Издательство ЦК ВЛКСМ
„Молодая гвардия". 1968

В. КАСАТКИН
Азбука
кибернетики

вП 2.15 4
К 28.
Кто он, читатель этой книги? Кому она
адресована?
Вам — школьники средней школы. Вам и наше
вступительное слово.
Вы, конечно, уже много слышали, да и прочли,
наверное, немало о кибернетике. Вам известно, что
сегодня кибернетика помогает решать такие задачи,
которые недавно казались неразрешимыми.
Вторжение «умных» кибернетических машин
наблюдается не только в технике, но и в медицине,
биологии, языкознании и даже в искусстве.
Еще большие успехи, еще большая помощь
ожидается от кибернетики в будущем. Тогда, когда
кибернетических устройств будет больше, когда будет
больше людей, умеющих их использовать, умеющих
их создавать.
Как же научиться этому?
Нельзя ли уже семикласснику или
восьмикласснику разобраться в некоторых тайнах
кибернетических чудес?
Можно!
Да, можно! Я знаю ребят, которые грамотны
в кибернетике. Вам непривычно выражение
«грамотны в кибернетике»? А это значит, что сегодня уже
недостаточно знакомиться с кибернетикой вообще —
наступило время, когда нужно учиться кибернетике,
становиться грамотным в ней.
Я знаю школьников, которым уже мало читать
о кем-то изготовленных машинах, которым уже
неинтересно собирать модели по чужим, по готовым
схемам. Это ребята из Малой академии наук
школьников Крыма «Искатель».
О том, чему учатся юные кибернетики Крыма,
и рассказывается в «АЗБУКЕ КИБЕРНЕТИКИ». Эта
книжка не учебник, но й не книжка для легкого
чтения. «АЗБУКУ КИБЕРНЕТИКИ» следует читать за
письменным столом, неплохо ее прорабатывать
в кружке с товарищами.
В книге содержатся основные понятия
некоторых разделов этой увлекательной науки. Читая
«АЗБУКУ», вы как бы заглянете в мастерскую ученого,
4

познакомитесь с тем, как в кибернетике считают и
записывают числа, узнаете, что представляет собой
алгебра высказываний, и увидите, как она
применяется. Наконец, вам будет показано, из каких
«кирпичиков» строятся «умные» машины.
Вас ждет успех, если вы внимательно прочтете
каждую строчку, старательно выполните все
упражнения.
Кибернетика ждет любознательных и ищущих,
умелых и настойчивых. Она открывает широкое
поле деятельности для ребят с различными
наклонностями. Если вы любите работать с карандашом и
бумагой, упражняя свои математические способности,
кибернетика предложит вам массу интересных
задач. Если вам больше нравится паяльник —
конструируй «умные автоматы», — проектировать их
научит кибернетика. Увлеченным логикой найдется
немало задач по синтезу и анализу схем автоматов.
Успехов вам, любители кибернетики!
А. СТОГНИЙ,
заместитель директора Института
кибернетики АН УССР
#►

#Ъгкрой этот необыкновенный букварь—«АЗБУКУ
^КИБЕРНЕТИКИ». Как и во всяком букваре,
здесь все начинается с самого простого. Может быть,
тебе это покажется очень легким, но не делай
поспешных выводов и старайся читать внимательно
каждую строчку.
А главное — выполняй все упражнения, которые
тебе будут предложены, — выполняй старательно и
настойчиво.
Чертежи и рисунки к «АЗБУКЕ»- рассматривай
и изучай тщательно. Твоими помощниками будем
мы —КИБА, КИБЕР и КИБИ. Будь вниматель..
ным, не пропускай наших рекомендаций — они
помогут тебе увидеть главное на страницах
«АЗБУКИ».
Итак, здравствуй!
Я — КИБА,
Я - КИБЕР,
а Я - КИБИ.
За нами, в путь!

Глава

Т+11Н8
19-12= 7
гЩг

КАК СЧИТАЮТ КИБЕРНЕТИКИ
ЖЖы привыкли вести счет предметов десятками.
Десять единиц образуют десяток, десять
десятков — сотню и т. д. Наша система счисления
называется десятичной. ^
В кибернетике распространена другая система —
двоичная. При счете предметов по этой системе
следует пользоваться парами. В роли «десятка» в
двоичной системе выступает «пара» — две единицы
первого разряда образуют пару, или единицу,
второго разряда. Две единицы второго разряда, две
пары, образуют единицу третьего разряда. Правда,
у этой единицы нет своего названия, как у «сотни».
Две единицы третьего разряда образуют единицу
четвертого разряда и т. д.
Посмотри, как следует записывать получающиеся
числа при пересчитывании предметов.
одитг -т I : -:■--■
д в а - 10 (од Ы В#$п№
■, • второго ра^^дд)
Tph ■::v:::::-v1t':^'-:-'-.V^::^'VT-..:-'
BoGExMmXQ 00 'ШШ»:

Попробуй самостоятельно продолжить эту
таблицу. Если будет трудно, обратись к старшим.
Переведи на язык двоичной системы следующие
десятичные числа:
11. 23, 17, 47, 52 и 32
А эти числа, данные в двоичной системе, вапиши
в десятичной:
lOOl, -1101,110011000
ЮН 1111.
Например:
1ЮО2=1210или 11112= 1510
Значки справа внизу у каждоро числа, указывают,
в какой системе число- записано. Так, запись 1001 г
указывает, что нам дано число в двоичной системе
счисления.
Упражнение на сообразительность
На: одном из школьных праздников ребята—
любители кибернетики вывесили в актовом^але
необычный транспарант из^ красных и зелены!- лампочек1.
Это была зашифрована знаменательная дата;
Какая, если красная лампочка означает «1»,
зеленая ~— «в»?
10

Вот этот транспарант:
*•*■:.
Щ^щоЩ^
- v
Ж
Еще одно упражнение:
Если у тебя есть гири в 1 кг, в 2 кг и в 4 кг,
то ты сможешь взвесить любой груз до 7 кг
включительно Проверь
Какие две гири еще следует добавить, чтобы
можно было взвесить любой груз до 31 кг
включительно?
II

ПРИЯТНЫЕ СЮРПРИЗЯЛ
двоичной системы
Г|лы познакомился с тем, как записывается резуль-
•*■ тат пересчитывания предметов в двоичной
системе счисления;
Сейчас мы покажем, как следует складывать
числа, записанные в двоичной системе.
Трудно в начальных классах заучивать таблицу
умножения. Однако она помогла тебе проводить
арифметические действия с самыми большими
числами.
Для тото чтобы проводить вычисления в двоичной
системе, также пользуются таблицами сложения и
умножения. Они тебя, наверное, заинтересуют.
Посмотри, какая простая таблица сложения:
о+о
о+г
l+O
1+1
Теперь рассмотри решенные примеры на
сложение:
Ю Ю1 ДООО
11 Ю 111
101 ill Till
12

А ети примеры сделай сам:
101 НО lOOl ,1001
11 lOl 1Ю1 101
ЮН
. 111
Ю1
Обязательно сделай проверку своих результатов.
Для втого все слагаемые запиши в десятичной
системе. Вот так:
13

+
но
11
1001
записываем все слагаемые в десятичной системе и
убеждаемся в правильности решения:
з
Для того чтобы хорошо считать в двоичной
системе, побольше упражняйся. Заведи специальную
тетрадь. Примеры составляй сам или попроси
старших.
УМНОЖАТЬ
НЕМНОГО ТРУДНЕЕ
Ж^сли сложение в двоичной системе усвоено хорошо,
можно переходить к умножению. Вот таблица:
-О-хО-О
Oxl-O
ix О* О
1X1=1
!3

Научиться умножать нужно самому. Рассмотри
внимательно решенные примеры — это поможет тебе
сообразить, как проводилось умножение:
101
х11
ю
оо
11
1 10
ХЮ1
х ю
ооо
+Ю1
1010
у111
Ю1
111
..ооо
+1.11
100011
Умножение на «О» в двоичной системе
проводится так же, как и в десятичной. Строки нолей
приведены для наглядности.
Следующие примеры попробуй сделать
самостоятельно: -
ГЗ

Ill v10i У1Ю
x 1 11 lO
vHOO vlHO y1011
lO 11 11
Проверь свои вычисления, записав все примеры
в десятичной системе счисления.
Упражнения на внимательность
В данных примерах восстанови пропущенные
цифры, поставь их вместо знака «?» и проверь себя:
J2214-1?oi x1?i д?
??i * id? _? ?±
ЮООО 10010 1011001
16

ВЫЧИТАНИЕ ТРЕБУЕТ
БОЛЬШЕ ВНИМАНИИ
ЖЖеред знакомством со следующим действием —
вычитанием — постарайся правильно определить,
какое из чисел в каждой паре больше другого:
■101-И110
llOOin lOlO
НО и ЮОО
1001и НОО
Начинай сравнение со старших разрядов.
Найди среди чисел самое большое, самое малое
и среднее по величине:
НО О, lOOI, ЮН,
1Ю1 и lOlO
Еще одно упражнение:
Вместо знака «?» поставь «1» или «О» так, чтобы
полученное число было больше другого:
2 В. Касаткин
17

lOO?? иlOOlO
10??0 и 1 Ol OO
1?01? и НОЮ
НО?? иПОООО
Ответов может быть несколько.
Познакомься, как следует проводить вычитание:
_11 _Ю1 _111 _1Ю
1 1 1 JLO
10 100 110 100
ю
1
Как видишь, это не очень просто. Будь внимате*
лен. Все примеры проверь сложением.
18

А эти примеры реши сам:
НО
11
10101 Ц001
1010 ~ Hi
Вычитание и в десятичной системе — одно из
трудных действий, поэтому вычислители всегда
старались как-нибудь упростить эту работу.
Познакомься еще с одним способом вычитания.
Ты, наверное, согласишься, что в десятичной
системе вычесть десятку или сотню легче, нежели
какое-нибудь не круглое число—например, 9 или 57.
Эти числа вычитать труднее.
Легче нам и вычитать из десятка и из сотни.
Такие удобства используются в устном счете давно.
Введем новое понятие «десятичное дополнение
числа» — разность между 10 или 100 и данным
числом. Так, десятичным дополнением числа 7
является число 3, ведь 3=10 — 7.
2*
19

Десятичным дополнением числа 27 будет число
73, ибо 73=100-27.
Когда мы находим десятичное дополнение, мы
вычитаем из десятка, сотни или тысячи, а вто делать
нетрудно.
Десятичное дополнение введено для того, чтобы
облегчить вычитание.
Пример: Нужно от 12 отнять 7. ьСделаем это
так: сначала найдем десятичное дополнение
вычитаемого (7). Это число 3 (10 — 7 = 3). Последующие
вычисления располагаем так: 12 + 3—10, то есть
сначала к 12 прибавляем 3 и затем из суммы
вычитаем 10.
Ты, наверное, обратил внимание, что мы один раз
вычли из десяти и один раз вычли десять.
Вычитаний других чисел не было. Действия вычитания
проводились в данном примере только с десятками.
В этом преимущество этого способа.
Пользуясь десятичным дополнением вычитаемого,
выполни следующие упражнения:
127-74=? 369-87=?
и 1025-787 = ?
Проверь оебя — хорошо ли ты все понял. Не
жалей времени, прочти еще раз. Это важный .раздел.
Вернемся к вычитанию в двоичной системе
счисления. Введем понятие о «двоичном дополнении
числа». Двоичное дополнение числа находится по
такой инструкции:
20

Pr/ioifiBo.
3,'ЕсЯИ ЯЕрВАЭ
„ О", рдсемя--
К>щук> Д'УГфрУ-
з. irepnyip ззетрЕ
,9 l£a IjK TjSTtfE -
-Н5ГЙГ.
4. 9д ItEpjBOTf
BOTpginiTribtf ^c
вен встркк^ *р —
ВСЕВСтрЕкЮЕО-
3flfvr®C5L33:actf ^,
21

