Е.И. Забабахин
КУМУЛЯЦИЯ
И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
Сборник научных статей
Издательство РФЯЦ—ВНИИТФ
Снежинок • 1998

УДК 623.454.8
3-12
3-12. Забабахин Е.И. Кумуляция и неустойчивость. Сборник научных статей.
Снежинск, Издательство РФЯЦ—ВНИИТФ, 1998,112 с.
Кумуляция и неустойчивость — сборник научных статей выдающегося ученого в об-
области ядерной физики академика Евгения Ивановича Забабахина A917—1984). В него во-
вошли 12 открытых статей, отражающих как его научно-производственные интересы, так
и интересы ученого-романтика, и представляющих собой лишь малую часть его научного
наследия. Некоторые статьи, вошедшие в сборник, написаны в соавторстве с учеными
РФЯЦ-ВНИИТФ — В.А. Симоненко, Б.П. Мордвиновым, М.Н. Нечаевым и с сыновьями —
И.Е. Забабахиным и Н.Е. Забабахиным.
Издание книги приурочено к традиционной Международной конференции "Забабахин-
ские Научные Чтения", проведение которой намечено на сентябрь 1998 года в г. Снежинске
Челябинской области.
Книга предназначена для научных и инженерно-технических работников, а также аспи-
аспирантов и студентов ВУЗов старших курсов, специализирующихся в области газодинамики
и физики взрыва.
ISBN 5-85165-329-9
© РФЯЦ—ВНИИТФ, 1998
Воспроизведение настоящего издания любым
способом возможно только с разрешения
Издательства РФЯЦ-ВНИИТФ.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник отражает лишь часть научного наследия Евгения
Ивановича Забабахина. Многие работы он не мог опубликовать по режимным
условиям.
Так уж сложилось, что основной сферой деятельности Евгения Ивановича
стала гидро- и аэродинамика, механика взрыва и сопутствующих ему кумулятив-
кумулятивных явлений. Четыре первые статьи так или иначе связаны с частными вопросами,
возникавшими при решении производственных задач. Гармонично сочетая в себе
производственника и романтика, Евгений Иванович всегда стремился "заглянуть за
горизонт". Это проявилось, в частности, в его стремлении к изучению условий дос-
достижения предельно высоких (теоретически-бесконечных) сжатий и давлений.
Работа "О прессе сверхвысокого давления", где бесконечность давления
достигается статическим путем, связана с возникшим в конце шестидесятых го-
годов интересом к синтезу алмазов как с помощью сверхмощных прессов, так
и взрывным путем. Сюжеты двух следующих работ навеяны интенсивными ис-
исследованиями проблем "магнитной кумуляции" (идея А.Д. Сахарова) в конце
пятидесятых годов.
Тот факт, что сходящаяся сферическая волна по мере приближения к центру
неограниченно усиливается, было установлено еще в классической работе Гудер-
лея A942 г). Интуиция подсказывала, что должны существовать физические явле-
явления, способные остановить неограниченную кумуляцию. Влияние одного из таких
явлений — теплопроводности — было проверено в работе Евгения Ивановича сов-
совместно с В.А. Симоненко. Оказалось, что теплопроводность лишь видоизменяет
характер кумуляции, не устраняя ее полностью.
В начале шестидесятых годов многие были увлечены заманчивой идеей —
зажечь термоядерное горючее с помощью обычной взрывчатки, минуя атомную.
Предполагалось как мирное, так и военное применение плодов реализации этой
идеи. В одном из проектов рассматривались специальные слоистые сферические
системы, так называемые "слойки". В них при определенных условиях, как пока-
показано в работе "Ударные волны в слоистых системах", достигается режим неогра-
неограниченного усиления ударной волны. Молчаливо подразумевалось, что при этом
осуществляется и достижение главной цели — термоядерного воспламенения сис-
системы. Однако в экспериментах реализация идеи "слойки" не состоялась. Термо-
Термоядерного воспламенения достичь не удалось, хотя отдельные энтузиасты работают
в этом направлении и до сих пор. Разочарование от неудачи со "слойкой" было
всеобщим.
Тогда, со свойственной ему научной честностью и максимализмом, Евгений
Иванович высказал утверждение, что неограниченная кумуляция недостижима в прин-
принципе, и разрушает ее неустойчивость по отношению к малым механическим воз-
возмущениям сферически симметричных систем и движений. Этому посвящены три
последние работы. Сначала в журнале "Успехи Физических Наук" была высказана

гипотеза о практической недостижимости бесконечной кумуляции. Затем был дан
обзор по явлениям кумуляции с указанием конкретных причин, ограничивающих
в каждом случае кумулятивный рост физических величин (плотности, давления,
скорости). Завершает цикл работ статья "Неустойчивость неограниченной кумуля-
кумуляции". Здесь, высказанная ранее гипотеза обретает статус общего физического зако-
закона, получив достаточно строгое (по крайней мере, с точки зрения физика-
теоретика) математическое обоснование. На наш взгляд, последняя работа Евгения
Ивановича до сих пор не оценена по достоинству и не получила должного развития.
Старший научный сотрудник
теоретического отделения РФЯЦ-ВНИИТФ,
кандидат физико-математических наук	Борис Мордвинов

СТАЦИОНАРНОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ТЕЛА УДАРНОЙ ВОЛНОЙ
Е.И. Забабахин, Н.Е. Забабахин
Рассматривается возможность стационарного движения хорошо обтекаемого
тела вместе с фронтом ударной волны в газе, на котором тело удерживается, как
поплавок на воде (что существенно отличается от метательного действия волны на
обтекаемые ею препятствия).
Выход на этот режим может быть различным, и общего описания он
не имеет (посторонний толчок тела перед приходом волны, импульс от самой вол-
волны и т. п.).
Движение тела относительно исходного газа будет сверхзвуковым, и от него
пойдут косые волны уплотнения и разрежения. Роль их можно учесть для случая
поплавка, имеющего форму крыла с профилем в виде узкого ромба. Схема движе-
движения показана на рисунке, где сплошной линией обозначен фронт основной ударной
волны, штриховыми — слабые волны сжатия и разрежения (характеристики) от
профиля.
РО'со
В системе координат, связанной с поплавком, движение стационарно, газ на-
набегает слева со сверхзвуковой скоростью D>cQ.
От вершины клина пойдет ударная волна со скоростью звука с0 относитель-
относительно газа перед ним. На волне сохраняется тангенциальная скорость, т. е.
D cos р = и cos (p - а).
Нормальная скорость меняется на величину
v = D sin р - и sin (Р - а) = D sin p
l-tg(p-a)
tga

Е.И. Забабахин, Н.Е. Забабахин
Давление увеличивается на
sin
l-tg(P-a)
tga
Подставив сюда D= Мс0 (М— число Маха для основной волны),
Росо =
после преобразований получим для малых a
lM2-\ )
Выпишем давления в других областях. Аналогично тому, как получено р1, получаем
	Г, УМ2	)
\м2-\
Давление за основной волной, выраженное через ее скорость (или число М),
имеет вид:
Рз =
Д
(у-1)
На хвостовую часть поплавка х действует давление р4, отличающееся от
из-за возмущения слабыми косыми волнами на величину порядка
Рг -Ро =
M2-1
= Ро
М1
¦D-1
уМ2
К
\м2-\
га,
где к — число порядка единицы (для слабых волн к = 1). Условие равновесия
ромба в направлении движения есть р{1 a - р2 (/ - х)а - р4х a = 0, откуда
х = <J>l-p2)
I (Р4-Р2)

Стационарное перемещение тела ударной волной
или
M\h+\)-\
Так как а «1, то члены с а в знаменателе можно отбросить, после чего в резуль-
результате упрощений получаем
х_ (у + 1)М2
/"(М2-1K/2<Х"
Уменьшая а, можно всегда сделать xll < 1, что и будет означать возможность
стационарного движения. При случайном погружении ромба в волну больше чем
на х (в том числе даже несколько глубже миделя), он будет вытолкнут обратно, при
случайном всплытии — погрузится назад.
От заваливания крыла на бок можно избавиться, например, согнув его в кольцо
вокруг горизонтальной оси. Отметим, что остается еще неясным вопрос о раскачке
случайных колебаний, т. е. о колебательной неустойчивости.
Условия стационарного движения выполняются сравнительно легко, напри-
например, для волны в воздухе с избыточным давлением в 1 атм. (/>3 = 2 атм., М = 13/7)
получаем х 11 = 5,6 а, т. е. годится ромб а < 1 / 5,6 « 10°.
Заметим, что старт кольца тем легче, чем меньше его плотность, для стацио-
стационарного же движения вес его несуществен.
Опубликовано в журнале ПМТФ, № 2, 1980.

НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Е.И. Забабахш
Три случая движения вязкой жидкости, описанные ниже, отличаются не-
несколько неожиданными свойствами, которые трудно предвидеть заранее.
Движение жидкости в сосуде
Пусть слой жидкости налит на плоское дно большого размера. Рассмотрим,
как будут двигаться частицы жидкости при перемещении дна. Дно движется так,
что точка Ах его перемещается в положение А2 и снова останавливается. В жид-
жидкости возникает движение по горизонтали со скоростью м (у, t), которое со време-
временем затухает.
Сила вязкого трения, действующая на верхние слои со стороны нижних, есть
/ = л (дм / ду), где л. — коэффициент вязкости, а сообщенный ею за все время
импульс
00
U	О f
V Цду>и
00
Но \udt = S(y) есть путь частицы за все время, а 1{у) = 0, так как жидкость
о
покоится как в начале, так и в конце движения, т. е. dS I dy = 0 или S(y) = const = 5@).
Si
7
Л,	Аг
Рис. 1. Перемещение частиц жидкого слоя, налитого на плоское дно,
при движении этого дна.
Таким образом, частица проходит такой же путь, как дно, перемещается из
Z?j в В2 и останавливается точно над той его точкой, над которой была вначале,
т. е. в итоге жидкость перемещается как твердое тело (рис. 1). Все перемещения
дна она не повторяет, но занимает одинаковые положения относительно него
в начале и в конце. Как двигалось дно, неважно (быстро, медленно, с возвратами
и т. п.), — жидкие частицы находят свое прежнее положение в любом случае, если

Некоторые случаи движения вязкой жидкости
только движение не было турбулентным, и выполняется это при любой вязкости,
но при малой Т| медленно, а при большой быстро.
Аналогично обстоит дело с вращением длинного цилиндра с жидкостью.
Если он повернут на угол ф и остановлен, то жидкость придет в движение, которое
со временем остановится. На контрольную поверхность с радиусом г будет дейст-
действовать сила трения / = г|г(Эсо / дг) , где со — угловая скорость, а на всю жидкость
внутри цилиндра с радиусом г — момент 2nrfr = 2m\r (Эсо / дг). За все время жид-
жидкость приобретет кинетический момент
00	00	00
К(г) = fonrfr At = 2пт|г3 f— At = 2кг]г3 — fco At.
J	i дг	дг i
0	0	0
CO
Ho Jco At = ф(г) есть угловое перемещение частицы, а К(г) - 0 (покой в начале
о
и в конце), т. е. cUp/dr = 0 или ф(г) = const = ф(Л). Точка на стенке перейдет из Ах
в А2, в жидкости — из В1 в В2 (рис. 2). Таким образом, и здесь каждая частица
находит свое прежнее место в сосуде независимо от того, как именно
поворачивался сосуд и велика ли вязкость.
Рис. 2. Перемещение частиц жидкости в цилиндре при его повороте.
В произвольном случае это не выполняется. Например, в цилиндре с дном
при ускорении вращения придонные частицы вовлекаются в круговое движение,
центробежной силой они перемещаются к краям и назад не возвращаются. Если
такой цилиндр находится в режиме вращательных колебсний, то частицы у дна
будут растекаться в стороны, возвращаясь к оси выше него, что хорошо видно по
движению окрашенных струек от кристалликов перманганата на дне. Движение
в кольцевом вихре при этом направлено противоположно обычному, наблюдаемо-
наблюдаемому в стакане чая, когда вращение приводит к центростремительному движению

10
Е.И. Забабахин
у дна и собиранию чаинок в его центре. Вращательные колебания привели бы, на-
наоборот, к расчистке середины дна (рис. 3, а, б)*.
Заметим, что те частицы, которые плавают, у поверхности собираются не
у краев, как следовало ожидать, а тоже у середины. По-видимому, это связано
с пленкой адсорбции, "приклеенной", как тонкий лед, к стенкам и не принимающей
участия во вращении. Она тормозит движение у поверхности жидкости и создает
условия для стекания ее от краев к центру. В этом случае, очевидно, возникает сис-
система из двух кольцевых вихрей, как на рис. 3, в. Такие же два вихря будут возни-
возникать при колебаниях цилиндра с дном и с крышкой, но направление движения
в них будет противоположным (рис. 3, г). На рисунке точками и кружками показа-
показано, где следует ожидать скопления слабо тонущих или плавающих частиц. Количе-
Количественно этот эффект в разных случаях, видимо, различен.
б
Рис. 3. Кольцевые вихри в вязкой жидкости в цилиндрическом сосуде
(а — вращательные колебания цилиндра; б — вращение жидкости в неподвижном
цилиндре; в — вращение жидкости с пленкой адсорбции в неподвижном цилиндре;
г — вращательные колебания цилиндра с дном и крышкой).
Итак, кроме хорошо знакомого движения с одним вихрем в цилиндре, можно
создать и наблюдать движения еще нескольких типов с одним или двумя вихрями
и разных направлений.
* Поведение чаинок в чашке с плоским дном в 1926 г. привлекло внимание Эйнштейна (в связи
с рассмотрением закона Бэра).

Некоторые случаи движения вязкой жидкости
11
Столкновение твердых тел в Жидкости*
При сближении твердых тел в жидкости перед ударом жидкость с большой
скоростью выталкивается из зазора между сближающимися поверхностями, на что
тратится энергия, тело тормозится, и удар смягчается или пропадает совсем. Осо-
Особенно это заметно в вязкой жидкости, где, кроме потерь на ее движение, энергия
диссипирует из-за вязкости и идет на нагревание жидкости. Этот процесс домини-
доминирует и, как будет видно из дальнейшего, позволяет упростить решаемую задачу,
а именно считать жидкость невесомой и учитывать лишь ее вязкость.
Пусть тело имеет вид цилиндра со слабо выпуклым дном, которым он при-
приближается к плоской стенке, как показано на рис. 4. Ширина зазора
h - Y + (г / 2R), со временем она уменьшается. Тело в жидкости движется к стен-
стенке со скоростью v, жидкость вытесняется из зазора со скоростью и. Распределение
и по толщине зазора, как обычно для вязкой жидкости, примем параболическим,
при этом средняя по высоте при данном г скорость и = 2 / 3«тах, а градиент ско-
скорости у поверхности по величине равен 4итах / h или 6м / h.
Рис. 4. Сближение выпуклого тела со стенкой в вязкой жидкости.
На рис. 5 показан элемент жидкого диска и действующие на него силы дав-
давления р и трения /, сумма которых равна нулю (иначе было бы бесконечное уско-
ускорение). Это условие дает
(prah)r - (prcxh)r+dr + pro. dh + pha dr - 2x\ra dr • 6 —^- = 0.
* Эта задача была рассмотрена совместно с Н.Е. Забабахиным.

12
Е.И. Забабахин
После упрощений этого уравнения получаем
Но и связано со скоростью тела v условием сохранения объема жидкости:
1	f
- vnr = 2nrhu или и = -v —,
т. е. уравнение принимает вид:
dp r vr dp 6r\vr
~^- = 6г\—т- или — =	!
дг
или
дг
2Rj
Решение его
P(f) -Ро= -
1
, 2R
Y +
ar_
2Rj
где a — радиус цилиндра иро= р(а) — давление в окружающей жидкости.
Рис. 5. Силы давления р и трения / действующие на элемент
жидкого диска между сближающими телами.

Некоторые случаи движения вязкой жидкости	13
Далее, зная давление на торцы цилиндра, можно найти суммарную замедляющую
силу и написать уравнение его движения:
здесь М— эффективная масса тела, превосходящая его истинную массу на величи-
величину порядка массы вытесненной жидкости. Подставив сюда выражение для
р(г) - р0 после преобразований получим
dv 3	о4
М	=	7TT1V
d/ 2 '
dv f dv
или, так как — = v —
dt \dY.
dv 3	a4
	=	7ГП		.
dY 2	( „г\2
MY]
{ 2R)
При малых Y это уравнение упрощается и принимает вид
dv бтщВ1
dY MY
откуда
6nr]R2
Отсюда видно, что тело останавливается, вообще не доходя до стенки. В самом
деле, положив v = 0, получим выражение для конечного расстояния Ук от вершины
тела до стенки:
- V р
(напомним, что vQ <0, т. е. YK < Yo ).
Казалось бы, это противоречит опыту, так как круглые камни под водой со-
соударяются со звуком, но это объясняется чрезвычайной малостью YK. Например,

14	ЕМ. Забабахин
при М = 1 г, R = 0,5 см, vfl = -1 см/с, YQ = 1 см и п = 0,01 г-см/с (вода) полу-
получается YK » 10"8 см, что много меньше шероховатостей поверхности. Но для мел-
мелких песчинок в воде или абразивных суспензий этот механизм может реально огра-
ограничивать соударения и дальнейшее разрушение частиц; например, для вдесятеро
меньших песчинок (М = 1 мг, R = 0,5 мм, YQ = 1 мм) при v 0 = 1 см/с получаем
YK =0,1 мм, т. е. они друг друга не касаются. Ударяться и притупляться будут
только острые края (с малым R), т. е. песчинки при длительном обкатывании в воде
будут округляться.
Таким образом, вязкая жидкость, даже если она невесома, делает невозмож-
невозможным соударение выпуклых (незаостренных) тел. Несомненно, что учет ее веса
только усилит этот вывод.
Если частицы оседают на дно в поле тяжести, то они, конечно, не останавли-
останавливаются над ним, но, как показывает аналогичное решение, приближаются к нему
лишь асимптотически, причем расстояние до дна со временем уменьшается экспо-
экспоненциально по закону Y~ е0™1'. Удара с конечной скоростью здесь нет.
Ясно, что полученные результаты годятся не только для случая встречи сфе-
сферы с плоскостью, но и для других искривленных поверхностей с тем же законом
расширения зазора по радиусу h(f) между ними.
Заполнение пузырьков в вязкой жидкости
Рассмотрим схлопывание сферического пузырька в жидкости большого объема
или схождение толстой сферической оболочки без внешнего давления, т. е. ее
инерционное движение.
При таком движении вблизи поверхности происходят сильные сдвиговые де-
деформации, жидкая линия АА при фокусировке превращается в ВОВ (рис. 6), обра-
образуя излом и даже точку возврата (угол 180° превращается в нуль).
Это означает большой расход энергии на преодоление вязкости; возникает
естественный вопрос, не устранит ли это кумуляцию вообще.
Вязкость приводит к диссипации энергии со скоростью [1]
где df — элемент поверхности с внутренней нормалью.
В нашем случае
ди2 I дг - -Аи2 I г, т. е.
В нашем случае это просто равно произведению поверхности 4пг2 на
(здесь и далее под миг без индексов подразумеваем величины на поверхности пу-
пузырька).

Некоторые случаи движения вязкой жидкости	15
Рис. 6. Деформация жидкой линии при охлопывании
пузырька в жидкости.
Соответствующее слагаемое для наружной поверхности оболочки мало. Ки-
Кинетическая энергия жидкости
Е = 2пг3и2р.
Из выражений для Е и Ё получаем
d(rV)	2
—	 = -Svru ,
dt
„ d d oV d
где v = л/р — кинематическая вязкость. Но — =	= и—, т. е.
dt dr dt dr
U
dr
Решение этого уравнения имеет вид:
_ const 8v
"-73/Г-7
или, с учетом начального условия и(гЛ = м0,
8v |f^K/2 8v
uoroj\rj	г
Отсюда видно, что поверхность может достичь центра, но может и остано-
остановиться, не доходя до него, на расстоянии гх. Положив и - 0, для радиуса остановки
г. получаем
8v

16	Е.И. Забабахин
Поверхность останавливается, не достигая центра при 1 + (uQr0 / 8v) > 0 (напом-
(напомним, что мо< 0).
Величина м0 r0 / v есть число Рейнольдса Re, таким образом, в нашем слу-
случае есть критическое число ReKp = 8: при Re < 8 оболочка останавливается, не до-
доходя до центра; при Re > 8 она схлопывается с неограниченной скоростью у цен-
центра, т. е. происходит неограниченная кумуляция.
Таким образом, вязкость в этом случае не устраняет возможности неограни-
неограниченной кумуляции, а при Re>ReKp не меняет далее ее степени (м = const/гУ2),
уменьшая лишь константу в ее асимптотике в 1 + (uQr0 18v) раз.
Рассмотрим, далее, задачу Рэлея о схлопывании пузырька к жидкости, на-
находящейся под давлением, но с учетом ее вязкости [2]. В этом случае, очевидно,
остановки произойти не может, но характер схлопывания из-за вязкости может
измениться.
Ограничимся случаем, когда пузырек вначале покоится, т. е. при г = a , и = 0.
Выражение для кинетической энергии остается прежним, ак ? добавится работа
сил давления, т. е. будет
Ё + 4 пг2ри = -\6nr\ru2 .
Снова используя выражения для Е и Ё и d/dt = u{dldr), получим
d(rV) _ 2 2р 2
= -8vn/ - —rlu
8vn/
At	p
или
du 3 и р 4v
dr 2 r pur r
Введем безразмерные величины Re = [—),/— (число Рейнольдса),
Vv/| p
а = — Re и C(а) = — I— , тогда получим уравнение движения и начальное условие
а	и \ р
в виде:
dp p2C _ Л) 1
—— = — — + В + — и 	= 0
da a Up a) p(Re)
(т. e. w(a) = 0). Уравнение имеет семейство решений P(a), зависящее от пара-
параметра Re. Одно из них с Re = <х> (т. е. для нулевой вязкости) совпадает с решением
Рэлея, для которого вблизи фокусировки и ~ 1 / г3/2 или р ~ а3/2.

Некоторые случаи движения вязкой жидкости
17
Начало координат а = 0, р = 0 есть сложная особая точка узел-седло; она по-
показана на рис. 7, где нанесены интегральные кривые и изоклины нулей и бесконеч-
бесконечностей. Среди кривых, выходящих из начала координат, только одна линия ОП
имеет конечный наклон, определяемый подстановкой р = ka при а —> О, которая
дает к = -1 / 8. Эта линия (сепаратриса) показана штрих-пунктиром. Изоклина
нулей проходит ниже, ее начальный наклон — 3/8. Выше ОА интегральные кривые
образуют узел, где C~а , ниже — седло, причем Р—»-4/а или и—>(р/4ц\г
(то и другое проверяется подстановкой в уравнение при а -> 0) .
Рис. 7. Общая картина интегральных кривых для охлопывания
пузырька в вязкой жидкости (" и "оо" — изоклины нулей и беско-
бесконечностей).
Решению задачи отвечает та кривая, которая приходит в точку, соответ-
соответствующую начальному условию, т. е. а = Re, 1 / р = 0. При разных Re решения
могут принадлежать к разным семействам: в случае принадлежности к узлу они
соответствуют неограниченному возрастанию скорости (как а~3/2), в случае сед-
седла — замедленному схлопыванию пузырька со скоростью ~а, в результате которо-
--*-/
го заполнение его достигается лишь за неограниченное время по закону r~e 4pv .
В этом случае скорость его не зависит от начального размера, т. е. движение
"не помнит" начальных условий.
Сепаратриса ОА отвечает промежуточному случаю. Соответствующее число
Рейнольдса является критическим. Оно разграничивает два существенно различ-
различных класса движений. Его можно определить, продолжив сепаратрису вправо до
1 / Р = 0, где а = Re. Построение это, выполненное путем численного интегриро-
интегрирования, дает Re,= 8,4.
кр

18
Е.И. Забабахин
При данных р, р и v можно говорить о критическом радиусе пузырька
р . При a<a он заполняется медленно, кумуляция устраняется вяз-
вязкостью; при a>a вблизи фокуса скорость неограниченно растет по тому же
закону, что и без вязкости, т. е. и = const / гзп, но с меньшим значением константы.
Схема движения для обоих случаев показана на рис. 8.
Таким образом, обнаружилось неожиданное обстоятельство, состоящее в том,
что заполнение малого пузырька может длиться дольше, чем большого, и время
этого заполнения может быть даже бесконечно большим.
a>a
кр
a>a
кр
Рис. 8. Режимы заполнения пузырька в вязкой жидкости
(а — схлопывание с кумуляцией; б — медленное (бесконечно долгое)
заполнение).
Практически критический радиус весьма мал, например, при р = 1 атм. для
воды (v = 0,01, р = 1) он равен 0,8 мкм, для глицерина (v = 6,8, р = 0,8) — 0,5 мм.
Описанный пример интересен тем, что последовательный учет диссипации
и здесь не делает кумуляцию невозможной. Фактически роль вязкости будет еще
меньше, так как из-за сильных сдвиговых деформаций и работы сил вязкости
у поверхности пузырька жидкость нагревается и вязкость ее уменьшается.
В случае замедленного схлопывания пузырька следует ожидать, что форма
его активно устойчива и будет стремиться к идеальной сфере, так как этому содей-
содействуют и поверхностное натяжение, и затухание волн на его поверхности (из-за
вязкости).

