/
Text
Г.П. КЛИМОВ
СТОХАСТИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ
ОБСЛУЖИВАНИЯ
БИБЛИОТЕКА ПРИКЛАДНОГО АНАЛИЗА
И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
Г. П. КЛИМОВ
СТОХАСТИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ
ОБСЛУЖИВАНИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОС)КВ А 1966
518
К 49
УДК 519.2
Библиотека выпускается под общим руководством
Кафедры вычислительной математики
Московского госуда рственного у ниве рситета
Заведующий кафедрой
чл.-корр. АН СССР А. Н. Тихонов
2-2-4
119-66
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .......................................... 6
Обозначения .......................................... 8
Глава 1. Теория входящего потока................... 9
§ 1. Определение потока событий............... 9
§ 2. Пуассоновский поток.................... 10
§ 3. Метод введения дополнительного события .... 13
§ 4. Рекуррентный поток с запаздыванием..... 14
§ 5. Квазирекуррентный поток с запаздыванием ... 18
§ 6. Продолжение............................ 22
§ 7. Просеивание потока..................... 27
§ 8. Наложение потоков...................... 36
§ 9. Поток Бернулли......................... 41
§ 10. Стационарность и ординарность потока. Строение
стационарного потока с ограниченным последей-
ствием ......................................... 42
§ 11. Время обслуживания......................... 53
Глава II. Система обслуживания одним прибором . . 57
§ 12. Определение переходных вероятностей для си-
стемы обслуживания с ограниченной очередью;
пуассоновский поток, экспоненциальное обслужи-
вание .......................................... 57
§ 13. Период занятости........................... 62
§ 14. Число вызовов, обслуженных в период занятости 82
§ 15. Обслуживание ненадежным прибором с ожида-
нием; пуассоновский поток, произвольное время
обслуживания, произвольное время жизни прибора
и его восстановления как в свободном, так и за-
нятом состояниях................................ 85
§ 16. Обслуживание ненадежным прибором с ограничен-
ной очередью....................................102
§ 17. Обслуживание с преимуществом (произвольное
время обслуживания для вызовов каждого прио-
ритета) ........................................104
§ 18. Определение возможного времени ожидания ... 118
§ 19. Рекуррентный поток, экспоненциальное время об-
служивания ..............*......................120
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 20. Рекуррентный поток, произвольное время обслу-
живания 124
§ 21. Примеры............................................129
§ 22. Инверсионный порядок обслуживания ненадеж-
ным прибором 143
Глава III. Система обслуживания многими приборами 149
§ 23. Определение переходных вероятностей; бесконеч-
ное число приборов, пуассоновский поток, произ-
вольное время обслуживания.........................149
§ 24. Неординарный пуассоновский поток, бесконечное
число приборов, произвольное обслуживание . . . 153
§ 25. Определение переходных вероятностей; бесконеч-
ное число приборов, рекуррентный поток, экспо-
ненциальное обслуживание...........................156
§ 26. Рекуррентный поток, произвольное обслуживание,
бесконечное число приборов.........................160
§ 27. Задача Пальма; пуассоновский поток, экспонен-
циальное обслуживание..............................162
§ 28. Задача Пальма; рекуррентный поток, экспонен-
циальное обслуживание..............................165
§ 29. Обслуживание дублирующими приборами .... 170
§ 30. Рекуррентный поток, экспоненциальное обслужи-
вание (разное для разных приборов); прямой и
инверсионный порядки обслуживания..................173
§ 31. Рекуррентный поток, постоянное время обслужи-
вания •............................................176
§ 32. Рекуррентный поток, произвольное время обслу-
живания на каждом приборе; распределение вы-
зовов, независимое от состояния приборов .... 177
, § 33. Обслуживание с преимуществом (рекуррентный
поток вызовов, экспоненциальное время обслужи-
вания) .............................................184
§ 34. Заключение...................................190
Глава IV. Решение задач массового обслуживания
и надежности методом статистических
испытаний...........................................192
§ 35. Введение..................................192
§ 36. Направленный граф. Раскрашивание направлен-
ного графа......................................199
§ 37. Метод статистических испытаний применительно
к одному классу систем массового обслуживания 201
Дополнения..........................................208
§ 38. Интеграл Лебега — Стилтьеса...............208
§ 39. Преобразование Лапласа и Лапласа — Стилтьеса 209
§ 40. Вероятностный смысл преобразования Лапласа —
Стилтьеса.......................................210
§ 41. Тауберовы теоремы.........................211
К
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 42. Метод Винера — Хопфа......................213
§ 43. Тождество Вальда..........................215
§ 44. Вероятностный процесс. Процесс восстановления.
Регенерирующий процесс. Предельная теорема для
? регенерирующих процессов..................216
§ 45. Предельная теорема для цепи Маркова.......227
, § 46. Комбинаторная формула Спитцера............230
§ 47. Решение линейной системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений с матрицей Якоби .... 231
§ 48. Многочлены Пуассона — Шарлье..............235
§ 49. Формула обращения Лагранжа................236
§ 50. Дискретный аналог уравнения в свертках .... 238
Литература..........................................242
ПРЕДИСЛОВИЕ
Стохастические системы обслуживания — важный раз-
дел исследования операций, по-другому именуемый тео-
рией массового обслуживания или теорией очередей. Эта
теория используется там, где имеются вызовы, клиенты,
сигналы, изделия, требования, имеющие массовый харак-
тер, и где эти вызовы, клиенты и т. д. принимаются,
обслуживаются, обрабатываются, передаются и т. д.
В связи с этим многие задачи техники и естествознания
могут быть поставлены в терминах теории очередей.
В основу этой книги положены лекции, прочитанные
автором в 1963—1965 гг. на механико-математическом
факультете Московского университета. Представление
о содержании книги дает подробное оглавление. Отмечу
лишь, что в одной из глав излагается метод статистиче-
ских испытаний на электронных вычислительных машинах
применительно к задачам теории массового обслуживания.
Один из основных методов, используемых на протяжении
почти всей книги, есть метод введения дополнительного
события (см. § 3), позволяющий многим промежуточным
и окончательным формулам придать ясный вероятностный
смысл. Именно этот метод в основном и определил круг
вопросов, изученных в этой книге. Некоторые дополни-
тельные сведения из анализа и теории вероятностей изло-
жены в разделе «Дополнения».
§ 37 написан автором совместно с В. И. Куриловым.
Результат § 50 (используемый в § 10) получен Л. С. Фран-
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
ком. Им же и написан этот параграф. Автор выражает
искреннюю признательность Б. В. Гнеденко, внимательно
прочитавшему первый вариант рукописи и указавшему
на многие промахи; И. С. Березину за постоянную по-
мощь, которая дала возможность написать эту книгу;
Л. А. Люстернику за интересные и полезные беседы
по вопросам моделирования производственных процессов.
Автор благодарит также В. И. Курилова за полезные
замечания, сделанные при редактировании книги.
I. Климов
ОБОЗНАЧЕНИЯ
ф. р. — функция распределения;
сл. в. ~ случайная величина;
М — символ математического ожидания;
t
A(t)* B(f)= J*A (^—x) dB (x) — стилтьесовская свертка;
о
pn(x, а)- многочлен Пуассона—Шарлье n-го порядка
(см. § 48);х
яп(х) = Яп(х, а)=апрп(—х, а).
Функции, к которым применяется преобразование
Лапласа — Стилтьеса, обозначаются прописными латин-
скими буквами; преобразование Лапласа — Стилтьеса —
соответствующими строчными латинскими или греческими
буквами, например
a(s) = J e~st dA (f), ak (s) = f e~st dWk (t);
0 0
моменты обозначаются соответствующими малыми латин-
скими или греческими буквами, снабженными внизу ин-
дексом (указывающим порядок момента), например
a2= ft2dA(t), = ал = (—1)*<х<*>(0);
О о
х | а означает: х стремится к а, оставаясь ббльшим а;
х | а означает: х стремится к а, оставаясь меньшим а.
ГЛАВА I
ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
§ 1. Определение потока событий
Рассмотрим поток однородных событий. Вместо собы-
тий мы иногда будем говорить о вызовах, требованиях,
клиентах, изделиях и т. д.
Пусть /2» • • • — моменты наступления событий,
tk+\^tk, k^\. Положим
zk — tk ^k-ъ & 1» /0 — 0.
Говорят, что задан поток однородных событий (вхо-
дящий поток требований, поток вызовов и т. п.), если
для каждого п 1 задано распределение случайного
вектора
(*i. Ч....zn).
Если случайные величины zv z2> .. . независимы в со-
вокупности, то соответствующий поток называется потоком
с ограниченным последействием. Для задания такого
потока достаточно задать набор функций
Л(0 = Р{^<3}. ^>1-
Поток с ограниченным последействием, для которого
д2(/) = 43(/)== ... = А (/), назовем рекуррентным
потоком с запаздыванием, определяемым функциями
Ax(t) и А(/). ;
В случае Л1(/) = A(t) будем говорить просто о ре*
кур рентном потоке.
Рекуррентный поток, для которого A (t) — 1 — e~at,
где а — положительная константа, называется пуассонов-
ским*, при этом а называют параметром пуассонов*
ского потока,
10
ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
[ГЛ. I
§ 2. Пуассоновский поток
Пусть задан пуассоновский поток с параметром а,
т. е. такой рекуррентный поток, для которого А (/) —
= 1 — e~at, где Л(/)—ф. р. длины промежутка между
любыми двумя последовательными моментами поступления
вызовов; а — положительная константа. Обозначим через
Рп(/), вероятность поступления ровно п вызовов
в промежутке [0, t). Покажем, что
Pn(t) = -^-e-“. (1)
Доказательство проведем по индукции. При /г —0
Л) (0=1 — A(f) = e~ai и соотношение (1) в этом случае
выполнено. Пусть теперь формула (1) верна для некото-
рого Тогда в силу рекуррентности пуассоновского
потока
t
Pn+dt) = fPn(.t-x)dA (х),
о
а в силу предположения индукции
Pn+i(0= / (< е-а(1 —е~ах) = e~at$¥bi
о
что совпадает с (1), если п заменить на п+1. Фор-
мула (1), таким образом, доказана.
Более того, если обозначить через Pn(t& t) вероятность
поступления ровно п вызовов в промежутке (tQ, tQ + f), то
P»(t0> = = (2)
Мы видим, что случайное число вызовов, поступивших
в промежутке длительности t, имеет пуассоновское рас-
пределение с параметром at. Для доказательства (2) нам
потребуется следующее утверждение, выражающее основ-
ное свойство экспоненциального распределения. Мы сфор-'
мулируем его в виде леммы, так как оно нам потребуется
з дальнейшем.
§21
ЙУАССОНОЙСкИЙ Поток
11
Лемма. Пусть сл. в. £ имеет экспоненциальное
распределение, т. е.
( 1 - e~ai, f>0;
PU<*}=| о, /<0; fl>0
Тогда для любого числа т^О
(3)
Доказательство. При t0 формула (3) очевидна.
Пусть t > 0; тогда
Но
PU-t<^; 1>т} = Р(т<|</ + т} =
— 1 е-а«+т)_ (J _ в-ат)_ е-ах (j _ e-aty
Кроме того.
Р U > *} = «'ах-
Таким образом, из (4) получаем
е-ах (1 — e~at) = е~ахР {£ — т < 111 > т},
откуда
Р{|--т<7||>т} = 1 —г-*',
что и требовалось.
Применительно к пуассоновскому потоку доказанная
лемма означает, что время ожидания поступления нового
вызова не зависит от того, сколько прошло времени после
последнего поступления вызова. Этот факт выражает
свойство, которое носит название отсутствия последей-
ствия. Если обозначить через время'ожидания посту-
пления первого после момента Т вызова, то отсюда следует
Р{&т<И = 1
Теперь мы вправе доказывать формулу (2) так же,
как и формулу (1).
Выясним смысл параметра а, определяющего пуас-
соновский поток. Для этого найдем среднюю длину
12
ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
(ГЛ. I
промежутка между двумя последовательными моментами
поступления вызовов. Она равна
оо
J td(l — e-az)= а~г;
О
таким образом, а есть среднее число вызовов, поступаю-
щих в единицу времени, и называется интенсивностью
(или средней скоростью) входящего потока.
Найдем еще математическое ожидание случайного
числа v(/) вызовов, поступающих за время длительности t.
Оно равно
Mv (0 = 2 kPk (0 = V k e~at = at.
Л>0 Z?>1
Таким образом, среднее число вызовов, поступивших
за время длительности равно
Mv (/) = at
и, как мы видим, линейно по t.
Задача 1. Обозначим через v (I) случайное число вызовов,
поступивших в промежутке [0, t). Тогда для пуассоновского
потока имеем
P{v(0 = *|v(7') = n, «Г. (f-f t1—г)"*'
Задача 2. Рассмотрим следующий поток вызовов. Пред-
полагаем, что вызовы могут поступать лишь в «вызывающие»
моменты, образующие пуассоновский поток с параметром а.
В каждый «вызывающий» момент с вероятностью поступает
вызов при условии, что до этого момента уже поступило k вы-
зовов, Л >0. Обозначим через Рп (t), вероятность посту-
пления ровно п вызовов в промежутке [0, t). Положим
оо
ля(«) = f e~stdP„(f), п>о.
о
Показать, что
Яо(8)~ a60 + s ’
„ аЬ« аЬ> аЬ”___________________________s
n+1 ' ' ab0-[-s abt-[-s abn-[-s abn^-^-s'
1
§ 31 МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО СОБЫТИЯ 1J
§ 3. Метод введения дополнительного события
При решении задач массового обслуживания часто
приходится пользоваться преобразованием Лапласа —
Стилтьеса
J e~st dA (/)
О
некоторой функции распределения А (/) неотрицательной
случайной величины или производящими функциями вида
или =
й>0 £>0 £>0
Вид этих функций наводит на мысль, что им можно при-
дать некоторый вероятностный смысл.
Пример1. Рассмотрим поток вызовов, поступаю-
1 щих в некоторую систему обслуживания, и пусть число z
! такое, что Раскрасим поступающие вызовы
! следующим образом. Каждый вызов объявляется либо кра-
сным, либо синим, причем произвольный вызов объявляется
i красным с вероятностью z независимо от того, какого
’ цвета остальные вызовы. Если теперь pk есть вероятность
J поступления k вызовов в некотором интервале времени,
' то 2 Pkzk есть вероятность поступления (в этом интер-
£ *>о
вале) разве лишь красных вызовов (или вероятность того,
। что в этом интервале синие вызовы не поступят). Такое
। толкование производящих функций, по-видимому, восходит
। к работам [37], [39]. В работе [37] вместо «синий» гово-
j рилось о «катастрофе», а в работе [39] — «событии £*».
• П р и м е р 2. Пусть длительность «жизни» некоторого
j элемента имеет ф. р. A (t).. Возьмем число $> 0 и пред-
1 положим, что. происходят некоторые «катастрофы»,, мо-
! менты наступления которых образуют пуассоновский поток
с параметром 5. Тогда чисдо_____
! -
; ( J e~st dA (О )
t ---------
t есть вероятность того, что за время «жизни» элемента
не произойдет никакая «катастрофа».
14
ТЕОРЙЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
[ГЛ. 1
Мы видим, что вводя некоторое дополнительное со-
бытие («катастрофу» или событие, заключающееся в том,
что вызов оказался синим), мы тем самым придаем вероят-
ностный смысл преобразованию Лапласа — Стилтьеса и про-
изводящей функции. Если теперь подсчитать вероятность
интересующего нас события с двух точек зрения, исполь-
зующих введенное событие — «катастрофу», и заметить,
что введенное событие произвольно, т. е. произвольно z,
О z 1, или s > 0, то получим соотношение, справед-
ливое для всех z, или s > 0. Используя там,
где это необходимо, принцип аналитического продолжения,
получаем, что выведенное соотношение справедливо для
более широкой области изменения z или $. В этом и со-
стоит сущность метода введения дополнительного события.
Отметим, что привлекательной стороной этого метода
является еще то, что при этом действия над ф. р. заме-
няются действиями над их преобразованиями Лапласа —
Стилтьеса, а заодно исчезает необходимость проверки за-
конности перехода к преобразованию Лапласа — Стилтьеса
(что приходится делать, если соотношения содержат, на-
пример, производные от некоторых ф. р.; см. § 18).
Разбор материала, использующего этот метод (что на-
чинается уже со следующего параграфа), дает более ясное
представление о нем.
§ 4. Рекуррентный поток с запаздыванием
Пусть задан рекуррентный поток с запаздыванием,
определяемый функциями (t) и А (£); Ах (0) < 1, А (0) < 1.
Цель этого параграфа — указать способ, позволяющий
находить вероятности Pn(t) поступления ровно п вызовов
в промежутке [0, t).
Пусть снова t2, • * • — моменты .поступления вызовов;
zk = tk— /о = О. Положим
§ 4]
РЕКУРРЕНТНЫЙ ПОТОК С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
15
и zx.....zn независимы в совокупности, то
ап (з) = сч (s) [а (з)]л \ л>1.
Предположим, что каждый вызов является либо кра-
сным, либо синим, причем произвольный вызов является
красным с вероятностью z, 0 z 1, независимо от того,
какого цвета другие вызовы. Тогда znPn(t) есть вероят-
ность того, что в промежутке [0, t) поступит ровно п
вызовов и все поступившие вызовы — красные, а
P{Z, ()=^2пРп^
) л>0
есть вероятность того, что в промежутке [0, /) синие вы-
зовы не поступят.
Г Предположим, еще, что независимо от поступления
| вызовов происходят «катастрофы», моменты наступления
{ которых образуют пуассоновский поток с параметром
I s > 0. Тогда, например,
i
• f z"Pn(f)<i(l-e-“)
! 0
i
> есть вероятность того, что до наступления «катастрофы»
* поступит ровно п вызовов и все они будут красными, а
< оо оо
. f Р (2, е~“) = f 2nP„'(f) d (1 - e~si)
] О л>00
’ есть вероятность того, что до наступления «катастрофы»
j синие вызовы не поступят; число же an(s) есть вероят-
' ность того, что до поступления n-го вызова «катастрофа»
не наступит.
J Введем события:
! Л— до наступления «катастрофы» синие вызовы не
J поступят;
t Ап — «катастрофа» впервые наступит в промежутке
i £л+1), и первые п вызовов будут красными,
i *
4
16 ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА [ГЛ. I
Ясно, ЧТО I
Л = 2Лл; Р(Л)=2Р(Л„);
я>0 п>0 ।
р (Л) = J* Р (z, t)d(l — e-sty, :
О
P(4„) = zn[a„(s) —an+i(s)], »>0. ao(s)=l.
Полагая ,
со
ji(z, s) = J e~stP (z, f) dt,
о
получим j
sn (z, s) = 1 — cq (s) 4- 2 г'Ч («) {la (s)]n-1 — [a (s)]"} =
Л>1 •
= l-a1(s) + ^1(s)T^^j- 1
Окончательно имеем
п/-~ „х 1—ai(s) + *[ai(s) — a(s)l ,|Л |
n(Z, s) — s[l—xra(s)] " U'
Рассмотрим частные случаи.
Случай 1. A1(t) = A(f) (рекуррентный поток):
z ч 1 — a (s) /лч
n(z, s)=—т=----v ' . * (2)
4 7 s [1 —ZU ($)] v 7
Чтобы упростить нахождение моментов числа поступлений
вызовов в промежутке [0, /), Риордан [44] предложил сле-
дующий прием. Положим
в (z, f)=р (1 + z, ty = 2 znBn (0; 1
п >0
здесь
Тогда
со
₽(.?,$)= J e~slB(z, t)dt = n.(\-\- z, s)~
- d। . '
'= / s[l —a(s) —za(s)] = 5-1 S [1 —(a (s) S Z^k 1
' ^>0-. , - ’ й>0
ч ' -
РЕКУРРЕНТНЫЙ ПОТОК С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
17
§ 41
/
Отсюда получаем
‘>0.
Так при & = 0 имеем
₽0(s) = s-i; В0(/)=1=Р(1, 0.
как и должно быть. При Л = 1 находим
оо
?<»>=. и °Л)М1=
Bi(o=3^(o-
Л>1
t
Случай 2. Л1(/) = ау[1—А (и)] du. Положим
о
оо
а-1 = J* t dA (t). Так как
о
ь ь ь
ftdA (t) = tA (Ololo—f A(t)dt = f [A(b) — A(t)] dt,
a 0 0
то при Z?-> + oo
a”1 = J t dA (0 = J fl — A (01 dt.
о 0
Предположим, что 0 < a < -|-oo.
Математическое ожидание числа вызовов, поступивших
в [0, /), есть ^jkPk(t). Попытаемся найти соотношение
*>о
между A} (t) и A (t) (если оно существует) для того, чтобы
добиться выполнения тождества
3 kPk(t) — at.
£>0
Так как
к
ь
оо
/ e~st У kPb (0 dt = л {z, $)
О Л>0
U=l
(3)
2 Г. п. Климр§
г
18 ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА [ГЛ. I
то для выполнения (3) необходимо и достаточно
Из этого условия и формулы (1) получаем
ai(5) = |[l-a(s)],
что равносильно
t
A1(t) = aj' [I—A (a)] du. (4)
О
Ясно, что Д1(-|-оо)=1, так что Ax(t) есть ф. р. Итак,
для выполнения (3) необходимо и достаточно выполне-
ния (4).
Если выполнено (4), то формула (1) приобретает вид:
л (z, s) = S-1 — ~г)- ,' ~а (Л . (5)
7 s2 1 — га (s) v 7
Опять воспользуемся приемом Риордана. В этом случае
о <* » = - “ +*• s> = =
= s~1 + ~s*~ [1—a(s) г] ' i-' г^я<S)’
£>0 й>0
откуда
₽0(S) = s-i; = A>1.
§ 5. Квазирекуррентный поток с запаздыванием
Будем под «вызывающим моментом» понимать момент
времени, в который может поступить вызов. Пусть «вы-
зывающие моменты» образуют рекуррентный поток с за-
паздыванием, характеризуемый функциями Ax(f) и A(t)\
Д1(0)<1, Д(0)<1. Предположим, что в каждый «вы-
зывающий момент» с вероятностью ak поступает k О
вызовов, независимо от того, сколько их поступило до
этого момента. Положим
Ф(г) = 2<¥*: Ф(1)=1,
*><?
§ 5] КВАЗИРЕКУРРЕНТНЫЙ ПОТбК С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 19
Определенный таким образом поток назовем квазаре*
кур рентным потоком с запаздыванием. В случае
Ф(2:) = ^ квазирекуррентный поток с запаздыванием ста-
новится рекуррентным потоком с запаздыванием.
Цель этого параграфа — указать способ определения
для квазирекуррентного потока с запаздыванием вероят-
ности Pn(t) поступления ровно п вызовов в промежутке
[О, п^О.
Выберем число z, 0 z 1, и снова будем объявлять
каждый вызов либо красным, либо синим, причем произ-
вольный вызов объявляется красным с вероятностью z
независимо от того, какого цвета другие вызовы. Тогда,
например, Ф(г) есть вероятность того, что в выбранный
«вызывающий момент» синие вызовы не поступят.
Формула
5р„(с^=2рЛ(о[ф(г)1й (1)
л>0
получается из следующих рассуждений. Для того чтобы
в промежутке [0, /) не поступили синие вызовы, вероят-
ность чего есть
ЗАло*”.
л>0
необходимо и достаточно, чтобы в каждый «вызывающий
момент» из промежутка [0, t) синие вызовы не поступали,
вероятность чего есть
£>0
здесь Рк(€) есть вероятность того, что в промежутке [0, t)
находятся ровно k «вызывающих моментов».
Вводя производящую функцию
P{Z, t)=^ZnPn(t)
л>0
/
и принимая обозначения предыдущего параграфа, получаем
из (1)
P(z, t) = P(<l){z), t). (2)
2*
20 ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА (ГЛ. I
Положим
n(z, s) = J* e~stP(z, f)dt
0
и вспомним, что
n(z, s)= I* e~stP(z, t)dt.
о
Теперь из (2) следует
л (г, $) = л (Ф (г), $)
или (см. (1) § 4)
1— ai(s) + OG0[«i(s) — «($)] zox
Я(2Г’ 5[1-Ф(г)а($)] “•
Случай 1. Ах (0 = А (/) (квазирекуррентный поток):
ч 1—a(s)
n(z, s) — 5[1_ф(г.)а(5)] • (4)
t
Случай 2. Л1 (/) = a J* [ 1 — А (rz)] du:
о
~ ч -1 л[1—Ф(^)1 1 —а(5) /еч
Найдем математическое ожидание числа вызовов, посту-
пивших в промежутке [0, /), т. е. S (С- Имеем в пред-
й>0
положении ф'(1)= 2 < + °°» что
Л>1
оо
f e-^kPk(t)dt = ^n(Z, s)|z=1 =
О k>l
= 5)|г=1Ф'(1) = Ф'(1)р-;
откуда
3&ра(/) = ф'(1)йл
Л>0
§ 5] КВАЗИРЕКУРРЕНТНЫЙ ПОТОК С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 2f
Задача 1. Доказать, что квазирекуррентный поток с за-
паздыванием, определяемый функциями (/), А (/), Ф (г) =
= 2 akzkt до < 1» равносилен квазирекуррентному потоку с за-
паздыванием, определяемому функциями
t
Bi (t) = Aj (/) — a0 J* P (aOt t — u) dAx (u),
o
t
В (t)~ A (t) — ao f (ao> t — u) dA (u),
о
Л>1
Здесь
оо
Г e~stP (z, t)dt=- .
J v ' s 1 — z a (s)
о
В частности, при A1 (t) = A (t) == 1—e~at имеем
B( (t) = B(t) = l—e~at.
Задача 2. Пусть поступающие в некоторый пункт изделия
образуют рекуррентный поток, определяемый ф. р. A (t)9 А (0) < 1.
На пункте находится контрольник, который с вероятностью р
бракует каждое изделие. Показать, что поток небракованных из-
делий является рекуррентным, определяемым ф. р.
t
В (t) = A (t) — р J* Р (р, t — и) dA (и);
о
здесь
оо
|* e~stP(z, t)dt = — 11~<X(z\-.
J v ’ s l—z a (s)
1 0
В частности, при A (t) = 1—e~ai имеем
В (0 = 1— e~qat. q = l—p.
Задача 3. Доказать, что рекуррентный поток с запазды-
ванием, определяемый ф. р. А{ (О и A (f), равносилен квазире-
куррентному потоку с запаздыванием, определяемому функциями
в, (О = At (i); в (t) = : Ф(г) = ^Дг, р = Л(0).
22
теория входящего потока
[ГЛ. t
§ 6. Продолжение
В этом параграфе для рекуррентного потока с запазды-
ванием докажем, что
1) предел
Um -^y.kPk(T)
г-*+“
существует и равен
lim ^r\kPk(T)=a (1)
/со X
1в случае J*/<M(0 = + oo считаем, что а = о1;
о /
2) если обозначить через длину промежутка вре-
мени, начинающегося с момента т, до момента поступления
очередного вызова, то существует
т
rHm у J P{^</}dt = P(O.
равный
t
P(t) = af [1 — А («)] du; (2)
О
3) если обозначить через £т время отсутствия вызова
к моменту т или, более точно, длину промежутка вре-
мени, начинающегося с момента поступления последнего
вызова из числа вызовов, поступивших раньше т, до мо-
мента т, то существует
т
r^JJp(E, «)*•
равный
т t
lim у J Р < /} dr = a J [1 — А (a)] du. (3)
Т->4-оо 0
§6]
ПРОДОЛЖЕНИЕ
23
Замечание. Обозначим через Рт (/) вероятность того,
что после произвольно выбранного момента времени из
отрезка [0, 71] следующий вызов поступит через время
длительности не более /; тогда
т
Рг(0=
о
В этом случае P(t) = lim PT(t) естественно назвать ве-
Т ->+оо
роятностью того, что после произвольно выбранного мо-
мента времени (из [0, оо)) следующий вызов поступит
через время длительности Аналогично интерпрети-
руется
т
lim 4г [ Р {£ < /1 dx.
Г->+оо 1 у 1 r J
Согласно терминологии § 44, i есть рекуррент-
ный процесс восстановления с запаздыванием, и фор-
мула (1) следует из утверждения пункта Г § 44.
Формула (2) следует из утверждения пункта Е § 44.
В самом деле,
Ив (Т) = Р < t, zk+, > т) =
= P{z*+1 —^+1>т} =
= Р{т<^+1</ + т}=Л(/+т)-Л(т), й>1;
аналогично
Ив (т) == Aj (/ + т) — А' (т).
Кроме того,
со оо
a J p>B(t)dx= a J [Л (t + т) — А (т)] dx =
о о
t
= a J* [1 — А (и)} du,
о
г
24
ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
[ГЛ. I
Одна из реализаций процесса имеет вид, изображенный
на рис. 1.
Для получения формулы (3) заметим, что есть реге-
нерирующий процесс, для которого _
{О, если т > t\
1 — А (т), если т < f; £ > 1;
аналогично
{О, если х > /;
1-Л.М. Клнт«.
Одна из реализаций процесса изображена на рис. 2.
Кроме того, из (4) имеем
оо t
a J* Нв(ТМ'г= а f [1 — Л (и)] du.
о о
Задача 1. Доказать, что вероятность того, что после про-
извольно выбранного момента времени (из [0, оо), см. замеча-
ние) за время длительности t поступит ровно п > О вызовов,
равна вероятности поступления ровно п вызовов за время t для
рекуррентного потока с запаздыванием, определяемого функциями
t
Ai(t)==a J* [1 — A (u)] du и A (t).
Q
§ 6] продолжение 25
Задача 2.
оо
J tdP(t) = 1а-<+^аа2;
О
оо /
здесь о2 = j* (t — a-*)dA(t) I хотя может показаться, что
о \
СО \
J tdP(t) = ±a~' I.
о /
Задача 3 (Феллер, 1948, [30]). Доказать формулу (1), вос-
пользовавшись следующими соображениями. Пусть, например,
Л1 (0 = A (t). Имеем: {
fc>0
t
Н (0 = A (i) + J* Н (t — и) dA (и).
о
Пусть (/) — решение уравнения
t
е«(0=жВ(04- J 'ЖЦ — и) dA(u).
о
Если В(/)>Л(0 (<Л(0), ТО е^(0>//(0 Взяв
©7/ (t) — at -j- С, определим С — так, чтобы В (t) A (t)\ ана-
логично определим С== С2 так, чтобы В (i)<. A (t); тогда
С2 Н (t) — at < Ср
Задача 4. Для того чтобы рекуррентный поток с запазды-
ванием, определяемый функциями А (/) и A (Z), был пуассонов-
. ским, необходимо и достаточно, чтобы
со
0 < д'1 = J* и dA (и) <
о
t
A{{t\^a^ [1 — A (u)] du = A (t).
о
26
ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
[ГЛ. I
Задача 5. Пусть
t
(t) = a J* [1 — A (u)] du.
о
Доказать, что вероятность поступления хотя бы одного вызова
в [Г, Т +1) равна Р (t) = -Aj (0.
Задача *6 (Таклинд, 1945, [28], Смит, 1954, [21]). Полу-
чить асимптотическое представление
। «2а2 —1
kPk (t)~at Н-----------, о < +оо;
здесь а2 — дисперсия сл. в., распределенной по закону A(t).
Задача *7 (Смит, 1954 [21]). Пусть v (0 — случайное число
вызовов, поступивших за время t\ Dv (t) — дисперсия сл. в. v (0;
доказать асимптотическое представление
Dv (0 ~ a3o2t, от < -j- оо.
Задача 8. Доказать, что для квазирекуррентного потока
с запаздыванием вероятность того, что, начиная с произвольно
выбранного момента времени, следующий вызов поступит через
время длительности равна
t
P(t)=zP (0 — аа0 J* Р (а0, t — и) [ 1 — А (и)] du =
о
t
= a J* [1 — A (u)] [1 — а0Р (а0, t — и) du;
о
здесь
со
е stP (х, t) dt = — -----Vv.
v s 1— ara(s)
о
В частности, при ao = O
t
P(t) = a J* [1 —- A (u)] du.
о
Задача 9. Отметим, что не всегда существует
lim Р{^<х};
' /->4-оо
например, для случая
А, (0 = A (t) = | < J’
§ 7] ПРОСЕИВАНИЕ ПОТОКА 27
выполнено £/ == 1 — {/} (здесь {/} есть дробная часть числа /) и
Р«-<'Но. х<1-ОТ,
и, значит, не существует lim Р {£/<*}.
/-> 4-оо
Показать, что для случая
оо t
0<д“1== J* t dA (t) <Ai (f) = a j* [1 — A(u)]du
о о
существует
lim P < x] = a f [1 — A (w)] du
J
0
и, более того, выполнено
P {£/<*}=« J [1 — A{u)]du.
, о
Указание. Воспользоваться формулой (7) § 44
§ 7. Просеивание потока
Если задан некоторый поток вызовов, то «просеива-
нием» его можно образовывать другие потоки. Например,
если поступающие изделия проходят проверку на брако-
ванность и бракованные изделия удаляются, то «просеян-
ный» поток есть поток годных изделий, или если поток
изделий поступает на устройство, распределяющее их по
разным приборам, то часто бывает важно знать поток
изделий, поступающих к отдельно взятому прибору.
Введем следующую операцию просеивания (точные фор-
мулировки ниже). Сначала случайное число вызовов основ-
ного потока «теряется», следующий затем вызов остается,
затем снова случайное число (имеющее тот же закон рас-
пределения) вызовов «теряется», следующий вызов основ-
ного потока остается и т. д. В этом случае просеянный
поток есть поток оставшихся вызовов.
В этом параграфе будет показано, что просеянный по-
ток, получаемый из рекуррентного потока с помощью ука-
занной выше операции просеивания, будет снова рекур-
рентным, и, обратно, если просеянный поток, получаемый
28
ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
[ГЛ. 1
из рекуррентного потока с помощью некоторой операции
просеивания, снова оказался рекуррентным, то эта опера-
ция просеивания равносильна некоторой указанной выше
операции просеивания.
Перейдем к точным определениям и формулировкам.
Пусть задан поток вызовов и tv t2, ... есть моменты
их поступления. Каждому моменту tk, поставим
в соответствие число а* = а(/Д принимающее значение О
или 1. Поток вызовов, поступающих в моменты tk,
для которых ол=1 назовем просеянным потоком. Таким
образом, мы считаем, что при ол = 0 £-й вызов «теряется»,
при 0k = 1 он остается.
Для полного определения просеянного потока нам нужно,
кроме задания основного потока, задать для каждого п 1
вероятности
Р (<h..о«) = Р (о &) = 01.®(Q’= о„). (1)
0. = 0 ИЛИ Г, 4=1, ..., п.
Итак, каждому потоку вызовов с помощью функций (1)
сопоставляется просеянный поток. Эту операцию сопоста-
вления назовем операцией просеивания.
В этом параграфе будем считать исходный поток ре-
куррентным, определяемым ф. р. A(t)t Л(0)<1.
Введем следующую операцию просеивания, которую
назовем рекуррентной. Она задается соотношениями
Р(1)=а0>
Р(0, 1)=ар
Р(0, 0, 1)=о2,
Р (0, 0, . . ., 0, 1)=а*,
Г
для произвольного конечного набора Oj.......ол_р 1 из
нулей и единиц вероятность определяется следующим обра-
зом. Указанный набор разобъем на серии так, чтобы в ка-
ждой серии была лишь одна единица, стоящая в правом
ПРОСЕИВАНИЕ ПОТОКА
29
§ Л
конце серии. Тогда вероятность этого набора равна про-
изведению вероятностей каждой из этих серий. Послед-
ние же вероятности известны из (2). Например,
Р(1, 0, 0, 1, О, 0) = Р(1)Р(0, О, 1)Р(0, 0); 1
Р(0, 0) = Р(0, 0, 0) + Р(0, о, 1)=а2 + а3+ ... J (3)
Поясним смысл этой операции просеивания. Пусть
I — случайное число, принимающее значения 0, 1, 2, ...,
причем Р {/ — k] = ak, 0. Тогда просеянный поток
получается следующим путем. Сначала случайное число I
вызовов основного потока «теряются», следующий затем
вызов остается, затем снова случайное число / (имеющее
тот же закон распределения) вызовов «теряются», следую-
щий вызов основного потока остается и т. д. Поток
оставшихся вызовов и есть просеянный поток.
Положим F(z) = 2 akZk> F(l)=l. Функцию F (z)
£>0
будем называть функцией, задающей рекуррентную опе-
рацию просеивания.
Прямая теорема. Поток, получаемый из рекур-
рентного потока с помощью рекуррентной опера-
ции просеивания, есть рекуррентный поток.
Эта очевидная теорема формально доказывается следую-
щим образом. Пусть в момент т поступил вызов просеян-
ного потока. Это означает, что x = tk для некоторого k 1
и о(/Л)=1. Пусть, далее, .............1) — набор из 0
и 1 длины k, указывающий судьбу первых k вызовов
основного потока. Если теперь х'—момент поступления
следующего вызова просеянного потока, то величина хг — х
однозначно определяется следующими факторами:
— длительностями от момента x=tk до следующих
моментов поступления вызовов основного потока;
— вероятностями:
P(<h.....1’- 11 «1.........о*-1. !)•
P(alt .... ok-i, 1; 0, 1|01...1),
P(Gi, ай_!, 1; 0, 0, 1(а!.............1),
Но каждый из этих факторов не зависит от того, сколько
и как поступали вызовы просеянного потока до момента
г
30 ’ ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА [ГЛ. 1
первый фактор — в силу рекуррентности основного J
потока, второй — в силу того, что, как следует из (2)—(3),
вероятности (4) равны соответственно .
Р(1)=а0, Р(0, 1)=аР Р(0, 0, 1)=а2..........
Это и доказывает теорему.
Обозначим через B(t) ф. р. длины промежутка вре-
мени между двумя последовательными моментами поступ-
ления вызовов этого просеянного потока. Тогда очевидно,
что
В (о = а0А (t) -г atA2 (/)+•..+ акАк+1 (/)+•.., (5)
где
Так как
л,(о=л(0,
t
А2 (/) = J* A{(t — х)dA (х),
о
Л*+,(0 = f Ak(t-x)dA(x),
о
или
Лл(0=И(0]*.
где правая часть означает стилтьесовскую свертку £-го по-
рядка, то формулу (5) можно записать в виде
В(О= S ak[A{t)]^\ (6)
Л>0
Если обозначить теперь через р($) преобразование Лап-
ласа — Стилтьеса функции В (/), т. е.
о
ПРОСЕИВАНИЕ ПОТОКА
31
§ Л
то из (6) получаем
₽(*)= 2 a*[a(s)l*+1
Л>0
или
P(s) = a(s)F(a(s)), (7)
где как прежде а($) — преобразование Лапласа — Стил-
тьеса функции A (t).
Найдем среднюю интенсивность просеянного потока.
Обозначим ее через Ь. Так как == — р'(0), то из (7)
имеем
b~' = — a'(0)F(a(0))-a(0)F'(a(0))=a"1[l +
т. е.
Мы воспользовались тем, что a (0) = 1, F (1) = 1,
a' (0) =— a”1.
Если A(t)= 1 —e~at, т. е. основной поток вызовов —
пуассоновский с параметром а, то по индукции прове-
ряется, что
t at
M(01!+1= [ a^-e-‘“du= J ^e~*dx.
6 0
В этом случае из (6) имеем
at
(9)
Пример 1. Основной поток — пуассоновский с па-
раметром а. Основная операция просеивания задается
функцией Р (z) = = (1 — Р) 4- (1 — Р) pz 4-
+ (1 — р)р2г2+ .которая означает, что любой по-
ступивший вызов основного потока с вероятностью р
32
ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
[ГЛ. I
«теряется» и с дополнительной вероятностью q= 1—р
остается. Из (9) получаем
at
в = / S(1 - е~х dx=
о
at
= (1— р) J e-^-P>xdx= 1 — e~^-p>at,
О
или окончательно
В(0=1 —
Таким образом, просеянный поток в этом случае также
является пуассоновским, но с параметром qa.
Пример 2. Основной поток — пуассоновский с пара-
метром а. Основная операция просеивания задается функ-
цией F (z) = zk. Такая операция просеивания означает, что
первые k вызовов основного потока «теряются», (&-}- 1)-й
вызов остается, затем снова k вызовов «теряются», сле-
дующий вызов остается и т. д. В этом случае согласно (9)
имеем
at
Г xk
B(t) — J j^e~xdx.
О
Рекуррентный поток, определяемый такой ф. р., назы-
вается потоком Эрланга Л-го порядка. При этом вводится
обозначение
at
Г k
= J ^e-xdx.
О
‘ Математическое ожидание и дисперсия сл. в., распре-
деленной по этому закону, равны соответственно
b*l = (k+\)a~\ 0l = (k+l)a~2.
Если рассмотреть совокупность всех потоков Эрланга,
имеющих одинаковую интенсивность bk — b — const, k О,
то из последних формул заключаем, что
°* a3 (k + V)3b3 k + lp и
§7]
просейваййе Потока
33
при > + <эо, т. е. с возрастанием номера k поток
Эрланга приближается к регулярному потоку, имеющему
ф. р. длины промежутка между двумя последовательными
моментами поступления вызовов, равную
О,
t
1,
t>b~\
Обратная теорема. Если поток, получаемый
из рекуррентного потока с помощью некоторой опе-
рации просеивания, снова является рекуррентным,
то существует такая рекуррентная операция про-
сеивания. с помощью которой можно получить
этот же поток.
Доказательство. Достаточно доказать, что ве-
роятности
.....о*-!- 1; i|oi...о*-р О.
.....о*-р 1; о. 1 hi...о*-р О.
P(G1, .... 1; 0, 0. 110!..о*_1, 1),
не зависят ни от набора Oi....оЛ_х из нулей и единиц,
ни от k > 0. Если это неверно, то существуют два числа
£>0и£'>0и два набора из нулей и единиц длины k
и kr соответственно
° = (°1....Ъ-Г 1)’ = •••• Ог-г 1)
такие, что не все числа
ап=Р(р, 0,..., 0, 1 |о), а'п = Р(а', 0.......0, 1 |о')
п п
равны соответственно между собой. Положим
F (z) = 2 anzn и F' (z) = 2 апгп>
л>0 л>0
тогда
F(z)$F'(z), |z|<l. (Ю)
Последние ряды сходятся при | z | 1, ибо
а„>°- <>° ПРИ »>° и
п>0 п >0
3 Г. П Климов
г
34 ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА [ГЛ. 1 •
Имеем, что в момент tk поступил вызов просеянного
потока, ибо о (tk) — 1. Следующий вызов просеянного по-
тока поступит через промежуток времени длины t
с вероятностью B(t) (просеянный поток рекуррентный
и B(t)—функция, определяющая его). С другой стороны,
в силу рекуррентности основного потока эта вероятность
равна
а(И1 (0 + а1^2 (0 + • • • + ап^ д+1 (0+-...
где, как всегда,
Таким образом,
5(0= 2«ия+1(0.
д > О
Аналогично показывается, что
5(0= 2 ЙА+1(Э.
л >0
Мы получили равенство
2flA+i(0=2flA+i <0.
л > О п>0
Преобразование Лапласа — Стилтьеса от обеих частей дает
2 anla(s)]"+,= S й«[а(01п+1
п>0 л > О
ИЛИ
a (s) F (а (s)) — а (s) F' (а (5)). (11)
Если изменяется от 0 до +оо, то а($) монотонно
убывает от 1 до 0, поэтому из (11) получаем
F(z)=F'(zY 0<^<1,
откуда
F (z)~Fr (z) при И<1,
что противоречит (10). Теорема доказана.
^Задача 1 (Реньи, 1956, [16]). Каждому рекуррентному, по-
току вызовов, определяемому ф. р. А (0, А (0) < 1, а-1 =
ио
s= J* и dA (и) < -[• со, поставим в соответствие другой рекуррент-
0
ный поток с помощью следующей операции. Каждый вызов ис-
- § 7]
ПРОСЕИВАНИЕ ПОТОКА
35
ходного потока с вероятностью р «теряется», с дополнительной
вероятностью #=1—р остается. Просеянный таким способом
поток будет рекуррентным. Изменим масштаб времени просеян-
ного потока таким образом, чтобы средняя длина интервала между
двумя последовательными моментами поступления вызовов про-
сеянного потока совпала с соответствующей длиной для исход-
ного потока. Полученный таким способом поток будет снова ре-
куррентным, определяемым некоторой ф. р. Aj (I). Эту опера-
цию сопоставления потоков будем обозначать через Тр:
A (t) = TpA (t).
Определим рекуррентно
Л+1(0 = грля (o = r;+U(n.
Доказать, что при 0 < р < 1
lim А (0 = 1—e~at*
Л-> 4-00
Указ ание
или
или
%+i F (ап F <*>-
“«+1 <•’> ” 1=7 [%<««> -1] ’
1«(Л) _11 •
Задача 2 (продолжение). Доказать, что при qx.. .qn О,
lim Т ...Т A(f) = \-e-at.
Указание
1 __1 Г 1 Л
%+!<•” Wi J
или
1 1 Г 1 J
ап^ " Г
Задача 3. В задаче 1 для получения потока ТрА (/) при-
менялась частная операция просеивания вида
с последующим изменением масштаба времени. Вместо символа Тр
будем употреблять символ TF, если используется операция про-
сеивания F (г) =
л о
3*
36
ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
[ГЛ. I
Выяснить условия существования предела
п + 4-00 ? ' '
Ясно, что если этот предел существует и равен В (Z), то имеет
место следующее функциональное уравнение:
р (s) = ₽ (Xs)F(Р (Xs)), X"1 = 14-/-'' (1).
Отсюда, в частности, следует, что условие
F(z)=^——• Ц=1—X,
4 ' 1—гр г
является необходимым и достаточным, чтобы
B(f) = l — e~at.
§ 8. Наложение потоков
В предыдущем параграфе мы рассмотрели способ по-
лучения потоков, заключающийся в просеивании основного
потока. Теперь мы рассмотрим другой способ получения
потоков, заключающийся в наложении (суперпозиции, сум-
мировании) потоков.
А. Рассмотрим п источников, посылающих в некото-
рые моменты вызовы. Поток, вызовами которого являются
вызовы, поступающие от источников, назовем суммарным
потоком. Будем говорить, что суммарный поток получа-
ется наложением (суперпозицией) потоков вызовов, по-
сылаемых источниками. Примером суммарного потока может
служить поток вызовов, посылаемых на АТС абонентами.
В этом случае источниками вызовов являются абоненты.
Если слагаемые потоки независимы между собой и каждый
представляет собой пуассоновский поток, то нетрудно про-
верить, что суммарный поток будет тоже пуассоновским
с параметром, равным сумме параметров слагаемых пото-
ков, т. е. пуассоновский поток является самопроизво-
дящим при операции наложения потоков.
Потоки, встречающиеся на практике, в большом числе
случаев оказываются близкими к пуассоновскому. Этот
замечательный факт до некоторой степени может быть
объяснен приводимыми ниже предельными теоремами
(см. также задачу 2 § 7).
Сначала введем понятие сходимости потоков.
