PROBABILITY AND MATHEMATICAL STATISTICS
A Series of Monographs and Textbooks
STOCHASTIC INTEGRALS
H. P. McKEAN, Jr.
The Rockefeller University
New York
ACADEMIC PRESS
NEW YORK • LONDON
1969
I
I

БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА «МАТЕМАТИКА»
Г. МАККИН
СТОХАСТИЧЕСКИЕ
ИНТЕГРАЛЫ
Перевод с английского
С. А. МОЛЧАНОВА
Под редакцией
Е. Б. ДЫНКИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1972

УДК 519.21
ссп
Замечательное по четкости и богатству материала введение
в теорию стохастических интегралов и стохастических
интегральных уравнений. За последние годы эти вопросы приобрели
большое значение и в теории случайных процессов, и в области
приложений вероятностных методов к дифференциальным
уравнениям с частными производными, и в теории оптимального
управления.
Книга предназначена для математиков, я также для научных
работников других специальностей, интересующихся
приложениями вероятностных методов. Она будет полезна
преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов.
Редакция литературы по математическим наукам
2-2-3
29-72
НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА
ьм. Горьквго
МГУ
Ш4- <г- & v' .#$
Г. МАККИН
Стохастические интегралы
Редактор И. А. Маховая
Художник Д. В. Орлов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Т. А. Максимова
Сдано в набор 22/11 1972 г.
Подписано к печати 25/VIII 1972 г.
Бумага кн. журн. 84X108732=2,88 бум. л. 9,66 усл. печ. л.
Уч.-изд. л. 8,19 Изд. № 1/6582
Цена 57 коп. Зак. 81
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома Государственного Комитета Совета
Министров СССР по делам издательств, полиграфии
И книжной торговли. Измайловский проспект, 29.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
На рубеже 40-х и 50-х годов произошли коренные
изменения в характере взаимоотношений между
теорией вероятностей и математическим анализом: если
прежде вероятностные задачи решались
аналитическими методами, то теперь- все большее применение
стали находить вероятностные методы для решения
аналитических задач. На стыке двух математических
дисциплин стала быстро развиваться новая область,
которую можно условно назвать вероятностным
анализом. Одним из сильнейших орудий в этой
области являются стохастические интегралы и
основанные на них стохастические дифференциальные
уравнения. Они позволяют строить широкие классы
случайных процессов, отправляясь от простейшего
процесса — броуновского движения, и дают
возможность сводить задачи об эллиптических и
параболических уравнениях с частными производными к
исследованию системы обыкновенных дифференциальных
уравнений, хотя и стохастических. Аппарат
стохастических интегралов широко используется в теории
оптимального управления.
Теория стохастических дифференциальных
уравнений была создана 20—25 лет назад независимо
друг от друга К. Ито и И. И. Гихманом. Их
предшественниками были С. Н. Бернштейн и Н. Винер.
Основные результаты о стохастических интегралах
и стохастических дифференциальных уравнениях
изложены в ряде монографий (Дуб [1], Скороход [2],

б ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Дынкин [3], Гихман и Скороход [2*]). Современное
состояние теории хорошо отражено в недавно
вышедшей монографии Гихмана и Скорохода [Г].
Написанная также на вполне современном уровне книга
Маккина значительно меньше по объему, содержит
больше конкретных примеров и применений и поэтому
больше подходит для первоначального ознакомления
с предметом. Важными достоинствами книги являются
живой и неформальный стиль, продуманный и свежий
отбор материала, четкое изложение доказательств (все
сколько-нибудь длинные доказательства явно
расчленяются на отдельные шаги). Книгу можно
рассматривать как естественное дополнение к совместной
монографии Ито и Маккина [1], где стохастические
интегралы вовсе не рассматриваются. Однако читать
обе книги можно независимо.
Книга содержит ряд новинок методического
характера, позволяющих существенно упростить
доказательства. Вместе с тем необходимо отметить, что
лаконичный стиль изложения предъявляет высокие
требования к культуре читателя и требует от него
значительной самостоятельной работы. Менее
подготовленному читателю может помочь разделение
всего материала на основной и дополнительный (сам
автор такого разделения не проводит). При первом
чтении целесообразно детально изучить
фундаментальные понятия, изложенные в разд. 1.1 — 1.4, 1.7,
2.1-2.4, 2.6, 2.7, 2.9, 3.1-3.5, 4.1-4.4, бегло
просмотрев остальные. В дальнейшем читателю
несомненно захочется разобраться глубже в содержании
этих дополнительных разделов. Читать их можно
почти независимо друг от друга, но в целом они
дают яркую картину связей предмета книги чуть ли
не со всеми разделами математики. Прежде чем
приступать к чтению, читателю рекомендуется
ознакомиться с указателем обозначений, помещенным
в конце книги.
Конечно, книга далеко не исчерпывает всех
направлений теории стохастических интегралов.
Некоторые из них хорошо освещены в упоминавшейся выше
монографии Гихмана и Скорохода (стохастические

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 7
дифференциальные уравнения для разрывных
процессов, асимптотическое поведение решений,
предельные теоремы). Дополнительные указания относительно
литературы можно найти в обзоре Фрейдлина [Г].
Из более новых работ, еще не отраженных в
монографической литературе, отметим исследования Вент-
целя и Фрейдлина [Г], о малых возмущениях
динамических систем, работы Липцера и Ширяева [Г],
Фуджисаки, Каллинапура и Куниты [Г] по
нелинейной фильтрации, а также содержащие совершенно
новый подход к решению стохастических
дифференциальных уравнений работы Струка и Варадана [Г, 2*].
Последние тесно связаны с общей теорией
стохастического интегрирования относительно мартингалов,
развивавшейся Скороходом [3*, 4*], Кунитой и Вата-
набе [Г], Мейером [1*] и другими авторами.
Книга Маккина будет полезна многим категориям
читателей: начинающим математикам,
специализирующимся по теории вероятностей; физикам и
инженерам, заинтересованным в приложениях
стохастических уравнений, и, наконец, специалистам по теории
случайных процессов и по теории дифференциальных
уравнений с частными производными.
Е. £. Дынкин

ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой книге рассматривается специальный раздел
теории диффузионных процессов: дифференциальное
и интегральное исчисления, основанные на
броуновском движении. Грубо говоря, это обычный анализ
гладких функций, с той лишь разницей, что при
вычислении дифференциала гладкой функции / от
одномерной броуновской траектории t->b(t) нужно брать
два члена степенного разложения и заменять db2 на dt:
df (b) = Г (b) db + \ Г (b) db2 = Г (b) db + 1 /" (b) dt,
или, что то же самое,
t t
\nb)db=f{b){-^\f"{b)dt.
О О
Это исчисление обладает рядом новых черт, например
роль экспоненты играет еь~"т вместо обычной еь-
Главное преимущество этого аппарата вытекает из
того, что всякую гладкую диффузию t->i(f) можно
рассматривать как неупреждающий функционал от
броуновской траектории, так что $ является решением
стохастического дифференциального уравнения
d$ = e(i)db + f{ic)dt
с гладкими коэффициентами е и f. Последнее
уравнение задает очень сложное нелинейное
преобразование пространства траекторий, которое едва ли
можно назвать явным. Но оно достаточно конкретно
и гибко, чтобы дать возмржнрсть уяснить многие
важные свойства $.

10 ПРЕДИСЛОВИЕ I
Хотя книга адресована главным образом матема- |
тикам, хочется надеяться, что в ней найдется кое-что 1
полезное и для тех, кто применяет вероятностные 1
модели в прикладных задачах. По поводу приложе- 1
ний к статистической механике можно обращаться I
к Чандрасекару [1], Уленбеку и Орнштейну [1] и I
Уленбеку и Вангу [1]. Предполагается, что матема- I
тическая подготовка читателя находится примерно на 1
уровне первого тома Куранта и Гильберта [1], еще 1
лучше — уровень книги Иосида [2]. Необходимо также 1
некоторое знакомство с понятиями интегрирования, I
сг-полей, независимости, условных вероятностей и ма- Щ
тематических ожиданий с леммами Бореля—Кантелли щ
и т. п. Для подготовки идеальна первая часть лекций Щ
Ито [9]. За дополнительными общими сведениями Я
можно обращаться к Дынкину [3]. 1
Добавочные сведения о броуновском движении 1
см. у Ито и Маккина [1]. Глава 1 и примерно треть Я
разд. 4.6 представляют собой переработку книги Ито щ
и Маккина; других пересечений с этой книгой нет. 1
Около половины материала, составляющего содержа- 1
ние гл. 2 и 3 и разд. 4.3, можно найти у Ито [9] и щ
Скорохода [2], но доказательства по большей части щ
новые. В конце большинства разделов помещены за- ■
дачи с решениями. Читатель должен относиться 1
к ним как к неотъемлемой части текста. I
Я хочу поблагодарить К. Ито за наши беседы на I
протяжении десяти лет. Значительная часть этой 1
книги обсуждалась с ним, и я посвящаю ему этот 1
труд в знак любви и благодарности. Я должен побла- I
годарить также Г. Коннера, Ф. Грюнбаума, Ж. Рота, I
И. Зингера, Д. Струка, С. Варадана и слушателей I
из аудитории 18.54 (МТИ) 1965, особенно О'Нила, Я
за ценные сведения, исправления и (или) полезные ■
замечания. Я признателен Национальному научному 1
фонду (NSF) за поддержку, оказанную мне в 1965 г. щ
Саут-Лендафф, Нью-Гэмпшир I
Г. Маккин щ
I

1. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Введение
Главные имена, связанные с предметом данной
книги — Н. Винер и К. Ито.
Винер [1, 2] заложил основы строгой
математической теории броуновского движения, доказав
существование вполне аддитивного распределения масс
Р(В) с полной массой 1, определенного на классе
всех непрерывных путей 0^.t->b {t)^Rl соотношением
P[b(t)^A\b(r): r<s]=j^^x~f/2j;-s)]dy,
j> [2я (t — s)]/2
где t > s, x = b(s) и AczR1. Винер доказал также,
что броуновская траектория нигде не дифференци-
1
руема. В силу этого интегралы вида e{t)db не
о
могут быть определены обычным образом. Винер и
др. [1] обошли эту трудность, положив
1 1
| e{t)db = e(l)b{l)-e(0)b{0)- | e'bdt
о о
для подходящих функций e = e(t) из С1 [0, 1] и
распространив затем этот интеграл на L2[0, 1] с
помощью изометрии
И edb) = J e2dt.
Формула Камерона—Мартина для якобиана
параллельного переноса в пространстве путей, решение
задач прогноза, данное Винером [4], и предложенное

12 1. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Леви представление гауссовских процессов
интегралами по «белому шуму»1) могут рассматриваться
как наиболее глубокие приложения интеграла
Винера — Пэли.
Ито [1] распространил этот интеграл на широкий
класс(неупреждающих) функционаловe = e(t)от броу-
1
новской траектории, для которых Р
J e2dt< oo
1,
и создал мощный аппарат соответствующих
дифференциалов 2). Удивительные черты броуновского
интеграла в стиле формулы
1
2 J" b{t)db = b(l)2-l
о
нашли простое объяснение в формуле Ито для
броуновского дифференциала функции f^C2(Rl):
df(b) = f'(b)db + \f"(b)dt.
Ито использовал свой интеграл для построения
диффузии, связанной с эллиптическим дифференциальным
оператором G на гладком многообразии М3). При
M = Rl и Gu = (e2/2)u" + fu', где е {ФО) и /
принадлежат пространству С1 (Z?1), соответствующая
диффузия является (неупреждающим) решением J
интегрального уравнения
t t
S(') = S(0)+Je(x)d&+J'f(X)<fc (t>On
О О
Еще ранее попытка в этом направлении была
сделана Бернштейном5). Гихман [1] завершил программу
Бернштейна независимо от Ито.
1) См. Хида [1]. Этот превосходный обзор по теории
представления процессов, фильтрации, прогнозу и т. п. позволяет
мне не касаться этих вопросов в настоящей книге.
2) См. Ито
3) См. Ито
4) См. Ито
1].
2, 3, 7, 8].
2, 6].
5) См. Бернштейн [3], см. также [2].

1.1. ГАУССОВСКИЕ СЕМЕЙСТВА
13
Целью этой небольшой книги является
разъяснение идей Ито в сжатой, но (хочется надеяться)
удобной для чтения форме. Основные темы перечислены
в оглавлении. Нововведением является использование
экспоненциального мартингала
г t t
$(f) = exp \edb~\\
e2 ds
при выводе мощной оценки
t t
max
*<i
J edb — -|- e1 ds
L-o о
>p
< е~а$.
Это неравенство постоянно используется ниже и, по
моему опыту, приводит к наилучшим возможным
оценкам (хотя зачастую их оптимальность непросто
доказать). Другой новинкой (для специалистов по
теории вероятностей) является применение леммы-
Вейля для проверки гладкости решений параболиче
ских уравнений вида
ди г*
1.1. Гауссовские семейства
Рассмотрим поле В событий Л, В и т. д. с
определенными на нем вероятностями Р(Л), Р(В), ....
Класс функций /, измеримых относительно В,
называется гауссовским семейством, если для любых
d>l, 0^=y = ('Yi, ..., yd)^Rd и f = (/lf ..., fd)
линейная форма Yf = Yifi+ • •• +\dfd имеет
невырожденное гауссовское распределение
^<v-f<ft]=Je,p(-g'T<fc «>о).
J (2nQ)'2
или, что то же самое1),
E[expV=ly.f] = e-Q/2.
) Е (/) — математическое ожидание по мере Р (В).

14
1. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Здесь Q = Е \{у • f2)] — невырожденная квадратичная
форма от у е= Rd, так что плотность распределения
р = р(х) (jce /?rf) вектора f можно получить обратным
преобразованием Фурье:
р = (2Я)-* J exp (-l/^HlY • х)e~Q/2 dy.
Форму Q можно привести к диагональному виду
Q' = o~lQo поворотом о пространства Rd, и так как
якобиан поворота о — это просто | det о | = 1, то
плотность р легко вычисляется:
p = (2n)~d f exp{-Vl~y-ox)e-Q't2dy =
= (2яГ*/2 (det Qr72 exp (-Q~72).
Здесь Q""1 — обратная к Q квадратичная форма от
x^Rd. Особенно существенно, что распределение f
полностью определяется скалярными произведениями:
£(/1/2) u т- &' Этот факт будет использоваться ниже
без специальных комментариев. Из приведенной выше
формулы вытекает, что плотность р распадается на
множители рх и р2 при ортогональном разложении
R\®R2 пространства Rd тогда и только тогда,
когда Q распадается в сумму Qi0Q2 в двойственном
разложении, т. е. соотношения статистической
независимости и ортогональности относительно скаляр*
ново произведения E(fJ2) совпадают.
Задача 1. Проверить оценку
(а+(1/а)Г1ехр(-а*/2)<
00
< Jexp (- b2/2) db < a-1 exp (- a2/2).

1.2. ПОСТРОЕНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ 15
Решение.
оо °°
f exp (-b2/2) < J ехр (-ВД | = а"' ехр (-а2/2) =
а
оо
= J (1 + б"2) ехр (—62/2) <
а
оо
<(1 + а-2)/ехр(-&2/2).
1.2. Построение броуновского движения
Рассмотрим пространство непрерывных путей
t-*b(t)^Rl, выходящих из нуля (й(0) = 0), и
определим вероятности
P\[)(ak<b(tk)<bk)] =
U<rt J
f' Г _ ш С1 ехр [—с?/2/д] ехр^^-с^/г^-/!)]
J J "' J (2Я/01/2 [2я (/2 - ^)]1/2
ехр [— (сп — g/t-i)2/2 (tn ~ /д-О] ^ ^
[2я (*„-*„_!)]*/' * '" "'
где
a\<b{, a2<b2, ..., an<bn\ 0<t{<t2< ... </„, я>1-
Это определение корректно, так как
ехр [- (6 - a)2/2t]
(2я/)1/г =
_ Г exp[-(^-g)2/2(f-s)l ехр [-(с - a)2/2s] ^ ,, . ,
Я1
12п (t-s)]4' (2ns)
Семейство величин [b{t)\ t > 0] является гауссовским,
причем
£[ft('i)6('2)] = 'iAV)'
') а Л & = min(a, 6).

1Q 1. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Винер [1, 2] доказал, что Р(В) можно продолжить
до вполне аддитивной меры на наименьшем поле В^,
содержащем все события B=(a^b(t)<b) (a<b,f^Q).
Пространство непрерывных функций с построенной
таким образом вероятностной мерой и называется
броуновским движением. Приведем элегантное
доказательство этого факта, предложенное Леви [2] и
упрощенное Тесельским [1].
Красивая идея Тесельского состоит в
использовании функций Хаара:
fk2~n(t)-
+ 2{п~Х),\ {k - 1) 2"п < / < k2~ny
-2{n~x)l\ k2~n^t<{k+\)2~n,
О во всех остальных точках,
определенных для п>1, нечетных k < 2п и О^/^Л.
Добавим к ним /0(/)==1. Функции Хаара образуют
ортонормированный базис в L2[0, 1]. Действительно,
J" fn-mfp-" = 1 или °
в зависимости от того, выполняется или нет
равенство i2~m = j2~n. Если функция /gL2[0, 1]
ортогональна всем функциям Хаара, то интеграл
k2-«>
(k-\)2~n
b
один и тот же для всех k^2n, так что J /==
а
1
— {Ь — а) [ f = О при любых двоично-рациональных
о
О^а < Ь^.1. Отсюда немедленно следует, что /=0.
Вычислим теперь (чисто формально) коэффициенты

1.2. ПОСТРОЕНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ 17
Хаара для «белого шума» 6м):
1
go=jfob' = b(l),
О
1
£*2-« = J Ik2-">b =
О
_ _ 2(я-,,/2[б ((Л + 1) 2"") - 26 (*2-я) + Ь {{k - 1) 2-")]#
Заметим, что набор [#Л2-п при нечетных & < 2",
/г>1] с добавлением 80 образует гауссовское
семейство, для которого
E[gk2-n} = 0 и £[г8и_»] = 2п-1(2-п + 2-я)=1;
отметим также, что наши коэффициенты независимы,
так как
E[gi2-mgi2-n} = 0 (i2~m Ф /2-").
Идея Леви состоит в использовании формального
ряда Хаара
оо
b' = goh+'L S gk2-"fk2-n
п—1 fe нечетно, < 2
для построения броуновского движения при/^1.
Рассмотрим с этой целью гауссовское семейство
[gk2-n при k = 0 или нечетных k < 2", я^ 1] с
отмеченными выше свойствами и определим процесс
& w=го J /о+Л 2 г«-л J ^2-»-
0 rt:==1 k нечетно, < 2п °
Будет доказано, что этот ряд равномерно сходится
при 0^/<1 к непрерывной (случайной) функции
с нужным распределением.
') Зяа:< " означает производную по времени.

18
1. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
В силу того что так называемые функции Шау-
t
дера J fk2-n представляют собой маленькие «домики»
-(л+1)/2
(*-l)2"" kl'n (Л+1)2"Л
Рис. 1.
высоты 2~(n+1)/2 (рис. 1), не пересекающиеся при
различных нечетных k < 2я, понятно, что 1)
t ц
S 8k2-n] fk2-n\
еп =
= 2
k нечетно, < 2
-(n+D/2
max
2*2-л •
ft нечетно, <2
Таким образом, можно получить следующую оценку:
Р[еп> 9(2-"1п2")'/2] =
2„
Р\ max |^2-«|> 9 |/2nln2]<
& нечетно, <2
/i-l t .
J ^[тЛт чс <
В(2« ln2)V2
< const • дг-У^ехрС— Q2n In 2)2) =
= const .й-¥м.
Но если 8>1, то гГх,22п{Х~®2) — общий член
сходящейся суммы, так что по первой лемме Бореля —
") Здесь ||П1оо = тах|Н0|.
2) См. задачу 1 разд, 1.1.

1.3. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА 19
Кантелли
P[en<8(2"~'lln2'l),/\ /if оо] = 1,
откуда следует равномерная сходимость нужного нам
ряда. Так как множество величин [b(t): 0</<1]
является, очевидно, гауссовским семейством, то
остается убедиться в справедливости равенства
Е [b ft) b {t2)\ = J /0 \ f0 + J J ffc2_„ { /ft2.„ =
0 0 n=l 0 0
1
= J hh = Uht2.
0
Здесь мы воспользовались равенством Парсеваля для
рядов по системе Хаара, применив его к индикаторам
/j и /2 интервалов [0, t{] и [0, f2].
Конструкцию Леви — Тесельского теперь можно
продолжить с отрезка [0, 1] на всю полуось t^O,
склеивая независимые экземпляры процессов bn(t):
/<1, п^О (каждый из которых задается рядом
Хаара) по правилу
( b0(t) (0<*<1),
I MD + M'-l) (1«<2),
b(t) j b0(l) + bl(l) + b2(t-2) (2</<3)
I и т. д.
Так как равенство E[b(t{)b{t2)] = t{/\t2 по-прежнему
выполняется, то построенное таким образом
броуновское движение имеет нужное распределение.
1.3. Простейшие свойства броуновского движения
Используя формулу E[b (tl)b(t2)] = tlAt2, читатель
без труда может убедиться в справедливости
следующих утверждений:
(1) При любом s^O процесс b(t-{-s)—b(s): t^O—
броуновское движение, не зависящее от b{t): t^.s.
Это так называехмое свойство независимости
приращений броуновского движения.

20 1. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
(2) Для любой постоянной с > 0 процесс cb (t/c2):
t^O — броуновское движение. Это так называемое)
свойство автомодельности.
(3) Процесс tb(l/t): t > О — броуновское движение^
Так как Р[Ь (0+) = 0] = 1, то мы немедленно прихо-|
дим к усиленному закону больших чисел
Я[НтГ,й(/) = 0]=1.
(4) Процесс — b t): t ^ О — броуновское движение.]
Дворецкий и др [1] нашли очень короткое дока
зательство результата Винера, что броуновская траекА
тория нигде не дифференцируема. Допустим, что!
функция b(t)9 t^.1 дифференцируема в некоторой!
точке O^s^l. Тогда \ b{t) — b(s)\^l(t — s) при|
t\s и некотором целом /^1. Но это значит, что
\b(j/n)-b((j-l)/n)\<7l/n
при / = [ns] + 1, / < / ^ / + 3 и достаточно большом п.
Но последнее событие является частью события
s = U U П U Л (\ьШ-
-»("^)1<х)-
Из свойства автомодельности легко вывести, что
Р(В) = 0. Действительно,
71
0...(»G9-»(V)
<
<
п и
n>m 0<i<n+l i<i<i+3
<limnP[|6(l/n)|<7//rt]3 =
= Ит пР [| Ь (1) |< 7/п-'А]3 <
^ lim const • n~xi* = 0.
Интересная особенность броуновского движения
состоит в том, что оно начинается заново в каждый
марковский момент. Этот факт был открыт Дьшки-
ным [3] и Хантом [1],

1.3. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА <>1
Определим В, как наименьшее подполе
универсального поля Вто, содержащее все события вида
g = (a<6(s)<6) (a < b, s</), и назовем
функционал t от броуновской траектории марковским
моментом (или моментом остановки), если (t < t) e В,
при любом £>0. Константа t=t является марковским
моментом, так же как и время первого достижения,
скажем t = min(f: b{t)= l) I). Однако момент
расставания с множеством, например тах(/^1: &(/) = 0), —
немарковский. Определим Bt+ как поле таких
событий В е; В^, что при любом />0 В П (t < /) е В,.
Если t = ^, то Bt+= Р| Bs, как подсказывают сами
обозначения. Грубо говоря, поле Bt+ порождается
значениями b(s) при s^t+. Понятно, что сама
величина t измерима относительно Bt + , и если условиться,
что 6(оо) = оо, то это же верно и для b (t) 2).
Теорема Дынкина — Ханта3).
Если Х — марковский момент, то при условии, что
t<oo, процесс b+ (t) = b(t + t) — b{t): /!>0 является
броуновским движением, не зависящим от b(t), ^t+,
т. е. не зависящим от Bt+.
В том частном случае, когда марковский момент
постоянен, это утверждение эквивалентно свойству
независимости приращений броуновского движения
(см. п. (1) в начале данного раздела).
Доказательство.
Определим tn = fe2-/\ если (k — l)2-"<t < k2~n;
рассмотрим событие BeBt+, ограниченную функцию
!) (t < *) =* П U (* №~П) > 1 ~ l/m)<=bt, и поэтому
(t<o-U (*<*-т)еВ*
2) В книге Ито и Маккина [1] содержится дополнительная
информация о марковских моментах.
3) Первый общий результат такого сорта был доказан Дын-
киным и Юшкевичем [1]. — Прим. перев.

22 1. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
f^C(Rd), d моментов времени 0 <t{ < ... <td и
положим
e{t) = f[b{t{ + t)-b(t)t ..., ft (/, + f)-6(f)].
В силу того что tnlt, величины e(tn) сходятся при
п-~>оо к e(t) на множестве (i < оо), и так как
В П (t„ = *2-п) = В П ((* - 1) 2"я < t < W"") ge ВЛ2-л,
то применение свойства (1) дает
E[B(](t< oo), * (t)] = lim Е [В П (tft < оо), * (t„)] =
оо
= lim 2 £[Bn(t„ = fc2-re), e(fe2~n)J =
«^ oo fc=]
оо
= lim 2 P[sn(t„ = ^2-")]£[e(0)] =
П^ oo fc=l
= P[fin(t<oo)]£(e(0)].
Завершить доказательство мы предоставляем
читателю.
Часто бывает полезно следующее обобщение.
Рассмотрим поля А, =э В, (f^O), такие, что А^ не
зависит от поля В*, связанного с процессом b+ (s)=
= b(s + t) —b(t), s^O. Величину t<]oo назовем
марковским моментом, если (t < t) e А/ при любом
^^0; At определяется как поле событий ЛеА
таких, что ЛП(*<0^А* пРи ^^0- Справедливо]
следующее утверждение: при условии, что t < oo,(
процесс b+(t) = b(t+t) — b(t): />0 представляет:
собой броуновское движение, не зависящее от!
b(t): tf^t+; более того, оно не зависит от всего]
поля At . Доказательство совпадает с изложенным(
выше.
Задача 1. Используя теорему Дынкина — Ханта,
докажите закон 0 или 1 Блюменталя 1): если £еВ0+,
то Я(в) = 0 или 1.
]) См. Блюменталь [1].

1.4. НЕРАВЕНСТВО ДЛЯ МАРТИНГАЛОВ
23
Решение. Если t = 0, то b+^b. Стало быть,
событие В измеримо как относительно Ь+> так и
относительно В0+ и потому не зависит от самого себя.
1.4. Неравенство для мартингалов
Цепь l = [lk' k^n] называется (суд)мартингалом
относительно возрастающей последовательности
полей Zk{k^n), если
(a) lk измерима относительно Zfe;
(b) Е(\1к\)<оо;
(c) £(jfc|Zfe_,) (»==^-i Для любого &<я.
Неравенство Дуба для субмартингалов l)t
обобщающее неравенства Чебышева и Колмогорова,
устанавливает, что для субмартингала $
Р [max ||k >/]</"'£(£) (/>0)2).
k ^ П
Доказательство.
Событие B = (^k^l при некотором k^.n) можно
представить в виде суммы непересекающихся событий
Bk= П (»/<0n(j*>/)eZk (*<п).
i<k
Отсюда
Е№)>4*- B\= ЪпЕ\Е^п\1к), Bk\>
> 2 E(h,Bk)> 2 iP(Bk) = iP(B).
Неравенство Дуба нетрудно распространить на
субмартингалы с непрерывными траекториями. Процесс
J^lv- ^^1] называется (суб)мартингалом
относительно возрастающего семейства полей Zt (/^1),
если выполнены очевидные аналоги свойств (а), (Ь)
и (с). При дополнительном предположении о непре-
1) См. Дуб [1].
2) Обозначение: х+ = max (0, х).

24 *• БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
рывности траекторий неравенство Дуба для цепей]
дает оценку
P[maxlt>l]<rlE(ti) (/>0).
Отметим, что если J — мартингал и £($2)<оо, то
Е(521Z) > Е($| Zf — tf, значит, и 52 — субмартингал,
1.5. Закон повторного логарифма
Мы сейчас докажем хинчиновский закон
повторного логарифма 1)
Р
Uo (2Пп2(1/0)/2 J
используя неравенство для мартингалов из разд. 1.4
и тот факт, что j(/) = exp[a6(^) — a2//2] является
мартингалом при любом выборе a e R\ Этот метод будет
неоднократно применяться в дальнейшем, так что
читателю следует полностью разобраться в этом
простейшем случае. Так как — Ь и tb(l/t) также являются
броуновскими движениями, то из хинчиновского
закона следует, что
РГНт_Ш_
[т^(2Пп2(1/0)/2
и
-1
■[if
МО
1Ш f9/1n-/V/i
= 1
1.
^ (2/ln2/)'
Доказательство неравенства
Пт6(0/(2Лп2(1//))1/2<1.
Заметим, что g(t) = exp [ab (t) — a?t/2] (t > 0) —
мартингал относительно броуновских полей В^ (/!>0).
Действительно,
Е \1 (*)] = J exp [си: - сОД (2я/)~,/2 exp (- c2/2t) dc =
= J (2я0~1/2 exp [- (с - at)2/2t] dc = 1.
1) См. Хинчин fl].
2) ln2 означает In (In).

1.5. ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА 25
Если теперь взять t>s и положить j+=exp[a[b(f)—
-b(s)] — a2{t — s)/2], то j(^) = 5(s)s+, и, учитывая
первый шаг доказательства, получаем
Я [5 (О I В,] = 5 (s) Я [S+ | В J = § (s) £ [§ (^ — ^)] — S (^).
Итак, доказано, что J — мартингал, и теперь можно
применять неравенство для мартингалов из разд. 1.4.
Получим
Р [max [6 (5) — as/2]>p]=*=
*=P[muxi(s)> *tf]<*-<*£fo(*)] = *-<*.
Определим h(t) = (2tln2(l/t))4* и зафиксируем числа
0<е<1, * = 8Я~\ 0<6< 1, а=*(1 + б)в~пй(бя) и
p = /г (9rt)/2. Тогда ap = (1 + в)1п28я и *ГаР = const X
X n""1""6 — общий член сходящегося ряда. Применяя
только что доказанную оценку, получаем
Р [max [b (s) — as/2] > р] < const • n-l~\
и из первой леммы Бореля — Кантелли следует, что-
P[max[6(s) — as/2]<p, n\ оо]= 1.
В частности, при я f оо и 8гг</<8,г""1
ft(/)< max 6(s)<-^2— + p =
-№+т] *<•■>< Pi14]»«.
поскольку ftg t при малых t. Положив 9 | 1 и б J О,
получаем' limt+ob/h^. 1, что и требовалось.
Доказательство неравенства
Ит^о6(/)/(2Ип2(1/0)1/2>1.
Определим последовательность независимых
событий
вп: (ь (е") - ь (e"+I) > (1 - i/ё) h (е"))
(0<е< 1, n>i).

26 1. ЬРОУНОЁСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Из задачи 1 разд. 1.1 следует, что выражение
b^(2in2e-«),/2
^ const
п
-0_2/e+e)/(i-e)
(In п)4*
является_общим членом расходящегося ряда (так как
1 — 2 |^0 + 0 < 1 — б). Применяя вторую лемму Бо-
реля — Кантелли, заключаем, что 6(0rt)>(l — ]/(Г)Х
X h(Qn)+ Ь(впЛ'1) для бесконечно многих п. Но, с
другой стороны, б(бл+1)< 2Л(бл+1) при п\ оо (по
доказанному ранее); поэтому
ь (0rt) >{\-VW)h (6я) - 2h (e"+1) >: _
>[l-YW-3VF]h{Qn),
начиная с_некоторого номерам. Значит, limt+ob/h^
^ 1 — 4 YQ . Чтобы завершить доказательство,
достаточно положить 0 \ 0.
1.6. Модуль Леви
Леви доказал, что Л(/) = (2/1п(1//))1/з — тонный
модуль непрерывности броуновской траектории:
Lo<*,<*,<i (2/In (l//))v* J
Мы сейчас проверим это, используя изящный!
метод, принадлежащий самому Леви [1].
Доказательство неравенства lim^l.
Положим, как и раньше, Л(/) = (2/1п(1//))'/2 и возь-|
мем 0 < б < 1. Тогда
Р [max [b (k2'n) — 6 ((fe — 1) 2~n)] < (1 - ft) Л (2~я)] =
Л<2*
J (2n)* 1
L (l-6,(2 1n2n)'/2 J
^(l-/)2 <ехр(-2"/).