Некоторые случаи движения вязкой жидкости	19
Литература
1.	Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. —М.: ПТИ, 1953, 795 с.
2.	Забабахин Е.И. Заполнение пузырьков в вязкой жидкости // ПММ, 1960, т. 24,
вып. 6, с. 1129—1131.
Опубликовано в сборнике научных трудов "Вопросы современной
экспериментальной и теоретической физики", "Наука", Ленинград, 1984.

РАЗРЫВЫ УДАРНЫХ АДИАБАТ
И МНОГОЗНАЧНОСТЬ НЕКОТОРЫХ УДАРНЫХ СЖАТИЙ
Е.И. Забабахин, В.А. Симоненко
Показано, что ударная адиабата в принципе может быть разрывной
(точнее, содержать скачок) или иметь такую форму, при которой задачи об
ударном сжатии (о распаде разрыва) имеют неоднозначные решения. Ука-
Указан критерий многозначности, оказавшийся аналогичным условию Бан-
крофта и др. для раздвоения волны.
Ударное сжатие вещества может вызвать фазовый переход. В месте его
включения ударная адиабата терпит излом, что может приводить к особенности
сжатия. Так, Банкрофт и др. [1] обнаружили, что при сильном изломе р(у) влево
(точнее, если продолжение ударной адиабаты идет вверх левее луча Михельсона
АВ\, на рис. 1, а) возникают две идущие друг за другом волны вместо одной. Воз-
Возможен также излом вправо, как показали Урлин и Иванов [2], получившие выраже-
выражение для наклона ударной адиабаты в месте включения фазового перехода. Из их
формулы видно, что здесь может быть не только излом.ударной адиабаты, но даже
ее разрыв (вернее, скачок). Остановимся на этом немного подробнее, а затем пока-
покажем, что такие аномалии могут приводить к качественно новому явлению, а имен-
именно, к неоднозначности ударного сжатия.
Рис. 1. Аномальные ударные адиабаты
(разрывная (пунктир) и выходящая за пределы угла между лучом Михельсона
и его зеркальным отражением (сплошная). В случае б показаны также неодно-
неоднозначные режимы столкновения пластин с адиабатами 1 и 2 (три пересечения)).
Пусть ОК. — ударная адиабата, достигающая в точке К границы раздела
а- и C-фаз в плоскости {рТ) (рис. 2).

Разрывы ударных адиабат и многозначность
21
р ^
*-Т
о
Рис. 2. Ударная адиабата ОК, достигающая границы MN
раздела а- и р-фаз.
Если часть вещества х при ударном сжатии перешла из а в Р, то
v = A - x)va + xvp (v — удельный объем), т. е. * = Оа - v) /(va - vp)
и е = A - x)sa + хг„ (е — внутренняя энергия).
Но 8 ц = 8а + р(уа - у„) + q, где q — теплота перехода. По формуле Клапей-
рона-Клаузиуса
где производная взята по границе фаз. Обозначив ее п, получаем
= 8
S =
- П).
На ударной волне е = 1 / 2р(у0 - v) (считаем pQ - 0, е0 = 0 ), т. е.
v0 - v),
откуда
P =
l/2(vo-v)-(l-«Xva-v)
В частности, при п = 1/2 имеем р = 2еа /(v0 -va) = const, т. е. участок ударной
адиабаты р(у) горизонтален. Верхняя часть кривой смещена вправо, так как в на-
нашем случае v& > va. Таким образом, при плавном увеличении р возможно увели-
увеличение v, причем для п = 1/2 — скачком. На рис. 1, а это показано пунктиром KQ\.
Ясно, что возможны и промежуточные случаи менее резкого излома, как показано
линией KQi'.
* Случай более сильного излома (п < 1/2), когда неоднозначно не только p(v), но и v(p), нуж-
нуждается в дополнительном изучении.

22	Е.И. Забабахин, В. А. Симоненко
О возможности изломов и даже скачков ударных адиабат надо помнить при
аппроксимации опытных данных плавными графиками или формулами.
При сильном изломе вправо может стать неоднозначной и зависимость р{и)
для ударного сжатия ( и — массовая скорость). Кривая р(и) идет из К влево, если
и уменьшается с ростом р (рис. 1, б). Из формулы и = Jp(vo ~ v) видно, что это
будет в случае, если р растет медленнее, чем l/(vQ - v), т. е. тогда, когда ударная
адиабата идет правее зеркального отражения КВ2 луча Михельсона (рис. 1, а). Слу-
Случай п = 1/2 показан на рис. 1, б пунктиром.
Таким образом, условия аномальности ударного сжатия весьма симметрич-
симметричны. Сжатие аномально, если ударная адиабата выходит за пределы угла, образован-
образованного лучом Михельсона и его зеркальным отражением, т. е. при | ф / dv| < | Ар I Av|.
При выходе влево волна раздваивается (случай Банкрофта), вправо — режим ста-
становится неоднозначным.
Рассмотрим, например, соударение пластин из вещества с аномальной
и обычной ударными адиабатами (кривые / и 2 на рис. 1, б). Точкам их пересече-
пересечения соответствуют состояния после удара со скоростью м0. В нашем случае их три,
т. е. задача о распаде разрыва имеет три решения, и возникает вопрос о том, какое
из них реализуется в опыте.
Физическая однозначность была бы восстановлена, если бы два из трех ре-
режимов оказались неустойчивыми и распадались, превращаясь в третий. Однако
каждый из них может быть вызван фиксированным давлением (например, дейст-
действием на поверхность материала легкого газа, давление которого не зависит от ско-
скорости и); в этом случае он является единственным и смениться другим стационар-
стационарным режимом не может. Нижний и верхний режимы, по-видимому, устойчивы
и к неодномерным возмущениям (искривлениям фронта), так как локальные зави-
зависимости р от v и и для них имеют обычный характер. Для среднего режима этот
характер необычен, и вопрос о его устойчивости открыт.
Таким образом, мы встречаемся с физической неоднозначностью: возможных
режимов остается несколько и отбор одного из них может определяться условиями,
обычно не играющими роли. Например, при столкновении пластин может сказы-
сказываться присутствие тонкой прокладки между ними, отличающейся по жесткости
и влияющей на характер установления давления (рост или уменьшение его в этом
процессе). Обычно такое влияние забывается, здесь же оно может сильно изменить
все явление.
В заключение заметим, что возможность описанных случаев еще не означает,
что они обязательно существуют; веществ с такими фазовыми переходами может
и не быть, однако экспериментальные поиски их интересны. Обследовать можно
разные вещества и разные их исходные состояния (/?0,v0).

Разрывы ударных адиабат и многозначность...	23
Литература
1.	D. Bancroft, E. Peterson, S. Minshall // J. Appl. Phys., 27, 291, 1956.
2.	Урлин В.Д., Иванов А.А. / ДАН СССР, 149, 1303, 1963.
Опубликовано в ЖЭТФ, т. 52, вып. 5, 1967

ЗАПОЛНЕНИЕ ПУЗЫРЬКОВ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Е.И. Забабахин
Рассматривается заполнение пустого сферического пузырька в жидко-
жидкости с учетом ее вязкости. Обнаружено существование двух различных типов
движения: пузырьки, начальный размер которых меньше критического, запол-
заполняются медленно за неограниченное время; заполнение больших пузырьков
происходит быстро с неограниченной кумуляцией энергии в стадии фокуси-
фокусировки. Для критического радиуса пузырька получена количественная формула.
Пусть в жидкости по каким-либо причинам возник пузырек, который в даль-
дальнейшем может вновь заполниться под действием окружающего давления. Задачу
о заполнении сферического пузырька в невязкой несжимаемой жидкости рассмот-
рассмотрел Рэлей, в частности, он получил, что направленная к центру скорость его поверхно-
поверхности в конце заполнения неограниченно растет как г~У1, т. е. происходит неограни-
неограниченная кумуляция энергии. Это явление считается возможной причиной быстрого
износа гребных винтов и турбин, работающих в условиях кавитации: заполнение
пузырьков на металлической поверхности может интенсивно ее разрушать.
Рассмотрим задачу Рэлея для вязкой жидкости. Такая постановка задачи
больше соответствует фактическим условиям, хотя и она не дает точного описания
явления, так как не учитывает сжимаемость жидкости, неизбежного наличия паров
ее в пузырьке и возможной неустойчивости его формы.
Пусть в жидкости с плотностью р, давлением р0 (вдали от пузырька) и вяз-
вязкостью г) возник сферический пузырек с радиусом а; давления внутри него нет,
начальная скорость отсутствует.
Движение пузырька будет сферически симметричным, описывающие его
уравнения Навье-Стокса имеют вид:
9м 2м . ди ди 1 dp n	...
— + — = 0, — + и — +	- = 0.	A)
дг г	dt дг p дг
Здесь u(r, f) — скорость, p{r, t) — давление.
Вязкость в уравнения A) не входит, так как в уравнениях в общем виде она
представлена слагаемым
r\ (grad div и - rot rot и),
которое в рассматриваемом случае тождественно равно нулю div и = 0, так как
жидкость несжимаема, rot и = 0 из-за сферической симметрии.
На свободной поверхности пузырька нормальное напряжение агг отсут-
отсутствует (граница с вакуумом), а так как, а = -р + 2г) dw / dr , то

Заполнение пузырьков в вязкой жидкости	25
*-*•(?),¦
т. е. вязкость вошла в граничное условие; здесь и в дальнейшем индексом 1 отме-
отмечены значения величин на границе. Вторым граничным условием будет
р = р0 при г = оо.
Из A) получаем
Подставляя это во второе уравнение A) и интегрируя от гх до оо с учетом
граничных условий для р, после несложных выкладок получаем
v=ii
dr, 2 rx prxux rx2	\ р
Здесь v — кинематическая вязкость. Введем безразмерные переменные
oc = — * = -.F4,
где R — число Рейнольдса; тогда уравнение B) примет вид
S+A.i+_L+J> о.	О)
da 2 a C,a a
Начальное условие имеем в виде C,(R) = 0 (т. е. щ(а) = 0). Как видим, рас-
рассматриваемая задача имеет семейство решений, зависящее от числа R, одно из них
с R = оо (v = 0) совпадает с решением Рэлея; для этого семейства вблизи фокуса
скорость растет по закону С, ~ a
Исследуем поведение скорости вблизи фокуса в случае отличной от нуля вяз-
вязкости. Для исследования величины С,~ уравнение C) представим в виде
da a
Точка (a = 0, ?"' = 0) для этого уравнения является сложной особой
точкой, показанной на рис. 1.

26
Е.И. Забабахин
Изоклины нулей и бесконечностей на рис. 1 нанесены жирными линиями
и отмечены значками 0 и со, интегральные кривые — тонкими линиями. Показанная
штрихпунктиром сепаратриса ОА есть единственная интегральная кривая, выходя-
выходящая из начала координат с конечным наклоном; наклон ее х определяется из D)
подстановкой туда решения И,'1 -ха вблизи а = 0 и составляет х = -1 / 8 . Изокли-
Изоклина нулей ОБ проходит ниже, наклон ее равен -3/8. Интегральные кривые выше ОА
входят в узел, где С, ~а~~ш, ниже ОА они образуют седло, причем
?,-»-!/4а или Mj-> -
4Л
при а -> 0. То и другое проверяется подстановкой в D) при а -> 0. Решению зада-
задачи соответствует та кривая, которая приходит в точку, соответствующую началь-
начальному условию, т. е. а = R, С, = О.
В
Рис. 1
Рис.2
При разных числах R, вообще говоря, решения могут принадлежать к разным
семействам: в случае принадлежности к узлу они соответствуют неограниченному
возрастанию скорости С,~а~3/2, в случае седла — замедляющемуся движению
пузырька с ? ~ а, в результате которого заполнение его достигается лишь за неог-
неограниченное время.
В промежуточном случае, соответствующем сепаратрисе ОА, заполнение
достигается за конечное время и скорость в окрестности фокуса растет по закону
С,~а~1. Соответствующее сепаратрисе число Рейнольдса является критическим,
оно разграничивает два существенно различных класса решения. Критическое зна-
значение числа /? = /?* можно определить, построив сепаратрису от а = 0 (вблизи этой

Заполнение пузырьков в вязкой жидкости	27
точки асимптотическое представление ее известно: С, = -\/ 8а) до С, = 0, где а = R.
Построение ее, выполненное при помощи численного интегрирования C), дает
Я. =8,4
При R < 8,4 заполнение пузырька происходит медленно за неограниченно
большое время; кумуляция энергии полностью устранена вязкостью.
При R > 8,4 скорость вблизи фокуса неограниченно растет, как в задаче Рэлея
без вязкости, т. е. как const r^ , но с меньшим значением |const|. В промежуточ-
промежуточном случае при /?» = 8,4 пузырек заполняется за конечное время, скорость фокуса
неограниченно растет, но слабее, как г~1.
Схемы всех трех случаев движения показаны на рис. 2. При заданных р0, р
и v можно говорить о критическом радиусе о* пузырька
При a<at кумуляция полностью устраняется вязкостью.
Скорость в конце заполнения маленьких пузырьков
1 4r|
не зависит от плотности и от их начального радиуса а. Практически критический
радиус а» весьма мал, т. е. вязкость устраняет кумуляцию в пузырьках только
очень малого размера, например, при р0 = 1 атм. =10 бар для воды (v = 0,01,
р = 1) а» = 0,8 микрона, для глицерина (v = 6,8, р = 0,8) а» = 0,5 мм.
Опубликовано в журнале ПММ, т. 24, вып. 6, 1960 г.

О ПРЕССЕ СВЕРХВЫСОКОГО ДАВЛЕНИЯ
Е. И. Забабахин, И. Е. Забабахин
В статье изложена попытка понять принцип действия пресса сверхвысо-
сверхвысокого давления, описанного в [1]. Действие его сводится к концентрическому
сдавливанию заостренных деталей, образующих при сжатии сплошной .шар
с высоким давлением в центре. В достижении эффекта большую роль играет
самоупрочнение деталей пресса при сжатии.
Принципиальная возможность удержать сколь угодно высокое давление
в материале конечной прочности известна давно. Возможность существования
сверхпрочного сосуда видна, например, из [2] и состоит в следующем. Пусть мате-
материал толстостенной сферы всюду напряжен до предела прочности, т. е. в каждой
точке его наибольшее сдвиговое напряжение х равно прочности. Оно действует
в плоскости, образующей угол 45° с радиусом, и при этом
(р-а)
A)
где/? и а — нормальные напряжения на сфере и радиальной плоскости.
Из условия равновесия элемента сосуда (полусферическая оболочка радиуса
г и толщины dr), заштрихованного на рис. 1, следует
litrdra =
p(r + dr) - nr2p(r),
откуда
dr
Рис. 1

О прессе сверхвысокого давления
29
Подставив сюда а из A), получаем
dp _ 4т
B)
откуда, при постоянном т, p(d) = 4т In &/a.
При a —> 0 давление расходится, но лишь логарифмически, т. е. слабо. Отме-
Отметим, что р -» оо означает и неограниченную плотность энергии в центре, т. е. прин-
принципиально новый пример неограниченной кумуляции, а именно кумуляции стати-
статической, не связанной ни с каким движением.
В действительности прочность не остается постоянной, а при сжатии обычно
растет, и поэтому расходимость давления в центре может быть более сильной. Так,
согласно [3], при давлении в 25 кбар прочность на сжатие для стали увеличивается
на 18 кбар (от 29 до 47 кбар), а по [4] для алюминия при р = 0,5Е (Е — модуль
Юнга) увеличивается примерно в 25 раз (несмотря на нагревание в ударной волне,
с которой делались опыты).
Ниже описана схема и расчет устройства пресса сверхвысокого давления.
Схема его подсказана рисунком в [1], аналогичный рисунок опубликован ранее
в [5], но теории кумуляции, т. е. принципа действия, нет.
Схема устройства и ее расчет
Устройство представляет собой шар из множества узких пирамид, запол-
заполняющих его не сплошь, а со средней плотностью в К раз меньшей (рис. 2, а).
При сдавливании такого пористого шара снаружи в его середине образуется сплошная
зона сжатия, а угол при вершине пирамиды увеличивается от а до Р (рис. 2, б).
Рис.2
Найдем распределение давления в зоне сжатия. Размеры элемента пирамиды
а, г, dr перейдут в р, q, dq (рис. 3), при этом на его основании будет действовать

30
Е.И. Забабахин, И.Е. Забабахин
давление р, а на боковые грани ст = р - 2т . Вычислим его размеры, мысленно
нагружая его сначала всесторонним давлением р, а затем уменьшая давление с бо-
боков на 2т. Получим
._ Г Оч-п ..\П
C)
где Е — модуль Юнга, ц — коэффициент Пуассона и 5 = р / р0 — относительная
плотность (она немного отличается от истинной 5, так как боковое давление мень-
меньше радиального).
Aq
Далее,
откуда
4 =
4тц| dr
D)
Ясно, что (Р / а) = К. Подставляя сюда р / а из C) и q из D), получим
5»/з [	Е
Заменяя т по B), получаем
51/3 [ 2Е dr
E)

О прессе сверхвысокого давления	31
Примем далее зависимость р от 5 в форме
123-1).	F)
Модуль Юнга Е = ос13 A - 2ц). Округляя ц до 1/3, получим Е = рс2.
С ростом давления увеличивается р, а также скорость звука с, причем в данном
случае F) с ~ р, т. е. модуль Юнга растет как р или, пренебрегая небольшим
отличием б от истинного сжатия, можно принять
G)
где Ео — для ненагруженного материала.
Подставляя F) и G) в E), получаем
_!_Г,^1.д(Г,+л.I
51/3 L 35 drj	}\ 35 (W51/3
Решением этого уравнения является степенное распределение плотности
5 = Air", где я должно удовлетворять уравнению, получаемому из (8),
(9)
откуда, при малой пористости,
««——'-.	A0)
При К = 1 (сплошной шар) получаем я = 0, т. е. концентрации давления
в центре нет, если же К > 1, то давление к центру нарастает и тем сильнее, чем
больше К, но величина К ограничена прочностью (см. ниже).
Определим величину А из условия, что на поверхности зоны сплошного сжа-
сжатия элементы соседних пирамид соприкоснулись, но еще не давят друг на друга,
т.е. o(R) = 0 или p(R) = 2т(Д). Подставляя сюда p(R) = l/3E0(A31 R3n -1) и x(R)
по B), получаем
А= R
Р(г) = ^-
3
1-3/2я'
1-3/2
Ъп
-I -1
(И)

32
Е.И. Забабахин, И.Е. Забабахин
4 1-3/2
При малой пористости эти формулы принимают вид:
1	Г В?
1-3/4 (tf-l)L
3(K-l)/2
A3)
A4)
При г —> 0 давление р и касательное напряжение неограниченно растут, и при
том тем сильнее, чем больше К. Найдем размеры зон высокого давления, считая,
что пресс не разрушается, т. е. что рост прочности опережает увеличение т. Вероят-
Вероятно, это может быть справедливо даже очень близко к центру, о чем говорит огром-
огромное давление B Мбар), достигнутое в японском прессе.
Из A3) и A4) получаем
о
A5)
Выберем К таким, чтобы на границе зоны сплошного сжатия материал нахо-
находился на пределе прочности, т. е. чтобы давление р было равно прочности на сжа-
сжатие a,: p(R) = а*.
Подставляя это равенство в A5) и учитывая, что x(R) = а* / 2, получим мак-
максимально допустимую пористость
JC-1= 4g* .	A6)
(? 3)
Подставляя A6) в A5), а также равенство р0 /a» =(S I КJ , где р0 — дав-
давление жидкости, окружающей пресс радиуса S (зазора между пирамидами от жид-
жидкости закрыты, т. е. в них давление р0 не действует), после преобразования
получаем
(логарифмическая форма здесь удобна, так как г IS меняется в очень широких
пределах).
Величина г IS зависит от четырех переменных — р0, EQ, а. и р. Одну из
них фиксируем, положив р0 = 10 кбар, т. е. считаем, что сосуд, охватывающий пресс,

О прессе сверхвысокого давления
33
выдерживает это давление. Зависимость от остальных параметров показана на
рис. 4, на которой кривые 1, 2, 3, относятся к значениям Ео = 1000, 2000, 5000 кбар,
р = 100 кбар — для рисунка аир= 1000 кбар — для рисунка б.
-1
-2
ИГ2
,	-~
1
ot, кбар
10
20
-2
50
-6
100 10
/
yy/
/ /
	.
G+, кбар
20
50
100
Рис.4
Из фигуры видно, что очень высокие давления достижимы, но объемы, где
они реализуются, малы A Мбар развивается при г IS = 2 • 10, т. е. в прессе с ра-
радиусом более 100 мм лишь при г = 0,02 мм). Поэтому удивляет давление 2 Мбар,
якобы достигнутое в японском прессе — оно развивается лишь при г IS = 10 7 или
г = 10~5 мм.
При фиксированном Ео выгодна большая прочность а,, что естественно, но
при той же прочности выгоден меньший модуль Ео (т. е. меньшая жесткость), что
заранее предвидеть было трудно.
Радиус зоны сжатия R ~ yjp^, при этом распределения давлений и других
величин по г подобны и отличаются лишь масштабом по г, т. е. все явление авто-
модельно.
По-видимому, реальное число пирамид может быть не очень большим: на
схеме в [1] их всего восемь, а в наружной части сферы даже шесть.
Отметим, что инородный образец в центре пресса изменит распределение
давления и оно будет нуждаться в новом расчете (которого в данной статье нет).
Без этого оно может быть указано только по порядку величины.
Таким образом, из материала конечной прочности можно сделать устройство,
развивающее и удерживающее в малом объеме большое, возможно, неограничен-
неограниченное давление. Оно может быть развито в системе согласованно сближающихся
пирамид, где давление в центре расходится по степенному закону и, вероятно,
не ограничивается прочностью. Вопрос о физических ограничениях расходимости
в центре пресса остается открытым.

