;1





Ш4ИМИ11









' ря











Т 1

И34АКЛЬ€ТГО

ХАад<®В€К.<\О

У^КйГРС’ШЬч



Г. А. ПЕТРОВ

ГИДРАВЛИКА

ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ

(ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ С ИЗМЕНЕНИЕМ РАСХОДА

ВДОЛЬ ПУТИ)

4	,,'Гр	|

| К ЬиГС ГГ И,)Д

• 14' 1 .Л-/.1

ИЗДАТЕЛЬСТВО

ХАРЬКОВСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА им. А. М. ГОРЬКОГО

Харьков

1964
II 30
53?

В работе дается вывод основных уравнений
гидравлики переменной массы с подробным анали-
зом. Кроме того, рассмотрен ряд практических слу-
чаев применения гидравлики переменной массы
в области водоснабжения и гидротехники.

Книга предназначается для специалистов и
научных работников в области водоснабжения и
гидротехники. Может служить также пособием для
студентов строительных вузов при изучении соот-
ветствующих разделов гидравлики.

Ответственный редактор доц. Н. Н. Синявский.
ВВЕДЕНИЕ

Вопрос о движении жидкости с изменением расхода вдоль
пути или, иначе говоря, с переменной массой представляет не
только теоретический, но и практический интерес.

Из-за отсутствия достаточно надежных и проверенных экс-
периментальных и теоретических данных по этому вопросу при
решении практических задач обычно пользовались гидравличе-
скими зависимостями, выведенными для движения жидкости с
постоянным расходом. Так как зависимости гидравлики постоян-
ной массы не учитывают тех дополнительных явлений, которые
гозникают при изменении массы, то понятно, что и получав-
шиеся решения должны были давать значительные отклонения
от действительности.

Впервые на это обстоятельство обратил внимание проф. Н. Г. Ма-
лишевский. Производя в 1926 г. опыты с дырчатыми трубами,
он установил, что в конце трубы при движении с непрерывной
раздачей происходит восстановление пьезометрического напора.
Возникала настоятельная необходимость в получении более точ-
ных, пригодных для практических целей зависимостей, которые
учитывали бы и дополнительные явления, вызываемые измене-
нием массы вдоль пути.

Создателем теории движения переменной массы в теоретиче-
ской механике является проф. И. В. Мещерский, которому при-
надлежат не только постановка этого вопроса и вывод основных
уравнений, но и указания о многочисленных областях примене-
ния и решения ряда задач.

Работы проф. И. В. Мещерского «Динамика точки переменной
массы» (1897 г.) и «Уравнения движения точки переменной массы
в общем случае» (1904 г.) создали новый раздел теоретической
механики, на базе которого уже в советский период стала ус-
пешно развиваться ракетодинамика и гидравлика жидкости
переменной массы.

На основе уравнений, полученных проф. И. В. Мещерским,
в 1928 г. проф. В. И. Макавеевым впервые было выведено общее
уравнение движения жидкости переменной массы. Это уравнение
было использовано проф. В. М. Макавеевым для решения зада-
чи о гидравлическом прыжке.
В 1937 г. проф. я. Т. Ненько вывел уравнение движения
жидкости переменной массы для целого потока и применил его
для решения задачи по расчету дырчатых трубопроводов с не-
прерывной раздачей расхода по пути. Им же были установлены
критерии классификации трубопроводов по длине.

В том же году проф. И. М. Коновалов, исходя из закона
количества движения, получил уравнение движения жидкости
с переменным расходом и применил его при решении задач по
расчету движения жидкости в трубопроводах и каналах.

В 1940 г. проф. А. Н. Патрашев на основе учета изменения
удельной энергии при движении жидкости в каналах получил
уравнение движения жидкости переменной массы.

Вопросы движения жидкости переменной массы рассматрива-
лись также рядом других авторов.

Трудами советских ученых создан новый раздел гидравлики—
«Гидравлика жидкости переменной массы», расчетные уравнения
которой находят широкое применение при решении практических
задач бурно растущего гидротехнического строительства в СССР.

В книге рассматриваются некоторые случаи установившегося
движения жидкости переменной массы и дается вывод основных
уравнений движения.
ГЛАВА I

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

С ПЕРЕМЕННОЙ ВДОЛЬ ПУТИ МАССОЙ

§ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ

Основоположником теории движения тела переменной массы
является проф. И. В. Мещерский, который опубликовал в 1897 г.
свою первую работу, посвященную данному вопросу [1].

В этой работе не только подробно рассматриваются раз-
личные случаи движения тела переменной массы, но и даются
некоторые случаи их практического применения. В 1904 г. проф.
II. В. Мещерским была опубликована новая работа [2], в которой
он развил исследования, начатые им в предыдущем труде.

Хотя зависимости, полученные в указанных работах, долгое
время не находили применения в гидравлике, однако создали
георетические основы для решения соответствующих вопросов,
возникающих при движении жидкостей.

При выводе основных уравнений движения тела переменной
массы проф. И. В. Мещерским принимаются следующие допу-
щения: 1) тело движется свободно и поступательно; 2) масса тела
не зависит от скорости; 3) действующие силы приводятся к од-
ной равнодействующей; 4) поступательное движение тела вполне
определяется движением одной из точек, принадлежащих телу
при его движении; 5) изменение массы тела происходит непрерывно;
(>) случай равенства присоединяющихся и отделяющихся масс
исключается.

При движении тела к нему непрерывно присоединяются или
о г него отделяются отдельные частицы, благодаря чему происхо-
дит беспрерывное изменение массы движущегося тела.

Частицы, вызывающие изменение массы движущегося тела,
носят название изменяющих масс, а масса, подвергающаяся
беспрерывному воздействию изменяющих масс, называется из-
меняемой массой.

В общем случае скорости точек изменяющих масс отличаются
но величине и направлению от скоростей тех точек тела, с ко-
Торыми они в момент присоединения или отделения совпадают.
В этом случае при изменении массы тело испытывает удары со
стороны изменяющих масс. Если масса изменяется непрерывно,
то действие таких ударов на тело может быть заменено некото-
рой системой непрерывно действующих сил, приложенных к телу;
эти силы будем называть «прибавочными силами».

При составлении уравнений движения тела переменной массы
можно воспользоваться обычными уравнениями движения тела
постоянной массы

’ (1)

т^=7- )
где т — масса;

X, У и 2— соответствующие проекции равнодействующей сил,
приложенных к телу.

Для возможности применения уравнений (1) весь период вре-
мени разделим на элементарные промежутки А^, которые могут
быть сделаны сколь угодно малыми.

При малых М можно без большой погрешности принять, что
изменение массы происходит как бы толчками только в конце
этих промежутков времени.

При бесконечно малых промежутках А/ изменения массы будут
происходить непрерывно.

Таким образом, в течение элементарного промежутка времени
А/ движение может считаться происходящим при постоянной
массе и для этого случая могут применяться уравнения (1) при
условии присоединения к заданным силам «прибавочных сил».

Нашей задачей является установление выражений для этих
прибавочных сил. При этом мы исключаем из рассмотрения слу-
чай, когда скорости изменяющих и изменяемых масс одинаковы,
так как в этом случае удар не произойдет и по И. В. Мещер-
скому«... все формулы динамики, которые относятся к движению
свободной точки постоянной массы, после того, как мы положим
в них массу точки, равную единице, и силу приложенную заме-
ним данной силой, рассчитанной на единицу массы, будут иметь
место и для движения свободной точки переменной массы...».

Прибавочную силу определим из зависимостей, применяемых
в теории удара и указывающих, что количество движения центра
инерции системы, состоящей из тела и изменяющих масс, за
бесконечно малый промежуток времени А/ не изменяется.

Допустим, что тело в начальный момент времени имеет массу
т; масса, присоединяющаяся за промежуток времени А/, будет
Ат1? а масса, отделяющаяся за тот же промежуток време-
ни — А/л2.
Допустим, что проекции скорости тела на координатные оси
в начальный момент времени будут х', у\ г'; те $<е проекции
к концу промежутка времени Д/ после присоединения и отделения
।вменяющих масс будут х/, у[, г*.

Проекции скоростей изменяющих масс \т1 до присоедине-
ния— 04,	74 и проекции скоростей масс Дт2 после отделе-

ния—а2, Р2, Тг-

При мгновенном присоединении к телу или отделении от него
вменяющей массы должен произойти удар, и так как при ударе
действующие силы суть внутренние силы, то должны в этом
случае иметь место равенства количеств движений или их про-
екций на координатные оси.

Масса тела в конце промежутка Д/ после присоединения и
отделения изменяющих масс будет т + Дт1— Дт2 и тогда на
основании ранее сказанного

(т + Дтх — Д/п2) х[ = тх' + Дт^ — Дт2а2;

(т + Дтт — Дт2) у{ = ту' +	—	Дт2р2;

(т + Дтх — Дт2) г1 = тг' + Дт1Т1 — Д^2Т2-

Эти уравнения можно представить в таком виде:

т (хх — х') = Дтг (04 — хх) — Дт2 (а2 — х*);

т — у') = Д— у[) — Дт2 (р2 — у[);

т(х[ — г') = ктг	—	(у2 —

Разделив обе части полученных уравнений на Д/, имеем:

”	- Л' > - т (₽> - й

В последних уравнениях при уменьшении М в пределе будем
иметь:

=^'. Ит(М =^;Нт(М =^.

\ А/ /д/->о (И \ А/ /дв>о а/ \ А/ /д?->о а1

Если теперь отбросить индекс 1 при хх, у[ и г/, то написан-
ные выше уравнения примут вид:

т  л = ЧГ - х) —аГ - х ) ’

^гФ1-у)-^г(р2-у);
Левые части этих уравнений представляют произведение массы
на ускорение, т. е. представляют силу, которая, как видно из
выражений, стоящих в правой части этих уравнений, является
результатом воздействия масс на тело, или, иначе говоря, это
и есть выражение для проекции прибавочных сил на координат-
ные оси.

Прибавляя полученные выражения прибавочных сил к зада-
ваемым силам в правой части уравнений (1), получим уравнения
движения тела переменной массы в самом общем виде:

с12х  012	= х+ “-V <“	х')	(1т2 , а< (а2	
&у  (И2		У’}	^^2 /п (11 ^2	—у')-,
(12г  (Н2		— г') —	(1т2 .  -аГ^2	-г').

Обозначая массу тела в начальный момент времени т0 и при-
нимая во внимание, что т = то + т1—т2\ (1т = (1(т1 — т2) и
(12х йх'	/ох	,

, уравнения (2) представим в таком виде1:

а (тх')	„ йтг ат2

~ А + аГ®1-

(ту') __ „ . п (1т2 г.

(3)

(тх')____ у (1тг б/т2

а( ~ + сП И 5/

Если допустить, что одновременное присоединение и отделе-
ние материальных частиц происходить не может, а происходит
либо присоединение, либо отделение частиц, то уравнения (2) и
(3) будут написаны так:

^.-у + ^№~уУ>

Л2?	„ . (1т ,

та^ = 2' + аТ^~г^ ।

(1 (тх')	„	йт

—аГ~ А + оГа’

а (т^) _ у Лт о,
а/ х <н р’ >

а (тг') _ 7 ,<1т
а “ л + л * • ,

(2а)

(За)

1 т\ и т2 здесь
меняющие массы

по-прежнему присоединяемая и отделяемая массы — из-
Ур.пик'ппя (2а) и (За) действительны как для случая присо-
НПП111В1, мк и для случая отделения материальных частиц.

I I I случая присоединения частиц (1т = с1т1, а для случая
। н кипя (1п1	—йт2. Такое положение вытекает из следующих

Н|нн |ы\ соображений:

I) для случая присоединения частиц

/п = ш0 + и д,т — (1тг\

) (ля случая отнятия частиц

т = т0 — т2 и йт ~ —<1т2.

ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
ЖИДКОСТИ С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ

I вывод. Воспользуемся уравнением (3), которое позволяет
чсч и. наиболее общий случай, когда одновременно происходит
и 1>1!Н‘лспие и присоединение частиц к основной струе.

1(влагая, что движение жидкости плавно изменяющееся, можно
п|н н( о речь центробежными силами, а также составляющими ско-
р-н кн в плоскостях живых сечений струи; тогда система урав-
|ц 11П11 (3) заменится одним уравнением

(ЦМи) р I	.

। к* 01 и 02 — проекции скоростей, присоединяемых и отделяемых
частиц на направление скорости основной струи;

Р — проекция равнодействующей внешних сил на то же
направление.

I !окажем, как можно перейти от уравнений (3) к одному
уравнению (4).

Представим уравнения (3) в следующем виде

(1 (ти) хг . йтх йтъ

~аГ ~ х + ~аГ Й1 “ ~аГа2’

(1 (те) _ ул I о	р

~1Г “ 1	(11 Р1

а (ты) ___ 7 . &ГЧ _ ^2
(11 ”	(11 11	сП Т2*

В этих уравнениях и, а, ш составляющие скорости по осям
координат.

Умножив все члены последних уравнений соответственно на
г/х, йу, йг и сложив полученные выражения, получим

б?(иш)^ +	-= X йх + V (1у + 2(1?+

+ (1т.	+ Т1^) — ^2 (а2^ +	+ Ъ^)-
,	/7	</.-

м< н 1я п у/ соответственно на и, V и ау, перепишем
пт пг'инг уравнение в следующем виде:

///.мй/ | и' <1т | о/пг/о + V2 дт 4~	+ хю2дт ~ X дх +

| ) ду | / дх | б/шх (04& 4~ рху +	— дт2 (у2и + $%у + у2ш),

пли иначе

Л1 (и ди | V (IV + ау &у) + (и2 + V2 + ^2) дт — X дх + У ду + 2 д2 +
+ <1т1 (а^и +	+ тгш) — йт2 (а2и + р2и + у2к>).

Обозначим среднюю скорость потока через щ средние скорости
присоединяющихся частиц через и средние скорости отделяю-
щихся частиц через о2, тогда

4- у2 + ш2 = г?2 и и йц + у йу + и? й .

Кроме того, и = V соз (у, х); V = V соз (V, у); ш = V соз (у, г);

ах = V1 соз (у19 х); щ соз (ух, у);	=7^ соз (Б1, г);

а2 = V2 соз (а2, х); р2 = V2 соз (у2, у); у2 = V2 соз (а2, г).

Подставляя указанные обозначения, получим:

/ж/	+ V2 дт = X дх + У ду + 2 дг +

+ V • дт1 [соз (у, х) соз (уг, х) + соз (у, у) соз (уг, у) +

+ соз (у, г) соз (у1У г)] — V V2 дт2 [соз (у, х) соз (у2х) +

+ соз (у, у) соз (у2, у) + соз (у, г) соз (г’2, г)]

или, так как суммы произведений в квадратных скобках соот-
ветственно представляют соз (у, V1) и соз {у, V2), можем напи-
сать:

тл дV + V2 дт = X дх + У ду + 2 д2 + V V1 дтл соз (у^ г\) —

— VV2 дт2соз (у, V2)9

но щ соз (у, есть проекция скорости присоединяющихся час-
тиц на направление скорости основного потока, которую обо-
значим через 01? а г72соз(у, V?) такая же проекция скорости от-
деляющихся масс, которую обозначим через 62, тогда напишем

тV дV + V2 дт = X дх -у У ду 2 д2 -у V^1 дт± — х?02 дт2.

Но

X == Го соз (^о, х); У = Ро соз (Го, у); 2 = Р$ соз (Го, г)
и

дх ~ дз соз ($, х); ду — д§ соз ($, у) и дх = дз соз ($, г),

где Р& — равнодействующая внешних сил, действующих на выде-
ленный объем жидкости, а дз отрезок пути.
11.1 основании сказанного можно последнее уравнение пере-
>ни ив в следующем виде:

 1,1 I о2с1т — Ео (15 [соз (г0, х) соз (8, х)+соз(Г0, у) соз (з, у) +

+ соз (Ро, г) соз (в, г)] +	— г?62 длп2

। и)

//ш дх) + ^(1т — Ео й5 соз (Го, з) +	йгп2.

1’.нделим все члены последнего уравнения на V д.1

а(тЕ) _рпаз ,Р «А1 ^1а

аГ~ V лсозИо,«) + <и 01 и °2’

(15

Гак как^^г?, а Го соз (/%,$) равно Р— проекции равнодей-
1вук)|цсй на ось движения, то получим окончательно

(1 (ти) _ г, . (1тх р б//П2л

должно равняться и —

/

Рис. 1.

1 и 2—2.

Гак как мы при выводах пренебрегаем составляющими скоро-
к п в плоскости живых сечений, то V
н не гвительной скорости струйки и мы,
м к им образом, переходим к уравне-
нию (4).

Применим уравнение (4) к струйке
кпакости, движущейся с изменением
мссы вдоль пути. Прежде всего опре-
и'лим силу Р. Для этой цели в безгра-
ничной массе движущейся жидкости
выделим в направлении оси движения
ио гок произвольного поперечного сечения
। очечного размера (рис. 1).

Из этого потока двумя сечениями 1-

। оси движения и расположенными на бесконечно близком рас-

I юянии йх одно от другого, вырежем объем, равный	(1х,

1де	— средняя площадь поперечного сечения выделен-

ного отсека (рис. 1). Выпишем проекции на ось движения внешних
сил, действующих на выделенный отсек.

1.	Сумма проекций сил гидродинамического давления в сече-
ниях 1—1 и 2—2 равна рш — (р йр) (со + йсо). Кроме того, силы
। идродинамического давления действуют еще и по боковой по-
верхности выделенного отсека. Составляющая этих сил вдоль оси
движения может быть принята равной произведению полусуммы
ищродинамических давлений, действующих в крайних сечениях
на площадь йш, т. е. на разность площадей в сечениях 1—1 и
” ? 11.1 основании сказанного сумма проекций всех сил гидро-
ишамического давления, действующих на боковую поверхность^

Оу щг равна

Сумма же проекций всех сил давления, действующих на поверх-
ность выделенного объема, равна

рю — (р 4~ ар) (о + а<о) + ^р + ~ ао) = — (<о + ~ а<о1 ар.

2.	Проекция сил тяжести на ту же ось равна

7	+ 4" ^у	81п а = — 7	йсоу аг,

так как

а%81па = —аг.

3.	Проекция сил трения будет равна

—т(х

здесь ^Х + —	— среднее значение смоченного периметра для

рассматриваемого отсека;

т — сила трения, приходящаяся на единицу площади.

Суммируя проекции всех действующих на выделенный объем
сил на ось движения, получим

°) + у — 7 + 4 т +4" ^х'

Если эту сумму отнесем к единице массы и разделим получен-
ное выражение на массу рассматриваемого отсека, равную
Д-(<о+4-^^а%, то получим

,	. х+4-ах

(1р   (1г	ъ	1 2

(1х у	(1х	у	, 1 ,

1 и) + ~

(1 I р ,	\ т

1

7? ’

имея в ввиду, что — •

напишем окончательно:

ё

(а)

Выражение (а), умноженное на массу рассматриваемого по-
тока, дает значение для силы Р9 входящей в уравнение (4).
/ (~
(

•I ним, входящие в уравнение (а), будут иметь следующие зна-
I IIII',I.

— отнесенная к единице массы сила, соответствующая
с? / р
градиенту давления

• отнесенная к единице массы сила тяжести, соответст-
д,г

вующая градиенту ;

/ч/ отнесенная к единице массы сила гидравлических сопро-
тивлений трения.

Применяя уравнение (4) к струйке жидкости, движущейся
и вменением расхода и имеющей бесконечно малое живое сече-
|ц|< для которого

Л42 — ~ и2 ^2 ~ у*

। । и ла Г равна выражению (а), умноженному на массу потока;

~(— и2~йО [—§+ г) —	4-

(И \ё / ё I \ 7	/	7

+	—62^(7«2Й(02)-	(б)

Полагая, что в поперечном сечении потока давления распре-
«• ।аю гея по законам гидростатики, и заменяя в последнем вы -
I । । <ч1ип действительные скорости и средними скоростями V,
Р н пространны полученное уравнение на весь поток, имеющий
। о|1(‘чные размеры. Выражение в скобках [^и2й<^ в левой части
уравнения (б) при переходе от струйки к целому потоку должно
гниг заменено выражением \-—и2й& или, переходя к средним
«7 ё
О)

♦ ю>ростям,

~и2 б/со
ё

= ап ~ Л
0 ё

== • (?.

Каким образом, при переходе

| н и	следует заменить

В правой части уравнения (б)

р иными скобками стоит выражение у

от струйки к целому потоку
через

в первом члене перед квад-

обозначающее, массу
рассматриваемой струйки, которое для целого потока должно

быть заменено через

Что же касается остальных

членов

®	> то при переходе от струйки

замене действительных скоростей средними

правой части вида
к целому потоку и
они заменяются вы-

ражениями вида

0 <н\ё

Введение в данном случае коэффициента а0' является естест-
венным, так как рассматриваемый член имеет размерность ко-
личества движения.

Справедливость такого преобразования члена	может

быть подтверждена следующими соображениями.

Как мы знаем, проекция скорости 6 может быть представлена
как псозр, где р — угол, составляемый направлением скорости
изменяющих масс и направлением скорости основного потока,
а как тогда

л (1 /7	, \	7 Г1ис1 (сЮ)

0 77 ~ “0) = — СОЗ В--------.

сИ\ё / ё г сП

(в)

Представим выражение й(пйС) в таком виде:

отсюда

и А (&0)	(10 (1и == с1(и йф),

и й (йр) = (I (и (10) — (10 (1и.

Подставляя последнее выражение в равенство (в), получим

6 ^7 и = — соз В
(И \ ё ! ё г

б/ {и (10) — аО (1и

Переходя к целому потоку и заменяя действительные скоро-
сти средними, правую часть последнего выражения представим
в следующем виде:

(1 (С и ао\ — (С асА(IV

7 П '<0	<0	7 п (1 («о V^) — О (к)

— СОЗ В---------з---------= -- СОЗ В -Х_о_5!—23-

ё Г	ё ‘	&

Так как нами рассматривается член, дающий величину про-
екции изменяющих масс на направление основного потока, при-
соединяемых или отделяемых в каком-то определенном сечении,
то корректив, учитывающий неравномерность распределения ско-
ростей в данном сечении а', может быть принят постоянным;
тогда

X сов В 4	— ® а° = X сов В +	—

ё р	ё р

_ X А	I	1)1

~ ё Р к	г

Пренебрегая членом О • йо • (%'— 1) по малости, получим

1СО5 ₽	_ а. X СО5 (=„«?_ а; 1 е %.

([ I у	I

Итак, члены вида 9 -д-Ду и ) при переходе к целому
и средним скоростям могут быть заменены членами вида

потоку

<9

На основании сказанного уравнение (б) для целого потока
может быть представлено в таком виде:

(5)

При переходе к целому потоку и средним скоростям мы ввели
коэффициент а0, являющийся коррективом, учитывающим нерав-
номерность распределения скорости по живому сечению для слу-
чая применения закона количеств движения; этот корректив при
переходе от сечения к сечению в общем случае должен изме-
няться. и 02—-соответственно присоединяемые и отнимаемые
расходы:

С = Он + 01 --(2%,

где Он — начальный расход, отсюда

^0 = ^(01 —02)-

Разделив обе части уравнения (5) на уО, приняв а0' — а0,
введя значения ^0, после простейших преобразований будем
иметь:

а0 Лу а ( Р .	\	. У бйо . а0 (V — 01) С?Р1 |

(11 ‘ с1х \ 7 ’	)	‘ ёО.

! «о (62— У) ^2 _ п

(И ~ ’

(6)
Так как о, (?2 и а0 в общем случае являются функциями
от пути х и от времени /, то запишем:

ду ду дх ду (11 ду ду

(11	дх (11 ' д! сП	дх® ‘ д! ’

(1(21 _ дО1 дх	.	д<2г д!_____дО1	д()А	л

(11	дх (11	(11 (11	дх V	'	(11	*

__ дф2 дх	д(2% с11 _	д(2ч.		д(2ъ	.

д!	дх (11	'	д! с11	дх ®	'	(11	’

д%   да^ дх да0 (11   да(} да0

д!	дх (11 ' д! (11	дх	‘ д! *

Подставляя эти выражения в уравнение (6), получим:
&Л а / р \ у (да0 сцЛ

+ —V +	V +	= 0.

(7)

Уравнение (7) является общим уравнением неустановившегося
движения потока с изменением расхода вдоль пути.

При рассмотрении различных случаев неустановившегося дви-
жения, одного динамического уравнения недостаточно, поэтому
обычно используется уравнение неразрывности.

Для случаев движения жидкости с переменной массой может
быть использовано уравнение неразрывности в форме, данной
проф. М. А. Великановым1.

Рассмотрим в потоке жидкости участок длиною ограни-
ченный сечениями 1—1 и 2—2.

На рассматриваемом участке существует присоединение или
отделение расхода д' на единицу длины; так как участок имеет
бесконечно малую длину, то изменение объема жидкости на этом
участке за время (11, вызванное наличием бокового притока или
отделения расхода, будет равно ± д'бЫ/.

Через сечение 1—1 за время (11 в отсек поступает из основ-
ного потока количество жидкости, равное дй/, а вытекает
(д + ~(дз] (11.
\ дз /

Вследствие происходящих изменений расхода объем выделен-
ного отсека за время (11 изменяется на величину

Это изменение объема отсека происходит за счет изменения
расхода на данном участке, что может быть выражено соотноше-
нием

дМ ± д'йзсИ — (у + ~	(II ~ (18(11.

1 М. А. Великанов. Динамика русловых потоков, Гидрометеоиздат,
Л.—М., 1946, стр. 441.
Раскрывая скобки и деля на с!зс11, получаем окончательно

= ± д'.	(8)

д1 дз	ч	\ /

В дальнейшем мы будем рассматривать лишь случай установив-
шегося движения жидкости.

