/
Author: Глаголев Н.А.
Tags: математика вычислительная математика издательство высшая школа номография
Year: 1961
Text
НОМОГРАФИИ
__ - - - i^Mll-A - I’ I |Г|-* 'I 'T--— rrr>
Н. А. ГЛАГОЛЕВ
КУРС
НОМОГРАФИИ
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для государственных университетов
И АННЕ ВТОРОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
«ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва — 1961
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая книга является учебником номографии для сту-
дентов физико-математических факультетов университетов и
пединститутов, в которых курс номографии введен в учебный
план. Содержание книги определяется программой по номогра-
фии, утвержденной ВКВШ для университетов. В книге изла-
гается общая теория номографических изображений и сооб-
щаются методы номографирования уравнений.
Для чтения книги необходимо наличие у читателя общего
математического развития и знаний по анализу бесконечно-
малых и высшей геометрии в объеме программы первых трех
курсов физико-математических факультетов, что соответствует
месту курса номографии в учебных планах университетов. В пе-
дагогических институтах, в которых номография включена в
курс анализа, от студента потребуются дополнительные знания
по высшей геометрии только при чтении дополнения I («Кол-
линеарное преобразование номограмм»); с содержанием этого
дополнения студенты пединститутов могут ознакомиться поз-
же, например на лекциях или практических занятиях по выс-
шей геометрии.
Кроме прямого назначения — служить учебником для уни-
верситетов и пединститутов, книга может также выполнять
роль пособия для преподавателей втузов, в которых читается
курс номографии, а также для студентов и аспирантов втузов,
желающих получить по номографии расширенные знания,
выходящие за пределы программ номографии, утвержденных
ВКВШ для втузов.
Н. Глаголев
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее, второе, издание книги Н. А. Глаголева «Курс
номографии» отличается от первого издания лишь незначитель-
ными изменениями редакционного характера.
В него включены три новых дополнения, в которых рассма-
триваются некоторые вопросы номографии, не освещенные в
первом издании.
Дополнение III «Бездетерминантный метод построения но-
мограмм» написано А. А. Глаголевым, дополнение IV «О номо-
графировании уравнения методом Келлога» и дополнение V
«О проблеме общей анаморфозы» — С. В. Бахваловым.
ВВЕДЕНИЕ
Номографией называется область математики, в которой
рассматривается теория построения номограмм — особых
чертежей, служащих для решения различных уравнений.
Слово „номография" — греческое: vopoC — закон, чрдар® —
пишу. Название это объясняется тем, что каждая формула,
для которой строится номограмма, выражает обычно закон
течения какого-либо процесса или закон,. по которому изме-
няются различные переменные величины, входящие в данный
расчет. Номограмма — графическое изображение этого за-
кона. Название „номография" было установлено в 1890 г.
Международным математическим конгрессом в Париже.
Существенное отличие номографии от других графи-
ческих методов расчета и графической алгебры состоит
в следующем.
Графическая алгебра и графическое исчисление вообще
имеют задачей создать геометрические построения, эквива-
лентные различным аналитическим операциям. Графическое
умножение, графическое возведение в степень, графическое
решение уравнений, графическое интегрирование и т. д.
представляют собой систему построений, могущих заменить
с известным приближением арифметическое умножение и
возведение в степень, алгебраическое решение уравнений,
аналитическое интегрирование и т. д. Выполнение этих опе-
раций требует каждый раз последовательности построений,
приводящих в результате к графическому определению ис-
комой величины.
Номография имеет своей задачей построение чертежец,
эквивалентных данным формулам; пользование этими черте-
жами уже не требует никаких дополнительных построений.
Искомая величина отыскивается непосредственно на самой
номограмме путем прикладывания линейки к чертежу или
другим столь же простым приемом. Номограмма является,
таким образом, готовым инструментом для расчета по дан-
ной формуле.
Некоторые из таких чертежей-инструментов рассмотрены
в этой книге. По номограмме № 5, так называемой сетча-
той номограмме, можно вычислять момент инерции J прямо-
угольника с основанием b и высотой А относительно оси
симметрии, параллельной его основанию. Как известно, этот
момент инерции определяется формулой
J=™-,
12
По верхнему горизонтальному краю номограммы нанесены
значения основания Ь; по левому вертикальному — значения
высоты А; по нижнему горизонтальному и по правому вер-
тикальному — значения момента инерции J.
Чтобы по данным b и А найти соответствующее значе-
ние 7, поступают так: на верхнем крае номограммы отыски-
вают точку, соответствующую данному значению Ь, и заме-
чают проходящую через эту точку вертикальную
прямую; на левом вертикальном крае отыскивают точку,
соответствующую данной величине А, и замечают проходя-
щую через нее горизонтальную прямую. Далее нахо-
дят точку пересечения замеченных прямых и отмечают про-
ходящую через нее наклонную прямую. Эта последняя
отметит на правом вертикальном или на нижнем горизон-
тальном крае точку, отметка которой даст искомое значе-
ние J. Например, при А = 3 и Л = 20 имеем 7 = 2000.
На стр. 104 дана для той же формулы номограмма № 15
другого типа (так называемая номограмма аз выравненных
точек). Она состоит из трех параллельных прямых—„шкал".
Левая шкала — шкала высот (А), средняя — шкала моментов
инерции (7), правая — шкала оснований (&). Чтобы найти J
по заданным b и А, отыскиваем на шкалах b и А точки с за-
данными пометками и прикладываем к ним линейку. В точке
ее встречи со средней шкалой читаем значение J. Пример:
b = 12, А = 10, 7=1000*).
В настоящем курсе номографии мы ознакомимся с мето-
дами построения основных типов номограмм; этому посвя-
щены главы II, III и IV. Глава I носит вводный характер и
знакомит читателя с так называемыми функциональными
шкалами и функциональными сетками, являющимися необхо-
димыми элементами номограммы.
*) Объяснение способа построения этих номогоамм см. ниже.
ГЛАВА I
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ШКАЛЫ
И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СЕТКИ
§ 1. Функциональные шкалы и способы
их построения
1. Понятие о функциональной шкале. Пусть дана какая-*
либо функция г=/(х). Дадим х ряд значений: 0, 1, 2, 3, 4,
5... п и вычислим соответствующие значения функций: /(0),
/(1), /(2) ... /(»).
Возьмем прямую линию и на ней некоторую фиксированную
точку А. Отложим на этой прямой от точки А отрезки, рав-
ные (в некотором масштабе) значениям функций /(0), /(1),
/(2),..; в конце каждого из полученных отрезков поставим
пометку — черточку и рядом с ней напишем число, равное
тому значению аргумента х, для которого получен этот от-
резок.
Нанесенные таким образом пометки на прямой, вообще
говоря, не будут распределяться равномерно, их расположе-
ние будет иметь тот или иной характер в зависимости от
вида взятой функции /(х). Эта прямая с делениями, закон
расположения которых определяется характером данной
функции, носит название функциональной шкалы.
Существенным в этой шкале является то, что отклады-
ваются от начальной точки отрезки, равные значению
функции, тогда как надписи в конце этих отрезков указы-
вают на значение аргумента.
7
Рассматриваемая функция предполагается монотон-
ной—во всяком случае для тех значений аргумента, для
которых строится шкала.
Пример 1. Возьмем функцию У = ~'> Давая х ряд
целых последовательных значений 1, 2, 3, 4, 5... п, находим
л, 11111
соответствующие значения функции: —, —, —, у... —">
откладываем на прямой от некоторой начальной точки А
,11111 ,
отрезки, равные 1, —, у, — , — ...— в каком-либо опре-
деленном масштабе и в конце
г_____________ /_______ этих отрезков ставим пометки:
J 1 1 “ 1, 2, 3, 4, 5... п; получаем функ-
циональную шкалу, соответст-
Черт> вующую функции у = у- (черт. 1)
Пример 2. j = sinx. Измеряя х в градусах, будем да-
вать ему ряд значений с промежутком в 10°: 0°, 10°, 20°,
30°, 40°, 50°, 60°, 70°, 80° и 90°; вычисляя соответствующие
значения у, получим
Jo = sin 0° = 0,00,
ji = sin 10° = 0,17.
j2 = sin 20° = 0,34,
j3 = sin 30° — 0,50,
j< = sin 40° = 0,64,
js = sin 50° в 0,77.
= sin 60° = 0,87,
j7 = sin 70° = 0,94,
j8 = sin 80° = 0,98,
j8 = sin90° = 1,00.
Откладывая на прямой эти отрезки, мы ставим в концах
их пометки: 0°, 10°, 20°, 30\ 40э, 50°, 60°, 70°, 80° и 90°.
Полученная таким’ образом шкала есть функциональная
шкала синуса (черт. 2).
Длина отрезка, служащего
единицей, которой измеряются р цр гР зо° ыР scPб/РуРвРэР
значения функций, носит назва- j----1---'-1—'—1—1—ш*'
ние модуля шкалы. Сам этот
модуль измеряется в каких-либо Черт. 2.
общепринятых единицах длины —
миллиметрах, сантиметрах и др. Чаще всего его выражают
в миллиметра^.
Если обозначить величину модуля буквой т, то величина
отрезка, графически представляющего значение функции
у— f(x), будет, очевидно, mf(x).
Условимся во всем дальнейшем обозначать длину от-
резка, изображающего какую-либо величину а, символом а.
8
В таком случае длина отрезка, представляющего величину
функции у — f(x), изобразится символом у. Из предыдущего
следует: _
У = "?/(х).
Это равенство носит название уравнения шкалы.
Величина модуля шкалы выбирается в соответствии с ви-
дом функции /(х), пределами изменения аргумента, разме-
рами чертежа и степенью его точности.
При сложных номографических расчетах величины моду-
лей шкал обычно заранее не устанавливаются; их обозна-
чают какими-либо буквами (>ni, т2 и т. д.), оставляют не-
определенными до конца расчета и фиксируют лишь в самом
конце соответственно требованиям, предъявленным к чер-
тежу. В. простейших случаях величина модуля определяется
заданием длины шкалы и пределов изменения аргумента.
Делается это следующим образом.
Пусть дана функция fix) и требуется построить ее шкалу
для значений аргумента х, лежащих в пределах от Xi до х2.
Установим, каков должен быть модуль шкалы, чтобы ее
длина не превышала W миллиметров. Обозначим модуль
буквой т. Крайние точки шкалы, имеющие пометки Xi и Хг,
будут, очевидно, отстоять от начала отсчета на расстоянии
mf(x)i и mf(x2). Расстояние между этими точками равно
/п/(Хг)—mf(xi). Следовательно:
mf(x2) — mf(xi) = N;
отсюда
Л
т —-------------,
/(х2)-/(%,)
т. е. модуль шкалы равен ее длине, разделенной на разность
значений функции при крайних значениях аргумента.
При этом предполагается, как и всегда в номографии,
что функция fix) монотонна в пределах изменения х от
Х1 ДО Х2.
Пример. Определить модуль шкалы функции у = 1 -f-
-|-2х —х2 при изменении х от—1 до +1, если ее длина
равна 25 см. •
Прежде всего необходим^ проверить монотонность изме-
нения функции в интервале (— 1, Так как производная
этой функции
у' == 2 — 2х
обращается в нуль лишь при х=1, и при этом вторая про-
изводная у" отрицательна, то при х — 1 функция имеет мак-
симум, а при изменении х от — 1 до +1 она возрастает,
т. е. меняется монотонно.
9
Далее, согласно предыдущему, находим:
[ у]_гв—1== 2; [ == 2’,
I .УЬ^-Н [ -У]*=—1 — 2 ( 2) = 4;
25
следовательно, т = — см —62,5 мм.
4
Задача 1. На горизонтальной прямой линии даны две
точки М и N на расстоянии 12 см одна от другой, причем
N лежит вправо от М. Эти точки должны служить точками
деления шкалы функции y = 2tgx и иметь в этой шкале по-
метки 45° и 60°. Определить величину модуля т шкалы и
иоложение начала отсчета. Ответ: т — 81,9 мм. Начало
отсчета лежит влево от точки М на расстоянии 163,8 мм
от нее.
Задача 2. На вертикальной прямой с двух сторон ее
нанесены две шкалы: слева шкала sinx, справа — шкала tgx.
Модуль второй шкалы та=12,5 см. Обе шкалы имеют об-
щее начало; кроме того, на них совпадают точки с помет-
кой 60°. Определить величину модуля mi первой шкалы.
Ответ: mi = 25 см.
Задача 3. При каком соотношении между модулями
шкал предыдущей задачи совпадут точки с пометками 90°
на первой шкале и 45° — на второй? Ответ. m,i = mz.
2. Функциональная шкала и график функции. Обычным
методом построения функциональной шкалы является сле-
дующий: вычисляются значения функции, соответствующие
различным значениям аргумента на равных расстояниях друг
от друга, например: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. или 0, 10, 20, 30,
40, 50, 60 и т. д., и в некотором масштабе откладываются
на данной прямой линии. Но в ряде случаев можно дать
более простые способы построения шкалы. Так, если дан
график функции в виде кривой в декартовой системе коор-
динат, то построение функциональной шкалы может быть
выполнено весьма просто.
Пусть дана кривая, представляющая данную функцию
y=f(x). Нанеся на ось х равномерную шкалу 0, 1, 2, 3, 4,
5 и т. д., строим ординаты, соответствующие этим точкам;
длины этих ординат будут соответственно /(0), /(1), /(2),
/(3), /(4), /(5) и т. д. Если концы всех этих ординат мы
спроектируем на ось у, отметим черточкой на этой оси
каждую из полученных таким способом точек и поставим
около каждой черточки число, равное соответствующему
значению аргумента (черт. 3), то все эти черточки с числами
на оси у образуют функциональную шкалу данной функции.
Обратно, имея функциональную шкалу, можно просто
10
построить график функции; с этой
целью мы поместим функциональную
шкалу на оси ординат и через началь-
ную точку отсчета шкалы проведем
ось абсцисс с равномерной шкалой.
Проводя теперь из точек, имеющих
одинаковые пометки на осях коорди-
нат, прямые, параллельные осям, в
точках их пересечения будем полу-
чать точки графика функции.
Простейшим приложением функ-
циональной шкалы является быстрое
нахождение значений функции для разных значений аргумен-
та. Представим себе две шкалы: одну — функциональную,
другую — равномерную, построенные в одном и том же масш-
табе, т. е. при одном и том же модуле. Приложим
обе шкалы одну к другой так, чтобы их начальные точки
совпали. Если теперь взять на функциональной шкале точку
с пометкой х, то пометка равномерной шкалы, приходящаяся
против взятой пометки, дает значение функции, соответст-
вующее взятому значению х. Обратно, зная значение функции,
можно найти значение аргумента; для этого нужно найти
соответствующую пометку на равномерной шкале и прочитать
стоящую против нее пометку функциональной шкалы. Такое
соединение двух шкал носит название двойной, шкалы.
Примером двойной шкалы служит шкала синусов для уг-
лов от 0° до 90°, соединенная с равномерной шкалой от
0 до 1 (черт. 4). На этой шкале можно прочитать значение
синуса любого острого угла.
0° 10 20 30° 00° 50° 60° 70°00°30°
I----1----Н----г—<---,----1----Н----1--------1—н—Ч'
О 0,1 0,2 0,3 0,0 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 3
Черт. 4
Двойная шкала служит для вычисления значения функции
совершенно так же, как и таблица функции. Точность отсчи-
танных значений функции по функциональной шкале зависит
от выбора модуля. Преимущество шкалы перед табли-
цами состоит в ее большей наглядности и удобстве пользо-
вания.
§ 2. Примеры функциональных шкал
1. Проективная шкала. Проективной шкалой называется
шкала дробно-линейной функции
ах + ь a b / п
' У = —Т~Г > где . я Ф °-
сх 4" d cd
11
Эта функция, как известно, обладает тем свойством, что
сложное отношение четырех значений xt, х2, Хз, Xi аргу-
мента х равно сложному отношению четырёх соответствую-
щих значений уь у2,уз, функции, т. е.
Ул — У1 . У4 — 1'1 -<з — *1 . Xj — X, *)
Ул~ Ул ' Ул~ У4 Х2 — Х3 ’ х2 — Xt
Это равенство показывает, что сложное отношение четы-
рех точек проективной шкалы с пометками Xi, х2, х2, xt
равно сложному отношению четырех точек равномерной
шкалы, имеющих те же пометки. Так как сложное отноше-
ние четырех точек прямой не меняется при проектировании,
можно дать простой способ
построения шкалы дробно-
линейной функции, если на
этой шкале указаны пометки
каких-либо трех ее точек.
Пусть даны три точки Mi,
М2, и Мз проективной шкалы I
(черт. 5), имеющие соответст-
венно пометки Xi, х2 и Хз.
Проведем через одну из этих
точек, например через /Mi, ка-
кую-либо прямую и нанесем
на ней в произвольном масш-
табе равномерную шкалу II,
имеющую в точке Mi помет-
ку Xi. На равномерной шкале
возьмем две точки N2 и М с пометками х2 и Хз. Проведя
прямые M2N2 и замечаем, что точка Р их пересечения
в силу отмеченного свойства дробно-линейной функции слу-
жит центром перспективы обеих шкал — равномерной
и проективной, т. е. точки проективной шкалы могут быть
получены проектированием из точки Р точек построенной
равномерной шкалы с теми же пометками. Так, например,
точка N равномерной шкалы с пометкой х проектируется
в точку проективной шкалы той же пометкой х.
2х I 3
Пример. Возьмем функцию у =-------. Для построе-
ния ее шкалы дадим х три каких-либо значения, например
Х1 = 0, х2 = 2, хз = —1. Соответствующие значения функции
У-У1 — — 3, у2 = 7, уз — — у. Выберем на прямой линии
точку отсчета и отложим от нее отрезки в каком-либо
*) Это равенство легко проверить и непосредственным
вычислением.
12
-3 -2 -1
Черт. 6
масштабе, равные значениям у: — 3, 7, — ; в концах этих
отрезков поставим соответствующие значения аргумента:
О, 2, — 1 (наклонная прямая на черт. 6). Проведем теперь
через какую-либо из трех построенных точек проективной
шкалы, например через точку с по-
меткой 2, другую прямую линию и
нанесем на ней равномерную шкалу
в каком-либо масштабе так, чтобы
в точке ее пересечения с проектив-
ной шкалой стояла пометка 2. Соеди-
няя точки с пометками 0 и 0, —1 и
— 1, мы в пересечении этих линий
получим точку Р — центр перспек-
тивы. Проектируя из этого центра
все точки равномерной шкалы на проективную шкалу, будем
получать на проективной шкале точки с теми же помет-
ками *.
Таким образом, проективную шкалу можно строить, не
прибегая ни к каким вычислениям, если только известны
три каких-либо ее точки. Поэтому проективная шкала очень
часто задается не формулой, а тремя точками.
Наиболее часто встречаются проективные шкалы следу-
ющих функций:
1 х 1
У =-----1 у = — и у = ------.
шка-
шка-
Если функциональную шкалу / спроектировать из како-
го-либо центра на другую прямую и поставить в соответ-
ствующих точках этой прямой те же пометки, то получим
некоторую новую шкалу II, называемую проективной
лой данной функции или проективно-функциональной
лой. Такая шкала представляет функцию вида
д/ (-у) + Ь
cf(x) + d ’
и обратно, шкала всякой функции этого вида может
потучена проектированием соответствующим образом распо-
ложенной шкалы функции /(х) и притом построенной при
произвольном модуле.
Пример. Построить шкалу функции \ при модуле
ш = 50 мм.
быть
* Если через точку Р провести прямую, параллельную равномерной
шкале, то в пересечении ее с проективной шкалой на последней получим
точку, имеющую пометку а».
13
Напишем уравнение шкалы:
..50-:
1 + sin X
Возьмем прямую линию /, выберем на ней точку отсчета и
построим три какие-либо точки искомой шкалы, например
точки с пометками 0°,
30°, 90° (черт. 7). Через
одну из этих точек, на-
пример через точку с по-
меткой 0°, проведем про-
извольную прямую II и
построим на ней (с про-
извольным модулем) шка-
лу функции sinx, выбрав
за точку 0° этой шкалы
точку пересечения обеих
прямых. Таким образом,
точка пересечения обеих
шкал будет иметь общую
пометку на обеих шка-
лах. Соединяя точки с
пометками 30° и 90° на
обеих шкалах прямыми линиями, в точке пересечения будем
иметь центр проекции Р. Проектируя из этого центра шкалу
функции sinx, получим на данной прямой шкалу функции
1 + sin X
Задача 1. Построить проективную шкалу, имеющую
в трех заданных точках пометки 0, 1 и оо.
Задача 2. Определить, какую дробно-линейную функ-
цию представляет проективная шкала, имеющая в точках с
абсциссами 0, 1 и 10 соответственно пометки 0, — и
Задача 3. Показать, что если на проективной шкале
точка с пометкой со находится в бесконечности, то эта шка-
ла равномерная.
Задача 4. Показать, что шкалы функций и
сх -h d. сх +d
отличаются одна от другой лишь величиною модуля и поло-
жением начала отсчета.
Задача 5. Построить шкалу функции > если х
изменяется от 0° до 90°.
Задача 6. Построить шкалу функции ——.
sin х
14
Задача 7. Проектированием из некоторого центра шка-
лы функции tgx на прямой получена шкала, в которой точки
с пометками 0°, 45° и 90° находятся на равных расстояниях
одна от другой. Какую функцию изображает эта шкала? От-
2. Логарифмическая шкала. Возьмем функцию j=lgx
(логарифмы будем брать десятичные), выберем какой-либо
модуль шкалы, например, 5 см. Вычислим последовательно
логарифмы чисел от 1 до 10 с точностью до двух знаков
после запятой:
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
у = 1g X 0 1 0,3о'о,48 0,60 0,70*0,78 0,850,90 1 0,95 1
Отложив эти отрезки на прямой от выбранной на ней точки,
поставим в конце каждого отрезка соответственно числа 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Мы получим шкалу, носящую название
логарифмической, (черт. 8).
Эта шкала имеет очень '
много приложений в homo- ।--------—।---+——।. । ? ? f У
графин.
Отметим важнейшие ее
свойства. Если продлить Черт- 8
прямую линию с нанесен-
ными на ней делениями за точку с пометкой 10 и продолжать
откладывать на ней логарифмы чисел, ббльших 10, то легко
видеть, что точки с пометками 20, 30, 40 и т. д. до 100 бу-
дут совершенно так же откладываться на продолженной шка-
ле, как точки 2, 3, 4 и т. д. в первом отрезке шкалы.
В самом деле, 1g 20= lg 10 +1g 2= 1 + lg2; так как вся
длина промежутка с пометками 1 и 10 равна единице, то
ясно, что длина отрезка между точками с пометками 10 и 20
равна длине отрезка между точками . 1 и 2. Точно так же
расстояние между точками с пометками 10 и 30 равно рас-
стоянию между точками с пометками 1 и 3 и т. д. Отсюда
следует, что весь второй отрезок построенной шкалы между
точками 10 и 100 имеет совершенно ту же структуру, что и
первый отрезок — между точками с пометками 1 и 10. Таким
же образом, продолжив шкалу еще на 5 см и нанеся на нее
логарифмы чисел от 100 до 1000, получим в точности такую
же шкалу, какую мы имеем в первом отрезке, в промежутке
от 1 до 10, только вместо чисел 2, 3, 4 и т. д. на соответ-
15
<900
.400
800
700
600
500
600
300
200
ствующих местах будут стоять пометки 200, 300, 400
и т. д. (черт. 9).
Совершенно таким же образом, продолжив шка-
лу в другую сторону от точки О на расстояние
5 см и нанеся на полученном отрезке логарифмы
чисел от 1 до 0,1, очевидно, будем иметь там та-
кую же шкалу, как и в первом отрезке, только
вместо чисел 1, 2, 3, 4 и т. д. будут пометки 0,1,
0,2, 0,3, 0,4 и т. д.
Таким образом, получаем следующий результат:
логарифмическая шкала в точности
<00
90
80
70
60
50
60
30
20
воспроизводится между каждыми дву-
мя последовательными степенями де-
сяти.
Одним из важнейших применений логарифмичес-
кой шкалы является так называемая логарифмичес-
кая или счетная линейка. Устройство логарифми-
ческой линейки чрезвычайно просто, правила поль-
зования ею описаны в большом числе руководств.
Задача 1. Построить шкалу функции j/=lg(l-|-x)
в пределах 0^х^ 100.
Задача 2. Проектированием шкалы функции
1g х построить шкалу функции .
Задача 3. Построить шкалу функции —
в пределах 1^х^10, причем длина шкалы в этих
пределах не должна превышать 100 мм.
- 8
- 7
- 5
- 5
- 6
- 3
- 2
U3t
Черт.9.
§ 3. Функциональные сетки
1. Определение функциональных сеток. В номо-
графии часто приходится пользоваться системой
декартовых координат. При этом наносим на чертеж
не только оси координат, но и.строим на них рав-
номерные шкалы; через точки делений этих шкал
проводим прямые, параллельные осям, и получаем,
таким образом, сеть прямых, разбивающих всю
плоскость на малые квадраты. Обычно в номографии
пользуются миллиметровой бумагой.
Представим себе, что на осях координат на-
несены не равномерные, а функциональные
шкалы, соответствующие каким-либо функциям <р (х)
и <р(у). Пусть уравнения этих шкал будут
х = т<р <х), у=«'!'(у).
Проведем через точки деления с пометками 1, 2, 3, 4ит.д,
(или, еще чаще, 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 и т. д.) прямые, параллель-
ные осям координат. Мы получим, таким образом, некоторую
новую сетку, разбивающую плоскость на прямоугольники.
Их формы и размеры определяются характером функций <р и
ф. Полученная таким образом сетка носит название функцио-
нальной сетки.
Пусть дано какое-либо уравнение, связывающее коорди-
наты х и у:
f(x, y)=Q.
Бели построить точки, координаты которых удовлетворяют
этому уравнению, на обычной декартовой сетке, то получим
некоторую линию — назовем ее С. Будем делать аналогич-
ное построение на сетке функциональной; построим точки,
проекции которых на оси координат имеют пометки х и у,
удовлетворяющие этому_уравнению. Мы получим на ней не-
которую кривую линию С . Если, например, на первоначаль
ной сетке имеем кривую С, изображенную на черт. 10а, то
на функциональной сетке получим новую кривую С совер-
шенно иного вида (черт. 10, Ь). Форма кривой будет опреде-
ляться видом функций <р и ф.
У У=пф(У)
Черт. 10
Таким образом, одно и то же уравнение может на раз-
личных функциональных сетках представлять различные кри-
вые. Каждая пара функций ? и ф осуществляет преобразо-
вание кривой С в новую кривую С. При этом преобразо-
вании следует иметь в виду, что, вообще говоря, каждому
х может соответствовать несколько значений х и каждому
у—несколько значений у, а следовательно, паре значений
(х, у) могут соответствовать несколько пар значений (х,.)).
В-MJ. Н. А. Глаголев-2 17
Если при этом пары (х, у) удовлетворяют уравнению кривой
f(x, jv) = O, т0 в одну и ту же точку кривой С будут пе-
реходить различные точки кривой С, и мы получим неод-
ноз начное соответствие между точками кривых С и С.
Это неудобство устраним тем, что будем рассматривать
не всю кривую f(x, у) = 0, а только ту часть, которая отра-
жается взаимно однозначно на кривую С. Аналитически это
значит, что берутся не все значения х и у, а та их область,
которая находится во взаимно-однозначном^ соответствии с
соответствующей областью значений х и у. Этого бывает
обычно достаточно для решения номографических задач.
Обычно функциональные шкалы на осях координат выби-
раются для упрощения данной линии; так как самой простой
линией является прямая, то стремятся выбрать функциональ-
ные сетки так, чтобы данная линия превращалась в прямую.
2. Логарифмическая сетка. Особенно часто применяется
в номографии логарифмическая сетка, когда на осях коор-
динат построены логарифмические шкалы. С помощью этой
сетки можно .выпрямлять' различные кривые, особенно час-
то встречающиеся в номографических построениях. Возьмем,
например, кривую
ху — а.
Построим логарифмические шкалы на осях координат, т. е.
, положим _ _
x = lgx, y = lg^.
Чтобы посмотреть, в какую линию преобразуется данная
кривая (равносторонняя гипербола), логарифмируем ее урав-
нение; получаем:
lgx4-lgj = lga,
или _ _
x+y = \ga.
Это — уравнение прямой линии, отсекающей на осях коорди-
нат х и у равные отрезки длиной 1g а. При этом для взаим-
но-однозначного соответствия между точками гиперболы и
точками прямой надо выделить соответствующие части на
гиперболе и на прямой. Для выполнения данного преобразо-
вания необходимо, чтобы числа х и у были положительными;
следовательно, во взаимно-однозначном соответствии нахо-
дятся точки одной ветви гиперболы, лежащей в первой
четверти, и все точки построенной прямой.
Функциональную сетку можно применять для выполнения
некоторых действий, например для вычисления квадратов
чисел.
18
Графически можно выполнить возведение в квадрат и на
обыкновенной декартовой сетке следующим образом: постро-
ить параболу у = х2 и по заданной абсциссе х находить величи-
ны соответствующих ординат. На логарифмической сетке эта
парабола „выпрямляется". Полагаем х = 1g х и = ло-
гарифмируем уравнение параболы:
lgj/ = 21gx.
х и у, полу-
Ж Ирной ли"
на логарифмической сет-
Подставляя вместо х и у их выражения через
чим прямую у = 2х . На черт. 11 она отмечена
нией (левой). Построив эту прямую
ке, при помощи полученного чер-
тежа можно вычислить квадраты
чисел. Так, на чертеже пунктирны-
ми линиями указан пример: 2,52 =
6,25.
Рассмотрим другой пример.
Пусть требуется возвести в ква-
драт число 6. Для этого на лога-
рифмической сетке надо было бы
продолжить нашу прямую ~у — 2х
кверху, за пределы первого ква-
драта, и во втором квадрате, стоя-
щем над первым, найти соответ-
ствующую точку на этой прямой;
она имела бы ординату 36. На черт. 11
ство логарифмической шкалы — полностью повторяться меж-
этой точки нет. Но свой-
ду двумя последовательными степенями десяти — позволяет
избежать построения верхнего квадрата. Именно: предста-
вим себе, что лист бумаги разрезан по верхнему краю пер-
вого квадрата и верхняя часть листа спущена и наложена
на нижнюю; тогда часть прямой, лежащей в верхнем ква-
драте, окажется на нижнем квадрате, как указано на чер-
теже- Точки с пометками 20, 30, 40 и т. д. вертикальной
шкалы в точности совпадут с точками, имеющими пометки
2, 3, 4 и т. д., а потому можно не строить верхнего квадра-
та, а построить в нижнем квадрате отрезок прямой от сере-
дины нижнего края квадрата до верхнего правого угла. Этот
отрезок даст возможность находить квадраты чисел, когда
они больше десяти.
Нетрудно видеть, что при помощи этих двух отрезков
прямых мы получаем возможность возводить в квадрат лю-
бые числа. Так, если требуется возвести в квадрат число
однозначное, то квадрат его прочитаем непосредственно на
вертикальной шкале, причем если данное число стоит на го-
2*
19
ризонтальной шкале под первым наклонным отрезком, то
его квадрат однозначен; если же это число стоит под вто-
рой наклонной, то его квадрат двузначен, и пометку на вер-
тикальной шкале надо считать не единицами, а десятками.
Пусть требуется возвести в квадрат число 0,35. Берем
сначала число 3,5; на вертикальной шкале читаем его квад-
рат 12, 25 и так как данное число увеличили в 10 раз, то
его квадрат увеличился в 100 раз и 0,353 = 0,1225.
Точно так же можно производить и извлечение квадрат-
ного корня. Теперь пометки придется отсчитывать в обрат-
ном порядке, т. е. с вертикальной шкалы на горизонтальную.
Здесь может возникнуть вопрос, от какой из наклонных
линий нужно читать пометки на горизонтальной шкале.
Возьмем число 2025. Чтобы извлечь квадратный корень
при помощи нашей сетки, переставим в нем запятую на
четное число знаков так, чтобы целая часть числа имела
одну или две цифры. В нашем примере получим 20,25. Так
как целая часть этого числа есть число двузначное, то оно
получилось от возведения в квадрат числа, стоящего на го-
ризонтальной шкале под второй наклонной прямой, а потому
из точки с пометкой 20,25 вертикальной шкалы ведем гори-
зонтальную прямую до пересечения со второй наклонной
и под полученной точкой читаем пометку 4,5. Так как в на-
шем числе запятая была передвинута на две единицы влево,
то теперь для нахождения значения корня ее нужно пере-
двинуть на одну единицу вправо; получаем К2025 = 45.
При определении числа знаков корня нужно различать
два случая: когда подкоренное число содержит целую часть
и когда оно представляет собой правильную десятичную
дробь. В первом случае разбиваем целую часть числа на
грани обычным способом. Если в первой грани слева стоит
однозначное число, то результат получают под первой на-
клонной, если двузначное, то — под второй; число цифр в
целой части корня равняется числу граней в подкоренном
числе. Во втором случае разбиваем правильную десятичную
дробь на грани, отделяя по две цифры, начиная от запятой
вправо, предварительно приписав справа нуль, если число
десятичных знаков нечетное. Результат будет получаться
под первой или под второй наклонной в зависимости от того,
стоит ли в первой после запятой грани однозначное или дву-
значное число. Число нулей в корне, считая от запятой до
первой значащей цифры, равно числу нулевых граней в под-
коренном числе, считая от запятой до первой значащей
цифры.
Ту же самую логарифмическую сетку можно, очевидно,
применить для вычисления кубов чисел и извлечения кубич-
20
ных корней. Для этого необходимо построить не две, а три
наклонных прямых в первом квадрате логарифмической сетки,
именно — разделить верхнюю и нижнюю стороны этого ква-
драта на три равные части и соединить точки деления наклон-
ными прямыми, как указано на черт. 12. При этом первая
наклонная соответствует числам, ку-
бы которых однозначны, вторая —-
числам, кубы которых двузначны, и
третья — числам, кубы которых трех-
значны.
Логарифмическую сетку можно
применять к вычислению произволь-
ных дробных степеней какого-либо
числа. Пусть, например, нам прихо-
дится много раз вычислять значения
функции у—у х\ Логарифмируем
данное равенство: lg_y= — 1g х. Пола-
гая lgx=x и 1g у = у, получаем на
логарифмической сетке прямую ли-
нию у = —х. Построив эту прямую,
вычислять нужные значения наших корней.
Другое применение логарифмической сетки — установле-
ние ф°РмУл для эмпирически найденных зависимостей.
Допустим, что опытным путем установлена зависимость
между двумя величинами. Значения величин записаны в виде
таблицы:
получаем возможность
*1 I *2
*3
х4... хп
У1
У2 Уз
У1 ... Уп
Установить аналитическую зависимость между величинами х
и у по этой таблице часто бывает очень трудно. Если рас-
сматривать х и у как декартовы координаты точки, то каж-
дой паре значений (xi, yi) будет соответствовать определен-
ная точка на плоскости, и таблица даст систему точек на
плоскости. Соединяя эти точки плавной линией, получим
приближенное графическое изображение зависимости величин
х и у. По этому графику довольно трудно бывает подобрать
аналитическую формулу, выражающую искомую зависимость.
Между тем, если строить точки (х/, yi) на логарифмической
сетке (х, у), принимая х/ и yi за пометки на логарифми-
21
ческих шкалах Ох, Оу, то точки таблицы иногда распола-
гаются по прямой или по мало искривленной линии, которую
в первом приближении можно принять за прямую. Уравнение
этой прямой легко составить, определяя по чертежу ее угло-
вой коэффициент k и начальную ординату Ь:
у — Лх + Ь,
или, так как _y = lg_y, x = lgx, то
lgj/ = Algx-f-lgZ>.
Отсюда
у — bxk.
Это и есть искомая зависимость между величинами х и у.
Такой способ применим, конечно, не всегда, так как на
логарифмической сетке может и не получиться прямой линии
и даже линии, близко подходящей к прямой. В таком слу-
чае пробуют брать другие функциональные сетки, стараясь
отыскать такую сетку, на которой зависимость изобража-
лась бы прямой линией.
Часто приходится пользоваться так называемой полуло-
гарифмической, бумагой, где масштаб по оси абсцисс лога-
рифмический, а по оси ординат — равномерный. На такой
сетке выпрямляется график зависимости вида
у — aekx.
Задача 1. На какой функциональной сетке выпрямля-
ются кривые х2 + у2 = г2; у — sin х; у = аж?
Задача 2. Выпрямить гиперболу ху = а без логарифми-
рования.
Задача 3. Показать, что всякая кривая /(х, у)=Ов
области монотонного изменения у может быть выпрямлена
в равнодедящую координатного угла.
ГЛ ABA 11
ДЕКАРТОВ АБАК ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
(СЕТЧАТЫЕ НОМОГРАММЫ)
§ 1. Основная форма декартова абака
1. Общий метод построения декартова абака. Пусть дано
уравнение
/(х, у, z)=0.
Будем рассматривать х и у как координаты точек на
плоскости, az— как параметр. Давая z различные числовые
значения, получим семейство кривых с одним параметром
(черт, 13). Если кривые этого семейства вычерчены с доста-
точной точностью (на миллиметровой бумаге), то полученным
чертежом можно пользоваться для нахождения значения
одной из переменных величин х, у или z по заданным зна-
чениям двух других.
Пусть даны значения х и у, строим на чертеже точку с
координатами х, у и отмечаем, какая из построенных нами
кривых проходит через эту точку. Значение параметра, соот-
ветствующего этой кривой, будет давать значение z, соот-
ветствующее взятым значениям х и у. Если полученная точка
не лежит ни на одной из построенных кривых, то мы отметим
ту кривую, которая ближе всего проходит к этой точке, или
те две последовательные кривые семейства, между которыми
данная точка находится. Соответствующие значения пара-
метров кривых дают приближенное значение z.
Чтобы легко было читать значения z, соответствующие
кривым семейства, каждую кривую снабжают особой помет-
23
кой, указывающей значение параметра, для которого кривая
построена (см. черт. 13). Если нужно по значениям z и х
найти соответствующее им значение у, то выделяют кривую,
соответствующую значению z, и отыскивают на ней точку,
абсцисса которой равна значению х; ордината этой точки
даст значение у.
Черт. 13.
Полученная номограмма и носит название сетчатой но
рограммы или абака Декарта (черт. 13).
Первым примером номограммы этого типа была номограм-
ма, построенная Пушэ в 1795 г. для умножения чисел. Эта
графическая таблица умноже-
z? го 20 зо оо so 60 70во /ш ния представляет собой номо-
Черт. 14.
ведение двух чисел х и у.
Замечание. Когда на
грамму уравнения xy = z. При-
нимая х и у за координаты точ-
ки и z — за параметр, получаем
на декартовой сетке семейство
гипербол с общими асимптотами,
совпадающими с осями коорди-
нат (черт. 14). Каждой гипербо-
ле соответствует свое значение
параметра z Это значение z над-
писываем у краев чертежа около
каждой гиперболы и таким об-
разом имеем возможность пря-
мо по чертежу находить произ-
практике приходится делать по-
строение номограммы, то величины, входящие в уравнение,
24
изменяются обычно в заранее установленных пределах, и
потому фактически приходится строить лишь ту часть номо-
граммы, которая соответствует пределам изменения данных
величин. Это — так называемая рабочая часть номограммы.
При построении номограмм очень важно, чтобы номограмма
помещалась по возможности в центре чертежа, имела подхо-
дящие размеры и достаточную частоту линий на абаке; эта
частота определяется требуемой степенью точности вычисле-
ний. При непосредственном изображении данного уравнения
на декартовом абаке далеко не всегда рабочая часть номо-
граммы оказывается удовлетворяющей всем этим требова-
ниям, и возникает задача — преобразовать номограмму так,
чтобы рабочая ее часть приняла наиболее удобный вид.
Простейшим таким преобразованием служит изменение мас-
штабов по осям координат.
Пример (номограмма № 1). Возьмем уравнение, выра-
жающее зависимость- пути s, пройденного падающим телом
за время t при'начальной скорости т)о:
s = <uat-\-^.
Линейной зависимостью связаны здесь величины t»o и s —
примем их за координаты точек, тогда на декартовом абакё
будут прямые линии. Пусть Vo — абсцисса, $ —ордината, а
угловым коэффициентом каждой прямой будет параметр t
этого семейства прямых. Допустим, что время t изменяется
в предел1Х от 0 до 9 секунд, а начальная скорость т>о изме-
няется в пределах от 0 до 500 см в секунду. Построим но-
мограмму, соответствующую этим пределам изменения пере-
менных ш и t.
Сначала вычисляем рабочую часть. Ее ширина, очевидно,
соответствует интервалу изменения начальной скорости, а
высота определяется максимальным значением пути s. Вы-
числяем это значение:
$ = + 500 • 9 = 44230,5 см.
Чтобы эта величина поместилась на чертеже, нужно подо-
брать соответствующие масштабы по осям координат. Обо-
значим модуль шкалы s через v, модуль шкалы — через у-,
тогда высота номограммы будет равна 44230,5 v, а ширина
ее —500 р-. Задавшись размерами номограммы в 25 см по
оси абсцисс и в 22,5 см по оси ординат, найдем, что модуль
25
Номограмма Ni
Уравнение движения падающего тела
s=Vot*
зкг
г
Сетчатая номограммо-декартовадак
25 см
шкалы должен быть равен ——, а модуль шкалы 5 равен
500
22,5 см
44230,5
т. е.
CXrL X. 1
у, = 0,5 мм,
г . 2000
см.
26
Чтобы не выйти за указанные пределы номограммы, оче-
видно, достаточно принять v равным см = ^~мм; сле-
довательно, длина 1 мм по оси $ будет соответствовать
изменению s на 2 м.
Давая теперь t последовательно ряд целых значений от
1 до 9, получим семейство прямых линий, покрывающих пря-
моугольник со сторонами в 25 см и 22,5 см, который и пред-
ставляет номограмму № 1*.
Когда на сетчатой номограмме приходится находить точ-
ку пересечения прямой, параллельной одной из осей коорди-
нат, с одной из кривых семейства, то важно, чтобы линии,
определяющие положение точки, не пересекались под слиш-
ком малым углом; такое „косое® пересечение значительно
уменьшает точность определения положения точки, а следо-
вательно, и точность расчетов по номограмме. Чтобы избе-
жать косого пересечения, приходится иногда менять выбор
системы координат.
Рассмотрим, например, номограмму Пушэ уравнения ху=z
(черт. 14). По этой номограмме можно выполнять как умноже-
ние, так и деление чисел. Чтобы разделить одно число на дру-
гое, нужно делимое принять за значение величины z, а дели-
тель—за значение, например, х, тогда у будет определять част-
ное. На данной номограмме точка, определяемая значениями х
и z, будет находиться на пересечении двух линий: гиперболы,
соответствующей заданному z, и прямой, параллельной оси
у. Но если х есть малая величина, то пересечение этих ли-
ний будет очень косое, и точность результата ничтожна.
Чтобы получить номограмму, пригодную для выполнения
деления, надо в уравнении ху=г считать координатами
точки величины х и z, а параметром — величину у. В этом
случае на декартовом абаке получится семейство прямых
(с параметром у), выходящих из начала координат. Значение
параметра у будет угловым коэффициентом каждой прямой
семейства. Полученная номограмма изображена на черт. 15;.
на ней действие деления выполняется уже при помощи
ортогонального пересечения двух прямых. Эта номо-
грамма носит название радиантной номограммы деления.
Заметим, что при пользовании номограммой № 1 уравне-
ния s = vot-\-^- приходится находить пересечение двух
наклонных прямых, но для вычисления s по данным v и t эта
номограмма вполне пригодна; уменьшением масштаба по оси
*) В этой книге размеры номограмм не соответствуют тем размерам,
которые указаны в тексте.
27
s добиваются того, чтобы прямые на абаке уменьшили свои
углы наклона к горизонтальной оси, и для нахождения s
можно было бы строить точку пересечения прямых, встре-
х-----
Черт. 15.
Обратное действие — нахождение t по заданным значениям
и s — выполняется при помощи ортогонального пересечения.
Что же касается задачи определения величины г» по заданным
t и s, то здесь косое пересечение может слишком уменьшить
точность, и номограмма может оказаться непригодной.
2. Прямолинейный декартов абак. Из трех величин х, у
и z, входящих в уравнение f(x, у, z) = 0, можно любые две
принять за декартовы координаты точки на плоскости, а
третью — за параметр. Выгоднее всего принимать за коорди-
наты те величины, которые входят в наиболее простой форме;
если, например, две величины связаны линейной зависимостью,
то их выгодно принять за координаты точки, потому что в
этом случае уравнение будет давать семейство прямых линий.
Декартов абак, в котором линии семейства — прямые,
называется прямолинейным*. Уравнение /(х, у, z) = 0, до-
*) Если в уравнении f(x, у, z) = 0, линейном относительно х и у,
принять х и v за координаты точек, то полученное семейство прямых ли-
ний может иметь огибающую; эта огибающая получается, как известно,
д/
исключением параметра z из уравнений f(x, у, z) = 0 и — = 0. Позже
OZ
увидим, что эта огибающая в отдельных случаях может оказывать большую
помощь при отыскании наилучшей формы абака.
28
пускающее прямолинейный абак, очевидно, должно быть ли-
нейно относительно каких-либо двух из переменных величин
х, у и z; эти две величины и следует принимать за координа-
ты точки, чтобы получить прямолинейный абак.
Общая форма уравнения, допускающего прямолинейный
абак (в координатах х и у), следующая:
х? (z) + у^ (z) + х (z) = О,
где <p(z), <J»(z) и х (z) — какие-либо функции аргумента z.
Под этот тип подходят все трехчленные алгебраи-
ческие уравнения вида
хт + рхя + <7 = 0.
Если в этом уравнении величины р и q рассматривать как
координаты точки, а х как параметр, то получим семейство
прямых с параметром х. Давая этому параметру ряд после-
довательных значений, строим соответствующие им прямые
и ставим у каждой из них значение параметра. При этом
через одну точку (р, q) декартова абака может проходить
несколько прямых семейства. При помощи построенного абака
получаем возможность решать данное трехчленное уравнение:
зная коэффициенты р и q, строим точку (р, q)\ пометки всех
прямых, проходящих через эту точку, и будут давать иско-
мые корни уравнения *.
Пример 1 (номограмма № 2). Построить номограм-
му квадратного уравнения
x2+px + ? = 0,
причем р меняется в пределах от — 10 до +10, a q — в пре-
делах от 0 до —15.
Выбирая размер_ номограммы 200X150 мм, наносим на
осях р и q шкалы р — тр, q = nq, где тип — модули шкал.
♦) Заметим, что пометки прямых можно расставить вдоль какой-либо
из осей координат, для чего на этой оси нужно нанести соответствующую
функциональную шкалу. Предположим, например, что мы хотим расставить
пометки вдоль оси р. Найдем абсциссу точки пересечения прямой
хт + рхп + q = 0
с осью р. Полагая <7 = 0, имеем р = — хт~п, т. е. из оси р следует на-
нести шкалу функции/(л) — — *т~п- Следовательно, на оси будут нанесены
две шкалы: по одну сторону — равномерная шкала значений р, а по дру-
гую — функциональная шкала значений х Пометку прямой будем читать на
этой последней шкале в точке пересечения прямой с осью р. В частном
случае, когда в данном уравнении т — л = 1, функциональная шкала будет
совпадать с равномерной, а значения х и р в одной и той же точке оси
будут отличаться лишь знаками. Поэтому строить особую шкалу для х в
этом случае нет надобности.
29
Номограмма, М2
Квадратное уравнение
xz-tpx+q=O
__ Давая р наибольшее и наименьшее значения, получим:
pi = —10 т, />2=10 т. Длина шкалы р—р?—/1 = 10 т —
— (—10 т) = 20 т = 200, отсюда т —10 мм. _
Точно так же: = « • 0 = 0, 7г = л • 15, qz—^i=15 а—
— 0=15 п = 150, следовательно, л =10 мм.
Итак, р =10/, <7 = 10 откуда Р = ~, ? = -^Дан-
ное уравнение принимает вид 1
^- = 0
ю
р । ч _________1
или —------------- ~ = 1.
— 10х ’ — Ох3
30
Давая х последовательно значения, равные
— 0,5; - 1; -1,5; -2; ; —8,
+ 0,5; +1; +1,5; +2; ...; +8
и строя соответствующие прямые (по отрезкам —10 х if
—10 х2, отсекаемым на осях координат), получаем номограм-
му №2.
В качестве примера пользования этой номограммой решим
уравнение л2 + 2л: —8 = 0. Здесь р = 2, q = — 8; строим точ-
ку с этими координатами (она отмечена на номограмме; через
нее проходят прямые с пометками 2 и —4. Эти пометки и
являются корнями данного уравнения.
Пример 2 (номограмма № 3). Построить номограмму
уравнения
8з__д8з_в = о
по следующим данным: А меняется в пределах от 0 до 20,
В — в пределах от 0 до 4000, размер номограммы должен быть
200 X 150 мм.
з
Определим модуль шкал А и В, откладывая по осям коор-
динат A —mA и В — пВ:
Атах = т • 20= 150 мм, откуда /и = 7,5 мм
Вшах = п • 4000 = 200 мм, откуда п = 0,05 мм.
Т R"
Данное уравнение принимает вид 83------82——=0или
_ т п
А________В
8*----82------= 0. Напишем его в форме
7,5 0,05 * 1
——Ь—— = 1.
7,58 1 0,058»
Это уравнение представляет семейство прямых с пара-
метром 8, отсекающих на осях х и у соответственно отрезки
7,5 8 и 0,05 83.
Давая 8 ряд значений: 5, 6, 7,...,20, и строя соответст-
вующие прямые, получаем номограмму № 3.
3. Анаморфоза декартова абака. Декартов абак с семей-
ством прямых получается непосредственно для всех уравне-
ний, линейных относительно двух переменных. Для уравнений,
не обладающих этим свойством, получаем более сложные
формы номограмм. Но е> ли производить построение кривой
не на равномерной декартовой, а на какой-либо функцио-
нальной сетке, то форма кривой может сильно измениться,
и, в частности, кривая може! выпрямиться. Отсюда возникает
вопрос, нельзя ли преобразовать декартов абак —выбрать
такую форму функциональной сетки, на которой выпрямились
бы все кривые данного абака. Мы увидим ниже, что это не
всегда возможно*. Такое преобразование декартовой сетки,
выпрямляющее все линии абака, носит название его анамор-
фозы. Выполнение анаморфозы достигается введением на
осях координат функциональных шкал, выбранных соответст-
вующим образом.
Возьмем, например, уравнение 2х2 4- 3_у2 == z2. Рассматри-
вая х и у как координаты точки, потучаем на абаке семей-
ство концентрических подобных эллипсов.
Если теперь ввести на осях координат функциональные
шкалы х = /их2, у — пу2, то уравнение семейства кривых
абака примет вид 2х- -f- — = z2; семейство будет состоять
т п
из параллельных прямых. Вычертить такую номограмму зна-
чительно легче; пользоваться же ею можно совершенно так
* Пример преобразования декартовой сетки впервые дан Лаланом в
1843 г. в применении к номограмме нушэ (см. черт. 16).
32
же, как и первоначальной: на осях координат стоят пометки
значений х и у, расположенные по закону квадратной шкалы,
а на каждой прямой семейства ставится в виде пометки зна-
чение параметра г, соответствующее этой прямой.
Пример (номограмма № 4). Возьмем номограмму Пушэ
уравнения xy = z. Произведем логарифмическую анаморфозу
этой номограммы, вводя на осях координат логарифмические
В-232. Н. А. Глаголев — 3
33
шкалы х = 1g x, ,y=lg.y. Логарифмируя данное уравнение,
получим
lg-«+lgJ = 1g* или x+J=lgz.
Это уравнение представляет собой семейство параллельных
прямых, отсекающих на осях координат равные отрезки.
Таким образом, после анаморфозы семейство гипербол
перешло в семейство прямых линий. Заметим, что здесь нет
необходимости наносить пометки, определяющие значения z
для каждой из полученных прямых вдоль самих прямых, так
как значение параметра z, соответствующее какой-либо пря-
мой, в точности равно пометке на осях х или у в точке их
пересечения с этой прямой. В самом деле, отрезок отсекае-
Черт. 16
мой прямой на каждой оси от на-
чальной ее точки равен 1g2, а так
как на осях координат нанесены
логарифмические шкалы, то в кон-
це такого отрезка стоит значение z.
Номограмму можно, следователь-
но, представить в виде, изображен-
ном на черт. 16, прочитывая значе.
ние произведения z = ху на любой
из осей координат. Но при этом
многие точки, представляющие зна-
чение z, лежат за пределами рабо-
чей части чертежа. Поэтому удоб-
нее придать чертежу вид номограм-
мы № 4: значения х отмечены на верхнем крае номограммы, а
пометки z снесены на нижний горизонтальный и правый вер-
тикальный края.
Рабочая часть построенной номограммы часто оказывается
лежащей на значительном расстоянии от начала координат.
Такое удаление рабочей части номограммы от исходной точки
построений представляет собой существенное неудобство.
Чтобы избегнуть этого неудобства можно соединить форму-
лы анаморфозы с формулами параллельного перенесения осей,
т. е. вместо анаморфозы
x = m<f(x), y = nty(y)
взять следующую:
х=»г<р(х)4-а, _У = пф(.у)-}-р
и выбрать величины а и ? так, чтобы рабочая часть номо-
граммы помещалась вблизи начала координат.
34
Пример (номограмма № 5). Построить номограмму фор-
мулы, выражающей момент инерции прямоугольника относи-
тельно оси его симметрии, параллельной основанию:
12
где b и h — основание и высота прямоугольника, изменяю-
щиеся в пределах: b от 1 до 100, h от 10 до 2С0. Размер
номограммы должен быть 150X200 мм.
Логарифмируем данную формулу:
W = lg* + 3 IgA — lg 12,
Примем за координаты величины Ь и А. Введем на осях
следующие функциональные шкалы: 6 =/в lg A, A = n(31gA—
— lg 12). В таком случае уравнение линий абака, очевидно,
будет
Полученное, уравнение представляет семейство параллель-
ных прямых. Определим модули шкал & и А, исходя из дан-
ных размеров номограммы.
Длина шкалы А, равная по условию 150 мм, очевидно,
должна быть в то же время равной /в 1g 100 — mlg 1 =2 т;
следовательно, 2/в=150 мм, откуда т = 75 мм.
Точно так же для п имеем
в(3 lg200 — 1g 12) —в(3 lg 10 —lgl2) = 3,9 /1 = 200 мм,
откуда
200 200 cn
n —— >— = 50 мм.
