анныг главъс
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
для инженеров и студентов втузов
А. Р. ЯНПОЛЬСКИЙ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
ммммммммммм
ФИЗМАТГИЗ ‘I960
ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ И СТУДЕНТОВ ВТУЗОВ
А. Р. ЯНПОЛЬСКИЙ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА I960
11-3-2
АННОТАЦИЯ
В книге излагаются свойства гиперболических
и обратных гиперболических функций и даются
соотношения между ними и другими элементар-
ными функциями. Показаны применения гипер-
болических функций к интегрированию функций
и дифференциальных уравнений. Разобрано много
задач из разных областей естествознания и тех-
ники.
Все разделы сопровождаются упражнениями
для самостоятельной решения. Книга снабжена
справочным и табличным материалом и может
быть использована в качестве справочника по
гиперболическим функциям как студентами, так
и инженерами и техниками.
Для чтения книги достаточно знания элементов
высшей математики.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ......................................... 5
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1.	Введение. Определение гиперболических функций...	7
2.	Соотношения между гиперболическими функциями ....	16
3.	Обратные гиперболические функции................ 25
4.	Показательные, тригонометрические и гиперболические
функции от комплексного аргумента. Формулы Эйлера . . 30
5.	Соотношения между тригонометрическими и гиперболиче-
скими функциями..................................... 37
6.	Соотношения между логарифмическими, обратными триго-
нометрическими и обратными гиперболическими функциями 41
7.	Гиперболическая амплитуда (гудерманиан)......... 47
8.	Дифференцирование и интегрирование гиперболических и
обратных гиперболических функций.................... 51
9.	Разложение гиперболических функций в степенные ряды и
в тригонометрические ряды Фурье..................... 58
глава п
ПРИМЕНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
S	К ИНТЕГРИРОВАНИЮ
10.	Интегрирование функций (гиперболические подстановки).	68
11.	Интегрирование некоторых дифференциальных уравнений 71
1*
4
СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА Ш
ПРИМЕНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
12.	Цепная линия....................................... 92
Задача о провисании нити..............•........... 92
Касательная и нормаль............................. 95
Параметрические уравнения цепной линии ........... 98
Кривизна и радиус кривизны........................ 99
Эволюта цепной линии ............................. 99
Эвольвента цепной линии (трактриса)...............101
Натуральное уравнение линии.......................107
Цепная линия как рулета ......................... 109
Площадь криволинейной трапеции и длина дуги .... 112
Центр тяжести криволинейной трапеции и дуги .... 114
Катеноид..........................................117
Минимальные свойства цепной линии.................118
Задачи, связанные с цепной линией.................121
13. Некоторые прикладные задачи........................138
Падение тела в воздухе............................138
Движение материальной точки.......................143
Скольжение цепочки................................146
Движение шарика во вращающейся трубке.............148
Включение электродвижущей силы в контур...........155
Установившееся распределение температуры в стержне . 163
Ионизация газа....................................170
Диффузия, сопровождаемая химической реакцией . . . 171
Размножение бактерий..............................174
Приложения
Таблица 1. Показательные и гиперболические функции . . 179
Таблица 2. Показательные и гиперболические функции, ги-
перболическая амплитуда.............................185
Таблица 3.	Десятичные	логарифмы	sh х................186
Таблица 4.	Десятичные	логарифмы	chх.................188
Таблица 5.	Десятичные	логарифмы	thх.................190
Таблица 6. Производные гиперболических, и обратных гипер-
болических функций..................................191
Таблица 7. Интегралы от гиперболических и обратных ги-
перболических функций...............................192
Литература.............................................195
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая небольшая книга может служить в качестве
учебного пособия по гиперболическим функциям. В ней изла-
гаются основные сведения об этих функциях и приводятся
примеры применения их в математическом анализе, геометрии,
механике и физике. Каждый параграф снабжен упражнениями.
Самостоятельное решение хотя бы некоторой части приве-
денных упражнений поможет читателю закрепить соответ-
ствующий теоретический материал и научиться свободно
владеть гиперболическими функциями.
В конце книги приложены различные таблицы. Вместе
с формулами, содержащимися в основном тексте, а также
в некоторых упражнениях, завершающих параграфы, они
позволяют использовать книгу и как справочник по гипер-
болическим функциям.
Автор выражает свою благодарность Р. С. Гутеру,
Г. Л. Лунцу, Р. Я. Шостаку, прочитавшим книгу в руко-
писи и сделавшим ряд ценных замечаний, и особенно Ф. Л. Вар-
паховскому за большую работу по редактированию книги.
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1. Введение. Определение гиперболических функций
В математике и ее приложениях к естествознанию и тех-
нике находят Широкое применение показательные функции.
Это, в частности, объясняется тем, что многие изучаемые
в естествознании явления относятся к числу так называемых
процессов органического роста, в которых скорости изме-
нения участвующих в них функций пропорциональны вели-
чинам самих функций. Если обозначить через у функцию,
а через х аргумент, то дифференциальный закон процесса
органического роста может быть записан в виде
где k — некоторый постоянный коэффициент пропорцио-
нальности.
Интегрирование этого уравнения приводит к общему
решению в виде показательной функции
у = Секх.
Если задать начальное условие у-у^ при х = х0, то
можно определить произвольную постоянную 0 = ^”^° и*
таким образом, найти частное решение
у ==r yQ6k
которое представляет собой интегральный закон рассматри-
ваемого процесса.
К процессам органического роста относятся при неко-
торых упрощающих предположениях такие явления, как,
8
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
[гл. I
например, изменение атмосферного давления в зависимости от
высоты над поверхностью Земли, радиоактивный распад,
охлаждение или нагревание тела в окружающей среде постоян-
ной температуры, унимолекулярная химическая реакция (на-
пример, растворение вещества в воде), при которой имеет
место закон действия, масс (скорость реакции пропорцио-
нальна наличному количеству реагирующего вещества), раз-
множение микроорганизмов -И' многие другие.
Возрастание денежной суммы вследствие начисления на
нее сложных процентов (проценты на проценты) также пред-
ставляет собой процесс органического роста.
Эти примеры можно было бы продолжить.
Наряду с отдельными показательными функциями в мате-
матике и ее приложениях находят применение различные
комбинации показательных функций, среди которых особое
значение имеют некоторые линейные и дробно-линейные ком-
бинации функций ех и е~х—так называемые гиперболические
функции. Этих функций шесть, для них введены следую-
щие специальные наименования и обозначения:
sh х =	— 6“^ 2	(гиперболический синус).
ch х —	ех е-х 2	(гиперболический косинус),
th х~	ех — е~х	(гиперболический тангенс),
cth х —	ех 4г е~х qX	е—х	(гиперболический котангенс),
sch х =	2 ех _|_ е-х	(гиперболический секанс),
csch х =	2	. (гиперболический косеканс).
	ех _ е-х	
Возникает вопрос, почему даны именно такие названия,
при чем здесь гипербола и известные из тригонометрии назва-
ния функций: синус, косинус и т. д.? Как мы сейчас убе-
димся, эти названия не случайны. Оказывается, что соотно-
шения, связывающие тригонометрические функции с коор-
динатами точек окружности единичного радиуса, аналогичны
соотношениям, связывающим гиперболические функции с коор-
динатами точек равносторонней гиперболы с единичной полу-
1] ВВЕДЕНИЕ.' ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 9
осью. Этим как раз и оправдывается наименование гипер-
болических функций.
Возьмем на окружности х2 + у2 == 1 (рис. 1) точку М (х, у),
построим острый центральный угол ^AOM — t и опустим
из точки М перпендикуляр МВ на ось Ох. Тогда sin £ = 23Л1
(так как радиус окружности ОЛ4 = 1), a cost — OB. Про-
ведя в точках А и Р касательные к окружности до пере-
сечения их с продолжением радиуса в точках С и N, будем
иметь: igt = ACt ctgt = PN, sec t — ОС и cosec t — ON.
Рис. 1.
Заметим, что между центральным углом t (выраженным
в радианах) и площадью S кругового сектора АОМ имеется
простая зависимость: t = 2S. В самом деле, как известно,
S = ^AM*R, где AM— дуга окружности, на которую опи-
рается центральный угол t, a R— радиус окружности. Из
определения радианной меры угла следует, что AM = Rt,
но в нашем случае /?=1, и потому 5 = -^-, или t = 2S.
Следовательно, аргумент t тригонометрических функций sin^,
cos Л tgt и т. д., который обычно истолковывается геоме-
трически как угол, может рассматриваться при желании как
удвоенная площадь кругового сектора АОМ. Именно такое
толкование аргумента £ мы примем в дальнейшем.
10	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ	[гл. I
Теперь возьмем равностороннюю гиперболу х2— j/2=l
(рис. 2) и произведем такие же построения, что и для
окружности. Покажем, что sht = BM, cht = OBt tht = AC
и т. д.» где t есть удвоенная площадь гиперболического
сектора АОМ (но не угол!).
Непосредственно из чертежа имеем: t = 23 = 2 (пл. ОМВ—
пл. АМВ), но пл. ОМВ = ОВ • ВМ = у ху, где х и у —
координаты точки М гиперболы, а пл. АМВ можно вычис-
лить с помощью определенного интеграла. Из уравнения
равносторонней гиперболы х2— j/2=l находим, что для
точек ее верхней части у —Ух2—1, а потому пл. АМВ —
(В	(В
в= у dx = J* Ух2 — 1 dx.
з	1
Для вычисления этого интеграла применим способ инте-
грирования по частям, положив и = |Лх2 — 1, a dv = dx.
_	, х dx
Тогда получим du = y===, ф = х и, следовательно,
ш
J ]/хг — 1 dx = х Ух2 — 1
1
а» ш
___ Г х2 dx
1] ВВЕДЕНИЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 11
Первый член правой части равен ху, а второй преобра-
зуем следующим образом:
Таким образом, подлежащий вычислению интеграл может
быть записан в виде
х
1
dx
Второй член правой части последнего равенства есть вы-
числяемый интеграл; перенеся его влево, разделив обе части
полученного равенства на 2 и учитывая, что
х
Г	= In(х4-/х^Л)
J УЛ-1 v	'
X
= 1п(х+ у),
1
будем иметь:
X
j /х2—1 dx — ± ху — yln(x + ^).
1
Итак,
f =	^xj + -i-ln (x + ^)] = ln(x4-3>)
или, потенцируя,
х + = е*.
Если разделить обе части уравнения равносторонней гипер-
болы х2— у2=\ на соответствующие части последнего
уравнения, то получим еще одно уравнение, связывающее
х и у:
х — у = е~*.
Из системы этих двух уравнений относительно х и у
получаем:
___е* +	— е—
Х	’ У~	9	*
12
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
[гл. I
Так как х и у равны соответственно ОВ и ВМ, а полу-
ченные комбинации показательных функций, согласно опре-
делению, равны ch t и sh t, то OB — ch t и ВМ = sh t.
Заметим попутно, что уравнения x = ach£, j/ = ash^,
рассматриваемые совместно, являются параметрическими урав-
нениями равносторонней гиперболы с полуосью а (точнее, ее
правой ветви), подобно тому как параметрическими уравне-
ниями окружности радиуса а являются уравнения x = acos^,
у — a sin Л В самом деле, исключим параметр t, для чего
возведем в квадрат обе части Каждого из уравнений и из х2
вычтем у2:
a2 ch21 — a2 sh21 — a2 (ch21 — sh2 /) =
__ 2Г/е* + i e* — e~t \21_______
—a IA 2	“ I 2 } J ~
_ 2/e»+2+ e-2« e2t — 2-|-e-2*\	2
— a \	4	4	a ’
t. e. x2 — y2 — a2, а это и есть уравнение равносторон-
ней гиперболы в канонической форме.
Если провести касательную к гиперболе в точке А до ее
пересечения с прямой ОМ в точке С, то из подобия тре-
угольников АОС и ВОМ имеем:
АС _ ОА
ВМ~ OB'
откуда
лг, ВМ sh£ е* — е-*	...
AC —	— мГТ = Т/  ;..t =
OB ch г el -J- е~т
Аналогичным образом, отложив на оси Оу отрезок ОР == 1
и проведя из точки Р прямую параллельно оси Ох до пере-
сечения с прямой ОМ в точке N, можно показать, что
РДГ ==cth/. Это вытекает из подобия треугольников OPN
и ОВМ-, имеем:
/W _ ОР
ОВ~ ВМ 9
откуда
PW =	= е! + е'*- = Cth t.
1] ВВЕДЕНИЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 13
Так же легко убедиться в том, что ОС и ON равны соот-
ветственно sch/ и csch/. Мы на этом останавливаться
не будем.
Выясним теперь, как изменяются гиперболические функ-
ции при изменении аргумента, который в дальнейшем будем
обозначать через х.
Непосредственно из определения sh х имеем sh 0 = 0.
Если переписать выражение для sh х в виде
ех—е-х
sh х —---2---
то мы обнаружим, что когда аргумент х возрастает от 0
до -|“ОО, то первый член ех возрастает неограниченно,
а второй член 1/ех убывает, стремясь к нулю. Следовательно,
sh х при х -> + оо принимает сколь угодно большие положи-
тельные значения, стремясь к При изменении аргумента
от 0 до —оо первый член >0, а второй е~х -> +оо,
следовательно, sh х при х — оо стремится к — оо.
Такйм образом, областью определения и областью значе-
ний функции sh х является промежуток (—оо, 4~оо).
Из определения ch х имеем ch 0 = 1. Если переписать
выражение для ch х в виде ch х —	, то легко
установить, что при изменении х от 0 от -f-oo ch А возра-
стает от 1 до + оо, а при изменении х от — оо до 0 ch х
убывает от + go до 1, так как ch(—x) = chx, что следует
непосредственно из определения.
Таким образом, областью определения функции chx
является промежуток (—оо, -(-оо), а областью
промежуток [1, +оо).
Если в равенстве th х =	разделить
значений —
числитель и
знаменатель правой части на ех, то получим th х
откуда заключаем, что thx представляет собой правильную
дробь, поскольку числитель всегда меньше знаменателя; йри
этом th 0 = 0.
При изменении х от 0 до -|-оо thx возрастает от 0
до +1, а при изменении х от —оо до 0 — возрастает
14
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. I
от — 1 до 0. Таким образом, областью определения функ-
ции th х является промежуток (—оо, 4-оо), а областью зна-
чений— промежуток (—1, 1), т. е. |thx|< 1.
1 + ~&х
Из равенства cthx =-------=— находим, что cth х при
1____L.
1 е*х
изменении х от 0 до 4“оо убывает от 4~°° ДО 1, а при
изменении х от — оо до 0 убывает от — 1 до — оо.
В точке х — 0 cth х не определен: при стремлении х к О
справа cth х -> 4~ оо, при стремлении х к 0 слева cth х —> — оо.
Областью определения функции cthx являются проме-
жутки (—оо, 0) и (0, 4» со), а областью значений — проме-
жутки (—оо, —1) и (1, оо). Таким образом, |cthx(> 1.
Совершенно аналогично можно исследовать изменение
функций sch х и csch х. Мы на этом останавливаться не будем.
Заметим, что при достаточно больших значениях х(х > 0)
значения shA: и chx мало отличаются от соответствующих
значений еш/2, а значения th х — от 4~ 1- При достаточно боль-
ших по абсолютной величине, но отрицательных значениях х
функция sh х мало отличается от —^“ж/2, chx — от e~x/2t
a th х—от — 1.
Если произвести замену аргумента х на —х, то получим:
sh (— x) —	e~x — ex 2	_ ex—e~x 	 2	shx,
ch (— x) =	e~x-\-ex _ 2	ex 4-	i = —2	~ ch x'	
th(-x) =	g-a? — @x e—x _|_ gX	ex — e~x ex 4~ e~x	thx,
cth (— x) —	g-a?4>g® _ g—a? — px	ex 4” e~x qX	 P,~x	cth x.
что доказывает четность функции ch х и нечетность функ-
ций shx, thx и cthx.
Непосредственно из определения ch х и sh х следует, что
^ = chx4~sh х,
е~х = ch х — sh xt
1] ВВЕДЕНИЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 15
г. е. что функции ех и е~х могут быть представлены как
сумма и разность четной и нечетной функций.
Ниже приведены графики гиперболических функций с их
краткими описаниями.
График гиперболического синуса j/ = shx приведен на
рис. 3. Функция нечетная, монотонно возрастает от —оо
до + оо. В начале координат график имеет центр симметрии
и точку перегиба. Угол ср, образованный с осью абсцисс
касательной в этой точке, равен к/4. Асимптот нет.
График гиперболического косинуса j/ = chx (рис. 4) на-
зывается цепной линией (см. стр. 92). Функция y = chx
четная, при х < 0 убывает от -{-оо до -|- 1, при х > 0 воз-
растает от -|-1 до оо. Минимум в точке А (0, 1). График
симметричен относительно оси Оу. Интересно отметить, что
он расположен выше параболы у = 1 -|- -у-, показанной на
рис. 4 пунктиром. Асимптот не имеет.
График гиперболического тангенса j/ = thx приведен на
рис. 5. Функция нечетная, монотонно возрастает от — 1
до 4-1. В начале координат график имеет точку перегиба
и центр симметрии. Угол ср, образованный с осью абсцисс
касательной в этой точке, равен z/4. График имеет горизон-
тальные асимптоты у — ± 1.
График гиперболического котангенса j/ = cthA: приведен
на рис. 6. Функция нечетная; х = 0 — точка бесконечного
16	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ	[гл. .1
разрыва. При х < 0 функция cth х убывает от — 1 до — оо,
при х > 0 убывает от 4-оо до -j- 1 • Экстремумов не имеет.
Точек перегиба у графика нет, имеются асимптоты: горизон-
тальные у = ± 1 и вертикальная х = 0.
2. Соотношения между гиперболическими функциями
Различные тригонометрические функции одного и того же
аргумента связаны между собой рядом известных соотноше-
ний. Аналогичные соотношения имеют место и для гипербо-
лических функций. При этом основному тригонометрическому
тождеству sin2 х4" cos2 х — 1 соответствует тождество, свя-
зывающее гиперболические синус и косинус:
ch2x — sh2x= 1,
(1)
в справедливости которого легко убедиться простой про-
веркой.
Имеем:
ch2*— sh2x = l—\ —(-----2---\ =
ех ,—	\ / qx _@~~х gx— х\
2	1	~Т~ J \	2	=
Некоторые важные соотношения могут быть получены
непосредственно из определения гиперболических функций
2] СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ 17
и из формулы (1):
sh х ch х	= th x,			(2)
ch х sh x	=	cth x,	—	(3)
th x • cth x	=	1,		(4)
1 sh x		csch xt		(5)
1 ch x	=	sch x,		(6)
1—th2x	=	sch2x,		(7)
cth2x — 1	=	csch2 x.		(8)
Соотношения (2) и (3) получаются путем деления sh х
на ch х и ch х на sh х. Соотношения (4), (5) и (6) прове-
ряются непосредственно, а (7) и (8) получаются из (1) де-
лением обеих его частей соответственно на ch2 х и sh2 х
с учетом предыдущих соотношений.
Пользуясь этими восемью формулами, можно, как и для
тригонометрических функций, любую гиперболическую функ-
цию аргумента х выразить через любую другую гиперболи-
ческую функцию того же аргумента. Ниже приводится соот-
ветствующая таблица для первых четырех функций:
sh x =		± /chax — 1	th x	1
			<1 — th2x	“ /cthax — 1
ch x =	/sh2x + 1		1	cth x
			/1 — thax	~ /cth2 л — 1
th x =	sh x	V~chax —1 ch x			1 cth x
	Vsh2x+ 1			
cth x ==	/sh2x+ 1 sh x	ch x ~ Уch2x — 1	1 th x	
2 Зак, 975. А. Р. Никольский
18
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. I
Здесь имеет место очень простое правило знаков: ch х
всегда положителен, a shx, thx и cthx имеют тот же знак,
что и аргумент. Соответственно этому правилу, если х > О,
то следует перед корнем взять знак плюс, а если х < О,
то надо взять знак минус.
Легко также вывести формулы для гиперболических функ-
ций суммы и разности аргументов, двойного и половинного
аргумента, а также для сумм, разностей и произведений ги-
перболических функций. Эти формулы аналогичны соответ-
ветствующим тригонометрическим формулам.
Приводим сводку этих формул.
sh(x + j) —	sh x ch у 4- ch x sh y,	(9)
sh(x — у) =	sh x ch у — ch x sh yt	(10)
ch (* + .у) =	ch x ch j/-|-sh xsh y,	(И)
ch (х — у) =	ch x ch у — sh x sh yt	(12)
th(x + ^) =	th x th у 1 4- th x th у ’	(13)
th (х — у) =	th x— th у 1 — th x th у •	(14)
cth (х + у) —	1 4- cth x cth у cthx-f-cthy *	(15)
cth (х—у) =	1 — cth x cth у cthx — cth у ’	(16)
sh2x =	2 sh x ch x,	(17)
ch 2 х = ch2 х + sh2 x =	2sh2x4~ 1 =2ch2x—1,	(18)
th 2x =	2 th x	(19)
	14“th2x ’ .	
cth 2x =	14-cth2 x 2 cth x ’	(20)
. x sh2 =	। ! Гchx — 1 - V 2	(21)
. x ch у —	_ Г ch x4-1 V 2	(22)
2] СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ 19
	- V chx-f-l ’	(23)
dhf =	। 1 / ch x -|- 1 ’ ~ V chx — 1 *	(24)
sh x + sh y —	.SshitXchif’.	(25)
shx— sh j =	i2shi=>ch£±>, £ £	(26)
ch x + ch =	2chi+Zchi=2.	(27)
chx— chj/ =	2shi+Zshi=X, & £	(28)
th x ± th у =	sh (x ± y) ch x ch у 9	(29)
cth X ± cth у =	sh (y ± x) shxshy ’	(30)
sh x sh у =	4 [ch (x 4- y) — ch (x—j/)],	(31)
sh xchj =	4 [sh (Jc4-^)4-sh(x — ,y)].	(32)
ch x ch у =	4 [ch (x 4- y) + ch (x — ^)],	(33)
Формулы (9) — (12) могут быть выведены следующим
образом. Из определения имеем:
shx = -~(^— е~х),
ch х = (ех + е~х),
sh>=4 (е"—e~v)’
chy = ±(et'-t-e~v).
2*
20	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ	[гл. I
Перемножая отдельно левые и правые части этих тождеств,
составим следующие выражения:
ch X ch у = 1 (ex+v+ ex~v + е-х+у + е-х-у),
ch х sh у = | (ea,+y — ex~ve~x+v—e~x-y),
sh x ch у = | (ex+y + ex~y — e~x*y — e~x~y\
shxsh y = \{ex^ — ex~y — е~х+уe~x~y\
Теперь легко найти, что
#>+y _ е-(х+у)
sh х ch у -|- ch х sh у =---------= sh (х + у),
е^-У __ е-^-у)
sh х ch у— ch х sh у =------------= sh (х— у),
ch х ch у + sh х sh у =-----------= ch (х+ у),
^-у± e-&-y)
ch х ch у — sh х sh у —-----------= ch (х — у).
Таким образом, формулы (9)—(12) проверены.
Формулы (13) и (14) получаются путем деления обеих
частей формул (9) и (10) на соответствующие части фор-
мул (11) и (12) с последующим преобразованием полученных
правых частей к виду, содержащему только гиперболические
тангенсы; для этого следует числители и знаменатели правых
частей разделить на ch х ch у.
Формулы (15) и (16) получаются аналогичным образом
путем деления обеих частей формул (11) и (12) на соответ-
ствующие части формул (9) и (10).
Для вывода формул (17) — (20) следует положить у — х
в формулах (9), (11), (13) и (15).
Формулы (21) и (22) можно вывести, исходя из фор-
мул (18) и (1), заменяя в них х через х/2. Имеем:
ch2^ + sh2y = ch х,
ch2J —sh2^ = l.
2] СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ 21
Вычитая и складывая, получим:
„^2 %____________________ ch х 1
Sh 2 =-----2~’
,9х ch х + 1
Т~’
откуда вытекают формулы (21) и (22).
Для получения формул (23) и (24) следует разделить обе
части формулы (21) на соответствующие части формулы (22),
и наоборот.
Для вывода формул (25) и (26) выпишем формулы (9)
и (10), заменив в них х и у через а и р:
sh (а 4- Р) = sh a ch р ch d sh р,
sh (а — Р) = sh а ch р — ch а sh р.
Складывая и вычитая, получим:
sh (a+P)4-sh(a — р)==2 shachp,
sh (a + p) — sh (a — p) = 2 ch a sh p.
В этих формулах положим a-|»p = х и a— p = у, откуда
, а p — x ~ y , и формулы (25) и (26) проверены.
Аналогичным образом поступим для вывода формул (27)
и (28). Возьмем соотношения:
ch (a + Р) = ch a ch p + sh a sh p,
ch (a — P) = ch a ch p — sh a sh p.
Складывая и вычитая, получим:
ch (a + Р) + ch (a — P) = 2 ch a ch p,
ch (a + p) — ch (a—p) = 2 sh a sh p.
Полагая, как ранее, a+p = x и a—p = jz и, следова-
тельно, a =	, аp =	, получим формулы(27)и(28).
Формулы (29) получим путем преобразования выраже-
ний th х ± th у:
th х 1 th = shx + sh У ___sh x ch у ± ch x sh у_sh (x ± y)
У chx “ ch у	ch x ch у	chxch у *
Аналогично получаются формулы (30).
Формулу (32) легко вывести путем сложения соответ-
ствующих частей формул (9) и (10), а формулы (31) и (33) —
22
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
[гл. I
путем вычитания и сложения соответствующих частей фор-
мул (11) и (12).
В дальнейшем будет показано, какие многочисленные
применения находят гиперболические функции. Здесь же мы
пока ограничимся приложением гиперболических функций
к решению кубических уравнений.
Если кубическое уравнение имеет так называемый приве-
денный вид* *):
я3+3/?х + 20 = О,
то, как доказывается в курсе высшей алгебры, корни его
можно вычислить с помощью тригонометрических и гипер-
болических функций по следующей таблице:
р<0		p>0
?2 + р3<0	02 p8 > 0	
q cos<f = -j|-	ch?=75-	sh'f = -^-
х1==—2r cos-X- о n	(*	ф\ x2 = 2r coslrs- — -J-l \ О	0 / x8 = 2г sin 4" у)	4 CO	N> II	II	II I О	—}-	О	1 I sr 7.	to co|-e	co|-e co] |	co] 1	sr oo|-e CO	co	1 S3*	S3* co|-e	co|-6	9-|00	9-|00 x:	-c э-|оэ	“	| к »	9-|eO	Э-|со 1 К + к I II	II	II И	Ч	”
♦) Заметим, что любое кубическое уравнение ах* + ^*2 + сх +
+ d = 0 можно преобразовать* к приведенному виду подста-
новкой х = у — При этом коэффициенты обоих видов ура-
внения связаны следующими соотношениями:
о Зас — Ь* о 263 ьс , d
*Р “ За* 9 2q ~ 27а* За* + а'
2] СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ 23
Здесь г = ±]/*|р|, причем знак г должен совпадать со
знаком q. Вспомогательная величина ср определяется из при-
веденной таблицы в зависимости от знаков р и суммы фЦ-р3
по формуле, расположенной в соответствующем столбце
таблицы. Вычислив г и ср, находят все три корня xlf х2, х3
по формулам в том же столбце. '
В качестве примера решим кубическое уравнение
2	1
х34-2х—1=0. Имеем р = у, д = — у. Следовательно,
1	4
^2+Р3 = “4 + 9- > 0» а так как Р > О» т0 следует восполь-
зоваться третьим столбцом таблицы.
По формуле для вычисления г определяем, что г =
= — 1/ 4- = — 0,816, а из таблицы находим, что sh ср = ~ =
То	1 Г»
з Г з”
= —1/ = 0,916. Пользуясь таблицами гиперболического
синуса (см. стр'. 179), получаем <р = 0,82. Следовательно, =
= 0,27, a sh 4 = sh 0,27 = 0,273, ch^-=ch0,27= 1,037.
О	о
Подставляя вычисленные значения г, sh-|- и ch у в фор-
мулы для нахождения корней, получаем:
Xi = — 2r sh £ = 2 • 0,816 • 0,273 = 0,445,
и
х2 = г sh 4 + Ir'Y 3 ch 4 —
о	и
= — 0,816.0,273 —• 1,037 =
= — 0,223 — 1,4661,
х3 = г sh 4—lr/3 ch 4 = — 0,223 4- 1,4661.
<5	и
Упражнения
1. Проверить справедливость следующих формул:
п 2thx
1)	sh2x — 1_th2jt !
2)	sh Зх = 4 shs х -|- 3 sh х = sh х (4 ch° х —-1);
3)	sh (п 1) х = 2 ch х sh пх — sh (л — 1) х\
24»
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
[гл. I
5)	ch Зх = 4 ch2 х — 3 ch х = ch х (4 sh3 х -|- 1);
6)	ch (724-1)х = 2chxch nx — ch(n — 1)х;
9
7)	th =	?
'	th х + cth х
ox th - th3jc + 3thx .
8)	th3x - 3 iili> + 1 ,
A4 n th x + cth x
9)	cth2x=s-----;
x shx ch x— 1
10)	,h-2 =dT7+T--------5П—
2.	Нижеследующие формулы выражают степени гиперболических
функций через гиперболические функции кратных аргументов; про-
верить их.
1)	2sh2x = ch2x —1;
2)	4sh3x ==sh3x — 3shx;
3)	8sh4x = ch4x— 4 ch 2x4-3;
4)	16sh5x sh 5x —5sh 3x 4-lOshx;
5)	32sh«x =ch6x — 6 ch 4x 4~ 15 ch 2x — 10;
6)	64 sh7 x = sh lx — 7 sh 5x 4- 21 sh 3x — 35 sh x;
7)	128sh8x = ch8x —8ch6x4-28ch4x —56ch2x4-35;
8)	2 ch2x = ch 2x-|-l;
9)	4ch2x . =ch3x-|-3chx;
10)	8ch4x =ch4x4-4ch2x-|-3;
11)	16ch5x = ch5x-|-5ch3x-|-lQchx;
12)	32ch8x = ch 6x-|-6eh 4x4-15 ch 2x-|-10;
13)	64 ch7 x = ch 7x -|- 7 ch 5x 4- 21 ch 3x -j- 35 ch x;
14)	128 chs x = ch 8x 4- 8 ch 6x 4- 28 ch 4x -j- 56 ch 2x + 35.
3.	Доказать, что
1)	(ch x±sh x)n ss ch nx±sh nx\
2)	—г--r—г— = ch x — sh x;
' ch x4-shx
3)	ch 2x -|- cos 2y 5= 2 4- 2 (sh2 x — sin2 y) = 2 (sh2 x 4- cos2 y);
4)	ch 2x — cos 2y = 2 (sh2 x -|- sin2 y);
5)	sh2 x — sh2 у = sh (x 4“ У) sh (x — y) = ch2 x — ch2 y;
6)	sh2 x 4- ch2 у = ch (x 4- У) ch (x — y) = ch2 x 4- sh2 y;
rrx xl	ch(x±y)
7)	cth x±th у =-=4—;
'	sh x ch у
8)	csch2x — sch2 x = csch2 x sch2 x*
3]	ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	25
4.	Решить следующие кубические уравнения:
1)	л3 9л — 26 = 0. Отв, хх = 2; х2,3 = — 1 ±2/ "/3.
2)	л3 + 1,25л —3,72 = 0.
Отв. Xi = 1,282; х2,3 = — 0,641 ±1,579/.
3)	х3 — 8л+15 = 0.
Отв. Xi = — 3,504; л2>3 = 1,752 ± 1,100/.
5.	Найти корни уравнения sh х — 3 ch х + 9 =4).
Отв. лх = 2,1716; л2 = —1,4784.
6.	Выразить координаты точки М (л, у) гиперболы л2 — у^ = а2
как функции площади S гиперболического сектора OLM, ограни-
ченного дугой гиперболы LM и двумя лучами ОМ и О£, где
£ (х, — у) — точка, симметричная М относительно оси Ох.
S	S
Ome.x = ach-~, y = ash—.
д2	а2
3. Обратные гиперболические функции
Если x = sh_y, то, желая выразить зависимость у от х,
обозначают у символом Arshx (читается «ареасинус гипер-
болический») или, более подробно, у есть площадь, ги-
перболический синус которой равен х (area — латинское
слово, означающее в переводе площадь). Подобным же обра-
зом определяются и другие обратные гиперболические функ-
ции, а именно:
если x = chj/, то^ = АгсЬх (ареакосинус гиперболический)}
если x = thy, то у = Arthx (ареатангенс гиперболический)}
если х = cth у, то у = Arcth х (ареакотангенс гиперболиче-
ский).
Графики обратных гиперболических функций с их крат-
кими описаниями приводятся ниже.
Ареасинус j = Arshx (рис. 7). Функция нечетная,
область определения — оо < х < + оо, монотонно возрастает
от —оо до *-j—оо. В начале координат — точка перегиба и
центр симметрии графика. Угол ср, образованный с осью абсцисс
касательной в этой точке, равен тг/4. Асимптот не имеет.
Ареакосинус y=Archx (рис. 8). Функция дву-
значная, область определения каждой ветви 1^х< + оо.:
График симметричен относительно оси Ох; в точке А (1,0)
26
ОСНОВНЫЕ понцуия И СООТНОШЕНИЯ	[гл. I
имеется вертикальная касательная х = 1, при возрастании
х(х> 1)у по абсолютной величине возрастает.
Ареатангенс у = Arthх (рис. 9). Функция нечетная,
область определения —* 1 < х < 4- 1, монотонно возрастает
от—оо до+оо. В начале координат — точка перегиба
и центр симметрии графика. Угол ср» образованный с осью
абсцисс касательной в этой точке, равен z/4. Вертикальные
асимптоты х = ± 1.
Ареакотангенс у = Arcthх (рис. 10). Функция не-
четная, область определения |х| > 1. При —оо<х<—1
убывает от 0 до — оо, при + 1 < х < + оо убывает
от 4-оо до 0. Экстремумов и точек перегиба нет. Имеются
горизонтальная асимптота ^ = 0 и вертикальные асимптоты
х = ±1.
3)
ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	27
Любую из обратных гиперболических функций можно
выразить через остальные функции. Приведем соответствую-
щую таблицу.
Arsh х=		± Arch Ух3 4- 1	А *1.	* Arth	== Уха + 1	A Ух3-}-! Arcth	!— X
Arch х=з	± Arsh Ух3 —1		A At. У*3 — 1 ± Arth	-—	± Arcth  —Х
Arthx ==	Arsh — У1 — х9	± Arch L		 Vl-x’		Arcth— X
Arcth х=	Arsh	т Vxa—1	± Arch Х--~ Vx1- 1	Arth — X	
Следует иметь в виду, что при выражении функций через
ареакосинус последний надо брать со знаком плюс при х > О
и со знаком минус при х < 0. Это объясняется двузнач-
ностью ареакосинуса и нечетностью остальных функций, ко-
торые при х > 0 положительны, а при х < 0 отрицательны.
Выражения же самого ареакосинуса через остальные функ-
ции (вторая строка) надо брать с двумя знаками, что также
объясняется его двузначностью.
Легко убедиться в справедливости приведенных в таб-
лице соотношений. Для примера выразим Arshx через ос-
тальные функции. Пусть у — Arshx, тогда sh<y = x
и, следовательно, ch j> = ]/"sh2	1 =]/"х2-|-1, откуда
у •= ± Arch Ух2 + 1; th ^ = -7x2? у, . =	откуда
Л	Г 7	/shSy+l /х*+1 J
. .. х	.. /sh2 у +1	/х2 +1	/
•у=АгП,7э^т clh-), = ~ ~го'у ~ =—х' откула
^ArethgH.
Аналогично проверяются и остальные соотношения.
