/
Author: Калбертсон Дж.Т
Tags: математика математическая логика вычислительная техника цифровые устройства
Year: 1965
Text
s
Mathematics
and logic
for digital
devices
by James T. Culbertson
California State Polytechnic College
San Luis Obispo, California
D. VAN NOSTRAND COMPANY, INC. PRINCETON, NEW JERSEY
TORONTO NEW YORK LONDON
Математика
и логика
цифровых
устройств
Дж. Т. Калбертсон
Перевод с английского
Г. А. Шестопал
Под редакцией
И. М. Яглома
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
МОСКВА 1965
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Развитие каждой науки в значительной степени определяется
требованиями практики. Именно поэтому возникновение новых путей практического
использования той или иной дисциплины может за короткий срок полностью
изменить ее лицо. Так, «промышленной революции» XVII века
сопутствовала «математическая революция», выразившаяся в создании
аналитической геометрии и математического анализа; эти новые ветви математики
быстро стали основным орудием инженера или физика и совершенно затмили
такие старые ее разделы, как теория чисел (арифметика) и геометрия, не
говоря уже о тригонометрии. До последнего времени элементы аналитической
геометрии и математического анализа составляли основу почти всех
математических курсов, читавшихся в высших учебных заведениях; медленно, но
достаточно неуклонно шел также процесс внедрения новых идей в курс средней
школы, в большинстве стран мира уже давно завершившийся включением
в школьную программу больших разделов, посвященных методу координат
и понятиям производной и интеграла.
Середина XX века ознаменовалась новой «технической революцией»,
связанной с овладением атомной энергией, завоеванием космоса и созданием
электронных цифровых вычислительных машин. Этот научный переворот в
корне изменил наши представления о принципиальных возможностях машины,
и уже сегодня «электронным помощникам» передаются многие функции,
ранее считавшиеся доступными лишь интеллекту человека. Новые пути
использования технических устройств повлекли за собой появление некоторых
новых общенаучных концепций, обыкновенно связываемых с весьма модным,
хотя и недостаточно отчетливым термином «кибернетика». Эти концепции тесно
связаны с появлением электронных вычислительных машин и некоторыми
новыми научными проблемами, например проблемой возможно более полного
описания процессов высшей нервной деятельности человека и животных.
Все эти обстоятельства также вызвали к жизни своеобразную «математическую
революцию», характеризующуюся в первую очередь заметным повышением
интереса к «до-ньютоновской», или «конечной», математике, несвязанной с
непрерывными функциями и бесконечными процессами. Большое значение
«конечной», или «дискретной», математики связано с принципиально дискретным
характером работы электронных цифровых вычислительных машин, а также
с дискретным характером ряда других актуальных для современной науки
объектов, включая головной мозг человека или животного,
функционирующий по принципу возбуждения или невозбуждения огромного числа
отдельных нервных клеток (нейронов). Разумеется, современная «конечная»
математика принципиально отлична от математики Демокрита или
алгебраистов XVI века. Новые задачи, связанные с кибернетикой и математическими
методами биологии, определили новые подходы к старым разделам науки,
идущие в основном от математической логики. Однако не меньше отличается
«конечная» математика и от «классической» математики XIX века, имея
совершенно иные объекты изучения, а следовательно, и иные методы.
5
Практическое значение новых разделов математики определило бурное и*
развитие, и количестпенный рост литературы по теории игр или по
математической логике может только поразить специалиста в области «классической»
математики. Эти же обстоятельства вызвали пристальное внимание педагогов к
новым направлениям, которое выразилось как в появлении обширной учебной
литературы, рассчитанной на самые разные группы учащихся (от
воспитанников детских садов (!) до аспирантов-математиков включительно), так и в
прямых экспериментах разного рода. Например, группа энтузиастов новых
идей из Дартмутского колледжа в США ввела в традицию параллельное
чтение на младших курсах студентам-математикам (а также
студентам-нематематикам, интересующимся практическими приложениями математики) двух
обязательных курсов — математического анализа и «конечной» математики.
Написанный группой работников Дартмутского колледжа во главе с
Дж. Кемени учебник «Конечной математики» переведен и на русский язык1;
это интереснейшее учебное пособие, бесспорно, будет полезно и многим
читателям настоящей книги. В качестве другого примера можно указать на
эксперимент ряда ученых и методистов во главе с профессорами Сервэ и Папи,
полностью перестроивших преподавание математики в средних и старших
классах ряда бельгийских школ, переводя его на новый, «кибернетический»
лад2. В нашей стране также множатся эксперименты по преподаванию в
средней школе учения об алгебрах Буля или элементов теории
вероятностей3. При этом относительная бедность отечественной литературы по этим
разделам, доступной малоопытному читателю4, вынуждает с особым
вниманием отнестись к созданным в других странах образцам.
Настоящая книга, написанная видным американским логиком,
специалистом по теории автоматов и по математическим методам биологии Дж. Т. Кал
бертсоном (из университета Южной Калифорнии), также принадлежит
к числу учебных пособий по «новой» математике, рассчитанных на
начинающих. Содержание книги довольно обычно для литературы такого рода. Оно
включает основные представления, связанные с математической логикой и с
теорией вероятностей, а также подробный разбор различных систем счисления,
весьма важный для ознакомления с принципами работ электронных
цифровых вычислительных машин, и основные факты теории контактных
электрических цепей, иллюстрирующие приложимость к технике основных логических
конструкций.
Несколько менее обычно большое внимание, уделенное автором
«традиционной» (аристотелевой) логике. Посвященная этой теме глава V книги удачно
включает старый, изучаемый еще в дореволюционных гимназиях, материал
в общий ряд современных построений, базирующихся на развернутой
математической символике. Следует также отметить систематическое (и весьма
удачное) использование автором аппарата так называемых «нервных сетей»,
пронизывающих буквально все разделы книги. Под этими сетями свободно
можно понимать основные узлы (условной) электронной вычислительной
машины; с другой стороны, учение о нервных сетях, близкое к основным
научным интересам автора книги, иллюстрирует (в нарочито упрощенной форме)
современные материалистические воззрения на высшую нервную
деятельность человека и животных.
1 Дж. Кемени, Дж. С н е л л, Дж. Томпсон, Введение в
конечную математику, М., ИЛ, 1963.
2 См. книгу Ра р у, Mathematique moderne, I, Bruxelles — Paris, 1963,
представляющую собой учебник, рассчитанный на учащихся в возрасте 12—
13 лет.
3 Следует отметить, что в утвержденную Министерством просвещения
РСФСР программу курса математики для средних школ, готовящих
программистов-вычислителей, введены и элементы теории вероятностей.
4 См., впрочем, сборник «О некоторых вопросах современной математики
и кибернетики», М., изд. «Просвещение», 1965.
6
Своей доступностью книга во многом обязана тысяче и одной (!) задаче
и упражнению, поясняющим буквально каждое положение книги и каждое
новое понятие. Для того чтобы предоставить читателю возможность
самоконтроля, автор систематически включает в текст обзорные задачи,
относящиеся ко всему предшествующему материалу. Яркие и занимательные задачи
составляют одно из главных достоинств этой интересной книги, и нам хочет-
ся призвать читателя не пренебрегать ими. Разумеется, нет необходимости
решать все упражнения подряд; однако для начинающего будет полезно
разобрать значительное их число. Переходить к следующему пункту или
параграфу следует лишь после того, как читатель убедится, что он полностью
овладел предшествующей темой.
Хочется также отметить употребление автором грамматически
неправильной частицы «iff» (через два f!), заменяющей выражение «if and only if»
(тогда и только тогда); в русском переводе частица «iff» переведена словом
«ттогда» (через два «т»). Это слово выглядит непривычно и может шокировать
читателя, воспитанного в уважении к правилам правописания; но этой именно
реакции и добивался автор, желая мобилизовать внимание учащегося и
предостеречь его от возможной ошибки.
В ряде случаев автор подробно объясняет вещи, хорошо знакомые всем
нашим,школьникам, но недостаточно оттеняет моменты, близкие, по-видимому,
американским учащимся, но могущие вызвать известные затруднения у
нашего читателя. Это обстоятельство, как и некоторые имеющиеся в английском
оригинале расхождения с принятыми в русской математической литературе
обозначениями и терминологией, обусловило неизбежные отклонения от
буквального перевода (не оговариваемые в каждом отдельном случае).
Подстрочные примечания автора всюду в книге обозначаются цифрами, а
сноски переводчика и редакторов — звездочками.
Эта книга может быть рекомендована студентам младших курсов физико-
математических факультетов педагогических институтов и университетов; ее
можно использовать также в школьных и студенческих математических
кружках. Книга будет полезна учащимся средних школ с повышенной
математической подготовкой, а также всем лицам, интересующимся кибернетикой
и ее математическим аппаратом. Наконец, особо хочется рекомендовать
книгу учителям математики средних школ, ознакомление которых с новыми
идеями надо считать очень важным.
И. М. Яглом
ПРЕДИСЛОВИЕ
«Математика и логика цифровых устройств» была написана в качестве
учебника для учащихся старших классов колледжей, занимающихся
математикой и электроникой; она может оказаться полезной также и тем
учащимся, которые собираются заняться деятельностью, так или иначе связанной с
вычислительными машинами. Для понимания книги требуется только
знание алгебры в объеме средней школы.
Текст книги возник из литографированных записей лекций, относящихся
к трем последовательным курсам. Первый курс читался в течение четверти
учебного года по три часа в неделю (предварительные сведения, перестановки
и сочетания, системы счисления и некоторые вопросы традиционной логики).
Второй курс также был трехчасовым курсом, рассчитанным на четверть года
(силлогизмы и другие разделы традиционной логики, булева алгебра множеств
и булева алгебра высказываний). Третий курс также читался в течение
четверти года, но по одному часу в неделю, и был посвящен приложениям
булевой алгебры к анализу контактных схем.
Эти курсы, взятые в такой последовательности, вместе с курсами
математического анализа должны предшествовать в подготовке большинства
учащихся, специализирующихся по математике и электронике, курсам
программирования и численного анализа.
Я очень обязан критике своих слушателей, которые с энтузиазмом
исполняли роль подопытных морских свинок. Я хочу также поблагодарить моих
коллег за их помощь и поддержку, а также мою жену за проделанную ею
большую работу.
Сан Луис Обиспо, Калифорния Джеймс Т. Калбертсон
Май 1958 г.
ГЛАВА I
Некоторые предварительные
сведения
§1. Введение
За последние двести лет содержание традиционного курса
математики определялось главным образом развитием физики и
техники. Применение математики в этих областях определяли те
разделы курса, которые должны были быть усвоены в первую очередь1.
Естественно и сейчас продолжать изучение этих частей
математической науки. В то же время ясно, что ограничиться изучением
только этих разделов в настоящее время уже нельзя, иначе мы
отстанем от современного уровня развития науки.
Дело в том, что в течение последних двадцати лет техника
весьма сильно развилась, точнее говоря, возможности техники
неожиданно и очень значительно расширились в связи с появлением
цифровых вычислительных машин. Большая часть той математики,
которая необходима для изучения этой новой стороны технической
деятельности, не входит сейчас в традиционный курс, изучаемый в
средней или даже в высшей школе.
В предлагаемой книге как раз и содержится часть того
материала, который связан с изучением работы вычислительных машин, в
первую очередь некоторые вопросы математической логики. Книга
не является учебником программирования и не посвящена
математическому анализу работы электронных цифровых вычислительных
машин. Однако в ней излагаются те разделы математики,
освоение которых может принести пользу в дальнейшем, при
изучении современных вычислительных устройств. По оглавлению книги
можно составить первое представление о круге рассматриваемых в
ней понятий.
В настоящей главе рассматриваются некоторые сведения,
необходимые для понимания дальнейшего.
1 Нужно отметить и важные исключения из этого правила: изучение
математической статистики, связанное с нуждами биологии, и изучение
некоторых разделов математики, необходимых для финансовых и коммерческих
расчетов.
9
§ 2. Алгоритмы
К числу основных понятий математики относится понятие а л-
г о р и т м а. Под алгоритмом для решения данного типа задач
понимают точное описание (правило) выполняемого шаг за шагом
процесса, который завершается через конечное число шагов и
приводит к решению любой задачи данного типа.
Простейшими алгоритмами, известными учащемуся с первых
же лет обучения, являются правила выполнения любого из
арифметических действий. Например, алгоритм умножения —это метод,
дающий возможность, действуя шаг за шагом, перемножить любые
два целые числа, как бы они ни были велики; в силу своей простоты
этот алгоритм можно освоить сразу же после запоминания
некоторых результатов сложения чисел и таблицы умножения чисел,
кончающейся равенством 10x10= 100.
Для иллюстрации перемножим 23 на 14. Это умножение
выполняется при помощи следующих последовательных шагов:
х23
х 14
92
23
322
Шаг первый. Умножаем 4 на 3. Получаем 12; 2
записываем в правом столбце, 1 запоминаем.
Шаг второй. Умножаем 4 на 2. К результату
умножения—числу 8, прибавляем 1 (перенос из первого шага). Полученный
результат, число 9, записываем перед 2.
Шаг третий. Умножаем 1 на 3, получаем 3. Записываем 3
во второй строке под вторым справа числом первой строки.
Шаг четвертый. Умножаем 1 на 2, получаем 2.
Записываем 2 перед 3.
Шаг пятый. Складываем результаты второго и четвертого
шагов, получаем 322.
Иногда алгоритм может включать и «пробные шаги». Таких
шагов совсем не содержит алгоритм умножения, но они имеются,
например, в алгоритме деления целых чисел. В качестве примера
применения этого алгоритма рассмотрим задачу: найти частное и
остаток при делении 712 на 13.
712 Ц_3
65 54—частное
62
~ 52
10—остаток
10
Несмотря на простоту алгоритма деления, нам представляется
полезным записать несколько его первых шагов.
Шаг первый. Выделяем в записи делимого слева направо
столько цифр, сколько цифр в делителе. Получаем 71.
Шаг второй. Ищем наибольшее число п такое, что пх 13
не больше выделенного числа. Получаем 5. (Для того чтобы сразу
написать в ответе 5, а не какое-нибудь другое число, необходимо
знать все числа, кратные 13; однако требовать это, во всяком
случае, неразумно. Здесь-то и появляются пробные шаги:
1)0.13= 0<71; 2) Ы3=13<71; 3) 2.13 = 26 <71;
4) 3-13 = 39 <71; 5) 4-13= 52 < 71; 6) 5.13 = 65 < 71;
7) 6.13 = 72 > 71.
Учащийся убеждается в том, что 6-13 уже больше 71, а 5-13 еще
меньше, и выбирает 5.)
Шаг третий. Умножаем 5 на 13, получаем 65.
Шаг четвертый. Вычитаем 65 из 71, получаем 6.
Шаг пятый. Приписываем к результату вычитания
первую после выделенного числа (71) цифру 2. Получаем 62.
Шаг шестой. Выполняем указание второго шага (здесь нам
снова требуются промежуточные пробные шаги) и т. д.
В описании второго шага мы преувеличили число пробных
шагов. На самом деле количество проб, которое должен сделать
ученик, обычно не превосходит трех или четырех. Когда деление
на многозначное число выполняет автоматическая цифровая
машина, то для нахождения первой единицы частного она
совершает подряд систематические пробы (например, в данном случае
сначала она пробует 0, затем 1, затем 2 и т. д. —до тех пор, пока
произведение 13 на пробуемое число не превысит 71) и в качестве
правильного примет число, на единицу меньшее последнего
испробованного. (Позже, если учащийся будет изучать конструкцию
вычислительных машин, он поймет, как именно машина все это проделывает.)
Для того чтобы решать на цифровой вычислительной машине
любую задачу какого-либо класса, нужно заранее составить полный
алгоритм для решения задач этого класса; только после этого
машина может быть использована для решения данного класса задач. В
случае, если этот алгоритм содержит пробные шаги, математик
должен выработать систематический метод, дающий возможность
машине в случае надобности производить эти шаги и принять только
одну из произведенных проб в качестве требуемого результата.
§ 3. Решето Эратосфена
Простым называется натуральное число (отличное от 1),
которое делится только на себя самого и на if Можно ли указать
алгоритм для нахождения всех простых чисел, меньших некоторого
данного числа Л/?
Общий алгоритм для решения этой задачи, идея которого
заключается в вычеркивании всех чисел до N, кратных какому-либо
числу, был найден около 250 г. до н. э. Эратосфеном. Рассмотрим
его на примере нахождения всех простых чисел, меньших числа 50.
Сначала выпишем все последовательные числа от 1 до 50:
123456789 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49
Шаг первый. Вычеркнем 1, так как это не простое число.
Шаг второй. Оставим первое невычеркнутое число
(таковым будет 2), но вычеркнем каждое второе число после него.
Получаем:
*23/*5£Г7ЯГ9Ю
11 Уй 13 J4 15 V8 17 \А 19 26
21 25 23 ?4 25 36 27 Й 29 Эб
31 ^ 33 34 35 36 37 3& 39 #6
41 ^ 43 44 45 4б 47 4Й 49
Шаг третий. Оставим первое невычеркнутое после 2 число,
большее 2 (таковым будет 3), но вычеркнем каждое третье число
после него. Получаем:
12
X 2 3 # 5 A 7 & Sf }6
11 t^ 13 Ы V6 >6 17 Je 19 2(5
24 24 23 24 25 24 27 2ё 29 3<5
31 ^^^35 3^37 36^^5
41 44 43 44 4б 4^ 47 4^ 49
Шаг четвертый. Оставим первое невычеркнутое число,
большее 3 (число 5), но вычеркнем каждое пятое число после него.
Получаем:
ЛГ2 3А'5#7й'$Г}0
11 X 13 у( J6 ИГ 17 \Я£ 19 2<5
X^T23^<25'2^2Y2e 29 3<3
31 .32 .Э^ 34 35" 33 37 Эб ^ 4(5
41 42^ 43 44 4# & 47 4-ё 49
Шаг пятый. Оставим первое невычеркнутое число,
большее 5, но вычеркнем каждое седьмое число после него. Получаем:
<?23*4-5#73#1ег
11 >2 13 Л4 Ш W 17 Ж 19 20
«f22 23 54553e5728f29 30
3132ЛЗЗ<353С37 383д 40
41 42- 43 44" А5 А6 47 4S -49"
13
На этом шаге в результате описанного процесса в таблице
остались числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, т. е.
как раз все простые числа меньше 50.
Вычеркивая каждое второе число после 2, каждое третье
число после 3, каждое пятое число после 5 и т. д., мы тем самым
вычеркивали числа, кратные 2, 3, 5 и т. д., т. е. кратные хотя бы
одному простому числу, другими словами, вычеркивали все
составные числа. Невычеркнутыми остаются только числа, не
являющиеся кратными ни одному числу, предшествующему ему, т. е. простые
числа. Описанный алгоритм часто называют методом решета Эра-
тосфена.
Если нужно найти все простые числа, меньшие числа Л^, то при
использовании метода решета Эратосфена процесс заканчивается
после того, как оказываются вычеркнутыми все числа, кратные
наибольшему целому числу, не превосходящему VN. (В нашем примере
таким числом является 7, и процесс в самом деле завершился на
простом числе 7.) Действительно, каждое составное число должно
среди своих делителей иметь по крайней мере один простой
делитель, не больший V~N.
Используя метод «решета» в комбинации с некоторыми другими
методами, ускоряющими процесс, Лемер (D. N. Lehmer) составил
таблицу простых чисел от 1 до 10 006 721г. Это был колоссальный
труд, потребовавший затраты огромного количества человеко-часов.
Вскоре после окончания второй мировой войны была
составлена программа для нахождения простых чисел по методу решета
Эратосфена на современных быстродействующих цифровых
вычислительных машинах, и в результате таблица простых чисел была
существенно расширена. В настоящее время, применяя различные
методы, систематически получают все новые и новые простые числа
на разных имеющихся в мире огромных вычислительных машинах,
используя их в часы, свободные от работы над решением других,
более важных задач.
Упражнение.
1. С помощью решета Эратосфена найдите все простые числа, меньшие 110.
§ 4. Алгоритм разложения данного числа на простые
множители
Рассмотрим метод нахождения всех простых делителей данного
числа, состоящий в делении этого числа на последовательные
простые числа.
Проиллюстрируем применение этого метода на примере
нахождения всех простых делителей числа 5382.
1 См.: «Carnegie Institute Publication», 1914, т. 165.
14
Шаг первый. Проверяем, является ли первое простое
число 2 делителем данного числа. Определяем, что 2 является его
делителем; деление на 2 дает в частном 2691.
Шаг второй. Проверяем, является ли 2 делителем 2691.
Не является.
Шаг третий. Проверяем следующее простое число 3;
3 является делителем 2691; деление 2691 на 3 дает в частном 897.
Шаг четвертый. Проверяем, является ли 3
делителем 897. Является; деление 897 на 3 дает в частном 299.
Шаг пятый. Проверяем, является ли 3 делителем 299. Не
является.
Шаг шестой. Проверяем, является ли следующее
простое число 5 делителем 299. Не является.
Шаг седьмой. Проверяем, является ли следующее
простое число 7 делителем 299. Не является.
Шаг восьмой. Проверяем, является ли следующее
простое число 11 делителем 299. Не является.
Шаг девятый. Проверяем, является ли следующее простое
число 13 делителем 299. Является; деление 299 на 13 дает в
частном 23, являющееся простым числом. Таким образом, мы
разложили число 5382 на простые множители:
5382
2691
1897
299
23
= 2.
2
3
3
13
23
З2-
Упражнение.
2. Разложите на простые множители описанным выше методом числа:
13 356; 16 800; 2835.
Очевидно, что применение признаков деления может укоротить
описанный процесс, так как при этом исключается необходимость
фактически производить некоторые пробные шаги деления. Помня,
например, о том, что: 3 является делителем данного числа ттогда1,
когда 3 является делителем суммы цифр этого числа; 5 является
делителем данного числа ттогда, когда число оканчивается либо 0,
либо 5; 11 —ттогда, когда разность между суммой цифр числа,
стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных
местах, делится на 11, можно было бы избежать выполнения пятого,
шестого и восьмого шагов алгоритма.
* Знак # т в книге употребляется вместо слова «следовательно».
1 Слово «ттогда» будет обозначать в данной книге выражение: «тогда
и только тогда».
15
§ 5. Алгоритм Евнлида
Наибольшим общим делителем двух целых
чисел называется наибольшее целое число, на которое делятся эти оба
числа, или, иначе, наибольшее число, делящее эти числа. Так,
например, 6 является наибольшим общим делителем (краткое
обозначение: НОД) 18 и 24, так как никакое другое число, большее б, не
делит одновременно 18 и 24.
Для нахождения наибольшего общего делителя двух заданных
чисел Ri и R2 используется замечательный процесс, который носит
название алгоритма Евклида. Этот процесс состоит в
следующем:
Шаг первый. Большее число JR4 делим на меньшее R2.
Получаем остаток R3.
Шаг второй. Делитель R2 делим на остаток R3.
Получаем новый остаток £4.
Шаг третий. Делитель R3 делим на последний остаток #4.
Получаем новый остаток Rb и т. д.
Процесс продолжается, таким образом, до тех пор, пока
полученный на каком-либо шаге деления остаток не обратится в ноль.
(Читателю предлагается доказать, что такой момент
действительно наступит.) Последний использованный делитель (или последний
не равный нулю остаток) и есть наибольший общий делитель чисел
JRi и R2. Найдем, например, наибольший общий делитель чисел
1207 и 1349.
Шаг первый. 1349 > 1207.
1349 | 1207
1207 1
142 {Rx)
1207 | 142
1136 8
71 1Я.)
142 |_71_
142 2
0 (R3)
.\ наибольший общий делитель этих чисел равен 71.
Заметим, чю в этом процессе частные не играют никакой роли.
Шаг второй.
Шаг третий.
16
Это позволяет использовать более удобную и короткую запись:
(1) (8) (2)
_ 1349 1 1207 | 142 171
1207 1136 142
142 71 0
(в скобках сверху записаны частные).
Упражнения.
3. Найти наибольший общий делитель чисел: а) 6584 и 6624; Ь) 1159 и
1297; с) 918 и 1908; d) 1134 и 1851; е) 504 и 904.
4 (необязательное). Докажите, что применение алгоритма Евклида
действительно приводит к получению наибольшего общего делителя двух чисел.
Сравните ваше доказательство с доказательством, приведенным в какой-либо
книге по теории чисел.
§ 6. Алгоритм Ньютона приближенного вычисления
нвадратного норня
Рассмотрим в качестве еще одного примера часто
применяющийся на практике алгоритм Ньютона вычисления
квадратного корня из данного числа N с любой желаемой степенью
точности:
Шаг первый. В качестве первого приближения для V N
берем произвольное число Аи
Шаг второй. Вычисляем Л2=—[А1-] ).
Шаг третий. Вычисляем А3= — (А2-\ ) и т. д.
Наблюдательный читатель заметил, *гго вычисление
последовательных приближений }/~N сводится к выписыванию
последовательности чисел А19 А2, Л3..., общий член которой задается формулой:
Учащийся, знакомый с основными результатами теории
пределов, без труда сможет доказать, что НтЛл = VN. Числа же Ап
дают приближенные значения искомого VN с той или иной степенью
точности.
Обратим внимание на то, что выбор числа Ах произволен. Этот
факт не влияет на окончательный результат (т. е. все равно НтЛл ==
= VN)9 но он влияет на скорость процесса. Чем удачнее мы
выберем А и тем быстрее достигнем желаемой точности, т. е. тем
меньше нам придется делать шагов (вычислять члены последователь-
17
ности) для получения приближенного значения VN с нужным
числом верных знаков. Достаточно удобно принимать за Ах
приближенное значение квадратного корня из N с точностью до единиц,
т. е. одно из целых чисел т или (т+l) таких, что m2<yV<(m-f 1)2.
(Здесь нам так же придется делать несколько пробных шагов.)
Пусть, например, N = 130. В качестве первого приближения
возьмем число 12 (это приближение по избытку с точностью до
единиц, так как 122 = 144 > 130, а 112 = 121 < 130). В этом случае
Ai = 12, А2 = — (12 4- —— J ^ 11,41. Полученный результат
имеет три верных знака.
Упражнения.
5 (необязательное). Докажите следующее утверждение: если в качестве
первого приближения для квадратного корня из данного числа, большего
единицы, взять число, отличающееся от точного значения меньше чем на 1, то
каждое новое приближение, получаемое с помощью алгоритма Ньютона,
будет лучше предыдущего.
6. Пусть А 2 = N. Возьмем в качестве А1 в алгоритме Ньютона само
число А. Методом математической индукции докажите, что все члены
последовательности Alt A2, ... будут равны между собой и равны А.
7. Вычислите ^240 с точностью до трех верных знаков.
8. а) Вычислите "^25,83 с точностью до 6 знаков. Положите А\ = 5.
Ь) Вычислите У"207,165 с точностью до 6 знаков. В качестве первого
приближения примите число А{ — 14,4, имеющее 3 верных знака.
Мы рассмотрели примеры простейших алгоритмов. Алгоритмы
такого типа могут быть применены для решения задач на цифровых
вычислительных машинах. Отметим следующее существенное
обстоятельство: математические машины решают только
арифметические задачи. Это значит, что они не могут производить
никаких действий над данными, представленными в буквенной
форме; они могут производить действия только над числами,
представленными в виде последовательности цифр.
Несмотря на эти ограничения, с помощью вычислительных
машин оказывается возможным решать очень широкий круг
математических задач, так как большинство из них допускает
арифметическое (в указанном выше смысле) решение. Обычно результат
получается приближенным, но зато он может быть получен с любой
желаемой степенью точности.
Не нужно думать, однако, что при этом дело ограничивается
только применением простейших правил арифметики. Только
использование более современных областей математики позволяет
достичь такого понимания каждой сложной математической задачи,
которое дает возможность придать ей чисто арифметическую
форму, пригодную для решения задачи на цифровой вычислительной
машине. Кроме того, современная математика существенно
используется при конструировании самой машины.
18
Грубо говоря, вычислительные машины решают задачи только
арифметически. Однако конструкторы, операторы и программисты—
люди, которые создают машины и подготавливают задачи к
решению на них, должны владеть современной математикой.
§ 7. Применение знана 2 дпя записи сумм
Существует удобное сокращенное обозначение для записи
суммы N последовательных членов любой числовой
последовательности аи а2,...,ап,..., состоящее в следующем. Вместо выражения
N
01 + 02 +... + aN употребляется выражение V alt где сначала пи-
шется знак суммирования 2 (греческая буква «сигма» большая),
внизу и вверху которой указываются пределы суммирования, а за
знаком 2 — общий член последовательности; индекс i называется
индексом суммирования. Все эти соглашения легко разъяснить на
следующем примере:
5
Ц а/ = а1 + а2 + а3 + 04 + 0б
Левая часть этой формулы, являющаяся сокращенной записью
суммы, стоящей справа, читается так: «сумма от *=1 до / = 5
чисел ар. Она по определению равна правой части, которая
читается: «а первое плюс а второе, плюс а третье, плюс а четвертое,
плюс а пятое». Вот другие примеры:
л 5
5>i = *i + e. + e.+ ... +а„; £ *= 1+2 + 3 + 4 + 5 = 15;
/=2 az=0
5
В качестве еще одного примера рассмотрим следующую задачу:
5
записать без" знака суммы У| (х2-{-3) и найти значение получен-
ного выражения.
От в ет:
5
2 (** + 3) = И" + 3) + (2» -1-3) + (32+ 3) + (4* +3)+(58 + 3) = 70.
19
Соглашение это можно понимать и более широко, придавая
индексу суммирования не только натуральные, но и любые целые
значения.
* 7
Например: £ 2* = 2~3 + 2~2 + 2"1 + 2° + 21 = 3 —.
Л--3
Упражнения.
9. Записать без знака суммы и вычислить значения следующих выражений:
«)S2w^<-')""^^(^|)
П±2
2
л=—2
10. Запишите выражения:
а) 1+ —+ — + — + —+ —; Ь)х + — + — + —
357911 357
с помощью знака суммы.
з
11. Запишите без знака суммы \ гп и вычислите значение этого выра-
1
жения при г= — .
2
5
12. Запишите без знака суммы \ (1 + л d) и вычислите значение этого
п=о
выражения при <23 = 3.
13. Вычислите:
з б з з
а) у (3я-л); 6) Vj (2«-i); с) V (п2 - 1); d) V 2я3-л2-2л.
л=0 п=1 я=—2 п=0
Здесь уместно ознакомить читателя со следующими теоремами:
Теорема 1.
Доказательство:
]£ С *, = £?]>] *,.
£ С*, =* С*! + С*а -|- ... + С*я = С (*г + *2 + •'• +*/*) =
{-1
"V1
/=1
20
Эта теорема выражает известное свойство сложения: для того
чтобы умножить на одно и то же число сумму нескольких чисел,
достаточно умножить на это число каждое слагаемое отдельно и
результаты сложить. Иначе: постоянный множитель можно выносить
за знак суммирования.
Теорема 2.
п п п
£(*/+у*)=2 **+2 У/-
Д оказат е л ьство:
2 (** + У*) = (*1 + У1) + (*2 + У2)+ •-• +(*Я + Уя) =
/ = 1
п п
= Х ^+S У/-
Это есть сокращенная запись другого свойства сложения: для
того чтобы найти сумму двучленов, достаточно сложить все первые
члены и прибавить к результату сумму всех вторых членов.
Иначе: сумма двучленов равна сумме первых членов плюс сумма вторых
членов.
Теорема 3.
х=-1
Доказательство:
п
Обозначим 2^ х через Sn. Имеем:
1+2 + ... +(„_1) + „=,5„(
" + («-!)+ ... +2+1 =Sa.
Сложив эти два равенства, получим:
(п+1) + (п+1)+ ... + (n+l) = n(n+l) = 2S„,
{п слагаемых)
п(п + 1)
.-.1- , -
х=1
Мы получили сокращенную запись известного предложения:
п (п 4- П
сумма первых п натуральных чисел равна —.
21
§ 8. Использование знака 11 для записи
произведений
Аналогично сумме можно записывать произведения N
последовательных членов любой последовательности. Для этого вместо
знака I» используется знак (символ) произведения II (греческая буква
N
«пи» большая). Выражение JJ аь понимается как произведение
ai-a2-ab...-aN. Таким образом,
4
11 at = ах • а2. а3 - аА.
i=\
Левая часть представляет собой сокращенную запись
произведения, выписанного в правой части. Левая часть читается так:
«произведение от / = 1 до i = 4 чисел ар. Это по определению равно
правой части: «ах умноженное на а2, умноженное на а3, умноженное
на а4».
Вот несколько примеров:
п
П(1+М = (1+*)(1+2*)(1+3*) ... (1+дх);
4
0,04 П (t'2+ 1) = 0,041(—l)2-f 1][02 + 1][12 + И [22+ 1] [32 +
<=—1
+ 1][42+1]=136;
Д2-"= 1. J ! L. ... ._»
„1о 2 4 8 2N
Произведение Па встречается так часто, что для него имеется
специальное наименование «факториал» и специальное обозначе-
п
ние л!. Таким образом, л! = 11 k = 1 . 2 . 3 . 4 . ... . (л — 1)/г.
Например: 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120 и л! = (л — 1)! л.
(Эти соглашения не определяют символ 0!; принято считать,
что 0!= 1).
Упражнения.
14. Вычислите 51.
15. Покажите, что — = (п — 1)1.
п
22
16. Запишите без знака произведения следующие выражения:
а) Д 2*-i; Ь) Д (2** _ 2^ + 1); с) 12 Д ^ .
Вычислите значения полученных выражений.
з
17. Запишите без знака произведения XX гП и вычислите значение этого
п=о
1
выражения при г =»—.
з
18. Запишите без знака произведения XX г^ и вычислите значение этого
л = 0
выражения при г = 2.
Обзорные задачи.
19. Найдите простые числа, меньшие 326, с помощью решета Эратосфена.
20. Разложите число 598 на простые множители.
2 1. Найдите наибольший общий делитель чисел 360 и 708 с помощью
алгоритма Евклида.
22. Используя алгоритм Ньютона, найдите |^186 с четырьмя значащими
цифрами. В качестве первого приближения примите Ах — 14.
4
23. Запишите без знака суммы 0,2 XI Qyz , и вычислите значение
этого выражения.
24. Выразите 1 1 1 1 с помощью знака > ,.
2 ^ 5 10 17 26 ^
к
25. Запишите без знака произведения XI ^~п и вычислите значение этого
л=-Л
выражения.
§ 9. Нейроны, или обобщенные компоненты
цифровых машин
Компоненты цифровых вычислительных машин, т. е. те детали,
из которых строятся эти машины, могут быть самого различного
рода. Компонентами ручных вычислительных машин, например,
являются счетные колеса. В некоторых машинах используются
электромеханические реле. В большинстве крупных
вычислительных машин используются электронные лампы. В настоящее время
все большее применение в качестве компонентов цифровых
вычислительных машин находят также полупроводники.
В нашей книге мы не будем входить в детали технического
устройства каких-либо из этих компонентов. Существенным для нас
является то, что несмотря на частные различия в их устройстве
23
общий принцип действия построенных из них машин по существу
один и тот же.
По этой причине мы будем считать компонентами цифровых
вычислительных машин некоторые идеализированные устройства,
которые будем называть нейронами — по названию нервных
клеток животных и человека. Нейроны, описанные в этой книге,
совсем не обязательно являются отдельными деталями реальной
вычислительной машины. Однако мы увидим, что если принять эти
нейроны за основные логические элементы, то делается очень удобным
описание схемы самой вычислительной машины и способа ее
функционирования.
Мы будем для конкретности представлять себе нейроны как
некоторые реальные физические объекты (совсем не обязательно
существующие на самом деле).
Приступим к описанию нейронов и их свойств. Будем считать,
что существуют три вида нейронов: рецепторные (входные),
центральные иэффекторные (выходные). Каждый
нейрон имеет один вход и один или несколько выходов.
Вход рецепторного нейрона называется рецептором и на
схемах обозначается квадратиком. Выходы рецепторного
нейрона, называемые окончаниями, обозначаются
кружочками. Сами нейроны изображаются линиями1 (рис. 1,2).
рецептор окончание
D . о
Рис. 1. Рецепторный ней- Рис. 2. Рецепторный нейрон
рон с одним окончанием. с тремя окончаниями.
Вход центрального нейрона называется синапсом, а его
выходы, как и выходы рецепторного нейрона, называются
окончаниями. Все входы, не отмеченные на рисунках квадратиками,
являются синапсами (рис. 3, 4).
синапс окончание синапс
Рис. 3. Рис. 4. Центральный нейрон
с четырьмя окончаниями.
1 Стрелка указывает направление течения импульса; сейчас, однако,
нет необходимости рассматривать это обстоятельство — о нем мы будем
говорить позже.
<
4=
24
Вход эффекторного нейрона также называется синапсом, а его
выходы называются эффекторами и обозначаются
перечеркнутыми квадратиками (рис. 5, 6).
эффектор г синапс
—0 —
Рис. 5. Эффекторный нейрон Рис. 6. Эффекторный нейрон
с одним эффектором. с двумя эффекторами.
Мы будем считать, что два нейрона могут быть связаны друг с
другом единственным способом — путем соединения окончания
одного с синапсом другого нейрона. Связанные друг с другом нейроны
образуют нервную сеть.
Мы будем пользоваться следующими двумя правилами
построения нервной сети:
1) каждое окончание соединяется с одним и только одним
синапсом',
2) каждый синапс соединяется по крайней мере с одним
окончанием.
Если нервная сеть состоит из рецепторного нейрона с одним
окончанием и эффекторного нейрона с одним эффектором, то они
должны быть связаны так, как показано на рисунке 7. Здесь
окончание рецепторного нейрона соединяется с синапсом эффекторного
нейрона1. Если рецепторный нейрон имеет больше одного
окончания, то все они должны быть соединены с синапсом, как показано на
рисунке 8.
D—• —И D—^—И
Рис. 7. Рис. 8. Рис. 9.
Упражнения.
26. Изобразите рецепторный нейрон с четырьмя окончаниями.
Изобразите центральный нейрон с двумя окончаниями. Изобразите эффекторный
нейрон с четырьмя эффекторами.
27. Нервная сеть содержит 3 нейрона: рецепторный, с одним окончанием,
центральный, с одним окончанием, и эффекторный, с одним эффектором.
Изобразите нервную сеть. (Рис. 9.)
1 Если даже они и контактируют, на рисунке мы все равно изображаем
синапс и окончание несоединенными, что помогает различать между собой
отдельные нейроны. Это особенно важно в случае изображения нервных
сетей с большим числом нейронов.
25
28. Нервная сеть содержит 3 нейрона: рецепторный нейрон с двумя
окончаниями и 2 эффекторных, каждый с одним эффектором. Изобразите эту сеть.
(Рис. 10.)
v» Na
Рис. 10. Рис. 11.
29. Нервная сеть содержит 3 нейрона: 2 рецепторных, каждый с одним
окончанием, и эффекторный, с тремя эффекторами. Изобразите эту сеть.
(Рис. 11.)
30. Нервная сеть содержит 4 нейрона: рецепторный, с одним окончанием,
2 центральных, каждый с одним окончанием, и эффекторный, с двумя
эффекторами. Изобразите эту нервную сеть.
31. Может ли нервная сеть состоять только из рецепторных нейронов?
32. Может ли нервная сеть состоять только из эффекторных нейронов?
33. Может ли сеть содержать больше синапсов, чем окончаний?
34. Может ли сеть содержать больше окончаний, чем синапсов?
35. Нужно составить нервную сеть из 5 нейронов: рецепторного, с двумя
окончаниями, 2 центральных, каждый с одним окончанием, и 2 эффекторных
нейронов, каждый с одним эффектором. Имеются два существенно различных
способа построения этой сети. Изобразите их. (Рис. 12.)
nV-"*1 К
* —• -на
—0
—и
Рис. 12. Две различные нервные сети, составленные из одних и тех же
нейронов.
36. Нервная сеть должна содержать 6 нейронов: 5 нейронов предыдущей
задачи и эффекторный нейрон с двумя эффекторами. Может ли быть построена
такая сеть?
37. Нервная сеть должна содержать 7 нейронов: рецепторный, с двумя
окончаниями, 2 центральных, каждый с двумя окончаниями, и 4 эффекторных,
каждый с одним эффектором. Имеются два различных способа построения
нервной сети. Изобразите их.
38. Изобразите нервную сеть, состоящую из 2 рецепторных, 1
центрального и 3 эффекторных нейронов.
39. Нервная сеть состоит из 4 рецепторных нейронов, 2 центральных
нейронов и эффекторного нейрона с одним эффектором. Каждый синапс
соединяется в точности с двумя окончаниями. Изобразите эту сеть.
ГЛАВА I!
Размещения и сочетания
§ 1. Основной Принцип теории расстановон
Расстановкой из данных элементов называется запись
этих элементов в некотором определенном порядке. Различные
способы, которыми могут быть расположены какие-либо данные
элементы при разных наложенных на них условиях и ограничениях,
приводят к разным их расстановкам. В том случае, когда
отыскиваются все возможные расстановки п различных элементов, то
говорят о перестановках этих элементов.
Рассмотрим три буквы: а, Ь, с. Сколькими способами можно
записать их в одной строке, если обращать внимание только на
порядок следования их друг за другом? Одной из возможных
записей является запись в алфавитном порядке, а именно: abc.
Изменяя этот порядок, мы получим: сЬа, Ъас и т. д. Легко находим, что
имеется в точности 6 возможных перестановок этих трех букв:
abc, acb, Ъас, bca, cab, cba.
Если бы были даны четыре буквы а, Ъ, с и d, то мы имели бы 24
различные перестановки. Мы предлагаем вам тут же убедиться в
том, что вы сможете выписать все 24 перестановки четырех букв:
а, Ь, с и d.
Упражнение.
40. Сколькими способами могут быть расположены 5 книг в ряд на одной
полке? Попытайтесь найти алгоритм или систематический метод для
последовательного получения этих перестановок так, чтобы можно было составить
их список, не пропустив ни одной из них. Для упрощения обозначьте книги
буквами а, Ь, с, d и е.
Все задачи, касающиеся числа расстановок, могут быть
решены и с помощью следующего Основного Принципа*:
Если какой-то объект может быть реализован т различными
способами, а второй объект (после того, как первый уже задан)
может быть реализован п разтчными способами, то оба объекта вместе
(в этом именно порядке) могут быть реализованы т-п различными
способами.
* Выражение «Основной Принцип», записанное с двумя заглавными
буквами, ниже всегда будет обозначать сформулированную здесь теорему.
27
Очевидно, что этот принцип может быть легко распространен
на случай трех и более объектов. А именно: если первый объект
может быть реализован mi способами, второй — т2 способами,... р-й
р
объект—тр способами, то р объектов могут быть заданы Х1/п/=
п=1
= тгт2* ... -тр способами.
Посмотрим, как этот принцип может быть применим к случаям,
рассмотренным выше/
Предположим сначала, что мы имеем буквы а, Ьу с. Сколькими
способами можно расположить их? Нам нужно выбрать букву,
занимающую первое (самое левое) место, затем букву, занимающую
второе место, и, наконец, букву, занимающую третье место.
Различных способов выбора буквы для первого места — три, так как
мы можем выбрать любую из букв а, Ъ и с. После того как это
сделано, остались только две буквы, т. е. два различных способа
заполнения второго места. После того как сделано и это,
остается только одна буква, т. е. единственный способ заполнения
третьего места. Таким образом, согласно Основному Принципу всего
имеется 3-2-1 = 3! = 6 способов расположения или записи этих
трех букв.
Представьте себе все книги, о которых шла речь в
упражнении 40, расположенными на полке слева направо. В этом случае
имеется 5 способов поставить книгу на первое место. После того
как это сделано, остается четыре книги, т. е. четыре способа
поставить книгу на второе место, и т. д. Следовательно, согласно
Основному Принципу существует 5-4-3-2-1 = 5! = 120 способов
расположения 5 книг на полке.
Упражнения.
41. Предположим, что имеются 3 железные дороги, идущие от Багдада
до Ниневии, и 4 — от Ниневии до Тегерана. Сколькими способами можно
выбрать дорогу от Багдада до Тегерана через Ниневию?
42. Сколькими способами могут быть присуждены первая, вторая и третья
премии трем лицам из общего числа 10 соревнующихся?
43. Сколькими способами могут быть присуждены первая и вторая
премии двум лицам из группы в 9 человек?
44. Сколько трехзначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3 и 5,
если каждую из этих цифр можно использовать только один раз?
45. Сколько трехзначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3 и 5,
если каждую из этих цифр можно использовать более одного раза?
46. Сколько четных трехзначных чисел можно образовать из цифр 1,
2, 3 и 5, если каждая цифра может быть использована только один раз в
каждом числе?
47. Сколько нечетных четырехзначных чисел можно образовать из цифр
1, 2, 3, 5 и 6, если каждая цифра может быть использована в каждом числе
только один раз?
48. На стене расположено 5 переключателей. Каждый может быть
включен или выключен. Сколько существует положений, в которых они могут быть
оставлены нерадивым ночным сторожем?
28
49. Если подбросить одновременно четыре монеты различного
достоинства, то сколько имеется различных возможных комбинаций их падения?
50. Сколько разных комбинаций ответов можно дать на п разных
вопросов, допускающих только ответы «да» и «нет», если каждый вопрос должен
получить ответ?
51. Сколько различных комбинаций ответов может быть дано на те же
вопросы, что и в предыдущей задаче, если не обязательно отвечать на каждый
вопрос?
§ 2. Размещения
Число всевозможных расстановок из п предметов, каждая из
которых включает г предметов, обозначается символом Агп и
называется числом размещений из л элементов по г. Размещения
из п элементов по п представляют собой перестановки из п
элементов; их число обозначается символом Рп. Таким образом,
Ап — Р
Выше с помощью Основного Принципа мы уже фактически
установили, что
Р„ = /г!
Из четырех букв а, Ь, с и d (если мы будем использовать каждый
раз все четыре буквы) можно составить 4! = 24 перестановок;
следовательно, Р4 = 24. Рассмотрим теперь возможные
размещения, которые можно образовать из этих четырех букв по две, т. е.
расстановки этих букв в каждую из которых входят только две
буквы. Вот эти размещения:
аЬ Ьа са da
ас be cb db
ad bd cd dc
Согласно Основному Принципу их число будет равно 12, так как
существует 4 способа выбора буквы для первого места и затем 3
способа выбора буквы для второго места. Следовательно, Л4 =
= 4-3 = 12.
Из Основного Принципа следует, очевидно, что
Агп = п(п—1) (п—2) ... , (г множителей)^
т. е.
А'п=п[п—1)(п—2) ... (л — г + 1).
Упражнения.
52. Из 6 претендентов нужно выбрать двоих: одного посыльного и
одного конторщика. Сколькими способами можно это сделать?
29
53. Сколькими способами можно рассадить 7 человек за круглым столом?
Рассматривается только относительное расположение сидящих друг
относительно друга.
54. Сколькими способами можно расположить 7 железных шайб на
кольце для ключей?
55. Нервная сеть составляется из 5 центральных нейронов (без
использования других нейронов) так, что никакой синапс не контактирует с
окончаниями двух различных нейронов; никакие два нейрона не имеют одинакового
числа окончаний и ни один из них не имеет больше 5 окончаний. Сколькими
способами можно составить такую нервную сеть?
56. Алхимик использует 7 ингредиентов для приготовления эликсира
жизни. Сколько существует различных порядков вливания их в сосуд?
57. Сколькими способами можно рассадить 3 человек за круглым
столом?
58. Сколькими способами можно расположить 3 шайбы на кольце
для ключей?
§ 3. Перестановки объектов, некоторые из которых
являются одинаковыми
Будем называть «написанием» произвольный набор букв из
алфавита. Тогда из слова «центр» можно составить Р5 = 5!
написаний, так как имеется 5! способов расположения 5 различных букв
этого слова. Слово «рецептор» содержит 8 букв, но они, очевидно, не
могут быть расположены 8! различными способами, так как
некоторые из этих букв одинаковы. Так, если поменять местами первую
и последнюю буквы, то мы не получим нового написания;
аналогично этому перестановка местами второй и четвертой букв также
не изменит написания. Для каждого расположения наших 8 букв
существует 2! перестановки букв е, которые не меняют написания.
То же самое имеет место для двух букв р. Следовательно, согласно
Основному Принципу для каждого расположения 8 букв имеется
2!2! способов перестановки букв, не меняющих написания. Таким
образом, число различных написаний равно . Эти написания
являются, конечно, существенно различными перестановками
наших 8 букв.
В общем случае будет иметь место следующее правило. Пусть
п предметов таковы, что пх из них одинаковы, а осп.альные
отличны от них; из оставшихся п—пг предметов п2 одинаковых, а
остальные отличны от них; из оставшихся п—пг—п2 предметов п3
одинаковых, а остальные отличны от них, и т. д. Тогда число
различных перестановок этих п предметов выражается формулой:
Р= " —, где « = л1 + я9 + /18+ ...
л,! п2\ ns\ ...
Полученное число принято обозначать символом [
л \ п\ , ■
П9 ... «i? л2!
30
Упражнения.
59. Найдите число различных перестановок букв в слове «веер».
60. Найдите число различных перестановок букв в слове «Mississippi».
61. Имеется 5 мест на флагштоке и 5 флагов, из которых 2 красных и
3 белых. Сколько можно изобразить различных сигналов, если
использовать все флаги одновременно?
62. Сколькими способами можно рассадить вокруг круглого стола
5 мальчиков и 5 девочек, если каждый мальчик должен сидеть между двумя
девочками?
63. Сколько результатов может встретиться при бросании трех
игральных костей?
64. Сколькими способами можно рассадить 10 человек вокруг круглого
стола, если два определенных лица должны сидеть друг против друга?
4
65. Запишите без знака произведения выражение 30~3 ТТ Аг6 и вычис-
г=2
лите его значение.
66. Сколько можно записать трехзначных чисел с помощью цифр 1, 3,
5, 7 и 9 так, чтобы ни в одном числе не повторялась ни одна цифра?
67. Сколько чисел, больших 100, можно записать с помощью цифр 0,
2, 4, 6 и 8 так, чтобы ни в одном числе не повторялась ни одна цифра и ни
одно число не начиналось с 0?
68. Сколько четных чисел, меньших 500, можно записать с помощью
цифр 2, 3, 4, 5 и 6 так, чтобы ни одна цифра не повторялась ни в одном числе?
69. Если в классе имеется 10 мест, то сколькими способами можно
разместить на них трех учеников?
§ 4. Сочетания
Сочетание — это некоторая совокупность элементов,
выбранных из данного множества элементов. При рассмотрении
сочетаний обращают внимание не на порядок расположения
элементов, а лишь на то, какие элементы в данное сочетание входят.
Число способов выбора сочетаний по г элементов из общего
числа п элементов обозначается через Сгп. Этот символ читается так:
«число сочетаний из п элементов по г». Для небольших значений п
легко подсчитать значение Сг методом перебора всех возможных
случаев. Найдем, например, значение С3, перебирая способы, с
помощью которых можно выбрать 3 буквы из 4: я, h, с, d. Мы легко
обнаружим, что имеется 4 способа выбора 3 букв из этих 4 букв.
Вот эти способы:
abc, abdt acd, bed.
Мы нашли, следовательно, что С3 = 4.
Упражнение.
70. Методом перебора найдите значения С4 , С4 , С4 , С5 .
31
Ясно, что С\ = п и Спп = 1. Методом перебора мы могли бы
найти также значение Сгп для любых данных значений /гиг; однако
для достаточно больших значений /гиг этот метод будет крайне
неэффективен. Поэтому мы постараемся получить формулу для
числа Сгп , найдя предварительно зависимость между Сг и Аг .
Предположим сначала, что /г=5 и г=3. Выпишем всевозможные
сочетания: abc, abd, abe, acd% асе, bed, ... по 3 из 5 элементов а,
Ь, с, d и е. Размещения из 5 элементов по 3 (60 штук) можно
записать следующим образом:
acd
adc
асе
cde
ced
dee
dec
ecd
edc
Мы расположили перестановки в столбцы так, что каждый
столбец представляет собой одно и то же сочетание, записанное 3! раз,
шестью различными способами. Таким образом, ясно, что число
перестановок в 3! раз больше числа сочетаний. Отсюда легко
получаем, что
abc
acb
bac
bca
cab
cba
abd
adb
bad
bda
dab
dba
c\
3!
5.4.3
"~ЗГ"
10.
Для произвольных значений п и г мы получим таким же
способом, что
А' = г! С! ,
и поэтому
Аг
п г\
В самом деле, выпишем в строчку все сочетания из п элементов
по г (их число будет равно С"), а затем под каждым из сочетаний
напишем в столбец различные перестановки, которые из этого
сочетания получаются. Тем самым у нас будут выписаны все
размещения из п элементов по г (их число равно Агп). Если вспомнить,
что из каждого сочетания можно получить г\ размещений, мы
получим, что различных сочетаний из п элементов по г будет столько,
сколько указано в формуле. Таким образом,
гг — п (гс~*) (я—2) »•■(/" множителей)
или
с:
п (п-
1-2.
3.
-2)
(п-г+1)
г\
32
Упражнения.
71. Вычислите C3Q , cl и C5Q .
О О О
72. Сколькими способами можно из 10 человек выбрать комиссию, из
3 членов?
73. Учащийся хочет употребить для раскраски карты 4 различные краски.
Он имеет в своем распоряжении 6 красок. Сколькими способами может он
выбрать нужные краски?
74. а) Сколько различных сочетаний по 5 карт может быть выбрано из
обычной колоды в 52 карты?
Ь) Сколько различных комбинаций по 13 карт может быть образовано из
колоды в 52 карты?
75. В команде десять футболистов (не считая вратаря). Сколькими
способами тренер может выбрать из них пятерку нападающих?
Теорема. Число сочетаний из п элементов по г равно числу
сочетаний из п элементов по п — г.
Это очевидно, так как число способов, которыми могут быть
выбраны г элементов из я, должно быть таким же, как и число
способов, которыми могут быть оставлены п—г из наших п элементов
(каждый способ, при котором выбираются г предметов, есть в то же
время способ, при котором оставлены п—г предметов). Покажем это
также и с помощью математического расчета. В последней
выписанной выше формуле умножим числитель и знаменатель дроби на
число (п —/-)!. Тогда получим:
С п]
г\ (п — /-)!
Однако это есть также и формула для выражения Спп '', так как
такое выражение получается при подстановке в прежнюю формулу
вместо г числа п — г. Следовательно:
С = Сп~г.
^п п
76. Вычислите С наиболее простым путем.
Упражнение.
Отметим, в частности, крайний случай
Левая часть представляет собой число способов, которыми можно
взять все п элементов. Очевидно, это число равно единице.
Правая часть есть символическая запись числа способов, которыми
можно не взять ни одного элемента (т. е. отвергнуть их все);
поэтому разумно положить, что и С° = 1.
2 Дж. Т. Калбертссн
33
§ 5. Загорание рецепторов
п- -
п- ■
D- •
D--
Рис. 13.
Всякая цифровая вычислительная машина содержит
компоненты, которые, подобно обычному выключателю, могут находиться в
одном из двух возможных состояний: «включено» или «выключено».
При этом обычно считают, что состояния компонентов машин в
течение нескольких фиксированных равных промежутков времени
(эти промежутки мы примем за единицы времени)
г, Г"1_ ... остаются неизменными и могут меняться (на
противоположные состояния) лишь по истечении
каждого из этих промежутков, причем изменение
состояния происходит практически мгновенно.
В качестве основных логических элементов
цифровых математических машин мы будем
по-прежнему рассматривать нейроны, свойства которых
описали выше (см. § 7 гл. I).
Опишем теперь два возможных состояния
нейронов, ограничивая наше рассмотрение рецепторными
нейронами. Будем считать, что рецепторный
нейрон может находиться в одном из следующих двух
состояний: его рецептор может загораться
или не загоратьсяв данный момент времени /. Если
рецептор рецепторного нейрона загорается в момент времени /, то это
означает, что в этот момент от него исходит некоторый импульс1. В
качестве единицы времени мы будем употреблять миллисекунду,
или 0,001 секунды. (С логической точки зрения нет необходимости
во введении определенной единицы времени, однако если такая
единица выбрана, то это может дать более наглядное
представление о работе нервной сети.)
Мы предполагаем, что в нервной сети рецепторы регулируются
импульсами некоторого устройства, которое мы не будем здесь
рассматривать. Они могут загораться только по истечении
целочисленных моментов времени t. Предположим, что имеются часы,
отсчитывающие миллисекунды, и что они находятся в одной фазе с
нервной сетью. Тогда рецепторы сети могут загораться только в
случае / = 1, 2, 3 или какому-нибудь иному целому числу. Они не
могут загораться, если t = I—, 2— или любому другому нецелому
2 4
числу. Если t = k, то это означает, что прошло км/сек, так
как часы в начальный момент времени стояли на отметке ноль.
В нижеследующих упражнениях рассматривается нервная
сеть, имеющая 5 рецепторов — rv r2, г3, г4, г5, так, как показано
на рисунке 13. Мы не будем интересоваться тем, каким образом
5 рецепторных нейронов связываются с другими нейронами сети.
1 Импульс, выходящий из рецептора, движется вдоль рецепторного
нейрона до каждого из его окончаний; однако пока мы будем
интересоваться только загоранием или незагоранием самого рецептора.
34
Предположим, что мы имеем дело со следующей ситуацией:
оператор Джордж ставит крестики на карточки, которые мы будем
называть входными. Он делает это под руководством другого
оператора, Гарри.
Когда Джордж кончает заполнять карту (рис. 14), он
вкладывает ее в машину ввода и нажимает кнопку, которая запускает
часовой механизм начиная со значения / = 0. Затем эта машина вы-
вход для t = 1
вход для t=2
вход для t=3
I5 I4 I3 Га I'
I I X I X |
I X I
I х X Х~
I Iх
| X | X | | | У
I ххх
вход для t -к- 1
вход для t =Н
Рис. 14. Входная карта.
зывает загорание тех или иных рецепторов в моменты времени от
/ = 1 до t = k. Сочетание рецепторов, загоревшихся в каждый
данный момент времени, определено тем способом, которым Джордж
заполнил карту. Например, если он заполнил карту так, как это
показано на рисунке 14, то в момент времени t = 1 загорелись
только рецепторы г2 и г3, в момент / = 2 загорелся только
рецептор г4, в момент t = 3 — только рецепторы ги г3 и г4 и т. д.
Сочетание рецепторов, загоревшихся в некоторый момент t> называется
входом в момент /, а последовательность таких сочетаний
в течение некоторого интервала времени называется входом
в течение этого интервала времени.
Упражнения.
77. Джордж вкладывает карту, изображенную на рисунке 14, в машину
ввода.
a) Каков будет вход в момент t ==■ 4?
b) Укажите момент, в который не будет ни одного загоревшегося
рецептора?
78. Получена новая пустая карта. Гарри предлагает Джорджу указать
условия входа при t = 1, запрещая вход, при котором загораются 3 и
только 3 рецептора в момент t = 1.
Сколькими способами может Джордж фиксировать вход в момент t = 1?
79. Гарри предлагает Джорджу заполнить входы в моменты t = 1, 2, 3
2*
35
так, чтобы в момент t =1 загорались 3 и только 3 рецептора, в момент t =
= 2 —2 и только 2, в момент t = 3 —1 и только 1.
Сколькими способами может Джордж фиксировать вход в течение
первых трех миллисекунд (момент времени t = 3 включается в рассматриваемый
интервал времени)?
80. Гарри предлагает Джорджу заполнить вход в момент t = 1 любым
способом так, чтобы загорелся по крайней мере один рецептор, но не все
рецепторы вместе. Те же указания он дает относительно входов в моменты
t = 2 и t = 3. Сколькими способами может Джордж фиксировать вход в
течение первых трех миллисекунд?
81. Гарри предлагает оставить рецепторы г3, г4 и г5 незагоревшимися в
течение всего интервала времени. Сколькими способами может Джордж
фиксировать вход в момент £=1?
82. Гарри сообщает, что г\ и г2 не должны загораться независимо один
от другого ни в какой момент времени (т. е. в каждый момент времени
либо оба рецептора загораются, либо оба не загораются), а также что рецептор
/*5 не должен загораться никогда.
a) Сколькими способами может Джордж фиксировать вход в момент t=\?
b) Сколькими способами может Джордж фиксировать вход в течение
первых трех миллисекунд?
83. Гарри сообщает, что в каждый момент какой-либо из рецепторов гх
или г2 (или оба они) должен загораться, а также должен загораться какой-
либо из рецепторов г3 или /*4 (или оба).
a) Сколькими способами может Джордж фиксировать вход в момент t=\}
b) Сколькими способами может Джордж фиксировать вход в течение
первых "двух миллисекунд?
84. Гарри сообщает, что в каждый момент времени должно загораться
нечетное число рецепторов. Сколькими способами может Джордж
фиксировать вход в течение первых двух миллисекунд?
§ 6. Общее число сочетаний
Под общим числом сочетаний из п элементов мы
понимаем число
сп = с°п+с1+...+с:=^сгп
г = 0
(другими словами, число способов, с помощью которых можно
выбрать какое-нибудь сочетание из п предметов).
С помощью Основного Принципа (см. § 1 гл. И) легко показать,
что Сп равно 2П. Рассмотрим п элементов. Сколькими способами я
могу выбрать какое-либо сочетание из этих элементов? Я могу
выбрать либо отвергнуть 1-й элемент, так что существуют два
способа сделать это. После того как это сделано, я могу выбрать или
отвергнуть второй элемент; имеются ровно два способа сделать это
и т. д. Так как имеется п предметов, то для числа способов выбора
какого-либо сочетания предметов из общего числа предметов мы
получаем следующее выражение: 2-2-2....(всего п множителей).
Итак,
36
Упражнения.
Вернемся к нашим операторам Гарри и Джорджу и к нервной
сети, содержащей 5 рецепторов.
85. Гарри предлагает Джорджу заполнить вход в момент t = 1 любым
желаемым для него образом. Сколькими способами может Джордж
фиксировать вход в момент t = 1?
86. Гарри предлагает Джорджу заполнить вход в течение первых 10 мсек
любым желаемым для него образом. Сколькими способами может Джордж
фиксировать вход в течение этого интервала времени?
87. Гарри предлагает Джорджу зафиксировать полный вход в течение
первых k мсек любым желаемым для него образом (см. рис. 14). Сколькими
способами может Джордж заполнить входную карту?
88. Гарри предлагает Джорджу зафиксировать полный вход в течение
первых k мсек любым желаемым для него образом, условившись лишь,
что рецептор г\ должен загораться в момент t = 7. Сколькими способами
может Джордж заполнить входную карту?
89. Сколько различных вариантов («герб-цифра») может встретиться
после подбрасывания 4 монет?
Если знать формулу бинома Ньютона, то тот факт, что
общее число сочетаний Сп = 2п, можно доказать и другим путем.
Формула бинома Ньютона имеет следующий вид:
(а + Ь)" = сУ + с1ап->Ь+Су-2Ь*+- ... + СяЬя.
Положим теперь в этой формуле а = Ъ = 1; получим;
(1 + 1)" =2Я = С^ + С,1, + ... +С"п.
Обзорные задачи
90. Найдите все простые числа, меньшие 114. методом решета Эратос-
фена.
91. Разложите число 696 на простые множители.
92. Найдите наибольший общий делитель чисел 3382 и 73 874.
93. Используя алгоритм Ньютона, найдите ]/"380. В качестве первого
приближения возьмите Л = 19 и примените алгоритм дважды.
k
94. Найдите такое наименьшее значение k, при котором > / (/+1) > 10.
i = l
3* 5л"2 1хъ
95. Выразите: а) 1 1 ;
2 5 10
33 43 53 б3
Е-
с помощью знака
Т
96. Запишите J[X n2 %п без знака XJ[ и вычислите значение этого Rbi-
/2=1
ражения.
97. Постройте нервную сеть, состоящую из 5 рецепторных нейронов,
3 центральных нейронов и эффекторного нейрона.
98. Нужно построить нервную сеть так, чтобы она состояла из рецептор-
ного нейрона с двумя окончаниями, центрального нейрона с одним окопча-
37
нием и 2 эффекторных нейронов. Один из эффекторных нейронов должен
содержать два эффектора, а другой — один эффектор. Укажите два различных
способа возможного построения сети.
99. Нервная сеть состоит из рецепторного нейрона с двумя окончаниями,
эффекторного нейрона с тремя эффекторами и 6 центральных нейронов,
имеющих по одному окончанию. Сколько различных сетей можно построить из
этих нейронов?
100. Вычислите AQ , AQ , Лб .
О 1
101. Вычислите С'е , С^ , С^ .
102. Решив упражнение 73, мы нашли, что существует 2 589 960
различных сочетаний из 52 карт по 5. Сколько сочетаний содержат «каррэ»
(термин игры в покер, обозначающий совокупность пяти карт, четыре из которых
имеют одинаковое наименование — являются тузами или королями, или
дамами и т. д.)?
103. Сколько прямых линий можно провести через данные 9 точек, если
никакие три из них не лежат на одной прямой?
104. Сколькими способами можно разбить 8 предметов на две равные
группы? Положение групп и способ упорядочения предметов в каждой группе
несущественны.
Вернемся теперь к операторам Гарри и Джорджу и к нервной
f сети с пятью рецепторами.
105. Гарри сообщает Джорджу, что вход в любой момент t должен
отличаться от входа в любой другой момент t'. Сколькими способами можетДжордж
фиксировать вход в течение первых трех миллисекунд?
106. Гарри сообщает Джорджу, что рецептор ть не должен загораться
никогда, но в каждый момент времени должен загораться по крайней мере
один из рецепторов п или гг, а также по крайней мере один из рецепторов гз
или г4. Сколькими способами может Джордж фиксировать вход в течение
первых трех миллисекунд?
107. Гарри сообщает Джорджу, что после момента t — 3 все входы не
должны загораться, но каждый рецептор должен загореться по крайней мере
один раз. Сколькими способами может Джордж фиксировать входы?
108. Гарри сообщает Джорджу, что после момента t = 3 все входы не
должны загораться, но каждый рецептор должен загореться, причем лишь один
раз. Сколькими способами может Джордж фиксировать входы?
109. Сколько можно образовать тетраэдров с вершинами в данных 12
точках, если никакие 4 из них не лежат в одной плоскости?
ПО. Сколькими различными способами можно распределить 15
различных книг между 3 детьми, если обращать внимание только на то, какая книга
к кому попала?
111. Сколькими способами можно распределить 12 книг по кибернетике
и 8 книг по теории информации между 4 специалистами по теории игр так,
чтобы каждый из них получил 3 книги по кибернетике и 2 — по теории
информации?
112. Дано, что С => 10. Чему равно п?
113. Сколькими способами можно образовать из группы в 12 мужчин и
8 женщин комиссию из 5 членов так, чтобы она состояла из 3 мужчин и 2
женщин?
114. Сколько можно провести диагоналей в правильном многоугольнике,
имеющем п сторон?
115. Сколько различных комбинаций из 5 карт содержат 2 туза и 3
короля?
116. Джон хочет пригласить в гости трех из 6 своих лучших друзей.
Сколькими способами он может выбрать приглашенных?
117. Сколько различных сочетаний можно составить из 10 цифр и всех
букв алфавита, кроме буквы О? Каждое сочетание содержит по крайней мере
38
один символ, но ни одно не содержит более 5 символов? Разрешаются
повторения букв или цифр.
118. Запишите без помощи знака N и вычислите значение выражения
б
119. Для фотографирования группы, состоящей из 8 мужчин и б женщин,
фотограф хочет посадить в первый ряд 2 женщин и 3 мужчин так, чтобы
между двумя мужчинами сидела женщина, и наоборот. Сколькими способами
можно рассадить людей в первом ряду?
120. Сколькими способами можно выбрать 5 девочек и 3 мальчиков из
группы в 8 девочек и 6 мальчиков?
12 1. На столе лежат 6 английских, 4 французские и две немецкие книги.
Сколькими способами можно выбрать какие-то из этих книг, если нужно
выбрать по крайней мере 2 английские, одну французскую и одну немецкую
книгу?
122. Сколькими способами можно расположить на книжной полке 3
книги по алгебре, 2 по геометрии и 2 по тригонометрии, если книги по одному
предмету должны стоять рядом?
123. Сколькими способами можно разбить 6 девочек на две команды по
3 девочки в каждой?
124. Сколькими способами можно расположить на книжной полке 3
английские, 4 французские и 2 немецкие книги, если книги на одном языке
должны стоять рядом? Две французские книги одинаковы, но все остальные
книги различны.
125. Если каждый из 12 человек по одному разу обменивается
рукопожатиями с 11 другими, то сколько всего сделано рукопожатий?
126. Найдите число различных перестановок букв в слове «кукушка».
127. Сколькими способами можно разбить 9 предметов на 2 группы?
ГЛАВА III
Вероятности
§ 1. Измерение вероятностей
Под вероятностью какого-либо события обычно
понимают степень правдоподобности его появления;
математическая же вероятность определяет точную меру этой
правдоподобности, принимающую значения от 0 до 1. Если событие н е в о з-
м о ж н о, то вероятность его появления полагают равной 0; если
появление события абсолютно достоверно, то его вероятность
полагают равной 1. Если же некоторое событие возможно, но его
появление не абсолютно достоверно, то вероятность его полагают
равной некоторому числу р, заключенному между 0 и 1.
Поясним сказанное на примере. Игральная кость представляет
собой кубик, имеющий 6 граней, на каждой из которых обозначено
число очков от 1 до 6. Вероятность того, что при одном бросании
кости выпадает 7 очков, равна 0, так как это не может произойти.
Вероятность того, что выпавшее при бросании число очков будет
меньше 7, равна 1, так как это случится наверняка (на одну из 6
граней кость, наверное, упадет).
Предположим, что игрок бросает однородную игральную кость.
Как определить вероятность того, что при бросании кости
выпадет 3 очка? Число возможных исходов бросания кости равно 6; из
них только один исход соответствует выпадению трех очков. Так
как мы предположили, что кость представляет собой
однородный кубик, то нет никаких оснований считать какой-либо из 6
возможных исходов более правдоподобным, чем остальные. В таких
случаях все исходы принято считать равноправными, а значит, и
равновероятными, т. е. имеющими одну и ту же
вероятность. Поэтому можно принять вероятность каждого из исходов
бросания, в частности вероятность выпадения 3 очков, равной —.
Теперь мы можем высказать следующее общее утверждение:
если некоторое событие имеет место при И исходах из общего числа
п равноправных исходов, то вероятность этого события
принимается равной
h
Р =
п
40
Вероятность непоявления этого события будет при этом равна
п — h
[так как очевидно, что событие не происходит в случае (п—h)
исходов опыта].
Так как некоторое событие всегда либо происходит, либо не
происходит, то вероятность того, что оно либо произойдет, либо не
произойдет, должна равняться 1. Этому соответствует равенство
/> + <7=1.
Так как вероятность выпадения на игральной кости 3 очков равна
I ,15
—, то вероятность невыпадения трех очков равна 1 = — .
6 6 6
Какие именно исходы некоторого опыта считать
равноправными, зависит в известной степени от нашей точки зрения; однако
каждый раз принимаются во внимание какие-либо физические
соображения (однородность игральной кости, монеты и т. п.)*.
Если мы будем бросать одновременно две кости, то здесь, если
говорить о сумме значений выпавших очков, могут быть получены
II различных результатов (возможны все значения от 2 до 12 очков
включительно). Однако события, состоящие в выпадении той или
иной суммы очков, не являются равноправными, поэтому для
того чтобы можно было применить формулу р = — , нужно
сначала представить каждое событие в виде объединения ряда
равноправных исходов.
Для пояснения этого рассмотрим следующую задачу: Кокова
вероятность выпадения четырех очков при бросании двух костей?
Имеются три одинаково вероятных исхода, при которых
выпадает 4 очка: на первой кости выпало 1 очко, а на второй — 3 очка;
на первой кости выпало 3 очка, а на второй—1 очко; на обеих
костях выпало по 2 очка (третья строка в написанной ниже таблице).
Следовательно, h в формуле для вероятности равно 3. Общее число
п исходов согласно Основному Принципу (§7 гл. II) равно 36
(6 исходов выпадения первой кости могут соответствовать любому
из 6 исходов выпадения второй кости). Таким образом,
вероятность выпадения 4 очков такова:
Р~~ 36 ~~ 12 '
Рассматривая все равноправные исходы выпадения некоторого
числа очков при бросании двух однородных костей, получим
выписанную ниже таблицу, с помощью которой легко определить ве-
* См* об этом также § 8 этой главы.
41
роятность любого желаемого результата. Обратите внимание на то,
как существенно выделение равноправных исходов опыта.
(Ы)
(1.2) (2,1)
(1,3) (2,2) (3,1)
(1,4) (2,3) (3,2) (4,1)
(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)
(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)
(2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2)
(3,6) (4,5) (5,4) (6,3)
(4,6) (5,5) (6,4)
(5,6) (6,5)
(6,6)
равноправные
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
исходы
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
выпадения 2
» 3
» 4
» 5
» 6
» 7
» 8
» 9
» 10
» 11
» 12
Таким образом, используя формулу для определения р, получим:
Количество
очков
Вероятность
выпадения
1
0
2
1
36
3
2
36
4
3
36
5
4
36
6
5
36
7
6
36
8
5
36
9
4
36
10
3
36
11
2
36
12
1
36
13
0
Упражнения.
128. В ящике лежат 5 белых и 7 черных шаров. Наудачу вынимается один
шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется белым? Какова
вероятность того, что он окажется черным?
129. В ящике лежат 4 черных и 3 белых шара. Наудачу вынимаются два
шара. Какова вероятность того, что оба эти шара окажутся белыми?
130. В ящике имеются 4 черных, 5 красных и 6 белых шаров. Наудачу
вынимаются два шара. Какова вероятность того, что: а) оба шара окажутся
черными; Ь) один шар окажется черным, а один красным; с) ни один шар не.
будет черным?
131. Если подбросить 3 монеты, то какова вероятность того, что: а) все
монеты упадут гербом вверх; Ь) две и только две монеты упадут гербом вверх;
с) ни одна монета не упадет гербом вверх?
132. Из тщательно перетасованной колоды вынимается 5 карт. Какова
вероятность того, что все они окажутся трефовой масти?
133. В ящике лежат 3 красных и 3 синих шара. Наудачу вынимаются 3
шара. Какова вероятность того, что среди них окажутся шары разного цвета?
134. Поезд состоит из 6 вагонов. Какова вероятность того, что два
пассажира независимо выберут один и тот же вагон?
135. 4 девочки и 3 мальчика случайным образом рассаживаются в ряд.
Какова вероятность того, что мальчики и девочки сядут через одного?
136. Восемь учеников случайным образом рассаживаются вряд.
Какова вероятность того, что два определенных ученика сядут рядом?
137. Восемь учеников случайным образом рассаживаются в круг на 8
стульях. Какова вероятность того, что два определенных ученика сядут
рядом?