§8]
НАЛОЖЕНИЕ ПОТОКОВ
37
Пусть задана последовательность потоков £0, £р ...;
/О’), ...—моменты поступления вызовов потока £д;
/О’) = 0. Поток £л, задан,
если для любого k 1 и любого набора 0.............xk 0
задана вероятность
л,(т1.ъ)=РИя)<т1.....4П)<Т*}-
Скажем, что последовательность потоков £р £2, • • •
сходится к потоку £0, и будем обозначать этот факт че-
рез Ltl -> £0, если для любого k 1 и любого набора
Tt 0, .. ,, xk 0 при п -► + °°
Рп&Х......^)->Р0(Т1........Tft).
Скажем далее, что последовательность потоков £р £2,. . .
равномерно стремится к потоку £0, и будем обозначать
этот факт через Ln £0, если для всякого 8 > 0, любого на-
турального числа k 1 и любого набора 0.........xQk 0
существует такое число /V, что
|РЛ(*1....tfe) —РоСЧ.......^)1<е
для всякого набора чисел xk, удовлетворяющего
неравенствам
.....
и всякого n^N.
Б. Разберем сначала частный случай, когда каждый
источник (с вероятностью 1) посылает не более одного
вызова. Для каждого рассмотрим суммарный поток
вызовов, получающийся наложением независимых между
собой п потоков, причем £-й поток, k=\........п, со-
стоит лишь из одного вызова, поступающего в случайный
момент^). Положим Ak(t)= Р {/W^./}. Заметим, что
каждая из функций Ax(t).....Дп(/) зависит еще от и;
мы опускаем индекс, указывающий эту зависимость.
Обозначим через суммарный поток вызовов. Через Р (а)
будем обозначать пуассоновский поток с параметром а.
Теорема 1. Если при каждом фиксированном t
и п~> + оо выполнено
max
(1)
1
38 ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА [ГЛ. I
то для необходимо и достаточно, чтобы
п
^Ak{t)^at (2)
£=1
равномерно в каждом промежутке [О, Т], Т > 0.
Отметим, что если выполнено условие (1), то условие (2)
равносильно условию
п
П[1-лй(01->е-а/ (3)
£=1
равномерно в каждом промежутке [0, TJ, Т > 0. Это сле-
дует из соотношений
п п
in П [1 — лл(01= 2in[i - лй(0]=
k=l Л=1
п п
= - S ^(0+4 21Л*<012. 0<0<1;
п п
£ЬМ0]2<2лй(/) max {Лй(/)}.
k=l 1<Л<л
В. Для каждого п 1 рассмотрим суммарный поток
вызовов, получающийся наложением п независимых пото-
ков, причем &-й поток состоит не обязательно из одного
вызова, k = 1..п. Обозначим через и моменты
поступления 1-го и 2-го вызовов k-ro потока. Положим
Л*(Э=Р{4*’<*}. Bft(0=P{4ft><7). *=1........п.
Отметим, что функции Ak(t) и вообще говоря, за*
висят от п. Мы опускаем индекс, указывающий эту зави-
симость. Через обозначим суммарный поток вызовов.
Теорема 2. Пусть:
1) при каждом фиксированном t и п->4-оо
п
max {Лй (/)}-> О,
ы
п
2) 5 Лй(7)->а/ равномерно в каждом промежутке
[О, Т]. ~Т > 0. Тогда
§ б]
НАЛОЖЕНИЕ ПОТОКОВ
39
Доказательство теоремы 1. Достаточ-
ность. Пусть /2» • • • —моменты поступления вызовов
суммарного потока zk = tk— £о=О,
z0—Q. Достаточно доказать, что для всякого е > О,
любого и любого набора чисел ...»
/°^0 существует такое /V, что
|Р{^+1>И^1<'г1. •••• — e-at\<& (4)
для любого набора чисел тр .... rk, t, удовлетворяющих
неравенствам
0<^<4 •••> 0<7<7°,
и всякого n^N. При k — 0 формула (4) переходит в фор-
мулу
|P{*i>*} — e-at\<&,
которая следует из (3), так как
PU1>^} = Дп-Л(01- (5)
Для любого формула (4) следует из (1), (3) и соот-
ношений
Р {*1 ...zk+1>t} =
Ti Х! + Т2
= 2 J dA(Xj) J dA(х2)...
Qk 0 Xl
xk-i+xk
••• У П У1-Л(^ + 0); (б)
xk-i
Р .........2к^гк} =
т, Х1'+т2
dAit(х0 У dAi2'
rk О Xi
^-1+Tfe
f "-чм п [>-м*.» <7>
п. k
П .I1 —л<и]= Ш1-л|(г)]Ш1 ~
*=1 S=1
40
ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
[ГЛ. I
здесь Сп — множество наборов (zb ..., Z*) по k чисел
ряда 1, 2, .... п таких, что ls Ф lt для s =# Z.
Необходимость следует из (5) и определения рав*
номерной сходимости потоков.
Доказательство теоремы 2. Будем пользовать-
ся теми же обозначениями, которые использовались при до-
казательстве теоремы 1. И опять нам достаточно доказать
лишь формулу (4). При k = 0 она следует из (3) и (5).
Чтобы определить вероятность Р {^i Ti.С тл,
Za+i>Z}, рассмотрим следующие события:
А: 24 ..., zk^xk, и первые k вызовов
суммарного потока поступили от разных слагаемых по-
токов (считаем
В: Zk^xk, zk+i > * и среди первых k
вызовов суммарного потока есть, по крайней мере, два
таких, которые поступили от одного слагаемого потока.
При k = 1 событие В не может произойти, т. е. в этом
случае Р(В) = 0. Тогда
.....zk+1>t} = P(A) + P(B). (8)
Ясно, что
п
P(B)<3BZ(T), t = (9)
i=l
Оценим теперь вероятность Р(Л). Наряду с суммарным
потоком рассмотрим суммарный поток 2Л, вызовами
которого являются лишь первые вызовы каждого из сла-
гаемых потоков. Через Zi, Zg, ... обозначим моменты по-
ступления вызовов потока Zk — tk — tk-ъ k 1, Zq — 0.
Введем событие
Л'= {zi <?i,
Ясно, что
Л'оД (10)
и при этом
I п
р(л'\л)<2^(*+0. (П)
/= 1
§9]
ПОТОК БЕРНУЛЛИ
41
так как если событие А' совершилось, то к мо-
менту Tj xk -(-1 от одного из слагаемых потоков
поступило, по крайней мере, два вызова.
Из (8) — (11) и первого условия теоремы 2, учитывая,
что функции Bk(t) не убывают, снова получаем фор-
мулы (6) и (7), но справедливые теперь с точностью до
и 82; при этом и 82 зависят лишь от .. ., т^, /°,
а число слагаемых потоков должно быть не меньше не-
которого числа Af0. Отсюда уже следует условие (4).
§ 9. Поток Бернулли
Выше мы рассматривали неограниченные потоки вы-
зовов, т. е. такие потоки, число вызовов которых неогра-
ничено. Примером ограниченного потока может служить
поток Бернулли, к описанию которого мы и переходим.
Пусть в каждом из п независимых источников в от-
резке [О, 71], Т > 0, обязательно (с вероятностью 1) про-
исходит лишь один вызов, причем для каждого источ-
ника вероятность появления вызова в любом интервале,
содержащемся в [0, 71] и имеющем длину Д, равна Д/71.
Таким образом, каждый источник порождает поток, состо-
ящий из одного вызова.
Суммарный поток, получающий наложением этих пото-
ков, и есть поток Бернулли. Таким образом, поток Бернулли
ограниченный (состоит из фиксированного числа вызовов),
все вызовы с вероятностью 1 появятся в отрезке [О, 71],
причем вероятность появления любого вызова в интервале,
содержащемся в [0, 71] и имеющем длину Д, равна Д/71.
Пусть Pk{t) — вероятность появления k вызовов по-
тока Бернулли в [0, /) с [0, 71]. Так как вероятность по-
ступления данного вызова в [0, t) равна t/T и вызовы
поступают независимо, то
Задача 1 (Феллер, [31]). Пусть tt, t2, ...» tn — моменты
поступления вызовов потока Бернулли; zk =
/о = О. Доказать, что для любого k = 1.п
р U* > 0 = (1 —у)”«
Указание. См. задачу 1 § 2Л
42
ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
[ГЛ. I
Задача 2. Рассмотренный выше поток Бернулли обозначим
через Показать, что при п = аТ, где а > 0, последователь-
ность потоков Бернулли равномерно стремится к пуассонов-
скому потоку с параметром а.
Указание. См. теорему 1 § 8; (/)=mln 1) для f >0.
§ 10. Стационарность и ординарность потока.
Строение стационарного потока с ограниченным
последействием
Введем понятия стационарности и ординарности потока
событий. Обозначим через v(t) число событий, насту-
пивших в [0, /).
Поток называется стационарным, если для всякого
натурального числа n 1, всякого набора чисел .....%п
такого, что
0<Т!< ... <Т„,
и всякого т > 0 распределение случайного вектора
— V(T)......V(TH-Tn) —V(T)}
не зависит от т.
Стационарный поток называется ординарным, если
4P(v(T)>l}^0
при т | 0.
Предполагаем, что выполнено
(1)
й>0
здесь Pk (/) = Р {v (0 = k].
Из свойства аддитивности математического ожидания
.следует, что для стационарного потока существует такое
^исдо X, 0 X + оол что
Mv(0 = U (2)
Число X называется интенсивностью стационарного по-
тока.
Следующая теорема описывает строение стационарного
потока с ограниченным последействием.
§ Ю] СТАЦИОНАРНОСТЬ И ОРДИНАРНОСТЬ ПОТОКА 43
Теорема 1. Для того чтобы поток однородных
событий являлся стационарным потоком с ограни-
ченным последействием и конечной положительной
интенсивностью, необходимо и достаточно, чтобы
этот поток являлся квазирекуррентным потоком с
запаздыванием (см. § 5), определяемым функциями
t
A1(f)=aj' [1 —А («)] da, A (t), Ф (г) = гЛ.
О
Итак, стационарный поток с ограниченным последейст-
вием и конечной положительной интенсивностью однозначно
определяется ф. р. A(t) и целым положительным числом п.
При этом он устроен следующим образом. События могут
наступать лишь в так называемые «вызывающие моменты»
t2, ... Если zk — tk— tk~v k^\, £о=О, то сл. в.
zv z2, ... независимы в совокупности, а сл. в. z2, z3, .
одинаково распределены. При этом
Р{^</}=Л(О, &>2;
t
= a J [1 — Л(и)] da = Ax(t)\
О
а~х = J* [1 — А (и)] du = J и dA (и).
о о
В каждый же из моментов tlt t2, ... наступает ровно
п событий. Отметим, что так как не обязательно А(0)= О,
то некоторые из моментов
^1 ^2 ^3 • * *
могут совпадать с положительной вероятностью.
Следующая теорема описывает строение стационарного
ординарного потока с ограниченным последействием и
с конечной положительной интенсивностью. Такой поток
иначе называют потоком Пальма.
Теорема 2. Для того чтобы поток однородных
событий являлся потоком Пальма, необходимо и
ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
[ГЛ. 1
достаточно, чтобы этот поток являлся рекуррент-
ным потоком с запаздыванием (см. § 4), определяемым
функциями
t
Л, (/) = a J [1 — А («)] du, A (f),
o'
и чтобы Д(0)=0.
Из, теорем 1—2 и задачи 3 § 5 следует, что можно
дать другое описание строения стационарного потока
с ограниченным последействием и конечной положительной
интенсивностью. Этот поток устроен следующим образом.
События могут наступать лишь в «вызывающие моменты»,
образующие поток Пальма; в каждый же из «вызывающих
моментов» наступает число событий, кратное некоторому
целому положительному числу п\ число же v групп со-
бытий (по п событий в каждой группе), наступающих
в каждый «вызывающий момент», есть величина случайная
с геометрическим законом распределения, т. е. существует
такое число р, что
р {у = т] = рт(1 — р).
Лемма. Всякое ограниченное решение си-
стемы уравнений (относительно и0, их, ...)
оо
иь = У p,,uh. & > О,
где р0<1, при v>>0, является
v>0
периодическим, т. е. существует целое число п^1,
что
при этом
п min {v : pv ¥= 0, v 1 J.
Для доказательства этой леммы воспользуемся утвер-
ждением § 50. Предварительно отметим, что если
и= [uk]k=Q ±1 есть решение системы
оо оо
2n^v=1> л>0’ <3)
v=0 v=0
§ 10)
СТАЦИОНАРНОСТЬ И ОРДИНАРНОСТЬ ПОТОКА
45
ограниченное при k 0, то при р0 < 1 последователь-
ность будет ограничена и при k < 0. Действи-
тельно, из (3) имеем
-1
2 pvw-i+v
т. е. К1КС- Далее, по индукции находим
т. е.
|^|<С, &=0, ±1, ±2, ...
В данном случае (см. § 50)
р(в)=2/>/”- 1, 0£[— л. л).
v>0
Так как уравнение р(0)=О эквивалентно системе
оо
2 COS V0 = 1,
v=0
2 sin v0 — 0,
v=0
которая в свою очередь эквивалентна уравнению
^pvsin2^-=0,
v=l
то для того чтобы уравнение
р(0)=О, 0£[-л, л) (4)
имело п корней, необходимо и достаточно, чтобы наиболь-
ший общий делитель чисел [v|pv=£ 0, 1} был равен п.
Отметим, что наибольший общий делитель чисел [v|pv=#0,
v> 1} не превосходит /V = min {v|pv =# 0, 1} и корни
уравнения (4) находятся среди корней уравнения
Д7А
sin2 -g- =0, 0 £ [— л, л),
46
ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
(ГЛ. 1
т. е. среди чисел
таких, что |0Л|<л.
Согласно утверждению § 50 имеем
/V-l 2nfe
«v= Cke ‘v N , v=0, ±1............
k = 0
так что последовательность [я )°° (а значит, и после-
l Vjv--oo \
довательность [Re«v]“_ периодична с периодом
что и требовалось.
Доказательство теоремы 1. Необходи-
мость. А. В силу стационарности потока ф. р. длины
промежутка между первыми (k—1)-м и £-м моментами
наступления событий (k > 1), следующими за каким-либо
моментом Т, совпадает с ф. р. Ak(t) длины zk промежутка
между (k—1)-м и k-м моментами наступления событий,
следующими за моментом 0. Но если в [0, /^.наступило
v событий (v^>0), то расстояние между первыми (k— 1)-м
и £-м моментами наступления событий, следующими за мо-
ментом Т, есть Zk+v (с ф. р. Ak+V(t)), не зависящее
(в силу ограниченности последействия) от предшествующего
(до момента Т) течения потока. Следовательно,
Ak{t)=^Pv(T)Ak+v(t)
(5)
для всякого и всякого Т > 0. Отметим, что мы
получим систему уравнений, фигурирующих в лемме,
если положим
«* = л*+2(0. *>0; PV = PV(T), v>0.
Из (2) следует, что PQ(T) < 1 для всякого Т > 0.
Обозначим теперь через п целое положительное число,
определяемое условиями: Рп(Т) =/= 0 для некоторого Т > 0,
и если п > 1, то
р1(0= ... =Рл_1(/)=о, f>0.
Теперь если п— 1, то из леммы и соотношения (5)
§ 10] СТАЦИОНАРНОСТЬ И ОРДИНАРНОСТЬ ПОТОКА 17
следует
д2(0 = л3(0= ...
Разберем теперь случай n> 1. Так как
Р1(0 = А(0-Л1(0*Л2(0,
a Pt(/) = 0 для /^0, то
(0 = Ах (/) * А2 (/), t > 0,
откуда^ следует
л2(о = 1, />о.
Используя формулу
••• ...
... ^>1.
по индукции получаем, что Ak(t)=\, t^O, уже для
2 k п. В этом случае из леммы и соотношения (5)
следует
Ап + 1 (0 = ^2п 1 1 (О = ••• ...»
Ат (/) = 1, £ > 0 для т =£ kn + 1, £ > 0.
Полагая
Д(0 = л,л+1(0, £>1, (6)
мы видим теперь, что поток однородных событий является
квазирекуррентным потоком с запаздыванием (см. § 5),
определяемым функциями А} (/), А (/), Ф (г) = zn.
Б. Нам осталось показать, что
t
Al(t)= a J* [1 — А (й)] du.
о
Из (2) и формулы (3) § 5 следует, что
^n(Z,s)\ = \e-st^kPk(t)dt= J e-st№(t)dt = ^
г-1 0 Q
48
ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
[ГЛ. I
И
п (z, S) I = ф' (В.
L=i s[l— a(s)] v
откуда при Ф (z) = zn получаем
ai(s) = -y U — a(s)l. а=^>
что равносильно
t
Ai(t) = a J* [1 — A(u)]du.
О
Достаточность. Из §5, случай 2, следует, что
Mv (/) = У kPk (/) = Ф' (1) at = nat = ht, X = an,
Й>1
и нам осталось доказать лишь стационарность потока,
а для этого достаточно показать, что для каждого ^^>1,
всякого набора чисел .......xN такого, что
О
*1<
< xN,
всякого набора натуральных чисел kx....kN, такого, что
0<^<
и всякого положительного т вероятность
Р НтН-тО —v(t) = &i.........v(x-\-xN) — v(x) = kN}
не зависит от т. Если одно из klt ...» kN не кратно и,
то указанная вероятность равна нулю и на самом деле не
зависит от х. В силу этого достаточно доказать стацио-
нарность потока моментов, в которые наступают события,
т. е. для случая п=1. Итак, пусть п~\. Доказатель-
ство проведем индукцией по числу /V. При /V = 1 доста-
точно доказать, что вероятность
Р {v(t+Ti) —V(T)=*})
§ 10] СТАЦИОНАРНОСТЬ И ОРДИНАРНОСТЬ ПОТОКА 49
не зависит от т для всякого kx 1, так как
Р {vCtH-tO — v(t) = 0} — 1 — S Р [vCr-j-Tj)—V (?) = £}.
1
Итак, пусть = Имеем
р {vCtH-Tj) — v(t) = &} =
т т,
f dAi(u)/РЛ-1(Т1 ——« + ®) +
л>1 О 0
+ J рк-1 Сч — ”) dvAi (* + »)•
о
Вспоминая, что (см. (3) § 4)
2 Ап («) = 5 чРп (и) = ЛИ.
Л>1 л>1
и интегрируя по частям, получаем
Р {v(T4-T!) —v(T) = A} =
Л
= а J [Л(т + г>) — H(v)]Pft-iCTj — ©)(/•» +
О
п
4-л J[1 — ЛСг+гО]/^^! — v)dv =
О
Ti
= a J [1 — А (©)] Рк^ (тх — v) dv,
о
что, как мы видим, не зависит от т.
Пусть теперь показана стационарность потока для
случая всех М < /п. Достаточно показать, что вероятность
р {v(t + ti)~v(t) = A!i......v(T4-Tm) —v(T) = feOT}
не зависит от т для kx 1, так как
р {vCt + tJ —V(T) = 0, V(T-|-T2) —V(T) =
“ . =k2.......v(r+Tm) —v(T) = &m} =
= p {V (T + T2) — V (T) = &2.V (T + xm) — V (T) == km\ —
— 3 P {vOH-T,) — V(r) = k!.......-VtJ-l-Tj — V(T)=/2m}
-
4 Г. П. Климод
50
ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
[ГЛ. I
и вычитаемое не зависит от т по предположению индук-
ции. Обозначая вероятность
р {V(T1 — V) = kj — 1, V(T! — V + т2) — v(Tj — V) =
= k2, .... v(Tj — V-|-TOT) — V(Ti — v) = km}
через P, получим
PfvCr + Tj) —V(T) = &!....v(TH-Tm) —v(T) = /?m) =
T Ti Tt
= 2 fdA^u) f PdvA(x-u + v) + f PdvA^ + v) =
k>l 00 0
= aj* [1 — A(v)]Pdv,
о
что не зависит от т.
Теорема 2 немедленно следует из теоремы 1. Для
доказательства необходимости осталось показать,
что п=1. Это следует из ординарности. В самом деле,
пусть n> 1; тогда Pi(t) = 09 /^>0. и
1. P{V(O>1} 1. 1—Л)(0 Р л п
lim — ~ = lim = lim —= а =£ 0
14,0 * t 4- о * /4-0 1
в противоречие с ординарностью потока.
Для доказательства достаточности осталось по-
казать лишь ординарность потока. Имеем
lp(v(0>l] = у Р {£1-1-*2 <*} <4 P{*l<^2<n =
t
а J11 goi (0 -> о
0
при f->4-0, что и требовалось.
Следствие. Введем понятие потока без последейст-
вия. Через Д будем обозначать промежуток вида [Т,Т + /)>
через v(A) — число событий, наступивших в промежутке Д.
Поток событий называется потоком без последействия
(или с отсутствием последействия), если для любого на-
бора непересекающихсяпромежутков Др ..Д случайные
§ 10] ' СТАЦИОНАРНОСТЬ И ОРДИНАРНОСТЬ ПОТОКА
51
числа
v(Ai)......................v(A„)
независимы.
Для того чтобы поток событий был стационар-
ным ординарным потоком без последействия с конеч-
ной положительной интенсивностью, необходимо и
достаточно, чтобы он был пауссоновским.
Доказательство. Необходимость. Всюду
предполагается, что интенсивность потока конечна и по-
ложительна.
А. Для стационарного потока без последействия Р0(О
имеет вид
Ро(/)==е-^
В самом деле, пусть х > 0; п — целое число,
ДЛ = [^х— х, kx), k=\......п; тогда в силу отсут-
ствия последействия
РО(«Х) = Р (v(Ai) = 0. .... v(A„) = 0} =
= P{v(A1) = 0}... P{v(An) = 0},
а в силу стационарности потока
Р {v (ДЛ) = 0} = Р {v (х) = 0} = Ро (х).
Это дает
Р0(пх) = [Р0(х)]п.
Отсюда для любых целых чисел п и т, таких, что п 1
и т^> 1,
РоШ=в^’ е = ро(1)-
Полагая Q — e~a и учитывая монотонность функции PQ(f),
получаем утверждение этого пункта.
Б. Стационарный ординарный поток без последейст-
вия является стационарным ординарным потоком с ограни-
ченным последействием. Остается применить теорему 2,
учитывая, что
л1(О=1-Р0(О = 1-^-в/.
52 ТЕОРИЙ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА [ГЛ. !
Достаточность. Пусть поток событий является
пуассоновским с параметром а; так как в этом случае
Mv (0 = at.
t
At (t) = a J [1 — А (и)] du, Л(0) = 0,
О
то согласно теореме 2 остается лишь проверить выпол-
нимость свойства отсутствия последействия. Последнее
же следует из леммы § 2.
Замечание 1. Для стационарных ординарных пото-
ков из условия отсутствия последействия следует условие
ограниченности последействия. Если же условие орди-
нарности не выполнено, то последнее утверждение ста-
новится неверным.
Замечание 2. Общее строение потока без после-
действия приводится в работе А. Я. Хинчина [34], стр. 170.
Замечание 3. Для стационарного потока с огра-
ниченным последействием условия
1) 3 ^(0 = 1. *>0;
2) X < —J— оо
равносильны.
Задача 1. Для всякого стационарного потока существует
(см. [34])
lim — Ц, w (/) = 1 — Ра (<).
«фо »
Число р (конечное или бесконечное) называют параметром
стационарного потока. Показать, что для любого стационарного
потока с конечным положительным параметром условия
1) ординарность потока,
2) Х = р
эквивалентны.
Указание. 2) -> 1), так как
p{v(0>l)= S pkw< 2 *₽*(«- 2
fe>2 R £>1 R £>1 R
откуда
0< fim 4-P {v(0 > 1) <Ь-~ Um ^-1У==А,-ц=0.
1)_>2) —это есть теорема Королюка [34).
ВРЕМЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ
53
Задача 2. Показать, что для стационарного потока
с А < + оо ординарность равносильна условию
Р {zk > 0} = 1,
Задача 3. Для каждого п > 1 рассмотрим суммарный по-
ток получающийся наложением п независимых потоков; при
этом &-й поток, k = 1, ..., п, является рекуррентным потоком
с запаздыванием, определяемым функциями А1Л (t) nAk(t):
t
Aft (f) = a/t J [1 — Ak (u)] du.
0
Предположим, что при n -> + оо
1) ax -f- ... + ап = а ~ const;
2) max {ал}->0;
1 < п
3) при каждом фиксированном t
шах {Лл(Ш->0.
1 < k < п
Показать, что при п->-|-оо поток Ел равномерно стремится
к пуассоновскому с параметром а.
Указание. См. теорему 2 § 8;
п п
л=1
так как
2 (Ak(U)da<t 2 Mft«« 2 % ла^
»=1 j k=i *=1 i<«<«
max {№>}«“ ma* И**')}-
k = l ft=l k = l 1<Л<л
§ 11. Время обслуживания
Пусть некоторое устройство обслуживает поступающие
к нему вызовы, предъявляющие требование к обслужива-
нию. Длительность времени обслуживания вызова зависит
от числа уже обслуженных вызовов, от продолжительно-
сти времени обслуживания каждого из них, от потока
54
ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
[ГЛ. I
поступающих вызовов, от прогноза на будущее и многих
других факторов. Перенумеруем вызовы в порядке их
поступления на обслуживание числами 1, 2, ... и обоз-
начим через sk, й>1, длительность времени обслужива-
ния &-го вызова. Будем предполагать, что продолжитель-
ность обслуживания каждого вызова не зависит от потока
их поступления. Тогда обслуживание в целом считается
заданным, если для каждого натурального числа п 1
задано распределение случайного вектора ($р . . ., $л),
причем эти распределения согласованы. В основном мы
будем рассматривать тот случай, когда сл. в. $2, • • •
независимы в совокупности и имеют одну и ту же ф. р.
Такое обслуживание назовем рекуррентным (по анало-
гии с соответствующим понятием для входящего потока).
Обозначим
В случае В (t) = 1 — e~bt, b > 0, t 0, обслуживание
называется экспоненциальным-
Другой часто встречающийся вид обслуживания соот-
ветствует постоянному времени обслуживания каждого
вызова, скажем, т > 0. В этом случае
В(/) = ( °' есл" /<т;
I 1, если t^x.
Рассмотрим следующий случай многофазного обслужи-
вания. Пусть длительность s времени обслуживания любого
вызова складывается из независимых между собой сл. в.
.......(s^—длительность времени обслуживания
на Z-й фазе)
Если Р (0* то
где символ * означает операцию свертки. Например, пусть
поступающие на некоторое устройство изделия сначала
обрабатываются случайное время $(1), а затем проходят
проверку на брак. Пусть для каждого изделия вероятность
обработать его с браком равна р, и тогда устройство
подналаживается и длительность подналадки имеет ф. р.
С(0.
§ и]
ВРЕМЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ
55
В этом случае длительность s времени, в течение ко-
торого устройство недоступно для других изделий, имеет
ф. р.
В (0 = Р {$ < /} = Вх (0 * В2 (/),
где
В2 (0 = р {$<2> < /} = Р {$(2) = 0} +-
+ Р {S<2) > 0} Р ($<2) < /|$<2) > 0} = 1 — р + рС (/).
В других ситуациях многофазное обслуживание заклю-
чается в том, что вызов проходит лишь одну фазу обслу-
живания, причем Z-ю фазу с вероятностью pit I = 1, . .., т\
Р1+ • • • 4 Рт — 1» и ПРИ этом тратится случайное время
с ф. р. Тогда время обслуживания вызова имеетф. р.
В(0 = М1(0+-..
В случае Bt (0=1 — e~bit. bt > 0, имеем
В (0 = 1 — — ... — рте-ьт‘
и обслуживание называется гиперэкспоненциальным.
Рассмотрим еще тот случай обслуживания, когда
устройство работает ненадежно. Пусть B(t) есть ф. р.
длительности времени обслуживания вызова. Если в мо-
мент Т вызов начал обслуживаться и длительность вре-
мени обслуживания > Л то с вероятностью С (/) прибор
выйдет из строя (таким образом, C(t) есть ф. р. времени
«жизни» прибора, начиная с момента начала обслуживания
вызова). Затем этот прибор восстанавливается и длитель-
ность времени восстановления имеет ф. р. D (/), а вызов,
обслуживание которого было прервано выходом из строя
прибора, продолжает дообслуживаться и т. д. Таким об-
разом, с каждым вызовом связано время, в течение которого
прибор недоступен для других вызовов. Это время
естественно назвать временем пребывания вызова на при- >
боре. Обозначим через H(f) ф. р. этого времени. Очевидно,
«что
t
Н (0 = 2 f Рп («) Dn (t - и) dB (и); (1)
о
здесь Р (и) — вероятность того, что за время обслуживание
56
ТЕОРИЯ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
[ГЛ. I
вызова, равное й, прибор п раз выйдет из строя, п О,
a Dk+1(f) = Dk(t)*D(t), &>0; По(/)-1, Пола-
гая
Р(Х, и)= 2 хпрп(и),
из (1) получим
оо
h(s)= f e~stP(i>(s), (2)
О
Заметим, что согласно (2) § 4
о
В частности, если С (/) = 1 — e~ct, с > 0, t 0, то
P(z, t) = e~^ct-,
поэтому из (2) получаем
А ($) — р ($ -|_ с — сб ($)),
откуда, например,
— ₽i (1 + ^1),
/z2 = p2(l+c6i)2 + p1fd2.
ГЛ AB A II
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ
§ 12. Определение переходных вероятностей
для системы обслуживания с ограниченной очередью;
пуассоновский поток, экспоненциальное обслуживание
Описание системы, постановка задачи.
В систему обслуживания, состоящую из одного обслужи-
вающего прибора, поступает поток вызовов. Моменты
поступления вызовов образуют пуассоновский поток
с параметром а, длительность обслуживания вызова под-
чинена экспоненциальному распределению с параметром Ь.
Вызов, заставший в момент своего поступления прибор
свободным от обслуживания, сразу же начинает обслужи-
ваться; в противном случае становится в очередь. Пред-
положим, что максимальное число вызовов, которые могут
одновременно находиться в системе, равно п 1. Это
означает, что если вызов застает^ в системе в момент
своего поступления очередь длины п— 1, то он «теряется»,
т. е. к обслуживанию не принимается и на дальнейший
поток вызовов влияния не оказывает.
Если в некоторый момент времени в системе, нахо-
дится k вызовов, 0 k и, то будем говорить, что си-
стема находится в состоянии £. Обозначим через
вероятность перехода системы за время длительности t,
начиная с момента Т, из состояния I в состояние у. Если
система в момент Т находилась в состоянии Z, то дальней-
шее изменение состояний системы (в силу основного свойства
экспоненциального распределения, см. § 2) не зависит
от Т. Поэтому вероятность Р^ (Т, t), которая, таким об-
разом, не зависит от Т, будем обозначать через Pij(t) и
58
систёма Обслуживания одним прибором [гл. и
считать, что переход из состояния I в состояние J начи-
нается с момента Т = 0.
Наша цель найти Рц (0, 0 Z, j
Формулировка результатов.
/— / п
тде
л .
р=7;
ак = 1 +р — 2)^р cos0ft;
atk = sin(Z+ 1)9* — P 2 sinZ0ft, l<iZ-<»;
’ !<*<«•
В частности, при /—>4"00 из (1) следует
I’m Pij(t) = Pj = 1^^+rPJ.
Дифференциальные уравнения задачи. Рас-
сматривая возможные изменения состояний системы в ин-
тервале (t, t + h), h > 0, и используя основное свойство
экспоненциального распределения, можно записать:
Рю (t + Л) = (1 - ah) Pl0 (Z) + bhPtl (Z) 4- о (Л);
Рц = ahPu.! (Z) + [ 1 - (a + b) h] Pl} (Z) +
4~ bhPt j+i (t) + о (Л), 0 < j < n;
Pln (f + Ю = ahPin_x (Z) + (1 -bh) Pln (Z) 4- о (h),
где ° -> 0 при h | 0.
Из этой системы можем заключить, что функции Ptj(t)
непрерывны справа и слева (вместо t взять t — Л) и что
пределы
,. Pij(t+h)-Pij(t) Pij(t)-P —
lim —-----т-------— , hm —----------------=
МО п мо п
.. +
— hm—---------:-------
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
59
§ 12]
существуют и равны между собой. Таким образом,
в каждой точке t > 0 существует P'ij (/) (а при t = О
существует производная справа); кроме того,
Л'о(О = —Л(0 + ^и(0.
Р\} (0 = аРц^ (0 - (а + b) Pij (t) + bPlh, (/), О < j <п,
P'in(t)=-.aPtn^{t)-bPin(t),
РцЮ^Ъц.
е TZ е ( 0, если I ф J\
где 6/у — символ Кронекера, 0^ = ^
( 1, если I = J.
Отметим очевидное тождество
Р/0(О+Л1(О+...+Лл(О=1. *>0.
Решение. После замены u = bt, p—a/b получим
систему
Р'ю {U) = — рР,о (И) + Рп («).
p'ij (а) = pPij-1 («) — (1 + р) Pij («) + Pzy+1 («). О < j < n,
Pin (a) = P Pin-1 (a) — Pin (U),
PtJ(O) = t>l}.
Воспользуемся теоремой § 47. В данном случае
' —p 1 0 0 0
p -(1+p) 1 0 0
A = 0 p -(1+p) • 0 0
0 0 0 - (1+ p) 1
0 0 0 • p -1
a4l0(s)=l, <3^1(s) = s + p,
o^fft+i(s) = (1 -j-р + s) (s) — p^_i(s)( 0 < k < n>
o^n+1 (s) = G + $) <^n (s) — po^«-i ($)•
Сделаем замену:
60
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
тогда
Р0(х)=1, Р1(х) = 2х------L-,
V Р
^k+i (-*0 = (**) ^л-i С*0» 0 /г л,
Рп + 1 (X) = (2х — /р) Р„ (X) - Р„_1 (X).
Пусть Uk(x)t —многочлены Чебышева второго
рода, т. е.
(/0(х)=1, (/1(х) = 2х,
^k+i == k 00 U k-\ 00» > 0;
п,
тогда
PHx)=i/fc(x)--^£7ft_1(x),
где положено (/_1(х) = 0, и
Pn+l(x) = [2x-
[Х-1 (Х) j =
=2xUn (х) — Vp U„ (х) — у=- [2х£/„_1 (х) - Uп_2 (х)] =
= (2х - V? - ~^Un (х) = Un (х).
Возвращаясь к мы получаем
k fe-i
^(S)=p2^(x)_р 2 (4-^х), 0<£<n,
оС+1 (S) = spTt/n (X).
(2)
Так как многочлен Un (x) имеет корни
xy = cos0y; 0y = j-^T,/=l...n,
то многочлен (s) имеет корни
Xo=O, Xy = -[l+p-2/p cos0j. 0, = /^,'
j = 1...................................n.
§ 12]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
61
Далее,
поэтому
1 v J Sin 0;
(cm. (2))
ntl2
“W=-£e-«y' к
(3)
п,
где
Так как
aZ/-=sin(Z+ 1) 0y — p 2 sinZ0y.
₽(°=₽O₽1 ... Pz = pZ.
Y<0 = YoY1 • • • Yz= 1. 0<Z<«,
то нам осталось найти Ln(kj).
Воспользуемся формулами
У-чЛМ)_й 1 Г sin (2л 4-1)9 1
Sln — 2 2 L 2sin0
k=n
sin(2n-|~l)0/ 1
2sin0y ~~ ¥’ Sln(re+ * 1)0/='
J^'2sin(&4- l)0sinfc0 = («4- l)cos 0 — sin^(” + 1)9 ;
k=l
тогда, пользуясь соотношениями (3) — (4), находим (1 <СУ
0^1 (к л
Ln (^у) = 2 —
= j^[sin(fc-M)0y —p"sin&0y] -^0- =
>=о J
1
Sin20;
(4)
2J ’
n
(1 +p-1) ^sin2&0y —
£=1
— P 2 2j 2 sin(&+ 1) 0y sin kQj =
k=i
sin!e; L(l ^”p ?
р 2 (п-\- I)cos0
62
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
Для Хо = О
о^,(0)=р\ 0<&
п
L.(0) = ^-------
£=0
п,
1-рл+1
(6)
Теперь из (3) — (6) и теоремы § 47 получаем (1).
§ 13. Период занятости
В систему обслуживания, состоящую из одного обслу-
живающего прибора, поступает рекуррентный поток вы-
зовов, определяемый ф. р. А (/). Обслуживание предпо-
лагается рекуррентным, задаваемым ф. р. B(t). Вызов,
заставший в момент своего поступления прибор занятым
обслуживанием, становится в очередь и ожидает начала
обслуживания.
Длину промежутка времени, начинающегося с момента
поступления вызова, заставшего прибор свободным от
обслуживания, до следующего непосредственно момента
освобождения системы от вызовов назовем периодом заня-
тости системы. Функцию распределения периода занятости
обозначим через П(£). -—
Теорема 1. Если A(t)=\—e~at, то
л($)= р($-|-а — ал($)), (1)
причем это функциональное уравнение определяет
единственную функцию л($), аналитическую в полу-
плоскости Res>0, в которой |л($)|*<1, и предста-
оо
вимую в виде я (s) = J e~st (/), где П (/) — неубы-
о
вающая функция^ При этом
{1, если
< (2)
р, если aPi>l;
здесь р (а случае > 1) есть единственный корень
уравнения
р = ₽(а —ар),
§ 131
ПЕРИОД ЗАНЯТОСТИ
63
лежащий в (0, 1). Кроме того,
Г=^’ есла а₽1<1’
4-оо. если
Теорема 2. Если В(/) = 1 — e~bt, b > 0, то
n(s}= *(1—У(*)]
W s + Hl-YW] ’
y(s) = a(s-|-£ — fry($))»
Jtj ---- I
о
(3)
(4)
причем эти условия определяют единственную пару
функций у($) и л($), аналитических в полуплоскости
Res > 0, в которой |y(s)| < 1 и |n(s)| < 1;
л($) = J* e~st dM (/),
о
где П(0 — неубывающая функция. При этом
П(—|—0) = 0,
II(4-oo) = inin(l, a^).
(5)
Кроме того,
it1
если аф > 1,
если аф 1,
где о (в случае аф > 1) — единственный корень урав-
нения о = а(Ь— Ьо), лежащий в (О, 1).
Замечание. Случай П(-}-оо) < 1 означает, что
период занятости может принимать и бесконечное значение
(система никогда не освобождается), вероятность чего
равна 1 — П (+ оо) > 0.
Для доказательства теоремы 1 заметим, что справед-
лива формула
t
П«) = S /
я>0 0 4*9
ПЯ(О = [П(ОГ'.
64
Система обслуживания одним прибором (гл. и
которая получается из следующих соображений. Будем
считать, что порядок обслуживания инверсионный. Это
значит, что среди ожидающих вызовов на обслуживание
выбирается тот вызов, который поступил позже остальных.
Ясно, что такой порядок обслуживания не влияет на период
занятости системы. В начале периода занятости в системе
находится один вызов, который и начал обслуживаться.
Предположим, что время обслуживания его равно u(^t).
За это время в систему может поступить п вызовов
с вероятностью е~аи. Оставшееся время занятости
системы равно сумме п периодов занятости (и должно
не превосходить t — и).
В преобразованиях Лапласа — Стилтьеса формула (6)
принимает вид
оо i
л (s) — s J e~st dt J e~aU^’1 У — dB (и) =
о о л>0
ОО оо
= s J dB (и) J е-ааПп (t - и) e~st dt =
О и п >0
оо оо
= £ S^e-aae-sudB(u) | е~™П„ (v) dv =
0 п^О 0
со
0 /г>0
оо
= J е~^+а~ал^У>и dB(u)>
о
откуда и следует (1).
Пусть теперь комплексное число s такое, что Re s > 0.
Рассмотрим уравнение
г —p(s-|- a — az).
(7)
Левая и правая части (7) аналитичны по z в некоторой
области, содержащей круг | z | 1 (например, в области
§ U]
ПЕРИОД ЗАНЯТОСТИ
65
Re(s+a— аг) > О, т. е. Re г < 1 Ч~ а-1 Res). Кроме
того, при | £ | = 1
Re($+a— az) = Res-f- а(1 —Re г) > О,
поэтому
|p(s+a — аг)| <Cp(Re(s-|~ a — az))< 1 = |г|,
отсюда согласно теореме Руше следует, что функции по z
z и z — р (s -р a — az)
имеют одинаковое число нулей в | z | 1, т. е. лишь
по одному нулю. Таким образом, уравнение (7) для
каждого s такого, что Res>0, определяет единственным
образом z = л (s) такое, что ] л (s) | <^ 1. По теореме
о неявной функции проверяется, что л(5) есть аналити-
ческая функция в полуплоскости Res>0.
По теореме Бохнера — Хинчина (см. § 40) проверяется,
что л (s) представима в виде преобразования Лапласа —
Стилтьеса от некоторой неубывающей функции П(£). Так
как существует
lim П (f),
/4-0
то (см. § 41)
П(+0) = л(+оо)
или в силу’(1) | л(5)|<< 1, р (Ч~ оо) = В (0) имеем
П(+0) = В(0).
Аналогично, так как существует конечный или бесконеч-
ный предел
lim П (/) = П (+оо),
/->4-оо
ТО
И(+оо) = л(+0) (8)
и при этом
л (Ч-О) = Р (а — ал (+0)); (9)
здесь л(Ч~О)— действительное число (см. (8)) такое, что
О л (Ч~0) 1, так как 0 л (4-0) П (Ч- оо) = л (4-0)
и 1л($)| 1 в полуплоскости Res > 0.
5* Г. П. Климов
66
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНЙМ ПРИБОРОМ [ГЛ.' II
Покажем, что уравнение
х = р (а — ах)
(Ю)
при 1 имеет единственное решение в [0, 1], равное
х{ — 1, а при aPj > 1 имеет два решения в [0, 1], равные
х0=р, ^=1, 0<р< 1.
Представим графически левую и правую части (10)
(рис. 3). В силу того что р(а — ах) выпукла вниз, вопрос
о существовании корня в интер-
। fi(d-aac) вале (0, 1) сводится к выяснению
А (К 1) поведения функции р (а — ах)
в точке х=1—0. Производная
в этой точке равна арг Если
। aPj>l, то существует (един-
ую [ _ ственный) корень уравнения (10)
в (0, 1); если apt 1, то в интер-
' вале (0, 1) уравнение (10) нераз-
Рис. 3. решимо. Заметим еще, что в зам-
кнутом круге |х|<1 (на ком-
плексной плоскости) уравнение имеет лишь действитель-
ные решения (см. задачу 6) и, значит, совпадающие с най-
денными.
Итак, при aPi<^l л(+0)=1. В случае aPj > 1 для
л(Н-0) имеются две возможности: л(4~0)=1 и л (4-0) =
= р< 1. На самом деле л(-|-“0) = Р- Это следует из того,
что для всякого 8>0 л(8) есть единственное (как было
показано выше) решение уравнения
л (8) = р (8 + а — ал (е))
такое, что | л (е) | < 1.
Для завершения доказательства теоремы заметим, что
nt = f МП(0 = —л'(+0)-
0
Доказательство теоремы 2. Обозначим через
длину промежутка времени, начинающегося с момента
поступления некоторого вызова, заставшего в системе k
вызовов, до следующего непосредственно момента осво-
§ 13]
ПЕРИОД ЗАНЯТОСТИ
67
бождения системы от вызовов, k 0. В силу того что
длительность обслуживания имеет экспоненциальное рас-
пределение, сл. в. при k 1 не зависит от того,
сколько времени уже обслуживался вызов, находящийся
на обслуживании в начале этого промежутка. Ясно, что Со
есть период занятости системы. Назовем условно вели-
чину периодом занятости типа k, k 0. Положим
П*(0 = Р Щ(0=1-ПЛ(0, Л>0.
Соотношения
Щ(0 = [1-Л(0][е-м+^е-м+ ... +-^г **'] +
t
б
e~d“IIj (f — a)] dA («). 0 (11)
могут быть получены из следующих соображений. Для
того чтобы период занятости типа k превосходил Л необ-
ходимо и достаточно, чтобы либо за время t не было
поступлений вызовов и за это время обслужилось не более k
вызовов, либо первое поступление было через время
длительности u(^t)t за которое прибор обслужил I
вызовов, Z = 0, 1....k, и после которого начинающийся
период занятости типа &-|-1—I был больше t—и.
Положим
R{z. о= 2 **nft(0;
й>0
R(z, о= 2 £ftnft(0 = (l —г)"1 —ЯСг. 0;
Л>0
со
г(z, $)= f e~st dtR(z, t);
1 о
ио
г(z. s) = J e~si dtR(z, Z) = (l — zyx — r(z>s)\
о
5*
68
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
умножим левую и правую части (11) на и просум-
мируем по k от 0 до -f-оо, получим
zR(z, О=П--Л(О]-Гг7е-Ж1-г)-|-
J t—u)\dA(u),
О
или в преобразованиях Лапласа — Стилтьеса
zr{z, s) = -s—^_bg [ 1 — a(s + ft — Ml +
-|-а($4-£— bz)[r(z, s)'—r(O, $)],
или
r(z, s)[z — a(s-|-£ — bz)] —
= xiz s+;_to[i-a(s+*-Mi-
— a(s+£ — bz~)r(O, s). (13)
Так же как при доказательстве теоремы 1, получим, что
функциональное уравнение
у (s) = a (s 4~ b — by (s))
имеет единственное решение у ($), представимое в виде
О
где С (0 — неубывающая функция, при этом
С (-|-0) = у (-|-оо) = Л (0);
{1, если
А^1
о, если сцр > 1,
где а (в случае > 1) есть единственный корень
уравнения
a = a (b — ba),
лежащий в (О, 1).
ПЕРИОД ЗАНЯТОСТИ
89
§ 13]
При z = y(s) из (13) находим
(14)
откуда
л ($) = г (0, s) = 1 — г (0, $) = г-й~Y .
v 7 v 7 $ + &[1—Y(s)]
То, что л($) представимо в виде
л($) = J e~st dH (/),
о
где П(/) —неубывающая функция, следует из того, что
а функция у[1—у ($)] является преобразованием Лап-
ласа — Стилтьеса (неубывающей) функции
t
b J* [1—С(«)] da.
О
Остальные утверждения теоремы 2 проверяются обычным
образом (как при доказательстве теоремы 1).
На самом деле мы получили несколько больше,
а именно из (13) — (14) следует, что
г(г, $) = [£ — а ($-]-/>— _......
( 1—a($4-6-.te) s____________
1—-г
<15>
Эта формула нам пригодится позже.
Рассмотрим примеры (ниже предполагается, что
J tdB(t) < у (0 < 4- ОО
о о
г
70 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. 11,
Пример 1. Л (/) = 1—e~at. а > 0. Выпишем первые *
два момента периода занятости (см. (1)):
Пример
получаем
ni— i-aP1 ’
___02
л2— (1 _ аР1)з •
2. Д(0=1~ е-а\ В(/)=1 - e~bt. Из (1)
( ______b
Я s + b 4- а — ax.(s)*
откуда
Л W — ”2^
(взят знак —, ибо |л($)К'1). Обращением преобразо-
вания Лапласа —- Стилтьеса получаем
П' (0 /1 (2/ УаЬ) \ р = а/Ь;
здесь /т(/)—функция Бесселя первого рода.