3,9 4
Следовательно, не выходя из данных размеров, можно
взять в = 50 мм. Приняв эти масштабы, производим градуи-
ровку шкал b и А. Для этой цели сначала находим крайние
точки обеих шкал. На оси b это точки _Ai=751gl=0,
Аг = 751g 100= 150 на оси А — точки Ai = 50 (31g 10 —
— Igl2)=96 мм, Аг = 50(3lg200 — lgl2) = 291 мм.
Таким образом, в этой системе координат номограмма
будет выглядеть так, как изображено на схематическом чер-
теже 17. Рабочая часть номограммы помещена_ на большом
расстоянии от нижнего края. Поэтому на осях Ъ и А следует
ввести функциональные шкалы следующего вида:
b = /в lg b + а, А = в (31g А —12) + ?•
Значения для модулей /вив будут прежние: т = 75 мм,
в = 50 мм.
3*
35
Номограмма Н5
Момент инерции прямоугольника
- bh3
J~12
Ъ
Сетчатая номограмма -
логарифмическая- анаморфоза декартова адака
36
Потребуем теперь, чтобы началь-
ные отметки шкал b и h находились
в начале координат. Для этого нуж-
но иметь
Ai = 751gl -}-а = 0, или <х = 0;
далее
Й1 = 5О(31g 10 — lgl2) + ? = 0
или
Р = — 50(3-1g 12) = — 96,
а потому наша анаморфоза принимает
вид:
b = 75IgA, A = 50(31gA — lgl2) — 96,
150 мм
200
h
10
*291 мм
i 100
b —~
Черт. 17
Уравнение семейства прямых на абаке принимает форму:
1g7
Ъ
75
ft 4-96
50
Нанося на осях шкалы b и Л, строим рамку номограммы
в форме прямоугольника, две стороны которого совпадают
с осями координат, а две другие соответствуют крайним
значениям Ь и h (b= 100, А = 200). Строим прямые семейства,
полученного внутри рамки, и расставляем их пометки по
нижнему горизонтальному и правому вертикальному краям
рамки, как это было сделано в предыдущем примере; пометки
же шкалы b наносим по верхнему краю. Окончательно полу-
чаем номограмму № 5.
4. Условие выпрямляемости абака Декарта. Поставим
теперь в общей форме задачу выпрямления линий абака при
помощи соответствующей анаморфозы. Легко видеть, что
задача отыскания такой анаморфозы разрешима не всегда.
В самом деле, после искомой анаморфозы данное уравне-
ние f(x, у, z)=0 должно изображаться номограммой в виде
семейства прямых и, следовательно, должно иметь вид
/1 (z) х + /2 (г)7+/з (z) = 0,
и если анаморфоза, приведшая первое уравнение ко второму»
выражалась равенствами («уравнениями анаморфозы*)
х = ?(х), у=)(у),
то первоначальное уравнение должно было иметь форму
/1 (г) ? (х) +/, (г) | (J)+/з (z) = 0. (1)
37
Таким образом, абак можно выпрямить только в том случае,
когда данное уравнение имеет форму (1).
Часто уравнение не записано в форме (1), но может при-
нять эту форму после различных тождественных преобразо-
ваний; поэтому возникает задача — установить те признаки,
которым должно удовлетворять данное уравнение, чтобы его
можно было привести к виду (1), т. е. чтобы для него суще-
ствовала анаморфоза, выпрямляющая его абак.
Предположим, что такая анаморфоза существует. В таком
случае, подставляя в уравнение f(x, у, z) — 0 вместо х и у
их выражения через х и у из уравнений анаморфозы, полу-
чаем преобразованное уравнение, связывающее х, у а г:
F(x, у, z) = 0.
Абак этого уравнения должен быть уже прямолинейным.
Геометрически это значит, что касательная во всех точках
каждой кривой абака имеет одно и то же направление, т. е.
что производная будет иметь постоянную величину при
dx
постоянном z; следовательно, эта производная должна быть
функцией одного только z:
-^ = Я(*).
dx
Дифференцируя уравнение анаморфозы и заданное уравне-
ние, мы имеем
dx — <?'(x)dx, dy = ^'(y)dy- — — — д?1дх .
Следовательно,
<у_Ф'(у) 4у_. У(>) dfldx _ р
dx f'W'dx <p(x) ’ dfldy {
откуда
—-—₽(z).
Видим, таким образом, что если уравнение f(x, у, г) = О
может быть после некоторой анаморфозы представлено в виде
номограммы, состоящей из прямых линий, то отношение
частных производных ~ и по координатам х и у пред-
ставляется в виде произведения трех множителей, из
которых каждый зависит лишь от одного переменного.
38
Покажем, что и обратно, если отношение частных производ-
ных по координатам от левой части данного уравнения пред-
ставляется произведением таких трех множителей, то данное
уравнение допускает анаморфозу, выпрямляющую декартов
абак.
Пусть
(2)
Выполним следующую анаморфозу:
x = fM(x)dx + C1, У=/^. (3)
Найдем угловой коэффициент касательной к преобразо-
ванной кривой, т. е. величину .
dx
Дифференцируя (3), находим dx = M (x)dx, dy = ^d^ ;
следовательно, =------------- — • Но, в силу условия (2),
dx M(x)-N(y) dx
==~^^==~~ M(x).N(y)‘P(z), а потому
ах dfjdy
Таким образом, если имеет место условие (2), то есть
dx
функция одного только z, и следовательно, во всех точках
одной и той же линии абака направление касательной одно
и то же, а это и значит, что линии абака — прямые.
Итак, для того, чтобы уравнение f(x, у, z) = 0 допускало
анаморфозу, необходимо и достаточно, чтобы отношение
частных производных его левой части по координатам
х и у представлялось произведением трех множителей,
из которых каждый зависит лишь от одного аргумента.
Представление отношения в форме произведения
трех множителей указанного типа не только доказывает воз-
можность анаморфозы, но и дает саму анаморфозу. Эта ана-
морфоза представляется равенствами (3).
Пример. Установить, возможно ли выпрямление абака
для уравнения
xz -f- yz"1 + 2x’z — 2у — 1 = 0.
39
В этом случае
^- = г + 6хЧ — = z2 —2; =
дх ду дх / ду г2 — 2
(1 + 6х^-^.
Это выражение имеет вид (2); следовательно, абак уравнения
выпрямляем. По формулам (3) находим и саму анаморфозу:
X = I (1 + 6х2) dx — X 4- 2х3 4- а,
где а и Э — постоянные числа.
Выполнив эту анаморфозу, получим уравнение семейства
прямых преобразованного абака:
(х — a)z-\-(y — ?)(z2 — 2) — 1 = 0.
Допустим теперь, что третий множитель в формуле (2)
есть постоянная величина, т. е. P(z) — const. Так как
P(z=^z, то все прямые преобразованного абака будут
dx
параллельны между собой. В этом случае
откуда, очевидно, следует равенство
дхду
(4)
Легко видеть, что и обратно, если имеет место равенство
,df /df
(4), то отношение — представляется произведением ви-
да (2) с постоянным значением третьего множителя. В самом
деле, интегрируя (4) сначала по х, затем по у, последова-
тельно найдем:
ду
fi (У),
где /г — произвольная функция;
где — произвольная функция.
Отсюда
df_/df_ _ af f, (y)dy . а (X) .
дх / ду
40
Полагая
а =®г(у), a/M'=®i(x),
имеем
= ®i (x) • ®2 (y), (4a)
dx/ ay 4 7
что и требовалось доказать.
Равенства (4) и (4а) равносильны одно другому. Каждое
из этих двух равенств является необходимым и доста-
точным условием того, что абак данного уравнения выпрям-
ляется в систему параллельных прямых. Это равенство
носит название условия Сен-Робера (St. Robert).
Поставим теперь вопрос: сколько различных ана-
морфоз может допускать данное уравнение?
Этот вопрос решают следующие две теоремы:
1. Если уравнение f(x, у, z) = 0 не уоовлетворяет усло-
вию Сен-Робера, то оно может допускать только одну
анаиорфозу [теорема Соро (Soreau)].
2. Если уравнение f(x, у, z) — 0 удовлетворяет условию
Сен-Робера, то оно допускает бесчисленное множество
анаморфоз.
Доказательство теоремы 1. Если уравнение
f(x, у, z) = 0 допускает анаморфозу, то имеет место равен-
ство (2) и сама анаморфоза представляется равенствами (3).
Допустим, что существует другая анаморфоза:
не совпадающая с анаморфозой (3). Тогда, как указан о выше
мы должны иметь
Сравнивая это равенство с равенством (2):
видим, что его можно представить в форме
Р(г) = ?'() 1
R(z) М(х) ' N(y)¥(y) '
Последнее равенство устанавливает некоторую зависи-
мость между х, у и z. Но такая зависимость уже установ-
лена заданным уравнением f(x. у, z) = 0 и по условию ника-
кой другой зависимости между величинами х, у и z не су-
ществует. Отсюда следует, что оба равенства должны быть
41
эквивалентны; другими словами, уравнение f(x, у, z) может
быть приведено к указанному виду. Полагая
^- = Z(z), — 21W- = X(x); ----------=K(J),
/?x(2) v ’’ M(x) v лг(у)ф' (у) J
можно представить его в форме
X(x)-Y(y) = Z(z). (5)
Следовательно, если существуют две анаморфозы, вы-
прямляющие абак уравнения f(x, у, z) = 0, то это уравне-
ние может быть представлено в форме (5). Непосредствен-
ной проверкой легко убедиться, что для уравнения (5) удо-
влетворяется условие Сен-Робера. В самом деле, в данном
случае
f—XY— Z, — = X'Y, ~-=XY';
дх ду
следовательно,
= iKfV/«r\=| r + 1 y
дх/ ду X Y' &\дх/ ду) X 1 Y'
И
____s \dx / ду /J _q
дхду
Отсюда следует, что если условие Сен-Робера не удовле-
творено, то уравнение не может допускать двух анаморфоз.
Доказательство теоремы 2. Найдем сначала об-
щую форму уравнения f(x, y,z)—0 в том случае, когда
для него имеет место равенство (4) или (4а). Заданное урав-
нение геометрически представляет собой семейство кривых
с параметром z. Мы должны, таким образом, определить
общую форму уравнения семейства линий на плоскости, для
которого имеет место условие (4). Составим сначала диффе-
ренциальное уравнение такого семейства; его общий интеграл
и даст нам искомую общую форму уравнения семейства.
Дифференциальное уравнение семейства можно получить,
продифференцировав уравнение f(x, у, z) = 0 по х, считая
у функцией х, a z — постоянным и исключив параметр из
двух полученных равенств
f(x, у, z) = О и — -f- — v' = 0.
дх ду ~
Такую операцию легко выполнить, если бы уравнение было
нам дано. Наличие условия (4а) позволяет выполнить эту
операцию исключения z, не зная вида функции f(x, у, z).
42
В самом деле, с одной стороны,
дх / ду ’
с другой стороны, из (4а) имеем
^/^==®1(л)-о>2(у).
дх / ду
Сравнивая эти выражения, находим искомое дифферен-
циальное уравнение семейства:
у'=—®i W-Mj).
Проинтегрировать это уравнение не представляет затрудне-
ний. Имеем:
= — <»i (x)dx,
“а (У)
откуда
Г -- dy. . — — f<»i (х)dx-j-C.
J <°а(у) J
Полагая
Г-^- = ^2(у), Ce>i(x)dx — Fi(x),
J ( У) J
получаем
Л(х)+Л2(у) = с.
В этом равенстве С — произвольное постоянное, параметр
семейства интегральных кривых. Так как в уравнении се-
мейства параметром служит переменное z, то для получения
окончательной формы уравнения мы должны положить С
равным произвольной функции z: C = F> (z), и уравнение
принимает вид
К(х) + К(у) = 1№-
Такова искомая общая форма уравнения f(x, у, z) = 0 при
наличии условия (4).
Последнее равенство можно представить в несколько
иной форме. Полагая
F1(x) = lgX(x), F2(y) = lgY(y), F3(z) = lgZ(z),
будем иметь
lgX(x)4-lg r(y) = lgZ(z)
или
X(x)-Y(y) = Z(z). (5)
43
Мы уже видели, что для уравнения вида (5) удовлетво-
ряется условие Сен-Робера. Покажем теперь, что абак такого
уравнения допускает бесчисленное множество анаморфоз.
Составив отношение —/—, получим
дх / ду
df /df X' (х)-У(у)
дх I ду X(x)-Y' (у)'
Это равенство можно написать в виде
df /df _ X' YXn __ X' Y Zn X' 1 yn
дх I dy Xtt+1 Yr Xn+1 ’ Y' ’ Y" Xn+1 * ’
т. e. в виде (2), где n — произвольное число.
Формулы анаморфозы (3) будут в данном случае следую-
щие:
*=£££—^+”’ у-(6)
где а и р — произвольные постоянные. Постоянные аир вы-
зывают лишь перемещение абака в плоскости ху, выбор же
числа п определяет характер самой анаморфозы. Давая п
различные значения, получаем бесчисленное множество ана-
морфоз, выпрямляющих абак данного уравнения.
Пример. Найти анаморфозу, выпрямляющую абак урав-
нения
xy = z.
Так как это уравнение принадлежит к типу (5), то оно
допускает бесчисленное
найдем по формулам (6):
множество анаморфоз, которые мы
’ dx __
хп+1~
——I- а, если п ф О,
ПХп
lnx-f-а при л = 0;
—+ ?> если л-т^О,
= п
1пу»4-Р при л = 0.
Полагая для простоты а = 0, р = 0 и беря л = 0,1,2,3,
будем иметь:
1) л = 0,
Лалана),
2) л = 1,
х = lnx=Allgx, j = lnj=AHgj (анаморфоза
3) п = 2,
— 1 —
х=~ —, у=у,
1 - у2
X —-----у=^-
2х2 ’ * 2
44
Примечание. При построении абака уравнения
/(л, у, z) = 0
необходимо выбирать за координаты точки те две перемен-
ные, относительно которых уравнение допускает анамор,
фозу хотя бы эти переменные и не входили в уравнение
в простейшей форме.
Так, например, уравнение л2у2 + z lg cos z — _y2 = 0 имеет
самый простой вид по отношению к переменным х и у, но
выгоднее за координаты точки принять лиг.
Действительно, легко проверить непосредственно, что по
отношению к переменным х и у абак уравнения не выпрям-
ляется, ибо равенство (2) в этом случае не имеет места; по
отношению к переменным х и z абак выпрямляется следую-
щей анаморфозой:
х — тх\ z = nz\g cos z.
§ 2. Абак Массо
1. Криволинейные (гауссовы) координаты. В тех случаях,
когда уравнение не допускает анаморфозы, пользуются дру-
гими приемами преобразования декартова абака, приводящими
к его упрощению. Одно из сильных средств — введение на
абаке криволинейных или гауссовых координат.
Пусть дана система прямоугольных декартовых коорди-
нат (х, у) на плоскости. Этой системе соответствует на абаке
равномерная сетка квадратов со стороною, равной единице.
Возьмем два каких-либо семейства линий на плоскости с од-
ним параметром; первое с параметром и:
?(*, у, и) = 0,
второе — с параметром v:
Ф(л, у, о) = 0.
Эти семейства выбираем так,
чтобы в рассматриваемой части
плоскости, границы которой опре-
деляются пределами изменения ве-
личин х и у, линии одного и того
же семейства не пересекались, а
каждая линия первого семейства
непременно пересекалась с каж-
дой линией второго семейства и
притом только в одной точке (черт.
18). В остальном оставляем наше
семейство линий совершенно про-
извольными. В таком случае через
Черт. 18
45
каждую точку рассматриваемой области плоскости будет
проходить по одной линии каждого семейства.
Если брать значения переменных и, v, х и у, не выходя-
щие за пределы их изменения, то очевидно, что каждой паре
значений и и v соответствует определенная пара значений
х и у, и наоборот. Таким образом, в данной области пло-
скости пара значений параметров и и v может совершенно
так же служить для определения положения точки на пло-
скости, как и пара ее декартовых координат х и у.
Точку с декартовыми координатами Хо, у0 строим по коор-
динатной сетке, отыскивая на осях Ох и Оу точки с помет-
ками х0 и у о и замечая прямые координатные сетйи, прохо-
дящие через эти точки.
Такой же прием можно применить при нахождении точки
по значениям параметров и и к. Именно, давая сначала
одному параметру, например «, ряд значений «0, Ui, «2, Из,
«4,..., ип и строя соответствующие им линии первого се-
мейства, снабжаем каждую линию пометкой, равной значе-
нию параметра, соответствующему этой линии. Совершенно
так же поступаем и со вторым семейством.
Мы получим, таким образом, сетку линий и, v, при помощи
которой можно строить точку непосредственно по значениям
параметров и и v. Параметры и и v — криволинейные или
гауссовы координаты точки. Очевидно, что декартовы коор-
динаты — частный случай криволинейных, когда семейства
координатных линий вырождаются в два пучка параллельных
прямых.
2. Общий абак Массо. Пусть дано уравнение, связываю-
щее три переменных величины (обозначим их, в отличие от
декартовых координат, через и, v, w):
f(u, чз, w) = 0. (1)
Будем рассматривать и и ч) как криволинейные координаты
точки на плоскости при некоторой произвольно выбранной
криволинейной сетке, состоящей из двух семейств помечен-
ных линий: (и) и (ti). В таком случае, если переменному w
дадим какое-либо постоянное значение, то уравнение (1) пред-
ставит некоторую линию в координатах и, ч>. Дав w другое
значение, получим другую линию, и, очевидно, каждому
значению w будет соответствовать своя линия на криволи-
нейной сетке. Таким образом, можно рассматривать w как
параметр семейства линий, представляемых уравнением (1).
Это семейство можем нанести на абак, для этого мы должны
дать чо ряд последовательных значений , W2, «г>з,... и вы-
чертить соответствующие линии. Около каждой из этих
линий сделаем пометку — надпишем то значение параметра чез,
46
7/------
Черт. 19.
определить w так, что-
для которого она построена. Таким образом, получим на
абаке всего три семейства помеченных линий (черт 19): коор-
динатное семейство (а), координатное семейство (v) и се-
мейство линий с параметром (w), представляемое уравне-
нием (1). Каждая линия в этих семействах имеет свою по-
метку: в первом семействе эта по-
метка есть значение и, во втором —
значение v и в третьем — значение
ж Из самого способа построения
семейства линий (w) следует, что по-
метки, и, v и “W для трех линий — по
одной из каждого семейства,— про-
ходящих через одну точку, должны
удовлетворять уравнению (1).
Отсюда следует, что чертежом 19
можно пользоваться для графическо-
го решения уравнения (1) совершенно
так же, как пользовались абаком Де-
карта для графического решения
уравнения /(х, у, z) = 0. Если даны
значения и = иа и т> = т>0 и требуется
бы удовлетворялось уравнение (1), то на абаке отыскиваем
в семействах линий («) и (ф) линии с пометками и0 и Фо и смо-
трим, какая линия третьего семейства (w) проходит через
точку их пересечения; пометка этой линии и дает искомое
значение ни. Этот новый абак носит название общего абака
Массо.
Абак Декарта есть частный случай абака Массо, когда
координатные семейства (и) и (к) составляют обычную декар-
тову сетку.
Таким образом, для получения абака Массо нужно по-
строить каждое из трех входящих в него семейств. Для
этого построения воспользуемся декартовыми координатами,
как вспомогательным средством, вычерчивая каждое из се-
мейств на декартовой сетке.
Мы определяли криволинейные координаты как параметры
семейства линий, задаваемых первоначально в декартовых
координатах. Эти семейства задаем уравнениями типа
<р(х, у, «) = 0 и ф(х, у, v) — 0. Вид этих уравнений и опре-
деляет форму криволинейной координатной сетки.
Третье семейство линий (w) представляется в криволи-
нейных координатах («, г») уравнением (1). Для получения
уравнения того же семейства в декартовых координатах
следует заменить в уравнении (1) и и (») их выражениями
через л и у. Другими словами, из равенств
<р(х, у, и)=0, ф(х, у, w) = 0, f(u, ф, «*)==0
47
следует исключить и и и. Результат исключения предста-
вится равенством вида
Х(х, у, w) = 0,
которое и дает искомое уравнение семейства (w) в декарто-
вых координатах.
Вычерчивая три семейства
<р(л, у, а) = 0, ф(х, у, г>) = 0 и х(Л» У> «0 = 0
на общей декартовой сетке, получим искомый абак Массо
для уравнения (1).
При выборе координатных семейств с параметрами и и v
необходимо стремиться к тому, чтобы все три семейства
линий состояли из простых и легких для построения линий.
3. Прямолинейный абак Массо. Следует, в первую оче-
редь, выделить специальный вид абака Массо, когда все
три семейства линий на абаке — семейства прямых линий.
Это — так называемый прямолинейный, абак Массо. Заметим,
что когда задано уравнение (1), то из трех линий семейств
два всегда можем выбрать прямолинейными, ибо за коорди-
натную сетку всегда можно взять два семейства прямых.
Но третье семейство в общем случае окажется при этом
семейством кривых линий. Случай, когда при прямолинейной
координатной сетке третье семейство линий есть также
семейство прямых, является специальным и, как мы увидим
далее, особо важным случаем, так как он определит собою
тип уравнений, для которых будут построены новые виды
номограмм.
Определим тот вид уравнений, для которых возможно
построение прямолинейного абака Массо.
Пусть дано уравнение
/(«, v, w) = 0. (1)
Примем и и v за гауссовы координаты точки и выберем
координатную сетку прямолинейной. Тогда уравнения коор-
динатных семейств будут обязательно иметь следующую
форму:
?1(«)-х + Ф1(м)-у + Х1(«) = 0,|
?2 («)••* + % (v) • У + Х2 («) = °-1
Уравнения семейства линий на абаке получим, исключая
параметры и и v из уравнений (1) и (2). В результате исклю-
чения получим соотношение между х, у и w, дающее третье
семейство линий абака. По условию это семейство должно
48
также состоять из прямых; следовательно, его уравнение
должно иметь вид
?3(да)-х+Ф3(®)-.у+х3(а>)=о, (3)
где <р3, Ф3 и.Хз — некоторые функции параметра w. Семейства
(2) и (3) и составят искомый абак Массо для уравнения (1).
Так как уравнение (3) явилось в результате исключения па-
раметров и и v из уравнения (1) и (2), то ясно, что и, обратно,
уравнение (1) может быть получено в результате исключе-
ния координат х и у из уравнений (2) и (3). Но такое исклю-
чение легко провести в общем виде. Действительно, три
уравнения (2) и (3) линейны относительно х и у; условием
их совместности является равенство нулю детерминанта
системы, т. е. равенство
?!<«) Ф1(«) Xi(")
<Р2(ч>) %(•»)
00
ХгС0) =°-
?з(®)
Х3(®)
Левая часть этого уравнения называется детерминантом
Массо.
Равенство (*) устанавливает некоторое соотношение между
и, v и w. Но соотношение между этими величинами уже
установлено уравнением (1). Отсюда вытекает, что уравне-
ния (и) и (1) должны быть равносильны одно другому, т. е-
что уравнение (1) может быть заменено некоторым уравне-
нием вида (те).
Обратно, если уравнение (1) имеет вид (те), то его можно
представить в виде прямолинейного абака. Действительно,
равенство (те) выражает не что иное, как условие прохожде-
ния трех прямых (2) и (3) через одну точку. А потому, по-
строив семейства прямых (2) и. (3) и снабдив каждую прямую
своей пометкой, равной значению ее параметра, мы и полу-
чим прямолинейный абак уравнения (те).
Пометки трех прямых, принадлежащих семействам (2) и
(3) и проходящих через одну точку, дадут значения пара-
метров и, v, w, удовлетворяющие уравнению (те).
Итак, чтобы для данного уравнения (1) было возможно
построение прямолинейного абака Массо, необходимо и до-
статочно, чтобы это уравнение было равносильно некоторому
уравнению вида (те). Это будет всякий раз, когда нам удастся
данное уравнение преобразовать к виду (те). Это преобразо-
вание даст прямой метод построения искомого абака, так
как по уравнению (те) можем составить уравнения (2) и (3),
дающие прямолинейные семейства абака.
В-232. Н. А. Глаголев—4 49
Таким образом, получаем следующий общий метод построе-
ния прямолинейного абака Массо для данного уравнения (1):
необходимо данное уравнение (1) разложить на три урав-
нения, линейные относительно двух вспомогательных пере-
менных, так, чтобы и коэффициенты каждого из этих
уравнений зависели лишь от одного из параметров u,v ww.
Эти уравнения и дадут искомые семейства прямых абака.
Общие методы подбора таких уравнений будут рассмот-
рены в гл. III, (§ 2 стр. 79); сейчас же ограничимся рассмот-
рением частных примеров.
Пример 1. Построить абак Массо для уравнения
sin и — sin v
W —.---------_
и — V
Выберем за координатные семейства («, г>) два следующих
семейства прямых:
х-\-у sin и-\-и — 0, x4-_ysin‘o4',y==0-
Семейство линий на абаке получим, исключив и и из
полученных трех уравнений. Вычитая второе уравнение из
первого, находим:
у (sin и — sin v) + и — v = 0 или у -1п ц ~sin ° _|_ j = Q,
и следовательно, имеем
yw Ц- 1 = 0;
это — уравнение третьего семейства прямых, параллельных
оси х. Построив три семейства прямых, мы и получим прямо-
линейный абак нашего уравнения.
Пример 2. Построить абак Массо для формулы объема
усеченного конуса данной (постоянной) высоты:
17= — (/?2 + г24-/?г), где h = const.
3
Представим эту формулу в виде
у___________________ r.h Ra — r3
3~‘ R — r
Принимая R и г за гауссовы координаты точки, возьмем
координатную сетку в форме двух семейств прямых:
/?3х + /?у + 1 = 0, г3хфг;+1=0.
Вычитая эти равенства одно из другого, поЛучим
(А*3 — г3) х 4- (/? — г) у — 0 или ~г = — —,
50
и следовательно,
Т7 nh / у \
V =-----(----— ) или у
3 \ х /
= ЗУ
nh
X.
При переменном V это уравнение дает пучок прямых с цент-
ром в начале координат.
Пример 3. Показать, что для всякого уравнения вида
F(w) =
можно построить прямолинейный абак Массо.
Выберем в качестве координатных линий два семейства
прямых:
(«) + («) +1 = 0 и *ф2 (у) + v|<2 (у) — 1 = 0. (а)
Складывая их, получим
х [<?1 (и) + ?2 (-»)] -ЬУ (“) 4- Фг ('»)J = 0
или
я>1 (а) + Фа (О)1 , п
Ы'О + 'М»)
т. е.
у =—F(w)-x. (b)
Три семейства (а) и (б) и составляют абак Массо данного
уравнения.
Данное уравнение легко привести к виду (it). Для этой
цели следует из трех линейных уравнений исключить пере-
менные х и у. Это исключение дает уравнение
<Pi («) Ф1 («)
?2 (п) 4*2 (»)
F(w) 1
-1 =0,
О
равносильное данному уравнению.
Примечание. Говоря о замене данного уравнения рав-
носильным ему уравнением вида (it), мы не требуем возмож-
ности фактического приведения уравнения к виду детерми-
нанта («). Такое преобразование может оказаться и невыпол-
нимым при помощи только элементарных операций анализа,
но тем не менее, если нам удастся установить существо-
вание таких девяти функций («), 4*1 (и), х, (а), <р2 (у), <|>2 (у),
Ъ (у)> ?з (®0> % (®\ Хз что уравнение (it) будет удовлет-
воряться теми же тройками значений и, v и w, что и дан-
ное уравнение (1), то можно утверждать возможность по-
строения для данного уравнения прямолинейного абака.
Функции же <pi («), Ф1(«) и т. д., т. е. отдельные члены
4* 51
детерминанта (я), могут и не иметь явного аналитического
выражения в элементарных символах,— они могут быть опре-
делены неявно с помощью некоторых уравнений.
Пример (номограмма № 6). Возьмем уравнение
uv + 1g О*2®2 4- 1) = w.
Представить его непосредственно в форме детерминанта (я),
очевидно, нельзя, так как в выражении lg(a2o2-|-l) нельзя
разъединить переменные и и v. Тем не менее, уравнение
^Номограмма нб
u.v+lg(u,zVltl) = vj
aba к Массо
52
определяет произведение uv как неявную функцию от да и,
следовательно, равносильно некоторому уравнению вида
wo = /(да), где /(да) — неявная функция. Построить прямоли-
нейный абак для этого уравнения не представляет затрудне-
ний.
Логарифмируем:
lg« + lgs' = lg/(«»)
и принимаем за координатные семейства пучки прямых
x = lg«, у = 1g
параллельных осям координат. _ _
Семейство линий абака будет х + у = 1g/(да), т. е. се-
мейство прямых. При этом пометки прямых можно получить
непосредственно из данного уравнения. Зафиксировав в нем
одно из переменных, например положив к = 1, будем в по-
лученном уравнении
« + lg(«24- 1) = да
давать и ряд значений: «=1, 2, 3,... и находить соответст-
вующие значения да:
и
1
2
3
14-lg2 =1,3
2 + lg5 -2,7
З-j-lg Ю = 4
Это и будут пометки прямых абака, встречающих ось х
в точках с пометками и, равными 1, 2, 3,... Расставляя эти
пометки прямых абака вдоль оси (снизу), получим для дан-
ного уравнения номограмму № 6.
Кроме изложенного общего метода построения прямоли-
нейного абака Массо, можно во многих случаях дать более
простые приемы, применимые к отдельным видам абака. Од-
ним из наиболее важных типов прямолинейного абака Массо
является абак, состоящий из трех пучков прямых.
Посмотрим, для какого типа уравнений возможно построение
такого абака.
Пусть А, В и С —центры пучков, параметры которых
суть, соответственно и, v и да (черт. 20). Каждая прямая
в этих пучках имеет свою пометку, равную значению пара-
метра, для которого она построена. Пометки трех прямых,
проходящих через одну точку S, образуют тройку значений
переменных и, v и да, удовлетворяющих некоторому уравне-
нию, связывающему эти переменные. В самом деле, построен-
53
ный абак дает возможность по заданным значениям двух
переменных, например и и V, определить третью ® и, сле-
довательно, устанавливает вполне определенную зависимость
между ними.
Определим характер этой зависимости. Соединив точки
А, В и С, получим треугольник АВС. Прямая каждого пучка
пересекает противоположную сторону треугольника АВС.
Рассмотрим для определенности пучок с центром в точке А.
Возьмем какую-либо прямую этого пучка, например AM', она
имеет пометку, равную некоторому значению параметра и,
и в то же время пересекает прямую ВС в некоторой точке М.
Каждой прямой пучка А соответствует свое значение пара-
метра и. и своя точка М на прямой ВС. Между положением
точки М на прямой ВС и значением параметра и устанавли-
вается, таким образом, взаимно однозначное соответствие.
Положение точки М и на прямой ВС может быть опре-
делено отношением М, в котором эта прямая делит отре-
зок ВС: следовательно, М есть некоторая функция
от параметра и:
Л1 =Л (И).
54
CN
Совершенно так же найдем, что А2 =--есть некоторая
АА
функция параметра
АР
и — есть функция параметра w.
Если прямые AM, ВМ, СР проходят через точку 5, то
в силу теоремы Чевы*
АР ВМ CN , , . . ,
-------.---=1, или Л1Х2л3=1.
РВ MCNA
Это равенство устанавливает зависимость между парамет-
рами и, v и w.
7 («)72(®)73 («’) = !• 0)
Равенство (1) и представляет собою тип уравнения, для ко-
торого возможно построение абака Массо с тремя пучками
прямых.
Из предыдущего нетрудно установить и самый метод по-
строения такого абака для уравнения (1). Пометки прямых
пучка с центром А можно расставить на прямых пучка
в точках их встречи с прямой ВС в форме некоторой шкалы,
нанесенной на этой прямой. Нетрудно видеть, что эта шкала
есть проективная шкала функции 7(w). В самом деле, выше
мы имели
f(u) = h = ~,
J1K ' мс
отсюда
^ / \ । 1 ___ВМ । 1 __ ВС _ л
л(“)+1=-5г + 1-йс=^-
где а = ВС;
а/1 (и)
а
ВМ =а-МС=а
отсюда
MQ —____-___ _
1+А(«)’ ' " "* 1+Л(») 1+Л(«)’
Таким образом, пометки параметра и получим, нанося на
прямой ВС от точки В шкалу функции , представ-
1 4" Л (м)
ляюхцую, очевидно, проективную шкалу функции Точно
так же пометки прямых пучков В к С получим в виде проек-
* См. Ж. Адама р, „Элементарная геометрия’, ч. I, Учпедгиз, Москва,
1938, стр. 178—179.
55
тивных шкал функций fi(v) и /,(w), нанесенных на прямых
СА и АВ от точек С и Л:
CN = -^V)—
1+/»(»)
АР= —t ГДе Ь = СА\ с~АВ.
1+/з(«0
Особым случаем расположения на плоскости трех пучков
-прямых является тот, когда центры всех трех пучков лежат
на одной прямой. Посмотрим, какого типа уравнения могут
быть разрешаемы при помощи номограммы этого вида. Пусть
имеем три пучка помеченных
прямых, центры которых лежат
на одной прямой (черт. 21). В
каждом пучке каждая прямая
имеет свою пометку, определяе-
мую значением соответствую-
щей переменной. В пучке Oi—
переменная и, в пучке Оз— пе-
ременная v и в пучке Оз — пере-
менная Проведем какую-либо
прямую АВ || О1Оз. Каждая пря-
мая первого пучка пересечется
с прямой АВ, и пометки (и) прямых первого пучка можно рас-
ставить вдоль прямой в форме некоторой функциональной
шкалы на этой прямой, выбрав для этой шкалы произвольное
начало отсчета, например точку А.
Таким образом, пучок помеченных прямых Oi определяет
на прямой АВ функциональную шкалу некоторой функции
fi {и). Совершенно так же второй пучок Оз дает на той же
прямой вторую функциональную шкалу некоторой функции
/з (v) и третий пучок О» определит на прямой АВ третью
функциональную шкалу некоторой функции /,(w). При этом
для всех трех шкал можно взять за начало отсчета одну
и ту же точку А. Возьмем какие-либо три прямые наших
пучков, проходящие через одну и ту же точку М Точки
встречи этих прямых с прямою АВ назовем соответственно
через Pt, Рз и Ръ. В силу способа построения шкал на пря-
мой АВ имеем
APi =fi («), АРз =f2 (V), АРз =/, (w).
Из подобия треугольников
Ю10зМ~ЬР1РзМ, ЮзОзМ^^РзРзМ, bOtOtM~ М>1РгМ
имеем
P\Pj __ OiOa
РзРз 0,0, '
.56
Это последнее отношение, очевидно, есть постоянная вели*
чина, не зависящая от выбора точки М Обозначая ее через с,
имеем
РгР3
Но
РхРз = АР2 - APi =f2 (г>) - (и),
Р2Р3 = АР3-АР2 = f3 (®) - /2 (v),
следовательно,
/2(У)-/! (“)
f3(w)—f2(v)
Освобождаясь от знаменателя и перенося все члены
в левую часть равенства, получим
Л (v) ~ А (“) ~ СА (®) + СА О) в °>
или полагая
— Л(и) = 71(«). — <7з(‘ау)=/з(и’)>
получим
?1(«) + т2(г’) + ч>з(«’) = °- (2>
Такова искомая форма зависимости между переменными
u,v и w, разрешаемой в данной номограмме.
Наиболее распространенным частным видом этого рода
номограмм является тот, когда центры пучков Oi, О2, Оз ле-
жат на несобственной прямой. В этом случае все прямые
в каждом пучке становятся параллельными между собою
(черт. 22). Простейшей формой этой номограммы является
та, в которой прямые различных пучков наклонены одна
к другой под углом в 60°, и следовательно, любые три пря-
мые из трех пучков образуют равносторонний треугольник.
Номограммы этого типа иногда называются треугольными
номограммами; они имеют простое элементарное обоснова-
ние. Выберем по одной прямой из каждого пучка. Они обра-
зуют равносторонний треугольник АВС. Пусть прямая ВС
(черт. 23) принадлежит первому пучку, и следовательно, по-
метки прямых этого пучка дают значения переменного и;
точно так же прямую АС можно считать принадлежащей
второму пучку, пометки прямых которого дают значения
переменного т; прямая АВ будет принадлежать третьему
пучку, пометки прямых которого дают значения перемен-
ного w.
57
Черт. 22
8
В пересечении прямых первого пучка с прямою АС полу-
чаем на этой прямой функциональную шкалу некоторой
функции /i(«) переменного а; за начало отсчета этой шкалы
возьмем вершину С. Второй пучок в пересечении с прямой
АВ определяет на ней функциональную шкалу некоторой
функции /2(т») переменного v с началом отсчета в точке А.
Наконец, третий пучок определит функциональную шкалу
/3(w) на прямой ВС с началом отсчета в точке В.
Возьмем какую-либо точку М в плоскости £±АВС, и пусть
прямые наших пучков пересекают стороны треугольника со-
ответственно в точках Pi, Р2, Р3 (см. черт. 23). В таком
случае CPi=f1(u), AP2 = f2(v), BP3=f3(w). Но в силу
свойств равностороннего треугольника имеем СА 4-ЛР2 4-
4-ВРз = ВС = АВ = СА.
Следовательно, полагая ВС=а, получим
Л («) +Л Н +/з = а-
Это уравнение принадлежит к типу (2), так как постоянное
а можно перенести влево и присоединить к одной из функ-
ций fi.
Таким образом, для решения уравнения типа (2) берем
равносторонний треугольник АВС и наносим на его сторонах
СА, АВ, ВС соответственно от вершин С, А и В шкалы
функций /1(ц), /2(го и /d(w); проводя далее прямые, парал-
лельные сторонам треугольника, получаем номограмму в виде
„треугольной сетки". Эта номограмма носит название тре-
угольника Джибса-, как ею пользоваться для решения урав-
нения, ясно из предыдущего.
Номограммы этого рода очень распространены в химиче-
ской промышленности при определении процентного содер-
жания различных веществ в данной смеси.
58
Пример (номограмма № 7). Пусть рассматриваются
различные смеси серной кислоты (H2SO4), азотной кислоты
HNO» и воды (Н2О), например, две смеси следующего состава:
1) 30% H2SO4, 20% HNO3, 50% Н2О
и 2) 74% HNO8, 26% Н2О.
Требуется из этих составов получить смесь с 20%-ным
содержанием серной кислоты (H2SO4).
Номограмма. N7
Процентное содержание трех веществ
6 данной смеси
59
Каждому из составов 1) и 2) соответствует на треуголь-
нике Джибса (номограмма № 7) своя точка; составу 1) —
точка А и составу 2) — точка С. На треугольнике Джибса
каждая смесь, получаемая смешением двух заданных соста-
вов, всегда изображается точкой, лежащей на прямой, сое-
диняющей две точки, соответствующие данным составам.
При этом отношение количеств данных составов, входящих
в новую смесь, равно обратному отношению тех отрезков,
на которые новая точка делит отрезок между двумя данными.
В самом деле, пусть первый состав содержит a°/oH2S04,
b%HNO3, с%Н2О, второй — Gi°/o H2SO4, di% HNO3, n% H2O.
Возьмем а граммов первого состава и р граммов второго.
В таком случае новый состав будет содержать
—^рД1% H2SO4, °Ь + Р&1' HNO3, Н2О.
По известной формуле аналитической геометрии эти чис-
ла определят в треугольнике Джибса точку, делящую
р
отрезок между двумя данными в отношении —.
Применяя это к нашему примеру, видим, что смеси, со-
держащей 20% Н2О, соответствует на прямой АС точка В,
устанавливающая новый состав:
20%H2SO3, 38%HNO3 и 42%Н2О,
причем отношение количеств обоих составов в новом соста-
ве равно ВС: АВ = 2:1.
Задача 1. Каково будет семейство линий на абаке урав-
нения uv = w, если принять за координатные семейства сле-
дующие линии: х= Vlg и, у —У lg v?
Ответ: Семейство концентрических окружностей с цен-
тром в начале координат.
Задача 2. Найти общий вид уравнения, связывающего
переменные и, v, iso, разрешаемого на абаке, координатные
семейства которого: а) пучки прямых с центром в начале
координат, б) пучки прямых параллельных оси .у и в) окруж-
ности с центром в точке (1,1).
Ответ:
[ср («)]2 [1 + Н (г-)Н - 2? (И) [1 + <!> (-П)] + Z («О = 0.
.Задача 3. Найти общий вид уравнения, представляе-
мого на обобщенном декартовом абаке тремя семействами
линий: 1) пучком прямых с центром в начале; 2) пучком
окружностей с центром на оси х, проходящих через начало
координат; 3) пучком прямых, параллельных оси у.
Ответ:
<р(«){1-Н2 (*>)}=х(®)-
ГЛАВА III
НОМОГРАММЫ ИЗ ВЫРАВНЕННЫХ ТОЧЕК
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 1. Общие принципы построения номограмм
из выравненных точек
1. Основная форма абака из выравненных точек. Изла-
гаемый ниже метод построения номограмм уравнений вида
(it) принадлежит французскому номографу Оканю и является
основным методом в современной номографии.
Прямолинейный абак Массо служит, как мы знаем, для
решения уравнений вида
(«) Ф1 («) 7.1 («)
?2(т») <h(f) z2 (®) =0
<Рз (W) Фз («О Z3 (да)
(*)
и состоит из трех семейств прямых линий, представляемых
уравнениями
?1 (и) х + Ф1 (и)у + zi («) г = О,
?2(T’)x + Х2(т*)г = 0,
?з (да) х д- ф3 (да)у + хз (да)z — 0.
(/П1)
(/п2)
(/Пз)
Каждое семейство прямых огибает некоторую кривую.
Обозначим огибающую семейства (mi) через щ, семейства
(тг) —через с 2 и семейства (тз)— через Сз (черт. 24).
61
Черт, 24
н (и) (и) (ио)
о
Решение уравнения (я)
дается пометками трех пря-
мых этих семейств, проходя-
щих через одну точку, или,
иначе, пометками трех каса-
тельных к кривым ci, С2, с %,
проходящих через одну точку
(например и*, т»й, .Wk).
Уравнения (mi), (mi), (mi)
и («) можно представить а
следующем виде:
^х+^+1=0, (»’,)
Xi (“) 7.1
х = (/nJ)
7л (a) z2 (v)
+ AW> +1 =0, (mi)
Z3(w) /г («О
91(a) М») ।
Xi (“) Xi(a)
9а (р) Ъ(р) J
Ха(») 7з(р)
9з(да) Ж 1
7з(№) 7.з (®)
Черт. 25
При этом пары ? , —и т. д.
71 (“) Xi (а)
будут представлять собой танген-
циальные координаты прямых (mi),
(mi), (mi).
Возьмем другую плоскость (черт. 25) и будем в ней
рассматривать и т. д. не как тангенциальные
Xi (a) Xi (а)
координаты прямой, а как декартовы координаты точки;
обозначая их через £ и щ, имеем
9г(а) ___ <1>, (а) .
Х1 (и) Х1 (а)
Е, — _у2 (v) _ ’Рз(о) t ________________ 9з (w) ___<Ы«0
7.2 (а) Ха (v) ’ 3 Хз (да) ’ 3 Хз (w) ’
(О
62
Посмотрим, во что превращается при этом самый абак
Массо. Возьмем семейство прямых (mi). Каждая прямая это-
го семейства перейдет в некоторую точку на новой плос-
кости, т. е. на новом абаке. Все прямые семейства (mi) ка-
саются кривой Ci. Эта совокупность касательных к кривой
ci перейдет на новом абаке в совокупность точек некоторой
кривой %. Так как каждая прямая семейства (mi) имела
свою пометку, то каждой точке кривой 2/ будет также со-
ответствовать своя пометка, равная пометке соответствую-
щей прямой семейства (mi). Таким образом, на кривой
образуется своя шкала — шкала значений параметра и.
Эту шкалу и самую кривую можно построить по точ-
кам, пользуясь равенствами
Ч.—0.)
71 («) 71 («)
Давая здесь параметру и ряд последовательных значений «ь
«г, Из, ...,«я находим соответствующие значения Bi и тц;
строя по этим координатам точки, около каждой из них ста-
вим пометку, равную тому значению и, для которого эта
точка построена. Кривая называется .носителем' шкалы
и. Равенства (Н) можно рассматривать как параметрические
уравнения кривой Jf.
Возьмем второе семейство прямых (mi), касательных к
кривой с2, Это семейство преобразуется в совокупность то-
чек некоторой кривой £ нового абака. Пометки прямых
семейств (т2) дадут на кривой ^У'шкалу значений параметра
v. Параметрические уравнения кривой %" (носителя шкалы
v) будут
(i2)
7.2 (V) 7.2 (V)
Совершенно так же третье семейство прямых (mi) даст
на новом абаке криволинейную шкалу значений параметра w.
Носителем этой шкалы явится некоторая кривая 2 » пара-
метрические уравнения которой будут
t. = ^, Ч.-^- (Ь)
7з («О 7.3 («О
63
Решение уравнения (тс), или, что то же, (п') определялось
на абаке Массо пометками «а, Vk, трех прямых се-
мейств (От1), (/га2), (/Пз), проходящих через одну точ-
ку (черт. 24). На основании равенства (тс') можем утверж-
дать, что на новом абаке им будут соответствовать три
точки шкал (К). (2”). (2"') с теми же пометками, ле-
жащие на одной прямой (черт. 25).
Весь новый абак представится в виде, изображенном на
черт. 25. Пользоваться полученным новым абаком для реше-
ния уравнения (тс) чрезвычайно легко: зная значения двух
переменных, например и = Иа и v = vk, находим на шкалах
(и) и (ц) точки с пометками «а и i>a, проводим через них
прямую и в пересечении ее со шкалой (®) читаем соответ-
ствующее значение третьей переменной w — Wk. Так как ре-
шение уравнения (тс) дается здесь точками, лежащими на
одной прямой, то отсюда и появилось название для нового
абака: абак из выравненных точек. Новый абак дает значи-
тельно большую точность результата, чем абак Массо: если
для заданных значений и и v не находится в точности со-
ответствующей прямой на абаке Массо, приходится брать
прямую на абаке, интерполируя на глаз между прямыми. На
абаке из выравненных точек такую интерполяцию прихо-
дится производить между точками шкалы, что значительно
легче и может выполняться с большей точностью.
В практике номографических построений часто встре-
чается случай, когда функции <pi, <{ч, // — рациональные
функции своих аргументов. В этом случае в детерминанте
(тс) можно элементы каждой строки привести к общему зна-
менателю и отбросить его. Тогда элементы детерминанта
станут целыми многочленами, а уравнения (1) будут пред-
ставлять уникурсальные кривые. Номограммы со шкалами
на уникурсальных кривых составляют интересный класс
номограмм из выравненных точек.
Замечание. Легко заметить, что изложенный выше пере-
ход от абака Массо к абаку из выравненных точек есть не что
иное, как коррелятивное преобразование плоскости абака.
Действительно, если тройку чисел а:^:у рассматривать
одновременно, как однородные декартовы координаты точки
на одной плоскости и как однородные тангенциальные коор-
динаты прямой на другой плоскости, то каждой точке на
первой плоскости будет соответствовать прямая на второй,
и прямолинейному ряду точек первой плоскости — пучок пря-
мых на второй. В самом деле, координаты а: ? : т точек пря-
молинейного ряда связаны линейным уравнением вида
Ла-{-Вр4-Ст = 0.
64
На второй плоскости все прямые, тангенциальные коорди-
наты которых <х: р: у удовлетворяют этому уравнению, обра-
зуют пучок с центром в точке с координатами А:В:С
(так как уравнение выражает факт; что прямая с координа-
тами а : р: у проходит через точку с координатами А : В: С).
Следовательно, установленное соответствие коррелятивное.
Пример 1 (номограммы № 8 и 9). Построить номограм-
му выравненных точек для уравнения xy = z.
Логарифмируя, имеем: lgx + lgj = lg2:. Чтобы построить
для этого уравнения номограмму из выравненных точек,
приведем его к виду (я).
Уравнение (и), как известно представляет собой резуль-
тат исключения двух переменных из трех линейных уравне-
ний. А потому введем две вспомогательные величины и и v
и постараемся разложить наше уравнение на три равенства,
линейных относительно и и v и содержащих каждое лишь
одну из трех величин х, у и z.
В-332. Н. А. Глаголев — 5 вб
Полагая lgx = «, lg_y = ,a, имеем u-$-v = lgz. Эти три
равенства линейны относительно и и v. Напишем их в
форме
о о" о
II II II
ч
bn bZ) _bf>
777
£ £
+
а
nj
НН
S~hlil 111 li1111 t i h11; .1 11 i Inulin1111 i i lniil 11 i i
Номограмме, из бырабненных точек
( на параллельных шкалах)
Исключая и и v, имеем равенство
1 0 — 1g х
О 1 —1g у
1 1 —1g*
= 0 или
1 0 Igx
О 1 igy
1 1 Igz
которое непосредственно приводится к виду (к') делением
на элементы последнего столбца:
1 1g X 0 1
0 1 1
Igy
1 1
> 1 1 1
1g г 1g X
Интерпретируя это равенство на абаке из выравненных то-
чек, имеем уравнения трех шкал:
*1=-^---, ’)1=0; Е2 = 0, 7]=—!— ; $3==-J—, 7|3 = ——.
igx igy igz Igz
Первая шкала расположена, очевидно, на оси 5, вторая —
на оси tj, а третья — на биссектрисе координатного угла,
так как 5з = 1]з. Под системой координат (В, ц) можно под-
разумевать не только прямоугольную, но и любую косо-
угольную систему. Для избежания косых пересечений возь-
мем координатный угол равным 30°.
Нанося деления шкал согласно с общими правилами по-
строения функциональных шкал, получим номограмму № 8
(указан пример применения этой номограммы: 16X25 = 400).
Рабочая часть номограммы может быть ограничена тра-
пецией ABCD, ибо при определении цифрового состава про-
изведения множители могут быть заменены двузначными
числами. Например, рассмотрим произведение 0,72 на 3,5:
0,72 X 3,5 = 72 X 10-2 X 35 X 1Q-1 = 72 X 35 X 10~3.
Находим при помощи номограммы: 72 X 35 = 2520. Сле-
довательно, 0,72 X 3,5 = 2520 X 10-3 = 2,52.
Для того же уравнения можно получить еще более про-
стую и более удобную номограмму (№ 9), если несколько
иным способом привести уравнение (it) к виду (те') С этой
целью прибавим к элементам второго столбца элементы
5*
67
первого, затем разделим элементы третьей строки на 2 и
переставим после этого второй и третий столбцы:
1 0 1g х 1 Igx 1
0 1 Igy = 0 IgJ 1 = 0.
1 1 lg? 1 2 Igz J 2
Это — по-прежнему равенство вида (я')- Интерпретируя
его ня абаке из выравненных точек, получаем уравнения
трех шкал:
51 = 1, 7)1 = lgX, ^2 = 0, T)2=lgj; =
Видим, что первая шкала есть логарифмическая шкала,
нанесенная на прямой, параллельной оси т), отстоящей от
нее на расстоянии единицы. Вторая шкала, также логариф-
мическая, очевидно, наносится на самой оси tj и имеет
одинаковый масштаб с первой шкалой. Наконец, третья
шкала — логарифмическая, вдвое меньшего масштаба, рас-
положенная на прямой, параллельной двум первым и лежа-
щая посередине между ними.
• Пример ’2 (номограмма № 10). Построить номограмму
из выравненных точек для формул перехода от декартовых
координат к гиперболическим:
л2— у2 = и, 2xy — v,
где х и у — декартовы координаты, а и и v — гиперболиче-
ские.
Сначала поставим себе целью номографировать формулу,
выражающую х через и и v, а затем — формулу, выражаю-
щую у через и и v.
Найдем зависимость между х, и и v. С этой целью
исключим у из обоих уравнений. Имеем: •
у=— , х2-----------а—0, или 4х* — 4«х2 —• т>2 = 0. (а)
л 2х 4л2 ' '
Точно так же зависимость между у, и и v получим,
исключая из данных уравнений х:
х= — , ------V2 — и = 0, или 4у4-}-4яуг — г>2"=0 (Ь)
2у 4у2
Построим теперь номограммы уравнений (а) и (Ь).
Начнем с уравнения (а). Разложим его на три уравнения,
линейных относительно вспомогательных переменных а и
68
Полагая a=4u, Р = т>2, имеем 4х4—jc’a—р = 0; исключая а
и р из трех линейных уравнений
a — 4« = О, Р — V3 — 0, х3а -]- Р — 4х4 = О,
получим
I 1 О
О 1
х3 1
— 4и 1 0 и
— v2 = 0 или 0 1
4
— 4х4 X3 1 X*
= 0.
69
Отсюда, деля, как обычно, на элементы последнего
столбца, получаем уравнения трех шкал:
?i = —, 'Ф =0, ^2 = 0, тр = — , = \
и V2 Л2
1
'13= ~7
Здесь вторая шкала имеет то неудобство, что точки с
пометками ^<1 лежат далеко от начала и с уменьшением
v быстро удаляются, образуя слишком редкую шкалу.
Третья шкала значений х имеет носителем параболу т| = 52,
причем малым значениям х соответствуют очень далекие
точки параболы, что также весьма затрудняет пользование
номограммой. Чтобы устранить эти неудобства, можно до
перехода от детерминанта к шкалам предварительно преобра-
зовать детерминант следующим образом: прибавим к элемен-
там третьего столбца элементы второго, умноженные на
100, и умножим, кроме того, элементы второго столбца
на 80.
10м I
0 80 100+- =0.
1 4
л2 80 100+ х4
Деля на элементы третьего столбца, получаем новые
уравнения шкал:
= —, т)1 = 0; ?2 = 0, т]2
Vi
100+ т
4
л2 _ 80
100 + X* ’ 7)3 —• 100 + х* ’
Носители первых двух шкал (и и *»)— координатные оси,
носителем третьей является эллипс, уравнение которого по-
лучим, исключая параметр л из двух уравнений третьей
шкалы и опуская индекс 3:
5т]2 + 32052 — 4т) = 0.
Построив на этих носителях все три шкалы, получим
номограмму уравнения (а). Номограмму уравнения (Ь) полу-
чим совершенно таким же способом. При этом шкалы пере-
менных и и v будут те же, что и для уравнения (а). Носи-
телем шкалы у служит тот же эллипс, что и для шкалы х,
лишь пометки шкалы будут симметричны пометкам шкалы х
относительно большой оси эллипса.