138. Если бросить одновременно 3 игральные кости, то какова
вероятность того, что: а) выпадет не менее 12 очков; Ь) на всех трех костях
выпадет одно и то же число очков?
42
§ 2. Вероятности несовместимых событий
Два события называются несовместимыми, если оба
они не могут произойти одновременно (при определенных условиях).
Так, например, если монета подбрасывается вверх, то события,
состоящие в выпадении герба и выпадении цифры, —
несовместимые. Точно так же, например, если опыт состоит в извлечении
одной карты из колоды наудачу, то извлечение валета и извлечение
короля — несовместимые события, а извлечение валета и
извлечение карты пиковой масти не являются несовместимыми событиями.
Ясно, что если два события а и b несовместимы, то
й = АЛ + Л*
где h — число равноправных исходов, при которых происходит
хотя бы одно из двух событий, ha — число равноправных
исходов, при которых происходит событие a, a hb — число
равноправных исходов, при которых происходит событие 6. (Если события
не являются несовместимыми, то ft < ha -f- hb.)
Теорема. Вероятность того, что произойдет одно из двух
несовместимых событий, равна сумме вероятностей этих событий.
Доказательство. Назовем одно из событий первым,
а другое — вторым. Пусть
р — вероятность того, что произойдет одно из этих двух
событий,
рх — вероятность того, что произойдет первое событие,
р2 — вероятность того, что произойдет второе событие,
п —общее число всех равноправных исходов,
h —число равноправных исходов, при которых осуществляется
какое-то из двух событий,
hx — число равноправных исходов, при которых осуществляется
первое событие,
h2 — число равноправных исходов, при которых осуществляется
второе событие.
(Заметим, что h — hx-\-h^ так как события взаимонесовместимы.)
Тсгда
h hv + h2 hx t h2 _ ,
p = — = = 1 = Pi + p2-
n n n n
В качестве примера найдем вероятность события, состоящего
в иззлечении из карточной колоды валета или короля. Вероят-
4
ность извлечения валета равна —; вероятность извлечения короля
также равна —. СледоЕательно, вероятность извлечения Балета или
4.4 8
короля равна \- — = — .
52 52 52
(Это может быть также показано и без использования доказанной
43
теоремы, так как имеется 8 равновероятных исходов извлечения
из колоды валета или короля.)
Очевидно, что теорема может быть легко распространена на
случай, когда число событий больше двух.
Упражнения.
139. Из ящика, содержащего 1 синий, 2 белых, 5 черных и 4 красных шара,
извлекается наудачу один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар
окажется красным либо черным? Какова вероятность того, что он окажется
либо красным, либо черным, либо белым?
140. В ящике лежат 8 зеленых, 6 черных и 5 белых шаров. Найдите
вероятность извлечения либо черного, либо белого шара, если извлекается
только один шар?
141. Мальчик набирает случайным образом два шестизначных
телефонных номера. Какова вероятность того, что второй номер оканчивается на 3
или на 4?
142. Выбрасываются одновременно две игральные кости.
a) Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7 или 11?
b) Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна или
меньше 7?
143. Какова вероятность извлечения 2 белых или 2 черных шаров из
мешка, содержащего 5 белых, 4 черных и 1 зеленый шар, если извлекаются
только 2 шара?
§ 3. Вероятности независимых событий
Если наступление (или ненаступление) какого-либо события не
оказывает никакого влияния на наступление (или ненаступление)
другого события, то такие события называют независимыми.
Так, выпадение герба или цифры при каждом бросании монеты
никаким образом не зависит от результатов предыдущих бросаний
(если считать, что игра ведется честно).
Теорема. Вероятность совместного наступления двух
независимых событий равна произведению их вероятностей.
Читатель с помощью Основного Принципа (§ 7 гл. II) докажет
эту теорему таким же способом, как была доказана предыдущая
теорема. Эта теорема, так же как и предыдущая, легко может быть
распространена на случай числа событий, большего двух.
Упражнения.
144. Некто подбрасывает монету 3 раза.
a) Какова вероятность того, что каждый раз будет выпадать герб?
b) Он подбрасывает монету еще 100 раз. Какова вероятность того, что
каждый раз будет выпадать герб?
c) Какова вероятность того, что во время первых 10 бросаний герб будет
выпадать только при нечетных бросаниях?
d) Если 10 раз подряд выпал герб, то какова вероятность того, что герб
выпадет и при одиннадцатом бросании?
145. Некто последовательно вытаскивает 3 карты из перетасованной
колоды в 52 карты, причем, прежде чем вытащить последующую карту, он
каждый раз возвращает в колоду предыдущую карту и снова тасует колоду.
Какова вероятность того, что первая карта будет красной масти,
вторая—трефовой масти, а третья — либо одна из карт от двойки до десятки, либо туз?
44
§ 4. Зависимые события
Если наступление события а влияет на вероятность события Ъ,
то говорят, что Ъ зависит от а.
Предположим, я беру наудачу карту из обычной колоды,
откладываю эту карту в сторону, а затем вытаскиваю вторую карту. То,
какую карту вытащил в первый раз, влияет на вероятность того
события, которое произойдет во второй раз.
Для иллюстрации рассмотрим вероятность извлечения карты
сначала пиковой, а затем червовой масти. Вероятность того, что
13
первая карта была пиковой масти, равна—. Если первая карта бы-
52
ла пиковой, то в колоде осталась 51 карта, 13 из которых имеют
червовую масть. Следовательно, вероятность вытащить карты сна-
13 13 ~
чала пиковой, а затем червовой масти равна — • —. Этот пример
oZ ol
иллюстрирует следующую теорему:
Теорема. Если вероятность какого-либо события равна р4
и если, после того как это событие произошло, вероятность второго
события равна р»2, то вероятность того, что произойдет первое
событие, а вслед за ним и второе, равна ргРг-
Предлагаем читателю доказать эту теорему и распространить
ее на случай числа событий, большего 2.
Упражнения.
146. Какова вероятность вытащить валета из колоды два раза подряд,
если после первого извлечения карты ее не возвращают в колоду?
147. В ящике имеются 4 черных и 6 красных шаров. Некто вынимает
последовательно 3 шара, не возвращая их в ящик. Какова вероятность того,
что первый и второй извлеченные шары будут черными, а третий — красным?
148. В ящике лежат 4 красных и 7 синих шаров. Некто вынимает
последовательно 2 шара, не возвращая их обратно. Какова вероятность того, что
первый шар будет синим, а второй — красным?
149. Из обычной колоды карт последовательно без возвращения
извлекаются две карты. Какова вероятность того, что первая карта будет валетом,
а вторая — королем?
Обзорные задачи
150. Сколькими способами можно выбрать председателя, его
заместителя и секретаря комитета, в котором состоят 6 человек? Сколькими способами
можно рассадить этих 6 человек с одной стороны прямоугольного стола?
Сколькими способами можно рассадить их за круглым столом?
151. Сколько членов содержит комитет, если его президиум, содержащий
4 человека, может быть избран 1820 способами?
152. Сколькими способами можно образовать комитет из 3 мальчиков и
2 девочек, если всего имеется 10 мальчиков и 8 девочек?
153. Нужно выбрать 4 человек по жребию для участия в туристском
походе из группы, содержащей 4 девочек и 6 мальчиков. Найдите вероятность
того, что в группу войдут 2 девочки и 2 мальчика.
154. Ящик содержит 9 белых, 6 синих и 5 зеленых шаров. Наудачу из
ящика вынимают один шар. Найдите вероятность того, что он окажется либо
зеленым, либо синим.
45
155. Подбрасываются 4 монеты. Найдите вероятность того, что ровно 2
из них упадут цифрой вверх.
156. В мешке лежат 8 зеленых, 6 белых и 4 черных шара. Если вынуть
из него одновременно два шара, то какова вероятность того, что по крайней
мере один из них окажется белым?
157. В мешке находятся 15 белых шаров и 10 черных. Если вынуть из
него одновременно 4 шара, то какова вероятность того, что 2 из них окажутся
белыми, а 2 — черными?
158. В одной комнате находятся 6 женщин и 12 мужчин, в другой — 12
женщин и 6 мужчин. Наудачу выберем по одному человеку из каждой
комнаты. Какова вероятность того, что оба они окажутся мужчинами или оба —
женщинами?
159. В ящике лежат 4 белых шара и 8 красных. Наудачу выбирают один
из шаров и вынимают его из ящика. Затем также наудачу выбирается и
вынимается другой шар и т. д. Какова вероятность того, что пятый извлеченный из
ящика шар окажется белым? *
160. Для того чтобы отпереть сейф, требуются два ключа. Они
выбираются наудачу из связки различных между собой 12 ключей, содержащей и
требуемые ключи. Какова вероятность того, что выбранными двумя ключами
можно будет открыть сейф?
161. 5 красных бусин и 4 зеленые нанизаны случайным образом на
замкнутую нить. Какова вероятность того, что все зеленые бусины будут
находиться рядом друг с другом?
162. Какова вероятность одного и только одного выпадения 3 очков,
одного и только одного выпадения 4 и одного и только одного выпадения 5
очков при 4 бросаниях игральной кости?
163. Если в классной комнате имеется 10 мест, то сколькими способами
можно рассадить 3 учащихся?
164. Используя алгоритм Евклида, найдите наибольший общий делитель
чисел 182 и 238.
i*c и 5,3,7,4,9,5 V1
165. Выразите + -\ с помощью знака > .
7 ' 4 ' 9 ' 5 ' 11 ' 6 *■»
б
166. Вычислите \ С' .
167. Начертите нервную сеть, состоящую из:
a) рецепторного нейрона с одним окончанием,
b) центрального нейрона с двумя окончаниями,
c) эффекторного нейрона с одним эффектором, находящимся в контакте
только с двумя указанными нейронами,
d) двух центральных нейронов, с одним окончанием каждый.
168. Нервная сеть содержит 6 следующих нейронов: 2 рецепторных,
один с одним, а другой с двумя окончаниями, 3 центральных, с одним
окончанием каждый, и один эффекторный нейрон с одним эффектором. Изобразите
эту сеть.
§ 5. Активность нервной сети
В § 5 гл. II мы условились считать, что рецепторы нервной
сети (регулируемые с помощью импульсов) могут загораться
только в целочисленные моменты времени t, где / измеряется в
миллисекундах. Условимся также считать, что активность всех нейронов
синхронизирована с активностью рецепторов, т. е. что все нейроны
могут менять свое состояние только в целочисленные моменты
времени /.
46
Кроме состояния «загорания», будем рассматривать также и
состояние «замирания». Рецепторы и синапсы могут только з а -
г о р а т ь с я; окончания и эффекторы — только замирать.
Поясним эти понятия на некоторых простых примерах.
Рассмотрим простейшую нервную сеть, изображенную на
рисунке 7, стр. 25. Предположим, что рецептор этой сети
загорает с я в некоторый момент времени t, другими словами, в этот
момент от него исходит некоторый импульс. Проследим теперь
дальнейший путь этого импульса. Он движется вдоль рецепторного
нейрона к его окончанию, вызывая во всем рецепторном нейроне
некоторый процесс, который можно назвать возбуждением1.
Процесс возбуждения длится единицу времени (1 мсек) и прекращается
в момент t+ 1. Мы будем говорить, что в момент t+ 1 окончание
рецепторного нейрона замирает. Короче говоря, если
рецептор загорается в момент t, то окончание замирает в момент t + 1.
Импульс продолжает двигаться дальше. Процесс
возбуждения, дойдя до окончания, вызывает в тот же момент (t + 1)
загорание контактирующего с ним синапса. Теперь в эффекторном
нейроне повторяется тот же процесс. Импульс, исходящий от синапса в
момент t+U движется вдоль эффекторного нейрона к зффектору,
вызывая процесс возбуждения; при этом эффектор замирает в
момент t + 2. Таким образом, если рецептор загорается в момент t,
то эффектор замирает в момент t + 2.
Нервная сеть, изображенная на рисунке 8 (стр. 25),
практически не отличается от рассмотренной; различие здесь состоит лишь в
том, что когда рецептор загорается, то импульс движется вдоль
рецепторного нейрона ко всем трем его окончаниям. Если рецептор
загорается в момент /, то три его окончания замирают в момент t+
+ 1, затем синапс загорается в момент t + 1, и, наконец, эффектор
замирает в момент t + 2.
Если рецептор сети, изображенной на рисунке 9 (стр. 26),
загорается в момент t, то окончание рецепторного нейрона замирает в
момент t+ 1, синапс центрального нейрона загорается в момент
t + 1, окончание центрального нейрона замирает в момент t + 2,
синапс эффекторного нейрона загорается в момент t + 2, и,
наконец, его эффектор замирает в момент t + 3.
Если рецептор сети, изображенной на рисунке 10 (стр. 26),
загорается в момент времени /, то оба его окончания замирают
в момент t + 1, оба синапса загораются в момент / -+- 1, и, наконец,
оба эффектора замирают в момент t + 2.
Мы будем часто употреблять выражение «нейрон загорается».
При этом если речь пойдет о рецепторном нейроне, то это
выражение будет обозначать загорание рецептора нейрона, а если речь
1 Природа самого импульса и вызываемого им процесса возбуждения
(например, химическая или электрическая) несущественна для логического
анализа свойств нервной сети и поэтому здесь рассматриваться не будет.
47
будет идти о центральном нейроне или об эффекторном нейроне, то
при этом будет подразумеваться загорание их синапсов.
Из разобранных примеров видно, что если нейрон загорается
в момент /, то импульс, исходящий от входа нейрона, движется
вдоль него ко всем его выходам. Выходы становятся активными и
затем замирают в момент t + 1.
Пока (до § 7) мы будем предполагать, что все рассматриваемые
нами нейроны обладают следующими двумя свойствами:
(i) Если нейрон загорается в некоторый момент времени, то все
его окончания или эффекторы замирают на 1 мсек позже этого
момента.
(it) Синапс загорается в некоторый момент времени ттогда,
когда в этот момент замирает большинство контактирующих
с ним окончаний1.
Упражнения.
169. Пусть только один рецептор нейрона, изображенного на рисунке 11
(стр. 26), загорается в некоторый момент U Вызовет ли это замирание
эффекторов? [Ответ: Нет, в силу (И) синапс не возбудится в момент /+ 1.] Если
оба рецептора загораются в момент /, то вызовет ли это замирание эффекторов?
[Ответ: Да]. В какой момент они замрут? [Ответ: В момент t + 2.]
Возможно ли в этой сети загорание одного или двух эффекторов в какой-
либо момент времени? [Ответ: Нет; см. свойство (/)].
170. Рассмотрим нервную сеть, изображенную в левой части рисунка 12
(стр. 26). Если рецептор загорается в момент t, то когда замрет первый
эффектор? Когда замрет второй эффектор?
171. Рассмотрим нервную сеть, изображенную в правой части рисунка 12.
a) Если рецептор загорается в момент t, то когда замрет первый верхний
эффектор?
b) Когда замрет второй эффектор?
c) Если рецептор загорается в момент t =■ 5, то когда замрет второй
эффектор?
172. Нервная сеть состоит из рецепторного нейрона, k центральных ней-
гП ' • • 0е
Рис. 15
ронов и эффекторного нейрона. Каждый нейрон имеет только один выход.
Если рецептор загорается в момент t, то когда замрет эффектор?
173. Рассмотрим нервную сеть, изображенную на рисунке 15. Если г
загорается и в момент /, ив момент t + 1, то когда замрет е?
§ 6. Вероятностные построения в нервных сетях
Загорание рецепторов вызывает загорание центральных
нейронов и/или загорание эффекторных нейронов; однако в сеть могут
входить так же нейроны, загорание которых не может быть выз-
1 Свойство (п) будет обобщено в § 7.
48
ча
вано загоранием рецептора. Так, например, окончание рецептор-
ного нейрона, изображенного на рисунке 16, не соединено ни с
одним из центральных нейронов, поэтому рецептор не может
вызвать загорания никакого центрального нейрона. В случаях,
подобных этим, мы можем, если желаем, предполагать, что некоторые
центральные нейроны были сделаны активными уже при
конструировании нервной сети. «Начальные
условия» устанавливают, какие именно централь- -^^
ные нейроны загораются в момент t = 0. в /"" ^ч а
Предположим, что для нервной сети, изоб- ^ 3 )
раженной на рисунке 16, начальные условия ч^г#
таковы, что в момент t = 0 загорается только с \
один центральный нейрон а. Исследуя сеть,
мы видим, что каждый центральный нейрон
загорается через каждые 3 мсек, так как
импульс циркулирует неопределенно долго
вдоль окружности, содержащей три цент- LJ
ральных нейрона. Так, а загорается в момент г
t = 0, 3, 6, 9 ..., т. е. а загорается в моменты Рис- 16-
t = 3k, где k — любое целое число. Точно
так же Ь загорается в моменты / = ЗА +1, а с — в моменты t =
= 3k -f- 2. Эффекторный нейрон загорается в некоторый данный
момент ттогда, когда оба контактирующих с ним окончания
замирают в этот момент, т. е. эффекторный нейрон загорается в некоторый
момент ттогда, когда центральный нейрон с и рецепторный
нейрон одновременно загораются за 1 мсек до этого момента.
Упражнения.
174. Начальное условие (для нервной сети, изображенной на рисунке
16): только а загорается в момент t = 0.
a) Если г загорается в некоторый случайный момент t, то какова
вероятность того, что е замрет?
b) Рецептор г загорается в случайные моменты времени t и /'. Какова
вероятность того, что е дважды замрет? Какова вероятность того, что е замрет
только один раз? Какова вероятность того, что е никогда не замрет?
c) Рецептор загорается в последовательные случайно выбранные моменты
времени t и / + 1. Какова вероятность того, что е замрет дважды? Какова
вероятность того, что е замрет один раз?
d) Если г загорается в течение трех случайно выбранных последовательных
моментов времени t, t + 1 и t + 2, то какова вероятность того, что е когда-
либо замрет?
ё) Если г загорается последовательно 3k раз, то сколько раз будет
замирать е>
175. Начальные условия (для того же рисунка 16): а и Ь загораются в
момент t = 0.
a) Если г загорается в некоторый случайный момент t> то какова
вероятность того, что е замрет?
b) Рецептор г загорается в случайно выбранные моменты времени t и /'.
Какова вероятность того, что е дважды замрет? Какова вероятность того,
что е замрет только один раз?
49
с) Если рецептор г загорается в случайно выбранные последовательные
моменты времени t и t -f- 1, то какова вероятность того, что е замрет?
176. Начальные условия (для нервной сети, изображенной на рисунке
17): а и d загораются в момент t = 0.
a) Если г загорается в некоторый случайный момент времени t, то какова
вероятность того, что е замрет?
b) Рецептор г загорается в случайно выбранные моменты времени t и V'.
Какова вероятность того, что е замрет дважды? Только один раз?
c) Рецептор г загорается в случайно выбранные последовательные момен-
Рис. 17. Рис. 18.
ты времени t и t + 1. Какова вероятность того, что е замрет?
177. Начальные условия (для того же рис. 17): a, b и d загораются в
момент времени t = 0.
a) Если г загорается в некоторый случайный момент времени t, то какова
вероятность того, что е замрет?
b) Если г загорается в случайно выбранные последовательные
моменты времени t и t + 1, то какова вероятность того, что е замрет?
178. Начальные условия (для того же рис. 17): b, d и / загораются
в момент t = 0.
a) Если г загорается в некоторый случайный момент t, то какова ве*
роятность того, что е замрет?
b) Если г загорается в случайно выбранные последовательные моменты t
и t + 1, то какова вероятность того, что е замрет?
179. Ответьте на тот же вопрос, что и в упражнении 176, но для схемы,
изображенной на рисунке 181.
180. Ответьте на тот же вопрос, что и в упражнении 177, но для схемы,
изображенной на рисунке 18.
181. Ответьте на тот же вопрос, что и в упражнении 178, но для схемы,
изображенной на рисунке 18.
182. Начертите простейшую сеть, удовлетворяющую следующим
условиям, и установите для нее начальные условия. Сеть должна содержать
один рецептор и один эффектор. Если рецептор загорается в некоторый
случайный момент времени /, то вероятность того, что эффектор замрет,
4
равна — .
9
1 На этом рисунке пока не следует обращать внимания на условие 0 =
= 3, значение которого будет разъяснено позднее.
50
183. Тот же вопрос, что и в упражнении 182, но при значении вероятности,
h
равном —, где п и п — некоторые положительные целые числа.
п
§ 7. Некоторые простые сети и их свойства
Свойство (И) § 5 устанавливает, что большинство окончаний,
контактирующих с синапсом, должно замирать одновременно с
загоранием этого синапса. Мы будем теперь использовать
нейроны с несколько более общими свойствами.
Для каждого синапса мы установили то минимальное число
окончаний, которое должно одновременно замирать для того,
чтобы этот синапс загорался. Это число, обозначаемое буквой в,
называется порогом синапса. Таким образом, мы получаем условие
загорания синапса:
Синапс загорается в некоторый момент ттогда, когда по крайней
мере в контактирующих с ним окончаний замирают в этот момент.
'.СК^в., '-D^;. '.CNj-. '.СК в=з
r2Q— »|ZI r*D--»HZ) гаг>_ eHZkO^eHZI
чПУ^ e ГзСК ГзО^ гз£уУ.
Рис. 19. Рис. 20. Рис. 21. Рис. 22.
Для того чтобы проиллюстрировать понятие порога,
рассмотрим рисунки 19, 20,21, 22. Из рисунка 19 видно, что синапс загорается
ттогда, когда загорается по крайней мере один рецептор.
Рисунок 20 показывает, что синапс загорается ттогда, когда
загораются по крайней мере два рецептора одновременно, и т. д.
Каждому рисунку соответствует входно-выходная таблица,
каждая строка которой представляет собой возможный вход вместе
с результирующим выходом; при этом выход 1 означает «эффектор-
ный нейрон загорается»; выход 0 означает «эффекторный нейрон не
загорается». Например, четвертый вход 011 означает, что rt и г2
оба загораются, а г3 не загорается. Результирующий выход во всех
случаях равен 1, что означает «загорание эффекторного нейрона».
Следовательно, вход 001 вызывает выход 1.
На рисунке 19 мы видим, что имеется семь эффективных входов,
т. е. входов, вызывающих загорание эффекторного нейрона;
только нулевой вход (т. е. вход, отвечающий тому, что не загорается ни
один рецептор1) является неэффективным. (Заметим, что если бы
1 Мы упорядочиваем рецепторы следующим образом: гз, /*2, ri, и в
дальнейшем это будет отвечать обычному способу обозначения входов посредством
чисел, записанных в двоичной системе счисления. Так, в случае трех
рецепторов 000 будет обозначать нулевой вход (ни один рецептор не загорается),
001 будет обозначать «загорается лишь п», 010 — «загорается лишь гг»,
011 — «загорается лишь г\ и гг» и т. д.
51
порог на рисунке 19 равнялся 3, то единственным эффективным
входом был бы вход, отвечающий последней строке). Предлагаем
читателю проверить по всем таблицам, что значению выхода,
равному 1, соответствуют те и только те входы, загорание которых
влечет за собой загорание эффекторного нейрона.
Вход
'з г2 гх
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
| 111
Выход
е
0
1
0
1
0
1
1
1
Вход
'3 Г2 Г1
0 0 0
0 0 1
j 0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 [ [ 1
Выход
е
ъ
0
0
1
0
1
1
1
Вход
гз Н т\
0 0 0
0 0 1
0 10
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
111
Выход
е
0
Вход Выход
! гз г2 гх
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
111
е
0
0
0
1
0
1
0
1
Можно не указывать порог каждого синапса на всех без
исключения схемах, изображающих нервные сети. Для этого удобно
принять следующее условие: если нет никаких других указаний, то
порог синапса считается равным числу контактирующих с ним
окончаний. Таким образом, на всех схемах пороги определяются либо
дополнительным указанием, либо этим условием.
Допустим, что нам дана входно-выходная таблица,
соответствующая рисунку 22, но самого этого рисунка нет. Как можно при этих
условиях начертить соответствующую нервную сеть? Другими
словами, как можно соединить три рецепторных нейрона г4, г2 и г3 с
одним эффекторным нейроном так, чтобы е загорался только для
входов 011, 101 и 111? Очевидно, что сеть здесь настолько проста,
что после одной или двух попыток ее построения будет сразу же
обнаружена та, которая изображена на рисунке. Интересно,
однако, отметить, что эта задача может быть математически выражена в
форме восьми линейных неравенств. (В общем случае свойства
любой сети, содержащей п рецепторных нейронов и один эффекторный
нейрон, могут быть выражены с помощью 2п неравенств — по
числу строк соответствующей таблицы.) Действительно, пусть R/ (/ =
= 1, 2, 3) обозначает число окончаний рецепторного нейрона rL и
пусть 0 — порог синапса.
52
Тогда мы должны иметь:
О < 0, так как нулевой вход является неэффективным;
/?х < 0 » » вход 001 является неэффективным;
/?2<0 » » » 010 » неэффективным;
R2-\-Rx> © » » » 011 » эффективным;
R3 < 0 » » » 100 » неэффективным;
/?з + Ri> ® » » » 101 » эффективным;
Rs-\~ R2<® » » » ПО » неэффективным;
/?! -(-#2 + ^з > 0 » » » HI » эффективным;
Мы видим, что решение R{ = 2, R2 = 1, #3 = 1 иб = 3
удовлетворяет этой системе неравенств. Это дает нам сеть,
изображенную на рисунке 22. Но это — не единственное решение, и все
значения Ri R2 и R3, которые удовлетворяют выписанным
неравенствам, представляют нервные сети, удовлетворяющие входно-выход-
ной таблице. Очевидно, что сеть, изображенная на рисунке 22,
является простейшей из них. Отметим, однако, что системы линейных
неравенств решаются нелегко; поэтому даже использование их не
избавляет от известных трудностей.
Упражнения.
184. Выпишите 8 неравенств, соответствующих входной таблице,
относящейся к рисунку 21. Каковы значения /?lf R2, Rs и в, указанные на схеме,
изображенной на рисунке 21? Удовлетворяют ли эти значения неравенствам?
Изобразите какую-либо другую сеть, удовлетворяющую нашей таблице.
185. Сеть состоит из 3 рецепторных нейронов с рецепторами rlt г2 и г3
и одного эффекторного нейрона с одним эффектором. Эффектор должен
замирать только при значениях входов 011 и 111. Постройте входную таблицу,
выпишите соответствующие 8 линейных неравенств и начертите простейшую сеть,
удовлетворяющую выписанной таблице.
186. Сеть состоит из 2 рецепторных нейронов с рецепторами п и /*2 и
одного эффекторного нейрона с одним эффектором. Эффектор должен замирать
только для входов 01 и 10. Докажите, что такая сеть невозможна.
187. Сеть содержит 2 рецептора ri и г2 и 2 эффектора е± и е2. Начертите
сеть так, чтобы только е\ замирал в момент / + 2, если один и только один
рецептор загорелся в момент времени t, и оба эффектора замирали бы в момент
времени t + 2, если оба рецептора загорелись в момент t.
188. Сеть содержит 3 рецептора: rlt г2 и г3 и 3 эффектора: еь е2 и еъ.
Начертите сеть так, чтобы только е\ замирал в момент времени t + 2, если один
и только один рецептор загорелся в момент времени t, только в\ и е2 замирали
в момент времени t + 2, если 2 и только 2 рецептора загорелись в момент
времени /, и все 3 эффектора замирали бы в момент времени t + 2, если все 3
рецептора загорелись в момент времени t.
189. Рассмотрим ту же схему, которая изображена на рисунке 18, но при
значении порога 0 = 4, а не 0 = 3. Начальные условия: and загораются
в момент времени t = 0. Если г загорается в некоторый случайный момент
времени t, то какова вероятность того, что е замрет?
190. Начальные условия для схемы, изображенной на рисунке 23: в
каждом цикле один нейрон загорается в момент времени t = 0.
a) Если г загорается однажды, то какова вероятность того, что е замрет?
b) Если г загорается в два случайно выбранных момента времени t и t\
то какова вероятность того, что е замрет по крайней мере один раз?
191. Начальные условия для схемы, изображенной на рисунке 23: 2
нейрона в цикле, содержащем 7 нейронов, и по одному нейрону в каждом из
остальных циклов загораются в момент t = 0.
53
a) Если г загорается однажды, то какова вероятность того, что е замрет?
b) Если г загорается в два случайно выбранных момента времени t и /',
то какова вероятность того, что е замрет по крайней мере один раз?
192. Начальные условия для схемы, изображенной на рисунке 23: 2
нейрона в каждом цикле загораются в момент времени t = 0. Если г загорается
в два случайно выбранных момента времени / и Г, то какова вероятность
того, что е ни в какой момент не замрет?
(' ) <7) Га*)
г п—• • - • Ие
Рис. 23.
§ 8. Об эмпирическом понятии вероятности
До сих пор мы рассматривали понятие вероятности a priori.
Относительно него мы до всякого эксперимента (например,
результатов каких-либо реально проведенных проб, результатов выборки)
делали предположение о том, какие именно события играют роль
основных равноправных или равновероятных событий. Это
предположение могло быть принято по определению или из каких-либо
физических соображений. Мы допускаем, например, что
игральная кость является правильным кубом и что подбрасываемая
монета однородна по всем направлениям. Вероятность любых
событий мы определяли после этого в терминах этих
элементарных равновероятных событий.
Однако такое определение, во-первых, связано с произволом в
выборе тех исходов, которые считаются равновероятными, а во-
вторых, оно применимо далеко не во всех тех случаях, в которых
имеет смысл говорить о вероятности событий.
Поэтому существует и другой, так называемый
«эмпирический» подход к понятию вероятности. Этот подход связан с
фактическим выполнением большого числа однотипных опытов и
состоит в следующем. Пусть многократно производится некоторый
опыт; при этом при некоторых его исходах интересующее нас
событие наступает, а при некоторых — не наступает. Если
фактически произвести очень большое число таких опытов, то
оказывается, что отношение числа тех исходов опыта, при которых данное
событие наступило, к общему числу всех произведенных опытов,
практически является постоянным. Это число и принимается равным
вероятности данного события. Очевидно, что так определенная
вероятность всегда заключена между 0 и 1, причем вероятность
невозможного события равна 0 (событие не наступает ни при каких
54
исходах опыта), а вероятность достоверного события равна 1
(событие наступает при всех исходах опыта).
Можно показать, что в тех случаях, когда могут быть
применены оба определения вероятности, они приводят к одному и
тому же результату. Можно показать также справедливость всех
теорем о свойствах вероятностей, рассмотренных нами ранее.
Рассмотрим следующий пример. Определим вероятность того,
что взятый наудачу мужчина старше 30 лет, живущий в Лос-Анже-
лосе, будет иметь по крайней мере 20 здоровых зубов.
Единственный практический способ определения значения этой вероятности
будет состоять в исследовании большого числа живущих в Лос-Ан-
желосе мужчин старше 30 лет, взятых наудачу, без различия
рода их занятий, возраста, годового дохода и т. д. Если
исследованию подвергались п человек и оказалось, что г из них имеют по
крайней мере 20 здоровых зубов, то при условии, что п
достаточно велико, можно будет принять отношение — за вероятность того,
п
что любой мужчина старше 30 лет, живущий в Лос-Анжелосе,
имеет по крайней мере 20 здоровых зубов. При этом отношение — бу-
п
дет иметь примерно одно и то же значение для всевозможных групп
из п мужчин (где п велико).
Упражнение.
193. В колледже, насчитывающем 5750 студентов, 2500 студентов уже
избрали себе дальнейшую специальность. Найдите вероятность того, что взятый
наудачу студент избрал себе дальнейшую специальность.
§ 9- Надежность компонентов нервных сетей
Мы рассмотрим теперь некоторые простые нервные сети,
компоненты которых не являются полностью надежными. Такими
компонентами часто пользуются в различных цифровых устройствах.
Кроме того, рассмотрение таких сетей доставляет хорошие
упражнения по теории вероятности.
Компоненты какой-либо нервной сети называются
ненадежными, если они иногда действуют не так, как они должны были бы
действовать. Мы ограничимся рассмотрением простейших нервных
сетей, которые будем называть «кабелям и». Это
прямолинейные системы, вроде тех, которые изображены на рисунках 7,9 и
24, а, и их модификации, отличающиеся тем, что (для увеличения
надежности) параллельно основным могут подключаться
добавочные компоненты (рис. 24,6). Каждый кабель имеет одну рецептор-
ную ячейку г и одну эффекторную ячейку е и не имеет циклов; все
пути от г до е содержат одно и то же число синапсов. Для каждого
данного кабеля обозначим эго число синапсов через п и будем
называть его длиной данного кабеля. Так, например, для кабеля,
изображенного на рисунке 9 (стр. 26), п = 2.
55
Мы будем рассматривать следующие четыре возможных типа
надежности:
(/) Вполне надежный нейрон— такой, который
никогда не может действовать неправильно.
(и) Низкоактивный нейрон — такой, который
иногда может не загореться в случае, когда он должен загораться.
(ш) Сверхактивный нейрон — такой, который
иногда может загореться в случае, когда он не должен загораться.
(iv) Дефектный нейрон — такой, который иногда
не загорается в том случае, когда он должен загореться, а иногда
загорается в случае, когда он не должен был загореться.
Предположим, что кабель, изображенный на рисунке 9, был
Q——• • • —• —•—^-0
Рис. 24, а.
вполне надежен. Это означало бы, что эффекторный нейрон
загорается в момент времени t + 2 тогда, когда рецептор возбуждается в
момент t, где t— любой данный момент времени1. На рисунке 24, а
полная надежность означала бы, что эффекторный нейрон загорается
в момент времени t +n тогда, когда рецепторный нейрон
загорается в момент t.
Надежностью кабеля длины п, для входа /,
обозначаемой через Rel (1), называется вероятность того, что е
загорается в момент / + л, где t — любой случайно выбранный
момент времени, в который загорается г. Надежностью этого же
кабеля для входа 0, обозначаемой через Rel (0), называется
вероятность того, что е не загорается в момент t + п, где / —любой
случайно выбранный момент времени, в который г не загорается.
Рассмотрим следующие случаи, относящиеся к рисунку 24, а.'
I. Линейная сеть с вполне надежными
нейронами. Здесь Rel (1) = 1 и Rel(0) = 1.
II.Линейная сеть с низкоактивными
нейронами. Допустим, что при проверке всей совокупности
нейронов после многих испытаний оказалось, что каждый нейрон не
загорается в среднем в одном случае из 100; таким образом,
вероятность того, что нейрон из этой совокупности не загорится (когда
он должен загореться) должна быть принята равной 0,01.
Никаких других дефектов в этой сети нет.
Используя эти низкоактивные нейроны, мы построим кабель,
изображенный на рисунке 24, а. В этой сети вероятность импульса
пройти через первый синапс равна 0,99. Если он пройдет, то вероят-
1 Каждая нервная сеть регулируется с помощью импульсов так, как это
было объяснено раньше; поэтому здесь по-прежнему рассматриваются
только целые значения t, т. е. t всегда равно целому числу.
56
ность того, что он пройдет через второй синапс, равна 0,99, и т. д.
Следовательно, Rel(l) = 0,99". Очевидно, что здесь Rel(0) = 1.
Например, если использовать эти низкоактивные нейроны в
кабеле, изображенном на рисунке 9, то Re 1(1) = 0,9801 и Rel{0) = 1.
Ясно, что при большом значении п сеть для входа 1 становится
очень ненадежной.
Упражнение.
194. Рассмотрите изображенную на рисунке 24, а сеть с описанными выше
низкоактивными нейронами.
a) Подсчитайте значение Rel (1) при п — 100.
b) Найдите значение п, при котором значение Rel (1) ближе всего к— .
Расчет показывает, что для рассматриваемой сети при п = 100
Rel(\) равна всего только 0,3664. Можно ли существенно увеличить
надежность, если пользоваться только низкоактивными нейронами
и не менять входно-выходных свойств и временной задержки сети?
-и
Рис. 24, б.
Оказывается, что это возможно. Для иллюстрации метода,
позволяющего увеличить надежность сети, положим всюду на
рисунке 24, б в = 1. Тогда вероятность прохождения импульса по
крайней мере через один из первых трех синапсов равна 0,999 9991.
Если какол-либо импульс пройдет, то вероятность того, что он
пройдет по крайней мере через один синапс из второй системы
синапсов, также равна 0,999 999, и т. д. — пока мы не дойдем до
последнего синапса. Вероятность прохождения импульса через
последний синапс равна 0,99. Следовательно, при п = 100 мы
получим Rel(\) = 0,999 99990 . 0,99 = 0,989 909.
Интересно, что использование подобной «кратности» построения
сети почти полностью восстанавливает надежность ее работы, даже
если отдельные компоненты сети так же ненадежны, как были и в
случае схемы на рисунке 24, а.
1 Вероятность блокировки каждого из этих трех синапсов равна 0, 1.
Тогда вероятность непрохождения импульса ни через один центральный
нейрон равна 0,013 (один случай из миллиона). Следовательно, вероятность для
некоторого импульса пройти через первую тройку синапсов равна 1—0,013=
= 0,999 999.
57
III. Линейная сеть со сверхактивными
нейронами. Оставим теперь совокупность низкоактивных
нейронов и перейдем к анализу работы кабеля, содержащего
сверхактивные нейроны. Пусть в результате многократных испытаний
выяснилось, что каждый нейрон из нашей совокупности нейронов
загорается в среднем один раз из 100, при которых он не должен был
загореться. Таким образом, вероятность загорания нейрона (когда
он не должен загореться) должна быть принята равной 0,01.
Никаких других дефектов наша цепь не имеет.
Пусть строение сети задается рисунком 24, а. Всякий импульс,
исходящий от г, всегда доходит до е\ поэтому ясно, что Re 1(1) = 1.
Но если г не загорается в момент t, то е может загореться в момент
t -\- n из-за неправильного функционирования нейронов сети,
т. е. k-й после г нейрон может (самопроизвольно) загореться в
момент t + k, что повлечет за собой загорание е в момент t + п.
Следовательно, Rel(0) < 1.
Значение Rel(0) может быть легко определено путем следующего
рассуждения. Пусть t — некоторый случайно выбранный момент
времени, в который г не загорается. Тогда вероятность того, что
первый синапс не загорится в момент / + 1, равна 0,99, вероятность
того, что второй синапс не загорится в момент /+2, также равна 0,99,
и т. д. для каждого из п синапсов. Следовательно, Rel(0) = 0,99".
Например, если в кабеле, изображенном на рисунке 9 (стр. 26),
использовать эти сверхактивные нейроны, то Rel(0) = 0,9801 и
Rel(l) = 1. Ясно, что при большом значении п для входа 0 сеть
становится очень ненадежной.
Упражнение.
195. Рассмотрим сеть, изображенную на рисунке 24, а и использующую
описанные выше сверхактивные нейроны.
a) Каково значение Rel (0) при п = 100?
b) При каком значении п величина Rel (0) принимает значение, очень
близкое к —'? (Не нужно вычислять этого значения, так как математическую
часть расчета вы уже проделали при решении предыдущего упражнения).
Нетрудно подсчитать, что в рассматриваемой сети при п = 100
величина Rel(0) равна только 0,3664. Оказывается, что если
использовать только сверхактивные нейроны, можно значительно
увеличить надежность сети, использовав многократно повторенную
линию, изображенную на рисунке 24, б. Теперь, однако, для
каждого синапса мы примем, что значение в равно количеству
окончаний этого синапса.
Пусть в момент / мы имели вход 0. Тогда вероятность того,
что в момент t + 1 загорится менее трех синапсов, будет равна
0,999999, вероятность того, что в момент t + 2 загорится менее
9 синапсов, будет равна (0,999 999)2, и т. д. —до тех пор, пока мы
не дойдем до последнего синапса. Вероятность того, что последний
'"•.Я
синапс не загорится в момент t + 100, равна 0,99. Следовательно,
Rel(0) == 0,999 999" -0,99 = 0,989 908, и мы снова убеждаемся,
что использование нашей конструкции восстанавливает надежность
сети почти до значения 1.
IV. Линейные сети с дефектными
нейронами. Введем теперь в рассуждение и третью совокупность
нейронов. Допустим, что в среднем каждый из них не загорается
один раз из тех 100 раз, в которые он должен загораться, и
загорается один раз из тех 100 раз, в которые он не должен загораться.
Таким образом, для этой совокупности вероятность того, что
нейрон не загорается, когда он должен загораться, должна быть
принята равной 0,01, и вероятность того, что он загорается, когда он
не должен загораться, также должна быть принята равной 0,01.
Используя эти дефектные нейроны, мы построим сеть так, как
это показано на рисунке 24, а. Расчеты, которые должны быть
проведены для вычисления точных значений надежностей Rel{l)
и Rel(0)y теперь намного сложнее, чем в предыдущих случаях и мы
здесь не можем в них входить1. Однако и в этом случае можно
намного улучшить надежность, если воспользоваться сетью,
изображенной на рисунке 24, б, и положить 0 = 2 после первого
столбца синапсов.
В дальнейших главах книги будут рассматриваться только
вполне надежные нейроны.
Упражнения.
196. Положим п — 100 и пусть в схеме, изображенной на рисунке 24, б
и использующей дефектные нейроны, описанные выше, 6 = 2 для всех
синапсов, следующих после первого их столбца. .
a) Если г загорается в момент времени t, то какова вероятность того, что
в момент t + 1 загорится более одного нейрона первого столбца синапсов?
b) Если г загорается в момент времени t, то какова вероятность того, что
результирующий импульс проделает весь путь до е, приведя к загоранию
в момент t + 100?
c) Почему эта вероятность меньше, чем Rel (1)?
197. Докажите, что если п = 80, то Rel (1) > 0,7815.
198. Докажите, что если п = 60, то Rel (1) > 0,8297.
199. Ясно ли, что для любого кабеля рассмотренного типа (упр. 196,
197 и 198) из соображений симметрии следует, что Rel (1) = Rel (0)?
200. Сеть состоит из цикла 8 низкоактивных центральных нейронов
(их надежность — 0,99), причем каждый из них имеет одно окончание.
a) Если один и только один из нейронов загорается в момент времени t =
= 0, то какова вероятность того, что сеть останется активной — секундой
5
позже?
b) Какова вероятность того, что активность прекратится ровно через
t = 10?
1 Для полного ознакомления с этим вопросом мы отсылаем читателя к
работе Дж. Н е й м а н н a (J V Neumann) «Вероятностная логика и синтез
надежных организмов из ненадежных компонент», сборник статей
«Автоматы», под редакцией К- Шэннона и Дж. Маккарти, М.—Л., 1956.
59
Обзорные задачи
201. Найдите все простые числа, меньшие 168, с помощью решета Эра-
тосфена.
202. Разложите 2520 на простые множители с помощью алгоритма,
рассмотренного в § 4 гл. I.
203. Используя алгоритм Евклида, найдите наибольший общий делитель
чисел 29 766 и 208 362.
204. Используя алгоритм Ньютона, найдите "^7243 с точностью до трех
десятичных знаков. В качестве первого приближения возьмите А± — 84.
з
V1 п2
205. Запишите без знака суммы выражение \ Т^ГГ и вычислите его
значение.
4
206. Запишите без знака произведения XI выражение 0,02 11 (i2 + 1) и
/=о
вычислите его значение.
207. Сколькими различными способами могут упасть 6 одновременно
подброшенных одинаковых монет?
208. В ящике лежат 5 книг по философии, 2 по истории и 3 по химии.
Сколькими различными способами их можно расположить на полке,
вмещающей 10 книг, если книги по каждому предмету должны стоять рядом?
209. Сколько различных сумм можно образовать из однокопеечной,
двух-, трех-, пятикопеечной монет?
210. Что более вероятно: получить «7» при бросании двух игральных
костей или при бросании четырех костей?
211. Начальные условия для схемы, изображенной на рисунке 18 (стр. 50),
таковы: только a, b, d и / загораются в момент t = 0. Если г загорится
однажды в некоторый случайно выбранный момент времени t, то какова вероятность
того, что е замрет?
212. Какова вероятность выпадения по крайней мере 2 шестерок при
четырех бросаниях игральной кости?
213. Какова вероятность выпадения одной и только одной шестерки
одной и только одной четверки при четырех бросаниях кости?
214. Сколькими способами можно рассадить за круглым столом 4
мальчиков и 5 девочек, если каждый мальчик должен сидеть между двумя
девочками?
215. Какова вероятность того, что из трех карт, одновременно вынутых
из колоды в 52 карты, две будут бубновой масти, а одна — трефовой?
216. В урне лежат 4 трехкопеечные и 2 пятикопеечные монеты. Найдите
вероятность вытряхнуть последовательно 2 трехкопеечные монеты до
извлечения первой пятикопеечной монеты.
217. На столе лежат 6 английских, 4 французские и 2 немецкие книги.
Сколькими способами я могу выбрать некоторые из этих книг, если я должен
выбрать по крайней мере 2 английские книги, по крайней мере 1 французскую
и по крайней мере 1 немецкую книгу?
ГЛАВА IV
Системы счисления
§ 1. Введение
Позиционная система счисления позволяет записывать числа
с помощью специальных знаков, называемых цифрами, причем
положение этих цифр в записи числа существенно влияет на его
значение; так, например, числа 527, 275 и 572 являются разными
в силу того, что в их записи цифры 2,5 и 7 занимают разное
положение.
Десятичная система использует 10 знаков или цифр: 0, 1,2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9. Троичная система использует 3 цифры: 0, 1,2. Две-
надцатеричная система использует 12 цифр, которые можно
обозначить через 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, t и е. Простейшей
позиционной системой счисления является двоичная система, так как она
использует всего две цифры: 0 и 1.
Число различных цифр, используемых в данной системе
счисления, называется основанием системы счисления. Так, в
двоичной системе основанием является число 2, в восьмеричной
системе— 8, а в десятичной системе основание равно 10.
В каждой системе счисления цифры упорядочены определенным
образом в соответствии с их значениями. Продвижением
цифры мы будем называть замену ее следующей по величине;
таким образом, продвинуть цифру 0 — означает заменить ее цифрой 1,
продвинуть цифру 1 — значит заменить ее цифрой 2, продвинуть
2 — значит заменить ее на 3 и т. д. При этом порядок цифр
считается циклическим, так что (в десятичной системе счисления)
продвижение цифры 9 означает замену ее цифрой 0 (подобно этому
двигаются отвечающие каждому разряду цифры, например,
спидометра автомобиля). В троичной системе продвижение 0 означает
замену его 1, продвижение 1 означает ее замену на 2, а продвижение
2 — замену ее на 0. В двоичной системе продвижение 0 означает
замену его на 1, а продвижение 1 означает замену ее на 0.
Места слева от первой цифры всякого числа можно считать
заполненными нулями в любом удобном для нас количестве. Так,
27 можно записать как 027 или 0027 или 00027 и т. д.
61
§ 2. Порождение целых чисел
Теперь мы предложим вниманию читателя правило, позволяющее
последовательно выписывать все целые числа. Это правило
порождения целых чисел относится ко всем системам, независимо
от их основания. В каждой из рассматриваемых систем первым
целым числом является число 0000.
Если известны цифры, используемые в нашей системе
счисления, то мы можем порождать последовательные целые числа этой
системы с помощью Правила Счета*:
Для образования следующего за любым данным целого числа
нужно (i) продвинуть самую правую цифру числа; (и) если какая-либо
цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть
цифру, стоящую слева от нее.
Применяя это правило, мы видим, что второе целое число в
любой системе записывается в виде 0001. Следующие после 0001
последовательные целые числа в разных системах счисления могут иметь
различные записи. Например, в десятичной системе это будет 0002,
а в двоичной 0010.
Упражнения.
218. Используя указанное правило, определите, какие целые числа в
десятичной системе следуют за числами 84, 19, 399, 5999?
219. Используя приведенное правило (а не память или выписанную ниже
таблицу), выпишите первые 12 целых чисел в двоичной, пятеричной,
восьмеричной и десятеричной системах счисления. (Хотя это и очень просто сделать,
практическое выполнение этого задания очень полезно, так как поможет вам
ближе ознакомиться с этими важными системами счисления.)
220. Какое целое число следует за числом 00222 в троичной системе
счисления?
221. Какое целое число следует за числом
а) 267377, Ь) 77777
в восьмеричной системе счисления?
222. Какое целое число следует за числом
а) 110111, Ь) 1111111111
в двоичной системе счисления?
223. Какое целое число следует за числом e39tee в двенадцатеричной
системе счисления?
224. Какое целое число предшествует числу 0?22 в троичной системе?
225. Какое целое число предшествует числу ееее в двенадцатеричной
системе?
226. Какое целое число предшествует числу 101011 в двоичной системе?
227. Какое целое число следует за числом 2333 в системе с основанием 4?
228. Какой цифрой кончается нечетное двоичное число? Какой цифрой
кончается четное двоичное число?
Когда мы говорим: «целые числа в двоичной системе» или:
«целые числа в десятичной системе» и т. д., то читателю должно быть
* Выражение «Правило Счета», записанное с двумя большими буквами,
ниже всегда будет обозначать сформулированное здесь правило.
62
ясно, что речь идет всегда об одном единственном множестве целых
чисел, но эти целые числа записываются различным образом в
различных системах счисления. Например, символы 11001 и 25
являются двумя различными способами записи одного и того же целого
числа в двоичной и десятичной системах счисления. Так как это
совершенно очевидно, то представляется чрезмерно педантичным
формулировать, скажем, упражнение 235 следующим образом:
Какой последовательностью цифр в десятичной системе
записывается число, которое в двоичной системе представляется в виде
110011?
...-пНи D00 а0и п[|0-дн?пка
Рис. 25. Устройство для получения следующего целого числа: кнопка
вызывает загорание рецептора а\ каждая цифра продвигается тогда, когда замирает
соседний эффектор; каждый рецептор загорается тогда, когда соседняя
цифра продвинулась до нуля. Для получения целого числа, следующего за тем,
которое уже хранится в устройстве, нажмите кнопку и подождите.
Устройство, изображенное на рисунке 25, иллюстрирует
Правило Счета. Для каждого данного основания используются только
соответствующие ему цифры. Правило дает возможность
производить счет в любой системе.
Число, хранящееся в устройстве, изображенном на рисунке 25,
показывает, сколько раз была нажата кнопка, если в начале работы
в регистре было число 00000.
§ 3. Перевод любого целого числа в десятичную
систему счисления
Из таблицы 1 мы видим, что число 10101 в двоичной системе
равно числу 21 в десятичной системе. Это может быть записано так*:
10101а - 2110.
Подобно этому 2103 = 2110, 258 = 2110 и 1912 = 2110 . Если
бы мы имели достаточно большие таблицы такого рода, то могли бы,
очевидно, переводить любое целое число в любой системе в
эквивалентное ему число в десятичной системе. Однако в таких таблицах
нет необходимости, так как существует простой метод перевода
чисел из одной системы в другую, который будет объяснен ниже.
1 Аналогично этому если человек, глядя на фотографию, говорит:
«Смотрите! Это Джон», то нет никакой необходимости поправлять его, говоря:
«Нет. Это не Джон. Это фотография Джона».
* В этой главе индекс внизу будет всюду означать основание системы
счисления.
63
В соответствии с принятыми условиями относительно положения
Цифр число 320 385 в десятичной системе равно 300 000 + 20 000 +
+ 300 + 80 + 5, так что
32038510 = 3- 10' + 2- Ю' + О- 103 + 3- 102 + 8- 101 + 5 • 10°.
Подобные примеры нетрудно указать и для десятичной,
восьмеричной, троичной, двоичной и двенадцатеричнои и пятеричной
систем счисления:
87 12510 = 8 • 104 + 7 • 103 + 1 • 102 + 2 • 101 + 5 • 10° =
= 87 125;
24 7138 = 2 • 81 + 4 • 83 + 7 • 82 + 1 • 81 + 3 • 8° = 10 699;
21 2023 = 2 • З1 + 1 • З3 + 2 • З2 + 0 • З1 + 2 • 3° = 209;
10 ПО, = 1 • 24 + 0 • 23 + 1 ■ 22 + 1 • 21 + 0 • 2° = 22;
3/7е412 = 3 • 124 + 10 • 123 + 7 • 122 + 11 . 121 +
+4 • 12° = 80 632;
42315 = 4 • 53 + 2 • 52 + 3 • 51 + 1 • 5° = 566.
Таблица 1
Некоторые системы счисления
Системы
счисления
Основание
Используемые
цифры
Запись чисел
Двоичная
2
0,1
00000
00001
00010
00011
00100
00101
00110
00111
01000
01001
01010
01011
01100
01101
01110
01111
10000
10001
10010
10011
10100
10101
10110
10110
11000
Троичная
3
0,1,2
0000
0001
0002
0010
ООП
0012
0020
0021
0022
0100
0101
0102
ОНО
0111
0112
0120
0121
0122
0200
0201
0202
0210
0211
0212
0220
Восьмеричная
8
0, 1,2,3,
4, 5, 6, 7
0000
0001
0002
0003
0004
0005
0006
0007
0010
ООП
0012
0013
0014
0015
0016
0017
0020
0021
0022
0023
0024
0025
0026
0027
0030
Десятичная
10
0, 1,2,3,4,
5, 6, 7, 8, 9
0000
0001
0002
0003
0004
0005
0006
0007
0008
0009
0010
ООН
0012
0013
0014
0015
0016
0017
0018
0019
0020
0021
0022
0023
0024
Двенадцате-
ричная
12
0, 1, 2,3,4,
5,6,7,8,9,
0000
0001
0002
0003
0004
0005
0006
0007
0008
0009
000*
ОООе
0010
ООП
0012
0013
0014
0015
0016
0017
0018
0019
001/
001е
0020
64
Пусть вообще а, Ь, с,... , k — цифры, используемые в системе с
основанием г; тогда, например, число bgdabcba, представляет »з
себя десятичное число:
b.r*+g.t* + d-r* + a-r* + c-r* + b.rl-\-a.r*.
Таким образом, алгоритм перевода в десятичную систему
чрезвычайно прост: чтобы перевести любое целое число, записанное в
некоторой системе счисления, в эквивалентное ему целое число в
десятичной системе, нужно просто представить данное целое в виде
многочлена, представляющего собой сумму степеней основания
(записанного в десятичной системе) с коэффициентами, которыми служат
цифры исходного числа, и сложить члены этого многочлена по
правилам сложения чисел в десятичной системе счисления*.
В общем случае целое число N = (рп рп^ р„_2 ... р0)г, где
некоторые из цифр р0, ри ... , рп могут быть равны между собой,
но каждая из них представляет собой неотрицательное целое число,
меньшее г, может быть (единственным образом) представлено
в форме:
М^Рп^ + Рп-гГ»-1-^ ... +Ptr + p0t
и, следовательно, эквивалентное ему десятичное число может быть
найдено путем сложения этих членов.
Таблица 2
Степени чисел 2, 3 и 8.
2° = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
2б = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
21° в Ю24
211 в 2048
2i2 = 4096
213= 8192
3°= 1
3* = 3
За=9
38= 27
34 = 81
36 = 243
3* = 729
37 = 2187
З8 = 6561
8°= 1
8i = 8
82 = 64
83=512
84 = 4 096
8s = 32 768
8е =262 144
87 = 2 097 152
8»= 16 777 216
Упражнения.
229. Переведите двоичное число 101 в десятичную систему счисления.
230. Переведите в десятичную систему каждое из следующих чисел:
21201 з, 23145, 125628 и 2et3i*.
231. Переведите каждое из следующих чисел в десятичную систему
счисления: 11111?,, ПОООООООООг. 0111101Ь и 111111111г. (Обратите внимание на
то, что последнее из этих чисел может быть вычислено другим, более коротким
способом, так как оно предшествует числу 1000000000? и, следовательно,
должно быть равно 29 — 1 =511.)
Вместо того чтобы вычислять значение многочлена от г путем
вычисления каждого его члена и последующего их сложения, мы
* Подробнее об этом см. ниже в § 8.
3 Дж. Т. Калбертсон
65
можем воспользоваться известной читателю из элементарной
алгебры теоремой Безу: при делении некоторого многочлена,
расположенного по степеням буквы х, на двучлен х — г
получается остаток, равный значению данного многочлена при х = г.
Таким образом, для определения значения величины рп гп -f- ...
... -f- рх r 4- р0 достаточно произвести деление многочлена рпхп-\- ...
... -\-рхх-\-р0 на разность х—г, где г — основание системы.
Остаток, полученный после деления, и даст искомое число.
Деление многочлена рп хп -j- рп_г х"*1 + ... + Pi х + Ро на
двучлен х—г удобнее всего производить по алгоритму, носящему
название схемы Горнера. Напомним, как это делается.
Составляется таблица, имеющая две строки и п ■+• 1 столбцов.
В верхней строке таблицы выписываются все коэффициенты
данного многочлена (делимого), в нижней строке получаются
коэффициенты частного:
b^x^ + b^x»-^ ... +blX + b0
и остаток R. Старший коэффициент частного равен старшему
коэффициенту делимого. Каждый из остальных коэффициентов и
остаток получаются одним и тем же образом: к коэффициенту делимого,
стоящему в том же столбце, что и искомый коэффициент,
прибавляется произведение числа г и последнего уже вычисленного
коэффициента частного*:
V-1 I ЬП-2 I V-3 I .^ Ьх j /?_ /? = Р0+Г.&1в
В качестве примера рассмотрим, как по этому способу вычислить
значение 212013 в десятичной системе счисления. Мы знаем, что
212013 = 2 • З4 +33 + 2 • З2 + 1.
Разделим многочлен 2 • х4 + х3+2 • х2 + 1 на х — 3, получим:
1 2 1 1 1 2 1 0 11
3 1 2 j 7 1 23 1 69 1 208
Следовательно,
21201 з = 20810.
Подобно этому, выражая 110112 в десятичной системе, получаем:
М И 0| 1| 1
1 3 6 I 13 I 27
* Доказательство можно найти в любом учебнике высшей алгебры (см.
также Л. Я. О к у н е в, Кольцо многочленов и поле рациональных
функций; «Энциклопедия элементарной математики», т. II Гостехиздат, М. — Л.}
1951, стр. 159 и след.).
66
Упражнения.
232. Проверьте ответ, полученный вами в упражнении 229, методом
деления по схеме Горнера.
233. Проверьте каждый из ответов упражнения 230 методом деления по
схеме Горнера.
234. Переведите число 1011101 Ь в десятичную систему счисления двумя
способами.
235. Переведите число 11001-2 в десятичную систему счисления.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную
так часто встречается в вычислительной практике, что
представляется весьма полезным нахождение специального метода,
укорачивающего именно этот процесс. Оказывается, что
двоично-восьмерично-десятичный перевод, т. е. превращение двоичного числа сначала
в восьмеричное, а затем в десятичное, осуществить быстрее и
легче, чем непосредственный перевод из двоичной системы в
десятичную. Для того чтобы воспользоваться преимуществами от этого
метода, достаточно запомнить десятичные представления двоичных
чисел до 1112 = 7 и научиться немедленно распознавать, что
двоичное число 010 — это 2; 011 —это 3; 100—это 4; 101 —это 5;
ПО —это 6; 111 —это 7. Очень полезно запомнить также
несколько степеней числа 8*.
Проиллюстрируем этот метод переводом деоичного числа
010111110 в десятичную систему.
Алгоритм двоично-восьмеричн о-д е с я т и ч-
ного перевода;
Шаг первый. Разобьем цифры числа на группы справа
налево по три цифры в каждой группе. (В рассматриваемом случае
получим число 010 111 1102.)
Шаг второй. Запишем десятичное выражение для каждой
группы. (Получим восьмеричное выражение искомого числа — 2768.)
Шаг третий. Используем алгоритм перевода из
восьмеричной системы счисления в десятичную. (Получаем: 2 • 64-J-7 • 8 +
+ 6 = 190.)
Упражнения.
236. Используя алгоритм двоично- восьмерично-десятичного перевода,
переведите каждое из следующих двоичных чисел в десятичное: 101011,
1110111 и 111011011011001.
237 (необязательное). Опишите алгоритм
двоично-восьмерично-десятичного перевода в общем виде. Докажите, что этот алгоритм во всех случаях
приводит к правильному результату.
238. Десятичное число 79 эквивалентно числу 142 в некоторой другой
системе. Найдите основание этой системы.
* Для начала можно воспользоваться, например, таблицей 2.
3* 67
§ 4. Перевод десятичного целого числа в любую
другую систему счисления
По таблице 1 находим, что
01810 = 016i2 = 0228 = 2003 = 100102.
С помощью подобных таблиц десятичные целые числа могут быть
переведены в целые числа, записанные в любых других системах.
Однако можно обойтись и без этих таблиц, так как существует очень
удобный способ перевода с помощью алгоритма деления, который
сейчас будет объяснен. Этот алгоритм является совершенно общим
методом перевода целых чисел из любой системы счисления в
любую другую систему. Мы дадим его описание, не связанное
специально с десятичной системой. Для десятичной же системы алгоритм
будет продемонстрирован на примерах.
Алгоритм деления.
Пусть нам требуется перевести число N, заданное в какой-то
системе счисления, в систему счисления с основанием г.
Шаг первый. Делим N на г. Получаем первый остаток и
первое неполное частное.
Шаг второй. Делим неполное частное, полученное в
предыдущем шаге, на г. Получаем новый остаток и новое неполное
частное.
Шаг третий. Смотри указание второго шага и т. д.
Шаг /1-й. Получаем неполное частное, равное 0.
Шаг (п + 1)-й. Записываем полученные остатки в обратном
порядке. Получаем запись числа N в системе счисления с
основанием г.
Примеры. 1. Перевести 1810 в двенадцатеричную систему
счисления.
Шаг первый Делим 18 на 12. Получаем 18 = 12 • 1 +
+ 6 (первый остаток).
Шаг второй. Делим 1 на 12. Получаем 1 = 12-0+1
(второй остаток).
Шаг третий. Запись в обратном порядке дает 16.
Итак,
1810 = 1612.
На самом деле удобнее использовать более короткую запись:
18 I 12
1-й остаток 6 q '——
2-й остаток \ 1
. •. 18,0 = 1612.
2. Перевести 1810 в троичную систему счисления.
68
Шаг первый. Делим 18 на 3. Получаем 18 = 3 • 6 + О
(первый остаток).
Шаг второй. Делим 6 на 3. Получаем 6 = 3-2 + 0
(второй остаток).
Шаг третий. Делим 2 на 3. Получаем 2 = 3-0 + 2
(третий остаток).
Запись в обратном порядке дает 200.
Шаг четвертый.
Итак,
или короче:
1810 = 2003
18
18
1-й остаток 0
2-й остаток \
3-й остаток\
0
2
0
181О = 200я.
3. Перевести 1810 в восьмеричную систему счисления.
18 1 8
16
1 -й остаток 2
2
0
2-й остаток \ 2
.-.1810 = 228.
4. Перевести 1810 в двоичную систему счисления.
18 J 2
18 9
1-й остаток 0
2-й остаток \ 1
3-й остаток\
4-й остаток \
5-й остаток
4
4
0
\
1
0
1810=100102
Упражнение.
239. Переведите 437910 в восьмеричную систему; в пятеричную систему;
в двоичную систему; в двенадцатеричную систему.
Для доказательства того, что указанный алгоритм деления
всегда пригоден, рассмотрим любое целое число Л/, которое мы хотим
выразить в некоторой системе с данным основанием. Мы хотим
представить N в виде совокупности цифр (рп рп„х ... ргр0 ++)r. Задача
состоит в нахождении значений этих цифр так, чтобы было:
69
Деля правую часть равенства на г, получаем, что остаток равен
р0. Деля оставшееся частное на г, получаем остаток рь Деля
оставшееся частное на г, получаем остаток рг. Действуя таким же
образом, мы получаем последовательные остатки р0, ри р2, р3 и т. д.;
последнее (п + 1)-е деление дает частное 0 и остаток рп.
Следовательно, если последовательно делить на г число N и все
последовательно получаемые частные, то остатки будут соответственно
равны р0, pi,..., pn.
Этот алгоритм деления является общим методом
перевода целых чисел из любой системы в любую другую систему.
Очевидно, что деления должны производиться в той системе
счисления, из которой переводятся целые числа. Следовательно,
удобно применить этот способ для перевода из десятичной системы
в другие системы, так как обычно мы производим деление в
десятичной системе. Значительно менее удобно переводить таким образом
числа из других систем, так как мы менее опытны в выполнении
арифметических действий в этих системах.
Для иллюстрации переведем двенадцатеричное число t7e9ee в
десятичную систему1:
Пе9ее \_t_
1-й остаток 9 1096 ^ в |_J__
2-й остаток 1 13437[ t
3-й остаток 9 1651 \__J__
4-й остаток 3 1/1 | t
5-й остаток 5 22 | t
6-й остаток 6 2 1 t
7-й остаток 2 0
.-. t7e9ee12 = 2 653 91910.
Упражнения.
240 (необязательное). С помощью деления переведите 6733ej2 в
десятичную систему.
241 (необязательное). С помощью деления переведите 6733г12 в
восьмеричную систему.
242 (необязательное). С помощью деления переведите 1101101 Иг в
десятичную систему.
Для перевода любого десятичного числа N в двоичную систему
можно указать особый, применяемый только в этом важном
частном случае алгоритм, сущность которого сводится к
последовательному вычитанию из числа Л/ убывающих степеней числа 2.
Алгоритм этот состоит в следующем. Сначала находят
наибольшую степень 2 содержащуюся в числе /V, и, вычитая ее из N, полу-
1 Читатель может пропустить этот пример и упражнения 240, 242 без
ущерба для понимания дальнейшего.
70
чают число N{. Затем находят наибольшую степень 2, содержащуюся
в Ми и, вычитая ее из Nu получают число М2. Затем находят
наибольшую степень 2, содержащуюся в N2f и, вычитая ее из /V2,
получают число /V3. Процесс продолжается таким образом до тех пор,
пока результатом вычитания не окажется число 0. Тогда N равно
сумме всех степеней 2, и, следовательно, эта сумма
непосредственно выражает разложение числа N по степеням 2.
Например, перевод десятичного числа 460 в двоичную систему
счисления можно выполнить следующим образом:
460
256
204
128
76
~~ 64
12
— 8
4
4
= 28
= Т
. 460 -28 + 27 + 26 + 23 + 22
= 26 или 4G010 = 1110011002.
2з
0
Упражнения.
243. Используйте указанный алгоритм вычитания для перевода 411410
в двоичную систему счисления. Проверьте полученный результат с помощью
алгоритма деления.
Что проще, алгоритм вычитания или алгоритм последовательного
деления?
244. Переведите 63 92110 в двоичную систему счисления каким-либо из
двух методов и проверьте результат, переводя его снова в десятичную систему.
§ 5. Позиционное представление любого числа
Позиционная система счисления, как мы уже видели,
использует для записи чисел г различных видов знаков, называемых
цифрами. Используя только эти цифры, мы можем записать любое
целое неотрицательное число. Добавив к цифрам один
дополнительный знак, называемый «знаком минус», мы сможем записать также
любое отрицательное целое число. Используя еще один знак,
называемый «запятой», мы сможем записать, как будет показано ниже,
точно или приближенно любое действительное число.
Сначала рассмотрим иррациональные числа. Никакое
иррациональное число не может быть точно представлено ни в
какой системе счисления. Более того, можно доказать, что в системе
счисления с любым основанием г всякое иррациональное число
записывается в виде бесконечной непериодической дроби, и обратно —
всякая бесконечная непериодическая дробь представляет собой
иррациональное число. В частности, никакое иррациональное число
71
не может являться ни конечной, ни периодической бесконечной
десятичной дробью. В качестве примера укажем, что число я в
двоичной системе счисления записывается бесконечной дробью
11,00100100001111111110... Можем получить более точное
приближение, присоединяя к числу справа новые цифры, но точное
значение числа никогда не может быть получено таким образом.
Точно так же, как бы далеко вправо мы ни продолжали запись
числа, никогда не появятся бесконечно повторяющиеся периоды цифр.
Рассмотрим теперь рациональные числа. Каждое целое
число, как мы видели выше, может быть точно представлено в
любой системе счисления. Подобно этому в каждой данной системе
счисления могут быть представлены точно некоторые нецелые числа,
являющиеся рациональными. Это значит, что они выражаются
конечной позиционной дробью. Так, например, одна четверть в
десятичной системе счисления записывается в виде 0,25. Остальные
нецелые числа, являющиеся рациональными, не могут быть
представлены точно в данной системе (как, например, одна седьмая не может
быть представлена точно в десятичной системе), но каждое из этих
чисел может быть представлено точно в какой-либо другой системе
(так, одна седьмая равна 0,2 в системе счисления с основанием 14).
Очевидно, что всякое рациональное число — может быть представ-
п
лено точно в какой-либо системе. Для этого достаточно принять за
основание системы г какое-нибудь кратное числа /г. Можно
доказать также, что если рациональное число не может быть
представлено точно в данной системе счисления, то цифры, выражающей его
дроби при достаточном продвижении вправо, начинают бесконечно
повторяться с некоторым периодом. Так, одна седьмая — это
периодическая десятичная дробь 0,1428571428571428... и
периодическая двоичная дробь 0,001001001001...
В заключение этих общих замечаний отметим также, что имеет
место теорема о том, что всякое действительное число может быть
представлено с любой желаемой степенью точности в любой
системе счисления. Более точно: пусть А — любое действительное
число, а г — любое сколь угодно малое наперед заданное
положительное число. Тогда среди чисел, которые могут быть точно записаны
в любой наперед данной системе счисления, существует такое число
г, что А — г < е.
Упражнения.
245. Назовите какую-либо систему счисления, в которой число,
обратное числу ребер куба, представляется точно.
246. Назовите какую-либо систему счисления, в которой число, обратное
числу ребер куба, не может быть выражено точно. Если мы будем в этой
системе выражать это число со все более высокой степенью точности, то
будет ли какая-либо последовательность цифр бесконечно повторяться?
247. Может ли длина диагонали единичного куба быть представлена
точно в какой-либо системе счисления?
72
§ 6. Перевод любого позиционного числа
в десятичную систему счисления
В соответствии с принятыми условиями о положении цифр
число 231,7382 в десятичной системе равно 200 + 30 + 1 + 0,7 +
+ 0,03 + 0,008 + 0,0002, т. е.
231,73821о = 2-102 + 3-101 + Ы0° + 7-КГ1 + 3-1(Г2 + 8-КГ3+
+ 2-10-4 .
Подобно этому для восьмеричной, троичной, двоичной и двенад-
цатеричной систем соответственно мы, например, имеем:
073,248=7.81 + 3.8° + 2.8-2-59 + ^Ь_4 = 59,312510;
8а
22,123 = 2-31 + 2.3° + 1 -З-1 + 2-3-2 = 8 + — = 8,555...10;
10,1101, = 2f+ 2-1 + 2"2 + 2-* = 2 + 8 + 44+1 =2,812510;
0е5,0/12 = 1Ы21 + 5.12° + 0.12-1-]-107.12-2 =
= 137+^ = 137,0694444...^.
Пусть а, 6, ct... —цифры, используемые в системе с
основанием /*; тогда, например,
Таким образом, для перевода любого данного числа в любой
системе в десятичную систему нужно просто представить это число
в виде многочлена, представляющего собой сумму положительных
и отрицательных степеней основания, взятых с некоторыми
коэффициентами, и сложить члены этого многочлена. Очевидно, что
целая часть (слева от запятой) может быть вычислена отдельно;
затем должна быть вычислена дробная часть (справа от запятой),
затем обе части должны быть сложены между собой.
В самом общем случае число (РпРп-х... р0 P-i P-2 • • • Р-т)п
где некоторые из цифр могут быть равны между собой, но
каждая из них представляет собой неотрицательное целое число,
меньшее г, может быть (единственным образом) представлено в форме:
РпГ" + Рп_х Г*-1+ . . . + Ро + P-l'-1 + Р-2Г-2 -Ь . . + Р-пГ-т,
и, следовательно, эквивалентное ему десятичное число может
быть найдено путем сложения этих членов.
Упражнения.
248. Переведите каждое из следующих чисел в десятичную систему
счисления: 21,2055; 112,568; 32e,tt8i2.
249. Переведите каждое из следующих чисел в десятичную систему
счисления: 0,110-2; 11,0112; 11001, 111U.
73
В § 3 мы рассмотрели двоично-восьмерично-десятичный переЕод
целых чисел. Этот способ может быть применец к любому
двоичному числу. Для иллюстрации переведем таким способом в
десятичную систему счисления число 11101110,0111101.
Алгоритм перевода.
Шаг первый. Разобьем цифры числа на группы по три
цифры с каждой стороны запятой (для целой части справа налево,
для дробной — слеза направо); получим ОН 101 110,011 110 100.
Шаг второй. Запишем десятичное выражение для каждой
группы, получим восьмеричное выражение искомого числа 356, 3648.
Шаг третий. Произведем перевод из восьмеричной системы
в десятичную:
238 + — = 238,4765625.
~ 512
Упражнение.
250. Используя двоичпо-восьмерично-десятичный перевод, переведите
следующие три двоичных числа в десятичную систему счисления:
1001010, 10111001, 11,011 и 11001,1111.
§ 7. Перевод десятичного числа в любую другую
систему счисления
Десятичное число состоит из суммы десятичного целого числа,
записанного слева от запятой, и десятичной правильной дроби,
записанной справа от запятой. Так, 132,24 равно сумме десятичного
целого числа 132 и десятичной правильной дроби 0,24.
Для перевода десятичного числа в систему с данным
основанием г достаточно отдельно перевести в систему с основанием г его
целую и дробную части. Из § 4 этой главы мы уже знаем, как
переводить целую часть с помощью алгоритма деления. Теперь
покажем, как перевести десятичную правильную дробь с помощью
соответствующего алгоритма умножения. Этот
алгоритм состоит в повторном умножении самой дроби и полученных
последовательных произведений на г и выписывании возникающих
целых частей в прямом порядке. Иначе говоря, алгоритм состоит в
следующем:
Шаг первый. Умножаем правильную дробь на основание
системы г. Получаем целую и дробную части некоторого числа.
Шаг второй. Умножаем дробную часть результата
предыдущего шага на основание системы г. Получаем целую и дробную
части некоторого действительного числа.
Шаг третий. См. указание второго шага и т. д.
Шаг п - й. Продолжаем процесс перевода до тех пор, пока
либо полученное число не окончится, либо не определится период
(для иррационального числа — до тех пор, пока не будет
достигнута желаемая степень точности).
74
Шаг (п + 1)-й. Выписываем возникающие целые части в
прямом порядке справа от запятой.
Так, например, чтобы перевести 0,375 в двенадцатеричную
систему, совершим следующие умножения:
12-0,375 = 4,5 (целая часть равна 4),
12-0,5 = 6,0 (целая часть равна 6),
12-0 = 0,0 (целая часть равна 0),
/ . 0,35710 = 0,46012.
Переводя 0,375 в восьмеричную систему, получим:
8-0,375 = 3,0 (целая часть равна 3),
8-0 = 0,0 (целая часть равна 0),
.' . 0,37510 = 0,38.