Для моментов получаем
щ — — а)”1,
л2 = 2b (Ь — а)~3,
л3 =s Sb (a -j- b) (b — а)”5,
л4 = 24# (а2 + ЗаЬ + Ь2) (Ь — а)“7;
дисперсия периода занятости равна
л2 — л2 — (а + Ь) (Ь — а)”3.
Пример 3. Я (/) = 1 — e~at9 время обслуживания
постоянно и равно Ь~х. При этом
0, t<b~\
1,
§ 131
ПЕРИОД ЗАНЯТОСТИ
71
Используя (1), получаем
Щ = (Ь— а)-1,
л2 — b (Ь — а)-3,
n3 = ft(2a + ft)(ft — а)-5,
л4 = b (6а2 -f- 8ab -f b2) (Ь — а)~7,
л2 — л2 = а (Ь — а)-3.
Пример 4. В(0=1 — e"bt, ft > 0; вызовы посту-
пают через постоянный промежуток времени, равный а~^.
При этом
(О, f<a-1,
4(/) = ,
| 1, f>a-1;
a(s) = e~sa~'.
Используя (3) — (4), получаем (a < ft)
n1 = ft“1(l —о) *,
n2=2ft~2(l — a)~2(l — <*4)”
л2— n1==ft-2(l — оГ2(1 + a|) (1 — .
здесь a — единственный корень уравнение
лежащий в (0, 1). Отметим, что 1—о-—>0, т. е.
0< a< v< 1-
о
Сделаем теперь следующие обобщения.
Пусть в систему обслуживания, состоящую из одного
прибора, поступает г потоков вызовов .....Lr Будем
предполагать, что
потоки . . ., Lr независимы;
поток вызовов Lk является пуассоновским с парамет-
ром ak, &= 1, . .г;
длительности обслуживания вызовов в совокупности
независимы;
длительность времени обслуживания вызовов потока Lk
есть сл. в. с ф. р. £=1, ...» г.
72
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. И
Под периодом занятости системы понимается длитель-
ность промежутка времени, начинающегося с момента
поступления некоторого вызова, заставшего систему сво-
бодной от вызовов, до следующего непосредственно
момента освобождения системы от вызовов. Ясно, что
порядок обслуживания вызовов здесь не имеет значения.
Для образности изложения введем следующую термино-
логию и установим в связи с этим порядок обслуживания.
Вызовы потока Lk будем еще называть вызовами приори-
тета k и говорить, что вызовы потока Lt имеют более
высокий приоритет по отношению к вызовам потока
если I < у. При этом вызовы приоритета i имеют пре-
имущество перед вызовами приоритета /, I < у; это пре-
имущество заключается в следующем. Среди вызовов,
ожидающих начала обслуживания, вызовы высшего при-
оритета обслуживаются раньше вызовов низшего приори-
тета. Для вызовов одного приоритета порядок обслужи-
вания считаем инверсионным. Это значит, что среди
вызовов одного приоритета первым обслуживается тот,
который поступил позже остальных. Такую ситуацию
можно представить следующим образом. Имеются г ящиков,
занумерованных числами 1, ...» г. Поступающий вызов
(изделие) приоритета k помещается в ящик с номером k
над имеющимися в нем изделиями. На обслуживание выби-
рается, начиная с ящика с меньшим номером, изделие,
находящееся сверху в ящике.
Если во время обслуживания некоторого вызова по-
ступает вызов более высокого приоритета, то можно
представить случаи, когда обслуживание прерывается и
сразу же начинается обслуживание поступившего вызова
более высокого приоритета. В связи с этим мы будем
различать следующие схемы обслуживания с преимуще-
ством.
Схема 1.1. Если во время обслуживания вызова по-
ступает вызов более высокого приоритета, то прерывается
обслуживание вызова и начинается обслуживание посту-
пившего вызова; когда система освободится от вызовов
более высокого приоритета, чем прерванный вызов, по-
следний дообслуживается оставшееся время обслуживания.
Схема 1,2. То же, но прерванный вызов «те-
ряется».
ПЕРИОД ЗАНЯТОСТИ
73
§ 13]
Схема 1.3. То же, но прерванный вызов обслужи-
вается заново (не учитывается время имевшегося обслу-
живания).
Схема 2. Если вызов начал обслуживаться, то он
обслуживается до конца, несмотря на поступления вызовов
более высокого приоритета (прерывания не происходит).
Для всех этих схем мы будем интересоваться периодом
занятости системы. Введем обозначения, годные для всех
этих схем:
П(/) — ф. р. периода занятости системы;
ПД/) — ф. р. периода занятости системы обслужива-
нием вызовов приоритета k и выше, т. е. длительности
промежутка времени, начинающегося с момента поступле-
ния вызова приоритета k или выше, заставшего систему
свободной от вызовов, до следующего непосредственно
момента освобождения системы от вызовов приоритета k
и выше; если дополнительно известно, что этот период
занятости начинается с обслуживания вызова приоритета
1(1=]......k), то указанную ф. р. будем обозначать
через Пй/(/). Ясно, что П(О = ПГ(/). Обозначим еще
через Hk (t) ф. р. длины промежутка времени, начинаю-
щегося с момента поступления вызова приоритета k, за-
ставшего систему свободной от вызовов, до следующего
непосредственно момента освобождения системы от этого
вызова и вызовов приоритета выше чем k.
Положим
az==ai-t- ... + az; 1=1......г; о0 = 0;
а = аг;
По (0 = 0.
Теорема 3. Для схемы 1.1 и схемы 2
Г
a) oji(s)= 2 0/₽z(s + a — <*rc(s)),
z=i
причем это функциональное уравнение определяет
единственную функцию л($), аналитичес сую в полу-
плоскости Res>0, в которой |л($)| <1,
б) Если
а 1₽11 лг₽г1 1»
то л(-|-0) = 1; в противном случае 0 < л(-)-0) < 1.
74 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
в) Если
Д1Р11 + • • ’ + ar₽rl <
то первые три момента ф. р. П(/) определяются
соотношениями
ал1 == ,
1 Р
— Р2
ОЯ2 —
„„ рз _L_ q р2
алз = -^г + 3
где
Р1 — Л1Р11 + • • • + лг₽г1»
р2 = atp12 + ♦ • • + аг₽г2»
Рз = а 1Р13 4~ • • • + ^г₽гЗ»
Р=1~Pi-
Теорема 4, Для схемы 1.2
а) М5) = М5 + ал-1) +
+ [ 1 — м*+°*-i) 1 «й-i («)•
W (s)= а1лк1 (8)4- ... 4- aknkk (s),
ntj(s)=nt.1((s + e»-otnM($)), I < k,
nkk (s) = hk (s + ak — aknkk (s)).
причем эта система функциональных уравнений
определяет единственные функции hk(s), nkl(s), лл($),
/=1......k, 6=1, г, аналитические в полу-
плоскости Res > 0, в которой \hk (s)| < 1, (s)| < 1,
|лй($)|<1.
б) Если
01₽п + ^[1 -р2(01)1+ ... 1.
рго hk^ i(0) = nfe/(0) = nfe(0)= 1; в противном случае
Р < Лл+Л°)< b 0 < П*‘ <°> < b 0 < М8)< 1-
§ 13]
ПЕРИОД ЗАНЯТОСТИ
7$
в) Положим
Рм = «1Р11 + -J [1 - ₽2«>1) 1 + • • + пйт П - ₽И<Ъ-1) 1.
Рл = 1 Р*1’
Р*2 == Д1Р12 + 2[~ С2Р1 — • • • — С*Р*-1 4-
+ (Р1 — р2)4- • • • + Sz?(pft-1 - Р*)] •
о
тогда при рЛ1 < 1 выполнено
л „ ____Р/?1
R R Рл
п n ____ Р£2_
айЛА?2— рз ♦
, 1
h 2
k2 О^-1Рл-1
Г г» । 1 Ра? (a£-i) 1 ।
|-с*+——1+
I Pfe-12 1 — Ра? (gfe-i) ч
pLi <>*_!
Теорема 5. Для схемы 1.3
a) Aft(s) = ₽ft(s + oft_1){l-------
s + afc-l I !
— РД5 + аЛ-1) 1 ЯА?-1 ($)} »
<>Л (s) = a1nkl ($) 4- ... •+ aknkk (s),
nki (5) — nk-\i (s“+ ak аЬП1г1г(8У)'
Kkk (S) = hk(s±ak— aknkk (s)).
причем эта система функциональных уравнений
определяет единственные функции hk(s), itki(s), nk(s),
Z=l, k, k=l...............г, аналитические в полу-
плоскости Res>0, в которой |/^(s)| < 1» (s)| < 1,
K(S)| < 1.
76
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
б) Если
[-₽Ж
I <4, Г 1
Gk-i I ₽На*-1)
i]<h
то hk+1(0) = (0) = л* (0) = 1; в противном случае
0<^+1(0)<Ь 0<л^(0)<1, 0<лД0)<1.
в) Положим
Рл = 1 Р*1»
тогда при pfel < 1
аЛ1 = -7“
к Л1 Р*
Л1 LM^-i)
Перед тем как приступить к доказательству сформу-
лированных утверждений, рассмотрим случай г — 1 (по-
ступает лишь один поток вызовов, различие между схе-
мами отсутствует) и получим с помощью метода введения
дополнительного события (см. § 3; в данном случае —
«катастроф») формулу
л($) = 0($ + а — aft(s))9 а = ар р($) = 0! ($).
период занятости
л($) есть вероятность того, что за
«катастрофа» не произойдет. Будем период занятости свя-
зывать с тем вызовом, с обслуживания которого начи-
нается сам период занятости. Обратно, всякому вызову
можем сопоставить «период занятости», понимая под этим
длину ^промежутка времени, начинающегося с обслужива-
ния этого вызова до следующего непосредственно момента
освобождения системы от этого вызова и BbiaoBQB^ посту-
пивших пос ле него_(напомним, что порядок обслуживания
инверсионный^? "***
Отметим, что периоды занятости, соответствующие вы-
зовам, поступившим в систему во время обслуживания не-
которого вызова, не пересекаются, независимы в сово-
купности и одинаково распределены. Отметим еще, что
ПЕРИОД ЗАНЯТОСТИ
п
§ 13]
период занятости, соответствующий некоторому вызову,
складывается из длительности обслуживания его и длин
периодов занятости, соответствующих вызовам, поступив- ।
шим за время его обслуживания. Таким образом, чтобы *
за период занятости, связанный с некоторым вызовом,
не произошла «катастрофа» (вероятность чего есть л($)),
необходимо и достаточно, чтобы за время обслуживания
этого вызова не произошло событие следующего суммар-
ного потока событий: потока «катастроф» и потока вы-
зовов, в соответствующий период занятости которых на-
ступает «катастрофа». При этом слагаемые потоки неза-
висимы и каждый является пуассоновским с параметром s
и а [1—л($)] соответственно; поэтому суммарный поток
тоже пуассоновский с параметром s -1- а [ 1 —л (s) ], откуда
уже следует выписанная выше формула.
Доказательство теоремы 3. Ясно, что периоды
занятости системы для схемы 1.1, схемы 2 и (рассматри-
ваемой ниже) схемы без «прерывания» с инверсионным
порядком обслуживания имеют одинаковое распределение.
Для того чтобы за период занятости не произошла
«катастрофа», необходимо и достаточно, чтобы за время
обслуживания первого вызова (с которого начинается пе-
риод занятости и который является вызовом приоритета I
с вероятностью - не ПРОИЗОШЛО событие сле-
дующего суммарного потока событий: потока «катастроф»
и потока вызовов, в соответствующий период занятости
которых наступает «катастрофа». При этом слагаемые по-
токи независимы и каждый является пуассоновским с па-
раметром s и а[1—л($)] соответственно; поэтому сум-
марный поток тоже пуассоновский с параметром s-J-cr—
— ол($). Отсюда следует, что
т
Л (8) = S -у- ₽/ (8 + О — ал ($)).
Пусть 5 — произвольная точка в полуплоскоси Re s > 0.
Покажем, что уравнение
г
az — S a fit (8 + а — az) — 0
/=1
78 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ (ГЛ. 11
имеет единственное решение z — л($) такое, что |г| < Г.
Это следует из теоремы Руше, так как если z находится
на окружности |z| = l, то
Re($ + cr — 02) > О,
S azP/(s + a —oz) <i] az 1^(5 4-0 — 02)1 <
Z = 1 f=l
г
<2 ai = a= \oz|.
Следовательно, уравнение
ал($) = 2 Д/Р/($4~a— on(s))
z=i
имеет в полуплоскости Re s > О единственное решение
г = л (s) такое, что |n(s)| < 1. Аналитичность я($) в полу-
плоскости Re s > 0 сле-
дует из теоремы о неявной
функции.
Пусть s = 0, тогда для
определения л (+0) —
= П (4“°°) имеем уравне-
ние
т
QZ — 2 Л/Р/ (<*-^)-
г = 1
Графики левой и правой
частей при z£(—l, 4-1)
изображены на рис. 4. Так как правая часть выпукла вниз,
то вопрос о существовании решения последнего уравнения
в (—1, -)“1) сводится к выяснению величины производной
г
правой части в точке z = 1 — 0, которая равна 2 а/Рн«
i = l
s
При 2 а/Ри 1 в (—Ь 4-1) нет решения; в противном
/=1
случае имеется лишь одно, которое равно л (4-0)= 1 iniin(s).
$ о
Доказательство теоремы 4. Для того чтобы
за промежуток времени, начинающийся с момента начала
обслуживания вызова приоритета k и оканчивающийся
§ 13] ПЕРИОД ЗАНЯТОСТИ 79
следующим непосредственно моментом освобождения си-
стемы от этого вызова и вызовов приоритета выше k
(напомним еще, что вызовы одного приоритета обслужи-
► ваются в инверсионном порядке), не произошла «ката-
строфа» (вероятность чего есть Ал($)), необходимо и до-
статочно, чтобы либо за время обслуживания вызова
приоритета k не наступило «нежелательное» событие сле-
дующего суммарного потока событий: потока «катастроф»-
। и потока вызовов приоритета выше k (вероятность чего
есть PfcCs + tffc-i), ибо слагаемые потоки независимы и
каждый является пуассоновским с параметром s и
I соответственно), либо за время обслуживания вызова
} приоритета k произошло «нежелательное» событие (ве-
[ роятность чего есть 1—₽*($ Н~а£-1)), ПРИ этом таким
I «нежелательным» событием оказалось появление вызова
приоритета выше k (вероятность чего есть —j , и
чтобы за период занятости системы обслуживанием вы-
зовов приоритета выше k «катастрофа» не наступила (ве-
роятность чего есть ^^(s)). Отсюда получается, что
hk (5) = ₽* (5 4~a*-i)+ [1 — (5 + az?-i) ] ‘
Вероятностное толкование остальных формул в терминах
«катастроф» теперь не представляет трудностей. Даль-
нейшие рассуждения проводятся по известной уже схеме
' (см. доказательство теоремы 3).
Доказательство теоремы 5. Предлагается про-
честь длинное предложение, которым начинается доказа-
S тельство теоремы 4, и закончить его следующими словами
3 «... после этого прерванный вызов приоритета k начинает
обслуживаться заново, и нужно чтобы за промежуток
времени, начинающийся с момента начала (вторичного) об-
служивания вызова приоритета k и оканчивающийся сле-
дующим непосредственно моментом освобождения системы
от этого вызова и вызовов приоритета выше k, «ката-
строфа» не произошла (вероятность чего есть hk(s))»\
отсюда следует, что
($) = ₽£ ($ + пй-1) -h
' -н1 — +
1
80
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
Остальные соотношения ничем не отличаются от анало-
гичных соотношений теоремы 4. Дальнейшие рассуждения
проводятся по обычной схеме.
Задача 1. Доказать, что период занятости системы для
случая «Л (/) = 1 — е"at, время обслуживания постоянно и
равно Ь~1» имеет ф. р. П (/), равную
. р = а/Ь;
п-1
здесь [х] — целая часть числа х.
У Казани е. Воспользоваться тем, что уравнение
R (я) = Х^(Х)
имеет решение
Я>1
(получить разложением Лагранжа или см. [17], стр. 152).
Задача 2. Доказать, что а в примере 4 равно
Задача 3. Пуассоновский поток вызовов с интенсив-
ностью а поступает на обслуживающее устройство. Длительность
обслуживания одного вызова имеет распределение В (t). Через
обозначим сумму времен обслуживания всех вызовов, поступив-
ших в [0, Т). Предполагается, что в начальный момент система
пуста. Показать, что
<р (s) — Мё?” S^T г=х ехр {аТ [0 ($) — 1]}.
Отметим, что если поток вызовов рекуррентный, определяемый
ф. р. А (0, то
<?(*)= 2 pHD(₽(s)lA.
Л>0
где Рь (Т) — вероятность поступления k вызовов в [0, Г). От-
сюда следует
<₽! = ₽> 2 kPb(T),
Й>1
что является частным случаем тождества Вальда (см. § 43).
Задача 4. На обслуживающее устройство поступает пуас-
соновский поток вызовов с параметром а. Длительность обслу-
живания одного вызова имеет ф. р. В (f). Обозначим через С (t)
§ 13] ПЕРИОД ЗАНЯТОСТИ 81
ф. р. времени обслуживания всех вызовов, поступивших за время
обслуживания одного вызова. Показать, что
у ($) = 0 (а — ар (s)); = а$.
Указание. Воспользоваться или методом «катастроф», или соотно*
шением
оо
C(0=jS I e~ax-^rdB^Bnvy> ВЯ«)=(В(О]”.
л>0 О
Задача 5. Распространить теорему 1 на случай, когда
вызовы могут поступать лишь в «вызывающие моменты», обра-
зующие пуассоновский поток с параметром а, в каждый же
«вызывающий момент» поступает k вызовов с вероятностью ak,
*>о, 2 at=i.
£>0
Задача 6. Показать, что уравнение
z = р (а — az)
при ар! > 1 имеет единственный корень в круге | z | <1.
Указание. Воспользоваться теоремой Руше; за контур взять гра-
ницу области {г: |з|<1. | z-l|>e};
1(5 (a-az) | < 1 п0и |з| = 1, £=/=1;
если Z = 1+Е^/(Р, ТО
| ₽ (а — az)l2 = 1 + 2afite cos ф -Ь о (е),
I z |2 = 14- 2е cos ф + о(е).
Задача 7. Показать, что уравнение
г
a? = 2 (ff—аг)
/ = 1
(см. теорему 3) при «1Рп + ... +«rPn > 1 имеет единственный
корень в круге | z | < 1.
Задача 8. Показать, что уравнение относительно л ($)
л ($) _ р ($ -|- а — ал (s))
для каждого s, Re s > 0, можно решать методом итераций,
именно:
л (s) » lim лЛ (s),
Л-> +оо
где
ял+1 («)=₽($ + « — ann(s)), no(s)=O
(обозначения те же, что и в теореме 1).
б Г. П. Климов
82
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
§ 14. Число вызовов, обслуженных в период занятости
Пусть pk — вероятность того, что за период занятости
системы будет обслужено k вызовов, Положим
P<s) = S
k>l
Теорема. Если A(t)=\ — e~at, а > 0, то
р($) = $0(а — ap(s)), (1)
причем это функциональное уравнение определяет
единственную функцию p(s), аналитическую в круге
[s| < 1, в котором |р($)|<1. При этом
{1, если aBi
, (2)
р, если > 1;
здесь р (в случае > 1) есть единственный корень
уравнения
р = Р(а— ар),
лежащий в (0, 1).
Доказательство. Пусть 01. ‘Каждый вы-
зов с вероятностью $ будем объявлять красным, а с до-
полнительной вероятностью 1 — $ — синим, независимо от
того, какого цвета были предыдущие вызовы. Тогда pksk
есть вероятность того, что за период занятости обслу-
жено k вызовов и все эти вызовы были красными;
р (s) = S Pksk — вероятность того, что за период заня-
*>1
тости обслужены лишь красные вызовы.
Далее, будем считать порядок обслуживания инвер-
сионным. Это значит, что среди ожидающих вызовов, на
обслуживание в первую очередь принимается тот вызов,
который поступил позже остальных. Это допущение, ко-
нечно, не влияет ни на период занятости, ни на число
вызовов, обслуженных в период занятости.
Среди красных вызовов будем различать темно-крас-
ные и светло-красные следующим образом. С каждым
вызовом связан период занятости системы обслуживанием
тех вызовов, которые поступили позже него. Вызов на-
зовем темно-красным, если он сам оказался красным и
за период занятости системы, связанный с этим вызовом,
§Т4] ЧИСЛО ВЫЗОВОВ ЗА ПЕРИОД ЗАНЯТОСТИ S3
были обслужены лишь красные вызовы. Теперь p(s) можем
дать другое толкование, а именно:
p(s) есть вероятность того, что взятый вызов оказался
темно-красным.
СО
Так как * е~аиdB(u) есть вероятность того, что
о
за время обслуживания вызова в систему поступит k вы-
оо . '
зовов, то J е~аи fig есть вероятность того,
о
что за время обслуживания вызова в систему поступит
k вызовов, которые все являются темно-красными (заме-
тим, что каждый вызов, поступающий в период обслу-
живания некоторого вызова, является темно-красным
с вероятностью р($) независимо от того, какого цвета
поступили вызовы в тот же период обслуживания). Отсюда
со
следует, ЧТО J [дцр (5)] . e~ati _ р (а _ ар (s) )
о
есть вероятность того, что за время обслуживания вызова
в систему поступали лишь темно-красные вызовы.
Для того чтобы за период занятости обслуживались
лишь красные вызовы (вероятность чего есть р($)), не-
обходимо и достаточно, чтобы первый вызов (с обслужи-
вания которого начинается период занятости) был красным
(вероятность чего есть s) и чтобы за время его обслужи-
вания в систему поступали лишь темно-красные вызовы
(вероятность чего есть р(а — ap(s)).
Отсюда
p(s) = s0 (а — ap(s)).
Заметим, что на s не накладывалось никаких ограни-
чений, кроме Таким образом, формула (1)
имеет место для всякого s такого, что О s 1. По
теореме Руше проверяется, что для всякого s из круга
|s|< 1 существует единственное решение уравнения
z = (а — az) (3)
такое, что |г:|<1. В самом деле, на окружности |z|=l
выполнено
|s₽(а - az)|<|$|< 1 =|г|.
6*
84
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ; П
Из теоремы о неявной функции (см. § 49) следует,
что решение уравнения (3) есть аналитическая функция
в круге |s| < 1. Формула (2) проверяется так же, как
это делалось для аналогичного случая в § 13 при дока-
зательстве теоремы 1.
Задача 1. Показать, что при В (t) = 1 — e~bt, b > О,
р = а/&<1 выполнено pk = у С* (1 + р)'“2й+1 =
= (14-Р)-2*+1> £>1» Ck = -i- есть так назы-
ваемые числа Каталана.
Указание. При решении этой задачи, а также некоторых задач,
приводимых ниже, воспользоваться формулой обращения Лагранжа (см. § 49).
bt
хп-1
e~Xdx> то
О
Задача 2. Если же В (t) =
Указание.
Задача 3. Показать, что для случая «время обслужива-
ния постоянно и равно 6-1», $ — a/b< 1, выполнено
,.-<^.-4 4>1.
Задача 4. Рассмотрим тот случай, когда вызовы могут
поступать лишь в «вызывающие» моменты, образующие^ пуассо-
новский поток с параметром а, в каждый же «вызывающий»
момент поступает k вызовов с вероятностью k 0. Ф (г) =
= 2 <***, Ф(1) = 1;
£>0
Показать, что
Р (г) = Ф [гр (а — ар (г))].
Задача 5 (продолжение). Если Ф (г) = zN, то
^(г) = г[р (a — aq(z) )]*;
Я (z) = 2 Ч2*' qk = PkN> Pm = °- если m ¥= kN.
Задача б (продолжение). Если к тому же В (t) =
= 1 —e~bt, то
п___1 о*-1 (1 -I- -(*#+£-И
Qk ~ ~k V1 “Г PJ
§15]
ОБСЛУЖИВАНИЕ НЕНАДЕЖНЫМ ПРИБОРОМ
85
Задача 7 (продолжение задачи 5). Если время обслужи-
вания постоянно и равно 6”1, то
t>1; ?=‘N.
Задача 8. Распространить результат этого параграфа на
случай систем обслуживания по схемам 1.1—1.3, 2 (см. § 13).
§ 15. Обслуживание ненадежным прибором
с ожиданием; пуассоновский поток, произвольное
время обслуживания^ произвольное время жизни
прибора и его восстановления как в свободном,
так и занятом состояниях
Описание системы обслуживания. Поток
поступающих клиентов обслуживается одним устройством
в том порядке, в котором они поступают. Относительно
потока клиентов и дисциплины их обслуживания сделаем
следующие предположения:
моменты поступления клиентов образуют пуассо-
новский поток с параметром а\ через A(t) обозна-
чим ф. р. длины интервала между двумя последо-
вательными моментами поступления клиентов в си-
стему:
Л(/)==1 — e~at, а > О, />0;
длительности обслуживания клиентов суть независи-
мые сл. в. с обшей ф. р. B(t), В(0)<1; если
в момент Т устройство приступило к обслуживанию
клиента и обслуживание длится время тос ве-
роятностью С (f) прибор выйдет из строя в проме-
жутке [Т, Т + 0» С(0)<1; после'этого прибор
восстанавливается, и время восстановления есть сл. в.
с ф. р. D(t), Z)(0)< 1; прерванное требование до-
обслуживаетсэд если в некоторый момент, скажем,
Т, прибор освободился и в течение времени t нет
поступлений клиентов, то с вероятностью Е (/) при-
бор выйдет из строя в промежутке [Г, Т Z),
£(0)< 1; после этого прибор восстанавливается и
время восстановления есть сл. в. с ф. р. F(/),
F(O)<1.
86 Система обслуживания одним прибором (гл. п
Относительно этой системы будем интересоваться на-
хождением функций, характеризующих длину очереди
(число клиентов, ожидающих начала обслуживания), время
ожидания и время пребывания клиента в системе.
Введем следующие обозначения (нумерация клиентов
ведется в порядке их поступления):
pkn — вероятность того, что n-й клиент, покидая
систему (после окончания обслуживания), оставляет в ней
k клиентов, ^^0,
И<1;
£>0
Wn(t)— ф. р. времени ожидания начала обслуживания
для клиента с номером и;
Уд(0— Ф- Р- времени пребывания в системе клиента
с номером гь.
Считаем, что в начальный момент прибор исправен,
готов начать обслуживание и начальное состояние системы
характеризуется набором чисел рло, здесь рло есть
вероятность того, что в начальный момент в системе на-
ходится k клиентов,
/’о(г)=2^‘. М<1. Р(1)=1.
л>о
Теорема-, a) Pn(z), Wn(t), V„{t) для п~^>\ могут
бить определены по рекуррентным формулам
zPn+i Ю = [Р„ (г) - Рп (0) + Р„ (0) R (z)] h(a — az),
И<1;
Рп(z) —®п(а — az')h(a — az')< Iz I -C 1 ">
vn (s) = g>„ (s) h (s), Re s >- 0;
здесь
R(Z)—Z + ;
7 1 — e (a) <p (a) 1 47 1 — e (a) (p (a)
CO
A(s) = f e-stP (6 (s), t) dB (ty,
0
co
f e~stP(x, f)dt==-^~y{s\ ;
J v ' s l-xy(s)
0
§ 15] ОБСЛУЖИВАНИЕ НЕНАДЕЖНЫМ ПРИБОРОМ 87
. б) h(s) есть преобразование Лапласа — Стил-
тьеса ф- р. H(t), имеющей следующий смысл: H(t)
есть ф. р. длительности промежутка времени, на-
чинающегося с момента начала обслуживания вызова
до момента окончания его обслуживания}
в) при и->-|-оо существуют
limP„ Cz) = P(z);
lim Wn (t) — W (t); lim Vn (t) = V (0;
г) при
ahx 1
P(£) = 0, Г(0 = 0; V(t) = O}
д) при ahx <1 и <pj < + oo
P(z) = -r-l——P(O)h(a — az), |г|<1;
h(a — az) — z v ' 1 ’
PU)=2p/. P* > 0. *>0; P(l)=l;
Z?>0
pm\_ U—^(а)ф(а)] .
1—^ («) [1—лф1] ’
W (t) есть ф. p., определяемая из соотношения
P(z) — to(a — az)h(a — az), |z| 1;
V (t) есть ф. p.t определяемая из соотношения
v (s) = со (s) h (s), Re$;>0.
Замечания. 1. Условие ahx 1 в силу г) означает,
что длина очереди со временем возрастания до беско-
нечности. Это есть условие насыщения системы. В случае
a/Zi < 1 (ненасыщение системы) первые два момента длины
очереди (точнее числа клиентов, находящихся в системе
в установившемся режиме), времени ожидания/й времени
1
88 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
пребывания клиента в системе равны соответственно (в уста-
новившемся режиме, т. е. при п—> + оо)
2 kPn = Р' С1) = 2(1 —ahi) + 1—е(а)[1—а(р1]ahl’
k 1
S А^=р'(1)+^'(1)=
_ д3^з I n2h I g(g) д3 [фз + ЗЛ1ф2] }
1 — ahx ’ 2 ‘ 3 1—£(а)[1—я<Р1] '
। Г a2h2 . . *1 е(а) ___д2ф2______.
’ [ 1—ahi J 2 1 — е(а)[1—aqpt] ‘
। „ъ Fi । л2А2 1 i If a2h2 "]2 ( 1 a2h2
+ a/41 +t^a;J + -2LT^rJ
—a~xP' (1) — hx\ '
<o2 = а,~гР" (1) — 2со1Л1 — Л2;
+ hy
^2 = ®2 + 2Mi + ^2-
2. В случае С (t) = 1 — e~ct, с > О,
h (s) — р ($ Ч- с — сЪ ($)).
3. В случае B(t)=\—e~bi, b > О,
b \-П8 + Ь) '
w s + b 1 — 6(s)y($ + &)
Доказательство теоремы разобъем на ряд этапов.
А. Упрощение задачи. Если прибор приступил
к обслуживанию клиента, то для ожидающих и вновь
прибывающих клиентов важно лишь время пребывания
клиента на обслуживающем приборе или, более точно,
время с момента начала обслуживания клиента до момента
окончания обслуживания его. Это время складывается из
времени обслуживания клиента на приборе и времен вос-
становления прибора для тех случаев, когда прибор вы-
ходил из строя во время обслуживания данного клиента.
Обозначим через H(t) ф. р. времени пребывания клиента
на приборе. Если P^(t) есть вероятность того, что за
§ 15]
ОБСЛУЖИВАНИЕ НЕНАДЕЖНЫМ ПРИБОРОМ
89
время t обслуживания клиента прибор k раз выйдет
из строя, а
Р(Х, 0= 2 X*Pb(f),
й>0
ТО
со
h (s) = J e~s'P (6 (s), t) dB (0.
0
что доказывается следующим образом. Левая часть этого
соотношения есть вероятность того, что за время пребы-
вания некоторого клиента на приборе «катастрофа» не
произойдет. Каким образом это может быть? Пусть время,
требуемое для обслуживания этого клиента, равно /; для
этого необходимо и достаточно, чтобы, во-первых, за
время t не произошла «катастрофа», вероятность чего
есть e"st, и чтобы, во-вторых, «катастрофа» не произо-
шла во время восстановления прибора, вероятность чего
есть 2 ^(0 [6(5)]fe==P(6(s), t) (отметим, что 6($) есть
£>0
вероятность того, что за время одного восстановления
«катастрофа» не произойдет). Это доказывает выписанное
выше соотношение.
Для определения Р(х, t) можно воспользоваться фор-
мулой (2) § 4 В частности, при С (0=1—e~ct, с > О,
Pk(t) = ^~ e~et, Р(х. 0 =
откуда
h (s) = р (s -j- с — сЪ (s)).
При В(0=1 — e~bt, £ > О, имеем
оо
h (s) = f be~^+b'> 'P (6 (s), f) dt
0
или
h <s\ — l-V(^ + 6)
w s±b 1 — 6(s)y($ + &)
Эти рассуждения и формулы позволяют -свести задачу для
исходной системы обслуживания к той же задаче, но для
90
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. И
системы обслуживания, не выходящей из строя в период
занятости.
Б. Получение основных формул задачи.
Предположим, что каждый клиент является либо красным,
либо синим, причем произвольный клиент объявляется
красным с вероятностью z, 0 z 1, независимо от того,
какого цвета остальные клиенты. Вспоминая, что
pkn — вероятность того, что n-й клиент, покидая си-
стему (после окончания обслуживания/, оставляет в ней
k клиентов, имеем:
pknzk— вероятность того, что n-й клиент, покидая
систему, оставляет в ней лишь k красных клиентов;
Рл(г) = S Pknzk — вероятность того, что все кли-
й>0
енты, оставшиеся в системе после обслуживания n-го кли-
ента, красные;
оо
ъ Г (at)k -.аК,тг^
z e dn(t)~ вероятность того, что за время
о
пребывания клиента на приборе в систему поступит лишь
k красных клиентов;
оо оо
2 zk j dH(t)= [ =
Л>0 о и
= h (а — az) — вероятность того, что за время пребыва-
ния клиента на приборе в систему не поступят синие
клиенты.
Аналогично
сол(а— az) — вероятность того, что все поступившие
в систему клиенты за время ожидания начала обслужива-
ния n-м клиентом оказались красными.
Отметим, что вероятностное толкование h(a — az) и
<яп(а — az) можно получить и следующим образом. Так
как поток клиентов является пуассоновским с параметром а,
а каждый клиент является красным с вероятностью z, то
поток красных клиентов является пуассоновским с пара-
метром az\ поток же синих клиентов является пуассо-
новским с параметром а(1—z). Отсюда следует, что
вероятность того, что за время пребывания клйента на
приборе в систему не поступят синие клиенты, равна
§ 15] ОБСЛУЖИВАНИЕ НЕНАДЕЖНЫМ ПРИБОРОМ 91
со
J* e-a(i-z)t dH(t) = h(a— az). Аналогично интерпрети-
о
руется сол (а — az).
Для того, чтобы все клиенты, оставшиеся в системе
после окончания обслуживания n-го клиента, были крас-
ными, необходимо и достаточно, чтобы за время ожида-
ния начала обслуживания n-м клиентом и за время его
пребывания на приборе в систему поступили лишь крас-
ные клиенты. Отсюда
Рп (z) = (йп(а — az) h(a — az). (1)
Далее: пусть R(z) — условная вероятность того, что
если после окончания обслуживания некоторого клиента
система стала свободной, то все клиенты, поступившие
в систему до начала обслуживания следующего клиента,
включая и ею, окажутся красными. Тогда
zPn+1 (z) = [Рп (z) - Рп (0) + Рп (0) R (z)] h(a- az). (2)
В самом деле, для того чтобы (п+1)-й клиент был
красным и, покидая прибор, оставил в системе разве
лишь красных клиентов (вероятность чего есть zPn+i(z))t
необходимо и достаточно, чтобы n-й клиент, покидая
прибор, либо оставил систему не пустой, при этом ос-
тавшиеся клиенты были красными (вероятность чего есть
Рп (z) —- Рп (0)), и за время пребывания на приборе сле-
дующего красного клиента в систему не поступали синие
клиенты (вероятность чего есть h (а — az)), либо оставил
систему свободной (вероятность чего есть Рл(0)), после
чего все клиенты, поступившие в систему до начала
обслуживания следующего клиента, включая и его самого,
оказались красными (вероятность чего есть R(z)) и за
время пребывания клиента на приборе в систему не по-
ступали синие, клиенты.
Ниже мы покажем, что
R(z)=z , . + g(fl) . (3)
7 1 — е (а) <р (а) 1 7 1 — е (а) ф (а) 4 7 /
Наконец, так как время пребывания клиента в системе
складывается из времени ожидания начала обслуживания
92
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
и времени пребывания на приборе, а последние сл. в. не-
зависимы, то
vn(s) = a„ (s)h(s). (4)
В. Доказательство формулы (3). Если в не-
который момент (этот момент можем считать равным
нулю) прибор освободился от клиентов, то выход при-
бора из строя может произойти через время Др после
чего прибор восстанавливается за время Vp пусть сле-
дующий интервал «жизни» прибора равен Д2, а после-
дующий интервал восстановления имеет длину V2 и т- Д-
Каждый элемент последовательности {Д/}/>1 имеет рас-
пределение Я(£), а последовательности {Vz}z>1 — распре-
деление F (/).
Рассмотрим следующие события:
(а) — первый клиент поступит в один из интервалов Д^
и окажется красным;
(Ь) — первый клиент поступит в один из интервалов Vz,
окажется красным и за оставшееся время восстановления
прибора в систему не поступит ни один синий клиент.
Ясно, что
R(z) = P(a) + P(b).
Положим
п
^=2(A/ + V,-). Со=О.
1=1
Если первый вызов поступит через интервал длины х
й совершится событие (а), то произойдет лишь одно из
следующих несовместимых событий
{£д < £/l “t-Дд + 1} » О»
Отсюда заключаем, что
оо
= f p{en<x<Sn + An+1}d(l-e-^),
л>0 О
НО
§ 15]
ОБСЛУЖИВАНИЕ НЕНАДЕЖНЫМ ПРИБОРОМ
93
откуда, полагая
G(^=P£„<*}=[E(O*F(<,
получаем
Р {£, < х <Х + Дп+1}, = f Ю„ (*) - On (*-«)! dE (и) =
О
= Оп(х)— J Оп(х — и)dE(и) = Qn(x) * [1 — Е(х)].
О
Возвращаясь к Р(а), имеем
P(a) = z J} £л(а)[1 — е(а)] =
л > О
= z[l-eWI 2 |«(a)„(a)|- = ,T2z^L..
л>0
Найдем теперь Р (Ъ). Если первый клиент поступит
через интервал длины х и событие (Ь) произойдет, то
совершится лишь одно из следующих несовместимых для
различных п событий:
{£л + А/1+1 х <£л+1} =
~ Iх ^л+1 < Ч“ Ад+i я о.
Если теперь Vw+1 —V и + Дл+1 = w, то после поступле-
ния первого клиента оставшееся врейя восстановления
равно w + х. Отсюда
оо оо
P(b) = z J d(l— е~ах) Г dF(v) X
n>0 .0 0
X J S —x)]ft e_a {w+v_X)zk dK“
x—v k^O
где
Kn (0 = p {£„ + Дп+1 < '} = Gn (t)*E (0.
94
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ.,И
Производя суммирования по k и меняя порядок интегри-
рования по переменным v и w, получим ?
I
со X I
P^) = Z^ j d(l-«-")]* dKn(w)X
n >0 0 0
co
у J e-a(w+v-x)(l-z) dF(v) =
x-w
CO X
= z J d(l - e~ax) J5
«>0 о 0
— p (x — -w) * ea —
~ *
= J d(l— r‘“)/C„(x)*e<,(1-2>-t*[(p(a-az)—F(x)] =
n>0 о
= z 2 kn (a) ~_aa(y _2} [<p(a — az) — q>(a)] =
«>0
= [Ф (a — az) — <p (a)] 2 Iе (a) Ф (a)l" e (a) =
n>0
— 0(n\ <р(д~М — ф(д)
— e W \—е(а)ч(а) ’
Теперь уже формула (3) следует непосредственно. Пред-
лагаем доказать формулу (3), исходя из вероятностного смыс-
ла входящих в нее членов; например, <р (а) есть вероятность
того, что за время восстановления прибора (вышедшего
из строя, когда в системе не было клиентов) в систему
не поступит ни один клиент; е (а) имеет аналогичный
смысл; ф(а — az) есть вероятность того, что за время
восстановления в систему не поступят синие клиенты.
При этом формулу (3) удобно записать в виде
R(z)= [е(а)ф(а)]л{х[1- е(а)] +
л>0
«(й) [ф (« — az) — Ф (а)]}.
$ 15] ОБСЛУЖИВАНИЕ НЕНАДЕЖНЫМ ПРИБОРОМ 9'5
Г. Условие существования эргодического
распределения. В дальнейшем нам потребуется сле-
дующее утверждение из теории марковских цепей (см. § 45
добавления). Пусть неприводимая непериодическая одно-
родная цепь Маркова задается матрицей переходных вероят-
ностей у>0- Через aS.k) обозначим вероятность пере-
хода из состояния I в состояние J за k шагов. Известно,
что такая цепь Маркова принадлежит одному из следую-
щих двух классов:
либо для любой пары состояний I и J при
£-> + оо, и в этом случае не существует стационарного
распределения;
либо все состояния эргодические, т. е. lim aW =s
> +оо
= Лу>0, и в этом случае {лу} — стационарное распреде-
ление и не существует никаких других стационарных рас-
пределений. Следующее условие является достаточным для
эргодичности состояний марковской цепи.
Для того чтобы неприводимая непериодическая одно-
родная цепь Маркова имела стационарное распределение
(и, следовательно, все состояния были эргодическими),
достаточно существование 8 > 0, натурального числа Zo и
набора неотрицательных чисел х0, х2, ... таких, что
2 а^х^Х:— е для I > Zo,
;>о 7
2 «//Xz<+oo для Z^Z0.
;>о 7 7
Заметим, что сумме 2 anxi можно придать следую-
;>о 7
щий смысл. Пусть некоторая система может находиться
в одном из состояний 0, 1, 2, ... Эволюция системы
определяется марковской цепью с матрицей переходных
вероятностей {aZy}. Рассмотрим, далее, сл. в. х, прини-
мающую значения х0, хр х2, ... в зависимости от того,
в каком состоянии находится система. Тогда 2 anxi
j>o 7
есть математическое ожидание сл. в. х после одного шага,
если в начале этого шага система находилась в состоянии L
Этим замечанием мы ниже воспользуемся.
§6 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. П
Д. Вложенная марковская цепь. Вернемся
к описанной выше системе обслуживания. Рассматривая
состояние системы (т. е. число клиентов, находящихся
в системе) лишь в моменты окончания обслуживания клиен-
тов, мы получаем цепь Маркова. Ясно, что эта цепь одно-
родная неприводимая и непериодическая. Через [а^
обозначим матрицу переходных вероятностей ее.
Случай ahx < 1. Пусть х — случайное число, равное
среднему времени, необходимому для обслуживания клиен-
тов, оставшихся в системе после окончания обслуживания
некоторого клиента; х = xt = ihv если число оставшихся
клиентов равно Z. Тогда (см. еще замечание в конце пре-
дыдущего пункта) при I > О
2 aHxf = (l — 1 = ihx — hx(\ — ah{) = xt—e;
j>o
здесь z = при Z=0
co
atjXj <4-00, если (pj = J* t dF (t) < 4-00.
7>o 0
Таким образом, в данном случае
xi==ihlt 8 = /z1(l—ah^)t Zo —О,
и значит, все состояния рассматриваемой цепи Маркова
эргодические. Так как pkn — вероятность перехода системы
из начального состояния в состояние k за п шагов, то
при п->4-оо
Z?>0
и числа pk, &?>0, не зависят от начального состояния
системы обслуживания.
Положим
2 PkZk= lim Pn(zy,
Й>0 Л->ОО
из (2) имеем
zP (z) = [Р (z) - Р (0) 4- Р (0) R (z)] h(a — az) (5)
или
§15]
ОБСЛУЖИВАНИЕ НЕНАДЕЖНЫМ ПРИБОРОМ
97
Можно убедиться (например, по теореме Руше, имея
в виду условие ahx < 1), что функция h (а — az) — z
в круге |^| < 1 не имеет нулей. Константа Р(0) опреде-
ляется из условия Р(1)=1. Из (1) — (4) следует теперь
существование пределов
lim ($) = о (s), lim vn (s) = v (s), (6)
n->co n->oo
определяемых соотношениями
P (z) = co (a — az)h(a — az), (7)
T/(s) = co(s)^(s). (8)
Случай Так как вложенная цепь Маркова
однородная неприводимая и непериодическая, то (см. начало
предыдущего пункта) существуют lim pkn — О,
Л-> +ОО
k 0, и пределы (6), а также выполнены соотношения (5),
(7), (8). Но теперь не обязательно, чтобы выполнялось
Р(1)= 1. Покажем, что в этом случае р^==0,
т. е. Р(г)=0. В самом деле, из (5) имеем
Р (z) [h (а — az) — z] = Р (0) [1 — R (z)] h(a — az).
Если ahx > 1, то' функция h(a— az) — z имеет корень
в (0, 1), а функция 1 —R(z) (так же как и функция
h (а — az)) не принимает нулевое значение в (0, 1), ибо
функция 1 — R(z) строго убывает в (0, 1) и 1 — R (0) — 1,
1—/?(1)Отсюда следует, что Р(0) = 0 и, значит,
Р(^) = 0 при | z | < 1-
Пусть теперь ahx = 1. Для некоторого числа Т > 0
положим
я(0 = {
1,
если
если
t<T,
t^T.
Выберем Т таким, чтобы ahx < 1
снабжать вероятности и величины
мене H(t) на Н (t)). Тогда
(знаком - мы будем
соответствующие за-
Ро > Ро
(1-а^)[1-е(а)^(а)]
1 — е (а) [1 — аср!]
7 Г. П. Климов
,Й8
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. И
Но при и, следовательно,
откуда Ро = О, что и требовалось.
Задача 1. Рассмотрим случай, когда прибор работает
надежно (не выходит из строя). Пусть %п — число клиентов,
оставшихся в системе после обслуживания n-го клиента (нуме-
рация клиентов ведется в порядке их поступления); — число
клиентов, поступивших в систему за время обслуживания п-го
клиента. Тогда
fe/i+i == (&п 1)+ 4“ Лл+ь
здесь х+ = у (х +1 х |). Из этого соотношения вывести фор-
мулу (2), в которой положено R (г) = z.
Обобщить на случай ненадежной работы прибора.
Указание. Случайные величины и 'Пл+1 независимы;
£ Ли
Рп (£) = Mz п, Мг л = Р(а — az).
Задача 2. Рассмотрим случай, когда прибор работает
надежно. Доказать, что среди всех рекуррентных обслуживаний,
имеющих одно и то же среднее время обслуживания, наимень-
шая длина очереди будет при регулярном обслуживании (время
обслуживания постоянно).
Задача 3 (продолжение). То же, когда прибор работает
ненадежно.
Задача 4. Рассмотрим случай, когда прибор работает
надежно. Для того чтобы вероятности pk, k^O, представлялись
в виде
*>°>
где Л — некоторая константа, 0 < X < 1, необходимо и доста-
точно, чтобы ф. р. В (0 имела вид
В (<) = !—<>-« b > 0; а < Ь.