"70
Полученная номограмма (№ 10) построена Швердтом. По
ней можно, зная декартовы координаты точки, найти ее
гиперболические. Зная декартовы координаты какой-либо
точки (х, у), прикладываем линейку к соответствующим точ-
кам шкал (х) и (у) и в точках встречи этой линейки со
шкалами («) и (•») читаем соответствующие значения гипер-
болических координат и и v. Так же совершается и обрат-
ный переход.
Заметим, что построенная нами номограмма дает возмож-
ность находить квадратные корни и квадраты комплексных
чисел. В самом деле,
(х + /у)1 = х2 — у2 -ф- 2xyi.
Обозначая действительную часть этого числа через и,
а коэффициент при I через V, имеем:
х2—у2 = а, 2xy — v,
т. е. « и ® суть гиперболические координаты 'точки, декар-
товы координаты которой суть х и у.
Отсюда вытекает, что для возведения в квадрат какого-
либо комплексного числа а-\-Ы следует отметить на шкалах
х и у точки с пометками а и b и, соединяя их прямой, про-
читать в точках встречи ее со шкалами (и) и (у) компонен-
ты и и v квадрата данного числа. Так же выполним и об-
ратную операцию извлечения квадратного корня из ком-
плексного числа.
2. Номографическая классификация уравнений. Порядок
уравнений и жанр номограмм. Будем в дальнейшем обозна-
чать переменные в заданном уравнении через zi, z?, 2з; функ-
ции, зависящие только от 27—через ft и ?/, опуская аргу-
мент zr, т. е. будем писать// вместо /(z/) и ft вместо (zz).
Возьмем общее уравнение вида (я) в форме, приведен-
ной к («'), т. е. в форме
/1 1
/2 ф2 1
/з ?3 1
Раскрывая детерминант, найдем:
/1?2 +/г?з +/з? 1 — /з?2 — /1?з —/г? 1 = 0. («")
Левая часть этого равенства представляет собой сумму про-
изведений, в которых каждый множитель зависит от одного
переменного. Выражение, обладающее этим свойством,
называется номографически рациональным, причем число
71
функций, входящих в такое выражение, называется номо-
графическим порядком этого выражения.
Так, выражение xsin_y-f-.y есть номографически рацио-
нальное выражение 3-го порядка, так как содержит три
функции: х, у, sin .у; выражение х2-\-ху-]-у2 номографиче-
ски рационально, его порядок равен четырем, так как оно
содержит четыре функции: х, х2, у, у2; выражение sin(x+_y)
номографически рационально, так как может быть представ-
лено в виде sin х cos _y-|-cos к sin .у, его номографический
порядок равен четырем; напротив, выражение 1g (л 4-_у) но-
мографически нерационально, так как для логарифма не
существует теоремы сложения.
Самый общий вид номографически рационального выра-
жения, зависящего от переменных zi, Zz, z2..., za, представ-
ляет собой сумму выражений вида Afify...ft, где А — по-
стоянное число, каждый множитель зависит лишь от одного
переменного и каждое переменное может входить лишь в
один множитель. Но одна и та же функция fi может входить
множителем одновременно в несколько слагаемых общей
суммы, составляющей все выражение. Таким образом, номо-
графически рациональное выражение всегда линейно отно-
сительно каждой из входящих в него функций.
Число рь функций fk аргумента zu, входящих в общее
выражение, называется частным номографическим поряд-
ком этого выражения по отношению к данному аргументу
Zk. Очевидно, что общий порядок всего номографического вы-
ражения равен сумме частных его порядков по отношению
ко всем входящим в него аргументам, т. е.
Р —Pi + Рь -Ь рь + ••• -\~Рп.
Так, выражение zi si’nz2 + z? lgz2 — z2z3tgzi имеет относи-
тельно Zi порядок pi = 3, относительно z2 его порядок р2 = 2,
наконец, по отношению к z3 его порядок р3 = 2. Общий же
порядок всего выражения равен /z = 34-2-j-2 = 7.
Простейшим с точки зрения номографических построе-
ний является выражение, номографический порядок которо-
го наинизший; этот порядок, очевидно, равен числу аргу-
ментов, от которых зависит все выражение, содержащее
в этом случае по одной функции от каждого аргумента.
Уравнением n-го номографического порядка называется ра-
венство вида F—Q, где F—номографически рациональное
выражение n-го порядка.
Согласно этой терминологии, уравнение («") принадле-
жит к номографическим уравнениям с тремя переменными
6-го порядка. Самое общее уравнение 6-го порядка с тремя
72
переменными, содержащее по две функции каждого пере-
менного, можно представить в форме
Fitfz + G12 фз 4“ 7712 = О,
где
F13 — afifz 4~ + c/i<p2 4~ </?1<Р2 4* efi 4" gfz -f- h<fi -|- k<f2 4* A
012 = fif % + b'yifa -f- c'fi<?2 4- d' <pi^>2 + e'fi 4~ g'fz + A'<pi -f-
4~ ^л?2 4"
/712 = oFfifi 4~ b" Ф1/2 4" c"fif2 -\-d" <pi^2 4"
4- e7i4-g"/2 4- A"?14- k"^ 4-
Отсюда видно, что уравнения (я") составляют специаль-
ный тип уравнений 6-го порядка.
Уравнения же высших номографических порядков в номо-
граммах из выравненных точек, очевидно, вообще неразре-
шимы.
Если некоторые из функций, входящих в равенство (л"),
окажутся равными между собою или одна будет выражаться
линейно через другую, например fi = a<?i -|- b, где а и b —
постоянные, то порядок уравнения соответственным образом
понизится. Наинизший порядок, который может при этом
получиться, очевидно, равен 3, так как уравнение содержит
3 аргумента.
Нашей задачей является разыскание методов номографи-
ческого решения уравнения различных порядков, начиная
с 3-го и кончая 6-м.
Форма номограммы зависит от характера криволиней-
ных шкал
^=/1(21), t]i = Ti(zi);
£2 =/2(2:2), = <р2 (z3); (S2)
5з=/з(г3), ^з = ?з(гз); (23)
и способа их расположения на абаке.
Характер шкалы определяется, во-первых, видом линии,
на которой она нанесена, и, во-вторых, законом расположе-
ния пометок шкалы. Некоторые из этих линий могут оказы-
ваться прямыми.
Число кривых шкал номограммы называется жанром
этой номограммы; номограммы из выравненных точек раз-
деляются на четыре основных типа:
73
1) номограммы нулевого жанра, состоящие лишь из пря-
молинейных шкал;
2) номограммы первого жанра, состоящие из одной кри-
волинейной шкалы и двух прямолинейных;
3) номограммы второго жанра, состоящие из двух криво-
линейных шкал и одной прямолинейной;
4) номограммы третьего жанра, состоящие из трех кри-
волинейных шкал.
3. Критические точки номограммы: бинарная и тернар-
ная симметрия; понятие об анаморфозирующем множите-
ле. В общем случае, при произвольном расположении шкал
на абаке, шкалы различных переменных могут пересекаться
между собою. Эти точки пересечения шкал играют особую
роль и носят название критических точек номограммы.
видеть, что значения друх переменных, напри-
z2 = C2, даваемые пометками двух пересекаю-
(zi) и (z2), удовлетворяют данному уравнению
F(zi, z2, z3) = 0 при любом значении третьего
переменного z2.
В самом деле, данному уравнению удовле-
творяют те тройки значений переменных zi,
z2, z3, которые служат пометками точек, лежа-
щих на одной прямой. Но любая прямая, про-
ходящая через точку пересечения шкал (zi) и
(z2) и встречающая шкалу (zi) в точке с какой-
либо пометкой 2г3 = £з(черт. 26), всегда дает
три значения Zi = Ci, z2 = С2, z3 = С3 переменных
zi, z2, Zs, служащих пометками трех точек, ле-
жащих на одной прямой, так как точки шкал
(zi) и (z2) в этом случае сливаются в одну. Отсюда следует,
что когда два из переменных принимают пару своих крити-
ческих значений (т. е. значений, соответствующих критиче-
ским точкам номограммы), то третье переменное делается
неопределенным.
Критические точки номограммы, как мы сейчас увидим,
можно определить до построения всей номограммы, и во
многих случаях бывает выгодно начинать построение номо-
граммы с определения ее критических точек.
Пример (номограмма № 11). Возьмем уравнение
Z2(Z1 -\-zi) = Z!.
Полагая Zi-\-z3 — x и zi=y, имеем y-\-z2 = x и
z2x — у — 0.
Таким образом, данное уравнение разложилось на три урав-
74
мер 21 = Ci,
щихся шкал
zi'
С, Сг
Черт. 26
нения, линейных относительно вспомогательных переменных
х и у:
— .У4-гх = 0,
г2х — у =0,
х—у — z3 = 0.
Исключая отсюда х и у, приходим к уравнению вида (тс):
0 — 1 Z1
Z2 - 1 0 = 0.
1 — 1 — Z3
Для получения уравнения вида (тс') изменим знаки элемен-
тов второго столбца и переставим второй и третий столбцы
между собою:
0 zi 1
Z2 0 1 =0.
1 -Z2 1
75
Уравнения первой шкалы Ei = 0, 41=21; это — равномер-
ная шкала, носителем которой является ось 4.
Уравнения второй шкалы 62 = 22, 42 = 0; это — равномер-
ная шкала, носителем которой является ось 6.
Уравнения третьей шкалы 5з = 1, 4з =— г3; это — равно-
мерная шкала, носителем которой служит прямая, парал-
лельная оси 4 на расстоянии единицы от нее, причем поло-
жительное направление шкалы противоположно положитель-
ному направлению оси 4.
Мы получаем номограмму № 11.
Определим критические точки этой номограммы. Номо-
грамма имеет жанр, равный нулю, и прямолинейные ее шка-
лы пересекаются попарно в трех точках. Первая шкала (zi)
и вторая (z2) пересекаются в начале координат; пометки
шкал в этой точке:
zi =0,
22 — 0.
Эти значения и представляют собою пару критических зна-
чений переменных zi и z:, а сама точка 0 — первую критиче-
скую точку номограммы; непосредственной проверкой убеж-
даемся, что при Zi =22 = 0 данному уравнению удовлетворяет
любое значение 23.
Вторая шкала (22), пересекаясь с третьей (гз) в точке
(1,0), и дает вторую критическую точку номограммы; пометки
шкал (z2) и (z3) в этой точке: 22 = 1, ?з = 0. Эти значения
составляют пару критических значений переменных 22 и 23;
непосредственной постановкой убеждаемся, что при 22 = 1,
2з = 0 данному уравнению удовлетворяет любое значе-
ние 21.
Третьей критической точкой является бесконечно удален-
ная точка пересечения параллельных шкал (21) и (23). Помет-
ки шкал в этой точке: 21 = 00, 23 = 00. Ясно, что при
21 = 2з = ОО
данному уравнению удовлетворяет любое значение 22.
Дадим общий метод определения критических точек но-
мограммы.
Пусть дано уравнение, приведенное к виду (я'):
<pi 'h 1
<?2 'Ь 1 = 0-
<рз 4*3 1
(к')
Напишем уравнения шкал номограммы:
Bi=?i(2i), ^1=41(21),
76
E2 = ?2(z2), >)2 = ф2 (z2), (I)
5з = ?з(23), V)3 = фз (2з).
Точки пересечения первой и второй шкал получаем, пола-
гая £i=?2, = *12, что приводит к равенствам
V1(Z1) = <?2(Z2), = (А)
Из этих двух уравнений с двумя неизвестными zi и z2 и
найдем пары критических значений переменных Zi и z2 и по
формулам (1) — координаты соответствующих критических
точек. Ясно, что при этих значениях переменных zi и z2 урав-
нению (it') удовлетворяет любое значение z$, так как теперь
вторая и третья строки детерминанта (к') становятся одина-
ковыми, и детерминант тождественно обращается в нуль.
Точно так же точки пересечения второй и третьей шкал
определяются равенствами: 52 = 53, '*12 = '*>з5 а соответствую-
щие пары критических значений переменных z2 и zt найдутся
из уравнений
?2(22) = ?3(Z3)> %(^) = Фз(23). (В)
Наконец, точки встречи первой и третьей шкал находятся
из равенств
?1(г1) = ?3(гз), Ф1(г1) = ф3(2з). (С)
Таким образом, в общем случае все критические точки
номограммы определяются путем решения трех систем урав-
нений: (А), (В) и (С).
Примеры нахождения критических точек номограмм при-
ведены ниже.
Рассмотрим случай, когда в какой-либо из систем (А), (В)
и (С), например в системе (А); одно уравнение есть следствие
другого и, следовательно, система (А) допускает бесчислен-
ное множество пар критических значений переменных Zi и хг.
Оба равенства (А) .становятся равносильными и определяют
z2 как функцию от zi. Отсюда в силу (1), следует, что шкалы
(zi) и (z2) имеют общий носитель, представляемый уравне-
ниями
5 = <P1(Z1). ’1 = Ф1(21).
Нетрудно определить общий вид уравнения, изображае-
мого номограммой с общим носителем двух шкал. Пусть
уравнение общего носителя шкал (zi) и (z2) в координатах
(5, -»]) имеет вид ->] = Г(Е). В таком случае уравнения шкал
(zi) и (z2) должны иметь форму
£1 ==<?!(£»), OOL
?2 = ?2(z2), *i2 = F[v2(Z2)],
77
где ?! (zi) и ?2 (zz) — какие-либо функции от zi и Zz. Следова-
тельно, уравнение (я') должно иметь вид
^(?i)
?2
?з
(2)
Это уравнение симметрично относительно функций ?j и ?2 и
называется бинарно симметричным. Примеры таких уравне-
ний приведены ниже.
Если для бинарно симметричного уравнения (2) носителями
шкал номограммы служат уникурсалъные кривые, то функция
F(?) является рациональной относительно входящего в нее
аргумента и может быть представлена в виде отношений
двух полиномов Р(?) и Q(<p). В этом случае уравнение (2)
принимает вид
« £121 1 QM 1 Q(?t) Р(Ъ) Q(?i)
ф РМ 1 = 0 или ?2 Q(?2) Р(?2) Q(T2> =0
Тз Фз 1 ?3 % 1
или, обозначая полином ?Q(?) через Т(?),
Q(Tt)
П?2) Q(<f2) = 0. (3)
Тз % 1
Левая часть уравнения (3), очевидно, содержит множитель
— ?2). Действительно, вычитая из первой строки вторую,
получим
Т(?2) P(Tl)~P(?2) Q(?1)-Q(?2)
т(ъ) Р(?2) Q(?2)
?з *з 1
Все элементы первой строки имеют вид
и, следовательно, содержат множитель (?, — ?2). Этот мно-
житель называется анаморфозирующим множителем и со-
78
держит лишь переменные Zi и ze, следовательно, сокращение
на него не повлияет на общность решений данного уравне-
ния относительно z3.
Приравнивая этот множитель нулю, — <р2 = 0, приходим
как раз к системе (А), определяющей критические точки но-
мограммы по отношению к переменным (zi) и (z2), причем
второе уравнение системы (A): <|»j (zi) = 4>2(z2), в данном случае
принимает вид F(^1)==/7(f2) и делается следствием первого
<Р1 = <Р2, как и должно быть, так как шкалы (zi) и (z2) имеют
общий носитель. Отсюда следует, что равенство ?! = ?2 опре-
деляет зависимость между пометками шкал (zi) и (г2) в
одной и той же точке их общего носителя.
Примеры таких уравнений приведены ниже,
Допустим, что не только в системе (А), но и в системе (В)
второе уравнение есть следствие первого. В этом случае,
очевидно, все три шкалы (zi), (z2), (z3) имеют общий носи-
тель. Если i) = F(B) есть уравнение общего носителя шкал,
то данное уравнение может быть написано в виде
<Pi ^(?1)
?2 F(?2)
?з F(?3)
Уравнение в этом случае называется тернарно симметрич-
ным. Его левая часть в случае уникурсальных шкал, оче-
видно, содержит множитель, равный произведению
(?i-?2)^2 — 'РзХ'Рз—?i)-
Примеры таких уравнений приведены ниже.
§ 2. Уравнения третьего номографического порядка
общего вида
1. Прямой метод построения номограммы уравнения
третьего порядка общего вида. Общее уравнение третьего
номографического порядка с тремя переменными zi, z2, z3
должно содержать по одной функции от каждого аргумента.
Общая форма этого уравнения:
A/i/j/з 4“ Bzfzfi 4* B^fifz Cifi 4- c2/2 4-
4-c3/34-D=ofc (i)
где fi есть функция только от z/; A, Bi, Ci, D — постоянные
числа.
79
Для построения номограммы уравнения (1) преобразуем
его к форме детерминанта (л) (§ 1).
Представим (1) в форме
(Д/1/2 + В if2 4- В2/1 + Сз)/з 4“ (Вз/1/2 4~ Ci/i 4~
4“ C2f2 -J- D) — 0.
Полагая
АЛА И- Bifz 4" B2fi 4" Сз = х 1
Вз/ifz 4~ Cifi 4“ С2/2 4- D=у J
имеем
/3x4-j/ = 0. (А)
Уравнение (А) есть линейное соотношение между вспомо-
гательными переменными х и у, зависящее лишь от перемен-
ного 2з. Для получения двух других линейных соотношений
между теми же переменными, исключим из уравнений (2)
сначала функцию /2, а затем функции /ь Первое из уравне-
ний (2) дает
f______Да /1 + 63 — х
Aft + Bt ’
Внося это во второе равенство (2), получим
- + С1А - ВалЛСв~Х +D=y-
Aji + rj -f* £4
Освобождаясь от знаменателя и делая упрощения, найдем:
(ВзЛ 4- С2) х - (Aft 4- Bt)у 4- (ACt — ВгВз)К4"
4- (AD + BtCt - В2С2 - В3С3) ft 4- (BiD - СзСз) = 0. (В)
Совершенно так же, решая первое из равенств (2) отно-
сительно ft и вставляя во второе, найдем после упрощений:
(ВзА 4- Ct) х - (Д/2 4- В2) У 4- (АСз - BiBf)ff 4-
+ (AD 4- В2С2 - В1С1 - В3С3) fi 4- (B3D — C1C3) = 0. (С)
Равенства (А), (В) и (С) и представляют собой три иско-
мых линейных соотношения относительно вспомогательных
переменных х и у. Условие их совместности представится
равенством
Вз/14~С2 Д/14-Bi
B2f2 4~ Ci Afi 4“ В2
f9 -1
mt
Шз
0
=0. (к)
где mt = (ACt - В2Вз) fl 4- (AD 4- BtCt - В2С2 — В3Сз) fi 4-
+ (В1О-С2Сз),
т2 = (АСг — В1В3) fl 4~ (AD 4- В2С2 - BiCi —
— В3С3) f2 4- (B2D — С1С3).
80
Таково искомое уравнение вида (я), равносильное данному
уравнению (1). Деля элементы всех столбцов детерминанта (к)
на элементы второго и переставляя второй и третий столбцы,
получим
В3/1 4- Сз
АЛ + В.
В3/2 + Ci
л/2 + в2
1
kl
1
^2
1
О
L (АС, - B2B3)f? 4- (AD 4- В,С, - В2С2 - В3С3) f, + (B,D - С2С3)
где «1 -------------------------------------------------------
ЛЛ4-В1
L (АС2 - В,В3) f$+ (AD 4- В2С2 - В,С, - В3С3) f2 4- (B2D - С,С3)
#2 =
Л/з4-В3
Уравнения первой шкалы искомой номограммы:
е B3f, 4- С2
(АС, - B2B3)f? 4- (AD 4- В,С, - В2С2 - В3Сз) А 4- <B,D - С2С3)
41=
Aft + Bi
Для определения носителя этой шкалы исключим из этих
равенств параметр fi. Эти равенства можно рассматривать
как параметрические уравнения кривой второй степени отно-
сительно параметра fc, поэтому носитель шкалы должен быть
кривой второго порядка. Решая первое уравнение относи-
тельно /1 и вставляя его выражение во второе, найдем
л- С2 —
J1~ Ah-Вг ’
/Са — ВЛ\2
+
41 =
4” (ЛП 4- В,С, — В2С2
С2 — В fit
А ЛЕ,-В, + В
С,) ( + (В,О- С,С,)
\ — ь>з /_____________
С2 — В&
ЛЕ,-В, + В'
Производя упрощения, получим
(АС2 — B,B:i) (ДЬ — В3) = (ДС2 - В1В3) (Bi₽2 - ЛСз) % +
4- (Д С2 — В1В3) (AD — BiCt — В2С2 + В3С3) Ь +
+ (Д С2 - BiB3) (С1С2 — ВзО).
В-232. Н. А. Глаголев — 6
81
Если АСг—BiBz^O, то, сокращая уравнение, имеем окон-
чательно:
(Л51 - Вз) = (ВгВг — АС$ g? +
+ (AD — BiCi — В2С2 4- В3С3) Ei + (С1С2 — BSD). (3)
Это уравнение 2-й степени представляет кривую 2-го порядка.
Так как уравнение (3) симметрично относительно индек-
сов 1 и 2, то оно же служит и уравнением носителя второй
шкалы нашей номограммы. Шкалы переменных zi и Z2 имеют,
таким образом, общий носитель — кривую 2-го порядка.
Уравнения третьей шкалы номограммы получаем из урав-
нения (чс'):
5з==—‘/з, ‘Чз = О,
носителем ее служит ось 5.
Номограмма оказывается второго жанра, бинарно сим-
метричная.
Если АС2 — BiBz — Q, то вместо кривой (3) получаем пря-
мую линию. В самом деле, из равенства ЛС2 — В1Вз = 0
имеем — Обозначая общую величину этих отношений
через X, имеем Вз = АЬ; C2 = BiX. Внося эти выражения в
первое из уравнений шкалы
g — С»
•d/i + Bi
найдем
1 Afi + B
Следовательно, шкала лежит на прямой Bi = X, параллель-
ной ОСИ 1j.
Вторую шкалу найдем из уравнения (к). Она также ока-
жется прямолинейной. Действительно, в третьем элементе
второй строки детерминанта (у) член (ДС2— BiBs)ff в силу
равенства (ДС2 —В1Вз) = 0 исчезает, и уравнения второй
шкалы принимают вид:
= Вэ/з + Ci = (АР + В3С2 - BiCi - В3С3) h + (В2Р - CjCt)
А + Вз 2 А/2 + Вз
Таким образом, S2 и т]2 —дробно-линейные функции пара-
метра /2 с общим знаменателем. Исключение из этих ра-
венств параметра /2 приводит к линейному соотношению
между координатами точек второй шкалы ?2 и ц2; следова-
тельно, носителем второй шкалы является прямая. Таким
82
образом, в этом случае все три шкалы — прямолинейные,
и номограмма оказывается нулевого жанра.
Пример 1. Привести к виду (тс) уравнение
fifaf! — 5/г/з 4" 3/1/3 4~/1 — /г = 0
и построить для него номограмму из выравненных точек.
Представим данное уравнение в форме
(/1/2 + З/1 - 5/2)/з+/1-/2 = 0.
Полагаем
л=/1/24*3/1 — 5/г, y—f.—fi.
Исключая из этих двух равенств сначала /г=/1—у,
имеем
JC4"(/i —5)^4-2/i —/j2 = 0. (А)
Исключая таким же путем fi=y-\-fz., получим
х-(/24-3)у4-2/2-//«0. (В)
Вводя в данное уравнение величины х и у, получаем
(С)
Итак, имеем три уравнения: (А), (В)
Исключая из них х и у, найдем
1 /1-5 2/1-
1 -(Л4-3) 2/2-
/з 1 О
= 0(тс) или
и (С).
— (/2j4~3) 2/г —/2
Т О
1
1
1
= 0 (тс').
Отсюда уравнения шкал:
11-/1-5, т)1 =2/1-/?; ?2=-(/24-3), т)2 = 2/2-/?;
Вз = -т“’ 7)3 = 0.
Исключая из уравнений первых двух шкал параметры /1
и /2, найдем, что общим носителем этих шкал является па-
рабола
Е» 4-85 4-т) 4-15 = 0.
Третья шкала прямолинейная, ее носителем служит ось 5.
Пример 2. Дано уравнение
/1/2/3 + 2/г/з 4- З/1/3 -/1/2 - 3/1 - 7/, 4- 6/, 4-1 = 0.
6*
83
Представляем его в форме
(/1/2 + 3/1 + 2/2 +6) /з - (/1/2 + 3/14-7/2-1) = 0.
Полагаем
х =/1/2 + З/i + 2/г + 6,
J=/i/2+3/i4-7/2-1;
/1 исключается непосредственно вычитанием:
х — у = — 5/г +7. (В)
Исключая из последних равенств /2, последовательно найдем:
ООО
5j = /ij —/ix + 7/i+ 15/i + ly — 7х + 49 —5,
(/i4-7)x-(/i + 2)j/-22/i-44=0. (4)
Вводя х и у в данное уравнение, получим
/зХ — _у = 0. (С)
Таким образом, имеем три линейных соотношения: (Д),
(В) и (С). Исключая из них х и у, находим
/1 + 7 -(/1 + 2) -22(/> + 2)
1
/з
— 1
— 1
Л + 7
/1+2
1
/з
5/2-7
0
— 22 1
5/2 — 7 1
0 1
= 0 (и) или
(*')
Отсюда уравнения шкал:
Е1 = 'С1 7 > iqi = — 22; £2=1, 1)2 = 5/2 — 7; 5з=/з1 т)з = 0,
Все три шкалы прямолинейны. Первая — проективная шка-
ла функции /1 на прямой к; = — 22; вторая — шкала функции
/з (равномерная, с измененным масштабом и сдвинутым на-
чалом) на прямой 5=1 и третья —шкала функции /з на
оси 5.
Чтобы получить для данного случая номограмму второго
жанра, следует располагать члены уравнения не по функции
/з, а по /1 или /2, т. е. представить его, например, в форме
(Д/г/з + В2/3 + В3/2 + Ci)/i + В1/2/3 + Czfz + C3/3 + D — 0
84
и положить
Afzfz4~ В2/3 4~ Bzfz 4~ Ci = x,
В1/г/^-\-Сг/г-\- Сз/з4“D = у.
2. Приведение общего уравнения третьего порядка к
трем простейшим (каноническим) формам. Установим те-
перь ряд свойств уравнения третьего порядка, которые по-
зволят нам свести его номографирование к построению но-
мограмм уравнений того же типа простейшей формы.
Покажем, что уравнение (1) удовлетворяет условию Сен-
Робера (гл. II). Обозначая левую часть уравнения
АЛЛ/з + В1/2/3 4~ Bifzfi 4~ В3/1/2 4* Cifi 4~ Сг/гА" Сз/з 4“ D= О
(О
через О, имеем:
= А /^/з + В2/3 + В3/2 4“ Ci,
— Afify 4" + В3/1 + С2,
~ Afif2 4- В1/2+В2/14- Сз.
0/з
Преобразуем эти выражения при помощи самого уравне-
ния (1). Из (1) находим
_______Bj fifj 4- Ci /1 4- Сг /2 4- £>
A ft fi + Bt ft -|- Вз fi -|- C3
о dG
Внося это выражение в —, получим
oft
dG (В1В3 — ACf) 4" {В1С1 4- B3C3 — B3C3 — AD) f% 4- (C1C3 — B3D)
df! Afif2 4- Bi f2 4- Вз fi 4- C3
Полагая
(B1B3 — ACz) f 2 4- (Bi Ci 4~ B3C3 — B2C2 — AD) /2 4-
4-(CiC3-b2D)= T2,
имеем
dG_= Л
dfi dG ’ (a)
df3
где Г2 зависит только от /2.
„ dG dG
Совершенно так же найдем и выражения для и —:
_____^(Ь) и ^=-^,
df2 dGf ’ df3 дО_ (с)
dfi dfi
85
где Тз и Ti — аналогичные выражения, зависящие соответ-
ственно от /з и /г.
Тз = (B2Bi - ЛСз) + (В2С2 + BiCi — ВзСз - AD)f2 +
+ (С2С!--ВзП),
Ti == (В2В2 - ACi) fi + (В3С3 -J- В2С2 - BiCi — AD} fi +
+ (СзС2— BiD).
Деля (а) на (6), получим:
dG
= го . № _ J_ . J_
d/i dfa Т3 dG dfa dfa T2 T3
dfa
Деля (а) на (с), точно так же найдем:
dG ,dG_ = 1 ._1_
dfa ’ dfa fa' fa'
Сравнивая этот результат с соотношением Сен-Робера,
видим, что уравнение (1) удовлетворяет условию Сен-Робера
по отношению к любой паре переменных Д, /2 и fa. В са-
мом деле, полученные равенства, очевидно, можно предста-
вить в виде следующего ряда равных отношений:
dG 8G dG
dfa _ dfa _ dfa
1 1 1 ’
Ti fa т3
где все переменные входят равноправно.
В гл. II мы доказали, что, если для какого-либо уравне-
ния с тремя переменными (х, у, z) удовлетворяется условие
Сен-Робера, то оно равносильно некоторому уравнению
вида
Л(х)-У(д/)-2(г) = 1.
Отсюда следует, что уравнение (1) равносильно уравнению
вида
Fi(/1)-7;-2(/2)-F3(/3) = 1.
Это уравнение называется канонической формой уравне-
ния 3-го порядка.
Постараемся теперь найти то преобразование уравнения
(1), которое фактически приводит к канонической форме.
Дифференцируя (1), имеем:
dG= dfa + df2 + -^4/3=0
dfi df2 Uh
86
или
| ^/2 I ^/3 __ Q
Л “ t2 T3
Это равенство равносильно равенству dO = 0; следова-
тельно, проинтегрировав его, мы должны получить при соот-
ветствующем выборе постоянного интеграции равенство
dfi Cdf±
Л Т3
Cdfi _
J т3
(2)
равносильное уравнению 0 = 0, т. е. уравнению (1).
Постоянное С можно определить из условия равносиль-
ности уравнений (2) и (1). С этой целью достаточно подста-
вить в (2) какую-либо тройку значений fi, /2, /3, удовлетво-
ряющих уравнению (1), и из получаемого соотношения опре-
делить С. Все три интеграла формулы (2) имеют одинаковую
структуру, и потому достаточно рассмотреть лишь один
из них.
Возьмем первый интеграл. Развернув выражение Л, имеем
= С______________________df,_____________________
J J + + +(C3C3-BtD)'
Этот интеграл вычисляется элементарными приемами, при-
чем вид получаемого результата зависит от знака дискрими-
нанта Д трехчлена Тг, этот дискриминант равен
(В2С2 + ВзСз — BiCi - AD)2 - 4 (В2Вз - A Ci) (С2Сз — BiD).
Его можно представить в следующем виде:
Д = (Bld + Bld + Bld + A2D2) —
— 2 (B1B2C1C2 B2B3C2C3 B1B3C1C3) —
— 2AD (BiCi -f- B2C2 -J- B3C3) -j- 4Д C1C2C3 -ф 4B1B2B3D.
Заметим, что это выражение не изменяется от круговой
перестановки индексов 1, 2 и 3. Но эта перестановка пере-
водит трехчлен Ti в Г2 и Гз в Тз. Отсюда следует, что
все три трехчлена Tit Тз и Тз имеют общий дискрими-
нант. Он называется дискриминантом уравнения (1)*.
* Для более быстрого вычисления дискриминант можно представить
также в форме
д = (1лСз I
11 B3D I
В2В1||2_41ДВ2
С1С21J 1
c2d
в чем легко убедиться проверкой.
87
Рассмотрим три случая.
1. Д>0. Корни трехчлена Г/ действительны.
Обозначая корни трехчлена 7\ через ai и &2, имеем
Tt = (В3В3 - ACM ft ~ ai) (fi - bi),
следовательно,
C dfi = 1 Г dft
J Ti B2B3-ACi J (fi-a1)(fl-b1) •
Вычисляя последний интеграл обычными методами, найдем
f_____________________dfi = 1 1п Л — ai
J (. Л — «1) (А — *1) <h — bt fi — bi ’
где ai—bi есть разность корней трехчлена Тг, следовательно,
ai — bi =--------------------------.
Внося эти выражения в интеграл, будем иметь
С df = _1_ ln fi — ai
J Ti А — bi
Точно так же, обозначая через а2, Ьг и а3, Ь3 корни трех-
членов Тг и Т3, будем иметь
/dfi _____1 |п А~ Да С df3 _ 1 _ |n f3 — Дз
уД fz— b3 J Т3 у д А— Ь3 ’
следовательно, уравнение (2) принимает вид
-L- in Z1—+ » /2—+ 1 in = с.
1Кд А — bi Ул f3 — ь2 Ул /з — ь3
Умножая обе части на и представляя СИД в форме InCi,
получим
А Д1 А — Да А Да
А — bi f3 — bt fz b3
Это и есть искомая каноническая форма уравнения (1).
Отсюда следует, что если в первоначальном, уравнении
(1) произвести дробно-линейное преобразование функций fi,
fa, ft, полагая
_ А — Д1 „ А — Да „ ___________ А — Дз
<р1 = —--— , <Р2 = —----— , ?3 = - - (3i)
А — bi fz — b2 fi — b3
то уравнение (I) приведется к первой канонической форме
?1?2?3=1. (I)
88
2. Д = 0. Корни трехчлена Т( равны.
Обозначая корни трехчлена Ti через ait имеем
Л = (В2В1 — — ai)2,
следовательно,
dfi = 1 Г rf/i = 1_____________-1
Л В2В3 — АС3 J (Л - В2В3 — ACi ' (Л - а,)
где
Точно так же
Сdfa _
J Ti fi — ai
— 1
<^2^3 — А С,
fz —
Уравнение (2) принимает вид
Полагая
~ _ ____ е2 _ е3
?1 "7—7“’ ?2 —"7—Г"’ ?3~“7—Г
fi — fi — #2 /з — а3
___ &зС — Cf3
fi,— аз ’
_£1_
Л — «1
(Зн)
имеем
?1 + ?2 4“ ?з — 0.
Это уравнение легко привести к виду (1), полагая <pf=lnty
(i = l, 2, 3), но практически это нецелесообразно, так как
такая трансцендентная подстановка осложняет построение
номограммы. Поэтому полученное уравнение рассматривают
так же, как каноническую форму уравнения 3-го порядка, и
называют ее второй канонической формой.
Таким образом, дробно-линейными подстановками (Зц)
приводим уравнение (1) ко второй канонической форме:
?х 4~ ?2 4- ?з = 0. П
3. Д<0. Корни трехчлена Г* мнимые.
Обозначая корни трехчлена Л через ai4"iPi и ®i — Фь
имеем
Tt = (BZB3 - A Ci) [(ft - а,)2 4" Й;
следовательно,
1-----С--------arctg
Л ВзВ3 -ACi J (fl _ в1)з + ₽2 У-A ₽1
89
так как
pi = —--------•
S3S3 “*
Совершенно так же найдем
С-^- == -±— arctg /а~°а- Г-^ = -7=^ arctg .
J Т2 ]ЛГд & р2 ’ J Т3 & Рз
Уравнение (2) принимает вид
=т= Гarctg + arctg =^2- + arctg -Л ^-3-1 = С,
V — Д Р1 г 2 гЗ J
ИЛИ
arctg ° - + arctg -^a~g2—|- arctg — ~~ °3- • = arctg k,
Pl Рз Рз
где _____
arctg k = c^ —
Полагая
arctg = arctg ?i, arctg -/а~аз - = arctg <p3,
Pl P2
arctg ~ °3----arctg k = arctg <рз,
₽3
или, что то же,
/« — а«
?1= й ?»
Pl
/3 — а3 — Уз
Уз — Уз + Рз ’
(«in)
будем иметь
arctg <pi + arctg <р2 + arctg <?з = 0.
Это равенство можно представить в виде
garctg Т, . garctg f. garctg — 1 ?
т. е. в виде первой канонической формы. Но целесообраз-
нее приводить его к иному виду. Именно, наше равенство
равносильно следующему:
Ф1<р2?3 = Ф1 4- ?2 4“ ?3.
Действительно, представив равенство в виде
— arctg <?з=arctg <pi + arctg <рг,
90
берем тангенсы от обеих его частей:
tg(_ arctgу8) = -,tg (arctgУ|) " tg<arctgили
1 — tg (arctg <pi) tg (arctg <p2)
„ ___ <F1—
— ?3 = -------,
1 ---?1Фз
откуда
?1 ?2 ~Ь ?3 = <Р1'Р2'Рз. (Ill)
Это — так называемая третья каноническая форма урав-
нения (I).
Формулы (Зш) дают дробно-линейные преобразования для
функций fi, fz, fz. Таким образом, дробно-линейными преоб-
разованиями (Зш) функций fi, fz fz мы приведем уравнение
(1) к третьей канонической форме.
Отсюда следует, что если в уравнении (I) произвести
дробно-линейное преобразование функций fi, fz, fz с помощью
формул (Зш), то (1) примет третью каноническую форму.
Произведенное нами исследование показывает, что во
всех трех случаях при помощи дробно-линейного преобра-
зования функций f, fz, fz можно привести уравнение (1).к
одной из канонических форм. Отсюда следует, что общее
уравнение (1) разрешается в номограммах тех же типов, что
и соответствующее ему каноническое уравнение.
Для построения номограммы канонических уравнений поль-
зуются методами, данными в § 3.
Пример. Возьмем уравнение G=yz—2xz-\-x-\-y = 0.
В этом случае имеем
— = -2г4-1, dG = z+l, — — у —2х,
дх ду dz
Из данного уравнения находим
Z = ~ - И X — 7----7 ,
2x — у 2z — 1
а потому
^.= — 2 х + у I 1 = 3j, •
дх 2х — у dG '
dz
следовательно,
дх dz
Точно так же
dG___х + у___. ।.
ду 2х — у dG ’
dz
91
следовательно,
dG dG
ду dz
„ dG Перемножив — dG и —, получим:
dG dx .^ = (2 + l)(l-2z). оу
Из полученных равенств легко найдем:
dG . dG . dG__1_ . 1 . 3
дх ‘ ду ' dz х у ’ (z + 1) (2z — 1)
Дифференцируя данное уравнение, получим:
dQ = — dx-\- — dy -j~~dz, или
, дх dy dz
__dx - dy ।_____3dz __ q
x У (z4-1 )(2z—1) “
Интегрирование дает
_ + с* Г--------ЗЛ-----= c ми хО^_с
J x J У J (г + 1)(й-1) J<2+1)
Для определения величины Ci берем какую-либо тройку
значений' х, у, z, удовлетворяющих данному уравнению, на-
пример при х=1, у = 1, z = 2. Подставляя эти величины,
получаем Ci = l.
Таким образом, преобразованное уравнение можно напи-
сать в форме
1 2z-l .
X'—------= 1.
У z + 1
Это — первая каноническая форма.
Для построения номограммы этого уравнения мы можем
пользоваться общим методом, данным в предыдущем пункте.
Задача 1. Определить величины дискриминантов всех
трех канонических форм уравнений (1). Ответ: (1,0, —4).
Задача 2. Привести к каноническому виду следующие
уравнения 3-го порядка:
а) 2ху— zx-\-7x—у — z — 2 = 0,
6) ху -|- 2yz + zx + х + у — z —1=0.
Ответ: а) i (у -к 3) —= 1, Ь) ^±± _|_ J-*- = 0.
х+1 ’z — 1 ’ х— 1 1 у z + 1
92
§ 3. Номограммы канонических форм уравнений
третьего порядка
1. Первая каноническая форма: /1/2/3=1. Поставим
задачу найти все типы номограмм, которые можно построить
для канонического уравнения
/1/2/3 = 1. (I)
Представим каноническое уравнение (I) в форме /1 /2 = — .
Л
Для получения уравнения в форме (те) полагаем
у-2,
т Л п
где т и и. — произвольные величины, которые мы выберем
впоследствии (они определяют модули шкал). Подставляя
в данное уравнение, имеем: nxfi = my.
Исключаем х и у из уравнений
х — mfi — 0, nfzx — ту = 0, у—— = 0:
0
— т
nf2
0 1
— mfi
0
п
/з
= 0.
Это — уравнение вида (те). Для получения формы (те') сна-
чала изменим знаки элементов второго и третьего столбца,
затем знаки элементов третьей строки, после чего прибавим
второй столбец к первому. Далее разделим элементы второй
строки на величину m-\-nfz и переставим столбцы. Получаем
последовательно:
1
тtifz
1
mfi
0
п
= 0,
0
т
«+ л/,
mfi
0
п
/з
= 0,
и, наконец, умножим первый столбец на произвольную вели-
чину d*:
0
md
т + я/,
mfi
0
= 0,
выбора этой
* Произволом
номограмме наиболее удобной формы.
величины
воспользуемся для придания
0
т
1
1
1
1
d
п
1
93
Это — уравнение типа (к'). Из него, как обычно, получаем
уравнения шкал:
51==0, 7). = 7w/i; g2 = md , 7)2 = 0; S3 = rf, т)3=--1.
т + nf3 13 f3
Все три шкалы, очевидно, прямолинейны, т. е. жанр
номограммы равен нулю. Модули шкал т и п.
остаются произвольными; этим произволом можно восполь-
зоваться, чтобы подобрать их соответ-
ственно пределам изменения переменных
21, 2г, £з и характеру изменения функций
fi, fz, fz в этих пределах. Номограмма
состоит из двух параллельных шкал (zi)
и (z3) и шкалы (z2), им непараллельной.
Систему декартовых координат (В, vj)
можно брать и прямоугольной и косо-
угольной; в последнем случае полученная
нами номограмма будет иметьформу бук-
вы М (черт. 27) или буквы Z. Поэтому та-
кого типа номограмма называется Z-номо-
граммой.
Пример (номограмма № 12). Пусть требуется построить
номограмму умножения ziz2 = zs при условии, что перемен-
ные Zi и Zz имеют следующие пределы изменения: zi-i-0,01 — 1,
z2-*-100 — IOjOO, а длина номограммы не должна превышать
100 мм.
В данном случае fi — zi, fz — zz, /з = —; шкалы функций
*3
fi и fz будут равномерные с модулями т и я; 7ji = /nzi,
т)з = — nzz.
Для наилучшего выбора величин т и п определим крайние
значения переменных Zi и z2, исходя из длин соответствую-
щих шкал.
Наибольшая пометка шкалы zi есть 1, наименьшая 0,01;
длина шкалы между этими пометками tn-1 — т-0,01 =т>0,99.
Задавшись предельным размером шкалы для Zi в 100 мм,
получаем: 0,99 т = 100, откуда т = Следовательно,
можно взять т =100. Уравнение шкалы zi будет ?)1 = 100zi.
Наибольшую пометку шкалы z3 получим, полагая Zi и Zz
равными их наибольшим значениям: Zi = l, z2= 10000. Это
дает для z3 значения Zz = 10000. Наименьшую пометку той
же шкалы получим, полагая zi и Zz равными их наименьшим
значениям: zi = 0,01, z2==100, что дает z3=l. Длина шкалы
Zz между крайними пометками 1 и 10000 равна 10000-я —
— 1 -п — 9999 п. Задавшись длиною шкалы zz в 100 мм, имеем:
94
9999 « = 100, откуда л = Округляя это значение, можно
положить « = 0,01. Уравнение шкалы гз будет тд3 = 0,01гз.
Прм таком выборе модуля « длина шкалы z2 окажется на
1 мм короче данной нам предельной ее величины 100 мм.
Наконец, для z2 получаем проективную шкалу на оси 5:
__ md_______IQQrf d
т + nz2 100 + 0,01z2 1 + 0,0001Zj
95
Выберем координатный угол равным 30° и величину d
равной 150 мм\ получаем номограмму № 12.
Покажем теперь, что для уравнения (I) можно построить
также номограмму второго жанра. С этой целью мы
иным способом разложим уравнение (I) на три линейных
уравнения; именно, полагаем fifz = x, fi-]-/г=У‘, тогда из
уравнения (1) имеем
х-/3=1. (с)
Исключая из уравнений /1/г = х, /1+/2=^ функцию ft,
находим:
/12 — /1,у + -к=0. (а)
Точно так же, исключая fi, найдем:
Л2- /2j + x = 0. (b)
Исключая теперь х и у из трех линейных уравнений (а),
,(Ь) и (с), получим последовательно:
I -fi л2 1 Л Д2 /12 fi 1
1 -/2 /22 = 0, 1 /2 /22 = 0, ft h 1 =0.
/з 0 -1 /з 0 -1 — - 0 1 А
Это уравнение вида (я') бинарно-симметрично; носители шкал
его номограммы — уникурсальные кривые.
Уравнения трех шкал для этой номограммы имеют вид
Ь=Л2, ‘th=fi‘> *2=Л2. 53=-у, tq3 = 0.
Jz
Общим носителем двух шкал (zi) и (z2) является парабола
tq2 = 5, уравнение которой получаем, исключая fi из уравне-
ний первой шкалы.
При помощи преобразования уравнения (I) можно дости-
гнуть того, что общим носителем кривых шкал будет слу-
жить окружность, что представляет большое удобство при
вычерчивании номограммы. Прибавим к элементам первого
столбца детерминанта элементы третьего, затем разделим
элементы каждой строки на первый элемент этой же строки
и, наконец, переставим первый и третий столбцы между
собою. В результате получим
96
1 fl
1+/12 1+Л2
1 л
i+/22 1+А2
Уравнения шкал примут вид
1 +/t2 ’ 711 1+Л2
1
1+/22 ’
71 —
1+/,’
«3 = ^-, Ъ=0.
/з — 1
Общим носителем первых двух шкал является окружность.
В самом деле, исключим из первой части уравнений функ-
цию /1. Деля второе из этих уравнений на первое, имеем
~ = fi, откуда
е1=---1—=—§_;
i + p-Y
X 51 /
по упрощении:
е2 I 2 Е /е 1 \2 I 2 1
»1 4~ I’ll = Ч ИЛИ («I — — ) -Г I’ll = — .
\ 2 / 4
Это — уравнение окружности с диаметром, равным единице,
с центром на оси £ и касающейся оси т) в начале координат.
Эта же окружность служит носителем и шкалы (z2). Третья
шкала (z$) есть проективная шкала функции /3, расположен-
ная на оси 8.
Номограмма умножения для случая fi — zi, fe — zz,
fz=— представлена на чертеже 28, где построены лишь те
части шкал, которые имеют положительные пометки. Так
как знак произведения определяется без вычислений, то
можно не принимать в расчет знаков множителей и пользо-
ваться как положительными, так и отрицательными частями
шкал. В таком случае можно значительно улучшить номо-
грамму, пользуясь отрицательной частью шкалы г3 (черт. 29).
Покажем, наконец, что для уравнения (I) можно построить
номограмму третьего жанра с общим носителем для
всех трех шкал в виде уникурсальной кривой 3-го порядка.
В-232. Н. А. Глаголев — 7
97
1
/
2 3 05 10
Черт. 29
Черт. 28
Как было сказано выше в
этом случае уравнение (тс) тернар-
но-симметрично и содержит ана-
морфозирующий множитель (Л —
—Л) (ft — /з) (/з — /1).
Отсюда следует, что если такое
преобразование уравнения (I) воз-
можно и если левая часть уравне-
ния (тс), получаемого этим преоб-
разованием, не содержит множи-
телей , кроме (fi — /2) (fz—/з) (/з —
—/1) и основного ядра, то получим
искомый детерминант (тс) в развер-
нутом виде, умножая уравнение
(I) на произведение (/i — /з)(/2 —/з)
(/з-/1). Такое умножение дает
(/1-/з)(/1-/з)(/2-/з)(/1/2/з-1) = 0
Раскрывая скобки и группируя члены, найдем:
(1)
- Л2 (ЛУз+Л/з2+1) • (Л - /з) - (I - Л3)/2/з (Л -/з) = о.
Так как в детерминанте (тс) каждая строка зависит лишь
от одного аргумента, то множители /1, ц, (1 — ff), завися-
щие лишь от Zi, должны представлять собою элементы пер-
вой строки искомого детерминанта (тс), и левая часть послед-
него равенства должна давать разложение детерминанта по
элементам первой строки. В силу же тернарной симметрии
искомого уравнения оно должно иметь вид
= 0.
* См. стр. 79.
98
Покажем, что это уравнение действительно равносильно
уравнению (1). Вычитая из первой строки вторую и из вто-
рой третью, получим
Вынося за знак
(/г — /з), найдем:
(/1-/з)(Л-Гз)
детерминанта множители (ft—f2) и
1 fi +/2
1 /2+/»
-(Л2 + /1Л + /22)
-(/22 + ЛЛ + /з2)
Вычитая опять из первой строки вторую и вынося после
этого за знак детерминанта множитель (ft — f2), получим
О 1 “(А + Л+Л) '
(/1-Л)(/2-Л)(/з-/1) 1 Г2+/3 -(/22+/2/з + /з2)
Наконец, раскрывая последний детерминант и делая упро-
щения, получаем
(fl~ A) (f2 -f3)(f2-fl)(flf2f3- 1) =0.
Это уравнение распадается на четыре:
fi — f2 — 0, /2 —/з — 0, /з —fi = 0 и /1 /2/3 = 1.
Первые три уравнения не дают зависимости между пере-
менными zi, z2 и 2з, так как содержат лишь по два перемен-
ных, а четвертое совпадает с (1). Для получения уравнений
шкал номограммы приводим уравнение к виду (чс'):
-fi fi j
1-Л3 1-Л3
— Л f* 1 = 0.
1-/23 1 - /23
—/3 /32 1
1-/33 /з3
7*
99
Отсюда уравнения шкал:
5/=-=^-; = (/=1,2,3).
1-Л3 1-Л-3
Общий носитель всех трех шкал есть, очевидно, кривая,
параметрические уравнения которой
С -* ?
С — } V) —
1 — <3 ' 1 - (3
Для получения ее уравнения в декартовых координатах исклю-
чаем параметр /. Деля второе уравнение на первое, имеем
~ =— t. Подставляя в уравнения шкал и делая упрощения,
найдем:
ез + 7}3-В71 = 0.
Кривая, представляемая этим уравнением, есть уникурсаль-
ная кривая 3-го порядка, носящая название .декартов лист".
Начало координат является двойной точкой кривой и служит
критической точкой номограммы. Других критических точек
номограмма не имеет. Для построения всей номограммы
достаточно, пользуясь уравнением шкал, нанести на декар-
товом листе пометки значений переменных Zi, z2, zs.
Пример (номограмма № 13). Возьмем опять номограмму
умножения, т. е. уравнение ZxZ2 = z3. Здесь
fl = Zl, f2 = Z2, /з = —,
г3
уравнения шкал:
t %3
^4
Z3
1
Z3 = г3 = -2з
1 -L i-zi ’
О | — — о
*3
Видим, что шкалы (zi) и (z3) совпадают и расположены
на дуге АВС, пометки шкалы (z3), как нетрудно заметить,
симметричны с равными им пометками шкал (zi) и (za) отно-
сительно биссектрисы координатного угла; эта же биссектриса
является и осью симметрии кривой.
100
2. Вторая каноническая форма: /»-}- /2 +/» = 0. Построим
все типы номограмм со шкалами на уникурсальных кривых
для уравнения
Л+/2+/» = 0. (И)
Начнем с номограммы нулевого жанра. Полагая
имеем
— +— +/з = 0.
тпх m2
101
Исключая из этих трех уравнений переменные х и у,
находим
1 0 — mi fi
0 1 — mzfz = 0.
1 и. 1 т2 ft
Это равенство легко преобразуется к виду *
1 mi fi 1
0 mzfz 1 =0,
т21 . тг 4- ^2 mimaf3 /П1 + 1
где I — произвольное число, которое мы потом подберем
так, чтобы номограмма имела наиболее удобную форму.
Отсюда получаем уравнения шкал:
Е1 = /, ’th — mifr, £2 = 0, т]2 = /712/2;
*3 > ^3- Л-
wii + m2 mt + m3
Модуль mt шкалы (z8) находим из равенства m» = —W1Wa- .
т± + тп.2
Это равенство можно написать в форме
тг т1 та
Таково соотношение между модулями шкал номограммы
уравнения (П). Сама номограмма состоит из трех параллель-
ных шкал.
Пример 1 (номограмма № 14). Составить номограмму
уравнения Zi-f-Z2 = Z3, где zi, Zz изменяются от 10 до 50.
В данном случае /i=zi, fz — z2, fz =— z8. Зададимся
длиною шкал (zi) и (z2) в 200 мм и определим модули шкал.
Из уравнений шкал Tj^miZi, ii2 = m2zz соответственно пре-
делам изменения переменных zi и z2 имеем: mi «50 — mi-10 =
= 200 мм, откуда mi = 5 мм; Точно так же и т2 = 5 мм.
Модуль т8 шкалы (z8) найдется из равенства —=—-J-—,
т3 5 5
откуда ms = 2,5 мм.
* Прибавляем к элементам второго столбца элементы первого, первый
«1^2
столбец умножаем на I, третью строку — на--- и переставляем по-
следние два столбца; у элементов второго столбца меняем знаки.
102
Направление всех трех
шкал одинаково. Взяв I — 150
мм, получаем расстояние
между шкалами (zi) и (z2),
равное 150 мм, а расстояние
d шкалы (zs) от (zi): 75 мм
/ , 150-5\
id — -—- ), следовательно,
\ 5 + 5/
шкала (zj) проходит на рав-
ных расстояниях от шкал (zi)
и (z2).
Все три шкалы номограм-
мы равномерные, модуль сред-
ней шкалы вдвое меньше мо-
дулей крайних.
Получаем номограмму № 14.
Пример 2 (номограмма
№ 15). Построить номограм-
му формулы момента инерции
г Bh3
прямоугольника 7=-^- отно-
сительно прямой, параллель-
ной его основанию и прохо-
дящей через центр прямо-
угольника; пределы изменейия
b и А: b 1 —100, h +10 — 200.
Предельные длины шкал (А) и
(А)— по 200 мм.
' Логарифмируя данное ра-
венство, имеем:
lg7=lg A-)-31gA — lg 12 или lgA-f-3 lgA = lg7-|-lg 12.
Полагаем /i = lgA, /2 = 31gA, /3 = lg7-|-lg 12. Определим
модули mi и m2 шкал. Соответственно пределам изменения
переменных имеем: 200 = mi 1g 100 — /ni lg 1 = 2mi, откуда
получаем величину модуля mi —100 мм. Далее, 200 =
— /п2-31g 200 — /п2-31g 10 = 6,9/п2 — 3/и2 = 3,9/л2, откуда /п2 =
=— = 51,3; берем /п2 = 50 мм.
3,9
Из равенства — = — 4-— находим /т?2 = 33,3 мм.
100 50
Уравнения шкал:
т)! = 100lgA, 7j2 = 50-31gA = 1501gA, 7j3 = 33,3(lgJ-\- 12).