34	Е.И. Забабахин, И.Е. Забабахин
Литература
1.	Kawai Naoto. Production of very high pressure // J. Japan High Pressure Inst., 1971,
vol. 9, № 3.
2.	Хилл Р. Математическая теория пластичности. —M.: Гостехиздат, 1956.
3.	Науки о земле. Справочник физических констант горных пород. —М.: Мир,
1969, с. 259.
4.	Новиков С.А., Синицына Л.М. О влиянии давления ударного сжатия на величи-
величину критических напряжений сдвига в металлах // ПМФТ, 1970, № 6.
5.	Современная техника высоких давлений. —М.: Мир, 1964, с. 200.
Опубликовано в журнале ПМТФ, № 3, 1974

УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ПОЛЯ И ИХ КУМУЛЯЦИЯ
Е.И. Забабахин, М.Н. Нечаев
Для случая электромагнитных волн, в которых ширина области перехода
от начального состояния к конечному мала, рассмотрена сходящаяся цилинд-
цилиндрическая волна. Установлено, что амплитуда такой волны по мере схождения
неограниченно растет, и обнаружено качественно новое явление кумуляции —
возникновение неограниченно сильных полей на фронте отраженной от оси
цилиндра волны на конечных расстояниях от этой оси. Это свойство не специ-
специфично для электромагнетизма, а связано с геометрией явления (цилиндр). Та-
Таким же свойством обладают и акустические волны, но в этом случае решение
справедливо лишь для слабых волн, в то время как для волн поля такого огра-
ограничения нет.
1. Образование волн и ширина их фронта
Пусть полупространство, заполненное идеальным проводником, граничит
(по плоскости х = 0) с вакуумом со стационарным магнитным полем Но . Пусть
далее из этого проводника выходит плоская ударная волна, и вся его поверхность
внезапно приобретает скорость и в сторону поля, тогда в поле пойдет электромаг-
электромагнитная ударная волна со скоростью с.
Так как поток поля между поверхностью идеального проводника и линией
х = оо постоянен, то для магнитного поля справедливо уравнение сохранения, ана-
аналогичное уравнению сохранения вещества,
HQc = Hl(c-u),
где Н, = Нл — поле за волной. Таким образом, Н, - —-— . Вместе с измене-
шу	(С _ и)
нием Яна волне изменяется и Е, причем для волны Н (х -ct), AEz = -АН (где А
обозначает скачок на фронте волны), т. е. за фронтом Е = -Нои I{с-и). С \, >
Отметим, что в системе координат, связанной с движущейся стенкой, элек-
электрическое поле отсутствует. В самом деле, при переходе от одной системы коорди-
координат к другой сохраняется сила Лоренца, т. е.
В системе координат, связанной с движущейся стенкой и отмеченной штри-
штрихом, и' = 0, откуда
Е'=Е+ -[uH] = -k—°— + -иН=Ъ.
с	с-и

36	Е.И. Забабахин, М.Н. Нечаев
Вычислим далее давление поля на движущуюся стенку. Давление магнитного
поля Но на стенку есть р0 = Н2 /8я, поэтому на движущуюся стенку действует
давление рх- Н' 18тг. При переходе от одной системы координат к другой со-
сохраняется величина Н2 - Е2, т. е. Я'2 - Е'2 = Н2 - Е2 или, так как Е' = 0,
(Н2-Е2)
Pl = 8, •
Оценим ширину фронта волны поля, вызванной ударной волной, выходящей
из проводника с неограниченной проводимостью. Эта ширина не равна нулю, так
как сам фронт ударной волны, движущейся со скоростью D» 10 см/сек, размыт
на ширину порядкгГшагд кристаллической решетки проводника (а «10' сц или на
время порядка т = — кЮ4 сек, что вызывает размытие волны в вакууме на ши-
рину порядка / « хс « 3-10" см, т. е. размытие фронта весьма мало. Фактически
величину размытия определяет другая причина — наличие конечного электриче-
электрического сопротивления у реальных проводников. Это размытие может оказаться на
несколько порядков сильнее; рассмотрим его подробнее.
Для оценки ширины волны в вакууме, вызванной выходом ударной волны из
проводника, рассмотрим сначала волну в проводнике и, зная характерное время ее
размытия, найдем ширину волны в вакууме.
Пусть по реальному проводнику, в котором имеется поле Но, движется
ударная волна, уплотняющая материал в 6 раз. Считаем далее, что за волной веще-
вещество везде сохраняет одинаковые скорость и плотность. Рассмотрим изменение
электромагнитного поля, сопровождающее эту волну.
В системе координат, в которой Е || г, Н ||у и j || z (j — плотность тока), урав-
уравнения Максвелла при е = 1, ц = 1 имеют вид:
1
с
dE
dt
dtf
" dx
4л .
с
1
с
dtf _
dt ~
dE .e,
dx' J
l Г иН
{ + с
—. (l.i)
J
Здесь X — проводимость, и — массовая скорость вещества (перед фронтом
ударной волны и = 0).
Для стационарной волны, распространяющейся со скоростью D, величины Н,
Еиу зависят только от q = x- Dt. Поэтому из A.1) получаем:
D оЕ dtf АпХ (_ иНЛ D dtf dE	„ пч
	=	\Ь Ч	,	=	.	A-2)
с Aq dq с \ с J	с dq dq

Ударные волны поля и их кумуляция
37
Отсюда
dq2
Решение этого уравнения напишем в виде:
4кЬД
(c2-D2)
Е =
Г
1 СХР1 С2-/J
при ? > О,
cL - DL
Второе уравнение A.2) при этом дает
A.3)
# =
с
Ъ
- м)
1
при ^ > О,
при q < 0.
A.4)
Здесь #j — поле на фронте ударной волны. Очевидно, что Я за фронтом не может
меняться скачком, так как это означало бы наличие на нем неограниченно плотного
тока, которого в системе с конечной А, быть не может.
Решения A.3), A.4) содержат пять констант, для определения которых
имеем следующие условия: в невозмущенной области H(q = +oo) = HQ>
E(q = +оо) = 0; вдали за фронтом E(q = -да) ф оо; на ударной волне Е непрерывно,
т.е. Е(+0) = Е(-0).
Последнее условие можно получить, рассматривая скрепленный с веществом
прямоугольный контур axb, стороны а которого параллельны фронту. Для такого
контура
+00	+00
If (hjdlj At = const I—dt = constЛФ,
—00	—00
где Ф — магнитный поток. Но ф j dl = jxa - j2a (ji — ток в левой стороне, j2 —
в правой стороне а контура; вдоль сторон Ъ тока нет), а в силу стационарности процесса

38
ЕМ. Забабахин, М.Н. Нечаев
те-
-
или, окончательно, Щ-со) = Н0Ь, т. е. вдали за фронтом магнитное поле уплотне-
уплотнено так же, как вещество.
Опуская несложные выкладки, приводим лишь окончательный результат:
при q > О,
при q < О,
при q > О,
при ^ < О,
при q > О,
при <7 < О, / =
Полный поток
+00
/=
с2-/J
4пс
Как видно из A.5), возмущение в магнитном поле опережает ударную волну
на эффективную длину / или на время х = / / D . При выходе на границу проводни-
проводника с вакуумом такая волна вызывает появление электромагнитной волны в вакууме
с тем же характерным временем размытия или с шириной фронта* Ъ = хс . Для обыч-
обычных проводников эта величина гораздо больше размытия, связанного с размытием
самой ударной волны; например, для меди (при комнатной температуре
Л, = 5,8 ¦ 1017 сек~1) Ъ = 14,8 см (принято D = 5 км/сек). Отметим, что ширина вол-
волны / в самой меди составляет 2,5ц.
* Здесь получена только ширина фронта волны в вакууме, соответствующая возмущению
поля перед ударной волной. Амплитуду этой части волны и весь ее профиль можно полу-
получить лишь из полного решения задачи о выходе волны из проводника.

Ударные волны поля и их кумуляция	39
Ширина фронта может быть сильно уменьшена за счет уменьшения сопро-
сопротивления проводника путем его охлаждения. Например, при охлаждении меди
до —253° С ее сопротивление уменьшается в 170 раз и, соответственно, размытие
волны в вакууме уменьшается до 14,8 см /170 = 0,9 мм.
Обратим внимание на то, что полная сила тока /, сопровождающего ударную
волну в проводнике, не зависит от проводимости, и за фронтом волны ток пол-
полностью отсутствует, т. е. величина проводимости за волной никакой роли не играет.
Таким образом, если удалось достигнуть малой ширины фронта за счет увеличения
проводимости охлаждением, то это не будет нарушено даже в том случае, если
высокая проводимость нарушается самой волной (например, за счет нагревания).
В следующих разделах мы рассмотрим сходящуюся цилиндрическую волну
поля, считая ее математически строгим разрывом.
2. Сходящаяся цилиндрическая волна поля
В принципе сходящаяся волна может быть получена за счет внезапного
включения кольцевого тока одновременно на всей поверхности цилиндра, отраже-
отражением плоской или расходящейся волны от вогнутого зеркала, а также за счет
движения цилиндрической проводящей поверхности в магнитном поле от оси
или к оси.
Уравнения Максвелла для случая цилиндрической симметрии (Н Ц^; Е —
циркулярное) имеют вид:
\ дЕ дН \ дН 1 д(гЕ)
B.1)
с dt дг ' с dt r дг
Исключая Н или Е из этих уравнений, получаем, соответственно,
1 ** ±[1.**>Ц	B.2)
с2 a/2 srL/- дг J
Д2	Я ¦ - 1 = °-	Bl3)
аг /• 9а*
Уравнение для Н есть просто волновое уравнение для цилиндрического
случая. Уравнение для Е — не волновое.
Рассмотрим далее закон изменения амплитуды цилиндрической волны
при ее движении к оси, причем сделаем это сначала на примере волны в цилин-
цилиндрической полости (радиуса Rn) идеального проводника. Схема движения про-
проводника и волны в этом случае показана на рис. 1.
Полный поток поля Я в полости сохраняется, т. е.
\
Ф = 2п I rH dr = const.
о

40
Е.И. Забабахин, М.Н. Нечаев
Рис. 1. Схема образования сходящейся цилиндрической ударной
волны поля (слева от жирной линии — вакуум).
Двукратное дифференцирование этого тождества по времени и подстановка B.3),
а также
dt
dR,
¦ = -с и
п _
= U
—радиус фронта) дает
dt
пкдг
dt
Вторая группа членов, относящихся к границе, равна нулю, в чем легко убе-
убедиться, переходя к рассмотрению поля не с резкой ударной волной, а со слегка
размытой. При этом первая группа членов обратится в нуль, а вторая, содержащая
лишь величины, относящиеся к границе, не изменится*. Следовательно, и первая
группа членов равна нулю, что приводит к равенству
,-1/2
r:
B.4)
Таким образом амплитуда сходящейся цилиндрической волны по мере
-1/2
приближения к оси неограниченно растет как R± . Этот результат получен нами
для частного случая волны в полости идеального проводника, однако он справед-
справедлив и для всякой цилиндрической ударной волны, так как волны, идущие
* Это рассуждение принадлежит Б.П. Мордвинову.

Ударные волны поля и их кумуляция
41
с поверхности цилиндра, не догоняют ударной волны; поэтому поведение ампли-
амплитуды фронта полностью определяется ее величиной (т. е. начальной амплитудой
в месте возникновения волны) и не зависит от дальнейших изменений поля на гра-
границе цилиндра.
На фронте цилиндрической волны (Е. - Ео) также изменяется по закону
Еф-Е0= const- R.
-1/2
B.5)
Формулы B.4) и B.5) не являются приближенными, справедливыми лишь для
больших или малых амплитуд; они описывают поведение поля с той же точностью,
с которой точны уравнения Максвелла.
Для полного описания поведения полей НиЕза. волной надо решить уравне-
уравнения B.2) и B.3).
В дальнейшем мы рассмотрим лишь частное решение задачи о сходящейся
волне, описывающее предельный закон поведения поля около оси вблизи момента
фокусировки, т. е. будем решать автомодельную задачу.
3. Автомодельное решение для сходящейся цилиндрической волны
Закон изменения амплитуды волны нам известен, поэтому можно сразу ска-
сказать, что автомодельное решение надо искать в виде
(z), C.1)
где z = ct I г; t — время, отсчитанное от момента
фокусировки (до фокусировки / < 0); ?0 и #0 —
амплитуды электрического и магнитного поля на
фронте волны в момент, когда она находится на
расстоянии rQ от оси. Для волны, идущей к оси,
= -?0. На фронте сходящейся волны т = -1,
т.е.
C.2)
Схема явления в плоскости (г, t) показана на рис. 2.
Подставляя C.1) в уравнения Максвелла B.2)
и B.3), получаем уравнения для новых искомых
функций
Рис.2
е"A-х2)-2хе' + — = 0,
4
А"A-т2)-2тЛ' -- = 0.
4
C.3)

42
Е.И. Забабахин, М.Н. Нечаев
Находя решение указанных уравнений в виде рядов по степеням A + т) при усло-
условии C.2) для -1 < х < 1 (между падающей и отраженной волнами), получаем
Bи + 1)!!Bи-3)П
п=1
23"(w!J
х)л,
л=0
п\
т)"
>3л
C.4)
C.5)
(при п = 1 принято Bя -1)!! = +1).
Эти ряды сходятся при х < 1 и расходятся при х > 1, т. е. в результате отраже-
отражения от оси возникла расходящаяся волна, амплитуда которой неограниченно велика
не только у оси цилиндра, но и на конечном расстоянии от нее.
Такая кумуляция является качественно новой. В рассмотренных до сих пор
случаях сходящихся волн неограниченные амплитуды возникали на малое время
в малой области пространства (в фокусе). В нашем же случае неограниченные ам-
амплитуды возникают во всех точках пространства, а не только на оси цилиндра.
Заметим, что во всем решении мы нигде не предполагали, что имеем дело
с волной сжатия, т. е. все полученные результаты относятся также и к волне разря-
разряжения, которая может быть образована, например, внезапным началом расширения
полости в проводнике. В этом случае напряженность поля на фронте
Н. = Но - АН будет убывать по мере роста амплитуды АН, на некотором расстоя-
расстоянии г напряженность #. обратится в нуль и затем устремится к -оо.
Ищем, далее, решение уравнений для е и h в области 1 < х < оо, т. е. за отра-
отраженной от оси волной. Находя решение в этой области в виде рядов по степеням
1/х при условии е = h - О, при т = оо (т. е. при условии Е(г = 0) = оо и Н(г = 0) з оо),
получаем
ао
л=0
24"и!(и
2"
.1/2
1 +
ZD»-l
24"(я!
И=1
и-1)П 1
Лп
C.6)
Эти ряды сходятся при х > 1 и расходятся при х < 1, т. е. вблизи отраженной волны
и за ее фронтом Е и Я неограниченно велики.
Для определения неизвестных пока а 0 и 60 может быть получено два усло-
условия: первое — из уравнения Максвелла, второе — из условия сохранения (e + h)
при переходе через фронт отраженной от оси волны (см. ниже). Рассмотрим каж-
каждое из условий в отдельности.

Ударные волны поля и их кумуляция
43
Подставив Е и Н в автомодельной форме C.1) во второе уравнение Максвел-
Максвелла B.1), получаем
dh de e n
— + т	= 0.
dx dx 2
de dh
Подставив сюда выражения для —, — и е за волной, получим
dx dx
bo=-4a0.
C.7)
Рассмотрим далее второе условие. На фронте расходящейся волны АЕ = АН,
т. е. Е2~ Н2= Е\- Нх - const. В нашем случае
=const,
т. е. е + h = const. Пользуясь C.4) и C.5), находим, что перед фронтом
Zj 22л(и!J
C.8)
Этот ряд сходится, т. е. инвариант ( е + h ) имеет на фронте конечное значение.
Пользуясь решением C.6) для области за фронтом, а также соотноше-
соотношением C.7), получаем за фронтом
е + И = -За,
Dи-1)И
л=1
C.9)
Сравнивая C.8) и C.9), получаем величину а0 в виде отношения двух рядов;
численное вычисление дает а0 = - 0,3536. По-видимому, имеет место точное
равенство
aQ=--yl2-, тогда &0= V2.
Исследуем подробнее характер расходимости е и h вблизи фронта отражен-
отраженной от оси волны. Введя в уравнение C.2) для е новые переменные z = x-l
и у = е I е', после преобразований получаем

44	ЕМ. Забабахин, М.Н. Нечаев
При | z | « 1 и \ у \ « 1 это уравнение упрощается и принимает вид
4у , у
— = 1 + —, откуда
dz	z
>> = z ( In z + const) =
и далее
C.10)
Эта формула описывает асимптотическое поведение вблизи фронта расходящейся
волны по обе стороны от него.
Определим коэффициент при логарифме в этой формуле. Выберем Ао и Ах
такими, чтобы разница между точным выражением ет C.6) и асимптотическим
еа C.10) обращалась в нуль при т = 1. Запишем ет и еа в виде рядов по степе-
степеням A + х):
ет =
л=1
л=1
Стоящий в последней формуле ряд должен сходиться при т = 1. Отсюда следует,
что
( яй
lim 1 + -2—- =0,
^ А )
так как в противном случае ряд расходится как 7 ~ ¦ Следовательно,
7 ~ ¦
,. .„	,. B« + 1
А.--1оп2 na = lim	¦
„_>«, « „_>„ 22л
„_>„ 22лп!(и-1)! я
(для вычисления предела удобно заменить факториалы по формуле Стирлинга).

Ударные волны поля и их кумуляция
45
Коэффициент при In | 1 - т | в асимптотическом выражении для е за фронтом,
найденный таким же путем, имеет вид: А2 - —
. Бели имеет место точное ра-
венство aQ = — V2, то А2 = А1 = —, т. е. коэффициент при In в асимптотическом
выражении для е по обе стороны от фронта одинаков. Очевидно, что коэффициент
в асимптотическом выражении для И отличается только знаком (e + h на фронте
конечно).
Вычислив таким же путем Ао и аналогичную величину для h, получаем
асимптотические формулы для е и h, которые, как оказывается, по обе стороны от
волн имеют одинаковый вид:
• = -ln 1-х +0,17,
= --1п |1-т| + 1,10.
C.11)
Вблизи оси цилиндра после фокусировки
3/2
let)
Отсюда видно, что электрическое поле
вблизи оси
ГГ/ „ s3/2	с \/2
F С I 0 [ г ] _ 0 0 г
0 V г \2ctJ	BсО3/2
т. е. на оси Е = 0. Магнитное поле
ct
*->-! 1п|1-х|+1,10
Н=Н
0
т. е. Н-Но на оси после фокусировки
убывает как t~
Основные количественные резуль-
результаты автомодельного решения показа-
показаны на рис. 3, где даны графики е(х)
и А(т), вычисленные по формулам, опи-
описывающим точное решение. На этом же
рисунке даны асимптотические форму-
формулы, описывающие поведение е и h Рис 3. Автомодельное решение для сходящейся
вблизи отраженной волны и у оси.
цилиндрической волны поля
(Я = #0 - const hlJr,E = const el -fr )¦

46	Е.И. Забабахин, М.Н. Нечаев
4. Дополнительные замечания
Область применимости автомодельного решения
Как видно из самого решения, оно применимо для волн любой амплитуды,
а не только для сильных волн, как это имеет место в газодинамике. Найденное ре-
решение точно описывает все явления в конечной области (г, t), если, например, по-
поверхность идеального проводника, окружающего цилиндрическую полость, дви-
движется по закону r(f), соответствующему полученному решению. Если же такая
поверхность, внезапно приведенная в движение, в дальнейшем движется по произ-
произвольному закону, то автомодельное решение во всей области (г, t) не справедливо
и в этом случае оно описывает лишь поведение поля около оси вблизи момента
фокусировки.
Отражение расходящейся волны от проводника
Нетрудно видеть, что радиус цилиндра rif), внутри которого полный поток Ф
сохраняется, для автомодельного решения для волны сжатия имеет вид кривой r(i),
показанной на рис. 2: ввиду неограниченно больших Н на расходящейся волне эта
кривая должна касаться линии r = ct, т. е. поверхность проводника должна уда-
удаляться от оси со скоростью света с (за фронтом скорость снова уменьшается).
Если перед г = ct проводник не поворачивает резко назад, а движется так,
как показано пунктиром, то в точке К от него отразится волна неограниченной ам-
амплитуды. Дальнейшее поведение такой волны при схождении нами не рассматри-
рассматривалось, однако оно может представлять интерес.
Цилиндрическая акустическая волна
Рассмотрим слабую сходящуюся цилиндрическую ударную волну, для кото-
которой и « с, где с — скорость звука. Решение этой задачи сводится к решению вол-
волнового уравнения для давления
1 д2р 1 8 ( дрл
с2 dt2 r'drVdr1 °"
Это уравнение для р в точности совпадает с уравнением B.5) для Н в задаче об
электромагнитной волне. Следовательно, совпадают и их автомодельные решения,
т. е. на фронте отраженной от оси волны давление неограниченно велико. Таким
образом, эта качественная особенность кумуляции не специфична для электромаг-
электромагнитной природы волн, а является особенностью сходящихся цилиндрических волн,
описываемых волновым уравнением.
Отметим, что для сферической акустической волны может быть получено
общее решение без предположения об автомодельности, что дает возможность на
этом примере проверить утверждения о том, что автомодельное решение описывает

Ударные волны поля и их кумуляция	47
предельный вид решения у центра вблизи фокусировки. Проверка показывает, что
автомодельное решение для сферы действительно совпадает с предельным видом
общего решения, причем в этом случае особенностей на отраженной от центра
волне нет. (Амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей волны
и противоположна ей по знаку; между волнами давление в каждой точке со-
сохраняется.)
В заключение приносим благодарность Б.П. Мордвинову, Д.Г. Ломинадзе,
А.Б. Говоркову, А.А. Бунатяну, обсуждение материалов данной статьи с которыми
было весьма полезным.
Опубликовано в ЖЭТФ, т. 33, вып. 2(8), 1957 г.

ПРИМЕР СТАЦИОНАРНОЙ
НЕОГРАНИЧЕННОЙ КУМУЛЯЦИИ
Е.И. Забабахин, Б.П. Мордвинов
Найден пример явления, в котором неограниченная кумуляция энергии
осуществляется стационарно — сходящаяся коническая ударная волна элек-
электромагнитного поля. Как и в цилиндрической сходящейся волне поля здесь
оказалось, что амплитуда отраженной от оси волны сохраняет неограничен-
неограниченную величину на конечном расстоянии от оси. Задачи о стационарной кониче-
конической и нестационарной цилиндрической волнах свелись к одним и тем же
уравнениям.
Известны примеры явлений, сопровождающихся кумуляцией энергии, т. е.
неограниченным увеличением ее плотности на единицу объема в точке
(сферическая кумуляция) или на линии (цилиндрическая кумуляция). Во всех этих
случаях движение существенно нестационарно.
Казалось бы, переход от цилиндрической сходящейся волны к конической
может привести к стационарной неограниченной кумуляции в вершине конуса,
однако этого не происходит по следующей физической причине: по мере прибли-
приближения волны к оси растет ее амплитуда, а следовательно, растет и ее скорость.
В результате на оси образуется участок волны нормальный к ней и движущийся
с конечной скоростью, т. е. несущий конечное давление. Эта невозможность кони-
конических течений доказана аналитически [1].
Рассматривая акустическую волну с постоянной скоростью, формально мож-
можно построить решение для сходящейся конической волны, дающей стационарную
неограниченную кумуляцию, однако оно будет противоречивым и физически бес-
бессмысленным, так как в нем вблизи оси частицы движутся быстрее проходящей
через них волны и пересекают ось, что несовместимо с предположенной в задаче
сплошностью.
Перечисленные выше затруднения не возникают при рассмотрении кониче-
конической ударной волны поля, скорость которой неизменна и равна скорости света.
В этом случае реализуется неограниченная кумуляция и притом стационарная.
Насколько нам известно, это есть первый пример явления такого рода. Рас-
Рассмотрим его подробнее.
Пусть внутри цилиндрической полости в идеальном проводнике есть магнит-
магнитное поле Но, параллельное оси. Пусть далее из проводника на поверхность полос-
полости выходит коническая ударная волна, в результате чего поверхность внезапно
приобретает скорость в сторону поля, причем место выхода ударной волны пере-
перемещается вдоль образующей со сверхсветовой скоростью D. Тогда к оси пойдет
коническая сходящаяся электромагнитная ударная волна сжатия. Схема явления
показана на рисунке.