Задача 5. Относительно потока клиентов предположим,
что они могут поступать лишь в «вызывающие моменты», обра-
зующие пуассоновский поток с параметром а, причем в каждый
«вызывающий момент» поступает k клиентов с вероятностью ak,
£>0:
Ф(г)= 2 акЛ Ф(1)=1.
k >0
Доказать, что теорема остается в силе, если вместо
R (г), h(a — az), (дп (а — az), vn (а — az),
g> (а — az), v(a — az), aht
§ 15] ОБСЛУЖИВАНИЕ НЕНАДЕЖНЫМ ПРИБОРОМ 99
писать соответственно
Я(Ф(г)), h(a — лФ(г)), &п {а — лФ (г) ), vn(a — лФ (г)),
®(л— лФ(г)), v (а — лФ(г)), лФ' (1) h{.
Задача 6. Рассмотрим случай, когда прибор не выходит
из строя в свободном состоянии (при отсутствии клиентов).
Предположим, что клиент, заставший систему в момент
своего поступления свободной (от клиентов), прежде чем начнет
обслуживаться, ожидает случайное время с ф. р. К (О (прибор
«разогревается»). Доказать, что теорема остается в силе, если
положить
R (г) = zk (а — az),
оо
fe(s) = J e-stdK(t).
О
Замечание. См. также диссертационную работу А. Шахбазова.
Задача 7. Доказать, что если
1) ahx < 1;
2) ф. р. Н (0 и F (t) имеют п + 1 конечных первых момен-
тов, то
(1) = lim (z) < -f-oo при & = 1, ..., л.
z 1
Указание. Следует из соотношения
zP (г) = [Р (z) - Р (0) + Р (0) Р (г)] h '{а - az).
Задача 8. Рассмотрим тот случай, когда прибор работает
надежно, а моменты поступления вызовов образуют поток Эрланга
л-го порядка, т. е.
at
Л(0 = Р{^<7}= J -^-e~xdx, л>0.
о
Показать, что
<о(л — аг) [0 (л — аг) — гп+{] = Rn+1 (z)
есть многочлен степени л-{- 1. Далее показать, что в круге |г|<Л
уравнение
zn+1 = р (л — az)
имеет л+1 корней (по которым и определяется многочлен Rn+i (г);
отметим, что одним из корней является z — 1).
У казаки е. Напомним, что поток Эрланга л-го порядка можно полу-
чить просеиванием пуассоновского потока с параметром а с помощью сле-
дующей операции просеивания: первые п вызовов пуассоновского потока про-
сеиваются, следующий вызов остается; затем снова п вызовов просеиваются,
следующий — остается и т. д. В связи с этим указанная система «равносильна»
следующей: вызовы поступают по пауссоновскому закону, а обслуживаются они
7*
100
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
группами по (л 4-1) вызовов в каждой группе; при этом длительность обслу-
живания каждой группы имеет распределение В (t). Теперь, воспользовавшись
обозначениями этого параграфа, получить следующие аналоги формулам (1)
и (2):
PN (z)=(Bjy (а — az) 0 (а — az), 1
^+1р№+1 PjyW—p0N~ PWZ~ ~рпЫгП +
+ (PW + p\N+ ••• +/’яЛГ)гП+1]₽(‘>-М.
Отметим, что здесь N означает номер группы вызовов (из п 4-1 вызовов);
при этом группы вызовов нумеруются в порядке их обслуживания.
PN S pkNzk>
£>0
где р есть вероятность того, что после окончания обслуживания N-й группы
вызовов в системе осталось k вызовов.
Задача 9. Рассмотрим теперь систему обслуживания нена-
дежным прибором, описанную в этом параграфе, но в предпо-
ложении, что поток поступающих вызовов является потоком Эр-
ланга порядка л, т. е.
at
A(t)— I -^-re~xdx, n^O.
j nl
о
Показать, что
о (a — az) [h (a — az) — zn+1] =
= PoUо (z) 4" Pi&i (z) + • • • + PnUn (z),
где функции Uk(z) определяются соотношениями
Ut (z) = zl [1 - Ri (z)], Z == 0, 1, ..., n;
Rn-k (*) = (-1)* z-^R&,z) , k = 0, 1....n;
p n z\ _ _1_ e <P(a —аг-)—<p(X) 1
1—<?(X)<p(A.)1—<?(A.)<p(X) 1 — a-\-az
(отметим, что константы pQ, ...... pn определяются (л-|-1)
корнями уравнения
zn+l = h (а — az),
лежащими в | z |< 1).
Указание. Воспользоваться указанием к предыдущей задаче, а также
следующим. Аналогом формулам (1) и (2) служат
PN (z)=aN (а- az)/i (a-az),
гл+1рК+1 (г)=[Р№(г)-/>олг-Р1лгг- ... ~PnN^n +
i-P0NR0^'+PlNzRl '*>+•• ^PnNznRn (2)J ft (а-аг)«
§ 15] ОБСЛУЖИВАНИЕ НЕНАДЕЖНЫМ ПРИБОРОМ Ю1
где (z) есть условная вероятность того, что если после окончания обслу-
живания некоторой группы вызовов (напомним (см. указание к задаче 8), что
обслуживание является групповым по п 4-1 вызовов в каждой группе) в си-
стеме осталось k вызовов, й = 0, 1,..., п, то все вызовы, поступающие в си-
стему до начала обслуживания очередной группы вызовов, окажутся красными.
Действуя так же, как при выводе формулы (3), получим
оо
J {О/п(ж).|1-£(х)]+
/и>0 О
ах k
+ Кт (х) * еа U-*)[ф (a — az) —F (лг)]} d J* е~~и da,
О
Задача 10. Пуассоновский поток вызовов, поступающих
с интенсивностью а, обслуживается одним прибором. Длитель-
ность обслуживания имеет распределение В (/). Порядок обслу-
живания предполагается инверсионным, т. е. среди вызовов,
ожидающих начала обслуживания, первым обслуживается тот,
который поступил позже остальных. Показать, что
® (S) = 1 — р -I--------------,
1 + у[1-Л(«)]
где л($) определяется условиями
л ($) = р (s -|- а — |я($)|<1, Res>0.
Указание.
<»(‘5) = Р0 + (1-Р0) Pj (s+а-ал U));
р, (*)=4-ii-₽<*))
(см. §§ 6, 13).
Задача 11. Рассмотрим систему обслуживания, описанную
в этом параграфе, но при условии, что прибор работает надежно.
Предположим, что р ($) есть рациональная функция, т. е. пред-,
ставляется в виде отношения двух многочленов; при этому пусть
степень многочлена, стоящего в знаменателе, равна п. Показать,
что pk, £>.0, имеет вид
р*=С1Р1+ ••• +с«р«.
здесь pf1,р”1 есть корни уравнения (корни предполагаются
различными)
z == р (а — az),
лежащйе в области [ г | > 1. * ' ~
102 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
§ 16. Обслуживание ненадежным прибором
с ограниченной очередью
Рассмотрим теперь систему обслуживания клиентов
такую же, как в § 15, но с дополнительным условием: в си-
стеме одновременно может находиться не болзе N клиентов,
так что поступивший клиент, заставший в системе в момент
своего поступления W клиентов, «теряется», т. е. к обслу-
живанию не принимается и на дальнейшее поступление
клиентов влияния не оказывает, Обозначения сохра-
няются прежними с той лишь разницей, что теперь нуме-
рация клиентов ведется в том порядке, в котором они
обслуживаются, а значит, «потерянные» клиенты в этой
нумерации не участвуют. Ясно, что, например, Pn(z) есть
многочлен степени N—1.
Введем следующую операцию «усечения ряда»: если
Р(^)=2 anzn,
/1>о
то положим по определению
р (z) 1дг = аоЧ~ ••• +
Теорема, а) При п —> + оо существует предел
lim Pn(z) = P(z)
/1->+оо
такой, что
N-1
P{z)^^pkzk, pk>0, Р(1)=1;
k=Q
б) в некоторой окрестности точки г = 0 функ-
ция h(a—az)—z аналитична и не обращается
в нуль; в этой окрестности функция
разлагается в ряд по целым неотрицательным
степеням z и
P(z) = P(0) — —h(a — az)\
v х ' h(a —az) —z v 7 l/v—1
константа P(0) определяется из условия Р(1)= 1.
§ 1б] ОБСЛУЖИВАНИЕ С ОГРАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕДЬЮ ЮЗ
Доказательство. Для получения формулы, ана-
логичной формуле (2) § 15, мы должны учесть, что
встречающиеся степени zk должны иметь показатель k
не больший, чем АЛ Если ввести операцию «усечения
степени», положив по определению
F(z)~N =
= а0 + а1'г+ ••• + aNzN 4- ^Gbv+lH- aw+2~b • • •)•
если
F(z)= 2 anzn
л>0
/предполагается, что существует F(l)=2 то для
\ «>о )
нашего случая
zPn+i (z) = [Рп (z) - Рп (0) + R (z) Рп (0)1 h (а - az) j^,
откуда Рп (z), Рп (1) — 1 определяются рекуррентным
образом.
Утверждение а) теоремы следует из того, что в данном
случае мы имеем конечную однородную неприводимую
непериодическую цепь Маркова. При из послед-
него соотношения получаем
zP (z) = [Р (2) - Р (0)+Р (0) R (z)] h (а - az)
откуда
гР (г) Lv-t = [Р (z) - Р (0) + Р (0) Р (z)\ h(a- az) |W_I(
или
p (2) [h (a — az)—z] 1^ = P (0) [1 —P (z)] h {a—az)
ИЛИ
p {z) [h (a — az) — z\ 1^ =
= P (°) й (a~az)-z h(a~ az) V1 <a — k-v
отсюда уже следует утверждение б) теоремы, если вос-
пользоваться тем, что из
P(z)R(z)\n = Q(z)R(z)\n,
104
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ (ГЛ. II
где P(z), Q(z)t R(z)— функции, разлагающиеся в ряд
по целым неотрицательным степеням р некоторой окрест-
ности точки z = 0 и R (0) =# 0, следует
R (^) l№ Q (^) lw •
Замечание. Если клиенты могут поступать лишь
в «вызывающие» моменты, образующие пуассоновский
поток с параметром а, причем в каждый «вызывающий»
момент поступает k клиентов с вероятностью ak, k'^0,
то теорема остается в силе, если R (г), h(a — az) заме-
нить на /?(Ф(г), h(a— аФ(^)), где
Ф(г)= 3 Ф(1)=1.
*>0
§ 17. Обслуживание с преимуществом
(произвольное время обслуживания
для вызовов каждого приоритета)
А. Классификация систем обслуживания с преиму-
ществом. Пусть на некоторое обслуживающее устройство
поступает г потоков вызовов (клиентов) .Lr. Вызовы
потока (Z = 1, . . ., г) будем еще называть вызовами
приоритета I. Будем говорить, что вызовы потока Ll имеют
более высокий приоритет по сравнению с вызовами по-
тока Lp если I < j. Вызовы высшего приоритета имеют
преимущество перед вызовами низшего приоритета, и это
преимущество заключается в следующем. Среди вызовов,
находящихся в системе и ожидающих начала обслуживав
ния, вызовы более высокого приоритета обслуживаются
впереди вызовов низшего приоритета. Вызовы одного
приоритета обслуживаются в том порядке, в котором они
поступают. Если во время обслуживания некоторого вызова
поступает вызов более высокого приоритета, то можно
представить случаи, когда обслуживание прерывается, и
сразу же начинается обслуживание поступившего вызова
более высокого приоритета или когда такое прерывание
не происходит. В связи с этим мы будем различать сле-
дующие схемы обслуживания с преимуществом.
Схема 1.1. Если во время обслуживания вызова
поступает вызов более высокого приоритета, то преры-
вается обслуживание вызова и начинается обслуживание по-
§ 17] ОБСЛУЖИВАНИЕ С ПРЕИМУЩЕСТВОМ Ю5
ступившего вызова; когда система освободится от вызовов
более высокого приоритета, чем прерванный вызов, по-
следний дообслуживается оставшееся время обслуживания.
Схема 1.2. То же, но прерванный вызов «теряется».
Схема 1.3. То же, но прерванный вызов обслужи-
вается заново (не учитывается время имевшегося обслу-
живания).
Схемс^к Если вызов начал обслуживаться, то он
обслуйПгвЗется до конца, несмотря на поступление вызовов
более высокого приоритета (прерывание не происходит).
Будем предполагать, что
потоки Aj......Lr независимы;
моменты поступления вызовов приоритета k образуют
пуассоновский поток с параметром ak (к=\......г);
длительности обслуживания вызовов (всех потоков)
есть независимые случайные величины;
длительность обслуживания вызова приоритета k
имеет ф. р. Bk(t) (6=1.........г).
За основные характеристики обслуживания такой системы
принимаются: время ожидания начала обслуживания для
вызова приоритета k\ время пребывания в системе вызова
приоритета k\ длина очереди для вызовов каждого прио-
ритета; период занятости системы обслуживанием вызовов
приоритета k и выше. О периоде занятости см. § 13.
Обозначим через Wkn(f)n Vkn(t) функции распределе-
ния длительности ожидания начала обслуживания и дли-
тельности пребывания в системе n-го вызова (нумерация
вызовов производится в порядке их обслуживания) при
условии, что он является вызовом приоритета k. Мы
будем интересоваться поведением функций Wkn(t) и Vkn(f)
при В частности, будет показано, что при
некоторых условиях (условиях существования стационар;
ного распределения) существуют пределы
lim U7ft„(0 = lFft(0. Нт Vkn(t) = Vb(t),
/1->+оо n ->4-oo
представляющие ф. р. При этом будем говорить, что
Wk(t) (VA(0) есть стационарная ф. р. времени ожидания
начала обслуживания (соответственно времени пребывания
в системе) для вызова приоритета k.
106
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
Б. Схема 1.1 В\ (/)=...= Вп (/) = В (/). На обслу-
живание вызовов приоритета k вызовы низшего приоритета
влияния не оказывают. Считая условно, что появление
вызова приоритета высшего, чем k, означает выход при-
бора из строя, мы видим, что определение характеристик
качества обслуживания вызовов приоритета k (т. е. вре-
мени ожидания и времени пребывания в системе для вызова
приоритета k) сводится к определению тех же характе-
ристик для системы обслуживания, описанной в § 15,
со следующими данными:
Л(0= 1 — е~аь*,
С (f) = Е (/) = 1 — С k~l , Оу = di —|— . . . —|— Go = О,
D(0 = F(0 = nA_1(0-
Условием существования стационарного распределения
является
(а1 + • • • + ak). 01 < 1
(заметим, что й($) = 6($)). При этом условии первые три
момента для функции D(t) F (t)== Н(t)) равны соот-
ветственно
х ___ Pi
1 1-0*-^’
g --- ----р2
°2 (l-^-ifM3 ’
л __ 03 । 302аА?-1
°з- (1-а*-^)* (1-а^р,)5 ’
В. Схема 1.1, общий случай. Определение характе-
ристик качества обслуживания вызовов приоритета k сво-
дится к аналогичной задаче для системы, описанной в § 15,
со следующими данными:
Д(П=1 — е~ак‘, =
С (f) —Е (t) = 1 — е~аь-^,
D(t) = F —
здесь — ф. р. периода занятости системы обслу-
живанием вызовов приоритета k—1 и выше (см. § 13).
$ 17]
ОБСЛУЖИВАНИЕ С ПРЕИМУЩЕСТВОМ
107
Согласно теореме 3 § 13 имеем
Л-1
2 «/₽/(«+«л-i—
1 = 1
Условием существования стационарного распределения
служит
а1₽п+ • • • + ал₽л1 < 1-
При этом (см. теорему § 15)
k \
1 —(5 + ол-1—(«))
J
Первые два момента времени ожидания равны
_____ Pfe3 . Рд?зРл?—12 । Р&2Р&-12 .
k2~ 3pLiP* 2pl_1P2 + 2pL1P, ’
здесь
Pzi = ai₽ii + • •. + #z₽zi»
Р/2 = а1₽12 + • • • +
Pz3 = al₽13 ~h • • • + aZ₽Z3’
Pz= 1 — Pzi-
Первые два момента времени пребывания в системе вызова
приоритета k равны
где
^i = G)^i + ^i»
Vk2 — ®k2 + + hv
Рл-1
Г. Схема 1.2. Для
обслуживания вызовов
зоваться результатом §
А (0=1 —е
E(t)= 1—е
h । о Pft-12
Й2 —“2 ГР»! --------
Рй-l Pfc-1
получения характеристик качества
приоритета k мы можем восполь-
15 для случая
-ак*.
108
СИСТЁМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ИРЙБОРОМ (ГЛ. tt
здесь Hk(t) и имеют тот же смысл, что в тео-
реме 4 § 13.
Условием существования стационарного распределения
служит
О1Р11 - ₽2(<*1)]+ ••• 4--5Г-П - < 1-
и1 ’-'л—1
Д. Схема 1.3. Эта схема разбирается так же, как
предыдущая схема 1.2, если Hk(t) и Пд-1(0 определять
согласно теореме 5 § 13. Условием существования ста-
ционарного распределения служит
»Л' + -?7 [feh- ' + ^7 '] < 1 •
Е. Схема 2. Такая схема обслуживания с преиму-
ществом разобрана в работе [39]. Для полноты изложим
эту работу, изменив разве лишь стиль изложения.
Ех. Обозначения. В каждый момент очередь будем
характеризовать вектором к = ....kT)\ здесь число
вызовов приоритета Z, находящихся в системе, i= 1...г;
Pin(k) — вероятность того, что n-й вызов (нумерация вы-
зовов производится в порядке их обслуживания) является
вызовом приоритета I и, покидая прибор (после оконча-
ния обслуживания), оставляет в системе очередь типа
k = (kv ...» kr).
Если х = (х1.....xr), k — ....kr)— два вектора
размерности г (все векторы, рассматриваемые ниже, будут
иметь лишь эту, размерность), то положим
Далее, положим
Pin (•*) = 2 Pin (V xk, Рп (X) = i Pln (X); (1)
Z = 1
здесь условие k 0 означает kx 0, . . ., kr 0,
(и1х) — (и............и, xi+1.......xr),
(x, ui) = (xi.....xr_z, и.......й),
(ulxvi) — {и.......й, хм.........xr-j* •••» &)•
$ 17] ОЁСЛУЖЙВАИИЁ С ПЁЕЙМУГЦЁСТВОМ 109
Условие, при котором производится суммирование, будем
заключать в скобки I_I, например:
/Мх)=2|_Л>0..........kr>*APiAkx.
Е2. Получение основных формул. Условимся считать
каждый вызов либо красным, либо синим, причем произ-
вольный вызов объявляется красным с вероятностью xz,
если он является вызовом приоритета I независимо от того,
какого цвета другие вызовы. Тогда:
Pin(x) есть вероятность того, что n-й вызов является
вызовом приоритета I и, покидая прибор после окончания
обслуживания, не оставляет в системе синих вызовов;
Рп(х) есть вероятность того, что и-й вызов, покидая
прибор, оставляет в системе разве лишь красные вызовы
(т. е. не оставляет синих вызовов);
. P„(o/-1x)-^(oM=SLi<7<r. *<>1.
£/+1^0.....kr^"®L\Pjn(®.....0’ ^l' •••’ kr}Xl‘ ••• xrr
есть вероятность того, что n-й вызов, покидая прибор,
оставляет в системе хотя бы один вызов приоритета Z,
не бставляет вызовов приоритета выше I и все оставшиеся
вызовы являются красными;
Рп (0г) вероятность того, ечто п-й вызов, покидая
прибор, оставляет систему свободной от вызовов;
Т k ‘ \ k
V? I <а<и> е~а<и \г e-ara dBi (и) =
fe>0 о
= Pz(o— ах) — вероятность того, что за время обслужи-
вания вызова приоритета i в систему не поступят синие
вызовы; здесь о = . 4~ аг> ах = а^ + . ..
• •• + агх/, аналогично
сом (о — ах) есть вероятность того, что за время ожи-
дания начала обслуживания n-го вызова в систему не
поступят синие вызовы при условии, что n-й вызов есть
вызов приоритета I.
Заметим еще, что произвольный поступивший вызов
1 л/
является вызовом приоритета I с вероятностью qL = -у
(Z-1. .... Г).
110
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. И
Теперь формула
xipт+1 (Х)=[Р„ (Qt~1x)—Pn (0zx)H-9(.x(Pn (О')] ₽,(а—ax)
(2)
может быть получена с помощью следующих рассуждений.
Для того чтобы вызов был красным вызовом
приоритета I и, покидая прибор, оставлял в системе разве
лишь красные вызовы (вероятность чего есть xzPZ/J+1(x)),
необходимо и достаточно, чтобы либо п-й вызов, покидая
прибцр, оставлял в системе хотя бы один вызов приори-
тета /, не оставлял вызовы приоритета выше Z, все
оставшиеся вызовы были красными (вероятность чего есть
Рпф1^х) — Рп(01х)) и за время обслуживания следую-
щего (п+1)-го вызова (приоритета Z) синие вызовы не
поступали (вероятность чего есть pz (о — ах)), либо п-й
вызов, покидая прибор, оставлял систему свободной от
вызовов (вероятность чего есть Рп (0г)), следующий
поступивший вызов был вызовом приоритета I (вероят-
ность чего есть qt) и красным (вероятность чего есть xz)
и за время обслуживания его в систему не поступали си-
ние вызовы (вероятность чего есть pz(a— ах)).
Сейчас мы получим еще формулу
Pin (1 z-,xlr-z) == Р1п (Г) (аг — а(х() рг (at — а^). (3)
Для этого заметим, что:
PZ/I(lr) есть вероятность того, что n-й вызов есть
вызов приоритета Z;
P/n(lz->xr-z) = SL*i>0..........kr>0\pla(kv ...
..., ^r)xi есть вероятность того, что n-й вызов есть
вызов приоритета I и все вызовы приоритета Z, оставши-
еся в системе после его обслуживания, являются красными:
со
S'*?’]* еа>и $l(ai~ aiXi> есть ве’
m>0 О
роятность того, что за время обслуживания вызова при^
оритета I в систему не поступят синие вызовы приоритета 1\
аналогично
о)/л (az — azxz) есть вероятность того, что за время
ожидания начала обслуживания n-го вызова в систему не
§ 17]
ОБСЛУЖИВАНИЕ С> ПРЕИМУЩЕСТВОМ
111
поступят синие вызовы приоритета I при условии, что
я-й вызов есть вызов приоритета Z.
Теперь формула (3) получается из следующих рас-
суждений. Для того чтобы n-й вызов был вызовом при-
оритета I и все вызовы приоритета Z, оставшиеся в си-
стеме после его обслуживания, были красными (вероятность
чего есть Pin (lz’“1xlr“z)), необходимо и достаточно,
чтобы n-й вызов был вызовом приоритета I (вероятность
чего есть Р/Л(1Г)), за время ожидания начала обслужива-
ния этого вызова в систему не поступали синие вызовы,
приоритета I (вероятность чего есть coZrt (tzz — azxz)) и
за время его обслуживания в систему не поступали синие
вызовы приоритета I (вероятность чего зсть pz (az —azxz)).
Мы не накладывали никаких ограничений на числа
Х[, ...» хг, кроме 0<xz<l (Z = 1, . . ., г), так что
формулы (2) и (3) справедливы для всех таких хь .. хг.
Так как Pin (х) есть ряд по степеням .......хг с неотри-
цательными коэффициентами иРп(1г)=1, а функции pz(s)
аналитичны в полуплоскости Re s > О, то отсюда следует,
что формулы (2) и (3) справедливы для всех хр . . ., хг та-
ких, что | xz | 1 (Z = 1, ...» г). Эти формулы показывают,
что функции Pin(x) и со/л(х), Z=1.......г, могут
быть определены рекуррентным образом.
Е3. Докажем, что при
а1₽11 4- • • • + arPrl < 1
(4)
существуют пределы
lim pifl (k) — pi (k), Z=1..........r, k^O,
/l-»+oo
не зависящие от начального состояния системы и
A(ft)>o, 2u=i.........г, *>ojpz(fe)=i.
Воспользуемся следствием 2 § 45. Будем рассматривать
состояние системы лишь в моменты, когда некоторый
вызов покидает прибор (после окончания обслуживания).
При этом под состоянием системы понимаем вектор (Z, k),
означающий, что вызов, покидающий прибор, есть вызов
приоритета Z и оставляет в системе очередь типа
# = (&!..... kr). Таким путем мы получаем однородную
112 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
цепь Маркова, которую обозначим через Л4. Неприводим }
мость и непериодичность этой цепи очевидны.
Занумеруем все состояния цепи числами 1, 2, .. .
так, чтобы состояниям (1, 0), ...» (г, 0) соответствовали
числа 1, ..., г, а в остальном нумерация произвольна.
Если состоянию (Z, k) соответствует номер $, то будем
писать s = s(Z, k). Тогда цепь М характеризуется некото-
рой матрицей t>1 переходных, вероятностей. Для
каждого состояния s = s (Z, k) положим
ys “ Мп + • • • + Мн-
у5 можно рассматривать как среднее время, необходимое
для обслуживания очереди типа k = (k1.......kr). При
такой интерпретации 2 QstVt есть среднее время, необхо-
димое для обслуживания очереди, получающейся после
одного шага, если в начале этого шага было состояние
s = s (Z> k}. Пусть s = s (Z, k) и k = (0, .... 0, kt, ...» kr),
> 1. Тогда 4 _
г г
2<7«,/У/ = 5 (MzO Рл “Ь (kj.—1)₽л+ 2 Мд =
— 2 M/1 — 0*1 1 2 ai$il
где
r
e = min 1—2 «z₽/i
1 < I < r u i = 1
Требование 8 > 0 равносильно требованию (4). Если
же s = s (Z, 0), то
г г
2 Qstyt= 2 Qi 2 (Мл) Рл < +
z>i z=i z=i
Нам осталось заметить, что pin (k) есть вероятность
перехода (из начального состояния) в состояние (Z, k) за
п шагов.
Е4. Будем предполагать, что условие (4) выполнено.
Тогда существуют пределы
lim Pln (х) = Р, (x), lim Рп(х) = Р(х),
/1->+ОО Л->ОО
|х,|<1 (/=1.........г);
§ 17] ОБСЛУЖИВАНИЕ С ПРЕИМУЩЕСТВОМ ИЗ
при ЭТОМ
Р(х)=2Ш |х|<1, Р(Г)=1г (5)
/=1
Из (2) получаем
xtPt (X) = [Р (О'-’х) — Р (0zx) + qtxt Р(У)] pz (а — ах),
|х|<1. (6)
Из (3) вытекает существование предела
Пт <bz„ (az — azxz) = coz (az — azxz), |xz|<l,
д->4-оо
И
Pz(lz-1xlr-z) = Pz(lr)coz(az — a,xz)pz(az —azxz) (7)
(откуда G)z (+0) = 1, так что функция Wt (t) = lim Win (t)
П-+СО
есть ф. p.).
E5. Докажем, что соотношения (4) — (6) определяют
единственные функции (х), I— 1, г, аналитичные
в круге |х,| < 1...I xr I < 1 и |Pz(x)| < 1.
В самом деле, из (6) имеем
г г
S-рдГ-м = 2- р (0'х)+(<У)]
1 = 1 Н / = 1
ИЛИ
У frfr-ax) (а—ах)] = (qx—1) Р (Or), | х | < 1;
(8)
здесь qx = 4- ... 4- qrxr = Положим
(^х) = (^, .... vk_if xk....xr)\
тогда из (6) будем иметь
Pl W = Pl ZQX
Pz (a ax) (a — a )
для |xy|< 1, 1^1 <1, xt 0. Предельным переходом
убеждаемся, что (9) верно и для случая х/ = 0.
§ Г. П. Климрч
114
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
Определим, далее, функции ик1, перемен-
ных хк.........................................хг равенствами
Для корректности этого определения надо убедиться
в разрешимости этой системы уравнений. Докажем боль-
шее, а именно: система (10) определяет единственные
функции uki — uki(xk.....xr)t i— 1, ..., k— 1, анали-
тические в области
г г
2 Re Xs < 2 ai
j=k j=k
(И)
и \uki \ < 1 G’= 1, • • •» Из теоремы Руше следует,
что уравнение
Л-1 / г \
и = 2 о—«— 2 aixi (12)
i=l \ / = Л J /
в каждой точке (хл, .... хг) области (11) имеет единст-
венное решение ц = ик = ик(хкУ ..., хг), такое, что
Л-1 Л-1
рл1 < 5 ибо на окружности |а|= 2 ai выполнены
неравенства
Re ( о — и — 2 aix i I > 0.
Л-1 / r
S л,₽Д a —« — 2 a.jXj
2 al
i = l
Л-1
По теореме о
аналитическая
положить
неявной функции uk = uk(xk.......хг) есть
функция в области (11). Нам осталось
(13)
Л-1
ибо тогда uk— 2 aiaki
§ 17] ОБСЛУЖИВАНИЕ С ПРЕИМУЩЕСТВОМ Ц5
Единственность следует из того, что если я*р ...
...» —другое решение, то
л-1
<= SmL
Л-1
удовлетворяет (12) и | | < az, значит, =
i=i
а из (13) uki = Uki (Z=l, ..., k—1).
Теперь Р}(х) можно выразить через Р(0г) следующим
образом. Положим
*1 = иг\ (*г)...... *г-1 ~аг г-1 (*г)-
Тогда из (8), (10) получим
Рг (^Г1» • • •» Г 1> Хг) г л z z \ \1
₽г (p — ur(xr) — arxr) — ~ иг <хг) ~ «гхг)1 =
__ иг Iх г) ~Н Дг-У? О р
а в силу (9)
Рг (•*) _____ Pr (игЬ • * *> г-1» хг)
₽г (а — ах) (а — #г (хг) — ЯГХГ)
уже для всех х, |ху|<Л (/=1, ..., г). Далее, полагая
*1 = «г-11 (хг-1. хг), ;. -хг-_2 = иг_г ?_2-(х,_1, хг),
таким же путем определяем Pr_i(x) и т. д.
Нам осталось найти константу Р(0г). Для этого ис-
пользуем условие Р(1г)=1. Прй х2=.‘.хг—1
имеем
xi — Pi (о — ах) х{ — pj — atXi)
1 — xt 1 — Xi ’
1 —Pz(g —Д-у) __ 1—Р/(Д| —Д1Х0 /==2 rt
1 — х, 1—X! ’ .... ’
iQx — 1 Uj
1 — X) o’' . ? .
Поэтому при xt —> 1 — 0, учитывая (8), получаем
г .
- Pl (П + 2 Pt (1Г) «1₽й = - ^-Р (О').
f=l
8*
116
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ (ГЛ. И
Аналогично
т
- Р} (Й + 2 Pl (1г) = - -Т Р (°Г)’ ' = 1.......г>
/=1
откуда
P(0r) = 1 - а,?,, «Лг (14)
Отметим, что
^(1') = -^-. (15)
Е6. Определим теперь функции coz (s), I = 1, .
Из (7) во всяком случае имеем
1, 1 —а/"Ч1..1) । _1
₽/(s)
Пусть
xy= 1 (/ = л+ 1, ..г);
xk— 1 ;
* ak
xi = ukl(xk....xr), /== 1
тогда из (9) будем иметь
k — 1;
' . . Рй(1,1, 1----1,.... 1)
pk jx) _ \___________________/_
ак(а — ах) ak(s)
РЛх) PHV) „ , .
®7(о^ах)’~_®Д0Г —J = k + 1
<bz (о — ах) = 01(8-+- ок_1 - ак);
qx - 1 = — -J- (s 4- oft_! — ик)-,
отсюда в комбинации с формулами (8) и (9), (13)—(15)
получаем
(5)=
/г \ / 1-\ \ г Г / 1-1 \-
!- S M/i '2 “ 5 ai 1“М 2
\ 7=1 / X 7=1 / 7=*+1 L \7=1 /
/ 1-1 \
ai~s~afii 2 ai+s-ui I
X 7 = 1 /
Таким образом, нами доказана (положено ut (s)=cl^ni^ ($))
$ 17} ОБСЛУЖИвАЙИЁ С МРеЙМуЩЁСТВОМ jl?
Теорема. Если
а1₽11 + • • • + ar₽rl < 1»
то:
а) существуют
lim Wkn(t) = Wk(f), Л = 1.......г,
/1->+оо
где Wk(t) есть ф. р. (неубывающая, непрерывная
справа и Wk (-|~ оо) = 1);
б) функции Wk(t) определяются соотношениями
М*) =
(Т \ г
1- 2 afiil ](s+ak-l-°lt-lltk-l W)+S“z [!-₽/ (s+<’l!-i-<’fl-l*k-l Ю)]
Z = 1 / l — k + 1
S~ak + akh ^)
где nk_Y(s) определяется равенством
л-i
(5) = S afii (s-+-o*-i — (s)),
которое определяет единственную функцию ^^(s),
аналитическую в полуплоскости Re $ > 0, где выпол-
нено | ($) | < 1;
в) если
Pzi = а1Р11 + • • • + лАр
Р/2 — а]Р12 ”!“•••+ л/₽/2*
Р/З — а1₽13 “(“•••+ aZ₽Z3»
Pz — 1 —Pzi»
то первые два момента ф, р. Wk(t) равны соответ-
ственно
3Рл-1₽л 2Рл-1Рл 2Рл-1Рл
118
Система обслуживания одним прибором [гЛ. и
§ 18. Определение возможного времени ожидания
Рассмотрим систему обслуживания такую же, как
в § 15, но с условием, что прибор работает надежно.
Обозначим через w(f) возможное время ожидания, начи-
нающееся с момента Л или более точно: длину проме-
жутка времени, начинающегося с момента t и оканчиваю-
щегося моментом, когда система освободится от вызовов,
поступивших в систему до момента Л Положим
co(s, /)== Me-5™
и обозначим через Ро (0 вероятность того, что в момент t
система свободна от вызовов. Метод введения дополни-
тельного события позволяет довольно просто получить
следующие известные соотношения, определяющие рас-
пределение w(/) в предположении w(0) = 0 и
G)(s, /) = gk-a+apu))/
1 —sjе-^-а+а^*Рй(х)йх •,
О
(1)
оо
J* e~sx PQ(x) dx = [s + a — an(s)]"1,
о
n(s)=p(s-^a—an(s)), Res^O, | л (s) | 1.
Первое соотношение, переписанное в виде
е-а [1-3 (5) j t — e-st^Si f) _|_
t
+ J — e~sx), (2)
о
получается из следующих рассуждений. Пусть s> 0 и
независимо от работы системы обслуживания происходят
«катастрофы», моменты наступления которых образуют
пуассоновский поток с параметром $. Вызов будем назы-
вать «плохим», если во время его обслуживания наступает
«катастрофа». Так как вероятность того, что за время
обслуживания некоторого вызова произойдет «катастрофа»,
равна 1 -'K(s), а поток выздвов --пуассоновский с пара-
метром а, то поток, «плохих» вызовов — тоже пуассонов-
$18] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВОЗМОЖНОГО ВРЕМЕНИ ОЖИДАНИЯ H9
ский с параметром а [1 — p(s)]. Наконец, для того чтобы
за время t в систему не поступали «плохие» вызовы
(вероятность чего есть $-«[1-0($)]*), необходимо и доста-
точно, чтобы либо «катастрофа» не наступила ни за
время t (вероятность чего есть e~st), ни за промежуток
времени, начинающийся с момента t и оканчивающийся
моментом, когда система освободится от вызовов, посту-
пивших до t (вероятность чего есть co(s, ^)), либо
«катастрофа» наступила до момента /, скажем, в некото-
рый момент х, в этот момент х система свободна от вы-
зовов (с вероятностью Р0(х)), и за оставшееся время
t — х в систему не поступят «плохие» вызовы (вероятность
чего есть Р-Р С*)1 (*-*)), Это доказывает (2).
Так как при s > 0, ^^>0 вероятность co(s, t) ограничена
(единицей) и при $>0 функция ехр { [$ — а —J—<^р (s)]/}
по t возрастает до бесконечности при /—(ибо
в силу aPi < 1 s - а + op ($) возрастает, поэтому при
$>Р выполнено s — а -1- ар ($) > 0), то из соотноше-
ния (1) следует
оо
J* e-[s-«+<*0 W*P0(x)dx — s-',
о
откуда, вспоминая функциональное уравнение
. л ($) = р ($+ а — an(sY)
(см. § 13), определяющее преобразование Лапласа—Стилть-
еса распределения периода занятости, получаем
J* е~.sxp^x)dx= [s+ а — an(s)]"1,
о
что и требовалось.
Задача. Показать, что если вызовы могут поступить лишь
в «вызывающие» моменты, образующие пуассоновский поток
с параметром а, а в каждый «вызывающий» момент поступает k
вызовов с вероятностью ak, Ф (г) == 2 akzk> Ф (1) = 1,
й>0
то соответствующие формулы, определяющие распределение
120
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. П
w (Z), получаются, если р ($) всюду заменить на Ф (р ($)), а именно:
(О (s, t) = exp {[$ — а + лФ (Р (5))] £} {1 —
t
-sf;
о
оо
j* e~sxP0 (х) dx = [s -f- cl — ал(5)]-1;
о
л (s) = Ф [p (s -j- a — ал (s))].
§ 19. Рекуррентный поток, экспоненциальное
время обслуживания
На обслуживающее устройство поступает рекуррентный
поток вызовов, определяемый ф. р. A (f), А (0) < 1. Дли-
тельности обслуживания вызовов независимы, одинаково
распределены с общей ф. р. В(/)=1—e~bt, b>0.
Будем различать две схемы обслуживания.
Схема 1 (прямой порядок обслуживания). Вызовы
обслуживаются в порядке поступления их в систему.
Схема 2 (инверсионный порядок обслуживания). Среди
вызовов, ожидающих начала обслуживания, в первую
очередь обслуживается вызов, поступивший позже
остальных. *
Положим:
pkn — вероятность того, что n-й вызов (нумерация вы-
зовов производится в порядке их поступления) в момент
своего поступления застает в системе k вызовов, k 0;
1FW(0— ф. р. времени ожидания начала обслуживания
для n-го вызова;
оо
a-1 = J* t dA(t) < -poo.
о
Теорема. Если a/b < 1, то:
а) существуют пределы
Hm pkn = pk>oS fc>0, lim Wn =
П-+ 4-00 4-00
не зависящие от начального состояния системы;
б) р* = (1-р)₽*.
§ 19] ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ВРЕМЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ 121
где р—единственный корень уравнения
р = а (Ь — Ьр),
лежащий в (0, 1);
в) в случае прямого порядка обслуживания
— рг-'1-^;
г) в случае инверсионного порядка обслуживания
со (s) = 1 — р 4- рл ($), л ($) = »
v r 1 ‘ к s-\-b —by (s)
у (s) = a (s -j- b — by (s)),
причем последнее функциональное уравнение имеет
единственное решение у($), аналитическое в полу-
плоскости Res>0, в которой |у(s)| < 1. Заметим,
что у(О) = р.
Если же а/Ь^Х, то пределы, указанные в а),
тоже существуют и равны нулю.
Доказательство. Пусть /2, • • • — последова-
тельные моменты поступления вызовов; tQ = 0; v(/) — число
вызовов, находящихся в системе в момент /; vn — v(tn — 0).
Ясно, что последовательность {v/2)zz>0 образует однород-
ную цепь Маркова; под состоянием цепи на п-м шаге пони-
мается число vn. Матрицу переходных вероятностей обо-
значим через {az/)z>y>0; здесь atj = Р {vn+1 — j| v„ = i],
п 0. Из состояния I за один шаг система может перейти
(с положительной вероятностью) лишь в одно из состоя-
ний 0, 1.....Z4- 1, т. е.
>0 для Z4-l>j,
.о/у=0 для Z4-1 </.
Очевидно, что
= J ^-bxdA(X),
Заметим далее, что pkn есть вероятность перехода си-
стемы (из некоторого начального состояния) в состояние k
за п шагов. Докажем, что при а/b < 1 существуют
lim pkn = ph, k^Q, (1)
Л-»оо
122
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. И
такие, что
2^ = 1-
л>о
(2)
Так как введенная выше цепь Маркова является непри-
водимой и непериодической, то существование пределов (1)
следует из теоремы 1 § 45. Для того чтобы было вы-
полнено (2), необходимо и достаточно (см. следствие 1 § 45),
чтобы система уравнений
Pk=2lplaik’ k>Q’
2 Pi=[
0
имела неотрицательное решение, которое в этом случае
совпадает с пределами (1) (см. теорему 1 § 45).
Итак, для определения pk, имеем систему урав-
нений
1 = р0-|_ Pi 4- ..
Ро = Роаоо -Ь Р\а10 +" ‘ »
Р1 = РоаО1 + Р1а11 + •••»
Отметим, что, например, второе уравнение является след-
ствием остальных. Так как
ai + k.J+k=aiJ ПРИ k>°‘
то
оо
Pk+i = ^Pk+i f ^-e-^dA{x), k>0.
i>0 О
Будем искать решение рк, в виде
Рк = Р<Рк- 0<р<1;
тогда из последней системы получаем
со
PoPft+1 = РоР* S J ^~7Г~ e~bX dA (х)’
i > о и
откуда
р = а (Ь — bp).
§ 19] ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ВРЕМЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ 123
Последнее же уравнение имеет в (0, 1) один корень (здесь
мы пользуемся тем, что а/b < 1). Таким образом, утвер-
ждения а) и б) теоремы доказаны.
Утверждение в) следует из того, что если вызов в мо-
мент своего поступления застал в системе k вызовов, то
время ожидания начала обслуживания в случае схемы 1
имеет ф. р. Bk (/), где
ы
£*+1(0=/^e-'dx==[l-e-wL*+1. £о(О=1. *>0.
о
Утверждение г) следует из того, что если вызов в мо-
мент своего поступления застает прибор занятым обслу-
живанием, то до начала обслуживания поступивший вызов
будет ожидать время, имеющее такое же распределение,
как и период занятости (см. теорему 2 § 13). Отсюда
^л(О = Роя+(1-Роя)л(«); I
л($) определяется теоремой 2 § 13. 5
Наконец, рассмотрим случай Покажем, что 1
при этом lim pkn= pk = Q, |[
Л-»+ОО 11
Для некоторого b > 0 положим В (t) — 1 —
Если длительность обслуживания вызова имеет распреде-
ление не B(t)=\—e~bt, a B(t)=\—e~bty то соответ-
ствующие вероятности и величины будем снабжать зна- '
ком Отметим, что
B(t) < B(t), если b < Ъ, J
- I
откуда при b < следует ,,
Рол Рол* Ро Ро-
Подберем b так, чтобы а\Ь < 1; тогда
Ро= 1 — р.
(3)
где р— единственный корень уравнения
р=а(? — Z>p),
124
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
лежащий в (0, 1). Но при Ь—>а-|-0 выполнено р^1
и из (3) следует, что ро = О. Теперь из теоремы 1 § 45
следует, что и pk = 0 для k > 0.
§ 20. Рекуррентный поток, произвольное
время обслуживания
В систему, состоящую из одного прибора, поступает
рекуррентный поток вызовов, определяемый ф. р. А (/).
Длительности обслуживания вызовов независимы, одина-
ково распределены с общей ф. р. B(t). Вызовы обслу-
живаются в том порядке, в котором они поступают. Обо-
значим через Wr(t) ф. р. времени ожидания начала обслу-
живания г-го вызова (нумерация вызовов ведется в порядке
их поступления в систему). Будем интересоваться поведе-
нием Wr(t) при г—>-|-оо. Этот вопрос, по-видимому»
впервые был изучен Линдлеем [41].
Предположим, что
оо
сц = J* tdA (0 <
о
р1 = J ZrfB(/)<4-co.
о
Далее, исключим из рассмотрения тот простой случай,
когда длины интервалов между поступлениями вызовов
и длительности обслуживания вызовов есть постоянные
величины, равные одному и тому же числу.
Теорема, а) Существует
lim WT(t) = W(t) (1)
r->+oo
такой, что W(f) неотрицательна, не убывает, не-
прерывна справа и UZ(/)==O при t < 0; при этом
выполнено соотношение
f W(t — x)dC(x) при г?>0,
-со (2)
.0 . при t < 0;
§20]
ПРОИЗВОЛЬНОЕ ВРЕМЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ
125
здесь
оо
C(t) = B(x-\-t)dA(x) (3)
о ,
(отметим, что A(f) — B(f) = 0 при t < 0).
б) при сц >’ft предел (1) не зависит от началь-
ного состояния системы и представляет ф. р.
(W(H-oo)= 1); при этом соотношения (2) определяют
ее однозначно. Кроме того,
Sr Yjt (5) — 1
----k---- ’
где
оо
Y^(s) = s J e-stCk(t)dt,
0
oo
Cn+I (0 = fck(t-x) dC (x), Cx (0 = C (0.
в) при предел (1) не зависит от началь-
ного состояния системы и
W(t) = 0.
Доказательство. Пусть
tx , t2, ... — последовательные моменты поступления
вызовов; zT — tT — tr_b r^\, £о = О;
sr — длительность времени обслуживания вызова с но-
мером г\ \
—время ожидания начала обслуживания вызовом
с номером г.
Предположим, что в начальный момент система сво-
бодна от вызовов; тогда
= 0,
^г+1 + *r+i = ™r + sr> если wr + sr > Zr+1,
-o/r+1 = 0, если wr-]-sr zr+1,
или, полагая ur — sr — £r+1, получаем
(wr 4- иГ, если wr + ur > 0,
0 , если wr-4-«f^0.
(4)
126
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
Заметим, что wr и иг — независимые случайные величины.
Положим
Wr(t) = Р (wr < /},
С (О = Р {«,</);
тогда для и W\(t' = O для t < О,
гг+1 (О=р к+1 < /} = р к+1 = 0) +
4- Р {О < wr+1 < f} = р (wr + ur < 0} 4-
4-Р (О < wr4-«r</} = р {wr4- ur </],
т. e.
f f W (t — x) dC (x) при / 0,
^4-1(0= j 2 ' (5)
I 0 при t < 0.
Таким образом, зная C(t) и W^t), однозначно опреде-
ляется Wr (t) для всякого г 1. На первый взгляд этот
факт (ф. р. времени ожидания зависит лишь от разности
между временем обслуживания и длиной интервала между
двумя поступлениями вызовов) может показаться неожи-
данным.
Далее заметим, что
Г2(0 = Р{«1</},
^з(0 = Р{«1 + «2<^
или в общем случае
^г+1(0 =
= Р {^i + • • • + tt я2Ч“ • • • ur t, ..
Так как .......иг независимы и одинаково распределены,
то можно их перенумеровать в обратном порядке и получить
^г4-1(0 = Р {^i + «i+ ... + ur <7}.
k
Положим — тогДа
U7r+1(£)==P для всех k^r}.
§ 20) ПРОИЗВОЛЬНОЕ ВРЕМЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ 127
Введем событие
Er= {Uk^t для всех k^r};
тогда
Ег о Ег+1 г» ... => Е,
где
E={Uk^t для всех £^1}.
Переходя к вероятностям, получим
lim UZr+1(O= Пт Р(ЕГ)=:Р(Е),
л Г->+со г->+оо
что доказывает существование предела (1).
Используя теорему Лебега о пределе под знаком инте-
грала, из (5) получаем (2), где положено
W (t) = P(E).
Ясно, что функция W (/) неотрицательна, не убывает,
непрерывна справа и равна нулю при t < 0. Чтобы W (/)
была ф. р., достаточно теперь, чтобы Н7(-|-оо)< 1.