103
Номограмма N15
Момент инерции прямоугольника
г ьп3
12
(h) (J)
200Г XsDOOOOOO
-30000000
150 - - 20000000
-но000000
-5000000 - 00
100
00
80
70
60
50
00
30
3000000
2000000
"^аоооооо
--500000^
300000
200000
-.-100.000
-- 50.000
30.000
20000
—юооо /
--5000'' ’
'3000
2000
^'1000
500
300
-200
100
Номограмма
с параллельными шкалами
Взяв /=100 мм, получаем
d =___Z/”2 = 100-50 _ 5000
mj + т. 100 + 50 150
= 33,3 мм\
следовательно, третья шкала (J)
делит расстояние между двумя
первыми (А) и (й) в отношении
1:2 (номограмма № 15).
Построение производим в
следующем порядке. Сначала
строим шкалы (й) и (й), ставя
их нижние пометки й=1,й = 10
одна против другой, т. е. так,
чтобы прямая, их соединяющая,
была перпендикулярна к обеим
шкалам. Делим расстояние меж-
ду ними в отношении 1:2 и в
полученной точке ставим соот-
ветствующее значение J из дан-
ного уравнения при Ь =
= 1, h — 10 имеем
J=-1^ = 83,33.
12
Соединяем далее верхние точки
шкалы (й) и (Ъ), имеющие помет-
ки b — 100, й = 200. Деля отрезки
между этими точками в том же
отношении 1:2, снабжаем полу-
ченную точку пометкой, равной значению J, соответствую-
щему значениям й=100, й = 200.
гл г 100-2003 сс ссс ссс; _
Из данного уравнения находим J = ———=66666666,7.
Соединяя полученные точки, соответствующие крайним
значениям J, прямою линией, получаем прямую, параллель-
ную шкалам (й) и (й), которая служит носителем шкалы (J).
Так как эта шкала логарифмическая и две пометки ее уже
получены, то градуировка всей шкалы не представит затруд-
нений. Для большей легкости выполнения градуировки шкалы
можно исходить не из крайних значений J, а из каких-либо
двух других точек шкалы J с «круглыми» пометками, которые
легко было бы построить. Например, из данного уравнения
имеем: при й = 12 и й = 10 величина J равна 1000, а потому,
104
соединяя точки с пометками 12 и 10 на шкалах (А) и (А)
в точке встречи этой прямой со шкалою (У) ставим помет-
ку 1000. Точно так же при b = 12, h — 100 имеем J— 1000000.
Соединяя точки b = 12. Л — 100, получаем на шкале J точку
с пометкой 1000000. Пользуясь полученными двумя помет-
ками шкалы (У), легко наносим все промежуточные деления.
Заметим, что для построения шкалы (У) не было необхо-
димости вычислять ее модуль и определять начальную ее
точку. Достаточно иметь две пометки.
Пример 3 (номограмма № 16). Построить номограмму
для формул перехода от декартовых координат (х, у) к по-
лярным (R, <р):
x = /?cos<p, j/=/?sin<p, — = ctg?.
105
Чтобы получить лучшую норму номограммы, преобразуем
эти формулы:
x2=y2ctg2<p, у2 — R2 sin2 <р,
следовательно,
у2 cosec <р = R2 или у2 (1 + ctg2 ф) = R2;
полагая ctg2<p = a, имеем
У5(1 + а) = ^2, у2а = х2.
Построим номограмму для каждой из этих формул. Лога-
рифмируем обе формулы:
21gj + lg(l+«) — 21g/? = 0,
2 lg_y Ц-lga —2 Igx = 0.
Начнем с первого равенства. Оно имеет вид (II):
/i = 21gy, /2 = lg(l-t-a), /з = —21g/?.
Находим уравнения шкал номограммы, полагая zni = /n2 =
= т3 = т
$1==0, rll = m-21gy;
^2 = 1, ч2 = С1 + а)‘>
Для второй номограммы шкалы будут те же, только
вместо R во второй номограмме будет стоять х, а вместо
а 4-1 будет стоять а. Шкалу (а) мы градуируем с двух сто-
рон: слева для а, а справа — для соответствующих значений ф.
Обе номограммы можно совместить в одну (номограмма № 16).
Если нужно по х и у найти R и ф, то сначала по х и у
находим <р и соответствующее а, далее по 1 -f-a и у найдем R.
Если нужно по R и <р найти х и у, то по ф находим а
(в том же месте шкалы с другой стороны); далее по R и
а—1 найдем у и по у и ф найдем х.
Та же номограмма № 16, очевидно, даст возможность
находить модуль и аргумент комплексного числа x-}-iy =
= /?(cos<p-|-isin<p) по его действительной и мнимой части.
Пример 4 (номограмма № 17). Построить номограмму
для вычисления комплексных корней из единицы.
Если z" = l, то, как известно,
г* = х +iy = cos —4-isin —, где £ = 0, 1,2, 3,.... п.
п п
106
п 2Ап
Полагаем — — а и постро-
п
им номограмму для этой фор-
мулы. Логарифмируя, имеем:
lg k +lg — 1g n — 1g a = 0.
Это — уравнение вида (I), где
/i = —Ign, /2 = lgklg2s
/3 = —Iga.
Полагая т1 — т2 = т& = т,
можем написать уравнения
шкал в следующем виде:
шкала п: $1=0, 7^ = — /nig/г;
шкала kt $2 = I,
7)2 = /n(lg£ + lg27r);
, l
шкала a: = у ,
т 1
71з==71ёа-
Таким образом, шкала (а)
лежит посредине между шка-
лами (п) и (&) и модуль ее ра-
т
вен —.
2
Номограмма Н17
Вычисление комплексных
корней из единицы
cos -кл 4- Lsin —~Jl.
к п п
-0,9 -~°>5
и ^~о,з L
Номограмма с параллельными
шкалами
Эту шкалу будем градуировать не по значениям а, а по
значениям х, у. Но так как x = cosa, y = Hna, следовательно,
a = arc cos x = arc sin у. Таким образом, на третьей шкале
наносим шкалы функций lg arc cos х (слева) и lg arc sin у (спра-
ва) в масштабе у и пользуемся этой шкалой для нахожде-
ния х и у. Так как k и п — числа целые, то на их шкалах
нанесены лишь точки с целыми отметками (номограмма № 17).
6,—
Для примера найдем по номограмме у 1 для k — \, 2, 3.
Прикладывая линейку к точкам п = 6, при k — \, имеем
х-|-ii> = о,5-|-0,87г; при k = 1 имеем x-j-iy= — 0,5-|- 0,87г;
при А —3 x-j-yi = — 1.
Для построения номограммы второго жанра урав-
нения (II) полагаем, как и в случае уравнения (I), fifa = x,
/i-f-/г—у. Тогда из (II), имеем у И-/з = 0. Равенства j\f2 = x,
j\-\-f2=y показывают, что fi и /2 суть корни уравнения
2-й степени —yz-[-x = 0-, следовательно, можно написать:
/22-/уЛ + х = о.
107
Присоединяя сюда равенство /з + у = 0 и исключая из трех
этих линейных уравнений переменные х и у, получим бинарно-
симметричное уравнение
или (прибавляя к элементам третьего столбца элементы пер-
вого и разделяя все строки на элемент их последнего
столбца):
/,2 / 1
1+72 1+Л2
/22 /а 1 = 0.
1+/22 1 + /22 1
1 1_ 1
/з
Отсюда
/2
получаем уравнения шкал:
, = —; $2=—
1+Л2 1-ь/22
$3 = 1, =
/з
Шкалы (zi) и (г2) расположены на окружности
$2 + ''12 = $ ИЛИ -----Y 4- 7)2 = —
уравнение которой получаем, исключая из первой пары урав-
нений параметр fi. Третья шкала (Зз) есть проективная шкала
функции /з, расположенная на прямой $ = 1, касающейся
этой окружности.
Чтобы построить для уравнения (II) номограмму
третьего жанра, нужно привести его к тернарно-симмет-
ричной форме. После такого приведения уравнение, как
известно, будет содержать анаморфозирующий множитель
(/х-/2)(/1-/з)(/2-/з).
Умножая уравнение (II) на этот множитель, имеем
( /1 - Л) ( /1 - /з) (/2 - /з) (/1 + /2 + /з) = 0.
108
Раскрывая скобки и группируя члены по отношению к функ-
ции fi, получим
Л3 (Л -/з) -fl (Л-П) +fMft - %) = 0.
Левая часть этого равенства должна представлять собою
раскрытую форму искомого тернарно-симметричного детер-
минанта, разложенного по элементам первой строки. Следо-
вательно, элементы первой строки искомого детерминанта
должны быть Л3, fi, 1; вследствие тернарной симметрии
детерминанта он должен иметь вид
А3 Л 1
А3 /2 1 = 0.
/з3 Л 1
Раскрыв детерминант, легко убедимся, что он совпадает
с левой частью предыдущего равенства. Уравнения шкал:
^=Л3> (4=1, 2,3).
Общим их множителем является кубическая парабола т]3 —L
Можно получить другой носитель шкал при помощи пре-
образования детерминанта. Прибавим к элементам первого
столбца детерминанта элементы третьего, после чего разде-
лим элементы второго и третьего столбцов на элементы
первого и, наконец, переставим первый и третий столбцы
между собою. В результате
1. Л _
1+Л3 1+Л3
1+/23 И-/23 “
1 /з |
1+Уз3 1+/з3
Это равенство дает новые шкалы:
1 + Л3 !+Л3
Носителем их является кривая 3-го порядка $34-т]3— £1 2 * * 5 = 0.
Кривая имеет вид, изображенный на черт. 30. Начало коор-
динат служит точкой возврата кривой. Строить кривую удоб-
нее всего при помощи параметрических ее уравнений:
е 1 *
5 = ----- , Ч = ------ .
1 + /3 1 + Р
109
3. Третья каноническая форма: /1/2/3=/t 4-y2J_/3«. По-
ставим задачу — найти для уравнения
/1/2/з — fi + /2 + fa (HI)
все виды номограмм, шкалы которых определялись бы ра-
циональными функциями параметров //.
Номограмма второго жанра* ** может быть получена
совершенно так же, как и в случае уравнений (I) и (II). Пред-
ставив (III) в форме
полагаем
/1/2 — 1=х, /1+/г=у.
Исключая из двух последних уравнений /г, последова-
тельно имеем: fa = y — fi, ft (у — fa) — 1 = х или fay —
— /1— х —1=0. Точно так же, исключая fi, получим fay —
—f\ — х—1=0. Из самого уравнения (III) получим fax—y—0.
Получаем, таким образом, три равенства, линейные отно-
сительно х и у. Исключая х и у, получаем бинарно-симмет-
ричное уравнение
Уравнения шкал искомой номограммы:
61 —fl, fii—fi, 62 =/2, rfi=fa', 63 = —1, 1)3 = 7-.
/3
Общим носителем двух первых шкал служит парабола
5 = 7)3, носитель третьей шкалы — прямая, параллельная оси
1), отстоящая на расстоянии единицы влево от нее и, оче-
видно, не пересекающая параболу.
* Как уже было сказано, это уравнение легко преобразовать к уравне-
нию вида (II), а следовательно, и вида (I); для этой цели следует положить
jQ = tg<?/; равенство (III) примет вид:
tg <?rtg <?2 • tg <₽з = tg <Pi + tg <p2 + tg <p3,
откуда Ti 4- Фа + Тз= 0 Но мы поставим задачу — найти для уравнения (III)
все виды номограммы, шкалы которых определились бы рациональными
функциями параметров.
** Номограммы первого жанра для уравнения (III) построить невоз-
можно (см. ниже).
ПО
Небольшим преобразованием детерминанта можно достиг-
нуть того, что общим носителем двух первых шкал будет
служить окружность. С этой целью прибавим к элементам
первого столбца элементы третьего, умноженные на а2, где
а — произвольное число, третью строку умножим на /з и пе-
реставим местами первый и третий столбцы. Получим
1 Л /1+я2
1 /г /1 + а2 ==о-
/з 1 - /з + а2/з
Умножая первый столбец на а и деля каждую строку на
ее последний элемент, имеем
а /1
fl + a3 /?+«’
а -т /а
fl + a3 + я2
а 1
а2—1
Это уравнение дает новые шкалы:
Е1==---2---, 7)! =---h.— • $2 =----2— Т2 = —h-----;
/?+*’ /2 + аа z2 + e, z2 + ai
► а 1
*3------7 , 7)з — ———-.
а3 — 1 (а3 —1)/3
Уравнение носителя первых двух шкал получим, исклю-
чив параметр из первой пары уравнений.
Возводя каждое из этих равенств в квадрат и складывая,
получим
е2 । 2 ад+ /1 1 __ 51
ч ~г ---------- ----------== — .
(^+/2)з а’ + /2 а
То же получаем и для второй шкалы. Опуская индексы,
имеем
524-7)2 — ± = 0 или A— v-Y+7l2 = i-
а \ 2а / 4а2
Это уравнение представляет окружность с центром на оси $
на расстоянии — от начала; окружность касается оси ц.
2а
111
Третья шкала, проективная для функции /3, расположена на
прямой, параллельной оси *), на расстоянии а от нее. Так
как а2>а3—1, то Дз > 1, следовательно, —— > —, т. е.
а2 — 1 а3 — 1 а ’
расстояние шкалы (гз) от оси rj боль-
ше диаметра круга; следовательно,
шкала не пересекает окружности
(черт. 31). Таким образом, номограм-
ма не имеет критических точек.
Построим теперь для уравнения
(III) номограмму третьего
жанра. Эта номограмма будет иметь
все три шкалы на общем носителе —
уникурсальной кривой 3-го порядка.
Уравнение вида (zz), определяю-
Черт. 31 щее шкалы этой номограммы, должно
содержать анаморфозирующий мно-
житель, который состоит из произведения (/i—/>)(/i—/з)
(/г —/з). Умножая (III) на это произведение, находим:
( /1/2/3 — /1 — /г — /з) ( /1 — /г) ( /1 — /з) ( /2 — /з) — О,
или
/1(/з/з— 1)(/г—/з) — /1 (/2 — /з)/г/з +
+/1(/2/з +/2+/з+/г/з)(/г — /з) — /2/3 (/2 —
Соединив второй и последний члены, получаем
/?(/2/з - 1)(/2-/з)-(/?+ 1)//з ( fl~fl) +
+ /1 (/2/3 +/2 + /з +/2/3) (/2 — /з) = 0.
Левая часть должна представлять собою разложение тер-
нарно-симметричного детерминанта по элементам первой
строки, поэтому искомый детерминант должен иметь вид
Разлагая его по элементам первой строки, убеждаемся, что
получаемое при этом равенство равносильно уравнению (III).
Для получения шкал номограммы приводим уравнение к
виду
112
fl
fl
fl
/?+l
fl
/2 + 1
/2
/1+1
/3
1
1
1
Отсюда получаем уравнения шкал:
f 2 _i 1
h=fl, 4=—f— (1=1, 2,3).
fl
Исключая fi, получаем уравнение носителя всех трех шкал:
= или Т)2« = (£ + I)2.
Это — уникурсальная кривая 3-го порядка, имеющая изолиро-
ванную двойную точку с координатами £ = — 1, т] = 0. Эта
двойная точка, очевидно, не принадлежит нашей номограмме,
ибо при £ = — 1 имеем fi — V — 1, т. е. fi получает мнимое
значение. Отсюда следует, что номограмма не имеет крити-
ческих точек.
4. Общий характер номограмм уравнений третьего по-
рядка. Во всех изученных выше случаях мы получили для
уравнений (I), (II) и (III) номограммы, шкалами которых слу-
жили уникурсальные кривые; координаты точек этих кривых
были рациональными функциями параметров fi, fa, fa, причем,
если параметры пробегали все значения от — оо до -f-oo,
то соответствующая точка шкалы обегала всю кривую. Сре-
ди этих номограмм мы не встречали номограмм первого
жанра, и нетрудно показать, что уравнение 3-го порядка не
может разрешаться в номограммах первого жанра на уникур-
сальных кривых.
В самом деле, допустим, что уравнение 3-го порядка изо-
бражено номограммой первого жанра, в которой носители
шкал (/i) и (ft) — прямые линии, а шкала (fa)— уникурсаль-
ная кривая. Возьмем на этой последней две какие-либо точки
с пометками /з и /з . Соединяем эти точки прямой линией
и продолжаем эту прямую до пересечения со шкалами (fi)
и (fa) в точках, имеющих пометками некоторые значения пе-
ременных fi = f°, f2 — /2. В таком случае паре значений
переменных /1=/?, /2 =/2 будут соответствовать два зна-
чения fa: f'3 и f a, что невозможно, ибо уравнение 3-го по-
рядка линейно относительно функции /3. Из тех же сооб-
В-232. Н. А. Глаголев-8 ИЗ
ражений нетрудно усмотреть, что номограммы второго жанра
для уравнений 3-го порядка должны иметь общий носитель
для обеих кривых шкал, а номограмма третьего жанра — об-
щий носитель для всех трех шкал.
Можно получить более общую форму всех построенных
нами номограмм уравнений 3-го порядка. Именно, если спро-
ектировать из какой-либо точки пространства одну из полу-
ченных номограмм на другую плоскость, то при таком про-
ектировании прямая спроектируется в прямую, окружность —
в какую-либо кривую 2-го порядка, уникурсальная кривая
3-го порядка — в уникурсальную же кривую 3-го порядка.
Три точки, лежащие на одной прямой и дающие решение
уравнения, перейдут в тли точки, также лежащие на одной
прямой. Поэтому на новой плоскости опять получим номо-
грамму данного уравнения того же типа, причем окружность
заменена произвольной кривой 2-го порядка.
Сводя в одно целое результаты, полученные нами для
уравнений (I), (II), (III), можем сформулировать их в сле-
дующей краткой форме:
1. Уравнения (I) и (II) разрешимы в номограммах нулевого
жанра, уравнение (III) в этих номограммах не разрешимо
(при рациональной анаморфозе).
2. Ни одно из уравнений (i), (II) и (III) не разрешимо в но-
мограммах первого жанра на уникурсальных кривых.
3. Все три уравнения разрешимы в номограммах второго
жанра с общим криволинейным носителем в виде кривой 2-го
порядка, причем для уравнения (I) прямолинейная шкала пе-
ресекает кривую, для уравнения (II) — касается этой кривой
и для уравнения (III) — не пересекает ее вовсе.
4. Все три уравнения разрешимы в номограммах третьего
жанра с общим носителем— уникурсальной кривой 3-го по-
рядка, причем для уравнения (I) двойная точка кривой —
узловая, для уравнения (II) двойная точка есть точка воз-
врата, для уравнения (III) двойная точка изолированная.
Во всех случаях имеем разрешение уравнения на кривой
3-го порядка, но эта кривая может быть нераспадающейся—
тогда мы имеем номограмму третьего жанра; она может рас-
падаться на прямую и кривую 2-го порядка — имеем номо-
грамму второго жанра; наконец, может распадаться на три
прямых — тогда получаем номограмму нулевого жанра.
Легко показать, что в номограммах нулевого жанра мо-
гут разрешаться лишь уравнения 3-го порядка. В самом деле,
пусть дана какая-либо номограмма нулевого жанра; носители
всех ее шкал (zi), (z2) и (z3) суть прямые линии. Координаты
точек каждой шкалы могут быть представлены линейными
функциями соответствующего переменного Zi. Действительно,
114
уравнение носителя шкалы (zi) должно иметь вид у = kix 4- h,
каждой точке этой шкалы соответствует свое значение
абсциссы х и в то же время свое значение переменного z>—
пометка этой точки; следовательно, каждому значению zi
соответствует свое значение х, т. е. х есть функция от
zi'. x = <f>i(zi). Таким образом, координаты точек шкалы (zi)
будут даваться формулами:
х = <?/ (zi), у = km (zi) + h,
а условие расположения трех точек шкал (zi), (zi), (zi) на
одной прямой представится равенством
<pi Ai<pi 4- h
?2 kz<f2 *}~ /2
f 8 4* /з
1 =0.
Таково равенство, связывающее переменные zi, Z2, z»-, так
как оно содержит по одной функции от каждого аргумента,
то его номографический порядок равен трем. Раскрывая де-
терминант, получим обычную форму уравнения 3-го порядка.
Из всего изложенного выше о номограммах уравнений
3-го порядка можно сделать следующее заключение.
Во всех случаях уравнение 3-го порядка разрешается но-
мограммой, имеющей общим носителем всех трех шкал уни-
курсальную кривую 3-го порядка. Если при этом Д>0, то
двойная точка кривой — узловая, и кривую можно брать в
форме, распавшейся на коническое сечение и пересекающую
его прямую или на три не проходящие через одну точку
прямые; уравнение разрешимо в номограммах трех жанров:
нулевого, второго и третьего.
Если Д = 0, то двойная точка кривой — точка возврата,
и кривую можно брать в форме, распавшейся на коническое
сечение и касательную к нему прямую или на три прямые,
проходящие через одну точку; уравнение разрешимо в номо-
граммах тех же трех жанров.
Наконец, если Д <_ 0, то двойная точка кривой — изоли-
рованная, и кривая может быть взята в форме, распавшейся
на коническое сечение и не пересекающую его прямую; урав-
нение разрешимо в номограммах лишь двух жанров — вто-
рого и третьего.
Задача 1. Построить номограмму третьего жанра для
уравнения ziZ2 = £з. Ответ. Уравнение носителя:
5з4_чз = $2
Задача 2. Построить номограмму третьего жанра для
уравнения -3-^7 —3-^г = ~ • Ответ. Уравнение носителя:
Ух у у У г
= 7]’.
§ 4. Уравнения высших порядков
1. Уравнения 4-го порядка; канонические формы. Общее
уравнение 4-го порядка с тремя переменными z}, z2, z3 долж-
но содержать четыре функции трех аргументов; следова-
тельно, от одного (и только от одного) аргумента должны
входить две функции. Если этим аргументом будет гз, то урав-
нение будет содержать четыре функции:
fl=fl(Zi), f2=f2(z2), fs^fsfa) и g3 = g3(zs).
Общий вид такого уравнения:
L\2f3 -|- 4- АЛ 2 — О, (1)
где
= lofifz 4- li fi -j- 4- /3, 1
Л412 = mof\f2 -J- mif\4- m3fz 4" ^3,? (2)
АЛг = ло/1/2 4- nifi 4- Я2/2 4- #з J
(//, mi, nt — постоянные коэффициенты).
Прежде чем изучать общий вид этого уравнения, мы рас-
смотрим две его простейшие, так называемые канонические
формы.
Первая форма носит название формы Коши и имеет сле-
дующий вид:
/i/з 4~/2^з -\-h3 = 0. (1)
Легко видеть, что входящая в это уравнение третья функ-
ция Аз аргумента z3 не увеличивает число независимых меж-
ду собой функций аргумента г3, так как, деля уравнение (I)
на Аз и полагая —=/з, — = ё'з, получаем:
h3 h3
f з 4* /2^3 4-1=0-
Это равенство содержит две функции от z3'-fz и g3.
Вторая каноническая форма связана с именем каирского
номографа Кларка. Эту форму будем в дальнейшем называть
формой Кларка-, она имеет вид
/1/2 _/з 4~ (/i fa’ёз 4-Лз = 0. (п)
Присутствие в уравнении третьей функции А3 аргумента z3,
116
очевидно, тоже не увеличивает числа независимых между
собой функций ОТ Zg.
Начнем с изучения формы Коши.
Уравнение (I) содержит в себе как частные случаи пер-
вую и вторую канонические формы уравнений 3-го порядка.
В самом деле, полагая йз = 0, — = — /з и — =/2, имеем
§3 fi
fifzf'z—1 = 0; это —первая каноническая форма уравнения
3-го порядка (см. стр. 88): полагая fg = gg = — 1, имеем /i-ф-
+/2 + Лз = 0; это — вторая каноническая форма уравнения
3-го порядка (см. стр. 89).
Наконец, укажем, что уравнение Коши (I), как было заме-
чено впервые самим Коши, представляет собой самую общую
форму уравнения, изображаемого прямолинейным декартовым
абаком. В самом деле, взяв за координаты величины Zi и Zz
и вводя на осях координат функциональные шкалы Zi=/i(zi),
Z2=fz(z2), приводим уравнение (1) к виду
/з^! -|- ggZ2 -|- hg = О,
т. е. к общему уравнению семейства прямых с параметром z3.
Уравнение (I) представляет собою тот тип уравнений, ко-
торый мы рассматривали в главе о прямолинейном декарто-
вом абаке. Это последнее замечание дает возможность за-
ранее установить тот тип номограмм из выравненных точек,
в которых разрешается уравнение (I). Действительно, всякая
номограмма из выравненных точек представляет собой ре-
зультат коррелятивного преобразования абака Массо и, в ча-
стности, абака Декарта.
Прямолинейный декартов абак состоит из трех семейств
прямых: двух семейств координатных линий, каждое из ко-
торых представляет собою пучок параллельных прямых, и
третьего семейства прямых с одним параметром, соответ-
ствующего третьему переменному, входящему в уравнение.
При коррелятивном преобразовании пучки прямых перейдут
в прямолинейные ряды точек и дадут две прямолинейные
шкалы. Третье семейство прямых перейдет в некоторую
криволинейную шкалу, и мы получим в результате преобра-
зования номограмму, состоящую из двух прямолинейных шкал
и одной криволинейной, т. е. номограмму первого жанра.
Таким образом, уравнение Коши (I) разрешается в номограм-
мах первого жанра.
Для построения самой номограммы прибегаем к обычному
приему разложения уравнения (I) на три соотношения, линей-
ные относительно вспомогательных переменных х и у. С этой
целью полагаем /1=х, fz—У-
117
Внося в (1), имеем:
/зх 4- §зу Лз = о.
Итак, имеем три линейных соотношения:
л — /1 = 0,
^_/2 = 0,
/зх 4" 4- йз=о.
Исключая отсюда х и у, получим
1 0 -/х
О 1 —/2
/з g3 h-3
Прибавим к элементам первого столбца элементы второго,
изменим знаки элементов третьего столбца, разделим эле-
менты третьей строки на /з4“£з> сделаем круговую переста-
новку столбцов, переставив первый столбец на место пос-
леднего, и умножим вновь полученный первый столбец на
произвольную величину I. В результате
0 /1 1
I fz 1
ёз1 — йз , =0-
/з +Яз' /з +йз
Отсюда получаем уравнения шкал:
£1 = 0, 7)1 = /i; ?2 = I,
с _ „ __ Лз
?з =-------, *13 —---------.
/з + ёз /з + ёз
Первая и вторая шкалы прямолинейные; первая расположена
на оси т), а вторая — на прямой, ей параллельной, отстоящей
на расстоянии I от нее. Третья шкала, в общем случае —
криволинейная.
Пример 1 (номограмма №18). Построить номограмму
квадратного уравнения
z2 4* рх 4" Я ~ 0-
Полагая
/1==Р> /2 = ?, /з = г, £з = 1, hi = z2,
получаем уравнения шкал:
£1 =0, 7]1 = р; ?2 = I, ’12 = Я\
, 1 г*
118
Первые две шкалы—рав-
номерные, расположенные на
параллельных прямых; носите-
лем третьей шкалы служит
кривая, уравнение которой
получим, исключая параметр
z из третьей пары уравнений.
Деля второе уравнение
третьей пары на первое, имеем
-- *2==J’_ ИЛИ г2= — ;
/ -з ?з
с другой стороны,
*3 ?3
следовательно, уравнение кри-
вой будет
ИЛИ (I. — £3)2 4- = 0.
Легко видеть, что это —
уравнение гиперболы, касаю-
щейся оси В в точке (/,0) и
имеющей ось •»; своей асимп-
тотой. Получаем номограмму
№ 18.
Перейдем теперь ко второй
канонической форме уравне-
ния 4-го порядка (И). Легко
видеть, что это уравнение
содержит в себе как частный случай все три канонические
формы уравнений 3-го порядка. В самом деле, полагая g» = 0,
й3 = —1, /1/2/3 = !. Полагая/ = 0, £з = 1 и заменяя Лз на /з,.
имеем /1+/2 +/з = 0; наконец, полагая g3= — 1, йз=/з,
получаем
/1/г/з=/1 +/2 + /3.
Для построения номограммы уравнения (II) положим
/1/2 = х,
Исключая из этих равенств сначала /г, а затем ft, получим
ПЭ1
два равенства: /12-/Ц' + ^ = 0, Л—Ау4-х=о.
Вводим величины х и у в уравнение (II):
fax 4-gxv + Аз=0.
Исключим х и у из трех последних равенств:
1 -/1 Л
1 -Л /22
/2 ga ha
Полученное уравнение легко приводится к виду
а fl 1
«3 + 4 of + /1
а л 1 = 0,
а»+ 4 а»+ 4
а/з £з 1
йз + а2/3 ^3 + Я2/з
где а — произвольная величина, которую будем считать поло-
жительной.
Отсюда получаем уравнения шкал:
. а _ ft . t __ а _ f
а' + ft ’ 711 a>+rf ’ 2 в9 + 4 ’ «3 + 4~’
, 7)3 = -=^-.
й3 4- л-/з й3 -j- а»/3
Первые две шкалы имеют общий носитель — окружность
радиуса — ~, касающуюся оси т; в начале координат. Дей-
2а
ствительно, из уравнений первый шкалы находим
5? + 7]? = -“л" = — ИЛИ ( 51 — ~У + 7]2 = — ,
1 ° a2+ /f а \ 2а/ 1 ° 4а»
То же самое получим и из уравнений второй шкалы.
Носителем третьей шкалы служит некоторая кривая,
параметрические уравнения которой представляют уравнения
последней шкалы.
120
Таким образом, уравнение Кларка (II) разрешается в номо-
граммах третьего жанра с общим носителем двух шкал —
кривой 2-го порядка,— и с третьей шкалой, имеющей носи-
телем кривую линию, характер которой определяется видом
функций ft, gt, ht. В частных случаях, когда уравнение (II)
превращается в уравнение 3-го порядка, кривая превращается
в прямую линию. В самом деле, при g3 = 0, йз==—1 имеем
(уравнение шкалы на оси В, т. е. на диаметре окружности);
при ft — 0, gt = 1 имеем
Ъ — 0, 7)з =--
^3
(уравнение шкалы на оси •»), служащей касательной к окруж-
ности); при gt= — 1, ht =—ft имеем:
(уравнение шкалы на прямой, параллельной оси т] и не пере-
секающей окружности*.
Получаем, таким образом, те самые номограммы второго
жанра, которые строили раньше для канонических форм
уравнений 3-го порядка.
2. Общее уравнение 4-го порядка. Приведение к канони-
ческому виду. Общее уравнение 4-го порядка имеет вид
£12/3 4“ Afi2g3 “F Л^гйз == 0, (1)
где
L12 = loflfa + lift + ^2/2 4- /3,
Ain = ^0/1/2 4“ ^1/1+ ^2/2 4“т%9
Л/12 = Яо/1/2 4~ 4~ Из/г 4“ ^s.
(2)
Докажем сначала следующую теорему: если уравнение (1)
* В самом деле, из равенства ~~---------- имеем — — а — —. Если а>1,
а? — 4 е3 а
1 > * 1
то а-----<а; следовательно, —, т. е. Е3 больше диаметра окружности;
если а<1, то Е3<0, и следовательно, шкала расположена влево от оси,
тогда как окружность лежит вправо от нее.
121
не распадается на более простые и не сводится к уравне-
нию низшего порядка, то ранг матрицы
4 h 1г 1г
т0 mi m2 тз
(3)
по П1 П2 п3
равен 3.
Для доказательства заметим, прежде всего, что среди
детерминантов 2-го порядка, входящих в состав матрицы (3),
по крайней мере, один должен быть отличен от нуля. Дей-
ствительно, из равенства К* 1 = 0 следует—= — , так
|/й/ mk I т, mjt
что, если бы все детерминанты 2-го порядка были равны
нулю, мы имели бы
4> Л _________ 1$ А ________ h __ 1з
т0 mt т, т3 ’ п0 ni г2 п3
Обозначая тогда общую величину первых отношений через |*,
а вторых — через v и внося выражения
m.k= — , nk = ~(k = O, 1, 2, 3, 4)
(А V
в (2), мы получили бы
М12= —, ЛГ12=-^-.
Р- V
Уравнение (1) приняло бы тогда вид
£12/3 4~ £12— £12 ~ — £12 (fz 4~ ~ 4—= О
Р- V \ V J
и следовательно, распалось бы на два уравнения:
£12 = ^0/1/2 4” ^1/14” ^2/2 + /з = О,
A+f + v-°.
и мы не имели бы никакой зависимости £з от zi и z2.
Итак, по крайней мере, один из детерминантов 2-го по-
рядка матрицы (3) не равен нулю. Предположим, что
4 А I ф о
та mi I
и перейдем к доказательству самой теоремы — докажем, что,
по крайней мере, один из детерминантов 3-го порядка матрицы
(3) отличен от нуля.
122
Допустим, что имеем равенства
/о А h /о Л h
zno Ш1 т,2 ~о, Шо П11 тз = 0. (4)
п0 П1 п2 По П1 Пз
Присоединим к ним два тождества
lo 11 4 10 11 /1
т0 mi т0 = 0, т0 mt mi = 0
По П1 По По П1 П1
и разложим все четыре детерминанта по элементам послед*
него столбца:
10Р—znoQ + «o/?«O, iiP—miQ 4- niR = Q,
I2P—/H2Q TI2R = 0, I3P —• tn3Q 4* ^3/? = 0,
где P, Q, R— миноры элементов третьего столбца, одина-
ковые для всех четырех детерминантов. Так как по пред-
положению
h
Ш1
R=
та
7^0, то последние равенства можно разрешить
относительно по, nt, П2, Пз'
п0 = pl0~\-qma, ni = pli+qmt, п2= plt-\-qm.2,
nz—pls + qms,
Р О
где P = •
Внося выражения для п0, ni, пг и Пз в последнее равен-
ство (2), получим
М2 = (р/о + ^о)/1/2 + (рЛ +^0/1 +
4“ (р/2 -|- quiz)/2 4“ (р/з + <7^з),
или
М2=pLi2 4- qMi^
а потому уравнение (1) принимает вид
£12/3 4-^12g3 + (р£12 4" Аз = 0
или
£12_А+£Лз_ + /и12 = о.
g» + qh3
Полагая ——-h3 =?з, имеем £i2?s4-Afi2 = 0.
gi + qf>3
Это уравнение содержит лишь одну функцию аргумента гз,
т. е. является уравнением 3-го порядка. Таким образом, урав-
нение (1) свелось в этом случае к уравнению 3-го порядка.
123
Следовательно, если данное уравнение есть неприводимое
номографическое уравнение 4-го порядка (т. е. не сводящееся
к уравнению низшего порядка), то, по крайней мере, один из
детерминантов (4) не равен нулю. Предположим для опреде-
ленности:
/о 11
т0 т\ Ш2 ^0. (5)
По П1 П2
Покажем теперь, что всякое неприводимое уравнение 4-го
порядка (1) может быть приведено рациональным преобра-
зованием функций, fi и /г к одной из канонических форм
Коши или Кларка.
Умножая равенства (2) соответственно на /з, gz, Аз и скла-
дывая их, получим
Lizfs 4=- М2Л» =
= (А>/з 4"m^gg л0Йз)/1/2 4- (Л/з 4" ntigz 4" Л1Л3) fi 4“
4“ (^2/3 4- m2gg 4“ nflfjfz 4- (Z3/3 4" mggg 4- пЖ^.
Полагая
+ + (i = 0, 1, 2, 3), (6)
имеем
£12/3 4" 4" M2A3 = Qo/i/з 4* Qi/i 4* Q2/2 4~ Q3.
Следовательно, уравнение (1) может быть написано в форме
Qofifi + Q1/14- Q2/2 4- <2з=0. (1')
Составим детерминант
Zo Zi I2 h
mQ mi m2 т^
tl^ П1 П2 Пз >
Qo Qi Q2 Q3
в силу равенств (6) этот детерминант тождественно равен
нулю, хотя и содержит переменное Zg, входящее в элементы
последней строки. Разлагая его по элементам последней строки
и обозначая минор, соответствующий элементу Qi, через Dt
(i = 0, 1, 2, 3), имеем
Qo^o — Q1D1 4- Q2D2 — QgDg = О, (К)
где коэффициенты Do, Di, Dg, Dg— постоянные числа; Dg f= О
на основании (5).
Это равенство носит название тождества Кларка. Оно и
дает возможность найти те преобразования, которые приводят
уравнение (1) к канонической форме.
124
Опираясь на работы Кларка, Соро дал искомому преобра-
зованию очень простую форму. Именно, он положил
f — (7)
£*2 + £*зТ1
Такая подстановка возможна, очевидно, лишь при условии
D0Da — D1D2 ф 0> так как если О0О$ — D1D2 = 0, то выражение
(6) приводится к постоянному числу. Пусть D0D$ — D1D2 £ 0;
вставляя (7) в уравнение (1')> получим:
QoЛ 4-Qi + Qa = о,
£>2 + Z>3^1 ^2 4“ £>3?1
или
Q0D0/2 + Qo^1?1/2 4“ Q1DO 4“ Q1D1 4- Q2O2/2 4“ 4~
4~ Q3D2 4“ QzDtfi — 0,
или
(Qo^i 4“ Q2D3) <pi/2 + (Qi^i 4“ QzD%) 4“ (QqDq 4“ Q2D2)/2 +
44Qi£>o4-QbD2)=o.
В силу тождества Кларка (К) имеем
Q1D14- Q3O3 = QqDq 4~ Q2D2,
т. е. коэффициенты при <pi и /2 равны между собой.
Коэффициенты QqDi 4“ QzD^, QiDi-\- QzDz и QiZ)0 + Q3O2 —
некоторые функции от Zs. Обозначая их соответственно через
F3, Оз и 7/3, т. е. полагая
QqDi 4- Q2D3 = Fz, Q1D1 4~ Q3D3 = QqDq 4- Q>D2*= Оз;
QiDq 4- Q3 D2 ~ Hz,
имеем
?i/2^2 4- 4-/2) Оз 4" № == 0.
Это — уравнение Кларка (II).
Таким образом, подстановка (7) приводит уравнение (1)
к канонической форме Кларка.
Допустим теперь, что
DqDz — D1D2 = 0.
В этом случае, следуя Соро, сделаем две подстановки:
= + /з = ?2-^-*, (8)
Z>3
♦ Ранг матрицы (3) равен 3; следовательно, по крайней мере один из
определителей 3-го порядка этой матрицы не равен нулю. Этот определи-
тель всегда можно принять за £>3, для чего левую часть уравнения (1)
нужно разделить на одну из следующих функций: /2» Л» А-
125
выполнимые в силу неравенства детерминанта £>з нулю. Под-
ставляя (8) в уравнение (1') получим
Qo(Tl+^) + +
4~ Q2 6pi — + Qa = о,
X /
ИЛИ
Qo?1?2 — <р! <?2 — Q0 + Ql?l + Q2?2 4-
£/3 £>3 £/3
Qi^i___Q2D2
D3 ^3
или
QO<F1?2 + (Ql - ?1 + fa, + ?2 +
\ £>3 / x D3 /
I /QiA j q ____ QqDiDz __Q2D2 \ _ q
T\D3 T 3 D3 )
Легко видеть, что последний член левой части этого
равенства тождественно равен нулю. В самом деле,
<2)£>i , QgDiDj QiD3
_ J. (q1Di + <Ы>. - Q. - ЧЛ ) .
\ £>з /
и так как DiD2 = D0D2, то, в силу тождества Кларка, выра-
жение в скобках есть нуль, а потому полученное уравнение
принимает вид
Qo?1?2 4- (Q1 - ?14- (<?2 4- ^-) = 0.
Деля на Qo и полагая
Qi Qi 1 Di p
имеем
?1?2 4~ 3?2 — 0.
Наконец, деля на ?i?2, получаем
-!-Гз + —Оз4-1=0. (9)
4>i <Рз
Уравнение (9) есть ’ каноническая форма типа Коши. Итак,
в том случае, если D0Ds — D1D2 = 0, подстановки (8) приводят
уравнение (1) к канонической форме типа Коши.
126
Следовательно, для построения номограммы уравнения
4-го порядка можно преобразованиями (8) и (7) привести,
его к одной из канонических форм типа Кларка или типа
Коши, после чего воспользоваться формулами для шкал
канонических уравнений ♦.
При этом, если D3D3— то получаем уравнение
Кларка и можем для построения номограммы воспользоваться
уравнениями шкал, приведенными на стр. 120; в этих формулах
следует только вместо функций /1, /2, /з, £з и йз подставить
соответственно функции ?i, /2, А, Оз и Н3.
Если же D0D3 —• DiD3 — 0, то получаем уравнение Коши и
можем для построения номограммы воспользоваться уравне-
ниями шкал, приведенными на стр. 118; в этих формулах сле-
дует вместо функций fi, f3, f3, g3 и h3 подставить соответ-
ственно функции —, —, F3, Оз, 1.
<Р1 Ч>2
При этом, так как уравнения шкалы переменного zi содер-
жат лишь одну функцию (/i) этого переменного, то замена
функции /1 другой функцией того же аргумента вызовет лишь
изменение параметра кривой—носителя шкалы и не изменит
формы и положения самой кривой. То же самое относится
и к шкале переменного Таким образом, носители шкал
переменных zi и z3 в номограмме уравнения (1) будут те же,
что и в номограмме соответствующего канонического урав-
нения, лишь градуировка этих шкал будет иная. Что касается
шкалы переменного z3, то уравнение этой шкалы содержит
три функции /з, g3 и йз переменного z3, и замена этих функ-
ций новыми может изменить не только характер градуировки
шкалы, но и форму кривой, на которой расположена шкала.
Все изложенное позволяет сделать следующие заключения
о характере номограмм уравнений 4-го порядка.
Если
D0D3 — D\D3 ф О,
то уравнение приводимо к форме типа Кларка и разрешима
в номограммах третьего жанра с общим носителем двух
шкал —кривой 2-го порядка.
Если
D3D3 — D1D2= О,
то уравнение приводимо к форме типа Коши и разрешимо'
в номограммах первого жанра.
Номограмма Коши является, очевидно, случаем вырожде-
ния номограммы Кларка, когда общий носитель двух первых
* Эти формулы приведены для уравнения Коши на стр. 118, а для урав-
нения Кларка — на стр. 120.
127
шкал этой номограммы, кривая 2-го порядка, распадается на
пару прямых.
Пример 1 (номограмма № 19). Построить номограмму
уравнения
(2ху + х+ 1) г2 4- (5ху 4- 2х + Зу — 2)z 4~
4-(6х —5j4-1) = 0.
Номограмма. N13
(2ху+х1-у+1)гг-1-(5ху-2х+Зу-2)1<-(6х-5уН'}Н1
128
Матрица (3) имеет в данном случае вид
2 1 1 1
5 2 3 —2
0 6—5 1
Следовательно, Z?o = — 49, Di = —44, Z?2~53, Dz —— 1;
D0Dz — D1D2 Ф 0, т. e. имеем первый случай.
Q0 = 2z’4-5z, Qi = z2-f-2z-f-6, Q2 = z24-3z —5,
Q3 = z2-2z+l;
Ft = — 44 (2z2 + 5z) — (z2 + 3z - 5) = — 89z2 — 223z + 5;
G3 = — 44 (z2 + 2z + 6) — (z2 - 2z + 1) = - 45z2 - 86z - 265.
Hz — - 49 (z2 + 2z + 6) + 53 (z2 - 2z + 1) = 4z2 — 204z — 241.
Осуществляем подстановку (7):
д. _ + £>i?i — 49 — 44 ?i .
£>2 + £>3<pi 53 — <fi
отсюда
49 4- 53x
<pi =---ZT'-
x~ 44
Подставляя выражение для x в данное уравнение, получим
искомую каноническую форму уравнения Кларка:
(- 89z2 - 223z + 5) ?iy + (?i + j) (— 45z2 - 86z—265) +
+ (4z2 — 204z — 241) = 0.
Приводим полученное уравнение
обычное преобразование детерминанта
1
1
А
— <Fi
-У У2
G3 Hz
1 + ?!
У 1+j2
-Оз Hz + Fz
1 <Р1
1 + 1 +
14- У2
з — G3 ।
//a + F3 Н3 + F3
В-232. Н. А. Глаголев — 9
к виду (те) и делаем
(полагаем а = 1):
129
Отсюда уравнение шкал:
, _ 1________________1
1+ф? /49+ 53лу >
\ х —44 )
49 + 53х
<₽1 । х~44 •
711 = 1+<?? 1 , f49 + 53*y ’
\ х —44 /
е 1 у
1+у’ ' 1+у3’
В — Гз 39z2 + 223z—5
3 H3 + F3 85z3 + 427z + 236 ’
— G 45z* + 86z + 265
Vj3 =-------—------------------.
H3 + F3 85z3 + 427z + 236
Мы получаем номограмму № 19.
Пример 2 (номограмма № 20). Построить номограмму
уравнения
(х_у2+х — 2у2 4~ 2) z2 + (2ху2 — 2х — у2 -j-1) z 4~
+ (— ХУ2 4" х — 2у2 + 2) = 0.
В данном случае £>102 — DoD3 = O. Подстановкой у*=у'-\- 1
уравнение приводится к виду
ху' (z2 4- 2z — 1) + х • 2z2 —у' (2z2 4- z 4- 2) = 0,
или
J_ . 2z2 — -4- (2г2 4- z + 2) + (z2 4- 2z — 1) = 0.
Это — каноническая форма типа Коши (номограмма № 20).
3. Прямой метод построения номограмм уравнения 4-го
порядка. Приведение уравнения 4-го порядка к каноническому
виду было чрезвычайно важно для определения характера и
всех возможных типов номограмм, в которых разрешается
данное уравнение. Для фактического же построения номо-
граммы бывает удобнее приводить данное уравнение не
к канонической форме, а прямо к детерминанту Массо. Метод
такого приведения, данный Массо, применяется не только
к уравнениям 4-го порядка; он является основным методом
преобразования уравнения к виду («). Сущность его заклю-
чается в следующем.
Пусть дано уравнение 4-го порядка
£12 /»4- ^12^3 4" ЛА12Йз = 0, (1)
130
где
L12 = lafifi Л/i +/2/2 4" /«»
M12 = OT0/1/2 4- "ll/l 4- W2/2 4- ^3,
М2 “ л 0/1/2 4" Л1/14" Л2/2 4- w3.
Делим обе части уравнения (1) на Мг и полагаем
212-—X, ^=у.
М2 М2
Уравнение (1) принимает вид
/з^ 4-^зУ 4- Аз = О
9*
(2)
(3)
(4)
131
и представляет собою линейное соотношение между вспомо-
гательными переменными х и у, содержащее параметр гз.
Чтобы получить два других линейных соотношения между
теми же переменными, исключим из равенства (3) сначала fi,
затем /2. Освободим эти равенства от знаменателя и напишем
их в раскрытой форме:
lofifi 4~ hfi Z2/2 -|- 1з = xn0fif2 4~ xnifi xtlzfz 4- Xtiz,
m0fif2 4- /»1/14- *«2/2 4- =упй]\/г 4- ynifi 4" У«г/г 4"J«3,
или
(Zo — хп0) fife 4- (А — хЛ1)/14- (Z2 — xn2)fz 4- (4 — хпз) = О,
(т0 — у га0) /1/2 4~ (OTi — УП1) fi 4- (т2 — ул2) /2 4~ (^з—у Пз) = 0.
Решая эти равенства относительно /г, имеем:
д __ _ (к — хп,) f, + (Z3 - хп3) _ _ (mt — ул,) fj + (т3 — уп3)
(l0 — xn0)fi + (l2 — xn2) (т0 — yn0)fi + (m2 — упг)
Отсюда по упрощении:
[(min0'— motii) fl 4~ (ггъпг — т2П14- тзпо — mons) fi 4-
4- (тзПг — т2Пз)] х 4- [(Zom — htiQ) fl 4-
4" (Itfh — htlz 4- А^з — htlf) fi 4~ (1гПз — /3^2)] У 4"
4" [(А/no — Zomi) fl 4" (Amo — А^з -\-hm2 — Izmi) fi 4-
4“ (^2/3 — W3/2)] = 0. (5)
Это — второе линейное соотношение между х и у, содержа-
щее параметр Zi.
Совершенно так же, исключая fi, найдем третье линейное
соотношение между х и у, содержащее параметр (г2):
[(/П1«о — /»о«1)/2 4~ (Ш1Пг —тгП14- /Пз«0 — m^f2 4-
(тзПг — тгПз)] X 4- [(Z0«i — Ал0)/1 4“
4” (АЯ1 — 11Пг 4“ 1йПз — Z3n0)/2 4- (1гЧз — 1зП-г)\у 4~
4- [A/n0 — Zomi)/2 4- (4/п0— А'газ 4- Аотг — Z2zrai)/2 4-
4- (т21з т,з 1з)] = 0. (6)
Исключая х и у из равенств (4), (5), (6), получим иско-
мую форму (к) для уравнения (1).
Из равенств (5) следует, что шкалы переменных zi и z2
имеют общий носитель, кривую 2-го порядка. Если эта кри-
вая не распадается, то имеем номограмму третьего жанра;
если кривая распадается на пару прямых, то номограмму
первого жанра. Эти два случая соответствуют тем двум
возможностям приведения уравнения к каноническим формам
Кларка или Коши, которые мы рассматривали выше.
132
4. Уравнения 5-го и 6-го порядка. Уравнение 5-го по-
рядка должно содержать пять функций трех аргументов.
Оно может, таким образом, содержать три функции от од-
ного аргумента и по одной от двух других, или по две
функции от каждого из двух каких-либо аргументов и одну
функцию от третьего. Очевидно, лишь этот последний слу-
чай будет представлять для нас интерес, так как уравнение
вида (те'), к которому мы должны будем приводить данное
нам уравнение, содержит не больше двух функций от каж-
дого аргумента. По той же причине будем из уравнений 6-го
порядка рассматривать лишь те, которые содержат по две
функции от каждого аргумента.
Покажем, что уравнения 5-го и 6-го порядка не всегда
разрешимы в номограммах из выравненных точек. Чтобы
доказать это, покажем сначала, что тот общий прием преоб-
разования уравнения к виду (те), который мы применяли
к уравнениям 4-го порядка, не всегда применим к уравне-
ниям 5-го порядка (см. стр. 118, 120).
Возьмем, например, уравнение
/2/3+g2g3+/1 = 0. (1)
Деля на Д, полагаем, следуя общему методу,
А = х; -f-=y. (2)
Zi Ji
Уравнение (1) принимает вид
/зх+g&y 4-1 = 0
и дает первое линейное соотношение между переменными
х и у, содержащее параметр 2з. Для получения двух других
следует исключить из (2) сначала Zt, затем z2. Деля равен-
ства (2) одно на другое, получаем
X _ /2
У Sz
или
gzX—fay = O.
Это — второе линейное соотношение, содержащее пара-
метр Zz.
Легко видеть, что третьего линейного соотношения с па-
раметром zi получить уже не удастся. В самом деле, такое
соотношение должно явиться результатом исключения Zz из
равенств (2). Но, поскольку функции fz и g2 произвольны,
то, разрешая первое из уравнений относительно Zz и встав-
ляя это выражение во второе, в общем случае, очевидно,
не получим линейной зависимости между х и у.
133-
Пусть, например, /2 = 2:2, g-i — zl. Равенства (2) принимают
вид
Z2 — xfi zl=yfi.
Подставляя z2 из первого равенства во второе, найдем:
x’/i = y/i или л»/1=.у.
Изучая те случаи, когда уравнения 5-го и 6-го порядка
разрешимы в номограммах из выравненных точек, Соро вы-
делил две следующие формы этих уравнений, которые он
назвал каноническими формами'.
для 5 го порядка'.
а> — ?2 + <Рг -
, , 1 Фз + Фз ’
для 6 го порядка-.
Ф1 + Фз <?14-Фз
Ф1 + Фз Ф1 + фз
(1)
(2)
Каждое из этих уравнений приводится к виду (те).
Покажем это сначала для уравнения (I); напишем его
в форме
?! Ф2 + ?! Фз = ?2 + ?3 ИЛИ ?3-?1Фз+?2—?1Ф2 = °;
полагая ?! = •*, ?2-?1Ф2=У, (3)
имеем <р3 — Ф3*+.У=0. Из (3) находим ?2 — ф2х — у — 0. При-
соединим сюда — х = 0 и исключим х и у из этих трех
равенств; получаем:
?! “I 0 ?i 1 о
?2 -Фг —1 = 0 или ?2 Ф2 1 = 0. (4)
?з —Фз 1 ?3 Фз -1
•Это — форма (те) для уравнения (I).
Уравнение (4) показывает, что шкала переменного Zi есть
прямая линия, а две другие шкалы — произвольные кривые.
Следовательно, номограмма уравнения (I) есть номограмма
второго жанра. Уравнение (4) охватывает все типы уравне-
ний 5-го порядка, разрешимых в номограммах из выравнен-
ных точек. В самом деле, самая общая форма уравнения
(те'), когда его порядок равен пяти, очевидно, должна быть
следующая:
?i Ф1 1
?2 Ф2 1
?з Фз 1
134
причем функции <pz и |z одной из строк непременно связаны
линейной зависимостью вида <pz = Ь, где а и b — по-
стоянные числа.
Пусть ?isefy + &. Уравнение (it') можно написать в виде
?i ь
?2 Ь
?3 ЯФ3 b
или
0Ф1
?2 аф2
?з аФз
Ф2 аф2+^ —?2
Фз аФз + &—
= 0,
или
Фа Фа
афа + b — <р3 яфз + Ъ — <р2
Фз Фз
дфз + ь — <р3 афз + b — ч>з
Это уравнение, очевидно, имеет вид (4).
Легко видеть, что, разлагая детерминант (4), непосред-
ственно получаем уравнение (I). Отсюда следует, что урав-
нение (I) есть самая общая форма уравнения 5то порядка,
непосредственно преобразуемая к виду («').
Перейдем теперь к уравнению (II). Напишем ее в форме
. 2₽1+ф2 ,. =0.
3 ФзН-Фа 3 1 Ф1-ЬФа 1
Полагаем
Ф1 + Фз Ф1 + Фз
Уравнение принимает вид
Фз-^+У—Тз = °- (а)
Второе равенство (5) в силу первого можно написать в форме
Ф1Х-у — ?! = 0. (Ь)
В силу (Ь) первое из равенств (5) принимает вид
<?1 + ?2 = Ф1х + Фг* = + У + Фгх>
135
или
$2* + у — ?2 = °-
Исключая х и у из равенств (а), (Ь), (с), находим:
Ф1 Ф2 -1 = 0 или — ?! -4»! 1 = 0.