1.6. МОДУЛЬ ЛЕВИ 27
Применим результат задачи 1 разд. 1.1
Г1 = 2п Г exp(-.V2) d
J (2я)1/2
(1—б) (2 In 2n)/a
> const• -|L exp [- (1 - б)2 In 2n] > 2п6
У п
при n \ oo. По первой лемме Бореля — Кантелли
P[lim max[b(k2-n)-b((k-l)2-n)]lh{2-n)^l]=l9
п + оо k<2n
что завершает первую половину доказательства.
Доказательство неравенства lim^l.
Возьмем 0<6<1ие>[(1+ 6)/(1 — б)] — 1. Тогда
J \b(j2-n)-b(i2~n)\ ^. . 1 .
Р\ max t ( -„< ->1+е<
^ . J „ (2ji)v«
0<i</<2"
<COnst-^L2'l(1+6)2-"(1-a)(,+E,J.
У П
Но это общий член сходящегося ряда (так как
(1 — б)(1 +е)2> 1 +6); следовательно, применив
первую лемму Бореля — Кантелли, получим
| Ь (,'2~п) - Ь (12-п) | < (1 + е) h (k2~n)
(0</</<2я, k = j-i^2n\ л t«>).
Теперь подберем 0<^</2^1 так близко друг
к другу, чтобы t = t2 —1{ < 2~w(l~6), где m столь
велико, что только что полученная оценка имеет
место при всех п^т. Выберем п так, чтобы
2-<n+i)<i-e)^<2-«<i-6)^ и разложим /, и t2
следующим образом:
Ь = 12-п-2-"-2-рш ... (n<Pl<p2< ...),
t2 = frn + 2~* + 2~«2 + ... (п < qx < q2 < ...).

28 1. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
При этом должны выполняться неравенства /^/2 "<
< j2'n < t2 и 0 < k = ] - i < t2" < 2n\ Поскольку
траектория b(t) непрерывна, то
\b(tj-b(tl)\*z\b(i2-l)-b(tl)\ +
+ | b (j2-n) - b (i2-n) \ + \b (t2) - b (j2-n) | <
< 2 (1 + e) h (2"p) + (1 + e) h (k2-n) +
p>tl
+ 2(l+e)A(2-<).
q> n
Но при n f oo
2 Л (2-')<const • h{2'n) < sh[2~{n+l) (1~6)],
p >n
и так как Ag| при малых /, то
I & (4) — & (Л) К (1 + Зе + 2е2) /г (/)•
В силу того что значение е > 0 можно сколь угодно
уменьшить (если взять 6 > 0 достаточно малым), то
P[lim^l]=l, и доказательство завершено.
Задача 1. Докажите лемму Колмогорова !):
процесс х е R1 ->5(*)> удовлетворяющий условию
E[\i(x)-l(y)\a]<™nst.\x-yf
при некоторых а>0 и Р>1, имеет непрерывные
траектории. Более строго, если J* (л:) = 1 \ш J (у) при
у = k2~n \ х, то
Р[\Ь*(х) — ?(у)\<\х — у\У локально\=\
при любом у < (Р — 1)/а
и
P[^(x) = i(x)]= 12) при любом xe=Rl.
1) См. Слуцкий [1].
2) Два случайных процесса £ и $*, связанные при любом
х е R1 соотношением Р [& (х) = <$* (*)], называют стохастически
эквивалентными. При этом каждый из них можно назвать мс
дификацией другого процесса. — Прим. перев.

1.7. МНОГОМЕРНОЕ БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 29
В качестве образца следует использовать
доказательство теоремы Леви о модуле. Заметьте, однако,
что настоящая задача не требует таких тонких
рассуждений. Проверьте, что лемма Колмогорова
справедлива также для процессов х е Rn -> J (л:) при п^2.
Этот результат будет использован в гл. 3.
Решение для ai=1. При данном у<{$— 1)/<х
и таком малом б > 0, что (1 — б)(р — ау) > 1,
получим
/>[li(/2"n)-j0,2"n)|>(ife2"rt)v при некоторых
О < й"я < \Тп < 1 и £ = / —/<2яв]<
0<i2-"</2-"<l
ft<2"6
<.const-2(fe2-nraV<
<const-2'lI1-(1-6)<p-aY,1)
что является общим членом сходящегося ряда.
Следуя схеме доказательства теоремы Леви о модуле,
ббз труда получаем остальное.
1.7. Многомерное броуновское движение
Броуновское движение в rf-мерном пространстве—
это попросту совместное движение d независимых
| одномерных броуновских частиц b{t)=[b{ (/), ..., bd{t)]
1(^0). Основное поле В^ является произведением
|полей, отвечающих отдельным частицам; мера Р(В)
I на В^ — произведение соответствующих
распределений. Момент t называется марковским (или момен-
|том остановки), если при любом t^O событие t<t
Iпринадлежит полю В,, порожденному b (s): s<l£.
I Как и раньше, броуновское движение начинается
I заново в каждый марковский момент, т. е. если
И—-такой момент, то при условии t < оо процесс
IЬ (t) = b(t + t) — b(t), t>0, представляет собой новое
1
I

-T-w^gBSSr?,^-;
30 1. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ .-'*?
.———. ___ .$fe
1
d-мерное броуновское движение, не зависящее с %
поля Bt+ значений b(t): ^<t+. Существенно, что при Ц
t < оо вероятность $
P[b{t + t)(=db\ Bt+] = (2n/)"d/2 exp(- | b - a \2/2t) ab l) ч
зависит только от />0 и а = 5 (t).
Проекция d-мерного броуновского движения на %
подпространство меньшей размерности — также броу—
новское движение. Используя проектирование на
достаточно богатое семейство одномерных
подпространств и применяя затем результаты разд. 1.5
и 1.6, нетрудно вывести многомерные варианты
законов Хинчина и Леви
Uo (2Пп2(1/0)'* J
L WH.I0 (2/In (1/0)/2 J
0<*,<*2<1
Броуновское движение b инвариантно относи-!.
тельно d-мерных вращений о, т. е. процесс Ь* = оЬЦ
представляет собой новое броуновское движение. |
В силу этого радиальный процесс г = |&| =
= (&i+ ... + b2d) 2 начинается заново в каждый
момент t, марковский для г. Действительно, если|
t —марковский момент для г, то тем более t — броу-j
новский момент остановки, так что при t < оо,|
a^b (t), / > 0
P[r(t + t)<R\Bt+] =
= {2ntrd/2 j exp (- | b - a \2j2t) dbk
\b\<R
Поскольку это выражение нечувствительно к враще-Ц
ниям движения а, оно должно зависеть лишь о'
\a\ = r(t). Так как поле Rt+, порожденное знач<
2\V2
]) Для а <= Rd полагаем | а | = (а2 + ... + a2d)

1.7. МНОГОМЕРНОЕ БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 31
ниями r{t): t^t+, является частью поля Bt+, то
доказательство завершено.
Оператор А/2 = -^(д21дЬ2\ + ... + d2ldb2d)
ассоциирован с d-мерным броуновским движением благодаря
двойственной роли функции
(2ntyd/2exp{-\b-a\2/2t)
как (а) функции Грина (фундаментального решения)
уравнения теплопроводности du/dt = Au/2 и (Ь)
переходной плотности броуновского движения.
Радиальная часть лапласиана А/2
в том же смысле ассоциирована с радиальным
движением r = \b\, так что естественно назвать г бес-
селевским процессом.
Задача 1. Используя модуль Леви для
одномерного броуновского движения, проверьте, что при
d>3 P[r>0, /=£0]=1. (Случай d = 2 рассмотрен
в задаче 7 разд. 2.9.)
Решение. Из выражения для модуля
непрерывности броуновской траектории следует, что
существование корня уравнения r(t) = 0, расположенного
между 8 и 1 (0 < 8 < 1), влечет за собой при всех
достаточно больших п осуществление события
Вп = (г {k2~n) < (3 • 2~п In 2nf для некоторого k,
Q2n<k< 2n).
Но для одномерного броуновского движения
Р [ \ Ъ (k2"n) | < (3 • 2~п In 2nt] < const • 2~п/2 }[пъ
если только fe2""n>8>0, так что
Р(ВЯ)< const- 2п\2-п12У^\*.
При rf^3 это общий член сходящейся суммы.

i.1
32 1. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Доказательство завершается ссылкой на первую
Лемму Бореля — Кантелли. ^
Задача 2. При d=\ Р[г = 0 б. ч., /J0] = 1. |
Решение. Воспользуйтесь законом повторного |,
логарифма из разд. 1.5, записав его в виде , \'
•г— ±b(t) , ^
lim- ^-—=1. . ;
^о(2Ип2(1/0)1/2 I !
i
5
1-
:и-
о- |
. ли 41

2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
2.1. Винеровское определение
стохастического интеграла
Поскольку сумма
/«-2 |&(*2-я)-*((А-1)2-й)|
возрастает при д|оо, а
BU-4-(£[exp(-|&(2-)|)D'<
<(1-2-л/2-, + 2-,,)2,1101),
-т> длина /^ броуновской траектории b(t): t^.1
бесконечна, и интеграл вида \ edb нельзя определить,
о
>;новываясь на стандартных рецептах. Винер и др. [1].
(чюшли это препятствие, положив по определению
1 1
je(t)db = — je'bdt
о о
для (неслучайных) функций e = e(t) (t^l) класса
С1 [0, 1], равных 0 в точке /=1. Применяя затем
изометрию
1 \2П 11 1
\edb\ = J j tlAt2e'(t{)e'(t2)dtldt2= j e2dt,
о /J оо о
они распространили интеграл на все (неслучайные)
функции eGL2 [О, I]2). Ито [1] перенес этот интеграл
!) Использована оценка ё~х < 1 — х + х2/2 при х ^ 0.
2) Задача 1 разд. 2. дает об этой изометрии дополнитель*
лую информацию.
2 Зак. 81

34 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
на широкий класс броуновских функционалов е = £(/),
зависящих от траектории t->b(t) неупреждающим
образом (смысл этого термина будет сейчас объяснен).
2.2. Определение стохастического интеграла И то
Рассмотрим поле С борелевских подмножеств
оси [0, оо) и возрастающее семейство полей AtZDUt
(/ ^ 0), таких, что As не зависит от поля В*,
порожденного процессом b+ (t)^b(t + s) — b (s): / ^ 0.
Функция e = e(t)y зависящая от /^0, броуновской
траектории /-> b{t) и, возможно, дополнительных
стохастических координат, измеримых относительно А^,
называется неупреждающим броуновским
функционалом, если
1) е измерима относительно СХА^,
2) e(t) при каждом t^O измерима
относительно kt.
Наша цель — определить \ edb одновременно для
о
всех />0 и для почти каждой броуновской
траектории. Дополнительно предполагается, что
t
j e2ds <oo, *>0
Задача 1 разд. 2.5 показывает, что без этого
условия обойтись нельзя. Чтобы понять суть дела,
t
достаточно рассмотреть построение интеграла \ edb
о
(/<[ 1) при условии
Р\ J e2dt <oo =1.
Оценки основываются на мартингальном неравенстве
разд. 1.4. Наши рассуждения отличаются от рас*
суждений Ито [1] только в этом пункте.

2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА ИТО 35
Шаг 1
Неупреждающий броуновский функционал е
называется простым, если e(t) =* e((k — 1)2~"п) при
(£— l)2~rt</<fc2~rt (*<2Л) для некоторого л>1.
Для таких е определим
J ed& = J] *((*- l)2-m)[6(Aj2-M)-6((fe-l)2-w)j +
о fe</
-t-e(/2~w)[6(/)-6(/2-m)],
где /<1, m^n и / = [2"7]. Заметим следующее:
(a) интеграл не зависит от пг^п,
t t t
(b) J (ex + £2) ^ = J e\ db + J e2 db,
0 00
(c) J kedb = k J edb для любой константы &,
о о
(d) интеграл представляет собой непрерывную
функцию верхнего предела /^1.
Шаг 2
t
Чтобы определить для общего не-
о
упреждающего функционала, понадобится следующая
точная оценка интеграла от простого функционала:
Р max [edb-^r f e2ds>$
L«4 о
<e~a
Доказательство.
Для простого функционала е процесс $(/) =
t
= ехр
Г ' * 1
Г б db — у J е2 ds\ представляет собой (непре-
Lo о J
рывный) мартингал относительно семейства полей At
(<>1), причем Я[$(1)]=1. В самом деле, если

36 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
е постоянен {=с) при s^£, то величина с измерима
относительно As и, стало быть, не зависит от
b{t) — b(s). В результате находим
ДЙ(01А,] =
= l(s)E[ехр (с [b (t) - Ь (s)] -cHt- s)/2) | А, ] = J (s),
а это согласуется с определением разд. 1.5. Простая
индукция завершает доказательство этого шага, и
сформулированная выше оценка получается, если
заменить е на ае и применить мартингальное
неравенство разд. 1.4
t t
max Г e db — 4r | e2 ds > p
^<IoJ о
= P[maxl(t)>ea*]^e-^E[i{l)] = e-rt.
Шаг 3
Пусть еп ■— последовательность простых
функционалов, для которых Р
J ^й<2Л /if °°
Lo
1, и
9> 1 — постоянная. Тогда
t
max
J*e„d&
<е(2^+11пАг)1/2, п\оо
= 1.
Доказательство.
Применим оценку шага 2, выбрав a = (2'l+1 In n) \
Р = б(2""'г~1 In п) \ Величина е~а^ = n~Q — общий член
сходящегося ряда, так что по первой лемме Бореля —
Кантелли
/ t
max J e„ rf& < -J- J ^ ds + p <
<(т + т)(2~Я+'М*. *T
Остается повторить эти рассуждения, заменив >еп
на — е„. - ■ . •

2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА ИТО 37
Шаг 4
Если дан неупреждающий броуновский
функционал е> для которого J e2dt < 00, то можно найти
о
такую последовательность простых неупреждаюших
функционалов еп (п^1), что
1
|(в-вя)2Л<2Л п\оо
L0
Доказательство.
Доопределим esO (/<0) и положим е'—
t 1
= 2ljeds и e/,=e,(2"w[2w/]). Так как \{e-e"fdt
стремится к 0, если сначала т устремить к оо, а
затем / (именно в таком порядке!), то для любого
п^ 1 можно подобрать / и т так, чтобы
J {e-e"fdt>2-n
l-o
<2"
еп ss в" — неупреждающий простой функционал, и
нужное нам соотношение
i
|(в-вя)2Л<2"л, л|°°
«-0
= 1
немедленно следует из первой леммы Бореля — Кан-
телли.
Шаг 5
t
Теперь уже можно определить \ edb (/^1).
о
Рассмотрим простые функционалы еп (я>1), такие,
что Р
l{e-*n)2dt^2-n, n\oo
= 1 (как в шаге 4).

38 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
j (en — en-{)db
экспонен-
Согласно шагу 3, max
циально быстро убывает при п \ оо, так что можно
t t
положить | edb=\\m endb {t^\). Оценка шага 3
• о л*-5
показывает, что предел не зависит от способа
выбора простой аппроксимирующей
последовательности еп (я>1). Так как сходимость равномерна,
j edb (£< 1) — непрерывная функция верхнего пре-
о
дела; особенно важно, что эта функция определена
одновременно для всех /<С1 для почти всех
броуновских траекторий.
Задача 1. Доказать, что при условии
оо ~1 оо
Г e2dt < оо == 1 стохастический интеграл \ е db
■о J о
можно определить таким образом, чтобы
Р\
Г f °° П
• lim [ edb= \edb\ = \.
V*-о о J
Решение. Выберем простые функционалы еп,
равные тождественно 0 вблизи бесконечности, так,
оо
чтобы J (еп — е)2 dt < 2~п (л>1). Можно без труда
о
обобщить использованные выше оценки и показать,
что max
j (en —en-x)db
стремится к 0 при п f оо
экспоненциально быстро. Так как при / < оо
J endb — непрерывная функция, то и функция
о
t
j edb непрерывна.

2.3. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА 39
2.3. Простейшие свойства стохастического интеграла
Теперь, когда интеграл Ито уже определен, мы
отметим для последующего употребления некоторые
из его простейших свойств. При этом е обозначает
неупреждающий броуновский функционал, для кото-
Г '
рого Р\ j* e2dt < оо, />0| = 1.
(1) J (е} + е2)(1Ь=* jeldb+ j e2db.
О 0 0
t t
(2) Для любой константы k \ kedb = k \ edb.
о о
t
(3) Г е db — непрерывная функция при /<оо.
(4) Г е db = Г в/ db, где t < оо — броуновский
о о
марковский момент, a f —- (неупреждающий)
индикатор события (t<^t).
(5) £
И edM <||е|р^£ JVdf
«со), если
Г 1 Г/Г '
J e2dt < оо = 1; если ||е||< со, то Е I J edft
е\? и Е\ j edb\=0.
супермартин»
(6) 5(/) = ехр| Jedfc-lJVds
вал и, значит, —1(1)—-су б мартингал относительно

40 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
семейства полей At (t^O), Е(%)^11), причем
Р max J edb - у J е2 ds > р <*-<*.
' I 1
Je„rf6 <e(2"e+Iin/i),/f, Aifoo =i
о I J
j*4^<2""\ «too =1.
max
(7) P
для любого 0 > 1, если Р
(8) E\exp[V-l \ ес1Ь+±1еЧ*
exp
rp(/-1/
4/,*)]<
= 1, если
Свойства (1) —(3) вытекают непосредственно из
определения интеграла.
Доказательство свойства (4).
Равенство J edb = J efdb очевидно, если е — про-
о о
стой функционал, равный тождественно 0 при
достаточно больших /. В общем случае е можно
аппроксимировать простыми функционалами еп (и>1),
подобными описанным в задаче 1 разд. 2.2. Тогда
#
41
max
\{e — en)db
будет стремиться к 0 при п \ оо,
в то время как \ejdb будет стремиться к \efdb,
о о
оо
ибо Г (е — enff ^ 2~"rt; таким образом, применимы
о
рассуждения шага 5 (разд. 2.2).
1) Случай £(5)<1 возможен, как будет установлено
в разд. 3.7.

2.3. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
41
Доказательство свойства (5).
Если е — простой функционал и esO при
достаточно больших /, то, как показывает простая вы*
кладка
, ЕI I Г е db } =|| е |р. В общем случае можно
подобрать простые еп, равные 0 вблизи бес*
конечности и столь хорошо аппроксимирующие не-
упреждающий функционал е X [индикатор события
\ е2 < п I, чтобы
оо
f(en-efdt^2-n, nfoo
= 1
и lim||e„|| = e. При таком выборе еп
П + оо
ПтЯ (Je,<(6) = Mm |U, If =11 «IP.
<1
а если ||е||<оо, то можно к тому же добиться,
чтобы lim ||в — £ft|| = 0. Тогда
lim£ ( f (en -e)db) I < lim \\en - е\? = 0.
П + оо L\0 / J Л*°°
Читатель без труда восстановит детали
доказательства.
Доказательство свойства (6).
Аппроксимируя е простыми еп (п^\), как в
задаче 1 разд. 2.2, воспользуйтесь затем рассуждениями
шага 2 из того же раздела,

42 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
Доказательство свойства (7).
Используйте свойство (6) по образцу шага 3
разд. 2.2.
Доказательство свойства (8).
Докажите это (а) для простых е, равных 0 вблизи
бесконечности, (Ь) для произведений вида £д =
= е X I индикатор события J е2 ^ п\ и (с) для произ-
* t
вольного е, используя мажоранту j е2п^. \ е2.
о о
Задача 1. Выведите из свойства (5) результат
Акутовича и Винера [1]: унитарное преобразование о
пространства L2[0, оо) индуцирует сохраняющий меру
автоморфизм пространства броуновских траекторий
оо •
t ~> Ъ {t)t определенный формулой b (t) -> J oet db
о
(t !> 0). Здесь et = et (s) — индикатор множества s ^ t.
Решение.
i- оо оо
I 0es db J
Lo о
oetdb
= j oesoet = J eset = s At.
о о
Задача 2. Используя тот факт, что процесс
% (t) = exp [yb (t) — y2t/2] — мартингал, докажите
формулы
(a) Е[е-*]=*(сЬ(2у)Ч*аГ\ где t = min(*: | 6 ! == а);
(b) Е[е-^] = ехр(-(2у)^а), где t = min(*: b = а).
Здесь y > 0» а > 0. Выведите из (Ь) распределения:
(c) Р [t е= Л] = (2яг3Г1/з а ехр (- а2/20 Л;
(d) P [b (t) е= dx, max 6 (5) е= dy] = (2/я*3)^ (2г/ - х) X
Xexp[~-(2*/-*)2/2*]d*d*/ (0 <*/<*).
Решение. Определим марковский момент tn
как минимум из двух чисел: t и it = min(fe2"*rt > t)«

2.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОДНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА 43
t
Ясно, что 6(trt)=J edb, где е — (простой и неупре-
о
ждающий) индикатор события (s<t^). Легко
проверить, что Е [exp (yb (tn) —- Y2W2)] = 1, и так как b {tn) ^
^maxft(s), то мартингальная оценка
P[max b (s) > c)]< pfmax 6(s) -|s > pi <*>-<* =
= exp (- c2/2t) (a = c/t, p — c/2)
позволяет перейти к пределу при п f оо под знаком
математического ожидания. Отсюда
(е) Е [exp (yb (t J - y4j2)] = 1 ft» = / Л t).
Поскольку b (t^) ^ а, предельным переходом при
t->oo заключаем, что 1 ^ е^аЕ [ехр (— y*/2)], откуда,
устремляя y к 0, находим P(t<oo)=l.
Итак, доказана законность предельного перехода
по / под знаком математического ожидания в
формуле (е). Заменив теперь y на (2y)4 получим
соотношения (а), поскольку P[b(t) = +a]=P[6(t) = —a]=y,
и (Ь) в силу P[b(t) = a]=l. Формула (с)
доказывается обращением преобразования Лапласа (Ь),
a (d) выводится из (с) и элементарного соотношения
Р[b (t) e= dx, max & (s) > у) =
t
= J* P[t <= ds] P[b (t-s) + ye= dx),
0
в котором теперь уже t = min(f: b = y).
2.4. Вычисление одного стохастического интеграла
Теперь поучительно вычислить какой-нибудь
стохастический интеграл от случайной функции.
Простейший интересный пример —
t
\bdb = ^b{tf-{.
О

44 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
В разд. 2.6 объясняется происхождение
слагаемого —t/2; более общий кратный стохастический
интеграл
t h 'n-i
\db{tx) J db(t2) ... j db(tn)
oo о
вычисляется при «>3в разд. 2.7.
Определим простой неупреждающий функционал
еп = b{2"п[2nt]). Так как для любого *>0 при /tf oo
t
\ (е — еп)2 dt -> 0, остается показать, что
о
t
Hm \endb = Ub*-t).
Дополнительно заметим, что для Д = &(&2"~'1) —
— 6((fe — 1)2~л), / = [2rt/] и при nfoo
t
2 J* en db =
о
= 2 Г 2 *((* - 1)2~П)Д] + 2b(l2~n)[b(t) — 6(/2-л)]=
- J [ft(ft2~f - ft ((ft- 1)2-Л" Ц A2+ o(l) =
= й(02-2л2+о(1).
ft<7
Поэтому достаточно доказать следующую лемму,
устанавливающую даже более сильный результат,
чем нам необходимо.
Лемма.
Пусть
8„(0-2Л2+И)-*(/2-")]2-*
для l = [2nt] и *<1. Гогда
Р [max U„ (0 |< 2-"/2«, п f oo] = 1.

2.5. ЗАМЕНА ВРЕМЕНИ 45
Доказательство.
Поскольку процесс %п (t) (t < 1) — непрерывный
мартингал относительно броуновских полей В, (*<1),
то fn — непрерывный субмартингал. Неравенство
разд. 1.4 приводит к оценке
P[max|U0l>2~n/2tt]<
<2ля-2£[5Л1)2] =
= 22пп-2Е[{ь(2-п)2-2-п)2\ =
= const • п~2,
где на последнем шаге было использовано свойство
автомодельности броуновского движения b(2~n)->
->2~п,2Ь{\). Но п~2 — общий член сходящегося ряда,
и, применив первую лемму Бореля — Кантелли,
завершим доказательство.
Задача 1. Броуновский дифференциал под
знаком стохастического интеграла всегда должен быть
«направлен в будущее». «Направленный в прошлое
интеграл»
1
\bdb=lim У b(k2-n)[b(k2~n)-b((k-l)2-n)]
О k<2n
имеет значение -^[6(I)2 + 1], а совсем не -j[b{l)2 — 1].
Докажите это. В задаче 1 разд. 2.6 содержатся
дополнительные сведения об этом интеграле.
2.5. Замена времени
Рассмотрим стохастический интеграл l{t)= J edb
о
от неупреждающего броуновского функционала е,
t
для которого t(t)= f e2dt <oo (f>0). Пусть t"1 —
о
обратная к t(t), непрерывная слева функция; * '(О —

46 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
= min(s: t(s) = t) определена при *<t(oo).
Проверим, что процесс a = %(t~l) является броуновским
движением до момента t(oo). Так как функция J
постоянна на участках постоянства t, то предыдущее
утверждение можно заменить следующим:
процесс x(t) (t^O) совпадает с некоторым новым
броуновским движением a(t) аргумента t. Функционал t
называется внутренним временем (часами) для $.
В разд. 2.8 содержится дополнительная-информация
о случайной замене времени. Другое доказательство
можно получить, используя задачу 1 разд. 2.9.
Доказательство.
*-1 -
Примем по определению Г (*) = оо для t^t(oo)
и положим
a(t) =
J (Г1)
('<t(oo))f
S(oo) + c(*-t(oo)) (t>t(oo))f
где с — броуновское движение, не зависящее от Ь.
Пусть Q = 2 Y/Y/'/ Л t} при я>1, 0 < tx < ... < tn
и y = (Yi> • • •> Yn)e Rn* Достаточно доказать, что
а — броуновское движение, а для этого остается
проверить формулу
£[exp(/=TSY^(^))] = ^Q/2-
Интегрируя по дополнительному броуновскому
движению с выражение
/ = Е [ехр (/=Г 2 Via (*,) + Q/2)] -
= £
ехр [ К—1
2> J edb +
+ *S Vic (<»-*(«>))]+Q/2]]
^>н«.) J /J

2.5. ЗАМЕНА ВРЕМЕНИ 47
получим
о
-J 2 Y<Y/&-t(°°))A(',-t(oo)) + Q/2N
= £
'"'('/)
= £
expl /-I SY' J edb +
\ 0
expl /=Т^< J ed6 +
0 ^
Так как Г1 (/) — марковский момент *), последнюю
формулу можно записать в виде
[/ оо оо
exp ly=rjfdb + ±jpdt
\ о о
где
/==» £ ^ Yt X (индикатор события /<t~!(^))
представляет собой неупреждающий броуновский
оо
функционал. А поскольку Г p<Q<co, то /=1
о
по свойству (8) разд. 2.3; доказательство закончено2).
1) (Г1 (/) < 5) - (* < t (5)) eAs (s > 0).
2) Этот результат — частный случай известной теоремы
Леви: если з (/) — непрерывный мартингал и
£[|a('2)-*('.)laK]=*'2-'i.
то д (0 — броуновское движение. См. Гихман и Скороход [1]»
или Дуб [1, стр. 345]. — Прим. перев..

48 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
Из формулы x(t) = a(t) и результатов разд. 1.5
и 1.6 можно получить аналоги законов Хинчина и
Леви:
Uo(2tlns(l/t))v' J
,Г Ш lt(/t)-S«,)j =11 = I
tt-M0 [2t(A)ln(l/t(A))]l/2
L0«,<<i<l J
Здесь A = [f,,/2) и /(Д)=Ге2; считается, что
д
0/0 ==1. Другие результаты, полученные при помощи
замены времени, будут приведены ниже.
Задача 1. Докажите, что если Р
\ e2ds < оо,
t< 1
= 1 и Р
/*Л-
ОО
1, ТО
lim Г в rf6 = — lim \edb =
оо
= 1.
Отсюда видно, что условие Р
1*<и
< оо
= 1
необходимо для существования интеграла j edb.
Решение. \edb = a(t) при *<1 и некотором
о
новом броуновском движении а. Используйте теперь
тот факт, что lim а = — lim а = оо.
**°° Woo

2.6. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ЛЕММА ИГО 49
2.6. Стохастические дифференциалы и лемма Йто
В дальнейшем под стохастическим интегралом
будем понимать более общее выражение
t t
l{t) = m+\edb+-\fds (/>0),
о о
включающее:
(a) величину г(0), не зависящую от основного
броуновского поля В^,
(b) неупреждающий броуновский функционал е,
такой, <:то
| e2ds <оо% />0
= 1,
(с) неупреждающий броуновский функционал f,
для которого
- t
j\f\ds<<*, f>0
•о
Стохастический дифференциал dy, = edb + / dt — это
просто более компактная запись для того же самого
выражения. Например,, интегральная формула
t
\bdb = ~[b(tf-t]
о
из разд. 2.4 значит то же самое, что
дифференциальная формула d(b2) = 2bdb + dt. Стохастический
интеграл сам является неупреждающим броуновским
функционалом, так что класс стохастических
интегралов замкнут относительно обычного интегрирова-
t
ния £-> Г jds и относительно интегрирования по Ито
о
t
•j -> J $ db. Этот класс замкнут также относительно

50 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
сложения и умножения на константы. Лемма Ито 1)
устанавливает, что он замкнут и относительно
применения широкого класса гладких функций.
Лемма Ито.
Рассмотрим функцию u = u[t, xu ..., хп],
определенную на [0, оо) X Rn с непрерывными частными
производными
u0 = du/dt, Ui = du/dxt {i^ri),
uif = d2u/dxidxf (/, j^n).
Возьмем п стохастических интегралов j, (t) =* у (0) +
t t
+ \ etdb + J fi ds (i ^ n). Тогда композиция $ (t) —
о о
—u P» h (0i • • •»In {t)\ — тоже стохастический интеграл,
дифференциал которого равен
d$ = u0dt+ ^u{d%{+j JJ uiidiidii.
i<n l.Kn
Произведения d%t dx,f (/, / ^ n) вычисляются на основе
приведенной ниже «таблицы умножения», т. е.
dii d}ti = etei dt (/, / < n).
Проиллюстрируем лемму Ито рядом простых
примеров.
Пример 1.
Как уже отмечалось выше, d(b2) = 2b db+ (db)2 =
= 2bdb-{- dt. Более того, лемма Ито устанавливает,
что для2) ugС2(R1) стохастический дифференциал
1) См. Ито [7].
^Предостережение: Cn(Rl) означает класс п (^ оо) раз
непрерывно дифференцируемых функций без каких-либо
предположений относительно ограниченности функций и их прот-
доднцх*
X
\db
dt
db
dt
0
dt\
0
0

2.6. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ЛЕММА ИТО 51
выражения %{t) = u[b(t)] равен d% = u' (6)d6 =
= -9-и" (b)dt, или, что то же самое,
/ t
u[b(t)]*-u(0) + j u'(b)db+ \^~u"{b)ds (/>0).
о о
Пример 2.
Лемма Ито, примененная к выражению j«=
= ехр
ledb-±\*ds
L0
дает
di = l(edb -je*dt) + 1 j (ed& _ i^)2 =
= 5(^6~4в2л) + у^2Л = 5^6.
В частности, при £s=l имеем d% = idb, т.е. $ =
= exp (6 — //2) играет роль обычной экспоненты в
стохастическом дифференциальном исчислении
(дополнительно об этом см. разд. 2.7).
П р и м е р 3.
Лемма Ито, примененная к произведению u = i^2t
дает d($i$2) = $2^1 + $i ФЬ + exe2dt. Тем самым
получено правило интегрирования по частям:
t t t t
hh | = J* Si dh + J* h dh + J exe2 ds.
0 0 0 0
Важный вывод из этого примера: класс
стохастических интегралов замкнут относительно умножения.
Доказательство леммы Ито.
Дифференциальная формула Ито представляет
собой сокращенную запись интегрального выражения
для $ = */[/, &, ..., In]. Согласно определению
интеграла, достаточно доказать эту формулу для простых
функционалов е{ и f{ {i^n), а в силу аддитивной
природы интегралов можно ограничиться тем случаем,

52 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
когда /<11, а ^ и fj постоянны (/<! я)!). - Но тогда
jc = r/[^, £i& + /i, ..., enb + fn] можно представить
в виде u[t, b(t)] для некоторой новой (гладкой)
функции и, определенной на [0, ooJX/?1. Беглое
размышление позволяет понять, что достаточно установить
лемму Ито для этой новой функции, т. е. для дг= 1,
е=1 и f = 0; можно к тому же считать, что tf^l.
Положим A = &(fe2~n)-&((*- 1)2~я), l = [2nt]. Если
п f оо достаточно быстро и / ^ 1, то
и [t, Ь (0] - и [0, 0] =
= У) [и [k2~\ Ь {k2~n)} - 11 [(* - 1) 2~\ Ь (k2"n)]} +
Л<1
+ ^{и{(к-\)2-п,ь(к2-п)]~
-«[(£-1)2"\ 6((fe-l)2-n)]) +
+ ии,й(/)]-н[/2-п, b(l2-n)] =
= 2 {«ol(* - 1)2"", b(k2-n)\2-n + о(2-")} +
+ £{«, [(* - 1)2"", b(ft - 1)2-"] A +
+ 4-"п[(^-1)2-ге,б({/г-1)2-")]Д2 + о(Д2)}+о(1) =
= J w0[5, 6(s)Jds + j uY[s9b(s)]rf6 +
о о
+ J y«ii[s, b{s)]ds +
0
+ ST"nl(fe-1)2"'t'H(fe-l)2-re)](/i2-2-n) + o(l). |
На последнем шаге использована лемма разд. 2.4.
') Используется тот факт, что для неупреждающего функ- щ
ционала е значение е (0) не зависит от В^.