Переводя 0,375 в двоичную систему, получим:
2-0,375 = 0,75 (целая часть равна 0),
2-0,75 = 1,5 (целая часть равна 1),
2-0,5 = 1,0 (целая часть равна 1),
2-0,0 = 0,0 (целая часть равна 0),
.\0,37510 = 0,0112.
Для перевода 221, 02187510 в двоичную систему используем и
алгоритм деления и алгоритм умножения.
Переводя в двоичную систему счисления целую часть числа,
получим:
221 | 2
1 ПО | 2
0 55 | 2
~Т~ 11 | 2
1 _13_ |2_
1 _6_ |2_
0 3 |2
1 J_j_2_
1 0
Переводя дробную часть числа в двоичную систему счисления,
получим:
2.0,021875-0,04375,
2-0,04375 = 0,0875,
2-0,0875 = 0,175,
2-0,175 = 0,35,
2.0,35 = 0,70,
2-0,70= 1,40,
2.0,40 = 0,80,
2.0,80= 1,60,
2.0,60= 1,20,
2 0,20 = 0,40.
75
Начиная с этого места, цифры дробной части будут повторяться,
так как дробная часть оказалась такая же, как в шестом разряде:
221,02187510 = 11011101,00000101100110...
Упражнения.
. 251. Переведите 0,62510 в двенадцатеричную систему счисления, в
двоичную, в восьмеричную, в троичную. (Во всех случаях продолжайте вычисления
до тех пор, пока не определится период.)
252. Переведите 1587, 0312510 в двенадцатеричную и в восьмеричную
системы счисления.
253. Переведите 0,3010 в двоичную систему счисления.
Описанный выше алгоритм может быть применен к
правильной дроби, не обязательно заданной в десятичной форме, т. е.
конечным числом знаков после запятой, а, например, в виде
отношения двух целых чисел. Мы можем следующим образом перевести
любую обыкновенную дробь, заданную в общем виде, в систему
счисления с основанием г.
Если рациональное число выражено в виде чистой дроби или в
виде смешанного числа, то существуют хорошо известные способы
представления такого числа в виде суммы десятичного целого
числа и правильной дроби, числитель и знаменатель которой являются
десятичными целыми числами. Например:
5 2 3
— | _ i —
6 ^ 3 ^ 4
2
1 8
Если дробь выражена таким образом, то мы можем применить к ее
целой части алгоритм деления, а к ее правильной дробной части
алгоритм умножения и затем сложить обе части.
Переводя — в двенадцатеричную систему счисления, получим:
8
1»=2 +
8 '
3
81
2 |12
2 0*
12. — =4+ — 1
8 2
12.1 = 6 + 0 1
2 '
19
- 2,46,
1-т 19
Переводя — в двоичную систему счисления, получим:
8
19=2 ,_3_. 2_J_2_
8 8* 0 _!_ [2_
1 0
2. i =0+ - "
8 Г 4
2.
1+1
1 2
2. ~= 1 + 0
2 '
19
= 10,0112.
76
Упражнение.
19
254. Переведите -~ в троичную систему счисления.
8
Как уже было замечено, правильная дробь, будучи выражена
в виде позиционного числа, явится либо конечной, либо
периодической дробью.
Пусть несократимая правильная дробь. Тогда —, будучи
записана в системе с основанием г, будет конечной ттогда, когда
разложение D на простые множители не содержит других
множителей, кроме тех, которые входят в разложение основания системы
счисления г. Если позиционная дробь — не является конечной, то
цифры этой дроби должны повторяться с периодом, меньшим чем D.
Поскольку, очевидно, при применении алгоритма умножения
может появляться не более чем D—1 различных дробных частей,
после достаточного количества шагов одна из дробных частей
должна повториться, а вместе с ней повторится и целая часть
результата умножения ее на основание системы. С первого из таких
шагов и начнется период.
Упражнения.
3
255. а) Переведите -— в троичную систему счисления.
8
3
b ) Переведите ■—- в восьмеричную систему счисления.
8
7 17
256. Переведите —, — в двоичную систему счисления.
8 6
13
257. Переведите — в восьмеричную систему счисления.
258. Составьте таблицу, выражающую значения дробей: -—, —, —,
2 3 4
—, —, —, —, — и ~ в десятичной и двенадцатеричнои системах счис-
5 6 8 9 10 12
ления. (Выведите из этой таблицы аргументы в пользу двенадцатеричнои
системы против десятичной.)
259. Всякое ли конечное двоичное число имеет конечный десятичный
эквивалент?
260. Всякое ли конечное десятичное число имеет конечный двоичный
эквивалент?
Дадим теперь доказательство справедливости алгоритма
умножения для перевода всякого числа F, заключенного между 0 и 1,
в любую систему счисления.
77
Предположим, что мы хотим представить / в системе с
основанием /*, т. е. что мы хотим выразить / в форме: (0, р^р^...
...р-т... )п где цифры р могут либо кончаться, либо продолжаться
неограниченно. Наша задача состоит в том, чтобы найти значения
этих р так, чтобы было:
f = P-1-r-l + p-2-r-* + ... + p_m.r-" + ...
Умножая правую часть равенства на г, получим:
^1 + (р^2.^ + р_3.г~2 + ... + р_/72./'-^) + ...).
Следовательно, р_2 равно целой части числа, получающегося
после первого умножения. Умножая дробную часть на г, получим
сумму целого числа р_2 и новой дробной части. Следовательно,
р2 равно целой части числа, получающегося после второго
умножения, и т. д.
Обзорные задачи.
261. Выпишите целые числа от 26 до 30 в двенадцатеричной системе
подобно тому, как это сделано в таблице 1 для меньших чисел. Решите ту же
задачу с заменой двенадцатеричной системы счисления восьмеричной и
двоичной системами.
262. Для каждого положительного целого числа существует
непосредственно следующее за ним большее целое число. Существует ли для всякой
правильной дроби непосредственно следующая за ней большая правильная
дробь?
263. Нервная сеть состоит из 4 рецепторов: rlt г2, г3иг4 и 4 эффекторов:
ev е2. е-з и е4. Начертите сеть так, чтобы:
только эффектор ег замирал в момент времени t + 2, если в момент /
загорается один и только один рецептор;
только ei и е2 замирали в момент времени t + 2, если в момент t
загораются два и только два рецептора;
только вх, е2 и е3 замирали в момент t + 2, если в момент времени t
загораются три и только три рецептора;
все четыре эффектора замирали в момент времени t + 2, если в момент t
загораются все четыре рецептора.
234. Если на рисунке 26 загорятся только рецепторы гх и г2, то замрут
эффекторы ev e2 и е3; другими словами, вход 011 порождает выход 0111. Это
| Вход
1 Гз
о о оо
>'2 | /1
0
0
1
1
0
1
0
1
Выход |
е4
0
0
0
0
Ч | Ч | ei
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
!
Рис. 26.
78
показано в четвертой строке приведенной таблицы. На таблице указаны
также и три другие входа и отвечающие им выходы. Дополните эту входно-вы-
ходную таблицу. Какие выходы никогда не встретятся в этой таблице?
265. Измените пороги синапсов, ведущих к es и к е4 (рис. 26), так, что
G = 1 для каждого из этих двух синапсов. Выпишите соответствующую вход-
но-выходную таблицу.
266. Переведите в десятичную систему счисления числа: а) 437,3218,
Ь) 1011011, 001101г.
о
267. Переведите — в двоичную систему счисления.
о
268. Переведите 248,3610; 427,12910 в двоичную систему счисления.
§ 8. Сложение
В этом и трех следующих параграфах мы рассмотрим основные
арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и
деление. Мы изучим, как производятся эти операции в
позиционных системах счисления; при этом особое внимание будем
обращать на двоичную систему. Алгоритмы для выполнения этих
операций в десятичной системе счисления хорошо известны: это
правила сложения, вычитания и умножения столбиком и правило
деления углом. Оказывается, что эти же правила применимы и в
общем случае, т. е. к любым позиционным системам счисления, если
только пользоваться таблицами сложения и умножения
однозначных чисел, особыми для каждой системы. Таблицы сложения
однозначных чисел в различных системах приведены ниже [они
содержат даже больше информации, чем необходимо, так как мы
знаем, например, что а + b = b + а (коммутативный закон) и
а + 0 = а\. Их легко составить, пользуясь правилом продвижения
цифры:
Сложение в десятичной системе
Ч-|0 1 23456789
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
79
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ю
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Сложение в восьмеричной системе
+| 0 1 234567
Сложение в двоичной
системе
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
10
2
3
4
5
6
7
10
11
3
4
5
6
7
10
11
12
4
5
6
7
10
11
12
13
5
6
7
10
11
12
13
14
6
7
10
11
12
13
14
15
7
10
11
12
13
14
15
16
+
0
1
0
0
1
1
1
10
_+_
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
е
Сложение
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
е
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
е
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
t
е
10
11
в двенадцатеричной системе
3
3
4
5
6
7
8
9
t
е
10
11
12
4
4
5
6
7
8
9
/
е
10
11
12
13
5
5
6
7
8
9
t
е
10
И
12
13
14
6
6
7
8
9
t
е
10
11
12
13
14
15
7
7
8
9
t
е
10
11
12
13
14
15
16
8
8
9
t
е
10
11
12
13
14
15
16
17
9
9
t
е
10
11
12
13
14
15
16
17
18
t
t
е
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
е
е
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
и
Упражнения.
269. Выпишите таблицу сложения однозначных чисел в пятеричной
системе счисления.
270. Выпишите таблицу сложения однозначных чисел в троичной
системе счисления.
271. Сложите 5 и 6 в восьмеричной системе, в двенадцатеричной системе.
Сложите 15 и 6 в двенадцатеричной системе. Сложите 5 и 6 в двенадцатеричной
системе.
272. Сложите 1 и 1 в двоичной системе. Сложите 1 + 1 + 1. Сложите
1Ь + Ь. Сложите Юг + 10г.
Для иллюстрации процесса сложения сложим два двоичных
числа 1110101 и 110110, а затем выполним это же сложение в
десятичной системе (мы рекомендуем читателю произвести также
соответствующие сложения в восьмеричной и двенадцатеричной
системах счисления).
№
Двоичная Десятичная Восьмеричная Двенадцатеричная
111
1110101
110110
1
117
54
11
165
66
11
99
46
10101011 171 253 123
По правилам двоичного сложения имеем: 1 + 0 = 1, а потому
в первом, а также во втором столбце получаем 1. В третьем столбце
имеем: 1 + 1 = 10, поэтому записываем 0, а 1 запоминаем до
четвертого столбца. В четвертом столбце имеем: (1 + 0) + 0 = 1;
поэтому записываем 1. Складывая цифры пятого столбца, получим 10,
поэтому записываем 0 и запоминаем 1. В шестом столбце имеем:
(1 + 1) + 1 = 11, поэтому записываем 1 и запоминаем 1. Наконец,
седьмой столбец дает 1 + 1 = Ю, и сложение закончено
Читатель должен проверить также соответствующие десятеричное,
восьмеричное и двенадцатеричное сложения.
Если среди слагаемых содержались нецелые числа, то все запятые
во всех слагаемых должны быть расположены по одной вертикали,
точно так же как при привычном сложении десятичных дробей.
Так, складывая 111,0012 и 1101,1012 в разных системах
счисления, получаем:
Двоичная Десятичная Восьмеричная Двенадцатеричная
111,001 7,125 7,1 7,16
1101,101 13,625 15,5 11,76
10100,110 20,750 24,6 18,90
Элементарные операции, к которым сводится сложение, носят
такой автомагический характер, что их можно поручить машине,
задав заранее таблицу сложения. Только цифровые вычислительные
машины не складывают за один раз более двух чисел. Для
того чтобы сложить три или больше чисел, вычислительная машина
складывает сначала два первых числа, затем прибавляет к сумме
третье число и т. д. Известно, что почти все большие
вычислительные машины выполняют свои операции в двоичной системе.
Упражнения.
273. Сложите числа: а) 1011102 и 11100112; b) ЮОЮЬ и 101,112.
274. Сложите числа 11011,0Ь и 1001,012- а затем выполните
соответствующие десятичное, восьмеричное и двенадцатеричное сложения
275. Сложите числа 100011.01 h и lOll.OOh и проверьте результаты,
заменив все числа их десятичными эквивалентами.
81
276 (необязательное). Джордж послал Гарри телеграмму*:
, SLND
"*" MORE
MONEY
Какую сумму денег должен был выслать Гарри, если каждая буква
означает некоторую цифру десятеричной системы счисления?
277 (необязательное). Найдите те подстановки десятичных цифр вместо
букв, которые делают правильным выписанный результат**.
. ONE
"Г two
+ FOUR
SEWEN
278 (необязательное). Б каких системах счисления выполнены
следующие сложения? Найдите основание каждой системы:
1254 1254 1254 1254 10101 10101
2352 2352 2352 2352 10110 10110
3606 3636 3626 35/6 110Ю0 10Ю0
201011 111111
279 (необязательное). Если буквы А, Р, /, Т, Y играют роль каких-то
цифр десятичной системы счисления и PIP IP + AT IT = ATIPY, чему
равно APITY?
§ 9. Непосредственное вычитание
Хорошо известны правила вычитания десятичных целых чисел
и десятичных дробей. При вычитании одной десятичной дроби из
другой запятые уменьшаемого и вычитаемого должны быть
расположены на одной вертикали. Так, например, для того чтобы вычесть
9,125 из 21,75, мы должны записать эти числа так:
21,75
9,125
12,625
Очень удобно при вычитании уменьшаемое, вычитаемое и разность
записывать с одним и тем же числом десятичных знаков, как если
бы они были записаны в некоторых регистрах одного размера. Так,
мы условимся записывать:
21,750 0021,750 021,7500
09,125 или 0009,125 или 009,1250
12,625 0012,625 012,6250 и т. д.
Очевидно, что после того как уменьшаемое и вычитаемое
расположены должным образом, сам процесс вычитания не зависит от
положения запятой. В вычислительной машине после распсложе-
* Английские слова «ПРИШЛИ БОЛЬШЕ ДЕНЕГ».
** Английские слова «один», «два», «четыре» и «семь».
82
0021750
0009125
0012625
ния уменьшаемого и вычитаемого вычитание производится так, как
будто фигурирующие числа являются целыми; информация
относительно положения запятой записывается обычно отдельно и
выдается в случае необходимости. Таким образом, предполагая
должное расположение уменьшаемого и вычитаемого и получение
информации относительно положения запятой, мы можем
рассматривать все члены, участвующие в операции вычитания, как целые
числа.
Запятая стоит после чет- ^
вертого знака слева. Эта
информация относительно I
запятой может храниться ]
где-либо в другом месте,
вплоть до того, как она
понадобится. ,
Конечно, если пользоваться карандашом и бумагой, то удобнее
записывать запятую в каждом числе.
Непосредственное вычитание в двоичной или в любой другой
системе может быть выполнено точно так же, как и в десятичной
системе. Для иллюстрации этого вычтем 1001,0012 из 10101,112
следующим образом:
Двоичная Десятичная Восьмеричная
10101,110
01001,001
01100,101
21,750
09,125
12,625
25,6
1U
14,5
Уменьшаемое
Вычитаемое
Разность
Упражнения.
280. Вычтите: а) 1,112 из 1002; Ь) 10,lib из 111,100112; с) 111,10011 я
из Ю.ПЬ.
281. Вычтите 1010,012 из 11011,012, а затем выполните соответствующие
десятичное и восьмеричное вычитания.
282. Вычтите 0240,3005 из 0310,2405 (для выполнения пятеричного
вычитания используйте результаты упражнения 269).
§ 10. Вычитание с помощью дополнений
(без переноса в конец)
Вместо того чтобы пользоваться непосредственно вычитанием,
многие вычислительные машины производят вычитание путем
сложения уменьшаемого и «дополнения» к вычитаемому и проведения
после этого еще некоторых дополнительных операций.
Количество цифр, используемых для записи числа, называется
числом разрядов этого числа, независимо от того, все ли из
этих цифр являются значащими. Так, например, числа 224 и 22,4
имеют по три разряда, а числа 00224 и 0,0224 имеют по пять разря-
83
дов. Рассмотрим некоторое л-разрядное десятичное целое число k.
Его десятичным дополнением называется разность
между 10" и k\ другими словами, десятичное дополнение числа k —
это разность между ближайшей
к k степенью 10, большей
числа k, и числом k. Так, 24 имеет 2
разряда, поэтому его десятичное
дополнение равно 102 — 24 = 76.
Еще несколько примеров:
Алгоритм для получения
десятичного дополнения данного
числа заключается в следующем:
Шаг первый. Вычтите
каждую цифру числа k из 9.
Шаг второй. Прибавьте к полученному числу 1.
Целое
число
k
024
0024
0240
05555
555500
Десятичное дополнение
числа
10" — k
103 — 024 = 976
104 — 0024 = 9976
104 _ 0240 = 9760
106 — 05 555 = 94 445
106 —555 500 = 444 500
Упражнение.
283. С помощью указанного алгоритма найдите десятичные
дополнения следующих чисел: 54; 0526; 00068 и 2200. (Контроль: сумма
десятичного дополнения числа k и числа k равна 10".)
Для вычитания 076 и 324 надо прибавить к 324 десятичное
дополнение числа 076:
324
924 — десятичное дополнение 076
1248
и вместо 1248 написать+248. Итак, ответ равен 248. Появление
единицы в дополнительном столбце указывает просто на то, что ответ
положителен, поэтому мы заменяем эту единицу знаком +. Если же
не появится дополнительного столбца с 1, то это значит, что ответ
отрицателен.
Итак, мы имеем следующее правило вычитания с
использованием десятичного дополнения
числа: прибавьте к уменьшаемому десятичное дополнение
вычитаемого. Если в ответе появится дополнительный столбец с цифрой
1, то замените эту цифру знаком +; в противном случае образуйте
десятичное дополнение результата и поставьте перед ним знак —.
В качестве еще одной иллюстрации этого правила вычтем 324
из 076:
076
676
752
-248
Десятичное дополнение числа 324
Отметьте, что здесь нет
дополнительного столбца с цифрой 1.
Ответ.
84
Легко доказать справедливость установленного правила.
Рассмотрим сначала случай, когда уменьшаемое т больше вычитаемого k.
Число т — k можно заменить числом т + (10" — k), если не
принимать во внимание дополнительный столбец с 1, ибо
т + (Ю" —k) = \0п + (т — k)
отличается от т — k на 10", т. е. десятичная запись этого числа
отличается от десятичной записи числа т — k единицей впереди
числа. Если же k > га, то согласно правилу нужно использовать
тождество:
m — k = — [10" — га — (10" — k)].
Таким образом, мы сначала прибавляем 10" к вычитаемому, взятому
со знаком минус в процессе образования дополнения, а затем снова
вычитаем из результата 10*. Если появится дополнительный столбец
с 1, то мы можем вычесть лишнее число 10" простым вычеркиванием
1; при этом ответ будет положителен. Если дополнительного
столбца с 1 нет, то вычитание числа 10" приводит к отрицательному
результату.
Упражнение.
284. Применяя правило вычитания с использованием десятичного
дополнения, вычтите: а) 038 из 792; Ь) 0038 из 0792; с) 01725 из 92634; d) 0646 из
0529; е) 8475 из 5382.
Совершенно аналогично десятичному дополнению числа в
десятичной системе счисления мы можем определить двоичное
дополнение числа, записанного в двоичной системе. Пусть
Ь—некоторое /г-значное (/г-разрядное) двоичное число. Его двоичным
дополнением называется разность между 2" и Ьу т. е. (двоичное
дополнение Ь) = 2" — Ь. Так, число 11000 имеет 5 разрядов, поэтому
его двоичное дополнение равно 25 — 11000 или 1000. Для того
чтобы получить двоичное дополнение числа 6, нужно вычесть каждую
цифру числа b из 1, а затем прибавить 1 к полученному числу
(1 в двоичной системе счисления играет роль 9 в десятичной
системе или г — 1 в системе с
основанием г).
Однако укажем более
простую формулу этого алгоритма.
Приведем примеры:
Алгоритм для получения
двоичного дополнения данного числа
следующий: измените каждую
цифру числа Ъ, затем прибавьте
к результату 1.
Упражнение.
285. Используя указанный алгоритм, найдите двоичные дополнения
следующих чисел: 1101, 01011 и 1100110. (Контроль: сумма
двоичного дополнения числа и самого числа Ъ должна равняться 2п)
Число
101
0101
10110
100
1
Двоичное дополнение
числа
011
1011
01010
100
1 |
85
Для того чтобы вычесть 01110001 из 11001101, мы прибавим
двоичное дополнение числа 01110001 к 11001101:
11001101 11001101
10001111, т. е. 10001111 — Двоичное дополнение числа
01110001
101011100 + 01011100 — Ответ.
Ответ равен 01011100. Единица в дополнительном столбце
указывает просто на то, что ответ положителен, поэтому мы заменяем эту
единицу знаком -+-. Если же дополнительного столбца с единицей не
появится, то полученный ответ будет отрицателен.
Правило вычитания с использованием
двоичного дополнения числа: прибавьте к
уменьшаемому двоичное дополнение вычитаемого. Если появится
дополнительный столбец с единицей, замените эту единицу знаком +; в
противном случае образуйте двоичное дополнение результата и
возьмите его со знаком —.
В качестве еще одной иллюстрации этого правила вычтем 11110001
из 0101011:
01010111
00001111 —Двоичное дополнение числа 11110001
01100110 — Отметьте, что в результате не появился
дополнительный столбец с единицей.
10011010 —Ответ
Упражнения.
286. Применяя правило вычитания с использованием двоичного
дополнения, вычтите (все фигурирующие в этом упражнении числа — двоичные):
а) 0100 из 0101; Ъ) 1010 из 1101; с) 11110101 из 10100110; d) 10110110 из
10011010; е) 00101101 из 00111011; /) 100110 из 101100; g) 000011 из 000010.
287. Докажите, что правило вычитания с использованием двоичного
дополнения числа всегда дает правильный результат.
Многие вычислительные машины используют несколько
отличный от описанного метод вычитания, который будет разъяснен в
следующем параграфе.
§ 11. Вычитание с помощью дополнений
(с переносом в конец)
Рассмотрим некоторое м-значное десятичное целое число k.
Его 9-дополнением называется число, на единицу меньшее
его десятичного дополнения; таким образом: (9-дополнение чис-
86
ла k) = (десятичному дополнению k) — 1. Так, 9-дополнение
числа 24 равно 75, так как десятичное дополнение этого числа
равно 76. Например:
Алгоритм для получения
Десятичное
число k
024
00024
0240
05555
1 555500
9 - дополнение числа
(10"-А:) — 1
975
99975
9759
94444
444499 1
9-дополнения числа: вычтите
каждую цифру числа k из 9. Этот
алгоритм проще, чем
соответствующий алгоритм для
нахождения десятичного дополнения
числа. Вследствие этого и схемы,
использующие в цифровых
машинах для нахождения
9-дополнения числа, несколько проще
схем, использующих десятичные
дополнения.
Упражнение.
288. С помощью указанного алгоритма найдите 9-дополпения каждого
из следующих чисел: 54,0526, 00068 и 2200. (Контроль: сумма
9-дополнения числа k и самого числа должна образовывать число, записываемое с
помощью одних девяток.)
Для вычитания 076 из 324 прибавим 9-дополнение числа 076 к
324, а затем прибавим к результату 1 (эта операция называется
«переносом в конец»):
324
923
1247
324
т. е. 923—9-дополнение числа 076.
-(- 247 — Дополнительный столбец с
единицей заменяется знаком -|—
—* 1 —Дополнительный столбец с 1
прибавляется к столбцу единиц.
248 — Ответ.
(Стрелка указывает перенос в конец.)
Ответ равен 248. Как и раньше, дополнительный столбец с
единицей показывает, что ответ положителен; поэтому мы заменяем
эту единицу знаком + . Но на этот раз мы не должны отбрасывать
эту 1, а должны перенести ее в конец.
Определение. Переносом в конец называется
замена дополнительного столбца с единицей знаком + и перенос этой
единицы в конец числа (разряд единиц), где она прибавляется к числу.
Правило вычитания с использованием
9-дополнения числа: Прибавьте к уменьшаемому
9-дополнение вычитаемого. Если появится дополнительный столбец с
единицей, то произведите перенос единицы в конец; в противном случае
образуйте 9-дополнение результата и возьмите его со знаком--.
87
В качестве еще одной иллюстрации этого правила вычтем 324
из 076:
076
675 — 9 - дополнение числа 324
751 —Отметьте, что
дополнительного столбца с единицей нет.
—248 — Ответ
Уп
ражнения.
289. Используя 9-дополнения чисел, вычтите: 038 из 792, 0038 из 0792,
01725 из 92639, 0646 из 0529, 8475 из 5382.
290. Покажите, что правило вычитания с использованием 9-дополнения
числа всегда справедливо.
Совершенно аналогично понятию 9-дополнения числа в
десятичной системе вводится понятие 1-дополнения двоичного
числа. Пусть b — некоторое я-значное двоичное целое число.
Его I-дополнением называется число, на единицу меньшее его
двоичного дополнения. Таким образом, 1-дополнение числа Ь —двоичному
дополнению числа Ь — 1. Так, 1-дополнение числа ПОООравно 00111,
так как его двоичное дополнение равно 1000. Для получения
1-дополнения числа Ь мы можем вычесть каждую цифру числа Ь из 1.
Этот алгоритм сформулирован ниже в более простом виде:
Алгоритм для получения
дополнения числа Ъ таков: измените
каждую цифру числа Ь.
Упражнение.
291. С помощью указанного алгоритма найдите 1-дополнения каждого
из следующих чисел: 1101, 01011 и 1100110. (Контроль: сумма 1-допол-
нения числа b и самого числа b должна дать число, двоичная запись которого
состоит из одних лишь единиц.)
Для вычитания 01110001 из 11001101 прибавим к нему 1-допол-
нение до числа 01110001 и затем произведем перенос в конец:
| Двоичное
число b
101
0101
10110
100
1
1-дополнение числа
(2п - Ь) - 1
010
1010
01001
011
0 1
11001101
10001110
101011011
т. е.
11001101
10001110 —1-дополнение числа 01110001
+ 01011011
i > 1 —Перенос в конец
0101ПОО"—Ответ
Правило вычитания с использованием
1-дополнения числа: прибавьте к уменьшаемому 1-допол-
88
некие вычитаемого. Если появится дополнительный столбец с
единицей, то произведите перенос этой единицы в конец; в противном случае
образуйте 1-дополнение результата и возьмите его со знаком минус.
В качестве еще одного примера применения этого правила
вычитаем 11110001 из 01010111:
01010111
00001110 —Дополнение числа 11110001
01100101—Отметьте, что нет дополнительного столбца с 1.
— 10011010 —Ответ
Упражнения.
292. Используя 1-дополнения чисел, вычтите 0100 из 0101; 1010 из 1101;
11110101 из 1010010; 10110110 из 10011010; 00101101 из 00111011; 100100 из
101100; 000011 из 000010.
Проверьте ответы с помощью прямого вычитания.
293. Докажите, что правило вычитания с помощью 1-дополнений числа
всегда справедливо.
Некоторые вычислительные машины производят вычитание с
помощью двоичных дополнений числа, а некоторые — с помощью
1-дополнений. Оба метода имеют свои преимущества и недостатки;
поэтому вопрос о том, какой из них будет применен в данной
вычислительной машине, решается при проектировании машины с учетом
ее особенностей.
Если числа в цифровой вычислительной машине
представляются в двоичной системе счисления, то очень удобно принять в
качестве основной операции операцию сложения. Операция вычитания
может быть сведена к операции сложения и операции изменения цифр
числа (т. е. замены цифры 0 цифрой 1 и наоборот). После мы увидим,
что операции умножения и деления также могут быть сведены к
операции сложения (что, однако, используется не во всех
вычислительных машинах).
До того как приступить к описанию процессов умножения и
деления, рассмотрим некоторые нервные сети, которые могут
применяться, в частности, для выполнения сложения и вычитания.
§12. Нервная сеть для счета числа одновременных
событий
Операция счета еще проще сложения. Устройство для счета
числа последовательных событий было показано на рисунке 25.
Устройство регистрирует, сколько раз была нажата кнопка. Если бы
кнопка была заменена мгновенно вспыхивающим световым сигналом, а
рецептор а был бы фотоэлементом, то устройство могло бы
подсчитывать число световых вспышек.
Изображенный на рисунке 25 (стр. 63) счетчик воспроизводится
также и на рисунке 27, в левой его части.
89
Теперь мы хотим показать, как дополнительное устройство,
изображенное на рисунке 27, может подсчитывать число событий или
предметов, представленных одновременно. Как всегда, мы
предполагаем такое импульсное управление, что нейроны могут
возбуждаться только в целочисленные моменты времени t. Работа устройства
протекает следующим образом. Все рецепторы устройства, кроме
г0, представляют собой фотоэлементы. Напротив них помещены
лампы, подающие световые сигналы. Буква L обозначает «свет вклю-
L N L L L n
п п п п п п ...
I
*.* ф.ф 6.4 6.4 *> 4.4 •••е=2
Рис. 27.
е=2
е=1
чен», а N — «свет выключен». Когда свет включается и до тех пор
пока свет не выключается, соответствующий рецептор каждую
миллисекунду загорается.
Для подсчета числа включаемых ламп нужно один р а з
нажать кнопку, вызывая этим загорание рецептора г0 в момент /.
Очевидно, что в момент t будут загораться только нейроны,
помеченные стрелками, в момент t -f- l —только нейроны, помеченные
знаком 1, и в момент t + 2 — только нейроны, помеченные знаком 2.
Тогда е будет замирать ровно 4 раза, и эти последовательные
замирания е будут подсчитаны тем же способом, как и на рисунке 25.
Следовательно, для того чтобы подсчитать число ламп, включенных
в некоторый момент времени, нужно нажать один раз кнопку, а
затем прочесть показания счетчика.
Упражнение.
294. Пусть, как показано на рисунке 27, включены ровно 4 лампы и
пусть г0 возбуждается в момент t. В какой момент в десятичном счетчике
появится число 4?
§ 13. Активность нервной сети (общий случай)
В общем случае нервная сеть может содержать окончания двух
различных типов: тормозящие и возбуждающие. Каждое
тормозящее окончание обозначается маленьким светлым кружком 0.
Так, на рисунке 28 рецепторный нейрон гх имеет два возбуждающих
окончания на синапсе cif r2 имеет два тормозящих окончания на
си Гя имеет одно возбуждающее окончание на си с, имеет
возбуждающее окончание на центральном нейроне с2 и с2 имеет возбуждающее
90
окончание на эффекторном нейроне е (для удобства на схеме синапс
Ci расширен).
Правило загорания синапса обобщается теперь следующим
образом:
Синапс загорается в момент времени t тогда, когда Е — /^0,
где Е — число контактирующих с синапсом возбуждающих
окончаний, замирающих в момент t, a I — число контактирующих
с синапсом тормозящих окончаний, замирающих в момент t.
Рис. 28.
Заметьте, что возможные значения порога не ограничиваются
теперь уже лишь положительными числами, а могут быть любыми
целыми числами. Назначим для изображенной на рисунке 28
нервной цепи несколько различных значений для порога d и посмотрим,
при каких значениях входов эффекторный нейрон будет загораться.
Возможные
входы
000
001
010
011
100
101
ПО
1 111
Выходы при различных
в = — 2 0 =—1 6=0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
значениях
в = .
0
1
0
0
1
1
0
1
порога в
е = 2
0
1
0
0
0
1
0
0
для с{ |
0 =зЗ
0
0
0
0
0
1
0
0
0 =4|
0
0
0
0
0
0
0
о 1
Пусть 0 = 3. Тогда имеется только один эффективный вход 101.
В самом деле, если в некоторый момент времени (назовем его / — 1)
загораются только гх и г3, то в момент / замирают 3 возбуждающих
окончания и не замирает ни одного тормозящего; таким образом,
Е — / = 3 — 0 > 0. Потом Ci загорается в момент времени t, и
вход 101 эффективен. Никакой другой вход не будет удовлетворять
правилу загорания синапса. Например, вход 111 дает Е—/ = 3 —
— 2=1, что меньше 0, вход 001 дает Е — / = 2, что меньше 0,
и т. д.; поэтому эти входы не могут дойти до е.
Пусть 0=2. Тогда имеются два эффективных входа 001 и 101,
как показано в третьем справа столбце в выписанной выше таблице.
Для входа 001 мы имеем Е — 1 = 2 — 0>©и для входа 101
имеем Е — 1 = 3 — О>0.
91
Упражнения.
295. Если для схемы, изображенной на рисунке 28, 0 = 1 для а, то
какие входы являются эффективными? (Ответ: имеются 4 эффективных
входа, как это указано в таблице.)
296. Если для схемы, изображенной на рисунке 28, 0 = 0 для а, то
какие входы являются эффективными? (Если 0 = 0, то 6 входов являются
эффективными, как это указано в таблице. Например, нулевой вход 000 дает
Е — / = 0 — О>0, поэтому этот вход эффективен. Подобно этому вход 001
дает Е — / = 2 — 2>0, так что он также порождает выход 1. С другой
стороны, выход 110 дает Е — / = 1 — 2 = — 1, что меньше 0, поэтому вход
110 не является эффективным. Здесь мы видим, что если порог нейрона равен 0,
то нейрон загорается «спонтанно», в каждый момент времени, за исключением
тех случаев, когда тормозящее окончание предотвращает это загорание. Это
же самое верно в случае, когда 0 < 0.)
297. Для сети, изображенной на рисунке 28, покажите, что в случае,
когда 0 = — 1 для ci, только вход 010 является неэффективным. Покажите,
что если 0 = — 2, то любой вход вызывает ответ на выходе.
298. Какой вход в момент времени t может вызвать загорание эффектор-
ного нейрона изображенной на рисунке 29 нервной сети в момент t + 1?
299. Ниже изображена частично заполненная входно-выходная таблица
для нервной сети, изображенной на рисунке 30. Заполните оставшиеся 6
выходов.
Возможные
входы
Результирующие
выходы
000
1010
001
1001
010
ОН
100
101
по
111
300. Некоторая сеть не содержит центральных ячеек1. Начертите эту
сеть и укажите пороги так, чтобы они удовлетворяли следующим входно-
выходным условиям:
Возможные
входы
Результирующие
выходы
000
100
001
101
010
по
011
111
100
000
101
001
по
010
1
111
001
Мы можем следующим образом подвести итог сказанному до
сих пор.
1. В нервных цепях имеются рецепторные нейроны, центральные
и эффекторные.
1 Слово «ячейка» — сокращение выражения «нервная
ячейка»—употребляется в качестве синонима слова «нейрон».
92
2. Каждый нейрон имеет 1 вход (рецептор, если это рецепторный
нейрон; синапс в остальных случаях) и 1 или бочее выходов
(эффекторы, если это эффекторный нейрон; окончания в остальных
случаях).
3. Имеются два вида окончаний: возбуждающие и тормозящие.
4. Каждое окончание контактирует с одним и только с одним
синапсом. Каждый синапс контактирует по крайней мере с одним
окончанием.
5. Если нейрон загорается, то все его окончания замирают на
1 мсек позже.
6. Каждая сеть управляется импульсами продолжительностью
в 1 мсек (правило квантования времени).
7. Синапс с порогом в загорается в момент времени t ттогда,
когда £ — / ^ в, где Е — число контактирующих с ним возбуждаю-
'■О <
'■п—<
г'°—<
е»1
6=0
-0е
e=i
е=о
Н2ез
"0е4
Рис. 29 Рис. 30.
щих окончаний, замирающих в момент t, а / — число
контактирующих с ним тормозящих окончаний, замирающих в момент /.
§ 14. Прием сообщений
Прием пространственного сообщения.
Предположим, что данная эффекторная ячейка должна загореться
ттогда, когда загорается некоторая определенная комбинация рецепторов.
Как это может быть сделано? Общий метод для приема такого
пространственного сообщения может быть проиллюстрирован на
следующем примере.
Пусть мы имеем 4 рецептора: rl9 r2, г3, г4. Выберем входную
комбинацию /*! + г2 ■+• г4. Это означает, что эффекторная ячейка е
должна загораться ттогда, когда (в некоторый момент времени /)
rl9 г2, г4 загораются, а г3 не загорается. Другими словами, только
вход 1101 может служить причиной загорания е. Построим сеть так,
как показано на рисунке 29, где каждый из рецепторов rv r2 и г4
имеет возбуждающее окончание на е, а г3 имеет тормозящее
окончание на e(Q = 3). Тогда е будет загораться только для входа 1011.
93
Упражнения.
301. Даны 8 рецепторов и один эффекторный нейрон е. Постройте сеть
так, чтобы е загорался только для входа 11100101. (Напоминаем, что 11100101
означает «щ загорается, гг не загорается, Гз загорается» и т. д.)
302. Даны 4 рецептора и 2 эффекторные ячейки е\ и e*i\ постройте сеть
так, чтобы еч загорался только для входа 0111, а еъ загорался только для
входа 1010.
303. Даны 3 рецептора и 8 эффекторных нейронов; постройте сеть так,
чтобы при каждом из возможных одновременных входов загоралась бы
другая эффекторная ячейка.
Прием временного сообщения. Пусть мы имеем
один рецептор и одну эффекторную ячейку е. Мы хотим построить
сеть так, чтобы е загоралась ттогда, когда в одной ячейке г имеет место
последовательный вход 1011, который мы определим следующим
образом: -ч
г — загорается в момент времени t,
г — не загорается в момент t + I,
г — загорается в момент / + 2,
г — загорается в момент / + 3,
где / — некоторый момент времени. Другими словами, ячейка
должна загораться тогда, когда г загорается, затем не загорается,
затем загорается и затем загорается сно-
1 о 1 1 /*S ва. Сеть, удовлетворяющая этим
условиям, изображена на рисунке 31. (Для
удобства синапс расширен и
значение порога в написано на нем.)
Общее правило построения таких
сетей состоит в следующем:
Представьте все ячейки, кроме эф-
фекторной, в виде горизонтальных
линий, располагая рецепторную ячейку,
справа и взяв столько ячеек, сколько
цифр во временном сообщении',
запишите цифры сообщения над ячейками
слева направо-, соедините затем
каждую ячейку с возбуждающим или тормозящим окончанием в
зависимости от того, стоит ли над этой ячейкой цифра \ или 0; наконец,
положите 0 равным числу единиц в сообщении.
При этом е будет отвечать только данному сообщению.
Упражнения.
304. Даны 1 рецептор и 1 эффекторная ячейка; постройте сеть так,
чтобы е загорелась только для сообщения (последовательный вход) 11100011.
305. Даны 1 рецептор г\ и 2 эффекторные ячейки е\ и еъ\ постройте сеть
так, чтобы е\ загорелась только для сообщения (последовательный вход)
1101, а е% — только для сообщения 1010.
306. Дан 1 рецептор г и 8 эффекторных нейронов; постройте сеть так,
чтобы при каждом из 8 возможных трехзначных сообщений 000, 001, 010, 011,
100, 101, ПО и 111 загорались разные эффекторные ячейки.
94
§ 15. Нервная сеть для
сложения двух двоичных чисел
На рисунке 32 показана сеть
для сложения двух двоичных цифр
а0 и Ь0. Мы помещаем д0 в регистр А,
а Ь0 — в регистр В. Тогда сумма
а0 + Ь0 появляется в регистре Е.
Имеются четыре возможные
суммы, а именно: 0 + 0 = 00, 0 + 1 =
= 01, 1 + 0 = 01 и 1 + 1 = 10.
Посмотрим, как работает эта сеть.
Рецептор рецепторного
нейрона а0 находится на месте цифры а0
в регистре Л, рецептор нейрона Ь0
находится на месте цифры Ь0 в
регистре В. Подобным образом
эффектор эффекторного нейрона е0
находится на месте цифры е0, а
эффектор нейрона £] находится на месте
цифры е1 в регистре Е.
Рецепторная ячейка а0
загорается, если в какой-либо момент
времени цифра а0 равна 1, и не
загорается в противном случае.
Рецепторная ячейка 60 загорается, если в какой-либо момент
времени цифра Ь0 равна 1, и не загорается в противном случае. Точно
так же если какой-либо эффектор замирает в какой-либо момент,
то цифра, с которой он связан, делается равной 1; в противном
случае эта цифра делается равной 0. [Квантованное время (импульсное
управление) предполагается всюду.]
Рассмотрим все четыре возможные суммы.
Поместим 0 в оба входных регистра. Так как никакая
рецепторная ячейка не загорается, то не загорается и никакой центральный
нейрон. Следовательно, не замирает никакой эффектор, поэтому мы
читаем на регистре Е число 00, т. е. 0 + 0 = 00.
Поместим 0 в Л и 1 в В. Так как нейрон Ь0 загорается и остается
горящим, а нейрон а0 не загорается, одно окончание,
контактирующее с е19 замирает и остается замирающим, и одно окончание,
контактирующее с е, замирает и остается замирающим. Тогда с
загорается, но £i не загорается. В этом случае е0 загорается и
остается горящим. Следовательно, на регистре Е мы читаем 01, т. е.
0 + 1 =01.
Поместим 1 в А и 0 в В. Тогда загорается нейрон а0, но не
загорается нейрон Ь0. Поэтому, совершенно так же как в предыдущем
случае, е0 загорается, а ех не загорается. Следовательно, прочтем в
регистре Е число 01, т. е. 1 + 0 = 01.
95
Рис. 32. Пороги указаны на
каждом синапсе.
Наконец, поместим и в А и в В цифру 1.Тогда загорятся оба
нейрона а0 и Ь{). Вследствие этого загорятся оба нейрона £4 и с. Так как
ех затормозит хи то с0 не сможет загореться. Поэтому мы прочтем на
регистре Е число 10, т. е. 1 + 1 = 10.
Расширим теперь сеть и регистр так, чтобы можно было
складывать любые два двоичных числа. Для этого используем описанный
тип устройства для сложения цифр каждого столбца.
Допустим, что два подлежащих сложению числа помещены в
регистры А и В, изображенные на рисунке 33. Число из регистра А
должно быть сложено с числом из регистра В, и их сумма должна
появиться в регистре Е. В регистре А каждая цифра (а0, аи а2, ...)
an
А
а2
а,
ао
вп
В
в2
Bi
в0
еп+1
еп
...
е2
е,
во
Рис. 33. Нервная сеть для сложения двух двоичных чисел.
Ячейка аь загорается ттогда, когда аь равно 1; аналогичное условие
имеет место и для Ь[. Цифра е,- делается равной 1 ттогда, когда
et загорается. Пороги показаны на каждом синапсе. В большом
прямоугольнике показано одно из устройств для сложения
цифр разрядов.
равна либо 1, либо 0; в регистре В каждая цифра (60, bu b2, ...)
равна либо 1, либо 0. Сумма двух чисел появляется в Е, при этом
очевидно, что каждая цифра суммы (е0У еи е2, ...) также будет равна
либо 1, либо 0.
Рецептор нейрона а0 находится в цифровом окне a0i рецептор
нейрона а!—в цифровом окне аА и т. д. Подобно этому рецепторные
нейроны b0t bu Ьг ... связаны с цифровыми окнами b0, bu Ьг ...
96
Эффектор эффекторного нейрона е0 находится в цифровом окне е09
эффектор нейрона е^ — в окне е4 и т. д.
Если в какой-либо момент времени какая-либо входная цифра
равна 1, то связанная с ней рецепторная ячейка загорается.
В противном случае она не загорается. Если загорается какая-
либо эффекторная ячейка, то связанная с ней цифра делается
равной 1. В противном случае эта цифра делается равной 0.
Схема нервной сети и значения порогов показаны на рисунке 34.
Нервная сеть последовательно складывает столбцы цифр начиная
справа (цифры а0 и fe0), совершенно тем же путем, как это делается
карандашом на бумаге. После того как произведено сложение в
первом столбце (а0 + 60)> в операцию сложения в следующем
столбце должен быть включен перенос так, что соответствующие рецеп-
торные ячейки будут контактировать с тремя центральными
ячейками вместо двух. Обратите внимание на то, как эта простая
структура может повторяться (в левой стороне схемы) до тех пор, пока не
будет учтено любое заранее заданное число столбцов.
Мы видим, что до появления в Е правильного ответа пройдет
некоторое Бремя. Допустим, что каждое слагаемое имеет п разрядов
и что слагаемые помещены в их регистры в момент времени t и
оставлены там. Тогда правильный ответ появится в £ в момент времени
t + п + 4 (или, может, раньше) и останется там. Если входные
числа меняются, то новая, исправленная сумма появляется в
регистре после соответствующей задержки.
Может представить интерес рассмотрение какого-либо примера,,
например, сложения 13 + 5 = 18:
001101 —поместим это слагаемое в А
000101 —поместим это слагаемое в В
010010 —эта сумма появляется в Е
В момент времени / ячейки а0, а2, а3 и ячейки 60, Ь2 загораются и
остаются горящими. Обе ячейки, контактирующие с а0 и b0f
загораются и продолжают гореть. Далее, мы видим, что е0 не загорается.
Поэтому е0 делается и остается равной 0. Так как после этого ни аи
ни Ь{ не загорелись, а перенос загорелся, то мы видим, что ячейка е^
загорается и остается горящей. Вследствие этого е^ делается и
остается равной 1. Продолжая рассуждать таким же образом, мы увидим,
что правильный ответ появится в £ в момент времени / + 8 и далее
будет там сохранен.
Упражнения.
307. На рисунке 34 справа налево обозначьте центральные ячейки,
контактирующие с рецепторными ячейками следующим образом:
1* 2* 1* 2* 3* 1' 2* 3 1* 2* 3*
Обозначьте справа налево остальные нейроны буквами х0, х\, Х2.
Затем поместите 000111 в Л и 000011 в В и сохраните оба числа в этих ре-
4 Дж. Т. Калбертсон
97
гистрах. После достижения устойчивого состояния правильный ответ
появится в Е. Какие ячейки окажутся при этом загоревшимися? (Выпишите сначала
все загоревшиеся рецепторные ячейки, затем все ячейки, помеченные С,
затем ячейки, помеченные х, и, наконец, эффекторные ячейки.)
308 (необязательное). Проверьте изображенную на рис. 34 сеть,
складывая числа 1101 и 101.
309 (необязательное). Постройте нервную сеть для сложения любых
двух данных двухразрядных десятичных целых чисел. (Имеются различные
способы выполнения этого. Один из них состоит в первоначальном построении
устройства, переводящего десятичные числа в двоичные.)
§ 16. Нервная сеть для вычитания двоичных чисел
Очень легко превратить описанный сумматор в устройство для
вычитания, предполагая для простоты, что уменьшаемое является
большим из двух чисел и что оно всегда помещается в регистр А.
Для выполнения этого произведем только следующие изменения
в схеме, изображенной на рисунке 33: 1) пусть ячейка at загорается
ттогда, когда аь равно 0; 2) сделаем 0 равным 0 для каждой эффек-
торной ячейки; 3) сделаем все окончания, контактирующие с эффек-
торными ячейками, тормозящими.
В силу изменения 1) вход А представляет собой 1-дополнение
уменьшаемого числа; оно прибавляется к вычитаемому, и
вследствие изменений 2) и 3) в Е появляется 1-дополнение результирующей
суммы.
Упражнение.
310. Пусть А и В — местные регистры. Сделайте указанные изменения
1), 2) и 3) в сети так, чтобы сеть стала устройством для вычитания. Обозначьте
нейроны так же, как в упражнении 307. Поместите 001010 в Л и 000111 в В.
После того как будет достигнуто устойчивое состояние, посмотрите, какие
ячейки окажутся загоревшимися (выписывайте их так же, как в упражнении
307). Появится ли в Я правильный ответ?
§ 17. Непосредственное умножение
Так же как и в случае сложения, обычный алгоритм умножения
многозначных чисел, записанных в десятичной системе счисления,
сохраняет силу и в произвольной позиционной системе
счисления, с тем лишь отличием, что результаты перемножения и
сложения однозначных чисел заимствуются из относящихся к
рассматриваемой системе «таблицы сложения» и «таблицы умножения».
8 каждой системе счисления существует таблица умножения
однозначных чисел (подобно тому как существует таблица сложения),
аналогичная десятичной таблице умножения, которую заучивают
наизусть школьники в младших классах1.
1 Распространенность мер, связанных с двенадцатеричной системой
счисления (дюжина, гросс, фут и т. д.), приводит к тому, что учащиеся
запоминают такие результаты, как 12 X 12 = 144, хотя, разумеется, в
десятичной системе счисления запоминание результатов умножения, превосходящих
9 X 9 = 81, является излишним. (Это примечание относится в большей
степени к английской и американской школам, чем к нашей.— Ред.)
98
X
Десятичное умножение
12 3 4 5 6 7
8
0000000000
0123456789
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
О 4 8 12 16 20 24 28 32 36
О 5 10 15 20 25 30 35 40 45
О 6 12 18 24 30 36 42 48 54
О 7 14 21 28 35 42 49 56 63
О 8 16 24 32 40 48 56 64 72
О 9 18 27 36 45 54 63 72 81
Восьмеричное умножение
X
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
0
2
4
6
10
12
14
16
3
0
3
6
11
14
17
22
25
4
0
4
10
14
20
24
30
34
5
0
5
12
17
24
31
36
43
6
0
6
14
22
30
36
44
52
7
0
7
16
25
34
43
52
61
Двоичное умножение
X
0
1
0
0
0
1
0
1
X
Двенадцатеричное умножение
123456789
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
е
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
е
0
2
4
6
8
t
10
12
14
16
18
и
0
3
6
9
10
13
16
19
20
23
26
29
0
4
8
10
14
18
20
24
28
30
34
38
0
5
t
13
18
21
26
2е
34
39
42
47
0
6
10
16
20
26
30
36
40
46
50
56
0
7
12
19
24
2е
36
41
48
53
5*
65
0
8
14
20
28
34
40
48
54
60
68
74
0
9
16
23
30
39
46
53
60
69
76
83
0
t
18
26
34
42
50
5/
68
76
94
92
0
е
и
29
38
47
56
65
74
83
92
а
99
Таблицы, выписанные выше, содержат даже больше
информации, чем необходимо: мы ведь знаем, например, что аЬ = Ьа
(коммутативный закон) и что аО = 0.
Упражнения.
311. а) Составьте таблицу умножения для пятеричной системы
счисления.
Ь) Составьте таблицу умножения для троичной системы счисления.
312. Перемножьте 5 и 6 в восьмеричной системе счисления.
313. Перемножьте 5 и б в двенадцатеричной системе счисления.
314. Перемножьте 1 и 1 в двоичной системе счисления.
315. Перемножьте 2 и 2 в троичной системе счисления.
Для иллюстрации использования этих таблиц умножим 11101012
на 1100102, а затем совершим ту же операцию в десятичной системе
(показаны также эквивалентные восьмеричные и пятеричные
умножения).
Двоичное умножение Десятичное умножение
1110101 117
110010 50
0000000 000
1110101 585
0000000 wn
ооооооо Mb0
1110101
1110101
1011011011010
Восьмеричное умножение Пятеричное умножение
165 432
62 200
352 000
1276 000
13332 1414
141400
Упражнения.
316. Перемножьте двоичные числа: 101110 и 110011; 100,101 и 101,11;
110011,01 и 1001,01. Выполните также эквивалентные десятеричное,
восьмеричное и пятеричное умножения.
317. Умножьте 111112 на 0102.
318. Возведите в квадрат числа 1012 и 368.
319. Возведите в куб числа 1Ь и 0058.
320. Если основание системы счисления — простое число и число papa,
умноженное на число арра, равно араара, то чему равно число papa?
100
§ 18. Умножение путем повторного сложения
При моделировании простейшего процесса умножения в
вычислительной машине употребляется обычно повторное сложение;
этот алгоритм не требует использования таблиц умножения.
Описание этого процесса умножения дано ниже.
Мы имеем регистр, называемый аккумулятором,
который вначале содержит число 00000. Результаты
последовательного сложения помещаются в этот регистр. Другой регистр вначале
содержит множитель, а затем он сохраняет след от числа
совершенных сложений. Для иллюстрации этого произведем в десятичной
системе умножение 526 на 433.
Аккумулятор Множитель
000000
000526
000526
000526
001052
000526
001578
005260
012098
005260
017358
052600
069958
052600
122558
052600
175158
052600
227758
433
432
431
430
410
400
300
200
100
000
Множитель
помещается в аккумулятор.
Цифра единиц равна 0.
Поэтому передвинем
множитель на одно
место влево.
Цифра десятков стала
также равной нулю,
поэтому передвинем
множитель еще на одно
место влево.
Отметим, что при этом не требуется производить 433 сложения.
(В среднем здесь необходимо произвести только 4,5 s сложений, где
s — число знаков множителя.)
Во многих вычислительных машинах используется этот тип
умножения. Если перемножаемые числа не являются целыми, то
42 Дж. Т. Калбертсон
информация относительно положения запятой хранится где-нибудь
в другом месте до тех пор, пока она не потребуется.
Упражнения.
321. Проведите полную запись процесса умножения путем повторного
сложения чисел 00576 и 00232 так, как это указано выше.
322. Также, как и в предыдущем упражнении, перемножьте 6645 и 2232.
Большинство цифровых вычислительных машин оперируют с
числами, заданными в двоичной системе счисления, и в большей
части этих машин умножение производится либо с помощью
описанного выше метода, либо с помощью некоторой его модификации.
При двоичном умножении путем повторного сложения множимое
передвигается налево каждый раз после сложения. Сейчас мы дадим
описание этого процесса точно так же, как это было сделано для
десятеричной системы счисления. Для иллюстрации умножим 1101012
на 1010112.
Аккумулятор
0000000000
110101
110101
110101
10011111
110101
1001000111
110101
100011100111
Множитель
1011011
101010
101000
100000
000000
Передвинем множитель
на одно место влево.
Передвинем множимое
на два места влево.
Передвинем множимое
на два места влево.
Отметим, что для двоичного умножения описанный процесс
совпадает с процессом непосредственного умножения за исключением
того, что частичные произведения получаются путем суммирования
за один раз только двух слагаемых. Для вычислений карандашом на
бумаге применение такого метода предпочтительнее
непосредственного перемножения двоичных чисел, так как при сложении
длинного столбца двоичных цифр очень легко сделать ошибку из-за
большого числа переносов.
Упражнения.
323. Проведите полную запись процесса умножения 111011 на 110011
так, как это указано выше.
324. Так же, как и в предыдущей задаче, перемножьте двоичные числа
1101111 и 10111001.
102
§ 19. Непосредственное деление
Непосредственное деление в любой системе счисления
выполняется по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе.
Особенно прост процесс деления в двоичной системе: если на каком-
то шаге процесса деления делитель оказывается большим того
числа, которое на него нужно разделить, то в частном записывается
цифра 0, в противном случае — цифра 1. Для иллюстрации этого
разделим 1000001 на 11010, а затем совершим это же самое деление
в десятичной системе (показано также соответствующее
восьмеричное и пятеричное деление).
Двоичное деление Десятичное деление
1000001 | 11010
11010
11010
11010
10,1
00000
Восьмеричное деление
101 j 32
64 2,4
150
150
65 |
52 "
130
130
000
26
2,5
Пятеричное деление
230
202
230
202
| 101
2,22...
000 230
(Обратим внимание на то, что в двоичной, десятичной, восьмеричной
системах получается точное представление частного, так как
знаменатель 2 дробной части числа входит в число делителей
оснований указанных систем. В пятеричной же системе наметился период.)
Упражнения.
325. Разделите двоичное число 1100 на двоичное число 11 и проверьте
результат, умножая частное на делитель.
326. Разделите 3245 на 1103, а затем выполните соответствующее
десятичное деление.
327. Разделите 111111111 Иг на 10110012, а затем выполните
соответствующие десятичное, восьмеричное и пятеричное деления.
328. Разделите 10012 на 1002, а затем выполните соответствующее
десятичное деление.
329. Разделите: а) 11000011112 на 111012 (ответ — 11011); Ь) 11002 на
01102; с) 001110002 на ОООИОООо.
§ 20. Деление путем повторного вычитания
Деление является трудной операцией для вычислительной
машины, и поэтому, как будет показано в следующем параграфе,
некоторые машины обходятся совсем без деления. Однако деление
103
может производиться путем повторного вычитания. Основные идеи
этого метода могут быть легко пояснены следующим образом.
Пусть мы имеем два регистра: аккумулятор и регистр частного;
число d является делителем. Далее поступаем так:
Шаг первый. Поместим делимое в аккумулятор1 и ноль в
регистр частного.
Шаг второй. Вычитаем из аккумулятора наибольшее
возможное значение d • 10^ такое, что результат вычитания является
положительным. Прибавляем 10" к регистру частного (его мы будем
сокращенно обозначать Р. Ч.).
Шаг третий. Повторим второй шаг столько раз, сколько
возможно. При этом количество возможных шагов ограничивается
емкостью аккумулятора. (Это объясняется тем, что существует
ограничение на количество разрядов числа, которое мы вписываем
в аккумулятор. Если число имеет больше разрядов, чем нужно,
приходится округлять числа. Деление производится до тех пор, пока
не исчерпываются вписанные разряды числа.) Тогда регистр
частного будет показывать точное, либо приближенное значение частного.
Для иллюстрации этого метода разделим 502 590 на 157. При
этом мы будем считать, что используется 8-разрядный
аккумулятор, т. е. что в аккумулятор можно вписывать не более чем
восьмизначные числа.
Поместим делимое
в аккумулятор
Вычтем d X Ю3
Вычтем d X Ю3
Вычтем dXlO3
Вычтем d X Ю2
Вычтем d X Ю2
Аккумулятор
502590,00
157000,00
345590,00
157000,00
188590,00
157000,00
31590,00
15700,00
15890,00
15700,00
Регистр
частного
0000,00 Поместим ноль в Р. Ч.
1000,00 Прибавим 103кР. Ч.
1000,00
1000,00 Прибавим 103 к Р. Ч.
2000,00
1000,00 Прибавим 103 к Р. Ч.
3000,00
100,00 Прибавим 102 к Р. Ч.
3100,00
100,00 Прибавим 10я к Р. Ч.
190,00 3200,00
1 Лучше всего поместить делимое в аккумуляторе как можно левее.
Информация относительно положения запятой может храниться где-либо
в другом месте вычислительной машины.
104
157,00
1,00 Прибавим 10° к Р. Ч.
33,00
15,70
17,30
15,70
1,60
1,57
3201,00
0,10 Прибавим КНкР. Ч
3201,10
0,10 Прибавим КИкР.Ч
3201,20
0,01 Прибавим 10-2кР. Ч
0,03
13201,21 | Частное
(приближенное значение).
Вычтем d X Ю°
Вычтем d X Ю-1
Вычтем d X Ю-1
Вычтем d X Ю-2
Упражнения.
330. Используя 8-разрядный аккумулятор, разделите 188 967 на 818
методом повторного вычитания так, как это показано выше. (Проверьте
результат, проведя непосредственное деление.)
331. Так же как и в предыдущем упражнении, разделите 185 136 на
798. (Здесь нужно получить точное значение частного.)
Для выполнения деления в двоичной системе путем повторного
вычитания может быть употреблен тот же самый метод:
Шаг первый. Поместим делимое в аккумулятор и ноль в Р. Ч.
Шаг второй. Вычтем из аккумулятора наибольшее
значение d X 2Л, вычитание которого дает все еще положительный
результат. Прибавим 2п к Р. Ч.
Шаг третий. Повторим шаг второй столько раз, сколько
возможно.
Значение частного, точное, либо приближенное, будет находиться
в Р. Ч.
Для иллюстрации разделим 101101110,12 на 110112, используя
13-разрядный аккумулятор:
Прибавим 23 к Р. Ч.
Прибавим 22 к Р. Ч.
Прибавим 2° к Р. Ч.
Прибавим 2"1 к Р. Ч.
Прибавим 2~4 к Р. Ч.
Частное
(приближенное значение).
Аккумулятор
101101110,1000
110110000,0000
10010110,1000
1101100,0000
101010,1000
11011,0000
1111,1000
1101,0000
10,0000
1,1011
0,0101
Регистр частн(
0000,0000
1000,0000
1000,0000
100,0000
1100,0000
1,0000
1101,0000
0,1000
1101,1000
0,0001
j 1101,10011
105
Упражнения.
332. Используя 13-разрядный аккумулятор, разделите 111001110,12
на 11101 г методом повторного деления так, как это показано выше. (Проверьте
результат, производя непосредственное деление.)
333. Так же, как и в предыдущем упражнении, разделите ЮОООЮОг
на 101 Ь (нужно получить точное значение частного); ИОг на 10Ь.
Для простоты мы здесь пользовались все время
непосредственным вычитанием. Однако большинство вычислительных машин,
выполняющих деление, производят при этом вычитание путем
прибавления дополнения так, как это было объяснено выше.
§ 21. Упразднение деления
Часто операция деления совсем не используется в
вычислительной машине из-за сравнительной сложности соответствующей
электрической схемы и программы. Один из путей, позволяющих
исключить операцию деления у на х, состоит в замене ее умножением у
на величину, обратную х.
Для нахождения числа, обратного данному числу х, нет
необходимости производить деление единицы на я, а можно применить
алгоритм, использующий только действия сложения, вычитания и
умножения. Алгоритм этот состоит в последовательном нахождении
все лучших приближений к значению z = — (он напоминает опи-
х
санный в § 6, гл. I алгоритм Ньютона) и представляет собой
итерационный процесс.
В качестве первого приближения можно взять любое число BQ,
заключенное между 0 и— ; следующие же приближения определяют-
X
ся по формуле:
В*+1 = В,(2-2ЗД, /г = 0, 1,...
Процесс должен быть продолжен столько раз, сколько необходимо
для получения желаемой степени точности приближения.
Предоставляем читателю доказательство справедливости этого алгоритма
(и того, что каждое следующее приближение Bk+1 лучше, чем
предыдущее Bk).
Найдем, например, этим методом число, обратное 2. Сделаем
достаточно грубое предположение о том, что В0 = 0,1. Тогда, вычисляя
каждое следующее приближение с 6 знаками, получим следующую
последовательность результатов:
Вг = 0,1 [2 — 0,1-2] = 0,1 [2 — 0,2] = 0,1.1,8 = 0,18;
В2 = 0,18[2 — 0,18.2] = 0,18 [2 — 0,36] =0,2952;
Ва = 0,2952[2 —2.0,2952].2 = 0,416114;
Вх =. 0,416114 [2 — 0,416114.2] = 0,485926;
106
Въ = 0,485926 [2 —0,485926-2] = 0,499604;
Be = 0,499604 [2 — 0,499604.2] = 0,5000000.
Этот процесс называется итерационным процессом
второго порядка, потому что после того, как достигнуто
достаточно хорошее приближение, на каждом следующем шаге
число верных значащих цифр нового приближения удваивается.
Существуют также и итерационные процессы третьего порядка для
получения чисел, обратных данным.
Упражнения.
334. Используя указанный итерационный процесс, найдите (с 6 верными
знаками!) число, обратное 35. Примите В0 = 0,03.
335. Используя указанный итерационный процесс, найдите число (с 6
верными знаками!), обратное 15. Примите В0 = 1.
Большинство вычислительных машин используют двоичную
систему счисления. Соответствующий итерационный процесс в
двоичны х обозначениях состоит в получении по первому
приближению В0, заключенному между 0 и —, новых приближений
х
Вш по формуле:
Bk+1 = Bk[\0-Bkx], £ = 0,1,..
С помощью алгоритма умножения (§ 7) мы выяснили, что одна
десятая равна 0,0001100110011...2; таким образом, это число должно
быть обратным по отношению к числу 10102. Проверим это с помощью
итерационного процесса. Здесь х = 1010. Положим В0 = 0,001;
для получения числа, обратного 1010, будем брать приближения с
17 знаками:
Вг = 0,005 [10 — (0,001). 1010] = 0,001 [10 — 1,01] =
= 0,001.0,11 =0,00011;
В2 = 0,00011 [10 —0,00011.1010] = 0,00011.1,0001 =0,000110011;
£3= 0,000110011 [10 — (0,000110011). 1010] = 0,00011001100110011.
Упражнения.
336. Используя указанный итерационный процесс, найдите число,
обратное 101b. Примите В0 = 0,001 и проделайте так же, как в предыдущем
примере, три шага.
337. Так же, как и в предыдущей задаче, найдите число, обратное 1101г.
Примите В0 = 0,0001.
338. Используя указанный процесс, найдите точное значение числа,
обратного ЮООг. Примите В0 = 0,001.
339. Найдите число, обратное 112, с точностью до 4 знаков, взяв В0 = 0,1.
Обзорные задачи.
340. Переведите: а)2314,315; Ь) 111011,0111 г в десятичную систему
счисления.
107
341. Переведите: а) 238,1710 в восьмеричную систему; Ь) 238,1710 в двоич-
5 5
ную систему; с) — в восьмеричную систему; d) —■ в двоичную систему.
342. Экзаменатор предлагает студентам 4 вопроса, на каждый из которых
может быть дан только ответ «да» или «нет». Вопросы перенумерованы
числами 1, 2, 4 и 8. Результат экзамена для каждого студента протоколируется
следующим образом: складываются числа, соответствующие тем задачам, на
которые этот студент дал правильный ответ; полученная сумма называется
«и н д е к с о м» студента. Так, например, индекс 15 означает: «на все
вопросы был дан правильный ответ»; индекс 0 означает: «ни на один вопрос не был дан
правильный ответ»; индексы 1, 2, 4 означают, что было дано по одному
правильному ответу. Выясните, на какие задачи были даны правильные ответы
студентами, если индексы соответственно равны: 3, 5, б, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14.
343. Экзаменатор предлагает студентам п вопросов, перенумерованных
числами 2°, 21, 22, ..., 2п\ при этом используется тот же метод индексов, что
и в упражнении 342. Могут ли два студента, получивших один и тот же
индекс, дать различные ответы на какой-либо из вопросов?
344. Десятичное число 83 эквивалентно числу 175 в некоторой другой
системе счисления. Найдите основание системы.
345. Следующая входно-выходная таблица составлена так, что выход
обозначает число загоревшихся рецепторов в двоичной системе счисления:
Вход
Выход
00
00
01
01
10
01
11
10
Постройте сеть, удовлетворяющую данным входно-выходной таблицы, и
укажите значение в для каждого синапса.
346. Составьте входно-выходную таблицу, отвечающую сети,
изображенной на рисунке 34.
Рис. 34.
§ 22. Нервная сеть, удовлетворяющая данным
входно-выходныи условиям
Входно-выходная таблица указывает значение выхода для
каждого из 2п возможных входов, где п — число рецепторов. Если нам
дана некоторая входно-выходная таблица, то мы можем построить
нервную сеть, удовлетворяющую этой таблице. Интересно, что су-
№
ществует совершенно общий метод решения этой задачи, причем
использование этого метода не требует никакой особой
изобретательности. (Однако если п не очень мало, то этот метод непрактичен,
так как он требует использования 2п центральных ячеек.)
Мы поясним этот метод с помощью построения сети,
удовлетворяющей следующей таблице:
Вход
Выход
000
0001
001
0001
010
0001
011
ООН
100
оно
101
0100
по
0000
111
1100
Так как входы выражаются трехзначными, а выходы —
четырехзначными числами, то мы знаем, что сеть должна содержать 3
рецептора и 4 эффектора. Поступим следующим образом:
1. Начертим 3 рецептора ги г2, г3 и 4 эффекторные ячейки еи
Онз
О^а
Она
Рис. 35. Пороги указаны на каждом синапсе.
£г> ^з> ^ так> как показано на рисунке 34, и положим 0 = 1 для
каждой эффекторной ячейки.
2. Начертим 2п = 8 центральных ячеек.
3. Выпишем на центральных ячейках наименования
последовательных входов так, как это показано на рисунке 35.
4. Положим для каждой центральной ячейки порог в, равным
числу единиц в наименовании соответствующего ей входа (например,
для ячейки ПО порог равен 2).
5. Пусть rt имеет на каждой центральной ячейке с
возбуждающее или тормозящее окончание в зависимости от того, равна ли 1-я
п
'—' г.
°7Г
°7Г
G>«HM-
о^
£>_iojL
(з^И-
109
цифра соответствующего ячейке с входа 1 или О1. (Например,
ячейка 100 имеет тормозящее окончание от гь г2 и возбуждающее
окончание от г3. Некоторые из этих связей показаны на рисунке 36.
Отметьте, что каждая центральная ячейка загорается только при
значении соответствующего ей входа.)
6. Пусть каждая центральная ячейка С имеет окончание на еу-
ттогда, когда /-я цифра выхода, соответствующего входу, стоящему
000
Рис. 36. На каждой центральной ячейке верхнее
окончание от а1? среднее от г2 и нижнее от г3.
на ячейке С, равна 1. (Так, мы видим из таблицы, что входу 101
соответствует выход 0100, поэтому центральная ячейка 101 имеет
возбуждающее окончание на е3. Подобно этому ячейка 100 имеет
возбуждающее окончание на е2 и не имеет его на е3. Заметьте, что
каждая центральная ячейка, если она загорается, порождает выход,
соответствующий своему наименованию.)
Очевидно, что так построенная нервная сеть будет удовлетворять
входно-выходной таблице. Какова бы ни была входно-выходная
таблица, можно с помощью этого метода построить удовлетворяющую
сеть. Этот метод может быть также распространен на входы,
подающиеся в течение некоторого временного интервала2. Мы уже
отметили, что описанный метод оказывается непрактичным, когда не
является малым. Можно показать, что всегда можно обойтись
меньшим, чем 2, числом ячеек.
1 Напоминаем, что первой является самая правая цифра. Заметьте, что
вход 011 вызывает загорание центральной ячейки 011.
2 См. сборник «Автоматы», под редакцией К- Шенона и Дж. Маккарти,
М., ИЛ, 1956.
НО
Упражнения.
347. С помощью общего метода постройте нервную сеть,
удовлетворяющую входно-выходной таблице:
Вход 1 000
Выход! 100
001
101
010
ПО
011
111
100
000
101
001
110
010
111
001
348. Составьте входно-выходную таблицу для 3 рецепторов и 3 эффектор-
ных ячеек, заполняя строку любым желаемым образом. Затем употребите
общий метод для построения сети, удовлетворяющей этим условиям.
349. Используя любой метод, постройте сеть с наименьшим возможным
числом ячеек, удовлетворяющую таблице упражнения 347. (Оказывается, что
в этом частном случае можно построить сеть совсем без центральных нейронов.)
350. Заполните входно-выходную таблицу, строка выходов которой
имеет вид: 01, 10, 10, 01.
351. Используя общий метод, постройте сеть, удовлетворяющую
таблице упражнения 350.
352. Постройте сеть, имеющую 3 рецептора и 3 эффекторные ячейки,
чтобы: а) никакая эффекторная ячейка не загоралась ттогда, когда не
загорается ни один рецептор; Ь) е\ загоралась ттогда, когда загорается 1 рецептор;
с) еч загоралась ттогда, когда загораются два рецептора; d) ез загорается
ттогда, когда загораются все 3 рецептора. Такая сеть может служить для
подсчета количества загоревшихся рецепторов. Для ее построения вы можете
обойтись 6 центральными ячейками. Нашли ли вы метод построения любой
считающей сети этого типа?
353. Заполните входно-выходную таблицу, строка выходов которой
имеет вид 011, 101, 111 иОП, а затем употребите общий метод для построения сети,
удовлетворяющей этой таблице.
354. Заполните входно-выходную таблицу, строка выходов которой
имеет вид 01> 10, И, 00, 00, 10, 01, 10, а затем употребите общий метод для
построения сети, удовлетворяющей этой таблице.
ГЛАВА V
Традиционная логика
§ 1. Множества, высказывания и заключения
Слово «люди» определяет некоторое множество объектов, именно
множество, состоящее из всех мужчин, женщин и детей.
Аналогично этому и слово «американцы» определяет некоторое множество
объектов. Множество американцев содержится внутри множества
людей, что может быть выражено в виде следующего высказывания:
«Все американцы—люда». На этом примере видно, как два
выражения, соединенные определенным образом между собой, могут
составить так называемое категорическое
высказывание. Подобным же образом два или несколько соединенных
между собой высказываний такого типа могут образовывать
заключение, или логический, вывод. Например, три категорических
высказывания: «Все животные смертны», «Все собаки—животные»
и «Все собаки смертны»—образуют заключение, если их связать
между собой следующим образом:
Если все животные смертны
и все собаки — животные, то
все собаки смертны.
Логический вывод, или заключение, всегда содержит в себе
утверждение о том, что если некоторые высказывания верны, то
некоторое новое предложение должно быть верным. Заключение будет
истинным или логически верным, если это третье
высказывание с необходимостью вытекает из первых высказываний. Поставив
на место первого высказывание «Все смертные — животные», мы
получим ложное заключение, так как высказывание «Все собаки
смертны» не будет необходимо следовать из первых двух высказыва-
112
ний. (Читатель должен начертить диаграмму, иллюстрирующую
этот случай.)
Итак, мы видим, что слова могут быть использованы для
определения тех или иных множеств объектов; они могут быть связаны
между собой в пары, образуя категорические высказывания.
Соединяясь между собой, эти высказывания могут образовывать
заключения — иногда истинные, иногда ложные.
Отметим теперь следующее очень важное обстоятельство:
истинность или ложность заключения зависит только от его формы, или,
другими словами, от его м о д у с а, но не зависит от конкретного
содержания составляющих его слов или от истинности входящих в
него конкретных высказываний. Для того чтобы убедиться в том,
что логическая истинность не зависит от конкретного содержания
слов, рассмотрим следующее заключение:
Если все позвоночные — не
прозрачны и все кошки — по
звоночные, то все кошки -
непрозрачны.
Слова прежнего заключения заменены другими словами, но третье
высказывание по-прежнему следует из первых двух, и заключение
является истинным.
Для того чтобы убедиться также в том, что истинность
заключения не зависит от фактической истинности входящих в него
категорических высказываний, заменим некоторые слова так, чтобы эти
высказывания стали ложными:
Если все растения —
красные и все собаки — растения,
то все собаки — красные.
Приведенное заключение имеет тот же самый модус, что и
предыдущее, и является логически верным; другими словами, заключение
является истинным, ЕСЛИ (мы намеренно подчеркиваем это слово)
даже каждое из трех категорических высказываний становится
ложным.
Каждое из рассмотренных категорических высказываний
принадлежит к типу высказываний «все х суть у», где а: и у — какие-
либо два множества объектов. Высказывания этого типа
называются общими утвердительными высказывай и-
113
я м и и обозначаются через Аху, а каждое из приведенных выше
истинных заключений имеет одну и ту же форму, или модус:
если Aba и Acb, то Аса,
В первом из рассмотренных заключений класс а — это класс
смертных, b — класс животных, ас — класс собак. Обычно такой
модус записывают следующим образом:
Здесь точка • читается как «и», а дуга z> читается «следует»,
или, лучше: «если..., то...». Таким образом, все заключение может
быть прочитано так: «Если все b суть а и все с суть Ь> то все с суть а».
Дуга з называется знаком следствия.
Заметим, что два заключения имеют один и тот же модус, т. е.