1 -?2 ?2 ъ 1
Фз 1 -?з ?3 Фз 1
(6)
Так как функции <рр <р2, <р3, <]>3 — произвольные функ-
ции аргументов Zi, z2, гг, то уравнение (6) есть самый об-
щий вид уравнения вида (те). Отсюда следует, что канони-
ческая форма (II) охватывает все виды уравнений, разреши-
мых в номограммах из выравненных точек.
Уравнение порядка выше шестого лишь тогда может
быть номографировано, когда удается понизить его порядок
до шестого, ибо само уравнение (те') имеет порядок, равный
шести. Возможность такого случая будет ясна из следую-
щего примера. Пусть дано уравнение
z — х5 х*у -j- х3у2 х3у3 + ХУ*+У5-
Его порядок, очевидно, равен 11; но, умножив обе его части
на х —у, получим
z (х —у) = Xе—у6.
Это — уравнение 5-го порядка и притом легко номографи-
руемое, так как делением на х—у оно приводится к кано-
нической форме (I).
§ 5. Элементарный метод построения номограмм
из выравненных точек
1. Постановка задачи. Изложенные выше методы построе-
ния номограмм требуют применения большого математиче-
ского аппарата. Кроме того, самая общность метода делает
его иногда излишне громоздким при применении к отдель-
ным частным случаям, в особенности — к простым форму-
лам. В этих случаях бывает значительно легче получить
нужную номограмму путем совершенно элементарных по-
строений.
Такие элементарные приемы построения можно дать почти
для всех видов номограмм, рассмотренных выше. Мы дадим
элементарный метод построения всех основных типов абака
из выравненных точек, наиболее распространенных в прило-
136
жениях. Сущность элементарного метода состоит в том,
что, задаваясь намеченной формой номограммы и составляя
элементарным путем соотношения между отрезками шкал
определяют
(X) (Z) (у)
М Р Nt
номограммы и другими элементами чертежа,
форму того уравнения, которое может быть
разрешено номограммой намеченного вида.
2. Номограммы с параллельными шкалами.
Возьмем три параллельные прямые на равных
расстояниях одна от другой и пересечем их
какой-либо третьей прямой О2ОгОз (черт. 32),
которую будем называть начальной линией.
Проведем, далее, какую-либо прямую MPN
и установим соотношение между отрезками Черт. 32
ОзМ, О2Р и O$N.
В трапеции OiMNOz отрезок О?Р есть средняя линия,
а потому О2Р = . Отсюда следует, что если на
прямых OiM и ОзЛ7 нанести равномерные шкалы с одинако-
вым модулем т, а на прямой О2Р — равномерную шкалу
т
с модулем —,
то получим номограмму уравнения x-j-y = z.
В самом деле, полагая
OiM—тх, ОзМ—ту, ОзР
имеем
mz___тх + ту
2 — 2
ИЛИ
z=x+y, (1)
т. е. пометки точек шкал (х), (у) и (г), лежащих на одной
прямой, связаны соотношением (1).
Полученная номограмма непосредственно обобщается на
тот случай, когда на осях х и у наносятся не равномерные,
а функциональные шкалы каких-либо функций fi(x) н /з(у}
с одинаковым модулем, а на оси z — функциональная шкала
третьей функции /2(z) с модулем, в два раза меньшим.
В таком виде номограмма дает решения уравнения
/1(х)+/з(^)=/2(г). (2)
Легко получить дальнейшее обобщение построенной но-
мограммы. Возьмем две равномерные параллельные шкалы
(х) и (j) с одинаковыми модулями; отрезок ОтОз, соединяю-
137
(X) (Z) (у)
Черт. 33.
Далее,
щий их начальные точки, разделим в каком-
либо отношении — (черт. 33):
п
0103 _ т_
О2О3 п
Через точку деления Ог проведем третью шка-
лу, параллельную двум прежним. Взяв на шка-
лах (х), (у) точки М и 2V с пометками х и у,
проведем прямую MN, встречающую среднюю
прямую в точке Р, и найдем соотношение между отрезками
OiM, О2Р и 0?,№. Соединив точки 01 и W и обозначая через
Q точку встречи прямых OiAf и О2Р, имеем ОгР= O2Q+ QP-
O2Q Qi Оз _______O1O2
OsN O1O3 OiOj + O2O3
O1O2
0>0з
O1O2 ,
О2О3
полагая OzN=y, имеем
02Q = ОзМ- .
т + п т + п
Точно так же
QP QN О2Оз 0а0з
OtM OtN OjO3 OjO2 + ОаО3
_ 1 ____ 1 _ n .
Qi Оз , j m_ 1 m + n ’
O3O3 n
полагая OiM = x, имеем
QP = OlM—=
m + n m + n
Наконец,
O2P = 02 Q + QP = .
/n + n m+ n m + n
Полагая nx -j- my = z, имеем
02p=_£_.
m + n
И если нанести на прямой О2Р равномерную шкалу с мо-
дулем, в раз меньшим модуля шкал х и у, то по
138
этой шкале можем читать значения z, удовлетворяющие
уравнению
z = их + ту (2)
при заданных значениях х и у.
Полученной номограмме можно дать иное толкование.
Нанесем на осях (х) и (у) равномерные или какие-либо
функциональные шкалы с разными модулями. Пусть, на-
пример,
OiM= х = mfi (х), OzN=y = nfa (у).
В таком случае, разделив отрезок O1O3 в отношении т: п,
в силу предыдущей формулы имеем
__ ОуМ'П -|- O3N-m _
т + п
_mnfi(x)+ mnf3(y) _ тп , f ,vX । f , 1Л1
--------—п---------г^1/1(л)+Л(д0Ь
Обозначая сумму /1 (х)+/3 (у) через /2(z), т. е. полагая
/2(Z)=/1(X)+/3(J/),
имеем
т + п
Это и есть, очевидно, уравнение шкалы функции fz(z) с мо-
дулем
тп
р = ——— .
т п
Таким образом, если нанести на оси ОгР шкалу функции
/2 (г) с модулем р, то номограмма будет решать уравнения
(2) для того случая, когда шкалы функций /1(х) и /3(у)
тп
имеют разные модули, причем равенство р =---- дает со-
т + п
отношение между модулями шкал (х), (у) и (г). Это равен-
ство можно написать в форме
_L = _L + _L.
р т п
Последняя форма номограммы уравнения (2) особенно
удобна в том случае, когда по условиям задачи функции
/1(х) и /3(у) изменяются в резко разнящихся пределах, и
наносить их шкалы с одинаковым модулем не представ-
ляется возможным.
3. Радиантная номограмма из выравненных точек. Возь-
мем три луча О А, ОВ и ОС, выходящие из одной точки;
139
пересечем их какой-либо прямой
MN (черт. 34) и установим, ка-
ким соотношением связаны дли-
ны отрезков ОМ, ON и ОР, от-
секаемых на прямых ОА, ОВ и
ОС прямою MN. Полагая
Z_AOC = ^, £ВОС = а,
ОМ = р, ON= q, OP — г,
имеем:
площ. &ОМР = уpr sin ?,
площ. &ONP = ~ ^rsina,
площ. ДОЛГУ= - j- pq sin (а ?).
Так как площ. &ОМР-|- площ. &ONP = площ. &OMN, то
~ pr sin ? 4-1 qr sin а = у pq sin (а + ?),
откуда
sin а . sin 3 sin (i-l-B) 1,1 1
-----1--L ==---v 'иди---------1---------------.
P 4 r p q r
sine sin? sin(»+?)
Если нанесем на осях О А, ОВ и ОС равномерные шкалы (х),
(у») и (z) с начальной точкой О и модулями, пропорциональ-
ными величинами
sine, sin?, sin (а-]-?),
то уравнения шкал будут
ОМ = p = ksi.na-x,
ON=q = ksin$-y, (3)
OP = г = k sin (a ?) • z,
и мы получим номограмму из выравненных точек для урав-
нения вида
—+ J-------- •
X у Z
Формулы (3) устанавливают зависимость между модулями
шкал (х), (у) и (г) и величинами углов а и ?. Обозначая
модули шкал соответственно через р.ж, р-^ и имеем
H* = £sina, p-.v = &sinP, у? —&sin(a-b?)>
140
откуда
И.Г Ну Hz .
sin a sin Р sin (в + ₽)
Эти равенства показывают, что величины модулей рх,
и |iz являются сторонами треугольника, углы которого суть
а, р и л—(а + Р). Отсюда вытекает простой графический
способ определения отношения модулей шкал при заданных
углах между ними и, что особеннб практически важно, опре-
деления углов взаимного наклона шкал при заданных вели-
чинах модулей. Если даны направления шкал ОА, ОВ и ОС
(черт. 35), то, взяв какую-либо точку z на шкале ОС, про-
водим через нее прямые zy и zx, параллельные прямым ОА
и ОВ. Отрезки Ох, Оу и Oz, очевидно, будут пропорцио-
нальны модулям шкал р-n Ну и
Обратно, если даны величины модулей р*, 15, р.г, то для
получения направлений шкал строим треугольник со сторонами,
равными модулям рЛ, Ну, Н« (черт. 36). Называя его вершины
через О, х и z, проводим через вершину О прямую Оу, па-
раллельную стороне zx. Прямые Ох, Оу и Oz будут иско-
мыми носителями шкал (х), (у) и (z).
Модули шкал рх, р^, рг можно выбирать совершенно
произвольно, соблюдая между ними лишь то соотношение,
которое имеет место для сторон треугольника: каждый из
модулей должен быть меньше суммы двух других и больше
их разности. В частности, все модули можно взять одина-
ковыми. В таком случае треугольник модулей будет равно-
сторонним, а углы между шкалами равны 60°.
Пример 1 (номограмма № 21). Построить номограмму
для определения фокусного расстояния линзы:
Р f ’
где /—расстояние центра линзы от предмета, F—расстоя-
ние центра линзы от изображения, р —фокусное расстояние
линзы.
141
Номограмма N21
Фокусное расстояние кинзы
L^L L
P~f'F
(F) (Р)
Радиантная номограмма из
выравненных точек
Пусть J меняется в преде-
лах от 0,5 до 2 м, F—в пре-
делах от 0,1 до 1 м. Выбе-
рем модули шкал р/ = 40 мм,
Рт?= 100 мм, угол между шка-
лами (/) и (Л) возьмем равным
60°.
Модуль шкалы р опреде-
лится графически из чертежа.
Уравнения шкал будут:
/= 40/; ~F— 100F.
Пример 2 (номограмма
№ 22). Построить номограмму
для определения высоты h
прямоугольного треугольника
при данных катетах а и Ь:
h = -^—.
Из данной формулы на-
ходим:
ft3 д’ ' &3
Пусть а меняется в пре-
делах от 1 до 5, а Ъ — в
пределах от 0до1. Урав-
нения шкал (а) и (&):
а = ра а2; b — р* Ь\
Пусть предельная длина
шкалы (а)— 100 мм и шка-
лы (Ь) — 40 мм. Определим
модули ра и рф шкал (а) и (6):
100 100
40
Р* = '7Г7о = 40 мм.
Уравнения шкал-Прини-
мают вид: а = 4а2; &=40й2.
Зададимся теперь каким-
либо модулем р* шкалы (Л).
Номограмма N2Z
Высота прямоугольного треугольника
А__ ab
0,50,60,70,80,9 / J7 1,2 1,3 1^ 1,5
Радиантная номограмма из дыраб
ненных точек
142
Этот модуль, согласно сказанному выше, можно выбирать в
пределах
от уд — уа = 40 — 4 = 36 мм,
ДО yi—у-а = 40 + 4 = 44 мм.
Возьмем ул = и* = 40 мм.. В таком случае, построив тре-
угольник со сторонами 4, 40, 40 определим направление шкал;
Построенная номограмма непосредственно обобщается на
тот случай, когда шкалы (х), (у) и (z) суть шкалы произ-
вольных функций:
X = v-xfi (х), У = Vy/г (у), Z = Уз/зф.
Номограмма в этом случае дает решение уравнения
— + — = — • (4)
Л (г)
Выбирать величины модулей шкал рх, у>, У* необходимо
в соответствии с пределами изменения переменных х, у и z
и соответствующими им пределами изменения функций /1 (х),
/г (у), /з(-г). Но в некоторых случаях одним подбором моду-
лей не удается придать номограмме достаточно удобной
формы. В этом случае можно искусственно ввести в само
уравнение вспомогательные параметры, которые помогут
сделать номограмму более гибкой и легче приспособляемой
к условиям задачи.
Пусть дано уравнение (4). Умножим обе его части на
произвольную величину k и прибавим к обеим частям дру-
гую произвольную величину 2а:
а+—------Н а -А- = 2а -f- ——
Л(х) f3(y) ‘ Л(*)
или
а 4----- а 4-------- 2а -|------
Л(Х) Л (у) /з(2)
Это равенство имеет тот же вид, что и (4), и, следовательно,
разрешается на радиантной номограмме построенного выше
типа. При этом уравнения шкал будут иметь вид
х- k ’ у k ' z п k ’
А(х) Л(У) Л (г)
где уж, у>>, уг—модули шкал.
143
Смысл такого преобразования состоит в следующем. Если
в уравнении (4) какие-либо из функций /1, /2, /3 для значе-
ния аргумента, лежащего в пределах его изменения, обра-
щались в бесконечность или принимали весьма большие
значения, то построение номограммы в первоначальном ее
виде становилось невозможным, так как соответствующие
точки шкал оказывались бесконечно удаленными или весьма
далеко расположенными.
При построении же номограммы уравнения (4) точки
шкалы с пометками, соответствующими бесконечным значе-
ниям функций /1, /2 и /з, лежат на конечных расстояниях
—, —от начальной точки О.
а а 2а
К форме (4), очевидно, может быть приведено и любое
уравнение вида
/1(*)+Л(у)=Л(г),
решаемое ‘на параллельных шкалах
-J-+-JL—L-.
1 1 1
/1(х) f2(y) ЛСО
Таким образом, уравнение этого типа можно решать и на
параллельных шкалах и на радиантной номограмме.
Пример (номограмма Ха 23). Построить номограмму
формулы
Q = l,82(ft3/2-A3/2),
служащей для определения количества воды, вытекающей из
прямоугольного отверстия плотины, ho и hu — расстояния
верхнего и нижнего края потока от уровня воды в реке.
Пределы изменения величин ho и hu — от 0 до 4 м.
Преобразуем данное уравнение к виду (4')
Ао'2 + — = М'2
0 1,82 “
ИЛИ
—1—+ —1—=—!—.
1 ' 1 1
1 + Йо'2 1 + -О- 2 + ft3'2
1,82
Модули всех шкал возьмем одинаковыми: |м0 = = im„=
= 200 мм. В таком случае углы между шкалами будут по 60°.
144
Номограмма М 23
Расчет количества воды. Вытекающей из плотины
Радиантная номограмма из Выравненных точек
Уравнения шкал:
т- 200 7S = 200 -т 200
Ло ------77 > У -------7Г > »»--------77 •
1 + Л*'2 1 _2_ 2 + hf
1,82
Так же строятся номограммы этого типа для определения
результирующего сопротивления /?, когда две точки соеди-
нены двумя проводниками, имеющими сопротивления и и г2:
_L = _L+J_
Л г, г2
и номограмма для определения средней кривизны поверх-
ности:
4. Z — номограмма. Дадим теперь элементарное построе-
ние Z — номограммы, разрешающей уравнение вида
ху = z (5)
или
/1(х)-/2(р)=Л(4 (6)
Возьмем две параллельные прямые OiA и ОгВ, пересе-
ченные третьей линией OiO2 (черт. 37). Проведем произволь-
В-232. Н. А. Глаголев — 10 145
Черт, 37
ную секущую MNP и найдем зависимость меж-
ду отрезками прямых OiM, OiN и О2Р.
Из треугольников /\OiMN, /\O2NP имеем
О3Р _ O2N
ОХМ OtN
Введем на осях OiA и О2В равномерные
шкалы переменных х и z с модулями, соответ-
ственно равными тип:
OiM = х = тх, O2P=z = nz.
Тогда предыдущая пропорция принимает вид
nz O2N z mO2N
--= или — = —— .
mx OiN x nOiN
Величина дроби m°2N вполне определяется положением
nOiN
точки Л/ на прямой O1O2. Если в каждой точке отрезка по-
ставить пометку у, равную величине соответствую-
щей этой точке, то на прямой OiO2 образуется некоторая
шкала. Чтобы определить ее характер, нужно установить
форму зависимости длины отрезка y = OiN от величины по-
метки у, стоящей в точке N.
Полагая ——- = у и OiN=y, имеем
nOiN
У nOiN nOtN ~~ Пу ’
где I—O1O2. Отсюда получаем уравнение шкалы у:
у=—^—.
т-\-пу
Это уравнение показывает, что на прямой О\О2 образо-
валась проективная шкала переменной .у. Переменные
величины х, у иг, служащие пометками точек М, N и Р,
лежащих на одной прямой, связаны соотношением xy = z.
Таким образом, нанеся на прямых OiA и О2В равномерные
шкалы х=тх и z = nz, а на прямой O1O2 — проективную
— ml
шкалу j =, мы получаем номограмму уравнения
т + 1у
ху = Z. (5)
Эта номограмма непосредственно обобщается на случай
уравнения
/1W-/2O)=/3(Z),
(6)
146
причем равномерные шкалы (х) и (у) заменяются функцио-
нальными:
х = mfi (х), у = п/3 (г),
а проективная шкала переменного у — проективной шкалой
функции /2(у):
у =----.
т + п/2 (У)
5. Треугольная номограмма умножения. Для уравнений
вида
/1М-Л(1')=Л(2) (6)
может быть построена еще одна номограмма формы, не-
сколько отличной от тех, которые имели до сих пор.
Построение этой номограммы основано на следующей
известной теореме Менелая:
Если пересечь стороны какого-либо треугольника АВС
произвольной прямой, встречающей стороны АВ, ВС и С А
соответственно в точках М, N и Р, то произведение отно-
шений отрезков, образовавшихся на каждой стороне, равно
минус единице (если принять, что отрезки противоположных
направлений имеют разные знаки), т. е.
AM BN СР _ J
МВ ’ NC РА
Номографическое истолкование этого равенства и при-
водит к новому виду номограммы уравнения (6) (черт. 38).
Рассмотрим величину каждого из от-
ношений, входящих в теорему Менелая.
Возьмем первое отношение • Вели-
чина этой дроби вполне определяется по-
ложением точки М на прямой АВ. Если
в каждой точке прямой АВ поставить
пометку, равную значению отношения
AM
соответствующего ,этои точке, то
на прямой образуется некоторая неравномерная шкала. Что-
бы определить характер этой шкалы, необходимо выразить
величину отрезка AM как функцию пометки точки М, т. е.
ж AM
как функцию отношения .
Полагая
— = х, АМ — х,
10*
147
имеем
X X X
MB АВ — х € — х
где с = АВ, откуда
х = АМ=——
4-
Отсюда следует, что на прямой АВ имеем проективную
шкалу переменного х.
„ BN
Совершенно так же, полагая ~^=у
точке прямой ВС пометку, равную
BN
ния , соответствующего этой точке, получим
и ставя в
величине
каждой
отноше-
на пря-
мой ВС проективную шкалу
y = BN=~^-~,
где а = ВС.
Таким же образом получим проективную шкалу на пря-
мой С А:
z = CP = —^—,
1 + z
где b — CA, z = ^~.
РА
Началами отсчета шкал (х), (у) и (z) служат точки А, В
и С; положительные направления на них идут по сторонам
треугольника, так что точки самих сторон имеют положи-
тельные пометки, точки же, лежащие на их продолжениях,—
отрицательные.
По теореме Менелая, пометки х, у и z точек М, N, Р, ле-
жащих на одной прямой, связаны соотношением xyz — — 1,
и следовательно, если нанести на сторонах какого-либо тре-
угольника проективные шкалы, найденные выше, то полу-
чится номограмма уравнения
xyz— — 1»
Весьма небольшим видоизменением номограммы можно
придать ей вид, пригодный для решения уравнения вида
xy = z.
(5)
Напишем равенство xyz =— 1 в форме
148
Полагаем — = г', откуда z = — . Возьмем уравнение
шкалы (z):
_ь_
z=CP=-^— = ——^—=—^—.
1 + Z j _ 1 1 - Z'
Z'
Таким образом, проективная шкала переменного z преобра-
зуется в проективную же шкалу переменного z', причем
внутренние точки отрезка СД соответствуют отрицательным
значениям z', а внешние — положительным. Отсюда следует,
что если на прямых ДВ, ВС и СА нанести шкалы
— сх — ay — Ь
х = ~’ у = Т^7’2 = ГТ7’
то получим номограмму уравнения xy — zr.
Номограмма непосредственно обобщается на случай урав-
нения вида
/l(x)-/2(j/) = /3(z). (6)
При этом проективные шкалы переменных х, у и z’ заме-
няются соответствующими проективными шкалами функ-
ций /1(х), /3(>), /»(z):
~ _ a/a(>) - = _ 6
1+AW’ У 1-/з(*)’
Существенным недостатком такой номограммы является
ее абсолютная жесткость. Уравнения шкал не содержат
никаких параметров, подбором которых можно было бы -
управлять течением шкал по сторонам треугольника и тем
самым иметь возможность находить наилучшее их располо-
жение в заданных условиях. Эти параметры можно искус-
ственно ввести в самое уравнение, написав его в виде
m/i (х) •—/2 (у) = л/з (г).
т
Применяя к этому уравнению полученные формулы, имеем
новые уравнения шкал:
- _ cmfj (л) - _ anfa (у) - _ b
1 + и/i (х) ’ т + nf2 (у) ’ 1 — л/3 (г) ’
Произвольный выбор параметров т и п дает возможность
управлять течением проективных шкал по сторонам тре-
угольника.
149
6. Номограмма с криволинейной опорой. Номограммами
с криволинейной опорой называются номограммы первого
жанра, в которых разрешаются уравнения 4-го порядка типа
Коши.
Дадим элементарный метод построения таких номограмм,
причем рассмотрим два случая: когда носители прямолиней-
ных шкал параллельны и когда они пересе-
каются под каким-либо углом.
Начнем с первого случая. Возьмем две
параллельные прямые OiA и ОгВ, пересечен-
ные третьей прямой O1O2, и какую-либо кри-
вую A*S (черт. 39). Проведем произвольную
прямую, встречающую прямые OiA, О2В и
кривую /?5 соответственно в точках М, N
и Р. Проведем далее прямые PQ || OiA,
PU || O1O2 и NV || O1O2, как показано на
черт. 39. Из подобия треугольников MUP и
PVN имеем
MU:UP=PV: VN.
0iM=x, О2К=у, OiQ==S, QP=4 OiO2 = I,
имеем из предыдущей пропорции
(л—-ц): 6 = (>) — у): (/ - В).
Отсюда _ _
(х —•»))(/ —Е)= Цт]— у),
или
Нанесем на осях OiA и О2В равномерные шкалы пере-
менных х и у с модулями тип:
0iM=x — mx, O2N—y = ny.
Внося это в (а), получим
или
х+_«!_3,==_±1—. (Ь)
/и (/-6) m(l-t) 4 7
В уравнениях (а) и (Ь) величины В и у зависят от поло-
жения точки Р на кривой PS. Каждому положению точки Р
соответствуют свои длины отрезков OiQ — В и QP=t}. Поло-
жение же точки -Р на заданной кривой PS может быть
определяемо различными способами. Можно, например, из-
150
мерять длину дуги кривой от какой-либо фиксированной
точки, например точки /?, до взятой нами точки Р. В таком
случае каждому положению точки Р соответствует свое
дуговое расстояние этой точки от начальной точки R, т. е.
своя длина дуги RP, и обратно,, каждой величине дуги RP
соответствует свое положение точки Р. Обозначая длину
дуги RP через з, можем сказать, что положение точки Р на
кривой определяется величиною дуги s, и на дуге /?£ обра-
зуется своя криволинейная шкала значений з. Но каждому
положению точки Р соответствуют свои длины отрезков
OiQ = l и QP = t); следовательно, величины 5 и >] также
являются некоторыми функциями дуги з: £ = ?(«), »] = <]»(«).
Вид этих функций зависит от формы кривой RS. Отсюда
следует, что величины дробей
—и —L
т (I — 5) т (I — 5)
будут также функциями параметра з:
Т7гЧ = 'Рз(5)’ -—17 =/*00’
ttl \1 ч) ТП \l
и уравнение (Ь) может быть представлено в форме
х + ?з($)-.у==/3(«). (7)
Это равенство связывает величины х, у и s, служащие на
шкалах (х), (у), (з) пометками трех точек М, N, Р, лежащих
на одной прямой. Таким образом, шкалы (х), (у), (з) обра-
зуют номограмму из выравненных точек уравнения (7).
В уравнении (7) функции <?з ($) и fz (s) не произвольны; они
определяются видом кривой.
Но можно обратить вопрос и спросить: нельзя ли, задав-
шись a priori видом функций <р» (з) и fz (з), подобрать соот-
ветствующую им форму и положение кривой RS7 Для этой
цели мы должны в равенствах (с) рассматривать функции <р3 з)
и fz (з) как данные, а величины Е и считать неизвестными.
Решая уравнения (с) относительно 5 и tq, находим
Е--. . mnfg .
m<e3(s) + n * m<t3 + n *
Эти формулы дают возможность для каждого значения з
строить соответствующую точку Р. Ставя в каждой точке
в качестве ее пометки то значение з, для которого она
построена, получим искомую криволинейную шкалу, соответ-
ствующую заданному виду функций <рз (s) и fz (з), причем
параметр з уже не будет, вообще говоря, служить длиною
дуги: он может иметь и иное геометрическое значение.
151
Итак, мы можем построить номограмму уравнения (7) при
произвольных функциях <рз (s) и /з ($). Эта номограмма не-
посредственно обобщается на тот случай, когда шкалы (х)
и (j) будут функциональными. Полагая
х = m<ti (х), у = n<f>2 (у)
и выполняя те же выкладки, что и раньше, вместо уравне-
ния (7) получим уравнение вида
<Pi (х) + <р2 (у) <?з (s) = /з (5). (8)
Таким образом, номограммой построенного выше типа
разрешается любое уравнение вида (8), т. е. уравнение 4-го
порядка типа Коши.
Рассмотрим теперь второй
? j случай. Возьмем две пересека-
#/ J ющиеся прямые ОА и ОВ и ка-
/‘ХАХ кую-либо кривую RS. Проводим
/я—/X. произвольную прямую, встреча-
/ / ющую прямые ОА, ОВ и кривую
Ц-----У------соответственно, в точках
Черт. 40 М, Ne Р (черт. 40). Проведем,
далее, прямую PQ || ОВ. Из по-
добия треугольников ОМЫ и QMP имеем
ON:OM—QP-.QM.
Полагая
О7И = х, ОЫ=у, OQ = &, QP = t),
имеем
у: х = v): (х — Е).
Отсюда _ ______
Х‘Ц = ху — у-1
или, деля на xyl:
х 5 у
Нанесем на прямых О А и ОВ равномерные шкалы
0М—х = тх, ОЫ=у — пу,
Предыдущее равенство примет вид
ч
тх пу 5
152
или
1
mr\
nt
m
x~ у t *
(a)
Величины E и i) определяются положением точки Р на кри-
вой RS; следовательно, они суть функции некоторого пара-1
метра z, определяющего положение точки Р на кривой RS:
Величины и —, входящие в уравнение (а), очевидно,
пЕ т
также будут некоторыми функциями того же параметра:
тН'И' Х=Л(г),
Вид этих функций определяется формой кривой RS.
Так же, как и раньше, можно поставить обратный вопрос
и, задавшись произвольно видом функций ?з (z) и /з (г), по-
добрать соответствующую им форму кривой RS. Для этой
цели нужно решить полученные уравнения относительно В и тр
В = т/з (z), т] == п<рз (г) /з (г).
(Ь)
Давая здесь z ряд значений г', г", г’,..., вычислим соот-
ветствующие значения 5 и •»] и построим ряд положений
точки Р. Каждую точку снабжаем пометкой, равной соответ-
ствующему значению z. Получаем, таким образом, криво-
линейную шкалу (z). Уравнение (а) принимает вид:
1 . Уз (г) _ 1
х У fs(z) '
О)
Это уравнение устанавливает зависимость между пометками
построенных выше шкал в точках М, N и Р, лежащих на
одной прямой. Построенные шкалы (х), (у), (z) образуют
номограмму из выравненных точек для уравнения (9).
Таким образом, для построения номограммы уравнения (9)
поступаем следующим образом: на двух выходящих из одной
точки прямых ОА и ОВ наносим шкалы
х = тх, у = пу,
выбирая их модули т и п, в соответствии с пределами изме-
нения переменных х и у и размерами номограммы; далее, по
уравнениям (Ь) строим криволинейную шкалу значений пере-
менного z.
Уравнение (9) непосредственно обобщается на тот случай,
когда вместо переменных х и у в него входят какие-либо
функции этих переменных, т. е. когда уравнение имеет вид
1 I Фз(?) _ 1
<Р1 (•«) ~ Фз ( У) /з(г)*
(Ю)
153
В этом случае вместо равномерных шкал (х) и (>) на пря-
мых ОА и ОВ наносятся функциональные шкалы
x = m?i(x), у = п<?2(у).
Уравнение (10) — уравнение 4-го порядка типа Коши,
нрмографически равнозначное с уравнением (8). Общее урав-
нение типа Коши
Л (х) ф (z)+/2 (у) ф(г) + х (2) = О,
очевидно, легко представить и в виде (8):
J к ITJ ?(z) ,
и в виде (10):
Ф(г)
_i_ I ___-1—
1 1 <p(z) ‘
ft(<) f2(y) X(z)
Для него можно, следовательно, построить номограмму
и первого, и второго типа. Какой формы номограмма ока-
жется более пригодной, зависит от вида функций, которые
входят в уравнение. Заметим, что если в (8) и (10)
<fi(x} = kiX и <f2(y)=k2y,
то для уравнения (8) выгоднее строить номограмму первого
типа, а для (10) — второго, так как при этом шкалы (х) и (у)
будут равномерными, что значительно упрощает построение
номограммы.
ГЛАВА IV
НОМОГРАММЫ УРАВНЕНИЙ СО МНОГИМИ
ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 1. Составные сетчатые номограммы
для уравнений со многими переменными
1. Составной декартов абак. Пусть дано какое-либо урав-
нение с четырьмя переменными
f(x, у, z,f) = 0. (1)
Предположим сначала, что это уравнение имеет вид
/[?(*. У), Ъ (1 = 0.
Разрешая уравнение относительно <р (х, у), имеем
?(х, /).
Приравняв каждую из этих функций вспомогательной пе-
ременной а, разложим данное уравнение на два:
Ф(х, у) = а, <|>(z,/) = «.
Каждое из этих уравнений содержит три переменных и, сле-
довательно, для каждого из них можно построить свою но-
мограмму.
Построим для каждого из них абак Декарта. В таком
случае два таких абака дают возможность графически нахо-
дить по заданным значениям трех переменных значение чет-
вертого. Если, например, даны значения х, у и г, то для
нахождения t на первой номограмме по заданным х и у
находим соответствующее значение а, а на второй по уже
155
известным величинам а и г находим искомое значение I. Для
удобства пользования такой номограммой оба абака обычнб
соединяют в один, изображая а как одну и ту же координату
на обоих абаках и откладывая ее в одном и том же масш-
табе. Например, на первом абаке можно считать координа-
тами переменные х и а, а параметром семейства кривых —
переменную у; на втором абаке — считать координатами пе-
ременные I и а, а параме-
тром семейства — перемен-
ную 2. В таком случае а
будет ординатой на том и
на другом абаке, и если она
измеряется в одном и том
же масштабе, то ось а мо-
жет быть общей для обеих
номограмм. Для удобства
можно осям абсцисс х и t
придать противоположные
направления. В таком слу-
чае получим типичную фор-
му составного абака Декарта, изображенную на черт. 41.
Способ пользования номограммой ясен из чертежа. Градуиро-
вать шкалу а нет надобности.
Построения этого типа легко обобщаются на случай боль-
шего числа переменных. Пусть, например, дано уравнение
xyztu, — v.
Полагая- ху = a, az — р, = f, получаем — г»; имеем четыре
уравнения с тремя вспомогательными переменными а, р и у.
Строим последовательно декартов абак для каждого из них:
а
для первого (а = х_у): а и х —
координаты, у—параметр пуч-
ка прямых;
для второго (Р = га)- а и р —
координаты, г — параметр пуч-
ка;
для третьего (у = /?): ? и у —
координаты, t — параметр пуч-
ка;
для 4-го = v и у — коор-
динаты, и — параметр пучка.
Соединенный абак имеет
форму, представленную на
черт. 42. Ось х имеет деле-
Черт. 42
ния с двух сторон: сверху —
для х, снизу — для v. Способ
156
расчета по номограмме ясен из чертежа. Номограммы этого
типа при большом числе прямых в пучках утомительны для
глаза и употребляются сравнительно редко.
В предыдущих примерах соединение отдельных номо-
грамм в один составной абак происходило путем совмещения
координатных осей на обоих абаках. Такое соединение может
быть произведено и путем совмещения семейства линий
обоих абаков.
Пример., (номограмма №24) Построить номограмму
уравнения xy—zt.
Разбиваем это уравнение на два:
ху = л, zt—л.
Номограмма N2 к
a:y=zt
СостаЗной декартов а Зак
157
Логарифмируем:
lgx-f-lgy = lge; lg z + lg t = lg a.
Каждое уравнение изображается на логарифмической сетке
семейством параллельных прямых. Семейство (а) является
общим для обоих абаков.
Для удобства чтения полученной номограммы шкалы (f)
и (z) нанесены не на осях координат, а на прямых, им па-
раллельных.
На номограмме приведен пример: дано х = 4, у = 2,5,
z = 2,5; найти значение t. Находим на шкалах (х), (у) и (z)
точки с заданными отметками и проходящие через них пря-
мые координатной сетки; возьмем сначала точку пересечения
прямых сетки, проходящих через точку с отметками х = 4 и
у =2,5 (эти прямые отмечены стрелками), и замечаем наклон-
ную прямую, проходящую через эту точку; ищем точку
встречи этой прямой с прямой сетки, проходящей через точку
с отметкой z = 2,5, и замечаем проходящую через нее вто-
рую прямую координатной сетки. Наконец, находим точку
встречи этой прямой с верхним краем номограммы, где и
читаем искомое значение / = 4.
Приведем еще один метод соединения двух декартовых
абаков, удобный для уравнений вида
a/i (•*) + bfz (у) + cfs (z) 4- dft (и) + е = 0. (2)
Берем два декартовых абака: (ху) и (zu) и наносим на
осях функциональные шкалы:
x = mi/i(x), y = /n2/2(y), z = m3/3(z), « =
Уравнение (2) принимает вид
zz । b ~~~ । с । d ' । л
— х — у —j z —|-----и —|- с 0.
т2 tn з ТП4.
Это уравнение на абаке (х, у)_ представляет семейство
прямых с двумя параметрами z и и, но так как уравнение
содержит эти параметры лишь в определенной линейной ком-
с — . d —
бинации — zH—и, то, полагая
— z + — и = <*, (а)
mz т4
замечаем,^ что семейство (2) вырождается в пучок параллель-
ных прямых
— х-j---y-|-a-|-£ = 0 (b)
тх т2
158
с параметром а. Каждой паре значений гнав силу (а) со-
ответствует определенное значение а, определяющее неко-
торую прямую в этом пучке. Но в уравнении (а), как в урав-
нении с тремя переменными, одно и то же значение а опре-
деляется бесчисленным множеством пар значений z и и; эти
пары значений служат на абаке (z, и) координатами точек,
лежащих на одной прямой, представляемой уравнением (а)
при постоянном а. Все такие прямые, соответствующие раз-
ным значениям (а), образуют другой пучок параллельных
прямых на абаке (z, а). Таким образом, каждой прямой
пучка (а) абака (z, и) соответствует определенная прямая
в пучке (Ь) на абаке (х, у).
Ясно, что и, обратно, каждой прямой пучка (Ь) соответ-
ствует своя прямая в пучке (а). Следовательно, между пря-
мыми двух пучков (а) и (Ь) на абаках (z, и) и (х, у) устанав-
ливается взаимно однозначное соответствие, причем соответ-
ствующие одна другой прямые пучков определяются одним
и тем же значением параметра а.
осями х и .у, то получим оба пучка
Если совместить оба абака в один так, чтобы оси z и и.
совпали соответственно с ~ ~
параллельных прямых на
одном абаке (черт. 43).
При этом соответствен-
ные прямые обоих пуч-
ков будут пересекаться
в точках, лежащих на од-
ной и той же прямой. В
самом деле, чтобы найти
точку пересечения двух
соответственных прямых
пучков (а) и (Ь), необхо-
димо, зафиксировав зна-
чение а, решить совмест-
но уравнение (а) и (Ь), в
которых,_в силу совмещения обоих абаков, необходимо по-
ложить z=x, и=у. Уравнение (а) при этом принимает вид
т3 mi
Пара значений х и у, удовлетворяющих уравнениям (а) и
(Ь), при фиксированном значении а определит точку пересе-
чения двух соответственных прямых пучков (а) и (Ь).
Геометрическое место всех таких точек получим, исклю-
159
чая параметр а из уравнений (а) и (Ь). Складывая эти урав-
нения, получаем
Это уравнение и представляет искомое геометрическое
место: некоторую прямую линию, — так называемую линию
совпадения (Koinzidenzgerade). При помощи этой прямой легко
для каждой прямой пучка (Ь) построить графически соответ-
ствующую прямую пучка (а). Построив достаточно большое
число прямых обоих пучков, получим сетчатую номограмму
уравнения (2) (черт. 43).
Чтобы по данным х, у и z найти значение и, сначала на
абаке (х, у) находим точку с данными координатами (х, у) и
намечаем проходящую через нее прямую пучка (Ь); далее,
находим соответствующую ей прямую пучка (а) и отмечаем
на ней точку с абсциссой z на абаке (z, и); ордината этой
точки и дает искомое значение и.
Пример (номограмма № 25). Построить номограмму
формулы расчета скорости течения воды в реках и каналах
ч) = су/ГRJ,
где v — скорость, изменяющаяся от 0,1 до 10; R— средний
радиус, изменяющийся в пределах от 0,1 до 10; /—наклон
потока, изменяющийся в пределах от 0,01 до 0,7, и с—ко-
эффициент, могущий принимать значения 10, 20, 30, ..., 100.
Логарифмируя данное уравнение, имеем:
lg^ = lgC + llg/?-|-±lgJ> или lg®-lgc = ^ lg/? + ylgJ.
Построение номограммы № 25 ясно из предыдущего. На
оси абсцисс нанесены шкалы J (сверху) и с (снизу); на оси
ординат — шкалы R (слева) и v (справа).
2. Общий метод соединения сетчатых номограмм; линии
связи. Возьмем какое-либо уравнение с четырьмя переменными
/(х, у, z, 0 = 0
и будем рассматривать переменные х, у, z, t не как декар-
товы координаты точки, а как параметры четырех семейств
кривых на плоскости, обозначая декартовы координаты точек
этой плоскости через Е и •»).
Допустим опять, что в уравнении (1) возможно разъедине-
ние переменных, т. е. что его можно представить в виде
?(*, У)ж№, f).
160
Номограмма N 25
Расчет скорости течения ’ воды
t) = cVRJ~
Л V=0,1
Составной декартов а да к с линией совпадения
Вводим вспомогательное переменное а и разлагаем уравнение
на два:
? (*, у) = Ф (Z, t) = а.
Следуя общему методу построения номограмм для урав-
нений с тремя переменными, разлагаем каждое из этих урав-
В-232. Н. А. Глаголев —И 161
нений на три; присоединим к первому из них два произволь-
ных равенства
/> (В, ъ *) = 0, /2 (В, ч, J) — 0;
исключив из этих трех равенств переменные х и у, получим
соотношение между I, ») и а:
/з(5, 7J, «)в0,
Уравнения /1 = 0, /2 = 0, /з = 0 дают три семейства ли-
ний, составляющих сетчатую номограмму для уравнения
Таким же образом можем получить сетчатую
номограмму второго уравнения, состоящую из трех семейств
линий: первое с параметром z, второе — с параметром /,
третье—с параметром а. Так как при этом два из этих се-
мейств можно выбрать произвольно, то для соединения двух
номограмм в один составной абак можно и для второй но-
мограммы в качестве семейства с параметром а взять семей-
ство первой номограммы с тем же параметром а:
/з(1, •»), а) = 0,
присоединив к нему второе произвольное семейство с пара-
метром z:
/<& Ч, г) = о.
Исключив г и а из уравнений /з = 0, /< = 0 и ф(г, /) = а, П0‘
лучим в результате третье семейство второй номограммы:
Л(*> Ч. 0 = 0.
Мы получили пять семейств ли-
ний; из них четыре имеют параметра-
ми переменные х, у, z и t, а пятое —
вспомогательную величину а. Это се-
мейство линий с параметром а носит
название «семейства линий связиг,
оно не требует пометок на линиях,
так как нет необходимости опреде-
лять, какому значению а соответ-
ствует каждая кривая семейства; до-
статочно знать, что эта кривая одна
и та же и в номограмме (х, у, а),
и в номограмме (z, t, а). Чтобы по
построенной номограмме (черт. 44)
при данных х, у в z найти значение
t, находим в семействах (х) и (у) ли-
нии, соответствующие заданным зна-
162
чениям этих параметров; ищем линию связи, проходящую че-
рез точку пересечения найденных линий (х) и (у); находим
в семействе (z) линию, соответствующую заданному значению
параметра z, и определяем точку ее пересечения с выделен-
ной линией связи; через эту точку должна проходить та кри-
вая семейства (£), пометка которой и дает искомое значение
переменного t.
Из предыдущего следует, что если не налагать никаких
ограничений на семейства (х), (у), (z) и (/), то семейство (а)
можно выбирать произвольно. А потому обычно за семейство
линий связи выбирают семейство прямых, параллельных од-
ной из координатных осей.
Особо следует отметить тот случай, когда не только ли-
нии связи, но и все семейства линий, составляющих номо-
грамму, состоят из прямых линий. Чтобы это было возможно,
необходимо и достаточно, чтобы каждое из уравнений, на
которые разлагается уравнение (1), могло быть представлено
в форме детерминанта Массо, причем в обоих детерминантах
строки, соответствующие вспомогательному переменному а,
должны быть одинаковы.
Изложенный метод формально легко распространяется на
случай п переменных.
Пусть дано уравнение
/(xi, х2, хз,..., хп) = О (2)
такого строения, что его можно представить в форме
?i(Xi, Х2) = ф1(Хз, Х4, ... , Хп).
Вводя вспомогательное переменное «1, разложим это уравне-
ние на два:
(xi, x2) = ai, %(хз, Х4, ..., х„) = «1.
Предположим, что и второе из этих уравнений можно
представить в форме
<р2(х3, а1) = ф2(Х4, Хз, ... , Хп).
Вводим второе вспомогательное переменное а2 и разлагаем
уравнение на два:
f2 (хз, ai) = а2, %, (Х4, Хз.Хп) = «2.
Допустим, что этот процесс можно продолжать до конца.
В таком случае введением п — 3 вспомогательных величин
11* 163
«i, «2, «», , «л-» можно заменить уравнение (2) цепью п — 2
уравнений с тремя переменными:
№) = <Х1,
?2(х», ai) = a2,
<р3(х4> a2) = a3,
?Л—8 (Хп~2> аЛ—<) = «л—3,
?Л-2 (•*«-»’
(2')
Каждое из уравнений (2') представлено номограммой из
трех семейств линий, причем семейство линий с параметром
а/ является общим для двух последовательных уравнений
Ъ «/_») = «/ и ?<+1(х/+2, az) = az+1.
Таким образом, совокупность номограмм уравнений (2')
составит общую номограмму уравнения (2). Эта номограмма
состоит из 2п — 3 семейств линий, из них п семейств с пара-
метрами Xi, х2,..., хп и п — 3 семейства линий связи с пара-
метрами ti, а2,..., ая_3. Учитывая произвол в выборе семейств
линий при построении номограммы каждого из уравнений (2'),
легко подсчитать, что из всех 2п — 3 семейств, составляю-
щих общую номограмму, п—1 семейств могут быть выбраны
совершенно произвольно. В частности, можно выбрать про-
извольно все семейства линий связи.
На практике за семей-
ства линий связи aj, a2, ... ,
ая-з выбираются часто по-
переменно семейства пря-
мых, параллельных коорди-
натным осям. Такой именно
пример имели на черт. 42.
Общая схема этого слу-
чая изображена на черт. 45
для шести переменных Xi,
Х2, Ха, Х4, х$, Ха.
3. Аналитическое усло-
вие разрешимости уравне-
ния с четырьмя перемен-
ными составной номограм-
мой. Из предыдущего сле-
номограммы для уравнения
дует, что построение составной
с четырьмя переменными возможно лишь в том случае, если
данное уравнение
f(Xi, Хг, Хз, х<) — О
(1)
164
можно представить в форме
<р (xi, х2) = ф(х3, х<), (2)
или, более обще, когда данное уравнение (1) равносильно
некоторому уравнению вида (2). Мы говорим в этом случае,
что уравнение (1) допускает разъединение переменных (xi, х2)
и (хз, х<). Очевидно, такое разъединение возможно не при
всяком виде функции /(Xi, х2, Хз, х<), и возникает вопрос:
какому условию должна удовлетворять эта функция, чтобы
указанное разъединение оказалось возможным. Этот вопрос
был разрешен Гурса*, давшим необходимое и достаточное
условие разъединяемое™ переменных в уравнении (1). При-
водим вывод этого условия, принадлежащий Соро.
Напишем уравнение (1) в форме
E(xi, Хз, Хз, z) = 0, (!')
т. е. обозначим х< через z, и будем в (V) рассматривать z
как функцию трех независимых переменных Xi, х2, хз. До-
пустим, что уравнение (Г) равносильно некоторому уравне-
нию вида
F(xi, х2)= О(х3, z). (2')
Решая (2') относительно z, имеем
z = /[F(xi, х2), хз]. (2")
Введем обозначения
___ dz ______ д3г
1 dxi ’ z* dxidxk
и вычислим pi, р2, piz и р22:
_df dF х d2f dF
P1 dF'dx/ Р13Ж dFdxa ' dx/
df dF — dif dF
P* dF dx3 ’ Рг3 dFdx3 dx3 '
Составляя отношения — и —, непосредственно получаем
Pl Р13 '
£1=£1з. (3)
Ръ р23
Это равенство представляет собою необходимое условие
разъединяемости переменных в уравнении (1).
Докажем теперь, что это условие не только необходимо,
но и достаточно. Пусть для данного уравнения (1) имеет
* Bulletin de la Societe mathematique de France, t. 27.
165
место равенство (3). Покажем, что в таком случае данное
уравнение равносильно некоторому уравнению вида (2). Ра-
венство (3) можно рассматривать как уравнение с частными
производными 2-го порядка относительно неизвестной функ-
ции z. Таким образом, функция, удовлетворяющая уравне-
нию (2), должна входить в состав семейства функций, опре-
деляемых уравнением с частными производными (3).
Уравнение (3) легко интегрируется. В самом деле, пере-
ставляя крайние члены в пропорции (3), получим
рзз_ри „„„ dInpa
Рг Pt дх3 дха
Интегрируя это равенство по ха, найдем:
1пр2 = 1п/>14-1пЛ12(Х1, Хг) или p2“PiXi2,
где Ап — произвольная функция от Xi и хз.
Последнее равенство можно написать в форме
д- *_£+о.£_о
oxi дх3 дх3
и рассматривать как линейное уравнение с частными произ-
водными 1-го порядка. -Как известно, чтобы получить общее
решение этого уравнения, нужно найти два независимых
интеграла системы дифференциальных уравнений;
б*!—,_4*2 <*Х3 /ДЧ
X» 1 0 ‘
Интегрируя первое из этих уравнений = —, оче-
Xia 1
видно, найдем общий его интеграл в форме равенства
F(Xi, x2)«Ci.
Второе уравнение системы (4), —л^_.л^з очевидно,
равносильно равенству г/х8 = 0, откуда Хз=Сг. Итак, имеем
два, очевидно, независимых интеграла системы (4):
Р(хГ, xd — Ci, хз*=С2.
Общее решение дифференциального уравнения (3) имеет
вид
z==/[F(xi, Хз), хз], (5)
где /—произвольная функция своих аргументов.
Таким образом, искомая функция z, определяемая данным
уравнением (!'), должна входить в состав семейства функ-
ций, представляемых равенством (5). Это значит, что при
некотором выборе, функции f равенство (5) будет равносиль-
166
но уравнению (1Э- Но равенство (5) по форме совпадает с
уравнением (2"), равносильным (2'); следовательно, уравнение
(1') равносильно некоторому уравнению вида (2'), чем и до-
казывается достаточность условия (3).
Этому условию можно дать несколько иную форму, вы-
разив производные pi, р2, /Ьз и рц непосредственно через
частные производные функции E(xi, х2 хз, z). Дифференци-
руя (lz) по Xi и х2, имеем:
+ —-Р1 = 0,
дху дх
-*£+^.Ав0.
дх2 ~dz Fa
Дифференцируем эти равенства по Хз'.
д*Е . д'Е п . д»Е „ , д*Е „ „ ,дЕп п
575Z + IZfc Ра + р'+ р,р’ + S' р"' ~ °’
дгЕ ! #>Е _ , д*Е _ f дЕ „ _ Л
+5Z57 р‘+SS7 р‘+р,р' + Sр" ~ °’
умножаем первое из них на р2, второе — на pi и вычитаем
одно равенство из другого. Замечая, что последние члены
левых частей, в силу (3), сделаются равными между собою,
и производя сокращения, найдем
/ дгЕ у РЕ \ / д'Е . \_
\дх,дх3 дхудг / dx2dz J
дЕ
или заменяя pi через —~ и делая элементарные преобразо-
дЕ
dz
вания, получим:
дЕ дЕ дЕ дЕ
дЕ дх^ дх3 _дЕ dxi дха
dz д*Е д3Е дх3 д2Е д*Е
дх^дхъ дх2дх3 dXidz дх^дг
Детерминанты, входящие в это равенство, являются якобиа-
нами
£>(Х!, ха)
D(X1, ха)
Следовательно, это равенство можно написать в виде
/ дЕ\ f дЕ\
D(E>T~)
дЕ \ дха/ дЕ \ дг/
dz * D(Xt. х2) дх3 D(xv х3)
167
Возвращаясь к обозначениям, принятым для уравнения (1),
т. е. полагая z — x<, получаем в окончательной форме необ-
ходимое и достаточное условие разъединяемости переменных
(xi, Хз) и (%з> Xi) в уравнении (1):
D(r,v\
if \ it J _ if . V Дх,7
dxt D (xu x9) dx3 D (xj, x3)
§ 2. Составные номограммы из выравненных точек
для уравнений со многими переменными
1. Общие принципы построения составных номограмм;
метод двойного выравнивания. Совершенно так же, как
строилась составная сетчатая номограмма, может быть по-
строена составная номограмма из выравненных точек. Общий
принцип построения остается тем же: данное уравнение со
многими переменными путем введения вспомогательных пе-
ременных разлагают на цепь последовательных уравнений;
звеньями цепи являются уравнения с тремя переменными, та-
кую цепь составляли уравнения (2') на стр. 164. Для каждого
из этих уравнений строим свою номограмму из выравненных
точек. Каждому переменному соответствует своя шкала, при-
чем вспомогательное переменное «/, соединяющее два по-
следовательных звена цепи, должно иметь одну и ту же
шкалу в обоих звеньях цепи.
Простейшим видом уравнения со многими переменными,
требующим построения составной номограммы, является урав-
нение с четырьмя переменными вида
/(*, у, z, /)=0. (1)
Для построения его номограммы разъединяем в нем пе-
ременные, представляя его в виде
<р(*. У) = №, f),
и, вводя вспомогательное переменное а, разбиваем уравне-
ние на два:
? У) = Ф (2, 0 — «• (2)
Для каждого из уравнений (2) строим свою номограм-
му из выравненных точек, в которой каждому переменно-
му будет соответствовать своя шкала, причем шкала
значений вспомогательного переменного а должна быть об-
щей в обеих номограммах. Это будет, очевидно, в том слу-
чае, когда при разложении каждого из уравнений (2) на три
линейных уравнения для переменного получим в обоих
случаях одно и то же уравнение или (что равносильно),
когда, представив оба уравнения (2) в форме детер-
168
минанта Массо, будем иметь в обоих детерминантах для пе-
ременного а одинаковую строку. Очевидно, это возможно не
всегда и имеет место лишь для специальных типов уравне-
ний (2). Когда обе номограммы уравнений (2) с общей шкалой
(а) построены, то пользование ими
для решения уравнения (1) весьма (х) (т (а) (г) (t)
просто (см. черт. 46/: если по данным / 7 I \ \
значениям х, у и z мы хотим найти Z / / \ \
значение переменного t, то отыс- / /Ч. I \ \
киваем на шкалах (х), (у) и (г) точки / / I________V—л
с пометками, равными заданным зна- / / 1 |
чениям переменных; далее, прово- * ' ’
дим прямую через намеченные точки Черт. 46
шкал (х) и (у), продолжая ее до пе-
ресечения со шкалою (а), полученную точку на шкале (а)
соединяем прямой с помеченной ранее точкой шкалы (z) и
продолжаем эту прямую до встречи со шкалою (t), на кото-
рой и читаем искомое значение переменного t.
При таком способе решения уравнения (1)значение пере-
менного а прочитывать нет необходимости, и шкала может
оставаться без градуировки, т. е. быть немой, шкалой. Так
Номограмма М26
Овъем усеченного конуса
(Кг+гг+Яг)
Составная номограмма
(по методу двойного выравнивания)
как в приведенном выше построении приходилось два раза
проводить прямую линию (сначала х, у, а, затем в, z, t), то
самый метод носит название
метода двойного выравни-
вания. Из предыдущего сле-
дует, что этот метод при-
ложим лишь к тем уравне-
ниям (1), для которых, во-
первых, возможно разъеди-
нение переменных, т. е. воз-
можно разложение их на два
уравнения вида (2); во-вто-
рых, уравнения (2), на кото-
рые разлагается уравнение
(1), могут быть представле-
ны номограммами из вырав-
ненных точек с общей шка-
лой.
Пример (номограмма
№ 26). Построить номо-
грамму формулы объема
усеченного конуса
^ = ^(^4-г2+/?г).
169
Разбиваем это уравнение на два:
- = t, /?2 + г2 + /?/= t.
Представим каждое из этих уравнений в форме детерми-
нанта (к). С этой целью каждое из них сначала разложим на
три уравнения, линейных относительно двух вспомогательных
переменных х, у.