2.6. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ЛЕММА ИТО 53
Для завершения доказательства осталось оценить
максимум модуля мартингала
S/= Si-«i,[(*- 1)2~"' b((k-\)2-nW-2-n)
(/<2-")(
фигурирующего в последнем выражении. При
дополнительном условии: || ии 11^ < оо, слегка
видоизмененное доказательство леммы разд. 2.4 дает
P[max\ll\<2-n% /ifoo]=lf
откуда и следует лемма Ито. Читатель может теперь
убедиться в том, что условие \\ии L < оо совершенно
безобидно, ибо P[max| b(s) | < оо]= 1.
Задача 1. Определим для и ^ С1 (R1) обратный
интеграл
1
j U(b)db =
= lim 2 u [6 (Л^2~л)] [6 (A^2~n) _ & ((Д. _ 1) 2~n)].
Докажите, что j u{b)db=j u(b)db+ j и'{b)dt. Про-
i о
) такого рода дает зад;
\bdb=\[b{\?+4.
0 0 0
стейший пример такого рода дает задача 1 разд. 2.4:
о
Решение.
[ и (b)db= Mm У {^[б((^-1)2"л)]Л +
° Л^*<2»
+ u'[b(k-l)2-n]/±2 + o(/i%
где Д было определено ранее. Та же модификация
леммы разд. 2.4, что и при доказательстве формулы
Ито, приводит теперь к нужному результату.

54 2- СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
2.7. Решение простейшего стохастического
дифференциального уравнения
Рассмотрим неупреждающий броуновский
функционал е, такой, что
j e2ds< oo, />0
Экспоненциальный супермартингал
J(0 = exp
J e db — у J е2 ds
является решением стохастического
дифференциального уравнения d\ = \edb при начальном условии
ц(0)=1 (см. пример 2 разд. 2.6). Если Jj — второе
решение того же уравнения, то лемма Ито
позволяет заключить, что
d (Ы) = Г2 М - 8 <П>] + %-**> Ш2 - ? d% di = 0.
Итак, $ — единственное решение, для которого $ (0) = 1.
Вывод таков: в теории Ито супермартингал } дубли-
• t
\edb
рует обычную экспоненту ехр
Теперь мы получим для \ второе выражение в виде
ряда
оо
8=2&»> где а0=1>
t
in = j in-ie db =
о
= \ e (*,) db (/,) J e &) d6 (У ... J e (/„) d& (tn), «> 1.

2.7. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШЕГО УРАВНЕНИЯ 55
Доказательство.
t
Введем внутреннее время t(t)= \ е2 и предполо-
о
оо
жим, что J£2 = oo, так что Г"1 (t) = min(s: t(s) =
о
= t) < оо — непрерывная слева функция,
неограниченно возрастающая при t f со. Так как t"1 (t) —
марковский момент, то ^(f"1) —стохастический интеграл,
и на основании свойства (5) разд. 2.3 находим
*[£(*-')]«*[()■ ь-«"и)]<
t-1 и р-1 и г t -л
J £_,«»& \ = Е Кв_,Л \=Е /Й-,(Г')Л
о J Lo J Lo J
<£
Отсюда по индукции £[^(t l)]^tn/nl (я>1). Далее,
при фиксированном s^Onf = t~l(s) процесс %n(t + f) —
— Jrt(f) является стохастическим интегралом
относительно броуновского движения 6+ (t) = b(t + f) — b(f),
ибо функционал ln-\e{t + f) — неупреждающий для Ь+.
Так как t""1 (/) — f — марковский момент для 6+ при
f^s> формула (5) разд. 2.3 показывает, что E[%n(t~ (/))—
—Ъп (f) |Af+]=0. Стало быть, $л (t"1)—мартингал
относительно семейства полей At-i+. Применяя к
субмартингалу fn(t~l) мартингальное неравенство разд. 1.4,
получаем оценку
1>[™?|..(.-)|>|^]<^£К(Г-й)]<.
гарантирующую в силу леммы Бореля — Кантелли
экспоненциально быструю локально равномерную
сходимость ряда $ = £о+ ... к решению интегральногр

56 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
уравнения j(')—1 +j \edb {t^O). Этим доказатель-
о
ство завершается, если только заметить, что допол-
оо
нительное условие е2 = оо можно отбросить.
о
Определим теперь полиномы Эрмита:
Нп [*, х] = -Ц^ exp (x2/2t) -£• exp (- x*/2t) (n > 0)
и заметим, что из ряда Тейлора для ехр(— x2/2t)
следует соотношение
iYntf„ = exp(Y*-Y2//2).
Используя эту формулу, разложим k ряд решение
8 = ехр
Y j edb-y2t{t)/2
уравнения d% = yledb и
сравним его с другим рядом 2у"8л> также дающим
решение. Имеем
i (t) = exp
Y \edb-\y4(t)
о
oo
n=0
n=*=0
Тем самым доказан частный случай формулы Ито [5]
и Винера [3]:
► I 1Ь 1
U (0 = J е (/,) rf& (/,) J e (f2) d6 &) ... $ е (*„) d& (*„) =

27. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШЕГО УРАВНЕНИЯ 5?
При е=\ отсюда следует равенство
jdb(tx) J db(t2) ... J Л(*„) = //„[<,*(/)] (ai^I)1).
Итак, полиномы Эрмита служат в теории Ито
аналогами обычных степеней b(t)n/n\ (n^l). В
приведенных ниже задачах 1—3 обсуждается общая формула
Ито — Винера; в этих задачах е — неупреждающий
функционал, для которого Р
| e2dt< оо
= 1.
Задача 1. Докажите, что
(n+l)Hn^ + tHn^=xHn (л>1).
Решение. Воспользуйтесь производящей
функцией ехр [ух — y2t/2].
Задача 2. Ито [5] определяет кратный
стохастический интеграл от е{ ® ... ® еп = ег (t{) ... еп (tn)
над [0, оо)" соотношением
/ [е{ ® ... ® еп] =
-S J *«1 **('!>! e*2db(t2)... j enndb{tn).
nmG0 0 0
Здесь G — симметрическая группа всех перестановок
из п символов. Докажите с помощью примера 3
разд. 2.6 формулу Ито
/ [е0] I [ех ® ... ® еп] = I [е0 ® е{ ® ... ® еп] +
оо
+ J] /h® ... ®еГ® ... ®е„] JeoMf2).
fc<fl 0
!) Случай п = 2 получен в разд. 2.4 прямым расчетом.
2) Знак ^^ означает: «опустите эту букву».

58 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
Решение для случая п = 3. Пользуясь
формулой интегрирования по частям примера 3 разд. 2.6,
находим
оо оо
\ e0db \ ех db \ e2db \ е3 db =
оооо
оо /о tx ti
«= J e0db J exdb J e2 db \ e3db +
0 0 0 0
OO to tx ti
+ \ exdb \ e0db \ e2db J e3db +
oooo
oo ?o ^i tj
+ \ exdb \ e2db \ e0db \ e3db +
oooo
OO /o *l ti
+ \ e{db \ e2db \ e3 db \ eQdb +
oooo
oo tx U
+ J eQel dtx J e2db \ e3 db +
о oo
oo f, /? oo f, U
+ J в] d6 J б0в2 df2 J e3 db + J ^i ^6 J 4 db J е0£з df3.
0 0 0 0 0 0
Переставляя индексы 1, 2, 3 и суммируя, получим
/ [е0] I [ех ® е2 ® е3] = /[е0 ® <?i ® e2 ® бз] +
ОО f, *2 СЮ fj f2
+ J еф, Л, J е2 rf6 J e3 rf6 + J ^i dfj J e3 db j e2 d& +
0 0 0 0 0 0
oo f, ^ oo fj t2
+ \ e2db { e$x dt2 J e3 d6 + J e3 db j e0£i <#2 j e2db +
0 0 0 0 0 0
oo f, ti oo f, f2
+ J e2d& J еъdb j eQe{ dt3 -\- j e3db j e2db j е0е{ dt3 +
0 0 0 0 0 0
+ 12 аналогичных интегралов.

2.7. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШЕГО УРАВНЕНИЯ 59
Расписывая аналогично
оо
| ем dtl [e2 ® е3],
о
сводим предыдущую длинную сумму к выражению
оо
/ [е0 ® ех ® е2 ® е3] + J e^{ dtl [e2 ® е3] +
о
+ 2 аналогичных интеграла.
Задача 3 (формула Ито — Винера). Обозначим
для краткости еп = е ® ... ® е (д раз) и предположим,
оо
что | etef dt = 0 при / Ф /. Докажите, что
1[еъ ® е«2® .. .\ = пх\НПх
оо оо
Г е^ dt, \ ех db
X
Х"2!Я„,
je*d<, J e2d&
х...
Решение. В силу результата задачи 2
оо
= /[^+1® е£2® . ..] + /*, J^rfZ/f^'"1 ® ^® ...].
о
Воспользуйтесь теперь задачей 1, повторите
рассуждения для е2 и т. д.
Задача 4. Докажите неравенство
Е
\П edb) <36£ I j e2dt)
1) См. Скороход [2].

, J£M?f >•*■•* 'Л*ИЩ:*#;*.....;,
60 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
Решение. Так как H4[tt х] = х4— Ых2-\-3fi, то |
оо tx t2 *3
\ е db \ е db \ е db\ edb =
о о
о о
v4
I
\2 \
= [ей — 6 J в2 Л I J ей +3Me2rf/ . j
Но для «хороших» функционалов е математическое
ожидание левой части равно 0, так что
оо \ А-\
J edb
г- / оо v 2 оо
<6£
<
<6 £
/•л)ТН(/'л)'
2T\V;
Доказательство можно завершить надлежащей
аппроксимацией.
2.8. Стохастические дифференциалы при замене
времени
Рассмотрим неупреждающие функционалы е и
0 < / < оо, такие, что,
t
t
= 1.
J e2ds+ | r2ds<oo, />0
■0 0
Определим \=\edb и t= J f~2ds. Докажем, что
о о
t
?Xr1)=j(ef)(r1)da

2.8. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦ. ПРИ ЗАМЕНЕ ВРЕМЕНИ 61
при /<t(oo) для некоторого нового броуновского
движения а, т. е. на изыке дифференциалов
dx^rl)^(ef)(rl)da = e(rv)\rl (ty]!i da1) (t <t(oo))*).
Этот красивый результат действительно удается
получить, если е(Г1) и /(t-1) — неупреждающие
функционалы от а, для чего на е и / приходится
наложить некоторое техническое условие. Последнее
обстоятельство разъясняется ниже в шаге 2.
Для упрощения доказательства предположим, что
t(oo) = oo. Тогда Г"1 (/)<<* при 0<^<оо.
Шаг 1
Начнем с рассмотрения процесса
а (О-J db/f.
о
Это броуновское движение, как доказано в разд. 2.5.
Шаг 2
Докажем далее, что e{t~~l) — неупреждающий
функционал от а. Для этого дополнительно
потребуем, чтобы
e{t)=hm2n j e(s)ds
при t^O. Последнее равенство всегда можно
обеспечить, выбирая для е надлежащую модификацию
и не меняя при этом $. Те же рассуждения
гарантируют, что после аналогичной модификации f(t~!)—
неупреждающий функционал от а. Возьмем t^O,
обозначим f = t~I(^). Достаточно проверить
следующие факты:
(а) процесс a(s): s^.t измерим относительно Af+;
1) Точка * означает производную по t.
2) При доказательстве этого результата мне помогли К- Ито
и С, Ватзяабъ

62 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
(b) процесс а+ (s) = a (s + /) — a {t): s > 0 не
зависит от Af ;
(c) функционал e(t~l) измерим относительно Af+.
Свойства (а) и (с) доказываются просто. Для
доказательства свойства (Ь) заметим, что функционал
/+ = f(.+f) неупреждающий для броуновского дви- ;
жения b+ = b(' +f) — b{f). Положив
t+{t)=j(f+T2ds,
получим
t-1 (s+t)
(t + Г1 (s)
a+(*) = j db/f= J db+/f
+ /f+
t-1 (t)
Из результатов разд. 2.5 заключаем, что процесс а+
при условии Af+ — броуновское движение, откуда и
следует выполнение свойства (Ь).
Шаг 3
Так как
t
t-i
J(e/)2(t"Vs= J (ef)2dt=j e2ds <oo,
то определим стохастический интеграл j (^/)(t l)da, I
о
и, чтобы отождествить его с интегралом
х(г!)=/ в л,
достаточно иметь дело с простым функционалом в,|
в чем читатель сможет сам убедиться. Как в разд.]
2.6, это позволяет свести задачу к случаю в=1.
Рассмотрим простой функционал fn со скачками!

2.9. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИЙТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 63
в моменты k2 rt, столь близкий к t, что
/|Ь.(г')-/(г')|,л-/ V.-ffdt-
о о
t-1
-J (.fe- l)26fs<2-n (nfoo)
0
для ^^0. Теперь при любом целом /^1 имеем
J UiTx)da =
о
- J /.((ft-l)2-)[a(t(ft2-))-a(t((*-l)2-))J-
= £Ш-1)2-п) I ^-J тл-
Но при / -в [2nt] и п f оо эти выкладки можно
просмотреть в обратном порядке и получить
6(/)= limb(/2-л)=Ит J ^rfft —
t(/2"») t(t)
-lim f ^(Г')^= J ИГ1)da.
л*~ о о
Заменив / на f1 (/), завершим доказательство.
2.9. Стохастические интегралы и дифференциалы
для многомерного броуновского движения
Определение интеграла Ито легко
распространяется на d-мерное броуновское движение Ь,
введенное в разд. 1,7. Неупреждающий функционал

64 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ Й ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
е: t->Rn определяется, как и раньше, и
автоматически является неупреждающим функционалом для
каждой компоненты, скажем Ьи так что, если п=\
t
■4/
e2ds <oo, />0
= 1, интеграл j edbx можно
о
ввести в точности, как в разд. 2.2. Более сложные
интегралы можно сконструировать из отдельных
деталей. Несколько примеров для случая d = 3 пояснят
эту идею:
t t
(a) е: t-+R\ J* \е р tfs= J (е\ + е\ + e\)ds < оо.
о о
t t t t
[ e • db = J ex db] +• J e2 rfft2 + J e3db3.
0 0 0 0
(b) e: t->R*y j\ef-ds<oor
о
j eXdb — П e2db3~ $4Sdb2+ %..\.
0 ^0 6 / ■
(c) e: /->#3®/?3, J|efds<cx>1).
о
J e rf& — I J en rfftj -I- J *l2 dfr2 + J ^i3 db3 + ... j.
о . ' \o о" о /
Лемма Ито также легко обобщается. Вычисление
дифференциалов проводится, как и раньше, в
терминах произведений вида (dt)2, dtdbi (t^d) и dbidbj
l) Rn<g)Rm есть класс линейных операторов из Rm в Rn;
если e^Rn®Rm, то \е\ всегда означает норму этого опер? |
тора; при п == 1 Rn®Rm можно отождествить с самим R*
и | е | совпадает с обычной нормой | е | =*(е\ + е\ + • • .)1/а.

2.9. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 65
(/, j^d), а они принимают значения либо 0, либо dt
в соответствии со следующей таблицей умножения:
X
dbx
db2
dt
dbY
dt
0
0
db2
0
dt
0
dt
0
0
0
Доказательство леммы Ито.
Рассуждения те же, что и в разд. 2.6. Их нужно
лишь дополнить обоснованием правила перекрестного
умножения броуновских дифференциалов (dbx db2=0
и т. п.), что сводится к доказательству такого факта:
если е — ограниченный неупреждающий функционал
для двумерного броуновского движения b = (b\, b2),
то максимум модуля мартингала
Ы= 2 в((*-1)2-я)[б1(*2-я)-61((*-1)2-я)]Х
X [Ь2 (k2~n) - b2 ((k - 1) 2-")] (/ < 2п)
допускает при п | оо оценку 2~фп. Но это, как и
раньше, выводится из мартингального неравенства
разд. 1.4.
Различные дополнительные свойства многомерных
броуновских интегралов и дифференциалов
обсуждаются ниже в серии из девяти задач с решениями.
В этих задачах е: t-> Rn — неупреждающий
функционал, для которого
р\ \\e2\ds<oo, f>0 =1.
3 Зак. 81

66 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
Задача 1. Докажите, что если е: t->Rd и t(0 =
t
= J | e\2ds9 то
о
t-{(t)
a(t)= \ e • db
о
есть одномерное броуновское движение при /<t(oo).
Функция t~l (t), обратная к t(/), т. е. min(s: t(s)=t),
определена при 7<t(oo).
Решение для случая t(oo) = oo. Применяя
лемму Ито, убеждаемся, что для любого v^^1
Ь(t) = ехр 1Л=Ту je-db+£j\e\*ds\ =
t
= 1 +V^Ty jle-db tf>0).
о
Читатель может самостоятельно проверить, что
I (f') — мартингал относительно семейства полей
At-i+ (t^O), так что при t^s
£[ехр[/=Туа(0]|Ае-1(5)+] =
= Е [ь (Г1 (*)) | At.i {s)+] exp(- y2^/2) =
= ?(r1(5))exp(~v^2) =
= ехр [V-lya(s)] exp [- Y2 V - s)/2].
Поскольку процесс а (г): r^.s измерим относительно
At-i (5)+, то доказательство закончено. Доказательство
результатов разд. 2.5 можно было бы провести та- |
ким же образом.
Задача 2. Если е: t-+Rn <g> Rd, то интеграл
a(t)= \ edb представляет собой ^-мерное броуновское
о
движение тогда и только тогда, когда таблица умно-

2.9. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И "ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 67
жения для дифференциалов da( броуновская:
dat dcif = dt, если / = /, и dai daj = 0 в противном
случае.
Решение. Процесс j (/) = ехр [Y— 1 у a(t) +
-{- y2t/2] — мартингал относительно семейства полей
A* (t^O) для любого y^Rd только тогда, когда
таблица умножения для компонент daj броуновская.
Но если это так, то при t^s
£[expVr=TY-fl(OIAj=_
= ехр[/-1 Y.a(s)]exp[-Y2(^-5)/2],
как и в решении задачи 1.
Задача 3. Если е: t->0 (d)l), то а (/) = J e db
о
есть d-мерное броуновское движение.
Решение. Воспользуйтесь результатом задачи 2.
t
Задача 4. Если е: t -> Rd и t (/) = Г | е |2, то про-
о
t
цесс i (/) = \ edb удовлетворяет следующим усилен-
о
ным законам:
Ь*о (2tln2(l/t))v> ^ J
tr-W [2t(A)ln(l/t(A))]* ^
L0<*,<*2<1 J
где A = [*i, t2), t(A)= j|e|2, и подразумевается, что
л
0/0s=l (случай d=l рассмотрен в разд. 2.5).
Решение. Для любого направления y^Sd~
процесс YS — одномерное броуновское движение от-
1) О (d) — группа вращений пространства Rd.
3*

68 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
t
носительно внутреннего времени t(t)= \ \ е*у |2, как
о
это следует из задачи 1; прочее очевидно.
Задача 5. Если e:t->Rd, то процесс 5(0 =
= ехр
\e-db-\ j\e\2ds
— супермартингал
относительно семейства полей А* (/^0), причем
max \ е - db — у Г | е |2 ds > Р
*<i
<*-<*.
Решение. Докажите эти результаты сначала
для простых е, как и в (6) разд. 2.3. Предельный
переход несложен.
Задача 6. Вне множества (t: 6 = 0)
стохастический дифференциал бесселевого процесса r=\ b |=
= (б2 + ... + bdj'2 дается формулой dr = da +
+ (d— l)(2r)~l dt для некоторого нового одномерного
броуновского движения a(t)= \ r~lb • db.
Решение. Воспользуйтесь леммой Ито и
задачей 2.
Задача 7. Используя тот факт, что для
двумерного броуновского движения dlnr = r~'[ da вне
множества (t: r = 0), докажите, что Р[г>0, ^0]=1.
Аналогичный факт в случае d^3 был установлен
в задаче 1 разд. 1.7 другим методом. Рассмотрите
случай d^3, используя соображения, основанные,
как и выше, на лемме Ито.
Решение при d = 2. Поскольку Р[г(1) > 0]=1,'
то d In r = r~l da при 1 </ < f = min(^> 1: г = 0).
t
Согласно разд. 2.5, если t (t) = J r~2 ds и Г1 (t) = \

2.9. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 69
= min (s ^ 1: t (s) = t), то с {t) = In г (t !) — одномерное
броуновское движение до момента t(f)^oo. Однако
если f<oo, то с стремится к — оо при t\t(f), что
невозможно по следующим причинам: если t(f) < оо,
то c(t(f)) < оо; если же t(f) = oo, то c{t)^0 по
некоторой подпоследовательности t | оо.
Решение при d^3. Замените в предыдущем
рассуждении In r на — rd~2.
Задача 8. Проверьте, что сферические
координаты: г = (Ь\ + Ь\ + bf)1*, ф = arccos (b3fr) — широта,
9 = arctg {b2lb\) — долгота, трехмерного броуновского
движения b = (bub2tb3) изменяются согласно
системе стохастических дифференциальных уравнений
dr = dax + г"1 dt, dq> = г"1 da2 + у r~2 c*£ Ф dt,
dQ = (r sin ф)""1 da3,
где а — новое трехмерное броуновское движение
t
ах = J r~lbdb,
о
a2 = J (r2 sin ф)"1 Ь3 {b{ db{ + 62 d62) — J sin ф dft3,
о о
a3 = J (r sin фГ1 (&! d62 — 62 d^).
Решение. Воспользуйтесь леммой Ито и
результатами задачи 2.
Задача 9. Докажите, используя стохастические
дифференциалы, что при /^1 двумерное
броуновское движение b = (bu b2) в полярных
координатах можно представить формулой
МО-
r(t), ahds/r(s)A + 9(1)1,

70 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
где г — бесселевский процесс b = (b\ + bty'* и а —
независимое одномерное броуновское движение.
Решение. Возьмем бесселевский процесс г,
независимое одномерное броуновское движение а, и
t
положим Г"1 (0= J r~2 ds. В силу независимости а
о
и г /(/)== г (Г*1)—неупреждающий функционал для а.
t
Далее, t= | f~2ds, и из результатов разд. 2.8 сле-
о
дует, что дифференциал процесса Ь = [г, a(t-1)] можно
записать в виде [dr, r~x dc], где
t-1 w
c(t)= J* r(t)da
о
есть новое броуновское движение. Несложные
рассуждения показывают, что процесс с при условии,
что траектория г фиксирована, есть все еще
броуновское движение, т. е. процесс с не зависит от г.
Отсюда сразу следует, что таблица умножения
прямоугольных координат дифференциала db
броуновская, а этого достаточно (по задаче 2) для
отождествления введенного выше процесса b с некоторым
двумерным броуновским движением.

3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ (ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
3.1. Диффузия
Диффузией в R1 называется совокупность
случайных процессов с непрерывными траекториями
t-t-liit)^ Rl> определенных до некоторого момента
О < е ^ оо (называемого моментом взрыва), таких,
что $(е—) = —оо или +оо, если е < оо. Каждый
такой процесс характеризуется своей начальной
точкой $(0) = л;е R\ и отдельные процессы связаны
между собой следующим правилом: если t^oo —
марковский момент (момент остановки) для J, т. е.
если при любом /^0 событие (t < t) измеримо
относительно $ (s): s<^, то при условии у что t<tui(t) = yy
будущее
S+(0 = S(t + 0: /<е+^е-г
не зависит от прошлого j(s): s^t+ и имеет то же
распределение, что и процесс, выходящий из у\ короче
говоря, процесс $ начинается заново в каждый свой
марковский момент.
Пусть задана такая диффузия % и «хорошая»
функция v на R1. Изучим и = E[v($(t)), t < с] как
функцию от / ^ 0 и J (0) = х е R1. Так как диффузия j
начинается заново в постоянные моменты, то при t^s
u(t,x) = E[E[v(i(t)),t<t\i{r): r<s]] =
= £[и(/ — s, $(s)), s<e];
значит, отображение exp(^G): v-+u(t9 •)
мультипликативно:
exp (tG) = exp ((/ — s) G) exp (sG),
как подсказывают сами обозначения. * Оператор
G = lim*|o*~ [exp(/G)—1] является дифференциальным

7U 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
оператором, представимым в «хороших» случаях в ви*
де Gu = (e2/2)u" + fu\ где е(Ф0) и /
принадлежат классу C°°{R1)1). Если это так, то переходную
плотность р (t, х, у) = дР [i (/) < у, t < t]/dy удается
отождествить с минимальным фундаментальным решеь
йием уравнения ди/dt = G*u2), имеющим полюс в точке
* = 8(0) (точную формулировку см. далее в разд. 3.6).
Поскольку распределение £ можно выразить через р,
основываясь на формуле
р\П te<s('<)<*<).'«<*| =
Ь<« J
a\ a2 . аП
... p(tn — tn-uyn-byn)dyn9
где
0i <bu a2< 62, ..., an<bn, 0<t{ <t2< ... </„, /г>1,
то говорят, что оператор G управляет диффузией J.
Прекрасным введением в этот круг идей может слу*
жить книга Ито [9]. Более исчерпывающий материал
содержится в монографиях Дынкина [3] и Ито и
Маккина [1].
Броуновское движение с произвольной начальной
точкой [$ = х + Ь] является простейшим примером
такой диффузии: р = (2я/)~~1/2 ехр [— (л: — yffet] —
элементарное решение уравнения du\dt = ~d2\i\dx2> так что %
управляется оператором Gu=u"/2. Чуть более сложно
устроена диффузия $ = x + eb + ft при постоянных
е Ф О й f. Здесь р = {2пеЧ)~ъ ехр [— (г/ — jc — ftfl2e2t]
является элементарным решением уравнения du/dt =
= G*#, где Gu = (е2/2) и" + fu\ Второй пример уже
содержит некоторый рецепт того, как, исходя из
1) Предупреждение: Сп (R1) означает класс п«оо)
непрерывно дифференцируемых функций на R\ никаких
предположений об ограниченности функций или их производных не делается.
2) G*—сопряженное с G дифференциальное выражение: G*w =
-(е*«/2)"-(/«)'.

3.2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
73
броуновских траекторий, получить траектории
диффузии, управляемой оператором Ои = (е2/2) и" + fu't
при непостоянных ^(=^=0) и f из класса C°°(Rl). Для
этого достаточно положить локально J = л; + eb + ft,
т. е. решить стохастическое дифференциальное
уравнение d$ = edb + fdt при e = e[i{t)], f = f[$(t)] и
j(0) = xg^. Разд. 3.2—3.4 посвящены решению этой
задачи, а в разд. 3.5 доказывается, что оператор Q
управляет диффузией $.
3.2. Решение уравнения d$ = e(s)db -\-f($)dt
для случая коэффициентов ограниченного наклона
В качестве первого шага в выполнении программы,
намеченной в разд. 3.1, мы докажем, что если
коэффициенты е и f принадлежат С1 (R1) и имеют
ограниченные производные, то уравнение
di = e{i)db + f{l)dt
имеет только одно неупреждающее решение i(t): t^O,
начинающееся в точке $ (0) = х е RK Используется
первоначальное доказательство Ито [2]; для простоты
предполагается, что \\е'IL<V2, II/'IL^1/^, и рассма*
триваются лишь значения f^l.
Доказательство существования прц
Определим неупреждающие броуноцскце функт
ционады формулами
So V) = h
t t
о о
Применяя неравенство (A + В)2 < 2Л2 + 2B2 и
свойство (5) разд. 2.3, читатель легко может проверить

74 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
по индукции, что
Z)„ = £[|j„+1-j„p]<
<2£
<2£
U о J
t
<2( ||е'It + ИПЕ.) |/)«-i<
0
< J £>„_! < const • tn/n\ (n > 1).
0
Здесь использованы обозначения еп = е ($„) — e (j^-i)
и /nef(Si») —f(X«-i). Далее, процесс %n(t)= j endb
о
является мартингалом относительно броуновских
полей В, (/^0), так что неравенство разд. 1.4,
примененное к субмартингалу tfn, дает оценку
Р[тах|^(01>/]<Г2£[5Л1)2] =
■Г2£
J е£Л < Г2Це'£, J £>„_, < const-/'2/*!.
Комбинируя это с более простой оценкой для $n{t) =
-jfnds
о
P[max|y>/]<P
j/^w1
L-0
<Г2£
о J
<
<
r2\\f'L J />„_,< const. Г»Я

3.2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ 75
получим
Р[тах\ &+, - $Л |>2/]<const • Г2\п\.
Выберем Г2 = (п — 2)!. Тогда Г2/п\ — общий член
сходящегося ряда и по первой лемме Бореля — Кан-
телли
P[maxU„+1-SJ<2[(«-2)!rV2, n\ оо]=1.
В силу этого функционалы $„ сходятся равномерно
при /^1 к неупреждающему броуновскому
функционалу s^. Так как
J l^(See) — в($„) |2d/ <max| j^ — j„ |2,
а правая часть стремится к 0 при п f oo, то из
свойства (7) разд. 2.3 легко вывести, что
t t
О О
Доказательство существования завершено.
Доказательство единственности при
/>0.
Допустим, что существуют два неупреждающих
решения £i и £2- Введем марковский момент
t=min(f:|x1| или \%2\ = п)> и пусть $* —
произведение % и (неупреждающего) индикатора события (/^t).
Тогда
t t
52-$;= J кф-•&)]**+J то-^ои*
о о
0<t).
Дисперсию D = £ [ | £* — $* |2] < An2 < оо можно
оценить сверху через Г D, как и при доказательстве

7б 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
существования. Отсюда следует, что 1> = 0, и,
полагая п f оо, приходим к выводу, что, как и
утверждалось, P[h = h> /<1]=1.
3.3. Решение уравнения d$ = e(s)db + f(s)dt
для общих коэффициентов класса C!(U!)
Опираясь на результаты разд. 3.2, теперь можно
доказать, что для произвольных е и f, принадлежащих
классу С1 (У?1)» и фиксированной точки х е R1 суще-
ствует и притом только один броуновский
функционал J, определенный вплоть до броуновского момента
остановки 0 < е ^ оо (момента взрыва), такой, что
(a) произведение $(/) и индикатора события (t < e)
есть неупреждающий функционал;
t t
(b) X(0 = * + J e (j) db + | f{$ds (t < e);
0 0
(c) если e < оо, то или j (e —)= — оо, или j (e —-)=
= + оо.
Кроме этого, будет доказано, что процесс $ wa^tt-
нается заново в броуновский момент остановки.
Более точно, если t — такой момент, то при условиях
t < е и l(t) = y «будущее» $+ (t) = j (t + *)'• ' ^ ° we
зависит от броуновского поля Bt+ {относительно
которого измеримо «прошлое» процесса j: $(s):s<[t+)
и имеет то же распределение, что и решение уравнения
di = e ($) db + f ($) dt при начальном условии j (0) = у.
Так как марковские моменты для j суть в точности
броуновские моменты остановки, то процесс J
—диффузия, описанная ранее в разд. 3.1. В силу
свойства (с) естественно положить 5 (^) == 5 (с —) при t^t.
Если коэффициенты имеют ограниченный
наклон, то Р[е=оо]=1 (см. разд. 3.2). Аналитический
критерий для проверки равенства Р[е = оо]=1 дан
в разд. 3.6 (см. также задачи 1 и 2 настоящего разд.).
Шаг 1
Продолжим е и f вне интервала [— /г, + п] так,
чтобы они превратились в функции еП9 fn e С1 (R1)

3.3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
77
с ограниченным наклоном. Пусть j„ — решение
уравнения di = en{x)db + fn(x)dt с условием j(0) = a;.
Определим броуновский момент остановки е„ =
= min(/: | in \ = n) (n^l). Как и во второй части
разд. 3.2, проверяется, что S«-i (0 = $«(') ПРИ t < e/i-i>
и отсюда следует выполнение свойств (а) и (Ь) для
траектории j(0 = $n (t) (/<е„, я>1) и броуновского
момента остановки е = lim^ooe^ ^ оо. Любое другое
неупреждающее решение совпадает с х, до момента е.
Доказательство можно получить, слегка видоизменяя
рассуждения предыдущего раздела.
Шаг 2
j(e— ) = — оо или + °°i если е < оо, т. е.
выполняется (с).
Доказательство1).
Если свойство (с) не выполнено, то можно найти
точку в R1 (например, 0) и положительное число
(скажем, 1) так, что P[Z]>0, где Z — событие,
состоящее в том, что процесс $ вернется бесконечно
много раз в 0 до момента е < оо, побывав при этом
в множестве |л:|^1. Каждый момент возвращения
t, = min(/>0: $(0 = 0, max| $(s) |> 1)<
^t2 = min(/>t1: j(0 = 0, max | $(s) |>s)< и т. д.
U<s<t
представляет собой броуновский момент остановки,
и петли
X» W-S0+ *»-!)=■
t t
== J e(u) dbn+jf (jrt) ds (t < tn - tn„{)
о о
представляют собой один и тот же (неупреждающий)
функционал от броуновского движения
1) Это красивое доказательство, более совершенное, чем
известное мне прежде, сообщил Г. Коннер.