Пример стационарной неограниченной кумуляции
49
Отличны от нуля компоненты поля Нх, Нг и Е . Имея в виду, что они зави-
зависят только от г и х + Dt получим уравнения Мак-
Максвелла в виде:
д_
дх г
дг дг
дх
дх
дх '
где M = D/c=l/sinQ.
Исключая Е , получаем
г дг\ дг
Нг и Нх связаны уравнениями:
2L =
= 0.
D
(М2-\)-
дН
дг г
dJL
дх
дх дг
Электрическое поле выражается через магнитное,
р дух/ .const
Полученные уравнения задачи, оказывается, полностью совпадают с уравне-
уравнениями, описывающими нестационарную цилиндрическую волну поля, рассмотрен-
рассмотренную в [2], с той только разницей, что роль H,Ent теперь играют
Нх, Нг4м2 -1 и х1с4м2 -1 .
Таким образом, стационарная задача для конической волны свелась к неста-
нестационарной для цилиндрической.
Нас интересует автомодельное решение, описывающее окрестность вершины
конуса. Автомодельное решение полученных уравнений было найдено и проанали-
проанализировано в [2]. Мы можем им воспользоваться, переписав его применительно
к обозначениям новой задачи. В результате получаем:

50	Е.И. Забабахин, Б.П. Мордвинов
Hx=Ho+HOxSRTrhx(T),
где НОг и НОх — радиальная и осевая компоненты амплитуды магнитного поля
на радиусе R.
Таким образом, амплитуда волны по мере приближения к оси неограниченно
растет как 1 / Vr и в вершине конуса действительно происходит неограниченная
кумуляция. НОг и НОх связаны соотношением
т. е. амплитуда магнитного поля на фронте волны параллельна образующей конуса.
Не выписывая громоздких формул для hr (т) и hx (т) , совпадающих с выра-
выражениями h{x) и е(х) в [2], напомним лишь их замечательное свойство: они расхо-
расходятся при т -> 1, т. е. на фронте отраженной волны.
Это значит, что для конической волны, как и для цилиндрической, на отра-
отраженной волне неограниченная амплитуда сохраняется и на конечном расстоянии от
оси. Раньше мы считали этот эффект специфичным только для цилиндрической
волны, для которой это интересное свойство подтвердил Зельдович [3], рассмот-
рассмотревший цилиндрическую акустическую волну как суперпозицию плоских волн.
Описанное решение относится к случаю идеальной симметрии и нулевой
ширины фронта. По-видимому, даже незначительное нарушение этих условий раз-
разрушает эффект неограниченной кумуляции.
Литература
1.	Курант Г., Фридрихе К. Сверхзвуковые течения и ударные волны // ИИЛ, 1950.
2.	Забабахин Е.И, Нечаев М.Н. // ЖЭТФ, 33, 442, 1957.
3.	Зельдович Я.Б. // ЖЭТФ, 33, 700, 1957.
Опубликовано в ЖЭТФ, т. 48, вып. 1, 1965

СХОДЯЩАЯСЯ УДАРНАЯ ВОЛНА
В ТЕПЛОПРОВОДНОМ ГАЗЕ
Е.И. Забабахт, В.А. Сгшоненко
Сходящаяся сферическая волна по мере приближения к центру неограни-
неограниченно усиливается, что установили Гудерлей [1], Л.Д. Ландау и К.П. Станюко-
Станюкович [2], указавшие автомодельное решение чисто газодинамической задачи
о фокусировке волны. Однако, в соответствующем физическом явлении мож-
можно ожидать значительного влияния теплопроводности, так как возникающая
высокая температура благоприятствует лучистому теплообмену.
Представляет интерес рассмотреть фокусировку волны с его учетом
и, в частности, выяснить остается ли кумуляция энергии неограниченной
и в этом случае.
Сделаем это для простоты лишь для достаточно сильной волны, в кото-
которой излучение всюду находится в равновесии с веществом и ширина зоны
прогрева велика по сравнению с пробегом излучения, в том числе в ранней
стадии, когда эта ширина еще мала по сравнению с радиусом волны.
Теплопроводность размывает фронт волны: перед скачком уплотнения
появляется зона прогрева и движения газа. Общие свойства этого явления
описаны, например, в книге Я.Б. Зельдовича и Ю.П. Райзера [3].
Вычислим ширину зоны прогрева сначала для плоской стационарной волны,
для чего выпишем уравнения сохранения для волны, идущей по холодному газу:
рм = р0Д p + pu2 =p0D\
Р\	РоЯ
3
р«Ьг+:—гт \+pu+Q =
Здесь Q — поток тепла, остальные обозначения — обычные (в принятой сис-
системе координат волна покоится).
Рассмотрим случай, когда лучистая энергия играет роль только в теплообме-
теплообмене, но плотность ее D / с) аТ4 еще мала по сравнению с р I (у -1), т. е. будем
пользоваться уравнением состояния идеального газа p = {RI\i)pT, пренебрегая
давлением излучения.
Для лучистой теплопроводности
3 ах\с
где с — скорость света, / — пробег излучения.

52
Е.И. Забабахин, В.А. Симоненко
Если он определяется комптоновским рассеянием, то
/-р или l=L— (L = const).
Таким образом, имеем четыре уравнения, при помощи которых и, р, р
и d77dx можно выразить через Т.
Опуская выкладки, приведем лишь результат для величин р и dT/dx:
1—1
Ро
1/2
4
(У + 1J
2(у-1) ydI
(y + 1J' R
A)
здесь 7^ — конечная температура за волной;
1
dx Bx3
2т / (у + 1) -1
2
В =
256 (у -1L L\jlAgD5
3 '(у + 1)8' pQR4
B)
В зоне прогрева х изменяется от 0 до 1, при этом р / р0 увеличивается от 1 до
значения 1/2 (у + 1) (что видно из A)) и, далее, скачком достигает конечного значе-
значения (у + 1)/(у - 1), (у < 3). Проинтегрировав B) по т от 0 до 1, найдем полную ши-
ширину S зоны прогрева перед скачком уплотнения
J =
+ ^1 - 8т(у - 1) /(у +1J jx3dx
2т / (у + 1) -1 + 1/21 + ^1 - 8т(у -1) / (у + \
При у = 1,4
J= 0,871, 5 = 1,73-10
_3
C)
Схемы пространственного распределения р и Т в зоне прогрева показа-
показаны на рис. 1.

Сходящаяся ударная волна в теплопроводном газе
53
Вернемся к сходящейся волне. Как видно из C), ширина зоны прогрева
быстро растет с увеличением D, т. е. по мере приближения волны к центру.
Рис. 1
Приход в центр фронта тепловой волны будет характерным моментом прекраще-
прекращения степенного роста температуры, а достигнутая к этому моменту температура
будет порядка максимальной температуры всего процесса.
В сходящейся волне D = A/ra (a = 0,395 для у = 1,4), где А характеризует
силу волны (скорость ее на единичном радиусе).
Характерный размер волны г0 определим, считая, что S порядка г0. Подстав-
Подставляя выражение для D в C) и полагая S ~ г0, получаем соотношение для rQ, откуда
находим
1
1+5а
го~
Определим максимальную температуру процесса. В ударной волне
Т ~ D IR, т. е. в сходящейся волне Т ~
2а -
Rr
Подставляя вместо г величину rQ, получим выражение для максимальной
температуры
Ттах^™8*

54
Е.И. Забабахин, В.А. Симоненко
В частности, для у = 1,4 (а = 0,395)
Здесь const — безразмерный коэффициент порядка единицы; он может быть
найден только путем полного решения задачи о фокусировке волны с теплопро-
теплопроводностью, что в принципе может быть сделано численно.
Таким образом, при наличии теплопроводности достигаемая температура
конечна, но за счет усиления волны (увеличения А) она может быть сделана сколь-
сколько угодно большой. В этом смысле ограничение температуры теплопроводностью
непринципиально.
Схема явления фокусировки волны в нашем случае показана на рис. 2.
В центр последовательно приходят тепловая и ударная волны. Каждая из них
вблизи центра описывается своим автомодельным решением (их не рассматри-
рассматриваем), а общего автомодельного решения для всего процесса нет.
Рассмотрим качественно поведение ударной
волны у центра.
В стадии ее фокусировки температура
постоянна, вблизи центра она не зависит ни от г,
ни от /, т. е. волна оказывается изотермической.
Амплитуда ее может стремиться к нулю, конечно-
конечному пределу или бесконечности (осцилляции ис-
исключаем). Покажем, что реализуется третья воз-
возможность.
Стремление к нулю исключено, так как из-
г вестно, что всякая слабая ударная волна перед
центром не ослабевает, а усиливается по закону
Рис.2
-1
Ар ~г~
Если бы амплитуда стремилась к конечному пределу, то такая волна вблизи
центра описывалась бы автомодельным решением с постоянной амплитудой. Под-
Подстановкой такого решения в уравнения движения можно убедиться, что оно им не
удовлетворяет. Остается лишь третья возможность, т. е. неограниченный рост
(каков закон этого роста — не установлено). Таким образом, теплопроводность
лишь видоизменила неограниченную кумуляцию, но не устранила ее: вместо ко-
конечной плотности и бесконечной температуры возникла конечная температура
и бесконечная плотность.
Авторы благодарны Ю.П. Райзеру за ценные замечания.

Сходящаяся ударная волна в теплопроводном газе	55
Литература
1.	G. Guderley. Starke kugelige und zylindrische Uerdichtungsstosse in der Nache des
Kygelmittelpunktes bzw der Zylinderachse Luftfahrforchung, 1942, v. 19, № 9.
2.	Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. —М.: Гостех-
издат, 1955.
3.	Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных
гидродинамических явлений. — Физматгиз, 1963.
Опубликовано в ПММ, т. 29, вып. 2, 1965

УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В СЛОИСТЫХ СИСТЕМАХ
Е.И. Забабахин
Обнаружено явление неограниченной кумуляции, не связанной с центро-
центростремительным движением газа, а вызванной специальной периодической
структурой вещества, по которому движется ударная волна. Движение такой
волны является периодическим автомодельным. Описаны некоторые свойства
этой автомодельности нового типа.
Введение
Неограниченная кумуляция энергии, как правило, связана с центростреми-
центростремительным движением, например в сферических сходящихся ударных волнах, при
схлопывании пузырьков в жидкости, а также в сходящихся ударных волнах поля.
Возникает естественный вопрос, является ли это геометрическое обстоятельство
(схождение к оси или в точку) обязательным условием неограниченной кумуляции.
Рассматривая его, удалось построить пример движения плоской ударной волны
с самопроизвольным неограниченным ростом давления на ее фронте, т. е. ответ на
вопрос оказался отрицательным*.
Имея в виду, что при сильном ударном сжатии любое вещество ведет себя
как идеальный газ (до сжатия холодный), мы будем рассматривать движение волны
именно в идеальных газах.
Пусть система состоит из чередующихся плоских слоев легкого и тяжелого
газов и она приводится в движение поршнем так, что в ней идет ударная волна,
фронт которой параллелен слоям. Пусть далее толщина каждого следующего тяже-
тяжелого слоя меньше, чем предыдущего, и то же для легких слоев. При движении вол-
волны в такой системе можно ожидать усиления волны на основании следующих ка-
качественных соображений.
Если плотность легких слоев очень мала, то при движении они сильно сжи-
сжимаются между соседними тяжелыми слоями, и все движение становится похожим
на ряд соударений тяжелых слоев через упругие прослойки. Если при этом сле-
следующий слой легче предыдущего, а потери энергии при соударении не очень вели-
велики, то он может отскочить с большей скоростью. То же повторится при следующем
ударе и т. д.
Установив определенное отношение толщин соседних тяжелых слоев (и то
же для легких слоев), получим слоистую систему, показанную на рис. 1. Относи-
Относительные толщины всех легких слоев одинаковы
* Заметим, что изученная ранее [1] особенность, возникающая при выходе ударной волны на
свободную границу атмосферы, кумуляцией не является. В этом случае неограниченно рас-
	„т., „„„„„„-г., nnnin, п тятАгатигм па U(»tt ТТЯПТИЧИИЯ -ЯСС. и ГГТТОТНОСТТ, ЭНвПГИИ Не KV-

Ударные волны в слоистых системах
57
То же для тяжелых слоев:
— = е = const.
xi
8Т = COnSt.
О
1
Ш1
Рис. 1. Автомодельная слоистая система (л — легкие слои,
т — тяжелые слои).
Край системы находится при х = О, число слоев до него бесконечно велико.
Волна движется справа налево. Реальная картина ее движения гораздо сложнее
того, что описано качественно, и поэтому вопрос о ее неограниченном усилении
еще неясен и должен быть исследован дополнительно.
Наша система обладает самоподобием: при подобном изменении ее размеров
в A - ел )A - ет ) раз новая система совпадает с исходной.
Ясно, что аналогичные системы можно строить не только из пар слоев, но
и из троек, четверок и т. д., а также из непрерывных повторяющихся профилей
плотности, например, вида
р = А + Bsinlnx
или более общего вида
При непрерывном увеличении такой системы и соответствующем изменении
масштаба ее плотности распределение р(х) в ней периодически будет повторять
исходное.
Качественная картина движения
Рассмотрим сначала наиболее простую картину плоской волны в периодиче-
периодической слоистой системе с постоянными абсолютными толщинами легких и тяжелых
слоев. Если поршень, вызвавший движение, достаточно долго движется с неизменной
скоростью, то на ушедшей вперед волне установится периодическое изменение давления.

58
ЕМ. Забабахин
UUW
Рис. 2. Установившееся движение
ударной волны в простой слоистой
системе; р — давление на фронте
первой волны.
Характер установившегося движения изобра-
изображен на рис. 2 (на нем показана только первая
волна). Давление на фронте р меняется скач-
скачками при переходе из слоя в слой, а также
в местах, где вторичные волны — результаты
отражений от границ слоев — догоняют пер-
первый фронт.
В автомодельной системе, имеющей пре-
предел, т. е. типа показанной на рис. 1, периодич-
периодичность давления на фронте может сопровож-
сопровождаться его общим увеличением в постоянное
число раз на каждой паре слоев. Поэтому для
соответствующих значений х, например на
правых поверхностях тяжелых слоев, давление
на фронте будет следовать формуле
a
'-?¦
Для других значений х (например, середин лег-
легких слоев) закон будет тем же, но величина a —
другой. Характер движения в такой системе показан на рис. 3.
Рис. 3. Движение волны в автомодельной слоистой системе.
Очевидно, зависимость давления от х для рассмотренного автомодельного
движения удобно строить в логарифмических координатах, где периодическая сис-
система с размельчающимися слоями будет иметь постоянный шаг, а зависимость In p
от In х изобразится периодической ломанной линией типа показанной на рис. 4.
Описанные автомодельные движения существенно сложнее рассматривав-
рассматривавшихся ранее случаев движения волны в однородной среде. Там решение сводилось

Ударные волны в слоистых системах
59
к нахождению профилей давления, плотности и скорости (распределени их по х
в один момент времени. Распределения во все другие моменты были подобными
и получались путем масштабных преобразований. Таким образом, задача сводилась
к одной независимой переменной, т. е. к обыкновенным дифференциальным урав-
уравнениям. В нашем же случае для описания всего решения необходим не один про-
профиль p(jc) (а также р(х) и скорости и(х)), а все профили для целого периода, т. е.
необходимо знать р, как функцию двух переменных на целом куске плоскости
(х, f), например, отмеченном на рис. 3 горизонтальной штриховкой. Поэтому новые
задачи не сводятся к одному аргументу и к обыкновенным дифференциальным
уравнениям, и неизбежно решение уравнений в частных производных.
\пх
Рис. 4. Давление на фронте периодической автомодельной волны.
Способом решения может быть численный расчет движения волны через
достаточно большое число слоев, в процессе которого вырабатывается автомо-
дельность. Признаком ее будет появление повторяющихся профилей в зависимости
In p от In х. Дальнейшее движение волны рассчитывать нет надобности, оно может
быть построено из уже полученных профилей р,рчис помощью найденного пока-
показателя и и благодаря факту автомодельности (в нашем случае — периодической).
Заметим, что, в принципе, не исключено появление решения с периодом,
соответствующим не одному периоду системы, а двум, трем и т. д. Некоторые из
них могут быть неустойчивыми, т. е. могут разрушаться из-за малых возмущений,
не нарушающих даже симметрии движения (плоскостности волны).
Результат численного расчета одной конкретной системы приведен в сле-
следующем разделе. Основной целью расчета было определение показателя кумуля-
кумуляции п в законе р~х~" или Е~х~", где Е — объемная плотность энергии на
фронте волны. В нашем случае Е =
•, где у — показатель адиабаты газа.
Р(У - О
В системе, состоящей из чередующихся слоев, в соответствующих точках р одина-
одинаковы, т. е. Е up на фронте растут по одинаковому степенному закону.

60	Е.И. Забабахин
Нетрудно установить верхний предел для возможных значений п. Если бы энер-
энергия от слоя к слою передавалась целиком (не оставалась в слоях ни в виде кинетиче-
кинетической энергии, ни в виде тепла), то плотность ее была бы обратно пропорциональна
толщине слоя или расстоянию от края х, т. е. было бы Е ~ х~х. Таким образом, верх-
верхним пределом для степени кумуляции плоской волны является п = 1. Для плоской
волны в однородном газе кумуляции нет вообще, т. е. п = 0.
Результат численного расчета
Исходя из качественных представлений о характере движения, следовало
ожидать, что кумуляции будет способствовать большое различие в плотностях тя-
тяжелых и легких слоев, поэтому расчет был сделан для системы с весьма большим
отношением плотностей, равным 25. Относительные толщины слоев были выбраны
8Т = 0,1 , 8Л = 0,2. Численный расчет движения плоской волны показал, что по ме-
мере приближения к краю она усиливается, т. е. действительно имеет место неогра-
неограниченная кумуляция, при этом показатель ее п = 0,23. Это первый пример неог-
неограниченного роста давления, происходящего при одномерном движении, т. е. без
симметричного схождения волны к центру или к оси.
Показатель п определен по наклону ломаной, выражающей зависимость In p
от In х, построенной по результату расчета. Этот наклон невелик (кумуляция сла-
слабая), но значительно превосходит некоторые нерегулярности, связанные с погреш-
погрешностями расчета и отличием достигнутого режима от асимптотического.
Два возможных режима движения
Факт усиления волны в системе с периодической структурой мы доказали
только для идеальных газов (до сжатия холодных) или для достаточно сильной
волны в реальных конденсированных веществах, которые в сильной волне ведут
себя как идеальные газы. Легко видеть, что при слабой начальной волне режим
может быть и другим. В самом деле, если система состоит из слоев, имеющих ко-
конечную скорость звука, т. е. могущих проводить слабые ударные волны
(акустические), то первая волна в такой системе, если она слабая, будет и дальше
ослабевать в конечное число раз на каждой паре слоев. Вторичные фронты, дви-
движущиеся на этот раз с той же скоростью (скоростью звука), догонять ее не будут,
т. е. первая волна будет неограниченно затухать.
Таким образом для слоистой системы, составленной из конденсированных
веществ, существует критическая сила начальной волны. Если волна слабее крити-
критической, то она неограниченно затухает, если сильнее — неограниченно усили-
усиливается. Наличие критической силы начальной волны существенно отличает слои-
слоистые системы от однородных, в которых любая сколь угодно слабая сходящаяся
волна в конце концов выходит на режим неограниченного усиления.

Ударные волны в слоистых системах	61
В заключение хочу поблагодарить Л.А. Бунатян, А.А. Бунатяна, К.К. Круп-
никова и В.Ф. Куропатенко, весьма содействовавших выполнению настоящей
работы.
Литература
1. Гандельман Г.М., Франк-Каменецкий Д.А. / ДАН СССР, 107, 811, 1956.
Опубликовано в ЖЭТФ, т. 49, вып. 2(8), 1965

КУМУЛЯЦИЯ ЭНЕРГИИ И ЕЕ ГРАНИЦЫ
Е.И. Забабахш
Введение
Известно много явлений кумуляции, в которых объемная плотность энергии
самопроизвольно растет, и притом так, что достигает значений сколь угодно боль-
больших. К ним относятся заполнение пузырьков в жидкости, сходящиеся ударные
волны (например, сферические), а также электромагнитные ударные волны
(цилиндрические и конические). Эти явления вызывают понятный интерес физиков
и естественное стремление найти причины, в конце концов ограничивающие рост
плотности энергии в них.
Полного ответа на этот вопрос сейчас нет, несмотря на то, что для каждого из
этих явлений можно написать точные уравнения и в принципе как угодно точно
их решить.
Это создает почву для появления гипотез.
Ниже сделан обзор некоторых случаев неограниченной кумуляции и показа-
показано, что явления диссипации (вязкость, теплопроводность) иногда не приводят к ее
ограничению. Анализ же устойчивости, если его удается провести до конца, каж-
каждый раз указывает на ограничение кумуляции из-за ее неустойчивости.
На этом основании высказана гипотеза о том, что всякая неограниченная
кумуляция обязательно неустойчива, и притом так, что в результате неустойчиво-
неустойчивости она не просто видоизменяется, но и прекращается вообще (становится ограни-
ограниченной).
Обзор явлений кумуляции
Заполнение пузырьков в жидкости
Заполнение сферических пузырьков в несжимаемой жидкости или схлопыва-
ние их есть, видимо, первый изученный случай неограниченной кумуляции. Его
рассмотрел Рэлей в 1917 году [1].
В этом явлении в стадии фокусировки вблизи центра неограниченно растет
центростремительная скорость поверхности пузырька, а также давление вблизи ее.
Из-за большого давления реальная жидкость будет заметно сжиматься, что
изменит характер движения и, возможно, уменьшит ускорение к центру.
Учет сжимаемости, выполненный для степенного уравнения состояния вида
р = const ¦ pY , для всех у > 1 качественно результата не изменил [2, 3].
В фокусе по-прежнему обращаются в бесконечность давление жидкости, ее
скорость, а также и плотность, хотя порядок бесконечности понижается: если
в несжимаемой жидкости скорость поверхности пузырька растет как г~3/2, то

Кумуляция энергии и ее границы	63
в случае у = 3 — лишь как г~ ' *. Температура всюду остается конечной. Таким
образом, кумуляция происходит и в сжимаемой жидкости и остается неограничен-
неограниченной. Вблизи центра жидкость испытывает сильные и быстрые сдвиговые деформа-
деформации, что могло бы привести к сильной диссипации энергии из-за вязкости.
Вязкость удалось точно учесть в задаче о несжимаемой жидкости [4], но
и это не изменило результата: если начальный радиус пузырька достаточно велик
(точнее, если R > 8,4^/р/р ), то кумуляция происходит и в вязкой жидкости, при-
причем не понижается даже порядок бесконечности, а роль вязкости сводится лишь
к некоторому уменьшению эффективной энергии движения. Лишь пузырьки, раз-
размеры которых меньше критических, захлопываются медленно, причем движение
их перед фокусировкой полностью "забывает" начальный размер, и независимо от
него скорость в этом случае меняется по закону
и- —— г .
4vp
Таким образом, ни сжимаемость, ни вязкость, в отдельности, кумуляции в пузырь-
пузырьках не устраняют, по крайней мере в некоторых случаях.
Безусловный предел кумуляции устанавливает атомизм, так как там, где
размер пузырька сравним с атомом, жидкость становится непохожей на сплошную
среду и кумуляция прекращается. Однако этот предел очень далек и вообще
непринципиален. Например, для сантиметрового пузырька в воде это не мешает
формально получить скорость порядка 109 см/сек, но и этот далекий предел может
быть отодвинут увеличением начального размера пузырька или давления жидкости.
Сходящиеся ударные волны
Сходящиеся сферические и цилиндрические волны при фокусировке тоже
сопровождаются неограниченной кумуляцией. Это аналитически показали для
волны в идеальном газе Ландау и Станюкович [5] для у = 3 и Гудерлей [6]
дляу= 1,4.
В этих случаях плотность вещества всюду ограничена, но бесконечно велики
скорость, давление и температура: Т~г~' приу=3 и Т~г~' при у =1,4.
Температурные градиенты вблизи центра неограниченно велики, и это могло
бы привести к сильной диссипации энергии из-за теплопроводности. Из-за нее
фронт волны размывается и достигаемая в центре температура действительно де-
делается конечной. Этот вопрос рассмотрен в статье [7].
В стадии схождения в этом случае впереди идет фронт тепловой волны, но
при у < 3 за ним движется вторая волна — изотермический скачок плотности,
представляющий собой сходящуюся ударную волну с неограниченно растущей
* Здесь и далее дробные показатели степени найдены из точного решения, описывающего
окрестность центра вблизи момента фокусировки.