Суммы и разности обратных гиперболических функций
выражаются следующим образом:
Arsh х + Arsh у 9 Arsh (х У1-j-.у2j + х*),	(1)
28	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ	[гл. I
Arsh х— Arsh у = Arsh (хУ 1 + у2— уУТ^х2),	(2)
Arch х-(- Arch у = Arch [ху + (х2— 1) (у2 — 1)],	(3)
Archx— Arch у/= Archfxy — У(х2— l)(.y2— 1)],	(4)
Arth x + Arth у = Arth	'	(5)
Arth x — Arth у = Arth •	(6)
Проверим формулу (1). Для этого обозначим: Arshx = zz,
Arsh y—v- тогда sh и = х, sh v — у, ch и = Ух2 1 , ch v =
= У У2 + 1» преобразуем выражение sh (Arsh х + Arsh у) =
?=sh (w + 'v) = sh я ch -v + ch и sh v = x ]/\y2+ l+j'
откуда Arsh x + Arsh у — Arsh (x У y2 + 1 -j-j/ Ух2 + 1).
Аналогично проверяются остальные формулы.
Подобно тому как гиперболические функции выражаются
через показательные, обратные гиперболические функции
могут быть выражены через функции, обратные показатель-
ным, т. е. через логарифмические.
В самом деле, если, например, y=nArshx, то отсюда
еУ^ е~У
следует, что х — sh у, а так как sh у =-------, то х =
_ е-у
=---------» или е*у— 2х^—1=0. Рассматривая это ра-
венство как квадратное уравнение относительно неизвест-
ного находим ^ = х-|-]Лх2-|-1 (знак минус пер^ед кор-
нем в действительной области невозможен, ибо при дей-
ствительных значениях х величина еу всегда положительна).
Следовательно, у = In (х + /Х2-Н), а так как у = Arsh х,
то
Arshx = ln(x + /x2+l).	(7)
Аналогичным образом получаем следующие формулы:
Arch х = In (х±Ух2— 1)
Arth x = -|'^nrz^~
2	1 — х
Arcth х = .4- In * —k
4b X -- I
(X^	>i).	(8)
(1*1 <	:i).	(9)
(1*1:	>i).	<10)
3]
ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	29
Для вывода формулы (8) исходим из того, что если
еу 4. е-у ,
jz^Archx, то x = chj/ ——---------» откуда е2у— 2хеу
1 = 0 и ey = x+Y*2—1 (знак минус здесь необходимо
сохранить, так как правая часть будет положительной и в этом
случае). Логарифмируя последнее равенство, получим фор-
мулу (8).
Заметим, что формуле (8) можно придать несколько иной
вид, а именно:
Arch х= ±1п(х + У'х2— 1).
Для этого достаточно показать, что 1п(х— ]/х2 — {) =
= — 1п(х—— 1). Но в этом легко убедиться с по-
мощью следующего преобразования:
in (х _	= in	=
4 г '	х + Ух*— 1
= In-----1------= — In (х +
* ,	еу — е~у
Если взять у = Arth х, то х = th у = —-----— , откуда
1 | х
е^(1— х) = е~У (1 + х) или е2» — и, следовательно,
,	_ /“1 -4-х *	  1	< 1 -|- х
еу = 1/ . • I—, у = Arth х =In т-4-—.
г 1 — х	2	1 — х
Наконец, если взять у — Arcth х, то х = cth у =
г=еу~^~ е_у, откуда ev(x—1) = е-г'(х-|-1) или е2у —
и, следовательно, ev = 1/ у = Arcth х = 4 In .
F х 1	z х — 1
Приведенные формулы позволяют выяснить вопрос об
области определения обратных гиперболических функций. Из
формулы' (7) следует, что Arsh х существует при любом
действительном х, так как х + /Х24_1>
О как при поло-
жительном, так и при отрицательном х. Формула (8) пока-
зывает, что Archx существует только при х^>1, так как
Yх2—1 имеет действительные значения при |х|>1, но х
30	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ	[гл. I
не может быть отрицательным, ибо тогда х±Ух2—1 тоже
становится отрицательной величиной, а значит, In (х±]/х2— 1)
не может быть действительным. Из формулы (9) вытекает,
что Arth а: существует при |х| < 1, так как для того, чтобы
эта функция имела действительные значения, необходимо
I -1-
выполнение неравенства ।	> 0, а это возможно для по-
ложительных х только при х< 1, а для отрицательных х
только при х>-—1.
Аналогично предыдущему можно установить, что Arcth х
существует только при | х | > 1.
Упражнения
1.	Проверить справедливость формул, выражающих Archx,
Arth а: и Arcth а: через Arsh а: и другие функции (см. таблицу на
стр. 27).
2.	Проверить формулы (2), (3), (4), (5) и (6) (см. стр. 28).
3.	Доказать, что	|
Arch х = 2 Arch j/"	== 2 Arsh	|
* xl 1 . к 2x 1 л l 1 +x2 1 a 2x	’
Arth x — 2 Arsh j — 2 Arch 1 —	— 2" Arth 1 4. x* *
4.	Дать определение функций Arsch x и Arcsch x\ доказать, что
они связаны с логарифмическими функциями соотношениями
Arsch х = ±1п(± + /^--1)	(0 < х < 1),
Arcsch х = In Q- + ]/"— + 1) •	J
4. Показательные, тригонометрические и гиперболические J
функции от комплексного аргумента. Формулы Эйлера 5
До сих пор мы рассматривали только действительные
значения аргумента показательной функции, а также триго-
нометрических и гиперболических функций. Возникает во-	1
прос, как определить эти функции для комплексных значе-	|
ний аргумента. Ведь обычные, известные из элементарной
математики, определения тригонометрических и показательной
функций, а следовательно и гиперболических функций, да- |
вались только для действительных значений аргумента.

4]
ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА
31
Мы определим эти функции при комплексных, в ча-
стности, мнимых значениях аргумента с помощью их разло-
жений в степенные ряды, полагая, что аргумент может при-
нимать не только действительные, но и комплексные зна-
чения *).
Итак, если z =^= х + 1у> где х и у — действительные
числа, а 1 — У—1 —мнимая единица, то, по определению,
под символами е\ sin z и cos z понимают суммы следующих
абсолютно сходящихся при любом z рядов **):
‘=2г=1+к+г+-	<»
П=»0
п=о
<з>
п=0
В связи с этим гиперболические функции sh£ и ch z
определяются как соответствующие комбинации показатель-
ных функций е* и е~г или равносильными этим комбинациям
рядами:
sh z = —g— ’	(4)
yi г2П+1	2Ь &
Sh Z~ (2л+ 1)! ~ * +з!	5!	‘	(4а)
'	п=о
ch *=/ + *"*,	(5)
V	1 I & I z* I	,s x
ch 2	21 (2n)! “ + 2T~^ 4!
n=o
*) Существуют, впрочем, и другие способы определения функ-
ций е2, cos z, sin z при комплексном z.
**) Как известно, определения сходимости и абсолютной схо-
димости рядов с действительными членами, а также правила дей-
ствия над этими рядами распространяются и на ряды с комплекс-
ными членами.
32	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ	[гл. I
Эти ряды сходятся на всей плоскости Z, т. е. при всех
комплексных значениях z.
Функции tgz, ctgz, ihz, cth z определяются с помощью
равенств:
.	Sitl Z	/
\.gz —----------------------------------------------------------(6)
&	cos z
,	cos z
ctg z = -— , •	(7)
&	sin z	'
=	(8)
cth, = ^.	(9)
Распространив	понятие показательной	и	тригонометриче-
ских	функций	на	комплексную, область,	мы	обнаружим	ин-
тересные соотношения между показательными и тригонометри-
ческими функциями, отсутствующие в действительной области.
Согласно нашему определению, функцию еЧ-^где z —
комплексная величина, можно записать в виде ряда
eis— 1 _J_ J- 1	_L -L	I
e ~ 1	1!	2!	3! ’ * * ‘ ’ n\ •
Так как I2 — — 1, Z3 = — Z, Z4 = 1, Z5 = Z, Z6 = — 1 и, вообще,
=	i^+2 = —it z4w+3 = —Z, где /n = 0,
1, 2, ..., to
L . 2! ' 4!	••• r\ l> (2n —2)1 J ‘
		। (_n”-1 г2”-1 । I
^411	3!^5l_(2n— 1)!^ • • • J*
Содержащиеся в скобках ряды являются разложениями функ-
ций cos z и sin .г, поэтому
eis = cos z + Z sin z.	(10)
Если в этом равенстве заменить z на —zt то получим:
e-iz _ C0S(z — i sin z.	(11)
Обе эти формулы дают выражения показательных функ-
ций ei3 и через тригонометрические cosz и sin z. Из
41
ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА
33
них легко получить еще две формулы, выражающие триго-
нометрические функции cos z и sin z через показательные eiz
и
cos z = —J2-----»	"	(12)
sin2=——
(13)
Все четыре выведенные формулы называются форму-
лами Эйлера. Из первой формулы Эйлера, в частности,
Получаем:	(
тс , . . ft ,
е2 =cos 2“+/siny = Z,
eKi = cos к +1 sin к = — 1,
3	. , . 3	,
e2 — cos л + i sin -g-я = —
. cos 1 sin 2л = 1,
4я*	5 , , . 5	,
e2	= cos -2-rc-4-Zsin-^-it = Z
и т. д. Вообще,

где й =	± 1, ±2, ...
Формулы Эйлера позволяют ввести еще одну так назы-
ваемую показательную форму ком-
плексного числа zt наряду с его
алгебраической и тригонометри-
ческой формами.
Как известно, алгебраическая
форма комплексного числа имеет
вид z=ax-\-lyt где хи у — дей-
ствительные числа.
Если ввести модуль | z [ = г и
аргумент arg z== ср числа z (рис. 11),
связанные с действительной и мнимой частями х и у числа z
соотношениями № г cos ср, у = г sin ср, то из алгебраиче-
ской формы комплексного числа z = x-\-ly получим триго-
3 Зак. 975. А. Р. Никольский
34	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ	[гл. i
неметрическую: z — г (cos ср + i sin ср), а из нее по формуле
Эйлера легко перейти к показательной форме: z = re^. '
Заметим, что каждое комплексное число (кроме нуля,
для которого понятие аргумента теряет смысл) имеет бес-
численное множество аргументов, ибо увеличение или умень-
шение ср на число, кратное 2тс, не изменяет комплексного
числа. В связи с этим для аргумента приняты два обозна-
чения: Args и argz. Первое употребляется для всевоз-
можных значений аргумента, а второе—только для глав-
ного значения, выделяемого неравенствами 0 <р < или
— гс <С ? гс.
Если и х2 — действительные числа, то справедливо
равенство
-—г-
С помощью рядов его можно написать в виде
| *1 + *2	| (-*1 + *2)2 I	I (*1 +	t
1!	'	2!	* -г п\ -г
Так как сходимость (и притом абсолютная) этих рядов
не нарушится при замене действительных чисел и х2
любыми комплексными числами zt и z2, а ряды с комплекс-
ными членами можно перемножать по правилу умножения
рядов с действительными членами, то можно утверждать,
что равенство
е^ё^ =± ez>+z*
справедливо при любых комплексных числах и £2-
Если z = x-}-tyt где х и, j/ —действительные числа, то
gz =
но № — cos sin .у и, следовательно»
ez = е°> (cos у + *sin У)*
Отсюда следует, что |е2| = еда и одно из значений Arg 2s
равно у. Последнее равенство позволяет вычислять значения
ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА
35
4J
показательной функции при любом комплексном показателе
степени z. Например, £3~8i =e3(cos8 — I sin 8).
Подобно этому формулы (12) и (13) дают возможность
вычислять значения cos z и sin z при любом комплексном
аргументе z. Например,
sin(l+20= --------2Г~~ ~
__е-2 (cos 1 4-1 sin 1) — & (cos 1 — Z sin 1)_
— _
__ cos 1 (£-2 — e*) + i sin 1 (ё* -J- £-2) 	
— “	2i_.
= ch 2 sin 1 + i sh 2 cos 1.
Ниже будет показан другой, более удобный практически,
способ вычисления этих значений, позволяющий получить
ответ непосредственно в гиперболических функциях, минуя
показательные.
С помощью первой формулы Эйлера можно показать,
что в комплексной области показательная функция ег оказы-
вается периодической с мнимым периодом 2kZ.
В самом деле, прибавим к аргументу z показательной
функции f(z) = e* мнимое число 2ш. Получим
_ eze2iti _ ez (cos 2к _(-1 sin 2к) = ez.
Периодичность доказана.
В комплексной области тригонометрические функции оста-
ются периодическими и имеют те же периоды, что и в дей-
ствительной области. В этом легко убедиться с помощью
третьей и четвертой формул Эйлера (формулы (12) и (13)),
если'Произвести в них замену z на ^ + 2к. Так как
gi (z+2ir) — ^iz+27ti — giz	— qiz
a
g-i(z+2ir) —.	— g-iz 1 — g-iz,
TO
cos(z + 2k) — cos z, sin (z + 2k) = sin z>
что доказывает, что функции cos z и sin z периодические
и имеют период, равный 2к, и в комплексной области.
3*
36
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ	[гл. I
Периодичность tgz и ctg 2 можно обнаружить с помо-
щью тех же формул. Имеем ^ (».+«) = е<г+<’с = ^ге<те =
= —eist е~ *(г+те> = e~iz~ilz—e~iz J- =—e~iz и, следовательно,
tg(Z-|-lO = tgZ, Ctg (Z -1- к) = Ctg Z.
Таким образом, функции ,tgz и ctgг также периоди-
ческие и имеют период, равный к.
Проверим, что для функций sin z и cos z при любых ком-
плексных значениях z сохраняется основное тождество
sin2 z -f- cos2 z = 1.
В самом деле,
Sin2 2H-COs22=(-----~+	----) =
e2iz — 2-|“ e~2iz j e%iz 4-2 4- e-^z _ 1
= ——	4	-	= 1.
Точно так же сохраняются в комплексной области и все
остальные тождества, связывающие тригонометрические функ-
ции.
Гиперболические функции в комплексной области также
периодические, при этом функции sh z и ch z имеют пе-
риод 2kZ, a th z и cth z — период rcZ. Это вытекает непо-
средственно из формул (4), (5), (8) и (9). При замене
в первых двух формулах z на 2tuZ они вследствие пе-
риодичности функций ez и e~z остаются без изменения,
а при замене в последних двух формулах z на z-^-ni числители
и знаменатели правых частей меняют свои знаки на противопо-
ложные, что величин самых дробей не изменяет.
Нетрудно убедиться в том, что основное тождество между
функциями sh2 и ch 2, а именно: ch2 z — sh2 z = 1, сохра-
няется и в комплексной области, так же как и все осталь-
ные тождества между гиперболическими функциями.
Упражнения
1.	Вычислить действительную и мнимую части числа £3+Ч
Отв. — 8,23 4- 18.27Z.
2.	Выразить через модуль и аргумент комплексные числа:
a) 1+Z; б) 1 + z/З; в) 1—z/З .
. те	.те	тс
Отв. e)Y2e б) 2е 3; в) 2е 3.
5]
СВЯЗЬ С ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
37
3.	Записать, в тригонометрической форме числа:
а)	/Г— Z; б) — 2 + 5Z; в) — 2 — 5Z.
Отв, а) 2 £cos ( — -^-j Z sin (— j ;
б)	Y29 [cos (тс — arctg ~ j -|-I sin (те — агс
в)	У'29 [cos (тс arctg Z sin (тс + ап
4.	Найти Действительную и мнимую части выражений:
а) е^а; б) г^Дгде z = x-j-iy.
Отв, а) е&-Уа cos 2лу, #»а-2/а sin 2ху;
б)	е& (х cos у — у sin у), е& (х sin у + у cos у).
5.	Соотношения между тригонометрическими
и гиперболическими функциями
Наряду с обнаруженной нами в комплексной области
связью между тригонометрическими и показательной функциями
(формулы Эйлера)
в комплексной области имеется также очень простая связь
между тригонометрическими и гиперболическими функциями.;
Напомним, что, согласно определению:
« ez-\-e~z
chz = —t-----,	(3)
ег — е-г
sh z = —g—.	(4)
Если в тождестве (3) произвести замену z на lz, то
в правой части получится то самое выражение, которое
стоит в правой части тождества (J), откуда вытекает ра-
венство левых частей. То же самое имеет место для тож-
деств (4) и (2).
Итак
cos 2 — ch iz,
i sin z — sh iz
(5)
(6)
38	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ	[гл. I
Путем деления обеих частей тождества (6) на соответ-»
ствующие части тождества (5) и, наоборот, (5) на (6) по*
лучим:
iigz = ihlz,	(7)
A- ctg z — cth Iz.	(8)
Аналогичная замена в тождествах (1) и (2) и сравнение
С тождествами (3) и (4) дают:
ch z = cos iz,	(9)
I sh z == sin Iz.	(10)
Наконец, из тождеств (9) и (10) находим:
lihz — ig.iz,	(11)
J-cth 2 = ctg Iz»	(12)
Если в тождествах (5)—(12) положить z = ixt где х —
действительное число, т. е. считать аргумент чисто мнимым,
то получим еще восемь тождеств между тригонометрическими
функциями чисто мнимого аргумента и соответствующими
гиперболическими функциями действительного аргумента,
а также между гиперболическими функциями чисто мнимого
аргумента и соответствующими тригонометрическими функ-
циями действительного аргумента:
cos lx- = ch х,		(5a)
sin lx =	I sh x,	(6a)
tglx =	/th x,	(7a)
ctg lx =	— i cth x,	(8a)
ch ix =	cosx,	(9a)
sh lx —	i sinx,	(10a)
th ix =	Ztgx,	(Ha)
cth ix =	— 1 ctg X.	(12a)
Полученные соотношения дают возможность переходить
от тригонометрических функций к гиперболическим и от
5]	СВЯЗЬ С ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ	39
гиперболических функций к тригонометрическим с заменой
мнимого аргумента действительным. Они могут быть сфор-
мулированы в виде следующего /правила:
Для перехода от тригонометрических функций
мнимого аргумента к гиперболическим или, наоборот,
от гиперболических функций мнимого аргумента к три-
гонометрическим, следует у синуса и тангенса мнимую
единицу I вынести за знак функции, а у косинуса от-
бросить ее вовсе.
Установленная связь замечательна, в частности, тем, что
позволяет получить все соотношения между гиперболическими
функциями из известных соотношений между тригономет-
рическими функциями путем замены последних гиперболи-
ческими функциями
Покажем, как это. делается.
Возьмем для примера основное тригонометрическое тож-
дество
sin2 z -р cos2 z — 1
и положим в нем z = tx. где х — действительное число;
получим:
sin2 lx + cos2 lx = 1 ♦
Если в этом тождестве заменить синус и косинус гипербо*
лическими синусом и косинусом по формулам sinZx = Zshx
и cos ix = chx, то получим (I sh х)2 + ch2x = 1, или
ch2x — sh2x = 1, а это и есть основное тождество между sh х
и chx, выведенное ранее другим путем.
Аналогичным* образом можно вывести все остальные
формулы, в том числе формулы для гиперболических функ-
ций суммы и разности аргументов, двойного и половинного
аргументов и т. д. и, таким образом, из обычной тригоно-
метрии получить «гиперболическую тригонометрию».
Если положить 2 = х-\-1у, где х и у — действительные
числа, то, применяя формулы для тригонометрических
и гиперболических функций суммы аргументов, получим
следующие соотношения:
sin (х + ly) = sin х ch у + Z cos х sh у,	(13)
cos (х + ty) = cos х ch у — I sin x sh y.	(14)
tg(x+oo=sin2*+<s;.;\	(15)
& v 1	cos 2x + ch 2y	v '
40
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
[гл. t
. /	... sin 2х— l sh 2y
ctg(x + ^) = — cos2x + ch2y’	<16>
sh (x + iy) — sh x cos у + I ch x sin yt	(17)
ch (x + ly) = ch x cos у +1 sh x sin y,	(18)
th (x + iy) =	•	(19)
4 1 ch 2x 4~ cos 2y	7
.« (	। . ч sh 2x — Z sin 2y	/OA4
cth (x +1 v) — -г-н-------.	(20)
k 1	ch2x — cos 2y	v '
Формулы (13), (14), (17), (18) получаются непосредственно
после замены функций мнимого аргумента соответствующими
функциями действительного аргумента; формулы (15), (16),
(19), (20) получаются после некоторых преобразований.
Так, например, для формулы (15) имеем:
tg(x + O0
tg-x + tgiy  tgx-Hthy
1 — tg x tg ly 1 — I tg x th у
tg* । , thy
tg x (b— th2y ) +1 th у (1 -|- tg2x) ch2y ' cos2 x
1 + tg2x th2y	sin2x sh2y 4- cos2x ch2 у
ch2 у cos2 x
_______sin x cos x 4- t sh у ch у
1 4- cos 2x . o , 1 — cos 2x . 0
_Z_--------ch2 у -------------Sh2y
sin 2x + Z sh 2y
ch 2y + cos 2x *
Путем замены в последних восьми формулах у на — у
можно получить еще восемь формул:
sin (х	— ly) =	sin x ch у — I cos xsh y,	(21)
cos(x	—ly) =	cos x ch у -f- i sin x sh y,	(22)
tg(x	—iy) —	sin 2x — Z sh 2y cos 2x + ch 2y ’	(23)
ctg(x	—iy) =	sin 2x -|- Z sh 2y — cos 2x 4“ ch 2y ’	(24)
sh(x	—iy) —	sh x cos у — i ch x sin yt	(25)
ch(x-	—iy)=	ch x cos у — Z sh x sin yt	(26)
th (x-	—iy)—	sh 2x — Z sin 2y ch 2x 4- cos 2y ’	(27)
cth (x 	— iy) =	sh 2x 4- Z sin 2y ch 2x — cos 2y	(28)
б] СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОБРАТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ	41
Упражнения
1.	Вычислить: a) sin/; б) cos Z; в) ch/.
Отв. а)	б) ch 1; в) cos 1.
2.	Найти: a) sin (1 + 2/); б) tg (2 — Z); в) sh (-2 + /).
Отв. a) ch 2 sin 1 + sh 2 cos 1; б)	J в) —cos 1 sh 2+
+ I sin 1 ch 2.
3.	Вычислить вещественную и мнимую части выражения
cos (2 + 5Z) х + sin (3 — 4Z) х.
Отв. cos 2х ch 5х + sin Зх ch 4х; — (sin 2х sh 5х + cos Зх sh 4х).
4.	Проверить, что показательная функция е* выражается через
тригонометрические функции формулой
ez = cos iz — l sin Iz.
5.	Показать, что из равенства х + ly — ch (и + Zv) следует,
что
. _у^ = 1.	*2 У2	t
ch2 а •” sh3^	’ cos2v	sin2v
6.	Показать, что функция cos z при чисто мнимом z веще-
ственна и может принимать сколь угодно большие значения.
в.	Соотношения между логарифмическими,
обратными тригонометрическими и обратными
гиперболическими функциями
Гиперболические функции связаны с показательными опре-
деленными соотношениями. Естественно ожидать, что обрат-
ные гиперболические функции также связаны с функциями,
обратными показательным, т. е. с логарифмическими, неко-
торыми соотношениями. Чтобы установить эти соотношения,
рассмотрим сначала логарифмические функции комплексного
аргумента.
Если z — ewt где z = x-}-iy=£0, w-u^iv, причем х,
у, и и v—действительные числа, а 1~У—1—мнимая
единица, то w называется логарифмом z и обозначается сим-
волом w = Ln z. Отсюда следует, что для того, чтобы узнать,
чему равен Ln z при данном значении z, надо решить урав-
нение ew — z относительно неизвестного w.
42	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ	[гл. I
Возьмем комплексное число г в показательной форме
z = ге^ (г #= 0); тогда наше уравнение преобразуется к виду
eu+iv = rei<? или eueiv =~геЩ. Из равенства двух комплек-
сных чисел следует, что их модули равны, а аргументы
отличаются на величину, кратную 2тс, поэтому еи — г, откуда
и = Гп | z | = In г, где In г — обыкновенный натуральный ло-
гарифм положительного числа г, a v = Arg z = <?2kn
(Л = 0, ±1, ± 2, ...), и таким образом, «комплексный»
логарифм равен
Ln z — w = и + tv == In г + i (ср + 2Атс),
или
Ln z = In | z | + i Arg 2,	(1)
где Arg2 = arg2 4-2feir, причем —тс < arg 2 тс.
Значение логарифма числа zt которое соответствует глав-
ному значению Arg 2, называется главным значением лога-
рифма числа 2 и обозначается In 2. Оно получается из
общего выражения для Ln 2 при & = 0:
In 2 = In | 214- i arg 2.
Итак, всякое комплексное число 2, отличное от нуля,
имеет бесчисленное множество комплексных логарифмов,
отличающихся друг от друга на слагаемое, кратное 2тс/.
Следовательно, логарифм в комплексной области есть функ-
ция многозначная.
В частности, если 2 — положительное число, то ] 21 =*2,
arg2 = 0 и главное значение In2 действительное (остальные
значения Ln 2 комплексные), оно совпадает с известным из
анализа значением логарифма. Если же z не является дей-
ствительным положительным числом, то среди бесконечного
множества значений Ln 2 нет ни одного действительного,
так как ни одно из значений Arg 2 не равно нулю.
При 2 = 0 функция Ln 2 не существует, так как уравне-
ние еи — г при г=,0 не имеет корней.
Легко убедиться в том, что основное свойство лога-
рифма в действительной области — логарифм произведения
двух чисел равен сумме логарифмов сомножителей — остается
в силе и в комплексной области. В самом деле, согласно
Определению, равенство w — Lnz равносильно равенству
2 = ew, и наоборот. Возьмем два равенства: Wj = Ln2v
ч
а
$
1

6]	СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОБРАТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ	43
w2 = Ln z2; они равносильны равенствам zx = ew^ z2 — ewK
Перемножив последние два между собой, получим zlz2=ew^eWi-
так как ew*ew* = ewi+w*t то ztz2 = ew>+w*. Это равенство
равносильно следующему: Ln^^) —+w2. Замечая, что
w1 = Ln21 и w2== Ln22, приходим к доказываемому свой-
ству логарифмов:
Ln (ztz2) = Ln zt + Ln z2.
Заметим, что так как левая и правая части этого равен*
ства многозначны, то смысл равенства состоит в том, что
все множество значений, определяемых его левой частью,
совпадает с множеством значений, определяемых правой
частью.
Обобщение понятия логарифма на комплексную область
дает возможность вычислять все значения натуральных лога-
рифмов действительных, положительных и отрицательных
чисел, а также чисел комплексных, в частности чисто мни-
мых. Так, например, пользуясь формулой г(1), получим:
Ln 1 = In 1 + 2ArcZ = 2&тп,
LnZ = ln 14- ^Z + 2/bZ:=i(2A + y)rt,
Ln (— 1) = In 1 4- irZ 4- 2kiti = I (2k4- 1) it,
Ln (—Z) = In 1 4-ttZ 4-2ftTtZ = Z (2fe 4--J) rt,
Ln (2 4-3Z) = In/13 4-Z arctg4-2AitZ =
= 1,2834 4- Z (0,9827 4- 2Ait)-
Понятие об обратных тригонометрических функциях
также обобщается на случай комплексного аргумента. Если,
например, w = Arcsine, где z — комплексное, в частности,
чисто мнимое число, то это значит, что sinw = zi и для
нахождения w следует поступать аналогично предыдущему,
giw — g—iw
пользуясь формулой sinw==-------2^---. Заметим,-что в ком-
плексной области, так же как и в действительной Arcsine
содержит неопределенной слагаемое, кратное 2z. Это сле-
дует из показанной выше периодичности sin w, а также из
формулы (2) на стр. 44.
44	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ	[гл. I
Точно так же распространяется на случай комплексного
аргумента понятие об обратных гиперболических функциях.
Например, по определению, равенство w = Arsh z означает, что
shw = 2 и для нахождения w следует поступать, как в слу-
чае с Arcsine, с той лишь разницей, что вместо формулы
giw_________g—iw
sinw =----------следует воспользоваться формулой shw=
gw--g—w
2	.
Установим соотношения между логарифмическими, обрат-
ными тригонометрическими и обратными гиперболическими
функциями.
Покажем сначала, как связаны между собой обратные
тригонометрические и логарифмические функции.
По определению, если <w — Arcsine, то 2 = sinw, но
giw______________________g—iw	giw_g—iw
по формуле Эйлера sin w=----, поэтому--------------=z,
откуда (eiw)2 — 2lzeiw— 1=0.
Решая это квадратное уравнение относительно eiwt по-
лучим eiw — iz^y1—z2 (здесь предполагается двузнач-
ность квадратного корня), откуда Zw = Ln—z2),
а следовательно, w =— i Ln (tz + У1—£2).
Так как w = Arcsine, то получаем формулу
Arcsin z — — I Ln (iz + У1 — z2\	(2)
Аналогично можно вывести еще три формулы:
Arccos£ =— ZLnfz + Vz2—1),	(3)
Arctgz = —jLnpi-^,	(4)
Arcctg2 = -^-Ln^|i|.	(5)
Приводим выкладки.
giw -1- g—iw
Если w = Arccosz, to # = cos w =-----------g---- или
(giwy—2zeiw-\- 1 = 0, откуда eiw = z-\-yz2—1 или Zw = .
=Ln(з-|-]Лг2—1), a w = Arccos£ =— ZLn^ + jAz2—1).
б]	СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОБРАТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ	45
sinw eiw— e~iw
Если <0 = Arctg2, то 2 = tgw = -^- = —
или (1—Zz)£lw = (l+ /z)e~tw, откуда e2J“’=j^^ или
,	1 , 1 + lz	. ,	I t 1 + tz
lvo = -^Ln^-^, a vo = Arctg2 — — 2-Ln
„	*	.	, COS W I (eiw 4- tf-iw)
Если W = Arcctg 2, TO 2 = ctg VO = —-----—	—!---7-~-
ь ’	to sin w eiw — e~iw
•	•	• Iz —— 1
или (iz -|- 1) eiw = (lz — 1) e~iwt откуда e2iw — ^-j-y или
ax	1 т iz —1
a w = Arcctg z= — у Ln =
.	1 т № —1
^=2Ln77+i’
_ £
~ 2
Между обратными гиперболическими и логарифмическими
функциями соотношения таковы:

Arsh £ = Ln (г-|- ]/\г2+ 1),	(6)
Arch 2 = Ln (г-1~Уг2— 1),	(7)
Arth 2 = -^ Ln p4>	(8)
. ..	1. z+1 Arcth z = -g- Ln	.	(9)
Формулы эти выводятся таким же образом, как и пре-
дыдущие.
ew_____________________________________________e~w
Если w = Arsh£, то 2 = sh w — ~----------------- или
(ew)2 —2zew — 1=0, откуда
= Arsh 2 = Ln (£4-]/z24- 1)-
Если w = Arch z, to
(e^)2 —2zew + 1 = 0, откуда
ew — 2 + }/*22	1» a —
QUO _L 0 —W
‘ г = ch vo = —--------- или
ew = z-\~yz2 — 1, a vo=t
= Arch 2= Ln (2 -|- У z2 — 1).
Если ^ = Arth^, to £ = thw = —-=----- или (1— z)ew=^
ew e-w '
в (1 +z) e*“w9 откуда e2w = i » a = Arth z =
1т 1+*
= й-Ьпт-^-.
2	1 — z
46
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
[гл. I
gw _g—w
Если w = Arcth z, то z = cth w = —J-------------- или
gw---g~W
Z -I- 1
(z— l)ew = (z-{-l)e-w, откуда £2m,= _ i > a w = Arcth z =
1	т г + 1
= -к- Ln —+r .
2	г— 1
Итак, как обратные тригонометрические, так и обратные
гиперболические функции выражаются через логарифмиче-
ские функции. Следовательно, обратные тригонометрические
и обратные гиперболические функции должны быть связаны
между собой.
Соотношения между ними таковы:
Arcsin z = — I Arsh iz,	(10)
Arccos£ = — Z Arch г,	(11)
Arctg z = — i Arth iz,	(12)
Arcctg z — l Arcth iz.	(13)
Справедливость формулы (11) вытекает непосредственно
из формул (3) и (7). Для проверки формулы (10) заменим
в формуле (6) z через Iz, получим Arsh Iz = Ln (iz +- 1 — г2).
Сравнивая это равенство с формулой (2), убеждаемся в спра-
ведливости формулы (10).
Заменяя в формуле (8) z через iz, получим Arth iz —
=	Сравнивая это равенство с формулой (4),
проверяем справедливость формулы (12).
Заменяя в формуле (9) z через iz, получим Arcth iz =
= ~ Ln . Сравнивая это равенство с формулой (5),
проверяем справедливость формулы (13).
Упражнения
1. Найти In (3 —|—4Z), Ln(3 + 4Z) и Ln (—3 + 4Z).
4
Отв. In (3 + 4Z) = In 5 + i arctg у,
Ln(3 + 4Z) = In5 + Z(arctg — + 2£я) (^=0, ±1, ±2, ...),
4
Ln (—3 + 4Z) = In 5 — Z arctg у + (2k + 1) ni.
7]	ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ АМПЛИТУДА (ГУДЕРМАНИАН)	47
Указание. Главное значение аргумента числа —3 + 4Z равно
4
71 — arctg-g-.
2. Найти: a) Arccos Уб; б) Arctg (2Z); в) Arth /; г) Arch (—1).
Отв. а) — I (In /5 — 2) + 2й%; б) -£ + Z -^ + bt;
в)	г) (2^ + 1)^ (Л = 0, ±1, ±2, ...).
3* Показать, что
v2__ 1
Arth = In х,
Arsh dL = In £±£*EEZ, Arch - = In
a	a	a	a
7. Гиперболическая амплитуда (гудерманиан)
Зависимость между гиперболическими и тригонометриче-
скими функциями можно установить без участия мнимой еди-
ницы с помощью специального угла, называемого гипербо-
лической амплитудой или гудер-
манианом.
На равносторонней гиперболе
х2—у2=\ (рис. 12) возьмем
точку М(х, у). Из начала коор-
динат, как из центра, радиусом,
равным единице, опишем дугу АВ
окружности и в точке А про-
ведем к ней касательную до пере-
сечения в точке С с прямой Л4С,
проведенной из точки М парал-
лельно оси абсцисс. Начало ко-
ординат О соединим с точкой С
прямой, пересекающей окруж-
ность в точке N (X, Y). Угол
= 7 называется гиперболи-
ческой амплитудой или гудерма-
нианом, соответствующим точке М
гиперболы, а также аргу-
менту t гиперболических функций ch t — х и sh t = у.
Границы его изменения от —z/2 до к/2. Если соединить
точку N с основанием Р перпендикуляра, опущенного из
48
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
[гл. I
точки М на ось Ох, то получим треугольник ONP, в ко-
тором угол ONP прямой. Чтобы в этом убедиться, доста-
точно доказать, что OP2 = ON2-\- NP2. Для этого заметим,
что из подобия треугольников ОАС и OQN, где Q—осно-
вание перпендикуляра, опущенного из точки N на ось Ох,
' ОА АС	1 у	У
следует, что oq==qn> т. е. j = p откуда У — ~х*
Заменяя в уравнении гиперболы х2—v2=l, на которой
у	у2
лежит точка М, у через получим х2— ^-=1, откуда
(хХ)2 = Х2-\-У2. Так как точка N лежит на окружности,
то Л2-]- У2 — 1, и потому в первой четверти имеем соотно-
шение хХ = 1.
Теперь можно проверить справедливость доказываемого
равенства. Имеем ОР2 = х2, ON2 — 1, 7VP2 = (х—Х)2-|- У2—
= х2—1, ибо хХ=1- и Х2-\-У2=1. Следовательно,
ON2 + NP2 = 1 + х2 — 1 ж х2 — ОР2, что и требовалось
доказать.