одинаковую структуру, если они могут быть сделаны одинаковыми
путем замены любого входящего в них члена любым другим членом
х или (и) путем перестановки их посылок. Так, например,
Aab • AcazDAca и Aba - АсЬ^эАсаимеют один итот же модус. Для
того чтобы убедиться в этом, достаточно заменить в первом
заключении а на 6, b на а и с на с, другими словами, переменить в нем
местами а и Ь. Тот же модус имеет и заключение Acb - Aba id Аса,
так как после перестановки его посылок он становится таким же,
как второе из приведенных заключений.
Использованные выше диаграммы называются
диаграммами Эйлера; они выражают отношения между множествами, для
которых справедливы первые два высказывания в каждом
заключении. Так, например, последняя из изображенных диаграмм Эйле-'
ра показывает, что в силу первых двух высказываний, называемых
посылками, множество b содержится в множестве а и
множество с содержится в множестве Ь. Исследуя диаграмму, мы видим,
что заключение является справедливым, так как множество с
необходимо должно содержаться в а, что выражено в третьем
высказывании, называемом следствием.
Кроме категорических высказываний типа Аху, имеются еще
три иных вида категорических высказываний Ехуу Ixy, Оху. Они
будут рассмотрены в следующем параграфе. Традиционная логика
занимается в первую очередь различными «модусами», т. е.
различными формами заключений, которые возникают при
комбинировании таких простых высказываний.
Рассмотренный нами пример представляет собой одну из
возможных 256 форм, или модусов, заключения, называемого еще
силлогизмом. Это первый из примеров, помещенных в большой
таблице в § 4.
114
Упражнения.
Решая приведенные дальше задачи, помните, что заключение
является истинным ттогда, когда предложение, стоящее справа от
знака следствия, с необходимостью следует из предложения или
предложений, стоящих слева от этого знака.
355. Запишите следствия, приведенные в упражнениях 356 и 360,
обычными фразами, не используя символов . и гэ.
356. Имеет ли место утверждение Aab ZD Aba?
357. Имеет ли место утверждение Aab ID Aab?
358. Имеет ли место утверждение Ааа ZD Ааа?
359. Имеют ли утверждения AabzDAba и АЬа^эАаЬ один и тот же модус?
360. Является ли утверждение Aab • Acb ZD Аса истинным?
361. Имеет ли утверждение Aab • Acb !Z) Аса тот же модус, что и
Acb'AabZDAac? (От в ет: Да. Замените в каком-либо из них а нас, с на а и
b на Ь.)
362. Замените в упражнении 360 а на b, b на с и с на а. Отметьте, что
логическая структура (или модус) остается при этом неизменной. (Обозначения
для отдельных множеств объектов не имеют здесь никакого значения.)
§ 2. Категорические высказывания
В предыдущем параграфе мы упомянули о том, что имеется
четыре типа категорических высказываний: они называются: общее
утвердительное {Аху), общее отрицательное
{Еху), частное утвердительное (/лгу) и частное
отрицательное (Оху). Во всех этих высказываниях Аху,
Еху у Ixy или Оху первый член х называется субъектом,
второй член у предикатом1.
Примеры всех четырех типов высказываний даны в таблице 3.
Таблица 3
Категорическое
высказывание
Аху
Еху
Название
Общее
утвердительное
Общее
отрицательное
Как
читается
Все х
суть у
Ни
один х
не есть у
Значение
Каждый
элемент
множества х
является
элементом
множества у
Ни один
элемент
множества х не
является
элементом
множества у
Примеры
Все собаки —
млекопитающие. Все
раты—правильные
четырехугольники
Никакой
квадрат не
является
треугольником
Диаграммы
Эйлера
О О
1 В этой главе множества х и у предполагаются непустыми, т. е. содержа
щими по крайней мере по одному члену.
115
Продолжение
1 <L>
о У , к
Иг? 5 «« и
« ш М я
Н гг О PQ
^ к 3 3
Ь^ О, CQ СО
1ху
Оху
Название
Частное
вердительное
Частное
цательное
Как
читается
Некоторые X
суть у1
Некоторые X
не суть у
Значение
По крайней
мере один
элемент
множества х
является
элементом
множества у
По крайней
мере один
элемент
множества х не
является
элементом
множества у
Примеры
Некоторые
собаки черные.
Некоторые
баки—млекопитающие.
Некоторые
млекопитающие—
собаки.
Некоторые
квадраты—правильные
четырехугольники
Некоторые
собаки не
черные.
Некоторые
млекопитающие — не
собаки.
Некоторые квадраты—
не
треугольники
Диаграммы
Эйлера
CBZD
^~ **N.
(<!>_-)
G£D
(ST^)
О CD
J
Если л: и у любые два множества объектов, то они должны быть
связаны между собой одним и только одним из способов,
показанных на рисунке 37.
Под каждой диаграммой выписаны четыре категорических
высказывания; ей может соответствовать любое из них.
<^Т) Cf7^). <$5д) (СЗЭ оо
Аху
Ixy
I ух
Оух
Аху
Аух
Ixy
I ух
Аух
1х у
I ух
Оху,
I ху
1 ух
Оху
Оух
Еху
Еух
Оху
Оух
Рис. 37. Пять взаимно исключающих способов, которыми могут быть
логически связаны два непустых множества.
1 В логике слово «некоторые» обозначает «по крайней мере один». Так,
например, предложение «Некоторые простые числа — четные» является
истинным, так как по крайней мере одно простое число (число 2) является
четным. Так же и высказывание «Некоторые квадраты имеют четыре стороны»
истинно, так как по крайней мере один из них имеет четыре стороны.
116
В таблице 3 мы находим все пять различных диаграмм Эйлера,
показывающих пять логически различных способов связи двух
множеств л: и у. Эти же пять диаграмм Эйлера изображены на
рисунке 37.
Упражнения.
363. а) Если Аху, то каковы 2 взаимно исключающих способа, которыми
могут быть связаны х и у?
b) Если /ху, то каковы 4 взаимно исключающих способа, которыми могут
быть связаны х и у?
c) Если Оху, то каковы три взаимно исключающих способа, которыми
могут быть связаны х и у? Изобразите ответы в виде диаграмм.
364. Как связаны х и у, если Еху?
365. Ниже приведены 11 категорических высказываний. Для каждого
из них установите, является ли оно общим утвердительным, общим
отрицательным, частным утвердительным или частным отрицательным, и
обозначьте его соответственно одной из букв Л, Е, I или О. Пользуясь вашими знаниями
законов природы, начертите соответствующую диаграмму Эйлера (одну из
пяти, изображенных на рис. 37).
a) Некоторые элементы — металлы.
b) Некоторые металлы легче железа («легче» —значит, имеют
меньший атомный вес).
c) Некоторые равносторонние треугольники — равноугольные
треугольники.
d) Никакие эффекторные нейроны не являются нейронами с окончаниями,
ё) Все деревья — растения.
/) Все плоские прямоугольные треугольники являются плоскими
треугольниками, имеющими один прямой угол.
g) Некоторые металлы не легче железа.
К) Лилипуты не являются бробдиньянами*.
i) Все центральные нейроны являются нейронами, имеющими ровно один
синапс.
/) Некоторые приматы не являются людьми.
k) Некоторые люди не являются американцами.
Два высказывания являются противоположными
ттогда, когда оба они не могут быть одновременно истинными или
одновременно ложными. Отметим, что высказывания Аху и Оху,
Еху и Ixy являются противоположными.
Легко видеть (например, из рис. 37), что высказывания Аху и
Оху являются противоположными. В самом деле, ни водной из
диаграмм они не встречаются одновременно, т. е. классы л: и у не
могут быть связаны так, чтобы высказывания Аху и Оху были
одновременно истинны. С другой стороны, в каждой диаграмме встречается
по крайней мере одно из этих высказываний, т. е. они не могут быть
одновременно ложными. Следовательно, по определению эти
высказывания противоположны.
Два высказывания несовместимы или
противоречивы ттогда, когда они не могут быть оба одновременно истинными,
но могут быть оба одновременно ложными. Так, высказывания Аху
и Еху противоположны.
* См. Дж. Свифт, Путешествия Гуливера.
117
Два высказывания называются антипротиворечивы-
м и ттогда, когда они не могут оба одновременно быть ложными,
но могут быть оба одновременно истинными. Так, высказывания
Ixy и Оху являются антипротиворечивыми.
Традиционная схема для выражения этих отношений изображена
на рисунке 38.
Упражнения.
366. Основываясь на рисунке 37, покажите, что Еху и Ixy
противоположны.
367. Основываясь на рисунке 37, покажите, что Аху и Еху
противоречивы. г
368. Основываясь на рисунке 37, покажите, что Ixy и Оху
противоречивы.
369. Являются ли высказывания Аху и Оху противоречивыми?
§ 3. Непосредственные занлючения
Как было уже отмечено, высказывания могут комбинироваться
между собой, образуя заключения, или логические выводы. Так как
Axvfl
ПЕху
IxyCj антипротиворечивые
Рис. 38,
□Оху
простейшие из этих заключений содержат только два высказыва:
ния, то несколько позже мы рассмотрим эти «непосредственные
заключения», а затем рассмотрим категорические «силлогизмы»,
представляющие собой выводы, составленные из трех
высказываний.
Непосредственным заключением является любое заключение
типа Xab zd Yab, где X и У могут иметь значения Л, £, / или О,
а а, Ь означает либо ab, либо ba. Xab называется условием
или посылкой (или антецедентом), a Yab называется
заключением или следствием (или к о н с е к-
в е н т о м).
Упражнение.
370. Сколько существует модусов непосредственных заключений? (О т-
в е т: С помощью Основного Принципа теории расстановок убеждаемся, что
существует 32 модуса непосредственных заключений. Действительно, имеется
4 способа выбора У, 4 способа выбора X и 2 способа выбора порядка
следования а, Ь.^Таким образом, число модусов непосредственных заключений равно
118
Приведем таблицу 32 модусов непосредственных заключений:
Первое положение
модус
Aab ZD Aab
Aab ZD Eab
Aab ZD lab
Aab ZD Oab
Eab ZD Aab
Eab ZD Eab
Eab ZD lab
Eab ZD Oxxb
lab ZDAab
lab ZD Eab
lab ZDlab
lab ZDOab
Oab ZD Aab
Oab id Eab
Oab ZD lab
Oab ZD Oab
значение
1
0
1
0
0
I
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
Второе положение i
модус
Aab ZD Aba
AabzDEba
Aab ZDlba
Aab ZDOba
Eab ZD Aba
Eab ZD Eba
Eab ZDlba
Eab ZDOba
lab ZDAba
fab ZDEba
lab ZDlba
lab ZDOba
Oab ZDAba
Oab ZD Eba
Oab ZD Iba
Oab ZD Oba
значение
0
0
1
0
о
1
0 1
1
0
0
1 i
0
0
0 i
о 1
0
Каждый модус будем иногда для краткости обозначать только
двумя большими буквами: например, вместо Aab zd Aab мы будем
писать просто АА> вместо lab zd Oab — /О и т. д. При этом нужно
дополнительно указать еще и положение этого модуса. Те 16
модусов, для которых порядок следования членов в условии и в
заключении одинаков, относятся кпервому положению,
остальные 16 модусов — ко второму положению.
Большинство людей без труда могут выяснить, будет ли
значение модуса «истинным» (принимаемым равным единице) или ложным
(равным нулю). Здесь истинно — значит «всегда верно», а ложно —
«не всегда верно».
Упражнение.
371. Отложите книгу в сторону и выпишите все модусы во втором
положении. Обозначьте модусы, значение которых истинно, цифрой 1, а модусы,
значение которых ложно, цифрой 0. Проверьте правильность ваших
обозначений по книге.
Отметим, что значение модуса АА в первом положении истинно,
а во втором положении — ложно. (В самом деле, например, из
предложения «Все собаки — животные» не следует, что «Все животные —
собаки».) Это же обстоятельство имеет место для модуса ООу который
в первом положении истинен, а во втором ложен. Это единственные
два случая, когда модус в одном положении истинен, а во втором —
ложен.
Истинность модуса легко может быть проверена с помощью одной
из пяти диаграмм Эйлера (рис. 37). Рассмотрим, например, модус АА
119
во втором положении. Здесь условию соответствуют первая и вторая
диаграммы; заключению же соответствуют вторая и третья
диаграммы. Таким образом, первая диаграмма указывает нам тот случай,
при котором первый член модуса может быть истинным, а второй
(заключение) — ложным (так как эта диаграмма отвечает условию
и не соответствует заключению). В этом случае заключение не
вытекает с необходимостью из условия модуса, поэтому модус
является ложным. В общем случае проверка истинности модуса с помощью
диаграммы может быть выполнена следующим образом:
1) выпишите все диаграммы, отвечающие условию модуса;
2) выпишите все диаграммы, отвечающие заключению модуса.
Модус является ложным ттогда, когда какая-либо из диаграмму
отвечающих условию, не совпадает ни с одной из диаграмму
отвечающих заключению.
Упражнения.
372. Проверьте истинность заключения АаЪ ZD lab с помощью диаграммы.
373. Проверьте истинность заключений: a) lab ZD Oab\ b) lab ZD Iba;
c) Oab ZD Oba\ d) Eab ZD Oba с помощью диаграмм.
374. Проверьте истинность заключения: «Если киты — не рыбы, то
некоторые рыбы — не киты».
С помощью указанного метода легко установить, что из 32
модусов 10 являются истинными, а остальные ложными.
Вероятно, вы уже заметили, что для большинства истинных
модусов выполняется следующее простое правило:
Правило \. В любом истинном модусе высказывания
являются либо оба утвердительными, либо оба отрицательными1.
Упражнение.
375. Выпишите на отдельном листе список всех 32 модусов. Вычеркните
из этого списка те модусы, которые оказываются ложными в силу правила 1.'
Сохраните этот список до упражнения 376.
Определение. Некоторый член высказывания называется
распределенным ттогда, когда он является подлежащим
общего высказывания или сказуемым отрицательного высказывания.
Таким образом, распределенными являются члены
высказываний, набранные жирным шрифтом.
Аху
1ху
Еху
Оху
1 Это правило может быть сформулировано также и следующим образом:
в каждом истинном модусе количество отрицательных посылок равно
количеству отрицательных следствий. В этой формулировке правило имеет место
и для силлогизмов (см. следующий параграф), и для соритов (см. § 6). В
каждом непосредственном заключении имеется только одна посылка (называемая
здесь антецедентом); поэтому число отрицательных посылок может быть
равно либо 0, либо 1. По той же причине число отрицательных следствий также
может быть равно либо 0, либо 1.
120
Правило 2. В любом истинном модусе каждый
распределенный член в его заключении распределен также и в его условии.
Рассмотрим, например, следствие: АаЬ з Aba. Член b
распределен в заключении (в силу определения или выписанной схемы
подлежащее всякого высказывания типа А распределено). Однако член Ъ
не распределен в условии (схема показывает, что сказуемое
никакого утвердительного высказывания не является распределенным).
Следовательно, в силу правила 2 этот модус является ложным.
Упражнения.
376. Рассмотрев список, оставшийся после выполнения упражнения
375, исследуйте, остались ли в нем ложные модусы, ложность которых
можно установить, пользуясь правилом 2. Отметьте все такие модусы.
В каждом из следующих упражнений указано некоторое
непосредственное заключение. (/) Выразите это заключение в
символической форме, (И) с помощью диаграмм установите его истинность или
ложность, (ш) примените к нему правила 1 и 2.
377. Если все свиньи могут летать, то некоторые летающие предметы —
свиньи.
378. Если все американцы — люди, то некоторые люди — не американцы.
379*. Если никакие илиги не являются имлаками, то некоторые имлаки
не являются илигами.
380. Если некоторые стуги не являются тувелами, то некоторые тувелы
являются стугами.
381. Если все сигуты — тулики, то некоторые тулики — сигуты.
382. Если никакие ротмики — не тоганфуры, то никакие тоганфуры —
не ротмики.
§ 4. Категорические силлогизмы
В § 1 мы рассматривали заключение типа Aba • Acb zd Аса
и различные иллюстрирующие его примеры. Такое заключение
представляет собой один из 256 модусов силлогизма.
Категорическим силлогизмом называется
любое высказывание, имеющее вид:
ХЬ,а • Yc,b з Zca,
где X, У, Z могут иметь смысл Л, Е, I или О; 6, а, так же как раньше,
означает ab или Ьа\ с, b — cb или be.
Упражнение.
383. Докажите, что имеются 256 модусов силлогизмов. (Ответ:
существует 4 способа выбора X, 4 способа выбора / и 4 способа выбора Z; кроме
того, имеется 2 способа выбора порядка следования Ьа и 2 способа выбора
с, Ь. Всего, таким образом, имеется 4 • 4 • 4 • 2 • 2 = 256 различных модусов
силлогизма.)
* Несмотря на бессмысленность подлежащих и сказуемых всех
высказывании в упражнениях 379—382, мы можем судить об их истинности или
ложности по их модусу.
5 Дж. Т. Калбертсон
121
Составляющие любого силлогизма ХЬ,а • Yc.b^Zca
обозначаются следующими терминами:
ХЬ,а называется главной посылкой; она содержит
главный член силлогизма;
Ycyb называется младшей посылкой, она содержит
младший член.
Zc, а называется следствием; его сказуемое является
старшим членом силлогизма, а подлежащее—младшим членом.
Средний член силлогизма — тот, который входит в обе
посылки.
Таким образом, для выписанного выше силлогизма а — старший
член, с — младший, a b — средний член.
Упражнения.
384. Из скольких высказываний составляется силлогизм? Как они
называются? Каков порядок их следования?
385. Сколько членов имеется в силлогизме? Какой член не содержится
в следствии? Какой член содержится в обеих посылках?
386. В следующем силлогизме: «Если все люди имеют недостатки и все
президенты — люди, то все президенты имеют недостатки» — выпишите в
указанном порядке: 1) следствие, 2) главный член, 3) главную посылку,
4) младший член, 5) младшую посылку, 6) средний член.
387. Сделайте то же для силлогизма: «Черную пантеру можно приручить,
если черная пантера — хищник, и все хищники могут быть приручены».
388. Укажите подлежащее следствия выписанного выше силлогизма.
389. Какие из следующих модусов истинны: a) Fba • Acb id Еса;
b) Eab- IcbZDEca; с) Aab -ObczDEca?
Выпишем 256 модусов силлогизмов (см. стр. 123—124).
Четыре положения зависят от положения среднего члена в
главной и младшей посылках.
Отметим, что в первом положении Ь занимает места:
подлежащего в главной посылке, сказуемого в младшей посылке; во втором
положении b занимает места: сказуемое — сказуемое; в третьем
положении b занимает места: подлежащее — подлежащее и в четвертом
положении Ъ занимает места: сказуемое — подлежащее.
Упражнения.
390. Не обращаясь к таблице модусов силлогизмов, выпишите первые 14
модусов в третьем положении.
391. Выпишите ЕЮ в первом положении; выпишите AAA во втором
положении; выпишите ЕАЕ в третьем положении; выпишите АЕЕ в четвертом
положении.
392. К какому из 256 модусов относится силлогизм: «Если никакие
киты — не рыбы и все лососи — рыбы то никакие лососи — не киты»?
393. К какому из 256 модусов относится илло^изм' «Если никакие ки
ты — не рыбы и все рыбы живут р в^де го никякие киты не живут в воде»?
394. Каков модус силлогизма «Если все свиньи жадны и никакие свиньи
не могут летать то некоторые жадные существа не могут летать»?
Вопрос об истинности любого силлогизма можно легко решить
с помощью диаграмм Эйлера. Модус некоторого силлогизма ложен
122
Таблица всех модусов силлогизмов
Первое
положение
модус
Второе
положение
модус
Третье
положение
модус
Четвертое
положение
модус
Aba. AcbZDAca
Aba. AcbZDEca
Aba-Acbzjlca
Aba- AcbZDOca
Aba-EcbZDAca
Aba-EcbZDEca
Aba-EcbZDlca
Aba-EcbZDOca
Aba-fcbz^Aca
Aba-IcbZDEca
Aba.lcbZDlca
Aba-IcbZDOca
Aba-OcbZDAca
Aba-OcbZDEca
Aba-OcbZDlca
Aba-OcbZDOca
Eba-AcbZjAca
Eba-AcbZDEca
Eba-AcbZDlca
Eba-AcbZDOca
Eba-EcbZDAca
Eba-EcbzDEca
Eba-EcbZDlca
Eba-EcbzDOca
Eba-lcbZDAca
Eba-lcbZDEca
Eba-IcbZDlca
Eba.fcbZDOca
Eba-OcbZDAca
Eba-OcbZDEca
Eba-OcbZDlca
Eba-OcbZDOca
lba- AcbzzAca
Iba-AcbZDEca
Iba-AcbZDlca
Iba-AcbzDOca
Iba-EcbZDAca
Iba.EcbZDEca
Iba.EcbZDlca
Iba.EcbZDOca
Iba.IcbZDAca
Iba-lcbZDEca
Iba-IcbZDlca
lba- IcbZDOca
Iba-OcbZDAca
Iba-OcbZDEca
Iba-OcbZDlca
Iba.OcbZDOca
Aab
Aab
Aab
Aab
Aab
Aab
Aab
Aab
Aab
Aab
Aab
Aab
Aab
Aab
Aab
Aab
Fab
Eab
Eab
Eab
Eab
Eab
Fab
Eab
Eab
Eab
Eab
Eab
Eab
Eab
Eab
Eab
lab
lab
lab
lab
lab
lab
lab
lab
lab
lab
lab
lab>
lab<
lab
/ab-
Iab'
-AcbzDAca
-AcbZDEca
-AcbZDlca
• AcbZDOca
.EcbzzAca
• EcbziEca
-Ecbzjlca
•Ecb.^Oca
• IcbzzAca
• IcbzDEca
• IcbZDlca
- IcbZDOca
OcbZDAca
.OcbZDEca
OcbZDlca
OcbZDOca
AcbZDAca
AcbZDEca
-AcbZDlca
• AcbzzOca
EcbZDAca
.EcbZDEca
• FcbZDlca
-EcbZDOca
• IcbZDAca
- IcbzDEca
• IcbZD lea
- IcbZDOca
• OcbZDAca
-OcbZDEca
OcbZDlca
OcbZDOca
•A'b^Eca
-AcbZDEca
- AcbZDlca
-AcbZDOca
. EcbZDAca
.EcbZDEca
• EcbZD lea
-EcbZDOca
.IcbZDAca
- IcbZDEca
• IcbZDlca
•IcbZDOca
• OcbZDAca
•OcbZDEca
OcbZDlca
OcbZDOca
Aba
Aba
Aba
Aba
Aba
Aba
Aba>
Aba'
Aba-
Aba-
Aba-
Aba
Aba-
Aba
Aba
Aba
Eba
Eba
Eba
Eba
Eba
Eba'
Eba'
Eba
Eba
Eba
Eba
Eba
Eba
Fba
Fba
Eba
lba*
lba.
lba-
lba-
lba-
lba
lba.
lba-
fba.
lba-
lba
lba.
lba
lba.
lba
lba
• A bczDAca
• A bczDEca
.AbcZDlca
-AbczjOca
.FbczDAca
.EbcZDEca
.EbcZDlca
.EbczDOca
• IbaZDAca
./bczDEca
• I be ZD lea
. IbczDOca
.ObczDAca
- ObcZDEca
. ObczDlca
-ObczDOca
-AbcZDAca
-AbcZDEca
-AbcZDlca
-AbczDOca
.EbczDAca
-EbcZDEca
. EbcZDlca
.EbczDOca
- IbczDAca
• IbczDEca
. IbczD lea
- IbczDOca
• ObczDAca
-ObcZDEca
.ObczDlca
- ObczDOca
AbcZDAca
.AbczjEca
AbcZDlca
AbczDOca
-EbczDAca
• FbczDEca
.Fbczz>lca
-EbczDOca
.fbczDAca
-IbczDEca
• IbczD lea
-IbczDOca
.ObczDAca
-ObcZDEca
- ObczDlca
.ObczDOca
0
0
1
0
0
0
0
0
и
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
j 0
0
0
0
0
П
0
0
0
о
0
0
1 SI
Aab.
Aab-
Aab.
Aab.
Aab-
Aab.
Aab-
Aab.
Aab-
Aab-
Aab-
Aab-
Aab-
Aab-
Aab-
Aab.
Eab.
Eab-
Fab-
Eab.
Eab-
Fab-
Fab-
Eab-
Eab-
Fab-
Eab>
Eab'
Fab-
Eab
Fab
Eab
lab.
lab-
lab.
fab.
lab.
lab.
fab.
fab.
lab.
lab.
lab.
fab.
fab-
lab-
fab,
lab.
AbcZDAca
AbcZDEca
AbcZDlca
AbczDOca
EbczDAca
EbcZDEca
Ebczjlca
- F bczzOca
■ IbczzAca
IbcZDEca
-IbczDlca
IbczDOca
ObczzAca
•ObczzEca
>ObczZ)Ica
• ObttOca
• AbcZDAca
>AqczDEca
•AbcZDlca
• AbczDOca
EbcZDAca
- EbcZDEca
.FbcZDlca
• EbczzOca
■ fbczDAca
• IbcZDEca
- IbcZDlca
• IbczDOca
-ObczDAca
• ObcZDEca
-ObczDlca
-ObCZDOca
A bczDAca
AbczDEca
AbcZDlca
AbczDOca
EbczDAca
EbczDEca
EbczDlca
EbczDOca
IbczDAca
fbcZDEca
• IbczDlca
IbcZDOca
ObczDAca
ObcZDEca
ObczDlca
ObcZDOca
5*
Продолжение
Первое
положение
модус
Oba-AcbzDAca
Oba-AcbiDEca
Oba-Acbz^Ica
Oba-OcaZDOca
Oba-EcbzDAca
Oba-Ecb^Eca
Oba-EcbZD/ca
Oba-EcbZ2>Oca
Oba-IcbZDAca
Oba>lcbzDEca
Oba-IcbZDlca
Oba-IcblDOca
Oba-OcbZDAca
Oba.OcbZDEca
Oba-OcbZDlca
Oba-OcbZDOca
значение
oooooooooooooooo
Второе
положение
модус
Oab • AcbiDAca
Oab-AcbZDEca
Oab-AcbzDlca
Oab-AcbZDOca
Oab-EcbziAca
Oab-EcbZDEca
Oab • EcbZDlca
Oab • EcbZDOca
Oab • IcbzDAca
Oab • fcbZDEca
Oab • IcbzDlca
Oab-IcbZDOca
Oab'OcbZDAca
Oab-OcbziEca
Oab-OcbZDlca
Oab-OcbiDOca
значение
oooooooooooooooo
Третье
положение
модус
Oba-AbczDAca
Oba-AbczDEca
Oba-AbcZD/ca
Oba-AbczDOca
Oba-EbcZDAca
Oba-EbcZDEca
Oba.EbcZDlca
Oba-EbcZDOca
Oba*IbcZDAca
Oba • /bcZDEca
Oba* /bcZD/ca
Oba-IbczDOca
Oba-ObczDAca
ОЬа-ОЬс^эЕса
Oba-ObcZDlca
Oba-Obc^Oca
значение
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Четвертое
положение
модус
Oab-AbcZDAca
Oab • AbczDEca
Oab-AbcZDfca
Oab-AbczDOca
Oab-EbcZDAca
Oab-EbcZDEca
Oab-EbcZDlca
Oab-EbczDOca
Oab-IbcZDAca
Oab'/bciDEca
Oab-IbciDlca
Oab-IbcZDOca
Oab-Oba^DAca
Oab-ObczDEca
Oab-ObcZD/ca
Oab • ObcZDOca
значение
oooooooooooooooo
ттогда, когда какая-либо из диаграмм, отвечающих его посылкам,
не совпадает ни с одной диаграммой, отвечающей его следствию.
Рассмотрим, например, модус
ЕЬа • АсЬ id Еса.
Его посылкам может соответствовать любая из двух диаграмм,
изображенных на рисунке 39, а.
(а) (5)
Рис. 39.
Мы видим, что каждая из этим диаграмм может соответствовать
и следствию: «Никакое с не есть а». Поэтому этот модус истинен.
Рассмотрим модус
Aba • Ecb з Еса.
Этот модус ложен, так как, например, диаграмма, изображенная на
рисунке 39, б, соответствует его посылкам и не может соответствовать
его следствию.
124
Упражнения.
Используя диаграммы Эйлера, определите значения
истинности каждого из следующих 7 выводов. Выпишите каждый из
силлогизмов в символической форме.
395. Если все т суть р и ни один из т не есть s, то ни один из s не есть р.
396. Если некоторые s суть т и ни один из р не есть гп, то некоторые s
не есть р.
397. Если все плохо управляемые организации убыточны и если все
почтовые конторы убыточны, то почтовые конторы плохо управляются.
398. Он говорит: «Каждая книга содержит ошибки, каждая книга —
продукт человеческого творчества; значит, все человеческое творчество
содержит ошибки».
399. Он говорит: «Все писатели—деятели искусства. Некоторые деятели
искусства — талантливые люди. Значит, некоторые писатели —
талантливы».
400. Рассмотрите два последних высказывания из упражнения 408.
Отметим, что в каждом положении имеется ровно 6 истинных
модусов; общее число истинных модусов равно, таким образом, 24.
Вот эти модусы:
Первое положение: AAA, ЕАЕ, All, ЕЮ, AAI9 EAO.
Второе положение: ЕАЕ, АЕЕ, ЕЮ, АОО, ЕАО, AEO.
Третье положение: AAI, IAI, АН, ЕАО, ОАО, ЕЮ.
Четвертое положение: AAI, AEE, IA1, ЕАО, ЕЮ, АЕО.
Существуют три правила, с помощью которых легко можно
установить истинность или ложность любого силлогизма1. Приведем их.
Правило 1.5 каждом истинном модусе число
отрицательных посылок равно числу отрицательных следствий.
Правило 2. В каждом истинном модусе член, распределенный
в следствии, распределен также в какой-либо из посылок.
Правило 3. В каждом истинном модусе средний член
распределен в какой-либо из посылок.
Упражнения.
401. Если обе посылки истинного силлогизма утвердительны, то что
можно сказать об его следствии?
402. Если в силлогизме имеется отрицательная посылка, а следствие его
утвердительно, то истинен он или ложен?
403. Если обе посылки силлогизма отрицательны, то истинен он или
ложен?
404. Обе посылки некоторого силлогизма являются высказываниями
типа /. Истинен ли этот силлогизм?
405. Из последних 16 модусов в третьем положении вычеркните те
модусы, которые оказываются ложными в силу правила 1. (Если обе посылки
силлогизма отрицательны, то мы будем называть его «силлогизмом с ложными
посылками».)
406. Из последних 16 модусов в третьем положении вычеркните те
модусы, которые ложны в силу правила 2. (Если старший член силлогизма
распределен в его следствии и не распределен ни в одной из его посылок, то такой сил-
1 Это же имеет место и для непосредственных заключений. Приведенные
три правила являются необходимыми и достаточными для
исключения всех ложных непосредственных заключений и категорических
силлогизмов.
123
логизм будем называть «силлогизмом с недозволенным старшим членом». Если
то же имеет место для младшего члена, то такой силлогизм обладает
«недозволенным младшим членом».)
407. Из последних 16 модусов в третьем положении вычеркните те, в
которых средний член не распределен ни в одной из посылок (силлогизм с
нераспределенным средним членом).
408. Назовите тип ложности каждого из следующих силлогизмов:
a) Он говорит: «Все млекопитающие — позвоночные и все лягушки —
позвоночные; значит, все лягушки — млекопитающие».
b) Он говорит: «Все книги могут содержать ошибки, все они написаны
людьми. Значит, все, что написано людьми, может содержать ошибки».
c) Он говорит: «Все мыслящие существа ответственны за свои действия,
никакие низшие животные не являются мыслящими существами. Значит,
никакие низшие животные не ответственны за свои действия».
409. Можно ли построить такой ложный силлогизм, чтобы его главная
посылка была общей отрицательной, его следствие — частным отрицательным,
а его младшая посылка — утвердительной?
410. Покажите, что если истинный силлогизм в четвертом положении
имеет утвердительную главную посылку, то он должен иметь общую младшую
посылку.
411. Покажите, что любой истинный силлогизм в первом положении
имеет утвердительную младшую посылку.
412. Используя результат предыдущей задачи, покажите, что всякий
истинный силлогизм в первом положении имеет общую главную посылку.
413. Покажите, что любой истинный силлогизм во втором положении
имеет одну и только одну отрицательную посылку.
414. Покажите, что любой истинный силлогизм в третьем положении
имеет частное следствие.
415. Можно ли найти какой-либо истинный силлогизм, в котором бы
число частных посылок превышало число частных следствий? (Ответ.
Нет. Так, например, никакой истинный силлогизм не имеет двух частных
посылок.)
В каждом из следующих пяти упражнений: (/) обозначьте
множества, о которых идет речь, буквами; (И) запишите весь вывод
в стандартной форме так, чтобы был виден его модус и положение;
(ш) установите, нарушено ли какое-либо из трех правил, и если
нарушено, то какое именно; (iv) проверьте истинность с помощью
диаграмм Эйлера (не чертите более двух диаграмм).
416. Он говорит* «Экспрессы здесь никогда не останавливаются.
Сегодня поезда здесь не останавливались, значит, все эти поезда — экспрессы».
417. «Они не являются членами клуба потому что они не платят
членских взносов; значит, те, кто платит членские взносы, являются членами
клуба».
418. Если некоторые люди — республиканцы и некоторые люди —
вегетарианцы, то некоторые республиканцы — вегетарианцы.
419. Если все алхимики бедны и никакие алхимики не бизнесмены, то
все бизнесмены не бедны.
420. Если все тигры полосаты и все тигры кровожадны, то все
кровожадные существа — полосаты.
§ 5. Нервная сеть для проверим истинности любого
силлогизма
Конструкция устройств, проверяющих истинность любого
силлогизма, очень проста Мы рассмотрим три таких устройства.
Для удобства мы в этом параграфе будем обозначать старший, сред-
126
ний и младший члены каждого проверяемого силлогизма
соответственно буквами a, b и с.
МОДЕЛЬ I. Эта модель имеет распределительную доску с
256 ключами. Каждому ключу соответствует какой-либо силлогизм,
причем всем ключам — различные. Так, например, первому ключу
соответствует Aba • Acb zd Аса, второму — Aba - Acb з Eca и т. д.
Ключи, которым соответствуют истинные силлогизмы, соединены
с электрической цепью, так что если нажать на соответствующий
ключ, то цепь замкнется и зажжется свет. Те ключи, которым
соответствуют ложные силлогизмы, не соединены ни с какими цепями,
и поэтому при нажатии на них ничего не произойдет. Таким образом,
для проверки истинности любого силлогизма нужно сначала
привести его к стандартной форме: главная посылка, младшая посылка,
следствие. Затем нужно найти соответствующий данному
силлогизму ключ и нажать на него. Силлогизм истинен ттогда, когда
зажжется свет.
Модель I представляет собой малоинтересное, тривиальное
воплощение таблицы предыдущего параграфа. Мы упоминаем о ней для
того, чтобы показать, как сильно она отличается от других моделей.
Основными недостатками этой модели являются чрезмерно большое
количество ключей и также чрезмерно большое количество символов
около каждого ключа.
МОДЕЛЬ II. Эта модель имеет распределительную доску с
20 ключами. Каждый ключ соединен с рецептором, ему
соответствует одно высказывание так, как это показано на рисунке 40, а.
Если нажать на какой-либо ключ, то загорается соответствующий
ему рецептор. Каждому истинному силлогизму соответствует
некоторая центральная ячейка. С каждой из этих ячеек соединены
окончания, ведущие от ключей, которые соответствуют предложениям,
входящим в данный силлогизм, — всего по три окончания.
Для проверки истинности любого силлогизма достаточно нажать
на ключи, соответствующие входящим в него предложениям.
Силлогизм истинен ттогда, когда загорается эффекторная ячейка Т.
Проверим, например, истинность силлогизма Aba • Acb ZD Аса.
Для этого нажмем ключи Aba, Acb и Аса. Это вызовет загорание
первой из центральных ячеек, изображенных на рисунке 40, а
поэтому загорится и ячейка 7\
Упражнения.
421. На рисунке 40, а изображены не все соединения. Какие рецептор-
ные ячейки соединяются с центральной ячейкой, соответствующей
силлогизму Eba • AcbzDEca?
422. Какие рецепторные ячейки соединяются с центральной ячейкой,
соответствующей силлогизму Aba • Abe ZD lca>
423. Какие ячейки загорятся, если нажать на ключи Оса, Acb, Eab?
424. Какие центральные нейроны соединены с рецепторным нейроном Iba?
425. Сколько окончаний замрет, если нажать только на ключ Eba?
426. Какие два рецепторных нейрона являются здесь излишними и мо-
127
гут быть исключены из модели? Отметим, что эти две излишние рецепторные
ячейки соответствуют двум типам высказываний, не входящим ни в какой
истинный силлогизм.
МОДЕЛЬ III. Если полностью изобразить сеть в предыдущей
модели, то рисунок 40, а оказался бы чрезмерно перегруженным.
Однако эта схема может быть сильно упрощена так, как это сделано
в модели III. Распределительная доска и входно-выходные свой-
<г>-2— о^э
Рис. 40, а. Модель II. 20 ключей и 24 центральные ячейки с в =3. Каждая из
центральных ячеек, отвечающих одному из 24 истинных силлогизмов,
контактирует с тремя окончаниями. На рисунке указаны контакты,
соответствующие лишь трем центральным ячейкам. Для ячеек К, Z, W и Т 0 = 1.
ства сети те же, что и в предыдущем случае, но меняется логическая
схема так, как это показано на рисунке 40, б.
Заметим, например, что замена предложения ЕЬа на ЕаЬ (или
наоборот) не меняет значения истинности никакого силлогизма.
Поэтому ключи ЕЬа и ЕаЬ заставляют загораться один и тот же
рецептор. Подобным же образом некоторые другие пары ключей также
заставляют загораться одни и те же рецепторы так, как это показано
на рисунке.
Упражнения.
427. Если нажать на ключи Acb, Aba и Аса, то сколько замрет
окончаний, контактирующих с нейроном /?
428. Сколько загорится ячеек при проверке истинности силлогизма
ОЬа • АсЬ ZD Оса?
128
429. Сколько загорится центральных ячеек, если нажать на ключи
Оса, Acb, Eab?
430. Используя модель III, определите значение истинности силлогизма
ЕЬа . Abe zd Еса.
431. Выпишите те силлогизмы, для которых загорается нейрон W.
432. Выпишите те силлогизмы, для которых загорается нейрон Z.
433 (необязательное). В модели для проверки истинности силлогизмов
можно значительно уменьшить число ключей и число символов для каждого
Рис. 40, б. Модель III. Полная нервная сеть для проверки истинности
любого силлогизма, где а — старший член, Ь — средний член, с —
младший член. Порог в нейронов Y, Z, W равен 3, для остальных
нейронов 0 = 1. Распределительная доска имеет 20 ключей: Aba, Acb и
т. д. Как показано, ключи Iba, lab вызывают загорание одного и
того же рецептора; подобным образом отождествлены и 4 другие
пары ключей. Для проверки истинности любого силлогизма нужно
нажать 3 соответствующих ключа. Эффекторная ячейка Т загорается
ттогда, когда силлогизм истинен.
ключа. Составьте модель, в которой имеется не более 10 ключей и не более
2 символов, соответствующих каждому ключу. (Используйте для этого модель
III, удалив сначала из нее рецепторы, а затем присоединив необходимые
ячейки.)
434 (необязательное). Сконструируйте модель III, используя имеющиеся
в вашем распоряжении средства (реле; электронные лампы или
полупроводники).
435 (необязательное). Начертите нервную сеть для проверки истинности
непосредственного заключения.
В традиционной логике мы можем следующим образом
расклассифицировать все неверные выводы: логические ошибки, которые мы
129
рассмотрели выше; ошибки, связанные с неправильным
употреблением тех или иных слов; ошибки по существу, сделанные из-за
неправильного понимания сущности дела. Словесная ошибка может
привести к неправильности информации или к неверному выводу.
Так, неоднозначный смысл отдельных выражений или
грамматических конструкций часто является причиной двусмысленных фраз
и даже парадоксов. Приведем примеры.
a) Для нее ничего не слишком хорошо. (А для кого «ничего»
хорошо?)
b) Я не могу слишком сильно похвалить эту книгу.
c) Проезжая мимо станции, с головы слетела шляпа.
d) (объявление у дороги) Приличная и чистая танцевальная пло-
шадка открыта каждый вечер, кроме воскресного дня.
ё) Снова ясно преде; ала перед ними картина, на которой была
изображена прекраснейшая виденная им в жизни девушка, висящая в
каюте.
/) После того как сенатор увидел, как лев исполнил свои трюки,
его вернули в зоопарк и дали ему 30 фунтов мяса.
g) Лучше черствый хлеб, чем когда нет ничего. Нет ничего лучше
мудрости, значит, черствый хлеб лучше мудрости.
Вот еще несколько примеров игры слов и парадоксов:
И) Всякое правило имеет исключения. Предыдущее предложение
является правилом, поэтому имеет исключения. Значит, есть
правила без исключений.
i) Невероятные случаи случаются почти каждый день; однако
то, что случается почти каждый день, должно быть очень вероятно.
Поэтому невероятные случаи очень вероятны.
/) Все законы нужно уважать и исполнять. Закон Ома R =—
является законом. Поэтому его нужно уважать и исполнять.
k) Каждый член команды — хороший игрок. Поэтому хороша и
вся команда.
/) Джонни, ты, конечно, веришь в Санта-Клауса, потому что если
ты не веришь, то я тебя прибью.
т) В баре на углу, чем они больше пьют, тем больше разливают.
И, конечно, чем больше они разливают, тем они меньше пьют.
Значит, чем больше они пьют, тем меньше они пьют.
п) Три хвоста—ни у какой кошки. У каждой кошки на один хвост
больше, чем ни у какой кошки. Значит, у каждой кошки четыре
хвоста.
о) Нельзя посылать в сражение солдат, которые не имеют опыта
сражений.
р) То, что вы не потеряли, не продали и не отдали, у вас есть.
Вы не потеряли, не продали и не отдали своего любимого единорога.
Значит, вы его имеете.
г) Я сейчас говорю неправду.
130
§ 6. Сориты1
Сориты — это заключения, составленные более чем из трех
категорических предложений. Обычно сорит можно анализировать,
разбивая его на два или большее число силлогизмов. Мы просто
укажем общий вид соритов. (Такие сориты ввел в рассмотрение и изучал
еще Аристотель.) Вот этот общий вид:
Х1а1а2.Х2а2а9.Х*а3аА. ... . Х'а,ат. ... -Х"-1 an^xanZDXnахап.
Здесь каждое X1 может принимать любое из значений Л, Е, /, О.
Высказывания X1 а1а2, ... , Хп~1 ап_г ап называются
посылками, а Хпа1ап —заключением сорита.
Упражнения.
436. С помощью диаграммы проверьте истинность сорита:
АаЬ . Abe . Acd . Ade zd Aae.
437. С помощью диаграммы проверьте истинность сорита:
АаЬ • Abe • Acd • Ede zd Eae.
438. С помощью диаграммы проверьте истинность сорита:
lab - Abe - Acd - Ade o lae.
439. С помощью диаграммы проверьте истинность сорита:
lab • Abe • Acd • Ede zz> Oae.
440. Выразите сорит из упражнения 435 в форме трех силлогизмов.
441. Дайте словесный пример какого-либо сорита с одной отрицательной
и одной частной посылками.
Имеют место следующие правила для соритов указанного
общего вида. В каждом истинном модусе:
Правило 1. Только высказывание Хп~1 может быть
отрицательным и только Xх может быть частным предложением.
Правило 2. Посылка отрицательна ттогда, когда
отрицательно следствие.
Правило 3. Если какая-либо посылка является частным
высказыванием, то следствие также является частным высказыванием.
§ 7. Гипотетические силлогизмы
Мы рассмотрим теперь четыре типа выводов, называемых
гипотетическими силлогизмами. В каждом из них исходным
является суждение p"Z>q, где р и q — какие-либо высказывания;
р называется здесь посылкой, q — следствием.
В качестве первого примера гипотетического силлогизма
рассмотрим модус, называемый утверждением по посылке.
«Если я нахожусь в Калифорнии, то я нахожусь в Северной Америке.
Но я в Калифорнии. Значит, я — в Северной Америке». Этот
истинный модус может быть записан в общей форме:
[(р ZD q) • р] з q.
1 Этот параграф может быть пропущен: это не повлияет на понимание
дальнейшего.
131
Прочесть это выражение можно так: «Если из р следует q up
истинно, то q также истинно». В нашем примере р = «я нахожусь в
Калифорнии», q == «я нахожусь в Северной Америке».
Упражнение.
442. Пусть р=«дверной замок сломан», <7=«входная дверь открыта».
Выпишите соответствующий этому случаю пример модуса, «утверждения по
посылке».
Следующий вывод представляет собой пример модуса,
называемого утверждением последствию: «Если я нахожусь
в Калифорнии, то я нахожусь в Северной Америке. Но я — в
Северной Америке, значит, я — в Калифорнии». Этот ложный модус1
может быть записан в общей форме:
[(р z> q) • q] Z) p.
Упражнение.
443. Составьте пример «утверждения по следствию», используя данные
упражнения 442. Объясните, исходя из соображений здравого смысла, почему
полученный вывод оказывается ложным.
Приведем третий пример гипотетического силлогизма: этот
ложный модус называется отрицанием по посылке.
Например: «Если я нахожусь в Калифорнии, то я нахожусь в Северной
Америке. Ноя — не в Калифорнии, значит, я — не в Северной
Америке». В общей форме этот модус записывается так:
[(р Z) q) • ~ р] 3 ~ q\
здесь —р означает «не- р», (или р ложно), а —q — «не- q» (q
ложно). (Вообще знак —, стоящий перед некоторым высказыванием,
означает отрицание этого высказывания.)
Упражнение.
444. Составьте пример отрицания по посылке, используя данные
упражнения 442. Приведите те соображения, исходя из которых полученный вывод
оказывается ложным. J
В качестве последнего примера рассмотрим отрицание
по следствию: «Если я нахожусь в Калифорнии, то я нахожусь
в Северной Америке. Но я — не в Северной Америке, значит, я —
не в Калифорнии». Этот истинный модус в общей форме имеет вид:
[(р =D q) ■ ~ q\ ZD ~ р.
Упражнение.
445. Составьте пример отрицания по следствию по данным
упражнения 442.
1 Утверждение по следствию и нераспределенный средний член
(упр. 407) — вот, по-видимому, самые распространенные источники
логических ошибок.
132
Таким образом, мы выяснили, что, употребляя гипотетические
силлогизмы, мы рассуждаем правильно ттогда, когда либо
утверждаем посылку, либо отрицаем следствие.
В дальнейшем вместо скобок мы будем ставить точки по обе
стороны от знака следствия; такие точки будут означать, что все
выражение, стоящее справа от знака следствия, вытекает из всего
выражения, стоящего от него слева. Так, например, силлогизм
[{р ZD q) • p]ZD q может быть записан так: (pZD q) • р • 3 • q.
Составим таблицу четырех модусов гипотетического силлогизма
с указанием значения истинности каждого из них:
Модус
(pZDq)-p-ZD-q
(p^Dq)-q-ZD-p
(р=)<7)-~р-
•ZD-~q
{pZDq)-~q-
.=> ~р
Название
Утверждение
по посылке
Утверждение
по следствию
Отрицание по
посылке
Отрицание по
следствию
Значение
1
0
0
1
Пример '
Если оно упадет, то оно
разобьется. Оно упало. •'■
оно разбилось.
Если оно упадет, то оно
разобьется. Оно разбилось.
. • . оно упало.
Если оно упадет, то оно
разобьется. Оно не упало.
. • . оно не разбилось.
Если оно упадет, то оно
разобьется. Оно не разбилось.
. • . оно не упало.
Упражнения.
В следующих 12 упражнениях выразите вывод в символической
форме, назовите модус и установите, является он истинным или ложным.
446. Если из г следует s и s истинно, то г — истинно.
447. Если из т следует пит истинно, то п — истинно.
448. Если из и следует v и и ложно, то v — ложно.
449. «Утверждение 1 должно быть ложным, потому что утверждение 2
ложно, а утверждение 2 следует из утверждения 1».
450. «Высказывание т ложно, потому что т следует из р, а р — ложно».
451. «Если курок ружья сломан, то ружье даст осечку. Но курок не
сломан. Значит, ружье не даст осечки».
452. «Если три определенных элемента вычислительной машины имеют
дефекты, то машина не будет работать. Вычислительная машина не работает,
значит, эти три ее элемента имеют дефекты».
453. «Если парадная дверь была бы заперта, то Мэри опоздала бы в
школу. Но Мэри не опоздала в школу, значит, парадная дверь не была заперта».
454. Если он видит контролера в вагоне, он покупает билет. Но он не
видит контролера, значит, он не купил билета.
455. «Все, кто верят в это — еретики. Вы — не еретик. Значит, вы в это
не верите».
456. «Срабатывание реле Rx всегда влечет за собой срабатывание реле Я2.
Я вижу, что реле #2 уже сработало. Значит, я знаю, что сработало также и
реле Ri».
457. «Некоторые земляные орехи — мягкие. Никакие моделирующие
устройства — не мягкие. Значит, никакие моделирующие устройства не
являются земляными орехами».
133
458. Начертите нервную сеть для проверки истинности любого
гипотетического силлогизма, данного в стандартной форме (см. предыдущую
таблицу). Начертите такую сеть, чтобы она содержала не более 7 нейронов и имела
9 ключей с пометками соответственно: р ZDq, р, ~p, q, ~q, ZDP, ZD ~-p,
ZDq,ZD~q.
459. Каждое из следующих следствий сформулируйте в словесной форме.
Какие из них истинны?
а) рир; Ь) p-p-ZD'P,c) p.q-ZD-nd) p-q-ZD-q; e) p^~~(~p); f) pzzq-ZD*
~pZD~q\ g) pZDq-=D-qiD~p.
460. Используя диаграммы Эйлера, проверьте истинность модуса Л/ во
втором положении непосредственного заключения.
461. Используя диаграммы Эйлера, проверьте истинность модуса
Iba • Acb id lea.
462. Используя диаграммы Эйлера, проверьте истинность модуса
ЕаЪ • Icb ZD Оса.
463. Суждение является высказыванием в нашем смысле ттогда, когда
оно является либо истинным, либо ложным. Какие из следующих суждений
представляют собой высказывания?
a) Все собаки — животные.
b) Тише, пожалуйста!
c) Мэри теперь старше, чем она была в прошлом году.
d) Мэри теперь больше весит, чем она весила в прошлом году.
ё) Чего вы хотите?
/) Держитесь правой стороны.
g) Ox!
h) Смотрите сны.
i) He выходи из строя, ты, грязная крыса!
;) Неверно, что только политиканы — негодяи.
k) Уходите.
/) Искусство долговечно, а жизнь коротка.
т) Пожалуйста, повторите еще раз.
я) 2-2 = 4.
о) Неверно, что 2 • 2 = 4.
р) На той стороне Луны есть гора, которая выше всех гор на этой стороне
Луны.
а) Калифорния — один из штатов Соединенных Штатов Америки.
г) То, что вы сейчас читаете, ложно. (Этот пример содержит в себе пара- -
доке; нам нет необходимости сейчас разбирать его сущность.)
§ 8. Дизъюнитивные силлогизмы
Выражение р V q читается: «истинно или р, или q», короче:
«р или q», и называется дизъюнкцией. Оно означает, что или
р, или q истинно, или они оба истинны. Таким образом, слово «или»
употребляется здесь в смысле, не исключающем возможности
истинности обоих исходов (не исключающее «или»).
Мы рассмотрим сейчас два типа высказываний, или модусов,
называемых дизъюнктивными силлогизмами. Один
из них имеет истинное, а другой — ложное значение.
Приведем пример истинного модуса: «Или шофер пьян, или руль
не работает. Но шофер не пьян, значит, руль не работает». Это
можно записать в общей форме:
(р V Я)—Р ' 3 • q,
т. е. если истинно или р или q, а р — ложно, то q — истинно. В на-
134
шем примере р = «шофер пьян», q = «руль не работает». Так как
высказывание р V q эквивалентно высказыванию q\Jр, то
следствие (р V q) • — q • 3 • р имеет тот же модус, что и написанное
выше. Другими словами, если отрицается истинность одной из двух
альтернатив, то другая должна быть верной, так как слово «или»
(употребленное в указанном смысле) означает, что по крайней
мере одна из них должна быть истинной.
Приведем теперь пример ложного модуса дизъюнктивного
силлогизма. «Или шофер пьян, или руль не работает. Но шофер пьян.
Значит, руль работает». В общей форме:
(р V q) • р • 3 - ~ q.
Это рассуждение ложно, так как возможен случай, когда
одновременно и шофер пьян, и руль не работает.
Составим таблицу для обоих модусов:
Модус
ip\jq)-~q-Z>-p
(p\/q)-P-^>--q
Значение
1
0
Пример
Он или благородный человек, или
ребенок. Но он не благородный
человек, значит, он ребенок.
Он или благородный человек, или
ребенок. Но он благородный
человек, значит, он не ребенок.
Упражнения.
В каждом из следующих 8 упражнений выразите вывод в
символической форме и установите, истинен он или ложен.
464. Если г или s истинно и г ложно, то s истинно.
465. Если г или s истинно и s ложно, то г истинно (тот же модус, что и в
предыдущем упражнении).
466. Если т или п ложно и т истинно, то п ложно.
467. Если и или v ложно и v истинно, то и ложно.
468. «Или сломан спусковой крючок, или отсырел порох. Но порох не
отсырел. Значит, сломался спусковой крючок».
469. «Или сломан спусковой крючок, или отсырел порох. Но порох
отсырел. Значит, спусковой крючок не сломан».
470. «Или забастовщики одержат победу, или профсоюз слаб. Но профсоюз
не слаб; значит, забастовщики победят».
471. «Если ворота конюшни заперты, то конь еще там. Но конь еще там,
значит, ворота конюшни заперты».
472. Начертите диаграмму нервной сети для проверки истинности любого
дизъюнктивного силлогизма в стандартной форме (см. приведенную выше
таблицу). Начертите сеть так, чтобы она содержала не более 7 нейронов и 5
ключей, снабженных пометками: p\jq, p, ^q, IDp, ZD~ q.
Проведем теперь следующее рассуждение. «Монета при бросании
падает или вверх гербом, или вверх цифрой. Но она упала вверх
гербом. Значит, она не упала вверх цифрой». В обычной речи такое
рассуждение признается вполне правильным, хотя, казалось бы,
оно представляет собой ложный дизъюнктивный силлогизм типа
135
[(pV q) - p] 3 — q, где р = «монета упала вверх гербом», q =
«монета упала вверх цифрой». Если бы все рассуждение сводилось
к написанному силлогизму, то оно в самом деле было бы ложным.
В действительности, однако, здесь мысленно предполагается еще
одна посылка, известная из знания физической стороны дела, а
именно: «Монета не может одновременно упасть вверх и гербом и
цифрой». Эта посылка может быть записана как — (р • q) и
читается: «р и q не могут быть истинны одновременно (ложно, что р и q
оба истинны)». При логической записи всякого рассуждения
обязательно должны быть записаны все посылки, из которых делается
следствие.
Таким образом, для данного случая все рассуждение должно быть
записано следующим образом:
(Р V q) • — (р • q)-p • => ~ q.
Читается это так: «Если истинно р или q, p и q не могут быть
истинны одновременно и р — истинно, то q — ложно»1.
Упражнения:
473. Какая посылка пропущена в следующем рассуждении: «Или в этот
стакан налит спирт, или в него налита чистая вода. Но в стакане спирт,
значит, туда не была налита вода»? Выразите полностью это высказывание в
символической форме, придав р и q определенные значения.
474. Верно ли следующее заключение:
(Р V Я) • ~ (Р • Я) • Я • =} • ~ р?
Заключение является истинным ттогда, когда в любой ситуации,
при которой посылка оказывается истинной, оказывается истинным
также и следствие. Так, например, заключение p\J q-^D-q ложно,
так как если р истинно, a q ложно, то посылка истинна, а следствие
ложно. С другой стороны, например, заключение p-q-Z)-p—
истинно.
Упражнение.
475. Какие из следующих выводов истинны?
а) рУя-^'Р* Ь) р.^.р.^/; с) (р^ЭЯ)-(Я^г).^-(р^эг)\ d) рУя-^>-Р'Я;
е) p-q-^D-PVq.
§ 9. Другие формы выводов
Существуют также и другие, более развернутые формы
традиционных заключений. Вот один из примеров сложного гипотетического
силлогизма:
1 Мы видим здесь уже преимущества логической символики по
сравнению с неясностью обычной речи: весь вывод выражается в точной, полной и
ясной форме: (р\/q)-~~ (p<q)'ZD'~q. Когда мы научимся оперировать с
логическими обозначениями, мы убедимся в других важных их преимуществах.
136
Модус
(p-q^>r)(~r)-ZD-~pV~q
Как читается
Если р и q истинны, то г также истинно. Но
г — ложно. Значит, или р ложно, или q ложно.
Следующие модусы называются дилеммахМи. Приведем
символическую запись трех истинных дилемм:
Дилемма
{pZDr){qZDr){p\fq).Zl-r
(pZDq)(rZDs)(p\fr).
fcO<7)(/Os)(~<7V~s)-
Название
Простая
Сложная
конструктивная
Сложная
деструктивная
Как читается
Если р истинно, то г
истинно, и если q истинно, то г
истинно. Но если р или q
истинно. Значит, г истинно.
Если р, то qf и если г, то s.
Но р или г. Значит, q или s.
Если р, то q, и если г, то s..
Но или q, или s ложно. Значит,
или р, или г ложно.
Упражнения.
476. К какому типу относится следующее рассуждение: «Если Джон
пойдет в салун Красной Собаки, то он напьется; если мы устроим вечеринку
дома — он тоже напьется. Но или он пойдет в салун Красной Собаки, или мы
устроим вечеринку дома. Значит, Джон напьется».
477. Дайте словесный пример сложной конструктивной дилеммы.
478. Вот так называемый парадокс Зенона: «Если тело движется, то
имеются две возможности: или движение происходит в том месте, где тело
находится, или оно происходит там, где тела нет. Но движение не может
происходить там, где находится тело (так как тогда тело не могло бы уже там
находиться). Очевидно, что оно не может происходить и там, где тела нет (потому
что там нет тела — самого объекта движения). Значит, никакое тело не может
двигаться».
Выразите все это рассуждение в символической форме, не обращая
внимания на пояснительные слова, стоящие в скобках.
479*. р = «х > 1» и q = «с*2 > 1». Выразите утверждение: «* > 1, если
только х2 > 1», — в символической форме.
х у
480. Пусть p=«jf > у», q=a«— > —», г = «г = 0». Выразите в символиче-
z г
х у
ской форме утверждение: «Если х > у, то — > —, кроме того случая,
г %
когда 2 = 0».
§ 10. Типы отношений
Отношение между двумя объектами называется д и а д и ч е-
ским отношением. Всякое отношение такого типа является
* Здесь и в следующем упражнении под х, у, г подразумеваются
неотрицательные числа.
137
направленным. Высказывание «Джон ударил Мэри» выражает
некоторое отношение между Джоном и Мэри. Тот член высказывания,
от которого исходит отношение, называется референтом, тот
член высказывания, к которому направляется отношение,
называется релатумом. В нашем примере Джон — референт, Мэри —
релатум, а «ударил» выражает отношение.
В высказывании АаЪ множество а находится в определенном
отношении к множеству Ь. Это отношение называется
отношением включения. Множество а содержится в множестве 6.
В математической логике отношение «содержится в» обозначается
символом с. Таким образом, а с Ь читается: «множество а
содержится в множестве Ь».
Логика и математика имеют дело и со многими другими
отношениями. Рассмотрим, например, два целых числа 4 и 5 и примем 4
за референт, а 5 — за релатум. Тогда между ними можно установить
следующие отношения: «меньше, чем», «взаимно просто с», «имеет
больше делителей, чем», «предшествует», «превышает три пятых от»,
«имеет столько же цифр, как и» и т. д.
Вот примеры некоторых отношений между физическими
объектами: «легче, чем», «больше, чем», «краснее, чем», «той же
температуры, что и», «медленнее, чем», «находится менее чем в двух милях
от» и т. д.
Существуют отношения, содержащие больше двух членов. Если
отношение содержит 3 члена, как например: «Джон насадил большого
красного червя на алюминиевый рыболовный крючок» то оно
называется триадическим. Подобно этому 4-членное
отношение называется тетрадическим. Отношения со mhoi ими
членами называются полиадическими. Мы будем
рассматривать лишь некоторые типы диадических отношений.
Условимся всегда на первом месте отношения указывать
референт, а на втором — релатум. Так, выражение «отношение имеет
место между х и у» означает, что х — референт, а у — релатум.
Упражнения.
481. Напишите какие-нибудь 8 отношений, имеющих место между
целыми числами 3 и 9.
482. Джейн говорит: «Мать Джона — единственный ребенок моего
отца». Каково отношение между Джейн и Джоном?
483. Если а—севернее b, a с — южнее Ь, то каково отношение между с и а?
Выражение xRy означает, что отношение R имеет место между
а: и у. Обозначим в упряжгении 483 через R— «севернее, чем», а через
R' — «южнее, чем». Гогда aRb cR'b • з • cR'a. Точно так же
aRb zd bR а и aRb • bRc • z> * aRc.
Упражнения.
484. Положив /?=«помолвлен с», выразите следующее предложение в
символической форме: «Если а помолвлен с Ь, то Ъ помолвлен с а».
138
485. Положив /?=«есть отец», выразите следующее предложение в
символической форме: «Если а—отец Ь, то Ъ—не отец а». Сделайте то же для
предложения: «Если а — отец Ь, а Ъ — отец с, то а — не отец с».
§ 11. Симметрия
Любое диадическое отношение может быть либо симметр и-
ч е с к и м, либо асимметрическим, либо
несимметрическим.
Отношение называется симметрическим ттогда, когда
наличие этого отношения между х и у влечет за собой его наличие между у
и х. Например, отношение «равно» является симметрическим, так
как если х=у, то и у = х. Симметрическое отношение можно
определить и следующим образом: R симметрично ттогда, когда xRyzDyRx
для любых х и у. Так, отношение «помолвлен с» является
симметрическим, так как из высказывания «х помолвлен с у» вытекает, что
«у помолвлен с я».
Отношение называется асимметрическим ттогда, когда его
наличие между х и у влечет за собой его отсутствие между у и х.
Например, асимметрическим является отношение «меньше, чем»,
так как если х < у, то у < х не имеет места (ложно).
Асимметрическое отношение можно определить следующим
образом: R асимметрично ттогда, когда xRy^) — yRx для любых а: и у.
Так, например, отношение «является женой» — асимметрично, так
как предложение «х — жена у» влечет за собой ложность
предложения «у — жена ху>.
Отношение называется несимметрическим ттогда, когда
оно не является ни симметрическим, ни асимметрическим.
Например, отношение «любит» является, к несчастью,
несимметрическим, так как если Мэри любит Джона, то Джон может любить
Мэри, но может и не любить ее.
Упражнения.
486. Приведите новые примеры: а) симметрического отношения; Ь)
асимметрического отношения; с) несимметрического отношения.
487. Выясните, какие из следующи к отношений являются
симметрическими, какие асимметрическими и какие несимметрическими: «моложе, чем»,
«взаимно просто с», «половика от», «сестра», «перпендикулярно к» и
«ненавидит».
§ 12. Транзитивность
Всякое диадическое отношение является либо транзитив-
н ы м, либо интранзитивным, либо нетранзитив-
н ы м.
Отношение называется транзитивным ттогда, когда из
наличия его между х и у и между у и z вытекает его наличие
между х и z. Например, отношение «равно» является транзитивным,
так как если х = у и у — z, то х = г. По определению R — тран-
зитивно ттогда, когда для любых х, у и z
xRy • yRz • Г) • xRz.
139
Отношение «севернее» также является транзитивным, так как из
того, что х севернее у и у севернее z, вытекает, что х севернее г.
Отношение называется интранзитивным ттогда, когда
из наличия его между х и у и между у и z вытекает его отсутствие
между х и г. Например, отношение «на 3 больше, чем» является
интранзитивным, так как если х на 3 больше, чем у, а у на 3
больше, чем г, то х не может быть на 3 больше, чем z. R интранзитивно
ттогда, когда для любых х, у и z
xRy • yRz • з • ~ xRz.
Отношение «является отцом» также является интранзитивным,
потому что из того, что х — отец у и у — отец z, вытекает ложность
предложения <а — отец 2».
Отношение называется нетранзитивным ттогда, когда
оно не является ни транзитивным, ни интранзитивным.
Например, отношение «друг» является нетранзитивным, так как если х —
друг у и у — друг г, то х может быть, но может и не быть другом z.
Упражнения.
488. Приведите новые примеры: а) транзитивного отношения; Ь) интран-
зитивного отношения; с) нетранзитивного отношения.
489. Выясните, какие из следующих отношений являются
транзитивными, какие интранзитивными и какие нетранзитивными: «мать», «старше,
чем», «взаимно просто с», «делитель», «перпендикулярно к», «идет
полдороги из школы вместе с» и «является предком».
§ 13. Симметрия и транзитивность
Классификация отношений по характеру их симметрии и
транзитивности независима друг от друга. В силу этого каждое отношение
может быть отнесено к одному и только одному из следующих
девяти типов:
Тип
Симметрическое-транзитивное
Симметрическое-интранзитивное
Симметрическое-нетранзитивное
Асимметрическое-транзитивное
Асимметрическое-интранзитивное
Асимметрическое-нетранзитивное
Несимметрическое-транзитивное
Несимметрическое-интранзитивное
Несимметрическое-нетранзитивное
Пример
отличается на 3 от
отличается по крайней
мере на 3 от
<
на 3 больше, чем
на 1 или на 2 больше,
чем
<
не равно, но или
составляет 1/2 от ... ,
или на 2 больше, чем
превышает 1/2 от
140
Упражнение.
490. Приведите еще по одному примеру каждого из девяти типов
отношений, отличному от тех, которые указаны в таблице.
§ 14. Отношение соответствия
Рассмотрим теперь четыре отношения соответствия.
Отношение называется взаимно-однозначным ттог-
да, когда для каждого референта существует только один релатум
и для каждого релатума существует только один референт. В
качестве примера такого отношения можно привести отношение «на
единицу больше, чем». Два множества находятся во
взаимно-однозначном соответствии ттогда, когда между элементами этих множеств
можно установить какое-либо взаимно-однозначное отношение.
Если бы единобрачие было распространено повсеместно, то можно
было бы установить взаимно-однозначное соответствие между
классом всех мужей и классом всех жен. Во взаимно-однозначном
соответствии находятся также, например, точки на географической
карте и соответствующие им точки на поверхности земли (правда,
только в том случае, если никакие две точки на карте не служат для
изображения одной и той же точки поверхности и никакая точка на
карте не служит для изображения двух различных точек земной
поверхности). Взаимно-однозначные соответствия играют очень
важную роль во всех разделах машинной математики.
Отношение называется одно-многозначным ттогда,
когда для каждого референта существует более одного релатума, но
для каждого релатума существует только один референт. В
качестве примеров можно привести отношения «является квадратом»,
«кубом», «есть наибольшее нечетное простое число, меньшее, чем» и т. д.
Отношение называется много-однозначным ттогда,
когда для каждого референта существует только один релатум, а
для каждого релатума существует более одного референта.
Примерами таких отношений являются отношения «квадратный корень
из», «кубический корень из», «имеет центр в точке» и т. д.
Наконец, много-многозначным отношение
называется ттогда, когда для каждого референта существует более одного
релатума и для каждого релатума — более одного референта. В
качестве примеров можно привести отношения < и >.
Упражнения.
В каждом из следующих упражнений установите, является ли
данное отношение взаимно-однозначным, одно-многозначным,
много-однозначным или много-многозначным.
491. «Является делителем».
492. «На два больше, чем».
493. «Выше, чем».
49-4. а) «Корень четвертой степени из».
Ь) «Есть четвертая степень».
141
ГЛАВА VI
Булева алгебра множеств
§ 1. Множества и их дополнения
В этой главе речь пойдет о некоторой особой алгебре,
называемой булевой алгеброй множеств. Элементами этой
особой алгебры являются не числа, а некоторые объекты,
физическая природа которых может быть самой различной. Существенным
является только то обстоятельство, что все элементы алгебры,
называемые множествами, являются частями одного и того же
множества. Это исходное множество, соединением членов которого
образуются все остальные множества, называется универсальным
множеством; оно обозначается буквой U. Все прочие
множества мы будем обозначать строчными латинскими буквами. Булева
алгебра множеств может быть построена, например, в связи со
страховым делом. В качестве универсального множества может быть
рассмотрено множество всех застрахованных лиц. Элементами алгебры
будут различные подмножества, принадлежащие универсальному
множеству, например: множество всех лиц моложе тридцати лет;
множество всех лиц, достигших возраста тридцати лет; множество
не семейных лиц; множество всех людей с больным сердцем и т. п.
Как будет показано дальше, над элементами булевой алгебры
можно производить определенные действия (операции); при этом
результат всякой операции, произведенной над множествами
(элементами алгебры) будет также множеством (элементом алгебры). Этим
обстоятельством определяется название — алгебра множеств.
Число элементов универсального множества может быть как
конечным, так и бесконечным. В качестве примера универсального
множества с бесконечным числом членов можно рассмотреть
множество всех точек на прямой. Очевидно, что в рассмотренном выше
примере универсальное множество (множество всех застрахованных
лиц) содержало конечное (хотя, быть может, и очень большое)
число членов.
Выделять подмножества из универсального множества можно
различными способами. Можно просто дать полный перечень
членов этого множества, например: 1) числа (1, 2, 8, 11, 13} образуют
подмножество универсального множества всех натуральных чисел;
142
2) Гарри и Джордж вместе образуют одно подмножество
универсального множества всех операторов. Можно сделать и
по-другому: выделять определенное множество как совокупность всех
объектов, удовлетворяющих какому-то определенному свойству,
например: 1) все застрахованные лица старше 30 лет; 2) множество
всех действительных чисел, являющихся корнями уравнения х2—
— х — 2 = 0; 3) множество четных чисел и т. д. Иногда, когда мы
определяем тем или иным способом множество, мы не можем знать
заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент, (например,
подмножество действительных чисел, являющихся решением уравнения
ах2 + Ьх + с = 0, или множество всех цитрусовых, растущих за
полярным кругом). Поэтому для дальнейшего оказывается
полезным рассматривать также и «множество», не содержащее ни
одного члена. Такое множество называется п у стым или нулевым и
обозначается символом 0. Позднее, когда будет введена операция
пересечения множеств, мы еще раз убедимся в разумности введения
пустого множества.
Всякая совокупность элементов универсального множества U
образует новое множество. Если число элементов универсального
класса конечно и равно п, то из него можно образовать всего 2п
различных множеств. В самом деле, мы можем выбрать из такого
универсального множества столько различных подмножеств, сколько
различных сочетаний можно образовать из п элементов, т. е.
множество, не содержащее совсем элементов, множества, содержащие
по 1, по 2, по 3 и т. д. элементов, вплоть до множества содержащего
все п элементов (само универсальное множество). Общее число
таких множеств, как известно, равно*:
ся=соп+с:+^+...+с:=2«.
Если же число элементов универсального множества
бесконечно, то и общее число подмножеств, которое можно из него
образовать, также бесконечно. Из пустого (нулевого) множества можно
образовать только одно подмножество — само пустое множество
(что соответствует нашей формуле при п = 0, поскольку 2°= 1).
Строгое формальное описание булевой алгебры имеет
аксиоматический характер**. Здесь же мы изберем наглядный и простой,
хотя может, и не всегда строгий, способ введения основных
интересующих нас понятий. Для этого будем пользоваться главным
образом так называемыми диаграммами Венна,
позволяющими наглядно представлять себе множества и легче изучать их
свойства.
На диаграмме Венна универсальное г^нсжество L
изображается в виде прямоугольника; подмкожестьс а иьоСрьжается в виде
* Ом. § 6, гл. II.
** См. § 8 этой главы.
U3
некоторой области, заключенной внутри этого прямоугольника
(рис. 41) и помеченной буквой а. Каждый элемент
множества а может быть изображен в виде точки, поставленной
карандашом или чернилами внутри области, помеченной буквой а.
Дополнением множества а назовем множество,
состоящее из всех элементов универсального множества, не являющихся
Рис. 41. Иис. 42.
элементами множества а. Обозначим дополнение множества а
через а!. Этот символ читается так: «не а». На диаграмме Венна а'
изображается в виде области, находящейся вне круга,
помеченного буквой а, и внутри прямоугольника (рис. 42). Если в нашей
алгебре V есть множество всех животных, а а — множество собак,
то а! — это множество животных, не являющихся собаками.
Мы видим, что любой член универсального множества
принадлежит либо а, либо а', но не может принадлежать им обоим.
Другими словами, элементы любого множества вместе с элементами его
дополнения образуют универсальное множество; элементы,
принадлежащие одновременно множеству а и его дополнению а',
образуют пустое множество. Отметим также, что по определению
дополнения:
U' = 0, 0' = U и (а')' = а. ■
Упражнения.
495. Если универсальное множество состоит из всех людей, а множество
а — это множество американцев, то каково значение а'? Начертите диаграмму
Венна для изображения а, а' и U. Если b — множество мужчин, то что
означает множестов 6'?
496. Если обозначить через U вершины некоторого куба, то сколько
множеств можно образовать внутри этого универсального множества? Сколько
из них имеют ровно 2 элемента?
497. Если U — положительные целые числа, а — четные положительные
числа, то каково значение а'?
§ 2. Включение и тождество множеств
Между множествами можно определить два типа отношений:
включение (одно множество содержится в другом) и
тождество. Говорят, что множество а содержится в множестве Ь9
О
144
если каждый элемент множества а одновременно является и
элементом множества Ь\ в этом случае пишут a cz b.
Если а cz Ь, то элемент универсального множества, не
входящий в состав Ь (т. е. из V), не может содержаться в а (иначе он
должен был бы по определению включения содержаться в Ъ, что
невозможно). Значит, каждый элемент дополнения b является
элементом дополнения а, т. е.
если a cz &, то V cz а!'.
Это обстоятельство проиллюстрировано на рисунке 41: вся
область, находящаяся вне -Ь и внутри U, содержится в области,
находящейся вне -а и внутри U.
Отметим, что отношение включения множеств транзитивно:
если a a b и Ъ cz с, то a cz с.
Кроме того,
aczU
для любого множества а, и принято считать, что
0 d а,
т. е. каждое множество содержится в У и содержит 0.
Выражение а = b означает, что а тождественно cfe,
т. е. что множества а и b состоят из одних и тех же элементов.
Тождество множеств может быть выражено с помощью отношения
включения следующим образом:
а = b ттогда, когда a cz b и b cz a.