64	ЕМ. Забабахин
амплитудой. Таким образом, теплопроводность устранила лишь бесконечную тем-
температуру, но возникла бесконечная плотность, т. е. осталась бесконечная плотность
энергии. Таким образом, кумуляция видоизменилась, но не исчезла.
Ограничение достигаемой температуры теплопроводностью, как и атомиз-
атомизмом, непринципиально: максимальная величина ее определяется масштабом явле-
явления (размером волны при единичной амплитуде), и за счет увеличения его она мо-
может быть сделана как угодно большой.
Сходящиеся электромагнитные ударные волны
Электромагнитная волна может иметь скачкообразный фронт, т. е. быть вол-
волной ударной. Она может возникнуть при выходе обычной ударной волны из про-
проводника на границу его и параллельного ему магнитного поля. Понятие о таких
волнах и некоторые случаи их кумуляции, обнаружившие качественно новые осо-
особенности, рассмотрены в статьях [8, 9].
Цилиндрическая волна. Пусть в цилиндрической полости в проводнике
имеется продольное магнитное поле. Пусть, далее, по веществу проводника идет
сходящаяся цилиндрическая ударная волна, одновременно выходящая на поверх-
поверхность полости. Это вызовет появление в полости сходящейся ударной электромаг-
электромагнитной волны, фронт которой может быть довольно резким. Как показано в работе
[8], ширина фронта в вакууме при выходе из меди составит ~ 10 см, а из меди,
охлажденной до 20° К, — 0,1 см (играет роль улучшение проводимости при ох-
охлаждении).
Фронт сходящейся волны несет увеличение продольного магнитного поля
и появление кольцевого электрического поля.
Если фронт резкий, то по мере приближения его к оси поля на нем растут как
г'2, т. е. неограниченно увеличиваются.
Обнаружилась интересная дополнительная особенность: амплитуда отражен-
отраженной от оси волны оказалась бесконечной не только в месте отражения, но и на ко-
конечном расстоянии от оси, т. е. бесконечно сильная волна поля, возникнув на оси,
далее пробегает все точки конечного объема.
Это свойство было обнаружено при рассмотрении автомодельного решения
уравнений для волны вблизи оси [8]: ряд, описывающий поле вблизи отраженной
волны, по мере приближения к ней с любой стороны логарифмически расходится.
Я.Б. Зельдович [10] получил этот же результат другим методом, рассматривая
цилиндрическую волну, как суперпозицию плоских.
Таким же свойством обладают слабые ударные цилиндрические волны
(акустические волны), т. е. оно связано не с физической природой ударной волны,
а с ее геометрической формой. (Ясно, что уравнения акустики, описывающие лишь
слабые волны, годятся лишь там, где вызываемые волной изменения плотности
малы.)

Кумуляция энергии и ее границы	65
Коническая волна. Понятие электромагнитной ударной волны позволило по-
построить любопытный пример стационарной кумуляции, кажется, первый в своем
роде, описанный в работе [9].
Сходящаяся коническая волна в веществе неограниченной кумуляции не дает,
так как вершина конуса неизбежно притупляется из-за усиления волны и ее уско-
ускорения вблизи оси. (Это положение известно как теорема о невозможности некото-
некоторых конических течений.) Поэтому построить пример стационарной кумуляции для
обычных ударных волн не удавалось.
Для ударной волны поля, скорость которой постоянна (и равна скорости све-
света), этой помехи нет, и она может быть сходящейся конической вплоть до вершины
конуса, в которой и происходит неограниченная кумуляция, и притом стационар-
стационарная. Поля на фронте вблизи оси и здесь растут как г~ ' . Как и для цилиндрической
волны, амплитуда отраженной от оси волны оказалась неограниченной не только
на оси, но и на всем ее фронте.
Степень кумуляции ударных волн поля не встречает физических ограничений
до тех пор, пока правильны уравнения Максвелла.
Из-за постоянства скорости всех волн поля нерезкий фронт сохраняет свою
нерезкость и, в отличие от волны в веществе, скачок в нем сам не вырабатывается
Нерезкость фронта, связанная с неидеальностью проводника, "толкнувшего" поле
и породившего волну, сохраняется при схождении волны к оси и, конечно, ограни-
ограничивает ее кумуляцию. Однако это ограничение также не абсолютно и оно может
быть преодолено увеличением масштаба явления.
О неустойчивости кумуляции
Причиной ограничения кумуляции может быть ее неустойчивость, т. е. нару-
нарушение симметрии явления.
Изучая поведение малых возмущений, можно узнать, устойчив ли основной
режим кумуляции, но во что он переходит в случае неустойчивости, остается неиз-
неизвестным. Кумуляция может быть нарушена вообще (исчезнет неограниченная
плотность энергии) или лишь видоизменена. Например, схлопывающийся пузырек
может деформироваться и превратиться в тор, который, схлопываясь, в свою оче-
очередь мог бы продолжить кумуляцию, но в другом виде.
Таким образом, существуют два различных вопроса: устойчив ли основной
процесс и во что он переходит в случае неустойчивости, и сохраняется ли факт
неограниченной кумуляции вообще?
Второй вопрос особенно интересен; но анализом малых возмущений он
не решается. Желая уделить основное внимание именно ему, далее будем рассмат-
рассматривать лишь те случаи, в которых можно проследить поведение не только малых,
не fci больших возмущений. Поведение возмущений во всьх. стадиях ifpouecca куму-
кумуляции удается проследить, и притом точно, в одном частном случае, оказавшемся
весьма поучительным

66	Е.И. Забабахин
Пусть тонкая цилиндрическая оболочка из идеальной жидкости движется
к оси, медленно вращаясь. По мере схождения оболочка утолщается, вращение
внутренних слоев усиливается, и из-за центробежной силы оболочка не доходит до
оси, и снова начинается ее разлет. Неограниченной кумуляции в этом случае нет.
Дополнительная степень свободы (вращение), будучи возбуждена сколь
угодно слабо, постепенно отнимает все большую энергию от основного движения,
пока не захватит ее всю. При разлете энергия вновь постепенно переходит к ра-
радиальному движению.
Из условия сохранения момента количества движения получается, что ок-
окружная скорость пропорциональна г~ . Нетрудно видеть, что в момент остановки
радиального движения энергия единицы длины цилиндра
E = npv2r2 In —,
г
где г и R — внутренний и наружный радиусы цилиндра, v — окружная скорость
внутренней границы, т. е. максимальная скорость, достигаемая во всем процессе.
Простое вычисление показывает, что момент количества движения
Q = mrv,
где т — масса цилиндра (то и другое на единицу длины).
Из этих равенств получаем
т2Е
mR
т. е. при любом конечном Q величина скорости не бесконечно велика, а ограничена.
В этом примере малое возмущение Q устраняет неограниченную кумуляцию,
но чем это возмущение меньше, тем достигаемая плотность энергии больше.
Этот результат естественно и полно объясняет ограничение кумуляции в рас-
рассмотренном случае.
Может возникнуть вопрос о том, не восстановится ли кумуляция в том слу-
случае, если ввести вязкость, которая затормозит вращение внутренних слоев отно-
относительно внешних и уменьшит центробежную силу. Однако, как оказывается,
вязкость здесь устраняет кумуляцию сама по себе даже без вращения; вязкая
цилиндрическая оболочка останавливается, не достигая оси. Таким образом, вос-
восстановления кумуляции из-за вязкости в этом случае не произошло. Впрочем, зату-
затухание некоторых "опасных" возмущений из-за диссипации в других случаях, ко-
конечно, не исключено.
Другой пример полного разрушения кумуляции из-за малых возмущений
дают ударные волны поля. Появление особенности в центре сходящейся цилинд-
цилиндрической волны поля связано с одновременностью прихода туда фронта со всех

Кумуляция энергии и ее границы	67
сторон, что становится особенно ясным, если воспользоваться представлением
Зельдовича [10] о цилиндрической волне, как сумме большого числа плоских волн.
Если же фронт не вполне цилиндричен (точнее, его поверхность нигде строго
не совпадает с цилиндром), из-за постоянства его скорости одновременность при-
прихода в центр нарушится и особенность исчезнет, т. е. кумуляция будет разрушена.
Это, конечно, относится и к конической сходящейся волне. Как и в случае
вращающейся оболочки, достигаемая в центре плотность энергии тем больше, чем
меньше начальные возмущения.
Гипотеза о неустойчивости кумуляции
Представляется естественным ожидать, что кумуляция ограничена еще чем-
то, кроме атомизма. Как показали примеры, диссипация этих ограничений не дает,
по крайней мере в некоторых случаях.
С другой стороны, некоторые возмущения основного движения приводят
к нарушению кумуляции, что удалось до конца проследить в двух случаях. На этом
основании можно высказать следующую гипотезу: всякая неограниченная кумуля-
кумуляция неустойчива. Попытки доказать это пока не удались. Интересен был бы опро-
опровергающий пример, но и он пока не найден.
Заметим, что предполагаемое доказательство должно быть весьма общим,
не связанным с конкретным видом уравнений процесса, так как в разных слу-
случаях эти уравнения разные (уравнения газодинамики для разных процессов и раз-
разных уравнений состояния и уравнения электродинамики для волн разных кон-
конфигураций).
Частным случаем кумуляции является коллапс вселенной, возможность кото-
которого, казалось, следовала из уравнений.
Этот вопрос изучили Е.М. Лифшиц и И.М. Халатников [11]; они показали,
что коллапс мог быть лишь в случае симметричного исходного состояния, наличие
же несимметрии возможность его устраняет.
Высказанная гипотеза похожа на эту теорему (является ее обобщением),
и это увеличивает ее правдоподобие.
Гипотеза может иметь отношение к некоторым явлениям в звездах. Быстрое
и очень сильное сжатие звезды или ее внутренней части, видимо, может произойти
лишь в случае, когда исходное состояние ее достаточно симметрично, в частности,
если почти нет вращения.
Если это так, то эволюция звезды и возможные катаклизмы не определяются
однозначно такими параметрами, как ее масса, размер и т. д., а могут зависеть от
того, насколько эта звезда симметрична, в частности, как быстро она вращается.
В технике ограничение кумуляции может представлять интерес при изучении
пинч-эффекта в импульсных разрядах в газах.

68	Е.И. Забабахин
Заключение
Явление кумуляции встречается в природе и в технике. Естественно ожи-
ожидать, что она чем-то ограничена. В ряде случаев физических ограничений указать
не удалось, в других случаях показано, что кумуляция полностью нарушается неус-
неустойчивостью. Это и дало основание для гипотезы о том, что всякий процесс куму-
кумуляции неустойчив и что неустойчивость не только меняет основное явление неогра-
неограниченной кумуляции, но и нарушает ее вообще.
Эту гипотезу интересно было бы либо доказать, либо опровергнуть каким-
нибудь примером.
Литература
1.	Rayleigh // Phil. Mag. 34, 94 A917).
2.	Брушлинский К.В, Каждая ЯМ. // УМН 18 [2A10)], 3 A963).
3.	С. Hunter // J. Fluid Mech. 8, 241 A960).
4.	Забабахин Е.И. Прикладная математика и механика 24, 1129 A960).
5.	Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды —М.: Гостех-
издат, 1955.
6.	G. Guderley, Luftfahrforsch.19, 302 A942).
7.	Забабахин Е.И., Симоненко В.А. // Прикладная математика и механика A965).
8 Забабахин Е.И, Нечаев М.Н. // ЖЭТФ 33, 442 A957).
9. Забабахин Е.И., Мордвинов Б.П. // ЖЭТФ 48, 342 A965).
Ю.Зельдович Я.Б. // ЖЭТФ 33, 700 A957).
11 Лифшиц ЕМ., Халатников И.М. // УФН 80 C), 391 A963).
Опубликовано в журнале УФН, т. 85, вып. 4, 1965

ЯВЛЕНИЯ НЕОГРАНИЧЕННОЙ КУМУЛЯЦИИ
Е.И. Забабахин
1. Введение
Явления неограниченной кумуляции, т. е. процессы, в которых в каком-то виде
происходит концентрация энергии, и притом неограниченно сильно, представляют
очевидный интерес для физиков. Неограниченная кумуляция свойственна, как пра-
правило, лишь непрерывным средам и в решениях соответствующих задач возникает
иногда как следствие идеализации при их постановке (например, предположения
о несжимаемости жидкости). Но есть много случаев, ъ которых это не так, т. е. ку-
кумуляция сохраняется и при максимально полном учете всех физических свойств
(сжимаемости, теплопроводности т. д.). Вопрос о том, чем же она ограничивается,
в конце концов, в этих случаях ясен не вполне.
Изучение кумуляции представляет интерес как теоретический, так и практи-
практический. Теоретически интересны нахождение наиболее сильной кумуляции и изу-
изучение вопроса о ее ограничении. Логика такой задачи неизбежно выводит за рамки
исходной ее постановки, т. е. приводит к изучению явлений, находящихся на сты-
стыках науки и представляющих интерес уже по одной этой причине. Прикладной
интерес связан с возможностью реализации экстремальных состояний вещества
и электромагнитного поля (достижение высоких давлений, температур, напряжен-
ностей полей).
Изученные явления неограниченной кумуляции весьма разнообразны.
В большинстве случаев она связана со сходящимся симметричным движением
к точке или к оси и является импульсной, т. е. приводит к расходимости плотности
энергии лишь в один момент и в одной точке (например, в фокусе сферической
сходящейся ударной волны) или на линии. Позже был найден пример стационар-
стационарной кумуляции, в котором расходимость существует не в один момент, а все время,
но фокус при этом перемещается в пространстве (сходящаяся коническая ударная
электромагнитная волна).
Была также построена и рассчитана система, в которой кумуляция происхо-
происходит в одномерном движении и не связана со схождением к точке или оси (плоская
ударная волна в слоистой системе). В этом случае расходимость достигается также
на один момент, но уже в целой плоскости. Наконец, известен пример явления,
в котором расходимость достигается в некотором пространстве (но, конечно,
не одновременно во всех его точках). Это происходит при отражении от оси схо-
сходящейся цилиндрической ударной электромагнитной волны.
Разнообразны и формы концентрации энергии: в ударных волнах — вы-
высокое давление и температура при ограниченной плотности; в схлопывающемся
пузырьке — высокая плотность при ограниченной температуре; в электромаг-
электромагнитных волнах — неограниченные магнитная и электрическая напряженности.

70	Е.И. Забабахин
Цель настоящего обзора — познакомить читателя с теми явлениями неог-
неограниченной кумуляции, для которых соответствующая математическая задача
была поставлена и точно решена, т. е. со случаями, описанными предельными
решениями. В постановке и решении таких задач большая роль принадлежит
советским исследователям.
Перечень изученных случаев, несомненно, будет расти, но уже сейчас
можно поставить общий для всех них вопрос: нет ли общей причины, в конце
концов, ограничивающей рост плотности энергии в таких явлениях? Этот воп-
вопрос особенно обострился после того, как в результате учета сил диссипации
(а в некоторых случаях это удалось сделать) было обнаружено, что они сами по
себе безусловного ограничения кумуляции не дают. К более подробной поста-
постановке этого вопроса мы вернемся позже, а пока отметим, что сколько-нибудь
общего ответа на него еще нет и потому существует почва для гипотез.
Исторически первые примеры неограниченной кумуляции были обнару-
обнаружены в механике, и там они наиболее многочисленны, но позже они появились
и в электродинамике. Ввиду большого сходства этих задач в статье затронуты
оба случая, хотя второй и выходит за рамки механики.
2. Кумулятивные струи
Теория образования кумулятивных струй и их действия, предложенная
М.А. Лаврентьевым и Г.И. Покровским (около 1944 г.), просто и наглядно
объясняет главные черты этого явления. Струя образуется при косом столкно-
столкновении пластин, показанном на рис. 1, а. Авторы теории выбрали удачное и про-
простое приближение, сделавшее все расчеты элементарными: материал пластин
считается несжимаемой жидкостью. Во многих случаях такое приближение
оказывается хорошим. Например, для железных пластин, летящих со скоростью
и = 1 км/сек, давление при соударении по порядку величины равно рис (р —
плотность, с = 5 км/сек — скорость звука в железе), т. е. р ~ 8 ¦ 105 • 5 • 105 =
4 • 1011 бар = 0,4 млн. атм., что сильно превосходит прочность и позволяет счи-
считать пластины жидкими. С другой стороны, изменение плотности железа при
этом еще невелико,Ар/р»рIрс «мп /с— 0,2, т. е. его действительно можно
считать несжимаемым.
В системе координат, связанной с точкой О, течение стационарно, схема
его показана на рис. 1, б. Здесь пластины, как и струи, движутся вдоль своих
плоскостей и разветвляются на две части — вправо и влево (их называют
струей и молотом). Скорость пластины w{ = wnctg a.

Явления неограниченной кумуляции
71
б)
Рис. 1. Схема образования кумулятивной струи
(а — в лабораторных координатах; б — в координатах, связанных
с точкой О; течение стационарно).
Ясно, что скорости всех трех струй равны, что следует, например, из уравне-
уравнения Бернулли для сечений 1 и 2, удаленных от зоны столкновения,
Вдали от точки О /?, = р2 = 0, т. е. w2 = Wj, а также и w3 = wx. Отсюда видно
также, что полная длина струи равна длине пластины (тоже для длины молота).
Перейдя обратно в лабораторную систему координат, т. е. прибавив к w ско-
скорость точки О, равную иц I sin a, находим скорость струи
ис =
tga sin a
1 + cosot
sin a
При малом угле столкновения а скорость струи сколь угодно велика.
Найдем далее сечение струи и долю уходящей в нее массы. Условия сохра-
сохранения массы и горизонтальной составляющей импульса соответственно дают
где Sn, Sc и SM —- сечения пластины, струи и молота, и
- Snw2 cosa = Scw2 - SMw2,

72
Е.И. Забабахин
откуда и получаем долю массы, идущей
Sc I - coso;
в струю, -?- =	..
Л	1
При малых а эта доля сколь угодно мала,
однако, именно струя уносит основную
часть энергии пластины. В самом деле, еди-
единица длины пластины дает единицу длины
струи, первая несет энергию Еп = — pSnu2,
Рис. 2. Схема регулярного столкно-
столкновения (/— несжатое вещество; //— ве-
вещество сжатое ударными волнами ОА\
и ОА2).
вторая — Ec=-pScul.
отношение их
с _
1 + cos a
, т. е. доля энергии, унесен-
унесенной струей, действительно стремится к единице при малых а, и концентрация
энергии в объеме струи при этом сколько угодно велика. Эта расходимость есть,
однако, лишь следствие идеализации в задаче, в действительности, при малых а
из-за сжимаемости струи не образуется вообще, а устанавливается так называемый
регулярный режим столкновения пластин, показанный на рис. 2. От точки столкно-
столкновения О идут ударные волны сжатия ОА^ и ОА2, давление за ними конечно,
и неограниченной кумуляции нет.
Предположение о несжимаемости позволяет также просто описать пробивное
действие кумулятивных струй, в частности, делает понятным, что узкие и глубокие
пробоины в броне не "прожигаются" взрывом кумулятивного снаряда, а имеют
чисто гидродинамическое происхождение.
3. Сферический пузырек в несжимаемой жидкости
Невязкая жидкость
Задачу о схлопывании пузырька в идеальной жидкости (несжимаемой
и невязкой) рассмотрел в 1917 г. Рейли (Rayleigh). Вероятно, это первый изученный
пример неограниченной кумуляции. Йусть в жидкости образована пустая сферическая
полость, которая в дальнейшем может заполняться под действием окружающего давле-
давления. Движение сферически симметрично, скорости на разных расстояниях от границы
¦у	fy
связаны соотношением иг = н^ (единицей отмечены величины на поверхности
пузырька). Кинетическая энергия движения
¦=\4nr
drpy =

Явления неограниченной кумуляции	73
Она равна работе внешнего давления р0, под действием которого пузырек умень-
уменьшил объем от Vo до V (р
Сравнивая их, получаем
4 ч ч
шил объем от Vo до V (радиус от а до г), т. е. величине р0 —n(a ~ri)-
1 Зр r*
При г. -> 0 скорость неограниченно растет
\2Р Я3	А	,А	.4
Давление на внутренней поверхности пузырька равно нулю, но вблизи нее
в жидкости оно может быть большим. Убедимся в этом, рассматривая стадию фо-
фокусировки пузырька(rj «a).
Уравнение Эйлера в нашем случае имеет вид
ди ди 1 др
— + и — +	— = 0.
дг дг р dt
Подставив в него и — и^ I r = AJrx (t) I r , получаем
Интегрируя обе части по г от поверхности пузырька наружу, получаем давление
Эта величина имеет максимум при г I гх = 22/3, при этом
Например, для сантиметрового пузырька с />0 = 1 атм. при г = 0,1 мм,
р =150 000 атом.

74
Е.И. Забабахин
Перед фокусировкой давление растет неограниченно и на движение сильно
влияет сжимаемость жидкости, а также ее вязкость. Оба фактора уменьшают
достигаемое давление, и представляет интерес выяснить, не делают ли они вообще
кумуляцию ограниченной.
Вязкая жидкость
Вязкость может сильно повлиять на движение, так как при схлопывании
пузырька в жидкости происходят очень сильные сдвиговые деформации. "Жид-
"Жидкая линия" ABA на рис. 3, касающаяся поверхно-
поверхности пузырька, при фокусировке превращается
в А{ОА{, в середине ее образуется излом и даже
точка возврата, т. е. происходит неограниченно
сильный сдвиг (угол 180° переходит в 0°). Зада-
Задачу о движении для случая постоянной вязкости
автору удалось рассмотреть до конца A960).
Уравнения Навье-Стокса для движения
пузырька имеют вид:
В
Рис. 3. Деформация сдвига
при схлопывании пузырька
(жидкая линия ABA переходит
— в0°).
ди

dt
i_
1
ди
——
дг
1 др
	. ¦*
p дг
Вязкость в написанные уравнения не вошла (она
представлена слагаемым л (grad div и — rot rot и),
которое в нашем случае равно нулю, так как
div и = 0 (жидкость несжимаема) и rot и = 0
(движение сферически симметрично)), но она входит в граничные условия. На
поверхности пузырька нормальное напряжение <згг отсутствует (граница с ва-
вакуумом), а так как а = -р + 2т| ди I дг, то
/>i=2Tlhr
Второе граничное условие: р = р0 при г = оо. Как и для невязкой жидкости,
u{r, t) - ихг^ I г1. Подставив это в уравнение Эйлера и интегрируя его по г от /•, до
оо с учетом граничных условий, после упрощений получаем
Аи. 3 «1
—L +	L
dr, 2 г,
4v
ф\и\
C.1)
где v — кинематическая вязкость.