Из прямоугольных треугольников ОАС, ONP и OQN
имеем соответственно:
sh/ — y = AC = OAig*(:=tg*( (ибоЛО=1),
ch t = х = OP = ON sec 7 = sec 7 (ибо ON — 1).
Кроме того.	sfu
th/=dU=^ = si-nb
cth t = -T7-T = — = cosec 7,
th t sin у	*
.. 1 1
sch# = -Eh7 = ^F = cosb
csch/=^L=-X.=ctgT.
Итак, мы получили соотношения: .
sh/ = tgy,
ch t = sec 7,
th/ = sin 7,
cth t — cosec 7,
schf = cos7,
csch t — ctg 7.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
71	ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ АМПЛИТУДА (ГУДЕРМАНИАн)	49
Для гиперболической амплитуды (гудерманиана) у, соот-
ветствующей аргументу гиперболических функций t> приме-
няются обозначения
7 = amph t = gd t.
Если известен гудерманиан 7, то легко найти аргу-
мент tt и наоборот. Для этого воспользуемся формулой
= ch t + sh t. в которой произведем замену через
sec7 и sh£ через tg^; получим:
1 ।	:	1—	+	/	к
*	lx 14-sin у	\2 Ч . /я . y\
«' = s«T + tgT = — =—^_ = tg(_ + |)
и, следовательно,
(7)
7 =gd/ = 2arctge‘ —(8)
Можно получить еще одну зависимость между t и 7:
tg-J=th-^-.	(9)
/
В самом доле. tg |	=	= <h|.
Из* формулы (9) имеем:
т —gdf = 2arctg(th	(10)
Последнюю формулу удобно использовать для исследо-
вания функции у — gd х и построения ее графика. При х = 0
у = 2arctg(th0) == 0. При х->-|-оо функция th4-->l,
Л
4 Зак. 975. А. Р. Янпольский
50	ОСНОВНЫЕ понятия и'соотношения [гл. I
/
, Л. X \ ТС	тс _
a arctg Ith->-j-, следовательно, у. Прих->—оо
тс
У-^—2-
График функции j/=gdx дан на рис. 13.
Понятие гудерманиана обобщается и на случай мнимого
аргумента. При этом можно получить любопытное соотно-
шение. Если Y = gd£, то, как было показало, справедливо ра-
венство tg4- = th --. Умножив обе его части на Z, получим:
- не1=нЦ.
Так как = a Zth j = tg-y, то
th-J=tgT,
откуда
,	« = gdJ-p
Итак, если т == gd t, то
tt = gdZY.	(11)
Можно ввести также функцию, обратную гудерманиану.
Если x = gdy. то у обозначается следующим образом:
_y = arggdx.
8]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ	51
8. Дифференцирование и интегрирование
гиперболических и обратных гиперболических функций
Формулы дифференцирования гиперболических и обрат-
ных гиперболических функций можно свести в следующую
таблицу:
(sh х)' ~ ch х,	(1)
(ch х/ = sh х,	(2)
(th х)' =	‘, v 7	ch*x	(3)
(cth х)' = —, v	7	sh*x	(4)
lArshx)z= r 1 Г- : , v	’	V14-X2	(5)
(Arch x)' = —— , у X2 — 1	(6)
(Arthx)'= 1._д.2 ,	(7)
(Arcth x)z = —	»	(8)
(gd x)' = schx,	(9)
(arggd x)' = sec x.	(10)
Первые четыре формулы выводятся следующим образом.
QX _
По определению, shx =----------• Поэтому (shx)' —
_ gag ~	f — си х. Аналогично (ch х)' =
/ет±гх\' ех — е-х
= (—1------) =-----2---= shX*
shx	/shx\' ch*x — sh*x
Так как th x = то (th x)'^-^) = —cVx..........=
1	<	/	/ ch x V sh* x — ch*x
=	Аналогично (cth x)'== (-^ ) =---=
_ 1
sh*x *
Следующие четыре формулы можно вывести с помощью
правила дифференцирования обратной функции: у''—“г*
ху
Если у == Arsh х, то х = sh у. Дифференцируя по у, получим
4*
52
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
[гл. I
1
уТ^х2’
x' — ch v. Поэтому у' = (Arsh x)' =
9	*	xy ch у
так как ch у — У1 sh2 у = 1 -|- хг.
Если _y = Archx, то x — chy и х' = shy, откуда
У
= (Arch х)'==-Д-= -!—==•	1
ху sh у
Если y = Arthx, то x = thy и ху =
у' = (Arth xY — -Д- — ch2 у = ——
•Ух	1 х'у л sch2 у
Если у = Arcth х, то х — cth у и
у'п — (Arcth х)' = -V = — sh2 у =
ху t
csch2 у	cth2 у — 1 х2— 1 *
Формулы (9) и (10) получаются следующим образом. Как
известно, у = gdx = 2 arctg (си. формулу (8) преды-
дущего пункта). Поэтому = ^2 arctg е”—=
= -^n^- = schx-
Из определения функции, обратной гудерманиану, и из
формулы (7) п. 7 следует, что j = arggdx==lntg(у + -?г)’
Поэтому
dy__d I
dx dx\
V>2—i ’
TtJry. откуда >
1 _ 1
1 — th2 у ‘ 1 — x2 ’
x'y = - W’ Откуда
1
1
1
1
cos х *
Произведя обращение таблицы производных, получим
таблицу интегралов:
(И)
(12)
dx
ch2x
dx
sh2x
(13)
cth х + С,
(14)
81
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ Й ИНТЕГРИРОВАНИЕ	53
/т^='°<-х+ухг+а'>+с=
Arsh
Arch
-f- С при. а > О,
{- С при а<0,
(15)
dx __ 1	| х л | ।	_
X2 —Л2 — 2^in|T+7|’±*G —
1 х
— — Arth —+.С при
— -1 Arcth+С при
/^ = gdx + C = 2arctg^-bC,	(17)
f ^b = ^S^ + C = ^(i + ^ + C.	(18)
Приведенную таблицу интегралов можно продолжить.
Применяя обычные методы интегрирования функций с учетом
соотношений между гиперболическими функциями, можно
получить еще ряд формул, которые мы даем ниже без
доказательства (см. Приложения, таблица 7, стр. 192).
Рассмотрим вопрос о вычислении интеграла от рациональ-
ной функции гиперболического синуса и гиперболического
косинуса. В курсе интегрального исчисления доказывается,
что интеграл J*/?(sinx, cosx)rfx, где R — символ рацио-
нальной функции, всегда берется в конечном виде при
помощи универсальной подстановки tg^=2. Совершенно
аналогично можно вычислить интеграл J*/?(shx, chx)dx
с помощью подстановки th = z.
Положив th -^ = 2, мы получим х = 2 Arth zt откуда
,	2 dz
dx =~i----
1 — г2
г
54	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Й СООТНОШЕНИЯ	[гл. 4
В свою очередь
sh х — 2 sh ~ ch ~ —
shj	2th^ 2th4	,
— 9_____ ch2 _______________Z_---	-
— Z . x cn 2 ~ x ~ x — l—z^ *
ch-g.	sch “2	1-~th "2
a
ChX = Ch2^ + sh24=Ch2-j(l+th24)==
1 4. th^ —
_	2 _ 1+^
1 — th^ 1 —
Подставляя полученные выражения shx, chx и dx через z
в подынтегральное выражение, будем иметь:
У* R (sh х, ch х) dx ==
Г D( 2z	Г гу / Ч
J \ 1 — z3 * 1 — / 1 — г2 J (2)
где /?х — символ рациональной функции от z. Так как инте-
грал от алгебраической рациональной функции всегда может
быть выражен с помощью конечного числа элементарных
функций, то и наш интеграл может быть выражен через
элементарные функции от z, после чего остается произвести
обратную замену z через th
Пример.
J (i+dL)>=J |'i+gy°4.f<1-2,>^°
=4 (г-тг)+с = 4-4—4lh4+c’
8]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
65
Упражнения
Вычислить пределы:
«. shx
х > о In (1 + •*)
Отв. 1.
In (ch х sh х1)
а-\~ bx
„ 1
Отв. -г.
b
о n chax —ch8x + shax —sh8x	Л
3. lim------—— --------------£—. Отв. 1.
sin ax — cos px
4. Дано Qn (x) — ch — ch ch ... ch ; вычислить
lim Qn (x). • Отв. .
W->oo	X
Указание. Умножим обе части равенства на shi. Так как
— ch —— — sh—, — sh —£_ ch= 1 sh-2-
2n 2n 2 2n~l 2	2n~1	2W~1	22	2W~2
1	, x tx 1 .	''
...,---r* sh — ch — = — sh x,
2n~i	2	2	2n
TO
Qn (*) sh -^г = 4r sh x, a	Qn (x) = —shx .
2»sh^L
5, Две бесконечные числовые последовательности
#q> Qfy • . • ,	,
^0» ^1» ^2» • • • >	• • •»
первые члены которых — данные положительные числа aQ и bQt
причем л0 > bQ, задаются следующими законами образования:
Л fln-i 4~	А . i/Г—т------
ап — g ’	,	— У
Найти пределы, к которым стремятся общие члены последова-
тельностей ап и Ьп при п -> оо.
Отв. Пт ап=Ит Ьп ~ f где сь а £а > q\
- Я
’* /
56
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
[гл. I
Указание. Положим aQ = bQ ch а (а > 0). Тогда = bQ ch2 •
b± = b0 ch —, а значит, = b± ch ~ . Следовательно,
А	ы
ft2 = $tch^-,
ch "уЦ" >
< r a \ . a u a .a sha Z
bn = bn~t ch ^ == ch £- ch . ch -^ = —"—~ (см. указа-
2nsh-^-
ние к задаче 4), an = bn ch .
Примечание. Если «о <^o> to Mm an~ lim bn — ^° sin?t
n->oo n>oo . a
где Oq = bQ cos a (o < a < -^. Доказать!
Преобразовать дифференциальные уравнения посредством ука-
занной замены переменных:
d*y у	. t
dx2 4 ch2 x	—
- Om.
’<1-л!,'5-2',<1-',>-г+^т-0. *-,ht
Ome- ^-+a<e^+1>y = f>'
в. ^+2tti2x-^-+-^- = 0; x=ln/tg2F..
dx2 1 dx ch2 2x	b
Ome- + niy = °-
9. (1 —x2)3^2a —= x = th5, y = -^-; принять S за
новый аргумент, a iq за новую функцию.
п . А Л 2
Отв. -ТлЛ + 1-1 I *П = ‘L.9 сГ»
Л \а Л сДз g
81
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЙ
57
Указание. Продифференцировать х и у по 6, найти как
функцию 6 и Y) и продифференцировать ее по х как сложную функ-
цию с промежуточным аргументом 6.
10. Дано х = г ch 0, у == г sh 0. Доказать, что при такой замене
переменных
д^и ^2и	д2а 1	. 1 ди
дх* + ду2	дг^ ” г2 дО2 + г ~дг~9
Вычислить интегралы:
1
dx.
——-----—1------in sch х 4- С.
4sch4x sch2x	1
Л 1 i V"2 i V 2 + cth x r
Отв. — th x -k -— In -r_ 1--k C
2	1 8	/2—cthx
Отв.
11 /
’ J sch4x
/dx r
-----™.
1 — sh4 x
/ch3x—-sh3x .
“To---i-uo—dx.
ch3x+ sh3x
1	। ' 4	. 2 th jt — 1 .
Отв.-------------==• arctg--—-----k C.
3(l-|-thx)	3/3	/3
14. I ... dx. Отв. — In(/2 shx + /ch2x) + C.
J /ch2x	/2	,
Указание. Этот интеграл берется с помощью подстановки
sh х = у:
/chx . Г chxdx
.......dx = I .	— =
V ch 2x	J ych2 .r-j-sh2 a:
/ch x	Г dy
/l+2sh2x = J V1 4-2y3 ’
/X2
x cth2 x dx. Отв. — x cth x + In sh x
/* x-|-sh x +ch x ,
16.	/ —4-4-dx.
J chx — shx
Отв. (x — 1) (sh x 4- ch x) + (sb 2x -|- ch 2x) + C.
/dx	1
• Ome' ~ 3e^> ch» x C’
18- f ~i-chxdx- Отв- "Чет1 - x -ln о -ch *)+c-
58	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ	[гл. I
Указание. Преобразуем интеграл следующим образом:
/ех dx Г ch х4- sh х J
1 — chx J 1 — chx
/(l-chx)-l-shx 7 f ,
---------1^2^---------dx = -J dx +
। Г dx , Г sh x dx
‘J 1 — chx ‘J 1 — ch x *
19. J* arcsln (sh x) ch x dx.
Отв. sh x arcsin (sh x) V" 1 — sh2 x + C.
20. J arctg (sh x) sh x dx. Отв. ch x arctg (sh x) — x -|- C.
Указание. Интеграл берется по формуле интегрирования
по частям J и dv =t uv- J v du. Положим и = arctg (sh x),
dv = shxdx. Тогда du = .ct*~, v = chx.
1 -f- sh2 x ch x	z
9. Разложение гиперболических функций
в степенные ряды и в тригонометрические
ряды Фурье
Возьмем разложение показательной функции ех в ряд по
степеням х:
^==и-тг+а-+ зг+ ••• +-Ы-+ •••
Этот ряд абсолютно сходится при всех значениях х.
Если в этом тождестве заменить х на — х, то получим раз-
ложение функции е~х
е-х—\____ф _j_ (________________i)n — -U ..
е 1	1! ’ 2!	3! *^ *	’ ^ *' л! *
Полусумма и полуразность функций ех и е~х дают раз-
ложения в степенные ряды гиперболических функций chx
и shx:
ChX=l+^ + l+ ... + (2Ьж+ .............	(1)
. X . X3 . хб .	.	Х2п~1	.
shx— ц +-зг + -5г+ • • • + (2л—i)l + •' •’
которые также абсолютно сходятся при всех х*
9] РАЗЛОЖЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ 59
Ниже приводятся разложения некоторых других функций
с последующим выводом:
.  	х3 , 2*5	17х7 , 62х»
tn* —X	з “Г 15	315 -Г 2835
• • • +	(2л)!	)х + •••
\ 2 < х < 2 ) ’ (3)
1 t х	х3 . 2х5 х7 .
х ”* 3’-’ 45 + 945 ~ 4725	”
+ •>*’“-+ •••
(— я < х < я, х =А 0),	(4)
,	, х2 . 5х4 61хв	/	%	я\ .	'
SCh х — 1	2“ “Ь 2Т 720	’	\	2 < Х < 2 / ’
.	1 х , 7x3	31х® .
csch х — х - 6 4- зад 15 12о + • ‘ •
(—я < х < я, х =# 0),
* .	хЗ . 1-3x5	1-3-5х7 .
Arshx — X 2	~Ь 2-4-5	2-4-6-7'“ *”
, , ^„1-3-5 ... (2л-1)х2»+1
и 2-4-6 ... 2л(2л+1) “I"---
(-1<х<1),
.	. X8 . Х5 . X7 ,	.	Х2М+7	.
Arthx —Х-J- з + 5 + 7 + ••• + 2лН-1 +
(- 1<х<1),
.	хЗ . х5	61Х7 .
gd х — х	6 + 24	5040 + • • • •
(6)
(7)
(8)
(9)
.	. X3 . X5 . 61х7 .
arggdx = x + —+24+зо4о4
ГС	' ГС \
—-2 <Х<2Г
(Ю)
Для получения рядов для th х и cth х найдем сначала разло-
жение вспомогательной функции /(х)= ga, в ряд по
♦) Вп — числа Бернулли (см. ниже, стр. 60).
60	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ	[гл. I
степеням xt приняв /(0)=1. Пусть
;Л] = В.+|1.ф+ ...+^.х»+ ....	(||)
где Во, Вр В2, ...—коэффициенты, подлежащие опреде-
лению. Они называются числами Бернулли.
Так как, с другой стороны,
х __________________1______________
еХ 1 J Ц- — _1_ I ।	I хП ।
3! + 4! +	+ (п + 1)! + ‘ ‘ *
то имеем тождество
откуда путем сравнения коэффициентов при одинаковых сте-
пенях х получим бесконечную систему уравнений относи-
тельно неизвестных Во, В19 В2, ... Сравнивая свободные
члены, найдем Во=1. Приравнивая нулю коэффициент
при х™-1, получим общий вид л-го уравнения системы:
1 о	।	1	Bi ।	1	В2	। fl Bw-i __ ~
TzI 0	(72—1)!	1! "*	(/2 — 2)!	2!	1! (/2—1)!—v’
или
i + ^a + 1^-^4- ... +<^iy,B.-l=o
(n = 2, 3, ...). (12)
Покажем, что все числа Вп с нечетными индексами,
кроме Вр равны нулю.
Заменив в равенстве (И) х на —х, будем иметь:
Х ___ R  х 1_ ^2 v2 _ В* х3 -4-
е-х — 1 — ^0	1! х । 2! Х	3! х ' • * •
... +(-!)»...
9]
РАЗЛОЖЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ
61
Путем вычитания получим:
х I х я- 2^1х3-1-	-к- 2^2ft+1 г2Л+1 1
г-*-1	1!	3!	U2fc + l)l
Но, с другой стороны,
х t х ___________ х . хех _________х (1 — ех) _
+	1	1 ‘ 1—0*	— 1	Хл
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в пра-
вых частях двух последних равенств, получим:
2В1 = —1,-
53 = В5= ... =	~ ••• =0	(&—1, 2, 3, ...).
Левая часть равенства (12) напоминает разложение бинома
Ньютона, и потому оно может быть записано в символи-
ческой форме в виде
(14_В)« — вп = 0.
Этй формула в раскрытом виде дает равенство (12), если
показатели степени В заменить соответствующими индексами.
Пользуясь формулой (12) можно найти числа Вп, прини-
мая последовательно и = 2, 3,.., Приводим значения
нескольких первых чисел Вп (напомним, что Во=1):
Вх = —у,	в3 = о> В4 = -^. в5 = о.
^б=='42'>	=	3q» Bg = O, B10 = g^,
— 0» ^12 =	2730 ’ ^13 =	^14 ~ и T*
Таким образом, разложение функции имеет вид:
Х _ 1 _________1_ v2 I Н_[_	I	Х2'»-|~
е«> — 1 ’	2	2!	^ 4|	"I- • • • “Г (2Л)[ х г • • •
Так как —------
1
х  х (е® +1) х еР12 + е х1* х ,, х
2	2 (е®— 1)	2 е®/2 — е"®/а	2 С 2
62
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
[гл. I
то, заменив в последнем равенстве х/2 на х, будем иметь:
xcthx = 14-+	...
, 22nB2w	_ у 22nBam
'	(2л)! Х +•••— 2d Д2Л)ГХ ’
П = 0
откуда
П = 1
1 , х	X* 3 * , 2x5	Х1 f /, ,	, лч
3	45 + 945	4725 + •• • <1х । <	Х=/=0).
Для получения разложения th х воспользуемся форму-
лой (20) из п. 2 этой главы;
it. п 1 4- cth2 х
cth 2х —  -T -;u-,
2 cth х
которую преобразуем к виду
2 cth 2х = th х + cth х.
Отсюда следует, что
th х = 2 cth 2х — cth х
или, используя разложение cthx,
00	00
=4+2 -I - 2	=
п=1 '	П=1
_ у 22»(22»-1)B2w	2
~~	(2л)! Х ~
п = 1
х3 » 2х5 *	17х7 .	/. । .
. =*-—+-15—315-+•••	(И<2-)«
Для получения разложения csch х представим его пред-
варительно в таком виде:
СЬ2 —_sh* ~
9]	' РАЗЛОЖЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ б РЯДЫ 63
Воспользуемся теперь разложениями cth х и th х. Получим:
.	1 2
CSchX=y -
2П-1
п = 1
22«(22п_1)в2п /х\2п“1
(2п)!	\2/
2(22n-l i)BSn	=
(2п)!
1 X , 7х» 31хб
х 6^360 *45120
”)•
Разложение sch х получим способом неопределенных коэф-
фициентов.
Пусть г
_ 1 _________________1______'______
SChX-LChx“	, Хв ,	2^
2!	4! ' 6! Л,	(2п)!
= Д.+ >*! + <х.+ ...+^.+ ....
где коэффициенты Е^, Е2, Е±, ... подлежат определению.
Выпишем тождество
\	2! ' 4! ' 6!	‘ ‘	(2п)!	‘ J А
х(е.+ >^+4«‘+ +(Й^-+
И путем сравнения коэффициентов при одинаковых степе-
пенях х получим бесконечную систему уравнений относи-
тельно неизвестных Ео, Е2, Ev... Сравнивая свободные члены,
получим Eq= 1. Приравнивая нулю коэффициенты при х2№,
получим:
- 1 р |________1	I_____1____^4 1	I__1_ ^2п ___Л
(2п)!	(2п — 2)! 2!	(2п — 4)! 4! Ф ’ ’	0! (2/г)! “ и‘
64
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИИ И СООТНОШЕНИЯ	[гл. t
Умножим обе части полученного равенства на 2(2/0! и
одновременно'заменим Ео единицей; будем иметь:
f	f	2n(2n — 1)	д, ।	2n(2n — l)(2n — 2)(2n — 3)	c ,
1	‘	2!	•	41	»	• • •
•••+ ^2n = 0	(n=l, 2, 3,	(13)
Нетрудно заметить, что левая часть равенства (13) напо-
минает разложение бинома Ньютона и может быть записана
в символической форме:
(1 + Е^п + (— 1 + £*)2w — 0.
Эта формула в раскрытом виде дает равенство (13), если
показатели степени Е заменить соответствующими индексами.
Принимая последовательно п=1, 2, 3, ..., находим
несколько первых чисел Е2п (напомним, что Ео=1):
£*2	1	— 6 1,	— 1 385 и т. д.
Числа Е2п называются эйлеровыми числами. Очевидно,
все эйлеровы числа с нечетными индексами равны нулю.
Итак,
8ChX=l + 2-^r^ =
п«=1
__ .	X2 t бх4 61х«
“ 1	2 ‘ 24	720
Разложение в ряд Arsh х можно получить путем интегри-
рования.
Имеем:
Ш	X
Arshx = m(x+/^+T)=/?~ = f (1
=/(1~1хг+44х4“йт1'хв+
о
1
4-Х2)"2 dx=
1 хЗ 1.3Х5
Х 23' 2.4.5
1 • 3 • 5х’ ,
2-4.6-7
„ 1-3.5... (2п—1)хз»+‘
'	2-4-6 ...2л(2п+1)
9] РАЗЛОЖЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ 65
(п — 1, 2, 3, ...» причем п— 1 соответствует второму члену
ряда). Аналогично получим:
Arth х = 1 In = -1 [In (1 + x) — In (1 — x)| =
= -^ У* (1 — x -f- x2 — x3 + x4 — x5 + ...) dx -|-
О
x
+	(l+x + x2+^+x‘+^+ ...)dx =
0
f X3 , X^ , X1 ,	, J X2n+* X ,	/1..1
— * + з + 5 + 7 + • • • + 2n 4- 1 "Ь • • • (I x I < 0-
Ряды для функций gd-x и arggdx приведены без вы-
вода.
№ теории рядов Фурье известны разложения показатель-
ных функций ех и е~х в тригонометрические ряды Фурье на
промежутке (—тс, тс):
оо
„ - sh тс . 2shrc viz • cos nx— nsinnx z . '	.
i/-1)*1-----Г+712---- (-я<х < K),
n = l
00	,	*
„ sh тс . 2 sh тс Vi z 1 cos nx + n sin nx z .	. .
e-a,= __ + _.2|(-l)re--------ф?------- (~«<X<K).
X	n=l
Беря полусумму и полуразность этих рядов, получим
разложения в ряды Фурье гиперболических функций chx
и sh х:
оо
и sh тс . 2 shu Vi / 1чи cos nx z . ч
Chx = — +
n«l
00
.	2 sh тс Vi / мп-i nsinnx z .	. ч
Shx = ——2/— 1)” -ppfr- (—K<x<ir).
n=l
5 Зак. 975. A. P. Ямпольский
66	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и соотношения	[гл. 1
Приведем без доказательства еще некоторые разложения
гиперболических функций в тригонометрические ряды Фурье:
со
2 shait V. nn+i n sin их
shflx==---—(“«<*<«).
n=l
.	2 sh an . .
ch ax =-------X
X	оо	- 1	1 V? /	1 \П а COS пх 2а~т~А{	д2 + и2 L	п = 1	(— ТС	X тс),
sh а (z — х) — -	оо 2 sh an VI п sin nx	(п П = 1	< х < 2тс),
(co	\
1 I V a cos nx I /Л ' n 4
+	+	(0<x<2k),
n = l	/
chx = ^[l+£(-l)»£2^£
n = l
(0 < x < к, неполный ряд по косинусам),
.	2 V 1 — (—iy*ch тс
ch Х = -J 2j-14- n'2	n sin nx
n«l
(0 < x < ij, неполный ряд по синусам).
Упражнения
Проверить справедливость следующих разложений:
I.	thx = i—А+ ... •
2-	c‘hx=l+^ + ^+-^+ ...
3.	Arsh х = In (2х) 4- 6- * * —  У . 4-
'	1 * 2 • 2№	2 • 4 • 4х4 1
I Ь3'5	.	14
+ 2 • 4 • 6 • 6х«	• • •	> 1)1
9]
РАЗЛОЖЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ
67
Arsh х = — In I 2х | — о \ J 4- п ! л ;
2 • 2х2 ' 2 • 4 • 4х*
1-3-5	,
2 • 4 • 6 • 6х* '
(х < -1).
4.	Archх = ± [in(2х)- 2^- 2-4-4х* “
ЬЗ-5 1
2-4-6-6x6	•’•]
5.	Arschx= ± [in — утз'хг— 2	3^- х* —
„ ,	<_	I '	1	,	1-3
6.	Arcsch х - х 2 - 3x3 + 2 • 4.5x5
.	<.	<2.1,	1-3	, .
Arcsch х «= in “I” 2.2	2*4*4
.	.	, I 2 I 1	, ,	4-3	,
Arcschx=-1п ,7|-27Тх2+ 2^П4^“
-5ТСТ',+ -	(-!<-<»>
ГЛАВА II
ПРИМЕНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
К ИНТЕГРИРОВАНИЮ
10. Интегрирование функций
(гиперболические подстановки)
Как известно из курса интегрального исчисления, интеграл
J* R (х, ]/rax2'-i~bx-^-c)dxt где R— символ рациональной
функции, может быть .вычислен с помощью так называемых
тригонометрических подстановок, т. е. путем замены аргу-
мента х тригонометрической функцией новой переменной
Однако тригонометрические подстановки иногда приводят
к громоздким выкладкам, особенно тогда, когда вводится
секанс или косеканс. В этом случае можно при интегриро-
вании функций вида J* R (х, ах2 4~ Ьх + с) dx применять
гиперболические подстановки. Ниже дается изложение этого
способа.
Преобразуем сначала подкоренное выражение путем до-
полнения квадратичного трехчлена до полного квадрата:
о । I, I	Г/ 9 ।	I 62 \ . с b2 1
flX2 + ftx+c==0Ux2_|__x_|_—\_|___— J =
Г/ , b \2 . 4ас — ^2*1	/ о . 4яс —£2\
= 4г+25-)	+
где положено х-\--^~у.
10]
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ
69
Если а > 0, то, обозначив
4ас — b2 I , 9
—т-x—= ± А2 и заметив,
что dx = dy, приведем наш интеграл к виду:
j R(x, Уах2 + &х + с) dx =
= f	/«УУ ± h^dy.
Если а < 0, то запишем. ах2-\~Ьх-}~с ——-------у2\
b2 ' 4/zc
и обозначим —— = /г2 (знак минус перед № невозможен
при условии вещественности корня У ах2 -|- Ьх 4- с). Тогда
J*R (х, У ах2 + #х + с) dx =
=	V-aVhr^Uy.
Итак, наш интеграл приводится к одному из следующих
трех типов:
Л = )Ч(у. V7+^)dy,
l2=fRl(y, yyZZt^dy,
4=J4 Су,
где — символ рациональной функции.
Интеграл Д подстановкой у = h sh t преобразуется к виду
Ix = f (Л sh £, h ch t)h ch t dt = f R2(shf, ch t)dt
и берется в конечном виде как интеграл рациональной функ-
ции от гиперболических синуса и косинуса (см. гл. I, п. 8).
Аналогичные результаты получаем для интегралов /2 и /3,
введя соответственно подстановки j/ = ftch7 и y = hihtt
70
ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ
[ГЛ. Ц
имеем:
/2 = J* (у, У у2 ~ л2) dy = J* Rt (h ch t, h sh t) h sh t dt =>
' г= § R2 (sh t, ch t) dt,
/3= f Ri(y. Vh^^)dy = f R^htht, Asch/)A^= 
= / /?2(s^^ ch/)d/.
Пример 1. Вычислить J* x24~a2 dx. Положим x=a sh
тогда dx — a ch t dt и ;
У*/х24-аМх = а2 У*ch2tdt = a2 f ch2' + 1 dt =
a2 / sh 2t . \ । n	. cP . . n
— ~2~ \—2 — -^-shfchf-l—^-t-j-C —
= IX/^2+^2+4 Arsh 7 + C-
Пример 2. Вычислить § V(x2— I)3 dx. Положим x=ch/;
тогда dx = shtdt и
У*/(X2— 1)3 dx = f sh4 / dt = У ( ch2^~-l.y dt =
= | У* ch22/d/ — у У ch Ztdt-\-^ f dt =
= 1 f (ch4/4-l)d/—1 sh2/ + 4 t =
'Of/
= A- sh 4/ — 1 sh 2t + 11 + C.
Если принять во внимание равенства
sh 4/ = 2 sh 2t ch 2t = 4 ch t sh t (ch21 + sh2 /) =
= 4x У x2— 1 (2x2 — 1),
sh 2t = 2xYx2— 1,
t = Arch t = ln(x-|~]/^x2—1).
11] интегрирование дифференциальных уравнений 71
то можно записать:
У*У (х2—1)3 dx =
= 1(2х3 —5х) /^ZZ7-H|ln(x + /^=^l)4-C.
Упражнения	•
Вычислить с помощью гиперболических подстановок следующие
интегралы:
1.	/ -	4- С, подстановка X = 2 sh t.
J /(х2+4)з	4/х2 + 4
2.	= A in(х + /^3) +1/^=3+ С, под-
становка х = У 3 ch t
3.	У Ух2+4x4- 13 rfx 1 In (х + 2 + /х2 + 4х + 13) +
+1 (х + 2) Ух2 + 4х +13 + С, подстановка х + 2 = 3 sh t.
С ..	..	.	1	®
4.	/ х Vx2 + x + l rfx = 4(x2 + х + I)2 —
«/
“т (х+^Ух*+х+1 - 4-in (х+y+v^+x+i)+с,
. 1	/3 . .
подстановка х + -5- = sh t.
А	А
11. Интегрирование некоторых
дифференциальных уравнений
Гиперболические функции находят применение при инте-
грировании некоторых дифференциальных уравнений. Не го-
воря о том, что в процессе интегрирования уравнений можно
получить квадратуры, которые сравнительно легко вычи-
сляются при помощи гиперболических подстановок, решения
многих дифференциальных уравнений, в частности линейных,
удобно выражать через гиперболические функции. При этом
значительно сокращаются выкладки и сами решения полу-
I
72	ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ	[ГЛ. Ц
чаются в более компактной форме. Кроме того, гиперболи-
ческие подстановки позволяют иногда упростить дифферен-
циальные уравнения, сводя их к легко интегрируемым видам.
Рассмотрим несколько примеров на отыскание решений
дифференциальных уравнений, в первую очередь линейных
однородных и неоднородных уравнений 2-го и 4-го порядков
с постоянными коэффициентами, наиболее часто встречаю-
щихся на практике.
Пример 1. У' — д2^ = о. Это однородное линейное
уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Его характеристическое уравнение г2 — а2 = 0 имеет корни
1\ = а и г2 =—а* Поэтому частными решениями будут
показательные функции еах и е~ах, а также их линейные
комбинации. Примем в качестве частных решений полусумму
рах _1_ £—ах
и полуразность показательных функций yY == —------=ch ах
@ах_@—-ах
и у2 —------g = sh ах. Ле^ко убедиться в линейной неза-
висимости этих частных решений. Для этого составим и
вычислим определитель Вронского:
I ch ах sh ах
= Lsh ах achax = «(ch2 ах —sh* ax) = a^O.
Так как МЧУ ^0, то наши частные решения образуют фун-
даментальную систему и общее решение запишется в виде
у = Cl ch ах + С2 sh ах.
Если задать начальные условия у — 1 и у' = 0 при х = 0,
то, подставив сначала значения х и у в общее решение,
получим Cl = 1, а вычислив производную у' = аСх sh ах Ц-
~\~aC2chax и подставив в нее значения х и у, получим
С2 = О, и таким образом частное решение выражается через
гиперболический косинус у = ch ах.
Если изменить начальные условия, задав у = 0 и у=1
при х = 0, то в качестве частного решения получим гипер-
болический синус у = sh ах.
Пример 2. у" — a2y — f(x). Это неоднородное линей-
ное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Для отыскания его общего решения применим метод
вариации постоянных. С этой целью возьмем общее ре-
шение соответствующего однородного уравнения (пример 1)
П] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 73
у = ch ах + С2 sh ах и, полагая С1 = С1(х) и С2 = С2(х),
подберем эти функции таким образом, чтобы функция
, у =	(х) ch ах + С2 (х) sh ах
удовлетворяла нашему неоднородному уравнению. Поскольку
мы варьируем обе произвольные постоянные, а накладываем
только одно это условие, то мы вправе ввести еще одно
условие, например, потребовать, чтобы выражение первой
производной, вычисленное при переменных Сх(х) и С2(х),
имело такой же вид, как и при постоянных Ct и С2. Так как
У = aCt (х) sh ах + аС2 (х) ch ах 4- С' (х) ch ах + С' (х) sh ах,
то это условие сводится к следующему уравнению относи-
тельно С'(х) и С'(х):
С[ (х) ch ах + С' (х) sh ах = О
и, таким образом,
У = aCv (х) sh ах + аС2 (х) ch ах.
Вычислим вторую производную; име^м:
у = a2Ct (х) ch ах + а2С2 (х) sh ах 4~
+ аС' (х) sh ах 4- лС2 (х) ch ах.
Выражения функции у и производной У через х под-
ставим в исходное уравнение. После несложных алгебраи-
ческих преобразований получим:
С'<х) sh ах 4- С2 (х)ах ==
Итак, мы имеем систему из двух линейных алгебраиче-
ских уравнений относительно неизвестных С'(х) и С'(х):
С' (х) ch ах 4- С2 (х) sh ах = О,
С' (х) sh ах + С' (х) ch ах =	.
Система совместна и имеет единственное решение, так как
определитель системы Д отличен от нуля:
I ch ах sh ах
Д=	=ch2ax — sh2 ax =1^=0.
j sh ax ch ax
74
ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ
[ГЛ. Ц
Решая эту систему, получим выражения производных
искомых произвольных «постоянных»:
о
f{x)
а
с;(х)=
sh ах
ch ах
= —--/(x)sh ах.
q(x) =
ch ах
sh ах
О
fix)
а
= -^-/(х) ch ах,
а с помощью квадратур запишем и самые произвольные 1
«постоянные»:
Сх (х) = -- -1 У*/(0 sh at dt + Cy
X
С2 (X) = 4 f f(f) ch at dt+C2.
x0
Здесь xQ — любая постоянная, Ct и C2 — новые произ- !
вольные постоянные (без кавычек), а переменная интегриро-
вания во избежание путаницы в дальнейшем обозначается
через t
Подставив выражения Ct(x) и С2(х) в функцию у —
= Ct (х) ch ах С2 (х) sh ах, получим общее решение неодно-
родного уравнения У'— a2y=f(x) в виде.