Найдем для примера двоичное дополнение
числа 10 Ь. Действуем по инструкции. Двоичным
дополнением будет число 11г.
Для числа 10 Юг двоичным дополнением будет
число 110г.
Для следующих двоичных чисел найди двоичные
дополнения сам:
Ю2, 112,10012,11012
11012 Ю02
После этих предварительных объяснений
переходим к изучению вычитания с помощью двоичного
дополнения числа.
Пусть из числа 1101г следует вычесть число
1011г. Вычисления проводим по схеме:
1. Находим двоичное дополнение вычитаемого.
Это будет число 101г.
2. Затем к данному уменьшаемому прибавляем
найденное двоичное дополнение:
,1101
* 1Q1
10010
и из полученной суммы вычитаем число 10 000г.
22

10010
"IQQQO
10
это и есть ответ (искомая разность).
Еще пример:
±01±2-1012-*Э
1. Находим двоичное дополнение
вычитаемого 1012. Это число 1Ь.
2. Складываем уменьшаемое и найденное
двоичное дополнение:
,Ю11
+ 11
1110
из полученной суммы вычитаем число 1000г
23

ню
"1QOO
110
вто и есть разность.
Попробуй следующие примеры сделать
самостоятельно:
10101 J.1101 _Ю001
НО ЮН llOO
Примеры выполняй внимательно и обязательно
сделай проверку.
Как ты думаешь: следует ли пользоваться
двоичным дополнением числа, если вычитаемыми являются
числа типа: Юг, 100г, ЮООг н т, д.?
24

ДЕЛИТЬ ПОМОГАЕТ
ВЫЧИТАНИЕ
Для деления в двоичной системе счисления нужно
уметь сравнивать числа (определять, какое
больше) и хорошо вычитать.
Приведем такой пример:
10012 :112 =■?
Располагаем данные числа, как при обычном
делении, углом:
lOOl
11
11
11
о
Перед началом вычисления нам пришлось
сравнить 10 и 11. Заметив, что 10 меньше, чем 11, мы
перешли к числу 100, которое также сравнили с
числом 11. 100 больше, чем 11. Затем вычли 11 из
100 и т. д.
Еще несколько примеров:
25
11
11

ioooiifL ииШ lioooi Ни
10 100 Ш..11 Ш_ 111
0 101 1010
Ml Ш_
о т
Ш
о
Предлагаем несколько примеров для тренировки:
11Ю :10=*bP
lOOOlllll-"^
111Ю 1010="^
Но тебе, наверное, известно, что деление можно
заменить вычитанием. Что значит 30 разделить на 3?
Это значит выяснить, сколько раз 3 содержится
в 30. А это можно сделать и вычитая тройки
из 30. Отнимем одну тройку, вторую, третью и так
до последней. Количество отнятых троек и будет
частным.
Если попробуем деление заменить вычитанием,
то здесь нам и понадобится вычитание с помощью
двоичных дополнений.
2»

Позже ты узнаешь, что в вычислительных
машинах деление действительно заменяется вычитанием,
которое проводится с привлечением двоичного
дополнения. ,
На этом мы завершаем ознакомление с тем, к51с
считают в кибернетике. Это очень краткое
знакомство: мы познакомились лишь с одной недесятичной
арифметикой (двоичной), а в кибернетике
используются и другие недесятичные системы счисления—
например, система с основанием, равным 8.
Рекомендуем продолжить расширение своих
знаний о системах счисления, книги указаны в конце
нашей «Азбуки».

РАССКАЗ ККБЫ
СМ давно знаком с юными любителями кибернетики
^* из Малой академии наук школьников Крыма
«Искатель», бывал у них на занятиях школы юных
кибернетиков — знакомился с изготовленными у них
моделями.
Зная, что издается книга «Азбука кибернетики»,
я предложил свои рассказы о виденном и
слышанном в крымском «Искателе».
Все сам видел, включал и выключал — можете
верить!
Системы счисления — крымские ребята
знакомятся с ними тщательно и моделирование начинают
обязательно с создания простейших вычислительных
устройств.
Первой гордостью является, конечно,
вычислительная машина «Костер». Каждый может увидеть
ее, приехав в 6-ю среднюю школу Ялты. Это
большая вычислительная машина — пока она самая
большая из вычислительных устройств, изготовленных
ребятами в нашей стране.
Более 500 электромагнитных реле ушло на ее
изготовление — ушло бы больше, если бы создатели
ее Слава Шевченко, Витя Яровой и Боря Каморниц-
кий не додумались до нескольких упрощений.
«Костер» работает в двоичной системе
счисления — десятиразрядные двоичные числа он
складывает и вычитает, а четырехразрядные умножает.
Кстати, вычитание он производит, привлекая
«двоичное дополнение Числа».
Эти же ребята построили и машину «Искра» —
это устройство для умножения двух двухразрядных
двоичных чисел. Несколько лет тому назад «Искра»
демонстрировалась на ВДНХ — это была первая
ласточка из Крыма.
28

ШШ ного веков логика помогала математике стать
J.WB. стройной, последовательной в своих
рассуждениях наукой. Математика опирается на законы логики.
Сейчас наступило время, когда математика
начала служить логике. В наши дни ученые,
занимающиеся логикой, используют достижения математики.
Создана новел наука — математическая логика.
С простейшим из ее разделов — алгеброй
высказываний — ты и познакомишься.
лава

АЛГЕБРА
ВЫСКАЗЫВАНИЙ
ЖЭаэве есть такая алгебра?
* Да, есть. Среди многих и многих алгебр есть и
алгебра высказываний. И эта а\гебра оказалась
весьма важной для кибернетики.
Как и во всякой алгебре, в алгебре
высказываний должны быть объекты действий — то есть то,
над чем в этой алгебре проводятся действия,
операции.
Над чем же проводятся действия?
Ответ прост — над высказываниями. Над
высказываниями? Да, ведь их очень много, высказываний.
И восклицательные («Ура!»), и вопросительные
(«Что вы желаете?»), и утвердительные (Крылов
дружил с Маяковским), и безличные обороты
(Пасмурно), и многие другие. Неужели любые из
них являются объектами в алгебре высказываний?
Нет. Конечно, не любые.
JB ДЛГКБрЕ ВЫе&ДбЬТВДЙ"Т*Йс
Ыелользу^эт^я только утв£р~
[дитвзгадъгЕ вьгс^зывлН'Р191
\п ^гри snraM згибото?шо vie-
Примеры высказываний, являющихся объектами
нашей алгебры!
31

всйгдя сл&ду&т
Б-^вхугЬю три-
птиц л 4s
Г ■£<?. МтюСвдКоз - со^
вт^тсКад писатель.
В школьной алгебре буквами обозначались числа
(те, кто учится в 9-м классе, знают, что буквами
можно обозначать и векторы). Мы же буквами будем
обозначать высказывания — объекты нашей алгебры
высказываний.
Если высказывание «А» ложно, то это
обозначают так: А = 0. Если высказывание «Б» истинно, то
это запишется так: Б=1.
Чему равны высказывания В и Г?
Нужно хорошо разбираться в том, какие
высказывания могут использоваться в алгебре
высказываний, а какие нет.
Тренировочное упражнение
Среди следующих высказываний найдите сначала
те, которые являются «нашими», а затем укажите
из них истинные.
32

А-,.25двлмгся fia У
без остдттса".
В^ не курите".
Вофуг своей оси
хгд восток;".
Д-?,СлоВДэг водится,,
В Д фрККЕ И МИД ИК .
Ь\<Т<оторъШ £д.с?"
Ж^ЛвтороМ ромлЯй.
ятс^п АлЕЬГсДЯдр
Шолохов".
Все рассмотренные утверждения будем называть
простыми, в каждом из них речь ведется об одном
событии (истинном или ложном, но только об
одном).
В алгебре высказываний рассматриваются и
составные, сложные высказывания, образованные из
простых.
Вот мы и разобрались в том, над какими из
всевозможных высказываний, употребляемых людьми,
в алгебре высказываний будут проводиться действия.
Действия над высказываниями. Какие?
Это будут действия: сложение, умножение и
отрицание.
33

ПРЕДЛОЖЕНИЯ
МОЖНО УМНОЖАТЬ
Ж£от это неожиданно! Да разве можно умножать
■^^что-нибудь, кроме чисел? Математики
утверждают: да, можно. (Кто из читателей учится в 9-м
классе, тот согласится с этим, ведь ему уже знакомо
умножение не чисел — векторов.)
А в алгебре, с которой ты начинаешь
знакомиться, можно умножать высказывания. Как же можно
перемножить два высказывания?
Условимся соединение двух высказываний в одно
с помощью союза «И» называть умножением. (Чуть
позднее тебе станет ясно, почему совсем непохожие,
казалось бы, работы называются одинаково.)
Составное высказывание, которое получается
после соединения двух данных с помощью союза «И»,
называется логическим произведением.
Действия мы проводим над высказыванием и в
результате получаем высказывание. И конечно, нам
интересно знать, как зависит истинность логического
произведения от истинности входящих в него простых
высказываний.
Ты, наверное, согласишься с такими выводами:
1. Логическое произведение не может быть
истинным, если оба сомножителя ложны.
5 лчгеНЬШв
и 3 боосыЯе; *»
Разве это предложение истинно? Конечно, нет.
34
2

2. Не могут быть истинными и такие логические
произведения:
BOjlbliTE 2
и »
БОЛЬШЕ *>
или:
Л МЕНЬШЕ
В этих случаях первое или второе высказывание
было ложным.
3. Произведение истинно только тогда, когда все
входящие в него высказывания истинны.
7ь Я№Д1ЬШЕ
П МЕЙЫДВ
Рассмотри таблицу:
35
3
2
2»
^
г»

A BlAB
II
I О О
О I О
О О О
Это таблица истинности логического произведения
высказываний А и В. В ней указано, как зависит
истинность произведения АВ от истинности простых
высказываний А и В.
Логические произведения могут включать не два,
а большее число высказываний. И в этом случае
произведение бывает истинным только тогда, когда
истинны все входящие в него простые высказывания —
сомножители.
Задание: . у
Из трех следующих высказываний составь
логическое произведение и определи его истинность.
36
<с
А^ткн зимуьт на tofts!
С"Л*^ не соврршл-
ЮТ ПВрЙЛЙТОВ".

