/
Author: Янпольский А.Р.
Tags: математика тригонометрия естественные науки точные науки гиперболические функции
Year: 1960
Text
анныг главъс ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ для инженеров и студентов втузов А. Р. ЯНПОЛЬСКИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ммммммммммм ФИЗМАТГИЗ ‘I960
ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ И СТУДЕНТОВ ВТУЗОВ А. Р. ЯНПОЛЬСКИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА I960
11-3-2 АННОТАЦИЯ В книге излагаются свойства гиперболических и обратных гиперболических функций и даются соотношения между ними и другими элементар- ными функциями. Показаны применения гипер- болических функций к интегрированию функций и дифференциальных уравнений. Разобрано много задач из разных областей естествознания и тех- ники. Все разделы сопровождаются упражнениями для самостоятельной решения. Книга снабжена справочным и табличным материалом и может быть использована в качестве справочника по гиперболическим функциям как студентами, так и инженерами и техниками. Для чтения книги достаточно знания элементов высшей математики.
СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ......................................... 5 ГЛАВА I ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ 1. Введение. Определение гиперболических функций... 7 2. Соотношения между гиперболическими функциями .... 16 3. Обратные гиперболические функции................ 25 4. Показательные, тригонометрические и гиперболические функции от комплексного аргумента. Формулы Эйлера . . 30 5. Соотношения между тригонометрическими и гиперболиче- скими функциями..................................... 37 6. Соотношения между логарифмическими, обратными триго- нометрическими и обратными гиперболическими функциями 41 7. Гиперболическая амплитуда (гудерманиан)......... 47 8. Дифференцирование и интегрирование гиперболических и обратных гиперболических функций.................... 51 9. Разложение гиперболических функций в степенные ряды и в тригонометрические ряды Фурье..................... 58 глава п ПРИМЕНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ S К ИНТЕГРИРОВАНИЮ 10. Интегрирование функций (гиперболические подстановки). 68 11. Интегрирование некоторых дифференциальных уравнений 71 1*
4 СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВА Ш ПРИМЕНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ 12. Цепная линия....................................... 92 Задача о провисании нити..............•........... 92 Касательная и нормаль............................. 95 Параметрические уравнения цепной линии ........... 98 Кривизна и радиус кривизны........................ 99 Эволюта цепной линии ............................. 99 Эвольвента цепной линии (трактриса)...............101 Натуральное уравнение линии.......................107 Цепная линия как рулета ......................... 109 Площадь криволинейной трапеции и длина дуги .... 112 Центр тяжести криволинейной трапеции и дуги .... 114 Катеноид..........................................117 Минимальные свойства цепной линии.................118 Задачи, связанные с цепной линией.................121 13. Некоторые прикладные задачи........................138 Падение тела в воздухе............................138 Движение материальной точки.......................143 Скольжение цепочки................................146 Движение шарика во вращающейся трубке.............148 Включение электродвижущей силы в контур...........155 Установившееся распределение температуры в стержне . 163 Ионизация газа....................................170 Диффузия, сопровождаемая химической реакцией . . . 171 Размножение бактерий..............................174 Приложения Таблица 1. Показательные и гиперболические функции . . 179 Таблица 2. Показательные и гиперболические функции, ги- перболическая амплитуда.............................185 Таблица 3. Десятичные логарифмы sh х................186 Таблица 4. Десятичные логарифмы chх.................188 Таблица 5. Десятичные логарифмы thх.................190 Таблица 6. Производные гиперболических, и обратных гипер- болических функций..................................191 Таблица 7. Интегралы от гиперболических и обратных ги- перболических функций...............................192 Литература.............................................195
ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемая небольшая книга может служить в качестве учебного пособия по гиперболическим функциям. В ней изла- гаются основные сведения об этих функциях и приводятся примеры применения их в математическом анализе, геометрии, механике и физике. Каждый параграф снабжен упражнениями. Самостоятельное решение хотя бы некоторой части приве- денных упражнений поможет читателю закрепить соответ- ствующий теоретический материал и научиться свободно владеть гиперболическими функциями. В конце книги приложены различные таблицы. Вместе с формулами, содержащимися в основном тексте, а также в некоторых упражнениях, завершающих параграфы, они позволяют использовать книгу и как справочник по гипер- болическим функциям. Автор выражает свою благодарность Р. С. Гутеру, Г. Л. Лунцу, Р. Я. Шостаку, прочитавшим книгу в руко- писи и сделавшим ряд ценных замечаний, и особенно Ф. Л. Вар- паховскому за большую работу по редактированию книги.
ГЛАВА I ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ 1. Введение. Определение гиперболических функций В математике и ее приложениях к естествознанию и тех- нике находят Широкое применение показательные функции. Это, в частности, объясняется тем, что многие изучаемые в естествознании явления относятся к числу так называемых процессов органического роста, в которых скорости изме- нения участвующих в них функций пропорциональны вели- чинам самих функций. Если обозначить через у функцию, а через х аргумент, то дифференциальный закон процесса органического роста может быть записан в виде где k — некоторый постоянный коэффициент пропорцио- нальности. Интегрирование этого уравнения приводит к общему решению в виде показательной функции у = Секх. Если задать начальное условие у-у^ при х = х0, то можно определить произвольную постоянную 0 = ^”^° и* таким образом, найти частное решение у ==r yQ6k которое представляет собой интегральный закон рассматри- ваемого процесса. К процессам органического роста относятся при неко- торых упрощающих предположениях такие явления, как,
8 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I например, изменение атмосферного давления в зависимости от высоты над поверхностью Земли, радиоактивный распад, охлаждение или нагревание тела в окружающей среде постоян- ной температуры, унимолекулярная химическая реакция (на- пример, растворение вещества в воде), при которой имеет место закон действия, масс (скорость реакции пропорцио- нальна наличному количеству реагирующего вещества), раз- множение микроорганизмов -И' многие другие. Возрастание денежной суммы вследствие начисления на нее сложных процентов (проценты на проценты) также пред- ставляет собой процесс органического роста. Эти примеры можно было бы продолжить. Наряду с отдельными показательными функциями в мате- матике и ее приложениях находят применение различные комбинации показательных функций, среди которых особое значение имеют некоторые линейные и дробно-линейные ком- бинации функций ех и е~х—так называемые гиперболические функции. Этих функций шесть, для них введены следую- щие специальные наименования и обозначения: sh х = — 6“^ 2 (гиперболический синус). ch х — ех е-х 2 (гиперболический косинус), th х~ ех — е~х (гиперболический тангенс), cth х — ех 4г е~х qX е—х (гиперболический котангенс), sch х = 2 ех _|_ е-х (гиперболический секанс), csch х = 2 . (гиперболический косеканс). ех _ е-х Возникает вопрос, почему даны именно такие названия, при чем здесь гипербола и известные из тригонометрии назва- ния функций: синус, косинус и т. д.? Как мы сейчас убе- димся, эти названия не случайны. Оказывается, что соотно- шения, связывающие тригонометрические функции с коор- динатами точек окружности единичного радиуса, аналогичны соотношениям, связывающим гиперболические функции с коор- динатами точек равносторонней гиперболы с единичной полу-
1] ВВЕДЕНИЕ.' ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 9 осью. Этим как раз и оправдывается наименование гипер- болических функций. Возьмем на окружности х2 + у2 == 1 (рис. 1) точку М (х, у), построим острый центральный угол ^AOM — t и опустим из точки М перпендикуляр МВ на ось Ох. Тогда sin £ = 23Л1 (так как радиус окружности ОЛ4 = 1), a cost — OB. Про- ведя в точках А и Р касательные к окружности до пере- сечения их с продолжением радиуса в точках С и N, будем иметь: igt = ACt ctgt = PN, sec t — ОС и cosec t — ON. Рис. 1. Заметим, что между центральным углом t (выраженным в радианах) и площадью S кругового сектора АОМ имеется простая зависимость: t = 2S. В самом деле, как известно, S = ^AM*R, где AM— дуга окружности, на которую опи- рается центральный угол t, a R— радиус окружности. Из определения радианной меры угла следует, что AM = Rt, но в нашем случае /?=1, и потому 5 = -^-, или t = 2S. Следовательно, аргумент t тригонометрических функций sin^, cos Л tgt и т. д., который обычно истолковывается геоме- трически как угол, может рассматриваться при желании как удвоенная площадь кругового сектора АОМ. Именно такое толкование аргумента £ мы примем в дальнейшем.
10 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I Теперь возьмем равностороннюю гиперболу х2— j/2=l (рис. 2) и произведем такие же построения, что и для окружности. Покажем, что sht = BM, cht = OBt tht = AC и т. д.» где t есть удвоенная площадь гиперболического сектора АОМ (но не угол!). Непосредственно из чертежа имеем: t = 23 = 2 (пл. ОМВ— пл. АМВ), но пл. ОМВ = ОВ • ВМ = у ху, где х и у — координаты точки М гиперболы, а пл. АМВ можно вычис- лить с помощью определенного интеграла. Из уравнения равносторонней гиперболы х2— j/2=l находим, что для точек ее верхней части у —Ух2—1, а потому пл. АМВ — (В (В в= у dx = J* Ух2 — 1 dx. з 1 Для вычисления этого интеграла применим способ инте- грирования по частям, положив и = |Лх2 — 1, a dv = dx. _ , х dx Тогда получим du = y===, ф = х и, следовательно, ш J ]/хг — 1 dx = х Ух2 — 1 1 а» ш ___ Г х2 dx
1] ВВЕДЕНИЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 11 Первый член правой части равен ху, а второй преобра- зуем следующим образом: Таким образом, подлежащий вычислению интеграл может быть записан в виде х 1 dx Второй член правой части последнего равенства есть вы- числяемый интеграл; перенеся его влево, разделив обе части полученного равенства на 2 и учитывая, что х Г = In(х4-/х^Л) J УЛ-1 v ' X = 1п(х+ у), 1 будем иметь: X j /х2—1 dx — ± ху — yln(x + ^). 1 Итак, f = ^xj + -i-ln (x + ^)] = ln(x4-3>) или, потенцируя, х + = е*. Если разделить обе части уравнения равносторонней гипер- болы х2— у2=\ на соответствующие части последнего уравнения, то получим еще одно уравнение, связывающее х и у: х — у = е~*. Из системы этих двух уравнений относительно х и у получаем: ___е* + — е— Х ’ У~ 9 *
12 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I Так как х и у равны соответственно ОВ и ВМ, а полу- ченные комбинации показательных функций, согласно опре- делению, равны ch t и sh t, то OB — ch t и ВМ = sh t. Заметим попутно, что уравнения x = ach£, j/ = ash^, рассматриваемые совместно, являются параметрическими урав- нениями равносторонней гиперболы с полуосью а (точнее, ее правой ветви), подобно тому как параметрическими уравне- ниями окружности радиуса а являются уравнения x = acos^, у — a sin Л В самом деле, исключим параметр t, для чего возведем в квадрат обе части Каждого из уравнений и из х2 вычтем у2: a2 ch21 — a2 sh21 — a2 (ch21 — sh2 /) = __ 2Г/е* + i e* — e~t \21_______ —a IA 2 “ I 2 } J ~ _ 2/e»+2+ e-2« e2t — 2-|-e-2*\ 2 — a \ 4 4 a ’ t. e. x2 — y2 — a2, а это и есть уравнение равносторон- ней гиперболы в канонической форме. Если провести касательную к гиперболе в точке А до ее пересечения с прямой ОМ в точке С, то из подобия тре- угольников АОС и ВОМ имеем: АС _ ОА ВМ~ OB' откуда лг, ВМ sh£ е* — е-* ... AC — — мГТ = Т/ ;..t = OB ch г el -J- е~т Аналогичным образом, отложив на оси Оу отрезок ОР == 1 и проведя из точки Р прямую параллельно оси Ох до пере- сечения с прямой ОМ в точке N, можно показать, что РДГ ==cth/. Это вытекает из подобия треугольников OPN и ОВМ-, имеем: /W _ ОР ОВ~ ВМ 9 откуда PW = = е! + е'*- = Cth t.
1] ВВЕДЕНИЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 13 Так же легко убедиться в том, что ОС и ON равны соот- ветственно sch/ и csch/. Мы на этом останавливаться не будем. Выясним теперь, как изменяются гиперболические функ- ции при изменении аргумента, который в дальнейшем будем обозначать через х. Непосредственно из определения sh х имеем sh 0 = 0. Если переписать выражение для sh х в виде ех—е-х sh х —---2--- то мы обнаружим, что когда аргумент х возрастает от 0 до -|“ОО, то первый член ех возрастает неограниченно, а второй член 1/ех убывает, стремясь к нулю. Следовательно, sh х при х -> + оо принимает сколь угодно большие положи- тельные значения, стремясь к При изменении аргумента от 0 до —оо первый член >0, а второй е~х -> +оо, следовательно, sh х при х — оо стремится к — оо. Такйм образом, областью определения и областью значе- ний функции sh х является промежуток (—оо, 4~оо). Из определения ch х имеем ch 0 = 1. Если переписать выражение для ch х в виде ch х — , то легко установить, что при изменении х от 0 от -f-oo ch А возра- стает от 1 до + оо, а при изменении х от — оо до 0 ch х убывает от + go до 1, так как ch(—x) = chx, что следует непосредственно из определения. Таким образом, областью определения функции chx является промежуток (—оо, -(-оо), а областью промежуток [1, +оо). Если в равенстве th х = разделить значений — числитель и знаменатель правой части на ех, то получим th х откуда заключаем, что thx представляет собой правильную дробь, поскольку числитель всегда меньше знаменателя; йри этом th 0 = 0. При изменении х от 0 до -|-оо thx возрастает от 0 до +1, а при изменении х от —оо до 0 — возрастает
14 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [ГЛ. I от — 1 до 0. Таким образом, областью определения функ- ции th х является промежуток (—оо, 4-оо), а областью зна- чений— промежуток (—1, 1), т. е. |thx|< 1. 1 + ~&х Из равенства cthx =-------=— находим, что cth х при 1____L. 1 е*х изменении х от 0 до 4“оо убывает от 4~°° ДО 1, а при изменении х от — оо до 0 убывает от — 1 до — оо. В точке х — 0 cth х не определен: при стремлении х к О справа cth х -> 4~ оо, при стремлении х к 0 слева cth х —> — оо. Областью определения функции cthx являются проме- жутки (—оо, 0) и (0, 4» со), а областью значений — проме- жутки (—оо, —1) и (1, оо). Таким образом, |cthx(> 1. Совершенно аналогично можно исследовать изменение функций sch х и csch х. Мы на этом останавливаться не будем. Заметим, что при достаточно больших значениях х(х > 0) значения shA: и chx мало отличаются от соответствующих значений еш/2, а значения th х — от 4~ 1- При достаточно боль- ших по абсолютной величине, но отрицательных значениях х функция sh х мало отличается от —^“ж/2, chx — от e~x/2t a th х—от — 1. Если произвести замену аргумента х на —х, то получим: sh (— x) — e~x — ex 2 _ ex—e~x 2 shx, ch (— x) = e~x-\-ex _ 2 ex 4- i = —2 ~ ch x' th(-x) = g-a? — @x e—x _|_ gX ex — e~x ex 4~ e~x thx, cth (— x) — g-a?4>g® _ g—a? — px ex 4” e~x qX P,~x cth x. что доказывает четность функции ch х и нечетность функ- ций shx, thx и cthx. Непосредственно из определения ch х и sh х следует, что ^ = chx4~sh х, е~х = ch х — sh xt
1] ВВЕДЕНИЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 15 г. е. что функции ех и е~х могут быть представлены как сумма и разность четной и нечетной функций. Ниже приведены графики гиперболических функций с их краткими описаниями. График гиперболического синуса j/ = shx приведен на рис. 3. Функция нечетная, монотонно возрастает от —оо до + оо. В начале координат график имеет центр симметрии и точку перегиба. Угол ср, образованный с осью абсцисс касательной в этой точке, равен к/4. Асимптот нет. График гиперболического косинуса j/ = chx (рис. 4) на- зывается цепной линией (см. стр. 92). Функция y = chx четная, при х < 0 убывает от -{-оо до -|- 1, при х > 0 воз- растает от -|-1 до оо. Минимум в точке А (0, 1). График симметричен относительно оси Оу. Интересно отметить, что он расположен выше параболы у = 1 -|- -у-, показанной на рис. 4 пунктиром. Асимптот не имеет. График гиперболического тангенса j/ = thx приведен на рис. 5. Функция нечетная, монотонно возрастает от — 1 до 4-1. В начале координат график имеет точку перегиба и центр симметрии. Угол ср, образованный с осью абсцисс касательной в этой точке, равен z/4. График имеет горизон- тальные асимптоты у — ± 1. График гиперболического котангенса j/ = cthA: приведен на рис. 6. Функция нечетная; х = 0 — точка бесконечного
16 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. .1 разрыва. При х < 0 функция cth х убывает от — 1 до — оо, при х > 0 убывает от 4-оо до -j- 1 • Экстремумов не имеет. Точек перегиба у графика нет, имеются асимптоты: горизон- тальные у = ± 1 и вертикальная х = 0. 2. Соотношения между гиперболическими функциями Различные тригонометрические функции одного и того же аргумента связаны между собой рядом известных соотноше- ний. Аналогичные соотношения имеют место и для гипербо- лических функций. При этом основному тригонометрическому тождеству sin2 х4" cos2 х — 1 соответствует тождество, свя- зывающее гиперболические синус и косинус: ch2x — sh2x= 1, (1) в справедливости которого легко убедиться простой про- веркой. Имеем: ch2*— sh2x = l—\ —(-----2---\ = ех ,— \ / qx _@~~х gx— х\ 2 1 ~Т~ J \ 2 = Некоторые важные соотношения могут быть получены непосредственно из определения гиперболических функций
2] СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ 17 и из формулы (1): sh х ch х = th x, (2) ch х sh x = cth x, — (3) th x • cth x = 1, (4) 1 sh x csch xt (5) 1 ch x = sch x, (6) 1—th2x = sch2x, (7) cth2x — 1 = csch2 x. (8) Соотношения (2) и (3) получаются путем деления sh х на ch х и ch х на sh х. Соотношения (4), (5) и (6) прове- ряются непосредственно, а (7) и (8) получаются из (1) де- лением обеих его частей соответственно на ch2 х и sh2 х с учетом предыдущих соотношений. Пользуясь этими восемью формулами, можно, как и для тригонометрических функций, любую гиперболическую функ- цию аргумента х выразить через любую другую гиперболи- ческую функцию того же аргумента. Ниже приводится соот- ветствующая таблица для первых четырех функций: sh x = ± /chax — 1 th x 1 <1 — th2x “ /cthax — 1 ch x = /sh2x + 1 1 cth x /1 — thax ~ /cth2 л — 1 th x = sh x V~chax —1 ch x 1 cth x Vsh2x+ 1 cth x == /sh2x+ 1 sh x ch x ~ Уch2x — 1 1 th x 2 Зак, 975. А. Р. Никольский
18 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [ГЛ. I Здесь имеет место очень простое правило знаков: ch х всегда положителен, a shx, thx и cthx имеют тот же знак, что и аргумент. Соответственно этому правилу, если х > О, то следует перед корнем взять знак плюс, а если х < О, то надо взять знак минус. Легко также вывести формулы для гиперболических функ- ций суммы и разности аргументов, двойного и половинного аргумента, а также для сумм, разностей и произведений ги- перболических функций. Эти формулы аналогичны соответ- ветствующим тригонометрическим формулам. Приводим сводку этих формул. sh(x + j) — sh x ch у 4- ch x sh y, (9) sh(x — у) = sh x ch у — ch x sh yt (10) ch (* + .у) = ch x ch j/-|-sh xsh y, (И) ch (х — у) = ch x ch у — sh x sh yt (12) th(x + ^) = th x th у 1 4- th x th у ’ (13) th (х — у) = th x— th у 1 — th x th у • (14) cth (х + у) — 1 4- cth x cth у cthx-f-cthy * (15) cth (х—у) = 1 — cth x cth у cthx — cth у ’ (16) sh2x = 2 sh x ch x, (17) ch 2 х = ch2 х + sh2 x = 2sh2x4~ 1 =2ch2x—1, (18) th 2x = 2 th x (19) 14“th2x ’ . cth 2x = 14-cth2 x 2 cth x ’ (20) . x sh2 = । ! Гchx — 1 - V 2 (21) . x ch у — _ Г ch x4-1 V 2 (22)
2] СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ 19 - V chx-f-l ’ (23) dhf = । 1 / ch x -|- 1 ’ ~ V chx — 1 * (24) sh x + sh y — .SshitXchif’. (25) shx— sh j = i2shi=>ch£±>, £ £ (26) ch x + ch = 2chi+Zchi=2. (27) chx— chj/ = 2shi+Zshi=X, & £ (28) th x ± th у = sh (x ± y) ch x ch у 9 (29) cth X ± cth у = sh (y ± x) shxshy ’ (30) sh x sh у = 4 [ch (x 4- y) — ch (x—j/)], (31) sh xchj = 4 [sh (Jc4-^)4-sh(x — ,y)]. (32) ch x ch у = 4 [ch (x 4- y) + ch (x — ^)], (33) Формулы (9) — (12) могут быть выведены следующим образом. Из определения имеем: shx = -~(^— е~х), ch х = (ех + е~х), sh>=4 (е"—e~v)’ chy = ±(et'-t-e~v). 2*
20 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I Перемножая отдельно левые и правые части этих тождеств, составим следующие выражения: ch X ch у = 1 (ex+v+ ex~v + е-х+у + е-х-у), ch х sh у = | (ea,+y — ex~ve~x+v—e~x-y), sh x ch у = | (ex+y + ex~y — e~x*y — e~x~y\ shxsh y = \{ex^ — ex~y — е~х+уe~x~y\ Теперь легко найти, что #>+y _ е-(х+у) sh х ch у -|- ch х sh у =---------= sh (х + у), е^-У __ е-^-у) sh х ch у— ch х sh у =------------= sh (х— у), ch х ch у + sh х sh у =-----------= ch (х+ у), ^-у± e-&-y) ch х ch у — sh х sh у —-----------= ch (х — у). Таким образом, формулы (9)—(12) проверены. Формулы (13) и (14) получаются путем деления обеих частей формул (9) и (10) на соответствующие части фор- мул (11) и (12) с последующим преобразованием полученных правых частей к виду, содержащему только гиперболические тангенсы; для этого следует числители и знаменатели правых частей разделить на ch х ch у. Формулы (15) и (16) получаются аналогичным образом путем деления обеих частей формул (11) и (12) на соответ- ствующие части формул (9) и (10). Для вывода формул (17) — (20) следует положить у — х в формулах (9), (11), (13) и (15). Формулы (21) и (22) можно вывести, исходя из фор- мул (18) и (1), заменяя в них х через х/2. Имеем: ch2^ + sh2y = ch х, ch2J —sh2^ = l.
2] СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ 21 Вычитая и складывая, получим: „^2 %____________________ ch х 1 Sh 2 =-----2~’ ,9х ch х + 1 Т~’ откуда вытекают формулы (21) и (22). Для получения формул (23) и (24) следует разделить обе части формулы (21) на соответствующие части формулы (22), и наоборот. Для вывода формул (25) и (26) выпишем формулы (9) и (10), заменив в них х и у через а и р: sh (а 4- Р) = sh a ch р ch d sh р, sh (а — Р) = sh а ch р — ch а sh р. Складывая и вычитая, получим: sh (a+P)4-sh(a — р)==2 shachp, sh (a + p) — sh (a — p) = 2 ch a sh p. В этих формулах положим a-|»p = х и a— p = у, откуда , а p — x ~ y , и формулы (25) и (26) проверены. Аналогичным образом поступим для вывода формул (27) и (28). Возьмем соотношения: ch (a + Р) = ch a ch p + sh a sh p, ch (a — P) = ch a ch p — sh a sh p. Складывая и вычитая, получим: ch (a + Р) + ch (a — P) = 2 ch a ch p, ch (a + p) — ch (a—p) = 2 sh a sh p. Полагая, как ранее, a+p = x и a—p = jz и, следова- тельно, a = , аp = , получим формулы(27)и(28). Формулы (29) получим путем преобразования выраже- ний th х ± th у: th х 1 th = shx + sh У ___sh x ch у ± ch x sh у_sh (x ± y) У chx “ ch у ch x ch у chxch у * Аналогично получаются формулы (30). Формулу (32) легко вывести путем сложения соответ- ствующих частей формул (9) и (10), а формулы (31) и (33) —
22 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I путем вычитания и сложения соответствующих частей фор- мул (11) и (12). В дальнейшем будет показано, какие многочисленные применения находят гиперболические функции. Здесь же мы пока ограничимся приложением гиперболических функций к решению кубических уравнений. Если кубическое уравнение имеет так называемый приве- денный вид* *): я3+3/?х + 20 = О, то, как доказывается в курсе высшей алгебры, корни его можно вычислить с помощью тригонометрических и гипер- болических функций по следующей таблице: р<0 p>0 ?2 + р3<0 02 p8 > 0 q cos<f = -j|- ch?=75- sh'f = -^- х1==—2r cos-X- о n (* ф\ x2 = 2r coslrs- — -J-l \ О 0 / x8 = 2г sin 4" у) 4 CO N> II II II I О —}- О 1 I sr 7. to co|-e co|-e co] | co] 1 sr oo|-e CO co 1 S3* S3* co|-e co|-6 9-|00 9-|00 x: -c э-|оэ “ | к » 9-|eO Э-|со 1 К + к I II II II И Ч ” ♦) Заметим, что любое кубическое уравнение ах* + ^*2 + сх + + d = 0 можно преобразовать* к приведенному виду подста- новкой х = у — При этом коэффициенты обоих видов ура- внения связаны следующими соотношениями: о Зас — Ь* о 263 ьс , d *Р “ За* 9 2q ~ 27а* За* + а'
2] СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ 23 Здесь г = ±]/*|р|, причем знак г должен совпадать со знаком q. Вспомогательная величина ср определяется из при- веденной таблицы в зависимости от знаков р и суммы фЦ-р3 по формуле, расположенной в соответствующем столбце таблицы. Вычислив г и ср, находят все три корня xlf х2, х3 по формулам в том же столбце. ' В качестве примера решим кубическое уравнение 2 1 х34-2х—1=0. Имеем р = у, д = — у. Следовательно, 1 4 ^2+Р3 = “4 + 9- > 0» а так как Р > О» т0 следует восполь- зоваться третьим столбцом таблицы. По формуле для вычисления г определяем, что г = = — 1/ 4- = — 0,816, а из таблицы находим, что sh ср = ~ = То 1 Г» з Г з” = —1/ = 0,916. Пользуясь таблицами гиперболического синуса (см. стр'. 179), получаем <р = 0,82. Следовательно, = = 0,27, a sh 4 = sh 0,27 = 0,273, ch^-=ch0,27= 1,037. О о Подставляя вычисленные значения г, sh-|- и ch у в фор- мулы для нахождения корней, получаем: Xi = — 2r sh £ = 2 • 0,816 • 0,273 = 0,445, и х2 = г sh 4 + Ir'Y 3 ch 4 — о и = — 0,816.0,273 —• 1,037 = = — 0,223 — 1,4661, х3 = г sh 4—lr/3 ch 4 = — 0,223 4- 1,4661. <5 и Упражнения 1. Проверить справедливость следующих формул: п 2thx 1) sh2x — 1_th2jt ! 2) sh Зх = 4 shs х -|- 3 sh х = sh х (4 ch° х —-1); 3) sh (п 1) х = 2 ch х sh пх — sh (л — 1) х\
24» ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I 5) ch Зх = 4 ch2 х — 3 ch х = ch х (4 sh3 х -|- 1); 6) ch (724-1)х = 2chxch nx — ch(n — 1)х; 9 7) th = ? ' th х + cth х ox th - th3jc + 3thx . 8) th3x - 3 iili> + 1 , A4 n th x + cth x 9) cth2x=s-----; x shx ch x— 1 10) ,h-2 =dT7+T--------5П— 2. Нижеследующие формулы выражают степени гиперболических функций через гиперболические функции кратных аргументов; про- верить их. 1) 2sh2x = ch2x —1; 2) 4sh3x ==sh3x — 3shx; 3) 8sh4x = ch4x— 4 ch 2x4-3; 4) 16sh5x sh 5x —5sh 3x 4-lOshx; 5) 32sh«x =ch6x — 6 ch 4x 4~ 15 ch 2x — 10; 6) 64 sh7 x = sh lx — 7 sh 5x 4- 21 sh 3x — 35 sh x; 7) 128sh8x = ch8x —8ch6x4-28ch4x —56ch2x4-35; 8) 2 ch2x = ch 2x-|-l; 9) 4ch2x . =ch3x-|-3chx; 10) 8ch4x =ch4x4-4ch2x-|-3; 11) 16ch5x = ch5x-|-5ch3x-|-lQchx; 12) 32ch8x = ch 6x-|-6eh 4x4-15 ch 2x-|-10; 13) 64 ch7 x = ch 7x -|- 7 ch 5x 4- 21 ch 3x -j- 35 ch x; 14) 128 chs x = ch 8x 4- 8 ch 6x 4- 28 ch 4x -j- 56 ch 2x + 35. 3. Доказать, что 1) (ch x±sh x)n ss ch nx±sh nx\ 2) —г--r—г— = ch x — sh x; ' ch x4-shx 3) ch 2x -|- cos 2y 5= 2 4- 2 (sh2 x — sin2 y) = 2 (sh2 x 4- cos2 y); 4) ch 2x — cos 2y = 2 (sh2 x -|- sin2 y); 5) sh2 x — sh2 у = sh (x 4“ У) sh (x — y) = ch2 x — ch2 y; 6) sh2 x 4- ch2 у = ch (x 4- У) ch (x — y) = ch2 x 4- sh2 y; rrx xl ch(x±y) 7) cth x±th у =-=4—; ' sh x ch у 8) csch2x — sch2 x = csch2 x sch2 x*
3] ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 25 4. Решить следующие кубические уравнения: 1) л3 9л — 26 = 0. Отв, хх = 2; х2,3 = — 1 ±2/ "/3. 2) л3 + 1,25л —3,72 = 0. Отв. Xi = 1,282; х2,3 = — 0,641 ±1,579/. 3) х3 — 8л+15 = 0. Отв. Xi = — 3,504; л2>3 = 1,752 ± 1,100/. 5. Найти корни уравнения sh х — 3 ch х + 9 =4). Отв. лх = 2,1716; л2 = —1,4784. 6. Выразить координаты точки М (л, у) гиперболы л2 — у^ = а2 как функции площади S гиперболического сектора OLM, ограни- ченного дугой гиперболы LM и двумя лучами ОМ и О£, где £ (х, — у) — точка, симметричная М относительно оси Ох. S S Ome.x = ach-~, y = ash—. д2 а2 3. Обратные гиперболические функции Если x = sh_y, то, желая выразить зависимость у от х, обозначают у символом Arshx (читается «ареасинус гипер- болический») или, более подробно, у есть площадь, ги- перболический синус которой равен х (area — латинское слово, означающее в переводе площадь). Подобным же обра- зом определяются и другие обратные гиперболические функ- ции, а именно: если x = chj/, то^ = АгсЬх (ареакосинус гиперболический)} если x = thy, то у = Arthx (ареатангенс гиперболический)} если х = cth у, то у = Arcth х (ареакотангенс гиперболиче- ский). Графики обратных гиперболических функций с их крат- кими описаниями приводятся ниже. Ареасинус j = Arshx (рис. 7). Функция нечетная, область определения — оо < х < + оо, монотонно возрастает от —оо до *-j—оо. В начале координат — точка перегиба и центр симметрии графика. Угол ср, образованный с осью абсцисс касательной в этой точке, равен тг/4. Асимптот не имеет. Ареакосинус y=Archx (рис. 8). Функция дву- значная, область определения каждой ветви 1^х< + оо.: График симметричен относительно оси Ох; в точке А (1,0)
26 ОСНОВНЫЕ понцуия И СООТНОШЕНИЯ [гл. I имеется вертикальная касательная х = 1, при возрастании х(х> 1)у по абсолютной величине возрастает. Ареатангенс у = Arthх (рис. 9). Функция нечетная, область определения —* 1 < х < 4- 1, монотонно возрастает от—оо до+оо. В начале координат — точка перегиба и центр симметрии графика. Угол ср» образованный с осью абсцисс касательной в этой точке, равен z/4. Вертикальные асимптоты х = ± 1. Ареакотангенс у = Arcthх (рис. 10). Функция не- четная, область определения |х| > 1. При —оо<х<—1 убывает от 0 до — оо, при + 1 < х < + оо убывает от 4-оо до 0. Экстремумов и точек перегиба нет. Имеются горизонтальная асимптота ^ = 0 и вертикальные асимптоты х = ±1.
3) ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 27 Любую из обратных гиперболических функций можно выразить через остальные функции. Приведем соответствую- щую таблицу. Arsh х= ± Arch Ух3 4- 1 А *1. * Arth == Уха + 1 A Ух3-}-! Arcth !— X Arch х=з ± Arsh Ух3 —1 A At. У*3 — 1 ± Arth -— ± Arcth —Х Arthx == Arsh — У1 — х9 ± Arch L Vl-x’ Arcth— X Arcth х= Arsh т Vxa—1 ± Arch Х--~ Vx1- 1 Arth — X Следует иметь в виду, что при выражении функций через ареакосинус последний надо брать со знаком плюс при х > О и со знаком минус при х < 0. Это объясняется двузнач- ностью ареакосинуса и нечетностью остальных функций, ко- торые при х > 0 положительны, а при х < 0 отрицательны. Выражения же самого ареакосинуса через остальные функ- ции (вторая строка) надо брать с двумя знаками, что также объясняется его двузначностью. Легко убедиться в справедливости приведенных в таб- лице соотношений. Для примера выразим Arshx через ос- тальные функции. Пусть у — Arshx, тогда sh<y = x и, следовательно, ch j> = ]/"sh2 1 =]/"х2-|-1, откуда у •= ± Arch Ух2 + 1; th ^ = -7x2? у, . = откуда Л Г 7 /shSy+l /х*+1 J . .. х .. /sh2 у +1 /х2 +1 / •у=АгП,7э^т clh-), = ~ ~го'у ~ =—х' откула ^ArethgH. Аналогично проверяются и остальные соотношения. Суммы и разности обратных гиперболических функций выражаются следующим образом: Arsh х + Arsh у 9 Arsh (х У1-j-.у2j + х*), (1)
28 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I Arsh х— Arsh у = Arsh (хУ 1 + у2— уУТ^х2), (2) Arch х-(- Arch у = Arch [ху + (х2— 1) (у2 — 1)], (3) Archx— Arch у/= Archfxy — У(х2— l)(.y2— 1)], (4) Arth x + Arth у = Arth ' (5) Arth x — Arth у = Arth • (6) Проверим формулу (1). Для этого обозначим: Arshx = zz, Arsh y—v- тогда sh и = х, sh v — у, ch и = Ух2 1 , ch v = = У У2 + 1» преобразуем выражение sh (Arsh х + Arsh у) = ?=sh (w + 'v) = sh я ch -v + ch и sh v = x ]/\y2+ l+j' откуда Arsh x + Arsh у — Arsh (x У y2 + 1 -j-j/ Ух2 + 1). Аналогично проверяются остальные формулы. Подобно тому как гиперболические функции выражаются через показательные, обратные гиперболические функции могут быть выражены через функции, обратные показатель- ным, т. е. через логарифмические. В самом деле, если, например, y=nArshx, то отсюда еУ^ е~У следует, что х — sh у, а так как sh у =-------, то х = _ е-у =---------» или е*у— 2х^—1=0. Рассматривая это ра- венство как квадратное уравнение относительно неизвест- ного находим ^ = х-|-]Лх2-|-1 (знак минус пер^ед кор- нем в действительной области невозможен, ибо при дей- ствительных значениях х величина еу всегда положительна). Следовательно, у = In (х + /Х2-Н), а так как у = Arsh х, то Arshx = ln(x + /x2+l). (7) Аналогичным образом получаем следующие формулы: Arch х = In (х±Ух2— 1) Arth x = -|'^nrz^~ 2 1 — х Arcth х = .4- In * —k 4b X -- I (X^ >i). (8) (1*1 < :i). (9) (1*1: >i). <10)
3] ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 29 Для вывода формулы (8) исходим из того, что если еу 4. е-у , jz^Archx, то x = chj/ ——---------» откуда е2у— 2хеу 1 = 0 и ey = x+Y*2—1 (знак минус здесь необходимо сохранить, так как правая часть будет положительной и в этом случае). Логарифмируя последнее равенство, получим фор- мулу (8). Заметим, что формуле (8) можно придать несколько иной вид, а именно: Arch х= ±1п(х + У'х2— 1). Для этого достаточно показать, что 1п(х— ]/х2 — {) = = — 1п(х—— 1). Но в этом легко убедиться с по- мощью следующего преобразования: in (х _ = in = 4 г ' х + Ух*— 1 = In-----1------= — In (х + * , еу — е~у Если взять у = Arth х, то х = th у = —-----— , откуда 1 | х е^(1— х) = е~У (1 + х) или е2» — и, следовательно, , _ /“1 -4-х * 1 < 1 -|- х еу = 1/ . • I—, у = Arth х =In т-4-—. г 1 — х 2 1 — х Наконец, если взять у — Arcth х, то х = cth у = г=еу~^~ е_у, откуда ev(x—1) = е-г'(х-|-1) или е2у — и, следовательно, ev = 1/ у = Arcth х = 4 In . F х 1 z х — 1 Приведенные формулы позволяют выяснить вопрос об области определения обратных гиперболических функций. Из формулы' (7) следует, что Arsh х существует при любом действительном х, так как х + /Х24_1> О как при поло- жительном, так и при отрицательном х. Формула (8) пока- зывает, что Archx существует только при х^>1, так как Yх2—1 имеет действительные значения при |х|>1, но х
30 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I не может быть отрицательным, ибо тогда х±Ух2—1 тоже становится отрицательной величиной, а значит, In (х±]/х2— 1) не может быть действительным. Из формулы (9) вытекает, что Arth а: существует при |х| < 1, так как для того, чтобы эта функция имела действительные значения, необходимо I -1- выполнение неравенства । > 0, а это возможно для по- ложительных х только при х< 1, а для отрицательных х только при х>-—1. Аналогично предыдущему можно установить, что Arcth х существует только при | х | > 1. Упражнения 1. Проверить справедливость формул, выражающих Archx, Arth а: и Arcth а: через Arsh а: и другие функции (см. таблицу на стр. 27). 2. Проверить формулы (2), (3), (4), (5) и (6) (см. стр. 28). 3. Доказать, что | Arch х = 2 Arch j/" == 2 Arsh | * xl 1 . к 2x 1 л l 1 +x2 1 a 2x ’ Arth x — 2 Arsh j — 2 Arch 1 — — 2" Arth 1 4. x* * 4. Дать определение функций Arsch x и Arcsch x\ доказать, что они связаны с логарифмическими функциями соотношениями Arsch х = ±1п(± + /^--1) (0 < х < 1), Arcsch х = In Q- + ]/"— + 1) • J 4. Показательные, тригонометрические и гиперболические J функции от комплексного аргумента. Формулы Эйлера 5 До сих пор мы рассматривали только действительные значения аргумента показательной функции, а также триго- нометрических и гиперболических функций. Возникает во- 1 прос, как определить эти функции для комплексных значе- | ний аргумента. Ведь обычные, известные из элементарной математики, определения тригонометрических и показательной функций, а следовательно и гиперболических функций, да- | вались только для действительных значений аргумента.
4] ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА 31 Мы определим эти функции при комплексных, в ча- стности, мнимых значениях аргумента с помощью их разло- жений в степенные ряды, полагая, что аргумент может при- нимать не только действительные, но и комплексные зна- чения *). Итак, если z =^= х + 1у> где х и у — действительные числа, а 1 — У—1 —мнимая единица, то, по определению, под символами е\ sin z и cos z понимают суммы следующих абсолютно сходящихся при любом z рядов **): ‘=2г=1+к+г+- <» П=»0 п=о <з> п=0 В связи с этим гиперболические функции sh£ и ch z определяются как соответствующие комбинации показатель- ных функций е* и е~г или равносильными этим комбинациям рядами: sh z = —g— ’ (4) yi г2П+1 2Ь & Sh Z~ (2л+ 1)! ~ * +з! 5! ‘ (4а) ' п=о ch *=/ + *"*, (5) V 1 I & I z* I ,s x ch 2 21 (2n)! “ + 2T~^ 4! n=o *) Существуют, впрочем, и другие способы определения функ- ций е2, cos z, sin z при комплексном z. **) Как известно, определения сходимости и абсолютной схо- димости рядов с действительными членами, а также правила дей- ствия над этими рядами распространяются и на ряды с комплекс- ными членами.
32 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I Эти ряды сходятся на всей плоскости Z, т. е. при всех комплексных значениях z. Функции tgz, ctgz, ihz, cth z определяются с помощью равенств: . Sitl Z / \.gz —----------------------------------------------------------(6) & cos z , cos z ctg z = -— , • (7) & sin z ' = (8) cth, = ^. (9) Распространив понятие показательной и тригонометриче- ских функций на комплексную, область, мы обнаружим ин- тересные соотношения между показательными и тригонометри- ческими функциями, отсутствующие в действительной области. Согласно нашему определению, функцию еЧ-^где z — комплексная величина, можно записать в виде ряда eis— 1 _J_ J- 1 _L -L I e ~ 1 1! 2! 3! ’ * * ‘ ’ n\ • Так как I2 — — 1, Z3 = — Z, Z4 = 1, Z5 = Z, Z6 = — 1 и, вообще, = i^+2 = —it z4w+3 = —Z, где /n = 0, 1, 2, ..., to L . 2! ' 4! ••• r\ l> (2n —2)1 J ‘ । (_n”-1 г2”-1 । I ^411 3!^5l_(2n— 1)!^ • • • J* Содержащиеся в скобках ряды являются разложениями функ- ций cos z и sin .г, поэтому eis = cos z + Z sin z. (10) Если в этом равенстве заменить z на —zt то получим: e-iz _ C0S(z — i sin z. (11) Обе эти формулы дают выражения показательных функ- ций ei3 и через тригонометрические cosz и sin z. Из
41 ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА 33 них легко получить еще две формулы, выражающие триго- нометрические функции cos z и sin z через показательные eiz и cos z = —J2-----» " (12) sin2=—— (13) Все четыре выведенные формулы называются форму- лами Эйлера. Из первой формулы Эйлера, в частности, Получаем: ( тс , . . ft , е2 =cos 2“+/siny = Z, eKi = cos к +1 sin к = — 1, 3 . , . 3 , e2 — cos л + i sin -g-я = — . cos 1 sin 2л = 1, 4я* 5 , , . 5 , e2 = cos -2-rc-4-Zsin-^-it = Z и т. д. Вообще, где й = ± 1, ±2, ... Формулы Эйлера позволяют ввести еще одну так назы- ваемую показательную форму ком- плексного числа zt наряду с его алгебраической и тригонометри- ческой формами. Как известно, алгебраическая форма комплексного числа имеет вид z=ax-\-lyt где хи у — дей- ствительные числа. Если ввести модуль | z [ = г и аргумент arg z== ср числа z (рис. 11), связанные с действительной и мнимой частями х и у числа z соотношениями № г cos ср, у = г sin ср, то из алгебраиче- ской формы комплексного числа z = x-\-ly получим триго- 3 Зак. 975. А. Р. Никольский
34 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. i неметрическую: z — г (cos ср + i sin ср), а из нее по формуле Эйлера легко перейти к показательной форме: z = re^. ' Заметим, что каждое комплексное число (кроме нуля, для которого понятие аргумента теряет смысл) имеет бес- численное множество аргументов, ибо увеличение или умень- шение ср на число, кратное 2тс, не изменяет комплексного числа. В связи с этим для аргумента приняты два обозна- чения: Args и argz. Первое употребляется для всевоз- можных значений аргумента, а второе—только для глав- ного значения, выделяемого неравенствами 0 <р < или — гс <С ? гс. Если и х2 — действительные числа, то справедливо равенство -—г- С помощью рядов его можно написать в виде | *1 + *2 | (-*1 + *2)2 I I (*1 + t 1! ' 2! * -г п\ -г Так как сходимость (и притом абсолютная) этих рядов не нарушится при замене действительных чисел и х2 любыми комплексными числами zt и z2, а ряды с комплекс- ными членами можно перемножать по правилу умножения рядов с действительными членами, то можно утверждать, что равенство е^ё^ =± ez>+z* справедливо при любых комплексных числах и £2- Если z = x-}-tyt где х и, j/ —действительные числа, то gz = но № — cos sin .у и, следовательно» ez = е°> (cos у + *sin У)* Отсюда следует, что |е2| = еда и одно из значений Arg 2s равно у. Последнее равенство позволяет вычислять значения
ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА 35 4J показательной функции при любом комплексном показателе степени z. Например, £3~8i =e3(cos8 — I sin 8). Подобно этому формулы (12) и (13) дают возможность вычислять значения cos z и sin z при любом комплексном аргументе z. Например, sin(l+20= --------2Г~~ ~ __е-2 (cos 1 4-1 sin 1) — & (cos 1 — Z sin 1)_ — _ __ cos 1 (£-2 — e*) + i sin 1 (ё* -J- £-2) — “ 2i_. = ch 2 sin 1 + i sh 2 cos 1. Ниже будет показан другой, более удобный практически, способ вычисления этих значений, позволяющий получить ответ непосредственно в гиперболических функциях, минуя показательные. С помощью первой формулы Эйлера можно показать, что в комплексной области показательная функция ег оказы- вается периодической с мнимым периодом 2kZ. В самом деле, прибавим к аргументу z показательной функции f(z) = e* мнимое число 2ш. Получим _ eze2iti _ ez (cos 2к _(-1 sin 2к) = ez. Периодичность доказана. В комплексной области тригонометрические функции оста- ются периодическими и имеют те же периоды, что и в дей- ствительной области. В этом легко убедиться с помощью третьей и четвертой формул Эйлера (формулы (12) и (13)), если'Произвести в них замену z на ^ + 2к. Так как gi (z+2ir) — ^iz+27ti — giz — qiz a g-i(z+2ir) —. — g-iz 1 — g-iz, TO cos(z + 2k) — cos z, sin (z + 2k) = sin z> что доказывает, что функции cos z и sin z периодические и имеют период, равный 2к, и в комплексной области. 3*
36 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I Периодичность tgz и ctg 2 можно обнаружить с помо- щью тех же формул. Имеем ^ (».+«) = е<г+<’с = ^ге<те = = —eist е~ *(г+те> = e~iz~ilz—e~iz J- =—e~iz и, следовательно, tg(Z-|-lO = tgZ, Ctg (Z -1- к) = Ctg Z. Таким образом, функции ,tgz и ctgг также периоди- ческие и имеют период, равный к. Проверим, что для функций sin z и cos z при любых ком- плексных значениях z сохраняется основное тождество sin2 z -f- cos2 z = 1. В самом деле, Sin2 2H-COs22=(-----~+ ----) = e2iz — 2-|“ e~2iz j e%iz 4-2 4- e-^z _ 1 = —— 4 - = 1. Точно так же сохраняются в комплексной области и все остальные тождества, связывающие тригонометрические функ- ции. Гиперболические функции в комплексной области также периодические, при этом функции sh z и ch z имеют пе- риод 2kZ, a th z и cth z — период rcZ. Это вытекает непо- средственно из формул (4), (5), (8) и (9). При замене в первых двух формулах z на 2tuZ они вследствие пе- риодичности функций ez и e~z остаются без изменения, а при замене в последних двух формулах z на z-^-ni числители и знаменатели правых частей меняют свои знаки на противопо- ложные, что величин самых дробей не изменяет. Нетрудно убедиться в том, что основное тождество между функциями sh2 и ch 2, а именно: ch2 z — sh2 z = 1, сохра- няется и в комплексной области, так же как и все осталь- ные тождества между гиперболическими функциями. Упражнения 1. Вычислить действительную и мнимую части числа £3+Ч Отв. — 8,23 4- 18.27Z. 2. Выразить через модуль и аргумент комплексные числа: a) 1+Z; б) 1 + z/З; в) 1—z/З . . те .те тс Отв. e)Y2e б) 2е 3; в) 2е 3.
5] СВЯЗЬ С ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ 37 3. Записать, в тригонометрической форме числа: а) /Г— Z; б) — 2 + 5Z; в) — 2 — 5Z. Отв, а) 2 £cos ( — -^-j Z sin (— j ; б) Y29 [cos (тс — arctg ~ j -|-I sin (те — агс в) У'29 [cos (тс arctg Z sin (тс + ап 4. Найти Действительную и мнимую части выражений: а) е^а; б) г^Дгде z = x-j-iy. Отв, а) е&-Уа cos 2лу, #»а-2/а sin 2ху; б) е& (х cos у — у sin у), е& (х sin у + у cos у). 5. Соотношения между тригонометрическими и гиперболическими функциями Наряду с обнаруженной нами в комплексной области связью между тригонометрическими и показательной функциями (формулы Эйлера) в комплексной области имеется также очень простая связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.; Напомним, что, согласно определению: « ez-\-e~z chz = —t-----, (3) ег — е-г sh z = —g—. (4) Если в тождестве (3) произвести замену z на lz, то в правой части получится то самое выражение, которое стоит в правой части тождества (J), откуда вытекает ра- венство левых частей. То же самое имеет место для тож- деств (4) и (2). Итак cos 2 — ch iz, i sin z — sh iz (5) (6)
38 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I Путем деления обеих частей тождества (6) на соответ-» ствующие части тождества (5) и, наоборот, (5) на (6) по* лучим: iigz = ihlz, (7) A- ctg z — cth Iz. (8) Аналогичная замена в тождествах (1) и (2) и сравнение С тождествами (3) и (4) дают: ch z = cos iz, (9) I sh z == sin Iz. (10) Наконец, из тождеств (9) и (10) находим: lihz — ig.iz, (11) J-cth 2 = ctg Iz» (12) Если в тождествах (5)—(12) положить z = ixt где х — действительное число, т. е. считать аргумент чисто мнимым, то получим еще восемь тождеств между тригонометрическими функциями чисто мнимого аргумента и соответствующими гиперболическими функциями действительного аргумента, а также между гиперболическими функциями чисто мнимого аргумента и соответствующими тригонометрическими функ- циями действительного аргумента: cos lx- = ch х, (5a) sin lx = I sh x, (6a) tglx = /th x, (7a) ctg lx = — i cth x, (8a) ch ix = cosx, (9a) sh lx — i sinx, (10a) th ix = Ztgx, (Ha) cth ix = — 1 ctg X. (12a) Полученные соотношения дают возможность переходить от тригонометрических функций к гиперболическим и от
5] СВЯЗЬ С ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ 39 гиперболических функций к тригонометрическим с заменой мнимого аргумента действительным. Они могут быть сфор- мулированы в виде следующего /правила: Для перехода от тригонометрических функций мнимого аргумента к гиперболическим или, наоборот, от гиперболических функций мнимого аргумента к три- гонометрическим, следует у синуса и тангенса мнимую единицу I вынести за знак функции, а у косинуса от- бросить ее вовсе. Установленная связь замечательна, в частности, тем, что позволяет получить все соотношения между гиперболическими функциями из известных соотношений между тригономет- рическими функциями путем замены последних гиперболи- ческими функциями Покажем, как это. делается. Возьмем для примера основное тригонометрическое тож- дество sin2 z -р cos2 z — 1 и положим в нем z = tx. где х — действительное число; получим: sin2 lx + cos2 lx = 1 ♦ Если в этом тождестве заменить синус и косинус гипербо* лическими синусом и косинусом по формулам sinZx = Zshx и cos ix = chx, то получим (I sh х)2 + ch2x = 1, или ch2x — sh2x = 1, а это и есть основное тождество между sh х и chx, выведенное ранее другим путем. Аналогичным* образом можно вывести все остальные формулы, в том числе формулы для гиперболических функ- ций суммы и разности аргументов, двойного и половинного аргументов и т. д. и, таким образом, из обычной тригоно- метрии получить «гиперболическую тригонометрию». Если положить 2 = х-\-1у, где х и у — действительные числа, то, применяя формулы для тригонометрических и гиперболических функций суммы аргументов, получим следующие соотношения: sin (х + ly) = sin х ch у + Z cos х sh у, (13) cos (х + ty) = cos х ch у — I sin x sh y. (14) tg(x+oo=sin2*+<s;.;\ (15) & v 1 cos 2x + ch 2y v '
40 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. t . / ... sin 2х— l sh 2y ctg(x + ^) = — cos2x + ch2y’ <16> sh (x + iy) — sh x cos у + I ch x sin yt (17) ch (x + ly) = ch x cos у +1 sh x sin y, (18) th (x + iy) = • (19) 4 1 ch 2x 4~ cos 2y 7 .« ( । . ч sh 2x — Z sin 2y /OA4 cth (x +1 v) — -г-н-------. (20) k 1 ch2x — cos 2y v ' Формулы (13), (14), (17), (18) получаются непосредственно после замены функций мнимого аргумента соответствующими функциями действительного аргумента; формулы (15), (16), (19), (20) получаются после некоторых преобразований. Так, например, для формулы (15) имеем: tg(x + O0 tg-x + tgiy tgx-Hthy 1 — tg x tg ly 1 — I tg x th у tg* । , thy tg x (b— th2y ) +1 th у (1 -|- tg2x) ch2y ' cos2 x 1 + tg2x th2y sin2x sh2y 4- cos2x ch2 у ch2 у cos2 x _______sin x cos x 4- t sh у ch у 1 4- cos 2x . o , 1 — cos 2x . 0 _Z_--------ch2 у -------------Sh2y sin 2x + Z sh 2y ch 2y + cos 2x * Путем замены в последних восьми формулах у на — у можно получить еще восемь формул: sin (х — ly) = sin x ch у — I cos xsh y, (21) cos(x —ly) = cos x ch у -f- i sin x sh y, (22) tg(x —iy) — sin 2x — Z sh 2y cos 2x + ch 2y ’ (23) ctg(x —iy) = sin 2x -|- Z sh 2y — cos 2x 4“ ch 2y ’ (24) sh(x —iy) — sh x cos у — i ch x sin yt (25) ch(x- —iy)= ch x cos у — Z sh x sin yt (26) th (x- —iy)— sh 2x — Z sin 2y ch 2x 4- cos 2y ’ (27) cth (x — iy) = sh 2x 4- Z sin 2y ch 2x — cos 2y (28)
б] СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОБРАТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 41 Упражнения 1. Вычислить: a) sin/; б) cos Z; в) ch/. Отв. а) б) ch 1; в) cos 1. 2. Найти: a) sin (1 + 2/); б) tg (2 — Z); в) sh (-2 + /). Отв. a) ch 2 sin 1 + sh 2 cos 1; б) J в) —cos 1 sh 2+ + I sin 1 ch 2. 3. Вычислить вещественную и мнимую части выражения cos (2 + 5Z) х + sin (3 — 4Z) х. Отв. cos 2х ch 5х + sin Зх ch 4х; — (sin 2х sh 5х + cos Зх sh 4х). 4. Проверить, что показательная функция е* выражается через тригонометрические функции формулой ez = cos iz — l sin Iz. 5. Показать, что из равенства х + ly — ch (и + Zv) следует, что . _у^ = 1. *2 У2 t ch2 а •” sh3^ ’ cos2v sin2v 6. Показать, что функция cos z при чисто мнимом z веще- ственна и может принимать сколь угодно большие значения. в. Соотношения между логарифмическими, обратными тригонометрическими и обратными гиперболическими функциями Гиперболические функции связаны с показательными опре- деленными соотношениями. Естественно ожидать, что обрат- ные гиперболические функции также связаны с функциями, обратными показательным, т. е. с логарифмическими, неко- торыми соотношениями. Чтобы установить эти соотношения, рассмотрим сначала логарифмические функции комплексного аргумента. Если z — ewt где z = x-}-iy=£0, w-u^iv, причем х, у, и и v—действительные числа, а 1~У—1—мнимая единица, то w называется логарифмом z и обозначается сим- волом w = Ln z. Отсюда следует, что для того, чтобы узнать, чему равен Ln z при данном значении z, надо решить урав- нение ew — z относительно неизвестного w.
42 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I Возьмем комплексное число г в показательной форме z = ге^ (г #= 0); тогда наше уравнение преобразуется к виду eu+iv = rei<? или eueiv =~геЩ. Из равенства двух комплек- сных чисел следует, что их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2тс, поэтому еи — г, откуда и = Гп | z | = In г, где In г — обыкновенный натуральный ло- гарифм положительного числа г, a v = Arg z = <?2kn (Л = 0, ±1, ± 2, ...), и таким образом, «комплексный» логарифм равен Ln z — w = и + tv == In г + i (ср + 2Атс), или Ln z = In | z | + i Arg 2, (1) где Arg2 = arg2 4-2feir, причем —тс < arg 2 тс. Значение логарифма числа zt которое соответствует глав- ному значению Arg 2, называется главным значением лога- рифма числа 2 и обозначается In 2. Оно получается из общего выражения для Ln 2 при & = 0: In 2 = In | 214- i arg 2. Итак, всякое комплексное число 2, отличное от нуля, имеет бесчисленное множество комплексных логарифмов, отличающихся друг от друга на слагаемое, кратное 2тс/. Следовательно, логарифм в комплексной области есть функ- ция многозначная. В частности, если 2 — положительное число, то ] 21 =*2, arg2 = 0 и главное значение In2 действительное (остальные значения Ln 2 комплексные), оно совпадает с известным из анализа значением логарифма. Если же z не является дей- ствительным положительным числом, то среди бесконечного множества значений Ln 2 нет ни одного действительного, так как ни одно из значений Arg 2 не равно нулю. При 2 = 0 функция Ln 2 не существует, так как уравне- ние еи — г при г=,0 не имеет корней. Легко убедиться в том, что основное свойство лога- рифма в действительной области — логарифм произведения двух чисел равен сумме логарифмов сомножителей — остается в силе и в комплексной области. В самом деле, согласно Определению, равенство w — Lnz равносильно равенству 2 = ew, и наоборот. Возьмем два равенства: Wj = Ln2v ч а $ 1
6] СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОБРАТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 43 w2 = Ln z2; они равносильны равенствам zx = ew^ z2 — ewK Перемножив последние два между собой, получим zlz2=ew^eWi- так как ew*ew* = ewi+w*t то ztz2 = ew>+w*. Это равенство равносильно следующему: Ln^^) —+w2. Замечая, что w1 = Ln21 и w2== Ln22, приходим к доказываемому свой- ству логарифмов: Ln (ztz2) = Ln zt + Ln z2. Заметим, что так как левая и правая части этого равен* ства многозначны, то смысл равенства состоит в том, что все множество значений, определяемых его левой частью, совпадает с множеством значений, определяемых правой частью. Обобщение понятия логарифма на комплексную область дает возможность вычислять все значения натуральных лога- рифмов действительных, положительных и отрицательных чисел, а также чисел комплексных, в частности чисто мни- мых. Так, например, пользуясь формулой г(1), получим: Ln 1 = In 1 + 2ArcZ = 2&тп, LnZ = ln 14- ^Z + 2/bZ:=i(2A + y)rt, Ln (— 1) = In 1 4- irZ 4- 2kiti = I (2k4- 1) it, Ln (—Z) = In 1 4-ttZ 4-2ftTtZ = Z (2fe 4--J) rt, Ln (2 4-3Z) = In/13 4-Z arctg4-2AitZ = = 1,2834 4- Z (0,9827 4- 2Ait)- Понятие об обратных тригонометрических функциях также обобщается на случай комплексного аргумента. Если, например, w = Arcsine, где z — комплексное, в частности, чисто мнимое число, то это значит, что sinw = zi и для нахождения w следует поступать аналогично предыдущему, giw — g—iw пользуясь формулой sinw==-------2^---. Заметим,-что в ком- плексной области, так же как и в действительной Arcsine содержит неопределенной слагаемое, кратное 2z. Это сле- дует из показанной выше периодичности sin w, а также из формулы (2) на стр. 44.
44 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I Точно так же распространяется на случай комплексного аргумента понятие об обратных гиперболических функциях. Например, по определению, равенство w = Arsh z означает, что shw = 2 и для нахождения w следует поступать, как в слу- чае с Arcsine, с той лишь разницей, что вместо формулы giw_________g—iw sinw =----------следует воспользоваться формулой shw= gw--g—w 2 . Установим соотношения между логарифмическими, обрат- ными тригонометрическими и обратными гиперболическими функциями. Покажем сначала, как связаны между собой обратные тригонометрические и логарифмические функции. По определению, если <w — Arcsine, то 2 = sinw, но giw______________________g—iw giw_g—iw по формуле Эйлера sin w=----, поэтому--------------=z, откуда (eiw)2 — 2lzeiw— 1=0. Решая это квадратное уравнение относительно eiwt по- лучим eiw — iz^y1—z2 (здесь предполагается двузнач- ность квадратного корня), откуда Zw = Ln—z2), а следовательно, w =— i Ln (tz + У1—£2). Так как w = Arcsine, то получаем формулу Arcsin z — — I Ln (iz + У1 — z2\ (2) Аналогично можно вывести еще три формулы: Arccos£ =— ZLnfz + Vz2—1), (3) Arctgz = —jLnpi-^, (4) Arcctg2 = -^-Ln^|i|. (5) Приводим выкладки. giw -1- g—iw Если w = Arccosz, to # = cos w =-----------g---- или (giwy—2zeiw-\- 1 = 0, откуда eiw = z-\-yz2—1 или Zw = . =Ln(з-|-]Лг2—1), a w = Arccos£ =— ZLn^ + jAz2—1).
б] СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОБРАТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 45 sinw eiw— e~iw Если <0 = Arctg2, то 2 = tgw = -^- = — или (1—Zz)£lw = (l+ /z)e~tw, откуда e2J“’=j^^ или , 1 , 1 + lz . , I t 1 + tz lvo = -^Ln^-^, a vo = Arctg2 — — 2-Ln „ * . , COS W I (eiw 4- tf-iw) Если W = Arcctg 2, TO 2 = ctg VO = —-----— —!---7-~- ь ’ to sin w eiw — e~iw • • • Iz —— 1 или (iz -|- 1) eiw = (lz — 1) e~iwt откуда e2iw — ^-j-y или ax 1 т iz —1 a w = Arcctg z= — у Ln = . 1 т № —1 ^=2Ln77+i’ _ £ ~ 2 Между обратными гиперболическими и логарифмическими функциями соотношения таковы: Arsh £ = Ln (г-|- ]/\г2+ 1), (6) Arch 2 = Ln (г-1~Уг2— 1), (7) Arth 2 = -^ Ln p4> (8) . .. 1. z+1 Arcth z = -g- Ln . (9) Формулы эти выводятся таким же образом, как и пре- дыдущие. ew_____________________________________________e~w Если w = Arsh£, то 2 = sh w — ~----------------- или (ew)2 —2zew — 1=0, откуда = Arsh 2 = Ln (£4-]/z24- 1)- Если w = Arch z, to (e^)2 —2zew + 1 = 0, откуда ew — 2 + }/*22 1» a — QUO _L 0 —W ‘ г = ch vo = —--------- или ew = z-\~yz2 — 1, a vo=t = Arch 2= Ln (2 -|- У z2 — 1). Если ^ = Arth^, to £ = thw = —-=----- или (1— z)ew=^ ew e-w ' в (1 +z) e*“w9 откуда e2w = i » a = Arth z = 1т 1+* = й-Ьпт-^-. 2 1 — z
46 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I gw _g—w Если w = Arcth z, то z = cth w = —J-------------- или gw---g~W Z -I- 1 (z— l)ew = (z-{-l)e-w, откуда £2m,= _ i > a w = Arcth z = 1 т г + 1 = -к- Ln —+r . 2 г— 1 Итак, как обратные тригонометрические, так и обратные гиперболические функции выражаются через логарифмиче- ские функции. Следовательно, обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции должны быть связаны между собой. Соотношения между ними таковы: Arcsin z = — I Arsh iz, (10) Arccos£ = — Z Arch г, (11) Arctg z = — i Arth iz, (12) Arcctg z — l Arcth iz. (13) Справедливость формулы (11) вытекает непосредственно из формул (3) и (7). Для проверки формулы (10) заменим в формуле (6) z через Iz, получим Arsh Iz = Ln (iz +- 1 — г2). Сравнивая это равенство с формулой (2), убеждаемся в спра- ведливости формулы (10). Заменяя в формуле (8) z через iz, получим Arth iz — = Сравнивая это равенство с формулой (4), проверяем справедливость формулы (12). Заменяя в формуле (9) z через iz, получим Arcth iz = = ~ Ln . Сравнивая это равенство с формулой (5), проверяем справедливость формулы (13). Упражнения 1. Найти In (3 —|—4Z), Ln(3 + 4Z) и Ln (—3 + 4Z). 4 Отв. In (3 + 4Z) = In 5 + i arctg у, Ln(3 + 4Z) = In5 + Z(arctg — + 2£я) (^=0, ±1, ±2, ...), 4 Ln (—3 + 4Z) = In 5 — Z arctg у + (2k + 1) ni.
7] ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ АМПЛИТУДА (ГУДЕРМАНИАН) 47 Указание. Главное значение аргумента числа —3 + 4Z равно 4 71 — arctg-g-. 2. Найти: a) Arccos Уб; б) Arctg (2Z); в) Arth /; г) Arch (—1). Отв. а) — I (In /5 — 2) + 2й%; б) -£ + Z -^ + bt; в) г) (2^ + 1)^ (Л = 0, ±1, ±2, ...). 3* Показать, что v2__ 1 Arth = In х, Arsh dL = In £±£*EEZ, Arch - = In a a a a 7. Гиперболическая амплитуда (гудерманиан) Зависимость между гиперболическими и тригонометриче- скими функциями можно установить без участия мнимой еди- ницы с помощью специального угла, называемого гипербо- лической амплитудой или гудер- манианом. На равносторонней гиперболе х2—у2=\ (рис. 12) возьмем точку М(х, у). Из начала коор- динат, как из центра, радиусом, равным единице, опишем дугу АВ окружности и в точке А про- ведем к ней касательную до пере- сечения в точке С с прямой Л4С, проведенной из точки М парал- лельно оси абсцисс. Начало ко- ординат О соединим с точкой С прямой, пересекающей окруж- ность в точке N (X, Y). Угол = 7 называется гиперболи- ческой амплитудой или гудерма- нианом, соответствующим точке М гиперболы, а также аргу- менту t гиперболических функций ch t — х и sh t = у. Границы его изменения от —z/2 до к/2. Если соединить точку N с основанием Р перпендикуляра, опущенного из
48 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I точки М на ось Ох, то получим треугольник ONP, в ко- тором угол ONP прямой. Чтобы в этом убедиться, доста- точно доказать, что OP2 = ON2-\- NP2. Для этого заметим, что из подобия треугольников ОАС и OQN, где Q—осно- вание перпендикуляра, опущенного из точки N на ось Ох, ' ОА АС 1 у У следует, что oq==qn> т. е. j = p откуда У — ~х* Заменяя в уравнении гиперболы х2—v2=l, на которой у у2 лежит точка М, у через получим х2— ^-=1, откуда (хХ)2 = Х2-\-У2. Так как точка N лежит на окружности, то Л2-]- У2 — 1, и потому в первой четверти имеем соотно- шение хХ = 1. Теперь можно проверить справедливость доказываемого равенства. Имеем ОР2 = х2, ON2 — 1, 7VP2 = (х—Х)2-|- У2— = х2—1, ибо хХ=1- и Х2-\-У2=1. Следовательно, ON2 + NP2 = 1 + х2 — 1 ж х2 — ОР2, что и требовалось доказать. Из прямоугольных треугольников ОАС, ONP и OQN имеем соответственно: sh/ — y = AC = OAig*(:=tg*( (ибоЛО=1), ch t = х = OP = ON sec 7 = sec 7 (ибо ON — 1). Кроме того. sfu th/=dU=^ = si-nb cth t = -T7-T = — = cosec 7, th t sin у * .. 1 1 sch# = -Eh7 = ^F = cosb csch/=^L=-X.=ctgT. Итак, мы получили соотношения: . sh/ = tgy, ch t = sec 7, th/ = sin 7, cth t — cosec 7, schf = cos7, csch t — ctg 7. (1) (2) (3) (4) (5) (6)
71 ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ АМПЛИТУДА (ГУДЕРМАНИАн) 49 Для гиперболической амплитуды (гудерманиана) у, соот- ветствующей аргументу гиперболических функций t> приме- няются обозначения 7 = amph t = gd t. Если известен гудерманиан 7, то легко найти аргу- мент tt и наоборот. Для этого воспользуемся формулой = ch t + sh t. в которой произведем замену через sec7 и sh£ через tg^; получим: 1 । : 1— + / к * lx 14-sin у \2 Ч . /я . y\ «' = s«T + tgT = — =—^_ = tg(_ + |) и, следовательно, (7) 7 =gd/ = 2arctge‘ —(8) Можно получить еще одну зависимость между t и 7: tg-J=th-^-. (9) / В самом доле. tg | = = <h|. Из* формулы (9) имеем: т —gdf = 2arctg(th (10) Последнюю формулу удобно использовать для исследо- вания функции у — gd х и построения ее графика. При х = 0 у = 2arctg(th0) == 0. При х->-|-оо функция th4-->l, Л 4 Зак. 975. А. Р. Янпольский
50 ОСНОВНЫЕ понятия и'соотношения [гл. I / , Л. X \ ТС тс _ a arctg Ith->-j-, следовательно, у. Прих->—оо тс У-^—2- График функции j/=gdx дан на рис. 13. Понятие гудерманиана обобщается и на случай мнимого аргумента. При этом можно получить любопытное соотно- шение. Если Y = gd£, то, как было показало, справедливо ра- венство tg4- = th --. Умножив обе его части на Z, получим: - не1=нЦ. Так как = a Zth j = tg-y, то th-J=tgT, откуда , « = gdJ-p Итак, если т == gd t, то tt = gdZY. (11) Можно ввести также функцию, обратную гудерманиану. Если x = gdy. то у обозначается следующим образом: _y = arggdx.
8] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 51 8. Дифференцирование и интегрирование гиперболических и обратных гиперболических функций Формулы дифференцирования гиперболических и обрат- ных гиперболических функций можно свести в следующую таблицу: (sh х)' ~ ch х, (1) (ch х/ = sh х, (2) (th х)' = ‘, v 7 ch*x (3) (cth х)' = —, v 7 sh*x (4) lArshx)z= r 1 Г- : , v ’ V14-X2 (5) (Arch x)' = —— , у X2 — 1 (6) (Arthx)'= 1._д.2 , (7) (Arcth x)z = — » (8) (gd x)' = schx, (9) (arggd x)' = sec x. (10) Первые четыре формулы выводятся следующим образом. QX _ По определению, shx =----------• Поэтому (shx)' — _ gag ~ f — си х. Аналогично (ch х)' = /ет±гх\' ех — е-х = (—1------) =-----2---= shX* shx /shx\' ch*x — sh*x Так как th x = то (th x)'^-^) = —cVx..........= 1 < / / ch x V sh* x — ch*x = Аналогично (cth x)'== (-^ ) =---= _ 1 sh*x * Следующие четыре формулы можно вывести с помощью правила дифференцирования обратной функции: у''—“г* ху Если у == Arsh х, то х = sh у. Дифференцируя по у, получим 4*
52 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I 1 уТ^х2’ x' — ch v. Поэтому у' = (Arsh x)' = 9 * xy ch у так как ch у — У1 sh2 у = 1 -|- хг. Если _y = Archx, то x — chy и х' = shy, откуда У = (Arch х)'==-Д-= -!—==• 1 ху sh у Если y = Arthx, то x = thy и ху = у' = (Arth xY — -Д- — ch2 у = —— •Ух 1 х'у л sch2 у Если у = Arcth х, то х — cth у и у'п — (Arcth х)' = -V = — sh2 у = ху t csch2 у cth2 у — 1 х2— 1 * Формулы (9) и (10) получаются следующим образом. Как известно, у = gdx = 2 arctg (си. формулу (8) преды- дущего пункта). Поэтому = ^2 arctg е”—= = -^n^- = schx- Из определения функции, обратной гудерманиану, и из формулы (7) п. 7 следует, что j = arggdx==lntg(у + -?г)’ Поэтому dy__d I dx dx\ V>2—i ’ TtJry. откуда > 1 _ 1 1 — th2 у ‘ 1 — x2 ’ x'y = - W’ Откуда 1 1 1 1 cos х * Произведя обращение таблицы производных, получим таблицу интегралов: (И) (12) dx ch2x dx sh2x (13) cth х + С, (14)
81 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ Й ИНТЕГРИРОВАНИЕ 53 /т^='°<-х+ухг+а'>+с= Arsh Arch -f- С при. а > О, {- С при а<0, (15) dx __ 1 | х л | । _ X2 —Л2 — 2^in|T+7|’±*G — 1 х — — Arth —+.С при — -1 Arcth+С при /^ = gdx + C = 2arctg^-bC, (17) f ^b = ^S^ + C = ^(i + ^ + C. (18) Приведенную таблицу интегралов можно продолжить. Применяя обычные методы интегрирования функций с учетом соотношений между гиперболическими функциями, можно получить еще ряд формул, которые мы даем ниже без доказательства (см. Приложения, таблица 7, стр. 192). Рассмотрим вопрос о вычислении интеграла от рациональ- ной функции гиперболического синуса и гиперболического косинуса. В курсе интегрального исчисления доказывается, что интеграл J*/?(sinx, cosx)rfx, где R — символ рацио- нальной функции, всегда берется в конечном виде при помощи универсальной подстановки tg^=2. Совершенно аналогично можно вычислить интеграл J*/?(shx, chx)dx с помощью подстановки th = z. Положив th -^ = 2, мы получим х = 2 Arth zt откуда , 2 dz dx =~i---- 1 — г2
г 54 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Й СООТНОШЕНИЯ [гл. 4 В свою очередь sh х — 2 sh ~ ch ~ — shj 2th^ 2th4 , — 9_____ ch2 _______________Z_--- - — Z . x cn 2 ~ x ~ x — l—z^ * ch-g. sch “2 1-~th "2 a ChX = Ch2^ + sh24=Ch2-j(l+th24)== 1 4. th^ — _ 2 _ 1+^ 1 — th^ 1 — Подставляя полученные выражения shx, chx и dx через z в подынтегральное выражение, будем иметь: У* R (sh х, ch х) dx == Г D( 2z Г гу / Ч J \ 1 — z3 * 1 — / 1 — г2 J (2) где /?х — символ рациональной функции от z. Так как инте- грал от алгебраической рациональной функции всегда может быть выражен с помощью конечного числа элементарных функций, то и наш интеграл может быть выражен через элементарные функции от z, после чего остается произвести обратную замену z через th Пример. J (i+dL)>=J |'i+gy°4.f<1-2,>^° =4 (г-тг)+с = 4-4—4lh4+c’
8] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 65 Упражнения Вычислить пределы: «. shx х > о In (1 + •*) Отв. 1. In (ch х sh х1) а-\~ bx „ 1 Отв. -г. b о n chax —ch8x + shax —sh8x Л 3. lim------—— --------------£—. Отв. 1. sin ax — cos px 4. Дано Qn (x) — ch — ch ch ... ch ; вычислить lim Qn (x). • Отв. . W->oo X Указание. Умножим обе части равенства на shi. Так как — ch —— — sh—, — sh —£_ ch= 1 sh-2- 2n 2n 2 2n~l 2 2n~1 2W~1 22 2W~2 1 , x tx 1 . '' ...,---r* sh — ch — = — sh x, 2n~i 2 2 2n TO Qn (*) sh -^г = 4r sh x, a Qn (x) = —shx . 2»sh^L 5, Две бесконечные числовые последовательности #q> Qfy • . • , , ^0» ^1» ^2» • • • > • • •» первые члены которых — данные положительные числа aQ и bQt причем л0 > bQ, задаются следующими законами образования: Л fln-i 4~ А . i/Г—т------ ап — g ’ , — У Найти пределы, к которым стремятся общие члены последова- тельностей ап и Ьп при п -> оо. Отв. Пт ап=Ит Ьп ~ f где сь а £а > q\ - Я ’* /
56 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I Указание. Положим aQ = bQ ch а (а > 0). Тогда = bQ ch2 • b± = b0 ch —, а значит, = b± ch ~ . Следовательно, А ы ft2 = $tch^-, ch "уЦ" > < r a \ . a u a .a sha Z bn = bn~t ch ^ == ch £- ch . ch -^ = —"—~ (см. указа- 2nsh-^- ние к задаче 4), an = bn ch . Примечание. Если «о <^o> to Mm an~ lim bn — ^° sin?t n->oo n>oo . a где Oq = bQ cos a (o < a < -^. Доказать! Преобразовать дифференциальные уравнения посредством ука- занной замены переменных: d*y у . t dx2 4 ch2 x — - Om. ’<1-л!,'5-2',<1-',>-г+^т-0. *-,ht Ome- ^-+a<e^+1>y = f>' в. ^+2tti2x-^-+-^- = 0; x=ln/tg2F.. dx2 1 dx ch2 2x b Ome- + niy = °- 9. (1 —x2)3^2a —= x = th5, y = -^-; принять S за новый аргумент, a iq за новую функцию. п . А Л 2 Отв. -ТлЛ + 1-1 I *П = ‘L.9 сГ» Л \а Л сДз g
81 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЙ 57 Указание. Продифференцировать х и у по 6, найти как функцию 6 и Y) и продифференцировать ее по х как сложную функ- цию с промежуточным аргументом 6. 10. Дано х = г ch 0, у == г sh 0. Доказать, что при такой замене переменных д^и ^2и д2а 1 . 1 ди дх* + ду2 дг^ ” г2 дО2 + г ~дг~9 Вычислить интегралы: 1 dx. ——-----—1------in sch х 4- С. 4sch4x sch2x 1 Л 1 i V"2 i V 2 + cth x r Отв. — th x -k -— In -r_ 1--k C 2 1 8 /2—cthx Отв. 11 / ’ J sch4x /dx r -----™. 1 — sh4 x /ch3x—-sh3x . “To---i-uo—dx. ch3x+ sh3x 1 । ' 4 . 2 th jt — 1 . Отв.-------------==• arctg--—-----k C. 3(l-|-thx) 3/3 /3 14. I ... dx. Отв. — In(/2 shx + /ch2x) + C. J /ch2x /2 , Указание. Этот интеграл берется с помощью подстановки sh х = у: /chx . Г chxdx .......dx = I . — = V ch 2x J ych2 .r-j-sh2 a: /ch x Г dy /l+2sh2x = J V1 4-2y3 ’ /X2 x cth2 x dx. Отв. — x cth x + In sh x /* x-|-sh x +ch x , 16. / —4-4-dx. J chx — shx Отв. (x — 1) (sh x 4- ch x) + (sb 2x -|- ch 2x) + C. /dx 1 • Ome' ~ 3e^> ch» x C’ 18- f ~i-chxdx- Отв- "Чет1 - x -ln о -ch *)+c-
58 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I Указание. Преобразуем интеграл следующим образом: /ех dx Г ch х4- sh х J 1 — chx J 1 — chx /(l-chx)-l-shx 7 f , ---------1^2^---------dx = -J dx + । Г dx , Г sh x dx ‘J 1 — chx ‘J 1 — ch x * 19. J* arcsln (sh x) ch x dx. Отв. sh x arcsin (sh x) V" 1 — sh2 x + C. 20. J arctg (sh x) sh x dx. Отв. ch x arctg (sh x) — x -|- C. Указание. Интеграл берется по формуле интегрирования по частям J и dv =t uv- J v du. Положим и = arctg (sh x), dv = shxdx. Тогда du = .ct*~, v = chx. 1 -f- sh2 x ch x z 9. Разложение гиперболических функций в степенные ряды и в тригонометрические ряды Фурье Возьмем разложение показательной функции ех в ряд по степеням х: ^==и-тг+а-+ зг+ ••• +-Ы-+ ••• Этот ряд абсолютно сходится при всех значениях х. Если в этом тождестве заменить х на — х, то получим раз- ложение функции е~х е-х—\____ф _j_ (________________i)n — -U .. е 1 1! ’ 2! 3! *^ * ’ ^ *' л! * Полусумма и полуразность функций ех и е~х дают раз- ложения в степенные ряды гиперболических функций chx и shx: ChX=l+^ + l+ ... + (2Ьж+ ............. (1) . X . X3 . хб . . Х2п~1 . shx— ц +-зг + -5г+ • • • + (2л—i)l + •' •’ которые также абсолютно сходятся при всех х*
9] РАЗЛОЖЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ 59 Ниже приводятся разложения некоторых других функций с последующим выводом: . х3 , 2*5 17х7 , 62х» tn* —X з “Г 15 315 -Г 2835 • • • + (2л)! )х + ••• \ 2 < х < 2 ) ’ (3) 1 t х х3 . 2х5 х7 . х ”* 3’-’ 45 + 945 ~ 4725 ” + •>*’“-+ ••• (— я < х < я, х =А 0), (4) , , х2 . 5х4 61хв / % я\ . ' SCh х — 1 2“ “Ь 2Т 720 ’ \ 2 < Х < 2 / ’ . 1 х , 7x3 31х® . csch х — х - 6 4- зад 15 12о + • ‘ • (—я < х < я, х =# 0), * . хЗ . 1-3x5 1-3-5х7 . Arshx — X 2 ~Ь 2-4-5 2-4-6-7'“ *” , , ^„1-3-5 ... (2л-1)х2»+1 и 2-4-6 ... 2л(2л+1) “I"--- (-1<х<1), . . X8 . Х5 . X7 , . Х2М+7 . Arthx —Х-J- з + 5 + 7 + ••• + 2лН-1 + (- 1<х<1), . хЗ . х5 61Х7 . gd х — х 6 + 24 5040 + • • • • (6) (7) (8) (9) . . X3 . X5 . 61х7 . arggdx = x + —+24+зо4о4 ГС ' ГС \ —-2 <Х<2Г (Ю) Для получения рядов для th х и cth х найдем сначала разло- жение вспомогательной функции /(х)= ga, в ряд по ♦) Вп — числа Бернулли (см. ниже, стр. 60).
60 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I степеням xt приняв /(0)=1. Пусть ;Л] = В.+|1.ф+ ...+^.х»+ .... (||) где Во, Вр В2, ...—коэффициенты, подлежащие опреде- лению. Они называются числами Бернулли. Так как, с другой стороны, х __________________1______________ еХ 1 J Ц- — _1_ I । I хП । 3! + 4! + + (п + 1)! + ‘ ‘ * то имеем тождество откуда путем сравнения коэффициентов при одинаковых сте- пенях х получим бесконечную систему уравнений относи- тельно неизвестных Во, В19 В2, ... Сравнивая свободные члены, найдем Во=1. Приравнивая нулю коэффициент при х™-1, получим общий вид л-го уравнения системы: 1 о । 1 Bi । 1 В2 । fl Bw-i __ ~ TzI 0 (72—1)! 1! "* (/2 — 2)! 2! 1! (/2—1)!—v’ или i + ^a + 1^-^4- ... +<^iy,B.-l=o (n = 2, 3, ...). (12) Покажем, что все числа Вп с нечетными индексами, кроме Вр равны нулю. Заменив в равенстве (И) х на —х, будем иметь: Х ___ R х 1_ ^2 v2 _ В* х3 -4- е-х — 1 — ^0 1! х । 2! Х 3! х ' • * • ... +(-!)»...
9] РАЗЛОЖЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ 61 Путем вычитания получим: х I х я- 2^1х3-1- -к- 2^2ft+1 г2Л+1 1 г-*-1 1! 3! U2fc + l)l Но, с другой стороны, х t х ___________ х . хех _________х (1 — ех) _ + 1 1 ‘ 1—0* — 1 Хл Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в пра- вых частях двух последних равенств, получим: 2В1 = —1,- 53 = В5= ... = ~ ••• =0 (&—1, 2, 3, ...). Левая часть равенства (12) напоминает разложение бинома Ньютона, и потому оно может быть записано в символи- ческой форме в виде (14_В)« — вп = 0. Этй формула в раскрытом виде дает равенство (12), если показатели степени В заменить соответствующими индексами. Пользуясь формулой (12) можно найти числа Вп, прини- мая последовательно и = 2, 3,.., Приводим значения нескольких первых чисел Вп (напомним, что Во=1): Вх = —у, в3 = о> В4 = -^. в5 = о. ^б=='42'> = 3q» Bg = O, B10 = g^, — 0» ^12 = 2730 ’ ^13 = ^14 ~ и T* Таким образом, разложение функции имеет вид: Х _ 1 _________1_ v2 I Н_[_ I Х2'»-|~ е«> — 1 ’ 2 2! ^ 4| "I- • • • “Г (2Л)[ х г • • • Так как —------ 1 х х (е® +1) х еР12 + е х1* х ,, х 2 2 (е®— 1) 2 е®/2 — е"®/а 2 С 2
62 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ [гл. I то, заменив в последнем равенстве х/2 на х, будем иметь: xcthx = 14-+ ... , 22nB2w _ у 22nBam ' (2л)! Х +•••— 2d Д2Л)ГХ ’ П = 0 откуда П = 1 1 , х X* 3 * , 2x5 Х1 f /, , , лч 3 45 + 945 4725 + •• • <1х । < Х=/=0). Для получения разложения th х воспользуемся форму- лой (20) из п. 2 этой главы; it. п 1 4- cth2 х cth 2х — -T -;u-, 2 cth х которую преобразуем к виду 2 cth 2х = th х + cth х. Отсюда следует, что th х = 2 cth 2х — cth х или, используя разложение cthx, 00 00 =4+2 -I - 2 = п=1 ' П=1 _ у 22»(22»-1)B2w 2 ~~ (2л)! Х ~ п = 1 х3 » 2х5 * 17х7 . /. । . . =*-—+-15—315-+••• (И<2-)« Для получения разложения csch х представим его пред- варительно в таком виде: СЬ2 —_sh* ~
9] ' РАЗЛОЖЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ б РЯДЫ 63 Воспользуемся теперь разложениями cth х и th х. Получим: . 1 2 CSchX=y - 2П-1 п = 1 22«(22п_1)в2п /х\2п“1 (2п)! \2/ 2(22n-l i)BSn = (2п)! 1 X , 7х» 31хб х 6^360 *45120 ”)• Разложение sch х получим способом неопределенных коэф- фициентов. Пусть г _ 1 _________________1______'______ SChX-LChx“ , Хв , 2^ 2! 4! ' 6! Л, (2п)! = Д.+ >*! + <х.+ ...+^.+ .... где коэффициенты Е^, Е2, Е±, ... подлежат определению. Выпишем тождество \ 2! ' 4! ' 6! ‘ ‘ (2п)! ‘ J А х(е.+ >^+4«‘+ +(Й^-+ И путем сравнения коэффициентов при одинаковых степе- пенях х получим бесконечную систему уравнений относи- тельно неизвестных Ео, Е2, Ev... Сравнивая свободные члены, получим Eq= 1. Приравнивая нулю коэффициенты при х2№, получим: - 1 р |________1 I_____1____^4 1 I__1_ ^2п ___Л (2п)! (2п — 2)! 2! (2п — 4)! 4! Ф ’ ’ 0! (2/г)! “ и‘
64 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИИ И СООТНОШЕНИЯ [гл. t Умножим обе части полученного равенства на 2(2/0! и одновременно'заменим Ео единицей; будем иметь: f f 2n(2n — 1) д, । 2n(2n — l)(2n — 2)(2n — 3) c , 1 ‘ 2! • 41 » • • • •••+ ^2n = 0 (n=l, 2, 3, (13) Нетрудно заметить, что левая часть равенства (13) напо- минает разложение бинома Ньютона и может быть записана в символической форме: (1 + Е^п + (— 1 + £*)2w — 0. Эта формула в раскрытом виде дает равенство (13), если показатели степени Е заменить соответствующими индексами. Принимая последовательно п=1, 2, 3, ..., находим несколько первых чисел Е2п (напомним, что Ео=1): £*2 1 — 6 1, — 1 385 и т. д. Числа Е2п называются эйлеровыми числами. Очевидно, все эйлеровы числа с нечетными индексами равны нулю. Итак, 8ChX=l + 2-^r^ = п«=1 __ . X2 t бх4 61х« “ 1 2 ‘ 24 720 Разложение в ряд Arsh х можно получить путем интегри- рования. Имеем: Ш X Arshx = m(x+/^+T)=/?~ = f (1 =/(1~1хг+44х4“йт1'хв+ о 1 4-Х2)"2 dx= 1 хЗ 1.3Х5 Х 23' 2.4.5 1 • 3 • 5х’ , 2-4.6-7 „ 1-3.5... (2п—1)хз»+‘ ' 2-4-6 ...2л(2п+1)
9] РАЗЛОЖЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ 65 (п — 1, 2, 3, ...» причем п— 1 соответствует второму члену ряда). Аналогично получим: Arth х = 1 In = -1 [In (1 + x) — In (1 — x)| = = -^ У* (1 — x -f- x2 — x3 + x4 — x5 + ...) dx -|- О x + (l+x + x2+^+x‘+^+ ...)dx = 0 f X3 , X^ , X1 , , J X2n+* X , /1..1 — * + з + 5 + 7 + • • • + 2n 4- 1 "Ь • • • (I x I < 0- Ряды для функций gd-x и arggdx приведены без вы- вода. № теории рядов Фурье известны разложения показатель- ных функций ех и е~х в тригонометрические ряды Фурье на промежутке (—тс, тс): оо „ - sh тс . 2shrc viz • cos nx— nsinnx z . ' . i/-1)*1-----Г+712---- (-я<х < K), n = l 00 , * „ sh тс . 2 sh тс Vi z 1 cos nx + n sin nx z . . . e-a,= __ + _.2|(-l)re--------ф?------- (~«<X<K). X n=l Беря полусумму и полуразность этих рядов, получим разложения в ряды Фурье гиперболических функций chx и sh х: оо и sh тс . 2 shu Vi / 1чи cos nx z . ч Chx = — + n«l 00 . 2 sh тс Vi / мп-i nsinnx z . . ч Shx = ——2/— 1)” -ppfr- (—K<x<ir). n=l 5 Зак. 975. A. P. Ямпольский
66 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и соотношения [гл. 1 Приведем без доказательства еще некоторые разложения гиперболических функций в тригонометрические ряды Фурье: со 2 shait V. nn+i n sin их shflx==---—(“«<*<«). n=l . 2 sh an . . ch ax =-------X X оо - 1 1 V? / 1 \П а COS пх 2а~т~А{ д2 + и2 L п = 1 (— ТС X тс), sh а (z — х) — - оо 2 sh an VI п sin nx (п П = 1 < х < 2тс), (co \ 1 I V a cos nx I /Л ' n 4 + + (0<x<2k), n = l / chx = ^[l+£(-l)»£2^£ n = l (0 < x < к, неполный ряд по косинусам), . 2 V 1 — (—iy*ch тс ch Х = -J 2j-14- n'2 n sin nx n«l (0 < x < ij, неполный ряд по синусам). Упражнения Проверить справедливость следующих разложений: I. thx = i—А+ ... • 2- c‘hx=l+^ + ^+-^+ ... 3. Arsh х = In (2х) 4- 6- * * — У . 4- ' 1 * 2 • 2№ 2 • 4 • 4х4 1 I Ь3'5 . 14 + 2 • 4 • 6 • 6х« • • • > 1)1
9] РАЗЛОЖЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ 67 Arsh х = — In I 2х | — о \ J 4- п ! л ; 2 • 2х2 ' 2 • 4 • 4х* 1-3-5 , 2 • 4 • 6 • 6х* ' (х < -1). 4. Archх = ± [in(2х)- 2^- 2-4-4х* “ ЬЗ-5 1 2-4-6-6x6 •’•] 5. Arschx= ± [in — утз'хг— 2 3^- х* — „ , <_ I ' 1 , 1-3 6. Arcsch х - х 2 - 3x3 + 2 • 4.5x5 . <. <2.1, 1-3 , . Arcsch х «= in “I” 2.2 2*4*4 . . , I 2 I 1 , , 4-3 , Arcschx=-1п ,7|-27Тх2+ 2^П4^“ -5ТСТ',+ - (-!<-<»>
ГЛАВА II ПРИМЕНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ 10. Интегрирование функций (гиперболические подстановки) Как известно из курса интегрального исчисления, интеграл J* R (х, ]/rax2'-i~bx-^-c)dxt где R— символ рациональной функции, может быть .вычислен с помощью так называемых тригонометрических подстановок, т. е. путем замены аргу- мента х тригонометрической функцией новой переменной Однако тригонометрические подстановки иногда приводят к громоздким выкладкам, особенно тогда, когда вводится секанс или косеканс. В этом случае можно при интегриро- вании функций вида J* R (х, ах2 4~ Ьх + с) dx применять гиперболические подстановки. Ниже дается изложение этого способа. Преобразуем сначала подкоренное выражение путем до- полнения квадратичного трехчлена до полного квадрата: о । I, I Г/ 9 । I 62 \ . с b2 1 flX2 + ftx+c==0Ux2_|__x_|_—\_|___— J = Г/ , b \2 . 4ас — ^2*1 / о . 4яс —£2\ = 4г+25-) + где положено х-\--^~у.
10] ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ 69 Если а > 0, то, обозначив 4ас — b2 I , 9 —т-x—= ± А2 и заметив, что dx = dy, приведем наш интеграл к виду: j R(x, Уах2 + &х + с) dx = = f /«УУ ± h^dy. Если а < 0, то запишем. ах2-\~Ьх-}~с ——-------у2\ b2 ' 4/zc и обозначим —— = /г2 (знак минус перед № невозможен при условии вещественности корня У ах2 -|- Ьх 4- с). Тогда J*R (х, У ах2 + #х + с) dx = = V-aVhr^Uy. Итак, наш интеграл приводится к одному из следующих трех типов: Л = )Ч(у. V7+^)dy, l2=fRl(y, yyZZt^dy, 4=J4 Су, где — символ рациональной функции. Интеграл Д подстановкой у = h sh t преобразуется к виду Ix = f (Л sh £, h ch t)h ch t dt = f R2(shf, ch t)dt и берется в конечном виде как интеграл рациональной функ- ции от гиперболических синуса и косинуса (см. гл. I, п. 8). Аналогичные результаты получаем для интегралов /2 и /3, введя соответственно подстановки j/ = ftch7 и y = hihtt
70 ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ [ГЛ. Ц имеем: /2 = J* (у, У у2 ~ л2) dy = J* Rt (h ch t, h sh t) h sh t dt => ' г= § R2 (sh t, ch t) dt, /3= f Ri(y. Vh^^)dy = f R^htht, Asch/)A^= = / /?2(s^^ ch/)d/. Пример 1. Вычислить J* x24~a2 dx. Положим x=a sh тогда dx — a ch t dt и ; У*/х24-аМх = а2 У*ch2tdt = a2 f ch2' + 1 dt = a2 / sh 2t . \ । n . cP . . n — ~2~ \—2 — -^-shfchf-l—^-t-j-C — = IX/^2+^2+4 Arsh 7 + C- Пример 2. Вычислить § V(x2— I)3 dx. Положим x=ch/; тогда dx = shtdt и У*/(X2— 1)3 dx = f sh4 / dt = У ( ch2^~-l.y dt = = | У* ch22/d/ — у У ch Ztdt-\-^ f dt = = 1 f (ch4/4-l)d/—1 sh2/ + 4 t = 'Of/ = A- sh 4/ — 1 sh 2t + 11 + C. Если принять во внимание равенства sh 4/ = 2 sh 2t ch 2t = 4 ch t sh t (ch21 + sh2 /) = = 4x У x2— 1 (2x2 — 1), sh 2t = 2xYx2— 1, t = Arch t = ln(x-|~]/^x2—1).
11] интегрирование дифференциальных уравнений 71 то можно записать: У*У (х2—1)3 dx = = 1(2х3 —5х) /^ZZ7-H|ln(x + /^=^l)4-C. Упражнения • Вычислить с помощью гиперболических подстановок следующие интегралы: 1. / - 4- С, подстановка X = 2 sh t. J /(х2+4)з 4/х2 + 4 2. = A in(х + /^3) +1/^=3+ С, под- становка х = У 3 ch t 3. У Ух2+4x4- 13 rfx 1 In (х + 2 + /х2 + 4х + 13) + +1 (х + 2) Ух2 + 4х +13 + С, подстановка х + 2 = 3 sh t. С .. .. . 1 ® 4. / х Vx2 + x + l rfx = 4(x2 + х + I)2 — «/ “т (х+^Ух*+х+1 - 4-in (х+y+v^+x+i)+с, . 1 /3 . . подстановка х + -5- = sh t. А А 11. Интегрирование некоторых дифференциальных уравнений Гиперболические функции находят применение при инте- грировании некоторых дифференциальных уравнений. Не го- воря о том, что в процессе интегрирования уравнений можно получить квадратуры, которые сравнительно легко вычи- сляются при помощи гиперболических подстановок, решения многих дифференциальных уравнений, в частности линейных, удобно выражать через гиперболические функции. При этом значительно сокращаются выкладки и сами решения полу-
I 72 ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ [ГЛ. Ц чаются в более компактной форме. Кроме того, гиперболи- ческие подстановки позволяют иногда упростить дифферен- циальные уравнения, сводя их к легко интегрируемым видам. Рассмотрим несколько примеров на отыскание решений дифференциальных уравнений, в первую очередь линейных однородных и неоднородных уравнений 2-го и 4-го порядков с постоянными коэффициентами, наиболее часто встречаю- щихся на практике. Пример 1. У' — д2^ = о. Это однородное линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение г2 — а2 = 0 имеет корни 1\ = а и г2 =—а* Поэтому частными решениями будут показательные функции еах и е~ах, а также их линейные комбинации. Примем в качестве частных решений полусумму рах _1_ £—ах и полуразность показательных функций yY == —------=ch ах @ах_@—-ах и у2 —------g = sh ах. Ле^ко убедиться в линейной неза- висимости этих частных решений. Для этого составим и вычислим определитель Вронского: I ch ах sh ах = Lsh ах achax = «(ch2 ах —sh* ax) = a^O. Так как МЧУ ^0, то наши частные решения образуют фун- даментальную систему и общее решение запишется в виде у = Cl ch ах + С2 sh ах. Если задать начальные условия у — 1 и у' = 0 при х = 0, то, подставив сначала значения х и у в общее решение, получим Cl = 1, а вычислив производную у' = аСх sh ах Ц- ~\~aC2chax и подставив в нее значения х и у, получим С2 = О, и таким образом частное решение выражается через гиперболический косинус у = ch ах. Если изменить начальные условия, задав у = 0 и у=1 при х = 0, то в качестве частного решения получим гипер- болический синус у = sh ах. Пример 2. у" — a2y — f(x). Это неоднородное линей- ное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Для отыскания его общего решения применим метод вариации постоянных. С этой целью возьмем общее ре- шение соответствующего однородного уравнения (пример 1)
П] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 73 у = ch ах + С2 sh ах и, полагая С1 = С1(х) и С2 = С2(х), подберем эти функции таким образом, чтобы функция , у = (х) ch ах + С2 (х) sh ах удовлетворяла нашему неоднородному уравнению. Поскольку мы варьируем обе произвольные постоянные, а накладываем только одно это условие, то мы вправе ввести еще одно условие, например, потребовать, чтобы выражение первой производной, вычисленное при переменных Сх(х) и С2(х), имело такой же вид, как и при постоянных Ct и С2. Так как У = aCt (х) sh ах + аС2 (х) ch ах 4- С' (х) ch ах + С' (х) sh ах, то это условие сводится к следующему уравнению относи- тельно С'(х) и С'(х): С[ (х) ch ах + С' (х) sh ах = О и, таким образом, У = aCv (х) sh ах + аС2 (х) ch ах. Вычислим вторую производную; име^м: у = a2Ct (х) ch ах + а2С2 (х) sh ах 4~ + аС' (х) sh ах 4- лС2 (х) ch ах. Выражения функции у и производной У через х под- ставим в исходное уравнение. После несложных алгебраи- ческих преобразований получим: С'<х) sh ах 4- С2 (х)ах == Итак, мы имеем систему из двух линейных алгебраиче- ских уравнений относительно неизвестных С'(х) и С'(х): С' (х) ch ах 4- С2 (х) sh ах = О, С' (х) sh ах + С' (х) ch ах = . Система совместна и имеет единственное решение, так как определитель системы Д отличен от нуля: I ch ах sh ах Д= =ch2ax — sh2 ax =1^=0. j sh ax ch ax
74 ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ [ГЛ. Ц Решая эту систему, получим выражения производных искомых произвольных «постоянных»: о f{x) а с;(х)= sh ах ch ах = —--/(x)sh ах. q(x) = ch ах sh ах О fix) а = -^-/(х) ch ах, а с помощью квадратур запишем и самые произвольные 1 «постоянные»: Сх (х) = -- -1 У*/(0 sh at dt + Cy X С2 (X) = 4 f f(f) ch at dt+C2. x0 Здесь xQ — любая постоянная, Ct и C2 — новые произ- ! вольные постоянные (без кавычек), а переменная интегриро- вания во избежание путаницы в дальнейшем обозначается через t Подставив выражения Ct(x) и С2(х) в функцию у — = Ct (х) ch ах С2 (х) sh ах, получим общее решение неодно- родного уравнения У'— a2y=f(x) в виде. Ж ' у = J* f(t) (sh ах ch at—ch ax sh at) dt.-p-GjCh ях-|-С2 sh ax, Xq или в окончательной компактной форме х у — -~ j* f(t)sh а (х — t)dt-^Ct ch ах + С2 sh ах. Легко заметить, что сумма последних двух членов пол- ностью соответствует общему решению однородного уравне- ния у' — a2j/ = 0; что же касается первого члена, то он представляет собой частное решение неоднородного уравне- ния, которое в сумме с общим решением однородного уравнения составляет, согласно теории линейных уравнений,
И] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 75 общее решение неоднородного уравнения. Так, если дано, А в частности, /(х) = —, где А — const, то частное реше- ние этого конкретного неоднородного уравнения будет (хо>0) Ш X A f sh а (х — t) А Г z , « ч ,, у. =— / ------^-7—-dt = — I (sh ах cth at — ch ax) dt = a J sh at a J 7 Xq Xq Л Г 1 Iя5 — — _ sh ax In sh at\ — t ch ax\ = a La 1 -U == —- sh ax In I ’ I-— (x — x0) ch ax\ a2 I sh axQ I a 4 следовательно, общее решение имеет вид А . . I sh ах I А , ч . у = sh ах In | ^-1 - — (х —x0)ch ах-Ь + Сх ch ах + С2 sh ах. Пример 3. У'+рУ + <7.У = 0. Это однородное линей- ное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет корни п,2=—f±y —я- Рассмотрим только случай когда корни вещественные и разные. Положим ___ <=«• /"4- Тогда rlt 2 = — а ± р и частными решениями уравнения будут функции и а также их линейные комби- нации. Примем в качестве частных решений полусумму и полуразность этих функций: и Уг = .£—S£___L_2. = е-лх sh р*.