Ж	'
у = J* f(t) (sh ах ch at—ch ax sh at) dt.-p-GjCh ях-|-С2 sh ax,
Xq
или в окончательной компактной форме
х
у — -~ j* f(t)sh а (х — t)dt-^Ct ch ах + С2 sh ах.
Легко заметить, что сумма последних двух членов пол-
ностью соответствует общему решению однородного уравне-
ния у' — a2j/ = 0; что же касается первого члена, то он
представляет собой частное решение неоднородного уравне-
ния, которое в сумме с общим решением однородного
уравнения составляет, согласно теории линейных уравнений,
И] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 75
общее решение неоднородного уравнения. Так, если дано,
А
в частности, /(х) =	—, где А — const, то частное реше-
ние этого конкретного неоднородного уравнения будет (хо>0)
Ш	X
A f sh а (х — t) А Г z ,	« ч ,,
у. =— / ------^-7—-dt = — I (sh ах cth at — ch ax) dt =
a J sh at	a J	7
Xq	Xq
Л Г 1	Iя5
— — _ sh ax In sh at\ — t ch ax\ =
a La 1	-U
== —- sh ax In I	’ I-— (x — x0) ch ax\
a2	I sh axQ I a 4
следовательно, общее решение имеет вид
А .	. I sh ах I А , ч .
у =	sh ах In | ^-1 - — (х —x0)ch ах-Ь
+ Сх ch ах + С2 sh ах.
Пример 3. У'+рУ + <7.У = 0. Это однородное линей-
ное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Его характеристическое уравнение имеет корни
п,2=—f±y	—я-
Рассмотрим только случай
когда корни вещественные и разные.
Положим	___
<=«• /"4-
Тогда rlt 2 = — а ± р и частными решениями уравнения будут
функции	и	а также их линейные комби-
нации. Примем в качестве частных решений полусумму и
полуразность этих функций:
и
Уг = .£—S£___L_2. = е-лх sh р*.
76
ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ
[ГЛ. И
Легко убедиться в том, что эти решения образуют фун-
даментальную систему, и, следовательно, общее решение
уравнения имеет вид
у = е~ах (С\ ch рх + Q sh ?*)•
Пример 4. У'+рУ+ ^ = /(х). Это неоднородное
линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффици-
ентами. Его общее решение будем искать, как в примере 2,
методом вариации постоянных, входящих в общее реше-
ние соответствующего однородного уравнения (см. при-
мер 3), причем, как в примере 3, ограничимся случаем,
п2
когда р2 = — q > 0; имеем:
у — е~ах [С2 (х) ch + С2 (х) sh рх],
у' = — а.е~лх [Cj (х) ch fix 4~ С2 (х) sh fix] 4-
4- е~лх (х) sh fix + pC2 (x) ch fix] 4-
+ [c;(x)ch?x+q(x)sh рх].
Как в примере 2, потребуем, чтобы выражение, стоящее
в последних квадратных скобках, обратилось в нуль. Это
дает нам первое уравнение относительно С'(х) и С'(х):
Cf (х) ch fix + С' (х) sh fix = 0.
Запишем первую производную в виде
у' = е~ах ](Р sh рх — « ch рх) Ct (х) + (Р ch рх — a sh рх) С2 (х)]
и вычислим вторую производную
у" = — ае~ах [(Р sh рх — а ch рх) Сг (х) 4-
4- (р ch рх—а sh рх) С2 (х)] 4~ е~ах [(Р2 ch рх—ар sh рх) Ct (х) 4~
(Р2 sh рх—«р ch рх) С2 (х)] + е~ах КР sh fix—a ch рх) С' (х) 4-
.	4~(pchpx — ash рх)С'(х)].
Теперь умножим у на q, у' на р и подставим эти про-
изведения вместе с у" в исходное уравнение; после приведе-
11] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 77
ния подобных членов получим:
Ch	— 2а£) sh рх] Сх (х) +
+ КрР — 2аР) ch £х + (q — ра + а2 + р2) sh рх] С2 (х)} +
+	[(Р sh рх — а ch рх) С' (х) +
+ (Р ch рх — а sh рх) С' (х)] = /(х).
Так как a — a ~— q, то выражение, стоящее
в фигурных скобках, обращается в нуль, и мы приходим
ко второму уравнению относительно С'(х) и С'(х):
(Р sh рх — a ch рх) С' (х) + (Р ch рх — а sh рх) С' (х) — ea*f(x),
которое вместе с первым уравнением образует систему из
двух алгебраических линейных уравнений с неизвестными С'(х)
и С'(х). Составим определитель системы А и вычислим его:
ch рх	sh рх I
Р sh рх—a ch рх р ch рх—а sh рх |
= Р ch2 Рх — а ch рх sh рх — р sh2 рх + а sh рх ch рх = р #= 0.
Следовательно, система совместна и имеет единственнох
решение. Корни ее дают производные искомых произвольные
«постоянных»
С'1 (*) = у I е«ау (х) р ch ₽х — a sh рх |= — J f	sh
с2 w = у I р sh Рх — а Ch Рх e^f(x) |= р" ch Р*'
С помощью квадратур запишем и сами произвольные «посто-
янные»:
(Г
Ci (х) =—1 f f(t)	sh pz dt + Ср
X
С2(*) = у / /(0eafch ^tdt + Cv
xQ
78
ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ	[ГЛ. II
Здесь, как в примере 2, xQ—любая постоянная, Сг и
С2—новые произвольные постоянные (без кавычек), a t — пере-
менная интегрирования.
Подставляя функции Сх(х) и С2(х) в выражение
у —	(х) ch ^ЗхЦ-С2 (х) sh рх], получим общее решение
неоднородного уравнения У'+ду' + ^у = /(х> в виде
х
У = 4- I	sh
р J
_____________________________ _________
+ е~ах ch рх + С2 sh рх).
Как и в примере 2, первый член представляет частное
решение неоднородного уравнения, а второй — общее ре-
шение соответствующего однородного уравнения.
Заметим, не производя выкладок, что в случае ~ — q <0
частное решение
Л = у y*/(O^(f a!)sin.p(x — t)dt.
а в случае — q = Q частное решение
yl== J — f)e2 at.
Я50
Пример 5. ,yIV — а*у = 0. Это однородное линейное
уравнение 4-го порядка с постоянными коэффициентами. Его
характеристическое уравнение г4 — а4 = 0 имеет корни
г1>2=±а, r3t4=±ta, где 1 — У—1. "Общее решение
у = С*£ал’Ц-С*2“ож-4~£зcos ^x4~£4 sin Если заменить еах
через chax + shax, а е~ах через ch ах — shax, то будем
иметь: у = Ct ch ах + С2 sh ах + С3 cos ах 4~ С4 sin ах, где
положено C^ + C* = Ci и С* — С* = С2.
. Пример 6. yv -j- 4а4.у = 0. Это тоже однородное
линейное уравнение 4-го порядка с постоянными коэффици-
ентами. Характеристическое уравнение г4-]-4а4 = 0. Для
11]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 79
нахождения его корней разложим левую часть на множители
следующим образом:
г4 + 4а4 = (г4 + 4а2г2 + 4а4) — 4а2г2 = (г2 + 2а2)2 — 4а2г2 =
= (г2 — 2аг + 2а2) (г2 + 2аг + 2а2).
Приравнивая нулю выражения, стоящие в скобках, каждое
в отдельности, получим два квадратных уравнения. Решая
их, будем 1^меть корни характеристического уравнения 2 —
= а±а/, г3,4 = — а ± al. Поэтому общим решением будет
функция	г
у = еах (Cl cos ах + С2 sin ах) + е~ах (С3 cos ах + С4 sin ах).
Если, как и в предыдущем примере, произвести замену
^<w? = chax + shax, £“oaj = chax— shax, то после неслож-
ных алгебраическах преобразований получим общее решение
в виде
у = С* cos ах ch ах + С* cos ах sh ах +
. + С! sin ах ch ах + С* sin ах sh ax,
где положено С+С„ = С* С. — С„ — С*, С -|-С. —С*
х 1 О	J, х	о	& а 9	о
с2-с4=с:-
Рассмотрим несколько примеров на нелинейные диф-
ференциальные уравнения 1-го и 2-го порядков.
Пример 7. ay = ]/* 1 4-У- Это уравнение с разде-
ляющимися переменными. После разделения переменных по-
лучим:
откуда, беря квадратуры, будем иметь общий интеграл
a Arsh j/= х + С
или общее решение
Если задать начальное условие у = 0 при х = 0, то,
подставив в общее решение вместо х и у их значения, получим
80
ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ
[гл. II
shy = 0, откуда следует, что произвольное постоянное С
равно нулю, и потому частным решением уравнения будет
гиперболический синус
y”sh —.
а
Пример 8. ^У'=1+У2. Это нелинейное уравнение
2-го порядка, которое подстановкой у'=р и
ственно yff—p~ сводится к уравнению 1-го
ур 1 +р2- После разделения переменных
= откуда, беря квадратуры, придем
нению у In (1 -pp2) = lnj/— In	потенцируя которое, будем
иметь V1 4-р2 —	или —===== = ± dx.
Cl ZUY-i
соответ-
порядка
получим
к урав-
Взяв квадратуры, получим Сх Arch± (х4~С2), от-
% I Q
куда j/^CjCh—~—- (знак минус перед аргументом под
знаком гиперболического косинуса опускаем, ибо косинус
является четной функцией).
Пример 9. у" = 2уу'. Это нелинейное уравнение 2-го
порядка, которое, как и в предыдущем примере, подстанов-
кой у' —р сводится к уравнению 1-го порядка= 2ур,
откуда, сократив на р (полагаем р =£ О, случай р = 0 дает три-
виальное решение у = const) и взяв квадратуру, получим
' Р = У + ^ или	= j/2 + C*. Разделив переменные, будем
иметь
^-. = dX.
При интегрировании левой части полученного уравнения
могут представиться две возможности:
11] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 81
1)	если принять > 0 и положить С*=С^, то получим
— arctg — х + С2 или arctg=С1х + С1С2, откуда
Ci	Ci	Ci
у = Ct tg(C\x-(-С2)> где положено СХС2 = С2;
2)	если принять С* < 0 и положить С* = — С*, то
получим — i Arth ~ = x-j-C2 или Arth ^-=— (C^+^Cg),
G1 Cl	Cl
откуда у — —Ct th ((^x-J-Cg), где, как и выше, поло-
жено С1С2=С2, причём предполагается, что |<у|<|-С1|. В
случае-1у | > |	| имеем у = — Arcth (Ctx + С2).
Во всех разобранных примерах гиперболические функции
возникали в процессе интегрирования уравнений. Разберем
несколько примеров на применение гиперболических под-
становок для упрощения дифференциальных уравнений до их
интегрирования.
Пример 10. y = aV\-\- у'2. Положим У = sh г. Тогда
уравнение преобразуется к виду у = a ch z, откуда диф-
ференцированием находим, что у' = az' sh z или, заменяя у'
через sh 2, sh z = az' sh z. Сокращая на sh z, получим z' = -•,
_________x -p C	__ < x —|- C
откуда 2 — —-—, а следовательно, j/ = ach—.
Пример 11. ay" = V1 4- у'2. Положим y==sh2.
Тогда У' — z'ohz, и уравнение преобразуется к виду az' = 1,
откуда z —	. Поэтому у = sh и окончательно
, % Ч” С, I
^==aCh“T~i+C2-
Пример 12. у' = + а + J/2. Положим у — х sh z.
Тогда у = xz' ch z + sh z и уравнение принимает вид
xz' chz^shz = shz-\-axohz. После упрощения полу-
чим z' — a, откуда z — ax-\-C и, следовательно, у —
= xsh (ах + С).
у	1/*х% -4- у2
Пример 13. У = “ + «1—Положим, как и
в предыдущем примере, y = xshz. Вычислив у' и перейдя
6 Зак. 975. А. Р. Янпольский
82
ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ
[ГЛ. II
к переменным x и zt преобразуем уравнение к виду У =
откуда 2 = — — С, и, следовательно, у —— xsh^-f-C^.
Рассмотрим более сложный пример на интегрирование
дифференциального уравнения, содержащего гиперболические
функции.
Пример 14. g + 2th2xg + EH^j = 0. Это ли-
нейное уравнение 2-га порядка с переменными коэффи-
циентами. Преобразуем его к более простому виду. Для этого
подберем соответствующую функцию <р(/) и произведем
замену переменной, положив х = ср(/). Имеем:
dy dy 1 •
dx	dt dx ’
dt
d*y___d	Idy	1	\	1 _d*y _J_
dip	di	I	dt	dx	j	dx	dt* (dx
\ dt I dt \St
dy 1 d*x
dt (dx \* Ht*'
следовательно,
d*y 1
dt* (dx\* dt
dy d*x' J
2 th 2x
dt1 2 (dx\*
1	, n*
dx ch2 2x У
dt
Выберем функцию x — y(t) так, чтобы выражение,
стоящее в квадратных скобках, обратилось в нуль,т. е. по-
требуем, чтобы
^777^—2th 2х = 0.
Это нелинейное дифференциальное уравнение, допускающее
понижение порядка, так как в нем отсутствует аргумент t.
dx	d*x
Чтобы проинтегрировать его, положим = р\ тогда =
dp
— р~^ и уравнение примет вид
Р*Р-
---2th2x = 0 или 2th2x = 0.
11] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 83
Взяв квадратуры, получим:
dx.
In р — In ch 2х — In 1, р — ch 2х, мГоТ,
г	г	СП ЛХ
(здесь положено С = 0 = 1п 1, ибо нам достаточно иметь
одну какую-нибудь функцию х = ср(О). Взяв квадратуры
в последнем уравнении, будем иметь:
t — ar ctg е2х	или е2х = tg /.
Выбрав cp(/) = ylntg^, мы преобразуем исходное урав-
нение к виду
или
Общее решение этого уравнения
у — Ct cos nt + С2 sin nt
и окончательно
y = Ct cos (n arctg e2x) + C2 sin (n arctg e2x).
Рассмотрим пример на интегрирование дифференциального
уравнения в частных производных.
Пример 15. Найти частное решение дифференциального
уравнения Лапласа
02ф	_
дх* ду* ~ U’
удовлетворяющее граничным условиям:
Ф(х, j/) =acos(mx — nt),
i^o
I?|	=0, где a* tn, n, t —параметры.
/
Решение. Используя первое граничное условие, будем
искать частное решение в виде произведения
Ф (х, у) = cos (тпх — nt) Y (у),
где Y (у) — неизвестная функция, зависящая только от у и
обращающаяся в а при у = 0: Y(0) = a.
6*
84
ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ
[гл. И
Вычислив частные производные 2-го порядка
— >п2 cos (тх — nt) Y (у),
= cos (тх — nt) Y" (у)
и подставив их в уравнение Лапласа, мы получаем тож-
дество
cos (тх — nt) [Y" (у) — m2Y (j/)] == О,
откуда, так как cos(znx— nt) =£ 0, имеем обыкновенное
линейное однородное дифференциальное уравнение с постоян-
ными коэффициентами
Г" —т2Г = 0.
Его общее решение (см. пример 1) Y (y)=Ct ch ту-]-С2 sh ту.
Для нахождения частного решения, удовлетворяющего
условию Y (0) — а, подставим в общее решение а вместо Y
и 0 вместо у, что дает Ct = a, и, следовательно, Y(y) —
— a ch ту-{~ C2sh ту. Поэтому
и
Ф (х, у) — cos (тх — nt) (a ch ту 4- С2 sh ту). (*)
Используем второе граничное условие. Найдем
дФ
подставим 0 вместо з- и —h вместо у. Имеем:
ду	л
дФ
— — т cos (тх — nt) (a sh ту + С2 ch ту\
а после подстановки
т cos (тх — nt)( — ashmh-\- С2 ch mh) — О,
откуда, поскольку cos(mx — nt) Ф О,
— a sh mh С2 ch mh = 0.
Из этого уравнения находим отношение
С2___shmh
a ch mh
и подставляем его в (*). Имеем:
Ф (х, у) = a cos (тх — nt) (ch ту +	ту
Н] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 85
или, заметив, что
ch ту ch mh + sh ту sh mh = ch (у + й),
получим ответ:
Ф (х, у) = с cos (тх — nt) ch (у + й),
где положено = с.
ch mh
Эта задача встречается в гидродинамике при отыскании
потенциала скоростей волн в канале глубины й с вертикаль-
ными стенками.
Рассмотрим пример на решение функционального урав-
нения, т. е. уравнения, из которого требуется определить
общий вид функции.
Пример 16. Найти такую дважды дифференцируемую
функцию <р(«)» чтобы соотношение
<Р (*г|- у) ф (X — у) = ср2 (х) — «Р2 (у)
оставалось справедливым для всех значений х и у.
Решение. Продифференцируем заданное равенство
по х, а затем по у\ получим:
ф' (.X + у) ф (X — у) + ср' (х — у) ф (х 4- у) = 2<р (х) ф' (х),
ср" (х + у) ср (х — у) — ср" (X — у) ср (х + у) = 0.
Второе равенство перепишем так:
cp/z(x + y) _ ?zz(x —у)
?(* + У) ?(* —У) ’
. ф" (я)
откуда заключаем, что функция 	 не должна изменяться
ср \U)
от замены и = х-]-у на и = х — у. Так как x-j-y и х—у
могут иметь любые значения и не зависят друг от
друга, то
cp(tt)
Й,
где й = const.
Рассмотрим два случая.
1) k = n2 (й > 0); Получаем дифференциальное урав-
нение
ср" (и) — п2у (и) == 0.
86	ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ	[ГЛ. И
Его общее решение (см. пример 1)
ср (а) — CY ch па + С2 sh па.
Если в исходном равенстве положить у — х, то получим:
? (2х) <р (0) — ?2 (х) — <р2 (х) = 0.
Так как ср(2х)^0, то мы имеем условие ср(О) = О, которое
позволяет определить одну из произвольных постоянных.
Для этого подставим значение а = 0 в общее решение;
тогда
ср (0) = Cr ch 0 + С2 sh О,
откуда Сг = 0 и, следовательно, ср (а) = С sh па, где вместо С2
взято С.
2) k = — п2 (й<0). Получаем дифференциальное урав-
пение
ср" (а) 4~ л2? (я) = 0.
Его общее решение (и) = Cr cos пи-\-С2 sin пи.
Дополнительное условие ср (0) — 0 приводит к соотноше-
нию C1cos0-|“C2sin0 = 0, откуда ^ = 0, и, следовательно,
<р (ц) = С cos па, где, как и в предыдущем случае, произ-
ведена замена С2 на С.
В заключение рассмотрим одну геометрическую задачу.
Пример 17. Найти кривую, у которой величина отрезка,
отсекаемого касательной в любой точке кривой на оси Оу,
пропорциональна секансу угла ср, образованного радиус-век-
тором этой точки с осью Ох.
Решение. Величина отрезка, отсекаемого касательной
на оси Оу, равна у — ху'. Так как tgcp = —, то sec<p =
=ГьРЙ=’Щ2.
Составляем дифференциальное уравнение
и преобразуем его к виду
У X	х*
И] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 87
Его общее решение (см. пример 13)
^=Х5Н(т+с)
(знак минус в правой части отсутствует потому, что в нашем
уравнении, в отличие от примера 13, коэффициент а входит
со знаком минус, который можно вынести за знак гипербо-
лического синуса как нечетной функции).
Упражнения
1.	Найти общие решения следующих дифференциальных урав-
нений:
1)	у' + а2у2 — ^2 = 0.	Отв. У == ~ th (abx 4~ С).
2)	у' (1 + sh х) sh у 4~ ch х (ch у — 1) = 0.
Отв. (sh х 4-1) ch у — sh х и С.
3)	у' (х ch у + sh х) + у ch х 4- sh у = 0.
Отв. у sh х + х sh у = С.
2.	Показать, что подстановкой у == ха следующие уравнения
приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными; проин-
тегрировать их:
1)	х2у'2 — 2хуу' + у2 (1 — х2) — х4 = 0.
Отв. у = ± х sh (х 4~ С).
2)	(У4 + У2*2 — *2) У'2 + 2хуу' — у2 = 0.
Отв. х = ± у sh (у 4- С).
3.	Решить однородные уравнения 1-го порядка:
1)	(х + ]/х2 + у2) у' = у. Отв. Arsh у—- — In | у [ == G
2)	xyf + а /х2 + у2 - У = 0. Отв. у = х sh {a In -Яj.
3)	ху' ch 4" 2х sh у — у ch = 0. Отв. х2 sh ~ = С.
4.	Найти общие решения линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами (однородных и неодно-
родных):
а?	х
1)/' + / — 7 = °- Отв, у = е 2 tach-^+Cash-^A.
?	л У &	У * /
88	ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ	[ГЛ. Ц
, 2) yIV — 13у" 4-36у = 0.
Отв. у = Ci ch (2х 4" ^2) + С3 sh (?х + Q)-
3)	у" -( у = ch х. Отв. у = Сх cos х 4- С2 sin х -|-
4)	у" — cfty = b sh ах.
Отв. у = Ci ch ах 4- С2 sh ах 4- х ch ах.
5)	ут — 2у" — а?у' 4- 2а%у = sh х.
Отв. у =	+ С#ах + С#-™ 4-
2sh х 4- ch х
I 3(a2-l)
* + 1	3x4-1 -я?
~	36~*
6)	yIV—2y" + y = 40chx.
Отв. у = (Ci 4" C2* + 3x2) ch x~4- (C3 4- C4x) sh x.
7)	_ Sy" — 9y = 50 sh 2x.
Отв. у = Ci sin (x 4- C2) 4- Q sh (3x 4” €4) — 2 sh 2x.
8)	yIV 4" 2a2y" 4- а4У = ch ax.
Отв. у = (£i 4" Сг*)sln a* + (C3 4“ Qx) cos ax 4-	.
9)	y" — у — th x. Отв. у = Q ch x 4- C2 sh x + 2 ch x arctg Л
10)	y" — cfly=-£—.
’ J J ch ax
Л	Я
Отв. у = Ci ch ax 4* C2 sh ax 4-x shax-x- ch ax In ch ax.
J	1	'a	a*
Указание [к 9) и 10)]. Применить метод вариации постоян-
ных.
5. Найти частное решение уравнения у" — 4у = е**9 удовле-
творяющее начальным условиям: у = у0, у' = у$ при х = 0.
/ уд 1 \	хе2®
Отв. y = y9ch2x + ^----_JSh2x + —j—•
6. Проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения,
понизив предварительно их порядок:
1)	у" + «2уз = Ь\ Отв. у = In ch (abx + Сх) + С2.
2)	УУ" — у'2 +1 = 0. Отв. Cty = sh (Qx -f- С2).
3)	ay'" = /1+у"2. Отв. у = sh	+ св-
2 •
при а2=/=1,
при а2 =з 1.
И] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 89
7.	Найти частное решение уравнения у" + (1—-^)у =9
(а =/= ft3), удовлетворяющее начальным условиям: у == -i-, у' = О
при х == 0.
Отв. ау =
при а < ft3
при а > ft2.
8.	Показать, что общее решение уравнения yy',z — у'у" = 0
может быть записано в трех формах:
у = Ci sin (С2х 4“ Сз); у = Ci sh (С2х 4- С*з)> у = ch (С2х -|- 6*з)»
9.	Показать, что общее решение уравнения ау^=
1 4-(у<п~1))2 выражается в виде
у = ? (х) +
% I Q
an-isij —ZL—1 при п нечетном,
д. I £
ап-1 сь —JZ—1 при п четном,
где <р (х) =? С2хп 3 С3хп 3 4“ • • • 4~ Сп—1.х 4- Сп.
10.	Показать, что cos nl ch nl =* 1, если дифференциальное
уравнение yIV — а4 у =» 0 имеет решение у = Л (cos ах — ch ах) 4-
4- В (sin ах — shax), которое удовлетворяет граничным условиям:
у = у' == 0 при х==0их==/. ЛиВ — произвольные числа.
11.	Найти общие решения линейных однородных уравнений
с переменными коэффициентами:
1)	у" 4- 2аху' 4- а3х2у == 0.
л	f Ci ch х^а 4- С* sh х У'а при а > 0,
Отв. е 2 у =	г— "	г___
I Ci cos ху — а+ С2 sin ху — а при а < 0.
Указание. Применить
2)	у" 4- 2у' th х 4- #у = 0.
подстановку
и
У аа^
е2
О h X ( £1 COS аХ + ^2 sin ах При — 1 = а3 > 0,
тв‘	( С1 ch ах 4“ 6*2 Sh ах	при ft— 1=— а3 < 0.
90
ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ
[гл. It
ТУ	f-r	U
Указание. Применить подстановку У = ^«
3)	у" — 2у' tg х 4- Z?y = 0.
Л	(Cl COS аХ + Со Sin ах при b + 1 = а2 > 0,
Отв, у cos х = <
( Cl ch ах -|- С2 Sh ах при Ь 4“ 1 = — а2 < 0.
Указание. Применить подстановку у =	•
4)	ху" — у' —* ах3у = 0.
Ci ch -у + sh при а > 0,
У — {	Л	А
J	«X2	ах2
Ci cos -£- + с2 sin При а < 0,
причем а == V’lal.
ХУ	' п	аХ2 X
Указание. Произвести замену аргумента, положив =s t.
5)	2ху" + у' + ау = 0 (а =# 0).
{Ct cos У"2ах 4- С2 sin У2ах	при 2ах > 0,
Ci ch У 12ах |	С*2 sh Vl 2ax | при 2ax < 0. •
Указание. Произвести замену аргумента, положив
/[2дхТ = t.
6)	4ху" 4- 2у' — у = 0. .
Л ( Ci ch Ух 4- С2 sh Ух при х > 0,
Отв. у == {	___ ____________
I Ct cos V | х | 4- C2 sin у | x | при x < 0.
Указание. Произвести замену аргумента, положив У | х | =« t.
7) 4(х2—1)у" + 4(2х—1)у'4-у =±0.
г-------- л ( arcsin х при I х I < 1,
Отв. yV х + 1 =СХ+ СЛ д . н	’
I Arch х при | х | > 1.
Указание. Применить подстановку у == у.^..	'
8) у'" 4- Заху" 4- За2х2у' + л3х3у =± 0.
л	f Ct4-C2ch(x/3a)4-C3sh(x/3a) при а > 0,
Отв. е у = <	____ z г_____________
*	( Ci4-C2cos(xy |3a|)4-C3sin(xy |3л|) при а < 0.
Указание. Применить подстановку у
Н] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 91
12.	Найти частное решение системы дифференциальных урав-
нений 1-го порядка
( x'=y + t,
[ у' = X — А
удовлетворяющее начальным условиям: х = 3, у = 1 при t = 0.
Отв, х = 4 ch t + t — Г, у — 4 sh t— f 4- 1.
13.	Найти общее решение системы дифференциальных уравне-
ний 2-го порядка
г х" + у" 4- у = sh 2t,
I 2х" + у" = 2£
*2	*3	2*4-1 9i , г
Отв. х =	+ -g- — -----g—	+ Ci + C2t +
t е- ,	.2* 4-1	. г
У = ~2--2 + ”8" '1------ ~ 2С^е +
ГЛАВА III
ПРИМЕНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
12. Цепная линия
График гиперболической функции y = ach~ называется
цепной линией. Это название связано с тем, что цепь, под-
вешенная свободно за оба конца, принимает форму этой кри-
вой. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующую за-
дачу.
Задача о провисании нити. Тяжелая гибкая однородная
нерастяжимая нить, закрепленная концами в двух точках
(рис. 14), провисает под
действием собственного веса.
Вывести уравнение линии
провисания нити.
Решение. Выделим
бесконечно малый элемент
нити MN отточки М (х, у)
•до точки N (х + dy)
и выясним, какие силы на
него действуют. В точке
М на нить действует на-
тяжение Г, направленное
по касательной к кривой; его
составляющие по осям коор-
динат Н и V. Соответственно
в точке N имеется натяжение Т -|~ dT, направленное по ка-
сательной в точке N, с составляющими H-\~dH и V-\-dV.
Кроме того, на элемент MN действует направленная верти-
12]
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
93
кально вниз сила
длины дуги нити,
Как известно
в равновесии, то
ствующих на нее сил равна нулю. Проектируя на ось Ох,
получим —— или dH=Q, откуда следует,
что Н — const, т. е. что горизонтальная составляющая натя-
жения во всех точках одна и та же. Проектируя на ось Оу,
получим —V — q-ds-\-<y + dV) = 0, или dV = qds.
Если обозначить через а угол, образованный касательной
в точке М кривой с осью Ох, то, как легко видеть,
dy	,	V
-f- = tg а = -ту.
dx	s	H
Дифференцируя по х, будем иметь:
_ 1	dV
dx2	Н	dx' *
но так как dV = q ds, то
d^y___ q	ds
dx2	H	dx
Пользуясь известным выражением производной длины дуги
по абсциссе
тяжести W — qds, где ds — дифференциал
a q—вес единицы длины нити.
из статики, если система сил находится
сумма проекций на любую ось всех дей-
получим дифференциальное уравнение
ау = V 1-t-y ,
где принято обозначение — = а.
Общее решение этого уравнения (см. пример 11 п. 11)
Jj, = ach±p£+C2
представляет собой семейство цепных линий.
Если подобрать произвольные постоянные Ct и С2 так,
чтобы удовлетворялись граничные условия (у ~ yt при х —
и у = у2 при х — х2), то мы найдем искомую линию про-
висания.
94 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ill
Для упрощения уравнения можно произвести преобразо-
вание координат, положив х = Х—у — К-|-С2, т. е.
перенеся оси параллельно самим себе и приняв за новое на-
чало точку (—С2), координаты которой находятся из
граничных условий. Если за новыми координатами сохранить
прежние обозначения, то будем иметь уравнение цепной линии
y = ach —.
а
Вместо задания двух точек цепной линии можно задать
одну точку и направление касательной в ней, например, вер-
шину Ох(0, а) — низшую точку цепной линии, в которой ка-
сательная горизонтальна. Из этих начальных условий (у —а
и у = 0 при х = 0) можно легко определить произвольные
постоянные Сг и С2. Для этого вычислим производную у' =
= sh—- и подставим в выражения для у и у' их зна-
С
чения при х = 0. Будем иметь sh-~ = O, откуда Ct — 0 и
асЬ0 + С2 = а, откуда С2 = 0. Таким образом, частным ре-
шением нашего уравнения, удовлетворяющим заданным на-
чальным условиям, является функция y = ach~, графиком
которой служит цепная линия с осью симметрии, совпадаю-
щей с осью Оу, отсекающая на оси Оу отрезок а—у,
где q — вес единицы длины нити, а Н—горизонтальная
проекция натяжения в любой точке нити.
Заметим, что из соотношения Т = (см. рис. 14) вы-
текает, что в вершине цепной линии, где а = 0, натяже-
ние нити имеет наименьшее значение.
Принимая во внимание, что H = aq, a cJ--- = sec а =
=V l+tg2a = /l 4-(У)2 = ]/’ 1 + Sh2 _ ch -,
откуда следует, что T = aq~ = qy, заключаем, что в любой
точке Л1 цепной линии натяжение нити равно по величине
весу отрезка нити длины, равной ординате точки М.
12]
ЦЕПНАЯ ЛИНИЙ'
95
Вертикальная проекция V натяжения определяется следую-
щим образом:
V = И tg а — Ну' = Н sh^—aq	ch2 ~ — 1 = q Уj/2—а2.
Очевидно, что решение задачи нисколько не изменится,
если, кроме собственного веса нити, учесть также действую-
щую на нее нагрузку при условии, что она распределена
равномерно по длине нити.
Совершенно иначе обстоит дело, если предположить, что
нагрузка на нить распределяется равномерно не по длине
нити, а по ее горизонтальной проекции. В этом случае нить
располагается не по цепной линии, а по параболе.
Цепная линия обладает многими замечательными свойствами.
Рассмотрим некоторые из них, произведя попутно вычисле-
ния и построения связанных с ней элементов.
Касательная и нормаль. Возьмем на цепной линии
у = a ch ~ произвольную точку 2И (х, у). Общий вид урав-
нения касательной Y — у = у'(Х—х). В нашем случае
у' = tga = sh~- (a — угол, образованный касательной
с осью Ох), поэтому уравнение касательной в точке М
имеет вид
Y — a ch— = sh —(X— х),
a a 4	7
или
Xsh — — К-4-(л ch — — xsh — ) = 0,
а 1 \ а	а )
где X Y — текущие координаты точки касательной.
Общий вид уравнения нормали Y — у = —-—-(Л’—х).
Следовательно, в точке М цепной линии уравнение нормали
имеет вид
K-ach-£ =------^-(А'-х),
sh —
а
или	_
X++*) = »•
где X Y — текущие координаты точки нормали.
96 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш
Если, например, х = а, то ch — = chl, sh— = shl,
2x
sh -y- = sh 2 и уравнения касательной и нормали в точ-
ке (а, а ch 1) запишутся в виде
Xsh 1 — r + «(ch 1 — sh 1) = О,
X_|_rsh 1 — o(-^-+ 1) = 0.
Требуемые значения гиперболических функций можно найти
по таблицам (см. стр. 179): sh 1 = 1,17520; ch 1 = 1,54308;
sh 2 = 3,62686.
Обозначим через Л п, sn, st (рис. 15) соответственно
длины отрезка касательйой МТ, отрезка нормали MN, под-
касательной ТР и поднормали PN. Для вычисления этих
величин легко получить* следующие формулы:
J
12]	ЦЕПНАЯ линия	97
Здесь а — угол, образованный касательной с осью Ох, при-
чем tg а — sh —.
а	-
Вычислим cos а. Имеем:
' - 1 - 1 -°.
/ 1 + sh.i obi ’
г	а а
На соотношении cos а — у основаны два следующих спо-
соба построения касательной к цепной линии у = a ch £
в заданной на ней точке М.
Первый способ. На ординате точки М цепной линии
(рис. 16) как на диаметре строим окружность. Из точки Р
как из центра дугой окружности радиуса а сделаем на пер-
вой окружности засечку в точке К и проведем прямую до
пересечения с осью Ох в точке Т. Так как косинус угла
/_КРМ равен а/у, то ДКРЛ4 = а, но Д МТР = Д КРМ9
ибо, как это видно из рассмотрения прямоугольных тре-
угольников МТР и КРМ, оба угла дополняют один и тот же
угол ДР7ИГ до прямого. Следовательно, прямая МТ яв-
ляется касательной к цепной линии в точке М.
Второй способ. Из вершины А цепной линии (рис. 17)
как из центра окружности радиусом, равным ординате точки М,
/
7 Зак. 975. А. Р. Янпольский
98 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ (ГЛ. III
сделаем засечку в точке L на той полуоси Ох, со стороны
которой находится точка М. Точку L соединим прямой с вер-
шиной А. На эту прямую опустим из точки М перпендику-
ляр МТ. Докажем, что он и будет касательной в точке М.
В самом деле, по построению / OAL — / MTL, cos / О AL —
а
У
= cos / MTL, следовательно, МТ—касательная.
Параметрические уравнения цепной линии. Выведем
параметрические уравнения цепной линии y = ach-^~, при-
няв за параметр угол а между касательной в любой точке
цепной линии и осью Ох. Полученное выше соотношение
а	а
cosa=y перепишем в виде j =
и таким образом,
одно из искомых параметрических уравнений уже имеется.
Для нахождения второго подставим в уравнение цепной ли-
нии выражение у через а и найдем х как функцию а. Имеем
ch -^- = seca, но подобным соотношением связаны между со-
бой гудерманиан (гиперболическая амплитуда) а с аргумен-
том х/а гиперболического косинуса (см. формулу (2) п. 7,
где следует положить = а *f==aj, поэтому на осно-
вании формулы (7) п. 7 имеем х = a In tg +
12]
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
99
Итак, мы получили параметрические уравнения цепной
линии
x = alntg(^- + ^-j,
___ а
У COS а
и радиус кривизны. Вычислим кривизну и
Кривизна
радиус кривизны цепной линии у — a ch в любой ее точке.