КАК СКЛАДЫВАЮТ
ВЫСКАЗЫВАНИЯ
И^сли два высказывания соединить союзом «ИЛИ»,
то образованное сложное высказывание можно
назвать логической суммой.
Пример:
, А-„СЕГодк51 Я сКДУ
-J- в гости Пкткэ".
В-„СагодЫд 5Т ЖдУ ,
в гости B;7LHJo,(:
г з5Сегодня Я э£ду ~
Складываем: | госТи ^^ ад -g^
Полученное сложное высказывание и есть
логическая сумма, и обозначается она обычно:
А + В
Пример еще одной логической суммы:
„С^йОгЬдЪ Водится
~ йЯи.
<*о делится:
37

Следует иметь в виду очень важное замечание,
связанное с употреблением союза «ИЛИ» в
грамматике. Дело в том, что в грамматике союз «ИЛИ»
употребляется в двух значениях. Это легко заметить,
если рассмотреть два следующих составных
высказывания:
„VfroriDb месяц ^
РрОВЕДУ В ДЕ -
в PHoH&pokoivf
«Л.АГБУрЕ*.
ОТрОСНТЪ МЕЙ^Г
ът Петю*.'
В первом предложении союз «ИЛИ» употреблен
так, что подчеркивается мысль, что я могу быть
либо в деревне, либо в лагере, но никак не в обоих
местах одновременно. Союз «ИЛИ» употреблен в
исключающем смысле — «ИЛИ — ИЛИ», что-нибудь
одно.
Такое употребление союза «ИЛИ» не будет
являться операцией логического сложения.
Среди следующих высказываний найди логические
суммы:
„ Зл КоЯтродЪЯУьо
РЛБОТУМЙЁ сс
йостдвягр-^ири £>.
38

„Коса* 3htPv -
БИТ ГорНИСТ f
проснется
ГТ е т я. мл к Вд и ^а.
Ьож-ет решить
Натя-'^л или К>л^
Укажи, из каких простых высказываний
образованы найденные тобой логические суммы.
Рассмотри таблицу и сформулируй ответ на
вопрос: «Как от истинности простых высказываний
зависит истинность их логической суммы?»
А В А+В
I О
О I
О О О
ОТРИЦАНИЕ
Если к сказуемому какого-либо высказывания
присоединить частицу «НЕ» или ко всему
высказыванию слово «НЕВЕРНО», то образуется новое вы-
3J

оказывание, которое называется отрицанием
данного и обозначается той же буквой, что и данное,
но с чертой над буквой. (Читается А — «А с
чертой».)
Приведем примеры:
« Петя Ыё> б^цет
докург-гьг^"- X
«Злвтрч. 4W
тетвкрг- В
Если данное высказывание истинно, то отрицание
его ложно, и наоборот.
3>ТрижДЬг трут.
рлвйосЕМ:>1в А=0
^НЕБЕрЯо^ТО
трижды трм^ —
Все это отражено в таблице истинности операции
отрицания:
4Э

к о
О 1
Придумай несколько высказываний, образуй и*
отрицания. Попробуй образовать отрицание первого
отрицания и сравни его истинность с данным
высказыванием.
ФОРМУЛЫ СЛОЖНЫХ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ
■ ■ростые высказывания могут участвовать не в
одной, а в нескольких опзрацнях. Рассмотрите
следующее высказывание:
ИЛИ В ТрАЭДВ^
и: до дороге прЦМ -
Легко увидеть те три высказывания, из которых
создано данное сложное высказывание:
А-^Я чоедУ в автоъ&срЛ
В--л^ ДОЁДу В ТРАМВАЕ"
С-»31р дорога цо^чтлю
книгу ",
41

Предложение «А» и предложение «В» образуют
логическую сумму — «А + В». Третье простое
высказывание «С» вместе с высказыванием A-f-B
образует логическое произведение
(A+BJ-C
Полученное сложное высказывание можно теперь
записать так:
'-.■X = fA + B)-C
Еще пример:
Если высказывание «Речка движется»
обозначить через «А», то высказывание «Речка не
движется» будет отрицанием данного и должно
быть обозначено через «А».
Все высказывание «Речка движется и не
движется» запишется в виде формулы:
I у-л-4
Высказывания могут быть очень сложными. Вот
аесколько формул таких сложных высказываний:
42

Х = АВ+Л
Х-(A В С) А
х=(А+вс) в
Предлагаем выполнить упражнение
Даны высказывания:
ЪЭ
ЗГетя вдет з ^втогуен - А."
с*
эзШет$г ^гяевуегьгвннт-С
«
Зная эти обозначения, попробуйте прочесть
следующие высказывания, заданные в виде формул:
Х-АВС
Х=(АЧВ) С
Х=АВ-С
Х = АВС
Х= А ВС
43

Посмотри, как это можно сделать на примере.
Пусть дано высказывание:
;хг=авс
1_ •
Вот как можно расшифровать формулу данного
высказывания:
„TlfcTSL &Я ИДЕТ ВДВТО-
Чххткт квгигусв".
Еще одно небольшое упражнение
Составьте формулу для высказывания:
Х=АС
Нужно хорошо научиться уверенно и безошибочно
составлять формулы сложных высказываний.
44

ТАБЛИЦЫ ИСТИНЫ
И ЛЖИ
ЖЛще раз возвратимся к задаче определения истнн-
■"^ ности сложных высказываний. Пусть
какое-нибудь сложное высказывание дано нам в виде
формулы:
Х = А + В
Это высказывание есть логическая сумма
высказываний «А» и «В».
Рассмотрим таблицу:
Наше данное сложное высказывание «X» трижды
равно «1», то есть истинно, и только один раз ложно
(при А = 0 и В= 1).
Такие таблицы составляются для выяснения
истинности самых сложных высказываний, заданных
в виде формул. Эти таблицы принято называть
таблицами истинности.
Составьте таблицу для высказывания:
45

^=АВ + А
В этой таблице будут такие колонки:
Постарайтесь ответить на вопрос: при каких
значениях А и В все данное высказывание У ложно?
Что ты можешь сказать об истинности таких
сложных высказываний:
Г
Это примеры особых высказываний. Первое из
них тождественно-истинное, а второе —
тождественно-ложное.
Первое высказывание всегда истинно, независимо
от того, что означает «А», — его истинность
определяется не смыслом, не содержанием высказывания
«А», а тем, как построено все высказывание «X».
Такие высказывания можно в формулах заменять
единицей — «1».
43

Второе высказывание всегда ложно, и это тоже
не зависит от того, о чем идет речь в
высказывании «В». Такие высказывания мы будем обозначать
нулем — «О»,
СВОЙСТВА ЛОГИЧЕСКИХ
ОПЕРАЦИЙ
Щй аждая из рассмотренных нами логических опе-
^ раций алгебры высказываний обладает
определенными свойствами.
Логическое сложение, например:
А + В =В+А
— от перемены порядка высказываний истинность
их логической суммы не меняется.
(Это переместительное свойство, как и у
обычного сложения.)
А+ (В + С)=(А + В)+С
— а это сочетательное свойство — оно также
имеется и у обычного сложения.
А + А + А + ... + А = А
— а это уже необычное свойство: истинность
суммы не меняется, если высказывание повторить
несколько раз. '
47

А +
А+"
L, „
г
0
= 1
=о
— проверь с помощью таблицы истинности.
А вот сводка свойств логического умножения:
АВ = ВА
А(ВС) = (АВ)С
] АЛ г\ /~\ • • • гА """ г\
А-1=А
А-О=0
А это свойства операции «отрицание»:
48

А = А;А+А=1;А-А = 0
■ ' -
Все три операции связаны между собой
распределительными свойствами; как и в обычной алгебре,
умножение (логическое) обладает распределительным
свойством относительно сложения (логического):
А (В + С)= АВ + АС
1. ■■ ■■■ , — *—J
Но в алгебре высказываний имеется «чудо».
Оказывается, что распределительным свойством
обладает и логическое сложение относительно логического
умножения:
а + вс=(а+в)(а+с)
Чтобы убедиться в этом, составим таблицу
истинности. Вот как она* выглядит для данного случая:
4 В. Касаткин 49

А
ML!
1
1
Г
Р
6
Ю,
ю
В<
'1|
1
о
0
-I1
(1
10
0
с;
1
и
1
0
*:
0
41
'о!
ВО:
A+JBC
U*BJR+Cfe«)(fl^l
|
Заполни эту таблицу и сравни 5-ю и 8-ю
колонки. Высказывание «А + ВС» и высказывание
«(А + В) (А + С)» имеют одинаковые таблицы
истинности. Такие высказывания будем называть
эквивалентными.
Эквивалентные высказывания взаимозаменяемы —
мысль, выраженная одним из них, выражена также
и другим. Эквивалентные высказывания можно
соединять знаком « = ».
Это важный тип высказываний.
Рассматривая свойства логического умножения,
ты уже, наверное, заметил, что оно обладает всеми
свойствами «умножения чисел». Одинаковость в свой-
50

ствах позволяет одинаково называть «умножение
чисел» и соединение двух высказываний в одно с
помощью союза «И».
Так же объясняется и «законность» названия для
грамматической работы, проводимой с помощью
союза «ИЛИ».
ОТРИЦАНИЕ СЛОЖНЫХ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ
(|Ъчень часто приходится встречаться с формулами
сложных высказываний, в которых отрицание
распространяется не на одно отдельно взятое простое
высказывание, а на все сложное высказывание в
целом.
Например: X = А -\- С. В данном высказывании
«X» операция отрицания проводится над суммой
А 4-С.
В алгебре высказываний есть две формулы,
которые позволяют отрицания сложных высказываний
заменять отрицаниями простых, в них входящих. Вот
эти формулы:
А в = А+в
А+В= А-В
В справедливости этих формул убедись сам,
составив таблицы истинности.
Первую формулу можно прочесть так:
4*
51

«Отрицание логического произведения двух
высказываний эквивалентно логической сумме отрицаний
этих же высказываний».
Вторую формулу прочти самостоятельно.
• Помни, что число простых высказываний,
участвующих в таких формулах, может быть большим,
нежели два:
АВСД... К=А+В+С +Д+...+К
А+В+....+ К = А-В-С....К [
Следующие формулы упрости так, чтобы в
полученных формулах не содержались отрицания
сложных высказываний.
/
:х>ав+в
у-вс+с
2-АС + ВС
52

от сложного
К ПРОСТОМУ*
ЖМтак, ты познакомился с основными свойствами
операций «логическое сложение», «логическое
умножение» и «отрицание». Как же их можно
использовать?
Прежде всего формулы сложных высказываний
можно рассматривать как своеобразные многочлены
алгебры высказываний, и, как в обычной
алгебре, с этими многочленами можно проводить все
действия.
Но так как в алгебре высказываний свойства
операций не совсем совпадают со свойствами обычной
алгебры (вспомни, например, что имеется второй
распределительный закон А + ВС = (А + В) (А + С),
то и преобразования формул будут несколько
своеобразными.
Прежде всего следует научиться упрощать
формулы сложных высказываний. Что значит упрощать?
Условимся под упрощением понимать такое
преобразование данной формулы, в результате которого
формула должна содержать как можно меньше
букв и не содержать отрицаний сложных
высказывании.
Вот как это делается — рассмотри несколько
примеров.
Дано сложное высказывание: X = А + АВ.
Упрощать будем следующим образом. В данном
высказывании выносим за скобку «А» и
получим Х = А(1 + В). Вспомним, что 1 -г* В = 1, и
тогда: X = А • 1 или X = А.
* Смотри также и приложение.
53

(1)
Еще пример: упростим высказывание
X=A(A+-Bj (2)
Начинаем с того, что открываем скобки: X = А-А +
+А • В. Вспомни, что А • А = А, и .тогда получим:
X = А + АВ, то есть пример, рассмотренный только
что. Следовательно:
А(А+В) =А
Формулы (1) и (2) следует запомнить — иногда
упрощение, проводимое по этим формулам,
называется поглощением. Отдельное высказывание,
выступающее в виде слагаемого, в сумме
поглощает другие слагаемые, в которые оно входит
сомножителем, — так можно раскрыть содержание
формулы (1).
Попробуй аналогично раскрыть содержание
формулы (2).
Еще две полезные и часто используемые при
упрощении формулы:
А+АВ-А
54

(А+В)(Ж+В)«А
(3)
(4)
Доказательство "справедливости этих формул
проведи сам — это можно сделать, привлекая таблицу
истинности. Упрощение, проводимое по этим
формулам, часто называется склеиванием.
Упрости:
Х-АВ+А Х=АВ+АВС
:х;=А + АВ :^=А+АВ + В
Х=АВ + А Х=АВС+АВС+
ЭС-А+АВ
АВС+АВ
Сверь свои ответы с данными в конце книги.
55