78 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
при любом п^2. Читателю теперь нетрудно будет
проверить, что эти петли независимы и одинаково
распределены; существенно, что то же самое верно
и для времен возвращения tn — \п_х (п^2). Отсюда
по усиленному закону больших чисел получаем
U=2
оо
= 1.
Но на множестве Zc(e<oo) справедливо неравен-
оо
ство 2 (*я"— t/t-i)*0 < °°> которое приводит к
пролёг
тиворечию, если P(Z)=£0.
Шаг 3
Последнее, о чем надо позаботиться, -—это
проверить утверждение, что процесс J начинается заново
в каждый броуновский момент остановки.
В шаге 2 встречается простейший пример
подобного утверждения. Читатель без труда дополнит
приводимое ниже доказательство необходимыми
деталями из теории меры.
Доказательство.
Пусть дан броуновский момент остановки t.
Рассмотрим процессы b+ (t) = b (t + t) — b (t)t %+(t)=i(t + t)
и величину е+ = е — t при условиях t<e и В*+.
Процесс Ь+ есть броуновское движение, так как (t < е) е
е Bt+. Свойства (а), (Ь) и (с) выполнены, если
заменить 6, j, e и jc на Ь+, j+, e+ и y = j+(0)
соответственно. Это значит, что для почти всех у процесс $+
имеет то же распределение, что и решение |
уравнения Ht) = y+ j e$)db+ jf{1))ds:
о о
Р[Р[1+ €=В| t < e, Bt+] = P[$ е=В]]= 1.
Заметив, что величина j:(s): s<^t+ измерима
относительно Bt+, завершим доказательство.

3.3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ 79
Задача 1. Докажите, что
Р[е = оо]=1, если e2 + P<const.(l+*2).
Решение для случая j(0) = 0. Обозначим
постоянную в правой части неравенства через k.
Определим моменты e„, как в шаге 1, и положим
*Ле„
'Ле„
Хя(0 = Х('Лел)= J efc)rf6+J f(i)ds (л>1).
j e(l)db\ +l\ f(x)ds) <
J 0+й)*|-
Тогда при t^.m
Г/'Ле
<2m£
<Леи
J (e2 + f2)ds
2km J* (1 +£)£&.
Г*Ле„
<2kmE
Но это значит, что D<^.e2kmt— 1 *), и, поскольку &
не зависит от п, требуемый результат следует из
оценки Р [е„ < т] < Р [$„ (т) > п] < D (m)/tt21 0 при
Я | оо.
1) Здесь и несколько раз в дальнейшем используется
следующая оценочная лемма: если D (t) — неотрицательная интегри-
t
руемая функция и D (t) < f (t) + k \ D (s) ds, то D (t) < DY (t) =
о
t
= f (t) + k ek ^~5)/ (s) ds. Доказательство просто. Имеем Dx =
этим
= f + k Г Dh так что D — DY < k J (D — Di). Пользуясь
о о
неравенством, доказываем по индукции, что при любом п
D — DX<^C :—, где С — постоянная, не зависящая от п.
Полагая п -> оо, имеем D — Dx ^ 0. — Прим. перев.

80 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задача 2. Докажите, что
Р[е = оо]=1, если / = 0.
Решение. Из результатов разд. 2.5 вытекает,
что l(t) = a(i) при некотором новом броуновском
движении а и t(/)= J e(x)2ds. Процесс $ не может
о
взорваться, так как броуновское движение ни за
какое время ^^оо не может стремиться ни к — оо,
ни к + оо (см. задачу 7 разд. 2.9, в которой
использованы аналогичные аргументы).
Задача 3. Докажите, что
Р\Ш^1Ш=\е[Ш]\\-1
Itio (21n2(l/0)/2 J
И
t=t2-t^0 (2t\n(\/t))/2 s<l
L0<*,<*2<l<e J
Решение. Воспользуйтесь усиленными законами
из заключительной части разд. 2.5.
Задача 4. Докажите следующее утверждение:
Если Ji и j2 —два решения уравнения d$ =
~-=e(x)db + f(x)dty причем j!(0)<j2(0), то Р [$!<£>,
*>01=1.
Решение. Момент t = min (t: j, = j2) —
броуновский момент остановки, и поскольку оба решения %\
и &> начинаются заново в такие моменты, то Ji = j2
(t^t), если только t<oo.
Задача 5. Рассмотрим финитные функции е и /
из С°° (R1). Для данных х и у, х < у, построим
процессы j и | как решения уравнения d% = e{i)db +
•\-f{l)dt, выходящие из х и у соответственно.
Положим д = у — х и заметим, что $А = g""1 (f) — j) является
решением уравнения
t t

3.3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
81
с неупреждающими коэффициентами еА и f±:
*{%)
»=х)
(аналогично определяется и fA). Используя формулы
разд. 2.7, представим $А в виде
у± = ехр
Lq о о J
Определим е' = е'(х), // = //(j) и
S'^exp
Г ' ' ' 1
Ue'db-\\{e'Yds+lf'ds .
Lo о о J
Докажите, что £ [(jA _ j')2] _^ о при 6 \ 0. Проделайте
то же самое с процессами ;' = 6~1(fj — $) и
Г = Х'
' ' ' ' I2)
J e Y rfft _ J eV'$' tfs + J* /"$' ds .
0 0 о J
Дайте аналогичные формулы для j"' и т. д.
Решение. Обозначим экспоненциальные
выражения для jA и ^ через £л и ев соответственно.
Воспользуемся оценками
Ix'-jakib-л !(** + **),
|e'-eA|<6^||e"|L>
£ (в4^) + Е (е*в) < 2 ехр ([б || е> |£ + 4|| Г IIJ t) 3)
!) В этой формуле, кстати, содержится новое решение
задачи 4.
2) е" = еГ(ъ) и f" = f"(t).
3) Последняя оценка вытекает из очевидного неравенства
t t
4Л < (61| * t + 41| ГIL) + Л, где R = | V <И - у J (4е')2 Л.
о о
и свойства (8) разд. 2.3, согласно которому £ехр/?= \. — Примт
перев.

82 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
и проверим, что при фиксированном t
Е Ш' - J*)2] <E[(B- Af {е* + ев?] <
< const • Е [{В - A)<]'li < const • Е
+ h\er-eL\ds\ +|'j(r_fA)dsjl/2<
j{e'-e*yds+ J* (f' -f*Yds\ <
< const • 62£ (e4A + e4B)4i < const • 62.
Тот же план доказательства проходит и для
разности j" — 1Г* и т. д.
Задача 6. Рассмотрим функции е и f из C°°(Rl).
Используя результат задачи 5, покажите, что
процесс £ можно определить как функцию от 0 ^ t < e
и %(Q) = x ^ R1 таким образом, чтобы при любом
/г>0 Р[дп1 непрерывен на [0, е]Х#!]=1 и для
каждого х е R1
дпъ = дпх+\ дпе (s) db + J 5я/ (S) ds, < < е
t t
00 J
(мы полагаем д = д/дх).
Решение. Используя лемму Колмогорова (см.
задачу 1 разд. 1.6), покажите, что процесс дп1 при
любом п^О допускает модификацию, непрерывную
на [0, е] X R1.
3.4. Метод Ламперти1)
Если задана функция /еС1^1) ограниченного
наклона, то уравнение
t
S(t) = x + b(t) + $f{i)ds (<>0)
1) См. Ламперти [1].

3.4. МЕТОД ЛАМПЕРТИ 83
можно решить гораздо проще, используя очевидную
оценку
D„ —max|5„+i-X«l< f If (S«)-f(X«-i)l <
t
<11П|» JX-, (П>1),
0
которая обеспечивает экспоненциально быструю
сходимость последовательности уп. Избавляясь от
условия ||/'L < оо, можно определить, как и в разд. 3.3,
процесс j вплоть до момента взрыва е^оо.
Произведем теперь замену переменных (заменим шкалу)
х-> х* = j(x)t где j^C2(Rl). По лемме Ито при / < с
df = ¥ ft) \db + f (X) dt] +1Г (J) - *' Of) db + f (j*) Л,
где
(a) e* (/) = /' и
(Ь)Г(/) = /7 + Г/2.
Идея Ламперти состоит в том, чтобы
конструировать решение общего уравнения d%* = е*($*)db +
+ f*(f)dt в терминах функций / и /, которые
выражаются из (а) и (Ь). Пусть заданы коэффициенты
0<е* класса С1 (Я1) и f* класса С (У?1)-Уравнение (а)
можно решить локально, и решение / принадлежит
классу С2, причем j' = e*(j)> 0. Из уравнения (Ь)
следует, что
/ = ОТ1 [Г О)-/72].
Чтобы обеспечить дифференцируемость f, нужно
дополнительно предположить, что e*^C2(Rl) и
/* s С1 (R1). Для существования решения в целом
также следует наложить некоторые условия.
Метод Ито применим к более широкому классу
коэффициентов, но конструкция Ламперти проще,
так как она не опирается ни на мартингальное
неравенство, ни на лемму Бореля — Кантелли. К
сожалению, метод Ламперти не применим в высших
размерностях и не столько по техническим, сколько по
топологическим причинам, как будет отмечено
в разд. 4.3.

84 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3.5. Прямое уравнение
Определим G* как формально сопряженное с G
дифференциальное вь ражение: G*u = (е2и12)" — (fu)'.
Используя результаты разд. 2.3 и лемму Вейля
(разд. 4.2), не составляет труда проверить, что для
коэффициентов е(Ф0) и f класса C°°{Rl) оператор G
управляет диффузией в том смысле, что плотность
P = P(t> У) = дР[х(/) <//,/< t]jdy является
наименьшим фундаментальным решением прямого уравнения
du/dt = G*u с полюсом в точке j(0). Это значит, что
(a) р>0,
(b) Пт^о [ pdy=\ для любой окрестности U I
и
точки х,
(c) ре С°° [(0, оо)ХП
(d) dp/dt = G*p,
(e) р — наименьшая среди таких функций.
Шаг 1
Частный случай леммы Вейля (разд. 4.2)
устанавливает, что если функция и является {формальной)
плотностью некоторого распределения масс1) на
(О, оо) X R1 и если для любой финитной функции
/<=с-[(о, оо)х№
0= j u[d/dt+G]jdtdy,
(0, оо)Х^
то функцию и можно так модифицировать {исправив
ее значения на множестве меры 0), чтобы она
принадлежала классу С°°[(0, оо)Х^]; после
модификации функция и удовлетворяет уравнению dufdt= G*u
1) Другими словами, и надо считать обобщенной функцией
над пространством финитных функций класса С°° [(0, оо) X Z?1].—
Прим. перев.
2) Предостережение: финитная функция на открытом
множестве — это функция, обращающаяся в 0 вне некоторого под-
компакта этой области.

3.5. ПРЯМОЕ УРАВНЕНИЕ 85
в обычном смысле. Применим теперь эту лемму
к (формальной) плотности р = дР [j (t) < у, t < t]/dy
следующим образом. Из леммы Ито следует, что
dj (/, $) = h (U I) e2 (S) db + [д/dt + G] / (*, j) dt ');
поскольку из финитности / следует, что Е Г (j{ef dt <
г в
< оо, то Е
\j(he)2dt\
j jiedb = 02). Отсюда
оо
О = Е [j (t, j) i;] = J* Л£ [(d/a/ + G) / (t, j), / < e] =
0
= j p[d/dt + G]jdtdy.
(0,oo)XRl
Теперь лемма Вейля обеспечивает существование
функции (?gC°°[(0, оо)Х#Ч> такой, что dq/dt=G*q
и p — q как формальные плотности на (0, оо)Х#*.
Но тогда для финитных /еС°°(/?1) и любого t^O
Г р/ dy = E [j (j), 7 < е] = J qj dy, так как оба интеграла
J pi и \ qj непрерывны по t при t^O. Отсюда
следует, что плотность р (/, г/) = дР [j (/) < y,t < с]/ду (=q)
действительно существует и удовлетворяет условиям
(с) и (d). Прочие свойства (кроме (е)) очевидны.
Доказательству (е) посвящены следующие два шага.
Шаг 2
Для доказательства (е) потребуется некоторая
подготовка. Положим f = min (t: | j | = п) и рассмотрим
неотрицательную финитную функцию /еС°°(— п, п).
Позаимствуем из литературы3) тот факт, что в
полосе | х |< п уравнение du/dt = Gt/ при условиях
и (0+> •) = / и м ('» ± л) = 0 имеет единственное
») h^dj/dx.
2) См. свойство (5) разд. 2.3.
3) См., например, Берс и др. [1].

86 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
неотрицательное решение иеС°°[(0, оо)Х[— п, п\].
По лемме Ито имеем при | j(0) |< л и s <t Af
du [t — s, j (s)] = ux[t — s,t (s)] e (j) db, •
так что
0 = £ J* ux{t-s9 i)e{i)db\^
= E[u{t-s,i)\^-\ = E[j{i),t<\]-u^
т. e.
Шаг 3
Возвращаясь к доказательству свойства (е),
возьмем второе элементарное решение q с полюсом
в точке $(0) = л;е(— п, п). Определим при s<t
п
Q= J* q(t — s, x, y)u{s, y)dy
—n
и заметим, что
n
dQ/ds= $[-(G*q)u + q(Gu)] =
= [- (eW и + (Л//2) u' + fa«] £„ < О
(так как ы(±я) = 0 и ±«,(±п)<0). Но тогда
0<Q|£=u-j?/,
и нужная нам оценка p^.q следует из неравенства
f р\ — lim E [j (x), / < fl — Нга и < f qj.
Задача 1. Выведите из леммы Вейля и
результатов шага 2, что для финитной неотрицательной
1) Чтобы убедиться в этом, заметим, что при / = f
lim и (t — s, $) = j [f (f)] == 0, если же / > f, то lim и (t — s, $) =
-ttU-f.5(f)J-0.

3.5. ПРЯМОЕ УРАВНЕНИЕ 87
функции j<=C°°(Rl) интеграл J /?/ = £[/(j), t < е1
представляет собой наименьшее неотрицательное
решение уравнения du/dt=Gut принадлежащее
С°°[(0, оо))^/?1] и обращающееся в / при 7 = 0.
Решение. Согласно шагу 2, функция £[/($)>
t < f] = и„ е С°° [(0, оо)Х[— п, п]] для любого я>1
удовлетворяет уравнению du/dt — Gu при | х | < п. Но
тогда для предельной функции */0О= J р\ выполняется
равенство
оо оо
0 —оо
где k — произвольная финитная функция класса
С°°[(0, оо) X Л1]. Из леммы Вейля мы можем теперь
заключить, что функция и^ е= С°°[(0, оо)Х R1]
удовлетворяет уравнению du/dt = Gu и в обычном смысле.
Допустим теперь, что и — второе неотрицательное
решение той же задачи. По лемме Ито при s < /Af
ди [t — s, J (s)] = ux [t — s, J (s)] б (j) d&,
так что
и>£[ lim и (/ — s, l)]>E[ lim a(f — s, $), f <f] =
а последнее выражение, монотонно возрастая,
стремится к £[/($)> *<e] = ^oo при nfoo.
Задача 2. Рассмотрим р как функцию трех
аргументов {t, х, у) е (0, оо) X R2- Проверьте, что
функция р принадлежит классу С°°[(0, оо)Х#2] и
удовлетворяет обратному уравнению
dp/dt = ±е2 {х) д2р/дх2 + f {x) др/дх = Gxp.
Рекомендуется применить лемму Вейля (разд. 4.2)
к оператору
= Qx + G>
L

^■■^..■•r-,',^^ • -ч - -
88
3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решение. Пусть заданы финитные функции
ЛеС(0, оо), /2еГ№) и j3e=C°°(Rl).
Имеем
Р [d/dt + К*] /1/2/3 dt dx dy =
j
(О, оо)ХД2
= \ J /2 dx J р [d/dt + Оу] /,/3 Л rfy +
(О, ooJXfl1
+■
J [d/dt + G*x]jlj2dtdxjpj3dy=0.
(0,oo)XRl
Здесь первый интеграл равен нулю по причинам,
изложенным в шаге 1, а второй можно рассмотреть,
слегка уточнив метод задачи 1. Но тогда
0= | p[d/dt + K*]idtdxdy
(О, oojXfl1
для всех финитных / е С°° [(0, оо) X R2], и так как
оператор К эллиптичен на R2t то из леммы Вейля
вытекает существование функции q е С°° [(0, оо) X /?2],
такой, что dq/dt = Kq, a p и q совпадают как
формальные плотности на (0, оо)Х#2. Но тогда
интегралы J* qfody g=C°°[(0, со) X Rl] и J Phdy = E\](i)%
t < е] совпадают с точностью до множества нулевой
меры на (0, ooJXfl1. Доказательство, как и в шаге 2,
заканчивается проверкой того, что последний
интеграл принадлежит С [(0, ooJXfl1]-
3.6. Феллеровский критерий взрыва
Пусть заданы коэффициенты е{ФО) и f класса
Cl(Rl); рассмотрим решение уравнения di = e{%)db +
-yf{l)dt в естественной шкале
X
$*=/"(Х)=/ехр (-2 Jf/e:
9 \ О

16. ФЁЛЛЕРОВСКЙЙ КРИТЕРИЙ ВЗРЫВА
Процесс $* = /(;£) удовлетворяет уравнению d$* —
= е■*($*) db, где e*(j) = j'e. Докажем следующий
критерий Феллера: для любого начального состояния
£(0) либо Р[е=оо]=1, либо Р[е = оо]<1 в
зависимости от того, бесконечны или конечны интегралы
0 оо
11! - / (- оо)] е* (/Г2 dj = | [/ (оо) - /] е* (/Г2 dj.
— оо О
Многомерный аналог критерия Феллера,
установленный Хасьминским, доказан в разд. 4.5.
Доказательство.
Процесс $ к моменту е < оо взрывается в — оо
или + оо в том и только том случае, если f = j{x)
стремится к /((— °°)*) или /(оо*) при t f е. Определим
решение и = и (/) уравнения е* и"/2 = и1) рядом
оо X
" = ]>]"«> "о=Ь "« = 2 j dj jun-ie^dj (я>1),
я»0 О О
Воспользуемся очевидной оценкой 1 -\-их <;и <!ехр {их)2)
и докажем, что функция и стремится к оо на обоих
концах интервала j{Rl) именно в случае
расходимости интегралов
О оо
J" [/-/(- °°)\e*-2dj=j[j(oo)-j]e~2dj = oot
—оо О
По лемме Ито при
йе-Ы (f) = - е~*и {f) dt + е~*и'е* {f) db +
+'rtV2 {f) dt/2 = e-fu'e* {£) db.
r t
Так как
\e-2s{u'e*)2{i*)ds\
< оо, где t =
• min (t: | j | = n), то из свойства (5) разд. 2.3 вытекает,
*) ' — производная по /.
2) Легко доказать по индукции, что ип^иуп\ (я>0),
откуда немедленно следует указанная оценка.

90 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
что для процесса, начинающегося в точке $(0) = х
между — п и п, выполняется равенство Е[е~1и [%*(t)]] =
= и(х*). Переходя к пределу при п f oo, получим,
что в случае расходимости
P[limt = e = oo]=l.
оо
Напротив, если] [/(°°)—j]e*~2dj < оо,то 1 <и(оо*)<
о
< оо, и, полагая t = mm(t: $ = 0 или п), мы находим
из соотношения Е[е~ьи ($*(?))] —и(х*), что для
процесса, выходящего из точки х между 0 и оо,
1 < и (*•) = lim E [e-*u ($* (t))] < 1 + Е (е~') и (оо*).
Но это невозможно, если Р[е = оо]=1. Итак,
доказательство критерия Феллера завершено.
Задача 1. Доказать, что Р[е<оо]=1, если
О оо
j U-1(~ оо)]б*-2dj + j [j(оо) - /]е-2dj< со.
— оо О
Решение. Из результатов разд. 2.5 и леммы
t
Ито следует, что и ($*) = a (t) + Г и ($*) ds, где функ-
о
ция и определена выше, / < е, а — некоторое броу-
t
новское движение и t(/)= f (и V)2 (j*) ds. Так как
о
w^l, то на множестве е = оо при / f оо выполняется
б.ч. неравенство u(i*)^tl2, так что в
предположении Р[е = оо]>0 функция и должна была бы быть
неограниченной.
Задача 2. Доказать, что для е ss 1 и f = \ х |1+б
вблизи ± оо взрыв невозможен, если 6^0, и
происходит наверняка при б> 0. Случай 6<0 уже
рассматривался ранее в задаче 1 разд. 3.3.
Решение. Воспользуйтесь критерием Феллера |
и результатом предыдущей задачи.

3.7. ФОРМУЛА КАМЕРОНА — МАРТИНА
91
3.7. Формула Камерона — Мартина
Пусть даны функции е и f класса С1 (R1);
обозначим через $ (невзрывающееся)]) решение уравнения
di = e{%)db. Пусть ^ — решение уравнения d$ =
=e(i)db + b{i)dt с той же начальной точкой x^R1
и временем жизни е/ < оо. Докажем, что для
г t
g(f) = exp
г- t t -.
\\№Wb-±l(f/eyids\
Lo о J
u событий В, зависящих только от j(s): s^f,
PtfeB, *<e'] = £feefl,j(0].
В частности, P[t>tf] = E(%). Камерон и Мартин [1]
открыли прототип этой формулы2). При е=1 и
f = x2, согласно задаче 2 разд. 3.6, P[ef<oo]=l,
так что в этом случае Е(%)<1 (t=£0). Такая
возможность отмечалась ранее в разд. 2.3, но не
подкреплялась примером. Для простоты мы проведем
доказательство в предположении, что e(^=0)uf^C°°(Rl).
Доказательство.
Событие В можно аппроксимировать событиями
B' = B0(t^.t)9 где e = min(/:|j \ = п) и п f оо.
Поэтому интересующую нас формулу достаточно
доказать при е=1 и / = 0 вблизи бесконечности.
В частности, предположение, что Р [cf = со] = 1,
не ограничивает общности. Используя неравенство
И//е|1оо < °°> легко показать, что
|j(f/*)W<fc
<со.
!) Доказательство того, что случайный процесс % не
взрывается, дано в задаче 2 разд. 3.3.
2) Дополнительную информацию см. у Дынкина [1], Та-
наки [1] и в задаче 5 разд. 4.3.

92
3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1
Так как dl = (f/e){$)%db, то из свойства (5) разд. 2.3 J
вытекает, что процесс 5 — мартингал и, стало быть,
£(j)=l. Но тогда при t2^t{ имеем
Это значит, что если событие В зависит от
значений £ (s) лишь при s ^ tu то среднее Q(B) = E [В,) (t2)]
не зависит от t2^tl. Как следствие мы получаем,
что процесс с распределением Q(B) начинается заново
в постоянные моменты времени. Для завершения
доказательства достаточно проверить соотношение
£[Я(*)€=Д, 5(01 = PW е= А] при *>0, х€= Rl и AczRK
Как и раньше, введем оператор Qu = е2и"/2 + fuf.
Из леммы Ито, примененной к финитной функции
/ еС°°[(0^ ooJX^lf вытекает, что
dj (t, x) 5 = (dj/dt + G/) J dt + (j{ + jf/e) $ db.
Проинтегрировав от 0 до оо и взяв от обеих частей
математические ожидания, находим
о = ф|0°°] = £
Г" оо "I
N (di/dt + Gftidt =
Lo J
= J dtE[tedy9i](dj/dt + Qj).
(0, ooJXfl1
Теперь лемма Вейля позволяет заключить, что функ
ция р = дЕ[х,<у, 1\1ду принадлежит С°°[(0, <x>)XRl]M
и удовлетворяет уравнению др/dt = G*p. Кроме того, Щ
0 < р, \ р dy= 1 и Пт^0 Г р dy = 1 для любой окрест-
ности £/ начальной точки х. Доказательство завер
шается ссылкой на тот факт, что pf=dP[xf (t)<y]/dy
наименьшая функция с такими свойствами (см
разд. 3.5). В самом деле, pF^p, и так как \ pfssSil
= f р= 1, то р*=р.

3.8. БРОУНОВСКОЕ ЛОКАЛЬНОЕ ВРЕМЯ
93
3.8. Броуновское локальное время
Леви [2] доказал, что броуновское локальное время
f (/) = lim (2ep mes (s < /: 0 < Ъ (s)< г)
существует и представляет собой непрерывную
функцию t^O1). Этот факт понадобится нам в разд. 3.10.
Сейчас мы его докажем с помощью задачи 4 разд. 2.7
и неопубликованной формулы Танаки, выражающей
процесс f — б4* в виде стохастического интеграла
f(0 = 6(0+— jeooo(b)db2).
Шаг 1
Определим процессы \(х)= \ exoo(b)db и \*{х) —
о
==limj(#), где у = k2~n | х. Тогда при любом /^0
идлявсеххе=& Р[\*еС(^)] = 1 и Р[\*(х) = \(х)] = 1.
Доказательство.
Согласно результату задачи 4 разд. 2.7,
E[\i(x)-\(y)ft = E
<36£
t И"!
0 | J
t 12 П
J exyds\
о J
< const • I jjc — r/12.
Теперь достаточно сослаться на лемму Колмогорова 3).
*) Исчерпывающие сведения о локальных временах можно
найти в книге Ито и Маккина [1]; настоящее доказательство
и задача I этого разд. заимствованы после значительных
упрощений из работы Маккина [3].
2) х+ = х V 0, еху — индикатор интервала [х, у) с: R1.
3) См. задачу 1 разд. 1.6.

94 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Шаг 2
Применение леммы Ито дает
b(t) х t b(s) t
J* dx J* e4dy = J db J* eapdy + j j e4(b)ds.
b{0) 0 0 -oo 0
Поскольку fsC^1), а при п\ <х>
t I Ms)
J J *ap <*У - 2 *1й-»оо(*) 2~* I dS < COriSt ' 2
—я
t
0
TO
-°° a<fe2~rt<p
b(t) x t
6(0) -oo 0
t
0 a<fe2""<3
a
= 14.00 S 1'(Л2-)2-"-/Г
a<fe2"-rt<p a
сначала для каждой отдельной, а затем
одновременно для всех пар ар. Формула Танаки и
существование локального времени f (/) = 6(/)+ — j*(0)
следуют из этого соотношения при каждом отдельном
t^O. Но так как Ь+ — i*(0) — непрерывная функция
t^O, а mes(s^.t: 0^6 (s) < e) — возрастающая
функция /^0, то оба факта — существование f и
справедливость формулы Танаки — имеют место
одновременно для всех />0.
Задача 1. Из предыдущих рассуждений (шаг 2)
немедленно получается, что при каждом отдельном
t^O броуновское локальное время
f (д) = limH0 (2e)~l mes (s < t: x < b (s)< x + e) =
= lM0-*]+-[-*]+-f(*)

3.8. БРОУНОВСКОЕ ЛОКАЛЬНОЕ ВРЕМЯ 95
существует и представляет собой непрерывную
функцию х е R *). Используя свойство (6) разд. 2.3,
докажите закон Рея [1]:
|_&=|*-!/|>Ю (6 In (1/6)) l2 J
Решение. Положим 6 = у — *. Используя свой-
t
ство (6) разд. 2.3 и то обстоятельство, что J exy(b)ds =
о
У
= J 2f < (у - jc)|| 2f IL3), проверим, что при п > 1
\exy{b)db >(|||2fL + p)(61n(l/6))'/a
о I
для некоторых — п < je = /2~" < /2~" = у < я и
>
б = (/ - *) 2"" < 2-(1-Е)" < Р N е*, (b) db
t
>|(6-1ln(l/6))V2J^(6)rfs + P(61n(l/6)),/l
о
для некоторых — п < х и т. д. <
< 2 2 ехр [~ а (б""1 In (1/6))'/2 р (б In (1/6))*]—
-д<^2-л</2-л</г
6=*2-"<2-0-е)"
= J]26aP<const.^[1+E(1+aPbaP1.
1) Этот факт был доказан впервые Троттером [1].
2) Рей установил, что это наилучшая возможная оценка.
3) Заметим, что 2f (х) = -т— mes(s < /: 6 (s) < *), так что
2 J f = mes (s < /: л; < b (s) < у) = e*y (6s) ds. — Прим, перев.

96 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Это общий член сходящегося ряда, если только ар > 1 j
и 0 < е < (ар — 1)/(сф + 1). Из первой леммы Бореля— '
Кантелли следует, что
P[|f02"e)-f(/2-e)|<(i||2fL + p)(ein(l/e))y> j
при — п^12~п<]2~п<п, 6 = (j-i)2~n< j
<2-(1-е,яи n\oo]=l.
Для завершения доказательства минимизируем вы- I
ражение (a)l|fL + P при условии а£^1 и применим 3
метод разд. 1.6. 1
3.9. Отражающие экраны ]
Скороход [1] обнаружил, что для коэффициентов ]
е{Ф$) и f класса С°°[0, оо] и х^О уравнение 1
1 * 1
X(0-*+Je(x)rf6+//(j)ds + f(0 I
0 0 1
имеет единственное неупреждающее решение ($, f), I
определенное до некоторого броуновского момента I
остановки 0<е^оо (момента взрыва), такое, что 1
(a) j(e—) = оо, если е < оо, I
(b) 5^0, I
(c) f — непрерывная возрастающая функция, ку- 1
сочно-постоянная вне множества 3 = (^: J (0 = 0), и а
f (0) = 0. Скороход отождествил это решение с диф- 1
фузией, отражающейся в 0 и управляемой операто- 1
ром G с граничным условием w+(0) = 01). (Граничное I
условие определяет сужение G на [0, оо).) Иначе j
говоря, р = дР [% (/) < у]/ду — наименьшее фундамен- 1
тальное решение задачи ди/dt = G*u (у > 0), имеющее I
полюс в л: и удовлетворяющее условию и+(0) = 0. 1
Результат Скорохода будет доказан ниже, следуя 1
работе Маккина [4]. Мы установим также, что f 1
представляет собой ассоциированное с 5 локальное 1
время: 1
f(0 = e(0)2XHmei02e-1mes(s<^: j(s)<e). 1
i) u+ (0) = limei0 (еГ1 [и (в) - и (0)]. 1

3.9. ОТРАЖАЮЩИЕ ЭКРАНЫ 97
Так как проблема локальна, то разумно
предположить, что fE==0 вблизи оо. Это упростит
рассуждения.
Доказательство единственности в одном
частном случае.
Рассмотрим при е=1 и / = 0 два решения ^ =
= х + Ь + fj и j2 = х + b + f2. Если в какой-то
момент t j2 < slf to Ji > 0 и функция f, постоянна
вблизи /, так что разность j2 — Si = f2 — fi возрастает,
если же j2 > Ji> T0 h > 0, функция f2 постоянна
вблизи t и разность S2~"Si убывает. Вывод: Ji = J2,
что и утверждалось. Это изящное доказательство
заимствовано у Скорохода [1].
Доказательство единственности в
общем случае.
Разность 5 ДВУХ решений %{ и $2 удовлетворяет
уравнению
t t
l(t)=j e^db + J fods + U-U (t < eiAe2)
о о
с неупреждающими коэффициентами еА и fA:
I *'(5i) (Si = S2)
(fA определяется аналогично). Согласно (с),
справедливо неравенство $d(f2 —fi)^0, так что
df = 2idi + {dbf < 2 [е* db + f*dt + е™ dt/2] f.
Так как функции еА и fA ограничены до момента
t = min(f: Ji или h = n)> т° дисперсию D = E[%(t)2y
t < t] < 00 можно оценить с точностью до постоян-
t
ного множителя интегралом J D. Отсюда следует,
о
что DsO и доказательство завершается предельным
переходом при я f оо.
4 Зак. 81

98 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Доказательство существования прил;=0
(рассмотрение общего случая предоставляется
читателю).
Шаг 1
Если £=1 и / = 0, то решением является процесс
j = b + f, где f = - mms<t b (s).
Шаг 2
Пусть б^0и/ = 0, Если i = b + f, как в шаге 1, а
t
m=\e&)-2ds,
о
то из правила случайной замены времени (разд. 2.8)
следует, что процесс 1* = ъ{у~х) представляет собой
решение уравнения df = e(%)da + rff* при некотором
новом броуновском движении
a(t)=l db/e(i)
о
и f* = f (t 1). Так как процесс £*(/) измерим
относительно Bt-i(,}+, то он не зависит от a+(s) =
= a(s + t) — a{t) (s^O). Стало быть, $* —неупре-
ждающий функционал от а. То же самое верно и
для f*, поэтому ($*, f*) — искомое решение.
Шаг 3
Пусть £ ~ решение уравнения d% = e ($) db + d\
(коэффициент е =т^ 0), а / — функция класса С°°[0, оо),
такая, что /' > 0, /(0) = 0 и /(оо) = оо.
Незначительная модификация леммы Ито позволяет заключить,
что процесс I* = /($) удовлетворяет уравнению
df = \'е db + / V dt/2 + у (0) d\=e* (f) db + f (f) + df.
и для завершения конструкции осталось выяснить,
как надо выбрать е и /, чтобы получить
произвольные коэффициенты е*(Ф0) и f*(=0 вблизи
бесконечности) класса C°°(Rl) в виде e*{j) = j'e и /*(/) =

3.9. ОТРАЖАЮЩИЕ ЭКРАНЫ
99
= /"£2/2. Если функция / — описанного выше типа,
то О Ф е = е* (j)/j' e С°° [0, оо). Теперь достаточно
решить уравнение /"(О = 2/*/в*2(/) в классе функций
/еС°°[0, оо)с дополнительными ограничениями /'>0,
/ (0) = 0 и /(оо)=оо. Это уравнение преобразуется
к виду
/' (*) = ехр
2jr\e*2(j)dj
- о
и нетрудно убедиться, что при условии f* = 0 вблизи оо
нужное нам решение существует.
Отождествление $ и диффузии с
отражением.
Шаг 1
Для е=1 и f=s=0 решение задачи Скорохода
можно при х ;> 0 представить в виде х, = х +
+ b— mins<t{x + b) АО и примерно так же, как
в разд. 3.5, из единственности решения следует, что
движение J начинается заново в каждый броуновский
момент остановки. Вычислим теперь -Р[£(0<#] пРи
х = 0, используя совместное распределение b (t) и
max5</6(s). Это распределение приведено в п. (d)
задачи 2 разд. 2.3. Имеем
Pit О < У] = P[max b (s) - b (t) <у] =
= J <*n J dl (2/nt*f (2ц -1) exp [- (2л - l)2/2t] =
0 f\-y
OO
— J dt| (2/nt)'!> [exp (- rf/2/) - exp (- (ц +|/)2/20] =
0
У
= J (2/ntf exp (- rf/2*) A| = P [ 16 (t) |< y].
о
Используя этот результат, формулу (с) задачи 2
разд. 2.3 и тот факт, что процесс т начинается заново
в момент достижения 0, вычислим р = дР [$ (/) < у]

100 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
при х !> 0. Так как процесс | к + Ъ (t) | (/ ^ 0) в свои
собственные марковские моменты начинается заново,
то искомая функция р совпадает с выражением
p = dP[\x + b(t)\<y]/dy =
= (2я<Г % [ехр (- (х - yf/2t) + ехр (- (х + yfl2t)].
Но это и есть фундаментальное решение задачи
du/dt = -^d2u/dy2 с условием и+(0) = 0 и полюсом
в точке х. Итак, мы действительно установили
совпадение процессов $ и отраженного движения.
Шаг 2
Положим $ = х + b. При заданном коэффициенте
ефО класса С°°[0, оо] определим t(t)= \ e{\i \)~2 и
о
$* = j(t~~1)- Используя формулу замены времени из
разд. 2.8, можно проверить, что d$* = e(\ j* \)da для
некоторого нового броуновского движения
t-1
a{t)=\ dble{\i\).
о
Так как функция е{ \ х |) четная, то процесс | $* |
начинается заново в свои собственные марковские моменты,
в чем читатель без труда убедится самостоятельно.
Оператор Gu = e2( \х \)и"/2 управляет процессом $*,
и нетрудно видеть, что процессом | $* | управляет
сужение на [0, оо) оператора G. Это сужение задается
условием и+ (0)=0 ]). Действительно, если p(t9 x, у)—
фундаментальное решение задачи du/dt = G*u на всей
прямой, то при х ^ 0 функция р (t, х, + У)Л-р (t, х, —у)
задает переходную плотность для процесса | $* |,
откуда и следует нужный результат. Заметим теперь,
]) Функция е (| х |) не обязана быть гладкой в 0, так что
утверждение о том, что процесс £* управляется оператором G,
не является прямым следствием результатов разд. 3.5.
Читателю предлагается найти доказательство, обходящее эту
трудность.

