л/я + а) ^ *α"ΐ + α7 »
и, следовательно,
/ ^ «а <j *в|И + i> < !™L + aJL <j L + о(Г).
Таким образом, для любого числа L > / имеем
/^lim^f ^Йт^ ^ L,
откуда следует, что lim ^- = lim ^- = /, т. е. ^ —> /.
б) См. [RT]. Если последовательность {хп} вещественна, то
последовательности {хп+А} и {—(х„+Л)} удовлетворяют условию
задачи а). Поэтому существуют пределы lim ^— и lim ~Xnn~ , не
равные +оо. Следовательно, существует конечный предел lim ^-. Для
доказательства сходимости в общем случае следует по отдельности
рассмотреть последовательности {Rejc„} и {1тхп}.

258
II. Последовательности
• УКАЗАНИЯ
Чтобы оценить скорость сходимости, заметим, что
|*2*-1И Х2кп
*2л
2
<1
"2 4~
<4,
2*-1 2*
^ 2*
при любом & е N. Сложим эти неравенства: \хп — h;X2kn\ ^ ^· Разде-
X
2*
лив на и, а затем перейдя к пределу по &, получим требуемую оценку.
в) Ясно, что все последовательности вида хп — Сп
удовлетворяют условию. Докажем обратное: всякая последовательность,
удовлетворяющая условию, обязательно имеет такой вид. При этом
можно считать, что х\ =0 (в противном случае надо заменить {хп} на
{хп — пх\}). При т — 1 из условия следует, что |** - jc^+iI ^ γ-ζ для
всех λ: ε N. Просуммировав эти неравенства при к = п,..., и + /и — 1,
получим \хп+т —Хп\ ^ ^т]"· Но тогда из условия задачи следует, что
\хт\ ^ j^ + -цтг ^ 7+Г' ^ак как эт0 неРавенство выполнено для всех
номеров η и ш, то^, = 0.
1.27. а) Примените результат предыдущей задачи к
последовательностям {х2к} и {*2*-l}·
1.28. Пусть ктхп < а < b < limx„. Рассмотрим множества
Ει = {η е Ν\χη < а} и E2 = {neN\xn> b}.
Как установлено в задачах 1.1.26—1.1.28, найдётся такое число С > 1,
что каждое из множеств Е\, Е2 содержит бесконечно много чисел
вида [С*], а это несовместимо с предположением о существовании
предела lim х\Гк].
§ 2. Усреднение последовательностей
2.2. Левое неравенство следует из правого, применённого к
последовательности {—хп}' Для доказательства правого неравенства
достаточно рассмотреть случай, когда \imxn = I < +оо. Пусть L > / и
т = mi — такой номер, что хп < L при п> т. Тогда
*" = £; Σ akXk^j- Σ акхк^о(1) + ± Σ Lak=L + o{l).
Следовательно, \\mxn ζ L для любого L > /, т.е. \\тхп ^ /.
2.3. Можно считать, что / ^ 0. При этом достаточно рассмотреть
лишь случай / = 0: если 0 < / < +оо, то вместо последовательно-

И РЕШЕНИЯ · § 2. Усреднение последовательностей 259
сти {хп} надо рассмотреть {хп — 1уп}, а если / = +оо, то следует
поменять местами последовательности {хп} и {уп} (условия хп+\ > хп
ихп —* +оо выполнены, так как хп+\ — хп > Уп+\ ~ У η Для достаточно
больших п). Считая, что
Хп Хп—\ Л
П Уп-Уп-1
докажем, что у- —* 0. Поскольку
Хп=х\+ Л (**-**-ΐ) =*1 + Σ £к(Ук-Ук-1)>
\<к^п \<к^п
мы имеем
хп Х\ , ν^ Ук-Ук-1 , \^ Ук-Ук-1
При большом /w вторая сумма мала для всех η > т, так как £д. —* 0.
При фиксированном т первая сумма мала, так как уп —> +оо.
Другое решение получим, применив результат задачи 2.2 к
последовательностям ап = уп — уп-\ и "_ (вместо {хц})·
У η У η — 1
2.4. Примените теорему Штольца (см. задачу 2.3) к последователь-
Г х2к ϊ ( х2к+\ ϊ
ностям{ — }и{ —}.
2.5. б) Для построения такой последовательности можно поступить
следующим образом. Рассмотрим последовательность таких
промежутков {Δη}, что Ап расположен левее Ап+\. Определим функцию
/ Ε С(Ш) равенством f(t) = (—1)", если t Ε Δπ, а между
промежутками Ап и Δ„+ι пусть / линейна. Положим хп = f(n). Ясно, что
если длины смежных с Ап интервалов неограниченно возрастают, то
jc„+1 — jc„ —> 0. С другой стороны, последовательно подбирая длины
промежутков Ап достаточно большими, можно добиться, чтобы среди
чисел ^(х\ +Х2 + · · · +*л) были сколь угодно близкие как к +1, так
и к —1.
Другой пример — последовательность (sin(lnn)}. Чтобы оценить
η
сумму Σ sin(lnfc), сравните её с интегралом jsinlnjcdjc.
2.6. Воспользуйтесь теоремой Штольца.
2.7. Воспользуйтесь теоремой Штольца. В примерах г) и д)
используйте результат задачи 1.2.10.

260
П. Последовательности
• УКАЗАНИЯ
2.8. Для доказательства сходимости последовательности
воспользуйтесь тем, что она равносильна сходимости рада
Σ (Уп — Уп-l)· Его сходимость следует из легко проверяемого
неравенства
0<i-ln(l + i)=y„+1-^<^.
Сходимость последовательности {γη} легко вывести из наглядных
геометрических соображений. Действительно (рис. 20, α), γη — не что
иное, как сумма площадей заштрихованных криволинейных
треугольников
Рис. 20
С ростом η эта сумма возрастает. Сместив все треугольники 7^ в
квадрат [0, 1] χ [0, 1] (см. рис. 20, б), мы видим, что сумма их площадей не
больше единицы (после смещения криволинейные треугольники
попарно не налегают друг на друга, так как они располагаются на
разных уровнях). Таким образом, величину γ = \imyn можно истолковать
как площадь фигуры, полученной объединением всех криволинейных
треугольников Тк. Так как каждый из них содержит (ввиду
выпуклости функции j) прямоугольный треугольник с теми же
вершинами, то справедливо неравенство ^ < γ < \. По тем же соображениям
т~ < У ~Уп < \ и, следовательно,
η
lnn + y < ]Г \ < lnn + y + ^.
к = \
Более точную аппроксимацию частичной суммы гармонического рада
можно получить, заменяя Inn на 1п(и + ч) (см. задачу 2.10а)).

И РЕШЕНИЯ · § 2. Усреднение последовательностей 261
Некоторые формулы, содержащие постоянную Эйлера, будут
указаны в параграфах IV.4 и VI. Отметим в заключение, что, несмотря
на длительную историю изучения постоянной Эйлера, до сих пор не
известно, рациональное это число или нет.
2.9. Решение аналогично решению предыдущей задачи.
2.10. а) Доказывая левое неравенство, проверьте, что разность
(1 + ^ + ... + ^) — 1п(и + 4) убывает, и воспользуйтесь результатом
задачи 2.8.
Правое неравенство доказывается аналогично.
б), в) Доказательства этих неравенств аналогичны. Из формулы
Стирлинга следует, что для доказательства правого неравенства б)
достаточно убедиться в возрастании последовательности
„I -J-
хп = ι е 12л .
п у/2лп(п1е)"
Поскольку
^ = ι + ΐ^-(»4)·»^ = (" + *Μ9·
где <p(t) = -^ + 6п Λ(2+θ ~ 1η0 + 0» достаточно проверить, что
φ(ΐ) > 0 при t > О, а это вытекает из равенств φ(0) = О
и φ'(ή
6(1+02(2+02'
Доказывая правое неравенство в), проверьте сначала
вспомогательное неравенство л! ^ Vbrn (^)п ехр (у^ - z^-j).
'12л 720м3;
2.11-2.13. Решение аналогично решению задачи 2.8.
2.14. Пусть ρп = card (En).
а) Если nk^n< nM, το ^ ζ f ζ £.
б) Если 0 < α ^ 1, то, например, £{m = [^] | η G Ν}. В этом
случае α ζ % ^a(l + i).
2.15. а) Примените результат задачи 2.1 к последовательности
{|*„-β|}.
б) Пусть ε > 0, Εε = {η е Ν | \χη-α\^ ε}. Проверьте, что θ(Εε) = 0.
Пусть Pk(n) = card{£i/^ Π [1, η]} и числа 1 = щ < п\ < П2 < ...
таковы, что \pk+\{n) < \ при η > щ. Положим Ε = (J Е^ Π [w*_i, и*]
и В = Ν \ Ε = {m\y Ш2,...}. Тогда Θ(Β) = 1 и jcWjt —> α.

262
И. Последовательности
• УКАЗАНИЯ
С - ' 6
2.16. а) Для построения последовательности {ап}, имеющей пре-
г (ц+...+ап „ r a\+...+al
дел lim , но не имеющей предела lim , достаточно
несколько изменить решение задачи 2.5 6): пусть {Ь^} образуют
чередующуюся последовательность из +1 и —1 на каждом
промежутке Δ„, а на смежных интервалах Ь^ = 0. При надлежащем выборе длин
промежутков и длин смежных интервалов последовательность { —j-1}
будет требуемой.
Чтобы построить последовательность {ап}, имеющую предел
lim , но не имеющую предела lim , рассмотрите
последовательность < у —г1 \-
Другой пример получим, рассмотрев последовательность {Сп}:
■ 3-1-f — 1)"
— 6 , если [log2 η] — чётное число,
g——, если [log2 η] — нечётное число.
Из трёх пределов — lim \{С\ + ... + С*), lim £ (С ι + ... + С„)
и lim \{\/С\ + ... + у/Сп) — существует лишь второй.
б) Неравенство а2 ^ Ь следует из неравенства Коши—Буняковского.
Для построения последовательности {ап} с заданными пределами
г а\+...+а„ , г αχ+...+αη 2 ^ и ^ ^ л
а = lim и Ъ — lim —— , где О<дг<0<а<1,
рассмотрите последовательность a 2k — #> «2^—1 — β и докажите, что за счёт
выбора параметров а и β можно добиться требуемого результата.
2.17. См. [А], б) Пусть периодическая плотность множества Ε равна
нулю. Следовательно, для произвольно малого числа ε > 0
найдётся такое натуральное число т, что lm = card (Ет) < ε т. При η > m,
точнее, при рт ^ η < (ρ + l)m, множество Ел = Ε Π [1, и] распадается
на части Еп Π [&m, (Л + \)т) (к = 0, 1,..., /?), в каждой из которых
не больше 1т чисел (поскольку эти числа различны по модулю т).
Поэтому card (Еп) < (р + l)/w и, следовательно, при п> т
card (Е„) (р+1)/щ ^ 9г
в) Искомым множеством является, например, множество {к + п^!},
где {и^} — любая строго возрастающая последовательность
натуральных чисел. Нетрудно видеть, что Ет = {0, 1,..., т — 1} при любом
т е N и card (£„ ι) = А: - 1.

И РЕШЕНИЯ · § 2. Усреднение последовательностей 263
г) Положим Ε = {Σ ±4к | А С Ζ+, card (А) < оо}.
Чел j
Очевидно, что
Ёф = ( ( Σ ^4^ mod 4" I ε* G {-1, 0, 1}} .
l\0^k<m / ' )
Учитывая, что ε^ может принимать лишь три значения, мы получаем,
что card (Е4т) ζ Уп.
2.18. Положим Ε — {р\, Р2> ·..}. Нам потребуется следующий факт
из элементарной теории чисел. Пусть φ(η) — количество натуральных
чисел от 1 до и, взаимно простых с η (функция Эйлера). Известно,
что если числа тип взаимно просты, то φ(ιηή) = <р(т)<р(п)
(мультипликативное свойство функции Эйлера; см. доказательство, например,
в И).
Опираясь на мультипликативное свойство функции Эйлера,
докажите, что количество чисел, меньших, чем произведение р\Р2 · · · Рп,
и взаимно простых с ним, равно (р\ — 1)(р2 — 1).. · (Рп — 1)·
Выведите отсюда, что п
cwd{EPlP2...Pn)= Т1(рк-1).
k=\
Воспользуйтесь неравенством задачи 1.2.11а) при s· = 1, чтобы
показать, что
card(EplP2,„p„)
/=1 V Рк) п-+оо
2.19. Пусть L— lim ^р-. Убедимся в том, что пЛг) ^ Lr при
г—>оо г
любом г > 0, откуда, очевидно, следует существование и
конечность предела d+. Достаточно рассмотреть случай L > 0.
Зафиксируем г > 0 и произвольное число С Ε (0, L). По определению
верхнего предела существуют сколь угодно большие числа R,
для которых w+(fl) > CR. По определению и+ найдётся такая
точка χ G R, что card(£ Π [лс, jc + 7?]) > CR. Рассмотрим сегменты
Ак = [χ + kry χ + (к + 1)г], где к = 0, 1, ..., ρ, ρ — целая часть от-
R Р
ношения у. Ясно, что [χ, χ + R] С IJ Δ*. Поэтому
card (Ε Π [χ, χ + R]) ^ Σ card (Ε η Δ*) < (Ρ + 1)и+(г) .
Следовательно,
с ^^ card(£n[x,A-+/?]) < (р+1К(г) < Л Л л+(г)

264
И. Последовательности
• УКАЗАНИЯ
Поскольку последнее неравенство справедливо при произвольно
больших R, мы получаем, что С < ^-^. Ввиду произвольности числа
С < L это влечет неравенство w+(r) ^ Lr. Существование предела d-
устанавливается аналогично.
§ 3. Рекуррентные последовательности
3.1. По индукции докажите, что последовательность {хп} имеет вид
{Aqn + Ζ?}, и определите параметры А, В, q.
1 (-1)"
3.2. а) Так как *л+1 -хп = --{хп -хп-\) = · · · = ^Г"(*1 ~хо),
то
ι- ν^ / \ / \ ν^ (—1)" -*ι —*ο
hmx„ = х0 + L· (χη+\ ~ хп) =хо + (х\ ~ хо) L·, ^г~ = хо + —г~ ·
3.3. Поскольку на каждом шаге происходит почти удвоение
члена последовательности {хп}, естественно рассмотреть
последовательность {уп} = {^}. Очевидно, что
ν , -5±iv --L те Уя+| Уя - 2"(я+0
.Уи+1 — п Уп 2я+1, i.e. л+1 л - л+1 .
Следовательно, уп = п(у\ - ^ V")· ОТС1°Да получаем, что
\<к^п
c„ = n2"(^ + I-ln2+E^)
/:>и '
Поэтому хп ~ п2"-1 (xj + In |) при jq ^ In |, а в противном случае
получаем
3.4. Считая, что Ъ φ О, рассмотрим последовательность у „ = ^-. Тог-
Даул+1 =Ул + ал, гдеа„ = -^г. Ясно, чтоул+l =У1 + Σ «*·
Если |Ь| > 1 и 5^0, то ^[ = уп+1 -+ у χ + ]Г а* = £, т.е.
лс„+1 ~ Sb", что доказывает утверждение в).
Если \Ь\ > 1 и S = 0, то
УЯ+1=У1+ Σ a*-f = -E^ =
— _ V^ а"+к — β+β(1) V^ l _ α+ο(1)
"~ к>\Ьп+клХ ~ b"+l к>\ ~^ ~~ *"+lO-*0"
Отсюда получаем утверждение б).

И РЕШЕНИЯ · § 3. Рекуррентные последовательности 265
Осталось рассмотреть случай, когда 0 < \Ь\ < 1. Имеем
Уп+\-У\+ L·, ьк+\ + L* bk+\ ~ b"+*(\-b)'
Поэтому xn+\ = bn+lyn+\ —> узр и мы получаем утверждение а).
3.5. Если ρ < 0, то последовательность jc„ = (/? - 1)" не имеет
предела, хотя хп+\ = /?Хи + (1 - /?)*„_ ι. Если ρ ^ 1, то либо *„+! ^ хп
для всех η G Ν, либо jc,2+i < ;сп для п^щ (так как из неравенства
■x„0+l < хщ следует, что хп+\ ^ хп для η ^ п0).
Пусть 0 < ρ < 1. Положим / = limxn, L = Итхп. Поскольку
последовательность {хп} ограничена сверху (числом max{jq, *2})> то
L < +оо. Допустив, что / < L, зафиксируем такие два числа /' и Z/,
что / < /' < L < Z/; их выбор уточним позже. Тогда для всех
достаточно больших η имеем хп_\ < Ζ/. При этом можно так выбрать
и, что хп < /', и следовательно, хп+\ < plf + (1 - /?)Z/ = С. Так как
хп < V < С, то хп+2 < С* Хп+Ъ < С,... Поэтому L = limxn < С, т.е.
L </?/' + (1 — p)Lf. Но это неверно, если число /' выбрано достаточно
близким к /, a Z/ — к L.
3.6. Поскольку последовательность {lnjc„} при ρ е (0, 2) имеет
предел (см. предыдущую задачу), то достаточно доказать, что при таких
значениях ρ последовательность {хп} ограничена. Это очевидно, если
ρ G (0, 1], так как в этом случае хп < max{jq, X2}. Если ρ е (1, 2), то,
перемножив неравенства хп+\ < ΧηΧηΖ\ при η = 2,..., TV, получим
Xtf+\ ^Х\ *2ΧΝ =ΚΧχ
Следовательно,
Отсюда следует ограниченность последовательности {хп} при
ре (1,2).
Если ρ (£ (О, 2], то последовательность {ехр(/? — I)'1} расходится,
хотя хп+\ = χ%χηΖ\- При ρ = 2 можно взять последовательность {2п}.
3.7. Так как хп+\ = (-^-)πχη_\, то в случае монотонности
последовательность {хп} может только убывать. Предположим, что это
так. Многократно применяя указанную выше рекуррентную
формулу в неравенстве Х2к+\ ^х2к ^ х2к-\> мы получаем, что при любом

266
II. Последовательности
• УКАЗАНИЯ
^GN выполняются неравенства
/ (2*)!1 γ /(2*--1)!!\я /(2*-2)!!\я
\{2к+\)п) Х1^\ (2*)И ) *2 ^ \(2к-\)\\) -*1·
Так как χ 2 = т~, то отсюда и из формулы Валлиса следует, что для х\
возможно лишь значение х\ — (^) . Таким образом, это —
единственное — значение необходимо для монотонности. Достаточность
вытекает из неравенств задачи 1.3 6).
3.8. Положим Θ=χ\. По условию 0 Ε (0, 1). Легко видеть, что
при /?=1 последовательность линейна: хп = Θ η —> +оо. Тем более
хп —> +оо при ρ Ε (0, 1). Далее ρ > 1. В этом случае
последовательность растёт медленнее: хп ^ θη. Поэтому
1 + -й-J <*Лея
Перемножив эти неравенства, получим, что jcn = 0(л0Р ). Подставим
эту оценку в рекуррентную формулу. Тогда хп+\ ^хп (1 + 0(^-)],
где q = ρ — (ρ — \)θρ~'] > 1. Таким образом, -£— ^ ес1пЧ.
Следовательно, хп+\ < es, где 5 = ^ — < +оо.
Чтобы оценить предел 1\тхп в случае ρ = 2, сначала проведём
нестрогое «правдоподобное» рассуждение, после которого станет
ясно, какого вида оценку для хп естественно ожидать (этот приём будет
неоднократно использован в § 4 гл. IV). Будем считать, что хп = /(и),
X2
где / — гладкая на (0, -foo) функция. Тогда равенство хп+\ -■ хп = -|
можно заменить приближённым равенством f((t) « -—^. Поэтому
{т) (0 ~ (}) и> следовательно,
/^«(const+i)-^^^^.
Будем теперь искать оценку снизу вида хп ^ тгг~> гДе ^ —
положительная константа, которую предстоит определить. Легко проверить,
что из рекуррентной формулы и этой оценки хп вытекает аналогичная
оценка для хп+\. Таким образом, надо потребовать лишь, чтобы она
выполнялась при η = 1: 0 = х\ ^ jzr- Взяв С = —ξ~9 получим
\\mxn ^ lim
η _ I _ _0_
l+Си ~ С 1-0

И РЕШЕНИЯ · § 3. Рекуррентные последовательности 267
Оценку сверху вида хп ^ jzf^i подобрать не удаётся. Поэтому
рассмотрим оценку чуть более общего вида: хп ^ ^ " с некоторыми
положительными коэффициентами К и М. Несложные вычисления
показывают, что из такого неравенства для хп следует аналогичное
неравенство для *и+ь если коэффициенты удовлетворяют ограничению
К-\-\
Μ ^ 2К+\' Кроме того> наД° позаботиться о выполнении неравенства
при j
η = 1: Θ = х\ ^ y£j. Заменив нестрогие неравенства на равенства,
находим К = --κ- и Μ = -^-. Следовательно,
limx„<limT^ = f вв{1 + в)-й-<Ж.
3.9. Допустив сходимость {хп} и перейдя к пределу в тождестве
хп = -J— + а, находим / = \(а + у а1 + 4) (очевидно, / > 1). Если
xq = /, то хп = I. Чтобы доказать сходимость и найти асимптотику
в случае xq φ /, преобразуем разность х„ - L Пользуясь исходным
рекуррентным соотношением, получаем
хп — I = - h ci — I = у = ~τ ·
Л *η-1 *я-1 / lxn-l
Поэтому χп — Ι φ О для всех η Ε Ν, а величины у л = ——j удовле-
творяют линейному рекуррентному уравнению уп = —I — 12уп_\. При
подходящем выборе параметра d числа zn = У η + d удовлетворяют
однородному рекуррентному уравнению ζп = —l2zn-\ (легко видеть, что
d = т-Ц). Следовательно, ζη = {~12)ηζο· Так как / > 1, то \ζη\ —» сю.
Поэто+му *.-/ = f = -4~f = f(-/2)-« - о.
Остаётся заметить, что
ζΟ=3Ό + ^ = ϊ5=7 + ϊϊμ = (Χο_/)(ι+/2)·
3.10. Будем считать а = 1 (иначе сделаем замену хп = у/ахп).
Будем также предполагать, что .го ¥" 1 (иначе последовательность {хп}
стационарна). Легко видеть, что 1 < хп < хп_\ при η > 2. Поэтому
последовательность сходится и ясно, что х„ —> 1. Чтобы найти
асимптотику разности хп — 1, заметим, что
К-1-1)2
*„-1 = !(*„_!+ ^)-1
2х„
Поэтому числа уп = —^у удовлетворяют рекуррентному
соотношению уп = 1у\_\ + 2уп-\- Его можно упростить, представив уп в виде

268 II. Последовательности · УКАЗАНИЯ
Уп = czn +d. При с = ^ и d = -^ получаем zn = z2n_v т.е. zn = Zq".
Наконец, так как —j^r = 1V-, то го = -^ζτ· Очевидно, |го| > 1. Сле-
AQ 1 Ζ AQ 1
довательно,
1 1 2 2 о^-2" __ о^о-Ц2"
^-1 = ^ = 7^Т = ^~2г0 -2^J .
3.11. а) Легко видеть, что хп+\ = (1 - ^)хп + \f(xn) для всех
η G Ν, и следовательно, эта задача — частный случай задачи 3.12.
б) Рассмотрим такое непрерывное отображение / круга В — {х е С |
|jc| ίξ 3} в себя, что f(x) = (1 + i)x при \х\ < 2 (значения / в кольце
2 < |jc| ^ 3 для нас не существенны, лишь бы сохранялись
непрерывность и включение f{B) с В). Тогда, если \хп\ < 2, то
*пИ = (l - *)** + £/(*") =*"0 + 0 ·
Взяв xj = 1, получим хп+\ = Π (1 + г), если |xj|,..., |*„| ^ 2.
Проверим, что эта последовательность никогда не покидает круга
{хеС\ \х\ <2}:
lW = Π 0 + ^)^n(i + i)<2n(i-i)_1=4.
Ясно, что |x„| 17? = wfl (1 + -^). Хотя угол φη между
векторами хп и хп+\ бесконечно мал (φη = arctg ^ ~ ^), тем не менее сумма
φ\ + ... 4- φη неограниченно возрастает. Таким образом, с ростом η
точки хп по некоторой спирали приближаются изнутри к окружности
радиуса R, бесконечно много раз обходя начало координат. Так как
при этом хп+\ — хп —> 0, то множество частичных пределов
последовательности {хп} совпадает с этой окружностью.
3.12. а) Не умаляя общности, можно считать, что [а9Ь] — [О, 1].
Допустим, что L = \imxn > / = \ш\хп· Так как |χ„+ι —*л| = Сл|/(*л)—*л|
^ с η —> 0, то в промежутке [/, L] содержится бесконечно много членов
последовательности {хп} (см. задачу 1.26). Ясно, что f(x) ф χ на [/, L],
так как в противном случае последовательность {хп} оказалась бы
постоянной, начиная с некоторого места. Поэтому существуют такие
числа а и β, что / < а < β < L и f(x) ф χ для всех χ е [α, β]. Будем
считать, что f(x)>x на этом промежутке (противоположное
неравенство рассматривается аналогично). Заметим, что хп+\ > хп, если
хп G [α, β]. Пусть N — такой большой номер, что χ ν > β (выбор TV

И РЕШЕНИЯ · § 3. Рекуррентные последовательности 269
уточним позже). Убедимся, что хп > а при η > N. В самом деле, если
это неравенство выполнено при каком-то п, то оно выполнено и для
номера η + 1: в случае хп < β имеем хп Ε [α, β] и, в силу сделанного
замечания, jc„+i > jc„ > α, а в случае хп > β это следует из
неравенства
хп+\ =хп + {хп+\ - хп) > β - сп > а,
которое справедливо, если номер 7V выбран достаточно большим.
Осталось заметить, что из неравенства хп > а при п> N следует
противоречие:
limjc,, ^ а > limjd .
От условия Си —► 0 отказаться нельзя. Например, если сп = ^,
/(Ι) = I и /(§) = δ> то> взяв *1 = 5» получим х2* = f и *2*_ι = |
для всех к G N.
б) В силу результата пункта а) существует предел х* = lim;cn. Если
Δ = /(**)-** ^°> например, Δ > 0, то *„+1-Хи = Си(/(*л)-*и) >
> §^и для достаточно больших номеров п, а это влечёт
неограниченное возрастание последовательности {хп}, так как Σ сп = +оо.
От условия Σ сп — +°° отказаться нельзя. Например,
неподвижная точка постоянной функции f(x) = ^ равна |, ав случае сп = ^
и χ ι = 0 для этой функции мы имеем
limxn = Σ (χ„+1 - хи) = Σ тг- < Σ ^τ
3.13. Докажите, что при п>3 из неравенств jc„_i <
(«-1)1
С С
и хп-2 ^ ТТГтй следУет неравенство хп < —. Чтобы оно выполнялось
и при η = 1,2, надо потребовать С > х\, С > 2x2· Таким образом,
{леи} мажорируется последовательностью {хи}, где х\ =х\, *2 — *2
и χη = ^max{xj, 2*2} при и > 3. При фиксированных jcj и JC2 это
наименьшая мажоранта, так как {хп} удовлетворяет условию задачи.
3.14. Можно считать, что Ап > 1 для всех η (в противном случае
надо заменить последовательность {хп} на {хп} = {хп+м}, а {Ап} —
на {Ап} = {А„+#} при достаточно большом N eN). Докажем сначала,
Хи==0((А1-1).!.(Ая-1))·
Выберем множитель С столь большим, что
Хт ^ (л,-1)С.(д„,-1) ПРИ т < *·

270
II. Последовательности
• УКАЗАНИЯ
и убедимся, что эта оценка верна всегда. В самом деле, если
Хт ^ (Al-i).C(Am-i) при 1 ^ m < η, η > к, то
Хп ^ ^((Αι-1)...Κ-ι-1) +··· + (Α,-1).„(Λ,_Α-1)) ^
Положим Лл = i4j + ... + А~2. Тогда
(Λ! - 1)... (Λ, - 1) = А,... Ап ехр( Ε 1п(1 - £)) =
Осталось заметить, что если рад ^ -^ расходится, то Rn = о(5л), так
как А„ —> +оо, а если ^ -^ < оо, то Rn = 0(1).
3.15. Наше решение относится одновременно к обоим случаям:
а) и б). Будем доказывать, что
где
σ
Хп ^ А^.Лп Рп '
J» ПРИ ^ φ ,,_ή(ι + ^)Μ,>0.
Будем считать В выбранным настолько большим, что неравенство
для хп справедливо при η = 1, ... Д. Окончательный выбор В
уточним позже. Убедимся в справедливости оценки для хп, считая, что она
верна для предыдущих членов последовательности. Мы имеем:
Хп^ ~к ζ
< Рп~1 (θ(Α"-Λ ι 1 Ап~1 Α"~ΜΑσ ,
^ АхА2...Ап [U\ д2 ) + Ап Ап Ап Ал-*+1 +
Λι-l К-к+2 Ап-к+\ .σ
An An Ап ft К
Используя неравенства σ ^ 0, Ап-т ^ Ап — тЗ, мы получаем
где
φ(ή = 0{t2)+t{\ -St)... (I-(к- 2)δή (1 - (к - \)δήσ +
+(1 -&)...(!-(*- 1)5?) (1 - Ш)*7.

И РЕШЕНИЯ · § 3. Рекуррентные последовательности 271
Как легко убедиться, <р(0) = 1 и при |;| ^ 1
φ(ή = 1 + {1 - ^y-^S - kSa\ t + 0(t2).
Ясно, что выражение в фигурных скобках неположительно. Поэтому
при надлежащем выборе В > О мы получаем, что
φ(ή = l + {l -^^5-k5a\t + 0(t2) ^ 1 + Bt2 для 0^/^1.
Так как Ап ^ δη, то
где В = В3~2. Для завершения доказательства осталось подставить эту
оценку в неравенство хп ^ д д" д Ρ^-ΐ ф(^")·
3.16. Как и в предьщущей задаче, будем доказывать, что при
С"прР
достаточно большом В > 0 справедлива оценка jc^ ^ —-, где
Ри= J^[ (1 + -~). Рассуждая по индукции, получаем
т—1 W
*"< ri Ф\п)>
где φ — функция, построенная при решении предьщущей задачи,
δ = L· Число ρ выбрано так, что φ'(0) = 0. Поэтому при
достаточно большом В > 0 справедливо неравенство <р(~) ^ 1 + \, которое
вместе с предьщущим неравенством позволяет осуществить
индукционный переход.
Убедимся теперь в точности полученной оценки. Заметим
прежде всего, что при достаточно больших η (скажем, при η ^ щ > к)
справедливо неравенство <р(£) ^ 1 — -^ > 0. Будем считать, что
хп = ", при η ^ п0, где Qn = Π ί1 ~ ~^т)· ПРИ п < п0 + к 0ПРе~
/Я=/20 Ш
делим последовательно xn-k > 0 (η = «q -+· к — 1, hq h & — 2, ... j так,
чтобы для этих членов последовательности выполнялась требуемая
в условии оценка сверху. Убедимся, что она справедлива при всех
η > к. Действительно, при η ^ hq + к имеем:
cly х > ^в'-'д, ГсЛ > с_ГЯ>'-±({ _ *л _х
т=\
Таким образом, последовательность {*„} удовлетворяет условию
задачи. Нужной асимптотикой она обладает по построению.

272
III. Функции
• УКАЗАНИЯ
3.17. По условию существует такое число Μ > О, что
хп ^ М(хп_\ + ... + хп_к)А~к для п>к.
Пусть С > О такое число, что xj^ CAJ при j = 1,..., η - 1. Тогда
хп ^ kMCA~kA~_jcn~ . Поэтому jcn ^ САп , если выполняется
неравенство
0(л - к) 1пАп_к -(βη-к) \пАп ^ 1п(Ш).
Чтобы доказать, что оно справедливо для больших номеров и,
достаточно проверить, что его левая часть стремится к бесконечности.
Положим для краткости ап = \пАп. Зафиксируем число ρ > Θ, выбор
которого уточним позже. Для достаточно больших номеров j имеем
Следовательно,
ап-к
Π ¥> Π (ι-β = ι-Ρ* + οφ.
n-k<j^n J n-k<j^n^ J/ n
Таким образом,
an_k>an(l-pk-+0(±)),
и поэтому
β(η - к)ап_к - {βη - к)ап > кап(\ - β (I + ρ) + 0(±)) ^ οο ,
если ρ выбрано достаточно близким к числу 0.
Завершая доказательство, возьмём столь большой номер пр, что
β(η — к) \пАп_к - (βη - к) \пАп ^ \п(кМ) для η ^ Πβ. При достаточно
большом С =Ср для п — 1, 2,..., Πβ будет выполняться неравенство
хп ^ САп . Справедливость его для всех последующих номеров η
обеспечивается выбором Πβ и проведённым выше рассуждением.
Глава III
Функции
§ 1. Непрерывность и разрывы функций
1.2. ж) Рассмотрите, например, разрывную строго возрастающую
функцию.

И РЕШЕНИЯ · § 1. Непрерывность и разрывы функций 273
1.3. Пусть (Of(x) — колебание функции / в точке х, т.е.
ω/(χ) = Jim ( sup f(y) - inf f{y)) ,
δ~*° K\y-x\<S |v-jc|<5 /
и пусть A — множество точек разрыва первого рода функции /.
Ясно, что А = Шл, где Ап = {х € А \ a)f(x) ^ ^ } . Если допустить, что Л
несчётно, то несчётным будет по крайней мере одно из множеств Ап,
скажем Ат. Пусть xq — неизолированная точка множества Ат
(существование xq следует из 1.1.25 а)) и пусть {х^} С Aw, χ к —> χ о, χ ι φ *ο
(к G N). Не умаляя общности, можно считать, что х^ > xq при любом
к G N. Докажем, что функция / не имеет в точке xq предела
справа. Действительно, так как х^ G Ат, то найдутся такие точки х'к и х%,
чго\х'к-хк\ < \хк-хо\,\х'к-Хк\ < \хк ~ xo\*\f{x'k) ~ f(*k)\ > зЬ-
Ясно, что х'к —> xq, хк —> Xq- Таким образом,
ПЕ /(*)- Шп /(л)>Ш5|/(4)-/(дс«)|>^>0.
л:—>л:0+0 X_+XQ+Q
Другое решение получим, если докажем счётность множеств Αξ.,
где
I существует правосторонний предел'
А% = <х еЕ
/(* + 0) и f(x+0)>f(x)
а множества А+, Af и А;^ определяются аналогично. Для
доказательства счётности множества А+ сопоставим каждой точке χ Ε А+
прямоугольник Р* = (jc, χ + ε) χ (/, L), где f(x) < I < L < f(x + 0),
ε = εχ > 0 столь мало, что f(t) > L для всех t G (χ, χ + ε). Легко
видеть, что Ρ* Π Ρ^ = 0, если χ, >> е А+ их/у. Выбирая в каждом
прямоугольнике Рх точку с рациональными координатами, получаем
взаимно однозначное отображение множества А+ в Q x Q.
Аналогично доказывается счётность множеств А+, А< и А^.
1.4. Рассмотрите функции φ и ψ:
| 0 при χ ^ 0, , , ч | 0 при jc < 0,
I 1 при χ > 0; II при jc > 0.
Искомую функцию можно получить как сумму ряда, члены которого
имеют вид с(ср(х — t) + ^(х — $)), где t € Ejj и s Ε Ε/7-
1.5. Предположим, что множество Dfj(f) не более чем счётно, и
докажем не более чем счётность множества Djj(f). Пусть Q)f(x) —

274
III. Функции
• УКАЗАНИЯ
колебание функции / в точке χ (см. решение задачи 1.3). Ясно, что
Djiif) = U Ак9 где Ак = {х G DL(f) \ ω/(χ) > £} .
Если допустить, что множество Di(f) несчётно, то несчётным
будет хотя бы одно из множеств А#, скажем Ат, а вместе с ним
и множество А — Ат \ Dfj(f). Пусть xq — такая точка множества А,
что (*о>-*0 + ε)ΠΑ у£ 0 при любом £ > 0 (существование xq
следует из 1.1.25 6)). Зафиксируем такую последовательность {хп} С А, что
*п —> *о, Хп > -*о (п € N). Так как jcn G Л, то найдутся такие точки х'п
их'/г, что^о < х'п < Хп,*о < x'n < χη, \f(x'n) -f(xn)\ > 2^· Пользуясь
непрерывностью функции / в точке xq справа и переходя к пределу
в последнем неравенстве, мы приходим к противоречию.
1.6. б) Допустим, что последовательность {fn} с указанными
свойствами существует. Построим такую точку с G R, что
последовательность {fn(c)} не сходится, и тем самым придём к противоречию.
Пусть Δο — произвольный замкнутый промежуток, χ \ —
произвольное рациональное число, принадлежащее внутренности Aq. Найдём
такой номер пь что |/ο(*ι) -/'/π(·*ι)ΐ < 5>т-е· I1 ~ /ii(*l)l < 5·
Пользуясь непрерывностью функции fni, зафиксируем такой замкнутый
промежуток Δ ι с центром в точке х\, что Δι С Δο и |1 — fni (х)\ < ^
для любого χ е Δ\. Пусть χ2 — иррациональное число,
принадлежащее внугренности Δ^ Найдём такой номер П2 > п\, что
\foix2) ~ fn2(xi)\ < 5' т-е- \fn2(x2)\ < 5· Зафиксируем такой
замкнутый промежуток Δ2 с центром в точке Х2, что Δ2 С Δι и \fn2(x)\ < 5
для любого χ G Δ2- Теперь возьмём произвольное рациональное
число хз, принадлежащее внутренности промежутка Δ2, и повторим
проделанные построения, заменяя Δο на Δ2, а х\ на х$ и т.д. По
индукции мы построим такую последовательность номеров {щ} и
последовательность замкнутых промежутков {Δ^}, что |1 — fn2i-i(x)\ < 5
при χ G Δ2/_ι и \fn2{(x)\< \ при χ G Δ2/. Отсюда следует, что
|//22/_i(c) ~ fn2{(c)\ ^ \ в точке с £ р) Δ^ и, следовательно, после-
к>\
довательность {fn(c)} не может иметь предела.
1.8. а) Рассмотрите функцию, равную единице на не более чем
счётном подмножестве множества Е, замыкание которого совпадает
с Ε (см. задачу 1.1.246)), и нулю в остальных точках.

И РЕШЕНИЯ · § 1. Непрерывность и разрывы функций 275
б) Рассмотрите ряд Σ 3 ηφη, где φη — функция, построенная так,
как описано в указании к пункту а), для множества Ε = Еп.
1.9. Изучите функцию f(x), равную -^г, если в троичном
разложении числа χ G (0, 1) содержится η единиц (п = О, 1,...), и равную
нулю, если в этом разложении единиц бесконечно много.
1.10. Докажите, что если lim f(x) < с < lim f(x) и с ф /(xq)9 to
множество /_1({с}) не замкнуто.
1.11. Используйте результат предыдущей задачи.
1.12. Убедитесь в том, что, не умаляя общности, можно считать, что
функция / имеет в каждой точке множества Ε максимум. Рассмотрите
множество
Ee = {xeE\f(y)^f(x) при \х - у\ < ε, у G Е}
(ε — фиксированное положительное число) и докажите, что
функция / локально постоянна на Εε. Воспользуйтесь результатом
задачи 1.1.24 а). Другое решение получим, если модифицируем
рассуждения, проведённые во втором решении задачи 1.3.
Для сепарабельного метрического пространства приведённые
соображения сохраняют силу. В случае несепарабельного пространства
результат неверен. Для получения контрпримера рассмотрите не
содержащее изолированных точек пространство Χ χ S, где X — отрезок
с дискретной метрикой, S = {z Ε С | \ζ\ = 1}, и функцию f(x,z) = χ.
1.13. Используйте результат задачи 1.12.
1.14. а) Рассмотрите, например, функцию
1-х при — 1 < χ ^ О,
fix)
i+x-4-Ч ири0<*<1.
1+(2-*)-'+[(2-*)-'] j 2
и точку с — 0.
1.15. Рассуждая от противного, докажите с помощью теоремы Боль-
цано—Коши отсутствие взаимной однозначности.
1.16. а) Воспользуйтесь формулой конечных приращений на
промежутке [х, (1 + ε)χ].

276
III. Функции
• УКАЗАНИЯ
б) Считая, что ε < 1, и рассуждая от противного, найдите такую
последовательность {уп}, что уп -> +оо и f~l{eyn) ^ j^f~l{yn), где
5 — некоторое положительное число. Используйте результат
пункта а).
1.17. Предположим, что предел lim f(x) не существует.
Тогда найдутся такие числа а и Ь, что а < Ъ и множества
Ga = {x > 0\ f(x) < a}, Gfy = {χ > О1 f(x) > b) не ограничены. Пусть
xq — такая точка, что каждое из множеств Ga и G^ содержит
бесконечно много точек вида ηχο (η G Ν) (см. задачу 1.1.28). Поскольку
последовательность {/(пхо)} не может иметь предела, мы приходим
к противоречию.
1.18. Рассмотрите функцию
f( \ _ \Хп> если х = у/Р">
lO, если χ ^ у/рЦ при любом η G Ν,
где {рп} — последовательность простых чисел, а {хп} —
последовательность, множество частичных пределов которой заполняет R
(например, произвольным образом занумерованное множество Q).
1.19. Разбейте множество R+ = (О, оо) на классы эквивалентности,
считая, что χ ~ у, если ^ G Q. Установив произвольным образом
взаимно однозначное соответствие между множеством построенных
таким образом классов эквивалентности и множеством R, определите
функцию / на (0, +оо) равенством f(x) = гггт, гДе t € ^
соответствует классу эквивалентности, содержащему х.
1.20. Докажите, что для непрерывной функции утверждение
«f(x + h) — f(x) =3 0 при χ —> +оо на любом конечном промежутке»
равносильно утверждению:
Ve > 0 За£уЬ£у αε < b£ : lim sup \f(x + h) - f(x)\ ^ ε.
Последнее утверждение можно доказать, рассуждая от
противного и строя такую последовательность вложенных
сегментов {Δη} и числовую последовательность {хп}, что хп —> +оо
и \f(xn +h)- f(xn)\ > ε при he Δ„.
1.21. Докажите, что функция φ(χ) = f(x + \) - f{x) принимает
нулевое значение на промежутке [0, 1 - ^]. Если δ ^ \, 3 > О, то
рассмотрите функцию f(x) = φ(χ) -Ах, где φ G C(R), φ(0) = 0,
φ(1) = А ^ 0, φ имеет период δ.

И РЕШЕНИЯ · § 1. Непрерывность и разрывы функций 277
1.22. Докажите, что вместе с f(x) указанным в условии свойством
обладает и функция /(—*), и сведите задачу к случаям, когда
функция / либо четна, либо нечётна. В первом случае убедитесь, что
f(x) —> /(0) при χ —> +оо, и выведите отсюда, что / = const. В случае,
когда функция / нечётна, докажите, что \f{nx) —► f(x) при любом
χ G R, и, опираясь на это, проверьте, что f{cx) = cf(x) при любом
с G Q, а следовательно, и при любом cGM.
1.23. Можно считать, что xq = 0 и /(0) = 0 (в противном случае
заменим / на f(x) =/(*+Jto) ~/(*о))· Ясно, что / — нечётная
функция (для доказательства достаточно взять последовательность
хп = (—1)пх). Докажем, что f(x) = лс/(1) для любого лс > 0. Для этого
рассмотрим последовательность {χΛ}, принимающую лишь два
значения: χ и — 1. Пусть
/7n = card{& |1^&:ξη, xk = χ] .
Легко видеть, что {хп} сходится по Чезаро к нулю, если рп ~ γ^.
По определению {хп} получаем
0 = к /(*i)+-+/(*«) = K pnf(x)+(n-p*)f(-\) =
η η
- Ш _ (л _ _Μ fГП - Л*)-*^1)
~" 1+jr V \+x)J}<) ~ l+.r
и следовательно, /(jc) = jc/(1).
1.24. а) Из равенства
(1 + jc)(1 +x2)... (1 + x2")... = (1 - x)~x (И < 1)
следует, что f(x)f(x2) = (1 -χ)-1. Поэтому f2(x2) ^ (1 -*)_1 ^
^/2(х),т.е. 1 < y/T=if(x) ^ v/1 + V? ^ \/2.
б) Вычислив логарифмическую производную функции
получим
Так как γ— > -γ-j при t G (0, \/2 - 1), то при χ2 G (0, \/2 - 1)
ряд Σ (~1)η 2"* η Лейбницев и его сумма отрицательна. Непосред-
ственные вычисления показывают, что S(x) < 0 при 0,93 < χ < 0,945.
В то же время F возрастает вблизи нуля.

278
III. Функции
• УКАЗАНИЯ
в) По доказанному в пункте б) найдутся такие точки s и t из
промежутка (у/2 — 1, 1), что s < t и F(s) > F(t). Положим sn = s4 ",
tn = t4 (η = О, 1, 2, ...). Пользуясь тождеством F(x) = -^ F(x4)
и убыванием функции -^ на промежутке (у/2- 1, 1), получаем
неравенство
F(sn)-F(tn) = ^F(sn^)-^F(tn^)>
> |±if (F(sn_,) -F(i„_,)) > F(in_,) -F(f„_,).
Итак, F(s„) - F(f„) > F(s) - /(/) > 0, хотя sn, tn -+ 1.
1.25. Рассмотрите множество Q = f~l(K) С [0, 1], где
K= {(χ, у) I O^x ^ 1, у =0, 1, 5, |, ...}, / = (φ, ^) — кривая Пе-
ано (см. задачу 4.4).
Проверьте, что сужение φ|ρ обладает требуемым свойством
(используйте результат задачи 4.4 в)). Продолжите надлежащим образом
функцию φ\q с множества β на [0, 1].
1.26. Контрпример: х2 + (ху — I)2.
1.27. При каждом η G N и χ G [0, 1] определите fn(x,y) линейной
интерполяцией по узлам ук = ^ (0 ζ. k ^ п) со значениями f(x, £).
1.28. Рассуждая от противного, видим, что \f(a9y)\ ^c при
\у — Ь\ < ε для некоторых я, Ъ G R, с > 0, ε > 0. Пусть
ЕА = {з1€(*-с,Нс) | f(x,y)^ § при |jc-fl| < I}, £gN.
Покажите, что (J Е^ = (Ь - ε, Ь + ε), и воспользуйтесь результатом
задачи 1.1.40. Докажите, что если Ет содержит интервал (α, β), то
f(Xy у) ф 0 в прямоугольнике {а - ^, а + ^) х (а, β).
§ 3. Непрерывные и дифференцируемые функции
3.1. Покажите, что интерполяционный полином Ρ степени т для
функции /, построенный по узлам 0, Л,..., mh, совпадает с / во всех
точках kh (к G Z). Выведите отсюда, что P(t) = f(t) при t = kh/2n
(keZ, ne Ν).
3.2. Покажите, что f'(x) —> 0 при χ —> +оо, предполагая, что предел
lim f(x) существует. Существование последнего предела докажи-
х—»+оо

И РЕШЕНИЯ · § 3. Непрерывные и дифференцируемые функции 279
те, рассуждая от противного: если а = lim f(x)<(3= lim /(*),
то найдётся такая последовательность хп —> +оо, что /,(л/1)=0,
/(*2/i-l) -»«,/(*2л) ->А
Другое, предельно краткое, но не столь поучительное
доказательство равенства lim fix) = L получим, применив к паре функций
х—>+оо
exf(x) и ех правило Лопиталя.
Для доказательства обратного утверждения покажите, что из
соотношения ff(x) ~h 0 при χ —► +оо следует, ввиду равномерной
непрерывности /', что функция / не удовлетворяет критерию
Больцано—Коши на бесконечности.
3.3. Предполагая, что f'{a) < О < /'(b), докажите, что наименьшее
значение функции / достигается внутри промежутка [а9Ь].
3.4. Воспользуйтесь результатами задач 3.3 и 1.10.
3.5. Проверяя необходимость, воспользуйтесь равномерной
непрерывностью функции /' на промежутке [α, β].
3.6. а) Предположим сначала, что g(x) > 0 при χ Ε (a9b)9 и
допустим, что найдутся такие точки х\, .*2Е(я,Ь), что х\ < Х2
и f(x\) > f{.xl)' Не умаляя общности, можно считать, что f{x\) > 0
и /С*2) < 0· Пусть
Зс = sup{x Ε (x\,X2)\f(y) >Q ПРИ У Ξ (^1^)}·
Существует такая последовательность {/ι„}, что /ιπ > 0, /ιπ —> 0,
f{x+hn) < 0. Поэтому
g(x) = lim ^ ^ * ^ 0,
что невозможно. Следовательно, функция / возрастает. В общем
случае следует рассмотреть функцию f£(x) = f(x) + εχ, где ε —
произвольное положительное число.
б) Примените результат пунша а) к / и —/.
в) Примените утверждение пункта б) к / — G, где G —
первообразная функции g.
3.7. а) Предположим сначала, что g(x) > 0 при χ Ε (я, b), и
докажем, что график функции / лежит не выше любой хорды. Допустим
противное. Тогда найдутся такие точки χχ,χι € (a9b), х\ < χ2, что на
[х\9 X2] максимальное значение разности
Ых) = №-Пх1)-'-Щ=£й(х-х1)

280
III. Функции
• УКАЗАНИЯ
положительно и, очевидно, достигается в некоторой точке Xq G (χχ, xj).
Следовательно, при х$ ± ft G (х\, χι)
f(xo + h)+f(xo-h)-2f(x0) = fi(xo + h)+fi(xo-h)-2fi(x0)^0,
и поэтому g(xo) ^ 0, что невозможно.
В общем случае следует рассмотреть функцию f£(x) = f(x) + £*2>
где ε — произвольное положительное число. Заметим, что, как
видно из доказательства, для выпуклости / вместо неотрицательности
предела g(x) достаточно было бы предположить неотрицательность
верхнего предела lim — ч —-—£Л-^.
б) Примените результат пункта а) к / и — /.
в) Примените результат пункта б) к / - G, где G — такая функция,
что G" = 4g.
3.8. Дифференцируя по ft данное в условии соотношение, получаем
ff{x 4- ft) + f'(x — ft) = 2ff{x) при 0 ^ ft < Sx. Можно считать, что
δχ = sup{ft >0\x±h£(a,b) и f(x+h)-f(x-h) = 2hf'(x)} .
Докажем, что δχ = min{x — я, b — χ} для всех x£(a9b).
Допустив, что это не так для некоторой точки х, положим лс* = χ — δχ
и χ* = χ + δχ. Тогда χ*, χ* G (a,b). Так как f(x + ft) — f(x - ft) =
= 2hf'(x) для ft G [0, δχ), а функция / непрерывна, то последнее
равенство выполняется и при ft = δχ, т.е. f(x*) — f(x*) = 2δχ/'(χ).
Заметим, что f'(x*) + f'(x*) = 2f\x). Чтобы убедиться в этом,
достаточно поделить обе части равенства (0 < ft < δχ)
(f(x*) - f(x + h)) - (/(*,) - f(x - ft)) = 2(8X - h)f'{x)
на δχ — ft и перейти к пределу при ft —> δχ — 0.
Пусть δ = min{<5r+, δχ*}. Тогда для ft G [0, δ] имеем
/(**+ft)-/(**-ft) = 2ft/V).
f(x*+h)-f{x*-h) = 2hf'{x*).
Сложив эти равенства, получим
f(x + (δχ + fc)) -f(x - (δχ + А)) =/(**+ft) -/(** - ft) -
= 2(δχ - h)ff(x) + 4hf'(x) = 2(δχ + h)f(x)
для всех ft G [0, δ], а это противоречит определению <5Л-.
Итак, δχ — min{x - α, b — χ). Но тогда равенство
f(x+h)-f(x-h) = 2hf'(x)
выполняется для всех ft G (0, min{x - я, b - jc}), и поэтому / G
G С°°((а, Ь)). Двукратное дифференцирование по ft даёт /"(х) = const.

И РЕШЕНИЯ · § 3. Непрерывные и дифференцируемые функции 281
Отметим, что всюду непрерывная и недифференцируемая лишь в
одной точке функция f(x) = \x\ удовлетворяет равенству f(x+h) —
—f(x - h) = 2hff{x) при 0 ^ h ^ 8Х = \х\ во всех точках iGM, кроме
χ = 0, а в этой точке f{x + h)—f(x — К) = 0.
3.9. Рассмотрите первообразную функции φ, определённой
равенством φ(χ) = inf{|jc - у\ I у е F} (x Ε К).
3.10. Для доказательства утверждения б) => а) изучите множество
Εε = {χ Ε [0, 1] | \f(x) —/(0)| ^ εχ}, где ε — произвольное
положительное число. Докажите, что sup(E£ Π (0, с)) = с при любом
с Ε (0, 1). Из утверждения в) не следует а). Соответствующий
контрпример можно получить, рассмотрев одну из координатных функций
кривой Пеано, построенной в задаче 4.4, и воспользовавшись тем, что
множество постоянства этой функции не имеет изолированных точек
(см. утверждение г) этой задачи).
3.11. а) Это невозможно, так как в силу теоремы Дарбу значения
производной не постоянной на интервале функции образуют
невырожденный промежуток.
б) Достаточно построить непрерывную строго возрастающую
на (0, 1) функцию /, у которой производная существует и
положительна в каждой точке, причём ff{x) = +оо во всех рациональных точках.
Тогда функция g, обратная к /, будет искомой.
Пусть {гп} — какая-то нумерация множества Q Π (0, 1) и
/(*) = Σ -,ν^^η, χ €(ο,ΐ).
Ясно, что / — непрерывная строго возрастающая функция. Изучим её
производную. Для этого рассмотрим множество Е, на котором
сходится ряд, полученный формальным почленным дифференцированием:
я = {*е(0,1) Ι Σ Μ* ~ >-пГ2/3 < оо\.
Очевидно, что гп £ Е. Докажем теперь, что функция /
дифференцируема на Е, а вне этого множества /' — +оо. В самом деле, при χ Ε Ε
и/ι^Ο, 3/ з _ -
f{x+h)-f(x) ν^ ι y/x-rn+h-y/x-rn ( ν
* = \ # * ' ( }
Из неравенства м2+ uv + v2 ^ ψ)2 при u=^x — rn+h и υ = ζ/χ — rn
следует, что для всех h
\fx-rn+h—yjx—rn _ l 2
u2+uv+v2 υ2 {х-гп)21Ъ '

282
III. Функции
• УКАЗАНИЯ
Так как Σ ~k(x ~ г") 2^3 < °° (поскольку χ е Ε), то рад в правой ча-
я^1 п
сти равенства (*) сходится равномерно относительно h. Поэтому в нём
допустим почленный переход к пределу. Это обеспечивает
существование конечной положительной производной ff{x).
Проверим, что ff(x) = +00, если χ (£ Ε, χ φ гп (равенство
ff(rn) =■■- -hoc очевидно). Из определения множества Ε следует, что
для сколь угодно большого числа Μ можно подобрать такой номер Ν,
что Ν
Σ %(* ~ rn)-V* > Μ.
Так как при h φ О
уу 3 з,
f(x+h)-f(x) > γ^ J_ y/x-rn+h-y/x-r„
h * 2^ n2 h
n=\
j f(x+h)-f(x) x. ~
то для достаточно малых h мы имеем — h > * ° по 0ПРе"
делению означает, что — L —у +°°> те· производная функции
п h—+0
f в точке χ существует и равна + оо.
Полезно иметь в виду (хотя формально это и не используется в
решении), что множество Ε всюду плотно на (0, 1). Действительно,
в противном случае f\x) = +00 на некотором непустом интервале,
а это невозможно.
Отметим, что производная дифференцируемой функции g = f~l
ограничена, поскольку /'(х) ^ (д/х — π ) > i при χ Ε [0, 1].
Рассмотренный нами пример был предложен Помпейю в 1906 г. В книге [Вг]
читатель найдет интересное обсуждение этого и других примеров
функций с необычными свойствами.
Заметим ещё, что, как следует из результата задачи 4.7, с
помощью подходящей замены переменной можно добиться обращения
производной в нуль на любом наперёд заданном счётном плотном
подмножестве А интервала I: А С S = {х е / | g'(x) = 0}. Однако
равенство А — S невозможно, так как плотность множества S в I влечёт
несчётность S.
Действительно, для любой последовательности {хп} С S можно,
пользуясь плотностью S, построить такую последовательность
вложенных промежутков {[ап, Ьп}}, что
Xnt[anM и ls{b;lZSa{°n)l < Л Для всех η eN.

И РЕШЕНИЯ · § 3. Непрерывные и дифференцируемые функции 283
Пусть с G Π [ап, bn]. Так как g дифференцируема в точке с
и ап ^ с ^ Ьп, то
g/(c)= iim g(M-g(^)=0.
Таким образом, с G 5. В то же время с φ хп для всех η е N и,
следовательно, занумеровать множество S, если оно плотно в /, невозможно.
Более того, S имеет мощность континуума, так как на каждом шаге
мы можем выбирать промежуток [ап+\,Ьп+\] внутри как левой, так
и правой половины промежутка [ап, Ьп]. Поэтому получаемые таким
образом точки с образуют множество, равномощное множеству Ξ всех
двоичных последовательностей.
3.14. в) Убедитесь, что приращение канторовой функции на любом
промежутке длиной Ъ~п не превышает 2~п.
3.15. Зафиксировав η е Ν, оцените снизу длину ломаной с
вершинами в точках Mj = (j3~n, f(j3~n)) (j = 0, 1,..., 3"), рассмотрев
суммы
Σ p(Mj,Mj+l) и Σ p(Mj,Mj+i),
j3-*ec &~п£С
где С — канторово множество, ρ — метрика в R2.
3.16. Вычислите приращение канторовой функции на промежутке
[О, 3-л].
3.19. Оцените приращение функции / на участке монотонности.
При а = 1 полезно воспользоваться результатом задачи 3.13. Если
α=1,το*'(0) = |.
3.20. а) См. указание к предыдущей задаче.
б) Оцените ff(x).
в) Покажите, что \f(x + h) - f(x)\ = O(\f(x0 + h)- /(*<>)I)> гДе
xq — конец наименьшего из участков монотонности функции /, длины
которых не меньше h.
3.21. Рассмотрите ряд с членами c/cf(x — a#), где / — функция из
предыдущей задачи с надлежащим образом выбранными параметрами.
3.22. Рассмотрите функции f(x) = . * , и g(x) = e~l/x cose1/*
при0<*^ l,/(0)=g(0)=0.

3.23. Убедитесь в том, что
л
\φ{χ+Κ)-φ{χ)\ ^maxxGR|/(x)| j \ω{ζ +h)--*=\dz,
—π
где ω — 2я-периодическая функция, совпадающая с |ζ|-1/2 на
промежутке [—я, л], и оцените интеграл в правой части неравенства.
3.24. Разбейте ряд
f(x)-f(y) = -Σ 21-"sin(4" ψ) sin(4" ψ)
на две суммы: ]ζ и Σ > гДе Ρ ^ ^ таково, что 4~р χ \χ — у\, и оце-
ните их по отдельности. Чтобы доказать, что / 0 Lipa при α > ~>
оцените снизу разность /(0) — f(x) при jc = ^ (m G N) или
воспользуйтесь результатом задачи IX.4.5 б).
3.25. Решение аналогично решению задачи 3.24.
3.26. Используйте тот же приём, что и при решении задачи 3.24.
Функция / не входит в класс Lipb так как /(jc) > у χ при χ = лЗ~т~1
(т е Ν).
3.27. См. задачу 3.28 при ω(ί) = ί 1η(1 + }).
3.28. Положив т\ = 1, индуктивно определим такую
последовательность натуральных чисел {тп}, что при всех «GN
1) *>(;йУ «; И±);
2) Σ. «Ш^пиЫ;
3) m„+i делится на птп.
Убедимся в том, что это искомая последовательность.
Из условия 1) следует, что функция F непрерывна. Оценим её
модуль непрерывности. Пусть х, х' GE. Очевидно, мы можем считать,
что \х — х'\ ^ 1. Зафиксируем такой номер п, что
—— < \х — х'\ < —

И РЕШЕНИЯ · § 3. Непрерывные и дифференцируемые функции 285
Тогда, используя условия 1) и 2), мы получаем
\F(x)-F(x')\< Σ ^)2™,|*-*Ί+2ω(^)Σ:^ =
ία*;» ч ' ч ' 7>οζ
^3πΩ(±)\χ-χ'\+4ω(\χ-χ'\)<
^ 3πΩ(\χ - х'\) \х - х'\ + Λω{\χ - х'\) = (Зя + Λ)ω(\χ - х'\).
Проверим теперь, что функция F нигде не дифференцируема.
Зафиксируем произвольную точку xq e R и при каждом η 6 N найдём такое
целое число 1п, О ^ 1п < п, что при hn = ^- выполняется неравенство
| sin 2ятял(*о + hn) — sin2jrmnxol ^ 2
(легко убедиться, что требуемое число 1п существует). Тогда ввиду
условия 3) имеем
sin 2nmn+j(χ$ + hn) — sin2jrmn+yxo — О ДЛЯ всех У' £ N.
Следовательно,
F(x0 + hn) -F(x0) = Σ (uijzrjfanlnmkixo + hn) -ьт2лткхо).
Поэтому
\F(x0 + hn)-F(x0)\^
>- Σ б>(^-)2ятлЛ„ + а>(^)|8т2ятл(дс0+Лл) -sin2jrmnx0| >
Mi)-**- Σ оШ>(И±)-Й°ШК
К£<л
Таким образом,
I s; 1 ^ U - το J Ω(^) -* +°°·
3.29. а) Будем считать, что период функции равен единице.
Положим A = max/-min/. По условию Δ > 0. Для
доказательства недифференцируемости функции W в точке χ достаточно
построить такие последовательности {uj} и {υj], что Uj ^ χ ^ Vj,
W(vj)-W(uj)
υ iг — и ■; —> 0 и —„._„. ► °° при 7 —> оо. Зафиксируем χ еШ
и, пользуясь периодичностью функции /, для каждого j
подберём такие числа sj G [Q^x - 1, β·7*], 0 £ [β*7·*» β*7* + 1], что

286
III. Функции
• УКАЗАНИЯ
f(sj) = min/ и f(tj) = max/. Положим Vj = Q hj, u} = Q ^sj.
Тогда f(QJVj) — f(QJUj) = Δ, Uj ^ χ ^ Vj и Vj — uj < 2Q~J. Поэтому
!2M »£(*(.,)-*,.Л>
> %(q'(f(u'»j) -ПО1·/)) - |Σ q"(f(Q"»n) -/(СЧ,))|) г
>¥(^δ- Σ Ι···Ι-ΣΙ···|)·
4 \^n<j n>j
Так как функция / удовлетворяет условию Липшица, то существует
такая константа L > О, что |/(ι>) - /(и)| ^ Ци — v\ для всех и, ν е Μ.
Поэтому при д£2 > 1 первая сумма не превосходит
Σ <™>у - uj) < § Σ («β)" < ^r ·
С другой стороны, \f(v) — f(u)\ < Δ для всех и, υ, и поэтому вторая
сумма не превосходит Σ Яп^ = jz~ <3f*/+1· Таким образом,
где С = Δ -у^ ^П" > 0» если произведение qQ достаточно велико.
б) Мы воспользуемся результатами задачи IV.3.14, которые
гарантируют (см. пункты д), е)), что при ρ > О
Σ трк ^ Схтрп, и Σ т^Р ^ с2тпР ·
\^к^п к^п
Будем считать, что \f(x)\ < С, \f(x) —/(*')1 ^ Цх ~ х'\- Тогда если
\f{mkx)-f{mkx')\
к^-х'\<*Ь>™
\Wa(x)-Wa(x')\<( Σ +Σ)-
£
^LCx\x- х'\ (^|)1_а + 2СС2|* - х'|° = Цх ~ *Т>
где L = Ш\ + 2СС2 < +оо. При α = 1 см. задачу 3.26.

И РЕШЕНИЯ · § 3. Непрерывные и дифференцируемые функции 287
3.31. Будем строить требуемую гладкую функцию так, что
нетривиальная часть множества её критических точек совпадает с некоторым
обобщённым канторовым множеством К (кроме К критические
точки будут заполнять полуоси (—оо, 0] и [1, +оо), на которых функция
постоянна).
Пусть К — построенное на сегменте [0, 1] обобщённое канторо-
во множество с постоянным отношением θ (см. текст перед
задачей 1.1.29). Свяжем с каждым интервалом ω — (с- — h, с + h) (h > 0)
функцию gay:
ί 0 при χ £ ω,
8ω{Χ) = <
-Ah — |jc — c|)1/2 при χ G ω.
Заметим, что I ga)(t)dt = Л3/2. Символом |ω| будем обозначать длину
R
промежутка ω. Положим
8=8δ + Σ Σ 8δσ> (*)
η^\σ(Ξ{0Λ}"
где δ, δσ — дополнительные интервалы к К, Так как все они попарно
дизъюнктны, то при любом iVeN
о < Σ Σ 8Κ..ση < V1^ = №**" д,- ° ·
η>Ν(σι...ση)€{0Λ}» V /V"->°°
Следовательно, ряд (*) сходится равномерно, а функция g
непрерывна (и даже, как нетрудно убедиться, удовлетворяет условию Липшица
с показателем ^). Очевидно, что g(x) = 0 при χ (£ [0, 1], а при χ G [0, 1]
равенство g(x) = 0 справедливо тогда и только тогда, когда χ Ε К.
Убедимся, что при надлежащем выборе параметра θ функция
X
f{x) = pjg{*)dt,
о
где
1
Р= (]"*(')<") и
jt G к,
о
— искомая. В самом деле, очевидно, что множество критических
значений / совпадает с f(K). Пусть χ е К. Тогда (согласно
результату задачи 1.1.31 в)) χ: = i=2 Σ ^fl". Поэтому (по поводу обозначения
л^1

(σι... ση) -< ε см. задачу 1.1.31 г))
χ χ
f(x)=p(gS(t)dt + pZ Σ {S5av..an{t)dt =
Ο n>\{cx...cn)^JQ
-«(ϊΓ+ι-Σ Σ (^)3/2 =
4 ' η>Λ(σλ...ση)<εΧ '
= ρ(ψ)ν\ει + Σ Σ ^2)·
Выберем 0 так, чтобы 03/2 = ^. Тогда, как нетрудно подсчитать,
/1-20\3/2 2
/7 ( —γ- I — 3' И МЫ полУча-еМ9 ЧТО
/W = f(ei + E Σ i).
/ι^1(σ!...ση)-<ε
Пользуясь применительно к множеству б* утверждениями д) и в)
задачи 1.1.31 (сумма длин дополнительных интервалов, лежащих левее
данной точки t e С, совпадает с t), мы получаем, что
4 η>Λ J J ή^\
(последнее включение установлено в задаче 1.1.30а)).
Так как {εη} может быть произвольной двоичной
последовательностью, то f(x) при χ G К может быть любой точкой из С. Таким
образом, f(K) = С.
3.32. Идея решения основана на том, что алгебраическая сумма двух
множеств нулевой меры может совпадать с отрезком (см., например,
задачу 1.1.306)).
Проведём построение контрпримера, стремясь получить
максимально гладкую функцию. Дня этого заменим классическое канторово
множество, которое не совсем «экономно» из-за того, что «большинство»
точек отрезка [0, 2] (=С+С) может быть получено как сумма
бесконечно многих пар входящих в С слагаемых. Рассмотрим обобщённое
канторово множество
€ = {Σ £ I ел = 0 или lj.
Рассуждая как при решении задачи 3.31, построим функцию φ,
удовлетворяющую следующим условиям:
1) <peCl(R);
2) φ' Ε Lipa при любом а < 1;

И РЕШЕНИЯ · § 3. Непрерывные и дифференцируемые функции 289
3) множество критических точек функции φ совпадает с
построенным на [0, 1] обобщённым канторовым множеством К с определяющей
последовательностью {(n+X){n+2)2~n}n>(f
4) φ(Κ) =С.
Для этого вместо функций g§ и g§a ^ из решения задачи 3.31
следует рассмотреть функции
{О при χ £δ,
1 --4\х - ±| при χ G о;
8а(х) =
О при χ <£. δσ,
^^-(п+1)2(п + 2)2|х-с,| при χεδσ,
2"
где σ = (σ\,..., ση) G {0, 1}", а са — середина интервала δσ — δσχ„Μη.
Нетрудно убедиться, что при а < 1 все функции ga принадлежат
классу Lipa с некоторой общей константой.
Искомую функцию F мы получим, положив F(jc, у) = φ(χ) + 2φ(γ).
Тогда, очевидно, множество критических точек F совпадёт с К χ К,
а множество критических значений — с φ (Κ) + 2φ(Κ) -С-\-2С= [0, 1].
§ 4. Непрерывные отображения
4.1. Докажите, что ограниченность последовательности {ζη}
равносильна ограниченности последовательности {Ρ(ζη)}· Для
произвольного многочлена двух переменных (например, для Q(x,y) = χ) это
неверно. Проверьте, что Q(F) = R\ {0}, где F = {(χ,у) |ху = 1} —
замкнутое множество.
4.3. Для построения одного из возможных примеров
рассмотрите двусторонние числовые последовательности {xk}keZ и {Ук}кеЪ*
удовлетворяющие условиям ... < хк < ук < Хк+\ < · · ·, info* = 0,
supjc^ = 1, и образуйте множества
A = {0}U \J[xk9yk), B = {\}U [)\ук9хш).
кеъ kez
Искомый гомеоморфизм можно получить, отображая каждый
промежуток [хк9ук) С А на промежуток [у-ку х-к+\) С В, а нуль — в
единицу.
4.4. а) Корректность определения проверяется непосредственным
вычислением φ и ψ в троично-рациональных точках. Непрерывность

290
III. Функции
• УКАЗАНИЯ
φ и ψ вытекает из совпадения любого наперед заданного числа
первых цифр, получаемых при представлении достаточно близких
точек г, t' G [0, 1] в виде троичных дробей (без цифры 2 в периоде).
б) Используя разложение чисел отрезка [0, 1] в троичные дроби
0,αια2«3 · · · — Σ акЗ~к> гДе ак ~ 0> 1 Ш1И 2, убедитесь в том, что
если |, η е [0, 1|, ξ = 0фффъ ...,ι? = 0,У!у2Уз ..., то 4 = φ(0, ι? = 0(О>
где ί = Ο,α^αβ ..., а цифры αϊ, с*2,... определяются
последовательно следующим образом:
α2
jr.,
12- /3„,
α2η = {»·
если αϊ — четное число,
если αϊ — нечетное число;
если а2 + ... + &2п-2 — четное число,
- βη, если а2 + ... + &2п-2 — нечётное число;
если αϊ + .. · + &2п-\ — четное число,
если αϊ + ... + &2п-\ — нечетное число.
в) Различные решения системы φ(ί) = ξ, ψ(ί) = η могут получаться
только из-за неединственности представления чисел 4, Ц 6 [0, 1] в виде
троичных дробей. Проверьте, что при
4 = 2= 0,02000... - 0,01222... и η = А - 0,1000... = 0,0222...
система имеет четыре решения:
^ -0,001020202. .. , ^ =0,00220202... ,
^ =0,010020202... , ^ = 0,011202020...
г) Пусть t = 0,а\сс2 ... G φ-1 ({с}). Если среди цифр а2*
бесконечно много четных, то, заменяя а2* при достаточно большом к на
2 — <*2Ь мы получим точку </>-1({с}), сколь угодно близкую к г.
Если ajk = 1 при к ^ ко, то следует рассмотреть точку (к ^ ко)
0,αια2 ... <22£-l0(2 - <22к+\)®а2к+з1а2к+5 · · · ·> получающуюся из t
заменой цифр а2к = 1 и а2£+2 — 1 нулями, а α2*+ι — числом 2 - «2*+ΐ·
При рассмотрении множества ф~^({с}) рассуждения аналогичны.
д) Докажем, что φ е Lipi/2([0, 1]). Пусть 2 < т е Ν, ρ = [у],
м'е [0, 1], t =0,αια2α3..., f' = Ο,α^ α^ ... и Ъ~т <it - t'< 3~w+1.
Если αϊ = «(,..., aw_! = a^_1? то
φ(ή = Ο,^ι . . .βρβρ+ι . . . , φ(ί') = 0фф2 . . .βρβ' χ . . . ,

И РЕШЕНИЯ · § 4. Непрерывные отображения 291
и следовательно, \φ(ΐ) — <p(t')\ ^ Ъ~р ^ y/b\t — t'\1/2. Предположим
теперь, что найдётся такой номер к ^ т — 1, что ак ф а'к. Будем
считать, что к — наименьший номер с этим свойством. Тогда, ввиду
неравенств Ъ~т ^ t — tl < 3-w+1, разложения для tut' должны иметь вид
t = 0,ax ...ak_iak0...0amam+i ... ,
ί7 = 0,αι...αΑ_ι(αΑ - 1)2... 2α^+1...
(если хотя бы одна из цифр ак+\,..., ат-\ не нуль или хотя бы
одна из цифр а'к+1, ..., dm_\ меньше двух, то t — tf ^ 3-m+1). Могут
представиться следующие четыре случая:
\) к = 21 — чётное число, а2 + щ + ... + ак — чётное число;
2) к = 21 — чётное число, а2 + «4 + · · · + ак — нечётное число;
3) к = 21 — 1 — нечётное число, а\ + с*з + · · · + ак — чётное число;
4) к = 21 — 1 — нечётное число, а\ + «з + · · · + ак — нечётное
число.
В первом случае мы видим, что
φ(ή = 0,βιβ2...βι0...0βρβρ+ι...,
φΡ)=0βιβ2...βι0...0β'ρβ'ρ+ι...
Следовательно, \φ(ί) — <p(t')\ ^ 3 · Ъ~р ^ 3y/3\t' — t\1^2. Остальные
случаи рассматриваются аналогично.
4.5. Пусть ε > О, N = 1 + [|]. Точки гк = ^ (к = 1,..., Ν) образуют
ε-сеть для отрезка [0, 1]. Проверьте, что точки (м(^), у(*к)) образуют
<5-сеть для квадрата [0, 1] χ [0, 1], где δ ^ Сеа. Докажите, что число
точек <5-сети для квадрата не меньше, чем Cq8~2.
4.6. Пусть Ξ — множество всех двоичных последовательностей и
{^„Ι/ίΕΝ,ε! cBG{0,l}},
{Afl...fJ«GN,£b...,£„G{0,l}}
— семейства множеств, с помощью которых определяются
обобщённые канторовы множества К и К (см. текст перед задачей 1.1.29).
Определим отображения φ: Ξ-+Κ,φ: Ξ —> К равенствами
φ(ε)=ί, если re f| Δ^,...^, и φ (ε) =ТУ еслиГе П Δ£ι...εη
ή>Λ η>Λ
(ε = {ε^} G Ξ). Докажите, что φ и φ являются биекциями,
а/ =φ οφ~ι — гомеоморфное отображение К на К.

292
III. Функции
• УКАЗАНИЯ
4.7. Достаточно построить возрастающий диффеоморфизм
отрезка [0, 1], переводящий X на Y, т.е. функцию /, удовлетворяющую
условиям: 1) / G С1 ([0, 1]), 2) min/7 > 0, 3) /(0) = 0, /(1) - 1, для
которой/(Χ) = Υ. [0Λ]
Нам потребуются два вспомогательных утверждения.
Лемма. Пусть ε > 0, / — функция, удовлетворяющая
условиям 1)-3), Υ — плотное подмножество интервала (0, 1), Ε — конечное
подмножество (0, 1), jc* G (0, 1) \Е. Тогда существует такая функция
/ε, удовлетворяющая условиям 1)—3), что
а) \/ε(χ) ~ /'(*)1 < ε для всех χ G [0, 1];
б) f£(x) = f(x) для всех х G Ε;
B)f£(x*)eY.
Из условия а) следует (так как /(0) = /ε(0) = 0), что \f£(x)-
—f(x)\ < ε для всех χ G [0, 1]. Таким образом, любой возрастающий
диффеоморфизм отрезка [0, 1] можно за счёт сколь угодно малого
изменения так «подправить», что новый диффеоморфизм будет
переводить заданную точку в некоторую точку заданного плотного
множества, сохраняя при этом значения исходного диффеоморфизма на
заданном конечном множестве.
Доказывая лемму, будем искать функцию f£(x) в виде
/ε(χ)=/(χ)+δΡΕ(χ),
где δ > 0, Ре — полином, обращающийся в нуль на множестве Ε
и в точках 0 и 1, но не равный нулю в точке jc*. Очевидно, функция f£
удовлетворяет условиям 1), 3) и б). Условия а) и 2) выполнены для
всех достаточно малых δ. Легко видеть, что при этом можно добиться
и выполнения условия в). Отметим, что если f(x*) G Υ, то никакого
исправления функции / не требуется. В этом случае f ε — f -
Аналогично устанавливается и такая модификация леммы.
Пусть ε > 0, / — функция, удовлетворяющая условиям 1)-3),Х —
плотное подмножество интервала (0, 1), Ε — конечное подмножество
(0, 1), у* G (0, 1) \ /(£). Тогда существует такая функция f£,
удовлетворяющая условиям 1)—3), что
а) \/ε(χ) ~ f'(x)\ < ε Для всех х Ξ [0. !];
б) f£(x) = f(x) для всех χ G Е;
Bj/rV)eX.

И РЕШЕНИЯ · § 4. Непрерывные отображения 293
Требуемый диффеоморфизм / будем искать в виде / = \imfn,
где {fn} — последовательность полиномов, удовлетворяющих
условиям 1)—3), которую мы построим по индукции. Для этого занумеруем
множества X и Y: X = {хп}, У = {уп} и положим εη = Ъ~п (п е Ν).
Пусть /о(*) — х Для всех х £ [0, 1]. Каждый полином fn+\
получается ^-«исправлением» (при ε = εη+\) полинома fn с помощью леммы,
если η = 2k, или с помощью её модификации, если η = 2к -f 1. При
этом лс* = jc^+i, соответственно у* = Ук+\, и
_ f{x\,--->xk>f~l(y\)>--->f~l(yk)} при п = 2к,
~ {{χχ,... ,Хк,Хк+\> f~l(y\)> - - - > /~1(Ук)} ПРИ " = 2£ + 1
(Е = 0 при « = 0и£ = {χι} при η = 1).
Так как /л(0) = 0 и max \fn+x - f'n\ < 3~(л+1), то предельная
функция / = \\vafn существует и непрерывно дифференцируема на [0, 1].
Кроме того,
оо оо
/'(*) = f'o(*) + Σ (KM - f'n-M > ι - Σ £ = \ ■
n=l n=l
Поэтому / удовлетворяет условиям 1) и 2), а так как /л(1) = 1
и /л(0) = 0 для всех и, то выполнено и условие 3).
По построению /„(**) = fn+\(xk) = fn+l{xk) = · · · — элемент
множества К, если η ^ 2к. Поэтому /(*#) Ε К для всех к Ε N, т.е.
f(X)GY. Аналогично, /п1(Ук)=/п1\(Ук)=/п+2^Ук) = ---9 если
η ^ 2&. Следовательно, f~^(yk) £ Я для всех * GN, т.е. /-1(^) СХ.
Итак,/(X) = К.
В заключение отметим, что на каждом шаге при построении
многочлена fn мы за счёт выбора малого параметра δ можем добиться того,
что величина max \fn(z) — fn-\(z)\ будет произвольно мала. Это поз-
|г|<л
воляет получить последовательность полиномов, равномерно
сходящуюся на каждом ограниченном подмножестве комплексной плоскости.
Тогда из теоремы Вейерштрасса о пределе аналитических функций
вытекает, что построенный диффеоморфизм является сужением целой
функции.
4.8. а) Пусть уп Ε А, \\х -уп\\ —^d— inf ||jc — у\\. He умаляя общно-
уел
сти, можно считать, что последовательность {уп} сходится. Её предел
у0 является, очевидно, наилучшим приближением к jc в А. Если у'

294
III. Функции
• УКАЗАНИЯ
также наилучшее приближение к χ в А, то, применяя тождество па-
В(
yo+y'V2
раллелограмма к векторам χ — у$ их — у', мы получаем
2
1,
+ Ь -/II2 = 2\\х -у0\\2 + 2\\х -/||2 = Ad2.
Так как ±(у0 + /) G А, то ||дс - ±(у0 + /)|| > d. Поэтому
Ad2 + \\уо — /||2 ^ Ad2, откуда вытекает, что у$ = у'.
б) Пусть у = Т(х),у' = Т(х'), L — прямая, проходящая через точки
у и у'. Очевидно, что отрезок Δ, соединяющий точки у и у', содержится
в Λ. Ясно, что точка у о лежит между у' и ортогональной проекцией
точки χ на L (поскольку в противном случае точка у о не могла бы быть
наилучшим приближением к χ не только в А, но даже и в Δ). Отсюда
следует, что ортогональные проекции точек χ и xf на L (назовём их ζ
и ζ' соответственно) лежат по разные стороны от Δ. Таким образом,
||* - А\ > Hz - z'H > длина (Δ) = ||у - /||.
в) Очевидно, что образы точек, не принадлежащих А, лежат в ЗА.
Проверим, что всякая точка у о G ЗА есть образ некоторой точки xq
из дВ. Точку xq можно получить следующим образом. Возьмём
проходящую через у о опорную к А гиперплоскость Η и рассмотрим луч,
перпендикулярный Η и имеющий с А единственную общую точку уо·
Наилучшее приближение к каждой точке этого луча есть у о· Вместе
с тем, пересекаясь с В, луч должен иметь общие точки и с границей
множества В.
§ 5. Функциональные уравнения
5.2. в) Очевидно, что функция / не линейна и, следовательно,
/(xq) ^*о/(1) Для некоторого xq g R. Это неравенство
равносильно линейной независимости векторов е1 — (1, /(1)) и еп —(xq, /(*o))·
Поэтому множество {se* + te"\ s, t G Щ совпадает с R2, а множество
{se; + te" 15, t G Q} всюду плотно в Ш2. Осталось заметить, что точки
sef +te" принадлежат графику функции / при любых рациональных
s и t (это следует из утверждения а)).
Заметим, что утверждение пункта б) можно обобщить,
например, следующим образом: если функция /еС([а,Ь])
удовлетворяет условию /(^-γ~) = 2 (*> У е [fl> ^D> то она линеина, т.е.
/(х) = Ах + В при χ G [а, Ь].

И РЕШЕНИЯ · § 5. Функциональные уравнения 295
5.3. Примените результат предыдущей задачи к функцииg(x)=f(ex).
5.4. Убедитесь в том, что /(1) =/(-1) — 0, и докажите, что функ-
f(x)
ция / нечётна. Рассмотрите функцию g(x) = -γ1 (χ > 0) и
используйте рассуждения, проведённые при решении задачи 5.3.
5.5. Используйте результат задачи 52,
5.6. Докажите последовательно, что /(0) =0, f (хп) = (f (х))п
и f(x+y)=f(x)-tf(y) ПРИ х> У £ !&· Используя равенство
f{(rx+y)n) = {rf(x)+y)n, гДе r £Q> убедитесь, что/(х2)= ± (/(*))
при любом igR; воспользуйтесь результатом задачи 5.2.
5.7. С помощью индукции докажите, что
Σ /(**)-/( Σ **)k*(/>-i) (ρ^ν)· (*)
l^k^p ХЫк^р 7|
Выведите отсюда, что отношение ~-^ {п Ε N) ограничено.
Зафиксируем такие строго возрастающие последовательности {«^} С N
и {т/с} С N, что существуют пределы
А = цт1Ы и s = iim/iz^)
Пк -тк
fix) fix)
Докажем, что lim L}b1 =А и lim —^ = В. Для любого ε > 0
*—*·+οο * *--►—оо х
tin λ
зафиксируем такой номер щ, что ^- < ε и | -^ - Л| < ε. Пусть χ > 0
и /? = [^-]. Тогда jc = рп/с + л*, 0 ^ s < щ. Из неравенства (*) следует,
что
\pf(nk)+f{s)-f{x)\^ap9
-^-/Ы + т-т
<2£<ε.
и поэтому
Для достаточно больших χ из последнего неравенства вытекает,
что |^γ^-Λ|<3ε. Аналогично доказывается, что Щ^ —► В при
-оо. Переходя к пределу при χ —» -f оо в неравенстве
Д2г) ] f(-x) f{x)
мы убеждаемся в том, что А = В. Рассмотрим теперь функцию
f(x) = f(x) — Ах и проверим, что \f(x)\ < σ при всех χ е К. В самом

296
III. Функции
• УКАЗАНИЯ
fix) ~
деле, ясно, что -γ1 —> 0 при χ —> оо, и, как и функция /, /
удовлетворяет неравенству (*). Поэтому \f(x) - ^р-\ ^ & при любых χ G К.
и и G N. Считая, что лс ^ 0, и переходя в последнем неравенстве к
пределу, мы получаем требуемое.
Заметим, что оценку для функции / улучшить нельзя. В этом можно
убедиться на примере функции f(x) — max(l — \х\9 0).
5.8. Проверьте, что функция / чётная и /(0) = 0.
Рассмотрите нечётную функцию g, определяемую при χ ^ 0 равенством
g(jt) =f(y/x). Используя результат задачи 5.2, покажите, что
функция g линейная.
5.9. Докажите, что /(0) = 1 и что функция / — чётная. Убедитесь
в том, что если f(xo) = 0, то f(t) = 0 при |ί| ^ \xq\. Выведите отсюда,
что f(x) > 0 при любом χ G К. Проверьте, что функция g(x) =\nf(x)
(χ G Щ удовлетворяет условию предыдущей задачи.
5.10. Докажите, что функция g(x) — f(ex) является суммой
линейной и периодической функций.
5.11. а) Рассмотрите функции ψ(χ) = ^у и Η (и) = гр(е~е")
(х G (0, 1), и GR).
б) Проверьте, что 0 ^ / ^ 1. Убедитесь, что функция /
однозначно определяется своими значениями на произвольном промежутке
вида [с2, с], где 0 < с < 1, а на этом промежутке она может совпадать
с любой возрастающей функцией, значения которой на концах равны,
соответственно, а2 и α, Ο^α^Ι. При а = 0 (а = 1) мы получаем
/ξ0(/ξ1). В остальных случаях 0 < / < 1.
Другое описание решений в случае, когда 0 < / < 1, можно
получить, рассмотрев функцию g(t) = In | In f(e~r)\, 0 < t < оо, и
воспользовавшись результатом задачи 5.10.
5.12. Предполагая, что искомая функция / нечётна, убедитесь в том,
что функция φ(ή = ln(/(er)) (t G Щ строго возрастает и
удовлетворяет уравнению φ(2ί) = 4φ(ί). Найдите решение этого уравнения.
5.13. Проверьте, что /(0) =0 и /(1) = 1. При ζ ^0
рассмотрите функцию g(z) = //1 |ч и, пользуясь взаимной однозначностью g

И РЕШЕНИЯ · § 5. Функциональные уравнения 297
на каждой окружности \z | = г, последовательно докажите, что при
г е (О,1]
g(r) = l9 g(-r) = -h g(ir) = ±i, g(rei7T/4)=e±i7T/4 и т.д.
Выведите отсюда, что функция g(z) совпадает либо с —, либо с —.
Докажите, что функция h(t) = \f(t)\ возрастает на (0, 1).
Представьте f(t) в виде h(t)el(p^ и воспользуйтесь результатом задачи 5.11.
5.14. Докажите последовательно, что /(0) = 0, /(1) — 1 (и
следовательно, функция / возрастает), f(\) = \,f(x) = ^ ПРИ * £ [\> §]·
С помощью индукции убедитесь в том, что на интервалах,
дополнительных к канторову множеству, функция / совпадает с канторовой
функцией (см. задачу 3.14).
5.15. Докажите последовательно, что
д2 f
ddj = const' f(x>y^ = Axy + g^ + 8(У) и 8" = const.
5.16. Если функция / строго монотонна, то на Μ χ f(R)
функцию g определим равенством g(u, υ) = f(uf~l(v)). Вне этого
множества функцию g можно определить произвольно. Аналогичное
построение можно провести, если функция / четна и строго монотонна
на [0, +оо).
Если f(a)=f(b) при \а\ φ \Ь\ и функция g существует, то
/(/) = f(ct) при некотором с, \с\ < 1, и любом t е R. Выведите
отсюда, что / = const.
5.17. См. [My]: Из условия а) следует, что f(ty ty ..., t) = t при
любом t G R и, в частности, /(0) = 0. Ясно также, что множество
значений / совпадает с К.
Очевидно, из условия б) вытекает, что
б') /(*) = f(y) «Φ f(x + ζ) = f{y -f z) при любом ζ е Rn.
Пусть Lq = {ζ € W1 \f(z) -■ 0}. Добавляя вектор л к аргументам /
в равенстве 0 = /(0) = f(z) и меняя ролями χ и ζ, мы получаем из б')
при у — 0:
f(x + ζ) = f(x) при всех ζ е Lq, jcgIR". (*)
Таким образом, добавление к аргументу функции / вектора ζ из Lq не
меняет её значения.