Заметим, что в случае -0 из (4) по индукции
получаем
^f+1 = max[0, иг, ит-\-иг_х.......«г4~лг-1 + ••• + й1Ь
Так как иъ ..., иг независимы и одинаково распределены,
то отсюда следует, что случайные величины
и тах[0, ир + + ••• Н“йг]
одинаково распределены. Из этого замечания и теоремы
Спитцера (см. § 46, пункт Б) следует сформулированная
выше теорема для случая = 0.
Пусть теперь = х; тогда
= max [0, ur, ur 4- .... ur-\- ... +«2»
ur~V • • • + Й1 + XI»
откуда следует, что случайные величины
^r+i и max [0, Ир —|— #2» • • •» 4~ • • * ^r—1*
«1+ ... +и,+х]
lim Wr(t/X) (*)=
г-+ +оо V
128 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
одинаково распределены. И опять из теоремы Спитцера
(см. (4) — (6) § 46) следует, что
lim Wr+x(tlx) = W(t)\
Г-> 4-00
здесь
W*) = P (wr + 1 <Z/w1 = x}.
Если же имеет распределение IF] (f), то j
co 1
WT{t) = \wr(t/x)dWl(x), j
0
а по теореме Лебега
оо оо
lim Wr (t/x) dWt (x) =
r-»-t-oo
oo
(*)=№(/).
Последний результат показывает еще, что при
уравнение (2) определяет единственную W (/), равную
нулю при t < 0 и являющуюся ф. р: В • самом деле,
если W (t) еще такая же функция, то, полагая UZj (t) — W (/), 1
из (5) получим, что Wr+1 (/) = 1F(Q, т. е. W (t) = W (t). I
Задача 1. Рассмотрим ту же систему обслуживания, |1
которая была в этом параграфе, но с дополнительным условием: |
вызов, заставший систему в момент своего поступления свобод-
ной от вызовов, обслуживается не сразу, а через случайное
время 0 с ф. р. К (0 (система «разогревается»). Распространить
результат этого параграфа на эту систему обслуживания.
Указание.
( w +и , если w +и >0,
ЧП sSB < ' ' ' '
г+1 ( 0, если
(Такая система рассмотрена в диссертации А. Шахбазова). $
Задача 2. Пусть вызовы поступают’ группами по п вы-
зовов в каждой группе в моменты, образующие рекуррентный
J
§211
ПРИМЕРЫ
129
поток, определяемый ф. р. A (t). Обозначим через wr длитель-
ность ожидания начала обслуживания r-й группы (группы вызо-
вов нумеруются в порядке поступления). Показать, что
t
lim Р {wr^t} = = f W(t — x)dC(x),
r-> 4-00 j
—co
где
+oo
Y(s)= f e~s( dC (t) = a (—s) [p (s)]n.
—oo
§ 21. Примеры
В этом параграфе будем заниматься решением уравнения
{ — x)dC(x), f>0,
^(0 j —оо
| 0, t < 0.
(1)
для некоторых частных функций A (t) и В (f). При этом
будет использован метод Винера — Хопфа. Напомним, что
оо
C(t) = P{s — z^t} = f B(t + u)dA(u). (2)
О
Будем предполагать, что
В(0)<1,
Л (0) < 1.
оо
д-1 = J tdA(t) <4-00,
О
= f tdB(t)< + oo,
О
a<b.
В этом случае согласно теореме § 20 уравнение (1)
определяет единственную ф. р. W (t). Заметим, что инте-
грал, стоящий справа в (1), представляет функцию, не
убывающую на всей прямой и стремящуюся к 0 или 1
при t -> — оо или >-|-оо соответственно. В самом
9 г. П. Климов
130
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. И
деле, так как W (t) и C(t) суть ф. р., то для любых tx
и /2, таких, что /2 > ^1» имеем
J W(t2 — x)dC{x) — f W(t1 — x)dC(x) =
— CO —co
= f [W(t2 — x)—W(tl — x)]dC(x)^Q
— co
и
t t
J W(t— x)dC(x)^ f dC(x) = C(t)^0 при t-> — oo.
—co —oo
Положим
U7+(0 = ^(0.
I f r (t — x) dC (x), /<0,
1Г_(П = { 4
I o, f > 0;
тогда
t
w_ (t) + (0 = f r+ (t — x) dC (X) (3)
— oo
уже для всех t. Если теперь положить
(0+ ($) = J e~st dW+ (0 = fe-“ dW+ (t),
— DO 0
(0_ (s) = J* e~st dW_ (t) = J e-st dW_ (t),
— OO " —oo
Y(s)= fe-s'dCtf),
— OO
то из (3) следует
®_ (S) + o+ (s) = <B+ (s) у (s)
или
<0_ (S) -t- <0+ (s) [ 1 — Y (s)l = 0. (4)
§ 21]
ПРИМЕРЫ
131
Кроме того, из (2) получаем
Y(s) = a(— s)p(s). (5)
Отметим, что функции со+ ($), <»_($), a (—<$), p(s), yfs)
определены, по крайней мере, на мнимой оси Res = 0,
и при этом функции со+ ($) и р ($) аналитичны в правой
полуплоскости Res>0, а функции (s), а(—s) ана-
литичны в левой полуплоскости Re s < 0.
Для применимости метода Винера — Хопфа нам потре-
буется следующая лемма, в которой приняты обозначе-
ния a (t), b (/), с (Z) для плотностей функций А (/), В (/), С (/)
соответственно (если последние абсолютно - непрерывны).
Лемма (Смит [22]). Если для некоторого Х>0 либо
1) а (I) существует и функции еиа (I) и elt [1 —В (/)]
имеют ограниченное изменение в (0, оо), либо
2) b(t) существует и функции eKtb(t) и eKt [1 — A (t)\
имеют ограниченное изменение в (0, оо), то
а) С (/) абсолютно непрерывна, т. е. имеет плот-
ность c(t)\
б) функция e^^ctt) имеет ограниченное измене-
ние в (—оо, +оо);
в) для любого г, 0 < & < X, функция у($) анали-
тична в полосе ——е;
г) y(s)— О (р-у) при s = o-|-zt, — е.
Не оговаривая каждый раз, будем предполагать, что
условия леммы выполнены. Тогда функции со4. (s), P(s)
аналитичны в полуплоскости Res>—Л/функции co_ (s),
a(—s) ацалитичны в полуплоскости Res<X, а; функ-
ция y(5) аналитична в полосе —X<Res<X. Для функ-,
ций а(—$), р($) и у(5) это очевидно; проверим это
утверждение лишь для со+($) и <»_($). Заметим, что
ОО ' --
, • V- W'+W = f w'+(u)c(f — u}du,
. • , 0 -
оо
W_(t)= fW+Cuyctt — u)du, t<0,
(Г
но согласно лемме функция eKltlc(t) имеет ограниченную
вариацию в (—-оо, .-|-,оо), ^поэтому функции
9*
132
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ (ГЛ. II
и ехI ‘ IW_ (/) ограничены в (— оо, -|-оо); например, при
t<0
ОО
(/) = ]* ем ‘ IIF+ (и) с (t - a) du <
О
J ек u \c(t— u)du^ J eK^~a]c (t — и)du < -f-oo-
о 0
Отметим, что так как функции W+ (t) и (7) -1- IF+(/) —
не убывающие в (—оо, +оо) и О UZ+1,
О W _ 1, то для всякого е, 0 < е < X, функции
со^ ($) и (0_ ($) ограничены в полуплоскостях Res^>—
и Res<iX— 8 соответственно. Положим p=Z—8>0
и сформулируем получившуюся теперь задачу: пусть функ-
ция у($) аналитична в полосе —p<Res<p; требуется
определить функции со+ ($) и> со_ ($) такие, чтобы:
а) функция со+ (5) была аналитична и ограничена в полу-
плоскости Res>— р; функция со_ ($) была анали-
тична и ограничена в полуплоскости Res<p;
б) в полосе —p<Res<p выполнялось равенство
®_(S)4- (s)[l — y(s)1 = 0;
в) <d+(0)= 1 (= W(4-oo)).
Эта задача будет решаться следующим образом. До-
пустим, что существует факторизация выражения у($)— 1,
т. е. такие две функции ($) и /<_($), что:
1) К+ ($) аналитична в полуплоскости Res>—р;
2) /С_ ($) аналитична в полуплоскости Res<p и не
содержит там нулей;
К (s)
3) у (s) — 1 = ~ в полосе — р < Re s < р; пред-
-А - (о) . .
положим, кроме того, что
4) |/<+(s)|<C Afr|s|p при |«|->4-оо.и Res>—ц,
|/С_($)|< Л12|$|? при |s|->4- оо и Re s < р;
тогда
СО— ($) /С ($) = co+ (S) ^+ (S), (6)
причем левая часть аналитична в полуплоскости Res<p,
а правая в полуплоскости.Res > — р; тем самым,мы.доожем
ПРИМЕРЫ
133
§ 21]
определить целую функцию F ($), полагая ее равной левой
части (6) при Re s < р и правой части (6) при Re s > — р.
Так как
|F(s)|<C aG|s|p при |$|->-{-оо и Res>—р, •
IF (S) I < M21S |? при |s|-> + оо и Re s < р,
то по обобщенной теореме Лиувилля функция F(s)
является многочленом степени не выше целой части min (р, q),
так что
(s)K. (s) = K0+KlS 4- ... +Knsn\ (7)
теперь остается найти лишь коэффициенты этого многочлена.
Заметим, что часто функции /С+($) it /<_($) можно
просто угадать.
Пример 1. A (f) — 1 — e~at> В (/) — 1 — е~bt. В этом
случае
а($) — ——» ₽(5) =т-т—»
v ' а-[-$ 7 b-[-s
а (— s) р (s) — 1 —s(s + а). .
4 / Г V / (д — S) (6 -р $)
В качестве К+ ($) и /С_ ($) можно взять
Тогда из (7) имеем • ' 4
<o(s) s(s6+_|!5~-a) =^o+^;
так как <о(О)= 1, то ’
Ко=О. ^=1-р. p = f,
®(s) = (1 — р). * + 5.== 1 — р_|_р—,
v/ v s + 6 — а г \ V s-^-b — a
откуда
... ' Г(0==1—рг-<*-а)'. ‘ \
Пример 2. A(t)—\—e~at\ в этом случае' 1 !
134
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ.11
За К+ ($) и К_ (s) можно принять
(s)= afr(s) — a-j-s; K_(s) = a — s.
Из (7). будем иметь
. 6)(s)[s-a + «p(s)| = ^+A'1sl
откуда (со (0) — 1)
/Со = 0. ^ = 1— р. p = aPi.
, . 1 — Р
" а !-₽(«)'
5
' Пример 3 (поток Эрланга л-го порядка). a(s)==
/ a \n+1
= . В этом случае
(a — s)a+‘
За К+ (s) и АГ_ (s) примем
К+ (s) = ал+1р (у) — (а — s)”+I, К. (s) = (а — $)я+1.
Из (7) имеем
® (S) (s)-(а -s)n+Ч = Ко + К&+.. • • + Kn+lsn+1.
Так как со(О) = 0(О)= 1, то KQ = 0. Остальные константы
К\...../<л+1 могут быть определены следующим обра-
зом. Положим s a — аз;__.тогда /г г
ал+1со(а—az) [fl (а— az) — zn+1] =
= ^a(l - z)±.. 4-/C„+1a«+i(i - г)»*1;
Покажем, что функция
‘ f ${а — az)—,z*+? --
имеет, по крайней мере, корней (считая их крат-
ности) в круге |z|^l. В самом деле, для всякого е>0
при |г|— 1 имеем
Re (8 -f- а — az) > 0,
• j =|г«+»ь-
§ 21]
ПРИМЕРЫ
135
а поэтому, согласно теореме Руше, функции
zn + l — р(8_|_д— azy и Zn + 1
имеют одинаковое число нулей в |г|< 1, т. е. (п4~1)
нулей. При 8—> +0 получаем нужное утверждение. Теперь
коэффициенты/^..../Сл+1 определяются через нули функ-
ции р(а—az)—znvX в |z|< 1. Отметим, что
Кг = ап[п+\ — aPJ.
Пример 4. Пусть cf(s) = Pk (s)/Qn (s), где Pk(s) и
Q„(s)— многочлены степени k и п соответственно. Можно
считать, что Qn (0) =# 0, так как в противном случае Pk (0) =
= a(0)Qn(0) = 0 и дробь Pk(s)/Qn(s) можно сократить
на степень s. Отметим еще, что корни многочлена Qn(s)
лежат в левой полуплоскости Re s < 0, так как функ-
ция a(s) аналитична в правой полуплоскости Res>0.
Кроме того, k < п,
Qn(-s) •
В качестве (s) и /С_ ($) можно взять
AT+(s) = ^(-«)₽(s)-Qn(-s). K-(s) = Qn(-s). -
Из (7) получаем
со(5)[/?н(-^)₽(5)-СЛ(-5)1 = ^+^+ ... +Kns\
и нам осталось определить коэффициенты К& К\.Кп.
Отметим, что /Со = О, так как со (0) = р (0) = 1, РЛ(0) =
= Qn(0). Остальные коэффициенты определяются через
нули функции Рп(—s)P(s) — Qn(—5)-
Прежде чем переходить к рассмотрению других при-
меров, докажем несколько утверждений [22].
Теорема 1. Для некоторого ц, 0 < р, < X суще-
ствует представление
. , . $Ф+ (s)
такое, что Ф+($) аналитична в полуплоскости
Res> —р, где она ограничена и не содержит нулей,
Ф-(5) аналитична в полуплоскости Res < р, где
она ограничена и не содержит нулей. При этом за
136
систёма Обслуживания одним Прибором (гЛ. it
функции Ф+($) и Ф_($) могут быть взяты, напри-
мер, функции, определяемые следующими соотноше-
ниями'.
In Ф+ ($)
s — л
_у(г)]1
тЛг —Ь— ---------------- dz,
2ш J z — s
-ц— гео
— г-s-------------dz-
Доказательство. A.
пий A(t) или B(t) абсолютно
Так как одна из функ-
непрерывна, то ($ = о-^гт)
|у(/т)|< 1 при т#=0 и y(0)=1.
Согласно лемме у($)->0 при |т|->-]-оо и —Х4"8^
о X — 8, поэтому функция 1 — у ($) может иметь
в полосе — X + 8 о X — 8 лишь конечное число нулей.
Взяв р достаточно малым и положительным, 0 < р < X,
можно добиться, чтобы 1—у(5) имела в полосе —р
о р лишь один нуль s — 0. Отметим, что
4-[1—Y ($)] = Ь~Х— а-1 =/= 0, поэтому нуль s —0
as ls=0
функции 1 — Y($) является простым. Тогда функция
(8)
ограничена п свободна от нулей в полосе — р о р и
при этом равна 1 + О (см. утверждение г) леммы).
Б. Из того, что
|Y(Zr)|<l, т#=0,
^[i_Y(s)i = x(a-1-Z>-1) + O(|s|), |sH0,
IyWI^O ПРИ |т1“>.+ со»
следует, что полное изменение
arg{-^7^U-r-Y(s)]}
ПРИМЕРЫ
137
§ 21,
вдоль мнимой оси равно нулю. Кроме того, функция не
имеет особенностей и нулей в полосе — р, о р. По-
этому
есть однозначная аналитическая функция в полосе —р<^
<^о<^р и при этом
|1п { [ 1 ~ V (*Л } | < м Iт Г1-
В. Нам осталось применить теорему § 42 и получить
требуемое.
Следствие.
В самом деле, в данном случае
К+($)=^Ф+($), /С(я)=-Ф_(*).
Из (7) имеем
= +
и так как со+ (0) = 1, то KQ = 0, = Ф^. (0).
Ясно, что особенности функции 1 — у($) в левой-полу-
плоскости могут возникнуть только из-за особенностей р ($),
так как а(—$) там аналитична. Возможно, что некоторые
нули а(—$) могут совпадать с полюсами р($). Предпо-
лагаем, что этого не происходит. Тогда особенности
функций Ф+ ($) и р ($) идентичны.
Покажем, что на некоторой малой дуге $~reiQ> r =
л л Зл
выполнено
Iy(s)I<1-
Для концов этой дуги неравенство вытекает из того, что
IyGt)|< 1 при т=/=0. Для малых |$|
Y(s) = a(—s)p(s)=l+«(«’ —6-1) + o(|s|).
или, полагая s = re/e, e1 = r(a~1— получим
y(s)= 1 +eiei04-o(|s|),
138
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ-ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ.-П
откуда
[ v (s) I2 = (1 + 8! cos 0)2 + (ех sin О)2 + о (| s |)
или
Iy(s)I2= 1+26! cos 0 + о (|$|),
поэтому при cos 0 < 0, т. е. при < 0 <
|у($)|2= 1 —2ei|cos0|+o(|s|),
что и требовалось.
Пусть теперь R > е > 0. Обозначим через Г замкну-
тую кривую, состоящую из двух полуокружностей с цен-
трами в начале координат, лежащих в левой полупло-
скости, радиусов 8 и R соответственно,
и двух отрезков мнимой оси, находящихся
по разные стороны от начала координат
и соединяющих концы указанных полу-
окружностей (рис. 5).
Теорема 2. Если р($)—меро-
морфная функция и неравенство
|y(s)|< 1 выполнено на Г, то число
нулей функции 1—у($) внутри Г со-
впадает с числом полюсов р($) вну-
три Г.
Доказательство. Выше было сде-
лано предположение, что полюсы 0($)
Рис. 5. не совпадают с нулями а(—$). Пусть
bv b2................ Ьп — полюсы функции 0($)
внутри Г (каждый полюс считается столько раз, какова
его кратность) и Р ($) = ($— . ($ — Тогда функ-
ции P(s) и Р($)у($) аналитичны внутри области, ограни-
ченной Г, и на самой Г; кроме того, на Г выполнено '
> |P(s) Y(s)|.
По теореме Руше Р($) и Р($)[1—Y(s)l имеют одинако-
вое число нулей (заметим, что не является нулем функ-
ции Р($)— Р (5)y(5))» что и требовалось.
Теорема 3. Если*.
1) для некоторого R неравенство |y(5)|< 1
полнено при |$|^Р и Res<0;
§ 21]
Примеры
139
2) p(s) имеет конечное число полюсов, то Ф+(s)
есть рациональная функция.
Доказательство. Пусть bit b2, .... Ьп — полюсы
функции р (^); тогда по теореме 2 функция 1 — у (s) имеет п
нулей в полуплоскости Res<0 (считая их кратности);
которые обозначим через ...» ап. Так как особен-
ности функций p(s) и Ф+($) идентичны, то Ф+ (s) имеет
только п полюсов bv ..bn и п нулей ах, ,.ап.
Положим
р /с\ _ (S д1) » ♦ ♦ ($ Дд)
( )— (S-^)...(S~M’
Ф+ (s) = 0 (s) R (з);
тогда 0(s) есть целая функция (без нулей). При доста-
точно малом 80 > 0 нули и полюсы функции /?($) распо-
ложены в полуплоскости Res<—е0, поэтому из ограни-
ченности функций Фч (s) и 7?-1(s) в Res>-— 80 следует
ограниченность функции 0($) = Ф+ (s)/?-1(s) в полупло-
скости Re s — 80. Далее, так как:
2) функция 1 — y(s) ограничена при |s|^>/?, Res<0,
3) функция ограничена в полуплоскости Res
. 4) 7?-1(s) ограничена при |s|> /?', где R' — доста-
точно большое число, то функция
о (S) - ^11 — Y («)] -7Ц1 Я"’ ($)
ограничена при |s|^max(7?, 7?'), Res < 0. Слабый вариант
теоремы Лиувилля дает в этом случае, что 0(s) = /C =
= const, что и требовалось. Таким образом,
(9)
Если выполнены условия теоремы 3, то
(1--^) ... (1—тМ
®(s)=7———ту- <10>
Это вытекает из следствия теоремы 1.
140
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
Как следствие теоремы 3 сформулируем утверждение,
интересное во многих частных случаях. Обозначим сначала
через Sn множество ф. р., равных нулю при отрицатель-
ных значениях аргумента и преобразование Лапласа — Стил-
тьеса которых представляется в виде отношения много-
членов, причем степень многочлена в знаменателе равна п
(а в числителе — меньше и).
Теорема 4. Если т. е.
₽(*) =
Qn (*) ’
(И)
где Qn(s) — многочлен степени п, a Pn(s)—многочлен
степени < и (я существует такое К, что функция
е^[1 —Л(/)] имеет ограниченную вариацию в (0, оо)),
то выполнено (10), т. е.
(12)
где аг...ап — нули функции 1 —а(—s)p(s) в левой
полуплоскости Res < 0.
Заметим, что можно считать, что Q„(0)=/=0, так как
в противном случае Рп (0) = р (0) Qn (0) = 0 и можно
было бы сократить дробь Pn(s)/Qn(s) на некоторую сте-
пень s. Отметим, что у Смита [22] эта теорема формули-
руется лишь для случая Pn(s)=l.
Доказательство немедленно следует из тео-
ремы 3. Так как при достаточно больших |s|, Res<0,
P(s) ограничена, а а(—s) произвольно мало, то суще-
ствует такое R > 0, что
|а(—s)₽(s)|< 1
при |s|R, Res < 0.
Пример 5. В (/) = 1—/^>0, b > 0. В этом
случае Р(5)=у^у
и согласно теореме 4 п= 1, ах есть
единственный корень уравнения
§ 21]
ПРИМЕРЫ
141
лежащий в левой полуплоскости Re s < 0. Полагая а1 —
= #р—Ь, получим
а (Ь — Ьр) = р.
Заметим, что последнее уравнение имеет единственный
действительный корень в интервале (0, 1) (учесть а < Ь).
Поэтому из (12) имеем
= 1 —р + р
откуда
Г(0=1—
Ь — Ьр
s-]-b — bp *
__। / b \
Пример 6. a(s) — e-sa , р (s) = $ j , т. е.
вызовы поступают через постоянный интервал длины а”1,
а длительность времени обслуживания имеет распределе-
ние Эрланга (п— 1)-го порядка. В этом случае согласно
теореме 4
©(S)== —---Н/
ьп 11—M-..I
где av .... ап — корни уравнения
лежащие в левой
z = —[— ; тогда
о
полуплоскости Re s < 0. Положим
По теореме Руше находим, что последнее уравнение имеет
п корней в круге |^| < 1.
Задача 1. При сохранении условий леммы
-Ц+t ОО
1П® (5) = --^ I ——1-----In] Z~K [1 —¥(.?)] \dz.
v ' 2ш J z (z — s) ( z L 1 v ,J J
— Ц— i oo
142
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
Ф. (0)
Указание, о ($)=*ф (7) , откуда In со (.$)== In Ф^ (0)-1п Ф+ ($); далее
. . + , 11 —<s
воспользоваться формулой теоремы 1 и соотношением-е—----г-.
Z Z S Z ,
Задача 2. Показать, что среднее время ожидания (при
сохранении условий леммы) равно
-ц+too
= i J ^'"{^^[1- 4W}dz-
-ц-Zoo
Указание, со, = — со' (0) = — [In со ($)]s__q, воспользоваться результа-
том задачи 1.
Задача 3. Пусть:
1) р (s) имеет конечное число полюсов,
2) для некоторого R неравенство | у (s) | < 1 выполнено при
| $ | > /? и Re s < 0; тогда среднее время ожидания (в устано-
вившемся режиме) равно
... 4-6”1 —(af1-)- . ..-f-a”1),
где bi....bn — полюсы функции Р (s), ...ап — нули функ-
ции 1 — у (s) в левой полуплоскости Re s < 0 (их столько же,
сколько и полюсов у функции р (s)). Показать также, что ве-
роятность застать систему в свободном состоянии равна
а\ • • • &п
Ь\ • • • Ьп
Указание. См. (10).
Задача 4. Пусть R > е > 0 и Г — граница области
{$: | s |< R, Res>0} [J {$: | $ | < е, Res<0}.
Если для точек Г выполнено условие | у ($) [ < 1, то число нулей
функции 1—у ($) внутри Г совпадает с числом полюсов функ-
ции а (— s) внутри Г.
Указание. Доказывается так же, как теорема 2.
Задача 5. Пусть . а ($) и р ($) — рациональные функции;
показать, что
сс2— р!-h Р2 । л-1 I । /,-1 /а-1_1_ _1_а-1\
1 =—2 (cq — pj)---1 + ••• + aw-i“"^i +--- + °Nb
где адг-1 —нули функции 1—у (s) в полуплоскости
Res> 0; bit ...,bN — полюсы функции а(— s) в полуплоскости
Re s> 0.
Указание. Воспользоваться формулой задачи 2.
§22]
ИНВЕРСИОННЫЙ ПОРЯДОК ОБСЛУЖИВАНИЯ
143
Задача 6. Показать, что дисперсия времени ожидания
начала обслуживания в установившемся режиме равна
-ц + ioo
°2 = -i /
— ц-Zoo
Указание. о2 = [1п ©(«О J"$=0’
§ 22. Инверсионный порядок обслуживания
ненадежным прибором
Рассмотрим систему обслуживания, описанную в § 15,
но с условием, что вызовы обслуживаются не в порядке
их поступления, а в инверсионном порядке, т. е. среди
вызовов, ожидающих начала обслуживания, первым обслу-
живается тот, который поступил позже остальных. Для
такой системы определим предельные распределения вре-
мени ожидания начала обслуживания и времени пребывания
вызова в системе. Затем, так же как это было сделано
в § 17, полученный результат будет применен к обслу-
живанию с преимуществом для случая, когда вызовы одного
приоритета обслуживаются в инверсионном порядке.
Обозначим через w(t) время, которое потребовалось бы
вызову ожидать начала обслуживания, если бы он посту-
пил в момент t. Через u(t) обозначим время пребывания
вызова в системе, если бы он поступил в момент /. Пред-
положим, что В (0) == Е (0) = F (0) = 0.
Теорема 1. Существуют пределы
lim = <»($), lim (/) = v (s),
/~>4-оо . /->+оо
определяемые соотношениями
<0(^=0 I „ 1—я(д) 1—<p(s4-fl-an(s))
VJ Pl р2 _|_ а — ЯЛ (S)] * ф { ЯЯЛ (S1)] *
л (s) = h (s -р а — ап ($)),
h (s) = J e~s,P (t, d (s) ) dB (t),
Q
144
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
[ e~stP(t, z)dt = — ,
J s 1 - гу (s)
о
p2 1 — Pi — p2,
Рз = РоФ1»
Po = (1 — ahi) [/?! 4- e^1 4- Ф1] ,
V (s) = G) (s) h (s).
При этом предполагается, что ahx<Z^-
Первые два момента времени ожидания и вре-
мени пребывания в системе даются формулами
1______J h2 । <р2 )
0)1 2 (1 — ahi) ( hx * ф1 J ’
со2= н—1 Ь \2 1Р2 + аЛ2"| + Рз +
2 (1— ahx)2 ( L3/z! 1 2hi 2 J 1 Г6 [Зф1 1 2ф1 2J)
1/1 = 01+/Гр
1/2 === ®2 "4” 2cl>iZTi —/?2-
Теперь рассмотрим систему обслуживания с преиму-
ществом, описанную в § 17, но при этом будем предпо-
лагать, что вызовы одного приоритета обслуживаются
в инверсионном порядке. Мы разберем лишь три схемы
обслуживания с прерыванием.
Для всех трех схем 1.1—1.3 обозначим через ^(0
время, которое потребовалось бы вызову приоритета k
ожидать начала обслуживания, если бы он поступил в мо-
мент t. Через uk{t) обозначим время пребывания в системе
вызова приоритета k, если бы он поступил в момент /.
Из теоремы 1, так же как и в § 17, следует
Теорема 2. Существуют пределы
lim Me swk{t} =(o^(s), Hm Me =
/->4-oo t —>+oo
где (о*($) = (о($), v*(s) = v(s), a o(s) и v(s) onped$-
§ 22] ИНВЕРСИОННЫЙ ПОРЯДОК ОБСЛУЖИВАНИЯ 145
ляются теоремой 1, в которой должно быть
a = ak, =
й ($) == hk (s), <р (s) = лй-1 (s).
При этом hk(s) и определяются следующим
образом.
Для схемы 1.1
V
avjtv(s)= 5 afit (s + °v — °v^v ($)). v=l, .... r,
J = 1
Ло($)= 1,
hk (s) == (s + ок_г — ай_1Лй_! (s)), a0 = 0.
Для схем 1.2 и 1.3 функций hk(s) и даются
теоремами 4 и 5 § 13 соответственно.
Мы не будем приводить детального доказательства
теоремы 1, укажем лишь на основные этапы.
А. Так же как в § 15, задача немедленно сводится
к случаю, когда система не выходит из строя во время
обслуживания. При этом за ф. р. длительности обслужи-
вания следует взять функцию H(t), определяемую соот-
ношениями
й (s) = J e~stP (t, б (s)) dB (f),
о
f e~stP (t, z)dt = ^~ .
J s 1 — zy (s)
0
Б. Случайный процесс. Положим
v(£) — число вызовов, находящихся в системе в мо-
мент
o(t) — сл. в., принимающая значения 0 и 1 и показы-
вающая, в каком состоянии (исправном состоянии или со-
стоянии восстановления) находится система в момент t:
если о(^) = 0, то это означает, что в момент t обслу-
живающий прибор находится в исправном состоянии, если
10 Г. П Климдц
146
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
o(f) = 1, то это означает, что в момент t прибор восста-
навливается; £(£) имеет различный смысл в зависимости
от v(0 и о(0;
если v(/)>0 и о(^) = 0, то £(/) есть длина проме-
жутка времени, начинающегося с момента Л до момента,
когда прибор освободится от вызова, находящегося на
обслуживании в момент /; образно говоря, £(/) в этом
случае есть остаток времени обслуживания;
если v(/)=0 и о(/)=0, то %{$) есть остаток вре-
мени «жизни» прибора или, более точно, длина проме-
жутка времени, начинающегося с момента t до момента,
когда, прибор выйдет из строя (если бьГ поток вызовов
прекратился);
если о(/)=1, то £(/) есть остаток времени восста-
новления или, более точно, длина промежутка времени,
начинающегося с момента t, до момента, когда прибор
восстановится.
Рассмотрим, далее, случайный процесс
£(0={v(/),'a(0. I (/)}-
С(0 есть однородный марковский процесс. Положим
O = P{v(O = *. о(0 = Л £(/)<*}.
В. Составляя дифференциальные уравнения этого про-
цесса, полагая ( lim Fki(xt t) существуют, см. §§ 44,
\/->+оо
15, 13)
/’wW= lim ры(.х> 0. ФД*. «)=У z* f°e~sxdFki (х)
и решая получаемую при этом систему уравнений, найдем
окончательно, что
($ — а + az) Фх (z, $) = М (0) [<р (а — az) — <р ($)],
(s-a + az)®0(z. s)= M(z)-Л1(0)|§—.
— h (sj | M (0) [cp (a — az) — ф (a)] -|-
+ 71M (z) — M (°) — zM.' (0)]1,
§ 22] ИНВЕРСИОННЫЙ ПОРЯДОК ОБСЛУЖИВАНИЯ 147
где
М(0) = (1 - ah.)[й! + Ф1]"1.
М (z) = М (0) [z — h(а — az)]-1 X
'х{-Ца)^е(а — аг'> — н(а — аг^ +
4~й(а— az)[ztp(a—az)—1]^.
Г. Произвольно выбранный вызов в момент своего по-
ступления может застать систему в одном из. трех со-
стояний:
(а) — система исправна и свободна от вызовов;
(Ь) — прибор занят обслуживанием вызова;
(с) — прибор восстанавливается.
Вероятности каждого из этих случаев равны соответ-
ственно
Р(а) = Фо(О, 0) = Р1;
Р(£) = Ф0(1, 0) —Фо(О, 0)=р2;
Р(с)==ф1(1, 0) = р3.
Если вызов застает систему в состоянии (а), то он
сразу начинает обслуживаться; в этом случае время ожи-
дания начала обслуживания равно нулю.
Если вызов застает систему в состоянии (Ь), то оста-
ток времени обслуживания вызова, находящегося на при-
боре, имеет ф. р. преобразование Лапласа — Стил-
тьеса которой есть
К, W = °-«'*>= -I- п - Л «
Отсюда следует, что если через П(0 обозначить ф. р.
периода занятости прибора обслуживанием вызовов, то
время ожидания начала обслуживания в этом случае имеет
ф. р., преобразование Лапласа — Стилтьеса которой есть
Л1($4~ а — an(s)) = hi1 [s+ a — an(s)]-1 [1 —n($)],
так как (см. § 13)
л (s) = h (s 4- a — an (s)).
10*
148 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ [ГЛ. II
Если вызов застает систему в состоянии (с), то оста-
ток восстановления прибора имеет ф. р. преобра-
зование Лапласа — Стилтьеса которой есть
а время ожидания начала обслуживания в этом случае
имеет ф. р., преобразование Лапласа — Стилтьеса которой
есть
Ф1($ 4- а — ап ($)) =
= ФГ1 [$ + я — ал ($)]“* [1 — ф($+ а — ал ($))].
Для определения со($) мы имеем, таким образом, сле-
дующее соотношение
(о($) = Р(а) + P(b)hx ($4- а — ал($))4-
4- Р (^) Ф1 ($ 4- а — ая (5) )•
ГЛАВА III .
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ
§ 23. Определение переходных вероятностей;
бесконечное число приборов, пуассоновский поток,
произвольное время обслуживания
Рассмотрим систему обслуживания, состоящую из бес-
конечного числа обслуживающих приборов (линий). Вы-
зовы, поступающие в систему и предъявляющие требова-
ние к обслуживанию, образуют пуассоновский поток
с параметром а. Каждый вызов обслуживается лишь на
одной линии. Длительность обслуживания (разговора, если
использовать терминологию телефонии) любого вызова на
любой линии есть сл. в. (независимая от длительностей
обслуживания других вызовов и от потока их) с произ-
вольной ф. р. В (/), В(0)< 1.
Обозначим через v(t) число разговоров, ведущихся
в момент t. Предполагаем, что v(0) = 0.
Следующая теорема 1 указывает распределение слу-
чайного числа v(/) разговоров, ведущихся в момент
Теорема 1.
р {v(O = fc}=-^y^-e-₽(n. £>0;
t
p(f) = a^ [1 — В (и)} du.
о
Перед тем как начать доказательство, напомним (см.
задачу 1 § 2, а также § 9) следующее положение: если
известно, что в промежутке [0, t) поступило п вызовов
пуассоновского потока, то можно считать, что моменты
их поступления образуют поток Бернулли. В частности.
150 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ [ГЛ. Ш
можно считать, что этот поток образуется из вызовов,
поступающих от п независимых источников, каждый из
которых посылает лишь один вызов (с вероятностью 1)
в промежутке [0, /), причем вероятность появления вызова
в интервале, содержащемся в [0, t) и имеющем длину Д,
равна Д/t
Доказательство теоремы. Обозначим через Ап
событие, заключающееся в поступлении п вызовов в [0, t).
Вероятность того, что разговор, начавшийся поступлением
вызова от одного из п независимых источников (см. выше),
не закончится к моменту /, равна
t t
J = j [1—В(и)] du = -^-=p
Q 0
(вызов поступит в интервале [и, u-\-du) с вероятностью
dujt, и за время t — и разговор с вероятностью 1— B(t—и)
не закончится). Теперь
Р { V (t) = k/A„} = С*р* (1 — р)п~к, 0 < k < п,
откуда
м [х* <«/Ля] = J?p{v (0 = 6/Ля} = \рх + (1 - />)]",
*=о
и, наконец,
Мх*ю= 2 м[хМ0/ля]р(Лл)==
/1>0
= J] [px + i-pf^e-at =
/1>°
= е-р «)(!-*)= V e-P(t) ХП
Ал А!
что и требовалось.
Следующая теорема 2 дает возможность определить
переходные вероятности, т. е. вероятности
' Р/у(7\/)==P{v(T + O = //v(7) = Z. v(0) = 0],
I, J>G,
T>0,
§23]
ПУАССОНОВСКИЙ ПОТОК
151
а также предельные переходные вероятности
lim ?0.(Т, 0.
Т->+оо
Теорема 2.
М [xv<r)yv(r+0] =
= ехр {(х — 1) р (Т) 4- х (у — 1) [р (Т + 0 — р (/)] 4-
+ (У - 1)Р(0).
где t
p(f) = a J [1 — В (и)] du.
О
Доказательство. Бенеш нашел
limM [xv(0yV(T+0],
Г->оо
Небольшие изменения в его рассуждениях позволяют найти
Пусть:
£(7\ t)—число разговоров, начавшихся в [О, Т) и не
закончившихся к моменту Т-\-t;
т] (t) = т| (Т, t) — число разговоров, начавшихся в про-
межутке [Г, T-j-O и не закончившихся к моменту 7
(в силу стационарности потока ^(Т1, t) не зависит от Т).
Тогда
V(7 + O = &(r, /) + т](0,
v(T)=£(T, 0).
Так как т](7\ t) и £(Т, t) независимы, то
М = М [xv^yv(7'+q = М [у^>] М [хВО'. о)уВ(г, 0]. (1)
Далее следует цепочка рассуждений.
i°. Вероятность того, что разговор, начавшийся в [0, Т), *
не будет закончен к моменту Г, равна
т т
Р= / [1-В(Т-и)]^- = ± | [1-/?(«)] </и = -Ц1.
о о
2°. Если обозначить через As событие, заключающееся
в поступлении s вызовов в [0, 71), то
р{ил 0) = //Л,} = е1//(1 1<9.
152 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ [ГЛ. III
3°. Вероятность того, что разговор, начавшийся
в [0, 71), не закончится к моменту Т равна
т т
[1 + =1 / [1 -B(t + a)}da.
О о
4°. С другой стороны, эта вероятность равна pq, где
q— вероятность того, что разговор, начавшийся в [0, 71],
не закончится к моменту Т-\-t при условии, что он не
закончился к моменту 7\ Следовательно,
q = (рТ)"1 J [1 - В (/+«)] du = •
О
5°. Р[|(Т. О=/7И7’.0) = /,
6°. м [/’<г> '>/| (Т.О) = I, л,] = 2 у'р {I (Т, t) =
/ 7=0
= /7U7’.0)=Z, A5} = £yW(H)'’'=[l +(y-l)<7]Z-
/=о
7°. М[^(г'°у(г'')/Л1 =
= S х1Р {ЫТ. 0) = i/As] М [у* <г- "Ц (Т, 0) = I, Д,]=
/=0
= £ х1С\р‘ (1 - Ру~1 [1 4- (у - 1) q\l =
= U + Я*- 1 +х(у - 1)<7]И=а\
8°. М [х5<г- °'у^г> '>] = 2 М [х6<г- °> у^<г. 0/41Р
— 2 ase~aT = еаГ(а-1)<
5>0
9°. Согласно теореме 1
Мумг’ °= Му”’0, ° = Myv(,) = e₽l0(y"1).
Теперь теорема 2 следует из (1), 8°, 9°,
§ 24] НЕОРДИНАРНЫЙ ПУАССОНОВСКИЙ ПОТОК 153
Задача 1. Если в начальный момент t ~ 0 начались v (0)
разговоров, то теорема 1 заменяется на
Mxv= {В (0 4-х [1 — В (£)]}v<0) <P(t> (х-1).
Задача 2.
оо
ak Г
lim P{v (£) = &}= г Р'тт» р = а t dB (t) < -f- оо,
/~>+оо «1 J
о
независимо от v (0).
Задача 3 (Бенеш [36]). Показать, что при Т -> оо
M[xv<V(r+Ol^
-> exp {(X — 1)р + X (у — 1) [р — р (0] + (у — 1) р (01.
где
t
р (t) = a J* [1 — B{u)]du, р — р (-(- оо) < оо.
о
Задача 4. Пусть моменты поступления вызовов образуют
поток Бернулли, характеризуемый числами п и Т (см. § 9).
Вызовы обслуживаются п приборами. Длительности обслуживания
вызовов независимы в совокупности и одинаково распределены
с общей ф. р. В (Z). Обозначим через v (t) число занятых при-
боров в момент t. Показать, что при t^T
t
1) Mxv<<>=[14- b(t)= j" [1-B(u,)\dir,
0
2) при T = оо, где a > 0;
t
p (/) = <z J [1 — B(u)\du,
0
а поток Бернулли стремится (см. § 8) к пуассоновскому с пара-
метром а.
§ 24. Неординарный пуассоновский поток,
бесконечное число приборов,
произвольное обслуживание
Рассмотрим такую же систему обслуживания, как
в предыдущей: параграфе, но теперь будем предполагать,
что вызовы могут поступать лишь в «вызывающие мо-
менты», образующие пуассоновский поток с параметром а,
!54 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ [ГЛ. II!
причем в каждый «вызывающий момент» поступает k вы-
зовов с вероятностью ak независимо от числа поступле-
ний вызовов в другие «вызывающие моменты»,
Положим
Ф(г) = 2 Ф(1)=1.
&>0
Как и прежде, обозначим через v(0 число разговоров,
ведущихся в момент Л Предполагаем v(0) = 0.
Теорема.
t
a f [Ф (а (и))- 1J du .
Mxv<« = e 6
где а(«) = В(^) + х[1—В(и)].
Доказательство. Отметим, что поток «вызываю-
щих моментов», в которые поступает ровно вызо-
вов, является пуассоновским с параметром аак. Поэтому
поток вызовов можно представить наложением независи-
мых потоков Lo, ... таких, что вызовы потока Lk
поступают группами из k вызовов в моменты, образую-
щие пуассоновский поток с параметром aak, & б.
Далее, так как число обслуживающих приборов беско-
нечно, то можно их разбить на бесконечное число непе-
ресекающихся групп Го, Гь ... приборов, каждая из
которых состоит из бесконечного числа их, и вызовы
потока £^\ обслуживать лишь приборами из группы 1\,
^^>0. Если обозначить теперь через число разго-
воров, ведущихся в момент t в группе Г\, то
V(o= 2 мо
£>0
и
Mxv'°= П Mxv*<0. (1)
Найдем Пусть Ап означает событие, за-
ключающееся в поступлении п групп вызовов (по k в ка-
ждой группе) потока Lk в промежутке [0, /). Если собы-
тие Ап осуществилось, то моменты поступления этих
групп вызовов образуют поток Бернулли (см. замечание,
сделанное после формулировки теоремы 1 предыдущего
параграфа). Если одна из групп вызовов поступила в мо-
НЕОРДИНАРНЫЙ ПУАССОНОВСКИЙ ПОТОК
155
§ 24]
мент из [ut u-\-du)t u<^t (с вероятностью du/t)t то
каждый вызов этой группы не закончит обслуживаться
к моменту t с вероятностью 1 — В (t — и), а, значит,
производящая функция числа вызовов этой группы, не
закончивших обслуживаться к моменту Л равна
{B(t — «) + *[1 — B(t-«)]}*.
Таким образом, если некоторая группа вызовов поступила
в [0, /)» то производящая функция числа вызовов этой
группы, не закончивших обслуживаться к моменту tt
равна
t
i
= 7 j = (2)
О
Отсюда следует, что
M[xv*(0MJ = pn.
что дает
Mxv*(0 = М [xv*(0M J Р (Л) =
П>0
. • 2 РПе~ак<г‘ "а^П- = е™*'(Р~1>- (3)
Теперь теорема следует из (1) —(3).
Задача. Показать, что среднее число разговоров, - веду-
щихся в момент /, и дисперсия этого числа при условии, что
в начальный момент все линии были свободны, равны соответ-
ственно
: ' . . :‘ л . • : . . -:
- . аФ' (1) j [1 — В (и)] du,.
л
t t
аФ" (1) [1 — В (и)]2 du аФ'.(1) fll—B (a)] du.
156 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ [ГЛ. III
§ 25. Определение переходных вероятностей;
бесконечное число приборов, рекуррентный поток,
экспоненциальное обслуживание
В систему обслуживания, состоящую из бесконечного
числа обслуживающих приборов, поступает рекуррентный
поток вызовов, определяемый ф. р. A(t)t А (0) < 1. Ка-
ждый вызов обслуживается лишь одним прибором. Дли-
тельности времени обслуживания всех вызовов есть неза-
висимые случайные величины. Длительность времени
обслуживания любого вызова на любом приборе имеет
экспоненциальное распределение с параметром 1 (этого
всегда можно достичь изменением масштаба времени).
Предполагаем, что
со
а~1 = j* tdA(t)< “h°o-
о
Под состоянием системы понимаем число приборов,
занятых обслуживанием. Если в начальный момент / = 0
система находится в состоянии Z, то через Pij(t) обозна-
чим вероятность того, что в момент t система будет на-
ходиться в состоянии J. Мы будем интересоваться нахо-
ждением
Положим
р^х, 0= 2 '
j > о
В (х, t) = Ро(1 + х, 0 = 3 xkBk (t). (1)
Ясно, что
В*(0 = 2 С*Р0л(9;
n>k
в частности,
Bi(0= з npOn(t)f . ' . .
Л>1 ’ : . 1
т. е. B{(t) есть среднее число приборов, занятых обслу-
живанием вызовов в момент Л если в. начальный момент
система была свободна от вызовов. Положим
оо
М«) = / e-*Bk(f)<lt. &>0,
•Q
§25]
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ
157
Теорема.
a) Pt (х, 0 = (1 ~ + хе~‘)‘ Ро (х. 0; (2)
}Р0(х, +
+ fP0(x, t — «)[1 -f-(и); (3)
О
В(х, 0=1 -Л(/) +
t
4- J* В(х, t — и) [1 4- хе-«-“>1 dA (и); (4)
О
₽»<») — у.
₽»<»> = Т^Ь>=
а($) а($4“1) а($-|-Л — 1) 1 ,
- 1 — а(s) 1—a(s-|-"l) 1 — а($ + & —1) $ + &* '
б) существуют пределы
lim lim PZjF(0.
- /->4-co /->4-oo
определяемые соотношениями
lim 5^0 = 4^-!. fe>l. =
/-> +oo к
lim Pz(x, f) = 1 4 V (x — 1)*4Сл_1;
-*+°°
z> _ 1 _ а (О а (£)
Go—i, ^k— i—a(1) ••• !—a(£)«
Доказательство. Перенумеруем все обслуживаю-
щие приборы числами I, 2, ... Если в начальный момент
/ = 0 I приборов занято обслуживанием, то ничто не
мешает нам считать, что при I I в начальный момент
заняты обслуживанием приборы с номерами I, 2, . Z,
а поступающие вызовы посылать на любой свободный
прибор с номером большим, чем I. Под состоянием си-
стемы в некоторый момент будем понимать число (обслу-
живающихся) , вызовов, находящихся в системе в этот
158 СИСТЕМА. ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ [ГЛ. Ш
момент. Любой прибор в каждый момент времени может
быть в одном из состояний — состоянии 0, если в этот
момент прибор свободен, или состоянии 1, если в этот
момент прибор занят обслуживанием. Пусть
£z=£z(£) — состояние системы в момент t при усло-
вии, что в начальный момент t — 0 система находилась
в состоянии Z;
£л = £л(/)—состояние прибора с номером п в мо-
мент t. Ясно, что
, £/ = £i +•••+£/+ ?о»
и так как слагаемые последней суммы — независимые
в совокупности случайные величины, то
Мх^ = Мх*1 ... Мх^МхЧ
что равносильно (2).
