С. В. Александровский,

д-р техн, наук, проф.

РАСЧЕТ БЕТОННЫХ
И ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ

НА ИЗМЕНЕНИЯ
ТЕМПЕРАТУРЫ
И ВЛАЖНОСТИ
С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ

Изд. 2-е, переработанное и дополненное

А 3 S < 3 7

Д НЕ 'ТРОПЕ ГРОВСКИЙ
ИНЖЕНЕРНО- . ГГ ОГУЛЬНЫЙ

ИН 1ИГУТ

Б и Б Л О Г с К А

•	-	j S иия Of В'

СТРОЙ ИЗДАТ

Моск в а — 1 9 7 3
Александровский С. В. Расчет бетонных и желе-
зобетонных конструкций на изменения температуры и влаж-
ности с учетом ползучести. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.,
Стройиздат, 1973, 432 с.

В книге рассмотрен ряд практически важных инженер-
ных вопросов о расчете распределения температуры и влаж-
ности, а также связанного с ним напряженно-деформиро-
ванного состояния бетонных и железобетонных конструкций.
Особое внимание уделено повышению практической ценьостн
получаемых при этом решений.

Приведены результаты широких экспериментальных ис-
следований ползучести, влажностных и температурных де-
формаций бетона, а также температурно-усадочных напря-
жений в нем.

Содержится иллюстрированный материал и необходимые
числовые примеры расчета, отвечающие требованиям дей-
ствующих норм проектирования; приводятся таблицы, а так-
же библиография по рассматриваемой проблеме.

Книга предназначена для научных работников, инжене-
ров-строителей, проектировщиков бетонных и железобетон-
ных конструкций гражданских, промышленных и гидро-
технических сооружений, мостостроителей.

Табл. 54, ил. 92, список лит. 254, назв.

0325—285

047(01)—73

78—73
ПРЕДИСЛОВИЕ

В обычных условиях работы бетонные и железобетонные кон-
струкции неизменно подвергаются воздействиям не силового ха-
рактера, вызывающим изменения их деформированного состояния,
или, как говорят, претерпевают вынужденные деформации.

К вынужденным деформациям относятся деформации, связан-
ные с изменениями температуры и влажности бетона вследствие
отсутствия термогигрометрического равновесия с внешней средой
(разогрев от экзотермии и последующее остывание, усадка, набуха-
ние, периодические изменения температуры и влажности, связан-
ные с годовым циклом температуры и влажности воздуха), смеще-
нием (осадкой) опор, искусственным перераспределением усилий
и т. п. Без учета возникающего при этом напряженно-деформиро-
ванного состояния невозможен надежный и экономичный расчет
бетонных и железобетонных конструкций гражданских, промыш-
ленных и гидротехнических сооружений. Он особенно необходим
в связи с устранением излишних коэффициентов запаса при
расчете этих конструкций на прочность, жесткость и трещино-
стойкость по действующим нормам.

Изучение напряженно-деформированного состояния, вызывае-
мого вынужденными деформациями, требует учета изменчивости
во времени физико-механических свойств бетона, а также его ползу-
чести. Это связано с тем, что вынужденные деформации часто воз-
никают в молодом возрасте бетона, с другой стороны, их действие
обычно сохраняется весьма длительное время. Существенной же
особенностью этих деформаций является то, что вызываемые ими
напряжения, независимо от их величины, вследствие ползучести
бетона обычно значительно уменьшаются во времени, даже в пред-
положении линейной ползучести, в то время как напряжения, вы-
зываемые нагрузкой, при этих условиях практически не изменяются
и действие ползучести сказыва тся лишь на перемещениях (дефор-
мациях) конструкций.

Исследованию напряженно-деформированного состояния бе^он-
; ых и железобетонных конструкций при наличии вынужденных
4 "формаций и при учете ползучести бетона и посвящена настоящая
р абота, при этом основное внимание в ней уделено температурным
F влажностным напряжениям.

Это исследование проведено для стадий возведения и эксплуа-
тации конструкций и сооружений, поэтому в монографии рассма-
тр шаются только задачи, связанные с устойчивым деформированием,
характеризующимся затуханием скорости деформаций ползучести.
Кроме того, имеется в виду линейная зависимость между напря-
жениями и деформациями бетона как упругими, так и полными,
определяемыми с учетом ползучести.

В соответствии с этим также принято допущение о равенстве
и постоянстве коэффициентов поперечной деформации — упругой
vx (т) и деформации ползучести v2 (/, т): vx (т) = v2 (/, т) = const
По малости vx (т) и v2 (t, т) это допущение приводит к незначитель-
ным погрешностям.

Учтено также старение бетона, т. е. изменение с возрастом его
модулей упруго-мгновенных деформаций Е (т) и G (т), а также меры
ползучести С* (I, т).

Указанные важные свойства бетона, т. е. его старение и наслед-
ственность, наиболее полно учитывает современная и наиболее со-
вершенная теория ползучести — теория упруго-ползучего тела
(наследственная теория старения). На основе этой теории, но с уче-
том новых, более совершенных наследственных функций бетона,
предложенных автором, в монографии рассмотрен ряд практически
важных задач о напряженно-деформированном состоянии бетонных
и железобетонных конструкций, вызываемом вынужденными дефор-
мациями бетона.

Особое внимание уделено задачам теории тепло- и влагопровод-
ности бетона при наличии источников тепла и стоков влаги, интен-
сивность которых зависит от температуры, а также упруго-мгновен-
ным задачам теории упругости тел с модулями Е (/) и G (t), завися-
щими от возраста бетона. Полученные в монографии решения таких
задач необходимы для исследования напряженно-деформированного
состояния бетона, вызываемого изменениями температуры и влаж-
ности, с учетом ползучести на основе известного принципа Вольтер-
ра — Н. X. Арутюняна.

Специальные главы посвящены учету температурно-влажност-
ных воздействий при расчете железобетонных конструкций без
трещин и при наличии их в соответствии с действующими нормами.

Монография представляет собой второе дополненное и перера-
ботанное издание книги автора того же названия, изданной Строй-
издатом в 1966 г.
Глава I

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ БЕТОНА

Решению задач о термонапряженном состоянии бетонных и же-
лезобетонных конструкций должно предшествовать определение
температурных полей, возникающих в них в результате внешних тем-
пературных воздействий, отсутствия термометрического равновесия
с окружающей средой и экзотермии бетона. Процесс диффузии тепла
во влажном бетоне при этих условиях весьма сложен, так как
наряду с теплообменом в нем происходит массообмен при наличии
фазовых превращений. В результате этого тепловые потоки слага-
ются из двух составляющих: кондуктивной (перенос тепла за
счет теплопроводности) и конвективной (перенос тепла движущейся
жидкостью). С другой стороны, потоки влаги в бетоне, переносящие
тепло, в свою очередь, состоят из составляющей, связанной с влаго-
проводностью, и составляющей, связанной с термовлагопровод-
ностью, обусловленной неравномер.' ым распределением температуры
по объему высыхающего тела.

В аналогичных условиях находятся все влажные капиллярно-
пористые коллоидные тела во время высыхания и особенно в про-
цессе их сушки при высоких температурах. Основные законы пере-
носа тепла и массы вещества в таких телах были сформулированы
А. В. Лыковым [108, 109], которым предложена и теория тепло-
и массообмена в процессе сушки материалов. Эта теория может быть
применена и к бетону.

Однако в обычных условиях работы бетонных и железобетонных
конструкций, которые мы и будем иметь в виду, температура и влаж-
ность бетона невелики и изменяются незначительно. Во всяком
случае, его температура редко превышает 60° С, и притом время,
в течение которого сохраняются в нем наибольшие из наблюдаемых
температур, непродолжительно. При этих условиях можно (это
подтверждено рядом экспериментов [55, 80]) пренебречь влиянием
составляющей теплового потока, связанной с переносом тепла
движущейся жидкостью, и соответственно составляющей потока
влаги, обусловленной явлением термовлагопроводности.

Куда более важным в этом случае является учет внутренних
источников тепла, а именно экзотермии гидратируемого цемента,
и внутренних стоков влаги, т. е. химического связывания свобод-
ной воды, интенсивность которых существенно зависит от темпера-
туры. Вопрос об интенсивности связанного с этим тепловыделения
в бетоне и степени возможного разогрева последнего рассмотрен
в § 1.4, 1.15 и 1.16, где показано, что они могут быть довольно зна-
чительными. Учтя эти обстоятельства, мы приходим к уравнениям
теплопроводности (1.2) и влагопроводности (II.2), которые подроб-
но и исследуются в дальнейшем.

Теории теплопроводности бетона, в такой постановке посвящены
работы С. В. Александровского [3, 4, 6], Г. Д. Вишневецкого [57],
А. А. Гвоздева [63, 65], Б. Г. Коренева [99—101], А. В. Лыкова
[107], Ю. А. Нилендера [134, 137], В. М. Штейнберга, И. Е. Про-
коповича и И. В. Гольдфарба [210, 211], С. А. Фрида [19G1 и многих
других авторов.

Ниже рассматривается общая задача теории теплопроводности
бетона при внутренних распределенных по объему тела источниках
тепла, интенсивность которых зависит от температуры процесса.

Получено соответствующее дифференциальное уравнение тепло-
проводности, пригодное как для положительных, так и для отри-
цательных температур, и разработан аналитический метод его инте-
грирования. Этот метод, названный методом дополнительных
фиктивных источников тепла, в случае переменных во времени гра-
ничных условий не требует применения теоремы Дюамеля и приво-
дит к повышенной сходимости решений, полученных на его основе.
Последнее обстоятельство очень важно для решения задач о термо-
напряженном состоянии неравномерно нагретых твердых тел.

§ 1.1.	Теплопроводность. Основные уравнения
теории теплопроводности бетона

При неравномерном распределении температуры по объему тела
его менее нагретым частям непрерывно передается тепло более на-
гретых зон. Такая передача тепла называется теплопроводностью.

У ряда материалов (например, у древесины) теплофизические
свойства, связанные с теплопроводностью, изменяются от точки
к точке по объему тела, а сама теплопроводность в одних направ-
лениях лучше, чем в других. Теплофизические свойства материа-
лов изменяются также в зависимости от температуры. Сднако в
большинстве практически важных случаев эти изменения не слиш-
ком велики, поэтому обычно эти свойства считают не зависящими от
температуры.

У некоторых материалов тепловой поток не только является
следствием внешнего воздействия (нагрев или охлаждение), но
связан также со свойством материала выделять или поглощать тепло.
Примером может служить бетон, выделяющий в процессе тверде-
ния значительное количество тепла вследствие экзотермической ре-
акции гидратации цемента. Это обстоятельство в больших массах
бетона приводит к его разогреву и нежелательному появлению тем-
пературных трещин.

В дальнейшем мы и будем рассматривать тела, материал кото-
рых обладает экзотермией, имея в виду в первую очередь бетон.
При этом будем считать последний однородным и изотропным телом
с теплофизическими свойствами, не зависящими от времени (возра-
ста бетона) и температуры.

Первое из этих предположений носит условный характер. Однако
хаотичность размещения заполнителей в бетоне позволяет думать,
что он в больших объемах в общем является однородным и изотроп-
ным. Что касается остальных допущений, то они будут рассмотрены
в § 1.3.

В теории теплопроводности показывается [93], что величина
теплового потока в единицу времени через единицу площади по-
верхности в данной точке тела

(1.1)

OV

где Ф (х\ у, z, f) — температура тела; X — коэффициент теплопро-
водности материала; v — внешняя нормаль к рассматриваемой
поверхности.

Рассматривая условия теплопередачи через элементарный объем
тела, с помощью выражения (1.1) можно получить следующее диф-
ференциальное уравнение теории теплопроводности бетона [4, 15]:

— = ат?2;Ф+—• —,	(1-2)

dt т 1 ,ус di

в котором ат — коэффициент диффузии тепла (коэффициент темпе-
ратуропроводности), равный:

ат =—ъ	(1.3)

ус ‘

(X — коэффициент теплопроводности); с — удельная теплоемкость;
у — плотность бетона; Ц — содержание цемента в бетоне; Э —
количество тепла, выделяемое к рассматриваемому моменту времени
весовой единицей цемента при гидратации.

Уравнение (1.2) представляет собой уравнение теплового ба-
ланса элементарного объема и является основнйй в теории тепло-
проводности бетона.

В общем случае температура бетона является функцией времени
и всех трех координат точек тела. При этом мы будем иметь трех-
мерную по координатам задачу теории теплопроводности, решение
которой определяет пространственное температурное поле в нем.
Из общего случая пространственной задачи могут быть получены
частные случаи плоской и линейной задач, осевой или полярной
симметрии, соответствующие часто встречающимся задачам, в кото-
рых температурные поля зависят только от двух или только от одной
координаты. Некоторые из них мы рассмотрим в дальнейшем.

Решение основной задачи теории теплопроводности об отыска-
нии температурной функции Ф (х, у, z, f) требует интегрирования
дифференциального уравнения (1.2) при граничных и начальном
условиях, определяющих соответственно тепловой поток на поверх-
ности тела и распределение температуры по его объему в начальный
момент времени, и при заданном законе тепловыделения в бетоне
Э (х, у, z, t). Для практического использования решений этой зада-
чи необходимо располагать численными значениями коэффициентов,
характеризующих собой теплофизические свойства бетона.
§ 1.2.	Граничные и начальное условия

Из встречающихся видов граничных условий наибольший прак-
тический интерес представляет случай свободного теплообмена на
поверхности тела с подвижной средой (вода, воздух). Температура
среды, окружающей тело, может изменяться по определенному за-
кону, определяемому некоторой заданной функцией ф (f) времени t.
В этом случае потеря тепла с единицы поверхности тела в единицу
времени пропорциональна разности температур поверхности и сре-
ды вблизи поверхности:

& = ант[Ф~Ф(/)].	(1.4)

Коэффициент пропорциональности ант в этом уравнении носит
название коэффициента теплопередачи и зависит от формы тела,
состояния и температуры его поверхности, а также от ряда других
факторов. Так как на поверхности тела тепло не может накапливать-
ся, то количество подводимого к ней тепла (1.1) и тепла теряемого
(1.4) равно между собой. Приравнивая выражения (1.1) и (1.4), по-
лучаем следующее граничное условие для рассматриваемого слу-
чая теплообмена с подвижной средой:

-^ + /г[Ф-ф(/)] = 0.	(1.5)

OV

В уравнении (1.5) величина

h = ^-	(1.6)

X

представляет собой относительный коэффициент теплопередачи.
Этот вид граничных условий встречается наиболее часто, и мы будем
в дальнейшем им широко пользоваться, имея в виду свой заданный
закон изменения температуры фу (/) со стороны каждой отдельной
координатной поверхности с нормалью v, ограничивающей тело.

Аналогичным образом могут быть получены выражения и для
других видов граничных условий, встречающихся в приложениях.
Если поверхность тела поддерживается при заданной температуре
ф(/), то граничные условия на этой поверхности имеют вид:

Ф = ф(/).	(1.7)

Если поверхность тела непроницаема для тепла, то на ней

Отметим, что граничные условия (1.7) и (1.8) являются частными
случаями более общего условия (1.5) и получаются из него соот-
ветствующим предельным переходом.

Действительно, при бесконечно большом <хнт температура на
поверхности тела будет мгновенно следовать за изменениями темпе-
ратуры внешней среды. Устремляя поэтому в уравнении (1.5)
h -> oo , мы и получим граничное условие для этого случая в ви-
де (1.7). Если поверхность тела непроницаема для тепла, то неза-
висимо от Ф и ф (/) в уравнении (1.4) Q должно быть равно 0.
Чтобы удовлетворить этому условию, мы должны положить в нем
«тн = 0. Устремляя поэтому в уравнении (1.5)	0, мы получаем

граничное условие для этого случая в виде (1.8).

Возможность указанных предельных переходов избавляет нас
от необходимости рассматривать особо задачи с граничными усло-
виями (1.7) и (1.8). Достаточно будет получить лишь решения ряда
задач с граничными условиями вида (1.5). Решения же аналогич-
ных задач с другими граничными условиями мы получим из найден-
ных решений, осуществив в них соответствующий из указанных
предельных переходов.

При решении нестационарных задач теории теплопроводности
часто встречается случай утепления грани тела слоем термоизоля-
ции; ее роль, например, может играть опалубка. Теплообмен на
такой грани может быть оценен при помощи некоторого условного
коэффициента теплопередачи [4,15]

-»	U-9)

Лу —р- Of ОСд«г

где Хт и 6Т — соответственно коэффициент теплопроводности и тол-
щина термоизоляции; <хнт — коэффициент теплопередачи на от-
крытой поверхности.

Анализируя формулу (1.9), мы видим, что при 6Т = 0 (термо-
изоляция отсутствует) а*нт = ант. В этом случае имеет место сво-
бодный теплообмен на поверхности бетона. При 6Т = оо (идеальная
нетеплоемкая изоляция) а„т = 0. В этом случае поверхность раз-
дела непроницаема для тепла. Для промежуточных значений 6Т
каждого вида термоизоляции может быть построена кривая а*нт —
= / (6Т), представляющая собой ветвь гиперболы, асимптотой кото-
рой является ось 6Т.

Таким образом, при отыскании нестационарных температурных
полей бетонных тел сложные граничные условия на их утепленных
гранях практически могут быть заменены граничными условиями
свободного теплообмена при некотором условном коэффициенте
теплопередачи а*нт, определяемом по формуле (1.9) и являющемся
функцией толщины термоизоляции и ее теплозащитных свойств.

Начальное условие определяет распределение температуры
бетона по объему тела в некоторый момент времени, принятый за
начало отсчета. Оно может быть задано в виде некоторой непрерыв-
ной функции координат точки

& = f(x,y,z) при / = 0.	(1.10)

Это соответствует ряду задач, с которыми приходится иметь дело
в приложениях. Имея, однако, в виду бетон, укладываемый в мо-
мент принятый за начало отсчета времени (А = 0), отметим, что
в рассматриваемом случае начальное условие (1.10), записанное нами
в общем виде, неприменимо.
Действительно, бетонная смесь, перемешанная в бетономе-
шалке и быстро уложенная в опалубку, имеет температуру, равно-
мерно распределенную по объему тела при пока еще отсутствую-
щей экзотермии. Поэтому правильная постановка начального усло-
вия (I. 10) в этом случае приводит нас к следующей его форме:

Ф = 0О = const при t — 0,	(1-11)

где 0О — начальная температура укладываемой бетонной смеси.
Это начальное условие мы и будем иметь в виду в дальнейшем при
определении температурных полей в молодом бетоне. Условием же
(1.10) следует пользоваться только в случае необходимости расчета
распределения температуры, вызываемого внешними воздействиями,
возникающими в момент времени /2, условно принимаемый за новый
нуль отсчета времени, когда тепловыделение в бетоне практически
уже закончилось. Задачи подобного рода хорошо изучены в курсах
классической теории теплопроводности [93], [107], и мы их здесь
рассматривать не будем. При необходимости воспользуемся их реше-
ниями в готовом виде.

§ 1.3. Теплофизические свойства бетона

В уравнениях теории теплопроводности и решениях ее задач
фигурируют следующие теплофизические характеристики бетона,
знание которых для использования этих решений в приложениях
необходимо: коэффициент теплопроводности X; коэффициент темпе-
ратуропроводности ат; удельная теплоемкость с; коэффициент теп-
лопередачи ант; плотность у; относительный коэффициент тепло-
передачи h. Эти характеристики не являются независимыми друг
от друга и связаны соотношениями (1.3) и (1.6).

Коэффициент теплопроводности 7 (ккал/м • ч  град) определяет
стационарные процессы теплопередачи в бетоне и представляет собой
количество тепла (ккал), протекающее в единицу времени (ч) при
установившемся тепловом режиме через единицу площади изотерми-
ческой поверхности (м2), при единичном температурном градиенте
(град/м).

Коэффициент температуропроводности ат (м2/ч), наоборот, ха-
рактеризует нестационарный режим теплопередачи в бетоне и вы-
ражает собой количество тепла (ккал), протекающее в единицу
времени (ч) при неустановившемся тепловом режиме через единицу
площади (м2) поверхности равного удельного теплосодержания, при
единичном градиенте последнего (ккал'мЧм).

Представляет также интерес удельная теплоемкость бетона
с (ккал/кг-град), равная количеству тепла (ккал), необходимого
для повышения температуры весовой единицы тела (кг) на 1°.

. Коэффициент теплопередачи с открытой поверхности в окружаю-
щую среду «нт (ккал!м2-ч-град) характеризует собой суммарный
теплообмен на поверхности тела, максимальную роль в котором
играет конвекция. Этот коэффициент представляет собой количество
тепла (ккал), отдаваемое бетоном с единицы открытой поверхности
(л2) в единицу времени (ч) при единичном перепаде температур по-
верхности теплообмена и окружающей среды (град).

Плотность у (кг/м3) характеризует степень заполнения объема
материала веществом. В теории теплопроводности под плотностью
обычно понимают величину, численно равную удельному весу.

Теплофизические свойства бетона (в противоположность такому
его свойству, как прочность) практически не подвержены влиянию
химических реакций, сопровож-
дающих непрерывный процесс g-

Рис. 1. Зависимость теплофизических
свойств бетона от типа крупного
заполнителя.

Рис. 2. Зависимость X, объемной теп-
лоемкости с и ат бетона от В1Ц. Сухой
бетон состава 1 : 2,1 : 4.9, на порт-
ландцементе активностью 475 кгс/см*

его твердения, а зависят только от вида материалов, составляющих
бетон. В соответствии с этим они мало изменяются с возрастом бе-
тона и практически их можно считать не зависящими от него. На-
оборот, другие особенности бетона в большей степени влияют на
его теплофизические свойства, и можно считать, что в основном;
последние зависят от вида крупного заполнителя, водоцементного
отношения и состава бетонной смеси, а также от температуры бетонам

На рис. 1 приведены результаты опытов по исследованию влия-
ния типа крупных заполнителей на теплофизические свойства бето-
на, проведенных в США при строительстве плотины Boulder^

Автором методом квазистационарного теплового режима были
проведены исследования теплофизических свойств бетонов на оте-
чественных цементе и заполнителях. В них изучалось влияние на
ймх водоцементного отношения и возраста бетона. Методика этих
опытов изложена в работе [12], а их результаты приведены на рис. 2
и 3. С помощью метода регулярного теплового режима было также
изучено влияние температуры на теплофизические свойства цемент-
но-песчаного раствора. Методика этих исследований изложена
в работе [41; результаты опытов приведены на рис. 4.

Исследование влияния влажности и пористости (объемного веса)
бетона на его теплофизические свойства проведено А. У. Франчу-
ком, которым составлены таблицы теплотехнических показателей

Рис 3. Зависимость Я, и объемной теплоемкости с бетона от его возраста-
Бетон состава 1 : 2,1 : 4,9, на портландцементе активностью 475 кгс/см*,
В!Ц 0,41. Значения % и с в начале опыта приняты за 100%.

строительных материалов [188], включающие в себя и соответствую-
щие данные для бетона. Некоторые экспериментальные данные о
коэффициенте температуропроводности гидротехнического бетона
содержатся в работе Ц. Г. Гинзбурга [69]. Обобщая результаты всех
описанных опытов, можно отметить следующее.

Коэффициент теплопроводности бетона существенно зависит от
вида крупного заполнителя. Бетоны на базальтовом и риолито-
вом заполнителях обладают наинизшим коэффициентом теплопро-
водности, в то время как бетоны на кварцитовом заполнителе от-
личаются высокими значениями последнего.

Водоцементное отношение влияет на коэффициент теплопровод-
ности бетона в значительно меньшей степени, чем вид крупного за-
полнителя. При этом увеличение начального содержания воды в бе-
тоне вызывает уменьшение его коэффициента теплопроводности.
Так, при увеличении В/Ц на 32,5% (рис. 2) коэффициент теплопро-
водности снижается всего на 5,5%.

Повышение температуры вызывает увеличение коэффициента
теплопроводности бетона и притом в ощутимой степени.

Теплоемкость бетона несколько повышается с ростом В1Ц, но
в весьма малых пределах. Так, при увеличении последнего на
32,5% объемная теплоемкость бетона возрастает всего на 3,5%
(рис. 2).

Минералогический состав крупного заполнителя оказывает не-
значительное влияние на теплоемкость бетона. Наибольшей тепло-
емкостью обладают бетоны на доломитовых заполнителях, а наи-
низшей — бетоны на кварцитовых и гранитных заполнителях.

Повышение температуры бетона влечет за собой повышение его
удельной теплоемкости; при значительных изменениях температуры
это повышение может доходить до 20%.

Рис. 4. Зависимость
ат и h цементного
раствора от темпера-
туры. Раствор соста-
ва f 1 : 4,32, В!Ц =
= 0,583, на портланд-
цементе активностью
556 кгс/см2

Тип крупного заполнителя оказывает значительное влияние на
температуропроводность бетона. При этом наивысшей температуро-
проводностью обладают бетоны на кварцитовых заполнителях, а наи-
низшей — бетоны на базальтовых заполнителях.

Влияние водоцементного отношения сказывается на температуро-
проводности значительно меньше, чем влияние вида крупного за-
полнителя. С увеличением начального содержания воды в бетоне
его температуропроводность несколько снижается. При этом повы-
шение В/Ц на 32,5% уменьшает ее всего на 8,5%. При повышении
температуры температуропроводность бетона также снижается.

Плотность бетона зависит в основном от удельного веса со-
ставляющих его материалов, состава смеси и ее пластичности. Тип
заполнителя влияет на плотность бетона через состав смеси и свой
удельный вес. Наибольшую плотность имеют бетоны на базальто-
вом крупном заполнителе. Бетоны на риолитовых заполнителях
имеют меньшую плотность. Плотность бетона уменьшается при
увеличении ВЩ, поскольку удельный вес воды значительно ниже
удельного веса заполнителей. Так как температурное объемное рас-
ширение бетона весьма незначительно, то практически можно счи-
тать плотность бетона не зависящей от температуры.

Коэффициент теплопередачи с открытой поверхности бетона
в окружающую среду ант изменяется в широких пределах и зависит
от характера поверхности тела, его формы, аэродинамических усло-
вий, в которых происходит теплообмен, свойств окружающей среды
и температуры. Повышение температуры бетона вызывает повыше-
ние относительного коэффициента теплопередачи h (рис. 4). В этом
же направлении влияет на h и повышение В/Ц. Величина коэффи-
циента теплопередачи ант существенно зависит от подвижности
окружающей среды, например от скорости воздуха. Ряд норматив-
ных документов учитывает это, дифференцируя величину ант в за-
висимости от скорости ветра [139].

Возраст бетона оказывает незначительное влияние на его тепло-
физические свойства. Проведенные исследования [12] на образцах,
изолированных от влагопотерь, показали (рис. 3), что коэффициент
теплопроводности такого бетона с увеличением возраста последнего
снижается всего на 5—7%. Это связано с химическим связыванием
воды и происходящими в бетоне новообразованиями. По времени
же изменение X исчерпывается 8—10 сутками, после чего теплопро-
водность невысыхающего бетона практически не изменяется. Изме-
нение объемной теплоемкости бетона с изменением его возраста не
превышает 5%.

Описанные выше исследования теплофизических свойств бетона
показывают, что повышение температуры приводит к одновременно-
му значительному снижению коэффициента температуропровод-
ности и повышению коэффициента теплопередачи бетона. Следова-
тельно, при экзотермическом разогреве бетонного массива, с одной
стороны, снижается его способность к выравниванию градиентов
температуры, с другой стороны, повышается его теплоотдача с от-
крытых поверхностей. Сочетание этих обстоятельств оказывает
неблагоприятное воздействие на напряженное состояние массива,
повышая неравномерность распределения температуры в нем и спо-
собствуя развитию температурных напряжений.

С другой стороны, мы видели, что бетоны с малым В/Ц обладают
большей способностью к выравниванию температур по объему и
температурные изменения в них протекают быстрее. По этой причи-
не бетоны с низким водоцементным отношением более выгодны по
сравнению с бетонами, имеющими большие В/Ц, с точки зрения ве-
личин температурных напряжений, развивающихся в них от экзотер-
мии цемента. По этой же причине для массивных сооружений вы-
годно применение медленно твердеющих бетонов, у которых сни-
жение теплопроводности при старении проходит медленнее и кото-
рые, следовательно, обладают большей способностью рассеивать
тепло экзотермии в молодом возрасте.

Учитывая в общем небольшую изменчивость теплофизических
свойств бетона, а также то, что расчет изменений его температуры,
особенно при учете колебаний температуры внешней среды, носит
гипотетичный характер, в прикладных задачах теории теплопро-
водности принимают обычно некоторые постоянные осередненные
значения характеризующих их коэффициентов, назначаемые по
экспериментальным или справочным данным. Так, например, в
СНиП П-И. 14-69 11391 приведены следующие их величины:

1=1,7 ккал ~ - с = 0,24 ккал--
м-ч-град	кг-град

а =3-10~3 —;
ч

ккал
а = 20------------,

м^-ч-град

(1-12)

которыми и можно пользоваться при отсутствии специальных
экспериментальных данных.

§ 1.4.	Экзотермия бетона

Давно известно, что известь и цемент при гидратации выделяют
значительное количество тепла. В конце прошлого века уже были
описаны наблюдения за повышением температуры цементных раст-
воров при их твердении [112]. Позже, когда применение бетонных
и железобетонных конструкций значительно возросло, изучение
величины и характера теплоты гидратации стало необходимостью.
Этого требовала практика зимнего бетонирования и особенно
строительства массивных бетонных сооружений, у которых вслед-
ствие экзотермии обычно наблюдается резко неравномерное рас-
пределение температуры.

В связи с ограничением теплопотерь наружными слоями бетона
ядро таких сооружений в начальный период их жизни существен-
но разогревается, что приводит к развитию больших температур-
ных напряжений. Последние, сочетаясь с напряжениями, вызывае-
мыми колебаниями температуры внешней среды, и усадочными на-
пряжениями, связанными с высыханием бетона, часто приводят к не-
желательным температурно-усадочным трещинам.

На рис. 5 показано изменение во времени температуры внутри
нижней и верхней частей вертикальных ступенчатых блоков бетон-
ной плотины Upper Narrows.

Большая заслуга в изучении экзотермии цементов и бетонов
принадлежит советским исследователям. Следует отметить опыты
В. С. Лукьянова [106], С. А. Миронова [124, 125], П. Б. Будникова
и Л. Г. Туликовой [44], В. А. Кинда, С. Д. Окорокова и С. Л. Вольф-
сона [96], И. П. Еременка [82], С. Д. Окорокова, И. Д. Запорожца
и А. А. Парийского [141], исследования Гипроцемента по специализа-
ции цементов [97—98], а также специальные исследования на Днеп-
рострое, Волгострое, строительстве канала имени Москвы и ряде
других крупных гидростроек.

Можно считать установленным, что наиболее важными фактора-
ми, влияющими на экзотермию бетона, являются: химический и ми-
нер алогический состав цемента, крупность его помола, температура
укладки бетона и окружающей среды, содержание цемента.

Рис. 5. Изменение температуры бето-
на внутри плотины Upper Narrows
/ — среднегодовая температура воздуха;

2 — то же, воды

В табл. 1 приведены дан-
ные В. А. Кинда, С. Д. Око-
рокова и С. Л. Вольфсона
[96] о тепловыделении раз-
личных минералов цементно-
го клинкера.

Наиболее высокой экзотер-
мичностью отличаются мине-
ралы С3А, а наиболее низ-
кой — C2S. После трехме-
сячного возраста только
2CaO-SiO2 дает значительное
приращение выделяемого теп-
ла, а остальные минералы
не дают существенного уве-

личения тепловыделения.

fi  Наибольшая теплота гид-
ратации присуща высокоалю-
минатным и высокоалитовым
цементам. Наименьшее тепло-
выделение дают белитовые
цементы. Алитовые и браун-
миллеритовые цементы по
экзотермичности занимают
промежуточное место. Так,
например, по данным Гипро-
цемента [97]—[98], портланд-
цементы с расчетными харак-
теристиками, указанными в
табл. 2, дают тепловыделение
в соответствии с табл. 3.

Как следует из данных
табл. 3, наибольшее количе-

ство тепла в лабораторных условиях выделяется в первые три

дня тгердения цемента.

Т аблица 1

Тепловыделение минералов портландцементного клинкера

Минерал	Количество выделяемого тепла в кал/г в возрасте			
	3 дней	7 дней	28 дней	3 месяцев
ЗСаО-А12О3	141	157,6	208,6	221,7
3CaO-SiO2	90,6	109	116,2	124,3
5СаО-ЗА12О3	56,5	96,6	171,4	214,5
4СаО- Al2O3-Fe2O3	22,3	59,6	90,3	99,4
2CaO-SiO2	5,1	24,8	39,6	43,9
Таблица 2

Расчетная минералогическая характеристика клинкеров

Цемент	C3S	C,S	С3А	c4af
		в %		
Белитовый 		24	50	8	14
А титовый		57	19	6	15
Высокоалитовый		65	10	6	14
Браунмиллеритовый		69	3	—	23
Высокоалюминатный		41	32	15	10

Таблица 3

Тепловыделение портландцементов

Цемент	Абсолютное зна- чение тепловы- деления в кал]г			Интенсивность тепловыделения во времени в %			Сравнительное тепловыделение различных порт- ландцементов в %.		
	3 Дий	7 дней	28 дней	3 дня	7 дней	28 дней	3  ДНЯ	7 дней	28 дней
Белитовый 		33	47	63	52	75	100	100	100	100
Алитовый 		47	56	67	70	84	100	143	119	106
Высокоалитовый ....	62	71	81	76	88	100	188	151	129
Браунмиллеритовый . .	51	64	74	69	86	100	155	136	118
Высокоалюминатный . .	61	71	84	73	85	100	185	151	133

С. А. Миронов [125] на основе лабораторных исследований и на-
турных наблюдений при температурах твердения бетона 15—20° С
рекомендует пользоваться данными о тепловыделении чистых клин-
керных цементов в бетонных массивах, приведенными в табл. 4.

Таблица 4

Тепловыделение чистых клинкерных цементов в бетоне в ккал/кг

Цемент	Марка цемента	Продолжительность твердения			
		3 дня	7 дней	28 дней	180 дней
Глиноземистый (плавленый) . . .	500—600	101	115	125	13П
Глиноземистый		400	90	95	100	110
	600	72	90	120	130
	500	60	75	100	115
Портландцемент 		400 	48	60	80	100
	300	36	45	60	80
	20С	24	30	40	60
	( 400	35	45	60	80
Пуццолановый портландцемент .	] 300	25	35	45	60
	[ 200	20	25	35	45
Песчано-пуццолановый портланд-					
цемент 		300	20	30	40	60

Введение в портландцемент гидравлических или инертных доба-
вок приводит к снижению тепловыделения. Величина этого сниже-

I ДНЕПРСПЕТРСЗСКЛй""^ 17
[ИНЖЕНЕРНО-LT. ОР Т'Р. ^НЦЙ]

I ИН. ГЦ ГУТ	i

I Б И Б Л И о Г С И а I

45S457
ния не пропорциональна, а меньше количества введенной добавки.
Например, введение в портландцемент 25%диатомита снижает
тепловыделение через 7 дней на 5—10% [97]. Удельное тепловыделе-
ние портландцемента при введении таких добавок повышается.
Так, в указанном случае среднее удельное тепловыделение повыси-
лось на 17—27%. Это объясняется увеличением реагирующей
поверхности вследствие разъединения отдельных зерен портланд-
цемента зернами добавки.

Тонкость помола цемента и температура укладки бетона также
влияют на экзотермию. Более тонкий помол цемента и более высо-
кая температура повышают тепловыделение, и бетон твердеет бы-
стрее. При низких температурах, близких к температуре замерза-
ния воды, гидратация цемента, а следовательно, и тепловыделение
замедляются и практически прекращаются вовсе на период замора-
живания бетона.

Существенно влияет на величину тепловыделения содержание
цемента в единице объема бетона: чем выше последнее, тем больше
и эта величина. Большой расход цемента приводит к обильному
тепловыделению и значительному повышению температуры, что
следует всегда иметь в виду при подборе состава бетона для массив-
ных сооружений.

§ 1.5.	Уравнение теплопроводности
при скорости экзотермии,
зависящей от температуры процесса

Отыскание температурных полей в бетоне с учетом экзотермии
требует задания в аналитическом виде скорости тепловыделения,
входящей в правую часть уравнения теплопроводности (1.2).

Поскольку скорость экзотермии существенно зависит от темпе-
ратуры бетона, то и количество выделившегося тепла к данному
моменту времени в различных его точках не одинаково. Если в на-
чальный момент твердения бетона тепловыделение одинаково по
всему его объему, то в последующие моменты времени вблизи по-
верхности тела оно начинает отставать от тепловыделения в ядре,
поскольку в силу теплообмена распределение температуры по объему
тела становится неравномерным. Поэтому функция экзотермии,
характеризующая собой тепловыделение в бетоне, оказывается за-
висящей не только от времени, но и от координат точки Э =
=Э (х, у, z, I). Представить эту функцию в виде некоторого точного
закона, учитывающего все обстоятельства, влияющие на тепловыде-
ление в бетоне, не представляется возможным. Приходится учиты-
вать только главные из них и довольствоваться приближенным вы-
ражением для нее, достаточно хорошо описывающим действитель-
ную картину тепловыделения в бетоне. С этой целью был сделан
ряд предложений С. В. Александровским [4], Г. Д. Вишневецким
[57], А. А. Гвоздевым [63], И. П. Еременком [82], И. Д. Запорожцем
[85] и другими исследователями.
Понятно, что основным критерием приемлемости принимаемого
приближенного выражения для функции экзотермии должен слу-
жить опыт. Так как экспериментально наилучшим образом изучен
вопрос о тепловыделении цемента (бетона) в адиабатических
условиях, рассмотрим в первую очередь именно этот процесс.

В соответствии с известными положениями физической химии
скорость реакции гидратации цемента в бетоне зависит от концен-
трации реагирующих компонентов и особенно от температуры про-
цесса. Поэтому, сочетая закон действия масс с уравнением Аррени-
уса, можно записать скорость экзотермии в следующем виде:

-^>=[3 -5(017(6),	(1.13)

где Э (/) — количество тепла, выделяемое при гидратации 1 кг
цемента к моменту времени /; Эпр — полное количество тепла, вы-
деляемое 1 кг цемента за все время гидратации; 0 — температура
адиабатического процесса. В формуле (1.13) первый множитель
можно рассматривать как условную концентрацию реагирующих
компонентов, а второй — как константу скорости, зависящую от
температуры.	£5»

Выражение (1.13) при надлежащем выборе функции f (0)
хорошо описывает процесс адиабатического тепловыделения в бе-
тоне. Оно было предложено А. А. Гвоздевым [631. Будучи распро-
страненным на неадиабатический процесс тепловыделения в бетоне-
это выражение приводит к уравнению теплопроводности относитель>
но температуры процесса Ф:

t

0	,	(1.14)

аналитическое решение которого наталкивается на неопреодолимые
трудности. Кроме того, область применения этого уравнения огра-
ничена случаем неизменно положительных температур процесса на
всем рассматриваемом интервале времени.

Практически часто встречается случай, когда бетон, уложенный
при положительной температуре и вначале разогревающийся от
экзотермии, подвергается затем действию волны холода и неодно-
временно по объему принимает отрицательную неравномерно распре-
деленную температуру. Такой случай рассмотрен в § 1.16. Будучи
распространенным на этот случай, уравнение (1.14) может привести
к «обратимости» процесса тепловыделения, т. е. к кажущемуся
увеличению концентрации реагирующих компонентов. Поэтому
весьма важно, не отступая от экспериментальных данных, найти
путь уточнения уравнения (1.14) и, с другой стороны, его упроще-
ния, позволяющий получить аналитическое решение этого уравне-
ния. Такой путь состоит в след ющем.
Разлагая неопределенную пока еще функцию f (0) в ряд Мак-
лорена и ограничиваясь двумя первыми членами разложения,
имеем:

НО)«Л + В0,	(1.15)

где А и В — пока еще произвольные постоянные. Такая линейная
аппроксимация функции f (0) вполне достаточна, так как обычно
изменение температуры бетона от экзотермии не очень велико.
Внося (1.15) в (1.13), находим:

= [Зпр-’ЭД] [Л+ве (/)].	(1.16)

at

Общеизвестно, что при нуле градусов твердение бетона, а сле-
'довательно, и тепловыделение в нем практически прекращаются.

Для этого, чтобы удовлетворить этому условию, мы должны в урав-
нении (1.16) положить постоянную А равной нулю. Таким образом,
мы получим:

^1 = В[Эвр—Э(/)]0(/).	(1.17)

Решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее
начальному условию, имеет вид:

г t т	fee®

-в) 0(t) dt

Э(0 = Эпр[1-е 0 J,	(1.18)

следовательно, в случае адиабатического тепловыделения

t	- ts

-в J е (о dt

MtfL = B9mQ(t)e 0	,	(1.19)

dt	v

где 0 (/) — общий интеграл уравнения теплопроводности, соот-
ветствующего адиабатическому процессу:

t

— B^Q(t}dt

de (ti = вэп1?ц e > e о .	(I 20)

dt cy

здесь Ц — содержание цемента в бетоне, а С и у — соответственно
его удельная теплоемкость и плотность.

Общий интеграл уравнения (1.20), удовлетворяющий началь-
ному

0(0 = 0О при t — 0	(1-21)

и предельному

0(0 = 0пр ПРИ t=°°	(1-22)
условиям, равен:

0(/) =-------е‘6->	,	(1.23)

бо+(еПР-ео)е пр

где В — произвольная постоянная; 0О — начальная температура
процесса; 0пр — предельная температура адиабатического процес-
са в конце тепловыделения, причем

евд=0о+^.	(124>

р	су

Внося (1.23) в (1.19), окончательно получаем

dd (t)   ВЭар 6Пр 6 (0	л пи

J	dt	0np + 0oGBen₽f-l)

Проанализируем соответствие этого выражения эксперименталь-
ным данным о тепловыделении цементов в бетоне в адиабатических
условиях.

Используя зависимость (1.24), по формуле

к	3(/) = ^[0(/)-0о]	(1-26)

мы можем найти тепловыделение к текущему моменту времени адиа-
батического процесса. Оно будет равно:

следовательно,

d3(t)
dt

Г 0о(1-с-В%')

~вепп'

_ 00 Ч~(6пр-0о) е

ВЭпрОрОпре 6pPZ
[0о + (0пР-0о)е~ВепрТ

(1.27)

(1-28)



Нетрудно видеть, что точка перегиба кривых (1.27), или, что то
же, максимум функции (1.28), имеет место при



———Inf 6пр — 1

б0пр , 00

(1-29)

Максимальная же скорость тепловыделения при этом равна-

аэ(01	 £ЭпРепр

dt .шах 4 (0Пр — ©о)

(1.30)

В уравнениях (1.27), (1.28) мы имеем три произвольных неза-
висимых постоянных — начальную температуру процесса Оо, пре-
дельную величину тепловыделения Эир и параметр В. Как следует
из формул (1.27) и (1.29), этот параметр при заданной предельной
величине тепловыделения Эпр оказывает влияние лишь на скорость
адиабатического процесса и время достижения ею максимальных
значений и потому может быть назван параметром скорости адиаба-
тического тепловыделения в бетоне. Таким образом, надлежащим
выбором величины этого параметра на основе экспериментальных
данных о тепловыделении чистого цемента или цемента в растворе
стандартного состава можно характеризовать его сорт с точки зре-
ния скорости твердения, т. е. классифицировать цементы на медлен-
но твердеющие, обычные и быстро твердеющие. Надлежащим же
выбором величины 5пр можно характеризовать цемент по предель-
ной величине экзотермии, т. е. классифицировать цел иты на высо-
котермичные, обычные и низкотермичные.

С помощью выражений (1.26) и (1.27) для параметра скорости
адиабатического тепловыделения цемента в бетоне будем иметь
формулу

данных о теплоте гидратации цемента Э (£); причем при любом t
должно быть В = const. Численный анализ формулы (1.31) показы-
вает, что величина параметра В, хотя и в слабой степени, но все же
оказывается зависящей от t, поэтому необходимо пользоваться его
некоторой средней величиной. Выражение (1.27) наилучшим обра-
зом описывает экспериментальный характер адиабатического тепло-
выделения цемента в бетоне Э (/), если параметр В определен по
формуле (1.31) для интервала времени, близкого к моменту времени
ty наибольшей скорости адиабатического тепловыделения.