298
III. Функции
• УКАЗАНИЯ
Покажем теперь, что всякое множество уровня
Lc = {xeRn\f(x) = C}
функции / получается сдвигом из множества Lq. Если xq —
произвольный вектор из Lq, то из равенства (*) следует справедливость
включения xq + Lq С Lq. С другой стороны, если /(уо) = /(*о) — С,
то у о - xq G Lq, т.е. /()?о - xq) = 0 = /(0). Это равенство верно по
свойству б'), поскольку мы, добавляя к аргументам xq, получаем
верное равенство f(y0) = /(*о)·
Убедимся, что множество Lq линейно. Из равенства (*)
следует, что если х, у G Lq, то и χ +у е Lq. Вместе с тем 0 = /(0) =
= f(x + (—х)) = /(—*). Таким образом, —х е Lq. Поэтому линейная
комбинация векторов х,у с любыми целочисленными
коэффициентами содержится в Lq. Убедимся теперь, что вместе с вектором χ
в Lq входит и вектор |. В самом деле, пусть это не так и пусть для
определённости /(|) > 0 = /(0) (случай /(f) < 0 совершенно
аналогичен). Тогда по свойству б) мы получаем f(x) = /(§ + §) > /(f)*
т.е. 0 > /(|). Это противоречит предположению /(|) > 0.
Следовательно, множество Lq вместе с любыми двумя векторами содержит
и их всевозможные линейные комбинации с двоично-рациональными
коэффициентами. Так как множество Lq замкнуто, это влечёт его
линейность.
Итак, множество Lq линейно и, очевидно, не совпадает с Шп.
Убедимся, что Lq есть гиперплоскость. В самом деле, в противном случае
множество Rn\LQ связно и в силу теоремы Больцано-Коши вместе
с точками, где функция / принимает значения противоположного
знака, содержит и некоторые корни /, т.е. точки, входящие в Lq, что
невозможно.
Пусть а = (а\9 а2, ..., ап) — ненулевой вектор, ортогональный Lq.
Тогда множества уровня функции / совпадают с
гиперплоскостями (х, a) = const. Следовательно, функция / пред ставима в виде
f{x)=g({x,a)), где g — некоторая функция, определённая на К.
Но при х\ =Х2 = ... = хп = t мы в силу условия а) получаем, что
t = f(t, *,...,*)= g(At), где Λ = αχ + а2 + ... + ап. Очевидно, Α φ 0,
и поэтому g (и) = j при всех и е R. Тем самым доказано, что функция,
удовлетворяющая поставленным условиям, имеет вид f(x) = /р- при
всех χ G W1. Положим q = -£■ (к = 1,..., ή). Тогда с\ + ... + сп = 1
и f(x) = с\х\ + ... + спхп. Из неотрицательности функции / на R+

И РЕШЕНИЯ · § 5. Функциональные уравнения 299
(см. условие а)) следует, что q ^ О при всех к = 1,2, ..., п. Таким
образом, искомые функции являются выпуклыми комбинациями
координат, и любая такая комбинация удовлетворяет, очевидно, условиям а)
и б). Среди таких функций не зависит от перестановки переменных
лишь одна — i(*i + ... +дсл).
5.18. а) Проверьте, что при каждом ξ G 51 отображение ψξ: Ζ —> S1
определяемое равенством g>|(£) =4*, является характером. Докажите,
что каждый характер φ имеет вид ψξ, где ξ = φ{\).
5.19. а) Проверьте, что при каждом t G R отображение φ^: R —> 51,
определяемое равенством </>/(*) = ezi* (jc G R), является характером.
Если φ — произвольный непрерывный характер, то при п^ N
справедливо неравенство Re<p(2-") > 0. Пусть φ(2~Ν) = el9°, \6q\ < π,
θ = 2n6q. Проверьте, что φ(2~η) = βιθ2 " при любом п G N, и
докажите, что φ = q>Q.
б)-г) Используйте а) и аналогию с задачей 5.18 6).
д) Проверьте, что при каждом «eZ отображение φη: Sl —> 51,
определяемое равенством </>и(4) =4" (4 £ S1), является характером.
Чтобы доказать, что каждый характер φ имеет такой вид, изучите
множество φ-1({1}). Докажите, что оно конечно, если φ ψ 1, и что
для некоторого т G N и любого 4 такого, что ξ171 = 1, справедливо
включение 4 G φ-1({1}). Докажите, что если η G N — наименьшее из
таких т,то φ = φη или φ = φ_„.
е) Используйте изоморфность групп R+ и R.
ж) Используйте изоморфность групп С* и R+ χ 51.
5.20. Утверждение а) и тот факт, что при вещественных а и Ь
функция χ н-> el(ax +bx^ есть характер второй степени, проверяются
прямым вычислением. Докажем, что каждый характер второй степени
имеет указанный вид. Так как функция χ н-> I, )fy(\ есть характер, то,
как установлено в задаче 5.19 а), найдётся такое число g(y) G R, что
ί(\/(\ — elg(y'x при всех χ G R. Ввиду равноправности χ и у
справедливо равенство e'sOO* = e'£(*):y (Хуу ^ R). Выведите отсюда, что
функция g линейна: g(y) = су. Поэтому
f(x +y)=f(x)f(y)eic*y (χ, у € R). (*)

300
IV. Ряды
• УКАЗАНИЯ
Полагая здесь χ = у = ^, получаем f(t) = elct ^f2(^)-
Следовательно, fit) = elct /2 lim f2" (4t)· Легко видеть, что
п—+оо νζ '
lim/2"(|) = (lim/2"(lr))2,
и это наводит на мысль, что предел lim /2" (^) может быть характе-
п—+оо vz '
ром. Проверим, что это в самом деле так. Положим h(x) = е~шх f(x),
где а = |. Тогда, учитывая равенство (*), мы имеем
h(x +y) = e-ia(x+y)2f(x + у) = e-ia(x+yff{x)f(y)e2iaxy = h(x)h(y).
Таким образом, функция h действительно характер и,
следовательно, представима в виде h(x) = elbx. Окончательно: f(x) = elax h(x) =
_ ei(ax2+bx)
5.21. а) См. задачу 5.2.
б) Рассмотрите In φ (χ).
в) Рассмотрите (р{ех).
г) Рассмотрите \пср(ех).
д) См. задачу 5.19 а).
е) Используйте изоморфность групп С* и М+ χ Sl. Докажите, что
если φ: Sl —> Rj_ — непрерывный гомоморфизм, то φ ξ 1.
Используйте пункт г) и результат задачи 5.19 ж).
Глава IV
Ряды
§ 1. Сходимость
1.1. Найдите число тех номеров η е [10^, 10/ν+1), у которых в
десятичной записи нет цифры 9, и оцените сверху сумму Σ τί1·
10Λ/^<10Λ/+1
1.2. а), б) Рассмотрите числители соседних слагаемых и докажите,
что они не могут быть одновременно близкими к нулю.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Сходимость
301
в) Достаточно убедиться, что расходится ряд
у- |sin(n-l)2| + |sinn2| + |sin(n+l)2|
Для этого покажем, что числитель ограничен снизу
положительным числом. Действительно, если это не так, то для сколь
угодно больших номеров η имеем п2 = як + ε, (η — Ι)2 = лк1 + ε',
(η + Ι)2 = Лк" + ε", где к, к\ к" е Ζ и |ε|, |ε'|, \ε"\ < \. Поэтому
2 = (η - Ι)2 - In2 + (η + Ι)2 = л(к' + *" - 2k) + ε'+ εη - 2ε ,
что невозможно.
г) Убедитесь в том, что среди чисел |tgw|, |tg(«±l)|, |tg(w±2)|
и I tg(n ±3)| по крайней мере одно попадает в интервал (tg ^-, 1).
д) Воспользуйтесь тем, что η-e слагаемое ряда не превосходит
maxJ^ = o(-V).
е) Оцените снизу сумму слагаемых с номерами, принадлежащими
промежутку [(2π&)2, (Ink + f )2], и воспользуйтесь расходимостью
гармонического ряда.
1.3. При а ^ 1 рассмотрите суммы
Σ С0"{Ьп!ПП\ где Nm = {η G Ν I 2лт ζ blnn ζ 2лт + f ) ,
и покажите, что они не стремятся к нулю при т —> ос.
1.4. а) Рассмотрите отдельно случаи /? ^ 1 и 0 < /? < 1.
б) Для изучения сумм
Σ (-i)mn-"
/Я2^И<(/Я+1)2
при i < /? ^ 1 воспользуйтесь результатом задачи VI.3.15.
в) Используйте соотношение arccosjc ~ у/2{\ - х) при χ —> 1 - 0.
1.5. а) Очевидно, что τ (и) < 2^/й.
б) Используйте результат задачи 1.2.15.
в) Воспользуйтесь равенством φ(ρη) = Рп — 1.
г) Докажем более общее утверждение: если ап > 0, α„|ΗΣ ;г =
= +0О, ТО У] -& 2 — +°°> r^e An — ИЯ/2 (An = 0). ПОЛОЖИМ
■*—' Δη—Αη—\
2Μ<„<2"'+1

302
IV. Ряды
• УКАЗАНИЯ
Так как среднее гармоническое не превосходит среднего
арифметического, то
£ ^ Σ (Αη- Αη_ι) = (Α2„,+ι - A2m) < A2„1+i ·
2m<n^2m+l
Следовательно,
V^ 1 > 22"1 __ 2m~]
Поэтому
ΣΙ __ y^ y^ 1 > "y 2m~l
m^O 2m<n^2"l+l m^O 2 +
Последний рад расходится по теореме Коши (см. задачу 2.2 а)).
1.6. Так как ряд , ч .
t+\nn In/2 ^n\ln«/
сходится равномерно на [а,Ь], то
ап = Σ ifcr-7b где Ik = (<p(t)tkdt.
к^Оln n Ja
Если среди чисел /^ имеются ненулевые, то ап ~ . ,, /^ , и поэтому
In o+ я υ
Ь
ряд Х^ а« расходится. Если же /^ ξ 0, то \ φ(ί)Ρ(ή dt = 0 для любого
алгебраического многочлена Р. Но тогда в силу теоремы Вейерштрас-
Ь
са (см. VII.3.8 б)) Г q>(t)f(t) dt = 0 для любой непрерывной функции /.
а
Ь
Взяв f = φ, получим Ι φ2(ί) dt = 0 и, следовательно, φ ξ 0.
1.7. а) Записав общий член ряда в виде
π 1
г у(0+у(-0 , _ г »(*) ^
"л J cosr+ΐηκ ш J ^ΪΊ^λγ+Ιπη'
0 -1
где ψ (χ) = </)(arccosx) +φ(-arccosx), и рассуждая так же, как при
решении предыдущей задачи, получаем, что сходимость рада Σ ап
1 2
влечёт равенство Г , х = 0. Поэтому ψ = 0, т. е. функция φ
J у Ι— χ2
нечётная. ~

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Сходимость
303
Обратное утверждение очевидно: если φ — нечётная функция,
то ап = 0.
б) Можно считать, что φ — 2л--периодическая функция (вообще
говоря, разрывная в точках (2к + 1)π, к е Ζ). Тогда после замены
переменной ίΗ*ί + | получим ряд, рассмотренный в п. а) (легко видеть,
что решение п. а) сохранится, если функция φ имеет на [—π, π]
конечное число разрывов первого рода, а в остальных точках непрерывна).
1.8. Докажем более общее утверждение. Пусть а — иррациональное
нелиувиллево число, т.е. существуют такие положительные числа δ
и σ, что \а - ^| > \ для любой дроби ™ (см. 1.3.13; из результата
задачи 1.3.1 следует, что всегда σ ^ 2). Тогда ряд
У ± !
^ па \ь\ъ{лап)\
сходится при а > σ — 1. В нашем случае а = у/2 и, как легко
показать (см. 1.3.11 а)), σ = 2. В силу теоремы Лиувилля (см. 1.3.12) при
а > σ — 1 этот ряд сходится для любого иррационального
алгебраического числа степени не выше σ. Применение вместо теоремы
Лиувилля теоремы Рота (см. указание к задаче 1.3.12) позволяет
установить сходимость ряда при а > 1 для любого иррационального
алгебраического числа а. Кроме того, из результата задачи VIII. 1.7 следует
его сходимость при а > 1 для почти всех а.
Разбив ряд на двоичные блоки 2к < η ^ 2*+15 мы видим, что его
сумма не превосходит
Тем самым наша задача сводится к оценке сверху суммы
Ν/2<η^Ν
которая представляет и самостоятельный интерес. Мы докажем
неравенство
^(а)<4^тш{|55,1п^}. (*)
Отсюда сразу следует сходимость ряда при а > σ — 1.
Пусть ап = min \а— ^|. Ясно, что ап < J- и | sin(mxn)\ = sinπηαη ^
^ 2пап. Следовательно,
Ν/2<η^Ν
Воспользуемся тем, что номера и, для которых ап имеет
порядок малости п~°', очень редки. Как установлено в задаче 1.3.13а),

304
IV. Ряды
• УКАЗАНИЯ
последовательность {rij} номеров, удовлетворяющих неравенству
&tij ^ Цг с некоторым С > О, растёт не медленнее геометрической
прогрессии: -^— ^ 1 + (^)σ_1- Положим
Так как αη^-^,τοΝ= (J JTV. Поэтому
п v>\
sN(a)^\Z Σ ±<Σ Σ ^^
. — — ηα„ ^ ^ ^ 2νδ
Ν/2<η^Ν Ν/2<η^Ν
^Σ
, ^ card(^n(^,/v])
Пусть jVv Π (f, Ν] = {ηχ,..., л/}. Так как Ц^- ^ 1 + 2 σ-ι, το
/ _ϋ±1\^-1 α;/ _ϋ±!\./-1
W^/i7$*/ilil + 2 *-4 >fil + 2 σ-ij
Поэтому 1 > (7 - 1) log2 (1+2 σ -1) ^ (7 - 1) · 2 * -1. Таким образом,
card Lvv Π (f, TV]) =J< 1+2^ϊ ^ 1+2-2^.
Следовательно,
-^(■♦-d-)**!^. (-)
Для завершения доказательства неравенства (*) заметим, что
пересечение jVv Π (у, j/V] пусто для достаточно больших v. Действительно,
так как
то 2V < ^-~— ^ Ν ~ . Поэтому в сумме по у (см. (**)) меньше, чем
log2 ^ о слагаемых. Это даёт
5„(a)<^(l+21og2^)<4
Νσ~] ΐη ЛГ"1
5 Ш 5 '

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Сходимость
305
1.9. Вместо двойных радов удобно рассматривать суммы вида
Σ ( Σ · · ·) · В примерах д) и ж) рассмотрите такую сумму, рас-
пространённую лишь на простые значения т, и воспользуйтесь
результатом задачи 1.5 6).
е) Воспользуйтесь неравенством
з) Примените равенство НОК(л, т)НОД(/г, т) = пт и приём,
использованный при решении задачи е).
1.10. Каждая дробь ^ (и — 0, 1,...) встречается в ряде 2п раз со
знаком «+» и 2п раз со знаком «—». Искомую перестановку получим,
умножив ряд на -1.
§ 2. Свойства числовых рядов, связанные с монотонностью
2.1. Если ~^- /> 1, то рад расходится. Пусть —^ ► 1. Так как
arccosx ~ \/2(1 —х) при jc —> 1 - 0, то данный рад сходится
одновременно с рядом Σ (l — ^-), а последний — одновременно с рядом
£ln-^- = lim lnfl. W+1
2.2. а) Используйте неравенства
2ma2m+] ^ Σ a'i^ 2Wfl2- ·
2m<n^2m+]
б), в) Воспользуйтесь утверждением а).
2.3. Нетрудно построить такие положительные, но не
монотонные последовательности {ап} и {βη}, что Σ ап — Σ βη — +°°
и 5Ζ min(an,jSn) < +оо. Требуемые монотонные рады получим, если
ак ак η At
рассмотрим ряды αχ + ... + — -f ... + — + ... и β\ -f ... + — + ... +
Рк / <*к At ч
+ — + ... (слагаемые вида — и — повторяются п^ раз) при
подходящем выборе последовательности {«#}.
2.4. Если рад Σ ηΡα" сходится, то
αΝ(%)Ρ+1< Σ ηΡα„=ο(1).
4 ' Ν/2φιζΝ

306
IV Ряды
• УКАЗАНИЯ
Если же сходится ряд ^ (ап — αη+χ)ηρ+ι, то
ΝΡ^αΝ = Л^1 Σ К ~ fl„+i) ^ Σ ηΡ^{αη - αη+ι) = o(l).
Для доказательства равносходимости рядов воспользуйтесь
преобразованием Абеля.
2.5. Если ряд Σ if СХ°ДИТСЯ> то (см· задачу 2.2 а)) сходится ряд
Σ Д2"> и поэтому (см. задачу 2.4 при ρ — 1) я 2* = °(\)> откуда еле-
Если сходится ряд Σ (αη — αη+ι)\ηη,το
αΝ\ηΝ = \ϊ\ΝΣ (ап ~ап+\) ^ Σ (αη-αη+ι)\ηη = ο(1).
Для доказательства равносходимости рядов воспользуйтесь
преобразованием Абеля.
2.6. Воспользуйтесь результатом задачи 2.5.
2.7. Используя результат задачи 2.4, покажите, что a% = o(n~pajn~ ).
Для немонотонной последовательности утверждение неверно:
контрпримером является последовательность ап = 1 при η = 2к, ап = 0 при
пф!к.
2.8. а) Пусть ат = У] χηαη (#0 — 0). За счёт изменения χ χ мож-
но считать, что aw —» 0. Пусть ε > 0 и |σ^| < ε при т> Μ (Me N).
Тогда, положив σ — max \am\9 получим
meN
ΣΙ Ι γ^ ση-ση_ι Ι Um , r^ /ι ι \L
<* + ««.* Σ (sir-i)+M-· Σ Gdtr-i) *« + *£ + '·
Так как aw —> 0, то
\\mam\ Σ Χη\<2ε.
Отсюда, ввиду произвольности ε > 0, следует требуемое утверждение.
Для немонотонной последовательности {ап} утверждение неверно;
соответствующий контрпример легко построить, взяв хп = \.
б) Выделим такую подпоследовательность номеров {щ}, что
"к ίζ 4, и положим хп = j-1— при η — щ и хп — 0 при η φ щ. Ясно,

И РЕШЕНИЯ · § 2. Свойства числовых рядов... 307
что Σ αη*η = Σ } — +°°· Пусть щ ^ т < η^+χ. Тогда
ат Σ хп<аПк Σ хп=аПк Σ ~άτ ^ Σ yG)*""7 ""* °·
l^n^m Hn^m Hj^k J l^j^k
Чтобы доказать утверждение б) для немонотонной
последовательности {ап}, следует выделить такую подпоследовательность {аРп}, что
аРп = max а/, и повторить для неё приведённое выше рассуждение.
2.9. Примените преобразование Абеля к ряду Σ акхк — Σ ak(rk ~
к^п к^п
—r*+i), где г к = Σ xj> и воспользуйтесь тем, что гк —> 0.
2.10. Пусть Nk такие номера, что хп ^ 2-/: при п^ Nk и
27V^ ^ Λ^+j. Положим а п = др—, если Ν^ ^η < Ν^+χ. Тогда
Σ^ J_ v^ _ 1 Nk+i-Nk χ
αη*η % 2k L·, an - 2k N < 2k »
Nk^n<Nk+l Z Nk^n<Nk+l Z k+i Z
и поэтому Σ αη*η < oo. В то же время
Σ"η = Σ Σ βη = Σ ί1 -jfe") >Σ 3 =°°·
*^1 Nk^n<Nk+] k>\X k+l/ k^\
2.11. a) <ф» б). Так как
Σ *пл-' = Σ ( Σ αηη-ρ),
л>1 *^1 Ч*<г<и^(*+1)4 '
то достаточно доказать, что ряды
Σ/ = Σ *"w ΓΑ(λ+1)* - 4w) и Σ/7 = Σ k-Q+РйА»
к>\ ч y *^ι
сходятся или расходятся одновременно. Применяя к ряду Σ/
преобразование Абеля, получаем, что это утверждение равносильно
соотношению Anq = o(npq). Из сходимости ряда Σ/ это соотношение вытекает
в силу результата задачи 2.8 а). Если же сходится ряд Σ//, то
Σ к-(1+Рч)Акч -> 0, и поэтому п-РЧАпч -» 0.
п^к^2п
Утверждение а) <=> в) доказывается аналогично.
2.12. Воспользуйтесь преобразованием Абеля. Ряд Σ "7Τ7 Расх°Дит~
ся, например, при хп = (-\)пу/п и 0 < ε ^ |. Ряд Σ ^f расходится,
если χ,, = - *
1п(1+л)·

308
IV Ряды
• УКАЗАНИЯ
2.13. а) Так как Σ g = Σ 0 ~
если -4— -А 1. Если же -41 > 1,
^п ^п
димости рада
Sn
ТО ]
п^2
б) Воспользуйтесь неравенством
в) Воспользуйтесь неравенством
λ) (So ■■
= 0),
то рад расходится,
расходимость следует
5ι_ _ _
Sn
Sn-
esn
Sn
■oo.
1
из расхо-
2.14. а)—в) Решение аналогично решению задачи 2.13.
г) Рассмотрите контрпример ап = 2~п\
2.15. а) Воспользуйтесь неравенством
Σ**ζ2Σ(4 Σ ή=2Σ(*Σ4)-
Внутреннюю сумму оцените с помощью неравенства Гёльдера.
б) Примените утверждение а) к остатку рада У^ aq]c
к>\
2.16. Рассмотрим сначала случай а > 0. Положим ап = ап - а. Яс-
Σαη_\—αη _^
. / —г.
ЕСЛИ а ф 1, то этот рад сходится, а если а — 1, он расходится, так как
расходится рад Σ ~^Ζαη—" (см· задачУ 2.14 а)). Пусть теперь ап [ 0.
Можно считать, что ап < 1 для всех η Ε N. Положим я о = 1. Из
расходимости рада Σ 1R ~т~ следует, что Σ (~ir ^) = +°°· Поэтому
(см. задачу 2.13а)) расходится рад
^-■Χ,Σ^-)")·
Используя неравенство между средним арифметическим и средним
геометрическим, получаем, что расходится рад
Если ап —* +оо, то рассматриваемый рад может как сходиться
(например, при ап = пп), так и расходиться (например, при ап = 2п).

И РЕШЕНИЯ · § 2. Свойства числовых рядов... 309
2.17. Заметим, что из сходимости каждого из рядов вытекает,
что -jj-T —> 0 при jc —> +оо (для доказательства оцените снизу
суммы Σ )· Ряд
п^т<2п
п ^i4it</-i(/2)a+i J
сходится одновременно с рядом
Используя преобразование Абеля и соотношение -~рг —> 0 при
χ —> +оо, получаем, что этот ряд сходится одновременно с рядом
Σ ι+[/(*)]> т-е* одновременно с рядом ]Г ущ.
2.18. Положим 5Я = «ι + ... + «л» ^о = 0. Если Σ f(n) < +°°> то
оо
Г f(t)dt < +оо. Следовательно,
Σ **/№«)< Σ J /(0Л= f f(t)dt<+oo.
Sn-i 0
+oo
Если же Σ/Μ =+°°> το ί f{t)dt = oo. Разбивая этот ин-
0
теграл на сумму интегралов по промежуткам [Sn-.\7Sn]9
получаем, что ряд Σ anf(Sn-\) расходится. Поэтому расходится
и ряд Σ anf(Sn) — Для доказательства достаточно заметить, что ряд
У^ an(f(Sn-\) — f(Sn)) сходится (это следует из ограниченности
последовательности {ап}).
2.19. а) => б). Если ащ > Σ αη Для некоторого номера п$, то
п>п0
а = Σ αη < β — Σ α«· Легко видеть, что суммы всех частичных
рядов не попадают в интервал (α, β).
б) => а). Зафиксировав число s G (0, А), постройте с помощью
индукции такую последовательность номеров ν = {п\, nj,...}, что
л^ = min{rc G N | л > Wfc_i, αΠι + · · · + α^_ι + ал ^ *} ·
Проверьте, что Α(ν) = s.

310
IV. Ряды
• УКАЗАНИЯ
2.20. Рассмотрите рад Σ та и используйте 1.1.30 а).
2.21. Возьмём щ наименьшим из возможных, т.е.
п\ = min{rc G Ν\αη < 1},
щ = min{rc G N | л > nk_\,an < |·} при & ^ 2.
Предположим, что ]ζ α^ < +οο. Тогда α^ = ο(£). Следовательно,
существует такой номер TV, что аПк < -rj-j- при к ^ N. Тогда в силу
определения последовательности {л^} имеем и^+ι = 1 +Щ для всех
к ^ N. Поэтому достаточно далёкие остатки радов Σ а" и Σ ащ
п^\ к^\
совпадают, что несовместимо с условием задачи.
Для немонотонных последовательностей утверждение неверно.
Следующий пример предложен А. А. Шульманом.
Рассмотрим последовательность {х^}, где хк = -γτ\—-, если
2п~1 ^ к < 2п. Ясно, что ль —> 0. Кроме того, рад Σ хк расходится:
Σ** = Σ(£ Σ ^) = Σ(^ Σ i)>
>Σ($ Σ 1п(1 + }))>Е^Ш2 = +сх,.
Рассмотрим теперь такую последовательность номеров {kj}, что
jc£ . < 4 при j G N. Для произвольного η G N положим
Pn = {jeN\2"-1 ^kj<2"}.
Пусть
/w = cardP,!, Μ = тахР„ и μ = 2n - км = mmjepn(2n - &;·).
Тогда
^ Σ Ц1 + }) = ^Ц1 + =).
л μ^]<μ+ηι J n
С другой стороны,
1 ^ -L ^ r = —1— = -i-
m > Μ > лкм п2(2»-км) η2μ

И РЕШЕНИЯ · § 2. Свойства числовых рядов... 311
Поэтому η > *j и, следовательно,
Σ **,· ^ln(l+n2).
./еРл
Таким образом,
Σ xkj = Σ ( Σ **,·) ^ Σ 4ΐη(ΐ +"2) < +οο.
2.22. а) Если ап ^ 0, то можно воспользоваться результатом
задачи 2.146). В общем случае возьмём такие две
последовательности ££ [ 0 и μΛ | +оо, что Σ £кИк < +°°· По
последовательности {£#} построим такую последовательность номеров Ν^ Τ +оо,
что Σ aj\< ек ПРИ η > т > Nfc. Положим Cj = μ^, если
Nfc < J ^ Nk+ι. Тогда при Ν^ < т ^ Nk+\ имеем:
Σ cjaj\<\ Σ с;ау| + | Σ
m<j^n
m<j^Nk+
, , + · · · ^
N*+l<K#ft+2
-, D (-1)"(2+(-1)") y^
б) Рассмотрите контрпример ап — и сп = 2+(-пя·
Если же с„ | +оо, то рад ]ζ спа« расходится, так как в противном
случае по признаку Абеля сходился бы ряд Σ α«·
2.23. а) Используя неравенство между средним арифметическим
и средним геометрическим, получаем
κι* хмП tn > М κι* ь* 1+'" ""
^ Μ-Ν fl+tM\M-N Μ-Ν (л . , чтг1^
1+ί„.
Поэтому Σ η "+1 ^ Ι для Достаточно больших Μ е N.
Ν^η<Μ
б) С помощью результата задачи 1.2.17 в) оцените снизу частичные
§ 3. Различные утверждения о рядах
(—\)п
3.1. Например, ап = ν п} . Если же α„ > 0, то

312
IV. Ряды
• УКАЗАНИЯ
3.2. а) Например, Σ 1η(ι+„) -
б) Например, аи = ^, аЪк-\ = азм = -щ {к = 2, 3,...).
3.3. Утверждение справедливо для функций, имеющих
ограниченную вариацию на [1, -hoc). Для доказательства достаточно заметить,
что абсолютная величина разности
/1+1 /2+1
<*n=f{n)- f f{x)dx= j {f{n)-f{x))dx
η η
не превосходит вариации функции / на промежутке [п,п + 1], и
следовательно, ряд Σ αη абсолютно сходится.
3.4. а) Зафиксировав параметр Q > 1, разобьём сумму У^ (αηΫ~^^η
на две: в первой суммирование распространено на те номера и, для
которых ап ^ Q~n, а во второй — на остальные. Легко видеть, что
первая сумма не превосходит Q Σ ап, а вторая — Σ Qln-
Заметим, что минимизируя величину Q/(Q — 1) + β Σ ап по
всем Q > 1, получаем оценку Σ (an)l~l^n ^ (1 + γ Σ α" ) ·
б) Оцените сверху сумму тех слагаемых, для которых ап ^ п~3.
3.5. Положим Ьп — r-jYj—r. Тогда 1пЬп~1па„, и следовательно,
я„ ~ bn In тк По условию Σ bn < +°о, откуда с помощью результата
задачи 3.4 б) получаем
Σ i^'ni- < +00, И ПОЭТОМУ Σ Шг < +<*>.
Обратное утверждение неверно — рассмотрите такую
последовательность {ап}, что ап = ^ при /г = 2к и Σ ι ^'\_ \ < оо.
Если же а„ | 0, то из сходимости ряда Σ t /?1 \ получаем, что
j^ = о(1), откуда следует, что щ^-у = О(^).
3.6. Из результата задачи 2.8 а) следует, что 1 "п—- —> 0. Остаётся
воспользоваться результатом задачи Н.2.15 6).
3.7. б) => а). Можно считать, что cin ^ 0. Допустив, что ^""] iz^ — -hoc,
построим такую последовательность {л^} плотности 0, что ряд Σ ащ
расходится. Поскольку по крайней мере один из рядов Σ а2т

И РЕШЕНИЯ · § 3. Различные утверждения о рядах 313
и Σ а2т+\ расходится, то существует такое множество Ν\ С N
плотности 4, что Σ ап — +°°· Поэтому
L·, cin ^ 1
иел^п!),/*!]
для достаточно большого Ρ ι £ N. Аналогично строятся такое
множество N2 С Ν\ плотности | и такой номер Ρ 2 > Ρ ι, что Σ ап ~ -foe
и X] Ял > 1. По индукции построим последовательность
ηβΝ2η(Ρι,Ρ2]
вложенных множеств {Nj} и строго возрастающую
последовательность номеров {Pj}, таких что плотность Nj равна 2~3
и X] ап > 1. Искомую последовательность {щ, И2,...} по-
fiGNyn(P7-_ifP7·]
лучим, занумеровав в порядке возрастания элементы множества
А= (J (Nj Π (Pj-\,'Pj})· Его плотность 0(A) равна нулю, так как
Θ (А) ^ 6(Nj) = 2~J для любого j £ N.
3.8. Для т, и Ε Ν положим Sn(m) - X «,„*, где суммирование
it
ведется лишь по номерам к ^ 1, взаимно простым с п. Используя
равенства
Sn+i(m) = Sn(m), если η + 1 — не простое число;
5n_j_i(m) = Sn(m) — Sn((n+ 1)га), если и + 1 — простое число,
покажите с помощью индукции по п, что Sn(m) =0 для всех п.
Выведите отсюда, что \ат\ ^ Χ |α*| для всех т, л е N.
Для рядов, сходящихся не абсолютно, доказанное утверждение
неверно. Один из возможных контрпримеров рассмотрен в
задаче ΙΧ.4.4.
3.9. Допустим, что Σ \ап\ = +оо. Пусть Σ \ап\ ^ к (к G N).
пк<п^пк+1
Положим г η = Slg"fl", если щ < η ^ w#+i- Тогда ^ —► О и, очевидно,
]Г tnan = +оо.
3.10. а) => б). Для доказательства сходимости ряда ]Р с„а„
воспользуйтесь преобразованием Абеля.
б) => а). Если последовательность {<:„} не ограничена, то
условие б), очевидно, не выполнено. Допустим, что {сп} ограничена,

314
IV Ряды
• УКАЗАНИЯ
но Σ \сп - cn+i\ = +00. Пусть Sn = Σ \ск - ск+х\. Тогда
Σ j"lci ~~ cn+ll = +°° (см· задачу 2.13 а)). Следовательно,
Σ ап{сп - сл+1) = +оо, где а„ = j- sign (с л - сл+1). Используя
преобразование Абеля, получаем, что Σ (ап ~ ап-\)сп = +°о, хотя ряд
]ζ (ап — ап-\) сходится.
3.11. Достаточно рассмотреть случай <р(+0) = 0. Для оценки
суммы Σ ψ(εη)αη разбейте её на две: Σ и Σ · Используя преоб-
разование Абеля, покажите, что вторая сумма мала для всех ε > О,
если N достаточно велико.
3.12. В последовательности {-у—} переставьте члены при
2^_1) <п^2к в порядке возрастания.
3.13. В последовательности {п\пп\п\пп }„>з переставьте члены при
(к — 1)! < η ίξ к\ в порядке возрастания.
3.14. а) <=> в). Неравенство Ап ^ Сап = С(Ап - Ап_\) равносильно
неравенству Ап_\ ζ (1 - ^)Ап. Аналогично доказывается, что б) <=ϊ г).
а) и в) => б):
*^л *^л * *^л ^
б) и г) => а):
К*<л UJk^n КЛ^л ^
Таким образом, первые четыре утверждения равносильны. Докажем
теперь, что а) => ж): так как
an+L ^ Дп+l ^ ^1 '
то -^- ^ 75 Для достаточно большого номера L.
an+L \l
Утверждение ж) => а) очевидно, если а„ \. Пример
последовательности 2, 3, 22, З2, 23, З3, ... показывает, что оно не верно для
немонотонных последовательностей.
Осталось доказать, что а) <=> д) и б) <=> е). Докажем первое
утверждение (второе доказывается аналогично). Достаточно доказать, что
а) => д) (обратное утверждение получим, если применим это утвер-

И РЕШЕНИЯ · § 3. Различные утверждения о рядах 315
ждение к последовательности {ап} = {αζ}). Так как а) => ж), то
а\ + . . . + арп= 0(αρη_ι+χ + . . . + арп) =
= 0((ап_м + .. . + ап)Р) = 0(АР) = 0(ар).
3.15. Решение аналогично решению задачи 3.14.
3.16. а) Положим ап = -^ апА%~ - А% и докажем, что
αη^^-χ{ηΑρη-{η-\)Αρη_χ). (1)
Так как ап = пАп — (п — 1)Ап_\ (считаем Aq = 0), то
αη = (β-χ-\)Αρη-ρ-^Αη^ΑΓλ. (2)
Найдя минимум функции φ(χ) = (1 - Ма£ + у - д£~ χ при χ ^ 0,
мы видим, что
л,_игЧ(1-£)4? + ^_,.
Поэтому из (2) вытекает (1). Таким образом,
Σ (-^αηΑξ-1-Αή= Σ <*η>
> Σ ^И^-(п-1)л^) = ^>о,
т. е. для всех N е N
Σ ^<^г Σ «иГ1.
б) Из неравенства а) с помощью неравенства Гёльдера (см.
задачу VII. 1.32) получаем
откуда следует неравенство Харди—Ландау.
Σ^(^)ΡΣ«£·
3.17. Для доказательства сходимости ряда ]Р ζ/α\ ... ап заметим,
Цах...ап ^ ^ J при ρ > 1
(см. задачу VII. 1.33). Из неравенства Харди-Ландау (см.
задачу 3.166)) вытекает, что

316
IV. Ряды
• УКАЗАНИЯ
Устремив ρ к бесконечности, получим неравенство Карлемана:
Σ Ца\ .. .ап ^ е Σ α" ·
Другое доказательство (см. [Бу2], с. 320) этого неравенства
основано на преобразовании Абеля и неравенстве Коши между средним
арифметическим и средним геометрическим:
«» = Σ ^Тй ^ Σ „+i > Ί Σ у/ах...ап.
3.18. Утверждения а) => б) и б) => в) очевидны. Докажем, что
в) => а). Допустим противное: существует такая последовательность
-fO, что |^| ^+оо. Не умаляя общности, можно считать, что
0 < ап < -L и Сп = ^^ > п2. Рассмотрим ряд, полученный из
ряда Σ ап повторением каждого слагаемого Рп раз, Рп = [-J— ]. Этот
ряд сходится:
Σ( Σ a.)=E«^<Ei·
Однако ряд, составленный из значений функции /,
расходится, так как РпСпап /> 0.
3.19. Докажем сначала, что в некоторой окрестности нуля
функция / нечётна. Допустим противное. Тогда существует такая
последовательность ап —> 0, что f(an)+f(—an) = Δη ^ 0. Возьмём такую
последовательность {Рп} С Ν, что ΡηΔη /> 0. Ряд, полученный из ряда
αΐ-αΐ+α2-α2 + ··· повторением л-й пары членов Р„ раз,
сходится. Однако ряд, составленный из значений функции /, расходится, так
как ΡηΔη -f* 0.
Ясно, что функция / непрерывна в нуле (см. задачу 3.18). Докажем,
что / непрерывна в некоторой окрестности нуля. Допустим противное:
существует такая последовательность точек разрыва {ап}, что ап —> 0.
Для любого л е N найдётся такое число εη > 0, что
sup | f(an) - /(ί)| > εη для любого δ > 0.
\ί-α„\<δ
Возьмём такие последовательности {Рп} с N и {/„} с М, что
Ρηεη ~h 0, \f(an) ~ f(tn)\ > εη, и Σ ρη\<*η -tn\< +οο. Ряд,
полученный из ряда а\ —t\ -f- ^2 _ *2 + · · · повторением Рп раз пары ап —tn
сходится, а ряд из соответствующих значений функции / расходится,

И РЕШЕНИЯ · § 3. Различные утверждения о радах 317
так как
Σ( Σ (f(an) + f{-tn)))=EPn(f{an)-f{tn))
nPn\f(an)-f{tn)\^Pnen^O.
Итак, функция / непрерывна и нечётна в некоторой окрестности
нуля. Докажем теперь, что f(x + h)+f(x — h) = 2f(x) в некоторой
окрестности нуля. Если это не так, то найдутся последовательности
хп -> 0 и hn -> 0, для которых f(xn + hn)+f(xn-hn)-2f(xn)=An^0.
Возьмём такую последовательность номеров Рп ] +оо, что Рп&п ~h О·
Тогда ряд, полученный из ряда
(*1 +h\) + (x\ -h\)-x\ - х\ + ... +
+ (*2 + hl) + (х2 ~ h2) ~ х2 - х2 + · · · +
+ (дсл + К) + (хп - hn) - хп - хп + . ·.
повторением Рп раз группы слагаемых (хп + hn) + (хп — hn) — хп — хп,
очевидно, сходится. Однако ряд, составленный из значений функции /,
расходится, так как
Pn(f(xn + К) + f(xn ~ hn) - 2f(xn)) = РпАп -h 0.
Итак, на некотором промежутке [—£, δ] функция / нечётна,
непрерывна и удовлетворяет равенству f(a) + f(b) = 2/(^-) при |а|,
|Ь| ^5. По теореме Шварца (задача Ш.3.7 б), см. также замечание
к решению задачи Ш.5.2) она линейна на [—δ, δ].
3.20. Очевидно, что если {qn} — требуемая последовательность,
то числа гт=х — Σ Як2~к iro = х) удовлетворяют неравенству
0 < гт < 2~т. Поэтому, подбирая число qm+\ (после того как числа
q\,...,qm уже найдены), необходимо добиваться выполнения
неравенства 0 < гт — 2~m~^qm+\ < 2~w~1, т.е. неравенства
2m+xrm-\<qm+x <2™+lrm. (*)
Ясно, что выполнение этого неравенства для всех т G N достаточно
для соотношения гт —> 0, т.е. для равенства χ = Σ с1к2~к·
Нетрудно проверить, что если неравенство (*) выполнено для некоторого
номера, то оно будет выполнено и для предыдущего номера, а
следовательно, и для всех предыдущих номеров.
Последовательность {qn} будем строить по индукции. При этом
можно считать, что множество Q уже как-то занумеровано.
Поэтому можно говорить о первом элементе в любом его непустом
подмножестве.

318
IV. Ряды
• УКАЗАНИЯ
В качестве q\ возьмём первый элемент из Q,
удовлетворяющий неравенству (*) при т = О, т.е. 2х — 1 < q\ < 2х. Из
условий inf Q = О и sup Q = 1 следует, что такие элементы
существуют. Допустим, что числа q\,...,qn уже построены и
неравенство (*) выполнено при т = О, ..., η — 1. Пусть q — первый элемент
в множестве Q \ {q\, ..., qn]. Если q G (2"+1r„ - 1, 2"+1r„), то
положим qn+\ = q. Неравенство (*) будет выполнено при т = п. Если
q 0 (2"+1г„ - 1, 2я+1г„), то рассмотрим два случая:
а)0 2"+Ч; 6)q^2n+lrn-l.
В случае а) положим ν = [log2(7")]. Тогда rn2v ^ q < r„2v+1.
В частности, ν > и. Подберём числа qn+\9 ..., <?ν из Q \ {q\, ..., qn}
столь малыми, что
rv=rn- {qn+X2-n-X + . . . + qv2~v) > 2'v'xq.
Взяв qv+\ = q, получим
rv > 2-v~xqv+x и 2»+lrv - 1 < 2v+1r„ - 1 < qv+l ,
т.е. число gv+i удовлетворяет неравенству (*) при т = ν, значит, (*)
выполнено при т = 0, ..., v.
В случае б) рассмотрим первый номер ν > л, для которого
гп — (2~п~1 + ... + 2~ν) < (q + l)2~v_1. Такой номер существует,
так как при ν —> +оо левая часть стремится к
rn-2-n = rn_l-(qn + l)2-n<0
(см. неравенство (*) при т = п— 1). Подберём теперь числа
4/1+1» · · ·» 4v из Q \ {<?!,..., qn} столь близкими к единице, что
rv=rn- (qn+l2-"-1 +...+ qv2-v) < *£ ·
Взяв qv+\ = q, получим 2v+lrv — 1 < qv+\. По выбору числа ν, имеем
(1 + qv+i)2~v ζκ„- (2-"-' + ... + 2-ν+ι) < rv_, ,
т.е.
qv+x <-l+2Vv_1 = -l+qv+2vrv <2vrv < 2v+lrv .
Таким образом, неравенство (*) выполнено при т = ν, а
следовательно, и при т = 0, ..., v.
§ 4. Вычисление сумм рядов
4.1. Воспользуйтесь равенством 3 sin φ — sin 3φ = 4 sin3 φ.
4.2. Воспользуйтесь равенством 3 cos φ + cos 3φ = 4 cos3 φ.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 4. Вычисление сумм рядов
319
4.3. Воспользуйтесь равенством arctg -γ^—- = arctg j- - arctg т-к-.
4.4. Воспользуйтесь равенством arctg -~ = arctg ^гу - arctg ^Vy -
4.5. Воспользуйтесь равенством
π/2
4.6. Воспользуйтесь равенством Г cos2" rl tdt = ту-χτνπ ·
О
4.7. а), б) Эти ряды удобно изучать одновременно, так как они
равны вещественной и мнимой частям ряда f(z) = Σ ~-, где
ζ = cosjc -f i sin*. В силу теоремы Абеля (см. задачу 5.8) можно
считать, что г < 1. В этом случае производная f'(z) вычисляется
почленным дифференцированием ряда.
4.8. Воспользуйтесь результатом задачи VII. 1.21 в).
4.9. Измените порядок суммирования.
4.10. Покажите, что
Σ (-1Г^ = ш2 £ h- Σ >п
\^n^2N l^n^N Ν<η^2Ν
и замените суммы на соответствующие асимптотические выражения
(см. задачи П.2.8 и П.2.12а)).
4.11. Покажите, что
Σ Ц? N2 л] = - Σ °k + {N- 1)σ/ν.
где ah = Σ / » и» преобразовав σ^ к виду σ^ - — Σ ^>
воспользуйтесь асимптотикой частичных сумм гармонического ряда.
4.12. Проверьте, что N-я частичная сумма ряда равна
1п(2Л0! - 21η Μ - 2ЛПп2 + H2N ~^HN,
где Ην — N-я частичная сумма гармонического ряда. Воспользуйтесь
асимптотикой этих сумм и формулой Стерлинга.

320
IV Ряды
• УКАЗАНИЯ
4.13. Решение аналогично решению задачи 4.12.
4.14. Проверьте, что N-я частичная сумма рада равна Ν— (Ν + ^) χ
χ In (TV + 1) + In TV!, и воспользуйтесь формулой Стирлинга.
4.15. Вычислите первообразную функции S(x) = Σ ^ *8 ψ-
4.16. Сведите интегрирование в каждом интеграле к промежутку
[2ет, +оо). Чтобы обосновать перемену порядка суммирования и ин-
+ СО
тегрирования, представьте интеграл | ^М- dx в виде
2πΝ
j sJMxdx + 0(±j)t где NGN.
2π
Воспользуйтесь результатом задачи 4.7 и формулой Стирлинга.
4.17. Решение аналогично решению задачи 4.16.
4.18. См. [Mat]. Обозначим правую часть равенства /#. Достаточно
доказать, что /#_ι - /# = -7 и /# —> 0. Первое утверждение
получается двукратным интегрированием по частям, если учесть равенство
(см. задачу П.1.3 а))
0
Для доказательства второго утверждения воспользуемся неравенством
χ ^ ^ sin* при χ е (0, ^):
π/2 π/2
In = Ш S χ2™*2Ν xdx ^ Τν^Γ / ып2 χ cos2N χ dx =
о о
_ я2 У^2^-^2Л/+2 _ я2 Λ _ 2/У+Л _ я2
~ 2 W2A, - 2 V 2/V+2y ~ 4(ΛΜ-1)·
4.19. Воспользуйтесь результатами задач 1.2.11 б) и 4.18.
4.20. Представив дробь γ— в виде суммы геометрической
прогрессии, докажите тождество
Σ ап тцгг = Σ bntn, где Ьп = Σ ак
к\п
(символ к | η означает, что η делится на к).
4.21. Рассмотрите частичные суммы Snm.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 5. Функциональные ряды
321
§ 5. Функциональные ряды
5.2. Если \λη\ ^ 1, то, взяв χ = т + Θ, т G Z, 0 G [0, 1), получим
Σ ν-Μ < Σ е-"*-"1 < Σ *"-" + Σ «β-η < Й- ·
1 η^Ο ή^\
5.3. Так как общий член ряда Un(x) равен
хп _ 1 1
(1+*)...(1+*") (1+л-)...()+^-1) (1+*)...(1+*я) '
то частичные суммы ряда Sn(x) равны 1 - [~[ (1 + хк)~К Очевидно,
что Sn(x) —> 1, если χ ^ 1. Если 0 ^ лс < 1, то Sn(x) —> S(x) =
л—>оо п-+оо
= 1 — Π 7~^~Τ· Таким образом, supS(jc) = 1.
Для доказательства равномерной сходимости ряда на полуоси [0, оо)
будем оценивать его общий член Un(x) следующим образом. Положим
с = 2-1//^\ При χ ^ с и η > 1 имеем (полагая т = [у/п])
U (х) < ι ίί. < ι _ (Лт < з . (Л^~п
При 0 ^ χ *ζ с очевидно, что Un(x) ^ хп ^ 2~^ ^ (§)А Итак,
£/„(*) ^ \ · (|)^ при всех O0h«gN.
5.4. Сходимость ряда при χ > О очевидна. Она не равномерная,
так как общий член ряда ип(х) не стремится равномерно к нулю:
Ил(-^) = 1. Для оценки суммы ряда разобьём её на две части: Σ
и Σ , где N G N таково, что TV! ^ | < (TV 4- 1)! (если χ > 1, то первая
h>/V
сумма равна нулю, а вторая не превосходит Σ "ΐ — е ~ О· Тогда
Ε ия(*)=* Σ л!<2*М<2;
V и (χ) - λ- Τ 1 < ! V 1 < *±2 < 3
Следовательно, Σ πιίη{η!χ, —^χ} ^ ~·
5.5. Докажем, что при ρ < 1 ряд не может равномерно сходиться на
[0, 11. Положим хп=п~^. Заметим, что хп Τ 1 и min< прхп, —— > = ~^—
l J * л ι ^ ^,, j ηΡχη

при х > хп. Рассмотрим сумму
Sn(x)= Σ iminW>5L}f
где θ — некоторое число из интервала (0, 1), выбор которого мы
уточним позже. Тогда при χ = х^ получаем
Число θ надо выбрать столь близким к единице, что показатель
степени у N стал бы положительным. Очевидно, при ρ < 1 это
возможно. При таком θ полученное неравенство показывает, что частичные
суммы рассматриваемого ряда не могут быть равномерно ограничены
на (0, 1), из чего вытекает и невозможность равномерной сходимости.
Перейдём теперь к случаю ρ ^ 1. Так как члены ряда убывают с
ростом /?, то достаточно доказать равномерную сходимость при ρ = 1.
На [1, +оо) и на любом промежутке [0, q] при q < 1 равномерная
сходимость очевидна. Таким образом, нам достаточно доказать
равномерную сходимость ряда
E|min{«x«,^} (1)
на промежутке Δ = [0,99, 1).
Считая, что хбА, рассмотрим слагаемые ряда (1). Первые из них,
будучи равными -~9 сначала убывают, а затем возрастают.
Остальные слагаемые равны хп. Чтобы дать более формальное описание
поведения членов ряда, введём функцию у н-* φχ(γ) = у2ху при у > 1.
Очевидно, <рх(у) —> 0 при у —► +оо. Каждому числу χ е Δ
сопоставим два параметра: s = s(x) и t = t(x). Число s — это то значение у,
где функция φχ достигает максимума и меняет характер
монотонности. Число г — это то значение у > 1, после которого первое из
чисел уху, -Ц- будет меньше второго. Легко подсчитать, что
е-1/*=,Д и Гг"=х. (2)
Так как χ е Δ, то t > s > 100.
Покажем теперь, что остаток ряда (1)
η>Ν
допускает равномерную оценку. Очевидно, что η-Ρι член ряда не
превосходит ^, и поэтому все слагаемые в остатке меньше ^.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 5. Функциональные ряды
323
В порядке усложнения оценки рассмотрим три случая:
Lt^N; ll.s^N<t; III. N < s.
Ι. Используя (2) и неравенство 1 - е~и ^ | при 0 < и < 1, мы
м*) = Σ *"<£ = £fe<i»'-"''.
имеем:
S/v(*) =
Если TV ^ ί , то правая часть не превосходит ρ- ^ у- и,
следовательно, Sn(x) < jj^. Если же TV > г2, то она меньше 1001-4^, так как
г > 100. Таким образом, в рассматриваемом случае S^(x) < Д^.
II. Так как функция —р- возрастает при у > s, а все слагаемые
в остатке меньше тт, то
Sn(x)< E^ + ^+^W^/^ + ^ + ^I^
Сделав в стоящем справа интеграле замену ζ =х~у, мы (учитывая,
что х~* = t и x~s = е2) получим
S е2
Асимптотика последнего интеграла находится без труда, но нам
достаточно совсем грубой оценки:
ίρη= f ГТ-+ 'СгТ-<^+П^<5ПГ·
J lnzz J In2 ζ J In2 ζ ln2Vi lrrr
e2 e2 v^
Так как | In jc | = -у-, то вместе с (4) это даёт нам:
J yV In/ ^ In Ν"
Из (3) и последнего неравенства следует, что S^(x) < ^.
III. Используя предыдущий результат и равенство х_Л = е2, мы
имеем

324
IV Ряды
• УКАЗАНИЯ
Таким образом, для достаточно больших N во всех случаях
справедлива равномерная оценка:
snW^^ пРи хеА-
5.6. а) При χ е (0, 1] имеем
(1 +хпа»)п > (1 +хп)п > ^^-х2п ^ ^х2п.
Поэтому
Равномерная сходимость ряда Σ min{jc", -7—} установлена в реше-
L nzxn J
нии предьщущей задачи.
б) Не умаляя общности, можно считать, что ап^ а > 1. Считая N
достаточно большим, рассмотрим сумму
Sn(X) = L·, (\+хпап)п ^ L·, \ \+xaN ) ^ "~2~"^Ч 1 +χαΝ ) '
В точке xN = Ν~ι/(αΝϊ G (0, 1) имеем
Таким образом, S^(x^) ^ const > 0, что несовместимо с равномерной
сходимостью ряда на [0, 1].
5.7. Докажите, что lim B{t) = +00 и что при t —► 1 — 0
верхние (нижние) пределы отношений -^р- и Σ дГ\ одинаковы для
* ' n>N * '
всех TV e N.
5.8. За счёт изменения я о можно считать, что
Sn = αο + ··· +αη -+0.
Тогда из равенства Σ antn — (1 _ О Σ Sntn получаем, что
Σ antn\ < (1 - О Σ \Sn\tn + (1 - О Σ \Sn\tn <
и^О ' Οζη^Ν η>Ν
^(1-0 Σ |5л|+тах|5л|.
Подобрав большой номер TV, сделаем малым второе слагаемое, а затем
за счёт выбора t близким к единице сделаем малым первое слагаемое.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 5. Функциональные ряды
325
Другое решение можно получить с помощью равенства
Σ antn = (ι -οΣ ν = Σ sntn /Σ*η
и результата предыдущей задачи.
5.9. Из соотношения ап = Sn — Sn_\ = 0{ή) вытекает сходимость
рада Σ antn- Так как
Σ antn = (1 - t) Σ Snt" = (1 - ή2 Σ (So + · · · + Sn)tn =
n^O n^O n^O
= Σ(3ο + -·-+3η)ίη /Σ(η + ΐ)Ρ,
то, используя результат задачи 5.7, получаем требуемое.
5.10. Воспользуйтесь равенством
Ш = Σ (*о + · · · + an)t" Ι Σ (*о + · · · + Ьп) t"
и результатом задачи 5.7.
5.11. Сходимость произведения ]~| (1 + antn) равносильна
сходимости рада Σ 'n0 +cintn). Так как |ln(l + antn)\ = o(tn), то этот рад
(а вместе с ним и произведение) сходится для всех t Ε (—1, 1).
Соотношение A(t) —► А при г —► 1 - 0 равносильно соотношению
Ein^gf-^o при ί-^ι-ο.
С помощью формулы Тейлора оно сводится к равенству
tJirn_oE (an[f - 1) +0(*2)(ι -f)) =0,
которое следует из теоремы Абеля (см. задачу 5.8).
Пример ап = (—1)лу§ + \ показывает, что от условия Σ α\ < °°
нельзя отказаться. Действительно, в этом случае
ь^ = (-1)">/|(»--1) + ^-'2-) + о(^)
и, следовательно,
^ = ехр(Е^+о(1))-2 при Г— 1 -0.

326
IV Ряды
• УКАЗАНИЯ
5.12. Пусть произведение P(t) сходится при t = а и t = β, α, β φ 0.
Ясно, что α η —► 0. Поэтому можно считать, что аап, βαη > — 1 при
всех η Ε N. Тогда сходимость произведений Ρ (а) и Р(/3) влечет
сходимость рядов А = Σ 1η(1 + а^п) и В = Σ 1η(1 + βαη) и,
следовательно, ряда βΑ-αΒ, общий член которого эквивалентен Щ-ifi - а)а\.
Поэтому ряд Σ а\ сходится.
5.13. а), б) Воспользуйтесь признаком Абеля.
в) См. [ПС]. Каждой функции S(t) = с0 + c\tVl + c2tVl + ... с
положительным радиусом сходимости R сопоставим новую функцию
sW(t) = tl-v*S'(t) = vici + v2c2tVl-^ + v3c3tvi~vi + ...
Ясно, что её радиус сходимости также равен R. Положим ещё
и 5^1 = (5^-1])1 J при к = 2, 3,... Пусть Л^ — число корней
функции sM на (0, R), a Zk — число перемен знака последовательности
сь ск+\> ск+2> · · · (мы будем считать, что {с^}^^о не содержит
нулей и лишь конечное число раз меняет знак). Требуется доказать, что
jVq ^ Zq. Проверим, что jVk ^ Zk для всех А: = 0, 1,2,... Для
достаточно больших к это очевидно: Zk = 0 (так как последовательность
{ск} лишь конечное число раз меняет знак), а тогда и функция sM
сохраняет знак на (0, Я), т.е. jVk = 0. Теперь достаточно проверить, что
числа Zk — Jfk не возрастают. Так как между двумя корнями функции
обязательно найдётся корень
s[k+l]f то ^ < 1 + ^+1. Но если
ск и c£+i имеют одинаковые знаки, то Jfk ^ -Л^+ь так как в этом
случае между нулём и первым корнем sM имеется ещё один корень 5^+11
Таким образом, либо Zk = Zk+\ и Λ^ ^ Λ^+ь либо 2^ = 1 + Zk+\
и Λ^ ^ 1 + ^Ук+\. β обоих случаях Zk — jVk ^ Zk+\ — ^k+\.
5.14. Если / G Lip1? то f(jfi) = <2(^)> и поэтому
Σ a„mn% = 0(i).
Отсюда следует, что а\ + 2а2 + ... + Να^ = 0(1).
5.15. а), б) При а ^ ^ и χ ф0 рассмотрите группы слагаемых, в
которых пп{лхл/п) не меньше |. Оцените их сумму снизу. Для
доказательства сходимости при а > | воспользуйтесь результатом
задачи 3.3.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 5. Функциональные ряды
327
в) Покажите, что вместо данного рада можно рассматривать
знакочередующийся ряд Σ Sm(x)9 где
Sm(x) — Σ η~α sin (яд: у/Л) —
= {j)"2a Σ sm(nxSn) + 0(m-2a).
т^Ху/п<т-\-1
Для исследования суммы Σ ьтЫхл/п) воспользуйтесь ре-
зультатом задачи VI.3.15.
5.16. Покажем сначала, что, не умаляя общности, рад Σ αη можно
считать абсолютно сходящимся, а предел L равным нулю.
Действительно, сумма ряда S{x) = Σ я л cos | бесконечно дифференцируема
на К. и её производные можно вычислять почленным
дифференцированием. Так как Sf'(x) ограничена на R и S(x) —* L при χ —► +оо, то
Sf(x) —> 0 при χ --> Н-оо. Учитывая, что производная S"'(jc) также
ограничена на R, получаем 57/(jc) —> 0 при л —> +оо. Таким образом, сумма
абсолютно сходящегося рада S"(x) = - Σ ~f cos и стремится к нулю
при χ —> +оо.
Итак, будем считать, что Σ \ап\ < +°° и $(х) ~* О при χ —> +оо.
Зафиксируем произвольный номер /я и исследуем величину
г
ΐγ = ~ Ι S(jc) cos ~ ^л: при Г —► н-оо. Ясно, что
О
г
|/Н< f J|5(jc)|rfjc ->0,
О
так как S(x) —-» 0. В то же время
Г
1Т = Σ αη γ J cos J cos £ dx .
о
Рад, стоящий в правой части этого равенства, сходится равномерно
относительно Г. Поэтому возможен почленный переход в пределу при
Τ —> -foo:
7'
0 — lim /7 - Σ αη Ηπι А Г cos £ cos £ d* .
Г—+оо Г-Н-оо ' J и т
0

328
IV. Ряды
• УКАЗАНИЯ
Осталось заметить, что
при \а\ φ Щ,
1/2 при \а\ = |0|,
7 ίο
ψ I cos αχ cos/fo djc —> <
7 J Γ-+οο\ΐ/
и, следовательно, 0 = ^ψ для всех /и е Ν.
5.17. Если ряд вида Σ η s*n m~-> где ί^"} — возрастающая
последовательность положительных чисел, равномерно сходится на [0, оо),
то его N-й остаток в точке χ = т^ бесконечно мал, и поэтому
Σ щ~ ~* О ПРИ N —> оо. Ограничившись суммой первых 7V слагаемых
этой суммы, получим ^—> 0. Осталось заметить, что
последовательности тп = η и тп = и2000 не удовлетворяют этому условию.
5.18. Как и в предыдущей задаче, рассмотрим чуть более общую
ситуацию. Предположим равномерную ограниченность частичных сумм
ряда Σ crtSin^p, где последовательность {тп} положительных
чисел такова, что -^- ^ Q для всех «GN. Докажем, что если Q > 3, то
при любом N G N за счёт выбора χ можно сделать N-ю частичную
сумму не меньше чем 0q Σ ck (коэффициент 0q зависит лишь
от Q). Для этого зафиксируем малое число а Е (0, 4) и построим
такие промежутки ΑΝ э ΔΝ_χ D ... D Δ1? что sin ^p- ^ sin2jm для
всех xgA^. Построение будем проводить последовательно, переходя
от большего промежутка к меньшему. Достаточно выяснить, содержит
ли промежуток вида Δ^ = [/и*(Ν* + α), mic(Nfc + | — а)] промежуток
Δ*_! =K_i(^-i+a),w*-i(^_i + i-a)] (Nk,Nk_x G N). Легко
видеть, что номер Nk_\ заведомо найдётся, если -^— ^ γζ^· ^ы"
брав параметр а = a(Q) достаточно близким к нулю, будем иметь
"Г^~ ^ Q > γζ4^ Для всех к = Ν,Ν — \,... ,2. Таким образом, в
каждой точке χ G Δι выполняются неравенства sin ^ ^ 0ρ = sin 2πα(β)
при & = 1, 2,..., N. Так как частичные суммы S^(x) ограничены
равномерно и по χ ^ 0, и по 7V, то для всех TV e N справедливо
неравенство
С1+с2 + ...+сл< gL sup|5/v(x)K ^ <+оо.

И РЕШЕНИЯ·
§ 5. Функциональные ряды
329
5.19. Для χ > 4 положим N = [log4x]. Тогда
I/WK Σ 1+Σ ^г<1+1пЛ^+-^=0(1п1пл).
С другой стороны, взяв jc+ == 2л(4т + 4Ш_1 + ... + 4 + 1) (/я € Ν),
получим
/(4)= Σ i 8ю2я(|+ £ + ... + £)+0(1) >
>^Г Σ £ + 0(1)>^1η1ηχ+ + 0(1).
Аналогично, взяв jc^ = 2я(4т — 4W_1 — ... — 4 — 1), получим
/(*-)<-^Inlnx~+0(1).
5.20. Для построения такого ряда воспользуемся неравенством
(см. задачу 6.15а)):
sinx + ^ + ... + ^
^ Со для всех хеШ и 7V е N.
Положим N = 2п и запишем эту тригонометрическую сумму в
обратном порядке:
ВД= Σ 2^sin(2"-*)x.
(К*<2"
По признаку Вейерштрасса ряд Σ "^"^(ο") равномерно
сходится на R для любой положительной последовательности {<?«}.
Легко видеть, что, «раскрыв скобки» в этом ряде, мы вновь
получим ряд, равномерно сходящийся на R. Это будет ряд вида
Σ cj sin ^, где Cj = -^—, mj = ^ при j = 2» +*, 0 < λ < 2".
Взяв такую последовательность {<?«}, что д^ > 2nqn_\ при η > 1,
мы получим строго возрастающую последовательность {/и/}.
Чтобы она оказалась целочисленной, достаточно выбирать каждый
раз qn целым, делящимся на (2п)\. Осталось заметить, что
; п
5.21. Левое неравенство очевидно, так как
ь ν ь
Г Σ gn(x) dx ^ ГF(x) dx при любом N G N .
•^ л=1 ^

330
IV. Ряды
• УКАЗАНИЯ
Для доказательства правого неравенства положим
Stf =mm{F,/1+...+/tf}.
Ясно, что S# | F. По теореме Дини сходимость равномерна на каждом
сегменте [р, q] С (а, Ь). Поэтому
я я я N
(F(x)dx= lim (sN(x)dx^ lim Γ Σ fn(x) dx =
J Ν—>-ooJ N^ooJ „_i
Ρ Ρ Ρ П~1
я ь
= Σ ffn{x)dx^Y, ffn{x)dx.
P a
Ввиду произвольности /?, q € (a,b) это влечёт требуемое.
§ 6. Тригонометрические ряды
6.1. а) Постройте последовательность номеров {щ} и
последовательность вложенных промежутков, на которых
cos(Aflkx + (рПк) ^\-\.
б) Используйте равенство С-\-С ~ [0, 2] (см. задачу 1.1.306)) и
результат пункта а).
6.2. Представьте сумму ап cosшг f Ъп ътпх в виде рп cos(nx f φη)
и, допустив, что рп /> 0, воспользуйтесь результатом предыдущей
задачи.
6.3. Обобщите результат задачи ИЛ.13 а), взяв Вп = п\ и Ε =
= {2πΣ § |^=0или 1}.
6.4. Проинтегрируйте частичные суммы ряда по промежутку [α, β]
и покажите, что при некотором θ > 0
β
Г \ап cos пх + bn sin nx | dx > 0 у"и^~~^1 -
α
6.5. а) Если χ = Σ 2~к , то 2" χ = (^77 + · · ·) moc* 1· Поэтому
I sin(2w яде)I < π2~2η. Иррациональность х следует из результата
задачи 1.3.1 в).
б) Рассмотрим столь быстро возрастающую последовательность
номеров {Ν/ι}, что 27Vfc < Λ/fc+i и \ап\ < 2~к при η ^ Ν^, и положим

И РЕШЕНИЯ · § 6. Тригонометрические ряды 331
χ = Σ 2 Nk. Тогда | sin2":7TJc| ^ }π_η при Nk_i ^ η < Nk. Поэтому
Σ \апьт2плх\ = Σ Σ \апып2плх\ <
^ Σ Ί~Μ Σ 2π2-·/' < οο.
Как и в п. а), иррациональность χ следует из результата задачи 1.3.1 в).
6.6. а) Пусть χ = т sin 1, т е N. При η = 2р имеем
Ыях = (2р)!я«Е^ = (=^ + 0Ц)) пкх!2я.
Поэтому ряд Σ δίη((2ρ)!πχ) сходится (не абсолютно).
Аналогично, при η = 2р + 1 имеем
η\πχ = (2ρ+1)\πηιΣ ЩЩ{=0(-р) mod π ■
Поэтому ряд Σ sin((2p + 1)!лх) абсолютно сходится. Таким образом,
при χ = /w sin 1 ряд Σ δίη(η!πχ) сходится (не абсолютно).
Случаи χ —тcos 1, χ — ^f- исследуются аналогично. При χ —те
имеем
η\πχ — (тлп + тл + ^- + of-^j) m°d 2ет.
Поэтому при /я нечётном ьт(п\лх) = (-1)"+1^т + 0[-^)9 откуда
видно, что в этом случае изучаемый ряд сходится, а при /я четном
sin (л! яде) = Inpr + 0(4г) и, следовательно, ряд расходится.
б) Если χ = shl, то sin((2p+ 1)\πχ) = o(-^j, а ьт((2р)\лх) ~
г. Поэтому ряд Σ δίη(π!πχ) расходится. Если χ = j sh 1, то
при
2р+1
π = 2р + 1
п\лх = (^ + о(\Х\ mod π,
и поэтому sin((2p + \)\πχ) -f+ 0.
В то же время ряд ]ζ ъ\ъ((2р)\лх) сходится, так как
an((2p)l*x) = (-iyJfc + o(ji).
в) Докажите, что в точках χ — Σ ттн» где ек = ® или 1> Рад а^со"
(А: ).
лютно сходится. Для этого проверьте, что вклад слагаемых с
номерами л, лежащими между т2 и (т + I)2, не превосходит ^^ψ:.

332
IV. Ряды
• УКАЗАНИЯ
6.7. Исследуя первый рад, сравните суммы
]Г -L ехр(я1"л(дс - ln[v^]))
и
Μ·*) = \ Σ ехр(я//1(дс - In*)).
*2^/г<*2+*
Покажите, что sk.{x) -f* О, если последовательность {&у} такова, что
lnfcy < χ + 2у < ln(l + kj) для всех 7 G N.
Для доказательства расходимости второго рада зафиксируем малый
параметр Θ > О (его выбор уточним позже) и покажем, что отрезки
ряда Sk = Σ ... не стремятся к нулю при к —► +оо. Легко ви-
£2;^А:2+0£
деть, что
** = £ Σ ^*+cin*) + 0m
к2^п^к2+вк Ч У
Пусть η = &2 + 7, 0 ^ j ^ вк. Тогда
п(хЛ-с\пп) = {к2 + ;)(* + 2с In к + с -^ + о(^)) =
= *2(*+2cln*)+M+tf(Q,
где cty = с + χ -f 2с In &. Следовательно,
ч = 1\ Σ е*и<*.е°&)\ + оП) = ±\ Σ ^H + oie3).
Числа ось медленно возрастают к +оо. Пусть
KN = max{£ | ak ^ 2N} ,
т.е. аКм ^ 27V < αι+^· Тогда
О < 2Ν - ак„ < α1+^ - α^ = 2с ln(l + i) < ^ .
Таким образом, число α#Ν очень близко к чётному числу 2Ν, а
поэтому слагаемые еШ}Пк при к = К^ и j е [О, £0] близки к единице:
enijak = enij{ak-2N) = eO(j/KN) __ g0(0) = j + ^^ _
Поэтому
l5*J ~ ^
Σ (1 + 0(Θ)) + О(03) = θ + О(02) > f ,
если Θ достаточно мало. Итак, lim |$Л| ^ lim |ί^| ^ ^ > 0·

И РЕШЕНИЯ · § 6. Тригонометрические ряды 333
6.8. а) Рассуждая от противного, рассмотрите точку лс0 G (0, π),
в которой сумма ##(*) — Σ Щг^ имеет неположительный мини-
мум. Пользуясь необходимым условием экстремума (g'N{xo) = 0),
убедитесь в том, что sinAfaco > 0 и, следовательно, сумма ##-1 также
принимает неположительные значения. Продолжение этого рассуждения
приводит к противоречию с тем, что g\(x) = sin* > 0 на (0, π).
б) Найдём наименьшее значение суммы /ν(χ) = Σ ji^osrix на
промежутке [0, π]. Так как
/У*) = - Σ sinnx = -
• N+\ . Ν
sin -γ-χ sin -χ
\<л<$ sin\x
то в точках jfjt = Λ^ττπ функция /ν(χ) имеет локальные минимумы
(в точках η^π — локальные максимумы). Пусть N — нечетное
число, N = 2М — 1, Μ = 2, 3, .... Тогда 0 < х\ < ... < хм = л. Сравним
значения /#(-**) и /w(**+l) ПРИ 1 ^ к < М:
fN(xk)-fN(xic+\) = - J /#(*)<** = J ~Γχ dx-
Xk кл/М 2
Так как sin(M - ^)x = sinMx cos | - cosMx sin |, то
fN(xic)-fN(xk+l) =
(к+\)л/М {к+\)л/М
= Г sin2 Mx ctgix dx — I sin Mx cos Mxdx =
кл/М кл/М
{к + \)л/М
= Г sin2 Mx ctg|jc <£x > 0.
кл/М
Поэтому /ν(xк) > fN(xk+l) и> следовательно, наименьшее
значение /м(х) на промежутке [0, π] достигается в точке хм = π. Таким
образом, при нечетном N
min fN(x) = /Ν(π) = -1 + |-5 + ··· + 77^ϊ_;ν·
[0,я]
Ясно, что /2Μ-ΐ(π) Τ —In2. Так как
|/λΚ*)-/λγ+ι(*)Ι = |77ΤΓ0Οδ^+1^| ^ λΠΓΤ'
то отсюда следует и оценка для четного числа слагаемых при Ν ^ 5.

334
IV. Ряды
• УКАЗАНИЯ
Отметим, что чуть более слабый результат /#(*) ^ ~| можно
получить значительно проще. Он вытекает из общей оценки,
установленной в задаче 6.20. Чтобы ею воспользоваться, надо сравнить /м(х)
с неотрицательной суммой | + 2^ ancosnx, в которой ап = ^ при
1 ^ η ^ Ν, ап = 0 при л ^ 27V — 1, а при Ν ^ η ^2Ν — \
коэффициенты а п убывают по линейному закону. Эта сумма отличается от /#(*)
не более чем на величину
з
4 + αΝ+\ + <*Ν+2 + · · · + αΐΝ-2 »
которая меньше |.
я
6.9. Пользуясь равенствами ап = ^ \ А(х) sin nxdx (n = 1,2,..., TV),
0
получаем при г е (0, π)
π
с(0 = Ι ίΛ(*)( Σ ^sin/ucsin/i/)<fc =
о 1 n^N
π x+t л x+t
= h\A(x){ Σ Ъп j sfanydy)dx = hf f A(x)B(y)dxdy =
Ρ To Γ,
где Ρ — прямоугольник с вершинами (ί, 0), (0, ί), (π, я — t), (я — ί, я),
Го — треугольник с вершинами (ί, 0) и (0, ±ί), а 7Ί — треугольник
с вершинами (π — ί,π) и (я, я ± ί). Осталось заметить, что интеграл
по прямоугольнику Ρ неотрицателен, так как Ρ с [0, я]2 и,
следовательно, АВ ^ 0 на Р, а интегралы по треугольникам Го и Tj равны
нулю (первый — в силу нечётности В (у), а второй — в силу нечётности
В(я+у)).
6.11. Воспользуйтесь ограниченностью функции J ^ на
промежутке (0, ^] и результатами задач У1.1.13а),в).
6.12-6.14. Применив преобразование Абеля, используйте результат
задачи 6.10.
6.15. а) Для доказательства соотношений ап = О(^) рассмотрите
сумму Σ ак sin foe при χ = ψ. Если ап = О(^), то для равномер-
п/2^к^п

И РЕШЕНИЯ · § 6. Тригонометрические рады 335
ной на (0, π) оценки N-й частичной суммы разбейте её на две, первая
из которых содержит слагаемые с «малыми» номерами (не
превосходящими ^). Оценивая её, воспользуйтесь неравенством | sirw| < \t\. Для
оценки второй суммы используйте преобразование Абеля и результат
задачи 6.14.
б) Решение аналогично решению задачи а).
6.16. а) Применив преобразование Абеля, получим
cos|-cos(/i+|)x
8(?) = L· К - Д/н-i) γ~Ί =
_ 1—cos(n+|)x ι ^-^
= L (an ~ fl/H-l) ^-7 2 ^ \ L, (an ~ β/ι+ΐ).
Следовательно,
g{*) = Σ ifin - αη+λ) \^'2 -aitg% (*)
Поэтому g(x) ^ —у tg I > ~2^x ПРИ х G (0> π)·
б) В силу результата задачи 6.156) надо проверить лишь, что
непрерывность g в нуле влечёт соотношение ап = о(^). Так как все
слагаемые ряда, стоящего в правой части равенства (*), неотрицательны, то
с помощью неравенства sin φ ^ ^φ (φ t (0, |)) получаем при χ = jj
εΝ = ^ Σ (αη -αη+ι)η2 —» 0.
Так как (ап — αη+\)η2 = ηεη - (η - 1)ε„„ι, το
ε„ εη-ι εη-\ εη εη-ι ( \ \
Просуммировав эти неравенства при η > Ν, получим α# — °(^)·
Используя равномерную сходимость средних Фейера σι^{χ)
непрерывной функции g (см. задачу IX.4.19 б)), можно сократить
доказательство:
°2нШ= Σ «n(l-^)sin^>
■^ V^ /I (lN V4* Л/
Таким образом, 0 < Na^ < ^σ2/ν(ζ^) ~~y 0-
в) Если ряд Σ na" сходится, то ряд Ц— = Σ аη ^γ^ сходится
равномерно при χ > 0, и поэтому допустим почленный предельный

336
IV. Ряды
• УКАЗАНИЯ
переход при χ —> 0. Пусть Σ пап — оо. Из равенства (*) следует
lim ^>jE(e.-en+i)(» + i)2-¥.
д:
Возникший рад расходится, так как ]Р (я„ - ani.\)n2 = +00 (см.
задачу 2.4 при /? = 1).
г) Заметим, что Σ (α" ~ α/ι+ΐ) — сходящийся ряд с убывающими
слагаемыми. Следовательно (см. задачу 2.4), ап — ап+\ — о{^).
Поэтому, применив преобразование Абеля, из равенства
-cos(/i-b|Jjc
*(*) = Σ(*π-βιι+ΐ) l 2sin-v
получим
/ \ v^ / о ι \ я sin „y—sin ш:
8КХ) = L· \an-\ - 2aη + an+\) -—~^-x— .
n>2 4sin 2
Осталось заметить, что в силу неравенства sinnx ^ η shut все
слагаемые неотрицательны при χ е (0, л).
6.17. Используйте преобразование Абеля и результат задачи 6.8 а).
6.18. а) Функция g(x) sinx непрерывна (см. задачу 6.13), и
следовательно, g(x) — о(^) при χ —> 0.
б) Воспользуйтесь результатом задачи 6.16 в).
в) Поделив обе части равенства (*) (см. решение задачи 6.16а)) на
хр и почленно проинтегрировав получившийся ряд (см. задачу 5.21),
получим, что неравенство 1р < оо равносильно сходимости рада
E(an-an+l)j \j)2% = Y,{an-an+x)Jn{p).
о 2
Так как
Up) = I—φγ^-άχ + ο(ΐ) =
о
(п+\)я («+1)я
= (»+*)' I ^*-(■+!)' / £+<*'>·
0 1
то рад Σ (an-an+\)Jn(0) сходится одновременно с^2(ап-ап^_\)\п?г,
а сходимость этого рада равносильна (см. задачу 2.5) сходимости ря-
Да Σ ^f· В случае 0 < ρ < 2 имеем Jn(p) ~ const · пр при η —► ос.

И РЕШЕНИЯ · § 6. Тригонометрические ряды 337
Поэтому рад Σ (ап — an+\Vn(p) сходится одновременно с радом
Σ {р>п — ап+\)пр, сходимость которого равносильна (см. задачу 2.4)
сходимости рада Σ ηρ~ιαη.
6.19. а) Функция / непрерывна на (0, 2л) (см. задачу 6.12). Для
я
оценки сверху интеграла I \f(x)\dx воспользуемся преобразованием
О
Абеля (С„(лс) = cosjc + ... + cosnx):
Ι/(*)Ι= \Σ (an-an+\){cosx + ...+cosnx) ^ Y^{an-an+\)\Cn(x)\.
Возникший неотрицательный ряд можно интегрировать почленно
(см. задачу 5.21). Поэтому, используя результат задачи 6.11, получаем
я я
J\f(x)\dx ^ Σ(αη-αη+\) j\C„(x)\dx ^ constΣ(αη -αη+\)1ηη.
О О
Осталось воспользоваться результатом задачи 2.5.
б) Докажите, что ряд f(x) можно интегрировать почленно, и
воспользуйтесь результатом задачи 6.17.
6.20. Положим (см. задачу 6.10)
Δ 2 sin - Δ
Тогда
Я*) = Τ + Σ **(%(*) " &η-1 (*)) =Σ(*η- an+l)@n(x) .
Так как
то с помощью преобразования Абеля получаем
/(*) = !E(V, - 2ап +an+I)(igf )2 > 0.
Таким образом, /(лс) — неотрицательная функция, непрерывная во
всех точках, не кратных 2л (см. задачу 6.12). Заметим, что
iJ(^f)2^ = J(»oW + ...+^-i(x))^ = f».
о о

338
IV. Ряды
• УКАЗАНИЯ
Используя результат задачи 5.21, получаем
л
jf{x)dx = | Σ п(ап-\ -2αη + αη+ι) = f Σ Κ-1 - αη) = |α0·
0
6.21. См. [3], с. 119, 300. Используя тождество
л+1/2
cosnjc — . х х Г cos(xt)dt9
2 sin- J ч '
и-1/2
получаем
+оо оо
η>1 2 1/2 0
Аналогично доказьшается, что
Σ^=*α_1 f ψάυ + 0(1).
Из результата задачи VII. 1.29 следует, что интегралы А = Г ^~ dt>
0
-f-oo
и В = I —^ ^ положительны,
о
6.22. См. [3], с. 307. С помощью приёма, использованного при
решении предыдущей задачи, получаем для χ Ε (0, π)
/V Mr
Σ ^=№Λ + ο(ΐ)=χ«-4^ώ + ο(ΐ).
Отсюда следует, что равномерная (относительно N G N и χ е [0, π])
ограниченность снизу сумм Σ n~acosnx равносильна тому, что
и
интеграл 1(и) = I —~ ύ?υ неотрицателен при и ^ 0. Ясно, что
0
Зя/2
^п/(и)=/(|я)= J" ^Ал

И РЕШЕНИЯ · § 6. Тригонометрические ряды 339
Осталось показать, что функция
Ъл/2
7(a) = j ψ-dv
о
один раз меняет знак на промежутке (0, 1). Так как 7(0) = — 1
и 7(1 — 0) = +оо, то достаточно убедиться в монотонности функции 7.
Легко видеть, что
Ъл/2 л/2
о о
Пользуясь убыванием функции u~acost> на промежутке (0, ?),
получаем
л/2 л/2
J'(a) > j ^r ln^rfu^cosl j ]n±dv> 0.
о о
А V^ sin(/7jc)
Аналогично изучение сумм 2_^ —тг^ сводится к изучению интегра-
2л
ла 7(a) = Г ^^ dv, который положителен для всех а > 0.
0
6.23. а) Пусть ζ,ι = е1Хп при η = 1,..., N и ζη = 0 для остальных
целых п. Положим S = ζ \ + ... + Ζ/ν· Так как S = ]Р zn+m для любого
nez
т = 0, 1, ..., М, то
S = лТТТ ^ [^ Zn+m) = Ή+Ϊ iL ( L· Z"+m)·
С помощью неравенства Коши получаем
■ с.2 < Λί+Μ У^ I V- I2 _ N+M V- V- _
Внутренняя сумма зависит лишь от разности г = j — к и равна
Σ Zn+rZn. ПОЭТОМУ
\s\2*m£ri Σ (α# + ι-μ)Σζ^γ?.=
(Ek„|2 + 2Re Σ (ΐ-ΜΤι)Σζη+ΓΖη),
Ν+Μ
Μ+\ ч
откуда немедленно следует требуемое неравенство.

340
IV. Ряды
• УКАЗАНИЯ
б) Предположим сначала, что иррационален старший коэффициент.
Для многочлена Р(х) = ах мы имеем
\mp)\ = \t^"m\^jSb\ = o{i).
Допустим теперь, что наше утверждение доказано для сумм Вей-
ля, соответствующих многочленам, степень которых меньше т. Пусть
Ρ — многочлен т-й степени, старший коэффициент которого
иррационален. Воспользуемся неравенством Ван дер Корпута (см. пункт а)),
из которого следует, что
\WN(P)\2 ^ Jyg. +47V max Ι Σ еКГ("+г)-р(п))\
\<r<M
n=\
Ясно, что Ρ (η) = Ρ(η + г) - Ρ (η) — многочлен степени т — 1 с
иррациональным старшим коэффициентом. Для завершения рассуждения,
зафиксировав произвольное число ε > 0, возьмём Μ > ^. Тогда для
достаточно большого N мы получим
\WN(P)\2 < 2εΝ2 + 4Ν · εΝ = 6εΝ2,
что и требовалось.
Если же старший коэффициент полинома Ρ рационален, то Ρ можно
представить в виде Ρ = R + Q, где R — многочлен с рациональными
коэффициентами, а старший коэффициент многочлена Q
иррационален. Как легко убедиться, последовательность {e2jTlR№} периодична.
Обозначим её период буквой ρ и ограничимся значениями Ν,
делящимися на р. Тогда сумма Вейля Wn(P) распадается на ρ сумм Вейля,
соответствующих многочленам Qj{k) = Q(pk + j), 0 ^ j < ρ, старшие
коэффициенты которых иррациональны.
в) Для Р(х) —ах, очевидно, можно взять Θ = 1 и С — -г-А—-.
' ^ ν ' ' ' |sin#a|
(см. предыдущее указание). Далее будем считать, что степень т
многочлена Ρ не меньше двух. Пусть а — его старший
коэффициент. Так как а — нелиувиллево число, то существуют такие числа
σ>2 и 8 G (0, 1), что Ια — £1 ^ — для всех дробей £. Положим
' Ч ' qa Ч
θ = вт = (σ_ι)12,η_2) и докажем неравенство
\WN(P)\^\6N^mm{^\nN}ym при N > 1. (1)
Отметим, что это неравенство сохраняется при произвольном
изменении любых коэффициентов многочлена Р, кроме старшего.

И РЕШЕНИЯ · § 6. Тригонометрические ряды 341
Запишем неравенство (1) в виде |W/v(P)| ^ \6Νμθ,η, где
μ = ^ min{—Ц, InTV}. Так как |W#(P)| ^ N, то далее можно считать
и т < ~
^ < 16*
Воспользуемся индукцией по т. При т = 2с помощью неравенства
Ван дер Корпута для многочлена Р(х) = ах2 + ... мы получаем
Μ N-r
r=l n=\
(выбор числа Μ, Μ < Ν, уточним позже). В решении задачи 1.8 уже
оценивалась похожая сумма. Чтобы воспользоваться полученным там
результатом, заметим, что для любой дроби γ выполняется
неравенство
2«-f
>2ЩГ=¥> где ~δ = Φτ-
Поэтому с помощью неравенства (*) из указания к задаче 1.8 мы
находим
^ |sin2brorr| ^ 5 \σ-29 δ f
Будем подбирать Μ так, чтобы (2Μ)σ~ι^Νδ. Тогда,
очевидно, Μ < Ν и
м
Σ yid^H <8 ^(σ - *> min{^>'""}=8^σ - 1)(2мг^.
Следовательно,
К(Р)|2 ^ ЩтО + 16^σ - 1)(2Λί)σ"1) ^ |£{l +μ(64ΜΓ-1}.
Слагаемые в фигурных скобках почти равны при Μ — [^μ *-ι] =
= [4дИ~2в2]. Так как μθι < -Χ, то Л/ ^ 1. Используя неравенство
μ ^ τγ~ί> легко проверить, что (2Μ)σ_1 ^ NS. При таком выборе Μ
мы получим |ν^γ(Ρ)|2 ίξ 256Ν2μ2θι, т.е. неравенство (1) для т = 2.
Допустим теперь, что наше утверждение доказано для сумм Вей-
ля, соответствующих многочленам, степень которых не меньше т.

342
IV. Ряды
• УКАЗАНИЯ
Пусть Ρ — многочлен т-й степени с иррациональным старшим
коэффициентом а. Снова воспользуемся неравенством Ван дер Кор-
пута:
\WN(P)\2 ^ -^(n + IM max I ^ebu{P{n+r)-P{n))\\ =
= mi(N + 2Ml™*M\wN-r(rr)\),
где Ρ г (η) = P(n + r) — Р(п) — многочлен степени т — 1 со старшим
коэффициентом аг = тга. Заметим, что аг плохо приближается
дробями: для всех /? Ε Ζ и g Ε Ν
аг — т;\ = тг\а — -£—\ ^ тг , \„ ^ -^, где о
q I " "" I- mrq I ^ "" (mrq)° *- qa > — - - (mM)'-l '
В силу индукционного предположения мы имеем
\WN-r{Pr)\ < 16(A/-r)(^-?min{^,ln(^-r)})em-1 <
Так как (σ — l)0m_i = ^ и т ^ 3, то /я(°"-1)0т-1 < 2, и поэтому
|W/v_r(Pr)| ^ 32Λ^(Μσ~ιμ)θ>»-Κ Таким образом,
Ι^(ρ)|2 ^ щтО +64m(m-VA-0 ^
< ^{ΐ + (64Μ)1+(σ-1)^-ι^-ι}.
Слагаемые в фигурных скобках почти равны при
Μ =
wm—\ -.
Так как μ0™ < -^, то Μ ^ 1. Используя неравенство μ ^ -^,
легко проверить, что Μ < N. При таком выборе Μ мы получим
\wn(p)\2 ^ 256Ν2μ2θ"', т.е. неравенство (1).
6.24. См. [О], а) Ясно, что
Ы2= Σ ^г^= Σ 1?(1-!)+2Σ^
_ у^ СОфгг-*у) у, j_

И РЕШЕНИЯ ·
§ 6. Тригонометрические ряды
343
Следовательно,
М2 < 2 E
+ ^.
;=1 k=-N-j m j=\ J k=N±\-j k=\ j=\ J J
2*+l
Оценим вклад в двойную сумму слагаемых с номерами j, к
\j\ + \к\ > N. Он не превосходит
N -N+j-l N N+j IN N-\
k=\
2N yV-1 oo
Поменяв порядок суммирования в повторной сумме и заменив затем
сумму по j соответствующим интегралом, мы получим, что
оцениваемый вклад меньше
2N oo 2N
2Г1 ,4Г 1 -iVij.i^u^
Таким образом,
U ,2 л V" COs(jffc+;—**) 4 ?
Ы < 2 2^ Г/ + 6 4-3я-4.
I*I+IjK* 7
Осталось заметить, что 6 -f | я2 < 20,
б) Можно считать, что 7V > 5, так как в противном случае
неравенство легко проверить непосредственно. Проведём индукцию по т.
Пусть т = 1, Р(л) = сх. Тогда
v-^ sin(2rcc/i)
|7ίν(Ρ)| =
£ I в2я/Р(и)
= 2
l^H*CiV
Таким образом, база индукции получена. Считая, что утверждение
доказано для всех вещественных многочленов степени не выше /я,
оценим сумму Гдг(Р), соответствующую многочлену Ρ степени т + 1.
Воспользуемся результатом пункта а):
cos(p(k+j)-P(j)) _
\ΤΝ(Ρ)\2<20 + 2 Σ
*/
-20 + 2 Ε i Σ
1<|*|<ЛГ U|;|<N-|A:|
cos(p{k+j)-.p(jj)

344
V. Интеграл
• УКАЗАНИЯ
Так как P(j) = Ρ {к + j) — P(j) — многочлен степени не выше w, то
в силу индукционного предположения
|7ИР)|2<20 + 2 Σ &\nl-£"(N-\k\ + l)<
\φ\<Ν '*'
<20 + 321η1"ε-(7ν+1) ]Г £041п2-£'"(ЛГ+1),
если N > 5. Следовательно,
\TN(P)\ <81п1_2£'"(/У4- 1) = 81п1-£Г'»+»(^+1).
Глава V
Интеграл
§ 1. Несобственные интегралы
от функций одной переменной
1.1. Рассмотрите интегралы по промежуткам [кл, (к -f 1)я].
1.2. Для оценки интегралов по промежуткам [кл, (к -f \)л]
воспользуйтесь неравенствами ^х < sinx < χ при χ Ε (0, j).
1.3—1.6. Решение этих задач аналогично решению задачи 1.2.
1.7. Используйте результат задачи VI.2.9r).
1.8. Интегрируя по частям
Jcos(x3 - x)^.v = J ^g^ =- 0(1) + 6/^3^-^ sin(.,3 -x)^x ,
1 1 1
сводим исходный интеграл к абсолютно сходящемуся интегралу.
1.9. 1.10. Решения этих задач аналогичны решению задачи 1.8.
1.11. Дважды проинтегрируйте по частям.