Для случаев установившегося движения, когда все величины
в уравнении (7) будут функцией только одной переменной х,
можно круглые значки дифференциалов заменить прямыми, и
тогда уравнение (7) примет вид:

I . У2 , «о Ф — 61)

' дх	дх

I а0(е2 —_ л.

дх

умножая на йх, будем иметь окончательно:

ь «Л, + Л И + * + 1,ЛХ + ^<4 +	+

О	\ I /	о	о	Ч-

I “о (02 — Я)Я ^2 _ п

-	2 С!

СО
Ф
сО
(/>
СО

Уравнение (9) является общим уравнением установившегося
движения потока с переменным вдоль пути расходом.

В большинстве практических случаев приходится иметь дело
не с одновременным присоединением и отделением частиц, а либо
только с отделением, либо только с присоединением частиц к
основному потоку.

В этом случае расход потока в любом сечении будет либо
ф — фн -|-	— присоединение частиц, либо С = фи — С2 — отде-

ление частиц и соответственно а(2 = или с10 = —

Таким образом, для случая только отделения или же только
присоединения частиц к основному потоку уравнения (7) и (9)
могут быть переписаны в таком виде:

аа / до ,	до\	, с1 (р ,	\	,	. . V (да0	. да0\

д0 (о — 6) (д^	<ХЛ_ л

'	^<2	\ дх V	д[ /

ал + а-Р + йг +	<1а0 +	= о.

ё	1	1	;	1	0	ё (2

(7а)

(9а)

Для случая отнятия частиц жидкости величина, выражаю-
щая изменение расхода, будет отрицательной, так как вниз по
течению расход уменьшается.

При современном состоянии гидравлики определить заранее
закон изменения коэффициента а0 не представляется возможным,

2 Г. А. Петров

' Мч Й |
1Н Ж  л 4? Д  (.	|

ПО>л«. ,	:

| 6 1 Ь .। 1 Г ( КА

17
а так как пределы его изменения не так уж велики, то для прак-
тических задач без большой ошибки можем принять значение
постоянным, и тогда уравнения (7а) и (9а) примут следующий,
более простой вид:

+ +	+2) + г>+ М^)^р + ^==0, (76)

а + йг +	+ М”-6)° = о. (96)

Уравнение (96) может быть переписано еще и в другом виде.
Если в уравнении (9а) раскрыть скобки и соединить два члена

а~ус1ю и , то получим

%у(к> +	= - у? (<№> + »Л2) = -	.

ё ё о. <2 к	7 ё <2 у 7	ё<* \<*>/

Подставляя вместо суммы вышеуказанных двух членов ее зна-

чение	в уравнение (96) и оставляя остальные члены

в прежнем виде, получим:

^‘,(?) + т + * + 0Л—^ао-0.	(9„)

Уравнение (96) по внешнему виду напоминает уравнение Д. Бер-
нулли в дифференциальной форме, но отличается от последнего
лишь коррективом а0.

Приведем уравнение (96) к виду уравнения Д. Бернулли, для
чего заменим коэффициент а0 коэффициентом а на основании
соотношения а0 = а — 2т]; тогда



0)0^ =()	(9Г)

Последние три члена левой части уравнения (9г), очевидно,
дают величину изменения энергии при движении потока.

Если в уравнении (9г) пренебречь членом, содержащим по
его малости, то оно ничем не будет отличаться от уравнения (96),
за исключением коэффициента а.

Если же мы хотим учесть и местные потери, то вместо члена
в уравнения (96) и (9г) следует вставить сумму потерь по
длине и местных потерь.

II вывод. В некоторых случаях может оказаться более по-
лезным и наглядным получение уравнения жидкости с перемен-
ным вдоль пути расходом, исходя из закона количества движения,
поэтому не бесполезно изложить и этот вывод.

Применим закон количества движения к участку потока между
двумя сечениями, расположенными на бесконечно близком рас-
стоянии с1х одно от другого (рис. 2).
При выводе приняты следующие обозначения:

со — площадь живого сечения потока в сечении 1—/;

— площадь живого сечения потока в сечении 2—2;

V — средняя скорость потока в сечении 1—1\

V +	— средняя скорость потока в сечении 2—2\

(2 — расход в сечении 1—/;

С +	— расход в сечении 2—2\

—	средняя скорость, с которой присоединяются частицы
на длине йх\

—	средняя скорость, с которой частицы отделяются на
длине б/х;

~ расход, присоединяемый к потоку на участке между
сечениями 1—1 и 2—2;

^0.2 — расход, отделяющийся на участке между сечениями
/—/ и 2—2,

остальные обозначения ясны из чертежа.

Количество движения потока, выраженное через действитель-
ные скорости частиц жидкости, получится на основании ниже-
изложенных соображений.

Возьмем в потоке отдельную струйку, имеющую скорость и
и площадь живого сечения, равную йсп.

Расход такой струйки будет равен исЬ), а масса, соответствую-
щая этому расходу, рп ~ и&в.

Количество движения струйки в единицу времени равно
а количество движения потока, выраженное через дей-
( тигельные скорости, получится суммированием количеств дви-
жения струек, проходящих через живое сечение потока ю.

Таким образом, количество движения потока в единицу вре-
мени, выраженное через действительные скорости, будет

03

или, выражая через средние скорости, получим
— и2с!и) = а0 ~ ц2ю — а0 ~ фц.

Если мы примем во внимание, что в самом общем случае
коэффициент а0 вдоль по потоку также должен изменяться, то
количества движения потока в единицу времени, относительно
оси движения, в сечениях 1—1 и 2—2, выраженные через сред-
ние скорости, соответственно будут

“ «оФ И 1 (а0 + йа0) ((? + йф) (о + йу).

Количества движения присоединяющихся и отделяющихся масс
относительно той же оси соответственно будут равны

у	С08 р И ± а0_2^2б)2 С08 <?.

Изменение количества движения выделенного отсека в направ-
лении оси движения для промежутка времени М равно

1(а0 + ^ао) (С + 6К?)	+ а0-1М$1 С08 Р —

— а0_2ц2^2 С08 ср)] (И.

Составим выражение импульса сил, действующих на выделенный
объем.

Силы давления. В сечении 1—1 действуют силы давления
рю, а в сечении 2—2 силы (р ф- йр) (ю ф- йю). Кроме того, по бо-
ковым стенкам 1—2 действует реакция стенок, которая может
быть разложена на составляющие: нормальную и параллельную
оси движения.

Проекция нормальной составляющей на ось движения будет
равна нулю.

Проекцию составляющей, параллельной оси движения, можно
принять равной средней величине давлений, существующих в се-
чениях 1—1 и 2—2, действующих на площадь йш:

Р_±Р^Р =	4- 1 йш.
Импульс сил давления, действующих на выделенный объем,
равен

[рш + [р +	(1р^ б/ш — (р + йр) (о +

Силы тяжести. Импульс сил тяжести будет равен:

6 8ШфбЙ = 7 -2ЕД.+ .б/о) (1х 8Ш ф (11, но

б/х8Шф = 2] —22 = —(12, так как 2 вниз по течению уменьшается,
то &2 величина отрицательная. Окончательно получаем для сил
тяжести:

— 7 I со -{- А (12(11.

Силы т р е н и я. Для определения сил трения выделим в дви-
жущемся потоке жидкости произвольный объем длиною (1х и рас-
смотрим условия его равновесия относительно оси движения
(рис. 2).

Кроме уже ранее рассмотренных сил, действующих на анало-
гичный объем, необходимо учесть еще и силы инерции.

Силы инерции войдут в уравнение равновесия со знаком минус
и для нашего случая будут равны

, (IV	У I	, 1 , \ . (IV

ах ~А~ = — о) + -г ао) ах ,
(11	@ \	2	/	(11 ’

7 (О -[- О) б/со

7	2

(IV

где 21 — ускорение.

Составляя уравнение равновесия, как указано выше, получим:

— (ю + 4- бЫ йх ~ + ро)
& \	* 2	/	(11	‘

— (р + ^р) (<*> + й<*>) + [р +	^р}	+

+ 7 (о) + 4-б/со) ЙХ81ПС? — Р = О,
\	-4	/

где Р — равнодействующая сил сопротивлений, возникающих при
движении рассматриваемого объема жидкости.

(1>Хг

Имея в виду, что = V, (1хът^ = —(12, перепишем уравне-

ние равновесия:

— (со + 4-

О. \

— йр ^о) + йсо) — Т + у & — Р = 0.

Отнесем все члены последнего уравнения к единице веса, для чего
разделим п\ на нее рассматриваемого объема жидкости, равный
7 I (о 4 / б/(«)) (1х:

V (IV 1 (1р	(12	Г

§ (1х	7 ах с1х /	1	\

7 I со 4~ б/со I б/х

или

Г

или же

а !& . р
ах \2^г ‘ 7

7 I со 4 — а&] (1х

А г ~ $ — удельной энергии потока при а = 1. Кроме того,
из уравнения Бернулли, Пг + — + г) +	= О, следует:

I /

(1^ ([Ицу •

2х = ^- = ^

Таким образом, приходим к выводу:

Р

7 со 4 ~ а.} ах

Последнее выражение показывает, что силы трения, возникаю-
щие в движущемся потоке и отнесенные к единице веса, равны
гидравлическому уклону 4.

Учитывая изложенное, импульс сил трения для выделенного
отсека равен

— 41	4- у йхсИ.

Составим уравнение количества движения для выделенного отсека:

~ 1(а0 + ^а0) ((? + (10) (V 4- (IV) — (а0<2о + а0_1У1й<21 соз р —

— а0_2^2йС2ш5ср)] (11 ~ [р 4-	(1р^ б/ю — (р + ^р) (ш + с1ы) —

— Т + у с1л»\йг — (а 4- у &»}
Сокращая на М, раскроем скобки, сделаем приведение и от-
просим бесконечно малые второго порядка, что даст

(аогбЙ2 +	+ аъОйУ —	соз В 4- ао—2^С2 С08 ф) =

= — шб/р — ушб/г — 1^йх.

Разделим все члены полученного уравнения на 70 и введем
)бозначения соз р = 6Т; у2 соз ср = 02;

О)	^0) и о со	^гсо

= — у — (1г —

о	С

Заменяя ш через - и полагая а0 = а0_х = а0_2, получим:

ё <2 ё 0 ё	ё <Э ё 0. 7	'

Расход С) в любом сечении потока, движущегося с изменением
массы, будет равен:

<2 = <2Н + С>1 — <22, где

<2н—начальный расход;

— присоединившийся расход;

(?2 — отделившийся расход.

Гогда = с1 (фх — ф2) =	— Л?2.

Подставляя полученное значение Л? в последнее уравнение
и производя некоторые преобразования, получим:

>*.+^+*+<,Л+->,,+	«1 -

о	I	ОО

^2) с/^2 _ П	/п\

~ ё а

Рассматривая случай только отделения или только присое-
динения масс и принимая предыдущие обозначения, можем по-
следнее уравнение переписать так:

- V(1V + — + с1х 4- 1;(1х 4- йа0 +	™ = о,

ё	1	7	0 ё ч

т. е. мы пришли к уравнению (9а).

Таким образом, последний вывод приводит к тем же резуль-
татам, какие получились и при первом выводе.

Выведенные нами основные уравнения движения потока с пе-
ременной массой отличаются от аналогичных уравнений для по-
тока постоянной массы наличием членов, учитывающих влияние
изменения массы величину энергии потока.
Для наиболее часто встречающегося случая установившегося
движения потока с переменной массой этот член имеет вид:

а0

ё 0. '

В зависимости от соотношения между V и 0 будем иметь раз-
личные случаи воздействия изменяющих масс на основной поток.
Рассмотрим эти случаи.

Случай /. &0 > 0, т. е. случай присоединения дополнитель-
ных масс и возрастания расхода потока вдоль по течению.

Здесь могут иметь место следующие соотношения между ско-
ростью основного потока V и проекцией на ось потока скорости
присоединяемой массы б:

а)	а>6— дополнительный член (10) положителен, что ука-
зывает на возрастание потерь напора по длине, которое вызы-
вается присоединением дополнительного расхода; в этом случае
присоединяемая масса обладает кинетической энергией меньшей,
чем основной поток, и потому при перемешивании удельная
энергия увеличивающегося расхода должна уменьшаться;

б)	V < 0 дополнительный член (10) отрицателен, т. е. от при-
соединения дополнительного расхода в соединенном потоке до-
полнительных потерь энергии не происходит и, наоборот, удель-
ная энергия потока, получившего увеличение расхода, даже
увеличивается за счет энергии присоединившихся масс.

В качестве простейшей иллюстрации этого случая рассмотрим
присоединение к основному потоку, на участке между сечениями
1—1 и 2—2 (рис. 9),некоторого дополнительного расхода <2б.

Обозначая запас удельной энергии в сечении 1—1 через
и расход, проходящий через это сечение, через получим об-
щий запас энергии в сечении 1—/, равный

Аналогично полный запас энергии основного потока в сече-
нии 2—2 и присоединяемого бокового потока соответственно бу-
дут равны т(22^2 и тСб^б. Общий запас энергии основного потока
должен быть больше во втором сечении на величину

Пренебрегая потерями, можем написать:

отсюда

__ 701^1 + 1^беб _ С?1^1 + Фбеб

62 ~ ’

так как <?2 — ~Ь Сб, то
______________________________	+ Сббб

С2~ <21 + <26 '
Чтобы удельная энергия во втором сечении была больше,
чем в первом сечении, необходимо выполнение условия

< с2

п ли

01е! + О.беб
Ол + Сб

Умножая обе части последнего неравенства на + 2 б и про-
изводя сокращения, будем иметь еб > еь т. е. присоединяемый
расход должен иметь запас удельной энергии больший, чем основ-
ной поток в начальном сечении. 1—1.

Случай II. < 0, т. е. имеет место отделение некоторой
части потока и уменьшение расхода основного потока вдоль пути.

Здесь между скоростями имеют вместо те же соотношения,
что и в предыдущем случае, но явление будет протекать в об-
ратном порядке: ц<6—отделение расхода вдоль пути создает
в потоке дополнительные потери; о>9—отделение некоторой
части основного потока не вызывает дополнительных потерь; про-
исходит увеличение удельной энергии.

В качестве простейшей иллюстрации последнего случая рас-
смотрим отделение в некоторой точке части расхода от основ-
ного потока (рис. 10).

Если расход основного потока, проходящий через сечение
/—7, обозначим через СЬ, а запас удельной энергии через ех,
то общий запас энергии потока в первом сечении будет равен

Аналогично полные запасы энергии основного потока в сече-
нии 2—2 и отделяющегося бокового потока соответственно равны
ч0^е2 и (потерь между сечениями не учитываем).

Общий запас энергии основного потока должен быть меньше
во втором сечении на величину т. е.

= 121^1 — 1<2беб.

Отсюда величина удельной энергии во втором сечении будет
равна:

— 7<2беб	“ ®беб

62 ~ " 

Так как (?2 -= 21— 2б, то

е2 =

Для того чтобы удельная
больше, чем в первом необходимо выполнение условия

<21^1 — <2беб
е2 > или —> Ср

^б^б

01 —

энергия во втором сечении была
Умножая обе части последнего неравенства на — р6 и произ-
водя сокращение, будем иметь е± > вб, т. е. отделяющийся поток
должен иметь величину удельной энергии меньшую, чем основ-
ной поток в первом сечении.

бЧ В обычных условиях такое положение имеет место, так как
пьезометрический напор в сечении 1—1 при переходе части рас-
хода в ответвление частично затрачивается на преодоление потерь,
а частично преобразуется в кинетическую энергию отделяемого
потока.

§ 3.	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ДАННЫЕ, НЕОБХОДИМЫЕ

ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Для возможности практического применения выведенных диф-
ференциальных уравнений необходимо найти зависимость между
6 и V, или выразить 6 и V в функции от пути, или, наконец,
определить значение 0 каким-либо иным путем.

Для случаев присоединения изменяющих масс вопрос обстоит
проще, так как направления скоростей этих масс в момент при-
соединения к основному потоку могут быть без большой по-
грешности приняты совпадающими с направлениями подводящих
устройств.

Сложнее обстоит дело в случае отделения частиц от ос-
новного потока, так как в этом случае направление отво-
дящих устройств еще не определяет действительного направ-
ления скоростей отделяющихся масс в момент их отделе-
ния.

В последнем случае угол, под которым происходит отделение
изменяющих масс от основного потока, зависит как от давления
в потоке, так и от скорости основного потока в местах отделе-
ния частиц. Попытки отдельных авторов дать пригодные для
практического использования зависимости, позволяющие устано-
вить изменение 0 вдоль пути для случая отделения потока пока
не увенчались успехом.

Обычно при решении таких задач принималось 0 — сопз! и вы-
двигались различные предположения о его величине для случаев
присоединения или отделения изменяющих масс.

Следует отметить, что предположение о постоянстве 0 хотя и не
отвечает действительной картине явления, но для практических це-
лей является наиболее удобным, так как позволяет значительно уп-
ростить получающиеся расчетные зависимости. В гидравлике мы
имеем ряд случаев когда отдельные величины, безусловно изме-
няющие свою величину в некоторых пределах, при всех выво-
дах принимаются постоянными. В качестве примера можно ука-
зать хотя бы на общеизвестные коррективы скорости а и а0,
обычно принимаемые постоянными.
Какую-либо переменную величину можно принять за постоян-
но лишь в случае, когда пределы ее изменения невелики и не
превышают обычно допускаемых погрешностей измерений. Поэтому
принятие 6 = сопз! должно быть обосновано соответствующими
жспериментами, к сожалению, авторы, принимавшие такое пред-
положение, этого не делали.

Некоторые авторы считают возможным, не подтверждая сво-
его предположения никакими данными, для случаев отде-

нения частиц жидкости принимать зна-
чение 0 равным величине средней ско-
рости основного потока. Такое пред-
положение равносильно пренебрежению
явлениями сопровождающими измене-
ние массы основного потока, так как
в этом случае дополнительный член,

а 6

! М I Г"

т л

выражаемый формулой
ется в нуль.

Рассмотрим случай
устройства отверстия.

В месте устройства

(10), обраща-

Рис. 3.

движения в трубопроводе на участке

отверстия по площади т — п (рис. 3),

равной проекции площади отверстия а — Ь, на задней стенке

Рис. 4.

возникает реакция стенки

Кроме того, на этом же участке
действуют силы инерции, вызываю-
щие стремление частиц продолжать
первоначальное направление движе-
ния.

Под влиянием этих сил направ-
ление скоростей вытекающих частиц
жидкости составляет некоторый
угол а с направлением основного
потока (рис. 4).

Если бы силы инерции отсутствовали или величина их была
настолько малой, что пренебрежение ими не вызывало бы зна-
чительных погрешностей, величину угла а можно было бы при-
нять равной 90°, а значение 6 равнялось бы нулю.

Если скорость струи, вытекающей из отверстия под прямым
углом, при скорости у стенок, равной нулю, обозначим через и
а скорость струи основного потока в месте отделения расхода
через щ и не будем учитывать дополнительных явлений, проис-
ходящих в момент отделения частиц жидкости, то действитель-
ная скорость вытекания могла бы быть принята равной и0 =
=	+ а величина &0соза = 0 в принятых нами обозначе-

ниях равнялась бы иг (рис. 4).

1 и — скорость вытекания из отверстия под действием давления р.
В зависимости от закона распределения скоростей по сечению
основного потока величина скорости иг будет в большей или
меньшей мере отклоняться от значения средней скорости потока
в данном сечении.

Это отклонение иг от величины средней скорости может до-
стигать значительной величины, и потому предположение о ра-
венстве 0 средней скорости должно вносить значительные погреш-
ности и не может считаться достаточно приемлемым для прак-
тических целей.

Для получения наиболее простых решений, пригодных для
практических целей, мы также считаем необходимым принять
значение 0 постоянным.

При вытекании из отверстий в трубах в пределах, встречае-
мых в водопроводной практике напоров и скоростей, в большин-
стве случаев можно с достаточной для практических целей точ-
ностью принимать, что направление скоростей отделяющихся
масс составляет с направлением оси основного потока угол, рав-
ный 90°.

Это предположение, конечно, отклоняется от действительности,
но как показывают наши эксперименты1, возникающие при этом
погрешности не выходят за пределы допускаемых для практи-
ческих целей величин.

Более частым в практике будет случай отделения масс от
основного потока при помощи трубопроводов и каналов. В этих
случаях угол, составляемый направлением скорости отделяющих-
ся частиц и направлением оси основного потока, принимаем
равным углу, составляемому направлением отводящих устройств
и направлением оси основного потока.

Последнее предположение также в достаточной степени оправ-
дывается указанными выше экспериментальными данными.

Кроме величины 0 для приведения полученных дифферен-
циальных уравнений к конечному виду необходимо еще знание
величины гидравлического уклона 1^. Так как в рассматриваемом
случае движения мы не имеем точного выражения для то для
его определения пользуемся наиболее распространенной форму-
лой Шези, что, как показали наши исследования, не вносит зна-
чительных погрешностей в окончательные результаты и дает
практически приемлемые решения.

1 Г. А. Петров. Движение жидкости с изменением расхода вдоль пути.
М., Стройиздат, 1951.
ГЛАВА II

НАПОРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБОПРОВОДЕ С
ПЕРЕМЕННЫМ ВДОЛЬ ПУТИ РАСХОДОМ

§ 4.	ДВИЖЕНИЕ В ТРУБОПРОВОДЕ С НЕПРЕРЫВНЫМ И
'равномерным изменением расхода вдоль пути

А. Основные зависимости, получаемые на основании
гидравлики постоянной массы

Воспользуемся в наших выводах уравнением Д. Бернулли
для целого потока реальной жидкости, которое является основ-
ным уравнением современной гидравлики и, как известно, имеет
в дифференциальной форме следующий вид:

й(^2)+^ + аг + ^=о,	(11)

или, в конечном виде:

2

2

_ + __ +

(12)

Сумма трех членов левой части уравнения (12) дает вели-
чину (рис. 5) полного гидродинамического напора Не1 или, ина-
че, запас удельной энергии в сечении 1—1. При переходе от
начального сечения 1—1 к сечению 2—2 часть энергии потока
будет затрачена на преодоление сопротивлений движению и по-
этому величина удельной энергии будет уменьшаться вдоль по-
тока.

Изменение величины гидродинамического напора при пере-
ходе от одного сечения к другому дает нам величину потерь
напора между этими сечениями.

Обозначая уклон напорной линии О' — О' (гидравлический
уклон) через можем написать (рис. 5):

йх 2^-

(13)
но из уравнения (11)

с1И^ = — б/ + у + 2.

Подставляя последнее выражение в уравнение (13), получим

Следующим важным для нас элементом является пьезометриче-
ский уклон

'>--ж(т + г)	<|8>

или же на основании (И)

Для случая равномерного движения скорость есть величина
। (1

постоянная V = сопзх, и поэтому член	обращается в нуль^

ИЛ \	/

что дает

т. е. то же, что и выражение (14). Таким образом, необходимо
о । мстить, что только для случая равномерного движения гид-
11 шлический уклон равен пьезометрическому:



В этом случае, приравнивая правые части уравнений (15) и
(17), получим

_ ** (л ; = —

с1х \ у *	/ йх ’

и ли

— д. + г) = сг/гда.	(19)

Интегрируя уравнение (19) в пределах от первого до вто-
рого сечения и обозначая потерю напора на этом участке через
получаем

(у +	- (у + г2) = пш.	(20}

Для потока, имеющего горизонтальную ось движения ~
~ ?2)> уравнение (20) примет вид:

7

(20а)

Таким образом, в случае равномерного движения ордината
пьезометрической линии в каком-либо произвольном сечении
2—2 может быть получена при помощи вычитания из ординаты
пьезометрической линии предыдущего сечения 1—1 величины
потерь напора на участке между двумя рассматриваемыми се-
чениями.

В случае неравномерного движения равенство (18) уже не
будет иметь места, и для построения пьезометрической линии
необходимо воспользоваться уравнениями (15) и (16). Прирав-
нивая их правые части будем иметь:

— (у + 2) = (^) +

Интегрируя это уравнение в пределах между первым и вто-
рым сечениями, получим:

(у + (у + г2.! = —(21)

Для потока, имеющего горизонтальную ось движения,

2	2

р2 _ «»г -

7	'

Рг

7

(21а)
т. е. в данном случае, как это видно из уравнений (21) и
(21а), возникает необходимость учета изменения скоростного
напора вдоль потока.

В практических расчетах, при рассмотрении различных слу-
чаев равномерного движения жидкостей, обычно пользуются вы-
ражением пьезометрического уклона в таком виде:

Л> = Й’	(22)

где К—расходная характеристика.

Этой же зависимостью (22) обычно пользуются и при рас-
смотрении вопросов движения жидкости с изменением расхода
вдоль пути, не учитывая изменения скоростного напора.

Наиболее известным примером такого рода движения явля-
ется задача о движении жидкости в трубопроводе с непрерыв-
ной и равномерной раздачей по пути. Подробным рассмотре-
нием этой задачи и займемся.

Положим, что мы имеем трубопровод длиной /, на каждом
метре длины которого отдается расход, равный д.

Таким образом, на всей длине трубопровода отдастся путе-
вой расход

Если, кроме того, по рассматриваемому трубопроводу дви-
жется еще и транзитный расход <2Т, то расход в любом сечении
на расстоянии х от начального будет:

0х = Ст + — цх.

Полагая, что на бесконечно коротком пути (1х движение
можно рассматривать как равномерное, приравниваем правые
части уравнений (17) и (22), подставляя вместо расход

Т	О2 __	+ И2

“ (1Х ~~ К2 ~	/<2

откуда

—--------------их.	(23)

Уравнение (23) после интегрирования в пределах от началь-
ного сечения до сечения х дает

а при фт = О

(<2Т +	х-(Зт+с„>*+

й =_______________________

^2

——   — — .