Явления неограниченной кумуляции
75
Введем безразмерные переменные: число
Рейнольдса
Тогда
C.2)
a = (r,/a)Re и р(а) =
вместо C.1) получаем
da a Up
a
Рис. 4. Интегральные кривые задачи
о пузырьке в вязкой жидкости
(ОА — сепаратриса; жирные линии —
изоклины 0 и оо; тонкие линии — инте-
интегральные кривые).
и начальное условие
P(Re)
Уравнение имеет семейство решений
Р(сс), зависящее от параметра Re; одно из них
с Re = оо (v = 0) совпадает с найденным Рейли,
для которого вблизи фокусировки Р ~ а3/2.
Начало координат (а = О, Р = 0) есть сложная
особая точка уравнения C.2), она показана на рис. 4. Среди кривых, выходящих из
начала координат, только одна имеет конечный наклон %, определяемый подста-
подстановкой Р = уа. в C.2) при а -> 0. Подстановка дает % = -1/8. Эта линия (сепаратри-
(сепаратриса) показана штрих-пунктиром ОА. Изоклина нулей проходит ниже, начальный
наклон ее -3/8.
3/2
Выше ОА интегральные кривые образуют узел, где р ~ а , ниже — седло,
причем р —» —4/а или
	1_
-> 4л
C.3)
(то и другое проверяется подстановкой в C.2) при a -> 0).
Решению задачи отвечает та кривая, которая приходит в точку, соответст-
соответствующую начальному условию, т. е. a = Re, 1/p = 0. При разных Re решения могут
принадлежать к разным семействам: в случае принадлежности к узлу они соответ-
соответствуют неограниченному возрастанию скорости как а~3/2, в случае седла — за-
замедленному движению пузырька со скоростью ~а, в результате которого заполне-
заполнение его достигается лишь за неограниченное время. В этом случае скорость его
не зависит от начальных размеров, т. е. движение "не помнит" начальных условий,
что видно из C.3).

76
ЕМ. Забабахин
Сепаратриса ОА отвечает промежуточному случаю, соответствующее число
Рейнольдса является критическим, оно разграничивает два существенно различных
класса движений. Его можно определить, продолжив сепаратрису вправо до
1/р = 0, где а = Re. Построение это, выполненное путем численного интегрирова-
интегрирования, дает ReKp = 8,4.
При заданных р, р и v можно говорить о критическом радиусе пузырька
Дкр - 8,4v^//7 / р . При a < <2кр пузырек заполняется медленно, кумуляция устраняется
вязкостью, при а> пщ, вблизи фокуса скорость неограниченно растет по тому же зако-
закону, что и без вязкости, т. е. м, = const г^12, но с меньшим значением постоянного
множителя. Схема обоих случаев движения показана на рис. 5. Практически критиче-
критический радиус я,,, весьма мал, т. е. вязкость устраняет кумуляцию только в очень малень-
маленьких пузырьках; например, при р0 = 1 атм. для воды (v = 0,01, р = 1) он равен 0,8 мк,
для глицерина (v = 6,8, р = 0,8) — 0,5 мм.
Описанный пример интересен тем, что последовательный учет диссипации
не устраняет в нем неограниченной кумуляции.
Схлопывание пузырьков может представлять практический интерес, так как
это явление считается одной из причин быстрого износа лопастей гребных винтов
и гидротурбин, работающих с кавитацией (схлопывание пузырьков на металличе-
металлической поверхности интенсивно ее разрушает).
Реальная картина схлопывания может быть значительно сложнее описанной,
как за счет сжимаемости (это будет описано ниже), так и за счет заполнения пу-
пузырька паром, который при сжатии может не полностью конденсироваться,
т. е. сжиматься и разогреваться. Наиболее сильно осложнить явление может неус-
неустойчивость формы пузырька.
и
0
а>а
кр
а> а
кр
Рис. 5. Схлопывание пузырька в вязкой жидкости
(малые пузырьки с а < а^, заполняются асимптотически, большие — за конечное
время с неограниченной скоростью перед фокусом).

Явления неограниченной кумуляции	77
4. Сферический пузырек в сжимаемой жидкости
Задача о схлопывании полости в сжимаемой жидкости оказалась во многих
отношениях сложной и интересной и в течение несколько лет она привлекает
внимание советских и зарубежных механиков. В первую очередь было интересно
узнать, как выглядит кумуляция в задаче без такой сильной идеализации, как
предположение о несжимаемости, остается ли она бесконечной и каков порядок
этой бесконечности. Если факт кумуляции можно было предугадать (и решение
подтвердило его), то другой факт был неожиданным —- предельных решений
оказалось много, и возник вопрос о выборе главного из них. Вопрос этот не впол-
вполне решен и сейчас.
Среди исследований в этой области выделяется работа К.П. Станюковича
A945), в которой им был открыт новый тип автомодельных решений, характер-
характерный для явлений кумуляции и определяемый характером особых точек уравне-
уравнений задачи. Решение этого же вида имеет и задача о пузырьке в сжимаемой
жидкости. Эту задачу на автомодельность нового типа рассмотрим подробнее,
хотя исторически она первой не была (задача об ударной волне несколько
сложнее). Общие соображения о возможных типах автомодельных решений
высказали Я.Б. Зельдович и Ю.П. Райзер в известной их книге "Физика удар-
ударных волн" A963).
В постановке задачи о пузырьке большую роль сыграли работы Я.Б. Зельдо-
Зельдовича и К.А. Семендяева; множественность решений нашел в 1952 г. И.М. Гель-
фанд; фактические решения и их анализ выполнили О.В. Локуциевский, А.И. Жу-
Жуков, В.Ф. Дьяченко, Л.А. Гусаров, Я.М. Каждан, Г.Б. Алалыкин, Б.З. Оссерович,
С.К. Годунов, К.В. Брушлинский, К.А. Багриновский и др. Систематизированное
изложение дано позже в статье Я.М. Каждана и К.В. Брушлинского A963). Из за-
зарубежных авторов отметим К. Хантера [1], также нашедшего путь решения задачи
и описавшего его для частного случая.
Изложим эту интересную задачу для кубического уравнения состояния жид-
жидкости р = Ар (А = const), при котором выкладки несколько упрощаются.
Скорость звука в этом случае пропорциональна плотности
поэтому уравнения движения можно представить в виде:
дс дс ди 1ис
—-+ и	he— +	= 0,
dt дг дг г
ди ди дс .
— + и— + с — = 0 .
dt дг дг
Вводя инварианты Римана а = и + с и ос = и-с, получаем

78
Е.И. Забабахин
5а да а2-В2 л
— + а — +	—- = 0,
dt дг 2г
dt дг
2г
D.1)
Нас интересует предельное решение для стадии фокусировки, ищем его в автомо-
автомодельной форме
a(r, t) = —a
kt
г
~kt'
где ?, = 11 rk и t — время, отсчитанное от фокусировки (до схлопывания t < 0),
к — постоянное число, заранее неизвестное.
На поверхности пузырька \ = const и t = const-г , откуда и ~ Mr ~ , т. е.
если к > 1, то перед фокусировкой и -> <х>, и кумуляция неограниченна.
Подставив выражения для а и Р в D.1), получаем
da _ За2 -2ка-Ь2
d^~ 2k(\-a) '
db _ ЗЪ2-2кЬ-а2
d^"" 2А:A-6) '
что после деления одного на другое сводится к одному уравнению
db \-a ЪЪ2-2ка-а2
D.2)
\-Ъ 3a2-2kb-b2
D.3)
Линии Ъ, = const образуют семейство, по-
показанное на рис. 6, вдоль каждой из них а
и Ъ постоянны.
Выясним граничные условия, т. е.
найдем значения а и Ъ на свободной грани-
границе и для момента фокусировки. Имеем
г а + Ь
~kt
а-Ъ
Рис. 6. Автомодельное схлопывание
пузырька в сжимаемой жидкости
@ — фокус; кривые изображают линии
Ъ, = const; 0A соответствует свободной
поверхности).
2	kt 2
на свободной границе с = 0и u-r I (kt),
т. е. а = Ъ = 1; в момент фокусировки t = 0,
но и и с ограничены при г Ф 0, т. е.

Явления неограниченной кумуляции
79
Таким образом, в плоскости (a, b) надо найти интегральную кривую, соединяющую
точки Л A, 1)hF@, 0).
На рис. 7 показаны плоскость (а, Ь) и изоклины нулей и бесконечностей
(прямые и гиперболы), пересечения которых указывают положения особых точек.
А и F — особые точки. А — седло, из которого можно выйти либо по биссектрисе
а = Ъ (тривиальное решение с = 0), либо по нормали к ней. Нас интересует ветвь,
идущая вверх (с > 0). F — дикритический узел. Ясно, что между А и D интересую-
интересующая нас интегральная кривая пересечь линию Ъ = 1 не может, это может произойти
лишь при наличии особой точки D на пересечении горизонтали Ъ = 1 с гиперболой,
существующей лишь при А: < 1,5. С другой стороны, ясно что к > 1 (свободная гра-
граница движется не замедленно), таким образом можно утверждать, что к заключено
в пределах от 1 до 1,5.
а
Рис. 7. Плоскость автомодельных функций для пузырька
в сжимаемой жидкости
(жирные линии — изоклины 0 и оо; А соответствует свободной
границе, F— фокусировке; искомая кривая соединяет эти точки).

80	Е.И. Забабахин
Исследуем характер особой точки D. Разложив числитель и знаменатель D.3)
вблизи Z) по x = a-aD и y-b-bD, после упрощений получаем
dy _ xsb-2k + у{к-3) _ тх + пу
dx 4-3k-kj3~2k sy
У-
1 - V3 - 2к
Если производная dy / dx имеет в особой точке определенное значение q, то
m + nq
4 =
sq
Это уравнение относительно q имеет действительные корни (т. е. особая точка D
является узлом) при п + 4ms > 0, или
что дает к > 1,407.
При к < 1,407, D — фокус (q — комплексное), кривая накручивается на него
и в сторону F пройти не может (рис. 8, а). При к > 1,407 точка D есть обычный
узел, имеющий два направления: общее и особое, по которому проходит только
одна кривая. Нетрудно видеть, что наклон ее больше, чем для входящего в узел
пучка. При к » 1,407 интегральная кривая, идущая из А в узел Д принадлежит
к нижней части основного пучка, т. е. до входа в D пересекает линию b = 1 (рис. 8, б).
Служить решением она не может, так как нарушается однозначность зависимости Ъ
от %, что видно из второго уравнения D.2). При дальнейшем увеличении к узел D
скользит влево, особая кривая (пунктир на рис. 8) перемещается все ближе
к А и, наконец, проходит через эту точку (рис. 8, в). Это происходит при к= 1,411
(определено методом попыток с помощью численного интегрирования D.3)). Инте-
Интегральная кривая плавно проходит через D сверху вниз, и при этом она всюду ана-
литична. Дальше она попадает в дикритический узел F@, 0), т. е. кривая является
решением, и притом аналитическим. Зная ее, можно числено интегрировать D.2)
и найти зависимость а и b от ? и далее аир или и и с, от г 11 и ?.
При любом большем к (но меньшем, чем 1,5) в узле D найдется кривая, при-
приходящая из А (она принадлежит к верхней части основного пучка узла D). Продол-
Продолжение ее вниз попадает в F, т. е. кривая также является решением. Однако оказы-
оказывается, что, вообще говоря, в этом случае в окрестности D она неразложима в сте-
степенной ряд, т. е. решение не является аналитическим. Таких решений — континуум
(при любом к в интервале 1,411 < к < 1,5), больше того, при каждом к решение не
одно, а их множество: при фиксированном к вниз от D можно идти не по одной
кривой, а по любой из числа тех, что приходят в F (рис. 8, г).

Явления неограниченной кумуляции
81
к< 1,407
1,407<*<
/
1,411
i
а
/
/
к= 1,411
Рис. 8. Выбор показателя автомодельности к из условий прохождения осо-
особой точки (пунктиром указана особая линия узла D).
Я.М. Каждан показал, что условие аналитичности выполнено и для некото-
некоторых избранных значений в этом интервале, ближайшее из них — к = 1,437.
Решение с к = 1,411 остается выделенным как обладающее наименьшим к, т. е.
наименьшим показателем кумуляции.
Таким образом, обнаружено множество предельных решений, полностью
удовлетворяющих уравнениям, т. е. описывающих некоторые случаи движения, по
крайней мере с искусственно подобранными начальными условиям (а именно,
соответствующими самому решению). На какую из асимптотик выходят движения
с произвольными начальными условиями — ясно не вполне. По-видимому, выде-
выделенными будут аналитические решения (гипотеза Гельфанда); численные расчеты
указывают, что реализуется асимптотика с наименьшим показателем кумуляции.
Описанное решение подтвердило наличие неограниченной кумуляции
и в сжимаемой жидкости, т. е. это есть, действительно, свойство явления, а не слу-
случайное следствие идеализации постановки задачи.
Вид кумуляции, естественно, отличается от того, что было в несжимаемой жид-
жидкости, расходятся скорость и плотность: и~ 1 /г0'411 и р ~ 1 /г0'41', поведение же тем-
температуры может быть различным. Если вещество — газ, имевший начальную темпера-
температуру, то в фокусе расходится и температура (адиабатическое сжатие), если же
температура была нулевой (давление обусловлено только упругостью), то она и ос-
остается нулевой вплоть до фокусировки.

82
Е.И. Забабахин
Степень кумуляции к для разных веществ (разных показателей у в уравнении
р -- Ару ) различна, но факт кумуляции сохраняется всюду. Это видно из следую-
следующих результатов решения (для разных у), заимствованных из статьи К.В. Брушлин-
ского и Я.М. Каждана A963):
Y
к
1
1
5/3
1,064
2
1,176
3
1,411
7
1.801
00
2,5
5. Сходящиеся ударные и детонационные волны
Ударные волны
Сходящиеся ударные волны подробно изучены теоретически и во многих
случаях обнаружена неограниченная кумуляция. По этим вопросам опубликовано
много работ, асимптотика для детонационной волны перед фокусировкой была
впервые изучена Л.Д. Ландау и К.П. Станюковичем и описана последним в его
докторской диссертации, а также в статье A945) и в книге A955). Интенсивность
волны оказалась неограниченно растущей, откуда видно, что взрывчатые свойст-
свойства материала перестают играть роль (концентрация энергии в волне сильно
превосходит калорийность взрывчатки) и, следовательно, решение описывает
сходящиеся волны, не только детонационные, но и ударные. Эти работы положи-
положили начало изучению нового класса движений, для которых показатели степени
в решениях вытекают не из размерностей определяющих величин как, например,
в широко известном решении Л.И. Седова A944), а из условий прохождения
особых точек дифференциальных уравнений задачи. Это же обстоятельство было
обнаружено и описано Г. Гудерлеем [2], работа которого стала известна у нас лишь
через несколько лет после войны. В дальнейшем было поставлено и решено мно-
множество подобных задач, одна из которых подробно описана в предыдущем разделе
настоящей статьи ("Сферический пузырек в сжимаемой жидкости").
Прежде чем описывать результаты решения, напомним, что слабая ударная
волна (акустическая волна) при сферическом схождении усиливается по закону
р ~\1 г независимо от уравнения состояния вещества. Таким образом, факт уси-
усиления слабой волны при схождении тривиален, однако он еще ничего не говорит
о поведении волны перед центром. Как показало исследование, кумуляция там ока-
оказывается неограниченной, но для разных веществ различной.
В задаче об ударной волне в стадии фокусировки решение ищется в автомо-
автомодельной форме:
kt
kzr

Явления неограниченной кумуляции
83
где ?, = ——. Вещество считается идеальным газом (холодным перед фронтом) с показа-
показателем адиабаты у. На фронте волны, где 2, = const, получаем р = const, u~\/r
k~l
Ход решения здесь вполне аналогичен описанному (пожалуй, несколько слож-
сложнее), поэтому мы не излагаем его, а приводим лишь результаты, подробно описанные
и систематизированные в упоминавшейся статье К.В. Брушлинского и Я.М. Каждана
A963):
У
к
"•пр
1
1
1
5/3
1,452
1,451
2
1,499
1,500
3
1,571
1,588
00
1,700
1,83
Во всех случаях кумуляция оказывается неограниченной (о случае у = 1 будет
сказано ниже), но характер ее иной, чем в схлопываюшемся пузырьке. В момент фоку-
фокусировки плотность ограничена, но расходятся температура и давление.
Общая картина фокусировки волны показана на рис. 9. За отраженной волной
частицы идут от центра, в каждой из них давление конечно и со временем умень-
уменьшается; уменьшается и температура, но в центре
она остается бесконечной.
Фокусировка волны описывается авто-
автомодельным решением и в том случае, когда
плотность газа перед волной не постоянна,
а распределена по степенному закону р0 ~ г" .
В случае убывания плотности к центру при
схождении волны действуют противополож-
противоположные факторы — рост давления на волне, свя-
связанный с ее схождением, и убывание из-за
перехода в менее плотную среду. При п = О
давление растет, при больших п оно заведомо
убывает. Ясно, что при некотором и > 0 эти
два фактора могут быть уравновешены, и дав-
давление на волне будет постоянным. Как оказы-
оказывается, в этом случае за отраженной волной
наступает покой, т. е. достигнутое там состоя-
состояние (в том числе и Г = от в центре) сохра-
сохраняется, по крайней мере, до прихода сигнала
разрежения с поверхности системы (не опи-
описываемого автомодельным решением). Схема
Рис. 9. Фокусировка автомодель-
автомодельной сходящейся волны
(АО — сходящаяся волна, ? = ^;
ОВ — волна отраженная от центра,
\ = %г\ пунктиром указано движение
частицы газа).

84
Е.И. Забабахин
такого движения показана на рис. 10. При у = 5/3 это соответствует р0 ~ г ' , при
этом*
1^1 = 1,823.
О
Отметим, что этот случай неограниченной
кумуляции энергии не дает: давление всюду
конечно, т. е. конечна и объемная плотность
энергии, хотя температура в центре и расхо-
расходится, т. е. удельная энергия на единицу массы
сколь угодно велика.
Если в начале р0 ~гп, но давление газа
конечно, то температура в центре расходится до
начала движения (например, это может быть
след происшедшей фокусировки). В этом случае
сходящаяся волна может как усиливаться
(р I р0 увеличивается), так и ослабевать
(РIРо~^^\ т- е- выходить на режим либо
сильной, либо акустической волны. Этот вопрос
подробно изучил Ф.Л. Черноусько A960), кото-
который установил, что сходящаяся сферическая вол-
волна в этом случае вырождается в акустическую
при п > 2, цилиндрическая — при и > 1 и плос-
плоская— прии>0.
Решение задач о сходящихся волнах трудоемко, и естественной была попыт-
попытка упростить его за счет приближения. Это удалось сделать Р.Ф. Чиснеллу [3],
применившему так называемое каналовое приближение, в котором изменение дав-
давления на фронте определяется лишь его кривизной (сужением мысленного канала,
образованного его нормалями). Последовательно применяя это приближение к слу-
случаю переменной плотности перед фронтом, Ю.С. Вахрамеев A965) получил
приближенную формулу для показателя автомодельное™ и показал, что она
фактически очень точна благодаря удачному обстоятельству — исчезновению ее
поправочных членов в практически важной области. Это приближение позволило
ему исследовать устойчивость волн к малым возмущениям и получить важный
вывод о том, что, чем сильнее кумуляция, тем сильнее и неустойчивость.
Для степенного распределения начальной плотности холодного газа показа-
показатель автомодельности описывается приближенной формулой
Рис. 10. Сходящаяся волна с по-
постоянным давлением (за отра-
отраженной волной — покой).
* Найдено автором и И.А. Адамской в 1954 г.

Явления неограниченной кумуляции	85
к -и v
ПР	и 2 ,
где v = 1, 2 или 3 для плоского, цилиндрического и сферического случаев, соответ-
, - ,, G + 1)
ственно, и « — уплотнение в ударной волне (п = —	 в холодном идеаль-
G-1)
ном газе).
Вычисленные по формуле к„р для иллюстрации вписаны в таблицу на стр. 83
наряду с точными.
Заметим, что сходящаяся в точку волна не обязательно должна быть сфери-
сферически симметричной, а фокусировка может быть и более сложной. Один из таких
случаев — волна в форме многогранника, в вершинах и ребра которого могут
возникать волны Маха ("тришоки") с большим давлением. Разрастаясь, они
смыкаются между собой и образуют новый многогранник, он порождает новые
"тришоки" с еще большим давлением и т. д. В таком процессе, по крайней мере
в некоторых случаях, форма меняется периодически, например, для волны в форме
квадратной призмы. Давления в соответствующие моменты (например, моменты
смыкания "тришоков") будут связаны степенным законом с размером волны, как
и для цилиндрической волны, но с другим показателем степени. Некоторые случаи
такого движения изучали экспериментально и теоретически В.А. Белоконь,
А.И. Петрухин и В.А. Проскуряков A965), развившие идею Г.И. Покровского о ку-
кумуляции сильной ударной волны при ее вхождении в клиновидную полость. Ана-
Аналогичные задачи изучал А.Е. Войтенко.
Не следует думать, что задачи с заранее неопределенными показателями сте-
степеней обязательно соответствуют явлениям неограниченной кумуляции. В качестве
примера опишем задачу о выходе ударной волны на границу атмосферы с вакуу-
вакуумом, рассмотренную Г.М. Гандельманом и Д.А. Франк-Каменецким A956). Урав-
Уравнения для ударной волны, параллельной границе и идущей к ней, допускают авто-
автомодельные решения, которые приходится искать тем же приемом (анализом
особых точек). Из решения видно, что давление на фронте волны уменьшается по
степенному закону р ~ хт (х — расстояние от границы атмосферы), но скорость ее
неограниченно растет, т. е. кумуляции энергии нет, но температура на фронте вол-
волны стремится к бесконечности.
Явление, похожее на описанное, может иметь место в звезде, если в ре-
результате каких-либо процессов возникает ударная волна, идущая из ее глубин
наружу. Распределению плотности вблизи границы р0 ~ х для газа с 7 = 5/3
соответствуют давление на приближающейся к ней ударной волне р ~ дс1'86. и тем-
температура Т~\/х1'39.