Для этого найдем у' и у" и подставим их выражения в фор-
v"
мулы кривизны плоской кривой К = -—-—и радиуса
кривизны R = -^. Имеем
/\
/ и х	rr 1 1*
у =sh—, у' = —ch —,
а	а а
и потому кривизна равна
у2
а радиус кривизны R = —.
Можно дать простой способ построения центра С кри-
визны цепной линии в точке М (рис. 15). Заметив, что длина
отрезка MN нормали цепной линии между точкой М на
кривой и осью Ох равна радиусу кривизны (// = /?), отло-
жим на нормали в точке М в сторону вогнутости цепной
линии отрезок МС — МАЛ Точка С и есть центр кривизны
в точке М.
Наименьший радиус кривизны будет в вершине цепной
линии Д(0, а), в которой ордината у цепной линии наимень-
шая. Радиус кривизны в этой точке равен а.
Эволюта цепной линии. Эволютой кривой называется
геометрическое место центров кривизны кривой. Если обо-
значить через X, Y текущие координаты точки эволюты, то
параметрические уравнения эволюты кривой у= f(x) в общем
7*
100 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
виде, как известно, таковы:
V___ V у 1 + У'2
Л — X у у, ,

Здесь за параметр может быть принят либо х, либо у,
либо произвольная величина Л через которую выражаются
х и у.
Для нахождения эволюты цепной линии у = a ch — (рис. 18)
примем за параметр х. Вычи-
слим У = sh —, у" = — ch —
a J а а
и подставим в общие уравне-
ния эволюты выражения у, у',
1 I V'2
у" через х. Так как —— =
1 + sh2—
—	-----— а сц _ то п0.
— ch —
а а
лучим:
Х—х—4sh2-,
2 а
Y=2a ch — .
а
Исключим параметр х. Из второго уравнения находим
ch — — Следовательно,
ct 2й	'
.	. Г . Г +	—4а2
х = a Arch -к- — а In —=-*-о----,
2а	2а
sh — = ± у ch2-------1 — ± -—=-------,
а г а	2а
<2х о . х . х  у/уз —4а2
sh — = 2 sh — ch — = ± ——s-5--.
а	а а	2а2
Подставив полученные выражения в первое уравнение, будем
иметь уравнение эволюты цепной линии в неявной форме:
у ± У  4^2	у уу2  4^2
121
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
101
Здесь текущие координаты обозначены через х, у вме-
сто X К.
Эвольвента цепной линии (трактриса). Эвольвентой,
или разверткой кривой, называется такая кривая, по отно-
шению к которой данная кривая является эволютой. Эво-
люта и эвольвента обладают следующим свойством: каса-
тельная к эволюте служит нормалью к эвольвенте. Это
свойство позволяет составить уравнение эвольвенты, если
известно уравнение эволюты.
Пусть уравнение эволюты следующее:
7)=/©.-
Тогда уравнение касательной к ней будет иметь вид
Для нахождения уравнения эвольвенты F(x, у) = 0 за-
. ‘ dv
метим,, что ее угловой коэффициент-^- связан с угловым
, ,	dr
коэффициентом эволюты соотношением
dr\
dt
1	dr	1
dy	dt	p
dx
dy
где положено -^=p.
В связи с этим уравнение касательной преобразуется
к виду У —/(?) = —	$) или X->гРУ = pf(£) + $,
где X Y заменены текущими координатами точки эволь-
венты х, у.
Из равенства /'(?) = — можно выразить $ как функ-
цию р, и, следовательно, последнее уравнениие запишется так:
*+ру = Ф(Р)-
Взяв производные по х от обеих частей этого равенства,
получим дифференциальное уравнение эвольвенты, из кото-
рого определим у как функцию р(3' = ф(р)), после чего
находим х: х — —рф(р) + Ф(р)> ‘или х = ч(р). Таким
102 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш
образом, получены параметрические уравнения эвольвенты;
X = <f (р),
У = Ф (/>)•
Исключая из них параметр р, получим уравнение эвольвенты
в обычной декартовой форме F (х, у) = 0.
Найдем уравнение эвольвенты цепной линии y = ach~.
Для удобства следования приведенной выше схеме запишем
заданное уравнение в виде r/ = ach^ и составим уравнение
касательной к цепной линии:
r_0Chi = ii(x_E).
Так как 4г = ——. где Р — ~т~— угловой коэффи-
tzt	р	ах
циент эвольвенты, то последнее уравнение примет вид
Y — ach —= — ~(Х— 0-
а р
Заменим здесь £ через функцию от р. Это легко сделать,
если учесть, 4TO-^ = sh—, а значит, sh — =------------от-
J	at а $	ар
1 £
куда £ = — a Arsh у. Замечая, кроме того, что ch — =
=	у 2 । -у
= у sh2^'+1	—* получим после подстановки и
замены X, Y через х, у\
аУр*+\
У Р
l(x + aArshl),
ИЛИ
х +РУ = а VР2 + 1 — а Arsh	.
(*)
а
dp
' Продифференцировав по х, получим:
<‘+л+^=7Й=Г^77>Т1^
или	\
(1+„2) + у^.=?Ург+_1.4£.
121
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
103
О	J	dy *
Заменяя dx через -у-, будем иметь:
(1 +р2) +РУ % = a	,
или
dp p’ + r Vp*+\
Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.
Его общее решение
_ С pdp / р	С pdp	\
y = e~^+\Jy^TeJ^ld^c)-
Так как f 1 ln(p2-|-1), а е 2 ln(i> +1) = - ——,
J Р2 + 1	2	' '	/р24-1
41ц(^+1)	, -
е2	= V рг + 1  то
у = г ! (ар + С).
л Vp2 + 1
Вместо р удобнее ввести другой параметр, например
положив p — tgt, где t — угол, образованный касательной
к эвольвенте с осью Ох, тогда Ур2-^1 = ]Ag2/+l =
— sec t = cqs , и мы получим:
у = cost (a tg/ + C), или y — asint-^Ccost.
Подставив выражение у через t в уравнение (*) и заме-
тив, что Arsh -i = Arsh (ctg 0 = In (ctg £ + ]/ctg2^ + 1) —
= ln (ctgt + cosec/) = In COSS1^7-- = Inctg^ = — Intg-^-,
получим x как функцию t:
X = — tg^(asin/ + CcosO + -^7 + olntgy,
или
x = a ^cos t + In tg	— C sin t.
)
104 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш
Таким образом, параметрическими уравнениями эволь-
венты цепной линии служат уравнения
х = a (cos t -|- In tg — С sin t,
y = as\nt-\-C cost.
Это семейство кривых, называемых трактрисами. В част-
ном случае, при С = 0, получаем:
х = a (cos/ + lntg*^-
j/ = asinf,
или, исключая параметр /,
х= ± ]/а2 — у2 + аIn	.
Рассмотрим несколько подробнее трактрису и ее свой-
ства. Прежде всего дадим определение трактрисы независимо
от ее связи с цепной линией. Трактрисой называется пло-
ская крцвая, для которой
длина отрезка касатель-
ной между точкой каса-
ния М {рис. 19) и пря-
мой Ох, называемой базой
трактрисы, есть вели-
чина постоянная. Тракт-
рису можно определить и
так: если к одному концу
гибкой нерастяжимой нити
длины а прикреплена мате-
# риальная точка М, а дру-
гой конец Р движется
Рис. 19.	по прямой, то траектория
точки М есть трактриса.
Отсюда происхождение названия «трактриса» — линия вле-
чения.
Составим параметрические уравнения трактрисы, приняв
за базу ось Ох, а за параметр — угол t наклона касатель-
ной к оси Ох (рис. 19). Если а — длина отрезка касатель-
12]
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
105
ной, то V = a sin t, dy — a cos t dt, dx — a -?8-/ dt (это еле-
'	sin t \
дует из равенства -^- = tg/y Путем интегрирования нахо-
дим х как функцию t\
х = а
cos21
sin t
dt = a
/7—
J \ sin t
sinH dt —
= a (in tg + cos + C.
Зададим точку Л(0, а), через которую проходит трак-
триса. Это условие позволит определить постоянную инте-
грирования С. В точке А с ординатой у = а имеет место
равенство a — a sin t> а значит, t=~t поэтому
a (in tg-^ + cos-2-)-]-С = 0,
откуда С = 0.
Таким образом, параметрические уравнения трактрисы,
проходящей через точку Л(0, а), принимают уже знакомый
нам вид
х = a (cos	In tg -0,
, y — asvbt.
При /->0 и трактриса асимптотически прибли-
жается к базе. При t — — особая точка Л (0, а). Касатель-
ная к ней совпадает с осью Оу.
Если от параметрических уравнений перейти к неявному
уравнению и при этом ввести ареакосинус гиперболический
(см. стр. 47), то получим уравнение трактрисы в виде
х — ± ]/а2 — у2 — a Arch у .
Трактриса обладает следующим свойством: длина от-
резка касательной в любой ее точке есть среднее
пропорциональное между длиной отрезка нормали и
106 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [гл. III
радиусом кривизны в этой точке, В самом деле, вычислим
радиус кривизны R трактрисы. Так как
ds2 = dx2 + dy2 = a2 + cos2 dt2 = a2 ctg21 dt2,
r, de	accost ~
to R = ~di = actgt — —~. С другой стороны, длина
отрезка нормали между базой и точкой касания равна
п = у V1 + У2 = у Y1 + tg21 —	. Поэтому nR = а2, что
и требовалось доказать.
Между прочим, бтсюда следует, что для построения
центра кривизны достаточно восставить перпендикуляр к базе
в точке ее пересечения с касательной и продолжить его до
пересечения с нормалью.
Этот способ построения в свою очередь позволяет
определить координаты центра кривизны трактрисы (см.
рис. 19):
X— х — a cos t = a In tg,
У __г
sin t •
Рассматривая здесь t как параметр, получим параметри-
ческие уравнения эволюты трактрисы. Исключим параметр t.
Для этого из первого уравнения найдем sin/ и подставим
во второе. Имеем:
t —	2
v = еа * sin * =------г
 ~ i+tg24
X
2еа 	2	 1
1 + е« е« +е а а
X
и потому Г=ясЬ —. • Эволютой трактриссы оказалась цеп-
ная линия.
Обычно в параметрических уравнениях цепной линии
в качестве параметра принимают угол а между касательной
в любой ее точке с осью Ох, Так как / =а, то
12]
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
107
уравнения цепной линии примут известный нам вид:
x = alntg(^+^,
У COS а ’
где текущие координаты X, Y заменены через х, у.
Натуральное уравнение линии. Натуральным урав-
нением линии называется уравнение, связывающее ее
радиус кривизны с длиной дуги, отсчитываемой от не-
которой точки линии. Выведем натуральное уравнение
цепной линии, приняв за точку отсчета ее вершину Д(0, а).
Так как радиус кривизны цепной линии в произвольной
точке М(х, у) равен	ch2 а длина дуги AM
к х
равна s —ash —, то, исключив из этих двух равенств х,
получим искомое уравнение. Имеем
s2 = a2sh2 —— a2(ch2 —— l\ = aR — cfi,
а \ а )
*
откуда следует, что R = a-\---.
Выведем также натуральные уравнения эволюты и эволь-
венты цепной линии. Напомним сначала два известных
свойства этих линий. Свойство первое: нормаль в точке
эвольвенты служит касательной в соответствующей
точке эволюты, свойство второе: приращение радиуса
кривизны эвольвенты равно по абсолютной величине
длине дуги эволюты между ее двумя соответствую-
щими точками. Пользуясь этими свойствами, выведем два
важных для дальнейшего соотношения. Если обозначить
через R и $ радиус кривизны и длину дуги эвольвенты,
а через р и a — радиус кривизны и длину дуги эволюты,
то последнее свойство можно записать в виде |Д/?| = |Да|,
отсюда имеем |	1 = 1. В пределе получаем |	1 = 1,
откуда | dR | = | da |, и следовательно, R — a-^-C, где С —
произвольная постоянная, которую, в частности, можно по-
ложить равной нулю (выбрав определенным образом начало
отсчета о), и тогда R = a,
108 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. П!
Второе соотношение связывает радиусы кривизны эволюты
и эвольвенты. Согласно определению, имеем у = -~- и
1 da	aha
-75- = — , где ДВ и Да — углы смежности эволюты и эволь-
as
г-г	-	R d$ da	Q
венты. Путем деления получим —	—, но а = р как
углы с соответственно перпендикулярными сторонами, сле-
довательно, da = d[3, a |da| = |d/?|. Поэтому последнее
соотношение преобразуется к виду = |	| или р =
__I п dR I
ds I* *
Теперь обратимся к цепной линии и прежде всего дадим
вывод натурального уравнения ее эволюты. Обозначая
через R и s радиус кривизны и длину дуги цепной линии,
а через р и о — соответствующие величины для эволюты
цепной линии, мы сводим нашу задачу к нахождению за-
висимости между р и о. Из последнего равенства имеем
dR р	dR р	п /
= или = поскольку к = а (мы прини-
маем С = 0). Путем дифференцирования по s обеих частей
dR 2s
натурального уравнения цепной линии получим —
*	dR	р 2s
сравнивая оба выражения для имеем ~ = —, откуда
ар _
s = Остается подставить это выражение s в натураль-
_ ное уравнение цепной линии и заменить в нем /? на о, и
мы получим искомое уравнение эволюты цепной линии а==
или 4о3 = а (р2 + 4a2).
Для вывода натурального уравнения эвольвенты цепной
s2	01
линии R = a~]----заметим, что цепная линии по отноше-
нию к искомой кривой является эволютой, а потому,
обозначая через р и а радиус кривизны и длину дуги эволь-
венты, следует переписать исходные соотношения в виде
/? = р-“- и s = p (мы опять полагаем С = 0). Подставляя
12]
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
109
в уравнение цепной линии вместо /? и $ их выражения,
dp । Р2	р dp da
получим p-£ = a+>L.t откуда _L_L_ = _.
Взяв квадратуры, будем иметь -i- 1п(р24-я2)==-~ +
2a	2a
или р2 + а2 = С1£°. В частности, при ^=1 имеем р2+«2==^.
Как нам уже известно, эвольвентой цепной линии служит
трактриса. Таким образом, полученное уравнение есть
натуральное уравнение трактрисы. Это можно проверить
и непосредственно, путем преобразования натурального
уравнения в декартово.
Цепная линия как рулета. Если в плоскости хОу
кривая L катится по неподвижной кривой Bt то траек-
тория точки Л4, связанной с Lt называется рулетой
(рис. 20). Имеет место следующая принадлежащая Декарту
теорема, которую мы примем без доказательства: нормаль
в любой точке М рулеты проходит через точку т
касания кривых L и В.
Выведем уравнение рулеты. Пусть y — f(x) — уравнение
неподвижной кривой В, а Y — F(X)— искомое уравнение
ПО ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш
рулеты как геометрического места точек М. Обозначим
через ф угол, образованный касательной к рулете с осью Ох;
тогда tgtp = /7/(А). Соединим точку М с точкой Л, взятой
на подвижной кривой L, и обозначим через 9 угол/Л7И/п.
Тогда биг будут полярными координатами точки т по-
движной кривой, уравнение которой, следовательно, будет
_ г = г(9). Приняв во внимание теорему Декарта, получим
для координат точки М следующие формулы:
Х=х— гзшф,
Y =	r cos ф.
Заменяя -в этих формулах у через /(х), Y через F (Х}>
tg ф ч^рез F'(X), получим:
Х= г______
/1 + [5' (Х)Р ’
Y = /(X) Ч——=4=.
у 1 ч- [F (Х)]2
Обозначим через о угол / Mint. Имеем
tg<B==/’’dr ’ пРичем <о = «+у — <|» = у — (ф — а)
и
.	. 7 , ч tg ф г— tg а	F' (X) — fr (х)
Ctgш — tg(ф — а) — 1+tg<ptga — T+F'(X)/'(X) •
*) Справедливость формулы tg со = г легко проверить с по-
мощью соотношений между полярными и декартовыми коорди-
натами точки: х = г cos 0, у = г sin 0. Если обозначить через § угол
между полярной осью МА и касательной в произвольной точке т
кривой, то ft = со + 0, откуда со = ft — 0 и
tg ft — tg 0
1 + tg 0 tg ft •
tgco
д?у — tg 0 dx
dx + tg 0 • dy
Так как tgft =
Подставляя в эту
~~г~, то tg со =
dx ’ ъ
формулу выражения дифференциалов dx = cos 0 dr — г sin 0 d6,
dy = sin 0 dr + r cos 0 d0, получим после несложных преобразова-
ло
НИИ tgco = r—.
121
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
111
Таким образом, мы получили:
dr — F'(X)~f'(x) ’
v .. rF'(X)
/1 + [F' (Х)]2 ’
Y1 + [F' (Х)Р
(*)
Если даны две кривые, то можно определить третью
с помощью этих уравнений.
Определим для примера кривую, которую опишет фокус
параболы, катящейся по прямой. Рассмотрим случай, когда
при начальном положении ось параболы перпендикулярна
к оси Ох, т. е. когда фокус имеет наинизшее положение.
Уравнение параболы возьмем в полярных координатах
а	.
г =-----где_а — расстояние от фокуса до вершины
cos3 2
d9 1 COS84
параболы. Следовательно,	:в	Уравне-
W aslnT
ние неподвижной линии y — G (/(х) = 0). Следовательно,
/' (х) = 0. Первое из уравнений системы (%) поэтому при-
нимает вид
х 0	1	, 0 dY
ctg2=wrj; или
Приняв это во внимание, запишем третье из уравнений
системы (*) в виде
или
откуда
112 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Общее решение этого уравнения (см. пример 10 п. 11) —
х с
семейство цепных линий у = a ch —— (мы заменили X, Y
через х, у).
- Для определения С заметим, что в начальный момент
фокус имел координаты х = 0,	= Отсюда следует,
что С = 0, и потому решением является цепная линия
« х
у = a ch —.
л	а
Площадь криволинейной трапеции и длина дуги. Пло-
щадь Q криволинейной трапеции О АМР (см. рис. 16),
ограниченной цепной линией y = ach~, двумя ордина-
тами, соответствующими абсциссам 0 и х, и осью Ох,
равна
X	X
Q — £ у dx = a J ch rfx = a2 sh =
0	0	0
= a2 sh == а V у2 — а2.
Длина дуги s цепной линии y~ach~ от вер-
шины Л(0, а) до точки М(х, у) равна
X	X _____________
s = f V1 + у'2 dx = J* l + sh2-J-djc =
О	о
X
= j9 ch dx — a sh ~ — Y у2 — а2.
о
Сравнивая выражения для Q и $, замечаем, что Q = ast
т. е. площадь криволинейной трапеции О АМР равна пло-
щади прямоугольника, построенного на отрезках РК и KMt
так как РК — а, а из прямоугольного треугольника РКМ
имеем:
KM=2=Yу2— а2—ауГ ch2 — —1 =ash — = s.
г л	r a	a
12]
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
ИЗ
Между прочим, последнее равенство (КМ = s) дает
очень простой способ графического спрямления цепной
линии.
Если криволинейная трапеция (рис. 21) ограничена цеп-
ной линией у = a ch —, двумя ординатами х = х = х2
(О < xt < х2) и осью абсцисс, то ее площадь равна
Q = 02(sh	— sh ^J = a(]/ry2— а2 —j/^y2— а2),
где yx и y2— ординаты точек цепной линии Mt и М2,
соответствующие абсциссам jq и х2.
Длина дуги ?И1Л12 цепной линии равна
s=a(sh^-sh =/5^2-—/5^2-.
Легко указать, как построить прямоугольник, равно-
великий криволинейной трапеции Р17И17И2Р2- Из вершины А
цепной линии как из центра окружности радиусами, рав-
ными yt и у2, сделаем засечки на положительной полуоси Ох
в точках и L2. Эти точки отстоят от начала координат
на расстояниях О£х = у2 — а2 и OL2 = ’j/r у2 — а2. Поэтому
8 Зак. 975. А. Р. Янпольский
114 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Щ
прямоугольник со сторонами LXL2 и О А — а будет иметь -пло-
щадь Q, равную площади криволинейной трапеции Р^М^М^Р^.
Q = LtL2-OA.
Отрезок LtL2 цо длине равен дуге MtM2: s = LtL2.
Если ввести углы cq и а2, образованные с осью Ох
касательными к цепной линии в точках Mt и Л42, т0
s = a (tg а2 — tg 04) = у2 sin 02 — ух sin аР
В самом деле, у' = sh-^- = tga. В то же время
, X	, X
''	sh—	sh —
tga	а	а .. х
sin а = —/ s -—- = —7========“ =-----— = th —,
П+Ч- /l+sh--A ebi
а так как а = —-—,	то в свою очередь atga =
ch —
а
= у th -у = у sin a.
Центр тяжести криволинейной трапеции и дуги.
Определим центры тяжести площади криволинейной трапе-
ции О АМР и дуги AM (рис. 16). Как известно, коорди-
наты Хд и уд центра тяжести однородной криволинейной
трапеции (с постоянной поверхностной плотностью) опре-
,	^х	кл
деляются по формулам — уд = -^-, где Му и
Мх— статические моменты площади О АМР относительно
осей Оу и Ох, равные соответственно
X	X
§xydx и -^§y2dx.
о	о
В нашем случае
х	х	х
= a2[xsh — — -a ch— ] = а2(х sh — -—a ch — +
I a	a Jo \ a	a 1	/
12)
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
115
1 X 9 S - «ч + сьг—
1/9J	/	4,9 Х Л	а2	а Л
— 2 J У dx ~ 2 J Ch ~а dX ~ 2 J 2 dx ~
оо	о
(x + ash — ch
\	а
Поэтому
Д (У — Д)
s
s
J* yds.
о
Аналогично координаты xs и ys центра тяжести дуги
однородной кривой (с постоянной линейной плотностью)
ту	тх
определяются по формулам xg = -j-, у8=± —где ту
и тх— статические моменты дуги кривой относительно
8
осей Оу и Ох, равные соответственно J* х ds и
о
. В нашем случае
s	х	' х
ту= J* xds— [* х VI 4- У,<2> dx = J* x ch j dx —
оо	о
= a(xsh — — a ch — + a),
• \ a	a 1	/’
8	X	X
Jyds= JyV\-\~y'2dx — a Jch2^dx —
0	0	0
==4(*+ash —ch —)•
2 \	1 a a)
8*
116 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Поэтому
=	а л = 4(^+й.
Сравнивая формулы для координат центров тяжести
криволинейной трапеции и дуги цепной линии, замечаем,
что x^ = x8t a у$ = ~ ys, т. е. их абсциссы одинаковы,
а ордината центра тяжести трапеции вдвое меньше ординаты
центра тяжести дуги.
Формулы для вычисления координат центра тяжести
дуги AM цепной линии могут быть преобразованы к виду
xs — x — (y — a) ctg а,	у8 = i (.у + х ctg а),
где а — угол, образованный касательной в точке М с осью Ох.
Это следует из равенства s=atga.
С помощью этих формул можно построить центр
тяжести S дуги AM. Очевидно, его абсцисса х8 равна
абсциссе точки пересечения касательных, проведенных в вер-
шине А цепной линии и в точке М (рис. 22), а ордината у8
12]
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
117
равна половине отрезка, отсекаемого на оси Оу нормалью
в точке Ж.
Если абсциссы точек Мг и^ М2 (рис. 21) имеют оди-
наковые знаки (например, 0 < xt < х2) и и s2— длины
дуг AMt и X^2«(52>si), причем xSi, ySi, x8at у8а— коор-
динаты центров тяжести этих дуг, то можно доказать, что
координаты х8, ys центра тяжести дуги MtM2 длиной
$ = $2 — определяются по формулам
__ S2X82	$1*81
х»-----------
ys= ^2Уз2~\УЧ
’ Если же абсциссы точек
положные знаки, т. _е. эти
стороны от оси Оу, то
S = Sj "4- s2 и
и М2 имеют противо-
точки находятся по разные
_ V«2 + SlXst
-----------S
.Катеноид. При вращении
цепной линии y = ach — во-
круг оси Ох получается по-
верхность вращения, называе-
Рис. 23.
мая катеноидом (рис. 23). Вычислим объем V тела, ограни-
ченного катеноидом, координатной плоскостью yOz и пло-
скостью, параллельной ей и отстоящей от нее на рас-
стоянии х. По известной из интегрального исчисления фор-
муле будем иметь:
dx = ка2 / ch2 — dx
J а
о
= ~y~(x + a sh ifch ^) = 'Т'(-ах~^3У^
118 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Площадь Q поверхности этой же части катеноида может быть
вычислена по формуле
8	а?
Q = 2к
о	о
X
— 2па j* ch2 dx = к (ах + sy).
о
Сравнивая выражения для объема V и площади поверх-
ности Q, устанавливаем, что V — Q.
Минимальные свойства цепной линии. Катеноид обла-
дает замечательным свойством. Если поставить такую задачу:
среди линий, соединяющих две данные точки плоскости хОу,
найти ту, дуга которой при вращении вокруг оси Ох обра-
зует поверхность с наименьшей площадью, — то, как мы
сейчас увидим, такой линией окажется цепная линия.-
Площадь поверхности вращения вычисляется по извест-
ной формуле
х%
Q = 2ic f У ^Ч~У'2 dx.
Xi
Наша задача заключается в том, чтобы найти проходя- -
щую через точки Af^Xp и М2(х2, у2) кривую, дуга
которой MtM2 при вращении вокруг оси Ох образовала бы
поверхность с наименьшей площадью Q. Допустим, что мы
такую кривую нашли, пусть ее уравнение y — f(x). Если
взять любую другую кривую ^ = /(х) + ат](х), проходящую
через те же две точки, вследствие чего т|(х1) = т] (х2) = 0,
то для достаточно малого а интеграл
/(а) = J+ + dx
будет больше*интеграла
Z(0) = f ^/1 + у2 dx.
а?!
12]
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
119
Следовательно, функция /(а) достигает минимума при а = 0.
Но тогда для функции /(а) в точке а = 0 должно быть
выполнено необходимое условие экстремума /'(0) = 0,
причем это условие должно выполняться для всякой рас-
сматриваемой функции т](х). Продифференцируем функ-
цию 1(х) по а, положим в производной а = 0 и приравняем
ее нулю. Имеем:
/'(*) =
= f [ V1 + (У + аУ)2 + (У + е«1)	] dx‘
а?!
''<»>= / (ч/Т+7+уй==.) «-=<>•
Преобразуем вторую часть последнего интеграла, поль-
зуясь формулой интегрирования по частям:
О?2	#2
/i+/2 L. J''1 dx\v^+y'2
Так как iq(x1) = iq(x2) = 0, то первое слагаемое обращается
в нуль, и мы получаем равенство
[ т) [V1 +У2 — -т- ( г	\ 1 dx = 0.
XJ L dx\/i+/2/J
Этот интеграл должен обращаться в нуль для всякой
рассматриваемой функции т](х), а это возможно только,
когда множитель при ?](х) в подынтегральной функции

120 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш
равен нулю, т. е. когда
/1+Z
Раскроем второе слагаемое. Имеем:
<УУ + /2) ]А + у'2 _
d / уу’ \  _____________________________У 1 + У	_
dx ^1 + у'2 )	1+у/2
yyff I у'2	уу’ЪуН
= КГ+И + УТ+71 ~ (1+у'а)‘/а ’
Последнее уравнение при этом примет вид
. 1 + /2______УУ"_________У’* I уу'*у"
/Т+уг	УТ+Т7 а+у'2)‘/а
(1 - у у") (1+У2)+уу'2у"=о.
и окончательно
i+У2—^У' = о.
Это дифференциальное уравнение рассмотрено в при-
мере 8 п. 11. Его общее решение
v — С ch
у — СП £
представляет собой семейство цепных линий.
*) В самом деле, если для любой непрерывной функции vj(x)
ь
интеграл J* yj(x) F(x) dx = 0, то F(x) = Q на отрезке [а, ft]. Допу-
а
стим противное, а именно, что в точке х = х0 отрезка [at ft]
F(Xq) Ф 0, например F(xQ) > 0; тогда функция F(x)>0 в не-
которой окрестности точки л = х0. Выберем функцию т)(х)
так, чтобы iq(x)>0 в этой окрестности и г](х) = 0 вне этой
ь
окрестности, тогда и интеграл J* yj (х) F (х) dx > 0, что проти-
а
воречит условию.
12]
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
121
Итак, установлено, что экстремум площади поверхности
вращения может достигаться только в случае, когда
кривой y = f(x) является цепная линия. Можно доказать,
что в этом случае действительно имеет место экстремум,
и притом минимум, но доказательство мы опускаем.
Цепная линия обладает еще одним минимальным свойст-
вом: центр тяжести дуги плоской кривой заданной длины,
закрепленной в двух точках своими концами, занимает
наинизшее положение именно тогда, когда кривая—цеп-
ная линияг. В этом можно убедиться из следующих сообра-
жений. Как известно, ордината центра тяжести дуги плоской
кривой вычисляется по формуле
а* ________
J* У 1^1 + у'2 dx
' J* 1^1 + у'2 dx
ж,
Я?2	_______
По условию, J* 16 + y'2dx = I, где 1 = const. Следо-
вательно, задача сводится к отысканию вида кривой, для
Я?2	_____
которой интеграл J* yV\-\-yf2dx принимает наименьшее
значение, а эта задача была решена выше, при рассмотрении
вопроса о наименьшей площади поверхности вращения, и было
показано, что такой кривой является цепная линия.
Заметим, наконец, что при равновесии системы материаль-
ных точек потенциальная энергия системы достигает мини-
мума, поэтому тяжелая однородная гибкая нерастяжимая
нить, закрепленная в двух точках, будет провисать по цеп-
ной линии, так как минимуму потенциальной7 энергии соот-
ветствует наинизшее положение центра тяжести.
Рассмотрим ряд задач, решение которых приводит к цепг
ной линии или которые связаны с цепной линией.
Задачи, связанные с цепной линией.
Задача 1. Гибкая однородная нерастяжимая проволока
длины 25 закреплена концами в двух точках, находящихся
на одной высоте и отстоящих друг от друга на расстоянии
122 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
21 (/<$). Под действием собственного веса она прови-
сает. Найти уравнение линии провисания проволоки.
Решение. Выберем оси координат таким образом,
чтобы ось Ох была горизонтальна, а ось Оу проходила
посредине между точками
Aft и Л12. При таком вы-
боре осей абсциссы послед-
них будут соответственно I
и —/. .
Из решения задачи
о провисании нити (см.
стр. 92) известно, что иско-
мой кривой будет цепная
линия у —#ch —. Но там
л а
параметр а был известен
= — , где Н—гори-
зонтальная проекция натяжения нити, a q — вес единицы
длины нити), здесь же вся задача сводится к определению
параметра а, равного расстоянию от начала координат до
вершины цепной линии (рис. 24).
По формуле для вычисления длины дуги кривой имеем:
i	i _____________
2s= J'Vl + y'*dx= I']/' l + sh2ydx = 2ash-^-.
-i	-I
Разлагая sh в степенной ряд (смг стр. 58), получим:
± —_LFl
a a L 3! \ а) 5! \ а )
3! (s — Z) ( I \2
Положим —~ = и, i — \ — z и перепишем послед-
нее равенство в виде
« — г + ЗГ +7Г z* + • • • = V
Произведем обращение этого ряда, т. е. выразим из
него z как функцию и. Тогда можно будет вычислить
121
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
123
а = ^=-. Для этого составим ряд Маклорена для функции
г = /(«):
г=/(о)+<<а..+т„!+... +Л«)„.+ ...
В этом разложении /(0) = 0, что вытекает непосред-
ственно из ряда для и. Из неотрицательности z следует, что
2 — 0 при а=0.
Для производных функции /(я) имеем:
r<“>=-iFW
J W-	[?'(г)]5
Отсюда можно найти /' (0), /" (0), f" (0), .... положив
z = 0.
Итак, имеем:
/'(0)=1. /"(°) = -^Г = -То •	=	.....
и потому
1	2
z—u~ 20 “2+ 525 “3+
Наша задача решена. Как было сказано выше, для на-
хождения а остается взять отношение / к 1Аг
\ Уг)
Если требуется определить величину d—AB, т. е. рас-
стояние от середины В хорды до вершины цепной
линии („провес"), то берем разность /
d= ach —---а = a (ch У z— 1),
откуда после подстановки вместо сЬ]Лг его разложения в ряд
получим:
d ~ \ 2! + 4! + 6! + • ’ ’) •
Остается заменить а на l/У z.
124 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
/
Подставляя вместо z его выражение через и в виде ряда
и пренебрегая членами порядка выше второго, будем иметь:
1 if~h । 7	379 А
d~ 2 V1 + 120 U 201600 и )’
6 (s — I)
где и —	.
Так, если 21 — 50 м, 2s = 50,036 м, то d = 0,822 м.
Вычисление величины d может понадобиться, например,
при расчете провисания телеграфной проволоки.
Задача 2. Определить горизонтальное натяжение в лю-
бой точке цепи длиной 2s, подвешенной концами в двух
точках, длина пролета между которыми равна 21, а разность
высот 2h. Вес единицы длины цепи q.
Решение. При решении этой задачи будем рассматри-
вать цепь как гибкую нерастяжимую однородную нить. Выбе-
рем оси координат так, как указано на рис. 25. Тогда ниж-
няя точка цепи и оба конца будут иметь координаты А (0, а),
л) и Л42(х2, у2).
По условию задачи х2— xt — 2l и у2— yx — 2h.
Так как точки и М2 лежат на цепной линии у='
= ach-^-, то их координаты удовлетворяют уравнению ли-
нии, поэтому
л = асН^-, л =
12]
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
125
и, следовательно,
2h = у2 — ух = a (ch — — ch —) = 2а sh — sh X1.
si \ а a J	2a 2a
Длина дуги цепной линии от точки	j/j) до точки
Л42(х2, у2) вычисляется по формуле
О?2	®я ________
2s = У* Vl-!ry'idx =	l + sh2 -J dx =
/Я?я .	.
ch — dx = ash — — al sh — — sh — ) =
a	a x \ a a )
Xi . 1 ' •
= 2ash^Lch^4^-.
,2a	2a
Сократим каждое из последних равенств на 2, возведем в ква-
драт обе части каждого из них и составим разность
S2 _	— a2 sh2 X?~Xl (ch2 ^.+.Х2 _ Sh2 fl+f2 \
2а \ 2а	2а )
Выражение, заключенное в скобки, рЬвно единице. По-
этому
S2 —ft2 = a2Sh2 —.
Л
Это равенство можно переписать в виде
Sh 7Г _ VS2—*2
Z — I
а
Если заданы s, h и Z, то можно найти at а зная а и q9
можно определить горизонтальное натяжение Н. Произведем
численный расчет для следующих данных: 2s—100 м%
2Л = 20 Mt 2Z = 50 м, а вес одного метра цепи равен
20 кГ (? = 20
Подставляя эти данные в правую часть последней фор-
мулы, получим:
—Л2 1Л2500—100	48,99	. пс
'	---/—=--------25----=~25~==1’96-
126 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Остается решить уравнение
4^1,96,	(*)
. I
где t ——.
а
Разложение гиперболического синуса sh/ в ряд по сте-
пеням t (формула (2) п. 9) имеет вид:
. .	. . /з . /5 , /7 .
sfU — /+3,-+ 5г+ тг+ •••
i
Возьмем первые три члена и подставим в уравнение (*),
получим:
или
'	/4+20/2—115,2 = 0.
Решение этого биквадратного уравнения дает/2 = 4,66
(знак минус перед корнем в формуле отброшен, ибо
/2 — существенно положительная величина), откуда / = 2,16.
/	/25
Так как / = —, то а =	В свою очередь
а = — , отсюда H = aq— 11,6 • 20 = 232 /сГ.