На рис. 6 приводятся кривые (1.27) и (1.28) при различных
значениях 60 и В для бетона с у =2400 ка/ж8 на портландцементе
марки 400 с содержанием 300 ка/ж3. Удельная теплоемкость бетона
с принята равной 0,23 ккал!кг-град, а его предельная экзотермия
оценена в 100 ккал/кг (см. табл. 4). Нетрудно видеть, что задание
скорости экзотермии в форме (1.28) хорошо согласуется с экспери-
ментальными данными, которые свидетельствуют о том, что при
снижении начальной температуры бетона 90 выделение тепла за-
медляется; это же наблюдается и при переходе от быстро твердею-
щих к медленно твердеющим цементам [82, 96]. Кроме того, кривые,
изображенные на рис. 6, хорошо согласуются с экспериментальны-
ми кривыми и по своему очертанию (рис. 7).	}

Перейдем теперь к случаю неадиабатического тепловыделения
в бетоне. По аналогии с (1.17) будем считать скорость экзотермин
в этом случае пропорциональной, но не температуре процесса Ф,
а некоторой функции этой температуры F (Ф), положительной при
положительных температурах. Так как эта функция^пока’еще не
определена, зададим ее в форме

Г(ф) = ф(ф)ф(/).	(1.32}

дай
.АМ


Тогда мы будем иметь уравнение

= В [Эвр - 9 (01 ф (Ф) ф (0.	(1-33)

общий интеграл которого, удовлетворяющий начальному условию,

равен:

Рис. 6. Кривые тепловыделения и скоростей тепловыделения цемента
в бетоне при различных 60 и В

а — при постоянном В = 2-10~4 1/град-ч и переменном 0О: 1— 0<>=1O°C; 2— 0О = 20°С;
3 — 0о = ЗО°С; 4 — 0о = 4О°С; 5 — 0о = 5О°С; б —при постоянном 0о = 2О°С и переменном В:
6 — В = 2-10 —4 Цград-ч-, 7 — В = 2,5-10-4 1/град-ч-, 8 — В = 3.33-Ю-4 1/град-ч-,
9 — В = 5-10—4 1/град-ч

следовательно,

t

— В |<р(Ф)Ф (/)<//

^- = -ВЭорФ(Ф)Ф(/)е 0

Кроме того,

t

— В J <р (Ф) Ф (t)dt

Зпр—Э(1) = Эпре	о

(1.35)

(1.36)

Нетрудно видеть, что при положительных температурах урав-
нения (1.35) и (1.36) определяют процесс с затухающими до нуля
скоростью и концентрацией реагирующих компонентов. В случае
же, когда температура тела под влиянием внешних воздействий в хо-
де процесса, начиная с некоторого момента времени, становится
отрицательной, дальнейшее направление последнего зависит от
вида функции <р (Ф) и будет исследовано позже.

В уравнении (1.33) выражение В [Эпр — Э (/)] ф (Ф) можно рас-
сматривать как некоторую условную концентрацию реагирующих
компонентов, при которой скорость тепловыделения линейно за-
висит от температуры процесса. Так как в соответствии с формулой
(1.17) скорость адиабатического процесса также линейно зависит
от его температуры, то на основании выражений (1.19) и (1.35)
должно быть

i

-в

ВЭПр 0 (/) е ° 0 (/)	,. ду

(	Ф (t\ '	' ’ '

— В Г <р(Ф)Ф(()<Ц	'

В5прф(ф)Ф(0е о

<1^5 M



Продолжительность опыта 6 ч

Рис. 7. Теплота гидратации и скорость тепловыделения портландцемента
в растворе, исследованного в § 1.15.

1, 2—теоретические кривые, рассчитанные по формулам (1.27) и (1.28) соответственно

Это дает уравнение
t	t

— B^<№>yt>(t}di	—В|0(ОЛ

<р(Ф)е °	= е о	(1.38)

и начальное условие

<р[ф(0)] = 1	(1.39)

для отыскания функции ф (Ф).

Общий интеграл уравнения (1.38), удовлетворяющий начальному
условию (1.39),
t
— в f eifidt

ф(Ф) =-------е—°-------t------.	(1.40)

t -в J e(t)dt

1—В|Ф(0е	° dt

о

njesi

-j

W

uWU
дани
Я Я

•а ре

ри
да
iM
рхф
ж
 tai

I

I
Нетрудно видеть, что при Ф = 0 <р (Ф) = 1, а при Ф < 0
О < <Р (Ф) < 1 для любого момента времени, в том числе и при
/ —>- ОО.

Внося (1.40) в (1.35), получаем следующее простое и хорошо
согласующееся с опытом выражение для скорости экзотермии в об-
щем случае неадиабатического процесса:

t

—В J 6(t)dt
ВЭарФ(1)е о

09(t)
dt ~

(1-41)

Наконец, внося сюда (1.23), мы получаем окончательную форму
этого выражения:

дЭ (t) _	6дР Ф (/)	(142)

dt ~ впр-6о(1-еВ(М ’

которой и будем в дальнейшем пользоваться.

Выражение (1.41) уже свободно от недостатков формулы (1.14),
так как с течением времени благодаря наличию в нем
t

—В J Q(t)dt

множителя е 0 скорость экзотермии становится исчезающе
малой, что и наблюдается в действительности. Поэтому перемена
знака температуры вследствие возможной волны холода, сравни-
тельно медленно проникающей в бетон, к этому моменту времени
будет носить формальный характер. Это видно на примере числовой
задачи, рассмотренной в § 1.16. Кроме того, выражения (1.41),
(1.42) обладают еще одним важным достоинством — они позволяют
получать решения сложнейших задач теории теплопроводности
аналитическим методом даже в общих случаях двух- и трехмерных
по координатам задач с переменными во времени граничными усло-
виями, что не удается в случае уравнения (1.14). Это показано
в§ 1.10—1.16.

Внося выражение (1.42) в уравнение (1.2), с учетом (1.24) мы
получаем следующее уравнение теплопроводности при распределен-
ных по объему тела источниках тепла, интенсивность которых за-
висит от температуры

— = цт у2Ф-Н(/)Ф,

(1-43)

где

0(0 =

^бпр (9пр-6»)

Snp'Ho

(1.44)

а V2 — оператор Лапласа,
натам задачи, равный:

в общем случае трехмерной по коорди-

V2

d2	d2	d^_

dx2 dy2 dz2'

(1.45)
В формуле (1.44) В (1/ч-град) — параметр скорэсти адиабатиче-
ского тепловыделения данного цемента в бетоне заданного состава,
определяемый по формуле (1.31); Эпр (ккал/кг) — предельная ве-
личина адиабатического тепловыделения цемента, 6пр — предель-
ная температура адиабатического процесса твердения бетона, опре-
деляемая по ф°рмуле (1-24); Оо — начальная температура бетона.

Методами математической физики можно показать, что уравне-
ние (1.43) принадлежит к уравнениям параболического типа, имеет
единственное решение и что оно всегда существует. Мы найдем
его ниже.

§ 1.6.	Классический метод решения задачи
теории теплопроводности при источниках тепла,
зависящих от температуры

В соответствии с изложенным выше задача теории теплопровод-
ности при источниках тепла, зависящих от температуры, ставится
следующим образом: требуется отыскать температурную функцию
Ф (х, у, z, t), удовлетворяющую дифференциальному уравнению
теплопроводности с источниками тепла, зависящими от температуры

-^_ = £ztV20 + (o(/)0	(1.46)

dt

при заданных граничных условиях, например условиях вида

-^- + МФ—ф(/)]=0на поверхности,	(1-47)

dv

соответствующих случаю свободного теплообмена, и начальном
условии

Ф = 60 при / = 0;	(1.48)

функции со (/), ф (/) и начальная температура 60 заданы.

В силу линейности основного дифференциального уравнения
(1.46) рассматриваемая задача может быть сведена к двум более
простым задачам. Действительно, представим искомую функцию
Ф в виде суммы двух слагаемых:

ф = фх(х, у, z, О+Фг(х> У> z> О-	(1-49)

В качестве функции Ф1 выберем решение задачи

-^—о^Фг + НОФь	(1-50)

ot

ДАФх = 0 на поверхности;	(1.51)

dv

Ф1=^&() при t = Q.	(1-52)
Тогда функция Ф2 будет решением следующей задачи:

-^ = GtV202+co(№.	(1.53)

ot

-|-h [Ф2—ф(01 = 0 на поверхности; (1-54)
dv]

Ф2 = О при 1 = 0.	(1.55)

Вспомогательная задача с однородными граничными условия-
ми, определяемая уравнениями (1.50)—(1.52), представляет собой
первую классическую задачу теории теплопроводности при источ-
никах тепла, зависящих от температуры. Вторая же вспомогатель-
ная задача с однородным начальным условием, определяемая урав-
нениями (1.53)—(1.55), является второй классической задачей этой
теории.

При наличии готовых решений первой и второй классических
задач по формуле (1.49) всегда может быть составлено общее реше-
ние задачи теории теплопроводности при источниках тепла, зави-
сящих от температуры, определяющее собой температурное поле
при этих условиях. Ниже рассматриваются классические аналити-
ческие методы решения этих вспомогательных задач.

§ 1.7. Первая классическая задача
теории теплопроводности.

Одномерный тепловой поток в плите

Решение первой из указанных выше задач найдем методом
Фурье. Представим искомую температурную функцию Фг в виде
произведения четырех функций:



(1.56)

каждая из которых зависит только от одной своей переменной —
времени t или координаты точки 5, г| или £ соответственно. Внося
(1.56) в уравнение (1.50) и разделяя переменные, будем иметь

Х"&) . !У"(п) . ZW
х® у(т])	г®.

T'(t)
T(t)

СО(/).

(1-57)

Левая часть этого равенства зависит только от координат точки,
а правая — только от времени I. При этих условиях удовлетворить
равенству (1.57) мы можем только положив

T'(t)
Т (0

«(/)= — т2;

(1-58)

*"(В) _	к2. У"(п) _	о2. Z”(g) _

х(ё) ’ у (и)	<(£)

(1.59)
где а, р, у, т — произвольные пока постоянные числа, причем

ат (а2 + Р2 + у2) — т2.

(1.60)

Знаки у правых частей уравнений (1.58)—(1.59) выбраны по
физическим соображениям, сущность которых будет ясна из даль-
нейшего.

Общее решение уравнения (1.58) имеет вид:

t

—J [m2 —oj(0]di

T{t)=Ae 0

(1.61)

где A — произвольная постоянная интегрирования, или с учетом
(1.44) и (1.60)

ПО

А

В (вправо)

®(/)ере,1р °т

(аг + ₽2 + т2)]С

(1.62)

Для процессов, которые мы рассматриваем, когда тело стремит-
ся к температурному равновесию с внешней средой и достигает
его по истечении длительного промежутка времени (/ -> оо), функ-
ция Т (/) должна быть затухающей. По физическому смыслу урав-
нения (1.44) видно, что функция со (/) всегда положительна, поэтому
условию затухания процесса мы можем удовлетворить лишь сохра-
нив знак минус в правой части уравнения (1.58). В противном слу-
чае температура Фг будет при увеличении времени t неограниченно
возрастать, что физически невозможно.

Нашей задачей является отыскание общего выражения для Фх,
одинаково пригодного и для ряда частных случаев распределения
температуры по объему тела, например, когда температура за-
висит только от одной из координат. Рассматривая этот случай, мы
видим, что уравнению (1.57) можно удовлетворить, лишь сохранив
знак минус в правой части первого из уравнений (1.59). Аналогичные
рассуждения приводят нас к необходимости иметь тот же знак в пра-
вых частях остальных уравнений (1.59).

Как следует из уравнения (1.62), функция Т (t) с точностью до
постоянного множителя А полностью определена, если известны
постоянные а, р и у, представляющие собой так называемые харак-
теристические числа задачи. При этих условиях, с точностью до
произвольных постоянных интегрирования, всегда могут быть най-
дены и функции X (£), У (rj), Z (£), входящие в уравнение (1.59),
которые называются фундаментальными функциями. Вид этих
функций определяется видом выбранной системы ортогональных
координат £, ц, £. Так как уравнения (1.59) являются обыкновенны-
ми дифференциальными уравнениями второго порядка, то искомые
фундаментальные функции X (g), Y (ц), Z (£) будут содержать в себе
по две произвольных постоянных, поэтому в общем виде они могут
быть записаны следующим образом:
х (5) = KFX (g) + eF2 (g); Y (n) =	(t])+vi|>8 (r)>;	(1-63)

где /(, e, ... — произвольные постоянные интегрирования, a Fr (£),
F2 (g), ... — линейно независимые частные решения уравнений
(1.59).

Таким образом, мы будем иметь 10 независимых произвольных
постоянных а, р, -у, А, К, М, N, в, v и р..

Структура формулы (1.56) такова, что, не нарушая общности
решения, мы можем произвольные постоянные интегрирования К,
М и N положить равными единице. После этого останется всего 7
независимых произвольных постоянных: 3 характеристических числа
а, р, у и 4 произвольных постоянных интегрирования А, е, v, р.
Для их отыскания мы будем иметь одно начальное (1.48) и шесть
граничных условий вида (1.47), из которых значения этих постоянных
всегда могут быть однозначно определены.

Дальнейший ход решения первой классической задачи мы рас-
смотрим на конкретном примере одномерного теплового потока вдоль
оси Ох через плиту толщиной 2х0, имеющую практически неограни-
ченные размеры в двух других направлениях. Задачи подобного
рода встречаются при расчете распределения температуры по тол-
щине плит или конструкций, составленных из них. В этом случае,
очевидно, функции Y (ц) и Z (£) тождественно равны единице,
Р ~ у = 0, а

X(£)=X(x) = cosax + esinax,	(1-64)

поэтому формула (1.56) с учетом (1.62) и (1.64) принимает вид:

Фх(х, /) = AF (/) (cos ссх-]-е sin ах) e~(f!Ta2~BenP)Z, (1.65)
где

F (А =--------.	(J .66)

enP+e0(/W_i)

В рассматриваемом случае мы будем иметь два граничных усло-
вия:

—±—п, Ф, = 0 при х — —хп;
дх

дФ1 (L67>

—^- + /г2Ф1 = 0 при х = х0.

Здесь для общности принято, что относительные коэффициенты
теплопередачи h на гранях плиты различны.

Внося (1.65) в (1.67), находим:

2аф-(/г1-^‘/г2) tgax0

ctg2ax0 = -K2~^ .	(1.69)
Характеристическое уравнение (1.69) хорошо исследовано
в теории теплопроводности [93], где показано, что оно имеет бесчис-
ленное множество корней а как отрицательных, так и положитель-
ных. Но так как его отрицательные корни по абсолютной величине
равны положительным, не нарушая общности решения (1.65),
можно ограничиться лишь положительными корнями этого урав-
нения — характеристическими числами сст. Тогда мы будем иметь
бесчисленное множество постоянных

ет =--------,	(1.70)

2ат ф (^1 "Ф ^2) t£amxo
а следовательно, и бесчисленное множество линейно независимых
фундаментальных функций

Хт (*) = cos amx+em sin атх,	(1.71)

каждая из которых будет удовлетворять первому из уравнений
(1.59). Поэтому общее решение уравнения (1.50) мы найдем в виде
суммы его частных решений:

т=х	I 2_ RA V

Ф1(х,0 = Г(0 2 Hm(cosa„x + e„sinamx)e	. (1.72)

т= 1

Начальное условие (1.52) с учетом (1.72) дает нам

/И = оо

%= 2 ^m(cosanix+emsinaTOx).	(1.73)

т — 1

Следовательно, постоянные Ат являются коэффициентами раз-
ложения заданной начальной температуры 0о в ряд по фундаменталь-
ным функциям (1.71) и поэтому равны:

46О sin ат х0	(j 74)

(1 -ф ьт) 2ат х0 -ф (1 — ет) sin 2am х0

Итак, решение рассматриваемой первой классической задачи для
плиты определяется формулами (1.66), (1.69), (1.70), (1.72) и (1.74).

Отметим часто встречающийся важный случай симметричных
граничных условий для плиты

hl — h2 = h.	(1-75)

В этом случае в соответствии с выражением (1.70) в формулах
(1.72) и (1.74) следует положить 8т = 0 и считать ат равным:

=	(1.76)

Хо

где — положительные корни характеристического уравнения
ctgg = -^-,	'(1-77)

/ix0	ч

в которое преобразуется уравнение (1.69) при условии (1.75). Пер-
вые три корня уравнения (1.77) приведены в табл. 5 [107].
_L
hx0

Первые три корня характеристического уравнения ctgg—

hxe		Ь	Ь
о	0,0000	3,1416	6,2832
0 001	0,0316	3,1419	6,2833
0 002	0,0447	3,1422	6,2835
0^004	0,0632	3,1429	6,2838
0 006	0,0774	3,1435	6,2841
0 008	0,0893	3,1441	6,2845
0,01	0,0998	3,1448	6,2848
0^02	0,1410	3,1479	6,2864
0 04	0,1987	3,1543	6,2895
0,06	0,2425	3,1606	6,2927
0,08	0,2791	3,1668	6,2959
0,1	0,3111	3,1731	6,2991
0 2	0,4328	3,2039	6,3148
0,3	0,5218	3,2341	6,3305
0,4	0,5932	3,2636	6,3461
0,5	0,6533	3,2923	6,3616
0,6	0,7051	3,3204	6,3770
0,7	0,7506	3,3477	6,3923
0,8	0,7910	3,3744	6,4074
0,9	0,8274	3,4003	6,4224
1	0,8603	3,4256	6,4373
1,5	0,9882	3,5422	6,5097
2	1,0769	3,6436	6,5783
3	1,1925	3,8088	6,7040
4	1,2646	3,9352	6,8140
5	1,3138	4,0336	6,9096
6	1,3496	4,1116	6,9924
7	1,3766	4,1746	7,0640
8	1,3978	4,2264	7,1263
9	1 4149	4,2694	7,1806
10	1,4289	4,3058	7,2281
15	1,4729	4,4255	7,3959
20	1,4961	4,4915	7,4954
30	1,5202	4,5615	7,6057
40	1,5825	4,5979	7,6647
50	1,5400	4,6202	7,7012
60	1,5451	4,6353	7,7259
80	1,5514	4,6543	7,7573
100	1,5552	4,6658	7,7764
ОО	1,5708	4,7124	7,8540


§ 1.8. Вторая классическая задача
теории теплопроводности.

Одномерный тепловой поток в плите

Решение второй	задачи, определяемой уравнениями	(1.53)-	
(1.55), представляет большие трудности, и нам придется рассмотреть			ri='sl
его более подробно.	Вначале рассмотрим подсобную задачу об оты-		
скании температурной функции F, удовлетворяющей уравнениям:			IllsiJ®
	-^ = aTV2/ + «(/)F;  О1	(1-78)	
Г"4  OV	-h(F— 1) = 0 на поверхности;	(1.79)	F(  1 ft»!*
	F = 0 при / = 0.	(1.80)	
Представляя F в	виде суммы		
	Р = Ф3 + Ф^	(1-81)	
выберем в качестве	Ф3 решение следующей задачи:		| Еий
	у?2фз = 0;	(1.82)	
дФ3 dv	+ /г(Фь—1) = 0 на поверхности	(1.83)	

Й(В1

о стационарном распределении температуры при стационарных гра-

ничных условиях (1.83). Тогда для функции Ф4 мы будем иметь

№ IM) III

уравнения:	•	,

Дф„	йфк

^_=£ZtV2 04 + g)(Z)(03 + 04);	(1.84)

дФ	f

——-\-ИФ4 = 0 на поверхности;	(1.85)

Ф4=-Ф3 при / = 0,	(1.86)

в которых функцию Ф3 уже следует рассматривать как заданную.

Отыскание функций Ф3 и Ф4 с помощью уравнений (1.82)—
(1.86) не вызывает затруднений. Таким образом, поставленную выше $
подсобную задачу об отыскании температурной функции F при ста- ®нв(
ционарных граничных условиях (1.79) можно считать решенной.

Теперь перейдем к рассмотрению исходной второй классической
задачи.	Зйищр

Допустим, что температура среды равна нулю от t — — оо до
t = 0 и равна 1 от t — 0 до t = t. Тогда начальная температура тела
равна нулю, температура среды равна 1 и температура тела будет “
равна F (£, -q, t) при t> 0, т. е. будет решением рассмотренной
выше подсобной задачи. Поэтому, когда температура среды равна •
нулю от t = — ОО до t = X и 1 от t = I до t = t, температура тела
будет равна

F(l, Л» £, t—при t >Х.

Точно таким же образом, когда температура среды равна нулю
от t = — оо до t = X + АХ и равна 1 от t = X + АХ до t = t, тем-
пература тела будет равна F (£, т), £, t — X — АХ) при t > X + АХ.
Отсюда следует, что если температура среды равна нулю от t — — оо
до t = X, I от / = X до / = X + АХ и нулю от t - X + АХ до t — t,
то температура тела будет равна

F(g,T), £,/-Х)-Г(£, г],£Л-Х—АХ) при />Х.

При бесконечно малом интервале АХ(АХ—>0), очевидно, тем
пература тела будет равна

— F(g, т], £,/—X)dX при ^>Х.

Если бы на интервале dX температура среды была бы равна не
1, а ср (X), то температура тела была бы равна

<р (X) — E(g, 71, £, t—X) JX при t >0.
dt

Следовательно, разбивая интервал времени от t — 0 до t = t на
бесконечно малые интервалы JX и суммируя соответствующие каж-
дому такому интервалу результаты, мы найдем окончательно ре-
шение второй классической задачи, когда температурз среды равна
<j> (г), в форме:

t

Ф2 = С«р(Х) 4^. П, t-tydh, (1.87)
J dt
о

где F (£, т], £, f) — решение указанной выше подсобной задачи, т. е.
температура в момент времени t в точке (£, т), £) тела, начальная
температура которого равна нулю, окруженного средой, имеющей
температуру, равную единице.

Соотношение (1.87) есть обобщение известной теоремы Дюаме-
ля [93] на наш более общий случай задачи теории теплопроводности
при источниках тепла, зависящих от температуры. Таким образом,
решение второй классической задачи, рассмотренной в § 1.6, можно
всегда найти, пользуясь этой теоремой по формуле (1.87), если
известно решение подсобной задачи (1.78)—(1.80).

Применение классического метода решения второй классиче-
ской задачи, основанного на теореме Дюамеля, мы проиллюстрируем
на примере задачи об одномерном тепловом потоке в неограниченной
плите, рассмотренной в § 1.7.
Вначале рассмотрим подсобную задачу, определяемую уравне-
ниями (1.78)—(J.80), которые в данном случае принимают вид:

dF	d2F

—— = ат —г
dt	dx2

(1.88)



dF
dx
dF
дх

h^F—1) = 0

|-h2(F-l) = O

при x = —x0;

при X = X0;

(1.89)

F = 0 при t = 0.

(1.90)

Используя (1.82)—(1.83) для функции Ф3, будем иметь урав-
нения:

-^- = 0;	(1.91)

dx2

---Л1(Ф3—1) = 0 при х=— х0;

.d*	(1-92)

^+Л2(ф3-1) = О при х = х0,

решение которых будет равно:

Ф3=1.	(1.93)

На основании формул (1.84)—(1.86) с учетом (1.93) для функции
Ф4 будем иметь уравнения:

-^-=«т2^-+«(0(И-ф4);	П-94)

dt	дх2

—/г1Ф4 = 0 при х=—х0;

£ (L95>

—— + h2 Ф. = 0 при х = х0;
дх

Ф4= — 1 при / = 0.	(1.96)

Эти уравнения весьма схожи с уравнениями первой классиче-
ской задачи (1.50)—(1.52) для плиты неограниченных размеров,
поэтому метод их решения будет таким же.

Представляя функцию Ф4 (х, /) в виде ряда по фундаментальным
функциям (1.71), имеем:

Ф4(х, 0= 2 QmK)(cosamx + Emsinamx). (1.97)

т= 1

При этом граничные условия задачи (1.95) будут автоматически
удовлетворяться.
Раскладывая 1 в области — х0 х х0 в ряд
функциям, находим:

1= 2j Рт (COS CZmX-|- Ет Slfl CLmx),
т= 1

где

р _______________4sinamx0____________

(1 -|~Em) 2anjX0-p(l — £т) sin 2am Xq

ПО ЭТИМ же

(1.98)

(1.99)

Внося выражения (1.97) и (1.98) в (1.94), для Qm (t) будем иметь
обыкновенное дифференциальное уравнение

Q'm (/) + КаД - <о (0] Qm (0 = <0 (0 рт,	(1-100)

. (1.101)

общий интеграл которого, удовлетворяющий начальному условию
(1.96), равен:

п	(t) f j _ «Т<*А-Д6о -(v4-*enp)t

«т“А-вопр1 B(6np—0O)

Таким образом,

F(x, t)= 1 + 2 Qm(0(eosamx+emsinamx). (1.102)
m=l

Следовательно,

Л	m=oo Л _

— F(x, t — X) = 2	^)(cosamx+emsinamx)

M	m=i dt

и поэтому окончательно

т=<х>

г t

&2<x,t)= 2 [ф(Ч'^-Ст(^—(cosamx + emsinamx). (1.103)
т=1 „ Qt

Lo

Как следует из выражения (1.103), решение второй классиче-
ской задачи, найденное с помощью теоремы Дюамеля, всегда полу-
чается в виде рядов, сходимость которых для различных точек тела
различна и ухудшается по мере приближения точки к поверхности
тела и особенно к его углам. Поэтому важно найти метод решения
задач теории теплопроводности, дающий улучшение сходимости
этих решений. Это необходимо еще и потому, что, как это будет
показано в главе V, отыскание температурных напряжений, напри-
мер в случае плоской задачи, производится по Лапласиану ?2Ф
изменений температурного поля Ф, для определения которого тре-
буется двойное дифференцирование этих решений, что ухудшает
их сходимость. Такой метод, предложенный автором, дающий повы-
шенную сходимость решений задач теории теплопроводности, изла-
гается ниже.
§ 1.9. Упрощение задачи теории теплопроводности
при источниках тепла,
зависящих от температуры. Метод автора

Рассмотрим другой метод интегрирования уравнений (I 46)—
(1.48) теории теплопроводности при источниках тепла, зависящих от
температуры. Этот метод мы назовем методом дополнительных фик-
тивных источников.

Введем в рассмотрение некоторые распределенные по объему
тела дополнительные фиктивные источники тепла, зависящие от
координат точки и времени, с интенсивностью

q = yc

,,, , дФ,

“ЮФ1------

от

(1.104)

где со (/) определяется выражением (1.44), а Фг — пока произволь-
ная функция.

Рассмотрим теперь задачу (1.46)—(1.48) для некоторой темпера-
турной функции Ф2 при наличии этих дополнительных источников
(1.104), однородных граничных условиях вида (1.47) и произволь-
ном пока начальном условии (1.107). Основные уравнения этой
вспомогательной задачи будут иметь вид:

= цт V2 Ф2 + со (/) (Фх + Ф2)-	;	(1.105)

+/гФ2 = 0 на поверхности;	(1.106)

dv

ф2 = е0—Фх(0) при t = 0.	(1.107)

В этих уравнениях функцию Фг следует рассматривать как
пока еще произвольную, но заданную функцию.

Подберем теперь эту функцию таким образом, чтобы решение Ф2
задачи (1.105)—(1.107), будучи сложенным с Фг, дало бы нам общее
решение Ф исходной задачи теории теплопроводности (1.46)—(1.48)
с первоначально заданными действительными источниками тепла,
зависящими от температуры.

Иными словами, подчиним функцию Фх условию

ф1+Ф2 = ф.	(1.108)

Внося (1.108) в уравнения (1.46)—(1.48), для функции Фх с уче-
том (1.105), (1.106), получаем следующие уравнения:

^2Ф1 = 0;	(1.109)

-^~ + МФ1—ф(/)] —0 на поверхности. (1.110)
dv

Таким образом, функция Фх должна быть решением третьей или
смешанной граничной задачи эллиптического типа с граничными
условиями (1.110), в которых время / рассматривается как параметр,
a <p (f) — температура среды, в общем случае различная со стороны
каждого из координатных срезов, ограничивающих тело.

Общее решение уравнения (1.109) всегда может быть выражено
через гармонические функции с коэффициентами (произвольными
постоянными интегрирования), зависящими от времени t. Распоря-
жаясь этими коэффициентами должным образом, можно удовлетво-
рить и граничному условию (1.110), тем самым указанная краевая
задача будет решена, а функция Фг однозначно определена. Ниже
будет показано, что решение задачи (1.109), (1.110), удовлетворяю-
щее указанным условиям, всегда может быть найдено, и мы его
получим для ряда практически наиболее важных случаев.

Вспомогательную задачу, определяемую уравнениями (1.109),
(1.110), назовем первой основной задачей теории теплопроводности
при источниках тепла, зависящих от температуры. Ее решение —
температурная функция Фх — будет определять собой температур-
ный режим тела в условиях свободного теплообмена с внешней сре-
дой с заданной температурой ср (/) и при наличии распределенных
по его объему источников тепла интенсивностью

q — yc

дФу

dt '

(IH1)

Этот режим описывается гармоническими функциями координат
точки с коэффициентами в виде постоянных интегрирования, зави-
сящих от времени t. Такой температурный режим мы будем называть
обобщенным квазистационарным темпера-
турным режимом. Таким образом, первая основная зада-
ча теории теплопроводности есть задача об обобщенном квазистацио-
нарном температурном режиме.

Вторую вспомогательную задачу с однородными граничными
условиями, определяемую уравнениями (1.105)—(1.107), мы будем
называть второй основной задачей теории теплопроводности при
источниках тепла, зависящих от температуры. Эта задача будет
определять собой температурный режим тела, находящегося в усло-
виях свободного теплообмена со средой с нулевой температурой,
имевшего начальную температуру 00 — Ф} (0), и при распределен-
ных по его объему источниках тепла, зависящих от температуры,
интенсивностью

q-yc

®(0(#i+A)

дф± '
dt

(1.112)

Решение этой задачи также может быть всегда найдено аналитиче-

ским методом с применением обычных приемов классической теории
теплопроводности.

Итак, мы видим, что предлагаемый метод дополнительных фик-
тивных источников обладает рядом несомненных преимуществ.
Во-первых, этот метод позволяет свести сложную задачу теории
теплопроводности при источниках тепла, зависящих от темпера-
туры, к двум более простым вспомогательным задачам; во-вторых,
даже в самом общем случае нестационарных граничных условий он
не требует применения теоремы Дюамеля и поэтому свободен в зна-
чительной своей части от указанных выше недостатков классических
методов решения задач теории теплопроводности. Как будет
показано ниже, решение первой основной задачи в большинстве
практически важных случаев удается найти в замкнутом виде, что
существенно улучшает сходимость всего решения в целом.

Само собой разумеется, что метод дополнительных фиктивных
источников применим и в случае задачи теории теплопроводности
без наличия источников тепла (экзотермии), т. е. при ее классиче-
ской постановке. Такая задача будет представлять собой лишь част-
ный случай более общей задачи, поставленной в § 1.6 и рассматри-
ваемой в дальнейшем. Поэтому на примере такой задачи в простей-
шем случае одномерного теплового потока можно провести нагляд-
ное сопоставление двух сравниваемых методов: классического ме-
тода Дюамеля и метода дополнительных фиктивных источников.
Это будет сделано позже в § 1.12, после того как с помощью по-
следнего метода будет получено решение указанной задачи в общем
случае источников тепла, зависящих от температуры.

При наличии готовых решений первой и второй основных задач
по формуле (1.108) всегда может быть составлено общее решение
задачи теории теплопроводности при источниках тепла, зависящих
от температуры, определяющее собой температурное поле при этих
условиях. Ниже рассматриваются аналитические методы решения
этих вспомогательных задач.

§ 1.10.	Первая основная задача теории теплопроводности.
Случай замкнутого решения

Укажем случаи, когда удается получить решение первой основ-
ной задачи теории теплопроводности об обобщенном квазистацио-
нарном температурном режиме в замкнутом виде.

Рассмотрим задачу об одномерном тепловом потоке вдоль оси
Ох через плиту толщиной 2х0, имеющую практически неограниченные
размеры в двух других направлениях:

^1 = 0;
дх2

------4>i(01 = 0 при х= — х0;
дх

-^-4 Л2[Ф1—<Р2(0] = 0 при х = х0.
дх

В этом случае

Фг(0 = С1(0+С2(0 —•

(1-1

(1.П4)

(1.115)
Внося (1.115) в (1.114), для функций Cr (/) и С2 (0 будем иметь
уравнения:

(1 —hr х0) Сг (г) —|— hy х0 С2 (/) — х0 ф1 (/),
(1 ~Ь h2 х0) Сх (/) h2 х0 С2 (/) = h2 х0 <р2 (/),

из которых находим:

С1(0 = ф1(^) + 1±^С2(/);

/21 Xq

С (t)— h^x<>^(О—Ф*(01

/1 1 -ф 2/ii h2 Xq -р /12

(1.116)

(I-H7)

При других видах граничных условий функции Сх (/) и С2 (/)
имеют следующие значения:

а)	при граничных условиях

---МФ1—Ф1(01 = 0 при х=— х0;

дх

Ф1 = ф2(0 при х = х0\

С1(0 = Ф1(0 + Ц^С2(/);

/11 *0

Q ,Л /11Х0[ф2(0 — <Р1(0] .

1 -р2/11Х0

б)	при граничных условиях

---hi [Ф1—<Pi(/)]== 0 при х=— х0;

дх

дф1 п

---— = 0	при х = х0,
дх

а также при

Ф1 = Ф1(0 при х=—х0;

дФ1 о

—- = 0 при х — х0;

дх

С1(/) = ф1(/); С2(0 = 0;

в)	при граничных условиях

ф1 W = Ф1 (/) при X = ~ХО- 1

Ф1(0 = ф2Ю при х = х0;	)

— Ф1 (О + фг (0 . С (t j - Ф2 (^ — Ф1 (^)

(1.118)

(1.119)

(1.120)

(1-121)

(1.122)

(1.123)

(1.124)
В случае одномерного теплового потока вдоль радиуса г полого
цилиндра практически неограниченной длины, но ограниченного
поверхностями г = а и г = b (а < Ь), исходные уравнения имеют
вид:

+	=	(1.125)

dr2 г dr

-ф-—Л1[Ф1—<Pi(0] = 0 при г = а\
дг

дф	о-126)

М МФ] — Ф2(01=0 при г = ь.

дг

В этом случае

Фх(г, О =СГ (0Ч-Са(0 In (-V	(1.127)

\ а /

Внося (1.127) в (1.126), имеем:

Jew

C1(0 = <h(0 + TL-C2(0;

£ Cl

q _ abhjhi^ (Q —tpi(Q]

2 ' '	Г b \

ahy-^-abhih^ In — I -Ybh2

(1.128)



Ja

При других видах граничных условий функции С\ (/) и С3 (t)
будут иметь следующие значения:

а) при граничных условиях

®м

----M$i~Ф1(01= 0 при г — а\
дг



при г = Ь

(1.129)

С1(/) = <р1(0 4

/?! а

с2(/) =

оМф2 (0~ <Р1 (01 

2
а

(1.130)

1 + ahi In

б) при граничных условиях

Л11Ф1—Ф1(0] =0 при Г = а-,
дг



^- = 0
дг

при г—Ь,

(1.131)
а также при

Ф1 = ф1(/) при г = а;

^1 = 0 при г = Ь;

С1(/) = Ф1(/); С2(/) = 0
в) при граничных условиях

Фх = Фх (0 при г = а;

Ф1 = ф2(0 ПРИ г — Ь;

С2(/) =

(ь \

—)

а /

(1.132J

(1.133)

(1.134)

(1.135)

В случае сплошного цилиндра радиусом г — Ь мы будем иметь
лишь одно второе условие (1.126). В этом случае, полагая

Фх(г, 0 = С1(0 + С2(/)1п

(1.136)

найдем, что условиям (1.126) можно удовлетворить, положив

С2(/) = 0; С1(0 = ф2(0 = ф(0-		(1.137)

Таким образом, в рассматриваемом случае

Ф1(/) = Ф(0.	(1.138)

Аналогичным образом можно показать, что для твердых тел
у которых вся поверхность поддерживается при температуре ф (/)
или у которых на всей поверхности происходит теплообмен со сре-
дой, температура которой равна ф (/), всегда будем иметь условие
(1.138).

§ 1.11.	Первая основння задача
теории теплопроводности.

Обобщенный квази стационарный
температурный режим прямоугольной призмы.

Случай незамкнутого решения

В более сложных задачах о двух- и трехмерных тепловых потоках
в телах, грани которых поддерживаются при различных температу-
рах или на гранях которых происходит свободный теплообмен со
средой, имеющей различные температуры, решение первой основной
задачи теории теплопроводности удается найти лишь в незамкнутом
виде. Ниже приводится такое решение для прямоугольной призмы
неограниченной длины с размерами поперечного сечения 2х0 X 2у0
при попарносимметричных граничных условиях на взаимно проти-
воположных гранях. Рассматриваемая задача встречается при рас-
чете распределения температуры по сечению длинных призматиче-
ских стержней (колонн, балок, элементов рам, столбчатых бетонных
блоков и т. п.). Исходные уравнения этой задачи имеют вид:

	д2Ф! д2Ф±	= 0;	(1.139)
	дх2	ду2		
дФг дх	-/г1[Ф1~Ф1Ю1=0	при х = —х0;	
дФ-i  X	Ьй1[Ф1~Ф1Ю1=0	при х = х0;	
С/Л			(1.140)
ду	— /12[Ф1	Ф2 (01 =0	при у = —у0;	
дФ1	4-/12 [Ф1 —ф2 (01 = °	при у = у0.	
ду			

Решение этой задачи имеет вид [3]

Ф1 = 2 2 ^тЮсоза^хсЬа^ + г 2 ^n(Z)chpnxcospni/, (1.141)
т=1	п=1

где

q 4/tg sin ат Хр <р2 (/). ц |
(2а т x0-|-sin 2ат х0) [(Л2-|-сст ут) ch сст t/oM-

4* (о-т 4* ^гТт) sh ату0]

NJt) =		4/ix sin рп у0 <Pi (/)	(1.143)
Л’ [(/и+Рпб	n) ch PnXo4~ (Pn4~/li$n) sh Pn*o] (2pnifo 4’_sin 2{iny0)	
Ут ~	_ ^г2^ат th (ХтУо g	th Pn Xq  th <%тУо	₽n 4-^1 th Pn Xo	(1.144)
а ат, ₽п — положительные корни характеристических уравнений:		
	.	a  ctgax0 = — ;	(1.145)
	ctg₽t/0 = -^-.	(1.146)
Подстановками	a = -^-; p = — x0	Уо	(1-147)
эти уравнения	приводятся к уравнениям вида:	
	Ctgg-	;  hr х0	(1.148)
	ctgg = -^-. h%yo	(1.149)
Уравнение (1.148) хорошо исследовано в теории теплопровод-
ности [93], [107]. Первые три корня этого уравнения даны в табл. 5.
Полагая в формулах (1.141)—(1.149) hr — h2 = h, фх (t) = <р2 (0 =
= Ф (/) и устремляя в них h —> оо, мы получим решение рассматривае-
мой задачи для случая, когда поверхность тела поддерживается при
температуре ф (t):

ф, = V(-1)”------------------------- cos +

т^0	/9	ь (2т + 1)л.1/о	2х0

о (2т +1) л сп--------------

2х0

П=ОО

xch g?+l)g.+ У(-1)"----------------------------х

2х0	(2п+1)лх0

0	п = о	(2п-|-1)л ch-——2 -

2{/0

Xch (2п+1)лх cos (2п+1)лу _	5

2у0	2t/0

Ряды по гиперболо-тригонометрическим функциям в решениях
(1.141), (1.150) быстро сходятся, поэтому они удобны для приложе-
ний. Например, ряд (1.150) в каждой точке тела быстро сходится
к ф (/), в чем нетрудно убедиться численным методом. Поэтому вместо
(1.150) можно пользоваться готовым решением (1.138). Это обстоя-
тельство уже отмечалось в § 1.10.

§ 1.12.	Вторая основная задача
теории теплопроводности.
Одномерный тепловой поток в плите

Рассмотрим вторую основную задачу теории теплопроводности
при источниках тепла, зависящих от температуры, в случае одно-
мерного теплового потока вдоль оси Ох через плиту толщиной 2х0,
имеющую неограниченные размеры в двух других направлениях.
Решение первой основной задачи для этого случая мы нашли в § 1.10
в форме (1.115) и (1.117), поэтому исходные уравнения рассматривае-
мой задачи имеют вид:

=	+и(0 ф'- + ю й с‘ (0-с!(0+

+ [w(/)C2(0-G(()1 —;	(1.151)

хо

------Л1Ф2 = 0 при х = —— х0;

дФ2 . .	(1.152)

+й2Ф2 = 0 при х = х0;

Ф2=0О—Сх(0)—С2(0) — при 1 = 0.	(1.153)
В формулах (1.151)—(1.153) функции о (/), Сх (О и С2 (/) заданы
и определены выражениями (1.44) и (1.117).

В связи с однородностью граничных условий (1.152) общий инте-
грал уравнения (1.151) будем искать в виде ряда по фундаменталь-
ным функциям (1.71):

т=оо	)|(4

Ф2 = 2 ^m(0(cosamx+emsinamx);	(1.154)

m=I	•	to

тогда граничные условия задачи (1.152) будут автоматически удов-
летворены, если ат — положительные корни уравнения (1.69).

Внося (1.154) в (1.151) и учитывая разложения в области

—х0	х х0 (1.99) и

*= 2 Qm(cosamx + emsinamx),	(1.155)

т = 1

где	I

q _______4em (sin ат х0 ат Хр cos а,т х0)	. j ।

[(1 “Ь ^т) 2сстХр -р(1 — Em) sin 2amXo]

еж

для Тт (/) получаем следующее дифференциальное уравнение:

И®

I

(1.157)

условию

14
iltll

= Рт [со (/) Сх (/)- Ci (/)] +	[со (/) С2 (/)-С2 (0],

AQ

общий интеграл которого, удовлетворяющий начальному
(1.153), равен

т„ (/)=«. (о{	—	-

v IВ (бпр-е0)

-х„ (0	Х„ © е-©“»-вв»р),,-й аф

о	J

где

— xo^mCi (t)^rQmC2(t)

(1.158)

,а

Шв

(1.159)

.....	хосо(Г)

Ci

При этих условиях выражение (1.154) удовлетворяет всем урав-
нениям задачи (1.151)—(1.153) и поэтому является ее общим реше-
нием.

В случае (1.75) решение (1.154) принимает вид:

Ф2 = 2 Тт (I) cos атх,	(1.160)

/п= 1
где Tm(t) по-прежнему находится по формуле (1.158), в которой

4 sin ССтсХр	(I 161)

т 2amXo+sin 2ccmx0

=	(1-162)

cu(O

a am — по формуле (1.76), где | — положительные корни уравне-
ния (1.77).

Подстановкой

=	(1.163)

х0

формула (1.161) приводится к виду:

рт=-	. •	(i-i64)

£m-bsingmcos

В силу уравнения (1.77) постоянные Рт, определяемые по фор-
муле (1.164), зависят только от hx0 и номера т характеристического
числа и поэтому могут быть протабулированы в зависимости
от этих величин. В табл. 6 даны первые три значения этих постоян-
ных.

Наконец, устремляя в выражении (1.160) Л—>оо, получим ре-
шение второй основной задачи, соответствующее случаю, когда
грани плиты поддерживаются при заданных температурах <рг (/)
и ср2 (/):

ф2 =	(— 1 )т Тт (/) cos -(2от х ,	(1.165)

т = 0	2хо

в котором Тт (Г),%т (0, Рт определяются по формулам (1.158),
(1.161), (1.162) при

^т=-2,П^1)П ,	(1-166)

2х0

a Сх (/) отыскивается по выражению (1.124).