3.9. ОТРАЖАЮЩИЕ ЭКРАНЫ |Q1
что решение, найденное при доказательстве
существования (шаг 2), получается из отраженного
броуновского движения х -{- b—min5<, {x+b) V0 по тому же
рецепту, который только что из процесса | $ | = | х + b \
позволил сконструировать | $* |. Стало быть, это
решение также должно управляться оператором G с
граничным условием и+(0) = 0.
Шаг 3
Он состоит в применении к процессу,
построенному в шаге 2, отображения /. Читателю
рекомендуется самостоятельно разобраться в деталях.
Отождествление f и локального
времени в точке х = 0*
Шаг 1
При e=l9 f = 0 и 5 = 6 — min5<,6(s) достаточно
проверить, что величина — min5<, b (s) совпадает с
локальным временем
f (/) = lim (2г)~1 mes (s < /: j (s) < e)l).
Существование этого локального времени вытекает
из результатов разд. 3.9 и того факта, что
процесс | b | распределен так же, как и $. Используя
совместное распределение b{t) и max5<, b(s) (см. п. (d)
задачи 2 разд. 2.3), выясняем, что
D^E[\ — min Ь (s)-(2e)~l mes {s^ti 5(s)<e)|2J =
= A-2B + Ct
l) См. Леви [2].

102 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где
оо
А = Е [ | max Ь (s) р] = f (2/nt)''2 х2 exp (- x2/2t) dx = t;
В = E [max 6 (s) (2e)-1 mes (s</: 6 (s) > max 6 (r) — e)] =
= (2e)_1 f dsE [max 6 (s), b (s) > max Ь (г) — e]
t
X28)"1 fds£[6(s)+max[6(r+s)—6(s)], 6(s)>
о '<'-
f oo Т}
> max6(r)-e]=(2e)-1 f ds f di\ J rf|h +
>
0 0 ti-i
+ (2 tf-s)M)'/2] (2/ns3)'/j (2n -1) exp (- (2t| - |)2/2s) |
И
- t oo
HmB>y jds j dx][x] + (2(t-s)/n)il']X
e+0 о 0
X (2/ns3)'A л exp (- r?/2s) =
4/л + ±/(/-8)*в-*л.
0
1
= //2 + (//я) J (1 - 9)v' 9~1/2 rf9 = f;
о
C = £[|(2er1mes(s<^: j(s) < e)|2] =
t s
= 2 (2еГ2 J" ds J" rfrP [S (r) < e, S (s) < e] =
0 0
t S oo
_^
2
0 0 0
e
e-2 J ds J dr j (2/nr)1'' exp (- |2/2r) d\ X
X J" (2я (« - r)T4' [exp (- ft -1)2/2 (s - /•)) +
+ exp(-(^ + |)2/2(s-r))]dTj:

3.10. НЕКОТОРЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 103
И
t s
HmC = — [ds [[r(s-r)]-l/2dr = t.
Отсюда вытекает, что limZ> = 0. Так как и f, и
— min b (s) — непрерывные функции от /^0, они сов-
падают сразу при всех /^0.
Шаг 2
Полагая l = b -f f> где f = — min6(s) (как в пре-
дыдущем шаге), и определяя £* = $(t~1)> где t(/)=*
t
= \ е№~~2> находим
о
f = lim (28)""1 mes (s < t: f (s) < e) =
= Нт(2б)"1 Г ds =
sO"1 (s))<e
= lim (28)-1 f e ЦТ2 ds = e (О)"2 f (Г1),
t. e. f* = f(r1) —локальное время для $*.
Шаг 3
Как и в предыдущем случае, все сводится к
применению отображения / и может быть предоставлено
читателю.
3.10. Некоторые сингулярные уравнения
Настоящий раздел призван проиллюстрировать
те патологии, которые могут наблюдаться при
решении уравнения di = e(i)db + f{l)dt с сингулярными
коэффициентами.

104 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3.10а. Пример Лордана
Лордан 1) доказал, что если /==0 при х<1 и
/ == — 1 при х > 1, то уравнение
t
S(/) = a(Q+Jf(X)<fc
0
имеет единственное неупреждающее решение, когда
а = Ь — броуновская траектория, и вообще не имеет
решений при a = i/2+.
Доказательство отсутствия решений
при а = //2.
Производная J* принимает значения 112 или —1/2
при $ < 1 или j > 1 соответственно, так что
решение х меняется от 0 до 1, если t пробегает
интервал [0, 2], причем $== 1 при t = 2. Но при t^2,
очевидно, £(/)==1, 0 = s*(0 —72+ f0)» что невозможно.
Доказательство существования
решения при а = Ь.
Рассмотрим убывающие функции f_^f^f+
класса С1 (R1), такие, что /± а 0 при а;<0 и/±^-1
при х ^2. Пусть $± — неупреждающие решения урав-
t
нений $ == Ь + \ f± ($). Заметим, что $+ > $_, так как
о
при j+ < S_
(s+-a-^(x+)-/.(s-)>f+(s.)-/-(s-)>0-
J) Частное сообщение.

ЗЛО. НЕКОТОРЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ш5
Пусть далее L f f и f+\f при х Ф 1, /_ (1) \ — 1 и
f+ (1)J 0. Тогда S_ f $_, S+ J §+, и поскольку
(jf+(b)db-jf_(b)db) I-
-£[j|f+(ft)-L(ft)|2rfsl-
-о
то из формулы Камерона — Мартина (разд. 3.7)
следует, что вероятность
P[l±(t)<=A] = E[b(t)t=A,bf±(t)]
стремится к общему для j+ и j_ значению
P[b±(t)e=A] = E[b(t)e=A,bf(t)].
Здесь ^(О-ехр J f (6)d6—IJ f (bfds . Ho $_<$+
и процессы lj± непрерывны, поэтому Р [$_=§+. ^0]=l.
Так как
P[mes(t>0: ${t)=l) = Q]=l,
то получается, что
J f«)- lim /f+«»Hm /f+(X+)-
о г+уг о г+у' о
= lim j, — 6 = f) — 6 = lim x —- 6 =
f++f + f_*f
* * t
Значит, ^ = 6+J /(W- Доказательство завершается,

106 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
если заметить, что любое решение уравнения $ = Ь +
t
+ f /00 заключено между $_ и j+.
о
ЗЛОЬ. Пример Гирсанова
t
Классическая задача £(/)= J \$\ads имеет един-
о
ственное решение Js= 0, если а ^ 1. Но при 0<а<1
и 1 — а = р существуют и ненулевые решения,
например j(/) = (p/)l/p или же
( 0 (*<*,).
Ш l[P('-'i)]1/P (Wi)
(годится любое /^0). Гирсанов [2] открыл
аналогичное явление в броуновском случае: уравнение
t
О
при а^1/2 имеет единственное неупреждающее
решение % = 0, а при О < a < У2 существует бесконечное
число таких решений. Сейчас мы докажем результат
Гирсанова.
Доказательство единственности при
Допустим, что i Ф 0 — неупреждающее решение,
определенное на некотором (малом) интервале вре-
t
мени. Рассмотрим t(t)= J | J |2а; в разд. 2.5 говорится,
о
что процесс a(t) = $(t~l) представляет собой
броуновское движение вблизи t = 0. Так как j Ф О, то вели-
чина t"1 (0= f I а Г2а < 00 при малых значениях /
о
конечна. Теперь мы придем к противоречию с.этим
фактом. Введем с этой целью локальное время f (я),
как в задаче 2 разд. 3.8. Функционал f(0.) имеет

3.10. НЕКОТОРЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 107
то же распределение, что и max Ъ (s), как это можно
$<*
усмотреть из шага 1 предыдущего раздела; для нас
важно, что f (0) > 0. Кроме того, функционал f
непрерывен в точке х = 0, откуда и следует, что интеграл
t
Г1 (/)= J* | а Г2а= 2 J f | х f2adx расходится.
о
Доказательство неединственности при
0 < а < %
Определим функционал t(t)= \ \ b Р2а. Этот инте-
о
грал существует, так как £(t)< oo, и, применяя
замену времени разд. 2.8, можно обнаружить, что
Г"1 t t
ХЮ-ИГ1)-/ rf6 = J | 6(t-')Гrfa = J I J Г rfa
0 0 0
для некоторого нового броуновского движения
t"1
a(/)=J \b\'adb.
о
t
Итак, помимо j = 0, уравнение $= J | $ Г db имеет
о
второе неупреждающее решение $ = b(t~l). Исходя
из 5 = 0 и % = Ь(Г1), можно построить много других
неупреждающих решений, либо действуя, как в
классическом случае, либо применяя (сингулярную) замену
времени t->\~l(t)9где j(/)=* + mf{t"l)9m^09 af —
локальное время
f (t) = Hm {2e)~l mes (s < t: 0 < b (s)< e)l).
l) Этот второй рецепт обосновывается в книге Ито и Мак-
кина [1]. Гирсанов [2] описал все неупреждающие решения.

108 3- СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ
3.10с. Бесселевскии процесс
Рассмотрим бесселевскии процесс r=(b2\ + bl+ bffl' 9
связанный с трехмерным броуновским движением.
Вспомним, что
Р[г=£0, />0]=1 1) и что dr = db+dt/r
для некоторого нового одномерного броуновского
движения b 2). Отсюда
t
r(t) = b{t)+ j* r~l{s)ds.
о
Маккин3) доказал, что
t
уравнение r{t) = a (t) + J r"1 (s) ds
о
(a) имеет единственное неотрицательное
(неположительное) решение для любого непрерывного пути а,
такого, что а(0)>0)«0);
(b) не имеет других решений в случае, когда
а = Ь — броуновская траектория;
(c) имеет бесконечное решение для некоторых
(не броуновских) путей.
Доказательство (а).
t
Так как—-г = — а+ [(—г)""1, то достаточно иметь
о
дело с неотрицательными решениями. Рассмотрим
разность D двух неотрицательных решений гх и г2.
Ясно, что D = — f Dlrxr2. Так как функция Djrxr2
о
суммируемаг^о дифференцирование допустимо,
откуда заключаем, что DD*== — D2/rxr2^.0. Стало быть,
D2 ^ D2 (0) = 0. Единственность доказана. Перейдем
к доказательству существования. Бесселевскии про-
*) Задача 7 разд. 2.9.
2) Задача 6 разд. 2.9.
3) Маккин [1]; настоящее доказательство сильно упрощено.

ЗЛО. НЕКОТОРЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ю9
цесс удовлетворяет уравнению r = b-\- г"1; кроме
о
того, можно выбрать последовательность сдвинутых
(по времени) броуновских траекторий Ъх ^ Ь2 ^... > а,
таких, что Ьп\а при п->оо. Уравнение г = Ьп +
t
+ Г г"1 имеет для каждого п^ 1 положительное реше-
о
ниег = гп. Разность D = rn — r„_j не может изменить
знак, так как £>*< — D/rnrn-x. Поэтому Г!>г2>...
... | г^, и, заметив, что г"1 f г"1 при п | оо, получим
t
окончательно rOQ = a-{' j г"1.
о
Доказательство (Ь).
Воспользуйтесь тем, что для бесселевского
процесса Р[гфО, *>0]=1.
Доказательство (с).
Выберем такую непрерывную функцию г^О, что
г (0) = 0, ) г~1 < оо (/ ^ 0) и уравнение г (/) = 0 имеет
о
t
бесконечное число корней. Положим а-=±г— г-1.
о
Тогда функция г удовлетворяет уравнению г = а +
+ J г*"1. Но в каждом корне уравнения г (0 = 0 функ-
о
ция а отрицательна, и в этот момент можно
переключить решение на отрицательное. В частности,
существует бесконечно много различных решений.

4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАИ)
4.1. Многообразия и эллиптические операторы 1)
Многообразие М размерности d — это линейно
связное хаусдорфово пространство, покрытое счетным
числом (открытых) карт U, причем координатные
отображения / фиксированы; / — топологическое
отображение U на открытый единичный шар \х\ < 1 пространства
Rd, и /2 о /7"1 есть бесконечно дифференцируемое
топологическое отображение (диффеоморфизм) j{ (Ux П U2)
на J2(U\(]U2)- Отображение / позволяет нам ввести
локальные координаты x = j(z) для ze= U, а условия
согласования дают возможность определить класс
С°° (М) бесконечно дифференцируемых функций
M-+R12). Отображение G: С°° (М)->С°° (М)
представляет собой эллиптический дифференциальный
оператор, если на карте U его можно записать в виде
G=JS eit д*/дх> dxf + J f, д/dxt + g.
где коэффициенты е1} = ец(х) (/, /<d), ft = fi{x)
(i^d) и g принадлежат C°°{U), а матрица е = [еи]
симметрична (е — е*)г) и положительна (в>0, т. е.
уеу>0 {уфО)). Так как действие G на С°°Щ) не
зависит от координатного отображения, то замена
локальных координат х->х' порождает замену коэф-
!) Для общей информации о многообразиях рекомендуются
лекции Зингера [1]. [Из литературы на русском языке можно
рекомендовать Ж. де Рам, «Дифференциальные многообразия»,
ИЛ, М., 1956, или С. Стернберг, «Лекции по дифференциальной
геометрии», „Мир", М., 1970. — Ред.]
2) Предупреждение: мы не делаем никаких предположений
об ограниченности функции или ее частных производных.
3) Знак * означает транспонирование.

4.1. МНОГООБРАЗИЯ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ \]\
фициентов, которая выражается через
(невырожденную) якобиеву матрицу J = dx'jdx так:
е -> er = JeJ*\
/->f = (G-g)*'4;
Определим Ye как положительный симметричный
корень из е и проверим следующие простые факты,
которые понадобятся нам в дальнейшем.
(1) /g€=C°°(t/). _
(2) yV=V".fe/*. Другое выражение для Ye'' Ye' =
= jYeo> гДе матрица o = /(|/re) Y^e^*
ортогональна и eC°°(f/).
(3) Назовем ех'2 корнем из е, если еч*(е1,*)* = е и
еу2 е С°°((/); такой корень, преобразующийся согласно
правилу {е1,2У = Jel/2, вообще говоря, не существует.
(4) |/det б-1 <£*: определяет элемент объема на М 2).
Доказательство (1).
Можно записать ]/ е в виде
S ( 2)(е- \)п, если 0< е<1,
ns=o \ ft /
а эту сумму можно дифференцировать почленно.
Общий случай легко отсюда следует.
Доказательство (2).
Первое утверждение очевидно, так как e' = JeJ*.
Теперь непосредственными вычислениями получаем,
что оо*= 1, и из (1) заключаем, что ogC°°((7).
Доказательство (3).
Отображение D: С°° (М)-> С°° (М) есть
невырожденное 1-поле, если D(uv) = (Du)v + u{Dv) для
любых и и v из С°°(Af) и если D^O в каждой точке
') f = (fu .... W.
2) det означает детерминант,

112 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
многообразия М. На карте U это отображение можно
записать в виде D= 2 fi d/dxt = f • grad, где f Ф 0
принадлежит C°°(U) и преобразуется по правилу
f' = Jf. Так как [det£,/2]2 = dete Ф О, то из правила
(еЦ' = 1еЧ* следует, что столбцы матрицы £1/з
определяют d независимых невырожденных 1-полей:
D/= 2 mud/dxt (/<d).
Но это, вообще говоря, невозможно; например, на
сфере S2: | я | = 1, * e /?3, не существует ш одного
невырожденного 1-поля. Можно дать следующее
простое доказательство этому классическому факту.
Невырожденное 1-поле задает касательное
направление Y Ф О В каждой точке сферы. Рассмотрим теперь
параллель С:
широта ф = const ф О и Фл, 0 ^долгота 9 < 2я.
Пусть i|) -— отклонение у от восточного
направления в точке параллели С, и пусть п — число
оборотов y при обходе С в восточном направлении; п есть
непрерывная функция от 0 < qp < я. Но вблизи
северного полюса (при малых qp) n = —lf в то время как
вблизи южного полюса (при больших qp) я=+1.
Полученное противоречие завершает доказательство.
Доказательство (4).
V"det (е'Г* dxr = Vdetr""1*""1/"1! det J\dx =
= Vdeie~ldxt
Задача 1. Пусть Q — отображение в R] класса С°°
ростков бесконечно дифференцируемых функций в
О <= Rd. Докажите, что Qf>0 для всех f > 0 (f (0) = 0)
тогда и только тогда, когда
Q=y J ^ d2/dxt dxf + J] U д/dxi + g,
i, Kd i<d
где e = [eij]^0. Этот факт используется в задаче 6
разд. 4.3.

4.2. ЛЕММА ВЕЙЛЯ
113
Решение. Возьмем / е С°°, / (0) = 0 < /;
обозначим через d2f значение гессиана [d2f/dxt dxf] при х = 0.
Соответствующая квадратичная форма неотрицательно
определена; действительно, если yd2fy = c<0, то
f(ey) = e2c/2 + О (е3) < 0 при е j 0. Поэтому для
оператора Q, написанного выше, выражение 2Qf =
= sp [ed2f]l) неотрицательно. Теперь пусть Qf ^ 0 для
любой feC°°(0) и такой, что /(0) = 0</\ Для
данного /е=С°°(0) выражение f - [f (0) + grad f (0) x +
-\-~2 xd2fx\ + c\x\2 обращается в 0 и >0 или <0
при малых х Ф 0 в соответствии со знаком с ф 0.
Следовательно, Qf = Q [f (0) + grad f (0) x + \ xd2fx\,
так что Q/ имеет нужный вид: Qf = f (0) Q1 +
+ gTadf(0)QxJjr^^i(d2f)uQxixh Положим f = (xy)2
для фиксированного y^Rd. Тогда 0<!2Q/ =
— 2 yiUiQxixh откуда следует, что матрица [ец]==
= [QjCjX/] неотрицательна.
4.2. Лемма Вейля
Мы сейчас докажем лемму Вейля, уже
использованную нами в разд. 3.6. Учитывая это, читатель
может при желании перейти сразу к разд. 4.3.
Рассмотрим эллиптический оператор G,
определенный на многообразии М, как в разд. 4.1. Пусть
G* —оператор, формально сопряженный с G
относительно элемента объема dz = (dete~l)y2dx2)
| J\Oj2dz= J j2G*j\dz
м м
для финитных 1х и /2eC°°(Af). Лемма Вейля
утверждает, что если и — {формальная) плотность
распределения масс на пространстве (0, оо) X М и если
J u(-d/dt-G*)jdtdz= J* vjdtdz
(0,оо)ХМ (0,оо)ХМ
1) sp означает след.
2) См. (4) разд. 4.1,

114 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
для какой-то функции v е С°° [(0, оо) X М] и любой\
финитной j е С°°[(0, оо) X Щ, то и допускает модиА
фикациюу принадлежащую С°° [(0, оо) X М]. Моди-i
фицированная функция удовлетворяет уравнению''
(d/dt — G)u = v в обычном смысле. Так как доказа-^
тельство сильно упрощается в том случае, когда и-
и v не зависят от t^O [Gu = v], то легче всего и-
начать с этого специального случая. Наше
доказательство представляет собой некоторое упрощение
доказательства Ниренберга *).
Шаг 1.
Введем пространство Dn(n>— оо) формальных
тригонометрических сумм:
f= 2 ?(/)ехр(/=Т/л;)2),
у которых f (/) сопряжено с f (-— /) и
ll/C=Slf(/)|2(l+|/lT<oo.
Будем рассматривать f как (формальную)
функцию на d-мерном торе Г = [0, 2nf и отметим
некоторые простые факты, которые пригодятся нам
в дальнейшем:
(1) Dn-x^Dn и f) Dn = C°°(T) плотно в Dn.
(2) д есть ограниченный оператор из Dn в Dn~l и
113||<13).
(3) f-*jf есть ограниченный оператор из Dn в Dn для
любой j^C~(T)u\\jf\\n^\\j\Uf\\n + Cl\\f\\n-i<c2\\f\\n,
причем константы Сх и С2 зависят от j и п, но не
зависят от f 4).
Доказательство (1).
Это можно предоставить читателю.
1) Ниренберг [1]; для общей ориентировки в эллиптических и
параболических задачах см. Берс и др. [1].
2) Zd — целочисленная решетка в Rd.
3) д означает любое дифференцирование d/dxt (i ^ d).
4) II / lloo — верхняя грань | /1 на Т.

4.2. ЛЕММА ВЕЙЛЯ
115
Доказательство (2).
Оператор д определяется сначала на С°°(Т),
а потом замыкается. Оценка для \\д\\ становится
очевидной, если написать формальную сумму для dft
где /е= С°° (Т)
Доказательство (3).
Оператор f->jf определяется сначала в С°°(Т),
а потом, как и раньше, замыкается; поэтому
достаточно оценить || jf \\п для f e C°° {T). Но для таких f
ll//lg=Jl/f|2<ll/llLllfl6.
т
и поскольку ||/|£+1 = 2 1(^"",/2 + д)/|я» то из оценки
д
для некоторого п^О следует оценка для п-\- 1:
л//|£+1-21(<г* +*)//£<
<|[||/V,/2 + a)f|„ + ii(a/)/iiJ2<
<21ll/llJ|(rf-,/2 + a)f|L + Cl|(d-,/2 + a)/||„_1 +
а
+ N/Lllfll„ + c2l|/||„_1]2<
<2fll/Ll|(rf-,A + a)f|„ + c3||fiU2<
д
<[ll/ILII/IU. + c4l|fy2.
Это завершает доказательство для я!>0. Переходя
к случаро — п < 0, заметим, что Dn и D~n
естественным образом сопряжены, причем оператор,
двойственный к умножению Dn->jDnt представляет собой
умножение на ту же функцию /: D~n-+\D~n, так
что H/nU<c5llflU. Далее, / (1 — А) — (1 — А) / я)
является дифференциальным оператором порядка ^ 1
с коэффициентами из С°° (Г), поэтому вследствие (2)
он задает ограниченное отображение Dm в Dm~l

116 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(т > — оо). Оператор (1 — А)""1 есть
изометрическое отображение Dm на Dm+2t и поэтому
/(1_дГ"_(1_др/ =
= Л2 (1 -ДГ*[/(1 —А) —(1—А)/](1 -др+*-'
является ограниченным отображением D~n~l в
D_„_1+2(„+1H1 = D^ отсюда следует (3) для -п<0
11//1и = |(1-ДГ//1<
<|/ (1 — А)-Л f U + |[/(1 — А)-Л + (1 — А)"я /]f U<
<II/Ll0 -AP/l» + *elO -AP/U +
+ ^7ll/lU-.I<ll/llooH/lU + ^llflU-1.
Шаг 2
В силу утверждений (2) и (3) шага 1 можно
рассматривать эллиптический оператор Q на Т как
ограниченное отображение Dn+2 в Dn. Цель этого
шага — доказать априорную оценку
\\f\\n^<Cl\\Qf\\n+C2\\f\\n + U
где константы зависят от Q и п, но не зависят от f.
Можно выразить Q через глобальные координаты на
Т: О < Х( < 2я (/ ^ d). Так как часть Q, порядок
которой <!1, задает ограниченное отображение Dn+l
в Dnt при доказательстве можно предположить, что
эта часть Q отсутствует, т. е. что Q = yV ец d2/dxi dxj.
Как всегда, достаточно доказать оценку для / е С°° (Г).
Доказательство для случая
постоянных коэффициентов.
Пусть y — наименьшее собственное значение
матрицы е/2, составленной из (старших) коэффициентов
оператора Q. Тогда
Ul Q/ II» + 1^2v II f IU+i Iя > Ч Q/1£ l£+1 =-
=2i! ^ <г> ]2<х -Ь1 г |2>" [4 (/^)2-b2Y2Ci 4-1 / P)]^Y2II /1£+2-

4.2. ЛЕММА ВЕЙЛЯ 117
В последнем неравенстве мы используем тот факт,
что {let)2 ^ 4y2 I /14. Этим установлена требуемая
оценка с коэффициентами сх=у~х и с2 = У^-
Доказательство для случая
переменных коэффициентов.
Пусть y > 0 — минимум наименьшего собственного
значения матрицы, составленной из (старших)
коэффициентов оператора Q. Возьмем 6 > 0 настолько
малым, чтобы в шаре радиуса < б можно было
заменить Q на Q' с постоянными коэффициентами и
наименьшим собственным значением ^у, сохраняя
(старшие) коэффициенты оператора Q — Q' по
модулю < y/2d2. По только что полученной оценке
\\jf\\n+2<v-l\\Q'jf\\n + Vnif\\n+l,
где / е С°° (Г), 0 < / < 1 и / 2= 0 вне шара радиуса < 6.
Но, с другой стороны,
II Q7f IL. < II (Q/ - /Q) Ли + II IQf L + II (Q' - Q) if IL. <
<^illflU1I) + ^IIQflL2) + 2ll^2/7IL3)<
<c{\\f\\n+l + c2\\Qf\\n +
+ S[lkiieeiia2/fn1 + c8||d2/flUi]2)<
<cjfi+l + c2\\Qfi + (y/2nifi^
поэтому
\\if\\n+2<c5\\Qf\\n + c6\\f\\n+r
Представив функцию, тождественно равную 1, в виде
конечной суммы таких функций /, получим
llflU2<2ll/flU2<^IIQ/IL + ^8llflUr
Шаг 3
Теперь можно доказать лемму Вейля для Gu = —v
с помощью априорной оценки из шага 2. Утвержде-
1) Порядок оператора Qj •—jQ не больше 1.
2) См. (3) в шаге 1.
3) Заменяем Q — Q' на 2 ед*-

118 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ние ее состоит в том, что если и —(формальная)
плотность распределения масс на М и если
| uG*j dz = — vjdz
м м
для некоторой уеС°° (М) и любой финитной /еС°° (М),
то можно изменить и так, чтобы и^С°°(М); после
этой модификации Gu = — v в обычном смысле.
До к аз ате л ьство.
Так как это утверждение локально, то
достаточно доказать его на некоторой карте U.
Модифицировав локальные координаты х на U так, чтобы
тор Т = [— я, я)* «сидел внутри» U, подберем
финитные /j и /2 е С°° (М) так, чтобы
_Г 1 на [-я/4, я/4]*; . _( 1 на [-я/3, я/3]*;
/1 = 1 0 вне [—я/3, я/3]*; У'2 = 1 0 вне [-я/2, я/2]*;
и пусть Q — эллиптический оператор на Т,
совпадающий с G на [— я/2, я/2]*. Рассмотрим \хи как
элемент пространства D~n при п > d/2 J). Выражение
QJiU + j\V можно рассматривать как результат
действия дифференциального оператора порядка ^ 1
с коэффициентами из С°°(Т) на \2и\ поэтому из
априорной оценки шага 2 получим
II ixu Ln+I <сх [| Q]\u ![_„_, + с2\\ }хи ||_„ <
<сх II /> Щ-! + с3\\ j2u \Ln + с2\\ ]\и ||_я < оо,
т. е. j{u^ D"n+\ Повторяя эту оценку, находим
/,ие= П Dn = C~{T).
П >—оо
Остальное ясно.
1) Величины (/!«) ограничены.

4.3. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИИ 119
Шаг 4
Теперь можно доказать лемму Вейля для
(д/dt — G)u = v почти тем же способом. Введем
пространство Dmfn формальных сумм
le=Zd
где f и f (— •) сопряжены и
iifC/n=2if(M)i2(i + mi+i'iT<~.
и будем рассматривать / как (формальную) функцию
на Т = [— п, n)d+\ Отображение d/dt — Q есть
ограниченный оператор из Dm,n в £)m-I^""2) где q __
определяется, как и в шаге 2. Априорная оценка
<c1ii(a/^-Q)fiim/„ + c2iifn
m/n+\
доказывается почти так же, как раньше. Можно
предполагать, что Q не содержит членов, порядок
которых ^ 1. Тогда
| (а/а/ - q) exp (V^i kt + у=Т и) Г=
У^Г k + Ytelf> const • (fe2 +1114)»
так что между д/dt и Q нет интерференции.
Остальная часть доказательства аналогична эллиптическому
случаю.
Предупреждение: отныне под G всегда понимается
эллиптический оператор, причем G1 =0, G* означает
оператор, сопряженный с G относительно элемента
объема (dete~-lf2dx.
4.3. Диффузионные процессы на многообразии
Ито доказал [3, 8], что если G — эллиптический
оператор на многообразии М, такой, что G1 = 0, то
локальные решения уравнения
t t

120 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
на картах U из М можно склеить в диффузию g,
управляемую оператором G. Последнее означает, что
(a) траектория j: t->M определена до некоторого
момента взрыва 0<е^оо;
(b) если М компактно, то е = оо; если же М
некомпактно и е < оо, то $(е— ) = сх>1);
(c) процесс J начинается заново в свои
марковские моменты, т. е. если t — марковский момент для $,
то при условиях t<e и %{t) = z будущее $+(/) =
= 5(* + ')•' ' < е+ = е ~~" ' не зависит от прошлого
j(s): s^t+ и имеет то же распределение, что и
процесс, выходящий из z\
(d) если t<e —такой марковский момент для J,
что j(t) принадлежит карте U с координатным
отображением /, то
о о
до момента первого выхода процесса 5+ из [/. Здесь
6 —надлежащее броуновское движение, зависящее
от координатного отображения /;
(e) плотность распределения величины $(/) по
отношению к элементу объема (det e~lyl2dx является
наименьшим фундаментальным решением уравнения
du/dt=G*u с полюсом в точке i(0) = 2GM, Другими
словами, эта плотность р^О принадлежит классу
С°°[(0, оо)ХМ], dp/dt = 0*p и lim f p(dete'l)l'»dx = 1
для любой карты (/, содержащей г.
Шаг 1
Оператор G на карте U представляется в виде
"2 ^и ен d2/dxi dxj + V ft d/dxi, и можно,
рассматривая U как часть Rdy продолжить коэффициенты Уе
и / с замкнутого шара В: \ х \^1/2 на все простран-
1) Точка оо осуществляет одноточечную компактифика-
цию My если М некомпактно.

4.3. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИИ 121
ство Rd так, чтобы они стали финитными, но
по-прежнему принадлежали классу С°°. Для данного d-мер-
ного броуновского движения 6, так же как и
в разд. 3.2, можно решить уравнение
t t
О О
Нетрудно убедиться, что при | х | ^ 1/2 и е =
= min(/: | 5 j = 1/2) (неупреждающая) локальная
диффузия
..._(J(0 (/<e),
Ы'~Ь(е) (»е)
начинается заново в броуновские моменты остановки
и не зависит от способа продолжения коэффициентов.
Шаг 2
Определим процесс \ в объединении двух частично
перекрывающихся шаров Вх\ \ хх l^yczt/j и В2:1 ^1^
<уС(/2 следующим образом:
(1) начав, скажем, из точки j(0) = 2gBi, возьмем
d-мерное броуновское движение Ьх и построим на его
основе какую-то копию $, локальной диффузии в Вх,
выходящую из хх — jx(z)1). Положим, по
определению 5 = /71(Si) Д° момента первого выхода гх —
= min(/: ISil = y2). Если либо е^оо, либо ej < оо,
но %(tx)^d(Bx [)В2)> остановимся и положим ея = 0
(л>2);
(2) но если е! < оо и i(c,)GB22), возьмем
броуновское движение b2 = bx(t -{• tx) — bx (tx), построим
на его основе копию £2 локальной диффузии в 52,
начинающейся в точке лг2 == /2 [S (ei)l- Положим, по
определению, g = /2"1 [s2 C^ — ei)l Д° суммы tx и момента
выхода е2 = min (t: | j21 = V2). Если е2 = оо или же
/ — координатное отображение для С/.
В0 — внутренность В.