86	Е.И. Забабахин
Другим примером может служить задача Я.Б. Зельдовича A956) и В.Б. Адам-
ского A9э6) о коротком ударе по поверхности покоящегося холодного газа.
Если ударная волна в газе вызвана движением поршня в его сторону, то при
замедленном движении поршня она будет затухать, и тем сильнее, чем быстрее
поршень тормозится. Однако даже сколь угодно короткому удару соответствует
конечная скорость затухания волны, точнее, даже в этом случае она затухает по
закону р ~ 1 / хт, где т — конечное число. Все решение и это число также нахо-
находятся из анализа особых точек (т = 1,333 при у = 7/5).
Возвращаясь к сходящимся волнам, заметим, что особый случай представ-
представляет волна детонационная, которая в начале схождения (определяющем тенденцию
ее поведения в дальнейшем) не соответствует ни одному из предельных случаев
сильной или слабой волны и должна быть рассмотрена отдельно.
Детонационные волны
Детонационная волна, т. е. ударная волна, на фронте которой выделяется энер-
энергия, имеет вполне определенную амплитуду, соответствующую калорийности взрыв-
взрывчатки (нормальная волна). На фронте такой волны звук движется со скоростью фронта,
т. е. и + с = D (условие Жуге), чему соответствует минимальная скорость волны, сов-
совместимая с уравнениями сохранения. Однако это справедливо лишь для расходя-
расходящихся и плоских волн, а для сходящихся это оказалось не так: по мере схождения
давление на фронте такой волны растет, условие Жуге нарушается, и звук может
догонять фронт (и + с>D). В отличие от нормальной, такую волну иногда назы-
называют пересжатой. Возможность самопроизвольного пересжатия волны в литерату-
литературе по детонации обычно не обсуждалась, и теоретическое обнаружение ее вызвало
сначала удивление и даже недоверие.
Сходящуюся детонационную волну для случая цилиндра рассмотрел
Я.Б. Зельдович A959). Мы ограничимся описанием начала процесса, достаточного,
чтобы установить факт самопроизвольного пересжатия.
Используем кубическое уравнение состояния продуктов взрыва и рассмотрим слу-
случай сферы, уравнения движения для которого D.1) мы уже вывели. Напомним, что
уравнение р = Ар2 вблизи состояния на фронте нормальной волны (рИ,Рн) опи-
описывает любые процессы (ударное и адиабатическое сжатие продуктов взрыва
и повышение давления на детонационной волне).
Пусть сферическая волна инициирована на радиусе R и движется внутрь,
а продукты взрыва свободно разлетаются наружу. В начальный момент волна нор-
нормальная и на ее фронте
D	Зп	4

Явления неограниченной кумуляции	87
(р0— плотность взрывчатки). Найдем скорость роста давления на фронте такой волны
в начальный момент, т. е. вычислим dp I dr. Так как р ~ с ~ (а - р) , то
df а"Э У З(а-РJ Г da
dr\aH -R I (a -P K vdr dr
откуда получаем, что в начале
dp 2ри (da dp
dr Z) Уг dr
Покажем, что da/dr = 0:
da _ da dp da _ d(w + c) _ d | /	— [dp |
dr dp dr' dp dp dpi^	\dp/
что после подстановки /> = Аръ дает
dp	^ 2j3po(p-po)J
При p = p = 4/3 p0 получаем da /dp = 0, т. е. вначале da / dr = 0 и
dp _ 2pH dp
dr ~ ~D~ dr '
Вычислим dp/dr (производная берется от значения Р на фронте волны по коорди-
координате фронта):
dp ^ ЭР , 1 Эр^ар| \( ЭР( р2-а2>|_ЭрГ1 Р^р2-а2
dr dr D dt dr D{ dr 2r ) dr I DJ 2rD
Вначале второй член равен	, в первом — неопределенность. Раскроем ее:
8 R
firR),	D.
dr	dt
Величину Эр/Эг найдем, считая распределение Р по г таким же, как за плоской
волной, т.е.
ар_ р
dr ~ R-r'

88
Е.И. Забабахин
Тогда
dp D
dr R-r
1-
dr
-D
2 ^__dp
+ 8' R~ dr
8 R
откуда
т. е.
d&_3_ ?
dr ~ 16 R '
ф
dr
8
Таким образом, dp/dr < О, т. е. при уменьшении радиуса волны давление на ней
растет и она становится пересжатой. Причиной усиления волны можно считать ее
кривизну и сокращение поверхности фронта со временем.
Так же ведет себя и цилиндрическая волна, но скорость роста ее давления
вдвое меньше, чем в сфере, в соответствии с вдвое меньшей средней кривизной.
Вообще формула E.1) справедлива для любой сходящейся волны, инициированной
на искривленной поверхности, если под г понимать средний радиус ее кривизны.
Сходящаяся ударная волна в теплопроводном газе
Одним из активных механизмов диссипации энергии в сходящейся волне,
по-видимому, будет теплопроводность, так как вблизи фокуса возникает неограни-
неограниченный температурный градиент. Отток тепла заведомо уменьшит температуру
центра, и следует еще выяснить, не разрушит ли он неограниченную кумуляцию
вообще. Рассмотрим это в обычном приближении, когда за перенос тепла ответст-
ответственно излучение, но плотность его энергии еще много меньше, чем у газа, и можно
пользоваться уравнением состояния идеального газа. Это сделано в статье автора
и В.А. Симоненко A965).
Вследствие теплопроводности впереди основного фронта волны появляется зона
прогрева. Вычислим ее ширину сначала для плоской стационарной волны, считая газ
настолько горячим, что свободный пробег излучения / в нем ограничен лишь компто-
новским рассеянием, т. е. полагая / = Zp0 / р, где L = const.
Считаем, что излучение находится всюду в равновесии с веществом, и зона
прогрева много больше пробега. В системе координат, связанной с фронтом, урав-
уравнения сохранения имеют вид:
p + pu2 = p0D2, pu
2 p(Y-l)
где поток тепла

Явления неограниченной кумуляции
89
(с — скорость света). Из этих уравнений dT/dx можно выразить через Т. Проделав
это получаем
1
dx
dx Втъ
2т
у + 1
-1
1
1-
8(Y-1) 2
(у + 1J
E.2)
где т = Т/Тк, Тк — конечная температура за волной,
в=— (у ~}L LaE>5
" з (у + 1)8'Ро/г4
(R — универсальная газовая постоянная). В зоне прогрева т изменяется от 0 до 1;
из уравнений можно получить, что при этом р/р0 увеличивается от 1 до 1/2(у +1)
и, далее, скачком до (у + 1 )/(у - 1).
Проинтегрировав E.2) по т от 0 до 1,
найдем полную ширину S зоны прогрева
перед скачком уплотнения:
S = BJ(y)
(У = 1,07 и S = O,OO7LaD5/(PoR4) ПРИ
у = 5/3). Схемы распределения Т(х) и р(х)
в волне с теплопроводностью показаны на
рис. 11. В зоне прогрева газ не только нагре-
нагревается, но и приходит в движение и сжи-
сжимается.
Ширина зоны S тем больше, чем
больше D. Поэтому в сходящейся волне,
скорость которой растет, быстро увеличи-
увеличивается и ширина зоны, и фронт ее фокуси-
фокусирует до основной волны (точка В на
рис. 12). Это будет характерным моментом
прекращения степенного роста температу-
температуры, а достигнутая к этому моменту темпе-
температура будет порядка максимальной тем-
температуры всего процесса.
Рис. 11. Структура фронта плоской
ударной волны в теплопроводном
газе

90
Е.И. Забабахин
Е
В
В сходящейся волне D = А/г , где А
характеризует силу волны (скорость ее на еди-
единичном радиусе). Характерный размер волны
rQ определим из условия, что S порядка г0.
Тогда
1
AV r
Температура на фронте Т ~ D IR, в сходя-
сходящейся волне
Т~А2 I
Рис. 12. Сходящаяся ударная
волна в теплопроводном газе
(линии АВ и СЕ соответствуют
фронту тепловой волны и скачку
уплотнения).
подставляя сюда г„ вместо г, получаем выражение для максимальной температуры
процесса
\2(*-1)
7max=COnSt
La)
В частности, при у = 5/3 имеем к = 1,452 и
*•-=«"¦(?)
0,278
0,723 ^ 0,614
Здесь постоянный коэффициент — безразмерное число порядка единицы, для оп-
определения которого надо получить решение задачи хотя бы для одного случая
(например, численно).
Таким образом, достигаемая температура оказывается конечной, но, чем
сильнее волна (чем больше А), тем выше и достигаемая температура, т. е. теп-
теплопроводность не устанавливает предела ни температуре фокусировки, ни ко-
коэффициенту увеличения температуры при кумуляции (отношению достигнутой
температуры к исходной волне.) За первой волной АВ идет вторая СЕ (рис. 12),
представляющая собой скачок уплотнения. При фокусировке его процесс изо-
изотермичен. Качественный характер его асимптотики перед фокусировкой
нетрудно установить. Скачок не может не ограниченно затухать, так как слабая
ударная волна должна усиливаться как \1г\ интенсивность его не может идти
и к конечному пределу, так как соответствующее автомодельное решение урав-
уравнениям движения не удовлетворяет. Остается одна возможность — неограни-
неограниченное усиление. Таким образом, кумуляция сохраняется и при участии тепло-

Явления неограниченной кумуляции
91
проводности, но она видоизменяется: вместо Т~> оо и р -> const имеем Т-+ const
и р —> оо. Плотность энергии остается бесконечно большой.
6. Ударные электромагнитные волны и их кумуляция
Говоря об электромагнитных волнах, часто имеют в виду только колебатель-
колебательные процессы, но легко видеть, что эти волны могут быть также ударными
и не иметь характера колебаний вообще. Такая волна возникает, например, при
внезапном начале движения проводника в магнитном поле поперек силовых линий,
как показано на рис. 13. В момент начала движения из А в поле идет волна со ско-
скоростью с и через единицу времени поле HQ, занимавшее пространство с, окажется
сжатым до размера с-и, а напряженность его увеличится до Н{ = HQc I (с - и) . От
Но до
напряженность растет скачком на
Нп
Проводник /.
I
Поле
фронте волны, здесь же скачком возникает
электрическое поле
? = #!-#„ =#оы/с.
Возникновение и кумуляция таких волн
рассмотрены автором и М.Н. Нечаевым A957).
Внезапно толкнуть поверхность провод-
проводника может обычная ударная волна, выходящая
из его глубины на поверхность. Такой толчок,
однако, не будет совсем внезапным, так как
в проводнике в магнитном поле фронт ударной
волны сопровождает опережающее его элек-
электромагнитное возмущение
АН = Н0(Ь-\)е~хИ
(и аналогично для Е), где 5 — Pj / р0 — сжатие
материала в ударной волне, х — расстояние от
фронта, / = (с2 - D2 ) / DnXD) — масштаб зоны
размытия, D — скорость волны, X — проводимость перед волной. При выходе волны
на границу с вакуумом скорость фронта увеличивается от D до с и опережение /
превращается в L = с/ / D = с(с — D ) I DnA,D ).
Для сильной волны в меди (D = 10 км/сек) получаем L = 3,7 см
17	_i
(к = 5,8x10 сек ), при увеличении проводимости размытие уменьшается,
и для той же меди, охлажденной до 20° К, получаем L = 0,2 мм. Таким образом,
и в вакууме фронт волны может быть довольно узким, и его удобно рассматривать,
как математический разрыв.
Рис. 13. Образование ударной
электромагнитной волны при
внезапном начале движения
проводника в поле.

92
ЕМ. Забабахин
Если поверхность волны плоская, то она распространяется с постоянной ам-
амплитудой, так как энергия, заключенная в прифронтовом слое Ах, переносится вме-
вместе с ним и объемная плотность ее сохраняется (возмущения поля за волной идут
с той же скоростью с, не догоняют фронта и не могут на него повлиять). Если по-
поверхность искривлена, то в силу тех же причин плотность энергии и амплитуда
изменяются. Простейший пример сходящейся волны — цилиндрическая с магнит-
магнитным полем, параллельным оси. Здесь плотность энергии растет как Mr, а амплитуда —
как \lsr .
Таким образом, мы убедились, что ударная электромагнитная волна способна
к неограниченной кумуляции, причем полученный закон роста амплитуды
не встречает никаких физических ограничений до тех пор, пока справедливы урав-
уравнения Максвелла.
В описанном явлении оказалась и другая неожиданная особенность, не обна-
обнаруживающаяся столь наглядно и полученная лишь при решении уравнений. Оста-
Остановимся на этом подробнее.
Рассмотрим сходящуюся в вакууме цилиндрическую волну в стадии фокуси-
фокусировки, т. е. будем искать автомодельное решение. Схема явления показана на
рис. 14, где АО и ОВ — сходящаяся и отраженная волны, AFB — закон движения
цилиндрического поршня, сжимающего поле.
Уравнения Максвелла для этого случая
имеют вид:
с
дЕ_
dt
дН_
'дг'
дН_
dt
д(гЕ)
дг
Здесь Н параллельно оси цилиндра, Е — цирку-
циркулярное. Исключая Н или Е из этих уравнений,
соответственно получаем
L ?!?
dt2 дг[г дг
Рис. 14. Цилиндрическая удар-
ударная электромагнитная волна
(на сходящейся волне АО поле уси-
усиливается как 1 / -Jr ; на отражен-
отраженной волне 05 — логарифмиче-
логарифмическая расходимость при всех г).
Автомодельное решение будем искать в виде:
е(х), Н = Н0+АГ0^ А(х),

Явления неограниченной кумуляции	93
где x = ct I г, t — время, отсчитанное от фокусировки, ?^ и #й — амплитуды
фронта на радиусе. На фронте т = -1 и е(-1) = Л(-1) = 1. Подстановка автомодель-
автомодельных формул в уравнение дает
е"A - х2) - 2те' + -е = О, А"A - т2) - 2тЛ' - - = 0.
4	4
Находя решение в виде рядов по степеням 1 + т для - 1 < т < 1 (между падающей
и отраженной волнами), получаем
W 4- 23й(«02
4
(«02
я!
Для области за отраженной волной A < т < °о) используем дополнительно условия
конечности Е и Нна оси при t Ф 0, а также сохранения (Е — Н) при переходе через
фронт отраженной волны. Находя решение в этой области в виде ряда по степеням
1/т, получаем
(	L
При т -> 1 все эти ряды расходятся, т. е. на фронте отраженной волны поля неограни-
неограниченно велики. Асимптотические выражения для них вблизи т = 1 таковы:
е~- In |1-т| + 0,17, h — - In I 1-х 1+1,10.
я ' '	я ' '
Графики зависимостей е и h от х показаны на рис. 15.
Отметим, что если цилиндрический поршень внезапно начинает расши-
расширяться, а не сжиматься (т. е. порождает волну разряжения), то далее амплитуда
волны ведет себя так же и вблизи фокусировки, описывается тем же решением.

94
Е.И. Забабахин
2
-1 0
-1
-2
\
\ 1
V
2
\
т
_	3
Рис. 15. Автомодельное решение для сходящейся цилиндрической удар-
ударной волны поля.
Таким образом, оказывается, что амплитуда отраженной волны неограниченно
велика не только на оси цилиндра, но и во всех точках пространства (в разные мо-
моменты времени). Это явление было первым примером такого рода, и оно казалось
парадоксальным и даже ошибочным до тех пор, пока не удалось задачу решить дру-
другим путем. Рассматривая цилиндрическую волну как суперпозицию плоских,
Я.Б. Зельдович A957) построил семейство автомодельных решений для сходящихся
волн, среди которых было и решение для ударной волны. Для каждой из составляю-
составляющих плоских волн прохождение оси не обладает ни физическими, ни формальными
особенностями и, поэтому, не следует опасаться связанной с этим возможности оши-
ошибиться. Суммирование этих волн привело к расходимости на фронте отраженной от
оси волны, т. е. подтвердило казавшийся неожиданным результат.
Заметим, что обнаруженная особенность не связана исключительно с электро-
электромагнитной природой волны, а специфична для цилиндрической формы: уравнение
для Я есть просто волновое уравнение, к которому сводится также и задача о слабой
ударной волне в веществе или акустической волне (именно это явление и рассматри-
рассматривал Я.Б. Зельдович), однако, здесь уравнения правильны лишь для малых амплитуд.
Схождение электромагнитной волны трудно воспроизвести в опыте ввиду
чрезвычайных требований к точности формы порождающей ее ударной волны
в проводнике, и мы остановились на ней столь подробно лишь из-за ее принципи-
принципиальных особенностей, иллюстрирующих разнообразие форм неограниченной куму-
кумуляции.

Явления неограниченной кумуляции	95
7. Акустические цилиндрические ударные волны
Акустические движения описываются волновым уравнением
с2 dt2
где и — массовая скорость.
В твердом теле волны могут быть, как продольными, так и поперечными,
и для каждой из них скорость звука с имеет свое значение (с( или ct).
В случае цилиндрической симметрии движения может быть три типа акусти-
акустических волн: продольные (сжатия и разрежения) и два типа поперечных — осевые
( и параллельно оси цилиндра) и азимутальные ( и нормально оси). В каждом слу-
случае волны могут быть ударными. Как обычно, нас интересуют поведения таких
сходящихся волн при их фокусировке и описывающее их автомодельное решение.
Выпишем волновые уравнения для всех трех типов волн. Раскрывая Ли,
получаем:
для продольных волн
с2 dt2 dr\_r дг
для поперечных осевых волн
1 д2и \ д\ди
с2 dt2 г дг\_ дг
и для азимутальных
с2 dt2 дг[г дг \
В первом и третьем случаях уравнения одинаковы (различаются лишь с)
и совпадают с уравнением для электрической напряженности Е из предыдущего разде-
раздела, второе совпадает с уравнением для магнитной напряженности Н. Совпадают и их
автомодельные решения, поэтому их нет надобности воспроизводить. Во всех случаях
амплитуда сходящейся ударной волны растет как 1 / л]т и на отраженной от оси волне
остается неограниченной на конечном расстоянии от оси. Поведение скорости в других
точках плоскости (г, t) характеризуется величинами е(х) и Л(т), описанными в преды-
предыдущем разделе (рис. 15).
Отметим, что физические ограничения для амплитуды различных волн раз-
различны: по мере усиления сходящейся волны сжатия закон ее роста изменяется,
среды (для поперечных волн — на срез; для волн разрежения — на разрыв). Там,

96	Е.И. Забабахин
отступая от акустического*. Усиление же других волн будет ограничивать проч-
прочность где напряжения превзойдут прочность, произойдет разрыв, и возникнет
кольцевая трещина.
8. Стационарная неограниченная кумуляция
Все описанные примеры неограниченной кумуляции относятся к случаям
нестационарных движений, в которых расходимость плотности достигается
в точке (сферическая кумуляция) или на линии (цилиндрическая кумуляция)
лишь на один момент. Однако из следующего примера будет видно, что это
условие необязательно и в принципе неограниченная кумуляция может быть
стационарной, т. е. в какой—то точке потока плотность энергии может поддер-
поддерживаться неограниченно большой все время. Пример такого явления построен
автором и Б.П. Мордвиновым A965).
На первый взгляд кажется, что для построения такого примера достаточ-
достаточно рассмотреть сходящуюся коническую ударную волну, в вершине которой
можно ожидать неограниченной амплитуды. Однако, этого не происходит из-за
того, что усиление волны по мере приближения ее к оси сопровождается уве-
увеличением ее скорости, в результате чего конус притупляется и вместо заост-
заостренной вершины образуется участок волны, нормальный к оси и движущийся
с конечной скоростью (фазовой скоростью процесса), т. е. несущий конечное
давление.
Для акустической волны, движущейся с постоянной скоростью, этого
препятствия нет, однако решение для нее вблизи оси физически противоречиво
и потому неправильно: частицы движутся быстрее толкнувшей их волны и пе-
пересекают ось конуса, что противоречит свойству сплошности среды.
Эти затруднения отпадают, если обратиться к электромагнитной ударной
волне, скорость которой всегда равна с и действительно не зависит от амплитуды.
Пусть внутри цилиндрической полости в проводнике есть продольное
магнитное поле Но, а из проводника на поверхность полости выходит кониче-
коническая сходящаяся ударная волна, толкающая поверхность внутрь, причем место
выхода ударной волны перемещается со сверхсветовой скоростью D. К оси
пойдет сходящаяся ударная электромагнитная волна. Схема этого явления по-
показана на рис. 16. Магнитное поле имеет на этот раз две компоненты Нхи Нг,
электрическое — по-прежнему только Е . Они зависят только от г и ( х + Dt),
и уравнения Максвелла принимают вид:
* Это рассмотрено в упоминавшейся работе Я.Б. Зельдовича A957).

Явления неограниченной кумуляции
97
где М = Die = 1/sin 9. Исключая Ev, получаем
дх2
д
дг
д(гНг)
дг
= 0,
дх
= 0.
Эти уравнения полностью совпадают с уравнениями, описывающими цилинд-
цилиндрическую волну (нестационарную), рассмотренную выше в разделе "Ударные
электромагнитные волны и их кумуляция", с той только разницей, что роль Н,
х,Н I \М2
Е и / теперь играют Нх,Нг I
и х I(с\М2 -1). Таким образом, одна зада-
задача свелась к другой, и мы можем воспользо-
воспользоваться уже найденным автомодельным ре-
решением для окрестности фокуса, переписав
его применительно к обозначениям новой
задачи:
Hr=HQJ-hr(x),
где т = х/(г\М -1), #Оя и Н^, —компо-
—компоненты амплитуды волны на радиусе R. Функции
fa h (t) совпадают, соответственно,
Рис. 16. Коническая ударная элек-
электромагнитная волна (на сходящейся
волне поле усиливается как 1 / -Jr ;
на отраженной волне — логариф-
логарифмическая расходимость при всех г).
(С.

98	Е.И. Забабахин
с Л(х) и е(т) из раздела 6, показанными на рис. 15. (Из уравнений следует также, что
Таким образом, амплитуда волны по мере приближения к оси растет как
1 / Vг, и в вершине конуса действительно стационарно поддерживается неог-
неограниченная кумуляция. Напомним, что еий расходятся при т -> 1, т. е. для кониче-
конической волны, как и для цилиндрической, на отраженной волне неограниченная
амплитуда сохраняется и на конечном расстоянии от оси, и, следовательно, это
свойство специфично не только для цилиндрической волны, как казалось сначала.
Заметим, что для сверхсветовой скорости вершины конуса притупления
ее не произойдет и для ударной волны в веществе, так как нормальная скорость
ее не может превосходить с; в этом случае также возможна стационарная неограничен-
неограниченная кумуляция (это замечание принадлежит Л.И. Шибаршову).
9. Кумуляция несходящейся ударной волны
Во всех рассмотренных случаях неограниченная кумуляция возникала при
центростремительном движении вещества или волны поля к точке или к оси. Одна-
Однако сходящийся характер движения для кумуляции оказался лишь благоприятным,
но не обязательным, что стало видно из примера неограниченной кумуляции в пло-
плоской ударной волне, построенного автором A965). Этот пример имеет принципи-
принципиальный интерес (к тому же он не столь отвлечен, как случай волн поля), поэтому
опишем его подробнее.
В системе чередующихся плоских слоев из легкого и тяжелого веществ
рассмотрим движение волны с фронтом, параллельным слоям. Имея в виду
случай неограниченного усиления ударной волны, будем считать оба вещества
идеальными газами, до сжатия холодными, с у = 5/3. Если толщины тяжелых слоев
между собой равны (то же для легких слоев), т. е. система периодическая, то в ней
может идти ударная волна с периодически меняющимся давлением на фронте,
например, под действием равномерно движущегося поршня. (Очевидно, что перио-
периодичность установится не сразу, а лишь вдали от поршня.) Характер такого движе-
движения показан на рис. 17. Давление на фронте меняется периодически, испытывая
скачки на границах слоев и в местах, где его догоняют вторичные ударные волны —
результаты отражений от границ слоев. Если легкие слои много легче тяжелых, то
они сильно сжимаются, и движение будет отчасти похоже на ряд соударений тяже-
тяжелых слоев через упругие прокладки. Если каждый следующий тяжелый слой сде-
сделать тоньше предыдущего (то же для легких слоев), то при ударе он может полу-
получить большую скорость, следующему слою он передаст еще большую скорость
и т. д., т. е. ударная волна будет усиливаться. Это произойдет, однако, лишь в слу-
случае, если потери энергии при ударе на нагревание и остаточную кинетическую
энергию слоев будут невелики, т. е. эти качественные рассуждения позволяют

Явления неограниченной кумуляции
99
лишь предполагать усиление волны в некото-
некоторых случаях, доказать же его можно лишь
прямым расчетом. Такие расчеты проделали
А.А. Бунатян, Л.А. Бунатян и, позже, В.Ф. Ку-
ропатенко, но прежде, чем касаться результатов,
необходимо ознакомиться с общим характером
движения волны в системе с убывающими тол-
толщинами слоев.
Установив постоянное отношение толщин
двух соседних тяжелых слоев и такое же отноше-
отношение для легких слоев, получим систему, показан-
показанную на рис. 18. Относительные толщины всех
тяжелых слоев одинаковы,
Ьг
— = 8Т = Const,
*,-
для легких — ел = const. Край системы нахо-
находится при х = О, число слоев до него беско-
бесконечно велико; волна движется в сторону этого
края. Система автомодельна, при изменении
всех ее размеров в A-ет)A-ел) раз она
совпадает с исходной.
Рис. 17. Установившаяся ударная
волна в периодической слоистой
системе (р — давление на фронте
волны).
о
I
I
1
I
Т Л
Л
Рис. 18. Автомодельная слоеная система с убываю-
убывающими толщинами слоев (х = 0 — предел системы).