Представляет интерес также случай, когда грань плиты х = х0
поддерживается при температуре ср2 (/), а на грани х = —х0 про-
исходит теплообмен со средой, температура которой (рх (/). Решение
рассматриваемой задачи определяется формулами (1.154), (1.99),
(1.119), (I 156) и (1.159) при

em = ctgamx0,	(1.167)

в которых ат — положительные' корни характеристического урав-
нения

1 

ctg2ax0=—^-.	(1.168)
Первые три значения постоянных

2 sin £т

+ sin cos ётп

			
hx„	р,	-Ps	Р„
0	1	0	0
0,001	1,и002	0,0002	0
0,002	1,0004	0,0004	0,0001
0,004	1,0008	0,0008	0,0002
0,006	1,0012	0,0012	0,0003
0,008	1,0015	0,0016	0,0004
0,01	1,0020	0,0020 .	0,0005
0,02	1,0030	0,0040	0,0010
0,04	1,0065	0,0080	0,0020
0,06	1,0099	0,0119	0,0030
0,08	1,0130	0,0158	0,0040
0,10	1,0159	0,0197	0,0050
0,20	1,0312	0,0381	0,0100
0,30	1,0450	0,0555	0,0148
0,40	1,0581	0,0719	0,0196
0,50	1,0701	0,0873	0,0243
0,60	1,0813	0,1025	0,0289
0,70	1,0918	0,1154	0,0335
0,80	1,1016	0,1282	0,0379
0,90	1,1107	0,1403	0,0423
1	1,1192	0,1517	0,0466
1,5	1,1537	0,2013	0,0667
2	1,1784	0,2367	0,0848
3	1,2102	0,2881	0,1154
4	1,2287	0,3215	0,1396
5	1,2403	0,3442	0,1588
6	1,2478	0,3604	0,1740
7	1,2532	0,3722	0,1861
8	' 1,2569	0,3812	0,1959
9	1,2598	0,3880	0,2039
10	1,2612	0,3934	0,2104
15	1,2677	0,4084	0,2320
20	1,2699	0,4147	0,2394
30	1,2717	0,4198	0,2472
40	1,2723	0,4217	0,2502
50	1,2727	0,4227	0,2517
60	1,2728	0,4232	0,2526
80	1,2730	0,4237	0,2535
100	1,2731	0,4239	0,2539
ОО	1,2732	0,4244	0,2546
Подстановкой

а = А

2х0

уравнение (1.168) приводится к виду:

(1.169)

(1.170)

ctgg =

2x0h

Это уравнение хорошо исследовано в теории теплопроводности
1107]; три первых корня его даны в табл. 7.

Таблица 7

Первые три корня характеристического уравнения

Ctg g = —		2x0h  1	
2хоа			
0	1,5708	4,7124	7,8540
0,1	1,6320	4,7335	7,8667
0,2	1,6887	4,7544	7,8794
о,з	1,7414	4,7751	7,8920
0,4	1,7906	4,7956	7,9046
0,5	1,8366	4,8158	7,9171
0,6	1,8798	4,8358	7,9295
0,7	1,9203	4,8556	7,9419
0,8	1,9586	4,8751	7,9542
0,9	1,9947	4,8943	7,9665
1	2,0288	4,9132	7,9787
1,5	2,1746	5,0037	8,0385
2	2,2889	5,0870	8,0962
3	2,4557	5,2329	8,2045
4	2,5704	5,3540	8,3029
5	2,6537	5,4544	8,3914
6	2,7165	5,5378	8,4703
7	2,7654	5,6078	8,5406
8	2,8044	5,6669	8,6031
9	2,8363	5,7172	8,6587
10	2,8628	5,7606	8,7083
15	2,9476	5,9080	8,8898
20	2,9930	5,9921	9,0019
30	3,0406	6,0831	9,1294
40	3,0651	6,1311	9,1986
50	3,0801	6,1606	9,2420
60	3,0901	6,1805	9,2715
80	3,1028	6,2058	9,3089
100	3,1105	6,2211	9,3317
СХ)	3,1416	6,2832	9,4248

Располагая теперь решениями первой и второй основной задач
об одномерном тепловом потоке в плите, проведем сопоставление
классического метода Дюамеля и предлагаем ого,метода дополнитель-
ных фиктивных источников на простейшем примере плиты, имеющей
начальную температуру 60, грани которой поддерживаются при
температуре <р (/), когда внутренние источники тепла отсутствуют.
Для удобства использования имеющегося в литературе готового ре-
шения этой задачи запишем ее уравнения в следующем виде:

(1.171)

(1.172)

(1.173)

Ж

*

W

С-

дФ д2 Ф
dt 1 дх2

Ф = ср(/) при х=0 и х = 1'

Ф = 60 при t = 0.

Решение этой задачи по методу Дюамеля имеет вид (см. [93],
стр. 81):

атп2л2/

ч . ПЛХ1 W

Xsm------е

I

(1-174)

Решение же рассматриваемой задачи по методу дополнительных
фиктивных источников мы получим на основе формул (1.138),
(1.165) и (1.108), положив в них В = 0 и осуществив преобразование
координаты х в связи с переносом начала координат из центра плиты
на ее грань. Сделав это, будем иметь:

ф=ф(о 1-2

П=оо

[1 —(—1)"] - плх

--------— Sin----

пп

8i

И®
и:

!,И

<1

ВИ

[!-(-!)"]

пл

атп2л2 f

/2 J
о

атпгяЧ

е ‘2 dt\x

к . плх

Xsin-----е

I

Z2

(1.175)

Сопоставляя выражения (1.174) и (1.175), мы видим, что при
ограниченном числе членов рядов, входящих в эти выражения, ре-
шения рассмотренной задачи существенно различны. Степень этого
различия постепенно снижается по мере увеличения числа учиты-
ваемых членов ряда и при учете их бесконечного числа сравнивае-
мые выражения совпадают, поскольку

[1 — (— l)fil . плх

------—— sin---------=

пл	I

п= 1

(1.176)

1-1

I
11

illli

п = 1

00 4

п = 1

1

i
в области разложения 0 х /. Различие выражений (1.174)
и (1.175) при ограниченном числе членов состоит в том, что решение
(1174) медленно сходится на поверхности плиты и вблизи нее,
в то время как решение (1.175) сходится весьма быстро в каждой
точке плиты и особенно у ее поверхности. Покажем это на числовом
примере.

Рассматривая для простоты случай ср (/) = ф0 = -у- =const, на
основании формул (1.174) и (1.175) будем иметь:

а)	по методу Дюамеля

— = 2	sin —(1 + е	(1-177)

ф0	пл	I \	/

п = 1

б)	по методу дополнительных фиктивных источников
п=оо	a„n2n2t

Ф 1 I о 'V' [1—(—1) ]  ппх----------- /Т 17В\

— =14-2 > -------i---— sin----е i .	(1.178)

Фо	" пл	I

п= 1

В табл. 8 для точек хг = 0,125/, х2 = 0,25/ и х3 = 0,5/ плиты
толщиной / = 2 м при ст = 3-10-3 м21ч для моментов времени
/г = 5 ч и /2 — 84 ч по формулам (1.177) и (1.178) вычислены ве-
личины Ф/<р0 при учете в них различного числа членов. Как следует
из этой таблицы, для получения результата, отличающегося от его
верного значения не более чем на 5%, в рассматриваемом случае
по методу Дюамеля требуется учет 5—6 членов ряда, в то время как
по методу автора для этого требуется всего I—2 члена.

Таблица 8

Сравнение решений задач об остывании бетонной плиты,
найденных по методу Дюамеля (1.177) и по методу автора (1.178)

И О S	? = 5 ч						Z=84 ч					
	х = 0,125/		х=0,25/		х = 0,5/		x=0,I25Z		х = 0,25/		х = 0,5/	
5		>>				fl		&				
о  Я Л  £	) Дюа ?лю	О  И	сЗ  2	о  и	) Дюа ?лю	о  га га	> Дюа !ЛЮ	о  га га	га	с  и га	> Дюа ?лю	о  га га
о4 О,	к Я	Е	е JS	Е	Е Я	Е	Е Е	Е	С S	Е	Е S	Е
1	0,96	1,47	1,77	1,87	2,46	2,19	0,75	1,26	1,38	1,48	1,96	1,68
2	1,26	1,75	2,28	2,08	1,74	1,88	1,14	1,26	1,69	1,49	1,53	1,68
3	1,49	1,77	2,03	1,99	2,09	1,99	1,38		1,51	1,49	1,79	
4	1,96	1,77	1,88	1,99	1,88	1,99	1,45		1,38		1,60	
5	1,51		1,99	2,01	2,03		1,39		1,48		1,75	
6	1,69		2,07		1,91		1,29		1,56			
7	1,70						1,20		1,49			

Примечание. В таблице отчеркнуты результаты, отклоняющиеся
от точного решения более чем на 5%.
Улучшение сходимости решений, достигаемое в методе дополни-
тельных фиктивных источников, весьма существенно особенно для
задач о термонапряженном состоянии неравномерно нагретых тел.
Как известно, в основные уравнения этих задач входят производные
от температуры по координатам точки, а при дифференцировании
выражений, аналогичных (1.174), их сходимость ухудшается. По-
этому важно с самого начала получить улучшенную сходимость ре-
шений задач теории теплопроводности, если не удается найти их
в замкнутом виде. Это и достигается в предлагаемом методе.

§	1.13. Вторая основная задачатеории теплопроводности.
Двухмерный тепловой поток в прямоугольной призме

Рассмотрим теперь вторую основную задачу теории теплопровод-
ности при источниках тепла, зависящих от температуры, для прямо-
угольной призмы, исследованной в § 1.11. Исходные уравнения этой
задачи имеют вид:

дФ2 dt	( д2Ф2 . д2 Ф2 а* ( дх2	ду2	) + С0(0(ф1 + ф2)_-^-;		(1.179)
	^--^ = 0  дх	1 2	при х- —х0;		
	^- + ^ = 0	при х = х0;		
	ду	при у = —у0-,		(1.180)
	— + ^2-0 ду	при у = у0;		
	Ф2=е0—фх(0) при t=o,			(1.181)

где Фг — решение первой основной задачи для нашей призмы,
найденное нами в § 1.11 в виде (1.141).

Следуя методике, изложенной в § 1.12, функцию Ф2 будем искать
в виде двойного ряда

т=°о п = оо

ф2 = 2 2 Ттп (О C0S v COS
т = 1 п= 1

(1.182)

Выбирая при этом в качестве ат и рп положительные корни
уравнений (1.145) и (1.146), мы удовлетворим автоматически гра-
ничным условиям задачи (1.180). Вид функции Ттп (/) найдем из
уравнения (1.179), внеся туда (1.182). Предварительно представим
решение (1.141) также в виде двойного ряда:

т=со П=<х>

Ф1 = 2 2 Dmn (/) cos атх cos |3Пу,
т=1п =1

(1.183)
где

/А =	8 I Qm (/) Ря («т COS pnt/0 sh amt/0 + pn sin pnt/0 ch amy0)

тп “A + ₽n I	2₽nt/o + sin 2₽nt/0

Nn (/) am (pn cos amXo sh pnxn+ ant sin anlx0 ch Pnx0)
2amx04-sin2amx0

(1.184)

Кроме того,

~Уо У Уо-

будем иметь разложение в области —х0	х х0

Ш-съ П=сс

1= 2 SCmncosamxcosPn£/,	(1.185)

т=1п=1

где

С =____________16 sin am х0 sin pn f/р_ j

тП (2amx04-sin2amx0) (2₽nt/0 + sin2₽nt/0) '

Внося теперь (1.182) и (1.183) в (1.179) для Ттп (/), будем иметь
обыкновенное дифференциальное уравнение

П„(/) + [ат К+РД)—со (/)] Ттп (/) = со (/) Dmn (t)-D'mn(t), (1.187)
общий интеграл которого, удовлетворяющий начальному условию
(1.181), равен:

Т (t) = со (/) 1 e°Cmn е~[ат(ат+₽л)—вепр11 Dmn М I
тпК'	1в(6пр-6о)	со(/)

t

+ ат (с& + Р“) f Dmn (&) е-1 Зт (“А+₽п) - вепр]ц-Ч) jgl (1 д 88)
J “ (В)	J

о

При этих условиях выражение (1.182) удовлетворяет всем урав-
нениям задачи (1.179)—(1.181) и поэтому является ее общим ре-
шением. Полагая в формулах (1.182)—(1.188) h1 = h2 = h, <рх (/) =
= <р2 (0 = <Р (Z) и устремляя h -> оо, получим решение рассматри-
ваемой задачи для случая, когда поверхность тела поддерживается
при температуре <р (/):

m=C50 п = ОО

Ф,= 2 2 r„,„(z)cos (2” cos	(1.189)

т=1 п=1	2х0	2у0

в котором Ттп (/) по-прежнему определяется по формуле (1.188)
при

_ (2т+1)л .

U7n	,	I

2х0

(2п 4-1) л

‘п	7	>

2f/o

(1.190)

С

^тп

(2т + 1) (2п<1)-л2 ’

Dmn(t) = Cmn4(t).

(1.191)
При возрастании чисел т и п коэффициент Стп в формулах
(1.188) и (1.191) быстро убывает, вследствие чего ряды (1.182), (1.189)
также быстро сходятся, поэтому найденные решения удобны для
практических приложений.

§ 1.14. Вторая основная задача теории теплопроводности.
Тепловой поток в неограниченном цилиндре

Рассмотрим еще вторую основную осесимметричную задачу тео-
рии теплопроводности при источниках тепла, зависящих от темпе-
ратуры, для неограниченного кругового цилиндра радиусом г0. В об-
щем случае граничного условия, соответствующего теплообмену на
поверхности цилиндра, исходные уравнения этой задачи имеют вид:

(|192) »

dt \ dr2 г dr J	dt

_^ + /гФ2 = 0 при г = г0;	(1.193)

дг

ф2 = 0о~ф1(°) ПРИ ^ = 0,	(1.194)

где Фх — решение первой основной задачи для нашего цилиндра,
найденное нами в § 1.10 в замкнутом виде:

Ф1 = ф(0.	(1.195)

И

Следуя классической форме решения задач теории теплопровод-
ности для цилиндра [931, функцию Ф2 будем искать в виде ряда по
функциям Бесселя
m=o°

ф2= S^m(Z)J0(amr).	(1.196)

m=l

Выбирая при этом в качестве ат положительные корни урав-
нения

hJ0(ar0) — aJ1(aro) = O,	(1.197)

мы автоматически удовлетворим граничному условию (1.193). Вид
функции Т т (?) найдем из уравнения (1.192), внеся туда (1.196).

Сделав это, с учетом разложения в области 0 г г0

1= SCmJ0(anir),	(1.198)

m= I

где	j|

z~. 2amJi (gmr0)	i qq\

для функции Tm (t) будем иметь обыкновенное дифференциальное
уравнение

T'm(t) + [ст с&-(0 (/)] Тт (t) = [со(0 <р (0-ф' (/)] Ст, (1.200)
общий интеграл которого, удовлетворяющий начальному условию
(1.194), равен:

Ттп (/) = Ст со (/) (-----е~ вв^' —	+

т 1в(епр-е0)	©(Л

+ а а®, ('±^.е-(стат-вепр)(<-^)^).	(1.201)

J ©(В)	J

о

При этих условиях выражение (1.196) удовлетворяет всем урав-
нениям задачи (1.192)—(1.194) и поэтому является ее общим реше-
нием.

Устремляя в формулах (1.196), (1.199) и (1.201) А->оо, мы
получим решение рассматриваемой задачи для случая, когда по-
верхность цилиндра поддерживается при температуре ср (/). Это
решение будет иметь тот же вид (1.196), гдеТт (?) по-прежнему
определяется по формуле (1.201) при

Ст =-------------,	(1.202)

amr0’?I (“п го)

а ат — положительные корни характеристического уравнения

Jo («/(>) = 0.

а = —
Го

(1.203)

Подстановкой

(1.204)

формула (1.202) и уравнения (1.197), (1.203) приводятся соответст-
венно к формуле

1 ____i(gm)____

[МЧ^НЛ (U)]2

(1.205)

и к уравнениям вида

(1.206)
(I 207)

Уравнения (1.206) и (1.207) хорошо изучены в классической тео-
рии теплопроводности [93, 107] и их корни протабулированы.

§ 1.15. Экспериментальная проверка теории

Для^экспериментальной проверки предлагаемого метода опре-
деления температурных полей в бетоне с учетом зависимости экзо-
термии цемента от температуры процесса были использованы резуль-
таты опытов автора 1949 г. [4]. Эта проверка проводилась сопостав-
лением теоретического решения соответствующей плоской темпера-
турной задачи, найденного по методу автора, с действительно на-
блюдаемым распределением температуры в сррдней по высоте
части массивных образцов типа высоких пилонов.

Моделью пилона служил цилиндр диаметром 1 м и высотой 30 см
с теплоизолированными торцами из цементно-песчаного раствора
с у = 2300 кг/м? состава 1 : 4,32, В/Ц = 0,583, с соде; жанием
цемента 390 кг/л*3.

Портландцемент марки 500 имел минералогический состав в %:
C3S — 56; C2S — 21; С3А — 7; C4AF — 14, удельный и объемный
вес соответственно 3000 и 1200 кг/м?.

Песок — нормальный вельский с удельным и объемным весами
соответственно 2625 и 1730 кг/м3 и средней крупностью зерен 0,63 мм.

Вода — обыкновенная, водопроводная.

Тепловыделение примененного в опытах цемента в растворе
в адиабатических условиях исследовалось термосным методом путем
измерения температуры раствора, твердеющего в сосуде Дюара
с определенным коэффициентом теплоотдачи в термостат с постоян-
ной температурой, равной 20° С.

Испытания проводились с двукратной повторяемостью опыта
и дали близкие результаты (табл. 9).

Таблица 9

Удельная теплота гидратации в ккал/кг портландцемента в растворе,
примененного в опытах (нарастающий итог)

№ пробы	Продолжительность твердения цемента в ч								
	8	6	8	12	15	18	2,	24	36
1	2,9	4,1	5,7	7,4	9,7	12,1	15,1	17,4	26,9
2	2,5	3,6	5,3	7,3	9 6	12,3	15,4	18,3	31,5
Среднее	2,7	3,9	5,5	7,4	9,7	12,2	15,3	17,9	29,2

Продолжение табл. 9

№ пробы	Продолжительность			твердения5 цемента в ч		
	48	72	96	120	144	168'
1	34,9	41,9	46,0	48,6	51,0	52,9
2	39,7	49,9	57,4	62,3	65,0	65,6
Среднее	37,3	45,9	51,7	55,4	58,0	59,2

По данным этой таблицы с помощью формулы (1.31) для t = 21 ч
nt — 24 ч определялись значения параметра скорости тепловыделе-
ния цемента в исследуемом растворе В. При этом предельная теплота
гидратации была оценена в 62,5 ккал 'кг (табл. 9), а удельная тепло-
емкость раствора принята равной, с = 0,21 ккал/кг-град. Эти зна-
чения В оказались близкими и равными:

В = 0,52- 10-3 Иград-ч.

(1.208)

На рис. 7 приведены экспериментальные данные о теплоте гидра-
тации исследуемого цемента в растворе, взятые из табл. 9,
и построены теоретические кривые Э (/) и Э' (f), рассчитанные по
формулам (1.27) и (1.28) при найденном значении В.

Экспериментальное определение коэффициента температуропро-
водности ат и относительного коэффициента теплопередачи h раст-
вора проводилось на малых цилиндрических образцах диаметром
20 см и высотой 50 см по данным наблюдений за их всесторонним
остыванием после предварительного нагрева до некоторой постоян-
ной температуры в водяной ванне. Результаты этих опытов приведе-

Рис. 8. Сопоставление теоретических и экспериментальных данных о ра-
зогреве массивного цилиндра от экзотермии. Теоретические кривые изменен' я
температуры ряда изотерм

1 — г = 0; 2— г = 0,5го; 3— г = 0,75 г0; о о о —соответствующие экспериментальные точки

ат и h от температуры раствора, изображенных на рис. 4, с учетом
наблюдаемых в опытах изменений температуры поверхности массив-
ных образцов (рис. 8) были приняты следующие средние значения
ат и h для исследуемого раствора:

ат = 3,8-10~3 ж2/ч; Л^З.блг1.	(1.209)

Экспериментальное определение температурных полей, вызы-
ваемых экзотермией в молодом бетоне, проводилось на указанных
выше моделях цилиндрических пилонов. Температура этих образцов
в процессе их разогрева и остывания измерялась с точностью до 0,1°
с помощью предварительно заложенных в них термопар.

Действительное распределение температуры в образцах сопо-
ставлялось с теоретическим, вычисленным по формулам (1.195),
(1.196), (1.201), с учетом найденных значений В, ат и h (1.208),
(1.209). Температурная функция Ф (г, /), определяющая темпера-
турное поле, найденная таким образом, при <р (/) = <р0 = 0О = const
имеет вид:

т—со

Ф(М) = Фо + 2 Tm(t) J0(amr),
т = 1

где

Т Ввпр0о(епр-Оо)Ст(е B€W-e а^‘

1	т \Ч —	г	— BG

W«p) [«» + (%-«о)е	™ ]

(1.210)

(1.211)

а остальные величины определяются по формулам (1.24), (1.199)
и по уравнению (1.197).

На рис. 8 приведено сопоставление теоретических кривых изме-
нения температуры указанных точек поперечного сечения пилона
с соответствующими ее экспериментальными значениями. При по-
строении теоретических кривых для моментов времени t 24 ч
в формуле (1.210) учитывался дополнительно и второй член ряда1.

Как следует из рис. 8, предлагаемый метод определения темпе-
ратурных полей в бетоне с учетом зависимости экзотермии цемента
от температуры процесса дает хорошее соответствие теоретических
и экспериментальных данных. Кроме того, он обеспечивает быструю
сходимость аналитического решения, например в форме (1.210),
при которой сравнительно скоро можно ограничиться одним первым
членом ряда. Изложенное позволяет рекомендовать этот метод для
широкого применения.

§ 1.16.	Пример расчета распределения температуры
в массивной бетонной плите

Требуется найти распределение температуры по толщине
2х0 — 2м бетонной плиты через t суток после ее изготовления
(рис. 9, а). Плита бетонируется на опалубке из досок толщиной
40 мм с начальной температурой укладываемого бетона 0О = 15° С.
Бетон изготовляется на портландцементе, выделяющем за первые
сутки твердения 18 ккал/кг тепла и имеющем предельную теплоту
гидратации Эпр = 62,5 ккал/град. Содержание цемента в бетоне
равно 300 кг/ма. В табл. 10 даны расчетные изменения температуры
наружного воздуха

...	.	Лг . 2л/

ф(') = Фср--------г1 sin —

Z	41

(1.212)

где Фср = 6°; Д - 36°; tx = 8640 ч.

1 Учет второго члена ряда в данном примере требуется только при /<24 ч.
Расчетные изменения температуры наружного воздуха ф (/) в град

t в ч	42	84	168	360	720	1080	1440	2400	3360	4320
<р (0	5,5	4,9	4,1	1,2	—3	—6,7	—9,6	— 11,7	—5,6	6

Распределение температуры определяется выражениями (1.108),
(1.138) и (1.154), а входящие в них величины формулами (1.70),
(1.158) и (1.212). Принимая во внимание условия задачи и огра-

Рис. 9. Распределение температуры в плите и ее изменение во времени
а — распределение температуры по толщине плиты через 3,5 суток после ее изготовления;
<6“Изменение температуры изотермы плиты, отстоящей от утепленной грани на расстоя-
нии 0,8	1—без учета экзотермии; 2 — с учетом экзотермии по методу автора; 8 — на-

чальная температура плиты; 4 — линия нулевой температуры; 5 — полугодовой ход тем-
пературы воздуха; ------случай первоначально падающей;--------случай первона-

чально возрастающей температуры воздуха

ничиваясь первым членом ряда в формуле (1.154), с учетом выраже-
ний (1.108) и (1.138) для температуры плиты получим следующую
формулу:

	Ф(х, /) = Ф(?) + Т(/)£(х),	(1.213)
где	F(x) = cos ах+ е sin ах;	(1.214)  Т (?) = Х1 (0 [А+А Х2 (П+Ахо (/) + Ах* (0+  + Ах6(01-ЛР(й.	(1.215)
Здесь	=	... ;	(1.216)  Оо "Г (Опр — 0о) Хз (?)
Х2(О = е-°т“!/;	(1.217)

X3(Z) = e-senpz;	(1.218)

X4(Z) = aTa2sin-^--^bcos~;	(1.219)

G	Л.

X5(n = [(ara2-£0np)sin 2^--^cos	-^lx3(0; (1-2201

L	‘i	*i J

_ Фер 6q . д ___ 6q ®np _

1 aT a2 2 йт «2

yl — <^>CP (впр~во) . yj _

° ат ос2 - В0Пр ’	4

4-А+^А+9оЛ;

2] ’

(aTa2;

A =

(6np—60)

2 (a/a2 —

2л '21>

(1.221)

4=-

t

/1рЛ

—	4 sin ax0

p =------------------2-----------,

(1 +e2) 2ax0 + (l —e2) sin 2ax0

e определяется по формуле (1.70), a a — первый положительный
корень уравнения (1.69).

Принимая для опалубки:

х о, 15	. - 6 = 0,04 ж	(1.222)

м • ч • град

и для бетона

л « Ау ккал	Cif\ ккал

л = 1,7--------; ант = 20---------—;

м • ч - град	м2‘Ч- град

с = 0,23—каЛ ; аг = 3-10"3— ; у = 2400 —,
кг-град	ч	м3

(1.223)

находим для грани плиты х = —х0, укрытой опалубкой,
а*т =-----------------°, 15:20-= з, j 6 ккал	(1.224)

0,15 + 0,04-20	м2-ч-град

и, следовательно,

Л1 = -^=1,86ж-1; h2 =— = 11,75 ж’1.	(1.225)

1.7	1,7	Ц
Внося (1.225) в уравнение (1.69) и решая его методом подбора,
находим:

а1 = 1,226 м-1.	(1.226)

Подстановка этого значения а в уравнение (1.69) для проверки
дает нам:

. /О 1 олсх	1,2262—1,«6 п 75

ctg (2  1,226) = —-------------—, т. е.

1,226(1,86+11,75)

1,2127= 1,2165 (ошибка 0,3%).

Таким образом,

sin ах0 = 0,9411; cos ах0 = 0,338; sin 2ах0 = 0,6363;
а2 = 1,503 м~2-, 2а = 2,452 лГ1; tgccx0 = 2,7844.

Параметр скорости
по формуле (1.31):

тепловыделения

цемента в бетоне найдем

18	300

0,23 ’ 2400

62,5	300 \

15 + —— -------- 24

0,23	2400/

= 0,716-10-3 ——
ч  град

Теперь находим:

епп = 15 + 62>5'300 = 15 + 33,96 = 48,96°;
р	0,23-2400

В6пр = 0,716-10-3-48,96 = 35,055-10"3	;

ата2 = 3 • 10"3  1,2262 = 4,509 • 10~3 -;

ч

Пта2 — В6пр = 4,509-10-3— 35,055 -10~3 = —30,546 • 10"3 :

________1,86—11,75_______

2,452 +(1,86+ 11,75) 2,784;

4-0,9411

— 0,245;

(1+0,2452) 1,226-2 + (1 — 0,2452) 0,6363

=1,174;

----------= 19,96-103 (град2-ч);
4,509-Ю-з-v г '

А = _ М48,96-25)^ _6 67 1 03 ^град2.чу
30,546-Ю-з	7

Л ----------------—--------------= — 12943,42 • 103 (

/ 3,142 \2	v

(4,509-10-3)2+ —-----

’ V 4320 /

Е

Р =
л=

18(48,96—15)

(30,546-10~3)2 +

3,142 \2

4320 J

= — 654,766-103 (град2-ч);

4 =

18-3,142

I 3,142 \2
4320 (4,509-10~3)24- —!------

' ’	’ Ч 4320 /

= —627,597 (град-ч);

а2

15'48’96----19,96 • 103 + 6,67 • 103—15- 627,597—

4,509-Ю-3

654,766 • 103 = 139,694-103 (град2-ч).

4320

Далее вычисляем функции р<р (/), ул (/), ..., /5 (t), а затем Т (Р)
(табл. 11 —16).

Таблица 11

Значения у2 (/) для различных моментов времени t
:	-з 1 \

I стя2 =4,509-10 —1

t 14	0	42	84	168	360	720	1080	1440	2400 и более
aTa2t %2 (0	0  1	0,1894 0,8274	0,3788 0,6847	0,7575 0,4688	1,6232 0,1973	3,2465 0,0389	4,8697 0,0076	6,4930  0,0015	10,8216 0

Таблица 12

Значения функции Хз (О Для различных моментов времени t
/ вепр = 35,055-10-3-М

t в ч	0	42	84		168		360 и более
BGnpt Хз(О  Значе	0  1  ния функции  рст«2 = 1	1,4723  0,2293  Xi (0 для Г  ,174-4,509-1	2,9446 0,05262  азличных мо  0~3 =5,294		5,8892 0,002769  Та б ментов време з 1 \ 10~3— ч )		12,62 0  лица 13  ни t
t в ч	Хз (0	(е пр	ео) *3  в град		Хз (0 в град		Xi (Z) ю»—Д  ч-град	
0  42  84  168  360 и более	1  0,2293  0,05262  0,002769  0	33,96  7,787 1,787 0,094 0		48,96 22,787 16,787 15,094 15		0,108  0,232  0,315  0,351  0,353	
Значения функции у4 (/) для различных моментов времени t

Ц,	fcTa2 = 4,509-10~3—; — = 0,7272-10 ~3—^

\	ч	4 )

t в ч	2л/ h	2л cos ~7~		2л	2л/  rcosT х 1  Х10’ в —		2л/ sin	Ст“2 Sln —X ‘1 1  XI0’ в~		х« (0 10’ в — ч
0 42  360  ill	720  1080  1440 2400  3360 _	4320  Mi fcs  К,®  0  и	0 0,0305 0,0611 0,122 0,262 0,524 0,785 1,047 1,745 2,443 3,142  Значения  ( ата2—	1  0,999  0,998  0,993  0,966  0,865  0,707  0,5  —0,173  —0,766  —1  функции  б6пр=—		0,727  0,727  0,726  0,722  0,702  0,629  0,514  0,364  —0,126  —0,557  —0,727  <5 (/) для ра  30,546-103—- ч		0 0,0305 0,0611 0,122 0,259 0,5 0,707 0,866 0,985 0,643 0  ЗЛИЧНЫХ IV  2л л  -, —=0,7	0  0,138 0,275 0,550 1,168  2,254 3,188 3,905  4,441 2,899 0  Таб  юмеитов вре<  272 10-3—  ч /		—0,727  —0,589  —0,451  —0,172  0,466 1,625 2,674 3,541 4,567 3,456 0,727  лица 15  иени t
же  t в ч  2  3	X в|,- СЧ 1  сл  "Ь  С _ Ф CQ  1  <ч е  И  С	а»  и  э  К		2л	2л/	1  . cos ~~ 103 в 	  Ц	G	ч		si~ » с о со |— *~*  С сч 1  ф  CQ g  ।  е сч | Ь	I  е	1  ।	j		Хз (/)	(/> юз B-L
0 42 84 168  360 и более	0 —0,932 —1,866 —3,727 —7,911			0,727 0,727 0,726 0,722 0,702		—0,727  —1,659  —2,592  —4,449  —8,613		1  0,2293  0,05262  0,002769  0	—0,727  —0,380  —0,136  —0,0123 0

Теперь вычисляем значения функции F (х) (1.214) для различных
точек плиты (табл. 17). После чего по формуле (1.213) находим темпе-
ратуру плиты в градусах в ее отдельных точках (табл. 18) с учетом
экзотермии.
Значения функции Т (<) для различных моментов времени t

и	пс е  и  со 1 о  X  Ч	пс е  «и  «  со 1 о  X	ПС С  П)  «  со 1 о  X	У  пс е  CQ  СО 1 о  X	Г	5	1  -4»	(0 Ю~3  в град2-ч	Т (0+р ф (0 в град	р ф (/) в град	Т (?) в град
0	139,694	—6,67	9,41	0,476	162,87	17,546	7,044	10,546
42	115,583	—1,529	7,624	0,249	141,887	32,918	6,457	26,461
84	95,648	—0,351	5,837	0,089	121,183	38,173	5,753	32,420
168	65,488	—0,018	2-226	0,008	87,582	30,741	4,461	26,280
360	27,562	0	-6,031	0	41,491	14,646	1,560	13,086
1720	5,434	0	—21,033	0 -	4,361	1,539	—3,522	5,061
1080	1,062	0	—34,611	0	—13,589	—4,797	—7,866	3,069
1440	0,21	0	—45,833	0	—25,653	—9,056	—11,270	2,214
2400	0	0	—59,113	0	—39,153	-13,821	—13,736	—0,085
3360	0	0	—44,723	0	—24,763	—8,741	—6,574	—2,167
4320	0	0	—9,41	0	10,55	3,724	7,044	—3,32

Таблица 17

Значения функции F (х) для различных точек плиты
(а=1,226 м-1; е=—0,2451)

X в м	ах	sin ах	Е sin ах	cos ах	F (х)
—1	—1,2260	—0,9411	0,2307	0,3380	0,5687
—0,6	—0,7356	—0,6710	0,1645	0,7414	0,9059
—0,2	—0,2452	—0,2428	0,0595	0,9701	1,0296
0,2	0,2452	0,2428	—0,0595	0,9701	0,9106
0,6	0,7356	0,6710	—0,1645	0,7414	0,5770
1	1,2260	0,9411	—0,2307	0,3380	0,1073
Температуру плиты без учета (1.213). положив в ней 0пр = 0О.			экзотермии найдем по формуле Это дает нам:		

Л3 = Л6 = 0; Х1(0 = -е^;

А2 = А2 =	(0О — Фсп) + 0(Д

и, следовательно,

Ф (х, 0 = ф (0+[А+Л2х2 (0+Лх4 (Ш -РФ (о) Р (х)-

I V0	)
С помощью этой формулы и табл. 10, 11, 14 и 17 были найдены
значения температуры Ф (х, /) и на их основе построены соответст-
вующие кривые на рис. 9. Показаны распределение температуры
в рассмотренной плите в момент ее наибольшего разогрева и изме-
нение во времени температуры ее изотермы, отстоящей от грани,
утепленной опалубкой, на расстоянии х = 0,8 м, рассчитан-
ные без учета экзотермии и с учетом экзотермии по методу автора;
на этом же рисунке рассмотрены случаи падающей (сплошные ли-
нии) и возрастающей (пунктирные линии) температуры воздуха по
закону синусоиды (1.212).

Как видно из рисунка, плита вначале интенсивно разогревается
от экзотермии, затем медленно теряет накопленное тепло. После
этого температура ее отдельных точек начинает следить за измене-
ниями температуры воздуха с определенным сдвигом фазы. Отме-
тим, что в начальный момент времени, в соответствии с данными
табл. 18, мы получили неравномерное распределение температуры
по толщине плиты, причем внутри ее температура оказалась при-
мерно на 12,5% выше действительной начальной температуры бе-
тона. Это объясняется тем, что для нахождения температуры бетона
Ф (х, t) мы пользовались только одним первым членом ряда формулы
(1.154), сходимость которой при /->0 ухудшается. Отмеченное
обстоятельство, однако, не имеет практического значения, так как,
начиная с некоторого малого момента времени, влияние последую-
щих членов ряда формулы (1.154) становится пренебрежимо малым.

Таблица 18

Температура Ф (х, t) в отдельных точках плиты при ее разогреве
и остывании

t		X в м					
в сут.	в ч.	— 1	— 0,6	— 0,2	0,2	0,6	1
0	0	12	Н,6	16,9	15,7	12,1	7,1
1,75	42	20,5	29,5	32,7	29,6	20,8	8,3
3,5	84	23,3	34,3	38,3	34,4	23,6	8,4
7	168	18,7	27,6	30,8	27,7	19	6,6
15	360	8,8	13,2	14,8	13,2	8,9	2,7
30	720	0	1,6	2,2	1,6	— 0,1	— 2,5
45	1080	-5	— 3,9	— 3,5	~ 3,9	— 4,9	— 6,4
60	1440	—8,4	— 7,6	— 7,3	— 7,6	— 8,3	— 9,4
100	2400	— Н,7	—11,6	—11,6	—11,6	—11,7	-11,7
140	3360	—6,8	— 7,6	— 7,8	— 7,6	— 6,8-	— 5,8
180	4320	4,1	3	2,6	3	4,1	5,6

В табл. 19 показано распределение температуры в бетонной плите
толщиной 0,2 м, симметрично остывающей при постоянной тем-
пературе воздуха 6° С, найденное с учетом (цифры в числителе)
и без учета (цифры в знаменателе) экзотермии при условиях рассмо-
тренного выше примера. Из таблицы следует, что превышение
температуры отдельных точек плиты, найденной с учетом экзотермии,
над соответствующей температурой, рассчитанной без учета послед-
ней, не превышает 1°. Поэтому учет экзотермии бетона при расчете
полей температуры подобных немассивных конструкций не имеет
практического значения; эти конструкции могут рассчитываться на
температурные воздействия без учета экзотермии.

Таблица 19

Температура отдельных точек тонкой бетонной плиты прн ее разогреве
и остывании в град

t		X в м				
в сут.	В ч	0	0,025	0,05	0,075	0.1
л		16,2	15,9	15,2	13,9	12,2
	и	16,2	15,9	15,2	13,9	12,2
0,25		9,2	9,1	8,8	8,4	7,9
	6						—
		8,5	8,3	8,2	7,8	7,4
0,5	12	7,3	7,3	7,2	7	6,8
		6,6	6,5	6,5	6,4	6,3
		6,6	6,6	6,5	6,5	6,4
1	24	6,1	6,1	6	6	6
		6	6	6	6	6
5	120 и более	6	6	6	6	6

СНиП П-В. 11-62* [174] в зависимости от модуля поверхности т
разделяет конструкции на массивные т < 2, средней массивности
2 <С т < 15 и немассивные т 15.

Модуль поверхности плиты, рассмотренной в настоящем примере,
1-2	1	1

т = ; —j = — = g-j = 10, т. е. эта плита принадлежит к ка-
тегории плит средней массивности. Следовательно, изложенный
выше вывод можно теперь сформулировать следующим образом:
расчет и распределения температуры в конструкциях средней мас-
сивности и немассивных конструкциях можно производить без
учета экзотермии.

Плита же, рассмотренная ранее, имеет модуль поверхности
т = -,- = 1 < 2 лГ1 и принадлежит к категории массивных кон-
струкций. Для таких конструкций, как это следует из табл. 18,
учет экзотермии при расчете температурных полей необходим.

01

gjSW ®

Jj0l3s(

fMIlliSI
i/bW
IjpWil
1Я18 И

\IStiiiB
ВЙП
Кир»
tatpanji
тшю»
.('ИВВДЙ
ягипв
дав

Jill. bi

Mimi



Wje

'Ши


НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ВЛАГОПРОВОДНОСТИ БЕТОНА

Исследованию влажностных напряжений в бетоне должно пред-
шествовать определение полей влажности, возникающих в нем
вследствие внешних воздействий, отсутствия гигрометрического рав-
новесия с окружающей средой и химического связывания воды при
гидратации цемента.

В главе 1 было показано, что при обычных условиях работы же-
лезобетонных конструкций можно пренебречь влиянием температу-
ры на диффузию влаги в бетоне и считать, что движение влаги в нем
происходит в основном за счет градиента влажности.

Более важным является учет стока влаги в бетоне за счет хими-
ческого связывания свободной воды. Учтя это обстоятельство, мы
приходим к уравнению влагопроводности бетона (П.2), которое
подробно и исследуется в дальнейшем. Теории влагопроводности
бетона в такой постановке без учета и с учетом стока влаги по-
священы работы С. В. Александровского [12], А. В. Белова [28, 30],
А. И. Вейника [54], Г. Д. Вишневецкого [56. 57], А. В. Лыкова
[108, 109], К. Ф- Фокина [187] и ряда других исследователей.

Ниже рассматривается общая задача теории влагопроводности
бетона при внутреннем распределенном по объему тела стоке влаги,
интенсивность которого зависит от температуры процесса. Получено
соответствующее дифференциальное уравнение влагопроводности
и дан аналитический метод его интегрирования, аналогичный ме-
тоду дополнительных фиктивных источников теплал рассмотренному
в главе 1, и обладающий всеми его преимуществами.

§ II.1.	Влагопроводность. Основные уравнения
теории влагопроводности бетона

При неравномерном распределении влажности по объему капил-
лярно-пористого тела влага в его менее влажные части непрерывно
поступает из более влажных зон. Такая передача влаги происходит
во всех твердых капиллярно-пористых телах, подверженных воз-
действию влажности, и называется влагопроводностью.

У ряда материалов с ориентированными капиллярами (напри-
мер, у/древесины) влагофизические свойства, связанные с влаго-
проводностью, зависят от ориентации капилляров, а сама влаго-
проводность в одних направлениях лучше, чем в других. Влагофизи-
ческие свойства материалов изменяются также в зависимости от их
влажности. В большинстве практически важных случаев, однако,
эти изменения не велики, прэтому обычно эти свойства считают не
зависящими от влажности.

У некоторых материалов влагопередача является следствием не
только внешнего воздействия (увлажнения или высушивания), но
связана также с особым свойством материала связывать влагу. При-

3 Зак. 1018

65
мером этого может служить бетон, у которого в процессе твердения
химически связывается значительное количество свободной воды.

В дальнейшем мы и будем рассматривать тела, материал кото-
рых обладает свойством связывать влагу, имея в виду в первую оче-
редь бетон. При этом будем считать его однородным и изотропным
телом с влагофизическими свойствами, не зависящими от возраста
бетона и его влажности. Первое из этих допущений из-за хаотичного
размещения микро- и макропор в бетоне вполне приемлемо; вторые
два рассмотрены в § П.З.

Процесс влагопередачи в бетоне весьма сложен, а некоторые его
закономерности не вполне изучены. До настоящего времени, напри-
мер, не установлено, перемещается ли влага в бетоне преимущест-
венно в виде пара или, наоборот, главным образом в виде жидкой
фазы. По-видимому, однозначного ответа на этот вопрос не сущест-
вует; все зависит от условий высыхания бетона, его влажности, тем-
пературы и размеров тела.

В опытах Г. А. Бужевича 145] изучался процесс испарения воды
из бетонных кубов при их естественном высыхании на воздухе. Ско-
рость испарения влаги из бетона сравнивалась со скоростью испа-
рения с поверхности чистой воды. Оказалось, что вначале эти ско-
рости были равны; это косвенно указывает на то, что процесс испа-
рения влаги из бетона на данном отрезке времени происходит за
счет миграции жидкости изнутри к поверхности и ее испарения на
ней. Затем, через некоторое время, скорость испарения воды из бе-
тона становилась большей, чем у чистой воды и оставалась таковой
в течение некоторого времени. Это говорит о том, что величина по-
верхности испарения в бетоне возрастала за счет ее проникания
внутрь тела. Следовательно, в это время в его поверхностных слоях
влага уже перемещалась в виде пара.

Наконец, процесс высыхания заканчивался при скорости испа-
рения, меньшей, чем скорость испарения воды, постепенно убываю-
щей до нуля по мере уменьшения содержания в бетоне испаряемой
воды. Следовательно, в конце периода высыхания влага в бетоне
перемещалась только в парообразном состоянии.

В опытах автора 116] было установлено, что у малых образцов
критическая влажность1 достигалась бетоном практически одно-
временно во всем их объеме, о чем свидетельствовало одновременное
начало усадки в наружных и внутренних слоях тела. Это указывает
на то, что к этому моменту времени поверхность испарения пронизы-
вала всю толщу бетона.

В более же крупных образцах к моменту начала усадки в наруж-
ных слоях бетона его внутренние зоны имели еще некоторый запас
свободной воды и не претерпевали усадочных деформаций.

Таким образом, соотношение между парообразной и жидкой
составляющей влажностного потока в бетоне в данный момент вре-

1 О критической влажности бетона см. § II 1.7.
мени высыхания и в данной точке его объема зависит от масштаб-
ного фактора и продолжительности высыхания.