76 ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ [ГЛ. И Легко убедиться в том, что эти решения образуют фун- даментальную систему, и, следовательно, общее решение уравнения имеет вид у = е~ах (С\ ch рх + Q sh ?*)• Пример 4. У'+рУ+ ^ = /(х). Это неоднородное линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффици- ентами. Его общее решение будем искать, как в примере 2, методом вариации постоянных, входящих в общее реше- ние соответствующего однородного уравнения (см. при- мер 3), причем, как в примере 3, ограничимся случаем, п2 когда р2 = — q > 0; имеем: у — е~ах [С2 (х) ch + С2 (х) sh рх], у' = — а.е~лх [Cj (х) ch fix 4~ С2 (х) sh fix] 4- 4- е~лх (х) sh fix + pC2 (x) ch fix] 4- + [c;(x)ch?x+q(x)sh рх]. Как в примере 2, потребуем, чтобы выражение, стоящее в последних квадратных скобках, обратилось в нуль. Это дает нам первое уравнение относительно С'(х) и С'(х): Cf (х) ch fix + С' (х) sh fix = 0. Запишем первую производную в виде у' = е~ах ](Р sh рх — « ch рх) Ct (х) + (Р ch рх — a sh рх) С2 (х)] и вычислим вторую производную у" = — ае~ах [(Р sh рх — а ch рх) Сг (х) 4- 4- (р ch рх—а sh рх) С2 (х)] 4~ е~ах [(Р2 ch рх—ар sh рх) Ct (х) 4~ (Р2 sh рх—«р ch рх) С2 (х)] + е~ах КР sh fix—a ch рх) С' (х) 4- . 4~(pchpx — ash рх)С'(х)]. Теперь умножим у на q, у' на р и подставим эти про- изведения вместе с у" в исходное уравнение; после приведе-
11] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 77 ния подобных членов получим: Ch — 2а£) sh рх] Сх (х) + + КрР — 2аР) ch £х + (q — ра + а2 + р2) sh рх] С2 (х)} + + [(Р sh рх — а ch рх) С' (х) + + (Р ch рх — а sh рх) С' (х)] = /(х). Так как a — a ~— q, то выражение, стоящее в фигурных скобках, обращается в нуль, и мы приходим ко второму уравнению относительно С'(х) и С'(х): (Р sh рх — a ch рх) С' (х) + (Р ch рх — а sh рх) С' (х) — ea*f(x), которое вместе с первым уравнением образует систему из двух алгебраических линейных уравнений с неизвестными С'(х) и С'(х). Составим определитель системы А и вычислим его: ch рх sh рх I Р sh рх—a ch рх р ch рх—а sh рх | = Р ch2 Рх — а ch рх sh рх — р sh2 рх + а sh рх ch рх = р #= 0. Следовательно, система совместна и имеет единственнох решение. Корни ее дают производные искомых произвольные «постоянных» С'1 (*) = у I е«ау (х) р ch ₽х — a sh рх |= — J f sh с2 w = у I р sh Рх — а Ch Рх e^f(x) |= р" ch Р*' С помощью квадратур запишем и сами произвольные «посто- янные»: (Г Ci (х) =—1 f f(t) sh pz dt + Ср X С2(*) = у / /(0eafch ^tdt + Cv xQ
78 ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ [ГЛ. II Здесь, как в примере 2, xQ—любая постоянная, Сг и С2—новые произвольные постоянные (без кавычек), a t — пере- менная интегрирования. Подставляя функции Сх(х) и С2(х) в выражение у — (х) ch ^ЗхЦ-С2 (х) sh рх], получим общее решение неоднородного уравнения У'+ду' + ^у = /(х> в виде х У = 4- I sh р J _____________________________ _________ + е~ах ch рх + С2 sh рх). Как и в примере 2, первый член представляет частное решение неоднородного уравнения, а второй — общее ре- шение соответствующего однородного уравнения. Заметим, не производя выкладок, что в случае ~ — q <0 частное решение Л = у y*/(O^(f a!)sin.p(x — t)dt. а в случае — q = Q частное решение yl== J — f)e2 at. Я50 Пример 5. ,yIV — а*у = 0. Это однородное линейное уравнение 4-го порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение г4 — а4 = 0 имеет корни г1>2=±а, r3t4=±ta, где 1 — У—1. "Общее решение у = С*£ал’Ц-С*2“ож-4~£зcos ^x4~£4 sin Если заменить еах через chax + shax, а е~ах через ch ах — shax, то будем иметь: у = Ct ch ах + С2 sh ах + С3 cos ах 4~ С4 sin ах, где положено C^ + C* = Ci и С* — С* = С2. . Пример 6. yv -j- 4а4.у = 0. Это тоже однородное линейное уравнение 4-го порядка с постоянными коэффици- ентами. Характеристическое уравнение г4-]-4а4 = 0. Для
11] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 79 нахождения его корней разложим левую часть на множители следующим образом: г4 + 4а4 = (г4 + 4а2г2 + 4а4) — 4а2г2 = (г2 + 2а2)2 — 4а2г2 = = (г2 — 2аг + 2а2) (г2 + 2аг + 2а2). Приравнивая нулю выражения, стоящие в скобках, каждое в отдельности, получим два квадратных уравнения. Решая их, будем 1^меть корни характеристического уравнения 2 — = а±а/, г3,4 = — а ± al. Поэтому общим решением будет функция г у = еах (Cl cos ах + С2 sin ах) + е~ах (С3 cos ах + С4 sin ах). Если, как и в предыдущем примере, произвести замену ^<w? = chax + shax, £“oaj = chax— shax, то после неслож- ных алгебраическах преобразований получим общее решение в виде у = С* cos ах ch ах + С* cos ах sh ах + . + С! sin ах ch ах + С* sin ах sh ax, где положено С+С„ = С* С. — С„ — С*, С -|-С. —С* х 1 О J, х о & а 9 о с2-с4=с:- Рассмотрим несколько примеров на нелинейные диф- ференциальные уравнения 1-го и 2-го порядков. Пример 7. ay = ]/* 1 4-У- Это уравнение с разде- ляющимися переменными. После разделения переменных по- лучим: откуда, беря квадратуры, будем иметь общий интеграл a Arsh j/= х + С или общее решение Если задать начальное условие у = 0 при х = 0, то, подставив в общее решение вместо х и у их значения, получим
80 ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ [гл. II shy = 0, откуда следует, что произвольное постоянное С равно нулю, и потому частным решением уравнения будет гиперболический синус y”sh —. а Пример 8. ^У'=1+У2. Это нелинейное уравнение 2-го порядка, которое подстановкой у'=р и ственно yff—p~ сводится к уравнению 1-го ур 1 +р2- После разделения переменных = откуда, беря квадратуры, придем нению у In (1 -pp2) = lnj/— In потенцируя которое, будем иметь V1 4-р2 — или —===== = ± dx. Cl ZUY-i соответ- порядка получим к урав- Взяв квадратуры, получим Сх Arch± (х4~С2), от- % I Q куда j/^CjCh—~—- (знак минус перед аргументом под знаком гиперболического косинуса опускаем, ибо косинус является четной функцией). Пример 9. у" = 2уу'. Это нелинейное уравнение 2-го порядка, которое, как и в предыдущем примере, подстанов- кой у' —р сводится к уравнению 1-го порядка= 2ур, откуда, сократив на р (полагаем р =£ О, случай р = 0 дает три- виальное решение у = const) и взяв квадратуру, получим ' Р = У + ^ или = j/2 + C*. Разделив переменные, будем иметь ^-. = dX. При интегрировании левой части полученного уравнения могут представиться две возможности:
11] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 81 1) если принять > 0 и положить С*=С^, то получим — arctg — х + С2 или arctg=С1х + С1С2, откуда Ci Ci Ci у = Ct tg(C\x-(-С2)> где положено СХС2 = С2; 2) если принять С* < 0 и положить С* = — С*, то получим — i Arth ~ = x-j-C2 или Arth ^-=— (C^+^Cg), G1 Cl Cl откуда у — —Ct th ((^x-J-Cg), где, как и выше, поло- жено С1С2=С2, причём предполагается, что |<у|<|-С1|. В случае-1у | > | | имеем у = — Arcth (Ctx + С2). Во всех разобранных примерах гиперболические функции возникали в процессе интегрирования уравнений. Разберем несколько примеров на применение гиперболических под- становок для упрощения дифференциальных уравнений до их интегрирования. Пример 10. y = aV\-\- у'2. Положим У = sh г. Тогда уравнение преобразуется к виду у = a ch z, откуда диф- ференцированием находим, что у' = az' sh z или, заменяя у' через sh 2, sh z = az' sh z. Сокращая на sh z, получим z' = -•, _________x -p C __ < x —|- C откуда 2 — —-—, а следовательно, j/ = ach—. Пример 11. ay" = V1 4- у'2. Положим y==sh2. Тогда У' — z'ohz, и уравнение преобразуется к виду az' = 1, откуда z — . Поэтому у = sh и окончательно , % Ч” С, I ^==aCh“T~i+C2- Пример 12. у' = + а + J/2. Положим у — х sh z. Тогда у = xz' ch z + sh z и уравнение принимает вид xz' chz^shz = shz-\-axohz. После упрощения полу- чим z' — a, откуда z — ax-\-C и, следовательно, у — = xsh (ах + С). у 1/*х% -4- у2 Пример 13. У = “ + «1—Положим, как и в предыдущем примере, y = xshz. Вычислив у' и перейдя 6 Зак. 975. А. Р. Янпольский
82 ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ [ГЛ. II к переменным x и zt преобразуем уравнение к виду У = откуда 2 = — — С, и, следовательно, у —— xsh^-f-C^. Рассмотрим более сложный пример на интегрирование дифференциального уравнения, содержащего гиперболические функции. Пример 14. g + 2th2xg + EH^j = 0. Это ли- нейное уравнение 2-га порядка с переменными коэффи- циентами. Преобразуем его к более простому виду. Для этого подберем соответствующую функцию <р(/) и произведем замену переменной, положив х = ср(/). Имеем: dy dy 1 • dx dt dx ’ dt d*y___d Idy 1 \ 1 _d*y _J_ dip di I dt dx j dx dt* (dx \ dt I dt \St dy 1 d*x dt (dx \* Ht*' следовательно, d*y 1 dt* (dx\* dt dy d*x' J 2 th 2x dt1 2 (dx\* 1 , n* dx ch2 2x У dt Выберем функцию x — y(t) так, чтобы выражение, стоящее в квадратных скобках, обратилось в нуль,т. е. по- требуем, чтобы ^777^—2th 2х = 0. Это нелинейное дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка, так как в нем отсутствует аргумент t. dx d*x Чтобы проинтегрировать его, положим = р\ тогда = dp — р~^ и уравнение примет вид Р*Р- ---2th2x = 0 или 2th2x = 0.
11] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 83 Взяв квадратуры, получим: dx. In р — In ch 2х — In 1, р — ch 2х, мГоТ, г г СП ЛХ (здесь положено С = 0 = 1п 1, ибо нам достаточно иметь одну какую-нибудь функцию х = ср(О). Взяв квадратуры в последнем уравнении, будем иметь: t — ar ctg е2х или е2х = tg /. Выбрав cp(/) = ylntg^, мы преобразуем исходное урав- нение к виду или Общее решение этого уравнения у — Ct cos nt + С2 sin nt и окончательно y = Ct cos (n arctg e2x) + C2 sin (n arctg e2x). Рассмотрим пример на интегрирование дифференциального уравнения в частных производных. Пример 15. Найти частное решение дифференциального уравнения Лапласа 02ф _ дх* ду* ~ U’ удовлетворяющее граничным условиям: Ф(х, j/) =acos(mx — nt), i^o I?| =0, где a* tn, n, t —параметры. / Решение. Используя первое граничное условие, будем искать частное решение в виде произведения Ф (х, у) = cos (тпх — nt) Y (у), где Y (у) — неизвестная функция, зависящая только от у и обращающаяся в а при у = 0: Y(0) = a. 6*
84 ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ [гл. И Вычислив частные производные 2-го порядка — >п2 cos (тх — nt) Y (у), = cos (тх — nt) Y" (у) и подставив их в уравнение Лапласа, мы получаем тож- дество cos (тх — nt) [Y" (у) — m2Y (j/)] == О, откуда, так как cos(znx— nt) =£ 0, имеем обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение с постоян- ными коэффициентами Г" —т2Г = 0. Его общее решение (см. пример 1) Y (y)=Ct ch ту-]-С2 sh ту. Для нахождения частного решения, удовлетворяющего условию Y (0) — а, подставим в общее решение а вместо Y и 0 вместо у, что дает Ct = a, и, следовательно, Y(y) — — a ch ту-{~ C2sh ту. Поэтому и Ф (х, у) — cos (тх — nt) (a ch ту 4- С2 sh ту). (*) Используем второе граничное условие. Найдем дФ подставим 0 вместо з- и —h вместо у. Имеем: ду л дФ — — т cos (тх — nt) (a sh ту + С2 ch ту\ а после подстановки т cos (тх — nt)( — ashmh-\- С2 ch mh) — О, откуда, поскольку cos(mx — nt) Ф О, — a sh mh С2 ch mh = 0. Из этого уравнения находим отношение С2___shmh a ch mh и подставляем его в (*). Имеем: Ф (х, у) = a cos (тх — nt) (ch ту + ту
Н] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 85 или, заметив, что ch ту ch mh + sh ту sh mh = ch (у + й), получим ответ: Ф (х, у) = с cos (тх — nt) ch (у + й), где положено = с. ch mh Эта задача встречается в гидродинамике при отыскании потенциала скоростей волн в канале глубины й с вертикаль- ными стенками. Рассмотрим пример на решение функционального урав- нения, т. е. уравнения, из которого требуется определить общий вид функции. Пример 16. Найти такую дважды дифференцируемую функцию <р(«)» чтобы соотношение <Р (*г|- у) ф (X — у) = ср2 (х) — «Р2 (у) оставалось справедливым для всех значений х и у. Решение. Продифференцируем заданное равенство по х, а затем по у\ получим: ф' (.X + у) ф (X — у) + ср' (х — у) ф (х 4- у) = 2<р (х) ф' (х), ср" (х + у) ср (х — у) — ср" (X — у) ср (х + у) = 0. Второе равенство перепишем так: cp/z(x + y) _ ?zz(x —у) ?(* + У) ?(* —У) ’ . ф" (я) откуда заключаем, что функция не должна изменяться ср \U) от замены и = х-]-у на и = х — у. Так как x-j-y и х—у могут иметь любые значения и не зависят друг от друга, то cp(tt) Й, где й = const. Рассмотрим два случая. 1) k = n2 (й > 0); Получаем дифференциальное урав- нение ср" (и) — п2у (и) == 0.
86 ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ [ГЛ. И Его общее решение (см. пример 1) ср (а) — CY ch па + С2 sh па. Если в исходном равенстве положить у — х, то получим: ? (2х) <р (0) — ?2 (х) — <р2 (х) = 0. Так как ср(2х)^0, то мы имеем условие ср(О) = О, которое позволяет определить одну из произвольных постоянных. Для этого подставим значение а = 0 в общее решение; тогда ср (0) = Cr ch 0 + С2 sh О, откуда Сг = 0 и, следовательно, ср (а) = С sh па, где вместо С2 взято С. 2) k = — п2 (й<0). Получаем дифференциальное урав- пение ср" (а) 4~ л2? (я) = 0. Его общее решение (и) = Cr cos пи-\-С2 sin пи. Дополнительное условие ср (0) — 0 приводит к соотноше- нию C1cos0-|“C2sin0 = 0, откуда ^ = 0, и, следовательно, <р (ц) = С cos па, где, как и в предыдущем случае, произ- ведена замена С2 на С. В заключение рассмотрим одну геометрическую задачу. Пример 17. Найти кривую, у которой величина отрезка, отсекаемого касательной в любой точке кривой на оси Оу, пропорциональна секансу угла ср, образованного радиус-век- тором этой точки с осью Ох. Решение. Величина отрезка, отсекаемого касательной на оси Оу, равна у — ху'. Так как tgcp = —, то sec<p = =ГьРЙ=’Щ2. Составляем дифференциальное уравнение и преобразуем его к виду У X х*
И] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 87 Его общее решение (см. пример 13) ^=Х5Н(т+с) (знак минус в правой части отсутствует потому, что в нашем уравнении, в отличие от примера 13, коэффициент а входит со знаком минус, который можно вынести за знак гипербо- лического синуса как нечетной функции). Упражнения 1. Найти общие решения следующих дифференциальных урав- нений: 1) у' + а2у2 — ^2 = 0. Отв. У == ~ th (abx 4~ С). 2) у' (1 + sh х) sh у 4~ ch х (ch у — 1) = 0. Отв. (sh х 4-1) ch у — sh х и С. 3) у' (х ch у + sh х) + у ch х 4- sh у = 0. Отв. у sh х + х sh у = С. 2. Показать, что подстановкой у == ха следующие уравнения приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными; проин- тегрировать их: 1) х2у'2 — 2хуу' + у2 (1 — х2) — х4 = 0. Отв. у = ± х sh (х 4~ С). 2) (У4 + У2*2 — *2) У'2 + 2хуу' — у2 = 0. Отв. х = ± у sh (у 4- С). 3. Решить однородные уравнения 1-го порядка: 1) (х + ]/х2 + у2) у' = у. Отв. Arsh у—- — In | у [ == G 2) xyf + а /х2 + у2 - У = 0. Отв. у = х sh {a In -Яj. 3) ху' ch 4" 2х sh у — у ch = 0. Отв. х2 sh ~ = С. 4. Найти общие решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (однородных и неодно- родных): а? х 1)/' + / — 7 = °- Отв, у = е 2 tach-^+Cash-^A. ? л У & У * /
88 ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ [ГЛ. Ц , 2) yIV — 13у" 4-36у = 0. Отв. у = Ci ch (2х 4" ^2) + С3 sh (?х + Q)- 3) у" -( у = ch х. Отв. у = Сх cos х 4- С2 sin х -|- 4) у" — cfty = b sh ах. Отв. у = Ci ch ах 4- С2 sh ах 4- х ch ах. 5) ут — 2у" — а?у' 4- 2а%у = sh х. Отв. у = + С#ах + С#-™ 4- 2sh х 4- ch х I 3(a2-l) * + 1 3x4-1 -я? ~ 36~* 6) yIV—2y" + y = 40chx. Отв. у = (Ci 4" C2* + 3x2) ch x~4- (C3 4- C4x) sh x. 7) _ Sy" — 9y = 50 sh 2x. Отв. у = Ci sin (x 4- C2) 4- Q sh (3x 4” €4) — 2 sh 2x. 8) yIV 4" 2a2y" 4- а4У = ch ax. Отв. у = (£i 4" Сг*)sln a* + (C3 4“ Qx) cos ax 4- . 9) y" — у — th x. Отв. у = Q ch x 4- C2 sh x + 2 ch x arctg Л 10) y" — cfly=-£—. ’ J J ch ax Л Я Отв. у = Ci ch ax 4* C2 sh ax 4-x shax-x- ch ax In ch ax. J 1 'a a* Указание [к 9) и 10)]. Применить метод вариации постоян- ных. 5. Найти частное решение уравнения у" — 4у = е**9 удовле- творяющее начальным условиям: у = у0, у' = у$ при х = 0. / уд 1 \ хе2® Отв. y = y9ch2x + ^----_JSh2x + —j—• 6. Проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения, понизив предварительно их порядок: 1) у" + «2уз = Ь\ Отв. у = In ch (abx + Сх) + С2. 2) УУ" — у'2 +1 = 0. Отв. Cty = sh (Qx -f- С2). 3) ay'" = /1+у"2. Отв. у = sh + св- 2 • при а2=/=1, при а2 =з 1.
И] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 89 7. Найти частное решение уравнения у" + (1—-^)у =9 (а =/= ft3), удовлетворяющее начальным условиям: у == -i-, у' = О при х == 0. Отв. ау = при а < ft3 при а > ft2. 8. Показать, что общее решение уравнения yy',z — у'у" = 0 может быть записано в трех формах: у = Ci sin (С2х 4“ Сз); у = Ci sh (С2х 4- С*з)> у = ch (С2х -|- 6*з)» 9. Показать, что общее решение уравнения ау^= 1 4-(у<п~1))2 выражается в виде у = ? (х) + % I Q an-isij —ZL—1 при п нечетном, д. I £ ап-1 сь —JZ—1 при п четном, где <р (х) =? С2хп 3 С3хп 3 4“ • • • 4~ Сп—1.х 4- Сп. 10. Показать, что cos nl ch nl =* 1, если дифференциальное уравнение yIV — а4 у =» 0 имеет решение у = Л (cos ах — ch ах) 4- 4- В (sin ах — shax), которое удовлетворяет граничным условиям: у = у' == 0 при х==0их==/. ЛиВ — произвольные числа. 11. Найти общие решения линейных однородных уравнений с переменными коэффициентами: 1) у" 4- 2аху' 4- а3х2у == 0. л f Ci ch х^а 4- С* sh х У'а при а > 0, Отв. е 2 у = г— " г___ I Ci cos ху — а+ С2 sin ху — а при а < 0. Указание. Применить 2) у" 4- 2у' th х 4- #у = 0. подстановку и У аа^ е2 О h X ( £1 COS аХ + ^2 sin ах При — 1 = а3 > 0, тв‘ ( С1 ch ах 4“ 6*2 Sh ах при ft— 1=— а3 < 0.
90 ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ [гл. It ТУ f-r U Указание. Применить подстановку У = ^« 3) у" — 2у' tg х 4- Z?y = 0. Л (Cl COS аХ + Со Sin ах при b + 1 = а2 > 0, Отв, у cos х = < ( Cl ch ах -|- С2 Sh ах при Ь 4“ 1 = — а2 < 0. Указание. Применить подстановку у = • 4) ху" — у' —* ах3у = 0. Ci ch -у + sh при а > 0, У — { Л А J «X2 ах2 Ci cos -£- + с2 sin При а < 0, причем а == V’lal. ХУ ' п аХ2 X Указание. Произвести замену аргумента, положив =s t. 5) 2ху" + у' + ау = 0 (а =# 0). {Ct cos У"2ах 4- С2 sin У2ах при 2ах > 0, Ci ch У 12ах | С*2 sh Vl 2ax | при 2ax < 0. • Указание. Произвести замену аргумента, положив /[2дхТ = t. 6) 4ху" 4- 2у' — у = 0. . Л ( Ci ch Ух 4- С2 sh Ух при х > 0, Отв. у == { ___ ____________ I Ct cos V | х | 4- C2 sin у | x | при x < 0. Указание. Произвести замену аргумента, положив У | х | =« t. 7) 4(х2—1)у" + 4(2х—1)у'4-у =±0. г-------- л ( arcsin х при I х I < 1, Отв. yV х + 1 =СХ+ СЛ д . н ’ I Arch х при | х | > 1. Указание. Применить подстановку у == у.^.. ' 8) у'" 4- Заху" 4- За2х2у' + л3х3у =± 0. л f Ct4-C2ch(x/3a)4-C3sh(x/3a) при а > 0, Отв. е у = < ____ z г_____________ * ( Ci4-C2cos(xy |3a|)4-C3sin(xy |3л|) при а < 0. Указание. Применить подстановку у
Н] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 91 12. Найти частное решение системы дифференциальных урав- нений 1-го порядка ( x'=y + t, [ у' = X — А удовлетворяющее начальным условиям: х = 3, у = 1 при t = 0. Отв, х = 4 ch t + t — Г, у — 4 sh t— f 4- 1. 13. Найти общее решение системы дифференциальных уравне- ний 2-го порядка г х" + у" 4- у = sh 2t, I 2х" + у" = 2£ *2 *3 2*4-1 9i , г Отв. х = + -g- — -----g— + Ci + C2t + t е- , .2* 4-1 . г У = ~2--2 + ”8" '1------ ~ 2С^е +
ГЛАВА III ПРИМЕНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ 12. Цепная линия График гиперболической функции y = ach~ называется цепной линией. Это название связано с тем, что цепь, под- вешенная свободно за оба конца, принимает форму этой кри- вой. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующую за- дачу. Задача о провисании нити. Тяжелая гибкая однородная нерастяжимая нить, закрепленная концами в двух точках (рис. 14), провисает под действием собственного веса. Вывести уравнение линии провисания нити. Решение. Выделим бесконечно малый элемент нити MN отточки М (х, у) •до точки N (х + dy) и выясним, какие силы на него действуют. В точке М на нить действует на- тяжение Г, направленное по касательной к кривой; его составляющие по осям коор- динат Н и V. Соответственно в точке N имеется натяжение Т -|~ dT, направленное по ка- сательной в точке N, с составляющими H-\~dH и V-\-dV. Кроме того, на элемент MN действует направленная верти-
12] ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 93 кально вниз сила длины дуги нити, Как известно в равновесии, то ствующих на нее сил равна нулю. Проектируя на ось Ох, получим —— или dH=Q, откуда следует, что Н — const, т. е. что горизонтальная составляющая натя- жения во всех точках одна и та же. Проектируя на ось Оу, получим —V — q-ds-\-<y + dV) = 0, или dV = qds. Если обозначить через а угол, образованный касательной в точке М кривой с осью Ох, то, как легко видеть, dy , V -f- = tg а = -ту. dx s H Дифференцируя по х, будем иметь: _ 1 dV dx2 Н dx' * но так как dV = q ds, то d^y___ q ds dx2 H dx Пользуясь известным выражением производной длины дуги по абсциссе тяжести W — qds, где ds — дифференциал a q—вес единицы длины нити. из статики, если система сил находится сумма проекций на любую ось всех дей- получим дифференциальное уравнение ау = V 1-t-y , где принято обозначение — = а. Общее решение этого уравнения (см. пример 11 п. 11) Jj, = ach±p£+C2 представляет собой семейство цепных линий. Если подобрать произвольные постоянные Ct и С2 так, чтобы удовлетворялись граничные условия (у ~ yt при х — и у = у2 при х — х2), то мы найдем искомую линию про- висания.
94 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ill Для упрощения уравнения можно произвести преобразо- вание координат, положив х = Х—у — К-|-С2, т. е. перенеся оси параллельно самим себе и приняв за новое на- чало точку (—С2), координаты которой находятся из граничных условий. Если за новыми координатами сохранить прежние обозначения, то будем иметь уравнение цепной линии y = ach —. а Вместо задания двух точек цепной линии можно задать одну точку и направление касательной в ней, например, вер- шину Ох(0, а) — низшую точку цепной линии, в которой ка- сательная горизонтальна. Из этих начальных условий (у —а и у = 0 при х = 0) можно легко определить произвольные постоянные Сг и С2. Для этого вычислим производную у' = = sh—- и подставим в выражения для у и у' их зна- С чения при х = 0. Будем иметь sh-~ = O, откуда Ct — 0 и асЬ0 + С2 = а, откуда С2 = 0. Таким образом, частным ре- шением нашего уравнения, удовлетворяющим заданным на- чальным условиям, является функция y = ach~, графиком которой служит цепная линия с осью симметрии, совпадаю- щей с осью Оу, отсекающая на оси Оу отрезок а—у, где q — вес единицы длины нити, а Н—горизонтальная проекция натяжения в любой точке нити. Заметим, что из соотношения Т = (см. рис. 14) вы- текает, что в вершине цепной линии, где а = 0, натяже- ние нити имеет наименьшее значение. Принимая во внимание, что H = aq, a cJ--- = sec а = =V l+tg2a = /l 4-(У)2 = ]/’ 1 + Sh2 _ ch -, откуда следует, что T = aq~ = qy, заключаем, что в любой точке Л1 цепной линии натяжение нити равно по величине весу отрезка нити длины, равной ординате точки М.
12] ЦЕПНАЯ ЛИНИЙ' 95 Вертикальная проекция V натяжения определяется следую- щим образом: V = И tg а — Ну' = Н sh^—aq ch2 ~ — 1 = q Уj/2—а2. Очевидно, что решение задачи нисколько не изменится, если, кроме собственного веса нити, учесть также действую- щую на нее нагрузку при условии, что она распределена равномерно по длине нити. Совершенно иначе обстоит дело, если предположить, что нагрузка на нить распределяется равномерно не по длине нити, а по ее горизонтальной проекции. В этом случае нить располагается не по цепной линии, а по параболе. Цепная линия обладает многими замечательными свойствами. Рассмотрим некоторые из них, произведя попутно вычисле- ния и построения связанных с ней элементов. Касательная и нормаль. Возьмем на цепной линии у = a ch ~ произвольную точку 2И (х, у). Общий вид урав- нения касательной Y — у = у'(Х—х). В нашем случае у' = tga = sh~- (a — угол, образованный касательной с осью Ох), поэтому уравнение касательной в точке М имеет вид Y — a ch— = sh —(X— х), a a 4 7 или Xsh — — К-4-(л ch — — xsh — ) = 0, а 1 \ а а ) где X Y — текущие координаты точки касательной. Общий вид уравнения нормали Y — у = —-—-(Л’—х). Следовательно, в точке М цепной линии уравнение нормали имеет вид K-ach-£ =------^-(А'-х), sh — а или _ X++*) = »• где X Y — текущие координаты точки нормали.