122 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
е2 < оо, но $ (С] + е2) е д {В{ [} В2), остановимся и
положим e„ = 0 (п^З);
(3) если е2 < оо и gfo + с2) е В?, возьмем
броуновское движение Ъъ = 62 (/ + е2) — ^2 (е2)> построим на
его основе копию J3 локальной диффузии в Вь
выходящую из лг3 = /i [5 (ei + е2)]- По определению
положим § = /Г1 [$з(^ — ei — е2)1 Д° момента е, + с2 плюс
момент первого выхода е3 = min (t: | J31 = V2). Если
либо е3 = оо, либо е3 < оо, ho^Cj + с2 + г3)^д(Вг U В2),
остановимся и положим е„ = 0 (я ^4), и т. д.
Процесс J определен теперь до момента взрыва
е == lime! + ... + еп> # произведение процесса \{t) на
индикатор события (t < е) представляет собой неупре-
ждающий функционал от броуновского движения Ь{.
Шаг 3
Следующий шаг состоит в доказательстве того,
что процесс J, полученный склеиванием в
предыдущем шаге, является диффузией, совместимой с
локальными диффузиями di=Yedb-\-fdt. А именно:
5 начинается заново в марковские моменты t < e, и
если l(t) принадлежит карте UaBx\}B2 с координат-
ным отображением /, то
t t
l(t)ajft+) = j(0) + j* Ve(i)db+jf(5)ds
0 0
до момента первого выхода процесса $+ из U. Здесь
Ъ — подходящее броуновское движение, зависящее
от /.
Доказательство.
На карте U, содержащейся в пересечении В{ f) В2а
^ U\ П и2, процесс 5 можно представить либо как
/Г1 (Si)» либо как /Г1 Ok)- Главное в этом шаге то,
что в указанной неопределенности нет беды. Лемма
Ито устанавливает, что при изменении локальных

4.3. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИИ 123
координат х->х' на карте U дифференциал dj =
= Ye (х) db + f (x) dt преобразуется к виду
dlr = J (J) VI(ъ) db + (O5O ft) dt = / V7d6 + Г Л ').
Свойство (2) разд. 4.1 показывает, что / Vе =Ve'°>
где ортогональная матрица о принадлежит C°°(U).
Поэтому J Vedb = Ve' db' для нового броуновского
t
движения b'{t)= [ odb2). В силу этого движения
о
j~l(h) и hl(h) одинаково распределены на
пересечении Вх П В2. Завершить доказательство
предоставляется читателю.
Шаг 4
Прежде чем сделать пятый шаг, нужно доказать
априорную оценку. Она устанавливает, что при t \ О
t t
и 5(0= JV7(s)rf*+ jf(t)ds
о о
Р [max | J (s) | > Л] < exp (- #2/2 dy t),
где y — наибольшее собственное значение е(х) на
множестве | х | ^ R3).
Доказательство.
Пусть р — нижняя грань | f | при | х | <1 /?.
Рассмотрим направление BgS^"1. Задача 1 разд. 2.9
говорит нам, что до момента выхода min(/: lsl = /?)
процесс 8х можно представить как одномерное
броуновское движение а с внутренним временем t(/) =
= \ Qe^Qds^yt плюс величина, не превосходя-
о
щая р/. В силу этого до момента выхода max| 9x(s) К
') / = дх'/дх — якобиан замены *'->*.
2) См. задачу 3 разд. 2.9.
3) В задаче 3 настоящего раздела приводится оценка сцизу.

124 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
<!тах | a(s) | + Р^ Если 9 пробегает все d коорди-
*<Y*
натных направлений в пространстве, то при f j U
PlmaxIsWI^^Ky^fmaxes^Al^
<dpfmax|a(s)|>r4r-^l<
Г exP (~*2/2) ^ Ц ^
<2rf J _ (зд^ ^
<ехр(-#2/2^)2)-
Шаг 5
Если е < oo, то 5(e —) существует и принадлежит
д{Вх[)В2).
Доказательство.
Используя априорную оценку шага 4, нетрудно
убедиться, что $(е—) существует, если е < оо.
Действительно, если это не так, то можно найти две
вложенные поверхности, лежащие в одной карте U
внутри Bi\jB2 и удаленные друг от друга на
расстояние R > 0, такие, что P(Z) > 0. Здесь Z —
событие, состоящее в том, что 5 переходит с
внутренней на внешнюю поверхность и обратно бесконечное
число раз (до момента е). Но если tx < t2 < ... < е —
моменты последовательных возвращений на
внутреннюю поверхность через внешнюю, то из априорной
оценки следует, что при надлежащей постоянной у
P[tn - t„-i <(1/л) |te_, < оо] <ехр(- R2n/2dy)
(п | оо).
Применение первой леммы Бореля — Кантелли
приводит теперь к абсурдному результату: — оо >е^
Достаток ряда2(1/^) = °° на множестве Z.
1) См. задачу 2 разд. 2.3.
2) См. задачу 1 разд. l,lf

4.3. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИИ 125
Шаг 6
Определим шары Вп (п^1) так, что Вп
пересекается с (J Bi и (J Вп = Мх). Пусть j2: t< e2 озна-
чает процесс, построенный в шагах 2—5. Пользуясь
тем же методом, применительно к 52 и локальной
диффузии $3 на В3 (вместо $х и £2), получим на
В[[}В2[)В3 процесс 5з: ' < ез- Он наделен теми же
свойствами, которые были установлены для 12 в
шагах 3 и 5. Именно, $3 определен до момента е3, он
начинается заново в свои марковские моменты и
согласован с надлежащими локальными диффузиями
на картах, лежащих в В1\]В2\}В^ Наконец, если
е3<оо, то 8(е3 —) ^д(В{ U£2U В3). Продолжая
процедуру, легко определить на (J Bt такие движения
3„: t<tn, что in = in-\ До момента е„_, < е„ (n>3).
Но тогда процесс % = %n (t < *н) определен до момента
взрыва е = lim еп и удовлетворяет условиям (а), (Ь),
(с) и (d), что читатель без труда проверит
самостоятельно. Единственное затруднение появляется в связи
с условием (Ь), если М компактно. Тогда
многообразие М можно покрыть конечным числом шаров Bh
так что в конце концов граница д (J В/ будет пу-
ста и автоматически е = + °°.
Шаг 7
Оператор G управляет процессом J, т. е.
выполнено (е).
Доказательство.
Как и в шаге 1 разд. 3.5, из леммы Ито и Вейля
легко следует, что (формальная) плотность р
распределения 5(0 принадлежит классу С°°[(0, оо)ХМ]
и является фундаментальным решением уравнения
du/dt = G*u с полюсом в точке $ (0) = z. Осталось
1) Многообразие М связно,

126 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
только показать, что это наименьшее такое решение.
Доказательство проводится по-разному, в
зависимости от того, компактно М или нет. Если М
компактно, то мы позаимствуем из литературы тот
факт, что для любой функции / е С°° (М)
уравнение du/dt = Gu имеет единственное решение и^
еС°°[(0, оо)ХЛ1] с начальными данными w(0 + , •)=/1).
Это решение, как и в шаге 2 разд. 3.5, легко
отождествить с E[j($\, и из хода рассуждений шага 3|
разд. 3.5 следует, что р — единственное фундамен-J
тальное решение у авнения du/dt = G*u. Для
некомпактных М доказательство лишь немногим сложней.
Рассмотрим область В а М с гладкой границей и
компактным замыканием В и воспользуемся тем
известным из литературы фактом, что для финитной
неотрицательной функции / е С°° (В) уравнение du/dt=
= Gu имеет единственное неотрицательное
решение и^С°° [(О, оо) X В] при начальных условиях!
и(0+, •) = / и граничном условии и=0 на дВ
Положим f = min (/: j e дВ)\ тогда и можно отож-j
дествить внутри В с E[j(%), t <f], как это было еден
лано в шаге 2 разд. 3.5. Теперь с помощью формуль!
Грина можно повторить рассуждения из шага 31
разд. 3.5 и прийти к выводу, что р меньше любогоШ
другого фундаментального решения задачи du/dt=\
= G*u, т. е. (е) выполнено.
Шаг 3 следует дополнить замечанием, что Л01
кальную диффузию j не всегда удается определить]
таким образом (используя единственное броуновской
движение Ь), чтобы при изменении координат х-
процесс i преобразовывался в х'Qc). Вычисление
шага 3 показывают, что это означало бы равенств!
dx,' = V?db + f'dt = jV~edb + f'dt. Но тогда У*
= /Уе, а это невозможно, например, для M=S2,
даже если допустить неположительные корни из е2\
Применение метода Ламперти для решения уравн
ния d$ = Ye(i)db + f(%)dt не избавит нас от подобны
1) См., например, Берс и др. [11.
2) См. (3) разд. 4Д,

4.3. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИИ 127
геометрических возражений *), в чем читатель может
без труда убедиться.
Икеда [1] приспособил метод Ито к случаю
многообразий с границей. К сожалению, разъяснение этого
красивого исследования заняло бы слишком много
времени. Тем не менее в разд. 4.10 обсуждается
броуновское движение в круге с наклонной
производной. Значительную часть современной
информации см. у Мотоо [2] и Сато и Уэно [3]. Метод Ито
можно также применять для решения уравнения
du/dt = ku/2 для дифференциальных форм2).
Следующие ниже задачи 1—5 относятся к случаю
M = Rd. Оператор G записывается в глобальных
координатах на Rd, a $ означает решение уравнения
t t
5(0 = 5(0)+ J* УЩйЬ + j* f(j)ds.
о о
Задача 1. Положим по определению y = Y (х) —
наибольшее собственное значение е(х). Докажите,
что при 5 (0) = 0
Р film |g(01 „ = Уу (0)1 = 1
Uo (2Mn2(l/0)/2 J
И
Ш 1Й7^Ж1 = тах^(5)1е>11==1.
b-t^t+o (2Пп(1/0)/2 *<1
L0<*,<*i<l J
Решение. Поступайте, как в задаче 4 разд. 2.9.
Задача 2. Докажите, что
Я[е = оо] = 1, если \е |2 + | f |2 < const • (1 + | х |2).
Решение. Поступайте, как в задаче 1 разд. 3.3.
Задача 3. Докажите, что при t^O и j(0) = О
Р [max | j (s) | > R] > const • |//~exp (— R2/2yt).
*) См. разд. З.4.
2) См. Ито [10].

128 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где y — наименьшее собственное значение е {х) пр-
\x\<R.
Решение. Вернитесь к доказательству шага 4."
До момента достижения min(£: |$| = /?)
max 11 {s | > max | a(s)| — p/,
где a — одномерное броуновское движение, ар —
нижняя граница |/| при *|^/?. Завершить доказатель-*
ство можно примерно так же, как и в шаге 4.
Задача 4. Об значим через y+(Y-)
наибольшее (наименьшее) собственное значение е(х) при.
|л;|^/?. Докажите, что в случае f = 0, $(0) = 0 для 4
tR = min(t: |j | = /?) ыполнены неравенства
Y-£(t)</?2<Y+£(t«).
Решение. Как и в задаче 3, до момента t^
max|s(s)|> max \a{s)\t
где а— одномерное броуновское движение, и,_стало
быть, P[tR< оо]= 1. По лемме Ито d\ $ I2 = 2$ YJdb +
+ spe(j)d/l), так что
R2^\imE[\1cHiRAn)]=E\ f sp«(s)dM,
откуда и следует нужный результат.
•* Задача 52). Определим j как решение
уравнения di=Ye (j) db. Пусть jf — решение уравнения dj =
= Ve(£)db + ef($)dt с той же начальной точкой
jf (0) = j (0). Пусть е —момент взрыва для £, а ef — J
для Jf. Введем J = exp
jfVeWb-jlfeftodsl
о о J
*) sp означает след.
2) См. одномерный случай в разд. 3.7.

4.3. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИИ 129
Необходимо доказать, что Р[е = оо] = 1 и что
формула Камерона — Мартина
справедлива для событий В, зависящих только от
Решение. Поступайте, как в разд. 3.7.
Задача 6. Пусть задана диффузия ^ (без взрыва)
на многообразии М, определенная свойствами (а),
(Ь) и (с) в начале этого раздела. Для финитной
функции v^C°°{M) положим u = E[v($] и
предположим, что Gv = t\imt~l (и — v) существует в каж-
дой точке для всех таких v. Выведите из задачи 1
разд. 4.1, что G — эллиптический дифференциальный
оператор.
Решение. Докажите сначала, используя шаг 4,
что отображение G действует на ростках функций
С°°(М). Далее, согласно задаче 1 разд. 4.1,
достаточно проверить, что Gy^O в точках (локального)
минимума функций v^C°°{M).
Задача 7. Используя результаты шага 7 и лемму
Вейля, докажите, как и в задаче 1 разд. 3.5, что
для финитной функции />0 из С°°(М) интеграл
pj = £[/(3), / < е] представляет собой наименьшее
неотрицательное решение уравнения du/dt=Gu9
принадлежащее С°° [(0, оо) X Щ и сводящееся в момент
/ = 0 к /.
Задача 8. Докажите, как и в задаче 2 разд. 3.5,
что р как функция от /^0, своего полюса и своего
аргумента, принадлежит классу С°° [(0, оо) X М2] и
удовлетворяет обратному уравнению dp/dt = Gp как
функция / > 0 и полюса.
1) Дынкин [1]; см. также Гирсанов [1] или Мотоо [1].
5 Зак. 81

130 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
4.4. Взрывы и гармонические функции
Рассмотрим вероятность взрыва Р[е<оо] как
функцию р начальной точки %{0) = z^M и докажем,
что р принадлежит С°°(М) и удовлетворяет
уравнению Gp = 0.
Доказательство.
Функция и = 1 — Е [v ($), t < е] <= С°° [(0, оо) X М] —
решение уравнения du/dt = Gu l) (здесь v^C°°(M)
финитна). Поэтому для финитной j^C°°(M)
\ ujdz\ = J uG*jdz
м ° о
\ pG*jdz = \im Hm ( uG*jdz —
= lim lim t~l \ujdz = 0.
t + oo 0<l>*l J
M
По лемме Вейля существует функция q е С°° (М),
такая, что G? = 0 и ? = р вне множества меры нуль
на М. Чтобы завершить отождествление р и q,
достаточно заметить, что выражение
1— p = P[t <гу после момента t нет взрыва] =
= £[1-р(5), /<е]
относится к p(j) и, стало быть, не чувствительно
к нуль-множествам. При 11 0 оно стремится к 1-?.
Простое, но полезное следствие этого результата
состоит в том, что для компактного М траектория
процесса при t \ оо бесконечно много раз посещает
любую карту U. Для доказательства достаточно про- j
верить, что если U — малая карта с гладкой грани-
цейу а е — момент достижения inf {t : ) е £/), го
р = Р[е<оо]=1 вие U.
1) См. задачу 8 разд. 4.3.

4.4. ВЗРЫВЫ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 131
Шаг 1
Функция_р принадлежит классу C°°(M--U) и
Gp = 0 вне U.
Доказательство.
е — момент взрыва для процесса, управляемого
оператором G на открытом многообразии М — U.
Шаг 2
Функция р стремится к 1 на dU.
Доказательство.
Пусть рп = P[i(k2~n) e U при некотором k < п2п].
Ясно, что р^рп. Так как фундаментальное решение
уравнения ди/dt = G*u принадлежит С°° [(0, оо) XМ2] *),
то рп^С°°(М). Так как к точке Ое=д£/ можно
приблизиться из дополнения к (/, то limp^рп(0). При
я|°°» P«(0)tp(0)» так ЧТ0 осталось проверить
равенство р(0)=1. Выразим траекторию вблизи О
через локальные координаты х:
t t
О О
t t
= /7(0) b + I [ y7(j) - v7(0)] dft + J" f (j) ds.
0 0
t
Так как | J | = О (/''•) при / j 0, то J* | j/e(j) - У7(0) |2 =
= О (/Vs), поэтому при f1 0
и
t
\ Ve(i)db-Ve(Q)b
= 0(/2/з)2) hj=^(0)HO(/2/3)' Матрица /e(0) не-
1) См. задачу 8 разд. 4.3.
2) См. задачу 4 разд. 2.9.
5*

132
4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
вырождена, а процесс Ь изотропен, так что доста-;
точно доказать, что процесс а = Ь -{-[ошибка порядка
о (/1/2)] при 7 J0 почти наверное бесконечно часто,
входит в конус
С: ах>п(а\ + ... + a*f*.
Постоянная п может быть большой. Но это
событие (Z) содержит событие, состоящее в том, что
Ьх>п(Ь22+ ... +b2d)42 + tl/2 бесконечно часто при
t j О, в чем читатель без труда убедится
самостоятельно. Поэтому вероятность
P(Z)>limP[bl(t)>n(bl(t)+ ... +Й(0),/, + ',/,1 =
= P[bl(l)>n{bt(l)+ ... +Й(1)),А+1]
положительна, и, так как Z принадлежит полю В0+,
для завершения доказательства осталось
воспользоваться законом 0 или 1 Блюменталя *).
Шаг 3
Так как функция р стремится к 1 на dU, она
имеет минимум в некоторой точке 0 внутри М— U.
Многообразие М компактно, и это значит, как
сейчас будет доказано, что р — постоянная (=1).
Выберем малую карту £/', содержащую 0, и так изменим
локальные координаты х, чтобы замкнутый шар
|х|<1 лежал внутри U'. Если е' = min(/: |$|=1),
то для процесса, выходящего из 0, E(t')<oo2).
Положим $ = j(e'). В силу равенства
p(fy-p(0)=$gradpVedb
о
имеем р(0) = Е[р(Щ, и так как р(5)^р(0), то факт
постоянства р на поверхности |л:|=1 будет
вытекать из следующей леммы:
1) См. задачу 1 разд. 1.3; читатель самостоятельно
распространит результат на d-мерное броуновское движение.
2) См. задачу 4 разд. 4.3.

4.4. ВЗРЫВЫ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ J33
Вероятность P[I)e U"] положительна для любого
открытого подмножества U" на сфере |jc|=1.
Эта конструкция распространяется на все
дополнение М— U и показывает, что действительно /? = 1.
Доказательство леммы1).
Рассмотрим процесс j„, управляемый
оператором Gn = G/n + ygrad (где у — какая-то
фиксированная точка из U")9 до момента достижения ея =
= min (/: | 5» I = !)• При п \ со, как читатель может без
труда проверить, max |jrt — /*/1 стремится к 0, так
что P[%nen^U"] отделена от 0 при п\ оо.
Применение формулы Камерона — Мартина 2) показывает, что
P[f)^U"] также положительна. Читатель мог
заметить, что шаг 3 содержит попросту так
называемый принцип максимума для задачи G/? = 0: если
в открытой области Gp = 0 и р достигает своего
максимума {или минимуме?) внутри этой области,
то р постоянна.
Бернштейн 3) доказал удивительный результат:
если М = R2 и f = О, то без каких-либо
предположений относительно гладкости е каждое решение
p^C2(R2) уравнения Gp = 0 постоянно, если только
епе22 — е212> 0 в каждой точке R2 и функция р
ограничена с двух сторон, например 0<р^1. Это
делает еще более поразительным пример Хопфа [1],
показывающий, что размерность 2 нельзя увеличить:
р = ехр (— ехр (а — b2/2)) sin с + 1.
В теореме Бернштейна содержится
неожиданный вероятностный факт: для плоских
диффузий с / = 0 вероятность Я[е<оо] равна либо О,
!) С. Р. Варадан (частное сообщение).
2) См. задачу 5 разд. 4.3.
3) См. Бернштейн [1]; Хопф [2] дал поправку к бернштей-
новскому доказательству.

134 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
либо 1 независимо от начальной точки. Приведем1
доказательство. Теорема Бернштейна показывает,^
что р = Р[е<оо] постоянна, поскольку р е С°°(R2),\
Gp = 0 и 0^р<!1. Но тогда
1_р==Р[е = оо] = £[е>п, Р(с = оо |Z„)] ') =
= Р[е>лг](1 — р)|(1 — р)2 (/if oo)f
поэтому либо р = 0, либо ps=l.
Тот факт, что Р[е = со]=1, вовсе не означает,
что траектория посещает каждый круг б. ч. при t \ оо.
Задача 4 разд. 4.5 показывает, что даже в берн-
штейновском случае возможно, что P[lim$(/)=oo]=l,
а само броуновское движение дает контрпример
для rf = 3. Из теоремы Бернштейна следует, что
P[lims = oo] = 0 или s= 1 для плоской диффузии
t^ оо
при / = 0. Доказательство то же самое, и можно
заключить, что это предложение всегда имеет место
для некомпактных М.
В общих чертах доказательство можно описать
следующим образом2). Пусть Р[с = оо]=1;
определим p = P[limg = oo]. Тогда р^С°°(М) и Gp = 0,
как доказано ранее, т. е. либо р = 0, либо р
положительна в открытой области [/. Простое
видоизменение леммы из шага 3 показывает, что Р [J
достигает U] положительна для любой начальной точки
$(0), откуда следует, что р > 0 на всем М.
Предположим теперь, что р < 1 для какой-то начальной
точки 5(0). Это значит, что процесс должен с
положительной вероятностью бесконечное число раз
посетить фиксированный компакт /О Но это
невозможно, так как всякий раз, попадая в /С, процесс
имеет положительную вероятность (не меньшую, чем
минимум р на К) не возвратиться при / f оо назад
бесконечное число раз. Читателю предлагается
дополнить доказательство необходимыми деталями.
!) Zn есть поле %(t): t^n.
2) X. Кестен (частное сообщение).

4.5. КРИТЕРИЙ ВЗРЫВОВ ХАСЬМИНСКОГО 135
4.5. Критерий взрывов Хасьминского
Хасьминский [1] доказал два полезных критерия,
относящихся к взрывам диффузий на многообразии
M = Rd, аналогичных критерию Феллера для d=l
(разд. 3.6). Определим е и f для оператора G,
используя глобальные координаты в Rd, и введем
выражения
Л = хех,
B = A~l{2fx + spe),
Л-= min Ау А+= max Л,
UM I * Ы*
В- = min By B+ = max Й,
I * М? I * 1-я
С. = exp ( J В. J , С+ = exp ( J B+J <).
Первый критерий Хасьминского устанавливает,
что взрыв невозможен (Р(с = оо)=1), если
1 1
а второй говорит, что взрыв неизбежен (Р(е < оо) = 1),
если
оо #
J CI1 J С./Л- < оо.
1 1
Идея такова: предположим на миг, что
оператор G обладает сферической симметрией, образуем
для соответствующего радиального процесса IЯI
интеграл, фигурирующий в феллеровском критерии.
Постараемся сделать так, чтобы этому интегралу
было всего трудней расходиться (сходиться). Если
интеграл все-таки расходится (сходится), то выводы
из критерия Феллера все еще действительны
') Предупреждение: на протяжении всего раздела
означает интегрирование относительно R dR.

136
4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Доказательство первого критерия
Хасьминского.
Определим положительное возрастающее решение
u=u(R2/2) уравнения
и = | А + (и» + В+и') = 1 (А+/С+) (С+и'У ■)
при R^ 1 рядом
оо R
п=0 1 1
и продолжим его в область R < 1 так, чтобы
продолженная функция принадлежала C°°{Rd). В
условиях первого критерия Хасьминского и^щ\ оо
при R\oo. Так как и и', и и" -{- В+и'= и/А+
положительны для /?^1, то
Си = 1Л (и" + ВиО + у (и" + Я+и') <
<уЛ+(и" + В+и') = " (Я>1).
и лемма Ито показывает, что при Ijl^l
de-tu($ = e-*gT2iduV'e db +e~* {G — l) и dt^
<£-'grad и j/e ^«
Но если с < оо и траектория выходит из точки j(0),
такой, что | j(0) |=1, то приведенное выше
выражение можно проинтегрировать от момента f =
= max(f: |j|=l)<e до какого-то момента t,
заключенного между f и е. В результате получим
t
е~*и (| J Р/2) - е-*и (1/2) < J e~s grad и Ve db.
l) Предупреждение: в этом разделе знак ' означает
дифференцирование по /?2/2.

4.5. КРИТЕРИЙ ВЗРЫВОВ ХАСЬМИНСКОГО 137
t
Так как Г e~s grad и Ye db — одномерное броуновское
о
движение а относительно внутреннего времени t(t)=*
= J e~2s grad ue grad и ds *), то
о
е-*и (оо) = lim е~*и (| j |2/2) =
= lim a (t) - a (f) + ё*и (1/2) < оо.
Это противоречит предположению, что е < оо, так
как и(оо) = оо. Поэтому Р(е = оо)=1.
Доказательство второго критерия
Хасьминского.
Определим и = и (/?2/2), как и раньше, но с
заменой Л+, В+, С+наЛ_, В_, C_ соответственно.
Используя представление и в виде суммы, можно
проверить, что
и<ехр( J CI1 j CJA-].
м 1 /
Поэтому в условиях второго критерия Хасьминского
функция и ограничена при R f оо. Определим t^ =
= min(/: |j| = /?). При R^\ справедливо
неравенство Gu^u, jaK что если |j|^l, то de^fu{i)^
^е~* grad и Ye db. Для траектории, выходящей из
точки j (0): 1 < | J (0) | = Ri < /?, проинтегрируем
последнее выражение до момента tx Л V, получим
E[e^9tR<t{]u{R2l2) +
+ Е[е~\ tx<tR]u{\l2)^u{R\J2).
Но если сначала R \ оо, а затем Rx \ оо, то
lim {Е \е~\ е < t,] и (оо) + Е [е~\ t, < е] и (1/2)} > и (оо)
*) См. задачу 1 разд. 2.9.

138
4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Так как и(1/2) <и{оо) и сумма коэффициентов пр^
и{оо) и и (1/2) в левой части не превышает 1, то
1 = lim Е[е~е, е < t,] < lim P(e < оо).
Но P(tR<oo)=l 1) и t^je при R f оо. Отсюда
вытекает, что Р(е < оо)== 1.
Задача I2). Используя первый критерий Хась-1
минского, докажите, что при d = 2 и / = 0 процесс!
не взрывается п. н., если
^_1=!ф2^^<1+(1пГ
х ех епх1 + 2е{2Х\Х2 + ^22*2
при /?>2.
Решение. В+ < (2 + (In У?)"1) R~2, так что 1
С+<#21п# и
оо оо
JC+1^ $ dR/RlnR = oo.
2 2
По этой причине интеграл из первого критерия
Хасьминского расходится.
Задача 2. Пусть f = О, а у (R) определим как
наибольшее собственное значение матрицы е в круге.
|*|^/?. Докажите, чтоР(е = оо)=1 в каждом из |
двух случаев: когда Hm^. /?2/y+= «> и когда
оо
j RdRly+ = оо. Первый критерий Хасьминского не
1
перекрывает этого утверждения.
Решение. В силу того что d\ $ |2 = 2$ Ye db +
+ spedt, процесс
j(0-expl|hs(0l2~|j(0)|2-Jsp^sj-
— Ya2 J lelds =exp(a J iV~edb — {a2 J Ses<fcJ'l
о J ^ о о / Ш
1) См. задачу 4 разд. 4.3.
2) См. Хасьминский [1].

4.5. КРИТЕРИЙ ВЗРЫВОВ ХАСЬМИНСКОГО 139
является супермартингалом *). В частности, для
траекторий, выходящих из точек j(0): |j(0)|</?,
> ехр (|(R2 - |Х (0) |2)] £ [ехр(-1 (d + a/?2) aY+tR)],
где y+ = Y+ (R)- Поэтому при (d -{■ а/?2) ау+ = 1 имеем
Е (ехр (- W2)) < ехр [-1 (/?2 - U (0) I2)] <
<const-ехр(-1[(4)2+^-]'/г),
и, стало быть, в случае
lim R2/y+ = оо
и при R f оо
£ (ехр (- е/2)) < £ (ехр (- у2)) \ 0.
Аналогично рассматривается второе утверждение.
Для траекторий, выходящих из j(0): |$(0)|</?,
имеем
l>E[b(tR+b)/l(tR)\Us): *<У>
> ехр (aft/?) Е [ехр { - 1 [d + а (У? + б)2] aY+ (tR+6-tR) }
где y+ = Y+ (Л + б). При <ху+ = 1 это позволяет
доказать, что
Е [ехр (- с (tR+6 - У) | j (s): s < У < ехр (- fi*/Y+),
где 2с = d + sup /?2/y+. Но это значит, что
lim £[ехр(— ctR)] <exp
- J RdR/\+
- |S(0)I
оо
Итак, Р[е = оо]= 1 в случае, если интеграл Г RdR/y^
1
.2/,
расходится, однако с < оо, т. е. \imR2/y+ < оо.
!) См. задачу 5 разд. 2.9.

140 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задача 3. Используя второй критерий Хась-"
минского, докажите, что при d^3 и G=y(R)\/2
п. н. происходит взрыв (Я(е < оо) = 1), если
оо
| RdR/y < оо. Это показывает, что критерий задачи 2
1
не может быть улучшен.
Решение. Поскольку А = R2y и В = d/R2, то
оо R оо
интеграл j* С"1 J С/Л = (d — 2)""1 j* /? d/?/v сходится.
i i i
Задача 4. Докажите, что при d = 2 и 2G =
— (1 + b2) д2/да2 + 2Ьд2/да db + д2/дЬ2 взрыва не
происходит: Р[е = оо]=1. Этот результат также не
перекрывается первым критерием Хасьминского.
Докажите также в подтверждение результата
заключительной части разд. 4.4, что
P[lim|sl = oo]=l.
Решение. Обозначим компоненты процесса $
через а и Ь. Имеем
(da - Ь db)2 = dt9 (da - b db) db = 0, (db)2 = dt.
Из задачи 2 разд. 2.9 следует, что (da — bdb, db) —
дифференциал некоторого двумерного броуновского
движения. Так как Г bdb = -^ (b2 — /) (см. разд. 2.4),
о
то взрыв невозможен. В то же время |£|2 = ct2 + b2
стремится к бесконечности при /f оо, так как при
больших / f оо либо Ь2!>//2, либо b2^t/2. Но
компонента а, представляющая собой сумму одномерного
броуновского движения и процесса V2 (Ь2 — Of
ограничена сверху выражением (3tln2\ft)4i —//4^ — ^/5.
Задача 5. Пусть функция f^Cl(Rl) имеет
тот же знак, что и х. Рассмотрим решение /->[;, 5]е/?2
системы
dl = \dt, dx + f($dt = db

4.5. КРИТЕРИЙ ВЗРЫВОВ ХАСЬМИНСКОГО 141
как реакцию осциллятора J + f(i)dt = db с
возвращающей силой / на возмущение (формальным) белым
шумом Ъ {Ъ — одномерное броуновское движение).
Докажите, что Р[е=оо]=1, и получите оценку
P[Iim #//1п2/</]=1,
f-f оо
I
где гамильтониан # = (j)2/2 + ) / связан с невозму-
о
щенным осциллятором S + f(j) = 01)-
Решение. Вплоть до момента взрыва с можно
писать
откуда
t
tf = tf(0)+{j^ + !- = tf(0) + a(t) + i-
О
для некоторого нового одномерного броуновского
движения а с внутренним временем
t
t(t)=j(ifds.
о
Предположим, что е < оо. Тогда либо t(e) < оо и обе
компоненты (j — j (О))2 < /t (/) и (j}2/2 < Н остаются
ограниченными при / f е, что приводит к
противоречию, либо t(e)=oo и O^lim^e Я = —оо, что
также абсурдно. Итак, доказано, что Р[с = оо]=1.
Воспользуемся теперь хорошо знакомой мартингаль-
ной оценкой:
рГтах #-#(0)-4---!*> pi <<>-<*.
Ь<ея 2 2 J
Здесь 9>1, a = Q~n и р = 9n+1 Inn. Отсюда легко
следует, что при t < 9" и п f оо
Я<//(0) + ^+^-1 + вя+11пл.
'} См. Поттер [1].

142 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Поскольку (^)2/2^Я, то при t^Qn получается
я<я(о) + е"+ inn[i + o(i)] + e_" /я,
о
так что
Я<6п+11пп[1 + о(1)]ехр(в"/)
и
ЙтЯ/йп2/<е2е.
Осталось перейти к пределу при 9| 1.
4.6. Накрывающие броуновские движения
Используя лемму Ито, можно дать изящное до- jj
казательство результата Леви, состоящего в том, что
двумерная броуновская траектория конформно инва- Щ
риантна1). Последнее означает, что если 5 = &(0) +
+ а + V— 1 Ь — стандартное броуновское движение
в У?2 и / — отличная от постоянной аналитическая
функция, определенная в содержащей 5(0) области
DczR2, то до момента е первого выхода процесса $
из D процесс f(i) также представляет собой
броуновское движение с новым временем t (/) = J | f' (5) |2. I
о
Специально отметим, что если R — риманова
поверхность над Dy то броуновскую траекторию }: / < е
можно поднять на /?, обращая проекцию /?->/)2),
и на каждой карте поверхности R с локальными
координатами w эта накрывающая траектория играет
роль соответствующего стандартного броуновского
движения to, протекающего во времени t (/) =
-J|o»'(j)P.
о
1) См. Леви [2].
2) См. Зейферт и Трельфалль [1].