Еще более интересные данные были получены в опытах
А. И. Вейника и А. С. Шубина [55]. В этих опытах с помощью радио-
активных изотопов изучен процесс переноса тепла и влаги при кон-
вективной сушке влажных капиллярно-пористых тел. Моделью
такого тела служил песок, увлажненный насыщенным раствором
радиоактивной соли до определенного начального влагосодержания.
В процессе сушки образца мигрирующая жидкость переносила с со-
бой эту соль, за движением которой следили с помощью счетчика
Гейгера—Мюллера.

В случае внутреннего испарения влаги, а следовательно, появле-
ния парообразной составляющей влажностного потока, радиоактив-
ная соль выпадает в осадок и больше не перемещается. По изменению
активности отдельных участков материала можно было судить
о количестве влаги, перенесенной как в виде жидкости, так и в
виде пара.

Было установлено, что при сушке материала воздухом
с обычной температурой некоторое количество влаги (— 17%) испа-
ряется внутри материала. Оказалось также, что на механизм про-
цесса сушки и глубину зоны внутреннего испарения оказывает
влияние величина массосодержания.

При низком начальном массосодержании (< 2%) молярное
перемещение отсутствует и сушка происходит за счет молекуляр-
ной диффузии парообразной влаги.

При высоких (> 4%) массосодержаниях влага мигрировала
к поверхности образца в жидкой фазе, где и происходило ее интен-
сивное испарение, о чем свидетельствовал бурный рост активности
этой поверхности.

Возвращаясь к бетону молодого возраста, отметим, что процесс
его высыхания всегда начинается при наличии большого количества
жидкой влаги, вводимой в бетонную смесь при ее изготовлении.
Следовательно, такой бетон при высыхании последовательно про-
ходит через все три стадии, подмеченные в описанных опытах
Г. А. Бужевича.

В связи с тем, что в силу разнообразных условий, в которых
может находиться бетон, невозможно четко разграничить, в какое
время и в каких его зонах имеет место та или иная из этих стадий,
представляется пока единственно верным исходить из единого для
всех их закона влагопередачи по отношению к общему, суммарному
потоку влаги, независимо от соотношения его составляющих —
жидкой и парообразной влаги. Важно только, чтобы физические
характеристики бетона, определяющие его влагофизические свойст-
ва, устанавливались экспериментальным путем в условиях опыта,
близких к тем, которые наблюдаются при его естественном высы-
хании.

Именно таким подходом и отличается математическая теория
влагопроводности, не учитывающая явление термовлагопроводности.
Этой теорией мы и будем пользоваться, обобщив ее на случай учета
распределенных по объему тела стоков влаги.

Пусть в твердом капиллярно-пористом теле распределение влаж-
ности U в момент времени t определяется выражением U (х, у, z, t).

В математической теории влагопроводности показывается, что
величина потока влаги через единицу площади любой поверхности
в данной точке тела равна:

Qv = -aBy^,	(ПЛ)

dv

где U — влажность материала на этой поверхности; ав — коэффи-
циент диффузии влаги; у — плотность материала, v — направле-
ние внешней нормали к поверхности в данной точке.

Рассматривая условия влагопередачи через элементарный
объем капиллярно-пористого тела, с помощью выражения (П.1)
можно получить следующее дифференциальное уравнение влагопро-
водности бетона [12]

— = aBV2U-----(II.2)

dt в , у dt

в котором величины ав и у имеют указанный выше физический
смысл, а Н (кг/м3) — функция гидратации бетона, определяющая
собой количество химически связываемой, влаги (кг) при гидратации
цемента в единице объема бетона (л*3).

Уравнение (II.2) представляет собой уравнение баланса влаги
в элементарном объеме бетона и является основным в теории влаго-
проводности.

Решение основной задачи теории влагопроводности бетона об
отыскании функции влажности U (х, у, z, t) требует интегрирования
дифференциального уравнения (II.2) при граничных и начальном
условиях, определяющих соответственно поток влаги на поверхности
тела и распределение влажности по его объему в начальный момент
времени, и при заданном законе стоков влаги Н (х, у, г, t) за счет
ее химического связывания. Для практического же использования
решений этой задачи необходимо располагать численными значения-
ми ряда коэффициентов, входящих в это уравнение, в том числе и оп-
ределяющих собой влагофизические свойства бетона. Некоторые из
них уже были рассмотрены в § 1.3, остальные будут изучены ниже.

Отметим, что существуют различные способы задания влажности
бетона U. Она может быть задана в относительных единицах по
объему (м3/м3) или по весу (г/г); часто ее задают в процентах по объе-
му (м3/м3) 100 или в процентах по весу (г/г) 100.

В дальнейшем мы будем пользоваться измерением влажности
в относительных единицах по весу (г/г). Заданная таким образом
относительная влажность будет определять собой количество влаги
(г) в бетоне, отнесенное к единице его веса (г) в сухом состоянии.
Она может быть определена как разность весов мокрого и сухого
образца, деленная на вес сухого образца.
§ 11.2.	Граничные и начальное условия
Равновесная влажность бетона

В состоянии термодинамического и гигрометрического равнове-
сий бетона с влажным воздухом его температура равна температуре
окружающей среды. Поэтому граничные условия теплопередачи
на открытой поверхности тела (1.5) предполагают, что потеря тепла
с единицы такой поверхности в единицу времени пропорциональна
разности температур поверхности и среды вблизи нее (1.4). Влаго-
содержание же бетона в рассматриваемом случае приобретает неко-
торое постоянное равновесное значение. Соответствующая ему отно-
сительная влажность бетона называется его равновесной относитель-
ной влажностью.

Относительная равновесная влажность бетона не равна относи-
тельной влажности окружающего воздуха. Поэтому потеря влаги
с единицы открытой поверхности тела в единицу времени пропорцио-
нальна не разности влажностей поверхности бетона и окружающего
воздуха, а разности относительных влажностей бетона — поверх-
ностной U и равновесной ф (t) с окружающей средой:

9 = «hbY[^~ Ф(01-	(П.З)

Коэффициент пропорциональности ссНв в этом уравнении носит
название коэффициента влагопередачи и зависит от формы тела, со-
стояния и влажности его поверхности, а также ряда других факторов.

Так как на поверхности тела влага не может накапливаться, то
количества подведенной влаги (II.1) и влаги потерянной (II.3)
должны быть равны между собой. Приравнивая выражения (II. 1)
и (П.З), получаем граничное условие для рассматриваемого случая
влагопередачи:

-^ + р[П-ф(/)] = 0.	"	(II.4)

В этом уравнении величина

р = -^~	(II.5)

представляет собой относительный коэффициент влагопередачи.
Этот вид граничных условий встречается наиболее часто, и мы будем
широко пользоваться им в дальнейшем, имея в виду свой заданный
закон изменения относительной равновесной влажности бетона
фг (0 на каждой из координатных поверхностей с нормалью v, огра-
ничивающих тело». Аналогичным образом могут быть получены вы-
ражения и для других видов граничных условий, встречающихся
в приложениях.

Если влажность бетона на поверхности тела поддерживается
равнойф (х, у, z, f), то на этой поверхности граничные условия имеют
вид:

= Ф (х, у, z, t). z	(II.6)
(П.7)

Если поверхность тела непроницаема для потока влаги, то на ней

dv

Отметим, что граничные условия (II.6) и (И.7) являются част-
ными случаями более общего условия (II.4) и получаются из него
соответствующим предельным переходом.

Действительно, при бесконечно большом ссНв влажность бетона
на поверхности тела будет мгновенно принимать значения равновес-
ной влажности. Устремляя поэтому в уравнении (II.4) р -> оо, мы
получим граничное условие для этого случая вида (II.6).

Если поверхность тела непроницаема для потока влаги, то не-
зависимо от U иф (/) в уравнении (П.З) должно быть q ~ 0. Чтобы
удовлетворить этому условию, мы должны положить в нем ссНв = 0.
Устремляя поэтому в уравнении (II.4) р->0, мы получаем гранич-
ное условие для этого случая в виде (II.7).

Возможность указанных предельных переходов избавляет нас
от необходимости в дальнейшем рассматривать особо задачи с гра-
ничными условиями (II.6) и (II.7). Достаточно будет получить лишь
решение задач с граничными условиями вида (II.4). Решения же
аналогичных задач с другими граничными условиями мы получим из
найденных решений, осуществив в них соответствующий из указан-
ных предельных переходов.

Для практического использования граничных условий (II.4)
необходимо располагать данными об относительной равновесной
влажности бетона. Величина этой влажности зависит от температу-
ры и влажности окружающего воздуха и от способа достижения
бетоном гигрометрического равновесия с внешней средой. Если бетон,
стремясь к такому равновесию, отдает влагу, то оно достигается
путем его высыхания или, как говорят, десорбции; если же бетон
поглощал влагу, то равновесное состояние наступает в результате
его увлажнения или, как принято говорить, сорбции.

Графическая зависимость равновесной относительной влажно-
сти бетона от относительной влажности воздуха при постоянной
температуре, изображенная в виде некоторой кривой, называется
изотермой сорбции или десорбции, в зависимости от того, к какому
из двух указанных выше случаев достижения равновесного состоя-
ния она относится.

Обычно подобного рода кривые имеют S-образный вид (рис. 10),
причем изотермы сорбции и десорбции совпадают только в двух край-
них точках: при ф = 1 и <р = 0, образуя своеобразные гистерезис-
ные петли (рис. 10, г). Верхней ветвью таких петель всегда
является изотерма десорбции. Объясняется это, по-видимому, тем,
что гигрометрическое равновесие бетона наступает весьма медлен-
но, поэтому экспериментально наблюдаемое равновесие является
лишь кажущимся; с равновесным влагосодержанием в бетоне мень-
шим истинного в случае сорбции и большим истинного в процессе
десорбции.

Н

в
Н
ifH
*
"21

IS
in

W
л.

ic
Изотермы сорбции и десорбции бетона изучены слабо; для других
же родственных бетону материалов они исследованы лучше [56, 86,
187, 200]. Результаты этих исследований позволяют считать, что на

равновесную влажность бе-
тона влияние температуры в
области обычных положи-
тельных ее значений не вели-
ко1. При прочих равных усло-
виях равновесная влажность
бетона зависит от содержания
в нем геля, степени дисперс-
ности частиц и их адсорбци-
онной способности, пористо-
сти, а также ряда других
факторов.

По данным исследований
автора (рис. 10, в), в обычных
пределах положительных тем-
ператур уравнение десорбции
тяжелого бетона приближен-
но может быть представлено
в виде линейной зависимости
ф (ср) = (20+ 1,5ф) ЮЛ (И.8)
где ср — относительная влаж-
ность воздуха в про-
центах;

ф— равновесная весовая
относительная влаж-
ность бетона в г!г.

Рис. 10. Изотермы сорбции и десорб-

ции ряда строительных материалов

а—изотермы сорбции шлакобетона; 1—? =
= 1400 кг/м3, / = 20° С; 2 — ? = 920 кг/м3,
/ = 0°С; 3 — т = 920 кг/м3, / = 35° С; б—изо-
термы сорбции пенобетона; 4— v = 850 кг/м3,
/ = 20° С; 5 — т = 800 кг/м3-, / = 20° С; 6 — ? =
= 345 кг/м3-, / = 0	35° С; 7 — т = 660 кг/м3-,

/ = 20° с в—изотермы десорбции; 8—цементно-
песчаный раствор; 9 — бетон 1 : 2,1 : 4,9 В/Ц=
= 0,575 (данные автора); 10 — расчетная изо-
терма десорбции бетона; г—изотермы сорбции
и десорбции цементного камня; //—изотерма
десорбции; 12— изотерма сорбции

При решении нестацио-

нарных задач теории влаго-

проводности часто встречает-
ся случай укрытия грани тела
слоем влагоизоляции, ее роль,
например, может играть опа-
лубка. Влагообмен на такой
грани может быть оценен
при помощи некоторого услов-
ного коэффициента влагопе-

редачи а*Вв, величину которого,
можно находить по следующей

по аналогии с выражением (1.9),
приближенной формуле:

(V* —
'-Л/ив-----

ав анв
ав + $ванв

(П.9)

1 Это, например, следует из рис. 10, а, на котором изотермы сорбции
шлакобетона объемным весом 920 кг/м? при температурах 0 и 35° С мало
отличаются друг от друга.
Таким образом, при отыскании нестационарных влажностных
полей бетонных тел сложные граничные условия на их гидронзоли-
рованных гранях практически могут быть заменены граничными
условиями свободного влагообмена при некотором условном коэффи-
циенте влагопередачи а*нв, отыскиваемом по формуле (II.9) и яв-
ляющемся функцией толщины влагонзоляцни бв и ее влагозащит-
ных свойств, определяемых коэффициентами ав и аНЕ

Начальное условие определяет распределение относительной
влажности бетона по объему тела в некоторый момент времени, при-
нятый за начало отсчета. Оно может быть задано в виде некоторой
непрерывной функции координат точки

U = f(x,y,z) при / = 0.	(11.10)

И

i •
п.

$

Это соответствует ряду практических задач, с которыми прихо-
дится иметь дело в приложениях. Однако, имея-в виду изложенное
в конце § 1.2, мы будем пользоваться более простой формой началь-
ного условия, а именно

U = U0 = const при / = 0,	(Н-И)



где Uo — начальная влажность бетона.

Если В качестве начального момента времени t = 0 принят мо-
мент укладки бетона, то его начальная влажность Uo может быть
определена по формуле

i+п+щ

(11.12)

где В/Ц — водоцементное отношение, а П и Щ — весовые относи-
тельные части песка и щебня соответственно в бетонной смеси.

§ П.З. Влагофизические свойства бетона

В уравнениях теории влагопроводности бетона и решениях
ее задач кроме плотности у фигурируют еще коэффициент диффузии
влаги ав и коэффициент влагопередачи «ив.

Коэффициент диффузии влаги ав (м2/ч) представляет собой коли-
чество влаги (кг), протекающее через единицу площади (лг2) по-_

верхностн изовлаги (поверхности равной влажности) в единицу вре-
мени (ч) при единичном перепаде концентрации влаги (кг1м21м)
в бетоне.

Коэффициент влагопередачи с открытой поверхности в окружаю-
щую среду сснв (м/ч) численно равен количеству влаги (кг), отдавае-
мому влажным бетоном с единицы открытой поверхности (лг2) в еди-
ницу времени (ч), при единичном перепаде концентраций влажности
бетона: поверхностной и равновесной с окружающей средой (кг/мя).

Влагофизические свойства бетона практически не зависят от
химических реакций, сопровождающих процесс твердения бетона,
поэтому они мало подвержены влиянию возраста бетона. Другие
же особенности бетона в большей степени влияют на его влагофизиче-
ские свойства, которые в основном зависят от В/Ц, состава бе-
тонной смеси и влажности бетона.

Автором [12] по специальной методике, основанной на регуляр-
ном режиме сушки, было проведено экспериментальное изучение
влагофизических свойств бетона. В опытах было исследовано шесть
серий бетонных и растворных образцов. В пяти из них изучалось
влияние В/Ц и возраста бетона и раствора на их влагофизические
свойства. В шестой серии исследовалось влияние содержания це-
мента. Образцы этой серии были изготовлены из бетона трех со-

В/Ц

Рис. И. Зависимость ав, анв’и р
бетона и цементного раствора моло-
дого возраста от водоцементного
отношения

1 — бетой состава 1 : 2,1 : 4,9; 2—цемент-
ный раствор состава 1 . 2,1

ставов, в каждом из которых соотношение между весовыми ча-
стями заполнителей сохранялось неизменным, менялось лишь со-
держание цемента. В качестве вяжущего использовался портланд-
цемент активностью 475 кгс/см2. Результаты описанных опытов при-
ведены на рис. 11—13. Обобщая их, можно отметить следующее.

Коэффициент диффузии влаги в бетоне тем меньше, чем выше
водоцементное отношение. Так, при увеличении последнего на 86%
величина ав снижается на 9,5%. Величина же коэффициента влаго-
перехода анв, наоборот, существенно повышается с ростом В/Ц,
увеличиваясь в 4,3 раза при возрастании последнего в тех же пре-
делах (рис. 11).

Установленная зависимость влагофизических свойств бетона от
водоцементного отношения связана с тем, что характер пористости
бетона существенно меняется при изменении/?/Д. Бетоны на больших
В/Ц имеют более крупные поры и количество их больше, чем у бе-
тонов с малым В/Ц\ в то же время известно, что движение жидкости
по тонким смачиваемым капиллярам происходит быстрее, чем в слу-
чае толстых капилляров. По-видимому, на влагопередачу в бетонах
при больших В/Ц оказывает существенное влияние медленная диф-
фузия влаги в крупных порах, объединенных в капиллярные труб-
ки, не заполненные полностью жидкостью, стенки которых покрыты
пленочной водой. В этих условиях влагопередача в большей части
проходит за счет медленных процессов внутреннего испарения и
диффузии пара, тогда как в случае мелких пор, заполненных вла-
гой, она проходит быстрее в основном за счет миграции влаги.
У бетонных образцов с большим В/Ц поверхность, на которой про-
исходит влагообмен с внешней средой, имеет большие количество
и размеры открытых пор; она более «ноздревата» и, следовательно,
более развита. У таких бетонов влагоотдача происходит интенсив-
нее и коэффициент влагопередачи естественно выше.

Из изложенного следует, что с точки зрения опасности растре-
скивания от усадочных напряжений бетоны с большими водоцемент-
ными отношениями невыгодны. У них диффузия влаги замедленна
и влагоотдача с поверхности ускорена. Это приводит к более бы-
строму высыханию поверхностных слоев, развитию больших градиен-
тов влажности и, следовательно, усадочных напряжений.

Из рис. 11 видно, что коэффициент влагопередачи анв весьма
велик, следовательно, во влажном бетоне неизбежно быстрое высы-
хание поверхностных слоев, так часто приводящее к поверхностным
усадочным трещинам, вероятность появления которых тем выше,
чем выше относительный коэффициент влагопередачи р. Поскольку
при возрастанииВ/Ц прочность бетона снижается, а величина р повы-
шается, то у бетонов на больших В/Ц появление поверхностных уса-
дочных трещин при отсутствии ограничения высыхания неизбежно.

Существенное влияние на влагофизические свойства бетона
оказывает содержание цемента в нем. Так, с увеличением расхода
цемента от 275 до 375 кг/л? (на 36,5%) коэффициенты диффузии влаги
ав и влагопередачи jxHB возрастали в среднем соответственно на
31 и 80% (рис. 12). По-видимому, увеличение содержания цемента,
делая бетон более удобоукладываемым, уменьшает размеры и коли-
чество пор в нем, что, по аналогии с уменьшением В/Ц, повышает
способность бетона к влагообмену. В связи с тем, что изменения
анв при этом более существенны, бетоны с большим расходом цемента
быстрее высыхают с поверхности (величина относительного коэффи-
циента влагопередачи р у них больше) и, при прочих равных
условиях имеют более неравномерное распределение влажности,
следовательно, они менее выгодны с точки зрения величин усадочных
напряжений.

Описанные данные позволяют рекомендовать для определения ко-
эффициента диффузии влаги в бетоне с учетом весового водоцемент-
ного отношения и содержания цемента следующую эмпирическую
формулу:

св —6(1 —

где Ц — содержание цемента в кг/м3.

Ц—300

375

0,2В/Ц)^ 4

(11.13)
1в о,----------------------------------------------

/5(7 —-------------------------------------------q.

Содержание цемента в нг/м3

Рис, 12. Зависимость дв, анв и р бетона
молодого возраста от содержания цемента,
В/Ц = 0,64. Экспериментальные точки
(слева направо) соответствуют составу бе-
тона соответственно 1 : 2,1 : 4,9; 1 : 1,62 :
: 3,92 и 1 : 1,4 : 3,27

Примечание. Величины ав, анв и р даны
в процентах от их средних значений, соответствую-
щих содержанию цемента, равному 275 кг/м*
140

Возраст бетона В сутках к началу
испытания

Рис, 13. Зависимость ап и анв от возраста
бетона. Бетон состава 1 : 2,1 : 4,9

1 — В/Ц = 0,7; 2 — В/Ц = 0,&2; 3-В/Ц = 0,93

Примечание. Величины aR, даны в про-
центах от их средних значений, соответствующих на-
чалу высыхания образцов в возрасте 2 суток
С увеличением возраста бетона коэффициент диффузии влаги ав
и коэффициент влагоперехода схнв снижаются (рис. 13), поэтому,
процессы влагопередачи и влагообмена с внешней средой у старо-
го бетона протекают медленнее, чем у бетона в раннем возрасте.

Интересно также отметить, что в то время как повышение тем-
пературы бетона снижает коэффициент диффузии тепла, приводя
к замедлению теплообмена, увеличение его влажности, повышает
коэффициент диффузии влаги и ведет к ускорению влагообмена. Такое
различие во влиянии температуры на теплообмен и влажности на
влагообмен в бетоне связано с различием физических картин тепло-
и влагообмена. В то время как теплообмен происходит молекуляр-
ным путем, т. е. главным образом за счет кондуктивной составляю-
щей теплового потока, влагообмен связан с переносом массы по-
глощенного вещества в виде жидкости или пара.

При расчете распределения влажности в бетоне обычно исходят
из некоторых средних значений ав и аив, назначаемых по спра-
вочным или экспериментальным данным. Например, в СНиП
П-И. 14-69 [139] на основе описанных опытов автора включены сле-
дующие средние значения этих коэффициентов:

ав = 5-10“6 м2/ч; аив = -2-10~4 м/ч.	(П.14)

§ II.4. Аналитическое выражение для скорости гидратации,
зависящей от температуры процесса

При нормальных условиях твердения бетона непрерывно про-
исходит процесс гидратации содержащегося в нем цемента, сопро-
вождающийся химическим связыванием воды. В результате этого
определенное количество воды затворения активно участвует в фор-
мировании новообразований в бетоне и прочно связывается в виде
точных соотношений определенных кристаллогидратов. Связываемая
таким образом вода в силу огромной энергии подобной связи в даль-
нейшем уже не участвует во влагопередаче в бетоне, поэтому этот
процесс следует рассматривать как непрерывный сток влаги, рас-
пределенный по его объему, с определенной интенсивностью во
времени.

Количество воды, химически связываемой различными минера-
лами клинкера, а также цементами разных минералогических соста-
вов, изучалось в ряде работ [47, 73, 129, 1991. На основании этих
исследовании можно считать, что в среднем количество связываемой
портландцементом воды в долях его сухого веса равно 15% в месяч-
ном возрасте бетона, 20% к 3-месячному возрасту и 25—30% к кон-
цу его твердения.

Как и всякая химическая реакция, процесс гидратации будет
существенно зависеть от температуры; следовательно, интенсивность
стока влаги в бетоне самым тесным образом связана с полем темпера-
туры в нем. Поэтому нашей задачей является вывод аналитического
выражения для скорости гидратации, зависящий от температуры
процесса.

Так как химическое связывание воды в бетоне является непо-
средственным следствием экзотермической реакции гидратации
цемента, то естественно предположить прямую пропорциональность
количества связываемой воды количеству выделившегося тепла при
его твердении

И (/) = КЦЭ (О,	(П.15)

где Я (/) (кг/м3) — так называемая функция гидратации бетона,
входящая в уравнение влагопроводности (11.2) и определяющая собой
количество (кг) химически связываемой влаги при гидратации цемен-
та в единице объема бетона (м3)-, Э (!) (ккал/кг) — количество тепла
(ккал), выделяемое одной весовой единицей цемента (кг) к тому же
моменту времени при его гидратации в бетоне; Ц (кг/м?) — содер-
жание цемента; /< (кг/кг/ккал/кг) — коэффициент пропорциональ-
ности.

Коэффициент /< физически представляет собой количество хими-
чески связываемой воды (кг) одной весовой единицей цемента (кг) при
ее частичной гидратации в бетоне, во время которой выделяется
1 ккал тепла.

Указанное предположение высказывалось и ранее рядом иссле-
дователей. В частности, Г. Д. Вишневецкий [561 для сопоставления
кинетики экзотермни нормального (по классификации С. Д. Око-
рокова [140]) портландцемента с кинетикой химического связыва-
ния воды при его гидратации составил специальную таблицу теп-
ловыделения и содержания прочно связанной воды к различным
срокам твердения портландцемента примерно следующего минерало-
гического состава: 60% C3S + 15% C2S + 15% С3А + 10%C4AF.

Эти данные, полученные обработкой результатов опытов
В. А. Кинда, С. Д. Окорокова, С. Л. Вольфсона [96] и более поздних
опытов С. Д. Окорокова, воспроизведены во втором и третьем столб-
цах табл. 20. В двух других столбцах этой таблицы на их основе
подсчитаны значения коэффициента К для указанного цемента и вы-
писаны их отклонения от соответствующего среднего значения.

Как следует из табл. 20, зависимость (11.15) в общем хорошо
подтверждается опытом. Для ряда американских портландцемен-
тов она подтверждается также данными Т. Пауэрса и Т. Брауняр-
да [240]. Правда, значения К в табл. 20, подсчитанные для бетона
3-месячного — годичного возраста, несколько выше, чем для моло-
дого бетона. Это объясняется, по-видимому, неодинаковым характе-
ром ошибок измерений в опытах U (t) и Э (t).

Величины U (t) , как известно, определяются весьма точно мето-
дом количественного анализа. Тепловыделение же Э (t) определяет-
ся калориметрическим способом с неизбежными ошибками измере-
ний за счет труднооцениваемых теплопотерь, тем большими, чем
больше продолжительность опыта. Это обстоятельство, по-видпмо-
му, и приводит к вероятно кажущемуся увеличению коэффициента
Таблица 20  Значения коэффициента К для нормального портландцемента				
Возраст бетона t	Тепловыделение Э (/) в ккал/кг	Количество прочно связанной воды U (t) в кг/кг	U (О  К •  кг (кг  ,	10>  ккал/кг	Отклонение в % от среднего значения
3 дня  7 дней  28 дней	79,59  96,03  106,8	0,092  0,116  0,147	0,116  0,121  0,138	—7  —3  +ю
	Среднее ....			 0,125	
3 мес.  ।	6 мес  1 год	114,78  121,1  126,4	0,175  0,188  0,198	0,153 0,155 0,157	—1  0 +1
	Среднее ....			 0,155	

к?

К. с возрастом бетона. Таким образом, для обычных нормальных
портландцементов среднее значение этого коэффициента может быть
принято равным:

/С = 0,125-10~2— /кг .	(11.16)

ккал/кг

Скорость химического связывания воды в бетоне на основании
выражения (11.15) будет равна:

а/7(/) =	(П.17)

dt	dt

мма

Следовательно, в твердеющем бетоне мы будем иметь сток влаги
с интенсивностью

^(0=--(П.18)
dt	dt

В § 1.5 было найдено хорошо согласующееся с опытом аналити-
ческое выражение (1.42) для скорости экзотермнн • С учетом
этого выражения и формул (1.44) и (1.24) формула (11.18) может быть
переписана следующим образом:

(/) = ~ = (0 Ф (°- (IL 19)

Мы получили таким образом выражение для интенсивности
стока влаги в твердеющем бетоне, устанавливающее ее зависимость
от температуры процесса, которым и будем пользоваться в дальней-
шем.

Я
в
IjS

1П

Ц
ata
Выражение (11.19) обладает очень важным достоинством: оно
позволяет получать решения сложнейших задач теории влагопро-
водности аналитическим методом даже в самых общих случаях
двух- и трехмерных по координатам задач с переменными во вре-
мени граничными условиями. Это показано в § II.5—11.10.

§ II.5. Уравнение влагопроводности при стоке влаги,
зависящем от температуры. Упрощение и метод
решения задачи теории влагопроводности

Внося (11.19) в выражение (II.2), мы приходим к следующему
уравнению баланса влаги в элементарном объеме бетона:

—=a^U—Кссо(/)|Ф,	(Н.20)

dt

где Ф — его температура, а остальные величины имеют физический
смысл, указанный в § 1.5, II. 1. Это уравнение представляет собой
уравнение влагопроводности со стоком влаги, зависящим от темпе-
ратуры бетона.

В соответствии с изложенным выше задача теории влагопровод-
ности при стоке влаги, зависящем от температуры, ставится сле-
дующим образом.

Требуется отыскать влажность бетона U (к, у, z, f), удовлетво-
ряющую дифференциальному уравнению влагопроводности со сто-
ком влаги, зависящим от температуры!

— = a„V*U—Ксы(Г)Ф	(П.21)

v	dt

при заданных граничных условиях, например, условиях вида:

— р [U—ф (01 = 0 на поверхности, (11.22)
dv

соответствующих наиболее общему случаю свободного влагообмена,
и начальном условии

U = U0 при / = 0;	(11.23)

функции ю (0, Ф (х, у, z, t), ф (0 и начальная влажность Uo —
заданы.

Уравнения (11.21)—(11.23) похожи на соответствующие урав-
нения (1.46)—(1.48) теории теплопроводности при источнике тепла,
зависящем от температуры, поэтому применим для их решения
метод, аналогичный методу дополнительных фиктивных источников.
Этот метод мы будем называть методом дополнитель-
ного фиктивного стока.

Введем в рассмотрение некоторый распределенный по объему
тела дополнительный фиктивный сток влаги, зависящий от коор-
динат точки и времени, с интенсивностью

(П.24)

О1

где иг — пока произвольная функция. Рассмотрим теперь исход-
ную задачу (11.21)—(11.23) для некоторой функции влажности U2
при наличии этого дополнительного стока (11.24), однородных
граничных условиях вида (11.26) и произвольном пока началь-
ном условии (11.27). Основные уравнения этой вспомогательной
задачи будут иметь вид:

= a^4J2-Kca (/) Ф ;	(11.25)

-^- + pt/2 = O на поверхности;	(11.26)

U2 = U0~{/,(0) при t = 0.	(11.27)

В этих уравнениях функцию Ur следует рассматривать как пока
еще произвольную, но заданную. Подберем теперь эту функцию
таким образом, чтобы решение U2 задачи (11.25)—(11.27), будучи
сложенным с иг, дало бы нам общее решение U исходной задачи
теории влагопроводности (11.21)—(11.23) с первоначальным задан-
ным действительным стоком влаги, зависящим от температуры.
Иными словами, подчиним функцию условию

иг-\-и2 = и.	(11.28)

Внося (11.28) в уравнения (11.21)—(11.23) для функции Ult
с учетом (11.25)—(11.27) получаем следующие уравнения:

V2t71 = 0;	(11.29)

dU1 +р[6\—ф (01 = 0 на поверхности. (11.30)
- dv

Таким образом, функция Ux должна быть решением третьей
или смешанной граничной задачи эллиптического типа с граничными
условиями (11.30), в которых время t рассматривается как параметр,
а ф (/) — равновесная влажность бетона, в общем случае различная
на отдельных участках поверхности, ограничивающей тело.

Как показано в §1.10, 1.11, общее решение уравнения вида
(11.29) всегда может быть выражено через гармонические функции
с коэффициентами (произвольными постоянными интегрирования),
зависящими от времени t. Распоряжаясь этими коэффициентами
должным образом, можно удовлетворить и граничному условию
(11.30), тем самым указанная краевая задача будет решена, а функ-
ция иг однозначно определена.

Вспомогательную задачу, определяемую уравнениями (11.29)—
(11.30), назовем первой основной задачей теории вла-
гопроводности при стоке влаги, зависящем от температуры. Ее

и
и
в



Е
3J

S.

3
3

«I

Wl

-I
'Я

Й»

•К
41
решение — функция — будет определять собой влажностный
режим тела в условиях свободного влагообмепа с внешней средой
при переменной равновесной влажности ф (/) и при наличии распре-
деленного по его объему стока влаги интенсивностью

(П-31)

ot

описываемый гармоническими функциями координат точки с коэф-
фициентами в виде постоянных интегрирования, зависящих от
времени t. Такой влажностный режим мы будем называть обобщен-
ным квазистационарным влажностным режимом. Таким образом,
первая основная задача теории влагопроводности — есть задача
об обобщенном квазистационарном влажностном режиме.

Вторую вспомогательную задачу с однородными граничными
условиями, определяемую уравнениями (П.25)—(П.27), мы будем
называть второй основной задачей теории влаго-
проводности при стоке влаги, зависящем от температуры. Эта за-
дача будет определять собой влажностный режим тела, находяще-
гося в условиях свободного влагообмена со средой при нулевой рав-
новесной влажности, имевшего начальную влажность Uo —	(0),

и при распределенном по его объему стоке влаги, зависящем от
температуры, интенсивностью

i = - У [Кео (/) Ф	-	(П.32)

Решение этой задачи также может быть всегда найдено анали-
тическим методом с применением обычных приемов классической
теории влагопроводности.

Итак мы видим, что предлагаемый метод дополнительного фик-
тивного стока обладает рядом преимуществ. Во-первых, этот метод
позволяет свести сложную задачу теории влагопроводности при
стоке влаги, зависящем от температуры, к двум более простым вспо-
могательным задачам. Во-вторых, метод дополнительного фиктив-
ного стока, основанный на рассмотрении обобщенного квазистацио-
нарного влажностного режима, даже в самом общем случае неста-
ционарных граничных условий, не требует привлечения теоремы
Дюамеля и поэтому свободен в значительной своей части от недо-
статков, основанных на применении классических методов решения
задач теории влагопроводности, связанных с плохой сходимостью
этих решений. Для эффективной теории влагопроводности это обстоя-
тельство особенно существенно, поскольку сходимость ее решений
зависит от величин коэффициентов сгъ и анв. Так как эти величины
значительно меньше величин коэффициентов ат и сснт, то сходи-
мость решений задач теории влагопроводности также значительно
хуже, чем соответствующих решений задач теории теплопроводности.

Как будет показано ниже, решение первой основной задачи
в большом числе практически важных случаев удается найти в зам-
кнутом виде, что существенно улучшает сходимость решения всей
задачи теории влагопроводности в целом.
Улучшение сходимости решений, достигаемое в методе допол-
нительного фиктивного стока, весьма существенно также для задач
о влажностных напряжениях в неравномерно высыхаемых телах.
Как известно, в основные уравнения этих задач входят производ-
ные от влажности бетона по координатам точки (см. главу V), а при
дифференцировании выражений, аналогичных (1.72) и (1.97), их
сходимость ухудшается. Поэтому важно с самого начала получить
улучшенную сходимость решений задач теории влагопроводности,
Это и достигается в методе дополнительного фиктивного стока.

При наличии готовых решений первой и второй основных за-
дач по формуле (11.28) всегда может быть составлено общее решение
задачи теории влагопроводности при стоке влаги, зависящем от
температуры, определяющее собой поле влажности при этих усло-
виях. Ниже рассматриваются аналитические методы решения этих
вспомогательных задач.

§ II.6.	Первая основная задача теории влагопроводности.
Случай замкнутого решения

Сопоставляя уравнения (11.29)—(II.30) с уравнениями (1.109)—
(1.110), мы видим, что с точностью до обозначений они вполне тож-
дественны. Поэтому, для того чтобы получить решения уравнений
(11.29)—(11.30), достаточно в решениях уравнений (1.109)—(1.110),
определяемых формулами (1.115), (1.117), (1.119), (1.122), (1.124),
(1.127), (1.128), (1.130), (1.133) и (1.135)—(I-138), заменить Фг
на и1г h на р и ср (f) на ф (/). Сделав это, будем иметь следующие
формулы.

При одномерном потоке влаги вдоль оси Ох через плиту толщи-
ной 2х0, имеющую неограниченные размеры в двух других на-
правлениях,

Xq

(11.33)

причем:

а) при граничных условиях

[дх

при х = —х0;

при х=х0;

(11.34)

р-+р2[^1-ф2(О1 = о
Ох

(0=^(0+

Р1 хо

в . Р1Р2хо[ф8(0—^1(0].

Pi + 2pi р» х0 ф- р2

(11.35)
б) при граничных условиях

		P11U1—Ф1(0] = 0 при х- ох		— XQ\	(11.36)
С/1 = Ф2(О	ПРИ Х		х0\	
в1(/)=ф1(0+-!±£^-в2(0;  Р1*0  в = Р1*о[Фа(Л — Ф1(А] .  1 ф- 2pi х0			(11.37)
в) при граничных условиях			
—Pi [^i—Фх (01 = 0 при [х		—х0-,	
dUi п  ~i- — Q	при х		Хо,	(П.38)
а также при  С^1 = Ф1(0 при х=—х0;			
дУг А  —J = 0	при х — х0;  дх			(11.39)
в2(/)=0; ^(0 = ^(0;			(11.40)
г) при граничных условиях			
6\=Ф1(0 при х =—х0; ^1 —Фг(О ПРИ Х = ХО',			(П.41)

£2(0=ybM0-W)L (П.42)

Таким же путем могут быть получены и формулы для случая
одномерного потока влаги вдоль радиуса г цилиндра.

В случае сплошного цилиндра, а также во всех случаях твердых
тел, у которых вся поверхность поддерживается при заданной влаж-
ности бетона ф (/) или у которых на всей поверхности происходит
влагообмен со средой, температуре и влажности которой соответст-
вует равновесная влажность бетона ф> (/)

<Л(0=Ф(0-

(11.43)

§ 11.7.	Первая основная задача теории влагопроводности.

Обобщенный квазистационарный влажностный режим
прямоугольной призмы. Случай незамкнутого решения

В более сложных задачах о двух- и трехмерных потоках влаги
в телах, грани которых поддерживаются при различных влажно-
стях или на гранях которых происходит свободный влагообмен со
средой, температуре и влажности которой соответствуют различные
равновесные влажности материала на отдельных гранях, решение
первой основной задачи теории влагопроводности удается найти
лишь в незамкнутом виде. Ниже приводится такое решение для пря-
моугольной призмы неограниченной длины с размерами попереч-
ного сечения 2х0 X 2г/0 с попарно симметричными граничными усло-
виями на противоположных гранях. Рассматриваемая задача встре-
чается при расчете распределения влажности бетона по сечению длин-
ных призматических стержней (колонн, балок, элементов рам, столб-
чатых бетонных блоков и т. п.). Исходные уравнения этой задачи
имеют вид:

W_+^L=0;	(11.44)

дх2 ду2

д~~^1(01 = 0 ПРИ х=—х0:
дх

d^+PilUi— Ф1(01 =0 при х = х0;

ди	(ПЛ5)

у2—	— ^2(01= 0 при у=~уо-,

ду

+	Фг(01 = 0 при у=у0.

ду

Сравнивая эти уравнения с уравнениями (1.139), (1.140) первой
основной задачи теории теплопроводности для рассматриваемой
призмы, устанавливаем их полное тождество с точностью до обоз-
начений. Поэтому решение нашей задачи мы найдем в готовом виде,
заменив в формулах (1.141)—(1.150) Фг на L/b ht на pt, <р{ (/) на
ф, (/), т на k, п на s и считая ссА и 0S положительными корнями урав-
нений:

ctgax0= — ; ctg0z/o=-^-.	(11.46)

Pi	Рг

Учтя изложенное, мы не будем выписывать общего решения
рассматриваемой задачи. При желании оно может быть всегда полу-
чено с помощью указанных выше последовательных замен.

£

I
в
л!

if

। ta
я
Ji

I й

§ 11.8.	Вторая основная задача теории влагопроводности.
Одномерный поток влаги в плите

Рассмотрим вторую основную задачу теории влагопроводности
при стоке влаги, зависящем от температуры, в случае одномерного
потока влаги вдоль оси Ох через плиту толщиной 2хо, имеющую
неограниченные размеры в двух других направлениях. Решение
первой основной задачи для этого случая мы нашли в §11.6 в фор-
ме (11.33) и (II.35), поэтому исходные уравнения рассматриваемой
задачи имеют вид:
Ксю(/)Ф-в[(/)-В2(0—;	(п-47)

дх2	х0

—----p!U, = O при х = —Xq,

дх

dUо . г,	„

-^+Р2^2 =0 при х = х0;

дх

t/2-t/o-B1(O)-B2(O)— при * = 0.
х0

Выражение

i(x, t) =	(О—

(11.48)

(11.49)

(11.50)

в уравнении (11.47) может рассматриваться как дополнительный
фиктивный сток влаги, зависящий от времени t и координаты точ-
ки х.

В формулах (11.47) и (11.49) функции со (/), Вх (/) и В2 (/) зада-
ны и определены выражениями (1.44) и (11.35), а температура
Ф (х, /) предполагается уже найденной. При этих условиях уравнение
(11.47) будет представлять собой уравнение диффузии с известной
правой частью в виде заданной функции координат точки тела
и времени. Метод интегрирования таких уравнений предложен в ра-
ботах автора [3, 4]. Применим этот метод для решения расе |атривае-
мой задачи.

В связи с однородностью граничных условий (11.48) общий инте-
грал уравнения (П.47) будем искать в виде ряда по фундаменталь-
ным функциям (1.71):

k— ОО

U<2 = У Tk (/)(cosafex-!-Eftsin akx),	(11.51)

k= i

тогда граничные условия задачи (II.48) будут автоматически удов-
летворены, если — положительные корни уравнения (1.69) при
= р! И Л2 = р2.

Внося (11.51) в (П.47) и учитывая разложения в области
—х <1 х х0:

k= ОО

1— У Pk(cosakx-[- Eftsinafex);	(11.52)

k= 1

£ = оо

x= У Qft(cosaftx-|-£/{sinaftx)	(11.53)

k= 1

и

Ф (%,/) = У S^^^os^x + s^sina^x), (11.54)
k = 1	•
где

Ph = 7-----г?-------4sino;fc*° -------— 	(H .55)

(1 -hel) 2ah хоф (1— el)sin2aftx0

Q _	4e/1(sinafex„—afex0cosafex0)	(11.56)

ah 1(1 +• el) 2aft x0 + (1 — el) sin 2afe x0]

X„

J Ф (x, t) (cos ah x^ б* sin ak x) dx

S =	;	(11.57)

Xp	9

J (cos ak х-ф- eh sin ah x)2 dx

Xq

eh =----------P12ZP2--------,	(П.58)

(Pi -ф-рг) tg akxQ

для Th (f) получаем следующее обыкновенное дифференциальное
уравнение

П(/) + авсс17\(0 = —	+	(П.59)

Общий интеграл этого уравнения, удовлетворяющий начальному
условию (11.49), равен:

t

Th{t)=^UоPhе a^k‘ — (0 + J [ав«1 Xfc(|)—

о

~Кс^ (g)J	(Н.60)

где

(Н.61)
Q	С« Хо

При этих условиях выражение (11.51) удовлетворяет всем урав-
нениям задачи (11.47)—(11.49) и поэтому является ее общим реше-
нием.

При Pi = р2 = р решение (11.51) принимает вид:

U2= 3 Th(f) cos ccfex,	(11.62)

1

где Th (/) по-прежнему находится по формуле (11.60), в которой

Ph =-----4sinaftxo--.

2aft x0^.sin 2a& x0

Xftr(0 = B1(0Pfc)	(11.64)

a ak — положительные корни первого из уравнений (11.46).
Подстановкой

ak = —	(11.65)

формула (11.63) приводится к виду:

г-	(П.бб)

gA+singA COS gft

В силу уравнений (11.46) постоянные Рк, определяемые по фор-
муле (IT.66), зависят только от рх0 и номера k характеристического
числа и поэтому могут быть протабулированы в зависимости от
этих величин. В табл. 6 даны первые три значения этих постоянных
при h = Р И рт = Pk-

Наконец, устремляя в выражении (11.62) р -> оо, получим реше-
ние второй основной задачи, соответствующее случаю, когда грани
плиты поддерживаются при заданных влажности х фг (/) и ф2 (0:

fe = oo

i/2 = 2 (—,	(П.67)

Л=0

в котором Th (/), Xfe (О и Рь определяются по формулам (11.60),
(11.61) и (11.55) при

(2fe^_i)n	(И.68)

h 2х0

a Bt (/) отыскивается по выражению (11.42).

Представляет интерес также случай, когда грань плиты х = —х0
поддерживается при влажности ф2 (/), а на грани х = х0 происхо-
дит влагообмен со средой, температуре и влажности которой соот-
ветствует равновесная влажность бетона ф^ (/). Решение рассматри-
ваемой задачи при этом определяется формулами (11.51), (11.55)—
(11.57), (11.60) и (11.61) при

eft = ctgaftx0,	(11.69)

в которых ah — положительные корни уравнения

ctg 2ах0 = —.	(11.70)

Подстановкой

i“=£	<п-7|>

уравнение (И.70) приводится к виду:

ctg?=-^.	(11.72)

Три первых корня этого уравнения даны в табл. 7 при h = р.
В заключение отметим, что в связи с тем, что функции со (^)
и Sk (£) предполагаются уже найденными при расчете температуры
Ф (х, t), интеграл

№fco(g)Sft(?)eaBa^^,
о

(11.73)

входящий в формулу (11.60), проще всего вычислять с помощью
планиметра по графику подынтегрального выражения или анали-
тически, но после аппроксимации последнего простейшими легко
интегрируемыми функциями.