РАССКАЗ КИБЕРА
то событие произошло в Стрелецкой бухте,
вблизи развалин древнего города Херсонес.
Здесь под Севастополем расположился лагерь
Малой академии наук школьников Крыма «Искатель»*
Вместе с математиками, физиками, химиками и аст-
рономами в лагере отдыхали и занимались юные
любители кибернетики из различных городов Крыма.
Как всегда, лагерный сбор завершался научной
конференцией — подготовили свои сообщения и
кибернетики.
— Предлагайте любую формулу, возможную в
алгебре высказываний, и наш автомат ее упростит, —
такими словами начала свое сообщение
действительный член МАИ ялтинская школьница Оля Короби-
циг-а.
* Как, удивился я, разве можно такую работу, где
требуется немало смекалки и опыта, поручить машине?
Да, оказывается, можно. Оля убедила всех в
реальности предлагаемого проекта, который она
разработала вместе со своей подругой Людой Корчагиной.
— Жаль, что нам не удастся построить этот
автомат, — продолжала Оля, — мы уходим из школы,
но, может быть, найдутся ребята и смогут его
изготовить.
И автомат изготовлен. Недавно я был на ВДНХ
в Москве и видел в действии этот автомат. Его
изготовили симферопольские восьмиклассницы Люба Буд-
никова и Вера Костина.
Такого автомата еще не делал никто. Это
удивительный автомат — ведь за формулой алгебры
высказывания скрывается умозаключение, иногда очень
сложное, — и автомат помогает его высказать более
кратко и четко. Машина, помогающая выражать
мысль, — отличный успех юных кибернетиков.
Э
53

II ервым применением алгебры высказываний, с
которым ты познакомишься, будет решение
логических задач и анализ некоторых простейших
умозаключений.
Обычно решение логических задач требует немало
смекалки — алгебра высказываний облегчит тебе их
решение.
Глава

ОБЫКНОВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
НЕОБЫКНОВЕННОЙ АЛГЕБРЫ
ЖЖаучимся решать логические задачи. Возьмем,
например, такую:
«Корреспонденту удалось узнать, что в составе
экспедиции на Луну на должности командира
корабля, физика и радиста назначены Сергеев, Матвеев
и Алексеев.
Он записал предположение, что командиром
корабля будет Сергеев, Матвеев не будет физиком,
а Алексеев, утвержденный радистом, командиром
корабля быть не может.
Позже выяснилось, что только одно из этих
утверждений оказало! ь верным.
Какие обязанности на корабле выполняли Сергеев,
Матвеев и Алексеев?»
Эту задачу мы предлагаем тебе решить
самостоятельно.
Решил?
А теперь познакомься с тем, как решают такие
задачи с помощью алгебры высказываний.
КТО ЧЕМПИОН МИРА?
Еще одна задача: «Идет чемпионат школы по
гимнастике. Болельщики горячо обсуждают ход борьбы
и высказывают немало предположений о будущих
победителях.
Один из любителей гимнастики считает, что пер'
вой будет Наташа, а Майя будет второй.
Другой из болельщиков на второе место прочит
Лиду, а Рита, по ею мнению, самая слабая — ей он
отводит четвертое место.
Третий любитель спорта с ними не согласился.
Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа
будет второй.
5Э

Когда соревнования закончились, оказалось, что
каждый из болельщиков был прав только в одном
из своих предположений.
Какое место на чемпионате заняли Наташа, Рита,
Майя и Лида?»
Итак, нам даны некоторые высказывания
(предположения о результатах чемпионата), и необходимо
найти такие высказывания, которые будут ответом на
вопрос задачи.
Если в обычной алгебре ты при решении задач
буквами обозначал числа (известные и неизвестные
количества), то в алгебре высказываний буквами мы
будем обозначать высказывания.
В этой задаче высказывания обозначим так:
«Первой будет Наташа» — это высказывание
обозначим через Hi.
«Майя будет второй» — Мг.
«Рита займет четвертое место» — р4 и т. д.
Первый болельщик высказал предположение,
которое является сложным высказыванием. Формула
его такова: Н1М2. Это предположение впоследствии
оказалось ложным, то есть Н1М2 = 0.
Но в условии задачи сказано, что либо Hi = 1,
либо М2 = 1, поскольку этот любитель спорта был
прав в одном из своих предположений и или Наташа
заняла первое место или Майя — второе.
Эту мысль можно выразить высказыванием:
Рассуждая таким же образом, составляем
формулы высказываний для второго и третьего
болельщика:
6Э

Л2Р4 + Л2Р4=1 (2)
Н2Р3 + Н2Р3 = 1 (3)
Эти формулы можно назвать логическими
уравнениями — они содержат высказывания, для которых
мы разыскиваем их значения (истинность).
Высказывания (1), (2) и (3) правильно
отражают события на чемпионате — именно так все там и
происходило. Если из этих трех высказываний
образовать логическое произведение, то оно будет
истинным.
Так и поступим. Вот это произведение:
(Н1М2+Н1М2)(ЛгР4+Л2Р4)(Н2Рз+
Н2Р3)=1>
Умножим сначала вторую скобку на третью.
Я2Р4Н2Рз+Л2Р4Н2Рз+Л2_Р4Н2^
Л2Р4Н2Р3=1
61

Первое слагаемое
Л2Р4Н2Р3 = От.к. Л2Н2 = 0
— на втором месте Наташа и Лида одновременно не
были.
Четвертое слагаемое
Л2 р4 н2 р3
также ложно (равно 0), ибо
Р4Р3=0
так как Рита заняла какое-то одно место, а не два
одновременно.
Исключая эти высказывания, получаем:
Л2Р4Н2Рз + Л2Р4НгРз=1 (4)
Уравнение (4) умножим на уравнение (1).
Н1М2Л2Р4Н2Рз + Н1М2Л2Р4Н2Рз+
Н1М2Л2Р4Н2Р3+Н1М2Л2Р4Н2^=1
62

В этом сложном высказывании нулю равны
(ложны) второе, третье и четвертое высказывания.
(Объясни почему.)
Первое высказывание истинно:
Н1М2Л2Р4Н2Р3 = 1
Прочтем его:
Hi = 1 — «Наташа займет первое место».
Л2 = 1 — «Лида займет второе место».
Рз = 1 — «Рига — третье». И Майе остается
последнее — четвертое место.
Теперь необходимо обязательно проверить,
соответствует ли решение задачи условиям ее. Определи,
кто из болельщиков что угадал.
А вот задача, при решении которой ты сможешь
проверить, научился ли ты решать логические задачи:
«При составлении расписания уроков в школе
учитель математики просил, чтобы его урок был первым
или вторым; историк мог давать либо первый, либо
третий уроки, а преподаватель литературы — только
второй или третий.
Как следует составить расписание чтобы
удовлетворить требования всех учителей? Сколько
вариантов расписания может быть?»
Еще задача:
«Совершено убийство. Подозрение паля на троих:
Брауна, Джона и Смита. В процессе расследования
каждый из них сделал по два заявления:
БрцУД. Я НЕ ДЕ лдл ©того.
Д^СЙ ЖЕ, ДЙЯЦЭТ ОТОЧИ».
63

Смят -. 5Г й"В ^еэдл этоть.
Это cg.E№pi Вр5^зт.
J5 протоколе было указано, что один из подозревав"
мых всеми уважаемый старик и он оба раза сказал
правду, второй известный мошенник и он оба раза
солгал, третий подозреваемый ничем не
примечательный житель города, и одно из его высказываний было
истинным, а второе ложным».
Попробуй, не привлекая других данных из
протокола, выяснить, кто совершил убийство, как звали
всеми уважаемого старика, как звали мошенника и
ничем не примечательного жителя города?
Но не только для решения задач можно
использовать алгебру высказываний. Вот еще одно ее
применение.
Наблюдатель рассматривает числа, записанные на
длинной бумажной ленте, медленно проходящей
перед ним. У наблюдателя имеется инструкция, в
соответствии с которой он должен вычеркивать
некоторые из чисел, записанных на ленте.
Вот эта инструкция:
«Вычеркивайте числа, которые одновременно де-
лятся на 3, оканчиваются нулем и имеют сумму цифр,
большую 31. Необходимо вычеркивать и те числа,
которые не делятся на 3, оканчиваются нулем и
сумма цифр не превышает 31, или же те числа, которые
оканчиваются нулем и делятся на 3, но сумма цифр
в них менее 31. Необходимо вычеркивать и числа,
64

оканчивающиеся нулем, с суммой цифр большей чем
31, но не делящиеся на 3. И наконец, это последнее
требование инструкции, вычеркивайте числа,
кратные 3, не оканчивающиеся при этом нулем и сумма
тл,ифр которых больше 31».
Не правда ли, длинная и запуганная инструкция?
Попробуем составить формулу этой инструкции,
этого весьма сложного и запутанного высказывания.
Пусть высказывание —
9, 5т<СЛО 0&ДО<£ИдаТС$Г
к
^Т^ГЕК
«-_
1;ифр, волъйг/ю 31"" - С
Тогда формула сложного высказывания
инструкции имеет вид:
Х=АВС+АВОАВС+АВС+АВС
Попробуйте ее теперь упростить. Если ты все
сделаешь верно, то ответ будет таким:
ЛС2 = В+АС
б В. Касаткин

Прочтем эту новую инструкцию:
«Вычеркивайте числа, оканчивающиеся нулем, или
числа, кратные 3, с суммой цифр, большей чем 31».
В том, что высказывания Xi и Хг эквивалентны»
убедись с помощью таблицы истинности.
Не правда ли, интересное применение новой
алгебры? От запутанной инструкции к очень краткой и
понятной. Прочти еще раз эти абзацы.
Такая перефразировка мысли имеет специальное
название — минимизация. Минимизация —
большой и важный раздел алгебры высказываний.
Следует обязательно познакомиться с лучшими
способами минимизации, их существует несколько *.
* Смотри приложение.
66

РАССКАЗ КИБЫ
ТЖогическне задачи — твердый орешек!
Действительно, алгебра высказываний помогает их
решать, но все равно это нелегкие задачи.
Вот их-то, думал я, не сможет решать машина.
Разве это ей доступно?
И вдруг я слышу новость — такая машина есть,
устройство для решения логических задач
изготовлено. И кем, вы думаем? Ребятами! Да, два юных
любителя кибернетики из Ялты, Слава Воскресенский
и Витя Компаничснко, построили автомат для
решения логических задач. И первую задачу, которую их
автомат решил, и была задача, приведенная в
«Азбуке кибернетики» в начале 3-й главы, — задача
о составе экспедиции.
Я поехал в Ялту, чтобы убедиться в том, что
такое «чудо» есть.
Да, есть, я видел их машину — это белая с
красным, красивой формы пластмассовая модель.
А внутри — шаговый искатель и
электромагнитные реле. Просто.
Обозначай данные в условии задачи
высказывания буквами и с помощью телефонного диска вводи
условие в машину.
Через мгновение ответ готов.
Я был поражен и обрадован. Замечательно!
Ребята увлеченные и старательные. Только таким под
силу большие результаты.
Не удержался, спросил, над чем они работают
сейчас.
— Подумываем над автоматом для распознавания
образов — это увлекательная проблема. Может быть,
и мы что-нибудь интересное сможем сделать, —
ответил мне Витя Компаниченко.
б*
67

И они сдержали слово — через год я слышал, как
академик Андрей Николаевич Колмогоров хорошо
отозвался об их проекте небольшого распознавающе-
го автомата — они выступали с докладом на
очередной конференции Малой академии наук.
Счастливого пути, юные искатели!