Очевидно, что отношение тождества симметрично и транзитивно:
если а = 6, то b = a\
если а = b и b — с, то а = с.
Если л: с: у, то а: называется подмножеством у. Если
х — подмножество у, то отсюда не следует, что у не может быть
также подмножеством х (например, рис.37, вторая диаграмма):
каждое из двух множеств содержит другое, если они тождественны.
Если х cz у, но~(у с х) (у не содержится в х), и если х Ф 0, то
х называется собственным подмножеством у (рис. 37,
первая диаграмма).
Упражнения.
498. Является ли множество прямоугольных треугольников
собственным подмножеством множества треугольников? Является ли множество
равноугольных треугольников собственным множеством множества
равносторонних треугольников?
499. Пусть U — люди, а—американцы Ь — бостонцы1.
1 В задачах, подобных этой, термины «люди», «американцы»,
«бостонцы» не определяются; при этом предполагается, что читатель имеет некоторое
адекватное и разумное представление об этих понятиях. Так, например,
имеется много способов, которыми можно определить понятие «бостонцы» и
читатель должен выбрать для себя один из них. Зо всяком случае, какое бы
определение он ни выбрал, вероятно, под «американцами» он будет понимать
некоторое собственное подмножество множества всех людей, а под
«босгонцами» — некоторое собственное подмножество множества американцев.
145
a) Начертите диаграмму Венна, иллюстрирующую связь между этими
множествами.
b) Выразите эту связь символически.
c) Заштрихуйте Ь' вертикальными прямыми, а а' горизонтальными
прямыми. Содержится ли Ь' в а'? Выразите это символически.
d) Если с — множество всех карикатуристов, то какое из следующих
четырех суждений истинно: асе, cab, b ас или ~(сс а)?
e) Верно ли что с' с: У?
500. Пусть т и п — какие-либо действительные числа (т < я); через
1т, п]—отрезок числовой оси с концами т и п, т. е. [т, п] представляет собой
множество т, п и всех чисел, заключенных между тип (включая т и п).
Какие из следующих отношений истинны: а) [3, 5] с: [2, 6]; Ь) [2, 5] с [2, 4];
с) [-2, 4] с [—3, 3]; d) [-7, 7] с [—6, 6]; е) если [/я, п] с [г, s] и [г, s] с
CU, и], то [m, rc]c:U, «]?
§ 3. Пересечение множеств
Множество, содержащее все элементы, принадлежащие и
множеству а и множеству Ь, где а и Ъ — некотооые произвольные
множества (и только эти элементы!), называется
пересечением1 множеств а и b и обозначается через а П Ь, что можно
читать так: а и Ь. Если множества а и
£ выделены из универсального
множества с помощью каких-то свойств, то
пересечением П^ — это множество,
состоящее из элементов, обладающих обоими
свойствами. (Наппимер, если а —
прямоугольные тпеугольники, b — оавнобед-
ренные треугольники, то a f] b —
множество равнобедренных прямоугольных
Рис. 43. треугольников.) Заштрихованная на
рисунке 43 общая площадь двух кругов
представляет собой a f] b. Иногда знак пересечения П совсем
опускается, точно так же как в обычной алгебре опускают знак.,
умножения X и вместо х X у пишут ху.
На диаграмме Венна мы всегда будем изображать множества в
виде перекрывающихся областей. Если мы захотим показать, что
а П Ь = 0 (например, в случае, когда а — множество кошек, а
Ъ — множество собак), то (вместо того чтобы изображать два
непересекающихся круга, как в диаграмме Эйлера) будем ставить 0
внутри общей части двух кругов. Если а П b Ф 0 и мы захотим это
специально отметить, то будем ставить внутри их общей части знак+.
Этот же способ может быть употреблен и для обозначения любой
другой области на диаграмме Венна.
Два круга делят весь прямоугольник (универсальное
множество) на 4 области, обозначения которых даны на рисунке 44, а.
(Рисунок 44,6 повторяет рисунок 44,а, но знак П здесь опущен.)
1 Иногда это множество называется «произведением множеств», ибо
операция Г) имеет некоторые свойства, сходные со свойствами операции X
в обычной алгебре.
146
Пусть а, Ь и с — какие-либо 3 множества. Пересечением этих
множеств называется множество, составленное из всех элементов,
принадлежащих и классу а, и классу 6, и классу с\ оно
обозначается символом а П b f] с и читается: «а и b и с» (на диаграмме
Венна на рисунке 45 общая для всех кругов часть квадрата изображает
я П Ь П с). Точно так же оппеделяется пеоесечение любого числа п
aW | | аТТ"
Рис. 44, а. Рис. 44, б.
элементов аи а2,. . . , ап — как множество всех элементов,
принадлежащих и аь и а2, . . . , и ап\ это множество обозначается через
0i П я2 П - - • П Дя.
Упражнения.
501. На рисунке 44, а область, помеченная a f|b' , обозначает множество
всех элементов а, не являющихся элементами Ъ. Опишите словами, какие
множества изображают остальные 3 области на рисунке 44, а.
502. Если U означает множество всех мужчин, а — множество мужчин
старше 20 лет, Ъ — множество юношей-студентов, то что означает а\ b't
а П Ь, а П У, а' (] Ъ и ar f| У?
503. Диаграмма Венна для трех множеств разделяет пространство на 8
областей. Начертите диаграмму Венна для трех множеств так, как это сделано
а в 1
1
(///Ж\
ш
V///
У//л
•////,
V///
V///
V$fr
ш.
'////
~*/\
id
—-/
Рис. 45. Рис. 46.
на рисунке 45, и обозначьте множества, соответствующие каждой области,
на которую разделился квадрат, опуская при этом знаки пересечений
подобно тому, как это сделано на рисунке 44, б (например, заштрихованная на
рисунке 45 область может быть обозначена как abc).
504. Диаграмма Венна для четырех множеств разделяет пространство
на 24 = 16 областей; условное изображение этих областей дано на рисунке 46:
здесь области, изображающие a, b,c, d, имеют один и тот же вид и размер,
и область, отвечающая множеству а, заштрихована. Начертите рисунок 46
147
в увеличенном размере и обозначьте 8 областей, находящихся вне а, а также
еще какие-либо 2 другие области.
505. Пусть U — положительные целые числа, а — положительные
четные числа, b — числа, кратные 3, и с числа, кратные 5. Установите значения
следующих множеств: а\ с', a f| 6, a f| с, a Q Ь f) с, a f| Ъ' (] с и a' f|
f| Ь' П с'. Как обозначить множества чисел, кратных 15?
506. Пусть U — все люди, а — американцы, Ь — бостонцы, с —
карикатуристы.
a) Что означает множество a f] с?
b) Имеет ли место соотношение а f) Ъ = 6?
c) Что означает a f) с'?
d) Что означает Ь \\ с?
e) Что означает a f] h' f) с?
/) Как выразить множество бостонцев, не являющихся карикатуристами?
507. Какие из следующих трех предложений являются истинными:
aczb ттогда, когда а [] Ъ = a; a f] baa; a f] b a b (воспользуйтесь
рисунком 41)?
508. Какие из следующих тождеств истинны: а) а (] о! — 0; Ъ) а [\
П U = а; с) а {] 0 = 0; d) [3, 7] f] [4, 9] = [4, 7] (упр. 500); е) [2, 8] f]
П К 6] = [4, 8]?
Два множества называются пересекающимися, если
их пересечение непусто и никакое из множеств не содержится в
другом (рис. 37, четвертая диаграмма). Так, например, множество
всех простых чисел, меньших 20, пересекается с множеством всех
целых чисел, меньших 10. Подобным же образом пересекаются
множества «вегетарианцев» и «республиканцев».
Два множества называются разделенными, если их
пересечение пусто (рис. 37, последняя диаграмма). Множество всех
чисел, меньших 10, и множество всех чисел, больших 20, разделены.
Упражнения.
509. Какие из следующих пар множеств пересекаются, какие разделены
и в каких случаях одно из множеств является подмножеством другого:
a) кошки и собаки;
b) обезьяны и млекопитающие;
c) [2, 7] и [5, И] (упр. 500);
d) [2, 7] и [9, 15]?
510. Выразите каждое из следующих суждений в виде категорического
силлогизма Xb> a • Yc, b ZD Zca и выясните, является ли он истинным или
ложным:
a) Если а и b разделены, ас — подмножество Ь, то с и а разделены.
b) Если а и b разделены и b и с разделены, то с и а разделены.
c) (be:а) • - (cCZb') • 3 • - (CCZ a7).
d) (aczb') • ~(cczb') -ZD. ~(cc:a).
e) (be:a) • (bczc) - з ~ (ccza').
§ 4. Объединение множеств
Множество всех элементов универсального множества U\
принадлежащих или множеству а, или множеству ft, или им обоим, где
а и b —два произвольных множества (и только этих элементов!),
148
называется объединением1 множеств а и 6, обозначается
символом a U 6, что можно читать: «а или 6». Заштрихованная на
рисунке 47 область изображает a U Ь.
Пусть а, 6 и с — какие-либо 3 множества. Множество всех
элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих трех множеств,
называется объединением а, Ь и с, обозначается символом a U Ь U с
и читается: «я, или 6, или сь (на рис. 48 заштрихованная область
изображает а \] b [} с). Подобным же образом объединением
любых п множеств аи а2, . . . , ап называется множество всех
элементов, принадлежащих хотя бы одному из них; это множество
обозначается через а4 U a2 U . . . U ап.
Упражнения.
511. Пусть £/ —мужчины, а — мужчины, старшие 20 лет, Ь — юноши-
студенты. Каковы значения a[}b, a{Jb\ a'{Jb и a'(JW>
512. Пусть {У —люди, а —американцы, Ъ — бостонцы, с—карикатуристы.
a) Из каких элементов состоит множество а[}с?
b) Верно ли, что a\Jb = a?
c) Что означает а(|с'?
d) Что означает b[jc?
ё) Что означает а{]Ь'[]с>
f) Как записать множество всех людей, каждый из которых или бостонец
или не карикатурист?
513. Какие из следующих трех предложений истинны: a[)b = b\ aczb
ттогда, когда a{jb = b\ a{Jb = a[)b? (Рассмотрите рисунки 41 и 44, а).
514. Какие из следующих четырех предложений истинны: aczall b:
bczaljb', a[)baa; aczb ттогда, когда a'\Jb = U.
515. Какие из следующих 5 тождеств истинны: a\\a' = U\ а\\(Я=а-
a[)U= Щ [2,9] U [4,7] -[2,9]; [2,6] U [5,9] = [6,9]? U U^ '
516. Выразите отношение а < b тремя различными способами: 1)
используя знак включения; 2) используя тождество, содержащее 0- 3)
используя тождество, содержащее U.
517. На рисунке 47 заштрихована область, изображающая множество
a(Jb. Начертите диаграмму Венна и заштрихуйте область, изображающую
множество a [J У. Начертите другую диаграмму и изобразите множество
а [}Ь . Сделайте то же для множеств a(Jb[)0 и (а[]Ь'У.
1 Иногда это множество называют «суммой» множеств а и 6, потому что
операция U имеет ряд свойств, бллзких к свойствам операции 4- в обычной
алгебре.
119
518. Начертите диаграмму Венна с тремя множествами и а) заштрихуйте
область, изображающую множество (a\Jb\Jc'y. b) Опишите множество,
заштрихованное на рисунке 49.
519. Начертите диаграмму Венна для четырех множеств и заштрихуйте
область, изображающую {a\Jb(Jc[Jd)' [}a.
520. Выразите каждое из следующих заключений в виде категорического
силлогизма и проверьте его истинность:
a) (a'[Jb = U) • (с'ЦЬ = U) . z> . (c'[ja=> U);
b) (a[Jb = b) • (c[)b = b) -ZD • (c\Ja = a).
Таким образом, мы показали, как
исходя из известных множеств можно
образовать новые множества a', a f] Ь и
a (J 6. Выражение а! читается «не а»
и обозначает множество всех
элементов, не принадлежащих
множеству а (дополнение). Выражение
а [\ Ъ читается «а и Ь» и обозначает
множество всех элементов, каждый из
которых содержится как в а, так и в Ь
Рис. 49. (пересечение). Выражение a \J b
читается «а или Ь» и обозначает множество
всех элементов, каждый из которых содержится или в а, или в 6,
или в обоих множествах сразу (объединение).
Над новыми множествами, полученными в результате описанных
операций, можно, далее, производить те же самые действия (как
мы и поступали в последних упражнениях). Например, можно
образовать дополнение пересечения: ((a fl b)'); объединения
пересечений: [(af]b) U (bf]c) U (аГ\сГ\Ф\\ можно образовать
пересечение объединений и от этого множества взять дополнение [( ( (a\J
lib) fl (ЬГ\с) fl (c[)d)) fl (a[jd) ) )'] и т. д. Чтобы было ясно, в
какой последовательности нужно выполнять действия для получе-^
ния нового множества, используются скобки. Отношение между
скобками, знаками П и IJ такое же, как между скобками, знаками X
и -|- в алгебре. Дополнение берется от всего выражения, стоящего
в скобках, рядом с которыми стоит знак штрих.
Напоминаем, что операции можно производить только над
множествами, входящими в одно и то же универсальное множество.
§ 5. Булевы эквиваленты для четырех типов
натегоричесних высказываний
Анализ непосредственных заключений, силлогизмов и соритов
представляет собой один из большого числа примеров приложений
мощного аппарата булевой алгебры. Здесь этот аппарат может
быть с успехом использован, так как в этом анализе мы имеем
дело с исследованием некоторых непустых множеств, дополнительные
ограничения на которые накладываются модусом и положением.
В приведенных выше упражнениях мы уже рассматривали
различные способы, с помощью которых категорическое высказывание
150
может быть выражено в булевой алгебре множеств. Исследуем,
однако, этот вопрос с большей систематичностью.
Из определения включения множеств непосредственно следует,
что категорическое высказывание Aab эквивалентно а с Ь. Однако
часто бывает удобно представлять высказывание Aab в виде
следующего тождества алгебры множеств: a f] b' = 0. Соответствующая
Аав
Еа в
Щ) )
апв<=0
а л вф0
[СЮ
GDI
алв=0
ш
iae
Оав
Рис. 50.
диаграмма Венна изображена на рисунке 50 вверху, слева, где знак 0
означает, что множество a[\b' не содержит элементов, т. е.
является пустым: a f| Ь' = 0.
Так как Oab противоречит Aab, то это высказывание
эквивалентно ~ (aab) или (а П Ь')ф 0. Знак + на соответствующей диаграмме
(рис. 50) показывает, что множество a f] br непусто, т. е. что а П Ь'Ф 0.
Eab эквивалентно a cz br или, если выразить это с помощью
тождества алгебры множеств, эквивалентно а П Ь = 0. На рисунке 50
знак 0 означает, что пересечение множеств а и b пусто, т. е. а и Ъ
разделены.
Так как lab противоречит Eab, то это предложение
эквивалентно —(a cz V) или a (] b Ф 0. Знак-)- на диаграмме означает, что
пересечение а и b непусто.
Некоторые другие булевы эквиваленты категорических
высказываний даны в следующей таблице (с помощью диаграмм Эйлера или
Венна -—см., например, рисунок 40 — читатель может убедиться
в истинности каждой из записанных эквивалентностей1):
1 Как правило, учащихся приучают к быстрому чтению обычного текста,
однако здесь дело обстоит совершенно иначе: текст, содержащий
математические символы, необходимо читать медленно. Прочитывайте медленно каждое
предложение и не продолжайте чтения до тех пор, пока не поймете полностью
его смысла.
151
Aab
Eab
lab
Oab
aczb
aczb'
~ (adb')
~ (aczb)
Эквивалентные булевы высказывания
а[)Ь' = 0
a(]b = 0
af)b= 0 1
af)b' Ф 0
af|& = a
af|6' s= a
a(]bf фа
a(]b фа
af[}b^U
a'{Jb' =*U
a'{Jb' фи
а'ЦЬфЦ
a{Jb = b
а[}Ь' = Ь'
a\]br фЬ'
а\]ЬфЬ
Упражнения.
521. Постройте для каждого из следующих высказываний диаграмму
Венна. Употребите символы 0 и+в том смысле, как это сделано на рисунке 50.
a) Все х суть у.
b) Все х суть у, и все у суть х.
c) Все счетные линейки суть аналоговые устройства, но некоторые
аналоговые устройства не являются счетными линейками.
d) He существует квадратных кругов.
ё) Некоторые металлы хрупки, и некоторые хрупкие предметы —
металлы.
/) Некоторые металлы хрупки, а некоторые нет.
g) Некоторые ворты не являются имлаками*.
h) Некоторые ворты не являются имлаками, но все имлаки суть ворты.
i) Только на церквях бывает остроконечный шпиль.
Запишите первые 6 высказываний в алгебраической форме двумя
различными способами. Сначала сделайте это без использования знака тождества,
а затем используйте только отношение тождества (или отсутствия тождества)
с правой частью, равной пустому множеству. [Выполним это, например, для
задачи с): Пусть s — множество счетных линеек, а — множество аналоговых
устройств. Тогда получим: a) scza • ~a(aczs) и b) (s{]ar = 0).(af)s' Ф 0)].
522. Запишите каждое из следующих суждений в алгебраической форме
двумя различными способами так, как указано в предыдущей задаче; если
какое-либо заключение ложно, то покажите это.
a) Если все животные смертны и все собаки — животные, то все собаки
смертны. [Пусть а — животные, т — смертные существа, d — собаки. Тогда
мы будем иметь: a(czm)-(dcza)»ZD'(dzz>m) или (af]mr = 0)'(d(]ar = 0)-Г>
.(<*Пт' = 0).]
b) Если некоторые кладные ваги — палинны, то некоторые палинны
являются кладными вагами.
c) Если некоторые силые ниги не являются грабными варами, то
некоторые грабные вары не являются силыми нигами.
d) Всякое одноклеточное животное либо является реснитчатым, либо
жгутиковым, но не может быть и реснитчатым, и жгутиковым одновременно.
e) Некоторые многоклеточные животные могут быть одновременно и
реснитчатыми, и жгутиковыми.
523. Начертите диаграмму Венна для трех множеств a, b и с. Поставьте
в этой диаграмме два знака для того, чтобы показать, что aczb.
Присоедините еще два знака для того, чтобы показать, что bczc. Видно ли из
полученной диаграммы, что из того, что aczb и bczc, следует, что аас? Показано
ли на диаграмме, что если af\b' = 0 и bflc' => 0, то af]cr == 0?
524. а) С помощью диаграммы Венна покажите, что если aczb' и cczb,
то саа'.
* Ср. с подстрочным примечанием на стр. 121.
152
b) С помощью диаграммы Венна покажите, что если aab, Ьас и cad%
то acid.
525. Каждое из следующих суждений переведите в алгебраическую форму
двумя способами так, как это указано в упражнении 521. Выведите следствие
каждого заключения, если только все заключение можно представить в форме,
если aab и Ьас, то аас.
a) Если все студенты — граждане, и все граждане — люди, то...
b) Aba-AbczD...
c) Ede-AfdlD...
d) Ede-EfdZD...
ё) Если все свиньи жадны, и никакие жадные существа не могут летать,
то...
526. Выразите каждое из следующих заключений в виде категорического
силлогизма:
a) (а(]Ь = 2)- (сП&' = 0)-=>(сГ|а = 0);
b) (aftb' = 0)-(с()Ь' Ф 0)-=>(сГК^0);
c) (а'\)Ъ' *=U).(c'[}b= LO-zW^lK =*и)-
527. Обозначьте на диаграмме Венна множество af)bf)crf)d.
§ 6. Проверна тождеств с помощью диаграмм Венна
Мы уже говорили о том, что объединения, пересечения и
дополнения множеств снова представляют собой множества; точно так
же множествами являются пересечения объединений, объединения
пересечений, их дополнения и т. п. во всех возможных
комбинациях. При этом любое множество может быть определено многими
различными способами. Так, например, на рисунке 43 (стр. 146)
легко можно увидеть, что множество (а П b') U (а П b) (J (а' П Ь)
совпадает с множеством а [} Ъ\ отсюда вытекает следующее тождество:
(аП 60 U (an*) U (а'П*0 = a{Jb.
Из этого же рисунка видно, что:
[(а Г] Ь) U (a'fW = (яП*') U (а'П&).
Точно так же
(а[\Ь'[\с') U (аПЬ'Пс) U (a[]bf]c) = (a(]c) U (аП&О,
так как множество, выписанное слева от знака равенства, и
множество, выписанное справа от этого знака, изображаются одной и той
же областью, заштрихованной на рисунке 49 (стр. 150).
С помощью диаграмм Венна можно демонстрировать тождества
множеств. Для того чтобы это сделать, поступите следующим
образом:
1) Начертите диаграмму Венна и зачерните все множества,
стоящие в левой части равенства. (Возможно, что из-за сложности
всего выражения для этого потребуется сначала заштриховать
горизонтальными и вертикальными линиями различные входящие в
выражение множества.)
2) Начертите другую диаграмму Венна и сделайте то же для
множества, стоящего справа от знака равенства.
G Дж. Т. Калбертсон 153
3) Тождество истинно ттогда, когда в обоих диаграммах
оказывается зачерненной одна и та же область.
В качестве примера проверим истинность тождества — (а[]ЬУ=
= а' П V'. Объединение a\J b было показано на рисунке 47, поэтому
легко сразу представить себе, как выглядит его дополнение: это
сделано на рис. 51, где, следовательно, изображено левое
(айв)
Рис. 51.
а'" в
Рис. 52,
Рис. 53.
множество. Для того чтобы изобразить правое множество,
заштрихуем вертикальными линиями множество а! и
горизонтальными линиями — множество Ъ' так, как это показано на рисунке 52.
Пересечение а! и Ьг — это та область, которая покрыта двойной
штриховкой. Зачерним эту область и получим правое множество,
что сделано на рисунке 53. Тождество истинно, так как на рисунках
51 и 53 оказалась зачерченной одна и та же область. Таким образом,
мы показали, что дополнение объединения двух множеств есть
пересечение их дополнений. Это одна из форм очень важного закона
алгебры множеств, называемой теоремой де Моргана.
Другая форма того же закона имеет такой вид:
(а[)Ь)' = а'[}Ь'.
Упражнения.
528. Докажите с помощью диаграмм Венна вторую теорему
де Моргана:
(a{]by =a'[jb\
(Отметим следующее обстоятельство: при представлении правого множества
нужно заштриховать вертикальными линиями множество а' и
горизонтальными линиями —'множество Ъ'\ в этом случае нужно зачернить область,
являющуюся объединением а' и &', т. е. область, заштрихованную хотя
бы один раз.) Сформулируйте словами эту вторую теорему де Моргана.
529. С помощью диаграмм Венна проверьте истинность тождеств:
a) a[\(a()b)=a()(alJby,
b) ШЬ)Г[с=а\}(ЬГ[су,
c) {а$Ъ')\}(а'Г\Ъ)=а\)Ь\
d) (a(]b) = (a(]b()c) U (а()Ь(]с').
530. Проверьте следующие тождества с помощью диаграмм Венна
(некоторые тождества неверны):
а) аП(61|с)>=(аП*)и<аПс);
Ь)а()Ь' = (а'[)Ь'У;
c) a{J(bf}cy = (a{Jb')f)c';
d) a[j(cf]b)^(a{jb)(](a[jc);
154
e) а[)(ЬГ\с)'=*(а[)Ь'){)с';
f) af](a'\jb)=af]b\
8)а(](аГ[Ь) = Ь;
h) a[)(a{)b)=a;
i) а\)Ъ\)с = а'[\Ъ'Г[с'\
j) (a(]b()c()dy = a'\Jb'\Jc'\Jd'.
§ 7. Основные тождества ^ежду множествами
Важнейшие основные тождества алгебры множеств получили
специальные названия, большинство из которых в несколько ином
виде идет еще от древних времен.
Выпишем и предложим читателю проверить основные тождества
алгебры множеств (некоторые из них были уже установлены выше,
в том числе тождества 4 и 5, аналогичные законам обычной алгебры):
1) Закон тождества:
а = а.
2) Закон дополнения:
для пересечения af\a' = 0 (закон противоречия);
для объединения a{Jaf = и (закон исключенного
третьего).
Два первых закона являются выражением на языке булевой
алгебры так называемых «Основных законов мышления»:
(i) Закон тождества: «все что есть, есть».
(и) Закон противоречия: «ничто не может
одновременно быть и не быть».
(ш) Закон исключенного третьего: «все
должно или быть или не быть».
3) Закон идемпотентности:
для пересечения af]a = a;
для объединения а\]а = а.
4) Коммутативный закон:
для пересечения а(] Ъ = bf]a\
для объединения a[j b = b[ja.
5) Ассоциативный закон:
для пересечения (аП Ь) Пс = af](bf]c) = a f] b f]с\
для объединения (a (j b) U с = a (J (b (J с) =■ a (J b U с
6) Дистрибутивный закон:
для пересечения с объединением а (] (b{Jc) = (af) b) (J (a()c);
для объединения с пересечением a U (b(]c) = (a\J b) fl (a\Jc).
7) Закон поглощения:
для пересечения с объединением a fl (a\J b) = а;
для объединения с пересечением a \J (af]b) = а.
8) Закон двойственности (теорема де
Моргана):
для дополнения пересечения (а[) &)'= а'[) bf\
для дополнения объединения (а\] Ъ)'= а! [\Ь'.
6*
155
9) Закон двойного отрицания:
(а')'= а.
Все эти тождества остаются справедливыми, если вместо а и Ь
подставить произвольные комбинации множеств.
Отметим двойственный характер этих законов по отношению к
пересечению и объединению, который сохраняется для любых
тождеств алгебры множеств и заключается в следующем: если в любом
верном тождестве алгебры множеств произвести замены — знак U
заменить на П , а П на U ; заменить U на 0, а 0 на U, — то полу-
чится снова верное тождество. Так, в силу этого принципа из
а(}а' =0 следует, что a [Ja'= U и т. п. Это утверждение
называется принципом двойственности.
Если в булевой алгебре классов заменить знак fl на знак X
(обычного умножения), а знак U на знак -j- (обычного сложения),
то некоторые, но не все из написанных выше законов, перейдут в
известные законы обычной алгебры. Интересно хотя бы кратко
рассмотреть, что произойдет, если произвести такие замены.
Очевидно, что закон тождества имеет место в обеих алгебрах.
Дополнение, законы идемпотентности и двойного отрицания в
обычной алгебре смысла не имеют. (Закон идемпотентности отражает то
обстоятельство, что в булевой алгебре нет показателей степеней и
коэффициентов1.) Коммутативный и ассоциативный законы имеют
место в обеих алгебрах. Первый дистрибутивный закон
принимает вид: ах (Ь + с) = (ах Ь) -\- (ахс) и оказывается в обычной алгебре
справедливым; однако второй дистрибутивный закон а + (Ь X с) =
= (а + Ь) X (a -f- с) уже не имеет места. Закон поглощения также
оказывается в обычной алгебре неверным, а понятие двойственности
в ней просто не определено.
Несмотря на то что процесс запоминания скучен и утомителен,
есть такие вещи, запоминание которых приносит большую пользу':
достаточно вспомнить, что заучивание наизусть таблицы умножения
во многом способствует пониманию того, что такое умножение.
Подобным образом оказывается полезным запомнить определения 6
тригонометрических функций*, теорему косинусов и т. д. По этой
же причине нужно выучить наизусть названия всех перечисленных
законов, а также и содержание каждого закона. Легко запомнить
законы тождества и двойного отрицания. Коммутативный и
ассоциативный законы уже известны из обычной алгебры. Наконец,
принцип двойственности сильно упрощает запоминание всех законов.
1 Интересно отметить, что соответствующие законы будут иметь место
в алгебре чисел, если заменить U на 1, 0 на 0, а а' на (1 — а) и вычеркнуть
все показатели степеней и коэффициенты. В этом случае закон дополнения
примет вид: а (1 — а) — 0 или а — а = О и а + (1 — а) = 1. Закон
идемпотентности дает: а X fl = а и а + а = а; закон двойного отрицания примет
вид: 1 — (1 — а) = а.
* Или, по крайней мере, четырех: синуса, косинуса, тангенса и
котангенса.
156
Упражнения.
531. Выпишите названия всех перечисленных выше законов. Затем
запишите каждый закон в символической форме.
532. Дайте название каждому из написанных ниже законов и выразите
их символически:
a) Пересечение множества а с объединением множеств а и Ъ равно
множеству а.
b) Дополнение объединения двух множеств всегда равно пересечению их
дополнений.
c) Никакой элемент множества не может содержаться одновременно ива
и в его дополнении.
d) Каждый элемент универсального множества содержится либо в а,
либо в его дополнении.
533. Проверьте оба дистрибутивных закона с помощью диаграмм
Венна.
534. Проверьте оба закона поглощения с помощью диаграмм Венна.
535. Проверьте оба закона двойственности с помощью диаграмм Венна.
§ 8. Булева алгебра нан дедуктивная система1
В IV в. до н. э. Евклид в книге «Начала» объединил все
известные к тому времени геометрические законы (например, теорему
Пифагора и др.) в единую дедуктивную систему. По мере развития
науки в течение более чем двух тысячелетий стало ясно, что
дедуктивное построение научных теорий является наиболее совершенным.
(В отношении реализации заложенной в предыдущей фразе
программы математики и физики добились гораздо больших успехов,
чем, например, биологи или психологи, однако ученые всех
специальностей стараются изложить, если возможно, результаты своих-
исследований в дедуктивной форме, что является одной из
важнейших целей науки.)
Каковы же основные черты дедуктивного метода? Во всякой
дедуктивной системе некоторые предложения, называемые
теоремами, доказываются или выводятся шаг за шагом из множества
исходных предложений, состоящих из постулатов
(аксиом) иопределений. Сами постулаты не могут быть доказаны;
они представляют собой предложения, которые принимаются без
доказательства в качестве первоначальных посылок. Принятие
таких посылок совершенно необходимо, так как доказательство
всякой теоремы обязательно и выводится из чего-то установленного
ранее, и какие-то первоначальные посылки должны быть приняты в
качестве исходных. По этой же причине не могут быть определены
все встречающиеся в данной системе понятия: некоторые из них не
определяются, а считаются исходными, а все остальные
определяются с помощью введенных ранее. Таким образом, всякая
дедуктивная система основывается на некоторых недоказуемых пред-
ложениях и неопределяемых понятиях.
1 Этот параграф может быть опущен без ущерба для понимания
дальнейшего.
157
Точка зрения современных математиков в одном пункте
заметно отличается от точки зрения Евклида. Евклид считал, что его
система является абсолютно истинной. Он да и все ученые примерно
до 1800 г. ошибочно считали, что все постулаты и определения
являются абсолютно достоверными, самоочевидными истинами. Из
этого положения вытекала и абсолютная истинность всей системы,
так как все ее предложения являются необходимыми следствиями
из постулатов и определений. Современные математики и логики
отвергают положение о самоочевидной истинности постулатов и
определений; они рассматривают их как условно выбранные
предложения. Благодаря этому они оказываются свободными при выборе
любых желаемых постулатов и определений*. Так появились
сначала неевклидовы геометрии, а затем булева алгебра; в нашем же
столетии математика и логика вторгаются этим путем в самые
разнообразные области.
Изменяя постулаты системы, мы можем получать другие системы.
Так, заменяя «самоочевидный» V постулат Евклида о том, что
через точку, лежащую вне данной прямой, всегда можно провести
одну и только одну прямую, параллельную данной, постулатом:
через точку, лежащую вне данной прямой, всегда можно провести две
прямые, непересекающие данной, —мы получим вместо геометрии
Евклида геометрию Лобачевского.
Кроме того, существуют разные способы для выбора тех или
иных постулатов геометрии или алгебры. Предположим, что мы
приняли за базис дедуктивной системы некоторую совокупность
постулатов и определений. Другая совокупность постулатов и
определений S' может отличаться от совокупности S, например, тем, что
некоторые постулаты системы S отброшены и заменены ее теоремами;
отброшенные же постулаты становятся теоремами в S'. При этом
вполне может случиться, что совокупности S и S' постулатов и тео--
рем описывают одну и ту же систему понятий и теорем.
Здесь мы ограничимся тем, что приведем пример одной системы
постулатов и определений для булевой алгебры**, для того чтобы
проиллюстрировать характер доказательств, встречающихся при
дедуктивном построении булевой алгебры множеств1.
* При этом следует только требовать, чтобы построенная дедуктивным
путем система оказалась полезной для дальнейшего прогресса науки,
способствующего овладению силами природы. Это не формулируемое в логически
безупречной форме требование практически определяет все развитие
научных теорий.
** См. статью: «Алгебра Буля», сборник «О некоторых вопросах
современной математики и кибернетики, изд. «Просвещение», М., 1964, стр. 6.
1 В дальнейшем будут использоваться обычные правила
подстановки без дополнительных указаний на их использование. Они состоят
в следующем: в любом истинном высказывании (/) любой из символов а, Ь, с,
... может быть всюду заменен любым другим символом и (it) если а = Ь,
то в любом месте а можно заменить на Ь. (Мы уже установили раньше,
что а Г) Ь = Ъ [\ а, тогда в силу (i) имеем a f) с = с (] а; по (И) получаем:
если а = Ь, то a f) a = b и т. д.)
158
Примем в качестве первоначальных неопределяемых понятий
символы: штрих (знак дополнения), 0, U, знаки с, Г) и U-
Понятие тождества может быть тогда определено.
Определение 1. а = b ттогда, когда aab и baa.
Примем теперь следующие постулаты:
Постулат 1. ааа.
Постулат 2. Если aab и Ьас, то аас.
Постулат 3. aab(]c ттогда, когда aab и аас.
Постулат 4. a\j Ьас ттогда, когда аас и Ьас.
Постулат 5. (a\J b) fl (a Ik) с: a (J (Ь[\с).
Постулат 6. 0 аа.
Постулат 7. aaU.
Постулат 8. а[]а/а0.
Постулат 9. Ucza\Ja'.
Из этих постулатов могут быть выведены следующие теоремы.
Теорема 1. ааа{\а.
Доказательство^/) ааа П а ттогда, когда ааа и ааа —
замена ft на с и с на а в постулате 3.
(//) ааа — постулат 1.
. • .(ш) ааа[)а.
Теорема 2. а\}ааа.
Упражнение.
536. Докажите теорему 2 (доказательство подобно доказательству
теоремы 1; только вместо постулата 3 нужно использовать постулат 4, а затем
постулат 1).
Теорема 3. а[)ааа.
Доказательство: (i) а[) ааа П я ттогда, когда а П аа
аа и а П ааа — замена а на а П а, & на а и с на а в постулате 3.
(и) а[)ааа[)а — замена а на a f)a в постулате 1.
.' .("О af)aaa.
Теорема 4. aczalja.
Упражнение.
537. Докажите теорему 4 (используйте постулат 4, затем постулат 1).
Теорема 5. a = a.
Доказательство: (i) a = а ттогда, когда acza и acza —
замена b на а в определении 1.
(а) acza — постулат 1.
,(ш) a = a.
Теорема 6. a = afl^.
Доказательство: (i) а= а{\а ттогда, когда асаПяи
af]aaa — подстановка а£\а вместо b в определение 1;
но {И) ааа[\а и а[}ааа — теоремы 1 и 3.
(ш) а = а[]а.
Теорема 7. a = aLk.
159
Упражнение.
538. Докажите теорему 7. Какие законы устанавливаются с помощью
теорем 5, 6 и 7?
Теорема 8. a{Jaaaf)a.
Доказательство: (/)• Если a U аса и ааа [)а, то a U
Uааа [\а — подстановка a U а вместо а, а вместо Ь, а(\а вместо с
в постулат 2;
но (ii) aUааа и ааа[)а — теоремы 2 и 1.
.'.("О aUааа(]а.
Теорема 9. а[)ааа[}а.
Упражнение.
539. Докажите теорему 9.
Теорема 10. а[)а = a{Ja.
Упражнение.
540. Докажите теорему 10.
Теорема 11. а = b ттогда, когда Ь=а .
Доказательство: (i) a= b ттогда, когда aab и Ъас —
определение 1.
(ii) b = а ттогда, когда baa и aab — замена b на а и а на 6 в
определении 1.
. *.(ш) я = 6 ттогда, когда b = а.
Теорема 12. ареста и afi^czb.
Доказательство: (/) a fl baa f] b ттогда, когда a f] baa
и а [\ bab — подстановка a[)b вместо а, а вместо b и Ъ вместо с в
постулат 3.
.".(«) а[\Ъаа и af] bab, так какаП baaf) 6 в силу постулата 1.
Теорема 13. aaa[j b и baa[j b.
Упражнение.
541. Докажите теорему 13.
Теорема 14. af\bab(]a.
Д о к а з а т е л ь с т в о: (0 я П bab fl a ттогда, когда a f] baa—
замена af]b на ana па ев постулате 3;
но (ii) af] bab и afl baa — теорема 12.
.'. (Hi) aC[babf]a.
Теорема 15. af)b = bf]a.
Доказательство: (i) af\b = b[)a ттогда, когда a f| ba
abf]a и bf)aaaf)b — подстановка a[\b вместо a и b[\a вместо b
в определение 1;
но (ii) af)babf)a— теорема 14.
(tit) b П a a a fl b — подстановка b вместо a и a вместо b в
теорему 14.
. •. (iv) a fl b = b П a.
Теорема 16. a [j b a b [j a.
Упражнение.
542. Докажите теорему 16 (доказательство совершенно аналогично
доказательству теоремы 14).
160
Теорема 17. a [j b = b \J a.
Упражнение.
543. Докажите теорему 17. Какой закон она выражает? Какой закон
выражает теорема 15? *
Теорема 18. а {) b cz a \J b.
Упражнение.
544. Докажите теорему 18 (см. теоремы 12 и 13 и постулат 2). Дайте
словесную формулировку полученной теоремы.
Т е о р е м а 19. Если a cz b, то а П с cz b fl с.
Доказательство: (i) af]c cz b fl с ттогда, когда аf]с cz Ъ
и а П с а с — подстановка а {] с вместо а в постулат 3.
(и) а П с cz a — подстановка с вместо Ъ в первую часть
теоремы 12.
(Hi) Предположим, что a cz b.
(iv) Если a f) с cz а и acby то а П с cz b — подстановка a f] b
вместо а, а вместо b и b вместо с в постулат 2.
.' Xv) а П с cz b по (//), (Hi) и (iv).
(vi) а П с cz с — подстановка с вместо b во вторую часть
теоремы 12;
значит, (vii) а [\ с cz b cz с — по (/), (v) и (vi).
(vii) Если a cz b, то a (J с cz b U с.
T e о р е м а 20. Если a cz b, то a U с cz b U с
Упражнение.
545. Докажите теорему 20. (Доказательство аналогично
доказательству теоремы 19. Возможно, однако, что вы найдете и более короткий способ.)
Проверьте справедливость теоремы с помощью диаграмм Венна.
Теорема 21. Если а = b и b = с, то а = с.
Доказательств о: (i) а =Ь ттогда, когда a cz b и bcza —
определение 1.
(ii) b = с ттогда, когда b cz с и с cz b — подстановка b вместо
а и с вместо b в определение 1.
(Ш) Если a cz b и bczc, то a cz с — постулат 2.
(iv) Если с cz b и b с: а, то с а а — подстановка с вместо а и а
вместо с в постулат 2;
значит, (v) если и a cz Ь, и 6 ее, иссб, и b cz b, то a cz с и с cz
cz а — по (Ш) и
(iv) если а = b и b = с, то а = с.
Т е о р е м а 22. а П Ь cz а П (Ь U с).
Доказательство: (i) b cz b U с — подстановка b
вместо а и с вместо b в первую часть теоремы 13.
(it) Если b cz b U су то bf\acz(b[}c)(\a— подстановка
b вместо а и b U с вместо b в теореме 19.
Значит, (Hi) b ft a a (b {} с) [\ а.
161
Ho (ft/) b f) a = a f) b и (b [j с)) [] a = a f] (b [j с) —
подстановка в теорему 15.
.'.(^flican(HJc).
Теорема 23. (a fl b) U с cz a U с
Уп ражнение.
546. Докажите теорему 23. Проверьте правильность теоремы с помощью
диаграммы Венна.
Теорема 24. a U (6 fl с) с a U &•
Доказательство: (/) & n^cifc — подстановка &
вместо а и с вместо b в первую часть теоремы 12.
(н) Если b {) с cz Ь, то (b ft с) U a cz b [J a...
Упражнение.
547. Завершите это доказательство (аналогично доказательству
теоремы 22).
Т е о р е м а 25. a \J (b f] с) cz (a [j b) f] (a [j с)
Доказательство: (i)a [j (b Г\ с) cz (a \j b) f] (a [j с)
ттогда, когда aU(if|c)CfllJbHaU(Jnc)CflUc-
подстановка a U (Ь П с) вместо a, a \J b вместо b и a (J с вместо с
в постулат 3.
(it) a{J{bf)c)cza\Jb — теорема 24.
(ш) a U (с П Ч с a U с — подстановка b вместо сие вместо
b в теореме 24;
но (iv) с f] b = b f] с — подстановка с вместо а в теореме 15;
значит, (v) a \J (Ь [) с) a a U с — в силу (Hi) и (iv).
" (w)a [J {Ь {) с) cz (a [J b) f) (a U с) —в силу (/), (//) и (v).
Теорема 26. a (J (Ь П с) = (a U Ь) П (a U с).
Упражнение.
548. Докажите теорему 26 (постулат 5). Какой закон она выражает?
Теорема 27. a \J(a (} Ь) = а.
Доказательство: (i) a [J (a f) b) = а ттогда, когда
a U (я П b) cz а и а с a U (« П Ч — подстановка a [J (a f] b)
вместо а и а вместо b в определение 1.
(ii) a\J(af)b)<za{Ja — подстановка а вместо bub вместо
с в теорему 24;
но (Ш) а [} а = а\
значит, (iv) a{J(af)b)cza — B силу (it) и (Hi).
(v) a a a [J (a f) b)—подстановка a(\b вместо b в теорему 13.
.'. (vi) a\j(aC\b)=a — B силу (i)9 (iv) и (v).
Упражнение.
549. Какой закон выражает теорема 27? Начертите диаграмму Венна для
того, чтобы убедиться в тождестве множеств, стоящих слева и справа от
знака равенства.
Т е о р е м а 28. а Г) (a U 6) = а.
162
Упражнение.
550. Докажите эту теорему. Какой выражен ею закон?
Т е о р е м а 29. b U с a (a (J b) \J с.
Доказательство: (i) b cz a \j b — теорема 13.
Упражнение.
551. Закончите доказательство теоремы 29.
Теорема 30. (a U Ь) (J (b U с) cz (a cz ft) U с.
Доказательство: (i) b [} с cz (a \j b) [j с — теорема
29.
(ii) a\Jbcz(al)b)\Jc — подстановка a U b вместо а и с
вместо Ъ в первую часть теоремы 13.
(Hi)... и т. д., используя постулат 4.
Теорема 31. a (J (b U с) cz (a U Ъ) U с.
Доказательство: (i) a a a [} b — теорема 13.
(И) Если a cz a [j bf то a \J (Ь Ц с) с: (а [) Ь) U {b U с) —
подстановка a \J b вместо b и b U с вместо с в теорему 20;
значит, (ш) a U (ft U с) с (a U 6) U (& U с);
(iv) (a U b) U (ft U с) cz (a (J fc) U с — теорема 30.
(у) Если a U (6 U с) cz (а U Ь) U (6 U с) и (а U 6)U(6Uc)c
с (а U *) U с,
то a U (ft U с) cz (a U ft) U с — подстановка в постулат 2.
.'. (гя) a U (ft U с) с (a U ft) U с— в силу (ш), (iv)9 (v).
Теорема 32. (a [j b) [j с cz a \J (b [j с).
Упражнение.
552. Докажите теорему 32 менее чем за 8 шагов, не используя теорем
13, 20, 30.
Т е о р е м а 33. а [) (ft (J с) = (a U ft) U с.
Упражнение.
553. Докажите эту теорему и установите, какой она выражает закон
Теорема 34. (а П b) f)c cz ft (]c. j Доказательства
Теорема 35. (af)b)(]c (Z(af)b)f)(bf)c). этих теорем вполне
Теорема 36. (a f) Ь) () с с: а {} (Ь [) с). аналогичны доказа-
Т е о р е м а 37. а Г) (ft Г) с) cz (a f] ft) П с. тельствам пяти
Т е о р е м а 38. а Г) (ft П с) = {а П ftj! П ^- ) предшествующих
теорем.
Теорема 39. 0 cz U — непосредственно следует из
постулатов 2, 6 и 7.
Т е о р е м а 40. 0 cz a [) а'.
Доказательство: (i)0 da fl а7 ттогда, когда 0 cz a
и 0 с а!— подстановка в постулат 3;
но (it) 0 cz а и 0 cz а! — подстановка в постулат 6.
.'. ("0 0 cz а П а'.
163
Теорема 41. а П #' = 0 •
Теорема 42. a U а7 = £/.
Упражнение.
554. Докажите теоремы 41, 42. Какие законы устанавливаются
теоремами 41 и 42?
Теорема 43. a U 0 = я.
Доказательство: (0 a U (а П я') = # — подстановка
а' вместо b в теорему 27;
но (и) а П а' = 0 — теорема 41.
.". (//О a U 0 = а — подстановка в (i).
Теорема 44. а П U = а.
Упражнение.
555. Докажите теорему 45 менее чем за 4 шага.
Теорема 45. a [J U = (/.
Теорема 46. а П 0 = 0.
Упражнение.
556. Докажите теоремы 45 и 46. В каждом доказательстве не должно быть
более пяти шагов.
Теорема 47. а = (a (J Ь) П (fl U &0-
Доказательство: (/) а = a U 0 — теоремы 44 и 11.
(ii) b П Ь' = 0 — подстановка в теорему 11.
(Ш) а = а (Ь П б7) — подстановка (ft П б7) вместо 0 в (0.
Но (/у) a U (6 П &') = (я U 6) П(я U &')—подстановка b вместо
с в теорему 26.
(и) Если a =aU (&П 6') и a(j(& П 60 =(a U Ь) П (a U &7),
то а = (a U Ь) П (# U &7) — подстановка в теорему 21.
/ и (vi) a = (a U Ь) П (a U Ь7) — в силу (ш)> ('*>) и (^)-
Т е о р е м а 48. Если а = ft, то 6' = а".
Доказательство: (*) а' = а' подстановка а' вместо
а в теорему 5.
(*7) Допустим, что а = 6, тогда (ш) б7 = а"— подстановка b
вместо а в левую часть (/).
. • . (iv) Если а = 6, то 6' = а7.
Т е о р е м а 49. (а')' = а-
Доказательство: (0 а = (a (J а') П (а U я7)7 —
подстановка а/ вместо b в теорему 47.
(ii) a{Ja' = U.
(tit) a = U n (aU(a7)7).
(ft;) a == a U (а7)' .
(и) а = aU (#7)' ттогда, когда ааа{}(а')' и a U (я')' с: a.
. ' . (vi) a U (а'У с а.
Затем нужно сделать подстановку в постулат 4 и т. д.
Упражнение.
557. Присоедините к принятому определению 1 и б постулатам
постулат: если aczby то b'cza'. Докажите, что тогда (a\Jb)'CZa' f) Ъ\
В дальнейшем изложении мы не будем базироваться на
указанных основных понятиях и постулатах: мы будем излагать материал
менее формально, используя булеву алгебру как орудие для
решения содержательных задач.
§ 9. Представление булевой функции в виде
строки термов
Чаще всего булева алгебра множеств используется в таких
задачах, которые решаются с помощью вычислительных машин и в
которых данные, подлежащие преобразованию, могут быть заданы
на обычном языке или в статистической форме. Например, для
решения военных стратегических задач применяются большие
вычислительные машины с существенным использованием алгебры
множеств.
Выше уже упоминалось об использовании булевой алгебры в
страховом деле. В настоящее время алгебра множеств используется
также при машинном переводе с одного языка на другой (например,
с русского на английский), при анализе экономических
показателей в промышленности, при распределении зарплаты на крупных
предприятиях, а также для предсказания погоды. Кроме того, она
оказывается необходимой при библиотечной каталогизации и при
анализе законодательства, — последняя отрасль только начала
развиваться. Другие применения булевой алгебры множатся с
каждым днем.
В этой главе мы хотим показать, как можно преобразовывать
выражения, встречающиеся в булевой алгебре; эти преобразования
используются в практических применениях алгебры множеств.
Всякое выражение, представляющее собой множество, мы будем
называть булевой функцией множеств или просто б у-
левой функцией, а запись этого выражения —
формулой. Так, отдельные буквы а, Ь, с,... и любые их комбинации,
представляющие множества, являются булевыми функциями множеств.
Например, правая (или левая) часть любого тождества из
упражнения 530 представляет собой булеву функцию; точно так же булевой
функцией является х в упражнении 561*.
Очевидно, что одна и та же булева функция может быть
представлена различными способами: так, например, некоторое
множество а мы можем также записать как a [J а, или a f\ а, или
a f] {b U V) и т. п.
* Нам по-прежнему известны только три операции алгебры множеств:
взятие дополнения, пересечение, объединение. Поэтому допустимыми
выражениями будут те, о которых говорилось в конце § 4.
165
Поставим теперь очень важную задачу об упрощении
представления данной булевой функции. Первой задачей мы будем здесь
считать задачу представления данной функции (данного множества)
в виде объединения пересечений или пересечения объединений
множеств так, чтобы никакие скобки не стояли внутри других скобок
и чтобы знак штрих стоял только у отдельных букв, а не у их
комбинаций (заключенных в скобки).
Сначала решим эту задачу. Это можно сделать с помощью
теорем де Моргана, теоремы о двойном отрицании или других
подходящим образом примененных законов.
Так, например, мы можем просто опустить знак (') в выражении
{[(я')']'}',дважды пользуясь теоремой о двойном отрицании: {[(а')']'}' =
= (а')' = а. Подобным образом получаем: [(а[)ЬУУ = af)b.
Используя теорему де Моргана, получим, что (df)c)' = df[}c'.
Для получения дополнения множества (af)bf)c) в форме,
содержащей штрихи, стоящие только над отдельными буквами,
поступим следующим образом.
(а Л Ь П с)' = [(а П Ь) П ]с' = — по ассоциативному закону,
= {аГ\Ь)'{]с' = — по теореме де Моргана,
= (a'U b'){Jc' — снова по теореме де Моргана,
/ Aaf]bf]cY = а'[}Ь'[)с'.
Повторное применение теоремы де Моргана легко позволяет
получить формулу:
(anbf)cf)dn ...)' = a/U6/Uc/Ud/U ...
Используя принцип двойственности, получаем:
(a[Jb{Jc[Jd{J ...)/ =я'П&'Пс'П^'...
Упражнения.
558. Выразите функцию F (а, Ь) — (a (J b')' так, чтобы знак штрих не
стоял после скобок. (Используя теорему де Моргана и закон двойного
отрицания, получим: (a \J b')' = a! f) (&')' = a' f) b. Второе выражение
a' P| (b'Y можно было бы и совсем не писать при преобразовании.)
559. Выразите х = (l(af)bf}c')'\Jd\ fle)r так, чтобы штрихи не стояли
после скобок.
Решение:
*=l(an*n'TU<fl'U«' =
= 1(аЛЬЛОГК1и«' =
= (a()b[)c'[)d')\Je:
560. Устраните все штрихи, стоящие после скобок в выражении
(a(J Ь'У, двумя способами: на первом шагу,используя теорему де Моргана,
а затем вовсе не используя ее.
561. Выразите функции так, чтобы штрихи не стояли после скобок:
a) x = (a\jb'[}c'\jd'\jeY{]h
b) X = (a{Jb\jc')f]d;
c) X = (a[Jbyr\(c{Jdy;
d) x=(a{Jb)'{J(c{Jdy;
е)дг = (К«'и*')П(с'1К)ШО'П/-
166
562. Работа Джорджа состоит в том, что он должен следить за деталями,
двигающимися мимо него по конвейеру; он должен снимать с ленты некоторые
детали и часть из них изымать, а остальные возвращать на ленту конвейера
для последующего использования. Джордж никогда не ошибается. Однажды
утром в понедельник старший по смене Гарри сказал Джорджу, что он в этот
день должен пропускать только те детали, которые не искривлены, не имеют
трещин и не имеют ржавчины.
Пусть х — множество деталей, пропущенных Джорджем в этот день;
х' — множество деталей, снятых в этот день с конвейера;
Ъ — множество искривленных деталей;
с — множество треснутых деталей;
d — множество заржавленных деталей.
Выразите значение х и х' через Ь, с, d [x =b' f\ с' f) d' и по теореме де
Моргана х' = Ъ (J с (J d]. Сформулируйте полученные результаты на
обычном языке.
563. Во вторник требования к деталям, сформулированные в
предыдущей задаче, понизились: Гарри сообщил Джорджу, что он не должен
пропускать треснутых деталей, а также тех, которые и искривлены и заржавлены.
Все остальные детали должны быть пропущены через конвейер. Выразите,
как и раньше, значения х и х' так, чтобы знак штрих не стоял после скобок.
Сформулируйте результаты словами.
564. В среду утром требования к деталям понизились еще больше:
Гарри сказал Джорджу, что в этот день нужно снимать с конвейера лишь детали,
обладающие всеми тремя дефектами (искривленные, треснутые и ржавые);
остальные детали нужно оставлять. Выразите сначала значение х\ а затем
значение х без штрихов, стоящих за скобками. Сформулируйте результат
словами.
565. В четверг утром Гарри приказал Джорджу оставлять все детали
красного цвета, обладающие не менее чем тремя дефектами (искривленные,
треснутые, ржавые), и оставлять детали других цветов, совсем не имеющие дефектов;
остальные детали нужно снимать с конвейера. Выразите х и х' без штрихов,
стоящих за скобками, если через г обозначить множество всех красных
деталей.
566. Примените теорему де Моргана (справа налево) к выражению
c'LM'; c'\]d' = {c[\d)'.
567. Примените (справа налево) теорему де Моргана к выражению
*'Л*ГКГК-
Мы видим, как, используя теорему де Моргана и закон двойного
отрицания, можно преобразовать любое выражение так, чтобы штрих
не стоял после скобок. Этот процесс часто приводит к другому
ценному результату: преобразуемая функция представляется в
такой форме, что никакие скобки не стоят внутри других скобок.
Например, выражение [(a'U b')r [\(c'\]d')'\\}e принимает вид:
(af)br\cnd)[Je.
К уничтожению скобок приводит иногда только одно
применение закона двойного отрицания, как, например, в случае [(a\j b)'Y =
= aUfe.
Лишние скобки уничтожает также применение ассоциативных
законов, так как в силу этих законов всякая строка букв, соединенных
только знаками П или только знаками U > может быть записана без
167
внутренних скобок. Например, выражение {(a[j b)[][(c[j d[je){j
U(/Ug)]}nA принимает вид: (a[j b[jc\Jd[Je\Jf[jg) f]h.
В некоторых случаях для уничтожения лишних скобок
оказывается полезным применение закона поглощения, так как в левой
части записи этого закона имеются скобки, а в правой нет. Так,
например, [a{J(af)b)]f)c принимает вид: а[\с.
Если некоторая функция представлена так, что в формуле, ее
выражающей, не содержится скобок, стоящих внутри других скобок,
штрихов, стоящих после скобки, и лишних скобок, то каждое
заключенное в скобки выражение называется термом, каждая
буква, не стоящая вообще внутри скобок, также называется термом.
Все выражение в целом называется строкой термов. Так,
например, функция af)(b\Jc) представляет собой строку из двух
термов.
Очевидно, что никакой терм не может содержать оба знака П и
U-' всякое выражение типа а П Ъ (J с попросту лишено смысла,
поскольку не ясно, означает ли оно (а(]Ь)[)с или а[)(Ь[}с),—
а это разные функции.
Упражнение.
568. Покажите с помощью диаграммы Венна, что (af]b)\Jc неравно
<*ГЦЬ[)с).
Для промежуточных преобразований часто бывает удобно
использование дистрибутивного закона. Рассмотрим, например,
булеву функцию (a U Ь) П {с U d)y представляющую собой
пересечение двух объединений. Пользуясь дистрибутивным законом,
представим это выражение в другой форме1.
(a[j Ь) [] (с [j d) = [(a[j b)f]c][j[(a[j b)f] d] =
= Iе Л (я U Ь)] (J [(d П [a U Щ = коммутативный закон;
J= [(с П a) U {с П Ь)] U [(d П a) U (d П Ь)] =
дистрибутивный закон;
== (с П я) U (с П Ь) U (^ П a) U (rf П 6)— ассоциативный закон;
.'.(a U 6) П (с U d) = (anc) U (а П Ф U (6 П с) U (6 П d).
В силу закона двойственности имеем также:
(а П b) U (с П rf) = (fl U с) n (a U d) П (6 U с) П (6 U d).
В общем случае легко видеть, что:
(а{ U a2 U ... U ая) П (*i U 62 U ... U Ьт) =
= (flin6i)U(flin&2) U...U {а, П &J U (а2ПЬ2) U («2 ПВД ...
... U fenUU- U (аяП &i) U (ая П Ь2) U ... U (ап П 6J.
1 Это аналогично раскрытию скобок в обычной алгебре в выражении
(а + Ь) . (с + d); там мы получаем: (а +6) (с + cf) = ас + ad + be + frd.
Однако если пользоваться этой аналогией, то нужно помнить, что если в
левой части некоторые буквы повторяются, то после раскрытия скобок нужно
вычеркнуть все появившиеся коэффициенты и показатели степени. Нужно
также отметить, что в обычной алгебре не имеет места формула, двойственная
к рассматриваемой, т. е. ab + cd Ф (а + с) (Ь + с) (b + d) (a + d)
168
Имеет место и двойственная к написанной формула; она
получается, если поменять местами все знаки U и П .
Заметим, что если мы преобразуем с помощью дистрибутивного
закона выражение, представляющее собой объединение
пересечений, то получим пересечение объединений, а если преобразуем
пересечение объединений, то получим объединение пересечений.
Упражнения.
569. Установите, является ли каждая из фигурирующих в упражнениях
570 и 571 строка термов объединением пересечений или пересечением
объединений. Установите затем, сколько термов содержит каждая строка.
570. Преобразуйте: a) (c\Jd)[)(e[]f);
b) (*Л')11(*1»;
c) (a{]b{]c)[j(d{]eyy
d) (a\Jb)(](c'\Jd\Jey9
e) (a{jb)f)(c{Jd)f)(e[Jf) (сначала преобразуйте первые два члена).
571. Преобразуйте F (а, Ь, с, d) = (aflb)\Jc[]d.
572. Во вторник, упомянутый в упражнении 563, Джордж решил
проверить, как справится с работой его помощник Том. Когда Гарри ушел,
Джордж приказал Тому: «Пропускайте деталь тогда, когда она удовлетворяет
одному из следующих двух условий:
(/) не треснута и не искривлена,
(И) не треснута и не заржавлена.
Проверьте, эквивалентна ли логически инструкция Джорджа Тому тем
инструкциям, которые до этого дал Джорджу Гарри.
573. Преобразуйте следующие выражения (в первую очередь
используйте теорему де Моргана): a) [(c\Jd)'[)(g{]hy]';
Ь) [(ЬПОГЖ)Т.
574. Каждую из следующих 8 функций представьте в виде строки термов.
Используйте при этом только сочетательный закон, законы поглощения и
двойного отрицания и теорему де Моргана. Вы можете проверить правильность
полученных ответов с помощью диаграмм Венна:
a) [en(*U/)IUtf
b) [(<*Л«)Л(/Л*)]ЛЛ;
c) [(сЛ«)и(*Л<0ШК*Л/)11(*ЛЛ)1:
d) {\{a\}b)\}c\\}d)\}(e\}f)\iS\
e) {ШЬ)и(с\}$Ш*\}ПШ&\}Ь)\)Г\Ь
f) {[(*и*)ТЛ('и<0}Л«;
g) {lcr№\Jb)\r\ld{)(d()e)])r\f;
h) (*ил)ЛК*11Л1М)Л*1-
575. В пятницу — на следующий день после первого испытания своего
молодого помощника — Джордж решил провести еще одно испытание.
Оставляя его около конвейера, он сказал ему: «Удаляйте деталь с конвейера ттог-
да, когда она удовлетворяет всем следующим условиям:
(0 искривлена и либо искривлена, либо заржавлена, или и то и другое;
(и) треснута и или треснута, или искривлена, или и то и другое;
(ш) заржавлена и или заржавлена, Или треснута, или и то и другое».
Выясните, являются ли эти инструкции логически эквивалентными тем
первоначальным инструкциям, которые Гарри давал Джорджу (упр. 563).
б2 Дж. Т. Калбертсон
169
Может случиться так, что даже использование всех законов, о
которых шла речь выше (сочетательного, поглощения, двойного
отрицания и теоремы де Моргана), не приведет к исключению в
преобразуемом выражении внутренних скобок. Это произойдет, например,
в случае преобразования функции [а П (b U с)] (J d. Во всех этих
случаях всегда можно использовать дистрибутивный закон. Мы
будем иметь:
[{а П (b U c)]\J d = [(а П Ъ) U {а П с)] U d =
= (а П &) U (а П с) U d.
Так, тем или иным способом мы можем представить любую
функцию в виде строки термов*. Сначала нужно использовать для этой
цели все те способы, о которых шла речь в предыдущем параграфе.
Если и после этого в выражении будут еще оставаться внутренние
скобки, то нужно применить дистрибутивный закон.
В зависимости от того, каким именно образом преобразовывалось
данное выражение, окончательный результат может быть получен
в различных формах. Для того чтобы это стало ясным, рассмотрим
другое преобразование написанного выше выражения [а (] (b (J с)] U d:
[(а П (Ь U с)] U d = d U [(а П (Ь U с)] =
= (d [J а) {) [d V (b [J c)]= (a [J d) () (b [J с [J d).
Полученный результат имеет совсем другой вид, чем тот,
который был получен выше, однако легко убедиться (хотя бы при
помощи диаграмм Венна) в их тождественности. Тождество обоих
результатов можно доказать с помощью дистрибутивного закона и закона
поглощенияг:
{aUd)pi{bUc\Jd) = (af)b){J (a[]c)\J(af]d) [j {df]b)[j{d(]c)[jd =
= {ar)b)\J{af}c)l)d.
Упражнения.
576. Каждую из следующих семи функций представьте в виде строки
термов. (Если вы не уверены в правильности полученного ответа, то проверьте
его с помощью диаграммы Венна.)
a) [aU(b(]a)](]d;
b) [(aUЬ)П(сUd)}fid;
c) [(a[)b)[)(e\Jd)]\Jd;
d) (вП*)Ш(си<0П(«иЛ1;
e) Ha[ib[ie)[)(d[}e)][i\nj(g(]h)n
1) №»Пб)'П(сП«0ТП«;
g){a'\J[b[](b()c)]y\J\(dr\e)\jn.
* Позднее будет показано, что каждая Функция может быгъ
представления в виде строки термов специального строения.
1 Отметим, что последние два терма в предыдущем выражении равны d
по закону поглощения.
170
577. Используя сначала закон противоречия, затем тождество а[]0 = а,
представьте функцию [aU(&n^')]f]c в виде' совсем не содержащем скобок.
578. Используя сначала закон исключенного третьего, а затем тождество
af)U — а, представьте функцию [а>0(Ъ\]Ь')\[)с в виде, совсем не
содержащем скобок.
579. Используя все способы, упомянутые в двух предыдущих
упражнениях, представьте функцию [(bf]&')lH Л [(eUOf]£l в виде' совсем не
содержащем скобок.
§ 10. Дальнейшее упрощение строи термов
Мы научились представлять булеву функцию в виде строки
термов. Постараемся теперь упростить и это выражение в том
смысле, чтобы наша строка термов была «не слишком длинной».
Другими словами, мы будем стремиться сократить число вхождений букв
в рассматриваемое выражение, если считать каждую букву
столько раз, сколько раз она фигурирует в формуле (не допуская при
этом по-прежнему ни появления скобок внутри других скобок,
ни штрихов, стоящих после скобок).
Для подобного упрощения выражений могут быть применены
законы поглощения и идемпотентности в комбинации с другими
основными тождествами.
Применяя законы поглощения, мы получаем следующие общие
выражения:
fln(flU6iUft2U...Uft„) = fl;
ci\J{a[]blf]b2n ... Г\Ья) = а.
Подобным же образом, применяя повторно законы
поглощения, мы получим:
вЛ(яи&1)П(аи&2)П ••• fl(flU&„)=a;
aU(an*i)U(an&2)U ... Uteris) = я-
Точно так же: (а П Ь) (J (а Г) b П с) = а П Ь. Таким образом, если
в какой-либо строке термов некоторое выражение фигурирует
как в виде отдельного терма, так и в виде части других термов,
то все эти другие термы могут быть вычеркнуты.
Приведем еще примеры возможных упрощений с помощью
закона поглощения:
a U (а П а') = а — по закону поглощения, поэтому a U 0 = а —
подстановка 0 вместо а[\а'.
Точно так же a U (Ь П Ь') = а — подстановка 0 вместо bf]b\
В силу двойственности получаем:
a d U = а
и
а П (Ь U Ь') = а.
Полученные формулы указывают на то, что в любом
выражении, представляющем собой объединение пересечений, мы можем
б2*
171
вычеркнуть все термы, равные 0, а в выражении, являющемся
пересечением объединений, — все термы, равные U. Так, например:
(а П Ь) U (с П О U (d П d') U (* П О = а П Ь;
(a U 6) П {с U с7) П (d U <*') П (* U О = a U *.
Очевидно, что если в выражение, представляющее собой
объединение, входит терм, равный U, то и все объединение также равно
U\ если в выражение, представляющее собой пересечение, входит
терм, равный 0, то и все пересечение также равно 0.
Упражнение.
580. Упростите выражения:
a) b\J(a(]b{]c);
b) Ь{\{а'\)Ь[}с){\й№\}е')\
d) (а[\Ь[\с)\}й\}{а[)Ь[)с[\м№\
e) (af)a')\Jb\J{c()c')\Jd;
/) (a\Ja')\Jb[J(c()c')\Jd;
8) (a[Ja')f)(b{Jc{Jd);
h) a[\b[\b'[\{c\}d'\}e).
Используя дистрибутивный закон справа налево, мы также
получаем полезные упрощения:
(а [) b) [J (a ()c) =a ft (b [J с);
(a[j b) [] (a{j с) =a[j (b (] с).
Полученные тождества показывают, что если одна и та же
буква встречается во многих различных термах выражения функции в
виде строки термов, то мы можем «вынести ее за скобки» так,
чтобы она входила в это выражение только один раз (совершенно
аналогично тому, как выносится за скобки общий множитель
в обычной алгебре). Так, например,
(аП6)U (аПс)U (afld)U (аПО = аП(6U cU dUО-
Снова используя справа налево дистрибутивный закон, мы
получаем, что
(an&)U(an*') = an(&Un
а отсюда
(a()b){J(ar)b') = a.
Двойственное этому тождество имеет вид:
(aUft)n(all&') = *-
Эти тождества представляют собой упрощение функций,
выражения которых первоначально содержали 4 вхождения букв, а
после упрощения стали содержать одно вхождение.
Следовательно, если два каких-либо терма совпадают всеми
своими буквами, кроме одной, которая входит в первый терм без штриха,
172
а во второй со штрихом, то мы можем заменить оба эти терма одним
представляющим собой общую часть двух рассматриваемых
термов. Так, например, в упражнении 582 сможем заменить первые два
терма одним (a (J b).
Полезно подвести итог рассмотренным упрощениям.
1. Если некоторое выражение входит во всю строку термов как
в виде отдельного терма, так и в виде части каких-либо других
термов, то все эти другие термы можно отбросить.
2. Во всяком объединении термов можно отбросить все термы,
представляющие собой пустое множество.
3. Во всяком пересечении термов можно отбросить все термы,
совпадающие с универсальным множеством.
4. Если некоторое объединение термов содержит хотя бы один
терм, совпадающий с универсальным множеством, то и все
объединение равно универсальному множеству.
5. Если некоторое пересечение термов содержит хотя бы один
терм, представляющий собой пустое множество, то и все
пересечение равно пустому множеству.
6. Можно вынести за скобку любое выражение, общее для двух
или нескольких термов.
7. Если два терма совпадают всеми своими буквами, кроме одной,
которая входит в первый терм без штриха а во второй со штрихом,
то мы можем заменить оба терма одним, представляющим собой
общую часть двух рассматриваемых термов.
Теперь необходимо приобрести некоторый навык в упрощении
функций. Для этого предлагаются приведенные ниже упражнения.
Упражнения.
В каждой из задач ясно различайте отдельные этапы упрощения:
проверьте, если желаете, ваши ответы с помощью диаграмм Венна.
581. Упростите функцию af)(af)b')(}b' так, чтобы полученное
выражение содержало только 2 вхождения букв.
582. Упростите (a\Jb\Jc')D(aU^Uc)П^ так» чтобы оставшееся
выражение содержало только 3 вхождения букв.
583. Упростите l(a\Jb)'[)c]r\[(d\Je)'r\(a\Jb\Jc)'Y()dr\d'.
584. Упростите (а{]Ь[]с)[}(а[]с{] Ь)[]Ь.
585. Упростите a[}{b[\c'y{](a'[)bf\c'Y так, чтобы оставшееся
выражение содержало только 3 вхождения букв.
586. Упростите выражения a{J(b()c')(J(a' () bflc)' так, чтобы оставшееся
выражение не содержало совсем вхождений букв.
587. Упростите (a(]cfy\J\bf\(af\Jc)] так, чтобы оставшееся выражение
содержало только 4 вхождения букв.
588. Упростите КаГ)а')[)(Ь()Ь')Щс()о')]'и(с()с').
589. Упростите (af]b){J(a[]c)[j(b[]c), если это возможно.
590. Упростите: a) [a{](b'[}c)\\J(a'()b'()c'y,
c) а()(аГ\ЬУ f)b;
d) a\J(a\Jb)'\Jb;
7 Дж. Т. Калбертсон
173
е) a{j(af]bY[jb;
I) {a[]b[}c[jd)[\{a[}bf[}c[}d){]d.
591. В пятницу утром Гарри сказал Джорджу, чтобы он снимал с
конвейера все детали (упр. 565), которые удовлетворяют одновременно всем
следующим условиям:
(О обладают по крайней мере одной из следующих характеристик:
искривленные, заржавленные или красные;
(и) или треснуты, или заржавлены, или и то и другое вместе;
(ш) или искривлены, или не заржавлены, или и то и другое вместе;
(iv) или треснуты, или не заржавлены, или и то и другое вместе;
(v) обладают по крайней мере одной из следующих характеристик:
искривлены, заржавлены или не красные.
Джордж рассмотрел предложенную ему в столь неудобной форме
инструкцию. Так как его помощник отказался по ней работать, то он упростил эту
инструкцию так, что в полученной вновь инструкции осталось только два
терма и две характеристики объектов. Как он это сделал?
Заметим теперь, что использование закона идемпотентности,
согласно которому один и тот же терм можно повторять многократно
(как в объединении, так и в пересечении), может также привести в
конечном счете к упрощению выражения, хотя временно придется
пойти на удлинение выражения. Допустим, что мы хотим упростить
функцию:
x = (aUb)n(a'{Jb)f)(a'\Jb').
Мы можем написать:
х = {а[)Ь)П{а'[}Ь)П(а'[)Ь)()(а'1}Ь'),
повторив терм (a'[Jb).
г .х = b(\a' в результате комбинирования внутри первой и второй
пары полученных термов.
В этом случае метод повторения термов оказывается не
намного короче указанного выше приема:
х = b П {a' U Ь')\
* = (&Па')ЩбП*0;
.-. х = Ь(]а\
Однако во многих других случаях повторение термов
значительно сокращает процесс упрощения.
Упражнения.
592. Пусть ^^(а'п&П^иКП^П^и^Л^и^Лб^иКП^ПОи^
Найдите более простое выражение для х'.
Решение.
X = a{J(a'f)b(]c)\J(aT\b'()c){J(a'()b'r\c)lJ(a'()b'()c'){Jd =
= a{J[(a'f)c)\J(a'()b')]\Jd = a{J{a'()(c\Jb')\(Jd =
= (a[Ja')f)\a[J(c\Jb')){Jd = a\Jb'Uc{Jd.
.•.x=a'[)b()c'r\d'.
593. Упростите (а'Л*')Л(а'Л &)Л (аЛ *') Двумя различными способами.
174
594. Пусть
х = (а[]Ь)[](а(]Ь1[](а'ПЬ){](Ь(]с)[ЛЬС]П[](У(]с').
Покажите, что х = a'f)b'f)c.
595. Найдите более простое выражение для х'> зная, что
^ = (а'П^ПОи(АПЬ)и(АПЬ')иКПЬПс)и(А'ПЬПОи(^Пв')-
596. Упростите {а' \]Ъ') [\{а'\]Ь)[\ (af) b') Г\(а[)Ь).
597. Упростлте {ar)b')lj(a(}br)c'){j(a{}bftc{}d)l}{a[)bftc[)d') так,
чтобы в полученном выражении осталось только одно вхождение букв.
Иногда для того чтобы достигнуть упрощения, полезно вводить
в рассматриваемое выражение новые буквы. Тождества
а = а П и = а П (х U *') = {а П х) U {а П х')
показывают, каким образом произвольный класс х может быть
введен в любой терм в некотором объединении термов. Точно так
же тождества
a = a{J 0 =aU(*n*') = (aU*)n(aU*')
показывают, как х может быть введен в некоторое пересечение
термов. Для иллюстрации этого допустим, что мы хотим ввести
х во второй терм выражения функции a{J b[J{cf)d). Получим:
aU&U(cnd) = aUf&nUU^)]U(cnd) =
= a[j(bf]x)[j(bf]xr)[j(cf]d).
Допустим теперь, что мы хотим ввести а во второй терм
выражения функции a\Jb{J(cf)d). Получим:
a{Jb{J(cnd) = a{Jlbr)(a{Ja')]{J(c{)d)=a{J(af)b){J
\J(a'f)b){J(cr)d).
Следующее упражнение показывает, как этот прием может быть
применен для упрощения алгебраических выражений.
Упражнение.
598. Упростите:
a) х^(а(]У)[](а'{]Ь(]с)[}(аГ\с).
Решение: х = (a(]b'){J(a'f)b(]c) иК«П')П(*П*')1 = (аГ\Ь')[)(Ы\с);
b) х=[с'[\й')[)(сГ[йПе)\}(с'[\е)\
c) x = {g(]h')[)(gnm'){}{g'()h()m').