§ 11.9. Вторая основная задача теории влагопроводности.
Двухмерный поток влаги в прямоугольной призме

Рассмотрим теперь вторую основную задачу теории влагопровод-
ности при стоке влаги, зависящем от температуры, для прямоуголь-
ной призмы, исследованной в § II.7. Исходные уравнения этой за-
дачи имеют вид:

dU2 (d2U2 . d2U2\	„	... - dUi

~=aj, -----Ч----- —Ксю (t) Ф------- ;

dt в \ dx2 dy2 J k	dt

dU2	1

—Pi и2 = о при х= — %0;

—z + p1(/2 = o при х = х0;

дх	I

dl/2 ,, Л

—p2U2 = 0 при у=— Уо,
dy "

^+p2f/2 = 0 при у = у0-,
ду	J

(П.74)

(11.75)

f/2 = t/0—(7Д0) при t = Q,	(11.76)

где иг — решение первой основной задачи для нашей призмы,
найденное нами в §11.7.

Следуя методике, изложенной в § II.8, функцию U2 будем искать
в виде двойного ряда

U2= 2i S тfes (/) cosahxcos ps у.	(П.77)

fc=l s=l

Выбирая при этом в качестве ак и |3S положительные корни урав-
нений (11.46), мы удовлетворим автоматически граничным усло-
виям задачи (11.75). Вид функции Tks (0 найдем из уравнения (11.74),
внеся туда (11.77) и учитывая разложения в области —х0 Ч х х0',
—Уо С У < Уо'
	Ux = s 2j As (0 COS cos ₽st/;	(11.78)  *=1 S=1  Ф= Ё 2 Dks (t) cos ak xcos ₽sУ,	(11.79)  4=1S=1  1 =	2 C^cosa^cospj,	(11.80)  fe=l S=1
где	Po  2Qft(0 f cos ps у ch ak у dy  АЛО- Г	+  J cos2 ps ydy  —Уо xtt 2NS (0 f cos cck xch ps xdx  +	rj	;	(11.81)  f cos2 xdx  —x0  Xq Уо  J 1 Ф (x, y, t) cos ak xcos ps у dxdy  ^hs (0=	-y	;	(IL82)  ( cos2 ak x dx | cos2 ps ydy Xq	Уо  Хо	Уо  j cos ah x dx f cos ps у dy cks =-	.	(11-83)  | cos2 ak xdx | cos2 ps у dy —x„	—yB

а функции Qk (/), Ns (/) определяются по формулам (1.142) и (1.143)
при замене в них т на k, п на s, h-L на pt, на ф,(0 и при
ah и [3S, являющимися корнями уравнений (11.46). Сделав это,
для 7\s будем иметь уравнение

	T'ks(t) + (aHPDTks(t)= ~Kc^(t)Dhs(t)-Aks Ю, (11.84)

общий интеграл которого, удовлетворяющий начальному условию
(11.76), равен:

Ти (0 = U„ Ск. е~"‘ <“»+“>' - 4. (О +

+ J [О. («I + К)	(?) - Кеш ©	©1	(П.85)

При этих условиях выражение (11.77) удовлетворяет всем урав-
нениям задачи (11.74)—(11.76) и, таким образом, является ее общим
решением. При возрастании чисел k и s коэффициенты Ahs (t), Chs,
определяемые по формулам (11.81) и (11.83), быстро убывают, вслед-
ствие чего ряды в решениях (11.77) и (11.78) быстро сходятся, по-
этому эти решения удобны для практических приложений. Пола-
гая в формулах (11.77) и (11.78) рг = р2 — р, фг (t) = ф2 (/) =
= ф(() и устремляя р->оо, мы получим решение рассмотренной
задачи для случая, когда поверхность тела поддерживается при
влажности бетона ф (/):

U2 = kS°SThs (t) cos(2s+1)3T- cos (2s+1)ny ,	(11.86)

k=o s=o	2x0	2t/0

в котором 7\s (О по-прежнему определяется по формуле (11.85) при

h 2xo

s

(_ l)<fe + s> 16
(2Лф-1) (2s+ 1) л2

__ (2 s-ф- 1) л
2r/0

(11.87)

(11.88)



§ 11.10. Пример расчета распределения влажности
в массивной бетонной плите

Найдем распределение влажности в бетонной плите, рассмотрен-
ной в § 1.16, к текущему моменту времени t с учетом стока влаги.
Бетон марки 200 состава (по весу) 1:2, 1 : 4,53, В1Ц = 0,5. Для
простоты рассмотрим случай, когда температура внешней среды
Ф (/) и равновесная влажность бетона ф (/) постоянны и равны со-
ответственно:

ф(0=Фср = 6°; ф(0 = фСр= 1,25-10-2 а/а, (11.89)

Распределение температуры Ф (х, /) по толщине плиты, соот-
ветствующее этому случаю, мы найдем, положив всюду в примере
§ 1.16 А5 = 0. При этом мы будем иметь

Ф(х,Ц = Фср + Т®Р(х),	(П.90)

где

т (0 = Х1 (0 [+ А2 х2 (0 + А3 х3 (01 -Р^ср, (П.91)

Л =	(П.92)

ат а2

а остальные величины определяются по формулам (11.89), (I.2I4),
(1.216)—(1.218), (1.221) и (1.226).

Учтя, что А2 =	— 19-96-103+6,67-103 = 149, 583 X

9	*	4,509-10 3

X 103 град2-ч и полагая в формуле (1.215) и табл. 16 Д4 = А5 =
= Ав = 0, по формуле (П.91) найдем Т (/), соответствующее рас-
сматриваемому случаю (табл. 21).
Значения функции Т (/) для различных моментов времени t

t, ч	Л,х£ (О IO"8, град1ч	А Ха (О 1о“3, град1- ч	[Л,+Л2хг(/)+ +Л,ХаО>]10-3, град1- ч	т (/)+₽Фср, град	Т (/), град
0	149,583	—6,67	162,873	17,59	10,546
24	134,177	—2,875	151,262	27,067	20,032
42	123,766	—1,529	142,197	32,99	25,946
60	144,133	—0,814	133,279	36,785	29,741
84	102,42	—0,351	122,029	38,439	31,395
120	87,058	—0,0994	106,918	36,459	29,415
144	78,083	—0,0428	98	34,104	27,06
168	70,125	—0,018	90,067	31,614	24,57
360	29,513	0	49,473	17,464	10,42
720	5,819	0	25,779	9,1	2,056
1080	1,137	0	21,097	7,447	0,403
1440	0,224	0	20,184	7,125	0,081
2400	0	0	19,96	7,044	0

Распределение влажности в плите на основании формул (11.28),
(11.43), (11.51) и (11.60) и ограничиваясь первым членом ряда, най-
дем в следующем виде:

<7(х,0=ФсР+#(0<3(Д	(П-93)

где

G (%) = cos + v sin рх;

(11.94)

Н (0 = Х8 (0 [<7 (Ц» — Фер) — Кс J(0 ;

о

«(0=А Х1(/)Х3 (0; S (0 = а8 [Л9+Л10Т (01;	(11.96)

Х7(0 = W(Z)^,	(11.97)

Хе (О

ар — первый положительный корень уравнения

tg2p%0=	(Ц.98)

Р2 —Р1Р2

Входящие сюда величины равны:

В • у — ------------------- 

2Р Ф (Р1Ф Рг) 1g Рхо

я   Йбцр (®пр—®о) .

^7 ~	—	2	>

рат а.

______________2₽____________.

(l^v2) 2рх04-(1—v2)sin2p%0 ’

(11.99)

(II. 100)

(II. 101)
Л=2Ф s.np,..
р

Ao = lj“sin(a—Р)^о +~vsin(a+P)%0;	(П.103)

ОС— р	ОС’ГР

^ = -8^Пр-°-	(11.104)

2р

Принимая для опалубки

ав = 6-10-6 м2/ч; анв = 2-10-4 м/ч; 6В = 0,04 м (11.105)
и для бетона

ав = 5- IO"6 м2/ч; анв = 2-10-4 м/ч, (11.106)

по формуле (II.9) находим для грани плиты, укрытой опалубкой:

6- If)-6-2-10“4

= — ю---------------= 0,857 • 10-4 м/ч. (II. 107)

6-10-6 + 0,04.2-10~4	'

Следовательно [формула (II.5)]:

0,857-10-4	17	,	2-Ю-4	. /тт

Pi = -4-------= 17,14м-1; р2 =---------= 40м~1. (11.108)

5-Ю-6	.5-10-е	1	>

Внося (11.108) в уравнение (11.98) и решая его методом подбора,
находим:

01 = 1,1815 м-1.	(11.109)

Подстановка этого значения 0 в уравнение (11.98) для проверки
дает нам

1 1815) ^^815(17,4 + 40^
v	1,18152—17,14-40

т. е. 0,9865 = 0,9867 (ошибка 0,02%).

Таким образом,

02 = 1,3959 м~\ 20 = 2,363 м~2; а—0 = 0,0445 м"1;
а + 0 = 2,4075 м-1;

tg0xo = 2,4377; sin'0xo = 0,9252; cos 0хо = 0,3795;
sin 20хо = 0,7023; sin (а—0)xo = 0,04485; sin (а+ 0)хо = 0,6699.

Теперь находим:

17,14—40
v =------------------------

2,363 + (17,14 + 40) 2,4377

— 1614;

Л 35,055.10-3(48,96—15) оо. О71	,

А, = —-------------—--------- = 224,871 град-,

5,294-Ю-з

Л	2, 363	Л !

А =-------------------------------------= 0,76 м-1;

8	(1 + 0,16142)2,363 + (1—0.16142) 0,9252
л	2,6-0.9252	Q Qnc ,

Aq — —-----------= 9,396 град  м;

9	1,1815

л (|+0_.^.1614)	(1-0,245-0,1614)

0	0,0445	2,4075

Начальную влажность бетона найдем по формуле (11.12):
t/0 =----------------°’5 с =6,55-10-2 г/г.

1^2,1^4,53

Далее (табл. 22) вычисляем функции ув (/),о> (/), S (/) и %7 (/).
На рис.' 14 построен график функции х7 (/), а в табл. 22 на
t

его основе с помощью планиметра вычислены площади f %7 (fydt.
‘о
Таблица 22
t

Значения функций Хе(£) (/), « (0< 5 (О» Х7 (0 и J Z, (t) dt
о

для различных моментов времени

а*	С) о  со.  CQ Q	%« (0	Xi (0 %з(0х хю«, (ч-град)-1	ш (/) 10’, «-1	Лю Т (/), град-м	(О» град»м	S (0 , град	%7 (П-Ю’, град/ч	/  ) %, (0 dt, '0 град
0	0	1	108	24,315	13,857	23,253	17,672	429,695	0
24	0,0167	0,9998	77,149	17,349	26,322	35,718	27,146	471,056	10,824
42	0,0293	0,9997	53,198	11,963	34,093	43,489	33,052	395,52	18,211
60	0,0419	0,9996	33,688	7,575	39,08	48,476	36,842	279,189	24,997
84	0,0586	0,9994	16,575	3,727	41,253	50,649	38,493	143,55	29,669
120	0,0837	0,9992	5,081	1,143	38,651	48,047	36,516	41,771	32,369
144	0,1005	0,999	2,234	0,502	35,557	44,953	34,164	17,167	32,989
168	0,1173	0,9988	0,972	0,219	32,285	41,681	31,678	6,946	33,639
360	0,2512	0,9975	0	0	13,692	23,088	17,546	0	33,639
720	0,5025	0,995	0	0	2,702	12,098	9,194	0	33,639

Таблица 23

Значения функции Н (/) для различных моментов времени t

Фср)=1,191 (6,55—1,25) 10-2=63,123 10~s a/a
№=0,125 10-3.0,23=0,2875-10-3 кг/град

t, Ч	t  Кс f б	X, (0 dt- 10»,г/г	1 ? ("—%р)~		ЖО -Ю», г/г
			t  0	х, (/) di] 10’, г/г	
0		0		63,123	63,123
24		3,112		60,011	59,999
42		5,236		57,887	57,87
60		7,187		55,936	55,914
84		8,53		54,593	56,56
120		9,306		53,817	53,774
144		9,484		53,639	53,585
168		9,671		53,452	53,388
360		9,723		53,4	53,266
720		9,812		53,311	53,044
				Та	блица 24

Значения функции G (х) для отдельных точек плиты

X, м	Р х	sin Р х	v sin Р х	COS Р X	G (х)
—1	—1,1815	—0,9252	0,1493	0,3795	0,5289
—0,6	—0,7089	—0,6511	0,1051	0,759	0,864
—0,2	—0,2363	—0,2343	0,03781	0,9722	1,01
0,2	0,2363	0,2343	—0,03781	0,9722	0,9344
0,6	0,7089	0,6511	—0,1051	0,759	0,6539
1	1,1815	0,9252	—0,1493	0,3795	0,2302
Далее в табл. 23 вычислены значения функции И (/) для различных
моментов времени, а в табл. 24 — значения функции G (х) для от-
дельных точек плиты. Наконец в табл. 25 приведены значения влаж-
ности бетона U (х, t), рассчитанные с помощью формулы (11.93)
в процентах по весу (цифры в числителе).

Найдем теперь критическую влажность бетона, воспользовав-
шись формулой (III.2) и данными табл. 34:

[/кр = 0,00625 + 1,4- 0,005 = 1,325 • 10~2 г/г.

Таким образом, критическая влажность бетона [/кР составляет
~ 20% его начальной влажности Uo.

Если обратиться к табл. 25, то мы увидим, что через месяц вы-
сыхания влажность бетона на поверхности и внутри плиты состав-
ляет ~ 87—91% его начальной влажности и значительно выше
критической влажности Uhp. Следовательно, за это время бетон
потерял лишь часть свободной воды, главным образом за счет ее
химического связывания, не достигнув эффективной влажности.
Поэтому его высыхание на этом отрезке времени не сопровождалось
усадкой и развитием усадочных напряжений. Из этого вытекает
практически важный вывод о том, что развитие усадочных напряже-
ний в массивных бетонных конструкциях возможно только в бетоне
зрелого возраста.

Таблица 25

Значения влажности бетона U (х, t) в отдельных точках плиты при ее
высыхании в (г/г) 102 (процентах по весу) с учетом и без учета стока
влаги

t				X,	м		
в сут.	в ч	-1	— 0,6	— 0,2	0,2	0,6	1
0	0	4,589	6,704	7,625	7,148	5,378	2,703
1	24	4,423  4,588	6,434  6,703	7,31  7,624	6,856  7,147	5,173  5,377	2,631  2,703
2,5	60	4,207  4,587	6,081  6,702	6,897  7,623	6,475  7,146	4,906  5,376	2,538  2,702
К	120	4,094	5,896	6,681	6,275	4,766	2,488
		4,586	6,699	7,62	7,143	5,374	2,702
15	360	4,067  4,58	5,852  6,69	6,63  7,609	6,227  7,133	4,733  5,367	2,476  2,699
	720	4,055	5,333	6,607	6,206	4,718	2,471
		4,572	6,677	7,594	7,119	5,357	2,696

Отметим, что в начальный момент времени, в соответствии с дан-
ными табл. 25, мы получили неравномерное распределение влажно-
сти по толщине плиты, причем внутри ее влажность оказалась при-
мерно на 15% выше действительной начальной влажности бетона
Uo. Объясняется это тем, что для нахождения влажности бетона
U (х, I) мы пользовались только одним первым членом ряда форму-
лы (11.51), сходимость которого при /->0 ухудшается. Здесь мы
имеем полную аналогию с результатами расчета температуры пли-
ты з примере § 1.16.

Интересно оценить влияние фактора стока влаги в бетоне на
распределение его влажности в плите. С этой целью найдем послед-
нее без учета этого фактора по формуле (11.93), положив в ней
Л- = 0. Это дает

/) = Фер+ 7(^о—Фср)Хв(0<ЛД	(ИЛЮ)

Найденные по этой формуле с помощью табл. 22 и 24 значения
влажности бетона в отдельных точках плиты указаны в табл. 25
цифрами в знаменателе. Как следует из табл. 25, расхождения в ве-
личинах влажности бетона, вычисленных с учетом и без учета стока
влаги, уже становятся значительными и достигают 25%. Таким
образом, учет стока влаги при определении полей влажности плиты
и подобных ей конструкций необходим.
йв0

'Шц

! ига в
®иаигй
Й), МОИ!}

22и."'
ашй.
иощшн.
Hfe)W''
KiiJSlI»
ЖМ1

Глава III

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ И ВЛАЖНОСТНЫЕ
ДЕФОРМАЦИИ БЕТОНА

В обычных условиях работы железобетонных конструкций бе-
тон непрерывно претерпевает изменения температуры и влажности,
вызывающие появление в нем температурных и влажностных де-
формаций. Вследствие неравномерного распределения последних
по объему тела, а также из-за ограничения деформаций внешними
связями, их появление сопровождается развитием напряжений.
Поэтому изучение характера, величин и особенностей температур-
ных и влажностных деформаций бетона имеет большое практическое
значение.

Исследованию температурных деформаций бетона посвящены
работы Келлера, Дэвиса и Трокселла [173], Мейерса [237], Н. А. Ме-
щанского [129], Ю. А. Нилендера [134—138], С. Г. Тахтамышева
[177] и ряда других исследователей.

Особый предмет исследований составляют температурные де-
формации бетона’при высоких температурах, например жаростой-
ких бетонов. Этот вопрос подробно'освещен в специальной литера-
туре [123, 133]. Влажностные деформации бетона изучены в работах
С. В. Александровского [7—10, 13—16], А. В. Белова [28, 29],
Г. Д. Вишневецкого [56, 57], К. С. Карапетяна [89], Г. Колоузе-
ка [231], Р. Лермита [104], В. В. Михайлова, [126, 127], Н. А. Ме-
щанского [129], Ю. А. Нилендера [134—138], Т. Пауэрса и Т. Бра-
уньярда [240], 3. Н. Цилосани [200], А. Е. Шейкина [201—203]
и многих других.

Ниже кратко излагаются экспериментальные данные о темпера-
турных деформациях, усадке и набухании бетона и результаты про-
веденного автором исследования некоторых особенностей его влаж-
ностных деформаций, существенных для проблемы влажностных
напряжений в бетоне.

§ II 1.1. Температурные деформации бетона

При изменениях температуры, связанных с нарушением термо-
метрического равновесия, бетон претерпевает температурные де-
формации. Этот вид деформаций, например, неизбежен в ряде
массивных бетонных конструкций, обычно разогревающихся в мо-
лодом возрасте бетона от экзотермии, а затем остываемых с тече-
нием времени. Температурные деформации свойственны также соо-
ружениям, находящимся на открытом воздухе и подвергающимся
атмосферным воздействиям, носящим периодический характер. На-
конец, аналогичное влияние оказывают на конструкции технологиче-
ские циклы, например в автоклавах, пропарочных камерах, горя-
чих цехах и т. п.

Появление температурных деформаций при ограничении пере-
мещений конструкций или в связи С неравномерным их распределе-

4 Зак. 1018

97
нием по объему бетона влечет за собой развитие температурных на-
пряжений, которым часто сопутствует появление температурных
трещин. В указанном общем случае температурные деформации бе-
тона слагаются из двух составляющих: свободной температурной
деформации, пропорциональной изменению температуры, и так на-
зываемой напряженной деформации, вызываемой уже собственно
температурными напряжениями.

Для расчета температурных напряжений и деформаций бетона
в первую очередь необходимо располагать данными о величине
свободных температурных деформаций. Величины этих деформаций
обычно характеризуют коэффициентом линейного температурного
расширения бетона а, который определяет собой свободную относи-
тельную деформацию бетона при равномерном измен: нии его темпе-
ратуры на один градус.

Установлено [173], [237], что на величину коэффициента линей-
ного расширения бетона существенное влияние оказывает вид круп-
ного заполнителя (табл. 26) и состав бетона (табл. 27).

Таблица 26

Влияние вида крупного заполнителя на коэффициент линейного
расширения бетона а (опыты Дэвиса и Трокселла)

Заполнитель

(S

Й

I
i
е

а • 10е град 1

Кварц...............................................

Песчаник ...........................................

Гравий .............................................

Гранит .............................................

Базальт.............................................

Известняк ..........................................

П.9

Н.7
10,8
9,5
8,6
6,8

Таблица 27

Влияние состава цементно-песчаного раствора на его коэффициент
линейного расширения а

Состав по весу	а 1 О’ град 1	
	опыты Келлера	опыты Мейерса
1: 0	12,6	18,4
1 : 1	11	13,3
1: 2	10,1	—
1 : 3	—.	11,2
1: 4	10,4	—
1 : 6	9,2	10,4
1 : 8	9,5	—

Наибольшим линейным расширением обладают жирные бетоны
и бетоны на кварцевых заполнителях, а наименьшим—тощие бетоны
и бетоны на известняковых заполнителях. Объясняется это тем, что
сами заполнители имеют различные величины этого коэффициента,
как правило, меньшие, чем у чистого цементного камня (табл. 28)»
Поэтому огощение' цементного раствора песком и щебнем снижает
величину а.

Таблица 28

Коэффициент линейного расширения некоторых каменных материалов,
применяемых в качестве заполнителей (опыты Келлера)

Материал	а -10* град 1
Кварц, перпендикулярно оси кристаллов		13,3
Песчаник ....			12,4
Сланцы ....	10,1
Известняк		9,1
Гранит 	 		8,1
Кварц, параллельно оси кристаллов	7,9
Кирпич 		4,5

Ощутимое влияние на величину коэффициента а оказывают
возраст и режим хранения бетона (табл. 29). Водоцементное же от-
ношение [177] (табл. 29), а также изменение температуры в пределах
4—55°[ 173] не оказывают заметного влияния на него.

Таблица 29

Влияние возраста и условий хранения на коэффициент линейного
расширения бетона а (в град-110в) (опыты С. Г. Тахтамышева)

Состав бетона (по весу)]	в/ц	Хранение	а - 10е град-1	
			возраст бетона	
			3 — 4 сут.	17 — 18 сут.
	0,64	Горячее	8,8	8,3
1 : 3,06: 4,21	0,64	Холодное	9,3	8,7
	0,72	Горячее	8,1	8
	0,72	Холодное	9,2	9
	0,64	Горячее	8,3	8,2
1 : 2,58 : 4,24	0,64	Холодное	9,3	9,1
	0,72	Горячее	7,8	8,3
	0,72	Голодное	9,2	9,3

Примечание. Холодное хранение—влажное хранение при темпера-
туре 20° С, а горячее—влажное хранение при температуре 40* С

Из изложенного следует, что в бетоне, даже при равномерном
изменении температуры, неизбежно возникают температурные на-
пряжения. Это обусловливается различием в величинах ко-
эффициента температурного расширения материалов, составляющих
бетон.

Температурные деформации и коэффициент линейного расшире-
ния цементного камня и бетона при низких отрицательных темпе-
ратурах экспериментально были изучены В. М. Москвиным и
М. М. Капкиным [128]. Эти исследования показали, что при измене-
нии температур от —5 до —70° С в бетоне происходят необратимые
изменения структуры цементного камня, которые при оттаивании
бетона приводят к значительным остаточным деформациям, тем
большим, чем больше величина водоцементного отношения.

При значительном нагреве бетона происходит так называемая
температурная усадка — необратимая деформация, связанная с до-
полнительным высыханием цементного камня и его обезвоживанием.
Однако этот вид деформаций не имеет практического значения для
обычного бетона при обычных значениях температур. Температур-
ная усадка велика лишь у жаростойких бетонов, претерпевших зна-
чительный разогрев, особенно у бетонов на жидком стекле [123].
Коэффициент линейного расширения таких бетонов находится в пре-
делах (3,6 4- 9) 10~6 град"1, увеличиваясь с повышением темпера-
туры у бетонов на портл андском и глиноземистом цементе и
уменьшаясь у бетонов на жидком стекле.

§ III.2. Вода в бетоне

Классификация влаги во влажных капиллярно-пористых дис-
персных телах может быть произведена по ряду классификационных
признаков: по степени ее подвижности, изменениям кристалличе-
ской решетки материала при дегидратации, изменению физико-
механических свойств материала в зависимости от степени его увлаж-
нения и т. п.

Интересующие нас влажностные деформации бетона связаны
с удалением из него влаги или, наоборот, с увеличением ее содержа-
ния. Эти процессы неизбежно сопровождаются затратой или соот-
ветственно накоплением энергии, зависящей от нарушения или
восстановления определенных форм связи влаги с материалом.
Поэтому в основу классификации влаги в бетоне должна быть поло-
жена интенсивность энергии этой связи. Именно по такому прин-
ципу построена схема П. А. Ребиндера [156, 157], согласно которой
все формы связи влаги с материалом делятся на три большие груп-
пы: 1) химическую связь; 2) физико-химическую связь и 3) физико-
механическую связь. Применим эту схему к бетону.

Химическая связь воды в бетоне осуществляется в точных коли-
чественных соотношениях (стехиометрическая связь) в результате
химической реакции гидратации цемента и образования кристалло-
гидратов при кристаллизации из пересыщенных растворов. При
образовании такой связи определенная часть воды в бетоне исчезает
и входит в состав новых веществ. Количества воды, химически свя-
зываемой отдельными клинкерными минералами и цементами раз-
личного минералогического состава, были указаны в §11.4.

Интенсивность энергии этой формы связи очень велика; она может
быть нарушена только химическим воздействием или прокаливанием.
В связи с этим химически связанная, или, как еще говорят, прочно
связанная, вода в бетоне в процессах влагообмена с внешней средой
не участвует. Однако при расчете полей влаги в бетоне на основах
теории влагопроводности химическое связывание воды следует учи-
тывать как распределенный по объему тела внутренний сток влаги,
интенсивность которого зависит от температуры процесса и времени.
Один из методов такого учета изложен в § II.4.

Физико-химическая связь воды в бетоне осуществляется в раз-
личных не строго определенных соотношениях в виде адсорбцион-
ной связи в гидратных оболочках. Она возникает в бетоне вследствие
диспергирования и растворения в воде вещества цементных зерен
с образованием ионно-дисперсного и молекулярно-дисперсного
раствора, а также в результате адсорбции влаги. Причиной возник-
новения этой связи как в том, так и в другом случае является моле-
кулярное силовое поле; различие заключается лишь в том, какие из
молекул принимают участие в возникновении этой связи.

При диспергировании и растворении образуются сольватные
оболочки вокруг молекул вещества.

При адсорбции связь возникает в результате молекулярного
силового поля молекул внешней и внутренней поверхностей мицелл,
как это наблюдается у гидрофильных веществ, или молекул внешней
поверхности вещества, как это имеет место у гидрофобных веществ.

Вода сольватных оболочек в бетоне находится в свободном со-
стоянии и поэтому обладает всеми свойствами обычной воды.

Адсорбционно же связанная вода обладает рядом свойств, отли-
чающих ее от обычной воды, что используется в различных методах
ее количественного определения. К числу этих свойств относятся:
неспособность к растворению ею электролитов и ряда других
растворимых в обычной воде веществ, практически равная нулю
электропроводность, удельная теплоемкость меньше единицы, повы-
шенная плотность, в связи с чем эта вода имеет свойства упруго-
твердого тела и ее тонкие пленки толщиной < 0, Ip, обладают рас-
клинивающим действием.

Не вся адсорбционно связанная вода имеет одинаковые свойст-
ва. Наиболее прочно связан мономолекулярный слой воды, свойст-
ва которого в наибольшей степени отличны от свойств обычной
воды. Последующие слои связанной воды удерживаются с ослабе-
вающей силой и их свойства постепенно приближаются к свойствам
обычной воды. Толщина такого полимолекулярного слоя адсорб-
ционной воды примерно равна нескольким стам диаметров ее мо-
лекул.

К физико-химически, в частности адсорбционно, связанной воде
относят также цеолитную воду. Цеолитами называют группу мине-
ралов, представляющих собой водные алюмосиликаты кальция и
натрия. Кристаллические решетки цеолитов состоят из каркасов
с полостями, содержащими молекулы воды, слабо связанной с жест-
кой кристаллической основой. При известных условиях вода цеоли-
тов может удаляться, а затем вновь поглощаться без разрушения
кристаллической структуры. Поэтому содержание воды в цеолитах
зависит от температуры и влажности окружающей среды.
Физико-химическая связь кроме адсорбционно связанной воды
присуща также осмотической воде. В бетоне, однако, содержание
этой воды практически невелико, особенно в его зрелом возрасте.

Поверхность раздела твердой и жидкой фаз в бетоне огромна;
по данным Н. А. Мещанского [129], эта поверхность в свежезатво-
ренной бетонной смеси выражается цифрой порядка 500 №/№.
В отвердевшем же бетоне годичного возраста благодаря разрыхле-
нию она еще больше и равна около 1 кмЧм?. В связи с этим количества
адсорбционно связанной воды в бетоне также велики, а их роль в по-
ведении бетона под влиянием внешних воздействий среды и наг руз-
ки весьма существенна.

Сведения о количествах физико-химически связанной воды в бе-
тоне ограничены. По данным Г. Н. Сиверцева [168], количество
адсорбционно связанной воды цементом за 24 ч составляло 600—
1700 мг!г. Для бетона же месячного возраста это количество состав-
ляет окало 50% веса воды затворения [129].

Адсорбционная связь в бетоне относится к числу связей средней
интенсивности, которые могут быть разрушены испарением воды
из сольватных оболочек, десорбцией внешних и межмицеллярных
поверхностей и дезадсорбцией. Даже при обычных температурах
и влажностях воздуха при отсутствии гигоометрического равновесия
эти процессы происходят в бетоне сравнительно легко, хотя для
этого и требуется довольно продолжительное время. Таким образом,
эта категория физико-химически связанной воды принимает актив-
ное участие во влагообмене бетона с внешней средой.

Физико-механическая связь в бетоне осуществляется в неопре-
деленных количественных соотношениях. К этой форме связи отно-
сится свободная вода, захваченная в ячейках кристаллизационной
структуры, и вода в микро- и макрокапиллярах1.

Структурная связь возникает в бетоне при захвате воды в ре-
зультате образования геля. В этом случае вода удерживается ме-
ханически, кроме мономолекулярного слоя, где она связана сила-
ми адсорбции. Эта связь довольно слабая и легко нарушается
испарением, отжатием воды, давлением или нарушением струк-
туры.

Связь в микрокапиллярах возникает в результате непосредствен-
ного соприкасания бетона с водой или поглощения им паров воды
из влажного воздуха и последующей капиллярной конденсацией
(сорбционная влажность). В таких капиллярах вода псевдосвяза-
на капиллярными силами и легко удаляется испарением.

В макрокапиллярах физико-химическая связь возникает толь-
ко за счет непосредственного соприкасания бетона с водой. Так как
давление насыщенного пара в таких капиллярах практически

1 По классификации А. В. Лыкова [108] к микрокапиллярам относятся
капилляры с радиусом менее 10-ь см. Капилляры с большим радиусом при-
нято называть макрокапиллярами.
равно его' давлению" над плоскостью, то они не могут сорбировать
влагу из воздуха и капиллярная конденсация в них не может иметь
места. В макрокапиллярах вода удерживается механически, за
исключением адсорбционно связанных пристенных слоев, и легко
удаляется испарением или искусственным созданием давления бол ь-
ше капиллярного (например, вакуумированием или центрифуги-
рованием).

Проследим теперь за кинетикой высыхания некоторого малого
объема увлажненного цементного камня, достаточно малого для
того, чтобы его высыхание можно было бы считать равномерным по
объему. Испарение влаги из такого объема начинается в первую оче-
редь из крупных пор и капилляров за счет нарушения физико-
механических связей и удаления так называемой свободной воды.
Этот процесс не сопровождается изменением объема (усадкой) це-
ментного камня.

После испарения воды из крупных пор и капилляров начинается
ее испарение из микропор и мелких капилляров; прогрессирующе
развиваются силы капиллярного сжртия, в связи с чем цементный
камень претерпевает деформацию сжатия. Возникающую вследст-
вие этого усадку мы будем называть капиллярной.

После удаления капиллярной воды начинается удаление струк-
турно связанной и адсорбированной воды. Вначале удаляется вода
структурных ячеек, образованных мельчайшими кристалликами
продуктов гидратации цемента (субмикрокристалликами- геля) и
полимолекулярно адсорбированных слоев. Наконец последней
удаляется вода, адсорбированная в виде мономолекулярных слоев.
Дальнейшее высушивание цементного камня возможно только
в сушильном шкафу, где удаляется вода, адсорбированная в щелях
молекулярных размеров, образующихся в местах сцепления суб-
микрокристаллов геля.

Удаление структурно связанной и адсорбированной воды со-
провождается значительным сжатием цементного камня. Развиваю-
щуюся при этом усадку называют адсорбционной.

Капиллярная и адсорбционная составляющие усадки бетона
составляют в сумме так называемую влажностную усадку.

Следует различать еще контр акционную усадку. Эта составляю-
щая усадки бетона носит физико-химический характер и связана
с уменьшением объема системы «цемент—вода» при возникновении
новообразований в процессе схватывания и начального периода
твердения бетона, имеющих объем, меньший, чем объем исходных
продуктов. Контр акционный эффект также связан с физико-хими-
ческим процессом адсорбции воды поверхностью цементных зерен
и кристаллов новообразований, при котором происходит уплотнение
воды в тонких адсорбционных слоях, а следовательно, и сжатие
системы.

Наконец, существует еще карбонизационная усадка, являю-
щаяся следствием уменьшения объема затвердевшего цементного
камня в бетоне при разложении находящихся в напряженном со-
стоянии кристаллов гидроокиси кальция в результате их химиче-
ского взаимодействия с углекислым газом, содержащимся в воз-
духе. Эта составляющая усадки бетона таким образом также носит
физико-химический характер. Необходимым условием для возник-
новения карбонизационной усадки является наличие напряженного
состояния кристаллов гидроокиси кальция, которое неизбежно
возникает в бетоне вследствие влажностной усадки и действия
внешней нагрузки.

Рассмотренная выше схема высыхания цементного камня, ко-
нечно, существенно упрощена. В действительности, особенно в бе-
тоне, этот процесс протекает значительно сложнее. Некоторые его
особенности мы еще рассмотрим ниже. Сейчас нам важно подчерк-
нуть то, что удаление влаги из малых объемов бетона происходит по
вполне четкому закону: вначале удаляется вода, обладающая наи-
меньшей энергией связи, а затем остальные виды воды с очередно-
стью по возрастающей интенсивности этой энергии.

§ II 1.3. Усадка бетона

При отсутствии гигрометрического равновесия с воздухом влаж-
ный капиллярно-пористый бетон высыхает, уменьшая свой объем.
Вследствие малости коэффициента диффузии влаги его высыхание
происходит неравномерно по объему — в бетоне возникают гра-
диенты влажности и, даже при отсутствии внешних ограничений
деформаций, усадочные напряжения.

Как уже было указано выше, усадка бетона связана с химиче-
скими и физическими процессами, происходящими при взаимодейст-
вии цемента с водой, изменением влажности цементного камня при
его высыхании и карбонизацией и слагается из контракционной,
влажностной и карбонизационной составляющих. Для оценки срав-
нительных величин этих составляющих усадки и их роли в рассма-
триваемой нами проблеме обратимся к некоторым эксперименталь-
ным данным.

Одно из первых изучений контракционной усадки бетона было
проведено Ю. А. Нилендером [134—138]. Было установлено, что
эта усадка бетона, называемая им «собственной усадкой», оказалась
в 5—10 раз меньше влажностной усадки, связанной с его высыха-
нием. В зависимости от вида цемента относительные линейные де-
формации «собственно усадки» цементного камня через 40—50 су-
ток достигали значения, равного 20 • 10“5, в то время как на откры-
том воздухе обычная усадка того же цементного камня составляла
от 50-10-5 до 107-10-5.

Шпиндель [247], исследуя усадку цементного теста, начиная с мо-
мента его затворения, получил характерные кривые усадки портланд-
цементов с различной тонкостью помола в первые сутки твердения.
Им было установлено, что большая часть контракционной усадки
происходит до конца схватывания цемента; она значительно пре-
вышает усадку за месячный срок твердения, измеряемую на образ-
цах-близнецах, начиная с суточного возраста. При этом цементы
более тонкого помола давали большую усадку, чем такие же цемен-
ты более крупного помола.

В американских опытах [214] запаянные образцы из раствора
на различных цементах имели к трем месяцам хранения относитель-
ные деформации в 3—15 раз меньше, чем у образцов-близнецов,
высыхающих на воздухе, и после раскрытия и дальнейшего хра-
нения их на воздухе давали значительную относительную усадку,
равную (30 4- 55) 10~5.

Интересное исследование контракционного эффекта при взаи-
модействии гидравлических вяжущих с водой было проведено
В. В. Некрасовым [131, 132], который установил, что этот эффект
пропорционален степени гидратации цемента. На ход контракции
влияют химический состав цемента, степень его измельчения, ис-
ходное соотношение между весами цемента и воды в смеси, а также
некоторые добавки. В. В. Некрасов считал, что в основном контрак-
ционный эффект имеет чисто химическую природу и связан с обра-
зованием силикатов кальция.

Аналогичные опыты были проведены Н. А. Мещанским [129],
который кроме усадки цементов изучил также контракцию некото-
рых инертных материалов. Им была установлена контракция та-
ких внешне расширяющихся материалов, как гипс и расширяющий-
ся цемент. В отличие от В. В. Некрасова Н. А. Мещанский трактует
контракцию цементного теста более глубоко и считает, что она
вызывается целым комплексом физико-химических процессов.

Б. Г. Скрамтаев высказал предположение, что контр акционный
эффект должен сопровождаться появлением вакуума в твердеющем
цементном камне и бетоне, и последний действительно был обнару-
жен в значительных пределах [172]. В специально поставленных
опытах им было установлено, что наибольшее разрежение достига-
ется за первые 2—4 суток твердения и оно тем больше, чем больше
тонкость помола цемента и чем выше его активность.

Подводя итоги сказанному, можно считать, что контракционная
усадка, несомненно играющая существенную роль в технологии
бетона, не имеет практического значения для рассматриваемой нами
проблемы усадочных напряжений в бетоне. Она, во-первых, мала по
величине сравнительно с влажностной усадкой, во-вторых, разви-
вается в значительной своей части в весьма раннем возрасте бетона,
когда последний обладает большой пластичностью, т. е. повышенны-
ми реологическими свойствами. По этой причине усадочные напряже-
ния, развивающиеся в бетоне в это время, невелики и к тому же
с течением времени значительно релаксируют.

Влажностная усадка бетона изучалась многими исследователями
и продолжает интенсивно изучаться в настоящее время. Объясняется
это, с одной стороны, сложностью рассматриваемого явления, с дру-
гой стороны, появлением новых сортов вяжущих и видов бетонов,
например мелкозернистых, песчаных бетонов для вибропрокатных
изделий. Установлено, что эта составляющая усадки зависит от
множества технологических и физических факторов, а также среды,
в которой находится бетон.

Высокосортные, тонкомолотые и высокоалюминатные цементы
обладают большой усадкой, особенно в начальный период тверде-
ния. Так, например, в опытах Гленвиля [2261 (табл. 30), в которых
сравнивалась усадка трех сортов цемента, глиноземистый цемент
за 7 дней твердения давал усадку, равную почти 40% полутораго-
дичной, тогда как усадка портландских цементов не превышала
за это время 8% полуторагодичной усадки.

Таблица 30 ।

Влияние сорта цемента на его усадку

Усадка цементного раствора в mm.Im.m- 104
в возрасте

	7 дн.	28 дн.	3 Мес,	6 мес.	12 мес	18 мес.
Обыкновенный портландский . . . .	2	9	20	25	32	37
Высокосортный 		3	10	25	34	38	40
Глиноземистый	....	16	21	31	36	40	42

Следовательно, при прочих равных условиях в таком же соот-
ношении примерно находится и усадка бетонов, приготовленных
на этих цементах [129].

Большое влияние на усадку бетона оказывает минералогиче-
ский состав цемента. В соответствии со структурной теорией усад- /
ки А. Е. Шейнина [201—203] последняя тем больше, чем больше
объем геля в единице объема цементного камня и, следовательно,
чем меньше объем кристаллического сростка. Отношение между
этими структурными составляющими определяется структурным
коэффициентом [2031, величина которого непосредственно зависит
от минералогического состава цемента. Чем меньше для него этот
коэффициент, тем при прочих равных условиях больше усадка
бетона, приготовленного на данном цементе. Это доказано прямыми
опытами.

Существенное влияние на величину усадки раствора и бетона
оказывает также содержание в них цементного теста (состав бетона).
Чем жирнее раствор или бетон, т. е. чем больше содержится в них
цементного камня, тем выше их влажностная усадка. Весьма пока-
зательны в этом отношении опыты Н. А. Мещанского [129], а также
опыты автора [9] (рис. 15) с бетонными образцами, высыхающими
через торцы.

Заполнитель (песок, щебень) уменьшает усадку цементного
теста. Хотя сами каменные материалы, применяемые в качестве
заполнителей, вследствие их пористости обладают определенной
способностью к усадке при высушивании [250], их влажностные
деформации значительно меньше, чем у цементного теста, поэтому
они оказывают сдерживающее влияние на усадку бетона, причем

Mi

а®

к

i


степень последнего существенно зависит от вида заполнителя. Об
этом, например, говорят опыты Р. Дэвиса, который сравнивал влия-
ние различных заполнителей на влажностные деформации бетона
состава 1:2:3 при В/Ц = 0,9. Во всех образцах мелкая фракция

Рис. 15. Влияние содержания цемента (состава бетона) на усадку бетона.
Бетон 4-суточного возраста к началу высыхания на портландцементе актив-
ностью 475 кгс/см2, В/Ц =0,69

Состав бетона:

/ — 1:2,1: 4,9, Ц = 273 кг/м*-, 2—1 : 1,68:3,92, Ц = 319кг/л>; 3 — 1:1.4:3.27
Ц = 359 кг/м*

заполнителя состояла из того же материала, что и крупная, а мо-
дуль крупности оставался постоянным и равным 5,58. Результаты
этих опытов приведены в табл. 31. Обращает на себя внимание малая
усадка бетона на гранитном и известняковом щебне по сравнению
с бетоном на гравии и песчанике.
Таблица 31

Влияние вида запо жителей на влажностные деформации бетона

Заполнитель	Усадка на воздухе в (мм/мм) 10*	Набухание в воде в (мм/мм) 106
Гравий 		79	7,4
Песчаник 		75	5,5
Известняк		39	5
Гранит 		37	13,1

Сдерживающее влияние заполнителя зависит также от его упру-
гих свойств: оно тем сильнее, чем выше его модуль упругости. Это
подтверждается опытами Штутгарской лаборатории с бетонами
одного количественного состава, но с применением различных за-
полнителей. Усадка этих бетонов находилась в обратной зависимости
к модулю упругости заполнителя (за исключением базальта)
(табл. 32).

Таблица 32

Зависимость усадки бетона от модуля упругости заполнителя

Заполнитель	Модуль упругости заполнителя в кгс/см*	Усадка бетона в воз- расте 60 дней в  (мм/мм) 106
Базальт		1 015000	39
Доменный шлак 		960 000	27
Известняк		721 000	31
Гранит 		168000	49
Пестрый известняк 		71 000	68

На величину усадки бетона оказывает влияние также грануло-
метрический состав заполнителя и, в частности, его модуль поверх-
ности, так как он обусловливает относительный размер цементной
оболочки, обволакивающей зерна заполнителя. В ряде опытов можно
найти подтверждение этому обстоятельству [216].

Заметное влияние на усадку цементного раствора и бетона
оказывает водоцементное отношение: чем выше ВЩ, тем больше
и усадка этих материалов. Это видно из табл. 33, составленной по
данным опытов Карлсона [216] с цементным раствором, и из
рис. 16, где изображены результаты опытов автора [9] с бетонными
образцами, высыхающими через торцы. Характер этой зависимости,
по-видимому, связан с различными прочностью и пористостью у бе-
тонов с разным ВЩ.