Q
Задача 3. В различных точках гибкой нити подвешены
стержни с одинаковыми поперечными сечениями, но различ-
ной длины. Нижние концы этих стержней расположены на
горизонтальной прямой. Допуская что благодаря частому
расположению стержней нагрузку можно считать распреде-
ленной непрерывно, найти форму равновесия нити.
Решение. Элемент MN нити находится, как и в за-
даче, разобранной на стр. 92, под действием сил натяже-
ния Т и T-\-dT в точках М и ДЛ (рис. 14), направленных
по*касательным в этих точках, й под действием нагрузки W,
направленной вертикально вниз. Разлагая силы Т и Т dT
на горизонтальные и вертикальные составляющие Я, H-\-dH,
V, V-^-dV и проектируя все действующие на элемент Л4Я
силы на оси Ох и Оу, получим dH — Q, откуда Н = const,
и dV = W.
121
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
127
Так как = tga = y, где a — угол наклона касатель-
ной к оси Ох, то V = Ну', откуда — Ну" и dV = Ну" dx.
Нагрузка W пропорциональна площади элементарной криво-
линейной трапеции PMNQ, т. е. равна ky dx. Следовательно,
Ну" dx — ky dx или у".—а2у = 0, где положено a2.
Это уравнение рассмотрено в примере 1 п. Ц. Его общее
решение
у = Ct ch ах + С2 sh ах.
Для нахождения произвольных постоянных предположим,
что низшая точка нити О^О, а), т. е. что у —а и j' = 0
при х = 0. Так как
* у' — a (Ct sh ах -f - С2 ch ах),
то при подстановке вместо у и у' их значений при х = 0
получим С1 = а,чС2 = 0 и, следовательно,
« х
у = а ch.—.
г	а
Рассмотрим два шкива с приводным ремнем (рис. 26).
Если предположить, что шкивы находятся в покое, то ре-
шение задачи о провисании нити (см. стр. 92) показывает,
128 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ; МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
что приводной ремень располагается по цепной линии. Пред-
положим теперь, что любая точка ремня движется равномерно
со скоростью v. Заранее не очевидно, что и в этом случае
приводной ремень будет провисать по цепной линии. Однако
это так, и мы в этом убедимся из решения следующей задачи.
Задача 4. Шкивы А и В вращаются так, что любая
точка приводного ремня движется с одной и той же постоян-
ной линейной скоростью v. Найти уравнение линии прови-
сания ремня; вес погонного метра ремня равен q.
Решение. Выделим бесконечно малый элемент ремня MN.
На этот элемент, как и в задаче 1, действуют силы натяже-
ния и вес. Если мы к этим силам присоединим фиктив-
ную центробежную силу инерции, направленную по нор-
мали к элементу, то, согласно принципу Даламбера, получим
уравновешенную систему сил, для которых вместо уравне-
ния движения можно рассматривать уравнения равновесия.
Центробежная сила, действуя по нормали к элементу MN
в точке Mt составляет с осями координат углы —
и тс— а (а — угоЛ/Между касательной в точке М и осью Ох).
Величина этой силы равна , где dm — масса элемента
ремня длины ds, v— его скорость; а /? — радиус кривизны
траектории, которую мы предполагаем совпадающей с линией
провисания ремня.
Так как dm = ^~-, a	то величина центро-
бежной силы инерций выразится через , а ее проекции
гл z-ч	qv* sin a da qv* COS a da
на оси Ох и Оу соответственно через ----- и —2---------*
Напишем уравнения равновесия:
sin a da — О,
g
dV —	cos a da—q ds —Q.
Интегрируя первое уравнение, будем иметь равенство
Н— ^cosa = /G	(*)
где К — постоянная интегрирования.
12]	ЦЕПНАЯ линия	129
Если задать низшую точку провисающего ремня, в кото-
рой горизонтальное натяжение равно HQt то, положив а = 0,
найдем, что К = Нй—-—.
g
Второе уравнение перепишем так:
d (v —	sin а) = q ds.
Умножив обе части равенства (*) на tg <х, получим:
Я tg а — sin а = К tg а,
g	»
у
но так как -^- = tga, то /7tga = V и
у — sin a = Ку' (tga = у').
Вследствие этого второе уравнение примет вид
d (Ку') = qds или ay" = V 1 + у2,
1Z
где положено ~ = а. Его общее решение (см. пример 11
I Q
п. 11) _y = ach — --- представляет собой семейство
цепных линий.
Задача 5. Найти кривую, зная, что длина ее дуги
7ИОЛ4 = $ от неподвижной точки Л4о(О, а), касательная в ко-
торой параллельна оси Ох, до переменной точки М(х, у)
связана с радиусом кривизны R в точке М соотношением
s2 = a(Z? — а),* где а = const (задано нормальное уравнение
кривой).
Решение. Так как радиус кривизны R в любой точке
кривой, по определению, есть производная дуги кривой s
по углу а, образованному касательной к кривой с осью Ох
in ds X
(/? = — ], то данное в условии задачи соотношение пере-
ходит в дифференциальное уравнение с разделяющимися пе-
ременными:
si==a(^-a)‘
9 Зак. 975. А. Р. Янпольский
130 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Разделяя переменные, получим:
a ds ,
*“5 i «Г "" "" WOt,
§2 _|_
откуда, беря квадратуры, будем иметь:
arctg-J = a + C.
Определим С. Для этого заметим, что при х = 0 длина
дуги кривой s = 0 и угол а~0, что вытекает из началь-
ного условия tga = у' — 0 при х = 0. Следовательно, <? = 0
и полученный интеграл переходит в равенство
arctg — = а, откуда s — aiga,
или
J* V1 + у'* dx = ayf.
о
Дифференцируя по х, получим уравнение
ху" — V1 + у 2.
Его общее решение (см. пример 11 п. 11)
.у —«ch X+C1 4-С2.
Для определения произвольных постоянных Сг и С2 ис-
пользуем начальные условия: у = а, у = 0 при х = 0.
Продифференцируем полученное решение; будем иметь:
У = sh —!—- .
л	а
Подстановка начальных условий в это равенство приводит
к уравнению относительно Сх:
sh—= 0,
а
откуда = 0.
Подставляя начальные условия и Ct ~ 0 в общее реше-
ние, получим:
achO + C2 = a,
откуда С2 = 0.
121
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
131
Итак, окончательно уравнение искомой кривой примет
вид «стандартного» уравнения цепной линии
y = ach — .
л	а
Если бы начальные условия были заданы в более общем
виде:
У = Уй> у'^у'о ПРИ Х = хо,
то частное решение дифференциального уравнения ау" =
= У1+У2> удовлетворяющее этим начальным условиям,
можно получить из общего решения <y = ach—
следующим образом.
Найдя у из общего решения и подставив вместо х и у'
числа х0 и у, получим уравнение для определения Ct:
откуда х0 -[-.6^ = 0 Arsh y'Q и <4 = a Arsh у— х0.
Подстановка начальных условий и вычисленного значе-
ния в общее решение приводит к уравнению относи-
тельно С2:
хп 4’ aArsh Уа —
= a ch-------2-----------Ь ^2» или Л = а ch Arsh у 4- С2,
откуда С2 = у0— а V1 + у2.
Следовательно, окончательно получаем частное решение
в виде
у = a ch	+ Arsh X) + Л—aV 1 + Уй •
Задача 6. Найти кривую, зная, что радиус кривизны
в любой ее точке равен длине отрезка нормали в этой
точке.
Решение. Длина отрезка нормали, как известно, равна
| у V1+ У2 I» а РалиУС кривизны равен	.
Приравнивая друг другу эти выражения, составляем
9*
132 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ill
. дифференциальное уравнение
(1+/2)%
\tfr
= I^VT+Zl.
или после сокращения на V 1 Ц- у2 и умножения обеих ча-
стей на У':
|^у| = 1+/2.
Здесь следует рассмотреть два случая: когда у и У'
одинакового знака (что при положительном у соответствует
вогнутости кривой вверх) и когда у и у" имеют разные
знаки. В первом случае наше уравнение записываем так:
j/=i + y2.
Его общее решение (см. пример 8 п. 11)
? = C1ch^±^
представляет собой семейство цепных линий.
Во втором случае наше уравнение запишем так:
О+У2)-
Интегрирование этого уравнения проведем методом пони-
жения порядка уравнения. Положим у — р; тогда у = р
и наше уравнение переходив в уравнение первого порядка
с разделяющимися переменными:

После разделения переменных и взятия квадратур по-
лучим:
1 ln(l+p2) = - In j + lnCv
Потенцирование дает
откуда
12]
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
133
Заменив р через ~ , разделив переменные и взяв квадра-
туры, будем иметь:
/с?—у== ± (х+С2),
откуда после возведения в квадрат получим в качестве ре-
шения семейство окружностей с центрами на оси Ох:
(х + С2)2 + у2 = С?.
Задача 7. Полюс, относительно которого дано уравне-
ние кривой
rn cos «9 = ап,
неразрывно связан с этой кривой. Найти геометрическое ме-
сто точек, которое опишет полюс (рулету), когда кривая
будет катиться без скольжения по оси Ох.
Решение. В нашем случае 9 = -i arccos-^- , откуда
dO	ап	хг	л т-r
— = —г	. Уравнение неподвижной линии у = 0. По-
dr
этому первое и третье из уравнений системы (*) (стр. 111)
примут вид
ап _ 1 у = г
Уr*n —	F' W ’	/1 + [Г'(^)]2 ’	*
Из первого из этих уравнений находим г~а {1 + [F' (Л)]2}2”
и подставляем во второе уравнение; получим:
1-п
T = a{l + [F'(X)]2} 2п .
или
2п 2п
у1-п = а1-п {l+[f'(X)]2},
откуда
/ 2п
Г'm=£ = v
и, следовательно,
v С	dY	. „
134 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш
В частности, при п = уравнение подвижной кривой г =
= —представляет собой параболу. Дифференциальное
COS 2 у
уравнение рулеты =	— 1 или у = aV 1 + (/2)-
Его общий интеграл (см. пример 10 п. 11) — семейство цеп-
ных линий j/ = ach—. При п — —1 дифференциальное
уравнение рулеты dy = |/ —dx определяет семейство
циклоид х4~С = -^- Arccos ~---------V аУ— У2 - При я = 2
уравнение подвижной кривой г2 cos 29 = а2 представляет со-
бой равностороннюю гиперболу. Дифференциальное уравнение
рулеты будет ~=~?4 ~ , откуда х= Г -У*	Полу-
ах У	J у а4 — у4
ченный интеграл в конечном виде не берется.
Упражнения •
1.	Определить горизонтальную составляющую натяжения в лю-
бой точйе цепи, подвешенной концами в двух точках и находящейся
под действием собственного веса, если длина цепи 120 я, длина
пролета между ее концами (разность абсцисс точек) 80 я, а раз-
ность высот концов 10 я. Вес 1 я цепи 10 кГ.
Отв, 242 кГ.
2.	Найти кривые, обладающие следующими свойствами:
а)	проекция ординаты любой точки кривой на нормаль по-
стоянна;
б)	отрезок нормали между любой точкой кривой, в которой
проведена нормаль, и осью Ох пропорционален квадрату ординаты
кривой;
в)	отрезок касательной между точкой касания и осью Ох про-
порционален произведению квадрата ординаты точки на котангенс
угла, образованного касательной с осью Ох.
Отв. Во всех трех случаях получаем дифференциальное урав-
1	д» I
нение у = ay 1 + у'2, его общее решение у = a ch----—- — се-
мейство цепных линий.
х
3.	На цепной линии у = a ch — взята произвольная точка
М(х, у). Ее проекция на ось Ох — точка Р, а проекция точки Р
на касательную, проведенную в точке М цепной линии, — точка N.
Доказать, что отрезок PN имеет постоянную длину, равную а.
12]
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
135
4.	Найти кривую, радиус кривизны которой пропорционален
отрезку нормали. Рассмотреть случаи, когда коэффициент пропор-
циональности k = 1, 2.
Отв. ± (х С2) = f-------"г~	- или же ± (х С2) =
J /	2
. Интеграл берется в конечном
виде при k
целом.
При k = 1 — семейство цепных линий у = ch (см, рб-
С]
шение задачи 6 на стр. Л31, случай 1) или семейство окружностей
с центрами на оси Ох: (х -|- С2)2 + у2 = С\ (см. там же, случай 2).
При k = 2 — семейство парабол (х С2)3 = 4Ct (у — Q) или
семейство циклоид ± (х + С2) = Arccos	— У Cjy — у2.
2.
5.	Найти кривую, зная, что радиус кривизны в любой ее точке
пропорционален квадрату секанса угла между касательной в этой
точке с осью Ох. .
Отв. у = a ch — + С2.
6. Сохраняя условия задачи 5, получить параметрические урав-
нения искомой кривой, приняв за параметр угол а между касатель-
ной и осью Ох.
хт	rx ds	ds	а	.
Указание. /<=-—,	—- = «sec2a,	ds = secadx,
da	da
J da	sin a ,
dx = a------, dy — a----o— da.
cos a ' cos2 a
] x = «lntg(4 + 4)+ Cl’
Отв. <
I я , ~
I у-----------(72.
(	cos a 1
7.	Найти кривую, зная, что площадь криволинейной трапеции
PqMqMP, образованной дугой кривой М0М, постоянной ординатой
Р0Л40, переменной ординатой РМ и осью Ох, пропорциональна
длине дуги кривой.
и х 4~ С*
Отв. у = a ch----!.
J	а
8.	Найти кривую, зная, что длина ее дуги s от некоторой по-
стоянной точки до переменной точки М (х, у) пропорциональна
угловому коэффициенту касательной в точке М.
Отв. у = a ch + Сз»
136 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш
9.	Сохраняя условия задачи 8, получить параметрические урав-
нения искомой кривой, приняв за параметр угол а между касатель-
ной и осью Ох.
Отв.
x = alntg^- + yj-f- Сь

10.	Найти кривую, у которой длина дуги s = AM, отсчитывае-
мая от ^некоторой постоянной точки А (х0, а), связана с ординатой
переменной точки М (х, у) соотношением:
a)	s = У у2— а2;
б)	s = aln —.
'	а 
Отв. а) у = a ch	б) х — х0= У а2—у2 — a In ?—L
(трактриса).
11.	Составить параметрические уравнения трактрисы по ее на:
%?
туральному уравнению р2 я2 = а2е а
х = a cos t,
Отв.	1 + (* । М , .
у = aln +	—asln t.
12.	Составить натуральное уравнение эволюты трактрисы, за-
данной натуральным уравнением:
2(7
а) р2 + а2 == е а ;
2<з
б) ^ + а* = а?е ~.
Отв. а) /? = а 4-	; б) R = — а-----.
13.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Ох и трак-
трисой х = a In а-~^~ —?---------У а2 — у2
Отв. .
14.	Доказать, что длина дуги цепной линии у = a ch от
вершины А (0, а) до точки М (х, у) равна У у2 — а2.
15.	Вычислить длину дуги кривой:
.	1 & 4" У*   У 2	1 /"“о--о /	\
а)	х — a In ———-----------у а2 — у2 (трактриса) в пре-
делах для у от b до а (0 < b < а);
12]
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
137
б)	г = a th -2- в пределах для ср от 0 до 2п;
в)	х = a(sh t — О, y = #(ch/—1) в пределах для / от О
до Г;
г)	у = In cth ~ в пределах для х от а до b (0 < а < Ь).
Отв. а) я In 4-;
b
б) а (2я — th тс);
t Т ,______ х _ /2ch-^4-VdF7
в) 2^ch-y /chT — lj — /2 In---------------'•
4 < sh b
r) In—r—.
f sh a
16.	Вычислить длину дуги параболы у2 = рх от вершины
О (0, 0) до точки М (х, у).
У
Указание. Применить формулу s и
t dy
при вычислении интеграла произвести подстановку = sh и.
хг
2
Отв.

17.	Вычислить длину дуги логарифмической кривой у = я!пх
от точки A (at a In а) до точки М (х, у).
х ______
Указание. Применить формулу s = j* yf" 1 -|-
d
a i_
при вычислении интеграла произвести подстановку -g- = sh я.
Отв. Уа2+’х2 — a In	а у 2 + a In (1 + V*2 ).
18.	Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью, образо*
х
ванной вращением цепной линии у = a ch вокруг оси Ох (ка-
теноидом), и двумя плоскостями х — — b и Х=гЬ.
„ па* ( ,2b . 2Ь\
Отв. -;r-(sh-— +	.
2 \ а /
138 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш
19.	Вычислить площадь поверхности, образованной вращением
дуги цепной линии у = flch у в пределах от х = — b до х = Ь\ ।
а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу.
Отв, a) па + a sh ; б) 2па (а b sh -------а ch .
20.	В точке М (х, у) цепной линии у = а ch проведена ка- ।
сательная до пересечения с осью Ох в точке Г. Определить раз-
ность площадей поверхностей, образованных вращением вокруг
оси Ох дуги AM (Л — вершина цепной линии) и отрезка каса- 1
тельной. ТМ. Выразить эту разность: а) как функцию от абсциссы х
точки М; б) как функцию от абсциссы X точки Т.
да
у ds = пах -|- sh — ,
2 а	I
да
ch3V	х
Q<> = пуМТ = тса2----. Следовательно, Q -= па (х — a cth-— ).
sh—	V	а '
а
Чтобы выразить Q в зависимости от X, следует в уравнении каса-
тельной Y — у = у' (X — х) положить Y = 0; тогда х = X -|- a cth ~ ,
и поэтому Q = паХ.
Отв. а) па ^х — a cth j ; б) паХ.
13. Некоторые прикладные задачи
Гиперболические функции встречаются при решении раз-
личных задач из механики, теплотехники, электротехники,
химии и т. д. Рассмотрим некоторые из них.
Падение тела в воздухе. Задача 1. Материаль-
ная точка массы т падает в воздухе с начальной ско- 4
ростью, равной нулю. Принимая сопротивление воздуха
пропорциональным квадрату скорости, найти закон движе-
ния точки, т. е. пройденный ею путь s как функцию вре-
мени t.
Решение. Из курса динамики известно, что mw = F,
где w— ускорение точки, a F— равнодействующая сил,
действующих на точку.
L
13]
НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
139
Выберем положительное направление на вертикальной
прямой вниз, по линии действия силы тяжести. Тогда
F = mg — cv2t
где g— ускорение силы тяжести, а с — коэффициент про-
порциональности (с > 0).
Так как w = то дифференциальное уравнение дви-
жения точки примет вид
dv	л
т = mg — cv\
откуда, разделив на т, получим:
где положено ~==^2*
Попутно заметим, что так как > 0, то отсюда сле-
дует, что g — £2п2>0, или	Это дифференциаль-
ное уравнение с разделяющимися переменными. После раз-
деления переменных получим:
dv
at~ g — kW
Неопределенный интеграл от
вычисляем по формуле (16) п.
Правой части уравнения
8 (с учетом того, что
dv
g — kW
dv
ArthСР
kVg Vg
Таким образом, мы приходим к общему интегралу
t
—L= Arth
kVg VI
Cit
140 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Используя начальное условие (т> = 0 при £ = 0), нахо-
дим Ct = 0, и потому частное решение будет
1 А XI.
----Arth -7=-
kV g	VI
t
Разрешив это уравнение относительно v, получим:
,= ’ан,(л/г().
«к
При возрастании аргумента гиперболический тангенс
стремится к единице, поэтому с возрастанием времени t ско-
рость v стремится к предельному значению
Для нахождения закона движения точки заменим в урав-
/1 \	ds
нении (1) скорость v через получим:
откуда
« = -Д-1п ch(/s/i/) + C2.
Но s = 0 при t — Qt и потому С2 = 0. Следовательно, закон
движения падающей точки будет иметь вид
s=>lnch(*Уё*)- .	(3)
При достаточно больших значениях t можно считать, что
у—	У д t
ch k у gttt g—, и мы получаем приближенную формулу
Выразим из уравнения (3) t через s. Для этого умножим
обе части уравнения на № и произведем потенцирование;
получим:
ch (&]/£/) = 0*4	*	(4)
13]	НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ	141
Так как Arch л: —In (х ±]/"х2—1) (см. формулу (8) п. 3),
то уравнение (4) можно записать и так:
f =	+	1) .	(5)
k у g
Перед корнем взят знак плюс, потому что в противном
случае при возрастании s уменьшалось бы t, что противо-
речит смыслу задачи.
При больших значениях s можно в формуле (5) прене-
бречь единицей, стоящей под знаком радикала, и получить
приближенную формулу
VgkV~g
Можно получить еще соотношение между 5 и V, Если
принять во внимание, что
dv   dv ds  dv
~dF	ds ~dt	V ds'
то исходное уравнение переходит в следующее:
v = g — k2v2.
ds ь
Разделяя переменные, получим:
, vdv
US —— 1	— ' г л л |
g—(t2v2
или после взятия квадратур
s =---2^5-In (g— АМ) + С.
Используя начальное условие $ = 0 при г/ = 0, находим
п 1 .
С= 2^2"Ing-, поэтому
e-J ln g -
* 2АЗ £ — AM’
или, разрешая относительно -п,
v==^.yi — e-2^ в	(6)
I
142 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ	[гЛ. III
Выведенные формулы относятся к падению в воздухе
материальной точки, но их можно рассматривать как при-
ближенно верные и при падении тела. Однако в этом слу-
чае необходимо учесть сопротивление воздуха, зависящее
от величины, формы и веса тела, а также от плотности
воздуха. При этом k определяется с помощью эмпирической
формулы
= (7)
где 7 — удельный вес (в среднем 7 = 1,225 кГ)м\ что
соответствует весу 1 м3 воздуха при давлении 760 мм
и температуре 15° С); /—площадь .проекции тела на
плоскость, перпендикулярную к направлению движения, в м2*,
q— вес тела в кГ\ а—безразмерный, так называемый «коэф-
фициент сопротивления», зависящий от формы тела и опре-
деляемый опытным путем; так, например, для горизонтально
падающей квадратной пластинки а = 0,631; для полусферы
отверстием вниз (парашют) а = 0,664 и т. д.
Формула (7) вместе с предыдущими результатами позво-
ляет решить такую задачу.
Задача 1а. Определить скорость, которую будет
иметь через 2 сек после начала падения находящаяся до
того в покое горизонтальная квадратная пластинка со сто-
роной! м и весом 2 кГ. Предполагается, что при падении ,
пластинка остается горизонтальной.
Решение. В данном случае
й,= 0,<81.1.225.1 =0 386.
^1 = 5.038;	bVl = 1,947.
Подставляя эти значения, а такжё значение t — 2 сек
в формулу (1), находим:
v = 5,038 th 3,894 = 5,038 • 0,999 = 5,034 м!сек.
Этот результат практически не отличается от предель-
I VI
ной скорости v I ^ = -^2- = 5,038 м!сек, которую вообще
может достичь падающая пластинка. Таким образом, пре-
дельная скорость, развиваемая теоретически через бесконечно
13]
НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
143
большой промежуток времени, практически достигается уже
в конце второй секунды после начала падения.
Движение материальной точки. Задача 2. Мате-
риальная точка массы т движется прямолинейно под дейст-
вием силы отталкивания от некоторого центра. Эта сила
пропорциональна расстоянию точки от центра (коэффициент
пропорциональности k > 0). Сила сопротивления среды
пропорциональна скорости движения (коэффициент пропор-
циональности kY > 0). Скорость в начальный момент, когда
точка находится на расстоянии а от центра, равна vQ и
направлена по прямой, соединяющей д^жущуюся точку
с центром. Найти закон движения точки.
Решение. Если примем центр за начало координат О,
а траекторию точки— за ось Ох, то дифференциальное
уравнение движения запишется в виде
d2x , ,dx
m-dfi==kx-^-dF> '
dx	, л
а начальные условия: х — а, — = v0 при t — 0.
Путем деления обеих частей уравнения движения на т,
получим:
х" + — х'------- х = 0.
1 т т
Общее решение этого уравнения (см. пример 3 п. 11):
х = е"0* (Cr ch р/ + С2 sh р£),
где положено = а, у а2 +	= р.
ай + Vn
х=а, a С2=----~
и, следовательно,
х = e~at(ach p^-J-
aa + v° sh ₽/).
Задача 3. Определить закон прямолинейного движе-
ния материальной точки массы т, притягиваемой к центру
с силой, пропорциональной расстоянию от этого центра
(коэффициент пропорциональности mk2), Сопротивление
144 ПРИМЕ^/нИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
/
среды пропорционально скорости (коэффициент пропорцио-
нальности 2т/г > 0). В. начальный момент времени расстояние
точки от центра равной, а скорость направлена по прямой, со-
(	dx
х = а и v —
при t = 0).
Решение. Дифференциальное уравнение движения
> + 2Л-^ + ^ = 0.
Корни характеристического уравнения:
ri,2 = — h + У h2 — k2.
Рассмотрим три случая.
1. h2 — &2<0. Положим k2 — h2 = krt тогда rlt2 —
= — h ± ikv и общее решение будет
х — e~ht (Ct cos kxt -j- С2 sin kxt).
Из начальных условий находим, что
с1=а. с,=^,
и, следовательно, закон движения
х е~м (a cos kJ -|- sin •
Это уравнение можно преобразовать к виду
х = Ае~м cos (kJ 4т а),
где
Оно определяет колебательное движение с периодом Т = ~
и переменной амплитудой Ае~м.
2. h2 — k2 > 0. Положим h2 — k2 = k^ тогда rlt2 —
=— h ± k2, и общее решение (см. пример 3 п. И) будет
X — e^ht (Сх ch k2t 4- Cz sh kzt).
13]	НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ \	145
Из начальных условий находим
С — а С — v* + ah
С1 —а, с2—	,
и, следовательно, закон движения:
х = e~ht\a ch k2t + sh k2t^.
Движение апериодическое (не колебательное).
3. Л2 — &2 —0. В этом случае г1 = г2 = — h, и общее
решение будет
x — e~ht (С^С/).
Из начальных условий находим
= а,С2 — vQ-\-ah, и, следовательно,
закон движения x = e~ht [а-1~(tfr-HO
Как и в случае 2, движение аперио-
дическое.
Задача 4. Материальная точка
массы т отталкивается от оси Ох
с силой, пропорциональной расстоя-
нию от этой оси (коэффициент про-
порциональности тЛ2). В начальный
момент времени расстояние между
ними равно а, а скорость параллельна оси Ох и равна vQ
(рис. 27). Найти уравнение траектории точки.
Решение. Составляем систему дифференциальных
уравнений движения точки на плоскости:
d2x Л
т = т&У-
Из первого уравнения имеем х = С^-\-Сг, а из второго
(см. пример 1 п. И) у = С3 ch kt + С4 sh kt. Начальные
условия: х=0, х' = v0> у — а, у'~6 при t — Q. Подстав-
ляя их в общие решения для х и у, получим:
(71 = ^0» C*2z==:0, С3 —- и, C4 = Q, .
Ю Зак. ?75. А. Р. Янпольскив
146 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
и уравнения движения точки (они же — уравнения траекто-
рии в параметрическом виде) можно записать так:
х = vQt,
у — a ch kt.
Исключим из этих уравнений t. Для этого из первого
уравнения найдем —и подставим во второе уравнение;
kx
будем иметь у — я ch —. В частном случае, когда
-~- = а, траекторией служит цепная линия y = ach-^.
Скольжение цепочки. Задача 5. Тяжелая однород-
ная цепочка длиной I расположена так, что часть ее
лежит на гладком горизонталь-
Рис. 28.
почки -f-s', она придает
ном столе, а конец ее дли-
ной а свисает над краем стола
(рис. 28). Из этого положе-
ния^ цепочка начинает сколь-
зить вниз. За какое время она
соскользнет со стола?
. Решение. Определим
движение нижнего конца це-
почки. Начало координат выбе-
рем в точке О и направим ось
Os вниз. * Абсцисса точки А
в момент времени t равна 5.
Ускоряющей силой является вес
свисающей со стола части це-
массе цепочки ускорение
поэтому дифференциальное уравнение движения запишется
в виде
d*s
at*
mg	d2s
или

Его общее решение (см. пример 1 п. 11):
$ = C1chj/r^ + C2sh	-рЛ
13]
НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
147
(ds	\
$ = а, -^- = 0 ПРИ = опре-
деляем С1 = а, С2 = 0, и закон движения будет
s — achy -S-t.
Когда цепочка соскользнет со стола, то s — lt и время
скольжения Т можно определить из уравнения
achj/~=
откуда получаем, что
Т = V — Arch — = 1/ —In —.
г g arg а
Если, например, /=6 м, а=1 м, то Т =
= |/~|- 1п(6 + /з5) сек.
Задача 6. Тяжелая однородная цепочка переброшена
через гладкий гвоздь так, что с одной стороны свисает
часть ее длиной 8 м, а с другой стороны — часть в 10 м.
За какое время цепочка соскользнет с гвоздя?
Решение. Обозначим через $ путь в метрах, пройден-
ный за время t концом опускающейся части цепочки; длина
этой части будет равна $+10, а поднимающейся 8—$.
Ускоряющая сила при скольжении равна разности весов
частей цепочки, свисающих с обеих сторон, т. е. F —
= 7 [(10 + $)— (8 — $)] — 2*f ($ + 1), где 7 — вес 1 м це-
Р “
почки. Ускорение w в момент времени t равно w= — =
= 2-i ($+1) = &($+1), где ш — масса всей цепочки,
2т
а й = -----коэффициент, который можно определить, если
учесть, что в тот момент, когда вся цепочка соскользнет,
т. е. при $ = 8, ее ускорение станет равным £ = 9,8 м!сек2.
Следовательно, g = 9&, откуда k=-~.
Составляем дифференциальное уравнение
о — J_
dt* 9 6 — 9 ’
10*
148 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Общее решение соответствующего однородного уравне-
ния (см. пример 1 п. 11) 2 = C1ch^~-/ + C2sh^y^Z, а ча-
стное решение неоднородного уравнения S = —1.
Поэтому общее решение нашего уравнения
s = Cj ch 1 + С2 sh 1 — 1.
(ds	\
s = -^- = 0 при / = 01 находим
Ct=l, С2 = 0.
Следовательно, частным решением исходного уравнения
будет функция
s= chX^-f— 1.
о
Она определяет путь, пройденный концом опускающейся
части цепи.
Когда цепь соскользнетУс гвоздя, то $ = 8, поэтому
,8 = ch^-T—1, или ch^5-T = 9,
откуда
Т = A. Arch 9 = -^г In (9 + /80) « 3 сек.
V g	V g
Движение шарика во вращающейся трубке. Задача 7.
Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой ско-
ростью to вокруг перпендикуляр-
ной к ней вертикальной оси ОА
(рис. 29). Находящийся внутри
трубки шарик М скользит по
ней без трения. В начальный
момент, шарик находится на рас-
стоянии а от оси вращения; его
начальная скорость равна нулю.
Найти закон движения шарика
относительно трубки.
Решение. Обозначим рас-
стояние от оси вращения до
шарика через г. Задачу будем
трубка оставалась неподвижной,
но на шарик действовала центробежная сила ж2г, где
Рис. 29.
решать так, как если бы
13]
НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
149
т — масса шарика. Составим дифференциальное уравнение
относительного движения
tf2r 9	d2r 9 n
т__~т(О2Г, ИЛИ -775----Ц)2Г = 0.
dt*	dt*
Его общее решение г = C1ch cof + С2 sh wf (см. при-
мер 1 п. 11).
Из начальных условий [г—а и-^=0 при / = на-
ходим Ct = a и С2 = 0.
Поэтому закон относительного движения шарика будет
r = achd)t
Йели изменить начальные условия, предположив, что
в начальный момент шарик находится на оси вращения и
имеет скорость -и0 (вдоль трубки), т. е. г— 0 и = vQ .
при / = 0, то Ct = Q и С2 = —, и частное решение при-
мет вид
г = — sh of.
со
Задача 8. Решить предыдущую задачу в предполо-
жении, что шарик прикреплен к точке О пружиной. Сила
действия пружины на шарик пропорциональна деформации,
причем сила в k дин вызывает изменение длины пружины
на 1 см. Длина пружины в свободном состоянии /. Масса
шарика равна т.
Решение. По условию задачи сила /действия пружины
на шарик связана с деформацией 8 равенством /=с8, где
с — коэффициент, подлежащий определению. Так как 8=1
при /=£, то c = kt и потому /=£8, но 8 = г — /, следо-
вательно, сила действия пружины f~k(r — I).
Суммарная величина F действующих на шарик сил равна
F = zn(o2r — k(r — /). Поэтому дифференциальное уравнение
имеет вид
d2r о а/ a	/ 9 k \ kl
т	— ты2г — k(r — Г), или —ттг — со2-----] г = —.
dt2	_ 7 df* \ т /	т
Начальные условия: г = 1 и -^- = 0 при f = 0.
150 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Характеристическое уравнение имеет корнями числа
О>2 — —
т
Рассмотрим три возможных случая.
1.	k < /neo2; обозначим j/*о2—	Уравнение запи-
шется так:
Общее решение z соответствующего однородного уравнения
z = ch + С2 sh р/;
частное решение R неоднородного уравнения, как легко
видеть, будет
kl
m^ — k*
и потому общее решение г неоднородного уравнения можно
представить в виде
r = Ct ch
Из начальных условий находим, что С\ =	и С2 = 0.
Следовательно, закон относительного движения шарика в этом
случае будет
Г==---1----^0)2 ch^l/^ О)2--------k\.
тир— k \	V	mJ
2.	А = /П(о2; уравнение приводится к виду
dPr _ kl
dtp т ’
откуда -^ = —/-l-Ci и г = -^-tP-\-Clt + С2. Из началь-
dt т	zm
ных условий находим С2 = /, Сх = О. Следовательно, закон
движения
r=/(i +. А-А
\	1 2т )
13]
НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
151
k
3.	/г>/п(1)2; введем обозначение-----ш2 = а2; уравнение
запишется в виде
rf2r
dp
2 kl
а2 г = —
tn
Общее решение z однородного уравнения:
z = Cr cos at + С2 sin at,
частное решение R неоднородного уравнения легко найти:
п___
Общее решение неоднородного уравнения:
* kl
r = Cy cos at + Со sin at + -г-----------.
1	1 й 1 k — ты*
Из начальных условий находим Сх —-----» ь2 = 0.
Следовательно, закон движения:
г = Т   р- (k znw2 COS t У —--------о2).
k — /710)2 \	r tn J
Задача 9. Трубка вращается с угловой скоростью
2 рад!сек (см. условия задачи 7); в ней находятся два шарика
с массами ^ = 300 г и zn2 = 200 г, соединенные легкой
упругой пружиной длиной /= 10 см, причем в начальный
Рис. 30.
момент пружина не растянута и шарики одинаково удалены
от оси вращения (рис. 30f. Сила 24 000 дн растягивает пру-
жину на \см. Шарики удерживаются в указанном положении
некоторым механизмом. В начальный момент времени действие
152 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III <
механизма прекращается, и шарики приходят в движение.
Найти закон движения каждого шарика относительно трубки.
Решение. Обозначим через координату более тяже-
лого шарика (относительно трубки) и через х2 — более лег-
кого, причем отсчет будем вести от оси вращения, а ось Ох
направим так, как показано на рис. 30.
Если, согласно условию задачи, принять / = £8, где f —
сила действия пружины на каждый из шариков, а 8 — дефор-
мация пружины, то k — 24 000.
Составим дифференциальные уравнения относительного
движения каждого из шариков:
— т1ш2х1 — *(xi— х2— Ю),
т2-^а = /п2о>2х2 + &(х1 —х2—Ю)-
Эту систему дифференциальных уравнений удобно решать так.
Путем сложения обеих частей первого уравнения с соответ-
ствующими частями второго получим:
+ т2х" = w2 + m2x2),	|
Обозначив т2х2 = и, получим уравнение и" — <в2и = 0.
Его общее решение и = ch iot -f- C2sh wt или 3xt + 2x2 =
= C1ch 2t-j- C2 sh 2t, где принято, согласно условию, о> = 2 .