И РЕШЕНИЯ · § 1. Несобственные интегралы от функций... 345
1.12. Так как подынтегральная функция стремится к нулю, то
достаточно доказать, что частичный интеграл по промежутку [π, л + 2лп]
(п е Ν) имеет конечный предел, а это равносильно сходимости ряда
с общим членом
2лп+л
Clfl
In χ+ci
Inn—л
Этот ряд сходится, так как
я л
С smxdx С sinxdx ■ 0( 1 \ п( 1 \
°п J cosjr+Ιφ+Ζτ/ι) J cos*+ln(2™) ^V„ln2J \n\n2n)'
—л -л
Более общий результат приведён в задаче 1.20.
1.13. Рассуждая так же, как при решении предыдущей задачи,
получаем, что сходимость интеграла равносильна сходимости ряда с общим
членом
Ъп = J созх+£пх+\п2лп = Ы2л1~1 J S111A" у " ^Ιγ^τγΤ* + ° \EJi)jdx '
—л —л
Так как Ьп = -л , ,°} \, то ряд У] Ьп расходится.
\гг[2лп) *—*
1.14. После замены переменной х2 = t возникает интетрал, который
сходится одновременно с рядом Σ ап, где
2лп+л ш ^ 2лп+л
ап =
2лп—л 2лп—л
п+л 1лп+л
/smy/tdt _ С siny/tdt ~f \ \
V?(ln/+2cos/) ~~ J Vr(ln2jrn+2cosi) U3/2 / '
С помощью формулы Тейлора получаем
sin^ = sin^ ( 2лп) cosv^ + θ(Λ-) .
φ у/2лп ν } 4яи \"3/2/
Так как второе слагаемое этого разложения даёт нулевой вклад в
последний интеграл, ло ап— αηβη -f θ[-~), где
л
β" = j In 2^2 со» ~ УбЫВаеТ К НУЛЮ'
-я
2лп+л
„ _ $\п\/2лп _ L Г sin у7
/2^7ί 2я
2лп—л
h S ^'+"Ш

346
V. Интеграл
• УКАЗАНИЯ
Осталось заметить, что по признаку Абеля ряд Σ αηβη сходится, так
как
2лп+л ■
al+a2 + ... + an = ± j s^fdt + 0(1) = 0(1).
Я
1Л5. а) Рассмотрите функцию f(x) — и, если χ ξ [η, η -f n~~]
(η ь Ν), и f(x) ~- 0 в противном случае.
б) Рассмотрите функцию f(x) — х^ si\\(xp)4 где ρ > 3.
1.16. б) Доказывая, что первый интеграл конечен, разбейте
множество интегрирования прямыми χ = 1 и у = 1 на четыре части.
1.17. При исследовании сходимости интеграла на бесконечности
с помощью результата задачи 1.21 и интегрирования по частям по-
г/ ч \п(х2-\)
кажите, что f(x) ~ -—^—г1 при χ —> +оо.
4·οο eb
1.18. а) Найдите предел интеграла Г ^^^-^-dx = Г ~-^- dt
ε εα
при ε — * +0.
г
б) Если Г/(f) i/f — 0, то см. задачу а). В противном случае рассмот-
0
τ
рите функцию f (x) = f (х) — γ \ f{t)dt.
О
А εb АЬ
в) Найдите предел интеграла Г b^JzlLJl dx= [ Ц*~ dt — Г ^ d?
ε εα Αα
при А —► -i-oo и ε —> 0.
1.19. а) Утверждение легко получить интегрированием по частям:
Λ А
(e-exf(x)dx = e-£AF{A) + ε je~€xF(x)dx
О О
χ
(здесь F(x) = f/(ί) Α).
О

И РЕШЕНИЯ · § 1. Несобственные интегралы от функций... 347
б) Представим разность интегралов в виде
+оо +оо
j f(x)dx- j e~£Xf(x)dx =
0 ° ,
A +oo +oo
= f(l -e-£X)f(x)dx+ j f(x)dx- j e~£xf(x)dx.
О Л Л
При больших А второй интеграл мал. Для равномерной по ε > О
оценки третьего интеграла используйте, как и в пункте а), интегрирование
оо
по частям, заменив F(x) на j f(t) dt. Устремляя ε к нулю при фикси-
X
рованном А, делаем малым и первый интеграл.
1.20. Рассуждая так же, как при решении задачи 1.12,
воспользуйтесь результатом задачи IV. 1.7 а).
1.21. С помощью интегрирования по частям вычислите сумму
интегралов по промежуткам [0, а] и [i, +оо) при a G (0, 1).
я/2 я/2
1.22. Так как / = Г ln(sin;c) dx = Г ln(cosjc) dx, то
0 0
я/2 я я/2
21 = j ln(^)dx = iJln(^)A = j ln(^)* = /-f In2.
0 0 0
1.23. Разложив (1-х)-1 в ряд, проинтегрируйте его почленно
и воспользуйтесь результатом задачи IV.4.18. Чтобы обосновать
почленное интегрирование ряда, воспользуйтесь оценкой
|/(Е*"1п*)л| = /^л-</^-,л = 1.
о n^N о о
1.24. В предыдущей задаче сделайте замену переменной χ t—> χ2.
1.25. Дважды интегрируя по частям, получаем
+00 ОО +00
0 0 0
+оо 1
= 2 j \n(l+e-2x)dx= jjz^dt.
о о
Остается воспользоваться результатом задачи 1.23.

348
V. Интеграл
• УКАЗАНИЯ
1.26. Продифференцируйте интеграл по параметру а.
1.27. Используйте результаты задач 1.26 и 1.19 6).
1.28. Интегрированием по частям сведите задачу к предыдущей.
1.29. Введя под интегралом множитель е~£х и вычислив
получившийся интеграл с помощью дифференцирования по параметру г,
используйте результат задачи 1.19 6).
1.30. С помощью интегрирования по частям получаем
оо +оо
j (e'"-y-')^= j (е^+<>)*1(а+Ь)-1ае>а*-1ЬеЧ")^ =
— ОО —ОО
+оо
= Г (a sin ах + Ъ sin Ъх — (а + b) sin(a + b)x) Ц- —
— оо
+ 00
= (|в| + |&|-|«+*1) / ψάχ.
—оо
Осталось воспользоваться результатом задачи 1.27.
1.31. 1.32. Замените е~*на(1 — ^)"и воспользуйтесь неравенством
задачи 1.2.23 а).
1.33. С помощью интегрирования по частям и замены переменной
сведите данный интеграл к интегралу Фруллани (см. задачу 1.18).
1.34. Рассмотрите интеграл по промежутку [Δ, +οο) (Δ > 0)
и с помощью интегрирования по частям сведите его к интегралу
+оо
Г j ln(l + e~x)dx. Воспользовавшись равенством
1п(1 + е~х) = 1п(1 - е-7*) - 1п(1 - е~х),
сведите последний интеграл к интегралу ί 1η(1 — е х) Щ- и покажите,
Δ 2Δ
что при Δ —► 0 он с точностью до бесконечно малой равен Г \\nxdx.
Δ
1.35. а) Воспользуйтесь интегрированием по частям и интегралом
из задачи 1.31.
б) Используйте интегралы задачи 1.29 и пункта а).
1.36. а), б) Сведите данные интегралы к интегралам из предыдущей
задачи.

И РЕШЕНИЯ · § 1. Несобственные интегралы от функций... 349
1.37. Вычислив интеграл по промежутку [1, и], воспользуйтесь
формулой Стирлинга.
1.39. При к = 1, 3, 5 сведите данный интеграл к интегралу
Эйлера—Пуассона. При к — 4 используйте результат задачи 1.18.
1.40. Интегрируя по частям в неопределенном интеграле, получаем
Г е~* dx =_Ce_Zl_d
J (дг2 + 1/2)2 J x 2t2-M
= - Г1\, - (e-^dx = ^-+2(e-x2dx.
χ{2χ2 + \) J χ2 χ2+\/2 J
Следовательно,
+ 00 2 +°°
/igi^-2/·^*1-^·
(χ2+\/2)2
0 0
1.41. Обозначим искомый интеграл 1(a). Продифференцировав по а
при а > 0 и сделав замену переменной χ н-> |, получим, что
/'(я) = —21(a) и, следовательно, 1(a) =Се~2а. Осталось
воспользоваться интегралом Эйлера—Пуассона: С = /(0) = ^ψ-.
оо
1.42. а) Очевидно, данный интеграл равен ^ Г ^ё- dx. В силу ре-
0
оо +оо
зультата задачи 1.196) (Щё-dx = lim /(г), где Ι(ε) = (e~£x^dx.
J \fi ε—>+0 J \fi
0 0
Для вычисления интеграла I(ε) воспользуемся равенством (см. зада-
оо
чу 1.38) -~ = -j= Г е~ху dy. Мы получим
0
+00 +00
Ι(ε) = ^= Г e-^sinxi Г е~хУ2 dy\ dx =
о
•foo +оо -Ьоо
*
gvtrv-^ / vi j ιτ{ε+γ2)2
0 0 0
Поэтому
+оо -foo
Г §«μ^ = lim /(г) = 4= ί τΣΊ = \/%-
J v^F ε_+0 W A J 1+/ V 2
0 0
б) Решение аналогично решению задачи а).

350
V. Интеграл
• УКАЗАНИЯ
оо оо
1.43. См. [Haag]. Пусть 1р = Г 1-\™х\р dx = \ j ... Ясно, что
0 -оо
я(л+1/2) я/2
я(л—1/2) —я/2
Так как ]Г / = -^-, то
^(.v+я/О2 sin2 *
я/2 я/2 я/2
/р = ί ^^ Же = - ί (1 - cos*7*) dctgx = ρ ί cosPxdx .
0 0 О
Остается воспользоваться хорошо известным равенством
7со^ = !*(!±ч) = ^Ж
о v 2)
1.44. Вычислив интегралы по промежуткам [/?*, /?*+ι] (где /?ι = 2,
/?2 = 3,... — простые числа, занумерованные в порядке возрастания),
убедитесь в том, что
/з^аЛмК'-^···^*))·
и воспользуйтесь результатом задачи IV.4.19.
1.46. Сделайте замену переменной χ = е\ а затем с помощью сдвига
сведите возникший интеграл к интегралу от нечетной функции.
1.47. Разложив косинус суммы, проинтегрируйте по частям
интеграл, содержащий произведение синусов.
§ 2. Вычисление кратных интегралов
2.1. Представьте данный интеграл в виде
+оо χ
2 j ^(\nx-)e-(x+y)dy}dx.
о о
Во внутреннем интеграле сделайте замену переменной у = tx
(t Ε (0, 1)) и измените порядок интегрирования.
2.2. а)—в) Рассмотрите интеграл вида
/ = Г f(mm{x\,..., хп}, max{;ci, ... ,xn})dx ,
Μ]"

И РЕШЕНИЯ · § 2. Вычисление кратных интегралов 351
где / G С ([а, Ь}2). Покажите, что
l = n\ ff f(sj)V(sj)dsdty
где V(s9 t) — объём симплекса
{(х2, ...,.*„__!) GIT-2 |J <*2<-·- ^х>1-\ <'}.
и, следовательно, У(л·, t) — Ч—-^-.
г) Пользуясь симметричностью области интегрирования, убедитесь
в справедливости равенства
+оо +оо +оо
С dxx...dxn _ f r dxj_ r dx^ С dxn
J хх...хп(тъх{хи...,хп}У ~η· J x\ J χι '" J л/,+с "
[1,+оо)и 1 xi χη-\
2.3. Воспользуйтесь интегралом Эйлера-Пуассона (см. задачу 1.38).
2.4. а) Считая, что а2 + Ь2 > 0, положим и = д* у. и υ — ах + /fy,
va462
где а и β выбраны так, чтобы преобразование (х,у) >-* (и, ?;) было
ортогональным. Тогда х2 + у2 = и2 + ν2 и, следовательно,
Cf^^dxdy=cc\^Edudv =
JJ Λ*2+.ν2)/2 JJ e{u2+v2)/2
-f оо -i-oo
■■2у/аШ? f -^- f ^-2v/^r(«2+b2).
J <^2/2 J e«2/2 V V
0
б) Перейдите к новой системе координат, одна из осей которой
направлена вдоль вектора а.
2.5. Пусть ||лс||=а. Не умаляя общности, можно считать, что
х = (0, 0, а). Переходя к сферическим координатам, попучаем
Г *^-\μάΆάφ\ sin»*» =
) \\Х-У\\ J J ^J Jr2-2arcose+a2
IMI<i о о о
ι θ=π ι
= Ц- (rVr2-2arcos0 + a2 I rfr ■= ^ fr(r+a- |r--e|)dr.
0 0
Мы предоставляем читателю закончить вычисления.

2.6. Ясно, что
!!1! ех2+У2-и2-и2 dx dy du dv =
x2+y2+u2+v2^\
= Я <*'v( Я 3$)**-
x2+y2<^\ u2+v2<^l-x2-y2
Для вычисления двойных интегралов используйте полярные
координаты.
2.7. Выбирая в R4 ортогональный базис так, чтобы в нём матрица
А имела диагональный вид, с помощью соответствующего
ортогонального преобразования переменных получаем
$ е^х) dx = jjjj 6χΛ+λΛ+4\+^1 dtx dt2 dt3 dt4,
где Xk (k = 1, 2, 3, 4) — собственные числа матрицы А. Сделав замену
переменных щ = y/λ^ г^ мы видим, что
/ e{Ax-x)dx = 7xkm ISIS e№Mdul...dU4.
{Ax,x)^l u2+u2+u2+u2^l
Остаётся заметить, что Я1Я2Я3Я4 = detA, а интеграл вычисляется с
помощью полярных координат (см. решение задачи 2.6).
2.8. Пусть г = (t\,t2, ^з> Ч)- Очевидно, что
+оо / \
К^= } [ JJJ е'2х2+'ъ*ъ+Ц*4 ) ?ЙГ · (*)
о \^Х22;Х2+Х2^Х] /
Положим s = (t2> t^y t4) и у = (*2, *з> ха)- Тогда внутренний интеграл
в (*) можно записать следующим образом:
Г e-^s)dy=J(s).
ΙΜΙ^ι
С помощью ортогонального преобразования переменных вычисление
этого интеграла можно свести к случаю, когда вектор s имеет вид
(я, 0, 0), а = ||s||, и, таким образом,
J(s)= jjj e-aX2dx2dx3dx4= j е~аХ2л{х\ -xj)dx2.
Ь\\^*\ -*ι

И РЕШЕНИЯ · § 2. Вычисление кратных интегралов 353
После подстановки этого результата в равенство (*) K{t) принимает
вид
ОО Х\
Κ(ή=π je~hXl( ( (x2l-xl)e-aX2dx2)dxi,
О -*ι
Сделав в последнем двойном интеграле замену χ \ = и + ν, xj = и - υ,
мы видим, что
ОО ОО
Κ(ή = $π Г { uv e-^^a>e-^-a> dudv .
О О
Этот интеграл конечен лишь при а < t\, т.е. при t G А (поскольку
а = \1г\ ^г\ "*~ г\ )' ^ы пРеД°ставляем читателю провести вычисление
последнего интеграла.
2.9. По определению
ь ь
Μ
= iP^n^-^dxdy и Р
S(E)
(Ь-а)2 '
где Ε = {(χ, у) \х9у £ [я, Ь]9 \х - у\ > —^"h S(E) — площадь Е.
2.10. Пусть для определённости χ ^ у ^ ζ. Эти числа являются
сторонами некоторого треугольника, если и только если ζ ^ χ + у.
Следовательно, чтобы найти искомую вероятность, нужно вычислить объём
пирамиды
{(x,y,z) \0 ^x ^y ^z ^af z ^x +y} .
2.11. а) Вещественность корней
определяется знаком дискриминанта,
равного и2 — Αν. При а > 4 рассмотрим на
плоскости м, ν квадрат [-я, α] χ [-а, а]
и параболу ν = ^- (рис. 21). Пусть 5 —
множество точек квадрата, лежащих
выше параболы. Уравнение z2 + wz + ν = О
имеет вещественные корни тогда и
только тогда, когда (и, υ) 0 S. Поэтому
Р\(а) > ^. Так как площадь множества S
равна | а3/2, то Pi (а) = 1 — -г^т= и, сле-
довательно, Р\{а) —> 1 при α —> +оо.
а
\υ
S /
и2
и
а
Рис.21

354
V. Интеграл
• УКАЗАНИЯ
б) Биквадратное уравнение имеет как вещественные, так и
комплексные корни лишь в том случае, когда ν < 0. Поэтому
соответствующая вероятность равна ^-
2.12. По определению
s=i a ( a w-uY+b-vYyudvyxdy.
х2+у2<^\ u2-rv2^\
2.13. Убедитесь в том, что
2π 2л 2π
0 0 О
2.14. Воспользуйтесь методом математической индукции.
2.15. Пусть Jn(a) = Г (а + х\ + ... + xn)~l dx. Ясно, что
[0,1]"
[0,1]"
С другой стороны,
'"<«> = /( / (а+х^.+х-)^=/У-^а+>)А·
0 [ОЛ]""1 0
1
Поэтому fn{a) = {Уп_х{а +t)dt = AJn_\(a). По индукции получаем,
0
что Jn \а) = kkJn-k(a) (^ = 1,..., w — 1). В частности,
/п~1)(а) = Δ„_ι7ι(β) = Δ„_! (1η(β + 1) - 1пя) = An(\na),
[0,1]"
Итак, требуемое равенство доказано при т = п. Докажем его для
1 < т < η индукцией от т + 1 к т. Равенство (1) есть база индукции.
Допустим, что т < η и
J (a+x1+...+;c,l)m+1 ^ ' /и!(л-/и-1)!
[0,1]"

И РЕШЕНИЯ · § 2. Вычисление кратных интегралов 355
Интегрируя это равенство по промежутку [α, β] (О < а < β), мы
получаем
β
j (f(a+xi+...+xn)-m-lda^dx =
[0,1]" <*
= i^&^MSa"~m~llnada)- (2)
a
Заметим, что
β
J rn-n (n-m)2 '
a
и, кроме того, Апфп~т — an~m) = О, поскольку Δη(ρ(χ)) ξ 0, если
степень полинома /? меньше п. Поэтому из (2) следует
J ((α + jci + ... +ХпГт - {β +*ι + · · · +JCn)-w)rfJc -
[0,1]"
Так как
при β —> +oo, если к < η y (4)
то, переходя к пределу в равенстве (3) при β —> +оо, получаем
требуемый результат.
Соотношение (4) следует из равенств Δη/(χ) = f^n\x + θηη), где
0 < θη < 1, и
(^^)(п) = ^-1)!(.1)я^-1 при л>4-
2.16. а) Интеграл по кубу (0, 1)" заменой переменных ук = χ ι ... хк
(к = 1, ..., η) сведите к интегралу по симплексу
{(Уъ--,Уп) еШ\0<уп < ... <у2 <у\ < 1},
который линейной заменой переменных t\ = 1 — у\, tk = yk_i —ук
(к = 2, ..., п) сводится к интегралу по Wn.
б) Эти интегралы (интегралы Фейнмана, см. [Шв], с. 77) равны
в силу результата пункта а). Первый из них может быть вычислен
с помощью индукции.

356
V. Интеграл
• УКАЗАНИЯ
2.17. а) Считая, что аЬ ^ 0, сделайте замену переменных χ = и,
ах + by = cv, где с = \а | + \Ь\. Это приводит к равенству
«η (,^,(,^, *_j/< > ι„Ι(1+Η2)(1+^,_|υ)2)·
Убедитесь в том, что внутренний интеграл равен -рЧг
б) Опираясь на а) для обоснования индукционного перехода,
докажите с помощью индукции, что
+оо
ρ dt
\+t2
При с = 0 это приводит к равенству
4-оо
1 fl V \Р dx\...dxn 1 / v^ l \\P С \*\Pdt
Сделав замену ί2 = и и воспользовавшись важным в теории Г-функции
Эйлера равенством Г jr^du = ^πα, где 0 < а < 1, получаем
О
-OO 0 2 2
2.18. Представьте интеграл в виде суммы интегралов по квадратам
[-=-, |] χ [^-, £] (1 ^ к, j; ^ л). Чтобы вычислить каждый из этих
интегралов с точностью до о(п~4), замените функцию / её
многочленом Тейлора второй степени, построенным для центра квадрата.
2.19. Рассмотрим более общий интеграл:
1{х,у)= jj <p{(x-u)2 + (y-v)2)dudv,
u2+v2^\
где φ — произвольная функция из С((0, оо)), удовлетворяющая
условию
|| |ф("2 + v2)\dudv < оо
u2+v2<^\
(т.е. φ абсолютно интегрируема вблизи нуля).

И РЕШЕНИЯ · § 2. Вычисление кратных интегралов 357
Легко видеть, что /(*,у) = /(f), где t = у/х2 -{-у2 и
f(t) = Π (р{и2+ (v + t)2)dudv= (( <р(и2 + v2)dudv.
u2+v2^l u2+(v-t)2^\
Ясно, что / Ε С ([0, +оо)). Кроме того
1 /t+y/l-u2 \/\-u2
...\du
1 /ί+\/\-ιιΔ V1-"
/W-/(0)=/ / ..·- /
-1 Ч /l_„2 _«/l_„2
-χ/ΐ-"2 -\J\-u2 '
1 /t+y/\-u2 t-\/\-u2 \ / / 1 \
= Д J ...- J ...)Λ = /ί/θ(Μ,υ)Λ)Λ,
где 0(и, и) = <р(м2 + (υ + \J\ -и2)2) - <р(и2 + (ν - л/l -и2)2).
Поэтому /GC1 ([0, +оо)) и, следовательно, функция 1(х9 у) =
— f(Vx2 + )>2) непрерывно дифференцируема во всех точках,
отличных от начала координат.
ι
Так как f'(t) = Г 0(и, t) du, то /'(О) = 0, а это влечёт дифферен-
-1
цируемость / в начале координат и равенства /£(0, 0) = 7^(0, 0) = 0.
Осталось заметить, что
|/;(х,)-)И/;(х,у)|<|/'(лА2Т72)|-о при (*,),)-> (о,о).
Таким образом, функция 7 непрерывно дифференцируема на всей
плоскости.
и2+(м-\Л-и2)
В случае φ{ΐ) = \nt имеем 0(и, t) = In л, и поэтому
u2 + (t-\/\-u2)
1
u2+(t+\/\-u2)
Этот интеграл нетрудно вычислить, проинтегрировав по частям и еде
лав затем замену пер
зультате мы получим
лав затем замену переменной (подстановку Абеля) ζ = , и В ре-
V 1—м2
., ч \2πί при 0^ί<1, . . Г ιΊ
/W = {& Приг>1 =*"4'·0·

358
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
Вычисление f(t) легко закончить, заметив, что
ι
/(0) = Π \ъ(и2 + v2)dudv = 2n (r\nr2dr = -π.
u2+v2<^\ 0
Глава VI
Асимптотика
§ 1. Асимптотика интегралов
χ
1.1. а) Сначала проверим, что J(x) = [tP^dt — 0(хрех). При ρ ^ 0
ι
это очевидно: х
J(x) ζχρ {Jdt^xPe*.
1
При ρ < 0 разобьём промежуток интегрирования на два:
χ/2 χ
j(x) = j ... + j ... < ех'2 + (I) V = О (хРех) .
1 х/2
Из установленной оценки требуемое асимптотическое соотношение
легко получить интегрированием по частям:
χ
J(x) = хРех -е-ρ (tP^e'dt = xPex + 0(хР~1ех) .
1
б), в), г) Решение аналогично решению задачи а).
Отметим, что интегрирование по частям во всех случаях сразу
приводит к требуемому результату, если воспользоваться утверждениями
задачи 1.3.
1.2. Так как подынтегральная функция очень быстро растёт, то
следует ожидать, что интеграл определяется её значениями вблизи
правого конца промежутка интегрирования. Задача 1.1 показывает, что глав-
t
ная часть интеграла I f(x)g(x)dx, где функция / меняется медленно,

И РЕШЕНИЯ·
§ 1. Асимптотика интегралов
359
а функция g — быстро, равна f(t) Гg(x)dx. Руководствуясь этими
соображениями, можно предположить, что
10 10 10
0 1 1
где f(x) — (1 + \пх)~]. Оценим погрешность приближённого
равенства I &C. Ясно, что
1 10 1 10
I = fx>dx+jf{x)d{x')==j...-l+C + j1^^.
1
"™т"*г 20·
Остаётся убедиться, что последний интеграл не превосходит ^.
Заметим, что / > С > ^1010. Так как е2 < 8, то
10 10
С x*dx = С d(x*) iQio 4C_ 002С
J л:(1+1пх)2 J *(1+1η*)' 8·33 8-27 < U'UZU *
8 8
Вместе с тем
L-(Sfe4^<88<88^<o'oic·
1 1
Таким образом, погрешность приближённого равенства / « С не
превосходит 0,03 С.
1.4. а) Воспользуйтесь ограниченностью функции
тЬ-^фг) при *e[o,i).
б) Сравните интеграл ,2£Γ(ί) с интегралом
ι
/
y/2{l-x)(\-tx){\+t)'
в) Сравните интеграл S{t) с интегралом, получающимся заменой
1 х2
cos* на 1 — у.
1.5. а) Воспользуйтесь соотношением
Ы = ЫАТоЩ = Ш+°(лк) при *е[А,2А].

360
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
24
б) Представьте интеграл в виде Г у^— и, проинтегрировав по ча-
А
стям, докажите, что основной вклад даёт подстановка при χ = 2Л.
в), г) Используйте результат задачи 1.3 а).
д), е) Проинтегрируйте по частям и воспользуйтесь результатом
задачи 1.36).
1.6. а) После замены переменной у = Ах2 проинтегрируйте по
частям.
б) Сделайте замену переменной у = ^-.
в) В показателе экспоненты выделите полный квадрат.
г) Представьте интеграл в виде
+оо
2/Л
и докажите, что
/0 + 6*)'ί=/ί+*ο>·
2/Л 2/Л
Для этого при ρ > 0 воспользуйтесь соотношением
|(1+ζ)'-1| = θ(|ζ| + |ζ|') (ζ >-1).
При ρ < 0 проверьте, что
ι Л/Я
J V1+i^U ^ = 0\VA\nPAj
2/A
и оцените интеграл
ι Л/Я
воспользовавшись тем, что \(z + \)р — 1| = О (ζ) (ζ > -\).
1.8. а), б) Сумма этих интегралов легко вычисляется. С помощью
интегрирования по частям докажите, что их разность ограничена при
ε ^0.
в) Для оценки интеграла по промежутку [^,оо) дважды
проинтегрируйте по частям.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Асимптотика интегралов
361
+оо
г) Представив интеграл в виде ε(\ + ε) \ ~2+** dx, докажите, что
О
можно перейти к пределу под знаком интеграла. Воспользуйтесь
равенством (см. задачу VI.27)
+оо +оо
О О
1.9. а) После замены г — y/εχ мы получаем
ОО 2 ОО 2 1 2
Г *-£х dx = С β_ζ!_ώ=0(ι) tez!_dL =
J χ+ε J ,+£з/2 ^υ + J f+e3/2
0 0 О
-^(1) + j^72-^(1)-1^3/2-ilni
о
б) После замены г = y/εχ мы получаем
ОО ОО ОО ОО
Г sing;c2rf;c /г Г sinr2^ = /т( Г siiu2rfr _ Г £7/4\А sinr2rfA
J *2+fVF V J i2+^4V7 V U r2 J г2(г2+£7/4^) /
0 0 0 0
Второй интеграл бесконечно мал при ε —> 0 (для доказательства
достаточно воспользоваться неравенством | sin r2| ^ t1). Таким образом,
ОО ОО
0 0
Последний интеграл сводится к интегралу Френеля (см. задачу VI.42).
в) Ясно, что интеграл по промежутку [1,оо) ограничен. На
оставшемся промежутке справедливо соотношение sin(jc2 + ε) =
= χ2 + 0(ε + χ6). Поэтому
оо . 1
Г sin(xz+e)dx =Π(ΐ\. С x2dx __
J хЧеу/Ξ К Ч J хЧеуД
0 0
ε-2/5 ε-2/5
= °(!)+ J Й=°(1)+ J T-i^I.
0 1
1.10. а) После замены переменной у = хА решение аналогично
решению задачи 1.8 г).

362
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
б) С помощью замены переменной у = хА и интегрирования по
частям докажите, что интеграл по промежутку [1, +оо) бесконечно мал.
х+\
,2
1.11. а), б) Ясно, что yjc\ 4- S\ = \1Х\, где lx = Г elt dt. Очевидно,
χ
χ 4-1 -у ι -> *4-1
τ _ Γ deUt _ e^x+lr _ Χ , 1 Γ ι'/2 Λ
* - J 2/ί 2i(jc+l) 2/д: t2i J e ,2 *
χ χ
Отсюда следует утверждение б), а также а), так как
1.12. Пользуясь ограниченностью интегралов ί (φ(и) — Οφ) du, по-
1
-foo
С <p(t)-C<p , Λ
кажите, что интегралы —γ^- dt ограничены при ε > 0.
1.13. Представьте интеграл в виде суммы интегралов по
промежуткам [πη, л(п 4- 1)] (η Ε Z+) и оцените каждый из них сверху и снизу.
См. также задачу 1.18.
1.14. а) Воспользуйтесь ограниченностью функции ~ —^— на
промежутке (0, |).
б) Сделайте замену переменной у = Ах и воспользуйтесь результа-
+оо
том задачи V. 1.42 б). Для оценки интеграла Г ^y^-dy проинтегри-
А
руйте по частям.
в) Пусть .. /0
7 J я/2 я/2
1(A) = Г ^Ц^ и J(A) = Г sin2* <fa ^
v ; J 1+cos2Ajc ч у J 1+cos2Ajc
о о
Ясно, что
я/2 Ля/2 я/2
I(A)+J(A) = J 1+С052Л;с = a J l+cos2* Л^Гоо J l+cos2* = ЪЛ'
0 0 0
Докажите, что 1(A) - J (A) —> 0 при А —> 4-oo.
Более общий результат содержится в 1.20 а).

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Асимптотика интегралов
363
г) Воспользуйтесь соотношением χ 4 - sin 4х = 0(х 2) и
результатом задачи а).
1.15. После интегрирования по частям и замены переменной
t — sin φ мы получаем
π/2 1
J\{A) = l j sin(Asin^)sing)^=|J^j|A.
о о
Ясно, что асимптотика возникшего интеграла определяется
поведением подынтегральной функции вблизи правого конца промежутка. Лег-
κο,".™,™ Tfe = 7I7R С + "-'>"<'»·
где 0 — бесконечно дифференцируемая на [0, 1] функция, 0(0) = — 1.
Поэтому
-Я= Jx (A) = j ^ dt + (y/\~ie{t) sin At dt = j{A) + i{A).
0 0
Интеграл j(A) сводится к интегралам Френеля (см. задачу V.1.42):
1 оо оо
j(A) = fsmA(l-x)^ = j... -/·.· =
0 0 1
= ^(sinA - cos А) - (-1 + θ(Α-3)).
С помощью интегрирования по частям получаем
i(A) = -i jVT^l9(t)d cos At = °Ш+0(А-У2) = -i + 0(А~У2).
о
Итак,
-Ζ=ΜΑ)=№ + ί(Α) = У§ (sinA-cosA) +0(А-У2).
Асимптотическое соотношение для функции Jq доказывается
аналогично.
Заметим, что при ν > ^ для всех вещественных А выполняется
тождество Jv-\ {A) + /y+i {А) = ~ Уу (А) (для его доказательства надо
дважды проинтегрировать по частям в интегральном представлении
функции 7υ+ι). Поэтому функции Бесселя целого порядка при А —> +оо
удовлетворяют асимптотическим соотношениям
j2k{A) = {_l)ksjnA^A+o{A-V2).
J2k+l(A) = (-l)b™*^+0(A-y2).

364
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
1.16. а) При ρ = О возникает хорошо известный (см., например, [Ф])
оо
интеграл Лапласа Г cosA* dx = |е-Л. При ρ е (0, 1) имеем
О
оо оо
/cosAxdx _ др— 1 С costdt AP~^C
χΡ(\+χϊ) Λ J fP(l+f2/A2) Λ-οο P'
О О
оо
где С ρ = Г ^^ dr (обоснование предельного перехода под знаком
О
интеграла мы предоставляем читателю). Как установлено в
задаче VII. 1.29, интеграл Ср положителен.
В случае ρ Ε (—1, 0) положим q = —ρ, q Ε (0, 1). Тогда
оо оо оо оо
/cosAxdx _ С xq cos Ах j _ _й_ С xq~l sm Ах j , 2—q С хч+х sin Ад: j
XP(\+X2) J 1+*2 UX A J (1+X2)2 aX + Λ J (1+JC2)2 αΧ·
0 0 0 0
К первому из возникших интегралов примените приём,
использованный в случае ρ Ε (0, 1). С помощью интегрирования по частям
получите для второго интеграла оценку О(т)·
В случае ρ е (-2, -1) решение аналогично, но требуется
двукратное интегрирование по частям.
Наконец, при ρ = — 1 дважды проинтегрируйте по частям и
покажите, что главный член асимптотики равен внеинтегральному
слагаемому.
б) Решение аналогично решению задачи а).
в) При ρ = 1 исследуемый интеграл легко вычисляется — он равен
-у—. При А —> +оо в случае ρ е (0, 1) имеем
оо оо оо оо
/cos Ax j _ Р_ С sin Ax dx _ Ρ С sin r dt Ρ С sin r jf
ехР ах A J х\-р еХР ~ А\+р J t\-P e(t/A)P ~ д1+р J t\-P Ш'
0 0 0 0
При ρ G (1, 2) надо ещё раз проинтегрировать по частям.
Заметим, что при ρ = 2 возникает известный интеграл (см. [Ф] или
задачу 1Х.4.35а)), который убывает экспоненциально. Если ρ > 2 и не
является чётным числом, то асимптотику интеграла можно получить
использованным приёмом, предварительно проинтегрировав по частям
достаточное число раз. Если же ρ — чётное число, то интеграл
убывает экспоненциально.
г) Один раз проинтегрируйте по частям.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Асимптотика интегралов
365
1.17. Воспользуйтесь соотношением
а+Т а+Г
| j f{t)<p(t)dt\ = \ j {f(t)-f(a))<p(t)dt
ζ
{f(a)-f(a + T))f\q>(t)\dt.
0
1.18. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи.
1.19. Решение аналогично решению задачи 1.13.
τ
1.20. а) Можно считать, что ϋφ = γ Ι φ(ί)άΐ = О (иначе следует
О
рассмотреть функцию φ = φ - Сф). Докажите, что в этом случае
искомый предел равен нулю. Для этого представьте данный интеграл
в виде суммы интегралов по промежуткам длины j и воспользуйтесь
соотношением
t+T/A t+T/A
I j f(x)<p(Ax)dx\ = \ j (f(x)-f(t))q>(Ax)dx\^
Τ
<"/(ШЛф(*)|Л·
о
где a)f(5)= sup \f(tf) — f(t")\ — модуль непрерывности функ-
ции /. Доказанное утверждение известно как лемма Фейера.
ъ
б) Пусть J/i—A | f(t)<p(At)dt. Рассмотрим сначала случай а =0
а
оо
и покажем, что /д —*/(0) I <p(t)dt. Если функция / постоянна, то
0
это очевидно. Поэтому можно считать, что /(0) = 0. Зафиксировав
произвольное число Δε (0, b), получим
Δ b
|/А|<Лтад|/|||ф(Л0|А+^ти|/|||ф(А0|А<
^ ' J 0 ' ' ' Δ
оо оо
< max I/I f |ф(01*+тах|/| ί |φ(0|Α·
0, Δ J [0tb] J
1 J 0 l J ΑΔ

366
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
За счёт выбора Δ можно сделать сколь угодно малым первое
слагаемое, а затем, за счёт выбора А, сделать малым и второе.
О
Аналогично доказывается, что Уд —>/(0) Г φ(χ)άχ, если Ъ = 0.
—оо
Поэтому Уд —> /(0) Гφ(χ)άχ, если 0 G (а, Ь). В случае 0 £ [я, Ь] до-
к
статочно непрерывно продолжить функцию / на промежуток,
содержащий нуль и [а,Ь], и воспользоваться полученными результатами.
1.21. Пусть Δ^ — промежутки вида [^р, —^—-], к = р,... ,q9
содержащиеся в [a9b]; a)f — модуль непрерывности функции /. Тогда
I(A) = oU)+ Σ (f(x,sinAx)dx =
= °(ϊ)+°(ω/(χ))+ Σ {/(ψ,ύηΑχ)*.
Следовательно, при А —> +оо
2я
7(Л)=0(1) + ^ Σ ^ f/(^,sinf)* —>
b 2π
' £if{ff(x>sint)dt)dx·
а 0
В заключение отметим, что в условии задачи вместо синуса можно
взять любую непрерывную 2л--периодическую функцию.
1.22. а) Разобьём интеграл /д на сумму интегралов по промежуткам
[0, а] и [а, ^], где а = -~. Оценивая интеграл по второму промежутку,
представим его в виде
я/2
I /A(*)sinAxd.x,
Of
убывающая к нулю функция. Поэтому
\ д ^ /ι ν / \ д sin а \ ^·
где
(см.
/*(*) =*йг
неравенство 1.2.34
я/2
| j /аС*) sin
- ye
б))
Аде <£х

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Асимптотика интегралов
367
Рассмотрим теперь оставшийся интеграл
Г smAx CQSp(A)χάχ= CsjnAl CQSp(A)χάχ + 0(ч
J sin* J * v '
= С амСоИА>£л + «(1).
0
oo
Последний интеграл представим в виде ί ^j^gA(t)dt, где
О
, . f cos^A> jr при 0 ^ г ^ \/А,
£а(0 = < Л Л
/τι 0 при г > Va.
Так как функция #д(0 монотонна по ί и #д(0 —► 1 при любом г Ε Ш.
А—»оо
оо
ввиду условия, наложенного на /?(Л), то интеграл Г ^£а(0^ схо_
0
дится равномерно относительно А и возможен предельный переход
при А —> оо под знаком интеграла:
оо оо
J sJ!liC0Sp(A)Ldt= j s_mgA^dt_ j *ψώ=π
О 0 0
б) Проверьте, что LA+\ = L& для всех Л > 0. Так как L& —> | при
А —> +оо (см. задачу а)), то L^ ξ ^.
1.23. а) Сделаем замену переменной χ = ^, где Δ = Αε — малый
положительный параметр. Имеем
+оо +оо
о о
Подберём теперь параметр Δε так, чтобы при ε —> +0
подынтегральная функция стремилась к положительной интегрируемой
функции. Нетрудно видеть, что, взяв Αε = ε In |, получим
«*(<*)--*) ,-„--'■
£-»+0
Поэтому для доказательства соотношения
+00
0-χ(\-χ-£) jr _
J e-*V-*-e)dx ~ ^

368
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
достаточно обосновать предельный переход под знаком интеграла
+оо +оо
M(i)'-*-i)*.^ J ·"*-'■
О О
Для изучения интеграла, стоящего в левой части, разобьём
его на сумму интегралов по промежуткам [0, гЛз], [In2ε,+00)
и [|-р—г, 1η2ε]. Первые два интеграла оценим сверху. Из неравенства
и1-£ — и < ε(1 - и) при м> ОиО<е< 1 следует, что
exp((i)1_£-i)<e*p(£-i')·
Поэтому
оо
J* «ф(Ш1_е - i) Л < J «'"*'* = ЛЬ 1^0.
In2 ε In2 ε
Так как подынтегральная функция равномерно ограничена сверху при
г > 0 и 0 < ε < 1, то интеграл по промежутку [0, τγ-ί] бесконечно
мал. Для вычисления интеграла по промежутку [тг—г, 1η2 ε]
представим разность (^) ~ε - ^ в виде
Следовательно,
1/|1пг| 1/|1пс|
б) Решение аналогично решению пункта а).
1.24. а) Воспользуйтесь соотношением
χ л = е
£*1пх _ 1 irvinv 1 L ν·2ΐ„2
1 + εχ\ηχ + yx2ln2jc + <9(ε3), 0 < χ ^ 1.
б) Сделав замену переменной t = -7=, получим
ν*
1 +00 _ 1
JV£/v^x=2£2 J e-^-dt = 2e2 fe-^-dt + 0{e2).
0 £ £
Остаётся воспользоваться тейлоровским разложением экспоненты.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Асимптотика интегралов
369
в) Разбейте промежуток [0, 1] на промежутки [О, Θ] и [0, 1], где
θ = θε = о(^). Интеграл по промежутку [О, Θ] не превосходит Θ. На
промежутке [0, 1] замените экспоненту её тейлоровским разложением,
предварительно проверив с помощью интегрирования по частям, что
θ
Убедитесь в том, что при θε = -4- для остаточного члена в доказыва-
1η ε
емои формуле получается оценка ОI —\—- 1.
1.25. Воспользуйтесь неравенством
ί е2е" при и > О, 0 < ε < 1;
1 ' \с^|и|' при и<0.
1.26. а) Сделайте замену переменной t = пх и оцените интегралы по
промежуткам [(к — 1 )л9 кл] сверху и снизу.
б), в) Рассмотрим более общую задачу:
f maxak\smkx\f = Σ χ*0*1)·
если невозрастающая последовательность положительных чисел {я^}
такова, что последовательность {ка^} не убывает.
Положим М(х)= max α*| sinfoc|. Так как | sin r| ^|ί|, то М(х)^хпап,
и поэтому интеграл по промежутку [0, i] даёт ограниченный вклад.
Для оценки интеграла сверху воспользуемся тем, что
М(х) ^ max(aix, 2а2*, ·.., ка^х, я^+ь ..., Ян) = ка^х ,
если х ^ т. Следовательно,
ι
]ψάχ^Ο(1)+ Σ t~fkakx%=0{l)+ Σ Τ
Для оценки интеграла снизу заметим, что на промежутках [2(k+W ^]
(& = 2, ..., п) справедливо неравенство
М(х) > a^sinkx > ^кха^,

и поэтому
л
да^>о(1)+ Σ ί £**«4£ = о(1)+ Σ °i-
2(*+l)
В случае г) легко проверить, что максимум достигается при к = 1.
1.27. Положим α = у/А. Оценивая интеграл, разобьём
промежуток [0, 1] на два множества в зависимости от того, выполняется
неравенство |Р'(х)| > а или нет (очевидно, каждое из этих множеств
состоит из не более чем η промежутков). Решение основано на двух
интуитивно ясных утверждениях: при А ^> 1 интеграл по промежутку
первого типа мал из-за большой осцилляции подынтегральной
функции, а промежутки второго типа имеют малую длину.
Если |Р'(х)| > а на каком-то промежутке [s, ί], то
I К(*Ч = I f rhdeiP{x)\ < I + '{-РЬ**·
Число промежутков, на которых Ρ" сохраняет знак, не больше η - 1,
\Ρ"(χ)\
а интеграл по каждому такому промежутку от дроби J—^г не боль-
t
ше —. 2 и, следовательно, ГezPM<i;c ^ ~, если |Р'(х)| ^ α на
5
М-
Число тех промежутков [5, г] С [0, 1], на которых производная
мала (|Р'(лс)| < а), меньше п. Так как подынтегральная функция
ограничена, то остаётся оценить сверху длины таких промежутков.
Положим Δ = t — s. В силу неравенства А.А.Маркова (см. решение
задачи 1.2.22) на промежутке [s, t] мала и вторая производная:
\P"{x)\<i(n-l)2a.
Повторное применение этого неравенства даёт оценку сверху третьей
производной на [s9t] и т. д. В частности, при к = 1, 2,..., η мы имеем
и"м|<2"'('-'";^'-"")'^о(^)
(здесь и далее постоянные в О-членах зависят лишь от п). Можно
считать, что Ρ(s) = О (этого можно добиться, заменив многочлен Р(х)
многочленом Р(х) = Р(х) — P(s), так как такая замена сохраняет сум-

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Асимптотика интегралов
371
му коэффициентов |αι| + ... + |αΛ| и абсолютную величину
интеграла 1(Р)). Разложив многочлен Ρ по степеням (х — s), получим оценку
сверху для его производных в нуле: |р(*)(0)| = θ(-^-\ Поэтому
л- Σ Μ- Σ ЧР"-о(^).
Отсюда следует, что Δ = О(^).
Дополнительную информацию об оценках интегралов 1(Р) можно
найти в книге [АКЧ].
§ 2. Метод Лапласа
2.1. Ясно, что в точках, отличных от нуля, подынтегральная функция
экспоненциально убывает с ростом п. Поэтому значения функции f(x)
в точках, лежащих вне сколь угодно малой окрестности нуля, не
сказываются на значении искомого предела. Вблизи нуля функция /
принимает значения, мало отличающиеся от /(0). Поэтому можно
предположить, что этот предел пропорционален /(0). Докажем, что он
равен /(0), используя близость χ и sin x в окрестности нуля и
равенство
π/2
•ι
sin* cos"x dx = -7τ —► 1 ·
/1+1
о
Для этого запишем интеграл в виде
π/2 _
In = j f{x)sinxcosnxdx, где f(x) = ^/(*) ·
0
Ясно, что / G C([0, |]) и /(0) = /(0). Надо доказать, что nln -+ /(0).
Достаточно рассмотреть лишь случай /(0) = 0 и доказать, что тогда
nln —> 0. Для этого заметим, что для любого числа ε G (0, ^)
выполняется неравенство
ε . π/2
|/„I<|J...| + |J\..
^
^ max 1/1 Г sinjccos" jcdx + cos'z£ Г \f(x)\dx
[Ο.εΐ J J
[0,ε]
1 J о о
-±т max \f I + О (cos" ε).
"+1 [0,c] ' ' V У

372
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
Поэтому n\In\ ^ maxr0)£:] |/| + 0(ncosn ε). Взяв ε достаточно малым,
можно сделать сколь угодно малым первое слагаемое, а затем,
устремив η к бесконечности, добиться малости и второго слагаемого.
2.2. Сделайте замену переменной у = χ у/А.
2.4. Проверьте, что интеграл по каждому промежутку [d, с],
О < d < с, экспоненциально убывает при А —> +оо.
ъ
2.5. Можно считать, что I f(x)dx < +оо. В противном случае
а
следует заменить / функцией / = qfof, где Aq столь велико, что
Ф(А0) < +00·
а) Интеграл Ф(А) убывает с ростом А, так как φ(χ) < 1 на (α, b).
Для любого числа а € (а,Ь) справедлива оценка Ф(А) сверху:
а Ъ
Ф(А) ^ f f(x)dx +φΑ(α) f f(x)dx .
a a
Выбрав число а достаточно близким к а, сделаем первое слагаемое
сколь угодно малым (для всех А), а затем, устремив А к бесконечности,
сделаем малым и второе слагаемое.
б) Можно считать, что Φ (А) < 1. Зафиксировав произвольное ε > О,
подберём число а Е (a,b) столь близким к а, что φ (а) > е~£. Тогда
а а а
Ъ{А) > ^... > φΑ{α) I f(x)dx > е~АЕ^ f{x)dx .
а а а
а
Так как jf(x)dx>0, то отсюда следует, что j
а
при достаточно больших А.
в) Достаточно указать такую функцию φ, что Ι φΑ(χ)άχ ^ 2ω(Α)
О
для больших А (заменив здесь ω (А) на ω2 (А), получим нужный
пример). Для этого построим такую возрастающую функцию f(x),
(К/(*К 1,™
1
ψ(Α) = Г f{x)e~Axdx ^ 2ω(Α) для больших А.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 2. Метод Лапласа
373
Заменой переменной t = F(x), где F — первообразная функции /,
интеграл, стоящий в левой части неравенства, приводится к виду
τ
(<pA(t)dt с <p(t)=exp(-F-l(t)) и T=F(1).
О
Итак, пусть ω (А) = е~Аа^А\ где а(А) строго убывает к нулю и Аа(А)
неограниченно возрастает при А —> +оо. Тогда
а(А) 1
Ф(А)= j ...+ J ... ^/(α(Λ))+^-Λα(Λ)-/(α(Λ))+ω(Λ).
О α(Λ)
Поэтому Ψ (Λ) ^ 2ω(Α)9 если /(α (Λ)) ^ ω (А). Например, можно взять
f(x)=co(a-l(*)).
г) Можно считать, что а = О, Ь = 1 и что функция ω (А) строго
убывает (в противном случае её можно заменить на ω (А) + ^). Положим
ω (А) = 3ω(Α) и определим функцию φ равенством <р(лс) = 1 — ^^—,
если 0 < χ < ώ(1). Так как ω (А) < 1 для достаточно больших А, то
5(1) 5(A)
о о
> S(A)(1 - i)A = 3ω(Α)(1 - i)A ~ | ω(Α).
Поэтому оцениваемый интеграл не меньше ω (А) для всех достаточно
больших А.
д) Интеграл по промежутку \β, b) экспоненциально убывает.
е) Для любого а Е (a,b) имеем
а
\φ(Α)-Φ(Α+Η)\^Ι\ΐ-φΗ(χ)\φΑ(χ)/(χ)άχ+ο(Φ(Α))^
ζ(\1-φ»(α)\+ο(1))Φ(Α).
Взяв а достаточно близким к а, получим требуемое.
2.6. Можно считать, что а = О (в противном случае следует сделать
замену переменной χ = χ — а).
а) Из неравенства 1 - t > e~(t+t \ t 6 [О, ^], следует, что для
достаточно малых χ > О, скажем ;с ^ Δ, при всех А > 0 справедлива оценка
снизу
φΛ(χ) > (1 - Lx^)A > e-ALxpe-AL2x2P ^ e-ALxP^ _ Α[2χ2ρ^ ^

374
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
После этого остаётся заметить, что
f^ = £iili)(l+0(l)) и }AL2x2P-^=o(-±-).
J eAUP {AL)VP V V П J e^p \AVp)
О О
Из этих рассуждений вытекает и утверждение б), так как в этом
случае константу L можно взять сколь угодно малой.
Доказательство утверждений в) и г) проводятся аналогично. При
доказательстве в) следует использовать неравенство 1 — lxp ^ е~1хР.
2.7. Совсем короткое доказательство получим, если воспользуемся
утверждениями а) и в) предыдущей задачи, взяв коэффициенты L и /
сколь угодно близкими к С (интеграл с весом (х — a)q заменой
переменной χ н-> (χ — я)^+1 сводится к интегралу с единичным весом).
Однако из этого рассуждения не сразу видно, каким образом можно
оценить погрешность получаемого асимптотического равенства.
Учитывая важность обсуждаемого результата, мы дадим ещё одно
доказательство, из которого нетрудно получить эффективные оценки
погрешности, возникающей при применении формулы Лапласа. Отме-
ъ
тим, что, имея дело с конкретным интегралом \φΑ(χ)άχ, целесооб-
а
разно и это рассуждение уточнить, используя особенности, присущие
рассматриваемой функции φ (см. задачу 2.12).
ъ
Чтобы не загромождать изложение, будем считать \φ{χ)άχ < +оо
а
(см. задачу 2.5е)). Кроме того, мы можем (и будем) считать, что
а =0.
Из условия следует, что функцию φ можно представить в виде
φ{χ) = е-Сх'(\+е(х))9 где ф) _> о.
х—>0
При большом А функция φΑ имеет в нуле резко выраженный
максимум. Поэтому величина интеграла Ф(А) определяется интегралом
от φΑ по сколь угодно малой окрестности нуля (см. задачу 2.5 д)).
В этой окрестности функция φ(χ) = е~СхР^+£^ ввиду малости ε(χ)
почти совпадает с функцией гр(х) = е~СхР. Поэтому интеграл Φ (А)
естественно сравнить с интегралом
+оо +оо
Ф(А) = Г ipA{x)dx = J e-ACx"dx
0 0

И РЕШЕНИЯ ·
§ 2. Метод Лапласа
375
(не играющая существенной роли точка Ь заменена для удобства
вычислений на +оо). Ясно, что
о о
Достаточно (см. задачу 2.5 д)) доказать, что при А —> +оо
β β
φβ(Α) = (φΑ{χ)άχ ~ ЩА) = je~CAxPdx
О О
при некотором β G (О, Ь). Поскольку Ψβ(Α) χ Ψ(Α) χ А-1/*7, нам
нужно проверить, что Φ β (А) - Ψ β (А) = о(А~1/р). Возьмём число β столь
малым, что ε(χ) ^ — А и, следовательно, φ(χ) ^ e~CxPf2 для всех χ из
интервала (0,/?). Пусть ещё а = А~1^2р\ Ясно, что
β α β
№p(A)-4>p(A)\<f\<pA(x)-iPA(x)\dx=j...+j...=Jl(A)+J2(A).
О 0 α
Сначала, пользуясь неравенствами φ(χ), ψ (χ) ^ е~СхР/2, оценим
интеграл У2(^):
J2(A) < 2 J e~CAxP/2dx = ^rP j e-c»Pl2du.
a aA\/P
Так как αΑ1^=Λ1/(2^ —>+oo, то отсюда следует, что Уг(^) =о(А-1^).
Чтобы получить подобную оценку для интеграла J\ (А), воспользуемся
неравенством \es — el\ ^ \s — t\(es + е*)9 из которого следует, что
\φΑ(χ) - ф*(х)\ < ϋΑχΡ\ε{χ)\{φΑ{χ) +ψΑ(χ)) ζ 1С А ggl.
Поэтому
J1(A)^2CA sup |ф)|Г-^-^^Е Sup |ε(*)|.
0<χ<α ^ е 0<х<а
Осталось заметить, что sup \ε(χ)\ — > 0 при А —> +оо, поскольку
0<*<α
α = Д"1/^) _+ о. Таким образом, J χ = ο(Α~ι/ρ).
Очевидно, в доказательстве в качестве бесконечно малой а (А)
не обязательно брать А-1/(2^). Важно лишь, что а (А) --► 0
и А^/ра(А) —> +оо при Λ —> +оо. Это позволяет уточнить явление

локализации:
а+а(А)
Ф(А) ~ Г q>A(x)dxy
а
если а(А) ->0и Л1/^^) —> +оо при Л —> +оо.
ft
2.8. Пусть Ф(Л) = \ f (χ)φΑ(х) dx. Достаточно доказать, что
а
Ъ
(\f(x) -g(x)\<pA(x)dx = о(Ф(А)) при А -> +оо.
а
По условию |/(дг) - g(x)\ = ε(χ)/(χ)9 где lim ε(χ) = 0. Так как для
χ—>α+0
любого « G (а, Ь) справедливо соотношение
Ь а
j\f(x)-g(x)\<pA(x)dx = je(x)f(x)<pA(x)dx+o(<t>(A)) <
< ( sup ε(χ)+ο(ϊ))Φ(Α),
α<χ<α
то, взяв а достаточно близким к α, получим требуемое.
2.9. Используйте асимптотическую формулу Лапласа.
в) Сделайте замену переменной t = xp+l.
г)-е) Примените результат задачи 2.8.
ж) Сделайте замену переменной χ = Ay.
и) Применив результат задачи 2.8, замените sinx на х, а затем
сделайте замену переменной t = х2~р.
к) Применив результат задачи 2.8, замените cosjc на cos2x.
л), м) Разложив интеграл на сумму интегралов по промежуткам
(—оо, 0], [0, оо) и сделав в первом из них замену переменной χ ι—> —χ9
воспользуйтесь результатом задачи 2.8.
н) С помощью результата задачи 2.6 г) покажите, что основной
вклад даёт интеграл по промежутку [А, 1].
о) Пользуясь тем, что при ρ > 0 основной вклад в интеграл даёт
окрестность единицы, покажите, что множитель хрх можно заменить
на 1. При ρ < 0 основной вклад даёт окрестность нуля. Там также
можно заменить хрх на 1.
2.10. в) Сравните вклады, вносимые окрестностями точек χ = 0,
х = 1 и χ = 2.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 2. Метод Лапласа
377
2.11. Пусть θ = ——. Заменой переменной t = (^) χ задача
сводится к изучению интеграла
оо _
J{A) = Г tre-A^dt, где А = (СМ*)* и ψ(ή = г* + ^ .
О
Минимум функции ψ(ί) достигается в точке ^ = (|) ·
Остаётся воспользоваться формулой Лапласа:
2.12. Пусть
7 +оо
(Л) = J (^4+4jc+4)A *
График подынтегральной функции φΑ имеет ярко выраженный пик
в точке xq = —1, по мере удаления от которой функция быстро
убывает (при А = 100: φΑ(χ0 ± 0,1) < 4,3 · 10~3, φΑ{χ0 ± 0,2) < 5,5 · 10~9,
φΑ(χο±095) < Ю-31). Поэтому соображения, использованные при
выводе асимптотической формулы Лапласа, в полной мере
сохраняют свою силу. Из неё следует
+оо
Ф(А) ~ Ψ(Λ) = Г е~6Ах2 dx = yf£.
— ОО
При А = 100 мы приходим к приближённому равенству
Ф(ЮО) и Ψ(100) = 0,1 J\ « 0,07236... (*)
Убедимся, что оно даёт значение нашего интеграла с требуемой
точностью. Для этого мы по существу повторим с некоторыми уточнениями
вывод формулы Лапласа, приведённый в решении задачи 2.7.
После замены переменной t = χ + 1 получаем
+00 +00
Φ(Λ)= J (,«-нь+4)А = J τ;^γ'
—оо —оо V Γψκ 'J
где ψ(ί) = t2(6 — 4ί +11). Легко видеть, что ip(t) убывает при t < 0
и возрастает при t > 0.

378
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
Пользуясь выпуклостью степенной функции, нетрудно доказать, что
Ф(Л) > Ф(Л):
оо
ф(л) = J (о + т)~А + (ι + *(-о)"А) * >
о
ОО л ОО ОО
О 0 0
Поэтому в нашем случае вместо оценки абсолютной величины
|Ф(Л) — Ф(Л)| достаточно оценить интеграл Φ (А) сверху. Заметим, что
ОО
ψ(ί) ^ ψ(—ί) при t ^ 0, и, следовательно, Ф(Л) ^2 | (1 + Ψ{ί))~ dt.
о
Чтобы оценить сверху последний интеграл, разобьём промежуток
интегрирования на два: [0, Δ] и [Δ, -foo). Как видно из задач 2.2 и 2.3
(см. также замечание после решения задачи 2.7), существенный вклад
в Φ (А) вносит интегрирование по малой (порядка -у=) окрестности
нуля, а интеграл по внешности этой окрестности мал. Мы убедимся,
что при А = 100 для наших целей достаточно взять Δ = -~ = -^.
Ясно, что _L__ _ b(l+m) ψ{ή+ίψΐ{ί)
На промежутке [0, Δ] выполняется неравенство
ψ{ή - \ ψ2(ή > (6 - 4ί - nt2)t2 > 5,43ί2 ,
и поэтому
Δ оо
ί-^Τ7 < ί -ЦЬ = 'гхЯПА) < 0,526Ψ(Λ).
ο (1+*('>) о е
Так как V'(i) = 4ί(3 - 3ί + ί2) > 1 при t > Δ, то
ОО ОО
^ (ΐ+*(0) д (ΐ+*(0) 99(ΐ+*(Δ))
Итак, Δ οο
Ψ(ΑΚΦ(Α)<2(]\.. + J...) < 1,054 Ψ(Α).
0 Δ
Поэтому относительная погрешность равенства (*) меньше 5,5%.
Более точные подсчеты показывают, что Ф( 100) = 0,07267...,
и следовательно, реальная относительная погрешность равенства (*)
меньше 0,5 %.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 2. Метод Лапласа
379
2.13. а) Пусть лсд — точка максимума подынтегральной функции.
Легко видеть, что лсд —> 1 при А —> +оо. Сделав замену переменных
χ = 1 + г, получим
•^>-7(й&)а£-/+7+7-''+''+"·
-1 -с £ -1
Так как
ε
h= { exp(-f ί2 - y/At + 0(Ar3)V,
—ε
то в случае Α ε3 —> 0 имеем
1+εν^4
/l = (1+*(1)) У? J ^2/2jM.
Поэтому 1\ ~ \1^τ~·> если £V^ "~* °°· Пусть ε = Λ-2/5. Β этом случае
интеграл /2 легко оценивается сверху:
+оо
ε
Для оценки интеграла /3 проверьте, что подынтегральная функция не
убывает на промежутке [—1, -ε]. Поэтому
б) Сделайте замену переменной χ =Ау. Считая А > 1, с помощью
формулы Тейлора изучите интеграл по промежутку [О, А-2/3].
Интеграл по промежутку [А-2/3, 1] оцените сверху, пользуясь убыванием
подынтегральной функции.
в) Сделав замену переменной t = — In лс, получим
1/е оо
Г е^ dx = Г £>-/~7 </г + 0(е~А) .
О О
После замены t = y/As остаётся воспользоваться асимптотической
формулой Лапласа (с параметром у/А вместо А).
г) Сделаем замену переменной t = - In x. Тогда
l/e . 00 д оо
jf(1 + ufe) dx = J(1_0 e-'dt= ffA(t)dt.

380
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
Наибольшее значение /д(0 принимает в точке Гд = 2 « у/А.
Поэтому мы разобьём промежуток интегрирования на две части
следующим образом:
оо оо
J7a(0* = f + f =/i(A)+/2(A).
ι ι Va/з
Как легко убедиться, I\(A) = 0(^у/Ае~^А). Выясним теперь, какова
асимптотика /2(A). Очевидно, что
оо
/2(А)= j ехр{-г-А(1 + ^ + 0(1))}л.
V^/3
После замены г = >/Α$, используя результат задачи 2.8, получаем
оо
/2(А) = л/А / exp{-V^(. + i) - ^ +°Ш}Л ~
1/3
1/3
Для исследования последнего интеграла следует воспользоваться
асимптотической формулой Лапласа (с параметром у/А вместо А).
2.14. а) Обозначим исследуемый интеграл 1(A). Ясно, что основной
вклад в него даёт сколь угодно малая окрестность нуля. Сделав замену
переменной t = Ajc, получим
Λ/2 2 Λ/2
AJ(A)= j e'(ln'-lnA)A = J\..+ j ...=Ji(A)+J2(A).
0 0 2
Так как подынтегральная функция в /2(А) достигает наибольшего
значения на одном из концов промежутка интегрирования, то
h{A) < d ^2(1„2-1„A) +g-A(ta2)/2J = 0(Г)
Используя результат задачи 2.8, получаем
2 2
/l(A) = JVln' · e"'lnAA - JV'lnAA = ^^ .
0 0
б) Оцените сверху интегралы по промежуткам [О, ;щт] и [^р-, l].
Рассматривая интеграл по оставшемуся промежутку, воспользуйтесь
соотношением |1плс| = (1 + о(1)) 1пА при χ G [д^д, ^χ^]·

И РЕШЕНИЯ ·
§ 2. Метод Лапласа
381
2.15. Будем считать, что гр(х), Θ(χ) —> 1 при χ —► 1, так как в
противном случае можно, сохранив асимптотику интегралов (см. 2.5 д)),
подходящим образом изменить эти функции вблизи единицы. Тогда
ι ι ι
f(\-iP(x))Adx = f(\-y)Adip-l(y)=Af(l-y)A-lip-\y)dy.
0 0 0
Аналогично записывается интеграл от функции θ(χ), после чего
остаётся воспользоваться результатом задачи 2.8.
2.16. По условию для некоторого С > 0 вблизи точки а
выполняются неравенства
\ψ(χ)-θ(χ)\ ^αρ2(χ) и ±φ(χ)*ζθ(χ).
Не умаляя общности (см. задачу 2.5 д)), будем считать, что это
верно на всём промежутке [а,Ь]. Зафиксируем положительное число ε
и выберем такое δ Ε {a9b]9 что ψ (δ) = ε/у/А. Тогда, пользуясь
неравенством \е* — 1| ^ el'· — 1, мы получаем для χ Ε [я, δ]
\е-А*{х) _ е-Ав(хЦ ^ e-AiP(x)(eACip2(x) _ j) ^ ^Ce2 _ \)6-Αψ{χ) ^
а для остальных χ
\е-Аф(х) _ е-Ав(хЦ <j е-Аф(х) + е-Ав(х) ^ ΐ6-Αψ{χ)β ^ 2б>-^/2.
Поэтому
ъ
|Φ(Λ)-Θ(Λ)| < (eCs:2 -\)Ц(А) + 2е-£^12 jf{x)dx.
а
Так как 1η Ψ (Λ) = о (у/А), то отсюда следует, что с ростом А отношение
|Ф(А)-0(А)|
1 ч ы(А\ становится сколь угодно малым.
Аналогично доказывается, что Ψ(Λ) ~ Θ(Λ), если для
некоторого ρ > 1 выполнены условия ψ(χ) - θ (χ) = θ(ψρ(χ)) при χ —► а
и 1ηΨ(Λ) = о (А р) при А —> +оо.
О функции / мы не делали никаких предположений, кроме
интегрируемости. Однако из условия 2) следует, что она не может
слишком быстро стремиться к нулю при х-+а. Например,
если
f(x) = e-ΟΛΚ*)) 9 ъ < +оо, то взяв Se(a,b) таким, чтобы

ψ (δ) = А ^3, мы получим
δ b
Ψ(Α) ^ {f{x)dx+\e-A+Wdx = 0(е~А2/3)у
α δ
и условие 2) не выполняется.
В условии 2) заменить о(у/А) на О (у/А) нельзя — см.
задачи 2.13 в) и г).
2.17. Проверьте, что выполнено условие 2) предыдущей задачи. Для
этого воспользуйтесь результатом задачи 2.11 при г = 0 и q = p.
2.18. После замены переменной t = х(1 + и) получаем
оо +оо
Γ(1+*) = /ί**-'Α =*(f)* j (i±*) Л.
О -1
Остаётся воспользоваться асимптотической формулой Лапласа.
Производные исследуются аналогично:
оо оо
Г('>(1 +х) = j t\nrtdt = ^ j (ψ) (tox +ln(l +t))rdt =
О -1
-1
По формуле Лапласа для интеграла со степенным весом (см.
задачу 2.7 с q = 1 и q = г) мы получаем
r(r)(l+jc)=r(l+jc)lnrjc + o(^lnr-1Jc) -
= Γ{1+χ)Ιη'χ(ΐ+θ(·^)).
2.19. Используйте формулу Стирлинга.
2.20. Решение аналогично решению задачи 2.18.
2.21. а) Пусть φ(χ) = χ + 9у/х (Θ = θ(χ)). В силу результата
предыдущей задачи равенство
lim гГГГ\ ί txe~l dt = \
д-_^+00 Г(1+дг) J 2
О
равносильно равенству
Х+ву/х
lim * , Г txe~ldt = 0.
л:-++оо Г(1+дг) J

И РЕШЕНИЯ ·
§ 2. Метод Лапласа
383
Сделав замену переменной г — χ + у/хи и воспользовавшись формулой
Стирлинга, получаем, что оно равносильно соотношению
О
которое справедливо лишь в случае Θ(χ) —> 0 при * —> +ос.
б), в) Доказательства этих утверждений аналогичны доказательству
утверждения а).
2.22. Рассмотрим интегралы
ι ι ι
I(A) = ffA(t)dt = f{l-f(l-t))Adt = f(l-f(t))Adt.
0 0 0
Из двойного неравенства (см. Ш.3.14) cta ^ f(t) ^ Οσ, где σ = log3 2,
сразу следует, что /(А) имеет порядок убывания Α-1/σ. Для более
детального исследования поведения интеграла 1(A) при А —► +оо
воспользуемся результатом задачи 2.17:
1 1
1(A) = J(l - f(t))Adt ~ 7(A) - fe-Wdt.
о о
Вычислим интеграл У (А). Из равенств f(^+t) = ^+f(t) при
ί G [0, i] и /(i) = i при г G [5, f ] следует, что
1/3 1/3 , ν
J(A) = J rA% + j ,"д/2 + J e-A(-2+m*dt =
0 0
1/3
= 1 e-A/2 + (! + ,,-Α/2) J β-Α/(ί)Λ =
= J e-A/2 + 1 (H_ e-A'2)je-AfWdt.
Так как /(^) = 4/(ί)> то мы имеем
J(A) = \e-A'2 + \(l+e-A'2)j($)
или
2J(A)
+ 7
1 "(i)
1-е-4 35Ц Т3 l-e-VZ-

384
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
Применив это тождество к раз, получим
2J(±)
\-е~А 3sh4 32sh4 ^'"^ 3*sh^- 3* 1-*-*/* *
2 4 2*
В возникшей сумме последнее слагаемое есть θ((?) ) при к —► +оо
и фиксированном Л. Следовательно,
2У(А) =у^ 1
1-^"л £, 3'sh^ *
к>\
2*
Поэтому
/(Α)^(Α)4Σ^τ·
^1 3 sh27
Представив параметр А в виде А = 2W+M, m G N, w G [0, 1), получим
ι\ ) ~ 2 ,4-*, 3*sh2m-*+" 2-Зт+и .^ 3;-"sh2"-; '
κ^Ι J>—m
Таким образом, 1(A) ~ Л 1/σ^(ί/), где
в^и) = 5 Σ 3;-«sh2«-; = 5 Σ
3"+у*
_™ ^ эил - - ._™ sh2"+>
— непрерывная положительная 1-периодическая функция. Так как
0(n)=0(log2A),TO
7(Λ)~Λ-1/σ0(1οβ2Λ).
В частности, при А = 2п имеем
//*(0Л = /(2И)~£, где С^(0)^Е^у.
о •/GZ
1
2.23. Рассмотрим более общий интеграл Ф(А) = Г tAdf(t). Так как
О
/(0 + /(1-г) = 1,то
1 1
Ф(Л) = -jtAdf(\-t) =AJ(l-t)A-lf(t)dt.
О О
1
Поэтому (см. задачу 2.8) Ф(Л) ~Л Г(1 - t)Af(t)dt. Как следует из
О
результата задачи Ш.3.14, cta ^ f(t) ^ Ct° при некоторых С, с > О
и σ = log3 2. Поэтому Ф(Л) имеет порядок убывания Α~σ. Это позво-

И РЕШЕНИЯ ·
§ 2. Метод Лапласа
385
ляет (см. задачу 2.17) заменить (1 - t)A на е At:
1 1
Ф(А) ~AJe-Atf(t)dt = -е~А+ je-Atdf(t).
О О
Таким образом, !
Ф(А)~Ф(А) = (e-Atdf(t).
О
Вычисляя интеграл Ψ (А), воспользуемся тем, что значения канторо-
вой функции / на правой трети промежутка [О, т^у] могут быть
легко выражены через её значения на левой трети этого промежутка:
/(' + ψ) = fif) + ^ при t е [0, ^]. Взяв /ι=1, получим
1/3 1 1/3 1/3
Ф(А) = /···+/···=/ «"^/(О + f e-AV+i)df(t) =
0 2/3 0 0
1/3
= (1 + е-2А/3) j e-Atdf(t).
0
Продолжив этот процесс, мы получим после п-го шага
1/3"
Ф(А) = Π (ΐ+*_2Λ/3*) f e~Atdf(t).
Легко проверить, что при фиксированном А
1/3" 1/3"
о о
Поэтому .
к>\
Чтобы исследовать это произведение, представим параметр А в виде
А = 3™+", где т G N и и G [0, 1). Тогда
, , ч « о -im—k+u
_2^т-к+и\ 1-г l+g-2>3
*(A) = i Π (ι + ,-2·3"-*+")Π
1<*<ιιΛ 7 *>*
Отсюда следует, что Φ (Α) ~Α-σ^(ί/), где
^) = 2"Π(ι + ,-2·3"")Π
для всех и еШ. Ясно, что ^ — непрерывная положительная
1-периодическая функция. Поэтому ψ (и) = ^(log3A) и, следовательно,
\+е-
-2.ъи~ J

386
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
Ψ(Α) ~ A aip(\og2 А). В частности, при А = У1
1
jtydf(t) = Ф(3Л) ~ Ф(3Л) ~ 3~ni7^(«) = § ,
о
где
С = 0(0) = (1 + е-2) Π 1±^ (1 + е-2'*) .
§ 3. Асимптотика сумм
3.1. Решение аналогично решению задачи 1.1 (вместо
интегрирования по частям следует использовать преобразование Абеля).
3.2. При а ^ 1 воспользуйтесь соотношением (1 — ^) = 1 + 0(|),
а при α > 1 — равенством
^ = ΣίΟ-ϊ)*=*-+Σ ίΟ-^^'. + οί»1-")·
*^1 £>/ζα
3.4. Оцените снизу суммы ]ζ каа^
п/2^к^п
3.5. Выразите суммы Sn и σπ через числа tm = ]ζ &αΧ£ и вос-
пользуйтесь результатами задач П.2.6 б) ив).
3.6. Выразите суммы Sn и σ/2 через числа гт — Σ кахк и восполь-
к^т
зуйтесь результатами задач П.2.6 б) и в).
3.8. а) Зафиксируем произвольное число Μ > 1. Ясно, что
S[Mn]-Sn=n'-p(^^+o(l)).
Так как
5 [Ми] - sn = ^[Мп] + · · · + ап+\ ^ ап([Мп] - п) ^ (М - \)пап,
то для любого Μ > 1 справедливо неравенство
пР-\ fс. . с А _ М1-^-!
и—>оо и—>оо '
Jm^*n > ^ ^Т (5[М"1 " Sn) = (Μ-_1)(ϊ^)
Поэтому
ju\—p_ J
lim η^α„ ^ lim , n/1—г = 1

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Асимптотика сумм
387
Для доказательства неравенства lim прап ^ 1, покажите, что при
п—юо
т€ (0, 1)
От пРап < Пт ?f± (Sn - S\mn]) < ,/""^ , .
л—оо л—оо l-w V И"!' (l-iw)(l-p)
б) Рассмотрите последовательность an = -^ при 2k ^ η < 2*f'.
3.9. Решение аналогично решению задачи 3.8 а).
3.10. а) Обозначим левую часть равенства Л, правую — В. Докажем
сначала, что А ^ В. При этом можно считать В < оо и,
следовательно, ΥΙΟ,γι = О (in In ^). Отсюда сразу следует, что я„ < -^ для любого
/? < 1, и поэтому ряд Σ α\¥ε сходится для всех ε > 0. Заметим, что
в этом случае (см. задачу 1V2.8 а)) αεη(α\ + ... + ап) —► 0 при η —► оо.
Пусть α > а\. Для jc > 0 положим ш(;с) = Σ απ. Тогда /я(α) = 0 и,
в силу отмеченного соотношения, х€т(х) —► 0 при jc —► +0. Нетрудно
видеть, что для всех ε > 0 справедливо равенство
а а
Σ αιη+ε = - jx£dm(x) =ε^χε-χτη{χ)άχ.
0 0
По условию для любого числа В > В и для всех достаточно малых jc,
скажем для 0 < χ < с, справедливо неравенство т(х) ^ В In In А.
Поэтому
а с
Σ αιη+ε = ε (x£-lm{x)dx = Ο (ε) + εΒ \ χε~χ In In \dx =
0 0
l/e oo
= 0(ε) + ε£ J jc*"1 In In 1 Лс = Ο {ε) + В j ^ du. (*)
0 с
Оценим возникший интеграл при ε G (0, 1):
оо 1
( ^du^ const + Г ^ = const + In i .
ε ε
Таким образом, Σ αη*ε ^ #1η | + 0(1) при ε G (0, 1). Поэтому
Λ ^ В для всех Я > В, т. е. А ^ Я.

388
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
Доказывая неравенство В ^ А, будем считать, что А < +оо. Пусть
ε = ед —► 0. Так как
Σ αη^Ν^ί Σ ^+*)^<ΛΡΣ*ί+£. (**)
то для любого А > А и для всех достаточно больших номеров N имеем
Nfl/v ^ Σ αη ^ ^ε ln 1- Отсюда
In In ^ ^ lnlnTV - 1п(1 - ε) - In In (A In ±).
При ε = (ln/v)(lnln/v) это даёт lnln ^7 ^ 0 + °(!))lnln7V> и П0ЭТ0МУ
Таким образом, В ^ А для всех А > А, т.е. Ζ? ^ А.
б) Пусть А = ϊδη ε £ αιη+ε и В = ϊδη . * , Σ «л- Дока-
жем сначала, что Л ^ В. При этом можно считать В < +оо и,
следовательно, πα π = О (In ^). Отсюда сразу следует, что ап ^ -^ для
любого /? < 1. Дальнейшие рассуждения дословно повторяют
рассуждения пункта а) с тем отличием, что неравенство т(х) ^ В In In j
заменяется неравенством т(х) ^ В In j с соответствующей модификацией
выкладки (*).
Доказывая неравенство Я ^ еА, будем считать, что А < +оо. Пусть
ε = ε/ν —► 0. Из (**) следует, что для любого А > А и для всех
достаточно больших номеров N мы имеем Να^ ^ Σ αη ^N£j. Отсюда
1п^^(1-С)1п^ + 1п4.Приг-п^этодаёт1п^^(1+о(1))1пЛ^,
и поэтому
Σ аи^ЛР^(1+о(1))=*А + о(1).
ln(1/fliv) U^/v
Таким образом, β ^ еА для всех А > А, т.е. Ζ? ^ еА.
Покажем, что коэффициент е в правой части неравенства точный.
Зафиксируем произвольное (большое) натуральное число Q. Пусть
{Nj} — такая последовательность номеров, что
NJ+l-Nj=QJ2& (tf0 = 0).

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Асимптотика сумм
389
Рассмотрим ряд ]ζ ап, где ап = 2 @J при Nj < η ζ. Nj+\. Ясно, что
Чтобы оценить верхний предел этой суммы, представим с в виде
ε = Jj, где -±= :ξ θ ζ s/Q, m G N. Тогда
εΣ°^ = % + ΣφΙ2-θν-".
При больших Q последняя сумма мала:
^ " ι^ β* &, 2"δ* β"1 & ββ* ~~ β"1 β"1
(мы воспользовались неравенством r22-' < 2 при ί > 0). Поэтому для
больших Q справедливо неравенство
Оценим теперь величину j-ryi—г ]ζ α^. Пусть Nj < η ^ Ν/+ι·
Ясно, что интересующая нас дробь принимает наибольшее значение при
η = Ny+i и это значение равно У^ <2* ^ гЦ· Следовательно,
Н1М1^п 1П2
Таким образом, если неравенство
вьшолняется при некотором С > 0 для всех убывающих к нулю
последовательностей {ак}, то
и поэтому С ^ е.
3.11. Проверим правое неравенство (левое доказывается
аналогично). Пусть а > limn у/а^. Тогда ап < а2/п2 для достаточно больших η
(η > TV), и поэтому
^
о(})+ /
оо
ta2 dx
Ν

390
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
Таким образом, lim fit) ^ fа. Ввиду произвольности а получаем
t—>+оо z
требуемое.
Неравенство sup f(t) ^ ^ supriy/a^ доказывается так же. Чтобы
убедиться в точности коэффициента ^, рассмотрите
последовательность ап = 4г.
+оо +оо
3.12. Воспользуйтесь неравенством Г f(t)dt^(p(h) ^ Г f(t)dt,
h 0
где φ(/ι) = /ι ]ζ f(kh). Для немонотонных функций равенство неверно.
Например, если f(n) = 1 при любом л е N, то φ(^) = +оо. При этом
+оо
нетрудно добиться, чтобы интеграл Г f(t)dt сходился.
0
3.13. Используйте результат предыдущей задачи.
3.14. 3.15. Воспользуйтесь неравенствами
Я* + 1)*г j f(t)dt^f(k).
к
3.16. Достаточно оценить величину
Л+1/2
Δ* =/(*)- J f(t)dt (*=Λί,...,#)·
Λ —1/2
В пункте а) воспользуйтесь равенством
Л АН-1/2
Δ*= / (/(*)-/(*))* + J (№-f(t))dt.
А:—1/2 А:
В пункте б) с помощью интегрирования по частям докажите, что
Л JH-1/2
Д* = J (,_*+!)//(,)*_ J (, _*_!)//(,) Λ.
A: —1/2 к
В пункте в), ещё раз проинтегрировав по частям, докажите, что
к к+1/2
Δ* = 4 j {г-к + \)2Г'(г)А-\ j (t-k-\)2f'\t)dt.
Л—1/2 А:

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Асимптотика сумм
391
Заметим, что для гладких функций из равенства пункта в)
интегрированием по частям можно получить оценки разности Δ, содержащие
производные более высоких порядков.
Равенство в) — это частный случай классической формулы Эйле-
ра-Маклорена (см., например, [Бу2], [Ф]). В некоторых случаях
удобнее использовать такую модификацию этой формулы:
Ε /(*) = **ψ№ + ]f{x)dx + \ fw(i - {*})/"(*)«/*.
^ ^ Μ Μ
3.17. Ясно, что
Пользуясь формулой Тейлора, покажите, что
к+\
к
+оо
О
3.18. Воспользуйтесь результатом задачи 3.16 6). Проверьте, что
в возникающих при этом интегралах можно перейти к пределу при
3.19. После логарифмирования воспользуйтесь формулой Тейлора
и результатом задачи 3.14 а).
3.20. Пользуясь рекуррентной формулой
(п—а—\\ а (п—<*\
\ η ) а-п ν η ) »
задачу можно свести к случаю а < 0. Тогда 1η (η~α) = Σ 1η(1 - j).
l^k^n
Остаётся воспользоваться результатом задачи 3.14а). Заметим, что из
свойств Г-функции (см. задачу 2.19) вытекает равенство Са = гп|_ у
3.21. После логарифмирования в пунктах а) и б) используйте
результат задачи 3.15, а в пункте в) — задачи 3.16 в).
Так как
то

392
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
3.22. а)—в) Используя результат задачи 3.15, замените
суммирование интегрированием. Получающиеся при этом интегралы
рассмотрены в задаче 2.9 о). В пункте в) предварительно используйте формулу
Стирлинга.
г) Найдите асимптотику суммы последних [у/п] слагаемых и
покажите, что сумма остальных слагаемых достаточно мала.
3.23. Достаточно доказать, что
~ 2
Ση*_ еп
к>п
Для этого воспользуйтесь интегральным представлением остатка
в формуле Тейлора для экспоненты и результатом задачи 2.9 ж).
3.24. а), б) Найдём асимптотику сумм
Sn= Σ (Ckn)q\2k-n\P,
\^к<п/2
где q > 0 и р^ 0 — фиксированные числа. Так как числа Скп быстро
возрастают при 1 ^ к ^ ^, то основной вклад в Sn вносят слагаемые
с номерами, близкими к ^. Мы убедимся, что достаточно учесть
примерно и2/3 последних членов. В сумме пункта а) р = 0, и поэтому при
чётном η надо ещё учесть центральное слагаемое, но, как будет
видно из дальнейшего, оно пренебрежимо мало по сравнению с суммой
остальных слагаемых.
Предполагая, что η = 2m, положим
sm = 2-"(cv-c's2m= Σ *pdt)9·
Чтобы найти главную часть суммы sm, заметим, что при к > 1
рт—к
^Ъп _ т
С1п ™+к
l.1 , 1 + 2. т+к r\ L-s j ι l
Из соотношения 0 < — It — In j^ = 0(i3) (0 < t < i) следует, что
cZk f ί1 + 0(т-1/3)у-к2/т при к ζ m2/3,
CL " \о(е-тШ) при к>т2/\

Таким образом (см. задачу 3.15),
sm=(l+0(m-1^)) Σ kPe~lkl +o(l) =
„2/3
= (ΐ + Ο^-1/3)) j иРе-Уаи + 0(тР'2)~
1
О
Для получения окончательного результата остаётся проверить, что
C2L ~ -4==. Поэтому
S„~Cn'2"</, где r = tf±I, С = Г(^)^.
3.25. С помощью результата задачи 3.16 в) получаем
+оо +оо
J2e~x^= j e-^dt-\ J (t-[t}-{)2(e-x^)'t'tdt=I-J.
n^N N-l/2 /V-l/2
Интеграл / легко вычисляется. Для оценки интеграла J заметим, что
(е~х^У([ > 0. Поэтому
+°° - xjN- 2
N-l/2 uy/V-i
3.26. а) Из результата предыдущей задачи следует, что
б) Используя результат задачи 3.25, проверьте, что первое
слагаемое даёт основной вклад в сумму aN.
в) Разобьём сумму aN на две: ]Р ... + X] ..., где
ν = [TV1/3]. С помощью результата задачи 3.25 нетрудно получить
оценку второй суммы:

394
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
Рассмотрим теперь оставшуюся сумму
Так как jc/v(\/7V Л-η — у/Щ = -y=xN + 0(Ν~1^) для η ^ ν, то её
асимптотика легко находится:
Ν!ζη<Ν+ν 0^n<v ! e
3.28. Положим A = ψ~ι (±) и С = sup -^. Тогда
OO Л OO
Je-e*(,)A_A=_-a + j(e-e*^-l)dt + je-e*^)dt= -a+Ii+I2.
a a
Оценим интегралы I\ и Ιχ.
A A
|/i| < f(l-r£'W)A^ ftp(t)dt^eC (ψ'{ήώ < сСгр(А) = С;
Λ Λ = _£_*-**(>*) = £
егр(А) е '
3.29. а) -д) Пользуясь убыванием общего члена, замените
суммирование интегрированием (см. задачу 3.15). Для исследования
получающихся интегралов воспользуйтесь результатами задач 2.9 з) и 3.28.
е) С помощью неравенства (?) < и! < (ίΠ сведите задачу к задаче
пункта д).
3.30. Так как при фиксированном t G (0, 1) общий член ряда
стремится к нулю не монотонно, то к этим рядам не применимо
неравенство задачи 3.15. Следует отдельно рассмотреть частичную сумму,
в которой общий член возрастает, и остаток ряда, в котором общий
член убывает.
В пункте б) воспользуйтесь результатом задачи 1.6 г).
3.31. а)—е), з) Решения аналогичны решениям задач 3.29 и 3.30.
В пунктах б) и е) воспользуйтесь результатами задач V.1.23 и V.1.24.
ж), и)—м) Разложите общий член ряда в степенной ряд и измените
порядок суммирования.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Асимптотика сумм
395
3.32. См. указания к задачам 3.29—3.31.
3.33. См. [ГЛ]. Легко видеть, что τ (к) равно числу точек (и, ν) Ε Ν2,
лежащих на гиперболе uv = к. Поэтому сумма Sn = τ\ + ... + τη
равна числу точек (и, v) Ε Ν2, лежащих не выше гиперболы uv -- п. В
силу симметрии для вычисления Sn достаточно подсчитать число Sn
точек в множестве Ε = {(и, v) Ε N2 | uv ^ ny и ^ у/п} и учесть, что
точки, лежащие в квадрате [0, у/п] χ [0, у/п], входят и в множество,
симметричное Ε (сделайте рисунок). Это даёт
Sn = 2Sn-[y/^]2 = 2 Σ [%}-Ш2 = 2п Σ \~η + 0{φι).
l^k^y/ή Ык^у/п
Для вычисления возникшей суммы можно воспользоваться
следующим уточнением результата задачи Н.2.8:
l^k^N
которое легко проверить с помощью теоремы Штольца (задача П.2.3).
Более точную оценку Sn см. в [Ка].
3.34. Воспользуйтесь результатами задач IV.4.20 и 3.31 д), е).
Другое решение задачи а) получим, если воспользуемся результатами
задач 3.33, IV.5.10 и 3.30 б) при ρ = I.
3.35. а) Ряд Ф(г) = Σ <Р(п)*п сходится при |г| < 1, поскольку
\ηφ(η) = о(п). Так как φ(η) —> +оо, то (1 — ί)Φ(ί) —> +оо при
t —> 1 — 0. Ясно, что
(1-*)*(') =
= Ф(1) t + Σ (ф(« + 1) - φ(η))ίη+ι ~ Σ (Ψ(η + 1) - <Р(п)У-
Сумма, стоящая справа, заключена между величинами
s(t) = Σ <Р'("Г и s(t) = Σ Ψ'(η + l)t".
Осталось заметить, что это бесконечно большие функции,
эквивалентные при ί —> 1 — 0, так как F(i) = } s(t) — φ'(1).
б) Существование и конечность предела, определяющего
константу С, вытекает из результата задачи 3.14 а). Это влечет абсолютную
сходимость ряда Σ (ψ(η) ~ ψ(η ~ ') ~ φ'(Ό). Так как
(1-ήΦ(ή-Σ<Ρ'(η)*" =
= φ(1)/-φ'(1)ί + Σ {φ{η)-φ{η-\)-φ\η))ΐ\

396
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
то, учитывая непрерывность суммы ряда в правой части, мы получаем
(ι-0Φ(0-Σ </>'(")'"-
- φ(1) - φ'(1) + Σ (φ(η) - φ(η - 1) - φ1 {η)) = С .
3.36. а) Рассмотрим более общий ряд Σ е~Сп(\ - -^) (р > 1)
и заменим его интегралом
ОО д
/(A) = J*-C*(i-J.) Л.
1
Легко понять, что погрешность Δ(Λ) такой замены не
больше удвоенного максимума подынтегральной функции, которая
не превосходит е~Схе~А^хР. Поэтому Δ(Λ) = 0(е~КА Р ), где
К = (р + 1)(§) · Мы увидим впоследствии, что Δ(Λ) = о(1(A)).
Займёмся интегралом 1(A). Ясно, что при А —> +оо
1(A) = J е"с* <? А^ "^ 2.,2р ч- · ·') dx =
1
- j e~Cx~~P dx + 0(AJ e~Cx~~P ^) -
1 О
°° А °° А
- J e~C*~.^ Ас + О (A j e~Cx~~P^).
О О
Возникшие интегралы заменой переменной χ н-> А сводятся к
интегралам, рассмотренным в задаче 2.11, из которой следует, что
Поэтому Δ(Λ) = ο (/(Λ)),
б) Сначала действуем, как в пункте а), и получаем интеграл
оо /11 \
1(A) = je-Cxe-A^ + 2^ + -'Ux.
1
При этом погрешность есть 0(е~2^АС). Ясно, что
/(Д) = jV0^* + 2?) & + о(а JV^* + 2?) &) .