96 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш Если, например, х = а, то ch — = chl, sh— = shl, 2x sh -y- = sh 2 и уравнения касательной и нормали в точ- ке (а, а ch 1) запишутся в виде Xsh 1 — r + «(ch 1 — sh 1) = О, X_|_rsh 1 — o(-^-+ 1) = 0. Требуемые значения гиперболических функций можно найти по таблицам (см. стр. 179): sh 1 = 1,17520; ch 1 = 1,54308; sh 2 = 3,62686. Обозначим через Л п, sn, st (рис. 15) соответственно длины отрезка касательйой МТ, отрезка нормали MN, под- касательной ТР и поднормали PN. Для вычисления этих величин легко получить* следующие формулы: J
12] ЦЕПНАЯ линия 97 Здесь а — угол, образованный касательной с осью Ох, при- чем tg а — sh —. а - Вычислим cos а. Имеем: ' - 1 - 1 -°. / 1 + sh.i obi ’ г а а На соотношении cos а — у основаны два следующих спо- соба построения касательной к цепной линии у = a ch £ в заданной на ней точке М. Первый способ. На ординате точки М цепной линии (рис. 16) как на диаметре строим окружность. Из точки Р как из центра дугой окружности радиуса а сделаем на пер- вой окружности засечку в точке К и проведем прямую до пересечения с осью Ох в точке Т. Так как косинус угла /_КРМ равен а/у, то ДКРЛ4 = а, но Д МТР = Д КРМ9 ибо, как это видно из рассмотрения прямоугольных тре- угольников МТР и КРМ, оба угла дополняют один и тот же угол ДР7ИГ до прямого. Следовательно, прямая МТ яв- ляется касательной к цепной линии в точке М. Второй способ. Из вершины А цепной линии (рис. 17) как из центра окружности радиусом, равным ординате точки М, / 7 Зак. 975. А. Р. Янпольский
98 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ (ГЛ. III сделаем засечку в точке L на той полуоси Ох, со стороны которой находится точка М. Точку L соединим прямой с вер- шиной А. На эту прямую опустим из точки М перпендику- ляр МТ. Докажем, что он и будет касательной в точке М. В самом деле, по построению / OAL — / MTL, cos / О AL — а У = cos / MTL, следовательно, МТ—касательная. Параметрические уравнения цепной линии. Выведем параметрические уравнения цепной линии y = ach-^~, при- няв за параметр угол а между касательной в любой точке цепной линии и осью Ох. Полученное выше соотношение а а cosa=y перепишем в виде j = и таким образом, одно из искомых параметрических уравнений уже имеется. Для нахождения второго подставим в уравнение цепной ли- нии выражение у через а и найдем х как функцию а. Имеем ch -^- = seca, но подобным соотношением связаны между со- бой гудерманиан (гиперболическая амплитуда) а с аргумен- том х/а гиперболического косинуса (см. формулу (2) п. 7, где следует положить = а *f==aj, поэтому на осно- вании формулы (7) п. 7 имеем х = a In tg +
12] ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 99 Итак, мы получили параметрические уравнения цепной линии x = alntg(^- + ^-j, ___ а У COS а и радиус кривизны. Вычислим кривизну и Кривизна радиус кривизны цепной линии у — a ch в любой ее точке. Для этого найдем у' и у" и подставим их выражения в фор- v" мулы кривизны плоской кривой К = -—-—и радиуса кривизны R = -^. Имеем /\ / и х rr 1 1* у =sh—, у' = —ch —, а а а и потому кривизна равна у2 а радиус кривизны R = —. Можно дать простой способ построения центра С кри- визны цепной линии в точке М (рис. 15). Заметив, что длина отрезка MN нормали цепной линии между точкой М на кривой и осью Ох равна радиусу кривизны (// = /?), отло- жим на нормали в точке М в сторону вогнутости цепной линии отрезок МС — МАЛ Точка С и есть центр кривизны в точке М. Наименьший радиус кривизны будет в вершине цепной линии Д(0, а), в которой ордината у цепной линии наимень- шая. Радиус кривизны в этой точке равен а. Эволюта цепной линии. Эволютой кривой называется геометрическое место центров кривизны кривой. Если обо- значить через X, Y текущие координаты точки эволюты, то параметрические уравнения эволюты кривой у= f(x) в общем 7*
100 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III виде, как известно, таковы: V___ V у 1 + У'2 Л — X у у, , Здесь за параметр может быть принят либо х, либо у, либо произвольная величина Л через которую выражаются х и у. Для нахождения эволюты цепной линии у = a ch — (рис. 18) примем за параметр х. Вычи- слим У = sh —, у" = — ch — a J а а и подставим в общие уравне- ния эволюты выражения у, у', 1 I V'2 у" через х. Так как —— = 1 + sh2— — -----— а сц _ то п0. — ch — а а лучим: Х—х—4sh2-, 2 а Y=2a ch — . а Исключим параметр х. Из второго уравнения находим ch — — Следовательно, ct 2й ' . . Г . Г + —4а2 х = a Arch -к- — а In —=-*-о----, 2а 2а sh — = ± у ch2-------1 — ± -—=-------, а г а 2а <2х о . х . х у/уз —4а2 sh — = 2 sh — ch — = ± ——s-5--. а а а 2а2 Подставив полученные выражения в первое уравнение, будем иметь уравнение эволюты цепной линии в неявной форме: у ± У 4^2 у уу2 4^2
121 ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 101 Здесь текущие координаты обозначены через х, у вме- сто X К. Эвольвента цепной линии (трактриса). Эвольвентой, или разверткой кривой, называется такая кривая, по отно- шению к которой данная кривая является эволютой. Эво- люта и эвольвента обладают следующим свойством: каса- тельная к эволюте служит нормалью к эвольвенте. Это свойство позволяет составить уравнение эвольвенты, если известно уравнение эволюты. Пусть уравнение эволюты следующее: 7)=/©.- Тогда уравнение касательной к ней будет иметь вид Для нахождения уравнения эвольвенты F(x, у) = 0 за- . ‘ dv метим,, что ее угловой коэффициент-^- связан с угловым , , dr коэффициентом эволюты соотношением dr\ dt 1 dr 1 dy dt p dx dy где положено -^=p. В связи с этим уравнение касательной преобразуется к виду У —/(?) = — $) или X->гРУ = pf(£) + $, где X Y заменены текущими координатами точки эволь- венты х, у. Из равенства /'(?) = — можно выразить $ как функ- цию р, и, следовательно, последнее уравнениие запишется так: *+ру = Ф(Р)- Взяв производные по х от обеих частей этого равенства, получим дифференциальное уравнение эвольвенты, из кото- рого определим у как функцию р(3' = ф(р)), после чего находим х: х — —рф(р) + Ф(р)> ‘или х = ч(р). Таким
102 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш образом, получены параметрические уравнения эвольвенты; X = <f (р), У = Ф (/>)• Исключая из них параметр р, получим уравнение эвольвенты в обычной декартовой форме F (х, у) = 0. Найдем уравнение эвольвенты цепной линии y = ach~. Для удобства следования приведенной выше схеме запишем заданное уравнение в виде r/ = ach^ и составим уравнение касательной к цепной линии: r_0Chi = ii(x_E). Так как 4г = ——. где Р — ~т~— угловой коэффи- tzt р ах циент эвольвенты, то последнее уравнение примет вид Y — ach —= — ~(Х— 0- а р Заменим здесь £ через функцию от р. Это легко сделать, если учесть, 4TO-^ = sh—, а значит, sh — =------------от- J at а $ ар 1 £ куда £ = — a Arsh у. Замечая, кроме того, что ch — = = у 2 । -у = у sh2^'+1 —* получим после подстановки и замены X, Y через х, у\ аУр*+\ У Р l(x + aArshl), ИЛИ х +РУ = а VР2 + 1 — а Arsh . (*) а dp ' Продифференцировав по х, получим: <‘+л+^=7Й=Г^77>Т1^ или \ (1+„2) + у^.=?Ург+_1.4£.
121 ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 103 О J dy * Заменяя dx через -у-, будем иметь: (1 +р2) +РУ % = a , или dp p’ + r Vp*+\ Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Его общее решение _ С pdp / р С pdp \ y = e~^+\Jy^TeJ^ld^c)- Так как f 1 ln(p2-|-1), а е 2 ln(i> +1) = - ——, J Р2 + 1 2 ' ' /р24-1 41ц(^+1) , - е2 = V рг + 1 то у = г ! (ар + С). л Vp2 + 1 Вместо р удобнее ввести другой параметр, например положив p — tgt, где t — угол, образованный касательной к эвольвенте с осью Ох, тогда Ур2-^1 = ]Ag2/+l = — sec t = cqs , и мы получим: у = cost (a tg/ + C), или y — asint-^Ccost. Подставив выражение у через t в уравнение (*) и заме- тив, что Arsh -i = Arsh (ctg 0 = In (ctg £ + ]/ctg2^ + 1) — = ln (ctgt + cosec/) = In COSS1^7-- = Inctg^ = — Intg-^-, получим x как функцию t: X = — tg^(asin/ + CcosO + -^7 + olntgy, или x = a ^cos t + In tg — C sin t.
) 104 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш Таким образом, параметрическими уравнениями эволь- венты цепной линии служат уравнения х = a (cos t -|- In tg — С sin t, y = as\nt-\-C cost. Это семейство кривых, называемых трактрисами. В част- ном случае, при С = 0, получаем: х = a (cos/ + lntg*^- j/ = asinf, или, исключая параметр /, х= ± ]/а2 — у2 + аIn . Рассмотрим несколько подробнее трактрису и ее свой- ства. Прежде всего дадим определение трактрисы независимо от ее связи с цепной линией. Трактрисой называется пло- ская крцвая, для которой длина отрезка касатель- ной между точкой каса- ния М {рис. 19) и пря- мой Ох, называемой базой трактрисы, есть вели- чина постоянная. Тракт- рису можно определить и так: если к одному концу гибкой нерастяжимой нити длины а прикреплена мате- # риальная точка М, а дру- гой конец Р движется Рис. 19. по прямой, то траектория точки М есть трактриса. Отсюда происхождение названия «трактриса» — линия вле- чения. Составим параметрические уравнения трактрисы, приняв за базу ось Ох, а за параметр — угол t наклона касатель- ной к оси Ох (рис. 19). Если а — длина отрезка касатель-
12] ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 105 ной, то V = a sin t, dy — a cos t dt, dx — a -?8-/ dt (это еле- ' sin t \ дует из равенства -^- = tg/y Путем интегрирования нахо- дим х как функцию t\ х = а cos21 sin t dt = a /7— J \ sin t sinH dt — = a (in tg + cos + C. Зададим точку Л(0, а), через которую проходит трак- триса. Это условие позволит определить постоянную инте- грирования С. В точке А с ординатой у = а имеет место равенство a — a sin t> а значит, t=~t поэтому a (in tg-^ + cos-2-)-]-С = 0, откуда С = 0. Таким образом, параметрические уравнения трактрисы, проходящей через точку Л(0, а), принимают уже знакомый нам вид х = a (cos In tg -0, , y — asvbt. При /->0 и трактриса асимптотически прибли- жается к базе. При t — — особая точка Л (0, а). Касатель- ная к ней совпадает с осью Оу. Если от параметрических уравнений перейти к неявному уравнению и при этом ввести ареакосинус гиперболический (см. стр. 47), то получим уравнение трактрисы в виде х — ± ]/а2 — у2 — a Arch у . Трактриса обладает следующим свойством: длина от- резка касательной в любой ее точке есть среднее пропорциональное между длиной отрезка нормали и
106 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [гл. III радиусом кривизны в этой точке, В самом деле, вычислим радиус кривизны R трактрисы. Так как ds2 = dx2 + dy2 = a2 + cos2 dt2 = a2 ctg21 dt2, r, de accost ~ to R = ~di = actgt — —~. С другой стороны, длина отрезка нормали между базой и точкой касания равна п = у V1 + У2 = у Y1 + tg21 — . Поэтому nR = а2, что и требовалось доказать. Между прочим, бтсюда следует, что для построения центра кривизны достаточно восставить перпендикуляр к базе в точке ее пересечения с касательной и продолжить его до пересечения с нормалью. Этот способ построения в свою очередь позволяет определить координаты центра кривизны трактрисы (см. рис. 19): X— х — a cos t = a In tg, У __г sin t • Рассматривая здесь t как параметр, получим параметри- ческие уравнения эволюты трактрисы. Исключим параметр t. Для этого из первого уравнения найдем sin/ и подставим во второе. Имеем: t — 2 v = еа * sin * =------г ~ i+tg24 X 2еа 2 1 1 + е« е« +е а а X и потому Г=ясЬ —. • Эволютой трактриссы оказалась цеп- ная линия. Обычно в параметрических уравнениях цепной линии в качестве параметра принимают угол а между касательной в любой ее точке с осью Ох, Так как / =а, то
12] ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 107 уравнения цепной линии примут известный нам вид: x = alntg(^+^, У COS а ’ где текущие координаты X, Y заменены через х, у. Натуральное уравнение линии. Натуральным урав- нением линии называется уравнение, связывающее ее радиус кривизны с длиной дуги, отсчитываемой от не- которой точки линии. Выведем натуральное уравнение цепной линии, приняв за точку отсчета ее вершину Д(0, а). Так как радиус кривизны цепной линии в произвольной точке М(х, у) равен ch2 а длина дуги AM к х равна s —ash —, то, исключив из этих двух равенств х, получим искомое уравнение. Имеем s2 = a2sh2 —— a2(ch2 —— l\ = aR — cfi, а \ а ) * откуда следует, что R = a-\---. Выведем также натуральные уравнения эволюты и эволь- венты цепной линии. Напомним сначала два известных свойства этих линий. Свойство первое: нормаль в точке эвольвенты служит касательной в соответствующей точке эволюты, свойство второе: приращение радиуса кривизны эвольвенты равно по абсолютной величине длине дуги эволюты между ее двумя соответствую- щими точками. Пользуясь этими свойствами, выведем два важных для дальнейшего соотношения. Если обозначить через R и $ радиус кривизны и длину дуги эвольвенты, а через р и a — радиус кривизны и длину дуги эволюты, то последнее свойство можно записать в виде |Д/?| = |Да|, отсюда имеем | 1 = 1. В пределе получаем | 1 = 1, откуда | dR | = | da |, и следовательно, R — a-^-C, где С — произвольная постоянная, которую, в частности, можно по- ложить равной нулю (выбрав определенным образом начало отсчета о), и тогда R = a,
108 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. П! Второе соотношение связывает радиусы кривизны эволюты и эвольвенты. Согласно определению, имеем у = -~- и 1 da aha -75- = — , где ДВ и Да — углы смежности эволюты и эволь- as г-г - R d$ da Q венты. Путем деления получим — —, но а = р как углы с соответственно перпендикулярными сторонами, сле- довательно, da = d[3, a |da| = |d/?|. Поэтому последнее соотношение преобразуется к виду = | | или р = __I п dR I ds I* * Теперь обратимся к цепной линии и прежде всего дадим вывод натурального уравнения ее эволюты. Обозначая через R и s радиус кривизны и длину дуги цепной линии, а через р и о — соответствующие величины для эволюты цепной линии, мы сводим нашу задачу к нахождению за- висимости между р и о. Из последнего равенства имеем dR р dR р п / = или = поскольку к = а (мы прини- маем С = 0). Путем дифференцирования по s обеих частей dR 2s натурального уравнения цепной линии получим — * dR р 2s сравнивая оба выражения для имеем ~ = —, откуда ар _ s = Остается подставить это выражение s в натураль- _ ное уравнение цепной линии и заменить в нем /? на о, и мы получим искомое уравнение эволюты цепной линии а== или 4о3 = а (р2 + 4a2). Для вывода натурального уравнения эвольвенты цепной s2 01 линии R = a~]----заметим, что цепная линии по отноше- нию к искомой кривой является эволютой, а потому, обозначая через р и а радиус кривизны и длину дуги эволь- венты, следует переписать исходные соотношения в виде /? = р-“- и s = p (мы опять полагаем С = 0). Подставляя
12] ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 109 в уравнение цепной линии вместо /? и $ их выражения, dp । Р2 р dp da получим p-£ = a+>L.t откуда _L_L_ = _. Взяв квадратуры, будем иметь -i- 1п(р24-я2)==-~ + 2a 2a или р2 + а2 = С1£°. В частности, при ^=1 имеем р2+«2==^. Как нам уже известно, эвольвентой цепной линии служит трактриса. Таким образом, полученное уравнение есть натуральное уравнение трактрисы. Это можно проверить и непосредственно, путем преобразования натурального уравнения в декартово. Цепная линия как рулета. Если в плоскости хОу кривая L катится по неподвижной кривой Bt то траек- тория точки Л4, связанной с Lt называется рулетой (рис. 20). Имеет место следующая принадлежащая Декарту теорема, которую мы примем без доказательства: нормаль в любой точке М рулеты проходит через точку т касания кривых L и В. Выведем уравнение рулеты. Пусть y — f(x) — уравнение неподвижной кривой В, а Y — F(X)— искомое уравнение
ПО ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш рулеты как геометрического места точек М. Обозначим через ф угол, образованный касательной к рулете с осью Ох; тогда tgtp = /7/(А). Соединим точку М с точкой Л, взятой на подвижной кривой L, и обозначим через 9 угол/Л7И/п. Тогда биг будут полярными координатами точки т по- движной кривой, уравнение которой, следовательно, будет _ г = г(9). Приняв во внимание теорему Декарта, получим для координат точки М следующие формулы: Х=х— гзшф, Y = r cos ф. Заменяя -в этих формулах у через /(х), Y через F (Х}> tg ф ч^рез F'(X), получим: Х= г______ /1 + [5' (Х)Р ’ Y = /(X) Ч——=4=. у 1 ч- [F (Х)]2 Обозначим через о угол / Mint. Имеем tg<B==/’’dr ’ пРичем <о = «+у — <|» = у — (ф — а) и . . 7 , ч tg ф г— tg а F' (X) — fr (х) Ctgш — tg(ф — а) — 1+tg<ptga — T+F'(X)/'(X) • *) Справедливость формулы tg со = г легко проверить с по- мощью соотношений между полярными и декартовыми коорди- натами точки: х = г cos 0, у = г sin 0. Если обозначить через § угол между полярной осью МА и касательной в произвольной точке т кривой, то ft = со + 0, откуда со = ft — 0 и tg ft — tg 0 1 + tg 0 tg ft • tgco д?у — tg 0 dx dx + tg 0 • dy Так как tgft = Подставляя в эту ~~г~, то tg со = dx ’ ъ формулу выражения дифференциалов dx = cos 0 dr — г sin 0 d6, dy = sin 0 dr + r cos 0 d0, получим после несложных преобразова- ло НИИ tgco = r—.
121 ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 111 Таким образом, мы получили: dr — F'(X)~f'(x) ’ v .. rF'(X) /1 + [F' (Х)]2 ’ Y1 + [F' (Х)Р (*) Если даны две кривые, то можно определить третью с помощью этих уравнений. Определим для примера кривую, которую опишет фокус параболы, катящейся по прямой. Рассмотрим случай, когда при начальном положении ось параболы перпендикулярна к оси Ох, т. е. когда фокус имеет наинизшее положение. Уравнение параболы возьмем в полярных координатах а . г =-----где_а — расстояние от фокуса до вершины cos3 2 d9 1 COS84 параболы. Следовательно, :в Уравне- W aslnT ние неподвижной линии y — G (/(х) = 0). Следовательно, /' (х) = 0. Первое из уравнений системы (%) поэтому при- нимает вид х 0 1 , 0 dY ctg2=wrj; или Приняв это во внимание, запишем третье из уравнений системы (*) в виде или откуда
112 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III Общее решение этого уравнения (см. пример 10 п. 11) — х с семейство цепных линий у = a ch —— (мы заменили X, Y через х, у). - Для определения С заметим, что в начальный момент фокус имел координаты х = 0, = Отсюда следует, что С = 0, и потому решением является цепная линия « х у = a ch —. л а Площадь криволинейной трапеции и длина дуги. Пло- щадь Q криволинейной трапеции О АМР (см. рис. 16), ограниченной цепной линией y = ach~, двумя ордина- тами, соответствующими абсциссам 0 и х, и осью Ох, равна X X Q — £ у dx = a J ch rfx = a2 sh = 0 0 0 = a2 sh == а V у2 — а2. Длина дуги s цепной линии y~ach~ от вер- шины Л(0, а) до точки М(х, у) равна X X _____________ s = f V1 + у'2 dx = J* l + sh2-J-djc = О о X = j9 ch dx — a sh ~ — Y у2 — а2. о Сравнивая выражения для Q и $, замечаем, что Q = ast т. е. площадь криволинейной трапеции О АМР равна пло- щади прямоугольника, построенного на отрезках РК и KMt так как РК — а, а из прямоугольного треугольника РКМ имеем: KM=2=Yу2— а2—ауГ ch2 — —1 =ash — = s. г л r a a
12] ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ ИЗ Между прочим, последнее равенство (КМ = s) дает очень простой способ графического спрямления цепной линии. Если криволинейная трапеция (рис. 21) ограничена цеп- ной линией у = a ch —, двумя ординатами х = х = х2 (О < xt < х2) и осью абсцисс, то ее площадь равна Q = 02(sh — sh ^J = a(]/ry2— а2 —j/^y2— а2), где yx и y2— ординаты точек цепной линии Mt и М2, соответствующие абсциссам jq и х2. Длина дуги ?И1Л12 цепной линии равна s=a(sh^-sh =/5^2-—/5^2-. Легко указать, как построить прямоугольник, равно- великий криволинейной трапеции Р17И17И2Р2- Из вершины А цепной линии как из центра окружности радиусами, рав- ными yt и у2, сделаем засечки на положительной полуоси Ох в точках и L2. Эти точки отстоят от начала координат на расстояниях О£х = у2 — а2 и OL2 = ’j/r у2 — а2. Поэтому 8 Зак. 975. А. Р. Янпольский
114 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Щ прямоугольник со сторонами LXL2 и О А — а будет иметь -пло- щадь Q, равную площади криволинейной трапеции Р^М^М^Р^. Q = LtL2-OA. Отрезок LtL2 цо длине равен дуге MtM2: s = LtL2. Если ввести углы cq и а2, образованные с осью Ох касательными к цепной линии в точках Mt и Л42, т0 s = a (tg а2 — tg 04) = у2 sin 02 — ух sin аР В самом деле, у' = sh-^- = tga. В то же время , X , X '' sh— sh — tga а а .. х sin а = —/ s -—- = —7========“ =-----— = th —, П+Ч- /l+sh--A ebi а так как а = —-—, то в свою очередь atga = ch — а = у th -у = у sin a. Центр тяжести криволинейной трапеции и дуги. Определим центры тяжести площади криволинейной трапе- ции О АМР и дуги AM (рис. 16). Как известно, коорди- наты Хд и уд центра тяжести однородной криволинейной трапеции (с постоянной поверхностной плотностью) опре- , ^х кл деляются по формулам — уд = -^-, где Му и Мх— статические моменты площади О АМР относительно осей Оу и Ох, равные соответственно X X §xydx и -^§y2dx. о о В нашем случае х х х = a2[xsh — — -a ch— ] = а2(х sh — -—a ch — + I a a Jo \ a a 1 /
12) ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 115 1 X 9 S - «ч + сьг— 1/9J / 4,9 Х Л а2 а Л — 2 J У dx ~ 2 J Ch ~а dX ~ 2 J 2 dx ~ оо о (x + ash — ch \ а Поэтому Д (У — Д) s s J* yds. о Аналогично координаты xs и ys центра тяжести дуги однородной кривой (с постоянной линейной плотностью) ту тх определяются по формулам xg = -j-, у8=± —где ту и тх— статические моменты дуги кривой относительно 8 осей Оу и Ох, равные соответственно J* х ds и о . В нашем случае s х ' х ту= J* xds— [* х VI 4- У,<2> dx = J* x ch j dx — оо о = a(xsh — — a ch — + a), • \ a a 1 /’ 8 X X Jyds= JyV\-\~y'2dx — a Jch2^dx — 0 0 0 ==4(*+ash —ch —)• 2 \ 1 a a) 8*
116 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III Поэтому = а л = 4(^+й. Сравнивая формулы для координат центров тяжести криволинейной трапеции и дуги цепной линии, замечаем, что x^ = x8t a у$ = ~ ys, т. е. их абсциссы одинаковы, а ордината центра тяжести трапеции вдвое меньше ординаты центра тяжести дуги. Формулы для вычисления координат центра тяжести дуги AM цепной линии могут быть преобразованы к виду xs — x — (y — a) ctg а, у8 = i (.у + х ctg а), где а — угол, образованный касательной в точке М с осью Ох. Это следует из равенства s=atga. С помощью этих формул можно построить центр тяжести S дуги AM. Очевидно, его абсцисса х8 равна абсциссе точки пересечения касательных, проведенных в вер- шине А цепной линии и в точке М (рис. 22), а ордината у8
12] ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 117 равна половине отрезка, отсекаемого на оси Оу нормалью в точке Ж. Если абсциссы точек Мг и^ М2 (рис. 21) имеют оди- наковые знаки (например, 0 < xt < х2) и и s2— длины дуг AMt и X^2«(52>si), причем xSi, ySi, x8at у8а— коор- динаты центров тяжести этих дуг, то можно доказать, что координаты х8, ys центра тяжести дуги MtM2 длиной $ = $2 — определяются по формулам __ S2X82 $1*81 х»----------- ys= ^2Уз2~\УЧ ’ Если же абсциссы точек положные знаки, т. _е. эти стороны от оси Оу, то S = Sj "4- s2 и и М2 имеют противо- точки находятся по разные _ V«2 + SlXst -----------S .Катеноид. При вращении цепной линии y = ach — во- круг оси Ох получается по- верхность вращения, называе- Рис. 23. мая катеноидом (рис. 23). Вычислим объем V тела, ограни- ченного катеноидом, координатной плоскостью yOz и пло- скостью, параллельной ей и отстоящей от нее на рас- стоянии х. По известной из интегрального исчисления фор- муле будем иметь: dx = ка2 / ch2 — dx J а о = ~y~(x + a sh ifch ^) = 'Т'(-ах~^3У^
118 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III Площадь Q поверхности этой же части катеноида может быть вычислена по формуле 8 а? Q = 2к о о X — 2па j* ch2 dx = к (ах + sy). о Сравнивая выражения для объема V и площади поверх- ности Q, устанавливаем, что V — Q. Минимальные свойства цепной линии. Катеноид обла- дает замечательным свойством. Если поставить такую задачу: среди линий, соединяющих две данные точки плоскости хОу, найти ту, дуга которой при вращении вокруг оси Ох обра- зует поверхность с наименьшей площадью, — то, как мы сейчас увидим, такой линией окажется цепная линия.- Площадь поверхности вращения вычисляется по извест- ной формуле х% Q = 2ic f У ^Ч~У'2 dx. Xi Наша задача заключается в том, чтобы найти проходя- - щую через точки Af^Xp и М2(х2, у2) кривую, дуга которой MtM2 при вращении вокруг оси Ох образовала бы поверхность с наименьшей площадью Q. Допустим, что мы такую кривую нашли, пусть ее уравнение y — f(x). Если взять любую другую кривую ^ = /(х) + ат](х), проходящую через те же две точки, вследствие чего т|(х1) = т] (х2) = 0, то для достаточно малого а интеграл /(а) = J+ + dx будет больше*интеграла Z(0) = f ^/1 + у2 dx. а?!
12] ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 119 Следовательно, функция /(а) достигает минимума при а = 0. Но тогда для функции /(а) в точке а = 0 должно быть выполнено необходимое условие экстремума /'(0) = 0, причем это условие должно выполняться для всякой рас- сматриваемой функции т](х). Продифференцируем функ- цию 1(х) по а, положим в производной а = 0 и приравняем ее нулю. Имеем: /'(*) = = f [ V1 + (У + аУ)2 + (У + е«1) ] dx‘ а?! ''<»>= / (ч/Т+7+уй==.) «-=<>• Преобразуем вторую часть последнего интеграла, поль- зуясь формулой интегрирования по частям: О?2 #2 /i+/2 L. J''1 dx\v^+y'2 Так как iq(x1) = iq(x2) = 0, то первое слагаемое обращается в нуль, и мы получаем равенство [ т) [V1 +У2 — -т- ( г \ 1 dx = 0. XJ L dx\/i+/2/J Этот интеграл должен обращаться в нуль для всякой рассматриваемой функции т](х), а это возможно только, когда множитель при ?](х) в подынтегральной функции
120 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш равен нулю, т. е. когда /1+Z Раскроем второе слагаемое. Имеем: <УУ + /2) ]А + у'2 _ d / уу’ \ _____________________________У 1 + У _ dx ^1 + у'2 ) 1+у/2 yyff I у'2 уу’ЪуН = КГ+И + УТ+71 ~ (1+у'а)‘/а ’ Последнее уравнение при этом примет вид . 1 + /2______УУ"_________У’* I уу'*у" /Т+уг УТ+Т7 а+у'2)‘/а (1 - у у") (1+У2)+уу'2у"=о. и окончательно i+У2—^У' = о. Это дифференциальное уравнение рассмотрено в при- мере 8 п. 11. Его общее решение v — С ch у — СП £ представляет собой семейство цепных линий. *) В самом деле, если для любой непрерывной функции vj(x) ь интеграл J* yj(x) F(x) dx = 0, то F(x) = Q на отрезке [а, ft]. Допу- а стим противное, а именно, что в точке х = х0 отрезка [at ft] F(Xq) Ф 0, например F(xQ) > 0; тогда функция F(x)>0 в не- которой окрестности точки л = х0. Выберем функцию т)(х) так, чтобы iq(x)>0 в этой окрестности и г](х) = 0 вне этой ь окрестности, тогда и интеграл J* yj (х) F (х) dx > 0, что проти- а воречит условию.
12] ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 121 Итак, установлено, что экстремум площади поверхности вращения может достигаться только в случае, когда кривой y = f(x) является цепная линия. Можно доказать, что в этом случае действительно имеет место экстремум, и притом минимум, но доказательство мы опускаем. Цепная линия обладает еще одним минимальным свойст- вом: центр тяжести дуги плоской кривой заданной длины, закрепленной в двух точках своими концами, занимает наинизшее положение именно тогда, когда кривая—цеп- ная линияг. В этом можно убедиться из следующих сообра- жений. Как известно, ордината центра тяжести дуги плоской кривой вычисляется по формуле а* ________ J* У 1^1 + у'2 dx ' J* 1^1 + у'2 dx ж, Я?2 _______ По условию, J* 16 + y'2dx = I, где 1 = const. Следо- вательно, задача сводится к отысканию вида кривой, для Я?2 _____ которой интеграл J* yV\-\-yf2dx принимает наименьшее значение, а эта задача была решена выше, при рассмотрении вопроса о наименьшей площади поверхности вращения, и было показано, что такой кривой является цепная линия. Заметим, наконец, что при равновесии системы материаль- ных точек потенциальная энергия системы достигает мини- мума, поэтому тяжелая однородная гибкая нерастяжимая нить, закрепленная в двух точках, будет провисать по цеп- ной линии, так как минимуму потенциальной7 энергии соот- ветствует наинизшее положение центра тяжести. Рассмотрим ряд задач, решение которых приводит к цепг ной линии или которые связаны с цепной линией. Задачи, связанные с цепной линией. Задача 1. Гибкая однородная нерастяжимая проволока длины 25 закреплена концами в двух точках, находящихся на одной высоте и отстоящих друг от друга на расстоянии
122 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III 21 (/<$). Под действием собственного веса она прови- сает. Найти уравнение линии провисания проволоки. Решение. Выберем оси координат таким образом, чтобы ось Ох была горизонтальна, а ось Оу проходила посредине между точками Aft и Л12. При таком вы- боре осей абсциссы послед- них будут соответственно I и —/. . Из решения задачи о провисании нити (см. стр. 92) известно, что иско- мой кривой будет цепная линия у —#ch —. Но там л а параметр а был известен = — , где Н—гори- зонтальная проекция натяжения нити, a q — вес единицы длины нити), здесь же вся задача сводится к определению параметра а, равного расстоянию от начала координат до вершины цепной линии (рис. 24). По формуле для вычисления длины дуги кривой имеем: i i _____________ 2s= J'Vl + y'*dx= I']/' l + sh2ydx = 2ash-^-. -i -I Разлагая sh в степенной ряд (смг стр. 58), получим: ± —_LFl a a L 3! \ а) 5! \ а ) 3! (s — Z) ( I \2 Положим —~ = и, i — \ — z и перепишем послед- нее равенство в виде « — г + ЗГ +7Г z* + • • • = V Произведем обращение этого ряда, т. е. выразим из него z как функцию и. Тогда можно будет вычислить
121 ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 123 а = ^=-. Для этого составим ряд Маклорена для функции г = /(«): г=/(о)+<<а..+т„!+... +Л«)„.+ ... В этом разложении /(0) = 0, что вытекает непосред- ственно из ряда для и. Из неотрицательности z следует, что 2 — 0 при а=0. Для производных функции /(я) имеем: r<“>=-iFW J W- [?'(г)]5 Отсюда можно найти /' (0), /" (0), f" (0), .... положив z = 0. Итак, имеем: /'(0)=1. /"(°) = -^Г = -То • = ..... и потому 1 2 z—u~ 20 “2+ 525 “3+ Наша задача решена. Как было сказано выше, для на- хождения а остается взять отношение / к 1Аг \ Уг) Если требуется определить величину d—AB, т. е. рас- стояние от середины В хорды до вершины цепной линии („провес"), то берем разность / d= ach —---а = a (ch У z— 1), откуда после подстановки вместо сЬ]Лг его разложения в ряд получим: d ~ \ 2! + 4! + 6! + • ’ ’) • Остается заменить а на l/У z.
124 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III / Подставляя вместо z его выражение через и в виде ряда и пренебрегая членами порядка выше второго, будем иметь: 1 if~h । 7 379 А d~ 2 V1 + 120 U 201600 и )’ 6 (s — I) где и — . Так, если 21 — 50 м, 2s = 50,036 м, то d = 0,822 м. Вычисление величины d может понадобиться, например, при расчете провисания телеграфной проволоки. Задача 2. Определить горизонтальное натяжение в лю- бой точке цепи длиной 2s, подвешенной концами в двух точках, длина пролета между которыми равна 21, а разность высот 2h. Вес единицы длины цепи q. Решение. При решении этой задачи будем рассматри- вать цепь как гибкую нерастяжимую однородную нить. Выбе- рем оси координат так, как указано на рис. 25. Тогда ниж- няя точка цепи и оба конца будут иметь координаты А (0, а), л) и Л42(х2, у2). По условию задачи х2— xt — 2l и у2— yx — 2h. Так как точки и М2 лежат на цепной линии у=' = ach-^-, то их координаты удовлетворяют уравнению ли- нии, поэтому л = асН^-, л =
12] ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 125 и, следовательно, 2h = у2 — ух = a (ch — — ch —) = 2а sh — sh X1. si \ а a J 2a 2a Длина дуги цепной линии от точки j/j) до точки Л42(х2, у2) вычисляется по формуле О?2 ®я ________ 2s = У* Vl-!ry'idx = l + sh2 -J dx = /Я?я . . ch — dx = ash — — al sh — — sh — ) = a a x \ a a ) Xi . 1 ' • = 2ash^Lch^4^-. ,2a 2a Сократим каждое из последних равенств на 2, возведем в ква- драт обе части каждого из них и составим разность S2 _ — a2 sh2 X?~Xl (ch2 ^.+.Х2 _ Sh2 fl+f2 \ 2а \ 2а 2а ) Выражение, заключенное в скобки, рЬвно единице. По- этому S2 —ft2 = a2Sh2 —. Л Это равенство можно переписать в виде Sh 7Г _ VS2—*2 Z — I а Если заданы s, h и Z, то можно найти at а зная а и q9 можно определить горизонтальное натяжение Н. Произведем численный расчет для следующих данных: 2s—100 м% 2Л = 20 Mt 2Z = 50 м, а вес одного метра цепи равен 20 кГ (? = 20 Подставляя эти данные в правую часть последней фор- мулы, получим: —Л2 1Л2500—100 48,99 . пс ' ---/—=--------25----=~25~==1’96-
126 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III Остается решить уравнение 4^1,96, (*) . I где t ——. а Разложение гиперболического синуса sh/ в ряд по сте- пеням t (формула (2) п. 9) имеет вид: . . . . /з . /5 , /7 . sfU — /+3,-+ 5г+ тг+ ••• i Возьмем первые три члена и подставим в уравнение (*), получим: или ' /4+20/2—115,2 = 0. Решение этого биквадратного уравнения дает/2 = 4,66 (знак минус перед корнем в формуле отброшен, ибо /2 — существенно положительная величина), откуда / = 2,16. / /25 Так как / = —, то а = В свою очередь а = — , отсюда H = aq— 11,6 • 20 = 232 /сГ. Q Задача 3. В различных точках гибкой нити подвешены стержни с одинаковыми поперечными сечениями, но различ- ной длины. Нижние концы этих стержней расположены на горизонтальной прямой. Допуская что благодаря частому расположению стержней нагрузку можно считать распреде- ленной непрерывно, найти форму равновесия нити. Решение. Элемент MN нити находится, как и в за- даче, разобранной на стр. 92, под действием сил натяже- ния Т и T-\-dT в точках М и ДЛ (рис. 14), направленных по*касательным в этих точках, й под действием нагрузки W, направленной вертикально вниз. Разлагая силы Т и Т dT на горизонтальные и вертикальные составляющие Я, H-\-dH, V, V-^-dV и проектируя все действующие на элемент Л4Я силы на оси Ох и Оу, получим dH — Q, откуда Н = const, и dV = W.