С±	„ С% "7,	t
и положено -[эд— Ч и = С2.
Начальные условия таковы: х1 = 5, х' = 0, х2 =—5,
х' = 0 при / = 0.
Вычислим 3xj4-2x' = 2(C1sh2^ + O2ch20 и подставим
сюда, а также в выражение 3xt + 2x2 начальные условия. |
Получим Сх = 5, С2 = 0 и, следовательно,	I
Зхх + 2х2 = 5 ch 2t.	" У
Отсюда находим	*	J
x8 = |ch2/ — |х,	(8)	।
J
13]	НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ	153
и подставляем в первое из системы дифференциальных урав-
нений, преобразованных к виду
' х" = (4 — 80) + 80х2 + 800,
4 = 120jq + (4 — 120) х2 — 1200.
Подстановка исключает переменное х2 и приводит к урав-
нению, содержащему только х1 и х":
х" = —76*, + 80	ch 2t — yXj) + 800,
или
х" + 196xt = 200 ch 2t + 800.
Решая это уравнение, получим общее решение однород-
ного уравнения 2 = 6?!cos 14/—[—C2sin 14Z, а частное реше-
ние X неоднородного уравнения будем искать в виде
X=Xch2/+B.
Так как при этом Х" —4ДсЬ2/, то, подставив X и X"
в дифференциальное уравнение, получим тождество
200Д ch 2/ + 196В = 200 ch 2t + 800,
откуда находим А= 1, В — следовательно, X = ch2^4“
. 200 х
+ ”49“ > и общее решение запишется в виде
x1 = C1cos 14/—|— sin 14/ —ch 2^+^-.
Остается определить Ct и С2. Начальные условия дают:
к п । 1 - 200	п	4 .
6 = ^+1+-^-, откуда С1 = —
14С2 — 0, откуда С2 = 0.
Окончательно, имеем закон движения шарика с массой 300 г:
,	4	,	. 200
Xi = ch 2/--^-cos Ш+-^.
154 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Для нахождения закона движения шарика с массой 200 г
подставим найденное выражение xt в равенство (8) и получим:
х2 = | ch 2t — | (ch 2t — cos Г4/ 4-	,
ИЛИ
, n, i 6	1 .	300
•^2 == ch 2/ —| COS 1 4/	^g“ .
Задача 10. Решить задачу 7 с учетом трения.
Решение. Величина R трения вычисляется по закону
Кулона /? = рР, где р— коэффициент трения скольжения,
а Р — нормальное давление одного тела на другое. В нашем
случае Р есть сила давления шарика на стенки трубки, т. е.
сила Кориолиса, равная 2/по-и. Поэтому R = 2 /про
Составляем дифференциальное уравнение относительного
движения шарика:
d2r 9 п dr
т = /по2г — 2/про .
dt£	‘ dt
Преобразовав его к виду
d2r . п dr 9 л
_+2иш—_ш2г = 0,
замечаем, что получилось уравнение, рассмотренное в при-
мере 3 п. 11. Его общее решение:
Г =	(схch (О /Т+7214- С2 sh <о/14-41).
Вычислим производную
-g- = е~^ [— (Ci ch to	t -Ь С2 sh о) / Н^2 0]+
4- е~^ [и /Т+р (Cj sh и /Т+7214- С2 ch ш /Т+72 /)]
и подставим в выражение г и их значения из начальных
условий (г = йи~ —0 при /=0). Имеем C1 — ai
— рша 1+р2 С2 = 0, откуда С2 =	,
13]
НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
155
В соответствии с этим частное решение принимает вид
о У* 1 рь21
У
V 1+(*«
sh а>1/" 1	|i21
Включение электродвижущей силы в контур. За-
дача 11. Постоянная электродвижущая сила Е включается
в контур, состоящий из последовательно соединенных катушки
с индуктивностью L, сопротивления /? и емкости С (рис. 31).
Найти силу тока I в любой момент времени Л если в началь-
ный момент сила тока /0 в контуре и заряд конденсатора Qo
равны нулю.
Решение. На основании закона Кирхгофа (учитывая,
что Qo = O) составляем уравнение
t
f ldl = E.
О
Продифференцировав обе части этого уравнения по t, получим
линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными
коэффициентами:
R 1
Его характеристическое уравнение r2-|-—
имеет корни rlt2 = — «±{3, где приняты обозначения:
R
л~ 2L ’
1
CL *
156 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Рассмотрим следующие случаи.
D2 J
1.	Общее решение (см. пример 3 п. 11)
ch p/-|-C2sh $t).
Для определения С± и С2 используем начальные условия.
Первое условие /^=о = О дает Сх = 0 и, следовательно,
I = C2e~at sh рл
Второе условие получим, если положим f = 0 в исходном
уравнении, что дает
= Е.
^к=0
(9)
Вычислим производную и подставим ее, в последнее
равенство. Имеем
^£ = C2e-«‘(-ash₽/ + pch₽O; =
£
Поэтому C2{3L = Et откуда С2 = -ц-.
Окончательное искомое частное решение нашего уравне-
ния будет
1 = Д=Де-<* sh 8f.
pz, г
4	02	1	>---
2.	—с£<0; в этом случае p = Zo, где 1—у—1,
а со = 1/	— -г-;-:-вещественное число.
V CL 44*
Общее решение уравнения:
I = е~^ (Сх cos mt + С2 sin cof).
Используем начальные условия. Первое условие (/11 в0 =0)
дает Сг = 0, и потому решение принимает вид I—C2e~at sin cof.
Вычислим производную ^~=С2£~а* (— a sin mt + о cos mt).
Так как —A = C2o, to условие (9) дает C2mL — E, откуда
13]
НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
157
С, — —г и, следовательно, окончательно
Е
1 = —т- е~л* sin шЛ
<>£,
1
3.	ТлГ— 7v = ®» в этом слУчае общее решение имеет
вид
Первое начальное условие дает Ct = 0, и потому / =
= С2?е_Ч Так как ^=C3e~at{— af-f-l), то 4? I —Сг,
}	U«0
Е
и равенство (9) переходит в C2L==E, откуда C2 = -j-.
Окончательно частное решение уравнения в этом случае
Задача 12. Индуктивность L, емкость С и сопротив-
ление R соединены согласно схеме, изображенной на рис. 32.
В контур включается постоянная электродвижущая сила Е,
причем до ее включения токи и заряды в системе отсутство-
вали. Найти силу тока /, протекающего в катушке самоин-
дукции, как функцию времени Л
158 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Решение. Обозначим через /х силу тока в цепи aRb
и составим систему уравнений задачи на основании закона
Кирхгофа:
t
‘v+т/
;	(ю)
f = '	4
о
Исключим из этой системы /х. Сложив соответствующие
части обоих уравнений, получим:
(И)
Если продифференцировать по t обе части первого из
уравнений (10), то получим:
L^_|_1Z_1Z -о
L dfl С 1 * * *	с'1 — "’
откуда
/1 = CLg + /.
При подстановке Ц в уравнение (11) будем иметь:
L CLR %£ + RI=E
at * аг2 1
или уравнение
dP'CR dt 'CL 1 ~ CLR9
в котором /t отсутствует.
Будем решать уравнение (12). Корни его характеристи-
ческого уравнения равны rit 2 = — а ± р, причем
1	~ о
2C7?~a’ Vя CL~V'
Предположим сперва, что а2>^д« Тогда общее реше-
ние z соответствующего однородного уравнения будет (см.
13]
НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
159
пример 3 п. 11)
z = e~at (Ci ch + C2 sh 00-
Частное решение I неоднородного уравнения (12) будем
—	—	—	\ Е
искать в виде I = А, Тогда /'= /" —0 и	= ~CLR *
л Е	*	'
откуда А = -R.
_ Е
Следовательно, 1 — -п> а общее решение уравнения (12),
равное сумме будет
/ = 4- + e~at (С, ch 0f + С2 sh 0/).
f\
(13)
Определим Ct и С2 из начальных условий. Так как 1 = 0
при t — 0, то из (13) получим -^- + С1 = 0, откуда
С, — —Д, и потому / = -f--|~e-af(c2sh8i?—^-ch0/).
Вычислим ~t> Имеем:
g= e~at [ — а(С2 sh	ch 0f)+0 (с2 ch $t — sh 0/)].
Положив здесь t = 0, получим:
— I
dt L=o

Теперь можно определить и С2. Учитывая, что при t = 0
не только / = 0, но и Д —0, из уравнения (11) получим:
^ + LPC2 = £,
откуда
r _ Е (.	La\_ Е IR	\
2 —	R)~R^\L	“/•
Окончательно частное решение / для случая а2 > -~
запишется так:

160 ПРИМЕНЕНИЕ б ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Теперь предположим, что a2<-^v. Тогда р — мнимое
С* Lt
число, и мы положим p = Zu), где вещественное число
ш=Уг^-“2-
В этом случае совершенно аналогично получим частное
решение I в виде
/ = Д 11  	Г COS со/ 4~	— Д') sin (1)/
К (	L	\ <0 ЬСО/
Задача 13. Постоянная электродвижущая сила Е вклю-
чается в цепь, состоящую из двух индуктивно связанных
контуров, изображенных на рис. 33. Найти силы тока It
и /2 в обоих контурах в зависимости от времени /, если
включение производится при нулевых начальных условиях.
Решение. Согласно закону Кирхгофа, составляем сис-
тему дифференциальных уравнений:
1,§+ад+л1$=е.
(И)
Здесь М — коэффициент взаимной индукции контуров, осталь-
ные обозначения такие же, как и в предыдущей задаче.
13]	НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ	161
Из системы уравнений (14) исключим Для этого
умножим обе части первого уравнения на £2,.а второго — на
— 214 и сложим их. Будем иметь:
— М2) § + ЦЦ — MR2I2 = Lfl
или
=	(15)
получилось в результате деления обеих частей преды-
М2 — ^2	__2a
что
дущего уравнения на и замены
^ = 202.
Продифференцируем обе части уравнения, найдем выра-
жение и подставим его в первое из уравнений (14):
dh_Ri(l — ^)d^Ii . Rt dli.
dt 4Л4а1а2 dt2 ’ 2Afag dt ’
/?1(1 — fe2) । (Ri । *1\dl±
4axa2 d& \2a2 ‘ 2ax) dt
E.
Разделим обе части полученного уравнения на коэффициент
при будем иметь:
d2Zx I 2 (al + as) dll . 4a1a2 , _ 4£axa2
1 —£2	/^(l —£2)’
или
^/11 n//ii 4axa2 r _ 4£aia2
где положено
Д1 + a2 _
1 — Л2
Так как корни характеристического уравнения
Г1 э2 = — а ± р, где положено j/*a2 —	то общее
решение z соответствующего однородного дифференциального
j] Зак. 975. А. Р. Янпольский
162 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш
уравнения (см. пример 3 п. 11):
z = e~at (Ci ch + С2 sh р/)-	(17)
Найдем методом неопределенных коэффициентов частное
решение Д неоднородного уравнения. Пусть 11 = А, где
А — подлежащий определению коэффициент.
Так как = О и = 0, то дифференциальное урав-
нение (16) переходит в алгебраическое уравнение относи-
тельно Л:
4*1*2 л——	4£g1ct2
Г=Рл-/гТ(1-Н’	(18)
. Е
откуда Л = 75-.
- 'е
Итак, 4 = — , а следовательно, общее решение уравне-
ния (16) будет иметь вид
/1 = ^(C1ch^+C2sh^)+^.	(19)
Для определения произвольных постоянных используем
начальные условия: 4 = 0 и /2 = 0 при £ = 0.
Подстановка первого из них в решение (19) сразу дает
Е	~~
Ct = —Поэтому решение (19) запишется так:
/1 = е-<* (с2 sh ch ₽/) +	.
Возьмем производную
^- = e-rf[-o(c2sh₽/-;|ch p^ + ₽(c2ch^-Ash ₽f)]
и вычислим ее значение при / = 0; имеем:
Подставив найденное значение производной и значения
/1==sJ2 = 0 из начальных условий в уравнение (15), получим
уравнение для определения С2:
(1-л>)(^+с.₽)=?а£.
131
НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
165
Учитывая, что о =	» преобразуем последнее урав-
нение к виду
(ах 4- «а) £
+-(^(1 —#)==^,
откуда
С — (я1~ аа)£
2~ ₽(1_Л8)Л1
Окончательно частное решение /t запишется так:
А =	[pq—fts) sh —ch pf].
Аналогичным образом можно найти частное решение /2-
Установившееся распределение температуры в стержне.
Задача 14. Концы тонкого однородного призматического
стержня длиной I поддерживаются при постоянных темпера-
турах Tt и Г2. Площадь и периметр поперечного сечения
стержня равны соответственно а и р. Температура окружаю-
щей среды То. Коэффициент теплопроводности стержня,
зависящий от его вещества, k. Коэффициент теплоотдачи
от стержня к окружающей среде рь. Найти установившееся
(т. е. не зависящее от времени) распределение температуры
в стержне.
Решение. Выберем начало отсчета на левом конце
стержня и направим ось Ох по оси стержня (рис. 34). Вы-
делим бесконечно малый элемент стержня dx между двумя
Рис. 34.
сечениями х и x-\-dx. Согласно основному допущению тео-
рии теплопроводности, тепловой поток через элементар-
ную площадку в направлении Ох при установившейся
температуре пропорционален площади а и скорости паде-
ния температуры в направлении Ох — температурному
11*
164 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЙ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
/ CL1
градиенту
r> idT
Q = ~k^
(знак минус берется потому, что тепло распространяется от
более нагретой части стержня к менее нагретой, так что
Q > 0 в том именно случае, когда температура Т в напра-
dT
влении Ох падает, т. е. когда — < 0, и наоборот, Q < О,
(1 х
dT
когда > 0). Поэтому количество тепла Q, которое
пройдет через первое сечение х за единицу времени, равно
(2 —— а чеРез вт°Рое сечение x-]-dx пройдет коли-
чество тепла Q+ dQ = — ka [4^-+ d . Следовательно,
если бы не было теплоотдачи в окружающую среду, то
в выделенном элементе
— dQ=ka^dx.
задержалось бы количество тепла
Согласно закону Ньютона, количество тепла,
отдаваемое элементом поверхности при температуре Т
окружающей среде температуры TQ за время dt, пропор-
ционально площади (в нашем случае pdx), времени dt и
разности температур Т — TQ *). Это количество тепла за
единицу времени составляет ppdx(T—TQ) (мы полагаем
стержень настолько тонким, что теплоотдачей через площади
концов стержня можно пренебречь), и оно равно — dQ, вы-
численному выше. Приравнивая друг другу эти величины,
получаем дифференциальное уравнение
Ас — dx = pp(T—TQ) dx
ИЛИ
—----а2(Т—То) = 0, где положено -^- = а2.
♦) Закон Ньютона приближенный, он справедлив только при j
небольших разностях температур Т — Tq.	|
£
13]	НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ	165
Если обозначить Т—Т0 — у, то мы приходим к уравне-
нию У' — a2j/ = 0. Его общее решение (см. пример 1 п. И):
Т — То = Сх ch ах + С2 sh ах.
Произвольные постоянные и С2 определим из гранич-
ных условий
П£В=о = 7'1 и Т\^ = Т2.
Имеем:
г —т т Г _ (Г2—Го) — (Tj — То) ch а/
ci—— 70’ Ч—	? -
и следовательно, частным решением будет
'г 'г	т \ и I (^2—Гр)— (Гг— Гр) ch al ,
т — то = (7\ — то)ch ах +	~	---sh ах.
Правую часть можно преобразовать, приведя ее к общему
знаменателю:
(7\ — Го) (sh al ch ах — chai sh ax) 4- (Г2— Го) sh ax_
sh al
_ (Гг — Го) sh a (Z x) + (Г2 — Го) sh ax
sh al
Таким ^образом, температура в стержне распределяется
по закону
Т___У» __ (Л — Гр) sh a (Z — х) 4~ (Г2 — Гр) sh ах
0	sh al
Произведем числовой расчет. Пусть р/а=72,5; £ = 330;
И=Ю; a = Vwlka = 1,48; /=1; То=0; Л=200; 7’2=100.
Из таблиц гиперболических функций находим sh al —
= sh 1,48 — 2,083, и потому
Т = 47,9 sh 1,48х + 95,8 sh 1,48 (1 — х).
Для этой функции можно составить таблицу и построить
график (рис. 35).
X (J0	0	0,2	0,4	0,6	0,8	0,9	1,0
У (°C)	200,0	156,3	126,7	108,4	99,4	99,2	100,0
12 Зак. 975. А. Р. Янпольский
166 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Исследование функции Т показывает, что минимум ее
находится вблизи менее нагретого конца стержня. Чем больше
значение а, тем более резким будет этот минимум.
При а —О дифференциальное уравнение принимает вид
его общее решение Т = С1х + С2 представляет собой се-
мейство прямых.
Предположим, что температура окружающей среды То=0,
и вычислим количество тепла, отдаваемое стержнем среде за
единицу времени.
Элемент dx стержня отдает тепло в количестве
~ , 1\sha(l — x)+r2shax,
dQ = щ>Т dx = ур -----L—------------dXf
а количество тепла, отдаваемое всем стержнем, равно
i
Q = ТКдГ fI?1 sh a (l~ sh ax^dx =
0
= TO" [- Л ch «(/ - X) + T2 ch =
=тог (ch al~ o+?2 <ch al~ oj =
u,„(T. +7’2)2sh2-^
=--------al al
2a sh ch -g-
Задача 15. Решить задачу 14 при условии, что тем-
пература на правом конце нё задана.
Решение. Совершенно ясно, что весь ход решения
предыдущей задачи остается без изменения вплоть до соста-
вления дифференциального уравнения и нахождения его ре-
шения. Расхождение имеет место только в граничных усло-
виях, из которых сохраняется только одно (Т = 7\),
а второе предстоит установить. Для этой цели вычислим
количество тепла, подводимого к концу х = / стержня,
, ЛТ I
— гсс-т— , и приравняем его количеству тепла, отдавае-
ах \х—1
13]
НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
167
мого среде через сечение х = / стержня, (Т — То
будем иметь:

Это и есть второе граничное условие.
Если теперь продифференцировать общее решение урав-
~ dT
нения и подставить в выражения Т и — их значения
при х — I, то из послед-
него граничного условия
найдем соотношение между
и С2. Зная Ct из пер-
вого граничного условия,
найдем из этого соотноше-
ния и С2.
Обычно теплоотдачей че-
рез конец стержня прене-
брегают, полагая ее ни-
чтожно малой сравнительно
с теплоотдачей через боко-
вую поверхность стержня.
Это равносильно тому, что
во втором граничном усло-
вии полагают р. = 0, вслед-
ствие чего оно примет вид:
4^1 =0 или C1sha/ +
dx isp—i
4-C2ch al=Q.
Из этого равенства на-
ходим;
С2 = — С1 th al,
а так как Ct = Tt— То, то С2 = — (7\— TQ)thal и частное
решение принимает вид
Г— То = (7\— TQ) (ch ах — th al sh ax),
или
'T* qr> _ /qn m \ ch a (I — x)
/ —'o —Ui—'o)	—•
12*
168 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
Заметим, между прочим, что если полагать стержень до-
статочно длинным, то th al очень близок к единице.
Предположим, что температура среды То = 0, и опре-
делим температуру на правом конце стержня, т. е. при x~L
Общее решение в этом случае будет
Т =	ch ах + С2 sh ах.
Для нахождения произвольных постоянных используем
граничные условия:
Т| = 7\, p.7’1 + Л-С1 =°-
1а>0	1 r U-i dx U-j
Первое условие дает С1 = Т1, а второе —
pi (Ct ch al + С2 sh al) + ka (Cx sh al + C2 ch al) — 0,
или
(pt ch aZ + ka sh al) Cx-|- (p. sh al 4~ ka ch al) C2 = 0,
откуда
p _____T p.ch al 4- feash al
2“	1 p sh al + ka ch al *
и потому
~	™	.	и ch al 4- ka sh al .	\
T = 7j (ch ax — '	a—с—г sh ax .
1	\	p. sh al 4- ka ch al , /
Температуру Tg на правом конце стержня получим, если
в этой формуле положим x==Z:
~ 'г I 1 pchaZ+^shaZ .	~ ka
2	х\	р. sh al 4- ka ch al )	1 pshaZ + kazhal
Вычислим количество тепла, отдаваемое стержнем в тече-
ние единицы времени. Очевидно, оно равно тому количеству
тепла, которое пройдет за это время через начальное сече- 1
ние стержня х = 0, а именно:
Qo = — Ла-Cl = Лаа(7\ —T0)th а/.	4
ах
Произведем числовой расчет для решения следующей
задачи.
Задача 16. В подшипнике вала установившаяся тем-
пература конца вала, где находится подшипник, превышает
j
13]	НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ	169
температуру воздуха на 60° С. Вычислить часовое количество
тепла, отводимого вдоль вала, если длина вала /=1 м,
диаметр сечения вала d = 6 см, так что а = 0,0028 м2,
р = 0,189 м. Кроме того, известно, что
л кал	, гл кал
и = 6———------ a k = 50----------.
г • С • час	м • °C • час
Решение. По формуле а = V^p/ka находим в нашем
случае а = 2,85—, и искомое количество тепла
Q = 50 • 0,0028 • 2,85 • 60 • 0,9933 « 24 кал^ас.
Задача о распределении температуры в стержне значи-
тельно упростится, если предположить, что стержень полу-
ограниченный, т. е. имеет один конец, например, левый
х = 0, а вправо простирается в бесконечность. В этом слу-
чае общее решение дифференциального уравнения
удобно взять в форме
Т — Tq = Cteax + C2e~aa>t
а произвольные постоянные Сх и С2 можно определить из
граничных условий 7'|aJ_0 = 7'1 и Т|ш=со = Т0.
Из второго условия заключаем, что Сх = 0. В самом
деле, С2е~ах — 0 при х = оо й любом множителе С2; следо-
вательно, необходимо, чтобы при х = оо и С1еаа> = 0, а это
возможно только при Сх = 0. Обращаясь к первому условию,
находим С2 = Т\— TQ.
Итак, частное решение будет иметь вид
Г—Т0 = (Л —То)^.
Полученный результат можно использовать при решении
следующей задачи.
Задача 17. У двух длинных круглых стержней, из
которых один несколько толще другого, на одном конце
поддерживается температура Tt. Оба стержня сделаны из
одного и того же материала и оба отдают часть тепла
170 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. III
в окружающий воздух постоянной температуры То. Какой
из них будет теплее на расстоянии единицы длины от
нагретого конца?
Решение. На основании предыдущего имеем для более
тонкого стержня закон распределения температуры
Т(1) — То = (7\ — То) е~а^,
где
(периметр сечения стержня pt = 2rcrf, площадь сечения
о1 = кг2, где rt — радиус), а для более толстого стержня
Т(2) — TQ = (Tl — TQ)e-a^t где а2 = У2р/1гг2 (г2 — радиус
сечения толстого стержня).
Возьмем отношение
• Tq _ (at-a2) оо
T^-Tq
и положим в нем х = 1, одновременно заменив и а2 их
выражениями через i\ и г2.
Тогда
Н2> — Tq
T^—Tq
1 X 1/ Уга -V
Vr2 / ---g к Угхг2
Так как r2 > rv то Vr2-Vгх > 0, и показатель степени
в правой части положительный. Отсюда следует, что правая
часть больше единицы; значит,
Z(2)—7~о	.
Г(1> —
ИЛИ
yi(2) > 7^(1)
т. е. на расстоянии единицы от нагретого конца темпера-
тура более толстого стержня выше температуры более
тонкого.
Ионизация газа. Задача 18. При ионизирующем дей-
ствии постоянного излучения в газовой среде за одну
секунду образуется q положительных и столько же отрица-
тельных ионов в данном объеме газа. Вследствие того что
13]
НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ	171
положительные и отрицательные ионы снова соединяются
между собой (рекомбинируют), количество их убывает.
Принимая, что из общего числа п положительных ионов
в каждую секунду рекомбинирует часть в количестве, про-
порциональном п2 (коэффициент пропорциональности а за-
висит от природы и состояния газа), найти зависимость
между количеством ионов п и временем /.
Решение. Составляем дифференциальное уравнение
процесса ионизации; согласно условию задачи:
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися пере-
менными. Разделение переменных приводит его к виду
-——-------\-dt = O.
а
Общий интеграл этого уравнения:
Arth j/*= Уaq t-\-C
откуда
или
Так как п = 0 при t — 0, то С = 0, и частное решение,
определяющее искомую зависимость числа ионов п от
времени t, принимает вид
« = у th(/af t).
Диффузия, сопровождаемая химической реакцией.
Задача 19. При поглощении газа раствором процесс диф-
фузии газа в раствор происходит стационарно и сопрово-
ждается химической реакцией, скорость которой пропор-
циональна концентрации растворенного в жидкости газа,
172 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Щ
а скорость диффузии пропорциональна градиенту концен-
трации.
Найти концентрацию т растворенного в жидкости газа
как функцию толщины х диффузионного слоя, считая от
Газ Жидкость
dx-
плоскости раздела газа с жидко-
стью. Концентрация 7 и гра-
диент концентрации 7' в точках
раздела фаз х = 0 равны соот-
ветственно *f0 и *('; коэффи-
циент диффузии — D, коэффи-
циент скорости реакции—k (D и
k — постоянные).
Решение. Представим себе
диффузионный слой жидкости,
примыкающий к межфазовой
границе газ — жидкость (рис. 36).
В любой части плоскости, пер-
пендикулярной к направлению
диффузии, условия процесса оди-
наковы.
Скорость диффузии в точ-
ках плоскости, отстоящей от
Рис. 36.
плоскости раздела фаз
на расстоянии х, равна —
знак минус берется потому, что концентрация уменьшается
в направлении диффузионного потока. За время dt коли-
чество газа, продиффундировавш^го через единичную пло-
щадку, равно —dtt а через границу элементарного
ах
слоя, отстоящего от плоскости раздела фаз на x-\-dx\
—	dt —
ax b+do?
44 + d
dx b '
Поэтому количество диффундирующего газа, вступившего
в химическую реакцию, в элементарном объеме равно
Q = Dd (44 dt = D -^-dx dt.
\dx)	dx*
Это же количество газа может быть подсчитано и дру-
гим способом, как произведение скорости химической реак-
ции
13]	НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ	173
на объем элемента, равный dx (площадь его равна единице),
и на dt, т. е. Q — ky dx dt.
Приравнивая друг другу оба выражения для Q, соста-
вляем дифференциальное уравнение
О dx dt = £7 dx dt,
или	—a2Y = 0, где положено ~^- = a2.
Его общее решение (см. пример 1 п. 11):
7 = Ct ch ах + С2 sh ах.
Для определения Сх и С2 используем начальные условия:
d^ *
7 = 7О и — То ПРИ х = 0- Вычислим производную
~ = a (Сх sh ах + С2 ch ах)
и подставим в выражения 7 и их значения при х = О,
г
получим Ci = 7o и С2 = —, и следовательно, изменение кон-
центрации газа по толщине диффузионного слоя дается
формулой
/
7 = 70 ch ах 4- sh ах.
Частное решение можно получить и из других гранич-
ных условий, когда задана концентрация газа в пограничном
слое х = 0 и в слое х~1, расположенном на расстоя-
нии I от пограничного слоя: 7=70 при х = 0 и 7=71
при х = 1.
Тогда, подставляя в выражение 7 из общего решения
его значения при х — 0 и х = /, получим С1 = 70, как
раньше, и 7Х = 70 ch aZ + C2 sh al, откуда C2 —	—-•
174 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Щ
.а следовательно,
1	। Ti — То ch al .
7 — 7 ch ах +	---sh ax.
1	10	1 shaZ
Преобразовав правую часть, приведя ее к общему знамена-
телю и использовав формулу для гиперболического синуса
разности аргументов, получим:
 71 sh ах 4~ То sh д (Z — х)
sh al
Размножение бактерий. Задача 20. Предполагая, что
бактерии размножаются пропорционально их наличному коли-
честву, но в то же время вырабатывают яд, истребляющий их
пропорционально количеству яда и количеству бактерий,,
причем скорость выработки яда пропорциональна наличному
количеству бактерий, показать, что число бактерий N сначала
возрастает до некоторого наибольшего значения М, а затем
убывает до нуля и в момент времени t определяется фор-
мулой z
N =________,
Ch2^-
где время t измеряется от того момента, когда N = M.
Решение,
гласно условию
уравнений
Обозначим количество яда через х и, со-
задачи, составим систему дифференциальных
( dN t KT , KT
—— = kN — kxNx,
dt	1
dx , .,
dx
——соответственно скорость
(20)
размножения
O dN
Здесь -гг и
at
бактерий и скорость выработки яда, a kx и k2— коэффи-
циенты пропорциональности.
Разделив обе части первого уравнения системы (20)
на соответствующие части второго, получим дифференциаль-
ное уравнение с разделяющимися переменными:
dN	k
—— = -------
dx	k2	k2
13]
НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
175
откуда
N = ^-x — т^-х2 + С.
k2 2&2
Так как х = 0 при N = 0, то С = 0, и таким образом,
связь между числом бактерий и количеством яда устана-
вливается формулой
N = ах — Ьх2,
(21)
где положено
’k;—a' 2k2~b-
(22)
График функции N (х) представляет собой параболу, проходя-
щую через начало координат и через точку А , 0^, с осью
симметрии, параллельной оси ON, и с вершиной в точке
’ 4b)'
Следовательно,
^ = ^ = £=2^-	(23)
Найдем теперь зависимость количества бактерий от
времени t. Для этого преобразуем равенство (21) к виду
Ьх2 — ax-\-N = О
и разрешим его относительно х\ получим:
у — а
х ~ 2b “ V lb* b ‘
Это выражение х через N подставим в первое из уравне-
ний (20); будем иметь:
dt ~ ™ 2b	V 4b* b *
Принимая во внимание соотношения (22) и (23), замечаем
что первые два члена в правой части взаимно уничтожаются.
176 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ [ГЛ. Ш
а последний равен T±kN у 1 —Поэтому уравнение (24)
запишется так:
--г- = Т W V 1-----------ту
dt	г М
а это есть дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными. После разделения переменных оно приводится
к виду
dtf
= + kdt.
(25)
dN
_ вычислим с помощью под-
1-A
M
/ N
становки у 1 ~= у, из которой следует, что N =
=7И(1—у2), г dN = —2Mydy. Поэтому J=—2 I 2 —
= — 2 Arth .?+<?! = — 2 Arth у 1— +CP
0 < -г?- < 1, и следовательно, у = 1/ 1-----гг < 1 •
М	г Л4
так как
Таким образом, общий интеграл уравнения (25) будет
— 2 Arth 1—A_j_ci=±fet
Произвольную постоянную определим из начального
условия N=M при / = 0, которое дает ^ = 0, и, значит,
Частный интеграл уравнения (25) будет
2 Arth l/~ 1 —	= ± kt,
г М
или
18]	НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ	177
Возведем обе части последнего уравнения в квадрат
и разрешим его относительно Л[. Получим:
М = лЦ1—th2
ИЛИ
Упражнения
1.	Найти закон движения тела, свободно падающего без начальной
скорости, если полагать сопротивление воздуха пропорциональным
квадрату скорости, причем предельная скорость равна 75 м/сек.
„	75* , .9 ,
Отв. s =----In ch == t.
g 75
2.	Вес парашютиста вместе с парашютом равен 100 кГ. Пре-
дельная скорость равна 5 м/сек. Каков должен быть радиус R
парашюта?
Указание. Использовать эмпирическую формулу &2 = а -Ж,
Я
где № = ~ (т — масса падающего тела, с — коэффициент пропор-
циональности силы сопротивления квадрату скорости), 7—удельный
вес воздуха (в среднем 7 =х 1,225 кГ/м*), площадь проекции
тела на плоскость, перпендикулярную к направлению движения,
в м\ # —вес тела в кГ, а а — безразмерный эмпирический коэф-
фициент, который для парашюта принимается равным 0,664.
Отв. R = 3,9 м.
3.	Материальная точка массы т движется прямолинейно под
действием постоянной силы Р. Сопротивление среды пропорцио-
нально квадрату скорости (коэффициент пропорциональности k > 0).
Найти закон движения, если в начальный момент времени путь
и скорость равны нулю.
~ т t , VkP .
Отв. s = — In ch ~---t.
k m
4.	Материальная точка массы m отталкивается от центра
с силой, пропорциональной расстоянию до этого центра (коэффи-
циент пропорциональности т№). В начальный момент времени
точка находится на расстоянии а от центра, а скорость перпенди-
кулярна к прямой, соединяющей начальное положение с центром,
и равна t/0. Найти уравнения движения и траекторию точки.
Отв. х == a ch kt, у = — sh kt, т. е. ( v \ъ = 1 (гипеРб°ла)
(т)
178 ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ (ГЛ. Ш
5.	На материальную точку массы т параллельно оси Оу в no-
о.	та2 о
ложительном направлении действует сила, равная —У- В началь-
ный момент времени х » 0, у = Ь, = а, ~~ = 0. Найти урав-
нения движения и траекторию точки.
Отв. х = at, у = ch ~ Z; у = b ch 4- (цепная линия).
о	b
6.	Найти уравнения движения материальной точки массы т,
отталкиваемой силой, пропорциональной расстоянию (коэффициент
пропорциональности т№) от центра, который движется равномерно
по оси Оу по закону у = at. В начальный момент времени х = а,
, dx _ dy ,
y = 6’^F = °’-^ = ft6 + a-
Отв. x = achkt, у = 6<ch kt + sh kt) + at.
7.	Найти уравнения движения материальной точки массы т,
движущейся под действием двух сил, из которых одна, пропор-
циональная ординате у (с коэффициентом пропорциональности mk2),
притягивает точку по перпендикуляру к оси Ох, а другая, пропор-
циональная абсциссе х (с коэффициентом пропорциональности тр2),
отталкивает ее по перпендикуляру к оси Оу. Движение начинается
от точки А (а, Ь) при нулевой начальной скорости.
Отв. х = a cos kt, у — b ch pt.
8.	Решить задачу 5 (см. стр. 146) при условии, что а =	,
и дополнительно определить движение цепочки после ее соскаль-
зывания со стола.
Отв.	J-in(2 + /3). При t > Т цепочка будет дви-
гаться по закону s==/-|“ —(t — Т) + (t — Г)2.
9.	Узкая длинная трубка образует с вертикальной осью
постоянный угол 45° и вращается вокруг нее с постоянной ско-
ростью со. Внутри трубки находится шарик М с массой ш. Пре-
небрегая трением, найти закон относительного движения шарика,
если в начальный момент времени шарик находится на расстоянии а
от оси и его скорость относительно трубки равна нулю. х
Отв. г= (а----\ ch 1 + -£ V-.