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Асимптотика сумм
397
Сделав в обоих интегралах замену χ = у/Ау, мы получим
1(A) = VA]e~^Cy + l\>-Wdy+o(Je-^Cy + $ е~& £).
О О
Асимптотика этих интегралов легко вычисляется с помощью формулы
Лапласа, и мы имеем
Следовательно, погрешность, возникшая при замене ряда интегралом,
достаточно мала.
3.37. а) Пусть т = [s], t = т - .у. Тогда
= &s{E£ki + o(b-°)) = &s(<p(s)+o(i)).
б) Асимптотика суммы находится так же, как в пункте а). При
а = Ь2 имеем
1 оо оо оо
(ib(s)ds= ί ^ = J- Г udu = _2_ Г и*-"</и =
JV^;as j shb/ 1пЬ j shM ln/; j ^^
О -оо О О
оо
= JL V Г '"у" = _1_ V ι _ я2
3.38. Будем исследовать асимптотику функции
sW = E^(i-^)A при л-+оо.
Идея предлагаемого решения состоит в том, чтобы, используя
соотношение (1 — t)A « e~At, заменить (1 — 4г) на е~А^2" и исследовать
асимптотику новой суммы. Оценивая погрешность такой замены,
следует иметь в виду, что S(A) ^ ^^ (такова оценка слагаемого с
номером ид = [log2A]). Из легко проверяемого неравенства
|(1 - t)A - e~At\ ^ At2e~At при А > О, t G [0, 1]
следует, что
5(A) = Σ ^ + θ(Α Σ *=££) = S(A) +0(Ασ(Α)).

398
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
Оценим сумму σ{Α) сверху:
Поэтому S(A) ~ S(A). Пусть t = log2A - пА. Тогда
S(A) = Σ φ;*-*-' = \ Σ t-'e-*-*.
к>— па 1с>—па
Следовательно, S(A) ~ ^р, где φ(ί) = Σ 2*~ке~2' — положитель-
к&
ная 1-периодическая функция. Окончательно, S(A) ~ —^—- и, в
частности, при А = 2т
Sm ~ £, где С = Σ 2*
3.39. Получите оценку сверху, применив к внутренней сумме
неравенство Коши—Буняковского. Для оценки снизу вычислите значение
функции в точке с координатами х^ = -у= (к = 1, 2,..., п) при
надлежащем г > 0.
3.40. а) Функция φ мультипликативна: q>(kl) = <p{k)q>{l) для
любых нечётных к и /. Поэтому если 2п + 1 = р^Р™3 · · · Р™к
(ГП2, · · · , ГПк €%*+), ТО
* '<P(Pj)\mJ _ у(2л+1) _ (-1)"
~~ (2л+1)* ~ (2п+\у '
π {ψ)
Теперь доказываемое равенство получается почти дословным
повторением доказательства аналогичного равенства 1.2.11 б).
б) Прологарифмируйте равенство а).
в) Воспользуйтесь равенством ]Р P^S —^n JZ\+0(1) (CM· 1-2.12 6)).
3.41. Достаточно рассмотреть лишь первую сумму. Обозначим её
символом iS/v и сравним с суммой ряда (см. 3.40)
*(*)= Σ }>
Pk =■ 1 mod 4 *
где s — число, близкое к единице (его выбор мы уточним позже). Мы
имеем
\*ы-с(*)\*Е±+1:{±-}г)=А + В.
Pk>N K Pk^N N к

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Асимптотика сумм
399
Поскольку ρ к χ &1п& (см. 1.2.13 и 1.2.14),
оо оо
' N/\nN /V/ln/V
~~ VCv-lJ/V^Mn/V/
Для оценки суммы В воспользуемся неравенствами рх -1 ^ хрх In /?
и 1.2.13 6):
ЖЕ <£^<(*-1)Е ^ = 0((s-l)InATj.
Pit^/V * pk^N
Осталось заметить, что А = 0(\) и В = 0(1) при 5 = 1 + гЛт.
§ 4. Асимптотика неявных функций
и рекуррентных последовательностей
4Л. С помощью интегрирования по частям докажите, что у(х) =
= —р^- е~х I1 при χ —> +оо. Поэтому
In у = -^ - lnjc + 0(1) - 2
*—>+оо
~ -^
Следовательно, χ (у) ~ л/2 In ^ при у —> +0.
4.3. а) При χ > 0 уравнение уе? =* имеет единственное
решение у(х). Ясно, что 0 < у(х) и у(лс) —> +оо при χ —> +оо. Так как
1пу(х)+у(л;) = 1п* (1)
и 1пу(лс) = о (у (χ)) при χ —> +оо, то у(лс) ~ 1плс. Для уточнения этой
эквивалентности положим у(х) = (1 + а(лс)) 1плс, где а(лс) —> 0 при
χ —> +оо. После подстановки в (1) и очевидных преобразований по-
луч,ш α(χ) = _tatoi _ uiO±fif)) ^ _ш«. (2)
v ' lnjc In* 1пл ν '
Для уточнения а(лс) положим а(х) — -(1 -f /К·*))!^· После
подстановки в (2) и простых преобразований получим β(χ) — р^, где
у(х) - 0.
Дальнейшие уточнения производятся аналогичным образом. При
этом нужно иметь в виду, что на заключительном этапе решения
следует использовать члены тейлоровского разложения 1п(1 + а(лс)) не
только первого, но и второго порядка.
б)—е) Решения аналогичны решению задачи а).

400
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
4.5. Очевидно, что искомых функций может быть не больше трёх.
Так как у(0) = 0, то мы будем искать решение в виде у =xmz, где
ζ (0) ф 0, стремясь определить ζ с помощью теоремы о неявной
функции. При т = 1 мы после сокращения на лс3 получаем для ζ уравнение
χ2 + ζ = ζ3, из которого следует, что ζ(0) может принимать
значения ±1. Из теоремы о неявной функции вытекает, что в окрестности
нуля существуют две гладкие функции, удовлетворяющие этому
уравнению: ζ±(χ) = ±1 + О (χ). Используя представление ζ с
неопределенными коэффициентами, этот результат можно уточнить.
При т = 2 мы приходим к противоречию: так как χ + ζ = χ2ζ , το
ζ (0) =0, что несовместимо с исходным предположением.
Наконец, случай т — Ъ даёт нам 1+ζ=χ4ζ3. Мы видим, что
г(0) = — 1, и снова можем применить теорему о неявной функции.
4.7. Пусть R — радиус шара, 2/ — величина
удлинения нити, h — искомая высота, а φ —
угол, образованный отрезками, один из
которых соединяет центр шара и узелок, а другой —
центр шара и точку касания нити с
поверхностью шара (рис. 22).
Сначала проведём приближенные
вычисления. Ясно, что при малых значениях φ
I = R tg φ - R(p и Ι φ3 .
Из последнего соотношения вытекает, что
Ψ ~ Ψο — \/¥ » и поэтому h « h
Рис. 22
5,6462... (здесь и далее величины R, I и h изме-
£ф2
2 φ0
Таким образом, h ?
ряются в метрах).
Убедимся теперь в высокой точности этого приближённого
равенства.
Ясно, что φ — решение уравнения tgx - χ = у с малой правой
частью у = ^ (при наших данных у < Ю-9).
Как хорошо известно (и легко проверяется дифференцированием),
χ — arctgjc < у при лс>0илс + у< tgx при 0 < лс < ?.
Следовательно,
< tgx — χ < -у- при 0 < χ < ~ .

И РЕШЕНИЯ · § 4. Асимптотика неявных функций... 401
Поэтому для решения уравнения tgjc — χ =у на промежутке (0, j)
имеем двустороннюю оценку
arctg у/Зу < χ < у/Ъу .
я>1
В частности, при у = ^ = -у отсюда следует, что arctg </>о < φ < <ρο·
Это позволяет дать двусторонние оценки для h. В самом деле,
А = _J ι < _!__!<.
R COS φ СОБфо
С другой стороны, поскольку tg<p > </>о>
£ = >/l + tg2p-l> уГГ
Таким образом,
Учитывая, что Л = f </>o> MbI получаем
-^h<h-h<:
Следовательно,
ι*-*ι<2%
ТвккакфЬ2=(|)^ = (1^)^310-в<
1
Чоо2
<p2-l>
φ°2 в
Λ*·
2-«>о
гй.
1,8-10-
1 = ;
<Р2о
2
Λ тс
«Ό2
2-*>о2
™4
8
)
\h-h\ <h· ΙΟ"6,
т.е. относительная погрешность при определении h меньше 10-4%,
а абсолютная погрешность \h — h\ меньше 6 мкм (в несколько раз
меньше толщины волоса). Отметим, что длина дуги меридиана,
соответствующей углу φ, больше 8 км.
4.8. Пусть 0 < λ\(ε) ^ λι{ε) ^ Аз (ε) — собственные числа
матрицы Α (ε), соответствующей квадратичной форме, определяющей
эллипсоид. Как легко убедиться, λ\(0) = Аг(0) = L· Аз(0) = 2. Так как
собственные числа Α*(ε) и длины α*(ε) соответствующих полуосей
связаны равенством α^(ε)Α*(ε) = 1, то достаточно найти производные
Α£(ε)| =0. Характеристическое уравнение матрицы Α (ε) имеет вид
F(e, Я) = (1 - Я)3 - (| + 1(1 - С)2)(1 -Я) + ψ = 0.

402
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
Так как /^'(0, 2) φ 0, то мы легко получаем, что λ'^Ο) = — 4. С
определением А^(0), А^О) дело обстоит сложнее, так как ^(0, А) = 0. Не
касаясь пока вопроса о существовании этих производных,
воспользуемся для их вычисления тождеством Ff£{e, λ(ε)) + ^(ε, Α(ε))Α'(ε) = 0.
Дифференцируя его по ε, мы видим, что
F»(ε, λ{ε)) + 2F''x{t, λ)λ'(ε) + F»2(ε,λ(ε)) (λ'(ε))2 +
+ ^(ε,Α(ε))Α"(ε)=0.
Так как РЦО, \) = 0, F«(0, I) = -\, F£(0. j) = -J, F[i(0, J) = 3,
то мы получаем отсюда при ε = 0
12(А'(0))2-4А'(0)-1=0, (*)
что даёт нам два возможных значения для производных: ^ и — ^
Поскольку Αι (ε) +Я2(с) + Аз (ε) ξ 3 (это след матрицы Α(ε)), мы видим,
что λί(0) +λ£(0) +λ£(0) = 0. Следовательно, Aj(0) φ λ'2(0). Так как
Α!(ε) < Α2(ε) и А^О) = А2(0), то AJ (0) = -J, А£(0) = \.
Чтобы доказать существование производных AJ, А^, положим
А = i + ε/./ и докажем гладкость μ. Для μ = μ (ε) мы получаем
уравнение
α(ε,μ) - εμ3 - \μ2 - |μ + \μ + ± = 0.
При ε — 0 оно с точностью до множителя совпадает с уравнением (*).
Так как G^(0, i) ^ 0, G^(0, — g) ^ 0, то нам остается сослаться на
теорему о неявной функции.
4.9. а), б) Покажите, что уп = л(п + А) — jcw — положительная
бесконечно малая величина, удовлетворяющая равенству уп + ctgy„ =
= я (л + А). В пункте а) перейдите к эквивалентным величинам,
а в пункте б) воспользуйтесь двусторонней оценкой ^ < у + ctgy <
< у + ± при 0 < у < |.
4.10. Используя математическую индукцию, получите явное
выражение для хп.
4.11. Нетрудно видеть, что для любого числа а > 1 справедливы
неравенства
^) = rfe<^(1-')<4i = ^) ПРИ *е(о,1-£].

И РЕШЕНИЯ · § 4. Асимптотика неявных функций... 403
Итерируя функции φ и ψ, получаем двустороннюю оценку
т^г0^х"<ттк' если *ое(о,1-±].
1 q QQQ -з ι о
При η = 1000 и а = ^59 имеем усш ^ ^ ·*1000 < ^ Ю .
Следовательно,
о< ι ιο-3-χ100ο<^ιο-6.
4.12. Ясно, что хп I 0. Асимптотику последовательности {хп}
можно найти с помощью приёма, использованного при решении
предыдущей задачи. Для этого функцию / оцените в окрестности нуля сверху
и снизу функциями, рассмотренными в задаче 4.10, а затем сравните
их итерации.
Другое решение основано на следующих соображениях, которые
применимы и в более сложных ситуациях (см. задачи 4.16-4.19).
Рекуррентная последовательность хп = f(xn_\), xq > 0, очевидно,
сходится к нулю, если функция / такова, что 0 < f(t) < t для всех t > 0.
С помощью рисунка легко понять, что последовательность {хп}
быстро сходится к нулю, если разность t — f(t) велика, и медленно в
противном случае. Поэтому для нахождения асимптотики
последовательности {хп} целесообразно рассмотреть функцию φ(ί) —t— f(t). Тогда
рекуррентная формула принимает вид
Хп-Хп-1 = -<р(хп-\)·
Считая, что хп — это значение в точке η некоторой гладкой функции
0, определенной на [1, +оо), получаем
0(л)-0(л-1) = -φ(θ(η-1)).
Если приближенно заменить разность 0(л) — θ(η - 1) на производную
θ'(η — 1), то окажется, что функция θ удовлетворяет
«дифференциально
ному уравнению» 0' « —φ(θ). Решая его, мы находим I -ут- « л, т. е.
θ(η)
0(1)
д:я = в(л)«ф-1(л), где Ф(у)= j -4L.
У
Для обоснования этих эвристических соображений надо изучить
разности Ф(хп) —Ф(хп_\) и, используя данное рекуррентное
соотношение, убедиться в том, что они стремятся к единице. Тогда, сложив
равенства Ф(дс^) - Φ(**-ΐ) = 1 + о(1) при к = 1,..., л, мы получим

404
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
Ф(хп) = η + о(п), т.е. хп = Φ 1 (п + tf(n)). Иногда для упрощения
выкладок вместо функции Φ удобнее рассматривать функцию Ф, ей
эквивалентную. Например, в случае f(x)—x ~ —Сх1+Р, где С и ρ —
фиксированные положительные числа, имеем
У У
Рассматривая разность Ф(хп) — Ф(хп-\), получаем
Отсюда следует, что γτ—ρ = Ф{хп) ~ п, т.е. хп -■ 1
Срхрп ~W "' п (CpnyiP'
4.13. а) Проверив, что хп —> оо, воспользуйтесь идеей решения
задачи 4.12.
б) Уточним результат пункта а). Так как в случае С = 1 (общий
случай сводится к нему введением новой переменной хп = С~1/рхп)
справедливо равенство
*ρη-<-ι=<-^+χ-^τ)ρ-ή=ρ+οα),
то х% = пр + 0(\пп) = пр{\ + О(-^р)). Таким образом,
Хп = (пр)1'Р{1+уп),
где )>„ = ^(~^г)· Подставляя полученные выражения для jc„ и jc„_j
в рекуррентное соотношение, мы получаем с помощью формулы
Тейлора
nyn-(n-l)y„-i = ^+0(^).
Отсюда следует, что пуп = ^γ Inn + 0(1).
Lp
4.14. Достаточно решить следующую задачу: построить на (0, +оо)
такую функцию /, что последовательность хп= f{xn-\)
совпадает с наперёд заданной строго убывающей к нулю
последовательностью {ап}. Можно считать при этом, что ап = <р(п), где φ — стро-

И РЕШЕНИЯ · § 4. Асимптотика неявных функций... 405
го убывающая на [0, +оо) функция, lim φ(ή = 0. Тогда равенство
t—>+оо
/(jc„_i ) = *и = φ(η) равносильно равенству /(φ(η - 1)) = φ(η),
которому удовлетворяет, например, функция f(t) = φ{\ + φ~χ(ί)).
4.15. а) Так как хп > In л!, то хп — хп—\ rsj 21пх/г. Выведите отсюда,
что р2- ~ 2п и, следовательно, jcw ~ 2n In n.
б) Очевидно, что последовательность {хп} возрастает. Сложив
равенства jc^ — х/с_\ = -γ^- при 1 ίξ & ^ и, получим
χη-χο= Σ ^>Λ Σ ΐηλ~^.
Следовательно, η\пп = 0{х\). Поэтомухп | +оо к хп—х„_\ = -ψ1—>0.
Хп I
В частности, хп ~ хп-\- Это дает
*2 ~х1-\ ~Χχη -хп-\)х1_{ = 31ηη.
Таким образом,
х1=х0 + Σ (xl~xl-\)~ Σ 31п*~3л1пл.
4.16. Рассмотрите последовательности {х2п} и {·*2η-ι}·
4.17. Используйте прием, описанный в решении задачи 4.12. Для
этого сначала докажите, что хп | +оо. Используя при ε £ (0, 1)
неравенство
0<хп-хы = £
ι
. , *0+.··+** ^ [εη] '
εη^κ<η
докажите, что хп ~ *гс„]. Выведите отсюда, что lim } ^.'—- ^ 1 и,
следовательно, х\ + JC2 + . ·. + Хп ~ л*и· Поэтому
Λ5+ι -χ2η ~ ^π(^+ι -**) = ^0+2у;+^, - i,
откуда вытекает, что jc„ ~ 2 In п.
4.18. Сначала докажите, что хп f +оо, xn ~х„_ь xn = o(Sn), где
Sn = *о + · · · +*л-1· При 0 ^ /? < 1 последние два соотношения

406
VI. Асимптотика
• УКАЗАНИЯ
1-Р
очевидны. При —1 < ρ < 0 они следуют из соотношения хп ж п1+р .
Для получения оценки сверху заметим, что при ρ < 0
Хп-Хп-\ ^ (ПХП-\)~Р ,
и поэтому jc£+ - jc^j ^ (ρ + 1)и~*\ Следовательно, jc£+ =0(η1_ί7).
Оценку снизу хп ^ тп1+р можно доказать по индукции, если
выбрать число m G (0, 1) так, чтобы оно удовлетворяло неравенству
/ \-р \-1
™1+р^ (τί^ΓΜ(1 + ^)1+ρ "Ч Для всех neN.
Из этих соотношений получите последовательно
ДСЛ -*л-1 ~ ("2£)р-1^
и, наконец,
Р-1
п-\
1+р_ \+р_ ρ J+£
л-1 ^oo \-p\\-p) "P
t±P }+P_ i-p
ρ , ι. с. лп r^> i\p™
Итак, Хп~р ~ пКхр~\ т.е. jc,2 ~ Крп *+р .
4.19. Докажите последовательно, что хп | оо, ;сп ~ *и-ь *л = 0($л)>
где iSn = jCq + ... + χζ_γ- Последнее соотношение следует из
неравенства
хр хр
0 < lim -£- = lim -~— ^ lim -τ—ρ — τ ,
ьп Ъп кхп_к к
справедливого для любого фиксированного номера к. При ρ ^ — 1
выведите отсюда, что
^+1-<ί!~(ρ+1)ί~(ρ+1)(1η5„-1η5„_,).
Поэтому при ρ < — 1 существует конечный предел lim Sn = σρ, т. е.
jch - хп-\ = ~- + о(1), откуда jc„ ~ ~- = С^и. При /? > — 1
справедливо соотношение х„ ~ (р + 1) In 5^ —> оо. Используя теорему Лагран-

И РЕШЕНИЯ · § 4. Асимптотика неявных функций... 407
жа о среднем, докажите, что отсюда следует равенство
S„+l(lnS„+i)"^ -Sn(lnSn)~^ =(p+1)^+0(1),
Р_ _Р_
т.е. Sn(\nSn) p+l ~ п(р + 1)/'+1. Поэтому \nSn ~ Inn и, следовательно,
χζ+1 ~(p+l)lnS„~(p+l)\nn.
При ρ = -1 докажите по индукции, что хп = ,' _'.
Глава VII
Функции (продолжение)
§ 1. Выпуклость
1.1. Используйте индукцию (предварительно проверьте, что
выпуклая комбинация λ\Χ\ + . . . -f ληχη попадает в Δ).
1.2. Представив χ 2 в виде выпуклой комбинации чисел х\ и *з,
проверьте, что оба неравенства леммы совпадают с неравенством в
определении выпуклости.
1.3. а) Так как некоторые числа х} £ Δ можно брать одинаковыми,
то достаточно доказать неравенство Иенсена для среднего
арифметического q чисел (где q — общий знаменатель всех Яу). Докажите это
сначала для q = 2к. Проверьте, что если неравенство верно для
среднего арифметического q произвольных чисел, то оно останется верным
и при замене q на q - 1.
б) Воспользуйтесь пунктом а).
1.4. Можно считать, что р, q 6 Int(A). Пусть К = sup f(x). Сна-
p<x<q
чала проверьте ограниченность / сверху на любом
промежутке [с9d], (p,q) С [c\d] С (a,b). Для этого рассмотрите множество
Ε = {х е [с, d] | f(x) ^ С}, где С = max{/(c), f(d), К], и, используя
результат задачи 1.1.21, докажите, что Ε = [c9d].B случае
ограниченности сверху функции / на (/?, q)\Q проверьте, что / ограничена и на
(/?, q), поскольку каждая точка этого интервала есть середина
некоторого промежутка с концами в (/?, q)\Q.

408
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
Непрерывность / в точке χ Ε (с, d) следует из неравенств
Д££ < я*) - /(х - δ) < f(X+δ) - f{x) < ^4M.
где 5 — произвольно малое положительное число, а т и η —
наибольшие целые числа, для которых χ — τηδ, χ + ηδ Ε [с, d]. Среднее
неравенство очевидно, правое доказывается с помощью неравенства
Иенсена (см. 1.3 а)) для точек jc, л: + δ, χ + ηδ; левое — аналогично.
1.5. а) <& б) очевидно. Для доказательства импликации б) => в)
рассмотрите множество J£ = (J Я(Г+ - с), где с 6 R2 — точка графика.
А>0
Покажите, что К — выпуклый конус, К ^ R2, а затем возьмите
прямую, содержащую один из его граничных лучей. Для доказательства
в) => б) проверьте, что Г+ есть пересечение полуплоскостей.
1.6. Используйте лемму Бореля о покрытиях.
1.7. а) Пусть а ^ χ < у ^ ^-. Для проверки монотонности
функции φ представьте точки у и Ъ — у в виде выпуклых комбинаций
точек χ и Ъ — х, а затем воспользуйтесь выпуклостью.
б) Чтобы проверить возрастание функции ψ, достаточно проверить,
что ψ(χ\) ίξ Ψ(χ2) для всех паР х\ < χ2·> удовлетворяющих условию
х2 ~ х\ < п- Последнее следует из леммы о трёх хордах (см.
задачу 1.2), применённой к тройкам точек ху, Х2, х\ +h и χ 2, jc χ + Λ,
Xi)'=ft/(''^/(xiUft/(^:g<2) o/(*2+t/('2) =»(*2)·
1.8. Воспользуйтесь результатом задачи 1.7 б).
1.9. 1.10. Воспользуйтесь леммой о трёх хордах (см. задачу 1.2).
1.11. Проверьте, что неравенство Иенсена для одной функции
преобразованием χ н-> - переводится в неравенство Иенсена (с другими
коэффициентами) для другой.
1.12. Сведите задачу к случаю а = 0, /(0) = 0 и проверьте
монотонность функции —jp-,
1.13. Воспользуйтесь леммой о трёх хордах (см. задачу 1.2) и
задачей 1.7 6) для проверки монотонности по h и по χ разделённых разно-
стей гщ=т.
h

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Выпуклость
409
;f(f(x+t) + f(x-t)-2f(x))dt>0
1.14. Необходимость условия Lf(x) > 0 для выпуклости /
очевидна. Для проверки достаточности рассмотрите сначала случай, когда
Lf(x) > 0 для всех χ G (я, b). Пусть х\, х2 £ (я, Ь), ху < х2, и пусть
У — 8(х) — уравнение хорды, проходящей через точки графика с
абсциссами х\ и JC2- Положим f\ = f — g. Ясно, что Lf{ (x) = Lf(x) > 0.
Для выпуклости / достаточно, чтобы неравенство / у (х) ^ 0
выполнялось при всех χ G [jc ι, JC2]- Предполагая противное, убедитесь, что
Lf{{x) ίξ 0 в точке х, где функция fy достигает своего наибольшего
значения на [*ι,*2]· В общем случае (Lf(x) ^ 0) рассмотрите
функции fe(x) = /(■*) + £х2у ^ > 0, и перейдите к пределу при ε —> 0.
1.15. Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности
перепишите неравенство в виде
h
2h
0
и воспользуйтесь результатом предыдущей задачи.
1.16. Воспользуйтесь тем, что разделённая разность 1-а воз~
растает при Ъ | +оо и убывает при а \ — оо (это следует из леммы
о трёх хордах).
1.17. а) Воспользуйтесь равномерной непрерывностью и спрямите
график хордами.
б) Пользуясь пунктом а), замените функцию /
аппроксимирующей её кусочно линейной функцией gn, а затем подходящим образом
сгладьте углы графика gn.
Это можно сделать, например, так. Будем считать, что точки
излома gn+y содержат точки излома функции gn. Тогда
аппроксимирующая последовательность не возрастает. Поскольку gn, как легко
видеть, есть линейная комбинация с неотрицательными коэффициентами
функции — х, константы и сдвигов функции |jc|, достаточно научиться
приближать |jc| сверху С2-гладкими выпуклыми функциями.
Проверьте, что функция г ι ι ι ^
<р£(х) = \х\+тя*{0, §(!-¥)}
решает эту задачу с точностью до |. Пусть точки излома функции gn
отстоят друг от друга не меньше чем на Зп, Зп [ 0. Тогда, полагая
£„ = |и заменяя в определении функции gn слагаемые вида А\х — с\
на ΑφΕη(χ — с), получим требуемую аппроксимацию (проверьте её
монотонность по«).

410
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
Другую удовлетворяющую поставленным требованиям
аппроксимирующую последовательность (для промежутка [0, 1]) образуют
многочлены Бернштейна £,,(/*) (см. задачи 3.5 6), 3.8 6) и 3.15 а)). Их
графики представляют собой пример популярных в компьютерной графике
кривых Безъе (например, из таких кривых составлены контуры букв,
которыми набрана эта книга). Кривые Безье задаются по
упорядоченному набору точек Р^, k — 0, ..., и, на плоскости формулой
С(0= Σ PkCnktk(l-t)n-k, Г €[0,1].
Их преимущество перед многими другими в том, что они
определяются небольшим числом параметров и легко масштабируются
компьютером. В нашем случае Р^ — это точки графика (£»/(£)) функции /
(см. задачу 3.3 а)).
1.18. Воспользуйтесь леммой о трёх хордах (см. задачу 1.2) для
точек 0, χ — h, χ (0 < h < χ).
1.19· Будем считать, что η = 2т + 1 — нечётное число, так как
всегда можно добавить нуль в качестве последней точки. Для а ^ Ъ
функция χ н-> f(b + χ) - f(a + χ), χ > 0, возрастает (см. задачу 1.76)).
Следовательно,
f{<l2j)-f{P2j+\)>f( Σ (я2*-Я2*+1))-/( Σ (Я2*-Я2*+1))
для j = 0,..., т — 1. Кроме того,
f{^2m) ~ f{<*2m+\) > f(a2m ~ «2m+l) ·
Сложив эти неравенства, получим требуемое.
1.20. Опираясь на неравенство ап+\ — ап ^ ап+2 ~ ^и+ь докажите,
что
Р+Я ^ Я '
Истолкуйте это неравенство геометрически.
1.21. См. задачу IV.2.4.
1.22. Неравенства пунктов а), б) доказываются единообразно:
следует сравнить средний член /у = //(/), j = 1, 2, с аналогичным
выражением Ij(g), построенным для линейной функции g, которая
обращается в нуль на одном из концов промежутка [0, L] и имеет тот же
интеграл, что и /. При сравнении //(/) и Ij(g) полезно использовать
следующую простую лемму.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Выпуклость
411
Лемма. Пусть функции f\ и f2, непрерывные на отрезке [a9b],
ь ь
таковы, что \ f\(x)dx = \ f2(x)dx, и существует такая точка
a a
с е (a,b), что fi(x) ^/гС*) при χ < с и f\(x) ^ f2(x) при χ > с.
Тогда для любой возрастающей на [α, Ь] функции h
ь ь
jh(x)fx(x)dx>fh(x)f2(x)dx.
а а
Доказательство леммы немедленно выводится из равенства
ь ь
f(fi(x)-f2(^(x)dx=f(fi(x)-f2(x))(h(x)-h(c))dx9
а а
поскольку подынтегральная функция в правой части неотрицательна.
Левые неравенства пунктов в) и г) непосредственно вытекают из
неравенства Гёльдера. Их точность видна при / = const.
Правые неравенства в), г) легко доказать в случае, когда функция /
монотонна. Тогда можно применить приём, использованный при
доказательстве пунктов а) и б) (при этом характер монотонности
функции g должен совпадать с характером монотонности /). Пусть,
например, / возрастает и пусть g(x) = foe, где к = —. Полагая f\=g,
/2=/и используя тождества
L L
j{g2(x)-f2(x))dx = j{g(x)-f(x))(g(x)+f(x))dx,
О О
L L
j{g3(x) - f\*)) dx = f{g(x) - f(x)) {g2(x) +g(x)f(x) + f2{x)) dx,
0 0
следует применить лемму, считая, что роль h играют суммы g + f
и g2 + sf + f2 соответственно.
Если функция / не монотонна, то её следует заменить на невозрас-
тающую перестановку /* (см. определение в § 2 гл. VIII). Из
определения /* следует, что
L L
ffn(x)dx = f(f*)n(x)dx
О О
при любом п. Кроме того, функция /*, как и /, вогнута
(см. VIII.2.13 6)).

412
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
Отметим, что неравенства пунктов а) и б) допускают следующую
эквивалентную переформулировку:
L L
\f(x-±)f(x)dx\^±ff(x)dx;
О О
L L
\f(x2-£)f(x)dx\^£ff(x)dx.
О О
1.23. а) При вычислении нижней границы дробей — и —- исполь-
ML MLr
зуйте, например, функции φ(χ) = тах{1 - пху 0}, а при вычислении
верхней границы — функции <p(L — χ).
б) Используйте функции тах{1 - п4лс, ^}, η G N.
Вместо кусочно линейных функций можно (как и в п. а)) также
использовать астроиды х1/" + у1/" = l}ln или (1 — χγίη +yl/n = l}ln.
При фиксированных Μ и Η проверьте, опираясь на лемму из
решения предыдущей задачи, что точная верхняя граница достигается
на функциях тах{Я - foe, 0}, где параметр к зависит от
соотношения между М, L и Н. Вид ответа зависит от знака разности 2М — LH
(совпадающего со знаком η- —к).
1.24. Замените интегрирование по [0, 1] интегрированием по [0, j].
Воспользуйтесь результатами задач 1.7 а) и 1.2.39.
1.25. См. [НМ]. Будем считать, что f(a) = g(a) = 0. Так как
функции / и g выпуклы, то функции F(x) = γ^ и G(x) = γ^ не убывают.
Применим неравенство Чебышёва для монотонных функций (см.
задачу 1.2.39) к этим функциям (с весовой функцией h(x) = χ — а):
ь ь ь ь
jf(x)dx(g(x)dx = JF(x)h(x)dx JG(x)h(x)dx ζ
a a a a
b b 2 b
< f h(x)dx jF{x)G(x)h{x)dx = {-^fi- j F(x)G(x)h(x)dx .
a a a
Записав множитель, стоящий перед возникшим интегралом, в виде
ь
произведения 2(ь-а) \(х ~ a)Hx)dx, ещё раз применим неравенство

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Выпуклость
413
Чебышёва (к паре функций (х - а) и F(x)G(x) с той же весовой
функцией):
ь ь ь ь
jf(x)dxjg{x)dx^j^jh(x)dxj(x-a)F(x)G(x)h(x)dx =
а а а а
Ъ
= l(b-a)jf(x)g(x)dx.
1.26. См. [НМ]. Будем считать, что [а,Ь] = [О, 1] (в общем случае
следует сделать линейную замену переменной). Пусть /, J — средние
значения функций /, g на этом промежутке:
ι ι
I = ff(x)dx, J = fg(x)dx.
О О
Рассмотрим разность Δ(/,#) между интегралом от произведения
и произведением интегралов:
ι ι ι
&(f9g) = ff(x)g{x)dx-ff{x)dxfg(x)dx =
О 0 0
= f(f(x)-l)(g(x)-J)dx.
о
Применив здесь неравенство Коши—Буняковского, мы получим
|Δ(/, g)\ ^ y/&(f,f)A(g9g). Оценим теперь Δ(/, /) и A(g, g) сверху.
ι
Так как Гf2(x)dx ^ |/2 (см. неравенство 1.22в)), то
0
ι ι
A(f,f)=j{f(x)-I)2dx = jf2(x)dx-I2<±l2.
о о
Аналогично, Δ(#, g) < | У2. Таким образом,
|Δ(/, g)\ < y/A(f,f)A(g,g) ^ JW,
ИЛИ
111 11
0 0 0 0 0
Левое неравенство известно как неравенство Чебышёва для
вогнутых функций.

414
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
1.27. См. [CHS]. Достаточно доказать неравенство для ступенчатых
функций из К. Если /i, f2 € К, то f = af \ + (1 - a)f2 € К для
любого числа а из промежутка (0, 1). Легко видеть, что при этом для
любой функции g
max{/,g} ^amax{/i,g} + (l -a)max{/2,g}.
Поэтому
b
jmax{f{x)yg{x)}dx ^
(b b .
^maxj fmax{f{{x),g(x)}dx, f mzx{f2{x), g(x)} dx L
Пусть функция из К принимает ровно два значения и имеет скачок
в некоторой точке s G (я, b). Тогда её значения на промежутках [я, s)
и (5, Ь] определяются однозначно и равны ,, _ , и ^ ,
соответственно. Обозначим эту функцию через gs.
Если число «ступенек» функции / G К больше двух, то такую
функцию можно представить в виде выпуклой комбинации функций из К,
имеющих меньшее число «ступенек». Действительно, пусть / имеет
скачки в точках ck, а < с\ < ... < сп < Ь. Проверьте, что при
подходящем а е (0, 1) функция / равна ags + (1 - a)h, где s = ctu a h G К
может иметь скачки только в точках q при 1 ^ k < п.
Ь
Поэтому интеграл Гтах{/(;с), g(x)}dx не превосходит верхней гра-
а
ницы его значений на двухступенчатых функциях.
Если а < t < s < b, то
b
jmax{gt(x)igs(x)}dx = ^(2b-b^-asT).
а
Правая часть максимальна при ~ = J| и равна в этом случае У ,-.
1.28. Для проверки необходимости рассмотрите функции
<р(х) = С; <р(х) =Сх (С е Щ; <р(х) = тах{0, с - х) (се (я, Ь)).
Для доказательства достаточности представьте кусочно линейную
выпуклую функцию в виде выпуклой комбинации линейной функции
и функций вида φ(χ) = max{0, с — χ}.
1.29. Представьте данные интегралы в виде суммы интегралов по
промежуткам длины Щ-. Воспользуйтесь результатами задачи 1.7 а).

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Выпуклость
415
1.30. а) Воспользовавшись неравенством Коши—Буняковского,
проверьте, что /"/ - (/О2 > 0.
б) Используя результат задачи 1.17 6), можно ограничиться случаем
дважды дифференцируемой функции. Логарифмическая выпуклость
такой функции / означает, что /"/ - (f')2 > 0. Проверьте, что для
суммы таких функций / и g справедливы неравенства
(/"+g")(f + g) > (у/ТЧ + \ίί4)2 > (/'+g')2-
в) Надо проверить, что Г"(х)Г(х) > (Г'(х)) , т.е. что
оо оо оо Ί
0 0 0
Для доказательства неравенства воспользуйтесь неравенством
Буняковского. Другое доказательство логарифмической выпуклости
следует из равенства
(,"rw)"=5o^·
которое легко получить из разложения Г-функции в бесконечное
произведение . „
г) Функция Μ = In γ непрерывна на (0, +оо) и М(х + 1) = М(х)
для всех χ > 0. Если она не постоянна, то она не
выпукла, и в таком случае (см. задачу 1.14) её вторая разность
AJ;Af (г) = M(t + h) — 2M(t) + M(t — h) принимает для некоторых
t,h > 0 отрицательное значение: AJ;Af(ί) = Δ < 0. Но тогда для
любого натурального η мы имеем
0 < Δ^(1η/(ί + л)) = A2hM{t + п) +Δ2(1ηΓ(ί + л)) -
= Д + д2(1пГ(г+и)).
Из результата задачи VI.2.19 следует, что А^(1пГ(л;)) —> 0 при
χ —> +оо для любого h. Поэтому, переходя к пределу в последнем
равенстве, мы получаем
0 ^ lim Δ? (in/(r + η)) = Δ < 0,
что невозможно.
По поводу других доказательств этого утверждения см. [Бу2], [Ф].
1.31. См. [Ло]. Ограничимся рассмотрением системы неравенств со
знаками ^.

416
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
Поскольку / выпукла, в каждой точке χ существуют
односторонние производные /'_ и /+, f'_(x) ^ /+(*) и всюду, за исключением
счётного множества, f'_(x) = f+(x) (см. задачу 1.13). Докажем, что
существует /'(1). Пусть h > 0. Тогда
1=/(1)^/(1+Λ)/(ϊ^) =
= (/(1)+/'+(1)Л + 0(й))(/(1)-/'_(1)й + 0(Л)) =
= 1 + (/,+ (1)-/'-(1))А + о(Л),
откуда /+(1) ^ /-(1) и, учитывая противоположное
неравенство, /+(1) =//_(1). Пусть p = f'(\). Зафиксируем χ так,
чтобы существовала f'(x). Рассмотрим функцию Ф(г) = f(t)f(f),
г > 0. Она дифференцируема в точке 1 и удовлетворяет
соотношению Ф(г) ^ /(*) = Ф(1) для всех ί. Поэтому Ф'(1) = 0, т.е.
//(i)/W-/(i)^/,W = o,™
pf(x)=xf'(x). (*)
Таким образом, производная /'(х), существующая на плотном
в (0, +оо) множестве £, совпадает на нём с непрерывной на (0, +оо)
функцией ^ ■ Отсюда, в силу монотонности /+ и /'_ (см.
задачу 1.13), следует, что / G С^О, -foo). Теперь из уравнения (*) легко
вытекает, что f(x) = Ахр, где А = 1, поскольку /(1) = 1, а
ограничение на ρ обусловлено выпуклостью /.
Проверьте, что если второй знак неравенства заменить на ^
(сохранив первый знак ^), то получающейся системе неравенств
удовлетворяет функция f(x) = min{v6c, 1} (χ G (0, -foo)).
1.32. Напишите неравенство Иенсена для функции f(x) = хр в виде
(1 Σ cjXJ)p < ι Σ erf,
где с = ci -f... -f- сп, xj = —, су = Ь/ί/, и подберите надлежащим
образом числа tj > 0.
1.33. а) Если 0 < г < 5, то воспользуйтесь неравенством Гёльдера
с ρ = ρ (см. предьщущую задачу). Если г < 5 < 0, то примените
соотношение , / V \/t
(*ί-0Γ! = Σ V ·
4 иу<л у
Если г < 0 < 5, то используйте пункт б).

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Выпуклость
417
д) Неравенство Иенсена для функции 1ηφ в точках г, л·, Хг + μ$
(Я,// > О, Я + μ = 1) превращается в неравенство Гсльдсра, если
положить aj = xf9 bj = x^s, p= j,q = д.
В непрерывном случае величину ^/jcι... χη следует заменить на
b
ехрί-j^ \\nf(x)dx\. Утверждения а) —д) сохраняют силу.
а
1.34. Неравенства а), б) суть непрерывные аналоги неравенства
Иенсена и могут быть получены из него предельным переходом.
Другой способ доказательства неравенства б) (более общего, чем а))
таков. В силу результата задачи 1.17 6) можно предполагать существова-
ь
ние φ". Положив / = \ f(x)p(x) dx9 по формуле Тейлора получим
а
φ(/(χ))=φ(Ι)+φ'(Ι)(/(χ)-ΐ) + \ <p"(c)(f{x) - /)2 >
>φ(/)+φ'(/) (Я*)-')·
Требуемый результат получается после домножения этого неравенства
на ρ и интегрирования по [а,Ь].
в) Полагая φ(ή = In }, используйте б).
1.35. Обе величины наибольшие в случае, когда точки А\9 Αι,...,
Αη_ι делят дугу, соединяющую Aq и АП9 на равные части. Для
доказательства воспользуйтесь вогнутостью синуса на промежутке [0, я].
1.36. Рассмотрим произвольный луч, выходящий из точки S = (О, Ь)9
О < Ь < /(0). Пусть Ап = (хп,уп), η = 1, 2,... — последовательные
точки отражения луча от графика, а Вп — от оси абсцисс.
Тогда каждому лучу соответствует последовательность (траектория)
SA\B\AiB2 ... или 551^2^2^3 ... (точка А\ отсутствует, если первое
отражение происходит от оси абсцисс).
Заметим сначала, что каждый луч либо постоянно движется
вправо (т.е. хп возрастает), либо, повернув однажды налево (χ,,+ ι < хп
при некотором η G Ν), сохраняет это направление навсегда (и тогда
*л+* < хп для всех k G N). Поэтому нам достаточно оценить jc,If.i
сверху (или, что то же самое, уп+\ снизу) в предположении χηϊ\ > хп.
Мы докажем существование такого числа h > 0, что для всех лучей
выполняется неравенство уп+\ > К если хп+\ > хп. Отсюда следует,
что абсциссы всех освещенных точек не превосходят числа /-1(/г).

418
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
Рис. 23
Пусть Θη = larctg/^jtfl)!, a <Pn — угол между осью абсцисс и
звеньями ломаной, примыкающими к Вп (рис. 23). Нетрудно видеть, что
φη — φη-\ = 20п при η > 2. Так как хп+\ > хп, то угол φη острый,
и поэтому θ/ι € (0, ^). Из выпуклости функции / следует, что
У η -У/i+l < (*„+1 -Χη)4θη-
Учитывая, что 2уп > уп + уп+\ = (*л+1 — Хп)Щ<Рп, получаем (так как
О < θη < f):
Уп-Уп+\ 2 1&θ» tg20„ _ tg(yw-yw_!)
У η < tg(/)n < tg(/)n " tg<p„
откуда
Уп+ι , _ tg(ffw-ff„-i) _ sinyw_i sing>w_i
У η tg<Pn "~ sin ςρ„ cos (<jp„ — <p„ _ ι) ύηφη
Следовательно,
Уи+ι sin φι
7Г > im^ > 8Ш^Ь Ул+1 > У2 8Шф1 .
Хотя полученная оценка ординаты снизу зависит от выбора луча
(точнее, от значений у2 и φι), из неё следует и равномерная оценка
уп+\ > К так как среди всех лучей наименьшее (но положительное)
значение величин у2 и φ\ даёт луч, касающийся графика в точке А\.
1.37. а) Заметьте, что /* — поточечная верхняя грань семейства
линейных функций ht a(x) = xt — α по всем парам (f, я), для которых
а > /(Г).
б) Используйте неравенство Иенсена и задачу 1.5.
в) Используйте пункт б) и тот факт, что gXib{t) = xf - Ь ^ /(г) при
всех г G Μ тогда и только тогда, когда Ζ? > sup(;cf - /(f)) = /*(*),
ГЕК
а также указание к пункту а).

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Выпуклость
419
д) Очевидно, что для выпуклой функции φ, дифференцируемой
в точке г, равенство (pf{t) = О является достаточным условием
минимума. Поэтому если в точке t существует f'{t) = л, то suprcmum
в определении f*{x) достигается в точке г. Пусть а < b, a - /'(я)
и β = f'(b) существуют и конечны, χ Ε (α, β). Тогда значения /* в
точках а и β конечны и, следовательно, /* конечна на {α, β) (см. п. 6)).
ж) Функция /' не может иметь скачков и строго монотонна,
следовательно, непрерывна, и множество её значений —
действительно интервал. Отсутствие дифференцируемости /* в точке χ
означало бы, что t- = (f*Y_(x) < ί+ = (/*)+(*), а тогда функция /** = /
была бы линейна на [ί-,ί+] (см. п. е)), что противоречит строгой
выпуклости /. Аналогично, дифференцируемость / влечет строгую
выпуклость /*. Для строго выпуклой дифференцируемой функции /
для каждого χ G Δ равенство f*(x) =xt — f(t) достигается лишь при
таких г, для которых ff{t) =x. Аналогично, для t e(a,b) равенство
fit) = /**(ί) = xt — f*{x) достигается лишь при тех χ, для которых
(/*)'(*) = t. Это и означает, что /' и (/*)' взаимно обратны.
1.38. Можно воспользоваться неравенством Юнга (см.
задачу 1.37 г)), проверив, что интегралы определяют функции, каждая из
которых равна преобразованию Лежандра другой. Однако проще с
помощью рисунка убедиться в том, что прямоугольник [0, α] χ [О, Ь]
содержится в объединении подграфиков функций у = <р(х) их = ψ (у).
1.41. См. задачу 1.39 а), е). Для доказательства единственности
используйте задачу 1.37 г), з).
§ 2. Гладкие функции
2.2. Дважды запишите /(^) по формуле Тейлора: /(ί) =
= fixo) + · · · > полагая xq равным 0 и 1.
2.3. Функция / гладкая (для доказательства достаточно
проинтегрировать данное тождество по у). Продифференцировав тождество по χ
и у, убедитесь в том, что производная /' удовлетворяет аналогичному
тождеству, но с меньшим числом слагаемых.
2.4. Примените индукцию по п. Воспользуйтесь формулой
4 \^к<п '
и, рассуждая от противного, изучите производные сомножителя,
стоящего в круглых скобках.

420
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
2.5. Если / не постоянна, то /' меняет знак и поэтому обращается
в нуль. Докажите, что либо ff(x) —> 0 при χ —> +оо, либо у /'
бесконечно много экстремумов.
2.6. Пусть х, 8 G (0, 1). Тогда
f(Sx) = f(x) + (δ- l)xf'(x) + ^χ2/"(χ),
где χ G (&κ, χ). Поэтому
= /^^ + 0((l-5)g)e^Eb^ + 0(y).
Выбирая δ близким к единице, делаем малым второе слагаемое, а
затем за счёт выбора χ — первое слагаемое.
2.7. а) Оценив в тождестве
h
/'(*) = Th S № ~ f,{x + '» dt + Th (Д* + *) " f(x ~ *))
-h
подынтегральную функцию с помощью теоремы Лагранжа о среднем,
получим
h
l/'(*)l < Jh{ S \t\M2dt + 2M0) = §М2 + \М0
-h
для всех h > 0. Выражение в правой части имеет минимум, равный
у/2МоМ2· Неравенство превращается в равенство для кусочно гладкой
нечетной функции /, равной 2х — х2 при 0 ^ χ ^ 1 и 1 при χ > 1.
Сгладив её вблизи 0 и ±1, получим С2-гладкую функцию, у которой
Μ2 = 2, а Мо и Μι сколь угодно близки к 1 и 2 соответственно.
Доказанное неравенство Лдамара—Ландау для Ш допускает
следующее механическое истолкование: если движение точки происходит
на отрезке [—Mq, Mq], а ускорение по абсолютной величине всегда не
превосходит Μι, то ни в какой момент времени скорость точки не
может быть слишком большой. Точнее, она не превосходит ^IMqMj.
С аналогом этого факта все знакомы из школьного курса физики: при
свободном падении (с нулевой начальной скоростью) мгновенная
скорость тела равна y/2gS, где S — пройденный телом путь, g —
ускорение силы тяжести.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 2. Гладкие функции
421
б) Замените в предыдущем рассуждении промежуток [х — Л, χ + h]
на [χ, χ + Λ]. В результате получится неравенство Ад омара—Ландау
для R+: Μι ^ 2у/М0М2.
в) В этом случае удобно применить иное рассуждение. Складывая
почленно равенства
f(x)-f(0)=xf'(x)-\x2f"(ci),
/(2) - f{x) = (2 - x)f'{x) + \ (2 - x)2f"(c2),
получаем
2/'(*) = /(2) - /(0) + ί (*2/'Vl) - (2 - *)2/"(c2)),
откуда сразу следует искомая оценка. Её точность демонстрирует
пример/(х) = \х2 - 1.
г) Рассуждая так же, как в пункте а) (при 0 < h < -ψ- в
зависимости от знака χ — ^у- интегрируйте по [χ, χ + h] или по [х — h, x]),
докажите, что
г Гм~
2у/МоМ2, если Ъ — а ^ 2
Af! ^ {
Л#2'
^ М0 + ^М2, если Ь - я < 2^/щ.
Обобщения и интегральные аналоги неравенства Адамара-Ландау
см. на с. 225 и 388 в [ХЛП].
оо
2.8. Из сходимости интеграла I \fu(x)\dx (если он расходится, то
0
доказывать нечего) вытекает, что существует предел с = lim f'U),
х—»оо
оо
а из сходимости I \f(x)\dx — что с = 0. Рассмотрим функцию g, за-
0
оо
даваемую условиями g'(x) = - Г \f"(x)\dx и g(0) = f(0) (будем для
χ
определённости считать это число положительным). Она убывает,
выпукла и удовлетворяет неравенству g(x) ^ f(x) (следствие неравен-
оо
ства g'(x) ^ /'(*) = — Г /"(0 ^0· Проведём касательную к графику g
X
в точке 0. Тогда а = ^-^- — точка её пересечения с осью х. Сравнивая

422
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
площади, получаем
откуда
\f(0)a ^ jmM(g(x),0)dx ^j\f(x)\dx,
О О
оо
\(f(0))2< f\f(x)\dx.\g'(0)\.
Заменяя сначала |g'(0)| на Г \f"(x)\dx, а затем среднее геометриче-
0
ское средним арифметическим, получаем неравенства а) и б).
У\
1
и
I
к
Рис. 24
Для доказательства того, что константы 2 и у/2 не могут быть
улучшены, аппроксимируйте функцию h(x) = max{l — кх, 0} (& > 0)
выпуклой функцией fe £ С2([0, оо)), как показано на рис. 24. Тогда
£4-1/*
-ε+1/Jt
оо
оо
J/(x)dxaii, /(0) = 1,
и поэтому
оо оо
а) 1 = (/(О))2 = 2-±-k~2f\f{x)\dx j \f"{x)\dx;
б) /(l/WI + |/"(*)1) Лй^+* = ^= V2f(0) при t = -L.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 2. Гладкие функции
423
2.9. По формуле Тейлора /(1) = /'(0) + [/"(00 - 0^> откуда сле-
1 0
дует, что [/"(0(1 — 0^4 = \а I· Применяя к интегралу неравенство
0
Буняковского, получаем оценку снизу:
ι«κ(/(/"(0)2^)1/2·Λ·
о
Равенство достигается в том случае, когда функции f"{t) и 1 — t
пропорциональны, откуда /(0 = \ at(t — 1)(ί - 2).
2.10. а) Рассмотрим множества
£+ = {х е [о, 1] | f(x) > 0} и £_ = {х е [о, 1] | /(*) < 0}.
Множество Е+ можно представить в виде £+ = U(ab ^*)> гДе аь
it
Ъ^ — корни функции /. Легко видеть, что
j f(x) dx = \\ f"{x){x - ak){x - bk)dx <
Ok °k
<^^f(x-ak)(bk-x)dx=(-^^-. (*)
Як
Поэтому
где L+ = Σ (bk ~ ak) — сумма длин интервалов, образующих множе-
к
ство Е+. Аналогично доказывается, что
f\f(x)\dx^±Ll,
где L- — сумма длин интервалов, образующих множество Е-. Таким
образом,
/|/(Λ)μ^/ + /<^<^ = ^.

424
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
Последнее неравенство строгое, если L± > 0. Поэтому равенство
возможно лишь для функций, сохраняющих знак. Пусть для
определённости / ^ 0 на [0, 1]. Тогда (см. (*) при [яь Ь^\ = [0, 1])
1 1 1
/|/(*)|& = ff(x)dx = ±jf"(x)x(x - \)dx ^ jL.
0 0 0
Равенство здесь возможно лишь при ftl{x) = —1, т.е. при f{x) =
= ^х(\-х).
1
б) Уточним оценку, полученную в пункте а). Так как 0 = jf(x)dx =
о
1
= f f{x)dx+ f f(x)dx, то j\f(x)\dx = 2jf(x)dx = 2j(-f(x))dx.
E+ Е- 0 Е+ Е-
Поскольку, как установлено в пункте а), Г \f(x)\dx ^ ^ 1?±
Е±
и L+ -f- L_ ^ 1, мы имеем неравенство
1
j\f(x)\dx <i }min{4f(l -^+)3} ^ KL+d -^+))3/2,
о
откуда сразу вытекает требуемая оценка. Легко видеть, что
неравенство строгое. В то же время для любого числа / из интервала (0, 4>)
найдётся функция /, удовлетворяющая условиям задачи, для которой
1
Г \f(x)\dx > /. Такие примеры можно построить, подходящим образом
0
сглаживая вблизи точки χ = ^ функцию ^(1 —2х) min{;c, 1-х}.
2.11. Рассуждая от противного, убедитесь что функция / есть сумма
своего ряда Тейлора и, следовательно, может иметь лишь
изолированные нули.
Более сильное утверждение — sup \f^n\x)\ = +оо в некоторой точ-
п
ке χ из [я, Ь] — установлено в задаче 2.12.
2.12.*^ Положим
F(*) = sup|/M(*)|.
п^0
*) В решении этой задачи принимал участие А. А. Шульман.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 2. Гладкие функции
425
По условию F(x) < оо для всех χ Ε [я, b], и надо доказать
ограниченность F на [а,Ь]. Для дальнейшего существенно, что хотя функция F,
вообще говоря, разрывна, тем не менее для любого числа L множество
{х Ε (я, Ь) | F(x) > L} открыто (говоря иными словами, F
полунепрерывна снизу на (ау Ь), см. § 2 гл. III).
Не умаляя общности, будем считать, что Ь-а<^ и F(a),
F(b) < 1. Докажем, что тогда F(x) < 4 для всех χ Ε [α, Ь]. Допустим
противное: F(xq) > 4 в некоторой точке xq- Для получения
противоречия построим такую последовательность {Kj} компактов, что
(1) [а9Ь]Жх Ж2ЭК3...;
(2) Kj состоит из 2·ί~1 невырожденных отрезков, не имеющих
общих внутренних точек (будем говорить, что они образуют Kj);
(3) F > 2·/ внутри отрезков, образующих К}\
(4) внутри каждого отрезка [и, υ], образующего Kj, существует
такая точка х, что F(x) > 2max{2-/, F(w), F(t>)}.
Отсюда легко получить противоречие. Действительно, ясно, что
пересечение f]Kj несчетно. Поэтому существует точка χ ef]Kj, не яв-
j J
ляющаяся концом ни одного из промежутков, образующих
компакты Kj. Но тогда F(x) = -foo в силу (3), а это противоречит условию.
Последовательность {Kj} построим по индукции. Для
построения К\ рассмотрим множество {t Ε [a,b]\F(t) > 2}. Оно открыто
и содержит xq. Пусть / — наибольший интервал, содержащийся в этом
множестве и содержащий точку xq. В качестве К\ возьмем
замыкание /.
Допустим теперь, что компакты К\,..., Kj построены. Для
построения Kj+\ достаточно во всех отрезках, образующих Kj, выделить два
меньших отрезка, на которых выполняются условия (3) и (4). Пусть
[и, υ] — один из отрезков, образующих Kj9 а х Ε (и, υ) — такая точка,
F{x) > У+х , F(x) > 2F(u), F{x) > 2F(v).
Из определения F следует, что \f^n\x)\ > F(x) — 1 для
некоторого номера п. При этом \f(n\u)\ < F(u) < \F(x). Учитывая, что
χ - и < b - а < |, мы получаем, что
^:/м(")1>8(^(х)-1)>2Р(х).
По теореме Лагранжа о среднем |/^+1^(jc*)| > 2F(x) в некоторой
точке лс* Ε (и, лс). Поэтому F(jc*) > 2F(x). Аналогично доказывается,

426
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
что F(x*) > 2F(x) в некоторой точке лс* е (лс, ν). В частности,
F(x*), F(x*) > 2·/+2. Пусть /*, /* — наибольшие интервалы,
содержащие лс* их* соответственно, во всех точках которых F больше
F(x). Тогда значения F на /* и /* больше 2·/+1. Ясно, что и, χ (£ /*
Ηχ,υί /*. Поэтому /* С (и, лс), /* С (лс, υ). На концах интервала /*
значения F не превосходят F(jc) и, следовательно, они меньше ^F(jt*).
По тем же причинам значения F на концах /* меньше ^F(x*).
Поэтому в качестве искомых отрезков, составляющих /Су+ь можно взять
замыкания /* и /*. Проделав эту процедуру со всеми отрезками
компакта Kj, мы построим 2J отрезков, образующих Kj+\.
2.13. Функция φ непрерывна, так как \φ(χ\) — <р{хг)\ ^ С|лс1 — лс2|
(см. 2.12). Кроме того, f(n\x) =3 φ{χ) на [я, b]. В самом деле,
зафиксируем произвольное ε > 0 и раздробим промежуток [я, Ь] точками хк
(к = 1,..., Ν) с шагом ε. Для любой точки χ е[а,Ь] мы имеем:
МдО-/(и)МК И*)-*(**)! +
+W**) -/("Wl + 1/(и)Ы -/(л)(*)|, (*)
где точка лс^ подобрана так, что |лс - лс^| < ε. Тогда крайние слагаемые
в правой части неравенства (*) не превосходят С ε. Таким образом, при
всех лс е [ауЬ]
\φ(χ) -fM(x)\ *S 2Ce+ ™*\<p(xk)-fW(xk)\.
Поскольку точки хк фиксированы, второе слагаемое в
правой части последнего неравенства стремится к нулю. Поэтому
\φ{χ) - /(л)(лс)| < (1С + 1) ε для всех лс G [я, Ь], если η достаточно
велико. В силу равномерной сходимости
χ χ
Γφ(ί)Α= |ηη^ί/("+,>(ί)Λ= ^(/(")(Λ)-/(")(α))=φ(χ)-φ(β)
а а
и, следовательно, <р(х) = const · ех.
2.14.*) Пусть Fn = {χ I f(n\x) = 0}, Gn = R\F„. Достаточно
установить вспомогательное утверждение (А):
Если f не является многочленом на некотором открытом
интервале Δ, то для любого η найдётся составляющий интервал Ап непустого
открытого множества Gn Π Δ, на котором f не является многочленом.
*) Решение Д.Ю. Бураго.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 2. Гладкие функции
427
Из (А) легко выводится утверждение задачи: предположив, что / —
не многочлен на R, построим последовательность вложенных
интервалов Ап = (яи, Ьп) С Gn, [ял+ь ^л+ι] С Аи> пересечение которых
непусто, что противоречит условию.
Предположим, что (А) не выполняется, т.е. для некоторых η
и Δ функция / — не многочлен на Δ, но её сужение на любой
составляющий интервал множества GnC\A является многочленом.
Пусть δ — произвольный составляющий интервал множества Δ П G„.
Обозначим символом σ =σ(δ) максимальный промежуток,
обладающий свойствами: δ С σ С Δ, /|σ — многочлен. Проверьте, что если
ограничения / на два смежных промежутка — многочлены, то / —
многочлен на их объединении. Покажите, что по крайней мере одна
граничная точка интервала σ — назовём её α — не является
изолированной точкой Fn (иначе σ = Δ, что невозможно). Убедитесь, что
f(m\a) = 0 для всех т > п, и выведите отсюда, что /(") обращается
тождественно в нуль на σ и, в частности, на δ. Это ведет к
противоречию, так как f(n\x) φ О на δ, поскольку δ С Gn.
2.15. Оценим производные членов ряда с помощью неравенства из
задачи 1.2.29 в) (при χ φ 0):
1М-У
< " т· <
(l+fl2^2)(m+l)/2 ^ \х\" y/ϊ^ί^ί '
Из полученного неравенства следует, что, продифференцировав любое
число раз ряд, определяющий функцию /, мы получим ряд,
равномерно сходящийся на каждом конечном промежутке. В самом деле, пусть
ап(х) — п-й член этого ряда. Для любых т Ε Ν, η > т и А > 1 мы
при 0 < |jc | ^ А имеем оценку
т
lA)l<MEc*n*W"-*feg
1
*=0 "Л" y/X+nlclx1
^
из которой следует, что продифференцированный т раз ряд
равномерно сходится на [—Л, Л].
Пусть Sn{x) — п-я частичная сумма ряда, a Rn(x) — п-й остаток.
Дифференцируя равенство
f(x)=Sn_l(x)+an(x) + Rn(x)

428
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
η раз и учитывая, что а„ (0) = п\сп, a R„ \θ) = 0, мы получаем
соотношение , V
/(»)(0) =5^(0)+и! с„,
с помощью которого можно последовательно определить сп так, чтобы
производные /М(0) имели заданные значения.
2.16. Можно считать, что а = 0. Тогда
ι ι ι
f(x) = J £/(*)* = j Σ M](tx)xjdt = Σ χ; J |£(*)Α ,
0 0
J
1
и в качестве gj{x) можно взять \(j£-)(tx)dt.
0
2.17. Заметьте, что если / константа, то из 2) и 3) вытекает, что
F(f) = 0. Двукратное применение результата предыдущей задачи даёт
представление
/(*) = /И + Σ (xj ~ aj)gj(a) + Σ (xj - aj){xk ~ ak)hjk(x),
J j.k
где gj{a) = (^:)(α)- Остаётся ещё раз воспользоваться
условиями 1), 2), 3).
2.18. Отбрасывая тривиальный случай, когда /ξ0, будем считать,
что число а = inf{r \f(t) > 0} равно нулю (иначе можно сделать
замену и = t — а). Тогда из условия вытекает, что при t > 0
f(t)g(t)/(c + ff(x)g(x)dx)^g(t).
0
Переходя к первообразным, получаем неравенство
t t
\n(c + ff(x)g(x)dx) ^\nC + fg(x)dx.
о о
t t
Поэтому f{t) ^C + jf{x)g(x)dx ^Cexp(Jg(jc)rfjc).
0 0
Для доказательства следствия заметим, что так как \h(t)\ =
= Г Л'(лс)йЫ ^ I \h'(x)\dx, то условию первой части задачи удовле-
0 0
творяют функции f(t) = |й'(01> g{t) = Μ и число С = 0.

И РЕШЕНИЯ · § 2. Гладкие функции 429
2.19. а) Воспользуйтесь тем, что f(tj — fy) — /(/,)./"('*)·
б) Воспользуйтесь тем, что cos(a9t) есть полусумма двух
положительно определённых функций.
2.21. Представьте функции / и g через их преобразовании Фурье.
2.22. б) Воспользуемся тождеством
где Ср > 0. Тогда (см. задачу 2.19 б))
- Σ Н*;-**11ргД* =
= ^J №^ Σ (α)8(ί,χ;-χΛ)-ΐ)ζ;ζ*Λ>0.
R" 1SS
2.23.6) Воспользуйтесь тем, что, как следует из неравенства (1),
матрица ( //_ , ~.Lv ) положительно определена при любом t £ R
в) Воспользуйтесь положительной определённостью матрицы
/ДО) /(fi) /(f2) \
7fr) /(0) /(ί2-ίι)
Vte) /(ί2-ίι) /(0) /
при любых t\, t2 € R.
2.24. Пусть ζ ι,..., Z/и £ С и ζ ι + ... + Z/и = 0. Тогда при 5 > 0
ο^ι Σ ^-«>гд*= Σ ^Ь1гд,.
Переходя в этом неравенстве к пределу при s —> 0, получаем
неравенство
Σ <P(tj-*k)zjZk>0.
2.25. Утверждение а) проверяется непосредственно, б) следует из а)
и равенства Sh(x) = 0 (jc φ — £), в) следует из а). Используйте б) для
доказательства г) и равенство φ" = -^q>Sf для проверки д).

430
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
Для доказательства е) воспользуйтесь тем, что из условий
/"(*о) =0 и S/(xq) < 0 следует, что ff(x)ffff(x) < 0 в некоторой
окрестности точки х$, после чего остаётся рассмотреть возможные
комбинации знаков /'(*), fff{x), f//f{x) по обе стороны от xq.
2.26. б) Пусть αϊ,..., ап-\ — корни многочлена /'(*). Тогда
№)—Σ(^)2-ΚΣι^)2·
2.27. Предположим, что α = /'(с) > 0 — минимальное значение /'
в окрестности точки с. Тогда график функции / выглядит так, как
изображено на рис. 25.
Выбирая точки х\9 х2, *з> хл как показано на рисунке (причём х2
и JC3 достаточно близки к точке с), имеем:
/(*4)-/(*l) Я*з)-/(*2) /(дг4)-/(*з) /(^2)"/(-Ч)
*4-*1 -^3-^2 *4-ХЗ
f(x4)-f(xi)
χ2-χ\
= Ь(а+ех) - (Ь + е2)(Ъ + еъ),
где Ь^^^Р, а С1, ε2, ε3 -
малые положительные числа.
Переходя в этом равенстве к пределу при
х2> хз ~^ с> получаем, что Ь(а - Ь) < 0,
а это противоречит условию. Полезно
отметить, что если функция /ЕС3 (Δ)
монотонна, то справедливость
неравенства из условия задачи для
произвольной четвёрки точек х\ < х2 < *з < х4
равносильна условию Sf < 0.
§ 3. Многочлены Бернштейна
3.1. б) Для вычисления сумм Sn$ и Sn\ воспользуйтесь биномом
Ньютона и равенством
Σ кСкпхк(\ -х)п~к= Σ пхСкп_{хк(1-х)п
-1-к _
пх
О^к^п
0^к<п
Суммы Sn2, Sni и Sn 4 вычислите с помощью рекуррентной
формулы а).

И РЕШЕНИЯ · § 3. Многочлены Бсрнштейна 431
3.2. а) Сравнивая суммы ση$ и Sn2 (см. задачу 3.1), получаем
<Μ(*Κ£.Σ ск„хк(1-хГ-к(к--ху
О^к^п
б) Сравните суммы σπ ^ и 5^4 и воспользуйтесь неравенством
SnAi*) < Τ'
3.3. а) Используйте результат задачи 3.1.
3.4. б) Воспользуйтесь неравенством
B»((f-A)2,x)=Bn(f2,x)-2AB»(f,x)+A2>0
при A = B„(f9x).
3.5. Убедитесь в том, что
O^k^n-l 4 J
6) B'i(f,x)=n{n-l) Σ Скп_2хк(\-х)"-к-2х
0^к^п-2
χ(/(^)-2/(^) +/(!)).
3.6. а) Воспользуйтесь равенством ]ζ C^jc^(1 — х)п к = 1.
б) Достаточно рассмотреть случай, когда sup/ = 0 (в противном
Δ
случае следует рассмотреть функцию f = f — sup/). Тогда /(^) ^ О,
Δ
если ji Ε Δ, и, следовательно,
*»(/.*)< Σ С*/(£)**(1-*)-*< (sup/) Σ C*jf*(l-x)"-*.
Os^sjn Ч(0,1] 0<*<л
Поскольку jc G Δ, можно воспользоваться неравенством а) задачи 3.2.
в) Пусть sup/ =0. Можно считать, что sup/ < — 1 (этого мож-
Δ Δ'\Δ
но добиться, умножив функцию / на положительную постоянную).

432
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
Положим Δ = (я, b), Δ' = (α,β), О ^ а < а < Ь < β ^ 1, Μ = sup/.
[ОЛ]
Тогда
ЯлСМК Σ МСкпхк{\-х)п-к- Σ Скпхк{\-х)п-к-
~ Σ Фк{1 -х)п~к + Σ МСкхк(1 -х)п~к =
Ьп^к<Рп Рп^к^п
= S\ - S2 - S3 + S4·
Докажем, что S\ < S2 для достаточно больших η Ε N (неравенство
$4 < ^з доказывается аналогично). Поскольку при jc G Δ слагаемые
в сумме S\ не убывают, нам достаточно доказать, что
МпС[пП]Х^ап\\ -JC)""H < c[fl"!lH(l -x)n-[an] 9
МпС{Г\^)[ап]-[ап] < С[?
Левая часть этого неравенства убывает с ростом х. Поэтому его
достаточно проверить при χ = а. Поскольку у С η ~^ Р~Р(У ~ р)р~^ ПРИ
η —> -boo (см. задачу П. 1.8), достаточно убедиться в справедливости
неравенства аа(\ — αγ~α < аа(\ — αγ~α при а < я, а это очевидно,
так как функция t ь-+ ta(\ — ίγ~α убывает на промежутке [а, 1].
3.7. Применив неравенство б) задачи 3.6 к функциям / - g и g — f,
покажите, что Bn(f, jcq) - Bn(gy jcq) —> 0.
3.8. а) Примените неравенство б) задачи 3.6 к функциям f{x)—f{xo)
И /(*о) - /(*)·
б) Зафиксируем ε > 0 и подберём такое число δ = δε > 0,
что \f(t) - f(x)\ < £, если jc e Δ, ί G [0, 1] и |r - jc| < δ. Пусть
Μ = sup |/|. С помощью неравенства а) задачи 3.2 получаем
[0Л]
Bn(f9x)-f(x)\ = \ Σ (/(|)-/(х))с^(1-хГ
10<*<л
^
^ Σ cC*jc*(1 -x)n~k + Σ 2MC*jc*(1 -jc)""* ^ ε+
O^k^n O^k^n
\$-χ\<δ \$-χ\>δ
Μ
2δ2η
Таким образом, \Bn(f9x) — f{x)\ < 2ε, если п > -^ и jc € Δ.

И РЕШЕНИЯ · § 3. Многочлены Бернштейна 433
в) Достаточно рассмотреть случай, когда f(x) = 1 при jc ^ jcq
и f(x) = 0 при jc > xq. Тогда
Bn{f.xo)= Σ ф§(1-дс0)"-*.
Для подсчёта этой суммы разобьём её на две части S\ и Sjy вьщелив
вклад слагаемых с «малыми» номерами:
Si= Σ CknxkQ(l-x0)"-k,
0^к^п(х0-8)
s2= Σ Φ*(ΐ-χ0)"-*
n(xQ— 5)<k^nxo
(здесь δ — δη — малый положительный параметр, выбор которого мы
уточним позже). Оценивая сумму S\ с помощью неравенства 3.2 а),
мы видим, что S\ = θ(-ηχ). С помощью формул Стирлинга и Тейлора
получаем, что для слагаемых, входящих в $2> справедливо равенство
Спх0(\-х0) - ^2^ο{ι_Χο)^Ρ{-2χο(\-χο)+0^δ >) '
Теперь будем считать, что δ = δη выбрано таким образом, что
ηδ% —> +оо и ηδ% —> 0 (например, δη = и-2/5). Тогда S\ = о(\) и
χ0-δ
Sy/n/(2x0(l-xo))
-o(l) + ± j e-i2dt=±+o(l).
0
3.9. а) Из условия следует, что J f(x)Bn(f, x) dx = 0 для «GN.
О
Так как Bn(f)=if на [0,1] (см. задачу 3.86) при Δ =[0,1]), то
1 1
Г f2(x)dx = lim Г f(x)Bn(f, χ)dx = 0 и, следовательно, / = 0.
J π—>·οο J

434
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
О
1
о
1
1
б) Ясно, что ((ax + b)(xn+l(l - х)2)" dx = 0 для всех a,beR
0
и η G N. Пусть f(x) = f(x) — (αχ + b), где а и b подобраны так, чтобы
1 !
\ f(x)dx — 0 и |/(jc)jc <£х = 0. Так как
1
J/(jc)(jc',+1(l-Jc)2)//rfjc = 0,
о
то числа Мп = I f(x)xndx удовлетворяют рекуррентному соотноше-
0
нию
(п + 3)(л + 2)Μ„+ι = 2(л + 2) (л + \)Мп - (п + l)wAf„_! .
1 _ 1
Пользуясь равенствами Mq = \ f(x) dx = 0, М\ = I f(x)xdx = 0, по-
0 0
лучаем отсюда, что Мп = 0 для всех η = 0, 1,... Осталось
воспользоваться результатом пункта а).
ЗЛО. Покажем, что можно ослабить условия на функцию g из
класса С2([0, 1]), потребовав лишь, чтобы она и её первые две производные
обращались в нуль на концах промежутка [0, 1]. Действительно, для
любой такой функции g и для любого числа Δ G (0, j) функция #д,
равная g(yz^) при χ е [Δ, 1 - Δ] и нулю в противном случае,
удовлетворяет условиям задачи. Поэтому
0 = ff(x)g'i(x)dx= j /(*)(g(£^)) dx =
= T^zff (& + *(!-2b))g"{x)dx.
1
Отсюда следует, что I f(x)gn(x)dx = 0. В частности, это равен-
0
ство справедливо для функций g вида g(x) = х^+п(1 - х)р, где
/? > 2 и η ^ 0. Переходя к пределу при /? —► 2, получаем, что

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Многочлены Бернштейна
435
1
I f (х) (х2+п (1 — х)2) dx = О для любого η ^ 0, а это равносильно
О
(см. задачу 3.96)) линейности функции /.
3.11. Примените результат задачи 3.86) при Δ = [0, 1] к функции
f(x) =/(arccosx).
3.12. а) Сформулируйте и докажите двумерный аналог
неравенства а) задачи 3.2, а затем модифицируйте решение задачи 3.8 б).
3.13. С помощью индукции докажите тождество
в[г\/,х)=п(п-1)...(п-г + 1) Σ Скп_гхк{\-х)" к 'Δ;'/(£),
гае ΔΪ/(>) = f{y + I) - /(у) и Δ^/ΟΟ = Δ?(Δ5_,/0»)). Восиользуй-
тесь равенством
Д?/(у) = ^/^(у + §0), гае ее (0,1).
3.14. а) Пусть число Μ > 0 таково, что |/(jc) - f(y)\ " М\х у\а
для всех х, у G [0, 1]. Тогда
|ви(/.*)-/(*)1 = | Σ (/(*)-/м)Ф*(1-х)й-А
^м Σ |£-*ΓΦ*(ΐ -*)*-*.
Положим рь = С„хк(\ — х)п~к. Из результата задачи 3.1 б) следует,
что
Σ Λ = ι и Σ Ы§-*)2 = ^·
0<*<л 0<Л:^л
Пользуясь неравенством Гёльдера (см. 1.32) при ρ — fv получаем
ч(2-а)/2/ п ч2у./2
-Μ(χΑ±ζΔ\αΐ2
г
W/.)-/Wia( Σ й)(2_в)/2( Σ Μ*-*)2)β/2 =
б) Для оценки Bn(fay ^) снизу рассмотрим суммы
sfl(jc)= Σ Скпхк(\-х)п-к\к-пх\°.
О^к^п

436
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
Из неравенства Гельдера следует, что
Sa+b(x) ^ {Spa(x))l,P{sqb(x)Y,g>
если /?, ^>1и^ + ^ = 1. Выберем параметры а, Ъ и ρ так, что
ι и ι l yi / 2а L 4(2—а) 4-а 4-ач
а + Ь = 2, ар = а, bq = 4 (а = ^, Ь = -^Λ ρ = —, q = jz^)-
В этом случае
*2(*)оГЧ*крЧ*)·
Так как (см. задачу 3.1 б)) $2 С*) = Sn^2(x) = пх{\ -χ) и s$(x) =
= Sn4{x) ^ п2х(\ —χ), το ηα/2χ(1 - jc) ^ 5a(jc). Следовательно,
n_asa(jc) ^ jc(1 — χ)η~α/2. При jc = i получаем
Β»(/α, h)-fa{\) = Bn(fa, \) = П~а5а{\) > ^f2 ·
3.15. а) Сходимость Bn(f,x) к /(jc) очевидна, так как внутри
промежутка [0, 1] выпуклая функция непрерывна, и можно
воспользоваться результатом задачи 3.8 а), а на концах промежутка [0, 1] значения
многочлена Бернштейна совпадают со значениями функции (см.
задачу 3.4 а)).
Неравенство Bn(f9x) > /(jc) — частный случай неравенства Иен-
сена (см. задачу 1.1 при Хк = C*jc*(1 — х)п~к):
Bn(f,x)= Σ hf(kn)>f( Σ **£)=/(*)
(в конце мы воспользовались равенством Σ ^к =пх — см· зада-
О^к^п
чу 3.1 б)).
Для доказательства более сильного неравенства Вп+\ (/, x)^.Bn(f,x)
заметим, что в силу выпуклости функции / мы имеем
Поэтому
Bn+l(f,x) </(0)(1 -*)п+1 +/(1)х"+1 +
+ Σ ^(^(^J + O-^J/djyd-xr1-*.
Несложные вычисления показывают, что правая часть этого
неравенства равна Bn(f,x).

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Многочлены Бернштейна
437
б) Допустим противное: существуют такие числа а,Ь,х, что
О^а <i<H 1 и
Будем считать, что f(a) = f(b) = 0 (этого можно добиться,
вычитая из / линейную функцию). Кроме того, можно считать, что
f(x) = max/. Из результата задачи 3.6 в) следует, что Bn(f, χ) < f(x)
[a,b]
для достаточно больших и, а это противоречит условию.
3.16. Для оценки величины
Ап(х) = B„(f, χ) - f(x) - iibEi f"{x)
запишем разность Bn(f,x) - f(x) в виде
Bn(f,x)-f(x)= Σ Ck„xk(l-x)"-k(f(k-)-f(x)). (*)
Воспользуемся таким вариантом формулы Тейлора
/(0 = /(*) + /'(*)(' " *) + z/"(*)(' - ^)2 + «?('> *)(' - *)2 -
где функция φ непрерывна в квадрате [0, I]2 и равна нулю при t = χ.
Полагая t = |, получаем
Подставив это выражение в (*) и воспользовавшись результатом
задачи 3.1 б), приходим к равенству
М*)= Σ С*х*(1-х)»-*ф(|,х)(|-х)2.
0<Жл
Зафиксируем теперь произвольное число ε > 0. Пусть 5 = <5ε > 0
таково, что \φ(ί9 х)\ < ε9 если \t — х\ < δ. Тогда
ΙΜ*)Ι«Ϊ Σ C^(l-x)^U^,x)|(^-x)2 =
= Σ ··. + Σ ·■· <%Sn.2(x) + &SnA(x)<
\k/n-x\^S \k/n-x\>S П " ό
.υ(1-λ) μ λ(1 --υ)
где Μ = sup |φ|. Таким образом, |Δ„(χ)| ^ 2ε "-, если η > Цг.

438
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
3.17. По поводу задач 3.17 и 3.18 см. [L]. Положим
sn(f)= Σ («..(/.*)-/(!)>(£).
1
I(f) = iff{x){x(l-x)g(x))"dx.
о
Из результата задачи 3.16 следует, что Sn(<p) —> /(φ) для любой
функции φ G С2([0, 1]). Для доказательства сходимости в общем случае
запишем сумму Sn(f) в виде Sn(f) = ]Г f(ji)anj9 где
«n,; = d Σ *(*)(*)'0-*Γ'"-ί(ί)·
Достаточно убедиться в ограниченности сумм Σ \anj\· Действи-
тельно, пусть
Σ \anj\^C9 M= maz\(x(l-x)g(x))"\.
Зафиксируем произвольное число ε > О и подберем такую функцию
φ Ε С2([0, 1]), что max |/(дг) - φ(χ)\ < ε (в качестве φ можно взять
многочлен Бернштейна ##(/) с достаточно большим номером N —
см. задачу 3.8 б) при Δ = [0, 1]). Тогда
\Sn(f) ~ I(f)\ ^ \Sn(f - Ψ)\ + |/(/ - Ψ)\ + \Sn(Q>) ~ Ц<р)\ ^
^ Σ e\anJ\+Me + \Sn(<p)-I(q>)\ ^ (Af+ C)e + |5„(φ) -/(φ)|.
Следовательно, Sn{f) —► /(/) для любой функции / G C([0, 1]), если
Σ \anj\ — О(I). Для оценки этой суммы воспользуемся гладкостью
функции g:
*(Ι)=*(ί)+*'(ί)¥+<>((¥)2)·
Это даёт
*».;! <
«ω И Σ (έ);(ι-!Γ;-1
+
+
*'(έ) ей Σ (!)'(ΐ-!)
k\n-jk-j
..... .. π
1 0<*<л
+

И РЕШЕНИЯ · § 3. Многочлены Бернштейна 439
Так как функция g равна нулю вне интервала (а, Ь), то отсюда следует,
что
где
Σ \<*nj\ ^AnmaxIgl+^maxIg'l + OiOC,
Ап= Σ Η Σ (!)'"(ΐ-*Г'"-1
Bn= Σ ci| Σ (|)У(1-|Г;¥
cn= Σ Σ сД|У(1-|)^(^)2.
Изменив порядок суммирования и воспользовавшись результатом
задачи 3.1 б), получим
с = ± Σ 5И.2(|) = i Σ *(ι -1) =
Οέέέη
6//2 *
Осталось доказать ограниченность сумм Апи Вп. Для оценки суммы Л„
запишем её в виде
Ап= Σ k"ci Σ «ν(*)-ι
где φ; (0 = ^'(w - ί)"--7 при ί Ε [0, η]. Используя результат
задачи VI.3.16b), получаем
Σ q>j{k)=j<Pjit)dt + oQ\<p'j(t)\dt) .
Так как функция φ1· на промежутке [0, п] меняет знак лишь два раза,
то
η
Г|ф?(0|А<4тах|^(/)|.
J J O^t^n J
О
Несложные вычисления показывают, что
max φ;(t) = φ;С/) и max |φ'.(ί)| = \φ'}(j + 0(у/п))\.
O^t^n
O^t^n
Из равенства φ'At) = nq>j{t) , , следует, что при у е [ял, Ьп]
max

440
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
= 0(1).
Учитывая равенство
nf<Pj(t)dt = n^]tJ(l-tr-Jdt = ^j,
О О
получаем
а - ν Iе" ( ""+1 ι o(jj{"-j)"4}\ il
Сумма В п оценивается аналогично.
3.18. Воспользуйтесь результатами задач 3.17 и 3.10.
3.19. Необходимость условия /(0), /(1) Ε Ъ очевидна. Если же оно
выполнено, то многочлен
Σ [с£/(£)Ъ*(1-*)-*
мало отличается от многочлена Bn(f,x) (далее Μ = max Ι /Ί):
ГО 11
[0.1]
\л-*
£
Σ [c*/(*)V(l-x)"-*- Σ С*/(*)х*(1-х)й
^M Σ **(1-*)""* ^f Σ Cknxk(l-x)n-k<%.
l^k<n \^k<n
Остаётся воспользоваться результатом задачи 3.86) при Δ = [0, 1].
3.20. Для вычисления #„ (/, 0) используйте тождество,
приведённое в решении задачи 3.13.
3.21. а) Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи.
б) Запишем Bn(f,x) в виде
Bn(f,x)=n-m Σ kmCknxk(l-x)n-k=n-m§;Fx(0),
О^к^п
где Fx(t) = Σ Ckektxk(l -x)n~k = [xel + 1 -x)n. Легко видеть,
O^k^n
что
0<*^л
= (ι+-Σ^)η = ι + Σ^(Σ сЦх'),

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Многочлены Бернштейна
441
причём все коэффициенты С,- ■ неотрицательны. Поэтому
^тк(1,|*Г) Σ С^=тах(1,|хГ)^(0).
Осталось заметить, что F\(t) = еш и, следовательно, -^г(О) = и"1.
По поводу этой задачи см. также работу С. Н. Бернштейна [Бе].
3.22. а) Очевидно, мы можем считать, что г > 1. Зафиксировав
произвольное число ε > О, подберем столь большой номер Ν /V,·, что
Σ \cmVm < ε. Пусть Р(х) = Σ с™*"1 и р(х) =/(*) - Л (.г).
Того:^ O^m^N
гда Bn{f)-f=Bn(P)-P + Bn(p)-p. Разность Вп(Р) ~ Ρ
равномерно мала на [—г, г], если η достаточно велико (см. 3.21 а)). Гак как
И*)К Σ ЫМИ< Σ ки|гм<е,
то остается оценить Вп(р,х). Для этого воспользуемся
неравенством 3.21 б):
\Вп(р,х)\ ^ Σ km|max(l, \х\т) ^ Σ Ыгт < с.
m>N m>N
Более тонкий результат получен в работе Л.В.Канторовича [К].
б) Воспользуйтесь неравенствами 3.15 а) и 3.21 б).
3.23. а) Сделайте замену переменной у = γ^.
б) Воспользуйтесь тем, что умножение на х + (1 — х) не меняет
многочлена.
в) Необходимость условия очевидна. Для доказательства
достаточности вычислим коэффициенты а\. Пусть Р(х) = Σ bjxK Сде-
лаем замену переменной у = ~—. Тогда из равенства Σ bjXJ =
= Σ αηχ1ί(1 - х)п~к следует, что
Σ bjyJ(l+y)n-J= Σ *№·

442
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
Приравнивая коэффициенты при равных степенях переменной у,
получаем
«ί= Σ *;с# = с*( Σ *;(£)' + *(*)) =
Поэтому я * > О при & — 0,..., η для всех достаточно
больших номеров п, если многочлен Ρ положителен на всём
промежутке [0, 1]. В общем случае представим многочлен Ρ в виде
Р(х) = хаР(х)(\ — х)ь, где Ρ > О на [0, 1]. Так как коэффициенты
разложения многочлена Ρ по базису {хк(1 — x)n~a~b~k}o^k^n-a-b
положительны, то коэффициенты {я{;}(К;Ки разложения многочлена Ρ по
базису {хк(1 - х)п~к}о^к^п положительны для к = а,а + 1, ... ,п —b
и равны нулю для остальных к.
§ 4. Почти периодические функции и последовательности
4.1. Пусть рп = ηλτηοά 1 = ηλ — [ηλ]. Поскольку Я иррационально,
Рп φ Рт при η φ т. Заметим, что рп+т = (Рп + Рт) niod 1 при
любых и, т е Z. Для любого N > ^ среди точек р\9..., /?#
найдутся две, расстояние между которыми меньше ε. Пусть к\, &2 (^Ь
кп <, Ν) — такие номера, что 0 < р/С1 - р^ < ε, и пусть т = к\ — &2·
Тогда 0 < рт < ε. Пусть г 6 N таково, что 1 - ε < ргт < 1. Тогда
если рп е (а - ε, α + ε), то либо рл+ю, либо рп+гт попадает в этот
же интервал. То же можно сказать об одной из точек рп-т, Рп-гт-
Таким образом, расстояния между соседними решениями уравнения
ηλ = α (modi) не превосходят L = г\т\, что доказывает второе
утверждение.
4.2. а) Рассмотрим множество
Г = {(х,у) \х =x(t) = Ajf mod 1, у =y(t) = A2rmodl; t 6 Щ .
Проверьте, что при иррациональном γ множества Ax={x(t)\y(t)=0},
Ау = {y(t)\x{t) = 0} всюду плотны на [0,1) (воспользуйтесь 4.1).
«Кривая» Г состоит из отрезков (рис. 26), которые получены при
пересечении квадрата Т2 = [0, 1) χ [0, 1) с семейством параллельных
прямых, имеющих угловой коэффициент γ и проходящих через все точки
множеств Ахх{0}, {0}хАу. Заметим, что при естественном
отождествлении противоположных сторон квадрата = [0, 1] χ [0, 1] это мно-

И РЕШЕНИЯ · § 4. Почти периодические функции... 443
жество Г превращается в так называемую
иррациональную обмотку тора Έ?/Ζ2. Мы
рекомендуем читателю проследить за движением
точки (x(t),y(t)), где, например, x(t) = t mod 1,
y(t) =r\/2mod 1, на достаточно большом
промежутке изменения параметра г. Из описанной
структуры множества Г следует, что оно всюду
плотно в квадрате Т2, что равносильно
разрешимости системы (1).
к+щ
Рис. 26
Рассмотрим последовательности ^
>Ук =у{*к)· Как
установлено в задаче 4.1, существует относительно плотное множество таких
к Ε Z, при которых у к = a2(modl). В то же время х^ = *(/*) а \.
б) Иррациональность λ\ и Я2 приводит к тому, что точки
Рк — (*ь У к)·» гДе на этот Раз ** — х(к), У к — )>(£)> оказываются
попарно различными. Тогда р^ имеют точку сгущения. Следовательно, для
любого ε > О найдутся такие к\, &2 €%> чт0 координаты 4, η точки
Ркх — Рк2 ^ ^2 удовлетворяют условию \ξ\ < ε, \η\ < ε. Ич пешвиси-
мости λ2,λ\ и 1 над Q следует иррациональность j, и полому
«обмотка тора» Г = {(|r mod 1, цг mod 1) | t Ε М} всюду плотна в
квадрате Т2. Пусть m = к\ — &2· Тогда точки prm, г Ε Ζ, образуют * \/2-ссть
на каждом отрезке, из которых состоит Г, а значит, и в квадрате.
Пусть рп = (хПууп) — такая точка, что \хп —а\\ < ε, \уп αι\ < ε.
Для каждого их четырех открытых квадратов Qi,..., (?4 (рис. 27)
со стороной ε, примыкающих к углам квадрата Т2 и содержащихся
а
ε
Qx
ε
2ε
άΡη
2ε
a
Qi\
a^Pn + Qz
Pn+Qv
.......
a
Pn+Qi\
►a
/>„+a
Рис.27

444
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
в нём, подберём натуральные числа г\9..., г 4 так, чтобы точка рпт
попадала в Q,- (одно из чисел г/ можно взять равным единице). Тогда
для любого /г, являющегося решением системы (1), одно из чисел
η + Г[Ш также будет решением системы (1) (а также и одно из чисел
η — Г[гп, см. рис. 27). Из этого следует, что в каждом интервале длины
L = max ri\m\ имеется по крайней мере одно целочисленное решение
нашей системы.
4.3. Докажем, что система разрешима при любых Х\,..., λη.
Положим tn = γ, Xi(tn) = X[tn mod 1, / = 1,... ,k, η G Z. Тогда x\(tn) = 0,
а последовательность векторов
Pn = Ыь)> · · .,**('*)) e Tk~l = [0, l) χ ... χ [0, l)
k-\
имеет точку сгущения. Рассуждая, как в решении предыдущей задачи,
найдём такое щ ^ 1, для которого Xi(tno) < ε.
4.4. Докажем, что для вещественной разрешимости системы при
любых α ι,..., cik и ε числа λ\,..., А* должны быть линейно
независимыми над Q, т.е. соотношение η\λ\ + ... + щХк = 0 (щ G Ζ) должно
выполняться лишь при п\ = ... = щ = 0. Пусть п\9..., щ G Z, и
система имеет решение г при любых значениях а\9..., ак и ε. Тогда
λ(ί — а[ — Ш[\ < ε, i = 1,..., к, для некоторых т\,..., т^ G Z, т.е.
У^ n[X[t — Σ Ща1 — Σ nimi\ < ε Σ \ηί\· ЕСЛИ Σ ni^i = 0, ТО В СИ-
лу произвольности ε отсюда следует, что Σ niai ^ ^· Поскольку чис-
ла а\,..., а к произвольны, п\ = ... = щ = 0. Опираясь на результат
задачи 4.2 а), можно по индукции доказать, что рациональная
несоизмеримость чисел λ\,..., Ад. гарантирует существование относительно
плотного множества решений.
4.5. Необходимым и достаточным условием положительного
ответа на вопросы а) и б) является линейная независимость чисел 1,
Х\,...Лк над Q.
Необходимость. Допустим, что Σ ni^i =п ПРИ некоторых п,
п\у..., щ G Z. Предположим, что для произвольных правых частей
αι,...,ίΖ£Η£>0 существует целое решение т. Тогда найдутся такие
целые т\,..., т^, что
\Σ η,-Λ,-ιη-Σ щаг-Σ ηίηίί\ = \ηηι-Σ щаь ~Σ л/т,-|<г:]Г |Λί|.
В силу произвольности ε, Σ wifl/ ^ ^> чт0 возможно, лишь если
п\ = ... = щ = 0.