Таблица 33

Зависимость усадки цементного раствора от ВЩ

В/Ц	Относительная усадка цементного раствора в (мм/мм) 10* в возрасте			
	35 дней	2 мес.	3 мес.	4 мес.
0,3	75	151	182	200
0,4	104	220	253	285
Чем выше В/Ц, тем ниже прочность бетона и выше его порис-
тость, тем интенсивнее происходит у него влагообмен с внешней
средой и тем слабее сопротивление кристаллического сростка
объемным изменениям геля. И наоборот, при малых В/Ц больше
прочность бетона и меньше его пористость, поэтому указанные об-
стоятельства действуют в обратном направлении и усадка его ока-
зывается меньшей.

56-10 s	56-10 5

°	20	40	60	80 90 ^ь^'Ч-в/ц2^^-

Продолжительность высыхания	’ 4—в/ц=ь,иь '

6 сутках

Возраст бетона к началу высыхания также оказывает значитель-
ное влияние на влажностную усадку. Чем позже начинается высы-
хание бетона, тем больше его прочность к этому моменту времени,
тем, следовательно, меньше усадка.

Влажностная усадка в значительной степени зависит от мас-
штабного фактора. В больших образцах или в бетонных конструк-
циях усадочные деформации оказываются значительно меньшими,
чем в малых образцах, на которых обычно проводят лабораторные
опыты. Это подтверждается опытами К- С. Карапетяна с бетонами
на легких заполнителях [89], а также специальными опытами авто-
ра по изучению влияния масштабного фактора на усадку обычного
тяжелого бетона [16] (рис. 17)
Продолжительность бысылсния в сутках

Рис. 17. Влияние на высыхание и усадку бетона

о — длины образцов одного й того же сечения, высыхающих через торцы, длиной:
1 — 21 сл; 2—17,5 см; 3 — 11,5 см; б —размеров поперечного сечеиия образцов одной и
той же длины, высыхающих через боковую поверхность, сечением: 4—10X10 см;

5 — 7x7 см; б—5X5 см; бетон 4-суточиого возраста к началу высыхания состава
1 : 2,12: 4,9 на портландцементе марки 400 кгс/см1, В/Ц=0,67& -i- 0,638
В этих последних опытах было установлено, что усадка малых об-
разцов не только развивается быстрее, но оказывается и значи-
тельно большей, чем у больших образцов по достижении равновес-
ного состояния сравниваемыми образцами. В этих же опытах по
специальной методике было проведено также сравнительное изу-
чение усадки наружных и внутренних слоев бетона в образцах,
высыхающих через торцы, причем оказалось, что они больше у на-
ружных слоев не только в любой момент времени высыхания, но
и в конце его. Причины этого рассмотрены в работе автора [16].

Характер высыхания образцов также оказывает существенное
влияние на ход усадки и ее величины. В специально поставленных
опытах автора [18] (рис. 18) было отмечено, что усадка призматиче-
ских образцов, высыхающих только через боковую поверхность,
развивается интенсивнее и ее величина больше, чем у образцов-
близнецов, высыхающих только через торцы. Причины такого
различия в усадке сравниваемых образцов те же, что и в случае
образцов разных размеров.

Большое влияние на усадку бетона оказывает его температура.
Повышение температуры увеличивает коэффициент влагопередачи
бетона и, следовательно, интенсифицирует процесс высыхания. При
неравномерном же распределении температуры по объему тела, как
это, например, имеет место при разогреве бетона от экзотермии,
к некоторому ускорению высыхания проводит также явление термо-
диффузии влаги [108]. В конечном счете все это влечет за собой уве-
личение усадки бетона.
При высоких температурах в бетоне может произойти разру-
шение части кристаллогидратов и его дополнительное высушивание,
сопровождающееся увеличением усадки. Особо ведут себя в этом
случае жароупорные бетоны, которые при этих условиях обнару-
живают значительную температурную усадку, особенно при пер-
вичном нагревании [123].

Наконец, значительное влияние на усадку бетона оказывает
внешняя среда — ее влажность и температура. С уменьшением
влажности воздуха в соответствии с изотермой десорбции (§ II.2)
равновесная влажность бетона снижается, следовательно, суммар-
ные влагопотери бетона к моменту достижения им равновесно-
го состояния увеличиваются, а это, в свою очередь, приводит к уве-
личению его предельной усадки. Повышение температуры воздуха
действует в том же направлении, так как обычно приводит к умень-
шению его относительной влажности.

Усадка бетона при циклически изменяющихся невысоких по-
ложительных температурах больше усадки при соответствующей
средней постоянной температуре. Так, в опытах А. В. Путанса [153]
в диапазоне температур от 30 до 50° С она была при этих условиях
в 2—3 раза больше, чем у бетона с постоянной температурой 40° С,
а ее предельная величина уменьшалась с увеличением возраста
бетона к началу высыхания.

По своей абсолютной величине влажностная усадка, как прави-
ло, во многом превосходит контракционную усадку. Об этом мож-
но судить по приведенным выше опытным данным. Она может быть
довольно значительной и достигать величины (70-4- 100) \0гъ мм/мм,
как это наблюдалось в опытах П. И. Глужге [70]. В обычных усло-
виях лабораторных опытов [7, 9, 16] автор также наблюдал боль-
шую усадку исследуемых бетонов, достигающую 70 • 10~5 мм/мм.
Поэтому эта составляющая представляет наибольший интерес для
проблемы усадочных напряжений в бетоне.

Физическая природа влажностной усадки бетона вскрыта не-
достаточно полно. Об этом говорят различные гипотезы о природе
объемных изменений цементного камня и бетона, вызванных изме-
нениями их влажности. Довольно полный обзор этих гипотез и взгля-
дов различных исследователей на природу усадки дан в монографии
3. Н. Цилосани [200]. Некоторые из исследователей целиком [195]
или главным образом [144, 225] считают основной причиной усад-
ки бетона капиллярные явления. Другие, отрицая ведущую роль
этих явлений, объясняют усадку бетона иными причинами, нося-
щими физико-химический характер. Часть этих исследователей,
например, считает основной причиной усадки удаление межкри-
сталлической воды [104, 233, 240]; другая часть [7, 9, 201] — объ-
емные изменения гелевой структурной составляющей цементного
камня, обусловленные изменением содержания в геле связанной
силами адсорбции воды, при высыхании бетона.

Ряд исследователей придерживается компромиссных взглядов.
Некоторые из них, разделяя взгляды А. Е. Шейнина, признают
в некоторых случаях ощутимую роль капиллярных явлений [8, 13,
129, 231] и привлекают дополнительно к рассмотрению расклини-
вающее и стабилизирующее влияние тонких пленок воды в межзер-
новом пространстве [129]. Другие [231] объясняют усадку бетона
действием как капиллярных сил, так и сил, возникающих при уда-
лении из цементного теста «межслойной» воды из слоев, образован-
ных между кристаллами новообразований цементного камня.

Рядом работ советских ученых [7, 9, 200, 201—204, 209] дока-
зано, что капиллярная составляющая усадки цементного камня,
связанная с изменениями молекулярного давления лишь вследствие
микроскопических искривлений поверхности жидкости на границе
раздела фаз, не велика и носит второстепенный характер. Поэтому
капиллярная теория усадки бетона Е. Фрейсине [195], в настоящее
время признана несостоятельной.

Наибольшим признанием среди советских специалистов поль-
зуется структурная теория усадки бетона А. Е. Шейнина. Однако,
по-видимому, наиболее полно природа этого сложного явления мо-
жет быть раскрыта с дополнительным привлечением к этой теории
ряда физико-химических представлений. Заслуживает внимания
механизм влажностной усадки, сформированный на основе анализа
богатых экспериментальных данных, в том числе и своих собствен-
ных опытов, 3. Н. Цилссани [200].

Карбонизационная усадка изучалась многими исследователя-
ми. Ранние исследования этого явления выполнены Ф. М. Ли [233].
Позже этот вид усадки изучался в ряде работ западных [213, 232,
234, 251] и отечественных [169, 170] ученых. Наиболее логично
физико-химическая природа этого явления была объяснена
Т. С. Пауэрсом [242]. Его причины кратко рассмотрены нами
в § III.2. Величина карбонизационной усадки существенно зависит
от размеров образца и может быть довольно большой. Так, в опытах
Вербека [251] она была почти равна влажностной усадке, а суммар-
ная усадка оказалась примерно в два раза больше усадки только от
одного высыхания. Аналогичные данные сообщались и рядом других
авторов.

Из сказанного следует, что карбонизационная составляющая
усадки также имеет значение для проблемы усадочных напряжений.
Так как обычно влажностная и карбонизационная усадка в опытах
наблюдается одновременно, то имеющиеся экспериментальные дан-
ные об усадке бетона, высыхающего на воздухе, уже относятся к сум-
ме этих ее составляющих. Поэтому в изучаемом нами случае нет
необходимости рассматривать раздельно эти явления и вполне
допустимо учитывать лишь эффект их совместного действия.

§ II 1.4. Набухание бетона

Увлажняясь в результате атмосферных воздействий или пря-
мого контакта с водой, бетон естественной влажности набухает,
увеличивая свой объем.
Вследствие низкого значения коэффициента диффузии влаги
в бетоне его увлажнение, а следовательно, и набухание происходят
неравномерно по объему — в бетоне возникают градиенты влажно-
сти и даже при отсутствии внешнего ограничения деформаций,
влажностные напряжения набухания. Исследование деформаций
и напряжений набухания имеет большое значение для бетонных
конструкций, в частности гидротехнических, работающих в усло-
виях переменного влажностного режима. Однако в настоящее время
этот вопрос изучен еще довольно слабо.

Установлено, что набухание бетона, так же как и усадка, зави-
сит от ряда технологических и физических факторов.

Бетоны на высокосортных тонкомолотых цементах имеют боль-
шие деформации и большую скорость набухания. Здесь мы имеем
полную аналогию с соответствующими закономерностями усадки
бетонов на таких цементах [129, 226].

Известное влияние на набухание бетона оказывает содержание
в нем цементного теста (состав бетона). Чем жирнее бетон, тем
больше его деформации набухания при увлажнении. Это обстоя-
тельство нашло свое подтверждение в опытах автора [10] (рис. 19).
При этом одним и тем же изменениям весовой относительной влаж-
ности у бетонов с малым содержанием цемента соответствуют боль-
шие деформации набухания, чем у бетонов с большим его расходом.
Причиной указанного различия в деформациях набухания бето-
нов с разным содержанием цемента является разница в количестве
цементного теста, при которой одно и то же изменение влажности
бетона вызывает разную степень увлажнения геля: меньшую у бе-
тона с большим содержанием цемента и большую при его малом рас-
ходе. Разным степеням увлажнения геля соответствуют и разные
по величине деформации набухания.

Обычные каменные заполнители (гранит, базальт, известняк)
оказывают сдерживающее влияние на набухание бетона, причем
степень последнего существенно зависит от вида заполнителя и его
гранулометрического состава (см. табл. 31).

Значительное влияние на набухание бетона оказывает водо-
цементное отношение. В области не слишком больших В/Ц его на-
бухание тем больше, чем выше водоцементное отношение, как это,
например, наблюдалось в опытах автора [10].

Причины этого, вероятно, те же, что и в случае усадки бетона.
Характер влияния В/Ц на деформации набухания бетона в этих
опытах был таков, что одним и тем же изменениям влажности об-
разцов на разных В/Ц при увлажнении соответствовали разные по
величине деформации набухания. Последние были тем больше, чем
меньше было В/Ц. Так, у образцов из бетона с В/Ц = 0,545 при
одной из той же степени увлажнения они в среднем были в два раза
больше, чем у образцов из бетона с В/Ц = 0,895. Объясняется
это различной пористостью бетонов на малых и больших В/Ц.
По-видимому, у бетона с малым В/Ц, имеющего меньшую пористость,
чем бетон с большим В/Ц, одно и то же изменение влажности в сто-
рону ее увеличения освобождает большие по величине капиллярные
силы, развивающиеся в его порах при высыхании, и создает более
благоприятные условия для набухания геля. При этом в нем раз-
виваются и значительно большие по величине деформации набуха-
ния.

WCR*

!Д*

ffifc
на
: |Д

!?Е
Чй
life
1КЙ.
fee
А
и
ft®
и
и
I'fe
раи-
те

и)
ла
его

йо-
та-
я,

№1
Ш
об-
ои
0
при
рая
г®
Д
й
сто-

Рис. 19. Влияние содержания цемента (состав бетона) на набухание'бетона
при его увлажнении. Бетон 98-суточного возраста к началу увлажнения на
портландцементе активностью 475 кгс/см2, В/Ц = 0,69

состав бетона: /—1:2,1 : 4.9, // = 273 кг/м** 2—1:1,68:3,92, // = 3 19 кгЛи’-
2—1 : 1,4 : 3,27, // = 359 кг/м?
На набухание бетона влияет также его возраст к моменту на-
чала увлажнения. Чем старее бетон, тем меньше степень его увлаж-
нения и деформации набухания. Интересно отметить, что молодой
бетон, защищенный от высыхания, будучи погруженным в воду,
также дает значительные деформации набухания. Так, например,
в опытах Р. Дэвиса с бетоном на гранитном щебне наблюдалось из-
менение длины и веса образцов, погруженных в воду в возрасте

а)

^0123958789

Продолжительность опыта в сутках

Рис. 20. Влияние возраста бетона на его деформации набухания ен и увели-
чение весовой относительной влажности At/H при увлажнении

а—увлажнение начиная с 3-суточного возраста; б — то же. с 2*-суточного возраста.
Примечание. До увлажнения образцы были гидроизолнрованы от высыхания.

двух дней. При этом их относительное удлинение росло медленно
и достигало за шесть месяцев хранения в воде величины 14 • 10-Б,
а увеличение веса составляло при этом 1,6%, причем значительная
доля его происходила в первые несколько суток после замачи-
вания. Аналогичная картина наблюдалась и в опытах автора
(рис. 20).

Существенное влияние на набухание бетона оказывает мас-
штабный фактор. Это было подтверждено специальными опытами
автора по изучению этого влияния на влажностные деформации
обычного тяжелого бетона [16] (рис. 21). В этих опытах было уста-
новлено, что набухание больших образцов не только развивается
медленнее, но и оказывается в равновесном состоянии меньшим, чем
у малых образцов-близнецов. Было также найдено, что набухание
наружных слоев бетона при его увлажнении больше, чем во внут-
ренних слоях, не только в любой момент времени увлажнения, но
и в конце его. Причины этого рассмотрены в работе автора [16].

Рис. 21. Влияние на увлажнение и набухание бетона длины образцов,
увлажняемых через торцы. Бетон б-месячного возраста к началу увлажнения
состава! : 2,12 ; 4,9 на портландцементе активностью 385 кгс1см2,В1 Ц = 0,638
длины образцов: 1 — 21 см; 2—17,5 см; 3—11,5 см

По своей абсолютной величине набухание бетона значительно
меньше, чем его усадка. Это видно из результатов опытов Р. Девиса
(табл. 31), в которых величина усадки образцов на воздухе после
предшествующего 28-дневного хранения во влажном песке за пол-
года*их высыхания в 6 раз была выше их полугодичного набухания
в воде, а потеря веса — в 3 раза большей, чем его увеличение при
хранении в воде. Об этом говорит также сравнение результатов
опытов автора по усадке' и набуханию бетонов, приведенных выше
и в § III.3, а также некоторые их результаты, обсуждаемые в§ III.6
и III.7.

Можно думать, что физическая природа набухания бетона ана-
логична природе его усадки, мало зависит от капиллярных явле-
ний и связана в основном с набуханием гелевой структурной со-
ставляющей цементного камня при увлажнении. Однако имеются
и некоторые существенные различия в физической картине процес-
сов усадки и набухания бетона. Эти различия будут рассмотрены
в § II 1.7.

§ II 1.5. Физические свойства бетона, связанные
с его влажностными деформациями

При изменениях влажности, связанных с нарушением или от-
сутствием гигрометрического равновесия с внешней средой, непо-
средственным увлажнением и т. п., бетон претерпевает влажност-
ные деформации. Этот вид деформаций неизбежен для сооружений,
находящихся на открытом воздухе, гидротехнических конструкций,
а также конструкций отапливаемых гражданских зданий и про-
мышленных цехов с сухим или, наоборот, влажным климатом.

Появление влажностных деформаций при ограничении переме-
щений конструкций или в связи с неравномерным распределением
их по объему бетона влечет за собой возникновение влажностных
напряжений, которые часто вызывают появление в нем нежелатель-
ных трещин, например усадочных. В указанном случае влажностные
деформации бетона слагаются из свободной влажностной деформа-
ции, при известных условиях пропорциональной изменению его
влажности, и напряженной деформации, называемой уже собст-
венно влажностными напряжениями.

Для расчета влажностных напряжений и деформаций бетона
в первую очередь необходимо располагать данными о величине его
свободных относительных удельных влажностных деформаций усад-
ки и набухания. Величины этих деформаций бетона, по предположе-
нию автора [9, 10], принято характеризовать соответственно коэф-
фициентом линейной усадки р и коэффициентом линейного набуха-
ния т], являющимися аналогами его коэффициента линейного темпе-
ратурного расширения а.

Коэффициенты Р и т) имеют размерность и физически
представляют собой относительные деформации бетона в мл/мм,
вызываемые изменением его весовой относительной влажности в г!г
на единицу, соответственно при равномерных высыхании (или гигро-
скопическом увлажнении) и увлажнении жидкой влагой. Графиче-
ски эти коэффициенты могут быть интерпретированы как тангенс
угла наклона кривых соответственно усадки или набухания бетона
ц оси изменений его весовой относительной влажности на графиках,
вычерченных в осях «относительная деформация (мм/мм) — из-
менение весовой относительной влажности (а/а)» (см., например,
правые верхние графики на рис. 16—17 и 19—21).

Экспериментально коэффициенты Р и т] у бетона изучены доволь-
но хорошо [9, 10, 15]. Установлено, что величина коэффициента
линейной усадки бетона Р довольно стабильна и у бетонов на одном
и том же цементе мало изменяется при варьировании водоцемент-
ного отношения, содержания цемента, начальной влажности бетона.
и его возраста (рис. 22). Это находит свое выражение в том, что
кривые усадки бетона в осях «относительная усадка — уменьшение
весовой относительной влажности» при изменении этих параметров
остаются почти параллельными друг другу (см. рис. 15—17). Ко-
эффициент же линейного набухания бетона т], в отличие от его ко-

Рис. 22. Влия-
ние на Р и т]
возраста бетона
и технологичес-
ких факторов
я —зависимость р
от В/Ц, сб дер-
жания цемента
(состава бетона)
и возраста бетона:
б—зависимость Т]
от В/Ц и содер-
жания цемента
^состава бетона)
П рнмечание.
На ннжнем гра
фнке (рис. 22, с)
значения Р даны
в процентах от ве
личины р, соот-
ветствующей воз-
расту бетона к на -
чалу высыхания,
равному трем сут-
кам

эффициента линейной усадки р, зависит существенно от влажности
бетона и водоцементного отношения, но практически не зависит от

содержания цемента и его величина значительно меньше величины
Р (рис. 22, б).

Учитывая малую изменчивость коэффициента р и еще пока недо-
статочную изученность факторов, влияющих на коэффициент tj,
на основании описанных выше опытов, в СНиП И-И. 14-69 [139]
и СНиП П-В. 1-62* [174] включены следующие средние значения
этих коэффициентов для обычного тяжелого бетона:

р = 3 • 10~2 --1,мм ; 4 = 5.10-3 мм/мм
г/г	г/г

Этими средними значениями коэффициентов Р и т) указанные
нормы и разрешают пользоваться при расчете бетонных и железо-
бетонных конструкций на изменения их влажности.

§ II 1.6. Влияние длительного внешнего нагружения
на режим высыхания и усадку бетона •

Бетон представляет собой капиллярно-пористое тело, состоящее
из твердого скелета, образованного заполнителями, склеенными
цементным камнем, и большого количества пор различных разме-
ров, образуемых за счет несовершенства уплотнения бетонной смеси
при ее укладке и наличия в ней воды замеса, постепенно расходуе-
мой на гидратацию цемента и испарение. Длительное нарушение
гигрометрического равновесия, вызванное избытком воды, непре-
рывно поддерживаемое изменениями температуры и влажности
внешней среды, приводит к развитию в высыхающем бетоне объем-
ных сил, действие которых сопровождается его усадкой. В тесной
связи с усадкой бетона находится его ползучесть, одной из причин
которой служат также явления, происходящие в высыхающем геле.
Эта связь находит свое выражение в зависимости ползучести бетона
от его влажности, а также во влиянии масштаба образцов на их
деформации при одинаковых условиях загружения.

Большое влияние на происходящие в бетоне явления, связанные
с усадкой и ползучестью, оказывает также длительное его нагруже-
ние, которое вызывает изменение плотности бетона, особенно в ран-
нем возрасте, вследствие его большой пластичности. При соблюде-
нии известных условий это приводит к упрочнению бетона — прак-
тически важному обстоятельству, подробно изученному А. В. Сатал-
киным и Б. А. Сенченко [167]. Известно также, что коэффициент
Пуассона у бетона существенно возрастает с увеличением напряже-
ний, что объясняется повышением его поперечной деформативности
за счет пор и появления микротрещин [36 —38].

Длительное нагружение бетона приводит также к изменению
размеров пор в нем, что изменяет режим его высыхания и, следо-
вательно, должно влиять на усадку. Между тем часто полагают, что
усадка нагруженного и ненагруженного бетона одинакова. Такое
допущение, например, обычно используют при обработке экспери-
ментальных данных о ползучести бетона. Специальное эксперимен-
тальное исследование этого вопроса, проведенное автором [8, 13, 18],
показало, что такое предположение неправильно, а ошибки, связан-
ные с ним, существенны, трудно оценимы и переменны по величине.

В этих исследованиях было установлено, что изменения влаж-
ности бетона по мере его высыхания у нагруженных и ненагружен-
ных образцов-близнецов неодинаковы, что видно из рис. 23, иллю-
стрирующего некоторые результаты этих опытов на образцах, вы-
сыхающих с боковой поверхности.

По оси ординат на этом рисунке отложены превышения изме-
нений весовой относительной влажности длительно нагруженных

Рис. 23. Сравнительные данные о режимах высыхания нагруженных и не-
нагруженных образцов

а—растяжение; б — сжатие; 1 — образцы сечением 1X2 см, из раствора состава 1 : 3
В/Ц = 0,33; 2— то же, сечением 2,7x2.7 см-, 3 — образцы сечением 5x5 см, из бетона
состава 1: 2,1 : 4,9, ВЦ = 0,71

образцов над ее изменениями у образцов ненагруженных, найденные
непосредственным определением разности в весах сравниваемых
образцов и отнесенные к единице приложенных напряжений.

Из рис. 23 следует, что длительно растянутые образцы вслед
за приложением нагрузки во всехХ случаях высыхали быстрее нена-
груженных. При этом, например, у больших нагруженных бетон-
ных образцов превышение изменений относительной влажности над
ее изменениями у образцов ненагруженных доходило до 5% на
1 кгс/см2 напряжений.

 Сжатые же образцы вели себя по-разному: малые образцы с боль-
шим модулем поверхности вслед за приложением нагрузки высыхали
медленнее ненагруженных образцов-близнецов; большие же
образцы с малым модулем поверхности, наоборот, высыхали бы-
стрее контрольных образцов (превышение изменений относительной
влажности у них доходило до 2% на 1 кгс/см2- напряжений). Сред-
ние образцы занимали промежуточное положение: вначале сжатые
образцы высыхали быстрее контрольных ненагруженных, а затем
медленнее их. Таким образом, имеется очевидное влияние внешнего
длительного нагружения бетонных образцов на режим их высыха-
ния. Причины этого рассмотрены в раборе автора [8].

Поскольку экспериментально доказано, что влажностная усад-
ка бетона при известных условиях прямо пропорциональна изме-
нениям его влажности [7, 9], то, следовательно, нагружение бетона
оказывает влияние не только на его высыхание, но одновременно
и на его усадку, увеличивая ее. Это обстоятельство подробно иссле-
довано в работах автора [8, 13, 18].

§ II 1.7. Некоторые особенности усадки и набухания бетона,
существенные для расчета влажностных напряжений

Поскольку усадка и набухание являются следствием изменений
влагосодержания в бетоне для расчета связанных с ними влажност-
ных деформаций и напряжений, необходимо располагать данными
о зависимости усадки и набухания бетона от изменений его отно-
сительной влажности. Опыты автора [7, 9, 10], проведенные в этом
направлении, выявили ряд некоторых особенностей влажностных
деформаций бетона, важных для расчета бетонных и железобетонных
конструкций на изменения их влажности. Изучение этих особенно-
стей стало возможным благодаря применению новой методики экспе-
риментального изучения усадки и набухания. Эта методика состоя-
ла в следующем.

Образцы в виде бетонных призм изготавливались в стальных фор-
мах. После распалубки, обычно в возрасте 2 суток, в течение кото-
рых образцы хранились укрытыми влажными опилками, они гидро-
изол ировались по боковой поверхности нитрокраской и парафином.
Далее на них устанавливались рычажные тензометры на двух взаим-
но противоположных гранях на базе, практически равной длине
образца. Для этого использовались специально заложенные в об-
разцы металлические пластинки. Торцы образцов в течение всего
опыта оставались открытыми, поэтому их высыхание или искусст-
венное увлажнение проходило только через торцы. Таким образом
в опыте искусственно создавались направленные (осевые) высыха-
ние или увлажнение образцов.
Такая методика выгодно отличается от обычно применяемой ме-
тодики изучения деформаций бетона на образцах, подверженных
всестороннему высыханию или увлажнению. Осевые высыхание и ув-
лажнение образцов исключают неравномерное распределение влаж-
ности по их сечению, возникающее при всестороннем высыхании
или увлажнении, которое сопровождается развитием напряженных
деформаций, накладывающихся на «чистые» деформации усадки
или набухания и затемняющих их1 * * *. Кроме того, она также почти
исключает влияние случайных кратковременных колебаний влаж -
ности воздуха в помещении. Происходит это потому, что эти коле-
бания, обычно имея малую длину волны, при гидроизолированной
боковой поверхности образца проникают в него лишь на незначитель-
ную глубину со стороны открытых торцов, малую сравнительно с его
длиной.

Наконец, что также важно, гидроизолированный с боков об-
разец моделирует пластины и плиты, а также поверхностные слои
массивных сооружений, у которых преобладают потоки влаги в од-
ном направлении.

Образцы систематически взвешивалчсь на весах с точностью до
0,01 г для определения изменений в весе вследствие высыхания
или увлажнения. Одновременно с точностью (0,5 4- 1) 10~5 по
тензометрам велись наблюдения за их относительными деформация-
ми. Высыхание образцов происходило в естественных условиях, для
чего образцы хранились подвешенными и взвешивались на весах
в таком же положении. Увлажнение образцов выходило за границы
гигроскопической влажности бетона, как это, например, имеет
место в сооружениях, соприкасающихся с водой, и осуществлялось
с помощью ватных фитилей через торцы призм.

Для феноменологической теории усадочных напряжений и дефор-
маций бетона большое значение имеет выяснение зависимости
между усадкой бетона и уменьшением его влажности при высыха-
нии. Эта зависимость устанавливает связь между изменениями поля
влажности бетона и поля его усадочных деформаций и без нее нель-
зя перейти к расчету усадочных напряжений.

Графически рассматриваемая зависимость изображается экспе-
риментальными кривыми свободной, не стесненной усадки бетона
при его одномерном (см. выше) высыхании в осях: «Изменения весо-
вой относительной влажности — относительная усадка». Учиты-
вая большое практическое значение этих кривых, необходимо иметь
единую методику их построения. Практически эти кривые имеют
вид S-образных кривых, подобных изображенным на рис. 24 и от-
носящимся к одному из бетонов, исследованных в опытах автора.
Такой вид кривых усадки не случаен.

1 При осевых высыхании или увлажнении образца в нем возникает не-

равномерное распределение влажности лишь вдоль его продольной оси. Свя-

занные с этим влажностные напряжения имеют второй порядок малости по

сравнению с напряжениями, появляющимися при всесторонних высыхании

или увлажнении.
После установки на высыхание бетонного образца, достаточно
влажного для того, чтобы в его порах имелась свободная вода,
и имеющего температуру, равную температуре окружающего воз-
духа (сухого термометра), начинается процесс влагообмена с внеш-
ней средой. Вначале, интенсивно испаряясь, удаляется свободная
вода, причем зона ее испарения постепенно проникает в глубь
образца. Испарение свободной воды не сопровождается усадкой
бетона, однако при этом его температура в зоне интенсивного испа-

Рис. 24. Кривые зависимости усадки бетона от влагопотерь образцов во
время их осевого высыхания. Призмы 5 X 5 X 11,5 см из бетона на мелком
щебне состава 1 : 2,1 : 4,9 на портландцементе активностью 475 кгс/см?,

В[Ц = 0,74

возраст Сетоиа к началу высыхания: 1 — 3 суток; 2 — 7 суток; 3—14 суток; 4 — 28 суток

рения снижается до температуры мокрого термометра, и образец
в этой зоне, а также на близлежащих участках, куда проникает волна
охлаждения, претерпевает температурное сокращение. Этот про-
цесс, протекающий во времени, связан с одновременным изменением
веса образца и соответствует начальному восходящему участку на
кривой его деформаций.

После того как в зонах, прилегающих к открытой поверхности
образца, свободная вода испарится, бетон этих зон постепенно при-
нимает температуру сухого термометра, претерпевая при этом темпе-
ратурные расширения. Этот процесс соответствует нисходящему
участку на кривых усадки (рис. 24). Развивающееся вслед за этим
дальнейшее высыхание образца связано уже с испарением адсорби-
рованной воды геля и сопровождается интенсивной усадкой бетона,
накладывающейся на предшествующие деформации и дающей резко
выраженную восходящую ветвь на кривой усадки.
В том случае, когда начальная влажность бетона такова, что
в нем нет запаса свободной воды, кривые усадки не имеют ни S-об-
разного вида, ни начального участка практически нулевой усадки.
В этом случае кривая усадки начинается с начала координат и по-
следняя однозначно связана с изменением влажности бетона. Это
подтверждается экспериментами автора [9] и видно, например, на
кривых усадки, изображенных на рис. 25 и относящихся к подсу-
шенным призмам.

Интересны в этом отношении также опыты, описанные Менде-
лем [241], результаты которых изображены на рис. 26. Кривые
усадки на этом рисунке относятся к образцам, изготовленным из
цементного теста, разбавленного порошкообразным кремнеземом
в различных соотношениях: от чистого цемента до смеси из 25%
цемента и 75% кремнезема. Образцы выдерживались в течение
недели при температуре 21° С.

Как видно из рисунка, усадка образца из чистого цемента с са-
мого начала прямо пропорциональна влагопотерям, что указывает
на то, что в этом образце практически отсутствуют поры и капилля-
ры и, следовательно, нет и свободной воды.

При наибольших содержаниях кремнезема вид кривой усадки
ясно указывает на наличие пор и свободной воды в образце. По мере
увеличения содержания кремнезема, по этой причине, кривые усад-
ки все более и более принимают указанный выше S-образный вид.
К концу периода высыхания образцов приращения удельной усад-
ки, т. е. усадки, отнесенной к единице веса потерянной влаги, у
всех образцов одинаковы.

В раннем возрасте бетона восходящий начальный участок на
кривых усадки бетона может быть полностью погашен или даже пе-
рекрыт деформациями температурного расширения, связанными
с экзотермическим разогревом образца (см., например, кривую
усадки на рис. 24, относящуюся к началу высыхания образца
в 3-дневном возрасте).

Как следует из рис. 24, температурные деформации на началь-
ном периоде удаления из бетона свободной воды не велики. В описы-
ваемых опытах они не превышали (1 4- 2) 10~5 мм/мм при общей
усадке порядка (50 4- 75) 10~5 мм/мм, поэтому практически их
можно не принимать во внимание. В соответствии с этим, имея в ви-
ду «чистую» усадку не затемненную этими температурными дефор-
мациями, следует за начало этой усадки принимать момент, соот-
ветствующий наинизшей точке начальной нисходящей ветви на
кривой усадки (рис. 24).

Приняв за нуль отсчета усадки деформацию образца в этот мо-
мент времени, мы будем иметь кривую чистой усадки бетона, ана-
логичную кривым, изображенным на рисунках в § III.3. При этом
мы получим, что до этого момента времени удаление свободной воды
не сопровождается усадкой бетона, что согласуется с современными
представлениями о ее физической природе.


> ff e -s > 1 J К
Рис. 26. Экспериментальные кривые зави-
симости усадки от влагопотерь цементного
камня с различным содержанием (в процен-
тах по весу) гонкомолотого кремнезема

Рис. 25. Влияние начальной влажности
бетона на его усадку при высыхании. Бетон
состава 1 : 2,1 : 4,9 на портландцементе
активностью 475 кгс/см2, В! Ц = 0,545
/—подсушенный бетон , 2 — бетон естественной
влажности; 3 — бетон, вымоченный в воде
Рассмотренный прием и был положен в основу обработки экспе-
риментальных кривых усадки в опытах автора, обсуждаемых в на-
стоящей работе.

Исследования влажностных деформаций бетона, проведенные
автором по описанной выше методике, свидетельствуют о необрати-
мости в широком смысле слова объемных изменений бетона при его

Рис. 27. Кривые деформаций бетона и изменений его влажности при попе-
ременных высушиваниях и увлажнениях. Восходящие ветви — усадка
(высыхание); нисходящие — набухание (увлажнение). Бетон состава
1 : 2,1 : 4,9 на портландцементе активностью 475 кгс/см2, В/Ц = 0,545

повторных попеременных высыханиях и увлажнениях. Характер
этой необратимости усадки и набухания бетона в условиях осевых
сушки и увлажнения образцов весьма типичен.

На рис. 27 изображены гистерезисные петли влажностных дефор-
маций бетона, наблюдавшиеся в опытах автора, имеющие характер-
ный арфообразный вид, и типичные кривые изменений во времени его
относительной влажности и относительных деформаций. Поскольку
увлажнение бетона во времени протекает значительно быстрее его
высыхания, кривые изменений влажности и деформаций образцов
на рис. 27 изображены с использованием переменного масштаба
по оси времени с увеличением его на отрезках оси, соответствующих
увлажнению образца.
Интересно отметить, что при повторных циклах высушивания
и увлажнения бетона его деформации постепенно затухают, что
проявляет себя в последовательном уменьшении длин ветвей усад-
ки и набухания образца на рис. 27. Это связано с изменением струк-
туры й физико-механических свойств бетона во времени при его ста-
рении и в первую очередь с развитием упругой кристаллической со-
ставляющей цементного камня и старением геля, с одной стороны,
и уменьшением его пористости—с другой. Описываемые опыты начи-
нались с 4-суточного возраста бетона, поэтому эти изменения были
существенными, особенно на первом цикле высушивания.

Так как степень увлажнения образца в опыте превышала на-
чальную естественную влажность бетона после распалубки, то ни-
сходящие ветви набухания на рис. 27 пересекают вертикаль его
начальной влажности и значительные участки этих ветвей располо-
жены слева от нее.

Одной из причин наблюдаемого гистерезиса влажностных де-
формаций является неоднозначная зависимость усадки и набухания
бетона от изменений его влажности. Эта неоднозначная зависимость
между деформациями бетона, связанными с его высыханием или
увлажнением и наблюдаемыми при этом изменениями его относи-
тельной влажности, видна на рис. 25, относящемся к случаю усад-
ки бетонных призм-близнецов в условиях их осевой сушки при гидро-
изолированной боковой поверхности, имеющих различную началь-
ную влажность.

Из рис. 25 следует, что при достаточно большой начальной влаж-
ности влагопотери образцов в начале высыхания не сопровождаются
усадкой. Усадка начинает развиваться лишь по достижении влаго-
потерями определенных значений, тем больших, чем больше началь-
ная влажность призм. Следствием этого является неоднозначная
зависимость усадки бетона от уменьшения его относительной влаж-
ности: одному и тому же по величине уменьшению влажности образ-
цов-близнецов, вымоченных, естественной влажности и подсушен-
ных соответствуют разные по величине деформации усадки. Наобо-
рот, одна и та же усадка у них является следствием различных изме-
нений относительной влажности больших у вымоченных призм,
менщпих у призм естественной влажности и еще меньших у призм
подсушенных. Эта неоднозначность объясняется тем, что в начале
высыхания влажного бетона сначала удаляется свободная вода из
крупных пор цементного камня, что не вызывает усадки отвердев-
шего бетона [7, 9, 201]; только после потери всей или большей части
свободной воды в образце начинаются высыхание и объемные изме-
нения геля, сопровождающися усадкой бетона.

Второй, не менее важной причиной гистерезиса влажностных
деформаций бетона является существенное различие в физической
картине процессов его усадки и набухания, и связанные с этим раз
личие в величинах коэффициентов линейной усадки и линейного
набухания.

|Й®!!

ifcs

Ври

ДЙЙ

ah
л с®
Я IB

/jok:

EEBI
ал
'и®
ЗИЙ
38 ta
нар®

1ИИ.1
ЯН
tan
фи
ф
 JEB

ш
зтоврв
№1)1

®згв
51ЙИ

6 ИЙ
ЙВрэд
'*И®

 if
8«вав
Miqi

•“II
ias BNCytiSg
° затухай,
®ивеодгй

Wpiiiii
Wi
одакд
«оме;

SWliffl (f
и.

ореиаь
iayta,M
верпа a
ежйрасг

мкж»
in «ata
ЯЗИИГ
И E5
iieraoiBi-
CJ)WW
жлрипфг
И01Ш

МЮ®
омвяа
ИЛ J®
иена®
[нозян®'
им*
TiioSpai'
вдсуда-

На
blllBJlf’
при®.
|'лрв>1

W®
ерд
чай
!ПЗ<

дав®

®»F
®еМ°

При высыхании бетона в малых объемах из него вначале уда-
ляется в основном вся свободная вода, обладающая меньшей энер-
гией связи, чем связанная вода геля 17, 9, 2011. Удаление воды геля
в зонах, прилегающих к открытой поверхности высыхания, задер-
живается транзитом свободной воды из внутренних более влажных
зон бетона, поэтому высыхание геля начинается лишь после ее
удаления.

При набухании же бетона процесс увлажнения раздваивается.
Наряду с транзитом жидкой свободной воды в его внутренние бо-
лее сухие зоны происходит увлажнение геля в зонах, лежащих
на ее пути, сопровождающееся переходом части этой свободной воды
в связанную воду геля.

В соответствии с изложенным деформации бетона при высыхании
и увлажнении не могут быть обратимы, так как кривая его усадки
соответствует изменениям влажности, связанным лишь с потерей
связанной воды геля при его высыхании после предшествующего
удаления свободной воды, в то время как кривая набухания соот-
ветствует изменениям влажности, связанным как с увлажнением
геля, так и с одновременно происходящим заполнением пор бетона
свободной водой. Следствием изложенного является существенное
различие в кривых набухания и усадки бетона.

Если типичная кривая усадки высыхающего бетона представляет
собой монотонную кривую, являющуюся прямой линией, за исклю-
чением небольшого начального участка, то типичная кривая набу-
хания бетона при увлажнении имеет более сложное очертание. Для
нее характерны начальный пологий участок, которому, как прави-
ло, предшествует некоторый участок почти нулевых деформаций
набухания, и крутая восходящая ветвь в конце увлажнения после
изменения знака кривизны кривой (рис. 28).

Помимо необратимости процессов усадки и набухания бетона
в координатах «изменение влажности—деформации» имеет место
также необратимость этих процессов во времени. Это находит свое
выражение в том, что время увлажнения и набухания бетона не-
измеримо мало по сравнению со временем его высыхания и усадки.
Так, в описываемых опытах первое из них составляло не более 10
суток, в то время как второе достигало почти трех месяцев. Такое
различие во времени достижения равновесного состояния при
высыхании (усадке) бетона и его увлажнении (набухании) объясняет-
ся указанным выше существенным различием в физической картине
усадки и набухания.

При длительном цикле попеременных повторных высушиваний
и увлажнений постепенно уменьшаются по величине и стабилизи-
руются во времени не только деформации бетона, но и наблюдаемые
при этом изменения его влажности. Это говорит о том, что наряду
с изменением механических свойств бетона Но времени происходит
также и изменение его физических свойств, т. е. структуры. Таким
образом, по мере старения бетона меняется не только характер его
пористости, но и количественное соотношение между содержанием
в единице объема его гелевой и кристаллической структурных
составляющих.

Изучение особенностей усадки и набухания бетона позволяет
сделать ряд некоторых общих выводов, важных для теории влаж-
ностных напряжений. Прежде всего мы уже видели выше, что де-
формации бетона, связанные с изменением его влажности, необрати-
мы в широком смысле этого слова. Такая необратимость деформаций
существенно затрудняет установление аналитической связи между

4o-io~s	чо-ю5

Продолжительность опыта в сутках

Рис. 28. Кривые деформаций и изменений влажности бетона при одномер-
ных (осевых) высыхании и увлажнении образцов. Бетон состава 1 : 2,1 : 4,9
на портландцементе активностью 475 кгс/см2, В/Ц = 0,545

/—усадка (высыхание) начиная с возраста 4 суток; 2 —набухание (увлажнение) после
предшествующего высыхания

полями изменения влажности бетона и влажностных деформаций,
или напряжений в нем, особенно при его попеременных периодиче-
ских высыханиях и увлажнениях, на широком диапазоне изменения
влажности. Между тем эти процессы не только протекают в бетоне под
влиянием атмосферных воздействий, но часто являются обычными
для работы конструкций, как это, например, имеет место в зонах
переменных уровней гидротехнических сооружений, цехах с мокрой
технологией, а также в периодически наполняемых водой и опораж-
ниваемых конструкциях (емкости, шлюзы, доки и т. п.).

С другой стороны, неучет такого характера деформирования
бетона при изменениях его влажности может привести к ошибоч-
ным расчетным значениям деформаций и напряжений of усадки илй
набухания. Поэтому эффективная теория влажностных напряжений
в бетоне должна отражать в какой-то мере эти особенности дейст-
вительной картины его усадки и набухания.

Выше мы видели, что лишь часть полных изменений влажности
бетона, связанная с уменьшением влажности собственно геля, со-
провождается его усадкой. Изменение же влажности бетона за счет
уменьшения лишь содержания в нем свободной воды усадки не
вызывает.

Поскольку усадка бетона при достаточно большой его начальной
влажности начинается лишь после некоторого начального высыха-
ния, необходимо сосредоточить внимание на том значении эффектив-
ной влажности бетона, начиная с которого в нем развивается усадка.
Эффективной влажностью бетона U3 мы будем назы-
. вать часть его полной влажности, представляющую собой меру со-
держания в нем адсорбционно связанной воды геля, удаление кото-
рой сопровождается его усадкой. Остальная часть полной влажности
бетона представляет собой меру содержания в нем свободной воды,
удаление которой не вызывает его усадки.

Если назвать предельную величину эффективной влажности
бетона, при которой гель имеет максимальную степень увлажнения
при отсутствии в бетоне свободной воды, критической
влажностью бетона [/кр<, то тогда можно сказать, что усадка
бетона связана лишь с изменениями его эффективной влажности,
меньшей ее критического значения Ц;Р. А эти изменения влажности
бетона уже будут однозначно связаны с его усадкой.

Величины изменений эффективной влажности в опытах, резуль-
таты которых изображены на рис. 15—17 и им подобных, равны
величинам проекций кривых усадки на ось изменений весовой отно-
сительной влажности бетона. При полном высушивании бетона до
нулевой влажности предельные величины этих проекций численно
будут равны критической влажности бетона.

Величина критической влажности бетона зависит от сорта це-
мента, водоцементного отношения, содержания цемента (состава
бетона) и его возраста. Данные проведенных экспериментальных
исследований показывают, что величина критической влажности
бетона возрастает с ростом В/Ц и содержания цемента в линейной
зависимости примерно на 15% на каждые 25 кг цемента в кубическом
метре бетона и каждую 0,1 В/Ц (рис. 29). Поэтому для ее определе-
ния для условий, близких к условиям опыта, автором была предло-
жена формула

Ц<р = №70-И^кр,	(III.2)

учитывающая влияние на критическую влажность бетона указанных
параметров, а также масштабного фактора [16].