Начнем с первого. Полагаем x — vh, у — — р, где числа v
7С
и р пока произвольны. Тогда /рх— vy = O. Исключая из этих
равенств х и у, получим
1 0 — vA 1 vA 0
0 1 3pv = 0 или 0 Зру 1 = 0.
7С те
— V 0 р* 0 V
Прибавляя к третьему столбцу первый, деля на элементы
третьего столбца и умножая после этого первый столбец на
число I (пока произвольное), получим
I vA 1
О 1
7С
о 1
— v-f-
(О
Это — уравнение вида («')» оно дает номограмму со следу-
ющими уравнениями шкал:
= тц = уА, е2 = 0, 7]2 = 3-^; Е3= М---, 7)3=0.
ТС — V 4- pt
Представим теперь второе уравнение А?2 + г2+/?г == t
в виде («') так, чтобы строка детерминанта, соответствую-
щая переменному t, совпадала с третьей строкой детерми-
нанта (I). Напишем это уравнение в форме t = —-——. Чтобы
разложить его на три линейных уравнения, возьмем два из
них в следующей форме:
х -|- Ry R8 = 0, х + гу + г3 = 0.
Вычитая одно из другого и решая относительно у, полу-
чаем
170
Исключая х и у из этих трех уравнений,
получим
1 R /?3
1 г г3
О 1 t
= 0,
или, после простых преобразований,
1 Я2 1
R
1 г2 1 = 0.
г
0 t 1
Преобразуем это уравнение так, чтобы третья строка де-
терминанта совпала с третьей строкой детерминанта (I . При
этом будем вводить возможно большее число параметров,
которые используем для получения наилучшего разложения
шкал номограммы. Умножим элементы третьего столбца на
а и прибавим к ним элементы первого, умноженные на а, и
элементы второго; далее, умножим второй столбец на с и
прибавим к нему первый, умноженный на а, наконец, умно-
жим первый столбец на 2а:
0 ci
Затем разделим на третий столбец, умножаем второй стол-
бец на k и переставляем первый и второй столбцы:
К
а
сг* + —
г
а
л + г2 + ±-
Г
Ча
1
а 4- Яа + 7-
*\
Ча
—:— 1
а + г’ + у
0 1
(И)
171
Приравнивая друг другу третьи строки детерминантов (I)
и (II), найдем
ctk _________________ lyt ____ it о
а +1 — v +v ’
—--t
Р-
отсюда
---------------------- — a, ck~l.
г
Таковы должны быть соотношения между введенными
нами параметрами.
Из (II) непосредственно имеем уравнения шкал второй но-
мограммы:
, а 2а
cR2 + — --
t R к R
51 = -------~ k, 7]1 = ----------- ,
« + Я2 + ^ « + «2+-
£2 --------— k> =------------г---- ,
а а
а + г3 + — а + г3 Н- —
г г
ctk
a -f-1
^з = 0.
Выбираем а = 200, v =— 20, с = 2,5, /=125 и, следова-
тельно, р. = 0,1, k = 50; совмещаем шкалы (/) обеих номо-
грамм и берем систему осей координат (Е, ц) для первой но-
мограммы прямоугольную, а для второй — косоугольную
(координатный угол ® = 45°).
Отметим особо тот случай, когда немой шкалой служит
несобственная прямая. В этом случае каждая из номограмм
уравнений (2) состоит из двух шкал, а
/ / / / третья находится на несобственной пря-
I I мой. Если эта «бесконечно удаленная»
/ / / ti шкала будет общей для обеих номограмм,
A. I z4/ то Две прямые — одна, соединяющая ка-
I 'I I I кие-либо точки шкалы (х) и (у), и другая,
Illi соединяющая соответствующие точки
(z,) (zj (Zj) (%) шкал (z) и (0, — будут, параллельны меж-
ду собою (черт. 47).
Черт. 47 Чтобы при помощи такой номограммы
решать уравнение (1), т. е. по данным
значениям трех переменных, например х, у и z, находить
значение четвертого переменного I, поступаем так: отыскав
на шкалах (х) и (_у) точки с данными пометками, приклады-
172
ваем к ним линейку; затем смещаем эту линейку, оставляя
ее параллельной самой себе до тех пор, пока ее край не по-
падет в нужную точку шкалы (z); этот край отметит в то
же время и искомую точку на шкале t. Такой тип составно-
го абака удобен тем, что одну из составляющих его номо-
грамм (х, у) или (z, /) можно любым поступательным движе-
нием перемещать относительно другой.
Посмотрим, какой вид должно иметь уравнение (1), что-
бы его можно было представить составной номограммой
данного типа. Каждое из уравнений (2) должно быть при-
водимо к детерминанту Массо:
?i(x) ФхМ 1 <Ps(z) фз (z) 1
?2 (у) фг (у) 1 = 0, Ф« (/) 1 = 0. (2')
<р(я) Ф(«) х(а) <р(а) ф(а) Х(а)
Уравнения шкал будут:
шкала (х): = <pi (х), тц = ф1 (х);
шкала (у): $2 = <рг (у), "»12 = ф2(у);
шкала (z): $з = ?8(г), ,*1з==фз(г);
шкала (/): 7)4 = ф<(^);
немая шкала 5 = У (а)
Z(a) ’ Х(а)
Так как немая шкала (а) должна иметь носителем несоб-
ственную прямую, то Х(а) = 0, и уравнения (2х) принимают
вид
<pi (х) ф1 (х) 1
<Рг(У) фг(у) 1
?(«) Ф(а) о
1
1
О
?з (z) фз (z)
Ф<(^)
•Р («) Ф(а)
Раскрывая детерминанты по элементам третьей строки, на-
ходим
<Р (а) (Ф1 — Фг) = Ф (а) (<pi — фг),
? (а) (фз — Ф<) = ф (а) (<?з — ?<).
Исключая из этих уравнений я, должны получить первона-
чальное уравнение (1). Деля эти равенства одно на другое,
получим
— ?2 __ Фз — (р)
Ф1 —Фа’ Фз ~ Ф<
Такова форма уравнения (1) в том случае, когда оно пред-
ставимо номограммой рассматриваемого типа.
173
Можно показать и элементарно, что уравнение (Р) разре-
шимо номограммой данного типа. В самом деле, рассматри-
вая в уравнении (Р) пары чисел (<рл ф/) как координаты точки
на плоскости, легко усмотреть, что уравнение (Р) выражает
тот факт, что прямые М1М2 и М3М4, соединяющие пары'то-
чек ф1), ТИ2 (<Р2, фз) и Мз (<рз, фз),ф<), параллельны
между собою.
Так как координаты каждой из точек ЛД, М2, М3, М4 —
функции одного параметра, то геометрическое место каждой
из этих точек есть некоторая кривая — носитель шкалы
соответствующего переменного. Построить каждую из этих
кривых можно по ее уравнениям: ^ = <рь ц» = ф/, где <рз и ф/—
функции одного из параметров х, у, z и t. Таким образом,
получаем совершенно элементарный метод построения номо-
граммы уравнения (Р).
Заметим, что параллельное перемещение линейки не всегда
легко выполнять без ущерба для точности расчета. Поэтому
весьма часто вместо параллельного смещения линейки поль-
зуются особым крестообразным транспарантом.
Вообразим тонкую прозрачную пластинку прямоугольной
формы с нанесенными на ней двумя перпендикулярными меж-
ду собою и параллельными краям прямыми линиями, прохо-
дящими через центр пластинки. Повернем одну из номограмм
(х, у) или (z, t), составляющих
абак, на прямой угол. Тогда
прямые (ху) и (zf) станут пер-
,х//\ пендикулярными и, накладывая
' (Ч) / 'Я нашу пластинку на номограмму
/ так, чтобы одна из прямых прош-
ла через точки шкал (х) и ( у) с
/ заданными пометками, а вторая
прямая — через точку шкалы (z)
Черт. 48 с заданной пометкой, в точке
.пересечения этой прямой со шка-
лой (/) прочитаем искомое значение переменного (черт. 48).
Таковы основные виды составного абака из выравненных
точек для уравнения с четырьмя переменными. Переходим
к рассмотрению отдельных, наиболее важных типов уравне-
ний, разрешаемых на таком абаке.
2. Основные виды уравнений,
разрешаемое на составном абаке
I. Уравнения вида, fi +/2+ А + .Л ==0.
Для уравнений вида
fi +/2+/3 +/4 = 0, (I)
174
где fi=fi(zi\ построение абака из выравненных точек не
представляет затруднений. Представив данное уравнение в
форме fi -j-/2 = — (/з+/<> и полагая /i+/2 = at> разобьем
данное уравнение на два:
/14-/2 = а и — /з— /4 = а. (а)
Каждое из этих уравнений непосредственно изображается
номограммой с параллельными шкалами. Полагаем
х = mfi, у = п/2, х' = — pf3, у'« — qft,
уравнения (а) принимают вид
±4~~ = a> ~—1- — = а.
т л Р 9
_Вибирая произвольно две пары параллельных осей (х, у)
и (х', у'), получим две номограммы этих уравнений.
Уравнения шкал первой номограммы:
— , — , — mni *
x = /n/i, у = л/2, ~ •
т 4- п
Уравнения шкал второй номограммы:
х'=.-р/з, y' = — qf4, ъ'=
р + я
Для соединения этих номограмм в один составной абак
необходимо совместить шкалы а' и а, а для этого, в свою
очередь, необходимо, чтобы модули этих шкал были одина-
ковы, т. е. мы должны иметь:
тп pq 1.11.1 ,, ,
---- или—н — = — 4—• (Ь)
т + п р q т п р q
Таким образом, модули шкал функ- (a) fzp rzj
ций fi, fi, fs и fi связаны между собою
одним уравнением: три из этих моду-
лей можно выбирать произвольно, а
четвертый будет определяться равен- —
ством (Ь). Шкалы функций /1, /2, /з и
fi должны так_ располагаться относи-
тельно шкалы а, чтобы эта шкала де-
лила расстояние I между шкалами fi и
fi в отношении т: п, а расстояние V
между шкалами /3 и /< — в отношении
р: q (черт. 49). Че₽т- 49
Для удобства пользования номограммой бывает выгодно
помещать шкалу а не в промежутке между обеими парами
* См. стр. 139.
175
шкал, а вне обеих пар так, чтобы она связывала два абака.
Достигнуть этого можно небольшим преобразованием урав-
нений (а). Напишем эти уравнения в следующем виде:
(—/1) + “ = /2, а+(+/<) = —/з. (а')
(z,) (z2) (a.) (zj (z„) 'Очевидно, что при построении шкал
2 уравнений (а') шкала а для первого
уравнения окажется крайней шкалой
справа; та же шкала для второго урав-
\ нения окажется крайней слева (черт. 50).
Найдем соотношение между модуля-
ми шкал в этом случае. Обозначая по-
Черт. 50 прежнему величины модулей шкал функ-
ций /ь /2, /з и ft соответственно через
т, п, р и q, а модуль немой шкалы (функции а) — через г,
имеем уравнения шкал:
х = — mf, у = п/2, | -= га
x' = -pf3, y' — qft, I
Равенства (а') принимают вид
т г п ’ г q р
В силу известного соотношения между модулями парал-
лельных шкал имеем
1 , * 1 _ 1 1 . 1 _ 1
I ‘ J I 9
т г п г q р
откуда получаем:
1_±=1_1=±. (Ь')
п т р q г
Таково искомое соотношение между модулями шкал дан-
ных функций и модулем немой шкалы.
Пример (номограмма № 27). Построить номограмму
уравнения x-|-.y-|-z-[-/ = 0.
Разобьем его на два уравнения: — л-j-а=у и а-|-/ = — z.
Выберем т = 2, п — 1, р —у*. В силу соотношения (Ь')
2 1 1 ~ о
имеем q=—, — = — . Следовательно, г = 2.
* Заметим, что, выбрав модули шкал х и у равными т — 2, л = 1 и,
следовательно, получив для г значение г = 2, для сохранения последова-
тельности расположения шкал надо брать р < 2, так как при р > 2 имеем
1 1 1 1 1 Л
——————: —— — <0;
Ч Р г р 2
176
Номограмма N 27
z+y+z+t =0
(X) (y) (a) (z) ft)
Состабная номограмма
(по методу дВойного Выравниваний .
Уравнения шкал будут:
— — — z — 2
х = — 2х, у=у, z — — —, t~ — t.
J 2 3
Построение производим в следующем порядке: строим
шкалы (х) и (а) (последнюю без градуировки), делим рас-
стояние 010 между ними в отношении /и:г = 1:1 и прово-
следовательнол q будет отрицательно, а потому, деля расстояния между
шкалами а и t в отношении r*.q, получим шкалу г слева от шкалы а, иУ
следовательно, порядок расположения шкал будет нарушен.
В-232. Н. А. Глаголев-12 177
дим через точку деления Оа шкалу (.у)- Справа от шкалы
(а) проводим произвольную параллельную ей прямую (/) —
носитель шкалы (/), делим расстояние ОО< между шкалами
(а) и (f) в отношении г:? = 3:1 и через точку деления Оз
проводим прямую — носитель шкалы (z). Проградуировав все
шкалы по их уравнениям, получим искомую номограмму
№ 27.
Уравнение вида /1+/2+/з + Л=0 может быть разреше-
но и на абаке с несобственной немой шкалой, т. е. при по-
мощи крестообразного транспаранта или параллельного сме-
щения линейки. В самом деле, представим наше уравнение
в виде
Л —(—Л) _ (-Л)-Л
1-0 1-0 ’
В таком виде оно будет частным видом уравнения (Р),
причем уравнения шкал будут:
v)i = l: 5г = —/г» ’12 = 0; ?з = —/з, 7]з = 1;
Т]4 = 0.
Строим шкалы (zi) и (гг) в одной системе координат
(<р, ф), а шкалы (z3) и (z<) — в другой системе (<?', ф'). Если
поместить оси координат <р, ф параллельно осям <?', ф', то
получим абак с параллельным смещением прямой (черт. 51);
если оси <р', ф' сделать перпендикулярными осям <р, ф, то
получим абак с крестообразным транспарантом (черт. 52).
Черт. 51
Мы брали модули шкал функций /1, /2, /з, и /< одинако-
выми для всех четырех функций. Если это по характеру
изменения функций окажется неудобным, то придется
ввести разные модули для разных функций и соответствую-
щим образом видоизменить построение. Полагаем
/i = zni/i, /2 = №2/2, 7з = тпз/з,
178
mi, m.2, Шз и nit будут модулями соответствующих шкал.
Легко видеть, что эти модули связаны весьма простыми со-
отношениями.
Представив данное уравнение в форме
fi +/2 =?= (— /3) + (— fi),
разбиваем его на два:
/1+/2=’> (— /з) + (— fi) = a-
Каждое из этих уравнений разрешается на параллельных
шкалах, причем отношение между расстояниями средней шка-
лы от крайних равно отношению модулей крайних шкал.
В первом случае крайними шкалами будут fi и /2, во вто-
ром случае (—/з) и (—fi). Так как шкала (а) должна нахо-
диться в бесконечности, то отношение модулей шкал fi и /г,
так же как и шкал /з и ft, равно—1. Отсюда
m2= — nti тз = — пц.
Следовательно,
/1=4, /2 = -4, а = А.
mi mt т3 гг3
Данное уравнение принимает вид
J) f~ _|_ __Z2_i4 — Q, или fl—fl_—— f3 fi_,
тх тг — 0 — О
или, наконец, деля обе части на произвольное число k и
полагая ntik^ li, mfi = l2, имеем:
Это уравнение разрешаемо на составном абаке изучаемого
вида, причем модули на обеих шкалах каждой из состав-
ляющих номограмм одинаковы по величине и противопо-
ложны по знаку, а отношение расстояний li и /2 между шка-
лами в обеих номограммах равно отношению модулей шкал.
Легко видеть, что изучаемый тип уравнений номографи-
руется на параллельных шкалах при любом числе перемен-
ных. В самом деле, возьмем уравнение
/1 + /2 +/з f-fi +/s =/й
с шестью переменными. Полагая
/1+/2 = я, а+/з = Р, ₽+/i = Y,
12*
179
имеем т+/5=/е. Строим для каждого из этих уравнений
номограмму на параллельных шкалах, выбрав модули шкал
функций fi так, чтобы модули шкал вспомогательных пере-
менных а, р, f были одинаковы в двух последовательных
/л, уравнениях. Шкалы этих переменных
нтз) ч) будуТ немыми, а при последовательном
расположении шкал функций fa, fa, fa,
fa, fa и fa номограмма будет иметь вид,
представленный на черт. 53.
Такие номограммы, несмотря на свою
простоту и легкость пользогания, обла-
дают все же существенным недостат-
ком: при большом числе немых шкал
их точность окажется недостаточной.
1
тт w „ 1 , 1 , 1 1
II. Уравнения вида —--------1—= —
<Ра Ч»з <Р«
91
1
— ока-
fi
выгоднее представить
Если в уравнении fa -|- fa -ф/3 = j
жутся проще шкал функций fi, то
данное уравнение в форме
1+1+1=2
2 1 _i_ 2
/1 fl fi fi
шкалы функций
и, положив
1
- = <pz
(i=l, 2, 3, 4),
строить номограмму уравнения
1+1+-=-
Ф1 Ф2 ФЗ
(ID
где <pt = <fi (zfa
Это
уравнение мы опять разобьем на два:
91 9г »
И
Для
грамму
-+-=±
а ср3
каждого из этих уравнений мы умеем строить номо-
из выравненных точек радиантного типа *. Для по-
(а)
* См. стр. 139.
180
лучения номограммы первого из уравнений (а) проводим две
прямые и наносим на них от точки их пересечения шкалы
функций ?i и ?2 с произвольными модулями mi и m2, мо-
дуль и направление немой шкалы а определяются как век-
торная сумма модулей mi и т2, т. е. как диагональ парал-
лелограмма, построенного на этих модулях (черт. 54). Но-
мограмма второго уравнения (а) представится совершенно
в том же виде (черт. 55), причем модуль шкалы <р< равен
Черт. 54
Черт. 55
векторной сумме модулей шкал а и <рз, т. е. та и тз. Выби-
рая модуль шкалы а одинаковым, можем совместить шкалы
а обеих номограмм и получить соединенный абак первона-
чального уравнения (II) (черт. 56).
При этом очевидно, что модуль
шкалы функции <р< равен векторной .
сумме модулей тц тз и тз шкал >
функций <pi, <?2 и <рз, т. е. является \ /
замыкающей ломаной линии, звенья \ / xV
которой по величине и по направ- L/
лению совпадают с модулями mi, /\м$У I
тз, тз. Другими словами, для \
получения модуля необходимо ----1----v
сложить модули mi, m2, тз по
правилу сложения векторов.
Очевидно, приведенное построе-
ние распространяется на уравнение ЧеРт- 56
типа (II) с любым числом перемен-
ных:
Из предыдущего вытекает следующий, общий метод по-
строения номограммы такого уравнения. Проводим п — 1
лучей, выходящих из одной точки в произвольных направ-
Черт. 57
лениях, 'откладываем на них произ-
вольные модули функций <pi, <р2,
?л-х; далее, строим ломаную линию,
звенья которой по величине и по
направлению совпадают с модулями
функций f,(i = 1, 2, ..., п— 1); верши-
ны этой ломаной последовательно
определят модули и направления не-
мых шкал, а замыкающая даст мо-
дуль и направление шкалы функции
<рл (см. черт. 57 для случая п = 7}.
III. Уравнения вида
ft ft
Уравнения этого типа логарифмированием приводятся к
предыдущему типу. Однако логарифмические шкалы функций
fi (z) для отдельных видов этих функций оказываются не-
удобными. Поэтому приходится исследовать для данного
уравнения возможность построения номограмм иных типов.
Разложим данное уравнение
л =4 (1П)
J2 J4
на два:
— = а, — = а (а)
Л /а '
и для каждого из них построим Z — номограмму. При этом,
чтобы иметь для всех функций их шкалы, сделаем немую
шкалу а проективной шкалой на обеих номограммах.
Соединение обеих номограмм в одну может быть осуще-
ствлено различными способами: можно совместить не толь-
ко шкалы а, но и носителей шкал самих функций, производя
двустороннюю градуировку этих носителей (черт. 58, а);
можно, совместив шкалы а, взять угол наклона немой шкалы
к параллельным шкалам не одинаковым для обеих номо-
грамм; тогда носители шкал (zi), (z2), (za), (z<) будут различ-
ны черт. 58, b); в частности можно сделать шкалы ft и /2
перпендикулярными к шкалам /а, /< (черт. 58, с).
Уравнение (III) может быть разрешимо и в номограмме
с параллельным смещением прямой и с крестообразным
транспарантом. В самом деле, представив его в форме
Л-0 ^Л-0
о-Л о-д ’
видим, что оно принимает вид (Р).
182
(f3) (Л)
Черт. 58
Применяя общее правило разрешения уравнения вида (Р),
пишем уравнения шкал номограммы:
$1=Д, »)i=0; $2 = 0, tii—fi', 5з = Д,
7]3 = 0; ?< = 0, Т]4 = fi.
Шкалы функций Д, Д, Д, fi, как видим, наносятся на
самих осях координат двух систем (fy) и (V-»]'). Делая оси
обеих систем параллельными между собою, получаем номо-
грамму с параллельным смещением прямой (черт. 59, а);
делая их перпендикулярными, получаем номограмму с кресто-
образным транспарантом (черт. 59, Ь).
Черт. 59
Последние две номограммы получены из общих поло-
жений, доказанных выше, но нетрудно выдеть, что их мож-
но получить элементарным способом. В самом деле, если
построить шкалы функций Д и Д на сторонах какого-либо
угла, а шкалы функций Ди Д — на сторонах другого угла,
стороны которого параллельны (или перпендикулярны) сто-
ронам первого, то, проведя прямые /И1ТИ21| AfsM (или
MiMzA_MzMi), из подобия треугольников OMiMz и O'MzMt.
найдем:
ОМ, О'М3 мпи Л _/3
ОМз О'М, /з
т. е. получаем уравнение (III).
183-
Номограммы этого вида носят название пропорциональ-
ных номограмм', они имеют большое распространение в тех-
нике. Их также легко распространить на уравнения с боль-
шим числом переменных вида
А _ /з . fi . _ _ fn—x
fi fi fi fn
Пусть, например, дано уравнение
X _ Z и
у tv
„ZU ха
Полагая — = а, имеем — = —.
v у t
Для каждого из этих уравнений строим свою пропорцио-
нальную номограмму. При этом можно пользоваться одной
и той же парой углов, градуируя их стороны с двух сторон
(черт. 59, с).
Номограммы этого типа имеют то преимущество перед
номограммами с параллельными шкалами, что число немых
шкал здесь меньше, чем на соответствующей номограмме,
с параллельными шкалами.
f
IV. Уравнения вида /1 +/2 = —.
А
Уравнение
+ (IV)
ji
разлагается на два:
/1 + /2 = «, « или — /1 + a =f2, aft =fs.
fi
Первое разрешается на параллельных шкалах, второе —
на Z — номограмме.
V. Уравнения вида 7'4"7’ = 7''
fi fz Ji
Для номографирования уравнения
Л . 1в1
fi Л fi
(V)
положим
Л « fi
184
Первое из этих уравнений разрешает-
ся на Z — номограмме, второе — на ра-
диантной номограмме из выравненных
точек. Составной абак имеет вид, пред-
ставленный на черт.60.
VI. Уравнения в и д’а fi/г + /з/< = <р«.
Уравнение
/1Л+/з/< = ?4 (VI)
расчленяется на два:
Черт. 60
/1/2 — t,t = ?4.
Первое разрешается на Z—номограмме, второе-г-на но-
мограмме первого жанра.
VII. Уравнения вида /1+/2=/з+/<?з.
Рассмотрим уравнение
/1 "Ь/г?! =/з 4-/1<рз.
(VII)
Обозначая его левую и правую часть буквою а, имеем
fi ~Ь /г?! = в, /з4_/4?з = ®.
Каждое из этих уравнений есть уравнение 4-го порядка
типа Коши, разрешаемое в номограммах первого жанра с
криволинейной шкалой — для первого уравнения — (zi), а для
второго — (z8). Номограмма, очевидно, может иметь одну из
трех форм, представленных на черт. 61.
Черт. 61
185
VIII. Уравнения вида — — ———.
f 2 1 — /З А
Рассмотрим теперь более сложный вид уравнения с че-
тырьмя переменными, а именно:
Л=_4±А. (VIII)
Л 1-ЛА к
Построение номограммы этого уравнения соединяет в себе
целый ряд предыдущих построений.
Полагая — = — а, =— а, имеем два уравнения:
А 1 — АА
/1 + <*/з = 0, /з 4~/< 4~ а =/з/<’.
Представим каждое из этих уравнений детерминантом
Массо с общей строкой а. Для этой цели разлагаем каждое
на три линейных уравнения.
Полагая x=fi, у = а, разлагаем первое на три:
х — /1 = 0, у — а = 0, x4-j//2 = 0.
Исключая из них х и у и вводя параметр /, получаем
последовательно равенства:
1 0 /1 I /2 0 = 0, /1 1 0 1 1 1+Л = 0,
0 1 а а 0 1
/1 I 1
0 —1— 1
1+А
а 0 1
Полагая теперь для второго уравнения
*—/»/ь J =/»+/<.
разлагаем его на три
fl-yf3^x = 0,
j4—yfi-\-X = 0,
— а —у-\-ах = 0,
186
которые приводят к определителю
/з -Л 1
fi -А 1
— а —1 а
= 0 или
1
1
а
(Ь)
Уравнения' (а) и (Ь) дают уравнения шкал номограммы:
шкала (zi)= i,
шкала (z2): ?2 = 0, ;
1 “Г J2
шкала (а):£ = а, т] = 0;
/ \ t 1 1 +/з.
шкала (z3): «з = — , "*1з — ——;
fz JZ
, w si i+4
шкала (z<): .
ft ft
Носителем шкалы (zi) служит прямая, параллельная оси
5, отстоящая от нее на расстоянии Z; (z2)— проективная шка-
ла на оси ij, (а) — немая шкала на оси В. Носителем шкал
(z2) и (z<) служит кривая, уравнение которой легко получим,
исключая параметр из уравнений шкал:
1+4 1 г/ lie
Т)з — —— = — 4-/з = — + «3.
/3 /3 *3
То же имеем и для шкалы (г<). Общим носителем этих
шкал является, таким образом, гипербола:
т] = е + у
Нетрудно видеть что простым преобразованием уравне-
ний (а) и (Ь) можно достигнуть того, что носителем шкал
(z3) и (z<) будет окружность.
В самом деле, преобразуем детерминант (Ь) следующим
образом:
1+/з2 /з
1+А2 Л
0 1
1 Л Л 1 а2 4-/з2 /з а
1 = Л А 1 = /< а
а — а 1 а (а2 —1)а 1 аа
а:(а3+/32) /з:(а2+/32) 1
Л:(«2+/42) 1 = 0,
а:( а2- -1) 1:(а® 1)а 1
187
где а—произвольная величина. Отсюда имеем уравнения
шкал:
д2 + Л2 ’
fi
a*+f?
G = 3, 4).
Носителем этих шкал служит окружность. В самом деле,
Е? + •»]? = — или (В/ — — Y + 4J? = ——.
‘ г 11 а \ 2а/ п ‘‘ 4д2 ’
Это — уравнение окружности радиуса 1/2а с центром на оси
Е, касающейся оси ij. Чтобы соединить эту номограмму с но-
мограммой переменных (zi, Zz, а), необходимо, чтобы третья
строка детерминанта (а) была следующей:
---------1---1.
а3 — 1 (а3 —1)а
С этой целью проводим следующую цепь преобразований:
Л 1
О 1
а О
1+Л
1
1
Теперь оба уравнения разрешаются на одном составном
абаке. Уравнения всех шкал будут:
(-21) (г2) («)
Е _ Е _ J _ д
1 («2 —1) (1 4-/1) д3-1 а3-1
7,1 ° 7)2 «3-1 71 а(а3—1)
188
Шкала (zi) есть проек-
тивная шкала функции ft
на оси В, шкала (гг) —шкала
функции /г на прямой, па-
раллельной оси тд; немая
шкала (а) расположена на
прямой, параллельной оси
к], проходящей посредине
между осью т) и шкалою (гг);
шкалы (гз) и (z<) располо-
жены на окружности. Об-
щий вид номограммы изо-
с четырьмя переменными,
бражен на черт. 62.
3. Общая форма уравнения
разрешаемого методом двойного выравнивания с прямо-
линейной немой шкалой. Найдем общую форму уравнения,
разрешаемого методом двойного выравнивания с прямолиней-
ной немой шкалой.
Как мы видели выше, уравнение, разрешаемое методом
двойного выравнивания, может быть получено как результат
исключения параметра а из двух уравнений вида
TiU) W 1 ?з(2) Фз^) 1
?2О) Ш) 1 = 0, <р4(7) Ф4(/) 1 =0*,
?(“) Ф(«) 1 ?(«) Ф(а) 1
В обоих детерминантах третья строка дает уравнения
немой шкалы, общей в обеих номограммах, составляющих
сложный абак
5 =Ф (а), 7] = ф (а).
Если эта шкала прямолинейная, то уравнение ее носителя
может быть представлено или в виде = или в виде
1 — с.
Легко видеть, что в обоих случаях третья строка обоих
детерминантов может быть приведена к виду а, 0, 1. В самом
деле, если носитель немой шкалы имеет уравнение $ = с, то
<р(а) = с, и третья строка имеет вид с, ф(а), 1. Вычитая из
первого столбца третий, умноженный на с, приведем третью
строку к виду 0, ф(а), 1, а переставляя первый и второй
столбцы, получим ф (а), 0, 1, или, полагая ф(а) = а', имеем
а', 0, 1. Если носитель имеет ур!авнение -q = kt-[-b, то третья
строка должна иметь вид <р(а), k<?(a)-\-b, 1. Вычитая из эле-
ментов второго столбца элементы первого, умноженные на k,
и элементы третьего, умноженные на Ь, приведем эту третью
* Здесь положено х(в) = 1, что всегда можно сделать.
189
строку к виду <р(а), 0, 1, или, полагая <р(а) = а', будем иметь
а', 0, 1.
Итак, в обоих детерминантах можем предположить, что
третья строка имеет вид а, 0, 1. В таком случае, разлагая
их по элементам третьей строки, имеем
а (Ф1 — Ф2) + Ма ~ Mi = °>
а (Фз — Ф4) + М4 — Мз = °’
Исключая а, получим
Ф1~ Фг <Р1Фз — УаФ1
Фз — Ф< ТзФ< — 'Р^Фз ’
Таков общий вид уравнения, разрешаемого методом двой-
ного выравнивания с прямолинейной немой шкалой. Легко
убедиться непосредственно, что все рассмотренные нами
„ (г выше типы уравнений, решаемых ме-
1 ! / тодом двойного выравнивания,— ча-
t ' /х стные виды уравнения (С).
* Лгч Соро дал весьма простой вывод
! / уравнения (С), основанный на извест-
(х) / ных те°Ремах начертательной гео-
| -----------1 метрии. Этот вывод приводит также
’ к несколько иной форме уравнения
I х.р (С), сближающей его с формой детер-
I / минанта Массо.
I Пусть дана номограмма составного
I f'zj-^" типа с прямолинейной немой шкалой
(а) (черт. 63). Принимая немую шкалу
Черт. 63 за ось 5, пишем уравнения всех че-
тырех шкал:
= Ъ&), = (i=l. 2, 3, 4).
Рассматривая теперь плоскости составляющих номограмм
(zi z2«) и (z3 z<a) как совмещенные плоскости проекций и при-
нимая их до совмещения за координатные плоскости (zx) и
(ху), будем иметь
для первой номограммы: i — x, n = z,
для второй номограммы: t = x, ’Ч—у,
а потому четыре точки М, N, Р, Q, дающие решение нашего
уравнения, имеют в пространстве следующие координаты:
•^ = <Р1(г1). У = ®> г = Ф1(21), (М)
x=<p2(z2), _У = 0, z = 4>2(z2), (N)
190
^ = ?з(2з)> -У = %(23)’ z = 0>
x = <?4(z4), у=ф4(24), z = Q,
(P)
(Q)
Прямые MN и PQ можно рассматривать как следы неко-
торой плоскости (да), на которой лежат точки М, N, Р и Q.
Тот факт, что четверка значений Zi, Z2, z$, z4 удовле-
творяет данному уравнению, на номограмме изображается
тем, что точки М, N, Р, Q, определяемые этими значениями,
лежат попарно на двух прямых MN и PQ, пересекающихся
на оси (а), а при указанном пространственном истолковании
составной номограммы это означает, что точки М, N, Р и Q
лежат в одной плоскости (да). Таким образом, уравнение, раз-
решаемое нашей номограммой, должно выражать условие
расположения четырех точек в одной плоскости и, следова-
тельно, может быть представлено в виде
0 1
?2 0 Ь 1
?3 Фз 0 1
?4 0 1
(С'>
Такова форма, найденная Соро для уравнения с четырьмя
переменными, разрешаемого методом двойного выравнивания
с прямолинейной немой шкалой. Разлагая детерминант по
элементам третьего столбца, получим
или
Ф11?2 (h - h) + (?з h - ?4 %)] — h (Фз - h) +
+ (М4-Мз)1=°>
откуда
(h—Ф2) (?з h—?4 %) - (%—h) (?i h - т2 h)=°»
или, наконец,
— Фз — — Уаф|
Фз — Фг ТзФз — ТЛ
Это — форма (С), найденная выше.
191
§ 3. Неразложимые номограммы
со многими переменными
1. Постановка задачи. Построение составных номограмм для
уравнений со многими переменными основывалось на возмож-
ности представления данного уравнения вида f(x, у, z, t) = Q
в форме х(х> = I)' Если данное уравнение в этой
форме представить нельзя, то построение для него состав-
ного абака делается невозможным, и возникает вопрос о по-
строении для такого уравнения самостоятельной номограммы,
не разлагающейся на более простые.
Для решения этого вопроса расширим понятие функцио-
нальной шкалы, введя понятие бинарного поля.
2. Бинарные поля и их применения. Бинарным полем
называется совокупность двух семейств кривых, зависящих
каждое от одного параметра. Если уравнения этих семейств
даны в форме
fi(x, у, а) = 0, /2(х, у, 0) = О,
то, разрешая их относительно х и у, получим
х = <р(а, р), _у = Ф(а, £). (1)
Уравнения (1), очевидно, можно рассматривать как урав-
нения, определяющие систему криволинейных гауссовых
координат. Эта криволинейная гауссова сетка и составляет
так называемое бинарное поле.
Каждая линия поля снабжается своей пометкой, равйой
значению параметра, определяющего эту линию. Каждая
точка поля имеет, таким образом, две пометки, равные зна-
чениям параметров линий, проходящих через эту точку.
Уравнения (1) называются уравнениями бинарного поля.
Чтобы построить поле по его уравнениям, даем одному
из параметров фиксированное значение, например, полагаем
a = Ji; уравнения (1) примут вид
Х = ?(«1» ?) У = ’!'(«!, Ю
я будут представлять некоторую линию (оч) на плоскости.
Давая а другое значение, равное я2, получим другую линию
(а2); полагая <х = а3, а4,..., получим последовательность линий
(си), («2), (аз), ..., образующих первое семейство линий би-
нарного поля; точно так же, полагая Р = ?1( ?2» ?з»—» ПОЛУ"
чим второе семейство линий (f\), (?2), (?3),... бинарного поля.
Чтобы построить точку поля с пометками (а/, fy), берем
в первом семействе кривую («/), во втором — линию (?,).
Точка пересечений этих линий и будет искомой (черт. 64).
192
Понятие бинарного поля позволяет обобщить метод по-
строения номограмм из выравненных точек, распространив
его на бинарные поля. Сущность этого обобщения состоит
в том, что вместо совокупности точек с одной пометкой,
образующих шкалу, берут совокупность точек с двумя по-
метками, образующих бинарное поле.
Такую замену можно проводить или частично, заменив
одну из трех шкал номограммы полем, оставив две другие
без изменения, или две шкалы заменить двумя полями, оста-
вив третью неизменной, или, наконец, можно полностью все
три шкалы заменить тремя бинарными полями. В соответствии
Черт. 64 Черт. 65
с каждым из этих случаев номограмма будет давать возмож-
ность разрешать уравнения определенного типа с четырьмя,
пятью и шестью переменными. Способ пользования такой
номограммой остается тем же, что и для простой номограммы
из выравненных точек.
Если, например, имеем номограмму с двумя бинарными
полями (a, f>) и (у, 8) и одной шкалой (z) (черт. 65), то она
дает возможность разрешать некоторое уравнение с пятью
переменными а, р, у, 8 и z. Если по данным а = а', ₽ = ?',
у = •(' и 8 = 8' надо определить z, то отыскиваем в первом
поле точку с пометками (а', Р')> во втором поле — точку
с пометками (/, 8') и, соединяя их прямой, в точке ее пере-
сечения со шкалою (z) читаем искомое значение этой пере-
менной z — z’. Если по данным а —а', £ = Э', т = т' и z = z'
требуется найти значение 8, то, соединяя прямой точку
(а'; р') первого поля с точкой z' шкалы (z), ищем точку пе-
ресечения этой прямой с линией у' второго поля; пометка
второй линии этого поля, проходящей через найденную точку,
дает искомое значение переменного 8. Этот же способ поль-
зования остается и для других видов номограмм с бинарными
полями.
Для определения типов уравнений, разрешаемых номо-
граммами с бинарными полями, и нахождения для этих урав-
нений номограмм нового типа можно пойти по пути, обобще-
ния тех уравнений, которые разрешаются в номограммах из
В-232. Н. А. Глаголев-13 193
выравненных точек. Как известно, уравнение fi(zi, Zz, 2з) = 0,
разрешаемое номограммой из выравненных точек, может
быть приведено к виду
?! (21) Ф1 (21) Х1 (21)
<P2(z2) ф2(2г) Х2 (2г) = 0. (те)
?3 (2з) Фз(г«) Хз (2з)
Изменим первую строку детерминанта, введя вместо функ-
ций одного переменного <Pj(zi), фДгД Xi(zi) функции двух
переменных «рДа, р), ф1 (а, р,) /Да, р).
Детерминант примет вид
?1(“. ?) Ф1(а, ?) Х1(«> ?)
?2(2з) Ф2(22) Х2(2г) = 0.
?з(2з) Ф3(2з) Х3(2з)
(*<)
Уравнение (те4), так же как (те), выражает условие распо-
ложения на одной прямой трех точек с координатами
2 Э) _ Ф1 («, ?)
1 71 (°. ₽) ’ 1 71 (“> ₽) ’
е fe) (г2) е Фз (гз) _ Фз fe)
2 -72(22) 2 7.2 (z2) ’ 3 7з(«з) ’ 3 7.з (z3)
Две последние пары уравнений по-прежнему представляют
уравнения шкал (zz) и (zg). Первая же пара уравнений пред-
ставляет бинарное поле («, Р). Построив это бинарное поле
и шкалы (z2) и (гз), мы и получим номограмму уравнения (те4)
с двумя шкалами (г2) и (г3) и одним бинарным полем. Совер-
шенно так же для уравнения вида
?i(«, ?)
8)
?3(2з)
Ф1(«, Ю /Д’- ?)
Ф2(т» 3) х2(т,3)
Фз(гз) Хз(гз)
получим номограмму с двумя бинарными полями (», р) и (у, 8)
и одной шкалой (г3).
Наконец, уравнение вида
?1 (’. ?) Ф1 (“, ?) Xi («, ?)
?2(т,3) Ф2(т.3) х2(т, 3) = 0 (те0)
?з(е> х) Ф3<е> х) Хз(е, х)
194
также разрешится номограммой с тремя бинарными полями.
Таким образом, если данное уравнение с четырьмя, пятью,
или шестью переменными приводимо соответственно к виду
(к4), («5) или (it«), то оно разрешимо номограммой с одним,
с двумя, или тремя бинарными полями. Для приведения урав-
нения к такому виду его необходимо разложить на три урав-
нения, линейные относительно двух вспомогательных пере-
менных; в каждом из этих уравнений коэффициенты должны
зависеть от своей пары переменных или от одного перемен-
ного. Так, для разрешения в бинарных полях уравнения
с шестью переменными:
/(«, Т, 8, е, 0 = 0
разлагаем его на три уравнения вида
,<Pi2(a> ?)^ + ^12(а» ®У +х12(«> ?) = о,
Т34(т, 8) X + <|»34 (Т, 8)j + x34(t, 8)ж0,
?5б (е> О у+х56 (е> 0 = °-
Исключением из этих уравнений х и у получим уравнение (тсв).
Особо отметим случай уравнения с четырьмя переменными,
разрешающегося номограммой с двумя прямолинейными шка-
лами и одним бинарным полем. Такое уравнение, как это
следует из изложенного в гл. III, может быть представлено
в одном из следующих видов:
W + ?2(j)/i(a> W=/2(a, ?), (2)
1 I /i (°. &) 1
<Fi (О fs (JO fi (». ’
Уравнение (2) разрешается номо-
граммой с двумя параллельными пря-
молинейными шкалами, представляе-
мыми уравнениями
= 0, т)1 = т<?1 (х), ?2 = /, 7)2 = л<р2 (у)
и бинарным полем
£ — Р) . _ mnf2(a, Р)
3 mfi (“.₽) + П 3 mfr (а, ₽) + п
(2')
(черт. 66).
Уравнение (3) разрешается номо-
граммой с двумя пересекающимися
прямолинейными шкалами
E1 = ;n?i(x), ^ = 0; е2«0, ?l2=n<P2(jO
13*
195
и бинарным полем
5з — mf2 (а, ?)
Чз = л/1(а> ₽)/г(а, Ю
(3')
(черт. 67).
Уравнения (2) и (3) явля-
ются непосредственными
обобщениями уравнений (8)
и (9), т. е. обобщениями
уравнений 4-го порядка ти-
па Коши.
Пример 1 (номограмма № 28). Построить номограмму
формулы стороны косоугольного треугольника
с2 = а2 Ь2 — 2ab cos у.
Номограмма N 28
Длина стороны косоугольного треугольника.
сг=аг+Ьг-tab cosy
Бинарное поле
196
Для получения более удобной формы номограммы пре-
образуем эту формулу, умножив обе ее части на k и приба-
вив по 1:
1 + kc3« k (a3 -J- b2)— 2kab cost + 1,
откуда
2kab cos T + (1 + kc2) — 1 — k(a3-]-b2) = 0,
или
Z1 . , 2Ч 1 Ц-А(ла + ^)
COS Т - (1 4- kc3)-=-----------7^7------ .
ikcib £KCLO
.Это — уравнение типа (2), в котором
х = у, у = с, а — а, р = Ь;
?! (х) = cos т, <р2 (= - (1 + kc2)-,
f ж 1 f =, l + fe(aa + 62)
/1Ж — 2kab ' j2 2kab
Строим номограмму, откладывая на параллельных осях
величины
x = cost, у = — (1-]-Ас2).
Координаты точек бинарного поля найдем по формулам (2');
полагая в них / = /п = п=1, имеем
6------1—, . (<х)
1— 2kab * 1 —2kab v ’
При постоянном а эти равенства представляют собою
параметрические уравнения семейства гипербол. Так как
а и b входят симметрично, то оба семейства поля (а) и (д)
составляют одно семейство гипербол. Точки, для которых
а — Ь, лежат на прямой — 2£-|-1. В самом деле, при
а = Ь имеем
6 =---L—, 7) = 1-----1— = 1—2;.
1 — 2Ла» * 1 - 2Ал3
Эта прямая есть огибающая семейства гипербол.
Легко видеть также, что пометка шкалы (с) в какой-либо
точке в точности равна пометке гиперболы, проходящей
через эту точку. В самом деле, шкала (с) лежит на прямой
6 = 1. Найдем соответствующее значение ординаты »] для ги-
перболы при 6=1.
Пусть а — параметр кривой, а b — ее пометка. Из формул
(а) при 6 = 1 имеем
1 -2kab = 1-,
следовательно,
а = 0, т) = — 1 — kb2.
197
Эта же величина должна быть равна — 1 — kc2; следова-
тельно, Ь = с. Пометка шкалы (с) совпадает с пометкой (Ь)
гиперболы.
Пример 2 (номограмма № 29). Построить номограмму
полного кубического уравнения
х2 + Ах2 -j- Вх С = О,1
Номограмма этого уравнения была впервые построена
Оканем. Здесь приведем ту ее форму, которая дана Шверд-
том.
Номограмма N29
Полное кубическое уравнение
13+А^Вх+С=0
Бинарное поле
198
Строим номограмму, откладывая на параллельных осях
величины А и С. По формулам (2'), полагая т = 10, п = 5,
/ = Ю0, имеем координаты точек поля (х, В):
200
1 + 2х2 ’
—10 (л3 4- Вх)
71 — 1 + 2х2
Получаем номограмму № 29.
Пример 3 (номограмма № 30). Построить номограмму
формулы
k = ki cos2 ? -|- sin2 <р,
связывающей главные кривизны поверхности ki и Аг в какой-
либо точке и кривизну k ее нормального сечения в этой
199
точке, проведенного под углом ? к плоскости первой глав-
ной кривизны.
Эта интересная номограмма быыа построена Швердтом.
Преобразуем данную формулу к виду
А + + (Ai — Az) sin? <f> — (ki + у) = 0.
Строим номограмму, откладывая на параллельных осях
шкалы <p==mslns?, k= п (а-|- беря т = п = 1, полу-
чим по формулам (2') координаты точек бинарного поля (Ai, Аг):
> l Z(*1+?)
; =---------; in = —-------—.
kl — ^2 4“ 1 4" 1
Определим характер семейств линий, составляющих поле.
Исключая Аг, получим — l ^Aj + у) 5; это — пучок прямых
с центром в начале координат. Примем I за единицу при
построении номограммы, тогда т] = (Ai 4- у) 5. Исключая Ai,
получим •»] = (а2 —5 4~ 1; это — пучок прямых • с центром
в точке (0,1).
В полученной номограмме № 30 прямые Ai = 0 и Аг — 0
являются отображением параболических точек поверхности;
они отделяют область эллиптических точек, где AiA2 > 0, от
области гиперболических, где AiA2<0.
Найдем отображения омбиликальных точек поверхности;
для них А1 = Аг. Для .этого надо найти точку пересечения
прямых
7)=^ + ^-)? и т) = (а2-
Решая эти уравнения, найдем 5=1; следовательно, шкала
А служит отображением омбиликальных точек. Точка, где
Ai = A2 = 0, служит отображением единичной сферы.
Найдем, далее, отображение минимальных поверхностей:
для них А14-Аг = 0. Следовательно, необходимо решить сов-
местно уравнения
т)=(А1 + у)5, ч = Ai —-0е-н,
откуда получаем = т- е. отображением минимальных
поверхностей служит прямая, параллельная оси 5 на расстоя-
нии — от нее.
2
200
3. Бинарные шкалы. При построении бинарного поля по
уравнениям
* = ?(«, р), y = ty(y, р), (1)
функции ?(а, Р), ф(а, Р) предполагались независимыми между
собою. Предположим теперь, что эти функции зависимы;
пусть, например,
Ф(«, p) = F>(a, р)].
В таком случае уравнения (1) будут давать не поле точек,
а лишь некоторую шкалу.
В самом деле, полагая ф(а, Р)=^, приведем уравнения (1)
к виду: х — t, y — F(t}. Следовательно, х и у будут функ-
циями не двух, а лишь одного параметра; геометрическим
местом точек (х, у) будет некоторая кривая, уравнение ко-
торой
У = Р(х). (2)
Каждая точка на этой кривой определяется значением
параметра t, в свою очередь определяющегося значениями
переменных аире помощью равенства t — <р(а, р). Таким
образом, каждая точка кривой определяется парой значений
переменных аир, т. е. каждой паре чисел а = а0, Р = Ро со-
ответствует определенная точка кривой (2). На этой кривой
образуется шкала, точки которой определяются двумя чис-
лами. Эта шкала носит название бинарной шкалы. При этом
следует отметить, что каждая пара значений аир определяет
единственную точку на кривой, но не обратно', каждой точке
кривой соответствует бесчисленное множество пар значений
а и р, именно тех, которые сообщают функции <р (а, р) одно
и то же числовое значение, т. е. удовлетворяют уравнению
<р (а, р) = const. Чтобы дать графический способ построения
точки на бинарной шкале по значениям переменных а и р,
следует построить дополнительную номограмму уравнения
<р(а, Р) = х при обязательном условии изображения х равно-
мерной шкалой..
Эту дополнительную номограмму можно взять в форме
декартова абака, принимая за координаты х и у одну из ве-
личин а или р. В таком случае построение точек бинарной
шкалы по заданным а = а0 и р = Ро будет производиться спо-
собом, изображенным на черт. 68.
Возможен также случай, когда уравнение <р(а, Р) = х будет
разрешаться номограммой из выравненных точек. В таком
случае построение точек бинарной шкалы будет произво-
диться способом, изображенным на черт. 69.
Итак, во всех случаях для построения точек бинарной
шкалы нужна дополнительная номограмма. В том случае,
201
когда F(x) = 0, кривая совпадает с осью х, и бинарная шкала
сводится к декартову абаку.
Допустим теперь, что в уравнении (я4) функции <pi, ф1, /1
зависимы между собою. Тогда бинарное поле этой номограммы
выродится в бинарную шкалу, и самая номограмма будет
иметь вид, представленный на черт. 70. В случае же разре-
шения уравнения х = <р(а, р) номограммой из выравненных
точек она представляется в виде, изображенном на черт. 71.
Легко видеть, что в обоих этих случаях номограмма всего
уравнения распадается на составные части. Таких составных
частей будет три: номограмма а — р — х, график х — у и номо
Черт. 70
Черт. 71
грамма у — z2 — z3. В случае /7(х) = 0 график х—у совпадает
с осью х, и получаем обычную номограмму с двойным
выравниванием или составную номограмму смешанного типа.
Таким образом, вырождение бинарного поля в бинарную
шкалу влечет за собою распадение номограммы на состав-
202
ные части. Очевидно, то же самое будет иметь место и для
уравнения с пятью и шестью неизвестными [детерминанты
(ire) и (ire)J. Вырождение отдельных полей этих уравнений
в бинарные шкалы повлечет за собою частичное распадение
соответствующей номограммы. Полное же вырождение всех
бинарных полей в бинарные шкалы влечет за собою полное
распадение номограммы и возврат к случаю составного абака,
изученному в § 2 настоящей главы.
ДОПОЛНЕНИЯ
Дополнение I
Коллинеарное преобразование номограмм
1. Постановка задачи. При построении номограмм каким-
либо из данных выше способов весьма часто оказывается,
что получаемая номограмма имеет мало пригодную форму.
В таком случае приходится изыскивать способы улучшения
формы номограммы. С такой необходимостью мы встречались
не раз, причем при построении номограмм из выравненных
точек улучшение формы номограммы достигалось путем вве-
дения дополнительных параметров в уравнения шкал или
путем преобразования детерминанта (л).
Поставим теперь общую задачу нахождения такого точеч-
ного преобразования плоскости, при котором номограмма
принимала бы более совершенную форму. Такое точечное
преобразование не должно разрушать тех внутренних геоме-
трических связей, которыми характеризуется сама номограм-
ма. Для сетчатых номограмм с тремя переменными эта связь
характеризуется прохождением трех линий через одну точку,
для номограмм из выравненных точек — расположением трех
точек на одной прямой. Поэтому точечное преобразование,
применяемое к номографическому абаку, должно переводить
прямые линии в прямые. Этому условию удовлетворяет, как
Известно, коллинеарное преобразование. Коллинеарному пре-
образованию можно подвергать, таким образом, любую но-
мограмму из выравненных точек, и легко видеть, что многие
из построенных выше номограмм этого типа могут быть
переводимы одна в другую коллинеарным преобразованием.
В такой зависимости находятся: оба вида номограмм урав-
204
нения 4-го порядка типа Коши; Z—номограмма и треуголь-
ная номограмма; номограмма с параллельными шкалами
и радиантная номограмма. К номограмме с параллельным
смещением линейки применимо лишь аффинное преобразова-
ние; к номограмме с крестообразным транспарантом никакое
коллинеарное преобразование неприменимо (кроме, конечно,
движения и подобия).
Коллинеарное преобразование применимо также ко всем
видам сетчатых номограмм, причем общий абак Массо пере-
ходит в общий же абак того же типа и прямолинейный абак
переходит в прямолинейный; абак Декарта общим коллинеар-
ным преобразованием переводится в абак Массо; аффинное
преобразование переводит абак Декарта в абак'того же типа.
Ниже излагаются главные методы коллинеарного преоб-
разования номограмм.
2. Аналитический метод коллинеарного преобразования
номограммы. Коллинеарное преобразование плоскости не
разрушает структуры номограммы. Если на первоначальной
плоскости (ху) была начерчена какая-либо номограмма из
выравненных точек, то на новой плоскости получим также
номограмму из выравненных точек. Если первоначальная
форма номограммы была непригодна вследствие неудобного
расположения шкал, то можно поставить задачу — подобрать
такое коллинеарное преобразование плоскости, по выполне-
нии которого номограмма стала бы более удобной для поль-
зования. Покажем, как это сделать.
Пусть уравнения шкал номограммы имеют вид
^ = <P/(z/)> Ч/ = Ф/(^) (1=1, 2,3). (1)
Применив к плоскости (Ь)) коллинеарное преобразование
с коэффициентами а/, bi, а, получим уравнения шкал новой
номограммы в виде
+ bjiij + Cj , _ д2ф/+ b2fy + с3
* азЧ1 + ^зФ/ 4-^3 1 + ^зФ/ + сз
Параметры ab bi, ci, входящие в формулы (2), совершенно
произвольны. Подбором этих параметров можно видоизме-
нять форму получаемой номограммы и придавать ей тот или
иной заранее намеченный вид. Чтобы получить номограмму
желаемой формы, поступают обычно следующим образом.
Намечают на первоначальной номограмме четыре крайние
точки по углам номограммы и подсчитывают координаты
этих точек. На втором листе бумаги отмечают желательное
положение тех же точек.