(24)

(25)
Заменив в уравнениях (24) и (25) д величинами и /, бу-
1,ем иметь:

Лау —	~~~к%	---------*	(24а)

Для получения полной потери напора на всей длине I рас-
четного участка необходимо в уравнениях (24а) и (25а) вместо
х подставить длину /, тогда

9	О*

<& + Щп + ^

йш =-------------- I;	(246)

$

=	(256)

Эти зависимости (24а), (25а) и вытекающие из них (246) и
(256) дают нам потерю напора по длине, но не учитывают из-
менения скоростного напора, которое в данном случае должно
иметь существенное значение, особенно при значительных ско-
ростях движения.

Для упрощения практических расчетов формула (246) преоб-
разуется заменой трехчлена в числителе правой части прибли-
женным выражением в виде квадрата двучлена1:

<Эр = <2г + О,55(?л,
где — расчетный расход. Тогда
+ 0,550^

/^2 •

(26)

(24в)

Эта формула применяется при расчете городских водопрово-
дов. Иногда принимают также для расчетного расхода такое вы-

ражение:

~ Рт + о,5рл.

(27)

Оба приведенные выражения мало отличаются от величины
числителя правой части уравнения (246). Зависимости (26) и
(27) дают величину расхода, служащего для определения полной
потери напора между конечными сечениями расчетного участка;
для построения пьезометрической линии они не применяются,
так как дают наклонную прямую, явно не отвечающую действи-
тельному положению вещей.

1 Ф. С. Максименко. Курс гидравлики, Госиздат, М., 1927, стр. 275;
Л. С. Лейбензон и др., Гидравлика, Госгоргеолнефтьиздат, М.—Л., 1934,
стр. 143 и др.

33 ;

3 Г. А. Петров
Для построения пьезометрической линии обычно пользуются
зависимостями (24а) и (25а), применение которых рекомендуют
все наиболее распространенные у нас учебники и руководства.

Обычно из уравнений (24а) и (25а) определяют /г^, которое
подставляют в уравнение (20а), что допустимо, как мы ранее
отметили, лишь для случая равномерного движения.

Между тем совершенно очевидно, что при движении потока
с изменением расхода вдоль пути как для напорного, так и без-
напорного движения, мы будем иметь случай неравномерного
движения, для которого следует пользоваться только уравнения-
ми (15) и (16) и вытекающими из них уравнениями (21) и (21а)в

Решим рассмотренную задачу о движении жидкости с непре-
рывной и равномерной раздачей по пути, применяя уравнения
(15) и (16), при этом для простоты допустим, что

<2т = о,
тогда

— (1	+ г) = а	(28)

Для определения величины потерь напора воспользуемся, из-за
отсутствия более точных данных, зависимостями, при меняемыми
при равномерном движении.

Такое допущение хотя и вносит некоторые погрешности, но
зато дает возможность использовать получаемые зависимости для
практических целей. Подставляя полученное из (17) и (22) зна-
О2

чение с/йо, —в уравнение (28), получим

+	=	+	(28а)

Если предположить, что трубопровод горизонтален, т. е.
2 = сопз!, и заменить скорость V расходом и площадью живого
сечения, то будем иметь:

<28в>

Заменяя в уравнении (286) расход ф выражением ()п — дх и ин-
тегрируя в пределах участка длиной х, после простейших пре-
образований получим

Р”~~Рх =
1

-Ф—)

К'А I 3/2/

4 X

2^2\ I/ I ’

(29)

Рн

где -—пьезометрическая высота в начальном сечении. Если
в уравнении (286) вместо С) подставить <2,, + дх, где ^н — на-
чальный расход, а д— приток на единицу длины трубопровода,
п проинтегрировать полученное уравнение в пределах участка
|рубы х, то получим уравнение для случая движения с непре-
рывным и равномерным притоком по длине:

Рн — Рх _ а ($н +	. <2н<7-*2

7	~	2^2	+ X2 Х Л’2 '3№ ’

Полагая в (30) (2Н = 0, получим

Рн “ рх __ а<72*2 __ <72х3

7	" 2^0)2 ~ здЪ •	(<Э1)

Обозначая с-1 через уравнение (31) представим еще в та-

ком виде:

Рн~Рх

7	2^02/2

02х3
п

ЗК212'

(31а)

Для конечного сечения участка уравнения (29) и (31а) да-
дут при замене х = I

+ <31б>

Рассматривая уравнение (29а), видим что при различных со-
отношениях между гидравлическими элементами трубопровода
будем получать также различные соотношения между величина-
ми давлений в начальном и конечном сечениях.

Можно наметить три таких основных случая:

г Рн Ре	1а

случаи I у>у при условии

о т т Рн Ре	I ос

случаи П ~ = у при условии	;

« т т т Рн Ре	I ос

случаи III -<- при условии	.

Очевидно, для постоянной скорости V, как и для перемен-
ной получим мало разнящиеся результаты только тогда, когда
а	„ I

величина мала по сравнению с величиной и ею можно
пренебречь, т. е. в трубопроводах с непрерывной раздачей дли-
на трубопровода оказывает существенное влияние на форму пье-
зометрической линии. Следует отметить, что мы оперировали
обычными гидравлическими зависимостями и учитывали только
потери на трение; дополнительные явления, возникающие вслед-
ствие непрерывного изменения массы потока, нами пока не учи-
тывались. Однако и приведенные рассуждения показывают, что
при правильном пользовании обычными гидравлическими зависи-
мостями для случая движения в трубопроводах с непрерывной
раздачей вдоль пути ординаты пьезометрической линии могут
не только убывать, но и возрастать вдоль пути.

Естественно, что даже грубо поставленные опыты должны
дать картину, резко расходящуюся с тем, что получается на ос-
новании обычно применяемых расчетных формул.

Приведем некоторые опытные данные различных авторов,
подтверждающие высказанные соображения.

Впервые экспериментальным изучением этого вопроса занял-
ся проф< Н. Г. Малишевский, которому принадлежит несколько
экспериментальных работ в данной области1.

Свои опыты Н. Г. Малишевский производил в 1926—1931 гг.
с трубами, диаметром 50 и 63 мм. В этих трубах были про-
сверлены на расстоянии 20 см одно от другого отверстия, че-
рез которые происходило вытекание жидкости вдоль пути. Опыты
производились с отверстиями, расположенными в одном случае
с одной стороны, в другом — с двух сторон трубки, причем в
обоих случаях производилось сравнение величины потери напо-
ра, получаемой из опыта, с величиной, получаемой из обычных
у2

формул, и с величиной

Проф. Н. Г. Малишевский указывает, что порядок распреде-
ления отверстий на трубке (с одной или с двух сторон) значи-
тельно влияет на величину этих потерь.

В первой серии опытов, произведенных с трубами, имевшими
два ряда отверстий, Н. Г. Малишевский подчеркивает явление
восстановления напора при движении воды в трубах с непрерыв-
ной раздачей по пути. В указанных опытах это увеличение
доходило почти до 100% первоначальной величины.

В работе проф. В. Н. Евреинова «Гидравлика в лаборато-
рии», изданной в 1930 г., приводится ряд опытов, подтверждаю-
щих возрастание пьезометрических высот за отверстиями, через
которые вытекает вода. На основании этих опытов В. Н. Евреи-
нов дает некоторые практические указания по проектированию
трубопроводов с нерерывной раздачей по пути, нс приводя в то
же время каких-либо теоретических решений.

Рассматривая опыты Н. Г. Малишевского и других, профес-
сор В. Г. Турчинович приходит к следующим выводам:

«1) При движении воды по трубам с частыми боковыми ответ-
влениями типа, применяемого в дренаже фильтров, напор в конце
трубы будет выше, чем в начале за счет восстановления скорост-
ного напора, вследствие постепенного уменьшения скорости дви-
жения воды в трубе. 2) Процент восстановления указанного
напора в значительной степени зависит от типа и расположения

1 Н. Г. Малишевский. О новых опытах с движением воды в дырча-
тых трубах, «Санитарная техника» № 6, 1931; ЕхрепшепЬ ш П1е НуйгаиНсз
о! ПИег иш1егс1га1п8 ^игпа! оГ 1Ье Ашепсап	№ 6, 1927.
ответвлений, достигая в предельных случаях почти 100%.
3) Потеря на трение (или, точнее, завихрения) бывает обычно
значительно меньше теоретической, соответствующей случаю
движения воды по трубам с постоянным расходом; вообще же
но своей величине она не играет решающей роли в картине
распределения давлений в рассматриваемом типе труб, давление
в конце которых всегда, как правило, выше, чем в начале трубы»1.

По поводу высказанных соображений проф. В. Г. Турчино-
вича следует отметить, что с точки зрения теории движения
потока с переменной массой в отдельных случаях они справед-
ливы, но не могут претендовать на обобщение и являются про-
стым изложением результатов рассматривавшихся опытов.

Б. Основные зависимости, получаемые из уравнения движения
жидкости с переменной массой

В настоящем разделе мы рассматриваем лишь установившееся
движение и поэтому в дальнейших выводах будем исходить из
уравнений (96) и (9в).

Полагаем, что в этих уравнениях корректив скоростного на-
пора а0 и проекция скорости изменяющих масс на ось движения
О являются величинами постоянными. Это не вполне соответст-
вует действительности, однако практически допустимо.

Потери на трение принимаем равными потерям при равномер-
,	С2	» гч

ном движении и вычисляем по формуле , в которой у
будет величиной переменной.

Из указанных условий найдем зависимости, необходимые для
определения ординат пьезометрической линии и потерь напора
при движении от начального до какого-либо промежуточного
сечения.

Так как трубопровод имеет постоянное сечение о — сопз1,
то интегрирование уравнения (9в) в пределах от начального се-
чения до сечения х дает

2	2

+ гх) = ——2----------- (Цх -<?н) + ] ах,

(32)
где индексом н обозначены величины, относящиеся к начальному
сечению, а индексом х величины, относящиеся к сечению х.
Потери напора в уравнении (96) выражаются последними
двумя членами левой части:

= ^ах +	.

1 В- Г. Турчинович. Улучшение качества воды. ОНТИ, М. — Л.,

1935, етр. 174.
Первый член правой части этой формулы дает потери на
трение, а второй учитывает явления, вызываемые изменением
массы потока.

Подставляя в выражение для потерь напора значение =

ср О,

= и у = -^-, после интегрирования в пределах от нуля до х
получим

, «о (<2* — <2н)	а06 /п Л \ I С<22 л	/ооч

“	2^0)2 ^со	3/(2	(33)

О

Для приведения уравнений (32) и (33) к конечному виду
необходимо знать закон изменения расхода в зависимости от
длины пути х.

Теперь перейдем к рассмотрению наиболее часто встречаю-
щихся в практике случаев движения потока с непрерывным при-
соединением и отделением частиц жидкости от главного потока.
Для обоих рассматриваемых случаев примем значение 0 = 0, т. е.
будем полагать, что присоединение и отделение частиц жид-
кости происходит под прямым углом к направлению оси дви-
жения.

Для случая присоединения частиц такое предположение яв-
ляется естественным и легко осуществимым.

Для случая же отделения частиц такое предположение не
вполне соответствует действительности, как это указано раньше.
Однако проведенные опыты убеждают, что такое предположение
будет безусловно ближе к истине, чем принятие 0 = V.

При 6 = 0 из (32) и (33) получаем:

К

«О

о

(32а)

(33а)

Примем для простоты ось трубопровода горизонтальной, что
на выводах не отразится, и перейдем к непосредственному рас-
смотрению ранее указанных случаев.

а) Движение происходит с равномерным поступлением вдоль
пути на каждую единицу длины расхода д. Таким образом, при
начальном расходе расход в любом сечении трубопровода,
находящемся на расстоянии х от начала, будет равен:

<2 = Сн+ дх.
Принимая начальный расход ^н = 0, получим = дх, и фор-
мулы для построения ординат пьезометрической линии и опре-
чгления потерь напора примут вид:

рп~Рх _ «о?2 2 . д2 з.

7	“	ЗК2 Л ’

2^0)2 ЗК2

(34)

(35)

С

пли, заменяя д на — , где — расход в конце трубопровода,

получим

и

’н— Рх __ а0$/Х2 , X3
7	“ ^0)2 /2 + 3/<2 /2

Г»2	Л2

__	%2	Л3

— 2^Г2 Т2 "^ЗК2Д' *

(34а)

(35а)

Правые части уравнений (34) и (34а) отличаются от анало-
гичных уравнений (31) и (31а), выведенных без учета явлений,
сопровождающих изменение массы вдоль потока, первым членом,
который в уравнениях (31) и (31а) имеет вдвое меньшее значение,
а также значением корректива скорости: а0 вместо а.

Из этих уравнений видно, что при непрерывном присоединении
расхода вдоль пути пьезометрическая линия будет беспрерывно
понижаться вдоль трубопровода, так как правая часть уравнений
(34) и (34а) при любых положительных значениях х будет вели-
чиной положительной.

Потери напора в данном случае также отличаются от потерь
напора, определяемых без учета влияния изменения массы потока
на величину первого члена в правой части уравнений (35) и (35а).

Для концевого сечения (при х = /) выражения (34а) и (35а)
дадут

— р7	а0ф2	С 1

+	(346)

•у	^0)2	\	/

И

<2,2/

^=2^ + й-	<35б>

б) Движение происходит с равномерным отделением расхода
д на каждую единицу длины пути.

Таким образом, в данном случае расход в любом сечении
равен:

<2 = <2т+ <2п— дх
где <2Т — транзитный расход;

0_п— раздаваемый по пути расход, равный д1,

I — длина трубопровода, на которой происходит отделение
расхода.

Подставляя в уравнения (32а) и (33а) вместо <2 его величину
в функции от х и имея в виду, что <2Н = Ст + 0п. получим:

При отсутствии транзитного расхода (Ст = 0) уравнения (36)
и (37) значительно упростятся:

Рн Рх I	х2 . х3 \ аоСЛ /о	х \ х

7	— № V	Т + з/2/ ~~ V	Г/ Т ’

/П2 /	\	ГЛ2 !	X

V Чп I X2 ,	Х3\ а^п (а X \ X

Т + ЗГ2/ ~ 2^2 (2 Т] Т ’

(36а)

(37а)

Пользуясь уравнением (36а), можно построить пьезометриче-
скую линию при заданном суммарном путевом расходе С}п == д1.

Для получения равномерной раздачи весь трубопровод следует
разбить на ряд участков, имеющих одинаковую длину, причем
на каждом таком участке отделяется расход д. Для раздачи
расхода д можно на каждом участке сделать (например, в центре)

специальное отверстие.

Зная расход д, раздаваемый на единице длины трубопровода,

р

и давление в каждом сечении --,

легко определить размеры от-

верстия, пропускающего этот расход, из формулы:

Таким образом, практически можно получить трубопровод с
равномерной раздачей вдоль пути. Определим из уравнения (36а)
р

значение — и исследуем1 полученную функцию:

1 См. работу проф. Я- Т. Нен ь ко. О движении жидкости с переменной
вдоль потока массой, Тр. Харьковск. гидромет. ин-та (за 1937 год), Харьков, 1938.
Найдем максимальное и минимальное значения данной функции.
Для этого возьмем первую производную от у по х и приравняем
ее нулю:

/ Рх\ _ а°^/г Г / 9_____

д,х \ 7 /	^<о2 [\ I

1	_л]

7	7^]

( 1 _ , X2 \ ___ 0

К2 V I 1 I2 )

или после сокращения на 2^ и простейших преобразований

2а0ЛЭ / <   х \_____/ <   х \  0

^о)2/ \	I /	\	I /

Это уравнение имеет два корня:

хх == /

2а0К2

и х2 = I.

Определим, какой корень дает максимум, а какой минимум,.

Ру

для чего найдем вторую производную от у и подставим полу-
ченные значения х:

ах2 \ч 1 К2 \ I I2 )	ё^2 ’

Подставляя в это уравнение значение х = хх, получаем:

--- >

(1х2\ч )х=х1

0.

Следовательно, х( соответствует минимуму.

При подстановке второго значения х = х? получим:

й2

(1х2 \ 7 /х=х2

т. е. в данном случае значение х = х2 соответствует максималь-
ному значению рассматриваемой функции.

Для сечения х = I уравнения (36а) и (37а) напишутся так:

Рн ~ Р/

«о
ё<*\

(366)
и

(да-5^).	<37б)*

В зависимости от соотношения между величинами	и

ОД~
будут иметь место различные соотношения между пьезометри-
ческими высотами в начальном и концевом сечениях.

Если	, то ~	~ ;

За2 ^со2 7	7

I	«0	Рн	Р1

если — =	, то — = — ;

3/<2	^о)2 ’	7	7

I ао	_ Рь

наконец, если — < —, то - < - .

Исходя из этих соотношений, проф. Я. Т. Ненько дает кри-
терий, позволяющий разделить трубопроводы по длине, причем
в зависимости от длины трубопровода будет изменяться и харак-
тер пьезометрической линии* 1 (рис. 6, 7 и 8).

Разделение трубопроводов на основании данного критерия
производится следующим образом:

* Зависимость (376), если заменить С

и гидравлический

радиус

о л	V2 (М

Л на —» может быть представлена и в таком виде: п^=	~

4	у 3(1

и тог-

да критерии для длинного, предельно короткого и короткого трубопроводов
.	, 6аоб/ 1	6а0^	,	6а0<^

соответственно будут: I >	; I — и I <	.

к к	к

1 Критерий проф. я. Т. Ненько отличается только значением корректива
скоростного напора, который у него принят равным а вместо принимаемого
нами а0.
а)	I >	— длинный трубопровод;

б)	I = ~~ — предельно короткий трубопровод;

в)	I <	— короткий трубопровод.

При длинных трубопроводах член обычно бывает мал по
сравнению с членом и поэтому им можно пренебречь; для
этого случая из уравнения (376) получим уравнение

которое полностью совпадает с уравнением (256), выведенным на
основании данных гидравлики постоянной массы для аналогич-
ных случаев.

Таким образом, для определения гидравлических элементов
в сечении на конце длинных трубопроводов можно пользоваться,
с практически допустимой точностью, зависимостями гидравлики
постоянной массы.
§ 5. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В РАЗВЕТВЛЕННОМ ТРУБОПРОВОДЕ

При устройстве в отдельных пунктах трубопровода ответвле-
ний в этих пунктах происходит изменение расхода основного
потока и связанные с этим изменения удельной энергии.

Зависимости, предлагаемые различными авторами для опреде-
ления потерь напора в местах устройства ответвлений, обычно
не учитывают всех явлений, происходящих в месте разветвления

V2

потока; чаще всего пользуются формулой в которой коэф-
фициент местных сопротивлений С определяется эксперименталь-

ным путем.

Акад. Н. Н. Павловский1 для определения потерь, возникаю-
щих в тройниках, предлагает пользоваться формулой местных
потерь С причем формулу для коэффициента С не подвергает

анализу.

Исследования, произведенные многими авторами, показали,
что значение коэффициента С для тройников зависит от угла-
наклона ответвлений, соотношений между диаметрами, а также
соотношений между отделяемым или присоединяемым и основным

расходами.

На основании этих исследований для коэффициента С были
построены кривые, дающие в некоторых случаях для С отрица-
тельные значения, которые показывают, что вместо потери про-
исходит увеличение напора. Это может быть вполне удовлетво-
рительно объяснено явлениями, сопутствующими изменению мас-
сы потока.

Совершенно ясно, что в месте устройства ответвления будет
иметь место либо отделение, либо присоединение какого-то рас-
хода, а, следовательно, в данной точке будет происходить дви-
жение потока с.внезапным изменением массы и связанные с этим
изменения удельной энергии и пьезометрического напора.

В зависимости от соотношения между расходом основного
потока и расходом ответвления, а также между количествами
удельной энергии этих потоков, движущийся после ответвления
(т. е. уже с измененной массой) поток может обладать либо
большей, либо меньшей удельной энергией, чем та, которую имел
поток до ответвления.

Этим обстоятельством и объясняется как увеличение, так и
уменьшение напора после ответвления.

Определим потери, которые возникают в тройнике вследствие
изменения массы потока.

Происходящие в данном случае процессы весьма сложны и
решить поставленную задачу точными методами гидромеханики

1 Н. Н. Павловский. Гидравлический справочник, ОНТИ, М.—Л. 1937»
пока не представляется возможным. Это обстоятельство застав-
ляет нас ограничиться получением менее точных, но пригодных
для практических целей гидравлических решений.

Предварительно составим упрощенную схему явления, в со-
ответствии с которой и будем вести дальнейшие рассуждения.

Рассмотрим два основных случая: а) когда к главной трубе
присоединяется дополнительный расход и б) когда от основного

потока отнимается некоторый расход. В
представить явление, происходящее в со-
ответствии со схемой, изображенной на
чертеже (рис. 9). В сечении т — п про-
исходит присоединение к главному потоку
некоторого добавочного расхода, причем
в момент присоединения происходит явле-
ние удара с соответствующим изменением
величин удельной энергии.

Присоединяемые частицы подходят к
сечению т— п с некоторыми скоростями,
имеющими направление, в общем совпадаю-

первом случае можно

Рис. 9.

щее с направлением подводящей трубы 1. При попадании в общий
поток скорости присоединяемых частиц должны изменить свое
направление и принять то же направление, которое имеют час-
тицы, движущиеся в главном потоке II—II.

Рис. 10.

В связи с изменением направления ско-
ростей присоединяемых масс должны воз-
никнуть дополнительные потери, анало-
гичные потерям при резком изменении
направления в трубопроводе с постоянным
расходом.

Кроме этого устройство ответвления
производится при помощи тройника, поме-
щаемого на главном трубопроводе между
сечениями 1—1 и 2—2. Вследствие нали-
чия тройника на участке между сечения-

ми I—I и 2—2 (рис. 9) происходит некоторая деформация
потока, вызывающая дополнительные потери напора.

Таким образом, в данном случае потери на участке 1—1 и
2—2 состоят из: потери на удар, возникающей при столкнове-
нии присоединяемых частиц с частицами основного потока; потери,
вызываемой изменением направления скорости присоединяемых
масс, и потери, вызываемой наличием фасонной части — тройника.

Во втором случае (отделение некоторого расхода) схему яв-
ления можно представить соответствующей изображению на
чертеже (рис. 10).

Частицы основного потока при подходе к сечению 1—1 имеют
направление скоростей, совпадающее с направлением главного
потока II—II.
В сечении 1—1 часть потока поворачивает и подходит к сече-

нию т—п, в котором уже скорости принимают направление,
в общем совпадающее с направлением ответвления /. Так как
у сечения 2—2 происходит резкое изменение расхода, а с ним
и скоростей потока, то здесь также возникают потери, аналогич-

ные потерям на удар.

Поскольку при переходе от сечения 1—1 к сечению 2—2
происходит и деформация потока, вызванная устройством фасон-
ной части, то в данном случае, очевидно, потери состоят из тех
же частей, что и в первом случае, только величина потерь на
удар будет иметь иное значение. Конечно, принятые схемы явле-
ний, происходящих в местах ответвлений, являются условными,

но получаемые в этом случае
решения достаточно хорошо
подтверждаются опытами.

После предварительных
соображений перейдем к не-
посредственным выводам.

Случай I. Ответвление
подводит к магистрали до-
полнительный расход.

Выделим (рис. 11) часть
потока, ограниченную сече-
ниями 1—1 и 2—2, располо-

женную в пределах ответвле-
ния и напишем для этой части закон количества движения.

Для отдельной струйки, движущейся со скоростью и и имею-

щей бесконечно малую площадь живого сечения Ло, секундное

количество движения будет равно:

— (10 • и = ~ и • иЛо = — и2Ло.
ё	ё	ё

Для целого же потока количество движения равно

У и2Ло
<0

или при средних скоростях

а° ~ о2<о.

Найдем изменение количества движения в направлении оси
трубопровода АВ при переходе от первого сечения ко второму.

Проекция количества движения на ось АВ до момента при-
соединения бокового расхода будет равна1 сумме проекций
на ту же ось количеств движения расхода движущегося со

1 Аналогично явлению неупругого удара.
скоростью и расхода фб, проекция скорости которого на
ось АВ равна 6^убсо8ср.

Количество движения в сечении 2-—2 после присоединения
расхода, (?$ будет равно количеству движения расхода ф2 = 0$ +
+ движущегося со средней скоростью а2.

Таким образом, изменение количества движения основного
потока за время А/ при переходе от первого сечения ко второму
равно

а° (^2^2

Здесь а'— корректив, учитывающий неравномерное распреде-
ление скоростей по живому сечению присоединяемого расхода;
в общем случае этот коэффициент может отличаться от коррек-
тива а0 для основного потока. Рассмотрим силы, действующие
на объем жидкости, который заключен между сечениями 1—1 и
2—2. Площадь сечения основного трубопровода АВ обозначим
через о.

В сечении 1—1 будут действовать силы гидродинамического
давления, равные рдо, а в сечении 2—2, — равные р2(о. На пло-
щади отверстия а — Ь (рис. 11) будет действовать реакция противо-
положной стенки проекция которой на ось АВ может быть
принята равной нулю.

Кроме того, на часть потока между сечениями 1—1 и 2—2
со стороны ответвления будут оказывать действие дополнитель-
ные силы, которые могут быть определены из рассмотрения
условий равновесия отсека асЬ.

Пренебрегая силами инерции, рассмотрим условия равновесия
отсека асЬ, который можно принять отвердевшим.

На указанный отсек со стороны сЬ будет действовать реакция
стенки 7?, по линии ас — какая-то сила 5, заменяющая действие
отброшенной части жидкости, а по линии аЬ — сила, равная 7?б.