121 ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 127 Так как = tga = y, где a — угол наклона касатель- ной к оси Ох, то V = Ну', откуда — Ну" и dV = Ну" dx. Нагрузка W пропорциональна площади элементарной криво- линейной трапеции PMNQ, т. е. равна ky dx. Следовательно, Ну" dx — ky dx или у".—а2у = 0, где положено a2. Это уравнение рассмотрено в примере 1 п. Ц. Его общее решение у = Ct ch ах + С2 sh ах. Для нахождения произвольных постоянных предположим, что низшая точка нити О^О, а), т. е. что у —а и j' = 0 при х = 0. Так как * у' — a (Ct sh ах -f - С2 ch ах), то при подстановке вместо у и у' их значений при х = 0 получим С1 = а,чС2 = 0 и, следовательно, « х у = а ch.—. г а Рассмотрим два шкива с приводным ремнем (рис. 26). Если предположить, что шкивы находятся в покое, то ре- шение задачи о провисании нити (см. стр. 92) показывает,
128 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ; МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III что приводной ремень располагается по цепной линии. Пред- положим теперь, что любая точка ремня движется равномерно со скоростью v. Заранее не очевидно, что и в этом случае приводной ремень будет провисать по цепной линии. Однако это так, и мы в этом убедимся из решения следующей задачи. Задача 4. Шкивы А и В вращаются так, что любая точка приводного ремня движется с одной и той же постоян- ной линейной скоростью v. Найти уравнение линии прови- сания ремня; вес погонного метра ремня равен q. Решение. Выделим бесконечно малый элемент ремня MN. На этот элемент, как и в задаче 1, действуют силы натяже- ния и вес. Если мы к этим силам присоединим фиктив- ную центробежную силу инерции, направленную по нор- мали к элементу, то, согласно принципу Даламбера, получим уравновешенную систему сил, для которых вместо уравне- ния движения можно рассматривать уравнения равновесия. Центробежная сила, действуя по нормали к элементу MN в точке Mt составляет с осями координат углы — и тс— а (а — угоЛ/Между касательной в точке М и осью Ох). Величина этой силы равна , где dm — масса элемента ремня длины ds, v— его скорость; а /? — радиус кривизны траектории, которую мы предполагаем совпадающей с линией провисания ремня. Так как dm = ^~-, a то величина центро- бежной силы инерций выразится через , а ее проекции гл z-ч qv* sin a da qv* COS a da на оси Ох и Оу соответственно через ----- и —2---------* Напишем уравнения равновесия: sin a da — О, g dV — cos a da—q ds —Q. Интегрируя первое уравнение, будем иметь равенство Н— ^cosa = /G (*) где К — постоянная интегрирования.
12] ЦЕПНАЯ линия 129 Если задать низшую точку провисающего ремня, в кото- рой горизонтальное натяжение равно HQt то, положив а = 0, найдем, что К = Нй—-—. g Второе уравнение перепишем так: d (v — sin а) = q ds. Умножив обе части равенства (*) на tg <х, получим: Я tg а — sin а = К tg а, g » у но так как -^- = tga, то /7tga = V и у — sin a = Ку' (tga = у'). Вследствие этого второе уравнение примет вид d (Ку') = qds или ay" = V 1 + у2, 1Z где положено ~ = а. Его общее решение (см. пример 11 I Q п. 11) _y = ach — --- представляет собой семейство цепных линий. Задача 5. Найти кривую, зная, что длина ее дуги 7ИОЛ4 = $ от неподвижной точки Л4о(О, а), касательная в ко- торой параллельна оси Ох, до переменной точки М(х, у) связана с радиусом кривизны R в точке М соотношением s2 = a(Z? — а),* где а = const (задано нормальное уравнение кривой). Решение. Так как радиус кривизны R в любой точке кривой, по определению, есть производная дуги кривой s по углу а, образованному касательной к кривой с осью Ох in ds X (/? = — ], то данное в условии задачи соотношение пере- ходит в дифференциальное уравнение с разделяющимися пе- ременными: si==a(^-a)‘ 9 Зак. 975. А. Р. Янпольский
130 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III Разделяя переменные, получим: a ds , *“5 i «Г "" "" WOt, §2 _|_ откуда, беря квадратуры, будем иметь: arctg-J = a + C. Определим С. Для этого заметим, что при х = 0 длина дуги кривой s = 0 и угол а~0, что вытекает из началь- ного условия tga = у' — 0 при х = 0. Следовательно, <? = 0 и полученный интеграл переходит в равенство arctg — = а, откуда s — aiga, или J* V1 + у'* dx = ayf. о Дифференцируя по х, получим уравнение ху" — V1 + у 2. Его общее решение (см. пример 11 п. 11) .у —«ch X+C1 4-С2. Для определения произвольных постоянных Сг и С2 ис- пользуем начальные условия: у = а, у = 0 при х = 0. Продифференцируем полученное решение; будем иметь: У = sh —!—- . л а Подстановка начальных условий в это равенство приводит к уравнению относительно Сх: sh—= 0, а откуда = 0. Подставляя начальные условия и Ct ~ 0 в общее реше- ние, получим: achO + C2 = a, откуда С2 = 0.
121 ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 131 Итак, окончательно уравнение искомой кривой примет вид «стандартного» уравнения цепной линии y = ach — . л а Если бы начальные условия были заданы в более общем виде: У = Уй> у'^у'о ПРИ Х = хо, то частное решение дифференциального уравнения ау" = = У1+У2> удовлетворяющее этим начальным условиям, можно получить из общего решения <y = ach— следующим образом. Найдя у из общего решения и подставив вместо х и у' числа х0 и у, получим уравнение для определения Ct: откуда х0 -[-.6^ = 0 Arsh y'Q и <4 = a Arsh у— х0. Подстановка начальных условий и вычисленного значе- ния в общее решение приводит к уравнению относи- тельно С2: хп 4’ aArsh Уа — = a ch-------2-----------Ь ^2» или Л = а ch Arsh у 4- С2, откуда С2 = у0— а V1 + у2. Следовательно, окончательно получаем частное решение в виде у = a ch + Arsh X) + Л—aV 1 + Уй • Задача 6. Найти кривую, зная, что радиус кривизны в любой ее точке равен длине отрезка нормали в этой точке. Решение. Длина отрезка нормали, как известно, равна | у V1+ У2 I» а РалиУС кривизны равен . Приравнивая друг другу эти выражения, составляем 9*
132 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ill . дифференциальное уравнение (1+/2)% \tfr = I^VT+Zl. или после сокращения на V 1 Ц- у2 и умножения обеих ча- стей на У': |^у| = 1+/2. Здесь следует рассмотреть два случая: когда у и У' одинакового знака (что при положительном у соответствует вогнутости кривой вверх) и когда у и у" имеют разные знаки. В первом случае наше уравнение записываем так: j/=i + y2. Его общее решение (см. пример 8 п. 11) ? = C1ch^±^ представляет собой семейство цепных линий. Во втором случае наше уравнение запишем так: О+У2)- Интегрирование этого уравнения проведем методом пони- жения порядка уравнения. Положим у — р; тогда у = р и наше уравнение переходив в уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: После разделения переменных и взятия квадратур по- лучим: 1 ln(l+p2) = - In j + lnCv Потенцирование дает откуда
12] ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 133 Заменив р через ~ , разделив переменные и взяв квадра- туры, будем иметь: /с?—у== ± (х+С2), откуда после возведения в квадрат получим в качестве ре- шения семейство окружностей с центрами на оси Ох: (х + С2)2 + у2 = С?. Задача 7. Полюс, относительно которого дано уравне- ние кривой rn cos «9 = ап, неразрывно связан с этой кривой. Найти геометрическое ме- сто точек, которое опишет полюс (рулету), когда кривая будет катиться без скольжения по оси Ох. Решение. В нашем случае 9 = -i arccos-^- , откуда dO ап хг л т-r — = —г . Уравнение неподвижной линии у = 0. По- dr этому первое и третье из уравнений системы (*) (стр. 111) примут вид ап _ 1 у = г Уr*n — F' W ’ /1 + [Г'(^)]2 ’ * Из первого из этих уравнений находим г~а {1 + [F' (Л)]2}2” и подставляем во второе уравнение; получим: 1-п T = a{l + [F'(X)]2} 2п . или 2п 2п у1-п = а1-п {l+[f'(X)]2}, откуда / 2п Г'm=£ = v и, следовательно, v С dY . „
134 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш В частности, при п = уравнение подвижной кривой г = = —представляет собой параболу. Дифференциальное COS 2 у уравнение рулеты = — 1 или у = aV 1 + (/2)- Его общий интеграл (см. пример 10 п. 11) — семейство цеп- ных линий j/ = ach—. При п — —1 дифференциальное уравнение рулеты dy = |/ —dx определяет семейство циклоид х4~С = -^- Arccos ~---------V аУ— У2 - При я = 2 уравнение подвижной кривой г2 cos 29 = а2 представляет со- бой равностороннюю гиперболу. Дифференциальное уравнение рулеты будет ~=~?4 ~ , откуда х= Г -У* Полу- ах У J у а4 — у4 ченный интеграл в конечном виде не берется. Упражнения • 1. Определить горизонтальную составляющую натяжения в лю- бой точйе цепи, подвешенной концами в двух точках и находящейся под действием собственного веса, если длина цепи 120 я, длина пролета между ее концами (разность абсцисс точек) 80 я, а раз- ность высот концов 10 я. Вес 1 я цепи 10 кГ. Отв, 242 кГ. 2. Найти кривые, обладающие следующими свойствами: а) проекция ординаты любой точки кривой на нормаль по- стоянна; б) отрезок нормали между любой точкой кривой, в которой проведена нормаль, и осью Ох пропорционален квадрату ординаты кривой; в) отрезок касательной между точкой касания и осью Ох про- порционален произведению квадрата ординаты точки на котангенс угла, образованного касательной с осью Ох. Отв. Во всех трех случаях получаем дифференциальное урав- 1 д» I нение у = ay 1 + у'2, его общее решение у = a ch----—- — се- мейство цепных линий. х 3. На цепной линии у = a ch — взята произвольная точка М(х, у). Ее проекция на ось Ох — точка Р, а проекция точки Р на касательную, проведенную в точке М цепной линии, — точка N. Доказать, что отрезок PN имеет постоянную длину, равную а.
12] ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 135 4. Найти кривую, радиус кривизны которой пропорционален отрезку нормали. Рассмотреть случаи, когда коэффициент пропор- циональности k = 1, 2. Отв. ± (х С2) = f-------"г~ - или же ± (х С2) = J / 2 . Интеграл берется в конечном виде при k целом. При k = 1 — семейство цепных линий у = ch (см, рб- С] шение задачи 6 на стр. Л31, случай 1) или семейство окружностей с центрами на оси Ох: (х -|- С2)2 + у2 = С\ (см. там же, случай 2). При k = 2 — семейство парабол (х С2)3 = 4Ct (у — Q) или семейство циклоид ± (х + С2) = Arccos — У Cjy — у2. 2. 5. Найти кривую, зная, что радиус кривизны в любой ее точке пропорционален квадрату секанса угла между касательной в этой точке с осью Ох. . Отв. у = a ch — + С2. 6. Сохраняя условия задачи 5, получить параметрические урав- нения искомой кривой, приняв за параметр угол а между касатель- ной и осью Ох. хт rx ds ds а . Указание. /<=-—, —- = «sec2a, ds = secadx, da da J da sin a , dx = a------, dy — a----o— da. cos a ' cos2 a ] x = «lntg(4 + 4)+ Cl’ Отв. < I я , ~ I у-----------(72. ( cos a 1 7. Найти кривую, зная, что площадь криволинейной трапеции PqMqMP, образованной дугой кривой М0М, постоянной ординатой Р0Л40, переменной ординатой РМ и осью Ох, пропорциональна длине дуги кривой. и х 4~ С* Отв. у = a ch----!. J а 8. Найти кривую, зная, что длина ее дуги s от некоторой по- стоянной точки до переменной точки М (х, у) пропорциональна угловому коэффициенту касательной в точке М. Отв. у = a ch + Сз»
136 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш 9. Сохраняя условия задачи 8, получить параметрические урав- нения искомой кривой, приняв за параметр угол а между касатель- ной и осью Ох. Отв. x = alntg^- + yj-f- Сь 10. Найти кривую, у которой длина дуги s = AM, отсчитывае- мая от ^некоторой постоянной точки А (х0, а), связана с ординатой переменной точки М (х, у) соотношением: a) s = У у2— а2; б) s = aln —. ' а Отв. а) у = a ch б) х — х0= У а2—у2 — a In ?—L (трактриса). 11. Составить параметрические уравнения трактрисы по ее на: %? туральному уравнению р2 я2 = а2е а х = a cos t, Отв. 1 + (* । М , . у = aln + —asln t. 12. Составить натуральное уравнение эволюты трактрисы, за- данной натуральным уравнением: 2(7 а) р2 + а2 == е а ; 2<з б) ^ + а* = а?е ~. Отв. а) /? = а 4- ; б) R = — а-----. 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Ох и трак- трисой х = a In а-~^~ —?---------У а2 — у2 Отв. . 14. Доказать, что длина дуги цепной линии у = a ch от вершины А (0, а) до точки М (х, у) равна У у2 — а2. 15. Вычислить длину дуги кривой: . 1 & 4" У* У 2 1 /"“о--о / \ а) х — a In ———-----------у а2 — у2 (трактриса) в пре- делах для у от b до а (0 < b < а);
12] ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 137 б) г = a th -2- в пределах для ср от 0 до 2п; в) х = a(sh t — О, y = #(ch/—1) в пределах для / от О до Г; г) у = In cth ~ в пределах для х от а до b (0 < а < Ь). Отв. а) я In 4-; b б) а (2я — th тс); t Т ,______ х _ /2ch-^4-VdF7 в) 2^ch-y /chT — lj — /2 In---------------'• 4 < sh b r) In—r—. f sh a 16. Вычислить длину дуги параболы у2 = рх от вершины О (0, 0) до точки М (х, у). У Указание. Применить формулу s и t dy при вычислении интеграла произвести подстановку = sh и. хг 2 Отв. 17. Вычислить длину дуги логарифмической кривой у = я!пх от точки A (at a In а) до точки М (х, у). х ______ Указание. Применить формулу s = j* yf" 1 -|- d a i_ при вычислении интеграла произвести подстановку -g- = sh я. Отв. Уа2+’х2 — a In а у 2 + a In (1 + V*2 ). 18. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью, образо* х ванной вращением цепной линии у = a ch вокруг оси Ох (ка- теноидом), и двумя плоскостями х — — b и Х=гЬ. „ па* ( ,2b . 2Ь\ Отв. -;r-(sh-— + . 2 \ а /
138 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш 19. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги цепной линии у = flch у в пределах от х = — b до х = Ь\ । а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу. Отв, a) па + a sh ; б) 2па (а b sh -------а ch . 20. В точке М (х, у) цепной линии у = а ch проведена ка- । сательная до пересечения с осью Ох в точке Г. Определить раз- ность площадей поверхностей, образованных вращением вокруг оси Ох дуги AM (Л — вершина цепной линии) и отрезка каса- 1 тельной. ТМ. Выразить эту разность: а) как функцию от абсциссы х точки М; б) как функцию от абсциссы X точки Т. да у ds = пах -|- sh — , 2 а I да ch3V х Q<> = пуМТ = тса2----. Следовательно, Q -= па (х — a cth-— ). sh— V а ' а Чтобы выразить Q в зависимости от X, следует в уравнении каса- тельной Y — у = у' (X — х) положить Y = 0; тогда х = X -|- a cth ~ , и поэтому Q = паХ. Отв. а) па ^х — a cth j ; б) паХ. 13. Некоторые прикладные задачи Гиперболические функции встречаются при решении раз- личных задач из механики, теплотехники, электротехники, химии и т. д. Рассмотрим некоторые из них. Падение тела в воздухе. Задача 1. Материаль- ная точка массы т падает в воздухе с начальной ско- 4 ростью, равной нулю. Принимая сопротивление воздуха пропорциональным квадрату скорости, найти закон движе- ния точки, т. е. пройденный ею путь s как функцию вре- мени t. Решение. Из курса динамики известно, что mw = F, где w— ускорение точки, a F— равнодействующая сил, действующих на точку. L
13] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 139 Выберем положительное направление на вертикальной прямой вниз, по линии действия силы тяжести. Тогда F = mg — cv2t где g— ускорение силы тяжести, а с — коэффициент про- порциональности (с > 0). Так как w = то дифференциальное уравнение дви- жения точки примет вид dv л т = mg — cv\ откуда, разделив на т, получим: где положено ~==^2* Попутно заметим, что так как > 0, то отсюда сле- дует, что g — £2п2>0, или Это дифференциаль- ное уравнение с разделяющимися переменными. После раз- деления переменных получим: dv at~ g — kW Неопределенный интеграл от вычисляем по формуле (16) п. Правой части уравнения 8 (с учетом того, что dv g — kW dv ArthСР kVg Vg Таким образом, мы приходим к общему интегралу t —L= Arth kVg VI Cit
140 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III Используя начальное условие (т> = 0 при £ = 0), нахо- дим Ct = 0, и потому частное решение будет 1 А XI. ----Arth -7=- kV g VI t Разрешив это уравнение относительно v, получим: ,= ’ан,(л/г(). «к При возрастании аргумента гиперболический тангенс стремится к единице, поэтому с возрастанием времени t ско- рость v стремится к предельному значению Для нахождения закона движения точки заменим в урав- /1 \ ds нении (1) скорость v через получим: откуда « = -Д-1п ch(/s/i/) + C2. Но s = 0 при t — Qt и потому С2 = 0. Следовательно, закон движения падающей точки будет иметь вид s=>lnch(*Уё*)- . (3) При достаточно больших значениях t можно считать, что у— У д t ch k у gttt g—, и мы получаем приближенную формулу Выразим из уравнения (3) t через s. Для этого умножим обе части уравнения на № и произведем потенцирование; получим: ch (&]/£/) = 0*4 * (4)
13] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 141 Так как Arch л: —In (х ±]/"х2—1) (см. формулу (8) п. 3), то уравнение (4) можно записать и так: f = + 1) . (5) k у g Перед корнем взят знак плюс, потому что в противном случае при возрастании s уменьшалось бы t, что противо- речит смыслу задачи. При больших значениях s можно в формуле (5) прене- бречь единицей, стоящей под знаком радикала, и получить приближенную формулу VgkV~g Можно получить еще соотношение между 5 и V, Если принять во внимание, что dv dv ds dv ~dF ds ~dt V ds' то исходное уравнение переходит в следующее: v = g — k2v2. ds ь Разделяя переменные, получим: , vdv US —— 1 — ' г л л | g—(t2v2 или после взятия квадратур s =---2^5-In (g— АМ) + С. Используя начальное условие $ = 0 при г/ = 0, находим п 1 . С= 2^2"Ing-, поэтому e-J ln g - * 2АЗ £ — AM’ или, разрешая относительно -п, v==^.yi — e-2^ в (6)
I 142 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [гЛ. III Выведенные формулы относятся к падению в воздухе материальной точки, но их можно рассматривать как при- ближенно верные и при падении тела. Однако в этом слу- чае необходимо учесть сопротивление воздуха, зависящее от величины, формы и веса тела, а также от плотности воздуха. При этом k определяется с помощью эмпирической формулы = (7) где 7 — удельный вес (в среднем 7 = 1,225 кГ)м\ что соответствует весу 1 м3 воздуха при давлении 760 мм и температуре 15° С); /—площадь .проекции тела на плоскость, перпендикулярную к направлению движения, в м2*, q— вес тела в кГ\ а—безразмерный, так называемый «коэф- фициент сопротивления», зависящий от формы тела и опре- деляемый опытным путем; так, например, для горизонтально падающей квадратной пластинки а = 0,631; для полусферы отверстием вниз (парашют) а = 0,664 и т. д. Формула (7) вместе с предыдущими результатами позво- ляет решить такую задачу. Задача 1а. Определить скорость, которую будет иметь через 2 сек после начала падения находящаяся до того в покое горизонтальная квадратная пластинка со сто- роной! м и весом 2 кГ. Предполагается, что при падении , пластинка остается горизонтальной. Решение. В данном случае й,= 0,<81.1.225.1 =0 386. ^1 = 5.038; bVl = 1,947. Подставляя эти значения, а такжё значение t — 2 сек в формулу (1), находим: v = 5,038 th 3,894 = 5,038 • 0,999 = 5,034 м!сек. Этот результат практически не отличается от предель- I VI ной скорости v I ^ = -^2- = 5,038 м!сек, которую вообще может достичь падающая пластинка. Таким образом, пре- дельная скорость, развиваемая теоретически через бесконечно
13] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 143 большой промежуток времени, практически достигается уже в конце второй секунды после начала падения. Движение материальной точки. Задача 2. Мате- риальная точка массы т движется прямолинейно под дейст- вием силы отталкивания от некоторого центра. Эта сила пропорциональна расстоянию точки от центра (коэффициент пропорциональности k > 0). Сила сопротивления среды пропорциональна скорости движения (коэффициент пропор- циональности kY > 0). Скорость в начальный момент, когда точка находится на расстоянии а от центра, равна vQ и направлена по прямой, соединяющей д^жущуюся точку с центром. Найти закон движения точки. Решение. Если примем центр за начало координат О, а траекторию точки— за ось Ох, то дифференциальное уравнение движения запишется в виде d2x , ,dx m-dfi==kx-^-dF> ' dx , л а начальные условия: х — а, — = v0 при t — 0. Путем деления обеих частей уравнения движения на т, получим: х" + — х'------- х = 0. 1 т т Общее решение этого уравнения (см. пример 3 п. 11): х = е"0* (Cr ch р/ + С2 sh р£), где положено = а, у а2 + = р. ай + Vn х=а, a С2=----~ и, следовательно, х = e~at(ach p^-J- aa + v° sh ₽/). Задача 3. Определить закон прямолинейного движе- ния материальной точки массы т, притягиваемой к центру с силой, пропорциональной расстоянию от этого центра (коэффициент пропорциональности mk2), Сопротивление
144 ПРИМЕ^/нИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III / среды пропорционально скорости (коэффициент пропорцио- нальности 2т/г > 0). В. начальный момент времени расстояние точки от центра равной, а скорость направлена по прямой, со- ( dx х = а и v — при t = 0). Решение. Дифференциальное уравнение движения > + 2Л-^ + ^ = 0. Корни характеристического уравнения: ri,2 = — h + У h2 — k2. Рассмотрим три случая. 1. h2 — &2<0. Положим k2 — h2 = krt тогда rlt2 — = — h ± ikv и общее решение будет х — e~ht (Ct cos kxt -j- С2 sin kxt). Из начальных условий находим, что с1=а. с,=^, и, следовательно, закон движения х е~м (a cos kJ -|- sin • Это уравнение можно преобразовать к виду х = Ае~м cos (kJ 4т а), где Оно определяет колебательное движение с периодом Т = ~ и переменной амплитудой Ае~м. 2. h2 — k2 > 0. Положим h2 — k2 = k^ тогда rlt2 — =— h ± k2, и общее решение (см. пример 3 п. И) будет X — e^ht (Сх ch k2t 4- Cz sh kzt).
13] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ \ 145 Из начальных условий находим С — а С — v* + ah С1 —а, с2— , и, следовательно, закон движения: х = e~ht\a ch k2t + sh k2t^. Движение апериодическое (не колебательное). 3. Л2 — &2 —0. В этом случае г1 = г2 = — h, и общее решение будет x — e~ht (С^С/). Из начальных условий находим = а,С2 — vQ-\-ah, и, следовательно, закон движения x = e~ht [а-1~(tfr-HO Как и в случае 2, движение аперио- дическое. Задача 4. Материальная точка массы т отталкивается от оси Ох с силой, пропорциональной расстоя- нию от этой оси (коэффициент про- порциональности тЛ2). В начальный момент времени расстояние между ними равно а, а скорость параллельна оси Ох и равна vQ (рис. 27). Найти уравнение траектории точки. Решение. Составляем систему дифференциальных уравнений движения точки на плоскости: d2x Л т = т&У- Из первого уравнения имеем х = С^-\-Сг, а из второго (см. пример 1 п. И) у = С3 ch kt + С4 sh kt. Начальные условия: х=0, х' = v0> у — а, у'~6 при t — Q. Подстав- ляя их в общие решения для х и у, получим: (71 = ^0» C*2z==:0, С3 —- и, C4 = Q, . Ю Зак. ?75. А. Р. Янпольскив
146 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III и уравнения движения точки (они же — уравнения траекто- рии в параметрическом виде) можно записать так: х = vQt, у — a ch kt. Исключим из этих уравнений t. Для этого из первого уравнения найдем —и подставим во второе уравнение; kx будем иметь у — я ch —. В частном случае, когда -~- = а, траекторией служит цепная линия y = ach-^. Скольжение цепочки. Задача 5. Тяжелая однород- ная цепочка длиной I расположена так, что часть ее лежит на гладком горизонталь- Рис. 28. почки -f-s', она придает ном столе, а конец ее дли- ной а свисает над краем стола (рис. 28). Из этого положе- ния^ цепочка начинает сколь- зить вниз. За какое время она соскользнет со стола? . Решение. Определим движение нижнего конца це- почки. Начало координат выбе- рем в точке О и направим ось Os вниз. * Абсцисса точки А в момент времени t равна 5. Ускоряющей силой является вес свисающей со стола части це- массе цепочки ускорение поэтому дифференциальное уравнение движения запишется в виде d*s at* mg d2s или Его общее решение (см. пример 1 п. 11): $ = C1chj/r^ + C2sh -рЛ
13] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 147 (ds \ $ = а, -^- = 0 ПРИ = опре- деляем С1 = а, С2 = 0, и закон движения будет s — achy -S-t. Когда цепочка соскользнет со стола, то s — lt и время скольжения Т можно определить из уравнения achj/~= откуда получаем, что Т = V — Arch — = 1/ —In —. г g arg а Если, например, /=6 м, а=1 м, то Т = = |/~|- 1п(6 + /з5) сек. Задача 6. Тяжелая однородная цепочка переброшена через гладкий гвоздь так, что с одной стороны свисает часть ее длиной 8 м, а с другой стороны — часть в 10 м. За какое время цепочка соскользнет с гвоздя? Решение. Обозначим через $ путь в метрах, пройден- ный за время t концом опускающейся части цепочки; длина этой части будет равна $+10, а поднимающейся 8—$. Ускоряющая сила при скольжении равна разности весов частей цепочки, свисающих с обеих сторон, т. е. F — = 7 [(10 + $)— (8 — $)] — 2*f ($ + 1), где 7 — вес 1 м це- Р “ почки. Ускорение w в момент времени t равно w= — = = 2-i ($+1) = &($+1), где ш — масса всей цепочки, 2т а й = -----коэффициент, который можно определить, если учесть, что в тот момент, когда вся цепочка соскользнет, т. е. при $ = 8, ее ускорение станет равным £ = 9,8 м!сек2. Следовательно, g = 9&, откуда k=-~. Составляем дифференциальное уравнение о — J_ dt* 9 6 — 9 ’ 10*
148 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III Общее решение соответствующего однородного уравне- ния (см. пример 1 п. 11) 2 = C1ch^~-/ + C2sh^y^Z, а ча- стное решение неоднородного уравнения S = —1. Поэтому общее решение нашего уравнения s = Cj ch 1 + С2 sh 1 — 1. (ds \ s = -^- = 0 при / = 01 находим Ct=l, С2 = 0. Следовательно, частным решением исходного уравнения будет функция s= chX^-f— 1. о Она определяет путь, пройденный концом опускающейся части цепи. Когда цепь соскользнетУс гвоздя, то $ = 8, поэтому ,8 = ch^-T—1, или ch^5-T = 9, откуда Т = A. Arch 9 = -^г In (9 + /80) « 3 сек. V g V g Движение шарика во вращающейся трубке. Задача 7. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой ско- ростью to вокруг перпендикуляр- ной к ней вертикальной оси ОА (рис. 29). Находящийся внутри трубки шарик М скользит по ней без трения. В начальный момент, шарик находится на рас- стоянии а от оси вращения; его начальная скорость равна нулю. Найти закон движения шарика относительно трубки. Решение. Обозначим рас- стояние от оси вращения до шарика через г. Задачу будем трубка оставалась неподвижной, но на шарик действовала центробежная сила ж2г, где Рис. 29. решать так, как если бы
13] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 149 т — масса шарика. Составим дифференциальное уравнение относительного движения tf2r 9 d2r 9 n т__~т(О2Г, ИЛИ -775----Ц)2Г = 0. dt* dt* Его общее решение г = C1ch cof + С2 sh wf (см. при- мер 1 п. 11). Из начальных условий [г—а и-^=0 при / = на- ходим Ct = a и С2 = 0. Поэтому закон относительного движения шарика будет r = achd)t Йели изменить начальные условия, предположив, что в начальный момент шарик находится на оси вращения и имеет скорость -и0 (вдоль трубки), т. е. г— 0 и = vQ . при / = 0, то Ct = Q и С2 = —, и частное решение при- мет вид г = — sh of. со Задача 8. Решить предыдущую задачу в предполо- жении, что шарик прикреплен к точке О пружиной. Сила действия пружины на шарик пропорциональна деформации, причем сила в k дин вызывает изменение длины пружины на 1 см. Длина пружины в свободном состоянии /. Масса шарика равна т. Решение. По условию задачи сила /действия пружины на шарик связана с деформацией 8 равенством /=с8, где с — коэффициент, подлежащий определению. Так как 8=1 при /=£, то c = kt и потому /=£8, но 8 = г — /, следо- вательно, сила действия пружины f~k(r — I). Суммарная величина F действующих на шарик сил равна F = zn(o2r — k(r — /). Поэтому дифференциальное уравнение имеет вид d2r о а/ a / 9 k \ kl т — ты2г — k(r — Г), или —ттг — со2-----] г = —. dt2 _ 7 df* \ т / т Начальные условия: г = 1 и -^- = 0 при f = 0.
150 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III Характеристическое уравнение имеет корнями числа О>2 — — т Рассмотрим три возможных случая. 1. k < /neo2; обозначим j/*о2— Уравнение запи- шется так: Общее решение z соответствующего однородного уравнения z = ch + С2 sh р/; частное решение R неоднородного уравнения, как легко видеть, будет kl m^ — k* и потому общее решение г неоднородного уравнения можно представить в виде r = Ct ch Из начальных условий находим, что С\ = и С2 = 0. Следовательно, закон относительного движения шарика в этом случае будет Г==---1----^0)2 ch^l/^ О)2--------k\. тир— k \ V mJ 2. А = /П(о2; уравнение приводится к виду dPr _ kl dtp т ’ откуда -^ = —/-l-Ci и г = -^-tP-\-Clt + С2. Из началь- dt т zm ных условий находим С2 = /, Сх = О. Следовательно, закон движения r=/(i +. А-А \ 1 2т )
13] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 151 k 3. /г>/п(1)2; введем обозначение-----ш2 = а2; уравнение запишется в виде rf2r dp 2 kl а2 г = — tn Общее решение z однородного уравнения: z = Cr cos at + С2 sin at, частное решение R неоднородного уравнения легко найти: п___ Общее решение неоднородного уравнения: * kl r = Cy cos at + Со sin at + -г-----------. 1 1 й 1 k — ты* Из начальных условий находим Сх —-----» ь2 = 0. Следовательно, закон движения: г = Т р- (k znw2 COS t У —--------о2). k — /710)2 \ r tn J Задача 9. Трубка вращается с угловой скоростью 2 рад!сек (см. условия задачи 7); в ней находятся два шарика с массами ^ = 300 г и zn2 = 200 г, соединенные легкой упругой пружиной длиной /= 10 см, причем в начальный Рис. 30. момент пружина не растянута и шарики одинаково удалены от оси вращения (рис. 30f. Сила 24 000 дн растягивает пру- жину на \см. Шарики удерживаются в указанном положении некоторым механизмом. В начальный момент времени действие
152 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III < механизма прекращается, и шарики приходят в движение. Найти закон движения каждого шарика относительно трубки. Решение. Обозначим через координату более тяже- лого шарика (относительно трубки) и через х2 — более лег- кого, причем отсчет будем вести от оси вращения, а ось Ох направим так, как показано на рис. 30. Если, согласно условию задачи, принять / = £8, где f — сила действия пружины на каждый из шариков, а 8 — дефор- мация пружины, то k — 24 000. Составим дифференциальные уравнения относительного движения каждого из шариков: — т1ш2х1 — *(xi— х2— Ю), т2-^а = /п2о>2х2 + &(х1 —х2—Ю)- Эту систему дифференциальных уравнений удобно решать так. Путем сложения обеих частей первого уравнения с соответ- ствующими частями второго получим: + т2х" = w2 + m2x2), | Обозначив т2х2 = и, получим уравнение и" — <в2и = 0. Его общее решение и = ch iot -f- C2sh wt или 3xt + 2x2 = = C1ch 2t-j- C2 sh 2t, где принято, согласно условию, о> = 2 . С± „ С% "7, t и положено -[эд— Ч и = С2. Начальные условия таковы: х1 = 5, х' = 0, х2 =—5, х' = 0 при / = 0. Вычислим 3xj4-2x' = 2(C1sh2^ + O2ch20 и подставим сюда, а также в выражение 3xt + 2x2 начальные условия. | Получим Сх = 5, С2 = 0 и, следовательно, I Зхх + 2х2 = 5 ch 2t. " У Отсюда находим * J x8 = |ch2/ — |х, (8) । J
13] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 153 и подставляем в первое из системы дифференциальных урав- нений, преобразованных к виду ' х" = (4 — 80) + 80х2 + 800, 4 = 120jq + (4 — 120) х2 — 1200. Подстановка исключает переменное х2 и приводит к урав- нению, содержащему только х1 и х": х" = —76*, + 80 ch 2t — yXj) + 800, или х" + 196xt = 200 ch 2t + 800. Решая это уравнение, получим общее решение однород- ного уравнения 2 = 6?!cos 14/—[—C2sin 14Z, а частное реше- ние X неоднородного уравнения будем искать в виде X=Xch2/+B. Так как при этом Х" —4ДсЬ2/, то, подставив X и X" в дифференциальное уравнение, получим тождество 200Д ch 2/ + 196В = 200 ch 2t + 800, откуда находим А= 1, В — следовательно, X = ch2^4“ . 200 х + ”49“ > и общее решение запишется в виде x1 = C1cos 14/—|— sin 14/ —ch 2^+^-. Остается определить Ct и С2. Начальные условия дают: к п । 1 - 200 п 4 . 6 = ^+1+-^-, откуда С1 = — 14С2 — 0, откуда С2 = 0. Окончательно, имеем закон движения шарика с массой 300 г: , 4 , . 200 Xi = ch 2/--^-cos Ш+-^.