Установив таким образом, какие новые положения должны
занять четыре намеченные точки, из соответствия между
205
(2)
координатами этих точек найдем
величины параметров искомого
преобразования. Пусть, напри-
мер, первоначальная номограм-
ма, данная уравнениями шкал (1),
имела форму, представленную
на черт. 72. Пользование ею не-
удобно вследствие косых пересе-
чений на третьей шкале (гз). От-
мечаем крайние точки шкал (zi)
и (г8):
A(xi, yi), В(х2, у2), C(xs, yg), D(xt, yfo
На втором листе намечаем расположение соответственных
точек А', В', С', D' в вершинах прямоугольника, который
должен определять границы новой но-
мограммы. Оси координат (х', у') на
втором листе можно выбирать произ-
вольно, например взять их совпадающи-
ми с двумя сторонами прямоугольника
или параллельными им (черт. 73). Соот-
ветствие точек А и А', В и В', С и С',
D и D* будет устанавливаться равен-
ствами
•4—
У'
Черт. 73
+ Ci
+ bi yi + Ci
f a2Xi b2 уi j- c2
1 <hXi + b3y i + Ci
(/=1, 2J 3, 4),
Из этих уравнений определим восемь отношений коэффи-
циентов at, bi, ci, вставив которые в уравнения (2), найдем
уравнения шкал преобразованной номограммы.
К этому весьма общему методу необходимо сделать два
существенных замечания.
Замечание 1. При установлении типа преобразования
необходимо иметь в виду, что переход четырех крайних
точек первоначальной номограммы в новое, заранее намечен-
ное положение еще не обеспечивает удобного расположения
всех шкал. Так, например, при переходе четырехуголь-
ника ABCD в четырехугольник A'B'C'D' могло оказаться,
что шкала (г2) на второй номограмме займет неудобное по-
ложение относительно шкал (zi) и (гг). Особенно часто
встречается случай, когда преобразование номограммы с одним
бинарным полем, при попытках растянуть путем коллинеации
слишком сжатое поле, шкалы номограммы настолько вытя-
гиваются, что пользование ими становится невозможным. Воз-
можен также случай, когда, переведя две крайние точки
прямолинейной шкалы в желательные для них положения,
206
в то же время получим саму шкалу не на отрезке, соеди-
няющем эти точки, а вне этого отрезка. Возьмем, например,
Z—номограмму уравнения ziz2 = z3, (черт. 74). Постараемся
преобразовать ее так, чтобы параллельные шкалы приняли
одинаковое направление, а не противоположное, которое они
имели вначале. С этой целью потребуем, чтобы при колли-
неарном преобразовании точки А, В, С и D перешли в вер-
шины некоторого прямоугольника A'B'C'D' (черт. 75). Этим
требованием коллинеация будет вполне определена. Шкала
переменного (zi) перейдет с отрезка АВ на отрезок А'В',
шкала (zi) перейдет с отрезка CD на отрезок CD', шкала
же значений переменного (zi), как легко видеть, перейдет
теперь не на отрезок А'С, но на его продолжение в обе
стороны, т. е. правее точки С' и левее точки А'.
В' О
10 Ю
(г,) fii)
zzii _00 ° ° 0<Z1<1
А1 С
Черт. 75
В самом деле, точки шкал, соответствующие значениям
переменных zi = 10, Z2=l, z3 —10, должны лежать на одной
прямой как в первой, так и во второй номограмме. Но так
как прямые B'D1 и А'С' параллельны между собою, то точка
шкалы (z2) с пометкой 1 на второй номограмме лежит в бес-
конечности. Все точки, имеющие пометки Z2>0, лежат вне
отрезка А'С', так как положительные значения для z3 полу-
чим, давая zi и z3 значения с одинаковыми знаками, а такие
точки шкал (zi) и (zi) будут находиться на прямых А'В'
и CD' по одну сторону от прямой А'С'", положительным зна-
чениям переменных zi и zz соответствуют точки прямых А'В'
и C'D', лежащие выше прямой А'С', отрицательным — ниже
прямой А'С.
Приведенный пример показывает, что при выборе колли-
неарного преобразования недостаточно намечать отдельные
точки новой номограммы; необходимо еще следить, чтобы
остальные части номограммы принимали положение, делаю-
щее удобной всю номограмму в целом.
207
Замечание 2. Для изыскания нужного коллинеарного
преобразования можно не требовать перехода намеченных
точек старой номограммы в строго фиксированные новые
положения. Достаточно иногда потребовать, чтобы намечен-
ная точка перешла на заранее выбранную прямую. Этим
самым мы уменьшим число условий, налагаемых на намечае-
мые точки, и получим возможность увеличить число этих
намечаемых точек. Требование, чтобы намечаемая точка (xi, .yi)
первой номограммы переходила на заранее выбранную прямую
Ах'-}-Ву'-]-С—0 второй номограммы, налагает лишь одно усло-
вие на коэффициенты а{, bt, Ci коллинеарного преобразования.
Чтобы найти это условие, заметим, что точка (xi, Ji) при
коллинеарном преобразовании переходит в точку (x'j, yj), где
д;' —. а1Л:1 ~Г ^1.У1 + С1
1 азх1 + ^з_У1 4" Сз
1 a3Xi + b3yt + с3
Чтобы эта точка оказалась лежащей на прямой Ах'-}-By'-ф-
-J-С = 0, надо иметь
д aixi + Mi + Ci j & ал + Ь2уг + с2
a3xi + ^з_И1 + сз азх1 + Ь3у! + с3
}-С = 0.
Это равенство и представляет собою искомое условие, на-
лагаемое на коэффициенты а/, bt, а. Каждая точка дает одно
такое условие. Так как среди величин ai, bi, ci имеется восемь
независимых, то имеем возможность при преобразовании но-
мограммы потребовать, чтобы восемь намеченных точек пере-
ходили на восемь заранее выбранных прямых. Можно, далее,
комбинировать эти требования, частично намечая новые по-
ложения точек и прямых сообразно с условиями преобразо-
вания данной номограммы.
Покажем теперь, что выполнение коллинеарного преобра-
зования номограммы уравнения, представленного в форме
детерминанта Массо
<?1 Ф1
<р2 4*2
?з фз
(«')
1
можно получить простым умножением уравнения (п') на не-
который числовой детерминант. В самом деле, шкалы номо-
граммы уравнения {у.') представляются равенствами (1), шкалы
преобразованной номограммы выражаются уравнениями (2).
208
Условие расположения трех точек новых шкал на одной
прямой представится равенством
Д1Ф1 + ~Ь С1 Дз?1 ~Ь ^з'?1 ~Ь с2
Дз?1 + ^зФ1 + с3
Д1?2 + Ь14>2 + С1
Дз?2 + ^зФз + сз
Д1Фз + Мз + Cj
«3<Гз + ^’з'г'з + с3
ДзЧ>1 + ^S'r'l + С3
Дз?2 ~Н ^з’^з + Сз
ДзТа + ^зФз + Сз
ДзТз 4~ Ь$з + Сз
«з?з + Ьз'т'з + сз
1
1
или
01?1 + bityi 4- Ci
Gl?2 + М2 + Ci
flifs 4" ^1фз Ч- ci
Й2?1 4“ ^2ф1 4* C2 Gs?l 4- Ml 4” Сз
Ог?2 4* 4“ Сз С1з<р2 4“ ^з’рг 4“ ^з
С&рз 4- Ь'$3 4- С2 Оз’Рз 4" М» 4- Сз
= 0.
Легко видеть, что левая часть этого равенства представ-
ляет собою произведение двух детерминантов
<pi ф1 1
<р2 ’h 1
?3 4*3 1
<21 Ъ1 С1
аз Ьз Сз
аз Ьз Сз
= 0.
Таким образом, коллинеарное преобразование номограммы
можно получить умножением детерминанта (it') на числовой
детерминант | atbici |.
Коллинеарное преобразование плоскости номографического
абака может быть с успехом применено также к преобразо-
ванию сетчатых номограмм.
Пример (номограмма № 31). Рассмотрим для примера
сетчатую номограмму квадратного уравнения
х24-рх4-<7 = 0 (1)
(номограмма № 2).
Прямые абака представляются в координатах р и q урав-
нением (1), Все эти прямые, как легко видеть, огибают пара-
болу. В самом деле, дифференцируя данное уравнение по
параметру х, находим
2х 4~ р = 0 или х = — -у, откуда р2 = 4q. (2)
Уравнение (2) представляет параболу с вершиной в на-
чале координат и осью, совпадающей с осью q. Параметр
х каждой прямой (1) равен отрезку, отсекаемому этой пря-
мой на оси р, взятому с обратным знаком. Действительно,
полагая в (1) q — О, получаем р = — х. Таким образом, реше-
ние уравнения (1) можно выполнять следующим образом:
В-232. Н. А. Глаголев - 14 209
Номограмма N31
квадратноеуравнение х^+рх+д^0 (Дано положение линеек для
уравнения &г*6х+1=0)
при данных числовых значениях р и q строим точку с коор-
динатами р и q и проводим через нее две прямые, касаю-
щиеся параболы (2); отрезки, отсекаемые этими прямыми на
оси р, взятые с обратным знаком, дают корни уравнения (2).
Произведем теперь коллинеарное преобразование данной
номограммы так, чтобы парабола (2) преобразовалась
в окружность. С этой целью выберем следующую
форму коллинеарного преобразования плоскости (pq) в пло-
скость (p'q')'
р
Чтобы определить, во что обращается при таком пре-
образовании парабола (2), выразим величины р и q через
р’ и q' и вставим эти выражения в уравнение (2). Получаем
/ Чр' V _ _ Ад'
\1 + д') 1 + д' ’
210
откуда
(1 \2 1
=~i
(4)
Уравнение (4) представляет окружность диаметра, равного
единице, с центром на оси q', касающуюся оси р’ в начале
координат.
Посмотрим, во что преобразуется семейство прямых (1).
Вставляя в (1) выражения для р и q, получим после упро-
щений
2хр' + (х2 - -1) q' + х2 = 0. (5)
Это — уравнение семейства прямых, касающихся окруж-
ности (4). Чтобы определить геометрический смысл пара-
метра х в уравнении семейства (5), найдем отрезок, отсе-
каемый прямой (5) на оси р'. Полагая в (5) q' = 0, найдем
р' = — у, или х — — 2р', т. е. параметр х, определяющий
прямую в семействе (5), равен удвоенному отрезку, отсе-
каемому этой прямой на оси р', взятому с обратным знаком.
Если нанести на оси р' в отрицательном направлении равно-
мерную шкалу половинного модуля, то пометка этой шкалы
b точке пересечения с прямой семейства (5) будет давать
значение параметра х, соответствующее этой прямой.
Чтобы иметь возможность пользоваться новой номограм-
мой для решения данного уравнения (1), необходимо еще
Дать способ построения на новом абаке точки, соответ-
ствующей заданным значениям коэффициентов р и q урав-
нения (1).
Координаты (р', qf) этой точки на новом абаке даются
формулами (3). Так как в этих формулах координаты рг и
qr — функции двух параметров р и q, то эти формулы опре-
деляют бинарное поле (р, q), состоящее из двух семейств
линий р = const и q = const. Построим каждое из этих се-
мейств. Полагаем в равенствах (3) р = с и исключаем из
полученных равенств величины q-.
с
следовательно,
откуда получаем
p'»4(i+<o. (в)
14*
211
Это — уравнение прямой, проходящей через точку (0,-1)
Следовательно, первое семейство бинарного поля представ-
ляет собою йучок прямых с центром в точке (0, — 1). Пометки
прямых этого пучка можно расставить на самих прямых.
Второе семейство получим, полагая q — c. В таком случае
из второго уравнения (3) «имеем
q = — -----= const.
1 +с
Это — уравнение прямой, параллельной оси р. Следовательно,
второе семейство линий бинарного поля q = const представ-
ляет собою семейство прямых, параллельных оси р'. Пометки
прямых этого семейства могут быть расставлены вдоль оси
q' в форме проективной шкалы на -этой оси. Построив оба
семейства бинарного поля, получаем возможность с помощью
новой номограммы решать уравнение (1) следующим обра-
зом. Если даны значения коэффициентов р и q уравнения (1):
р— ро, q = qo, то следует найти в первом семействе бинар-
ного поля прямую с пометкой ро и во втором — прямую
с пометкой qo. Через точку пересечения этих прямых про-
водим касательные к окружности (4). В точке ее пересечения
с осью р' по нанесенной на ней шкале читаем искомые
значения х.
Заметим, что можно при помощи весьма простого при-
способления избежать построения касательных к окружности.
Достаточно взять тонкую прозрачную (целлулоидную) ли-
нейку ширины, равной диаметру круга (4), и, проколов ее
посредине, укрепить этой точкой в центре круга (4), оставив
ей возможность вращаться вокруг центра этого круга.
При таком вращении края линейки будут оставаться каса-
тельными к кругу (4). А потому, построив точку (ро, qo) би-
нарного поля, достаточно вращать линейку вокруг центра
круга (4) до тех пор, пока ее край пройдет через построен-
ную точку. В пересечении этого края линейки с осью р'
и прочитаем на шкале р' соответствующее значение. Таких
положений линейки, очевидно, будет два.
На полученной номограмме (33) в виде примера дано ре-
шение уравнения
х2 + 6х+1 = 0.
3. Графический метод коллинеарного преобразования
номограммы. Отыскание коллинеарного преобразования, не-
обходимого для придания данной номограмме наилучшей
формы, сопряжено иногда с большими трудностями. Причина
этого заключается в том, что аналитический аппарат пре-
образования еще не дает возможности охватить всю гео-
212
метрическую картину тех видоизменений, которым подвер-
гаются при данной коллинеации плоские фигуры в различных
частях плоскости, и, достигая желательного видоизменения
номограммы в одной ее части, можно вызвать вредные ее
искажения — в другой.
Поэтому возникает необходимость изыскания наиболее
простого способа определения того коллинеарного преобразо-
вания, которое придает данной номограмме наилучшую
форму.
Для достижения этой цели можно, опираясь на известные
геометрические свойства коллинеарных преобразований, дать
графический метод их выполнения. Наиболее подходящим
с этой точки зрения типом коллине-
арного преобразования является го-
мология. Для графического выпол-
нения этого преобразования доста-
точно иметь центр гомологии, ее
ось и одну пару соответственных
точек.
В самом деле, пусть дана ось
гомологии р, центр Р и пара соот-
ветственных точек А и А' (черт. 76).
Обе эти точки, очевидно, должны
лежать на одной прямой с точкой Р, так как каждая прямая,
проходящая через центр гомологии, есть двойная прямая,
следовательно, точка А при данном преобразовании должна
иметь ей соответствующую точку А' на той же прямой АР.
При этих данных для каждой точки можно легко построить
ей соответствующую точку В' следующим образом: соеди-
няем точки А и В и продолжаем прямую АВ до пересечения
с осью гомологии в точке М. Прямой АВМ, очевидно, должна
соответствовать прямая А'М, так как точка М есть двойная
точка. Искомая точка В' должна, таким образом, лежать на
прямой А'М. С другой стороны, та же точка должна лежать
на прямой РВ. Отсюда следует, что точка В' есть точка
пересечения прямых РВ и А'М. Таким же способом можно
для каждой другой точки построить ей соответственную.
Возьмем еще для примера точку С, лежащую с точкой
А по разные стороны оси гомологии (черт. 77). Для нахож-
дения точки, ей соответствующей, проводим прямую АС,
точку W пересечения этой прямой о осью гомологии р сое-
диняем с точкой А'. В пересечении прямых A'N и PC полу-
чим искомую точку С'. При таком преобразовании плоскости
все ее точки будут перемещаться по лучам, выходящим из
точки Р. При этом, если точка А' находится от точки
Р дальше, чем точка А, то все точки плоскости будут
213
расходиться от точки Р, разрежая область вокруг нее»
и теснее прилегать к оси гомологии р, сжимая область точек,
к ней прилегающих.
Особо следует отметить случай, когда соответственные
точки А и А' лежат по разные стороны оси гомологии
(черт. 78). В этом случае, как легко убедиться непосред-
ственно, каждая пара соответственных точек будет нахо-
диться или по разные стороны оси р, как точки С и С', или
по разные стороны от точки Р, как точки D и D'. Эти гео-
метрические свойства гомологии позволяют довольно легко
Черт. 77
Черт. 78
следить за тем, как видоизменяются все плоские фигуры
при применении к ним этого преобразования. Благодаря этому
гомология является наиболее часто применяемым в номогра-
фии видом коллинеарного преобразования.
4. Экспериментальный метод определения коллинеации,
улучшающей форму данной номограммы. Коллинеарные
преобразования обладают двумя известными свойствами.
Свойство 1. Если даны две плоскости в простран-
стве, (а) и (а'), то, проектируя из произвольной внешней
тонки первую плоскость на вторую, мы установим между
точками этих плоскостей взаимно однозначное соответ-
ствие: при этом преобразование точек первой плоскости
в точки второй есть преобразование коллинеарное.
Свойство 2. Коллинеарные преобразования образуют
группу. Значит, если мы преобразуем какую-либо номо-
грамму коллинеарно в новую, а затем эту новую номограмму
преобразуем еще раз коллинеарно, то результат такого
двойного коллинеарного преобразования может быть до-
стигнут одним коллинеарным преобразованием, непосред-
ственно переводящим первую номограмму в третью.
Основываясь на этих свойствах, можно дать следующий
весьма простой экспериментальный способ определения того
214
коллинеарного преобразования, которое улучшает форму
данной номограммы. Известно, что изображение любой кар-
тины проекционным фонарем на экран равносильно централь-
ному проектированию этой фигуры. Если придать экрану
косое положение, то изображение на экране будет пред-
ставлять собою коллинеарное преобразование первоначаль-
ной фигуры. Придавая экрану различные положения, можно'
получать различные формы преобразованной фигуры, т. е.
различные коллинеарные преобразования первоначальной.
Чтобы применить это свойство проекционных изображе-
ний к преобразованию номограмм, поступаем следующим
образом. Наносим на экране координатную сетку, по кото-
рой можно было бы подсчитать координаты каждой точки
экрана: самый экран натягиваем на деревянную раму, в центр
которой на тыловой стороне экрана укрепляем металлическое
приспособление (стальной шарик), позволяющее экрану,
вращаясь вокруг центра, принимать всевозможные положе-
ния; укрепляем, далее, экран на штативе и помещаем его
против фонаря.
На самой номограмме также наносим координатную си-
стему, причем замечаем координаты четырех каких-либо
наиболее характерных для номограммы точек, не лежа-
щих по три на одной прямой.
Будем называть эти точки контрольными точками номо-
граммы. После этого отражаем номограмму фонарем и вра-
щаем экран до тех пор, пока отображенная на нем номо-
грамма не примет желаемой формы. В этом положении
оставляем экран неподвижным и подсчитываем на экране
координаты тех точек, в которые отобразились контрольные
точки номограммы. Эти новые координаты контрольных
точек вместе с их, старыми координатами, отмеченными на
экране, и определяют четыре пары соответственных точек,
вполне определяющих ту коллинеацию, которая придает
номограмме форму, полученную на экране. По этим четырем
парам точек вычисляем коэффициенты искомого коллинеар-
ного преобразования обычным методом.
Если полученное на экране изображение улучшает форму
номограммы, но еще не делает ее вполне удовлетворитель-
ной, то, не производя вычислений, наносим на бумагу при-
близительную форму номограммы, полученной на экране
(пользуясь координатной сеткой экрана), и особо отмечаем
новые положения контрольных точек (не вычисляя их коор-
динат). Эту зарисованную форму проектируем- вторично на
экран и опять замечаем положение контрольных точек.
Указанную операцию можно повторить несколько раз.
Мы получим, таким образом, последовательность коллинеар-
215
ных преобразований, которая, как было доказано выше,
равносильна одной коллинеации, перецрдящей первоначаль-
ную номограмму непосредственно в последнее из полученных
для нее отображений. Подсчитывая координаты контрольных
точек на последнем отображении и сопоставляя их с коор-
динатами тех же точек на первоначальной номограмме, по
четырем парам соответственных точек определим коэффи-
циенты искомого преобразования. Таким образом, благодаря
свойству 2, несмотря на многократное отображение, для
определения результирующей коллинеации потребуется лишь
одна вычислительная операция. Заметим еще, что при пере-
рисовке промежуточных йзображений особой точности не
требуется. Также не требуется большой точности при под-
счете координат контрольных точек, так как в силу непре-
рывности коллинеарных преобразований малое изменение
положения контрольных точек вызовет малое изменение
формы самой номограммы. По той же причине не имеют
существенного значения оптические искажения, получаемые
по краям изображения.
Для работы значительно удобнее вместо проекционного
фонаря пользоваться эпидиаскопом, так как это избавляет
от необходимости изготовления диапозитивов, что особенно
важно при многократных отображениях.
Наконец, заметим, что вместо вращения экрана можно
вращать саму номограмму, для чего достаточно сделать
вращающимся дно эпидиаскопа, на которое кладется номо-
грамма.
Дополнение II
Специальные виды номографического абака
Рассмотренные выше формы номограмм можно характе-
ризовать тем, что их внутренняя структура и способ поль-
зования ими не изменяются при проективном преобразова-
нии. Все эти формы можно поэтому назвать проективными
формами-, они составляют главную массу номографических
изображений.
Но в разное время были указаны различные формы номо-
грамм, способ пользования которыми содержит непроектив-
ные элементы, например величины расстояний и размеры
углов, которые, очевидно, будут изменяться при проектив-
ном преобразовании абака. Номограммы этого типа уже
нельзя подвергать проективному преобразованию. Их можно
поэтому назвать непроективными, или метрическими, фор-
мами номографического абака.
216
Мы рассмотрим лишь главнейшие виды таких номограмм.
1. Циркулярные номограммы. Представим себе три
какие-либо кривые линии, уравнения которых даны в пара-
метрической форме:
х/=?/(2Л G^l.2,3). (1)
Каждой точке кривой соответствует определенное значе-
ние параметра zi. Надписав это значение около точки кри-
вой, получим шкалу значений параметра zi.
уравнения (1) представят собою уравне-
ния трех шкал (zi), (z2), (zg) (черт. 79).
Установим соответствие между значения-
ми этих переменных (zi), (za) и (zg) сле-
дующим образом: взяв произвольно точки
Mi и Ма на шкалах (Zi) и (Za), будем счи-
тать им соответствующей точку Мз шка-
лы (zg), отстоящую от точки М2 на рас-
стоянии, равном расстоянию между точ-
ками Mi и М2 (MgMa = MaMi).
Это соответствие между точками шкал
Таким образом;
fz,) /z2) fZj)
Черт. 79
(zi), (z2), (Zg)
установит определенную зависимость между переменными
Zi, Za, zg. Чтобы найти аналитическую форму этой зависи-
мости, достаточно написать соотношение между координа-
тами точек Mi, М2 и Мз. Обозначая координаты точки М(
через (xi, yi), получаем
(ха - xi)2 4- (у2 —yi)2 = (х3 - х2)2 4- (yg -у2)2,
или по упрощении:
Х1 + У1 “' 2xiX2 — 2yiya = х|4- yl — 2х2х3 — 2у2у3.
Внося сюда выражения для xi и у/ из равенств (1), имеем
?? + Ф? — 2?! — 2^ % = <р2 4- _ 2ф2 <р3 - 2ф2 %. (2)
Это уравнение дает искомую зависимость между пере-
менными zi, Za, z3. Чертеж представляет собою номограмму
из разноудаленных точек уравнения (2)*.
Чтобы с помощью этой номограммы для уравнения (2)
определить zg по данным zi и z2, мы находим на шкалах (z,)
и (z2) точки Mi и М2, соответствующие данным значениям
этих параметров, и укрепляем в этих точках ножки циркуля.
После этого, оставив неподвижной ножку на шкале (z2), пе-
реносим вторую ножку на шкалу (z2), где и читаем искомое
значение переменного zg. Шкалы (zi) и (zg) носят название
шкал засечек, а шкала (z2) — шкалы центра.
*) Эти номограммы были построены Н. М. Герсевановым в 1906 г.
217
Уравнение (2) есть самая общая форма уравнения, разре-
шаемого номограммой из равноудаленных точек. Оно пред-
ставляет собою специальный вид уравнений 10-го номогра-
фического порядка. Отсюда следует, что в номограммах из
равноудаленных точек могут разрешаться уравнения, не
разрешаемые в номограммах из выравненных точек.
Но уравнение (2) не охватывает всех видов уравнений,
разрешаемых в номограммах из равноудаленных точек, хотя
и содержит в себе довольно широкий- класс этих уравнений.
Так, полагая в уравнении (2) ^ = 0, ф2 = 0, получим
Тз+Фз-2^^-
Изменим обозначения, положив
га г3 2
Уравнение после упрощений примет вид
FiF3 + /72G3 + H3 = 0. (а)
Это — уравнение 4-го порядка типа Коши. Посмотрим, в ка-
кой мере в этом уравнении могут быть произвольны функ-
ции Fi, Fa, Fa, Ga, На-
Находим
. 1/-Б- Fa Ga , V- (G* + H3F3)
= <?з = 7г; Ф3=---------•
Второе и третье из этих равенств никаких ограничений на
характер функций Fa, Ga и Fa не' накладывают, кроме тре-
бования /Уз-т^О. Первое равенство показывает, что Л>0.
Этого можно всегда достигнуть. Действительно, чтобы фик-
сировать знаки у всех членов уравнения (а), будем считать
Нз>0.
В таком случае по крайней мере один из первых членов
левой части уравнения (а) должен быть меньше нуля. Мы
получаем для функции ф3 действительные значения лишь
в том случае, если для функций Fa, Ga и На будет иметь
место неравенство
Gl + HaFa<Q или -H3F3>G|. (Ь)
Но, как показал проф. Н. М. Герсеванов, это ограниче-
ние не имеет существенного значения. В самом деле, в обыч-
ных формулах, применяемых на практике, величины, входя-
щие в формулы, меняются в конечных пределах и имеют
максимальные и минимальные значения. Далее, из двух чле-
нов FiFa и FaGa уравнения (а) по крайней мере один меньше
218
нуля. Пусть FiF3<0. В таком случае, беря Fi >0, имеем
F3<0, следовательно, —/Л/7з<0.
Выберем произвольное положительное число А, удовле-
творяющее неравенству
Д [^з]тах
[ВД]т1п
и представим уравнение (а) в виде
А
Для этого уравнения неравенство (Ь), очевидно, удовле-
творяется:
-AF3M3> G}.
Если в уравнении (a) FiF2>0, то мы должны иметь
F3Q3 -<0; поменяв роли функций Fi и F3, придем к тому же
результату. Единственным ограничением, остающимся для
уравнения (а), является условие H3^Q. Но и это ограниче-
ние не является существенным. Действительно, при Н3 = О
уравнение (а) дает
F1F3 + F3O3 = 0, или Л = -
Оз
Отсюда
lgV" + lg^ielg(— ^з) или IgFi — lg(— =0.
G3 \ G3 /
Это уравнение есть частный случай уравнения (а), причем
/f3 = lg—^--#0. Таким образом, этот случай приводится
Оз
к предыдущему.
Пример (номограмма № 32). Построить номограмму из
равноудаленных точек для уравнения
z2+/>z-H = 0. (с)
Рассмотрим сначала случай, когда q <0. Напишем для
удобства наше уравнение в виде
z2 -|- pz — q = 0, где ?>0.
Это уравнение подходит под форму (2), если в ней положить
?! = °, <?2=0, <р2 = <t23 = q, ф3 = 0.
Уравнения шкал номограммы:
Xi = 0, yt = z\ х2 = 0, j>2 = х3 = И<7, Уз = 0.
219
Номограмма Н32
Квадратное уравнение
zz+pz+q=O
3-
z Т
2-
4--S
-7
-6
~5 |/>
-и
-3
1 \з I/5B
Получаем номограмму
№ 32, где изображен чис-
ленный пример: (уравнение
z9 4~2z — 3 = 0, имеющее
корни
21 = 1, z2 = —3.
Если в (с) $>0, то мы
берем верхнюю границу
значений, которые может
принимать q. Пусть эта
граница есть Д2; следова-
тельно, Д’.
Полагаем в уравнении (2)
<Р1 = 0, ф! = г; <р2 = Д,
о
\
\
I
I
/
/
/
-1 -
-2-
г-5-
г
+2
+3
+4
+5
±6
Р
+8
— + 2i4<?3= Я, % “°‘>
отсюда
?з==^4_ У A2 — q.
Уравнения шкал номо-
граммы:
Xi = 0, yi = z;
Хг = А, у2 = -
Хз = А + V A2— q, у3 = 0.
Следовательно, и в этом
случае уравнение может
быть разрешено в номограм-
мах из равноудаленных то-
чек.
Распространение номо-
грамм из равноудаленных
точек на уравнения со мно-
гими переменными может,
как обычно, идти в двух направлениях:
а) построение составных абаков из равноудаленных
точек,
Ь) замена простых шкал бинарными полями или бинар-
ными шкалами.
В первом случае получаем двойную номограмму из равно-
Номограмма из равноудален-
ных точек
220
удаленных точек с немой шкалой за-
сечек (черт. 80). Общий вид урав-
нения, разрешаемого такой состав-
ной номограммой, мы получим, ис-
ключая величину z—параметр немой
шкалы — из двух уравнений вида
?1 + Ф1 ~ 2?1 = (?)\2 +
4- {Ф(*)Р~2<р2<р (z) — 2ф2 ф(z),
Черт. 80
{? (*) Р -н Ф (г) р — 2? (z) <р3—2ф (z) Фз =
= ?4 + Ф’ ~ 2?3 ?4 — 2Фз Ф4»
где ?/=?,(?), ф,=ф,(*).
Чтобы решить данное уравнение с четырьмя перемен-
ными /(zi, Zt, zg, z<) = 0 в номограммах из равноудаленных
точек, нужно при помощи введения вспомогательного пере-
менного z разложить данное уравнение на два равенства
Во втором случае
получаем номограмму
из равноудаленных то-
чек, состоящую в са-
мом общем случае из
трех бинарных полей:
из двух бинарных по-
лей засечек и одного
бинарного поля цент-
ров (черт. 81).
Общий вид уравне-
указанного вида.
ния, разрешаемого та-
кою номограммой, мы получим из уравнения (2), заменяя в нем
функции ф/ одного переменного z,- функциями двух пере-
менных «/, т. е. полагая
?, = ?,(«/, М, ф/ = Ф/(«б М 0=1, 2, 3).
Если некоторые из переменных или отсутствуют
в данном уравнении, то соответствующие шкалы будут про-
стыми шкалами, а уравнение будет содержать не шесть,
а меньшее число переменных. Возможно также, что функции
<pz и ф, будут зависимы между собою; в таком случае соот-
ветствующее бинарное поле вырождается в бинарную шкалу.
Обобщенные циркульные номограммы Люкей-Маргулиса.
Люкеем (Luckey) было дано обобщение номограммы из
равноудаленных точек следующего вида.
221
Представим себе четыре шкалы четырех переменных zi,
Z2, Zs, Z4, уравнения которых
= yi — ^i(zi) (1=1, 2, 3, 4). (3)
Установим соотношение между значениями переменных,
потребовав, чтобы расстояние между точками с пометками
Zi и z2 на двух первых шкалах равнялось расстоянию между
точками с пометками Zs и на двух последних. Соответ-
ствие между пометками данных шкал установит некоторую
зависимость между переменными ?i, z2, z3 и z<.
Эта зависимость, очевидно, будет выражаться уравнением
(?2 — fl)2 + ОЬ — Ф1)2 = (т3 - fJ2 + (% - W2• (4)
Номограмма с четырьмя шкалами (3), представленная на
черт. 82, разрешает, таким образом, уравнение (4). Для ре-
шения уравнения (4) при данных Zi, z2, zs измеряем циркулем
расстояние между точками с пометками zi
и г2 и этим расстоянием от точки с помет- /г; it)
кой z3 делаем засечку на шкале (z<), где и /7 \ \
читаем искомое значение этой переменной. I I
Номограмма этого вида носит название цир- I J Г I
кульной номограммы. г] \ \
Этот вид номограмм легко обобщается
на бинарные поля и шкалы. В этом случае ЧеРт- 82
номограмма дает возможность разрешать
уравнение с восемью переменными; общий вид уравнения,
разрешаемого такой номограммой, мы, очевидно, получаем,
заменяя в уравнении (4) функции одного переменного <р(. и <|»/
функциями двух переменных а/ и р/, т. е. полагая Tz==?z (az,
Pz), <|'z = ’}'z(az, pz).
Схема такой номограммы
представлена на черт. 83.
Способ пользования ею
ясен из предыдущего.
Маргулисом было пред-
ложено заменить циркуль
прозрачным транспарантом
с нанесенными на нем би-
нарными полями («з, Рз) и
(а<, ^4). Имея такой транс-
парант, наносим на основ-
ном абаке лишь поля (ей,
Pi) и (a2, р2), накладываем
на него транспарант так,
чтобы точка С (а3, р3) сов-
222
пала с точкой А (ai, ^i), и вращаем транспарант вокруг точ-
ки А до тех пор, пока точка D (а<, не окажется на линии
а2 поля (а2, ?г). В таком случае пометка р2 второй линии поля
(«2, дает искомое значение ₽2 при данных ait а2, а3,
?8, «4, ?4.
Номограммы этого вида имеют то преимущество, что все
переменные в них вполне равноправны, так что неизвестной
можно считать любую из величин, входящих в данное урав-
нение.
Пример (номограмма № 33). Построить циркульную
номограмму формулы объема усеченного конуса
223
Полагая /?2-f-r2-J-/?r=a2, разбиваем данное уравнение на
два:
Я2 + г2 + Rr = а2 и —а2.
3
Строим для переменных R и г две прямолинейные равно-
мерные шкалы одинакового модуля с общим началом и на-
клоненные одна к другой под углом 120°.
В таком случае величина а будет в точности равна рас-
стоянию между точками шкал (г) и (/?) с пометками г и R.
Отсюда следует, что при построении второй части циркуль-
ной номограммы мы должны рассматривать величину а как
определенный линейный размер уже фиксированного мас-
штаба (одинакового с г и R).
Номограмму такого рода получим следующим образом.
Пусть__h меняется в пределах от 0 до 10. Полагаем
~ / п-10 . «л ,
1/ — =А и напишем равенство v =—а2 в виде
у 3 3
или
Величина
можно принять за
Будем
построим
ния поля
• а
Vv 1
А “ А
будет не больше единицы, и потому ее
косинус некоторого угла <р:
h
— = cos <?; следовательно,
Vv
А
рассматривать а и <р как полярные координаты и
в этих координатах бинарное поле (й, v). Уравне-
будут
Xv
—— = a cos <р и
А
h
-=СО8?.
Семейство поля h = c — пучок прямых с центром в по-
люсе. Второе семейство v = c есть пучок прямых, перпен-
дикулярных к полярной оси. Пометки прямых этого семей-
ства можно расставить вдоль полярной оси.
Мы получаем номограмму № 33. Для нахождения v по
данным R, г и й измеряем циркулем расстояние между соот-
ветствующими точками шкал (R) и (г) и этим расстоянием
224
= a-cos <?.
делаем из полюса засечку на прямой пучка h с заданной
пометкой; пометка прямой семейства (-п), проходящей через
засеченную точку, даст искомое значение v.
Пример: При /? = 6, г=4, Л = 5 имеем-п = 400.
2. Гексагональные номограммы. Номограммы этого рода
представляют собою промежуточный тип между абаком
Декарта и номограммами из выравненных точек. Они были
первоначально введены Лаллеманом как особая форма абака
Декарта.
Построим декартов абак для уравнения x-]-y = z, при-
нимая х и у за координаты точки в декартовой системе
координат с координатным углом в 60° (черт. 84). На этом
абаке мы имеем три семейства прямых: два семейства пря-
мых, параллельных осям, образующих координатную сетку,
8
Черт. 84
и одно семейство прямых абака, перпендикулярных к бис-
сектрисе ОС координатного угла. Пометки линий этого се-
мейства можно расставить на чертеже вдоль самой биссек-
трисы ОС.
Лаллеман предложил также расставить пометки линий
двух первых семейств (координатных) вдоль перпендикуля-
ров ОА и ОВ, восставленных к осям координат из начала,
как показано на черт. 84. Из чертежа легко непосредственно
усмотреть, что на всех трех прямых ОА, ОВ, ОС получатся
равномерные шкалы переменных х (на ОА), у (на ОВ) и z
(на ОС) одинакового модуля. Эти шкалы могут полностью
заменить собою весь построенный декартов абак: чтобы
В-232. Н. А. Глаголев - 15 225
сложить два числа, например 5 и 3, восставляем перпенди-
куляры из точек шкал ОА и ОВ с пометками 5 и 3 и из
точки их пересечения опускаем перпендикуляр на шкалу ОС,
где и читаем искомую сумму 8.
Легко заметить, что пользование номограммой нисколько
не изменится, если каждую из шкал переместить парал-
лельно в направлении к ней перпендикулярном на произ-
вольное расстояние. Поэтому можно шкалу ОВ переместить
в положение PQ (черт. 85), и вся номограмма примет форму
правильного треугольника. Проведение перпендикуляров
к шкалам можно заменить наложением прозрачного тран-
спаранта формы правильного шестиугольника с нанесенными
на нем диагоналями Л, Л, Л (черт. 86).
Черт. 86
Устанавливаем его так, чтобы диагональ Ji прошла через
заданную точку 5 шкалы ОР и была к ней перпендикулярна;
приложив к
краю транспаранта линейку, перемещаем тран-
спарант вдоль диагонали Л до
тех пор, пока диагональ Л не прой-
дет через заданную точку 3 шка-
лы PQ, диагональ Л при этом ука-
жет на шкале OQ искомую пометку
8 (черт. 87).
Отсюда и название номограмм
этого вида: гексагональные (шес-
тиугольные ).
Шкалы OP, OQ и PQ могут
быть и функциональные, и наша
номограмма пригодна для решения
уравнения вида
/i.(zi) +/2(г?)==/8(г8).
Номограммы гексагонального типа могут быть получены
и независимо от абака Декарта и притом элементарным ме-
226
3
Черт. 88
АС от точки А
тодом. Возьмем равносторонний треуголь-
ник АВС (черт. 88) и проведем биссектри-
су угла А, встречающую сторону ВС в
точке D. Из произвольной точкц М опу-
стим перпендикуляры MP, MQ и MR на
стороны АС, ВС и АВ. Пусть 5—точка
пересечения прямых AD и МР. Опустим
из точки S перпендикуляр ST на сторону
АВ.
Из чертежа находим АР=АТ, DQ —
TR (так как отрезок MS одинаково накло-
нен к сторонам ВС и АВ). Следовательно,
AR = AT+ TR — AP-\-DQ.
Отсюда следует, что если на прямых АВ i
нанести соответственно шкалы функций /з(2з) и fi(zi), а на
прямой ВС от точки D шкалу функции /2(22), то при по-
мощи гексагонального транспаранта можно решать уравне-
ние вида
/1(^1)+ /2 (22)=/3(2:3).
При этом все три функциональные шкалы должны иметь
один и тот же модуль.
Распространение номограмм гексагонального типа на
уравнения со многими переменными, как обычно,
происходит в двух направлениях: построением составных
абаков и введением бинарных шкал и бинарных полей.
Составным гексагональным абаком решается уравнение
вида
/1 (21) 4“ /2 (22) + /з (23) 4-... +/»(2П) = 0.
Разложив его на последовательность уравнений
/14- /2== ai>
4-/з= а2,
«2 4"/1 = аЗ,
«л—4 4“/л-2 = «л-3,
° л—3 4“ fn—l — fn,
строим цепь гексагональных номограмм с немыми шкалами
«1, «2, ... , «Л-3.
При этом заметим, что все эти номограммы могут быть
построены на одном и том же треугольнике АВС при лю-
бом п. В самом деле, каждую из шкал (zz) можно отодви-
нуть параллельно в направлении, к ней перпендикулярном,
15* 227
Черт. 89
и получить, таким образом, вдоль
каждой стороны треугольника целый
ряд параллельных шкал функций //.
На черт. 89 схематически представ-
лено решение уравнения вида
/1 +/г +/»+/«=/в
выполняемое путем обычного разло-
жения:
/1 +/г = «1,
«1 +/«в«2,
Наконец, введением бинарных шкал на сторонах основ-
ного треугольника можно получить гексагональный абак для
решения уравнений вида
/х(«ь ?1)+/2(«2, Рг) = ft(«3, ₽»).
Общая схема номограммы та-
кого уравнения представлена
на черт. 90.
Достоинством гексагональ-
ного абака является его боль-
шая точность, благодаря пер-
пендикулярности прямой к со-
ответствующей шкале. Суще-
ственным его недостатком,
ограничивающим его приме-
нение, является равенство
модулей всех трех шкал номо-
граммы. Необходимость иметь
одинаковые модули шкал при
различных пределах изменения
переменных сильно стесняет
построение номограмм этого типа.
Дополнение III
Бездетерминантный метод построения номограмм
Детерминантный метод построения номограмм из выров-
ненных точек, несмотря на большую теоретическую цен-
ность, имеет два существенных недостатка, на которые не
раз указывал Н. А. Глаголев.
Первый недостаток состоит в том, что, пользуясь детер-
минантным методом, мы не имеем возможности заранее наме-
228
тить желательную нам форму номограммы, а должны удов-
летворяться тем ее видом, который определяется структурой
детерминанта и обнаруживается лишь после решения самой
задачи, т. е. когда уже найдены уравнения шкал.
Второй недостаток — некоторая аналитическая громозд-
кость самого метода, не позволяющая иногда видеть за рядом
аналитичэских выкладок простые и чисто графические спосо-
бы построения тех или иных номограмм.
Эти два недостатка детерминантного/ метода и были при-
чиной того, что в § 5 главы III были даны элементарные
бездетерминантные методы построения номограмм из выров-
ненных точек нулевого и первого жанра. Исходя из тех же
причин, в первой части настоящего дополнения даются
простые геометрические способы построения номограмм 2-го
и 3-го жанра уравнений 3-го номографического порядка.
Необходимо отметить, что из приводимых построений
легко получить и уравнения необходимых шкал. Поэтому,
если читатель не имеет в своем распоряжении чертежных
инструментов, позволяющих механически вычеркивать не
только окружность, но и кривые второго порядка, то он
может воспользоваться уравнениями шкал. При наличии же
хороших чертежных инструментов можно непосредственно
начертить предполагаемую кривую 2-го порядка, что при-
водит к более быстрому построению номограмм 2-го жанра.
Во второй части этого дополнения дается новый прямой
метод построения номограммы уравнения 3-го порядка об-
щего вида, существенно отличный от детерминантного ме-
тода, изложенного в § 2 главы III.
Преимущество нового метода состоит в произвольном
выборе формы конического сечения — носителя двух шкал,
в то время как в прежнем методе вид конического сечения
определялся после вывода уравнений шкал, т. е. когда задача,
по существу, была уже решена.
Мы покажем также, что теорема, которая лежит в основе
нового метода построения номограммы общего уравнения 3-го
порядка, может быть применена как для построения номо-
граммы уравнения Кларка, так и для построения номограммы
более общего уравнения типа Кларка с четырьмя переменными
величинами.
1. О проективной шкале на кривой 2-го порядка. Возьмем
уравнение пучка прямых y — yi — k{x—xi) с вершиной
в точке A (xi; yi) и отложим от точки А на прямой у—yi — О
вправо отрезок АВ (черт. 91). Проведем через точку В пря-
мую, параллельную прямой х— xi = O и построим на ней
равномерную шкалу, приняв точку В за начало, отрезок АВ —
за единицу масштаба. Тогда ясно, что прямая у —yi — 2 (х — xi)
229
пройдет через точку равномер-
ной шкалы с пометкой 2 и вооб-
ще прямая у — yi = k (х — Xi)
пройдет через точку шкалы с
пометкой k.
Пусть, далее, дан пучок пря-
мых а2х -{- b2y 4* с2 4~ k (diX -|-
+ &1У 4" ci) — 0- через произволь-
ную точку В прямой v=a2x-]-
+ Ь2у -j- с2 = 0 проведена прямая
т, параллельная прямой и =aix4-
4- Ь1У + Ct = 0 и пусть какая-ли-
бо прямая пучка, например,
®-|-7« = 0 пересечёт прямую т
в точке С (черт. 92).
У
--------------*-1
Черт. 91
Тогда, если построить на прямой т равномерную шкалу,
имеющую пометку 0 в точке В и пометку 7 в точке С, то
легко доказать, что прямая z> + ^ia = 0 непременно пере-
сечёт построенную равномер-
ную шкалу в той точке, кото-
рая имеет пометку ki.
Таким образом, численное
значение параметра k, опреде-
ляющее прямую в пучке, сов-
падает с пометкой той точки
равномерной шкалы, в кото-
рой эта прямая пучка пересе-
кает равномерную шкалу,
построенную на прямой т.
Пусть теперь коническое
сечение S задано уравнением
(а2х 4- b2y + с2)2 — (<7ix4- biy 4-
4-£1)(ад+М+<4=о. (1)
Если положить
и =01X4“ biy 4-С1,
v = а2х 4- Ь2у 4- с2,
w = а2х 4- Ь2у 4- <?з,
то уравнение (1) короче запи-
шется так: V2— uw = 0.
Из уравнения (1) ясно, что
коническое сечение 5 пройдет
через точки А и В пересече-
ния прямой ® = 0 с прямыми
230
и = 0 и w = 0. Точнее, коническое сечение S касается пря-
мых и —0 и ®=0 в точках А и В пересечения этих прямых
с прямой ® = 0 (черт. 93).
Рассмотрим, далее, пучок прямых v-{-kii — Q. Прямые
этого пучка проектируют из точки А равномерную шкалу,
построенную указанным выше способом на прямой т, парал-
лельной прямой а = 0; причем прямые v -f- 4м = 0, n-f- 5а = 0,..
пройдут соответственно через точки прямой т с пометка-
ми 4, 5... на равномерной шкале.
Черт. 93
Если теперь снабдить вторые, отличные от А, точки пере-
сечения прямых *n -|-4a = 0, ,o-|-5a = 0,.. с коническим се-
чением S, соответствующими пометками 4, 5..., то получим
на S некоторую шкалу, которую называют проективной
шкалой на кривой S.
Из черт. 93 ясно, что точки А и В на проективной шкале
имеют соответственно пометки <х> и 0.
Пусть Р(х, у)—произвольно взятая точка кривой 5,
имеющая на проективной шкале пометку k. Тогда точка Р
должна лежать на прямой v-\-ku — 0, и, следовательно,
будем иметь:
k = _ 21 — __ J»f_+ML±-£2 (2)
и агх + bty + *
Полученная формула позволяет по координатам точки,
лежащей на 5, определить пометку этой точки на проектив-
231
ной шкале. Легко видеть, что такую формулу можно полу-
чить для любой проективной шкалы, полученной путем
проектирования на кривую 5 из какой-нибудь ее точки
какой-либо равномерной шкалы.
В самом деле, пусть дано уравнение кривой S и А, В, С
обозначают те точки данной проективной шкалы, нанесенной
на 5, которые имеют на ней соответственно пометки оо, 0, 1.
Пусть, далее, и = 0— уравнение касательной к S в точке А,
v — Q — уравнение прямой АВ и va — 0 — уравнение касатель-
ной к S в точке В.
Тогда уравнение кривой S можно записать в виде
V?
ifl------uva = о, (3)
UiW,
где
mi = Mixi 4- bij/i + Ci,
= OjXl -j- ,
Wi = a 3xi -|- btyi + cz,
xi, yi — координаты точки С.
Действительно, коническое сечение, определяемое урав-
нением (3), касается прямых м = 0 и ® = 0 в точках Д и В,
проходит через точку С, так как V* — u,i,Wi = 0, а пото-
му совпадает с S, так как через точку С можно провести
только одно коническое сечение, касающееся прямых м=0
и w=0 в точках А и В.
Если положить «' = —— и w' = —— w, то уравнение
«1
кривой S можно будет записать так: и2 — u'tso' — 0. Следова-
тельно, как пометки точки С, так и пометки всех остальных
точек данной проективной шкалы могут быть вычислены по
формуле k — —у, поскольку проективная шкала на S
вполне определяется тремя помеченными точками. В самом
деле, вычисляя, например, пометку точки С, будем иметь
Й1----А--------w -^ = 1.
«1 и,
Отсюда следует, что данная проективная шкала на S мо-
жет быть получена путем проектирования из точки А равно-
мерной шкалы, нанесенной на прямую т, параллельную
прямой и = 0, и- имеющей пометки 0 и 1 в точках В и С
пересечения прямой т с прямыми у = 0 и v-j-u = 0.
2. Основная теорема о проективной шкале на кривой
2-го порядка.
232
Теорема. Пусть на коническом сечении S: v2 — uw=O,
где и = aix 4- bi у 4- ci; v = а2х -j- b2y -j-c2; w = asx 4- b2y + с»,
проективная шкала нанесена таким же способом, как и
в п°1, т. е. любая точка Р (х, у) этой шкалы имеет по-
г С1<Х ЬоУ “j“ ^9 Т*
метку k =----—1Тогда прямые пучка с цен-
aiX f- _у+ Ci
тром О (xi, yi'j, не лежащим на S, пересекают проектив-
ную шкалу в парах точек, пометки k и k' которых связаны
соотношением
Uikk'+{k + k') 4- Wi = О,
где
ui = aixi + biyi 4- ci,
Vi = d2Xi + &2.yi + c2,
wi=дз<14" b2yi 4- c2,
a xi, yi — координаты центра О.
Доказательство. Пусть, как и ь п°1, А я В — точки
пересечения прямой и=Ос прямыми и = 0 и по — 0, и пусть
какая-нибудь прямая I пучка О (xi, yi) пересекает S в точ-
ках С и D, имеющих пометки k и k'. Тогда уравнения пря-
мых АС и AD мы можем записать (см. § 1) так: г>4_^и = 0
и v-\-k'u = 0 (черт. 94).
Черт. 94
Как известно, если L = 0 — уравнение одного конического
сечения, а £1 = 0 — уравнение другого, то L — Li = 0 будет
233
уравнением третьего конического сечения, проходящего
через точки пересечения двух первых конических сечений.
Таким образом, если мы возьмем данное коническое сече-
ние S и рассмотрим новое распавшееся коническое сечение /?,
определяемое уравнением (и -j- ku) (v -J- k'u) = 0, то уравнение
и2 — uw — (v + ku) (v 4- k'u) —.0 (2)
определит третье коническое сечение Q, проходящее через
точки пересечения S с R, т. е. через точку А, в которой
R и S пересекаются дважды, и через точки С я D.
Но из уравнения (2) непосредственно видно, из кониче-
ское сечение Q состоит из двух прямых и —0 и ukk'
4- v (k 4- k’) w — 0 и так как прямая а = 0 проходит только
через А и не проходит через С и D, то прямая ukk' 4-
4- v (k 4- k') 4- и» == 0 должна пройти через точки С и D, т. е.
ukk' 4“ f (k 4- £') 4-w = 0 (3) есть уравнение прямой /.
Так как центр О пучка О (xi; ух) лежит на I, то, под-
ставляя в (3) координаты точки О, мы будем иметь
iiikk' 4- vi (k 4~ k’) 4- Wi = 0, (4)
что и доказывает нашу теорему, так как I — любая прямая
пучка О (xi; yi).
Следствие 1. Если на коническое сечение нанесена проек-
тивная шкала, то прямые, соединяющие пары точек шкалы,
произведение пометок которых постоянно, пересекаются
в одной точке, лежащей на прямой, соединяющей точку
шкалы с пометкой 0 с точкой, имеющей пометку оо.
В самом деле, если точка О (xi; ух) окажется на прямой
v = 0, то в этом случае pi = 0 и, следовательно, уравнение (4)
запишется так: Uikk' 4- 'K’i = 0, т. е. kk'— const, что и дока-
зывает следствие (1).
Следствие 2. Если на коническое сечение нанесена про-
ективная шкала, то прямые, соединяющие пары точек
шкалы, сумма пометок которых постоянна, пересекаются
в одной точке, лежащей на касательной к носителю шка-
лы в той точке, пометка которой равна оо.
В самом деле, если точка О (хх; ух) окажется на прямой
и = 0, то в этом случае их = О и уравнение (4) запишется
так: vi (k 4- k') 4~ Wi = 0, т. е. k 4- k' = const, что и доказывает
следствие 2.
Кроме проективной шкалы, на коническом сечении S мож-
но получить проективно-функциональную шкалу, проектируя
на кривую 5 из какой-нибудь ее точки А уже не равномер-
ную шкалу, а шкалу функции /(х). В этом случае из проек-
тивно-функциональной шкалы легко получить проективную
шкалу, заменяя пометки Хх, Хг, Хз, Хх,... проективно-функ-
234
циональной шкалы пометками /(xi), /(хг), /(хз),.... и на-
оборот, из проективной шкалы на 5 легко получить проек-
тивно-функциональную шкалу на 5. Поэтому, строя при
помощи свойств проективной шкалы номограммы для урав-
нений вида 2122 = гз и Zi 2г=Zs, тем самым получаем и
способ построения номограммы для уравнения вида /г/2 = /а
и /1+/2=/з.
3. Построение при помощи проективной шкалы номо-
грамм для уравнений вида 2i-f- z2 = zs и 2122 = 23. Легко
видеть, что следствие второе (п°2) приводит к построению
номограмм для уравнения вида 2i-j-22 = 2s при помощи сле-
дующих трех шагов.
1. Способом, указанным в п° 1, строим на произвольно
взятом коническом сечении 5 проективную шкалу, общую
для переменных 21 и z2.
2. В точке, имеющей пометку оо на построенной проек-
тивной шкале проводим касательную t к коническому сече-
нию S.
3. Из точки, имеющей пометку 0, проектируем проектив-
ную шкалу с конического сечения 5 на касательную t, и
таким образом получаем на t шкалу для переменного 23.
На чертеже 95 показан самый процесс построения номо-
граммы для уравнения 214-22 = 23, когда за коническое се-
чение S взята окружность х24~У2— 2/?_у = 0. Здесь на пря-
мую у = 2R нанесена равномерная шкала, начало которой
совпадает с точкой (0,2/?), а за единицу масштаба принят
отрезок, равный 2/?. Эта равномерная шкала из начала коор-
динат проектируется на окружность S, на которой и полу-
чается проективная шкала, общая при переменных 21 и z2 и
имеющая пометку 0 в точке (0,2/?), пометку оо в начале
координат и пометку 1 в точке (/?, /?). Проектируя из точки
235
(0,2/?) с пометкой 0 проективную шкалу на ось Ох, полу-
чаем на этой оси шкалу для переменного Zs.
Ясно, что в результате этих трех шагов мы получаем
нужную нам номограмму. Действительно, возьмем на проек-
тивной шкале на окружности S две точки с пометками zi и Zi\
тогда прямая ziz2 пересечет ось Ох в точке М, пометка ко-
торой za будет равна zi -\-Zz. В самом деле, точка М лежит
на касательной, проведенной к 5 в той точке, пометка кото-
рой на 5 равна оо. Поэтому, в силу следствия второго из п°2,
прямые пучка М будут пересекать проективную шкалу на 5
в парах точек, сумма пометок которых постоянна. Но среди
пар точек, высекаемых пучком М на проективной шкале,
кроме пары точек с пометками zi и z2, будет и пара точек
с пометками 0 и zs, а потоку zi -|-z2 = 0-|-Z3 = Z3.