-_ се, чем ты занимался до сих пор, могло казаться
д>гебе весьма далеким от создания автоматов.
Сейчас'ты убедишься, что это не так.
Пора брать в руки паяльник. Ты почувствуешь,
как голова помогает рукам, ты узнаешь, как алгебра
высказываний используется при создании «умных»
машин.
Глава

ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ —
КЛЕТКИ МОЗГА „УМНЫХ" МАШИН
ная истинность высказываний А и В, ты умеешь
находить истинность их логической суммы,
истинность их логического произведения. Зная истинность
любого высказывания,* сможешь ты найти и
истинность его отрицания.
Алгебру высказываний можно рассматривать и
как алгебру сигналов, ведь о каждом высказывании
нам нужно знать только то, что оно истинно или
ложно. В алгебре сигналов складываются,
умножаются и отрицаются сигналы об истинности
высказываний.
Можно ли такую работу над высказываниями
поручить машине? Может ли машина складывать,
умножать и отрицать сигналы в соответствии с
правилами алгебры высказываний?
Да, можно. Устройства, которые умеют
«умножать», «складывать» и «отрицать» сигналы,
называются
логиЪяевднм эздемячздгл
3

Самый простой из логических элементов —
элемент для совершения операции отрицания. Этот
элемент называется элементом «НЕ», или
т^йвЁртсдхяуг
Условимся в дальнейшем на схемах элемент «НЕ»
обозначать так:
— А — вход элемента, X — выход элемента.
Если на входе элемента имеется сигнал, то это
означает, что элементу предлагается совершить
отрицание истинного высказывания. Отсутствие сигнала
на входе означает, что элемент совершает отрицание
ложного высказывания.
72

Отсюда ясно, что при А = 1, X = О и при А = О,
Х=1.
Самая простая конструкция инвертора имеет
схему:
-Г
-ь
сх
1
Если нажать кнопку А (это будет означать
подачу на вход элемента истинного высказывания), то по
катушке реле потечет ток, контакты реле «а»
разомкнутся и горевшая до этого лампа (X) погаснет —
иначе говоря, сигнал на выходе элемента «НЕ»
исчезнет.
При ненажатой кнопке А сигнал на выходе
элемента есть (лампа горит).
Рассмотри схему:
у
73

На входе первого элемента имеется сигнал. Что
можно сказать про сигнал на выходе всей схемы?
Чему равен X?
Попробуй составить электрическую схему,
соответствующую только что рассмотренной.
Устройство, которое образует логическое
произведение, называется логическим элементом «И».
Элемент «И» на схемах изображаться будет так:
*dfrx
А и В — входы элемента, X — выход его.
Сигнал на выходе элемента — сигнал об
истинности произведения АВ должен появиться только при
одновременном наличии сигналов на входах А и В
(при одновременной истинности высказываний —
сомножителей).
74

Такая работа над сигналами обеспечивается
устройством с такой электрической схемой:
1
1 +
1 ' '
riimrwfi—1Щ——!>■■' II щи ■ дня)—■wilWlffWI
«А ^-<8^]
Ll_ i1
и——**——— ■—*т*тащниш i пни «ииВ
Действительно, сигнал на выходе элемента
появится тогда и только тогда, когда нормально
разомкнутые и последовательно включенные контакты «а»
и «в» окажутся оба замкнутыми.
Если хоть одно из участвующих в операции
логического умножения высказываний ложно (в этом
случае одна из кнопок А или В не будет нажата),
сигнала на выходе X не будет, что и будет означать
ложность произведения.
Рассмотри схему:
75

Будет ли сигнал на выходе X, если А= 1, В — О?
Еще одна схема для исследования;
Что можно сказать о сигнале на выходе схемы,
если А = 0 и В= 1?
Что можно сказать о сигнале на выходе этой же
схемы, если А = В = 1 ?
Последний контрольный вопрос.
Можно ли утверждать, что на выходе устройства
76

сигнал появится только при одновременном
отсутствии сигналов на входах?
Устройство, которое образует логическую
сумму сигналов, называется логическим элементом
чИЛИ».
Вот его условное изображение:
77

При наличии сигнала на любом одном из входов
или на двух одновременно сигнал должен иметься и
на выходе.
Электрическая схема элемента «МАИ»:
Контакты реле «а» и «в» включены параллельно,
поэтому для загорания лампочки (X) достаточно
замыкания любого одного из них или обоих сразу.
Дана схема:
78

Если А = В = 0, то какое значение сигнала на
выходе?
Еще пример:
Если и А и В равны 0, то какое значение
сигнала на выходе этой схемы?
Упражнение потруднее.
Дана электрическая схема некоторого устройства:
79

Условно это устройство можно обозначить так:
А ■ Н| ^
с НЯ *^*
Устройство имеет три входа — А, В и С и два
выхода Xi и Хг. Что можно сказать про значение
сигналов на выходах Xi и Хг, если А=В=1, а С=0?
Если А = В = С=1? И если А = 0, а В = С= 1?
80

ОТ ПРОСТОГО
К СЛОЖНОМУ
^клементы «И», «ИЛИ» и «НЕ» — это те кубики,
^^иэ которых можно сложить какую угодно
кибернетическую машину. Да, именно так — какую угодно,
начиная от машины для суммирования чисел до
машины, играющей в сложную тру или занимающейся
переводом с одного языка на другой.
Соединяя логические элементы друг с другом,
можно образовать из них, как из кирпичиков,
сложные устройства.
Если схема устройства вычерчена, то несложно
написать формулу, выражающую связь между
отдельными логическими элементами.
Покажем, как это делается, на примерах.
Пусть дана схема — условимся в дальнейшем
схемы, вычерченные с помощью «квадратиков»,
«треугольников» и «кружочков», называть
функциональными
I м Х'ДВ \
Из схемы видно, что над сигналами,
поступающими на входы А и В, производится операция
логического умножения (в элементе «И») и затем уже над
произведением АВ производится операция отрицания.
Формула всего устройства запишется так: Х=АВ.
Еще пример:
Ы

з&Д+в
Прежде чем участвовать ■ сложении, сигнал,
поступающий на вход А, участвует в операции
отрицания, и только после ггого, став уже сигналом «А»,
он участвует в операции логического сложения.
Пример посложнее:
Д. -
В —
С"1
Выписывание формул (такие формулы в
дальнейшем мы будем называть структурными)
удобнее начинать с выхода всей схемы.
82

В данном случае ясно, что последней операцией
будет логическое сложение (последним является
элемент «ИЛИ»).
Над чем же будет проводиться операция
сложения?
Одно из слагаемых — это результат умножения
(смотри правую часть схемы (А на В): умножение
совершается элементом «И»). Второе слагаемое есть
сумма В и С (суммирование производится в нижнем
левом элементе «ИЛИ»).
Структурная формула устройства имеет вид:
Х-АВ+В+С
Еще один пример:
83

Согласитесь ли вы с формулой
х-лв(а+л)
устройства, схему которого вы видели на
предыдущей странице,
А для следующих схем попробуй сам составить
структурные формулы:
84
Схема 1.

в
и
tt
Схема 2.
Не менее важно по данной структурной формуле
вычертить функциональную схему устройства.
Дана структурная формула:
ЛГ=АВ+В
Необходимо вычертить функциональную схему.
Начинаем с того, что устанавливаем порядок
выполнения операций над сигналами, поступающими на
входы А и В.
В данном случае последней операцией (не первой,
последней) будет операция сложения. Следовательно,
выход устройства будет совпадать с выходом
элемента «ИЛИ» на два входа.
Слагаемыми будут, как это видно из структурной
формулы, В и АВ.
Требуемая схема такова:
85

Г
^г
I
Попробуй свои силы. Вычерти функциональные
схемы, соответствующие следующим структурным
формулам:
ЗС=АВ+А ЗС=АВ + В
ЗС=АВС+АВ ЗС = АВ
ЗС=А+ВС ЗС=АВ+АВ
Бывает так, что к тебе в руки попадает схема
устройства, составленная ранее. В этом случае
интересно посмотреть, нельзя ли полученное устройство
сделать проще.
Поступают так. Сначала составляется структурная
формула рассматриваемого устройства, затем ее уп-

рощают (минимизируют) и после этого вновь
составляют функциональную схему.
Упражнение — упростить следующее устройство:
Ф
А
Что у тебя получилось? У нас вывод
неожиданный — все устройство можно заменить одним
проводником для сигнала А.
Начерти несколько схем различных устройств и
попробуй их упрощать.
ЛОГИКА II АВТОМАТЫ
■ ■ ереходим к задаче конструирования автоматов.
А что значит автомат? Что следует называть
автоматом?
Необходимо уточнить, что в кибернетике
называют автоматом. Условились автоматом называть
устройство, которое получает сигналы, обрабатывает
их и выдает сигналы.
87

А в томат -'это устрой -
СТВО ДЛ^ ДрЕОбрЛООВД-
НИ9 ИН^ор^АЦИИ-
Если кибернетическая машина умеет складывать
числа, то ее можно назвать автоматом, ведь она
получает информацию (два слагаемых — два числа) и
выдает информацию (их сумму — число).

Автоматом следует назвать и устройство, которое
получает на входе числа, «записанные» в десятичной
системе, на выходе печатает эти числа, но
записанные уже в системе с основанием два.
Можно ли считать электрическую мясорубку
автоматом? А батарейку от карманного фонарика?
Почему?
Как же конструируют автоматы? -
Построим автомат для решения следующей
задачи. В двухэтажном доме лестничная клетка
освещается одной лампочкой X. При входе в подъезд
установлен выключатель А, на втором эт/же, у входа
в квартиру, установлен выключатель В.
Жильцы хотели бы иметь устройство, которое
работало бы в соответствии со следующими
условиями:
1. Если при входе включить выключатель А, то
лампа должна загореться.
2. При поднятии на второй этаж и включении
выключателя В лампа X должна погаснуть.
3. Если после этого (помним, что оба
выключателя включены) в подъезд пойдет еще кто-то и вновь
«включит» А. то свет должен вновь появиться.
4. При поднятии на второй этаж и включении
выключателя В свет должен погаснуть.
Конструирование автомата начнем с создания
«черного ящика». «Черный ящик» — это и есть наш
будущий автомат, но от внутреннего строения его мы
пока временно отвлекаемся. «Черный ящик» поможет
уточнить, представить, какими каналами (входами и
выходами) будущий автомат будет связан с
окружающей средой.
Наш автомат должен иметь два входа. По
одному из входов поступают сиглалы от выключателя А
(он установлен внизу), а по другому входу поступа-
89

ют сигналы от выключателя В. У автомата будет
один выход X. Если на выходе X есть сигнал —
это означает, что лампа будет гореть. Если же на
выходе X нет сигнала, то лампа гореть не будет.
Требования к работе автомата следует
вписать в таблицу — это поможет выразить их более
четко.
Если оба выключателя выключены (А = В = 0),
то свет не горит (X = 0).
Запишем это в четвертую строку таблицы.
Если теперь включить нижний выключатель (А),
то свет загорится (X = 1). Смотри вторую строку
таблицы.
Поднявшись на второй этаж, включим
выключатель В. В становится также равным 1 (В335 1), и свет
гаснет. Смотри в таблице первую строку.
Если теперь еще кто-то включит А (в самом-то
деле произойдет выключение А, ведь перед этим он
был включен), го свет вновь загорится. Смотри
третью строку таблицы
90

rUVVUVVTJVTJ-lTLTL
AB X
flO
X О X
о ± x
oo о
Рассматривая полученную таблицу в целом,
можно заметить, что лампа горит в двух случаях:
1. Включен выключатель А (А=1) и
выключен В (В= 1).
2. Выключен выключатель А (А = 0) и
включен В (В= 1).
Такие условия работы автомата можно выразить
формулой:
Лампа должна гореть, если включен один и
только один выключатель.
Вот как выглядит схема разрабатываемого
автомата:
91

Попробуй сообразить, сколько потребуется
электромагнитных реле для изготовления такого автомата.
Подсчитываем — в автомате имеется два элемента
«НЕ». Для их изготовления необходимы два реле
с нормально замкнутыми контактами. (Вспомни
схему элемента «НЕ».)
В автомате имеется и два элемента «И», каждый
на два входа. Для их изготовления потребуется
четыре реле с нормально разомкнутыми контактами.
(Еще раз рассмотри электрическую схему
элемента «И».)
В схеме имеется еще один элемент «ИЛИ» на два
входа. Для его изготовления нужно только два реле
с нормально разомкнутыми контактами.
Итого 7 электромагнитных реле. Рекомендуем этот
автомат изготовить.
На примере конструирования этого автомата
можно рассказать о порядке работы по конструированию
любых автоматов:
л
ъ
92