§ 11. Упрощение суждений о множествах
Как видели в § 5, включение множеств может быть
представлено в виде тождества, правая часть которого равна пустому
множеству. Так, отношение aczb может быть записано в виде тождества
af}b' = 0. Заметим, что если вместо а и b подставлять в
тождества § 5 другие, более сложные выражения, то справедливость
тождеств сохранится. Так, например, мы можем получить следу-
7*
175
ющие примеры эквивалентностеи отношения включения множеств
и алгебраических тождеств:
g П rc=/i ттогда, когда g П / П h' = 0
feeze f)d ттогда, когда b{\(c'\] d') = 0
a (J feeze ттогда, когда (a (J fe) П с' = 0
ccdlje' ттогда, когда сП^'Пе = 0
Подобно этому запись а = b есть просто краткое выражение
того факта, что aab и fecza. Так, например, g = h[jm ттогда,
когда гПА,П/я/ = 0 и (h\Jm)f]g'=0.-
Пусть Fu F2,..., ^л — некоторые я функций классов. При
этом Fx = 0, F2 = 0, ... ,/7я= 0 ттогда, когда /MI^U ... U
l)Fn = 0. Другими словами, каждая из булевых функций в
отдельности равна 0 ттогда, когда объединение всех этих функций
равно 7). Например, если дано, что а[\Ъ = 0, (cfl ^f) Ue = 0 и
еП^П/= 0, то мы можем написать: (аГ) fe) (J (cfl^) U^U (^П^П
ПО = 0; обратно, если (af) fe) U (с fid) U^U (c[\d(\f) = 0, то
йПб=--0(^П^)и^0и ^n^n/=0.
Таким образом, мы получили способ выражения ряда
утверждений, относящихся к множествам, с помощью одного тождества.
Как будет показано ниже, это обстоятельство может быть
использовано при упрощении алгебраических выражений.
Упражнения.
599. Выразите следующие суждения с помощью тождеств, связывающих
множества:
a) aab{Jc и dcze (первое включение может быть записано как
тождество aD(b(Jс)' = 0,а второе — как df]e'= 0. Следовательно, все выражение
может быть записано в виде: (af)br f)c'){J(df}e') = 0.
b) fczg; gf)b-f; bf)f=0;
c) a[]bczc\ baa'[J с.
600. Было несколько кусков разных полосатых тканей; полосы были
распределены следующим образом:
(I) На каждом куске, на котором были зеленые и белые полосы, были
также еще и черные и желтые.
(и) На каждом куске, на котором были красные и фиолетовые полосы,
были также еще голубые и желтые.
Обозначьте каждый из встречающихся здесь цветов одной буквой и
выразите указанные выше условия с помощью тождества.
601. Выразите следующие утверждения с помощью тождества,
связывающего два множества: а — b и с cz d.
602. Анализ свойств некоторого класса веществ привел к следующим
результатам:
(0 Если имеют место свойства А и В, то имеет место также и свойство С
или свойство D, но не оба они вместе.
(и) Если имеют место оба свойства В и С, то или имеют место оба свойства
А и D, или оба они отсутствуют.
(ill) Если свойства А и В оба отсутствуют, то также отсутствуют и
свойства С и D, и обратно.
176
Обозначим через а наличие свойства Л, через Ъ — наличие свойства В
и т. п. Выразите результаты исследований с помощью тождества алгебры
множеств.
Как видели (например, упр. 592), часто бывает так, что данные
задачи, подлежащей решению, могут быть записаны в виде
нескольких равенств, связывающих множества, и нам желательно
представить эти данные в наиболее простой форме. Наше желание может
быть выполнено, если использовать описанный метод.
Как это делается, иллюстрируется упражнением 603, условие
которого заимствовано из Символической логики Джона Венна.
Упражнения.
603. В некотором клубе существуют следующие правила для членов:
(0 Финансовый комитет избирается из членов организационного комитета.
(И) Никто не может быть одновременно членом и организационного и
библиотечного комитетов, за исключением того случая, когда он является
членом финансового комитета.
(ш) Никакой член библиотечного комитета не может быть членом
финансового комитета.
Упростим эти правила. Обозначим через / — множество членов
финансового комитета; / —множество членов библиотечного комитета;
g—множество членов организационного комитета. Тогда наши правила примут вид:
(OfOe' = 25» что эквивалентно отношению fczg\
(") (gflOn/' = 0» что эквивалентно gf\lczf',
(ш)/П/ = 0.
Мы получаем:
<m*/)U(//n*n')U(/n') = 0;
(т*Ж/'П*ПОШ(/ПОП(*1Ю1 = 0;
(/n^)U(/'n^n/)U(/n^n/)U(/n^nO = z;
(/П*'Ш(*ПО=0;
.-. ff)g'=-.0 и g(]l=&.
Таким образом, упрощенные правила приняли вид:
(i) Финансовый комитет избирается из членов организационного комитета.
- (И) Никакой член организационного комитета не может быть членом
библиотечного комитета.
604. Проиллюстрируйте решение упражнения 603 на диаграмме Венна.
605. Клуб «Дельта» имеет следующие правила:
(i) Никакой член клуба «Дельта» не может быть одновременно членом
инициативного и основного комитетов, если только он не является членом
комитета внешних связей.
(И) Никакой член комитета внешних связей не может быть членом
инициативного комитета.
(ш) Никакой член основного комитета не может входить в
инициативный комитет.
(iv) Никакой член инициативного комитета не может входить ни в
основной комитет, ни в комитет внешних связей.
(и) Никакой член комитета внешних связей не может входить ни в
инициативный, ни в основной комитеты.
(ш) Каждый член клуба «Дельта» должен быть членом по крайней мере
одного из трех комитетов.
Перечисленные правила приведены в форме, значительно более сложной,
чем это необходимо. Упростите их и замените все их двумя простыми правилами.
177
606. Проиллюстрируйте решение упражнения 605 на диаграмме Венна.
607. При анализе свойств некоторых явлений (например, разных видов
происшествий, или разных законоположений, или различных названий книг
и т. п.) выяснилось, что все эти явления можно охарактеризовать с помощью
следующих отношений между тремя множествами a, b и с объектов, к
которым относятся рассматриваемые явления:
(0 а {] bczc; (ii) aCZ b (J c\ (Hi) bdar (J c.
Используя аппарат булевой алгебры, покажите, как можно заменить эти
три утверждения единственным утверждением, им эквивалентным и
содержащим только две из трех букв a, b и с. Проверьте ваш результат с помощью
диаграммы Эйлера или Венна.
608. После анализа химических свойств некоторого класса веществ
экспериментатор обнаруживает следующие закономерности:
(/) Если вещество обладает и свойством А, и свойством В, то оно обладает
также и свойством С.
(И) Если имеют место свойства В и D, то имеет место также или свойство
А, или свойство С.
(ш) Если вещество обладает свойством В, но не обладает свойством А,
то оно обладает также или свойством С, или свойством D.
(iv) Если свойство В имеет место, а свойство С отсутствует, то свойство А
также отсутствует.
Покажите алгебраически, как можно упростить эту информацию.
Обозначьте через а наличие свойства А, через b — наличие свойства В и т. д.
Обзорные задачи
609. Разложите (a\Jb[jc)f](d[je[jf).
610. Упростите 1(а'[)Ь')()с']'[)с'.
611. Преобразуйте выражение (a\Jb) f}(a(Jc)f)(a(Jd)f)(a\Je') так, чтобы
буква а входила в него только один раз.
612. Упростите:
*) [(/ПеЛяГГЖПгГПОПЛ:
ь) [(mnO'nten*TU(*'U*U*)'U';
d) [u[\(v\}u')\[)k[)v\
e) [е'Л(е'Л/)'П(/П£)'Ш/и£;
/) (/'Л£)и(ГЛ£')и(/Л£')-
613. Представьте выражение (a(Jb)f)(a[Jb'[)с') в виде объединения
термов.
614. Представьте выражение (^П^)и(тП^) как пересечение двух термов.
615. Представьте выражение (c[jd)f](d{Je)f]f как объединение двух
термов.
616. Упростите следующую систему утверждений: b'cza', a'ab'[}c'
и аас''.
617. Покажите алгебраически, что каждая функция множеств в первом
столбце нижеследующей таблицы 4 (стр. 182) равна соответствующей функции
последнего столбца.
§ 12. Ловушни
При упрощении булевых функций иногда есть опасность «попасть
в ловушку». Ловушка возникает тогда, когда некоторое
выражение упрощается, но не до простейшего возможного его вида; даль-
178
нейшее упрощение при этом оказывается возможным только путем
возвращения назад и выбора другого пути.
Приведем следующий пример. Будем упрощать выражение
(а П V) U (а' Г) Ь) U (а' П с) U (а П О U (6 П О U (&' П с),
вводя букву а в последние два терма. Тогда, производя поглощение,
мы приведем наше выражение к виду:
(a n b') U (а' n 6') U (а7 П с) U (а П *')•
Мы попали в ловушку, так как полученное выражение не является
простейшей формой для выражения данной функции. Для ее
получения необходимо вернуться назад, к начальному выражению, и,
например, ввести буквы с, b и а соответственно во второй, четвертый
и последний термы. Используя закон поглощения, мы получим:
(а п Ь') U (С П Ь) U (а' П с).
Упражнения.
618. Проведите последовательно все шаги, приводящие к указанной выше
ловушке.
619. Проведите все шаги, исключающие эту ловушку.
620. Проверьте окончательный результат с помощью диаграммы Венна.
§ 13. Совершенная нормальная форма булевой функции
Мы рассмотрели разнообразные способы приведения булевых
функций к строке термов. При этом обнаружилось, что одну и ту
же функцию можно представить в виде различных строк термов.
Здесь мы расскажем о способе представления любых булевых
функций однозначно определенной строкой термов
особого строения.
Каждая отдельная буква без знака штрих, служащая для
обозначения какого-либо множества, называется независимой
переменной. В дальнейшем, говоря «переменная», мы будем
подразумевать «независимая переменная». Если S — множество
переменных, то всякое выражение, содержащее только знаки ГЬ
штрих и переменные, взятые каждое по одному и только по одному
разу (их можно расположить в алфавитном порядке), называется
совершенной формой для множества 5*. Так,
например, а П Ьг П С П d является совершенной формой для
переменных a, ft, с и d и не является совершенной формой ни для какой
другой совокупности переменных. Другой совершенной формой для
этих же переменных является форма а! П Ь' П с П d. Можно
записать еще 14 других совершенных форм, так как каждая входящая
в форму буква может быть или «заштрихована», или нет.
Пусть S — некоторое множество из п переменных и пусть рас-
* Из определения видно, что совершенная форма является термом.
179
сматриваются все возможные совершенные формы для S. Тогда
имеет место следующая теорема.
Теорема la. Существует 2п различных совершенных форм.
Это следует из Основного Принципа теории расстановок (стр.27),
так как в каждой совершенной форме первая переменная из 5
входит либо со штрихом, либо без него; вторая — также либо со
штрихом, либо без него и т. д. для всех п переменных.
Мы условимся располагать совершенные формы для 5 в
нормальном порядке т0, mif...9 ml9...t т2П-и где индекс определяется
следующим образом. В каждой из рассматриваемых совершенных
форм заменим каждую входящую букву (они расположены в
алфавитном порядке) цифрой 0 или цифрой 1 в соответствии с тем, стоит ли
после этой буквы штрих или нет. В результате получим некоторое
п-значное двоичное число. Положим / равным десятичному
эквиваленту этого двоичного числа. Так, например, а П Ь' П с' П d=mQ>
так как 10012 == 9.
Упражнения.
621. Какой номер имеет совершенная форма af)bf)c'?
622. Какой номер имеет совершенная форма а(]с(]У?
623. Какой номер имеет совершенная форма af]b f]cf]dr f]e?
624. Какой совершенной форме от переменных а, Ь, с, d отвечает номер
I = 8?
625. Какой совершенной форме от переменных а, Ь, с> d отвечает номер
i = 12?
626. Какой совершенной форме от переменных а, Ь, с, d, e отвечает
номер / = 16?
627. Какова первая совершенная форма от переменных а, Ь, с, d, e?
628. Какова последняя совершенная форма от переменных а, Ь, с, dy e?
629. Выпишите все совершенные формы от двух переменных а и b в
нормальном порядке.
630. Каковы совершенные формы для одного переменного а?
631. Каковы совершенные формы от переменных а, Ь, с? Выпишите их
на отдельных строках в нормальном порядке.
Мы видели раньше, что диаграмма Венна для п переменных
разбивает все универсальное множество на 2п взаимно
непересекающихся областей. Каждая из этих 2п «наименьших» областей
соответствует некоторой совершенной форме. Четыре возможные
совершенные формы от двух переменных а и Ь указаны на рисунке 43
(стр. 146).
Теперь установим следующее важное положение: Всякая булева
функция F (S)* может быть представлена, и притом единственным
образом, в виде объединения совершенных форм системы S — (S —
множество тех переменных, от которых зависит F). В этом
можно легко убедиться, рассмотрев диаграмму Венна. Если начертить
диаграмму Венна от соответствующего данной функции числа
переменных и заштриховать область, представляющую множество
* Другими словами, функция, получаемая из множеств системы S
допустимыми операциями алгебры множеств.
180
F (S), то F(S) можно будет представить как объединение
совершенных форм, оказавшихся заштрихованными (удобно записать это
объединение в нормальном порядке). Полученное выражение
называется совершенной нормальной формой
функции F.
Мы будем говорить, что функция F(S) представлена в
совершенной нормальной форме, если она выражена в виде объединения
совершенных форм из S, взятых в нормальном порядке1. Укажем
сначала несколько примеров приведения функции F к совершенной
нормальной форме с помощью метода диаграмм Венна; затем мы
покажем, как решить эту же задачу алгебраическими методами.
Рассмотрим множество F(a, b) = a U b. Для того чтобы
представить F в совершенной нормальной форме, заштрихуем область,
соответствующую объединению a [j b так, как это сделано на
рисунке 47, и выпишем все совершенные формы, оказавшиеся
заштрихованными (также рис. 44, а) в нормальном порядке. Получим:
a U Ъ = (а' П Ь) U (а П V ) U (а П Ъ) .
Читатель, вероятно, сможет провести это преобразование чисто
алгебраически, без использования диаграммы, однако интересно, что
это же может быть сделано только с помощью диаграммы. Отметим,
что этот метод является практически неудобным: его применение
имеет смысл лишь для достаточно малых S.
Упражнения.
632. Приведите F (a, b,c) = a[jb\jc к совершенной нормальной
форме с помощью диаграммы Венна. (Начертите диаграмму большого размера,
для того чтобы можно было вписать внутри области соответствующие
совершенные формы.)
633. Приведите a\J(bf]c) к совершенной нормальной форме с помощью
диаграммы Венна.
634. Приведите (a{Jb)f)(b\Jc) к совершенной нормальной форме с
помощью диаграммы Венна.
635. Приведите (c[jd)f](d\Je)f](ef]c) к совершенной нормальной форме,
используя только диаграмму Венна.
636. Приведите (a{Jb)[)(a\Jb'\Jc') к совершенной нормальной форме,
используя только диаграмму Венна.
637. Приведите {a[)b)r к совершенной нормальной форме.
638. Приведите F(a, b) = aflbf)a' к совершенной нормальной форме.
(Ответ: F = 0.)
Очевидно, что для множества 5, содержащего п переменных,
справедливы и следующие теоремы:
Теорема 2а. Объединение всех совершенных форм равно U.
Т е о р е м а За. Пересечение двух любых различных совершенных
форм равно пустому множеству.
1 Мы будем считать пустое множество 0 членом всякой совершенной
нормальной формы, однако в записи он будет всегда опускаться, за
исключением того случая, когда, кроме этого члена, других членов не имеется
(функция выражает пустое множество).
181
Теорема 4а. Общее число различных булевых функций от п
переменных равно 22П.
Докажем это. Одна и та же булева функция может быть
выражена бесчисленным количеством различных способов. Например,
а{] Ъ = (а' п V) = [(а' П Ь') П Ь'\ = a (J a U Ь =
= a U a U aU&
и т. д.
Но мы покажем сейчас, что существует ровно 22" р а з л и ч н ы х
булевых функций от п переменных.
Как мы уже видели,, всякая функция от 5 может быть
единственным образом представлена в виде своей совершенной нормальной
формы, которая является объединением некоторого сочетания
совершенных форм. С другой стороны, всякое объединение
совершенных форм является булевой функцией множеств. Так как существует
всего 2п различных совершенных форм, то общее число сочетаний,
которое может быть получено в результате, равно 22л ;
следовательно, всего существует 22п различных функций от п переменных*.
В таблице 4 выписано 16 функций множеств, которые могут быть
образованы от двух переменных а и 6. Читатель может убедиться в том,
что все 16 выписанных множеств различны между собой.
Если рассматривать диаграмму Венна otS, to точно так же ясно,
что существует 22л способов изображения множеств при помощи
штриховки различных областей (если включить в рассмотрение и
тот случай, когда ни одна область не заштрихована).
Таблица 4
16 различных булевых функций от множеств а и b
Во 2-й совершенной
нормальной форме
F в произвольно
выбранной форме
В 1-й совершен-1
ной нормальной
форме |
0
Щ
щ[}тх
Щ
т\[]т2
^olMUm3
т2[}т3
ml\jm2\jm3
М^М,{]М3
MoflMi
Мо()МММ3
М0ф2
М0ПМ3
Мг(]М3
М2(]М3
. м2
и
В простейшей
форме
0 !
а'[\Ь'
"'ЛЬ
а' |
Ь'
\(а' U Ь )П (a U Ь)\
а\)Ь
(a'[jb)f](b'Ua)l
b
a'{Jb
а
а[}Ь'
а[\Ь !
af]bf]a'
(а{]Ьу[)Ь'
bf]a'(}(a(jb)
(a\Jb)'\Ja'
(b\ja'[}b)'
\(a\jb)(](a'[jb)r
(a'[jb')(](a[jbljb)
(af)b'){Ja'
af](a'\Jb')'
u[)(a'(Jb)f}(b'l}a)
[bf}(a'(Jb)ll)(a[)b)
ЬШа'ПЬ')
Uanb')\J(bf\ar\a)\Ja\
(a[jb)\Ja
a\jb[j(af]b)
b'tfa'Ub
:p. § 6
и.
J 82
Для того чтобы представить любую функцию F (S) в совершенной
нормальной форме с помощью алгебраических преобразований, мы
можем поступить следующим образом. Сначала выразим F как
объединение каких-либо термов. Если какая-либо переменная х из Sue
входит в какой-либо терм, то нужно взять вместо этого терма его
пересечение с множеством (х U х'). Продолжим этот процесс до тех
пор, пока каждая переменная не будет присутствовать в каждом
терме. Затем нужно записать все термы и все переменные в
нормальном порядке.
Приведем, например, функцию F(a, Ь, с) = [а' П (b U с)]'
к совершенной нормальной форме:
F = a{J(b{Jc)' = ani(bUb')n(cl}c')UKb'nC)ri(a{Ja') = [afl
/.=/7(а,П&,Пс0и(аПб,ПОи(аП&,Пс)и(АПбПс/)и(аП&Пс).
Упражнение.
639. Каждую из следующих функций приведите к совершенной
нормальной форме алгебраическим путем:
a) F=[a'[)(b()c)Y, e)F = a\Jb[}c.
Вместо этого алгебраического метода может быть предложен
другой простой метод. Рассмотрим для примера функцию F =
= a U (Ь П с). Для представления ее в совершенной нормальной
форме заметим, что терм а равен объединению всех тех совершенных
форм, в которые входит переменная а (без штриха), т. е.
а = {ап V ПО U (а[\ V [\с) (J (аП b ПО U (аП Ь [\с].
Точно так же Ь[\с равно объединению всех тех совершенных
форм, в которые входит Ъ П с, т. е. Ъ П с = (а' П Ь П с) U {а П Ь П с).
Таким образом, объединяя эти два выражения, мы получим
совершенную нормальную форму для функции F.
Теорема 5а. Всякое пересечение нескольких переменных из
S (каждое из них может быть со штрихом или без штриха)
равно объединению всех тех совершенных форм, в которые входит это
пересечение.
Пусть, например, S = (а, Ь, с, d). Тогда, как нетрудно видеть,
а^Ь =(а(\Ь[\с'[\<1')\)(а[\ бПс'П^и
\){a[\bVic[\d')\}(a[\b[\cnd).
Упражнения.
640. Приведите функцию F — (а[}Ь){}с указанным путем к совершенной
нормальной форме.
641. Решите упражнения 622 и 625 путем дополнения каждого терма,
как это указано выше.
Мы видели выше, как в любое выражение можно ввести новое
переменное, не меняя той функции множеств, которую
представляет это выражение. Используя это обстоятельство, мы можем за-
183
писать совершенные нормальные формы от различного числа
переменных, представляющие универсальное множество U.
Совершенные формы для выражения множества U:
U = а'\]а — от 1-го переменного а;
£/ = (a'Ua)n(&'U&) = (а' П Ь') U (а7 П Ь) U (а П Ь') \) (а П Ь)-
от двух переменных а и Ь;
tf"=(a'Ua)n(&'U&)n(c'Uc) = (а'П&'ПОи(а'П&'П*)и ...-
от трех переменных: а, 6, с, и т. д.
Таким способом, используя описанный выше метод и помня о
последовательности расположения первых 2" двоичных чисел,
можно записать совершенную нормальную форму для универсального
множества при любом заданном числе п переменных.
Из теорем 2 и 3 вытекает:
Т е о р е м а 6а. Какова бы ни была функция F, ее дополнение Fr
может быть получено как объединение тех и только тех
совершенных форм, которые не входят в совершенную форму представления F.
Если требуется решить какую-либо задачу, то представление ее
данных в совершенной форме часто приводит к кратчайшему пути
ее решения. Но и в тех случаях, когда это бывает не так, все же
этот способ имеет ряд преимуществ перед другими, так как
приведение функции к нормальной форме представляет собой строго
определенный процесс.
Проиллюстрируем это на примере решения упражнения 572.
Из двух данных в задаче условий получаем:
х = (cf П b') U (с'П П = (рассматривая каждый член)
= (&'П *'П Г) U (Ь' П СП /) U (Ь п С П/') =
= т0 U rrii U nii.
Затем запишем условия упражнения 562:
*'=С1) (Ь П f) = (&' П с(] Л U (6'П сП /) U...
х' = т2 U Щ U тъ U /ne U /я7;
.'. х = т0 U /их U /я4-
Итак, мы убедились в том, что две системы инструкций логически
эквивалентны.
Упражнения.
642. Клуб «Гамма» имеет следующие правила:
(/) каждый член инициативного комитета должен состоять также в
основном комитете.
(п) Каждый член инициативного комитета должен состоять или в
инициативном комитете, или в комитете по организации досуга членов клуба.
(ш) Каждый член обоих комитетов — инициативного и по организации
досуга — должен состоять также и в основном комитете.
(iv) Каждый член основного комитета должен состоять или в
инициативном комитете, или в комитете по организации досуга.
Упростите, насколько это возможно, предложенные условия, выполняя
все преобразования алгебраическим путем.
184
Решение. Пусть a, bug — соответственно инициативный комитет,
комитет по организации досуга и основной комитет. Тогда данные правила
запишутся следующим образом:
(О aag\ ar\g' = 0\ (al)bf)g')l)(ar\b'(]gy = 0;
(ii) acza[]b\ а(](а[)Ь)' = 0; 0 = 0;
(ill) aftbczg; a()b()g' = 0; a(]b(]g' = 0;
(iV) gcza{}b\ g(](a{Jby = 0; а'П&'Г)£=0-
В третьем столбце каждое правило выражено в совершенной форме.
Объединяя эти совершенные формы и упрощая, получим:
(а Г)Ь'()g){J(a(]b'[)g')l}(*nb(]g')U 0 = 0;
(e'nb'ng)U(a|V) = 0-
Отсюда вытекают два новых правила:
1) acig и 2) gca(J^
которые легко могут быть сформулированы словами.
643. Клуб «Бета» имеет следующие правила:
(t). Каждый член инициативного комитета должен состоять и в основном
комитете, и в комитете по организации досуга.
(и) Каждый член комитета по организации досуга должен быть членом
либо основного, либо инициативного комитета.
(ш) Каждый член обоих комитетов — по организации досуга и
инициативного — должен состоять также в основном комитете.
Упростите эти три правила и сведите их к двум, каждое из которых
содержит только два вхождения букв. Проведите преобразование чисто
алгебраическим путем.
644. Клуб «Каппа» имеет следующие правила:
(i) Каждый член основного комитета должен состоять также в комитете
по организации досуга.
(И) Каждый член основного комитета или комитета по организации
досуга должен состоять в инициативном комитете.
(Ш) Каждый член комитета по организации досуга должен состоять в
инициативном комитете.
(iv) Каждый член основного комитета должен состоять в инициативном
комитете.
(и) Ни один из членов домового комитета не может состоять в
инициативном комитете.
(vi) Ни один член из комитета по организации досуга не может состоять
в домовом комитете.
Упростите эти правила, проведя все преобразования чисто алгебраически.
645. Пять младших секретарей в некотором учреждении должны
записывать служащих своего учреждения согласно следующим инструкциям:
(i) Мисс Уайт должна записать всех женатых и застрахованных мужчин.
(И) Мисс Грей должна записать всех неженатых мужчин старше
тридцати лет.
(ш) Мисс Блэк должна записать всех незастрахованных мужчин старше
тридцати лет.
(iv) Мисс Оранж должна записать всех незастрахованных мужчин не
старше тридцати лет.
(у)Мисс Вайолет должна записать всех застрахованных неженатых мужчин.
Старший секретарь мисс Пинки Булева собирает для обработки на
вычислительной машине веете карточки, на которых записаны все женатые мужчины,
все застрахованные мужчины, а также те, на которых записаны все мужчины
старше тридцати лет. Какие категории служащих из числа тех, которых
записывали младшие секретари, не попали в карточки, подлежащие обработке?
Решение. Пусть W — лица, записанные мисс Уайт, G — лица,
записанные хМисс Грей, В — мисс Блэк, О — мисс Оранж и V— лица,
записанные мисс Вайолет; пусть Р — те лица, которых отобрала мисс Пинки. Мы хо-
185
тим сравнить класс \V\jG\jB\JO\JV с классом Р. Обозначим через
tnt i и t классы женатых, застрахованных мужчин и мужчин старше тридцати
лет.
Тогда
w{JG[)BU0lJV=(m()i)lJ(m'f)t)lJ(mf)i>nt)lJ
[)№ (]*')[)№№ =
^(тп^лоииптоии'П'Поикл^лои
и(^П*'П0и(^П^ЛОиКЛ'Л^) =
= (m'()i'(\t')'=m\Ji\Jt = P.
646. На следующий день мисс Уайт переписала всех застрахованных
женатых мужчин, а также всех неженатых инженеров старше тридцати лет.
Мисс Грей записала всех незастрахованных женатых инженеров, а также
всех застрахованных мужчин старше тридцати лет. Мисс Блэк — всех
женатых мужчин старше тридцати лет, а также всех незастрахованных мужчин не
старше тридцати лет. Какие люди оказались занесенными в эти списки?
647. Пусть F = af]b, G = b(]c, И = а[\с nl = a{)b'f)c. Определите
F[jG\JH\Jl как объединение совершенных форм и затем упростите
результат. Выразите окончательный результат так, чтобы в нем не содержался
знак штрих.
648. По данным предыдущего упражнения упростите (F[)G[)H)\JI так,
чтобы в полученном выражении содержалось только два вхождения букв.
§ 14. Вторая совершенная нормальная форма
булевой функции
Если S — некоторое множество п переменных, то всякое
выражение, содержащее только знаки U , штрих и переменные, взятые
каждое по одному и только по одному разу, называется второй
совершенной формой от п переменных*. (Совершенные
формы, рассмотренные в предыдущем параграфе, мы будем называть
теперь первыми совершенными формами.) Так, например,
выражение a! U Ъ (J c'\J d представляет собой вторую
совершенную форму от переменных а, Ь, с, d. Из теоремы де Моргана (или
из рассмотрения соответствующей диаграммы Венна) вытекает, что
это выражение является дополнением первой совершенной формы
я П Ь' П с П d'. В общем случае можно сказать, что любая вторая
совершенная форма является дополнением к некоторой первой
совершенной форме от тех же переменных.
Мы условимся записывать вторые совершенные формы также
в нормальном порядке М0, Mi9..., ML ,..., M2n_x\ при этом номер /
будем определять совершенно так же, как это делали для первых
совершенных форм. Так, например, a'\J b U с' U d = Мь.
Функция F(S) представлена во второй совершенной нормальной
форме, если она выражена в виде пересечения вторых совершенных
форм, взятых в нормальном порядке1.
* Заметим, что вторая совершенная форма тоже является термом.
1 Мы будем считать, что универсальное множество является членом
всякой второй совершенной нормальной формы; однако мы его будем записывать
только в том случае, когда в рассматриваемом выражении не содержится
больше никаких членов.
186
Для нахождения второй совершенной нормальной формы для
данной функции мы, так же как и раньше, можем использовать
диаграммы Венна. Однако этот метод оказывается здесь значительно
менее удобным, чем в случае нахождения первых совершенных
нормальных форм: области, соответствующие вторым совершенным
формам, частично перекрываются, их трудно отмечать и распознавать.
Рассмотрим, например, класс F(a, b) = а П Ь. Из диаграммы Венна
мы можем с известными усилиями вывести, что
F = (a' U Ь) П {a U &') П (а U Ь) = Мх Л М2 П М3.
Для того чтобы алгебраическим путем привести любую функцию
F(S) ко второй совершенной нормальной форме, мы можем поступить
следующим образом. Сначала нужно представить F как
пересечение каких-либо термов. Если какая-либо переменная х из
множества S не входит в какой-либо терм, то нужно взять объединение этого
терма с термом (х f] х'). Этот процесс продолжается до тех пор,
пока каждая переменная будет входить в каждый терм. Затем
нужно записать все переменные в алфавитном, а все полученные
совершенные формы — в нормальном порядке.
Приведем, например, функцию F(ay 6, с) = а П (Ь U с') ко
второй совершенной нормальной форме:
F - [a U (6 П V ) U (с Г) <П] П [(& U с') U '(а П а')].
.-. F=(a'\} Ь[}</) П(я11 V U с7) n(«U й7 Uc) n(al) &UO [\[a\S b\Jc).
Упражнения.
649. Отметьте область, соответствующую второй совершенной форме
a(Jb\Jc', на диаграмме Венна.
650. Какой номер имеет вторая совершенная форма a{Jb\Jcr?
651. Запишите совершенную форму М8 от переменных а, Ь, с и d.
652. Выпишите все вторые совершенные формы от переменных а и b
в нормальном порядке.
Вместо только что предложенного можно, как и в предыдущем
параграфе, использовать метод рассмотрения каждого терма. Этот
метод полностью совпадает с методом, применяемым для получения
первых совершенных нормальных форм; он основан на общем
принципе, который будет дальше сформулирован в виде теоремы 56.
Пусть, например, S = {а, Ь, с, d). Тогда мы можем путем
рассмотрения каждого терма представить следующим образом
функцию a U Ь'\
(a{Jb') = (a{Jb/{Jc/{Jd')n(a{Jb/\Jc/{Jd)n(a{Jb'{Jc{Jd')f)
[\{a\]bf\}c\Sd)
[т. е. взять пересечение всех тех совершенных форм, в которые
(a U Ь') входит без штриха].
Пустое множество совпадает с пересечением всех вторых
совершенных форм из 5. Это легко может быть доказано или чисто
187
алгебраическим путем или получено, как утверждение
двойственное утверждению о том, что объединение всех первых
совершенных форм образует универсальный класс.
Вторые совершенные формы для выражения пустого множества
от одного переменного а:
0 = (а П a) U {Ь' Г) Ь) = (a U &') П (a' U 6) П (a U 6') П
П (я U £) — от Двух переменных а, &;
0 = (а' U *' U с) П (^' U б7 U с) П • ••—от трех
переменных а, Ь, с.
Точно так же, пользуясь методом рассмотрения каждого терма,
можно записать вторую совершенную нормальную форму,
выражающую пустое множество для любого заданного члена и переменных.
Теоремы, касающиеся вторых совершенных форм,
непосредственно вытекают (после применения принципа двойственности) из
соответствующих теорем о первых совершенных формах. Выпишем
попарно эти соответствующие друг другу теоремы; при этом мы
будем предполагать, что все совершенные формы берутся из
некоторого множествах, содержащего п переменных. Через F будем
обозначать булеву функцию от множества переменных 5.
Теорема 1а. Существует всего 2п первых совершенных форм.
Теорема lb. Существует всего 2п вторых совершенных форм.
Т е о р е м а 2а. Объединение всех первых совершенных форм
равно универсальному множеству U.
Теорема26. Пересечение всех вторых совершенных форм
равно пустому множеству 0.
Теорема За. Пересечение двух любых различных первых
совершенных форм равно 0.
Теорема 36. Объединение двух любых различных вторых
совершенных форм равно U.
Теорема 4. Общее число различных булевых функций равно
22п.
Теорема 4 была доказана раньше на основании того, что общее
число первых совершенных форм равно 2п\ то же самое рассуждение
может быть проведено, если пользоваться тем, что общее число
вторых совершенных форм также равно 2п. В самом деле, всякая
функция от каких-либо переменных из S может быть единственным
образом представлена во второй совершенной нормальной форме,
которая представляет собой пересечение некоторых сочетаний вторых
совершенных форм H3S. С другой стороны, всякая вторая
совершенная нормальная форма представляет собой некоторую функцию
множеств. Но так как общее число вторых совершенных форм
равно 2Л, то общее число сочетаний, которое можно из них составить,
равно 22Л; поэтому всего существует ровно 22п различных функций (
от п переменных H3S. Вторые совершенные нормальные формы для ^
всех 16 функций от двух переменных а и b выписаны в третьем
столбце таблицы 4.
188
Теорема 5а. Любое пересечение некоторых перемешШх,
взятых без штрихов или со штрихами, равно объединеникпюех
тех первых совершенных форм, в которые это пересечение входит.
Теорема 56. Любое объединение некоторых переменных,
взятых без штрихов или со штрихами, равно пересечению всех тех
вторых совершенных форм, в которые это объединение входит.
Теорема 6а. Дополнение любой функции F' равно
объединению всех тех первых совершенных форм, которые не входят в первую
совершенную нормальную форму, представляющую функцию F.
Теорема 66. Дополнение любой функции F' равно
пересечению всех тех вторых совершенных форм, которые не входят во
вторую совершенную нормальную форму, представляющую функцию F.
Теорема 7а. Всякая первая совершенная форма является
дополнением некоторой второй совершенной формы.
Теорема 76. Всякая вторая совершенная форма является
дополнением некоторой первой совершенной формы.
Теорема 8. Сумма числа членов в первой и во второй
совершенных нормальных формах представления любой функции равна
2".
Теорема 9. Если какая-либо функция F представлена в одной
из совершенных нормальных форм, то ее дополнение F можно
получить, если:
(i) всюду заменить знак [) на \J и U на П;
(//) всякую переменную, входящую со штрихом, заменить той же
переменной без штриха и всякую переменную без штриха — той
же переменной со штрихом.
Пусть некоторая функция представлена в одной из совершенных
нормальных форм. Используя результат теоремы 8, мы можем
решить вопрос о том, какая из двух совершенных нормальных форм,
представляющих данную функцию, проще. Допустим, например,
что представление некоторой функции F (а, 6, с) в первой
совершенной нормальной форме содержит 5 членов. Тогда на основании
теоремы 8 мы можем заключить, что ее представление во второй
совершенной форме содержит только 3 члена и что, следовательно, это
представление является более простым.
С помощью теоремы 9 и одной из теорем 6а или 66 можно легко
переходить от представления функции в одной из нормальных форм
к представлению в другой, записывая сначала дополнение этой
функции, а затем выписывая все недостающие члены. Для примера
рассмотрим функцию:
F(a, 6, с) = (а' П V П с') U (а' П 6 П С) U (а П V П c')v
v (a n V П с) U (а П 6 П С) U (а П 6 П с)
и применим для ее упрощения теоремы 8, 9 и 66. Первая
совершенная форма, представляющая эту функцию, содержит 6 членов;
поэтому вторая совершенная форма должна содержать только 2 члена.
1Ю
Используя теперь теорему 9, мы можем записать, что:
F' = (a U Ь U с) П (a U ft' U с) П (a' U 6 U с) П (а' U & Цс') П
П(я' U 6' U с) П (л' U V U с') = (в нормальном порядке)
=(а' U 6' U ОП (fl'U 6' U с) П («' U 6 U с') П (a'U b\J c)f]
n{a\Jbf[ic)(](a\Jb\Jc)m
Теперь используем теорему 6ft и найдем, что:
F = (a U ft' U с') n (fl U 6 U с').
Упражнения.
653. Пусть * = (a[Jb)n(a'U&')- Г1реДставьте * во второй нормальной
совершенной форме, затем представьте в этой же форме х\
654. Представьте во второй совершенной нормальной форме дополнение
функции:
(ar(Jb'{Jc)()(a'l)bl)c')()(a'{Jb[Jc).
655. Докажите теорему lb.
656. Докажите, что первая совершенная форма mk является дополнением
второй совершенной формы М 2k —k—\
657. Докажите теорему 8.
658. Пусть F(a, bt с, d) = ^oU^iU^U^U^eU^U^ioU^nU^U^iaU
(Jm14Umi5« Какая из двух совершенных нормальных форм, представляющих
эту функцию, проще? Представьте эту функцию во второй совершенной
нормальной форме.
659. Представьте функцию {af{]b{]c)[}(a{]br{]c)[}(a{\b{]cr) во второй
совершенной нормальной форме.
660. Представьте функцию (a'[)b[)c')[}(a'\Jb'\Jc)[\(a\Jb'\Jc)[)(a[}b[}c)
в первой совершенной нормальной форме.
Обзорные задачи
661. Некоторое множество равно объединению взаимно
непересекающихся множеств at b, с, d. Это же множество равно объединению взаимно
непересекающихся классов *, у, z и w, причем известно, что adx, bCZy,o ог,
daw. Докажите алгебраически, что а — х, Ь = у, с —z, d=w.
662. В коробке лежат разные обрезки бумаги. Известно, что:
(i) каждый обрезок или круглый й не красный, или квадратный и
заштрихованный;
(И) каждый круглый обрезок или красный, или заштрихованный;
(ш) все заштрихованные обрезки круглые и красные.
Сколько обрезков в коробке?
663. Упростите выражение {[(a'Ub')[\(c'[}d')\[\d'y.
664. Упростите выражение aU(aU^')'U^' так» чт°бы в полученном
выражении было только два вхождения букв.
665. Упростите выражение (а [} с')' f) [b (J (a' f] с)] так, чтобы в полученном
выражении было только два вхождения букв.
666. Покажите, что (af] &')U(aT|k) = 0 тогда, когда а—Ь.
667. Покажите, что для любых х и а * = 0 тогда, когда а = (xf)a')\J
\J(x'()a).
668. Представьте выражение (b{Je)f)(c(Jd[Je) как объединение трех термов.
669. Упростите (a\Jb'[\c')'()d.
670. Упростите l(a[Jb)y{Jc]{]Hd\Je)'()(a[Jb{JcyY(}(d\Jd').
671. Упростите {a'\\b[}c')'\J(b[}cf)\Ja так, чтобы в полученном
выражении осталось только 3 вхождения букв,
190
672. Raiio,4Tox=(a'{Jbl)c)ri(a'(Jb'l)c)f)(al)b)()(alJb')r)(a'{Jb'lJc')r)d.
Представьте хг во второй совершенной нормальной форме (содержащей
только один терм).
673. Представьте (m[}k)[](tn[}b) в виде пересечения двух термов.
674. Представьте (c\jd)f](d(je)f]f в виде объединения двух термов.
675. Рассмотрите отношение «в 4 раза меньше, чем» с точки зрения
симметричности и транзитивности.
676. Рассмотрите отношение «не в 3 раза больше, чем» с точки зрения
симметричности и транзитивности.
§ 15. Число элементов в объединении и пересечении
множеств
Пусть х — некоторое множество с конечным числом элементов;
обозначим это число через N(x). Очевидно, что N (а) + N (Ь) --=
= N(a U Ь) ттогда, когда а и Ь разделены
(их пересечение пусто). В общем случае мы
имеем:
круглые зеленые
15
N (a U Ь) = N(a) + N(b) — N(a П Ь).
Отметим так же, что
N(a!) = N(U) — Ща).
Допустим, например, что в коробке
лежит 25 обрезков бумаги. Из этих обрез- Рис- 54-
ков 8 круглых, 7 зеленых, 5 круглых и
зеленых. Мы можем сделать вывод о том, что 10 обрезков
являются круглыми или зелеными, а 15 не являются ни круглыми, ни
зелеными (рис. 54).
Упражнения.
677. Как выразить N (af]b) через N (а), N (Ь) и N(a{Jb)?
678. Студент по своему желанию может специализироваться или по
математике, или по электротехнике, или по обеим специальностям сразу.
Имеется 50 студентов, специализирующихся по математике, 45 — по
электронике, а число студентов, выбравших ту или иную специальность (может быть,
сразу обе), равно 75. Сколько студентов специализируется сразу по двум
специальностям? (Ответ: 20.) Начертите соответствующую диаграмму.
679. Вдовец, имеющий одного ребенка, женился на вдове, также имеющей
одного ребенка. Затем у них родился еще один ребенок. Сколько детей у отца?
Сколько детей у матери? Сколько детей всего в семье?
680. Начертите диаграмму Венна для 3 множеств и выпишите выражение
для N(a{Jb[)c).
681. Каждое из следующих тождеств проверьте с помощью диаграммы
Венна:
a) Л^(а) = Л^(аПЬ,) + ^(аПЬ);
b) N (а[)Ь) = N (а'()Ь') + N (а'()Ь) + N (а(]Ь')-9
c) N (а[)Ь) = N (U) — N (а) — N (Ь) — N (а' П Ь')\
d) N (a[)bf)c) = N (U) - N (a) —N(b) - N (с) + N (a[)b) + N (aftc) +
+ N(b()c)-N(a'(]b>r\c').
191
682. Формулы, выражающие число элементов одних множеств через
число элементов других множеств, связанных с первыми, а также диаграммы
Венна часто употребляются как для контроля различных статистических
данных, так и для получения из них каких-либо выводов. Предположим,
например, что некоторый предварительный подсчет привел к следующим
данным: N (а) = 55, N (Ь) = 65, N (с) = 42, N (а(] Ь[\с) = 37, N (a' f] Ь' (]
П с') = 10; при этом общее число объектов было равно 100. Согласуются ли
эти данные между собой? Используйте упражнение 681 (d) и диаграмму
Венна. Если ошибка могла произойти только при подсчете общего числа всех
объектов, то каково наибольшее и наименьшее возможное значение этого числа?
683. Страховое общество собирало различные статистические данные
относительно пола, национальности и семейного положения в группе из 1000
служащих бумагопрядильного комбината. В результате оказалось, что
имеется 525 негров, 312 мужчин, 470 семейных, 42 мужчин негров, 147 семейных
негров, 86 женатых мужчин, 25 женатых мужчин негров. Проверьте, могут
ли приведенные данные быть согласованы между собой.
684 (из Льюиса Кэрола*). В одной очень жаркой битве по крайней
мере 70 процентов всех сражавшихся потеряли глаз, по крайней мере 75
процентов — ухо, по крайней мере 80 процентов — руку и по крайней мере 85
процентов — ногу. Какой процент всех сражавшихся потерял сразу глаз,
ухо, руку и ногу?
685. Газеты сообщили, что из 90 сенаторов 73 голосовали за реформу
календаря, 66 — за введение формы для школьников, 58 — за помощь
слаборазвитым странам и все они — за увеличение оплаты сенаторов. Кроме того,
в отчете сообщалось, что 51 сенатор голосовал и за реформу календаря, и за
введение формы для школьников, 41 — за реформу календаря и за помощь
слаборазвитым странам, 42 — за введение формы для школьников и помощь
слаборазвитым странам и только 28 — за принятие всех четырех биллей.
Выясните, являются ли данные этого отчета логически согласованными.
686. В выпускных классах одного колледжа 276 учащихся. Из них 83
изучают философию, 95 — историю, 102 — биологию. Кроме того, известно,
что 27 из них изучают и философию, и историю, 24 — философию и биологию,
20 — историю и биологию, all — изучают все три предмета. С помощью
диаграммы выясните, сколько учащихся не изучают ни одного из этих предметов.
Сколько из них изучают биологию, но не изучают ни философию, ни историю?
* К. Л. Д о д ж с о н (литературный псевдоним Льюис Кэрол) — из->
вестный деятель математического просвещения в Англии и популяризатор
математической логики, одновременно — автор очень популярных во всем
мире (в первую очередь в странах английского языка) сказок «Алиса в
стране чудес» и «Алиса в Зазеркальи».
ГЛАВА VI!
Булева алгебра высказываний
§ 1. Булевы алгебры конечного порядна
В предыдущей главе рассматривалась самая общая булева
алгебра, т. е. такая алгебра, в которой не накладывалось никаких
ограничений на число элементов универсального множества.
Ограничим теперь область наших построений: допустим, что
универсальное множество U содержит k элементов. В этом случае
булева алгебра будет образована 2k различными подмножествами:
будем говорить, что она имеет порядок 2k . Таким образом,
порядком булевой алгебры называется число различных элементов,
рассматриваемых в этой алгебре.
Две булевы алгебры естественно считать отличными друг от
друга ттогда, когда какое-либо правило или закон выполняется для
одной из этих алгебр и не выполняется для другой*.
Ясно, что любые две булевы алгебры одного порядка будут
одинаковы: если какое-то тождество имеет место в одной из них, то оно
будет иметь место и в другой (ибо при построении булевой алгебры
мы отвлекаемся от природы элементов универсального множества,
от которой никак не зависят определение и свойства
рассматриваемых операций). Однако булевы алгебры различных порядков будут
уже отличными друг от друга. Проиллюстрируем это на
нескольких примерах.
Рассмотрим сначала булеву алгебру порядка 23. Ее элементами
будут служить всевозможные комбинации трех символов, которые
мы обозначим через х19 х2, х3. Таким образом, наша алгебра имеет
8 элементов: 0; хх\ х2\ хх + х2; х3; хг + х2\ х2 + х3, U. [Под
xt + xk здесь понимается множество, содержащее xt и xk\
очевидно, что множество, содержащее хих2 и х3, есть универсальное
множество U.]
* Другими словами, правило, в записи которого участвуют переменные
элементы булевой алгебры, остается справедливым при подстановке вместо
переменных любых элементов первой алгебры, но нарушается для некоторых
элементов второй алгебры.
193
Рассмотрим теперь булеву алгебру порядка 22. Она образована
двумя символами хг и х2 и содержит 4 различных элемента: 0, xlt
х2 и U. (Здесь хг + х2 = U.) В качестве примера закона,
истинного в этой алгебре, возьмем следующее утверждение: всегда имеет
место одно из следующих тождеств: а П b = 0, а [\ b' = <Z)
или а' {\'Ь = 0. В самом деле, хотя бы одно из
записанных тождеств будет истинно независимо от того, какие
подмножества U ни подставлять вместо а и b (нужно только помнить,
что в нашей алгебре хг' = х2, х2 =х1). С другой стороны,
написанный закон не будет выполняться в алгебре порядка 28; так,
например, если принять за а и b подмножества хх + х2 и х2 + х3,
то ни одно из трех соотношений: a fl b = 0, а П &/=0, а' [\Ь=
= 0 места иметь не будет. Следовательно, эти алгебры отличаются
одна от другой, а следовательно и от «общей» булевой алгебры.
Алгебра порядка 21 образуется единственным символом х и
содержит два различных класса 0 и U (т. е. л:). Утверждение: если
a a (b U с), то a d b или а а с доставляет нам пример закона,
выполняющегося в этой алгебре и не выполняющегося ни в одной
из двух указанных выше алгебр.
Приведем еще примеры двух законов, выполняющихся в
алгебре порядка 21 или порядка 2° и не имеющих места в других
алгебрах: или a fl b = 0, или а П Ь ' = 0 и или а = U, или а = 0.
Алгебра порядка 2° состоит только из одного нулевого класса
0. Вот некоторые законы, имеющие место в этой и только в этой
тривиальной алгебре: а = 0; а = b\ a \] b = а.
Таким образом, мы убедились, что булевы алгебры различных
порядков существенно отличаются друг от друга. Нас, однако,
будут интересовать отнюдь не отличия, а те черты сходства, которые
присущи булевым алгебрам любого порядка (если исключить из
рассмотрения тривиальную алгебру порядка 2°). Эти общие свойства
всех булевых алгебр особенно существенны в приложениях.
Всякий закон, имеющий место в общей булевой алгебре, имеет
также место в булевой алгебре любого порядка. Подробно это
обстоятельство будет проиллюстрировано на примере изучения так
называемой бинарной алгебры. Бинарная алгебра, т. е. булева
алгебра порядка 21, имеет особенно много приложений. Она и ее
приложения являются основным предметом рассмотрения настоящей
главы. При этом не возникнет необходимости изучения какой-то
существенно новой алгебры: появятся только некоторые новые
дополнительные обстоятельства, а вместе с ними и новые обозначения.
Упражнения.
687. Приведите пример какого-либо закона, имеющего место в булевой
алгебре порядка 23 и не имеющего места в алгебре порядка 24.
688. Установите какой-либо закон (отличный от приведенного в тексте),
справедливый для булевой алгебры порядка 22, но не имеющий места в
булевой алгебре порядка 23.
194
689. Установите какой-либо закон (отличный от приведенного в тексте),
справедливый для бинарной булевой алгебры, но не имеющий места ни в
какой алгебре более высокого порядка.
§ 2. От алгебры множеств н алгебре высказываний
Можно привести множество примеров различных
высказываний. Эти высказывания могут быть истинными, например: «5 плюс
3 равно 8», «Арифметическое значение квадратного корня из 4
равно 2», «Треугольник имеет три стороны», но они могут быть и
ложными: «Три больше четырех», «Треугольник имеет 4 стороны», «tg 30° =
= —» и т. п. Все эти высказывания имеют различный смысл.
Однако мы не будем интересоваться вопросом о смысле высказываний.
Мы будем заниматься исчислением высказываний,
или булевой алгеброй высказываний, предметом
изучения которой являются высказывания, рассматриваемые
только с одной точки зрения—являются ли они ложными или
истинными. При этом предполагается, что любое высказывание р должно
быть либо ложным, либо истинным. Мы будем говорить, что в
первом случае р имеет значение, равное 0 (р=0), а во втором
случае— значение, равное 1 (р = 1).
Мы можем теперь интерпретировать высказывания в виде
множеств следующим образом: каждое ложное высказывание будем
отождествлять с пустым множеством, а каждое истинное
высказывание — с универсальным множеством. Так как никаких других
видов высказываний с нашей точки зрения не существует, то
совокупность всех высказываний порождает один из вариантов
бинарной булевой алгебры.
Диаграмма Венна для алгебры высказываний представляет
собой прямоугольник с одной единственной точкой, находящейся
внутри него (изображающей пустое множество). Вся площадь
прямоугольника изображает любое истинное высказывание, сама эта точка —
любое ложное высказывание. Из диаграммы мы можем сделать
следующие выводы: объединение двух ложных высказываний —
ложное высказывание; объединение двух истинных высказываний —
истинное высказывание; пересечение истинного высказывания и ложного
высказывания — ложное высказывание и т. д.
Все эти выводы находятся в полном соответствии с обычным
пониманием того, что такое высказывание. Однако из диаграммы
можно также вывести, например, что всякое ложное высказывание
содержится в истинном высказывании; объединение истинного
высказывания и ложного высказывания содержится в истинном
высказывании и т. д.; эти утверждения уже плохо согласуются с обычным
смыслом, вкладываемым в слова «истинное высказывание». Поэтому
мы введем новую терминологию: вместо «содержится в...» будем
говорить «влечет за собой»; будем также пользоваться и другими
символами и терминами главы V.
195
Бинарная алгебра множеств и алгебра высказываний (как и
любые другие бинарные алгебры) имеют одну и ту же структуру, или,
как говорят, изоморфны между собой: всякий закон, имеющий
место в одной из них, может быть выражен в виде закона другой.
Мы покажем, как именно нужно переводить законы бинарной
алгебры множеств в законы алгебры высказываний.
Сначала приведем в соответствие друг другу символы и
операции в бинарной алгебре множеств и алгебре высказываний:
единственный новый символ, который мы введем, — это = для
обозначения связи «тогда и только тогда» (ттогда).
Бинарная булева алгебра
Множества Высказывания
Переменными являются мно- Переменными являются вы-
жества a, 6, с, .. . сказывания р, q, г, ...
Операции обозначаются: Операции обозначаются:
', П, U, ~, • , V,
Отношения элементов обознача- Отношения элементов
обозначаются: cz и = ются: zd и ==
Два возможных значения лю- Два возможных значения
любой переменной: бых высказываний:
0Dj= пустому множеству*. 0D/ = ложному высказыванию.
UDf = универсальному множест- \Df = истинному высказыванию,
ву.
Для перевода любого закона бинарной алгебры множеств в
закон алгебры высказываний нужно заменить все символы, входящие
в выражение этого закона, соответствующими им символами,
стоящими в правой части таблицы, а затем заменить и все оставшиеся
слова: «и», «или», «если ... то» и «ттогда» соответственно символами
• , V, з и = в том смысле, как это делалось в главе V. Иногда
(так же как при умножении) знак точки просто опускается, т. е.
вместо р • q пишется просто pq. Кроме того, вместо знака ==
пишется знак = в тех случаях, когда после этого знака стоит 0 или 1.
Рассмотрим для примера перевод закона бинарной алгебры
множеств: если aczb и Ьас, то аас1 — в закон алгебры
высказываний.
Меняя буквы а, Ь и с на р, qur соответственно и знак с на Z),
получим: если р Z) q и qzD r, то р z> r. Наконец, введя вместо слов
соответствующие символы, получаем окончательно:
(pZDq) • (qzDr) • =) • р • г,
что является законом алгебры высказываний.
* Символ Dc= означает «равенство по определению».
1 Этот закон имеет место также и в общей булевой алгебре.
196
Вот еще один пример. Закон бинарной алгебры множеств: если
acz(b\Jc), то аа Ъ, или а ас1 , принимает в алгебре
высказываний вид:
pz){q = г) . з • (pz>?) • (pZDr).
Упражнения.
В каждом из следующих пяти упражнений дан некоторый закон
бинарной алгебры множеств. Переведите его в соответствующий закон алгебры
высказываний.
690. Если acib, то af]cdbf]c.
691. a) a[}bdb[}a\
b) a{\bda{\(b\}c)\
c) a{j(bf]c)Cia[jb;
d) (а')'аа.
692. a) acib ттогда, когда Ь'аа'',
b) aczb[)c ттогда, когда aczb и аас\
c) a\Jb-cic ттогда, когда aczc и bczc.
693. a) af]bcza[jb;
b) (a()by = a'{}b\
694. a) af]ia/ci0; (Ответ: р-^р^О.)
b) Uaa\Ja; (Ответ: \^эр]/~р.)
c) а0а' = 0; (О т в е т: р»~р = 0.)
d) a[jaf = U. (Ответ: pV~p = 1.)
Заметим теперь, что каково бы ни было выражение F, выражение
«FzdO или F—0», означающее «Сложно», всегда имеет значение,
противоположное значению F, поэтому вместо того, чтобы писать «Fz)
Z)0» или «F= 0», будем писать короче: ~F и читать это выражение:
«не Т7». Подобным образом, для любого F выражение «lz)/7» или
«1 = F» имеет всегда то же значение, что и F\ поэтому вместо этого
выражения всегда можно просто писать F.
Упражнения.
695. Запишите ответы упражнения 694 в другой форме, учитывая только
что сделанные замечания. (Ответ: — (р. — р), р у ~ р.)
696. Пусть р = «идет дождь», q = «на улице сыро». Выразите ответ
упражнения 686 на обычном языке.
697. Дайте пример фразы обычного языка, иллюстрирующий ответ
упражнения 687.
698. Сделайте то же самое (см. предыдущее упражнение) для упражнений
688 и 691.
Мы видели, как всякий закон бинарной алгебры множеств
может быть проверен с помощью соответствующей диаграммы Вен-
на. Мы видели также, как всякий закон этой алгебры может быть
заменен соответствующим ему законом алгебры высказываний.
Существуют два таких закона бинарной алгебры множеств, ре-
1 Этот закон не имеет места в общей булевой алгебре.
197
зультат перевода которых на язык алгебры высказываний всегда
при первом знакомстве вызывает изумление и недоумение.
Рассмотрим эти законы.
В бинарной алгебре множеств — всякое множество содержится
в универсальном множестве, т. е. имеет место закон: a с U. В
алгебре высказываний этот закон принимает вид: р zd 1, т. е. истин-
ноевысказывание следует из любого высказывания. Например:
высказывания «Если луна сделана из зеленого сыра, то 2 + 2 = 4»
и «Если луна не сделана из зеленого сыра, то 2 + 2 = 4» — оба
являются истинными. На первый взгляд это кажется странным,
однако вся странность происходит здесь из-за несоответствия
смысла высказываний, в то время как в алгебре высказываний смысловое
содержание высказываний полностью игнорируется.
В бинарной алгебре множеств* пустое множество содержится
в любом другом, т. е. имеет место закон 0 аа. В алгебре
высказываний этот закон принимает вид: 0 zd p, т. е. из ложного
высказывания следует любое высказывание. Например, высказывания:
«Если 2 + 2 == 5, то никакие собаки не животные» и «Если 2 +
+ 2 — 5, то все собаки — животные» — оба являются истинными.
Это не должно казаться странным, если мы снова вспомним, что
все истинные высказывания имеют одно и го же значение 1, так же,
как и все ложные высказывания имеют одно и то же значение О,
и что только это обстоятельство принимается здесь во внимание.
В каждом из следующих трех упражнений укажите, являются
ли приведенные в них высказывания истинными или ложными.
Упражнения.
699. Если р — ложно, то pZ2q.
700. Если q— истинно, то pz^q.
701. pZDq ттогда, когда р ложно и q истинно.
§ 3. Арифметика высказываний
Если р, q} r,... —высказывания, то, как мы видели, с помощью
символов ~, •, z> и = из них могут быть образованы новые
высказывания. Приведем таблицу, в которой соберем эти сложные
высказывания, способ их записи и их названия.
р
р . q
Р V?
pZDq
не=р
р и q
р или q
если р, то q
или из р следует q
отрицание р
конъюнкция р и q
дизъюнкция р и q
отношение следствия
между р и q
р=Е q p ттогда, когда q отношение эквивалентности
Заметим, что фразы, стоящие во втором столбце в 4-й и 5-й
строках, представляют собой некоторые новые высказыва н и я,
Так же как и во всякой другой алгебре множеств.
198
образованные по высказываниям р и q. Эти новые высказывания
могут быть истинны и тогда мы говорим, что р и q связаны
отношением следствия или эквивалентности, но они могут быть также и
ложными.
Таким образом мы приходим еще к двум операциям
алгебры высказываний, сопоставляющих высказываниям р и q новые
«сложные» высказывания:
р -+q если р, то q или отношение импликация
pZD q истинно р и q,
p±>q p ттогда, когда q или отноше- двойная импли-
ние р = q истинно кация р и q
Упражнения.
702. Выпишите все сложные высказывания, которые могут быть
образованы из высказываний р и q при следующих ограничениях: (i) p и q входят
один и только один раз в каждое сложное высказывание, причем участвуют
там в том же порядке (сперва р, потом q)\ (ii) никакой знак операции не
повторяется более одного раза.
703. Выпишите все сложные высказывания, которые могут быть
образованы из высказывания р, q и г при следующих ограничениях: (i) p, q и г
входят один и только один раз в каждое сложное высказывание, причем
участвуют в нем в том же порядке (сперва р, затем q, затем г); (ii) никакой знак
операции не повторяется более одного раза; знаки ~, V и «* вообще не
используются.
704. Приведите словесный пример, иллюстрирующий каждый ответ
упражнения 702.
Имеются разные способы выполнения этого; укажите для каждого
сложного предложения один и только один иллюстрирующий его пример.
705. Приведите символические записи для выражения высказываний:
«не = р и q» и «не = р и не = q» и покажите, что это разные высказывания.
Приведите словесные примеры, иллюстрирующие каждое из этих
высказываний.
706. Переведите в символическую форму следующий вывод: «если р и
q истинны, то г — истинно. Но г — ложно: значит, р или q ложны».
707. Переведите в символическую форму: «Он или джентльмен, или
школьник. Но он не джентльмен, значит, он школьник».
708. Переведите в символическую форму: «Если оно упадет, то оно
поломается. Оно поломано, значит, оно упало».
709. Переведите в символическую форму предостережение, которое было
сделано одной жительницей древних Афин своему сыну, собиравшемуся
заняться политической деятельностью против ее желания: «Если ты будешь
говорить правду, то тебя возненавидят люди. Если ты будешь лгать, то тебя
возненавидят боги. Но ты должен или говорить правду, или лгать. Значит, тебя
возненавидят люди или тебя возненавидят боги».
710. Переведите в символическую форму ответ сына: «Если я буду
говорить правду, то боги будут любить меня. Если я буду лгать, то люди будут
любить меня. Но я должен или говорить правду, или лгать. Значит, меня
будут любить боги или меня будут любить люди».
711. Пусть р = «(л — 1)! + 1 делится на л», q = «n простое число».
Переведите в символическую форму высказывание: «(л — 1)! + 1 не делится
на п, если п — непростое число».
Если мы будем теперь производить рассмотренные выше
операции не над переменными, а над двумя константами 0 и 1, то будем
199
каждый раз получать сложные высказывания, имеющие вполне
определенные значения. Поскольку каждое сложное
высказывание— результат конечной комбинации операций —, ., V, --*,**,
примененных к исходным высказываниям, то, зная, какие значения
принимают эти элементарные операции, мы сможем узнать
значение каждого выражения. Удобно записать значение простейших
из этих сложных высказываний в виде следующих таблиц:
10 11 V I 0 1 1 ->| 0 1 1 «-Ч 0 | 1
V |0 I
0 | 0 1
1 ] 1
1 1
1 1
1 1
0 \ 0 | 0 0 \ 0 | 1 0 | 1 | 1 0 | 1 1 0 0 | 1
1 | 0 I 1 1 ) 1 1 1 1 1 0 | 1 1 | 0 1 1 1 \ 0
Из первой таблицы можно видеть, что 0-0 = 0, 0-1=0,
1 • 0 = 0 и 1-1 = 1. Первое из этих высказываний означает, что
ложное высказывание и ложное высказывание дают ложное
высказывание. Последнее означает, что истинное высказывание и
истинное высказывание дают истинное высказывание. Что означают два
остальных!
Из второй таблицы видим, что 0 V 0 = 0, 1 V 0 = 1 и т. д.
Что означает каждое из этих высказываний?
Из третьей таблицы делаем выводы о том, что 0 -> 0 = 1, 0 -*
-+1 = 1, 1 —* 0 = 0 и 1 -» 1 = 1. Заметим, что отношение
следствия не будет иметь места в одном-единственном случае:
когда антецедент истин, а консеквент ложен.
Из последней таблицы выводим, что •—0 =1 и ~ 1 =- 0.
Таблицы дают возможность упрощать выражения, содержащие
констант и знаки операций. Так, например, 0 • 0 можно заменить
через 0, 0 • 1 через 0 и т. п. Точно так жеО -» 1 можно заменить
через 1 и т. д.
Покажем, как, используя таблицы, мы можем вычислить
значение каждого выражения, не содержащего переменных, т. е.
определить, равно ли данное выражение 0 или 1. Например:
0-0-0 = (0-0) -0 = 0-0 = 0.
1V0V0 = (1V0)V0=1V0=1.
[(0 — 1) V 1 V 0 — — (1 . 0) = 1 V 1 V 0 — — 0] = 1 — 1 = 1.
Упражнения.
712. Вычислите значения каждого из следующих одиннадцати
выражений, проведя все шаги вычислений:
a) 1 . 1 . 1-*1;
b) 1 V 1 V0 -> 1;
c) [(1 .0)V(0->)V~ (К'0)|->0 .1-1;
d) lv0«*l .0.1;
e) fl(lvO) • 0|-»l}v0;
/) (((UO^lhlhO;
8) («0->l)—0)-> 1)0;
h) 0
0 (1
/) (1
k) (1
. 0-»l • 1;
•10)vlV0;
_>0)<^ ~
->0 • 1)**'
WO;
~(1V0)
200
713. Какие из отношений р • q = 1; p\jq = l; zd\
ричными? Транзитивными?
714. Вычислите: а) 0 . 1 . 1зр; b) pz> 1 V 1 V 0; с) (IzdO)zdp
являются симмет-
Р ~р
0 1
1 О
Рис. 55.
Отрицание.
§ 4. Основные таблицы истинности
В рассматриваемой нами алгебре всякое выражение,
представляющее собой (сложное) высказывание, называется булевой
функцией (простых) высказываний. Таким образом, все
отдельные буквы р, q, r и те их комбинации, которые представляют
собой высказывания, являются булевыми функциями
высказываний, а их запись — формулами или представлениями. Вообще
булевой функцией высказываний будет выражение,
полученное в результате конечного числа
шагов, записанных в символах булевой алгебры
высказываний.
Некоторые булевы функции высказываний
приводятся, например, в упражнении 724. Для
всякой булевой функции высказываний можно
написать соответствующую ей таблицу, в которой
записываются значения истинности функции при
всех возможных комбинациях значений истинности переменных,
входящих в ее выражение. Такая таблица называется
таблицей истинности данной функции.
Основными таблицами истинности называются таблицы для
функций, выражающих основные булевы операции. Они приведены
в рисунках 55—59. В каждой из таблиц слева от двойной линии
записаны все возможные комбинации значений истинности переменных,
в последнем столбце указаны соответствующие значения функции!
Простейшей из этих таблиц является таблица истинности для
функции ~ р, изображенная на рисунке 55. Функция ~ р
содержит только одну переменную. Мы видим, что если р ложно, то ~ р
истинно; если р истинно, то ~ р ложно.
На рис. 56 изображена таблица истинности для функции
высказываний р • q. Из таблицы видно, что р • q истинно в том и
только в том случае, когда р и q оба истинны.
На рис. 57 изображена таблица истинности для функции р V qy
р q
10 0 1
0 1
10
11
р* q
0
0
0
1
р q
0 0
0 1
1 0
1 1
PYq
0
i
i
i
Рис.56. Конъюнкция.
Рис. 57. Дизъюнкция.
201
на рисунках 58 и 59 таблицы истинности функций р -> q и р <~> q
соответственно. Во всех таблицах возможные значения
«переменных» р и q выписаны слева от двойной вертикальной черты, а
соответствующее значение функции в самом правом столбце.
Упражнения.
715. В каком единственном случае р • q истинно? Обобщите на случай
конъюнкции п высказываний.
716. В каком единственном случае р V Я ложно? Обобщите на случай
дизъюнкции п высказываний.
717. В каком единственном случае р -* q ложно?
р q
0 0 1
0 1
1 0 1
1 1 1
Р~Я
i
0
Рис. 58. Импликация. Рис. 59. Двойная
импликация.
718. Какую информацию можно извлечь из третьего столбца таблицы
истинности функции р ++ q?
719. Пусть последний столбец таблицы имеет вид 0110. Сформулируйте
соответствующее этому случаю сложное высказывание — функцию
высказываний р и q. (Комбинации значений р и q берутся в том же порядке, что и в
других таблицах истинности).
§ 5. Использование таблиц истинности
Используя основные таблицы истинности, мы можем строить
таблицы истинности для любой функции высказываний.
Пусть, например, F есть функция [(р -» q) • q] -> р. Построим
для нее таблицу истинности.
Выражение для F содержит две переменные, поэтому возможны
4 различные комбинации (или 4 набора) их значений, как это
показано на рисунке 60. Отведем по отдельному столбцу для каждого
а в с d е
р
0
О
1
1
Я
0
г
о
1
(Р-Я)
1
1
1 °
1 1
(Р-Я)-Я
0
1
о
1
[(P-q)-q]-P 1
1
О
1
1
Рис. 60. Таблица значений функции [{р-* q) • q]-* p.
202
I входящего в данную функцию выражения, являющегося некоторой
функцией высказываний; в последнем столбце будем записывать
I значения самой данной функции. Будем заполнять таблицу в сле-
) дующей последовательности. Сначала заполним столбцы а и 6,
записывая в них все возможные наборы значений р и q. Затем опре-
I делим значения в столбце с из таблицы, изображенной на рисун-
р
0
1
1 °" р
1
0
PV~P
1
Рис. 61. Рис. 62.
} ке 58. После этого заполним столбец d, принимая во внимание только
столбцы с и ft, и таблицу, изображенную на рисунке 56,
подставляя значения р -+ q вместо значения р, (После некоторой практи-
[ ки основные таблицы истинности хорошо запоминаются, так что
| , отпадает необходимость смотреть в них для справок.) Наконец
заполняется последний столбец; при этом принимаются во внимание
только столбцы d и а и таблица, изображенная на рисунке 58
[подстановка (р -+ q) • q вместо р и р вместо q] .
Как уже отмечалось выше, функция выражает логический
1 закон или является тождественно истинной, когда она при-
j нимает истинное значение при всех возможных комбинациях значе-
I ний переменных. Используя таблицы истинности, можно опреде-
I лить, выражает ли эта функция логический закон.
г Составим таблицу истинности для функции р V — р. В
выражение функции входит только одна переменная, и, следовательно,
имеются только две возможности комбинации ее значений, пока-
\ занные слева от двойной линии на рисунке 61. Для каждого входя-
} щего в данную функцию выражения, являющегося также некоторой
функцией высказываний, должен быть отведен отдельный столбец
в таблице, при этом в последнем столбце всегда должны
записываться значения самой функции в целом.
В соответствии с этим в нашей таблице мы должны отвести
столбец для выписывания значений —р; мы сможем написать эти
значения, если будем пользоваться основной таблицей истинности,
I изображенной на рисунке 55. Затем сможем заполнить последний
1 столбец: используем рисунок 57, подставляя вместо значений q
значения — р.
После этого мы убеждаемся в том, что функция pV — р т о ж-
[ д е с т в е н н о и с т и н н а, т. е. принимает истинные значения
при всех возможных значениях р: она истинна и тогда, когда р истин-
203
но, и тогда, когда р ложно. Следовательно, функция р V —р
представляет собой логический закон (упр. 694).
В качестве другого примера построим таблицу истинности для
функции р • — р так, как это сделано на рисунке 62. Эта
функция является тождественно ложной.
Наши примеры показывают, что функции высказываний могут
при некоторых значениях высказываний быть истинными, а при
других ложными (первый пример); Они могут быть также
тождественно истинными или тождественно ложными. Таким образом, мы
можем различать:
Тождественно истинные утверждения, т. е. утверждения,
истинные при всех значениях входящих в них букв. Эти утверждения
являются логическими законами.
Не тождественно истинные утверждения; среди них нужно
выделить:
выполнимые утверждения, которые истинны для одних
значений переменных и ложны для остальных,
и тождественно ложные утверждения, называемые еще про-
тивореч и ями.
Можно сформулировать следующее правило. Функция является
тождественно истинной, или логическим законом ттогда, когда в
последнем столбце ее таблицы истинности стоят одни единицы.
Заметим, что и здесь одна и та же булева функция может быть
представлена различными формулами, например: р = р V р =
= р • р, —(р V q) = — р •—q и т. п. Однако таблица истинности
для каждой из них будет одна и та же.
Упражнения.
720. Если в выражение функции входят 3 переменные, то сколько
существует различных наборов их значений?
721. Если в выражение функции входит п переменных, то сколько
существует различных наборов их значений?
722. Постройте таблицу истинности для функции р -> (р у q).
723. Постройте таблицу истинности, показывающую транзитивность
отношения следствия. (Ответ: см. рис. 63.)
Р Я г
0 0 0
0 0 1
0 10
0 11
10 0
1 о 1 ;
110
iii
Р-Я
1
1
: 1
1
0
0
1
1
q~r
0
0
1
(p~q).(q~r)
1
1
0
1
0
0
0
1
Р-Г
1
1
1
1
0
1
0
1
(p-q)(q~r)
- (Р-Г) 1
204
Рис. 63. Транзитивность отношения следствия.
724. Постройте таблицы истинности для следующих функций:
a) р • q-+p; i) ~ p^p V Ц\
b) рм q-+p; j) (p\/q)(~ pV ~ q)\
c) (pyq) V ~ P\ k) pyq<^q\/p;
d) ~p-+(p^~q); e) [(p-> q)p] -* q;
e) ~p<+(p-+~q); m)[(p.q)->r]±*p^(q -> r);
/') 1(Р-»Я) - ~q]-+~ PI n) p-+qr<+(p->q)-(p-+r);
g) 1(РУЯ)- ~Р]-+Я\ Р) {[P^(qyr)\.^{qr))-^p\
h) (p _►</)«* ~ q-*~ p; q) [(p-+q).(r-+s).{p\/r)]-+q\/s.
725. С помощью таблиц истинности покажите, что тождество (р • q)\Jr =
~p-(q\/r) не является логическим законом.
726. Проверьте с помощью таблиц истинности, что формулы
(pZDq)'(qWr); (~Р\/ Я)-(Я\/г);
(~ р . ~ q . г) V (~ р • q -~г) V (р - q • г) V (р • q • г ~ г) V (p . q . г) и
(p\lq\fr)-(~p\fq\lr).(~p\Jq\J~r)
выражают одну и ту же булеву функцию.
§ 6. Основные законы алгебры высказываний
Переводя основные тождества алгебры множеств (гл. VI § 7) в
тождества, связывающие высказывания, мы получим законы
алгебры высказываний, которые можно легко проверить с помощью
таблиц истинности.
1. Закон тождества: р = р,
2. Закон отрицания:
для конъюнкции —(р - ~р) —закон противоречия;
для дизъюнкции: р V — р — закон исключенного третьего.
3. Закон идемпотентности:
для конъюнкции: рр . = . р\
для дизъюнкции р V р • = • р.
4. Коммутативный закон:
для конъюнкции р . q - == . q . р\
для дизъюнкции р V q • ^ • q V р.
5. Ассоциативный закон:
для конъюнкции: (р • q) • г - == .р • (# • r)D/ == р • q - г;
для дизъюнкции: (р V </) V г • = • р V (<7 V r)z>/ == р V q У г.
6. Дистрибутивный закон:
для конъюнкции—дизъюнкции: р • (q V р) . == . (р • #) V (р • /*);
для дизъюнкции — конъюнкции р V (р- Я) — (Р V <?) • (р V f).
7. Закон поглощения:
для конъюнкции —дизъюнкции: р - (q \J р) == р;
для дизъюнкции — конъюнкции: р V (р-?) ^ Р-
8. Закон двойственности (теорема де Морга па):
для конъюнкции: — (р • ^)-~.— р V ~ ^»
для дизъюнкции: — (р \J q). = .~р .~ д.
9. Закон двойного отрицания: ~ (—р) • s= • р.
Отчетливо виден двойственный характер этих законов
относительно операций конъюнкции и дизъюнкции. Действительно, имеет
8 Дж. Т. Калбертсон
205
место следующий принцип двойственности: если
дана некоторая тождественно истинная булева функция
высказываний, в выражение которой не входит знак —> ,то при замене всех
входящих в нее знаков У на • и . на\/, 1 на 0 и 0 на 1 она
остается тождественно истинной.