Если вместо только что изложенного графического спосо-
ба построения номограммы требуется построить номограмму
при помощи вывода уравнений ее шкал, то в связи с этим
заметим следующее. Ось Ох — касательная в той точке
проективной шкалы, нанесенной на окружность S, пометка
которой равна оо, прямая у— 2/? = 0 — касательная в точке
проективной шкалы с пометкой 0, а ось Оу соединяет точку
с пометкой 0 с точкой, имеющей пометку оо. Поэтому в на-
шем случае рассматриваемая в n° 1 прямая и — 0 будет пря-
мой _у = 0, прямая V — 0 будет прямой х = 0 и прямая w = 0
будет прямой у — 27? = 0.
Далее, принимая во внимание, что точка С (R, R) имеет
на проективной шкале пометку 1, согласно обозначениям,
принятым в конце п°1, будем иметь Ui=R, Vi=R,
W) = R — 2R — —R и, следовательно,
w' = - =(y — 2R)=y-2R.
Wi — R
Отсюда следует, что рассматриваемое в конце п° 1 урав-
нение — u'w’ — 0 кривой 5 в нашем случае (когда
S — окружность, изображенная на черт. 95) записывается так:
х3-(-у) (у —2/?)=0.
Но это означает, что прямая
vzu' = хz(— у) —х — zy = Q
пересекает окружность S в точке с пометкой z. Отсюда не-
236
медленно получаем уравнение общей шкалы для zi и z2, так
как г3уг-\-у2 —- 2/?_у = 0 и, следовательно,
1 + Z2 ’
a
Л 1 + za
jc v •< / 2Rz 2R \
Прямая----пересекает S в точке
с пометкой z и ось Ox в точке (a, 0) с той же пометкой z.
2Rz 2R 2R
Поэтому—------: + -----= 1, откуда а = ~ и, следо-
•a(l +z2) 2R (1 -f-z3) z
вательно, уравнение третьей шкалы для za запишется так:
j = 0, х=^.
*3
Если на чертеже 95 продолжить процесс построения номо-
граммы ziz2 = Zs и затем стереть как равномерную шкалу,
так и все проведенные прямые, кроме прямой у = 0, то в ре-
зультате получим окончательный вид номограммы со шкалой
Zi и 2г на окружности S и шкалой для za на прямой _у = 0.
Ясно, что эту номограмму можно было бы построить и
при помощи найденных уравнений шкал. Полученная нами
номограмма приводится в книге М. В. Пентковского „Скеле-
ты номограмм уравнений третьего номографического порядка
как скелет типа 222“.
Если обратиться к следствию 1 в п°2, то получим анало-
гичный графический способ построения номограммы для
уравнения вида Zi-za = Za, состоящий из следующих трех
шагов:
1. Способом, указанном в п°1, строим на произвольно
взятом коническом сечении S проективную шкалу, общую
для переменных z\ и z2.
2. Проводим прямую Z, соединяющую точку с пометкой <»
построенной шкалы на S, с точкой, имеющей пометку 0.
3. Из точки С, имеющей пометку 1, проектируем построен-
ную на 5 шкалу с кривой S на прямую I, и получаем таким
образом на прямой I шкалу для переменного Za.
В самом деле, возьмем на S две точки с пометками Zi и Za
и пусть прямая Z1Z2 пересечет I в точке М, имеющей на
* Этот результат можно было бы получить и непосредственно, т. к.
шкала для z3 — проективная шкала, имеющая пометку 0 в бесконечности,
a 2R
а потому ее уравнение имеет вид: х = — или х=------------, так как пои
z = l x = 2R, след., a = 2R.
237
Черт. 96
прямой I пометку 23, причем пря-
мая СМ пересечет S в точке N,
имеющей на S ту же пометку 28
(черт. 96). Тогда пучок прямых
с центром М на прямой /, со-
гласно следствию 1 из п° 2, вы-
секает на S пары точек, произ-
ведение пометок которых пос-
тоянно, а ПОТОМУ 2i*2a = 1 -2з=2з.
На чертеже 97 изображен про-
цесс построения номограммы для
уравнений вида 212г = 2з. Как
видно из этого чертежа, за но-
сителя криволинейной проектив-
ной шкалы взят произвольный
эллипс 5 с полуосями а и Ь.
Затем на прямой у — 2а = О,
приняв за единицу масштаба
отрезок длиной 2Ъ, строим рав-
номерную шкалу, имеющую по-
метку 0 на оси Оу. Эту равно-
мерную шкалу проектируем из
начала координат на коническое сечение 5, вследствие чего
получаем на S проективную шкалу, общую для переменных
21 и 22. Эта проективная
шкала имеет в начале
координат пометку оо и
в точке С (Ь, а) пометку
1. Поэтому, проектируя
из точки С построенную
на 5 шкалу на большую
ось эллипса, соединяю-
щую точку с пометкой
О с точкой, имеющей по-
метку оо, получим на
оси Оу шкалу для пере-
менного 2з. Так как пере-
Черт. 97
менные 21, 2?, 2з прини-
мают только положитель-
ные значения, то меняем на построенной шкале для пере-
менного 2з отрицательные пометки на положительные, после
чего номограмма готова.
Относительно построения этой номограммы при помощи
уравнения шкал заметим, что здесь и —у, v = x, w=y — 2а
и так как точка С(Ь, а) имеет пометку 1, то в нашем слу-
238
чае ui = a, vi = b3 wi=a —2a = —а, а потому уравнение
конического сечения S запишется в виде
I/? frl
V2------— uw = х2 Н------у (у — 2а) = О
а2
ИЛИ
v2 — и'м' = О,
где
и' = — — и =—— у и wr =—^-w = — (у — 2а).
ur a Wi а
гт. । , г, Ь ак
Тогда прямая v-j-zu, =0, или х — z—y — Q или у — —-
a bz
пересечет S в точке с пометкой z, и будем иметь
, . &2 ах f ах п \
х2Ч----•---(-------2а ) = 0.
a* lz \ bz J
Отсюда получаем уравнение общей шкалы для переменных
zi и г2:
v — 2fcz . „ _ 2д
1 + z3 ’ У 1 + «2 ’
Шкала для гз, построенная на прямой х = 0, будет проек-
тивной прямолинейной шкалой, имеющей в начале координат
пометку оо, в точке (0, а) — пометку 1 и в точке (0,2а) по-
метку 0, поэтому уравнение шкалы для гз, очевидно, запи-
шется так:
2а
1 +
х = 0.
Ясно, что за кривую 5 мы могли бы взять любое кони-
ческое сечение, например, окружность с радиусом равным */г.
Тогда a = Z> = ’/2; уравнения шкал будут иметь вид
Хз =0,
и мы в точности получаем номограмму умножения, изобра-
женную на чертежах 28 и 29 стр. 98, полученную там детер-
минантным методом, где только после составления уравнения
шкал было, обнаружено, что носителем общей шкалы для zi
и гз будет окружность с диаметром, равным единице.
239
В нашем же методе коническое сечение S можно выбрать
произвольно и, как мы видели выше, прямо из чертежа,
пользуясь уравнением Szd2— u'w' = 0, легко найти уравнение
общей шкалы для Zi и z2; уравнение же прямолинейной
проективной шкалы для z3 составляется непосредственно
по ее трем помеченным точкам.
Рассмотренные нами номограммы умножения и сложения
естественно приводят к графическому построению номо-
граммы квадратного уравнения, состоящему из следующих
трех шагов:
1. Строим проективную шкалу на произвольно взятом
коническом сечении 5 и отмечаем на 5 точки А, В, С с помет-
ками оо, 0, 1.
2. Соединяем прямой q точки А и В и проводим в точке А
касательную р к коническому сечению S.
3. Из точки В проектируем построенную на 5 шкалу на
касательную р и из точки С проектируем ту же шкалу на
прямую q.
В результатё получаем номограмму для решения квадрат-
ного уравнения вида z2 — pz q = 0. В самом деле, пусть
p = pi и q — qi. Тогда ищем на прямой р точку М с помет-
кой pi и находим на прямой q точку М с пометкой qi (черт. 98).
Прямая /ИМ пересекает коническое сечение 5 в точках Р и Q,
пометки Zi и z2 которых и будут корнями уравнения
z2 — piz-\- qi = 0, так как Zi4-^2=pi, a ZiZ2 = qi (см. выше
Черт. 98
240
номограммы сложения и умно-
жения). Если на прямой р изме-
нить пометки на обратные, то
получим номограмму для урав-
нения вида z3 -f- pz -|- q = 0.
На чертеже 99 показано, как,
пользуясь нашим методом, мож-
но построить номограмму № 18
(стр. 119). Здесь за 5 взята ги-
пербола, р — ее асимптота, р || q,
АВ — касательная к S в точке
В. На р от начала А построена
произвольная равномерная шка-
ла, которая из В проектируется
на <$, а затем полученная на S
шкала проектируется из точки
С с пометкой 1 на q, после че-
го номограмма готова. В самом
деле, здесь р — касательная к
проективной шкале на 5 в ее
бесконечно удаленной точке,
имеющей пометку оо, q — пря-
мая, соединяющая точки с по-
метками 0 и оо проективной
шкалы на 5. На q получается
равномерная шкала, так как эта
проективная шкала имеет точку
с пометкой оо в бесконечно уда-
ленной точке прямой q. Если
прямая АВ будет перпендикуляр-
на к р и q и точка С (1) будет
находиться на одинаковом рас-
стоянии от р и q, то получим но-
мограмму № 18, при условии,
конечно, изменения знаков поме-
ток на обратные на прямой р.
4. Свойство проективной
шкалы на уникурсальной кри-
вой 3-го порядка. Возьмем
уникурсальную кривую С3
третьего порядка х34-у3—ху—0,
имеющую двойную точку О в
начале координат. Ясно, что
любая прямая y = kx пересечет
С3, кроме точки в начале коор-
динат, еще в одной точке. От-
Черт. 100
241
В-232. Н. А. Глаголев — 16
сюда следует, что любую равномерную шкалу можно спро-
ектировать из точки О на кривую С8 в некоторую шкалу,
которую назовем проективной шкалой на С8.
На черт. 100 на кривую С8 проектируется равномерная
шкала, нанесенная на прямую АС, параллельную оси Оу,
причем за единицу масштаба равномерной шка.лы взят отре-
зок ОА=АС, Из этого чертежа непосредственно видно, что
двойная точка О будет иметь на проективной шкале две
пометки 0 и оо, а точка пересечения биссектрисы 1-го коор-
динатного угла с кривой С8 будет иметь пометку 1. Вообще
из чертежа видно, что любая прямая у = kx пересекает
проективную шкалу кроме О еще в одной точке, имеющей
ту же пометку k.
Это обстоятельство позволяет немедленно составить
уравнения проективной шкалы. В самом деле, заменяя в урав-
нении кривой С8 у через kx, мы сейчас же получим уравне-
ния проективной шкалы
k &
X =-----, у =-------.
1 + Л8 1 т
Определим теперь, как связаны пометки трех точек
кривой С8, лежащих на одной прямой. Если три точки
\ / ^2 ^2 \ *3 \
------------5 ----5:-----5 , —75; ;—75 лежат на од.
14-*? 1 +ky 1 4- V + *8 1+л|/
ной прямой, то
hi
1 + ГТ
1 -f- ^2 1 4” ^2
1 +k33 1 + ^
Отсюда
к kt
kz &2
ks k>3
или
kt
kl
kt
kt
kl
kl
1 kl
kikzka 1 k%
1 k%
CM »-< kl kt 1
CM CM = — kz kl 1 .
kl CM co 09
1
1
1
242
Сокращая обе части последнего равенства на получившиеся
равные детерминанты,
дует, что номограмму
будем иметь = — 1. Отсюда сле-
для уравнения вида
АА/з=-1 (1)
помощи построения следующих трех
можно получить при
функциональных шкал:
fi
xi = —-т-;
/2
Лг (2=1, 2,3).
Все эти три шкалы будут иметь общего носителя — кривую
3-го порядка х3-f-.у3— ху = О, причем при построении номо-
граммы каждой шкале отводят определенную часть кривой С3.
Уравнение (1) было бы более естественно принять за пер-
вую каноническую форму вместо обычно принятой формы
= (2)
В самом деле, при построении номограммы уравнения (2),
для получения уравнения нужных шкал, мы должны искать
точки пересечения уже прямой у —— kx с С8, в результате
чего будем иметь
х3 — £3л3 + Ьс2 = 0,
откуда
Таким же способом, как и выше, можно доказать, что
если три точки кривой С3 коллинеарны, то произведение их
пометок равно 1. Ясно, что уравнения функциональных шкал
в данном случае запишутся так:
и мы вновь приходим к формулам, уже полученным в § 3
главы III иным методом.
Заметим, что для построения номограмм на любой уни-
курсальной кривой с двойной точкой имеет значение следу-
ющая общая теорема.
Если проективная шкала, нанесенная на кривую С3, име-
ет в двойной точке пометки 0 и оо, то прямые плоскости
пересекают С3 в трех точках, произведение пометок кото-
рых постоянно.
Доказательство. Пусть А — произвольная точка кри-
вой С8; тогда прямые пучка с центром в точке А будут пе-
ресекать С3 кроме А еще в парах точек, пометки которых k,
16* . 243
и k' будут связаны, некото-
рым, очевидно, алгебраичес-
ким соотношением F(k, £',=0.
Так как здесь точке с по-
меткой k соответствует един-
ственная точка с пометкой
k', и наоборот, то уравнение
F(k, k') = 0 должно быть пер-
вой степени, как относитель-
но k, так и относительно k'.
Кроме того, F(k, k') долж-
но быть симметрично отно-
сительно k и kr, так как из
самого построения пар точек
с пометками k и k' непосред-
kY
Черт. 101
ственно видно, что F (k, k') = F(kr,
Общий вид уравнения, удовлетворяющего указанным тре
бованиям, имеет вид
akk' 4-Z>(^ + ^) + c = 0.
Этому уравнению удовлетворяют 0 и оо, так как когда
прямая пучка А проходит через двойную точку, то k совпа-
дает с 0, a k' — с оо. Но это может случиться только тогда,
когда Ь — 0 и, следовательно, когда уравнение F(k, k') = 0
имеет вид:
akk' с = 0, т. е. kk' = const.
Пусть теперь две произвольные прямые р и q пересекают
С3, в точках с пометками a, k, k' и b, I, I'. Обозначим черев
А и В точки, имеющие пометки а и Ь, и пусть прямая АВ
пересечет С3 в третьей точке с пометкой с (см. черт. 101).
Из А выходят две прямые р и АВ, а потому kk' — bc и,
следовательно, akk' = abc из точки В выходят две прямые
q и АВ, а потому ас = И' и bac = Ы1'. Но это означает, что
akk' = t>ll', что и доказывает теорему.
Докажем теперь другую, также важную для номографии
теорему, которая гласит:
Если проективная шкала, нанесенная на уникурсаль-
ную кривую С3 третьего порядка имеет пометку оо в точке
возврата и пометку 0 в точке перегиба, то прямые пло-
скости пересекают С3 в трех точках, сумма пометок ко-
торых равна нулю.
Доказательство. Пусть А—точка возврата, а В —
точка перегиба кривой С3. Тогда так же, как и выше, дока-
жем, что прямые пучка с центром в точке перегиба В будут
244
пересекать С3 кроме точки В еще в парах точек, пометки
которых k и k' могут быть связаны лишь уравнением вида:
akk' —(- b (Ji -j- kJ —|— с = 0.
Но в точке A k — k' = о<5, и стационарная касательная по-
казывает, что в точке В k = k' = Q. Отсюда следует, что 0
и оо являются корнями квадратного уравнения ak2 bk + с=0,
а это означает, что а = 0 и с = 0, т. е. прямые пучка (В)
пересекают С3 в парах точек, пометки которых удовлетво-
ряют уравнению Л-|-£' = 0.
Если точка М — произвольная точка кривой С3, то пря-
мые пучка с центром в М будут пересекать кривую С3 в па-
рах точек, пометки k и k' которых будут удовлетворять
уравнению k-\-k' = т, так как в точке Д по-прежнему
k = k' =ао и, следовательно, в уравнении akk'b(k -f- kJ -f-
4-c = 0 a = 0.
Отсюда следует, что прямая МВ пересечет С3 в некото-
рой точке N, пометка которой k будет т, так как Q-\-k — т.
Но прямая ВМ проходит через В, и так как ЛГ имеет по-
метку т то М будет иметь по-
метку —т, что и доказывает
теорему.
Доказанная теорема позволяет
с новой точки зрения рассмотреть
вопросы о построении номограмм
на уникурсальных кривых 3-го по-
рядка. '
Рассмотрим, например, кривую
С3‘.у — х3. У этой кривой точка
возврата — несобственная точка, а
точка перегиба лежит в начале
координат. Если спроектировать
на С3 из несобственной точки на-
несенную на ось Ох (см. черт. 102)
равномерную шкалу, то получим на
С3 проективную шкалу, которая в
точке возврата будет иметь помет-
ку оо, а в точке перегиба пометку 0.
Следовательно, любая прямая
плоскости пересечет построенную
нами шкалу в трех точках, сумма
пометок которых будет равна ну-
лю. Но это означает, что на кри-
вой у = х3 можно построить номо-
грамму для второй канонической
формы /1 + /г +/з = 0, причем
245
уравнения шкал будут
*/ = /?; yi = fr, (4 = 1, 2, 3).
Рассмотрим далее уникурсальную кривую С3 3-го поряд-
ка х3 4~у3 — х2 — 0, имеющую точку возврата в начале коор-
динат и точку перегиба в точке (1; 0). (см. в § 3 главы Ш
черт. 30). Ясно, что любая прямая у — kx пересечет С3,
кроме точки начала координат, еще в одной точке и, следо-
вательно, как и ранее, получим на кривой С3 проективную
шкалу, уравнение которой
1 k
х —-----; у =-------.
1 + Л3 ’ 1 + k3
Так как эта проективная шкала в начале координат, т. е.
в точке возврата кривой С3 имеет пометку оо, а в точке
(1,0), т. е. в точке перегиба кривой С3 имеет пометку 0, то
согласно доказанной нами теореме, прямые плоскости пере-
секают С3 в трех точках, сумма пометок которых равна
нулю.
Но это означает, что на кривой С3 мы также можем по-
строить номограмму для 2-й канонической формы, причем
уравнениями шкал будут
х‘=—Ц--; yi=-jLr\ 0=1,2,з).
1+/? i+/?
Проективные шкалы можно строить на уникурсальных
кривых и более высокого порядка. Например, если построить
проективную шкалу на лемнискате Бернулли так, чтобы дей-
ствительная двойная точка имела бы пометки 0 и оо, то по-
метки трех коллинеарных точек этой кривой будут удов-
летворять уравнению
xix-i 4- Х2Я3 -|- JfiXs -I-1--1----= 0.
ХХХ2 Х2Х3 XtX3
Построить номограмму для этого уравнения детерми-
нантным методом очень трудно, так как здесь обычные ме-
тоды неприменимы.
Эта задача впервые в 1933 году была решена И. А. Виль-
нером, и она послужила толчком для создания как И. А. Виль-
нером, так и другими номографами, а именно: А. И. Молда-
вером, О. В. Ермоловой, П. Й. Николаевым, А. И. Мандзюк
и др., так называемой алгебраической номографии.
5. Приложение основной теоремы п° 2 к построению
номограммы Кларка. В п°2 была доказана следующая ос-
246
новная теорема: „Если на коническое сечение S, лежащее
в плоскости к и заданное уравнением
где
(а2х + b2y + с2)2 — (сих + biy + ci) (а3х + b^y + с3) — О,
сц bi
а2 Ь2
йз Ь%
С1
с2
Сг
7*0,
нанесена проективная шкала так, что любая точка Р(х, у),
лежащая на коническом сечении 5, будет иметь пометку
k -------2* + с2. t то любая точка О (х, у) плоскости тс
aix + hy + Ci
определит на построенной таким образом шкале 5 оо1 пар то-
чек, между пометками которых k и k' будет существовать
соотношение
(diX 4" biy -f” Cl) kkf -|- (fljX -j- Ьгу 4~ Сг) (k Ц- k’) -]~
4~ (а$х Ьгу 4~ сз) = 0.
Рассмотрим приложение этой теоремы к построению но-
мограммы уравнения
/з (k")fx (k)f2 (k1) 4- gs (k") [ /, (k) 4- /2 (A')] 4- Аз (A") = 0, (1 >
причем, как это и указывалось уже в п°2, можно взять част-
ный вид этого уравнения, в котором ft(k) = k и ft(k')=k',
так как построение номограммы для общего случая вы-
текает из построения для частного случая.
Итак, берем уравнение (1) в виде
/з (A") kk' 4- g3 (k") (k 4- A') 4- Аз (A") = 0. (2)
Условимся, что криволинейная шкала для переменных А
и А' должна быть нанесена на заранее выбранное коническое,
сечение S, уравнение которого дано:
(а2х 4- b2y 4- Сг)2 — (aix 4- biy 4- ci) (asx 4- bsy 4~ сз) — 0.
В согласии с нашей основной теоремой, снабдим точки
конического сечения <$ пометками так, чтобы любая точка
Р(х, у) имела пометку А, вычисляемую по формуле
k = — Да * ** Ь^У
aix + lw + ci
Так как шкала S будет проективной шкалой, то поэтому
достаточно построить три помеченных ее точки, а осталь-
ные можно строить более простым, указанным в п°2 спосо-
бом, не прибегая к формуле (3).
247
Положим теперь = и допустим, что уравнение
/з (£i) kkf gz ) (k kr) 4“ (^i)=о
равносильно уравнению
(tzixi 4“ biyi 4~ £i) kk9 + (a2X\ + ^2^14~ ^2) (k 4“ k9} 4~
4“ #3X14“ ЬзУ14- f з = о,
где Xi и yi- координаты некоторой точки О плоскости те;
тогда мы получим следующие соотношения:
*з(*1 ) _ = а2хх + Mi + с2 и Лз > = а3*г+ b3yi 4- Сз
Л (k" ) ^1*1 + Ml + <4 /3 (&" ) «1*1 + Mi + *! ’
Числовые значения дробных выражений
ы*;') и м£1_
/з(^') /з(<)
известны: решая систему (4) относительно Xi и yi, получим
решение, которое, будучи взято в общем виде, может слу-
жить для построения функциональной шкалы для перемен-
ного k":
С?/з — С1ёз &1£з — &2 /з I
g3/3 — Мз bjth — ^з/з I
«1£з — «2/3 Мз — ^2 /з I
a±h3 — a3 f$ bfi3 — b3f31
1 «1&3 — «2/3 с2/з — crg3
I — «з/з c3f3—cfi3
aig3 — a2 /з ^1£з — ^2 /з
«1Лз— «з/з Мз G/з
•(5)
Чтобы применить этот способ к построению номограммы
уравнения (1), достаточно изменить пометки на шкале 5 сле-
дующим образом: если точка Р шкалы S имела пометку ki
для уравнения (2), то теперь точку Р надо снабдить вну-
тренней^ пометкой ki и внешней k\, причем kt = /i (&i),
ki=f2(ki). Проще всего это делается так, что на данное ко-
ническое сечение проектируются функциональные шкалы
функций fi{k) И
Изложенный здесь метод является самым общим методом
построения номограммы типа Кларка, и все предложенные
до сих пор методы как круговые номограммы Соро, так и
другие,—лишь частные случаи этого общего метода.
Добавим еще, что, если требуется построить номограмму
248
для уравнения с 4 переменными и, v, w, t типа Кларка в
наиболее общем виде
[ai fi (и) + di/2 (v) 4- ci] fz (w)ft (0 +
+ [02/1 (и)+^2/2 (®) 4- £2] [/3 (w) 4-/4 (/)] 4*
4- [яз/i (w) 4~ ^3/2 (v) 4~ Сз] = о,
то надо на осях Ox и Оу построить шкалы функций
/1 (и) и /2 (®).
Способ пользования этой номограммой состоит в следую-
щем. Пусть u = ui, v—Vi, w — wi, и требуется найтй t.
Находим на плоскости я точку О, имеющую функциональ-
ные координаты «1 и -щ. Затем ищем на конйческом сече-
нии S точку /?, имеющую пометку Wi. Тогда прямая О/? пе-
ресечет S кроме R, еще в точке Q, пометка которой t и бу-
дет искомым значением t.
6. Прямой бездетерминантный метод номографирования
уравнения 3-го порядка общего вида. В настоящем пара-
графе излагается прямой бездетерминантный метод номогра-
фирования уравнения
АЛ (zi)/8 (z2)/3(z8) 4- (z8)/8 (z3)4- В2/1 (zi)/8 (z3) 4-
4* 53 /i (zi) /2 (zz) 4- Ci /1 (zi) 4- C2 /2 (Z2) 4“ C3 fz (z3) 4-0 = 0. (1)
Сущность этого метода состоит в том, что уравнение (1)
рассматривается как частный вид уравнения Кларка, а затем
применяется основная теорема п°2.
В самом деле, уравнение (1) тождественно уравнению
так как уравнение (2) есть лишь иная запись уравнения (1).
Обозначая
л (-го+41 Гс* - ^1. 17* (*) + 41 Гс* - "¥4
A J L A J L Л J Л]
7з(г3)4-^][Сз-^'
249
соответственно через <?i (zi), <?2 (zb), <рз (z3) и выражения
А
2^1В2Вз CiBi 4~ Сдва 4- С А . и
Л2 Л ‘
соответственно через Ai и Di, можем уравнение (2) переписать
так:
Д1?з (z8) <f>2 (z2) ?1 (zi) + [<P1 (Zi) + <р2 (z2)] -J- <рз (z3) 4- Di == 0. (3)
Сравнивая теперь уравнение (3) с уравнением
(aiXi 4* biyi -I- ci) kkr 4~ (tz2xi 4* d2yi 4* с2) (k -j- k') 4-
4- (дзХ14" Ьву14~ с»)=о,
рассмотренным в п°2, видим, что приведенная выше теорема
позволяет непосредственно номографировать уравнение (3),
причем шкалы для переменных zi и z2 расположатся на ко-
ническом сечении 5, а шкала переменного z3 будет иметь
носителем прямую
(aix 4- biy 4* Ci) 4* AiDi (a2x 4“ ъ2у 4~ Св) 4~
4- Ai (азХ 4~ Ьзу 4” Св) = 0.
Уравнение (1) всегда разрешимо в номограммах 2-го жанра,
поэтому приведенный выше метод его номографирования
применим во всех случаях, но в особенности этот метод
следует рекомендовать в том случае, когда хотят разрешить
уравнение (1) в номограммах 2-го жанра, так как в этом слу-
чае, независимо от того, приведено ли уравнение (1) к кони-
ческой форме или нет, он быстрее приводит к конечной це-
ли, чем обычный детерминантный метод.
Но самое главное преимущество, конечно, здесь состоит
в том, что наличие свободных, произвольных параметров ai,
bi, ci, а2, b2, с2, аз, Ьз, св делает этот метод весьма эластич-
ным, дающим возможность лучше учитывать и совершенство-
вать геометрическую структуру номограммы, что, как известно,
мало доступно для детерминантного метода, придающего номо-
грамме абсолютно жесткую форму, которую приходится ос-
лаблять искусственными приемами.
Дополнение IV. О номографировании уравнения
методом Келлога
-Рассмотрим уравнение вида
Ci(®)*p23(w, -v) + C2(w)-p3i(u, v)-\-Cb(w)-pi2(u, v) — 0.
250
Пусть требуется найти условия на функции pik(u, v) при
выполнении которых данная функция после умножения на
некоторую функцию о («, ф) может быть представлена в виде
определителя Массо т. е. .
[Ci(w)p2s(u, •п) + С2(®)-рз1(«, v)+C3(w)pi2(u, т>)1 ° («, =
Л1(«) А2(и) As(u)
= В2(ф) Вз(у)
С\ (w) C2 (w) C3 (w)
Если выполняется тождество (1), то
(1)
Ci (w) | p2S (u, v) a (u, v) —
+ C2 (w) I P31 (ll, V) а (и, ф)
A2 Аз I
B2 Bs J
Аз Ai
Bg'Bi
4-C3(®r)J pi2 (u, v)a(u, v) —
Hi A2
Bi B2
= 0.
Предполагая, что функции Ci(w), C2(w), Cs(w) линейно
независимы, из предшествующего тождества получаем
ео го •ч: gq га сч « cq < oq га га 0Q to tb. й t» !ь. II = <з(«, %>). (2)
Р31
Из тождества получаем Ai А2 Аз Bi В2 В3 Д1 Аз Аз = 0, (3)
Ail Аг Аз 1 В2 В$ + Д2 +Д3 £>з #1 to ib. Оо м to III 0
At Ak
Bi Bk
пропорциональными величи-
и, заменяя определители
нами р{ц из (3), —
Л1 (а) р22 (а, 'ф) 4- А2 (и) р2\ (и, -о) + Д3 (w) pi2 {и, ф) = 0. (4)
Дифференцируя полученное тождество дважды по ф, имеем
Я1(и)-^- + Л2(а)^ + Дз(ц)^ = 0, (5)
OV OU OV
A'^+A’^^?+A‘^^=°- (в)
251
Из трех функций At (и) (1=1, 2, 3) по крайней мере две
не равны нулю, поэтому
Р23 дрц dv рп dp3i dv Рп dpn dv = 0. (7)
d3p?3 dv» д2р31 до* d2Pu до*
Аналогичным образом из определителя Ai А2 Аз В\ В2 Вз zz 0 Bi В2 Вз
на основании (2) получаем
В1(г>)р2зН_52('о)рз14_Вз(,и)р12 = 0 (8)
Bi(v)d-^--}-B2('o)d-^- + Bi(v)d~^- = 0 (9)
dU OU 0U
BW^+B,W^+B,(V^-=O <10>
отсюда
Р28 р31 Р12
дрзз ^31 ^Р12
ди ди ди = о, (11)
dapa3 д2Рз1 д2Ри
ди*' ди* ди*
так как из трех функций Bt(v) (i=l, 2, 3) по крайней мере
две не равны; нулю одновременно.
Из (4, 5) и (8, 9) определяем
А j4g
Р31 Р12 Р12 Р23
dp3i dpta дД12 дрм
до до dv dv
Ba
р31 Р12 P12 Р23
Эр31 dpn dptl dpn
ди ди ди ди
--------------------=s (12)
Р23 Рз1
&р23 ^Р31
dv . до
- =--------£з------------ t. (13)
Р23 Рз1
dp23
да ди
252
Покажем, что определитель
д = />23 дрзз ди др2з dv р31 дРз1 ди дРз1 < dv P12 dpi2 ди др 12 dv =£0. (14)
Предполагая противное, имеем
др ik _} dv п^Е1к.. ди h npik
и тогда по (12, 13) следует, что
At (и) А (и) _ .Аз (и)
Bt(v) Ва(V) Вз(о) ’
в этом случае Ai Ak
ptk = Bi Вь = и,
т. е. левая часть данного уравнения тождественно равна 0.
Таким образом, если имеет место тождество (1), то должны
выполняться условия (7, 11, 14).
Докажем предложение обратное рассмотренному: если вы-
полняются условия (7, 11, 14), то имеет место тождество (1).
Для этого достаточно доказать, что
А
А3
р31 Р12
дрз1 dpi2
dv dv
Р23 Р31 дрзз дрз1 dv dv
Р12 Р23
др23
dv dv
Р23 Рзг
др 23 dpsi
dv dv
(15)
зависят только от и,
В±
Вз
Р31 Р12
дрзг др12
du du
Раз Pai -
драз др31
du ди
и
В»
Р12 P23
др!2 ^р23
du du I
Раз Psi
д^2з дРзх
du du
(16)
253
Зависят только от v.
IL
Ai (и) A2(u) Лз(а) j
Bi (v) Bi (v) Bs (к)! = a (a, v) [Ci (w) р2г (a, ®) +
Ci (w) C2 (w) C3 (w) |
+ C2(w)p8i(«, f) + Сз (w)j?i2 (а, г>)].
Доказательство.
1. Определим
p23 p31
dp23 dpzi
dv dv
_d_/A
dv ЧЛ.
Рз1
^31
dv2
Из условия (7) следует, что
д-^ = т
dv2
т-т d2pjk
Подставляя значение ——
dv2
лучаем
Р12
д*Р12
dv2
P23 Рз1
др23 др31
dv dv
р31 Р12
dAi др12
dv dv
2
Р23 Р31
d2i:i3 d2p31
dv2 dv2
dv
в предшествующее равенство по-
13
Р23 Рз1
т- dp23 dp31
dv dv
p31 P12
dv dv
р23 Рз1
— т
^31 P12
дрзг dp i2 • др23 dpzi
dv dv
2
dv dv
= 0.
Р23 Р31
др^з dp3i
dv dv
Аналогично, доказывается справедливость других равенств
(15, 16). Таким образом,
= у2 = ?2(«) =
А3 Аз Вз В3
2. Выразим из (12, 13) Ai, А2, Аз> Bi, В2, В3 через s и t
и, подставляя в определитель Массо, получим
Ai А2 Аз
Bi В2 Вз
Ci С2 Сз
zz (С//?23 С*2'Р31 4“ С$р\2)* s*t* А.
254
Пример. Рассмотрим уравнение
Ci (w) + С2 (о») {а (и) + И®)} + сз («О а («) ? 00 = О-
В этом случае
Ргз = 1, Psi = а («) + ₽ (®), р1з = « (и) Р (v).
Легко проверить, что условия (7, И, 14) выполняются. По
формулам (12) находим
At _ А2 Аз
а2 ~ а 1
и по формулам (13)
В,__ В2 __Вз
Р ~ - Р ~ 1 *
Таким образом, определитель Массо имеет в этом случае вид
а2 — а 1
?2 1 .
Ci(w) Ci(w) C8(w)
Рассмотрим теперь случай, когда данное уравнение со-
держит два слагаемых:
Ci (w) р2з (и, v) 4- Сг (w) psi (и, v) = 0.
Очевидно, что в этом случае Сз(®)«0, рпфО; в противном
случае, если pi2 = 0, то
Д1 Аг q
Bi Вг
и отсюда Az = C-Ai, Bz = C-Bi, тогда
Аг А$ _____£ Д1 Аз
В2 Вз Bi Вз
Рз1 =
Аз Ai
Вз Bi
и данное уравнение имело бы вид
Ci (w) ргз + Сг (w) psi s
Ai
Bi
• (Cl (w) • C — Сг (w}) — o.
Следовательно,
Но ргз, psi, pi2 удовлетворяют уравнениям (7), (11) и, та-
ким образом, если совместна система (7, 11) относительно
неизвестной функции pi2, то к данному уравнению можно
применить предложенный выше метод.
255
Пример. Пусть дано уравнение
/1 (и)/2 (v)fa (w) — 1 = 0.
Можно положить ргз = /1 (а)/г (»), рп = 1» рп — неизвестная
функция, тогда уравнения (7, 11) принимают вид
/1(«)/г(®) /1(«)/2'O) 1 0 Р12 dv ^0, /i(«)/a(®) 1 0 Р12 ^12 ди SS0.
AWfifv) 0 dv2 Л"(«)/2(^ 0 <?>12
Отсюда имеем Из (17) следует, что _( (17) / P^"v,v _/да (“Ц) ^2 _ ди 0. (18)
(.Ра)? fi («)
или
In (Р12); = ln/2 (v) 4- In p (я).
Таким образом, (pi2)'v = /2 (v) • p (a).
Интегрируя еще раз no v получаем
Pi2=/>(«)/a(‘o) + ?(a).
Подставляя найденную функцию рп в уравнение (18) имеем
а ю \р№ («) л («) - р' («) /да]+[/' («) // («) -
-?'(«)/да]^0;
так как это тождество должно иметь место при любых зна-
чениях «, v, то отсюда следует, что
/>"Л («) — Р' (“) К («) — 0
Отсюда находим
о (а) = afi + с
q(u) = bfi+d.
Таким образом,
Рп = afift + bfi + cf2+ d, (19)
где а, Ь, c, d — произвольные постоянные.
256
Из условия (14) следует, что
Л Л. л afifi + bfi + с/г + d
д = //д 0, -Mb/t-cft#).
л/;, 0,
Т. е. в (19) а и с можно задавать совершенно произвольно,
а из двух чисел Ь и с по крайней мере одно не равно 0.
Рассмотрим два случая:
1) a==rf = 0, & = 1, с = 0,
тогда
Ргз =/1/г, pai = l, pn=/i
и
А = 0 Д2=/2 Д3 = -Д
В1 = 1 в2 = 0 в3 = —Л;
уравнение Массо имеет вид = 0
2) a = d = 0, b = 0 1 /э -С = /1 -1 0 -/г — 1 0 1.
В этом случае
Р23=. А-А , р31 = 1, Р12 =/14-/2
И
А. 1=1 Л2 = /2 А з = —/1
в, уравнение Массо иь = 1 <еет 1 1 /з Вг =/22 Вз = — Л; вид Л2 ~/1 // -Л =°- — 1 0
Рассмотренную задачу решил Kellog.
Дополнение V. О проблеме общей анаморфозы
Уравнение
В-232. Н. А. Глаголев — 17
w=/(«, V)
(1)
257
называют номографируемым, если существует функция
1
1
1
Ai (и)
Д (а, ф, w) = Bi (ф)
Ci(w)
А2(и)
В2(ф)
C2(w)
= 0,
(2)
удовлетворяющая условию
Д(ц, ф, f(u, ф) = 0.
(3)
Определитель (2) называется определителем Массо. Задача
определения функции (2), удовлетворяющей условию (3) в
номографии носит название проблемы общей анаморфозы.
Решением проблемы общей анаморфозы занимались как
иностранные математики Гронвалл, Келлог так и советские:
И. А. Вильнер, С. В. Смирнов и другие.
Советский номограф Вильнер доказал следующую теорему:
„Необходимое и достаточное условие номографируемости
уравнения (1) состоит в том, что функции
ф; = х; (и) [к2 (ф) - х2 («)]+х' («) [^ («) - п (?)]
ф;=у; w [п w - («л 4- у2 ю [^ («) - к
удовлетворяют уравнению Гронвалла".
В настоящем дополнении приводится новое доказательство
теоремы Вильнера и указывается способ определения эле-
ментов определителя Массо, если выполняется условие Грон-
валла.
1. Необходимое и достаточное условие номографируе-
мости уравнения (1). В дальнейшем функцию (2) будем за-
писывать следующим образом:
Ai(и) А2(и)
Д = Bi (ф) В2 (ф)
(2')
Ci(w) C2(w) C2(w)
Предположим, что для данного уравнения (1) можно опре-
делить функцию (2'), удовлетворяющую условию
А1(м) Аг(«) 1
В1(ф) В2(ф) 1
Ci{f{u, ф)) С2(/(и,ф)) Съ(/(и,ф))
тогда из (4) следует, что
= 0, (4)
Ci (J(a, ф)) [Аг («) — В2 (г>)] — С2 (/(«, »)) [Ai («) — Bi (w)[ +
+ Сз (/(«, ®)) [Al (а) В2 (ф) - Аг («) В1 (®)] = о. (5)
(В дальнейшем не будем писать аргументы функций
Ai, Аг, Bi, В2, f).
1
1
258
(7)
(8)
(9)
(Ю)
(И)
Из (5), дифференцируя по и, v, получаем
К;(/)(л2-^)-с'(/)(л1-51)+с;(/)(д1р2-д2в1)}Л4-
+ с, (/) А' - с2 (f) а\ + c3(f) (д; в2 - Д' Bi) ** о, (6)
{W) (д2 - в2) - q (/) (д. - во + q (/) (лiB2 - д2во>/;-
- (/) в' + с2 (/) в; + с3 (/) (д 1В'2 - д2в;) о.
Из (6), (7) следует, что
C1(/)^-C2(/)^+СзС/Х^Вз-^В,)
Д'. - Ci (f) в'2 4- С2 (/) в'1 + Сз (f) (ЛД - А2В^)
Из (5), (8) находим
Сл(/) _
где
Ф^л'дв.-до+д^^-во
ф;=в;(в2-д2)4-в'(д1-в1)
Ф^=л;в;-4'в;
Отношения —, — — функции только /, поэтому
Подставляя сюда вместо — соответствующее выражение
из (9), получаем одно условие на функцию ф:
(12)
(13)
где
f” ff2_Ofrf fr f 4- f" f2
yU J UU J V UV J U JV ' JVU J и
fU^v
Это условие было получено Гронваллом в ином виде.
Итак, если уравнение (1) номографируемо, то функции ф'а,
(10), удовлетворяют условию (12) Гронвалла.
17* 259
Докажем справедливость предложения обратного рассмот-
ренному т. е. что, если существует решение ф уравнения (12),
удовлетворяющее условиям
ф;=х; (и) [к2 (v) - х2 («)]+х,' («) [х («) - п («)]
ф;=г; (х>) i п (?) - хг («)] + г; [х («) - л (<>], (ю')
то уравнение (1) номографируемо.
В самом деле, из (10') следует, что
^ = Х[(^^)-Х'2(^[(я>).
Сравнивая полученный результат с (И) получаем
Д1 (и) = X (и) + G, Д2 = X («) + С2, Bi (к) = Yt (v) + С»,
В2 (к) — К2 (») -|- Ct.
Подставим эти значения Ai, Д2, Bi, Вг в (10):
ф;=х; [Уг-Хг+ь- с2]+х2' [х - к,+с, - с8]
К = ЛI - Хг + Ci - Сг] + У'2 [X - И + Ct - С8],
Отсюда и из (10') следует, что
х; (Ci - Сг) + Х'2 (Ci - Сз) = о,
Y[ (Ci — Сг) + г; (С1 - Сг) « 0;
если
=Ф;;офо, то с< = с2, С1 = Сз.
Если Ф".г, = 0, то легко видеть, что шкалы и, v расположены
на параллельных прямых. Таким образом, определены эле-
менты первых двух строк определителя Массо.
Из (9) определяем
G (/) СИ/)
G(/)’ С3(/)’
С с
Функции Ai, Аг, Bt, Вг, —, — удовлетворяют уравнению (5),
Сз Сз
а следовательно (4), так — , где (k— 1, 2) определены по фор-
с3
муле (9) при помощи уравнений (5), (8).
С с
— — функции только /, так как есть решение урав-
Сг С3
нения (12).
Таким образом, получена следующая теорема:
Для того, чтобы, уравнение (1) было номографируемо, не-
260
Л2(и) = О
В2 (т>) = В (г»);
определяем
*tv=AB',
обходимо и достаточно, чтобы функции ,<|/ , <]/ (10), (10')
удовлетворяли уравнению (12).
Рассмотрим несколько примеров составления определителя
Массо для заданного уравнения (1).
2. Носители шкал и и v прямые линии. Если носители
шкал и, v прямые линии, то приняв эти прямые за оси аф>
финной системы координат, можно положить
Ai(u) = A (и)
Bi (т>)=0
тогда по формулам (10), (10')
К = А'-В,
К в'*
cl/ в
• и
и
где Т=в-А-
АВ' Т 7 Ь2 А'
Уравнение (12) Гронвалла в этом случае принимает вид
-н /»'2 о/" г' । r’f jr'2
« d In Г Zfdln7" J ии? v uv JuJ\ ' Jvv Jи
—f.—=M =------------^7---------
Для этого уравнения в
функции In Т получаем
du
частных производных относительно
следующие уравнения характеристик:
__ dv _din т
' ~~fr ~м~ *
V J и
Так как
г'2^
" ди
г '2^
u dv
ди fv + dv-
— d In т
ди
d In т
dv
то уравнения характеристик
du dv
J.u
принимают вид
din Г__________
д In т . _ д In г ,
~д Д + ~д fu
ди а dv “ .
М =
V
261
Из этой системы уравнений получим следующие уравнения:
ГЛ+Л^ = 0, -—~du — -^-^4-rfln T=Q.
ди dv
Отсюда имеем
/(«, v) = с, — == Ci = <о (с),
т
Следовательно, общее решение
Г==т.й)(д (14)
где «>(/) — произвольная функция f.
Так как Т — , то (In Т)” = 0.
& (v) А' (и) 4 ,u'v
Подставляя сюда значение Т из (14), получаем
аз)
Пример. Пусть дано уравнение
= а (м) 4- у аЦи) + р2(г>) = /(«, v),
тогда
f’ _ лг | « («) д' (») (Т°2 + Р2 + g (ц) ) д' (U) _ /»'
“ уа« + р И^+Т2 У^^+Т2
/'=
v уа-ЧТ2 ’
Следовательно,
т — и in т == In РУ — In и’ — In f.
д' •/
В этом случае
(int)up = — ___4-__ .
Уравнение (15) принимает вид
Этому уравнению можно удовлетворить, положив
— = — , отсюда <о== cf и при с = 1 <о =/.
262
Следовательно,
T = x^(f)=^7.f=^r-
j •« °
но так как
Т=— • —
В1 ' А' ’
то
— = -2^', —= -2а'.
В3 гг А2
Отсюда находим, что
-±- = 2a(«) + Ci; -L = p+C2.
При
Ci = C2 = 0, — = 2а(м), —=₽2,
А В,
и
А = —1—, 5 = —;
2а (И) ₽2
тогда
,, а' 3'
ф = — -----, ф =----!- .
Т" 2а2р3 v ар’
Из уравнения (9) определяем
Cl f _ f 1_
и Таким образом, Сз Р2 + 2а/ С3 _ 1 с3 ₽’ + 2а/ уравнение Массо f2 = J_< имеет f вид
1 2а 0 0 1 1 1 — 0 или 1 0 0 1 2а р = 0.
1 f ₽а 1 1 f 1 /2
Рассмотрим другой пример. Задано уравнение
•го=/(/), где t =
263
тогда
Л = f'v= XYr, fa„=f\t)X'Y'XY+f (t)X'Y'
t=A.ZL, int^o.
X'Y
Уравнение (15) принимает вид
Отсюда определяем <о = ci (XY)C.
Следовательно, при ci = 1
А—с Xе (и), B = cYc(v).
Подставляя значения А, В в уравнение (9) получаем
C(/)=^ = -(W
с Xе 0 1
О cY~c 1 =0
—(ХУ? 1 о
где
X-Y=f-l(‘U>).
3. Ответная шкала w расположена на прямой. Для урав*
нения с прямолинейной ответной шкалой можно положить
€’Д+^/«=о-
Покажем, что всякий интеграл уравнения (16) удовлетворяет
уравнению (12) Гронвалла. В самом деле, из (16)
»» т и У
Ju
Отсюда
Ф' = _ ф' А. _ ф„ f“
*VU *UU -f *« r2
fu
ф' = — ф' b-.— ф„ fufvo-fyfuv
• VU *UV r *u
Ju fu
ИЛИ
n fv fU fvu fv fuu
ЧШ -г ‘И fl 9
f“ fa
264
Подставляя значения ^"uv^ в уравнение (12) Гронвалла по-
лучаем
0=0
Итак, чтобы существовало решение для данного уравне-
ния w=fill, v) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
условия (10), (10').
Пример. Пусть
w = /(s), $ = и2 av + s'2,
тогда
^(« + 2г') + Ф;(2« + ‘о)= 0.
Уравнения характеристик имеют вид
(17)
= ^ = 0.
I О.. t Ж. ’ »
и + 2t> 2« + V
(18)
~ dv 2и -1- v v ,
Отсюда имеем— = —полагаем — = 1, тогда предше-
da и + 2v и
ствующее уравнение принимает вид
Интегрируя, получаем
(1 —/)з (1-{-/)И4 = с
и, кроме того из второго уравнения системы (18)
ф = <?1
Следовательно, общий интеграл уравнения (16) следующий:
ф = 0 (р) р = (и — -п)3 (и -J- ®)>
Положим 6(р)=р, тогда
ф; = (4а4-2®) (и—s')2
= — (2а+4-п) (а — -о)2,
отсюда
Kv = 6(v2“«’)-
265
Сравнивая полученный результат с
получаем
Л'= 2 Д'2 = 3м2, В'г = 2 B'2 = 3v2
Таким образом, Ai—2u Лг = «3, Bi = 2v Bz = v3.
По формулам (9) находим
Cj _ 2
Сг и2 + uv + v2 ’
Уравнение Массо имеет следующий вид:
2и и3 1
2v г>3 1
2 и2uvv2 О
= 0.
Заменяя и2 + uv 4- v2 — w, получаем
и и3 1
V 1 = 0.
1 W 0
ЛИТЕРАТУРА
1. Гронвалл. (Oronwall) J. Maht. Lerie 8, 59 (1912).
2. В и л ь н е р И. А. Номографирование систем уравнений и аналити-
ческих функций. Номографический сборник, 1951.
3. Смирнов С. В. „О номографируемости уравнений* Ученые записки
Ивановского Педагогического института 1953 г. т. IV.
4. С м и р н о в С. В. О существовании решения проблемы общей ана-
морфозы. ДАН 1957. т. 116 № 3.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Номограммами, рассмотренными в настоящей книге, не
исчерпываются все виды номограмм, которые можно постро-
ить для решения различных уравнений. Иные виды номограмм,
близкие по типу к номограммам из выравненных точек, мож-
но получать, изменяя так называемый „разрешающий индекс
номограммы". Таким индексом в номограммах из выравнен-
ных точек служит прямая линия, в номограммах гексагональ-
ного типа — совокупность трех диагоналей правильного
шестиугольника. Если, имея три шкалы трех переменных,
взять за индекс катеты чертежного угольника, поместить
вершину прямого угла в точке с заданной отметкой на пер-
вой шкале и заставить один из катетов проходить через
точку с заданной пометкой на второй шкале, то другой катет
пройдет через точку на третьей шкале с отметкой, равной
значению третьего переменного. Этот тип номограмм был
построен Сиглером (Sigler). Другой вид номограмм получил
Годсель (Qoedseels), принимая за индекс окружность задан-
ного радиуса. Более общий тип номограмм мы получим,
принимая за индекс какую-либо кривую и сообщив ей лишь
поступательное перемещение на плоскости (номограмма
Швердта). Наконец, самые индексы могут являться носите-
лями шкал переменных. В таком случае получаем так назы-
ваемые номограммы с подвижными шкалами. Каждому типу
номограмм соответствует свой вид уравнений, которые могут
быть разрешены в номограммах этого типа.
Французский ученый Окань произвел общее исследование
всех возможных типов номограмм, которые можно построить,
комбинируя всеми возможными способами расположения
помеченных линий и точек на плоскости, пересечение или
267
совпадение которых (так называемый „контакт' может да-
вать решение какого-либо уравнения. Эта „теория контактов"
показала, что. распространенные виды номограмм и, в частно-
сти, те, которые рассмотрены в настоящей книге составляют
лишь небольшую часть всех видов номограмм, которые
можно построить для различных типов уравнений. Рассмот-
ренные нами виды являются простейшими среди всех, кото-
рые можно построить на основе теории контактов Оканя.
Но при построении более сложных номограмм нужно иметь
в виду, что усложнение вида номограммы влечет за собой
затруднение при ее построении, осложняет пользование ею
и тем самым ограничивает ее применение на практике. Все
это препятствует широкому распространению сложных номо-
грамм в практике технических расчетов и в то же время
выдвигает новую задачу — построения номографических при-
боров. Этот вопрос далеко выходит за пределы данного
учебника.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение.............. • . • ................................ 5
Глава /. Функциональные шкалы и функциональные сетки
§ 1. Функциональные шкалы и способы их построения............ 7
§ 2. Примеры функциональных шкал............................ 11
§ 3. Функциональные сетки................................... 16
Глава II. Декартов абак для уравнений
с тремя переменными (сетчатые номограммы)
§ 1. Основная форма декартова абака......................... 23
§ 2. Абак Массо............................................. 45
Глава III. Номограммы из выравненных точек
для уравнений с тремя переменными
§ 1. Общие принципы по троения номограмм из выравненных точек 61
§ 2. Уравнения третьего номографического порядка общего вида . . 79
§ 3. Номограммы канонических форм уравнений третьего порядка . . 93
§ 4. Уравнения высших порядков............................. 116
§ 5. Элементарный метод построения номограмм из выравненных
точек....................................................... 136
Глава IV. Номограммы уравнений со многими переменными
§ 1. Составные сетчатые номограммы для уравнений со многими пе-
ременными .................................................. 155
§ 2. Составные номограммы из выравненных точек для уравнений
со многими переменными..................................... 168
§ 3. Неразложимые номограммы со многими переменными........ 192
Дополнения
Дополнение I. Коллинеарное преобразование номограмм. . . 204
Дополнение II. Специальные виды номографического абака . . 216
Дополнение III. Бездетерминантный метод построения номо-
грамм . . ......................... . 228
Дополнение IV. О номографировании уравнения методом Кел-
лога................................................. 250
Дополнение V. О проблеме общей анаморфозы............ 257
Заключение............................................... 267
Н. А. Глаголев
Курс номографии
Редактор С. В. Бахвалов
Редактор издательства А. И. Селиверстова
Художественный редактор И. Ф. Муликова
Технический редактор Л. Л. Ежова
Корректор М. Д. Якушева
Сдано в набор 14/VI-61 г. Подписано к печати 10/XI-61 г.
Бумага 60X90V16 17 печ. л- I4»10 уч.-изд. л.
Тираж 12000. Т— 11463. Изд. № ФМХ/131 Заказ В-232. Цена 52 коп.
Государственное издательство „Высшая школа",
Москва, Б-62, Подсосенский пер., 20
Типография „Татполиграф" Министерства культуры ТАССР.
Казань, ул. Миславского, д. № 9.
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
(для исправления во 2-м заводе)
Стра- ница Строка Напечатано Должно быть
9 23 сверху
38 9 снизу _ (у) ч>(*) Ф'(.У) <?' (x)
61 6 снизу Х1(«)г = 0 Xi («) = 0
61 5 снизу /2 (V) а = 0 X2(v) = 0
61 4 снизу Уз (w) z — 0 Хз (w) ~ 0
75 1 снизу — ^2 — «3
106 1 сверху норму форму
109 16 сверху множителем носителем
.125 12 снизу ?i fi F3
134 11 сверху (1) (I)
134 13 сверху (2) (П)
138 черт. 33 0 Q
187 7 снизу 1 l
1+Л 1 + /2
250 15, 16 сверху + 4- + Л («3 X + 0) — — Л (a2 x
251 5 снизу (3), — (2), -
256 9 сверху
261 9 снизу 2/UV fu fv
262 10 сверху f'n
263 7 снизу Cl Co C2 Сз
264 9 снизу = 0. -0. (16)
264 5 сверху Zi . /'2 f't /'2 + ft
266 9 снизу w f~l (w)
266 | 12 сверху — w = 5
Заказ № В-232