И РЕШЕНИЯ · § 4. Почти периодические функции... 445
Доказательство достаточности получается обобщением
рассуждения из решения задачи 4.2 б).
4.6. Если а и с соизмеримы (т.е. число ^ рационально), то
функция / периодична, а среднее значение / за период равно нулю. Если |
иррационально, то найдутся сколь угодно близкие точки максимума
(минимума) обоих слагаемых (см. задачу 4.2 а)).
4.7. Для проверки первого утверждения рассмотрите систему
уравнений ^ = O(modl), к = 1,..., п, и воспользуйтесь задачей 4.3
(см. также задачу 4.15).
Предположение о периодичности / влечёт справедливость
тождества
X>*(*iA|:T -l)eiXkX =0
(τ — период). Полагая bfc=afc(elXkT-1) и дифференцируя это
тождество в нуле, получаем равенства Σ Л™Ьк=0, т=0> 1,2,....
Поскольку Хк попарно различны, определитель Вандермонда dct(AJ.")J! t '*, о
отличен от нуля и, следовательно, все Ък равны нулю. Но это
возможно лишь при у- G Z, т. е. если А# попарно соизмеримы.
4.8. Используйте задачу 4.4.
4.9. Пусть существует такое L > 0, что для любого ε е (0, г()) в
промежутке [1, 1 + L] имеется τε, удовлетворяющее неравенству
\f(x)-f(x + r£)\ <ε9 xeR. (1)
В силу компактности отрезка найдутся такая последовательность
εη I 0 и такое г, что τε„ —> т. Переходя к пределу в неравенстве (1),
мы убеждаемся в том, что τ — период /.
4.10. Равномерная непрерывность и ограниченность доказываются
почти так же, как в периодическом случае. Например, для
оценки \f{x\) - f{x2)\ используйте почти период г, взятый в
промежутке (—х\у —х\ + L), и равномерную непрерывность / на
промежутке ( — 1, 1 + L). Ответы на остальные вопросы отрицательны даже в
периодическом случае.
4.12. Рассмотрите функции <рн{х) = \ (fix + h) - f{x)) {h > 0).
Они равномерно почти периодичны и равномерно на R стремятся к /'
при h —> 0.

446
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
4.13. Пусть для простоты функция F вещественная, Μ = supF(x),
к
m = infF(x), ε > О, а х\ и х2 таковы, что F(x\)<m+7,
н
F(x2) > Μ - |. Пусть d = \х\ — х2\, L = £(^) — число, выбранное
по определению почти периодичности для /. Если τ — ^-почти
период /, то для ζ ι = χι + τ, i = 1,2, выполняется неравенство
Z2 Z\
F(z2) - F(z\) = F(x2) + ff(x)dx - F(xi) - f f(x)dx =
X2 X\
= F(x2) - F(xx) + j(f(u + τ) - /(h)) du >
x\
>M-m-?f-dfj=M-m-e.
Отсюда следует, что в каждом интервале длины L + d найдутся
такие z\ и Z2, что F(z\) < т + ε, F(z2) > Μ — ε. Тогда для любого χ
и такого ζ ι Ε (χ, χ + L + d), что F(z ι) < m + ε, имеем
Ζι Zl+Γ
F(x+T)-F(jO=F(zi+T)-F(zi) + J/(*)ar- J /(*)</* =
χ χ+τ
= F(zi+T)-F(zi)-j(f{u + T)-f{u))du>
X
> m - (m + ε) - (L + ά)ε = -ε(\ + L + d).
Аналогично доказывается, что F(x + τ) — F(x) < ε (I + L + d) для
всех х, откуда следует требуемое.
4.14. Необходимость условия компактности семейства сдвигов.
Рассмотрите последовательности {f(x + hn)}, x Ε Q, и, пользуясь
диагональным процессом, выберите подпоследовательности к\ — Нщ так,
чтобы последовательности {f(x + к})} сходились для всех χ Ε Q. Для
доказательства равномерной сходимости последовательности {/#,}
на Μ воспользуйтесь равномерной непрерывностью /.
Достаточность. Предположите противное: существуют £q > О
и последовательность интервалов {Δπ}, длины которых стремятся
к бесконечности и в каждом из которых нет εο-почти периода /.
Выберите последовательность {h^} и подпоследовательность
интервалов {Δ^} таким образом, чтобы выполнялось условие:
hk - hi Ε АПк для i = 1, ... 9к .

И РЕШЕНИЯ · § 4. Почти периодические функции... 447
Докажите, что sup \/^(х) - fh (х)\ > ε0 ПРИ ' < / и> следовательно,
хеш ' ;
из последовательности {fhk} нельзя выбрать равномерно сходящуюся
подпоследовательность.
4.15. Для случая суммы воспользуйтесь критерием почти
периодичности из предыдущей задачи. В случае произведения используйте
равенство fg = I((/ +g)2 - (/ - g)2).
4.16. Пусть L = L(e) — такое число, что любой промежуток длины L
содержит ε-почти период функции /,С = sup \f(t)\. Используя почти
период τ, взятый из интервала (ауа + L), а 6 R, докажи ι с неравенство
Т α+Γ
2Т / Я*) dx~Tr f f(x>>dx
<ε + ψ.
a-T
Τ
Выведите отсюда, что для φ(Τ) = jf \ f(x)dx справедлпиа оценка
-τ
\φ(ηΤ) - φ(Τ)\ < ε + Щ*· (и 6 Ν). Затем докажите, что |φ(7'ι) qA'h)\ <
< 2ε + CL(jr + jr) для таких Т\ и Г2, что ^ G Q.
4.17. а) Поясним лишь, как из равенства (/, /) =0 следует, что
f = o.
Пусть |/(х)|2 > ε > 0 в некотором интервале (aj>). Тогда в
каждом интервале длины L = L(|) найдётся такое г, что |/(.v)|2 > £ для
χ е (а +ту Ъ + г). Следовательно,
£ / |/(*)|2^ > i[?](& -«)§ ^ ^г > 0.
-т
в) Пусть g = Σ cxkq>xk9cXkeC9k = l9...,n. Тогда
<к</-*,/-*> = (/,/> + ел -*> + ел -*> + (*.*> =
= (Λ /> - Σ ^"ся, - Σ qa + Σ Ы2 = (л /) - Σ Ы2·
Счётность множества ненулевых «коэффициентов Фурье» с\
вытекает из того, что ввиду конечности M(\f\2) для каждого η Ε Ν
множество {Я | \с)11 ^ ^} конечно. С другой стороны, для каждого счётного
набора λ\9 Яг, ... и произвольного абсолютно сходящегося ряда Σ α£

448
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
рад Σ aicelXkX равномерно сходится на R, причём его сумма / —
р. п. п. функция (см. задачи 4.7, 4.11). В силу равномерной сходимости
10 приА^А^.
Более подробно с затронутыми вопросами можно познакомиться,
например, в [Л].
4.18. Воспользуйтесь равенством ап = Ьп + сп.
4.19. Равномерная почти периодичность / влечёт периодичность
{ek}keZ-
4.20. Неверно. Соответствующий пример удобно описать в
обозначениях задачи 4.23. Положите Aq = 0,
Ар=Ар_хА1 г...А1 г (peN).
4 ν '
2Р+1-1
4.21. Пусть ρ = (m, η) G Σ. Рассмотрим соседние с ρ точки (т±19п),
(т, η ± 1). Заметим, что проекции отрезков, соединяющих (т + 1, п)
с (т, η + 1) и (т - 1, п) с (т, и — 1), на прямую, перпендикулярную
сторонам полосы, равны ширине полосы, откуда следует, что лишь
один из концов каждого из упомянутых отрезков принадлежит Σ.
Соединив отрезками каждую точку из Σ с двумя соседними, получим
бесконечную ломаную, лежащую в S, звенья которой параллельны осям
координат, откуда легко следует первое утверждение.
Докажем второе утверждение. Очевидно, что ширина полосы
равна а + Ъ. Обозначим расстояния от последовательных вершин р\
ломаной до прямой у = кх через у/, / G Ζ. Предположим, что /?о = (0, 0),
р\ = (0, 1), а через а обозначена длина проекции звена р$р\ на
сторону полосы. Тогда для всех вертикальных звеньев piPi+\ длина
такой проекции равняется а и выполняются соотношения yi+\ — у,- = Ь,
ει = 0. Для горизонтальных звеньев длина проекции на сторону
полосы равна b, yi+\ -у,- = -а, а £,· = 1. Положим лс,- = ^^. Тогда,
как легко убедиться, лс; = ia mod 1, / G Ζ, где а = -^-^
иррационально, и при этом sign(xI+j - χι) = (—1)е/. Пусть es+\ .. . £5+/ —
произвольное слово, и пусть xs+j = max(xs+\>..., xs+i), δ = 1 — xs+j.
Ясно, что в каждом отрезке Ζ достаточно большой длины найдётся
такое число t, что xt+j Ε (1 — δ, 1) (см. задачу 4.1). Легко видеть, что
тогда разности лсг+,· — jc5+m i = 1,..., /, одинаковы, а значит, «слова»
£s+\ · · · £s+l и εί+ΐ · · · εί+/ совпадают.

И РЕШЕНИЯ · § 4. Почти периодические функции... 449
Рис. 28
Аналогичная задача в пространстве приводит к построению
интересного разбиения плоскости. Пусть теперь Sq — открытый слой
пространства М3, расположенный между дву- . у
мя параллельными плоскостями Ρ и Q,
причём Ρ η Ζ3 = {(0, 0, 0)}, Q П Ζ3 = {(1, 1, 1)},
a S = Sq U P. Ортогонально спроектировав на
Ρ отрезки, соединяющие пары соседних точек
в S Π Ζ3, мы получим отрезки,
ограничивающие некоторые параллелограммы. Эти
параллелограммы покрывают Р, а их внутренности
попарно не пересекаются (рис. 28).
Полученное покрытие замечательно тем, что оно
состоит из параллелограммов всего трёх сортов,
не является периодическим (т.е. не переходит
в себя ни при каких сдвигах), но является квазипериодическим в том
смысле, что любая конечная его часть встречается бесконечное
количество раз. Доказательство этих фактов оставляем читателю.
4.22. Сначала проверьте, что если А = Ап = ε\ .. ,ε2η, то ε
имеет вил A°AlA1 A°AlA0A°Al ..., где Л° = А, Л1 = (1 - еь ..., 1 -£>)>
т. е. верхние индексы снова образуют последовательность ε. Пусть В —
любое слово из ε. Если η настолько велико, что слово Ап содержит
слово В, то, как легко видеть, В содержится в каждом слове длины 2П+2.
4.23. Полезно выделить случай, когда существует такое п, для
которого Ар+\ = АрАр.. .Ар при всех ρ ^ п. В этом случае
последовательность ε имеет вид АпАпАп..., и, таким образом, оказывается
периодической.
В противном случае для слова В из ε подберём какое-нибудь слово
вида Ап, содержащее В. Тогда отыщется такое к > 0, что в слово Ап+^
будут обязательно входить слова Ап и а\. Поскольку ε получается
соединением слов А„+£ и А^+1с, во всяком слове, длина L которого
равна удвоенной длине А„+ь содержится Ап и, следовательно, В.
Интересно отметить, что ε периодична, кроме упомянутого случая,
только если Ар+\ = АрА^АрАхр ... AJ,Ap при всех достаточно больших ρ
(проверьте).
4.24. Очевидно, что s имеет вид As 2k^4k^s6k^s U · · ··> гДе к = 2n
(η G Ν), A = Αη = s\ ... S2k-\, A = s~2k-\ · · · s"\- Отсюда сразу следует
почти периодичность.

450
VII. Функции (продолжение)
• УКАЗАНИЯ
Если через σ(η) обозначить (-1)5" (и Ε Ν), то последовательность
{σ(η)} характеризуется свойствами:
1)σ(2η + 1) = (-1)ν(1);
2) ип = ^(σ(2π) + 1) — снова последовательность складок.
Предположим, что последовательность {sn}n^n0 имеет период
г = 2в(2Ь+1). Тогда
σ(η + 2a(2b + 1)) = σ(η) для всех п^щ.
Положив η равным 2fl+1/w, придём к равенствам
a(2fl(2/w + 2b + l)) = σ(2α+1™), m^m0.
Обозначив а(2ат) через аа(т), т ^ 1, получим
последовательность σα, удовлетворяющую 1) и 2). Следовательно,
аа(2т + 2b+\) = (-l)m+baa(l) = σβ+1(«), m ^ m0 .
Но тогда σα+2{™) — (-l)2/7I+^fl(l) = const, что невозможно.
В качестве следствия непериодичности отметим, что если числу
χ е [0, 1), разложение которого в бесконечную двоичную дробь имеет
вид χ = 0,£ι£2 · · · (для однозначности такой записи предположим, что
среди εп всегда бесконечно много нулей), поставить в соответствие
у = 0,^1^2..., гДе {sn} — последовательность складок, задаваемая
равенствами S2» = εη+\, η = 0, 1,..., то получим функцию, заданную
на [0, 1), непрерывную в иррациональных точках, непрерывную справа
в двоично-рациональных точках и принимающую только
иррациональные значения.
4.25. Примем за тт числа вида m2l, m G N, с фиксированным
показателем / G N (эти числа удовлетворяют условию а)) и запишем
последовательность складок s в виде AsicAs2icAs3kAs4k · · · с к = 2ι~ , где А
и Л — слова длины к — \ (см. решение задачи 4.24). Поскольку длина
слова AsjcAs2k равна 21, среди η чисел а-} = \sj+Tm — Sj\, j = 1,..., η,
по крайней мере (1 — -Ми чисел (отвечающих тем sj, которые
попадают в какое-нибудь слово вида А или А) будут нулями. Следовательно,
\ Σ α}<\<ε
при достаточно большом /, откуда следуют свойства б) ив).
4.27, Каждое конечное слово и; из г содержится в некотором
слове Ап. Проверьте, что г имеет вид Я ι#2 · · -·> гДе каждое слово В\ имеет
длину 2/г+3 и содержит Ап. Поэтому любое слово из г длины 2"+4
содержит Ап и, следовательно, w.

И РЕШЕНИЯ · § 4. Почти периодические функции... 451
Отметим несколько любопытных свойств последовательностей
складок s (см. задачу 4.24) и Рудина-Шапиро г.
Если определить s равенствами s2k = к mod 2, к — О, 1, 2,..., то
r„+i совпадает с ( J^ s^· — π j mod 2, и £ N (r| ()). С этими по-
следовательностями связана также интересная кривая (ломаная) на
плоскости (рис. 29, сплошная линия). Она составлена из
чередующихся «горизонтальных» и «вертикальных» звеньев равном длины,
причём повороты (на 90°) ломаной направо и палево отвечают, как
в задаче 4.24, нулям и единицам последовательности .v. ")та
ломаная связана с последовательностью г так: числа /*|,/'2,...
отвечают горизонтальным звеньям ломаной, взятым по порядку, причём
гп = 0, если л-е горизонтальное звено проходится слева направо,
и гп = 1 — если справа налево (последовательность «вверх—вниз»
прохождения вертикальных звеньев также напоминает
последовательность Рудина-Шапиро).
Ττί 'f "ψ" ίν" 'fr "
2Ύ t Г Т
j = 0I1000 HOI 1 1001001 10001001 11001
ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι
r=0 00100100001 1 101
Рис. 29
С ломаной, отвечающей последовательности s, можно связать
новую ломаную, изображённую на рис. 29 пунктиром. Она получается
из сплошной следующим образом: мы заменяем каждое звено двумя
новыми, служащими катетами равнобедренного треугольника с
исходным звеном в роли гипотенузы. При этом вершина такого
треугольника отклоняется от сплошной ломаной поочерёдно то вправо, то влево.
Обратите внимание на то, что новая ломаная получилась из старой
поворотом и сжатием в у/2 раз. По второй ломаной можно построить

452
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
третью аналогичным способом, затем четвёртую, и так далее. Такая
последовательность ломаных в пределе заполняет сектор на
плоскости, ограниченный двумя сторонами угла в 45°, т.е. определяет
кривую пеановского типа Попробуйте исследовать кривые, возникающие
подобным образом из последовательностей складок с другим
чередованием нулей и единиц в последовательности {л>} (например, s2» = 1),
а также соответствующие предельные множества на плоскости.
Подробнее о вопросах, затронутых в задачах 4.24—4.26, можно прочитать
в статьях [DMFP], [MFT], [S].
Глава VIII
Мера и интеграл Лебега
§ 1. Мера Лебега
N ν
1.1. Воспользуйтесь равенством р| Ек = (О, 1)\ (J Е£, где
к=\ к=\
Е[ = (О, l)\Ek. Докажите, что λ( \J Е'Л < 1.
1.2. Рассмотрите множества Ε^—ζ^ Ε {к = 1,..., Ν) и, используя
N
задачу 1.1, проверьте, что р| Е^ φ 0. Возьмите точку ζ о из этого пе-
к=\
ресечения.
1.3. а) Разобьём пространство М™ на кубы с вершинами в
точках решётки %т: Rm = (J Qh где Qx = {I +y | у G [0, l)m}. «Сдви-
iezm
нем» все множества Ε Π Qi в куб [0, l)m, т.е. рассмотрим
множества Ει = {χ - I I χ e Ε Π Qi}. Так как Σ Xm{Et) = ]Г Хт{Е η Qi) =
/ ι
= Xm(E) > 1, то множества Ε/ не могут быть попарно
дизъюнктными. Следовательно, найдутся такие различные векторы I', ln e Z,
что Ε// Π Ε/// φ 0. Пусть а е E[f Π Εχη. Тогда α —χ, — \,=χη — l'\ где
χ', χ" е Ε. Таким образом, 0 φ χ' - χ" = V - l" G Ът.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Мера Лебега
453
б) Рассмотрите множество Е = {4х|хЕУ}и используйте п. а).
в) Рассмотрите множество Е = {4х|хЕУ}и, рассуждая по
аналогии с решением п. а), докажите, что найдётся точка, принадлежащая
по крайней мере N + 1 множеству Е/. Выведите отсюда, что в Ε
найдутся такие попарно различные точки xj,..., х/у-ьЬ что хк - xj £ %m·
Рассмотрите такой номер s, что точка xs не принадлежит выпуклой
оболочке остальных точек. Проверьте, что все точки ±(хк хх), где
к φ s, попарно различны и, следовательно, являются искомыми.
Результат задачи в) известен как теорема Минковского о ныпуклом
теле.
1.5. Докажите, что мера множества тех точек интервала (0, 1), у
которых ни одна из первых η цифр десятичного разложения не раина
нулю, есть [jq) .
1.6. а) Рассмотрите такие множества ЕП/с, что
E(1-A(£„J)<1.
Используйте ту же идею, что и при решении задачи 1.1.
б) Рассмотрите множества Еп с (0, 1), состоящие из точек, у
которых п-я десятичная цифра не равна нулю, и убедитесь и том, что
т
Я(р|Е^) = (^) (сравните с решением задачи 1.5).
k=\
1.7. Рассмотрите множества Hq = (J f ——^-, —r1) (q е. Ν) и
пробег ι ' J
верьте, что А с (J Hq при любом т G N.
Можно доказать, что если 6q |, Σ fy = °°> то Н^) -' 1 (см. [X],
теорема 32).
1.8. Ввиду регулярности меры Лебега найдётся такое открытое
множество G D Е, что
вХт{С) < Хт{Е). (*)
Пусть G = |JA„, где Ап — попарно непересекающиеся кубы. Из
неравенства (*) следует, что θ Σ λΜ(Αη) < Σ Α„ζ(ΕηΔ„). Поэтому
хотя бы для одного номера п = щ должно выполняться неравенство
θλΜ(Αηο) < Хт(Е ηΔ„0). Полагая Δ = Δ„0, получаем требуемый
результат.

454
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
1.9. Как установлено в задаче 1.8, найдутся такие точки а, Ъ и
положительные числа δ, δ', что
λ(ΕΡι{α-δ,α+δ)) > р и Х(ЕС Π (Ь - δ', Ъ + δ')) > | δ'.
Убедитесь, что, изменяя при необходимости а и Ь, числа 5 и δ7 можно
считать равными. Проверьте, что в этом случае сдвиг, переводящий
точку а в точку Ь, — требуемый.
1.10. а) Пусть Н=Е — Е, Δ — такой промежуток, что |Α(Δ)<Α(ΕιΊΔ)
(см. задачу 1.8). Докажем, что HD (-^Α(Δ), ^Α(Δ)). Пусть |jc|< Αλ(Δ).
Проверим, что (Ε Π Δ) Π (χ + Ε Π Δ) φ 0. Действительно, в
противном случае
Α((ΕΠΔ)υ(χ+ΕΠΔ)) = λ(Ε Π Δ) + A(jc + Ε Π Δ) =
= 2Α(ΕΓΊΔ) > §Α(Δ). (**)
Вместе с тем Α(Δυ(χ+Δ)) < §Α(Δ), так как \χ\ < ^Α(Δ). Поэтому
Α ((Ε Π Δ) U (χ + Ε Π Δ)) < Α (Δ U (χ + Δ)) ^ §λ(Δ), что противоречит
неравенству (**).
Пусть у е (Ε Π Δ) Π (χ + Ε Π Δ). Так как у G χ + Ε Π Δ, то найдётся
такая точка х; е Ε Π Δ, что у = χ + *'. Таким образом, jc = у - х\ где
у,х7€ЕПДсЕ, т.е. хеЯ. Тем самым включение (-^Α(Δ), ^А(А))сЯ
доказано.
б) Это утверждение непосредственно вытекает из а).
в) Чтобы доказать, что множество Ε + Eq имеет внутренние
точки, проверьте, что существуют такие числа α, я о и δ > О,
что λ(Ε Π (а - δ, а + δ)) > 2 5, А(Е0 Π (а0 - S, я0 + 5)) > \ δ· Если
α = ίζο = 0, то воспользуйтесь п. а), заменив χ + Ε Π Δ на χ - Eq Π Δ,
где Δ= (-5,5), Ι* | < |. Общий случай сводится к рассмотренному
с помощью сдвига.
Изучение множества Ε · Eq легко сводится к случаю а = я о — 1·
1.11. С помощью задачи 1.10в) проверьте, что Int(E) φ 0, и
используйте результат задачи 1.1.21.
1.12. Будем проектировать С χ б* на прямые, проходящие через
точку (|, ^). Пусть & — угловой коэффициент такой прямой. Из
соображений симметрии ясно, что можно ограничиться случаем к Ε [0, 1]
(рис. 30).

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Мера Лебега
455
Рис.30
Прямыми, параллельными осям координат, разобьём Q=[0, l]x[0, 1]
на девять равных квадратов и рассмотрим лишь те из них, что
примыкают к вершинам Q. При | ^ к ^ 1
объединение проекций этих четырёх квадратов на
прямую с угловым коэффициентом к
совпадает с проекцией Q. Отсюда легко вывести
(ср. с решением задачи 1.1.306)), что проекция
С χ С также совпадает с проекцией Q и,
следовательно, её мера равна "t Отметим,
VI4- к2
что равенство проекций равносильно
равенству С+кС= [0, 1 +*].
Если 0 < к < ^, то положим к = ^, где ^ ^ Θ < 1, т = [log3 £].
Множество j^C+kC представляет собой отрезок [0, -йг], длина
которого меньше J^. Следовательно, С+кС есть объединение 2т по-
парно непересекающихся отрезков длины -^-, а мера проекции равна
l+3'Ч (2\т
VTU2~{3) '
1.13. а) Если λ(Εν) = 0, то lnt(Ev) = 0, и поэтому (см. задачу 1.1.34)
И£+1 > щ + 1 бесконечно много раз. Если же щ.+\ > щ. + 1 при
7 G N, то в двоичном разложении точек из Ev цифры, стоящие на
местах с номерами пк. + 1, суть нули, из чего следует, что λ(Εν) = 0
(ср. с решением задачи 1.5).
б) Убедитесь, что если щ.+\ —щ. ^ 2 -f log2 m, то в двоичном
разложении точек множества Е^ цифры, имеющие номера щ. + 1, суть
нули.
сю
в) Используйте представление Н= (J ^(Е(2т> — та), где
а = Σ 2-^.
*^1
1.14. Убедитесь в том, что при любом натуральном η множество Ε
можно покрыть 2п промежутками длины ^.
1.16. Из определения однородного обобщённого канторовского
множества Ε на отрезке [0, 1] с определяющей последовательностью

456
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
{W/i^O следует, что
*(£) + Σ2"(/„-2/„+1) = 1,
где /q = 1. Поэтому λ(Ε) > 0 тогда и только тогда, когда
Σ 2"(/„ — 2/„+ι) < 1. Так как при надлежащем выборе {1п} последняя
сумма может быть сколь угодно малой, то мера множества Ε может
быть сколь угодно близкой к единице.
1.17. Используя решение задачи 1.16, докажите вспомогательное
утверждение.
Лемма. Пусть А — произвольный конечный (непустой) интервал,
О < Θ < 1. Существует такое компактное множество К С Δ, что
а) Int(K) = 0;
б) λ(Κ) = Θλ(Α);
в) А\К состоит из попарно непересекающихся интервалов, длины
которых не превосходят половины длины Δ.
Чтобы получить требуемое в задаче множество А, проведём
следующее построение. Пусть Δο = (0, 1), 0j > О, Σ 0/ < 1. Построим
в соответствии с леммой (при Θ = 6q) компактное подмножество Kq
интервала Aq. Пусть Ал (и € Ν) — интервалы, составляющие
множество Δο \ К$, а АГ„ ^ — построенные в соответствии с леммой (при
Θ = Θ\) компактные подмножества этих интервалов. Пусть, далее, Ап '
(η G Ν) — интервалы, составляющие множество Δο\(ΛΓοϋ (J Kn '),
a Κη; — построенные в соответствии с леммой (при Θ = Θ2)
компактные подмножества этих интервалов. Продолжая этот процесс, мы
с помощью индукции получим семейство множеств {KnJ }nj^\. Поло-
ОО ОО / .ч
жим А = Kq U (J (J Kn . Проверьте, что
j=ln=l сю
λ(Δο\Α)=Π(1-ΘΑ (*)
7=0
Убедитесь в том, что любой непустой интервал Δ с Δο содержит
некоторый интервал А„/, и поэтому
АПАЭЬ$ПАЭК$ и λ(ΔηΑ)^λ(Κ$)>0.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Мера Лебега
457
Проверьте также, что
А\Аэй$\(к$и U U^)·
и, заменяя Δ на дУ и Λ на А! = Кщ U (J (J Лу, , докажите,
У=Л-1 /1=1
(7)
что вместе с равенством (*) справедливо и равенство X{/ym'\Af) =
= λ(Αίη}) · Π (1 - 6j), откуда следует, что λ(Α\Α) > 0.
j=i
1.18. Предположим сначала, что А — выпуклый w-угольник с
периметром L. Тогда разность Αε\Α состоит из η прямоугольников
ширины ε и η круговых секторов, радиусы которых также равны с. Ясно,
что суммарная площадь прямоугольников равна Le. Легко убедиться,
что сумма всех центральных углов, соответствующих секторам,
равна 2π. Поэтому суммарная площадь секторов равна πε2. Таким
образом, λ(Αε) = λ(Α) + Le + πε2.
Общий случай исчерпывается аппроксимацией А выпуклыми
многоугольниками.
1.19. Так как (см. [БЯ]) площадь поверхности выпуклых тел
непрерывна в метрике Хаусдорфа (т. е. площади поверхностей двух
выпуклых тел близки, если каждое из них содержится в достаточно
малой окрестности другого), то мы можем ограничиться
доказательством неравенства в случае, когда тела А и В суть многогранники
и Int(A) φ 0.
На каждой грани многогранника Λ как на основании построим
прямую призму, расположенную вне А. Каждая такая призма вырезает
в границе множества В «окно», причём разные «окна», очевидно, не
налегают друг на друга. Остаётся заметить, что площадь каждого
«окна» не меньше площади соответствующей ему грани.
Другое решение задачи можно получить, основываясь на том, что
при сближающем отображении площадь поверхности не
возрастает. Рассмотрим метрическую проекцию Τ на множество А.
Утверждение задачи следует из того, что Τ — сближающее отображение
и Т(дВ) = дА (см. задачу Ш.4.8).
1.20. Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда Xm(G) < оо.
Представим множество G в виде объединения попарно непересека-
оо
ющихся кубических ячеек: G — (J Qj. В каждую ячейку впишем
7=1

458
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
(0) ^m(Bj ) а N
шар В\ \ Ясно, что я , , = ^, где aw = Aw(£(0, 1)). Поэтому
*™(G \ U *f) = Σ МбЛ*?*) = 0 " £)М<?) = fW) >
где # = 1 — ат2~т < 1. Зафиксируем Q так, что q < Q < 1. При
достаточно большом 7V шары В^ ,..., #]у заполняют существенную
часть G: AW(G\ (J By ) < QAW(G). Применив описанную процедуру
v 7=1 у
к открытому множеству G\ = G\ (J By , найдем шары Ζ? J ,..., #j^ ,
7=1
которые заполняют существенную часть G\\
Xm(Gx\ (J М1}) < Ωληι^) < Q2Xm{G).
Построение искомого семейства шаров завершается с помощью
индукции.
1.21. Пусть Ε = (J[fla, ba], {аа < ba). Положим G = [J(aay ba). До-
а а
статочно доказать, что разность Ε \ G не более чем счётна.
Представим G в виде G = (JA„, где {Ап} — компоненты связности множе-
п
ства G. Так как каждый интервал (αα, ba) содержится в одном из Δ„,
то Б С IJA,!, и поэтому разность Ε \ G не более чем счётна.
1.22. Обозначим буквой μ меру Лебега на S1. Если допустить
измеримость хотя бы одного из множеств Еп, то ввиду их конгруэнтности
и инвариантности меры μ относительно вращения все они будут
измеримы и будут справедливы равенства μ(Εη) = μ(Ειη) при любых и,
т G N. Пользуясь счётной аддитивностью меры μ, мы получаем
(ОО ч
п=\ 7 и^1 и^1
Таким образом, 0 < Σ Н(Е\) < °°> что невозможно ни в случае
μ{Ε\) > 0, ни в случае μ(Ε\) = 0.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Мера Лебега
459
1.23. Разобьём числа промежутка [0, 1) на классы
эквивалентности, считая два числа эквивалентными, если их разность рациональна.
Пусть С — множество, имеющее с каждым классом эквивалентности
ровно по одной общей точке, и пусть Cq — образ С при сдвиге на θ
по модулю 1. Занумеруем все рациональные числа промежутка [0, 1)
в последовательность {θη} и положим Еп =Сдп. Поскольку сдвиг по
модулю 1 сохраняет измеримость и меру множества, множества Еп
измеримы или нет одновременно и в случае измеримости имеют
одинаковые меры. Допуская измеримость множеств Еп и рассуждая так
же, как и при решении задачи 1.22, мы снова приходим к
невозможному неравенству 0 < У^ λ(Ε\) < оо.
1.24. Не умаляя общности, будем считать, что Ε с (0, 1). Пусть
Еп — множества, построенные при решении задачи 1.23. Положим
оо
Ηп = Ε П Εη. Ясно, что Ε = (J Ηη. Допустим, что все множества Нп
и=1
измеримы. Тогда хотя бы одно из них имеет положительную меру
и, следовательно, содержит (несовпадающие) точки, расстояние между
которыми рационально (см. задачу 1.106)), что противоречит
построению множеств Еп.
1.25. Проверьте, что если χ е (0, 1)\Q, то χ е Ε тогда и только
тогда, когда 1 — χ £ Е. Докажите, что справедлив и более общий
результат: если χ G A\Q, где Δ — произвольный промежуток вида ( L·, -^- J,
η = 0, 1, 2,..., к = 0, 1,..., 2п — 1, и xf — точка, симметричная
точке χ относительно середины промежутка Δ, то χ Ε Ε тогда и только
тогда, когда xf g E.
Допустив измеримость множества Е, выведите из этого свойства,
что λ(Ε Π δ) = \λ(δ) для любого интервала δ С (0, 1). Последнее
противоречит результату задачи 1.8.
1.26. Пусть Q = [0, 1)т. Положим Q{ = I + Q и £, = -l + EDQi
(I G Ът). Проверьте, что (J Е, = Q и £, Π Εν = 0 при / φ lf.
/<EZ"'
1.27. Пусть с > 0, Ρ = [—с,с)т. Достаточно проверить, что
λΜ(Ρ\ (J (а + Е)) = 0. Пусть ε — произвольное положительное чис-
ν аел J
ло и пусть Q — такой куб, что (см. задачу 1.8)
Xm{Q\E) < eXm{Q). (1)

460
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
Убедитесь в том, что можно найти такие точки а\,а2,---,амЕА, что
Ρ С (J (fln + β) и Σ AmK + eK2Am(P). (2)
Тогда
р\ U (а + я) с U («. + β)\(βι» + ^) > (3)
а в силу (1) и (2)
Σ lm{(an + Q)\(an+E)) < Σ £AmK + eK2£Am(P). (4)
Ввиду произвольности ε из (3) и (4) следует равенство
*т(Р\ U (*+£)) =0.
4 аеА У
1.28. См. [АКТШ]. Пусть ребро данного куба Q имеет
длину L, гп — радиусы шаров, Vn — их объёмы. По условию гп —> 0,
Σ Vn — +°°· Мы будем считать, что г„ |. Рассмотрим куб Q\ с тем
же центром, что и Q, но имеющий ребро |. Будем рассматривать
только шары с номерами п^ к, радиусы которых меньше |.
Выбирая подряд шары с объёмами Уь V^+l» · · · > разместим максимально
большое число таких шаров в Q так, чтобы центры шаров находились
в Q\. Поскольку суммарный объём шаров бесконечен, это семейство
конечно. Пусть последний из шаров семейства имеет номер N. Удвоив
радиусы этих шаров, мы получим покрытие куба Q\. Действительно,
если это не так и точка xq Ε Q\ не покрывается увеличенными
шарами, то к построенному семейству можно добавить шар B(xq, r^+\)9
что противоречит максимальности семейства. Следовательно,
ν(βιΚ Σ 2"%·,
k^j^N
и поэтому
Σ Vj> 2-mV{Qi) = 2-2mV{Q).
k^j^N
Таким образом, в любом кубе можно разместить конечное
семейство шаров данной последовательности, суммарный объём которых
будет составлять не меньше чем 2-2ш-ю долю от объёма
исходного куба. Объём множества G, дополняющего построенное семейство
до куба, будет не больше чем qV(Q), где q = 1 - 2~2т < 1.
Представляя G в виде объединения попарно непересекающихся кубических

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Мера Лебега
461
ячеек и итерируя описанную процедуру, мы можем исчерпать данный
куб шарами с любой степенью точности.
1.29. Очевидно, мы можем считать, что данный квадрат есть
Q = [О, 1] χ [0, 1]. Пусть круги В(сп, гп) таковы, что
В(сПугп)ПВ(сьгк) = 0 при кфп, λ2(β\Ε) = 0,
где Ε = [jB(cn, гп). Нам достаточно доказать, что при любом ε > О
η
Σ г η > \ ■
Гп<£
Пусть Η = (J В(сп, rn), Hf = (J В(сп, гп). Рассмотрим сечения Нх
Гп^£ Г„<С
множества Н:
нх = {уе[0,\}\(х,у)ен}.
Легко убедиться, что множество #о не более чем счётно и что
Нх С Нхг при 0 < χ < xf < ε. Поэтому (ввиду непрерывности
меры сверху) λ\(Ηχ) —> λ\(Η$) = 0 при χ —► 0, и мы получаем, что
λ\{Ηχ) < \ при достаточно малых jc, скажем при 0 < χ < 3.
Однако λ\(Εχ) = 1 при почти всех jc, поскольку λι{Ε) = 1. Так как
Ех = Нх UHfx, то при почти всех χ Ε (0, δ) справедливо неравенство
λ\(Ηχ) > ^. Из очевидного включения
Нх С U (Уη -Гп,Уп + Гп)у
гп<г
гцеуп — ордината точки сп, следует неравенство ]ζ 2гп ^ λ\ (Hfx )>\,
Гп<£
и мы получаем требуемое.
1.30. а) Проверьте, что множества Gn= (J (|£, ^jrO (леМ)
0<yt<2"-1
удовлетворяют всем поставленным требованиям.
б)*) Установим справедливость следующего утверждения, из
которого, очевидно, вытекает требуемое.
Теорема. Пусть Aq, Aj,..., А^ — подмножества вещественной
прямой, причём λ(Α/ί) ^ ^, Λ (A* ^Aj) ^ | при /с, j = 0, 1, ..., 7V,
* ^ 7. Бели отах^Я(А^) ^ ± + -±=, то я( U АА) ^ 1 + £.
* ) Решение предложил А. В. Тепляев.

462
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что
Ρ = Я (До) — \ + ε ПРИ некотором ε > -4= и
Х(Ак) = ±, X(AknAj)^± приЮ^ЛГ, O^j^N, кф].
Ν ι
Положим Ε = [J Aj и докажем, что λ{Ε) ^ 1 + ε .
7=0
Пусть
χ принадлежит ровно к
( | χ принадлежит ровно к л
Вь = \хеЕ \ л л л Г>
[ | множествам из А\9 Aj, ..., А#)
N
и пусть Ьк=Х(Вк), ск=Х(А0ПВк) (* = 1, 2, ..., N), со=я(а0\ U *Д
4 к=\ '
Тогда, как нетрудно подсчитать,
Σ*** = Σ*(40 = τ. (1)
Σ^^Σ Σ А(А*ПД;)<&1>, (2)
Σ*^ = Σ^θΠΑ;Κ£, (3)
к=\ 7=1
Σ^=Λ (4)
к=0
Домножив равенство (2) на 2 и сложив с (1), мы получим
Σ*2**<^· (5)
к=\
Ν Ν
Отметим, что Q = Σ Ьк - Σ ск = Я(Е \ А0) > 0 и Я(£) = Ρ + β.
*=1 *=1
Положим теперь χ = ^ Σ ^сь )> — т> Σ M^ifc _ с*)· С помощью
неравенства Коши—Буняковского получаем, что
*2<£Σ*2**. 3>2<£Σ*2(**-<*)· (6)

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Мера Лебега
463
Используя введённые обозначения и неравенства (5), (6), мы можем
переписать соотношения (1) —(3) следующим образом:
Px+Qy = », (1')
?Λ&2^, (2')
Px^i- (3')
Отсюда следует, что число Q достаточно велико. В самом деле,
находя у из (1') и подставляя в (2'), мы видим, что
π \ / \ (N-2Px)2 s- [r\ N 1
Как легко убедиться, наименьшее значение функция ω принимает при
χ = ^, и поэтому β ^ ω(^). Простые вычисления показывают, что
λ(Ε) = Ρ + β^1+ε2 + ΛΓ(ε27ν - 1),
где К — некоторое положительное число. Это завершает
доказательство.
§ 2. Измеримые функции
2.1. а) Пусть сначала Ε = Ш.т. Проверьте, что в этом случае
множество {х eRm\g(x) > а} является ε-окрестностью множества
Еа = {х G M.m\f(x) > а} и, следовательно, открыто.
В случае Ε φ Rm рассмотрите функции
/„(*) = \т при xlEF
Ι —η при χ ψ. Ε
и 8п{х) = $vp{fn(y) I ||jc - у || < ε} (η е Ν). Убедитесь, что на Е
функция g есть поточечный предел функций gn, которые, как уже доказано,
измеримы.
б) Решение аналогично решению п. а) с тем отличием, что
ε-окрестность множества Еа должна быть заменена «односторонней
ε-окрестностью», т.е. множеством (J (jc, χ + ε).
χ£Εα
2.2. а) Проверьте, что при любом А е R множество {x\ff(x) ^ А)
совпадает с пересечением р| Еп, где Еп — объединение всех таких
промежутков [а,Ь], что Ъ - а < ^ и ь-а > ^ ~ п' Измеримость
множеств Еп следует из результата задачи 1.21.

464 VIII. Мера и интеграл Лебега · УКАЗАНИЯ
б) Как и в пункте а), можно доказать измеримость функции /'
(f'(x) = lim ^ _ '). Поэтому множество, на котором функции ff
у—>х У
и /' совпадают, измеримо.
2.3. а) Для измеримости /'+ достаточно проверить измеримость
функции
/ ч f(x+t)-f{x)
X »-» ge(x) = SUp — \ JK '
0<t<£
(поскольку f'+ =\\mg\/n). Так как при t>0 неравенство ^ γ~^ > a
равносильно неравенству /(*+*) - α (χ +1) > f(x) - ax, то
{x\g£(x) > a} = {χ I sup F(y) > F(x) } ,
X<y<X+£
где F(jc) = /(jc) — ax. Учитывая результат задачи 2.1 б), мы
убеждаемся в измеримости последнего множества, что ввиду произвольности
a G Ш влечёт измеримость g£.
2.4. Докажите, что множество Εε = {χ е Ε | |/(jc)| ^ 1 - ε} при
некотором ε > О имеет положительную меру, и рассмотрите функции
/l = / + εχεε, fl=f~ ε%Εε.
2.5. Рассмотрите функцию /(χ)=Σ 2-п<р0(х-гп), где φ0=χ[0 +οο),
a {r/2} — произвольным образом занумерованное множество
рациональных чисел.
2.6. Рассмотрите характеристическую функцию множества из
задачи 1.17.
2.7. б) Найдите длины образов промежутков п-го ранга,
используемых при построении канторова множества (см. задачу 1.1.29).
в) Используйте результат задачи 1.24, гарантирующей
существование неизмеримого подмножества множества g(0·
2.13. б) Воспользуйтесь тем, что график /* симметричен
относительно прямой χ = у графику функции F, определяемой на интервале
(inf/, sup/) равенством F(y) = X[{x\f(x) > у}). Поэтому
достаточно доказать вогнутость (или выпуклость) F. Если / вогнута, то
множество {{x,y)\f(x) ^у} выпукло, a F(y) — длина его сечения
горизонтальной прямой на уровне у. Рассмотрев трапецию, порождённую
двумя такими сечениями, проверьте, что функция F вогнута.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 2. Измеримые функции
465
Для выпуклой функции / можно рассуждать аналогично, так как
длина сечений её надграфика на уровне у равна L — F{y) (здесь L —
длина интервала, на котором задана функция /).
2.16. Докажем первое из требуемых равенств. Пусть с\ < ... < сп
и сп+\ = +оо. Ввиду строгого убывания функции / от +оо до — оо на
каждом из интервалов (с*, Q+l) (fc = 1, 2,..., и — 1) и от +оо до О
на (сл, +оо), множество Et = {χ е R \ f(x) > t} есть объединение
интервалов (с*, jcjt), где jCjt — такая точка, что /(**) = i, с* < jc^ < q+i-
Таким образом,
Чтобы найти сумму ^ jc^, заметим, что точки х^ суть корни урав-
1<*<л
нения f(x) —t или равносильного ему уравнения
Σ <*кЩ-=*Р(х), где Ρ(χ)= Π (*-с*).
Последнее уравнение, очевидно, можно переписать в виде
txn-(t Σ ck+A)x»-l+Q(x)=Oy
4 и*<л у
где степень полинома Q(jc) меньше η — 1. По теореме Виета
Σ ■** = Σ ск + f' что ПРИВ°ДИТ к требуемому результату.
Второе равенство доказывается аналогично.
Эти тождества были установлены Дж. Булем в середине XIX века.
2.17. Очевидно, что
1 /9
А^ j \f{x)\dx + y/X^EA)^\f{x)\2dx) ζ
Е\ЕА Ел
ζ \ (1 - Хт{ЕА)) + ^/ЩЁа)СА.
ι I-/2
Положив t — yJXm(Eb) и сократив на А, получим 1 ^ —~—ЬС*.
Последнее неравенство справедливо при -—\ ^ / ^ С + \/С2 — 1.
Следовательно, Хт(ЕА) > -^.
2.18. Не умаляя общности, будем считать, что функция /
задана на R и всюду f(n\x) > Δ. Пользуясь индукцией, докажем чуть
более сильное неравенство с коэффициентом η +п вместо 2п .

466
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
При η = 1 доказываемое утверждение сразу следует из
теоремы Лагранжа о среднем. Для осуществления индукционного
перехода зафиксируем положительный параметр 0, значение
которого мы уточним позже. В силу индукционного предположения
мера той части множества Et = {χ е R||/(jc)| ^ ί}, где |/'(jc)| ^ 0,
1
не превосходит (п2 - п)(| ]я"1. Поскольку f^n\x) ^ Δ, множество
{х G M||/'(jc)| ^ Θ} состоит не более чем из η промежутков, на
которых функция / строго монотонна. Поэтому та часть Et, где |/'(jc)I ^ 0,
состоит не более чем из η промежутков. Как следует из теоремы
Лагранжа, длина каждого такого промежутка не больше ^ (так как на
нём |/(jc)| ^ t и |/'(jc)I ^ Θ). Таким образом,
А(£^2и| + (п2-и)(£)^.
Ι ι_1
Взяв 0 — Ant % мы получим требуемое неравенство.
Более сложное рассуждение даёт оценку X{Et) ^ 2п(^)». Это и
другие близкие неравенства можно найти в [АКЧ].
§ 3. Суммируемые функции
ЗЛ. Ясно, что
ι ι
0 KKN JQ Hl<j^N J J
1
+ 6 f Σ ΧΕι(χ)Χε;(x)XEk(x)dx=Si+6S2 + 653,
JQ \^l<j<k^N J
где S3 = Σ H&l n Ej n £*)· Для вычисления S3 заметим, что
K/<;<A:*C/V
так как Et U £; U Ek = [0, 1] при \ ζ Ι < j < к ζ Ν, то
X[0t 1] — %£/ + %£, + %ΕΛ - %£/%£, - %£/%£* ~ XEjXEk + XEiXE}XEk ·
Следовательно,
-Я(Е/ Π ΕΛ) - λ{Ε} Π £*) + Я(£/ Π Ej Π £*).
Суммируя эти равенства по 1 ^ / < j < к ^ N, мы находим S3.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Суммируемые функции
467
3.2. Из условия задачи следует, что ^ %е\х) ^ к при любом
л 6 [0,1]. WN
3.6. а) Докажите сходимость ряда У! 4г Г ,?х , где Δ — произ-
z J V4-*-r„|
Δ
вольный конечный промежуток.
б) Пусть φ(χ) = Σ 2-"|jc - rn|-1/2, где {r„} —
последовательность, состоящая из всех рациональных чисел, занумерованных
произвольным образом. Рассмотрите функцию φ2.
3.7. Рассмотрите функцию
(θ при jr=0,
J^X) be2 sin-^ при л:ф0.
3.11. а) Пусть Е* = {х - у \ у е £}. Ясно, что j ^^ = J ^ .
Положим Λ = Ех Π 5(0, г), С = £Г\А Тогда Я„,(С) = Хт(В{0, г)\А) и
sup{||z|r^ | ζ Ε С} <: r-P = inf{||z||"'' | г Ε Д(0, г)} .
Поэтому С^<ЫП<, с ^
J \\z\\p ^ т - J \\z\\p
С Я(0,г)\А
И
J ll*-y|l' ~ J 1И1' + J 1И1" ^ J IHI" + J ||г||* ~ J 1И1' '
Ε АСА В(0,г)\А Я(0,г)
б) Убедитесь, что при некотором а Е [0, 2π] справедливо равенство
Гelx dx\ = Гcos(jc - a)dx, и используйте ту же идею, что и в п. а).
Ε Ε
в) Проверьте, что при надлежащем θ из R
Я dxdy Ι ,·0 Г Г dxdy С С χ dxdy
*+/v| * J J *+!> J J хЧу2 '
Ε ЕЕ'
где Ef — множество, получающееся из Ε поворотом. Для оценки
интеграла Г Г х2Х у2 рассмотрите множество
Е' Е< = {(х,у)еШ2 | -^-2>t},
χΔ+γΔ
на котором функция 2Х 2 велика, и подберите / так, чтобы мера £,
χ -\-у
равнялась мере £'. Докажите, как и в п. а), что при таком выборе /

468
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
справедливо неравенство
Яхахау . г Г xdxdy
х2+у2 ^ J J х2+у2 '
Ε' Ε,
и вычислите последний интеграл.
3.16. Ясно, что интеграл ί g (x) In f (x) dx существует. В случае, ко-
Е pt
гда он конечен, докажите, опираясь на неравенство \е ~ | ^ |г| + е'г1
(t GR, 0 < ρ < 1), что
j^p1g(x)dx —> jg(x)\nf(x)dx.
Ε Ρ^+ Ε
Если Г g(x) \nf(x) dx = —oo, то рассмотрите функции f§ = max(<5, /),
Ε
где 0 < δ < 1, и перейдите в неравенстве
(fg(x)fP(x)dx)l,P ^ (jg(x)fp5(x)dx)l/P
Ε Ε
сначала к верхнему пределу при ρ —> +0, а затем к пределу при
3.17. а) Рассмотрим интервал Δ = (с, 2с), где с > 0. Тогда
+оо
/(Σ/(*«))ΛΕ = ι//ωΣίζΔ(έ)"3'·
J ч ь^ы / J ham
Δ Λ^ 0 Λ^
Проверьте, что сумма под знаком последнего интеграла не
превосходит 1, из чего следует а).
б) Сделайте замену переменной χ — γ и воспользуйтесь пунктом а).
3.18. Ясно, что
Σ j j^dx= j m8{X)dx,
atl+l -oo
ГДе g(x) = У X(X'a"+l)
χ — характеристическая функция полуоси Ж+. Оценим g(x). Пусть
am+l < х ^ ат+2- Тогда χ — Ъп > 8{т + 1 — п) при η < т. Поэтому
а(Х) < У 1 < _1_ У 1 < _2_

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Суммируемые функции
469
3.19. б) Воспользуйтесь попарной ортогональностью функций ε^ — \
(* = 1,2,...,и).
3.23. См. [3], с. 210. Представим множество (я, Ь)\К в виде
объединения U(ab Л0 попарно непересекающихся интервалов. Тогда
к
Поэтому
К К К с*к К сск К
Оценим внутренний интеграл, стоящий в правой части ранснства (*).
Считая, что у е (α*,Α0, МЫ получаем
а* Ь
/dx ^ Г dx , С dx <-
Ix-уГ1 ^ J |i-y|s+1 J Ix-yr1 ^
^Κ(Ηί7 + (/Α)0' ?" Λ(·ν)·
Ha основании этого неравенства из (*) следует, что
J>s(*)dc ^ E j Uy ^ Hb~a) < °°-
a: * a*
Доказанное утверждение принадлежит Марцинкевичу.
3.24. Ясно, что а) следует из б). Для доказательства 6) разбейте
куб [—я, а]т на 2т пирамид, основаниями которых служат грани куба,
а вершины находятся в начале координат. Для вычисления интеграла
по каждой из этих пирамид используйте теорему Фубини.
3.25. Проверьте, что
= m(m-l)f j( J...J (^)pdx2...dxmXlxmdxx =
[o.i[
1 χι
0 0 Xm^Xk^Xl
\<k<m
1 / jc
m(m-l)jQ£)p(x-yr-2dy^dx.
0 0
Во внутреннем интеграле сделайте замену переменной у = tx.

470
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
3.26. Чтобы избежать трудностей, связанных с проверкой
измеримости функции на подмножествах, размерность которых меньше т,
будем считать, что функция непрерывна (общий случай
исчерпывается с помощью аппроксимации). Используя полярные и сферические
координаты, легко установить базу индукции. Пусть формулы а), б)
справедливы для Sm~2 и Ш.т~1 соответственно. Заменяя f(x) на
f{x)X\0 ц(IMI), где %rQ j, — характеристическая функция
промежутка [0, 1], мы видим, что
1
j /(х)ах=1^-2{ j f(ta))dnm_2(a>)}dt. (1)
β,η-ι 0 Sm~2
Перейдём к доказательству равенства а). Пусть
S^'l = {(xi9...9Xm)^Sm-l\xm^0}9
ST1 = {(*i,..., xm)esm-l\xm^0}.
Докажем, что
j /(*b...,*iii-b*ifi)^ifi-l(*) =
π/2
= f sin™-2 θ { Γ /(ii! sin0, ...,mw_i sin0, cos0)^w_2(ii)W. (2)
о sm~2
В самом деле,
j /(*1,...,*Д1_1,*|Я)^1Я_1(дс) =
βηι-l
Используя равенство (1), получаем
j Я*!..·.. *m-b*w)^w-l(*) =
s;-1
1
0 5'"-2

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Суммируемые функции
471
После замены переменной г — sin0 мы приходим к (2). Аналогично
доказывается, что
sm-l
Л
= Г sin™-2^ Г f{u\uri6, ... ,ατη_\ύηθ,οο^Θ)άμηι_2{ιή\άΘ.
Перейдём к доказательству равенства б). По теореме Фубини
j f(x)dx = J j j... jf(x\9 ...,xm)dx\ ...dxm-\jdxm.
Пользуясь индукционным предположением, преобразуем внутренний
интеграл, после чего получаем
• оо
Гт-2Х
Х{ S /(™\'···>Γ^-1>^)όμΜ-2(")}<ΐΓ>άχ
Rm R 0
ι т '
Перейдём теперь к полярным координатам xm—t cos Θ, г = ί sin Θ в
полуплоскости (jcw, г), г ^ 0. Это даёт нам равенство
ОО ( Л
• —° 7х
К" 0 v 0
f f(x)dx= \tm~X\ isinw-2^>
К™ 0 0
x^ Γ f(tu\ sin 0, ..., tum_\ sin0, ίοο^θ)άμηί^2{η) \d9 \dt.
Sm-2
Пользуясь уже доказанным равенством а), мы видим, что
я
f sinw-20 j Г f{tu\ sin0,... ,tum_\ sin0, rcos0)d/iw_2(i/) }d0 =
0 sw~2
- [ f{tω)dμm_x{ω),
и, таким образом,
оо
J7(jt)dx = j>-1{ J /ΝΦ„_,(ω)}Λ.
R"» 0 Sm~l

472
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
3.27. а) Примените формулу б) задачи 3.26 к характеристической
функции множества Г, изменив справа порядок интегрирования.
б) Примените утверждение а), считая, что г (ω) = γ^-τ при
3.28. Как установлено в задаче 3.27 б),
J fm(x) =тЯ"*(У)>
Sm-\
где V = {χ е Rm I f{x) ^ 1}. Поэтому
Sm-l
откуда следует требуемое.
3.29. Примените приведённую перед задачей 3.29 формулу, считая,
что / — характеристическая функция множества Е.
3.30. Используя формулу, приведённую перед задачей 3.29,
получаем, что искомый объём 1т(г) вычисляется по формуле
о Ы о
Функция /m(r) называется распределением хи-квадрат с т
степенями свободы и часто используется в математической статистике.
3.31. По теореме Фубини
γ*^ = pfe f e~X],2{ HI ^"2(*i+*f+^2dX3^4}^i ,
(*α)>
где (Κα)Χι = {(*2>*3>*4) e1^3 Ι γ^2 + *3 + *4 ^fll*ll} — сечение
множества Ка. Поэтому
оо
Г4(Ка) = j£y2j e~X2/2(S 4"r2e~r2/2dr)dx =
О О
arctg а оо
= * I {le~p2/2p3*in2<pdp}d<p·
О О
Дальнейшие вычисления мы предоставляем читателю.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Суммируемые функции
473
3.32. В сечении множества Τ гиперплоскостью χ \ = χ мы получаем
множество
где Вх = {у eR\ (х9у) еВ}= [а- л/Я2 -х2,а + γ//?2-*2].
Поэтому
A3(7i) = J 4яу2Лу
a-y/R2-x2
и, следовательно,
fl R ( a+\/R2-x2 \
λ4(Τ)= j λ3(Τχ)άχ= j I j 4ny2dy\dx.
-R -R^a-y/ie^ J
Заключительные вычисления мы оставляем читателю.
3.33. Пусть А' — проекция А на ось jq, Ах = {у \ (х, у) с А}. Ясно,
что А4(Г) = j λ3(Τχ)άχ, где
Тх = {(-*2>-*3>*4) \JX\+X\ +*4 G^}·
Так как Яз(7^) = Г 4яу2 dy, то
Ах
λ4(Τ) = Г| Г 4яу2 dy }<** = 4я (Ту2й?х dy ,
А' Ах А
что и требовалось.
3.34. Убедитесь, что
λΜ(Τ) = $Xm_x{Tx)dx,
А'
МТ) = Vfe / e~x2/2ym-\(Tx)dx ,
А'
где А1 — проекция А на ось jq, Ах = {у \ (х,у) € Л},
7i = {(*2, ...д^еК"1-1 | у^ + .-.+х2 g^}

474
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
Пользуясь сферической инвариантностью множества Тх, покажите, что
Xm^(Tx)=am_2jym-2dy,
(2я) 2 Ах
3.35. Сделайте надлежащую ортогональную замену переменных,
используя представление
m 2 m
2 Σ xj*k = ( Σ**) -Σ χ1·
l^j^k^m 4=1 ' k=\
m
3.36. Пусть Vm(t) = Am (*b . · ·, xm) e Rm | Σ Ыр < ^ > ' > °-
Проверьте, что Vw(i) = Vm(l)tm. Пользуясь теоремой Фубини, дока-
J. ^
жите, что Vm{\) = 2Vw_i(l) I (1 - tp) p dt. Выразите этот интеграл
О
через Г-функцию и примените индукцию.
3.37. а) Ввиду инвариантности меры μηι-\ относительно вращения
можно считать, что а = ЦаЦ^ь где е\ = (1, 0,..., 0). Поэтому
а\\Р Г , ,» , / ч _ 2||а||" С \x\\Pdxl...dxm-l _
r=e / м^.-,м = « / ^
/1-Λ2_..._Λ2
5»-1 *2+...+*i ,<ι
-1 Λ2 + >>>+Λ2_ι<1_Λ2
<£*ι .
Интеграл, стоящий в фигурных скобках, есть площадь сферы
Sm~2(Jl -х\), и поэтому он равен σ^_2(1 — х\)^~.
Следовательно,
1
0
0 ν 2 /

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Суммируемые функции
475
Подставляя в это равенство значения σ^_2 и &т-\, получаем искомый
результат.
3.39. Не умаляя общности, можно считать, что F > 0. Положим
№ = ЫР-Ь($$), где Ь = {А-1)*(а).
Применяя результат задачи 3.28, мы видим, что
f гУ (*'fl) \dl*m-l(x) _ Г <*fm-l(x) _ 1 С Г(( M\j ( \
J Ь\Щх)\\) \\А(х)Г " J /"(А*) ~ |det(A)| J ^U^^JJ^m-l^J.
5/И-1 5»ι-ι 5m-1
Для преобразования последнего интеграла следует воспользоваться
результатом предыдущей задачи.
3.40. См. [G]. Ввиду сферической инвариантности меры μΜ-\ мы
можем считать, что а = е\, Ъ = cos9e\ + sin 0^2, гДе е\ = (1, 0, 0,..., 0),
е2 = (0, 1, 0,..., 0). Таким образом, нам следует вычислить интеграл
?= j f(x\>X2)dHm-i(x),
Sm-\
где /(и, v) = (sign и) · sign(wcos0 + ν sin0). Ясно, что
f(xi,x2)dxi...dxm..i
,2χ α..! - »--·|-----Ι
Xl-r...^-Xm_l^L
yfi-X\---Xm .
2у/\-х\-х\ахъ ...dXn-Y
CC f{x\,xi) f Г С 2yJ\-x]-x\dxi...dxm-X Л
2lL^z*i\ J" у < v(i-x?-xi)-xi-.-xi-Ij
<£*ι <£*2·
<!-**-*!
Внутренний интеграл справа есть не что иное, как площадь
(т—3)-мерной сферы радиуса wl — χ2 — х^. Поэтому
7= jj f{uiv)am^{\-it2-i)2)4idiulv =
2π
&т-Ъ \\ ι f(rcosq), rsir\(p)(l - г2) 2 rdr>d(p.
0 0

476
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
Очевидно, f(rcos<py rsin<p) = /(cos<p, sin<p), и поэтому
2π 1 m_4
5^= (тт-ъ ί /(cos<p, sin<p)<i</) Г(1 - r2)^2~rdr =
0
2я
2я 2я
= ^гг| ί /(cos φ, sin<p)d<p = ^| J (sign cos φ) signcos(<p - Θ)άφ.
Мы предоставляем читателю убедиться
в том, что последний интеграл равен 2π — 4Θ
(на рис. 31 вне круга указан знак cos φ,
а внутри — знак cos(<p - Θ)). Поэтому
и поскольку σ^_ι = ^^^а^-з, мы получаем
требуемый результат. Рис.31
3.41. Утверждение а) есть частный случай задачи 3.42.
б) Используя а) и формулу, приведённую перед задачей 3.29,
получаем
оо оо
'* = Ш / S Ι' "Ί М",-1'-(г2+'2)/2^р·
О О
Переходя в двойном интеграле к полярным координатам, приходим
к равенству
я/2 оо
1т = 2 "' Г |cos<p - sin<p| (sin φ cos φ)"1-^φ Γ u2me~u f2 du =
^ О О
Γ~ν~ COS ^·
2Τ2(^) J I 2
sin у
2/ о
Остаётся заметить, что (см. VI.2.8)
zi'r,W-l
sin™ ι φ άφ =
2V2r(m+i)*/2sinm-Vcosyj
- *.!*(=) J sinf+cosf "*·
π/2
π/2
Jsinm φ cos φ ■, С
.φ φ άφ ~
sin-+cos- /я-+оо J
sin -+cos
0 2 2
sin"' φ cos φ ι _ 1
sin^+cos^ ^ "" W2"

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Суммируемые функции
477
3.42. Так как A D В(0, ε) при некотором ε > О, то qA(χ) ^ ^-, и
поэтому
j j \Яа(х) ~ 4Α&)\όμ(χ)(Ιμ(γ)
т
< Έ J* / (IMI + M)dH(x)dH(y) ζ \ J* (Σ Ы) 4Φ) < °°·
R^R™ R'"
Пусть faA — характеристическая функция множества tA (t > 0). Тогда
oo oo
jM(tA)[l-M(tA)}dt= f{ j 1ш(х)[1-Ш(у)}ом(х)аМ(у)}а1 =
0 0 Rm Rm
oo
= j ΐ{ΐχ,Λ(χ)[1-*Λ&)]*}<Ιμ(χ)άμ&).
Rm Rm 0
Внутренний интеграл равен max{qA(y) - <7a(jc), 0}. Поэтому
оо
jμ(ίΑ)[ΐ -μ(ίΑ)} dt = j j max{qA(y) - qA(x), 0}άμ(χ)άμ(γ) =
\ J* j\qA(x)-qA(y)\dM(x)dn(y).
R^R"1
= 2
RS?>" Ttt"»
3.43. Пусть £clffl — измеримое множество, порождающее паркет
(см. задачу 1.26). Докажите, что
jf(x)dx=jf(x)dx
Ε Q
(отсюда при Ε = а + Q и Ε = A(Q) мы получаем
утверждения а) и б)). Для проверки этого равенства рассмотрите множества
<2/ =l + Q, Ει = -l + EHQi (/€ Ът) и проверьте, что
(J Ει = β, Ει Π £,/ =0 при /' φ Ι.
Ввиду периодичности функции / ясно, что \ f(x)dx = Г f(x)dx.
Ει EDQi
Остаётся воспользоваться счётной аддитивностью интеграла.
В случае, когда матрица А не целочисленная, рассмотрите пример:
А=0о2 2)' /(*.30 = sin(2i«) (x.yeR).

478
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
3.44. Пусть d = diam(r). Можно считать, что точки О = (О,..., 0)
и <$ = (О,..., 0, d) принадлежат множеству Т. Пусть Q — проекция Τ
на гиперплоскость хт = 0. Рассмотрите конус К с вершиной в точке &
и основанием Q. Так как
то достаточно доказать, что V ^ λΜ(Κ). Для этого убедитесь в том,
что пересечение конуса К с любой прямой /, проходящей через
множество Q параллельно оси хт, есть отрезок, длина которого не
превосходит длины отрезка, получающегося при пересечении / с
множеством Т. Построив плоскость, проходящую через прямую / и ось хт,
рассмотрите на ней точку Μ е Т, которая наиболее удалена от этой
оси и расположена по ту же сторону от неё, что и /. Докажите, что при
пересечении прямой / с конусом К и треугольником 0<$Μ получаются
отрезки одинаковой длины.
3.45. Проверьте, что выпуклая оболочка двух эллипсоидов,
получаемых один из другого сдвигом, содержит эллипсоид большего объёма.
Выведите отсюда, что эллипсоид £ центрально симметричен
относительно нуля. Не умаляя общности, можно считать, что £ = Вт. В
таком случае
Aw(£) ^ ат, если Ε С Г, Ε — эллипсоид.
(*)
Допустим, что xq G Г, ||*о|| > л/^· Очевидно, можно считать, что
xq = (с, 0,..., 0), где с = \\хо\\. Рассмотрим множество Вт и
точек ±xq (двумерное сечение S множества Т\ плоскостью,
проведённой через ось х\, изображено на рис. 32). Очевидно, что Т\ с Т.
Возьмём точку я, лежащую на оси х\, 0 < а < с, и рассмотрим
эллипс Е, определяемый неравен-
ством -\ + У-г < 1, где Ь2 = Vb
а1 Ь1 с1—\
а ось у взята в плоскости сечения
перпендикулярно оси х\.
Проверьте, что Ε С S. Из этого включения
следует, что Т\ содержит
эллипсоид Еа, полученный вращением Ε
вокруг оси х\ в пространстве М™.
Пусть V(a) = Xm(Ea). Так как
сечение Еа гиперплоскостью χ \ — const
^с
-с<^
У '
т*
N
N
7?
г>
)J,
ъ*1
л
Рис. 32

И РЕШЕНИЯ ·
§ 3. Суммируемые функции
479
есть шар, то
а т—\
У(в) = оь-1 /&"-'(ΐ-£)~Λ=α*β(££)
т-\
2_..2Ч —
Ясно, что V(l) = ат и V/(l) = aw с. "* > 0. Поэтому при а, близком
с- — 1
к единице и α > 1, справедливо неравенство V(a) > am, что
противоречит неравенству (*), так как Еа с Т.
3.46. Непрерывность функции φ и её голоморфность вне К
устанавливаются с помощью следующей теоремы (см. [АМХ], с. 169).
Теорема. Пусть ρ > 1, Ε cRm, ληι(Ε) < οο, {/η} —
последовательность измеримых на Ε функций. Если fn —> /q по
мере на множестве Ε и sup Г \fn(x)\pdx < оо, то функции fo, fn
" Ε
(η = 1, 2,...) суммируемы на Ε и I \fn(x) - fo(x)\dx —> 0; в част-
яостя, j f„(x)dx -+ j f0(x)dx.
Ε Ε
Если множество АГ вполне несвязно, то функция φ доставляет
пример (принадлежащий Помпейю), показывающий, что теорема Лиувил-
ля перестаёт быть справедливой, если вместо целых функций
рассматривать функции непрерывные и ограниченные в С и голоморфные
вне К. По поводу уточнения этого результата см. задачу 4.11 (пример
Урысона).
3.47. а) Пусть р, q > -1, Ур,ц = j tfif'l&l2*^ (£.&)· Тогда
7P,q= f (x2+y2)p(u2 + v2)qdM3(x,y,u,v) =
x2+y2+u2+v2=l
= 2 fff "'^'"-''-^ ■ -s ■
J J J ^1_.х2_у2_,/2 У
x2+y2+u2^\
= 4 f {х2+у2)Р{1_х2_у2у1{ Х)У 7T=^===\dXcly =
х2+уЧ\ О
= (2л)2 Jr2P+'(l - r2)^r = 2π2 j>(l - /)'^/ = Ъг2 r(ff^°-

480
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
в) Заметим, что при (£ь ξ2) £ В4 РЯД Σ (и + 1)(£ιζι +£2^2)"
равномерно сходится в шаре \ζ\ |2 + \ζ2\2 ^ 1, так как
IA^i+^2l^flViiiPTk2p^a < 1,
гдед = 71А12 + 1£2|2.
Поэтому
/(Ζΐ,Ζ2)Φ3(^1,Ζ2) _
/
(WizWzzz)2
53
= Σ (« + 1) Σ С*^Г* f/(zi,Z2)z,*?2"-*d/l3(zi,Z2). (*)
я^О £=0 3
Вычислим интегралы, стоящие в правой части равенства (*):
53
= Σ ajtt [z\zl2z{z2'kάμ3{ζ\,ζ2) =
- ак,п-к j \zi\2k \z2\2{n-k)dM3(zi, z2) = ak,n-k^[ д
53
Подставляя этот результат в правую часть равенства (*), получаем
( ff, , \ Фз(гьг2) _ у^ /.. , ,\Х^ Mtk t-n-k _ 2π2 1 _
2я2 Σ Σ a*.»-* A* A"'* = 2*2/(f 1, к) ■
п>0к=0
§ 4. Интеграл Стилтьеса
4.1. Пусть Е = (ау b)m, и пусть сначала Ь G М. Проведём решение
в этом случае в несколько шагов.
Шаг 1: функция h непрерывна на [а,Ь]. Разобьём
промежуток [ау Ь] на части точками to = а < t\ < ... < tn_\ < tn = Ъ. Поло-

И РЕШЕНИЯ ·
§ 4. Интеграл Стилтьеса
481
жим F(t) = λΜ([α9 t]m) = (t- a)m (t ^ а). Тогда
Г hfaaxx^dx = Σ \ hfaaxx^dx =
Ε 0^j<n tj^maxXk<tj+l
= Σ h(Jj)(F(tj+l)-F(tj))= Σ h(tj)F'(7j)(tJ+l-tj)9
где Tjy Jj G [tj, tj+\] (j = 0, 1,..., η - 1). Таким образом,
fh(mwLxk)dx=m Σ (Ъ)т~1Щ)(*Л-\-*j)·
JE 0^j<n
Осталось заметить, что сумма, стоящая справа, стремится к интегралу
ь
Ut - a)m~lh(t)dt, если max(iy+i - tj) -> 0.
a
Шаг 2: функция h ограничена на [а,Ь]. Рассмотрим
последовательность {hn} неотрицательных непрерывных на [а,Ь] функций,
сходящихся к h почти везде на [а,Ь]. Не умаляя общности, можно считать,
что hn ^ sup h. Убедитесь в том, что hn (maxxjt) —> /i(max.Xfc) почти
везде на Е. Пользуясь теоремой Лебега о предельном переходе под
знаком интеграла, мы видим, что равенства
ь
(hn(maxxk)dx = т Ut - а)т~]hn(t) dt (n = 1,2, ...)
Ε α
приводят к требуемому результату.
Шаг 3: функция h произвольная (измеримая, неотрицательная).
Требуемый результат получается с помощью аппроксимации
последовательностью ограниченных измеримых функций.
Случай Ъ — +оо исчерпывается с помощью предельного перехода от
конечных промежутков к бесконечному.
4.2. Рассуждения проводятся по той же схеме, что и при решении
задачи 4.1 а). Функция F(t) = (t — а)т заменяется функцией
Fx{t)=Xm(Om{t)) = {^ (ί>0).
4.3. Рассуждения проводятся по той же схеме, что и при
решении задачи 4.1 а). При этом F(t) = (t—a)m заменяется на
F\(t) = Cm(p)tm — меру множества
{(xl9...,xm)eRm Ι Σ \*k\p*ZtP\.
1 ' U*<iw }

482 VIII. Мера и интеграл Лебега · УКАЗАНИЯ
4.4. Рассуждения проводятся по той же схеме, что и при решении
задачи 4.1.
4.6. Ясно, что
f е-^)Лс=А2(А)+ f e-P^dx.
Ш2 R2\A
Рассуждая по той же схеме, что и при решении задачи 4.1 а), покажите,
что
оо
Г e-oW dx = j е~* dF(t),
R2\A 0
где F(t) =λ2(Αί), a At = (J B(x,t) — ί-окрестность А. Используйте
xeA
результат задачи 1.18.
4.7. Ясно, что F(i1/^7), G{t^p) — функции распределения функций
fp(x) и gp(x) соответственно. Поэтому
оо
/(/'(*) - 8p(*))dx = j (F{tl/P) - G{tl'P)) dt =
Ε О
оо
= pftP-l{F(t)-G(t))dt.
О
Следовательно,
оо
ф(р) - ф(ро) = i / ((£Г' - (^Г-1) И') - <?(0)л ·
О
Так как в точке ίο обе разности, стоящие под знаком интеграла, меняют
знак с «—» на «+», то φ(ρ) — φ{ρο) ^ О·
4.8. См. [Ball]. Запишем доказываемое неравенство в виде
оо оо
fgP(x)dx<ffP(x)dx (p>2),
О О
где g(x) — \—j^-\ и f(x) = е 2я. При ρ = 2 оно обращается в
равенство. В силу результата предыдущей задачи достаточно установить, что
разность F — G убывающих функций распределения меняет знак с «-»
на «+» лишь в одной точке. Так как обе функции / и g не превосходят
единицы, то F(t) = G(t) = О при ί ^ 1. Поэтому всюду далее счита-

И РЕШЕНИЯ ·
§ 4. Интеграл Стилтьеса
483
ем, что t е (О, 1). Очевидно, что F(t) = f~\t) = \/2я1п|. Значения
функции G вычисляются сложнее, и для их оценки нам потребуются
величины tm = max g, m 6 N. Ясно, что
< t„
{лт,лт+л)
*2Ю
Пользуясь разложением синуса в бесконечное произведение,
получаем, что на промежутке (0, 1) функция g убывает и не превосходит
,-χ2/6·
7-х2/(лк)2 = р-х2/6
^) = Π(ι-^ϊ)<Π
к>\К л к 7 к>\
Поэтому для t e (t\, 1) мы имеем
и, следовательно, разность F — G положительна на (t\, 1). Вместе
с тем она меняет знак, так как
оо оо
2 j t(F(t) - G(t))dt = J {f2(x) - g2(x))dx = 0.
0 0
Чтобы показать, что перемена знака происходит лишь один раз,
достаточно проверить, что F — G возрастает на (0, t\). Ясно, что
функция G всюду непрерывна и дифференцируема в точках, отличных от
tm (m e N). При этом
1
Is'WI *
|g'(0I = -g'(0 = Σ
*>0,
Докажем, что \G'(t)\ > \F'(t)\ на каждом интервале (iw+i, tm).
Уравнение g(x) —t при t e (ί/л+ь tm) имеет единственный корень на (0, л)
и по два корня на промежутках (лк, л к + л) при к = 1,..., т
(рис. 33). Оценим \gl(x)\ сверху в этих точках. Если χ е (0, л),
то \g'(x)\ = sin*~*cos* ^ I (неравенство sinx -jccosjc ^ γ легко

484
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
проверяется дифференцированием). Если же χ е (як, як + я), то
(см. задачу 1.2.30) \g'(x)\ ^ ^. Следовательно, для t e (tm+\9tm)
имеем
т
\G'(t)\ ^ 2 + 2 ]Г як = 2 + ят(т+ 1) > я(т+ \) .
Таким образом,
JL ™л, ,„,2ι„1
F'(0
1
Так как t\ < ^ < -у=, то функция i2 In j возрастает на (0, t\), и поэто-
му для? > tm+\ >
о'(0
F'(')
мы получаем
ln*(m+|)
V-2W)
In ^ > 1.
4.9. а) Проверьте, что интеграл равен пределу сумм
2-" Σ
ει,...,ε„€{0,2} К*^и 3*
б) Используйте тот же приём, что и в пункте а).
в) Используйте симметрию графика функции σ относительно
точки (±, \) (см. Ш.3.14).
г) Докажите, что ί σ(χ)άσ(χ) = ^у-^ (t > 0) или используйте тот
0
же приём, что и в пункте а).
д) Используйте равенство σ(χ) + σ(1 - χ) = 1 (jc g [0, 1]).
4.10. а) Пусть β; = [0, 3"''] χ [0, 3~'], Ej = Qj\Qj+l (./=0, 1, 2,...).
Ясно, что
1 1
Π</σ(χ)</σ(?) = у^ Г rda(x)da(y)
(хЧУ2)р/2 £h J J (хЧу2)'/2 *
0 0 J^O Ej
Так как (х2 + y2)~P/2 ж 3^ на EJ9 то
(*)
da(x)da(y)
(х2+у2)Р/2
у ρ .4~J.
(**)
Поэтому ряд (*) сходится одновременно с рядом Σ (^~)
3P\J

И РЕШЕНИЯ ·
§ 4. Интеграл Стилтьеса
485
б) Пусть Qj = [и- Ъ~К и+Ъ-J] х [и - 34 ν + 3~J], Е} = Qj\Qj+i
(j = О, 1,...). Рассуждая так же, как и в пункте а), проверьте, что
интегралы da(x)da{y)
U ({x-u)4(y-v)if2
Ej
допускают оценку, аналогичную (**).
в) См. указание к задаче 5.25.
4.11. Решение этой задачи опирается на результат задачи 4.10 и
проводится по той же схеме, что и решение задачи 3.46. По существу
впервые функция φ {пример Урысона) рассматривалась на с. 93 в [У],
где она была построена как предел функций, являющихся
интегральными суммами для интеграла
\ \ άσ{ϊ)άσ{η)
J J г-й+iiy) *
о о
4.12. Пусть С — выпуклая оболочка объединения множеств А х {0},
{0} χ В, и пусть дд — калибровочная функция множества А (см. 3.42).
Убедитесь, что при χ е А сечение Сх = {у еМ" \(х,у) G С}
множества С совпадает с (1 — q&(x))B. Следовательно,
Хт+п(С) = J(l - qA(x))nXn(B)dXm(x).
А
С помощью функции распределения для дд (которая, очевидно, равна
Xm(A)tm) получаем
ι
Хт+п(С) =λη(Β) J(l -tfmXm{A)tm-xdt = Xm{A)Xn{B)1^v
0
4.13. Учитывая, что
оо 2"+1
(\f(x)\Pdx= ( Γρ(ήώ = Σ ί rp(t)dU
используйте неравенства
2"+1
f f*P{t)dt^2nf*P{2n) и 2р/*(2") ^21 + ^ j f*(t)tp~ldt.
0 "c^ 2"
9M+1 9/1
z - 1 z
2»
4.14. Положим τη = Xm(En). Из определения функции /* (см. текст
перед задачей 2.13) следует, что 2п ^ /*(ί) ^ 2,2+1 при τη+\ < t < τη.

486
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
Поэтому
nez У nez ч 7
< Σ 2η+1ρ(^-τη+1)^ =2/7 Σ 2и(Ат(^и))р =2/75.
mGZ nGZ
Таким образом, Ip(f) < oo, если s < oo.
Докажем вторую часть утверждения задачи. Если Ip(f) < oo, то
ντ/ζρίπήό-1* —> 0. (*)
J · И—»+00
о
Кроме того, из неравенства
1 1 Г»
1 — 1 г ! — 1
2n(rnp-r^)^pfr(t)tp ldt^pjr(t)tp ldt,
где п < к < 0, следует, что
ι
2ητηρ —> 0, (**)
м-*—оо
оо .
/1 — 1
f*(t)tp dt может быть произвольно мал.
ч
Оценим интеграл Ip(f) снизу:
пег /, «ez ч '
После преобразования Абеля, применимость которого оправдывается
с помощью соотношений (*) и (**), получаем:
и nez и
что и требовалось.
§ 5. ε-энтропия и меры Хаусдорфа
5.1. Если Eq — ε-различимое подмножество множества А с
максимальным числом точек, то оно образует ε-сеть, и следовательно,
Ν(Α, ε) ^ card(£o) = Μ (Α, ε). С другой стороны, различные точки из
Eq можно аппроксимировать с точностью до | лишь различными
точками, и поэтому Μ (Α, ε) ^ Ν(Α, |).

И РЕШЕНИЯ · § 5. ε-энтропия и меры Хаусдорфа 487
5.2. а) Используйте результаты задачи 5.1 при подсчёте
минимального числа точек ε-сети для куба.
б) Пусть ε > О и Ε — минимальная ε-сеть для A, card(E) = Ν(Α, ε).
Тогда ACU Β(χ,ε) и А*(А) ^ Σ Я*(В(χ, ε)) = Ν{Α,ε)αηεη, где
хеЕ хеЕ
ап — я-мерный объём единичного шара. Отсюда следует искомое
неравенство сС = αη~ιλ*(Α).
В решениях задач 5.3—5.12 при употреблении символов О, о, ~ мы для
краткости иногда опускаем указание ε —» +0.
5.3. а) Пусть ε > 0, и пусть т 6 N таково, что 2"~(/7Ι+1) < ε ^ 2~т,
т.е. т = [log2 I]. Очевидно, что точки 1, 2"1, ..., 2~т ε-различимы
и образуют 2е-сеть. Поэтому (см. задачу 5.1) Ν(Α9 2ε) ^ т + 1 ^
^ ЛГ(А, |), откуда следует, что Я (Л, ε) ~ log2 log2 |.
б) Пусть ε > 0, и пусть т G N таково, что т~а - (т + 1)~α < ε ^
< (т - 1)~а - т~а. Поэтому w - 1 < (f )1/(α+1) < w + 1. Ясно, что
точки 1, 2-α,..., /w-a ε-различимы. Если к ним добавить точки ε,
2ε,..., /?ε, где /?ε ^ т~а < (р+ 1)ε, то мы получим ε-сеть для
множества А = {п~а | η е Ν}. Так как ρ = [~У, то /? = 0(т).
Поэтому т < tf (А, |) и 7V(A, ε) = 0{т). Тогда (f )1/(α+1) ζ Ν(Α9 §) + 1,
Τν(Λ,ε) = 0(ε-1/(α+1)), откуда вытекает, что
Задачи 5.4-5.7 решаются аналогично. Приведём решение
задачи 5.56).
5.5. б) Сначала оценим сверху число ε-различимых точек графика.
Для этого рассмотрим положительное число <5, выбор которого
уточним позже. Разобьём множество А — график функции sin j на
промежутке (0, 1] — на части В$ и Q, где В$ — часть Л, содержащаяся
в прямоугольнике Р$ = (0, δ) χ [—1, 1], а Сд = А\В$. Длина С$ есть
ls = f ^l + ^cos^f dt - О(δ~1).
δ
Поэтому число N(Cs> ε) оценивается величиной -J- = 0((ε<5)-1).
Число Ν(Β$, ε) не превосходит Ν(Ρ$, ε), и поэтому N(£5, ε) = 0(£ε-2).