Здесь Wz70 — расчетная равновесная влажность бетона в конст-
рукции, соответствующая относительной влажности
воздуха 70%, равная 0,0125 г/г для немассив-
ных конструкций и 0,00625 г/г для массивных кон-
струкций:

Ukv — расчетная избыточная сверх равновесной влажности
Wz70 критическая влажность бетона, равная 0,01 г/г
для немассивных конструкций и 0,005 г/г для
массивных конструкций,
k — коэффициент, определяемый по табл. 34 в зависи-
мости от марки бетона.

Таблица 34

Зависимость коэффициента k в формуле (III.2) от марки бетона

Марка бетона	100	150	200	300	400	500	600
k	1,6	1,5	1,4	1,3	1,2	1,1	1  *.

Для конструкций средней массивности величины IF7O и U^p на-
ходятся по интерполяции.

В зависимости от модуля поверхности, открытой для высыха-
ния, т[лг~Ч (отношения поверхности элемента, открытой для высы-

Рис. 29. Зависимость U*p от
содержания цемента (состава
бетона) и В!Ц. Естественное
высыхание на воздухе с отно-
сительной влажностью 70% до
равновесной влажности U7.
Бетон 4-суточного, возраста к
началу высыхания, на порт-
ландцементе активностью
475 кгс/см2

Состав бетона: на верхнем гра-
фике — для отдельных групп
экспериментальных точек (сле-
ва направо) 1 : 2,1 : 4,9,;
1 : 1,68 : 3,92; 1 ; 1,4 : 3,27,
на нижнем графике— 1:2,1:4,9

хания, к его объему) бетонные и железобетонные конструкции
могут быть разделены на: а) массивные конструкции т 2,
б) конструкции средней массивности 2 < т < 15 и в) конструкции
немассивные т~^ 15 [1741.

Итак, пути развития эффективных методов расчета влажностных
напряжений в бетоне,’ отражающие рассмотренные выше особенно-
сти его усадки и набухания, состоят, во-первых, в учете указанной
неоднозначной зависимости усадки бетона от изменений его
влажности с помощью введения в рассмотрение эффективной и кри-
тической влажностей и, во-вторых, в использовании разных по
величине коэффициентов линейной усадки и линейного набухания
бетона (§ II 1.5).

Располагая данными о критической влажности бетона, а также
величинами коэффициентов его линейной усадки |3 и линейного
набухания т], всегда можно уже определить предельные расчетные
свободные влажностные деформации и.перемещения бетонных и же-
лезобетонных элементов, необходимые для расчета влажностных
усилий и напряжений в статически неопределимых конструкциях.
Эти линейные относительные деформации усадки прямолинейного
элемента еу при заданной относительной влажности воздуха
Ф будут равны1:

(Ш-3)

где W<p — расчетная равновесная влажность бетона в г!г, соот-
ветствующая относительной влажности воздуха ф.

Учитывая, что по линейной интерполяции



(Ш.4)

и внося (III.2) и (III.4) в (III.3), имеем:

е? = ₽[^,.(1—-£)

(III.5)

-Ht/кр

Указанная методика определения предельных расчетных величин
усадки и положена в основу СНиП П-В. 1-62*.

Для расчета свободных линейных относительных деформаций
набухания бетона ен (f) с учетом зависимости коэффициента линей-
ного набухания от влажности может быть предложена следующая
формула:

еи(0=— $ i\(U)dU.	(III.6)

Оо

Если в качестве т] (17) принять его некоторое среднее значение,
то формула (III.6) принимает вид [101:

(0 = — П [^ (/)—С701-

(III.7)

По аналогии могут быть получены и общие формулы для дефор-
маций (перемещений) от усадки и набухания бетона для плоской
системы, составленной из брусьев или плит. Эти формулы приведе-
ны в главе X.

1 Для того чтобы в последующем получить знак плюс у растягивающих
усадочных напряжений, деформации укорочения от усадки здесь и в дальней-
шем считаются положительными, а деформации удлинения от набухания, по
аналогии, — отрицательными.^
При ограничении изменений длины элемента в рассмотренных
выше случаях в нем могут возникнуть упругие влажностные напря-
жения усадки:

cry = ey£0.	(II 1.8)

или набухания:

U(t)

—Е (t) J n(U)dU-,	(III.9)

Uo

oH(0=-n[^(0-t/0]£(0-	(Ш.Ю)

В действительности же за счет ползучести бетона величины этих
напряжений существенно снижаются (см. главы VII и VIII), по-
этому при их расчете учет ползучести бетона обязателен. Методы
учета ползучести бетона при расчете температурных и влажностных
напряжений изложены в главе VII.

Наиболее часто встречаются случаи неравномерного изменения
температуры и влажности бетона по сечениям элементов конструк-
ций. Определение температурных и влажностных напряжений
в этом случае требует привлечения методов теории упругости.

Однако в подавляющем числе случаев железобетонные статиче-
ски неопределимые конструкции представляют собой либо стержне-
вые системы, составленные из брусьев (неразрезные балки, рамы
сборных промышленных цехов и т. д.), либо пространственные кон-
струкции, составленные из плит, с расчетными схемами в виде плос-
ких элементов, работающих по схеме стержневых конструкций
(туннельные конструкции, многопролетные покрытия и т. д.). Для
определения температурных и влажностных деформаций (перемеще-
ний) и нормальных напряжений (усилий), действующих в подобных
конструкциях в сечениях, перпендикулярных продольной оси их
элементов, можно воспользоваться гипотезой плоских сечений.
Основанные на этом допущении методы расчета упругих темпера-
турных напряжений в бетонных брусьях разработаны Г. Н. Мас-
ловым [117, 119]. В дальнейшем мы воспользуемся ими, распро-
странив их на расчет влажностных деформаций (перемещений)
и напряжений (усилий) и обобщив их на случай учета ползучести
бетона.

'й
$
у

н

1'

ИЛ
Глава IV

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ

ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА

Уже давно было замечено, что поведение бетона под нагрузкой
не соответствует идеализированной схеме гуковского упругого
тела. Действительно, даже при неизменных во времени нагрузках
деформации бетона продолжают развиваться, т. е. «ползти» с тече-
нием времени, а напряжения, при известных условиях, могут умень-
шаться или, как говорят, релаксировать.

Эти особенности бетона отчетливо проявляются при наблюдении
за деформациями бетонных призм, загруженных осевыми постоян-
ными напряжениями, или за величиной приложенного к ним усилия,
которую следует поддерживать для сохранения постоянной во вре-
мени первоначально сообщенной им деформации.

Ползучесть и связанная с ней способность к релаксации напря-
жений являются важными свойствами бетона, которые приходится
учитывать при рассмотрении длительных воздействий на него нагруз-
ки, изменений температуры или влажности. Кроме того, бетон обла-
дает еще способностью «стареть», т. е. изменять во времени характе-
ристики своих физико-механических свойств: прочность, модули
упругих продольных деформаций и сдвига, коэффициент попереч-
ной деформации и т. д.

При учете ползучести и старения бетона связь между его дефор-
мациями и напряжениями становится более сложной, чем в случае
идеального упругого тела, для которого, как известно, эта связь
выражается сравнительно простым обобщенным законом Гука.

Установлением аналитической связи между деформациями и на-
пряжениями с учетом ползучести и старения бетона, анализом этой
связи и решением на ее основе ряда прикладных задач и занимается
теория ползучести.

Современная теория ползучести бетона представляет собой фено-
менологическую теорию, т. е. теорию, основанную на отражении
объективных экспериментальных данных без глубокого проникно-
вения в физическую сущность самого явления ползучести. Произо-
шло это потому, что даже до настоящего времени физическая приро-
да ползучести бетона еще не раскрыта полностью и, как известно,
существуют различные, порой несовместимые взгляды па сущность
этого явления и его причины (см. § IV. 1).

Экспериментальные основы теории ползучести бетона были за-
ложены в ранних работах Дэвиса, Дютрона, Глэнвилля, Шенка и др.
Однако бурное развитие эта теория, как самостоятельная область
науки о напряженно-деформированном состоянии упруго-ползу-
чих тел, получила лишь в исследованиях советских ученых, кото-
рым принадлежат наиболее значительные работы по этой проблеме.
К их числу относятся исследования Н. X. Арутюняна, В. М. Бонда-
ренко, Н. А. Буданова, П. И. Васильева, А. А. Гвоздева, А. Б. Го-
лышева, И. И. Гольденблата, Я. Д. Лившица, К- С. Карапетяна,
А. П. Кудзиса, А. К. Малмейстера, Г. Н. Маслова, Н. Я- Панари-
на, И. Е. Прокоповича, Ю. Н. Работнова, А. Р. Ржаницына
М. И. Розовского, И. И. Улицкого, 3. Н. Цилосани и многих дру-
гих авторов. В частности, Г. Н. Масловым—Н. X. Арутюняном
была разработана получившая всеобщее признание у нас и за
рубежом отечественная теория упруго-ползучего тела (наследствен-
ная теория старения), наиболее полно отражающая основные свой-
ства бетона, интенсивно развиваемая в настоящее время в трудах
ряда советских ученых.

Ниже рассматриваются некоторые вопросы линейной теории'
ползучести бетона, важные для проблемы температурных и влаж-
ностных напряжений, и предлагаются эффективные аналитические
выражения для наследственных функций теории упруго-ползучего
тела, при которых эта теория наилучшим образом согласуется с ре-
зультатами опытов.

§ IV.1. Ползучесть бетона

На способность бетона к неупругим деформациям обратил
внимание еще Консидер [217] в своих исследованиях деформаций
бетона при растяжении в условиях непродолжительной выдержки
нагрузки. Однако самое раннее исследование собственно ползучести
бетона принадлежит, по-видимому, Вульсону [254], отметившему
увеличение во времени прогибов под нагрузкой испытанных им
железобетонных балок. Подмеченное им свойство бетона он назвал
термином «flow», т. е. «течением» (ползучестью), ставшим вслед за
этим обиходным в специальной литературе.

Некоторое время этому свойству не придавалось значения, но
интерес к нему продолжал расти и вскоре после ряда разрознен-
ных экспериментальных работ начинается глубокое систематиче-
ское исследование влияния различных факторов на ползучесть бе-
тона.

Установлено, что на ползучесть бетона существенное влияние
оказывает ряд технологических и физико-механических факторов,
а также среда, в которой он находится. Результаты опытов Глэн-
вилля [227] и Росса [243] указывают на то, что деформации ползу-
чести последовательно возрастают, если применять цементы в такой
последовательности: глиноземистый, высокосортный портландский,
обыкновенный портландский. Это объясняется тем, что бетоны на
высокосортных цементах имеют большую начальную прочность,
с другой стороны, эти цементы имеют повышенное содержание мине-
ралов С3А и C4AF, что приводит к увеличению содержания кристал-
лической структурной составляющей в единице объема цементного
камня в бетоне [201, 165] и, в свою очередь, к его большей сопротив-
ляемости деформациям.

С увеличением В/Ц ползучесть бетона при прочих равных усло-
виях возрастает [218]. Объясняется это тем, что при увеличении
В/Ц гель, разжижаясь, становится менее вязким и его содержание
в единице объема бетона возрастает, бетон же становится менее проч-
ным, а следовательно, и более деформируемым. При прочих равных
условиях (в особенности при равных В/Ц) ползучесть бетона воз-
растает также с ростом содержания цемента [2181. Таким образом,
жирные бетоны, имеющие большее содержание цементного теста
в единице объема, имеют большую ползучесть, чем тощие. При оди-
наковом же составе бетона и прочих равных условиях, но разных
В/Ц более пластичные бетоны обнаруживают большую ползучесть,
чем менее пластичные.

Значительное влияние на ползучесть бетона оказывает вид за-
полнителя — чем жестче последний, тем меньше ползучесть бетона
1219]. Могут быть, однако, и исключения из этого правила, так как
на ползучесть бетона существенное воздействие оказывают грануло-
метрический состав заполнителя, его пластические свойства, а так-
же способность к водопоглощению и адсорбции.

Многочисленными опытами установлено, что с ростом величины
напряжений ползучесть бетона возрастает и притом не пропорцио-
нально, а быстрее напряжений. Таким образом, между деформация-
ми ползучести и напряжениями существует нелинейная зависимость.
Исследованиями С. В. Александровского, Н. И. Катина, Н. А. Ко-
лесникова, Р. А. Мельника, О. Ai. Попковой и других авторов дока-
зано, что эта нелинейность наблюдается даже при самых низких
уровнях напряжений (рис. 30 и 31). Поэтому никакой области ли-
нейной ползучести, а значит, и четкой границы, отделяющей ее,
не существует. Однако при низких значениях напряжений нелиней-
ность деформаций ползучести не столь существенна. Поэтому
принято считать, хотя это и неточно, что до уровня напряжений, не
превышающего половины призменной прочности бетона, связь между
напряжениями и деформациями^ползучести при сжатии линейна.
В случае же растяжения бетона, как это подтверждается опытами
Н. И. Катина [94], П. И. Васильева [50], А. Е. Шейкина и В. Л.
Николаева [207] и ряда других авторов, эта линейная связь сохра-
няется почти вплоть до его разрушения.

Знак напряжений также оказывает влияние на ползучесть бе-
тона. Однако данные различных исследователей о соотношении ве-
личин деформаций ползучести при его сжатии и растяжении весьма
противоречивы. Так, в опытах Глэнвилля и-Томаса [226—229]
ползучесть бетона при растяжении оказалась' одинаковой с его
ползучестью при сжатии, а в опытах П. И. Васильева [50] и
В. В. Блинкова [40] она была выше последней в 1,5 раза. В анало-
гичных опытах Н. И. Воронкова [61] эта цифра была уже равна 3,
а у А. В. Саталкина [166] доходила даже до 5. Причины этого, свя-
занные с несовершенством методики эксперимента, рассмотрены
подробно в работе автора [18].

Наибольшую ясность в этот вопрос вносят опыты С. В. Алек-
сандровского и В. Я- Багрия [19], проведенные на гидроизолиро-
ванных от высыхания бетонных образцах молодого возраста. Эти
опыты показали, что при численно равных или близких по абсолют-
ной величине напряжениях разных знаков деформации ползучести
при растяжении значительно больше (в среднем в 1,5 раза), чем при
сжатии. По-виднмому, это объясняется тем, что при прочих рав-
ных условиях степень деструктивных изменений в бетоне под на-
грузкой в случае длительного растяжения больше, чем при сжатии.
Поэтому при расчете бетонных конструкций (когда недопустимо

Рис. 30. Влияние начального уровня напряжений о//?Пр на ползучесть
бетона при сжатии [17]

Примечание. Бетон состава 1:2,17:3,8! В/Ц = 0,66 на портландцементе
активностью 326 кгс/смУ----------экспериментальные кривые;---------теоретические

кривые, рассчитанные по методике автора [17]; т, — возраст бетона к началу загружения.

появление трещин), работающих при низких напряжениях в зоне
сжатия (например, случай внецентренного сжатия с двузначной
эпюрой напряжений), более правильно исходить из неравенства мер
ползучести — меньшей при сжатии и большей при растяжении.
В этом случае бетон следует рассматривать как неоднородное тело
с различными характеристиками ползучести при сжатии и растяже-
нии.

Для численно неодинаковых по абсолютной величине напряже-
n I , I . I .  I , .1 Q 1,1,1 ,1 . I , l^-'l ,1,1 I I ll I I 1 J
Q,1 Dt2 0t3 0^ 0,5 0,6 Dt70,8	0,1 0,2 0,3 OH 0,5 0,6 0,70,8	0 0,7 0,2 0,3 0,^ 0,5 0,6 0,70,8 < 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7D,8

Начальный относительный уровень напряжении &

Рис. 31. Влияние начального уровня напряжений ст//?Пр на деформации ползучести бетона при сжатии,
натекающие за равные промежутки времени t — т (примечание см. к стр. 30) [17]
ний, больших при сжатии и меньших при растяжении, соотношение
между удельными деформациями ползучести при сжатии и растяже-
нии зависит от прочности бетона и от абсолютных значений напря-
жений сжатия, т. е. от степени нелинейности деформаций ползуче-
сти. Оно может быть больше и меньше единицы в зависимости от
соотношения абсолютных величин напряжений сжатия и растяже-
ния.

Для обычно высоких напряжений сжатия, соответствующих
эксплуатационным значениям напряжений в конструкциях, т. е.
в общепринятых границах линейной теории ползучести, ползучесть
бетона при сжатии и растяжении практически можно считать оди-
наковой и вводить в расчет ’меру ползучести бетона, равную его
мере ползучести при сжатии, найденную при напряжениях, близ-
ких к (0,4 4- 0,5) Дпр.

Особым является случай высоких напряжений о>0,5/?пр
в сжатой зоне элемента конструкций, при котором также следует
исходить из неравенства мер ползучести, но уже обратного характе-
ра, учитывать нелинейность деформаций ползучести при сжатии
и применять аппарат нелинейной теории ползучести [17, 22, 41].

Возраст бетона к моменту загружения существенно влияет на
величину деформаций ползучести, которые оказываются тем боль-
шими к данному моменту времени наблюдения, чем моложе был
бетон в момент загружения. В такой же зависимости находятся и пре-
дельные деформации ползучести бетона, загруженного в разном
возрасте.

Сказанное видно на рис. 32, а и б, как в случае непрерывно вы-
сыхающего бетона (опыты Шенка [245]), так и в случае гидроизоли-
рованного бетона, искусственно защищенного от высыхания (опыты
С. В. Александровского и Э. Я. Багрия) [15].

Такой характер влияния возраста бетона на его ползучесть
вполне понятен. Чем старше бетон к моменту загружения, тем он
прочнее и тем меньше содержит он геля, следовательно, при прочих
равных условиях тем меньше и его ползучесть.

.В опытах Девисов [219], Дютрона [224] и ряда других исследо-
вателей было выявлено существенное влияние на ползучесть бето-
на влажности среды, в которой находится незащищенный от вы-
сыхания бетон во время опыта как до, так и после его загружения
(рис. 33, а и б). Результаты этих опытов косвенно указывают на
то, что по мере высыхания бетона его ползучесть должна увеличи-
ваться, однако методика этих опытов не позволяет непосредственно
выявить характер влияния степени влажности самого бетона на его
ползучесть.

Дело в том, что все эти опыты проводились либо на незащищен-
ных от влагопотерь образцах-близнецах, высыхающих на про-
тяжении всего опыта, либо на полностью изолированных от
влагопотерь образцах, не высыхающих на протяжении экспери-
мента (рис. 32).

В первом случае все образцы-близнецы, начиная с момента рас-
Возраст бетона 6 сутках к моменту наблюдения

Возраст бетона ё сутках к моменту
нагружения

Рис. 32. Зависимость полных деформаций и предельных деформаций ползу-
чести бетона при сжатии от его возраста к моменту загружения
а — полные относительные деформации; б—предельные относительные деформации пол-
зучести; 1_бетон, непрерывно высыхающий, начиная с момента распалубки; 2 —бетон,

изолированный от высыхания
палубки, высыхали подобно и в равной степени, так что их кривые
ползучести также подобно и в равной степени искажались с тече-
нием времени за счет высыхания бетона. Во втором же случае кри-
вые ползучести не искажались вовсе, так как бетон не высыхал.

Для прямого исследования влияния на ползучесть влажности
высыхающего бетона при одновременном его старении автором по

Рис. 33. Влияние влажности
среды до и после загружения
бетона на его ползучесть при
сжатии и влажности самого
бетона на его ползучесть и
релаксацию напряжений при
растяжении

а — опыты Дютроиа; / — 60 суток
до загружения—в воде, после заг-
ружения— на воздухе с влажностью
50%; 2— до и после загружения —
на воздухе с влажностью 50%;
3— 60 суток до загружения—на воз-
духе с влажностью 50%; после за-
тру жени я— в воде; 4 — д.о и после
загружения—в воде; б—опыты Де-
виса: до загружения 28 суток — во
влажном песке, после загружения —
на воздухе с влажностью- 5 —50%;
6 — 70%; 7—100%; 8 — в воде;
в—опыты автора; бетон, высыхаю-
щий до загружения и изолирован-
ный от высыхания, начиная с момен-

та загружения

оригинальной методике были проведены специальные опыты, в ко-
торых помимо ползучести изучалась также релаксация напряже-
ний в бетоне. Образны в этих опытах представляли собой призмы, вы-
сыхающие с момента их распалубки в 4-суточном возрасте до мо-
мента-их загружения.
Перед загружением в данном возрасте бетона каждый из уста-
навливаемых под нагрузку образцов полностью защищался от по-
следующего высыхания нанесением гидроизоляционного покрытия.
Таким образом, исследуемый бетон, загружаемый последователь-
но в разных возрастах, имел к моментам загружения различную,
но остающуюся уже неизменной с момента загрузки влажность.

Характер высыхания образцов до их загружения был следующим.
Образцы были гидроизолированы по большей части своей боковой
поверхности и высыхали через открытые участки вблизи торцов.
Таким образом, на среднем участке длин образцов бетон находился
в условиях одномерного (осевого) высыхания. Этим исключалось
на этих участках неравномерное по сечению высыхание бетона,
всегда сопровождающееся значительными напряженными деформа-
циями.

Результаты опытов, относящихся к случаю растяжения бетона,
изображены на рис. 33, в, где на верхнем графике представлены
кривые удельных (т. е. отнесенных к единице приложенных напряже-
ний) относительных деформаций растяжения, а на нижнем — кри-
вые релаксации удельных (т. е. отнесенных к единице сообщенных
упруго-мгновенных деформаций) напряжений. Из рисунка следует,
что ползучесть бетона и связанная с ней его способность к релакса-
ции напряжений повышаются при его высыхании, перекрывая в опи-
сываемых опытах с некоторого момента времени даже обратное
по своему характеру влияние старения бетона. В частности, кри-
вые удельных относительных деформаций на этом рисунке вначале
были такими же, как в указанных выше опытах Шенка и автора
(рис. 32), но по истечении некоторого времени, когда высыхание
бетона становилось уже существенным, начинали постепенно по
величине ординат обгонять друг друга (рис. 33, в). Таким образом,
степень влажности бетона оказывает, прямое и существенное влия-
ние на его ползучесть.

Приведенные выше данные о влиянии влажности среды и бе-
тона на его ползучесть относятся к случаю его осевого нагружения.
При изгибе же в опытах 3. Н. Цилосани [200] наблюдалась обрат-
ная картина. Все испытанные им цементно-песчаные образцы со-
става (по весу) 1:3, В/Ц = 0,5, прошедшие термообработку, пред-
варительно высушенные, находящиеся в гигрометрическом равнове-
сии со средой и предварительно насыщенные водой, увеличивали
прогиб по мере увеличения влажности среды, и он был наибольшим
у балочек, испытанных в воде. Автор объясняет это облегчением
возникновения и развития под нагрузкой микродефектов структуры
цементного камня во влажной среде, в частности в воде, за счет ад-
сорбционных и иных явлений. Действительно, можно думать, что
в малых предварительно высушенных образцах, которые были испы-
таны 3. Н. Цилосани, сечением всего 2 X 3 см эти явления могли
играть значительную роль.

Существенное влияние на ползучесть высыхающих под нагруз-
кой образцов оказывает масштабный фактор. Опытами В. С. Бул-
гакова [46], Дэвиса [218, 219], К. С. Карапетяна [89, 90], И. И. Тем-
нова [178], И. И. Улицкого [186] и ряда других авторов показано,
что ползучесть незащищенного от высыхания бетона как при кратко-
временном, так и при длительном действии нагрузки тем больше,
чем меньше поперечное сечение образца. На рис. 34, а приведены
соответствующие данные опытов В. С. Булгакова.

По-видимому, между влияниями масштабного фактора и влаж-
ности бетона на его ползучесть имеется тесная связь: малые образ-
цы высыхают быстрее больших; в любой момент времени влажйость
бетона в них меньше, чем в больших образцах, поэтому они и пол-
зут под нагрузкой больше. Большие же образцы всегда более
влажные и ползучесть их меньше.

Наконец, значительное влияние на ползучесть бетона оказывает
характер его загружения, т. е. вид напряженного состояния и его
повторяемость. Кроме ползучести при осевых сжатии и растяжении
бетон обладает также ползучестью при внецентренном сжатии,
изгибе, сдвиге и кручении.

При кратковременном действий нагрузки краевые деформации
внецентренно сжатых бетонных призм на более напряженной грани
превышают деформации при центральном сжатии [11].

В опытах К. Э. Таля и Е. А. Чистякова [176] по исследованию
влияния длительной нагрузки на несущую способность гибких
железобетонных колонн ползучесть бетона существенно увеличивала
прогибы последних, приводя при достаточно высоком уровне на-
пряжений к разрушению колонн через некоторое время, продол-
жительность которого зависела от отношения величин разрушающих
нагрузок: длительной и кратковременной.

Большая ползучесть при изгибе бетонных брусьев по сравнению
со сжатыми образцами неизменно наблюдалась и в ряде опытов ав-
тора [24], в частности описанных в § VII 1.5.

Влияние характера загружения бетонных образцов при длитель-
ном действии центрального сжатия, внецентренного сжатия и из-
гиба специально изучено в опытах И. И. Темнова [167]. На рис. 34, б
приведены кривые мер ползучести исследованных в этих опытах
образцов сечением 7 х 7 и 14 X 14 см, вычисленных для внецен-
тренно сжатых и изогнутых образцов по краевым деформациям
сжатых граней, отнесенным к единице напряжений, найденных по
формулам сопротивления материалов. Из этого рисунка видно, что
ползучесть при внецентренном сжатии незначительно отличается
от ползучести при чистом сжатии, превышая ее; при изгибе же
развивается значительно большая ползучесть.

Специальные исследования ползучести бетона при кручении,
проведенные В. В. Блинковым [39] и К- С. Карапетяном [91], уста-
новили, что при одинаковых напряжениях ползучесть бетона при
кручении и осевом растяжении практически одинакова и что связь
между напряжениями и деформациями ползучести бетона при кру-
чении линейна почти до его разрушения.
Относительные деформации
FOKS?

Время,истекшее после начала на5люВений,в сутках

Рис. 34, Влияние масштабного фактора и характера загру-
жения на ползучесть бетона

а —упруго-мгновенные деформации и деформации ползучести железо-
бетонных образцов большого и малого размеров с ребрами,соответст-
венно уменьшенными в 8 раз: /—упругие деформации большого образ-
ца: 2— деформации ползучести большого образца; 3 — упругие дефор-
мации малого образца; 4 — деформации ползучести малого образца-
б —кривые ползучести бетонных образцов при простом сжатии вне-
центренном сжатии и изгибе; бетон состава 1 : 2,48 : 4,37 на пуццо-
лановом цементе, B/Z/ = 0,65; загружение в возрасте 28 суток
Имеютя также некоторые данные о ползучести бетона при слож-
ном напряженном состоянии [37, 223, 248]. Некоторые из них рас-
смотрены в § IV.4.

Повторяемость нагружения бетона (нагрузки и разгрузки,
вибровоздействия) оказывает существенное влияние на его ползу-
честь. Многочисленными опытами по простому (спокойному) на-
гружению и разгружению бетона [40, 50, 94, 212, 244] показано, что
деформации обратной ползучести (последействия) бетона после раз-

Рис. 35. Кривые ползучести при сжатии (а) и при растяжении (б) и упругого
последействия образцов, загруженных или разгруженных в возрасте:
при сжатии: 1 и /'—18 суток; 2 и 2' — 60 суток; 3 и 3' — 88 суток; 4 и 4' — Ибсуток;
5 н 5’ —144 суток (длительность загружения, предшествующая началу последействия:
/'—14 суток; 2'—1-8—56 суток; 3'— 70 суток; 4' —28 — 56 суток; 5'— 28 суток);
при растяжении- 1 и /' — 32 суток; 2 и 2' —88 суток (длительность загружения, пред-
шествующая началу последействия: /'—14 — 28 суток; 2* — 28 — 66 суток)
Примечание, т, —возраст бетона к моменту загружения.

грузки меньше, чем деформации ползучести образца-близнеца,
впервые загруженного теми же напряжениями, в том же возрасте
и той же продолжительности действия. Это обстоятельство послу-
жило поводом для критики принципа наложения воздействий в те-
ории ползучести (см. § IV. 5) и ряда предложений для его уточ-
нения [41, 50, 66, 68].

Например, в опытах С. В. Александровского и В. Я. Багрия
(рис. 35) [19] наблюдалась лишь частичная обратимость де-
формаций ползучести, несколько большая в случае разгрузки
образца после сжатия. В этих опытах деформации упругого после-
действия через месяц составляли у призм, ранее сжатых, — 77%,
а у ранее растянутых — 65% деформаций ползучести образцов-
близнецов, впервые загруженных напряжениями соответствую-
щего знака, за тот же промежуток времени.

При большой частоте чередования нагрузок возникает эффект
виброползучести. Он состоит в том, что ползучесть бетонных образ-
цов, подвергаемых попеременным загружениям и разгружениям
с большой частотой, оказывается большей, чем у образцов-близне-
цов при постоянном (непрерывном) загружении теми же напряже-
ниями.

Так, в опытах Р. Лермита [104] ползучесть образцов поперемен-
но сжимаемых и разгружаемых напряжениями 126 кгс/см1 при ча-
стоте 500 циклов в минуту через 24 ч (720 000 циклов) была такой же,
как у образцов-близнецов, непрерывно сжатых такими же напряже-
ниями в течение 28 суток, а 14 суток действия цикличной нагрузки
(10 100 000 циклов) оказались эквивалентными в отношении величи-
ны деформации ползучести 600 суткам выдерживания образцов-
близнецов под постоянной нагрузкой. В этих же опытах было уста-
новлено, что бетон, подвергнутый длительному постоянному нагру-
жению, практически уже не обладает ползучестью при последующих
циклических нагрузках.

Аналогичный эффект повышения ползучести за счет вибровоз-
действий с разными частотами и амплитудами, но при одновременном
действии и статической нагрузки был отмечен и в специальных
опытах А. К- Малмейстера [110, 111] и К. К. Шкербелиса [208] с
железобетонными балками, прогибы которых возрастали при уве-
личении частоты и амплитуды вибровоздействий.

Причины виброползучести еще не ясны и в настоящее время это
свойство бетона продолжает интенсивно изучаться [41].

Кроме обычного тяжелого бетона свойством ползучести обладает
также и ряд других родственных ему материалов: легкие, ячеистые
и силикатные бетоны, кирпичная кладка, пластобетон и т. п. В ка-
честве примера можно указать на ползучесть ряда силикатных ма-
териалов, исследованных в опытах В. И. Скатынского [171].

Обстоятельное исследование ползучести кирпичной кладки, вы-
полненное С. В. Поляковым [148], также показало, что законы ее
поведения при длительном нагружении близки к законам деформи-
рования бетона.

Физическая природа ползучести бетона в настоящее время не
раскрыта полностью, и существуют различные взгляды на сущность
этого явления.

Ряд авторов (Е. Фрейсине, В. Гелер и др.) объясняет ползучесть
бетона действием сил капиллярного давления. Некоторые исследо-
ватели считают главной причиной ползучести бетона механическое
вязкое выдавливание под нагрузкой жидкой влаги из структуры
цементного камня (Р. Дэвис, Р. Лермит и др.).

Другие отдают предпочтение вязкому течению под нагрузкой
' геля — одной из структурных составляющих цементного камня
(А. Невилль, И. И. Улицкий, А. Е. Шейкин и др.).

Следующая группа исследователей объясняет ползучесть бето-
на главным образом пластической деформацией его кристалличе-
ской структуры, особенно в зрелом возрасте (А. К. Малмейстер,
А. Я- Столяров и др.).

Наконец, имеется группа ученых, которые связывают ползучесть
бетона с неизбежным непрерывным возникновением и развитием в
нем микротрещин и других микродефектов (Д. Глюклих,О. Я. Берг).

Существуют и компромиссные взгляды, при которых считается,
что ползучесть бетона является следствием ряда причин в их раз-
личных сочетаниях. Например, К. С. Карапетян считает, что при
низких напряжениях ползучесть бетона является следствием вяз-
кости гелевой составляющей цементного камня и капиллярных явле-
ний. При высоких напряжениях кроме этих причин существенную
роль играют уже образование и развитие микротрещин в бетоне.
Относительная же роль этих причин в процессе ползучести бетона
зависит от ряда факторов: уровня напряжений, возраста бетона,
температуры и влажности внешней среды и т. д.

С. В. Александровский, А.А. Гвоздев, И. Е. Прокопович и ряд
других исследователей придерживаются таких же взглядов, но
считают важным также и изменение влажности геля в процессе его
высыхания и особенно вследствие механического воздействия дли-
тельно приложенной нагрузки.

Хороший обзор существующих взглядов на физическую природу
ползучести бетона дан в работах А. Невилля [238] и 3. Н. Цилосани
[200]. Проанализировав многочисленные опытные данные по
ползучести бетона и своих собственных опытов с цементно-песчаным
раствором, последний пришел к выводу, что ползучесть бетона
определяется главным образом постепенным возникновением и раз-
витием микротрещин и разрывов в кристаллизационной структуре
бетона и межкристаллическим вязким течением. Остальные из
рассмотренных выше факторов носят сопутствующий характер.

Ползучесть бетона может играть как положительную, так и от-
рицательную роль в работе бетонных и железобетонных конструк-
ций. Она приводит к значительному снижению величин напряжений
в бетоне, вызываемых вынужденными деформациями (температур-
ных, усадочных и т. п.), и иногда к выгодному перераспределению
напряжений. В железобетонных изгибаемых элементах она отда-
ляет момент образования трещин.

Вместе с тем ползучесть приводит к увеличению деформаций
конструкций под нагрузкой, например прогибов плит, балок и вне-
центренно сжатых гибких элементов, к перегрузке облицовок
стен и колонн и т. д.

§ IV. 2. Релаксация напряжений в бетоне

В тесной связи с ползучестью бетона находится его способность
к релаксации напряжений при сообщенных ему вынужденных де-
формациях. Это свойство бетона обнаруживается лучше всего при
измерении усилия, необходимого для поддержания неизменной во
времени первоначально сообщенной бетонной призме осевой де-
формации. Оказывается, что вследствие развивающейся ползуче-
сти бетона необходимые для этого напряжения постепенно умень-
шаются во времени до некоторого предела опр, значительно мень-
шего, чем начальные напряжения онач.	,

Степень релаксации напряжений существенно зависит от возра-
ста бетона к моменту сообщения ему вынужденной деформации
и может быть довольно значительной для молодого бетона.

Кривые, графически изображающие закон падения напряжений
вследствие релаксации, называются кривыми релаксации. На рис. 52
приведены такие кривые для бетона, высыхающего на протяжении
всего времени наблюдения. Аналогичные кривые для молодого
бетона, высыхающего только до момента загружения, полученные
в опытах автора, были приведены в § IV. 1 (см. рис. 33, в).

Ползучесть и релаксация напряжений в бетоне, как уже отме-
чалось выше, тесно связаны друг с другом, поэтому кривые релак-
сации напряжений всегда могут быть построены теоретическим
путем на основе экспериментальных кривых ползучести, и наоборот,
теоретические кривые ползучести могут быть построены по экспе-
риментальным кривым релаксации напряжений.

Способность бетона к релаксации напряжений, вызываемых
вынужденными деформациями, является весьма ценным свойством,
помогающим ему в статически неопределимых конструкциях более
спокойно переносить воздействия температуры, влажности, осадки
опор и изменения усилий, связанные с их искусственным перерас-
пределением. Благодаря ей напряжения в бетоне, возникающие от
действия эт.их факторов, значительно снижаются с течением вре-
мени.

Вместе с тем релаксация напряжений может играть и отрицатель-
ную роль. Например, вследствие ее возникают нежелательные
потери натяжения арматуры в предварительно напряженных желе-
зобетонных конструкциях [78, 185] или искусственно созданных
усилий обжатия бетона в гидротехнических конструкциях [27].

§ IV.3. Упруго-мгновенные деформации бетона

При кратковременном нагружении бетона его деформации при
прочих равных условиях зависят от скорости нагружения. Это
подтверждается опытами М. С. Боришанского и Е. А. Троицкого
[42, 180], а также исследованиями О. П. Квирикадзе [95]. По этой
причине величина модуля упругости бетона также зависит от ско-
рости его нагружения и убывает с уменьшением последней. Поэтому
упругие деформации бетона линейно связаны с напряжениями лишь
при достаточно быстром загружении. В связи с этим в теории ползу-
чести бетона говорят о модуле «упруго-мгновенных» деформаций,
т. е. деформаций, развивающихся при весьма быстром его нагру-
жении.

При этих условиях упругие деформации бетона при сжатии
и растяжении [49, 50, 94, 151, 207], а также сдвиге и кручении
[39, 91] линейно зависят от величины напряжений, модули продоль-
ных упруго-мгновенных деформаций при сжатии и растяжении равны
между собой

£'с;к('г) = £'р('г) = £'(т)	(IV. 1)

и между модулем упруго-мгновенной деформации сдвига G (т), мо-
дулем упруго-мгновенной продольной деформации Е (т) и коэффи-
циентом упруго-мгновенной поперечной деформации ту (т) существует
обычная связь [25]:

G(t) =

£(т)

2 П+vx (т)]

(IV.2)

В дальнейшем для сокращения записи вместо терминов «модуль
упруго-мгновенной деформации» и «коэффициент упруго-мгновенной
поперечной деформации» мы будем применять всюду термины «мо-

Е(т)ц^мг

2'10s-

7-70 5 -j*

- Ло опытам НИИГ

Е(<Г)=2"Ю^1-е°’03Т)

716 28 56 •	182	276 пп_£ ЗбОдн.

, Е(Т)=3 105(1~0,6е~0'ое^)

2-Ю5

1-W5

|- I

- Поп опытам ЛИИЖ\Т'

,	7.16 28 56

3H05-

182

276

ЗбОдн.

2-/05

1-Ю5

11 I

-—i---------------;	।

Е(^3/73Ч05(1-0,67ве~°'°,75<{:) | •

J ।	1

~ По\ опытам Днепрцстроя}	।

7 1628 56	182

276

ЗБОдн.

Е{Т) К1г/смг
2-7651-

- По опытам Шенна



71628 58

182

276

ЗбОдн.

Рис. 36. Кривые изменения во времени модуля упругости бетона по данныц
различных опытрк
дуль упругости» и «коэффициент поперечной деформации», имея в ви-
ду соответствующие упруго-мгновенные деформации.

Экспериментально последние определяются с помощью опреде-
ленных методических правил (см., например, § IV. 13), как суммар-
ные деформации, слагающиеся из упругих деформаций на отдель-
ных кратковременных ступенях загружения, между которыми
соблюдаются определенные выдержки во времени. Деформации,
натекающие во время этих выдержек, относятся к деформациям
ползучести и в упругие деформации не включаются.

Многочисленные опыты показали, что упругие деформации бе-
тона, а следовательно, и модули упругости и коэффициент упругой
поперечной деформации изменяются с возрастом бетона т к моменту
его загружения, асимптотически приближаясь к соответствующим
постоянным величинам, относящимся к бетону весьма зрелого воз-
раста.

Например, на рис. 36 [25] показано изменение с возрастом бето-
на его модуля упругости при сжатии, наблюдаемое в ряде экспери-
ментов. По предложению Н. X. Арутюняна это изменение модуля
Е (т) удобно аппроксимировать зависимостью

£ (т) =£0 (1 — ^е_|3т),	(IV.3)

где £0 — предельное значение модуля упругости для бетона зре-
лого возраста;

р и S — некоторые параметры, подбираемые из опыта.

Аналогичные зависимости могут быть предложены и для G (т)
и ту (т); однако следует помнить, что из трех функций Е (т), G (т)
и (т) только две можно выбрать в качестве независимых, третья
будет выражаться через них с помощью выражения (IV.2).

Поскольку, в силу известных зависимостей, между модулем
упругости Е (т) и пределом прочности бетона имеется определенная
связь, условия твердения бетона оказывают значительное влияние
на величину этого модуля. Например, с увеличением температуры
твердения бетона скорость нарастания его модуля упругости во
времени увеличивается.

На изменение модуля Е (т) оказывает влияние также и длитель-
ное загружение его внешней нагрузкой, которое вызывает изменение
плотности бетона, особенно в раннем возрасте, вследствие его боль-
шой пластичности1.

Величина модуля упругости при сжатии зависит от напряже-
ний, при котором измерены деформации. С ростом напряжений
вплоть до разрушения бетона она падает, причем уменьшается
модуль упругости быстрее у бетонов с большим В/Ц и с малым со-
держанием цемента [102].

1 В известных опытах Роша было отмечено уменьшение пористости бе-
тонных призм с 26 до 12% при существенном увеличении прочности бетона
после их всестороннего обжатия.
Напрв пени я вкгс/смг	н а п р я ж е н и я в кгс/см

О 0,2	0,0- 0,6	0,8	1,0	1,2	1,0	1,6

Относительные деформации бетонные: призм е-103

t

э

а

.«
б
'и

я

’я

й

в.

р
й

[Л
и

фЮ

и

Ej

ЕЕ

,ff(
И
и

37' Завис*’мость между напряжениями и продольными и поперечными
деформациями бетона при сжатии при ограниченном (малом) числе циклов
нагружения (а), то же, между напряжениями и продольными деформациями
оетона при сжатии при многократно повторных нагрузках (б)

"3
ч

Й

та

й1

Ий


Учесть одновременно зависимость модуля упругости от напря-
жений и от возраста бетона весьма трудно. Поэтому современная
теория ползучести бетона учитывает только изменение модуля во
времени обычно в форме (IV.3).

Поскольку температурно-влажностные воздействия часто носят
циклический характер, для проблемы температурно-влажностных
напряжений в бетоне важным является вопрос о его поведении при
действии повторных нагрузок. Еще в опытах Йошида [230] было по-
казано, что при этих условиях бетон ведет себя по-разному в зави-
симости от величины напряжений.

Если напряжения не велики (менее 40—50% предела прочно-
сти), то после нескольких циклов повторения нагрузки диаграмма
деформаций сжатия бетона становится прямолинейной, а величины
деформаций стабилизируются, т. е. бетон внешне приобретает свой-
ства упругого тела (рис. 37, а).

При более высоких напряжениях при первичном нагружении
зависимость между деформациями и напряжениями нелинейна:
деформации возрастают непропорционально напряжениям и быстрее
их. После нескольких циклов повторения нагрузки на некоторое
время эта зависимость становится линейной и полные деформации
стабилизируются. Затем после определенного большого числа повто-
рений нагрузки полные деформации вновь растут и линейная за-
висимость между деформациями и напряжениями нарушается. Опи-
санный процесс заканчивается разрушением бетона вследствие про-
грессирующего развития микротрещин (см. рис. 37,6) и характерен
для напряжений, превышающих предел выносливости (усталости)
бетона, составляющий примерно половину предела прочности ста-
тического сжатия бетона [11].

В литературе нет данных об усталостном разрушении бетона,
вызванного только цикличными изменениями температуры и влаж-
ности на диапазоне их обычных изменений. Поэтому принято счи-
тать, что упругие деформации бетона, вызываемые температурно-
влажностными напряжениями, линейно зависят от величины
последних и в отношении их бетон ведет себя целиком как
упругое тело.

§ IV.4. Поперечные деформации бетона

При действии нагрузки наряду с продольными бетон претерпе-
вает и поперечные деформации. Вопрос о поперечных деформациях
бетона весьма существен для теории ползучести в целом и, в част-
ности, для проблемы температурно-влажностных напряжений, по-
скольку последние, как правило, распределяются неравномерно по
, объему тел. Раскрытие связанной с этим внутренней статической
неопределимости тел при решении задач теории ползучести требует
привлечения физических уравнений, устанавливающих связь между
напряжениями и деформациями бетона, в которые кроме модулей
упругости продольной деформации Е (т) и деформации сдвига G (т)
входят коэффициенты упругой поперечной деформации тг (т) и по-
перечной деформации ползучести v2 (t, т).