4.6. НАКРЫВАЮЩИЕ БРОУНОВСКИЕ ДВИЖЕНИЯ 143
Доказательство.
Воспользуемся уравнениями Коши — Римана f' =
^=f{ = — У — 1 f2 х) и тем обстоятельством, что А/ = 0.
Применив лемму Ито, получим
df(l) = hda + f2db+±fn(daY +
+ h2dadb + ±f22(dbf = f'(udi.
Положим B^arg/7^); тогда ехр(|/—1 9) —неупре-
ждающий функционал от J, так что 5* (0 =
t
== \ ехр(]/— 1 8)rfj — некоторое новое броуновское
о
стандартное движение2). Итак, df (j) = | /' (?) | dj*,
причем | f'(5) | — неупреждающий функционал от j*.
Несколько обобщив правило замены времени разд. 2.5,
можно показать теперь, что до момента t(e)
rw-fbO"1)!-/ IГ ft) I #
о
также есть броуновское движение, чем и завершим
доказательство.
Конформная инвариантность, помимо
самостоятельного интереса, находит занятные приложения
к задаче о скручивании двумерной броуновской
траектории. Этот вопрос будет обсужден ниже3).
При этом понадобятся некоторые сведения о группах
накрытий, модулярных группах второго рода и
модуле Якоби k2. Соответствующую информацию можно
найти у Ленера [1] и Вейля [1]. Кроме этого, нужно
также знать, что двумерная броуновская траектория
бесконечное число раз при t \ оо посещает каждый
круг.
1) fi = df/dxu t2 = df/dx2 и т. п.
2) См. задачу 3 разд. 2.9.
3) У Ито и Маккина [1] обсуждаются римановы поверхности
для In г и /г2, которые нам также встретятся. Остальной
материал новый.

144 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Доказательство.
Проколотая сфера S2 —(О, 0, 1) отображается
с помощью стереографической проекции
Х = \х\» х2> ХУ -"* Z = j _ ^
на плоскость У?2. Сферическое броуновское
движение i управляется оператором G, имеющим в
сферических координатах вид
0=у = Т[(81Пф) _51Пф^ + (81Пф) -ggrj'.-
В силу конформности стереографической проекции
процесс 5 = «г$ представляет собой (локально)
броуновское движение в новом времени. Если / Ф О, то
^=^=02), так что j не может достигнуть южного
полюса (0,0,-1) при /=7^0. Поскольку оператор G
перестановочен со сферическими вращениями, то j
не может достигнуть и северного полюса (0, 0, 1).
Но это значит, что при j (0) Ф (0, 0, 1) проекция %
при t^0 вполне определена. Тот факт, что при
t \ оо процесс I бесконечное число раз посещает любой
кружок на сфере 3), немедленно находит отражение
в том, что процесс $ бесконечное число раз достигает
любого круга на плоскости.
Рассмотрим риманову поверхность R функции
w = \x\z как плоскость, разделенную на
горизонтальные полосы ширины 2я с проекцией z = ew9
отображающей каждую полосу на проколотую плоскость
/?2 —0 (рис. 2). Поверхность R можно рассматривать
как универсальную накрывающую для R2 — 0.
Вследствие этого группа накрытия изоморфна Z1 —
фундаментальной группе области /?2 — О4). Поскольку
броуновское движение g на плоскости никогда не
достигает 0, если 5(0)=^=05), то броуновское движение
1) 0 < ф = широта ^ я, 0^6 = долгота < 2я.
2) См. задачу 7 разд. 2.9.
3) См. разд. 4.4.
4) Z1 — группа целых чисел 0, ±1, ....
6) См. задачу 7 разд. 2.9.

4.6. НАКРЫВАЮЩИЕ БРОУНОВСКИЕ ДВИЖЕНИЯ 145
в R2 — О можно поднять на /?. Леви утверждает, что
поднятая траектория является броуновским
движением в новом времени. Отсюда следует, что
поднятая траектория бесконечное число раз при t \ оо
посещает любой круг. Рассматривая R как
универсальную накрывающую поверхность для R2 — О, мы
\4*)Г\
т l=L^
\гл\Я r
\-2xiR
z=ew
^ I
/?г-0
Рис. 2.
заключаем теперь, что двумерная броуновская
траектория делает бесконечное число оборотов вокруг О
как по часовой, так и против часовой стрелки, если
/f оо; при этом она бесконечное число раз
раскручивается. Это просто отражение того факта, что
накрывающее движение неограниченно курсирует по
вертикали, но бесконечно много раз возвращается
в полосу 0^6 < 2л при /f оо.
Определим отображение открытой верхней
полуплоскости R. Если задан параметр к2Ф0, 1, то
функция, обратная к эллиптическому интегралу
J [(1_*2)(1_Л2,2)]'/.'
есть эллиптическая функция Якоби. Модуль Якоби k2,
выраженный отношением w^ R ее фундаментальных
периодов, задает отображение полуплоскости R на
1/26 Зак. 81

146 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
дважды проколотую плоскость /?2 — 0—1. При этом
k2 — модулярная функция группы G дробно-линейных
преобразований
iw + i
kw +1
(модулярная группа второго рода). Группа G
переводит полуплоскость R в себя и делит ее в
соответствии со своим действием на конгруэнтные листы,
Z=b\w)
/?г-0-1
Рис. 3.
как это показано на рис. 3. Функция k взаимно |
однозначно отображает каждый такой лист на
R2 — 0 — 1. Теперь можно рассматривать R как
универсальную накрывающую для дважды проколотой
плоскости У?2 —0—1. Группа G является при этом Щ
и группой накрытия и фундаментальной группой для
/?2 — 0— 1; как таковая она изоморфна свободной
группе с двумя образующими. Двумерное
броуновское движение не достигает точек 0 и 1, если только
Ь(0)ф0 или Ф\, так что его траектории можно \
поднять с проколотой плоскости на /?. Результат
поднятия на R будет также броуновским движением,

4.6. НАКРЫВАЮЩИЕ БРОУНОВСКИЕ ДВИЖЕНИЯ 147
но в новом времени. Поскольку R — полуплоскость,
то при t \ оо накрывающее движение стремится
к границе RlX^0 = dR. Из того что каждый лист
полуплоскости R соответствует какому-то элементу
фундаментальной группы G, нетрудно вывести, что
в отличие от случая плоскости, проколотой один раз,
картина закручивания броуновской траектории вокруг
точек 0 и 1 становится при t \ оо все более и более
сложной и, начиная с некоторого момента, траектория
никогда не раскрутится.
Рассмотрим риманову поверхность Ru
накрывающую R2 — 0—1 и имеющую в качестве группы
накрытия коммутативную группу с двумя
образующими G}. Поверхность R{ можно реализовать
как риманову поверхность функции w = In z +
+ Y— 11п(<г— 1), и тогда ее возможно описать как
счетное число копий римановой поверхности
функции w = 1пг, соединенных между собой в точках
2я]/Г_1Х^1 логарифмического ветвления. Группа
Gx — это попросту группа G, сделанная
коммутативной, точнее, Gx изоморфна факторгруппе G по ее
коммутанту. Можно отождествить G{ с группой
гомологии Z21) многообразия R2 — 0— 1. Поднимем
броуновскую траекторию с У?2 —0— 1 на Rx. Теорема
Леви утверждает, что это поднятие представляет
собой броуновское движение на Ru происходящее
в новом времени. Но это броуновское движение
посещает при / f оо каждый кружок на R{ бесконечно
много раз (доказательство приводится ниже), так что
при закручивании плоской броуновдкой траектории
вокруг точек 0 и 1 она бесконечное число раз при
t \ оо «распутывается» с точки зрения целочисленных
гомологии2).
!) Z2 — решетка целочисленных точек в R2 с операцией
сложения.
2) Это означает попросту, что существует бесконечное число
моментов времени, когда траектория закручена вокруг нуля
одинаковое число (k) раз как по часовой, так и против часовой
стрелки, и то же самое выполнено (но, вообще говоря, с другим
числом оборотов п Ф k) и для точки 1. — Прим. перев.
V26*

148 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Доказательство бесконечно частого
посещения броуновским движением
любого круга на R^ при /foo.
Пусть Q —коммутант группы G. Точка У^1
переходит под действием коммутатора
П /1Г1 0ГГ1 2ГГ1 01"ЯГ1 21"я Г/ /I"1
[k l\ [2 lj [о 1J U lj [о 1 J [k l\
в точку, которая сходится при п f oo к ///. Если
Г/ /I
первый множитель , ; пробегает G (/ и / взаимно
просты, / — четно, / — нечетно), то дроби /// всюду
плотны на границе OR. Группа Q действует из R
в R. Это так называемая основная модулярная группа
первого рода, и по теореме Пуанкаре получим
Q
Рассмотрим теперь стандартное броуновское
движение tt> = tt>(0) + а + V^b = $ + У^-ТЪ на R,
протекающее во времени f1, обратном к функционалу
t(/)= j $~2. Ясно, что величина F1 определена до
момента
J г'.
где е — время первого выхода
min(/: $ = 0) процесса to из R. Последний интеграл
бесконечен, так как
— оо:
■Щ(е-)/И0)-
lim
t t -j
о о J
Но тогда проекция }, процесса toft""1) на /?! является
броуновским движением, происходящим в новом
времени, которое определяется как функция 0^/<оо.
Среднее время пребывания процесса to(t-1) в области
1)Ленер [1, стр. 179—183].

4.6. НАКРЫВАЮЩИЕ БРОУНОВСКИЕ ДВИЖЕНИЯ 149
D с: R с индикатором / задается формулой
■и
/(»(г'))л
= £
И f (»(<)) Г2 <« =
= j* fi[5(0"8. »(0еД <<e|rf< =
о
оо
= J dt | (2jrf)_1 {exp (— | to — t» (0) fl2t) -
0 D
- exp (— | »* — n> (0) |2/2/)} y~2 dx dy =
= 1Г1п|«Л-ш^|
я J \ w — w (0) l* v '
Из инвариантности элемента объема y~2dxdy2)
относительно действия группы G непосредственно
следует, что среднее время, которое процесс J проводит
в проекции круга D, равно
Q ЕЯ»
> J] const - (i2 + /2 + fc2 + Z2)"1 = oo.
Q
Так как процесс }j совпадает с точностью до замены
времени-с плоским броуновским движением, поднятым
с R2 — 0 — 1 на Ru то осталось проверить, что },
посещает бесконечно много раз при / f oo каждый круг
в Rx. Убедиться в этом не составит труда, если
вспомнить, что среднее время пребывания \х в круге
бесконечно и что процесс ^ начинается заново в
каждый момент достижения. В самом деле, пусть D —
1) В этой и следующей формуле знак * означает сопряжение.
2) у~2 dx dy — это элемент объема в плоскости
Лобачевского, реализованной в верхней полуплоскости. Группа Q — это
дискретная подгруппа группы всех движений плоскости
Лобачевского (дробно-линейных преобразований, переводящих
верхнюю полуплоскость в себя). — Прим, перев.

150 4- СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
замкнутый круг, расположенный в большем круге
В a Ru a t0 < tx ^ t2 ^ ... — последовательные
моменты достижения процессом $, множества D после
пребывания в R{ — В. Обозначим через аир функции
a = P[t0<oo] и
p = £[mes(*: j,sD, t0</<t,)]
начальной точки %{ (0); тогда полное среднее время
пребывания $i в D представляется в виде
оо
оо = 2 £[mes(*:&,€=£>, te_1</<tn)] =
<afti(0))S[supar,"1supp.
«=1 аВ dD
Если внешний круг В достаточно мал, то функция Р
ограничена на 3D. Это легко получить, опуская
процесс li на R. Функция а гармонична вне D *),
поэтому из расходимости ряда следует, что а=1.
Отсюда а=1 в некоторой точке окружности дВ, и
в результате а=12). Доказательство закончено.
4.7. Броуновское движение на группе Ли
Связная группа Ли G3) является многообразием
в смысле определения разд. 4.1 и, кроме того, группой
с гладким умножением GX>G->G. Гладкость
умножения означает, что для элементов g{ и g2,
содержащихся в малых картах U{ и U2 соответственно,
произведение g = g\g2 заключено в малой карте, и
его локальные координаты принадлежат Cco(UiX,U2).
Определим С°° (1) как класс ростков бесконечно
дифференцируемых функций в точке 1—единице группы G.
Дифференцирование D на С°°(1) является отображе-
1) См. разд. 4.4.
2) См. шаг 3 разд. 4.4.
3) Общие сведения о группах и алгебрах Ли можно найти,
например, в книге Хелгасона [1]. — Прим. ред.

4.7. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ НА ГРУППЕ ЛИ 151
нием С°°(1) в R\ удовлетворяющим условию D(/1f2) =
— (D/i)f20) + /i (1) (Df2). Это отображение можно
записать в локальных координатах х на карте U,
содержащей 1, как D/ = agrad/(l) для некоторого
a^Rd. Полученное соответствие D-> Rd представляет
собой аддитивный изоморфизм между Rd и
касательным пространством А группы G в точке 1,
состоящим из всех дифференцирований на С°°(1).
Определим D(G) как класс всех дифференциальных
операторов на С с коэффициентами из C°°(G),
коммутирующих с левым сдвигом g: f -> gf = f (g •).
Дифференцирование D^A можно рассматривать как
элемент D(G), если положить Df (g) = Dgf(l). Для
Dlf D2g/1 отсюда следует, что коммутатор [D^l^
^DXD2 — D2Di, вычисленный в D(G) и затем
примененный к' С°°(1), остается в А. Пространство Л,
снабженное вышеописанной операцией
коммутирования, есть алгебра Ли группы G. Пространство D(G)
с обычным умножением есть обертывающая алгебра
алгебры Ли Л; название происходит оттого, что D(G)
с точностью до изоморфизма есть наименьшая
ассоциативная алгебра, содержащая А как подалгебру
Ли относительно операции коммутирования. Зададим
отображение А в G — так называемое
экспоненциальное отображение, определяемое в окрестности ОеЛ
по правилу x(exp(tD))* = (Dx){exp(tD))1).
Отображение ехр переводит одномерные подпространства
алгебры Ли А на одномерные подгруппы группы Ли G.
Отображение ехр есть локальный диффеоморфизм.
Проиллюстрируем это на простом примере группы
G = SO(3) собственных вращений пространства R3.
Группу SO(3) можно отождествить с группой
ортогональных матриц 3-го порядка с определителем,
равным +1, а алгебру Л —с пространством косо-
симметрических матриц 3-го порядка, снабженным
операцией коммутирования; при этом ехр есть обычная
экспоненциальная сумма: exp(D)=2 Dn/nl. Алгебра Л
1) Знак * означает дифференцирование по t, a x — локальные
координаты на карте, содержащей 1.

152 4- СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
t
0
1
.0
D2 =
-1 0"
0 0
0 0.
"001
0 0 0
.-1 0 0
1 У
порождается тремя инфинитезимальными
вращениями:
0 0 0
D, = | 0 0-1
0 1 О
Da =
[Db D2] = D3, [02,031 = 0,, [D3, DJ^Ds,
так что А изоморфна пространству R3 с векторным
умножением. Элемент
a^+ajD^a^SA (о<| а \ = (а2{ + а\+ а32),/2<я)
переводится отображением ехр в поворот
относительно оси flG/?3 на угол \а\. Направление поворота
определяется правилом правого винта *).
Помимо перечисленных выше общих фактов нам
понадобится еще только теорема Адо (см. шаг 1
разд. 4.8). Общую информацию и доказательства
см. в книге Хелгасона [1].
Левоинвариантным броуновским движением на
группе G называется непрерывный процесс 0^t->
->S(/)gG, выходящий из точки 5(0)= 1 и
начинающийся заново в свои марковские моменты в том
смысле, что при условии t < оо будущее l+(t) =
= 8-I(0i(t+0: t^O не зависит от прошлого j(s):
s^t + (т. е. не зависит от поля В*+). Кроме того,
процесс \+(t) имеет то же распределение, что и
исходное движение j(/): t^O. Это аналог свойства
независимости приращений одномерного броуновского
движения.
Иосида [1] доказал, что броуновское движение
на G управляется (возможно, вырожденным)
эллиптическим дифференциальным оператором GgZ)(C),
который записывается в терминах базиса D =
1) Более подробные сведения об этой группе можно
почерпнуть в работе Гельфанда и Шапиро [1].

4.7. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ НА ГРУППЕ ЛИ 153
= (D!, ..., Dd) алгебры А в виде
. G={DeD + fD={ J ^уО^Оу + 2
i, f<d i<d
С ПОСТОЯННЫМИ 0<6 = 6*G^®i?d И f^Rd. ЕСЛИ
матрица е невырождена, последнее означает, что
Р(*> &) — плотность распределения P[i(t)^dg] по
отношению к элементу объема на группе G — является
фундаментальным решением уравнения du/dt = G*u
с полюсом в точке 1. Приведем формальное
доказательство перечисленных фактов. Определим оператор
GsD(G) соотношением
Gf(l) = limr1[£[f(j)]-/(l)].
t + 0
Используя инвариантность J относительно левых
сдвигов, заметим, что E[gf(i)] = exp(tG)f. Применяя
теперь задачу 1 разд. 4.1 и тот факт, что [Л, Л] с: Л,
представим оператор G в нужной форме.
Ито [4] доказал, что каждый оператор G такого
вида действительно связан с некоторым
инвариантным слева броуновским движением на G. Траектории
этого процесса были сконструированы им так же,
как в разд. 4.3. Иосида доказал тот же факт,
построив фундаментальное решение задачи du/dt =
= G*u. Третий метод состоит в том, что
дифференциалы d-мерного {асимметричного) броуновского
движения Ye b + ft у определенного на алгебре Л
(отождествленной с Rd), вкладываются в G с помощью
экспоненциального отображения, а затем результаты
вложения соединяются вместе в так называемом муль*
типликативном интеграле
f) exp[Vedb + fds]^
.— lim П exp We [b(k2~n)-b((k- 1)2~n)] + f2~n].
Эта программа осуществляется в разд. 4.8 *)•
*) Маккин [2] проделал это в частном случае G = SO (3).
Более общие приложения той же самой идеи см. у Ганголли [1]«
Перрин [1] рассматривает броуновское движение на SO(3) с более
классической точки зрения.
7 Закд 81

4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
4.8. Вложение
Пусть заданы постоянные матрица в^.е<е* и
вектор / и стандартное d-мерное броуновское
движение Ь. Рассмотрим процесс a=Ye b + ft как
(косое) броуновское движение на алгебре Ли А группы G,
т. е. отождествим точки ag Rd и а • D е= А.
Проверим следующее предложение: если
(1 0 = 0)
ln \u (I2~n) exp [a (t) - a (/2~*)] (t > 0, / = [2"/]),
го гак называемый мультипликативный интеграл 1)
существует и определяет левоинвариантное
броуновское движение на группе G, управляемое оператором
G = DeD/2 + /D.
Шаг 1
Теорема Адо2) устанавливает, что А допускает
при некотором m точное представление как
подалгебра Ли алгебры Rm ® Rm с обычной операцией
коммутирования. Классическая экспоненциальная
сумма ехр (а) = 2 яя/я! отображает эту точную
копию А на некоторую подгруппу Ли общей линейной
группы GL(m> Rl). Построенная подгруппа локально
изоморфна G, хотя глобально это, возможно, и не так.
Но конструкция вложения локальна, так что
доказательство можно проводить в предположении, что G
точно вкладывается в GL{m, R{) как подгруппа Ли.
Введем в Rm ® Rm норму Yspa*a, не смешивая
ее с нормой | а | линейного оператора а, действую-
1) Лучше было бы сказать «стохастический
мультипликативный интеграл». Чтобы понять связь с обычным аддитивным
стохастическим интегралом, рекомендуем читателю рассмотреть
случай, когда G — векторное пространство. — Прим. ред.
2) См. Бурбаки [1].

4.8. ВЛОЖЕНИЕ
155
щего в Rm. Мы часто будем пользоваться
следующими неравенствами:
I aKj/'sp я*а<т|а|,
| sp acb | < const • j/sp a*a |/sp b*b ,
sp(a + b)*{a + 6)<2sp а*а + 2 sp 6*6.
Предупреждение: для того чтобы последующие
формулы выглядели более четко, транспонирование
элемента ае А как оператора в Rm будем
обозначать *а.
Шаг 2
Мультипликативное представление для ^
предполагает, что в обертывающей алгебре D(G)cz/?m®/?m
выполнено соотношение d^ = l00[exp{da) — 1] =
= ioo[da + 1/2(da)2]. Сейчас будет доказано, что эта
задача имеет единственное неупреждающее решение
J: t->D(G), такое, что g (0) = 1.
Доказательство единственности.
Рассмотрим разность ^ двух неупреждающих
решений, и пусть броуновский момент остановки t
определяется как наименьшая из двух величин t^O
и min(/: | % | = п). Применение леммы Ито к
процессу Щ приводит к представлению
t
о
где dj = da + (daf/2 = Ye db + kdt. Используя
оценки, отмеченные в шаге 1, нетрудно вывести, что
D = ЕspЩ(t)<(mn)2 < оо и что справедлива оценка
D = E
J sp ${kds + *kds + Ve db* Ye db)'$ <
t
^ const • J D.
о
Отсюда заключаем, что D = 0. Доказательство
завершается предельным переходом при п | оо,

156 4- СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Доказательство существования.
По аналогии с разд. 2.7 определим $ как сумму
t
ряда $„(*), гДе 1>о(Оя1 и ЪпЦ)= \ Ъп-xdj при п>1.
о
Точно так же, как только что при оценке
выражения £>, докажем, что
t
Dn^E[sp ЭДЙ] <const • { D^ (n> 1).
Используя, как и в разд. 2.7, мартингальное
'неравенство и первую лемму Бореля — Кантелли,
находим, что сумма для } сходится экспоненциально
t
быстро к решению уравнения &= 1 + j \d\.
о
Шаг 3
Положим по определению jtt(0) = l и 5„(0 =
= ln{l2-n)-exp[a{t)-a{l2-n)], если 1 = [П], *>0,
п>1.
Докажем, что при любом а>0
P[max|U0l<2a/\ /itool=l.
*</
Док аз ате л ьств о.
Норма ехр(а) оценивается сверху выражением
ехр(| V~e\\b\ + \f\t). Так как J5[exp(Y&i)] = exp(Y2*/2),
то нетрудно доказать, что среднее £[|exp(a)f]
ограничено при f^l для каждого Р>0 и что E[|jf]
также ограничено, причем
Р[max | и(/2-*)| > 2ап] < const • 2п [{~а®.
Но при сф> 1 справа стоит общий член сходящегося
ряда и доказательство завершается ссылкой на
первую лемму Бореля— Кантелли.

4.8. ВЛОЖЕНИЕ 157
Шаг 4
Докажем, что при любом 8 < !/2
t
max
i„-l- j\ndj
< 2~mt n f oo
= 1.
Доказательство.
Определим A=[(fc—l)2~n, k2~n] и а(ДНаОй"л)—
— a{(k — l)2~tt), где А ^2". Используя модули Леви
(разд. 1.6), их обобщение для стохастических
интегралов (разд. 2.5) и оценку предыдущего шага,
можно показать, что при п f oo и 8 < 1/2 с точностью
до величин, не превосходящих const • 2~0/\
выполняется неравенство
t
Sn (0 — 1 — jindj =
о
- 2 h ((* - 1) 2"") [exp [a (A)] - 1 - J rf/1 =
= 2s«((*-l)2-")MA),
где A(A) = [Vre(6(A))]2— ^(V^dbf. Так как послед-
д
ние -суммы {=l)i) образуют мартингал, то
последовательность sp^/*^— субмартингал. Пользуясь
оценкой шага 3: Е[\ in |2^const (t^l), и независимостью
величин 5я((£ — \)2~п) и h(А), находим, что
P[max sp Й/ > 2'ш] < 220"£lsp J/W =
/<2rt *
=229л£[ 2 8Р8л((*-1)2-,,)А(АГЛ(АГ ^((fe-l)2-")]<
L*<2"
<220«m2 2 ^[|?Л(^-1)2-л)|2]£[|А(А)Р]<
*<2Л
^const^29^^.

4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Но при 8 < 1/г — это общий член сходящегося ряда,
так что все прочее следует из первой леммы Бо-
реля — Кантелли.
Шаг 5
Докажем, что при любом 8 < 1/г
PlmaxUa-$|<2-er\ »t ool=l.
Доказательство.
t
Имеем 8П —i = ^«+ J ($* — l)dj, где 4BsJ»-l-
o
t
— [ \nd\. Согласно шагу 4, последнее выражение
о
при п\оо, t^\ и 8 < 7г не превосходит по
величине 2""8ft. Введем в рассмотрение броуновский
момент tn, определенный как первый момент *<1,
такой, что U« —Jl = 2<m или |$ftl = 2-ert. (Если ни одно
из этих двух событий не произошло при *<1, то
полагаем f=l.) В силу результатов шагов 2 — 4 при
nt°o tftsl. Пусть D = £[sp(^-^(^~j)(y]<
^/п22агг<оо. Величину D можно оценить, как
и в шаге 2:
£<2£МЖ(и)] +
J sp (5. - J) Wj + *d j + dj *dft (jft - j)
-0
< 2/n22^2ert + const - J D.
0
В результате для D получается при f^l верхняя
оценка: const • 2"~29п. Теперь обычный мартингальный
прием, примененный к субмартингалу
+ 2£
<
и, а,
sp { i\n-l)VedP J iin-DVedb,

4.8. ВЛОЖЕНИЕ 159
показывает, что
Г I '
Р max\[{%n-l)Vedb
Аналогичную оценку
Г 1г'
Р max (in -l)kds
<2
—drt
n f
<2
-Qn
П f oo
= 1.
= 1
доказать еще проще. Отсюда и следует нужный
результат.
Шаг 6
Предел 5оо = НтП|оо5/г существует и для
невырожденной матрицы е\ он представляет собой левоинва-
риантное движение на группе G, управляемое one-
ратором G = DeD/2 + /D.
Док аз ате л ьство.
Из результата шага 5 немедленно следует, что
при /<1 мультипликативный интеграл Ъ^ — Ъ
существует; читатель без труда проверит, что
конструкцию можно распространить и на случай /^1. Ясно
также, чхо j^ — левоинвариантное броуновское
движение. Осталось доказать последнее утверждение.
Но, как легко видеть, для финитной функции и е
е= С°° (G) при п f oo, t < 1, / = [2nt] и 9 < V2 с точностью
до величины, не превосходящей const • 2~0rt,
"(U-"(i) = "(U-«(i) =
= £ [2a<(A)D<M+T 2 a,(A)a/(A)D,D/tt],
6-й член этого ряда вычисляется при ln{{k — \)2~п).
Нетрудно показать, что при п \ оо последнее
выражение стремится к
t t
i,i>dO О

160 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Но это значит, что на каждой карте U с
локальными координатами х процесс S —*($«,) является
решением уравнения d%= Ye il)db + f {i)dt. В этой
окрестности е и f служат локальными
коэффициентами оператора G. Тем самым мы можем
отождествить ъ^ с левоинвариантным броуновским
движением ца группе G, управляемым оператором G,
Доказательство закончено.
Простой, но любопытный пример вложения
получается, если рассмотреть движение трехмерного шара,
катящегося без скольжения по плоскости /^2 X—1сг/?3э
в то время как его центр совершает стандартное
двумерное броуновское движение b = {bX) b2) на
плоскости #2Х0"с:Я31). Здесь G = SO(3); инфинитези-
мальные вращения
D,=
0 0 ■ 0
0 0-1
.0 1 0
D3=
I »
J
0
1
0
D2=
-1 0
0 0
0 0
ooi-
.000
-1 0 0.
""1
порождают Ay и экспоненциальное отображение
переводит a{Di + a2D2 + a3D3 е/1 в поворот против
es*b(A\
Рис. 4.
часовой стрелки на угол \а\ = {а] + a| + aff1* вокруг
оси а = (а{, а2, а3)е^3, как уже отмечалось в разд.
4.8. Так как броуновская частица движется из
b({k-\)2~n) (точка 1 рис. 4) в b{k2~n) (точка 2
1) Маккин 12]; см. также Горман [1J.

4.9. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ НА СИММЕТРИЯ. МАТРИЦАХ 161
рис. 4), то шар за то же время испытывает
приблизительно поворот exp[£3X£(A)D] = exp[— й2(Д) Di +
+ bx (A) D2]') на угол b (А) (против часовой стрелки)
вокруг оси е3ХЬ(&), как показано на рис. 4.
Поэтому к моменту /^0 шар претерпевает вращение,
в точности равное соответствующему
мультипликативному интегралу; именно, (левое) броуновское
движение на SO(3) управляется оператором 0==
-£(d? + dS).
Задача 1. Докажите, что движение ^3
северного полюса катящегося шара есть сферическая дифг
фузия, управляемая оператором
О < ф = широта ^ я, 0^8 = долгота < 2я.
Решение. Так как fD3, G] = 0, то G
коммутирует с подгруппой SO(2) вращений вокруг северного
полюса е3. Поэтому ^3 есть диффузия на сфере
М = SO (3)/SO (2). Для завершения доказательства
достаточно вычислить результат действия G+
оператора G = -2-(D?~f-Df) Ha Ui рассматривая функцию
и^С°°{М) как элемент пространства C°°(G),
зависящий только от классов смежности g-SO(2).
4.9. Броуновское движение на симметрических
матрицах
Рассмотрим Rd [d = n(n + l)/2] как пространство
симметрических матриц порядка п с координатами xif
(i^j^d) и определим М с= Rd как подмногообразие
симметрических матриц с простыми собственными
значениями. На М действует группа О (п)
сопряжений: х-+о*хо. Пространство М/0(п) можно
отождествить с подмногообразием R диагональных матриц у
х) Здесь £3 sss (0, 0, 1); знак X означает векторное
произведение.

4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
с элементами Yi < • • • < Y« вдоль диагонали. Так
как стационарная группа точки х е М есть (конечная)
подгруппа D диагональных вращений (±1 вдоль
диагонали), то М можно отождествить с
многообразием /?ХО(п), рассматриваемым по модулю D,
используя диффеоморфизм (y, o)->o*yo. Группа G =
= 0{n)X(±l)X Rd действует как группа движений
на Rd. Она состоит из сопряжений (х->о*хо),
отражений (х-> — х) и переносов (х->х + у).
Единственный (с точностью до постоянного множителя)
эллиптический оператор на C°°{Rd), перестановочный с
действием группы G, — это
г—1 V °2 1 1 V JL-
2 £ дх% ^4 & дх**
Оператор G управляет следующим броуновским
движением j на Rd:
[ btl (/ = /),
b,-ft,W>-|^ (/<y)f
где bif (i^j) — независимые стандартные одномерные
броуновские движения. Несложные вычисления
показывают, что
*fe('2)-S('i)ed*ls(s): *<*i] =
= (2я/р/2 (я/р (rt"1)/2 exp [- sp (x)2/2/] Же,
где t = t2 — t{ > 0, а Лс — элемент объема П dxif.
Эта формула инвариантна относительно группы G.
Легко вывести, что набор собственных значений
матрицы $ представляет собой случайный процесс,
начинающийся заново в марковские моменты. Эта
диффузия управляется (вплоть до момента е)
оператором G+, индуцированным исходным оператором G:

4.9. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ НА СИММЕТРИЧ. МАТРИЦАХ 163
на C°°(R)1). Чтобы представить себе наглядную
картину, вообразите, что, когда j совершает броуновское
движение на М, набор его собственных значений
совершает стандартное d-мерное броуновское
движение на /?, испытывая отталкивание с потенциалом
U: e-™=Uiv!-yl)*)-
i>i
Учитывая это отталкивание, естественно считать, что
момент достижения е бесконечен, если j(0)gM. Это
сейчас и будет доказано.
Шаг 1
Rd = М[}дМ, где дМ — сумма {d — 1)
подмногообразий вида
М2 = [х: Yi = Y2 < • • • < Уп]>
(d — 2) подмногообразий вида М3 = [х\ =■= Y1Y2 ==t
= Y3< ••• < Y«] и т- Д- и> наконец, единственного
подмногообразия Мп=[х: Yi == Y2= • • • = Yn]- На этом
шаге мы докажем, что codimdA4=2.
Док аз ате льет во.
Коразмерность М2 есть в точности 1 плюс
размерность подгруппы группы 0(d), коммутирующей
с диагональными матрицами, принадлежащими М2.
Но эта подгруппа представляет собой
произведение 0(2) и диагональной подгруппы группы О (d — 2),
так что коразмерность М равна 2. Аналогичное
рассуждение показывает, что eodim Af3=2 + dim О (3)=5
и т. д.
Шаг 2
Процесс $ не может достигнуть
подмногообразия Z в Rd коразмерности 2 при t Ф 0.
1) В разд. 1.7 содержится прототип доказательства этого
факта.
2) См. Дайсон [I].