488
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
Выберем δ так, чтобы оценки Ν(Β$, ε) и N(C$, ε) были
одинаковыми по порядку, для чего положим δ = y/ε. Тем самым мы получаем
оценку Ν(Α9 ε) = О (ε-3/2). Чтобы убедиться, что число
ε-различимых точек в множестве А имеет порядок ε-3/2, рассмотрим
промежутки Δ^ = [^Vy» зН ПРИ ^ = 1, 2,..., [γγ=] и соответствующие им
участки графика Ак. Так как /(Δ*) = [0, 1] при любом &, то,
используя ε-различимые точки, лежащие в [0, 1], можно указать по крайней
мере [i] ε-различимых точек в Ак. Поскольку расстояние между
соседними промежутками Δ^ не меньше ε, точки, лежащие на
различных дугах Ак, будут ε-различимыми. Общее число построенных нами
ε-различимых точек, лежащих в А, есть [^] · [уу=]· Таким образом,
Я(Д,£)~§1оё2(1).
5.8. Пусть ε > 0, и пусть т Ε Ν таково, что 3~^+1) < ε ^ Ъ~т,
т.е. т = [log3 \\ Концы промежутков m-го ранга А£^_£т (см.
определение канторова множества перед задачей 1.1.29), очевидно, ε-различимы
и образуют ε-сеть. Поэтому N(C> ε) ^ 2 · 2т ^ Af(C, |). Отсюда
следует, что
Д(С,е) ~ log3i = (log3 2)-log2i.
ε—»+U
5.9. Пусть ε > 0, и пусть т G N таково, что , * , < ε ^ ~. Точки
вида ]ζ ду, где ε^ = 0 или 1, ε-различимы и образуют 2е-сеть. По-
этому Ν(Α, 2ε) ^ 2m+l ^ Ν(Λ, |). Из определения числа m следует,
что In ^ ~ mlnm, т.е. m ~ 1 " /уеу Следовательно, Н(АУ ε) ~ ГТп/у
5.10. Утверждение а) следует из результата задачи 5.11.
Действительно, в рассматриваемом случае Ф(лс) = х + т! при ml^x < (m+ 1)!
и, как легко убедиться,
Urn }*"1(y) = i Rm i*-1(y) = i.
По поводу утверждения б) см. задачу 1.13.
5.11. Пусть ε > 0, и пусть т 6 N таково, что 2-ψ(/7Ι+1) < ε ^ 2~^(т\
т.е. m = [ty-1(log21)]. Очевидно, что точки ]Р ε*2~φ(*), где

И РЕШЕНИЯ · § 5. ε-энтропия и меры Хаусдорфа 489
fy = О или 1, ε-различимы и образуют 2е-сеть. Поэтому Ν(Α, 2ε) ^
^ 2т ^ Ν(Α, |). Следовательно,
Я(А, 2ε) ^т^Я(А, §) . (1)
Не умаляя общности, можно считать, что функция Ψ линейна на
каждом промежутке [л—1,л] (п 6 Ν). Тогда, как легко убедиться,
Ψ(χ + h) — Ф(лс) ^ /г при лс, h ^ 0, и поэтому
ф-^+^-Ф"1^)^ (у, 4^0). (2)
Из (1) следует, что
Н(А, 2ε) - 1 ^ Ψ"1 (log2 I) < Я(Л, |) + 1.
Вместе с (2) это приводит к требуемому результату.
5.12. Пусть ε > 0, и пусть т, ρ 6 N таковы, что 3~(/7Ι+1) < ε ^ 3~т,
2~(р+1) < ε ^ 2~*\ Рассмотрим точки (х,у) Ε А с координатами
х= Σ ^2-/:, у = Σ >7*3-*+ Σ **3~*,
где ε^ = 0 или 1, щ = 0, 1 или 2 и £Ь ^ имеют одинаковую чётность
при к ^ т. Ясно, что эти точки ε-различимы и образуют 4е-сеть. Число
этих точек равно уп2Р~т. Поэтому
ЩААе) ^Зт2Р~т ζΝ(Α, §),
т.е.
Я(Л, 4с) ^ [log3 I] log2 § + [log2 I] ^ Я(Л, |).
Следовательно, Я (Λ, ε) ~ (2 - log3 2) log2 |· при ε —> +0.
5.13. а) Пусть ε > 0, множество Ε — минимальная ^-сеть для А,
card£ = Ν(Α, ^). Тогда множество £w = £ + ...+ £ (т слагаемых)
есть ε-сеть для Ат и card(£w) ^ (N(A, ^))m!. Следовательно,
//(Am,e)<mtf(A,£) =^(lni),
что возможно лишь при Я (Л) = 0 (см. задачу 5.2).
б) Решение аналогично предыдущему.
в) Нет. Контрпримером служит указанное множество.
5.14. а) Пусть А = {х\,Х2,.··}. Для вычисления νρ(Α, ε)
рассмотрите покрытие А шарами В(лс£, e2~k).

490 VIII. Мера и интеграл Лебега · УКАЗАНИЯ
ε.
в) Пусть ε > 0, a {B(xlk, rlk)}(^l — такое покрытие множества А/,
что rlk < ε при всех I, к G N и Σ (г[)р - ν^(Α/) < Ь- Тогда
М^> О < Σ Σ (rlk)p < Σ tato) + f) = Σ ΜΑι) +<
Ввиду произвольности числа ε > 0 получаем требуемое.
5.15. а) Пусть ε > 0, а {£(хь г^)}^:1 — такое покрытие
множества А, что г£ < ε при всех & 6 N и Σ г£ < vp(A) + 1· Тогда
Σ Ъ(В(хк9гк)) = Σ «nrj < αηε?-ΡΣ 4 < ^"^Ы^ + 1).
fc^l jfc^l *^1
Поэтому (обозначение Я* введено в задаче 5.2)
Я*(Д) < Σ Аи(*(*ь '*)) < «„^"'(^(Α) + 1),
из чего ввиду произвольности ε > 0 вытекает требуемое.
б) Проверьте, что vp(Q) = 0 для любого куба Q С Rw.
в) Если vn(A) — 0, то А можно покрыть такой последовательностью
шаров {B(xiCt r^)}^l5 что сумма Σ r*> a следовательно, и сумма
Σ Яя(-в(лг^» гк)) будут сколь угодно малы.
к>\
Если Я„(А) = 0, то множество А можно покрыть
последовательностью кубов со сколь угодно малой суммой объёмов V. Тогда описанные
около этих кубов шары также покрывают А, а сумма их объёмов
отличается от V лишь фиксированным множителем (*γ-)η.
5.16. Поскольку (при г ^ 1)
*_,(^п.(..,))- / ^|.
где а = (0, ..., 0, 1), Βη~ι(δ) — проекция Sn~l Π В (а, г) на плоскость
хп = 0, то существуют такие постоянные т > 0, Μ (зависящие только
от размерности), что
™rn~l ^/i„_i(S"-1n£(;c,r)) ^Mr""1
при всех χ G iSw_1. Используя это обстоятельство, требуемые
результаты можно получить простой модификацией решения задачи 5.15.

И РЕШЕНИЯ · § 5. ε-энтропия и меры Хаусдорфа 491
5.17. а) Это утверждение очевидно, так как если r^ ^ 1, то
б) Доказательство того, что vq{A) = О, если q > ρ и νρ(Α) < +оо,
аналогично решению задачи 5.15 а). Если vp(A) > О и 1 < q < ρ, то
Vq(A) = оо, так как иначе мы вступили бы в противоречие с уже
доказанной частью утверждения.
5.18. а) Пусть г у > 0, г/ -► 0 и Η (A, г,·)/ log2 у: -+ г (А). Пусть,
далее, q > r (A), a Ej — минимальная г у-сеть для множества А. Тогда
Ac (J В(х, гу) и при достаточно больших у справедливо неравен-
*€£/
ство H(A,rj) < glog2 7-. Поэтому
v,7(A, 2rj) < tf(A, ry)r? < r7* . rJ = 1.
Следовательно, ν9(Λ) < оо при q > г (А), из чего вытекает (см.
задачу 5.176)), что dim//(A) ^ r(А).
б) Неравенство
sup dim/* (А*) ^ dim// (J ЛА
k 4=1 '
очевидно. С другой стороны, если q > sup dim// (АО, то Ддя любых
к
ε > О и & G N можно найти такое покрытие {#(*/, J"/)}0^
множества Аь что
Σ {г)У < ^ и г^< ε при всех ^> ^·
Следовательно,
I
U ^ с U ^(λπ, г/) и П < ε при всех у, &,
k=l j\k=l
Σ И)*<Е£ = *.
У,^1 k>\ Z
00
Таким образом, vq ( (J At) =0, откуда в силу выбора д вытекает нера-
*=1
венство
оо
dim//( (J А*) ^ sup dim//(А*).
4=1 у л

^
5.19. Ясно, что
Σ (diam (Ck))p \ Ac [}Ск9 diam (Ck) < ε \ ^
{I °° Ί
Σ (2rk)P А С (J B(xk9 rk)9 2rk^e\= 2Pvp(A9 f) .
Переходя к пределу при ε—> +0, получаем неравенство νρ{Α)^2ρνρ{Α).
С другой стороны, пусть С^ (к G N) — такие множества, что
оо
Ac{jC°k, rk=diam(C°k)<e и ^ + ε > Σ>£ ·
к=\ к
Если х* G С^, то С^ С B(;cjt, г^) С В(;с^, (1+г)г^), и поэтому
^ε + ε ^ (1 + £)-^Ур(А, ε(1 + ε)). Переходя здесь к пределу при
ε —> +0, получаем, что νρ(Α) ^ νρ(Α).
5.20. а) Если [а, Ь] С {J(xk — гк>хк+ гк)> то в силу счётной
полуаддитивности меры Лебега получаем, что Ъ — а ^ Σ ^rk·
Следовательно, vi([a,b]) ^ -=р. С другой стороны, разбивая сегмент [я,Ь]
на равные части произвольно малой длины, легко убедиться, что
v,([a,&])^*z£
б) Зафиксируем число ε > 0. Будем считать его настолько
малым, что разность / - h между длиной дуги / и длиной h
стягивающей её хорды меньше ε/, если I < ε. Пусть S1 c{jB(xfc, гк)9
Г£ < ε, L^ = iS1 П£(х£, r#), и пусть /ι# — длина хорды,
стягивающей дугу Lk, у к — середина этой хорды. Ясно, что hk ^ 2гк,
Lk = Sl Г)В(ук, \ hk). Поэтому Σ \hk > \Σ lki\ ~ ε)> гДе h ~
Длина дуги Lk. Таким образом, \Σ ^к^ —γ- Σ h ^ л{\ -ε) и,
следовательно, v\(S^9e) ^ л(\ — ε).
С другой стороны, разбивая окружность на η равных частей дли-
2л
ны — < ε и покрывая эти дуги кругами, центры которых лежат на
серединах стягивающих их хорд, а радиусы равны ^, мы видим, что
v\(Sl9e) ^ —· — л и, следовательно, vi^S1) ^ л.
в) Пусть ε > 0. Найдём такие шары В(х/С9 гк) (к G N), что
оо
G С (J В(хь а), гк<е9 Σ rl < MG> ε) + ε .
*=1 *^1

И РЕШЕНИЯ · § 5. ε-энтропия и меры Хаусдорфа 493
Тогда
W) ^Σλn{B(xk,rk)) = <*иЕ г\ <αη(νη(0,ε) + ε).
к^\ к>\
Ввиду произвольности ε получаем оценку vn(G) снизу: Xn(G) ^
^anvn(G).
Рассмотрим теперь такие шары В(ук,рк) (к е N), что р/с < ε
оо
*B(ykipk)nB(yJ9pj) = 0 npnk^j, G = eU |J B(yk,pk), λη{β) = 0
*=1
(см. задачу 1.20). Зафиксируем ещё шары #(ζ*, £#), покрывающие
множество е и удовлетворяющие условиям Σ <5£ < ε, Зк < ε (к Ε N)
(см. задачу 5.15в)). Тогда G С U(#(^b U:) и#СУЬ AU) и
v„(Gfc) < Σ Pi + Σ «? < £Σ Mb +* =
= Ъ;ЕЛп{В(ук,рк))+с = ±.U U В(уьрк)) +ε = ±Xn{G) + c.
Ввиду произвольности ε>0 это даёт нам оценку сверху: vn(G) ^
^ J-A„(G), которая вместе с оценкой снизу приводит к
окончательному результату: vn(G) = ^Xn(G).
5.21. Заметим, что если ρ = log3 2, то (1 + Ъ)р ^ 1 + tp при
0 ^ г ^ 1. Поэтому если некоторый промежуток длины / разбит на
три части, длины которых /ь /2, /з таковы, что l\ ^ /2 ^ /3, то
/'^/£ + /£. (*)
Используем это неравенство, чтобы вычислить ^(б*, ^). По
определению
vp(c9 {) =Ίηΐ{Σ ί'-ψ-Υ I ^C U (**,**). bk-ak < lj.
Ясно, что условие bk — ak < 1 можно отбросить, а покрытия считать
конечными и состоящими из замкнутых промежутков. Итак,
v,M)=»f{ Σ (^)'кс и[«*.**]}·
Пусть сегменты [αϊ, Ъ\],..., [а#, Ь^\ образуют покрытие множества С.
Уменьшая их в случае необходимости, мы можем считать, что любые
два из них не имеют общих внутренних точек. Пусть
тт{Ьк - ак \ к = 1, 2, ..., Ν} = Ьт - ат = <5, Δ = [ат, bm]. '

494
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
Хотя бы один из соседних с Δ промежутков — обозначим его Δ' —
находится от Δ на расстоянии, не превосходящем δ. Пусть Δο —
наименьший промежуток, содержащий Δ и Δ'. В силу неравенства (*) мы
получаем, что 8q ^ Зр + (£')р> гДе ^(Ъ & — длины промежутков Δο,
Δ' соответственно. Таким образом, заменив промежутки Δ, А' на Δο,
мы получим покрытие множества С, состоящее из меньшего числа
сегментов и имеющее меньшую сумму р-х степеней их длин. Повторяя
этот процесс, мы придём к покрытию, состоящему из одного
сегмента. Следовательно, vp(C, |) ^ 2~Р. Обратное неравенство очевидно,
и поэтому vp(C, 5) = ^~р- И3 соображений подобия следует равенство
vp(CD [О, 3-л], \Ъ-п) = 2~Ρ3~ηΡ = 2-^+") при любом η G N. Пусть
Δει...с — один из промежутков п-го ранга, участвующих в
определении канторова множества. Очевидно, что
vp(CnA£^£n, ±3-")=vp(Cn[0,3-% \Ъ-п)=2-(Р+").
Промежутки п-го ранга находятся друг от друга на расстоянии не
меньшем 3~п. Поэтому (см. задачу 5.14 г))
Vp(C9±3-n)=Vp( U КПАе^е,, ±3-") =
4f,,...,c„€{0,l} J
Σ vp(CnA£l...£n, ±3-п)=2».2-(р+п)=2-р.
ε,,...,ε„€{0,1}
Таким образом, vp(C) = limvp(C, \3~n) = 2~p.
Чтобы найти функцию φ, заметим, что она непрерывна на [0, 1]
и постоянна на интервалах, дополнительных к С, а её приращение на
промежутке Δει...£η равно 2pvp{C Г\ АЕу..£п) = 2~п. Теперь с помощью
индукции легко доказать, что функция φ совпадает с канторовой
функцией в крайних точках промежутков А£у^£п.
5.22. а) См. задачу 5.21.
б) См. задачи 5.3 д) и 5.14 а).
5.23. Пусть φ(χ) = νρ(Ε Г) [О, х])9 O^x^l, и пусть Δ^...^, где
ejc = О или 1, — промежутки п-го ранга, соответствующие
множеству Е. Так как все множества ЕПАС1...Си конгруэнтны друг другу,
то νρ(Ε Π Αε^_£η) = 2~ηνρ(Ε). Следовательно, приращение функции φ
на каждом промежутке АС1...Ся пропорционально приращению
функции σ£. Кроме того, функция φ, как и σ£, постоянна на интервалах,
дополнительных к Е. Теперь с помощью индукции легко доказать, что

И РЕШЕНИЯ · § 5. ε-энтропия и меры Хаусдорфа 495
в крайних точках сегментов Ас ,...£„ значения функций νρ(Ε)σ£ и φ
совпадают. Поскольку множество таких точек всюду плотно в £, мы
получаем требуемое.
5.24. Пусть σ£ — канторова функция, соответствующая множеству
Е, а = hxn2nl%, {щ} — такая последовательность натуральных чисел,
что 2Пк1щ —> я. Пусть ε — произвольное положительное число. Далее
будем считать номера щ такими, что 1Пк < ε, 2Пк1%к < а + ε.
Рассмотрим теперь покрытие множества Ε сегментами ранга щ (при
фиксированном к). Очевидно, νρ(Ε, ε) ^ 2пЧ%к < а + ε. В частности, мы
видим, что если а = 0, то νρ(Ε) = О, а если а < оо, то и vp(E) < оо.
Пусть теперь 0 < с < а < оо. Зафиксируем такой номер т, что
1т < ε, 2я/£ > с при л ^ /я, и рассмотрим произвольное покрытие
множества Ε интервалами (jty — rjyxj + гу), удовлетворяющими условию
rj < lm (j € Ν). Выберем номера sj так, что lSj ^ г у < /5 -ь Тогда
sy > /я, 2гу < /5;._2 и
Σ гу > Σ /ί, > с Σ 2-^· = ι Σ 2-'y+2 = % Σ <*(/,7-2) >
> % Σ (*e(*j - ry + /J;_2) " *&(*/ - rj)) >
Η Σ (*e(xj + ry) - σΕ(*; - rj)) > |σΕ(1) = f .
Последнее из написанных неравенств справедливо в силу счётной
полуаддитивности меры, порождённой функцией σ£. Итак, Σ γΡ\ ^ \
для любого покрытия множества Ε интервалами (jty - ry,jty + ry)
достаточно малой длины. Поэтому ν^(£) ^ τ > 0. В частности,
если а = +оо, то ввиду произвольности числа с < а мы получаем, что
νρ(Ε) = +оо.
5.25. а) Очевидно, что Ε содержится в объединении 2п промежутков
п-го ранга Ау (у = 1, 2,..., 2п), длины которых равны 1п. Ясно, что при
t > 0
Т (А -> V ( ( da(x)da{y) >р 1 1 _ 1
*E\t)> L {x_yii > L· у'^-w
^^Δ-χΔ- 1<^2»'и
Поэтому 2"/^ ^ т-рг > 0 при любом п, откуда следует, что
t ^ dim//(£) (см. задачу 5.246)).

496
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
б) Будем считать, что inf£ = 0, sup Ε = 1. Произведём некоторые
предварительные оценки. Пусть {/„} — определяющая
последовательность множества Ε и число ε > О таково, что t + ε < dim//(£).
Пользуясь утверждением задачи 5.24 в), заметим прежде всего, что
2η1*+ε —> оо при η —► оо, и поэтому ίηί2η1*+ε ^ 8 > 0.
Оценим теперь интеграл Г , , где Δο.,.ο — сегмент п-го ранга.
Δο.,.ο
Обозначим его для краткости символом Δ„, а сегмент (п + 1)-го ранга
Δο.,.οΐ — символом Δ^. Ввиду постоянства функции σ на
дополнительных интервалах справедливо равенство
Так как
Δ. *>" Δ1
Г <*<г(у) <- _J_ _J_ _ **+! < \μ < Ι 9-ε*
J / ^ 'Ui ' 2*+1 ~ 2М'ш S k+1 δ
то из (1) следует неравенство
/
^1<!Е2-£*<С£2—. (2)
Перейдём к оценке интеграла Г . _ .,, считая, что точка χ из Ε не
Ε
является концом никакого дополнительного интервала (в последнем
случае рассуждения только упрощаются). Мы докажем лишь
конечность интеграла по множеству ЕГ\(х,1] (интеграл по Ε Π [0, χ)
оценивается аналогично).
Пусть Δ^1) = [а\, b\] — сегмент минимального ранга, лежащий
правее х. Пусть, далее, Δ'2) = [я 2, bj\ — сегмент минимального ранга,
содержащийся в интервале (х9а\) (заметим, что такой сегмент, как
и сегмент Δ'1), единственен). Продолжая этот процесс, мы получим
такую последовательность сегментов Δ^ = [ату Ьт], что
С da {у) = γ^ С da (у)
J \х-у\* ^ J \х-у\"
ЕП(х,\] Ж")

И РЕШЕНИЯ · § 5. £-энтропия и меры Хаусдорфа 497
причем ранги всех сегментов попарно различны. Следовательно,
J \x-yV ^ ^ J |««->|' ^^ J *' '
ЕП(дг,1] ΔΜ Δ„
Используя (2), получаем
£П(*,1]
5.26. Проверьте сначала, что 2~Пк ^ lk_\ ^ 2 · 2~Пк, и докажите
равенства lim ~ = i lim £■ = 1. Используйте результат задачи 5.24.
5.27. Используйте результат задачи 5.24.
5.28. Пусть ε > О, N — такое натуральное число, что -^-j- < ε < -^.
Тогда точки ]Р -£, где ак е Ε (А: = 1,..., Ν), образуют ε-сеть для
множества А, мощность которой равна (card E)N = mN. Поэтому
Я(Л, ε) < log2 mN = N log2 m ^ ρ log2 ±, где ρ = ^^ .
Следовательно (см. задачу 5.18), dim//(Л) < г (А) < /?. С другой сто-
оо
роны, если Л С (J (xj — rj,Xj + гу), то сумму ]ζ г^ можно оценить
7=1 i>\
следующим образом. Пусть σ — канторова функция, соответствующая
множеству A, a kj — такие номера, что n~(ki; + ^ < 2г;· < ri~ki (j е Ν).
Тогда
> ^ Σ (*(*, -Ο + -j-) -a(xj - rjj) >
;>ι
Последнее неравенство справедливо ввиду счетной
полуаддитивности меры, порожденной функцией σ. Таким образом, νρ(Α) ^ ^ > О
и dim//(Л) ^ /?.
5.29. Для вычисления dim//(Л) и dim//(Л + Л) используйте результат
предыдущей задачи.

498 VIII. Мера и интеграл Лебега · УКАЗАНИЯ
5.30. Не умаляя общности, можно считать, что множество
содержится в кубе Q с длиной ребра а, О < а < 1. Рассмотрим
вписанный в этот куб шар. В силу свойства суперпористости в этом
шаре найдётся куб <2о с длиной ребра δ = ^=, не содержащий
2 γη
точек множества Е. Раздробим ребра куба Q на N частей, взяв
N = [~] + 1 = [-^] + 1, и рассмотрим соответствующее разбиение
куба Q на Νη кубиков Qj. Подчеркнём, что N не зависит от а. В силу
выбора N один из кубиков Qj целиком содержится в <2о·
Следовательно, множество Ε содержится в объединении Νη — 1 кубиков Qj. Ясно,
что уравнение
(W»-l)(l)p = l
имеет решение /?о < п, которое мы и обозначим символом ά(Θ).
Очевидно, что
Σ (diam(Q;·))^ < (£ y/nfe\N» - 1) = {афг)а^
J
(суммирование распространяется только на кубики Qj,
задевающие Е). Разбивая на следующем шаге каждый из кубиков Qj на
кубики Qjk-, мы получаем покрытие множества Е,
удовлетворяющее условию (суммирование распространяется только на кубики Qjk,
задевающие Е)
Σ (tom{Qjk))m < Σ (fj sfr)m = (aV~n)d^ ■
Продолжив этот процесс, мы получим покрытие множества Ε
семейством кубов Ка, диаметры которых будут произвольно малы,
а сумма Σ (diam (Ka)) — ограничена. Последнее и означает, что
άϊηιΗ(Ε)^ά(θ).
5.31. См. [ГО]. Пусть сначала Вп С А С у/пВп. Докажите, что в этом
случае множество С равномерно 0-суперпористо с некоторым
коэффициентом Θ — θ(η), и используйте результат предыдущей задачи.
В общем случае сделайте линейное преобразование, переводящее
эллипсоид наибольшего объёма, содержащийся в А, в единичный шар,
и воспользуйтесь результатом задачи 3.45 и инвариантностью хаус-
дорфовой размерности относительно обратимых линейных
отображений.

И РЕШЕНИЯ · § 5. ε-энтропия и меры Хаусдорфа 499
5.32. Рассмотрите функцию
о о
где σ — канторова функция, соответствующая множеству К (см.
задачу Ш.3.17). Используйте ту же идею, что и в задаче 4.11.
Известно (см., например, [Кар]), что функция с указанными
свойствами не существует, если dim//(AT) < i. По поводу случая
а\тн{К) = i см. [И], с. 346-348.
§ 6. Асимптотика интегралов высокой кратности
6.1. в) Используя теорему Фубини, проверьте, что
\\χχψάχ = 2αη_χ\ίΡ{\-ί2) 2 dt.
В" О
Выразите последний интеграл с помощью Г-функции и воспользуйтесь
её свойствами.
6.3. Считая, что η кратно трём, рассмотрите в кубе [0, \]п точки А\,
Л2 и Аз, У которых соответственно первая, средняя и последняя трети
координат — нули, а остальные — единицы. Проверьте, что тетраэдр
с вершинами 0, Αι, Α2, Аз содержит (трёхмерный) шар, радиус
которого не меньше \у/п. Вместе с тем очевидно, что в куб [0, \]п нельзя
поместить трёхмерный шар, если его радиус больше \у/п.
6.4. а) Проверьте, что радиус шара равен у/η — 1.
б) Проверьте, что радиус шара равен \\fn — 1; воспользуйтесь
формулой Стирлинга.
6.5. а) При η = 2 равенство проверяется прямым вычислением.
Считая, что оно справедливо для сечений куба /п_1, докажем его для
сечений 1п. Рассмотрим проекцию Ρ сечения Ηη_\(ω, г) на
гиперплоскость хп = О (при этом можно считать, что п-я координата ωη
вектора ω положительна). Ясно, что λη_\(Ηη_\(ω, г)) = ^Α„_ι(Ρ). Для
вычисления Яп_ι (Ρ) положим χ = (χ \,..., χπ_ι), ω = (ω\,..., ωπ_ ι)
(Зс, ω G Μ.η~ι) и заметим, что
ρ = {χ G Ιη~ι | 3χη G / : (ω,Зс) + ωηχη = г} =
= {хе Ιη~χ | (ω, 3c) e[r- \ωη, г + \ωη] } .

500
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
Интегрируя меры сечений Ρ гиперплоскостями (в R"-1),
ортогональными вектору ω (полезно сделать рисунок в случае η = 3), с помощью
теоремы Фубини получаем
Κ+2ω"
A„_i(P)=|j=L j Xn-2{Hn-2(<o>u))du.
Κ~2ω"
Остаётся применить индукционное предположение.
Другое решение этой задачи основано на использовании
преобразования Фурье.
Зафиксировав нормированный вектор ω = (ωι,..., ωη)9 найдём
преобразование Фурье функции
t^s(t)=Xn_l(Hn_l(a),t)) (reR).
Для этого вычислим двумя способами значение преобразования Фурье
χ характеристической функции χ куба 1п в точке ίω. По определению
χ(ίω) = fe-»Mdx = Π le-*»,*ldxj = Π ^0^ ■
in 7 — 1 / У—1
Рассмотрим теперь ортогональное преобразование L в Ш.п,
переводящее первый вектор канонического базиса в вектор ω. С помощью
теоремы Фубини мы получаем
χ{ίω) = Г х(х)е'и^х)ах = j х{Ьу)е-иУ^dy =
К" К" оо
—оо
где ?— преобразование Фурье функции s. Сравнивая два полученных
равенства, мы видим, что
Теперь s (r) находится с помощью формулы обращения:
оо оо η . . .ν
-оо 0 J~l
Остаётся сделать замену и = Ъ.
б) Пользуясь утверждением а) и асимптотической формулой
Лапласа (см. также VI.2.106)), получаем
со
Я„_1(Я11_1((1....,1).0))=|^/(^)"Л->/|.
0

И РЕШЕНИЯ · § 6. Асимптотика интегралов высокой кратности 501
Заметим, что \/§ < \/2, а у/2 — мера сечении гиперплоскостями
xj=±xjc (к φ j). Следовательно, для больших η мера центрального
сечения, ортогонального главной диагонали куба, не является
наибольшей (можно доказать, что это верно при всех η ^ 3).
в) См. [Ball]. Будем считать, что все координаты вектора ω
положительны и \\ω\\ = 1. Доказываемое неравенство очевидно, если хотя бы
одна из координат, например ωη, велика: ωη ^ 4= (так как мера
проекции сечения на гиперплоскость ωη = 0 не превосходит единицы).
Далее 0 < o)j < -4= для всех j = 1,..., п. Используя интегральное
представление для λη_\(Ηη_\(ω, г)), установленное в п. а), с
помощью неравенства Гёльдера с показателями \ получаем
ω)
ОО η
'sinw/i
i 7=1
^
dt <
■*■ ι ujji ι
о J=*
' J jA J _ 2 Π ( 1 Г sinf v Λ
В силу неравенства задачи 4.8 (при ρ = -i- > 2) отсюда следует
оценка
(так как ω^ + ... + ω^ = 1).
Из доказательства видно, что мера сечения равна у/2 лишь в
случае, когда все координаты вектора ω, \\ω\\ = 1, равны либо нулю,
либо ±-4=. Поэтому экстремальными являются только сечения
гиперплоскостями вида Xj = ±хк (к φ j).
6.7. Можно считать, что а = (1, 0,..., 0). Применяя теорему Фуби-
ни, мы видим, что
λη{(χι,...,χη)€Βη I |х!| <ε}=αη_ι J (1-ί2) 2 Λ,
ι
«i. .. .
-1
ι f(l-t2)—dt.

502
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
Правые части этих равенств эквивалентны при η —> оо (см.
задачу VI.2.4). Поэтому
Л-Хп{хеВ"\\(х,а)\<е}п-:о1.
6.8. По определению
Ln = ~^- j j \W-χ\\άμη-ΐ(χ)<1μη-\(χ').
"~l Sn~l S"~l
Ввиду сферической инвариантности меры μη_\ мы получаем, что
U = ^ j \\€ΐ-χ\\άμη^(χ)9 где ех = (1, 0,..., 0).
Sn-l
Последний интеграл следует свести к интегралу по отрезку [—1, 1]
и воспользоваться асимптотической формулой Лапласа.
6.9. Будем считать, что 0 < а < Ъ < φι. Тогда
Pn=Pn{(x\,-..,xn)eSn-l(y/ii) | α <*„<&} =
_ n-(n-i)/2 r r y/n dxx...dxn-\
/.../
σ»-> J" 'J ^/n-x2-...-x2 .
n-b2^x2+ +χ2_^η_α2 V 1 "-1
Приведите этот интеграл к виду
(л- 1)α„_ι
Г rf-2-to
л/1—Ь2/я
Сделав в последнем интеграле замену переменной и = у 1 - ^-,
получим
Остаётся перейти к пределу под знаком интеграла и найти предел
стоящего перед ним множителя.
6.10. Представим интеграл ^- Г f(x) dx в виде
β"
i//(*)* = £//(ή)*+ *+зъ + *з.
β" В"

И РЕШЕНИЯ · § 6. Асимптотика интегралов высокой кратности 503
где
Βη(\-ε)
*^ = έ J (/(*)-/(ή>) Λ·
1-ε^ΙΜΚΙ
^ = "έ / /(ή)Λ·
β"(1-ε)
Ясно, что |^! Ι ζ Af (1 - ε)", \7Ъ\ ^ Af (1 - ε)Λ, У2 ^ М£)· Кроме того,
ι
!/(ы)ах=!гП~1{ S /Η*Λ-ι(ω)}ίΓ = Ι J /ΗψΛ.,(ω).
β" 0 5"_1 5м-1
Так как пап = σ„_ι, то
|±|/(Л)Л-^L J /(ω)^π-ι(ω)|^
^ l^ll + 1^1 + 1^31 ^ 2Af(l - ε)η + A(0 ·
6.11. Представьте интеграл в виде
+оо
/ι Г \ \- --Х2 Υ
—оо
и воспользуйтесь тем, что
+ °° а 1 9 + °° 1 9
л/5г
J М5в-2'2л = 1 + ^ J аьМ'"*2л + о(£).
6.12. Воспользуйтесь формулой (*), приведённой в начале §6 на
с. 166.
6.13. а) Используйте результат задачи V.2.3.
б) Используйте результат задачи VI.2.20.
в) Пусть У — Г άγη{χ). Тогда
\\χ\\>\+ε
/о ОО
νп/ 2л"/2 Г и_1 -it2
Г("-)
r(s) J
1+ε

504 VIII. Мера и интеграл Лебега · УКАЗАНИЯ
Так как
^-Ы-{>^-1п(1+е)-{>4
п-1
иГ(!)> (!) 2 е ~2^ь;,то
оо
\+ε \+ε
Аналогично получаем, что
||*||<1-е 0
Следовательно,
6.14. Пользуясь формулой (*), приведённой в начале §6 на с. 166,
получаем
/1Рг||^й.(х) = (й)"/2/^11^"||х||2л =
R" R"
= fe) J"r"~,+,( J \\ω\%άμη_χ{ω)γ¥dr.
Кроме того,
(*ΓΤ^,4·-,,,*-^*Γ(!+ί)~
° 2!-т(;)(?Г_ ■
6.15. Используйте формулу (*), приведённую в начале §6 на с. 166,
и соотношение Г(х + с) ~ лсс · Г(лс) (см. задачу VI.2.19).
6.16. Пусть
/— °° \ η
F(t)= j dYn(x)=(l-y/l fe-*'2du) (f>0).
llxlloo</ '

И РЕШЕНИЯ · § 6. Асимптотика интегралов высокой кратности 505
Тогда
оо
f\\x\\%odyn(x) = fi4dF{t) =
К" Ο
= nyjl°l*{\-y[i] e-**du)*-Xe-*l*d,. (1)
0 t
оо
Положим ζ {ή = л/| Г e~ul,2du. Ясно, что ζ\ή = -\/| · е'~*2/2,
t
z(0) = 1, z(t) —> 0. Поэтому, делая в интеграле, стоящем в правой
t—кх)
части равенства (1), замену переменной ζ = z(t), мы получаем
ι
f\\x\\%odYn(x)=njt4z)(l-z)n-ldz,
К" 0
где t(z) — функция, обратная к z(t). Как следует из результата
задачи VI.4.1, t(z) = y/2h^J· (1 +α(ζ)), где α(ζ) -> 0 при ζ -> +0.
Следовательно,
ι
j \\x\\%odyn(x) = n J(21nl)«/2(1 + a(z))*(l -z)""1* . (2)
K" 0
Используя результаты задач VI.2.8, VI.2.146), получаем
/(ΙηΙ^Ο+αίζ^ίΙ-ζ)-1*-
о
Вместе с равенством (2) это приводит к требуемому результату.
6.17. Рассуждая так же, как при решении задачи 6.14, замените
данный интеграл интегралом по гауссовской мере. Затем используйте
результат задачи 6.16.
6.18. Используя неравенство \\х\\р ^ п1/р\х\ .. .хп\^п и результат
задачи 6.11, получаем при q > 0 оценку для Cfn(p,q) снизу, а при
q < 0 — сверху.
1 — 1
а) Оценим 7п{р, я) сверху. Так как \\х\\р ^ пр 2 \\х\\2, то
?n(p,q)^ni-i f \\x\\q2dyn(x).
К"
Применяя результат задачи 6.15, получаем требуемое.

506
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
б) В этом случае
Гп(р,д)^(1\\х\\Рр<1Уп(х)У =»*('[ \*\PdYl{x))
R"
в) Так как \\х\\р ^пр ч · \\x\\q, то
[-1
R"
q q +СЮ
7n(p,q)<n-p-l j\\x\\gqdyn(x)=np j \x\idYl(x).
г) Оценим Уп{р, q) снизу. Пусть а = —q > 0. Тогда
ι = j IMlJ · \\χ\\1<ΐγη(χ)*ζΉ(ρ,α)·α*(ρ>4)·
R"
Поэтому Уп(р9 q) > У~1(р9 а), и остаётся воспользоваться оценкой
для Уп(р, а) сверху.
6.19. Используйте результаты задач 6.14 и 6.18.
6.20. а) Пользуясь равенством 1 = Ал(#л(гл)) = гпппг j Г(1 + |)
и формулой Стирлинга, получаем
^=v^-e"a,nn+ilnjr+0(,))=\/£(1+^+^+^))·
б) Убедитесь в том, что
rf/2
γη{Βη{ρη)) =-}- f ίΗ^Α,
Γ(-) J
Ы 0
и с помощью результата задачи VI.2.21 а) проверьте, что
6.21. Для получения контрпримера сравните, используя результаты
задач 6.20 а) и 6.5 в), сечения шара и куба достаточно большой
размерности.
η
6.22. Пусть t > О, О„(0 = {(хь · · · .*п) € W | Σ 1**1 ^ *}, *Х0 =
= Ал(Ол(0) — ι~· Найдём среднее значение an(t) функции ЦлгЦ^"1

И РЕШЕНИЯ · § 6. Асимптотика интегралов высокой кратности 507
на On(t). Ясно, что при η ^ 2
a (t) - -А- С^М. - Π fun-2du- ^L < 2
0 0
Оценим bn снизу. Так как ||x||i ^ yjn ||χ||2, то
β» 0
Для оценки bn сверху зафиксируем число ε > 0, выбор которого
уточним позже. Учитывая полученную оценку для an(t), получаем
а Ъ < f ^L_. f dx < fo»" 2 ■ an
Оп(еу/Я) В»\Оп(еу/Я)
Таким образом,
1^2.(2£Г.И^.^1
Л2
2
г(Н
ш~
Используя формулу Стирлинга, легко убедиться в том, что второе
слагаемое есть oi-j^ieJ-£т\ J. Взяв ε = -у=9 мы получаем, что
Перейдём к оценке сп. Пусть G(t) = λη([—ί,ί]η) = (2t)n. Так как
|*l| + ... + |дс„| ^ η max \xkl то
о о
С другой стороны, применяя тот же приём, что и при оценке сверху
чисел Ьп, мы имеем
< О-п { dx _l Ί-η f UL <
Cn^Z J IMIi+2 J «^
Оя(сл) [-1,1]"\Оя(сл)
^ Μ" / ч,1 л (гтг)"-1 , ι
Взяв ε = |, получаем, что с„ ^ ^ + я(^)·
6.23. а) Ясно, что
7 _ и! f К^ л!л С A_dx
1п~2» J Hi ~ 2" J И,**'

508
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
Следовательно,
-1 0„_,(1-|н|) -1 0
где F(t) = А„_, (On_i(f)) = |^-. Поэтому
/я=В2(И-1)/И2(/"^)л = «2(«-1)/|-2(1/^)л.
0 0 0 0
Так как м2 ^ -^ ^ у, то
1 з 1 з
«2(« - 1) ]>~2^-</г < /„ < п2(п - \)ftn-3{±^-dt.
о о
Отсюда сразу вытекает, что In ~ \.
б) Так как ||χ||ι ^ л/и||*112> то
Jn>^j\\x\\2dx = Vtjt"dt = -£.
В" 0
Поскольку Jп ^ ^ Г тртр Jx, оценка для Уп сверху следует из оценки
вп
для Ьи в задаче 6.22.
в) Оцените числитель с помощью двойного неравенства
£ll*lli ^ IWIi ^ ΙΠΙι да* всех х е I-1· 1Т ·
6.24. б) Заметим сначала, что
к(о„) 2"-'"г(;) , /2eW2
r^j
:(ЙГ· о
л/21
Проверьте, что (обозначение On(t) введено в указании к задаче 6.22)
0„(1 + εφ.) П [-1, 1]" С Оп + εΒ" С 0„(1 + εφ).
Из этих включений следует, что
где V„ = λη(Οη + εΒ"), т.е.

И РЕШЕНИЯ · § 6. Асимптотика интегралов высокой кратности 509
Используя соотношение (*), получаем
~а~) >еУл'
6.25. Пусть 0 ^ г ^ 1,
Λι(0 = {(ль .. ., jc„) G Απ | 0 < χη < *} (η ^ 2), Αι(ί) - [0, ί],
V„(f) = Α„(Α„(0) при О 1, V0(i) = 1.
Тогда Vn(t) = I V,2_i(l — u)du при и ^ 1, и поэтому
0
^(0=^-1(1-0. уЛ0 = -^-2(0 (О 2).
Используя формулу Тейлора, выведите отсюда, что
Σ^ν2(,.Λ(ΐ) = ο. έ^ν2№.Λ+1(ΐ) = ^. (*)
Пусть F(*) = Σ V2k(l)x2k, G(x) = Σ V2ik+i(l)^+1. Пользуясь
к^О к^О
соотношением (*), проверьте, что F(x) cos χ = 1, G(jc)cosjc = sinjc,
т.е. F(jc) + G(jc) = i^=ctg(f-f). Поскольку F(*) + G(*) =
= 5Z V/iO)*"» интересующие нас величины Vn(l) суть не что иное,
как тейлоровские коэффициенты разложения функции ctg(? - |)
в окрестности нуля. Для их вычисления воспользуемся известным
разложением котангенса в сумму простейших дробей:
ctg(f - f) = Σ ^-τ·
Разложив слагаемые этого ряда в ряд по степеням переменной χ и
изменив порядок суммирования, получим
v„(i) = d^rE
1_ V- 1 „2
>и+2
\и+1 я"+'
L л кеъ [к+\)
6.26. Так как Xn(2Vn) > 2"(|)п, то по теореме Минковского
множество 2Vn содержит по крайней мере (|)и точек с
целочисленными координатами (см. задачу 1.3 в)). Заметим, что ненулевые
координаты этих точек могут быть равны лишь +1 или -1, поскольку
2Vn С (—2,2)п. Пусть Кп — количество точек с координатами 0

510
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
и ±1, у которых число ненулевых координат не превосходит т = [уУ.
Ясно, что Кп = 1 + 2 · С\ + 22 · С2 + ... + 2т · С™. Проверьте, что
Кп < (§)л при больших и, из чего и следует, что множество 2Vn
содержит искомую точку.
6.27. а), б) Рассмотрим интеграл
ш= j (й£)'*.
l„ » J
где ρ G К (ср. с задачей 3.25). Ясно, что
ι ι _2
/я(р) = п(п-1) ^yP^^g—dxdy.
\/п У
Сделав последовательно замены χ =ty9 t = 1 + -j^(l - ζ) hj = J,
получим
1 1/У
/и(р) = п(п-1) J у""1 / (ί- l)"-2fbrfy =
l/n 1
чп-1 Г {\-z)"-2dz
= φ-1) (yP(l-y)n-H η у *dy =
Ι,η 0 И1"'*)
π 1
= J- (*Ρ(λ - L\n~l [(n-l)(l-z)"-2dz
nP)S У1 η) J (!_(!_*),)'
1 0 ν ν "J J
ds.
Как легко убедиться, внутренний интеграл равномерно ограничен
и стремится к 1 при η —> оо. Поэтому
+оо
пР1п(р)-+ ( sPe~s ds.
1
_2_
ей'
+оо
В частности, при ρ = 1 мы получаем, что /я(1) ~ ^, а при ρ = -1
+оо
/л(-1)~/1 J ^Λ.
1
6.28. а) Зафиксируем произвольное положительное число ε и
рассмотрим множество
ЭД = {(*!,...,**) е[0,1]и
*2+...+*2 j
> ε

И РЕШЕНИЯ · § 6. Асимптотика интегралов высокой кратности 511
По неравенству Чебышёва для функций распределения (см.
задачу 3.12) и ввиду попарной ортогональности функций х\ — |
{к = 1, 2,..., п) на [0, \]п мы получаем
Ъ(Ш)*& j (Σ>2-ί))2* =
[0,1]" %П
• · — - 1\2
= i/ Σ (χ2-ί)2Λ--=ο(ΐ).
[0,1]"
l^JK"
Таким образом, ^=- «почти совпадает» с -4= на множестве, мера
которого сколь угодно близка к единице. Следовательно,
s J IN
<fc
С
[0,1]"
г m__lи<Лл г №-
[0,1]" [0,1]"
rf* ζ
< %/з( J dx + J ε Же) <%/3(Я„(£„(е)) + е).
Ε„(ε) [0,1]"\£„(ε)
Так как λη(Εη(ε)) —> 0, то при достаточно больших η
[0,1]"
б) Рассмотрите множество
ДС1+...4-ДГ» 1
Я 2
>«}
£„(ε) = {(*,,...,*„)£ [0,1]"
и докажите, что λη(Εη(ε)) —> 0. Используйте непрерывность функ-
ции / в точке \.
в) Заметив, что ^0q.. .хп = ехр( \ Σ ^nxk) и f IujcJjc = — 1,
V U*<n J JQ
эите множество
n(e) = {(xl9...9xn)e[09l]n\\\ Σ 1п^ + 1|>Л
и используйте те же соображения, что и в пунктах а), б).
+оо —
г) Заметив, что -4= Г |jc|e~* /2Jjc = v/§ , рассмотрите
рассмотрите множество
Ε,

множество Εη(ε) = |(χι,...,*„)
1 Σ ι**ι
1<Κ/ι
> ε
}

512
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
6.29. в) Очевидно, достаточно рассмотреть лишь случай,
когда ηωη -> оо. Пусть Ап = \(хь ...д„)еГ ]Г \xk\p ^ ηωη\
Уп = f... jf(x\)...f(xn)dx\ ...dxn.
An
δ
Найдём такое число δ > О, что Г f(x)dx < e~l. Пусть
-δ
χ = (хи ...ухп)е АП9 Е(х) = {j е N | |дсу| ^ δ}. Ясно, что
сапЩх) < [^]. Положим N = [^],
ЙВ = {β с {1, 2,..., п) | card# = Ν) ,
Ся = {(^1,...дп)б1п | \хк\ <δγνρη1ϊ<£Β}.
Тогда Ап с (J С#. Так как
ТО
Уп^Е f...(f(x\)...f(xn)dxi...dxn^·^. (*)
Яе^ c J
Оценивая С^, получаем
CN <^- < (n.\NPu < (2&L\npn
Вместе с (*) это даёт нам
Λ <е- -/(2+1«f) * ехр(-«(1 - £ - £lnf)) .
Поскольку ωη In ^- —> 0 при η —► оо, мы при достаточно больших η
м
получаем неравенство Уп ^ е 2.
j.
6.30. Неравенство In ^np\\f\\p — непосредственное следствие
неравенства Гёльдера. Чтобы оценить 1п снизу, применим сумматор-

И РЕШЕНИЯ · § 6. Асимптотика интегралов высокой кратности 513
ное неравенство Гёльдера (i + -7 = 1):
ν Ρ ρ' '
1
и J" 1/(01* = Σ f \f(*k)\dx= j Σ \f{xk)\dx*Z
О 1^^л(0,1)" (0,1)" ^^
< f п'( Σ \f(xkWYPdx.
(0,1)" 'Ш€п
ι
ρ-ε
Таким образом, Ιη ^ η ρ \\f\\\.
6.31. а) Пусть 0 < ε < ρ — 1. Так как
( Σ 1/Ы1')'<( Σ 1/(^)Ге)^,
то, используя неравенство Гёльдера (здесь важно, что ρ — ε ^ 1), мы
получаем
ΐη< [ ( Σ |/ЫГ')^^<
(0,1)- ·<*<»
<( f (Σ \f(xkW-e)dx)p-c = (-n°(tP-*dF(t))
\ол)" ια^ У V о У
Оценим последний интеграл, считая, что F(t) ^ — при t ^ 1, а число ε
достаточно мало:
(X) ОО
- Г ^"ε rfF(i) = {ρ - ε) j tP-{-£F(t) dt ^
0 0
1 °° _ _
<(/>- ε) jtP-l-*F(t)dt + (P- e)C j ^ dt ^
0 1
^pfF(t)dt+p-f^2-!f.
0
Следовательно, In ^ {-^jr~)p~£· Считая п достаточно большим и взяв
ε = г-гттт, приходим к требуемому неравенству.

514
VIII. Мера и интеграл Лебега
• УКАЗАНИЯ
б) Будем считать, что F(t) ^ ^ при ί> 1 и что 1п ^ К(п\пп)р при
всех η > 1. Рассмотрим множество
En(A) = {x = (xl9...9xn)e(0,l)n\ Σ \f(xk)\p^APn\nn\
и убедимся, что при большом А его мера достаточно велика.
Действительно,
Σ \гм\'\]-
λη((091)η\Εη(Α))^ j I
dx € , /" , ^ Ц-.
APnlnn / ^ A{n\nn)]/P ^ Λ
(09\)"\ЕЯ(А) %
Следовательно, λη(Εη(Α)) ^ 1 — j. Перейдём к оценке In:
, , Σ \f(*k)\p
u> s (ς: \т)\ру<ь>Ак(пып)-> j η^~*χ=
Εη(4Κ) 1^Κ^η Εη(4Κ)
= (4Ку-РпЦ\пп)Р-1 J \f(xy)\pdx. (1)
Εη{ΑΚ)
Положим Нп(А) = {t e R | |/(ί)| ^ A(nlnn)1^} и, пользуясь
теоремой Фубини, оценим снизу последний интеграл:
j \f(xx)\Pdx= f \ί{χχ)\Ρλη_χ(Εχη\4Κ))άχχ>
En{AK) Hn(4K)
> j \Пх\)\рЪ-\(Еп-\(Щ<1х\>
Нп(2К)
2K(n\nn)Vp
> j \f{*\)\p'\dxx = -\ j *pdF(t)9 (2)
Hn(2K) 0
где E*](4K) = {(x2,...,*„) \(x\,X2--- >Xn) e En(4K)} — сечение
множества En(4K), соответствующее хγ. Нам остаётся оценить
интеграл в правой части неравенства (2). При проведении следующих

И РЕШЕНИЯ · § 6. Асимптотика интегралов высокой кратности 515
оценок мы считаем η достаточно большим. Тогда
^(nlnn)1^
2К(пЫп)1'Р 2К{п\пп)1'Р
Г tPdF(t) = -tPF(t)\ + /? Г tP-{F{t)dt^
^-^^^щ^п^р!^1^^
2К(п\пп)1'Р
1
Вместе с (1) и (2) это даёт нам неравенство
/„ > (4К)1-РпЦ1пп)р-1^\пп = ^—χ{η\ηη)ϊ ,
что и требовалось.
6.32. Положим Qn = [— 1, \]п. Из неравенства Гёльдера следует, что
ι
величина Sp(a) = \2~п \ \(х, а)\р dx у возрастает с ростом р.
Qn
При ρ = 2 она совпадает с Щ. Таким образом, правое неравенство
нетривиально лишь при ρ > 2, а левое — при ρ < 2. Докажем
правое неравенство. Очевидно, это достаточно сделать в случае, когда
||α || = 1. Будем сначала считать, что ρ = 2т — чётное число. Пользу-
*Ъп
ясь неравенством -ту^ ^ сп *·> получаем оценку
j (xta)2mdx ζ (2m)! j ch (jc, a)dx = 2n(2m)\ f[ ^ ,
Qn Qn k=l
где ak {k = 1,..., h) — координаты вектора я. Воспользовавшись
неравенством у- ^ е* /2, получаем
i j(xya)2mdx ζ (2m)! ^И+-+«')/2 = (2m)! V?.
β.
Отсюда вытекает, что $2т(а) ^ 2т||я||. В случае произвольного ρ > 2
найдём такое натуральное число т, что 2т < ρ < 2т + 2. Тогда
SP(a) < 52w+2(«) < (2т + 2)И ζ (ρ + 2)||α||.

516 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
Перейдём к доказательству левого неравенства при ρ е (О, 2).
Рассмотрим такое число Θ е (0, 1), что 2 = Θ ρ + 4(1 — θ). Применяя
неравенство Гёльдера с показателем ^, получаем
i|M|2 = ± f \(x, a)\2dx = £ f \(х, α)\θΡ \(х, α)\^~θ)άχ <
Qn Qn
(£/|(*,«)|')β-(^ j\(x,a)\4dx)l'e.
Следовательно,
(±f\(x,a)\Pdx)e>
>
Qn 3(54(α))4(,-θ) " ΆΒΛα\\Ϋ('-β) 3<'-"»'
T.e.5p(a)>(3Bj(1-0)) l* ■ \\a
Глава IX
Последовательности измеримых функций
§ 1. Сходимости по мере и почти везде
1
1.2. б) Убедитесь в сходимости ряда Σ \ f\ck](x)^x·
О
1.3. Рассмотрите функции gn = (—l)nnfn, где fn — функции из
задачи 1.2. Другой пример: gn = (—\)тпхп9 χη — характеристическая
функция промежутка (£2~"\ (к + l)2~w), где η = 2т + к, О ^ к < 2т.
1.5. Пусть Ап е N. Тогда функции | sm(Anx + φη)\ и | sin х\ равно-
распределены на (0, 2л). Поэтому
λ{χ е (О, 2π) | | sin(A„x + φη)\Ρ» > ε} =
= Я{хе (0,2я) I I sin jc| > ε1/*7"} —> 0.
n—+oo
Если А„ £ Ν, то следует рассмотреть наименьший интервал,
содержащий (0, 2л) и целое число периодов функции | sin(A„jc + φη)\, и
воспользоваться аналогичными соображениями.

И РЕШЕНИЯ · § 1. Сходимости по мере и почти везде 517
1.6. Чтобы доказать первое из требуемых равенств, рассмотрите
множество
Εη(ε) = {χ е (О, 2π) \ s\n(Anx + φη) < 1 - ε} (ε > 0)
и докажите, что для любого ε > 0 найдётся такая последовательность
номеров {rik}, что пересечение {} Εη/ζ(ε) имеет нулевую меру при
каждом ρ е N.
оо
1.7. Пусть Ιη = Γ е~х\ ήη(ηχ + φη)\ηdx. Ясно, что
0
оо
о
= —ΪΓ^Σ e-T f |sin(s + <rf^ = „(1_g:± f sin-srfs.
Так как J sin" s ds ~ J% (см. VI.2.9 г)), то /и - I y^ = y^.
0
1.9. а) Воспользуйтесь результатом задачи 1.8.
б) Рассмотрите множество е = (J {x Ε Μ | |/л(*)| > εη} при
достаточно большом р. п^Р
1.10. Не умаляя общности, можно считать последовательность {fn}
убывающей. Рассмотрите такую последовательность {fnk}> что
λ{χ е (0, 1) | fnk(x) ^ i} ^ -^ (^ € N). Используя результат
задачи 1.9а), убедитесь, что последовательность {Ап}9 где A„ = к при
«it ^ и < ttfc+ь является искомой.
1.11. Пусть {A,J — такая последовательность, что Ап —> оо
и An(fn(x) — f(x)) —> 0 почти везде на (0, 1). Докажите, что функция
g = sup IAn(fn — f)\ является искомой.
η
1.12. Рассмотрите множество е = {х Ε (0, 1) | g(x) > С}, где g —
регулятор сходимости (см. задачу 1.11), а С — достаточно большое
положительное число.

518 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
1.15. Рассмотрите такую последовательность {кп}9 что
Я{ле(0,1)||/„д„М-/„(л)|>1}<^;
и воспользуйтесь включением
{*e(0,i)||/B,*.W-/o(*)l>e}c
с {* €(0,i)| !/„,*„(*)-/пМ1>§}и
и{*е(0,1)||/„(*)-/о(*)1>§}.
а) Рассмотрите последовательность {/„,£„}, построенную выше.
б) Воспользуйтесь результатом задачи III. 1.6.
1.16. а) Зафиксируем произвольное число ε > 0 и положим
еп = \Хп — -т>-*и + -ть£ = А\ и^и· Ясно, что мера £ не меньше
чем \ —^2 Ц > \ — 4ε. Для доказательства сходимости почти везде
исследуемого рада достаточно проверить, что он сходится почти везде
на Е. Для этого, в свою очередь, достаточно убедиться в сходимости
ряда
Ε
Оценим интеграл, стоящий под знаком суммы:
1
1"Н*Ч< ί r^S^2 Г £ = 21п£.
J |*-*„| ^ J \x-xn\ J ' £
£ А\е„ ε/π2
Эта оценка обеспечивает сходимость рада (*).
б) Не умаляя общности, будем считать, что
последовательность {ап} убывает. Разобьём её на такие две
подпоследовательности {bk} и {cjt}, что
Σ bk In к = оо, У^ с kin к < оо.
Выделим из X строго монотонную последовательность {i/jt}.
Оставшуюся часть множества X занумеруем в последовательность {vk}.
Тогда, как легко проверить непосредственно, рад Σ ι—*—г сходится по-
чти везде (точнее, везде, за исключением точек щ и Нтм^), а рад
У^ , _* . сходится почти всюду в силу доказанного в пункте а).

И РЕШЕНИЯ · § 1. Сходимости по мере и почти везде 519
Для построения примера всюду расходящегося ряда следует
выбрать Uk так, что
к-2т
0<
Тогда
ик
<± при 2m^k<2m+l.
Ьк ν^ ν^ ι
Как легко проверить, при любых т Ε Ν, χ Ε Δ
V ! > V _J_ > 82тт
^ \х-иЛ ^ *-* U2m ^
0<^к-2>»<2>» ' Ukl 2<Κ2>»-ι '
при некотором δ > 0. Поэтому
Ьк >δΣ Ъ2т^2п
В силу монотонности последовательности {Ь^} последний ряд
расходится одновременно с рядом Σ Ьк 1п к.
§ 2. Сходимость в среднем. Закон больших чисел
2.1. Воспользуйтесь неравенством Гёльдера.
2.2. а) Воспользуйтесь неравенством Чебышёва:
λ{χ Ε Ε | \fn(x) - f0(x)\ > ε} < i J |/и(х) - /о(х)Г Λ .
2.3. Воспользуйтесь неравенством Коши-Буняковского и
абсолютной непрерывностью интеграла.
2.4. Докажите, что
1
f(fn(x)-fo(x))fo(x)dx^O.
о
2.6. а) Представив единицу в виде выпуклой комбинации чисел г
и 2, с помощью неравенства Гёльдера оцените сверху ||/||ι через ||/||г
и ||/1|2· Проверьте, что возникающий при этом показатель θ
равен ?-2.

520 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
б) Пусть а>0, Ε (а) = {х €£ | \f(x)\ >Ja(f)}. Ясно, что
Хт{Е{а)) <аи
11/111 < / \f{x)\dx+Xm{E)fa{f)<
Е(а)
< ^ 11/112+Ят(£)/«(/) ζ С у/а11/11, + Ат(£)/а(/).
Следовательно, если Су/а < ^, то
Mi^(l-C^)||/||,<Am(£)/a(/).
2.7. Используя неравенство sin2 χ ^ | sin x\9 докажите, что
ЦЕ)
2
Ε
lim Г | s\n(nx + </>п)| d;c ^
для любого (измеримого) множества Е. Рассмотрите множество Е, на
котором сумма исследуемого ряда ограничена. Доказанное
утверждение известно как теорема Лузина—Данжуа.
2.8. Зафиксируем число ε > 0, выбор которого уточним позже, и
положим / = Σ \anfn\· Ясно, что найдётся такое число t > 0, что
Xm{Et) < ε, где Et = {χ е Ε \ f(x) > t}. Тогда
J |/л(х)| ^x < y/km(Et)C < Cv^.
Число £>0 выберем так, что 0\/ε< |. В этом случае Γ |/л(х)| <£χ > |.
Ε\Ε,
Следовательно,
rAw(£)^ J /(*)<& = Σ 1**1 j \fn(x)\dx>J2K\%,
E\E, E\Et
откуда Σ |α„| < f Aw(£).
2.9. Используйте результат задачи 2.2 а).
2.10. Воспользуйтесь результатом задачи 2.9.
2.11. Докажите, что мера множества
{хе(-я,я)|± Σ *sin2bc<f)
стремится к нулю при η —> оо.

И РЕШЕНИЯ · § 2. Сходимость в среднем. Закон больших чисел 521
2.12. а) Достаточно доказать, что сходится рад Σ \\aki ||^ а это
следует из равенств
ΣΐΜϋ = Σ^| Σ fjf
*^1 КК*2
Σ^ Σ Mj\\l = E\\fj\\22E £·
б) Оцените разность ση - ^- σ^2 при & = [у/п].
2.13. Поскольку ct,2(jc) —> 0 почти везде на Ε (см. указание к
задаче 2.12а)), нам достаточно оценить разность ^л —— σ^ при
к = [y/R]. Положим g = £ n~3'2f*. Тогда g G ЗГ1^)* и поэтому
сок(х) = Σ n~3^2fl(x) —у 0 почти везде на Е. Ясно, что
л>*
^ *2 я-
Σ /,·
<^( Σ !//)*<
k2<j^n
<^(Σ H^'ivSU.
k2<j^n
Поэтому |σ«(.χ)| < |^2(Χ)Ι + λ/^ΓΟΟ ~* 0 почти везде на Е. Кроме
того, отсюда следует оценка для функции к.
I
h = sup\an\ ^sup\ak2\ + y/2g < (Σ <*}г)2 + >/2g·
Остаётся сослаться на уже доказанное неравенство Σ ΙΙσ^2|ΐ2 < °°·
2.14. Примените результат задачи 2.12 6) к функциям /η = εη
г
Другое решение получим, если, пользуясь результатом
задачи VIII.3.196), заметим, что ряд Σ {ση(χ) - \) сходится почти везде.
2.15. Решение аналогично решению задачи 2.14.
2.17. Используйте неравенство Чебышёва и попарную
ортогональность функций f(x\),..., f(xn) в кубе (0, 1)".
2.18. Решение аналогично решению предыдущей задачи.

522 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
2.19. Рассмотрите функцию f(x) = χ2 — J- (χ бЕ)и меру γ с
плотностью е~ях . Учитывая равенство Г f(x) άγ(χ) = О, докажите, что ме-
К
ра γ χ ... χ γ (η сомножителей) множества
En(e) = Uxi9...9Xn)eRn\k\ Σ /(**)!> 4
стремится к нулю при η —> оо, и, следовательно, интеграл
ί ф(-^--)е~я''*'' dx мал при больших п. При малом ε > 0 инте-
£п(0
грал Г <р(-И-)е~я1И1 ύ?χ близок к φ(~).
клад
2.20. а) Так как \\S - Sk\\l = Σ |яу|2, то
Σ lis - Mi = Σ Σ Μ2<Σχ/7·Ι«,Ί2<°ο.
б) Ясно, что 5^2 (х) —> iS(jc) почти везде на Е. Пусть η = к2 + р, где
k = [у/Я], 0^р^2к. Тогда
!^-S,2|24 Σ "jfj^P Σ \ajfj\2<2^y/J\°jfj\2 = Mk.
k2<j^.n k2<j^n j>k2
Так как ряд ]P л/У^у/Л*)!2 сходится почти везде, то Rk{x) —► 0
почти везде. Таким образом,
\Sn(x) - S(x)\ < |ЗД - 5*2(*)| + \S(x) - Sk2(x)\ <
< yj2Rk{x) + |S(x) - 5^2(χ)Ι —> 0 почти везде.
в) Из предьщущего неравенства следует, что \Sn - S\ < g, где
функция g = J2Σ ν7 \ajfj\2 + λ/Σ \s ~ sk2\2 суммируема с квадратом.
Ясно, что \Sn\ ^ \S\ + \Sn - S\ ζ \S\ + g и |S| + g G £2(E).
§ 3. Функции Радемахера. Неравенство Хинчина
3.4. а)-в) Воспользуйтесь результатом задачи 3.26).
г) Воспользуйтесь одновременной сходимостью бесконечных
произведений Π cos tcп и Υ\ (1 - i t2c2).

И РЕШЕНИЯ · § 3. Функции Радемахера. Неравенство Хинчина 523
dsdt
3.5. а) Убедитесь с помощью 3.3 б), что для с# из Ш
б) Используйте пункт а) и идею решения задачи 2.6 а).
3.6. Представьте двойной интеграл в виде повторного и используйте
результат задачи 3.5.
3.7. 3.8. Решения аналогичны решению задачи 3.5.
3.10. Используйте результаты задач 3.9 а) и 3.5 а).
3.11. Используйте равенство
ι ι
Σ \{Сх,у)\Р = 22п\\\ Σ cjkrj(s)rk(t)
(С = (cjk)\^j\k^n) и результат задачи 3.6.
3.12. Пусть F — искомая функция распределения. Вычислите F(s),
используя равенство
F(s) = ( e-i5tdF(t)= (e-i5f^dx
-оо О
и результаты пунктов а), б) задачи 3.4.
3.13. а) Используйте равенство
Rm = 2^w + am+\rm+\) + 2^т ~ ат+\гт+\) »
неравенство треугольника и индукцию по η (η ^ т).
б) Используйте выпуклость экспоненты и индукцию по η (η ^ т).
в) Представьте множество Ε в виде объединения промежутков Amj
(О < j < 2т) и используйте пункты а),б).
3.14. а) Введём множества
Е+ = {х G (0, l)\Rn(x) >t}> E- = {xe (О, l)\Rn(x) < -t] .
Пусть s — положительное число, выбор которого мы уточним позже.
Тогда
1
А(£+) ^ Г e'^^-'Ux <С e~5t f esR"Wdx =
E+ 0
= e~st Π ch(™*) ^ e~st · e^Asrf2 .

524 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
Выбирая s так, чтобы правая часть неравенства была минимальна
(s = -^), получаем, что А(Е+) ^ е~* /^ \ Мера множества Е_
оценивается аналогично.
В случае комплексных коэффициентов а^ используйте
неравенство а) и включение
{х е (0,1) | \Rn(x)\ >t}c
с{хе (О, 1) | \RcRn(x)\ > ^} U {х е (О, 1) | |1тЯл(х)| > ^}.
б) Положим
Е = Еп = {хе (О, 1)1 max |Ли(х)| > ί}.
Используя представление Еп = En_l U (Еп \ Εη_χ) и применяя
неравенства в), г) предыдущей задачи к множеству Еп_^ докажите с
помощью индукции, что
λ(Εη)^1 j\Rn(x)\dx
En
И
λ{Εη)<: fe*(l*"(*)l-'W
En
Оценка последнего интеграла проведена при доказательстве
утверждения а).
3.15. а) Очевидно, все числа а^ можно считать вещественными.
Пусть Rn(x) = а\г\ (х) + ... + апгп(х). Используя результат
задачи 3.146), докажите, что для любого числа ε > О мера множества
\х е (0, 1) | sup \Rn+p(x) - Rn(x)\ > 4
1 PeN }
не превосходит ε~ι ί Σ α\\ . Выведите отсюда, что
\>η J
λ{χ G (0, 1) I Rm Rn(x) - Hm Rn(x) > Л = 0.
I л-*оо „^oo J
б) Пусть F — возрастающая функция распределения функции М.
Пользуясь установленным в пункте б) предыдущей задачи неравен-

И РЕШЕНИЯ · § 3. Функции Радемахера. Неравенство Хинчина 525
ством 1 — F(t) ^2- е //(2л)и считая, что s < -^, мы получаем
1 оо
fesM2(xUx = fes'2dF(t) =
,21- °°
= (F(t) - l)est \ _ - j(F(t) - 1) -2stest dt <:
0
OO / ι \ 2
^ 1 + 4s Γ te ^2д2 5" dt < oo.
0
Если же s ^ -Ц, то рассмотрим функцию
2Д2'
Μ! (χ) = sup Σ α*α(χ)
где число TV выбрано так, что а\ = Σ а\ < т~- ^ак Уже по~
k>N S
1
казано, f <?2ίΜι^^χ < оо. Кроме того, М(х) ^ К + М\(х), где
О
К = \αχ\ + . .. + |я#|, и поэтому М2(х) < 2АГ2 + 2М\{х). Итак,
<£* < ОО.
О О
3.16. Сужая в случае необходимости множество £, на котором
сходится ряд, можно свести задачу к случаю, когда сумма ряда /
ограничена на Ε и 0 < λ(Ε) < оо. Пусть |/| ^ С на Е. Снова сужая в
случае необходимости множество £, рассмотрим подпоследовательность
{Snk} частичных сумм данного ряда, равномерно сходящуюся к /
на Е. Очевидно, мы можем предполагать, что |5Л)к(х)| ^ 1С при
любых χ G £, к G N. Зафиксируем натуральное число /я, выбор которого
уточним позже, и положим
Т2 = Σ α\ ик = Л о.) при пк>т.
Докажем ограниченность последовательности {С/*}. Ясно, что
/ \ 1/2 / 2 \ !/2
2Cy/X(E)>(j(Snk(x))2dx) > И ( Σ< fljO-W) rfxj -Г.

526 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
Следовательно,
(т + 2Су/ЦЁ)) >\ Ε ajalrj(x)rl{x)dx =
4 У JEm<j,Knk
= X(E)Ujc+2 E aya/ \ rj(x)ri(x)dx ^
m<j<Knk £
- 2 -
^Я(Е)£/к-2( Σ «И)2( Σ ffry^Mx)^))2. (1)
Поскольку семейство {r7r/}7</ — ортонормированная система
(см. задачу 3.7 а)), то в силу неравенства Бесселя
Мы будем считать m столь большим, что 4вт < λ(Ε). Тогда из (1)
вытекает, что
(Т + 1СуДЩ)2 ^ А(ВД - 2E/*0W >Щ±ик.
Итак, при указанном выборе m и при всех щ> m мы получаем
неравенство С/* ^ 2(А(Е))~ (Г + 2Су/А(Е)) , что и требовалось.
3.17. Ясно, что а) => б) => в) (см. задачи 2.2, 2.1). Импликации
в) => а) => г) установлены в задачах 3.16 и 3.15. Наконец, г) => в)
по теореме Лебега.
3.18. Решение аналогично решению задачи 3.16. Сохраняя
введённые там обозначения и считая, что Ε с (0, 2л), мы вместо
неравенства (1) получаем
(лТ + 2Су/ЦЁ)) ^ Σ aj (sm2Vxdx-
m<j^nk JE
1/2/ / \2\1/2
-21 Σ ajaj ) ( Σ ( \ ^2Jxsm2lxdx
\m^j<l^:nic / \m<j<l^nic\p
IbKy
j sin2 2^ dx = ψ - \ j cos 2*+*x dx -> ^ ,

И РЕШЕНИЯ · § 3. Функции Радемахера. Неравенство Хинчина 527
можно выбрать т столь большим, что при j > m выполняется
неравенство Um2Vxdx > \λ(Ε). Чтобы оценить сумму
Ε
Σ ( Γs\n2Jxsm2lxdx) ,
m<j<l^nk JE
воспользуйтесь равенством
2 Г sin 2-Ιχ sin 2lx dx = Γ cos(2/ - 2^)χ dx - \ cos^ + 2J)x dx
Ε Ε Ε
и неравенством Бесселя для тригонометрической системы.
3.19. Убедитесь, что из ограниченности суммы ряда Σ апгп на
промежутке Δ следует её ограниченность и на (0, 1). Пусть | Σ апгп\ ^ С
на (0, 1). Зафиксируем произвольное натуральное число η и
рассмотрим такой промежуток
Δ».* = (£.*£) С (0,1),
что rj(x) = s\gnaj при χ ΕΔ„^, j= 1, 2,..., п. Так как Г ry(x)d.x=0
Δη,*
при 7 > п, то
§^ ί Ε Vj(jc)^= Σ «у ίο(χ)^= Σ -ψ-·
Таким образом, \а\| + ... + \ап\ ^ С при любом η Ε N.
3.20. а) Примените неравенство Бесселя к характеристической
функции множества е.
б) *) Пусть L — замыкание линейной оболочки
последовательности {гп} и Р(Хе) — сумма ряда Фурье-Радемахера
характеристической функции хе множества е. Тогда
Σ ( (rn(t)dtY = \\P(Xe)\\2 = \\Хе\\2 - \\Ъ - Р(Хе)\\2 =
= sup (Ш\2 - \\Хе -у\\2) = sup(2 fу(0Л - Ы2) .
*) Решение предложил А. В. Тепляев.

528 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
Будем считать, что у = rz, г > 0, ζ Ε L, ||z || = 1. Тогда
\\Р(Хе)\\2= sup suV(2rfz(t)dt-r2)= sup (fz(t)dt)2. (1)
zeL r>04 i J zeL Ki '
||^ 11=1 e ||z||=l e
Пусть Fz (и) =λ({ί e (0, 1) | \z(t)\ > и}), я = inf{w|Fz(w) ^ 5} и пусть
E(z, 5) -{К (0, 1) I |z(0| > а}. Тогда A(F(z, δ)) ^ δ (т.е. Fz(a) < 5)
sup |Γζ(0α|^ ί |ζ(ί)|Λ = - ί udFz(u) = aFz(a)+ [ Fz(u)du.
Продолжая (1), получаем:
sup ||РЫ||2^ sup sup (\\z(t)\dt\
X(e)^8 zeL λ(β)^δ Κί J
1ИН
^
^ sup f Γ \z(t)\dt) = sup (я<5 + f Fz(n)</n) . (2)
||z||=l Е(г>5)
zGL
Ik ll=i
Как доказано в 3.14 a), Fz(u) ^2e " /2 для любого zeL, \\z\\ = 1. Так
как по определению a Fz(a — h) ^ δ при Л > 0, то δ ^ 2е~а /2, т.е.
а ^Ь = J 2 In j. Следовательно,
оо b oo
Г Fz (и) du^ JFZ (и) du+ Г 2^~"2/2 da ^
а а Ь оо
Вместе с (2) это даёт нам, что (мы считаем, что δ ^ 1 и,
следовательно, Ъ ^ 1)
sup \\Р(Хе)\\2^(2Ь5 + 1)2 ^9S2b2.
Итак, sup \\P(Xe)\\2 = 0(82ln±).
Л(е)<<$
Эта оценка точна по порядку, так как при δ = 2~к, е = (0, 2~к) мы
получаем, что
Σ |fr„(i)^|2= Σ \[dtf = ki-2k.

И РЕШЕНИЯ · § 3. Функции Радемахера. Неравенство Хинчина 529
3.21. б) Используйте идею решения задачи 3.13 в).
в) Используйте идею решения задачи 3.14 6).
г) Используйте идею решения задачи 3.15.
д) Используйте совпадение линейных оболочек функций hk при
О < к < 2п и характеристических функций промежутков Δ„ к при
О < к < 2п.
3.22. а) Пусть Sn — п-я частичная сумма ряда Фурье-Хаара
функции /,ае — произвольное положительное число. Докажите, что
(сравните с 3.14 6))
ι
λ{*€(0, 1)| max \S„+P(x) - Sn(x)\ >ε} ^ ± j \Sn+N(x) - Sn(x)\ dx.
Выведите отсюда, что
ι
λ\χ е (О, 1) I sup \Sn+P(x) - Sn(x)\ > ε} ^ if |/(jc) - S„(jc)| dx.
Для завершения доказательства остается повторить рассуждения,
использованные при решении задач 3.15, 3.21 г).
б) Пусть Еп = {х е (О, 1) | sup |5/я(х)| > ί}. Рассуждая так же,
как при доказательстве утверждения в) предыдущей задачи,
докажите, что λ(Εη) ίξ —γ-^-, после чего остаётся лишь перейти к пределу
при η —> оо.
II п II / п \1/2
3.23. а) Докажем, что 5] i/^rJ ^Βρ[ΣαΙ) · Второе нера-
венство может быть получено с помощью метода,
использованного при решении задачи 2.6 а). Пусть F — функция распреде-
п
ления функции ^a^J. Из полученной в задаче 3.14а) оценки
·*=ι '
1 - F(t) ^ 2е~* /^ ), где А2 = а2 + ... + а2, следует, что при
любом ρ > О
1 оо оо
Π Σ akrk{x)\dx= (tPdF{t)=p\tP-\\-F{t))dt^
0
Ч^к^п
0
A I(ΊΑ*
< 2p j tP^e-'^^dt = 2pAP {yP-xe-y2f2dy .

530 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
Выразив последний интеграл через Г-функцию и воспользовавшись
формулой Стирлинга, мы получаем требуемую оценку для Вр.
Доказательство неравенства Хинчина, не использующее явно
свойства функции распределения, можно получить по аналогии с
решением задачи VIII.6.32. Ещё одно доказательство вытекает из результата
задачи 3.25 б).
б) Рассмотрим суммы с равными коэффициентами:
0 ι
При η = 2, вычислив интеграл I |n(jt) + r2(x)\pdx = 2р~1, полу-
L-L °
чим Ар ^ 22 ρ ζ. В р. Для больших η имеем
f I Г1(х)+^+г"(х) Г^с = -Цг Σ eg 12* - п|^,
J0 ! V ' 2»η 2 k=0
Предел этого выражения равен (см. указание к VI.3.246) при q = 1)
Ι_ι
Следовательно, Ар ^ 22 ργρ < Вр, что вместе с неравенствами
!_!
Ар ^ 22 ρ <ζ Β ρ даёт требуемое.
3.24. Пусть с = (с\9 ...,с„)еС"и
ι
7(с) =ί Σ скгк(х)\ dx.
По условию 1(c) ^B?(\ci\2+ ... + \сп\2)р/2, если с еГ, и
надо доказать это неравенство для cGC". Положим cj = cij +ibj
(cij, bj еШ) и α2 = Σ aj > 0> β2 — Σ ^/ > 0. Будем считать, что
Σ |с/|2 = 1, т.е. α2 + β2 = 1. Тогда
j
ι /о
/И = /((Σ ajrjix))2 + (Σ ЬЮ{х))У dx =
= ](α2(Έ4η(Χ))2+β2{Σ'ίη(Χ))2)Ρ/^χ.

И РЕШЕНИЯ · § 3. Функции Радемахера. Неравенство Хинчина 531
Так как а2 + β2 = 1, то выпуклость функции t ι—► гр12 и справедливость
доказываемого неравенства в вещественном случае дают нам
/(с)<Л(|)+^^
= β£(α2+β2)=β£.
Случай ρ G (0, 2) рассматривается аналогично.
3.25. См. [Haag].
а) Пусть S = S(x) = Σ акгк(х) и Sj = Sj(x) = Σ a£r*(·*)· Тогда
я? Щгяуг, + Σ akrk^Pdt = a2j j^j\tajrj(x) -^ Sj(x)\pdx^dt =
0 ^ P 0 0
1 S 1
-«}/(/*&)*-&/'*>'
0 Sj
s=S
s=Sj
dx
1 1
= ^rijrj(x)S(x)\S(x)\Pdx -^-ljrj(x)Sj(x)\Sj(x)\Pdx.
0 0
Вычитаемый интеграл равен нулю, так как функция Sj(x)\Sj(x)\p, не
зависящая от гДлс), имеет равные интегралы по множествам rj(x) = 1
и ry(jc) = —1. Поэтому
1 1
(рт1)вНкг;-тЕад dt= \ajrj(x)S(x)\S(x)\Pdx.
Просуммировав эти равенства по j = 1,..., η, получим требуемое.
б) Воспользуйтесь результатом п. а). Неравенство В^ < (2/и — 1)!!
устанавливается с помощью индукции. Противоположное неравенство
установлено в задаче 3.23 б).
3.26. См. [Haag], [Sz]. Положим Rn = a\r\ + ... + апгп.
оо
а) Легко видеть, что \s\ = § Г(1 - cosst)^ для любого s G R.
Поэтому
*=1
|J(l-cosH„W))^·

532 IX. Последовательности измеримых функции · УКАЗАНИЯ
Следовательно,
1 оо/ 1 ч
j \Rn(x)\dx = I j [l -jcos{tRn(x))dxj f2
ι A
о о Ν ο
1 1
Так как Гcos{taicrfc(x))dx = cosa^t и \ sm{takric(x))dx = О, то, поль-
0 О
зуясь результатом задачи 3.2 б), получаем
ι
\ cos(tRn(x))dx = Y\ cos(a^i),
откуда следует доказываемое равенство.
Другое доказательство можно получить индукцией по п. База
очевидна, а для осуществления индукционного перехода
достаточно сложить два равенства, соответствующие суммам Rn + ап+\гп
и Rn -an+\rn.
б) Будем считать, что а\ + ... + а% = \. Неравенство очевидно,
если хотя бы один из коэффициентов а \9..., аПу например ап, по
абсолютной величине больше -4=:
V2
_1_
V2'
j\Rn(x)\dx > \jrn(x)Rn(x)dx\ = \а>
0 О
Далее 0 < \α^\ < -4= для всех к. В силу результата п. а) мы имеем
1 оо
f\Rn(x)\dx>% f(l- Π |cos(etf)|)g. (*)
О 0 »<*<"
Так как α| + ...+α^=1, то для любых неотрицательных чисел
с ι,..., сп справедливо неравенство
с\...сп< а\сх αχ + ... + а^с„ " .
Взяв q = | cos(afct)\ (к — 1,..., и), мы получим
ΟΙ'/"*2 =
Ε a2k(\-\cos(akt)\Val).
1- Π |cos(fljk0l^l- Σ fl£|cos(<i*0l1/fl*
l^K"

И РЕШЕНИЯ · § 3. Функции Радемахера. Неравенство Хинчина 533
Поэтому из неравенства (*) следует, что
1 оо
(\Rn(x)\dx > | Σ а\\ (l - |coe(flik0l1/e*2)g > inf Л/>),
О ΐζ^/г 0 и
где (см. задачу V.1.43)
сю г(1+р\
У(р) = 1 ffl- сов^=Пт = -Т= %Г·
VFy я J V Ι λ/ρΙ / ί2 >Α? rm
о V2/
Как установлено в задаче И. 1.12, при ρ ^ 2 эта величина возрастает.
Таким образом, если α j + ... + а\ = 1, то
ι
f\Rn(x)\dx> mf2a(p)=?(2) = ±.
о р"
в) Неравенство Ар < 22 ρ следует из результата задачи 3.23 б).
Доказывая обратное неравенство, будем считать, что а\ + ...+а%=\.
Тогда 1 = \\RnWi ^ V^ll^lll (см· пункт б)) и можно
воспользоваться результатом 2.6а): -4= < ЦД/ιΙΙι < (\/2)0||#/ι||ρ. Так как Θ = | - 2
(см. указание к 2.6 а)), то это даёт нужную оценку снизу:
\\Rn\\p^2^~lp.
3.27. Импликация д) => б) тривиальна, импликация а) => д)
следует из неравенства Хинчина.
3.28. а) Считая, что Σ \ск\2 — 1> рассмотрите функцию
Р(х> 0 = Σ ^ιΗ-ΛΗ-ΐί')*"1'** {х € Μ, f € (0, 1))
|*|<л
и воспользуйтесь вытекающим из задачи 3.23 неравенством
ι
\Р(х, t)\dt ^ с, где с > 0 — абсолютная постоянная (как следует
О
из результатов задач 3.24 и 3.266), можно взять с = -4=).
б) Достаточно рассмотреть случай, когда η = 2т + 1 (ш Ε Ν).
Уменьшив все коэффициенты я^ на т + 1, мы изменим
,^Ί-норму многочлена 7^ лишь на 0(/wln/w). Коэффициенты нового
многочлена образуют перестановку чисел 0, ± 1,..., ±т.
Поэтому достаточно доказать, что %\ -норма некоторого многочлена
/

534 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
Р(ф) — Σ ckelk(p-> У которого коэффициенты образуют перестанов-
\к\^т
ку этих чисел, не меньше с/я3/2. Ограничимся лишь теми
многочленами Ρ (φ), у которых q = — с_£ = ±к при к = О, 1, 2, ..., т,
т.е. Ρ(φ)= Σ ±к (eik<*> - e~ikv) = 2/ Σ dzit sin(i^g>). Каждую
расстановку знаков можно при подходящем χ е [0, 1] записать в виде
г\(х), Г2(х),..., гт(х), где г к — функции Радемахера. Поэтому нам
достаточно показать, что %\ -норма многочлена
ρχ(ψ) = Σ *r*(x)sin*g>
достаточно велика для некоторого χ е [О, 1]. Воспользуемся
неравенством Хинчина (см. задачи 3.23 а) и 3.266)):
1 я 1
f||PJC||1dx = ίίί Σ krk(x)sbkq>\dx)dq>>
О -я О ^^^^
^ 4= if Σ к2 sin2 k<p)l/2d<p= If Σ k2(l-coskip))l/2dip.
Сумма ]ζ (—&2cos&^) — не что иное, как вторая производ-
ι v^ sin(/7i+^)^
ная ядра Дирихле Dm(rp) = А + 2^ cos кгр = ^—. Она велика
U*<iH 2sin2
лишь вблизи нуля, а вдали от него, например на промежутке [|, я],
имеет порядок 0{т2). Поэтому
}ρ\Μ*> /(γ + ο(^2))1/2^^^^/2.
О я/2
3.29. Считая, что \с\ \2 + ... + \сп\2 = 1, положим Р(х9 ή =
= Σ r„+/:+i (^)с/:^,А:х· Достаточно убедиться, что мера множества
|*|<я
£ = ji e (0, 1) I max|P(jt,i)| > 10\Лпй}
меньше единицы. Тогда взяв (не двоично-рациональную) точку ίο
из (О, \)\Е и положив ejc = rn+k+y(to), мы получим искомый
тригонометрический многочлен. Чтобы оценить меру Е, заметим, что

И РЕШЕНИЯ · § 3. Функции Радемахера. Неравенство Хинчина 535
max|P(x,i)l «почти реализуется» в одной из точек χ; = —^-,
xeR J n2
j = О, 1,..., η2. Β самом деле, если \х — Xj\ ^ ~, то
\P(x,t)-P(xj,t)\< Σ \ск\-2-
2л2
Поэтому max \P(x, t)\ ^ A= + max \P(x ,·, t)\. Следовательно,
xeR V" i<cy^2 J
Ec(te(09 1)1 max |P(jc/, 01 > Ы - -?=) >Дпп ) С
I I Ю^«2 \ V" Inn/ J
С Ε = {г G (0, 1) I max \P(xj, t)\ > 6\/huz } .
Наконец, ясно, что
Ее (J (ί€(0, 1) I |P(jc;,0I >6ν/πι7ί).
Как установлено в задаче 3.14а), мера каждого из множеств в правой
части последнего включения не превосходит 4е~9 1п" = 4п~9.
Следовательно,
λ(Ε) ^ А(£) < η2 · 4 · π"9 = 4л~7 < 1 при О 2.
Как видно из последнего неравенства, sup|P(jt,i)| ^ ККЛпи при
*GK
всех г, принадлежащих множеству (0, 1)\Е, мера которого близка
к единице. Таким образом, расставляя знаки ε^ «случайным образом
с помощью подбрасывания монеты», мы в подавляющем
большинстве случаев будем получать многочлены, удовлетворяющие
требуемой оценке.
Многочисленные результаты, относящиеся к затронутым в этой
задаче вопросам, можно найти в [Ках].
3.30. С помощью неравенства Хинчина убедитесь в сходимости ряда
Σ j-/|rl(x)+...+r.(,)|42bB<ix
„^ J \ Van Inn )
п>20
при любом а > 2. Для этого используйте при ρ = 2 In n оценку
В ρ ^ >//?(1 + е)/е, справедливую при любом ε > 0 и достаточно
большом /? (см. задачу 3.23 а)). Из сходимости рассмотренного ряда
следует, что ряд
-|г!(л:)+...+гл(д:)|\21пп
у- /|п(*)+...+г„(*)|у
>2^ V'an In л /

536 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
сходится почти везде, что возможно лишь в том случае, когда почти
везде
Ш Μ*)+···+'·"(*)Ι<1.
η—>οο Van In я
3.31. Используйте ту же идею, что и при решении предыдущей
задачи.
§ 4. Ряд и преобразование Фурье
4.1. Воспользуйтесь результатом VII. 1.29.
4.2. См. задачу VII. 1.29.
4.3. Воспользуйтесь тем, что для любой стремящейся к нулю
положительной последовательности можно найти мажорирующую её
выпуклую последовательность {an}n^Q, стремящуюся к нулю
(задача И. 1.24). Рассмотрите функцию из задачи IV6.20.
4.4. Рассмотрите чётные 2я-периодические функции, обращающиеся
в нуль на открытом множестве G, содержащем всевозможные точки
вида 2ят, где г G Qn [0, 1]. Если A(G) < 2π, то среди таких
функций найдётся ненулевая ограниченная функция / с нулевым средним
значением: /(0) = 0. Для доказательства равенств ^2 f{kj) = 0 про-
j
суммируйте по т = 0, 1, ... Д — 1 равенства
0 = Е/(*)сов2гр,
п^\
следующие из принципа локализации.
4.5. а) Ясно, что ряд Σ f(n)einx равномерно сходится. Поэтому
nez
его сумма S непрерывна и S(h) = /(и) при η G Ζ. По теореме
единственности S(x) =f(x) почти всюду, а ввиду непрерывности обеих
функций — всюду на [—я, π]. Считая, что |/(±л)| ^ -^ при η е Ν,
проверьте, что при t > 0
\f(x+t)-f(x)\^2C Σ ^+4С Σ ^·
Un<l// n>\ftn
Докажите, что каждая из сумм в правой части неравенства есть 0(ta).
При а = 1 рассмотрите функцию f(x) = Σ нг и проверьте, что её
производная не ограничена вблизи нуля.

И РЕШЕНИЯ · § 4. Ряд и преобразование Фурье 537
б) Воспользуйтесь равенством
из которого вытекает, что
я
Л») = h J (/(*) - /(* + f ))«~i,uc d* ·
—Я
Чтобы убедиться в точности оценки, рассмотрите функцию из
задачи Ш.3.25.
4.6. См. [3], с. 118-119. Функция hp суммируема на (0, 2π), так как
hp(x) = (^)Р~1 + 0(1) для χ е (О, 2л). Легко видеть, что hp(0) = 0.
Для η е Ζ, η φ О, имеем
2я
οο
о
οο οο
Γ cos2^f j* „ Г sin2jrr j.
где
Поэтому
2 Ар(дс) = cpfp{x) + 5pgp(x).
Из результата задачи VII. 1.29 следует, что коэффициенты ср и sp
положительны. Так как
4cpfp(x) = hp(x) + hp(-x) = hp(x) + кр(2я - χ),
4spgp(x) = Ар(дс) - hp(-x) = hp(x) - hp{bi - χ),
то требуемые свойства функций fp, gp легко получить из определения
функции hp (без использования рядов Фурье асимптотические
формулы для функций fp, gp получены в задаче IV.6.21).
Заметим, наконец, что коэффициенты ср и sp выражаются через
Г-функцию Эйлера:
_ Г(р) лр _ Г(р) . лр
СР ~ (2я7 C0S T' SP ~ "(2яУ Sln Ύ '
Следовательно, Ар = Г(1 — р) sin ?ψ и Вр = Г(1 - р) cos ^ψ.