Проектируя эти силы на ось потока АВ, получим ту допол-
нительную силу, которая действует на выделенный отсек, она
будет равна

8 СО8 Ср — К 8Ш ср.

Полагая приближенно, что реакция 7? равна давлению р2 во
втором сечении, умноженному на площадь стенки сЬ, а сила 8
равна давлению рх, умноженному на площадь поперечного сече-
ния ас, получим:

8 СО8 ср — 7? 8Ш Ср = Р1%с С08 ср — р2^Ьс 8*П ?•

Выражая площади ыас и через 2 (площадь отверстия аЬ\
получим окончательно:

р22 81П ср СО8 ср — р22 С08 ср 81П ср = (рх — р2) 2 СО8 ср 81П ср;

здесь = 2 СО8 ср, а иас ~ 2 зш ср.
Из последнего выражения видно, что как при уменьшении
угла наклона ответвления, так и при приближении этого угла к
прямому величина дополнительных горизонтальных сил будет
уменьшаться и в пределе может обратиться в нуль.

Итак, максимальное значение величины дополнительных гори-
зонтальных сил будет при ср 45°.

Проекция сил тяжести на ось АВ равна нулю. На основании
сказанного, импульс сил, действующих на выделенный объем,
равен

М — р2о + (рг — р2) 2 соз ср $ш ср].

Закон количества движения для рассматриваемого объема
напишется следующим образом:

аоУ ^2—Сл—= [р!® — р2<о +
ё \	ао /

+ (Рх — Рг) СО5 ? 8>п ф] М,

Сокращая на М и заменяя 0 выражением % соз ср, получим:
““	_	С05 ? ) =Р1С0 “ Р2Ш + (Р1 ~ Рл) 2 С05 ? 31П ср.

Заменяя расходы произведением скоростей на площади и при-
нимая % = а0 будем иметь

СС0 у	— 0.^6 СОЗ ср) =	— р2и) + (Р, — р2) 2 СОЗ ср 81П ср.

Разделим обе части последнего уравнения на 7 со:

а0 I 2	2	\ Р1 р2 • Р1 — Р'2 &

— О» — €4----Об СОЗ ср =	— ^4-	-- соз Ср 31П ср.

\ *	1 со	т ] у у 1 у со 1 т

Это уравнение может быть приведено к уравнению, аналогичному
уравнению Д. Бернулли:

р1 ( а0*'1 р2 ( а(р2 ( с'оУ2

Т + ^Г = Т+ 2Г+27	% -

— $5 Уб соз <р — Р-1-"/.2 соз ср 81п ср

СО	1	(О	‘	‘

(38)

Для того чтобы перейти к уравнению Д. Бернулли, необхо-
димо заменить а0 выражением а — 2т], после чего получим:

2	2	о 2 о 2	2

I	I Е? _1_	 2^2 I 

а0У1 а0Сб	р —р^ &

—---------У СО5 (р — Ш___ С05 (р 8Ш ср.

2^	§0) и ‘	у (О т т

(39)
В уравнениях (38) и (39) не учтены местные потери; если эти
потери обозначим через й/, то уравнения (38) и (39) перепишутся
в таком виде:

2	2	2

аоА . Р1___р2 а(А

Т ~	+	+ 2§

Р1 —р2 й

•у со

2 /-»

“Л	а0 6

-----.Я.	— Об	сО8 ® —

%8	8	<»	Т

СОЗ <р 8Ш Ср + Й/

(38а)

и

2	2	о 2 п 2	2

аА । Р1	Р2 ।	2тр2 а(А

аоА а0Цб	р р	.

-------- С08 © —	— С05 ф 51П ф	(39а)

2^	со	‘	со ‘ г »	/	\ л

Из уравнения (39а) полная потеря напора в месте устройства
ответвления будет равна:

2	2	2

7^1	т^2	а0у2

“ ~8 ~ 8	^8

Р1 — Ра 2

2

°О°1 а0

~ %8 ~~8

<2б

— Уб СОБЕ-

СОВ ср 81П ср + Н).

(40)

7 СО

Если пренебречь членами, содержащими т), получим

2	2	~

Я(А	аоА	а0 О-б	Р1~Р2	•	11	/Л1

= Ъ-------о-------- — Уб СО8 ср — —---— — СОЗ ср 81П ср + Й/.	(41)

Ш	СО	Т	7 СО	Т I «	/	\	/

В местных потерях в соответствии с принятой схемой явле-
ния (рис. 9) надо учесть потери на резкое изменение направле-
ния части расхода потока, а также потери, вызванные устрой-

ством детали.

Потери на устройство тройника с некоторым преувеличением
можно отнести к скоростям второго сечения, тогда эта потеря
2

будет равна СтРп-- Потери на изменение направления движения
расхода свяжем (приближенно) со скоростями в ответвлении,

г
тогда их можно выразить так:	это потери, отнесенные к

единице веса потока, а для всего потока они будут равны
2

^пов^рСб- Относя эти потери ко второму сечению, разделим по-
лученное выражение на вес потока во втором сечении, что даст

г ^б^б_г
^П0В2ё-Т<Э2	^ПОВ2^02‘

4 Г. А. Петров

49
На основании сказанного, сумма местных потерь для трой-
ника будет равна

Подставляя
получим:

2	2 „

Л - Г	^б

«/ — ^р2^-|-^пов2^о^.

значение й/ из (42) в уравнение (38а)

и

(42)

(41),

2
а0^1
2?

2	2

Р± ___ ®0Г2 р2 1 «0^2

7	' к Т 2§

2
аОV1

а0 Об

о--------------Уб СОЗ ср —

2& ё <*> Т

2 2 п

Р1 -Ръ $	• I Г	I г ^б

^у^-СОБсрбШср + Стр 2^+Спов^о;,

(43)



2	2	Л

а0У2	а0Г)1 а	Об

__	_	_ -0	--уб СОЗ ср

2^ 2ё ё со

Р1 —Ра 2

СО

СОЗ <р 8т<р +

2	2



’тр 2^ Н ^пов 2^ С}2 ‘

Заменяя у2 и V, на — и
2	1	СО

-- и вынося за
со

аоОб

скобки 2^, получим:

Й®-2^2^2

. ^пов 0)2 ^б\
«о со$ Ог /

^_2^СО5ср + ^^ +

<?б “б ? “о ^^б

О*

Р1---р%

—-----— — СОЗ ср 31П Ср.

•у со 41

Заменяя в первом члене в скобках ^2 на + (?б, после про-
стейших преобразований будем иметь окончательно:

. =^0|
2^-СЛ)2

(1 I о 01 су с°	I ^Тр О2 чпов Об СО2

1 4- 2 ~ — 2 — соз ср 4------ -2 4------7Т~

\ об	ао Об ао $2<4

Р1 — р2 &

—	_ СОЗ ср 8Ш ср.

у со 11

(44)

Значение Стр при закрытом ответвлении может быть определе-
но из опыта, а СПОв — по обычным формулам гидравлики.

Из уравнения (43) определим изменение пьезометрической
высоты в месте устройства ответвления:

Р1 — Р2

1

1 , а

1 4~ ___ со$ ср зш

2
«0^1

а0 Об	.

----о_ — уб СОЗ ср 4-
ё

2

+ ^Р^ + С

пов 2^<эЛ

С45)
Это выражение можно привести к более простому виду:

СОЗ ср +

«о$б

/	2	\ I (У?

^О)2 ! 1 + “ СОЗ <р 81П ср I 6

^тр $2	^ПОВ О)2 ^б\

2а0 0*	2а0	С?2/

^0	о

Р1---Р2

7

___________________________

^О)2 11 4- — СОЗ Ср 81П <р

I О2 -I	ша

+ 2ав + 2а0 <0^2	,

о! <о

----СОЗ Ф +
“б

(45а)

Заменяя ф2 суммой <2Х + <2б получим для данного случая:

л2

Р1 — Р2	а^б /1 . 2 (

1	(о.	\ \ ‘ <

^О)2 11 + ~ СО8 Ср 8Ш Ср I

Стр 0.2	^ПОВ <02 Об\

2а0 0^	2я0 0)2 (?2/

41	00

— СОЗ

Об <°б

(456)

Все выведенные зависимости относятся к случаю присоедине-

ния потока под острым углом ср к направлению основного потока.

Посмотрим, как изменятся получен-
ные зависимости в случае присоедине-
ния расхода к основному потоку под
углом ср, большим прямого (рис. 12).

В данном случае сумма проекций
на горизонтальную ось АВ сил и 5
будет равна

/?зтф— Зсозф,

Рис. 12.

или, принимая 7? = р12созф, а 5 = р22зшф, получим:

К зт ф — 5 соз ф = (Р1 — р2) С05 Ф 8*п Ф-

Остальные действующие силы остаются прежними и закон
количества движения для отсека, заключенного между сечения-
ми 1—1 и 2—2, напишется следующим образом:

а0 ф (0.^2 — <21^1 — т- <2бПб С08 ср) АI =
= А/ — р2<о + (рх — р2) 2 соз ф 81П ф].

Примем, по-прежнему, = а0.
Подставляя соз (180° — ф) вместо соз ср, после сокращения на
будем иметь:

~ «^2 —	+ $6% СО8 ф) = рхСО — р2(й 4- (Р1 — р2) 2 СОЗ ф 8Ш ф.

Из последнего уравнения мы видим, что оно отличается от

аналогичного уравнения для случая притока к основному потоку
под острым углом лишь знаком перед членом <2б^б соз ф и заменой

угла ср дополнительным углом ф.

Рис. 13.

Поэтому зависимость (40) для дан-
ного случая примет вид:

2	2	2	2

7]^	.	«0^2	,

। а0 Сб ,
+ ~ СОЗ ф —
ё

— ^1~~ Р2. С08 ф з1п ф 1ц.	(46)

Член И] и в данном случае сохраняет свое прежнее выраже-
ние. Пренебрегая членами, содержащими вследствие их малости,
и производя незначительные преобразования, уравнение (46) можем

представить и

в такой форме:
^2 /



 ^ПОВ	_

«0 Сб| 0.2 у

Зависимость же (456) для
шется так:

Р1 — Р2 9	. . ,

—-----— СОЗ ф 81Пф.

рассматриваемого случая

Р1 — Р2 __

«оОб

1+4:+^*+

(46а)

перепи-

^тр , Спов 0,2 РД

2“0 2ао За/ ‘

(47)

Случай II. По ответвлению от магистрального трубопровода
отводится некоторый расход (Г,- Рассуждая так же, как и в пер-
вом случае, напишем закон количества движения для отсека
магистрального трубопровода, заключенного между сечениями
1—1 и 2—2 (рис. 13):

— У уб»б СО5 <? А/ = △ I [Р1ш — р2<0 4-
\	7 1

+ 7? З1п ср — 8 соъ у] = 0.
Принимая /? — р^созср, 5 = р228Ш<р, а0' = а0 и заменяя ($
на произведение площади и скорости, после преобразований
получим:

2	2	г»

ао^2	®о^1	,	а0 Чб	Р!	/?2 I Р1	- р2

---- —-	-Д — уб СО8 Ф ==	~ — ~ + —-— — СО8 Ф 8Ш Ф

ё	ё	у	у1	у а) ‘ т

ИЛИ

2	2	2	2

«Л	р1 __	р2	а0^2	«0^1

%ё	Т ~ ~%ё	‘ Т	"2^	2^	г

I ЙО	р1 -р2 &	•	/лох

+ ^-%С08?—Чгсо8'?8Ш<?-	(48)

Подставляя в уравнение (48) а — 2^ вместо а0 и учитывая
также дополнительные местные потери, имеем:

2	2	о 2 о 2	2

0^1 , Щ __ ^2 рз _ 2Г№ , 2?Р1

%ё + 7 ~ %ё+ 7	2^ ' 2^ ‘ 2^

2	х-ч

а(А , а0 Ч'б	р1 — р2	. 1	/лп\

---о Ь  СО8 Ф — — —  СО8 Ф 81П Ф + И/.	(49)

§	(0	‘	у 40	‘ Г 1	/	X/

Из последнего уравнения определится полная потеря напора
между сечениями 1—1 и 2—2:

2	2	2

а0У2

На ~ "ё ~~ Т + ~2е

___ Р1---Ръ
у 0)

2	/-л

ао^1 . а0 О-б

„+__0бс°5?_

соз <р зт <р + И,.

(50)

Потери Л/ по-прежнему состоят из потерь, вызываемых устрой-
ством детали, и потерь, вызываемых изменением направления
скоростей отделяющегося расхода. Первые потери будем связы-
вать со скоростью в первом сечении, что хотя и даст некоторое
преувеличение этих потерь, но оно практически допустимо.

Эти потери могут быть выражены формулой

2

Г

2^ ‘

Относя полученные потери к весу всего потока, проходящего
через первое сечение, получим

2

а величина этих потерь, приходящаяся на единицу веса потока
во втором сечении, будет равна

2

2§ ё2-
Принимая выражение для потерь на изменение направления
скоростей отделяющейся части потока аналогичным случаю I,
будем иметь окончательно:

Л _ Г	? °б <?б

Пренебрегая в уравнении (50), ввиду малости членами, содержа-
щими и подставляя полученное значение й/, после незначи-
тельных преобразований получим:

о	2

1	“«^б / , о <?1 , о <0 „„„	, ^тр <21 1

ХД.У2	2 <2б + 2 “б ? "И “0 <?б<2> +

>	_5г_я	. ^ПОЕ «2 @б\ Р1 — р2 2	•	/С|\

в + — -^о	с°з?5ш?. (51)

------------------- «о О)б 42/	I ы

Рис. 14.	С учетом местных потерь уравнение

(48)	перепишется в следующем виде:

2	2	2

«0^1 .	р2 . $0^2

2^ ‘ Т “	‘ 7

, г 1,1 01 , г °б Об

А^Р 2& Й + ^поб1?02’

а0°1 , Об	.

_ —ь	_«	_	соз	ф 4-

2^-	<*>	т

--- Т)п й	•

—--------—	—	СОЗ	Ф	81П	ср.

-у	со	*	‘

(48а)

Из уравнения (48а) определим разность пьезометрических
высот в сечениях 1—1 и 2—2 (рис. 13):

Р1~ Рз 1 Га0о|	а0У1

у	0	I------

/ + тгС05 5*п

, ав 0б	. _ V? <2	0б1

+ 7 06 С05 ч + ^р 2^	0И 

Заменяя р2 разностью фх — фб, а расходы и (?б произве-
дениями соответствующих скоростей на площади, получим окон-
чательно :

---- (1_2«'+^сю.+

1	С» *«

. ^тр (21 . ^ПОВ СО2 (2б

^2	2а0	<22

(52)

Если отделение потока
большим 90° (рис. 14), то

происходит под углом к магистрали <р,
во всех зависимостях надо заменить
%

угол ср дополнительным углом и перед членом ~~Яб соз ср

нить знак на обратный.

Учитывая сказанное, получим:



_2^1-2-со8ф + -^^

0б <*б	ао

Р1 " р%	• • I

—----— — СОЗ Ф 81П Ф

7	<0 т г

и

^пов 0)2

«О ^2

Р1 — Р2

1

1 — 2 ~ — — соз ф

<2б “б

^тр <31
2%Сб^2

^ПОВ с°2
2% О)2 С?2

изме-

(53)

(54)

Так как движение потока в местах разветвления представляет
весьма сложное явление, не все элементы которого могут быть
учтены, то для установления возможностей практического исполь-
зования полученных зависимостей нами был произведен ряд
экспериментов, давших удовлетворительное совпадение результа-
тов, получаемых по предлагаемым зависимостям, с опытными
данными.

Опыты показали, что дополнительные потери напора, вызы-
ваемые устройством детали и изменением направления скоростей
бокового расхода, относительно малы по сравнению с теми изме-
нениями напора, которые вызываются изменением массы потока в
данном пункте трубопровода.

§ 6. ДВИЖЕНИЕ В ТРУБОПРОВОДЕ С ПОСТОЯННЫМ
ПЬЕЗОМЕТРИЧЕСКИМ НАПОРОМ

Иногда желательно создать на всем протяжении трубы оди-
наковый пьезометрический напор.

Рассмотрим лишь случай установившегося движения, причем
предположим, что вытекание происходит только при 0 = 0, т. е.
когда частицы отделяются от основного потока под прямым углом.

Корректив скоростного напора принимаем также постоянным
вдоль потока. При этих предположениях для решения поставлен-
ной задачи воспользуемся уравнением (9в)

+	+	+	—=	(9в)
Для наших условий это уравнение примет вид:

должен отдаваться на этом участке, при условии + 2 = сопз!

I

1 1 \

4- 4- + г) + Ч(1х = 0.

О2

Принимая 0 == ^2 и имея в виду, что по условию должно
быть ™ + х = соп81, последнее уравнение напишем так:

<55>

Уравнение (55) может быть представлено в такой форме:

?^ей(2 + ^мх=о,

(56)

.	2а(Л2 л

или, обозначая постоянную величину через А и интегрируя
уравнение (56), получим:

А Гп (2 ф- х = С.

При х = 0 расход О будет равен расходу в начальном
сечении трубопровода; подставляя эти значения х и (), опреде-
лим постоянную С:

С = А 1п<2н.

Заменяя значение С полученным выражением, будем иметь

А 1п С + х = А 1п(?н
или

х = А ,

откуда определяется расход, который должен проходить в каж-
дом сечении трубопровода:

(57)

Зная расход в данном сечении и начальный расход фн, легко
определить, какой расход (^х должен отдаваться на пути от
начального до рассматриваемого сечения х:

Ох — Он ~ 0 - Сн ( $ ~х

\ еА

(58)

будет:

С1—2 — С1	С 2 — Сн

х2

еА еА

(58а)

Значения расчетного расхода при 2 == сопз! легко можно

установить и при условии В — --,

Воспользуемся для этого уравнением (96):

а	+ Лг +	4-	= 0.	(96)

Производя преобразования, уравнение (96) приведем к еле"
дующему виду:

Дс^ + Цйх + ^^ —= 0.
' к2	0. п§(л2 о

Деля это уравнение на О2 и делая приведение подобных чле-
нов, получим:

(2 — -3	+ Йх = 0.

\ п ) §СО2 (2

г-г	-	а0К2 А

Принимая прежние обозначения — -у , получим:

4-Й7+'1х“0’

а после интегрирования будем иметь:

л(1-1)1пО4-х=С.

Исходя из начальных условий х — 0 и (2 = <2Н, определим
и полученное значение подставим в последнее уравнение:

л(1-С)1п$4-х = Л (1 — ^) 1при;

отсюда

Обозначая Л^1—через В, получим

= (59>

Если возьмем любые два сечения /—1 и 2—2, отстоящие
от начального на расстояния х± и х2, то расход 01^ который 56

56

то есть данное выражение аналогично выражению (57).

5Т'
Используя далее уравнение (9г), определим потери напора,
которые возникнут при прохождении расхода по трубе на
участке длиною х.

На основании уравнения (9г) потери напора на длине (1х
будут:

Пренебрегая членом, содержащим ц, и помня, что 6 = 0
получим

= 1,Лх	,

ИЛИ

Заменяя здесь фс10 по уравнению (56) и имея в виду (57)
получим

№
е А

Интегрируя в пределах от 0 до х, будем иметь

____1_\ — ^71	1\

4 К2 I 2* I • 2^0)2 I 1	2* I >

\	еА /	\	еА /

или окончательно:

2^а)2

(60)

При расчете надо найти расход который должен отдаваться
трубой в каждом сечении, находящемся на расстоянии х от
начала трубы.

Если нам известно, что от сечения хг до сечения х2 труба
должна отдать расход то можно легко определить необходи-
мые размеры сечения отверстий по формуле

Чем ближе будут находиться расчетные сечения друг к другу,
тем точнее полученные результаты.
ГЛАВА III

БЕЗНАПОРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КАНАЛАХ
С ПЕРЕМЕННЫМ ВДОЛЬ ПУТИ РАСХОДОМ

§ 7.	УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПОТОКА С ПЕРЕМЕННЫМ РАСХОДОМ
В ОТКРЫТЫХ КАНАЛАХ

Рассмотрению подвергнем только случаи установившегося
движения, для которого можно воспользоваться уравнением (96):

+ ? + + + = (9б)
\	/ I	о

.или в форме

+ т + +	(9в)

Решение этих уравнений значительно труднее, чем решение
аналогичных уравнений, полученных для случая движения в трубо-
проводах, так как в рассматриваемом случае о> является пере-
менной величиной.

Принимая (1г = —1ес1х, уравнение (9в) перепишем в таком
виде:

—^с1ш + с1Н — 1^х + 1^х — —	= О,

^Г(02	^(03	1	О ‘	/	Я®

где ~ принято равным й/г.
Имея в виду, что =

х, Л), получим

1	3(0 1 I 3(0

61 СО — ч- С1Х "Т" чу С1/1.
дх 1 ЗА

Подставляя это выражение дм в предыдущее уравнение, по-
лучим:

да а _ ди	щ = 0

^(о2	^(о3 дх ^(о3 ЗА 1	0	‘	1
Для призматических русел = 0, поэтому последнее урав-
нение перепишется так:

, _/ а° । а»6^

Ж 0	( Лх '	<1х	,с..

Тх =--------. «ж:---------’	<61>

1--^ь

^ь-дй-

Уравнение (61) показывает, что аналогично случаю движения
жидкости с постоянным расходом для случая потоков с перемен-
(Иг

ным расходом производная испытывает разрыв непрерывности
при значении знаменателя правой части уравнения (61), равном
нулю.

Знаменатель же уравнения (61) может обратиться в нуль
лишь при установлении в потоке критической глубины.

Таким образом, мы видим, что как для случая движения с
постоянным расходом, так и для случая движения с переменным
расходом переход потока через критическую глубину вызывает
разрыв непрерывности.

§ 8.	ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ РАСХОДА НА ВЕЛИЧИНУ
УДЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ

Общее выражение для удельной энергии сечения в рассматри-
ваемом случае имеет тот же вид, что и для потока, движущегося

с постоянным расходом Э

аъ2

Дифференцируя, получим (1Э =- (1И + (1	.

Из уравнения (96), пренебрегая, ввиду малости, членом, содер-

жащим , получаем

(1Э____. _____. а0 (V — 6) V йО

(1х	^0 йх ’

(62)

Уравнение (62) показывает, что изменение удельной энергии
сечения вдоль движения зависит в значительной мере от вели-
чины последнего члена правой части, учитывающего дополнитель-
ные явления, вызываемые изменением массы.

Дополнительные явления в зависимости от соотношения
между V и 0, а также от характера изменения расхода, могут
вызывать как увеличение, так и уменьшение удельной энергии.
Рассмотрим влияние этого дополнительного члена на величину
удельной энергии в различных случаях.

1.	(10 < 0; V > 0.
Дополнительный член в правой части уравнения (учитывая
знак минус перед ним), (62) будет всегда иметь положительное
значение, т. е. действовать в сторону увеличения удельной энер-
гии сечения.

2.	йр<0; у = 6.

Дополнительный член обращается в нуль и никакого влияния
на величину удельной энергии оказывать не может.

3.	й(2<0;

Дополнительный член имеет отрицательное значение и дей-
ствует в сторону уменьшения удельной энергии потока.

4.	йф > 0; V > 0.

Дополнительный член имеет отрицательное значение и спо-
собствует уменьшению удельной энергии.

5	йр>0; V = 6.

Дополнительный член обращается в нуль и никакого влияния
на величину удельной энергии не оказывает.

6.	Л2 >0; V < 0.

Дополнительный член получает положительное значение и
способствует увеличению удельной энергии.

§ 9.	ИЗМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНОЙ И КРИТИЧЕСКОЙ ГЛУБИН
ВДОЛЬ ПОТОКА

В рассматриваемом случае под нормальной глубиной потока
в каком-либо сечении подразумеваем ту глубину, которая уста-
новилась бы при равномерном движении на участке, имеющем
расход, равный расходу в выбранном сечении, ту же форму
живого сечения и постоянный уклон, равный имеющемуся уклону
дна.

Таким образом, в данном случае нормальная глубина являет-
ся условной величиной, изменяющейся вдоль движения.

Критическая глубина определяется по тем же зависимостям,
что и при постоянном расходе, и является также величиной,
изменяющейся вдоль движения.

Для установления характера изменения критической и нор-
мальной глубин вдоль потока необходимо знать закон распреде-
ления расхода вдоль потока.

Зададимся наиболее простым случаем, когда изменение рас-
хода по длине происходит равномерно. При этом рассмотрим
как случай увеличения, так и случай уменьшения расхода по
длине потока, т. е. примем, что расход <2 в любом сечении будет
равен:

0. = <3н ± дх,

где рн — начальный расход;

д—присоединяемый или отнимаемый на единице длины
пути расход.
Кроме того, предполагаем, что русло на всей длине имеет прямо-
угольную форму поперечного сечения.

Случай I, Расход вдоль потока непрерывно увеличивается.

Определим величины й0 и Ак:

(Фн + ?х)2 = С2о)27?го.

Примем С1 =Так как для широкого и неглубокого
прямоугольного русла 7? = Ио и со = Ыг0, то получим

(<2н + ^)2=^Ь2^’%,

откуда

3.4

Ио= у

«2	,	1 /«(<2Н + у*)2

а йк = ]/ —.........-

о

Разделив последние два равенства одно на другое, получим:

где

Ло___________дО,6^,0,078^0,33	_	д

йк г°’3ао.зз ($н + дх)М1» ($н + <7-О°’0’8 ’

Л0,6^0,078^0»33
/д’3а0’33

Из уравнения (63) видно, что величина ~ уменьшается с воз-

Выражения для /г0 и Лк показывают,
что обе эти величины возрастают

растанием длины пути х.