Запишем, например, закон противоречия в форме: р —р =
— О, это тождественно истинная функция. Применяя к этому
выражению принцип двойственности, получим закон исключенного
третьего: р V —р = Ь
Упражнения.
727. Выпишите названия всех вышеприведенных законов. Затем
запишите каждый закон в символической форме.
В каждом из следующих упражнений дайте название
применяемого в нем закона и запишите все выражение в символической форме.
728. «Или р истинно, или q истинно» эквивалентно высказыванию:
«Ложно то, что и р ложно, и q ложно».
729. Отрицание конъюнкции двух высказываний эквивалентно
дизъюнкции отрицаний каждого из этих высказываний.
730. Ложно то, что р и истинно и ложно.
731. р истинно или р истинно ттогда, когда р — истинно.
732. Отрицание дизъюнкции двух высказываний эквивалентно
конъюнкции отрицаний каждого из этих высказываний.
733. р или q ттогда, когда q или р.
734. р и q или г эквивалентно р и q или риг.
735. р истинно или р и q оба истинны ттогда, когда р — истинно.
Девять основных логических законов, которые были
сформулированы и выписаны, выбраны до некоторой степени произвольным
образом из всего множества логических законов . В упражнениях
736—742 мы приведем примеры других законов алгебры
высказываний. Каждый из этих законов запишите в символической форме.
736. Из р следует q ттогда, когда р ложно или q истинно.
737. Если из р следует q и из q следует г, то из р следует г.
738. Из р следует q ттогда, когда из не = q следует не =р(з а к о н
транспозиции).
739. Если из р следует q, то из р иг следует q и г.
740. Из р следует р — ложно ттогда, когда р —ложно
(приведение к абсурду — reductio ad absurdum).
741. р истинно ттогда, когда р истинно и q или истинно, или ложно.
742. р эквивалентно q ттогда, когда не=р эквивалентно ue=q.
743. Докажите истинность закона упражнения 736 с помощью таблиц
истинности.
744. Докажите истинность закона упражнения 739 с помощью таблиц
истинности.
§ 7. Всякая булева функция высказываний может
быть представлена в виде строки термов
Как было отмечено раньше, одна и та же булева функция может
быть задана самыми различными способами. Поэтому и здесь можно
поставить задачу приведения данного представления функции к
206
более простому виду. Для уточнения постановки задачи введем
определения строки термов в булевой алгебре высказываний.
Если некоторая функция высказываний записана так, что в ее
записи нет знаков импликации и двойной импликации, нет лишних
скобок, внутренних скобок и знаков отрицаний перед скобками, то
всякое выражение, стоящее в этой записи внутри каких-либо
скобок, и всякая отдельная буква, не заключенная ни в какие скобки,
называются термом.
Все выражение в целом называется в этом случае строкой
термов.
Так, например, выражение р • (q V г) • (s V t \J m)
представляет собой строку из трех термов.
Покажем теперь, как можно произвольное представление
булевой функции приводить к строке термов.
Сначала покажем, как сделать так, чтобы знак отрицания стоял
только перед отдельными высказываниями, а не перед их
комбинациями.
По теореме де Моргана отрицание любой конъюнкции функций
может быть представлено в виде дизъюнкции некоторых других
функций и, наоборот, отрицание дизъюнкции функций может быть
представлено в виде конъюнкции. Пусть Fu F2, F3 — какие-либо
булевы функции высказываний (например, Fx = р V Ц V г;
^2 = ~ (Р =) Я)\ F* = Р ' ?-==.~ (Г V S) И Т. Д.).
Тогда
Л • F2 • F3 \..-/vs.~F1 V ~F2 \J~F3 V...V-/7,,
Fi V F2 M F3 V...Vf^ .~Fx.~Fr~F,....~Fn.
Можно сказать, что применение теоремы де Моргана (слева
направо) переносит знак отрицания, стоящий перед скобками, внутрь
скобок. Поэтому, применяя эту теорему достаточное число раз,
мы можем всегда добиться того, чтобы ни перед какими скобками
вообще не стоял знак отрицания.
Например, пусть дана функция F = — [(г V t) • (S\/w)].
Применим дважды теорему де Моргана. Получим:
F = - [(r\/t) • (Syw)] = —(Л/fiV — (sVw) = (~г • ~/)V
\/(~s~w).
Упражнения.
745. Выразим функцию F => ~ [(p. ~ q)» ~-(r-s)] так, чтобы перед скобками
не стоял знак отрицания.
Решение: F = ~ (р- ~q) V^-s) = ~ PV qV(r-s).
746. Каждую из следующих четырех функций представьте так, чтобы
перед скобками нигде не стоял знак отрицания:
о) F=~[~frq).~(r-s)];
Ь) F = ~ (pV<7V)V~ s;
8*
207
c) F = pv~ (<7V~/-)V~s;
d) F =~[(p.~<7)v/"V~(s-~ Ob
Добившись того, что знак отрицания не стоит около скобок,
займемся теперь ликвидацией лишних скобок. Как и в случае
алгебры классов, это можно сделать с помощью теоремы де Моргана,
законов ассоциативности, поглощения и двойного отрицания, для
промежуточных этапов следующим образом применив
дистрибутивный закон:
(p\/q) • (r\Js) = [{p\/q) • r]\/[(pVq)'S]=pr\/psVqr\/qst
или в более общем виде
(P1VP2V ... \/рп) • (<7iV<72V ... VgJ =
= (/Mi)V(/M2)V ... V(Pi?JV.
- V(P2?i)V(P2?2)V ... V(p29«)V...
.- V(p^i) V (РпФг) V ... V(fl, • qm).
В силу двойственности мы можем получить подобную же
формулу, в которой переставлены между собой все знаки V и . .
При выполнении следующих упражнений обратите внимание на
то, что при преобразовании конъюнкции некоторых дизъюнкций
получается дизъюнкция конъюнкций; наоборот, при преобразовании
дизъюнкции конъюнкций получается конъюнкция дизъюнкций.
Упражнение.
747. Преобразуйте: а) (р - q) V (г • s); b) (p . q • г) у (s . /); с) (pV
V q) • (г V s) • /.
Добьемся теперь, например, уничтожения лишних скобок в
выражении!— (~pV~<7) • —r]V s.
На основании теоремы де Моргана можно написать: (р- q—r)\/s.
Точно так же применение закона двойного отрицания
приводит выражение — [—(р • q)] к виду р • q, не содержащему
внутренних скобок.
Ассоциативный закон уничтожает лишние скобки, если какие-
либо буквы связаны между собой только знаками конъюнкции или
только знаками дизъюнкции. Например, вместо [(pV?)V(rV
\/s)\/t] -и можно просто писать: (pVq V г V s) ' и>\ [р V (р '
• г)] • г равно просто р • г — на основании закона поглощения.
Иногда для уничтожения лишних скобок полезным оказывается
дистрибутивный закон; так, например,
\р (rys)\\/t = (p-r)\J(p • s)yt.
Упражнение.
748. Каждое из следующих 8 выражений запишите так, чтобы оно не
содержало внутренних скобок. Справедливость результата проверьте с помощью
таблиц истинности:
208
a) {~[~(pV<7)]-(rVs) W;
b) ~ [ ~ (p ~ q)];
c) [(rysyt)-s]yp;
d) [ ~ (-pVrt-(^V-s)lvr,
e) PV{ - [(/-V- s)V^]};
/) l(myk)-s]yt\
g) [(myk) - s]-t;
h) [(P • q)Vr] • s.
Строка термов не должна содержать знаков импликации и
двойной импликации. Для того чтобы исключить в выражении любой
функции знак импликации, достаточно воспользоваться следующим
логическим законом:
(P-?)^(^PV q). (1)
Для иллюстрации применения этого закона преобразуем
функцию (г -» s)-*(t \/k). Сначала, используя формулу (1), заменим
г -+ s эквивалентным выражением — r\/s и получим: ( — r\/s)-+
Затем применим формулу (1) снова и получим:~(—r\/s)\/(t\/k),
а затем, наконец, (г • —s)\/t\/k.
Упражнения.
749. Используя формулу (1), запишите выражение т -> . (г -> s) без
знаков импликации двумя различными способами. Запишите ответ так, чтобы
отрицание не стояло перед скобками.
750. Запишите выражение (г-*• w)-*-( ~ t) без знака импликации двумя
различными способами. Запишите результат в форме, не содержащей знаков
отрицаний перед скобками.
751. Запишите (ту ~ л)-> s без знака импликации, а окончательный
результат — без знака отрицания, стоящего перед скобками.
752. Сделайте то же (см. предыдущее упражнение) с выражением
(Р-»?)->(- <7~>~Р)-
753. Сделайте то же с выражением (р-+ q) -> [(p*q) ->p].
Знак двойной импликации может быть исключен из любого
выражения, если воспользоваться законом:
p~q^(p- <7)V(~P- ~q). (2)
Проиллюстрируем применение этого закона на примере
функции к <г> (г <+ s). Сначала, используя формулу (2), заменим г <*s
на (г • s) V(— г • ~s) и получим: k <-> (г . s)V(— г • ~ s).
Затем снова применим формулу (2) и получим:
[k[(r • s) V(~ г • ~5)}V]{~ * ■ ~ [(г . s)V(~ г • ~s)]}.
Упражнения.
754. Используя формулу (2), исключите знаки эквивалентности в
выражении г <-> (s <-> 0- Запишите ответ без отрицаний, стоящих перед скобками,
и без внутренних скобок.
209
755. Исключите знак эквивалентности из выражения р++(г у s) и
запишите ответ без отрицаний, стоящих перед скобками и без внутренних
скобок.
756. Первый закон идемпотентности можно записать так (р . р) <-> р = 1.
Исключите из него знак двойной импликации и упростите полученное
выражение.
757. Исключите знаки импликации и двойной импликации из
выражения р <-> (т -> г) и запишите ответ без отрицаний перед скобками и без
внутренних скобок.
758. Выразите функцию г -> (s <-> t) без знаков импликации,
эквивалентности, внутренних скобок и отрицаний, стоящих перед скобками.
759. Выразите функцию ~~г у s в виде импликации.
760. Выразите функцию ~г у s у ~ t как импликацию, не содержащую
знака отрицания.
761. Выразите функцию (~-т • ~п) у (т • п) в виде двойной
импликации.
762. Выразите функцию р V Я V г как импликацию шестью различными
способами.
После того как из выражений функций высказываний
исключены все знаки импликации и двойной импликации, их можно
поставить в соответствие некоторым функциям множеств (в бинарной
булевой алгебре) и, наоборот, все функции множеств соответствуют
некоторым функциям высказываний. Следовательно, все методы
преобразований функций множеств становятся применимыми к
функциям высказываний, так как все законы общей алгебры
множеств сохраняются в булевой алгебре любого порядка, в частности
в бинарной.
Таким образом, всякая функция высказываний может быть
представлена в виде формулы, в выражение которой не входят знаки
импликации и двойной импликации; кроме того, после того, как
это проделано, всегда можно с помощью указанных выше методов
исключить все отрицания перед скобками, все внутренние и все
лишние скобки. Следовательно, всякая функция высказываний может
быть представлена в виде строки термов.
Упражнение.
763. Каждую из следующих 8 функций представьте в виде строки термов.
Результат проверьте с помощью таблиц истинности:
a) ( ~ Р ~> Я • г) • s; е) ~ (р -> q) у {г - s);
b) (p-+q)-(r->s).t; f) ~l(p-+q)-(q-»r)]\
c) KP-*q) ■ (r->s)]ys, g) ~ [~ (p.?).~ (r-s)] • ft
d) \{r «-► m) • s] -> ft h) p • [q \Jr\ -> s.
§ 8. Упрощение строи термов
«Упрощение» мы будем здесь понимать в том смысле, что
новая, упрощенная, строка термов содержит по сравнению с исходной
либо меньшее число термов, либо меньшее число вхождений букв.
Для упрощения строк термов в алгебре высказываний могут
210
быть применены те же методы, которые применялись для строк
термов в алгебре множеств. Так как символика и терминология,
применяемые в алгебре высказываний и в алгебре множеств несколько
различаются между собой, то мы все же сделаем краткий обзор
методов упрощения строк термов применительно к алгебре
высказываний.
Запишем обобщения законов поглощения:
Р • (/A/<7iV<72V .- N/9/i) = Р\
р V (р • ?i • Q2... qn) = р;
Р ' (pV?i) • (pV?2) ... (pV<7„) = р;
P\f(P ' <7i)V(p ' 92)...V(P ' <7„) = p.
Таким образом:
(1) Если какое-либо выражение, входящее в формулу в виде
отдельного терма, кроме того, является частью, содержащейся внутри
другого терма, то все такие другие термы могут быть отброшены.
Для дальнейших упрощений используются также следующие
четыре тождества:
pVO-p; р - 1 = р; /Л/1 = 1; р. 0 = 0.
На основании их мы можем записать:
pV(</ • ~?) = р; р • (q\J ~ q) = Р-
pV(?V~<7) = 1 и р(<7 • —9) = 0.
Таким образом:
(2) Во всякой дизъюнкции термов можно отбросить все термы,
равные 0 (тождественно ложные термы).
(3) Во всякой конъюнкции термов можно отбросить все термы,
равные 0 (тождественно истинные термы).
(4) Если в какую-либо дизъюнкцию термов входит терм, равный
1, то и вся дизъюнкция равна 1, т. е. тождественно истинна.
(5) Если в какую-либо конъюнкцию термов входит терм, равный
0, то и вся конъюнкция равна 0, т. е. тождественно ложна.
Теперь используем справа налево дистрибутивный закон:
(Р • <7)V(p • г) = р • (qVr);
{Р\/Ф ' (/Л/г) =/Л/(<7- г)
(эти формулы, очевидно, могут быть обобщены).
Значит, есла какая-либо буква входит в несколько термов, то
мы можем вынести ее за скобку так, что она будет входить во все
выражение только один раз.
Это правило совершенно аналогично правилу вынесения за
скобки общего множителя в обычной алгебре. Например:
(р • q) V (р • г) V (p-~s) = p • (9V r. V -5).
(6) Можно вынести за скобку всякое выражение, общее для двух
или для большего числа термов.
211
Используем теперь снова справа налево дистрибутивный закон
для выражения (р • q) V (р — q) = Р (q • V — q) = Р- Точно
так же (р V q) • (р V— <7) = Р-
Таким образом:
(7) £Ъш dsa терма одинаковы во всем, кроме того только, что
какая-либо буква входит в один из них со знаком отрицания, а в другой
без этого знака, то их можно заменить одним термом, равным их
общей части.
Упражнения,
764. Упростите в указанном выше смысле данные функции. Результат
проверьте с помощью таблиц истинности:
a) {pyqyr) - (pV?V~ r)\ g) m . (~ p\/mys).t-(t\/~ q)\
b) (rys\/~t) -/-(pv-sv ~ t)\ h) (r-~r)\/s\t(p-~p)\iq\
c) sV (t • s • /n); /) p-~(p*q) (Указание: приведите
выражение к строке термов);
d) (tyryq) • (sv~ s); /) л-s- - s-(t V ~ ^V?);
*) q(PVq)- P\ k) [~(PV q)\l r]> ~[(s\/ r)> ~(py qy r)]-t- ~t\
f) q\/(pV~ p)V(rV -r)ys; I) (r . s . 0V('- f • s)Vs.
765. Представьте p\/~(q*~ r)\/~ (~ p\/q\/~ г) так, чтобы в
полученном выражении было только три вхождения букв.
766. Представьте данное выражение (р« q»r) V(~P* ~<7* ~г) \/(p»~q*~r) V
\/{~p-q-r)\/ (p»q-~r) (~p-~q> - г) так, чтобы оно содержало минимально
возможное число вхождения букв.
767. Представьте функцию (pVqVrys) • (pV ~q\/rys) -s так, чтобы ее
выражение содержало минимально возможное число вхождения букв.
768. Представьте функцию [t~(r\/s)] • [(S't) -г] в виде строки термов, а
затем упростите полученное выражение.
769. Проверьте в предыдущих упражнениях с помощью таблиц
истинности совпадение исходных функций и функций, полученных в результате
преобразований.
Иногда оказывается полезным для сокращения числа вхождения
букв повторить в выражении какой-либо терм. Например,
рассмотрим функцию (р V q)- (—р V q)-(~P V —Я)> повторим второй
терм и получим: (р V q)-(—p\/q)-{—р V q)'{—pV—q)-
Комбинируя между собой два первых и два последних терма, мы придем
к простому выражению q • — р.
Другим способом, приводящим к упрощению, оказывается
иногда введение новых букв внутри термов. В предыдущей главе мы
производили такое введение, рассматривая каждый терм в
отдельности. Так, например, можно ввести букву г в терм {р V q) и
получить: {р V q V г) • {р V q V ~ г).
Упражнения.
770. Упростите F = (р« ~q) V(~ p*q-r) У(Р'г).
Ответ:
/7 = (P-~?)V(~P-<7t)V(Pt) =
= (p-'7)V(-P"7'OV(p-HV(p-H=(P-'/)V(^r).
212
771. Упростите: а) (т-~р)у (т- ~r)\/(~ni'p-~r)\
b) (~r.~s)v(r.s.t)v(~r.t)\
c) (-~p.q.r)v(~p~q.r)vp\/{~p-~q'~r)vs.
Обзорные задачи.
772. Упростите данные функции, насколько это возможно:
a) rV{p~p)\J(q-~q)\ f) p\(q-r)-+r\ - (r\J ~r)\
b) rv~[q-*(qvt)\\ g) s-r \(p.q)++(q-p)\;
c) p\J{p-~p)\iq\ h) p\/(q-~p)\
d) p.q(r\/~r)\ i) {~~[~(~p)]->~p}-q-rt
e) p.q[s-+(svt)\-s; j) q-(pV-q).
773. Представьте функцию (r\/~ s).(—rVsV 0-(r\/1) так, чтобы ее
выражение содержало минимально возможное число вхождений букв.
774. Представьте функции a) (p*q)->r и b) p++(r\/s) в виде строк термов.
775. Представьте функцию ~ (p-q)\Z[r-(syq)\ \Jr в виде строки термов,
содержащей только 3 вхождения букв.
776. Представьте (р -> q) -> (q -> г) в виде строки термов, содержащей
только 2 вхождения букв.
777. Представьте (р-> q) -> \(р у г ) -> q\ в виде строки термов с
минимальным числом вхождений букв.
778. Какая строка термов истинна ттогда, когда одно и только одно из
трех высказываний р, q и г истинно?
779. Какая строка термов истинна ттогда, когда два и только два из трех
высказываний p,q и г истинны?
780. Выразите функцию (~~ r\/ s) как импликацию.
781. Проверьте результаты предыдущих упражнений с помощью таблиц
истинности.
§ 9. Упрощение системы высказываний
Пусть Fu F2 ... Fn — какие-либо п функций высказываний.
Тогда Fu F2... Fn истинны одновременно ттогда, когда истинна их
конъюнкция Fi • F2 •....• Fn.
Это позволяет значительно упростить системы высказываний.
Для упрощения некоторой системы высказываний, каждое
из которых истинно, нужно: 1) записать каждое
высказывание так, чтобы в его выражение не входили знаки
импликации и двойной импликации, 2) записать всю полученную систему
высказываний в виде одного высказывания, 3) упростить
алгебраически полученную в результате конъюнкцию.
Рассмотрим систему из трех высказываний:
(i) р -+ т\ (И) г -► т\ (Hi) (т • г) -* р.
Из них образуем систему: (/) ~ p\Jт\ (И)—г V tn\ (Hi) —mV —
~r\J p.
Затем составим их конъюнкцию:
(mV~p) • (mV~r) • (~ т V~r V р) =
= (т\/~р)-(т\/.~г\/.~р)(тУ.~г\/ p)-(~mV ~ r\Jp) =
= (mV~p)-(~r Vp).
213
Следовательно, все из данной системы высказывания будут
истинны ттогда, когда будут истинны высказывания (/) р -* т\
(а) г -* р. Значит, данная система трех высказываний оказалась
логически эквивалентной полученной системе из двух
высказываний.
Упражнения.
В каждом из первых трех упражнений замените данную систему
высказываний более простой системой указанным выше способом.
782. а) г->(ру<7); Ь) (q-r)->p, с) (p-q)-+r.
783. a) p-*(r\/q)\ Ь) q-*(r\/p))\ с) (p-q)-+r.
784. a) s-+t; b) s-+(t\/m)\ с) t-*m.
785. Управляющий хозяйством самоварной фабрики издал следующие
распоряжения:
(/) Если рабочий получает специальное указание, то он должен уйти
с работы.
(И) Если он не получил специального указания, то он не должен уходить
с работы или он не получит выходного пособия.
(Hi) Рабочий или не получает выходного пособия, или не получает
специального указания.
Покажем, как можно упростить эту систему распоряжений. Пусть р =
«он получил специальное указание», q ==■ «он должен уйти с работы» иг = «он
получил выходное пособие».
Тогда мы будем иметь:
(i)p~+q (t)-pyq (i)-pvq
(Н)~р-+ (~qV~r) (ii) (q-r) -+p (H)-qW -r\Jp
(Hi) — r V ~ P (Hi) — r V ~ P (Ш) ~ r\j ~~ p
(~ PVq)-(PV ~ qV -~r)-(~py ~r) =■
=(~ PVЯ)-(РЧ ~qV ~r).(~py qy ~r)-(~pv - qv ~ r) =*
={~ pvq)-(pv~ qv~r)-(~ pv~ qv~ r) =*
=(~PV<7)'(~ q\/~r).
Следовательно, (1) p -> q и (2) q -^ — л.
Таким образом, упрощенные правила имеют вид:
(1) Если рабочий получает специальное указание, то он должен уйти с
работы.
(2) Если он уходит, то он не получает выходного пособия.
786. Проверьте решение упражнения 785 с помощью таблицы истинности.
787. Командир осажденной крепости послал следующие три сообщения:
(i) Если нам удастся получить продовольствие, то нам не будет угрожать
смерть от голода, (и) Если нам не удастся получить продовольствие, то или
нам будет угрожать смерть от голода, или мы попытаемся прорвать кольцо
окружения. (Hi) Если нам будет угрожать смерть от голода, то мы попытаемся
прорвать кольцо окружения.
Покажите алгебраически, как можно сократить эти сообщения, не меняя
их смысла.
788. Упростите следующую систему высказываний:
(i) p^(qyr); (Ш) r-+(q\/-~p)\
(ii) w-> (svO; (iv) (w-t) -> ~ s.
789. Упростите следующую систему высказываний:
(i) w-*{m\fs)\ (iv) m-+(s\jw)\
(П) r->t\ (v) p-^{t\jr).
(Hi) ~ q->t\
214
790. Упростите следующую систему высказываний:
(i) ~m->(n\/p); (iv) т-*(п\/р)\
(ii) п~>[~~(т.р)\ (v) (m-p)-^n;
(Hi) р-> (ту ~ п)\ (vi) (~ т» ~ п) ->р.
Рассмотрим теперь тот случай, когда известно, что в данной
системе высказываний по крайней мере одно является
истинным. Из системы функций истинной является по крайней
мере одна ттогда, когда истинна дизъюнкция этих функций. Таким
образом, если известно, что по крайней мере одна из функций Fu
F2, ..., /^ является истинной, то их дизъюнкция /^V^V ••• V Fn
является истинной (и обратно). Это обстоятельство также может быть
использовано для упрощения выражений. Пусть, например,
известно, что истинным является по крайней мере одно из высказываний:
(i) р • q • ~ г; (ii) р - ~ q - ~ г и (ш) ~ р ~ q-r. Наше
условие равносильно истинности дизъюнкции (p-q—г) V (р—q —
— r)V (—Р-—q-r), которая эквивалентна более простой
дизъюнкции (р • ~r)V(~p-~<7 • г).
Упражнения.
791. Администрация небольшого порохового завода спешно дала в связи
с неожиданным приходом правительственного инспектора следующие
директивы по службе безопасности:
Должно выполняться по крайней мереодноиз следующих
правил:
a) Если инспектору разрешается на заводе курить, то (/) постоянный
выход должен быть освобожден и (И) он не должен быть освобожден.
b) Или (i) рабочие должны быть предупреждены и бригадир должен
принять меры к быстрому уничтожению окурков, или (И) инспектору не
разрешается курить на работе.
c) Инспектору не разрешается курить на работе.
d) Рабочие должны быть предупреждены, и бригадир должен принять
меры к быстрому уничтожению окурков.
Как можно упростить эти директивы?
Решение: Введем следующие обозначения:
s = инспектору разрешается курить на работе;
р = постоянный выход должен быть освобожден;
w = рабочие должны быть предупреждены;
q = бригадир должен принять меры к быстрому уничтожению
окурков.
Директива может быть выражена следующим образом:
ay by су d = (s -+ \р- ~ р\)у (\w-q\y - s)V(~ s)V(w.q) =•
= ~sv(p-~ p)y(w>q)y~ sy~ sV(w.q)=z
= ~ sy(w-q) = s-> (w-q).
Следовательно, вся директива может быть сведена к следующей: если
инспектору разрешается курить на работе, то а) рабочие должны быть
предупреждены и Ь) бригадир должен принять меры к быстрому уничтожению
окурков.
792. Алхимик, посаженный в тюрьму за ересь, последовательно получил
шесть секретных сообщений, которые были закодированы с помощью овощей
вложенных в его суп; они касались его намерения перевести свинец в золото.
215
Первое сообщение. Ваше намерение перевести свинец в
золото будет осуществлено (дальше это кратко будет именоваться «намерение
будет осуществлено»). Королева утвердит вашего зятя настоятелем к 1 апреля
1457 г. (дальше это кратко будет именоваться: «королева утвердит»); ваше
обвинительное заключение будет передано настоятелю к этому времени
(«обвинение будет передано»).
Второе сообщение. Намерение не будет осуществлено,
королева не утвердит, и обвинение не будет передано.
Третье сообщение. Намерение будет осуществлено, королева
утвердит, и обвинение не будет передано.
Четвертое сообщение. То, что следует далее, неверно. Или
намерение будет осуществлено, или королева утвердит, или обвинение не
будет передано.
Пятое сообщение. По крайней мере одно из предыдущих
сообщений истинно.
Шестое сообщение. Полученная вами информация абсолютно
надежна.
Как может алхимик упростить наилучшим образом всю полученную им
информацию? Выразите ответ в виде одного тождества.
793. Упростите утверждение: «по крайней мере одно из следующих
высказываний ложно: а) т->р\Ь) т->г\ с) р->(т>г)ъ.
794. Упростите утверждение: «по крайней мере одно из следующих
высказываний истинно: а) ~ (р-><7); Ь) ~ q*p\ с) ~ q>r; d) ~~ (г->р)».
§ 10. Ловушки
Одно то, что мы умеем сокращать строку термов путем
группировки или комбинирования термов между собой, еще не означает, что,
действуя таким образом, мы всегда придем к простейшему
результату. Здесь снова нас может подстерегать ловушка, подобная той,
о которой шла речь в предыдущей главе. В таких случаях для
получения простейшего результата оказывается необходимым
вернуться снова к первоначальному выражению и затем начать
комбинировать термы каким-либо другим способом.
Пусть, например, требуется упростить выражение:
(~pV?)-(~pVr)-(pV~9)-(pV~r)-(9V~r).(~?Vr).
Попробуем сделать это путем введения р в последние два терма.
Тогда, используя закон поглощения, мы получим:
(~р V 9)-(~р V r).(pV~<7MpV~r).
Но это не самый простой вид для данного нам выражения.
Можно получить более простой, если снова вернуться назад и ввести
недостающие буквы во второй, третий и пятый члены. Тогда
выражение примет вид:
(Р V~r) 'HVr)-HV <?).
Полученное выражение можно преобразовать, далее, к виду:
(г -» р) • (q -> г) • (р -> q), а это означает, что р ++ q <-> г.
Можно проверить, что это выражение совпадает с исходной
функцией.
216
Упражнения.
795. Проведите все шаги, выводящие из описанной выше ловушки.
796. Представьте в простейшей форме выражение
(~pV?V0-(~PV<7V~r).(~pVr).
797. Представьте в простейшей возможной форме выражение
(~/--sOv(~r.s~ t)V(~r.~ s./)V(r-~ s)v(r-~ 0V(s— 0V(~s-f).
§11. Совершенная дизъюннтивная нормальная
форма
Пусть S — некоторое множество высказываний р, q, г,...»
Любая строка термов, которая содержит в алфавитном порядке
каждое высказывание из S один и только один раз и не содержит
знака дизъюнкции, называется первой совершенной
формой1 или элементарной совершенной
конъюнкцией для S. Так, например выражение р — q— г • s
представляет собой первую совершенную форму, или элементарную
совершенную конъюнкцию над множеством переменных р, q, r и s.
Оно не будет являться совершенной формой ни для какого другого
множества переменных. Другим примером элементарной
совершенной конъюнкции для этого же множества переменных будет
выражение —р—q • г • s.
Всего для этого множества можно указать 16 различных первых
совершенных форм, так как в каждую форму каждая буква может
входить или со знаком отрицания или без него.
Все первые совершенные формы над множеством S (их будет 2П,
если число переменных равно я), мы можем записать их в
нормальном порядке т0; mi\...\ m,; ... ; т2п_1 точно так же, как это
делалось для первых совершенных нормальных форм над
совокупностью множеств (§ 13 гл. VI). В силу этого условия элементарная
совершенная конъюнкция —р • q • г • s над множеством
переменных р, q, r, s может быть обозначена через т3.
Упражнения.
798. Какой номер имеет элементарная совершенная конъюнкция
799. Какой вид имеет элементарная совершенная конъюнкция т: над
множеством р, q, r и s?
800. Какой вид имеет элементарная совершенная конъюнкция тг. над
множеством г, s, t и до?
801. Чему равна элементарная совершенная конъюнкция т1 нид
множеством р, q, г, s и О
1 Мы будем называть это выражение первой совершенной формой для
системы высказываний S из-за полной аналогии этого понятия с понятием
первой совершенной формы, рассмотренной в § 13 гл. VI. В самом деле, если
в любой первой совершенной форме для некоторой совокупности множеств
заменим обозначения множеств а, Ь, с... обозначениями р, q, r..., знак f)
знаком • , знак (J знаком V и штрихи знаками отрицания, то получим в
результате первую совершенную форму для системы высказываний.
217
Мы будем говорить, что F(S) имеет совершенную
дизъюнктивную нормальную форму, или сокращенно
с д н ф, ттогда, когда она выражена как дизъюнкция некоторых
элементарных совершенных конъюнкций над S, записанных в
нормальном порядке1. Очень важным является то обстоятельство, что
всякая булева функция высказываний F(S) может быть
представлена как дизъюнкция некоторых элементарных конъюнкций
hsS.
Привести каждую функцию к совершенной дизъюнктивной
нормальной форме (сднф) можно, как и в предыдущей главе,
алгебраическим методом. Для этого нужно:
1) выразить эту функцию в виде строки термов, которая
представляет собой дизъюнкцию некоторых конъюнкций, и
2) выразить каждый терм в нормальной форме.
Для примера рассмотрим функцию/7 = [(р -> q) V q] -* (f • ?)>
таблица истинности которой изображена на рисунке 64. Исключим
сначала знак импликации: получим [(~р V q) \J q] -* (г - q) =
=~(~pV<7)V(/,'</)==(p-~?)V (r ♦ q). Затем, рассматривая каждый
терм, представим его в нормальной форме, вводя в него все
недостающие в нем переменные. Наконец, упорядочим все выражение,
записав все полученные члены и все буквы в нормальном
порядке:
F = (р . ~q .~ r)V(p • ~q ■ r)V(p • г • <7)V(~P • г • q) =
=(~Р • г • q)\J{p • ~ q • ~ г) V(P • ~q • r)V(p • q . г).
Последнее выражение представляет собой сднф функции F.
У п р а ж и е н и я.
802. Приведите a) (rys)<r>t;
b) (р -> г) -* s;
c) r-»(s->/) к сднф алгебраическим путем.
803. Выпишите сднф для функции (~ p-q)\/(p-q-r), рассматривая каждый
терм в отдельности.
804. Выпишите сднф для функции p\/q.
Приведение произвольной функции высказываний к
совершенной дизъюнктивной нормальной форме можно также осуществить,
не заботясь о предварительном представлении функции в виде
строки термов и не рискуя при этом попасть в ловушку. Сднф
представления любой функции может быть непосредственно получена путем
чтения последнего столбца истинности для этой функции.
Рассмотрим для примера ту же функцию F = [(р -> q) V q]-+(r • q),
о которой уже шла речь выше. Таблица истинности этой функции
изображена на рисунке 64.
1 Мы будем считать, что 0 является членом всякой дизъюнктивной нор-
мальной формы, но выписывать этот член будем только в том случае, когда
других членов в форме нет.
218
Заметим, что F истинна при следующих значениях аргументов
р, q и г (011), (101), (100), (111). При этих же значениях
переменных и только при них истинны элементарные совершенные
конъюнкции с двоичными номерами, 011, 101, 100, 111, т. е. конъюнкции (—р-
• q • г), (р -~ q • г), (р • ~<7*—г,), (р • q • г) (так как конъюнкции
истинны ттогда, когда все входящие в них высказывания равны 1).
Отсюда следует, что при этих значениях переменных и только при
них истинна функция:
ф = (~ р . q . r)\f(p ■ ~ q ■ г) V (р • ~ q ■ ~r)V (P ■ q ■ г).
Следовательно, наша функция F и функция Ф имеют одинаковые
таблицы истинности (в этом можно убедиться, выписав обе таблицы),
а значит, они равны между собой.
Итак, F = (р -» q) Vq -*(r ■ q) = Ф (~р • q ■ r)\J(p ■ ~ q •
•r)V(p- q- ~r)V(p- ?• r).
pq г
0 0 0
0 0 1
0 10
0 11
10 0
10 1
110
1111
p—q
1
1
1
1
1 °
0
1 1
1
(p-q )yq
1
1
1
1
0
0
1
1
r-q
0
0
0
1
0
0
0
1
F
0
0
0
1
1
1
0
1
Рис. 64. Таблица истинности функции [(р -» р) \vq\ -> (г • q).
Описанное правило можно сформулировать в общем виде. Для
того чтобы привести произвольную функцию к совершенной
дизъюнктивной нормальной форме, надо:
1. Написать таблицу истинности для этой функции (это можно
сделать всегда, независимо от того, представлена (функция в виде
строки термов или нет).
2. Найти все наборы значений переменных, при которых функция
принимает истинное значение.
3. Написать дизъюнкцию элементарных совершенных конъюнкций
соответствующих этим наборам значений.
Исходная функция равна выписанной сднф.
В § 13 будут выписаны теоремы о совершенных дизъюнктивных
нормальных формах, соответствующие теоремам о первых
совершенных нормальных формах для множеств1,
1 См. § 13 гл. VI,
219
Упражнения.
805. Решите упражнение 802, воспользовавшись методом таблиц
истинности.
806. Воспользовавшись таблицей истинности, изображенной на рис. 62,
выпишите сднф для функции \(р -*• q) • q] -> p.
807. Таблица истинности некоторой функции от переменных р, q и г
такова, что ее последний столбец имеет вид 10100100. Что это за функция?
808. Последний столбец таблицы истинности функции F (p, q, r) есть
двоичное представление числа 185. Какова эта функция?
809. Сколько существует различных способов возможного заполнения
последнего столбца таблицы истинности? Сколько существует различных
булевых функций от п переменных?
810. В соответствии с упражнением 808 укажите краткий и удобный
способ, позволяющий охарактеризовать любую булеву функцию высказываний
одним числом.
811. Найдите сднф функции \(r -> s)«s] -> [t*r\> используя ее таблицу
истинности.
812. Выпишите сднф для тождественно ложной функции от 6
переменных.
813. Выпишите сднф для тождественно истинной функции от 2
переменных г и s.
814. Выпишите сднф для функции р V q* используя таблицу,
изображенную на рисунке 57.
815. Из различных довольно ненадежных источников Мак Грегор
получил одновременно три следующих сообщения:
(/) Приезжают Кэмпбеллы.
(и) Если дороги будут размыты дождем или Малькольм напьется пьяным,
то Кэмпбеллы не приедут.
(Ш) Ложно то, что если дороги будут размыты дождем, то Малькольм
напьется пьяным.
Мак Грегор знает из вполне достоверного источника, что по крайней
мере одно из трех полученных им сообщений правильно. Пусть п = «Кэмпбеллы
приезжают (ура!)», т — «Малькольм напился пьяным» и г = «дороги размыты
дождем». Покажите, как можно представить всю информацию, полученную
Мак Грегором, в совершенной дизъюнктивной нормальной форме.
816. Упростите ответ упражнения 815.
§ 12. Совершенная конъюнктивная нормальная
форма
Пусть 5 — некоторое множество высказываний р, q, r,... . Тогда
любая строка термов, которая не содержит знаков конъюнкции и
содержит в алфавитном порядке каждое из входящих в S
высказываний один и только один раз, называется второй
совершенной формой или элементарной
совершенной дизъюнкцией над множеством высказываний S.
Так, например, выражение ~р V Ц V — г \l s представляет
собой вторую совершенную форму (элементарную совершенную
дизъюнкцию) от переменных р, q, r и s.
Всего существует 16 элементарных совершенных дизъюнкций
от этих 4 переменных и различных элементарных совершенных
дизъюнкций от п переменных. Все элементарные совершенные
дизъюнкции над множеством S могут быть записаны в нормальном поряд-
220
кеМ0, Mif ..., М2п_{по тем же правилам, какими мы
руководствовались в случаях элементарных совершенных конъюнкций и для
совершенных форм множеств. Так, например, для случая 4
переменных М9 = р V — Ц V — г V 5.
Мы будем говорить, что F(S) представлена всовершенной
конъюнктивной нормальной форме, или с к н ф,
ттогда, когда она выражена в виде конъюнкции некоторых
элементарных совершенных дизъюнкций над5, взятых в нормальном
порядке1. Всякая булева функция высказываний может быть
представлена как конъюнкция элементарных совершенных дизъюнкций
из S.
Для того чтобы представить произвольную функцию в
совершенной конъюнктивной нормальной форме, можно поступить так:
1) выразить функцию в виде строки термов, которая является
конъюнкцией некоторых дизъюнкций;
2) рассматривая каждый терм, привести его к виду элементарной
совершенной дизъюнкции, приписывая все недостающие члены.
Для примера рассмотрим функцию
f = [(p-?)V?]-(r' q).
Исключая обычным путем знаки импликации, мы придем к
выражению
F = (р— q) V (г • q). Однако это выражение не
представляет собой конъюнкции дизъюнкций; для приведения к этому виду
мы должны применить распределительный закон. Мы получим:
f = (pVr)-(pV?)'HVr).
Теперь рассматриваем каждый терм и вводим в него по
известным правилам недостающие переменные. Будем иметь:
F = (Р V ~ q V г) • (р V q V г) • (р V q V~ г) . (~ p\/~q\/r).
После этого упорядочим все термы и получим скнф
рассматриваемой функции:
F = (~p\/~q\J r).(pV~<? V r).(pV q V ~ г) • {p\lq\/r).
Во многих случаях представление функций в совершенных
нормальных формах является способом систематического упрощения
выражений, однако этот метод, как правило, не является наиболее
коротким и не приводит к простейшему выражению.
Упражнения.
817. Какой номер имеет элементарная совершенная дизъюнкция -~р\/ q у г?
818. Чему равна элементарная совершенная дизъюнкция Mj от
переменных р, q, r и s?
819. Приведите (r\/s)*+t к скнф.
820. Приведите (р -> г) -> s к скнф.
1 Мы будем считать, что 1 является членом всякой конъюнктивной
нормальной формы, но выписывать этот член будем только в том случае, когда
других членов в форме вовсе нет.
221
821. Приведите r->(s-*t) к скнф.
822. Приведите (~ p-q)\J(p*q*r) к скнф.
823. Рассматривая каждый член, выпишите скнф для функции
(~P\/~q)-(p\/q\fr).
824. Выпишите скнф для функции (r\/s).(~ r\/t).
825. Представьте функцию F — (pVЯ)-(ЯУ 0*(PV ~~r) так, чтобы
полученное выражение содержало только 4 вхождения букв, первоначально
приведя эту функцию к скнф.
826. Сднф для всякой функции может быть непосредственно выписана
путем рассмотрения ее таблицы истинности. Можно ли использовать
аналогичный прием для нахождения скнф?
827. Какова скнф для тождественно истинной функции?
828. Упростите следующее высказывание: «Если лошади едят овес, то
олени тоже едят овес; и если маленькие телята едят траву, то олени едят овес;
и если лошади едят овес, то ложно то, что маленькие телята едят траву».
Выразите все высказывание в виде одной импликации.
§ 13. Некоторые теоремы о совершенных нормальных
формах
В предыдущей главе были рассмотрены некоторые теоремы о
совершенных нормальных формах функций множеств. В этом
параграфе мы хотим рассмотреть соответствующие теоремы,
относящиеся к совершенным дизъюнктивным и конъюнктивным нормальным
формам для функций высказываний.
Мы не будем снова подробно рассматривать все теоремы, так
как это было уже сделано в предыдущей главе. Мы только выпишем
все эти теоремы и дадим примеры применения некоторых из них
(теорем 5,6, 8 и 9); эти примеры оказываются поучительными и
часто бывают полезны.
Все совершенные формы, о которых пойдет ниже речь, будем
считать заданными на некотором множестве S из п переменных.
«Термом» будем называть лишь терм, входящий в совершенную
нормальную форму представления функции F.
Теорема 1а. Существует 2п различных элементарных
совершенных конъюнкций (первых совершенных форм).
Теорема lb. Существует 2п различных элементарных
совершенных дизъюнкций (вторых совершенных форм).
Теорема 2а. Дизъюнкция всех элементарных совершенных
конъюнкций равна 1.
Теорема 2Ь. Конъюнкция всех элементарных совершенных
дизъюнкций равна 0.
Теорема За. Конъюнкция всяких двух элементарных
совершенных конъюнкций равна 0.
Теорема ЗЬ. Дизъюнкция всяких двух элементарных
совершенных дизъюнкций равна 1.
Теорема 4. Всего существует 2п различных булевых
функций высказываний от S.
Теорема 5а. Всякая конъюнкция переменных (взятых
со знаком отрицания или без него), равна дизъюнкции всех тех эле-
222
ментарных совершенных конъюнкций, в которые входит данная
конъюнкция.
Теорема 56. Всякая дизъюнкция переменных, взятых
каждая со знаком отрицания или без него, равна конъюнкции всех тех
элементарных совершенных дизъюнкций, в которые входит данная
дизъюнкция.
Теорема 6а. Отрицание —F всякой функции F равно
дизъюнкции тех и только тех элементарных совершенных конъюнкций,
которые не входят в сднф функции F.
Теоремабб. Отрицание -^F всякой функции F равно
конъюнкции тех и только тех элементарных совершенных дизъюнкций,
которые не входят в скнф функции F.
Теорема 7а. Всякая элементарная совершенная конъюнкция
есть отрицание некоторой элементарной совершенной дизъюнкции.
Теорема lb. Всякая элементарная совершенная дизъюнкция
есть отрицание некоторой элементарной совершенной конъюнкции.
Теорема 8. Для любой функции F сумма числа элементарных
совершенных конъюнкций и дизъюнкций {входящих, соответственно,
в ее сднф и скнф) равна 2п.
Теорема 9. Если функция F представлена в одной из
совершенных нормальных форм, то можно получить следующим образом
ее отрицание —F.
(О переменить всюду местами знаки V и .;
(и) всякое переменное, входившее в выражение для F без
отрицания, взять с отрицанием;
(iii) всякое переменное, входившее в выражение F с отрицанием,
взять без отрицания.
Для иллюстрации применения этих теорем будем считать наше
множество состоящим из 4 переменных р, q, r и s. Следовательно,
над S существует по 16 элементарных совершенных конъюнкций и
дизъюнкций.
Поясним применение теорем 5а и 56. Рассмотрим конъюнкцию
двух переменных р • —q. Согласно теореме 5а ее можно записать
так:
р • ~ <7 • =•
(р . _ q . ~г . ~ s)V(p • ~<? — г • s)V(p • ~ q • г • ~ s).
Запишем теперь, пользуясь теоремой 56, дизъюнкцию трех
переменных q V г V s. Она равна:
q \Jr V s • s . (~ p V q V r V s) V (p V q V r V s).
Обе эти теоремы могут применяться при приведении функции к
одной из совершенных нормальных форм.
Упражнения.
829. Приведите (p-q)\f(r»s) к сднф путем рассмотрения каждого члена.
830. Приведите (p\jq\Jr)-(^ r ys) к скнф путем рассмотрения каждого
члена.
223
831. Приведите py(q-r*s) к сднф путем рассмотрения каждого члена.
832. Сколько членов содержит сднф представления переменной р, если
каждая элеуентарняя совсршпнля конъюнкция содержит п переменных
р. я> г, . . . ?
833. Сколько члеьов содегж**т скнф представления функции p\fq> если
в каждую элементарную совершенную дизъюнкцию входит п переменных?
834. Упростите выражение (~ ру qу ~ гV ~ s)-( — ру q у — г у s) •
• {рУ qy ~~ ry ~-$) • (ру qy ~ ry s) с помощью теоремы база один шаг.
835. Упростите выражение (~р- ~~ q ~ r) v(~ Р «~ Я'Г)У(-~ Р • Я • ~ г) V
V(~ P'q-r)ys с помощью теоремы 5а.
Если функция задана в сднф, то мы можем получить сднф для ее
отрицания при помощи теоремы 6а. Пусть, например, мы хотим
найти отрицание функции:
F = ~p.V(p—?)-V(/>-~<7)-V (p-<7~/"~s)V(p-?—r-s).
Не производя фактического представления данной функции в сднф,
мы видим, что — р равно дизъюнкции первых 8 элементарных
совершенных конъюнкций, (р • ~~ q) —дизъюнкции следующих 4
совершенных конъюнкций, а члены (р • q — г — s) и (р • q •
-~г • s) сами представляют собой две следующие за ними
элементарные совершенные конъюнкции. Таким образом, в сднф для F не
входят только ти и т15. Следовательно, по теореме 6а функция
—F должна равняться
(р • q • r.~s) • (р • q • г - s).
Здесь специально выбран простой пример, однако и в любом другом
случае мы можем записать сднф для отрицания функции как
дизъюнкцию всех недостающих в выражении функций элементарных
совершенных конъюнкций.
В силу принципа двойственности (теорема 6Ь) мы можем
применить эти же рассуждения для образования скнф отрицания данной
функции. Например, мы получаем:
<4~P-(PV~ q V ~г) - (р \/q V г V s)] = (pV - <?VrV~s)-
•(pV~q\/r V s).(p\/ ^V~/*V~s).(p V ^V-'-Vs).
.(p V<?V/V~s).
Здесь применение теоремы 66 быстрее привело к окончательному
результату, чем другие алгебраические методы. Отметим также,
что из рассмотрения последнего столбца таблицы истинности для
функции F мы можем сразу же записать сднф функции ~F, если
будем пользоваться теоремой 6а.
Упражнения.
836. Используя теорему 6а, найдите отрицание функции (- р«-<7» ~~r)Vs.
837. Используя теорему 6fr, найдите отрицание функции (~ pV - q)>
•(- pyqVrys)-(py - r).{pyqvr).
838. Дана функция F (p, q, r) = (p»q)yr.
а) Приведите F к сднф. Сколько членов входит в сднф?
224
b) Приведите F(p, qy r) — (p*q)\Jr к скнф. Сколько членов входит в скнф?
c) Дает ли сумма числа членов сднф и скнф результат, согласующийся
с выводом теоремы 8?
839. Скнф для некоторой функции от 3 переменных содержит 6 членов.
Какая из двух совершенных нормальных форм представления данной
функции проще — сднф или скнф?
840. Если сднф для некоторой функции от 4 переменных содержит 5
членов, то сколько членов содержит скнф этой же функции?
Если некоторая функция высказываний дана в одной из своих
совершенных нормальных форм, то с помощью теоремы 8 мы можем
выяснить, является ли вторая совершенная нормальная форма
представления этой же функции проще или сложнее данной. Допустим,
например, что сднф некоторой функции от 3 переменных содержит
5 членов. В этом случае мы можем сказать, что скнф этой функции
проще сднф, так как она будет содержать только 3 члена.
С помощью теоремы 9 мы можем осуществить переход от
представления функции в одной совершенной нормальной форме к
представлению в другой. Приведем, например, преобразование функции
F = (~p.~q.~r) \J(~p.~q.r) V (~Р-9—')V(~Р • <7 ■ r)\f
V(P ' ~q ' -г)
в совершенную конъюнктивную нормальную форму. Это
преобразование будет состоять из двух шагов.
Сначала используем теорему 6а и выпишем все элементарные
совершенные конъюнкции, входящие в сднф для —F:
F = (p.~q.r) V (Р- Ц.~г) V (р • q • г).
Затем используем теорему 9 и получим, что:
F=(~pV qV~r) • (~pV~? V г) • (~pV ~qV~r).
Приведем теперь пример, показывающий переход от
совершенной конъюнктивной к дизъюнктивной нормальной форме:
(~р V ~ q V - г) • (~р V q V - г) • ( ~ р V q V г) .
• (Р V ~ q V г) • (р V q V г) = (р • q • ~ г) V (~ Р • q • г) V
V (~р. ~9. г).
Таким образом, все, изложенное в этом параграфе, позволяет
нам довольно быстро и систематически упрощать многие сложные
выражения.
Упражнения.
841. Представьте выражение
(~ р.~ </.- r)V(- p-~ q-r)V(- p-q-~ r)\f(p.q-r) в скнф.
842. Представьте выражение
(-PV- Q\lr)-(~ p\/qV - г).(ру- ЯМ - r)-(py ~~ qyY).(pV<7Vг) в сднф.
225
843. Упростите выражение
(- p.~q-~ r)V(~ Р-Я-- r)V(p- -Я'- >')V(p — q-r)V(P-Q-r).
Сначала представьте функцию в скнф, а затем упростите полученное
выражение так, чтобы оно содержало только 5 вхождений букв.
844. В § 10 мы видели, что упрощение функции
(- PVq)-(~ PVrHpV- q) • (PV~ 0'(<7V - /-)•(- <7V)
завело нас в ловушку. Приведите теперь процесс упрощения следующим
образом:
a) рассматривая каждый член выражения, приведите его к скнф (выбрасы
пая при этом все повторяющиеся термы);
b) переведите скнф в сднф;
c) упростите полученное выражение так, чтобы оно содержало только
6 вхождений букв.
845. Тем же методом, что и в предыдущем упражнении, упростите
(- pwq)'(py - q)-(qv- r).
846. Тем же методом (упр. 844) упростите
(- /-VSV- t) • (- rvsv0'(- /"VO-^V- sVO-^V -sv - 0-('V- 0 •
• (sv- 0-(- $VO-
847. Упростите (- £•?•/*) V(~ P-q~~r)y(~- p- ~ q-r)\J(p- - q)V{p- - r) V
V (<7— r)y(~p>r).
848. Покажите, что (r.s)V(~ ^0 V (s-*)' = -(r*s) V( - '•*)•
849. Покажите, что (p-q)y (p-r)\/(q>r)\/(^ p-q)y{^ p-~ q> - r)yr • = •
• -pvqvr.
ГЛАВА VIII
Приложения к контактным схемам
§ 1. Контактные схемы
В этой главе будет построен еще один вариант бинарной булевой
алгебры, имеющий непосредственное отношение к анализу
электрических схем. Переменными в этой алгебре будут контакты,
которые мы будем обозначать буквами а, Ь, с,.... Каждое из
переменных может принимать одно и только одно, из двух возможных
значений:
контакт разомкнут: ^
по определению = 0, —т &—
контакт замкнут: ^^~*A
по определению = 1.
Мы будем конструировать электрические схемы путем
различных соединений контактов между собой. Опишем сначала основные
операции и соответствующие им простейшие схемы.
Произведением двух контактов будем называть схему,
полученную в результате их последовательного соединения: она
замкнута (равна 1)ттогда, когда оба контакта замкнуты (равны 1).
Суммой двух контактов будем называть схему,
образованную при их параллельном соединении: она замкнута
(равна 1) ттогда, когда замкнут (равен 1)хотя бы один из
образующих схему контактов.
Противоположный данному контакту —
это контакт, равный 0 (разомкнутый), если данный контакт равен
1 (замкнут), и равный 1, если данный контакт равен 0.
Если контакты обозначены буквами а и 6, то произведение двух
контактов мы будем обозначать через а • 6, сумму — через а + Ь,
а контакт, противоположный а, — через о!.
Отождествляя эти операции над контактами с операциями
(конъюнкцией, дизъюнкцией и отрицанием) булевой алгебры, мы можем
образовывать с помощью этих трех операций различные булевы
функции от контактов, точно так же как это было сделано в
227
предыдущей главе для высказываний. Всякая булева функция от
контактов (записанная с помощью введенных символов) будет
представлять некоторую контактную схему, или контактную сеть.
Булевы функции от контактов мы будем называть контактны-
м и или переключательными функциями.
Точно так же как в алгебре высказываний мы не интересовались
смыслом высказываний, а только тем, истинны они или ложны, так
и здесь при рассмотрении переключательной функции нас будет
интересовать только «значение замкнутости» соответствующей
схемы. Очевидно, что контактная сеть будет замкнута ттогда, когда
представляющая ее переключательная функция равна 1. Поэтому
будем считать две контактные схемы эквивалентными
(или равными), если при одних и тех же значениях входящих
в них контактов они будут одновременно замкнуты или
разомкнуты. Иначе можно сказать, что две схемы эквивалентны ттогда,
когда эквивалентны представляющие их переключательные
функции.
Рассмотрим сначала тот простейший случай, когда контактная
сеть состоит только из постоянно разомкнутого контакта, равного
О, и всегда замкнутого контакта, равного 1. Если мы будем
конструировать сложные схемы, содержащие только такие постоянные
контакты, то и вся схема будет эквивалентна по своему действию одному
из двух постоянных контактов 0 или 1. Другими словами, если
каждый контакт в некоторой схеме либо постоянно разомкнут, либо
постоянно замкнут, то вся схема будет действовать как один
постоянно разомкнутый или постоянно замкнутый контакт.
Таким образом, мы можем построить арифметику контактных
схем, полностью изоморфную арифметике высказываний (гл. VI, §7).
Напомним таблицы, определяющие основные операции, и
укажем те виды соединений контактов, которые будут соответствовать
этим операциям:
+
0
1
01
01
11
=
0
1
01
10
01
•
0
1
01
00
01
Поясним все это графически. На рисунках ф 1 будет
обозначать постоянно разомкнутый контакт, а
стоянно замкнутый контакт.
Постоянно разомкнутый контакт, после 0
довательно соединенный с постоянно
разомкнутым контактом, эквивалентен постоянно
разомкнутому контакту:
» 1 — по-
1—♦ 1—о
00=0
228
Постоянно разомкнутый (замкнутый)
контакт, последовательно соединенный с
постоянно разомкнутым (замкнутым) контактом,
эквивалентен постоянно разомкнутому контакту:
0-1=0
1-0=0
Постоянно замкнутый контакт,
последовательно соединенный с постоянно замкнутым о-
контактом, эквивалентен постоянно
замкнутому контакту:
Постоянно разомкнутый контакт,
параллельно соединенный с постоянно разомкнутым
контактом, эквивалентен постоянно
разомкнутому контакту:
<:>
0+0=0
Постоянно разомкнутый (замкнутый)
контакт, параллельно соединенный с постоянно
замкнутым (разомкнутым) контактом,
эквивалентен постоянно замкнутому контакту:
Постоянно замкнутый контакт,
параллельно соединенный с постоянно замкнутым
контактом, эквивалентен постоянно замкнутому
контакту:
Никогда не разомкнутый контакт
эквивалентен всегда (постоянно) замкнутому:
Никогда не замкнутый контакт
эквивалентен всегда (постоянно) разомкнутому:
^—^
0+1 = 1
1 + 0=1
0=1
Более сложные арифметические булевы выражения будут
соответствовать более сложным схемам. По данным арифметическим
выражениям мы всегда можем составить соответствующие им
контактные схемы и определить арифметически, будет ли
составленная нами схема разомкнута (равна 0) или замкнута (равна 1).
Так, например, начертим схему, соответствующую выражению
(1 +0) (1 + 1), и вычислим арифметически, будет ли она замкнута
или разомкнута.
В этом случае одинаково легко убедиться в замкнутости
составленной цепи и по схеме и арифметическим путем.
229
Упражнения.
850. Начертите схему, соответствующую выражению (1 • 1) + (0 • 1),
и вычислите его значение.
851. Начертите схему, соответствующую выражению [(Ы)+(0-1)]-(1+0),
и вычислите его значение.
852. Начертите схему, соответствующую выражению {(1 + 1) + [(1 • 0)+
4- 0|} * {1 + [(1 *0) 4- 1|}, и вычислите его значение.
853. Какое арифметическое выражение соответствует схеме,
изображенной на рисунке 65?
854. Измените рисунок 71 (см. ниже, стр. 236) так, чтобы контакты
a, b, d были бы замкнуты, а остальные контакты — разомкнуты. Какое
арифметическое выражение будет соответствовать полученной цепи?
855. Измените рисунок 72 (стр. 236) так, чтобы контакты а, с, е и q были
замкнуты, а остальные контакты — разомкнуты. Какое арифметическое
выражение будет соответствовать полученной цепи?
§ 2. Алгебра контактных схем
Рассмотрим теперь алгебру контактных схем, т. е. опишем с
помощью переключательных функций действие схем, состоящих
из переменных контактов.
Условимся, что если в какой-либо схеме два контакта
обозначены одной и той же буквой, то это значит, что они всегда принимают
одни и те же значения. Например, два контакта на рисунке 70
(стр. 235) обозначены буквой а. Это означает, что в каждый данный
момент времени они либо оба одновременно разомкнуты, либо оба
замкнуты. Мы можем представлять их механически соединенными
так, что они оба одновременно размыкаются или замыкаются.
Если в некоторой цепи какой-либо контакт есть отрицание
другого контакта, то их значения всегда противоположны.
Например, контакты е и е ' на рисунке 73 (стр. 238) никогда не могут
быгь одновременно разомкнуты или одновременно замкнуты. Мы*
также можем представлять их механически соединенными так, что
если один из них размыкается, то другой замыкается.
Если в выражение входит буква без штриха, мы будем ее
изображать разомкнутым контактом. Тогда, по нашему условию, эта
же буква со штрихом будет изображаться замкнутым контактом.
(Понятно, что можно было бы поступать и наоборот: изображать
букву со штрихом — замкнутым, а без штриха — разомкнутым
контактом.)
Приведем несколько примеров. Изобразим сначала схемы,
соответствующие основным переключательным функциям:
JU"L
Ь<.
230
Рассмотрим теперь более сложный пример.
Булева переключательная функция а • (Ь + с), например,
представляет схему, изображенную на рисунке 66. Мы видим, что при
тех значениях контактов, при которых схема (цепь) оказывается
замкнутой, значение переключательной функции равно 1. И обратно:
г-# ±-
-А—•
Рис. 65.
Рис. 66.
цепь замкнута ттогда, когда замкнут контакт а и по крайней мере
один из контактов & или с.
Так как по нашему условию произведение обозначает
последовательное соединение контактов, а сумма — параллельное
соединение контактов, то мы можем легко начертить схему,
соответствующую любой переключательной функции, в выражении которой не
содержится штрихов, стоящих после скобок. Точно так же и
обратно: если дана некоторая контактная схема, то можно написать
соответствующую ей переключательную функцию.
Упражнения.
856. Начертите схему, соответствующую переключательной функции
a-{-be. (Ответ: см. рис. 67.)
857. Начертите схему, соответствующую переключательной функции
(а + Ьс) (d + ef).
858. Начертите схему, соответствующую функции (а + Ь + с) (d + e).
859. Начертите схему для функции (a b с + d e f) g -f- h,
860. Начертите схему для функции \(а + b + с) (d -\- е + /) + g] h.
861. Какая переключательная функция соответствует схеме,
изображенной на рисунке 69 (стр. 235)?
862. Какая функция соответствует схеме, изображенной на рисунке 70
(стр. 235)?
863. Какая функция соответствует схеме, изображенной на рисунке 73
(стр. 238)?
§ 3. Основные законы
Подобно произвольной булевой функции, одна и та же
переключательная функция может быть алгебраически выражена
бесчисленным количеством способов. Для каждого из этих различных
видов представления одной и той же функции может быть по
указанным правилам составлена своя контактная схема. Все эти схемы,
однако, являются логически эквивалентными между собой, т. е.
оказываются замкнутыми при одних и тех же условиях. Несмотря
на то, что любые две контактные схемы являются логически
231
2)
3)
a+a=a
с Г
• J
(а-в)с= а.(вс) = авс
а в с
tar
гСЙи=
^
l + (в+-с) = (а + в) -+с = а + в+с
«)
а (в + с)=ав + ас
в с
а + вс = (а+в)(а+с)
7)
а(ач-в)=а
а в
а 4- ав=а
(а-в) = а'+в' в'
(а+о)' = а'. в'
•) (
(а')=а
эквивалентными, если эквивалентны их переключательные
функции, во всех других отношениях они могут быть очень далеки от
равноправия; так, например, одна из них может содержать
значительно больше контактов, чем другая, или быть более сложной в
каком-либо другом отношении. Основной задачей алгебры
контактных схем является задача разыскания схем, логически
эквивалентных данной схеме так, чтобы можно было выбрать из них всех
наиболее подходящую. Под наиболее подходящей схемой естественно
понимать самую «простую», однако универсального критерия
простоты схемы не существует. В качестве одного из критериев простоты
можно принять следующий: схема будет самой простой среди всех
логически ей эквивалентных, если соответствующее ей алгебраическое
выражение содержит наименьшее по сравнению с остальными число
вхождений букв (если не считать скобок внутри скобок).
Тем самым мы задачу упрощения схем свели к задаче
упрощения их переключательных функций. Преобразования данных
функций могут быть проведены с помощью основных законов бинарной
булевой алгебры. Эти законы обсуждались в предыдущей главе.
На страницах 232 — 233 приведены схемы, содержащие
формулировки этих законов на языке контактных схем.
Упражнения.
864. Дайте названия всем перечисленным законам.
В первых 4 из следующих упражнений дайте названия приведенных в
них законов и выразите их символически.
865. Всякий контакт, параллельно соединенный со своим отрицанием,
эквивалентен постоянно замкнутому контакту.
866. От перемены местами контактов в их последовательном соединении
схема логически не меняется.
867. Всякий контакт, последовательно соединенный со своим отрицанием,
эквивалентен постоянно разомкнутому контакту.
868. Если контакты Ъ и с соединены параллельно, а затем полученная
схема соединена последовательно с контактом а, то вся полученная схема
логически эквивалентна схеме, в которой имеются два контакта, обозначенных
буквой а, причем один из них последовательно соединен с Ь, другой
последовательно соединен с с , и затем полученные две схемы параллельно соединены
между собой.
869. Начертите схему (так же, как это было сделано для основных
законов) для иллюстрации закона а (Ь + Ь') = а.
870. Начертите схему, иллюстрирующую закон: a -f- b-b' — a.
871. Дайте эскизы схем для иллюстрации того, что а.0 = 0, а-\- 1 = 1.
§ 4. Упрощение схем
Покажем, как используются приведенные выше законы.
Рассмотрим схему, изображенную на рисунке 681. Соответствующая ей пере-
1 На рисунке 68 одна и та же схема приведена в двух несколько
различающихся видах. Очевидно, что обе схемы на рисунке 68 электрически
эквивалентны. Можно ли другим способом изобразить схему рисунка 71?
234
ключательная функция имеет вид: (a+b) (c-{-d). Пользуясь
дистрибутивным законом, раскроем скобки в этом выражении и
получим: а (с + d) + b (с + d), что соответствует схеме, логически
эквивалентной первоначальной и изображенной на рисунке 69. Далее
можем получить выражение ас + ad + be + bd, соответствующее
схеме рисунка 70.
Представим себе, что нам дана схема, изображенная на рисунке 70.
Тогда, применяя дистрибутивный закон справа налево (вынесение
Рис. 68.
Рис. 69. Рис. 70.
за скобки), мы получим выражение а (с + d) + b (с + d),
изображаемое более простой схемой (рис. 69), логически
эквивалентной первой. «Вынося за скобки» (с + d), получим выражение
(а + b)(c + d), которому соответствует схема рисунка 68. Самая
простая из всех трех логически эквивалентных схем.
Подобный прием упрощения выражений может быть применен
и в общем случае, если пользоваться справа налево формулами,
аналогичными приведенным в главе VII.
В алгебре контактных схем раскрытие скобок с помощью
распределительного закона по формуле
(а + Ь) (с + d) = ас + ad + be + bd
235
Рис. 71.
называется «перекрестным умножением». Подобно этому
применение второго распределительного закона, дающего
ab + cd= (а + с) (а + d) (b + с) (b + d),
называется «перекрестным сложением».
Упражнения.
872. а) Начертите схему, реализующую * функцию ah + cd.
b) С помощью «перекрестного сложен ш» представьте это выражение
в виде произведения четырех сумм.
c) Начертите схему для полученной функции.
873. а) Начертите схему, реализующую функцию а (Ь -\- с + d + e).
b) Раскройте скобки.
c) Начертите схему для
полученной функции.
874. а) Начертите схему
функции a be + de.
b) Произведите перекрест-
о ное сложение.
c) Начертите схему для
полученного выражения.
875. а) Начертите схему
функции abc -f- abd.
b) Упростите выражение
так, чтобы оно содержало
только 4 вхождения букв.
с) Начертите схему полученного выражения.
876. а) Изобразите эскиз схемы для функции (а + d) (b + d) (с + d).
b) Упростите функцию так, чтобы осталось только 4 вхождения букв.
c) Дайте эскиз схемы для полученного выражения.
877. Выпишите переключательную функцию, соответствующую схеме
рисунка 71.
878. Выпишите переключательную функцию для схемы рисунка 72.
879. Путем приведения первой из двух переключательных функций ко
второй покажите, что схемы рисунков 71 и 72 логически эквивалентны.
880. а) Начертите схему для функции abed + abe + ag.
b) Упростите функцию до шести вхождений букв.
c) Начертите схему для полученного выражения.
881. Начертите несколько схем, иллюстрирующих закон: а • 1 = а.
882. Сделайте перекрестное сложение в выражении х+х'у, а затем
примените закон исключенного
третьего: а + а' — 1 и закон
а • 1 = а для доказательства
теоремы х + х'у — х + у.
883. Начертите несколько
схем, иллюстрирующих закон
а -\- 0 = а.
884. Произведите
перекрестное умножение в
выражении х . (х' + у), а затем
примените закон противоречия
и закон а -\- 0 = а для
доказательства теоремы х (х' -\-у)—ху.
Рис. 72.
*Мы будем говорить: «схема реализует функцию», если функция является
переключательной функцией данной схемы.
236
885. Докажите, что (х + у) (х' + г) = xz + х'у.
886. Дайте эскиз схемы, иллюстрирующей теорему, сформулированную
в упражнении 885.
887. Изобразите эскиз схемы, переключательная функция которой
имеет вид аЪ' + а'Ь + а!Ь'.
В алгебре контактных схем также очень удобно пользоваться
понятием терма. Будем называть термом только сумму или
только произведение контактов. Терм реализуется схемой, состоящей
только из параллельного или только из последовательного
соединения контактов. Таким образом, если мы приведем функцию к
наиболее простой строке термов (т. е. представим в виде произведения
сумм или суммы произведений контактов), тем самым схему,
реализующую функцию, заменим логически эквивалентной схемой, не
только содержащей меньшее число контактов, но и составленной
только из параллельного соединения последовательно соединенных
контактов или последовательного соединения параллельно
соединенных контактов.
Сформулируем теперь 7 правил упрощения строк термов
переключательных функций и соответствующие правила упрощения их схем
(первое из них относится к рассмотренному случаю). Для удобства
пользования все выведенные нами ранее правила собраны вместе.
Правило 1. Если некоторое выражение входит в строку
термов как в виде отдельного терма, так и в виде части каких-либо
других термов, то все эти другие термы могут быть отброшены.
Правило Г. Если какой-то участок схемы входит в схему
самостоятельно и как часть других участков, то схема может быть
заменена только этим участком.
Правило 2. В любой сумме можно отбросить все члены,
равные 0.
Правило 2'. В любой схеме, составленной из параллельно
соединенных контактов, можно отбросить постоянно разомкнутые
контакты.
Правило 3. В любом произведении можно отбросить все
члены, равные 1.
Правило 3'. В любой схеме, составленной из последовательно
соединенных контактов, можно отбросить постоянно разомкнутые
контакты.
Правило 4. Если какой-либо член суммы равен \, то и вся
сумма равна 1.
Правило 4'. Если в схему из параллельно соединенных
контактов входит постоянно замкнутый контакт, то ее можно
заменить постоянно замкнутым контактом.
Правило 5. Если какой-либо член произведения равен 0,
то и все произведение равно 0.
Правило 5'. Если в схему из последовательно соединенных
контактов входит постоянно разомкнутый контакт, то ее можно
заменить постоянно разомкнутым контактом.
9 Дж. Т. Калбертсон
237
Правило 6. Мы можем «вынести за скобки» всякое выражение,
общее для двух или нескольких термов.
Правило 7. Если два терма совпадают всеми своими
членами, за исключением одной буквы, которая входит в один из них без
штриха, а в другой со штрихом, то их оба можно заменить их общей
полностью совпадающей частью.
Вот пример, иллюстрирующий правило 7. Рассмотрим функцию
(а + Ь) (а + Ь'). Раскрыв скобки и воспользовавшись законом
поглощения, мы получим
(а-\-Ь){а + Ь') = а + ЬЬ\
Но bb' = 0; поэтому
(а + Ь) {а + V) = а.
По принципу двойственности имеем также
ab + ab' = а.
Упражнения.
888. Докажите, что а = а • (b -f- с)' + а ' b -f-a • с.
889. Начертите схему, иллюстрирующую упражнение 888.
890. Начертите схемы, иллюстрирующие каждое из приведенных 7
правил, проводя это в каждом случае для 3 переменных.
891. Упростите данные функции алгебраически. Начертите схемы для
исходных выражений и полученных строк термов:
а) (а + Ь + с) (а + Ь' + с) (d + е)\ Ъ) h + rch + w\ с) (е + g +
+ h) (m + m'); d) ct (a' + с + s) (t + r')\ e) a + b + с + ab'd + ceh.
892. Упростите схему, изображенную на рисунке 73, так, чтобы схема
содержала только 5 вхождений букв.
Рис. 73.
Иногда можно достичь упрощения выражения путем повторения
какого-либо терма. Так, например, мы можем в выражении (а +
+ Ь) {а + Ь) (а! -+- Ь') написать второй член дважды. Тогда,
комбинируя между собой первую и вторую пары полученных
членов, получим выражение ab.
Как уже отмечалось, бывает также часто полезно вводить в
выражения недостающие буквы. Например, для упрощения
выражения ab' + a'bc + ас мы можем ввести в последний терм букву Ь,
а затем провести упрощение следующим образом:
. ab' + a'bc + ас = ab' + a'bc + abc + ab'c = ab' + be.
238
Здесь снова, так же как и раньше, возможны ловушки (ср. § 12,
гл. VI).
Упражнения.
893. Упростите: a) a be + a'b'c + a + а! Ъ'с + d\
b) ab' + ас' + a'be'.
894. Покажите, что ab + а'с = (а + с) (а' + Ь), и проиллюстрируйте
это на контактной схеме.
895. а) Начертите эскиз контактной схемы для функции abc + ab'c +
+ abe'd;
b) Упростите данную функцию так, чтобы в полученном выражении
осталось только 4 вхождения букв;
c) Начертите эскиз контактной схемы для полученной функции.
896. а) Начертите эскиз схемы для функции (d + е + /) (d + е' + /)
(d + e + r+ g')-
b) Упростите эту функцию так, чтобы полученное выражение содержало
только 4 вхождения букв.
c) Начертите эскиз схемы для полученной функции.
897. Начертите контактную схему для функции:
a) a'be + ab'c + abc;
b) a (b' + c') + (a' + be) (a + de)\
c) (d' + e + f) (d + e' + f) (d+e + /).
Упростите алгебраически эти выражения так, чтобы упрощенные схемы
содержали только три вхождения букв.
898. а) Начертите схему для функции а (Ь + с + d') (b + с + d)\
b) Упростите эту функцию алгебраически;
c) Начертите схему, отвечающую упрощенной функции.
899. Упростите алгебраически контактную схему, отвечающую
функции abc + ab'c + d.
900. Начертите схему для функции ab' + a'b + а'с + ас + be' + b'c\
упростите алгебраически это выражение так, чтобы упрощенная схема
содержала только 6 вхождений букв.
901. Упростите схему функции de + d'f + ef.
902. Покажите, что (а + Ь) (а + е) — ае + a'b.
903. Покажите, что ab + а!с + be = ab + а'с.
904. Дайте эскиз схемы для функции (а + b + с + d) (a + b +
+е)(а + g) и приведите эту схему к логически ей эквивалентной, содержащей
только 6 вхождений букв.
905. Упростите алгебраически схему для функции а (а' + b + с) и
начертите результирующую схему.
906. Может ли число вхождений букв в переключательную функцию
a'b'c' + a'be + ab'c быть сделано меньше 8?
907. Упростите алгебраически схему, изображенную на рисунке 74, так,
чтобы новая схема содержала только 7 вхождений букв.
Рис. 74.
239
908. Начертите схему, иллюстрирующую теорему: а (а' + b) -= ab.
909. Начертите схему, иллюстрирующую теорему: а + а'Ъ — а -\- Ь.
910. Упростите схему для функции (а' + Ь) (а+ с) (Ь + с).
911. а) Начертите схему для функции abce + bed + Ь/.
fr) Упростите эту функцию до 6 вхождений букв.
с) Начертите схему упрощенной функции.
912. а) Начертите схему функции а + а'Ь'с'-
Рис. 75.
Рис. 76.
b) Упростите эту функцию.
c) Начертите схему упрощенной функции.
913. а) Начертите схему функции а + (Ь + с) а' + (с + d' + gft) («' +
+ d + g') (b + d).
b) Упростите эту функцию до 6 вхождений букв.
c) Начертите схему упрощенной функции.
914. Покажите алгебраически, что цепь, реализующая функцию g'Ы +
+ g'h + kg' + hg, постоянно замкнута.
915. Можно ли привести функцию rs + rt + st к виду rs + sf?
916. Какая переключательная функция реализуется схемой,
изображенной на рисунке 75?
§ 5. Отрицание схемы
Обратим ваше внимание на то, что раньше мы строили схемы
только с помощью операций сложения (дизъюнкция в логике) и
умножения (конъюнкция в логике). Операцию «штрих» (отрицание
или образование противоположной схемы) мы применяли только к
отдельным контактам, а не схемам в целом. На самом деле
операция «штрих» может быть использована наравне с остальными.