Вот ©тот порядок:
Вернись к задаче конструирования нашего
автомата и посмотри, как выполнялись нами все пункты
приведенной инструкции.
Такие подробные инструкции называются
АЛГОРИТМАМИ. Алгоритм — это правила, которые
следует выполнять, чтобы успешно решить какую-либо
задачу.
щ ^
.i.Bwearrirrfli} 3AK4tfVTE Ч
двгопда. (локуЧъМпя
ЭАГ№Ъ НУ30?'Л.,-|^АДЛ'ВАТЬСГ
АВТ^ЛТ СЛОВНС'ЯО.)
сКряЪ^оудятсшгд: вуодов
Ч OfcQttfo >rjfero ТЗЫТОДОЗ.)
Б ВШГС 171БЛ9ФЗ (ТЛЕЛ^ОЕ
ЭЛЕКТрЧ^ЯСК'сЙ" С'КВДЕ
АВТОМАТА (Нд ЭТО?! G03-
08

<#> <§ь
Алгоритм — секрет успеха.
Алгоритмы тебе встречаются на каждом шагу.
Например — алгоритм перехода через улицу,
алгоритм вычисления процента от числа, алгоритм
решения уравнения первой степени или алгоритм
достижения победы при игре королем и ладьей против
короля противника.
Разобранная выше инструкция может быть
названа АЛГОРИТМОМ СИНТЕЗА
(КОНСТРУИРОВАНИЯ) АВТОМАТОВ.
Чтобы закрепить умение в пользовании г*ким
алгоритмом, рассмотрим еще один пример на
конструирование автоматов.
94

Построим автомат для сложения двух
одноразрядных двоичных чисел. Вспомним, как решает такую
задачу человек — каким алгоритмом он пользуется
для этого. Это легкая задача.
Пусть А — первое слагаемое, В — второе. При
сложении возможны такие случаи (помни, что н А
в В — числа двоичные, одноразрядные).
,А ,1 ,1 .О .О
1ё. А 12 1± 1°
ХУ 10 01 01 00
Словесно описание будущего автомата можно
дать так:
1. При сложении двух одноразрядных двоичны*
чисел сумма есть число двухразрядное.
2. Во втором разряде суммы единица появляется
один раз, когда оба слагаемых равны по 1.
3. В обоих разрядах суммы нули появляются
одновременно только при равенстве 0 обоих
слагаемых.
4. Во всех остальных случаях в старшем
разряде 0, а в младшем разряде суммы — единица.
Отсюда ясно, какой вид будет у «черного ящика».
Он будет иметь два входа и два выхода.
Составляем таблицу:
95

|А В
X X
о х
X О
| 0 О
ХУ
X О
О X
О X
оо
Эта таблица отличается от рассмотренной выше
тем, что у нее не одна, а две колонки для сигналов
выхода (X и У). Это, по существу, две таблицы,
задающих два различных автомата. Один автомат
имеет выход X, другой — выход У. Оба автомата имеют
общие входы — А и В.
Мы располагаем двумя автоматами, помещенными
в один «черный ящик».
Из таблицы видно, что
5С=1
в единственном случае, а именно при одновременном
А = 1 тд В = 1
96

Ясно, что формула автомата с выходом X такова:
Формула автомата с выходом У имеет такой вид:
г/ = АВ+Дв
А вот как выглядит функциональная схема *:
^ул«^^^®яз53яслл.'ХВВЖ'^$аи»'.'Зг-4;-. -х ;:;?.. л^тгссяящ^жэ^йзаякае"'
* Смотри еще одну схему в разделе «Ответы и
решения».
7 В. Касаткин 97

Автомат для сложения двух одноразрядных
двоичных чисел называется полусумматором.
Неплохо, если ты, прежде чем читать дальше,
попробуешь сам изготовить один полусумматор;
подсчитай предварительно, сколько реле потребуется для
его изготовления.
Для закрепления еще одна задача:
На заводе имеется три цеха и одна небольшая
электростанция, снабжающая эти три цеха
электроэнергией. На электростанции имеется два генератора
тока. Генератор X и вдвое мощный генератор У.
Дежурный электростанции распределяет нагрузку
на генераторы.
Если в энергии нуждается любой один цех, то
для его снабжения достаточно включить генератор X.
Если же в энергии нуждаются два любых цеха
одновременно, то необходимо включать генератор У (его
одного достаточно для снабжения энергией любых
двух цехов).
Если же все три цеха требуют энергию, то
следует включать оба генератора.
Как видите, дежурный должен быть
внимательным и хорошо знать инструкцию, по которой он
распределяет нагрузку между генераторами.
Наша задача — построить автомат, который,
получая сигналы от цехов (просьбы о подаче энергии),
будет правильно распределять нагрузку на
генераторы. Иначе говоря, необходимо построить автомат,
умеющий управлять, машину, умеющую
«размышлять» над поступающей информацией и умеющую
принимать разумные решения.
Каким будет «черный ящик»? Ясно, что у него
три входа для сигналов из каждого цеха и два
выхода — для сигналов каждому генератору.
А вот и таблица, задающая автомат:
93

В ней также две колонки выходов. Мы опять
имеем дело с двумя автоматами в одном «черном ящике».
Когда же автомат выдает сигнал для включения
генератора X — сигнал Х= 1? Из таблицы видно,
что это происходит в четырех случаях: (смотри
таблицу — те строчки, где X = 1).
А В С Ж У
■£ X X X 1
1 X О О X
X О X О X
х о о х о
о * *[о 1
О 1 О]X О
I о о х х о
i о о о о о
с- - ■ ■ - —, ■
Вот как выглядит формула автомата с выходом X:
Х~ АВ&+&BG+AB&A.BC
99

Формула второго автомата такова:
У- ABG +ABG+ABC +АВС
Попробуем упростить формулу автомата с
выходом У.
В данную формулу добавим два одинаковых
слагаемых ABC — ты помнишь, что в алгебре
высказываний можно в сумму добавлять слагаемые (A-j-A =
= А). После этого формула примет вид:
- JLBC+ABG+JU»C+
-«-ABC+ABG+JLBG
И теперь проведем склеивание рядом стоящих
слагаемых. Вот что получится:
У=АВ(С+С)+АС(В+В)+
+ВС (А+А) «АВ+ДС+BG
Сейчас можно переходить к составлению
циональной схемы:
функ-
100

Интересно, что построенный автомат пригоден и
для другой работы. Этот автомат может суммировать
три двоичных одноразрядных числа. Проверь это
утверждение, понимая под А, В и С значения
слагаемых — одноразрядных двоичных чисел (А может
быть равно 1 или 0, также и остальные слагаемые)*
Такой автомат называется сумматором —
это один из важных в вычислительной технике узлов
настоящих вычислительных машин.
Сумматор обязательно нужно изготовить — это
необходимый шаг для каждого школьника,
решившего познакомиться с кибернетикой. Это нетрудно, но
очень увлекательно.
101

РАССКАЗ КИБИ „О ГАДКОМ УТЕНКЕ"
«Гадкий утенок» Алеши Кузнецова смышлен не
менее, чем его однофамилец по сказке Андерсена.
«Утенок» Алеши чувствует препятствия и
обходит их, реагирует на свет и умеет вырабатывать
условные рефлексы.
В Америке организована выставка лучших работ
юных техников Советского Союза, и работа Алеши
попала на эту выставку, как одна из самых
тщательно изготовленных и интересных моделей.
Копия «Гадкого утенка» демонстрируется на
ВДНХ — это не первая модель симферопольского
школьника. Молодец Алеша — золотые руки!
Мне пришло на память мое недавнее посещение
лаборатории юных кибернетиков Малой академии
в Симферополе. Две модели вспоминались мне — два
играющих автомата. Я проиграл обоим. Обидно, но
авторы Саша Веселов и Алеша Лебедев успокоили
меня тем, что я не первый и, наверное, не последний.
«Побеждает чёт» — так называется автомат
Алеши. На панели 13 ламп, каждый из играющих,
человек или автомат, может за каждый свой ход
зажигать не более 4 ламп. Побеждает тот, у кого в
конце будет на счету четное число зажженных ламп.
Игра Саши — игра на 21 лампу — здесь также
нужно друг за другом зажигать лампы. Победителем
считается тот из играющих, кто оставит сопернику
для зажигания последнюю лампу.
— Много ли нужно знать, чтобы научиться
строить такие автоматы? — спросил я.
— Во всяком случае, «Азбуку кибернетики»
обязательно — в ней все необходимое, — так ответили
мне Саша и Алеша.
Им можно верить — они действительные
члены «Искателя».
102

ЩШ этой, последней главе тебе будут предложены
•^^ конкретные задания на изготовление различных
автоматов. Если ты хорошо разобрался во всем
ранее изложенном, то все задания будут тебе по плечу«
Большинство из предлагаемых для построения
автоматов изготовили ребята из крымской Малой
академии наук «Искатель».
Попробуй свои силы и ты. Если у тебя не хватит
деталей, то решением задачи считай составление
электрической схемы автомата.
лава

8 Л ДАЧИ ДЛЯ УМЕЛЫХ
Задача I. Построить автомат, управляющий
лампой в комнате. Имеется один выключатель у входа
(А) и два выключателя у постелей (В и С). Войдя
в неосвещенную комнату, можно выключателем А
включить лампу. Раздевшись и ложась в постель,
любым выключателем В или С можно свет погасить.
В дальнейшем «включение» любого выключателя А,
В или С должно включать лампу.
Замечание. Эта задача напоминает задачу
о лампе, освещающей подъезд. Автомат, как и
раньше, имеет один выход, но не два, а три
входа.
Задача 2. В подъемник помещается две вагонетки,
закатываемые обычно с противоположных сторон.
Сконструируйте автомат, который выдавал бы один
и тот же сигнал при заполненном подъемнике и при
освободившемся совершенно.
105

Задача 3. Ребята изготовили для своей
лаборатории замок с секретом. Для того чтобы замок открыть,
нужно было нажимать на кнопки А, В и С. Замок
открывался только в случае одновременного нажатия
на все три кнопки одновременно или на какую-нибудь
одну, или при нажатии двух кнопок А и В.
Замечание. Не забудьте упростить формулу
автомата.
Задача 4. Этот же замок необходимо снабдить
сигналом тревоги. Сигнал тревоги должен
подаваться тогда, когда на вход замка подается посторонняя
комбинация сигналов. Сигнальная приставка должна
обнаруживать того, кто пытается подбирать верные
комбинации для открывания замка. Составь схему
устройства, включающего сигнал тревоги.
106

Задача 5. Соревнования по поднятию тяжестей
(штанги) обслуживает судейская коллегия в составе
трех человек. Если, по мнению судьи, «вес» взят
правильно, то он дает об этом сигнал, нажимая
кнопку. Старший судья имеет кнопку А, два других
судьи имеют кнопки В и С.
107