\ со2 / у 2	о>2
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица 1
Показательные и гиперболические функции
X	е*	х е	sh х	ch х	th х
0,00	1,00000	1,00000	0,00000	1,00000	0,00000
01	1,01005	0,99005	0,01000	1,00005	0,01000
02	1,02020	0,98020	0,02000	1,00020	0,02000
03	1,03045	0,97045	0,03000	1,00045	0,02999
04	1,04081	0,96079	0,04001	1,00080	0,03998
05	1,05127	0,95123	0,05002	1,00125	0,04996
06	1,06184	0,94176	0,06004	1,00180	0,05993
07	1,07251	0,93239	0,07006	1,00245	0,06989
08	1,08329	0,92312	0,08009	1,00320	0,07983
09	1,09417	0,91393	0,09012	1,00405	0,08976
0,10	1,10517	0,90484	0,10017	1,00500	6,09967
11	1,11628	0,89583	0,11022	1,00606	0,10956
12	1,12750	0,88692	0,12029	1,00721	0,11943
13	1,13883	0,87810	0,13037	1,00846	0,12927
14	1,15027	0,86936	0,14046	1,00982	0,13909
15	1,16183	0,86071	0,15056	1,01127	0,14889
16	1,17351	.Д85214	0,16068	1,01283	0,15865
17	1,18530	(£84366	0,17082	1,01448	0,16838
18	1,19722	0,83527	0,18097	1,01624	0,17808
19	1,20925	0,82696	0,19115	1,01810	0,18775
0,20	1,22140	0,81873/	0,20134	1,02007	0,19738
21	1,23368 ,	0,81058	0,21155	1,02213	0,20697
22	1,24608	0,80252	0,22178	1,02430	0,21652
23	1,25860	0,79453	0,23203	1,02657	0,22603
24	1,27125	0,78663	0,24231	1,02894	0,23550
25	1,28403	0,77880	0,25261	1,03141	0,24492
26	1,29693	0,77105	0,26294	1,03399	0,25430
27	1,30996	0,76338	0,27329	1,03667	0,26362
28	1,32313	0,75578	0,28367	1,03946	0,27291
29	1,33643	0,74826	0,29408	1,04235	0,28213
180
ПРИЛОЖЕНИЯ
Продолжение табл. 1
X	ех	е-х	sh х	ch £	th х
0,30	1,34986	0,74082	0,30452	1,04534	0,29131
31	1,36343	0,73345	0,31499	1,04844	0,30044
32	1,37713	0,72615	0,32549	1,05164	0,30951
33	1,39097	0,71892	0,33602	1,05495	0,31852
34	1,40495	0,71177	0,34659	1,05836	0,32748
35	1,41907	0,70469	0,35719	1,06188	0,33638
36	1,43333	0,69768	0,36783	1,06550	0,34521
37	1,44773	, 0,69073	0,37850	1,06923	0,35399
38	1,46228	0,68386	0,38921	1,07307	0,36271
39	1,47698	0,67706	0,39996	1,07702	0,37136
0,40	1,49182	0,67032	0,41075	1,08107	0,37995
41	1,50682	0,66365	0,42158	1,08523	0,38847
42	1,52196	0,65705	0,43246	1,08950	0,39693
43	1,53726	0,65051	0,44337	1,09388	0,40532
44	1,55271	0,64404	0,45434	1,09837	0,41364
45	1,56831	0,63763	0,46534	1,10297	0,42190
46	1,58407	0,63128	0,47640	1,10768	0,43008
47	1,59999	0,62500	0,48750	1,11250	0,43820
48	1,61607	0,61878	0,49865	1,11743	0,44624
49	1,63232	0,61263	0,50984	1,12247	0,45422
0,50	1,64872	0,60653	0,52110	1,12763	0,46212
51	1,66529	0,60050	0,53240	1,13289	0,46995
52	1,68203	0,59452	0,54375	1,13827	0,47770
53	1,69893	0,58860	0,55516	1,14377	0,48538
54	1,71601	0,58275	0,56663	1,14938	0,49299
55	1,73325	0,57695	0,57815	1,15510	0,50052
56	1,75067	0,57121	0,58973	1,16094	0,50798
57	1,76827	0,56553	0,60137	1,16690	0,51536
58	1,78604	0,55990	0,61307	1,17297	0,52267
59	1,80399	0,55433	0,62483	1,17916	0,52990
0,60	1,82212	0,54881	0,63665	1,18547	0,53705
61	1,84043	0,54335	0,64854	1,19189	0,54413
62	1,85893	0,53794	0,66049	1,19844	0,55113
63	1,87761	0,53259	0,67251	1,20510	0,55805
64	1,89648	0,52729	0,68459	1,21189	0,56490
65	1,91554	0,52205	0,69675	1,21879	0,57167
66	1,93479	0,51685	0,70897	1,22582	0,57836
67	1,95424	0,51171	0,72126	1,23297	0,58498
68	1,97388	0,50662	0,73363	1,24025	0,59152
69	1,99372	0,50158	0,74607	1,24765	‘ 0,59798
ПРИЛОЖЕНИЯ
181
Продолжение табл. 1
X	ех	е~х	sh х	ch х	th х
0,70	2,01375	0,49659	0,75858	1,25517	0,60437
71	2,03399	0,49164	0,77117	1,26282	0,61068
72	2,05443	0,48675	0,78384	1,27059	0,61691
73	2,07508	0,48191	0,79659	1,27849	0,62307
74	2,09594	0,47711	0,80941	1,28652	0,62915
75	2,11700	0,47237	0,82232	1,29468	0,63515
76	2,13828	0,46767	0,83530	1,30297	0,64108
77	2,15977	0,46301	0,84838	1,31139	0,64693
78	2,18147	0,45841	0,86153	1,31994	0,65271
79	2,20340	0,45384	0,87478	1,32862	0,65841
0,80	2,22554 ‘	0,44933	0,88811	1,33743	0,66404
81	2,24791	0,44486	0,90152	1,34638	. 0,66959
82	2,27050	0,44043	0,91503	1,35547	0,67507
83	2,29332	0,43605	0,92863	1,36468	0,68048
84	2,31637	0,43171	0,94233	1,37404	0,68581
85	2,33965	0,42741	0,95612	1,38353	0,69107
86	2,36316	0,42316	0,97000	1,39316	0,69626
87	> 2,38691	0,41895	0,98398	1,40293	0,70137
88	2,41090	0,41478	0,99806	1,41284	0,70642
89	2,43513	0,41066	1,01224	1,42289	0,71139
0,90	2,45960	0,40657	1,02652	1,43309	0,71630
91	2,48432	0,40252	1,04090	1,44342	0,72113
92	2,50929	0,39852	1,05539	1,45390	0,72590
93	2,53451	0,39455	1,06998	1,46453	0,73059
94	2,55998	0,39063	1,08468	1,47530	0,73522
95	2,58571 .	0,38674.	1,09948	1,48623	0,73978
96	2,61170	0,38289	1,11440	1,49729	0,74428
97	2,63794	0,37908	1,12943	1,50851	0,74870
98	2,66446	0,37531	1,14457	1,51988	0,75307
99	2,69123	0,37158	1,15983	1,53141	0,75736
1,00	2,71828	0,36788	1,17520	1,54308	0,76159
01	2,74560	0,36422	1,19069	1,55491	0,76576
02	2,77319	0,36059	1,20630	1,56689	0,76987
03	2,80107	0,35701	1,22203	1,57904	0,77391
04	2,82922	0,35345	1,23788	1,59134	0,77789
05	2,85765	0,34994	1,25386	1,60379	0,78181
06	, 2,88637	0,34646	1,26996	1,61641	0,78566
07	2,91538	0,34301	1,28619	1,62919	0,78946
08	2,94468	0,33960	1,30254	1,64214	0,79320
09	2,97427	0,33622	1,31903	1,65525	0,79688
13 Зак. 975. А. Р. Ямпольский
182
ПРИЛОЖЕНИЯ
Продолжение табл. 1
	ех	е-*	sh х	chx	th х
1,10	3,00417	.0,33287	1,33565	1,66852	0,80050
11	3,03436	0,32956	1,35240	1,68196	0,80406
12	3,06485	0,32628	1,36929	1,69557	0,80757
13	3,09566	0,32303	1,38631	1,70934	0,81102
14	3,12677	0,31982	1,40347	1,72329	0,81441
15	3,15819	0,31664	1,42078	1,73741	0,81775
16	3,18993	0,31349	1,43822	1,75171	0,82104
17	3,22199	0,31037	1,45581	1,76618	0,82427
18	3,25437	0,30728	1,47355	1,78083	0,82745
19	3,28708	0,30422	1,49143	1,79565	0,83058
1,20	3,32012	0,30119	1,50946	1,81066	0,83365
21	3,35348	0,29820	1,52764	1,82584	0,83668
22	3,38719	0,29523	1,54598	1,84121	0,83965
23	3,42123	0,29229	1,56447	1,85676	0,84258
24	3,45561	0,28938	1,58311	1,87250	0,84546
25	3,49034	0,28650	1,60192	1,88842	0,84828
26	3,52542	0,28365	1,62088	1,90454	0,85106
27	3,56085	0,28083	1,64001	1,92084	0,85380
28	' 3,59664	0,27804	1,65930	1,93734	0,85648
29	3,63279	0,27527	1,67876	1,95403	0,85913
1,30	3,66930	0,27253	1,69838	1,97091	0,86172
31	3,70617	0,26982	1,71818	1,98800	0,86428
32	3,74342	0,26714	1,73814	2,00528	0,86678
33	3,78104	0,26448	1,75828	2,02276	0,86925
34	3,81904	0,26185	1,77860	2,04044	0,87167
35	3,85743	0,25924	1,79909	2,05833	0,87405
36	3,89619	0,25666	1,81977	2,07643	0,87639
37.	3,93535	0.25411	1,84062	2,09473	0,87869
38	3,97490	0,25158	1,86166	2,11324	0,88095
39	4,01485	0,24908	1,88289	, 2,13196	0,88317
ПРИЛОЖЕНИЯ
183
Продолжение табл. 1
X	е®		sh х	ch х	th х
1,40	4,05520	0,24660	. 1,90430	2,15090	0,88535
41	4,09596	0,24414	1,92591	2,17005	0,88749
42	4,13712	0,24171	1,94770	2,18942	0,88960
43	4,17870	0,23931	1,96970	2,20900	0,89167
44	4,22070	0,23693	1,99188	2,22881	0,89370
45	4,26311	0,23457	2,01427	2,24884	0,89569
46	4,30596	0,23224	2,03686	2,26910	0,89765
47	4,34924	0,22993	2,05965	2,28958	0,89958
48	4,39295	0,22764	2,08265	2,31029	0,90147
49	4,43710	0,22537	2,10586	2,33123	0,90332
1,50	4,48169	0,22313	2,12928	2,35241	0,90515
51	4,52673	0,22091	2,15291	2,37382	0,90694
52	4,57223	0,21871	2,17676	2,39547	0,90870
53	4,61818	0,21654	2,20082	2,41736	0,91042
54	4,66459	0,21438	2,22510	2,43949	0,91212
55	4,71147	0,21225	2,24961	2,46186	0,91379
56	4,75882	0,21014	2,27434	2,48448 •	0,91542
57	4,80665	0,20805	2,29930	2,50735	0,91703
58	4,85496	0,20598	2,32449	2,53047	0,91860
59	4,90375	0,20393	2,34991	2,55384	0,92015
1,60	4,95303	0,20190	2,37557	2,57746	0,92167
70	5,47395	0,18268	2,64563	2,82832	0,93541
80	6,04965	0,16530	2,94217	3,10747	0,94681
90	6,68589	0,14957	3,26816	3,41773	0,95624
2,00	7,38906	0,13534	3,62686	3,762201	0,96403
10	8,16617	0,12246	4,02186	4,14431	0,97045
20	9,02501	0,11080	4,45711	4,56791	0,97574
30	9,97418	0,10026	, 4,93696	5,03722	0,98010
40	11,02318	0,09072	5,46623	5,55695	0,98367
50	12,18249	0/08208	6,05020	6,13229	0,98661
60	13,46374	0,07427	6,69473	6,76901	0,98903
70	14,87973	0,06721	7,40626	7,47347	0,99101
80	16,44465	0,06081	8,19192	8,25273	0,99263
90	18,17415	0,05502	9,05956	9,11458	0,99396
13*
184
ПРИЛОЖЕНИЯ
Продолжение табл. 1
X	ех	е~х	sh х	ch х	th х
3,00	20,08554	0,04979	10,01787	10,06766	0,99505
10	22,19795	0,04505	11,07645	11,12150	0,99595
20	24,53253	0,04076	12,24588	12,28665	0,99668
30	27,11264	0,03688	13,53788	13,57476	0,99728
40	29,96410	0,03337	14,96536	14,99874	0,99777
50	33,11545	0,03020	16,54263	16,57282	0,99818
60	36,59823	0,02732	18,28546	18,31278	0,99851
70	40,44730	0,02472	20,21129	20,23601	0,99878
80	44,70118	0,02237	22,33941	22,36178	0,99900
90	49,40245	0,02024	24,69110	24,71135	0,99918
4,00	54,59815	0,01832	27,28992	27,30823	0,99933
10	60,34029	0,01657	30,16186	30,17843	0,99945
20	66,68633	0,01500	33,33567	33,35066	0,99955
30	73,69979	0,01357	36,84311	36,85668	0,99963
40	81,45087	0,01228	40,71930	40,73157	0,99970
50	90,01713	0,01111	45,00301	45,01412	0,99975
60	99,48432	0,01005	49,73713	49,74718	0,99980
70	109,9472	0,00910	54,96904	54,97813	0,99983
80	121,5104	0,00823	60,75109	60,75932	0,99986
90	134,2898	0,00745	67,14117	67,14861	0,99989
5,00	148,4132	0,00674	74,20321	74,20995	0,99991
10	164,0219	0,00610	82,00791	82,01400	0,99993
20	181,2722	0,00552	90,63336	90,63888	0,99994
30	200,3368	0,00499	100,1659	100,1709	0,99995
40	221,4064	0,00452	110,7009	110,7055	0,99996
50	244,6919	0,00409	122,3439	122,3480	0,999.97
60	270,4264	0,00370	135,2114	135,2150	0,99997
70	298,8674	0,00335	149,4320	149,4354	0,99998
80	330,2996	0,00303	165,1483	165,1513	0,99998
90	365,0375	0,00274	182,5174	182,5201	0,99999
6,00	403,4288	0,00248	201,7132	201,7156	0,99999
30	544,5719	0»00184	272,2850	, 272,2869	0,99999
ПРИЛОЖЕНИЯ
185
Таблица 2
Показательные и гиперболические функции, гиперболическая
амплитуда
X	к	тс	shyx	chTx	thTx	, гс cth-^- х	2	и я — amph -=-х 7U	Z
0,0	1,0000	1,0000	0,00000	1,0000	0,0000	, оо	0,00000
0,1	1,1701	0,8546	0,15773	1,0124	0,1558	6,418	0,09959
0,2	1,3691	0,7304	0,3194	1.0498	0,3042	3,287	0,19679
0,3	1,6020	0,6242	0,4889	1,1131	0,4392	2,2769	0,2895
0,4	1,8745	0,5335	0,6705	1,2040	0,5569	1,7957	0,3760
0,5	2,1933	0,4559	0,8687	1,3246	0,6558	1,5249	0,4553
0,6	2,5663	0,3897	1,0883	1,4780	0,7364	1,3580	0,5269
0,7	3,003	0,3330	1,3349	1,6679	_ 0,8003	1,2495	0,5907
0,8	3,514	0,2846	1,6145	1,8991	0,8501	1,1763	0,6470
0,9	4,111	0,24324	1,9340	2,1772	0,8883	1,1258	0,6898
1,0	4,811	0,20788	2,3013	2,5092	0,9172	1,0903	0,7390
1,1	5,629	0,17766	2,726	2,903	0,9388	1,0652	0,7761
1,2	6,586	0,15184	3,217	3,369	0,9549	1,0472	0,8081
1,3	7,706	0,12976	3,788	3,918	0,9669	1,0§43	0,8357
1,4	9,017	0,11090	4,453	4,564	0.9757	1,0249	0,8594
1,5	10,551	0,09478	5,228	5,323	0,9822	1,0181	0,8797
1,6	12,345	0,08100	6,132	6,213	0,9870	1,0132	0,8971
1,7	14,445	0,06923	7,188	7,257	0,9905	1,0096	0,9120
1,8	16,902	0,05916	8,421	8,481	0,9930	1,0070	0,9248
1,9	19,777	0,05056	9,863	9,914	0,9949	1,0051	0,9357
2,0	23,141	0,04321	11,549	11,592	0,9963	1,0037	0,9450
186
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица 3
Десятичные логарифмы shx
(значения 1g увеличены на 10)
X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0		8,0000	ЗОН	4772	6022	6992	7784	8455	J9036	9548
0,1	9,0007	0423	0802	1152	1476	1777	2060	2325	2576	2814
0,2	9,3039	3254	3459	3656	3844	4025	4199	4366	4528	4685
0,3	9,4836	4983	5125	5264	5398	5529	5656	5781	5902	6020
0,4	9,6136	6249	6359	6468	6574	6678	6780	6880	6978	7074
0,5	9,7169	7262	7354	7444	7533	7620	7707	7791	7875	7958
0,6	9,8039	8119	8199	8277	8354	8431	8506	8581	8655	8728
0,7	9,8800	8872	8942	9012	9082	9150	9218	9286	9353	9419
0,8	9,9485	9550	9614	9678	9742	9805	9868	9930	9992	^ООЬЗ
0,9	10,0114	0174	0234	0294	0353	0412	0470	0529	0586	0644
1,0	10,0701	0758	0815	0871	0927	0982	1038	1093	1148	1203
1,1	10,1257	1311	1365	1419	1472	1525	1578	1631	1684	1736
1,2	10,1788	1840	1892	1944	1995	2046	2098	2148	2199	2250
1,3	10,2300	2351	2401	2451	2501	2551	2600	2650	2699	2748
1,4	10,2797	2846	2895	2944	2993	3041	3090	3138	3186	3234
1,5	10,3282	3330	3378	3426	3474	3521	3569	3616	3663	3711
1,6	10,3758	3805	3852	3899	3946	3992	4039	4086	4132	4179
1,7	10,4225	4272	4318	4364	4411	4457	4503	4549	4595	4641
1,8	10,4687	4733	4778	4824	4870	4915	4961	5007	5052	5098
1,9	10,5143	5188	5234	5279	5324	5370	541Й	5460	5505	5550
2,0	10,5595	5640	5685	5730	5775	5820	5865	5910	5955	6000
2,1	10,6044	6089	6134	6178	6223	6268	6312	6357	6401	6446
2,2	10,6491	6535	6580	6624	6668	6713	6757	6802	6846	6890
2,3	10,6935	6979	7023	7067	7112	7156	7200	7244	7289	7333
2,4	10,7377	7421	7465	7509	7553	7597	7642	7686	7730	7774
2,5	10,7818	7862	7906	7950	7994	8038	8082	8126	8169	8213
2,6	10,8257	8301	8345	8389	8433	8477	8521	8564	8608	8652
2,7	10,8696	8740	8784	8827	8871	8915	8959	9003	9046	90^0
2,8	10,9134	9178	9221	9265	9309	9353	9396	9440	9484	9527
ПРИЛОЖЕНИЯ
187
Продолжение табл» 3
X	0	1	2	3 1	4	5	6	7	8	9
2,9	10,9571	9615	9658	9702	9746	9789	9833	9877	9920	9964
3,0	11,0008	0051	0095	0139	0182	0226	0270	0313	0357	0400
3,1	11,0444	0488	0531	0575	0618	0662	0706	0749	0793	0836
3,2	11,0880	0923	0967	1011	1054	1098	1141	1185	1228	1272
3,3	11,1316	1359	1403	1446	1490	1533	1577	1620	1664	1707
3,4	11,1751	1794	1838	1881	1925	1968	2012	2056	2099	2143
3,5	11,2186	2230	2273	2317	2360	2404	2447	2491	2534	2578
3,6	11,2621	2665	2708	2752	2795	2839	2882	2925	2969	3012
3,7	11,3056	3099	3143	3186	3230	3273	3317	3360	3404	3447
3,8	11,3491	3534	3578	3621	3665	3708	3752	3795	3838	3882
3,9	11,3925	3969	4012	4056	4099	4143	4186	4230	4273	4317
4,0	11,4360	4403	4447	4490	4534	4527	4621	4664	4708	4751
4,1	11,4795	4838	4881	4925	4968	5012	5055	5099	5142	5186
4,2	11,5229	5273	5316	5359	5403	5446	5490	5533	5577	5620
4,3	11,5664	5707	5750	5794	5837	.588L	5924	5968	6011	6055
4,4	11,6098	6141	6185	6228	6272	6315	6359	6402	6446	6489
4,5	11,6532	6576	6619	6663	6706	6750	6793	6836	6880	6923
4,6	11,6967	7010	7054	7097	7141	7184	7227	7271	7314	7358
4,7	11,7401	7445	7488	7531	7575	7618	7662	7705	7749	7792
4,8	11,7836	7879	7922	7966	8009	8053	8096	8140	8183	8226
4,9	11,8270	8313	8357	8400	8444	8487	8530	8574	8617	8661
5,0	11,8704	8748	8791	8835	8878	8921	8965	9008	9052	9095
5,1	11,9139	9182	9225	9269	9312	9356	9399	9443	9486	9529
5,2	11,9573	9616	9660	9703	9747	3790	9833	9877	9920	9964
5,3	12,0007	0051	0094	0137	0181	0224	0268	0311	0355	0398
5,4	12,0442	0485	0528	0572	0615	0659	0702	0746	0789	0832
5,5	12,0876	0919	0963	1006.	1050	1093	1136	1180	1223	1267
5,6	12,1310	1354	1397	1440	1484	1527	1571	1614	1658	1701
5,7	12,1744	1788	1831	1875	1918	1962	2005	2048	2092	2135
5,8	12,2179	2222	2266	2309	2352	2396	2439	2483	2526	2570
5,9	12,2613	2656	2700	2743	2787	2830	2874	2917	2960	3004
188
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица 4
Десятичные логарифмы ch х
X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,0000	обоо	0001	0002	0003	0005	0008	ООП	0014	0018
0,1	0,0022	0026	0031	0037	0042	0049	0055	0062	0070	0078
0,2	0,0086	0095	0104	0114	0124	0134	0145	0156	0168	0180
0,3	0,0193	0205	0219	0232	0246	0261	0276	0291	0306	0322
0,4	0,0339	0355	0372	0390	0407	0426	0444	0463	0482	0502
0,5	0,0522	0542	0562	0583	0605	0626	0648	0670	0693	0716
0,6	0,0739	0762	0786	0810	0835	0859	0884	0910	0935	0961
0,7	0,0987	1013	1040	1067	1094	1122	1149	1177	1206	1234
0,8	0,1236	1292	1321	1350	1380	1410	1440	1470	1501	1532
0,9	0,1563	1594	1625	1&57	1689	1721	1753	1785	1818	1851
1,0	0,1884	1917	1950	1984	2018	2051	2086	2120	2154	2189
1,1	0,2223	2258	2293	2328	2364	2399	2435	2470	2506	2542
1,2	0,2578	2615	2651	2688	2724	2761	2798	2835	2872	2909
1,3	0,2947	2984	3022	3059	3097	3135	3173	3211	3249	3288
1,4	0,3326	3365	3403	3442	3481	3520	3559	3598	3637	3676
1,5	0,3715	3754	3794	3833	3873	3913	3952	3992	4032	4072
1,6	0,4112	4152	4192	4232	4273	4313	4353	4394	4434	4475
1,7	0,4515	4556	4597	4637	4678	4719	4760	4801	4842	4883
1,8	0,4924	4965	5006	5048	5089	5130	5172	5213	5254	5296
1,9	0,5337	5379	5421	5462	5504	5545	5587	5629	5671	5713
2,0	0,5754	5796	5838	5880	5922	5964'	6006	6048	6090	6132
2,1	0,6175	6217	6259	6301	6343	6386	6428	6470	6512	6555
2,2	0,6597	6640	6682	6724	6767	6809	6852	6894	6937	6979
2,3	0,7022	7064	7107	7150	7192	7235	7278	7320	7363	7406
2,4	0,7448	7491	7534	7577	7619	7662	7705	7748	7791	7833
2,5	0.7876	7919	7962	8005	8048	8091	8134	8176	8219	8262
2,6	0,8305	8348	8391	8434	8477	8520	8563	8606	8649	8692
2,7	0,8735	8778	8821	8864	8907	8951	8994	9037	9080	9123
2,8	0,9166	9209	9252	9295	9338	9382	9425	9468	9511	9554
2,9	0,9597	9641	9684	9727	9770	9813	9856	9900	9943	9986
ПРИЛОЖЕНИЯ
189
Продолжение табл. 4
X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
3,0	1,0029	0073	0116	0159	0202	1 0245	0289	0332	0375	0418
3,1	1,0462	0505	0548	0591	0635	> 0678	1721	0764	0808	0851
3,2	1,0984	0938	0981	1024	1067	' 1111	1154	1197	1241	1284
3,3	1,1327	1371	1414	1457	1501	1544	1587	1631	1674	1717
3,4	1,1761	1804	1847	1891	1934	1977	2021	2064	2107	2151
3,5	1,2194	2237	2281	2324	2367	2411	2454	2497	2541	2584
3,6	1,2628	2671	2714	2758	2801	2844	2888	2931	2975	3018
3,7	1,3061	3105	3148	3191	3235	3278	3322	3365	3408	3452
3,8	1,3495	3538	3582	3625	3669	3712	3755	3799	3842	3886
3,9	1,3929	3972	4016	4059	4103	4146	4189	4233	4276	4320
4,0	1,4363	4406	4450	4493	4537	4580	4623	4667	4710	4754
4,1	1,4797	4840	4884	2927	4971	5014	5057	5101	5144	5188
4,2	1,5231	5274	5318	5361	5405	5448	5492	5535	5578	5622
4,3	1,5665	5709	5752	5795	5839	5882	5926	5969	6012	6056
4,4	1,6099	6143	6186	6230	6273	6316	6360	6403	6447	6490
4,5	1,6533	6577	6620	6664	6707	6751	6794	6837	6881	6924
4,6	1,6968	7011	7055	7098	7141	7185	7228	7272	7315	7358
4,7	1,7402	7445	7489	7532	7576	7619	7662	7706	7749	7793 '
4,8	1,7836	7880	7923	7966	8010	8053	8097	8140	8184	8227 :
4,9	1,8270	8314	8357	8401	8444	8487	8531	8574	8618	8661
5,0	1,8705	8748	8791	8835	8878	8922	8965	9009	9052	9095
5,1	1,9139	9182	9226	9269	9313	9356	9399	9443	9486	9530
5,2	1,9573	9617	9660	9703	9747	9790	9843	9877	9921	9964
5,3	2,0007	0051	0094	0138	0181	0225	0268	0311	0355	0398
5,4	2,0442	0485	0529	0572	0615	0659	0702	0746	0789	0833
5,5	2,0876	0919	0963	1006	1050	1093	1137	1180	1223	1267
5,6	2,1310	1354	1397	1441	1484	1527	1571	1614	1658	1701
5,7	2,1745	1788	1831	1875	1Ш8	1962	2005	2049	2092	2135
5,8	2,2179	2222	2266	2300	2353	2396	2439	2483	2526	2570
5,9	2,2613	2657	2700	2743	2787	*2830	2874	2917	2961	3004
190
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица 5
Десятичные логарифмы thx
(значения 1g увеличены на 10)
X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	— оо	8,0000	ЗОЮ	4770	6018	6986	7776	8444	9022	9531
од	8,9986	9,0397	0771	1115	1433	1729	2004	2263	2506	2736
0,2	9,2953	3159	3355	3542	3720	3890	4053	4210	4360	4505
0,3	9,4644	4778	4907	5031	5152	5268	5381	5490	5596	5698
0,4	9,5797	5894	5987	6078	6166	6252	6336	6417	6496	6573
0,5	9,6648	6721	6792	6861	6928	6994	7058	7121	7182	7242
0,6	9,7300	7357	7413	7467	7520	7571	7622	7671	7720	7767
0,7	9,7813	7858	7902	7945	7988	8029	8069	8109	8147	8185
0,8	9,8222	8258	8293	8328	8362	8395	8428	8459	8491	8521
0,9	9,8551	8580	8609	8637	8664	8691	8717	8743	8768	8793
1,0	9,8817	8841	8864	8887	8909	8931	8952	8973	8994	9014
1,1	9,9034	9053	9072	9090	9108	9126	9144	9161	9177	9194
1,2	9,9210	9226	9241	9256	9271	9285	9300	9314	9327	9341
1,3	9,9354	9367	9379	9391	9404	9415	9427	9438	9450	9460
1,4	9,9471	9482	9492	9502	9512	9522	9531	9540	9550	9558
1,5	9,9567	9576	“9584	9592	9601	9608	9616	9624	9631	9639
1,6	9,9646	9653	9660	9666	9673	9680	9686	9692	9698	9704
1,7	9,9710	9716	9721	9727	9732	9738	9743	9748	9753	9758
1,8	9,9763	9767	9772	9776	9781	9785	9790	9794	9798	9802
1,9	9,9806	9810	9813	9817	9821	9824	9828	9831	9834	9838
2,0	9,9841	9844	9847	9850	9853	9856	9859	9862	9864	9867
2,1	9,9870	9872	9875	9877	9880	9882	9884	9887	9889	9891
2,2	9,9893	9895	9898	9900	9902	9904	9905	9907	9909	9911
2,3	9,9913	9914	9916	9918	9919	9921	9923	9924	9926	9927
2,4	9,9929	9930	9931	9933	9934	9935	9937	9938	9939	9940
2,5	9,9941	9943	9944	9945	9946	9947	9948	9949	9950	9951
2,6	9,9952	9953	9954	9955	9956	9957	9958	9958	9959	9960
2,7	9,9961	9962	9962	9963	9964	9995	9965	9966	9967	9967
2,8	9,9968	9969	9969	9970	9970	9971	9972	9972	9973	9973
ПРИЛОЖЕНИЯ
191
Таблица 6
Производные гиперболических и обратных гиперболических
функций,*)
1)	(sh ах)' = a ch ах;
2)	(ch ах)' = a sh ах;
3)(^)'вте;
4)	(cth ах)' =------гй---;
7 v 7 sh2 ах '
5)	(sch ах)' — — a sch ах th ах;
6)	(csch ах)' ~ — а csch ах cth ах;
7)	/Arsh —У =	.;
\ а/ Ух24~а2
8) ^Arch
Ю)
1
У х2 — л2
1
Ух2 — а2
(х2 < а2);
(х2 > а2);
11) Arsch=
а /*.хллх/
.......—	( Arsch — > 0, 0 < — < 1
х У а2 — х2 \	а	а
--а =- /Arsch — <0, 0< — <1
х У а2 — х2 \	а	а
а
----- :	яг .
х у х3 + й2
*) Таблицу основных производных см. на стр. 51.
192
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица 1
Интегралы от гиперболических и обратных гиперболических
функций *)
1)	/1	X 1 sh* х dx = sh х ch х — -у + С\
2)	\	X J ch2 х dx = sh х ch х 4~ -g- + С
3)	Г shn xdx = — shn“x x ch x —	/* shn“2 x dx\ J	n	nJ
4)	j* chnx dx = i chn~1 xsh x -|-	J chw“2xdx;
5)	f dx	. x . / —r— = In th + C; J shx	2 1 1
6)	f "cKT ~ arctg <sh x^ + c — 2arctg ex + C;
7)	Г dx	1	,1-n	,	n — 2(*dx	. / 	=	sh1 nxchx	/ 	— (n > 1); J shnx 1 — n	n — 1J shw 2x
8)	C dx	1 ,i_n ,	, n—2f dx . I 	—	ch1 wxshx-|	/ 	— (n > 1); J chn x n—i	n — \J chn 2x
9)	x dx = x — th x C;
10)	У* cth2 x dx = x — cth x + C\
И)	Гthnxdx==	—	+ f thw"2xdx; J	az — 1 J
12) ,	Г cthn x dx =	—	/ cthw“2 x dx; J	72 — 1	1 J
13)	1 sh ax sh bxdx= 9 , j_-tc sh (g + Z>) x — ~2(a-0 sh(a~fr)x+c (*2^2);
14)	/ ch ax ch bx dx =	sh (a + b) x + J	ца^Ъ) + 6>* + C
♦) Таблицу основных интегралов см. на стр. 52.
ПРИЛОЖЕНИЯ
193
15)	/ sh ах ch bx dx = тг7--\ , c ch (а Ц- 6) x 4~
J	2 (a +
+ 7(fl-g) ^<a-b)x+C	(a^b9-y.
16)	J* Arsh x dx = x Arsh x — У1 4~ -*2 + C;
17)	J* Arch x dx = x Arch x — Ух2— 1 -|- C;
18)	|Arth x dx = x Arth x + ~ In (1 — x2) 4~ C;
19)	j* Arcth x dx == x Arcth x—- In (x2 — 1) -|- C;
20) У x Arshxrfx = j[(2x24-l) Arshx —хУГ+х"2] + С;
21) j	1 x Arch x dx = -i- [(2x2 — 1) Arch x — хУх2 1] 4~ C;
22)	/ x sh ax dx = — x ch ax		 sh ax 4- C; 1	a	a2	’
23)	/ xchaxdx = — xshax	^-chax4-C; I	a	a2	‘ ’
24)	/ xn sh ax dx = — xn ch ax —— / xn~ichaxdx: f	a	a J
25)	1 xn ch ax dx = — xn sh ax—— / xn~1shaxdx\ I	a	a J	*
26)	1 sh ax sin bx dx = = ~2 У (a ch ax sin bx — b sh ax cos bx) 4~ C;
27)	ch ax cos bx dx == = ~9	(a sb ax cos bx 4- b ch ax sin bx) 4- C; a^ 4"
28)	sh ax cos bxdx = = ^7" Eq (a ch ax cos bx 4- b sh ax sin bx) 4- C; a^ 4“ bA	f \
29)	j* ch ax sin bx dx = = ~a2_j_fr2 (a sJ1 ax sin bx — b ch ax cos bx) 4- Ce
194
ПРИЛОЖЕНИЯ
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
Ar sh — dx = х Arsh — — V x2 4- a2 4- C;
a .a	1	1
Arch — dx =
a
x Arch ~ — У x2—a2 + C
xArch~ + Vrj2ZZ^ + c
(Arch4>0)
(Archf <0)
Arth-^ dx = x Arth ~ 4 у In (a2 — x2) + C;
j Arcth ~ dx = x Arcth ~ -|- у In (x2 — a2) 4- C;
/ *ArshTd* = (y + 4’)ArshT —	+
I xArch — dx =
V
_ (y-T)Archy-fV^5 + C (Arch£>o)
(?-?) Arch t +	+ C (Arch T < °)
\ Z тс /	t*	\	u /
/dx	, Л <x + a - . x — a\ ,
-r :—r— = cschl In ch —4-In ch —— ) 4 C =
cha4-chx \z 2	2 / 1
= 2 csch a arth ^th -y th уj 4- C
C----= 2 cosec a arctg (th tg 4*
J cos a + chx	6\	2 s 2 J 1
j th x dx = Inch x 4- C;
cth x dx = insh x 4- C.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Бронштейн И. Н. и Семендяев К. А., Справочник по
математике, Гостехиздат, 1957.
2.	Двайт Г. Б., Таблицы интегралов и другие математические
формулы, ГИИЛ, 1948.
3.	Лтьс терник Л. А., Кратчайшие линии. Вариационные задачи,
Гостехиздат, 1955.
4.	Р ы ж и к И. М. и Г р а д ш т е й н И. С., Таблицы интегралов
рядов, сумм и произведений, Гостехиздат, 1948.
5.	Ф и ш м а н Н. М., Комплексные числа, ряды и гиперболические
функции, ГТТИ, 1933.
6.	Шерватов В. Г., Гиперболические функции, Гостехиздат,
1954.
7.	Штаеркган И. Я., Гиперболические функции, ГТТИ, 1935.
8.	Ян к е Е. и Эм д е Ф., Таблицы функций с формулами и кри-
выми, Гостехиздат, 1948.
Авраам Рувимович Янполъский.
Гиперболические функции.
Редактор Ф. Л. Варпаховский.
Технический редактор С. Я. Ахламов
Корректор Л. С. Бакулова.
Сдано в набор 16/ХП 1959 г. Подписано к
печати 7/IV I960 г.. Бумага 84x108»/».
Физ. печ. л. 6,125. Условн. печ. л. 10,05.
Уч.-изд. л. 9,57. Тираж 17 000 экз. Т-01078.
Цена книги 3 руб. 90 коп. Заказ № 975.
Государственное издательство
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Типография № 2 им. Евг. Соколовой
УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.
Цена 3 р. 90 к.