154 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III Для нахождения закона движения шарика с массой 200 г подставим найденное выражение xt в равенство (8) и получим: х2 = | ch 2t — | (ch 2t — cos Г4/ 4- , ИЛИ , n, i 6 1 . 300 •^2 == ch 2/ —| COS 1 4/ ^g“ . Задача 10. Решить задачу 7 с учетом трения. Решение. Величина R трения вычисляется по закону Кулона /? = рР, где р— коэффициент трения скольжения, а Р — нормальное давление одного тела на другое. В нашем случае Р есть сила давления шарика на стенки трубки, т. е. сила Кориолиса, равная 2/по-и. Поэтому R = 2 /про Составляем дифференциальное уравнение относительного движения шарика: d2r 9 п dr т = /по2г — 2/про . dt£ ‘ dt Преобразовав его к виду d2r . п dr 9 л _+2иш—_ш2г = 0, замечаем, что получилось уравнение, рассмотренное в при- мере 3 п. 11. Его общее решение: Г = (схch (О /Т+7214- С2 sh <о/14-41). Вычислим производную -g- = е~^ [— (Ci ch to t -Ь С2 sh о) / Н^2 0]+ 4- е~^ [и /Т+р (Cj sh и /Т+7214- С2 ch ш /Т+72 /)] и подставим в выражение г и их значения из начальных условий (г = йи~ —0 при /=0). Имеем C1 — ai — рша 1+р2 С2 = 0, откуда С2 = ,
13] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 155 В соответствии с этим частное решение принимает вид о У* 1 рь21 У V 1+(*« sh а>1/" 1 |i21 Включение электродвижущей силы в контур. За- дача 11. Постоянная электродвижущая сила Е включается в контур, состоящий из последовательно соединенных катушки с индуктивностью L, сопротивления /? и емкости С (рис. 31). Найти силу тока I в любой момент времени Л если в началь- ный момент сила тока /0 в контуре и заряд конденсатора Qo равны нулю. Решение. На основании закона Кирхгофа (учитывая, что Qo = O) составляем уравнение t f ldl = E. О Продифференцировав обе части этого уравнения по t, получим линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами: R 1 Его характеристическое уравнение r2-|-— имеет корни rlt2 = — «±{3, где приняты обозначения: R л~ 2L ’ 1 CL *
156 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III Рассмотрим следующие случаи. D2 J 1. Общее решение (см. пример 3 п. 11) ch p/-|-C2sh $t). Для определения С± и С2 используем начальные условия. Первое условие /^=о = О дает Сх = 0 и, следовательно, I = C2e~at sh рл Второе условие получим, если положим f = 0 в исходном уравнении, что дает = Е. ^к=0 (9) Вычислим производную и подставим ее, в последнее равенство. Имеем ^£ = C2e-«‘(-ash₽/ + pch₽O; = £ Поэтому C2{3L = Et откуда С2 = -ц-. Окончательное искомое частное решение нашего уравне- ния будет 1 = Д=Де-<* sh 8f. pz, г 4 02 1 >--- 2. —с£<0; в этом случае p = Zo, где 1—у—1, а со = 1/ — -г-;-:-вещественное число. V CL 44* Общее решение уравнения: I = е~^ (Сх cos mt + С2 sin cof). Используем начальные условия. Первое условие (/11 в0 =0) дает Сг = 0, и потому решение принимает вид I—C2e~at sin cof. Вычислим производную ^~=С2£~а* (— a sin mt + о cos mt). Так как —A = C2o, to условие (9) дает C2mL — E, откуда
13] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 157 С, — —г и, следовательно, окончательно Е 1 = —т- е~л* sin шЛ <>£, 1 3. ТлГ— 7v = ®» в этом слУчае общее решение имеет вид Первое начальное условие дает Ct = 0, и потому / = = С2?е_Ч Так как ^=C3e~at{— af-f-l), то 4? I —Сг, } U«0 Е и равенство (9) переходит в C2L==E, откуда C2 = -j-. Окончательно частное решение уравнения в этом случае Задача 12. Индуктивность L, емкость С и сопротив- ление R соединены согласно схеме, изображенной на рис. 32. В контур включается постоянная электродвижущая сила Е, причем до ее включения токи и заряды в системе отсутство- вали. Найти силу тока /, протекающего в катушке самоин- дукции, как функцию времени Л
158 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III Решение. Обозначим через /х силу тока в цепи aRb и составим систему уравнений задачи на основании закона Кирхгофа: t ‘v+т/ ; (ю) f = ' 4 о Исключим из этой системы /х. Сложив соответствующие части обоих уравнений, получим: (И) Если продифференцировать по t обе части первого из уравнений (10), то получим: L^_|_1Z_1Z -о L dfl С 1 * * * с'1 — "’ откуда /1 = CLg + /. При подстановке Ц в уравнение (11) будем иметь: L CLR %£ + RI=E at * аг2 1 или уравнение dP'CR dt 'CL 1 ~ CLR9 в котором /t отсутствует. Будем решать уравнение (12). Корни его характеристи- ческого уравнения равны rit 2 = — а ± р, причем 1 ~ о 2C7?~a’ Vя CL~V' Предположим сперва, что а2>^д« Тогда общее реше- ние z соответствующего однородного уравнения будет (см.
13] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 159 пример 3 п. 11) z = e~at (Ci ch + C2 sh 00- Частное решение I неоднородного уравнения (12) будем — — — \ Е искать в виде I = А, Тогда /'= /" —0 и = ~CLR * л Е * ' откуда А = -R. _ Е Следовательно, 1 — -п> а общее решение уравнения (12), равное сумме будет / = 4- + e~at (С, ch 0f + С2 sh 0/). f\ (13) Определим Ct и С2 из начальных условий. Так как 1 = 0 при t — 0, то из (13) получим -^- + С1 = 0, откуда С, — —Д, и потому / = -f--|~e-af(c2sh8i?—^-ch0/). Вычислим ~t> Имеем: g= e~at [ — а(С2 sh ch 0f)+0 (с2 ch $t — sh 0/)]. Положив здесь t = 0, получим: — I dt L=o Теперь можно определить и С2. Учитывая, что при t = 0 не только / = 0, но и Д —0, из уравнения (11) получим: ^ + LPC2 = £, откуда r _ Е (. La\_ Е IR \ 2 — R)~R^\L “/• Окончательно частное решение / для случая а2 > -~ запишется так:
160 ПРИМЕНЕНИЕ б ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III Теперь предположим, что a2<-^v. Тогда р — мнимое С* Lt число, и мы положим p = Zu), где вещественное число ш=Уг^-“2- В этом случае совершенно аналогично получим частное решение I в виде / = Д 11 Г COS со/ 4~ — Д') sin (1)/ К ( L \ <0 ЬСО/ Задача 13. Постоянная электродвижущая сила Е вклю- чается в цепь, состоящую из двух индуктивно связанных контуров, изображенных на рис. 33. Найти силы тока It и /2 в обоих контурах в зависимости от времени /, если включение производится при нулевых начальных условиях. Решение. Согласно закону Кирхгофа, составляем сис- тему дифференциальных уравнений: 1,§+ад+л1$=е. (И) Здесь М — коэффициент взаимной индукции контуров, осталь- ные обозначения такие же, как и в предыдущей задаче.
13] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 161 Из системы уравнений (14) исключим Для этого умножим обе части первого уравнения на £2,.а второго — на — 214 и сложим их. Будем иметь: — М2) § + ЦЦ — MR2I2 = Lfl или = (15) получилось в результате деления обеих частей преды- М2 — ^2 __2a что дущего уравнения на и замены ^ = 202. Продифференцируем обе части уравнения, найдем выра- жение и подставим его в первое из уравнений (14): dh_Ri(l — ^)d^Ii . Rt dli. dt 4Л4а1а2 dt2 ’ 2Afag dt ’ /?1(1 — fe2) । (Ri । *1\dl± 4axa2 d& \2a2 ‘ 2ax) dt E. Разделим обе части полученного уравнения на коэффициент при будем иметь: d2Zx I 2 (al + as) dll . 4a1a2 , _ 4£axa2 1 —£2 /^(l —£2)’ или ^/11 n//ii 4axa2 r _ 4£aia2 где положено Д1 + a2 _ 1 — Л2 Так как корни характеристического уравнения Г1 э2 = — а ± р, где положено j/*a2 — то общее решение z соответствующего однородного дифференциального j] Зак. 975. А. Р. Янпольский
162 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш уравнения (см. пример 3 п. 11): z = e~at (Ci ch + С2 sh р/)- (17) Найдем методом неопределенных коэффициентов частное решение Д неоднородного уравнения. Пусть 11 = А, где А — подлежащий определению коэффициент. Так как = О и = 0, то дифференциальное урав- нение (16) переходит в алгебраическое уравнение относи- тельно Л: 4*1*2 л—— 4£g1ct2 Г=Рл-/гТ(1-Н’ (18) . Е откуда Л = 75-. - 'е Итак, 4 = — , а следовательно, общее решение уравне- ния (16) будет иметь вид /1 = ^(C1ch^+C2sh^)+^. (19) Для определения произвольных постоянных используем начальные условия: 4 = 0 и /2 = 0 при £ = 0. Подстановка первого из них в решение (19) сразу дает Е ~~ Ct = —Поэтому решение (19) запишется так: /1 = е-<* (с2 sh ch ₽/) + . Возьмем производную ^- = e-rf[-o(c2sh₽/-;|ch p^ + ₽(c2ch^-Ash ₽f)] и вычислим ее значение при / = 0; имеем: Подставив найденное значение производной и значения /1==sJ2 = 0 из начальных условий в уравнение (15), получим уравнение для определения С2: (1-л>)(^+с.₽)=?а£.
131 НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 165 Учитывая, что о = » преобразуем последнее урав- нение к виду (ах 4- «а) £ +-(^(1 —#)==^, откуда С — (я1~ аа)£ 2~ ₽(1_Л8)Л1 Окончательно частное решение /t запишется так: А = [pq—fts) sh —ch pf]. Аналогичным образом можно найти частное решение /2- Установившееся распределение температуры в стержне. Задача 14. Концы тонкого однородного призматического стержня длиной I поддерживаются при постоянных темпера- турах Tt и Г2. Площадь и периметр поперечного сечения стержня равны соответственно а и р. Температура окружаю- щей среды То. Коэффициент теплопроводности стержня, зависящий от его вещества, k. Коэффициент теплоотдачи от стержня к окружающей среде рь. Найти установившееся (т. е. не зависящее от времени) распределение температуры в стержне. Решение. Выберем начало отсчета на левом конце стержня и направим ось Ох по оси стержня (рис. 34). Вы- делим бесконечно малый элемент стержня dx между двумя Рис. 34. сечениями х и x-\-dx. Согласно основному допущению тео- рии теплопроводности, тепловой поток через элементар- ную площадку в направлении Ох при установившейся температуре пропорционален площади а и скорости паде- ния температуры в направлении Ох — температурному 11*
164 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЙ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III / CL1 градиенту r> idT Q = ~k^ (знак минус берется потому, что тепло распространяется от более нагретой части стержня к менее нагретой, так что Q > 0 в том именно случае, когда температура Т в напра- dT влении Ох падает, т. е. когда — < 0, и наоборот, Q < О, (1 х dT когда > 0). Поэтому количество тепла Q, которое пройдет через первое сечение х за единицу времени, равно (2 —— а чеРез вт°Рое сечение x-]-dx пройдет коли- чество тепла Q+ dQ = — ka [4^-+ d . Следовательно, если бы не было теплоотдачи в окружающую среду, то в выделенном элементе — dQ=ka^dx. задержалось бы количество тепла Согласно закону Ньютона, количество тепла, отдаваемое элементом поверхности при температуре Т окружающей среде температуры TQ за время dt, пропор- ционально площади (в нашем случае pdx), времени dt и разности температур Т — TQ *). Это количество тепла за единицу времени составляет ppdx(T—TQ) (мы полагаем стержень настолько тонким, что теплоотдачей через площади концов стержня можно пренебречь), и оно равно — dQ, вы- численному выше. Приравнивая друг другу эти величины, получаем дифференциальное уравнение Ас — dx = pp(T—TQ) dx ИЛИ —----а2(Т—То) = 0, где положено -^- = а2. ♦) Закон Ньютона приближенный, он справедлив только при j небольших разностях температур Т — Tq. | £
13] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 165 Если обозначить Т—Т0 — у, то мы приходим к уравне- нию У' — a2j/ = 0. Его общее решение (см. пример 1 п. И): Т — То = Сх ch ах + С2 sh ах. Произвольные постоянные и С2 определим из гранич- ных условий П£В=о = 7'1 и Т\^ = Т2. Имеем: г —т т Г _ (Г2—Го) — (Tj — То) ch а/ ci—— 70’ Ч— ? - и следовательно, частным решением будет 'г 'г т \ и I (^2—Гр)— (Гг— Гр) ch al , т — то = (7\ — то)ch ах + ~ ---sh ах. Правую часть можно преобразовать, приведя ее к общему знаменателю: (7\ — Го) (sh al ch ах — chai sh ax) 4- (Г2— Го) sh ax_ sh al _ (Гг — Го) sh a (Z x) + (Г2 — Го) sh ax sh al Таким ^образом, температура в стержне распределяется по закону Т___У» __ (Л — Гр) sh a (Z — х) 4~ (Г2 — Гр) sh ах 0 sh al Произведем числовой расчет. Пусть р/а=72,5; £ = 330; И=Ю; a = Vwlka = 1,48; /=1; То=0; Л=200; 7’2=100. Из таблиц гиперболических функций находим sh al — = sh 1,48 — 2,083, и потому Т = 47,9 sh 1,48х + 95,8 sh 1,48 (1 — х). Для этой функции можно составить таблицу и построить график (рис. 35). X (J0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 1,0 У (°C) 200,0 156,3 126,7 108,4 99,4 99,2 100,0 12 Зак. 975. А. Р. Янпольский
166 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III Исследование функции Т показывает, что минимум ее находится вблизи менее нагретого конца стержня. Чем больше значение а, тем более резким будет этот минимум. При а —О дифференциальное уравнение принимает вид его общее решение Т = С1х + С2 представляет собой се- мейство прямых. Предположим, что температура окружающей среды То=0, и вычислим количество тепла, отдаваемое стержнем среде за единицу времени. Элемент dx стержня отдает тепло в количестве ~ , 1\sha(l — x)+r2shax, dQ = щ>Т dx = ур -----L—------------dXf а количество тепла, отдаваемое всем стержнем, равно i Q = ТКдГ fI?1 sh a (l~ sh ax^dx = 0 = TO" [- Л ch «(/ - X) + T2 ch = =тог (ch al~ o+?2 <ch al~ oj = u,„(T. +7’2)2sh2-^ =--------al al 2a sh ch -g- Задача 15. Решить задачу 14 при условии, что тем- пература на правом конце нё задана. Решение. Совершенно ясно, что весь ход решения предыдущей задачи остается без изменения вплоть до соста- вления дифференциального уравнения и нахождения его ре- шения. Расхождение имеет место только в граничных усло- виях, из которых сохраняется только одно (Т = 7\), а второе предстоит установить. Для этой цели вычислим количество тепла, подводимого к концу х = / стержня, , ЛТ I — гсс-т— , и приравняем его количеству тепла, отдавае- ах \х—1
13] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 167 мого среде через сечение х = / стержня, (Т — То будем иметь: Это и есть второе граничное условие. Если теперь продифференцировать общее решение урав- ~ dT нения и подставить в выражения Т и — их значения при х — I, то из послед- него граничного условия найдем соотношение между и С2. Зная Ct из пер- вого граничного условия, найдем из этого соотноше- ния и С2. Обычно теплоотдачей че- рез конец стержня прене- брегают, полагая ее ни- чтожно малой сравнительно с теплоотдачей через боко- вую поверхность стержня. Это равносильно тому, что во втором граничном усло- вии полагают р. = 0, вслед- ствие чего оно примет вид: 4^1 =0 или C1sha/ + dx isp—i 4-C2ch al=Q. Из этого равенства на- ходим; С2 = — С1 th al, а так как Ct = Tt— То, то С2 = — (7\— TQ)thal и частное решение принимает вид Г— То = (7\— TQ) (ch ах — th al sh ax), или 'T* qr> _ /qn m \ ch a (I — x) / —'o —Ui—'o) —• 12*
168 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III Заметим, между прочим, что если полагать стержень до- статочно длинным, то th al очень близок к единице. Предположим, что температура среды То = 0, и опре- делим температуру на правом конце стержня, т. е. при x~L Общее решение в этом случае будет Т = ch ах + С2 sh ах. Для нахождения произвольных постоянных используем граничные условия: Т| = 7\, p.7’1 + Л-С1 =°- 1а>0 1 r U-i dx U-j Первое условие дает С1 = Т1, а второе — pi (Ct ch al + С2 sh al) + ka (Cx sh al + C2 ch al) — 0, или (pt ch aZ + ka sh al) Cx-|- (p. sh al 4~ ka ch al) C2 = 0, откуда p _____T p.ch al 4- feash al 2“ 1 p sh al + ka ch al * и потому ~ ™ . и ch al 4- ka sh al . \ T = 7j (ch ax — ' a—с—г sh ax . 1 \ p. sh al 4- ka ch al , / Температуру Tg на правом конце стержня получим, если в этой формуле положим x==Z: ~ 'г I 1 pchaZ+^shaZ . ~ ka 2 х\ р. sh al 4- ka ch al ) 1 pshaZ + kazhal Вычислим количество тепла, отдаваемое стержнем в тече- ние единицы времени. Очевидно, оно равно тому количеству тепла, которое пройдет за это время через начальное сече- 1 ние стержня х = 0, а именно: Qo = — Ла-Cl = Лаа(7\ —T0)th а/. 4 ах Произведем числовой расчет для решения следующей задачи. Задача 16. В подшипнике вала установившаяся тем- пература конца вала, где находится подшипник, превышает j
13] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 169 температуру воздуха на 60° С. Вычислить часовое количество тепла, отводимого вдоль вала, если длина вала /=1 м, диаметр сечения вала d = 6 см, так что а = 0,0028 м2, р = 0,189 м. Кроме того, известно, что л кал , гл кал и = 6———------ a k = 50----------. г • С • час м • °C • час Решение. По формуле а = V^p/ka находим в нашем случае а = 2,85—, и искомое количество тепла Q = 50 • 0,0028 • 2,85 • 60 • 0,9933 « 24 кал^ас. Задача о распределении температуры в стержне значи- тельно упростится, если предположить, что стержень полу- ограниченный, т. е. имеет один конец, например, левый х = 0, а вправо простирается в бесконечность. В этом слу- чае общее решение дифференциального уравнения удобно взять в форме Т — Tq = Cteax + C2e~aa>t а произвольные постоянные Сх и С2 можно определить из граничных условий 7'|aJ_0 = 7'1 и Т|ш=со = Т0. Из второго условия заключаем, что Сх = 0. В самом деле, С2е~ах — 0 при х = оо й любом множителе С2; следо- вательно, необходимо, чтобы при х = оо и С1еаа> = 0, а это возможно только при Сх = 0. Обращаясь к первому условию, находим С2 = Т\— TQ. Итак, частное решение будет иметь вид Г—Т0 = (Л —То)^. Полученный результат можно использовать при решении следующей задачи. Задача 17. У двух длинных круглых стержней, из которых один несколько толще другого, на одном конце поддерживается температура Tt. Оба стержня сделаны из одного и того же материала и оба отдают часть тепла
170 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III в окружающий воздух постоянной температуры То. Какой из них будет теплее на расстоянии единицы длины от нагретого конца? Решение. На основании предыдущего имеем для более тонкого стержня закон распределения температуры Т(1) — То = (7\ — То) е~а^, где (периметр сечения стержня pt = 2rcrf, площадь сечения о1 = кг2, где rt — радиус), а для более толстого стержня Т(2) — TQ = (Tl — TQ)e-a^t где а2 = У2р/1гг2 (г2 — радиус сечения толстого стержня). Возьмем отношение • Tq _ (at-a2) оо T^-Tq и положим в нем х = 1, одновременно заменив и а2 их выражениями через i\ и г2. Тогда Н2> — Tq T^—Tq 1 X 1/ Уга -V Vr2 / ---g к Угхг2 Так как r2 > rv то Vr2-Vгх > 0, и показатель степени в правой части положительный. Отсюда следует, что правая часть больше единицы; значит, Z(2)—7~о . Г(1> — ИЛИ yi(2) > 7^(1) т. е. на расстоянии единицы от нагретого конца темпера- тура более толстого стержня выше температуры более тонкого. Ионизация газа. Задача 18. При ионизирующем дей- ствии постоянного излучения в газовой среде за одну секунду образуется q положительных и столько же отрица- тельных ионов в данном объеме газа. Вследствие того что
13] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 171 положительные и отрицательные ионы снова соединяются между собой (рекомбинируют), количество их убывает. Принимая, что из общего числа п положительных ионов в каждую секунду рекомбинирует часть в количестве, про- порциональном п2 (коэффициент пропорциональности а за- висит от природы и состояния газа), найти зависимость между количеством ионов п и временем /. Решение. Составляем дифференциальное уравнение процесса ионизации; согласно условию задачи: Это дифференциальное уравнение с разделяющимися пере- менными. Разделение переменных приводит его к виду -——-------\-dt = O. а Общий интеграл этого уравнения: Arth j/*= Уaq t-\-C откуда или Так как п = 0 при t — 0, то С = 0, и частное решение, определяющее искомую зависимость числа ионов п от времени t, принимает вид « = у th(/af t). Диффузия, сопровождаемая химической реакцией. Задача 19. При поглощении газа раствором процесс диф- фузии газа в раствор происходит стационарно и сопрово- ждается химической реакцией, скорость которой пропор- циональна концентрации растворенного в жидкости газа,
172 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Щ а скорость диффузии пропорциональна градиенту концен- трации. Найти концентрацию т растворенного в жидкости газа как функцию толщины х диффузионного слоя, считая от Газ Жидкость dx- плоскости раздела газа с жидко- стью. Концентрация 7 и гра- диент концентрации 7' в точках раздела фаз х = 0 равны соот- ветственно *f0 и *('; коэффи- циент диффузии — D, коэффи- циент скорости реакции—k (D и k — постоянные). Решение. Представим себе диффузионный слой жидкости, примыкающий к межфазовой границе газ — жидкость (рис. 36). В любой части плоскости, пер- пендикулярной к направлению диффузии, условия процесса оди- наковы. Скорость диффузии в точ- ках плоскости, отстоящей от Рис. 36. плоскости раздела фаз на расстоянии х, равна — знак минус берется потому, что концентрация уменьшается в направлении диффузионного потока. За время dt коли- чество газа, продиффундировавш^го через единичную пло- щадку, равно —dtt а через границу элементарного ах слоя, отстоящего от плоскости раздела фаз на x-\-dx\ — dt — ax b+do? 44 + d dx b ' Поэтому количество диффундирующего газа, вступившего в химическую реакцию, в элементарном объеме равно Q = Dd (44 dt = D -^-dx dt. \dx) dx* Это же количество газа может быть подсчитано и дру- гим способом, как произведение скорости химической реак- ции
13] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 173 на объем элемента, равный dx (площадь его равна единице), и на dt, т. е. Q — ky dx dt. Приравнивая друг другу оба выражения для Q, соста- вляем дифференциальное уравнение О dx dt = £7 dx dt, или —a2Y = 0, где положено ~^- = a2. Его общее решение (см. пример 1 п. 11): 7 = Ct ch ах + С2 sh ах. Для определения Сх и С2 используем начальные условия: d^ * 7 = 7О и — То ПРИ х = 0- Вычислим производную ~ = a (Сх sh ах + С2 ch ах) и подставим в выражения 7 и их значения при х = О, г получим Ci = 7o и С2 = —, и следовательно, изменение кон- центрации газа по толщине диффузионного слоя дается формулой / 7 = 70 ch ах 4- sh ах. Частное решение можно получить и из других гранич- ных условий, когда задана концентрация газа в пограничном слое х = 0 и в слое х~1, расположенном на расстоя- нии I от пограничного слоя: 7=70 при х = 0 и 7=71 при х = 1. Тогда, подставляя в выражение 7 из общего решения его значения при х — 0 и х = /, получим С1 = 70, как раньше, и 7Х = 70 ch aZ + C2 sh al, откуда C2 — —-•
174 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Щ .а следовательно, 1 । Ti — То ch al . 7 — 7 ch ах + ---sh ax. 1 10 1 shaZ Преобразовав правую часть, приведя ее к общему знамена- телю и использовав формулу для гиперболического синуса разности аргументов, получим: 71 sh ах 4~ То sh д (Z — х) sh al Размножение бактерий. Задача 20. Предполагая, что бактерии размножаются пропорционально их наличному коли- честву, но в то же время вырабатывают яд, истребляющий их пропорционально количеству яда и количеству бактерий,, причем скорость выработки яда пропорциональна наличному количеству бактерий, показать, что число бактерий N сначала возрастает до некоторого наибольшего значения М, а затем убывает до нуля и в момент времени t определяется фор- мулой z N =________, Ch2^- где время t измеряется от того момента, когда N = M. Решение, гласно условию уравнений Обозначим количество яда через х и, со- задачи, составим систему дифференциальных ( dN t KT , KT —— = kN — kxNx, dt 1 dx , ., dx ——соответственно скорость (20) размножения O dN Здесь -гг и at бактерий и скорость выработки яда, a kx и k2— коэффи- циенты пропорциональности. Разделив обе части первого уравнения системы (20) на соответствующие части второго, получим дифференциаль- ное уравнение с разделяющимися переменными: dN k —— = ------- dx k2 k2
13] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 175 откуда N = ^-x — т^-х2 + С. k2 2&2 Так как х = 0 при N = 0, то С = 0, и таким образом, связь между числом бактерий и количеством яда устана- вливается формулой N = ах — Ьх2, (21) где положено ’k;—a' 2k2~b- (22) График функции N (х) представляет собой параболу, проходя- щую через начало координат и через точку А , 0^, с осью симметрии, параллельной оси ON, и с вершиной в точке ’ 4b)' Следовательно, ^ = ^ = £=2^- (23) Найдем теперь зависимость количества бактерий от времени t. Для этого преобразуем равенство (21) к виду Ьх2 — ax-\-N = О и разрешим его относительно х\ получим: у — а х ~ 2b “ V lb* b ‘ Это выражение х через N подставим в первое из уравне- ний (20); будем иметь: dt ~ ™ 2b V 4b* b * Принимая во внимание соотношения (22) и (23), замечаем что первые два члена в правой части взаимно уничтожаются.