538 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
4.7. а) Воспользуйтесь интегрированием по частям.
б) Выразите f(n) через интегралы
О 2/y/R χ1
Последний интеграл оцените с помощью интегрирования по частям.
4.8. Вычислите коэффициенты Фурье функции φ = f * f-i/2
(см. задачу 4.1) и убедитесь, что при η ^ О
4.9. Так как /(0) = /(2ет), то |/'(/i)| = \nf(n)\. Поэтому
7 \f'(x)\2dx = 2πΣ n2\f(n)\2 > 2π Σ |/W|2 = ί \A*)\2dx .
Очевидно, неравенство строгое, если /(л) ^ 0 при некотором п,
\п\ > 1. Таким образом, неравенство обращается в равенство лишь для
функций вида /(лс) —a cos χ + Ь sin x.
4.10. Если / = g * h, где g, h e %2{—π, π), воспользуйтесь
равенством f(n) = 2ng{n)h(n) (n G Ζ).
Если Σ \fin)\<0°, то рассмотрите функции #(лс)=й(лс)= Σ cn^lru'·>
пеъ nez
где с2 = f(n) при всех η G Ζ.
4.11. а), б) Рассмотрим более общую задачу — исследовать
сходимость рядов вида
Σεηβ1πιηθί{2πηά),
где с η I 0, a G К \ Q, 0 G Q, а непрерывная 2я--периодическая
функция /(лс) такова, что /(&) = 0(|&|_а) при некотором а > 1 (если
0 G Ζ, то дополнительно предположим, что /(0) = 0). В пункте а)
0 = 0, /(лс) = v/cosT. Легко видеть, что /(0) = 0 и α = |. В пункте б)
0 = 4, /(лс) = | втлс! и, как легко убедиться, α = 2.
Достаточно доказать ограниченность сумм
SN= Σ e^ftlnna).

И РЕШЕНИЯ · § 4. Ряд и преобразование Фурье 539
При этом можно считать, что /(0) = 0 (в противном случае
следует заменить f{x) на f(x) -/(0)). Разложив функцию / в ряд Фурье
и воспользовавшись предположением о её коэффициентах Фурье,
получим N
Пусть Θ = ^, где Q Ε Ν, Ρ Ε Ν. Представим во внутренней сумме
индекс суммирования в виде η = Qv + q, где q Ε {0, 1, ..., Q — 1}.
Тогда она распадётся на Q сумм, каждая из которых не превосходит
т. Таким образом,
\sm(nkQa)\
\SN\ ^2Qconst Σ 1
k>l k°\sin(nkQa)\
Последний ряд сходится при а > 1 для любых квадратично-
иррациональных а. Как установлено при решении задачи IV. 1.8, при
каждом а > 1 он сходится для почти всех а, г. если а —
иррациональное алгебраическое число степени г, то при а > г — 1. Отметим,
что последний результат может быть усилен. Как следует из
теоремы Рота (см. указание к задаче 1.3.12), для любого иррационального
алгебраического числа а ряд сходится при любом а > 1, как и в
случае квадратично-иррациональных а.
4.12. а) Как и при решении задачи 4.11, рассмотрим ряд более
общего вида — Σ п/(2лР{п)), где непрерывная 2л"-периодическая
функция / такова, что /(0) = 0, \f{k)\ ^ * (а > 0), а Р — веществен-
ный многочлен, причём его старший коэффициент а — нелиувиллево
число (см. 1.3.13). Положим Sn = Σ /(2я"Р(и)). С помощью пре-
образования Абеля представим частичную сумму исследуемого ряда
в виде
„ /{2лР(п)) _ Sn у. Sh
, ί-< η Ν "*" ^ η(η+1)'
Достаточно доказать, что \S^\ ^ const · Ν1-Δ для некоторого Δ > 0.
Ясно, что
\Sn\ = |Σ /(*) Σ е^Пп)\ ^ Σ ^ ШкР)\,
где Wдr(^P) = Σ e2jTlkP(n) — сумма Вейля, соответствующая
многочлену кР (см. задачу IV.6.23). Так как \W^(—kP)\ = \W^(kP)\

540 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
и |Wiv(*P)| ^ΛΤ,το
\SN\^2Zrb\WN(kP)\^2 Σ vb\WN(kP)\ + lN^b (*)
(выбор малого положительного параметра Ъ уточним позже).
По предположению старший коэффициент а многочлена Ρ — не-
лиувиллево число: существуют такие числа δ £ (0, 1) и σ ^ 2, что
\а ~ f I ^ ~ для всех ДР°бей f· Поэтому старший коэффициент ка
многочлена к Ρ также плохо приближается дробями: \ка - || ^ -^»
где S=-f—^. Воспользуемся неравенством (1) из решения
задачи IV.6.23 в):
ШкР)\ < 1м(Щ)в = ш(^^)в9 0>о.
Подставив эту оценку в (*), мы видим, что
Если я ^ 0(σ — 1), то отсюда сразу следует требуемая оценка
S# — 0(Nl~A) с некоторым Δ > 0. Если же а < θ(σ — 1), то
|5„| < с(1^)θΝ1-θ+ΗΘ(σ-1)-α) + lN\-ab
Взяв параметр Ь достаточно малым, получим нужную оценку для S^.
В заключение отметим, что приведенное решение дает
оценку (с точностью до логарифмического множителя) 5дг = 0(Ν1_Δ)
с Δ = min{0, ^τγ}· ДЛЯ a — "Τ^ϊ очевидно, σ = 2. Поскольку 0 = i
при σ—m — l (см. решение задачи IV.6.23b)), мы получаем
Δ = min{ 2» fl }. Нетрудно проверить, что для f{x)= у/со$(2лх) спра-
ведлива оценка /(к) = 0(\к\~з),и поэтому можно взять а = А. Таким
образом, Δ = i. Следовательно, ряд ]Р ^Jcos(n\/2n2) сходится при
Р> I·
б) Ряд 2^(—ν й— можно исследовать аналогично, даже
не предполагая, что /(0) = 0, так как функцию / можно
заменить на /—/(0). При этом сумма W^(kP) заменяется суммой

И РЕШЕНИЯ · § 4. Ряд и преобразование Фурье 541
Σ (-\)пе2л1кР^п\ которая есть не что иное, как сумма Вейля для
полинома кР{х) + |.
Для функции f{x) = |sin(2jr;c)| несложно получить оценку f{k) =
= 0(к~2), что позволяет считать а — \. Кроме того, θ = I при а = -4=
и т = 3. Поэтому Δ = g. Следовательно, ряд Σ J |sin(jr\/2n3) |
сходится при ρ > |.
Те же рассуждения с использованием результата задачи VIII. 1.7
показывают, что ряды
Е\/софй) γ-л ^,, |sin(tf/i3a)|
J? и Z^l"1) 55
сходятся для почти всех а е К. при ρ > | и ρ > | соответственно. Из
теоремы Рота (см. указание к задаче 1.3.12) следует, что это верно для
любого иррационального алгебраического числа σ.
4.13. Докажите, что локальные максимумы функции Sn на
промежутке [0, л] убывают при удалении от начала координат. По поводу
положительности Sn см. IV6.8.
4.14. См. [Лу].
а) Представим п-ю частичную сумму ряда Фурье Sn(f,x) с
помощью ядра Дирихле и заметим, что
Sn(f,0) = O(l) + fff(y)s^dy =
k^l 0
Считая, что η = тщт, получаем
(ккк+п)л
S-(/.0) = O(l) + ^E h i (l-cosf)f +
к>\ J
k±m \ккк-п\л 2лттШ
+ Λτ ί (1-cosOt·
лтт J v ' t
О
Поскольку при к φ т
f (l-cos0f^21n »+ ^21пЗ,
J ' [A* -m'""' |

542 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
мы видим, что
2ятт'"
Sli(/>0) = O(l) + 5L j di = 0(1) + ^,
1
откуда, очевидно, следует расходимость рада Фурье при χ = 0.
Расходимость рада Фурье в точке χ = л доказывается аналогично.
б) Убедитесь, что при η = тт'" справедливо равенство Sn{g, α) =
= 0(1) + -^ cos па, и воспользуйтесь результатом задачи 1.6.
4.15. б) => в). Воспользуйтесь тем, что при N > Nq разность
$ν(χ) — $Ν0(Χ) имеет период -~, и поэтому
max \SN(x) - SNo(x)\ = max\SN{x) - SNo(x)\,
если номер Nq достаточно велик.
в) => а). Запишем сумму *S2a^ b виДе
$2ν(χ) = Σ с" cos(2"x + φ„),
где Си = >/а£ + Ь„, φπ Ε [—я, л] при η = 0, 1,..., 27V, и рассмотрим
тригонометрический многочлен
N
RN(x) = n(l+™*(22"x+<P2n))
(произведение Рисса). Легко видеть, что ## имеет вид
RN(x) = 1 + Σ cos(22"x + φ2η) + Σ #* cos(foc + φ*),
где 0! = 02 = #4 = · · · = 02* = · · · = °·
Пользуясь равенствами
я
Γ cos(mx + φ) cos(foc + ψ) dx = 0 при /иД Ε Ζ, |m| ^ |£|
—я
(ортогональность тригонометрической системы), получаем
я
J Sw(x)RN{x)dx
= Σ с2л Г COS2(22"jc+<392n)^=^ Σ \/α2η + *2η ·
OsinsiW ^ 0<η<Ν v

И РЕШЕНИЯ · § 4. Ряд и преобразование Фурье 543
Поэтому
Σ 0*2*1 + 1*2*1)^
0<η<Ν
^ Σ Ja2n+b2n = ir i S2N(x)RN(x)dx^
^ ^ — л
r π
^nS\ RN{x)dx = 2y/2Sy
где S = sup Sm(x) < oo. Таким образом,
xeKmeN
Σ(Μ2πΙ + Ι*2πΙ)^2ν^.
/ι^Ο
Сумма Σ (Iй2n+i I + 1*2/1+11) может быть оценена аналогично, если
вместо многочлена R^ рассмотреть произведение
Ых)= Π (l+cos^+bc+^+l))·
В заключение отметим, что при доказательстве импликации в) => а)
использовалась лишь ограниченность сумм S^(x) сверху. Поэтому рад
Σ {\ап\ + \Ьп\) сходится, если суммы Spj(x) равномерно ограничены
сверху на каком-то непустом интервале.
4.17. Решение этой задачи аналогично решению задачи 4.15. Мы
используем то обстоятельство, что в множестве вещественных
квазитригонометрических многочленов можно ввести скалярное произведение
следующим образом:
[/,g]= lim Uf(x)g(x)dx.
Τ—»+οο ' J
О
Действительно, существование этого предела немедленно вытекает из
очевидного соотношения
ι г ч , ч , I \ при т = η,φ = \Ь,
Ψ cos(2jrmx + φ) cos(2jttu; + щах —> < 1
1 J Г->оо 10 при т^п.
Проверка аксиом скалярного произведения не представляет труда.
Заметим, что при т^п функции со${2лтх + φ) и со${2лпх + Ф)
ортогональны относительно введенного скалярного произведения. Поэтому
Ок_
2
Г-»оо 1 0 при тф т^ (к = 1, .. ., Ν).
±fF(x)cos(2nmx+<p)dx -^ П ПРИ »< = ™Ь φ = φ,

544 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
Рассмотрим такое число г, как в пункте б) задачи 4.16, и построим
соответствующее произведение Рисса
Rn{x)= Π (1 + соь(2лткг+рх + фк + вк)),
где числа 0£, равные 0 или я, выбраны так, что cos(i + 0fc) =
= sign α £ cos Г, anr ^ N. Тогда
£ JF(x)Rn{x)dx = ± (F(x)dx +
О О
7 т
+ ^ signa*r+p£ fF(x) cos(2ятЛг+рдс + д)Лг+р)й?дс + ^ [F[x)Rndx9
1<к<" о О
где Rn — квазитригонометрический многочлен, не содержащий
частот rrij. Следовательно,
[F9R„] = [F91] + Σ siffkakr+p[F9cos{^mk'^k)]-h[F9R„]. (1)
Первое и последнее слагаемые в правой части равенства (1)
равны нулю, а среднее равно ^ Σ \акг+р\- Поэтому (учитывая, что
Rn(x) > 0)
τ
Ι Σ |β*Γ+,|= lim f fF(x)tf„(x)^^M[l,tf„] = M.
Суммируя эти неравенства при ρ = 0, 1, ..., г - 1, мы получаем
Σ \ak\^2rM9 где г = τ(β).
Установленный результат можно найти, например, в [3], с. 393.
4.18. Непосредственным вычислением убедитесь в справедливости
равенства для Т(х) = elkx, \к\ ^ п.
4.19. а) Это частные случаи утверждения б) при Δ = {xq}
и Δ = [-я, я].
б) Легко видеть, что
я
о-„(*)-/(*)= J (/(*+*)-/(*))*»(')*· (*)

И РЕШЕНИЯ · § 4. Рад и преобразование Фурье 545
Поэтому при любом δ G (0, π) и любом χ G Δ справедливо
неравенство
δ
\σ»(χ)-/(χ)\^ω(δ) f <*>n(t)dt+
+^tf J (!/(' +01 +1/WD*.
где ω(δ) = sup |/(jc -hi) — f(x)\ — модуль непрерывности
функции / на Δ. Так как интеграл от ядра Фейера по
промежутку [—я, π] равен 1, то мы имеем
л
\σ„(χ) - f(x)\ ζ ω(δ) + —^j (max |/| + £ f |/(i)| *) .
иsinz - \ Δ ^л J /
2 -я
При δ = l/y/n это даёт
m*x\an(x)-f{x)\ ^ω(η-ι^)+0(η-1^) —> 0.
Утверждения а), б) принадлежат Фейеру.
в) Запишем равенство (*) в виде
л
an{x)-f(x)=f(f(x+t)-2f{x)+f(x-t))<bn{t)dt. (**)
0
Из существования односторонних производных следует, что
f(x+t)-2f(x)+f{x-t) = (f'+{x)-f'_{x))t + o(t) при г^+0.
Заменив справа t на 2 sin ^ и подставив в равенство (**), получим:
„ / ч /+(*)-/' (*) Τ sin2 ξ/ ι Лг sin2 ξ/
lnnV "V J J К )) я1п„ j shr ^jrlnnj v ; sin^
0 2 0 2
В силу результата задачи IV.6.11 первое слагаемое в правой части
/'+(*)-/'-(*) 0
стремится к - . Нетрудно проверить, что второе слагаемое
бесконечно мало.
г) С помощью неравенства |<р(&)| ^ ^гЦфЦь применённого к
функции φ = / — ση, убедитесь, что при к ф 0 коэффициенты Фурье
функции / равны нулю.

546 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
4.20. а) Пользуясь формулой (*) из решения задачи 4.19, докажите,
что
71 sin2 n-t πη/2 ·>
|/(*)-σ„(Λ)Κ^j·-^^ j яиЛ,
О О
где L — постоянная Липшица для /.
Заметим, что полученная оценка не улучшаема по порядку. В этом
можно убедиться, рассмотрев ση(0) для функции f(x) = |лс|а (|лс| ^ л).
б) Воспользуйтесь утверждением а) и экстремальным свойством
частичных сумм ряда Фурье в «2?2.
в) Положим <Рп(х) = f(x) - ση(χ). Ясно, что п-я частичная сумма
$п(я>п) ряда Фурье этой функции равна Sn — ση. Оценивая φη с
помощью результата пункта а), получаем:
II/ - 5и||оо = II/ - ση +σ„ - 5π||οο ^ ||^Λ||οο + Н^ЫНоо ^
( лг \sm(n+±)t ι \ /ι \
<\\ъ\\»{1+!\-тЦ-\л) = °№)
(в конце мы воспользовалить результатом задачи IV.6.11). Полученная
оценка точна по порядку (см. [3], с. ПО, 496).
4.21. а) См. решение задачи 4.20 а) при а = 1. Получающийся
при этом интеграл допускает оценку 0(\пп). Легко видеть, что
МО) ~ ^\пп для функции f(x) = \х\ (\х\ ^ л).
б) Приём, использованный при решении задачи 4.20 б) (т. е. при
а < 1), даёт завышенную оценку. Здесь нам потребуются другие
соображения (они дают результат и при а < 1). Из равенства Парсеваля
вытекает полезное тождество (h e Ж)
π
5? ί \f(t+h)-f(t-h)\2dt = 4j2 \f(k)\2 sin2 kh.
l„ kez
Так как \f(t + h) — f(t — h)\^ 2L\h\, то при /i=y мы имеем
Сохраним в правой части этого неравенства лишь слагаемые,
соответствующие тем &, для которых n2J~2 < \к\ ^ n2J~l. Для них

И РЕШЕНИЯ · § 4. Ряд и преобразование Фурье 547
sin2 Ц^т ^ ^, и поэтому
Щ > Σ 1/(*)12·
Осталось просуммировать эти неравенства при j ^ 2:
11«п-/|Ц = 2яЕ |/(*)l2 = o(n-2).
|*|>и
в) Как и в пункте б), решение, использованное при а < 1 (см.
задачу 4.20в)), приводит к завышенной оценке. Для доказательства
нужного неравенства воспользуемся формулой
Sn(x)-/(x) = J(/(x + f)-2/(x) + /(x-0)!^^*·
о 2
С помощью результата задачи 4.5 б) можно упростить правую часть
этого равенства:
о
где φχ (t) = f(x +1) — 2f(x) + f(x — t). Используя тот же прием, что
и при решении задачи 4.5 б), преобразуем правую часть с помощью
подстановки t н-> t + ~. Тогда
—я/и
Сложив два последних равенства, мы получим
2|5п(/,л)-/(х)К1/|^)-^|Л + 0(1).
о
Так как |^у^| ^ 2L и \φχ(ή -φχ(t + |)| < 2L| для всех д: и ί, то
подьштегральная функция не превосходит
Поэтому

548 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
4.22. Пользуясь неравенством Коши—Буняковского и утверждением
задачи 4.206), докажите, что
Ε ι/(»)ΐ = ο(2(Η)*).
2*<Н^2*+1
Такое же рассуждение, но с использованием неравенства Гёльдера
вместо неравенства Коши—Буняковского, показывает, что если
/ е Lipa и —Ц- < р, то сходится ряд Σ \f{k)\p (см. [3], с. 387).
4.23. Воспользуемся неравенствами Фп(у) ^ ^ и Фп(у) ^ у-^'·
π π
M*)l< f\f{x+y)\<bn(y)dy^% f\f(x+y)\mm{%, -^}dy =
—π —π
π / οο \
-f/|/(*+y)|( S Vdy-
—π тах{л/п,\у\}
Поменяв порядок интегрирования, мы получим
оо
M*)K£j( j \f{*+y)\dy)f^
π/η |y|<min{f,tf}
ζ я- j ЪМ{х) f = 2М(х).
π/η
Для построения контрпримера рассмотрите функцию
( —-Ц7 при 0 < χ < ^,
0 при j < χ < 2х
7* ^*. ./V ^»» Z,JT
и убедитесь, что при достаточно больших пи χ £ (^, ^γ) справедливо
неравенство ση(/,χ) > . ., где 5 > 0 — абсолютная постоянная.
4.24. а) Для доказательства включения /" е 5^ (0, 2π)
воспользуйтесь результатом задачи IV.6.20.
б) Воспользуйтесь равенством
max|/(*)-S„(*)| = E ^·
х к>п К lIUC

И РЕШЕНИЯ · § 4. Ряд и преобразование Фурье 549
в) Чтобы оценить En(f) снизу, воспользуйтесь неравенством
π
max|/(x) - Г(дс)| > j* Ф„(х)\/(х) - T(x)\dx >
—π
π
> I j Φ„(χ)(/(χ) -T(x))ei(2"+l> dx\
—π
и оцените снизу его правую часть, учитывая, что степень Τ не
превосходит п, и поэтому тригонометрические многочлены Фп(х)
и Т(х)е1(2п+^х ортогональны.
4.25. Проведите доказательство по индукции.
4.26. Утверждение очевидно при N = 0, 1. Допустим, что
неравенства верны для N <2т при некотором т Ε N, и убедимся, что они
верны и при 2т ^ N < 2m+l. Заметим прежде всего, что R^(Pn) = Рп
и RN{Qn) = βη при η ^ т, а в этом случае справедливость
доказываемых неравенств следует из результата задачи 4.25 в). Проверьте, что
при т + 2 ^ η
Поэтому достаточно оценить R^(Pm+\) и #/v(£Wl)· Ясно, что
RN(Pm+\)(z) = ^ιιι(ζ) + Z2mRM(Qm)(z),
где Μ = Ν — 2т. Если М < 2W_1 ^ у, то, используя индукционное
предположение, мы получаем, что
\RM(Qm)(z)\<lOy/M^WyJ%,
и поэтому
\RN(Pm+l)(z)\ ^ \Pm(z)\ + \0^^V2N+ Юд/f ζ Hh/Jv.
Если же М ^ 2W_1, то
^Λί^)(ζ) = Ρ^-ι(ζ)+ζ2"_1^(β^-ι)(ζ),
где L = Μ - 2т~1 ^2т~1. Поэтому
\RN(Pm+l){z)\ ζ \Pm(z)\ + \RM(Qm)(z)\ ζ
< |PM(z)| + |Pm_i(z)| + |*l(G«-i)(z)| < 2— + 21 + 10VL *S
< V2N + ^ + lOy^f ^ 10v^.
Полином RN(Qm+i) оценивается аналогично.

550 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
Эта оценка не улучшаема по порядку:
max \RN(Pn)(z)\ > Vn при Ν < 2",
\ζ\=\
так как для любого алгебраического многочлена с коэффициентами,
равными ± 1, справедливо неравенство
2π
max \P(Z)\ > NL J" |Р (е*)\2άθ = y/l+degP.
\ о
4.27. Рассмотрите последовательность {ε*}*^ο> члены которой при
к < 2" совпадают с коэффициентами полинома Рп из задачи 4.25.
Для доказательства неравенства а) воспользуйтесь результатом
задачи 4.26. Для доказательства неравенства б) используйте соотношения
2π 2π
2я(т + 1)= (\Sm(9)\2d9^ max \Sm(9)\ Г \Sm(9)\d9.
0 0
4.28. Рассмотрите рад ]ζ *2 elkG, где последовательность {ε^}
k^2Vkln k
определена в указании к задаче 4.27. Для доказательства равномерной
сходимости ряда воспользуйтесь преобразованием Абеля.
4.29. а), б) Используйте преобразование Абеля.
в) Пусть /(0) = S#(0) + Rn(9)9 где S#(0) — N-я частичная сумма
рада, определяющего функцию /. Тогда
1/(0) -/(0')Ι ^ \εΝ{θ) - sw(0')l +№ν№\ +IW)I ·
Взяв N = [ _ ], оцените остаток R^ с помощью утверждения б).
Для оценки разности 5дг(0) — 5дг(0') воспользуйтесь неравенством
\SN{6) - SN{&)\ ^ \θ - θ*\ max \SfN{x)\ и утверждением а).
4.30. Используйте результаты задач 4.27 и 4.29 в) при а = А.
4.31. а) Используйте равенство
π
h(n) = ton ^ Γ Sk(x)Sk(x)e-inx dx ,
к—»oo ^ J
—л
где Sfr, Sk — &-e частичные суммы радов Фурье функций / и g
соответственно. Предварительно докажите, что \\h — 5*5*111 —> 0 (см.
задачу 2.26)).

И РЕШЕНИЯ · § 4. Ряд и преобразование Фурье 551
Σί
ητ и используйте утвер-
ждение а).
4.32. Используйте равенство /(и) = / (—и) (п е Ζ).
4.33. Ясно, что |F£(x)| ^Σ Ι/*(*)Ι»φ(-εΣ l/j(*)l)· Поэтому
утверждение а) вытекает из результата задачи IV.2.13b). Для
доказательства б) убедитесь, что
Fe(nq)-aq = ± Г (Fe(x)-Efk(x))e-in"xdx.
С помощью результата задачи 4.31 б) выведите отсюда, что
Fe{nq) - ач = ± Г Е/П*)(ехр(-еЕМ*))-1У'',''ДГ^·
Так как Re й,- > 0, то
\F£(nq) - αη\ ^ ^ ] El/*(*)lElty*)l<** =
= έΣΣ ί |/*мнм*)1^·
Остаётся применить неравенство Коши—Буняковского.
4.34. Воспользуйтесь неравенством
π я
Г Ι Σ CjeinJx\dx^e\ Г ( Σ CjeinJx)Fe(x)dx
где ε — достаточно малое положительное число, F£ — функция,
построенная в предыдущей задаче са/ = !рт (j = 1, 2,..., т).
J \Cj\
Неравенство задачи 4.34 в частном случае, когда с\ = с 2 = . ·. =
= ст = 1, было высказано Дж. Литтлвудом в виде гипотезы. Оно было
доказано почти полвека спустя в [Ко] и одновременно в [MGPS].
Приведённые здесь решения задач 4.33, 4.34 — это предложенные
С.А.Виноградовым упрощения рассуждений из [MGPS]. Дальнейшее развитие
эти идеи получили в работе [Наз], где, в частности, установлен аналог
неравенства 4.34 для квазитригонометрических многочленов.

552 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
4.35. а) Убедитесь, что функция fc (s) является решением
дифференциального уравнения y'(s) + csy(s) = 0.
в) Найдите преобразование Фурье функции е~с^ и воспользуйтесь
теоремой обращения для вычисления fc.
4.36. Используя η-кратное интегрирование по частям, докажите, что
+оо
—оо
Для вычисления последнего интеграла примените результат
задачи 4.35 а).
4.37. Воспользуйтесь тем, что преобразование Фурье свёртки
суммируемых функций равно произведению их преобразований Фурье.
4.39. Так как σ (| + ή = \ + σ(ή при 0 ^ t ^ i, то
1/3 1
a(s) = j e~istda(t) + j e~ist da{t) =
0 2/3
1/3 1/3 1/3
- j e-istda(t)+ j e-iSv+*)da{t) = (1+<Г2"/3) j e-istda(t).
0 0 0
Используя индукцию, покажите, что
3-я
*(s) = ( Π (ΐ +έΤ2"/3*)) J e~istda{t).
Выведите отсюда, что σ($) = е-'5/2 fl cos ^-. Из этого равенства
видно, что при любом п G N
\σ(2π3")\ = \Υ\™*ψϊΟ.
4.40. а) Записав σ\(χ) в виде повторного интеграла
1 x-t
σ\(χ) = J( J </σ($))</σ(ί),
о о
мы видим, что σι (χ) = μ({($, ί) G [0, Ι]2 | 5 + ί ^ χ}), где μ — квадрат
меры, порождённой функцией Кантора σ. Поэтому σ\(χ) — <г\(у) =
= μ(Εχ,γ) при у<х, где Ех%у = ({(*, t) G [0, Ι]2 | у < s +ί^ χ}),

И РЕШЕНИЯ · § 4. Ряд и преобразование Фурье 553
и неравенство &\{у) < &\(х) означает, что мера μ{Εχ^)
положительна. Так как в точках канторова множества С функция σ возрастает
(см. Ш.3.17 6)), то μ(β) > 0 для любого квадрата с центром в точке
из С2. Остаётся заметить, что при у < χ множество Ех>у содержит
такой квадрат (см. 1.1.306)).
б) Убедитесь, что S\(s) = (S(s)) , и воспользуйтесь результатом
предыдущей задачи.
4.41. а) Воспользуйтесь тем, что в двоичном разложении достаточно
близких чисел первые знаки совпадают.
б) Изучите интервалы постоянства функции g и найдите меру их
объединения.
в) Используйте тот же приём, что и при решении задачи 4.39.
г) Изучите преобразование Фурье меры, соответствующей функции
+оо
h(x)= j g(x-t)dg(2t) (xeR).
—oo
4.42. Решение аналогично решению задачи 4.41.
4.43. Докажите, что
+оо
μ(5) = j e-iudFs(u)y
— oo
где^(и) =μ({ί eRm\(s,t) ζ u}) (и G Щ.
4.44. Пусть μ — мера, удовлетворяющая условиям задачи. Тогда
μ = μ\ х μ2, где μ\, μ2 — борелевские вероятностные меры на
подпространствах L и Μ = ζΑ соответственно. Ввиду инвариантности меры μ
относительно вращения мы видим, что μ($) = fi(\\s \\а), где а —
произвольный нормированный вектор. Инвариантность меры μ
относительно ортогональных преобразований влечёт, что меры μ\ и μ2 также
инвариантны относительно таких преобразований (в L и Μ
соответственно). Поэтому μχ{ιι) =fi\{\\u\\u0), μ2{ν) =μ2(\\ν\\ν0), где ueL,veM,
auo,VQ — произвольные нормированные векторы из подпространств L
и Μ соответственно. С помощью теоремы Фубини мы получаем, что
μ (и + ν) =μ\{ιήμ2(υ)> гДе u e L, ν £ Μ .
Поскольку IIм + ν\\ = νΊΜΙ2 + \\υ\\2> отсюда следует равенство
μ(ν\\42 + Η\2α) =μι(\\Φο)-μ(\\υ\\ν0). (1)

554 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
Пусть φ(ί) = μ(ία) при t > 0. Полагая поочерёдно в (1) и = 0им = 0,
мы видим, что
ф(||и||)=ЖИ1«)=Д1(Ци||ио), φ(\\ν\\)=μ(\\ν\\α)=μ2(Η\υ0).
Таким образом, равенство (1) влечёт, что
^( ν г\ + г\ ) = ^('1 )Я>{г2) ПРИ любых t\,t2^ 0.
Пользуясь результатом задачи Ш.5.9, мы находим функцию φ:
<p(t) = e~ct при t ^ 0 и некотором сеМ. Итак, Ji(s) = e~cWsW ,
причем с ^ 0, поскольку \p(s)\ ^ 1. Если с = 0, то μ — единичная
нагрузка, сосредоточенная в начале координат. Случай с > 0 соответствует
гауссовской мере с плотностью (4лс)~т^2е~^ f^c\
4.45. С помощью индукции по т несложно доказать равенство
для симплекса Wq = {χ G Μ.™ \ χ\ +... +xm ^ 1} (легко видеть, что
Произвольный симплекс W можно получить из Wq с
помощью аффинного преобразования 11—> vq + L(i), где L —
подходящее линейное отображение в Ш.т. Так как Xm{W) = |detL|Aw(Wo), то
|detL| = m\Xm{W). Поэтому после замены переменной t \-> vq + L(t)
мы получим
Xw(s) = ί e-^^dt = m\Xm{W)e-^s^ j e'^^^dt =
w w0
= mlXm(W)e-*-»o)xWo(s*),
где 5* = L*(s), L* — сопряжённое к L отображение. Остаётся
применить уже установленную для xw формулу.
4.46. Легко видеть, что X0(s) = 4-j-^--j--^. Поэтому χ0 G £P(R2)
для любого р > 1 и вдоль любого луча (за очевидным исключением)
Xq(s)=0(\\s\\-2).
Это утверждение сохранится, если квадрат Q заменить
произвольным многоугольником (достаточно рассмотреть случай, когда Q —
треугольник, и воспользоваться формулой задачи 4.45). При этом
преобразование Фурье убывает медленнее ||s||~2 лишь вдоль лучей,
перпендикулярных сторонам многоугольника.
Для нахождения асимптотики интеграла /# оцените его сверху
и снизу, заменяя круг на соответствующие квадраты. Возникающие
при этом интегралы рассмотрены в задаче VI. 1.13 в).

И РЕШЕНИЯ · § 4. Ряд и преобразование Фурье 555
4.47. а), б) Функция χΒ может быть выражена через функцию Бес-
ля
π/2
•Л (0 = F I c^s(i S111 φ) COS2 φ ύ?φ
о
следующим образом:
XB(s)= ( e~i(<s^dt = jj e-/IMI||iAi1Ai2 =
1И1<1 н|<1
1 я/2
= 4 Г w 1 — M^cos(||s||Mi)<iMi =4 | cos(||s|| sin</))cos2(y>f/</> =
О О
Асимптотика J\ рассмотрена в задаче VI. 1.15. Мы имеем
**(*) = pS (sin||5|| -cos||5||) +0(||ί||-5/2). (*)
Таким образом, вдоль «большинства» лучей преобразование Фурье
характеристической функции круга убывает на бесконечности
существенно медленнее, чем преобразование Фурье характеристической
функции квадрата (или любого многоугольника), и только вдоль
исключительных направлений функция χ0 убывает медленнее, чем χβ.
Из формулы (*) следует, что χΒ е Jgp(R2) лишь при ρ > | и
Поэтому (см. задачу VI. 1.19а)) У# ~ \6\fbrR.
В определённом смысле круг экстремален: известно [По], что для
любого выпуклого плоского компакта К функция χκ принадлежит
классу £P(R2) при ρ > |. В этом смысле можно сказать, что круг
имеет характеристическую функцию с предельно плохим
преобразованием Фурье.
4.48. Рассмотрим многочлены
Τν(χ)= Σ £sfo«* = i Σ -neinx-

556 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
Они ограничены на R абсолютной постоянной (см. задачу IV.6.15a)
или 4.13), а их проекции на (я, +оо) сколь угодно велики:
m™\P(a,oo)(TN',x)\ > \Ρ{α,οο)(ΤΝ\0)\ = з Σ £ —> 00,
что несовместимо с ограниченностью проектора.
4.49. См. [3], с. 125. Разложив функцию | sini| в рад Фурье, получим
ι „:n t\ _ 2 _ ± у^ cos2kt _ 4 V^ l-cos2fo _ 8. y^ sin2 kt
к>\ 4* 1 к>\ 4* 1 к>\ 4* 1
Поэтому
ι(*+Ι)«ι
π/2
Γ \Sm^N+2)u\, 32 γ^ 1 Γ sin2(2N+\)kv
J \ sin* Ι я ~, 4*2-1 J sin υ
*>* Ο
Остаётся воспользоваться тождеством
5Щ2-™ = sin υ + sin 3ν + ... + sin(2/w - 1)υ .
sin υ ν '
4.50. Пусть Ω = [Ι,Ν], где Ν — большое натуральное число.
Тогда 11 Ρω || x In N. Убедимся в том, что для некоторого подмножества
Ωο С Ω выполняется неравенство \\Pq0\\ ^ соу^ (со > О —
абсолютная постоянная). Из результата задачи 3.28 а) следует, что
π
Г Ι Σ ±einx\dx>cy/N
для некоторой расстановки знаков. Пусть Ω+ — те номера
η = 1, 2,..., Ν, которым соответствует знак «+», а Ω_ — знак «—».
Так как
я π π
f ИР е/лхЛс + [Σ einx\dx> Γ Σ ±eH<fjc2>c>/tf,
то хотя бы один из интегралов в левой части неравенства не
меньше §λ/Ν· Следовательно, в качестве Ωο можно взять одно из
множеств Ω±.
4.51. Примените неравенство задачи 4.34 при m = N и с\ =
= ... = ст = 1.
4.52. Чтобы доказать неограниченность проектора на
полуплоскость, рассмотрите его действие на многочлен, зависящий лишь от

И РЕШЕНИЯ · § 4. Ряд и преобразование Фурье 557
одной переменной, и воспользуйтесь результатом задачи 4.48.
Проектор на полосу Ω& ограничен, так как
* Sin((tf+±)(ii-;y))
рпАт>х>у) = ь; τ(χ>υ) ——у dv*
Δ7ΐ J Sill —r^-
—π λ
где N = [Δ] — целая часть числа Δ.
4.53. См. [Б]. Сначала для лучшего понимания дальнейших
рассуждений отметим принципиальное различие между полосой с
рациональным коэффициентом наклона а и полосой, коэффициент наклона
которой иррационален. Именно это различие порождает обсуждаемый
эффект. В случае рационального коэффициента наклона для любой
прямой L с Ш2 справедлива альтернатива: либо L с Ω, либо
множество L Π Ω содержит ограниченное число целочисленных точек
(верхняя граница зависит только от Ω). Если же а £ Q, то ситуация иная:
можно провести такую прямую L, L (£_ Ω, что множество L П Ω будет
содержать сколь угодно большую серию целочисленных точек,
координаты которых образуют арифметическую прогрессию.
Рассмотрим теперь проектор на полосу с рациональным
коэффициентом наклона. Пусть а — ^, где peZ, qeN, puq взаимно простые.
Подберём такие целые числа ро и q$, что рро + qqo = 1.
Целочисленная матрица I q\ задаёт линейное отображение, которое
биективно отображает 1? на себя (так как определитель матрицы равен
единице, то обратная матрица целочисленная). Сделаем замену
(л7 = пр- mq, \х' = хр0 - yq0,
rn' = nq0 + mpo, \у' = xq + у p.
Тогда
Цх,у)= Σ сп,те^+тУ) = Σ c'n,m,ei("'x'+'n'y') = T'(x',y')
n,meZ rt',m'eZ
(здесь c'n^m, =cn*po+miqtmip-niqo). Так как неравенство \т - ап\ ^Δ
равносильно неравенству \п'\ ^ qA, то в новых координатах проектор
Ρq записывается следующим образом:
Рп(Т;х,у)= Σ c^^V/).
n\m'eZ
Проектор на горизонтальную полосу ограничен (см. задачу 4.52), и
поэтому Ρ Q — ограниченный проектор.

558 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
Пусть теперь а £ Q. Подберём такую несократимую дробь ^ что
\а — η | ^ Я~2 (см· задачу 1.3.1). Пусть L — прямая, проходящая
через точки (0,0) и (q, ρ). Так как ρ и q взаимно просты, то все
целочисленные точки на L имеют вид (kq, к ρ), к Ε Ζ. Ясно, что
Ω П L = {(kq, к ρ) | к G Ζ, \к\ ^ Ν} при некотором N > 0. Покажем,
что Ν ^ #Δ. Для этого представим число а в виде я = £ + -^,|0|^1.
При |&| ίξ qA имеем
\кр-акд\ = \к\\р-($ + £)1
т. е. (kq, к ρ) Ε Ω Π L для таких к.
Рассмотрим действие проектора Pq на многочлены Г, у которых
коэффициенты сп>т равны нулю при (и, /я) £ L, т. е. на многочлены
Т(х9у) = Σ аке1к^х+РУ\ Ясно, что
м«н4д.
Ра(Т;х9у)= Σ аке*Ь*+РУ).
kez
Так как в одномерном случае норма проектора на промежуток [—N9 N]
не меньше const In TV, то, допустив ограниченность проектора Pq, мы
получили бы, что ||ΡωΙΙ ^ const In TV ^ const ln(gA). Но это
невозможно, поскольку q принимает сколь угодно большие значения.
Следовательно, проектор на полосу с иррациональным коэффициентом
наклона неограничен.
4.54. Решение аналогично решению задачи 4.50, если заметить, что
результат задачи 3.28 а) без изменений переносится на
тригонометрические многочлены от двух переменных.
4.55. Надо оценить SE\ -нормы ядер Дирихле, соответствующих
квадрату [-R, R]2 и кругу B(R). С квадратом всё просто, так как в этом
случае ядро Дирихле распадается на произведение классических
одномерных ядер Дирихле, и поэтому норма \\P\R Rrz\\ равна квадрату
норм одномерных проекторов на [—Ν, Ν] (здесь N = [R]):
-*,«Н1 = ± /J Σ e-i{"U+mV)
4Я Г 12 М,Н<#
i(AM-i)«
dudv
ΛπΛ J
du) ~4ln27V~ 4 In2 Д.

И РЕШЕНИЯ · § 4. Ряд и преобразование Фурье 559
Ядро Дирихле, соответствующее кругу B(R), оценивается
значительно сложнее [АИН], так как для него нет удобного
аналитического выражения. Исследуя £>#(#) (и, v), мы заменим двойную сумму на
двойной интеграл по некоторому множеству Τ(R), «близкому» к
кругу B(R). Для этого применим приём, уже использовавшийся при
решении задачи IV.6.22: так как
*+1/2
Г е-ЬУау,
-ikx __ */2
sin(jc/2)
А: —1/2
ТО
e-i{n«+mv) = ^2^/2 rre-i{us+vt)dsdt
sin(u/2) sin(u/2) J J
где 2n,w — единичный квадрат с центром в точке (и, /я). Тогда,
положив T(R) = (J Qn,m, мы получим
(n,m)£B(R)
.μ {п,т)еВ(Е)
dudv —
-π,πγ
Хл2 J J I sin(n/2) sin(w/2) J J
4я2
[-я,я]2 Г(Л)
dwdi; .
Множитель, стоящий перед внутренним интегралом, не играет
существенной роли, так как его значения заключены между 1 и j.
Следовательно, ||Ρβ(κ)|| χ /я, где
Ir= jj \xT{R)(u,v)\dudv.
[—π,π]2
Сравним этот интеграл с «похожим» интегралом
Jr= jj \xB{R)(uyv)\dudv.
[—π,π]2
Для этого рассмотрим функцию χ — XB(R\ ~ %t(RY Ясно, что Д1151 лю~
бого г > О справедлива оценка
\\х\\&(в(г)) ^ rV^ ΙΙ2ΙΙ^2(β(Γ)) ^ г у/л \Ш&(ж2).

560 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
Так как Ц/Ц^шг) = 2лг||/||^2/К2\ для любой функции / из J^2(M2), то
Ш&(В(г)) < 2jTrV^\\x\\^2(R2) =
= brr^(j j\xB(R)-XT(R)\dh) ^c0rVR. (*)
Μ2
В частности, \\χ\\&({-π,π}2) < \\х\\&(в{2л)) = °{^)> и поэтому
\!r-jr\^ jj \Xb(R)(u>v) -XnR)(u*v)\dudv = 0(y/R).
{-π,π}2
Отсюда следует оценка сверху
Ir=Jr + o{y/R) < J"J" \xB{R)(u> v)\dudv + 0(VR) =
у/и2+у2^2я
= Я |χβ(1)(χ^)|^^ + 0(ν^) = 0(>/^)
(в конце мы воспользовались результатом задачи 4.47 6)).
Для получения оценки снизу зафиксируем малый радиус г,
0 < г < л, величину которого уточним позже, и уменьшим
интеграл /#, заменив в нём квадрат [-л, л]2 кругом В (г). Тогда из
неравенства (*) следует
h ^ jj \xT^(u,v)\dudv ^ Г Г |%я(д)(и, v)\dudv - c0ry/R =
yju2+v2^r y/u2+v2^r
= jj \xB(\)(x*y)\dxdy~cor^-
y/x2+y2^rR
Опять используя результат задачи 4.47 6), мы получаем, что с
некоторой абсолютной константой С > 0 выполняется неравенство
/# ^ Су/Tr — согу/R. Поэтому при г ^ (^~) имеем /# ^ ^\frR.
Итак, /# ж \/# и, следовательно, Ц/^/мЦ х л/Я.
Насколько нам известно, вопрос об асимптотике норм ||fV#)|| при
R —> +оо не исследован полностью до сих пор. В частности, не
известно даже, существует ли предел отношения \\Pb(r)\\/^ пРи Я —> оо.
4.56. По поводу задач 4.56 и 4.57 см. [F]. Заметим сначала, что из
оо
сходимости интеграла Г ^ψ- dt вытекает ограниченность частичных
0

И РЕШЕНИЯ · § 4. Ряд и преобразование Фурье 561
интегралов (ψώ (легко видеть, что наибольшее значение дости-
0
гается при Τ = л). Отсюда сразу следует, что для всех вещественных
А, В и R > 0 справедливо неравенство
R
jeiBt«n&ldt
-R
^ 2л.
(*)
Так как разность . ,* - 2 ограничена на любом промежутке [—R9 R]
при R е (0, 2л), то
R
CeiBt$!JgLdt
J sin(//2)
-R
^cR
для таких R. Полученные два неравенства позволяют существенно
упростить формулу для SNtM(fv;x,y) — мы можем заменить ядро
Дирихле более простым выражением. При этом погрешность такой
замены ограничена равномерно относительно Ν, Μ и (х, у), если
точка (х,у) не приближается к границе квадрата (0, 2л)2. Точнее, пусть
Δ ^ лс, у ^ 2л — Δ, где Δ > 0. После несложных преобразований мы
получим
sN.M(fv;x,y) = ± ίί eivuv —* —у dudv =
4πζ J J sin -τ- sin -rr-
[0,2jt]2
i // eivuv
[0,2jt]2
sin(N(u— x)) sin(Μ(v—y)j
v-y
dudv + 0(\)
(здесь и далее константа в 0(1) зависит только от Δ). Те же
соображения показывают, что замена в возникшем интеграле
квадрата [0, 2л}2 на меньший квадрат {(и, ν) \ \и — х\, \ν — у | ^ Δ}
порождает ограниченную погрешность, оценка которой зависит лишь от Δ.
Поэтому
SNM(fv>x>y) =
= e^J еыу™т( | e*W°!^ds)dt + 0(l). (**)

562 IX. Последовательности измеримых функций · УКАЗАНИЯ
а) Из равенства (**) следует, что
S„Mfv;x,y)\ < £ J 1^1 I j e^+'X^cls
-Δ
-Δ
A+ 0(1).
Поэтому, применив неравенство (*), получим
|%*(/*;*,у)|< |J|^| + o(i) =
-Δ
NA
= |/™^ + 0(1)<|1п^ + 0(1).
О
б) Воспользуемся равенством (**), но теперь вместо того, чтобы
оценивать внутренний интеграл (обозначим его J(t)), докажем, что он
мало отличается от числа π, если \t\ ^ Δ. Ясно, что
Δ Δ
j(t) = j eiv^x^s^^-ds = J2cos(v(x +t)s) sinMs ^ =
-Δ Ο
(Λ#+ν(*+/))Δ (a#-v(jc+/))a
/sin ω , Γ sin ω ,
0 0
Так как
J sin φ , π Γ sin φ , Ι Γ sin φ ,
О Л Л
тоУ(г) = я+ ./(*), где
<i·
1Я01 <
1
+
1
£
(Λ#-ν(*+/))Δ (Μ+ν{χ+ή)Α {Μ-2πν)Α
Таким образом,
SNM(fV;x, У) = 5 J е''"*^ ^ + ЛО) Λ + 0(1) =
-Δ
е_!^ j ei»ytmMj(t)dt + 0(l)
-А

И РЕШЕНИЯ · § 4. Ряд и преобразование Фурье 563
(мы воспользовались неравенством (*)). Поэтому
-А
NA
= 4 Г ]sin(pld(D + 0(\) < ± lnN +0(1)
О
в) Оценим снизу \S^tM(fv;x9 у)\ при Ν = [νу] и Μ = [νχ]. Для
этого, ещё раз пользуясь неравенством (*), заменим в равенстве (**)
параметр N на vy, а М — на νχ. Мы получим
Л [-Δ.Δ]*
-Δ 0
Внутренний интеграл равен
0 0 О
В силу неравенства (*) слагаемое ^ даёт ограниченный вклад
в SNtM(fv;x9y), вклад слагаемого О(^) также ограничен. Поскольку
оставшееся третье слагаемое — нечётная (по t) функция, мы имеем
Δ . vtA
о о
vA / \
= _ae^jb£^l(f+0(i)^ + 0(1) =
νΔ
= -^^υ^ ί i^ + 0(l)--^^v^lnv + 0(l).
Таким образом, |S;vfA#(/v;*»:y)| > ^ + 0(1).
4.57. Покажем, что требуемую функцию F можно представить в
виде суммы ряда F(x9y) = Σ у^ е™пХу * если последовательность {vn}

564 X. Итерации преобразований отрезка · УКАЗАНИЯ
достаточно быстро стремится к бесконечности. Ясно, что так
определённая функция F равномерно непрерывна на (0, 2л)2. Оценим
снизу \SN M(F;x,y)\ в произвольной точке (х,у) £ (0, 2л)2 при больших
N = [v^y] и Μ = [ν^χ]. Последовательность {v^} возьмем столь быстро
растущей, что > +оо. Тогда Μ > 4πν^-\ для достаточно
больших номеров к. С помощью результатов задачи 4.56 получаем для
таких к (далее С — положительный коэффициент, зависящий только от χ
и у)
l^n<k n>k
Взяв, например, v^ = ek\ получим
\S[vkyUvkx](^x,y)\ = \SNMF>x>y)\ > J^ + 0(1) - оо.
Глава X
Итерации преобразований отрезка
§ 1. Топологическая динамика
1.1. Индукцией по η докажите, что f(k) ^ п, если к ^ п. В
частности, /(и) ^ п, и поэтому f(n + 1) > f(f(n)) ^ /(и). Таким образом,
/ строго возрастает, из чего легко вывести утверждение задачи.
1.2. а) Докажите, что /(0) = 0, и исследуйте знак f(x) при χ > 0.
б) Докажите, что функция / строго возрастает и inf/ —a G (—оо, 0),
f(a) =0. Зафиксируйте произвольную строго возрастающую функцию
/о £ С ([а, 0]), удовлетворяющую условиям /о(а) = 0, /о(0) = е°1>
и, используя уравнение, продолжите её на R
в) *' Приведём к противоречию предположение, что
некоторая (возможно, разрывная) функция / удовлетворяет равенству
*) Решение предложил А. Мясников.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Топологическая динамика
565
f2{x) — х2 —2 на К. (здесь и далее /2 = / о /). Для этого
рассмотрим функцию f* = f2of2 и множество X всех её
неподвижных точек. Легко видеть, что X = { — 1,2,х\,Х2}, где х\ = —:у—
и Х2 = ~ 2 · Заметим, что /(X) =Х. Действительно, если χ 6 X,
то χ = f4{x), и поэтому f(x)= f(f4(x)) = f4(f(x)). Следовательно,
f(x) — неподвижная точка функции /4, т.е. f(x) EX. Таким образом,
/(X) С X. Обратное включение следует из легко проверяемого
равенства X = f2(X). Итак, сужение функции / на X — биекция и при
этом
/2(-1) = -1. /2(2) = 2, /2(*ι)=*2, /2(*2)=*ι
(так как f2(x) = χ2 — 2). Проверим, что это невозможно. Если
f(x\) = х\, то х\ — неподвижная точка /, и тем более она —
неподвижная точка f2. Но у функции f2(x) = χ2 — 2 есть лишь две
неподвижные точки —1 и 2. Если f(x\) = *2> то
*2=/2(*l) =/(/(*!)) =/(*2b
т.е. Х2 — неподвижная точка /, а это невозможно по той
же причине. Если f(x\) = — 1, то *2 =/2(*ΐ) =/(~1)· Но тогда
f(x2)=f2( — l) = —l=f{x\) — нарушается биективность. Случай
f(x\) =2 рассматривается аналогично.
1.4. Пусть /: X —> X — биекция. Для произвольной точки χ Ε X
положим
х0 =х,
χχ = /(*), Х2 = /(*l)»
Х-1=Г1(х), x_2=/"1(^-l)
и т.д. Обозначим через ОгЬ(лс) множество {^i}igZ и назовём его
орбитой элемента х. Возможны два случая: а) найдётся число η Ε Ν,
для которого Х( φ xq при i = О, ..., η — 1, а хп = xq. В этом случае
Xi =xn+i для любого / Ε Ζ и множество ОгЬ(лс) состоит ровно из η
точек; б) хп φ xq при всех η > 0. Тогда jc,- ^ лсу при всех / φ j; i, j E Ζ,
и множество Orb(jc) бесконечно.
Нетрудно понять, что орбиты двух точек jc и у либо не пересекаются
(если у (fc Orb(jc)), либо совпадают. Таким образом, всё множество X
распадается на попарно непересекающиеся подмножества Ха, каждое

566 X. Итерации преобразовании отрезка · УКАЗАНИЯ
из которых является орбитой любой своей точки и, следовательно,
инвариантно относительно /. Достаточно определить искомые
инволюции (обозначим их h и к) для каждого Ха в отдельности,
выбрав в нём точку xq произвольно. Это можно сделать следующим
образом: для лс,- G Ха = ОгЬ(*о) положим в случае a) h{x{) = jcrt+i_,·,
k(xi) =xn-i\ в случае б) h(x[) =x\_i, k(xi) =x-{.
1.5. Убедитесь, что разность х — f(x) не может сохранять знак,
и воспользуйтесь теоремой Больцано—Коши.
1.6. Докажите монотонность последовательности {хп} и перейдите
к пределу в равенстве xn+l = f(xn). Для убывающей функции
утверждение неверно (например, f(x) = 1 -χ, χ G [0, 1]).
1.7. Отсутствие неподвижной точки влечёт монотонность
последовательности {хп}· Далее — как в предыдущей задаче. В
комплексном случае неподвижной точки может не быть: рассмотрите
отображение /, задаваемое формулой f(z) = (\z\ + \)е1^ (ζ G С).
1.8. Рассмотрите среднее арифметическое образов произвольной
точки относительно всех преобразований группы.
1.13. а), в), д) Подберите линейную функцию h.
б) Пусть h(sinx) = cosh(x), где h: Ш —> Ш. — непрерывная биекция.
Докажите, что Л([—1, 1]) = [—1, 1], и используйте строгую
монотонность h, чтобы получить противоречие.
г) См. указание к пункту б).
1.14. а) Для построения сопрягающего отображения h
воспользуемся методом, намеченным в указании к задаче III. 5.12 (см. также
задачу 1.17). Если сопрягающий гомеоморфизм h: R+ —> R+ существует,
то
h(ta) = (h(t)f при ί>0, (Ι)
откуда следует, что h(l) = 1.
Пусть сначала а > 1. Если h возрастает, то из неравенства
h(ta) > h(t) при г > 1 следует, что β должно быть также больше
единицы. Если h убывает, то к тому же выводу мы приходим, рассмотрев
h(ta) при t G (0, 1). Итак, сопрягающий гомеоморфизм может
существовать лишь при β > 1. Считая, что это так, введем
вспомогательную функцию φ{μ) = \nh(eu) (и G Ш). Из (1) вытекает, что <р(0) =0и
<р(аи)=/3<р(и) (nGR), (2)

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Топологическая динамика
567
откуда сразу следует, что
<р{апи) = βηφ(μ) при любых «gZ(mGM). (2')
Читатель может самостоятельно убедиться, что благодаря
равенствам (2') функция φ полностью определяется своими значениями на
промежутке [1, от]. Построим теперь нечётный возрастающий
гомеоморфизм φ: К ~> R, удовлетворяющий условию (2). Для этого
зададим функцию φ на промежутке [Ι,α] так, чтобы она удовлетворяла
условиям:
φ{\) = 1, φ(α) = β, φ непрерывна и строго возрастает.
После этого, пользуясь соотношением (2'), можно распространить φ
на М+. При этом φ окажется строго возрастающей непрерывной
функцией, причем
lim φ (и) = \ϊπ\φ(αη) = \ιτηβη = +оо,
и—*+оо
lim <р(м) — \ϊτηφ(α~η) = \ϊτηβ~η = 0.
и—»+0
Остается положить <р(0) = 0 и доопределить φ на отрицательной
части вещественной оси нечётным образом. Мы предоставляем
читателю самостоятельно убедиться, что функция h(t) = £>^1п') является
искомой.
Случай 0 < а < 1 сводится к рассмотренному, если в равенстве (1)
положить t = sxfa. Таким образом, функции fa и f β сопряжены тогда
и только тогда, когда (а — 1)08 — 1) > 0.
б) Этот случай исследуется аналогично.
в) В этом случае сопряжённость невозможна, так как характер
монотонности функций fa и gβ различен (см. задачу 1.106)).
1.15. а) Принимая во внимание результаты задач 1.11 и 1.12,
убедимся, что раз точка χ = 0 является точкой минимума и неподвижной
точкой отображения /, то в случае, когда / ~ g, точка χ — — | должна
играть ту же роль по отношению к g, откуда вытекает необходимость
условия Ъ = |(я2 — 2а). В случае выполнения этого равенства g(x)
приобретает вид (х + |) — |, и нетрудно подобрать линейную
функцию, сопрягающую fug.
б) Сравнивая число неподвижных точек у / и g, приходим к выводу,
что если f ~ g, то α>- ^. При всех таких я, отличных от нуля,
для Ъ — 1 ± л/1 +4а (при а = 0 положите Ъ = 0) существует линейная

568 X. Итерации преобразований отрезка · УКАЗАНИЯ
Ах — 2
функция, сопрягающая / и g (h(x) = , 2 ). Заметим, что при этом Ь
может оказаться любым, кроме Ь — 2. При Ь = 2 точка максимума
отображения g является одновременно неподвижной точкой, чего не
бывает у отображения / ни при каком а.
в) Предполагая, что g~gugoh = hog, приходим к заключению
(см. задачу 1.10), что h переводит неподвижные точки отображения g
в неподвижные точки отображения g (т.е. h(0) — 0, h(^) = ^), а
промежутки монотонности для g — в промежутки монотонности для g.
Однако на самом деле g монотонно на [0, i], a g не монотонно на
[0, |] = Л([0, i]). Противоречие.
г) Во-первых, из условия g([0, 1]) С [0, 1] вытекает, что Ъ G [0, 4],
из условия /(Δ) С Δ — что а ^ 2, из условия g(0) = g(\) — что
f(p) = f(q), т.е. ρ — —q, а из условия g(0) = 0 — что р или q —
неподвижная точка /. Кроме того, по тем же причинам, что и в
пункте б), справедливы ограничения: а ^ — 4, Ъ φ 2.
Пусть jq, Х2 (*ι ^ Х2) — корни уравнения 1 — ах = х. Рассмотрим
случаи:
а)ае [-£,0],Δ=[-*ι,*ι]; А) Ъ G [0, 1];
β)αβ[-Ιθ),Α = [-Χ2,χ2}; В) бе [1,2);
у) AG (0,2], Δ = [χι,-χι]; Γ) be (2, 4].
δ) a G(0,2], A=[-x2,x2];
Сравнивая число неподвижных точек у / и g, приходим к выводу,
что если f ~ g, то случай а) несовместим с В) и Г), а случаи β)
и γ) несовместимы с А). Рассуждая по аналогии с пунктом в),
обнаружим также несовместимость γ) с В) и β) с Г). В случае δ)
не выполняется условие /(Δ) С Δ. Отображения / и g,
относящиеся к случаям а) и А) (соответственно β) и В), γ) и Г)),
сопряжены при а = ^b(b — 2). Сопрягающее отображение такое же, как
в пункте б).
1.16. а) Является частным случаем б) при η— 2. Сопрягающее
отображение задаётся формулой h(x) = sin(|;c).
в) Сопрягающее отображение нечетно и при χ > 1 задаётся
формулой h(x) = ch(a(;c - 1)).

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Топологическая динамика
569
1.17. Очевидно, что разности f(x)—x и g(x)—x сохраняют
знак внутри промежутков. Выберем произвольно точки сq G (а\уЬ\)
и do G (ci2, bj). Пусть {сп} и {dn} — их траектории под
действием / и g, т.е. сл+1 =/(с„), dn+i=g(dn) (л Ε Ζ). Эти
последовательности монотонны и сходятся, благодаря
непрерывности / и g, к неподвижным точкам, т.е. к концам промежутков,
когда η —> ±оо. Пусть, для определённости, функции / и g
возрастают.
Определим гомеоморфизм h: [α2» &г] —> [я ι, b\] следующим
образом. Положим h(ci2) =а\9 h{bi) = bj, h(dn) = сп (η Ε Z). На
отрезке [do, <ij] зададим h так, чтобы получить гомеоморфизм этого
промежутка на [cq, с ι], а на остальных промежутках [dn,dn+\] положим
Кх) = /"(*(*-"(*))), где f°(x)=x, f](x)=f(x), fn(x)=f{fn-\x))
при η > 1, fn = (f~n)~ при п < 0. Проверьте, что определение
корректно и что h — гомеоморфизм, сопрягающий / и g.
1.18. Пусть / — гомеоморфизм [а, Ь], а—х^<х\ <... < хп = Ь —
все его неподвижные точки, £;(/*) = sign (/(χ) —χ), где χ —
произвольная точка из (xi-\9 Xi), i = 1,..., п. С помощью результатов
задач 1.11 и 1.12 убедитесь, что если f ~ g, то у них одно и то же
число неподвижных точек, а наборы чисел ε,·(/) и £,·(#) либо
совпадают, либо (в случае убывающей сопрягающей функции) удовлетворяют
соотношению en+\_i(f) = —€i(g)9 i = 1,..., п. Для проверки
достаточности этого условия для топологической сопряжённости / и g
заметьте, что / осуществляет гомеоморфизм каждого отрезка [χ/_ι, χ,·],
/ = 1,...,л, на себя. Если [у1_ь};/] — /-й отрезок,
ограниченный неподвижными точками отображения g, то /|r i~g|r ι
(см. предыдущую задачу). Проверьте, что в случае выполнения
равенства £/(/) = £j(g) сопрягающие отображения hi удовлетворяют
условиям h(yi-.\) =jc,_i, h(yi) =Xi, что позволяет «склеить» из них
сопрягающее отображение, заданное на [я, Ь]. Если εη+\_,·(/) = —£/(#),
то это означает, что сужение g на /-й промежуток (считая от точки а)
сопряжено с сужением / на /-й промежуток, считая от точки Ь, причём
сопрягающий гомеоморфизм меняет ориентацию, что опять
позволяет построить единый сопрягающий гомеоморфизм h на [а, Ь] (причём
h(a) = b,h(b) =a).
1.19. По теореме о монотонной последовательности предел
\\тхп = с существует. Соотношение xn+\=f{xn) ввиду

570 X. Итерации преобразовании отрезка · УКАЗАНИЯ
непрерывности / приводит к равенству f(c) = с. Поведение итераций
иллюстрирует рис. 34.
а)
•У
//
/
1
—^-
*0
Рис. 34
1.20. Для выяснения характера поведения последовательности {хп}
полезно изобразить процесс её построения графически. Для
рассматриваемых функций это сделано на рис. 35—40. В случаях а)-г)
воспользуйтесь задачей 1.19 (случай а) — рис. 35, случай б) — рис. 36,
случай г) — рис. 37). В задаче пункта д) (рис. 38) точка jq,
независимо от положения xq, попадает на промежуток [1, оо), на котором
можно воспользоваться задачей 1.19. В пункте е) (рис. 39) такую же
роль играет промежуток (0, 1].
\У
\\
х? Χι
Рис. 35
*0 2 χ
^г
I
2
У
* Ί ι
#
ι ι '
1 »"
4 х
Рис. 36

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Топологическая динамика
571
ι ^^ <
1 2
Рис.37
3 х
2г ^ s///^\
з
Рис. 38
5 х
О 1 2 3 х
Рис. 40

572 X. Итерации преобразований отрезка · УКАЗАНИЯ
В задаче ж) (рис. 40) проверьте, что единственной
неподвижной точкой является точка х* = у/5 — I. При χ > jc* выполняется
неравенство х* < f2(x) = f(f(x)) < χ, а. при χ < χ* — неравенство
χ < f2(x) < χ*. Поэтому существуют limjt2/i = I и пт*2и+1 = 1\ УД°"
влетворяющие соотношениям f2(l) = /, /2(/') = /', откуда I = I' = χ*.
1.21. Решение этих задач аналогично решению задач 1.20. В
пунктах б)—г) интервал тех значений χ о, при которых имеется сходимость,
имеет вид [—/?, р], где ρ = max(|ii|, |*2|)> а *ь г2 — корни уравнения
В пунктах г), д), з) полезно рассмотреть последовательности {х2п}->
{х2п+\} (см. решение задачи 1.20ж)).
В случае отображения из пункта з) при xq 6 (-4=, -4=)
последовательность {х2п} возрастает; {х2п+\} убывает при п, меньших
по = тт{п | \хп\> -4=}, а для остальных номеров Х2П+\
попадает в один из интервалов (—оо, — 1) или (1, +оо), в
зависимости от чётности по, и, следовательно, предел равен 1 или — 1.
При xq G (—-4=, ~~7ξ) ситуация симметричная. Если |jcq| = -4=,
то х2п = хо, Х2п+\ — ~х0> и предел не существует. Если |jcq| < -4=,
то хп —► 0.
1.22. а)Из соотношения ^-^ ► /'(**) следует, что |jc„. j — jc*|^
Χ—Χ* χ—>χ*
^ сп\х$ —х*\ при с Ε (\f'(x*)\, 1) и jcq, достаточно близком к jc*.
Решение задачи б) аналогично.
в) Рассмотрите отображения /(jc) = 1 - χ (χ е К) и /(*) = 1 + ^х2
{х е К).
1.23. Заметим вначале, что если функция / непрерывна, а итерации
хп сходятся к пределу х*, то jc* — неподвижная точка для /.
а), б) С помощью задачи 1.22 покажите, что при \а\ > 1
неподвижные точки являются отталкивающими и, следовательно, jc;i не имеет
предела, если хп не стабилизируется начиная с некоторого hq.
Рассматривая графики, убедитесь, что при \а\ < 1 для любого xq пределом хп
служит единственная неподвижная точка. Случаи а = ±1 тривиальны.
Изучим отображение из пункта г) (в случае в) можно использовать
те же соображения). Пусть а > 1. Исследуя знак минимума выпуклой
функции <р(х) = ах -х, равного +1]^Qnfl, убеждаемся, что неподвиж-

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Топологическая динамика
573
ные точки χ, χ (х ^ х~) функции / существуют лишь при a 6 (1, е1^е].
При этом (см. задачу 1.19) хп —► * при xq < χ, хп —► оо при xq > χ,
Хп = X При Xq = Х~.
Если а < 1, то / обладает единственной неподвижной точкой х*.
Если а < е~е, то f'(x*) < — 1, и поэтому (см. задачу 1.22) х* не
может служить пределом хп, если jcq ^л*. При α Ε [e-i\ 1)
докажите, что функция f2 = / о / возрастает и удовлетворяет
неравенствам f2(x) > χ при χ < jc*, /2(х) < χ при χ > х* (для этого
рассмотрите (f2Y и (У*2)"), и, пользуясь задачей 1.19, убедитесь, что
х2п = f2n(xo) -+ **> Х2п+\ = f2n+l(xo) -> ** Для всех х0 £ К.
1.24. а) Проверьте, что N'(c) = 0, и воспользуйтесь результатом
задачи 1.22 а).
б) По формуле Тейлора
О = Ф(с) = φ(χ) + (р'{х){с -х) + У'Шс - х)2,
где ξ лежит между χ и с, откуда
<р'(х) 2 φΐ{χ) V /
Полагая в этой формуле χ = х^ и записывая χ^+χ в виде х^ 77~Ч>
получаем соотношение
откуда следует оценка
|*,+1-cKL|x,-c|2<...^L2*|x0-c|2*+1.
1.25. Проверьте, что N^(c) = 1 - \.
1.27. Проверьте, что на промежутке между любыми двумя
соседними точками экстремума многочлена Ρ он имеет корень и точку
перегиба. Затем воспользуйтесь результатом задачи 1.26.
1.28. Воспользуйтесь тем, что
0^j<n
к = 0, ..., л — 1, и результатом задачи 1.22.

574 X. Итерации преобразований отрезка · УКАЗАНИЯ
1.29. а) Воспользуемся простым утверждением (Л):
Если I, J — отрезки и J С /(/), то найдётся такой отрезок К С /,
4Tof(K)=J.
В самом деле, пусть J = [m9 M], a jc, у Ε / — такие точки, что
f(x)^m, f{y)^M, и пусть χ <у. Положив w = min{te[x, у] \f(t)^M},
ζ = max{r G [x> w] | /(i) ^ /w}, AT = [z, w], получим искомый отрезок.
Положим Kq = Iq, а остальные отрезки определим
индуктивно: если уже построен отрезок Кп_\ со свойствами Кп_\ С Кп_2,
fn~l(Kn_i) = /л_ь то, применяя (А) к отрезкам /л_ь /л с f{In-\) =
= fn(Kn_\) и отображению fn, отыщем отрезок Кп с Кп_\, для
которого г (кп) = 1п.
б) Для любой точки χ из непустого пересечения f] Kn имеем:
/"(*) е /л. n>°
1.30. Пусть точки w < χ < у < ζ образуют 4-цикл. Проверьте, что
независимо от порядка, в котором они отображаются друг в друга,
среди промежутков [w, χ], [х> у], [у, ζ] найдутся два (назовем их / и У),
для которых выполняются соотношения /(/) D J, f(J) D I.
Докажите, что найдется такой отрезок К С /, не содержащий концов /, что
f2(K) D К, и воспользуйтесь результатом задачи 1.29.
1.31. Достаточно доказать, что из а) следует в) (импликации
в) =ф- б) =Ф- а) очевидны). Предположим для определенности, что
точки а, Ь, с, d расположены в порядке d ^ я < Ъ < с. Обозначим
отрезок [а9Ь] через L, отрезок [Ь9с] — через R и для произвольного
т ^ 2 положим /0 = ... = /w_2 = R, Im-\ = L,Im = R', где R' С R —
отрезок, не содержащий концов R. Из условия а) следует, что
f(R) D L, f(R) D R, f(L) D R' и, следовательно, всегда f(In) D In+\-
Благодаря утверждению 1.29 найдется такой отрезок Кт С R', что
fm(Km) = Im D Кт. Согласно утверждению задачи 1.5 б),
применённому к fm, найдётся такая точка xq 6 Кт, что хт — fm(x0) = xq.
Остаётся проверить, что fn(x) = хп φ *о ПРИ 0 < η < т.
Если хп = хо при 0 < η < т, то это значит, что все точки х^,
k = О, 1, 2, ..., имеют число η своим периодом. Тогда, поскольку число
т — 1 представимо в виде рп + q {ρ 6 Ν, 0 ^ q < η), мы получаем, что
хт-\ = Xq Ε R', а это противоречит включению xw_ι 6 L,
вытекающему из определения точки xq. Случай т = 1 (т.е. наличие неподвижной
точки) тривиален (см. задачу 1.5 а)).
Доказанное утверждение принадлежит Т. Ли и Дж. Йорку [LY].

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Топологическая динамика
575
1.32. Рассмотрим отрезки Aj = [cos ^, cos ^] и Δ2 = [cos^, l],
которые преобразование f = Tn взаимно однозначно отображает
на [—1, 1]. Примем точку cos ^ за с, за Ъ — единственную точку
из Δι, для которой f(b) = с, за а — единственную точку из Δ2, для
которой f(a) = b,3ad — единицу. Тогда f(c)=d и с < Ь < а < d,
откуда следует (см. задачу 1.31), что / имеет циклы любого порядка.
1.33. б) Интересен лишь случай, когда а > 0. Раскрывая модули на
восьми промежутках, на которые вещественная ось делится точками
U' *' «2 > =*= аг >
решите уравнение /3(х) = х, т. е.
1 — а\\ — а\\ — а\х\\\ = х,
и убедитесь, что его решения содержатся среди чисел вида
χ =
\+£\а+£2а2
\+еъаъ
, где ει, ε2, ε^ = ±1, причем при 1 < а < qq =
1 + ч/5
лишь два из них: ρ = γ^~ и q = j^ оказываются корнями
уравнения (это, очевидно, неподвижные точки /). При а ^ я о все во~
семь чисел указанного вида являются корнями, причем если их
перенумеровать в порядке возрастания, то х\ = р, x^ = q, а тройки
{*2> х4>хъ) и {*3> *5>*7} образуют циклы, совпадающие при а -- а$.
Они отталкивающие, что вытекает из неравенства |/*'(х)| > 1 при
χ = Xi (i = 1,..., 8) (сравните с решением задачи 1.22). В случае
-1 < а ^ 1 остается только один корень q, при а ^ -1 корней нет.
Характер графиков /3 для трёх значений параметра показан на рис. 41.
Рис.41

576 X. Итерации преобразований отрезка · УКАЗАНИЯ
1.34. Из неподвижных точек отображения / притягивающей
является только точка ρ
νϊ+4α-1 3 τ,
у—]- при а < |. Так как каждая неподвиж-
2а
ная точка отображения / является неподвижной точкой любой его
итерации fn, то многочлен четвёртой степени f2(x) -χ делится на
квадратный трёхчлен f(x) —x. В результате деления получается
многочлен а2х2 - ах + 1 - а, имеющий вещественные корни при а ^ |.
Если а ^ |, то неподвижные точки f2 сводятся к двум неподвиж-
ным точкам /. При я > 4 имеются две точки х\ и х2,
удовлетворяющие соотношениям f2(x) = χ, f(x) Φ χ. Легко понять, что f(x\) = х2,
f(x2) = х\, т.е. {χ\,х2} — 2-цикл. Характер графика f2 при а < |,
а = | и а > ^ отражён на рис. 42.
Рис.42
Так как (/2)'(*ι) - f\x\)f\x2) = (-2αχι)(-2αχ2) = 4а2х{х2 =
= 4(1 — а), то в интервале \ < а < \ цикл окажется притягивающим,
а при α > | — отталкивающим (см. задачу 1.28).
Докажем, что при а ^ | отображение / не имеет 4-циклов. Случай
а ^ 1 почти очевиден, и мы будем считать далее, что а > 1. Положим
р(лс) = f2(x) = \ — а(\ — ах2)2 (х 6 К). 4-циклу / соответствуют два
2-цикла Р. Эти 2-циклы мы и будем искать. Найти 2-цикл
отображения Ρ означает найти решение системы
(у =Р(х),
Г (!)
удовлетворяющее условию χ φ у.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Топологическая динамика
577
Пусть L, Ls — графики функций
у = Р(х), χ = Ρ (у) соответственно
(рис. 43-45). Ясно, что кривые L и Ls
симметричны друг другу
относительно прямой у = х, и по аккуратно
нарисованным эскизам этих графиков
нетрудно получить интересующий нас
ответ.
Приведём теперь строгое
рассуждение. Убедитесь, что для проверки
отсутствия у системы (1)
нетривиальных решений достаточно доказать
отсутствие решений с абсциссами из
промежутков [ 1 - а, χ о], [х \, 1 ], где
xq, x\ (xq <х\) — точки,
образующие 2-цикл отображения /.
Рассмотрим сначала промежуток [х\9 1]. Пусть
Q — определённая на [х\, 1] функция,
график которой совпадает с
участком кривой Ls. Иными словами, Q —
функция, обратная к сужению Ρ на
промежуток [-^=,*о]· Наша цель —
убедиться, что Р(х) φ Q(x) при
χ Ε (χо, 1]. Заметим прежде всего, что
Р'(х) <0, Р"(х) < О, Р'"(х) < О при
χ > -т= и, кроме того, |Р'(*о)| ^ 1
(именно здесь играет роль условие
а ^ |). Пользуясь правилом
дифференцирования обратной функции
и обозначая Q(x) через t, мы
получаем:
Ио)
Q'"(x)
/>'"(0 , з И'))
Рис. 43
Рис.44
(p'(t))4 (p'(t))5
Рис. 45

578 X. Итерации преобразований отрезка · УКАЗАНИЯ
Очевидно, что
Р(х\) = G(*l) = *b *"(*ΐ) - 2'(*l) > О,
Ρ"{χ\) - β"(*ι) = Ρ"(χχ) + -Ρ^γϊ > 0.
Убедимся, наконец, что Рш{х) — QtN(x) > 0 при jc 6 (х\, 1). В самом
деле, поскольку |Ρ'(ί)Ι < 1 и яг2 ^ 1 при χ 6 (х\, 1), мы имеем:
Р'"(*) " Q'"(x) = ~24а3х -
24а31
|Р'(0|4
+ 3
(4a2(3at2-\))2
\rf(t)\5
>
>
48д3
+ 3
(8«2)2
> 0.
|p'(0l4 ' ~ l^'WI5
Из доказанного следует, что разность Ρ (χ) - Q(x) строго
возрастает на [jc ι, 1]. Таким образом, система (1) не имеет решений с
абсциссами из промежутка (х\, 1]. Тогда она вообще не имеет решений
с положительными абсциссами. Если же допустить, что (x9J) —
такое решение системы (1), что 1 - а < χ < xq, то пара (/(*)»/(У))
также будет решением системы (1), что, однако, невозможно,
поскольку f(x) > f(\ - а) > 0 (при
проверке последнего неравенства
снова используется условие я ^ т).
Если а > |, то Р'(хо) < — 1 <
< (?;(*о) < 0? и существование
нетривиальных решений системы (1)
следует из соображений,
связанных с теоремой Больцано-Коши.
Заметим, что при а = 2
система (1) имеет 12 нетривиальных
решений (рис. 46), которые
образуют три 4-цикла (точки,
порождающие один цикл, помечены на ри- Рис ^
сунке одинаковыми значками).
Перейдем к вопросу о существовании 3-цикла. *) Пусть а > 0 и р,
q — неподвижные точки /. С помощью эскиза графика у =f^(x)
нетрудно заметить, что при возрастании параметра а число
неподвижных точек отображения /3 может только увеличиваться (проследите
на рис. 47 за перемещением критических точек функции /3, соот-
*; В решении этой части задачи принимал участие Р. Сибилёв.

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Топологическая динамика
579
Рис.47
ветствующих случаю 1 < а < 2). Проведите строгое обоснование
этого факта. Проверьте, что не совпадающая с ρ и q неподвижная
точка отображения /3 порождает 3-цикл. При а ^ | неподвижные точки
/3 — только ρ и q, а при больших значениях а отображение / имеет
восемь неподвижных точек. Таким образом, существует минимальное
значение я о параметра, при котором число неподвижных точек /3
больше двух. Пусть
я =а0> f3(*\) = *ь χ2 =f(x\), *3 =/(*2)> *l ФР>Я-
Точки χ γ, χ 2, *з образуют 3-цикл, и каждая из них является
корнем уравнения /3(х) = х, причём х\, х2, *з обязательно должны быть
кратными корнями, так как в этих точках графики у = f^(x) и у = χ
имеют касание. Принимая во внимание число корней и степень
многочлена Р(х) = /3(х) - х, делаем заключение, что
Р(х) = А(х - р)(х - q)(x -хх)2(х - х2)2(х ~ *з)2 ·
Разделив Р(х) на χ — f(x) = а2х2 +х — 1 = а2(х — р)(х — q),
приходим к равенству
-авхв + а5х5 + (За5 - а4)х4 + (а3 - 2а4)х3 + (За3 - За4 - а2)х2+
+а3 -2а2 + а - 1 = -а6(х -х\)2{х -xi)2{x - *з)2 =
= -ав{х3 +bx2+cx+d)2.

580 X. Итерации преобразований отрезка · УКАЗАНИЯ
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
систему из шести уравнений относительно а, Ь, с, d. Исключение Ь,
с, d из этой системы приводит к уравнению (4а — 7)2 =0, откуда
следует, что а должно равняться |, а проверка подтверждает, что в этом
случае система совместна. Таким образом, при а < | 3-циклов нет,
при а = | отображение /3 имеет пять неподвижных точек (р, q и три
точки, образующие цикл), при я > τ отображение /3 имеет восемь
неподвижных точек, а именно p,q и ещё шесть точек, каждая из
которых, как уже отмечалось, должна входить в 3-цикл. Следовательно,
3-циклов при а > \ ровно два.
1.35. Воспользуйтесь результатом задачи 1.15 г).
1.36. Пусть L — кривая, симметричная относительно прямой у = χ
графику отображения / над промежутком [xq, 1], и γ(χ) = (f(x), x)
(χ0 ?ζχ ^ 1) — её параметризация. Убедитесь, что в силу условий
на односторонние производные найдётся такое число δ > 0, что
точки γ (χ) лежат под графиком /, если xq < χ < xq + δ. С другой
стороны, точка γ(1) лежит выше графика / (или на нём), и поэтому
график / и кривая L пересекаются. Абсцисса точки пересечения
порождает 2-цикл.
1.37. Рассмотрите отображение / = g2" и докажите, что /
имеет неподвижную точку, удовлетворяющую условию предыдущей
задачи. Проверьте, что точки 2-цикла отображения / порождают 2"-цикл
отображения g. Для построения примера рассмотрите определённую
на [0, 1] непрерывную функцию, графиком которой является ломаная
с вершинами в точках (1 — ^, 1 ПЗи ) (п ^ ^)·
1.38. Пусть g = fn. Это отображение также принадлежит
классу S(A) (см. задачу V1I.2.25b)). Предположение о том, что равенство
g(x) =x справедливо для бесконечного числа точек, влечёт по
теореме Лагранжа выполнение равенства g'(x) = 1 также на бесконечном
множестве. Следствием этого является наличие у функции \g'\
бесконечного множества точек локального минимума. Из «принципа
минимума модуля» (см. задачу VH.2.25e)) вытекает, что g, а значит и /,
имеет бесконечно много критических точек.
1.39. Существуют такие точки и и ν, что x<u<y<v<z
и g\u) =g'(v) = 1. Утверждение следует теперь из «принципа
минимума модуля» (задача VII.2.25e)) для промежутка [и, υ].

И РЕШЕНИЯ ·
§ 1. Топологическая динамика
581
1.40. Пусть χ G (а,Ь) — притягивающая неподвижная точка для
g = fn (n g N) (если χ = а или χ = b, то доказывать нечего). Тогда
а) Пусть сначала \g'(x)\ < 1. Рассмотрим максимальный
промежуток (г, s), содержащий х, траектория {gm(y)} любой точки у которого
притягивается к х. Если г > а, то gm(r) $_ (г, s) ни при каком т
(следствие максимальности промежутка), и если s < b, то gm(s) ί (г, .у)
при /и G N. Таким образом, упомянутый промежуток имеет вид [а, л),
(г, Ь], [я, Ь] или (г, 5). Первые три возможности сразу приводят к
доказываемому утверждению. В четвёртом случае из очевидных
соотношений g((r, s)) С (r9s),g(r),g(s) ί (г, 5) следует, что g(r), g(5) G {г, а·}.
Предположение, что g(r) = r, g(s) = s, приводит, благодаря
утверждению 1.39, к неравенству g'(x) > 1, что невозможно. Если g(r) = s,
g(s) = г, то g2(r) = r, g2(s) = s, что невозможно по аналогичной
причине. Таким образом, мы приходим к выводу, что g(r) = g(s); но
тогда по теореме Ролля в интервал (г, s) попадает критическая точка ρ
отображения g, которая притягивается к х. Поскольку g = fn, точка ρ
должна иметь вид fk(c), к = 0, 1,..., откуда сразу следует
доказываемое утверждение.
б) Пусть теперь \g'(x)\ = 1. Заменяя, если нужно, g на g2, мы
можем считать, что gf{x) = 1. Пусть (г, s) — максимальный интервал,
содержащий χ и не содержащий других неподвижных точек
отображения g. Он непуст, так как множество неподвижных точек g конечно
(задача 1.38). Тогда либо g(y) > у при всех у G (г, х), либо g(y) < у
при у G {x,s), так как в противном случае в каждом из
интервалов (r9x), (x9s) нашлось бы бесконечно много точек t, в которых
gf(t) > 1, что ведёт к противоречию с принципом минимума модуля
(см. задачу VII.2.25 е)) и конечностью множества критических точек
отображения g.
Допустим для определённости, что g(y) > у при у G (г9х). Если
г = а и g возрастает на [а9х], то траектория точки а притягивается к χ
(см. задачу 1.19). Если г = а и g не монотонна на [а9х], то некоторая
критическая точка ρ отображения g попадает в интервал (а9х), и на
отрезке [р9х] функция g возрастает. Тогда траектория {gm(p)}
притягивается к х. Если г > а, то g(r) = г, и в интервале (г9х) найдётся
по теореме Лагранжа такая точка ζ, что g'(z) — 1. Учитывая, что
8(ζ) > ?>·> 8(х) = χ, g'(x) — Ι* и снова пользуясь принципом минимума
модуля, приходим к выводу, что некоторая критическая точка ρ лежит

582 X. Итерации преобразований отрезка · УКАЗАНИЯ
между ζ и χ и притягивается к х. Рассуждение завершается так же, как
в пункте а). Доказанное утверждение принадлежит Д.Зингеру [S] *).
1.41. Пусть ρ < 0 — неподвижная точка f,q = —p. Тогда при а < 2
справедливо включение f([p,q]) С [р9 q], причём ρ — отталкивающая
точка, fn(q) = ρ при ΟΙ ив силу утверждений VII.2.26a) и 1.40
притягивающий цикл обязательно притягивает траекторию точки 0.
При а — 2 отображение / — многочлен Чебышёва Tj и можно
воспользоваться результатами задач 1.32 и 1.40.
1.42.**) а) Выберем направление обхода окружности так, чтобы при
таком обходе неподвижная точка t и точки цикла встречались в
порядке г—>я—►£—►<:—► г, где φ(α) = Ь, ф(Ь) = с, <р(с) = а. Если χ
и у — две точки окружности, то через [х,у] будем обозначать дугу,
обход которой в выбранном направлении начинается с точки χ и
кончается в точке у. Будем говорить, что выполняется условие Aq, если
<p([t9 a]) D [а,Ь], и условие А\, если <p([t, a]) D [Ь,а] (очевидно, что
одно из этих условий всегда выполняется). Будем записывать это
символически следующим образом:
Л0 = (φ([ί, a}) D [а, Ь])9 Ах = (<p([t9 a}) D [Ь9 а}) .
Точно так же всегда справедливо одно из двух условий в каждой из
следующих пар:
В0 = (φ([α9 Ь]) D [Ь9 с]), Вх = (φ([α9 Ь]) D [с, Ь]) ;
Со = (<Р([Ь, с]) D [с, а])9 Сх = (<р([Ь9 с]) D [а, с]);
£>0 = (Ф([с, t]) D [t9 a]), Dx = (ф([с, t]) D [я, t]) .
Всегда справедливо по крайней мере одно из шестнадцати
высказываний вида
A£l&B£2&C£3&D£4, et =0,1.
Проследите, что каждый раз среди промежутков с концами t, a,
Ь, с найдутся либо два промежутка /, J со свойствами φ(Ι) D J,
φ(7) D /U У, либо три промежутка /, У, К со свойствами φ(Ι) D У,
φ (У) D К, φ (К) D I U К. Модифицируя рассуждения, использованные
при решении задачи 1.31, проверьте, что всегда найдётся точка лс, ите-
*) Обширный материал об итерациях преобразований отрезка содержится в
книге [СЕ].
**) Решение задачи нам сообщено Ю.Хохловым.

И РЕШЕНИЯ · § 1. Топологическая динамика 583
рации которой последовательно посещают промежутки
У, У, ..., У, /, J или К, К,..., К, L J, К
N ν ' > ν '
л-1 л-2
и φη(χ) = χ, причём <рк(х) ф χ при к < п.
б) Параметризуя окружность обычным образом, отождествим её
с промежутком [0, 2π). Рассмотрите отображение /: [0, 2π) —> [0, 2ет),
задаваемое формулой
{r + 2|f -t\ при O^t ζ ^,
.3 3
(ί + ψ) mod 2л- при ψ ^ ί < 2jt,
и перенесите его на окружность. Точке ^ отвечает неподвижная точка
окружности, точкам 0, =р ^ — 3-цикл, в то же время 2-цикла, как
легко видеть, нет.
1.43. б) Проверьте, что из неравенства т ^ χ — xq < т + 1 (т £ Z)
следует, что т ^ fn(x) — fn(xo) < /и + 1 для любого η £ N.
в) Пусть φ"ι(ζο) = го = е2^*0. Тогда fm(xo) = хо +£ для
некоторого целого &. Воспользуйтесь тем, что при η — lm + r (I £ N,
О ^ г < aw) значение fn(xo) можно представить в виде fr(xo) + №·>
и докажите, что а = ^.
г) В этом случае fm(x) —х не может быть целым числом ни при
каких т ^ 1, χ £ R. Тогда при фиксированном т и некотором & £ Ζ
выполняется неравенство
* <fm(x) -х <* + 1.
Полагая в нём χ равным 0, /т(0),..., /*('-1)т(0) и складывая
получившиеся неравенства, получаем, что
lk< flm(0) </(* + l) (/GN),
в частности, it </w(0) < it + 1.
Из этих неравенств следует, что
//т(0) /"(0)1 ^ 2
//τι m | ^ m "
Поменяв ролями I и т и сложив получившиеся неравенства, получим:
/m(Q) /f(Q)
т I
^ т ^ I
откуда сразу следует существование предела а при xq — 0 и, значит,
при всех χ £ Ж.

584 X. Итерации преобразований отрезка · УКАЗАНИЯ
Остаётся проверить, что при рациональном а некоторая степень φ
имеет неподвижную точку.
Пусть сначала а — 0. Если предположить, что неподвижной точки
нет, то {/"(0)} — монотонная последовательность (скажем,
возрастающая). Предположение, что /т(0) ^ 1 для некоторого т ^ 1 влечёт
fkm(0) ^ к, к G N, что противоречит соглашению а = 0. Но тогда
последовательность {fm(0)} ограничена, и её предел оказывается
неподвижной точкой, вопреки предположению.
Случай а = ^ сводится к предыдущему переходом к функции
g(x) = fm(x) —к, задающей отображение φηι.
д) Покажите, что f\ и fi отличаются на целое число.
§ 2. Преобразования с инвариантной мерой
2.1. Достаточно сосчитать меры прообразов интервалов (или дуг).
2.2. «Преобразование пекаря» удобно представлять как композицию
отображений Γι, Гг, представленных на рис. 48 (оправдывающем
название этого преобразования). Сохранение площади каждым из
преобразований Т\, Τ2 очевидно.
ι
А! В
Ά
^±. | :в
Тг
Рис. 48
2.3. а) Если Τ(jcι, jc2) = Γ^^,χ^)» το
Ζ\ = αχ γ +bx2 — (αχ'ι + bx^),
Ζ2 = cx\ + dx2 - {cx\ + dxl2)
— целые числа. Решая эту систему, мы получим (благодаря условию
| detA| = 1), что х\ — х[ Ε Ζ, Χ2 — х'2 £ Ζ, но это возможно лишь при
х\ = Xj, X2 = *2·
б) Рассмотрим линейное преобразование 7д: М2 —> М2,
задаваемое матрицей А. Оно обратимо и сохраняет меру Лебега.
В частности, λ2(Τ~ι(Β)) = Яг (В) для всех В с X. Пересечения
Cv = Тд1(В) Π (Χ + ν), где ν 6 Ζ2, непусты лишь для конечного
множества векторов и, а их сдвиги лежат в X, попарно не пересекаются
(см. пункт а)) и составляют множество Т~^(В). См. также решение
следующей задачи.