Схемой, противоположной некоторой контактной
схеме X, или отрицанием схемы называется такая схема X',
которая является замкнутой при всех тех условиях, при которых
схема X разомкнута, и разомкнутой при всех условиях, при которых
X замкнута. На рисунке 76 показана одна простая схема и ее
отрицание. Отметим, что всякое положение контактов, размыкающих X,
замыкает Х\ и наоборот, всякое положение контактов,
замыкающих Ху размыкает X'. Для того чтобы получить отрицание любой
240
схемы, мы должны выписать реализуемую ею переключательную
функцию'и взять отрицание этой функции. Затем нужно написать
полученный результат так, чтобы штрихи не стояли после скобок, и
начертить соответствующую схему. Сделаем это для схемы,
изображенной на рисунке 76. Переключательная функция, реализуемая
схемой X, имеет вида (Ь + с); ее отрицание имеет вид [а (Ь + с)]' =
= а! + Ь'с' (по теореме деМоргана). Начертим схему, реализующую
полученную правую часть, и получим схему X', изображенную на
рисунке 76.
Мы всегда можем с помощью теоремы де Моргана достичь того,
чтобы полученное в результате отрицания данной функции
выражение не содержало штрихов, стоящих после скобок. Однако удобнее
достичь этой цели сразу по следующему правилу получения
отрицания любой переключательной функции:
Для получения отрицания любой переключательной функции
достаточно поменять всюду местами знаки + и • между собой;
всякую букву, входящую без штриха, взять со штрихом, а всякую
букву со штрихом — взять без штриха. Или, на языке контактных схем,
заменить все параллельные соединения последовательными,
последовательные — параллельными, а контакты заменить контактами
противоположной замкнутости.
В качестве примера найдем отрицание функции
[а (V + с'ф + <?')] ' 8.
оно равно:
[а' + b (с + d')\ e + g.
Иногда для упрощения выражения оказывается удобным
сначала получить его отрицание, упростить его, а затем снова взять
отрицание полученного результата.
Упражнения.
917. Выпишите отрицание функций:
a) а(Ь + С) + а'Ь;
b) [а'Ь'с' + d) e'f'q'\
c) {([а'(У + с) + d)e' + f)g' + h'k'e}m'.
918. Начертите схему, являющуюся отрицанием схемы, изображенной на
рисунке 75.
-919. Начертите отрицание схемы, реализующей функцию а'Ь + с''d.
920. Начертите схему, реализующую функцию а' [Ь + с (d' + <?/')],
затем начертите ее отрицание.
921. Начертите схему, реализующую функцию {\(a'br + d) e'f -f
+ &'l ^' + k) lm', затем начертите ее отрицание.
922. а) Начертите отрицание той схемы, о которой шла речь в
упражнении 880.
b) Упростите ее алгебраически.
c) Начертите новую схему, реализующую упрощенную функцию.
d) Начертите отрицание этой схемы.
923. Сделайте то же (упражнение 922): а) Для схемы упражнения 888.
b) Для схемы упражнения 896.
c) Для схемы упражнения 905.
241
§ 6. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
Часто для преобразования схем представляется желательным
представить их переключательные функции в совершенной
нормальной форме, так же как это было сделано в предыдущей главе. Все
сказанное о совершенных нормальных формах в предыдущей
главе можно перенести и на материал этой главы, так как в главе VII
шла речь об алгебре, изоморфной алгебре контактных схем (если
поставить в соответствие высказываниям контакты и операциям
«V» — «+»; «•» — «•», «—» — «'»).
Однако нам представляется полезным дать обзор некоторых
основных свойств совершенных нормальных форм и примеры их
приложения к контактным схемам.
Пусть 5 — некоторое множество контактов а, 6, с... Всякая
строка термов, не содержащая сумм и содержащая в алфавитном
порядке каждый член из S один и только один раз, называется
элементарным совершенным
произведением (первой совершенной формой) для множества S.
Так, например, выражение abed' представляет собой элементарное
совершенное произведение для переменных а, Ь, с и d. Очевидно, что
для множества из п переменных существует 2п элементарных
совершенных произведений.
Номер элементарного совершенного произведения равен
десятичному выражению того двоичного числа, которое получится, если
вместо всякой буквы, входящей в рассматриваемое произведение
со штрихом, поставить 0, а вместо буквы, входящей без штриха, — 1
(т. е. нумерация совершенных произведений производится точно
так же, как это делалось в двух предыдущих главах). В силу этого
условия, например, номер элементарного совершенного
произведения abed' равен 14: abed' = ти.
Упражнения.
924. Какое элементарное совершенное произведение от переменных а,
Ь, с, due имеет номер 6?
925. Чему равно т1 от переменных а, Ь, с и d?
926. Чему равно тц от переменных а, Ь, с и d?
927. Каково последнее элементарное совершенное произведение от
переменных а, Ь, с, d, e и / и каков его номер?
Переключательная функция F (S) представлена всовершен-
ной дизъюнктивной нормальной форме
(с д н ф) ттогда, когда она выражена в виде суммы элементарных
совершенных произведений, взятых в нормальном порядке1. При
этом схема, реализующая еднф, сводится к параллельному
соединению последовательных схем, в которые входит каждый контакт
1 Мы будем считать, что 0 является членом всякой дизъюнктивной
нормальной формы, но выписывать его будем только в том единственном случае,
когда других членов форма не содержит.
242
или его отрицание. Если воспользоваться таблицей истинности
данной функции, которая строится точно так же, как и для функций
высказываний, то ее совершенная дизъюнктивная нормальная
форма может быть непосредственно получена из последнего столбца
этой таблицы.
Допустим, что мы хотим получить совершенную дизъюнктивную
нормальную форму (сднф) функции ab + с. Построим таблицу
истинности для этой функции (рис. 77); из последнего столбца этой
таблицы видим, что ее сднф состоит из членов ml1 m3, m5, т6 и т7.
а в с
0 0 0
0 0 1
0 10
0 11
10 0
10 1
110
111
а в
0
0
0
0
0
0
1
1
авч- с
0
1
0
1
0
1
1
1
Рис. 78.
Рис. 77. Таблица истинности для
функции ab + с.
Выпишем все члены сднф (рассматривая те значения переменных,
которые соответствуют единицам в последнем столбце):
ab + с = ab'c + а'Ъс + а'Ъс + аЪ'с + аЪс' + abc.
Упражнения.
928. Начертите схему для функции ab + с, затем начертите схему для
ее сднф. Убедитесь в том, что эти две схемы имеют одни и те же условия
замкнутости, проверив все 8 возможностей для замкнутости 3 входящих в
выражение контактов.
929. Приведите a -J- be' к сднф с помощью таблицы истинности.
930. Таблица истинности некоторой функции от контактов а, Ь, с такова,
что последний столбец имеет вид 10100100. Напишите сднф для этой
функции. Начертите схему.
931. Некоторая функция от a, b и с имеет таблицу истинности, последний
столбец которой имеет вид 10110001. Какова сднф для этой функции?
932. Сколькими различными способами можно заполнить последний
столбец для таблицы истинности? Сколько существует логически
неэквивалентных переключательных функций от п данных контактов?
933. Привести функцию (а + be) d к сднф с помощью ее таблицы
истинности.
243
934. Сделайте то же (упр. 933) для функций: а) (аУ -\- с) d\ b) a (b + с)+
-f d; с) a (be + d) + d!.
935. а) Какая переключательная функция реализуется схемой,
изображенной на рисунке 78?
Ь) Приведите эту функцию к еднф с помощью ее таблицы истинности.
936. а) Какая переключательная функция реализуется схемой,
изображенной на рисунке 79?
Ь) Приведите эту функцию к еднф с помощью ее таблицы истинности.
937. Некоторая переключательная функция от а, Ь, с и d имеет таблицу"
истинности, последний столбец которой имеет вид 1001010010011000.
Какова еднф для этой функции? Начертите соответствующую схему.
Для того чтобы представить любую функцию в еднф
алгебраически, достаточно: 1) выразить эту функцию в виде строки термов,
представляющей собой сумму произведений, и 2) привести эту
строку в совершенную дизъюнктивную нормальную форму путем
рассмотрения каждого терма.
Пусть, например, мы хотим привести функцию
(а + с) (Ь + с)
в еднф алгебраическим путем. Сначала вынесем с за скобки и
получим (а + с) {Ь + с) = ab + с. В терм ab не входит переменная
с, поэтому вместо ab запишем сумму двух элементарных
совершенных произведений abc + abc. В терм с не входят ни а, ни 6, поэтому с
заменяется суммой четырех элементарных совершенных
произведений a'b'c + abc + abfc-\-abc (теорема 5, § 14, гл. VII).
Упорядочивая все полученные элементарные совершенные произведения и
выбрасывая все повторяющиеся, получим:
ab'c + a'be + ab'c -f- abc' + abc.
Упражнения.
938. Выпишите еднф функций: a) ab + be, b) a + be алгебраическим
путем.
Начертите схемы функций и их еднф. Проверьте по схемам логическую"
эквивалентность исходных функций и их еднф.
939. То же (см. упр. 938) для функций: a) ab + cd\ b) lab' + с) (а' + с);
с) (а + Ь) (а + с) + Ь' (с + Ь')\ d) a+ b + с.
940. Какова еднф для функции, приведенной в упражнении 899?
941. Какова еднф для функции, приведенной в упражнении 900?
942. Приведите а' + ab + be + cd к еднф.
943. Какова еднф функции a+b + c+d+e?
§ 7. Совершенная конъюнктивная нормальная форма
Пусть S — некоторое множество контактов а, Ьу с... . Тогда
любая строка термов, не содержащая произведений и содержащая
каждый член H3S в алфавитном порядке один и только один раз,
называется элементарной совершенной суммой (в то-
рой совершенной формой) для 5. Так, например, а +
+ V Н- с является элементарной совершенной суммой для
переменных a, b и с. Вторые совершенные формы упорядочиваются точно
так же, как и первы° совершенные формы: так, например, a -f Ь' +
244
+ с имеет номер 5: а + b' + с = Л45(при множестве переменных
а, 6, с).
Переключательная функция F (S) представлена всовершен-
ной конъюнктивной нормальной форме
(скнф) ттогда, когда она выражена в виде произведения
элементарных совершенных сумм1.
Для того чтобы представить любую функцию в совершенной
конъюнктивной нормальной форме, достаточно: 1) выразить ее в виде
строки термов, являющейся произведением сумм, и 2) привести эту
строку в совершенную конъюнктивную нормальную форму (скнф)
путем рассмотрения каждого терма.
Пусть мы хотим привести функцию
ас + be
к скнф. Вынося за скобки с, получим выражение (а + Ь) с,
представляющее собой произведение сумм. В терм (а + Ь) не
входит переменная с, поэтому вместо него можно записать
произведение двух элементарных совершенных сумм: (а + b + с') • (а -\-
+ b + с). В терм с не входят ни а, ни Ь, поэтому он представится
как произведение четырех элементарных сумм: (а + V + с) •
• (ar + b + с) • (а + V Л- с) • (а + b + с).
Упорядочивая все полученные элементарные совершенные
суммы и выбрасывая все повторяющиеся, получим:
(а + V + с) • (а + Ь + с) • (а + Ъ' + с) • (а + Ъ + с') .
. (а + b + с).
Упражнения.
944. Начертите схему, реализующую функцию ( а + Ь) с, затем
начертите схему, реализующую ее скнф. Убедитесь в том, что эти две схемы имеют
одни и те же условия замкнутости, проверив все 8 возможностей для
замкнутости и разомкнутости 3 входящих в выражение контактов.
945. Приведите функции: а) (а' + Ь) (а + с); b) a'b + cd\ с) abc + d;
d) abc; ё) ab + be + cd\ f) a + b + c'd к скнф.
§ 8. Теоремы о совершенных нормальных формах
Теоремы о совершенных нормальных формах для функции
высказываний были рассмотрены в предыдущей главе. Приведем
аналогичные теоремы для алгебры контактных схем.
Пусть F (S) — переключательная функция, заданная в
совершенной нормальной форме, где S — множество п переменных; все
элементарные совершенные произведения и суммы, о которых
будет ниже идти речь, считаются заданными для S.
Теорема 1. Существует 2п различных элементарных
совершенных произведений и 2п элементарных совершенных сумм.
1 Мы будем считать, что 1 является членом всякой совершенной
конъюнктивной нормальной формы, но выписывать его будем только в том
единственном случае, когда других членов форма вовсе не содержит.
245
Теорема 2а. Сумма всех элементарных совершенных
произведений равна 1.
Теорема 26. Произведение всех элементарных совершенных
сумм равно 0.
Теорема За. Произведение всяких двух элементарных
совершенных сумм равно 0.
Теорема 36. Сумма всяких двух элементарных совершенных
произведений равна 1.
Теорема 4. Всего существует 2 логически
неэквивалентных переключательных функций от s.
Теорема 5а. Всякое произведение переменных, взятых
каждое со штрихом или без него, равно сумме всех тех элементарных
совершенных произведений, в которые данное произведение входит.
Теорема 56. Всякая сумма переменных, взятых каждое со
штрихом или без него, равно произведению всех тех элементарных
совершенных сумм, в которые данная сумма входит.
Т е о р е м а 6а. Отрицание всякой функции F' равно сумме тех
и только тех элементарных совершенных произведений, которые не
входят в сднф функции F.
Теорема 66. Отрицание всякой функции F' равно
произведению тех и только тех элементарных совершенных сумм, которые
не входят в скнф функции F.
Теорема 1а. Всякое элементарное совершенное произведение
равно отрицанию некоторой элементарной совершенной суммы.
Теорема 76. Всякая элементарная совершенная сумма равна
отрицанию некоторого элементарного совершенного произведения.
Теорема 8. Для любой функции F сумма числа
элементарных совершенных произведений и сумм (входящих соответственно
в ее сднф и скнф) равна 2п.
Теорема 9. Если функция F представлена в одной из
совершенных нормальных форм, то ее отрицание F' можно получить
следующим образом:
(i) всюду заменить местами знаки + и •;
(Н) всякое переменное, входившее в выражение для F без штриха,
взять со штрихом;
(Hi) всякое переменное, входившее в выражение со штрихом, взять
без штриха.
Если функция задана в сднф, то, используя теорему 6а, мы
можем написать также и сднф для ее отрицания. Так, например:
000 010 100 101 111 001 011 1Ю
(а'Ь'с' + а'Ъс' + ab'c'+ аЬ'с + аЬс)' = а'Ъ'с + a'be + abc*.
Точно так же, если функция задана в скнф, то с помощью
теоремы 66 можно записать скнф для ее отрицания. Например:
(а' + V + с') (а' + V + с) (а' + 6 + с') (а' + b + с)(а +
+ V + с) (а+ V + с)'= (а+ 6 + с') (а + b + с).
246
Упражнения.
946. Чему равна сднф отрицания функции а!Ъ 4- ab'?
947. Чему равна скнф отрицания функции (а + Ь') (а + Ь)?
948. Чему равна сднф отрицания функции a'b'c' -f a'be?
949. Чему равна скнф отрицания функции (а' + Ь' + с) (а' + 6 +
+ с') (а + Ь' + с)?
950. Используя сначала теорему 5а, а затем 6а, найдите отрицание
функции ab + с.
951. Используя сначала теорему ЪЬ, а затем 66, найдите отрицание
функции а + Ь'с.
952. Чему равна сднф отрицания функции а Ъ' + Ь'с' + cd?
953. Чему равна скнф отрицания функции (а + Ь) с'а"?
954. Чему равна сднф отрицания функции (а + Ь) с'а"?
955. Скнф некоторой переключательной функции от трех переменных
содержит 6 членов (элементарных совершенных сумм). Что проще — скнф
или сднф представления этой функции?
С помощью теоремы 8 мы можем судить о том, какая из двух
совершенных нормальных форм представления данной функции
проще другой. Так, например, если скнф некоторой функции от 3
переменных содержит 5 членов, то ее сднф содержит только 3 члена.
С помощью теоремы 9 мы можем осуществить переход от
представления функции в одной совершенной форме к представлению
в другой. Для иллюстрации этого проведем преобразование
функции F — a'b'c' + o!bc + ab'c + abc' + abc в скнф. Это
преобразование будет состоять из двух шагов. Сначала применим теорему 6а
и получим F' = a'b'c + a'be' + ab'c'. Затем используем теорему 9,
тогда F = (а + b + с') (а + V + с) (а' + b + с). Обычно эти
оба шага преобразования соединяются в один и результат
записывается сразу.
Преобразуем теперь скнф в сднф:
(а + Ь' + с) (а + b + с') (а + b + с) =a'bc + ab'c' +
+ ab'c + abc' + abc.
Упражнения.
956. Приведите а'Ь + ab' к скнф за один шаг с помощью теорем 6а и 9.
957. Приведите к (о! + b') (a + b) к сднф за один шаг.
958. Приведите (а' + Ь' + с') (а' + b + с) (а + V + с) (а + b + с)
к сднф за один шаг.
959. Приведите ab'c-\- a'fbe + ab'c + abc' + abc к скнф за один шаг.
960. Приведите функцию ab + cd к сднф, а затем переведите ее в скнф.
961. Приведите (а + b + с) (Ь' + с' + d) к скнф, а затем переведите
ее в сднф.
962. Приведите a'b'c' + bed к сднф, а затем переведите ее в скнф.
963. Рассмотрим переключательную функцию (Ь' 4 с) (Ь + с') (a -f
+ с') (а + Ь') (а' 4- с) (а' + Ь).
a) Приведите эту функцию к скнф.
b) Переведите ее в сднф.
c) Упростите полученное выражение до 6 вхождений букв.
964. Используя метод упражнения 963, упростите функцию (a'4-b) (а +
+ Ь') (Ь + с).
965. Приведите функцию а (Ь + с) к сднф алгебраическим путем.
966. Постройте контактные схемы для скнф и едьф функций, заданных
в предыдущих задачах.
247
§ 9. Некоторые обзорные задачи, касающиеся
упрощения схем
Все наши рассмотрения относились к двузначным контактным
схемам, для образования которых употреблялись только
параллельные и последовательные соединения контактов. Кроме таких
контактных схем, имеются и многие другие типы схем и сетей: так
называемые мостиковые (двузначные) схемы, многозначные
контактные схемы, схемы из электронных ламп, схемы из транзисторов
и т. п. Ко многим возникающим здесь задачам также может быть
применен рассмотренный нами аппарат бинарной булевой алгебры.
Однако рассмотрение этих вопросов выходит за рамки этой книги.
В этом параграфе мы хотим рассмотреть некоторые задачи
обзорного характера, касающиеся упрощения схем. При решении их
читатель должен иметь в виду 7 правил упрощения,
сформулированных в § 4, а также метод повторения некоторых термов и метод
введения в термы недостающих в них букв, также рассмотренные в § 4.
Кроме того, нужно пользоваться систематическими правилами
представления функции в сднф и скнф. Особенную пользу может
принести использование теорем 5, 6, 8 и 9 предыдущего параграфа.
Упражнения.
При решении всех ниже следующих задач отчетливо представьте все
этапы решения.
967. Упростите функцию ab + ас + be до минимального возможного
числа вхождений букв.
968. а) Дайте эскиз схемы, реализующей функцию (а + е) (Ь + с +
+ d) (a + e) (b + d + e).
b) Упростите эту функцию до 5 вхождений букв.
c) Дайте эскиз схемы, реализующей упрощенное выражение функции.
969. а) Начертите схему, реализующую функцию ab + be + аае + dee.
b) Упростите ее до 5 вхождений букв.
c) Начертите упрощенную схему.
970. а) Начертите контактную схему, реализующую функцию ab (cdr +
+ V + а) + а' (с + d) (а + Ь).
Ь) Упростите выражение функции до 4 вхождений букв.
971. Каково отрицание функции, фигурирующей в упражнении 970.
972. Упростите gkm'n + (g' + n') eh' -f eh' km''.
973. Алгебраически упростите схему, изображенную на рис. 78.
974. Алгебраически упростите схему, изображенную на рис. 79.
975. а) Начертите схему, реализующую функцию {а -+- b -f с + d)
(с + d + е) (а + d + e).
b) Упростите выражение до 7 вхождений букв.
c) Начертите упрощенную схему.
976. Упростите: а) [V (с + d) + c'd'\ [а! (с + d') + cd] [d (a + b) +
+ a'b]\
b) c+ d'eg + d'e'g + d + d'e'g'\
c) g'hm' + gh! + gm'\
d) ade + bf (c + / + ge) + ae, а затем начертите соответствующие схемы.
977. Упростите: a) ghm + gh'm + ghm'n;
b) g' (g + h' + my
c) с e'd -Ь с ed + ce d + ced' -f ced\
d) abc + begh -f b (d -f h) -f- bedg до трех вхождений букв, а затем
начертите соответствующие схемы.
248
978. Некоторая переключательная функция от а, Ь и с имеет таблицу
истинности, последний столбец которой имеет вид 00001111. Выразите эту
функцию в наипростейшей форме и начертите соответствующую схему.
979. Некоторая функция от переменных а, Ъ и с имеет таблицу
истинности, последний столбец которой имеет вид 00011111. Упростите выражение
этой функции до 3 вхождений букв.
980. Упростите de' + d'e + d'g + dg' + eg' + e'g до 6 вхождений букв.
981. Каждую из 11 следующих функций (i) упростите до минимального
числа вхождений букв и (И) начертите схему, реализующую полученную
функцию:
a) a'be' + ab'c -f- ас' + abc\
b) (a+ be') (а' + Ъ-г с)\
c) abc' -f- a be + a'be' + abc -f- ab'c -f a'b'c;
d) (a' + d') b'e + ac'dh + b'c' eh;
e) [b + (d' + h)(a + g + ef)\ \b' +h(a + d + e')\ • [a + g + с (d + e + h')];
f) (a' + b'+ C) (a' + b + s') (a + b + c') (a + b + c') (a + b -j- c)\
g) [bee' (a + d) + b' d -f- a'd'h\ \h (ce' + ab + bd) + b (c'+ e) (a + d)\\
h) abc' dgh' + dc'e'aghb-\-ebhc'ag' + ab'c'd'eg'h -f c'dab'heg -\-eahgc'd'b'+
-f- bc'ead'hg;
i) [a' + (d' + h)(b + e'+g)\\a + h(b + d + e')] [b + g + с (d + e + Л')] •
. M'/i + d/z'];
j) (b + cd') (C + d') + (a' + cd') (c + d) + (d + &'a) (*' + a') + (c' + b'a).
. (6 + a);
k) a e (a' + b'd + e) + e' (b + d') (a + c) -j- aee'.
982. Может ли быть упрощено выражение ab' + a'c -f- 6c'?
983. Упростите abc + feed -j- ab'd' -j- a'bed' + fl&'d' так, чтобы полученное
выражение содержало только 4 вхождения букв.
§ 10. Построение схем по данным условиям
их замыкания
Мы будем считать, что во всякой контактной схеме каждое
включение каждой буквы обозначает некоторый контакт. Все контакты,
выраженные одной и той же буквой, взятой со штрихом или без
штриха, мы будем считать управляемыми одним и тем же
переключателем. Это означает, что если переключатель а замкнут, то все
контакты, помеченные символом а, замкнуты, а все контакты, помеченные
символом а\ разомкнуты. И наоборот, если переключатель а
разомкнут, то все контакты а разомкнуты, а а' — замкнуты.
Если мы хотим построить переключательную схему,
обладающую некоторыми заданными логическими свойствами, то подойти
к решению этой задачи можно двумя различными путяхми. Эти два
пути могут быть названы «интуитивным» и «алгебраическим», при
этом некоторые задачи лучше решаются первым, а некоторые
вторым путем. Интуитивный подход оказывается удобнее в том
случае, когда работа схемы управляется многими переключателями,
но имеется какая-то симметрия во взаимном расположении этих
переключателей. Мы увидим, что здесь интуитивный подход быстрее
приводит к цели, тогда как применение аппарата булевой алгебры
в случае многих переменных может оказаться очень громоздким.
Полезно познакомиться с обоими возможными подходами к
решению указанной задачи.
249
Начнем с интуитивного подхода. Пусть наша задача
заключается в построении схемы, которая замкнута ттогда, когда замкнуты
все п управляющих работой схемы переключателей. Решение этой
задачи не требует длительных размышлений: ясно, что поставленное
условие будет выполнено, если соединить между собой
последовательно п переключателей, имеющих по одному контакту.
Точно так же очевидно, что для построения схемы, которая за-
мыкается ттогда, когда замкнут по крайней мере один
Рис. 80. Некоторые, но не все.
Рис. 81. Все или ничего.
)' )■ $ 3}
))'))')
Рис. 82. Симметричная контактная
схема.
из п данных переключателей, достаточно соединить п
переключателей {каждый с одним контактом) параллельно.
Легко представить такую схему, которая замыкается ттогда,
когда замыкаются некоторые, но не все
переключатели. Такая схема изображена на рисунке 80. На рисунке 81
изображена контактная схема, действующая по принципу «все или
ничего». Она будет замкнута ттогда, когда замкнуты все ее
переключатели или когда не замкнут ни один из них.
Рассмотрим теперь более сложный пример. Пусть имеется п
переключателей, расположенных в некоторой определенной
последовательности а, Ь, с, d, е . . . Построим схему, которая замыкает-
ся ттогда, когда замкнуты какие-либо k последователь-
250
н ы х переключателей, и только они. Такая схема для значений
п = 7 и k = 3 изображена на рисунке 82. Метод построения таких
схем для любых других значений п и k понятен из этого рисунка.
В качестве последнего примера рассмотрим построение такой
контактной схемы, которая должна быть замкнута ттогда, когда
замкнуто ровно k или ровно г из общего числа п ее переключателей.
Рис. 83. Схема замкнута тогда, когда замкнуты ровно три или ровно
один переключатель.
Общий метод построения такой схемы ясен из рисунка 83, на котором
изображена схема, удовлетворяющая поставленным условиям при
значениях п = 7, k = 3 и г=1. (Проследите путь тока при условии,
что переключатели замкнуты.)
Упражнения.
Следующие двенадцать упражнений предназначены для решения
неалгебраическими средствами.
984. Начертите схему с двумя переключателями, которая должна
замыкаться ттогда, когда замкнут либо один, либо другой переключатель, но не
оба вместе.
985. Начертите схему с 3 переключателями, которая замыкается ттогда,
когда замкнут либо ровно 1,_либо ровно 2 переключателя. При построении
используйте не более 6 контактов.
986. Начертите схему, управляемую 7 переключателями, которая
замыкается ттогда, когда замкнуты ровно 4 из этих переключателей.
987. Начертите схему с 7 переключателями, которая замыкается ттогда,
когда замкнутся ровно 1 или ровно 3 из этих переключателей.
988. Начертите схему, которая замыкается ттогда, когда из 8
расположенных в определенном порядке переключателей замкнуты какие-то два
последовательных переключателя (и никакие другие не замкнуты).
989. Начертите схему, которая замыкается дтогда, когда из 8
расположенных в определенном порядке переключателей замкнуты какие-то 4
последовательных переключателя (и никакие другие не замкнуты).
990. Начертите схему с 9 переключателями, расположенными в
определенном порядке, которая замыкается ттогда, когда: а) все переключатели, кроме
первого, замкнуты или Ь) все переключатели, кроме последнего, разомкнуты.
991. Каждый член комитета, состоящего из 3 человек, голосует путем
нажатия кнопки, замыкающей переключатель, расположенный под столом,
25 i
за которым он сидит. Замыкая переключатель, он голосует «за», размыкая
«против». Начертите схему, содержащую менее 10 контактов, такую, чтобы
каждый раз, когда большинство проголосует «за» (только в этом случае),
зажглась лампочка (т. е. схема замыкалась).
Может ли один из членов комитета, Джон, установить после того, как
голоса поданы, было ли голосование единогласным? При каких
обстоятельствах и каким способом он сможет это сделать (путем замыкания или
размыкания своего переключателя)?
992. Пусть в комитете, описанном в упражнении 991, на два члена
больше, чем раньше. Начертите схему, которая замыкается ттогда, когда
большинство членов комитета голосует «за».
993. В большом совершенно темном зале стоит круглый стол, вокруг
которого стоит 8 стульев. Около каждого стула имеется переключатель. В
комнату входят 4 мальчика и 4 девочки и садятся за стол. Каждая девочка
замыкает свой переключатель, а каждый мальчик размыкает свой. Начертите
схему, которая замыкается ттогда, когда мальчики и девочки сядут через одного.
994. Как построить схему с 6 переключателями так, чтобы она
замыкалась ттогда, когда замыкается четное число переключателей? Используйте
при этом не более 20 контактов.
995. В большой шестиугольной комнате на каждой стене есть один
переключатель. Постройте такую схему, чтобы в любой момент можно было
включать или выключать свет в комнате поворотом одного (любого!)
переключателя.
Перейдем теперь к построению схем по данным условиям их
замыкания с помощью переключательной алгебры.
Если заданные словесным описанием условия замкнутости
достаточно просты, то мы можем сразу же написать выражение для
переключательной функции, удовлетворяющей этим условиям.
Допустим, например, что мы должны построить схему, содержащую
4 контакта а, Ь, с и d, такую, чтобы она замыкалась ттогда, когда
замкнут а и какой-нибудь из остальных 3 контактов. В этом простом
случае очевидно, что переключательная функция имеет вид а (Ь -{-
+ с + d).
Обычно, однако, условия замкнутости имеют более сложный вид.
Тогда мы должны выписать соответствующую этим условиям
сокращенную таблицу истинности, содержащую первые п столбцов1
и последний столбец. По этой таблице мы можем написать
совершенную дизъюнктивную нормальную форму представления
искомой функции, а затем упростить ее, если это окажется возможным.
Пусть требуется построить схему с четырьмя переключателями,
которая должна замыкаться ттогда, когда выполняются следующие
условия: (i) переключатель а замкнут и один из переключателей, b
или с, но не оба вместе, замкнут, или (ii) d разомкнут и два и
только два из остальных переключателей разомкнуты, или (ш) два и
только два переключателя, но не переключатели d, b замкнуты.
Для того чтобы начертить по возможности простую схему,
удовлетворяющую указанным условиям, мы сначала поступим следую-
1 Те п столбцов, которые в приведенных ранее таблицах истинности были
записаны слева от двойной линии.
252
щим образом. Выпишем все 24 возможных условий замкнутости или
разомкнутости 4 переключателей так, как это сделано на рисунке 84
слева от двойной линии. В последнем столбце таблицы мы должны
написать 1 во всех тех строках, в которых совокупность значений
замкнутости и разомкнутости, содержащихся в схеме
переключателей, согласно данным условиям, влечет за собой замыкание всей
схемы, и 0 в остальных строках (соответствующих разомкнутому
состоянию схемы). По условию (i) мы можем поставить 1 на четырех
местах (эти единицы отмечены в таблице), остальные 1 ставим при
использовании условий (it) и (iii).
Теперь по таблице можно
написать сднф для искомой функции.
Эта форма будет содержать 10
слагаемых F = a'b'cd' \ a'b'cd + ...
Мы, однако, не будем выписывать
эту сднф, так как сразу же,
исходя из таблицы, можем сделать
а в
0 0
0 0
Го о
|_ 0 0
0 1
0 1
0 1
О 1
Г1 0
1 0
1 0
1 0
с:
1 1
1 1
с
0
0
1
1
0
О
1
1
0
а
1
1
0
0
1
1
d J
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1 1
F
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1 °
Рис. 84.
Рис. 85.
некоторое уменьшение числа вхождений контактов. Мы видим,
например, что сумма двух элементарных совершенных произведений,
отвечающих строкам таблицы истинности, отмеченных прямыми
скобками, равна а'Ъ'с . Точно так же сумма двух других совершенных
элементарных произведений, отмеченных круглыми скобками,
равна abc'. Кроме того, счастливым образом при сложении четырех
элементарных совершенных произведений, отмеченных фигурными
скобками, мы просто получаем ab'. Остаются всего два слагаемых,
их сумма равна a'bd'.
После того как выполнено это уменьшение числа контактов, мы
можем провести упрощение далее:
F = аЬ'+а'Ь'с + abc' + a'bd' =
= b'[a + а'с] + Ь[ас' + a'd'\ =
= Ь'[(а + а')(а + с)] + Ъ (ас' + a'd') =
= b' (а +с) + Ъ (ad + a'd').
Мы привели один из возможных способов упрощения
полученного выражения; можно придумать также и другие. Кажется веро-
253
ятным, что простейшей схемой, реализующей полученную функцию,
будет схема, содержащая 8 контактов, изображенная на рисунке 85.
Возможно, что читателю удастся найти еще более простое выражение
и соответствующую схему.
У п р а ж н е н~и я.
996. Выполните упражнение 991 с помощью составления таблицы
истинности.
997. Требуется составить схему с 4 переключателями а, Ь, с и d. Схема
должна быть замкнута ттогда, когда будут замкнуты а и Ъ или end.
а) Воспользуйтесь методом построения таблицы истинности и получите
самое простое возможное выражение для функции. Ь) Начертите схему,
реализующую полученную функцию.
998. Каждый член некоторого комитета из 5 лиц должен голосовать за
принятие различных решений. Каждое решение принимается большинством
голосов, но только при том дополнительном условии, что за него голосует
председатель комитета.
Начертите простейшую схему, позволяющую автоматически видеть
результаты голосования, если члены комитета голосуют с помощью
переключателей так же, как в упражнении 991.
999. Начертите схему, которая замыкается ттогда, когда либо а замкнут,
либо Ъ замкнут, либо с разомкнут.
1000. Схема должна быть замкнута, если переключатель а разомкнут,
но без того, чтобы Ъ или с (но не оба вместе) были замкнуты; в последнем
случае цепь разомкнута. Кроме того, схема должна быть замкнута, когда а
замкнут, но при этом Ь и с не должны быть одновременно замкнуты или
одновременно разомкнуты; в этом последнем случае цепь также размыкается.
Начертите удовлетворяющую этим условиям схему с наименьшим
возможным числом контактов.
1001. Начертите схему, позволяющую включать и выключать свет любым
из 3 различных переключателей. Представьте себе, например, что эти
переключатели расположены у входа в спальню, над постелью и у туалетного столика.
Ответы. Частичные решения. Указания.
2. 13356! =22.32-72.53; 16800 = 25.3.52-7; 2835 = 34.5-7. 3. а) 8; Ъ) 1;
с) 18; е) 8. 8. а) 5,08232; Ъ) 14,3932. 9. а) 3,25; Ъ) 4; с) 3,5. 13. а) 34;
6) 120. с) 13. 14. 120. 16. а) 64; 6) 6; с) 71. 17. —. 18. 1024. 21. 12.
64
37
22. 13,6382. 23. . 25. 1. 31. Нет. Сеть не содержит синапсов, так что
27
правило 1 нарушено. 32. Нет. Сеть не содержит окончаний, так что правило
2 нарушено. 33. Нет. 34. Да. 40. 120. 41. 12. 42. 720. 44. 24. 45. 64. 46. 6.
48. 32. 49. 16. 50. 160. 52. 30. 53. 720. 54. 360. 55. 24. 59. 6. 60. 34650.
69. 720. 70. 6; 4; 1; 10. 71. 56; 15; 55. 72. 120. 73. 15. 74. 2 598 960. 76. 1540.
77. а) При t = 4 загораются г3, г4 и г5; Ь) При / = 5и t = 7 (как легко
видеть из входа карты). Это влечет нулевой выход. 78. 10. 79. 500. 80. 27 000.
81. 4. 82. а) 8; Ъ) 512. 83. а) 18; Ь) 324. 84. 256. 85. 32. 86. 25°. 87. 25*.
88. 25*-i. 89. 16. 92. 86. 103. 36. 104. 35. 105. 29 760. 106. 729. 107. 3*.
108. 75. 109. 495. НО. 756 756. 111. 931392 000. 113. 6160. 115. 24. 116. 20.
118. 98. 119. 10 080. 120. 1120. 121. 2565. 122. 144. 123. 10. 124. 864. 125. 66.
5 7
126. 420. 127. 255. 128. —; —. 129. Число способов выбора двух шаров
12 12
равно 21. Выбрать два белых шара можно тремя способами. Следовательно,
1 2
вероятность того, что оба шара окажутся белыми, равна —. 130. а) —- ;
7 35
4 С?в
Ь) 132. —¥. 133. Указание. Найдите сначала вероятность того, что
все шары окажутся разного цвета. 134. —. 135. —-. Часто, когда решение
6 35
задачи сразу не получается, полезно предварительно изменить условие
задачи, уменьшив численные данные. Например, настоящую задачу можно
решить для случая 4 учеников, а затем использовать ту же схему для случая
8 учеников. Ответ второй, более простой задачи легко получить: (i) рисуя
диаграмму, дающую все способы расположения четырех учеников (6 в
знаменателе); (ii) разбирая все случаи, когда 2 конкретных ученика могут ока-
3 11
..139. -;—.
,46-^',47-1?-
заться рядом (4 в числителе). 138.
11 2 1
140. — . 142. а) — . 144. а) —
19 ' 9 ' 8
а) 0,375; Ь) 0,02777
; О Т-Н5.-
255
4 3 3
148. 0,2545454... . 149. —. 152. 3360. 153. —. 154. 0,55. 155. —.
663 7 8
189 111
157. — . 158. 0,444... . 159. —. 160. — . 162. — . 163. 720. 164. 14.
506 3 66 18
ю
\i n
165- Л о" 166* 98, 168, См* РисУН0К 1б- 17°- 0ба в момент / + 3.
tl —J— и
171. а) В момент t + 2; b) В момент £ + 4; с) В момент t = 9. 172. В мо-
1 14 4
мент t + k + 2. 173. В момент * + 3. 174. а) —; Ь) —; — ; —. (За-
о У У У
2
метим, что сумма всех трех вероятностей должна быть равна 1.); с) —; 0,
о
2 4 4 1111
175. а) —; Ь) — ; — . 176. а) 0,08333... ; Ь) —; —; с) .
3 ' 9 ' 9 ' ' ' ' 144' 72 ' 6
177. а) — . 179. а) —-; Ь) —- ; — ; с) —. 182. Тот же рисунок 16,
о 2 4 2 6
за исключением того, что цикл содержит 9 нейронов. Начальные условия:
в точности 4 центральных нейрона загораются в момент t = 0. 186.
Доказать, что четыре неравенства несовместимы. 189. 0,08333... . 190. а) — ;
83 * 1
Ь) —. 191. —. 194. а) 0,3664; 6) 69. 196. а) 0,99702; 6) 0,9611.
202. 22-32-7.5. 203. 29766. 204. 85,1. 205. 5,25. 206. 34. 207. 64. 208. 8640.
л, 216 20 5
209. 1о. 210. Вероятности равны соответственно и . 211.— .
v v 1296 1296 6
171 4 39
212. -—. 213. —. 214. 2880. 215. —-. 216. 0,4. 217. (2^—7) (2*-1) (22-1) =
1296 27 850
= 2565. 220. 01000. 221. а) 267 400; 222. а) 111000. 223. е39ед0. 224. 0221.
225. eeet. 226. 101010. 227. 3000. 229. 5. 230. 208; 334; 5490; 5163. 231. 27;
1536; 123; 511. 235. 25. 236. 43; 119; 30 425; 239. 104338; 1200045; 10001000110112;
26412. 240. 136 991. 242. 439. 248. 11,408; 74,72265625. 249. 0,/5; 3,375; 25,9375/
250. 74,2265625; 3,375; 25,9375. 251. 0,76; 0,101; 0,5; 0,1212....
253. 0,010011001100.... 254. 2,101010... . 255. 0,101010... . 256. 0,3. 266. 287,408203.
267. 10,101010. 273. а) 10100001; 6)1010,011. 276. 9567+1085 => 10 652.
279. 54 726. 280 а) 10,01; Ь) 100,10111; с) —100,10111. 286. а) 0001; Ь) ООП.
294. В момент t-\-7. 298. 1011. 312. 5x6 = 36 записывается в таблице
восьмеричного умножения. 313. 5x6 = 26. 315. 2x2 = 11. 317. 111110.
325. 100. 329. а) 11011; Ь) 10. 334. 0,028571. 335. 0,066667. 340. а) 334,64;
Ь) 59,4375. 341. а) 356,127024365605075341217127... с) 0,4343...
d) 0,10001110... . 345. Указание. Используйте 2 центральные ячейки,
каждая из которых контактирует с обеими рецепторными ячейками.
350. Строка входа имеет вид 00 01 10 11. 355. «Если все а есть Ь, то все Ъ
есть а». «Если все а есть Ь, то все а есть Ь» и т. д. 356. Нет. 357. Да.
360. Нет. 363. Один из способов иллюстрируется примером: «Некоторые
собаки черные» и соответствующей диаграммой таблицы. Этот же способ
изображен на четвертой диаграмме рисунка 37. Остальные 3 способа также
могут быть обнаружены в таблице и на рисунке. 365. Частное
утвердительное, /, третья диаграмма. 366. Противоречивы по определению. 367.
Противоположны по определению. 372. Антецеденту соответствует первая и вторая
диаграммы. Консеквенту — первая, вторая и третья диаграммы. Каждая
диаграмма антецедента есть также диаграмма консеквента. Следовательно,
модус Л/ истинен в первом положении. 377. (i)AabZDlba; (ii) Каждая диаграм-
256
ма антецедента есть также диаграмма консеквента; (Ш) Удовлетворяет обоим
правилам. 384. Старший член посылки, если силлогизм приведен к
нормальной форме. 388. Младший член. 392. ЕАЕ в первом положении. 393. Это не
есть ЕАЕ в четвертом положении. Разыщите старший член. Расположите
высказывание в правильном относительно старшего члена порядке, и тогда
вы увидите, что это АЕЕ в первом положении. 410. Рассмотрим Xab •! bczDZca,
где X — утвердительное высказывание. Тогда Ь не распределен в X. Но в
таком случае он не должен быть распределенным средним членом в Y.
Следовательно, Y — общее высказывание. 411. Возьмите Xba»Iab zd Zca.
Покажите, что если У — отрицательное высказывание, то какое-нибудь правило
окажется нарушенным. 418. а) Пусть т = «люди»; г = «республиканцы»;
v = «вегетарианцы»; b) Imb'/mrZD Irv. Это Ш в третьем положении; с)
Нарушено третье правило (нераспределенный средний член). 421. Рецепторные
ячейки Eba, Acb и Оса. 427. Три. 440. Из первых двух посылок сорита
получаем силлогизм AbcAab zd Aac. Используя следствие полученного силлогизма
и третью посылку сорита, получаем силлогизм Acd»Aac ZD Aad. Наконец,
следствие этого силлогизма и последняя посылка сорита дают третий
силлогизм Ade-AadZD Аае. 446. (г zds)*s ZDr. Утверждение по консеквенту.
Ложное высказывание. 451. Пусть b — «курок взведен», т = «ружье дает осечку».
(b ZDm)*~b-ZD' - т. 459. а) Если р истинно, то q истинно. Высказывание
истинно, с) Если р истинно и q ложно, то г истинно. Это ложное
заключение, так как вывод не следует с необходимостью из посылки; с) Если
р истинно, то ложно, что р ложно. Высказывание истинно. 464. (rvs)» -r-ZD'S.
Истинно. 475. b) Ложно. 476. Простая дилемма. 483. с южнее а.
484. aRb ZD bRa. 489. а) Интранзитивно; b) Транзитивно. 496. 256; 28.
498. а) Да; Ь) Нет. 500. а) Истинно; Ь) Ложно; с) Ложно. 505. а) Множество
всех кратных 15 есть Ь[\с. 508. Истинно. 509. а) Разделены; Ь) Обезьяны —
подмножество млекопитающих. 520. Ааа во втором положении. 529. а) Имеет
место; Ь) Не имеет места. 530. /') Воспользоваться рисунком 49. 532. а) Закон
поглощения, а {](а[]Ь) = а. 561. a) a' [)b(]c(]d f) e' f) /; Ф (а Г)Ь')1ЖГК)-
567. а' П Ь Л С Л d' = (a J ft' Ik (J d)'. 570. а) (с f] e) [} (c (] /)U(<* П «)U
[}(d Л /); с) (a U d) Л (a \J e) f] (b [) d) (] (b [) e) Л (с U d) Л (с (j e).
571. (a\Jc[)d)() (b{JcUd).574. a) e (j g; с) (с Л a)(J(b()d)l)(efU)U(g{) h).
576. (a U b) Л (a (J с) J] d или (а Л d) [} (b Л с (] d). 577. [a (j (b (]bf)\ ft с =
= [я U 01 Л с = а Л с. 580. а) Ь\ g) Ь [} с [} d. 590. с) 0; d) U\ e) U.
599. (7 Л *')11(*Л*Л/') U (Ь Л /) = 0- 601. (а Л Ь') [j (b()a')\J(c[)d') = 0-
608. Ьас. Если имеет место свойство В, то имеет место свойство С. 610. U.
612. а) е Л h\ b) r (J (g f] h)\ с) Вводя и вычеркивая нулевой терм, получаем
(г Л s) U (г П 0* Вынося г, получаем г [) (s [) t) (вынесение г или применение
дистрибутивного закона в обратном направлении прежде называлось
«антидистрибутивностью».) 616. Представить каждое утверждение в виде тождества
с правой частью, равной пустому множеству. Наконец, упростить. 621. 6.
624. а Л V Л С Л d\ 629. а' [\ Ъ'\ а' [\ Ь\ а [\ Ь'\ а Г) Ь. 632. {а' {] Ь' Г) с) [}
U (а' Л Ь ПС) U (а' Л Ь Л с) [} {а()Ь'Г\с') [)(а()Ь'Г\с) (а(]Ь[](Г) (af\b(]c).
638. (а' Л Ь Л С) U (а Л Ь' Л С) [} (а Л Ь' Л с) [} (а Л Ь () С) [} (а () Ь (] с).
639. а) {а Л Ь' Л С) (J (а (] Ь' [\ с) Q (а Л Ь Л С). 645. Никакие. 646. Все
застрахованные женатые мужчины старше 30 лет. 648. b Л с. 650. 6.
651. a (J b' U С (J cf. 661. Указание. Запишите тождество aU^UcUd==:
= ^U>'U2Uay B виДе тождества с правой частью, равной пустому
множеству. 663. (а Л Ь) (J d. 664. a (J 6'. 665. а' {] с. 668. (Ь {] с) [} (Ь [] d) [) е.
671. а U b' U с. 677. iV(fln&) = ^WT^(b)-iV(flU4' 687. Если
я' Л &' Л с' = 0» и а Л & Л с' = 0» и «'Л ^ Л с' = 0. то с= 0. 688. Если
aCI(6|JcUd)» то «c:feUc» или а с: с [J ^» или ad^U^- 689. Если
а' Л ^ 0>то аЛЬ'= 0. 690. (р->^->1(Р^)-^(^-0Ь 691. а) p\jq-+q\/p\
d) - ( - р) -» p. 692. а) (р -► ^) <г> (- ^ -► - р). 704. р и q, p ложно и q истинно,
р истинно и q ложно, не р и q (или «ложно, что р и q истинны»), р или <?
и т. д. 706. l(pq-*r) (- г)\ -> (- p|J - q). 699. Истинно. 700. Истинно.
701. Истинно. 712. а) 1; 6) 1. 715. р.? истинна в единственном случае, когда
257
р и q истинны. 720. 8. 721. 2n. 722. Имеется четыре вспомогательных столбца
Р» <7> РУЯ* р-*РУЯ> так как выражение составлено из четырех
вспомогательных функций. Столбцы имеют вид ООП, 0101, 0111, 1111 соответственно.
723. Мы должны построить таблицу истинности для I(p~> q) (q -*r)]-> [p-+r].
Вспомогательными функциями являются р, q, г, p->q, q-+r, (p -» q) (q ~> г),
р-+г и, наконец, сама функция, другими словами, нам потребуется
заполнить столько столбцов, сколько указано на рисунке 63. Затем в первые три
столбца вписать все возможные комбинации значений переменных. Четвертый
столбец заполните, рассматривая первые два столбца. Пятый заполните,
рассматривая первый и третий столбцы. Седьмой столбец заполните,
рассматривая первый и третий столбцы. Заполните шестой столбец из рассмотрения
четвертого и пятого столбцов. И, наконец, последний столбец заполняется,
исходя из шестого и седьмого. Функция тождественно истинная, так как
последний столбец не содержит нулей. 724. Четвертый столбец имеет вид 1111.
Тождественно истинная функция. 728. Теорема де Моргана, (р V<7)«-»~ (^Р* ~~q).
736. (p->q)<r> -~ pyq. 737. l(p-+q)(q-*r)]->(p-*r). 746. а) (p-q)y(r-s);
Ь) (~р- -~q-r)y~s. 747. а) (р\/г) (руs) (qyг) (qys); с) (p-r-t)y(p-s-t)v
V(q-r-t)y(q-s.t). 748. a) (py q) (r\js) t; c) sy p\ e) py(~r-s-~q);
h) (p-q-s)y(r-s). 749. -mv-ry-s. 750. (r.~w)y-t. 751. (~ m-r)ys.
753. (p- - q)y - py - r\/q. 754. (r-s-t)y(~ r-s- - t)y(r- ~ s- - t).
757. (p.- m)y(p-r)y(- P'm- - r). 758. - ry(s-t) V (~ s. ~ /). 759. r->s.
760. rt-+s. 761. m<r>n. 764. a) pyq; c) s; d) qyryt; f) 1; h) sVq\ j) 0; /) s.
765. p V - q\/r. 770. a) (m* ~~ p)y(p» - r); b) Указание. Повторите второй
терм. 772. а) г; /) q-r. 773. \ry{- s-t)]-{syt). 774. а) ~ РУ - qy (r-s).
775. - pv - tfV''. 776. - <7V- 777. (p- - q) У (~~ p- ~- r)y q. 780. r-»s.
782. a) r-+p\ c) p-q-*r. 783. a) p-+r\ b) q-*r. 784. a) s->t; b) t-+m-
788. a) p~>q\ b) w-+ ~ t или a) p->q; b) t -> - w. 793. Оно означает:
утверждение всегда истинно, независимо от входящих в него переменных.
794. руг. 798. 9. 799. - p-q-r-s. 800. r-s-t- - w. 802. а) (- г— s-~t)y
Vf-r.s.OV^—s-OVM-/); 6) (~ Р"~ r-s)y(- р-г • s) V (Р-- /-•- s)v
V(P— r-s)y(p-r.s); с) (- г.- s.- /)V(- /■•- s-*)V(~ r-s-t)y(~ r-s-t)y
V(r-~ s.t)V{r-~ s-t)y(t-s.t). 804. (~ p-q)y(p-- q)y(p-q). 806. (- p.- </)v
V (P • - 9) V (P • ?)• 807. (~ p • ~ q - ~ г) у (~ p . q . ~ г) у (p • ~ q - r).
811. (- /■•- s.- /) v(- r- - &-t)y(r. - s- - 0 V(/"« ^ s.t)y(r-s-t). 817. 3.
818. - pyqyry - s. 819. (- /-у - svO (- rysyt) (ry ~ sy t)-(ry sy t).
820. (- pV - *V0(~ rV«V0 (/"V - SV0 (rysyt). 821. (~ rV - svO-
822. (-pV- <7V) •(- PV?V - r) • (~pVq4r)(pV q У ~ r) • (p У q У г).
823. (~ p\jq\l~r)(~ РУ - qy - r){pyqyr). 824. (- rV- syt) (-rysyt)
(rysy ~ t) (rysyt). 825. (qyr)(py~r). 829. (~ p. ~ q.r-s)y(~p-q-r>s)y
У (p - ~ q -r -s) у (p- q - - r . ~ s) V (p • q - ~ r - s) (p . q • r-s) У (p-q-r-s).
830. (~ py~qy- rys)y(- pyqy - rys) (py - qy ~ rys) (pyqy ~ rys) X
X(pyqyrys) (pyqyrys). 831. 9 термов. 832. 2/г~1. 834. ?V - >*• 835. -pys.
836. 7 термов. 838. a) (~ p- ~ q-r)y(~ p*q-r)y(p. ~* q-r)y(p»q~ r)y{p-q-r);
b) (- pyqyr).(py - qyr).(pyqyr); с) Да. 840. 11. 841. ( ~ pV - <7 V) V
y(P'~q.~r)y(p.q.r).842.(~p.~q.r)y(p.~q-~r)y(p-q.r).8to.(~py~qyr).
• (PV - /•). 844. c) (- p- - 9. - r)y(p-q-r). 845. Решите с помощью таблицы
истинности. 846. с) (-г.- s. - t)y(r-s-t). 847. (- РУ ~~ qy ~~ r)-(py qyr).
850. К цепи из последовательно соединенных двух замкнутых контактов
присоединяется параллельно цепь, состоящая из одного разомкнутого
контакта. Цепь эквивалентна постоянно замкнутому контакту. (Ы) + (0-1) =
= (1+0)=1. 851. 1. 852. 1. 853. (0-1) + (Ь0). 864. (1 + 1+0+1) (1 + 1 +
+ 0) (1 + 0). 861. а (с + d) + b (с + d). 862. ас + ad + be + W. 863. a (6c +
+ a'd) ([a'd'g' -\-bc'\e' + ade). 865. Закон исключенного третьего. a + a'=l.
866. Коммутативный закон, ab — ba. 874. Ь) (a+d) (a+e) (Ь+d) (b+e) (c+
+d) (c+^). 875. b) ab (c + d). 876. b) d + abc. 880. Функция приводится
к alft(cd + e) + g|. 891. a) (a + c) (d + e)\ b) h + w\ c) e+ g + h\ d) ct\
e) a + b + c. 893. a) a + b' + с + d\ b) ab' -\-bc'. 895. Функция эквивалентна
ас + a&c'd = а (с + te'd) = a (c + 6) (c + c') (c + d) = a (c+b) (c+d) = a (c+fcd).
258
897. а) Функция эквивалентна a'be + abc -f- ab'c = be + ас = (a + b) с b)
Функция эквивалентна a-{-de. 898. Функция приводится к a (6 + с). 899. Функция
приводится к ac±d. 907. Упрощенная функция имеет вид abc (d -\- g-\- h).
Начертите схему. 915. Нет. 917. a) (а' + Ь'с) (а + Ь'), которая приводится к
V {а! + с); b) (a+ b + с) а" + е + / + g- 924. a'b'cdl'. 925. a'bed. 926. ab'cd.
929. a'bc' + ab'c' -\- ab'c -{• abc' + abc. 930. a'b'c' -\-a'bc' -\- ab'c. 933. Справа
от двойной линии должно быть 3 столбца для записи значений функций be;
a + bc и (a-{-bc)d. 934. a) a'b'cd + a'bcd + ab'c'd + ab'cd -\~abcd\ b) tn0 +
+ m2 + m4 + me + m8 + ml0 + m11 + ml2 + m13 + m14 + /n15. 938. a) a'fc +
+ abc' + a&c; 6) Решение ищется с помощью таблицы истинности.
945. а) (а' + b + С) (V + Ь + с) (а + Ь' + с) (а + Ь + с); 6) М2./И3.М5.Мв.Л17.
-М13-Ми-М1ъ. 946. a'b'+ab. 947. (я'+6) (а+Ь'). 950. В силу теоремы 5 а
функция равна abc' -\-abc-\-a' b' c-{-a' bc-\-ab' c-\-abc. Тогда в силу 6 а отрицание равно
a'b'c' + a'bc' + a&'c'. 952. m4 + m5 + me + m10 + ^12 + mi3 + mi4- 953.
Отрицание функции равно (а' + с + d) (6' + с -}- d) < (a' + b' + с -f d) (a' + 6 -f-
+ с + d) (a + b' + с + d). 954. m0 + /Hj + m2 + m4 + mb + me + m8 + /л1о +
+ m12 + m13 + m14 + m16. 956. (a' + 6') (a + 6). 957. a'6 + ab'. 958. a'b'c +
+ a'6c + ab'c + abc'. 959. (a' + b + C) (a + b' + c) (a + b + c). 964. ab+a'b'c.
968. 6) ce + a (b + d). 969. (a + c) (6 + dc). 970. 6) b(a -\- c' + d). 972.
Указание. Для упрощения замените eh' на * и km' на у. После упрощения
вернитесь к исходным обозначениям. 975. b) d + (с-е [а + Ь\) (а + е). 976. 6) с+
+ d + е' + g; с) Ь (ае + d + h). 977. a) g (m + hn)\ b) g' (Л' + /я); c) d + ce\
d) ae + d + h\ e) (d' + e' + g') {d +e + g). 981. b) a (b + О + be'; c) a (b +
+ c') + 6c'; d) 6 + c;/) b'e. Указание. Для удобства перед
преобразованиями замените х на b'e и у на с'й; /') (а' + Ьт + с' + d') (a + b -f-c + d);
/г) a(c + b + d'). 983. 6с-f- b'd'. 985. Переместите контакт d на рисунке 80.
995. Используйте схему предыдущей задачи.
Предтетный указатель
Гл.
§ Стр.
Гл.
§ Стр
Активность нервной
сети
Аккумулятор
Алгебра контактных
схем
— множеств
Алгоритм
— двоично -
восьмерично-десятичного
перевода
— Евклида
(нахождения НОД)
— нахождения числа,
обратного данному
— Ньютона
приближенного вычисления
квадратного корня
— перевода в десятич-
III 5 46
IV 18 101
VIII 2 230
VI 1 142
I 2 Ю
IV 3 67
I 5 16
IV 21 Ю6
I
17
ную систему
— приведения к СДНФ
— разложения на
простые множители
Антецедент
Антипротиворечивые
высказывания
Асимметрическое
отношение
Безу теорема
Булева алгебра
бинарная
— высказываний
— множеств
Булевы алгебры
конечного порядка
Булева функция
контактов
— высказываний
— множеств
Венна диаграмма
Вероятность
достоверного события
— невозможного
события
— независимых
событий
IV
VII
I
V
V
V
IV
VII
VII
VI
VII
VIII
VII
VI
VI
III
III
III
3
11
4
3
2
И
3
2
2
1
1
1
4
9
1
1
1
3
65
219
14
118
117
139
66
195
195
142
193
227
201
165
143
40
40
44
Вероятность
несовместимых событий
— события
Вполне надежный
нейрон
Вход в момент
времени /
— в течение интервала
времени
— неэффективный
— эффективный
Входно-выходная
таблица
Входные карточки
Вывод логический
Выполнимое
утверждение
Высказывание
категорическое
— общее
утвердительное
— общее
отрицательное
— частное
отрицательное
— частное
утвердительное
Высказывания
антипротиворечивые
— несовместимые
— противоположные
Гипотетический
силлогизм
Главная посылка сил-
III
III
III
II
II
III
III
III
II
V
VII
V
V
V
V
V
>>>
2
1
9
5
5
7
7
7
5
1
5
1
1
2
2
2
to to to
43
40
55
35
35
51
51
51
35
112
204
112
113
115
115
115
118
117
117
7 131
логизма
Главный член посылки
Горнера схема
Двоично- восьмерично-
десятичный перевод
Двоичное дополнение
числа
Двойственности
принцип
Де Моргана теоремы
V
V
IV
IV
IV
VI
VI
4
4
3
3
10
7
6
122
122
66
67
85
156
154
260
Гл. § Стр.
Гл.
§ Стр.
Десятичное
дополнение числа
Дефектный нейрон
Диаграмма Венна
Диаграмма Эйлера
Диадическое
отношение
Дизъюнктивный
силлогизм
Дизъюнкция
высказываний
— логическая
Дополнение
множества
Евклида алгоритм
Зависимые события
Загорание рец пторов
— синапсов
— эффекторов
Заключение
— истинное
— ложное
— непосредственное
— сорита
Закон логический
Законы алгебры
высказываний:
— ассоциативный
— двойного отрицания
— двойственности
— дистрибутивный
— идемпотентный
— коммутативный
— исключенного
третьего
— противоречия
— тождества
Законы алгебры
контактных схем
Законы алгебры
множеств:
— ассоциативный
— двойного
отрицания
— двойственности
— дистрибутивный
— идемпотентный
— исключенного
третьего
— коммутативный
— противоречия
— тождества
IV
III
VI
V
V
V
VII
V
10
9
1
1
10
8
3
8
84
56
143
114
137
134
198
134
VI 1 144
III
II
III
III
V
V
V
V
V
V
VII
VII
VIII
5 16
4 45
5 34
5 47
5 47
1 112
3 118
1 112
1 112
3 118
6 131
5 203
6 205
3 232
VI 7 155
Замирение рецепторов
—синапсов
— эффекторов
Замкнутый контакт
Индекс суммирования
Интранзитивное
отношение
Истинности таблица
Истинное заключение
Исходы равноправные
Итерационный процесс
второго порядка
Кабель
Карточки входные
Категорическое
высказывание
Категорический
силлогизм
Компоненты
цифровых вычислительных
машин
— ненадежные
Консеквент
Контакт
— замкнутый
— постоянно
замкнутый
— постоянно
разомкнутый
— противоположный
данному
— разомкнутый
Лемер
Логический вывод
— закон
Ловушки
Ложное заключение
Младшая посылка
силлогизма
Младший член
силлогизма
Множества
— пересекающиеся
— разделенные
Множество пустое4
— универсальное
Модус заключения
— непосредственного
заключения
— силлогизма
III 5 47
III 5 47
III 5 47
VIII 1 227
I
V
VII
V
III
7 19
12 140
4
1
1
201
112
40
IV 21 107
III
II
V
V
I
III
V
VIII
VIII
VIII
VIII
I
V
VII
VI
VII
V
55
35
1 112
4 121
23
55
118
227
1 227
VIII 1 228
VIII 1 228
1 227
1 227
14
112
203
VI
VI
VI
VI
V
3
3
1
1
1
V
V
12 178
10 213
1 112
4 122
4 122
148
148
143
142
113
3 118
1 113
261
Гл
§ Стр.
Гл. § Стр.
Наибольший общий
делитель (НОД)
Начальные условия
загорания
Нейрон
— вполне надежный
— дефектный
— низкоактивный
— рецеп торный
— сверхактивный
— центральный
— эффекторный
Независимые события
Ненадежные
компоненты
Нервная сеть
Несовместимые
высказывания
Несовместимые
события
Непосредственное
заключение
Несимметрическое
отношение
Нетранзитивное
отношение
Неэффективный вход
Ньютона алгоритм
Общее отрицательное
высказывание
Общее утвердительное
высказывание
Общее число
сочетаний
Объединение множеств
Окончание нейрона
Основание системы
счисления
Основной принцип
теории расстановок
Отношение
— асимметрическое
— включения (для
множеств)
— диадическое
— интранзитивное
— несимметрическое
— нетранзитивное
— полиадическое
— симметрическое
— тождества
— транзитивное
— триадическое
Отрицание
высказывания
III
I
III
III
III
I
III
I
I
III
III
I
V
III
I
V
V
VI
V
V
V
VI
V
V
16
49
24
55
56
56
24
56
24
24
44
55
25
V 2 117
III 2 43
V 2 118
V 11 139
12 139
7 51
6 17
2 115
1 ИЗ
II 6 36
VI 4 148
I 9 24
IV 1 61
II 1 27
V 11 139
2 144
10 137
12 140
11 !39
V 12 140
V 10 137
V 11 139
2 145
12 139
10 137
VII 3 198
Отрицание по
посылке
Отрицание по
следствию
Переключательная
функция
Перевод
двоично-восьмерично-десятичный
Пересечение множеств
Перестановки
— элементов, если
некоторые из них
являются одинаковыми
Подлежащее
силлогизма
Подмножество
— собственное
Порог синапса
Порождение целых
чисел
Порядок булевой
алгебры
Постоянно замкнутый
контакт
— разомкнутый
контакт
Посылка
— силлогизма
— силлогизма главная
— силлогизма
младшая
— сорита
Правило счета
Предикат
Пределы
суммирования
Приближенное
значение с точностью до
единиц
Прием временного
сообщения
— пространственного
сообщения
Принцип
двойственности
Пробные шаги
Продвижение цифры
Произведение
контактов
Простое число
Противоположная
схема
Противоположное
высказывание
V 7 132
V 7 132
VIII 1 228
IV
VI
II
3
3
1
67
146
27
30
V
VI
VI
III
IV
VII
VII
VII
V
V
V
V
V
IV
V
4
2
2
7
2
1
1
1
1
3
4
4
6
2
2
122
145
145
51
62
193
228
228
114
118
122
122
131
62
115
19
I
IV
IV
VI
I
IV
VIII
I
VIII
V
6
14
14
7
2
1
1
2
5
2
18
94
93
156
10
61
227
11
240
117
262
Гл. § Стр.
Гл. § Стр.
Противополож ный
контакт VIII 1 227
Противоречивое вы-
скязывание V 2 1!7
Пустое множество VI 1 143
Равновероятные
события
Равноправные исходы
Размещения
Разомкнутый контакт
Разряд числа
Распределенный член
высказывания
Расстановка
Регистр частного
Релатум
Референт
Рецептор
Рецепторный нейрон
Решето Эратосфена
Сверхактивный нейрон
Сеть нервная
Силлогизм
— гипотетический
— дизъюнктивный
— категорический
Симметрическое
отношение
Синапс
Сказуемое силлогизма
Следствие
Следствие силлогизма
Собственное
подмножество
События зависимые
— независимые
— несовместимые
— равновероятные
Совершенная
дизъюнктивная нормальная
форма функции
высказываний
— функции
переключательной
Совершенная
конъюнктивная нормальная
форма функции
высказываний
— функции
переключательной
III 1 40
III 1 40
II 2 29
VIII 1 227
IV 10 83
V 3 120
II 1 27
IV 20 104
V 10 138
V 10 138
I 9 24
I 9 24
I 3 14
III
I
V
V
V
V
9 56
9 25
1 114
7 131
8 134
4 121
V И 139
I 9 24,25
V 4 122
V 1 114
V 4 122
VI
III
III
III
III
145
45
44
43
40
VII 11 217
VIII 6 242
VII 12 220
VIII 7 245
Совершенная
нормальная форма
функции множеств
первая
— вторая
Совершенная форма
первая
— вторая
Совершенная
элементарная дизъюнкция
— конъюнкция
— сумма
Сориты
Сочетание
Средний член
силлогизма
Старший член
силлогизма
Строка термов
Субъект
Сумма контактов
Суммирования индекс
—пределы
Совершенное
элементарное произведение
Схема Горнера
— контактная
— противоположная
данной
Схемы логически
эквивалентные
Таблица вход
но-выход на я
Таблица истинности
функции
высказываний
Теорема Безу
Теоремы Де Моргана
— о совершенных
нормальных формах
функции множеств
— о совершенных
нормальных формах
функции
высказываний
— о совершенных
нормальных формах
переключательных
функций
Терм
Термов строка
Тождественно
истинное утверждение
VI 13 181
VI 14 186
VI 13 180
VI 14 186
VII 12 220
VII И 217
VIII 7 244
V
II
6 131
4 31
V 4 122
V
VI
VII
V
VIII
I
I
VIII
IV
VIII
VIII
VIII
4
9
7
2
1
7
7
6
3
1
5
1
122
168
207
115
227
19
19
242
66
227
240
228
Ш 7 51
VII 4 201
IV 3 66
VI 6 154
VI 14 188,189
VII 13 222,223
VIII 8 245,246
VI 9 168
VI 9 168
VII 5 204
263
Гл.
§ Стр
Гл.
§ Стр.
Тождественно ложное
утверждение VII 5 204
Транзитивное
отношение V 12 139
Универсальное
множество
Условия загорания
начальные
Утвердительное общее
высказывание
Утвердительное
частное высказывание
Утверждение
выполнимое
— по посылке
— по следствию
— тождественно
истинное
— тождественное
ложное
Факториал
Формула (для булевой
функции)
Функция булева
высказываний
— контактов
— множеств
— переключательная
Целых чисел
порождение
VI
III
V
V
VII
V
V
VII
VII
I
VI
VII
VIII
VI
VIII
1 142
6 49
1 113
2 115
204
131
132
204
204
22
165
5
7
7
5
5
8
9
4 201
1 227
9 165
1 228
IV 2 62
Центральные нейроны
Цифра
Частного регистр
Частное
отрицательное высказывание
— утвердительное
высказывание
Число простое
Член главный
силлогизма
— младший
силлогизма
— распределенный
высказывания
— средний силлогизма
— старший силлогизма
Эйлера диаграмма
Элементарная
совершенная дизъюнкция
— конъюнкция
— сумма
Элементарное
совершенное
произведение
Эратосфен
Эратосфена решето
Эффективный вход
Эффектор
Эффекторные нейроны
1—дополнение числа
9—дополнение числа
I
IV
IV
V
V
I
V
V
V
V
V
V
VII
VII
VIII
VIII
I
I
III
I
I
IV
IV
9
1
20
2
2
2
4
4
3
4
4
1
12
11
7
6
3
3
7
9
9
11
11
24
61
104
115
115
11
122
122
120
122
122
114
220
217
244
242
12
14
51
25
24
88
86
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Предисловие 3
Глава I. Некоторые предварительные сведения 9
§ 1. Введение 9
§ 2. Алгоритмы Ю
§ 3. Решето Эратосфена \\
§ 4. Алгоритм разложения данного числа на простые множители 14
§ 5. Алгоритм Евклида 16
§ 6. Алгоритм Ньютона приближенного вычисления
квадратного корня 17
§ 7. Применение знака 2 для записи сумм 19
§ 8. Использование знака П для записи произведений .... 22
§ 9. Нейроны, или обобщенные компоненты цифровых машин. 23
Глава II. Размещения и сочетания 27
§ 1. Основной принцип теории расстановок 27
§ 2. Размещения 29
§ 3. Перестановки объектов, некоторые из которых являются
одинаковыми 30
§ 4. Сочетания 31
§ 5. Загорание рецепторов 34
§ 6. Общее число сочетаний 36
Глава III. Вероятности 40
§ 1. Измерение вероятностей 40
§ 2. Вероятности несовместимых событий 43
§ 3. Вероятности независимых событий 44
§ 4. Зависимые события 45
§ 5. Активность нервной сети 46
§ 6. Вероятностные построения в нервных сетях 48
§ 7. Некоторые простые сети и их свойства 51
§ 8. Об эмпирическом понятии вероятности 54
§ 9. Надежность компонентов нервной сети 55
265
Глава IV. Системы счисления
61
§ 1. Введение 61
§ 2. Порождение целых чисел 62
§ 3. Перевод любого целого числа в десятичную систему
счисления 63
§ 4. Перевод десятичного целого числа в'любую другую систему
счисления 68
§ 5. Позиционное представление любого числа - 71
§ 6. Перевод любого позиционного числа в десятичную систему
счисления 73
§ 7. Перевод десятичного числа в любую другую систему
счисления V ........ . 74
§ 8. Сложение 79
§ 9. Непосредственное вычитание 82
§ 10. Вычитание с помощью дополнений (без переноса в конец) 83
§11. Вычитание с помощью дополнений (с переносом в конец) 86
§ 12. Нервная сеть для счета числа одновременных событий . . 89
§ 13. Активность нервной сети (общий случай) 90
§ 14. Прием сообщений 93
§ 15. Нервная сеть для сложения двух двоичных чисел. ... 95
§ 16. Нервная сеть для вычитания двоичных чисел 98
§ 17. Непосредственное умножение 98
§ 18. Умножение путем повторного сложения 101
§ 19. Непосредственное деление 103
§ 20. Деление путем повторного вычитания 103
§ 21. Упразднения деления 103
§ 22. Нервная сеть, удовлетворяющая данным входно-выходным
условиям 108
Глава V. Традиционная логика 112
§ 1. Множества, высказывания и заключения 112
§ 2. Категорические высказывания 115
§ 3. Непосредственные заключения 118
§ 4. Категорические силлогизмы 121-
§ 5. Нервная сеть для проверки истинности любого силлогизма 125
§ 6. Сориты 131
§ 7. Гипотетические силлогизмы 131
§ 8. Дизъюнктивные силлогизмы 134
§ 9. Другие формы выводов 13 5
§ 10. Типы отношений 137
§ 11. Симметрия 139
§ 12. Транзитивность 139
§ 13. Симметрия и транзитивность 140
§ 14. Отношение соответствия 141
Глава VI. Булева алгебра множеств 142
§ 1. Множества и их дополнения 142
§ 2. Включение и тождество множеств 144
§ 3. Пересечение множеств 146
§ 4. Объединение множеств 148
§ 5. Булевы эквиваленты для четырех типов категорических
высказываний 150
§ 6. Проверка тождеств с помощью диаграмм Венна 153
§ 7. Основные тождества между множествами 155
§ 8. Булева алгебра как дедуктивная система 157
266
§ 9. Представление булевой функции в виде строки термов . . 165
§ 10. Дальнейшие упрощения строк термов 171
§ 11. Упрощение суждений о множествах 175
§ 12. Ловушки 178
§ 13. Совершенная нормальная форма булевой функции .... 179
§ 14. Вторая совершенная нормальная форма булевой функции 186
§ 15. Число элементов в объединении и пересечении множеств . 191
Глава VII. Булева алгебра высказываний 193
§ 1. Булевы алгебры конечного порядка 193
§ 2. От алгебры множеств к алгебре высказываний 195
§ 3. Арифметика высказываний 198
§ 4. Основные таблицы истинности 201
§ 5. Использование таблиц истинности 202
§ 6. Основные законы алгебры высказываний 205
§ 7. Всякая булева функция алгебры высказываний может быть
представлена в виде строки термов 205
§ 8. Упрощение строк термов 210
§ 9. Упрощение системы высказываний . . . 213
§ 10. Ловушки 216
§ 11. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма .... 217
§ 12. Совершенная конъюнктивная нормальная форма .... 220
§ 13. Некоторые теоремы о совершенных нормальных формах . 222
Глава VIII. Приложение к контактным схемам 227
§ 1. Контактные схемы 227
§ 2. Алгебра контактных схем 230
§ 3. Основные законы 231
§ 4. Упрощение схем 234
§ 5. Отрицание схемы 240
§ 6. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма .... 242
§ 7. Совершенная конъюнктивная нормальная форма .... 244
§ 8. Теоремы о совершенных нормальных формах 245
§ 9. Некоторые обзорные задачи, касающиеся упрощения схем . 248
§ 10. Построение схем по данным условиям их замыкания . . . 249
Ответы 255
Предметный указатель 260
Дж. Т. Калбертсон
МАТЕМАТИКА И ЛОГИКА
ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ
Редакторы Е. Л. Бешенковская, И. С Комиссарова
Художник А. Ф. Серебряков
Художественный редактор В. И. Рывчин
Технический редактор В, В, Новоселова
Корректор /С. А. Иванова
Сдано в набор 14/VIII 1964 г. Подписано к печати
31/III 1965 г. 60x90Vifi. Печ.л. 16,75.
Уч.-изд. л. 16,83. Тираж 19 тыс экз. (Пл. 1964 г.
№ 155). Заказ № 144.
Издательство «Просвещение» Государственного
комитета Совета Министров РСФСР по печати.
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 4К
Саратовский полиграфический комбинат Росглавпо-
лиграфпрома Государственного комитета Совета
Министров РСФСР по печати.
Саратов, ул. Чернышевского, 59.
Цена без переплета 45 коп., переплет 15 коп.