Рис. 15.

с увеличением х, однако, как эта
видно из уравнения (63), Лк возра-
стает быстрее, чем Ло.

Таким образом, если в начальном^
сечении /г0 было больше /д, то при
достаточной длине пути х должен
наступить момент, когда сравня-
ется с /гк, а затем будет оставать-

ся все время меньше критической
(рис. 15).

Если же в начальном сечении й0 было меньше, чем йк, то и в

дальнейшем на всей длине пути оно не может сделаться боль-

шим Ик, если закон изменения расхода и размеры сечений не

изменятся.

При <2н равном нулю

__ А

_____ _____ О?*)0’078 ’

(63а>

1	Можно для С принять любую формулу типа С — это на выводах

не отразится.
В этом случае при достаточно малых значениях х дробь в
правой части уравнения (63а) больше единицы. Из (63а) следует,
что во всех сечениях вплоть до сечения, находящегося на неко-
тором расстоянии х, глубина /г0 всегда будет больше Лк-

Случай II. Расход вдоль потока непрерывно уменьшается.
В этом случае вместо уравнения (63) будем иметь:

Ло	А

ЮН-ЧХ)О’О^'

Соответствующие значения Ло и 1гк будут:

»у(он-<?х)2^ Vя (Сн-^)2

/го=1/ ----;	---•

(64)

Из последних выражений видим, что как /г0, так и Лк
имеют наибольшие значения в начальном сечении и постепенно с

увеличением х уменьшаются, т. е. имеет место явление обратное

тому, которое получили в первом случае.

Если в начальный момент й0 > то с увеличением х знаме-
натель правой части уравнения (64) будет беспрерывно умень-
Ло
шаться и отношение ~ увеличиваться.

Таким образом, /г0 при увеличении х растет быстрее, чем
и линии этих глубин никогда не пересекутся.

Если же в начальный момент /г0 < йк,
то с возрастанием х отношение ~ будет I •
72 к	О



возрастать, пока не достигнет значения,
равного единице, т. е. Ло станет равным Лк.

При дальнейшем увеличении х. и Ак
будут продолжать уменьшаться, но умень-
шение /гк будет происходить быстрее, чем
уменьшение Ло (рис. 16).

Рис. 16.

§ 10. ФОРМЫ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОТОКА, ДВИЖУЩЕГОСЯ
С ИЗМЕНЕНИЕМ РАСХОДА ПРИ ОТСУТСТВИИ СИЛ ТРЕНИЯ

В данном случае принимаем силы трения настолько малыми
(по сравнению с остальными факторами, характеризующими дан-
ный поток), что пренебрежение ими не вносит существенных
погрешностей в наши выводы.

Кроме того, принимаем, что присоединение или отделение
расхода будет происходить под углом 90° к основному потоку,
т. е. 0 = 0.

При указанных предположениях общее уравнение (9в) примет
вид:

+	=	(65)
В этом уравнении — заменено 1г, а бк заменено — 1ес1х. Рас-
смотрим случаи равномерного по длине присоединения и отнятия
расхода от основного потока, движущегося в канале с пря-
моугольным поперечным сечением.

Случай I. Равномерное присоединение расхода вдоль пути,
т. е. расход основного потока увеличивается по длине. Для
упрощения получающихся выражений примем начальный расход
<2н ~ 0, тогда расход в любом сечении, отстоящем на расстоянии
х от начала, будет равен О = ух, где у — приток на единицу
длины пути.

В уравнении (65) <2 заменим через ух, ш через Ыг, здесь Ь —
ширина канала, и разделим все члены на йх.

2а072х	а0#2х2 йН ।

^Ь21г2	дЬ2/Г3 йх'йх

Взяв производную по х от уравнения (66), получим:

2а0^2	6а0#2хйН	а0д2х2 бРЛ За0д2х2 /б/2 А____________~

З&К2	уЬ2№ йх	&Ь2№ йх2	‘ ^62/г4 \йх)	йх2

Из уравнения (66) и (67):

‘	7	2(М2%

йН___ 0	%Ь2И2

йх а0у2х2 ’

&Ь2№

б^д2х йН	За0д2х2 /б//Л2	2я0б/2

й2Н  %Ь2№ йх &Ь2№ \йх/	&Ь2Н2

йх2	а0д2х2

Эти же уравнения могут быть представлены и в более
виде:

с2ах

йЬ _	.

йх ах2 ’

бах (1И Зах21<^/г\2	2«

б/2/?__ Л3 йх № \йх) И2

б^х2 “	1 ах2

>

(68)

(69)

простом

(68а)

(69а)

если введем обозначение


Уравнение (69) может быть представлено еще и в таком виде:

3 б/Л (2ах __.  ах2 ЛИ\ 2а

Л2И ~Н Лх уТт2^	И* Лх/ Н2 _

йх2	ах2

7?

3 Г /. _2ах\ . ___ах2 ЛИ\ ЛИ 2а

Т[у^7^/^^'~~1?Лх]Лх^И2

1__ах2

1~ /гз

ах2\ . __ах2ЛН\ ЛИ 2а

~	/+Л |	77»'Ь/л ~_

ах2
~ >

3 Г. аЛ/ ах2 б?х2\1 б?/г 2а

Ть°~~5хУ~ +
______________ах2	’

^Лз

или окончательно:

Зго^А_ З^/йАу _2а

д?к Н с1х И \с1х) А2	/с.п-.

аё =-------—----------•	(696)

1 и*

Если в уравнении (696) заменим ™ его значением (68а), то будем
иметь;

2ах\2

ах2 I И2

_	______________________Лз~ /

Лх2	ах2

1

Из уравнения (68а) видим, что при достижении потоком, дви-
жущимся с изменением расхода, критической глубины наступает
разрыв непрерывности функции Н = ?(х)ч как и в случае движе-
ния с постоянным расходом; поэтому рассмотрим лишь участки,
в пределах которых сохраняется непрерывность данной функции.

а)

ах2

Дз

2ах

что при обычно встречающихся в практике малых значениях
уклонов возможно при малых значениях х или больших значе-
ниях глубины. И.

Из уравнения (68а) вытекает, что при сделанных предполо-
ал (+) п

жениях = — > 0 и имеет место кривая подпора, т. е. в дан-
ном случае происходит увеличение глубины вдоль потока. Для

5 г. А. Петров

65
«	„ (12Н

определения знака второй производной воспользуемся урав-

нением (69в). Из этого уравнения при условии	получаем

п 10 п

5=ы<0)так как

2ах

ах2

2ах\2

|

ах2 I

1“" Аз /

т-т 2ах

ПРИА%

ах2	» •

— для обычно встречаемых в практике значении

З/'о

дробь -у должна быть мала, а член

2ах

ах2

1 “ Аз-

Рис. 18.

Рис. 17.

Поэтому разностью первых двух членов в числителе уравне-
ния (69в) можно пренебречь по сравнению со значением члена
сП	(—) ^л

и тогда по-прежнему остается	< 0, т. е. имеем кривую

подпора, обращенную выпуклостью кверху (рис. 17). Если же
окажется, что разность первых двух членов в числителе уравне-
ния (69в) больше что возможно при малых а и достаточно

.	. д2п

больших 10, ТО =
выпуклостью книзу.

~ > 0 и кривая подпора будет обращена

ах2

Из уравнения (68а)

. 2ах .
> 

/л	//?Л \ сГ'Н

0, а из уравнения (69а)	==

= 1=2 <0.

(+)

В данном случае кривой свободной поверхности является
кривая спада, обращенная выпуклостью кверху (рис. 18).

ах2

2ах ,
<
Из уравнения (68а)	Ш <0, а йз уравнения (69а)	—

_<=)>о
_ (_} и.

В этом случае глубина потока вдоль движения уменьшается,
т. е. имеет место кривая спада, обращенная выпуклостью книзу
(рис. 19).

ах2 е 2ах
~№>1’

Из уравнения (68а)

0.

Знак второй производной

(П

определяется из уравнения

(69в'.

Рис. 19.

Рис. 20.

ах*	а*п

этого уравнения, при условии	; величина

=	> 0, а при условии	и при обычно встречаемых

(—) п	. з/в

в практике размерах уклонов = р-' > 0, так как дробь
2ах

мала, а ---—2- < 1, что позволяет пренебречь первыми двумя

1

2а
членами в числителе уравнения (69в) по сравнению с .

В данном случае свободная поверхность потока представляет
кривую подпора, обращенную выпуклостью книзу (рис. 20).

Если же окажется, что разность первых двух членов в чис-
лителе уравнения (69в) больше , что возможно при малых а
и достаточно больших /0, то

^ = (±) .

б/х2 (—)

и кривая подбора будет обращена выпуклостью кверху.

Случай II. Расход равномерно убывает вдоль пути <2 — фн —
— дх, т. е. в данном случае происходит отделение расхода от
основного потока.
Подставляя значение 0. в уравнение (65), получим:

2я0((2в—дх)д «о (Зн — <7*)2 Л АН

~ еь*и2	$&№ ах ‘ ах 1° ~

Дифференцируя уравнение (70) по х, получим:

2<х0д2 4а0д (0в — дх) М 2а0(Сн — дх)д ОН.

§62Л2	§62Л3 ах+	$№А3	ах ’’

, За0 ((?„ — дх)2 / ан _ ао (0н — ?*)2 сРН	ач _

‘	&Ь2№	\(1х/	ёЬ2& с1х2 ‘ с!х2

Из уравнений (70) и (71):

. 2а0(Сн —дх)д

ан _

ах~ а0 (<2Н — дх)2

—	§62/г3

	б«о? (Он — ан		з°-л (<2н — дх)2		2а0а2	
		§Ь2№	д,х		\(1х)		(73)
йх2 “		1 —	ао (Он — §Ь2/г3			

или

3/0 (1И	3 (б/Л\2 2аоб/2

д,2Н _ Н йх	Н \(1х)	&Ь2№	(73я)

1	&Ь2№

Из уравнения (72) видим, что при > 0 числитель правой

йк

части всегда положителен и знак будет зависеть от знака

знаменателя.

Таким образом, в данном случае будем иметь лишь два вида
кривых свободной поверхности:

ч ,	% (Он ~ <7*)2	б//г (+)	&И

а) 1 > —-^Н3— ’ тогда Тх = (+) > 0> а из УРавнения (73) аГ2 =

(+)
В данном случае свободная поверхность потока представляет
кривую подпора, обращенную выпуклостью кверху (рис. 21).

х 1 (Сн — И2 ан (+) ~	. а2Н (—)	Л

в) 1 <-----, тогда	< 0 и из (/За) -т-- = V—; > 0.

(__)	\	/ ^Х2	(—)

Свободная поверхность является кривой спада, обращенной
выпуклостью книзу (рис. 22).

Как видно из изложенного, для случая движения с непрерыв-
ной и равномерной раздачей расхода вдоль пути свободная по-
верхность может иметь один тип кривой подпора и один тип
кривой спада. В случае же равномерного присоединения расхода
вдоль пути свободная поверхность может иметь два типа кривых
подпора и два типа кривых спада.

§ 11. ФОРМЫ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОТОКА, ДВИЖУЩЕГОСЯ
С ИЗМЕНЕНИЕМ РАСХОДА ВДОЛЬ ПУТИ, ПРИ НАЛИЧИИ

СИЛ ТРЕНИЯ

В настоящем параграфе рассмотрим движение потока для
случаев равномерного присоединения или отделения расхода вдоль
пути в канале, имеющем прямоугольную форму поперечного
сечения.

Полагаем, что как присоединение, так и отнятие расхода про-
исходит под прямым углом к направлению главного потока,
т. е. 0 = 0.

Учет сил трения производим, как и в ранее рассмотренных
случаях, по формулам равномерного движения.

Для получения основных уравнений воспользуемся общим
уравнением движения потока с переменным расходом в форме (9в),
которое для рассматриваемого случая может быть представлено
в виде:

лэ -	+ ан - 10лх +	= о,

или, заменяя со на Ыг (Ь — ширина, к— глубина потока) и деля
на (1х получим:

&0  «о<22	।	; • __ п

ах ах* ах 0 ‘

Дифференцируя по х, получим:

2«оо а20 . 2а0 /асл2 б«ор а() ан а0<22 а*н .
ах2 ‘ &ъ2Н2 \ах) @ь2из ах ах ' %ь2нзах2

.	, а2н (Щ __

ёь2н* \ах) ах2 ах *
Из последних двух уравнений определим общие выражения
ан а2н
для -т- и -т-9.

ах ах2

2а0(? ао

ЙЛ 1Г ёь^ах .

йх ~

ВЬ3Н3

2а0<> &0. 2а0 ЛКЛ* 6аоО ОдОН За^МУ

а2и _ %ь2И2ах2 ёь2П2\ах] ' ^ь2нзах ах @ь2№\ах) ах

_ _	аод2 --------------------. (/о)

@Ь2Н3

Полученные общие уравнения (74) и (75) применим для слу-
чаев движения с равномерным присоединением и раздачей расхода
по длине.

Случай /. Движение происходит с непрерывным присоеди-
нением дополнительного расхода по длине.

Величину присоединяемого на единице длины расхода обозна-
чим через д, тогда общее выражение для расхода основного пото-
ка в любом сечении, расположенном на расстоянии к от начального,
может быть представлено так:

<2 = <2т + дх,

где ф г — транзитный расход.

Полагая фт — 0, получим О ~ дх. В этом случае уравнения (74)
и (75) могут быть представлены в таком виде:

2а0д2х

ак = <0 ~ ~	.

ах ~	_ <М2Х2	’

^2/г3

2а0д2	6а0(72Х аН За0д2х2 (аН^2

а2н____ах ^ь2№ ' ах: ах

ах2	а0Ч2х2

а0д2
или, выражая ~ через а:

. 2ах

ал _	.

ах 1 ах2 ’

Л3

2а бах аН Зах2 /аН\2

а2н___ н2 * лз ах ы [ах/ ах

ах2	ах2

1

(76)

(77)

Уравнения (76) и (77) можем представить несколько иначе,
если введем нормальную и критическую глубины, относительно
которых следует помнить, что они являются величинами пере-
менными.

Воспользовавшись формулой = о>С \/1К1 можем написать при

<2 ~ дх и 7? Л:

д2х2 = С2о)27?/ = С2Ь2Н31ь
откуда

.  д2х2

С другой стороны, д2х2 можем выразить через элементы, соот-
ветствующие равномерному движению с нормальными глубинами,
т. е. можем написать:

д2х2 = С2^1. = С2Ь2^.	(а)

Подставив значение д2х2 из (а) в выражение для 1^ будем иметь:

“ ОЖ* го*

Полагая С0^С, окончательно получим:

Ч ~ дз“ го-	(б)

Дифференцируя обе части уравнения (а) по х получим:

2<?2х = Зйо ^С2оЬ21о,
откуда

2/^2	_ 2д2х

Подставляя в последнее уравнение значение для д2х из урав-
нения (а), получим:

ЗЛ2<, = ^».	(в)

йх х

Дифференцируя (б) по х и принимая во внимание (в), получим:

2/г0 ф	о

йх х№ А4 йх ?0'

Имея в виду, что

(д)

и используя (б), можем представить уравнение (76) в таком виде:
. До 2Л’

ан

= ------------- в	(/X)
Имея в виду (г) и (д), уравнение (77) можно представить в
таких формах:

с12Н (1х\х№ А41°/ А4 \с!х/ х2А2 х№	/7О

1___

№
или же

или в окончательном виде

Зг0 йй _ 3 /йй\2	2Л®	2й®

й2й  й йх й \с1х)	х2й2	хй3 г°

б1х2	д3

1--3.

А3

(79а)

Это же уравнение представим еще в таком виде:

3_4А/

с12/г_ А б?х V 0 б/х/ х2А2 хА3 *°

д,х2	Д3

1—_к_

А3

или же

А дх \ 0 А3 + хИ2 о _ 2^к __ 2/7о .

д3	х2А2 хА31°

1——

^2А _ __________ А3

(796)

(79в)

Полученные уравнения (76)—(79в) позволяют установить форму
свободной поверхности потока при различных соотношениях ме-
жду гидравлическими элементами в поперечных сечениях.

Рассмотрим некоторые случаи.

1.3

А3 ’

•	• Л°3 щ

А3 ’ хА2
Очевидно, второе условие может быть выполнено только в том
случае, когда < й, а х имеет достаточно большие значения,
2/гк
т. е. дробь мала.

Таким образом, в данном случае глубина потока должна быть
больше как йкр, так и Ло. При заданных условиях из урав-
нения (78) получаем

0

(+К ’

т. е. глубина потока вниз по тече-	п

нию возрастает и мы имеем случай <^*^**^

кривой подпора.

Поставленные в рассматриваемом

из урав~

членами,

личиной малой по сравнению с остальными
нения (78) получаем

аъ._ . ЛЗ-/4
1°И3 — й® '

(78а)

Дифференцируя (78а) по х, для рассматриваемого случая,
получим

™ ‘ ЗЛ2^“/гк)^	т .

ЙЛ-2 1» (А8 _ й®)2 ах-	г)

Это уравнение (79г) подобно аналогичному уравнению для слу-
чая неравномерного движения.

Исходя из уравнения (79г) и помня, что > 0, получаем
для случая Лк > /г0:

О
(+) ~ и’

т. е. кривая подпора имеет выпуклость, направленную кверху
(рис. 23).

Для случая /г0 > Лк из уравнения (79г) получаем:

^й = (+) л

(+К
11 кривая подпора будет обращена выпуклостью книзу.

б) 1

1° > 1° Л3 + ХЙ2 •

В этом случае И должно быть меньше Нк, но больше Ло, следо-
вательно, 1г0 должно быть меньше /гкр; кроме того, величина хК2
должна быть, при обычно встречающихся значениях уклонов,
значительно большей, чем 2/г®.

Из уравнения (78) получаем: ~ =	< О, а из уравнения

(79а) 0 = й>°-

Рис. 24.

Таким образом, при заданных условиях свободная поверхность
потока будет представлять кривую спада, обращенную выпу-
клостью книзу (рис. 24).

в) 1 >

1° Й3 +	•

го

Выполнение второго условия возможно при > /г, если же
Ло < /г, то это возможно лишь при соответствующих значениях х.

Для случая /г0 > Н и 1г > йк, очевидно, /г0 > Нк и глубина по-
тока И будет находиться между Нк и /г0. Из уравнения (78) по-
.лучаем	< 0, а из уравнения (79а) —2 =	< 0.

Таким образом, в данном случае кривая свободной поверх-
ности представляет кривую спада, обращенную выпуклостью
кверху (рис. 25).

,3	г3 г>г3

\	.	-	. ^0 |

П 1 <	’ 10 < Ч Лз -Г хЛ2 •

В данном случае И меньше Лк. Из уравнения (78) получаем

Ах ~ (—)

В рассматриваемом случае для малых значений х и при обычно
2/г3к
встречаемых в практике размерах уклонов член в числителе
А3

правой части уравнения (79в) будет больше 10~- и потому^ ==
^й>0.

2ЛК

Для больших значений х, когда членом можно пренебречь,

условие 10 < г0дз + превратится в 10 < г0 или Л < Ло.

Если Нк < Но, то в рассматриваемом случае числитель урав-
нения (79в) будет отрицателен и положительным.

При 1гк> Ио и при обычно встречающихся в практике значе-
9А3	ОА3

ниях уклонов член должен быть меньше, чем кото-
рым мы считаем возможным пренебречь ввиду его малости.
2А3	2А3

Поэтому в уравнении (79в) членами и -г-/0 можно также
х	хп

без большой погрешности пренебречь и тогда = ^<0.

Таким образом, свободная поверхность при малых х или при
больших х, но при /гк < Ло, представляет кривую подпора, обра-
щенную выпуклостью книзу (рис. 26).

При Нк > й0 и больших значениях х
свободная поверхность представляет
также кривую подпора, но обращен-
ную выпуклостью кверху.

Случай II. Движение происходит
с непрерывной и равномерной раздачей
расхода вдоль пути.

Расход, раздаваемый на единицу
длины пути, обозначим через д, тогда
расход в любом сечении основного

Рис. 26.



потока, отстоящем на расстояние х от начального сечения, будет
ф = фн — дх, где фн — начальный расход равный д1 и поэтому

(± = д(1— х). Уравнения (74) и (75) для данного случая
образуются следующим образом:

пре-

2а0(Сн — дх)д

М _	+ дЬЧу____________

ах~~	а0 — дх}*

1

2а0<72 6“о (0н — <7*) д ан 3«о (Он — ЧХУ 1аН\2

йх	\(1х/ д,х * 1

Ох2	“ «о (<2Н ~ ^)2

1
Обозначая через а и фн — дх через д (I — х), получим:

2а(/ —х)

ад 0 гн д*

,	(80а)

Л3

_ 2а _ 6а (/ — х) <Уг _ За Ц — х)2 /й/Л2 __

б/2А__ А2 А3 (1х	№	\с1х) Их	,О1

с?х2“	а(1 —

1 ~ А3

или же

За (I — х) Лк [0 , I — х . ч] [, а (I — х)2] /2а ,
Жг_ А2 йхГ+ А <го-гР|-[1~ .............../(з ]^дз + й/

..а(/_х)3р	-------------• (810>

[‘ А» ]

Преобразуем уравнение (816):

3 |2а(/ —х)ДД а(1 — х)2	. ч Лк\ [,	а(/ —х)2]/2а ,

— = А 1 А2	I А3 ](А? + Д7

ах*	Г а(/ —х)2 2

11 А3

Из (80а) определим значение — д-2 — и подставим в послед-
нее уравнение:

3 //адУ[,	а(/ —х)2] Л/г,.	,Х1а(1-ху„	. ч М]

~Ь \\ах/ Г к3	] йх(г°	А3	ах)~

Г а(/-х)2]/2а , МЛ

(1^г _______ [ А3	] \ А2 ' д,х)

~	Г а(/-х)212	=

I ]

3/рА\2Г	а(1 — х)21	..	. Чб/А|"	а(1-~ х)21)

-тЫ I1—д^-Н'о-'М1—дз—])-

Г	а (I — х)21 / 2а Н1Л

_____________ Е1 А3 ]\А2~Ь	#

Г а(/-х)2]2

[ А3 ]

а(1 — х)2

сокращая числитель и знаменатель на 1 — —, получим
окончательно:

с?2А А *° Их к \с1х) к2 Их	.

_ __	—	.	(61В)
Аналогично предыдущему примем

' Ь   1 /"'а^2   ЛаО#2  Х)2 __

= С^1Т и к “ V	“

= Уа(1 — х)\

откуда й* = а (/ — х)2.

Для данного случая рассмотрим аналогичные I случаю со-
отношения между различными членами, входящими в основное
уравнение (80а).

Из уравнения (80а) следует, что || = ~~ > 0, т. е. глубина
потока вдоль движения возрастает, а из уравнения (81а) по-
лучаем:

л

(+)

В данном случае свободная поверхность представляет кривую

подпора с выпуклостью, обращенной кверху (рис. 27).

О к#; .'. + ^>4-

^_(+)
д,х	(—)

Из уравнения (80а)

имеем

< 0, глубина И вдоль по-

тока уменьшается.

Т1	(12И

Что же касается знака , то здесь возможны различные

И3

случаи, например: 1) если *о>*о-^г (или й>й0), то из зависи-
мости (81 в)	> 0, т. е. кривая спада имеет выпуклость,
По

обращенную книзу (рис. 28); 2) если 10<10-^ (или к < Ло), то
2________________________________________________

для значений х, при которых абсолютная величина -у (/0 — 0)<2,
весь числитель уравнения (816) будет положительным и ~ —
=	< 0, т. е. в данном случае будет иметь место кривая спада

с выпуклостью, обращенной книзу.
, 3 ,з

В1 1 > — • — I -> I 4- 2а(/~

В) > Л3 ’ /г3 г0 > г0 +

В данном случае к>кК, но к<к0, т. е. /г0>/гк.

Из уравнения (80а) получаем	< 0, т. е. в данном

случае наблюдается кривая спада. Так как ^>^0, то из урав-
нения (816) для значений х, при которых абсолютная величина

(Ц _ 0) > 2, будем иметь ~~ =	< 0, т. е. в данном случае

кривая спада обращена выпуклостью кверху (рис. 29).

,3	, 3

ч 1	. 2а (/ — л)

Г) 1 < /г3 ’ 1з 1о > Г° 4	•

Из уравнения (80а) ^ = О>0, а из уравнения (81а)

В данном случае имеет место кривая подпора с выпуклостью»
обращенной книзу (рис. 30).

§ 12. ФОРМЫ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОТОКА, ДВИЖУЩЕГОСЯ

С ПЕРЕМЕННЫМ ВДОЛЬ ПУТИ РАСХОДОМ, ПРИ НУЛЕВОМ
УКЛОНЕ ДНА

Определение вида свободной поверхности, для случая непре-
рывного и равномерного присоединения и отделения расхода
вдоль пути, произведем так же, как и для прямого уклона^
78
Для г0 = 0 глубина равномерного движения не имеет физи-
ческого смысла и поэтому выразим с некоторым приближением
следующим образом: принимая С = ~^0’2 и Для широкого прямо-
угольного поперечного сечения 7?^. И,

(82>

.	<22	п2®2

Ч	^2^ — ^2^3,4 «

Для (} = дх и О = д (/ — х) последнее равенство соответ-

сгвенно примет вид:	; 	п2д2х2  ” Ь2Л3,4	(о2а>
и	; 	п2(72 (1	х)2  ’	(о20^

Перейдем к рассмотрению форм свободной поверхности.

Случай 1. Движение происходит с непрерывным присоеди-
нением расхода по длине 0, = дх.

В этом случае уравнение (76) примет вид:

• □_ ^ах
М __	2 + ~^2~

йх	ах2 ’

“ >
где ях2 = /фр.