164 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Доказательство.
Определим
р(х)= J [sp (*- £/)2Р"+' do.
d
Z
Здесь do — произведение элемента объема
подмногообразия Z и положительной функции из С°° (Z),
такой, что р < оо вне Z. Когда х приближается к Z
снаружи, то функция р ограничена снизу следующей
(с точностью до положительного множителя)
величиной:
Г (sin Q)d~3 dQ А Г (sin8)d""3rf8 ^^
J [2(1 +6) (I -cos 9)+ d2]^2"1 ' J PO-cose)]^"1 °°'
где 6— расстояние от Z до x. Пусть теперь j(0)gZ,
а е —время пребывания процесса х, в Z. Если с < оо,
то lira^ep(j) = оо; в то же время для t<z
дифференциал dp(s) = gradp - dxj + Gp(ic)dt — его обычный
броуновский дифференциал, поскольку
G(sp(x-y)2rd,2+l = 0 (хфу).
Но это означает, что вплоть до момента е р($)
представляет собой одномерное броуновское движение,
происходящее в некотором новом времени *), и мы
приходим к противоречию подобно тому, как это
имело место в задаче 7 разд. 2.9 или в задаче 5
разд. 4.6.
Задача 1. Докажите при п = 2, что собственные
значения j образуют диффузию на j, управляемую
оператором G+, с помощью непосредственного
стохастического дифференцирования выражений
2
l) См. задачу 1 разд. 2.9.

4.9. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ НА СИММЕТРИЯ. МАТРИЦАХ 165
Решение. В результате дифференцирования
получим
dy\ = da{ — (Y2—Yi)""1 dt/2 и dy2 = da2 + (y2—Yi)""1 dt/2,
где
+ t[1-(-)/1^v]^ И"1'2).
Теперь с помощью задачи 2 разд. 2.9 докажите,
что а{ и а2 — независимые одномерные броуновские
движения.
Задача 2. Докажите, что при п = 2 определитель
Y1Y2 можно записать в виде (Ь2 — г2)/2, где Ъ —
одномерное броуновское движение, а г — независимый
двумерный бесселевский процесс.
Решение. Имеем:
^ (Y2 + Vi) _Аи
lu^L-^ + i^)".
где b\ и 62"~новые независимые одномерные
броуновские движения. Теперь с помощью п. (с) разд. 3.11
установите, что r = (y2 — У\)1У% —бесселевский
процесс, и отождествите определитель с (b2 — г2)/2.
Задача 3. Используя метод шага 2, докажите
следующий топологический факт: если из Rd (d^2)
удалить подмногообразие коразмерности ^ 2, то
оставшееся множество связно *).
Решение. Обозначим подмногообразие через Z.
Возьмем х, у е Rd — Z и заключим у в малый шар А,
не пересекающийся с Z. Поскольку 0 < Р[х + $(1)еЛ]
и так как (по аналогии с шагом 2) * + £(/): /^1
не может попасть в Z, то можно найти непрерывный
1) См. Хелгасон [1].

166 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
путь, соединяющий х и у в Rd — Z: надо просто
двигаться из л: в А по броуновской траектории
х + X (0: К' и потом соединить у и х + X (0 отрезком
прямой.
4.10. Броуновское движение с косым отражением
Красивым примером диффузии на многообразии
с краем является броуновское движение с косым
отражением на замкнутом единичном круге £
/^.Рассмотрим открытый единичный круг М: \ z | < 1 и
снабдим каждую точку 0^9^2я границы дМ
единичным вектором /, образующим угол — я^<р<я
с внешней нормалью, причем ехр(]/— 1 <р)*= С°°(дМ).
Предположим, что | Ф I =й= зх/2 всюду, кроме конечного
числа сингулярных точек, в которых q/ ф 0.
Обозначим это сингулярное множество через Z и назовем
сингулярную точку притягивающей, если q/ < 0, и
отталкивающей, если q/ > 0. Броуновское движение
с косым отражением вдоль I есть диффузия на М—Z,
управляемая оператором G = A/2 и подчиненная
условию:
ди ди , ди л •-» л/г v i\
-^- = cos ф -^ + sin ф -gg- = 0 на дМ — Z ').
Дынкин [2] и Малютов [1] провели очень полное
исследование этого движения. Общие сведения о
диффузионных процессах на многообразиях с краем
можно найти у Икеды [1], Мотоо [2] и Сато и Уэно [1].
Конструкция при фн==0 (стандартное
броуновское движение с отражением).
Применяя результаты разд. 2.8 и задачу 9 разд. 2.9,
легко получить, что плоское броуновское движение,
начинающееся в j(0) = r (O)exp(l/— 1 б) Ф 0, можно
записать в виде
&(0 = г(*)ехр
V- 1 ( в + | г"1 da)
]) д/дп означает дифференцирование по направлению
внешней нормали.

4.10. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ С КОСЫМ ОТРАЖЕНИЕМ 167
где г — бесселевский процесс, выходящий из точек г (0),
а а — независимое одномерное броуновское
движение *). Заменим процесс г бесселевским процессом
с отражением на (0, 1], управляемым оператором
Д+/2 = [d2/dr2-f- г~1д/дг]/2 и подчиненным условию
и~(1) = 0. Это движение может быть получено (как
в разд. 3.10) из одномерного броуновского
движения Ь решением уравнения dr = db-\- dt/2r — d\ для
траектории 0<г^1 и локального времени
f = lim (28)"1 mes (s < /: r (s) > 1 - e).
После такой модификации 5 из леммы Ито
следует, что для финитной функции /еС°°[(0, оо)ХМ]
0 = E[j(tti)\~] = E
Lo о
Теперь по лемме Вейля получается, что плотность р
распределения $(*) принадлежит С°°[(0, оо) X Щ и
является решением уравнения dp/dt = kp/2 внутри М.
Применяя формулу Грина к выражению
ОО -| ОО
о J о м
получаем
0 дМ L0
при допущении, что р принадлежит С°°[(0, оо)ХМ]2).
Но для / = /i (0 /2 (г) /з (в), где j{ и /2 — финитны,
/isC-p.oo), /2е=С~(0, 1], /2(1)=1. /Т(1) = 0 и
j3<=C°°{dM), получаем
ОО
0 дМ
1) Предположение § (0) ^ 0 сделано только затем, чтобы
дозволить нам употреблять это выражение для 5.
2) Можно распространить лемму Вейля и на этот случай.

168 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
поэтому др/дп = 0 на дМ, откуда и следует
совпадение процессов.
Конструкция при ф ф я/2.
Используя бесселевский процесс с отражением г,
его локальное время f и не зависящее от них
одномерное броуновское движение а, решим уравнение
/ t
Ф(0 = Ф(0)= \r-lda- JtgcpMOdf.
Это сделать нетрудно, так как (tg ф)' — ограниченная
функция. Положим $ = гехр(|^— 1 ф). Лемма Ито
показывает, что для финитной функции /е
е=С°°[(0, оо)ХЩ
0 = £[/(U)lo°°] =
.0 0 J
Отсюда заключаем, _что плотность р принадлежит
классу С°° [(0, оо) X М] и удовлетворяет уравнению
dp/dt = \p/2 внутри М9 в то время как на дМ
выполняется соотношение др/дп — д (tg фр) дв = 0 *), что
и требовалось.
Конструкция при наличии только
отталкивающих точек.
На рис. 5 изображен график коэффициента сноса
— tgф в окрестности отталкивающей сингулярной
точки (ф' > 0); этот снос отбрасывает процесс J от
точки. Так как стандартное броуновское движение
с отражением (ф = 0) не достигает заранее заданной
1) Мы воспользовались тем, что
■ /М =| \\dt jp.idO .
Lo J Lo dm J

4.10. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ С КОСЫМ ОТРАЖЕНИЕМ 169
точки границы
что j никогда
дМ *), то общий эффект сноса таков,
не достигает отталкивающей точки.
Конструкция при наличии притяги-
в ающих точек.
На рис. 6 изображен график коэффициента сноса
в окрестности притягивающей сингулярной точки
(q/ < 0); этот снос подталкивает процесс \ к точке.
ч
'+в
Рис. 5. Рис. 6.
Пусть Z+ — притягивающее сингулярное множество..
Нам предстоит доказать, что при j(0)eZ процесс
I = г ехр ("J/r— 1 ф) можно определить до некоторого
момента взрыва е так, что
(a) d$ = r~lda — tg<p(«)df (0^tфt)y
(b) 0 < е < со,
(c) g(e-)G=Z+f
(d) при / f e процесс 5 приближается к
сингулярной точке s(e—-) по касательной; это значит, что
при ^fe бесконечно много раз г(0 = 18(01=1» при
этом для всех таких t, близких к е, либо argj(/)<
< arg 5 (е —), либо arg * (/) > arg i (e —),
(e) плотность распределения процесса i(t) является
наименьшим фундаментальным решением уравнения
du/dt = \u/2 с граничным условием ди/д1 = 0 на
дМ — Z и с плюсом в точке & (0).
Доказательство проводится только в простейшем
случае: / — горизонтальное направление (q> = — 6).
1) В задаче 1 (конец раздела) читателю предлагается
проверить этот факт.

170 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Шаг 1
Множество Z содержит ровно две притягивающие
точки ± V—U и при j(0)eZ процесс $ можно без
труда определить до момента взрыва
е = limmin(/: | J — V^l I или |\ + V~-l I = Un)
так, чтобы выполнялось свойство (а).
Шаг 2
Согласно лемме Ито и результату задачи 1
разд. 2.9,
— d\ (4г + *В Ф -%) = у д" * + с (*) - rff sec ф |jf
если и е С°° (М — Z) и / < е. Здесь с — некоторое
одномерное броуновское движение, a t — внутреннее
время
J|grada(j)F.
0
Положим $ = s+]/"—1$, и пусть и = у. Поскольку
Aw = 0 и ди/д1 = ди/дх = 0 на <ЭМ, то $ является
(до момента взрыва) одномерным броуновским дви-
t
жением с внутренним временем | | grad и (g) I2 = t.
о
Так как процесс I) ограничен, то е < оо и свойство (Ь)
доказано*). Существование предела % (е—) также
очевидно. Тогда по определению момента е имеем
f){i—)=±1. Это обязательно влечет существование
j(e—); свойство (с) доказано.
Шаг 3
Рассмотрим углы аир, изображенные на_рис. 7,
и положим и = а — р. Очевидно, что и еС°° (М — Z),
J) См. задачу 7 разд. 2.9 или задачу 5 разд. 4,5.

4.10. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ С КОСЫМ ОТРАЖЕНИЕМ 171
\и = 0 внутри М и dujdl = ди/дх = 0 на дМ — Z,
так что процесс и ($) можно представить как
одномерное броуновское движение с внутренним временем
ос \
р
Рис. 7.
t
* (0 = ) I grad и (5) |2, определенным до момента с.
о
Так как функция и ограничена, то t(e—)<оо!),
Пт^еи($) существует, и, следовательно, при ^fe
процесс 5 входит в точку j(c-)gZ под
определенным углом. Но, как отмечалось выше,
стандартное броуновское движение с отражением (ф = 0) не
может достигнуть заранее фиксированной точки
границы дМ, так что г(/)=1 бесконечно много раз
при t \ е. Из рис. 7 немедленно следует, что если,
скажем, процесс 5 приближается к точке j/^— 1, то
а стремится к ±я/2. Этим доказано свойство (d).
Шаг 4-
Допуская, что р е С°°[(0, оо)ХМ]> и пользуясь
свойствами (a) —(d), свойство (е) легко доказать, как
и в несингулярном случае.
*) См. задачу 7 разд. 2.9 или задачу 5>разд. 4.5.

172 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задача 1. Докажите, что стандартное
броуновское движение с отражением не может достигнуть
заранее фиксированной точки на границе дМ.
Решение. Положим и = 2 In | z — 1 |. Легко
проверить, что Aw = 0 внутри М, а на границе ди/дп= 1.
Используя лемму Ито и задачу 1 разд. 2.9, находим,
как и раньше, что процесс и($ равен сумме
локального времени—f и некоторого одномерного
броуновского движения с надлежащим внутренним
временем. Таким образом, он не может стремиться
к —оо за конечное время; значит, процесс J не
достигает точки 1.
Задача 2. Докажите, что для броуновского
движения в круге с граничным условием ди/дх = 0,
выходящего из точки z = x -f Y—l у, выполнено
соотношение
Pibi^^V^ lima(s) = n/2] =
t * е
=4(l + </) + i(a+f).
Решение. Компонента f) представляет собой
одномерное броуновское движение вплоть до момента
взрыва, поэтому
y = Eft(t-)] = 2P\i(t-)=V=i]-l,
откуда
Ph(t-)=V~l] = jd+y)>
Положим и = а — х/2. Очевидно, Аи = 0 внутри М
и ди/dl = О на дМ — Z, так что
a-i = £[lima(j)] = £[limaft)] =
= -?-Q-f(4-(l+y)-Q).
где Q—-искомая вероятность. Осталось выразить из
этого равенства Q.
Задача 3. Докажите, что линейные
комбинации функций 1, у, а —*/2 и р — л:/2 исчерпывают

4.10. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ С КОСЫМ ОТРАЖЕНИЕМ 173
множество решений уравнения Ди = 0, подчиненных
условиям
(a) u<=C°°{M-Z)y
(b) ди/дх = 0 на дМ — Z,
(c) решение и имеет конечные пределы при
касательном стремлении точки z^M — Z к сингулярным
точкам.
Решение. Используя, как и раньше, лемму
Ито и задачу 1 разд. 2.9, докажите, что каждую
такую функцию и можно представить в виде и =

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Как правило: выражение положительный значит > О,
а неотрицательный ^0; аналогично понимаются выражения
отрицательный и неположительный. Подразумевается, что поля
событий замкнуты относительно счетных объединений и
пересечений. Слова с вероятностью 1 в большинстве случаев
опускаются. Сп (М) означает класс п раз непрерывно
дифференцируемых функций /, действующих из (открытого)
многообразия М в R1; никаких предположений об ограниченности
функций или их частных производных не делается. Функция /
называется финитной, если она обращается в 0 вне некоторого
компакта, лежащего в М.
а добавочное броуновское движение
Л алгебра Ли группы G (разд. 4.7)
А а-поле, содержащее соответствующее броуновское
поле В (разд. 1.3)
Ь основное броуновское движение (разд. 1.2)
В событие
В броуновское а-поле (разд. 1.3)
>с постоянная
id размерность, дифференциал
,Dn класс формальных тригонометрических сумм
,D (G) обертывающая алгебра для G (разд. 4.7)
!D 1-поле (векторное поле) (разд. 4.1),
обертывающий элемент (разд. 4.7)
>д частная производная, граничный оператор
Д приращение Ь {k2~k) — b {(k — 1) 2~~п) броуновского
движения на интервале (k2~~n> (k—1) 2~п) (разд. 2.5)
А оператор Лапласа d2jdx\ + ... + d2/dx^
£ неупреждающий броуновский функционал (разд. 2.2),
матрица коэффициентов при д2 в операторе G
vC момент достижения, момент взрыва (разд. 3.3, 4.3)

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
175
Е (f) математическое ожидание (среднее значение)
функции, связанное с Р (В)
f функция, вектор коэффициентов при д в
операторе G (разд. 3.1, 4.1)
f локальное время (разд. 3.9)
g коэффициент при д° в G (разд. 4.1)
G группа дробно-линейных преобразований (разд. 4.6),
группа Ли (разд. 4.7) _
G эллиптический оператор (разд. 3.1, 4.1)
G* оператор, сопряженный с G (разд. 4.2)
И полиномы Эрмита (разд. 2.7)
j финитная функция класса С°°, координатное
отображение (разд. 4.1)
/ якобиан dx'jdx (разд. 4.1)
In логарифм
ln2 In (In)
Ll пространство функций f с нормой ||f|li = |/|<°°
L2 пространство функций f с нормой II fib —
=(},„■)"■<»
mes мера Лебега
М гладкое многообразие (разд. 4.1)
п целое число
о ортогональное преобразование (поворот)
О (d) ортогональная группа
р фундаментальное решение ди/dt = G*u (разд. 3.1, 4.1)
Р (В) вероятность события J5, обычно относительно вине-
ровской меры (разд. 1.2)
Q эллиптический оператор на торе (разд. 4.2)
г бесселевский процесс (разд. 1.7)
R риманова поверхность (разд. 4.6)
Rd d-мерное эвклидово пространство
Rn ® Rm пространство линейных отображений Rm в Rn
SO (d) связная компонента ортогональной группы (det о ==»
= + 1) (разд. 4.7)
sp след
/ время
t момент остановки (марковский момент) (разд. 1.3),
внутреннее время (часы) (разд. 2.5)
Т тор [0,2я]* (разд. 4.2)

*j\ *L^»^jS»t? *- -
$&&**■
176
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
и решение уравнения du/dt==-Qu
U карта на многообразии (разд. 4.1)
w точка накрывающей поверхности (разд. 4.6)
ft) накрывающее броуновское движение
х локальные координаты на карте (разд. 4.1)
I стохастический интеграл (разд. 2.6), диффузия,
выраженная в локальных координатах (разд. 4.3)
г точка многообразия М
5 мартингал (разд. 1.4), диффузия на многообразии
(разд. 4.3), броуновское движение на комплексной
плоскости (разд. 4.6)
Z1 целые числа 0, ±1, ...
Zd целочисленная решетка в Rd
V максимум
Л минимум
скалярное произведение в Rd
X знак умножения, векторное произведение в Rd
® тензорное произведение
* сопряжение, транспонирование
| | норма в Rd, норма линейного оператора в Rd
fA (У - хГl If (у) - / (*)] {х¥°у),Г (х) (х = у) (разд.
3.5)
[fib J |f | всюду, кроме разд. 4.2
ИЛЬ ( J If I2) 2 всюду, кроме разд. 4.2
llflloo sup | f |
[ ] целая часть
П пересечение
U объединение
а включение множеств
е включение точек
f возрастая сходится
ф убывая сходится
оо бесконечность, точка, задающая компактификацию
некомпактного многообразия
б. ч. бесконечно часто
п. н. почти наверное

Список литературы !)
Список обозначений
AM Annals of Mathematics
BSMSP Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and
Probability
ДАН Доклады Академии наук СССР
IJM Illinois Journal of Mathematics
JMP Journal Mathematics and Physics
MA Mathematische Annalen
MK Memoires of the College of Science and Engineering
Kyoto University
MZ Mathematische Zeitschrift
PAMS Proceedings of American Mathematical Society
TAMS Transactions of the American Mathematical Society
ТВ Теория вероятностей и ее применения
УМН Успехи математических наук
ZW Zeitschrift fur Wahrscheinlichkeits
Акутович, Винер (Akutowicz E., Winer N.)
[1] The definition and ergodic properties of the stochastic adjoint
of a unitary transformation, Rend. Circ. Mat. Palermo, 6
1 (1957), 1—13.
Бернштейн С. Н.
[1] Об одной геометрической теореме и ее приложениях к
уравнениям в частных производных эллиптического типа, УМН,
8 (1941), 75—81.
[2] Принципы теории стохастических дифференциальных
уравнений, Труды Физ.-мат. ин-та им. Стеклова, 5 (1935),
95—124.
[3] Equations differentielles stochastiques, Actualites Sci. Ind.t
738 (1938), 5—32.
l) Более полную библиографию русских статей см. у
Скорохода [2] (или Гихмана и Скорохода [1]).

178
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Б е р с Л., Джон Ф., Ш е х т е р М.
[1] Уравнения с частными производными, изд-во «Мир», М,
1966.
Блюменталь (Blumenthal R.)
[1] An extended Markov property, TAMS, 85 (1957), 52—72.
Б у р б а к и (В о u г b a k i N.)
[1] Группы и алгебры Ли, изд-во «Мир», М., 1972.
В е й л ь (W е у 1 Н.)
[1] Die Idee der Riemannschen Flache, Springer, Berlin, 1955.
Вентцель А. Д., Фрейдлин М. И.1)
[1*] О малых возмущениях динамических систем, УМН, 25
(1971), вып. 1 (151), 3—55.
Винер (W i e пег N.)
[1] Differential space, /. Math, and Phys., 2 (1923), 132—174.
[2] Generalized harmonic analysis, Acta Math., 55 (1930), 117-^
258.
[3] The homogeneous chaos, Amer. J. Math., 60 (1938), 897—936.
[4] Extrapolation, interpolation, and smoothing of stationary time
series with engineering applications, MIT Press, 1949.
Винер, Зигмунд, Пэли (Wiener N., Zygmund A.,
Pa ley R. E. A. C.)
[1] Note on random functions, Ml, 37 (1958), 647—668.
Ганголли (GangolliR.)
[1] On the construction of certain diffusions on a differentiable
manifold, ZW, 2 (1964), 209—419.
Г е л ь ф а н д И. М., Ш а п и р о 3. Я.
[1] Представления группы вращений трехмерного пространства
и их применения, УМН, 7 (1952), 3—117.
Гирсанов И. В.
[1] О преобразовании одного класса случайных процессов
с помощью абсолютно непрерывной замены меры, ТВ, 5
(1960), 314—330.
[2] Пример неединственности решения стохастического
интегрального уравнения К. Ито, ТВ, 7 (1962), 336—342.
Г и х м а н И. И.
[1] К теории дифференциальных уравнений случайных
процессов, Укр. матем. журн., 2 (1950), 45—69; 3 (1951), 317—339.
Г и х м а н И. И., С к о р о х о д А. В.
[1*] Стохастические дифференциальные уравнения, изд-во «На-
укова думка», Киев, 1968.
[2*] Введение в теорию случайных процессов, изд-во «Наука»,
М., 1965.
1) Звездочкой отмечены работы, добавленные редактором
перевода. — Прим. ред.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 179
Г о р м а н (Gorman С. D.)
[1] Brownian motion of rotation, TAMS, 94 (1960), 103—117.
Д а й с он (D у s on F. J.)
[1] A Brownian motion model for the eigenvalues of a random
matrix, JMP, 3 (1962), 1191—1198.
Дворецкий, Эрдеш, Какутани (Dvoretsky A., Er-
dos P., Kaku tani S.)
[1] Nonincreasing everywhere of the Brownian motion process,
4-th BSMSP, 2, (1961), 103—116.
ДубДж.
[1] Вероятностные процессы, ИЛ, М., 1956.
Д ы н к и н Е. Б.
[1] Аддитивные функционалы от винеровского процесса,
определяемые стохастическими интегралами, ТВ, 5 (1960),
441—452.
[2] Граница Мартина и неотрицательные решения задачи с
косой производной, УМН, 19 (1964), 3—50.
[3] Марковские процессы, Физматгиз, М., 1963.
Д ы н к и н Е. Б., Юшкевич А. А.
[1] Строго марковские процессы, ТВ, 1 (1956), 149—155.
Зейферт Г., Трельфалль В.
[1] Топология, ГОНТИ, М. — Л., 1938.
Зингер (Singer I.)
[1] Lectures on differential geometry (notes written and
expanded by E. M. Brown), MIT Press., Cambridge, Mass. 1962.
Икеда (I k e d a N.)
[1] On the construction of two-dimensional diffusion processes
satisfying Wentzell's boundary conditions and its
application to boundary value problems, М/С, 33 (1961), 367—427.
Иосида (Yosida K.)
[1] Brownian motion in a homogeneous Riemannian space,
Pacific J. Math., 2 (1952), 263—296.
[2] Функциональный анализ, изд-во «Мир», М., 1967.
Ито (По К.)
[1] Stochastic integral, Proc. Imperial Acad., Tokyo, 20 (1944),
519-524.
[2] On a stochastic intergal equation, Proc. Japan Acad., 22
(1946), 32—35.
[3] On stochastic differential equations on a differentiable
manifold 1, Nagoya Math. /., 1 (1950), 35—47.
[4] Brownian motion on a Lie group, Proc. Japan Ar.ad., 26
(1950), 4—10.
[5] Multiple Wiener integral, /. Math. Soc. Japan, 3 (1951),
157—169.
[6] On stochastic differential equations, Mem. Amer. Math. Soc,
No 4 (1961).
[7] Об одной формуле, касающейся стохастических дифферент
циалов, сб. Математика, 3, № 5 (1969), 131—141.

180 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[8] On stochastic differential equations on a differentiable ma- '•
nifold 2, М/С, 28 (1953), 82—85.
[9] Lectures on stochastic processes (notes by К. М. Rao), Tata
Institute for Fundamental Research, Bombay, 1961.
[10] The Brownian motion and tensor fields on Riemannian
manifold, Proc. Intern. Congr. Math., Stockholm, 1963, 536—539.
Ито К., Мак к и н Г.
[I] Диффузионные процессы и их траектории, «Мир», 1968.
Камерон, Мартин (Cameron R. H., Martin W. Т.)
[1] Transformation of Wiener integrals under translations AM
45 (1944), 386—396.
Кунита X., ВатанабеС.
[1*] О мартингалах, интегрируемых с квадратом, сб.
Математика, 15, № 1 (1971), 66—102.
Курант Р., Гильберт Д.
[1] Методы математической физики, т. 1, ГИТЛ, М., 1951.
Курант Р., ГурвицА. ^
[1] Теория функций, изд-во «Наука», М., 1968.
Ламперти (LampertiJ.)
[1] A simple construction of certain diffusion processes, /. Math, i
Kyoto, 4 (1964), 161—170. i
Л ев и (Levy P.) :;
[1] Theorie de l'addition des variables aleatoires, Gauthier-Vil-
lars, Paris, 1937. j
[2] Processus stochastiques et mouvement brownien, Gauthier- j
Villars, Paris, 1948. *
i
Л и п ц е р Р. С, Ш и р я е в А. Н.
[1*] Нелинейная фильтрация марковских диффузионных
процессов, Труды МИ АН, 1968, 135—180.
Ленер (LehnerJ.)
[1] Discontinuous groups and automorphic functions, Am. Math.
Soc, Providence, Rhode Island, 1964.
M а к к и н (М с К е a n H. P., Jr.)
[1] The Bessel motion and a singular integral equation, М/С, 33 /
(1960), 317—322. i
[2] Brownian Motions on the 3-dimensional rotation group, J
М/С, 33 (1960), 25—38. 9
[3] A Holder condition for Brownian local time, /. Math. Kyoto,!
1 (1962), 196—201. fi
[4] A Skorohod's integral equation for a reflecting barrier dif- У
fusion, /. Math. Kyoto, 3 (1963), 86-88. 1
МалютовМ. Б.
[1] Броуновское движение с отражением и задача с
наклонной производной, ДАН, 156 (1964), 1285—1287.
I

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
181
Мейер (Meyer Р. А.)
[1*] Integrates stochastiques, Seminaire de probabilites 1,
Springer, Berlin —Heidelberg —New York (1967), 72—162.
M о т о о (Mo to о М.)
[1] Diffusion processes corresponding to xl^Zd<l\dx\ + Ilbi(x)d/dxi,
Ann. Inst. Statist Math., 12 (I960), 37—61.
[2] Application of additive Junctionals to the boundary problem
of markov processes, 5th BSMSP, 2, Part 2 (1967), 75—110.
Нельсон (Nelson E.)
[1] The adjoint Markoff process, Duke Math. J., 25 (1958), 671—690.
Ниренберг (NirenbergL.)
[1] On elliptic partial differential equations, Ann. Scuola Norm.
Sup. Pisa, 13 (1959), 115—162.
Перрен (PerrinF.)
[1] Etude mathematique du mouvement Brownien de rotation,
Ann. Ecole Norm. Sup., 45 (1928), 1—51.
П оттер (Р otter J.)
[1] Some statistical properties of the motion of an oscillator
driven by a white noise, MIT, 1962 (не опубл.).
Рей (Ray D.)
[1] Sojourn times of a diffusion process, IJM, 7 (1963), 615—630.
С а т о, У э н о (S a t о К., U e n о Т.)
[1] Multidimensional diffusion and the Markov process on the
boundary, /. Math. Kyoto, 4 (1964), 529—605.
Скороход А. В.
J~ [1] Стохастические уравнения для процессов диффузии с гра-
J ницами, ТВ, 6 (1961), 267—298; 7 (1962), 5—25.
I [2] Исследования по теории случайных процессов, Изд-во
{ Киевского ун-та, Киев, 1961.
[3*] О локальном строении непрерывных марковских процессов,
ТВ, 11 (1966), 381—423.
[4*] Однородные марковские процессы без разрывов второго
рода, ТВ, 12 (1967), 258—278.
Слуцкий Е. Е.
[1] Qualche proposizione relativa alia teoria delle funzioni alea-
torie, Giorn. 1st. Ital. Attuari, 8 (1937), 183—199.
Струк, В ара дан (St rook D. W., Varadhan S. R. S.)
[1*] Diffusion processes with continuous coefficients, 1, Cotnm.
Pure Appl. Math., 22 (1969), 345—400.
[2*] Diffusion processes with boundary conditions, Comm. Pure
Appl Math., 24 (1971), 147—225.
Танака (Tanaka H.)
[1] Note on continuous additive functionals of the 1-dimensional
Brownian path, ZW, 1 (1963), 251—257.
i

182 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Тесельский(Сле81е15к12.) Ж
[1] Holder condition for realizations of Gaussian processes, Щ
TAMS, 99 (1961), 403—413. W
Троттер (Trotter H.) К
[1] A property of Brownian motion path, IJM, 2 (1958), 425—433. f
Уленбек, Ванг (Uhlenbeck G. E., Wan g M. C.) -
[1] On the theory of the Brownian motion 2, Rev. Mod. Phys.,
17 (1945), 323—342. 'J
Уленбек, Орнштейн (UhlenbeckG. E., OrnsteinL. S.) j*
[1] On the theory of the Brownian motion 1, Phys. Rev., 36 >
(1930), 823—841. |
Феллер (Feller W.) :t
[1] The parabolic differential equations and the associated
semigroups of transformations, AM, 55 (1952), 468—519.
Ф р е й д л и н М. И. Г
[1*] Марковские процессы и дифференциальные уравнения,
в сб. «Итоги науки. Теория вероятностей, математическая -
статистика. Теоретическая кибернетика», ВИНИТИ, 1967.
Фуджисака, Каллианпур, Кунита (Fuj'isaki M.,
К a Mian pur G., Ku nit H.)
[1*] Stochastic differential equations for the non linear
filtering problem, Preprint.
Хант (Hunt G.)
[1] Some theorems concerning Brownian motion, TAMS, 81
(1956), 294—319.
Хасьминский Р. 3.
[1] Эргодические свойства возвратных диффузионных
процессов и стабилизация решений задачи Коши для
параболических уравнений, ТВ, 5 (1960), 196—214.
Хелгасон С.
[1] Дифференциальная геометрия и симметрические
пространства, изд-во «Мир», М., 1964.
Хида (Hi da Т.)
[1] Canonical representations of Gaussian processes and their •
applications, М/С, 33 (1960), 109—155.
X инчин А. Я.
[1] Асимптотические законы теории вероятностей, ОНТИ, 1936.
Хопф (Hopf E.)
[1] Bermerkungen zu einem Satze von S. Bernstein aus der
elliptischen Differentialgleichungen, Ml, 29 (1929), 744—745.
[2] On S. Bernstein's theorem on surfaces z(x,y) of nonpositive \
curvature, PAMS, 1 (1950), 80—85. I
Чандрасекар С.
[1] Стохастические процессы в физике и астрономии, ИЛ, 1947.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода , 5
Предисловие 9
1. Броуновское движение 11
Введение 11
1.1. Гауссовские семейства 13
1.2. Построение броуновского движения 15
1.3. Простейшие свойства броуновского движения ... 19
1.4. Неравенство для мартингалов 23
1.5. Закон повторного логарифма 24
1.6. Модуль Леви 26
1.7. Многомерное броуновское движение 29
2. Стохастические интегралы и дифференциалы 33
2.1. Винеровское определение стохастического интеграла 33
2.2. Определение стохастического интеграла Ито .... 34
2.3. Простейшие свойства стохастического интеграла . . 39
2.4. Вычисление одного стохастического интеграла ... 43
2.5. Замена времени 45
2.6. Стохастические дифференциалы и лемма Ито .... 49
2.7. Решение простейшего стохастического
дифференциального уравнения 54
2.8. Стохастические дифференциалы при замене времени 60
2.9. Стохастические интегралы и дифференциалы для
многомерного броуновского движения 63
3. Стохастические интегральные уравнения (одномерный
случай) 71
3.1. Диффузия 71
3.2. Решение уравнения d? = e (?) db + f (?) dt для
случая коэффициентов ограниченного наклона 73
3.3. Решение уравнения d? = е (?) db + / (?) dt для общих
коэффициентов класса С1 (R1) 76
3.4. Метод Ламперти 82
3.5. Прямое уравнение 84
3.6. Феллеровский критерий взрыва 88
3.7. Формула Камерона — Мартина 91
3.8. Броуновское локальное время 93
3.9. Отражающие экраны 96

184
ОГЛАВЛЕНИЕ
3.10. Некоторые сингулярные уравнения 103
3.10а. Пример Лордана 104
З.ЮЬ. Пример Гирсанова 106
3.10с. Бесселевский процесс 108
4. Стохастические интегральные уравнения (многомерный
случай) ПО
4.1. Многообразия и эллиптические операторы ПО
4.2. Лемма Вейля 113
4.3. Диффузионные процессы на многообразии 119
4.4. Взрывы и гармонические функции 130
4.5. Критерий взрывов Хасьминского 135
4.6. Накрывающие броуновские движения 142
4.7. Броуновское движение на группе Ли 150
4.8. Вложение 154
4.9. Броуновское движение на симметрических матрицах 161
4.10. Броуновское движение с косым отражением .... 166
Указатель обозначений 174
Список литературы 177
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и другие просим
присылать по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2,
издательство «Мир».