176 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш а последний равен T±kN у 1 —Поэтому уравнение (24) запишется так: --г- = Т W V 1-----------ту dt г М а это есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. После разделения переменных оно приводится к виду dtf = + kdt. (25) dN _ вычислим с помощью под- 1-A M / N становки у 1 ~= у, из которой следует, что N = =7И(1—у2), г dN = —2Mydy. Поэтому J=—2 I 2 — = — 2 Arth .?+<?! = — 2 Arth у 1— +CP 0 < -г?- < 1, и следовательно, у = 1/ 1-----гг < 1 • М г Л4 так как Таким образом, общий интеграл уравнения (25) будет — 2 Arth 1—A_j_ci=±fet Произвольную постоянную определим из начального условия N=M при / = 0, которое дает ^ = 0, и, значит, Частный интеграл уравнения (25) будет 2 Arth l/~ 1 — = ± kt, г М или
18] НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 177 Возведем обе части последнего уравнения в квадрат и разрешим его относительно Л[. Получим: М = лЦ1—th2 ИЛИ Упражнения 1. Найти закон движения тела, свободно падающего без начальной скорости, если полагать сопротивление воздуха пропорциональным квадрату скорости, причем предельная скорость равна 75 м/сек. „ 75* , .9 , Отв. s =----In ch == t. g 75 2. Вес парашютиста вместе с парашютом равен 100 кГ. Пре- дельная скорость равна 5 м/сек. Каков должен быть радиус R парашюта? Указание. Использовать эмпирическую формулу &2 = а -Ж, Я где № = ~ (т — масса падающего тела, с — коэффициент пропор- циональности силы сопротивления квадрату скорости), 7—удельный вес воздуха (в среднем 7 =х 1,225 кГ/м*), площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную к направлению движения, в м\ # —вес тела в кГ, а а — безразмерный эмпирический коэф- фициент, который для парашюта принимается равным 0,664. Отв. R = 3,9 м. 3. Материальная точка массы т движется прямолинейно под действием постоянной силы Р. Сопротивление среды пропорцио- нально квадрату скорости (коэффициент пропорциональности k > 0). Найти закон движения, если в начальный момент времени путь и скорость равны нулю. ~ т t , VkP . Отв. s = — In ch ~---t. k m 4. Материальная точка массы m отталкивается от центра с силой, пропорциональной расстоянию до этого центра (коэффи- циент пропорциональности т№). В начальный момент времени точка находится на расстоянии а от центра, а скорость перпенди- кулярна к прямой, соединяющей начальное положение с центром, и равна t/0. Найти уравнения движения и траекторию точки. Отв. х == a ch kt, у = — sh kt, т. е. ( v \ъ = 1 (гипеРб°ла) (т)
178 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ (ГЛ. Ш 5. На материальную точку массы т параллельно оси Оу в no- о. та2 о ложительном направлении действует сила, равная —У- В началь- ный момент времени х » 0, у = Ь, = а, ~~ = 0. Найти урав- нения движения и траекторию точки. Отв. х = at, у = ch ~ Z; у = b ch 4- (цепная линия). о b 6. Найти уравнения движения материальной точки массы т, отталкиваемой силой, пропорциональной расстоянию (коэффициент пропорциональности т№) от центра, который движется равномерно по оси Оу по закону у = at. В начальный момент времени х = а, , dx _ dy , y = 6’^F = °’-^ = ft6 + a- Отв. x = achkt, у = 6<ch kt + sh kt) + at. 7. Найти уравнения движения материальной точки массы т, движущейся под действием двух сил, из которых одна, пропор- циональная ординате у (с коэффициентом пропорциональности mk2), притягивает точку по перпендикуляру к оси Ох, а другая, пропор- циональная абсциссе х (с коэффициентом пропорциональности тр2), отталкивает ее по перпендикуляру к оси Оу. Движение начинается от точки А (а, Ь) при нулевой начальной скорости. Отв. х = a cos kt, у — b ch pt. 8. Решить задачу 5 (см. стр. 146) при условии, что а = , и дополнительно определить движение цепочки после ее соскаль- зывания со стола. Отв. J-in(2 + /3). При t > Т цепочка будет дви- гаться по закону s==/-|“ —(t — Т) + (t — Г)2. 9. Узкая длинная трубка образует с вертикальной осью постоянный угол 45° и вращается вокруг нее с постоянной ско- ростью со. Внутри трубки находится шарик М с массой ш. Пре- небрегая трением, найти закон относительного движения шарика, если в начальный момент времени шарик находится на расстоянии а от оси и его скорость относительно трубки равна нулю. х Отв. г= (а----\ ch 1 + -£ V-. \ со2 / у 2 о>2
ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица 1 Показательные и гиперболические функции X е* х е sh х ch х th х 0,00 1,00000 1,00000 0,00000 1,00000 0,00000 01 1,01005 0,99005 0,01000 1,00005 0,01000 02 1,02020 0,98020 0,02000 1,00020 0,02000 03 1,03045 0,97045 0,03000 1,00045 0,02999 04 1,04081 0,96079 0,04001 1,00080 0,03998 05 1,05127 0,95123 0,05002 1,00125 0,04996 06 1,06184 0,94176 0,06004 1,00180 0,05993 07 1,07251 0,93239 0,07006 1,00245 0,06989 08 1,08329 0,92312 0,08009 1,00320 0,07983 09 1,09417 0,91393 0,09012 1,00405 0,08976 0,10 1,10517 0,90484 0,10017 1,00500 6,09967 11 1,11628 0,89583 0,11022 1,00606 0,10956 12 1,12750 0,88692 0,12029 1,00721 0,11943 13 1,13883 0,87810 0,13037 1,00846 0,12927 14 1,15027 0,86936 0,14046 1,00982 0,13909 15 1,16183 0,86071 0,15056 1,01127 0,14889 16 1,17351 .Д85214 0,16068 1,01283 0,15865 17 1,18530 (£84366 0,17082 1,01448 0,16838 18 1,19722 0,83527 0,18097 1,01624 0,17808 19 1,20925 0,82696 0,19115 1,01810 0,18775 0,20 1,22140 0,81873/ 0,20134 1,02007 0,19738 21 1,23368 , 0,81058 0,21155 1,02213 0,20697 22 1,24608 0,80252 0,22178 1,02430 0,21652 23 1,25860 0,79453 0,23203 1,02657 0,22603 24 1,27125 0,78663 0,24231 1,02894 0,23550 25 1,28403 0,77880 0,25261 1,03141 0,24492 26 1,29693 0,77105 0,26294 1,03399 0,25430 27 1,30996 0,76338 0,27329 1,03667 0,26362 28 1,32313 0,75578 0,28367 1,03946 0,27291 29 1,33643 0,74826 0,29408 1,04235 0,28213
180 ПРИЛОЖЕНИЯ Продолжение табл. 1 X ех е-х sh х ch £ th х 0,30 1,34986 0,74082 0,30452 1,04534 0,29131 31 1,36343 0,73345 0,31499 1,04844 0,30044 32 1,37713 0,72615 0,32549 1,05164 0,30951 33 1,39097 0,71892 0,33602 1,05495 0,31852 34 1,40495 0,71177 0,34659 1,05836 0,32748 35 1,41907 0,70469 0,35719 1,06188 0,33638 36 1,43333 0,69768 0,36783 1,06550 0,34521 37 1,44773 , 0,69073 0,37850 1,06923 0,35399 38 1,46228 0,68386 0,38921 1,07307 0,36271 39 1,47698 0,67706 0,39996 1,07702 0,37136 0,40 1,49182 0,67032 0,41075 1,08107 0,37995 41 1,50682 0,66365 0,42158 1,08523 0,38847 42 1,52196 0,65705 0,43246 1,08950 0,39693 43 1,53726 0,65051 0,44337 1,09388 0,40532 44 1,55271 0,64404 0,45434 1,09837 0,41364 45 1,56831 0,63763 0,46534 1,10297 0,42190 46 1,58407 0,63128 0,47640 1,10768 0,43008 47 1,59999 0,62500 0,48750 1,11250 0,43820 48 1,61607 0,61878 0,49865 1,11743 0,44624 49 1,63232 0,61263 0,50984 1,12247 0,45422 0,50 1,64872 0,60653 0,52110 1,12763 0,46212 51 1,66529 0,60050 0,53240 1,13289 0,46995 52 1,68203 0,59452 0,54375 1,13827 0,47770 53 1,69893 0,58860 0,55516 1,14377 0,48538 54 1,71601 0,58275 0,56663 1,14938 0,49299 55 1,73325 0,57695 0,57815 1,15510 0,50052 56 1,75067 0,57121 0,58973 1,16094 0,50798 57 1,76827 0,56553 0,60137 1,16690 0,51536 58 1,78604 0,55990 0,61307 1,17297 0,52267 59 1,80399 0,55433 0,62483 1,17916 0,52990 0,60 1,82212 0,54881 0,63665 1,18547 0,53705 61 1,84043 0,54335 0,64854 1,19189 0,54413 62 1,85893 0,53794 0,66049 1,19844 0,55113 63 1,87761 0,53259 0,67251 1,20510 0,55805 64 1,89648 0,52729 0,68459 1,21189 0,56490 65 1,91554 0,52205 0,69675 1,21879 0,57167 66 1,93479 0,51685 0,70897 1,22582 0,57836 67 1,95424 0,51171 0,72126 1,23297 0,58498 68 1,97388 0,50662 0,73363 1,24025 0,59152 69 1,99372 0,50158 0,74607 1,24765 ‘ 0,59798
ПРИЛОЖЕНИЯ 181 Продолжение табл. 1 X ех е~х sh х ch х th х 0,70 2,01375 0,49659 0,75858 1,25517 0,60437 71 2,03399 0,49164 0,77117 1,26282 0,61068 72 2,05443 0,48675 0,78384 1,27059 0,61691 73 2,07508 0,48191 0,79659 1,27849 0,62307 74 2,09594 0,47711 0,80941 1,28652 0,62915 75 2,11700 0,47237 0,82232 1,29468 0,63515 76 2,13828 0,46767 0,83530 1,30297 0,64108 77 2,15977 0,46301 0,84838 1,31139 0,64693 78 2,18147 0,45841 0,86153 1,31994 0,65271 79 2,20340 0,45384 0,87478 1,32862 0,65841 0,80 2,22554 ‘ 0,44933 0,88811 1,33743 0,66404 81 2,24791 0,44486 0,90152 1,34638 . 0,66959 82 2,27050 0,44043 0,91503 1,35547 0,67507 83 2,29332 0,43605 0,92863 1,36468 0,68048 84 2,31637 0,43171 0,94233 1,37404 0,68581 85 2,33965 0,42741 0,95612 1,38353 0,69107 86 2,36316 0,42316 0,97000 1,39316 0,69626 87 > 2,38691 0,41895 0,98398 1,40293 0,70137 88 2,41090 0,41478 0,99806 1,41284 0,70642 89 2,43513 0,41066 1,01224 1,42289 0,71139 0,90 2,45960 0,40657 1,02652 1,43309 0,71630 91 2,48432 0,40252 1,04090 1,44342 0,72113 92 2,50929 0,39852 1,05539 1,45390 0,72590 93 2,53451 0,39455 1,06998 1,46453 0,73059 94 2,55998 0,39063 1,08468 1,47530 0,73522 95 2,58571 . 0,38674. 1,09948 1,48623 0,73978 96 2,61170 0,38289 1,11440 1,49729 0,74428 97 2,63794 0,37908 1,12943 1,50851 0,74870 98 2,66446 0,37531 1,14457 1,51988 0,75307 99 2,69123 0,37158 1,15983 1,53141 0,75736 1,00 2,71828 0,36788 1,17520 1,54308 0,76159 01 2,74560 0,36422 1,19069 1,55491 0,76576 02 2,77319 0,36059 1,20630 1,56689 0,76987 03 2,80107 0,35701 1,22203 1,57904 0,77391 04 2,82922 0,35345 1,23788 1,59134 0,77789 05 2,85765 0,34994 1,25386 1,60379 0,78181 06 , 2,88637 0,34646 1,26996 1,61641 0,78566 07 2,91538 0,34301 1,28619 1,62919 0,78946 08 2,94468 0,33960 1,30254 1,64214 0,79320 09 2,97427 0,33622 1,31903 1,65525 0,79688 13 Зак. 975. А. Р. Ямпольский
182 ПРИЛОЖЕНИЯ Продолжение табл. 1 ех е-* sh х chx th х 1,10 3,00417 .0,33287 1,33565 1,66852 0,80050 11 3,03436 0,32956 1,35240 1,68196 0,80406 12 3,06485 0,32628 1,36929 1,69557 0,80757 13 3,09566 0,32303 1,38631 1,70934 0,81102 14 3,12677 0,31982 1,40347 1,72329 0,81441 15 3,15819 0,31664 1,42078 1,73741 0,81775 16 3,18993 0,31349 1,43822 1,75171 0,82104 17 3,22199 0,31037 1,45581 1,76618 0,82427 18 3,25437 0,30728 1,47355 1,78083 0,82745 19 3,28708 0,30422 1,49143 1,79565 0,83058 1,20 3,32012 0,30119 1,50946 1,81066 0,83365 21 3,35348 0,29820 1,52764 1,82584 0,83668 22 3,38719 0,29523 1,54598 1,84121 0,83965 23 3,42123 0,29229 1,56447 1,85676 0,84258 24 3,45561 0,28938 1,58311 1,87250 0,84546 25 3,49034 0,28650 1,60192 1,88842 0,84828 26 3,52542 0,28365 1,62088 1,90454 0,85106 27 3,56085 0,28083 1,64001 1,92084 0,85380 28 ' 3,59664 0,27804 1,65930 1,93734 0,85648 29 3,63279 0,27527 1,67876 1,95403 0,85913 1,30 3,66930 0,27253 1,69838 1,97091 0,86172 31 3,70617 0,26982 1,71818 1,98800 0,86428 32 3,74342 0,26714 1,73814 2,00528 0,86678 33 3,78104 0,26448 1,75828 2,02276 0,86925 34 3,81904 0,26185 1,77860 2,04044 0,87167 35 3,85743 0,25924 1,79909 2,05833 0,87405 36 3,89619 0,25666 1,81977 2,07643 0,87639 37. 3,93535 0.25411 1,84062 2,09473 0,87869 38 3,97490 0,25158 1,86166 2,11324 0,88095 39 4,01485 0,24908 1,88289 , 2,13196 0,88317
ПРИЛОЖЕНИЯ 183 Продолжение табл. 1 X е® sh х ch х th х 1,40 4,05520 0,24660 . 1,90430 2,15090 0,88535 41 4,09596 0,24414 1,92591 2,17005 0,88749 42 4,13712 0,24171 1,94770 2,18942 0,88960 43 4,17870 0,23931 1,96970 2,20900 0,89167 44 4,22070 0,23693 1,99188 2,22881 0,89370 45 4,26311 0,23457 2,01427 2,24884 0,89569 46 4,30596 0,23224 2,03686 2,26910 0,89765 47 4,34924 0,22993 2,05965 2,28958 0,89958 48 4,39295 0,22764 2,08265 2,31029 0,90147 49 4,43710 0,22537 2,10586 2,33123 0,90332 1,50 4,48169 0,22313 2,12928 2,35241 0,90515 51 4,52673 0,22091 2,15291 2,37382 0,90694 52 4,57223 0,21871 2,17676 2,39547 0,90870 53 4,61818 0,21654 2,20082 2,41736 0,91042 54 4,66459 0,21438 2,22510 2,43949 0,91212 55 4,71147 0,21225 2,24961 2,46186 0,91379 56 4,75882 0,21014 2,27434 2,48448 • 0,91542 57 4,80665 0,20805 2,29930 2,50735 0,91703 58 4,85496 0,20598 2,32449 2,53047 0,91860 59 4,90375 0,20393 2,34991 2,55384 0,92015 1,60 4,95303 0,20190 2,37557 2,57746 0,92167 70 5,47395 0,18268 2,64563 2,82832 0,93541 80 6,04965 0,16530 2,94217 3,10747 0,94681 90 6,68589 0,14957 3,26816 3,41773 0,95624 2,00 7,38906 0,13534 3,62686 3,762201 0,96403 10 8,16617 0,12246 4,02186 4,14431 0,97045 20 9,02501 0,11080 4,45711 4,56791 0,97574 30 9,97418 0,10026 , 4,93696 5,03722 0,98010 40 11,02318 0,09072 5,46623 5,55695 0,98367 50 12,18249 0/08208 6,05020 6,13229 0,98661 60 13,46374 0,07427 6,69473 6,76901 0,98903 70 14,87973 0,06721 7,40626 7,47347 0,99101 80 16,44465 0,06081 8,19192 8,25273 0,99263 90 18,17415 0,05502 9,05956 9,11458 0,99396 13*
184 ПРИЛОЖЕНИЯ Продолжение табл. 1 X ех е~х sh х ch х th х 3,00 20,08554 0,04979 10,01787 10,06766 0,99505 10 22,19795 0,04505 11,07645 11,12150 0,99595 20 24,53253 0,04076 12,24588 12,28665 0,99668 30 27,11264 0,03688 13,53788 13,57476 0,99728 40 29,96410 0,03337 14,96536 14,99874 0,99777 50 33,11545 0,03020 16,54263 16,57282 0,99818 60 36,59823 0,02732 18,28546 18,31278 0,99851 70 40,44730 0,02472 20,21129 20,23601 0,99878 80 44,70118 0,02237 22,33941 22,36178 0,99900 90 49,40245 0,02024 24,69110 24,71135 0,99918 4,00 54,59815 0,01832 27,28992 27,30823 0,99933 10 60,34029 0,01657 30,16186 30,17843 0,99945 20 66,68633 0,01500 33,33567 33,35066 0,99955 30 73,69979 0,01357 36,84311 36,85668 0,99963 40 81,45087 0,01228 40,71930 40,73157 0,99970 50 90,01713 0,01111 45,00301 45,01412 0,99975 60 99,48432 0,01005 49,73713 49,74718 0,99980 70 109,9472 0,00910 54,96904 54,97813 0,99983 80 121,5104 0,00823 60,75109 60,75932 0,99986 90 134,2898 0,00745 67,14117 67,14861 0,99989 5,00 148,4132 0,00674 74,20321 74,20995 0,99991 10 164,0219 0,00610 82,00791 82,01400 0,99993 20 181,2722 0,00552 90,63336 90,63888 0,99994 30 200,3368 0,00499 100,1659 100,1709 0,99995 40 221,4064 0,00452 110,7009 110,7055 0,99996 50 244,6919 0,00409 122,3439 122,3480 0,999.97 60 270,4264 0,00370 135,2114 135,2150 0,99997 70 298,8674 0,00335 149,4320 149,4354 0,99998 80 330,2996 0,00303 165,1483 165,1513 0,99998 90 365,0375 0,00274 182,5174 182,5201 0,99999 6,00 403,4288 0,00248 201,7132 201,7156 0,99999 30 544,5719 0»00184 272,2850 , 272,2869 0,99999
ПРИЛОЖЕНИЯ 185 Таблица 2 Показательные и гиперболические функции, гиперболическая амплитуда X к тс shyx chTx thTx , гс cth-^- х 2 и я — amph -=-х 7U Z 0,0 1,0000 1,0000 0,00000 1,0000 0,0000 , оо 0,00000 0,1 1,1701 0,8546 0,15773 1,0124 0,1558 6,418 0,09959 0,2 1,3691 0,7304 0,3194 1.0498 0,3042 3,287 0,19679 0,3 1,6020 0,6242 0,4889 1,1131 0,4392 2,2769 0,2895 0,4 1,8745 0,5335 0,6705 1,2040 0,5569 1,7957 0,3760 0,5 2,1933 0,4559 0,8687 1,3246 0,6558 1,5249 0,4553 0,6 2,5663 0,3897 1,0883 1,4780 0,7364 1,3580 0,5269 0,7 3,003 0,3330 1,3349 1,6679 _ 0,8003 1,2495 0,5907 0,8 3,514 0,2846 1,6145 1,8991 0,8501 1,1763 0,6470 0,9 4,111 0,24324 1,9340 2,1772 0,8883 1,1258 0,6898 1,0 4,811 0,20788 2,3013 2,5092 0,9172 1,0903 0,7390 1,1 5,629 0,17766 2,726 2,903 0,9388 1,0652 0,7761 1,2 6,586 0,15184 3,217 3,369 0,9549 1,0472 0,8081 1,3 7,706 0,12976 3,788 3,918 0,9669 1,0§43 0,8357 1,4 9,017 0,11090 4,453 4,564 0.9757 1,0249 0,8594 1,5 10,551 0,09478 5,228 5,323 0,9822 1,0181 0,8797 1,6 12,345 0,08100 6,132 6,213 0,9870 1,0132 0,8971 1,7 14,445 0,06923 7,188 7,257 0,9905 1,0096 0,9120 1,8 16,902 0,05916 8,421 8,481 0,9930 1,0070 0,9248 1,9 19,777 0,05056 9,863 9,914 0,9949 1,0051 0,9357 2,0 23,141 0,04321 11,549 11,592 0,9963 1,0037 0,9450
186 ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица 3 Десятичные логарифмы shx (значения 1g увеличены на 10) X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 8,0000 ЗОН 4772 6022 6992 7784 8455 J9036 9548 0,1 9,0007 0423 0802 1152 1476 1777 2060 2325 2576 2814 0,2 9,3039 3254 3459 3656 3844 4025 4199 4366 4528 4685 0,3 9,4836 4983 5125 5264 5398 5529 5656 5781 5902 6020 0,4 9,6136 6249 6359 6468 6574 6678 6780 6880 6978 7074 0,5 9,7169 7262 7354 7444 7533 7620 7707 7791 7875 7958 0,6 9,8039 8119 8199 8277 8354 8431 8506 8581 8655 8728 0,7 9,8800 8872 8942 9012 9082 9150 9218 9286 9353 9419 0,8 9,9485 9550 9614 9678 9742 9805 9868 9930 9992 ^ООЬЗ 0,9 10,0114 0174 0234 0294 0353 0412 0470 0529 0586 0644 1,0 10,0701 0758 0815 0871 0927 0982 1038 1093 1148 1203 1,1 10,1257 1311 1365 1419 1472 1525 1578 1631 1684 1736 1,2 10,1788 1840 1892 1944 1995 2046 2098 2148 2199 2250 1,3 10,2300 2351 2401 2451 2501 2551 2600 2650 2699 2748 1,4 10,2797 2846 2895 2944 2993 3041 3090 3138 3186 3234 1,5 10,3282 3330 3378 3426 3474 3521 3569 3616 3663 3711 1,6 10,3758 3805 3852 3899 3946 3992 4039 4086 4132 4179 1,7 10,4225 4272 4318 4364 4411 4457 4503 4549 4595 4641 1,8 10,4687 4733 4778 4824 4870 4915 4961 5007 5052 5098 1,9 10,5143 5188 5234 5279 5324 5370 541Й 5460 5505 5550 2,0 10,5595 5640 5685 5730 5775 5820 5865 5910 5955 6000 2,1 10,6044 6089 6134 6178 6223 6268 6312 6357 6401 6446 2,2 10,6491 6535 6580 6624 6668 6713 6757 6802 6846 6890 2,3 10,6935 6979 7023 7067 7112 7156 7200 7244 7289 7333 2,4 10,7377 7421 7465 7509 7553 7597 7642 7686 7730 7774 2,5 10,7818 7862 7906 7950 7994 8038 8082 8126 8169 8213 2,6 10,8257 8301 8345 8389 8433 8477 8521 8564 8608 8652 2,7 10,8696 8740 8784 8827 8871 8915 8959 9003 9046 90^0 2,8 10,9134 9178 9221 9265 9309 9353 9396 9440 9484 9527
ПРИЛОЖЕНИЯ 187 Продолжение табл» 3 X 0 1 2 3 1 4 5 6 7 8 9 2,9 10,9571 9615 9658 9702 9746 9789 9833 9877 9920 9964 3,0 11,0008 0051 0095 0139 0182 0226 0270 0313 0357 0400 3,1 11,0444 0488 0531 0575 0618 0662 0706 0749 0793 0836 3,2 11,0880 0923 0967 1011 1054 1098 1141 1185 1228 1272 3,3 11,1316 1359 1403 1446 1490 1533 1577 1620 1664 1707 3,4 11,1751 1794 1838 1881 1925 1968 2012 2056 2099 2143 3,5 11,2186 2230 2273 2317 2360 2404 2447 2491 2534 2578 3,6 11,2621 2665 2708 2752 2795 2839 2882 2925 2969 3012 3,7 11,3056 3099 3143 3186 3230 3273 3317 3360 3404 3447 3,8 11,3491 3534 3578 3621 3665 3708 3752 3795 3838 3882 3,9 11,3925 3969 4012 4056 4099 4143 4186 4230 4273 4317 4,0 11,4360 4403 4447 4490 4534 4527 4621 4664 4708 4751 4,1 11,4795 4838 4881 4925 4968 5012 5055 5099 5142 5186 4,2 11,5229 5273 5316 5359 5403 5446 5490 5533 5577 5620 4,3 11,5664 5707 5750 5794 5837 .588L 5924 5968 6011 6055 4,4 11,6098 6141 6185 6228 6272 6315 6359 6402 6446 6489 4,5 11,6532 6576 6619 6663 6706 6750 6793 6836 6880 6923 4,6 11,6967 7010 7054 7097 7141 7184 7227 7271 7314 7358 4,7 11,7401 7445 7488 7531 7575 7618 7662 7705 7749 7792 4,8 11,7836 7879 7922 7966 8009 8053 8096 8140 8183 8226 4,9 11,8270 8313 8357 8400 8444 8487 8530 8574 8617 8661 5,0 11,8704 8748 8791 8835 8878 8921 8965 9008 9052 9095 5,1 11,9139 9182 9225 9269 9312 9356 9399 9443 9486 9529 5,2 11,9573 9616 9660 9703 9747 3790 9833 9877 9920 9964 5,3 12,0007 0051 0094 0137 0181 0224 0268 0311 0355 0398 5,4 12,0442 0485 0528 0572 0615 0659 0702 0746 0789 0832 5,5 12,0876 0919 0963 1006. 1050 1093 1136 1180 1223 1267 5,6 12,1310 1354 1397 1440 1484 1527 1571 1614 1658 1701 5,7 12,1744 1788 1831 1875 1918 1962 2005 2048 2092 2135 5,8 12,2179 2222 2266 2309 2352 2396 2439 2483 2526 2570 5,9 12,2613 2656 2700 2743 2787 2830 2874 2917 2960 3004
188 ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица 4 Десятичные логарифмы ch х X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,0000 обоо 0001 0002 0003 0005 0008 ООП 0014 0018 0,1 0,0022 0026 0031 0037 0042 0049 0055 0062 0070 0078 0,2 0,0086 0095 0104 0114 0124 0134 0145 0156 0168 0180 0,3 0,0193 0205 0219 0232 0246 0261 0276 0291 0306 0322 0,4 0,0339 0355 0372 0390 0407 0426 0444 0463 0482 0502 0,5 0,0522 0542 0562 0583 0605 0626 0648 0670 0693 0716 0,6 0,0739 0762 0786 0810 0835 0859 0884 0910 0935 0961 0,7 0,0987 1013 1040 1067 1094 1122 1149 1177 1206 1234 0,8 0,1236 1292 1321 1350 1380 1410 1440 1470 1501 1532 0,9 0,1563 1594 1625 1&57 1689 1721 1753 1785 1818 1851 1,0 0,1884 1917 1950 1984 2018 2051 2086 2120 2154 2189 1,1 0,2223 2258 2293 2328 2364 2399 2435 2470 2506 2542 1,2 0,2578 2615 2651 2688 2724 2761 2798 2835 2872 2909 1,3 0,2947 2984 3022 3059 3097 3135 3173 3211 3249 3288 1,4 0,3326 3365 3403 3442 3481 3520 3559 3598 3637 3676 1,5 0,3715 3754 3794 3833 3873 3913 3952 3992 4032 4072 1,6 0,4112 4152 4192 4232 4273 4313 4353 4394 4434 4475 1,7 0,4515 4556 4597 4637 4678 4719 4760 4801 4842 4883 1,8 0,4924 4965 5006 5048 5089 5130 5172 5213 5254 5296 1,9 0,5337 5379 5421 5462 5504 5545 5587 5629 5671 5713 2,0 0,5754 5796 5838 5880 5922 5964' 6006 6048 6090 6132 2,1 0,6175 6217 6259 6301 6343 6386 6428 6470 6512 6555 2,2 0,6597 6640 6682 6724 6767 6809 6852 6894 6937 6979 2,3 0,7022 7064 7107 7150 7192 7235 7278 7320 7363 7406 2,4 0,7448 7491 7534 7577 7619 7662 7705 7748 7791 7833 2,5 0.7876 7919 7962 8005 8048 8091 8134 8176 8219 8262 2,6 0,8305 8348 8391 8434 8477 8520 8563 8606 8649 8692 2,7 0,8735 8778 8821 8864 8907 8951 8994 9037 9080 9123 2,8 0,9166 9209 9252 9295 9338 9382 9425 9468 9511 9554 2,9 0,9597 9641 9684 9727 9770 9813 9856 9900 9943 9986
ПРИЛОЖЕНИЯ 189 Продолжение табл. 4 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3,0 1,0029 0073 0116 0159 0202 1 0245 0289 0332 0375 0418 3,1 1,0462 0505 0548 0591 0635 > 0678 1721 0764 0808 0851 3,2 1,0984 0938 0981 1024 1067 ' 1111 1154 1197 1241 1284 3,3 1,1327 1371 1414 1457 1501 1544 1587 1631 1674 1717 3,4 1,1761 1804 1847 1891 1934 1977 2021 2064 2107 2151 3,5 1,2194 2237 2281 2324 2367 2411 2454 2497 2541 2584 3,6 1,2628 2671 2714 2758 2801 2844 2888 2931 2975 3018 3,7 1,3061 3105 3148 3191 3235 3278 3322 3365 3408 3452 3,8 1,3495 3538 3582 3625 3669 3712 3755 3799 3842 3886 3,9 1,3929 3972 4016 4059 4103 4146 4189 4233 4276 4320 4,0 1,4363 4406 4450 4493 4537 4580 4623 4667 4710 4754 4,1 1,4797 4840 4884 2927 4971 5014 5057 5101 5144 5188 4,2 1,5231 5274 5318 5361 5405 5448 5492 5535 5578 5622 4,3 1,5665 5709 5752 5795 5839 5882 5926 5969 6012 6056 4,4 1,6099 6143 6186 6230 6273 6316 6360 6403 6447 6490 4,5 1,6533 6577 6620 6664 6707 6751 6794 6837 6881 6924 4,6 1,6968 7011 7055 7098 7141 7185 7228 7272 7315 7358 4,7 1,7402 7445 7489 7532 7576 7619 7662 7706 7749 7793 ' 4,8 1,7836 7880 7923 7966 8010 8053 8097 8140 8184 8227 : 4,9 1,8270 8314 8357 8401 8444 8487 8531 8574 8618 8661 5,0 1,8705 8748 8791 8835 8878 8922 8965 9009 9052 9095 5,1 1,9139 9182 9226 9269 9313 9356 9399 9443 9486 9530 5,2 1,9573 9617 9660 9703 9747 9790 9843 9877 9921 9964 5,3 2,0007 0051 0094 0138 0181 0225 0268 0311 0355 0398 5,4 2,0442 0485 0529 0572 0615 0659 0702 0746 0789 0833 5,5 2,0876 0919 0963 1006 1050 1093 1137 1180 1223 1267 5,6 2,1310 1354 1397 1441 1484 1527 1571 1614 1658 1701 5,7 2,1745 1788 1831 1875 1Ш8 1962 2005 2049 2092 2135 5,8 2,2179 2222 2266 2300 2353 2396 2439 2483 2526 2570 5,9 2,2613 2657 2700 2743 2787 *2830 2874 2917 2961 3004
190 ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица 5 Десятичные логарифмы thx (значения 1g увеличены на 10) X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 — оо 8,0000 ЗОЮ 4770 6018 6986 7776 8444 9022 9531 од 8,9986 9,0397 0771 1115 1433 1729 2004 2263 2506 2736 0,2 9,2953 3159 3355 3542 3720 3890 4053 4210 4360 4505 0,3 9,4644 4778 4907 5031 5152 5268 5381 5490 5596 5698 0,4 9,5797 5894 5987 6078 6166 6252 6336 6417 6496 6573 0,5 9,6648 6721 6792 6861 6928 6994 7058 7121 7182 7242 0,6 9,7300 7357 7413 7467 7520 7571 7622 7671 7720 7767 0,7 9,7813 7858 7902 7945 7988 8029 8069 8109 8147 8185 0,8 9,8222 8258 8293 8328 8362 8395 8428 8459 8491 8521 0,9 9,8551 8580 8609 8637 8664 8691 8717 8743 8768 8793 1,0 9,8817 8841 8864 8887 8909 8931 8952 8973 8994 9014 1,1 9,9034 9053 9072 9090 9108 9126 9144 9161 9177 9194 1,2 9,9210 9226 9241 9256 9271 9285 9300 9314 9327 9341 1,3 9,9354 9367 9379 9391 9404 9415 9427 9438 9450 9460 1,4 9,9471 9482 9492 9502 9512 9522 9531 9540 9550 9558 1,5 9,9567 9576 “9584 9592 9601 9608 9616 9624 9631 9639 1,6 9,9646 9653 9660 9666 9673 9680 9686 9692 9698 9704 1,7 9,9710 9716 9721 9727 9732 9738 9743 9748 9753 9758 1,8 9,9763 9767 9772 9776 9781 9785 9790 9794 9798 9802 1,9 9,9806 9810 9813 9817 9821 9824 9828 9831 9834 9838 2,0 9,9841 9844 9847 9850 9853 9856 9859 9862 9864 9867 2,1 9,9870 9872 9875 9877 9880 9882 9884 9887 9889 9891 2,2 9,9893 9895 9898 9900 9902 9904 9905 9907 9909 9911 2,3 9,9913 9914 9916 9918 9919 9921 9923 9924 9926 9927 2,4 9,9929 9930 9931 9933 9934 9935 9937 9938 9939 9940 2,5 9,9941 9943 9944 9945 9946 9947 9948 9949 9950 9951 2,6 9,9952 9953 9954 9955 9956 9957 9958 9958 9959 9960 2,7 9,9961 9962 9962 9963 9964 9995 9965 9966 9967 9967 2,8 9,9968 9969 9969 9970 9970 9971 9972 9972 9973 9973
ПРИЛОЖЕНИЯ 191 Таблица 6 Производные гиперболических и обратных гиперболических функций,*) 1) (sh ах)' = a ch ах; 2) (ch ах)' = a sh ах; 3)(^)'вте; 4) (cth ах)' =------гй---; 7 v 7 sh2 ах ' 5) (sch ах)' — — a sch ах th ах; 6) (csch ах)' ~ — а csch ах cth ах; 7) /Arsh —У = .; \ а/ Ух24~а2 8) ^Arch Ю) 1 У х2 — л2 1 Ух2 — а2 (х2 < а2); (х2 > а2); 11) Arsch= а /*.хллх/ .......— ( Arsch — > 0, 0 < — < 1 х У а2 — х2 \ а а --а =- /Arsch — <0, 0< — <1 х У а2 — х2 \ а а а ----- : яг . х у х3 + й2 *) Таблицу основных производных см. на стр. 51.
192 ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица 1 Интегралы от гиперболических и обратных гиперболических функций *) 1) /1 X 1 sh* х dx = sh х ch х — -у + С\ 2) \ X J ch2 х dx = sh х ch х 4~ -g- + С 3) Г shn xdx = — shn“x x ch x — /* shn“2 x dx\ J n nJ 4) j* chnx dx = i chn~1 xsh x -|- J chw“2xdx; 5) f dx . x . / —r— = In th + C; J shx 2 1 1 6) f "cKT ~ arctg <sh x^ + c — 2arctg ex + C; 7) Г dx 1 ,1-n , n — 2(*dx . / = sh1 nxchx / — (n > 1); J shnx 1 — n n — 1J shw 2x 8) C dx 1 ,i_n , , n—2f dx . I — ch1 wxshx-| / — (n > 1); J chn x n—i n — \J chn 2x 9) x dx = x — th x C; 10) У* cth2 x dx = x — cth x + C\ И) Гthnxdx== — + f thw"2xdx; J az — 1 J 12) , Г cthn x dx = — / cthw“2 x dx; J 72 — 1 1 J 13) 1 sh ax sh bxdx= 9 , j_-tc sh (g + Z>) x — ~2(a-0 sh(a~fr)x+c (*2^2); 14) / ch ax ch bx dx = sh (a + b) x + J ца^Ъ) + 6>* + C ♦) Таблицу основных интегралов см. на стр. 52.
ПРИЛОЖЕНИЯ 193 15) / sh ах ch bx dx = тг7--\ , c ch (а Ц- 6) x 4~ J 2 (a + + 7(fl-g) ^<a-b)x+C (a^b9-y. 16) J* Arsh x dx = x Arsh x — У1 4~ -*2 + C; 17) J* Arch x dx = x Arch x — Ух2— 1 -|- C; 18) |Arth x dx = x Arth x + ~ In (1 — x2) 4~ C; 19) j* Arcth x dx == x Arcth x—- In (x2 — 1) -|- C; 20) У x Arshxrfx = j[(2x24-l) Arshx —хУГ+х"2] + С; 21) j 1 x Arch x dx = -i- [(2x2 — 1) Arch x — хУх2 1] 4~ C; 22) / x sh ax dx = — x ch ax sh ax 4- C; 1 a a2 ’ 23) / xchaxdx = — xshax ^-chax4-C; I a a2 ‘ ’ 24) / xn sh ax dx = — xn ch ax —— / xn~ichaxdx: f a a J 25) 1 xn ch ax dx = — xn sh ax—— / xn~1shaxdx\ I a a J * 26) 1 sh ax sin bx dx = = ~2 У (a ch ax sin bx — b sh ax cos bx) 4~ C; 27) ch ax cos bx dx == = ~9 (a sb ax cos bx 4- b ch ax sin bx) 4- C; a^ 4" 28) sh ax cos bxdx = = ^7" Eq (a ch ax cos bx 4- b sh ax sin bx) 4- C; a^ 4“ bA f \ 29) j* ch ax sin bx dx = = ~a2_j_fr2 (a sJ1 ax sin bx — b ch ax cos bx) 4- Ce
194 ПРИЛОЖЕНИЯ 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) Ar sh — dx = х Arsh — — V x2 4- a2 4- C; a .a 1 1 Arch — dx = a x Arch ~ — У x2—a2 + C xArch~ + Vrj2ZZ^ + c (Arch4>0) (Archf <0) Arth-^ dx = x Arth ~ 4 у In (a2 — x2) + C; j Arcth ~ dx = x Arcth ~ -|- у In (x2 — a2) 4- C; / *ArshTd* = (y + 4’)ArshT — + I xArch — dx = V _ (y-T)Archy-fV^5 + C (Arch£>o) (?-?) Arch t + + C (Arch T < °) \ Z тс / t* \ u / /dx , Л <x + a - . x — a\ , -r :—r— = cschl In ch —4-In ch —— ) 4 C = cha4-chx \z 2 2 / 1 = 2 csch a arth ^th -y th уj 4- C C----= 2 cosec a arctg (th tg 4* J cos a + chx 6\ 2 s 2 J 1 j th x dx = Inch x 4- C; cth x dx = insh x 4- C.
ЛИТЕРАТУРА 1. Бронштейн И. Н. и Семендяев К. А., Справочник по математике, Гостехиздат, 1957. 2. Двайт Г. Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы, ГИИЛ, 1948. 3. Лтьс терник Л. А., Кратчайшие линии. Вариационные задачи, Гостехиздат, 1955. 4. Р ы ж и к И. М. и Г р а д ш т е й н И. С., Таблицы интегралов рядов, сумм и произведений, Гостехиздат, 1948. 5. Ф и ш м а н Н. М., Комплексные числа, ряды и гиперболические функции, ГТТИ, 1933. 6. Шерватов В. Г., Гиперболические функции, Гостехиздат, 1954. 7. Штаеркган И. Я., Гиперболические функции, ГТТИ, 1935. 8. Ян к е Е. и Эм д е Ф., Таблицы функций с формулами и кри- выми, Гостехиздат, 1948.
Авраам Рувимович Янполъский. Гиперболические функции. Редактор Ф. Л. Варпаховский. Технический редактор С. Я. Ахламов Корректор Л. С. Бакулова. Сдано в набор 16/ХП 1959 г. Подписано к печати 7/IV I960 г.. Бумага 84x108»/». Физ. печ. л. 6,125. Условн. печ. л. 10,05. Уч.-изд. л. 9,57. Тираж 17 000 экз. Т-01078. Цена книги 3 руб. 90 коп. Заказ № 975. Государственное издательство физико-математической литературы. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза. Ленинград, Измайловский пр., 29.
Цена 3 р. 90 к.