Уравнение (77) остается без изменения:

2а бах йН Зах2/й?г\2

й2/1__	№ ‘ Л3 йх № \йх/ йх

йх2 ~~	ах2

(76а)

(77>

Последнее уравнение может быть представлено еще в таком
виде:

Зах й/г / х \ /	ах2\ /2а

й2И 1/?Тх\ +~Н1Ч \	~№}\& + йх/

а* = --------------7—•	(83>

\	/г3/

ч 1 ах2

а	) 1 > ЙЗ •

Из уравнения (76а) ~	< 0, а из (77)	< 0.

Линия свободной поверхности представляет кривую спада
с выпуклостью, обращенной кверху (рис. 31).

б	)

7	/2°

Из уравнения (76а) ~	> 0, а из (83)	> 0.
В данном случае имеет место кривая подпора с выпуклостью,
обращенной книзу (рис. 32).

Случай II. Расход вдоль по течению уменьшается О = д (I — х).
В этом случае уравнение (80а) принимает вид:

Рис. 31.



2а (/ — х)

ан _	л2 ~‘г

Ух ~~	а(1 — х)2 *

(806)

Уравнение (81в) принимает вид:
^м^з/унХ2 2а

А Ух К \Ух) № Ух Й1 .
б/х2	1	а(/-х)2	’

к?

Значение ц можем взять из (826).

а) 1>

а (I — х)2 .

№ ’

2а (/ — х)
А2

Рис. 32.

Рис. 33.

В	этом случае ;г = гй > 0 и Ш < 0.

} ах (+) ах* (+)

Имеет место кривая подпора с выпуклостью, обращенной
кверху (рис. 33).

61 1	ХУ 	;	2а(/ —X)

6) 1 > —> Ч >-----------.

Из уравнения (806) имеем

М - <=)	п

Лх ~ (+)	и'

Представим уравнение (81г) в таком виде:

б/х2

- . а (/ — х)2 2а (/ — х)-

3 (Уг А3	А2 2а

А Ух	а (/ — х)2	А2 Ух

_	А3____________________

_ а(/ —х)2

А3

(81д)
В числителе уравнения (81д) в члене, стоящем в квадратных
скобках, I) умножается на величину а ~	, меньшую единицы,

.	2а(1 — Х)

с другой стороны, ПО условию I; >----.

Полагая, что разность —-----------— невелика, членом

в квадратных скобках уравнения (81д) пренебрегаем; тогда
А

< о, т. е. имеет место кривая спада с выпуклостью,
обращенной кверху (рис. 34).

г а(/-х)*. 2а (/-х)

В) 1 <	/,3	’	1Г< Л2

Из уравнения (806) получаем ~ < 0.

Рис. 34.

Рис. 35.

Рис. 36.



В данном случае в числителе уравнения (81д) умножается
а (I — х)2

на величину —, большую единицы. С другой стороны, по
. 2а (I — х)

условию	т- е* имеет место соотношение, обратное

предыдущему случаю. Пренебрегая по-прежнему выражением
в квадратных скобках, имеем	> 0.

В данном случае свободная поверхность представляет кривую
спада, обращенную выпуклостью книзу (рис. 35).

г\ 1 .«(1— X)2 .	-	2а(1 — х)

Г> !< ЙЗ . о>-----------.

Из уравнения (806) имеем	> 0, а из уравнения (81г)

п

б/Х2 -	(__)

Т аким образом, в данном случае имеет место кривая подпора
с выпуклостью, обращенной книзу (рис. 36). Несмотря на неко-
торую условность произведенного рассмотрения, все же с доста-
точной уверенностью можно сказать, что при движении потоков
с изменением расхода вдоль пути возможно существование тех же
форм свободной поверхности, что и для случаев движения по-
стоянного расхода.

В некоторых случаях, например при движении с непрерывной
раздачей при 10 ~ 0, возможны и такие формы свободной поверх-
ности, которые при обычном движении потока с достоянным рас-
ходом не наблюдаются.

6 Г. А. Петров

81
Однако основной особенностью движения потока с переменной
массой является изменение вдоль пути соотношения между гид-
равлическими элементами на отдельных участках (при сохранении
постоянного уклона дна), которое зависит только от закона изме-
нения расхода.

Вследствие указанного обстоятельства при одном и том же
уклоне дна вдоль потока могут существовать различные формы
свободной поверхности.

Для потока с постоянным расходом, при сохранении постоян-
ного уклона дна, невозможен такой переход свободной поверх-
ности от одной формы к другой.

§ 13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
ПОТОКА С ИЗМЕНЕНИЕМ РАСХОДА ВДОЛЬ ПУТИ

Будем рассматривать только случай установившегося движе-
ния, для которого основное уравнение движения имеет вид:

а ) + V +	= 0-	(96)

Из уравнения (96) находим:

(у + = (’щг) +	+

ао —	. ^0

ё 0 *

Заменяя 1$ на и производя некоторые преобразования
получаем:

(6 \
у у 040.

“АТ “ \Лё) ил ё^ ‘	(84

Ординаты линии свободной поверхности определяются дву-
членом + г, который может быть получен при помощи инте-
грирования уравнения (84). Точно решить это уравнение невоз-
можно, поэтому прибегаем к приближенному решению.

Рассмотрим член —-—-------•

(в \

1---СМФ /	д \ ~	/	д \

______у) =^1(1______111	1 2. с10

@ \	V ) со2	\	V / со

=	а<2 — -ао\.

§ \ со	(О су
Приближенно интегрируя последний член между сечениями
1—1 и 2—2, получим:

«о
ё

ё %р ч - ё %рУср

(1-±

\ «ср.

Заменяя Дф на <32 — и оср на , где — = (2ср,

получим окончательно:

Имея в виду вышеприведенный интеграл, а также обозначая
™ + г через у и беря сечения /—1 и 2—2, расположенные на
достаточно близком расстоянии Дх одно от другого, уравнение (84)
может быть представлено в следующем виде:

«о (»2 — *ч)

У1	У 2 —	2^

$ср Л„ , .

г2 2 р 4 %
^ср®ср^ср

2^%р

(85)

Индексом ср обозначаем среднее значение соответствующих
величин для всего расчетного участка.

Проще всего это значение можно получить как полусумму
соответствующих величин, взятых для крайних сечений, ограни-
чивающих участок.

Заменяя в уравнении (9в) ~ и йг величинами АН и —1$х
и производя несложные преобразования, приходим к такому урав-
нению:

4	+ <*><№ — <о/ойх + <М}с1х —	(10 —0.

(86)

Если 6 может быть принята равной нулю или равной части
от средней скорости основного потока ^0 =	, то уравнение (86)

может быть переписано таким образом:

или

й (^) + шс1Н ~	+ с§?йх = 0

й (ой/г — го<о<2х 4- т^~ъ --------------—	= О-

\ ^со / 1	0	1 С2со7?	со

(86а)

(866)

Точное интегрирование уравнений (86), (86а) и (866) возможно
лишь в том случае, если 0, со и И выражены в функции от х;

6*

83
так как получить эти зависимости трудно, то приходится при-
бегать к приближенному интегрированию указанных уравнений.

Если выберем щва достаточно близко расположенных сечения
1—1 и 2—2, то, интегрируя уравнения (86), (86а) или (866) в пре-
делах между этими сечениями, можем интегралы отдельных чле-
нов этих уравнений заменить достаточно точными для практи-
ческих целей приближенными выражениями. Рассмотрим прибли-
женные значения отдельных интегралов.

2

<а(1х выражаетг объем водяной призмы, заключенной между
1

Рис- 37.

сечениями 1—1 и 2—2.
Если предположить, что
расстояние между этими
сечениями бесконечно ма-
ло и площади выбранных
живых сечений соответст-
венно ОбОЗНаЧИТЬ и <о2,
то с достаточной для пра-
ктических целей точно-
стью можно принять

2

1

Член согй является не
чем иным, как прираще-
нием статического момента

данного сечения относительно оси, совпадающей со свободной
поверхностью. Действительно, если координату центра тяжести
живого сечения о» относительно свободной поверхности обозна-
чим (/с, то статический момент относительно оси 0—0 будет о)г/с
(рис. 37).

При увеличены и глубины на статический момент увели-
ченного живого селения относительно оси О' —О' равен о) (г/с-р^)+
+ Ь и увеличение статического момента будет:



Пренебрегая бесконечно малой величиной второго порядка,
окончательно получим А (<&ус) —

При сделанных замечаниях интегралы первых трех членов
уравнений (86), (<В6а) и (866) берутся без труда, остальные же
члены могут быта проинтегрированы приближенно, аналогично
интегрированному уравнению (85).
Таким образом, интегрируя уравнения (86), (86а) и (866), по-

лучим:

п2 О2	л2

о0Ч2	. 0)1 -(- 0)2 Л <	^Ср	Л

+ “2^-2 - 0)^-> - 10 ~2~ Дх	с:р«ср/?ср

аоФ2
ё^2

-«0-1^2-01) = 0;	(87)

л* 2

. ®1 4-®2 А	, *<сп	*

"Ь ^2^/с—2	СО1^'с—1	Ц 9 “Ь Д2 ~	'

2	Ссрсоср^ср

«0^2 ®оР1	. 0)1 4“ 0)2 д _ , «ср А г\ /ап\

—------+ ^2^-2------------®1Ус-1 —	2	Т2-----~

^2	^1	2	СсрО)Ср7?ср

Пользуясь уравнениями (85), (87), (88) и (89) независимо от
закона, по которому происходит изменение расхода, можно по-
строить кривую свободной поверхности для потока, движуще-
гося с непрерывным изменением расхода вдоль пути. Для большей
точности получаемых решений необходимо длину расчетных
участков Ах брать возможно меньшей. Следует иметь в виду,
что уравнение (85) дает возможность определить разность уров-
ней в двух смежных сечениях, а уравнения (87), (88) и (89)
позволяют непосредственно определять глубины.

Зная закон изменения расхода на расчетном участке и выби-
рая расчетные сечения, гидравлические элементы которых известны,
путем постепенного приближения можно найти искомые глубины
потока, как то обычно делается в гидравлике постоянной массы.

§ 14. ИЗМЕНЕНИЕ ГЛУБИНЫ ПОТОКА,
ВЫЗЫВАЕМОЕ НАЛИЧИЕМ ОТВЕТВЛЕНИЯ

Рассмотрим, каким образом происходит изменение вида сво-
бодной поверхности вблизи пункта, в котором при помощи ответ-
вления происходит отнятие или присоединение дополнительного
расхода.

Рассмотрим два основных случая: присоединение и отнятие
дополнительного расхода.

Случай I. К основному каналу подводится расход <2б; направ-
ление подводящего канала составляет с направлением основного
канала угол ср, меньший 90° (рис. 38). Уклон дна основного
канала принимаем равным г0.

Выведем зависимости для самого общего случая, когда основ-
ной, магистральный, канал имеет произвольную форму, а затем
перейдем к наиболее распространенным — правильным призмати-
ческим руслам.
Воспользуемся законом количества движения, который для
системы материальных точек, как известно, формулируется следую-
щим образом: приращение проекции на данную ось количества дви-

жения системы материальных точек равно проекции на ту же ось

импульса внешних сил, действующих

Рис. 38.

на систему.

Выделим (рис. 38) се-
чениями 1 — 1 и 2 — 2
произвольный отсек, в пре-
делах которого происхо-
дит присоединение к ос-
новному потоку дополни-
тельного расхода, и при-
меним к нему закон ко-
личества движения.

Составим выражение
для изменения проекций
на ось АВ количеств дви-

жения между сечениями
1—1 и 2—2;

где 0 = г?б соз ср.

Теперь перейдем к определению проекций сил, действующих
на выделенный отсек.

В первую очередь определим силы гидродинамического давле-
ния, действующие в сечениях 1—1 и 2—2, а также реакции сте-

нок основного канала и ответвления.

Представим себе, что между сече-
ниями 1—1 и 2—2 имеется поток про-	2

извольной формы, заключенный со всех	.___I Зд

сторон в жесткие стенки (рис. 39).	у

На выделенный отсек в сечении
1—1 действуют силы гидродинамиче-	к

ского давления, равные р^, в сечении	Рис. 39.

2—2 действуют силы гидродинамиче-
ского давления р2&2, направленные в сторону, противоположную
силам, действующим в первом сечении. Силы рг ир2— гидро-
динамические давления в центрах тяжести сечений.

Кроме сил гидродинамического давления в крайних сечениях
1—1 и 2—2 со стороны боковых стенок тп и кс будут действо-
вать силы реакции, направленные по нормали к поверхности.

Нас будут интересовать лишь составляющие этих сил реак-
ций, направленные параллельно оси АВ; горизонтальные состав-
ляющие можно принять за силы, действующие на площади

Принимая величину этих составляющих бокового давления
равной полусумме гидродинамических давлений, действующих в

крайних сечениях, получим следующее выражение для данных
сил

^(«2-«О-

Но, в действительности, рассматривается случай движения сво-
бодного потока, в котором лишь часть русла заключена в жесткие
стенки, поэтому проекция реакций боковых стенок на ось АВ
будет иметь несколько меньшую величину и ее можно выразить
таким образом:

против ответвления будет деист-
нормальная к оси основного по-
ось АВ равна нулю.

где I — коэффициент, учитывающий, какая часть периметра по-
тока заключена в жесткие стенки.

В месте устройства ответвления со стороны боковой стенки
основного потока, находящейся
вовать также сила реакции /?б,
тока, и потому проекция ее на

Кроме того, со стороны
ответвления в сечении (с— Ь),
на объем, заключенный между
сечениями 1—1 и 2—2, будут
действовать дополнительные си-
лы, составляющую которых,
параллельную оси АВ можем
найти из рассмотрения условий
равновесия жидкого объема аЬс.

На объем аЬс со стороны
стенки ответвления а — Ь бу-
дет действовать сила реакции
К, а по сечению а — с сила 5,
заменяющая действие отбро-
шенной части жидкости (рис.
38).

Пренебрегая силами инерции, напишем сумму проекций сил,
действующих на выделенный отсек аЬс в направлении оси ЛВ:

5 соз ср — 7? 81П ф — К.

Кроме сил гидродинамического давления и реакций стенок,
на рассматриваемый отсек должны действовать силы тяжести.
Если расстояние между сечениями 1—1 и 2—2 обозначим через I
(рис. 40), то проекция сил тяжести, действующих на выделенный
отсек, в соответствии с принятыми на чертеже обозначениями,
напишется таким образом:

7 51+^/ 8ШР = тЩр(2с_! - гс_2),
где гс-1 и гс—2 координаты центров тяжести сечений 1—1 и 2—2
относительно выбранной плоскости сравнения. Силами трения на
участке ответвления пренебрегаем. Тогда импульс сил, действую-
щих на выделенный отсек, будет равен:



[Р1®1 — Р-2®2 + / К — “1)	2 ~

I ~	+ °32

“Г" ‘	2

(^с—1 — ^с—2) 4"	•

Напишем выражение закона количества движения в направ-
лении оси АВ:

% Г<22^2 — (2л + СбО)] ы =

= Ы [р1«1 — Р2Ш2 + / («2 — Ш1) - 2~ - + Т (гс-1 — ?с-2) + 4

Производя сокращение и деля обе части на у, получим:

7 (Сл -	(?+?)+

+ ^1+^(2с_1_2с_2) + ^.
л 1

Для правильных призматических русел величина	х

X (у + у) не будет играть существенной роли и потому этой
величиной можно пренебречь.

Таким образом, для призматических русел последнее уравне-
ние примет вид:

= ^<«1-^«>2 + ^Ф2(гс-1-гс_2)+Ч "	(90)

11^	I

Давления рг и р2 отнесены к центру тяжести соответствую-
щих сечений. Если расстояние от свободной поверхности до центров
тяжести сечений обозначить через ус^ и ус—2, то р1~уус_19 а
Р2 = Т^С-2.

Кроме того, гс-1 ==	— г/с-ь а гс-2 = Л2 + г2—Ус-2 и

гс-1—2с-2 = Лт —Л2 + Ус-2 —^с-1 + гг —г2, но г1 — 22 = 101 и
потому гс_1 — гс-2 = /4 — й2 + ус-2 — ус-1 + М-

Подставляя полученные значения в уравнение (90), получим
окончательно:

(С2^2 С 1^1 “ 0.6^) — Ус—1^1  Ус—2^2 +

+ 1 ~2 2 (^1 —	+ Ус—2 — Ус—1 +	+ у •	(90 а)
Уравнение (90а) может применяться для каналов, имеющих
любую форму живого сечения (прямоугольное, круглое, овоидаль»
ное и т. д.).

Для облегчения расчетов при сложных формах живого сече-
ния (круглое, овоидальное и т. д.) следует предварительно по-
строить кривые зависимости ус и площади живого сечения ш от
глубины наполнения 1г.

Для. любых форм поперечного сечения бокового ответвления
реакция К стенки аЬ будет равна давлению на проекцию участка
аЬ на вертикальную плоскость, совпадающую с осью ответвления.

Применим уравнение (90а) к руслам, имеющим прямоугольную
форму поперечного сечения, для которых = ййт, = Ыг2, пло-
щадь бокового ответвления «б = йбй5;	и х/с_2 = -рг2-

Подставляя приведенные обозначения в уравнение (90а), по-
лучим:

VI

а.

ё\ЬИ2 Ыч Ь61г6

СО8 ) = -Ь — у и*ь + Ь --ф—

2	----2~^2

+ ~

или

ё&Ил!-— ^й7СО5'(7 =	н 2	\2^1~ ~2	+

, Лх + Л,. . , 1 К
+ ~2—+

Разделив все члены последнего уравнения на (йх + й2), после
незначительных преобразований получим:

/ц + Аг \/г2 /ц

= 0,75(71! —й2)

+

I 2_1 1 -Ь—	1 А

2 0 + Ь йх + Л2 7 ’

(91)

Определим значение у для того случая, когда дно ответвле-
ния совпадает с дном канала (для других случаев при подсчетах
придется брать глубины над порогом отверстия с — Ь (рис. 38).

5 может быть определено как произведение площади <о ==
= М 31П ср и глубины погружения центра тяжести этой площади

~2, где йб—глубина в сечении а — с. Тогда

С	1	•

5 = 7 у 151П ср.


Величина силы реакции участка а — Ь может быть принята
равной гидродинамическому давлению, умноженному на площадь,
Л2 +

равную ——/соз ср. Глубина погружения центра тяжести этой

х	о ^2 +

площади может быть принята равной —$—» и тогДа

(Аз + Лб)2

л = ч----$--1 соз ср.

Отсюда

^2

К = 5 СОЗ ср — 8Ш ср — у ~ I 81 п ср СОЗ ср — у Л— I соз ср 81П ср =

у г/л2 + а6\2	1

=	Ц—2— / — Лб]1 С08 Ч 8Ш

Теперь напишем уравнение (91) для тех случаев, когда при*
соединение происходит под углом ср < 90°:

Ял 1	/О2	01 Ь Об \ Л //	/\1 1*7

й » Г" 7Г -----7-7“ СОЗ ? = 0,75 (^1 —Ю	—

%Ь2 Л1 + /г2 \/г2	"1	I	2	2 0

I 1	Г/^ + М2 1	.

~2Ь^ТА-Л(~2-) -Лб]СО5?51П?-	(9Ь)

Для тех случаев, когда присоединение происходит под углом
<р>90° (рис. 41), уравнение (91) напишется в следующем виде:

%	1	/01	01 { Ь Об

+ Л! + ьб пб С03 ?

1 . 1 । I 1

2 1(> + 2Ь Й! + й2

^1 + ^б

к 2 ,

2	1

I —- №Д соз ф зш ф.

(916)

В уравнении (916) вместо угла <р вводится дополнительный
угол ф и в выражении для Л', кроме того, Н2 заменяется на
(рис. 41).
Случай II. в произвольной точке происходит отнятие от
основного потока некоторого расхода, величину которого, по
предыдущему, обозначим через (рис. 42).

Рассуждая аналогично предыдущему и сохраняя прежние
обозначения, составим уравнение проекций количеств движения
на ось основного потока:

«О V 1<22^2 — (С1»1 — <2б6)] М = АI [Р1«1 — р2ш2 + / (“2 — “1)
ё	*

+ т^4^(2с_1-гс_2) + /<].

Рис. 42.

Производя сокращения и деля обе части на у, получим

а± - (2^ + (№) = о>1 -	4-

+ ^Ц^(гс-1-гс_2) + ^.

Для правильных призматических русел, принимая аналогично
предыдущему /^1=^ (й. + ЕА = 0, получим

+ фб0) = О)Х - со2	(2с_, - 2с_2) +	(92)

пли, производя те же подстановки, что и в уравнении (90), по-
лучим окончательно

~ ($2^2 —	+ Об©) = Ус-1«1 — Ус-2^2 +

+	(й1 — И2 + ус~ 2 — 1 + + у* (92а)

которое, аналогично уравнению (90а), может быть применено к
руслам, имеющим любую форму поперечного сечения.
Применим уравнение (92) к руслам, имеющим прямоугольную
форму поперечного сечения.

Рассуждая аналогично предыдущему и вводя те же обозначе-
ния для < 90° (рис. 42), получим следующую зависимость

„	1 /А (?. ь (Л \	,

Л1 + Й2 'Л — Л? + Тб /^ СО8 ?) = °>75 (Л1 — М + у 1о1 +

, I 1 Г/^г+М2

+ 26йГ+/Ш~2—/ -^]СО8<р51П<р,	(93)

где К, на основании чертежа (рис. 42), равно

К = Я 81П <р — 5 соз ср =

I СОЗ ср 81П ср.

Для случаев отделения расхода под углом <р > 90ч (рис. 43)
получим следующую зависимость:

Рис. 43.

@2 _ &____Ь	|

~Й2 А1 ЬбТГ6С^^)^

= 0,75 (/1!-^) +±17-

I 1
2г>А1 + Л2

2

— Й2
%

СОЗ ф 81П ф.

(94>

Для каналов, имеющих иные формы поперечного сечения*,
легко произвести соответствующие преобразования основных урав-
нений, пользуясь изложенным методом.

Чтобы проверить приведенные зависимости, мы произвели
ряд опытов, которые дали хорошие результаты.
ГЛАВА IV

ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ ПРЫЖОК, РАССМАТРИВАЕМЫЙ
КАК ПОТОК С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ

§ 15. СОПРЯЖЕНИЕ УРОВНЕЙ В ЗОНЕ ОБРАЗОВАНИЯ ПРЫЖКА

Как известно, переход от глубин, меньших критических, к
глубинам, большим критических, осуществляется при помощи
прыжка. Это явление с момента его открытия в 1820 г. и до
настоящего времени неизменно привлекало внимание гидравликов
и гидротехников, пытавшихся разъяснить его сущность и уста-
новить теоретические зависимости, которым оно подчиняется.

Несмотря на многочисленность исследований, посвященных
прыжку, механизм этого явления и сейчас еще не может счи-
таться полностью выясненным и не все гидравлические элементы,
характеризующие явления прыжка, могут быть получены теоре-
тическим путем.

Поэтому нам кажется, что рассмотрение прыжка как явле-
ния, происходящего с изменением массы, представляет определен-
ный интерес.

Наиболее интересное освещение этого вопроса дано в уже
указывавшихся ранее работах В. М. Маккавеева, Я. Т. Ненько
и в опытах А. В. Грицука, опубликованных в 1931 г.

На основании большого количества опытов, результаты кото-
рых подтвердились киносъемкой, А. В. Грицук1 приходит к вы-
воду, что при возникновении прыжка имеет место явление дви-
жения потока с изменением массы, чем и объясняется значитель-
ная потеря энергии в данном случае.

На основании указанных исследований явление прыжка можно
представить происходящим в соответствии с приводимой схемой
(рис. 44).

При достижении критической глубины (Нк) поток вздымается
и начинает отдавать часть своего расхода вверх по течению.

1 А. В. Грицук, Механизм и теория прыжка потока жидкости, Труды
Ин-та гидротехники и мелиорации, т. VII, Сельхозгиз, М., 1932.
Расход, отдаваемый выше точки В, будет возвращаться в по-
ток, ниже точки В. Таким образом, от сечения 1—1 до точки
В поток будет двигаться с увеличивающимся расходом, а от
точки В до сечения 2—2 — с уменьшающимся.

Такое явление может быть объяснено следующим образом:
в точке В энергия потока становится минимальной, и движение
невозможно без пополнения энергии. С этого момента начинает

отделяться лишний расход и восстанавливаться потенциальная
энергия. Это продолжается до тех пор, пока поток не достигнет
бытовой глубины, при которой обеспечивается спокойное движение.

Рассматривая случай установившегося
движения, можно для выяснения связи
между сопряженными глубинами восполь-
зоваться уравнением (96):

+ у + ^ + 4<%х +

। % (у -- 9) о ^0. . п

‘	С *

Пренебрегая трением и принимая дно
канала горизонтальным, получим:

а0 (у — 6)

ё <2

Примем давление по линии раздела равным атмосферному,
тогда

Р = Ръ + 7^.

Подставляя значение р в уравнение (95) и заменяя V выра-
жением ~, после преобразования имеем:

а + ас? = о.

\ ё<* /	ё

(96)

Для определения взаимных глубин необходимо уравнение (95)
применить к сечениям 1—1 и 2—2, предварительно выяснив,
под каким углом происходит отделение и присоединение допол-
нительного расхода в зоне прыжка. Простейшим допущением,
которое и примем, будет принятие угла в 90°, что дает 0=0,
и уравнение (95) принимает вид:

а (“0$!') + шй/г = о.