Коллективное решение «Вес взят» (загорается
такая надпись) выдается только в случае
единогласного решения всех судей либо в случае, когда один из
двух судей, давших сигнал, есть старший судья.
Сконструируй автомат, получающий сигналы от
судей и включающий транспарант «Вес взят», в
соответствии с разобранными условиями.
Задача 6. Для таких же состязаний построен
автомат, который выдает сигнал «Вес взят» в случае
единогласного решения трех судей либо в случае
простого большинства.
Построй такой автомат и ответь на вопрос: может
ли один из судей при зажженном транспаранте «Вес
взят» узнать, было ли решение судей единогласным?
Что ему для этого нужно сделать?
Задача 7. Некто придумал автомат для
проведения следующего фокуса. В темной комнате
устанавливались три стула за столом. У каждого места на
столе была кнопка для подачи сигналов. Пусть в
фокусе участвуют А, В и С.
При входе в комнату А и С всегда нажимают
кнопки, а В н» нажимает. Автомат должен выдавать
сигнал, если В сидел между А и С. Построй
функциональную схему автомата. Сколько одноконтактных
реле потребуется для изготовления этого автомата?
Задача 8. Условия фокуса видоизменяются.
Автомат должен выдавать сигнал, если А и С сядут
рядом.
Построй автомат. Сколько ""теперь потребуется
одноконтактных реле для его создания?
Задача 9. На входе А цифра за цифрой
показывается двоичное число, которое сравнивается с
двоичным числом, показываемым на входе В.
Показ чисел начинается с одинаковых старших
разрядов и происходит так, что одновременно идет
обозрение цифр тех же разрядов каждого числа.
198

Построить автомат для определения наибольшего
из рассматриваемых чисел. Автомат должен указать
большее чис\о. А меньшее?
Задача 10. Составьте электрическую схему
сумматора для сложения трех одноразрядных двоичных
чисел, используя не более трех реле, но с
произвольным набором контактов на каждом из них.
Задача 11. Построить устройство (автомат) для
умножения двух двухразрядных двоичных чисел.
Замечание. Автомат имеет четыре входа и четыре
выхода. Два входа для 1-го числа АВ, два — для
2-го числа СД и четыре выхода для произведения.
Задача 12. Построить дешифратор-автомат,
который мог бы от трехразрядных двоичных чисел,
получаемых на его входе, выдавать сигнал для печатания
соответствующих десятичных цифр.
Задача 13. Построить дешифратор-автомат,
который, получая десятичные цифры на входе, давал бы
на, выходе двоичные числа.
Мы надеемся, что упражнения этой главы помогут
не только закрепить пройденное, но и подскажут
темы для создания новых моделей.
10Э

Все эти упражнения и задачи, как и предыдущие,
попробуй решить самостоятельно и только затем
сверяй свои решения с ответами.
Помни, что решений одной и той же задачи
может быть несколько. Советуем находить их и
сравнивать.
Попробуй сам находить задачи — их можно
найти на каждом шагу.
Записывай эти задачи и предлагай товарищам —
составляйте задачник по автоматам. Это очень
полезное дело.
Обращаем внимание твое на то, что ты
познакомился только с самыми началами теории автоматов —
изучил так называемые однотактные автоматы, то есть
автоматы, вырабатывающие сигнал как ответ, как
реакцию на определенную комбинацию сигналов на
его входах.
Большой класс автоматов — так называемые
автоматы с «памятью» — в книжке совсем не
рассматривался. Автоматы с «памятью» также можно
изготовить, используя три логических элемента: «И»,
«ИЛИ» и «НЕ».
Автоматы с «памятью» — это самые важные в
кибернетике автоматы.
О том, как их конструируют, речь пойдет в
следующей книжке.

РАССКАЗ КИББРЛ
]WJHe пришло необыкновенное письмо —
приглашение участвовать в олимпиаде по кибернетике.
«Как по кибернетике? — удивился я. — Разве есть
такие олимпиады, да еще для школьников? Какие же
там задачи?» Открываю конверт — действительно
задачи. Вот несколько из них. Не возьметесь ли и вы, а?
Задача /. Напишите формулу высказывания и
упростите ее. «Если Коля ко мне придет, я
обязательно буду делать модель, в противном случае,
может быть, буду, а может быть, и не буду делать ее».
Задача 2. В санатории отдыхают: отец — О,
мать — М, сын — Си две дочери — Д и Е. На
купание в море семья ходит, соблюдая условия:
1. Если отец идет купаться, то с ним
обязательно идут купаться и мать и сын.
2. Если купаться идет сын, то с ним обязательно
идет сестра Д.
3. Вторая дочь — Е — купается тогда и только
тогда, когда купается мать.
4. Каждое утро купается по крайней мере один из
родителей.
Если в воскресенье купалась одна из дочерей, то
кто из членов семьи ходил в этот день на море?
Задача 3. Докажите, что в системе счисления,
в которой основание, уменьшенное на единицу,
делится на 3, признак делимости на 3 формулируется
так же, как и в десятичной системе.
Такие и подобные этим задачи, оказывается,
предлагаются ребятам из Малой академии «Искатель» на
олимпиадах по кибернетике.
Не забывают на олимпиадах и проверку знаний
по электротехнике.
«Интересцый опыт», — подумал я. А потом
узнал, что и ребятам такие олимпиады нравятся.
111

ДОРОГОЙ ДРУГ
ЖЯ" ы не ставили перед собой задачу рассказать тебе
^ о всех возможностях, достижениях и
перспективах кибернетики в целом.
Мы познакомили тебя лишь с ее азбукой, с ее
простейшими математическими основами и
средствами. Теперь ты не слепо, а сознательно будешь
подходить к схемам различных автоматов и при желании
сам сумеешь разработать некоторые из них.
И подобно тому, как, изучив когда-то букварь, ты
приступил к чтению книг, так и сейчас, хорошо
усвоив азбуку кибернетики, ты смело можешь приступать
к чтению более сложных книг по математической
логике и кибернетике. Ты можешь самостоятельно
продолжить знакомство с этой молодой, поистине
чудесной наукой, устремленной в будущее.
Полученные знания ты сможешь применить при
конструировании различных логических
устройств-автоматов для школы, для химической или физической
лаборатории, для фермы в колхозе и др.
Смелее берись за дело!
РЕКОМЕНДУЕМЫЕ КНИГИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ:
В. Пекелис и Н. Кобр и некий, БЫСТРЕЕ
МЫСЛИ.
Л. Теплое, ОЧЕРКИ О КИБЕРНЕТИКЕ.
Е. Сейов, РЕПОРТАЖ С НИЧЕЙНОЙ ЗЕМЛИ.
И. Полетаев, СИГНАЛ.
Е. Сапарина, КИБЕРНЕТИКА ВНУТРИ НАС.
Д. К о м с к и й и др., ПРОСТАЯ КИБЕРНЕТИКА.
И. Депман, ПЕРВОЕ ЗНАКОМСТВО С
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКОЙ.
Л. Калужнин. ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА.
Дж. Калбертсон, МАТЕМАТИКА И ЛОГИКА
ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ.

Глава
8 В. Касаткин

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Как считают кибернетики
111О=10112; 2310=Ю1112;
1710=100012; 47u=WUn2,
3210=1000002; 52^1101012;
ЮО1а=910; 11О12=1310;
11002=12,0-400112= 19ю;
11112 = 15ю'? (стр 10)
Секрет транспаранта: 12 апреля 1961 — день полета
Ю. А. Гагарина. (стр. 11)
(1100, 100, 111101010012)
Задача о гирях — добавить следует гирю в 8 и гирю
в 16 кг (стр. 11).
111

Приятные сюрпризы двоичной системы (стр. 13)
Ю1 НО lOOl lOOL
11 1Q1 11Q1 1Q1
1000 1011 10110 1110
,1111 ,1001 ДОИ
НО Z_ Ю1 * 111
ТоТоТ 11 _i2i
10001 10111
Умножать немного труднее (стр. 15)
111 101 ДЮ
111 1111 1100
lioo inio Yioii
_ lO 11 J_ 11
11000 101010 100001
8*
115

Упражнения на внимательность (стр. 16)
,1001 ,1101 101
10000 10010 101
11
X
1001
Вычитание требует большего . внимания (стр. 17)
101 меньше 110 110 меньше 1000
11001 больше 10101 1001 меньше 1100
В ряду 1100, 1001, 1011, 1101 и 1010
Самое большое 11012= 13ю
Самое маленькое 10012 = 9ю
Двоичные дополнения чисел (стр. 22):
102-102;112-12;10012-1112;
11012-112, 1002-1002;
116

(к стр. 24)
_10101 JLllOl JOOOl
НО 1Q11 ПОР
11 11 10010 101
Делить помогает вычитание (стр. 26)
1110:10=111
100011:111=101
11110:1010=11
Алгебра высказываний (стр. 33)
Высказывания — «наши» (высказывания,
являющиеся элементами алгебры высказываний).
А. «23 делится на 7 без остатка» — А = 0.
Г. «Земля вращается вокруг своей оси с запада на
восток» — Г = 1.
Д. «Слоны водятся в Африке и Индии» — Д= 1.
Ж. «Автором романа «Тихий Дон» является
Александр Шолохов» — Ж = 0.
Предложения можно умножать (стр. 36)
«Утки не совершают перелетов и зимуют на юге и
лето проводят на севере». Это высказывание ложно.
Как складывают высказывания (стр. 38—39)
Логическими суммами являются:
«Когда затрубит горнист, проснется Петя или Ваня».
«Эту задачу может решить Наташа или Коля».
117

Формулы сложных высказываний (стр. 43)
. — «Петя едет в автобусе,
су* — Д Q/^ читает книгу и не насвисты-
kAj — AADw зает».
Ж-С(А+В)™?
Х=АВ + С
ЭС = АВС
— «Петя насвистывает,
или едучи».
— «Петя, не читая книги,
едет в автобусе или
насвистывает».
— «Петя не едет в автобусе
и не читает книгу, а
насвистывает».
Х=А+ВС
— «Петя едет в автобусе
или молча читает книгу».
Формула для высказывания: «Неверно, что Петя
едет в автобусе и насвистывает»
Х = АС
Таблицы истины и лжи (стр. 45—46)
Высказывание У = АВ + А ложно при А = 1 и
В=1.
118

Отрицание сложных высказываний (стр. 52)
Проводим упрощение:
Ж=АВ+В=А+В+В=А+В
^=вс+с=(в+с)с=с
2=ЙС+ВС=А+С+ВС=А+С
От сложного к простому (стр. 55)
Упрости:
ОС=АВ+А=А+В+А=А + В
Я=А+АВ=А+А+В = А + В
ЗС=АВ + А=А+А+В=1+В = 1
Я=А+АВ=А+А+В = АВ
Я=АВ+АВС=А+В+АВС=А+В
Я=А+АВ+В=А+(А+В)В = А

СС=АВС+АВС+АВС+АВ = А
Обыкновенные задачи необыкновенной алгебры
(стр. 63)
Решение задачи об убийстве.
Вводим обозначения для высказываний:
Б — «Я не делал этого» — Браун не убивал.
Д — «Джон не делал этого» — Джон не убивал.
С — «Это сделал Смит» — Смит — убийца.
И т. д.
Формулы высказываний подозреваемых:
БД — высказывание Брауна.
Б_ С — высказывание Джона.
С Б — высказывание Смита.
Два из этих высказываний ложны в целом —
одно потому, что оба простых в нем ложны (это
высказывание мошенника), второе потому, что в
высказывании ничем не примечательного жителя одно из
высказываний было ложным, другое правдивым.
Давайте запишем такие предположения:
БД = 0
БС = 0
СБ=1
120

Мы предположили, что Смит — честный старик,
но могли бы поступить и иначе — предположить, что
честный старик Браун или Джон.
Преобразуем полученные уравнения так, чтобы
в правых частях были 1.
БД = 0 Б + Д=1
_ \Л/\\Л _
БС = О Б + С = 1
БС= 1
При перемножении всех трех уравнений получим
(используем поглощение):
БС = 1
А это означает, что Браун — убийца.
Браун про себя сказал неправду, но про Джона
он сказал правду — Браун ничем не примечательный
житель города. Смит ■— честный старик.
121