Обратимся к доказательству формулы (3). Считаем,
что в начальный момент £=0 система свободна от_ вы-
зовов. Если за время t в систему не поступит ни одного
вызова (вероятность чего есть 1 — А (0), то £о = ?о(О — 0.
Если же первый вызов поступит в момент и tt после
чего сразу же начинает обслуживаться на первом при-
боре, а остальные вызовы будут обслуживаться на при-
борах с номером большим, чем 1, то
Таким образом,
- t
Mxt,,(0 = 1 — A (t) + f Мх5'dA (и),
- . > о
что равносильно (3).
-Формула (4) следует из (1) и (3).
- Полагая - :
оо ’ . оо . ~
Р(х, s) = J* e~stB(x, t)dt, a(s) = J e~stdA(t),
о : , . : .o . -
из (4) получаем J
. 5) == «($)1 0 ($) l₽ (.*-> s) +(x,..s +1)1 -
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ
159
§ 25]
ИЛИ
Р(Х, = 1 + S+1),
откуда и следует (5).
Утверждение б) теоремы очевидно. Заметим лишь, что f
lim $§*($) = lim
5^0 f->4-OO
Задача 1. Показать, что среднее число занятых приборов
и дисперсия этого чйсла в установившемся режиме (т. е. при
t -> -(- оо) равны соответственно'
а 9
а и --------тн— а-
1 —а(1)
Задача 2. Если моменты поступления вызовов образуют
рекуррентный поток с запаздыванием, определяемый ф. р. (t)
и А (0, причем
t
Ai (t) = a J [1 — A (u)] du,
о
а вероятности, соответствующие этому случаю, снабжать зна-
ком * вверху, то
Pi (-*, О = (1 — e~f хе~*У PQ (х, 0,
РЛ*, t) = \-Ax(t) +
t
4- J* Pq (x> t — u) [1 — dA (u),
о
t
В (x, t) = 1 — Al (/) 4- j* В (x, t — u) [1 + xe-(i~u)] dA (u).
6
Задача 3 (продолжение). Среднее число приборов, заня-
тых обслуживанием в момент t, при условии, что в начальный
момент система была свободна от вызовов, равно
В|(О = л(1 — г‘0-
Задача 4. Показать, что в случае A (t) = 1 — e~at
160 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ [ГЛ. III
§ 26. Рекуррентный поток, произвольное
обслуживание, бесконечное число приборов
Рассмотрим ту же систему обслуживания, что и
в предыдущем параграфе, с той лишь разницей, что дли-
тельность обслуживания любого вызова на любом при-
боре имеет не экспоненциальное распределение, а произ-
вольное, определяемое ф. р. B(t). Мы сохраним обозна-
чения предыдущего параграфа.
Проводя те же рассуждения, которые позволили до-
казать соотношения (2) — (4) из § 25, можно получить,
что и в этом общем случае справедливы аналогичные
соотношения, а именно:
Pt{x, O={B(O + x[l-B(/)l)zPo(x, О,
t
Р0(х, 0 = 1 -A(t)+fpo(x, t — u){B(t—u)-\-
о
+ X [1 — B(f — u)]]dA(a),
B(x, t)= 1 — Л(0 +
t
4- $B(x, t — и) {1 +x[l — B(t — «)]) dA (u),
0
(1)
откуда
, во(о=1.
t
Bn(t) = f Bn(t —u)dA(u)-j-
0
t
+ f B„_1(t-u)[l—B(f — u)]dA(a). (2)
0
Напомним, что
oo
Вп(О=2С*Ро»</)’ Pn(s) = f e~s/B„(t)dt, n^O.
k^n 0
В частности, Bx(f) = S &Po*(O- Формула (2) позволяет
последовательно находить Вп(£)> Рассмотрим при-
менение этой формулы.
§ 26)
ПРОИЗВОЛЬНОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ
161
1°. Из (2) при л=1 получаем
$₽i (s) = s₽! (S) a (s) + [ 1 - ₽ ($)] а (s)
или
откуда, например, следует (учесть (1)), что среднее число
вызовов в установившемся режиме (при Z—>-|-оо) не за-
висит от начального состояния системы и равно
lim У kPOk(f) = lim Bi (O = limsPi($) = -r. (3)
/->00 /->4-00 5^0 °
где
оо оо
a~x — ^tdA(t), = f
О о
Отметим, что предел (3) существует не всегда, на-
пример, если вызовы будут поступать через интервалы
времени постоянной длины и обслуживаться постоянное
время. Формула (3) верна, если существует предел
lim В общем случае она должна быть заменена
/-> 4-оо
формулой (см. § 41)
г
lim 4- I Bi(0^ = 4-
Г-Я-оо 1 J 0J
2°. Пусть
N N
B(t)= 2 <7/(1<7/>0. ^/>0, 2<7/ = 1.
4=1 4=1
Тогда из (2) имеем
N
(s) = spn (S) a (s) + a (s) J] qt (s 4- bt) p„_i (s 4-bt)
ИЛИ
N
₽n (<?) U — a (s)l = a (s) У qfia-i (s 4- bt), p0 (s) =
4 = 1
It r. n. Климов
162 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ [ГЛ. Ш
В частности,
N
lim (0 = Нт (s) = а 2 (*t).
/->4-oo 5^0 1 = 1
если первый предел существует.
Задача 1. Показать, что Р(0 = Роо(0 определяется со-
отношением
t
Р (t) = 1 — f Р (t— и) В (t — u) dA (u).
О
Задача 2. Если моменты поступления вызовов образуют
квазирекуррентный поток, определяемый функциями А (/) и
Ф(г)= 2 a^k (см- § 5)> то
л>о
t
Рй(х, 4)= 1 —Л(/) + JРй(х, t — u)®{B(t — u) +
О
+ л[1— B(t — и)]} dA (и)
В частности, если v (/) — число вызовов в системе в мо-
мент tt то независимо от v(0)
т
lim 4- I Mv(O^ = 0'(l)4-
7->+оо 1 J О
О
Указание.
Af(О=м[V(0/v(0)=0]=-AР0(х, <)I
|х= 1
оо
m (s)= f e~St Ф'
0
§ 27. Задача Пальма; пуассоновский поток,
экспоненциальное обслуживание
Рассмотрим систему обслуживания потока вызовов п
обслуживающими приборами. Предполагаем, что моменты
поступления вызовов образуют пуассоновский поток с па-
раметром а\ длительность времени обслуживания любого
вызова на любом приборе имеет экспоненциальное рас-
пределение с параметром 1 (это всегда можно добиться
изменением масштаба времени). Посылающий вызов зани-
§ 27] ЗАДАЧА ПАЛЬМА ДЛЯ ПУАССОНОВСКОГО ПОТОКА 163
9
мает любой прибор из числа свободных от обслуживания
или «теряется», если таких нет.
Задача Пальма заключается в определении потока по-
терянных вызовов.
Если t2, ... — последовательные моменты потерь
поступающих вызовов (т. е. моменты поступления вызо-
вов, заставших все приборы занятыми обслуживанием) и
zk = tk — /о=О, то сл. в. zv z2, . . . в со-
вокупности независимы, причем сл. в. z2> z3, ... имеют
одинаковое распределение. Положим
Р = G(0, £>2.
Найдем сначала Q(t). Если в системе в некоторый
момент находится i вызовов (которые обслуживаются),
то будем говорить, что система в этот момент находится
в состоянии /, Z = 0, 1....п. Через обозначим
вероятность перехода из состояния I в состояние j за время
длительности t\ I, J — 0, 1....п. Введем, кроме того,
«поглощающее» состояние п + 1. Этим самым мы допу-
скаем, что если поступивший вызов застает систему в со-
стоянии и, то система переходит в состояние п-4-1» из
которого она не может перейти в состояние 0, 1, ..., п.
Очевидно,
О(0 = Ряя+1(0.
Положим Рк (t) = Pnk (t), k = Q, 1, ...» тогда
обычной процедурой получаем систему уравнений
Ро(/)== —аРо(О + Л (0.
Р* (/) = aPk-1 (0 — (а + k) P^t) + (k + 1) Pk+1 (t),
0 < k <n, (1)
p'n (0 = aPn _! (/) — (a + ri) Pn (t),
P'n+1(t)=aPn(t)
с условием
{О, если k Ф n;
i
1, если k — n.
11*
164 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ [ГЛ. III
В преобразованиях Лапласа
Jik = nk{s) = je-stPk(t)dt, k = Q, 1......«Н-1,
О
эта система принимает вид
— ($ “Н яо О’
ЯЛ#_1 — + $ 4“ “И + 1) ^£ + 1 === 0» 0 Я,
ая„_1 —(а+ « + «)«„ = — 1.
ал„- «лп+1 = 0,
откуда, имея в виду (5) § 48 (см. добавление), получаем
лл ($)
Qn ($)
Qn+\ (s)
а из последнего уравнения системы (2)
z \ Я
ял+1(*) = 7
Чп (S)
9'л+1(«) ‘
Отметим еще формулу, которая следует из (1) § 48:
ОО
g(s) = j e~st [ 1 — G (01 dt = у —лп+] (s) =
Q
_ Qn + l (S) — aQn (S) _?/:($+ 1)
SQn+i(s) Qn+i(s)
Средняя длина интервала между двумя последовательными
моментами потерь вызовов равна (см. (4) из § 48)
g(0)=o"("+1)^(l)= а
Для определения F (t) нужно знать начальное состоя-
ние системы. Мы не будем здесь заниматься нахождением
функции F (0, так как она в следующем параграфе будет
определена в более общем случае (когда моменты посту-
пления вызовов образуют рекуррентный поток). Этот
параграф выделен, чтобы проиллюстрировать один из
методов решения задачи Пальма в этом простейшем виде.
§ 28] ЗАДАЧА ПАЛЬМА ДЛЯ РЕКУРРЕНТНОГО ПОТОКА
165
.^Задача. Показать, что G (/) представляется в виде
п г <
= ре'Ч,
i=0
где pt > 0, pQ + • • • + Pn — 1, a —X* — корни (действительные и
различные) многочлена qn+l (s).
§ 28. Задача Пальма; рекуррентный поток,
экспоненциальное обслуживание
Опять рассмотрим ту же систему обслуживания, что
и в предыдущем параграфе, но поток вызовов будем
теперь предполагать рекуррентным, определяемым ф. р.
Л (О, Л(0)<1. Относительно этой системы ставится
та же задача Пальма об определении потока потерянных
вызовов.
Если t2—последовательные моменты поступления
тех вызовов, которые застали все приборы занятыми об-
служиванием, a zk — tk—tk_lt й^>1, /о=О, то сл. в.
zlt z2, ... в совокупности независимы, причем сл. в.
z2, z3, ... имеют одинаковое распределение. Положим
р {£!<;} = F (/), Р{^</} = 0(0. £>2.
Под состоянием системы будем понимать число приборов,
занятых обслуживанием. Снова введем «поглощающее»
состояние п + L условившись, что если поступающий
вызов застает систему в состоянии п, то система пере-
ходит в состояние п +1, из которого она не может
перейти в состояния 0, 1......п.
Обозначим через Л/у- длину промежутка времени, за
который система переходит из состояния I в состоя-
ние j > I при условии, что промежуток времени начи-
нается или с момента £ = 0, или с момента поступления
вызова (ясно, что этот промежуток и заканчивается мо-
ментом поступления вызова). Положим
= = Z = 0, 1.............п.
Так как
Ду — Д«ч-1 + Д/+1<+2+ •••
166 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ [ГЛ. П1
И СЛ. В. Дп+1, ...» Д/-1/ независимы, то
(0 = в, (О *Вжда* ... * В7_1 да
или в преобразованиях Лапласа - Стилтьеса
Р/У(5) = р,да₽/+1да ... Ру^да. (1)
Отметим, что Ода = В„да и F (0 = Bin+1(t)t если в на-
чальный момент система находилась в состоянии Z.
Нам теперь достаточно определить функции В( да,
/—О, 1.......п.
Справедливы следующие очевидные соотношения (по-
ложено В ~ 1 — В):
M*) = Mi(0 + /
~--'У 0 (2)
1—1......п,
B^t) = A(f)
или в преобразованиях Лапласа — Стилтьеса
1 — М«) = 1 - Mi (s) -+-11 —₽/ (s)l Mi ($)-Mi (s + 1)].
0o($) = a(s),
откуда
Я (o')--------Ml (S~|~ 0_____ I---- 1 „
PiW— 1_pz_i(s)_|_₽i_i(s + 1) . 1.....«.
p0(s) = a(s).
Представляя pz(s) в виде
№ = Z = 0’1....re: ^o(s)=l. (3)
получим
e^Z+l(5) — _ <^z(s)— ^Z-l(S) „ , x _ 1
(5 + 1) — ^z-i ($+1) ’ 1 W — a (s) ’
откуда
($) — ($) <^1 ($) — (s) _ 1____i л z \
<^/(5+1) оЛМ$ + 1) — a(s) 1~AoW
или
^+1да = ^да + хода^(5+1), z = 0, 1, n. (4)
§ ЙЙ] ЗАДАЧА ПАЛЬМА ДЛЯ РЕКУРРЕНТНОГО ПОТОКА
167
По индукции получаем
o^i(s)=Scil0(s)Xi(s) ... k;_i(s), o^0(s)=l; (5)
7=0
здесь
М*) = а (Д-0 ~ 1=М* + 0. * = °. 1.........«•
В силу (1), (3)
М*)
___ <Jtj (S)
<dt j (s) *
i
(6)
Заметим, что если начальное состояние характеризуется
набором чисел qQ, qv . .., qn, где ^ — вероятность того,
что в начальный момент система находится в состоянии /,
<7о + <71+ ••• +^/г===1’ т0
ОО п
<Р ($) = J e-st dF (t) = 2} ?z0Zn+1 (s) =
6 z=o
n
Z=0
co
^(S)= J .,-^0(0 = ^) = -;^.
Формулы (7) дают полное решение задачи Пальма.
Найдем среднюю длину промежутка времени между
двумя последовательными моментами потерь вызовов.
В силу (7), (4)
l-g(s) = М*) = l-a(s) «^(s + D
s s <^л+1 (s) s а($)е^л+1 (s) *
откуда, имея в виду о^л+1 (0) — а(0) — 1:
^==0^(1),
или (см. (5))
gi = aiSC^o(l)Ml) ... Xz_i(l),
j = 0
168 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГЙМЙ ПЙИЬОРАМИ [ГЛ III
ИЛИ
п
gi = <h 2 с'%0(1) Хо(2) ... Хо(0.
z=o
Xq (Z)
a(Z)
Величина g"1 имеет смысл интенсивности потерь.
В частном случае, когда A (t) — 1 —- e~at, а > 0, т. е.
(x(s) —t имеем (учесть (5))
%,($) = (<?
i
0^z(s)=5c/s(sH-l) ... (s + /—1)д"Л
у=0
т. е. (см. (4) из § 48)
($) = a~iqi (s).
Задача 1. Доказать, что в случае, когда моменты посту-
пления вызовов образуют пуассоновский поток, а в начальный
момент система свободна от вызовов, поток потерянных вызовов
не является потоком Пальма. Найти начальное состояние системы
(в виде вероятностей q0, qt, ..., qn) такое, чтобы поток поте-
рянных вызовов был потоком Пальма.
Указание. Для того чтобы поток потерянных вызовов был потоком
Пальма, необходимо и достаточно при (7(0)=0 (см. § 10), чтобы
t со
/7(/) = Х J (1 - G (п)] du, ^“1=J Р-0 (u)]du
или
<p(s)=A (i—s-<«)L
но уже при rj = l
-gjMg) .^<41
Задача 2. Доказать, что среди всех рекуррентных пото-
ков вызовов, определяемых произвольными ф. р. А (/), А (0) < 1,
лишь бы только
’ °°
J* t dA (Л) — аг1 = const,
о
интенсивность потерь будет минимальной при
(0, если t < а-*1;
1, если
§28] ЗАДАЧА ПАЛЬМА ДЛЯ РЕКУРРЕНТНОГО ПОТОКА 169
Найти это значение.
Указание. Пусть {Л(0, Л(0) < 1} — множество всех ф. р., имеющих
одинаковый первый момент. .Тогда для всякой константы с > 0 а (с) =
оо -1
р e~cidA(t) принимает наименьшее значение а(с) — е~са
0
Задача 3. Доказать, что среди всех рекуррентных пото-
ков вызовов, определяемых произвольными ф. р. А (/), А (0) < 1,
лишь бы только
оо
£ t dA (t) = а"1 = const,
о
не существует потока, дающего максимальную интенсивность
потерь.
Указание. Пусть для всякого е > 0
f 1—е, /<(ае)-1,
Л(0=Н
I 1, />(ав)
тогда
оо
f tdA(t) = a~l
0
и
оо -I
а(с)— l’e~c^dA(t)^ 1— ->1 при £>0 и е^О.
б
В этом случае g~*-+a — 0.
Задача 4. Рекуррентный поток вызовов, определяемый
ф. р. А (0, обслуживается п одинаковыми приборами. Каждый
вызов обслуживается одним прибором. Вызов, заставший все
приборы занятыми, становится в очередь. Длительность обслу-
живания вызова имеет экспоненциальное распределение с пара-
метром b — 1. Под состоянием системы в некоторый момент
будем понимать число вызовов, находящихся в системе в этот
момент. Сохраняя в остальном обозначения этого параграфа,
показать, что при A (t) = 1 —e~at
о /с\ ($) / з
l<i'
где
qk+l (s) = (a + kn + s) qk (s) — aknqb_x (s),
kn = min (£, n).
Указание. Считая, что максимальное число вызовов, которое одно-
временно может находиться р.системе равно 7Y>/x и вводя затем «погдо-
170 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ [ГЛ. III
щающее» состояние 7V+1, написать аналог системы 1 § 27. Далее, действуя,
оо
как в § 27, найти Л^ + 1 (s)~ f e—st х (t) dt.
0 ’
Задача 5. Для определения В/у (/) при i > j достаточно
найти Определить
§ 29. Обслуживание дублирующими приборами
Постановка задачи. Рассматривается работа п
одинаковых приборов, функционирующих следующим
образом:
— время работы любого прибора до момента выхода
его из строя есть сл. в. с ф. р. Л (/), Л(0) < 1;
— после выхода из строя прибора последний восста-
навливается, и время его восстановления есть сл. в., не
зависящая от состояния других приборов и имеющая экс-
поненциальное распределение В(/)=1 — e~bt\
— в каждый момент работает не более одного при-
бора;
— если некоторый прибор вышел из строя, а среди
оставшихся есть исправные, то любой из них сразу же
приступает к работе.
Назовем моментом отказа момент выхода из строя
одного из приборов при условии, что остальные к этому
моменту не восстановлены.
Ставится задача описать поток отказов или, более
точно, найти законы распределения первого момента от-
каза, а также длин промежутков между двумя последо-
вательными моментами отказа при условии, что в на-
чальный момент t — 0 число неисправных приборов равно it
Z = 0, 1....п.
Формулировка основного результата. Без
ограничения общности можно считать b = 1 (это можно
.всегда достичь, изменив масштаб времени).
Пусть /р /2, . л . — последовательные моменты отказа,
zk = tk — tk_v tQ = 0. Так как время восстано-
вления любого . прибора подчинено экспоненциальному
распределению, то при k 1
§ to] обсЛуживаййё ДУБЛИРУЮЩЙМЙ ПРИБОРАМИ 171
и не зависит от k, т. е. поток отказов является рекур-
рентным потоком с запаздыванием (см. § 4).
Положим (напомним, что в начальный момент I при-
боров неисправны)
^Ю = Р{Л<^}.
О(0 = р {•?*</}, А>2,
Ф/ ($)• S ($) ~ преобразования Лапласа — Стилтьеса этих
функций, т. е.
ф/ (s) = f e~st dFt (0, g (s) = f e~st dO (t).
0 0
Основной результат заключен в следующей теореме:
= ПР“ z==0’1...................й~1: W
фп ($)=£ (®);. (2)
где
<^0 ($) = 1. (S) = 1 + 2 (S) Х1 (S) . . . %*-1(0.
k=l
»>i. Ms)= —!;
a(s) — преобразование Лапласа — Отилтьеса функ-
ции А (/).
Сделаем следующие замечания:
Г. На ф. р. A(t) не накладывались никакие ограни-
чения, кроме Л (0) < 1. Если же у ф. р. A (t) существуют
первые k моментов, то у ф. р. F^t) и Q(t) существуют
те же моменты, которые могут быть найдены из (1)—(3)
дифференцированием по
2°. Если А (0= 1 — то функция п^О,
превращаются в многочлены Пуассона—Шарлье. В этом
случае функции Fi (t) и Q (t) представляются в виде
суммы экспонент и легко определяются по корням соот-
ветствующего многочлена Пуассона.— Шарлье.
1У2 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ [ГЛ. itl
3°. Обозначим через Pk(t) вероятность того, что в мо-
мент t k приборов исправны, остальные восстанавливаются,
О k п. В случае A (t) = 1 — e~at обычной процедурой
можно получить уравнения
P,^t')= — nbP^t')^aPx (t\
p'k (t) = (n - k + 1) bPk_x (/) - [(n - k) b + a\ Pk (/) +
+ (0» 0 < k < n,
P'n (t) = bPn_l (t)—aP„(t).
Если обозначить рк — lim Pk (/), то можно получить, что
+QO
П
я! k b V ,
р=т*
k=Q
Доказательство теоремы. Обозначим через
v(t) число неисправных приборов в момент /, v(O) = Z.
Наряду с этой системой рассмотрим систему обслужива-
ния, описанную в § 28 (рекуррентный поток, экспонен-
циальное обслуживание, п приборов, без ожидания), и для
этой системы обозначим через р (t) число приборов, заня-
тых обслуживанием в момент /; предположим, что р(0)=/.
Каждый из процессов v(/) и р(/) принимает лишь значения
О, 1, ...» п. Если считать состояние п (значение про-
цесса, равное и) поглощающим для обоих процессов, то
легко видеть, что процессы v(Z) и р(/) совпадают (отли-
чаясь лишь терминологией). Отсюда следует, например,
что распределение первого момента отказа (момента при
котором впервые v(t) = n) совпадает с распределением
момента, при котором впервые p(Z) = n, т.' е.
^/(0=^(0. Кп,
откуда следует (1). •
Формула (2) очевидна. Обратимся к доказательству
формулы (3). Если в начальный момент все приборы не-
исправны, то первый момент отказа произойдет через время
£ = £2, где — случайное время, через которое
хотя бы один прибор восстановится; при этом система
перейдет в состояние п — 1, а £2 — случайное время пере-
хода из состояния п — 1 (начиная с момента начала работы
§ 30] РЕКУРРЕНТНЫЙ НОТОК 173
исправного прибора) в состояние п. Ясно, что сл. в. и g2
независимы и
Р {11 < '} = 1 - e-nt, Р {|2 < n = (о = в„_1( „ (О,
откуда и следует (3).
Задача, п агрегатов обслуживаются одним рабочим. При
этом предполагается, что: 1) каждый агрегат может находиться
в любой момент либо в исправном, либо неисправном состоянии;
2) время, в течение которого агрегат находится в исправном
состоянии, имеет экспоненциальное распределение с пара-
метром 1; 3) после выхода из строя агрегата последний требует
внимание рабочего для проведения восстановительных работ;
при этом, если остальные агрегаты исправны, рабочий немед-
ленно начинает восстанавливать вышедший из строя агрегат;
в противном случае агрегат восстанавливается в порядке оче-
редности; 4) длительности восстановления агрегатов независимы
в совокупности и одинаково распределены с общей ф. р. A (t).
Обозначим через Vj (О число исправных агрегатов в момент t.
Для системы, рассмотренной в этом параграфе, через v (t) обо-
значим число неисправных приборов. Убедиться в том, что при
v (0) == V! (0) процессы v (t) и Vi (/) совпадают (отличаясь лишь
терминологией). Пользуясь этим, показать, что коэффициент
загруженности рабочего (интервалы, в которых рабочий свобо-
ден от восстановительных работ, чередуются с интервалами
занятости рабочего; если тс и т3 — средние длины этих интерва-
лов соответственно, то коэффициент загруженности рабочего
определяется как j равен
< со
—~, где тс=1/п, т3 = (1); а~х » I tdA(t).
тс “г тз п 1 J
о
§ 30. Рекуррентный поток,
экспоненциальное обслуживание
(разное для разных приборов);
прямой и инверсионный порядки обслуживания
В систему обслуживания, состоящую из п обслужи-
вающих приборов, поступает поток вызовов. Предпола-
гаем, что:
— поток вызовов является рекуррентным, определяе-
мым ф. р. A(t), Л(0)<1;
— длительности обслуживания всех вызовов есть не-
зависимые сл. в.;
174 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ [ГЛ. III
— обслуживающие приборы занумерованы числами
1, 2 и; длительность времени обслуживания вызова
на приборе с номером I имеет экспоненциальное распре-
деление с параметром
— каждому вызову, заставшему в момент своего по-
ступления свободные от обслуживания приборы, ставится
в соответствие один из этих приборов; правило, по которому
производится такое соответствие, может быть произвольным;
— вызов, заставший в момент своего поступления все
приборы занятыми обслуживанием, остается в системе,
ожидая начала обслуживания;
— в зависимости от того, какой из ожидающих вы-
зовов поступает на освободившийся прибор, будем раз-
личать следующие схемы.
Схема 1 (прямой порядок обслуживания). Вызовы об-
служиваются в том порядке, в котором они поступают.
Схема 2 (инверсионный порядок обслуживания). Из чи-
сла вызовов, ожидающих начала обслуживания, на освобо-
дившийся прибор поступает тот вызов, который поступил
позже остальных. Эту ситуацию можно себе представить
следующим образом. Поступающее в систему изделие
(вызов) помещается в ящик над имеющимися в нем изде-
лиями. На обслуживание выбирается изделие, находящееся
в ящике сверху.
Для таких систем обслуживания будем интересоваться
нахождением времени ожидания начала обслуживания.
Обозначим через pkn вероятность того, что n-й вызов
(нумерация вызовов производится в порядке их поступле-
ния в систему) в момент своего поступления застанет
в системе k вызовов; Wn (t) — ф. р. времени ожидания
начала обслуживания для вызова с номером п.
Предполагаем, что
оо
а"1 = J t dA (t) < -|- оо,
о
£ = £1 + • • • +^/Г
—-Теорема. Если а/Ь<^\, то:
Ь ' а) существуют пределы
lim pkn = pk, lim Wn(t)=W(f)9
Д->+ОО
РЕКУРРЕНТНЫЙ ПОТОК
175
§ 30]
не зависящие от начального состояния системы,
при этом
Рк>°< 2 л=1;
Л>0
6) Pk+n~iz=^'P » & 0, С= рп_у
здесь р— единственный корень уравнения
р = а (Ь — Ьр),
лежащий в (0, 1);
в) в случае прямого порядка обслуживания
Г(/)=1 — _£P_e-S(l-P)«;
v ' 1 — р
г) в случае инверсионного порядка обслуживания
со (S) = 1 — р>п + р>пл («). р> „ = Ср (1 —Р)-1.
4[1-Y(s)l
л($) =----7-------, y(s) — a(s + b — t>y(s)),
1+у[1- Y(s)]
причем последнее функциональное уравнение имеет
единственное решение у($), аналитическое в полу-
плоскости Res>0, в которой | у (s) | < 1; заметим,
что у(О) = р.
Если же а/b^l, то пределы, указанные в а),
равны нулю.
Замечание. В этих схемах неопределенной является
константа С. Эта константа зависит от правила, по кото-
рому всякому вызову, заставшему в момент своего посту-
пления свободные от обслуживания приборы, ставится
в соответствйе один из них. Заметим, что Ср(1 р)-1
есть вероятность того, что произвольно выбранный вызов
застает в момент своего поступления все приборы заня-
тыми обслуживанием. Константа С может быть определена,
например, методом статистических испытаний.
Доказательство проводится так же, как для слу-
чая п = 1, рассмотренного в § 19,
176 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ [ГЛ. III
Задача [26]. Показать, что в случае Ь{ = ... = Ьп
1 .у сп nix—a^ — l
l-p+2l Cz(l-at) n(l-p)-i ’
(Ср)
где
а/ = а
1 Ctj
at-
Кроме того,
Л-1
1 — аг-
рк= 2 (-1)г~й<^,
i = k
п
Ui=CCip
£ = 0, 1......... /г — 1,
CJn
__________ ”(1 /
С>(1—<ху) л(1 — Р) — j
§31. Рекуррентный поток, постоянное
время обслуживания
Система обслуживания состоит из п приборов. Дли-
тельность обслуживания вызова на любом приборе есть
величина постоянная, равная 1. Предположим, что моменты
поступления вызовов образуют рекуррентный поток, опре-
деляемый ф. р. A(t) (см. § 4). Каждый вызов обслужи-
вается лишь на одном приборе. Обслуживание поступившего
вызова начинается немедленно, если имеется хоть один
незанятый прибор; в противном случае поступивший вызов
обслуживается в порядке очередности. Предположим, что
в начальный момент все приборы свободны.
Так как все приборы одинаковы (длительность обслу-
живания на каждом из них одна и та же), то для опре-
деления таких характеристик, как время ожидания начала
обслуживания, длина очереди и др., правило распределе-
ния поступающих вызовов на .свободные приборы не играет
никакой роли. Для определенности мы выберем следую-
щее правило: перенумеруем приборы числами 1, 2, . .., и;
первые п вызовов в порядке их поступления распределим
на приборы 1, 2, ...» п соответственно; после этого вы-
зов, заставший в момент своего поступления свободные
от обслуживания приборы, распределяется на тот прибор
§32]
НЕЗАВИСИМОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫЗОВОВ
177
(из числа свободных приборов), который раньше других
освободился от обслуживания.
Если вызовы занумеровать числами 1, 2, ... в порядке
их поступления, то при таком способе распределения вы-
зовов по приборам первый прибор будет обслуживать
вызовы с номерами 1, n-4-l, 2n—j— 1, ..., ...,
и вообще Z-й прибор будет обслуживать вызовы с номе-
рами Z, n-|-Z, .....to + Z, ... (Z=l, 2......и).
Отметим (см. § 7), что поток вызовов, поступающих
на прибор с номером Z (Z = 1, .. ., л), начиная с момента
первого поступления вызова на этот прибор, является
рекуррентным, определяемым ф. р. В(/), преобразование
Лапласа — Стилтьеса которой дается выражением
₽($)= [а ($)]".
Теперь ясно, что задача определения времени ожида-
ния начала обслуживания для описанной сейчас системы
сводится к аналогичной задаче для случая п = 1.
§ 32. Рекуррентный поток, произвольное время
обслуживания на каждом приборе;
распределение вызовов, независимое
от состояния приборов
Система обслуживания состоит из распределительного
устройства (РУ) и п обслуживающих приборов, зануме-
рованных числами 1, 2, ..., п. Поток вызовов, предъяв-
ляющих требование к обслуживанию, поступает на РУ,
распределяющее их по приборам. Относительно потока
вызовов, работы РУ и обслуживающих приборов сделаем
следующие предположения:
— моменты поступления вызовов на РУ образуют
рекуррентный поток, определяемый ф. р. A(t)> А (0) < 1;
— занумеруем вызовы в порядке их поступления
числами 1, 2, ... и обозначим через vk номер прибора,
на который распределяется вызов с номером k, k^\\
чтобы определить работу РУ, нужно определить после-
довательность чисел v2, ...; мы будем предполагать,
что последовательность vp v2, ... образует однородную
(конечную, с числом состояний п) цепь Маркова, опре-
деляемую матрицей переходных вероятностей Р= {ри}“ t
12 Г П. Климов
178 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ [ГЛ. III
так что р {vk+1=J/vk = i} = pl}, й>1,
Для полной определенности мы еще должны задать
р = положим
P{V1 = Z} = PZ, Z = 1...п, />!+•.. 1;
— вызов, распределенный на некоторый прибор, или
сразу начинает обслуживаться, если прибор свободен, или
ожидает начала обслуживания в порядке очередности
(в противном случае); предполагаем, что длительности
времени обслуживания всех вызовов есть независимые
сл. в.; при этом каждый вызов обслуживается лишь на
одном приборе, и если вызов распределен на прибор
с номером Z, то длительность времени обслуживания его
на этом приборе имеет ф. р. 1 1.
Ставится задача определения стационарной ф. р. вре-
мени ожидания начала обслуживания вызова, поступившего
на РУ, а также условной стационарной ф. р. времени
ожидания начала обслуживания при условии, что посту-
пивший вызов распределен на прибор с номером Z,
1 Z
Найдем сначала поток вызовов, поступающих на при-
бор с номером Z, I — 1, ..., п. Пусть 4°, 4г)> • • • — по-
следовательные моменты поступления тех вызовов, которые
распределены на прибор с номером Z; —ty-v
&>1, ^°=о.
Теорема, а) Случайные величины z^, z%\ ... не-
зависимы в совокупности, причем сл. в. zW, z^, .. .
одинаково распределены,
б) для всякого X, удовлетворяющего |Х| < 1, ма-
трица Е— КР обратима; пусть
Р(А) = КР(Е — А/5)-1 = [рч(А)], ] А | < 1;
тогда Ptj(k) представляется в виде степенного
ряда по степеням X с радиусом сходимости 1; если
= £>2,
то
, ч Рц (а 00)
(1)
§ 32] НЕЗАВИСИМОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫЗОВОВ 179
Доказательство. Утверждение а) очевидно. До-
кажем утверждение б). Если P={pij] — матрица пере-
ходных вероятностей для однородной цепи Маркова,
a P<lj — вероятность перехода из состояния I в состояние j
за п шагов, то
Обозначим еще через qW вероятность перехода из со-
стояния I в состояние j точно за п шагов (без попада-
ния в J до n-го шага); тогда
р\п]=+ • • •
или в матричном виде
Рп = Q'% + + Q(n-2)//2 + ... + QmHn_V, (2)
здесь
<?«> = [,!«). », = [«„< »>!• «»=(М-
(О, f =# />
^=11, i=j.
Положим
Р(%)=*2 pw = [Plj (X)) = | *2 |,
Q(*)= (3)
/7 (X) = 2 нк\к-,
тогда из (2) имеем
P(Z) = Q(Z)/7(X). (4)
Заметим, что ряды (3) сходятся, по крайней мере, в круге
|Z| < 1. Так как
Н(Х)={б/у[Ц-р/у(Х)]}
и 1 •+ Pij W ¥= О ПРИ | М < е> т0
12*
180 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ [ГЛ. Ш
тогда из (4) имеем
Q(A,) = P(A,)tf-1(A,),
откуда 1+Руу(А)- (5)
В частности, \+ри^) (6)
при | X | < 8, а так как функции qu (X) и ри (X) анали-
тичны в круге | X | < 1, то из последнего соотношения
следует, что 1 + 0 при |Х| < 1, т. е. формула (6)
верна, по крайней мере, при |Z| < 1.
Заметим еще, что
Р(Х)= 3 PkKk = lPtE— КР]-1
k>l
для | X | < 1, так как корни уравнения det (Е — КР) лежат
вне круга | А, | < 1 (напомним, что матрица Р стохастична).
Теперь утверждение б) теоремы следует немедленно,
если воспользоваться результатом § 7, имея в виду
= = = ........XF(X)=2a^ft+1 =
k 0
= <7/z(X) и формулу (7) § 7. Теорема доказана.
После этого исходная задача может быть решена
следующим образом. Условная стационарная ф. р. Wz(/)
времени ожидания начала обслуживания вызова при усло-
вии, что он распределен на прибор с номером Z, опре-
деляется как стационарная ф. р. времени ожидания для
случая, когда рекуррентный поток вызовов, определяемый
ф. р. At (Z), преобразование Лапласа-— Стилтьеса которой
дается формулой (1), обслуживается одним прибором с рас-
пределением длительности времени обслуживания каждого
вызова, равным Bz(Z). При этом можно воспользоваться
результатом §§ 19—21.
Пусть W(k) (/) — ф. р. времени ожидания начала обслу-
живания для 6-го вызова (нумерация вызовов происходит
в порядке их поступления на РУ), a (/) — та же функ-
ция, но при условии, что 6-й вызов распределен на прибор
с номером L Без ограничения общности можем считать
§ зй
НЕЗАВИСИМОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫЗОВОВ
181
цепь Маркова, управляющую работой РУ, неприводимой.
Тогда lim (f) — Wt (f) и
+oo
П
U7(ft)(0=S p\k)W\k}(t).
где p<® — вероятность того, что k-R вызов распределяется
на прибор с номером Z; эти вероятности определяются
соотношениями
п
рГг)=ДМ% *>k
Мы не можем утверждать, что существует
lim W& (0,
£->+оо
так как хотя и существуют пределы lim W{® (t) = Wi (t)t
£-> + oo
но существование lim pW необязательно (например,
k -> + co
в случае периодической цепи), поэтому мы поступим
следующим образом. Вероятность того, что произвольно
выбранный вызов среди первых N вызовов будет ожидать
начала обслуживания время, не превосходящее t, равна
N
(0.
£=1
поэтому предел
w
IF(0= lim У ± W^(t) (7)
ЛГ->+ооГ7127
(если он существует) можно толковать как ф. р. времени
ожидания начала обслуживания для произвольно выбран-
ного вызова (среди всех вызовов). Заметим, что
N nN
2(4^2 (8)
Л=1 1-1 • k=l
182 Система обслуживания многими приборами [гл. iti
Далее отметим, что, для всякой неприводимой цепи Мар-
кова существуют
такие, что
п
щ > о и 2 ni — 1 •
Воспользуемся, наконец, утверждением: если для последо-
вательностей х19 х2, «р а2, ... существуют пределы
—|— . . . “|~ х^~
х— lim —--------тг----— , lim aN—a,
N++co ™ ДГ-> 4-оо
то существует
Поэтому из (8) и (9) следует существование предела (7) и
п
if(0=2mw (Ю)
4=1
Функции Z=l, и, W (t) и представляют те
функции, которые мы желали определить.
Отметим, что условие существования стационарной
ф. р. №/(0 есть
bt > алр (11)
где
а*"1 — J t dA (t) < 4-00,
о
ЬГ' = /1 dBt (0 < -+• oo,
0
а условием существования ф. p. W (/) является
a”1 > max (12)
§ 32] . НЕЗАВИСИМОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫЗОВОВ 183
В самом деле, пусть
а-! = J tdAt(t) = — а;(0).
о
Так как az(s) = ^zz (a(s)) и a(0)=l, a'(0)= — а-1, то
aT1==<l'tiWa-1,
но согласно теореме 2 § 45
k>l
Таким образом,
Согласно теореме § 20 условие существования стацио-
нарной ф. р. W L (t) времени ожидания есть -у- < 1 или,
что то же, (11). Если выполнено (12), то все функции
Wt(t) есть ф. р., следовательно, и функция W (t), опре-
деляемая (10), есть тоже ф. р.
Задача 1. Рассмотреть случай, когда моменты поступле-
ния вызовов образуют поток Эрланга; работа РУ управляется
цепью Маркова с матрицей переходных вероятностей
0 10.0
0 0 1.0
0 0 0.1
10 0.0
а длительности времени обслуживания на каждом приборе рас-
пределены произвольно.
Указание, ,
Задача 2. Рассмотреть случай, когда моменты поступления
вызовов образуют пуассоновский поток, работа РУ управляется
матрицей
184 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ [ГЛ. III
а обслуживающие приборы работают ненадежно (так же как
в § 15).
Указание. В этом случае моменты поступления вызозов, распреде-
ленных на прибор с номером /, образуют пуассоновский поток, i= 1, ...» л;
далее воспользоваться результатом § 15.
Задача 3 (продолжение). Рассмотреть случай, когда пе-
ред некоторыми приборами допускается ограниченная очередь.
Указание. См. § 16.
§ 33. Обслуживание с преимуществом
(рекуррентный поток вызовов,
экспоненциальное время обслуживания)
Описание системы обслуживания и по-
становка задачи. Поток вызовов, предъявляющих
требование к обслуживанию, поступает в систему, со-
стоящую из п обслуживающих приборов. Относительно
потока вызовов, дисциплины распределения вызовов по
приборам и дисциплины обслуживания вызовов на прибо-
рах делаются следующие предположения:
— поток вызовов является рекуррентным, определяе-
мым ф. р. A(t), Л(0)<1;
— длительности обслуживания всех вызовов есть неза-
висимые сл. в.;
— обслуживающие приборы занумерованы числами
1, 2, ..., и; длительность времени обслуживания вызова
на приборе с номером I имеет экспоненциальное распреде-
ление с параметром
— множество всех вызовов делится на г классов, за-
нумерованных числами 1, 2, ...» г; вызовы класса k,
k= 1, .. ., г, будем еще называть вызовами приоритета А;
каждый поступающий вызов объявляется вызовом приори-
тета k с вероятностью ak независимо от того, сколько
и какого приоритета поступило до этого вызовов;
— каждому вызову, заставшему в момент своего по-
ступления свободные от обслуживания приборы, ставится
в соответствие один из этих приборов; правило, по кото-
рому производится такое соответствие, может быть про-
извольным;
— вызовы приоритета I имеют преимущество перед
вызовами приоритета У, если I < У; будем при этом го-
ворить, что вызовы класса I более высокого приоритета
§ зз] обслуживание с преимуществом 185
по сравнению с вызовами класса /; указанное преиму-
щество заключается в следующем: пусть вызов в момент
своего поступления застает все приборы занятыми; тогда:
а) если среди обслуживающихся вызовов есть вызовы
низшего приоритета, чем поступивший, то прерывается
обслуживание вызова самого низшего приоритета (если их
много, то среди вызовов низшего приоритета прерывается
тот, который позже остальных поступил в систему) и
начинается обслуживание поступившего вызова;
б) если среди обслуживающихся вызовов нет вызова
более низкого приоритета по сравнению с поступившим
вызовом, то последний становится в очередь на обслужи-
вание впереди вызовов низшего приоритета, ожидающих
начала обслуживания, и за вызовами высшего приоритета,
находящихся в очереди (если такие имеются);
— прерванный вызов дообслуживается;
— по тому, какой предусматривается порядок обслу-
живания для вызовов одного приоритета, будем различать
следующие две схемы:
Схема 1 — вызовы одного приоритета обслуживаются
в порядке их поступления;
Схема 2 — среди вызовов одного приоритета, ожи-
дающих начала обслуживания, первым обслуживается тот,,
который поступил позже остальных.
Для такой системы обслуживания поставим задачу
определения предельной ф. р. времени ожидания начала
обслуживания для вызова приоритета Z, I— 1, ...» г.
Эту ф. р. обозначим через
Положим
R{z, s,p(s)) = [2 —р(5 + ^-^)]-1Х
( l-p(s + 6-te) s
1 —г s + b — bz
+ + 4 = »1+ ...
где
V(s) = 0(s + £ —Z>Y($)),
причем 9то функциональное уравнение определяет един-
ственную функцию у($), аналитическую в полуплоскости
Re s > О, в которой |y(s)| < 1. Последнее утверждение
186 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ (ГЛ. Й1
верно (и просто проверяется с использованием теоремы
Руше), например, для случая, когда £($) — преобразова-
ние Лапласа—Стилтьеса некоторой ф. р. неотрицатель-
ной сл. в.
Теорема, а) Для схемы 1 при а (аг + ...
• • • + ai) <
a>i(s) — 1 — s, az_!(s)), (1)
где
ak(s) = a(s) jl~a*(s) ’ = •••+«*. or —0;
pz — единственный корень уравнения
Р/ = ^(b~ Z>pz),
лежащий в (0,1).
б) Для схемы 2 при а(ах-\- ... + «/_1)<^
(о,($)=1 — s, az(s)), Z = 2, ..., r.
Для 1 — 1 G)1(s)= 1 —Pi + PiJt(s),
где 4 П - Y1 («)] «(*) = g . 1 + 4(1 -Vt (s)J
Yi($) определяется уравнением
Yi(5) = «i(s + ^-~ *Yi($))>
причем это функциональное уравнение определяет
единственную функцию Yi($)» аналитическую в полу-
плоскости Re s > 0, в которой |Yi(s)|<l.
в) Константы С1 зависят от правила, по кото-
рому каждому вызову, заставшему в момент своего
поступления свободные от обслуживания приборы,
ставится в соответствие один из них. Отметим,
что Cftt (1 —pz)-1 есть предельная вероятность того,
что вызов в момент своего поступления застает
в системе все приборы занятыми обслуживанием
вызовов приоритета i и выше.
§33]
ОБСЛУЖИВАНИЕ С ПРЕИМУЩЕСТВОМ
187
г) Для обеих схем функции Wt (t) являются
неубывающими, неотрицательными, непрерывными
справа. При этом для схемы 1
UZ/(4-oo) = 0 при
(—|—оо) = 1 при
для схемы 2
а (#i 4~ • • • 4~ ai)
а (ai + • • ♦ + at) < b\
lFz(-|-oo) = 0 при
О < ^ (+ оо) < 1 при
UZz(-]-oo)=l при
а (ai + ••• +
а (ai + • • • + ai-l) <
<b<a(ai + ... + az),
... +
Доказательство разобьем на пункты.
А. Так как поток вызовов является рекуррентным,
а каждый вызов с вероятностью аг + ... -J- at является
вызовом приоритета I и выше, то поток вызовов прио-
ритета Z и выше также является рекуррентным (см. § 7),
определяемым ф. р. преобразование Лапласа — Стил-
тьеса которой есть (см. пример 1 § 7)
af(^) = «(g)~A~„<(j.) . 1 — 0г = а1+ ••• аг = 0.
Обозначим, далее, через pfy вероятность того, что
AZ-й вызов (нумерация вызовов производится в порядке
их следования) в момент своего поступления застает в си-
стеме k вызовов приоритета I и выше (и, быть может,
еще вызовы приоритета низшего, чем Z). Так как на обслу-
живание вызовов приоритета Z и выше вызовы низшего
приоритета никакого влияния не оказывают, то согласно
§ 30 существуют пределы
Нт р^=^>, *>0,
7V-> 4- со
такие, что
/>й-=с#?. е.=с,-
где pz — единственный корень уравнения
Р/ = az (b —
лежащий в (0, 1). При этом предполагается, что
[ — а'( (0)j b > 1, т. е. a + ... + а.} < Ь.
188
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ
МНОГИМИ ПРИБОРАМИ [ГЛ. III
Б. Схема 1. Пусть AZ-й вызов в момент своего по-
ступления застает в системе k вызовов приоритета I и
выше (и, быть может, еще вызовы приоритета низшего,
чем Z). Вероятность такого события равна pfy (даже если
будет известно, какого приоритета ZV-й вызов). Пусть
известно, что ZV-й * вызов есть вызов приоритета I. По-
смотрим, сколько времени этот вызов будет ожидать
начала обслуживания. Если k < п (п — число приборов),
то время ожидания равно нулю. Пусть теперь k п.