\ §«> /

(96 а)

Член Ы1г в последнем уравнении является, как уже указы-
валось ранее, приращением статического момента площади жи-
вого сечения относительно оси, совпадающей со свободной по-
верхностью в данном сечении и поэтому уравнение (96а) можем
переписать так:

й(^) + ^с) = °.	(966)

Интегрируя уравнение (966), получаем:

+ ^ус = соп$1,

(97)

что является известным выражением прыжковой функции, в ко-
торой коэффициент а заменен коэффициентом а0.

Такая замена должна дать более точные результаты. В ка-
честве примера приведем данные проф. А. Н. Ахутин, который
говорит:

«...На основании многочисленных лабораторных опытов мож-
но пока утверждать, что уравнение (97)1 2 ближе сходится с опы-
том при значении а = 1,0, чем при 1,1 ...».

Таблица 1

Определенные опытами		Вычисленные Л2, дм			
/ц, дм	К2, дм	а = 1,1	Расхожде- ние, %	а= 1,0	Расхожде- ние, %
0,210	1,860	1,980	+ 6,5	1,880	+1,0
0,218	1,945	2,070	+ 6,5	1,975	+1,5
0,221	1,916	2,095	+ 9,4	1,996	+4,2
0,224	2,045	2,265	+ 10,8	1,175	+6,4

В табл. 1, заимствованной из книги проф. А. Н. Ахутина^
приведены данные опытов и вычисленные по формуле взаимные!
глубины к2.

По поводу этих данных А. Н. Ахутин продолжает: «...сле-
дует заметить, что приведенные ... замеры не являются вполне
точными, так как заимствованы из рядовых учебных материалов.

При наблюдениях, поставленных более тщательно, разница
между замеренными и вычисленными сопряженными глубинами
в прыжке еще уменьшается. Это дало, между прочим, повод акад.
Н. Н. Павловскому предложить пользоваться прыжком воды в
качестве измерителя расхода3. В этой интереснейшей работе,
кстати, можно также видеть (стр. 238) подтверждение высказан-
ного нами выше соображения о большей пригодности для урав-
нения прыжка (97) коэффициента а= 1,0».

1 А. Н. Ахутин. Специальный курс гидравлики, ОНТИ, М.—Л.,
1935, стр. 107.

2 В нашей нумерации.

8 Н. Н. Павловский. Гидравлический прыжок как водомер. Извес-
тия НИИГ, т. I, Ленинград, 1931.
Приведем еще опытные данные, заимствованные из указан-
ной работы акад. Н. Н. Павловского и подсчитаем глубины при
а — 1,1 и а — 1,0 (табл. 2).

Таблица 2

Расходы на 1 м ширины л/сек	к\ из опы- та, см	Н2 из опы- та, см	а = 1,1		а= 1,0	
			Н2, вычи- сленная в см	расходи- мость, %	И2, вычислен- ная, в см	расходи- мость, %
17,5	2,20	4,51	4,68	+ 3,8	4,41	—2,2
29,2	2,73	6,32	7,13	+ 12,8	6,73	4-6,4
40,6	3,20	8,70	9,54	4- 9,6	9,02	4-3,6
25,5	2,30	7,10	6,89	— 3,0	6,52	—8,1
25,5	2,00	7,60	7,59	— 0,1	7,20	—6,0
28,8	1,96	8,60	8,79	4- 2,2	8,35	—3,0
25,5	1,80	7590	8,14	4~ 3,0	7,71	—2,4
20,2	2,27	10,83	11,57	4- 6,8	10,98	4-1,3
40,2	2,23	10,76	12,04	4-П,9	11,43	4-6,0
10,5	0,91	4,44	4,77	4- 7,4	4,53	4-2,0
30,2	1,75	9,23	9,82	4- 6,4	9,47	4-2,5
44,0	2,20	11,74	12,60	4- 7,3	12,23	4~4,0
Таки	м образе	ж, гоаг	шение 0	37) с корг	АКТИВОМ С	корсетного

напора а0 действительно должно давать результаты более точные,

чем при коррективе а.

Как видно из уравнений (966) и (97), вид прыжковой функции
не зависит от закона, по которому изменяется расход в преде-
лах от первого до второго сечения, а величины взаимных глубин
зависят лишь от значений в конечных сечениях.

Если предположить, что 6 — где п— величина постоянная
то уравнение (96) можно представить в таком виде:

а	VI!® = 2а^а(3—	аш—^3 + шап =

\ е® )	пе	ёш ё'»2 ёпш 1

= 2пгИаоО^_^й(й + (0^ = 0

ИЛИ

Йо» = — —п—ан.
2п — 1	2п — 1

2^—2

Умножим обе части последнего уравнения на ш2" — 1 :

или

2” п	о	_ 4П—1	2п-2

“ °Т * - И “ “	<*

[ 2п /О2\	2п—2

а 2п-1аМ\ггш2п_1(1н

V 2^ / 2п— 1
откуда

«о<32
2§

2п

1

— П (*
2п — 1 Л

2п—2	.

О)2"-1 йП + С

(98)

Применяя это уравнение к руслам прямоугольного сечения,
для которых о = Ыг и заменяя ф выражением дЬ, после неболь-
ших преобразований приходим к уравнению:

2п г	4п—3	।

= №=1 [-	+ Сх].	(99)

Постоянную С1 определим из условий Н = йх; д = дх:

.	2	.	—1

/_«о71 -----п—М , ^=1

\2§А1	4п — 3 "х

(99а)

Если в уравнение (99) подставим конечные значения соответ-
ствующих величин, а также дг = д% = д^ то получим:

Если принять п= сю, что равносильно принятию 0 = 0, то

2	,2	2	,2

ЗДо I	а°^°	I

+ У ==^ + Т’

т. е. известное выражение прыжковой функции.

В уравнении (99) остается неопределенной величина и, кото-
рую проф. Я. Т. Ненько предлагает определять из опыта. Не-
видимому, величина п будет иметь различные значения в различ-
ных случаях и поэтому довольно трудно получить такие зависи-
мости, которые позволили бы заранее определить эту величину.

Более простое выражение уравнение (996) получает в случае
0 = 0, причем последнее предположение дает достаточно точные
для практических целей зависимости.

§ 16. ВЕЛИЧИНА ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО РАСХОДА В ПРЫЖКЕ

Как уже указывалось ранее, расход при движении от сечения
1—1 к сечению х — х непрерывно возрастает (рис. 45) и дости-
гает максимального значения в сечении х — х, в котором должна
установиться соответствующая этому максимальному расходу
критическая глубина йкр.

Воспользуемся общеизвестным выражением прыжковой функ-
ции в форме (97), которое, как указано выше (§ 15), является

7 Г. А. Петров	97
частным случаем основного уравнения гидравлики переменной
массы (96 и 95):

— + шУс = сопз!.	(97)

Для упрощения рассмотрим случай русла прямоугольной
формы и напишем уравнение (97) для сечений 1—1 и х— х:

«о<?1	«о<Э? ,

~	= — + шхус-х,

или в рассматриваемом случае:

«0^1	__ «0<Эх ,

+ 2 ~	+ ~2 •

(97а)

Так как в сечении х — х должна
установиться критическая глубина, то

величина ее в зависимости от расхода равна:

Заменяя -у = д, получим

Лк

(а)

(б)

Подставляя в уравнение (97а) значение 0х из выражения (а)
и заменяя Нх через йк, будем иметь

“Г 2 “ а к "Т" 2 ’

откуда

(15+').	(и*»

или

Нк = 1/"—+ й*),	(100а)

|/ а + 2а0 \	1/	к /

где =

Применяя выражение (97) к сечениям 1—1 и 2—2 и полагая
= О,^ = О,, получим общеизвестную зависимость:

^-2 = (/11+А2)М2.

(101
Принимая <7 = ^, определим его значение из (101) и подста-
вим в выражение для критической глубины, тогда

1^2 (&2 + ^1) + ^2]«

(Ю2)

Зная Ик из (102), можем определить величину расхода в се-
чении х — х из зависимостей (а) или (б):

Значение дополнительного расхода, циркулирующего в прыжке
будет:

Сдоп “ 0.x -	(103)

или же

<2„ = 3.1324 [	- ]/^ (К, + ад

(103а)

Установим связь между глубинами и расходами в зоне прыж-
ка. Для этого воспользуемся уравнением (966). Интегрируя это
уравнение в пределах от начального сечения 1—1 до произволь-
ного сечения у — у (рис. 45), получим:

---- ^\Ус—1

^>1 -

&*У

ШуУс—у.

(104)

Так как мы рассматриваем русло прямоугольной формы, то,
^у

вводя прежние обозначения ~ = дг и = ду, можно уравнение
(104) представить в таком виде:

+ 2 “	+ 2 *

(104а)

Подставляя в уравнение (104а) значение из (101), получим

2а сг

[Й2 (^ + Л2) + ^ - Л2].

(105)

Уравнение (105) дает связь между глубинами и расходами
в зоне прыжка. Из этого уравнения также можно получить вы-
ражение для йкр. Для простоты примем в уравнении (105) зна-
чение а0 — 1. Так как в сечении х — х с критической глубиной
расход имеет максимальное значение, то, определив из (105) ду,
найдем его максимум:

Цу =	2а; Н	~Л2Ь

(106)
Приравняв нулю производную от ду по й, получим:

/ гг \ 2 ( 1	1	*

|4л“1Л.(Л1 + ад + /1;_л-р_

I	__1_

— 1 2 [Л2н-/г3) 4-Аг? — А2] 2/г)=0.

(Ю7)

1

Так как (—-) 2 не может равняться нулю, то в уравнении
(107) должен равняться нулю член в фигурных скобках:

4 к * \к2 (й1 + й2) + /г! - Л2] — й 2 [й2 (йч + й2) 4-й? —

__1_

— Л2] 2.^ = 0.

После незначительных преобразований последнее уравнение
приводим к виду:

й2 (й, + й2) + й? = Зй2,

откуда

йкр = |/" у [Л2 (/гх + й2) + И*]!,

(102а)

а это и есть полученное ранее выражение для критической глу-
бины при а0 = а = 1.

§ 17. ПОТЕРЯ ЭНЕРГИИ ПОТОКА В ЗОНЕ ПРЫЖКА2

Интегрируя уравнение (95) между первым и вторым сече-
ниями, получим

^+Л1 = ^ + Л, + (-(^^.	(108)

Если а0 заменить а — 2т], то уравнение (108) можно привести
к виду уравнения Д. Бернулли:

2	2

а??!

%г + /’1=='%г + //2 + 71

2	2

И ~ ^2

а0 (у — у (10
ё О-

(108а)

ё

1 К такой же зависимости, хотя и
В. М. Маккавеев.

2 См. ранее указанную работу проф.

несколько иным путем, пришел и

Я- Т. Ненько.
Полагая потерю энергии в прыжке равной разности удель-
ной энергии в первом и во втором сечениях, из уравнения (108а)
получим:

,2





2

Г а° —в)

ё

<2

2	2

И—^2
ё

(109)

Принимая по-прежнему 0 =	, после некоторых

ваний получаем

преобразо-

2

О О _____ п 1 Р (аоФ2)

•^1—^2- 2п 3

VI — С’1

ё

(109а)

Для прямоугольного русла

2

9	9 _ п~~ 1 (

2п 3



— ^2

ё

(ПО)

Представим уравнение (99) в таком виде:

2п

= — —П— Иа + с^-1

4п — 3	1

Продифференцируем последнее уравнение

2п Г
2п— 1 1	4п—-3

/г2) 4Л;

отсюда

б/ (^р<72)п /

' о	4Лг~3

2п Г ь 2п—1 _________

<2п-1С1П

иП

4п — 3-

Подставляя последнее выражение в уравнение (110), получим

2

Э1 — Э2 —

3

2л—1 _
4п — 3,

2	2

2л—2	2л—2

Л2"-1.

— е'В

-^ + -4• (1 Юа)

1

1

Если принять Ст из уравнения (99а), то для предельных зна-
чений 6 будем иметь
1.6 = —V, П = —1.

С — ( а”91 4. _к из 

С! ~ \2^! + 7 ПЧП1 1

^-^=/4-—4\с1-4(/га-й1)+^^^. (Ш)
\Л13	й23 /

2. 6 = 0; п =

_ ао9? Н[

С1 --^лГ + ч-’

+	(112)

Уравнение (111) и (112) отличается от аналогичных уравне-
ний проф. Я. Т. Ненько значением корректива скоростного на-
2	2

Я -У

пора, а также наличием члена 1	2.

Для проверки этих уравнений воспользуемся опытными дан-
ными, приведенными проф. А. Н. Ахутиным1, и сопоставим их
с вычисленным по формулам (111) и (112) (табл. 3).

Таблица 3

№ опытов	Ширина лотка, дм	Расход С, л[сек	Взаимные глубины в прыжке, дм		Потери энергии в прыжке				
					дей- стви- тель- ные	по формуле (Ш)		по формуле (П2)	
			61	^2		Эу—Э^	откло- нения, %	31—	откло- нения, %
1	5,96	38,0	0,210	1,860	3,444	3,496	+1.5	3,446	+0,06
2	5,96	40,6	0,218	1,945	3,665	3,753	+2.4	3,659	—0,16
3	5,96	41,3	0,221	1,916	3,732	3,811	+2,1	3,706	—0,70
4	5,96	44,8	0,224	2,045	4,393	4,490	+2,2	4,369	—0,50

Из таблицы видим, что совпадение данных опыта с резуль-
татами вычислений по формулам (111) и (112) вполне удовле-
творительное, особенно хорошие результаты получены при вычи-
слении по формуле (112), которые фактически дали совпадение
с действительностью.

Последнее обстоятельство позволяет нам рекомендовать для
практических целей зависимость (112), в которой 6 принято рав-
ным нулю, что, видимо, близко к действительности.

1 А. Н. Ах у тин, Специальный курс гидравлики, 1935, стр. 103.
Величину потерь в прыжке можно определить, для частного
случая 6 = 0, несколько иным путем.

Имея в виду, что 0 = 0, а р = р0 + 7^ из уравнения (95) по-
лучаем:

41?)+^+(11з)
\ I	& Ч

Из уравнения (ИЗ) видно, что потери энергии в потоке, дви-
жущемся с изменением массы вдоль пути, при заданных усло-
виях, будут равны:

=	(114)

Потеря энергии в прыжке может быть определена, если про-
интегрируем выражение (114) в пределах от сечения 1—1 до
сечения 2—2‘.

2

(115)

1

Чтобы решить интеграл (115) необходимо все величины, вхо-
дящие в подынтегральное выражение, выразить через одну пере-
менную, например, /г. В предыдущем параграфе мы получили
выражение (102) для критической глубины и (106) для расхода ду.

Принимая для простоты а = а0 = 1, приходим к выражению
(102а). Подставляя значение Лк из (102а) в (106) получим окон-
чательно:

(ив)

Выражение (114) можно представить в таком виде:

8 в ~	0 2^ •

Заменяя в последнем выражении ду значением, полученным
из зависимости (116), будем иметь:

,.	_ а,/'2 Щ _ а° [ 2^ " (ЗА^ Л2)1 _ 3^ —Л2 —2/г2  Ла’~ ё С ~	2бЛ2	~	4Л2  ЗА;? —ЗА2 „  —	4М	йН =  (П7)
Имея в виду (117), выражение (115) получит вид:

2

=—: 1

2

Гзлк2-да^ 3/2М

]	4Л2	— 4 М Й!

-4^2-^) =

^2

3/2^2 —	3 „	1 .	^2— ^1)(ЗЛ$-—ЗЛ2Л1)

” Т^К~Ж”~Т^2— ^1) = ------	4^”—

(115а)

Заменяя в последнем выражении !гк его значением из (102а),
получаем окончательно:

2

,	__ С V2	('^2— ^) (^2^1 + ^2 +	---3/21Л2)	(/г2-АХ)3 /-мг^ч

"“Л ё <2~~	-	~“4Ма • (115б)

При принятых допущениях мы пришли к общеизвестной за-
висимости, определяемой обычно из сравнения значений вели-
чин удельной энергии в сечениях 1—1 и 2—2 до и после прыжка.

Такое совпадение выражения для потерь в прыжке, получен-
ного на основании зависимостей гидравлики переменной массы,
с обычным выражением, принимаемым для этой величины, лиш-
ний раз подтверждает правильность предположения о том, что
значительная величина потерь в зоне прыжка объясняется явле-

присоединении и отнятии до-
полнительного расхода в зоне
прыжка.

Это же совпадение выра-
жений для потерь в прыжке
свидетельствует о возможности
принятия значения 6 = 0 в пре-
делах зоны прыжка.

§ 18. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ
ПРЫЖКА

Рис. 46	Для определения длины

прыжка необходимо знать за-
кон распределения расходов и глубин в основной струе в пре-
делах А — В (рис. 46).

Так как точных данных о распределении расходов и глубин
в основной струе не имеется, приходится прибегать к некото-
рым допущениям.

Без большой погрешности можно допустить, что глубины в
основной струе в пределах от точки А до сечения с критической
глубиной изменяются по закону прямой линии (рис. 46).
Исходя из сделанного предположения и пользуясь чертежом
(рис. 46), получаем следующую зависимость для глубины на
участке АВ:

/г = /г1 + (/гк —	— .	(118)

Закон изменения расходов в различных сечениях получим
из предположения, что каждая частица отделившегося расхода
после прохождения через сечение с глубиной Лкр падает со ско-
ростью, определяемой общей для падающих тел зависимостью:

(119)

V = ср ]/2^а,

где а — высота падения частицы.

При сделанных допущениях возникает необходимость в опре-
делении высоты падения каждой частицы.

Исходя из схемы рис. 47, самая верхняя частица из точки А
должна попасть в точку В, т. е. ее полная высота падения будет
равна й2 —

Самая нижняя частица, находящаяся в точке С, будет иметь
высоту падения, равную нулю.

Между Л и В высота падения частиц будет изменяться в
пределах от — /?1 до 0.

Допустим, что положение какой-то частицы в сечении ЛС
определяется высотой ал над горизонтальной линией тп, про-
веденной через точку С.

Тогда высота падения частицы жидкости из точки О в
точку К относительно плоскости тп может быть приближенно
определена из соотношения

1г — х_ аг

к ~~ К — ’
при предположении, что частица точки А попадет на линию
о —л против точки В. Из последнего соотношения

Л2—

“ т (^1	-^)*	(120)

ч

Полная высота падения а произвольной частицы жидкости
будет равна:

Л2 —

а —	—	~ (1Х — х) + Нк — Н. (121)

Если принять во внимание (118), то получим:

а = - ,	(/х — х) + йк — [/*! 4- (йк — Л,)-И, или:

Ч	|_	Ч 4

а = (й2-й1)(1-^).	(122)

Из соотношения (122) видно, что при х = 0, когда Н = 1гъ
а = Н2 — И1У а при х = /ь а — 0, что соответствует сказанному
ранее.

Таким образом, скорости частиц, присоединяющихся на уча-
стке ВС, учитывая (120) и (121), представятся в следующем
виде:

(Л2 —Л) (1----^-).	(123)

Расход, присоединяемый, на единицу ширины, на бесконечно
малом расстоянии йх участка ВС (рис. 47) будет равен

Л?! = <р]/2,д-(/г2 — Лх)(1 —	• йх.	(124)

Интегрируя уравнение (124) в пределах от 0 до /х, получим
так называемый дополнительный расход на единицу ширины
непрерывно циркулирующий в зоне прыжка.

Величина этого расхода может быть выражена также из
(103а) следующим образом:

<7доп = И? Д/Л?-РЛ^(Л1 + Й2)]-	(125)

Интегрируя уравнение (124) в пределах от 0 до х, получим:

?/,. = -|?/1Г2^(й2-й1)]/ (1_Л_)3 + С. (126)

Для определения постоянной интегрирования С воспользуемся
тем обстоятельством, что в сечении /—1 (рис. 47), т. е. когда
г = О, дополнительный расход еще не поступает в основную
струю, т. е. ^ = 0; тогда

и уравнение (126) примел* вид:

<7/, х = |	/2^’(/12 - /гх) [ 1 - (1 -	.

(127)

При х = /х расход дГх должен равняться дополнительному
расходу дд и можно написать

Яд — -^ %ё (^2	^1)>

откуда

, _________Яд_______________^Яд ___

4 ? /2§(Лг —ЛО	'2?	— А1)

О

(128)

Для определения длины прыжка необходимо найти длину
участка — от сечения, имеющего критическую глубину, до сече-
ния с глубиной /г2, а для этого надо знать закон распределения
отделяющихся на этом участке расходов.

Так как этот закон нам пока неизвестен, простейшим пред-
положением будет допущение равенства и /2, т. е. будем
принимать участки, на которых происходит присоединение и
отделение дополнительного расхода равными.

В этом случае длина прыжка будет равна

/ — I । I ________%Яд —	2’12бМ	,

1	2	<р/2^(А2 —^1)	?	^1) ’

округляя, получим

1п =	.	(129)

? Уё — /21)

Так как обычно известными являются сопряженные глуби-
ны /1г и /г2, то, подставляя значение дд из (125) и сокращая на
!/"§, зависимость (129) тможно представить в таком виде:

г	------------

1/ — — ]/ ^-М2(Л! + Л2)
1п = 2,11--а----5—^=-----------.

<? —

Принимая а — а0 = 1, получим окончательно
Значение кк, входящее в формулу (130), может определяться
из зависимости (102а); что касается коэффициента скорости ср,
то на основании наших опытов он может быть принят равным

ср= 0,03551/^ .

(131)

Для проверки зависимости (130) воспользуемся данными об
опытах различных авторов, приведенными в работе Б. А. Мац-
мана1. В этих опытах все величины даны в сантиметрах, за
исключением опытов, отмеченных звездочкой, в которых размеры
даны в футах. Опыты 1, 3 и 13, по признанию их авторов,
являются ненадежными, а в опыте 30 длина прыжка, равная
20 см, видимо, является ошибочной; таким образом, опыты 1,.
3, 13 и 30 можно вовсе не принимать во внимание.

Результаты подсчетов приведены в табл. 4.

Рассматривая таблицу, видим, что имеются два опыта — 45 и
46, в которых определение длины прыжка производилось при
одинаковых значениях сопряженных глубин кх и к2.

В этих опытах получились значения длины прыжка, расходя-
щиеся между собой на 20%.

Эта величина — 20%—может до известной степени характе-
ризовать точность измерений, которая практически достижима в
подобных опытах.

Рассматривая значения длины прыжка, полученные из зави-
симости (130), видим, что они выходят из указанных пределов
ошибки измерений лишь в 7 случаях (опыты 1, 3, 13, 24, 30,
37 и 57) из 64.

Если принять во внимание сказанное ранее о ненадежности
опытов 1, 3, 13, 30 и выбросить их из рассмотрения, то из ос-
тавшихся 60 опытов неудовлетворительные результаты зависи-
мость (130) дала лишь в трех случаях, что составляет около 5%
общего числа опытов. Остальные опыты дают вполне удовле-
творительное совпадение с теоретическими подсчетами. То, что
отклонения теоретических данных от полученных имеют разные
знаки, указывает на возможность практического использования
зависимости (130).

С целью облегчения вычислений зависимость (130) при по-
мощи простейших преобразований приводится к следующему
виду:

= <132>

Значение дано в табл. 5.

1 См. Б. А. Мацм а н, Длина прыжка по данным лабораторных опытов,
«Гидротехническое строительство», 1938, № 3.

108

Таблица 4

№ опытов			^2	1п	
				из опыта	по формуле (130)
1	5,70	11,20	1,96	30,00	36,00
2*	0,25	0,56	2,24	2,50	2,06
3	5,00	11,40	2,28	30,00	43,00
4*	0,25	0,57	2,28	2,60	2,37
5*	0,22	0,54	2,45	2,40	2,11
6*	0.22	0,55	2,45	2,60	2,27
7*	0,25	0,69	2,76	3,10	2,92
8*	0,24	0,68	2,83	3,00	3,38
9*	0,22	0,68	3,09	3,30	3,07
10*	0,24	0,76	3,17	3,80	3,43
11	1,09	3,54	3,24	15,00	17,00
12*	0,24	0,88	3,66	4,30	4,22
13	3,20	11,60	3,62	39,00	55,00
14	1,09	4,20	3,85	20,00	21,00
15*	0,25	0,98	3,92	5,00	4,39
16*	0,22	0,95	4,33	5,10	4,64
17	1,07	5,00	4,67	23,00	24,00
18*	0,16	0,86	5,38	4,50	4,21
19	3,20	17,00	5,31	72,00	83,00
20	1,05	6,10	5,81	29,00	34,00
21*	0,12	0,74	6,10	3,70	3,70
22	1,04	6,50	6,25	31,00	31,00
23	1,60	10,40	6,50	48,00	51,00
24	1,40	9,20	6,57	35,00	52,00
25*	0,10	0,70	7,00	3,30	3,48
26*	0,08	0,63	7,90	3,00	3,08
27	1,03	7,45	7,23	38,00	37,00
28*	0,09	0,66	7,33	3,10	3,27
29	1,03	7,80	7,57	41,00	39,00
30	1,30	10,80	8,30	20,00	51,00
31	1,02	8,50	8,33	45,00	41,00
32*	0,06	0,53	8,83	2,50	2,57
33	1,00	9,00	9,00	51,00	46,00
34*	0,05	0,50	10,00	2,30	2,35
35	2,25	21,70	9,64	100,00	104,00
36*	0,04	0,47	11,85	2,10	2,15
37	0,80	8,20	10,20	30,00	38,00
38	1,85	20,10	10,86	100,00	95,00
39*	0,04	0,43	10,75	1,90	1,98
40	1,60 	17,50	10,90	77,00	82,00
41*	0,03	0,42	14,00	1,90	1,84
42	0,73	8,30	11,37	42,00	48,00
43	1,00	11,60	11,60	50,00	53,00
44*	0,03	0,37	12,33	1,60	1,67
45	1,00	12,70	12,70	60,00	57,00
46	1,00	12,70	12,70	50,00	57,00
47	1,30	17,00	13,00	75,00	76,00
48	1,20	16,00	13,30	70,00	71,00
49	1,50	21,50	14,33	80,00	94,00
50	1,65	24,20	14,66	107,00	111,00

109
Продолжение табл. 4

№ опытов		Л2	^2	1п	
				из опыта	по формуле (130)
51	1,40	21,00	15,00	90,00	91,00
52	1,00	15,20	15,20	60,00	65,00
53	1,00	15,80	15,80 ’	60,00	67,00
54	1,20	23,00	19,10	95,00	92,00
55	0,95	18,50	19,40	83,00	74,00
56	1,25	24,50	19,60	108,00	98,00
57	0,60	11,80	19,70	60,00	43,00
58	0,95	19,00	20,00	79,00	76,00'
59	0,73	16,60	22,74	63,00	63,00
60	0,80	18,20	22,70	70,00	70,00
61	0,95	21,70	22,80	96,00	83,00
62	0,60	13,80	23,00	50,00	52,00
63	0,50	11,50	23,00	40,00	44,00
64	0,71	18,20	23,60	76,00	67,00

Таблица 5

		^2	'(&)	л2	'(й)
/г,					
2	5,478	10	47,324	18	74,003
3	13,369	11	51,051	19	76,902
4	19,718	12	54,718	20	79,741
5	24,963	13	58,210	21	82,521
6	30,033	14	61,521	22	85,242
7	34,783	15	64,775	23	87,845
8	39,090	16	67,969	24	90,448
9	43,301	17	71,045	25	92,992

§ 19.	ПРЫЖОК В ПОТОКЕ, ДВИЖУЩЕМСЯ С ИЗМЕНЕНИЕМ РАСХОДА
ВДОЛЬ ПУТИ

Из общего уравнения (61) установившегося движения потока
с переменным вдоль пути расходом для призматического русла
видно, что независимо от закона, по которому происходит из-
менение расхода вдоль пути, свободная поверхность резко изме-
няется при достижении критической глубины (происходит гидрав-
лический прыжок).