И РЕШЕНИЯ · § 2. Преобразования с инвариантной мерой 585
2.4. Рассмотрите меру ν = ΤΑλ2 на X = Μ2/Ζ2. Как и мера Лебега,
она инвариантна относительно сдвигов (все суммы рассматриваются
по модулю единица):
ν (В +y) = v(B+ ТА(х)) = λ2(Τ-\Β + ТА(х))) =
= λ2(Τ-1(Β)+χ) =λ2(Τ-1(Β))=ν(Β) (1)
(В С Х,у G X). Поэтому (см. утверждение перед формулировкой
задачи) ν = сЯ2- Полагая в (1) В = X, получаем, что с = 1. Таким образом,
λ2(Τ-1(Β))=λ2(Β).
2.5. Можно считать, что С = 1 (мера μ — вероятностная при
С = jj^). Достаточно проверить, что μ(Γ-1(Α)) = μ(Α) для всех
множеств А вида (0, а], О < а ^ 1. Поскольку
г~!ю=Ч,(*Ы]·
мера прообраза равна
1/*
Σ f -j^ = E(ln(l+/:)-ln/:-ln(l+/t + a)+ln(/t + a)) =
к к
\/{к+а)
= lim(lii(l+fl)-ln(l + ^r))=ln(l + fl) = J^_ =ίι(Α).
О
2.6. а) Воспользуемся топологической сопряжённостью Тп и
пилообразного отображения /„ (см. задачу 1.166)), которое, очевидно,
сохраняет меру Лебега. Найдём образ меры Лебега относительно
сопрягающего отображения: μ = hX, где h(x) = sin(|;c) (χ 6 [-1, 1])
(он и будет искомой инвариантной мерой). Для промежутков имеем:
μ([α,χ]) = А([/г-1(я), h~l(x)]) = ^(arcsinx - arcsina),
откуда άμ = —2.dx (\x\ < 1). Понятно, что меру μ можно умножить
лу/У—х2
на произвольную положительную константу.
б) Используйте задачу 1.16 в).
2.7. Для доказательства достаточности рассмотрите меру ν (А) =
= ^(μ{Α) + ·. · +μ(Γ~("~1)(Α))), где μ — мера, инвариантная
относительно Тп.

586 X. Итерации преобразований отрезка · УКАЗАНИЯ
2.8. Пусть сначала Τ возрастает. Обозначим через F множество
неподвижных точек отображения Т, через G — дополнение F. Если
Δ = (α, β) — какой-нибудь максимальный интервал из G, то α, β G F
и, очевидно, Γ(Δ) = Δ. Поэтому достаточно доказать утверждение для
каждого такого интервала.
Пусть с — произвольная точка из Δ. Если положить хп = Г"(с),
η е Ζ (Τ обратимо), то отрезки Ап, имеющие хп и хп+\ своими
концами, образуют покрытие Δ. Для любой положительной функции
/го £ <2^(Δο) определим меру vq — h$dx на Δο и продолжим её нулём
на Δ\Δο· Меры vn — TnVQ отличны от нуля на Δ„ и, как и vq,
абсолютно непрерывны. Равенство ν = ]ζ νη определяет искомую меру
(бесконечную). пе%
Если Τ убывает, то рассмотрите Т2 и воспользуйтесь
утверждением 2.7.
2.9. Пусть Τ имеет притягивающий η-цикл. Тогда отображение
S = Тп имеет притягивающую неподвижную точку х*. Пусть / > О —
плотность некоторой меры μ. Покажем, что найдётся такое
множество А, что S_1(A) D А и μ(5-1(Α)\Α) > 0. Если мера μ конечна, то
эти соотношения противоречат её 5-инвариантности.
Если S'(x*) > 0, то S возрастает в некоторой окрестности χ*, и
тогда найдутся такие точки cud, что х* 6 (с, d) и А = (с, d)
удовлетворяет упомянутому выше условию. Если S\x*) < 0, то
заменим S на S2. Если S'(x*) = 0, то при \х - лс* | < ε (ε достаточно мало)
\S(x) — S(x*)\ ^ J—J—> откуда следует существование искомого
множества А.
Отсутствие инвариантной меры у Г", очевидно, влечёт и отсутствие
её у Т.
2.10. а) Пусть сначала а > 0. Отображение На, рассматриваемое на
каждой полупрямой (—оо, 0) и (0, +оо) в отдельности, топологически
сопряжено со сдвигом χ н-> χ + In а на К. (сопрягающий гомеоморфизм
Λ(ί) = — ег в первом случае и Λ(ί) = ег во втором). Проверьте, что
образом меры Лебега относительно h служит мера на М\{0},
задаваемая плотностью f(x) = ~, и что эта мера инвариантна относительно
всех На. Ещё одной инвариантной мерой является положительная
нагрузка в нуле.
б) Докажем, что в этом случае искомой меры μ не существует.
Поскольку μ должна быть, в частности, инвариантной относительно

И РЕШЕНИЯ · § 2. Преобразования с инвариантной мерой 587
сдвигов, её значения на промежутках должны быть пропорциональны
длине, т.е. μ = кХ (к > 0). Но такая мера, очевидно, не инвариантна
относительно гомотетий (случаи к = 0 или к = оо приводят к
тривиальным мерам).
2.11. Воспользовавшись топологической сопряжённостью этих
преобразований с подходящими преобразованиями из задачи 2.10,
проверьте, что в случае а) инвариантная мера имеет вид ,.х ., а в
случае б) нетривиальной инвариантной меры нет.
2.12. а) Пусть А С R", μ(Α) = 0. Тогда и Я„(Л), λη(Α + у), μ (Л + у)
(у 6 W) равны нулю.
б) Пусть χΕ обозначает характеристическую функцию множества Е.
Проинтегрировав равенство μ(Α + у) = \ χΑ(χ — у)άμ(χ) по множс-
ству Υ положительной меры Лебега, мы получим:
1 = fn(A+y)dy = j аУ j Ха(х ~У)dH(x) =
Υ Υ R"
= j dy j χγ(y)χA(x-y)dμ(x)= j dt j χγ(χ -ήχΑ(ήάμ(χ) =
К" R» R" R"
= ^άί^χγ{χ-ήάμ{χ). (1)
Λ Rn
Вместе с тем квазиинвариантность меры μ означает по теореме
Радона-Никодима существование такой функции / на Μ" χ Μ!\ что для
всех у е Ш.п и А с R"
μ(Α+γ) = Ι/(χ9γ)άμ(χ)
А
и f(x>y) > 0 ПРИ каждом у и //-почти всех х. Интегрируя последнее
равенство, мы можем представить величину / в следующем виде:
/ = $μ(Α +y)dy = jdy jf(x, γ)άμ(χ) = jάμ(χ) j f(x, y)dy . (2)
Υ Υ A AY
Из(1) мы заключаем, что если λη(Α) = 0, то / = 0. Поскольку //-почти
везде Г f(xyy)dy > 0, из равенства (2) следует, что в этом случае
γ
μ(Α) = 0.

588 X. Итерации преобразований отрезка · УКАЗАНИЯ
Докажем теперь, что верно и обратное: если μ (А) = 0, то и
Ли (А) = 0. Допустив противное, рассмотрим семейство трансляций
А+Хк множества А с помощью векторов лс^, образующих счётное
плотное подмножество в Ш1. Множество С = Жп\ [J(A + Xk) имеет ну-
k
левую меру Лебега (см. задачу VIII. 1.23), а тогда по доказанному
выше и μ(ϋ) = 0. Кроме того, μ (А +Хк) = μ {А) = 0, откуда μ(Ε") = 0.
Противоречие.
2.13. а) Если / ^ 0, то А .-> ν (А) = Г /(*) Лс (А с X) — абсо-
лютно непрерывная мера на X, и существование /* вытекает из
теоремы Радона—Никодима. Если / произвольна, то её можно разложить
в разность неотрицательных функций.
б) Пусть / ^ 0, U и V — такие окрестности точек χ и у = Т(х), что
U = T~l(V). Тогда
jf(x)dx=fr(y)dy=ff(T(x))\d*T'(x)\dx.
и ν и
Применяя «дифференцирование по области», т. е. деля обе части этого
равенства на λη(ϋ) и переходя к пределу при условии, что
окрестность U стягивается в точку лс, получаем требуемое.
в) Доказывается аналогично.
г) Проверьте равенство (1) для множеств А = [0, а], 0 ^ а ^ 1.
2.14. а) Компоненты d-t вектора d, определяющего искомую
функцию /</, однозначно находятся из соотношений
А 1 ( f ( \А 1 С f ( \а >Г ^(ДуПГ-ЧА/))
di = wr)lfd{x)dx = wr) J f^x)dx = ^ —m—·
откуда
δ, т-чь) UK"
PiJ= λ(δ,) ;=^(A,nr-'(A,-))·
в) Заметим, что если d = яс, то
Σ* = ΣΣ pucj = Σ cj Σ Pi; = Σc;
' ' 7 У ' J
Поэтому преобразования
и ι-> ли и м i-> ι/"1) = ^ Σ лкц

И РЕШЕНИЯ · § 2. Преобразования с инвариантной мерой 589
η
отображают компактное множество К = {и Ε Ш.+ | У^ щ = С} (С > 0)
1 = 1
в себя. Следовательно, для фиксированного и Ε Ш.+ (и φ 0)
последовательность {ν^} обладает предельной точкой ν = limi/"1'). Посколь-
i
ку π непрерывно,
πν = Ιϊτηπν^ = lim J- У^ π*Μ =
• · ΠΊ\ f *
1 ι l^k^mi
= lim (ι/"7') + ^{лт1и - и)) = limi/"2') = ν = {vh υ2, · · ·, υη).
Из теоремы О. Перрона следует, что если /?,у > 0 при всех /, j, то
такая предельная точка единственна, не зависит от и Ε К, а также что
и, > 0 при всех /. Г. Фробениус распространил этот результат на
некоторые неотрицательные матрицы (см., например, [Г]).
2.15. а) Неподвижную точку дискретного оператора Перрона-Фро-
бениуса (см. задачу 2.14), т.е. собственный вектор ν матрицы π,
отвечающий собственному числу единица, легко отыскать (при чётном
п) алгебраическим путём. При этом оказывается, что ν^ = 0 при
£ ^ §> vk — υ3η ПРИ ^ > § · Это подсказывает ответ: если Pf = f
-γ-к
(Ρ — оператор Перрона-Фробениуса, см. задачу 2.13), то f(x) = 0
при χ < ^, f(x) = /(| -χ) при χ > j. Для его проверки напишем
равенство
i\f{\y) пРИУ < 5>
Ц/Йу)+/(|-у) приу>1
(см. задачу 2.13 в)), откуда
j f(y)dy= j Pf(y)dy= j f(z)dz9 η =1,2,...,
0 0 0
что возможно лишь при
2-я
2-("+i)
Следовательно, f(y) = 0 почти всюду на [0, ^]. Из этого моментально
следует, что /(у) = Pf(y) = f{\ - у) при у > \.

590 X. Итерации преобразований отрезка · УКАЗАНИЯ
б) Дискретный оператор Перрона—Фробениуса при η = 3
записывается матрицей
/о о »\
π
1 0 :
\0 1 0/
(см. задачу 2.14а)). Вектор и — (з» 5'§) УД°влетв0Ряет равенству
πυ = υ. Положите f(x) = ^ при х < \, f(x) = \ при χ > ^ и
убедитесь, что мера άμ = f dx инвариантна относительно Т.
в) Преобразование Τ не имеет абсолютно непрерывной
инвариантной меры, потому что у него есть притягивающая неподвижная точка
(см. задачу 2.9). Неподвижные точки ugM" для оператора π имеют
вид ν\ = с, Ok = 0 при к > 1. Соответствующие им меры на
отрезке задаются плотностями fv(x) = η при χ ^ i, fv(x) = 0 при χ > i.
Если //п — мера, задаваемая такой плотностью, то очевидно, что
μη(Α) —> 0, если А = (ε, 1), ε > 0, и /iw([0, 1)) = 1. Это позволяет
считать предельной меру, сосредоточенную в точке 0 (она инвариантна
относительно Т, но не задаётся никакой плотностью).
2.16. Всякий автоморфизм верхней полуплоскости есть
композиция трех: гомотетии Mc(z) = cz, где с > 0, сдвига Sa(z) = ζ + а, где
а е М, и инверсии ζ ^ R(z) = -^. Поэтому нам достаточно указать
неотрицательную функцию / — плотность искомой меры,
инвариантную относительно операторов Перрона-Фробениуса Р, отвечающих
этим автоморфизмам, т. е. удовлетворяющую соотношению Pf = /
(см. задачу 2.13 д)). Найдем вид /, предполагая, что она существует.
В вещественных координатах χ = Щг)9 у = 3(ζ) преобразования Мс
и Sa задаются формулами: Мс{х,у) = (схусу), Sa(x,y) = (х + а9у).
Пусть Ρ — оператор Перрона-Фробениуса, соответствующий Т.
Согласно результату задачи 2.13 б),
/(Γ(,.,))=Ρ/(Γ(,,,)) = ]5^_.
Полагая С = /(0, 1), Τ = Му, мы получаем: f(0,y) = f(My(0t 1)) =
ля Τ = Sx аналоги*:
_ №у) _ с_
= -— , <Ч| = Ц:. Для Τ = Sx аналогичным образом убеждаемся, что
\det М'у (0,1)1 У
f(x,y) = f(sA0,y)) = ]^$^r±

И РЕШЕНИЯ · § 2. Преобразования с инвариантной мерой 591
Мы предоставляем читателю проверить, что функция f(x,y) — —,
где С > О, действительно является плотностью меры, инвариантной
относительно любого конформного автоморфизма.
2.17. Благодаря результатам задач 2.13 б), д) плотность /^ меры μ/
должна удовлетворять соотношению
fL(ax,ay + b) = ±fL{x,y). (1)
Полагая χ = 1, у = О, А — //.(1, 0), отсюда получаем: //.(«, £) : -~
для любых (я,Ь) £ Р. Очевидно, что такая функция удовлетворяет
уравнению (1). Аналогично из уравнения
fR(ax9bx+y) = \fR{x,y)
находится плотность /# меры μχ.
2.18. Пусть / — плотность меры, инвариантной для Т. Рассмотрите
функцию
О ι X
h(x)=a + (b-a)(jf(t)dt) ff(t)dt
а а
и проверьте, что отображение S = hoT oh~l обладает требуемым
свойством.
2.19. Достаточно ограничиться случаем, когда α £ [0, 1) (см.
задачу 1.43 д)). Пусть μ — конечная мера на S1, которую сохраняет Τ (она
существует по теореме Боголюбова—Крылова). Можно считать, что
//(iS1) = 1. Отождествляя S1 с промежутком [0, 1), рассмотрим
функцию h(x) = μ([0, χ]). Утверждение 1.43 в) гарантирует, что Τ не имеет
периодических точек. Следовательно, траектория каждой точки
бесконечна, а тогда мера каждой точки равна нулю и функция h непрерывна,
Л(0) = 0, h(x) -+ 1 при χ -+ 1. Пусть β = μ([0, Γ(0)]). Тогда
h(T(x)) =μ([0, Τ(χ)]) = (μ([0, Γ(0)]) + μ([Γ(0), T(x)])) mod 1 =
= (β + μ([0,χ])) mod 1 - (ft(*) +j8) mod 1.
Отсюда видно, что h ο Τ = Τβ ο h, где Τβ — поворот окружности на
угол β £ [0, 1).
Для доказательства равенства β = а рассмотрим какую-нибудь
функцию /: R —> R, удовлетворяющую условиям: f(x) - Т(х) при
χ £ [0, 1), /(jt + l)=/(jt) + l для всех л £ R, и проверим, что
ί/π(0) ^β (см. задачи 1.43 б),д)).

592 X. Итерации преобразований отрезка · УКАЗАНИЯ
Пусть ν — мера на R, ограничение которой на каждый промежуток
вида [к, к + 1) (к G Z) получается из меры μ сдвигом на к. Тогда из
инвариантности// вытекает, что ν ([/"(О), /п+1(0)]) — ν([0> /(0)]) — β
для η е Ζ. Поэтому β = £v([0,/w(0)]). Но так как |v([0,y]) - у\ < 1
для всех у,
β = lim Iv ([0, /"(0)]) = lim I/»(0) = α.
2.20. Если Т не эргодично, то найдется такое инвариантное
множество А, что μ (А) > 0, μ(Α) > 0, где А = Х\А. Тогда функция /,
принимающая значение а на А и Ь (^ а) на Л, инвариантна и не постоянна.
Напротив, если / — существенно непостоянная функция, то найдется
такое число с, что множества А = {х е X\f(x) ^ с} и А имеют
положительную меру. Если / к тому же инвариантна, то Л и Л
инвариантны, и Г не эргодично.
2.21. а) Воспользуемся предыдущей задачей и заметим, что для
доказательства эргодичности достаточно проверять функции / из
5Г2([0, 1]). Всякая такая функция, как известно, раскладывается в ряд
Фурье: _
/(*) ~ Σ 'л*2Я/Я* (Cn=f(n))>
nez
причем в силу теоремы единственности последовательность
коэффициентов {cn}nez определяет функцию / однозначно (с точностью до
значений на множестве меры нуль). Функции g(x) = f(T(x)) отвечает
ряд Фурье
V^ с ΛπΊαη„Ιπιχη
Если f(x) = g(x) почти везде, то сп = спе2я1ССп при всех η G Ζ. При
иррациональном а отсюда следует, что сп = 0 при η φ 0, т. е. ряд
Фурье для / сводится к константе. Теорема единственности
утверждает, что тогда f(x) = со почти везде, что влечет эргодичность. Если
а = k/l e Q, то отличными от нуля могут быть коэффициенты ст\
(т G Z), т.е. существуют непостоянные инвариантные функции.
б) Рассуждая как в пункте а), возьмем функцию f(x) ~ Σ спе2лгпх
nez
и из равенства f(x) =f(T(x)) ~ Σ cne2jll2nx получим соотноше-
nez
ния: с η = С2п = С4п = · · · для всех «GZ. Условие / Ε £2(Χ), или

И РЕШЕНИЯ · § 2. Преобразования с инвариантной мерой 593
Σ \сп\2 < со, приводит к тому, что сп = О при η φ О, откуда, как
nez
в пункте а), следует эргодичность Т.
в) Решение аналогично решению задачи б), так как
преобразование Τ можно трактовать как отображение χ ι-> пх mod 1
промежутка [0,1).
г), д) Функции из 22{Х) «раскладываются» в двойной ряд Фурье
/(*.?)- Σ c„1„2e2*<'(""+'^).
Тогда
f(TA(x,y))~ Σ ^^^((^l+^^+^H-^));)^
Пусть Л* — матрица, полученная транспонированием А, и η =
— (ПЬ nl) £ Ζ2· Если / инвариантна, то, приравнивая выписанные
разложения покоэффициентно, получим соотношение сп = с а* п =
= с(А*)2п = · · ·> и сходимость ряда Σ \сп\2 приводит к тому, что если
nez2
траектория {{А*)кп} вектора η бесконечна, то сп = сА*п = ... = 0.
Если собственные числа матрицы А не являются корнями из
единицы, то (А*)кп Φ η ни при каких к G Ν, η G Ζ2\{0}. В таком случае, как
выше, f(x) = coo почти всюду, т.е. 7д эргодично. В противном случае
найдутся число к G N и такой вектор ν G Μ2, что (Α*)*υ = v. Так как
матрица А* целочисленная, то вектор и, удовлетворяющий этому
соотношению, можно считать целочисленным. За ненулевую
инвариантную функцию можно принять сумму экспонент, отвечающих векторам
υ, А*и,..., (A*)k~lv. Следовательно, 7д не эргодично.
2.22. Рассмотрим содержащийся в X шар В с
рациональными координатами центра и рациональным радиусом и положим
Нв = (J Т~п(В). Так как Г сохраняет меру, то Α„(#β) ^ А„(Д) > 0.
Из эргодичности Τ следует, что λη(Χ\ΗΒ) = 0 (рассмотрите
инвариантное множество р) Т~п(Нв) с Нв и убедитесь, что его мера поло-
neN
жительна). Поскольку шары с рациональными параметрами образуют
счётное семейство {#*}, объединение е = [J(X\HBk) имеет нулевую
к
меру. Всякая же точка, попадающая вХ\е, имеет плотную траекторию.

594 X. Итерации преобразований отрезка · УКАЗАНИЯ
2.23. Если S эргодичен, то по предыдущей задаче траектория почти
всякой точки всюду плотна, а это в силу результата задачи VII.4.5a)
влечёт линейную независимость а\,..., ап над Q по модулю 1.
Достаточность этого условия доказывается с помощью рядов Фурье
(модифицируйте решение задачи 2.21 а)).
2.24. Покажем, что преобразования Τ и S допускают
«символическое представление». Пусть D — множество двоично-рациональных
чисел в / = [0, 1], X = /\D. Поскольку A(D) = 0, достаточно
предъявить такое измеримое обратимое сохраняющее меру Лебега
преобразование h: X —> X, что S о h = h о Т.
Пусть Aq = [О, ^] ПХ, А\ = [^, l] Π X. Определим последовательно
множества
А* = S-[(AkQ-1), А\ = S-l(A\-1), к = 2, 3, ...
Докажите, что эти множества обладают свойствами:
1) λ(Α? ПА? Π .. .ПА?) = 2~п для любых /ь ..., in e {О, 1}
(проверяется по индукции);
оо
2) множество р| А* состоит из одной точки для любой последо-
к=\ к
вательности {г^}, ik е {О, 1}, причём каждая точка из X однозначно
представима в виде такого пересечения. Последнее свойство позволяет
отождествить точки из X с двоичными последовательностями, причём
5(Ч»*2»···) = (*2»*3»···)·
Пусть χ = О, х\Х2 · ·. — двоичное разложение точки из X.
Полагая i£ = .*£, получим двоичную последовательность, определяющую
(с помощью 2)) точку у G X. Положим h(x)=y. Очевидно, что
Т(х) = О, *2*3 · · · > откуда следует равенство S о h = h о Т.
Остаётся убедиться, что h измеримо по Лебегу и сохраняет меру
(обратимость h очевидна). Это следует из того, что для любого
двоичного промежутка ранга η
Δεχε2...εη = {* = Σ jk | *i = εΪ9 . . . , xn = €n J ,
где ε^ G {0, 1}, выполняются равенства
h{A£l_ennX) =Α1ει П422П... ПА£л,
и из свойства 1). Измеримость h следует из того, что для любого
двоичного отрезка Δ ранга η его прообраз /г-1 (Δ Π X) совпадает с Δ' Π Χ,
где Δ' — некоторый двоичный отрезок п-го ранга.

И РЕШЕНИЯ · § 2. Преобразования с инвариантной мерой 595
2.25. а) Воспользуйтесь тем, что линейной заменой Τ превращается
в преобразование S из предыдущей задачи и, следовательно,
метрически сопряжено с отображением χ н-> (2х) mod 1 (χ G [0, 1)), которое
эргодично (см. задачу 2.21 б)).
б) С помощью решения задачи 2.6 а), в котором устанавливается
метрическая сопряжённость отображений jc ι—> 1 — 2х2 или 1 —2|jc|,
сведите задачу к предыдущей.
в) С помощью задач 1.16 б) и 2.6 а) замените отображение Тп
пилообразным отображением fn. Затем, модифицируя утверждение из
задачи 2.24, замените fn отображением χ ι—> пх mod 1 (jc Ε [0, 1)),
эргодичность которого фактически доказана в 2.21 в).
2.26. Для всякого достаточно большого к е N множество А^ =
= {х G X\f(x) ^ т;} имеет положительную меру. Рассмотрите
множество В тех точек χ из А^, для которых Тп(х) £ Ak, n G N (невозвра-
щающиеся точки). Проверьте, что
Т-т(В)Г)В =Т-(т+п\в)Г)Т-п(В) = 0 при всех m,neN.
Конечность меры множества X приводит к тому, что μ(Β) = О, из чего
следует, что почти всякая точка χ из множества Ак возвращается в него
бесконечное число раз, т.е. /*(Г/г(лс)) ^ £ для бесконечного множества
номеров, и Σ f{Tn(x)) = +oo.
Чтобы завершить доказательство, исчерпайте X множествами А^.
2.27. Примените эргодическую теорему к характеристической
функции множества А.
2.28. Пусть В с X — такое множество, чтоμ\(Β) Φ μ2{Β)9Хв — его
характеристическая функция. По эргодической теореме для / = 1,2
</>(*) =HmI Σ Хв(Тк(х))=ы(В)
0^к<п
для всех χ из множества Л,·, для которого μι (Αι) = 1. Поскольку
А\ Г)А2 = 0, отсюда следует доказываемое утверждение.
2.29. а) Пусть сначала /(0) =/(1). Продолжим / до непрерывной
1-периодической функции. Ввиду равномерной непрерывности по
каждому ε > 0 можно найти такое δ > 0, что \f(x + па) — f(xl + па)\ < ε
при всех целых и, если только \х — х'\ < δ. В таком
случае \f(Sn(x)) -f(Sn(x'))\ < ε при всех η е N. Если xyxf e [0, 1),

596 X. Итерации преобразований отрезка · УКАЗАНИЯ
\х -jc'| < δ и в точкех1 выполнено равенство (1), то |σ/ (χ)—σ,{ (jc')| <
< ε при всех п. Отсюда следует, что
1 1
Г f(x)dx - ε ζ Hma/(jc) ^ lima/(;c) ^ Γf(x)dx + ε.
о о
Ввиду произвольности ε отсюда вытекает равенство (1) для точки х.
Если /(0) Φ /(1), то можно подобрать такие функции g, h G C([0, 1]),
что
g(0)=g(l), Л(0) = Л(1), g^f^h, и j"(fc(jc)-g(jr))rfx<e.
о
После этого остаётся воспользоваться неравенствами
σ#(*Κσ/(*Κ *„*(*), σ/?(χ)-σ#(χ)<ε (χ G [0, 1]).
Для доказательства утверждения б) замените в этом рассуждении
функцию / функцией %д.
Доказательство утверждения а) без использования эргодической
теоремы см. в задаче 1.3.9.
2.30. а) Отождествим окружность и промежуток X = [0, 1) таким
образом, чтобы интересующая нас полуокружность перешла в
промежуток Δ = [0, ^), а скачку отвечал сдвиг Т(х) = (х + с) mod 1 на X.
Не умаляя общности, можно считать, что у = ^- G [0, 1). Пусть а
и Ь = (а +у) mod 1 — начальные положения точек, ак = Тк(а),
bk = Tk(b) = (cik+y) mod 1. Тогда условие того, что через к
скачков обе точки попадут в Δ, можно записать в виде ак G А, где
А = [0, \ — у) при У < \ и А = [1 — у, i) при у ^ L·
Воспользуемся равномерной распределенностью последовательности ак (см.
задачу 2.296)): в силу иррациональности числа с среднее число попаданий
первых η точек ак в множество А стремится к длине промежутка λ(Α),
которая равна | ^ — у | при любом у.
Ь)Пуо*ъ^ = ^^ = ^,ак = (а+к£)) modi, bk = (b + kn) modi.
Линейная независимость над Q чисел |, /;, 1 влечёт в силу задачи 2.23
эргодичность сдвига
S(x,y) = ((*+|) modi, (у+77) modi)
на торе X2. Отсюда в силу результата задачи 2.27 частота
попадания точки (аку Ьк) = S*((a, b)) G X2 в множество В = [О, ^) равна

И РЕШЕНИЯ · § 2. Преобразования с инвариантной мерой 597
λ2(Β) = ^ для почти всякой начальной точки (а9Ь). Доказательство
более сильного утверждения о том, что такая частота получается для
каждой начальной точки, требует модификации решения задачи 2.29
применительно к двумерной ситуации. Сначала нужно доказать, что
1 1
Иш1 Σ f(Sk(x9y)) = (ff(s9t)dsdt (1)
οα<* J0 J0
для всех непрерывных функций на X2, удовлетворяющих условию
периодичности /(0, у) = /(1, у), f{x9 0) = f(x9 1), х9у е [0, 1), а затем,
аппроксимируя такими функциями характеристическую функцию
множества В, проверить для неё равенство (1).
2.31. Пусть Т(х) = (2х) mod 1. Для тех χ G [0, 1), которые не
являются двоично-рациональными числами (как всегда, мы при
рассмотрении вопросов, связанных с мерой, пренебрегаем множеством меры
нуль), равенство χ к = 1 означает, что Тк{х) G [^, 1). Так как Τ эрго-
дично (см. задачу 2.21 б)), то по эргодической теореме искомый
предел для почти всех χ равен ^ (см. задачу 2.27). Точно так же
доказывается, что для /7-ичной системы счисления соответствующая частота
равна £. Отсюда сразу выводится следующий факт: множество тех х,
для которых при любом ρ все цифры в р-ичной записи числа χ
встречаются одинаково часто (такие числа называются нормальными), имеет
меру единица. См. также задачи ΙΧ.2.14 и ΙΧ.3.10.
2.32. Если А инвариантно, то Т~п(А) Π А = А при всех η G N и со-
отношение (*) приводит к равенству μ (Α) = (μ(Α)) , т.е. μ (А) равно
нулю или единице.
2.33. Пусть * = Σ§>)>=Σ§: (*ь У к € {0, 1}) — двоичные
разложения чисел χ и у из [0, 1). Если Т(х) =у, то у^ =Xk+\ (к € N).
Докажем сначала соотношение (*) из условия предыдущей задачи для
множеств вида
Δει...ε„, = {xe[0,l)\xk=ek9 к = 1,..., m) (ek G {0, 1})
(назовём их цилиндрами). Если А = ACl...Cw, В = Αηι.„ηρ9 то (при
η > m)
АГ)Т~п(В) = {х\х\ = е\9...9хт =ет9 хп+\ =щ9...9хп+р =Чр} ·

598 X. Итерации преобразований отрезка · УКАЗАНИЯ
Вычисляя меры этих множеств, получаем
А(А) = £, A(B) = i, А(АП7-»(В)) = ^,
и следовательно, соотношение (*) выполняется. Почти так же оно
проверяется для множеств А и В, представимых в виде
конечных объединений цилиндров (в частности, для всех
промежутков с двоично-рациональными концами). Всякое измеримое
множество А можно аппроксимировать с любой точностью ε
множеством А', представимым в таком виде (это означает, что
λ(Α\Α') + λ(Α,\Α) < ε). Будем в этом случае писать А = А'. Если
В L В', то и Т~п(В) = Т-п(В')9 А П Т~п(В) = А'Г) Т~п{В1). Отсюда
следует, что lim \λ(Α П Т~п(В)) - λ(Α)λ(Β)\ ζ 2ε. Поскольку ε
произвольно, соотношение (*) из условия задачи 2.32 доказано.
2.34. а) Доказательство такое же, как в случае меры Лебега (см.
предыдущую задачу).
б) Проверьте совпадение мер на промежутках вида [^, -^г].
в), г) Воспользуйтесь эргодичностью мер μρ (см. задачу 2.32)
и утверждением 2.28.
2.35. Пусть первая цифра числа 2к равна р. Это означает, что для
некоторого m G N справедливо неравенство
m + lgp^klg2 </w + lg(p+ l). (1)
Рассмотрите преобразование S(x) = (χ + a) mod 1 на промежутке
[О, 1) с a = \g2. Соотношение (1) означает, что Sk(0)e [lgp, \g(p + 1)).
Ввиду иррациональности а искомый предел равен lg(l + £) (см.
задачи 2.21 а), 2.296)).
2.36. а) Рассмотрим множества
Δαι...α„ = {* Ξ (0, 1] \а\(х) =а\, .. .,ап(х) = ап} ,
которые являются промежутками монотонности отображения Тп.
Пусть ψ =ψαι...αη — функция (определённая на [0, 1)), являющаяся
обратной к сужению Тп на Δ = Δαι..Μη. Пользуясь явным выражением
для^:
an+t

И РЕШЕНИЯ · § 2. Преобразования с инвариантной мерой 599
(мы опускаем элементарные выкладки), можно вычислить длину Δ:
Α(Δ) - -т-4 Τ ·
Если Λ- [α, β) С [0, 1],то
λ(Τ~η(Α) η Δ) = ψ(β) - ψ(α) = {β-α) -τ— г1;—-R г.
V V ) ) Ψ\Τ) Ψ, ) \Η ) (qn+aqn.i)(qn+fiqn-i)
Поскольку дробь в правой части заключена в пределах между -у^
и 2Α(Δ), мы приходим к неравенству
\ Α(Α)Α(Δ) ζ λ(Τ~η{Α) Π Δ) ζ 2Α(Α)Α(Δ)
для произвольного промежутка А С [0, 1), а следовательно, и для
произвольного измеримого множества А. Если заменить А на меру
Гаусса μ, плотность которой заключена между jr-? и г4' то' заменив
константу 2 на С = р2» мы можем написать неравенство
i μ(Α)μ(Α) ζ μ(Τ-"(Α) Π Δ) < Οι(Λ)/ι(Δ). (1)
Так как значение меры любого промежутка можно восстановить по
её значениям на всевозможных промежутках вида Δ^,...^ (это
следует из того, что Α(ΔΛ,...α/Ι) ίξ 2-π+1), то в неравенстве (1) мы можем
заменить Δ произвольным множеством. Пусть теперь А —
инвариантное множество, а вместо Δ взято множество А = (О, 1]\А Тогда
^ μ(Α)μ(Α) ^ μ(Α Π Α) = О, откуда следует, что μ(Α) = О или μ (А) = 0.
61) Примените утверждение 2.27.
62) Поскольку
h Σ **(*) = £ Σ <ч (**(*)).
эргодическую теорему следует применить к функции f(x) = а\(х).
Однако эта функция не суммируема, так как f(x) = к при χ е (^у» £).
Поэтому заменим / меньшей функцией /# = min(/, Ν), для которой
Hml Σ /*(Γ*(*)) = ώ/^*τ.
Полученное выражение неограниченно возрастает при N —» оо, и
значит, интересующий нас предел также бесконечен.
63) Примените эргодическую теорему к функции f(x) = \па\(х).

600 X. Итерации преобразований отрезка · УКАЗАНИЯ
64) Проверьте сначала равенство рп(х) = Qn-l{T(x))> из которого
вытекает, что
рп(х) Pn-i(T(x)) u u u Ρι(τ-ι{χ)) = _j_
*"(*> "ηη-,(τ(χ)) '" Я1(т*-Нх)) Яп{х)9
и, следовательно,
1 , /л IV-, fPn-k(Tk(x))
-><in(x) = j-l L Щ—τ—τγ
0<*<л \<]п-к{Тк{х))
Если положить f(x) = 1плс, то последнее выражение будет отличаться
от суммы ^ Σ f{Tk{x)) на величину
0^к<п
)<к<п\ Яп-к(Тк(х)) J
0^к<п \ Яп-к{тк(х)).
которая стремится к нулю, потому что для всех χ G (0, 1)
In
Рк/йк
£
Рк/йк
- 1
йк
^•-
ι
1
Рк йкйк+\
Ркйк+\
<
2к-\
(последнее неравенство доказывается по индукции, для чего полезно
выписать рекуррентные соотношения, связывающие рп и qn с рп-\,
Яп-h Рп-2> Чп-г)·
Наконец,
0^k<n

Ответы
Глава I
1.1. Можно. 1.5. N <: На2. 1.15—1.17. Да. 1.21. а) Да.
1.22. а) {0, 1, i, i, ...}; б), в) R; г) [-1, 1]. 1.27. Да. 1.30. б) [-1, 1]
и [0, 2]. 1.34. 1к_\ = Σ 2~~">; только если ν — арифметическая
прогрессия. 1.35. Нет. 1.36. Например, множество вершин правильных
«угольников, вписанных в окружности радиусов 1 — \ с центром
в фиксированной точке. На прямой — множество середин
интервалов, дополнительных к канторову множеству.
2.9. При ^ < ρ ^ 1. 2.18. Лишь в том случае, когда {а*}£=1 —
арифметическая прогрессия. 2.22. Для тригонометрических
многочленов равенство возможно лишь в случае
Ρ (φ) = Μ cos(ji(q> — φο)), а для алгебраических — Р(х) = ±МТп(х),
где Тп — многочлен Чебышёва. 2.25. е) Нет. 2.27. в) При ρ < 0
следует изменить знак неравенства; г) при ρ Ε ( — 1,0) неравенство
выполнено для всех χ Ε (0, 1). 2.40. Неравенства обращаются
в равенства лишь в следующих случаях: а) /*(лс) = Csinx; б) / = 0;
B)/(x)=Csin(x+x0).2.41.g.
3.6. а), в)-д) [-1, 1]; б) R. 3.7. а) {0, I,..., 2zl}, если χ = \ -
несократимая дробь; б)-г) [0, 1]. 3.8. Да. 3.15. б) Нет. 3.17. б) Верно.
Сумма ряда иррациональна.
Глава II
1.1. i. 1.2. а), б) 2. 1.4. ъщхп = limx„ = J ψ, infx„ = x2 = ^J\\
l^x» = \[ϊ· L5· f^rf · 1.6. a) ^ 6) «! < S2 < · · · < S6 > 57 > S8 > .. ·;

602
Глава II
• ОТВЕТЫ
в) S6 = 2,002...; Sn < 2 при η φ 6. 1.7. \.
1.8. —ρ In ρ — (1 - /?)ln(l - ρ), если /? G (0, 1); 0, если ρ = 0 или
/7=1. 1.9. а) ±1п2;б) |; в) \ In 5; г) π In 2; д) я; е) 1. 1.11. а) е"1/18;
б) 2. 1.13. а) 0; б) 2л; в) +оо; г) 0. 1.15. б) С2 = *£.
1.18. б) Сходимость {β„} равносильна ограниченности сверху чисел
-^р. 1.19. ап < 3, а„ —► 1. 1.23. б) Например, хп = пс, где с = In*
при jc > е, и jc„ = п\п(п + 1) при χ = е. 1.25. в) Лишь
последовательности вида хп = С п.
2.5. а), б) Например, {sinInn}. 2.17. в) Например, Е = {к + к\ \ к е Щ;
г)0.
3.1. Ι(*ο + 3χι). 3.2. а) \хх + (1 - 1-)х0; б) ±χλ + (1 - -L)*0.
3.3. a) лс„ ~ п2п~1 (х\ - In |) при jq ^ In |; б) jcw —> 1 при х\ = In ~.
3.7. Последовательность монотонна (убывает) лишь при *ι = (?) .
3.8. Предел последовательности заключен между числами у^^-
и yzj- 3.9. Если *0 ^ /, то хп - I ~ ^^у> ™е
/ = \(а + \/V + 4). 3.10. С - 2у/а, q = ^~^, если х0 > >/«·
3.11. б) Нет. 3.12. а), б) Нет.
Глава III
1.1. а), д) Пустое множество; б) множество всех функций;
в), г) множество постоянных функций; е) множество функций,
имеющих равномерно непрерывную обратную; ж) множество
функций, равномерно непрерывных на R; з) множество функций,
ограниченных на R; и) множество неубывающих функций,
равномерно непрерывных на R 1.2. ж) Нет. 1.5. Да. 1.6. б) Нет.
1.7. Да. 1.12. Утверждение верно для сепарабельного и неверно для
несепарабельного пространства. 1.13. Постоянные функции.
1.14. а) Нет; б) да. 1.23. Функции вида ах + Ъ. 1.25. Да. 1.26. Нет.
2.3. Нет. 2.5. Да, если семейство конечно, а для счетного семейства
это, вообще говоря, не верно.

ОТВЕТЫ ·
Глава III
603
3.10. а) & б); в) φ а). 3.11. а) Нет; б) да. 3.15. 2. 3.16. а s: log3 2.
3.19. Да, g'(0) = §. 3.26. Нет. 3.27. ω(t) = 0(f ln(l + })).
4.1. Нет. 4.2. φ~ι{ή = ^ψ^-. 4.3. Да. 4.4. в) Например, ξ = §, η = i.
5.1 а) Постоянные; 6) /(χ) = g(ln.x), где g — произвольная
непрерывная на R функция, имеющая период In 2. 5.3. /(jc) = A In jc.
5.4. /(χ) = A* In |jc| при χ G R, jc Φ 0, /(0) = 0. 5.5. /(jc) ξ 0 или
/(лс) = χ, 5.6. /(χ) ξ 0, f(x) = χ и, кроме того, /(jc) = —jc, если п —
нечетное число. 5.10. f(x) = A hue + h(\nx), где h — произвольная
непрерывная на R функция с периодом Τ = In |, Л = *^а'т*^ К
5.11. а) φ(1) = 0, <p(jc) = (иис)Я(1п 11пдс|) при 0 < jc < 1, где Я —
произвольная непрерывная на R функция, имеющая период In 2;
б) /(jc) ξ 0, /(jc) ξ 1 или /(jc) = *«ρ(ω(ΐη|1η*|)) При 0 < jc < 1, где
ω — непрерывная на R функция, имеющая период In 2
и удовлетворяющая условию ω(ί + h) — ω(ί) ^ -Л при t, h G Μ,
Λ > 0. 5.12. Например, /(jc) = (signjc)|jc|llnM при jc φ 0, /(0) = 0.
5.13. /(ζ) - ζ или /(ζ) - ζ при |Ζ| = 1, /(0) - 0,
/(ζ) = |ζ|«ρ(α,(1η|ΐη|ζ||)) . ,ί·(1π|ζ|)Η(1η|ΐη|ζ||)/^^ при Q < |ζ| < 1? ще
ω, Я — непрерывные вещественные функции с периодом In 2,
ω (г + h) - ω (ή ^ -Λ при t, h G M, h > 0.
5.15. /(х,у)=^х2+4гу+;у2) + Ь(х+у) + с, где α, Ь, с —
произвольные вещественные числа 5.16. Если / φ const, то
функция g существует лишь в случаях, когда / строго монотонная
на R или / четная, строго монотонная на [0, +оо).
5.17. f(x) =с\х\ +... +спхп, где сь ..., сл ^ 0 и ci + ... +сл = 1.
5.18. а) <р(п) = ξ" (пе Z), где £ G S1; б) </>(*, /) - ζ\ζ[ (к, I G Ζ), где
£ь &^^^ в) Я>(п) —tn (n ^ ^/и)> где £ — корень /w-й степени из
единицы. 5.19. а) φ(χ) = eitx (jc G R), где ί G Μ; б) <p(jc) = е*(х>*\ где
(jc, ί) — скалярное произведение векторов jc, t в W*\
в) <p(jc, n) = βΗχζη (jc G R, n G Z), где ί G R, £ G 51;
ρ) φ(Ζ) = gfiiRez+sImz) (z G С)? ще ,? s G R; д) φ(£) = ξη (ξ £ gl^
где n G Ζ; e) <p(jc) = <?/Μη* (jc > 0), где t G R; ж) φ(ζ) = е,71п|г|(щ)я

604
Глава HI
• ОТВЕТЫ
(ζ G С*), где t G M, n G Ζ. 5.21. Произвольный непрерывный
гомоморфизм φ определяется равенствами а) φ(χ) = ах;
б) <р(х) = еах\ в) φ(χ) = а hue; г) φ(χ) = ха; д) φ(χ) = ешх;
е) φ (ζ) = |z|fl^^ln'z'(pr)", где a, b — произвольные вещественные
числа, п G Ζ.
Глава IV
1.1. Сходится. 1.2. а)-г), е) Расходится; д) сходится. 1.4. а) р > 0;
б) ρ > ^; в) ρ > 2. 1.5. а) Сходится; б)-г) расходится. 1.6. φ = 0.
1.7. а) Для нечетных; б) если <p(t) + φ(π — t) = 0
и φ(-ί) + φ(ί - π) = 0 при ί G [θ, |]. 1.9. а), б), д), ж) Расходится;
в), г), е), з) сходится.
2.3. Нет. 2.7. Да. 2.8. а) Да; б) нет. 2.12. Не всегда. 2.14. г) Не всегда.
2.16. При а = +оо возможна как сходимость, так и расходимость.
2.20. Да. 2.21. От монотонности отказаться нельзя. 2.22. б) Ряд
У^ спап может сходиться, но если сп ] +оо, то он расходится.
2.23. б) Верно.
3.2. б) Да. 3.5. Да; от монотонности отказаться нельзя. 3.8. Нет.
3.14. Для немонотонных последовательностей ж) ^ а).
4.1. \{х - sinjc). 4.2. | cosjc - cos3χ. 4.3,4.4. f. 4.5. 1 + ±.
4·6·} 4^fe·4·7·a) -i^ "2tcos* + *2У>б)arctst^L·· 4·8· f·
0
4.9. 1 - y. 4.10. (y - i In 2) In 2. 4.11. y. 4.12. i (y + In |).
4.13. i(y-ln|).4.14. \\nbi- 1.4.15. 1 -ctgl.
4.16. л(1 - i 1п(2яг)). 4.17. f (1 - 1пя). 4.21. ln/и.
5.1. 2y < x2, q > 2p. 5.2. Да. Сумма ряда не превосходит |зу. 5.3. Да;
S(х) ^ 1 для всех χ > 0. 5.4. Нет; сумма ряда не превосходит Ζ.
5.5. ρ > 1. 5.11, 5.17. Нет. 5.20. Да.
6.3. Например, Ε = \Σ π Ι ε£ = 0 ИЛИ 1 К Вп = Ът\.

ОТВЕТЫ·
Глава IV
605
6.5. а) Например, χ — Σ 2 к · 6.6. а) Нет; в) например,
Е = \ Σ —у~ I €к = 0 или 1 \. 6.11. Пределы равны | и i;
L« ~ £ In n; Lh ~ 2 In η. 6.22. Для всех α > 0 частичные суммы ряда
ограничены снизу на [0, л].
Глава V
1.1. Интеграл сходится. 1.2. Интеграл сходится при ρ > 2.
1.3. Интеграл сходится в следующих трёх случаях: q < — 1, г и ρ
произвольны; q ^ -1, г ^ 1, 1 + q < p; q ^ -1, г > 1, 1 +q < j.
1.4. Интеграл сходится в следующих трёх случаях: q < —1, г и ρ
произвольны; q ^ -1, г ^ 0, ρ > 0; g ^ -1, г > 0, 1 + q < j.
1.5. Интеграл сходится, если q > 1, ρ ^ 0 или g > 1 + р.
1.6. Интеграл сходится при q < -1, /? > 0. 1.7. Интеграл сходится,
если q ^ 0, /? < -1 или g > 0, 2(р + 1) < д. 1.8-1.12. Интегралы
сходятся. 1.13. Интеграл расходится. 1.14. Интеграл сходится.
1.15. а), б) Нет. 1.17. При любом ε > 0. 1.18. а) /(0) In £;
г
б) (/(0) - f J7(x) Же) In |; в) (/(0) - /) In |. 1.21. 0. 1.22. -f In 2.
о
1.23. -*£. 1.24. -fj. 1.25. *£. 1.26. f - arctga. 1.27. f. 1.28. f.
1.29. 0. 1.30. я(|в| + \b\ - \a+b\). 1.31. -γ. 1.32. у2 + ^. 1.33. In4.
1.34. -iln22. 1.35. a), 6) -γ. 1.36. a), 6) (i - ±)y. 1.37. 2-In 2я.
1.38. 0F. 1.39. f; ^V^; \\ (>/2- 1)^|; In2; 2(>/2- 1)0F.
1.40. v/5r. 1.41. ±^~2й. 1.42. a), 6) i^/f. 1.43. 0Fr(±±*)/r(§).
1.44. In ■%. 1.45. 4я2.
vo
2.1. 2In2■ 2.2. a) ^; б) ^; в) (η - 1)!^; г) fn. 2.3. (2*)«/2 .
2.4. а) 2\/2л-(«2 + b2); б) 2(р+1)/2(2л-)("-1)/2Г(^)||«||''.
2.5. 2я-§я||д:||2 при ||х|| О, щ· ПРИ IWI > 1- 1в- я2(сп J ~ 1У
2·7· 7Ш·2·8·'е Int <*>· *« = W¥¥¥при
ί = (*1,'2,'3.'4) € Int (А). 2.9. Μ = ^, Ρ = |, т = ^. 2.10. i.

606
Глава V
• ОТВЕТЫ
2.11. а) Ρι (α) > \ при любом a, Pj(a) -► 1; б) \. 1Л1. f. 2.13. ψ.
2·16·б) iszbr.·2Ж н//(ё(*.>) + 0(*.y))*rfy.
о о
2.19. Ф(дс,зО =π(χ2+^2- 1) прих2+;у2 ^ 1,
Ф(х,зО =я1п(дс2+у2) прих2+;у2 ^ 1.
Глава VI
!·2· зтшо-ы·а) ϊΙΜί -01; б) i |Щ -01; в) ф-у ία а) ^;
б) 5^(2Л)М; в) А; г) §А; д) £ е'*2; е) Aee"A. 1.6. а) £; б) ^;
в) v^4H/4; г) Aln'A. 1.7. а) Ь^; б) ^ξ; в) Ь1^; г) Ь£*
1.9. а) | In i; б) ^| ε; в) § In ±. 1.13. а) \ \^ при ρ < 1, ^ При
Р = 1;б)^;в)|^приР<1^1пАприР=1;г)1^.
1.16. а) ^ е-л при /? = 0, в остальных случаях СрАр~1, где
оо оо
СР= Ρ j ^f А при 0 < |р| < 1, С_! = -1, Ср = -p(p+l) j^dt
о о
при — 2 < ρ < — 1; б) ^ е-Л при /? = — 1, в остальных случаях
оо
СрАР-\ где С, = J ^ А при 0 < ρ < 2, С0 = 1,
о
оо
СР = -р(р + 1) j ^ А при -2 < ρ < 0, ρ φ -1; в) С^"1,
где
СР = Ρ j ^ А при 0 < ρ < 1, d = 1, Ср = р(р - 1) J g dt при
О О
1 < ρ < 2; г) ^ (коэффициенты Ср можно выразить через Г-функцию
Т b oo
Эйлера). 1.20. а) £ f φ(χ) Ac (f(x)dx; б) Cflfb/(0) Г (p(x)dx, где
0 я -оо
С0 = i(signfc - sign a). 1.22. б) f. 1.23. а), б) ^. 1.26. а) | Inn;
Я
б) Inn; в) In Inn; г) Г %^*.

ОТВЕТЫ·
Глава VI
607
2.1. /(0). 2.3. -^Cfe-*'2dt. 2.9. а), б) Г(1 + ^)А'1'Р;
о
з) £>, е^1"?^, где *р = Р'/(Р-1), с, = y^f; и) Г(2 - р)АР^;
к) А-2; л) ¥v^"7/2; м) |(f)3/2; н) I; о) ^ при „ > 0, ^
при ρ < 0. 2.10. а) (а + 1)"+2 ^/J; б) ^/ξ; в) \β(1 + (-1)»л/2);
О S£$ Д· 2-12. * Д 2.13. а) ^; б) СрЛ\ где
Ср = JV'-'Лс; в) V5F j§; г) ^/f j§. 2.16. Нельзя.
3.8, 3.10. Нельзя. 3.12. Нет. 3.13. а) ^; б) &А\ в) Ср^~^, где
ОО
Cpq = U-^- = **L 3.26. a) 2f ^+i)e-^v^; б) β-**ν*5ν;
Pf9 J7 J 1+/*//> smfap/q) J \x" xlJ }
0
-)^^."9.а),в)Г(1 + 1)(1-0-^;
б) У^«р(^5(0), где 5(0 = (p|lnf|)T^ ^ (Р(1 -,))^;
|ln(l-Q|, ч ч |ln(l-Q| 330 , Γ(1+ρ) . g. |1п(1-»Г 33, „ч In2.
4 12(l-02' ; 2(1-0' Fj (1-02'Д; '-' ' j' j 6(l-/p'3j (l-,)2 '
бч я+2 . ч я2 . ч 1'п(1-')1. пч я2 3 34 „ч |1п(1-0|.
б) 8(1-0' Bj 8(l-02' j 2(1-0 'Д) 24(1-02· 3·3 * а) '-' '
б) ^. 3.36. a) f§£e-«V-\ где К = 3(f)2/3;
б) У55 ^"2ν^· 3·37· б) £-b- 3.38. 5W ~ £, где
С=£2*е
2*
*ez

608
Глава VI
• ОТВЕТЫ
4.2. а) у = χ - х2 + \хъ + ...;
б) у = 1 + \{х - 1) - \{х - I)2 + ±(х - I)3 + ...;
в)у = |(х-1)--^(х-1)2 + |§(л-1)3 + ...;
г) у = 1+х - \х2 + \хг + ...;
а) у = -х2 +*3 -х4 +х5 -|дг6 + ...;
е)у = -\х3 + ^х5+0-х6 + ...
4.3. а) у(х) = In* - Inlnx + ^ + |(!^)2 + θ(^);
б)^) = ^(1-^-^ + 0(^));
г) у(х) = ^ (l + ^ + ^ + 0(Sf))· 4-5. Три решения;
>'l(x) ~х, ^2^) ~ —·*> УзОО ~ —χ3 ПРИ * ~> 0.
4.7. УШ « 5,6462... метра. 4.8. -f, -^, ^f. 4.12. а) Ь б) /f;
в) тЬ г) λ/ϊ д)> е) h ж) ^' 3) тЬ- 4Л4· Например,
/(*) =Λ -х2е~^х при0< х ^ 1,/(*) =/(1) при jc > 1.
4.15. а) хп ~ 2nlnn; б) хп ~ \/3n In n. 4.16. Если
г ι ' « (-1)"
последовательность {хп\ не становится стационарной, то хп ~ л—-
или хп ~ -—4=— в зависимости от выбора jcq- В частности, первый
случай осуществляется, если 0 < xq < 1. 4.18. хп ~ ^η1+^, где
^ = (ΐ^Ο + ΡΫ~Ρ)~Ρ. 4.19. хп ~ ((р + 1)1пп)^ ПрИ р > _1?
jc„ ~ >/яй при ρ = -1, *и ~ Срп при ρ < -1, где Ср — константа,
зависящая от р.
Глава VII
1.23. б) j~ ^ -j, —^ ^ g при 2М ^ L#; в остальных случаях
ш < %йр ^ < ι|ΞτΚ~ΐ'где z =2 - %■1·27' Д"»функций
f=fs,g= ft, где /, = (^χ[β,,] + jpZ^X(sM> ^Ъ<*<Ь,
t = j./|. 1.35. Обе величины наибольшие, если вершины

ОТВЕТЫ ·
Глава VII
609
Αϊ,..., Λη_ι делят дугу, соединяющую Aq и Ль на равные части.
1.36. Нет. 1.39. а) у; б) ~-, где g = -^у; в) +оо вне промежутка
[min/', max/']; кусочно линейная функция, имеющая точками излома
значения /' на промежутке [min/', max/']; значения (/*)' суть точки
излома функции /; г) +оо при χ ^ 0, - И- при .ν < 0, где g = -^у;
д) α ν 1 + х2; е) /(—*); ж) χΐηχ -χ при χ > 0, 0 при χ = 0, +оо при
χ < 0. 1.41. /(дс) = у и /(jc) = -i - lnx при χ > 0, f(x) = +оо
при jc ^ 0.
2.7. б) Mi ^ 2^/М0М2. 2.8. Да. 2.9. За2. 2.10. а) Лишь для
1
2'
/(jc) = ±i jc(1 - л); б) нет. 2.11. Да.
3.3 a) Bn(f0,x) = 1, Bn(f\,x)=x, Bn{f2ix) =x2 + i*(l -χ);
6){1 + «/Ξ-1)χ)η.
4.3. При произвольных Я/. 4.4. а), б) λ\, ..., Я^ линейно независимы
над Q. 4.5. а), б) 1, λ\,..., Я^ линейно независимы над Q.
4.10. Существуют; не следует. 4.17. в) Может. 4.19. Только в случае
периодичной последовательности {f*}*GZ· 4.20. Нет.
Глава VIII
1.4. a) i; б) 2; в) ^; г) ±. 1.5. 1. 1.6. а) Да; б) нет. 1.12. Если
коэффициент к наклона прямой положителен и не превосходит 1, то
мера проекции равна у+ (§)Ш' где m = ['°S3 £]· I·*·*· а) Когда
Ит(пл+1 - пк) ^ 2. 1.14.1п = ]Г i; да. 1.18. α = Я2(А), b = L, с = π,
к>п
где L — длина кривой, ограничивающей множество А.
1.30. а) Например, множества Gn = (J (||, ^r·)·
2.5. Например, Σ Ί-~ηΧ(0,οο)(ί ~ гп), где {гп} — последовательность
всех рациональных чисел. 2.6. Да. 2.8. Лишь в случае
Ат({дс е E\f(x) = t0}) = 0. 2.9. а), б), г) F(x) = л + 2arcsin.v при
\х\ ^ 1; в) F(x) = |(я + 2arcsiiuc) при -1 ^ χ ^ 0,
F(jc) = |(я + 4arcsinx) при 0 $ζ jc ^ 1. 2.10. а) Да; б) нет.

610
Глава VIII
• ОТВЕТЫ
2.11. a) F(t - С), F(£), F(j/i); б) F(t). 2.12. в) Вообще говоря, нет.
2.13. а) /*(т) = Ffl (Хт{Е) - г) при 0 ^ τ ^ Хт{Е). 2.14. a) cos \
(0 ^ τ < 2π); б) cos ^ (0 < τ < 2я); в) ctgr (0 < τ < я).
2.15. /*(г) = 1 - £ ((К τ < я). 2.17. Ят(ЕЛ) ^ ^.
3.1. 6С^ - (6C^_j - 1)5! + b(N - l)S2. 3.6. б) Например,
уУ2 2~"\х — rn\~"1//2j , где {гп} — последовательность всех
рациональных чисел. 3.7. Да. 3.8. а) 1 < ρ < 2; б) ρ > 2;
в) -1 < ρ < 2. 3.9. а), б) Да; 0, 0; в) нет; 0, 0; г) нет; ±π.
3.10. а) ρ < 2; б) ρ < 1; в) ρ < 3. 3.13. Например, Ε = (0, 1),
f(x) = (х\ \пх\)~{/р. 3.16. Нет, как видно на примере Ε = (0, 1),
*(*) = 1, /(*) = е1^. 3.19. а) I, I; б) £. 3.20. a) i; б) ^.
3.21. i. 3.22. а) 3; б) F(x) = 0 при ί < 1, F(i) = 1 - (f)" при
η < t < η + 1, /*(r) = η при (§)" < г < (f)"-1. 3.25. (m - l)!fg±g.
r2/2
3-30-Г?Ь) J <He-^.3.31.f(arctga--^).
0
3.32. я2Я2(4а2 +R2). 3.35. (2яГ/2/х/^ТТ. 3.36. 2"1 / p( .
/ ν / / ν r(l+^)
3.37. а) Л^^)МР^Жат_х f F(\\a\\t)(l-t2)^-iy2dt,
°m-2 ) F(N|f)(l " i2)*"1"3)/2*. 3.43. б) Нет. 3.47. а) {m^Cn^
ι
.2
ttl+rt
4-2-б)^.^(1 + Б + ^ + --- + (^)-4-6-Я2(^) + ^ + 2л,где
L — длина кривой, ограничивающей множество А. 4.9. а), в), г), д) ^;
б) §. 4.10. а), б) ρ < 21og3 2; в) ρ < log3 2. 4.12. ^.
5.3. а), в) log2 log2 i; б) у^ log2 i; г) ± log2 log2 |; д) log2 |. 5.5. a) 1;
6) \. 5.6. а), б) §; в) |. 5.7. а), б), в) 2. 5.8. log3 2. 5.9. (In \)j In In |.

ОТВЕТЫ·
Глава VIII
611
5.12. 2 - log3 2. 5.13. в) Нет. 5.20. а) р = 1, vx([a9 b\) = Ub - a);
6) ρ = 1, ^(S1) = я; в) ρ = /ι, v„(G) = ^. 5.21. ρ - log3 2,
vp(<f) = 2"^. 5.22. a) dim//(A) = M-dim(A) = log3 2; 6) dim//(A) = 0,
M-dim(A) = 1; в) dim//(A)=log3 2, M-dim(A)=l. 5.26. a) lm= ]T 2"w*;
6) I; в) oo. 5.28. £f. 5.29. dim^A) = lg 5, dim*(A + A) - 21g3.
6.2. а) Около 14%; б) более 99%. 6.4. Отношение объёмов куба
и шара эквивалентно: а) у/яеп{^)П I б) у/леп{^) е · В п· б)
шар содержится в кубе лишь при η ^ 9. 6.5. б) \/|; в) лишь для
сечений гиперплоскостями вида χ у = ±х^ (к φ j). 6.6. Менее 0,25%.
6.7. Событие |(а,х)| < 10-3 более вероятно. 6.13. б) ^.
6.20. а) α = |, Ь = ^ 1η π, мера сечения стремится к ^/ё;
б) ря = >+ о(1). 6.21. Нет. 6.24. а) е^Ц-
+оо
б) ^(#)"/2exp(f - ^). 6.27. а) £; б) η / ^Λ. 6.29. в) Да.
1
Глава IX
1.1. Сходимость по мере есть во всех случаях, кроме д).
Суммируемая мажоранта есть только в случаях а), г). 1.5. Нет.
1.10. Да. 1.11. Да. 1.12. Нет. 1.14. Нет. 1.15. а) Да; б) нет.
2.10. a) i; б) 0; в) §; г) \. 2.11. π2. 2.19. q>(±).
1
3.1. а) 2-"; г) 1 - 2х. 3.4. а) ψ; б) е~и/2 (eixtda{x), где σ —
о
канторова функция; в) fj ch(zc*). 3.12. a) F — канторова
функция; б) F(t) = 5(1 + 0 при |;| ^ 1, F(r) = j(l + sigiu) при
\t\ ^ 1. 3.20. б) В правой части неравенства можно поставить
<Э(<521п|),где<5 = А(б>).

612
Глава IX
• ОТВЕТЫ
4.1. /(л) ~ Са/|п|1+а, где Са = -% Г и""1 sinudu при α ^ 0.
0
4.5. а) Нет. 4.9. Лишь для функций вида a cosjc + bsinjc.
4.11. а), б) При ρ > 0. 4.35. а), б) fCl *fC2=f пгГ7г>
fc = (S)'"/2/l/c; в) /с, * fC2 = fc1+c2, Ms) = e-cH
4.36. hn(s) = ^-r^-hn(s). 4.44. Нагрузка в нуле или мера с плотностью
(2nc)-mt2e-\\xW2tW (с > 0). 4.46. IR ~ ^1п2Д. 4.47. а) р > |;
б) ^Λ ~ \6VbiR. 4.50. Нет. 4.52. Да.
Глава X
1.2. а), в) Нет; б) да. 1.3. h(x) = 1-х, к{х) = -х. 1.6. Нет. 1.7. Нет.
1.13. а), в), д) Да; б), г) нет. 1.14. а), б) Да, если (а - \){β - 1) > 0,
нет в противном случае; в) нет. 1.15. а) Ъ = |(я2 - 2а), a G R; б) для
а ^ -| (Ь = 1 ± \/1 + 4я при α ^ 0; Ь = 0 при α = 0) В = R \ {2};
г) для α = ^ b(b - 2) при Ь G [0, 2) U (2, 4]; при этом Δ = [—х\, х\]
при Ь G [0, 1], Δ = [-*2»*2] ПРИ b G [1, 2), Δ = [xj, -xj] при
b G (2, 4], где x\9 X2 — корни уравнения f(x) = jc, xj ^ χ2- 1.20. a) 0;
6) 2; в) -2; г), д), е) 1; ж) у/5 - 1. 1.21. б) limjc,, = 0 при
хо G (—1, 2), Нтхя = 2 при xq g {—1, 2}, limx„ = +оо при
остальных значениях xq; в) предел равен ~ 2 ~ fl при
Ι*θΙ < 1±ΐΞ^, -Ц^ при |х0| = Щ=^, +оо при остальных
х0; г) предел равен -'+VTO при |*0| < 1-±ψ^, ~'~^ при
1*01 — —2д ' ~^°° ПРИ остальных -*(Ъ Д) предел равен —^ ПРИ
|jc0| < 1+VP"? 1+vp^ при |jc0| = 1+vp^? +oo при остальных
xq; е) предел равен с при xq £ [с - 1, с], +оо при остальных xq»
ж) \imxn = ^ при xq ¥" Ь Ншхя = 1 при xq = 1; з) предел равен 0
при |*о| < -д, ϋ ПРИ 1*01 > ~7s» не существует при \xq\ = -у=.
1.23. а), б) хп —> γ^ при |я| < 1 и любом *о> ПРИ остальных а
последовательность либо расходится, либо стабилизируется; в) при

ОТВЕТЫ ·
Глава X
613
а ^ ^ — см. ответ к задаче 1.21 в), при а > ^ последовательность
либо расходится, либо стабилизируется; г) при а е [е~еу\] для всех
xq ε Ш. последовательность {хп} сходится к единственной
неподвижной точке функции /, при а е (1, ех1е) имеем Х\тхп — χ
при xq < χ, limx« = χ при xq = χ, lim-Хл = +οο при xq > χ, где χ, χ
(χ < χ) — неподвижные точки функции /, при остальных α
последовательность {хп} либо расходится, либо стабилизируется.
1.33. а), б) При а = 1 имеется континуум 2-циклов {г, 1 - г},
t G [0, ^), при α > 1 — один отталкивающий 2-цикл < —I^, -^ I
и от одного до трёх отталкивающих 4-циклов;
в) при а > 4(1 + л/5) = 1,618... имеются два отталкивающих
λ ττιττίττη· ί 1~fl-fl2 1+fl~fl2 1+fl+fl2] IT fl-fl+fl2 1+a-fl2 1-g-fl2)
З.цикла. j-y^-, -j^r-· -н^з-;и \-г=^з-· -^ΖαΓ> τ^->
при α = i(l + д/5) они сливаются в один. 1.34. Притягивающая
неподвижная точка и притягивающий 2-цикл существуют,
соответственно, при а < ^ и ^ < а < j;2-, 4-и 3-циклы существуют,
соответственно, при а>|, а>|иа>|. 1.35. а) Ь = 3;
б), в) Ь = 1 + V6 = 3,449...; г) Ъ = 1 + 2\/2 = 3,828... 1.42. б) Нет.
2.6. а) άμ = -ψ=Λ б) άμ = -4*£_ при |jc| < 1, ^ = -4£- при
|jc| > 1 (Α, β > 0). 2.10. а) Да, άμ=^ {χφ 0); б) нет. 2.11. а) Да,
4" = Фм <* ^ °> !>; б) нех 2Л4· а) PU =4AJ n ^-1(А,))/Я(А,·).
2.15. άμ = f άχ, где a) f(x) = 0 при χ < ^, /(χ) = /(§ — *) при
jc > ^; 6) /(χ) = j при χ < ^, f(x) = | при χ > ^; в) предельная
мера сосредоточена в точке 0. 2.16. άμ = -^-γ-. 2.17. άμι = -^г~>
у *
άμχ = χχ у. 2.21. а) Да, лишь в случае, когда а иррационально;
б), в) да; г), д) да, лишь в случае, когда среди собственных чисел
матрицы А нет корней из единицы. 2.23. а\,..., ап должны быть
линейно независимы над Q по модулю 1. 2.28. μ (А). 2.30. а) |^ - ^|
при 0 < а < 2л; б) I. 2.31. ±, ±. 2.35. lg(l + ±).

Список литературы
[АМХ] Акилов Г. П., Макаров Б. М, Хавин В. П. Элементарное введение в
теорию интеграла. Л.: Изд-во ЛГУ, 1969.
[А] Александров А. Б. Лакунарные ряды и псевдопродолжения.
Арифметический подход II Алгебра и анализ. 1997. Т. 9 (1). С. 3-31.
[АИН] Алимов Ш. Α., Ильин В. Α., Никишин Ε. Μ. Вопросы сходимости
кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений
II УМН. 1976. Т. 31 (6). С. 28-83.
[Ан] Андреев Д. Н. Об одной замечательной нумерации положительных
рациональных чисел II Математическое просвещение. Третья серия.
1997. Вып. 1.С. 126-134.
[Ар] Арнольд В. И. Математический тривиум II УМН. 1991. Т. 46(1).
С. 225-232.
[АКТШ] Арнольд В. И., Кириллов Α. Α., Тихомиров В. М., Шубин М. А. О
первой Всесоюзной математической олимпиаде студентов II УМН.
1975. Т. 30(4). С. 281-288.
[АКЧ] Архипов Г. И., Карацуба Α. Α., Чубариков В. Н. Теория кратных
тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.
[Б] Белинский Э. С. О росте констант Лебега частичных сумм,
порождённых некоторыми неограниченными множествами II Теория
отображений и приближение функций: Сб. науч. тр. / АН УССР, Ин-т
прикл. мат. и мех. Киев: Наук, думка, 1983.
[Бе] Бернштейн С.Н. О сходимости некоторых последовательностей
многочленов II Собрание сочинений. Т. 2: Конструктивная теория
функций (1931-1953). М.: Изд-во АН СССР, 1954. С. 187-196.
[Би] Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М.: Мир,
1969.

Список литературы
615
[БЯ] Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры и тела II
Энциклопедия элементарной математики. Кн. 5: Геометрия / Глав. ред.
П. С. Александров и др. М: Наука, 1966. С. 182-269.
[Бу1] Бурбаки Н. Очерки по истории математики II Элементы математики.
М: Изд-во иностр. лит., 1963.
[Бу2] Бурбаки Н. Функции действительного переменного. Элементарная
теория II Элементы математики. [Кн. 4.] М: Наука, 1965.
[В] Виноградов И. М. Основы теории чисел. М: Наука, 1965.
[By] Вулих Б. 3. Краткий курс теории функций вещественной
переменной. М: Наука, 1973.
[Г] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М: Наука, 1988.
[ГЛ] Гельфонд А. О., Линник Ю. В. Элементарные методы в
аналитической теории чисел. М.: Физматгиз, 1962.
[ГО] Гринберг П. В., Ольшанский Д. Р. Размерность Хаусдорфа остатков
выпуклых упаковок: Дипломная работа / Рук. А. А. Флоринский. СПб.:
Спец. ф-т СПбГУ, 1998.
[Д] Дороговиев А. Я. Математический анализ: Сб. задач. Киев: Выща шк.,
1987.
[3] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М: Мир, 1965.
[Зо] Зорин В. А. Математический анааиз. Ч. 1. М.: Наука, 1997.
[И] Иванов Л. Д. Вариации множеств и функций. М: Наука, 1975.
[Из] Избранные задачи из журнала «American Mathematical Monthly». M.:
Мир, 1977.
[Ин] Ингам Α. Ε. Распределение простых чисел. М.; Л.: ОНТИ, 1936.
[К] Канторович Л. В. О сходимости последовательности полиномов
С. Н. Бернштейна за пределами основного интервала II Изв.
АН СССР. ОМЕН. 1931. С. 1103-1115.
[Ка] Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1989.
[Кар] Карлесон Л. Избранные проблемы теории исключительных
множеств. М.: Мир, 1971.
[Ках] Кахан Ж.-П. Случайные функциональные ряды. М.: Мир, 1973.

616
Список литературы
[Кац] Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей,
анализе и теории чисел. М: Изд-во иностр. лит., 1963.
[КН] Кейперс Л., Нилеррейтер Г. Равномерное распределение
последовательностей. М: Наука, 1985.
[Ке] Келли Д. Л. Общая топология. М: Наука, 1968.
[КФ] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и
функционального анализа. М: Наука, 1989.
[Ко] Конягин С. В. О проблеме Литтлвуда II Изв. АН СССР. Сер. матем.
1981. Т. 45(2). С. 243-265.
[КСФ] Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. М:
Наука, 1980.
[Kyj Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. В 2 т. М: Высш. шк., 1970.
[Л1 Левитан Б.М. Почти периодические функции. М: Гостехтеоретиздат,
1953.
[Ло] Лозановский Г. Я. Характеризация степеней функции посредством
функциональных неравенств II Качественные и приближённые
методы исследования операторных уравнений: Межвуз. темат. сб. Вып. 2.
/ Яросл. гос. ун-т Ярославль: Изд-во Яросл. гос. ун-та, 1977. С. 162-165.
[Лу] Лузин Н.Н. Метрическая теория функций и теория функций
комплексного переменного II Собрание сочинений. Т. L М: Изд-во
АН СССР, 1953.
[М] Макаров Б.М. р-абсолютно суммирующие операторы и некоторые
их приложения II Алгебра и анализ. 1991. Т. 3 (2). С. 1—76.
[Ма] Математика сегодня'. Науч. сб. / Под ред. А. Я. Дороговцева. Киев:
Выща шк., 1983.
[МУ] Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология: Начальный
курс. М.: Мир, 1972.
[My] Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. М.:
Мир, 1991.
[Наз] Назаров Ф.Л. О доказательстве Мак Ги, Пиньо и Смита гипотезы
Литтлвуда /7 Алгебра и анализ. 1995. Т. 7 (2). С. 106—120.
[О] Осколков К. И. О спектрах равномерной сходимости II ДАН СССР.
1986. Т. 288 (1). С. 616-620.

Список литературы
617
[Π] Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры.
М.: Мир, 1983.
[Па] Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов
Чебышёва. М: Наука, 1983.
[По] Подкорытов А.Н. Об асимптотике преобразовании Фурье на
выпуклой кривой II Вестник ЛГУ. Сер. 1. 1991. Вып. 2. С. 50-57.
[НС] Полна Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа: В 2 т. М.: Наука, 1978.
[Р] Решетняк Ю. Г. Сборник задач по курсу математического анализа.
Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1979.
[Ри] Риман Б. О возможности представления функции посредством
тригонометрического ряда Я Сочинения. М.; Л.: ОГИЗ, 1948.
[Ро] Рохлин В. А. Точные эндоморфизмы пространств Лебега II Изв.
АН СССР. Сер. матем. 1961. Т. 25. С. 499-530.
[Ру] Рудин У Основы математического анализа. М.: Мир, 1976.
[СГК] Садовничий В. Α., Григорьян Α. Α., Конягин С. В. Задачи студенческих
математических олимпиад. М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1987.
[СП] Садовничий В. Α., Подколзин А. С. Задачи студенческих олимпиад по
математике. М.: Наука, 1978.
[СТ] Сергеев В.Н., Тоноян Г. А. Студенческие математические
олимпиады. Ереван: Изд-во Ерев. ун-та, 1985.
[Т] Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.
[Ти1] Тихомиров В.М. Теорема Чебышёва о распределении простых чисел
//Квант 1994. №6. С. 12-13.
[Ти2] Тихомиров В. М. Две теоремы Бернштейна II Квант. 1997. № 1.
С. 21-23.
[Тр] Трост Э. Простые числа. М.: Физматгиз, 1959.
[У] Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики.
Т. 1. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1951.
[ФШ] Фельдман Н. И., Шидловский А. Б. Развитие и современное состояние
теории трансцендентных чисел II УМН. 1967. Т. 22 (3). С. 3—81.

618
Список литературы
[Φ] Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления: В 3 т. / Предисл. и примеч. А. А. Флоринского. М: ФИЗМАТЛИТ,
2000-2001.
[ХЛП] Харди Г. Г, Литтльвуд Дж. Е., Полна Г. Неравенства. М: Изд-во иностр.
лит., 1948.
[XI Хинчин А. Я. Цепные дроби. М: Наука, 1978.
ИД] Цагир Д. Первые 50 миллионов простых чисел: пять экскурсий II Бо-
ро В. и др. Живые числа. М: Мир, 1985. (Соврем, математика. Попул.
серия.)
[Ш] Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного отображе-
ния прямой на себя II Укр. мат. журн. 1964. Т. 16 (1). С. 61-71.
[Шв] Шварц Л. Математические методы для физических наук. М.: Мир,
1965.
[Ши] Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987.
[Шм] Шмидт В. Диофантовы приближения. М.: Мир, 1983.
[Ball] Ball К. Cube slicing in Шп II Proc. Amer. Math. Soc. 1986. V. 97(3).
P. 465-473.
[Br] Bruckner A.M. Differentiation of Real Functions. Berlin: Springer, 1978.
[CE] Collet P., Eckmann J.-P. Iterated Maps on the Interval as Dynamical
Systems. Basel: Birkhauser, 1980.
[CHS] Connes Α., Haagerup U., St0rmer E. Diameters of state spaces of type III
factors II Lect. Notes Math. 1985. V. 1132. P. 91-116.
[DMFP] Dekking M., Mendes France M., van der Poorten A. J. Folds! II Math.
Intelligencer. 1982. V. 4(3). P. 134-138.
[ES] Erdos P., Stein S. Sums of distinct unit fractions II Proc. Amer. Math. Soc.
1963. V. 14(1). P. 126-131.
[F] FefFerman Ch. On the divergence of multiple Fourier series II Bull. Amer.
Math. Soc. 1971. V. 77 (2). P. 191-195.
[G] Grothendieck A. Resume de la theorie metrique des produits tensoriels
topologiques II Bol. Soc. Mat. Sao Paulo. 1956. V. 8 (1-2). P. 1-79.

Предметный указатель
619
Haagerup U. The best constants in the Khintchine inequality II Studia
Mathematica. 1981. V. 70(3). P. 231-283.
Hata M. Rational Approximations to π and some other numbers II Acta
Arithmetics 1993. V. 63 (4). P. 335-349.
Heinig H. P., Maligranda L. Chebyshev inequality in function space II Real
Analysis Exchange. 1991. V. 17. P. 211-247.
Klambauer G. Problems and Propositions in Analysis. N.-Y; Basel: Marcel
Dekker, 1979.
Knapp A. W. Group representations and harmonic analysis from Euler
to Langlands II Notices of the AMS. 1996. V. 43 (4). P. 410-415.
Li T.-Y, Yorke J. A. Period three implies chaos II Amer. Math. Monthly.
1975. V. 82(10). P. 985-992.
Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces II Function Spaces.
Berlin; N.-Y: Springer, 1979.
Lorenz G.G. Approximation of Functions. N.-Y: Holt Rinehart & Winston,
1966.
°° 2
Matsuoka Υ An elementary proof of the formula Σ, — = \ II Amer.
Math. Monthly. 1961. V. 68. P. 486-487.
McGeheeO.C, Pigno L., Smith B. Hardy inequality and l) norm of
exponential sums II Ann. of Math. 1981. V. 113 (3). P. 613-618.
Mendes France M., Tenenbaum G. Dimension des courbes planes, papiers
plies et suites de Rudin-Shapiro II Bull. Soc. Math. France. 1981. V. 109 (2).
P. 260-267.
Rodes F, Thompson C. L. Rotation number for monotone functions on the
circle II J. Lond. Math. Soc. 1986. V. 34(2). P. 360-368.
Singer D. Stable orbits and bifurcations of maps of the interval II SIAM.
J. Appl. Math. 1978. V. 35 (2). P. 260-267.
Sylvester J. J. On a point in the theory of vulgar fractions II Amer. J. Math.
1880. V. 3. P. 332-335.
Szarek S.J. On the best constants in the Khintchine inequality II Studia
Mathematica. 1976. V. 58. P. 197-208.

Предметный указатель
А
Абеля метод 72
— преобразование 22
— признак 63
— теорема 72
автоморфизм тора 211
Адамара—Ландау неравенство 420
Б
Безье кривые 410
Бернштейна многочлены 127
— неравенство 24
Бесселя функции 90
Биркгофа—Хинчина теорема 216
Боголюбова—Крылова теорема 215
Бореля теорема 124
В
Валлиса формула 34
Ван дер Корпута неравенство 77
вариация функции 51
Вейерштрасса пример 54
Вейля критерий 218
— суммы 77
вероятностная мера 215
Виртингера неравенство 28
вогнутая функция 112
Вороновской формула 130
выпуклая последовательность 116
— функция 112
Г
гамма-функция Эйлера 100
Гаусса преобразование 219
гауссова мера стандартная 152
Гёльдера неравенство 119
Гиббса явление 190
гипотеза Литтлвуда 551
гомоморфизм 60
Гронуолла неравенство 125
Гульдина теорема 153
д
Дарбу теорема 49
двоичная последовательность 12
Декарта правило 73
Дирихле теорема 242
об арифметической
прогрессии 109
— функция 45
дискретное множество 14
дробная часть числа 29
дробь непрерывная 219
— подходящая 219
— цепная 219
Ε
Егорова теорема 175
3
закон больших чисел 177
усиленный 178
значение функции критическое 55
среднее вдоль траектории 216
на множестве 166
И
Иенсена неравенство 113
изопериметрическое неравенство 29
инвариантная мера 210
— функция 215
инвариантное множество 215
инволюция 201
интеграл Фейнмана 355
— Френеля 83
— Фруллани 80
— Эйлера—Пуассона 83
итерационный процесс Ньютона 206
К
калибровочная функция 154
канторова функция 51
, соответствующая множеству 52
канторово множество 15
Карлемана неравенство 316
— особенность 194

Предметный указатель
621
квазиинвариантная мера 212
квазитригонометрический
многочлен 190
квантиль 176
Коши признак 63
кривая Пеано 57
— Хиронака 161
кривые Безье 410
критерий Вейля 218
критическая точка 55
критическое значение функции 55
Л
лакунарная последовательность 191
Лапласа формула 96
Лежандра преобразование 120
лемма о трёх хордах 113
— Фейера 365
Литтлвуда гипотеза 551
Лиувилля теорема 30
— число 31
Лузина—Данжуа теорема 520
Μ
Маркова неравенство 235
Марцинкевича теорема 469
медиана функции 145
мера абсолютно непрерывная 210
— вероятностная 215
— гауссова стандартная 152
— инвариантная 210
— квазиинвариантная 212
— Хаара 211, 214
— Хаусдорфа 162
— эквивалентная 210
меры взаимно сингулярные 217
метод Абеля 72
— последовательных
приближений 204
— Чезаро 72
метрическая размерность 160
метрически сопряжённые
отображения 216
метрический порядок 160
Минковского неравенство 20, 28
— теорема 453
многочлен
квазитригонометрический 190
многочлены Бернштейна 127
— Рудина—Шапиро 193
— Чебышёва 23
, эктремальное свойство 24
множество дискретное 14
— инвариантное 215
— канторово 15
обобщённое 16
однородное 16
с постоянным отношением 16
— относительно плотное 131
Морса последовательность 135
Η
неподвижная точка 201
притягивающая
(отталкивающая) 206
непрерывная дробь 219
неравенство Адамара—Ландау 420
— Бернштейна 24
— Ван дер Корпута 77
— Виртингера 28
— Гёльдера 119
— Гронуолла 125
— Иенсена 113
— изопериметрическое 29
— Карлемана 316
— Маркова 235
— Минковского 20, 28
— Харди—Ландау 315
— Хинчина 185
— Чебышёва для вогнутых
функций 413
монотонных функций 240
функций распределения 148
— Юнга 121
Ньютона итерационный процесс 206
О
обмотка тора 443
образ меры 210
оператор Перрона—Фробениуса 212
определяющая последовательность 16
особенность Карлемана 194
отображение сопрягающее 202
отображения, сопряжённые
метрически 216
—, — топологически 202
Π
Пеано кривая 57
перемешивание 218
перестановка функции 145
период точки 207
периодическая плотность
множества 41

622
Предметный указатель
периодическая точка 207
Перрона—Фробениуса оператор 212
плотность меры 210
— множества 40
периодическая 41
— последовательности 40
подходящая дробь 219
полунепрерывная функция 48
Помпейю пример 282, 479
порядок метрический 160
последовательность выпуклая 116
— двоичная 12
— лакунарная 191
— Морса 135
— определяющая 16
— почти периодическая 134
по Безиковичу 136
— равномерно распределённая 217
— Рудина—Шапиро 137
— складок 136
последовательных приближений
метод 204
постоянная Эйлера 39
правило Декарта 73
преобразование Абеля 22
— Гаусса 219
— Лежандра 120
— пекаря 210
— Фурье 195, 196
— эргодическое 215
признак Абеля 63
— Коши 63
пример Вейерштрасса 54
— Помпейю 282, 479
— Урысона 485
— Феффермана 201
принцип минимума модуля 126
произведения Рисса 190
производная Шварца 126
Ρ
равноизмеримые функции 144
Радемахера функции 179
Радона—Никодима теорема 210
размерность метрическая 160
— хаусдорфова 163
распределение хи-квадрат 472
Рисса произведения 190
Рота теорема 245
Рудина—Шапиро многочлены 193
— последовательность 137
С
Сарда теорема 55
свёртка 188, 195
сдвиг по модулю 141
сопрягающее отображение 202
сопряжённая функция 195
спектр квазитригонометрического
многочлена 190
Стирлинга формула 39, 100
суммы Вейля 77
— Чезаро—Фейера 191
Τ
теорема Абеля 72
— Биркгофа—Хинчина 216
— Боголюбова—Крылова 215
— Бореля 124
— Гульдина 153
— Дарбу 49
— Дирихле 242
об арифметической
прогрессии 109
— Егорова 175
— Лиувилля 30
— Лузина—Данжуа 520
— Марцинкевича 469
— Минковского 453
— о диагональной
последовательности 175
— Радона—Никодима 210
— Рота 245
— Сарда 55
— Фейера 545
— Фробениуса 72
— Шарковского 208
— Шварца 50
— Штольца 38
топологически сопряжённые
отображения 202
точка критическая 55
— неподвижная 201
притягивающая
(отталкивающая) 206
— периодическая 207
траектория точки 207
У
Урысона пример 485
Φ
Фейера лемма 365
— теорема 545
— ядро 192

Предметный указатель
623
Фейнмана интеграл 355
Феффермана пример 201
Фибоначчи число 36
формула Валлиса 34
— Вороновской 130
— Лапласа 96
— Стерлинга 39, 100
Френеля интеграл 83
Фробениуса теорема 72
Фруллани интеграл 80
функции Бесселя 90
— равноизмеримые 144
— Радемахера 179
— Хаара 184
— эквивалентные 142
функция выпуклая (вогнутая) 112
логарифмически 118
строго 112
— Дирихле 45
— инвариантная 215
— калибровочная 154
— канторова 51
, соответствующая множеству 52
— максимальная Харди—Литтл-
вуда 193
— ограниченной вариации 51
— положительно определённая 125
условно 125
— полунепрерывная 48
— равномерно почти периодическая
(р. п. и.) 132
— распределения 144
— сопряжённая 195
—, вариация функции 51
—, критическое значение 55
—, медиана 145
—, перестановка 145
—, среднее значение вдоль
траектории 216
—, на множестве 166
Фурье преобразование 195, 196
X
Хаара мера 211, 214
— функции 184
характер группы 60
Харди—Ландау неравенство 315
Харди—Литтлвуда функция
максимальная 193
Хаусдорфа мера 162
хаусдорфова размерность 163
Хинчина неравенство 185
Хиронака кривая 161
ц
цепная дробь 219
цикл 207
— притягивающий (агталкива-
ющий) 207
Ч
Чебышёьа многочлены 23
, эктремальное свойство 24
— неравенство для вогнутых
функций 413
монотонных функций 240
функций распределения 148
Чезаро метод 72
Чезаро—Фейера суммы 191
числа, линейно независимые над
полем Q 131
—, по модулю 1 131
число вращения (гомеоморфизма
окружности) 210
— Лиувилля 31
— нормальное 178, 597
— Фибоначчи 36
Ш
Шарковского теорема 208
Шварца производная 126
— теорема 50
шварциан 126
Штольца теорема 38
Э
Эйлера гамма-функция 100
— постоянная 39
Эйлера—Пуассона интеграл 83
эквивалентные меры 210
— функции 142
эндоморфизм тора 211
эргодическое преобразование 215
Ю
Юнга неравенство 121
Я
явление Гиббса 190
ядро Фейера 192
г:-почти период 133
ε-различимое множество 159
ε-сеть 159
ε-энтропия 159

Учебное издание
Борис Михайлович МАКАРОВ, Мария Геннадиевна ГОЛУЗИНА,
Андрей Александрович ЛОДКИН, Анатолий Наумович ПОДКОРЫТОВ
Избранные задачи по вещественному анализу
Редактор О. М. Рощиненко
Издательство «Невский Диалект». 195220, Санкт-Петербург, Гражданский пр., 14.
Л Ρ Νβ 065012 от 18.02.1997.
Издательство «БХВ-Пстербург». 198005, Санкт-Петербург, Измайловский пр., 29.
ИД № 02429 от 24.07.2000.
Подписано в печать 25.01.2004. Формат 60x88Vi6. Бумага газетная. Печать офсетная.
Гарнитура TimeRoman. Усл. печ. л. 38,13. Тираж 3000 экз. Заказ № 3073
Отпечатано с готовых диапозитивов в Академической типографии «Наука» РАН.
199034, Санкт-Петербург, 9 линия, 12.

Б. Μ. Макаров, Μ. Г. Голузина,
А. А. Лодкин, А. Н. Подкорытов