Положим k — n-]-v. Здесь v имеет смысл длины очереди
из вызовов приоритета I и выше. В этом случае задача
определения времени ожидания начала обслуживания
(ZV-го вызова приоритета I) равносильна следующей задаче:
один прибор обслуживает поступающий рекуррентный
поток вызовов, определяемый ф. р. длительность
обслуживания любого вызова имеет экспоненциальное рас-
пределение с параметром Ь; требуется определить длину
промежутка времени, начинающегося с момента поступле-
ния вызова, заставшего в системе v вызовов до следую-
щего непосредственно момента освобождения системы от
вызовов. Таким образом,
Отсюда следует, что если WlN(t)— ф. р. времени ожи-
дания начала обслуживания /V-го вызова при условии,
что этот вызов является вызовом приоритета Z, то
+е.„+ s
V и
=/>&+... +е„+ 2ор'",„рр,'-"м:
при 7V—имеем
Pn\v = CiPl+^
Р'о%+ ••• + +^ =
= 1-3
0 4 z
wtN (О -> (0=1- С/Р< (1 - p/)"1 +
§ 33] ОБСЛУЖИВАНИЕ С ПРЕИМУЩЕСТВОМ 189
Теперь формула (1) следует из (15) § 13.
В. Схема 2. Сохраняя обозначения предыдущего
пункта, для этой схемы имеем
+«,+ 2 «Р(Ч'’<П-
V V
Далее, так же как в предыдущем пункте, следует
перейти к пределу при и воспользоваться снова
формулой (15) § 13.
Задача 1. Рассмотрим систему обслуживания с ожида-
нием такую же, как в § 30 (рекуррентный поток, экспоненциаль-
ное время обслуживания, п приборов), в предположении, что все
приборы одинаковы, т. е. Ьх = Ь2 = ... = Ъп. Пусть в началь-
ный момент в системе находится i + 1 вызовов; пусть i -|- 1 < п,
так что все вызовы обслуживаются. Предположим, далее, что
среди этих J +1 вызовов один вызов «терпеливый», а остальные
(в том числе и вновь поступающие) вызовы «нетерпеливые».
Этим самым принимается соглашение о том, что если вызов
в момент своего поступления застает все приборы занятыми, а
«терпеливый» вызов еще не обслужился, то прерывается обслу-
живание «терпеливого» вызова и начинается обслуживание по-
ступившего вызова. Обслуживание «терпеливого» вызова возоб-
новляется, как только освободится один из приборов.
Обозначим при этом через Т/ момент окончания обслужива-
ния «терпеливого» вызова, / == 0, 1, ..., п— 1; vt (s) = M^“5TZ.
Показать, что для Z = 0, 1.п — 1
($“Н ^i) 1 I I-^i) z z
Vl (S) = [1 - Т+Л"+^(5 4-60 n (s) Vn~l (s); (2)
здесь л (s) == л— случайная величина, равная периоду
занятости системы или, более точно, л есть длина промежутка
времени, начинающегося с момента поступления вызова, застав-
шего в системе лишь один свободный прибор, до следующего
непосредственно момента, когда освободится один из приборов.
Показать, что
~г[1— Y («)]
л(5)=------Г--------, (3)
l+y[l-Y(s)J
Y(s) = a(s + 6 —6у(«)). ?=*i+ ••• +&«.
причем последнее функциональное уравнение определяет един-
ственную функцию у (5), аналитическую r полуплоскости Re s > 0,
в которой | у ($) | < 1.
190 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ МНОГИМИ ПРИБОРАМИ [ГЛ. III
Указание. При выводе формулы (2) воспользоваться методом введе-
ния дополнительного события («катастрофы»), моменты наступления которых
образуют пуассоновский поток с параметром $ > 0 и которые происходят не-
зависимо от работы системы обслуживания, а также § 28. При выводе фор-
мулы (3) воспользоваться § 13.
Задача 2. Рассмотрим вновь систему обслуживания, опи-
санную в этом параграфе в предположении, что Ьх — Ь2 = ...
... = Ьп\ при этом обратимся к схеме 1: вызовы одного прио-
ритета обслуживаются в порядке поступления. Обозначим че-
рез vN время пребывания в системе вызова, поступившего в си-
стему N-м по счету, при условии, что этот вызов есть вызов
самого низшего приоритета. Показать,, что существует
lim P{v =
АГ-> + оо 1 j
определяемый соотношениями
v(s) = Po»o(0 + ••• + Pn-i^n-i.(s) +
4-Ср [(1 —р)-1 —/?($)] v„_t (s),
ОО
v(s) = J e~st dV(t),
0
где v0 (s)... Vn-i ($) определяются формулой (2), в кото-
рой положено a(s) = ar_! (s); pQt ..., pn-i, С, р определяются
формулой, указанной в задаче § 30; /?(s) —/?(р, $, аг_{ ($)).
§ 34. Заключение
А. Среди методов, используемых при решении задач
массового обслуживания, выделяются два метода:
1) метод сведения к марковским процессам;
2) метод вложенных цепей Маркова.
Пример. Рассмотрим систему обслуживания, описан-
ную в § 19 (рекуррентный поток, экспоненциальное время
обслуживания, один прибор, система с ожиданием). Обо-
значим через v(Z) число вызовов, находящихся в системе
в момент f.
1) Процесс {v(0» 0<О < -1-оо} не является марков-
ским (если поток вызовов не пуассоновский). Однако
можно так расширить множество состояний, что полу-
ченный процесс станет марковским. Обозначим через £(/)
длину промежутка времени, начинающегося с момента t
до момента поступления очередного вызова. Тогда процесс
£(0={v(0. ИО}
становится однородным марковским процессом.
§ 34]
заключение
191
2) Если tb t2, ...—моменты поступления вызовов,
a vn = v(tn — 0), £о = О, то последовательность
v0, vP v2, ... образует цепь Маркова.
Б. Полу марковский процесс. Пусть в каждый мо-
мент времени частица может находиться в одном из со-
стояний EQ, Еу ... Частица, попав в какой-то момент
в состояние Et, совершает следующий переход в состоя-
ние Ej с вероятностью где {р^} — матрица переход-
ных вероятностей для цепи Маркова; однако этот пере-
ход совершается не через единицу времени (как в цепях
Маркова с дискретным временем), а через случайное
время тгу. Пусть v (f) — состояние частицы в момент t.
Процесс v(/) называется полумарковским. При довольно
общих условиях (см. [20, 32]) существует
lim P{v (/) = £*},
t -> + со
который зависит от случайных величин тгу только через
их средние значения.
В предыдущем примере (см. пункт А) процесс v(t)
является полумарковским.
Г Л А В A IV
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ «
И НАДЕЖНОСТИ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКИХ !
ИСПЫТАНИЙ j
§ 35. Введение |
Пример 1. Пусть на обслуживающий прибор посту- ’
пает поток вызовов, предъявляющих требование к обслу- *
живанию; t2, ...—моменты поступления вызовов, -
zk = tk— tk-i* tQ — 0. Обозначим через sk,
длительность* времени обслуживания £-го вызова (вызовы
нумеруются в порядке их поступления). Пусть принято
соглашение, что случайные величины zlt z2, ..Sp s2» - • •
независимы в совокупности и что сл. в. zv z2...так же
как и сл., в. s2.....одинаково распределены. Положим j
В(О = Р{$Л</}, £>1,
и пусть (опытным путем) определены ф. р. A(t) и B(t).
Предполагаем, что поступивший вызов или сразу
начинает обслуживаться, если он застает прибор свобод-
ным, или становится в очередь, ожидая начала обслужи-
вания. При этом вызовы обслуживаются в том порядке,
в котором они поступают. |
Пусть относительно этой системы нам нужно знать I
распределение времени ожидания для произвольно выбран- 1
ного вызова. |
Попытаемся произвести в некотором смысле имитацию |
работы этой системы обслуживания поступающих вызовов.
Для этого нам нужно в первую очередь уметь находить
(по функциям A(t) и B[f)) величины zb z2t ...» а также 1
§ 35)
ВВЕДЕНИЕ
193
величины sp s2, ... Допустим, что мы умеем их находить
(о том, как это делается, см. ниже). Обозначим через wk
длительность времени ожидания начала обслуживания для
вызова с номером k. Тогда очевидно, что
*»+!» если —z*+1 >0,
*+1 I 0, если +
Таким образом, по последовательностям {гЛ} и {s^} мы мо-
жем находить последовательность {w^} (если известно Wj).
Разобьем теперь полупрямую [0, оо) на части точками
0 = х0, .....хЛ, положив
= xk+l), 0^k<n,
Дя = lxn< + °°)
х0 < . < хп). Выберем некоторое достаточно боль-
шое число 2V, вычислим по формуле (1) w2..........wN
и подсчитаем число тех . .., которые попали
в промежуток ДЛ, k — Q, 1......п. Обозначим это число
через vk (N). Ясно, что
vq(AQ , Vi (AQ , v„(A0i
N N W ’
vk (N) *
а число ’ представляет некоторое приближение к ве-
роятности того, что время ожидания начала обслуживания
произвольно выбранного вызова находится в проме-
жутке Дй. Подсчет этих чисел не представляет труда и
для больших N легко реализуется на вычислительной
машине.
В данном случае задача свелась к тому, чтобы уметь
находить последовательности {гЛ} и {sfe} по функциям
A(t) и B(t).
Если случайные числа гр г2, • • • независимы в сово-
купности и каждое из них равномерно распределено на
интервале (0, 1), то числа zi9 z2..... получаемые из
соотношений
rk = A{zk), (2)
независимы в совокупности и каждое из них имеет рас-
пределение A(t). Таким образом, нам достаточно теперь
уметь находить последовательность чисел гх, г2, ... ,
• 13 Г. П. Климов
194
МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ
[ГЛ. IV
независимых в совокупности и равномерно распределенных
в интервале (0, 1). Это можно осуществить, например,
следующим образом. Пусть числа гр г2, • • • требуется
определить с точностью до 2-(л+1). Будем бросать после-
довательно п раз правильную монету. Если при £-м бро-
сании выпадет «орел», то запишем ал=1, в противном
случае ал = 0. После этого положим
г1 = 0,а1а2.. .ал
(последняя запись означает число, записанное в двоичной
системе счисления). Таким же путем найдем г2, гз и т- Д*
На практике числа гр г2, ... могут быть определены
с помощью так называемых шумовых датчиков случайных
чисел, имеющихся на некоторых вычислительных машинах.
Если же на вычислительной машине нет такого датчика,
то эти числа могут быть определены некоторым, рекур-
рентным способом (так называемые псевдослучайные числа).
Часто возникают трудности с решением уравнения (2).
Имеется следующий практически выгодный прием. До-
пустим, что вероятности
Р{2г<Т1}=Л(Т1-0), Р{г>Т2} = 1-Д(Т2-0)
настолько малы, что можно пренебречь случаями z < 7\
и z^T2. Разобьем тогда промежуток [Гр Т2) на п частей
точками T1 — aQ, аг......ап — Т2, выбрав их так, чтобы
aQ < ai < • • • < О'п и Р ai} = P ^2} —
= ... =Р {ал_! < z < ап]. Положим Дй = [ak, ай+1),
— 1. Тогда сл. в. z с одинаковой вероятностью
может попасть в любой из промежутков До, ..., ДЛ_Р
Таким образом, если г есть сл. в., равномерно распре-
деленная в (0, 1), то
Р € Л*) = Р {я* < * < «й+1} Р {{гп} = k},
где. [х] означает целую часть числа х. В интервале же Д^
с некоторым приближением считается, что сл. в. z равно-
мерно распределена. Приняв эти соглашения, можно на-
ходить z в следующие два приема:
1) выбираем число г, равномерно распределенное в про-
межутке (0, 1), и определяем k = [rn}\
§35]
ВВЕДЕНИЕ
195
2) вновь выбираем число г, равномерно распределенное
в (0, 1) и независимое от предыдущего, и полагаем
2 = + -ak).
Пример 2. Пусть теперь имеется п обслуживающих
приборов и длительности времени обслуживания всех
вызовов независимы и одинаково распределены с общей
ф*. р. B(t). Вызовы поступают так же, как и в примере 1,
и каждый из них обслуживается лишь на одном приборе.
Вызов, заставший в момент своего поступления хотя бы
один прибор свободным от обслуживания, сразу же зани-
мает любой из них, в противном случае он становится
в очередь, ожидая начала обслуживания. Вызовы обслу-
живаются в том порядке, в котором они поступают.
Пусть, как прежде, <wk — длительность времени ожидания
начала обслуживания для вызова с номером k (нумерация
вызовов производится в порядке их поступления). Тогда
tk~\-wk есть момент начала обслуживания £-го вызова;
+ + — момент, когда £-й вызов покидает обслу-
живающий его прибор. Пусть tk-\-uki — момент, когда
/-й прибор (предполагается, что приборы занумерованы
числами 1, 2.....п) закончит обслуживание тех вызовов
из (k—1) первых вызовов, которые на него попали.
Тогда, u'ki — шах[0, есть длина промежутка времени,
начинающегося с момента tk до момента, когда Z-й прибор
освободится от вызовов, поступивших до. tk. Ясно,-что
^ = min{a'i, и'2........«Ц.
В связи с этим может быть использован следующий
способ определения wk, который представим в виде после-
довательности выполнения шагов (предполагается, что
u\v •••• и\п известны, например равны нулю; числа же
и'кХ....икп, расположенные в порядке возрастания, обо-
значены через ..., гх)кп).
l-й шаг. Вычесть из каждой компоненты вектора
(^1.....Wftn) число гк.л.
2-й шаг. Прибавить к первой компоненте полученного
вектора sk.
3-й шаг. Отрицательные компоненты полученного
вектора заменить нулями.
13*
196
МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИИ
[ГЛ. IV
4-й таг. Компоненты полученного вектора расставить
в порядке их возрастания; получившийся вектор обозна-
чим через (wft+iu.....
5-й таг. Положить
Тем самым можно последовательно находить wlt w2, .. .
Теперь, так же как в предыдущем примере, выбирая
достаточно большое число 2V, можно найти Vk^ .
Пример 3. Опять возвратимся к системе обслужива-
ния, описанной в примере 1, но теперь будем предпола-
гать, что максимальное число вызовов, которые одно-
временно могут находиться в системе, равно ятах^1,
так что если вызов в момент своего поступления застает
в системе nmax вызовов, то он «теряется», т. е. к обслу-
живанию не принимается и на дальнейшие поступления
вызовов влияния не оказывает. Пронаблюдаем изменение
длины очереди в системе. Заметим, что длина очереди
может изменяться либо в момент поступления некоторого
вызова (при этом очередь увеличивается на единицу, если
длина очереди была меньше nmax), либо в момент оконча-
ния обслуживания некоторого вызова (при этом длина
очереди уменьшается на единицу). Если /р t2, ... суть
последовательные моменты поступления вызовов;
т2, ... — последовательные моменты окончания
обслуживания вызовов;
n — n(t)— число вызовов, находящихся в системе в мо-
мент t< то
п (tk) = min [ramax, n(tk — 0)-+- 1],
га= « (rft — 0) — 1,
а в любом интервале времени, не содержащем моменты
/р /2, . . . и Тр т2, ..., число вызовов n(t) остается без
изменения. Если на временной оси нанести моменты
/р t2, ... и Тр т2....то, продвигаясь вдоль оси вправо,
мы можем последовательно находить n(t) (зная п(0)).
Пусть N достаточно велико, и мы имеем наблюдения
функции п(/).лишь в моментах /р t2, ..., tN. Обозначая
через (и) число тех случаев, когда n(tk — Q) = n (т. е.
§ 35]
ВВЕДЕНИЕ
197
число тех вызовов, которые в момент своего поступления
застали в системе п вызовов), получаем
+ (nmax) = ^»
(k) *
а число есть с некоторым приближением вероятность
того, что произвольный вызов в момент своего поступле-
ния застает в системе k вызовов, 0 k nmax. Именно
нахождением этих чисел мы и будем интересоваться.
Схема счета для нахождения этих чисел может быть
представлена следующим образом. В каждый момент Т
состояние системы характеризуется тройкой чисел (t, т, я),
где t — момент поступления первого вызова после мо-
мента Т—0, п— число вызовов, находящихся в системе
в момент Т — 0, т—первый после Т — 0 момент оконча-
ния обслуживания вызова. За последовательные моменты Т
будем брать моменты, когда система изменяет свое состоя-
ние (число находящихся в ней вызовов), т. е. моменты
/2, Тр т2, ..., расположенные в возрастающем
порядке.
Зная тройку (Л т, п) в один из этих моментов, можно
вычислить тройку (£', т', пг) в следующий момент по схеме:
1) если то
t' = t-\-z> т' = т, п' = и©1;
2) если t > т, то
tr — t, п' = п — 1,
{r + s, если п,' > О,
^ + s, если и' = 0;
здесь
{п+1» если п + 1 птах,
^тах» если п + 1 > птах;
число z есть решение уравнения
r=A(z)t
аналогично s определяется уравнением
г = В($);
здесь г есть новое число, равномерно распределенное
в (0, 1) и независимое от предшествующих.
198
МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ
[ГЛ. IV
Заметим, что если число nmax велико, то бывает не-
целесообразно ВЫЧИСЛЯТЬ (k) ДЛЯ всех k = 0, 1....Птах.
В этом случае можно поступить следующим образом.
Отрезок [0, nmax] разбивается на части Др ..., где
т— разумно выбранное число, и тогда подсчитывается
не число (Л) случаев n(tt — 0) = £, & = 0, 1, ...» nmax,
а число случаев ti(tt — 0)£Дл. Необходимые изме-
нения, которые нужно сделать в схеме счета для этого
случая, очевидны. Это замечание нужно иметь в виду и
в дальнейшем.
Этот прием решения задач массового обслуживания
допускает значительное усложнение самой структуры
обслуживания (увеличение числа обслуживающих приборов,
многофазное обслуживание, обслуживание ненадежными
приборами, привлечение дублирующих приборов и т. д.).
Чтобы задать систему обслуживания, надо задать:
1) геометрию перемещения вызовов в системе обслу-
живания от одного обслуживающего прибора к другому;
2) дисциплину обслуживания вызовов в системе; под
этим понимаются:
а) дисциплина приема вызовов каждым прибором;
б) дисциплина обслуживания вызова на каждом приборе;
в) дисциплина распределения вызовов от каждого
прибора.
Для задания геометрии перемещения изделий (вызовов)
в системе обслуживания удобно пользоваться понятием
направленного графа. Тогда наглядно работу всякой
системы обслуживания можно представить в виде про-
цесса перемещения изделий по дугам направленного графа
с задержками на случайное время в вершинах графа. Для/
удобства чтения дальнейшего материала кратко изложим
необходимые понятия из теории направленных графов.
Задача 1. Обобщить схему счета в примере 2 на случай,
когда длительности обслуживания всех вызовов являются неза-
висимыми случайными величинами, обслуживающие приборы
занумерованы 1, 2, ...» п и длительность времени обслуживания
вызова на приборе с номером k имеет ф. р. k — \, ..., п.
Задача 2. Обобщить схему счета примера 1 на случай,
когда каждый вызов обслуживается последовательной цепочкой
приборов. Более точно: система обслуживания состоит из п при-
боров, занумерованных числами 1, 2./г. Вызов, обслуженный
на приборе 1, поступает к прибору 2, на котором обслуживается
НАПРАВЛЕННЫЙ ГРАФ
199
§ 36]
в порядке очередности, и т. д. s$ — длительность обслуживания
на приборе с номером i вызова, поступившего в систему N-м по
счету; tit £2» • • • — моменты поступления вызовов в систему;
2k^=tk — tk-ъ ^>1, /о = 0- Предполагается, что сл. в.
независимы,
Р {**</} = Л(0,
Р («#<*} = 5,(0.
Положим, — время ожидания начала обслуживания АГ-го вы-
зова у прибора с номером Z. Требуется составить схему счета
для статистического определения распределения времени ожида-
ния начала обслуживания у прибора с номером Z, / = 1, .п.
Указание.
£2,(0 —max Io 1
wW+l“maxr’ WN±SN гАГ+1р
ZN+1~SN+1 min Г’ WN +sN zN+lj>
JD
ZN+1~ZN+V
§ 36. Направленный граф. Раскрашивание
направленного графа
Графом называется пара (Ж, Г), где М — непустое
множество, а Г — отображение множества М в себя. Ото-
бражение Г считаем не обязательно однозначным. Таким
образом, каждому элементу а £ Ж ставится в соответствие
множество Гас Ж. Положим для всякого а£Ж
Г-1а={р|₽еж, а£Гр},
а для А с Ж
ГЛ = (J Га, Г‘*Л = (Jr-1a.
а£А а£А
Мы будем рассматривать лишь конечные графы, т. е.
такие, в которых множество Ж состоит из конечного
числа элементов.
Для наглядности элементы множества Ж будем изо-
бражать точками на плоскости, а всякую пару элементов a
и р такую, что р£Га, соединять непрерывной линией,
снабженной стрелкой у элемента р. В силу такой интер-
претации элементы множества Ж будем называть верши-
нами графа, а всякую пару (а, р), такую, что р£Га,
200
МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ
(ГЛ. IV
дугой графа, при этом а будет началом дуги, р — ее
концом.
Множество дуг графа обозначим через U. Ясно, что
пара (Ж, U) задает отображение Г множества М в себя,
поэтому иногда для графа будем применять обозначе-
ние (Ж, U).
Если А с Ж, то через (Д, ГД) будем обозначать
множество дуг вида (а, р), где а£Д, р£Га. Например,
(а, Га)—множество дуг, исходящих из вершины а.
Если и — дуга, т. е. я = (а, р), где а£Ж, р£Га,
то положим
я_ = а, «+ = р.
Путем в графе называется последовательность дуг
такая, что конец каждой предыдущей дуги совпадает
с началом последующей дуги. Если при этом начало
первой дуги совпадает с концом последней дуги, то такой
путь называется замкнутым путем или контуром.
Вершина а£Ж такая, что Га=0, называется выхо-
дящей', если же Га-1 —0, то а называется входящей
вершиной (считаем, что пустое множество 0 является
элементом множества Ж).
Граф (Ж, Г) называется несвязным, если множество Ж
можно разбить на два непересекающихся множества
и Ж2 таких, что
Ж = Ж!+Ж2, ГЖ^Жр ГЖ2СЖ2.
В противном случае граф называется связным.
Подграфом графа (Ж, Г) называется граф вида (Д, Гл),
где А с Ж, Гла = Га(]Д- В этом случае говорим, что
подграф порожден множеством А.
Подграф (Д, Гл) называется компонентой связности
графа (Ж, Г), если
ГД с А, Г (Ж \ Д) с Ж \ А
и граф (Д, Гл) является связным.
Каждый граф распадается на конечное число одно-
значно определяемых компонент связности.
Введем еще понятие раскрашивания графа. Каждой
дуге приписываем индекс (цвет) из некоторого набора
СУЩНОСТЬ МЕТОДА
201
§ 37]
индексов (цветовой гаммы) с условием, чтобы дуги, выхо-
дящие из одной и той же вершины, имели один индекс
(цвет). Такое отображение будем называть раскрашива-
нием графа, а сам граф — раскрашенным.
Заметим, что применительно к системам массового
обслуживания условие, налагаемое на раскрашивание графа,
соответствует тому, что результатом обслуживания на
некотором приборе являются вызовы одного типа, рас-
пределяемые затем на другие приборы; к приборам же
могут подходить вызовы разных типов (по соответствующим
дугам, раскрашенным в разные цвета). Такие приборы
осуществляют «сборку».
§ 37. Метод статистических испытаний
применительно к одному классу систем
массового обслуживания
Множество обслуживающих приборов будем обозна-
чать через М, а геометрию перемещения вызовов от одного
обслуживающего прибора к другому задавать раскрашен-
ным графом (Л4, Г).
Дисциплина обслуживания вызова
в системе
1°. Дисциплина приема. Если в момент поступления
вызова к прибору последний или занят, или находится
в состоянии неготовности (например, происходит восста-
новление прибора), то поступивший вызов становится
в очередь. Вызовы одного типа, поступающие от разных
приборов (по дугам одного цвета), образуют единую оче-
редь. Вместо очереди будем иногда говорить о накопи-
теле или бункере, вместо длины очереди — о емкости
накопителя или бункера. Таким образом, у каждого при-
бора имеется некоторое число накопителей; предельные
емкости бункеров могут быть произвольными.
В случае ограниченных предельных емкостей мы сна-
чала предположим, что, вызов, заставший в момент своего
поступления соответствующий накопитель заполненным,
«теряется».
202
МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ
[ГЛ. IV
2°. Дисциплина обслуживания вызова на приборе.
Прибор может начать обслуживание, если все соответ-
ствующие ему накопители не пусты. При этом вызовом
для него служит партия вызовов по одному из каждого
накопителя (прибор производит «сборку» вызовов разных
типов). Обслуживание вызова заключается в том, что
вызов занимает прибор (делает его недоступным для дру-
гих вызовов) некоторое случайное время.
3°. Дисциплина распределения. Задать дисциплину
распределения вызовов, обслуживаемых на некотором
приборе а£М, значит задать правило выбора для каж-
дого вызова, обслуженного на приборе а, одного из при-
боров Га.
Такими правилами могут быть, например, сле-
дующие:
1) по вероятности; каждому прибору из Га (или, что
то же, каждой дуге из множества дуг (а, Га)) соответ-
ствует вероятность поступления вызова на него;
2) по цикличности; при этом должна быть указана
упорядоченность приборов Га (т. е. дуг (а, Га));
3) по переходным вероятностям если предыдущий
вызов, обслуженный на приборе а, был распределен на
прибор 0£Га, то последующий вызов будет распределен
на прибор у£Га с вероятностью ясно, что должно
быть 2 1 и что это правило распределения вклю-
чает первые два правила;
4) по загруженности; вызов, обслуженный на приборе а,
распределяется на тот прибор из Га, перед которым
имеется наименьшая длина очереди;
5) по наименьшему моменту окончания обслуживания;
вызов, обслуженный на приборе а, распределяется на
любой свободный прибор из Га или на прибор из Га,
который раньше других приборов (из Га) окончит обслу-
живание имеющегося на нем вызова; и другие.
Замечание. Каждый входящий поток вызовов для
системы можно рассматривать как выходящий поток неко-
торого прибора, текущая длина очереди у которого беско-
нечна. Таким образом удается по существу не различать
входящие потоки в систему обслуживания и обслужи-
вающие приборы.
СУЩНОСТЬ МЕТОДА
203
§37]
Постановка задачи
Для системы обслуживания, заданной раскрашенным гра-
фом и указанной выше дисциплиной обслуживания вызовов
в системе, ставится задача определения стационарной функ-
ции распределения длины очереди перед каждым прибором.
Содержание метода моделирования
Поясним сначала содержание метода моделирования
(метода статистических испытаний) применительно к зада-
чам массового обслуживания.
Если под состоянием очереди понимать длину очереди,
под состоянием системы — состояние очередей, если, далее,
на временной оси отложить моменты поступления каждого
вызова к каждому прибору, моменты окончания обслужи-
вания каждого вызова на каждом приборе, то в каждом
интервале времени, не содержащем указанные выше
моменты, состояние системы остается неизменным. Это
позволяет определить состояние системы в каждый момент
времени через состояния системы в перечисленные выше
моменты, что делает возможным имитировать работу
системы обслуживания. Продвигаясь по временной оси
вправо, мы можем наблюдать за динамикой изменения
очередей. В частности, мы можем в любой момент вре-
мени подсчитывать относительную частоту пребывания
системы в определенном состоянии, которую и принимаем
затем за приближенное значение вероятности соответ-
ствующего состояния.
Имитацию же работы соответствующей системы обслу-
живания можно представить в виде некоторого ветвяще-
гося итеративного процесса. Этим мы сейчас и займемся.
Обозначения
Некоторые из приводимых ниже обозначений связаны
с тем или иным конкретным вызовом, поэтому должны
содержать индекс, показывающий эту зависимость. Мы же
этот индекс будем опускать.
Обозначим:
5^—случайное время обслуживания вызова на при-
боре а;
204 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ [ГЛ. IV
т(а) — момент окончания обслуживания вызова на при-
боре а;
—момент поступления вызова по дуге и к при-
бору й+ £ М;
w(u) — время перемещения (транспортировки вызова)
по дуге и;
п(а) — состояние очередей у прибора а£7И, а именно:
в каждый момент времени есть вектор с числом компо-
нент, равным числу накопителей, находящихся перед при-
бором а, и со значением каждой компоненты, равным
емкости соответствующего накопителя в этот момент;
fi(u) — состояние накопителя, в который поступают
вызовы по дуге и (и, быть может, по другим дугам
того же цвета);
nW — 1 зф — уменьшение всех компонент век-
тора на единицу;
ф 1 гф nW — увеличение числа на единицу,
но таким образом, чтобы не превосходило максимальна
допустимого значения (которое не меньше единицы).
Схема счета
При сделанных выше обозначениях ветвящийся итера-
тивный процесс, моделирующий работу системы обслужи-
вания, может быть представлен в виде следующей схемы.
1°. Формируется а£/И такое, что
т(а) = min т(р).
2°. Формируется u£U такое, что
^>=min/(4
и
3°. Если т(а) < t(u\ то переходим к 4°; в противном
случае — к 12°.
4°. Формируем ф (а, Га) согласно правилу распре-
деления вызовов, обслуженных на приборе а.
5°.
6°. я<«)—1=ф>л<«).
7°. Если > 0, то переходим к 8°; в противном
случае — к 10°.
§ 37] СУЩНОСТЬ МЕТОДА 205
8°. т(а)_|_5(а)-фт'а)в
9°. Начать счет с 1°.
10°. +оо=фт(Ч
11°. Начать счет с 1°.
12°. (и<“))+1
13°. п(«)ф
14°. Формируем а=«+.
15°. Если п№ > 0, то переходим к 16°; в противном
случае — к 18°.
16°. Если t№ — 1, то переходим к 17°; в противном
случае — к 18°.
17°. t(u)
18°. Начать счет с 1°.
Замечания. 1) Продолжительность счета может
определяться, например, временем «проигрывания» Т,
т. е. счет прекращается, когда
min (т(а), ?tt)) > Т,
а£М, u^U
Так как определение Т не всегда возможно, то обычно счет
ведется до тех пор, пока не «установится» заданное число
знаков у интересующих нас характеристик работы системы.
2) Содержание операции {nW) + 1 такое же,
как в примере 3 § 35.
3) В начальный момент можно, например, считать, что:
т(а) = 0 для всех а £ М,
t{u} = 0 для всех
t№ = 0 для всех а£Л4.
4) Часто случается, особенно в производственных
системах (изделия обрабатываются станками с промежу-
точными бункерами), что если изделие, поступая в неко-
торый накопитель, заполняет его, то прекращают обслу-
живание те приборы, которые могут послать вызов в этот
накопитель до тех пор, пока не освободится хотя бы
одно место (для вызова) в накопителе. Изменения, кото-
рые нужно внести в этом случае в схему счета 1°—18°,
очевидны.
5) Число есть длительность времени, в течение
которого некоторый вызов занимает обслуживающий
206
МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ
[ГЛ. IV
прибор (делает его недоступным для других вызо-
вов). Это понятие достаточно, широко, чтобы многие
важные практические случаи были охвачены. Например,
представим себе, что вызовы есть изделия, * приборы —
станки, а обслуживание заключается в обработке изделий
на станках. Предположим, что:
а) время обработки изделия на станке а £ М есть
сл. в.
б) после обработки случайного числа изделий про-
исходит профилактический осмотр станка а, при
этом станок останавливается на случайное время sjW;
в) станок включается в работу на время Aja), после
чего промежуток времени длины Л2а) станок про-
стаивает, после этого станок снова включается на
время Aia) и т. д. (такая ситуация имеет место, если
работа происходит с перерывами на обед или
между сменами, и часто этот фактор нельзя не
учитывать, так как случается, что на некоторых
станках работа происходит с перерывами, на дру-
гих— без перерывов).
Ясно, что, зная распределения чисел
Л?’, можно всякий раз, когда требуется определить $(а>
в схеме 1°—18°, осуществить это (учитывая еще т<в>).
6) Если некоторые приборы работают с дублерами,
т. е. при выходе из строя одного из них последний за-
меняется другим прибором (или совокупностью приборов),
а сам при этом восстанавливается и т. д., то граф, за-
дающий геометрию перемещения изделий от прибора
к прибору, является в этом случае несвязным (состоящим
из нескольких компонент). При замене одного прибора
другим (или целой совокупностью приборов, соответ-
ствующей другой компоненте связности) требуется лишь
произвести переключение дуг графа. Необходимые изме-
нения, которые нужно при этом внести в схему 1°—18°,
очевидны, хотя и содержат утомительные детали.
Как показывают примеры расчета распределения длины
очереди у каждого прибора, метод статистических испы-
таний сходится довольно плохо. Чтобы получить две
§ 37] СУЩНОСТЬ МЕТОДА 207
верные цифры после запятой (для вероятностей), требуется
иногда большое время счета на вычислительной машине.
Учитывая особенности конкретной системы обслужи-
вания, часто удается значительно ускорить нахождение
решения, комбинируя аналитические методы и метод ста-
тистических испытаний.
Можно значительно ускорить сходимость метода ста-
тистических испытаний, если «стохастичность» системы
обслуживания заключена в «редких» явлениях. Так слу-
чается, если время обработки изделия на приборе есть
постоянная величина, а «редкими» явлениями являются
выход прибора из строя, обработка с браком (просеива-
ние выходящего потока) и т. д. В этом случае можно
найти формулы изменения состояния очередей от одного
«редкого» явления до другого, использование которых
значительно сокращает время, необходимое на вычисления.
ДОПОЛНЕНИЯ
§ 38. Интеграл Лебега—Стилтьеса
Понятие интеграла Лебега—Стилтьеса предполагается из-
вестным (см. [8], [35]). Напомним лишь некоторые положения.
А. Пусть g (х) — функция, определенная на (— оо, -|- °°)-
Говорят, что g (х) есть В-измеримая функция, если для всякого
действительного числа с множество {х : g (х) < с) является бо-
релевским.
Если g (х) — ограниченная В-измеримая функция на (— оо,
-|- оо), а А (х) — функция с ограниченным изменением на (— оо,
оо), то существует интеграл Лебега — Стилтьеса
оо
J g(x)dA(x).
— ОО
Б. Назовем функцию А (х) правильной в точке х0, если в этой
точке существуют левосторонний и правосторонний пределы
А (х0 ± 0) и
А (х0) = 1 [ А (х, - 0) + А (х0 + 0)].
Если А (х) и В (х) — функции с ограниченным изменением в [а, &]
и каждая из этих функций непрерывна во всякой точке из [а, 6],
в которой другая не является правильной, то
ь ь
j' А (х) dB (х) + J В (х) dA (х) = [Д (х) В (х)]^° =
а а
= А (&-|_0)В(& + 0)— А (а — О) В (а — 0).
Здесь интегралы понимаются в смысле Лебега — Стилтьеса (они
существуют, ибо каждая из функций А (х) и В (х) ограничена
и В-измерима), предполагается, что функции А (х) и В (х) оп-
ределены слева от а и справа от b настолько, чтобы можно
было говорить о правильности в точках а и b (см. [8], стр. 237).
§ 39] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ЛАПЛАСА-СТИЛТЬЕСА 209
В. Если А (х) имеет на [а, 6] конечное изменение, а В (х)
непрерывно дифференцируема (достаточно абсолютной непрерыв-
ности), то
ь ь
J* А (х) dB (х) == J* А (х) В' (х) dx.
а а
Здесь последний интеграл понимается в смысле Лебега.
§ 39. Преобразование Лапласа и Лапласа — Стилтьеса
Рассмотрим класс S (комплексных) функций A (t) от дейст-
вительного переменного /, удовлетворяющих условиям:
1) А (0 = 0 при t < 0 и на всяком отрезке [0, Г] имеет огра-
ниченное изменение;
2) для всякой функции A (t) существуют действительные
числа s0 и Л такие, что
| А (/) К Aes°‘.
Из этих условий следует существование
оо
J e~stA (t) dt ~ <р (s)
о
для всякого s такого, что Re s > s0. Функция ф (s) называется
преобразованием Лапласа функции А (t).
А. Функция ф (s) аналитична в полуплоскости Re s > s0.
Б. Пусть ф1 (s) и ф2 ($) — преобразование Лапласа функ-
ций Ai (/) и А2 (t) £ S и ф1 (s) = ф2 (s) при Re s > s0. Тогда во
всех точках непрерывности функций Ai(t) и А2 (t) выполнено
Ai (0 = А2 (0.
В. Пусть А (/) С S. Положим
г
аг (s) — J е~ st dA (t).
о
В силу предложений Б и В § 38
т
ат ($) = £” stA (t) | + s J e~stA (/) dt.
о
В полуплоскости Re s > $0 функция
оо оо
а (s) = lim аг (s) = f е~ st dA (t) = s f e~ stA (t) dt
T -> oo J J
0 0
14 Г. П. Климов
210
ДОПОЛНЕНИЯ
аналитична. Функция а ($) называется преобразованием Ла-
пласа — Стилтьеса функции А (0 £ S.
Г. Из предложения Б и соотношения
со
a (s) = s J* e~stA (0 dt, Res>s0,
о
следует, что если а($) — преобразование Лапласа — Стилтьеса
функций At (0 и Л2(0 из S при Res>s0, то во всех точках
непрерывности At (t) и А2 (0 выполнено
Ax(t) = A2(t).
Д. Выпишем некоторые часто используемые формулы. Сна-
чала введем обозначение. Знак =, разделяющий две функции,
например А (0 == а ($), означает, что функция, стоящая справа,
является преобразованием Лапласа—Стилтьеса от функции, сто-
ящей слева.
Пусть А (0 = a (s) и В (0 = р (s); тогда:
со
Г. a (s) = s J e~stA (t) dt.
о
2°. А' (0 == sa (s) — s Л(0); предполагается, что Л' (0 т— функ-
ция с ограниченным изменением, а Л (0 — абсолютно непрерыв-
ная функция на всяком [0, 7], Т > 0.
3°. Je~aX dA (х) = а ($ + «).'
4°. у Л = >
о
5°. Л (0 * В (t) = а (s) р ($).
§ 40. Вероятностный смысл преобразования
Лапласа — Стилтьеса
А. Если £ — неотрицательная случайная величина с функцией
распределения Л (0, а М — символ математического ожидания,
то 3
00 I
М₽-^ = e~st dA(t) = a(s). '
о
ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ
211
§ 41]
Если g представляется в виде суммы независимых в сово-
купности неотрицательных сл. в.
g = gi + ...+U P{g*</}=A(0, п,
и
Cl£ ($) = & = 1, ...,л,
то
a(s) = ai ($)...аЛ($)
и
А (0 = Ai (0 ♦ ... *Ап (0,
где * — символ взятия стилтьесовской свертки, т. е.
t t ’
A(t)*B (t) = J A (t — x) dB (^) = f В (t — x) dA (x).
0 . 0
Б. Пусть Л(0, Ai (0, Л2(0, ... —ф. p., a a(s), cq (s),
a2($), ...—соответствующие преобразования Лапласа—Стилтьеса.
Имеют место следующие свойства, характеризующие соответст-
вие между Л (0 и a (s) (полученные Леви и Крамером): v
1) Hi (0 = Л2 (0 равносильно cq ($) = а2 ($);
2) Ап (0 -> Л (0 (для точек непрерывности А (0) равно-
сильно ап (s) a (s);
3) более того, для того чтобы последовательность ф. р. {Ап (0}
сходилась к некоторой ф. р. Л (0, необходимо и достаточно,
чтобы при любом s = Zu последовательность {ап ($)} сходилась
к пределу a (s) = a (Zx), непрерывному по т при т = 0. Если это
условие выполнено, то предел a (Zt) совпадает с преобразованием
Лапласа — Стилтьеса ф. р. A(t) в точке s = Zu.
В. Для того чтобы функция a (s), определенная в полупло-
скости Re s О, служила преобразованием- Лапласа — Стилтьеса
некоторой ф. р., необходимо и,достаточно выполнение следующих
условий (теорема С. Бохнера — А. -Я. Хинчина):
1) функция (p(T) = a(Zx), —оо < т < -[-со/ непрерывна
при1 т — 0 и ср (0) =Д;
2) Ф (т) — положительно-определенная функция, т. е. для лю-
бых комплексных чисел ..., ап и любых действительных
чисел ть ..., выполнено
. 2Ту) 0>
§ 41. ТауСеровы теоремы
А. Если существует lim A (0, то
t о
со
lim A (0 = lim a (s), a (s) = s f e~stA (0 dt}
14*
212
ДОПОЛНЕНИЯ
если существует lim А (О, то
t •> 4-оо
lim A (t) = lim a (s).
/-> 4-00 s 4г О
Обратные теоремы не имеют место. До некоторой степени
заменой их служат так называемые тауберовы теоремы.
Б. Пусть A (t) — неотрицательная функция и интеграл
оо
Ф($) == J e~stA (t) dt
о
сходится для Re s > О, причем при изменении s вдоль действи-
тельной оси существует
lim (s) == А
$-> 4-со
ИЛИ
lim (s) = Л;
4^ о
тогда соответственно
т
lim Т'КС A[t)dt^A
т 4гО J
о
или
т
lim Т~к f A(t)dt=A.
4-00 J
О
В. Если существует
lim ап — а,
П-> 4-оо
то существует
Hm (I— z) 2 =
z41 л>0
Обратное утверждение не верно.
Г. Если существует
lim (1 — z) 2 anzTl = а
z4 1 л>о
и
lim п (ап — ял-1) = О,
Л-> 4-00
то существует
lim ап = а.
Я-> 4-оо
Д. Общие тауберовы теоремы можно найти в книге И. Ба-
нера [3].
§ 42] МЕТОД ВИНЕРА—ХОПФА 213
§ 42. Метод Винера—Хопфа
Изложим идею метода Винера—Хопфа на следующем про-
стом примере. Пусть требуется найти функции <о+ (s) и (s),
удовлетворяющие однородному функциональному уравнению
а ($) о+(s) р ($) ($) = О (I)
в полосе < Re s < о+ комплексной плоскости $, при этом <о+ (s)
должна быть аналитична в полуплоскости Res>o_, а функ-
ция о_ ($) — аналитична в полуплоскости Re s < а+. Кроме
того, требуется, чтобы функции <о+ (s) и (s) в соответству-
ющих полуплоскостях удовлетворяли определенным условиям
на бесконечности (например, чтобы функции G)+ (s) и g>_ (s)
в соответствующих полуплоскостях были ограничены или имели
степенной рост). Относительно функций а ($) и р ($) предпола-
гается лишь, что они аналитичны в указанной полосе и для про-
стоты не имеют нулей.
Можно выделить два этапа при решении этого уравнения
методом Винера — Хопфа.
Первый этап заключается в факторизации, т. е. в отыскании
функции /<+ ($), аналитической и не имеющей нулей в полупло-
скости Res>o_, и функции /<_($), аналитической и не име-
ющей нулей в полуплоскости Re s < о+, и таких, чтобы выпол-
нялось соотношение
<х($) к+ ($)
₽ (») К- (®)
в полосе о_ < Re s < о+. При этом уравнение (I) переходит
в уравнение
©+ (s) К+ ($) = - ©_ ($) К- (s). (2)
Второй этап заключается в использовании некоторых (сла-
бых) вариантов теоремы Лиувилля. Например, уравнение (2)
может служить определением функции F ($), равной в правой
полуплоскости Res>o_ левой части уравнения (2), а в полу-
плоскости Re s < о+ — правой части уравнения (2). Если допол-
нительно известно, что, например,
|со+ (s) (<$) К Afj | s |л при Re s > о_,
|о_ (s)К- (s) |<М21 s |от при Res<o+,
то функция F ($) есть многочлен степени не выше целой части
min (л, т). Отсюда находим о+ (s) и <о_ (s). Коэффициенты мно-
гочлена определяются из дополнительных условий.
Ниже формулируются теоремы о существовании факториза-
ции и теорема Лиувилля. Отметим, что функции К+ (s) и К- ($)
иногда могут быть просто угаданы.
15 Г. П. Климов
214
ДОПОЛНЕНИЯ
Теорема I. Пусть f (s)— аналитическая функция
переменного s = o + Zt в полосе <о<о4 и такая, что
|/(s)| < Л4е | s | р, р > 0, если о» + е < о <а+— £, £ > 0.
Тогда при о_ <А<сг<ц<а>
/(S)=/+ (S) + /_(«).
к 4-/оо
Л<”~57 J
X — Zoo
/(*)
г — s
Ц+/оо
/-<”-57 J
Ц—Zoo
f(z)
z— s
dz,
dz,
где аналитична в полуплоскости Res>X, a f_(s)
аналитична в полуплоскости Re s < p,.
Доказательство следует из интегральной формулы Коши,
примененной к прямоугольнику с вершинами X ± iA и р ± iA
при А -> + оо.
Теорема 2. Если In К ($) удовлетворяет условиям
теоремы 1 (в частности, К ($) аналитична в полосе
о_<а<а+, не имеет нулей и К (s) -> 1 при |s|->4"°°
в полосе а_ 4"е < а < а+ —е)> т<> существует представление
К (s}~K+ (s)K_ (s), где K+(s) и К- (s)— аналитические,
ограниченные и не имеющие нулей функции при о > -|-е,
и о < а+ — £ соответственно.
В самом деле, теорема 1 применительно к функции / ($) =
s= In К (s) дает
k+i оо
! г, z ч 1 f 1п К (г) , .
In/<(S) = 2^ J -ГГГаг +
k—loo
+ sr j 44?Л <«) + /. И
Ц —Zoo
где функции / (s) и /_ ($) ограничены и аналитичны при
а>а_+е и о < о+—е соответственно (X можно взять как
угодно близко ко., аналогично р можно взять как угодно близко
к о+). Остается положить
к+ (s) - exp {/+ (s)}. к. ($) = ехр {/_ (s));
тогда
In/<($) = In/G (s) + In К _ (s)
Л(5) = К+ (5)Л_ (S).
Л
§ 43]
ТОЖДЕСТВО ВАЛЬДА
215
Теорема 3 (Лиувилля).
влетворяет условию
Если целая функция f (s) удо-
|/(s) |<М | s |« а>о,
то / ($) есть многочлен степени не выше целой части
числа а.
Теорема следует из неравенства Коши
\а |<^>
I ап I ДП
для коэффициентов разложения
/ (s) = до + + • • • + ans” + • • •;
здесь
М (/?)== max {|/(s)|}.
|а|=Я
Следствие. Еслц комплексная плоскость s разбита
на секторы Къ ...» Кп лучами, исходящими из начала коор-
динат, то всякая целая функция f (s), удовлетворяющая
условию
| f (s) | < Mi | s |4 a/>0, s£Ki, J = l, ...» n,
есть многочлен степени не выше целой части числа
min (ab ..ал).
§ 43. Тождество Вальда
Рассмотрим сумму случайного числа случайных слагаемых
п
k=l
Предположим, что:
1) Si, • • • — взаимно независимые случайные величины;
2) = т, М | h | < с < оо;
3) п — случайная величина, принимающая неотрицательные
целые значения и не зависящая от сл. в. дли i < п\
4) Мп < -|-оо.