Логические элементы клетки мозга «умных» машин
В схеме — (стр. 73)
реализуется операция X = а, это равно А. Поэтому,
если на входе А есть сигнал, то он есть и на выходе
этой схемы.
В схеме (стр. 76) —
при А = 1 и В = 0 сигнал на выходе X будет*
В схеме (стр. 76) —
122

при А = 0 и В = 1, X = 1, а при А = В = 1 Х = 0.
В схеме (стр. 77) —
Ответ: нет, так утверждать нельзя.
В схеме (стр. 79) —
при А = В = 0 сигнал X = 1.
В устройстве со схемой (стр. 80) —
123

при А = В = 1 и С = 0 на выходе Xi = 1, а на
выходе Хг = 0.
При А = В = С = 1 на обоих выходах единицы —
Xi = X2= 1.
Приведенная формула для устройства (стр. 84)
верна, хотя ее можно упростить:
JC=AB(A+B)=AB
124

Формула устройства, имеющего схему 2,
Х=АВ+ДВ
Формула устройства, имеющего схему 1, —
Ж=АВ+^ПВ
Схемы устройств
125

Д в
ХДВ^В
126

.Hfef-zT
ABC ЗС=ДВС+ДВ
127

*т&- Ь1?*<е*Ш1авав1маатяшшасж^Ш[^вшшг*В2шщигягяьШШ№*&хж
ab х^ДВ+АВ
128

ЗАДАЧИ ДЛЯ УМЕЛЫХ
Задача 1. Вот как выглядит схема автомата
освещения:
9 В. Касаткин
129

Задача 2. Это простей автомат — его схема
такова:
130

Задача 3. Схема замка с секретом:
mm
с
в
А"
-f—f-
—г-
т?
1С = ДВ^-ДС^ВС
9*
131

Задача 4. Схема устройства тревоги:

Задача 5. Вот как просто выглядит автомат для
судейства соревнований по штанге:
Или по формуле:
:х:=а(в+с)
Задача 6. Схема автомата для соревнований
в этом случае такова.
Судья, давший сигнал, может узнать, было ли
решение единогласным, — для этого ему достаточно
в то оре.мя, когда горит транспарант, выключить свою
кнопку. Если решение было единогласным, то
транспарант будет гореть. Если же решение не было
единогласным, то транспарант погаснет.
133

134

Задача 7. Вот какова искомая схема —
Задача 8. А это схема для автомата следующего
фокуса:
и ■ ■ ■ " 1
1 ,„. ч
1 ■ ■
л
LB4
>ДВС*
г ■ — |
!" —1
г- ■ « |
-^
г" 1
J
135

Задача 9. Вот одна из возможных схем такого
автомата:
1
ь
■Ml
1 <
и
* 1
136

Задача 10. Схема сумматора имеет вид. Ее следует
запомнить и при изготовлении вычислительных
машин использовать.
137

Задача 11. Двухразрядный умножитель — так
можно назвать этот автомат:
« wft
133

Задача 12. Двоично-десятичный дешифратор
так называют такие автоматы:
А как эту схему упростить?
139

Задача 13. А это десятично-двоичный
дешифратор:
123456789
140

ДВЕ СХЕМЫ В ЗАПИСНУЮ КНИЖКУ:
Схема полусумматора:
141

Схема сумматора:
142

ПРИЛОЖЕНИЕ
ГЕОМЕТРИЯ ПОМОГАЕТ
(Один из способов минимизации)
Ж£ алгебре высказываний формулы часто
записываются в виде суммы произведений букв и их
отрицаний.
Несколько примеров так записанных формул:
Х= АВС+АС+ВС
ЗС= АВ + АВ
£= А + ВС
От любой формулы всегда можно перейти к таким
образом записанной. Если данная формула содержит
скобки, то их следует раскрыть:
х=(А+В)(А +С)=АС+АВ*ВС
или= а(в+с)=ав+ас
Если формула содержит отрицания сложных
высказываний, то, применив формулы А. Моргана,
отрицания можно распространить только на отдельные
простые высказывания.
143

Например:
ЭС = АВС=(А+В)С=АОВС
X=АВС+АВ=А+В+С+АВ
и АР-
Таким образом (сумма произведений простых
высказываний или их отрицаний) записанные формулы
считаются записанными в дизъюнктивной
нормальной форме.
Имеется еще несовершенная
дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) для записи
формул сложных высказываний.
Она от\ичается от нормальной тем, что каждое
слагаемое в ней (слагаемыми являются произведения)
содержит все простые высказывания либо их
отрицания.
Пример:
X = АВС+АВС+АВС+АВС
Х=АВ+АВ
144

А вот эта формула не является записанной
в СДНФ:
9С = АВ+АВС+АВС
В этой формуле в первом слагаемом нет
высказывания С, нет и его отрицания.
От всякой дизъюнктивной нормальной формы
легко перейти к СДНФ.
Рассмотрим на примере, как это делается. Пусть
нам дана формула, не записанная в СДНФ:
ЗС= А + АВ
в"
(В первом слагаемом нет ни В, ни В.)
Поступаем так — первое слагаемое, в котором
отсутствует буква В, умножаем на (В 4" В) = 1, от
этого значение X не изменится.
ЭС=А(В+В)+АВ=АВ+АВ+АВ
Полученная формула уже записана в СДНФ, ибо
все слагаемые содержат все простые высказывания
либо их отрицания.
Еще пример:
10 В. Касаткин
145

Х=АВС+АВ
Второе слагаемое, где нет ни С, ни С, умножаем
на (С + С)= 1.
£=АВС+АВ(С+С)=АВС+
АВС+АВС+АВё
Итак, каждую формулу можно записать в СДНФ.
Минимизация любой формулы и начинается с того,
что данную формулу записывают в СДНФ.
Для каждого сложного высказывания, в
соответствии с его формулой, можно построить
геометрическую модель.
Каждую формулу, в которой используются три
простых высказывания, можно изобразить на
трехмерном кубе. Куб помещают в начало
пространственной системы координат, оси называют теми же
буквами, которыми обозначены простые
высказывания данной формулы.
Дана формула:
ЗС=АВС+АВС+АВС+АВС
Вот как она изображается на кубе:
146

*А #АВЙ
ABC
Еще один пример:
ЭС=АВС+АВС+ ABC
Как же используются для минимизации
геометрические модели формул?
10* 147

Пусть дана формула: X = ABC + ABC.
Геометрическая ее модель такова:
^в
Отмечены две соседние вершины. Обращаем
внимание на то, что возможно склеивание по букве С.
Тогда имеем X — АВ. Ребро с отмеченными
вершинами было параллельно С, и склеивание произошло
по этой же букве.
Каждому ребру можно приписать название.
А
143

Пусть некая формула нанесена на куб —* имеется
три ребра с отмеченными вершинами:
СЛ
Используем для записи формулы названия ребер:
Х=АВ+АС+ВС
Восстановим первоначальную формулу — формулу,
которая заносилась на куб:
Х=АВС+ АВС+АВС+АВС
14Э

Еще пример:
t
V
Запишем формулу, используя названия ребер:
Х=АВ+АВ
Восстановим первоначальную формулу:
Х=АВС+АВС+АВС+АВС
Формулы, для записи которых использованы все
без исключения ребра с отмеченными вершинами,
называются сокращенными.
is;

• Пример:
ABC .•
ABC
ФАВС
Имеются четыре отмеченные вершины и три ребра.
Используя названия всех трех отмеченных ребер,
получаем сокращенную форму данной на кубе фор»
мулы: ***
ЭС = АВ + АВ+АС
Но для получения формулы можно
воспользоваться не тремя, а двумя названиями ребер. Эти ребра
на чертеже отмечены черточками. ^
Тогда вместо суммы _АВС + ABC мы напишем
ВС, а вместо суммы ABC + ABC напишем АС:
ЭС=ВС + АС
151

Если удается использовать не все названия
но так, что все вершины оказываются «покр
ребрами», то приходят к одной из минимал
форм записи формул. Минимальных форм
быть несколько. Рассмотрите пример:
ребер,
ытыми
ь н ы х
может
С>
>в
Вершины данной модели покрываются тремя
ребрами, но в нескольких вариантах. Каждая из
получаемых записей есть одна из минимальных форм.
Интересен случай, когда отмеченными вершинами
являются вершины одной грани:
<М
152

В данном случае имеем занесенную на куб
формулу:
ОС=АВС+АВС+АВС+АВС
Если использовать названия ребер, покрывающих
отмеченные вершины, то формула примет вид:
Х=АВ+АВ
ИЛИ ЗС=ВС+ВС
В каждой из полученных формул возможно
склеивание, и тогда формула будет иметь иной вид.
ос=в
Действительно, все отмеченные вершины, обладают
тем свойством, что они сдвинуты по направлению
«В». Это дает основание приписать для данной грани
название — «В».
На следующем чертеже указаны все грани и их
наименования:
153

Если окажется, что отмеченные вершины
принадлежат одной грани, то можно сумму из четырех
слагаемых заменить одной буквой — названием грани.
Пример:
Отмечена грань «А». К названию грани
присоединяем название ребра и получаем минимальную форму:
154

ОС = А + ВС
Еще пример:
А
\0
ЗС = 'В+АС
А если сложное высказывание содержит не три
простых высказывания, *а четыре? Как поступают
в этом случае?
В этом случае используется четырехмерный куб.
Вот возможный вариант вычерчивания такого
четырехмерного куба:
155

Четыре направления имеются здесь: три обычных
(А, В и С) и одно новое — направление
«вовнутрь» — «Д».
Вот как можно записать координаты вершин,
отмеченных на чертеже:
i-АВСД 2-АВСД з-АВСД
4-АВСД 5-АВСД б-АВСД
В четырехмерном кубе имеются ребра, грани и
подкубы. Как использовать то, что при нанесении
формулы оказывается отмеченным ребро, или грань,
или подкуб, догадайтесь сами.
Для примера мы приводим куб с нанесенной
формулой и формулой, полученной после минимизации:
156

X = А + АВ С

ОГЛАВЛЕНИЕ
Г j; а в а 1.
Каи считают кибернетики. Приятные
сюрпризы двоичной системы. Умножать
немного труднее. Вычитание требует
больше внимания. Делить помогает
вычитание 9
Рассказ Кибы .... 28
Глава 2.
Алгебра высказываний. Предложения
можно умножать. Как складывают
высказывания. Отрицание. Формулы
сложных высказываний. Таблицы истины
и лжи. Свойства логических операций.
Отрицание сложных высказываний. От
сложного к простому 31
Рассказ Кибера 56
Глава 3.
Обыкновенные задачи необыкновенной
алгебры . , 59
Рассказ Кибы 67
/53

Глава 4.
Логические элементы — клетки мозга
«умных» машин. Таинственное «НЕ»,
Важное «И» и любезное «ИЛИ». От простого
к сложному. Логика и автоматы ... 71
Рассказ Киби «о гадком утенке» 102
Глава 5.
Задачи для умелых 105
Рассказ Кибера 111
Глава 6.
Ответы и решения . . 114
Приложение « . , • • . . . . 143

Касаткин Валентин Николаевич
АЗБУКА КИБЕРНЕТИКИ. М., «Молодая
гвардия», 1968.
160 с. с илл. 6П2.154
Редакторы: М. Лавоик и В. Таборко
Художник Б. Федотов
Худож. редактор Л. Белов
Техн. редактор Г. Петровская
Сдано в набор 5/VII 1967 г. Подписано
к печати 20/1II 1968 г. А04478. Формат
60х90Уз2. Бумага типографская № 2. Печ.
л. 5 (усл. 5). Уч.-изд. л. 4. Тираж
100 000 экз. Цена 13 коп. Т. П. 1967 г..
№ 260. Заказ 1082.
Типография издательства ЦК ВЛКСМ
«Молодая гвардия». Москва, А-30,
Сущевская, 21.