100
Е.И. Забабахин
Аналогичные автомодельные системы можно строить не только из пар слоев,
но и из троек, четверок и т. д., а также из непрерывно повторяющихся профилей
плотности, например, вида
или более общего вида
р =
р = х
Периодичность давления на фронте волны в таких системах сопровождается его
общим изменением в одинаковое число раз на каждой паре слоев (или на каждом
периоде) и для соответствующих значений х, например, на правых границах тяже-
тяжелых слоев, оно будет следовать степенной формуле
a
Для других соответствующих х (например, средин легких слоев) степень п
будет та же, но число a — другим.
Характер движения в такой системе показан на рис. 19 и 20. Оно может быть
автомодельным, но существенно более сложным, чем для однородной среды рас-
распределения р(х) (а также р(х) и др.)
будут подобны друг другу не для всех
моментов времени, а лишь для соот-
соответствующих, — например, для мо-
моментов входов волны в тяжелые слои
tx и t2, — т. е. мы встречаемся с ав-
томодельностью нового типа, а имен-
именно с автомодельностью периодиче-
периодической. Теперь для описания всего
решения необходим не один профиль
р(х), а все профили для целого перио-
периода, т. е. надо знать р, как функцию
не одной, а двух переменных на целом
участке плоскости (х, i), например, отмеченном горизонтальной штриховкой на
рис. 19. Поэтому задача не сводится к функции одного аргумента и обыкновен-
обыкновенным дифференциальным уравнениям и неизбежно приходится искать решение
уравнений в частных производных. Его можно найти численно, рассчитывая
движение волны через много слоев, при котором и вырабатывается автомодель-
ность, признаком которой служит появление повторяющихся профилей на кри-
кривой "In р — In x". Общий наклон ее даст показатель п.
В принципе не исключено появление решения с периодом, соответствующим
не одному периоду системы, а двум, трем и т. д. Нетрудно указать верхний предел
т л т л
Рис. 19. Периодическая автомодельная волна
в системе с убывающими толщинами слоев.

Явления неограниченной кумуляции
101
показателя кумуляции п. Если бы энергия от слоя к слою передавалась целиком,
то плотность ее была бы обратно пропорциональна расстоянию от края х, т. е.
Е ~ р ~ 1 / х. Таким образом, верхний предел для п в плоской волне есть единица
(для неслоеной однородной системы п = 0).
Вернемся к результату расчетов. Как и следовало ожидать, лучше других
оказалась система с сильным различием плотностей тяжелых и легких слоев
(рт /рл =25). Относительные толщины слоев были выбраны ет =0,1 и б =0,2.
Было рассчитано движение волны через 12 пар слоев и прослежено установление
периодической автомодельности. Волна действительно вышла на режим неограни-
неограниченного усиления с показателем п « 0,23. Таким образом, был найден пример
неограниченной кумуляции при одномерном движении, т. е. без симметричного
схождения к центру или к оси.
Отметим, наконец, еще одно
особое свойство автомодельных сис-
систем с размельчающимися слоями.
Мы доказали, что волна усиливается
в некоторых системах из холодных
газов. То же справедливо для силь-
сильной волны в конденсированных ве-
веществах, которые в сильной волне
ведут себя как газы, но для слабой
волны режим в них может быть дру-
другим. В самом деле, если слои кон-
конденсированы и могут проводить звук,
то первая волна в них, если она сла-
слабая, будет и дальше ослабевать в ко-
конечное число раз на каждой паре сло-
слоев (после каждой пары отражений
lnx
л
т л
Рис. 20. Пример поведения давления на фрон-
фронте усиливающейся периодической автомо-
автомодельной волны.
давление на фронте уменьшается, а вторичные волны, движущиеся на этот раз, как
и первый фронт, со скоростью звука, не догоняют его). В этом случае первая волна
неограниченно затухает.
Таким образом, для системы из конденсированных слоев существует крити-
критическая сила начальной волны, волна слабее критической неограниченно затухает,
сильнее — неограниченно усиливается.
10. Некоторые новые задачи
В рассматриваемой области можно указать несколько новых задач, решение
которых еще не получено, но может представлять интерес. Обратим внимание, что
почти в каждом из описанных случаев неограниченной кумуляции обнаруживалось
какое-нибудь качественно новое свойство, и нет основания думать, что этот поток
новостей иссяк.

102
Е.И. Забабахин
Сходящиеся ударные волны в веществе с фазовым переходом
Ударное сжатие вещества с фазовым переходом может обладать качествен-
качественной особенностью: если давление выше необходимого для начала перехода, а сам
переход выражен ярко (фазы сильно различаются по плотности), то вместо одной
ударной волны могут образоваться две, идущие друг за другом. В первой волне
происходит обычное ударное сжатие из А в В (рис. 21), во второй — сжатие с фазо-
фазовым переходом из В в F. Кривая BF не служит продолжением АВ, а является дру-
другой ударной адиабатой с исходным состоянием В.
Очевидно, что две волны будут лишь в тех случаях, когда вторая медленнее
первой, т. е. BF лежит ниже луча АВ, и если фазовый переход безынерционен или
путь волны много больше зоны релаксации.
Это явление впервые описали Д. Банкрофт, Э.Л. Петерсон и С. Миншалл [4].
В состоянии В есть две скорости звука — разрежение идет быстро (соответствует
крутому спуску кривой), волны сжатия — медленно (верхняя пологая ее часть).
Если сходящаяся ударная волна в процессе усиления достигает рв, то далее
она раздваивается, как показано на рис. 22. Первая волна ВМ будет иметь фиксиро-
фиксированную амплитуду рв, что, возможно, сохранится до фокусировки, и тогда это
будет первым примером фокусировки волны конечной (не расходящейся)
амплитуды. Может быть, представятся разные случаи для разных характеристик
фазовых переходов (например, разницы плотностей фаз) и других условий задачи.
Волна фазового перехода BN, по-видимому, перейдет в режим обычного
усиления.
Рис. 21. Ударное сжатие с фазовым перехо-
переходом, случай двухволновой конфигурации
(АВ—первая, обычная ударная волна; BF— вторая
ударная волна, с фазовым переходом).
О
Рис. 22. Сходящаяся волна в веществе
с фазовым переходом
(ВМ— первая волна постоянной амплитуды;
BN — ударная волна фазового перехода).

Явления неограниченной кумуляции	103
Несимметричная фокусировка
Во всех рассмотренных случаях фокусировка была симметричной, но, воз-
возможно, для неограниченной кумуляции это условие необязательно. В принципе, при-
пример такого движения можно построить, начиная с произвольного "фокусировочно-
го" состояния с достигнутой неограниченной кумуляцией и ведя расчет назад по
времени. Однако, найденные так начальные условия, как правило, не соответст-
соответствуют реальным движениям. Например, таким образом можно получить схлопыва-
ние пузырька в несжимаемой жидкости с мгновенным распределением скоростей
не типа \1 г , а типа Mr, что при расчете вспять приведет к утрате сплошности
жидкости и появлению в ней "пористости".
Пример несимметричной фокусировки для схлопывания пузырька или волны
в сжимаемой жидкости пока не построен, но он интересен хотя бы тем, что мог бы
дать представление о той несимметрии начальных условий, которая искажает фо-
фокусировку, но еще не устраняет факта неограниченной кумуляции.
Ударные электромагнитные волны в веществе
Ударные электромагнитные волны могут быть не только в вакууме, но
и в веществе. Если электромагнитные "константы" вещества е и ц зависят от силы
поля, то скорости распространения электромагнитных сигналов разной силы раз-
различны. В результате одни волны могут догонять другие, и, как в газодинамике,
в волне с плавным профилем может самопроизвольно возникать разрыв, т. е. удар-
ударная электромагнитная волна.
Этот интересный физический объект и его теорию описали А.В. Талонов
и Г.И. Фрейдман A959, 1960), указавшие также, что впервые этот эффект отметил
и использовал И.Г. Катаев.
Появляются сообщения о работах за границей, например, Дж. Розена [5], рас-
рассмотревшего конкретный вид нелинейных электрических свойств.
Следует ожидать, что такая ударная волна, будучи цилиндрической и сходя-
сходящейся, перед фокусировкой будет неограниченно усиливаться, т. е. факт разрывности
волны, видимо, открывает принципиальную возможность ее неограниченного уси-
усиления. Физической особенностью этого предполагаемого случая кумуляции будет
появление очень сильного поля внутри вещества, что может представлять интерес
для разнообразных приложений.
11. Гипотеза о неустойчивости кумуляции
Вопрос о том, чем ограничивается кумуляция, возникает каждый раз, когда
максимально полный учет физических факторов при постановке задачи все же
приводит к расходимости в ее решении. Например, даже неспециалисту интерес-
интересно, действительно ли при схлопывании воронки в воде от удара камня в фокусе
реализуются условия "звездной материи", как иногда пишут популярные журна-
журналы. Или, реализуется ли коллапс звезды каждый раз, когда это предписано

104	Е.И. Забабахин
макроскопическими параметрами (масса, плотность, температура звезды), или
"попытка" может быть неудачной из-за несимметрии в начале процесса и пот-
потребуется ее повторение?
В большинстве случаев есть очевидное ограничение со стороны атомизма, —
например, при схлопывании пузырька жидкость перестает вести себя как сплошная
среда, когда он становится по размеру сравним с атомом. Однако, количественно
этот предел очень далек. Так, для сантиметрового пузырька в воде при р0 = 1 атм.
он достигает и ~109 см/сек. Но и этот предел можно превзойти, увеличивая на-
начальный размер пузырька или р0.
Ограничений можно было ждать со стороны диссипации, но там, где влияние
ее удалось рассмотреть, этого не произошло (по крайней мере в некоторых слу-
случаях), т. е. факт неограниченной кумуляции сохранился. Это прослежено на приме-
примере влияния вязкости на схлопывание пузырька в несжимаемой жидкости (раз-
(раздел "Сферический пузырек в несжимаемой жидкости") и теплопроводности на
сходящуюся ударную волну (раздел "Сходящиеся ударные и детонационные
волны"). Таким образом, вопрос об ограничении кумуляции остается откры-
открытым. В связи с этим, автором A965) была высказана гипотеза, что всякая
неограниченная кумуляция неустойчива и, более того, что неустойчивость
не просто видоизменяет ее, но и устраняет вообще (из неограниченной делает ог-
ограниченной).
Это предположение не противоречит ни одному известному факту, и заман-
заманчиво было бы его доказать или опровергнуть примером. Пожалуй, опровергнуть
было бы даже интереснее, если вообще уместны какие-то пожелания в адрес зако-
законов природы.
Для мотивировки (не доказательства!) гипотезы можно указать примеры раз-
разрушения кумуляции сколь угодно малыми возмущениями.
Сходящиеся волны постоянной скорости. Сюда относятся ударные электро-
электромагнитные волны в вакууме и акустические волны сжатия и сдвига; расходимость в их
фокусе связана с одновременностью прихода туда фронта со всех сторон, что особенно
ясно из представления сходящейся волны как суперпозиции плоских волн, использо-
использованного Я.Б. Зельдовичем A957). Если симметрия волны нарушена, то при постоянстве
ее скорости это неизбежно расстраивает фокусировку, время встречи волн из нулевого
становится конечным, амплитуда не обращается в бесконечность. Таким образом,
асимметрия волны в этих случаях устраняет неограниченную кумуляцию.
Схождение жидкой цилиндрической оболочки. Рассмотрим оболочку из
несжимаемой жидкости, движущуюся к оси. Возмущение — медленное вращение
ее вокруг той же оси. Сначала оболочка тонкая, при схождении она утолщается,
вращение ее внутренних слоев усиливается и их центробежная сила ограничивает
схождение. Определим влияние возмущения на максимальную скорость, достигае-
достигаемую во всем процессе.

Явления неограниченной кумуляции	105
В момент остановки схождения остается только окружная скорость, распре-
распределенная как \1г, и кинетическая энергия единицы длины
E = npv2r2\n-,
г
где R и г — наружный и внутренний радиусы цилиндра, v — окружная скорость на
внутренней поверхности, являющаяся максимальной во всем процессе. Нетрудно
вычислить, что момент количества движения
Q = mrv,
где т — масса единицы длины.
Из этих условий получаем формулу для максимальной скорости
, = -Я-е^\
mR
При любом конечном возмущении Q величина v конечна, но она тем больше, чем
меньше Q (т. е. чем больше энергии сообщено в виде вращения, тем меньше ее макси-
максимальная концентрация во всем процессе). В этом примере дополнительная степень
свободы (вращение), будучи возбуждена сколь угодно слабо, постепенно отнимает всю
энергию основного движения (схождения) и ограничивает кумуляцию. При разлете
энергия вновь переходит к радиальному движению.
Коллапс вселенной. Известно, что решение уравнений общей теории относи-
относительности, описывающих вселенную, указывало на возможность ее коллапса. Однако
Е.М. Лифшиц, И.М. Халатников и В.В. Судаков в серии статей A960—1963) показали,
что этот результат связан с предположением о первоначально симметричном строении
вселенной, и что при начальной несимметрии коллапса, вообще говоря, не будет;
малые возмущения расстраивают картину "фокусировки" и делают кумуляцию
ограниченной и в этом случае.
Следует отметить, что неустойчивость коллапсов звезд менее очевидна, чем
в изученных случаях более простых явлений, в которых движение к фокусу пред-
предписывается лишь начальными условиями. В случае же звезды имеется дополни-
дополнительно постоянная тенденция к ее уплотнению в силу тяготения. Впрочем, рас-
рассматриваемый вопрос служит предметом специальных глубоких исследований
и явно выходит за пределы компетенции автора.
Сходящиеся ударные волны. Как упоминалось в подразделе "Ударные волны"
(см. стр. 82), Ю.С. Вахрамеев в 1965 г. приближенным исследованием установил,
что чем сильнее кумуляция, тем она неустойчивее к малым возмущениям. Это го-
говорит в пользу гипотезы, хотя не доказывает ее даже для этих случаев, так как рост
малых возмущений разрушает основной режим явления, но еще не исключает
неограниченной кумуляции в какой—то иной форме.

106	Е.И. Забавахин
Таким образом, во всех исследованных случаях устойчивости не оказалось:
малые возмущения растут, большие (где их удалось проследить) — устраняют
неограниченную кумуляцию вообще.
Примеров неограниченной кумуляции обнаружено и изучено много, и число их
растет, — теперь наиболее интересным вопросом в этой области стало не просто нако-
накопление фактов, но и их обобщение. Автору представляется, что наиболее интересным
является вопрос об ограничении кумуляции, а именно доказательство или опроверже-
опровержение общности их неустойчивости.
Если это свойство общее, то и доказательство его должно быть общим,
не зависящим от конкретного вида уравнений задачи (электро- или газодинамика,
разные конфигурации и уравнения состояния), что может служить указанием для
тех, кто пожелает заняться этой задачей.
В пользу предположения о неустойчивости говорит то, что фокусировка яв-
является состоянием исключительным, выделенным наличием особенности, и поэто-
поэтому множество фокусировочных состояний, видимо, в каком-то смысле беднее
множества начальных состояний. Тогда произвольное начальное состояние,
вообще говоря, к фокусировке не приведет, т. е. кумуляцию действительно устра-
устраняют любые произвольные возмущения, в том числе и малые.
Это соображение интуитивно, да еще относится к области множеств, где интуи-
интуиция обманывала, казалось бы, в очевидных вещах. Оно не имеет доказательной силы
и высказано лишь ввиду нескрываемого желания автора "заразить" читателя интерес-
интересной задачей.
Литература
1.	J. Fluid Mech., 1960, 8:2, 241-263
2.	Luftfahrt — Forschung, 1942, 19:9,302-312
3.	J. Fluid Mech., 1957, 2:3, 286-298
4.	J. Appl. Phys., 1956, 27:3, 291-298
5.	Phys. Rev., 1965, 139:2A, 539-543
Опубликовано в сборнике "Механика в СССР за 50 лет",
1917—1967, т. 2, Москва, 1970

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ НЕОГРАНИЧЕННОЙ КУМУЛЯЦИИ
Е.И. Забабахш
Показано, что все явления неограниченной кумуляции неустойчивы,
т. е. среди произвольных малых отклонений начальных условий от идеальных
всегда есть такие, при которых фокусировка (появление неограниченной
плотности энергии) нарушается.
Известные явления неограниченной кумуляции, такие как сходящаяся сфери-
сферическая ударная волна, схлопывающийся пузырек в жидкости, пинч-эффект при
импульсном разряде и другие, могли бы в идеале дать неограниченную концентра-
концентрацию энергии, что представляет большой интерес, так как сопровождается новыми
физическими явлениями, например, большой лучистой теплопроводностью, ядер-
ядерными реакциями и др.
Естественное ограничение кумуляции из-за атомизма (отличия реальных
сред от сплошных) всегда очень слабо. Не устраняет ее обычно и диссипация энер-
энергии из-за вязкости и теплопроводности. Неограниченная кумуляция была бы тех-
технически доступна, если бы она была устойчива, т. е. происходила и при отклонении
условий опыта от идеальных. Если же она неустойчива, то вероятность ее равна
нулю, максимальная плотность энергии конечна, и величина ее определяется мерой
неидеальности начальных условий.
Заметим, что неограниченная кумуляция нарушается не всяким изменением
начальных условий (например, годятся все состояния, проходимые системой после
идеальных начальных условий), также она не обязательно нарушается и при росте
малых возмущений (например, сферическая волна может превращаться в торои-
тороидальную, тоже неограниченно усиливающуюся и т. д.).
При неограниченной кумуляции объемная плотность энергии в некоторой
точке обращается в бесконечность, а обратная ей величина а — в нуль. Она неот-
неотрицательна, при ограниченной кумуляции afflin > 0, при неограниченной — amin = 0.
Соответствующее состояние называют фокусировкой.
Начальное состояние системы характеризуется распределением в простран-
пространстве независимых параметров сго(г), а также $0(г), Уо^) — (плотности, темпера-
температуры, скорости, магнитного поля и т. д.). Разбив нужную нам область пространства
на мелкие ячейки и выписав в каждой из них значения всех параметров, мы опи-
опишем начальное состояние множеством п величин или точкой в и-мерном простран-
пространстве. Различные начальные состояния соответствуют «-мерной области в этом про-
пространстве.
При всех возможных состояниях неограниченной кумуляции одна из п вели-
величин фиксирована — amin = 0 (условимся в каждой ячейке выписывать наименьшее
из значений а в ней). Таким образом, множество фокусированных состояний при
любом и занимает область на единицу меньшего числа измерений. Между точками
и- и (п — W -мепных областей при устойчивости должно быть взаимооднозначно

108	Е.И. Забабахин
соответствие, устанавливаемое уравнениями процесса, что еще не предопреде-
предопределяется неустойчивости, так как, в принципе, такое соответствие между областями
разного числа измерений возможно, например, точкам единичного квадрата
@, axa2 ...; 0, bjJ ...) взаимооднозначно соответствуют точки единичного отрез-
отрезка 0, a{ bx а2 Ъг... Однако такое соответствие не может быть непрерывным или
кусочно-непрерывным и никаким физическим процессам не соответствует. В са-
самом деле, если множество переменных Ху..хп непрерывно и однозначно отобра-
отображается на у^.--Уп_\, то
где ft — непрерывные функции. Из последних (и - 1) уравнений получаем
yx=gl(x2...xn),
Таким образом, yl...yn_l не зависят от jCj или далекие друг от друга точки
в первом пространстве (отличающиеся по х{) соответствуют одной точке во вто-
втором пространстве, т. е. требования непрерывности и однозначности вместе не вы-
выполняются.
Таким образом, непрерывного взаимооднозначного соответствия между точ-
точками областей с разным числом измерений быть не может т. е. при произвольных
вариациях начальных условий фокусировка не сохраняется. Это и значит, что
любая неограниченная кумуляция неустойчива или вероятность ее равна нулю
и предполагавшегося иногда свойства самофокусировки нет. (Заметим; что вероят-
вероятность реализации и любого другого amin > 0 также равна нулю как вероятность
попасть в данную точку на линии). Из тех же соображений следует неустойчивость
не только мгновенной кумуляции в точке, но и других ее разновидностей (на ли-
линии, на поверхности, в бегущей точке и др.).
Это утверждение высказано раньше в виде предположения в [1] и [2] и не со-
содержит принципиально нового по сравнению с выводом Лифшица, Судакова
и Халатникова [3] о невероятности неограниченного сжатия мира из-за хаотично-
хаотичности начального состояния, но отличается тем, что относится не только к явлениям
гравитации, но и ко всем случаям неограниченной кумуляции, в том числе к по-
попыткам ее реализации в технике.
Автор благодарен А.А. Бунатяну и Б.П. Мордвинову за полезные замечания.

Неустойчивость неограниченной кумуляции	109
Литература
1.	Забабахин Е.И. //УФН, 85, 721, 1965.
2.	Забабахин Е.И. Механика в СССР за 50 лет, т. 2, с. 313.
3.	Лифшиц Е.М., Судаков В.В., Халатников И.М. // ЖЭТФ, 40, 1847, 1961.
Опубликовано в журнале "Письма в ЖЭТФ", т. 30,
вып. 2, с. 97—99, 1979

по
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ	3
Б.П. Мордвинов
СТАЦИОНАРНОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ТЕЛА УДАРНОЙ ВОЛНОЙ	5
Е.И. Забабахин, НЕ. Забабахин
НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ	8
Е.И. Забабахин
РАЗРЫВЫ УДАРНЫХ АДИАБАТ И МНОГОЗНАЧНОСТЬ
НЕКОТОРЫХ УДАРНЫХ СЖАТИЙ	6(П
Е.И. Забабахин, В.А. Симоненко
ЗАПОЛНЕНИЕ ПУЗЫРЬКОВ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ	24
Е.И. Забабахин
О ПРЕССЕ СВЕРХВЫСОКОГО ДАВЛЕНИЯ	28
Е.И.Забабахин, И.Е.Забабахин
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ПОЛЯ И ИХ КУМУЛЯЦИЯ	35
Е.И. Забабахин, М.Н. Нечаев
'ПРИМЕР СТАЦИОНАРНОЙ НЕОГРАНИЧЕННОЙ КУМУЛЯЦИИ	48
Е.И. Забабахин, Б.П. Мордвинов
СХОДЯЩАЯСЯ УДАРНАЯ ВОЛНА В ТЕПЛОПРОВОДНОМ ГАЗЕ	51
Е.И. Забабахин, В.А. Симоненко
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В СЛОИСТЫХ СИСТЕМАХ	56
Е.И. Забабахин
КУМУЛЯЦИЯ ЭНЕРГИИ И ЕЕ ГРАНИЦЫ	62
Е.И. Забабахин
ЯВЛЕНИЯ НЕОГРАНИЧЕННОЙ КУМУЛЯЦИИ	69
Е.И. Забабахин
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ НЕОГРАНИЧЕННОЙ КУМУЛЯЦИИ	107
Е.И. Забабахин

Евгений Иванович Забабахин
Кумуляция и неустойчивость
Сборник научных статей
Ответственный редактор
Корректор
Компьютерный набор
Компьютерная верстка
Компьютерная подготовка
обложки
Горбатова Т.Н.
Потеряхина Н.И.
Репьева Н.Н.
Репьева Н.Н.
Ядринцева И.Е.

Лицензия ЛР № 021043
Печать выполнена с макета,
подготовленного Издательством РФЯЦ — ВНИИТФ.
Подписано в печать 20.03.98. Формат 70x100/16.
Гарнитура Тайме. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 9,1. Тираж 1000 экз. Заказ № 3231.
Адрес издающей организации:
456770, г. Снежинок Челябинской обл.
а/я 245, РФЯЦ — ВНИИТФ,
Факс: C51-72) 32077
Тел.: C51-72) 32104
E-mail: tagor@onti.ch70 chei su
http://www.ch70.criel.su/ru/vniitr/events/
Отпечатано в издательстве "Челябинский Дом печати"
454080, г. Челябинск, Свердловский пр., 60.