Тогда справедливо тождество Вальда
М | 2 | в
\*=1 /
Приведем простое доказательство этого тождества, данное
А. Н. Колмогоровым и Ю. В. Прохоровым [10].
Положим р& = Р {п = k], k = 1, 2.... и
{0, если п < k,
1, если
in = 2 = 2
й-1 Л>1
15*
216
ДОПОЛНЕНИЯ
тогда Од есть сл. в., не зависящая от и Р {ол =. 1} = Р {n^k}.
Кроме того,
т. е.
|Moft^| = |MaftM^|<cP \n>k}=c 2 Р?
i>k
2 ।кc X kPb =cMn <+°°.
*>i
поэтому
м?п= S Makik = m X = X p {«>^1 = «мп,
»>1 ft>l ' Й>1
что и требовалось.
§ 44. Вероятностный процесс. Процесс восстановления.
Регенерирующий процесс. Предельная теорема
для регенерирующих процессов
А. Пусть:
Q — некоторое множество;
А — класс подмножеств множества й;
Р— числовая функция, определенная на А.
Пусть выполнены следующие аксиомы:
Класс А является о-полем, т. е.
1) <Я£А^><Яс = а\<Я£А',
2) <Ak(zAt £ = 1, 2, ...,
k k
А2. Функция Р, определенная на А, нормирована, неотрица-
тельна и о-аддитивна, т. е.
pq = i, рл>о, = ^ПЛ' = 0» i=£J-
k k
Замечание. й£А, ибо если <А£А, то <ЛС£А и
di <ЛС = Q С А; аналогично 0 = &с £ А.
Следующая интерпретация хорошо известна. Множество
Q = {о} — это пространство «элементарных событий»; элементы
класса А — события; в частности, Q — достоверное событие,
0 — невозможное событие; Р Л — вероятность события £ А;
пара (А, Р) называется полем вероятностей, тройка (Q, А, Р) —
вероятностным пространством.
Функция g = g((o), определенная на й, со значениями в Rn
называется случайной величиной, если она измерима, т. е. если
для каждого борелевского множества В с Rn множество тех
о)'£й, для которых £(со)£В, есть событие (элемент класса А).
Пусть Т с Rlt например:
Г={0, 1, 2, ...}, Г = [0, co), T=[afb].
§ 44] РЕГЕНЕРИРУЮЩИЙ ПРОЦЕСС 217
Вероятностным (случайным, стохастическим) процессом назы-
вается сл. в. (®), зависящая от / £ Г.
Два события <Ai и о42 считаем стохастически независи-
мыми, если
f] <j42) ==
События cdlt называются независимыми в совокупности,
если для любого конечного набора различных положительных
целых чисел ..., 1п
Р П^г = ••РЛ, .
АЛ lk
Аналогично определяется независимость последовательности
случайных величин.
Далее, если сл. в. | принимает лишь действительные значе-
ния, то функция
F(0 = P{g<O = P{®:U®)<*}
называется функцией распределения сл. в. £. Эта функция не
убывает, непрерывна справа и Л(—00) = 0, F(4-oo) = l. Пусть
g (х) есть В-измерймая функция на Rx = (— 00, 00); тогда g (g)
есть сл. в. Математическое ожидание сл. в. g (g) определим
равенством
м#(£)= j"g(x)dP(x);
R.
интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса.
Б. Процесс восстановления. Пусть — последова-
тельность действительных неотрицательных случайных величин.
Положим
tn = z\ zn> £о = 0;
Nt — max {n:tn^t]\
® *Nt+1 “ *•
Тогда есть вероятностный процесс, одна из реализаций кото-
рого представлена на рис. 1 (на стр. 24).
Например, если величины понимать как длительности
существования последовательности заменяемых элементов, то tn
есть момент ' замены л-го элемента, Nt есть число замененных
элементов до момента t включительно, а — остаток времени,
начинающегося с момента t, до следующего момента замены
элемента.
Процесс g/ назовем процессом восстановления. Таким об-
разом, всякая последовательность {zk\k>\ действительных не-
отрицательных случайных величин задает процесс восстановле-
ния В связи с этим будем еще говорить, что процесс вос-
становления есть последовательность действительных
218
ДОПОЛНЕНИЯ
неотрицательных случайных величин. Для задания процесса вос-
становления необходимо задать для каждого целого п 1 рас-
пределение случайного вектора
(гь zn).
Дополнительно предположим, что Р {zk — 0} < 1.
Если случайные величины zb г2, ... независимы в совокуп-
ности, то процесс восстановления {&&} назовем процессом вос-
становления с ограниченным последействием.
Если, кроме того, сл. в. z2t г3, ... одинаково распределены,
то процесс восстановления {z^} назовем рекуррентным про-
цессом восстановления с запаздыванием.
В случае же, когда все сл. в. z{, z2t ... одинаково распре-
делены, будем говорить о рекуррентном процессе восстано-
вления.
Ниже будем рассматривать лишь рекуррентные процессы
восстановления с запаздыванием. Положим
Л (О = Р {*!<*},
г
В случае рекуррентного процесса восстановления
Ft (o = m
В. Существует число 0О > 0 такое, что производящая функ-
ция М [exp (QNt)} существует для любого 0 такого, что
Re0<0o (Стейн, 1946 [25]).
Приведем доказательство Смита [20]. Утверждение доста-
точно доказать лишь для случая рекуррентного процесса вос-
становления. Так как Р {гл = 0} < 1, то существует число 6 > 0,
что Р [zk > д} = е > 0. Определим новый рекуррентный процесс
восстановления равенствами
г
6,
0,
^>6,
^<6.
Так как то Случайная величина N't имеет
биномиальное распределение, откуда и следует утверждение
Стейна.
В качестве следствия имеем, что Nt — число восстановлений
до момента t включительно — имеет конечные моменты всех
порядков.
Г. Для рекуррентного процесса восстановления с запазды-
ванием положим
оо
В предположении J* t dF (t) = а~х < оо докажем, что
о
существует
lim
/->+оо i
§ 44]
РЕГЕНЕРИРУЮЩИЙ ПРОЦЕСС
219
И
lim
> 4-оо *
а.
Положим
В случае F\ (t) == Р (t) будем обозначать
Н (0 = MNt.
( 1, tk^t,
11 I 0, tk>t.
Тогда
Nt = 2 <Tft, МаА = Р {<ft < t} = Рк (t),
Отсюда
/7й+1(0 = ^(0*/?Ю = /71(0*Ри2+ ...
MN, = 2 Ма* = 3 ъ «)
1 Л>1
fit (0 = Л (0 + J t P Hi(t — u)dP{u), (1)
0 t
H(t) = P(t) +J p H(t — u)dP(u), (2)
0 t
Я!(0 = Л(0+ 1 Г Fx(t — u) dH (u). (3)
о
Покажем сначала, что если
lim
/-> 4-00 t
то существует другой и
lim "Д
t-ь +со *
существует один из пределов
или lim
/->4-оо t
(4)
lim
>+оо *
(5)
при этом мы не будем пользоваться тем, что J t dF(t) < -
о
В самом деле, из (3) для 0 < е < 1 имеем
нх (Wi(W(D,
Т-гТ
Wt(7)> J ^(7-«)й//(«)>Л(е7)Я(7-еП
О
220
ДОПОЛНЕНИЯ
или
Я, (Г) /7(7) , 7,(7)
у у *1 у >
В силу произвольности £ > 0 из последних неравенств сле-
дует, что если существует один из пределов (4), то существует
и другой и при этом выполнено (5).
возьмем теперь (t) в специальном виде
t
^*1 (0 == а J* [1 — F (w)] > 0. (6)
о
оо
Fi(t) есть ф. р., ибо л"1 — J* [1—F(u,)]du, и функция F{ (t)
о
не убывает, непрерывна, F{ (-|- оо) = 1 (считаем, что F{ (Z) = 0
для t < 0),
В преобразованиях Лапласа — Стилтьеса (1) и (6) примут вид
hi (s) = <Pt (s) + h{ (s)cp(s),
Ф1 (s) = -^[l— <P(S)].
откуда
hi (s) =
т. е.
(О = at.
Отсюда заключаем, что, во-первых, предел Иго -У
t-Ь +оо t
существует и равен а и, во-вторых, существует Иго — > ,
t-*co t
равный а, для произвольной ф. р. Fx (/), что и требовалось.
оо
Замечание. Если J* t dF (t) ~ 4~ оо, то
о
/~>4-ОО t
так что формула
Иго — — • = а
оо
справедлива и в случае J* t dF (/) = -j- оо, если считать при
о
этом а = 0.
§ 44]
РЕГЕНЕРИРУЮЩИЙ ПРОЦЕСС
221
В самом деле, рассмотрим еще рекуррентный процесс вос-
становления с запаздыванием полагая
/ f е-1, если zk > е”1,
zk — 1
I zk, если
здесь е — произвольное положительное число. В этом случае
^(о = ( 11 если
[ F (0, если t < £-1;
со е“1
а-1 = f t dF’ (О = J t dF (t)\
о о
Нх (О Н' (0
0< lim —< lim —-— = ар->0 при £->-)-О,
/->+оо * /->4-00 t
что и требовалось.
Д. Регенерирующие процессы. Пусть (Q, А, Р) — основное
вероятностное пространство, Т — [О, оо), g, — случайный процесс
со значениями в Rn. Пусть существует состояние ^^Rn ПР°’
цесса такое, что если в некоторый момент t £ Т процесс
попал в состояние £° (т. е. принял значение £°), то дальнейшее
изменение процесса не зависит от того, каким образом это про-
изошло. Моменты, в которые процесс принимает значение £°,
называются моментами регенерации процесса Обозначим их
через tb 0, ... Положим, кроме того, zk = tk— tk-i>
t0 = 0. Если последовательность {zk}k>x образует рекуррентный
процесс восстановления с запаздыванием, то процесс назовем
регенерирующим процессом.
Для регенерирующих процессов будем интересоваться
дением вероятности
при здесь В — борелевское множество из Rn.
Перейдем к более точным формулировкам.
Случайный процесс называется регенерирующим,
существует такое состояние £°, что при любых t, т > 0, j
0 <?!<...< тл, и любых борелевских множеств В, Вь .
из Rn выполнено
пове-
, если
п > 1,
...Вл
п^}=
= P{Ur€B|^ = S0}-
Моменты, в которые процесс принимает значение £°, назы-
ваются моментами регенерации. Пусть tb t2t ... — последова-
тельные моменты регенерации, zk = tk— = 0.
222
ДОПОЛНЕНИЯ
Тогда последовательность образует рекуррентный про-
цесс восстановления с запаздыванием. Предполагается, что функ-
ции Fi (0 = Р {zi < 0 и F (0 = Р {zk <0, £ > 2, удовлетворяют
условию
lim У7! (/) = 1 = lim F (0.
/ /-> 4-оо t-> 4-оо
Поведение процесса (т. е. совокупность значений gz) в ин-
тервале [0, 0+1) не зависит от поведения процесса & в интер-
вале [0, 0+1) при i =/= j.
Пусть для всякого борелевского множества В из Rn, любого
т > 0 и любого целого & > О задана вероятность
Р{^+Т€в> гй+1>т}-
Положим
Р 21 > Т} =Нв(Т),
Р{^+т€в-г*+1>т}=нв«.
Ясно, что
1 — % W = 1 — Р {*1 > Т} = Р {«1 < т} = Fj (Т),
1-ИЯп(т)= 1 -Р fo+1 > т} = Р [zk+1 <т} = А(т), 1.
Ъ. Предельная теорема для регенерирующих процес-
сов. Если*.
со
1) а“> = и dF (и) < -|- оо;
о
2) Цд (т) есть измеримая функция;
3) (т) есть В-измеримая функция и, значит, интегри-
руемая по Лебегу на [0, оо), так как 0 (т)< 1 — F(т),
оо
J* [1—F (w)] du = а***1, то*.
О
1) Р {£/£#} есть функция, интегрируемая по Лебегу на
любом отрезке [О, Г];
2) существует
Т
Нтп 4г [ P{^B}dt = P-
Г-++00 1 J ц
О
оо
3) Ps = af
9
§44]
РЕГЕНЕРИРУЮЩИЙ ПРОЦЕСС
223
Следствие. Так как для непересекающихся б о ре лен-
ских множеств Вх и В2 выполнено
^/т)+^2(г) = ,Чив,<т)-
то и
рв11)в,=:Рв,^'рв;
В силу же равенства
|Л (т) = 1-Л(т)
кп
имеем
PRn^a^[\-P(r)}dx^\.
п о
Доказательство теоремы. Очевидно, что
р {&<€*} = Ив(О+ 2
£>1 о
или
t
Р{^€В} = Ив(О+/(«)•
о
Заметим, что выписанные интегралы Лебега — Стилтьеса имеют
смысл, ибо Ид (т) есть В-измеримая функция. Так как
Нв(О<Р {*1 >*} s 1—У7! (/)->0 при f->4-oo,
Т
•у J |х^(/) dt->Q при Т->-|-оо.
о
Нам теперь достаточно доказать, что
рв(/ — u)dHv(u) di
существует и равен
оо
ej* gB(u)rfu.
о
224
ДОПОЛНЕНИЯ
1
dHx(u) I цв(/ —и)Л =
1
Изменяя порядок интегрирования и делая замену I — u — V,
получим
т t т т
у J dt J (t — и) dH1 (и) = у
0 0 Ou
Т Т-и т т
==у- J dH1(u) [ j dHx(u) J p.B(v)dv —
0 0 0 0
т T
dHx (u) J (v) dv.
о T—u
Первый двойной интеграл равен
т
Hi (Т) Г , ч ,
—У (*0 dv
о
и в силу утверждения пункта Г
.. . Т - Т оо
\kB(v) dv = a
о О О
Нам осталось показать, что
lim —
Г-»+оо 1
т т
J dHx{u) J
О Т-и
цв (V) dv
существует и равен нулю.
Заметим, что
HB(«XP{^fc+i>v} = l— /’(v), £>1,
а функция
t
P(t)=.a f [1— F(y)]dv
О
§ 44] РЕГЕНЕРИРУЮЩИЙ ПРОЦЕСС
225
не убывает и Р (+<эо) = 1. При 0 < е < 1 имеем
т т
0<у- J ан1(и) | nB(v)dv^
О Г—w
т т
<4 J dHx (и) j* [1 -F (v)] dv =
О Т—и
т
Г-ет\^
<-^г P(7")Ht(T)- P(T—u)dH\(u)
О
{Р (Г) Я, (7) - Р (еГ) Я1 (Г - еГ)} =
Р(Т) Ht(T) Р(гТ) Нх(Т-гТ)
а Т а Т — еТ 1 >'
Последнее выражение в силу
г (Т)
lim —=
Т-> 4-00 1
при 71 —> оо стремится к 1 — (1 — е) = е, что и требовалось.
Ж. Вероятностям
г
Рs = Jim 4г [ P{lttB}dt
Т-> 4-оо •* J
О
можно придать следующий смысл. Вероятность того, что в про-
извольно выбранный момент времени t из отрезка [0, 7] имеет
место событие {&£В}, равна
т т
J Р{^СВ}у- = 4г j P{it£B}dt.
О о
Поэтому Рв естественно определить как вероятность того, что
в произвольно выбранный момент времени t из [0, оо) имеет
место событие {£/£В}.
226
ДОПОЛНЕНИЯ
4
3. Обратим внимание на формулу
t
Р {£,€£) =нв(О + /нва-«)^1(«), (7) t
о
которую можно использовать для вычисления Р £ В}. Заметим,
оо
что эта формула не предполагает конечности J* t dF (t).
о
7 И. Приведем без доказательства следующую теорему Смита
I (1955, [20]).
Рекуррентный процесс восстановления {^}л>2 такой, что
с вероятностью 1 все числа г*, k 2, кратны некоторому
числу со > 0, называется дискретным', в противном случае он
называется непрерывным. Регенерирующий процесс называется
периодическим (апериодическим), если процесс восстановления
является дискретным (непрерывным).
Предположим, что есть апериодический регенерирующий
процесс. Тогда предел
Нт Р{^В}
/->4-оо
существует, если выполнено хотя бы одно из следующих трех
условий:
1) функция (О не возрастает и интегрируема на [0, оо);
2) функция (t) имеет ограниченную вариацию на любом
оо
конечном интервале времени и J* t dF (t) < -|- оо;
о
3) для некоторого п 1 функция Fw (t), определяемая ра-
венствами
t
J F(k) _ м) dF k>Xi F^ (t) = F (t),
о
оо
является абсолютно непрерывной и § t dF (t) < -|-оо.
о
При этом выполнено
(т) dr.
§ 45]
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ЦЕПИ МАРКОВА
227
§ 45. Предельная теорема для цепи Маркова
Говорят, что последовательность случайных величин v0, vb
v2, ...» принимающих значения £0, Еь Е2, •••» образует цепь
Маркова, если для любых натуральных чисел л, Zb /л+1
выполнено
Р {v„+I = £z„+11 v, = Eh..vn = Ein} =
= P{vn+I = £/n+I|v„ = £/n}.
При этом цепь Маркова называют однородной, если при любых
Z, />0 вероятности
р {vrt+1 = Ej I vn ~
не зависят от л.
Следующее толкование этого понятия хорошо известно.
Пусть некоторая система в любой момент времени может на-
ходиться в одном из состояний £0, Еъ ... Наблюдения этой
системы производятся лишь в дискретные моменты /0, t2, ...
Через vn обозначается состояние системы в момент tn.
Эволюция системы определяется:
1) начальным состоянием системы, т. е. вероятностями
PN=£J=^ z>°;
2) и вероятностями перехода из одного состояния в другое
за один шаг, т. е. вероятностями
pN+i = ^lvn = £/}=^ n>°-
Ясно, что
Цепь Маркова называется неприводимой, если из любого
состояния можно перейти в любое состояние за конечное число
шагов. Более точно, положим
тогда цепь называется неприводимой, если для любой пары
натуральных чисел i и / существует целое число # > 1, что
> 0.
Цепь Маркова называется непериодической, если для любой
пары натуральных чисел I и j наибольший общий делитель
чисел | р{$ > 0} равен единице.
В частности, если для любой пары состояний £/ и £у, начи-
ная с некоторого 7V = все числа р^ > 0, то цепь является
непериодической (и неприводимой).
228
ДОПОЛНЕНИЯ
*
Далее, распределение вероятностей {л^} (т. е. набор чисел
л0, ль ... таких, что л^>0и 2 Kk = D называется стацио-
л>о
парным, если ||
J i>Q
Наконец, состояние Ej называется эргодическим, если для
всякого состояния Е} существует
Иш р$ > О,
#->+оо 7
не зависящий от г.
Теорема 1. Неприводимая непериодическая цепь Мар-
кова принадлежит к одному из следующих двух классов'.
1) либо для любой пары состояний Еь и Ej p^~>Q при <
и 6 этом случае не существует стационарного <
распределения',
2) либо все состояния эргодические, т. е.
lim = >0, j
-f-co J J
в этом случае {згу} — стационарное распределение и не суще-
ствует никаких других стационарных распределений.
В частности, каково бы ни было начальное распределе-
ние {/л}, существует
lim 2 Piffi
равный нулю для первого случая и itj для второго случая.
Доказательство см., например, в [29].
Следствие 1. Для того чтобы неприводимая неперио-
дическая цепь Маркова имела стационарное распределение {лу}
такое, что Лу > 0, />0, необходимо и достаточно, чтобы
система уравнений
п1РИ
J />0 7
относительно nj, имела ограниченное ненулевое не-
отрицательное решение.
Следствие 2. Для того чтобы неприводимая непе-
риодическая цепь Маркова имела стационарное распределе-
ние, достаточно существования е > 0, натурального числа 10
и набора неотрицательных чисел х0, х1г х2, ... таких, что
2 дЛЯ />г'о’
7>0
2 + для ‘<‘о-
§ 45] ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ЦЕПИ МАРКОВА 229
Доказательство [38, 43]. Положим
= />о»
-*?+1) = 2 р х(п) = p^Xj, л > 1, Z > 0;
/>о />о
тогда
4я+1)= 2 2 2 НГп(^-е)=
/>о у=0 />»о
= + 2 Ри~ ° [-*7 ’ - ^ + е] — е <
/=0
<^’+2(Ж ••• +р?у-1,)(^-^+®)-(«-1)«
откуда, учитывая, что существуют пределы
lim
zz-> +оо
Ж +//Г11
п — 1
= Um pW = n,>0,
fc-ц-оо J J
находим
0<2я;(Ч?)-х/+е)-е.
;=0
откуда видно, что одно из чисел эту, / = 0 z0,‘отлично от
1нуля. Для завершения доказательства осталось воспользоваться
теоремой 1.
Обозначим через qty вероятность перехода из i в J точно
за k шагов (т. е. без попадания в J до k-ro шага). Сумма
- 2 W
Z?>1
равна вероятности, выйдя из z*, попасть в J хотя бы один раз.
Определим, далее, среднее время ту у прохождения из i в j
формулой
4-о°, если q. . < 1,
2 MV- если ^/ = 1-
16 Г. П. Климов
230
ДОПОЛНЕНИЯ
Т е op е м а 2. Для однородной цепи Маркова существует
lim 4? У P{ii ~ 4li —— - J>Q-
N^+ooN^irlJ 4‘j ХИ 1 '
Л= 1
Доказательство см., например, в [ 12].
§ 46. Комбинаторная формула Спитцера [23]
А. Пусть и2, ... —последовательность независимых оди-
наково распределенных случайных величин; U и j ••• + —
их частные суммы. Тогда при | z | < 1 справедлива формула
Спитцера, выражающая зависимость распределения сл. в.
max [0, U ..., Uп] от распределения сл. в. max[0, U k\.
(0 = ехр
л>0 |_л>1
(1)
здесь оп (0 и Ул (0 — характеристические функции сл. в.
шах [0, Uъ ...» Un] и max[0, Un] соответственно, т. е.
(0 = М exp (it max ®0 (/) = 1;
УЯ(О== Mexp(z7t/+), л>1;
х+ = max [0, х] = у (х -|- | х |).
Простое следствие этой формулы есть
п
М max tfJ = y.4-MUT. (2)
1<Л<л
Другим важным следствием формулы (1) является
Б. Предельное поведение величины max [0, U\, Un].
Пусть ak = Р {Uk >0).
1) Если <-|-оо, то (за исключением случая
Й>1
р =0} = 1) с вероятностью единица выполнено
max Ut ->sup(7J = max < -|-oo; (4)
Hm Un — ~ oo„ (5)
Л-» t-oo
§ 47] РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 231
При ЭТОМ
о (0 = М exp (it max Uk^ = exp
k>l b>i
k
2) Если /j “y" = + °°» то с вероятностью единица
Л>1
max {7j->sup{7^= lim Un~~\~co. (6)
l<fc<fl fl->4-00
3) Если M | at | < -[-oo и P {ui = 0} < 1, то случай 1) отве-
чает случаю М«/< 0, а случай 2) — случаю Ми/>0.
В. Из утверждения Б вытекает следующая форма усиленного
закона больших чисел для одинаково распределенных случай-
ных величин:
= т тогда и только тогда, когда
Е1р{| Ц1-+1 +“*~4>e}<+co
при любом е > 0.
§ 47. Решение линейной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
с матрицей Якоби
Теорема. Пусть
— а0 Yi О О О
Pi — «1 V2 . О о
о р2 — а2. О О
ООО Yfl
О 0 0 . рл ал
где а/5 p/f у. — действительные числа, pz > 0, у. > 0. Тогда
решение х (i) = {х0 (0, Xj (0, ..хп (0} уравнения
х' (0 = Ах (0
с начальным условием xk (0) = 6^, где bik — символ Кронекера,
( 0, i k 1
— j a i — некоторое число из ряда О, 1, п,
дается формулой
16*
232
ДОПОЛНЕНИЯ
где
₽<‘>=м. •••₽/, ₽0 = 1,
Y(S) = VOY1"-Vft> Y0 = l,
<^о (*) = 1. 0^1 (X) = х + а0, (2)
°^й+1 & = (•’'+ %) ~ <*>’ 0 < k < ">
, . v
и суммирование производится по всем корням Л (действи-
тельным и различным) многочлена &Мп+\(х).
Замечание. В силу этой теоремы решение х (0 уравне-
ния х' (0 = Ах (0 с произвольным начальным условием х (0) —
= [xq, xj, ..., xj} дается формулой
xk (О = 3 Х<1Х1Ъ &>•
1 = 0
Доказательство. Используя (2), нетрудно проверить,
что корни многочлена <Лк (х), k = \,..., n-|- 1, действительны
и различны и что корни многочленов <Жк(х) и е^л+1 (х) пере-
межаются.
Пусть ик (s) — преобразование Лапласа функции xk(t)t
со
ик (s) — J* e~stxk (О dt, k = 0, 1, ..п.
о
Тогда
со
J e~sixk (О dt = sub («) — 6/л>
О
и из уравнения х' (0 = Ах (t) получаем
(sE — А) и (s) = 6Z, (3)
где и ($) = {«о («). “t (s).ип (s)}, 6/ = {бго, бп.....5/п),
Е — единичная матрица размерности
Положим
т0 (х) = 1, тх (х) = х + ал,
W = <?+%-*) mk W
О < k < п.
тк(х) есть определитель матрицы, получаемой из хЕ — А вы-
черкиванием /2-4—1 — k верхних строк и п -f-1 — k первых столб-
цов. Заметим также, что еМк (х) есть определитель матрицы,
§ 47] РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 233
получаемой из хЕ — А вычеркиванием п -|- 1 — k нижних строк
и п +1 — k последних столбцов. Применяя правило Крамера
к системе (3), получим
I Р/+1 • • • (Wz (S) тп-к («)> i < k,
| sE - A | Ull(S) = < Yft+i • • • Y^/ft (s) mn_t (s), i > k,
I (s) mn_t (s), i = k;
здесь | sE — Л | = det (sE — A) == (s) = (s).
Обозначим правую часть через (s); тогда uk (s) пред-
ставляется в виде отношения двух многочленов
причем порядок многочлена (s) меньше порядка многочлена
<^л+1 (5). Разложим u,k(s) на простейшие дроби, учитывая, что
корни многочлена (s) различны:
х ^Л+1(М
где суммирование производится по корням многочлена о^л+1 (s).
Производя обратное преобразование Лапласа, находим
л>(О=У (4)
Разложим теперь определитель матрицы хЕ — А по элемен-
там Z-го столбца, получим
•<n+i (*) = (х + az) -
-Pz+1Yz+1^,'n„_z_1 =
= [(* + «/) ~ P/Y^.J тп_. - =
= - ₽/4 хЪ^1тп-1-1
или
°^п+1 (•*) = (х) OTn + l-z <х) — <х) тп-1 <х>>
1 i < л.
Пусть Л — корень многочлена <Лп^х(х). Предположим на
время, что mt (k) =/= 0 для г = 0, 1.п. Тогда и (Л) #= 0 для
тех же значений Z. В самом деле, при Z = О <^0 (Л) = 1. Пусть
О < / < п и (Л) = 0. Из (5) находим
о= ₽,Y,^;_1 W т ((1).
234
ДОПОЛНЕНИЯ
Так как qALi_x (Х)#=0, ибо корни многочленов (х) и (ж)
перемежаются (и, значит, различны), то тл_/(Х) = 0 в противо-
речие с предположением ягл_/(Х)#=0. Итак, считаем, что
Ю/ (X) =/= 0, Q^i (X) 0, iI» 0, 1, ..п. (6)
При х == X из (5) последовательно находим
<2^л (X) тх (X) = (X) m0 (X),
W т2 W = Рл-Л-Л-2 W (X),
°^f+i W mn~i W = (М*
Перемножая соответственно левые неправые части этих равенств
и учитывая (6), после сокращения получим
w mn-i (*) = ₽„••• М, • • • У/+Л W
или р(»уЯ) (Х) ~«.т' (7)
Вспоминая определение (s), из (7) получаем
pWY(«) (8)
Если мы покажем, что
”+lW ^n(A)£oP<V>’ О)
то из (4), (8) и (9) получим (1), что и требуется. Так как е^л+1 (х) = | хЕ — А |, то
<+1а)=2^ z=o (Ю)
При этом мы пользуемся следующим утверждением. Пусть
А (х) — матрица размерности л, элементы которой есть диф-
ференцируемые функции по х. Обозначим через At (х),
матрицу, получаемую из А (х) заменой элементов z’-го столбца
(строки) на их производные. Тогда
л
[det А (х)]' » 2 det Ai (*)•
ьн
Формула (9) получается теперь из (10) и (7).
§ 48] МНОГОЧЛЕНЫ ПУАССОНА—ШАРЛЬЕ 235
Итак, мы доказали формулу (1) в предположении, что
т/(А) = 0, Z = 0, 1, ..., п, если <^л+1 (X) == тл+1 (Л) = 0. (11)
Если же это предположение не верно, то мы можем воспользо-
ваться теоремой о непрерывной зависимости решения системы
дифференциальных уравнений от параметров, принимая за эти
параметры элементы матрицы А. Заметим, что многочлены т/ (л),
i = 0, 1, ..., п, не зависят от а0, рь уь Изменив нужным образом
последние элементы, мы можем добиться выполнения усло-
вия (11). Заметим еще, что <^0 (х) = 1, поэтому Ln (Л) > 0.
§ 48. Многочлены Пуассона — Шарлье
Многочлены рк (х, a), k > 0, определенные равенством
(1 — г)хеаг = ^рк(х, а) -(а^[—, а>0,
называются многочленами Пуассона — Шарлье. Заметим, хотя
этим нигде пользоваться не будем, что (х, д)}^>0 является
последовательностью ортогональных многочленов, соответствую-
щих весу da (х) стилтьесовского типа, где а (х) — неубывающая
ступенчатая функция со скачками
в точках k = 0, 1, 2, ... (см. С е г ё, Ортогональные многочлены,
ИЛ, 19, стр. 47).
Положим
4k (•*) = 4k (х< а) = акрк (— х, a), k > 0.
Выпишем основные рекуррентные формулы, связывающие много-
члены qk (х), k 0.
(*) = 1, |
9k+i(x) = aqk(x) + xqk(x+l), £>0; |
?»W = 1. qt(x) = x + a, |
4k+\ix) = <a + k + x)4k{x) — akqk_x{x). J
Отметим еще формулы
{k 1
1+Зс**(*+0».•(*+«—De"*]. (4)
S=1 J
236
ДОПОЛНЕНИЯ
• Полагая
— a 1 0 . 0 0
a -(a + 1) 2 . 0 0
0 a ]-2) . 0 0
0 0 0 k
0 0 0 . a
с помощью (2) получаем
?^1(х) = <1е‘(х£-Лй),
(5)
где Е— единичная матрица размерности k Ц- 1.
Из соотношений (2) легко получается, что многочлены
qk (х), Л > О, имеют лишь действительные неотрицательные раз-
личные корни, причем корни многочленов qk(x) и qk_x (х)
перемежаются.
§ 49» Формула обращения Лагранжа
А. Теорема о неявной функции. Функция f (z) от несколь-
ких комплексных переменных z — (zv ..., zn), определенная
в некоторой области, содержащей точку а == (аь ..., ап), на-
зывается аналитической в этой точке, если в некоторой окрест-
ности точки а функция f(z) = f(zb ...» zn) представляется
степенным рядом по переменным zn. Функция /(г) =
= f (Z[..... zn) аналитична в области, если она аналитична
в каждой точке этой области.
АР Пусть функция F (г, w) аналитична в некоторой окрест-
ности точки (а, Ь) и F (а, Ь) 0. Тогда существует един-
ственная функция w = w (г), такая, что:
1) w (а) = Ь\
2) функция w (г) аналитична в некоторой окрестности
точки а\
3) в некоторой окрестности точки (а, Ь) выполнено
F (zt w (г)) = 0.
А2. Утверждение, высказанное в пункте Аь остается в силе,
если:
1) под F (zt w) понимать вектор-функцию
F(z, w) = {F1(2', w)....Fn(z, w)};
2) под г, w, a, b понимать векторы
2 = (Zi, Zp), a = (a,.........ap),
w = (Wi.....w„), b = (b.i, bn);
6 49]
ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ ЛАГРАНЖА
237
3) условие F (а, 6) =# О заменить условием
de,(3S7f'<“’ ‘>Н°-
Б. Формула обращения Лагранжа. Рассмотрим, в част-
ности, уравнение
F (w, z) = z — wf (z) = 0.
Предположим, что функция f (г) аналитична в некоторой
окрестности точки z = 0 и f (0) 0. Так как
^-F(0, 0) = 1—w/z (г)|(0>0) = 1,
то в некоторой окрестности точки w = 0 уравнение
z — wf (г) = 0
имеет единственное аналитическое решение
г= 2
1
При этом коэффициенты а^ даются формулами
1 dk~l т.
Если же функция g (г) аналитична в окрестности точки
z — 0, то в некоторой окрестности точки w = 0
£(*) = £(0)+ 2 bnwk’
Л>1
bk = T^[g'^f{s)} ^ k>t
В. Теорема Руше. Иногда при определении комплексной
функции, заданной неявно, может быть использована теорема
Руше.
Пусть f (z) и g (г) — аналитические функции в замкнутой
области, ограниченной жордановой кривой Г, и пусть
I g (?) I < I f (г) I на Г. Тогда функции f (z) и f (z) ± g (z) не
имею* нулей на Г и имеют одинаковое число нулей в области,
ограниченной Г.
238
ДОПОЛНЕНИЯ
§ 50. Дискретный аналог уравнения в свертках
Теорема. Пусть р — {Pv}» v«0, ±1.......— последова-
тельность чисел, для которой V | pv | < + оо. Допустим,
№ —ОО
что непрерывная функция
Р(0)= У — л<е<л, (1)
у — —оо
имеет лишь конечное число нулей 0р 02> ...» 0уу
(— я <. 0j < 02 < ... < 0^ < л). Тогда всякое ограниченное
решение м={н^|, v = 0, ±1, | и^ | С, системы урав-
нений
оо
3 Pv“Mv = °- Н-0. ±1............... (2)
V= - ОО
представимо в виде
N ivB
uv= 2 °/ * v=0, ±!.................. (3)
s- 1
где 04...aN— некоторые комплексные числа.
Доказательство. Совокупность всех последователь-
оо
ностей ф ® {ф^| со сходящимся рядом |ф^| образует
v= —оо
коммутативное нормированное кольцо L с нормой
НфПд = 5 1<М
V= —ОО
и сверткой
{оо \
2 ф^Ч2’ <5>
Ц= —со J
в качестве кольцевой операции умножения.
Сопряженное к L пространство L' состоит из всех ограни-
ченных последовательностей: v — {v }, v ~ 0, ± 1, ..., | | < С.
При этом ||v||£r = max | v I, а общий вид функционала из I/
V *
есть
(ф, v) = v (ф) = 2 фЧ *
"у— —со
§ 50] ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛОГ УРАВНЕНИЯ В СВЕРТКАХ
239
Для каждого фиксированного элемента q~ (#v), q^L, в L'
определен ограниченный линейный оператор
Л »=?о»= 2 Vv+J- (7)
I V= —оо )
При этом, как нетрудно видеть,
IltfOvllr <||<7||д-1Мг- (8)
Имеем, далее,
ОО оо
(ф,?о») = 2 2 V'v+u”
Ц=-оо v=-uo
оо оо
= 2 *>т 2 <рЛ-(1=^*ч’> <о.
т - -оо ц= — оо
где через q = {#v} мы обозначили последовательность, ком-
плексно сопряженную с q— {tfv}. Тождество
(ф, qO v) = (?*<р, v), (9)
где <р и v — произвольные последовательности из £ и £' соот-
ветственно, означает, что оператор сопряженный к Aqt
действует в £ по формуле
М9<р = 7*ф- (io)
Преобразование Фурье, определяемое для элементов ф££
с помощью равенства
оо
/?(<Р)=Ф(О)= 2 ф/'’0, |0|<л, (11)
V= —оо
переводит кольцо £ изометрично в кольцо Винера W абсолютно
сходящихся тригонометрических рядов с нормой
оо
Нф(0)||И7=||ф11£= 2 К1- <12>
V= —оо
При этом кольцевой операции свертки в £ соответствует опера-
ция поточечного умножения соответствующих периодических
функций в кольце W. Определим преобразование Фурье элемен-
тов v £ £' как периодические функционалы v (0), действующие
240 ДОПОЛНЕНИЯ
на элементы ф (9) £ W по формуле
(<р(0), v(0))=2rt(<p, v) = 2л 2 <PV%- (13)
V= —со
Совокупность преобразований Фурье элементов £' обозначим
через W'. Ясно, что пространство W' есть нормированное про-
странство, сопряженное к W. Используя (9), легко находим
(Ф (9)» (? О v) (9)) = 2л (ф, q О v) = 2л (q * ф, v). (14)
Заметим, что уравнение (2) можно переписать в виде
(ф, рОи) — 09 p£L, u^L', (15)
где ф — любой элемент из L. Применяя к равенству (15) пре-
образование Фурье и используя (14), а также тот факт, что
преобразование Фурье переводит свертку в умножение, находим
0 = (ф (9), (р О и) (9)) = 2л (р * ф, и) = (р (9) ф (9), и (9)), (16)
где 7(0)= 2 = MW «(0)€^'. а
v= —СО
Ф (9) — любая функция из W. Последнее равенство означает,
что функционал и (9) обращается в нуль на множестве Мр функ-
ций из W вида р (9) ф (9), где ф (9) IF, а следовательно, и на
замыкании [Afp] этого множества по норме кольца W. Так как
уравнение р (9) = 0 имеет лишь конечное число корней
9Г ..9^ (— л < 91 < 92 < ... < 9^ < л), то [Мр] предста-
вляет собой пересечение конечного числа наименьших замкну-
тых примарных идеалов, принадлежащих точкам —9р —9^
(см. [4], стр. 19).
Поскольку в кольце Винера всякий наименьший замкнутый
примарный идеал совпадает с максимальным идеалом, то
[Afp] есть на самом деле пересечение максимальных идеалов,
принадлежащих точкам —9р ..., —9^, так что [Л1р] состоит
из всех непрерывных периодических функций с абсолютно
сходящимся рядом Фурье, обращающихся в нуль при
9 = — 9р 9 = — 92, ...» 9 = — 9^ (см. [4], стр. 237). Пусть
(9), ...» (9) — такие линейно независимые тригонометри-
ческие полиномы от eiQ, e~iQt что
ГД~9^) = 65Ь s, £ = 1, .... N. (17)
Всякую функцию ф (9) £ W можно представить в виде
ч> (0) = 2 ф (- +р (°)’ <18>
5=1
§ 50] ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛОГ УРАВНЕНИЯ В СВЕРТКАХ 241
где р (0) С Р(—9л) = 0, £==1, ...,2V, так что на самом
деле р (0) С [Мр]. В силу (16)
. (<р (О), и (в))=2 ф (- 65) (в).«(6)) = 2 м (- <19>
5 = 1 5=1
где через мы обозначили числа (Ts (0), и (0)), не зависящие
от выбора функции ф (0) £ W. Используя (6), (11), (13), находим
2л(<р, а)= 2 'Pv 2 = ( Ф-] 2 P^ZV6H- (2°)
v=— ОО 5 = 1 \ [5 = 1 J /
В силу произвольности ф££ отсюда следует равенство (3)
с
А
2л ’
«5
что и требовалось.
ЛИТЕРАТУРА
1. Де Брейн Н. Г., Асимптотические методы в анализе,
ИЛ, Москва, 1961.
2. Бу с лен ко Н. П., Голенко Д. И., Соболь И. М.,
С р а г о в и ч В. Г., Шрейдер К). А., Метод статисти-
ческих испытаний (Монте-Карло), СМБ, Физматгиз, 1963.
3. Винер Н., Интеграл Фурье и некоторые его приложения,
Физматгиз, Москва, 1963.
4. Г е л ь ф а н д И. М., Р а й к о в Д. А., Ш и л о в Г. Е., Ком-
мутативные нормированные кольца, Физматгиз, Москва, 1960.
5. Г е л ь ф а н д И. М., Ш и л о в Г.. Е., Обобщенные функции,
вып. II. Пространства основных и обобщенных функций,
Физматгиз, Москва, 1958.
6. Г н е д е н к о Б. В., Коваленко И. Н., Лекции по тео-
рии массового обслуживания, изд-во КВИРТУ, 1963.
17. Григелионис Б. И., Предельные теоремы для сумм
процессов восстановления, сб. «Кибернетику на службу
. коммунизму», т. 2, изд-во «Энергия», 1964.
8. Камке Е., Интеграл Лебега — Стилтьеса, Физматгиз, 1959.
9. К а р т а н А., Элементарная теория аналитических функций
одного и нескольких комплексных переменных, ИЛ, 1963.
110. Колмогоров А. Н., Прохоров Ю. В., О суммах слу-
чайного числа случайных слагаемых, УМН, 4, № 4, 168—172.
11. Крамер Г, Математические методы статистики, ИЛ, 1948.
/12. Л о э в М., Теория вероятностей, ИЛ, 1962.
13. М а р к у ш е в и ч А. И., Краткий курс теории аналитических
функций. Физматгиз, Москва, 1961.
14. Полна Г., С е г ё Г., Задачи и теоремы из анализа, I,
Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, Москва, 1956.
15. Постников А. Г., Арифметическое моделирование слу-
чайных процессов, Тр. матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 57,
1960, изд-во АН СССР.
16. Р е н ь и A., A Poisson-folyamat egy jellemzese. Тр. Матем.
института Венгрии, V, 1, fasc. 4, 1956, 519—527.
17. Риордан Дж., Комбинаторный анализ, ИЛ, 1963.
18. Севастьянов Б. А., Эргодическая теорема для марков-
ских процессов и ее приложение к телефонным системам
с отказами. Теория вероятностей и ее применение, т. 2,
вып. 1, 1957, 106—116.
19. С е г ё Г., Ортогональные многочлены, Физматгиз, 1962.
20. Смит В. Л., Теория восстановления и смежные с ней
вопросы, «Математика», 5:3, 1961.
ЛИТЕРАТУРА
243
21 С м и т В. Л., Asymptotic renewal theorems, Proc. Roy. Soc
Edinb., A, 64, 1954, 9—48.
22. Смит В. Л., On the distribution of queueing time.
23 Спитцер Ф., Комбинаторная лемма и ее применение
к теории вероятностей, «Математика», 8:4, 1964.
24. Спитцер Ф., The Wiener-Hopf equation whose kernel is
a probability density, Duke Math, j., 24 (1957), 327—343.
25. Stein C., A note on cumulative sums, Ann. Math. Statistics,
17, 1946, 498—499.
26. Такая Л., Некоторые вероятностные задачи в телефонии,
«Математика», 4 :6, 1960.
27 Т а к а ч Л., Introduction to the theory of queues, Oxford
University Press, 1962, 1—268.
28 T a c k 11 n d S., Fourieranalytische Behandlung vom Erneu-
rungsproblem, Skand. Akt., 1945, 28—105.
29. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее при-
ложения, изд-во «Мир», Москва, 1964.
30. Феллер В„ On probability problems in the theory of coun-
ters, Courant Anniversary Volume, 1948, 105—115.
31. Фе л л ер B., On the time distribution of socalled random
events, Phys. Rev., v. 57, pp. 906—908.
32. Феллер В., On semi-jVlarkov processes, Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 1964, 51, № 4, 653—659.
33. Фидрих Э., Диссертационная работа, МГУ
34. X инч ин А. Я., Работы по математической теории масср-
вого обслуживания, Физматгиз, Москва, 1963.
35. Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л., Интеграл, мера, произ-
водная, изд-во «Наука», 1964.
36. Benes V. Е., Fluctuation of telephone traffic, Bell System
Tech, j., v. 36, 1957, pp. 965—973.
37 D. van Danzig, Chaines de Markof dans les ensembles
abstraits et applications aux processus avec regions absorbantes
et au probleme des boucles. Ann. de 1’Inst. H. Poincard 14
(fasc. 3), pp. 145—199, 1955.
38. Foster F. C., On the stochastic matrices associated with
certain queueing processes, Ann. Math. Stat., 24 (1953), 355—360.
39. Kasten H., R u n n e n b u r g J. Th., Priority in waiting
line problems, Mathematisch Centrum, Amsterdam, Holland,
December, 1956.
40 К i e f e r, W о 1 f о w i c z, On the theory of queues with a many
servers, American Math. Society (Transactions), v. 78, 1955.
41. Lindley D. V., Queues with a single server, Proceedings
of the Cambridge Philosophical Society, v. 48, part 2, 1952.
42. Loynes R. M., The stability of a system of queues in series,
Proc. Cambridge Philos. Soc., 1964, 60, № 3, 569—674.
43. M о u s t a f a M. D., Input-output Markov processes, Proc. Konin-
kijke Nederlande Akad. Wetenschappen, 60 (1957), 112—118.
44. R i о r d a n J., Stochastic Service Systems, Wiley and Sons, 1962.
45. S a a t у T. L., Elements of queueing theory with applications,
McCraw-Hill, 1961, 1—423.
Геннадий Павлович Климов
СТОХАСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
ОБСЛУЖИВАНИЯ
(Серия: «Библиотека прикладного анализа
и вычислительной математики»)
М., 1966 г., 244 стр. с илл.
Редактор В. И. Курилов
Техн, редактор Л. А. Пыжова
Корректор Е. Я. Строева
Сдано в набор 7/Х 1965 г. Подписано к печати
21/1 1966 г. Бумага 84х1Э81/32. Физ. печ. л. 7,63.
Условн. печ. л. 12,81. Уч. изд. л. 11,13.
Тираж 10 000 экз. Т-01433. Цена книги 70 коп.
Заказ № 1937
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
‘ Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров
СССР. Измайловский проспект, 29.
Цена 70 коп.
БИБЛИОТЕКА ПРИКЛА,
И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ
Г. С. САЛЕХОВ Вычислен
В. С. РЯБЕНЬКИЙ и А. Ф.
тойчивости разностных
А. Н. ХОВАНСКИЙ. Прилон
и их обобщений к воп|
анализа.
Г. С. ХОВАНСКИЙ. Номогра
ным транспарантом.
С. М. НИКОЛЬСКИЙ. Квадр
М. А. КАРЦЕВ. Арифметик
электронных цифровых
Ю. В. ВОРОБЬЕВ. Метод мо
математике.
Система стандартных подпро
М Р. ШУРА-БУРА. '
В. К. САУЛЬЕВ. ИнтегрироВ!
раболического типа мет
Н. П. БУСЛЕНКО и Ю. А. Ш1
тистических испытаний
электронных цифровых
Система автоматизации про
редакцией Н. П. ТРИФОЬ
БУРА.
Н. М. КОРОБОВ. Теоретико-
приближенном анализе.
Д. И. ГОЛЕНКО. Моделирован
анализ псевдослучайных
ных вычислительных ма1
Г. П. КЛИМОВ. Стохастичесн
живания.
юлка к
СССР
у
Библиотека
бесплатных
учебников на
сайте:
ussrvopros.ru
(перейти
каталогу