Таким образом, в данном случае имеет место то же явление^
которое происходит в аналогичных условиях при движении по-
тока с постоянным расходом.

Кроме того, рассматривая прыжок как явление, протекающее
с изменением расхода в пределах длины прыжка, приходим к
выводу, что закон распределения расхода в пределах указанной
зоны при 6 = 0 не играет никакой роли, и важно знать лишь
значения расходов в конечных сечениях.
Как в потоке с постоянным по длине расходом, так и при
движении потока с изменением расхода вдоль пути, явление
1 идравлического прыжка возникает при переходе через критиче-
скую глубину.

В потоке, движущемся с постоянным расходом, переход через
критическую глубину возможен либо при изменении уклонов,
либо в тех случаях, когда происходит резкое изменение условий
движения потока, как при сопряжении бьефов за гидротехниче-

скими сооружениями.

При движении же потока с изменением расхода вдоль пути
переход через критическую глубину может произойти и при со-
хранении существующих в потоке условий движения (постоян-
ство уклона дна, отсутствие перепада).

Для определения местоположения прыжка при движении по-

тока с изменением расхода вдоль пути можно воспользоваться

методом, предложенным

ным расходом.

По уравнениям (85),

для случая движения потока с постоян-

(87), (89) строим линию свободной по-

верхности потока, а по зависимости

строим линию критических глубин.

- -1/^
'КР“ |/ ^2

или

а($2 __ со3

ё

Пересечение линии критических глубин с линией свободной

поверхности дает точку, вблизи которой должно произойти явле-

ние прыжка.

Затем по зависимости (97) вычисляем значения прыжковой
функции для участка, включающего точку пересечения линии
критических глубин с линией свободной поверхности.

Сечения (перед указанной выше точкой пересечения и после
нее), в которых прыжковые функции будут иметь одинаковые
значения, очевидно, и дадут места сечений со взаимными глуби-
нами. Расстояние между этими сечениями должно дать длину
прыжка, а глубины должны равняться взаимным глубинам.
ГЛАВА V

ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ БОКОВОЙ ВОДОСЛИВ

§ 20.	ОШИБОЧНОСТЬ ПОСТУЛАТА ДЕ-МАРКИ О ПОСТОЯНСТВЕ
УДЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ПОТОКА В ПРЕДЕЛАХ БОКОВОГО ВОДОСЛИВА

Вопрос о движении жидкости через боковой водослив до на-
стоящего времени нельзя считать полностью разрешенным.

Одним из решений является работа де-Марки, в которой
принимается постулат о сохранении постоянной величины удель-
ной энергии подводящего потока в пределах всей длины водо-
сливного ребра.

Ввиду большого распространения этого постулата в после-
дующих исследованиях считаем важным специальное исследование
вопроса о правильности этого постулата.

Впервые сомнения в правильности этого постулата высказал
проф. Я. Та Ненько1; однако, в своих решениях он также ис-
пользовал постулат де-Марки, который, по его мнению, позволяет:
«...просто и изящно решить вопрос о форме поверхности по-
тока в пределах сливного ребра».

Здесь, на основании зависимостей гидравлики переменной
массы покажем, что постулат де-Марки не может иметь места
при движении жидкости через боковой водослив.

В своих рассуждениях будем исходить из основного уравне-
ния гидравлики переменной массы (96):

("2? ) + у + <& + Ч^х +

а0 (с — 6) о „

е а

Заменяя б/г на —10<1х, а — выражением <Нг, сможем написать:

й (у + с1И — 10с1х + 1^х +

«о (о —0) а<2 __ п

8	<3

(133)

1 Проф. Я Т. Ненько, Теория бокового водослива. Труды Харьков-
ского НИГЛ, 1938.
Рассмотрим возможность применения постулата де-Марки для
следующих двух случаев движения потока с непрерывной раз-
дачей вдоль пути:

а)	уклон /0 — меньше критического;

б)	уклон — больше критического.

Случай 1. 10< 4КР. В данном случае без особой погрешности
можно принять, что уклон /0 —• т. е. сопротивление трению,
компенсируется действием силы тяжести.

При этом допущении уравнение (133) перепишется следующим

образом:	а(^\ + (1Н + а° (° ~ 0) - = 0,	(134)  V) 1	8 С
пли	+	=	(135)

В соответствии с постулатом де-Марки величина удельной
-шергии вдоль сливного ребра имеет постоянное значение, т. е.

Э =	4- И = сопз!.	(136)

Имея в виду (136) и полагая а0 = а уравнение (135) можно
представить в таком виде:

ао — 0) б?<2 — О	(137)

Если последнее условие (137) возможно, то возможен и по-
стулат, введенный де-Марки.

При каких же условиях возможно существование условия
(137)?

Очевидно, что существование этого условия возможно лишь
в двух случаях:

1.	= О, откуда следует, что (2 = сопз!, т. е. расход яв-

ляется величиной постоянной. Так как при движении через
боковой водослив в основном канале не может существовать по-
стоянство расхода, то и постулат де-Марки невозможен.

2.	V = 6, как показывают наши многочисленные опыты, в
общем случае движения такое соотношение между скоростями
основного потока и отделяющихся масс не подтверждается. При
устройстве бокового водослива для какого-либо определенно! о
сечения такое соотношение хотя и может быть достигнуто, но
не сохраняется неизменным вдоль всего сливного ребра, а по-
тому и постулат де-Марки также не может иметь места.

В большинстве случаев при расчете движения через боковой
водослив принимается, что угол, составляемый направлением
скоростей отделяющихся масс с направлением основного потока,
равен 90°, что, видимо, не вызывает больших погрешностей.
Нели положить, что угол, составляемый направлением скоро-,
стей отделяющихся масс и направлением основного потока, равен
прямому или очень мало отклоняется от него, то величиной 0 по
сравнению со значением V можно пренебречь, и тогда условие
(137) перепишется в виде:

= 0.	(138)

Условие (138) еще резче подчеркивает невозможность суще-
ствования постулата де-Марки, так как в данном случае движе-
ния невозможно осуществление условия постоянства расхода
<2 = сопз1, для которого только и может быть справедливым
уравнение (138).

Таким образом, приходим к выводу, что при движении по-
тока с уклоном г0 < гКр постулат де-Марки не может иметь места.

Случай II. 40 > 1кр. В данном случае говорить о равенстве
— 1$ нельзя, но потери на трение здесь настолько малы по
сравнению с г0, что ими можно без существенной погрешности
пренебречь.

В этом случае уравнение (133) перепишется так:

й + ан - 10<1х + а°(°-6)0	= 0.	(139)

Если принять постулат де-Марки, то й	— 0, а урав-

нение (139) преобразуется следующим образом:

= <14°)

Величина — будет отрицательной, так как вниз по течению
происходит уменьшение расхода.

Так как в выражении (140) значение г'о, стоящее в левой части,
положительно, то и правая часть этого выражения должна быть
также величиной положительной, а это возможно лишь в тех
случаях, когда 6 будет больше V.

Попробуем на основании простейших рассуждений установить,
в каких случаях возможно соотношение 6 > а. Возьмем участок
водослива с бесконечно малой длиной сливного ребра, равной Дх.
В пределах этого участка движение в основном канале может
быть без особых погрешностей принято подчиняющимся условиям
равномерного движения, для которого

<2 = Со]/’или V = СУКц.

Так как рассматриваем случай движения при уклоне, большем
критического, то г0 должно быть больше или равно
Полагая = и ч подставляя это значение в выражение для
скорости движения в основном подводящем канале, будем иметь



(141)

Принимая и а== 1, получим окончательно:

1 I
у~§2112.

(142)

Расход через водослив на длине Дх без большой погрешности
может быть выражен по обычной формуле

__ з

$ = т&хУ2ёН2,	(143)

откуда средняя скорость отделяющихся масс может быть принята
равной

з

__ С __ гп^х V 2ёН 2
гб ~ V "нПх

1

= тУ2§Н2.

Отсюда значение 6 равно:

1

Ь ~ Vб соз ср = т У2§Н2 соз ср,

(144)

где <р — угол, составляемый направлением скорости отделяющихся
масс и направлением движения основного потока.

Для выполнения принципа де-Марки необходимо, как указы-
валось ранее, чтобы 0 было большим V или на основании (142)
и (144), чтобы было выполнено условие

1 1 1

тУ2§Н2 соз ср > §2 К 2 ,

(145)

откуда

1

Н2 >

1

А2
тУ 2 соз ср ’

или, принимая т]/2^0,6,

1

Н2

1

к 2

0,6 СОЗ ср *

(146)

Так как со§<р< 1, то из выражения (146) следует, что напор
на боковом водосливе должен быть больше, чем глубина воды й
в подводящем канале.
: -г зынэрене мнкздздпо н хЪ бн эынэнавду зэндзеэоп мнеэдебЧ

(051)

9Ь 9ог2_____

хЪ 2о)^	__ЛЬ

Л29о$____ * ~~ хЪ

:эжлвт мыр^еоп (56М) кынзнавд^ еН

. о)Ъ /о>Ъ 598_9Ь 92 \	ою . 92Ь 90ю2	9Ъ /<оЬ 02	I ръ\ дю2 _____А8Ъ

* хЬ \хЪ *со	хЬ 8со/ * 2хЪ	хЪ \хЪ 8<о	8о> хЪ/ %	ехЬ

А5Ъ ^90х>

* 2хЬ 8со^ '
вдулто

<->Ъ / озЪ 5р8 _ 9Ь 9$\ ою	9еЬ Оою2 9Ь /соЪ 92	I рЪ\ ог2

Н ? П	^<0 У-Ь 8<о / %	8хЬ 8<о%	хЪ \хЪ 8(о	8со хЬ/

'	' ’	^90ю ___	“

80)^

г й$9ПЮ	.	-г-,

отр ^дыа а кэмн ^умотеоп Д > зынзрвнг ох хнквм нтЩ

:мнруп,оп (031) аы .онакэтЕдндто фЬ

(531)

(±)_^
(+)

-упл умотеоп е «онааэтнжокоп ~ зынзрвне отр «мыдка (251) еЫ

ТОЭМЫ ЗЕРуЕЭ МОННВД а .3 .Т «X МЭННЗРКЕЭау О ТЗЕТЗЕЦЕОа А еныЗ
БнэЕавдпвн унодотэ оголел а длнЕЭдэдпО .вдопдоп кваыдл отээм
-эвд н (131) мэынэнавду кэмэуЕЛЕОпэоЭ .йоаыдл йоте атэоплушая
«аэоЕвянЕвлу эжу лвЯ .аонэЕР отз хннакздто зннэрвне мндтомэ
•.атБЭкпвн онжом умотеоп <онаг»зтвдыдто

8

(в)	схЬ2 (д — А)	т— = ОЬ

«нянэтэ йонакЕЭОДоа втоэгаа — д эдт

НЕН

Ф)	.Чч-А)№- = ^

:мзБРудоп сх оп эынэнавд^ эзндэеэоп куднднздэффыД

(а)

.	2 (ч — Л) га|-— ==

уЪ	7 й 2

ЛЪ Л (М)Ъ СоЪ ~	9$Ъ гх ЛЬ	пп

ЭЖ ТОТ ТЭЗМН ~г А =	= — В <0 > — ОТ «О < -Г- ЛЕЯ явТ

хЪ хЬ хЬ	8хЪ * хЬ

ш
умотеоп Н .0НЖ0МЕ08ЭН нлээрнЕнф кнаонэу отолвт эшиишопыЛ

.втээм атэмн тэжом эн эврунэ моте а к нлдвМ-эд ТЕп.уг)он
эннэнавдпвн отр скэтэбнэд онрмОо оте лвл «аткнндп ннэг1
-автэоэ вдохэвд аннэодоа йоаолоб Еэдэр кэотэдюпшэдто нтэодои >
«о> поту эпбнбл мэдтдоадоп а кннэжнад нэо мэннэпавдпБн э токе
-ыдп атнб тэжом 0 эннэрбне от гумомкдп л йнлЕнкб ннн шанавд
:дыа тэмндп (ОМ) эннонавду бдтот н сотун мтанавд откн

(^1)



-вдндто тэдуб (УМ) кннэжвдна атэвр квадди от .0 > ~ лбл хбТ
бнжнод кннэнавду ототе атэвр кваэн кмэда эж от а ;йонапот
(ТМ) экаокэу ототе эыатэдэнэЯ .йонанэтнжоноп йоннрннэа атнб
чая атиб тэжом эн ,онакэтваодэп,э в тонэнкошая атнб тэлсом эн
.нлдвМ-эд ТБкутэоп н нэнноп
нтэонжомеояэн вн тошанЕклу кпнэжвдбооэ энннэжокен ээЯ
<мон вн энннваонэо дадоятаа н умотеоп в «нядвМ-эд втвпутэоп
.аотвтануЕэд хннапыавдп атвавд тутом эн

нтэонхчааоп йондоаоаэ ьшчоф змнжомеон .н §
ланЕэодоа отоаояоа хаездячп а

:кврупэ хннжэдп вад мндтомээвЧ
атвмннндп мэдуд хкврупэ хнобо Я .дЯ*1 <	(2 н<рД>(Д (I

-омкдп — влотоп отонаонэо кынэрээ отонрэдэпоп умдоф в <0 = О
.йонапоту

-аБ^у отонаонэо ен атыдохэы эжлвт мэдуб хкннэджуэ хкоаэ Я
<ктуп анода вдохэвд мэынэнэмен э блотоп кннэжнад (аб) кннэн

мэннэжвдна — у в мэннэжвдна мннэмбе моцотол я
:атэмн мэдуб вдтоТ

(8М)	.О = хЬр + хЬо1 —+

«ЭЭНБд аЭСЕБЯНЕБЛу эжу ЛБЛ .эврунэ моте Я .ди$ > оз А

:дна тэмндп (8М) эннэнавду бдтот = 0'1 аткнядп онжомеоя

(ем)	,о-йь + (5)ь-^

НЕН

(вбМ)	.0 = ЛЬ + <оЬ — рь

эдт Дй — со от сумдоф о{унанотуомкдп тээмы опэуд лбл лвТ
:эдна молвт а кэтэшнпэдэп (вОМ) вдтоТ = соЬ в Дгпоэ = й
(дем)	.о = йь + ль^-рь^
знак, что и т. е. в данном случае плюс. Имея в виду ска-
занное о знаках отдельных членов, из (151) получаем:

_ (—)
- (+)

(153)

Тот же результат можно получить и несколько иным путем.

В числителе правой части уравнения (151) произведем про-
стейшие преобразования и в полученное выражение подставим
значения и из (б) и (в):

ЛХ ЛХ2	' '	' ’

6«0(?	2а0(? с120	2а0 /Дф\2	За0<22 /ДоЛ2 __

^о)3 Их д,х	^ш2 (1х2	{ш2\д.х]	^га)4 \с1х]	'

тУ2^(Н~ р)^Г—4(й — Р) +

^•о)2	\ г' с1х И 4	1 ' 1	3(2 ак

тУ^(Н- р)2

Из (г) следует, что для значений р < ~ Л единица меньше
суммы остальных членов, заключенных в квадратные скобки;
если р будет стремиться к Л, то четвертый член в квадратных
скобках выражения (г) будет стремиться
1/	„	к бесконечности и сумма отрицательных чле-

, нов опять станет больше единицы.

|	I

Таким образом, при > 0 числитель
правой части уравнения (151) будет, как это
I ( и принято нами, отрицательным, и приходим
к прежнему выводу, что для данного случая
2

Рис- 48-	Из (152) и (153) вытекает, что в данном

случае вдоль ребра водослива имеем кри-
вую подпора, обращенную выпуклостью кверху (рис. 48).

Случай II. /0 > гКр- Так как в этом случае величина у мала
по сравнению с /0 и ею можно пренебречь, то уравнение (148)
примет вид:

+	—ь, 4/х = 0,	(154)

ИЛИ

—+	1о^ = 0,	(154а)

ГУО)2	ОГО)3	'	0
откуда

-	2«о<2

(Иг  0	/то2 д,х

(1х	$___а0ф26

^0)3

(155)

Из уравнения (154а) найдем
падает с выражением (151):

с?2Л

также значение ^-2, которое сов-

6«0д& (10 4Н 2а0(2 (1*0	2«0 /ЩХ2 ЗаоО2Ь2 /НИХ2

42/г___ /д»3 Ох ды2 Ох2 да2 \^х_[_____________________ё^_

Ох2 ~	!	«о<22&

8“>3

(151а)

Так как в данном случае 1 < ~^з~ и отрицательно, то из
(155) получаем:

^ = (±}<0.	(156)

ах (—)

При определении знака второй производной заметим, что

в уравнении (151) отдельные члены имеют следующие знаки:

,	Л2А

1аким образом, знак будет зависеть от соотношения чле-
нов, уходящих в числитель правой части уравнения (151а).

Если

6^^ <#2 2а0С Л2(?	2а0р(Л2	За0С262 М/Л2

I ^ГСО3 с1х (1х	(1х2 ‘ ^й)2 \(1х / ‘ ^со4 \с1х/ ’

то \

'	= Ш < о	(157)

ах2 (-) 'к ’
Если же

ба0дг> ао_ м	2ооО ^2 . 2«0 /ао\2, з^о^м}2

^Г(03 (1Х (1х	^<02 (1Х2 ‘ ^2 У([х I I ^4 \с!х/ 9

то

й=г4>0-	<158>

Имея в виду (156), (157) и (158), заключаем, что в данном
случае кривая свободной поверхности вдоль ребра водослива
будет кривой спада, обращенной выпуклостью кверху (рис. 49),
для случая (157), и кривой спада, обращенной выпуклостью книзу,
для случая (158) (рис. 50).

Высказанные соображения о виде свободной поверхности вдоль
ребра водослива вполне согласуется с имеющимися в литературе
экспериментальными данными.

§ 22.	ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ БОКОВОГО ВОДОСЛИВА

Для определения гидравлических элементов потока в преде-
лах участка бокового водослива можно воспользоваться основным
уравнением движения потока с переменной массой. Решая это
уравнение совместно с обычным уравнением расхода через водо-
слив, можно было бы получить точные решения для бокового^
водослива.	I

Однако получающиеся при этом интегралы настолько сложны!
что точное решение их невозможно, поэтому приходится пользой
ваться методами приближенного интегрирования. Для обоих ука-
занных выше случаев движения через боковой водослив можро
довольно просто получить приближенные решения, пользуясь
уравнением (89):

ао^1 .	. &Л. + А 1 ^ср А г,

—. _  --о 2_1—	Дх + -о---— Ах = 0.

^2	ё“>1	2 с 1УС 1	2	С Р

ср ср 'ср

ДЛЯ 10

^кр уравнение (89), в соответствии с ранее изложен-
ным, может быть переписано в таком виде:

I

а0Ч2 а0Ч1	.

ё^~ё^+	~= °-	(159)

ДЛЯ
„ л2 «Л2	'

~ + <0^-2 ~<В1Ус-1 ~ Дх = °‘ /(160>

Уравнения (159) и (160) и уравнение расхода через водбслив
з	I

<3 = <Э1-С2 = /пАхИ2^(/г-р)2	|(161)

позволяют приближенно решить задачу о движении через боковой
водослив.
При расчете весь водослив разбиваем по длине на ряд уча-
стков, длиной Дх с таким расчетом, чтобы величина Дх была
возможно меньшей,

В этом случае расход на участке длиной Дх может быть оп-
ределен по формуле (161), а из уравнения (159) или (160), в за-
висимости от уклона дна подводящего потока, можно определить
глубину потока на соседнем участке. Зная эту глубину, легко
перейти к следующему участку и так далее.

Для проверки можно произвести подсчеты при двух различ-
ных разбивках.

При уклонах < 1К расчет следует вести от низовой грани
водослива, где глубина соответствует глубине потока, вверх про-
тив течения.

При уклонах 1ц > 1К расчет следует начинать от верхового
края водослива и идти вниз по течению.

Чтобы проверить пригодность уравнения (89) для данного
случая, воспользуемся опытами Энгельса, произведенными в
1917 г.

Опыты производились в прямоугольном лотке, в одном борту
которого был устроен боковой водослив.

Как длина водослива, так и отделяющиеся через него в сто-
рону расходы колебались в значительных пределах.

Хотя опыты предназначались для других целей, но они вполне
пригодны и для проверки предлагаемого уравнения (89).

К сожалению у Энгельса даны глубины только в начале и
в конце бокового водослива; данные же, характеризующие вид
свободной поверхности между указанными сечениями не приве-
дены, а это не даёт возможности полностью проверить предла-
гаемый метод расчета и установить величину возникающих по-
грешностей.

Принятые обозначения ясны из чертежа (рис. 51).
Принимая глубину /0 в начале бокового водослива за основ-
ную, определим из уравнения (89) глубину 1и основного потока
в сечении, соответствующем концу бокового водослива.

Полученные данные приведены в табл. 6. Таблица показывает
хорошее совпадение опытных данных с результатами, получен-
ными вычислениями по уравнению (89).

Получающиеся расхождения не выходят за пределы практи-
чески допустимых, и, таким образом, уравнение (89), а следо-
вательно, выводы, вытекающие из него, достаточно хорошо под-
тверждаются даже для менее благоприятного случая изменения
расхода при помощи отделения некоторого количества жидкости
вдоль пути, при длине расчетного участка, равной всей длине
водосливной стенки.

Таблица 6

№ опытов	1и из опыта, мм	1и из уравнения (89), мм	Расхождения, %
2	120	130	+ 8,3
3	ИЗ	128	4-13,3
5	182	185	4- 1,6
7	308	306	— 0,6
8	303	308	+ 1,7
10	367	376	+ 2,5
И	320	340	4- 6,3
12	305	332	4- 8,9
13	301	329	4- 9,3
14	298	330	4-Ю,7
15	296	324	4- 9,4
16	292	325	4-Н,з
18	303	305	4- 0,7
19	297	301	+ 1,3
20	287	289	4- 0,6
21	291	285	— 1,4
22	277	282	4- 1,8
23	276	277	4- 0,3
24	275	275	0.0

На основании изложенного можно думать, что предлагаемый
приближенный расчет бокового водослива будет пригоден для
практических целей.
ГЛАВА VI

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ движения жидкости
с переменным расходом на быстротоке
С ЦЕЛЬЮ ГАШЕНИЯ ИЗЛИШНЕЙ ЭНЕРГИИ

§ 23. ДВИЖЕНИЕ НА БЫСТРОТОКАХ С ПОСТОЯННОЙ ГЛУБИНОЙ
или ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ

В некоторых случаях инженерной практики желательно по-
лучить на быстротоках движения с постоянной величиной отдель-
ных гидравлических элементов.

Рассматривая только случай установившегося движения и
полагая, что присоединение и отделение изменяющегося расхода
происходит под прямым углом, т. е. 6 = 0, можем уравнение
^96) и (9в) переписать в таком виде:

^^(?) + Т-1’оЙХ+1’^Х = 0;	(162)

+	+	+	=	(162а)

Эти уравнения содержат четыре неизвестных: <2, о), ~ и х,
для определения которых имеется только одно уравнение (162).

Если заранее известны закон распределения расхода вдоль
потока и форма русла, то, задаваясь различными значениями
длины пути х и пользуясь уравнением (162), можно определить
соответствующие глубины.

Можно было бы поступить и несколько иначе: задаваясь за-
коном изменения глубин вдоль потока и зная форму русла, уста-
новить соответствующий закон изменения расхода вдоль потока.

Таким образом, для определенной формы русла можем полу-
чить в потоке желательные нам значения глубин или других
гидравлических элементов, изменяя соответствующим образом
величину расхода на расчетных участках.

Рассмотрим методы получения на быстротоках движения либо
с постоянной глубиной И, либо с постоянной средней ско-
ростью V.