Обширные исследования поперечных деформаций бетона при
действии кратковременных нагрузок были проведены О. Я. Бергом
[36, 38]. Они показали, что в области условно линейной ползучести
(ст < Рт) коэффициент упругой поперечной деформации чу (т) по-
стоянен и для зрелого бетона примерно равен 0,13—0,22. (В среднем

= 4- = 0,167.)

Вопрос о коэффициенте поперечной деформации ползучести
v2 (t, т) также мог бы быть решен на основании данных экспери-
ментов. Однако задача эта не из легких, так как эксперименталь-
ных работ по исследованию ползучести бетона в условиях слож-
ного напряженного состояния крайне мало. Кроме того, результаты
их подчас противоречат друг другу.

Так, Фрейсине [195] утверждает, что ползучесть бетона при
чистом сдвиге равна нулю, в то время как Дюк и Дэвис [223] на
основании проведенных ими опытов считают, что ползучесть бетона
при сдвиге вдвое превышает его ползучесть при осевом сжатии.

Н. X. Арутюняном [25] в предположении одинаковой ползуче-
сти бетона при растяжении и сжатии без каких бы то ни было огра-
ничений для коэффициента v2 (/, т) было получено условие

со (t, т) = 2 [1 +v2 (t, т)] С (t, т),	(IV.4)

устанавливающее связь между мерами ползучести при чистом сдви-
ге со (t, т) и осевом сжатии С Обращаясь к этому условию, ви-
дим, что по Фрейсине мы должны были бы иметь v2 (t, т) = —1,
а по Дюку и Дэвису v.2(t, т) = 0.

В опытах И. Е. Прокоповича [151] в течение 100 суток наблю-
дения за образцами-близнецами, подвергнутыми только сжатию
и только кручению, сохранялось условие со (t, т) <Z 2С (t, т), сле-
довательно, оказалось т2 (/, т) <Z 0, что физически необъяснимо.

Немногочисленные опыты Девисов и Броуна [220, 221], а также
Глэнвилля и Томаса [229] по исследованию поперечных деформаций
бетона при длительном сжатии, по мнению авторов, показали, что
v2 (t, т) меньше I. (т).

В работе [248] приведена таблица, составленная А. Д. Россом
на основании экспериментальных данных по длительному двух-
мерному напряженному состоянию бетона, показывающая, что в
процессе ползучести изменение поперечного расширения практиче-
ски не наблюдается; при этом вновь фигурируют опыты Дюка
и Девиса [223].

Таким образов!, многие исследователи склоняются к тому, что
v2 (t, т) 0, а вовсе не близок к 0,5, как это, например, требуется
в классической теории пластичности. Между тем имеются и другие
сведения. Так, по данным Р. Лермита [104], в Мюнхене было найде-
но, что поперечная деформация ползучести бетона достигает зна-
чительной величины
Н. Г. Корсаком 11021 в области линейной ползучести проведены
опыты по определению коэффициента Пуассона для бетона в воз-
расте 30 дней. Величины коэффициентов Пуассона в этих опытах
оказались равными по полным деформациям 0,18; по упругим
деформациям 0,14. Это указывает на то, что в данных опытах v2(t, т)>
> Vi (т).

В. А. Бушковым [48] описаны опыты над бетоном состава 1 : 6
при 7?пр = 147 кгс/ем2. Приведенные им данные об упругих попереч-
ной и продольной деформациях и общих поперечной и продольной
деформациях показывают, что при возрастании напряжений от 70
до ПО кгс/см2 Vj (т) возрос от 0,154 до 0,242, в то время как
v2 (/, т) вырос соответственно от 0,334 до 0,667, оставаясь в ходе
опытов все время больше (т).

Из сказанного следует, что в настоящее время вопрос о попереч-
ной деформации ползучести бетона еще не исследован в должной
мере. Поскольку имеются противоречивые данные, при которых
у одних авторов v2 (t, т) был больше, а у других, наоборот, меньше
ту (т)> удобно пока пользоваться равенством

v2 (t, т) = (т) = v = const.	(IV.5)

Можно ожидать, что по малости v2 (t, т) и ту (т) это допущение
приведет к малым погрешностям даже в том случае, если окажется,
что условие (IV.5) на самом деле не имеет места. Действительно,
как показал И. Е. Прокопович [151], возможные погрешности
в величинах октаэдрических напряжений в бетоне при трехмерном
напряженном состоянии с учетом (IV.5) не превышают 5—6%.

Принятие условия (IV.5) автоматически приводит к пятой из
гипотез, рассмотренных ниже в § IV.5. Действительно в современной
теории ползучести фигурируют следующие полные единичные
(удельные) деформации бетона [251:

осевая деформация

6(Z,t) = -1- + C(Z,t);	(IV.6)

Е (т)

поперечная деформация

бх (t, т) =	+ v2 (/, т) С (t, т);	(IV.7),

п (т)

деформация сдвига

62(Лт) = -^ + со(/,т).	(IV.8)

Внося (IV.5) в (IV.7) и (IV.8), находим;

бх (t, т) = v6 (/, т); б2 (/, т) = 2 (1 + v) б (/, т).	(IV.9)

Таким образом, принятие условия (IV.5) приводит к постулиро-
ванию одинаковой зависимости от времени всех трех удельных де-
формаций бетона б (/, т),	(t, т) и б2 (t, т), т. е. к пятой рабочей ги-

потезе, рассмотренной в § IV.5.
Допущение (IV.5) крайне удобно, так как при его соблюдении
система основных совместных интегральных уравнений теории
ползучести, описывающих напряженно-деформированное состояние
упруго-ползучего тела, распадается на независимые и притом более
простые уравнения [25] (см. также § IV.9). Это обстоятельство имеет
огромное практическое значение, так как открывает большие
возможности для решения задач теории ползучести доступными
инженеру методами. Условием (IV.5) мы и будем пользоваться в
дальней :ем.

§ IV.5. Рабочие гипотезы современной линейной теории
ползучести бетона

Современная теория ползучести бетона представляет собой фено-
менологическую теорию, основанную на объективных эксперимен-
тальных данных о поведении бетона под действием длительных нагру-
зок. Как и всякая феноменологическая теория, эта теория исходит
из ряда основных рабочих гипотез, сформулированных на основа-
нии обобщения этих экспериментальных данных и положенных в
основу ее математического аппарата. Эти рабочие гипотезы форму-
лируются следующим образом:

1)	бетон рассматривается как изотропный и однородный мате-
риал;

2)	между полными деформациями бетона (мгновенно-упругими
деформациями и деформациями ползучести) и напряжениями в нем
существует линейная зависимость;

3)	абсолютные величины деформаций (упругих и неупругих)
принимаются не зависящими от знака напряжений;

4)	для деформаций ползучести применим принцип наложения
воздействий. Как известно, этот принцип формулируется следующим
образом: полная (суммарная) деформация ползучести при перемен-
ных (ступенчато изменяющихся) напряжениях может быть найдена,
как сумма приращений деформаций ползучести, вызванных соот-
ветствующими приращениями напряжений; при этом считается, что
вызываемая^данным приращением напряжений Дсг; величина соот-
ветствующего приращения деформаций ползучести Леп,ь накапли-
ваемая к некоторому моменту времени наблюдения t сверх деформа-
ции ползучести 2Деп> г—х, вызванной другими (предшествую-
щими) приращениями напряжений Доу, ..., Асг_1, зависит только
от величины и длительности действия этого приращения, но не за-
висит от величины и длительности действия остальных и, в том чис-
ле, предшествующих ему приращений напряжений;

5)	принимается одинаковая зависимость от времени всех видов
полных единичных относительных деформаций, а именно: удельной
осевой деформации б (t, т), удельной поперечной деформации 6Х (I, т)
и удельной деформации сдвига б2 (Л т) (см- § IV.4).

Первая из этих гипотез носит условный характер. Оцнако
хаотичность размещения заполнителей в бетоне позволяет думать,
что он в больших объемах, в общем, является однородным и изотроп-
ным. Правда, исследованиями К- С. Карапетяна [92] п И. Е. Про-
коповича [151] показано, что величина деформации ползучести
зависит от направления действия усилия относительно слоев уклад-
ки бетона при изготовлении образцов, т. е. что бетон относительно
деформаций ползучести ортотропен. Однако степень этой ортотроп-
ности невелика. Например, в опытах И. Е. Прокоповича образцы,
изготовленные из обычного тяжелого вибрированного бетона, имели
деформации ползучести при сжатии перпендикулярно слоям уклад-
ки всего на 7°о больше, чем в случае сжатия вдоль этих слоев.
В связи с этим рассматриваемая гипотеза выглядит вполне прием-
лемой.

Отметим, что для однозначности решения задач теории ползуче-
сти эта гипотеза должна быть дополнена требованием отсутствия
начальных напряжений при отсутствии внешней нагрузки и пред-
шествующих изменений температуры и влажности бетона. Таким
образом, первую рабочую гипотезу теории ползучести бетона сле-
дует формулировать следующим образом.

Бетон рассматривается как изотропный и однородный материал,
у которого при отсутствии внешней нагрузки и предшествующих
изменений его температуры и влажности отсутствуют и начальные
напряжения.

Вторая гипотеза основана на многочисленных опытных данных,
указывающих на ее справедливость, но в определенных пределах
величин напряжений. Е1апример, доказано (см. § IV. 1), что при рас-
тяжении такое допущение справедливо вплоть до разрушения бе-
тона, а при сжатии, с известным приближением — до напряжений,
равных примерно половине его призменной прочности, т. е. в пре-
делах эксплуатационных значений напряжений.

Третья из указанных предпосылок могла бы быть наиболее лег-
ко обоснована экспериментально. Однако, как было показано
в § IV. 1, имеющиеся в литературе по этому вопросу данные весьма
разноречивы. Причины этого рассмотрены в работе автора [18].
Опыты Н. II. Катина [94], А. Е. Шейнина и В. Л. Николаева [207],
а также С. В. Александровского и В. Я. Багрия [19], проведенные на
гидроизолированных образцах и потому связанные с минимальными
погрешностями, возникающими обычно вследствие неаддитивности
усадки и ползучести, убеждают в приемлемости этой предпосылки.

Наиболее дискуссионной является четвертая из указанных гипо-
тез, постулирующая применимость принципа наложения воздейст-
вий, особенно в случае знакопеременных нагрузок. Она оспаривает-
ся рядом исследователей, причем поводом для этого послужили опы-
ты П. И. Васильева [50], А. Д. Росса [244], А. В. Яшина [212]
и некоторых других авторов по изучению деформаций бетонных
образцов после их полной или частичной ступенчатой разгрузки.

Эти и подобные им экспериментальные данные позволяют ду-
мать, что применение принципа наложения в его обычной форме
может привести к некоторым погрешностям. В связи с этим П. И Ва-
Сильевым (50], В. В. Блинковым [40] и А. А. Гвоздевым [661 сдела-
ны предложения по усовершенствованию этого принципа" путем вве-
дения в рассмотрение различных по величине наследственных
функций бетона при сжатии и при растяжении или своеобразного
подсчета необратимых деформаций ползучести, не связанных с его
строением [68]. Эти предложения заманчивы, ио приводят к сущест-
венному усложнению и без того сложной теории ползучести бетона,
а первые из них к тому же не согласуются с экспериментальными
данными. Поэтому отказ от обычной формы принципа наложения
воздействий крайне нежелателен. Кроме того, это и не требуется,

Рис. 38. Применение принципа наложения воздействий при ступенчатых
нагрузках и разгрузках

/ — экспериментальная кривая полных деформаций; 2 — теоретическая кривая по принципу
наложения воздействий

так как опыты показывают, что применение принципа наложения
воздействий в области эксплуатационных напряжений вполне оправ-
дано. Это хорошо видно из рис.' 38, воспроизводящего результаты
опытов А. Д. Росса [244] по проверке применимости этого принципа,
а также опытов С. В. Александровского и Э. Я. Багрия, описанных
в § IV. 13 (см. рис. 63), и исследований С. В. Александровского
и В. Я- Багрия [19].

Сказанное выше ни в коем случае не следует рассматривать
как отказ от дальнейших экспериментальных исследований в на-
правлении оценки погрешностей и области применимост и принципа
наложения воздействий. Наоборот, исследования такого роца край-
не нежелательны, так же как и дальнейшее изучение других особен-
ностей ползучести бетона. Однако методика этих исследований долж-
' на быть более совершенной, чем та, которая применяется в настоя-
щее время. Некоторые пути разработки такой методики указаны
в работе автора [18].

Последняя из пяти указанных выше гипотез не является обя-
зательной. Она была предложена Г. Н. Масловым 1120], широко
применяется в теории упруго-ползучего тела и существенно упро-
щает ее уравнения. Это упрощение состоит в том, что система сов-
местных основных интегральных уравнений этой теории при этом
распадается на отдельные независимые интегральные уравнения
и компоненты тензора напряжений определяются независимо друг
от друга, каждая из своего самостоятельного уравнения по соот-
ветствующей компоненте тензора напряжений упруго-мгновенной
задачи (см. § IV.9). Эта теория нашла свое завершение в моно-
графии Н. X. Арутюняна [25], получила всеобщее признание как
в нашей стране, так и за рубежом и интенсивно развивается в
трудах большой группы советских ученых.

Н. X. Арутюнян позже отказался от этой гипотезы и разработал
более общую теорию ползучести бетона, относящуюся к случаю
неодинаковой зависимости от времени указанных единичных де-
формаций ползучести. Однако эта теория весьма сложна и экспери-
ментально еще не проверена.

На основании всего изложенного можно утверждать, что
первые четыре из указанных выше пяти рабочих гипотез современ-
ной линейной теории ползучести бетона вполне приемлемы и в на-
стоящее время нет оснований для отказа от любой из них. Пятая
из этих гипотез не обязательна, но крайне удобна, и мы ее также
будем иметь в виду в дальнейшем.

Анализ имеющихся в литературе экспериментальных данных,
проведенный в § IV.4, подтверждает приемлемость этой гипотезы.
Связанные с нею возможные погрешности невелики и на основании
приведенных там данных И. Е. Прокоповича могут быть оценены
в 5—6%.

§ IV.6. Основные уравнения линейной теории
ползучести бетона. Одномерная задача при наличии
вынужденных деформаций

Рассмотрим основные уравнения линейной теории ползучести
бетона Г. Н. Маслова — Н. X. Арутюняна применимо к проблеме
температурно-усадочных напряжений. Вначале ограничимся одно-
мерной задачей осевого сжатия (растяжения) бетонного бруса. В этом
случае рассматриваемая теория исходит из экспериментальных
кривых удельной осевой относительной деформации бетона
б (Л т), которые предполагаются заданными (рис. 39, а).

Функция б (t, т) определяет собой полную относительную де-
формацию призматического бруса, наблюдаемую к текущему мо-
менту времени /, вызываемую единичными напряжениями, прило-
женными в некотором возрасте бетона т. Деформация б (/, т), таким
образом, включает в себя соответствующие деформации: упругую
и деформацию ползучести, развивающуюся за время t — т, отнесен-
ные к единице напряжения. ’
Будем считать, что брус претерпевает еще дополнительно отно-
сительную деформацию £° (t), вызываемую некоторыми дополни-
тельными факторами несилового характера, например изменениями
температуры (температурное сокращение) или влажности (усадка)
за время t — т. Такую деформацию мы будем в дальнейшем

Рис. 39. Кривые осевых деформаций и напряжений бетонного бруса

а—единичных деформаций: /—упруго-мгновенных, возникающих в момент загружения [кри-
вая 1/Е (Т)]; 2 — полных, развивающихся вследствие ползучести; 3—случаи загружения
бруса—постоянные во времени напряжения; 4— тоже, переменные напряжения; б—кр:вье
единичных напряжений. 1—упруго-мгновенных, возникающих в момент создания дефор-
мации [кривая Е (т)]$\2 — полных, развивающихся вследствие релаксации; 3 —случаи де-
формирования бруса — постоянная во времени напряженная деформация; 4— то же,
переменная напряженная деформация

называть вынужденной. Тогда в соответствии с первой и второй ра-
бочими гипотезами, рассмотренными в § IV.5, для полной относи-
тельной деформации бруса, загруженного в момент времени ть
будем иметь выражение1:

t

Е (f) = E° (/) -|- О (тх) б (/, Тр) ф- С --°- б (t, т) dt

J dr

ti

(IV. 10)

1 Знак вынужденной деформации е° (/) считается в данном случае совпа-
дающим со знаком деформации силовой е(/) — е°(/), т. е. деформации, вызы-
ваемой действием напряжений о (тр)
или, интегрируя по частям и принимая во внимание, что

t

е (Z)— е° (Л =	— f а(т) — 6(/, т) dx.	(IV. 12)

Е (t) J дт

Т1

Уравнения (IV. 10), (IV. 12) выражают собой в интегральной фор-
ме сформулированный выше принцип наложения воздействий и для
случая температурной деформации были получены Г. Н. Масло-
вым [120].

Из уравнения (IV. 12) следует, что полная продольная напря-
женная деформация бруса е (/) — в0 (/) слагается из упругой де-
формации

(PV.13)
у E(t)

и деформации ползучести

t

Еп(0 = ~ fo(t)v'6(f, x)dx.	(IV. 14)

J ОТ

Tj

Так как в соответствии с правилом знаков, принятым в уравне-
нии (IV. 10), в интервале времени ту t <1 оо 6 (t, т) имеет знак,
обратный знаку напряжений о (т), то деформация ползучести, вы-
численная по формуле (IV. 14), всегда положительна. Таким обра-
зом, полная продольная деформация бруса вследствие ползучести
бетона всегда больше его соответствующей упругой деформации.

Уравнение (IV. 12) часто называют интегральным уравнением
Вольтерра второго рода относительно искомых неизвестных напря-
жений а (/) и его решение записывают в форме

t

о (t) - [е (/)—е° (/)] Е (0 + Г [е (т)—в0 (т)] Р (t, т) dx. (IV. 15)

•Cl

При этом функцию Р (t, т) считают резольвентой ядра R (t, т) —
= б (/, т) уравнения (IV. 12). Строго говоря, уравнение (IV. 12)
в записанном таким образом виде не является интегральным урав-
нением Вольтерра, а функция Р (t, т) в уравнении (IV. 15) не есть
резольвента его ядра. Это вытекает из того факта, что, как извест-
но из теории интегральных уравнений, ядро уравнения Вольтерра
L (/, т) и его резольвента R (t, т) должны быть связаны соотноше-
нием

t

L (t, x)-R (/, т) = J R (g, т) L (t, g) d%, (IV. 16)
т
из чего следует, что ядро L (Г, т) и резольвента R (/, т) должны
иметь одну и ту же размерность. Функции же К (t, т) и Р (t, т),
как нетрудно видеть, имеют разную размерность, а именно:

[К (t, т)] =

[Р(Л т)] =

кгс

см2-сут

Поэтому, чтобы удовлетворить этому требованию, уравнения
(IV. 12) и (IV. 15) следует записать в виде:

=	+ (	(IV.17)

ТДГ = 8 (0 ~ Е° (0 - Г [Е (Т) -Е° (т)] R (/, т) dt,	(IV. 18)

Е(0	J

где ядро

L(t, т) = — Е(т) — б (Л т).	(IV. 19)

При такой форме записи (IV. 17) и (IV. 18) основных уравнений
теории ползучести первое из них уже будет интегральным уравне-
нием Вольтерра второго рода относительно упругих деформаций

а функция R (/, т) будет резольвентой его ядра L (t, т); обе
эти функции будут иметь одну и ту же размерность

1

[L(t,	=	т)]

сут

(IV.20)

и удовлетворять соотношению (IV. 16).

Запись основных уравнений теории ползучести в форме (IV. 17)
и (IV. 18) свободна от указанных выше недостатков, и является
общепринятой.

Ввиду важности уравнений (IV. 17) и (IV. 18) укажем другой
возможный путь их построения.

По аналогии с полной единичной напряженной деформацией
6 (t, т) (рис. 39, а) введем в рассмотрение полные единичные на-
пряжения р (/, т) (рис. 39, б) [21]. Под полными единичными
напряжениями р (/, т) будем понимать напряжения, которые в
любой момент времени наблюдения t необходимо иметь в приз-
матическом бетонном брусе для поддержания неизменной во
времени его полной единичной относительной напряженной де-
формации, сообщенной ему в возрасте бетона т.

Допустим, что призматическому брусу в момент времени, совпа-
дающий с возрастом бетона т = т15 с помощью напряжений сооб-
щена напряженная деформация е (ту) — в0 (ту), которая в последую-
щем сохраняется неизменной (рис. 39, б). Тогда в соответствии
с первой и второй рабочими гипотезами, рассмотренными в § IV.o,
для полных напряжений в брусе мы будем иметь:

о(/, т1) = [е(т1)— е°(т1)]р(/, Т1),	(IV.21)

где е° (/) — вынужденная деформация бруса одного из указанных
выше типов.

Рассмотрим теперь другой случай, когда в момент времени Tj
с помощью напряжений брусу сообщена напряженная деформация
е (ту) — е° (ту), которая затем под их влиянием изменяется с тече-
нием времени по закону е (/) — е° (/) (рис. 39, б).

Разбивая интервал времени t — тг на равные промежутки Ат
и заменяя кривую напряженных деформаций е (t) — е° (/) ступен-
чато ломаной линией (рис. 39, б), будем иметь:

е(0-в°(0 = е(т1)-еО(т1)+ i A[g(Tf)-E°(Tf)]. (IV.22)
Ti = Tl

• Так как приращения напряженных деформаций А [е (ту) — в0(тг)]
происходят в различных возрастах бетона, то полные напряжения
в брусе к текущему моменту времени t на основании второй и чет-
вертой рабочих гипотез в § IV.5 мы найдем также в виде суммы

t

О(/) = [Е(Т1)— E°(Tj]p(/, т,)+ 2 А[Е(тг) — E°(Ty)]p(Z,Tz).	(IV.23)

тг = т1

Устремляя Ат -> 0 и переходя к пределу, получим формулу для
полных напряжений о (t), относящуюся к случаю непрерывно изме-
няющихся напряженных деформаций е (/) — е° (/):

t .

О (0 = [е (Tj)— Е° (Tj)] р (/, Tj) + С — [£ (т) — е0 (т)] р (/, т) г/т (IV.24)
J ах

или, интегрируя по частям и принимая во внимание, что р (t, т) =
= Е (О,

t	я

а(0 = [£(/)—ео(^)] £(/)—[ [е(т)—е°(т)1 — pit, x)dx. (IV.25)
J	дх

Xi

Наконец, вводя обозначение

=	(IV.26)

Г. (t) ОХ

перепишем уравнение (IV.25) в виде:

^=Е(/)_ео(/)_ Г [в(т)~ е°(т)] 7? (/, т)г/т, (IV.27)
Ь (Г)	J
что полностью совпадает с (IV. 18). Рассматривая это уравнение,
как интегральное уравнение Вольтерра второго рода, найдем его
решение в виде:

t

е (0- 8° (0 =	+ J Sg. L (t, т) <к,	(IV.28)

Т1

совпадающем с (IV. 17), где L (t, т) — резольвента ядра 7? (t, т),
отыскиваемая на его основе по уравнению (IV. 16).

Таким образом, функции L (t, т) и R (t, т) попарно взаимны и
каждая из них может рассматриваться как ядро или резольвента
соответствующего интегрального уравнения (IV.27) или (IV.28)
в зависимости от того, какая из двух входящих в них функций -|^у
и в (/) — е° (/) задана, а какая является искомой. Если заданы отно-
сительные напряжения и отыскиваются относительные дефор-
мации е (/) — е° (/), ядром является функция R (t, т), а резольвен-
той функция L (t, т), если же заданы деформации е (/) — е° (/)
o(Z)	-

ц отыскиваются напряжения , то, наоборот, ядром служит
£ v)

функция L (t, т), а резольвентой функция R (t, т).

Интегральные члены в уравнениях (IV.27) и (IV.28) являются
функционалами, т. е. отражают всю историю деформирования или
нагружения бруса на интервале времени t — ть или, лучше сказать,
наследуют к данному моменту наблюдения t эффект этих процессов
на всем этом отрезке времени. При заданном законе деформирования
или нагружения бруса степень этого эффекта зависит от физиче-
ских особенностей материала, отражаемых функциями L (I, т)
и R (/, т), поэтому эти функции мы будем называть наследст-
венными функциями бетона соответственно первого

и второго рода.

Наследственная функция первого рода L (t, т) всегда может
быть найдена на основании зависимости (IV. 19) по эксперименталь-
ным кривым полной удельной осевой относительной деформации
бетонного бруса 6 (t, т). Аналогичным образом на основании зави-
симости (IV.26) по экспериментальным кривым полных единичных
напряжений р (/, т) всегда может быть найдена наследственная
функция бетона второго рода R (t, т).

Из выражений (IV. 19) и (IV.26) следует, что эти функции не
зависят ни от величин, ни от характера изменений напряжений и де-
формаций без она, а являются физическими характеристиками его
упруго-ползучих свойств. В связи с тем, что наследственные функ-
ции бетона L (t, т) и R (t, т) играют огромную роль в линейной тео-
рии ползучести, ниже в § IV. 7 особо рассматривается их физический

59

Т'£

СШ

ЯЛ
' "15
%

W

rwJ!

'"к

смысл.
§ IV.7. Физический смысл наследственных функций бетона

Для того чтобы выяснить физический смысл наследственной функ-
ции влияния первого рода L (t, т), обратимся к простейшему слу-
чаю деформирования призматического бруса. Сообщим этому брусу
в момент времени т продольную единичную относительную упругую
деформацию е (т) = 1, выдержим неизменной эту деформацию
в течение некоторого малого отрезка времени Ат и, полностью сняв
ее в момент времени т ф- Ат, будем наблюдать потную деформацию
бруса в текущий момент времени t > т ф- Ат, вызванную дейст-
вием этого единичного импульса 1-Ат упругой деформации.

Вследствие малости Ат можно пренебречь изменением упругих
свойств тела на этом отрезке времени и считать, что Е (т ф- Ат) =
= Е (т). При этом, для того чтобы осуществить указанную опера-
цию, мы должны будем приложить к брусу осевые напряжения
о (т) = Е (т) в момент времени т, выдержать, их неизменными в те-
чение указанного малого отрезка времени Ат и снять их полностью
в момент времени т ф- Ат.

Введем в рассмотрение некоторую функцию L, определяющую
собой эффект действия рассмотренного единичного импульса пред-
шествующей упругой деформации 1-Ат на полную деформацию
бруса, наблюдаемую в текущий момент времени t и выражающую
эту деформацию в долях от указанного импульса.

Вначале предположим, что материал тела идеально упруг.
Тогда, очевидно, полная деформация тела в момент времени т 4- Ат
будет равна упругой деформации, сообщенной ему в момент вре-
мени т:

е(т-|-Ат) = е(т) = 1,	(IV.29)

поэтому после снятия этой деформации в любой момент времени
t > т -j- Ат деформация тела будет равна нулю (рис. 40, а), а сле-
довательно, будет равна нулю и функция L. Таким образом, для
идеально упругого тела функция L тождественно равна нулю.

По-иному в этих условиях будет обстоять дело в случае упруго-
ползучего тела, каковым является бетон, обладающий свойствами
ползучести и последействия. При сохранении неизменной в течение
отрезка времени Ат упругой единичной деформации, а следователь-
но, неизменных напряжений о (0 = Е (t), в нем к моменту времени
т ф- Ат разовьется некоторая деформация ползучести еп (т + Ат),
таким образом, к этому моменту времени мы будем иметь полную
деформацию бетона:

Еполн(т+Дт)=1+еп(*+Дт)#=Мт)- (IV.30)

Поэтому при снятии единичной упругой деформации в момент
времени т ф- Ат в нем останется остаточная деформация еп (т ф- Ат),
которая затем вследствие последействия начнет изменяться (убы-
вать) с течением времени (рис. 40, а).
При этих условиях деформация в момент времени наблюдения I
будет отлична от нуля и ее величина будет определяться функцией
L, уже не равной в этом случае нулю. Таким образом, введенная
нами в рассмотрение функция представляет собой функцию влияния,
связанного с ползучестью бетона, единичного импульса предшест-
вующей упругой деформации, действовавшего в возрасте бетона т,
на его полную деформацию, наблюдаемую в момент времени t.

Рис. 40. Напряжения и деформации бруса при действии единичного импульса

1 • Дт

а—упругой деформации; б — полной деформации

При фиксированном т величина функции L будет зависеть от
длины промежутка t — т, т. е. от t, а при выбранном t по тем же
соображениям она будет зависеть от т, таким образом, в общем
случае линейно-деформируемого упруго-ползучего тела, свойства
которого не инвариантны относительно начала отсчета времени
(стареющий бетон), мы будем иметь:

L = L(/,t),	(IV.31)

т. е. функция L в явном виде одновременно будет зависеть и от
времени наблюдений t и от возраста бетона т.

Зная L (t, т), мы можем всегда определить полную дефор-
мацию в момент времени t, вызываемую рассмотренным выше им-
пульсом 1-Дт упругой деформации, по формуле

Деп(/) = £(/, т)1-Дт.	(IV.32)
Рассмотрим теперь случай, когда предшествующая упругая
деформация еу (/) на всем интервале t — т отлична от нуля и пе-
ременна (рис. 41). Очевидно этому случаю соответствует загруже-
ние бруса напряжениями о (/) = еу (/) Е (f).

Разбивая интервал t — т на малые равные отрезки Ат и пред-
ставляя кривую изменения предшествующей упругой деформации
о Сч) А
в виде непрерывного ряда последовательных импульсов Ат
интенсивностью s (тг) = по принципу наложения воздейст-
вий суммарную полную деформацию к моменту наблюдения t,

Рис. 41. Представление переменной
упругой деформации Еупр(^) в виде
суммы конечного числа импульсов

р (т)

Е(т)

Дт

вызываемую эффектом действия предшествующих импульсов, най-
дем в следующем виде:

i

еп(0 =	(IV.33)

Устремляя Ат -> 0 и переходя к пределу, получим следующую
формулу для указанной суммарной деформации еп (/), относящую-
ся к случаю непрерывно изменяющихся упругих деформаций до
момента времени t и полностью снятых в этот момент времени

t

en(0 = J^-b(/,x)dT.	(IV.34)

Ti

Если мы хотим подсчитать полную деформацию бруса в момент
наблюдения t, то мы должны еще учесть упругую деформацию, воз-
• зращаемую в это время

M0 = -g-	(IV.35)

Таким образом, полная продольная деформация е (/) бетонного
бруса в момент времени наблюдения t будет равна:

t

8((>=77к+(7Л‘/-</'т>А-	<IV'36>

E(t) J Е(т)
ti

Действительно, если бы наше тело было идеально упругим, то
предшествующие импульсы упругой деформации не влияли бы на
величину полной деформации в момент времени t и она была бы це-
ликом равна упругой деформации (IV.35) в этот момент времени.
Так как наше тело обладает ползучестью, то предшествующие им-
пульсы дадут дополнительную составляющую этой деформации
(IV.34) и мы получим поэтому полную деформацию в текущий мо-
мент времени t в виде суммы (IV.36).

Сравнивая уравнения (IV. 17) и (IV.36), мы видим их полное тож-
дество в случае отсутствия вынужденной деформации [е° (t) = 0].
Это позволяет нам теперь дать следующее определение физического
смысла наследственной функции первого рода L (t, т):

наследственная функция первого рода L (t, т) представляет
собой функцию влияния единичного импульса 1Дт предшествую-
щей упругой деформации, действовавшего в возрасте бетона т на
полную деформацию бетона, наблюдаемую в момент времени t> т.
Именно такое определение этой функции было дано А. А. Гвозде-
вым [64].

Величина деформации Деп (/), вызываемая действием единич-
ного импульса l-dx предшествующей упругой деформации еу (/),
зависит от величины деформации ползучести еп (/), натекающей за
время dt при загружении бруса этим импульсом в возрасте бетона
т, и поэтому оказывается тем большей, чем меньше т. Кроме того,
она зависит от степени эффекта последействия и поэтому возра-
стает при уменьшении t — т. В связи с этим функция L (t, т) при
фиксированном t = tt = const графически должна изображаться
кривой L = L (tit т), имеющей вид провисшей нити с крутовосхо-
дящими левой и правой ветвями.

Теперь, применив аналогичные рассуждения, выясним физиче-
ский смысл наследственной функции второго рода R. (t, т). Сооб-
щим брусу в момент времени т единичный импульс 1 • Ат, но уже
не упругой, а полной продольной деформации в (/) = 1, выдержим
эту деформацию неизменной в течение малого отрезка времени Ат
и, полностью сняв ее в момент времени т + Ат (рис. 40, б), будем
наблюдать за упругой деформацией бруса в текущий момент вре-
мени £>т -Ь Ат, вызванной действием этого единичного импуль-
са полной деформации.

Для того чтобы создать единичную деформацию в момент вре-
мени т, мы должны будем в это время приложить к брусу напряже-
ния о (т) = Е (т). Так как мы на этот раз в течение времени Ат
сохраняем уже неизменной не упругую, а полную деформацию
в (/) = 1, то эти напряжения на этом отрезке времени Ат будут
уменьшаться (релаксировать).

Для снятия полной единичной деформации в (0 = 1 в момент
времени т + Ат мы должны будем приложить к брусу осевые на-
пряжения о (т) = - Е (т) обратного знака, часть которых погасит
оставшуюся долю первоначально приложенных напряжений о (т) =
= Е (т), в результате мы получим в брусе некоторые напряжения
обратного знака. Так как в дальнейшем мы предполагаем полную
деформацию бруса неизменной, т. е. закрепленной на уровне
в(/) = 0, то эти напряжения в свою очередь будут релаксировать
и в момент времени t от них останется только некоторая доля
о (/) (рис. 40, б).
Если мы разделим текущие ординаты полученного графика
напряжений о (/) на текущие значения модуля Е (/), то получим по-
добный ему график упругих деформаций бруса еу (/) (рис. 40, б), по-
скольку между ними и напряжениями a (f) существует связь (IV. 13).

Введем теперь в рассмотрение некоторую функцию 7?, опреде-
ляющую собой эффект действия рассмотренного единичного им-
пульса предшествующей полной деформации 1-Дт на упругую де-
формацию бруса, наблюдаемую в текущий момент времени t, и вы-
ражающую эту деформацию в долях от указанного импульса.

Для идеально упругого тела полные деформации равны дефор-
мациям упругим, поэтому в этом случае функция R совпадает с
функцией влияния L и, как было уже показано выше, тождественно
равна нулю.

Для бетона, обладающего свойствами ползучести и релаксации
напряжений, функция R отлична от нуля и представляет собой функ-
цию влияния, связанного с релаксацией напряжений, единичного
импульса предшествующей полной деформации, действовавшего
в возрасте т, на его упругую деформацию, наблюдаемую в момент
времени t.

Нетрудно видеть, что функция R, так же как и функция L, в об-
щем случае упруго-ползучего тела, свойства которого не инвариант-
ны относительно начала отсчета времени (стареющий бетон), в яв-
ном виде будет зависеть от времени наблюдения t и возраста бетона т:

R = R (t, т).	(IV.37)

Зная R (t, т), мы можем всегда определить упругую деформацию
в момент времени t, вызванную рассмотренным выше импульсом
1-Дт полной деформации, по формуле1

Деу(/)=—Я(/, т)1-Дт.	(IV.38)

Рассмотрим теперь случай, когда предшествующая полная де-
формация е (/) на всем интервале t — т отлична от нуля и перемен-
на. Разобьем интервал t — т на малые равные отрезки Дт и пред-
ставим кривую изменения предшествующей полной деформации
в виде непрерывного ряда последовательных импульсов интенсив-
ностью 8 (тг), аналогично тому, как это сделано на рис. 41. Тогда
по принципу наложения воздействий суммарную упругую деформа-
цию к моменту наблюдения t, вызванную эффектом действия этих
предшествующих импульсов, найдем в следующем виде:

t

еу (0 = — 5 в (тг) R (t, тг) 1 • Дт.	(IV.39)

Т=тг

Устремляя Дт -> 0 и переходя к пределу, получим следующую
формулу для указанной суммарной упругой деформации еу (/),

1 Знак минус в формуле (IV.38) введен потому, что упругая деформация
Деу (0 и предшествующая полная деформация е (т) = 1 имеют разные знаки
(рис. 40, 6).
относящуюся к случаю непрерывно -изменяющейся до момента
времени t полной деформации в (/) и полностью снятой в этот мо-
мент времени

t

еу (/) = — j е (т) (/, т) di.	(IV.40)

Полная упругая деформация в момент времени t, численно рав-
ная , с учетом (IV.40) и возвращаемой в это время полной де-
формации е (f), будет равна:

^ = е(0-[е(т)/?(1,т)й.	(IV.41)

Г [I)	J

Действительно, если бы наше тело было идеально упругим, то
предшествующие импульсы полной деформации не влияли бы на
величину полной упругой деформации в момент времени t и она была
бы численно равна полной деформации е (/) в этот момент времени.
Так как наше тело обладает свойством релаксации напряжений
(упругих деформаций), то. предшествующие импульсы полной де-
формации уменьшат эту деформацию на величину (IV.40) и мы полу-
чим поэтому полную упругую деформацию в текущий момент вре-
мени t в виде алгебраической суммы (IV.41).

Сравнивая уравнения (IV. 18) и (IV.41), мы видим их тождест-
во в случае отсутствия вынужденной деформации [е° (t) = 0]. Это
позволяет нам теперь дать следующее определение наследственной
функции второго рода Д (t, т). Наследственная функция второго
рода R (t, т) представляет собой функцию влияния единичного им-
пульса 1-б/т предшествующей полной деформации, действовавше-
го в возрасте бетона т, на упругую деформацию бетона, наблюдае-
мую в момент времени t > т.

Величина деформации Деу (/), вызываемая действием единичного
импульса предшествующей полной деформации е (т), зависит от
степени релаксации напряжений (упругой деформации) за время dx
при загружении бруса этим импульсом в возрасте бетона т и поэтому
оказывается меньшей, чем меньше т. Кроме того, она зависит от
степени эффекта релаксации на интервале времени t — (т + dr)
и потому возрастает при уменьшении t — т. В связи с этим функция
R (t, т) при фиксировании t = tt = const графически должна изо-
бражаться кривой R = R (tb т), имеющей вид нити, закрепленной
в точке т = 0 и приподнятой за правый конец т = ф.

Геометрически функции L (t, т) и R (t, т) можно интерпретиро-
вать как пространственные поверхности влияния в соответствую-
щих трехмерных пространствах (L, /, т) и (R, t, т), имеющие вид,
изображенный на рис. 42. Существенной особенностью этих по-
верхностей является то, что они ограничены двумя сходящимися
на осях L или R плоскостями: координатной т = 0 и биссекторной
t = т, образующими бесконечно простирающийся клин в положи-
тельном направлении осей Я т. За пределами биссекторной пло-
скости t = т, т. е. при т > /, по своему физическому смыслу функ-
ции L (t, т) и R (t, т) тождественно равны нулю.

Кривые L (т) и R (т) при t = const, представляющие собой ли-
нии пересечения поверхностей влияния L (t, т) и (/, т) с семейст-
вом плоскостей t = tt = const, условно совмещенные на одном
плоском графике, показаны на рис. 43. В таком виде эти кривые
экспериментальным путем были получены А. В. Яшиным [212].
Они относятся к невысыхающему бетону состава (по весу) 1:3:
: 4.5, В!Ц ~ 0,62 на портландцементе активностью 350 кгс/см2.

Рис. 42. Поверхности влияния

а — первого рода L (t, т); б—второго рода R (f, т)

Своеобразное очертание поверхностей влияния L (t, т) и R (t, т),
изображенных на рис. 42, указывает на то, что напряжения,
действовавшие на бетон, или сообщенные ему деформации совсем
недавно, а также те, которые были приложены или соответственно
сообщены ему в молодом возрасте, оставляют значительный след
к данному моменту времени наблюдения, тогда как влияние напря-
жений, прикладываемых в промежуточный период, или деформаций,
создаваемых в это время, в значительной степени стирается. На это
важное обстоятельство указал А. А. Гвоздев [64].

Экспериментально доказано [50, 88, 94], что ползучесть бетона
даже при очень высоких напряжениях, близких к разрушающим,
носит затухающий характер. Это обстоятельство накладывает на
функции влияния L (t, т) и (t, т) определенные требования, а имен-
но: величины интегралов

(IV.42)

должны быть конечными при любых t^>x и, в "частности, при
I op.
Несоблюдение этого условия может привести к постулированию
незатухающей ползучести, что не наблюдается у бетона1.

Например, функция влияния Ю. Н. Работчова [154, 155]

Г(1 —а)

Рис. 43. Наследственные функции влияния бетона
а —первого рода Щ, Т); б—второго рода R (I, т)

хорошо описывающая ползучесть металлов, к бетону неприменима,
ибо интеграл

1Л(/,т)Л = ----(IV.43)

J	(1 —а)Г(1—а)

при t -> сю расходится.

В заключение настоящего пара1рафа отметим, что уравнения
(IV. 17) и (IV. 18) получены с помощью принципа наложения
воздейстий на основе полной единичной относительной деформации

1 В некоторых случаях можно допустить у L (t, т) и R (t, т) особенность
в точке t = т. Однако характер этой особенности должен быть таким, чтобы
выполнялось указанное выше условие для интегралов (IV.42). Этот прием
иногда используется ₽ теории наследственности [158, 162, 163].
6 (/, т) рассматриваемого бруса, поэтому указанный физический
смысл наследственных функций бетона L (t, т) и R (t, т) в широком
смысле слова связан с применимостью этого принципа и утрачивает-
ся, если она отвергается.

§ IV.8. Общая трехмерная задача линейной теории
упруго-ползучего тела при наличии вынужденных
деформаций

Выяснив физический смысл функций влияния L (t, т) и R (/, т),
перейдем к уравнениям линейной теории ползучести, относящимся
к случаю сложного напряженного состояния бетона при вынужден-
ных деформациях.

При исследовании этого напряженного состояния методами
теории ползучести приходится вводить в рассмотрение коэффициен-
ты поперечной деформации (т) и v2 (/, т) соответственно для упру-
гой и неупругой частей деформации. При этом для общности по-
лагают, что коэффициент Vj (т) зависит только от возраста т бетона,
а коэффициент v2 (t, т) — как от возраста т, так и от продолжитель-
ности действия нагрузки t — т. В этих случаях также кроме мо-
дуля осевой упруго-мгновенной деформации Е (т) и полной единич-
ной продольной деформации 6 (/, т) (IV.6) приходится рассматривать
еще модуль упруго-мгновенных деформаций сдвига (IV.2) и пол-
ные единичные поперечную деформацию 6j (t, т) (IV. 7) и деформацию
сдвига 62 (/, т) (IV.8).

При Vj (т) Ф v2 (/, т) уравнения совместности деформаций тела
в теории ползучести получаются весьма сложными [25] и, главное,
образуют собой совместную систему интегро-дифференциальных
уравнений, решение которой наталкивается на большие математиче-
ские трудности. Поэтому удобно пока пользоваться условием (IV.5),
принятие которого, во-первых, как это было показано в § IV.4, при-
водит к незначительным погрешностям, во-вторых, существенно
упрощает решение задач теории ползучести, поскольку при этом
указанная выше система совместных уравнений теории ползучести
распадается на независимые и более простые уравнения.

Используя условие (IV. 5) и вытекающие из него соотношения
(IV.9), выпишем основные уравнения линейной теории упруго-
ползучего тела при наличии вынужденных деформаций, относящихся
к случаю его сложного трехосного напряженного состояния.

Для того чтобы составить эти уравнения, необходимо кроме ги-
потез линейной теории ползучести, сформулированных в § IV.5,
ввести еще дополнительно следующие рабочие предпосылки:

1)	напряженные деформации е* (/), ... ,	(/), вызывае-

мые действием собственно напряженний, и деформации вынужден-
ные е® (/), ...,	(t), ... малы и не зависимы друг от друга;

2)	упругие характеристики материала v, Е (т) и G (т) не зави-
сят от величин вынужденных деформаций и причин, их вызываю-
щих (температуры, влажности и т, п.);
3)	скорости вынужденных деформаций невелики, в связи с чем
ускорениями перемещений и, v и w точек тела можно пренебречь.

Применение первой предпосылки вполне обосновано, так как
обычно указанные деформации бетона невелики, что позволяет
применять для анализа его напряженно-деформированного состоя-
ния математический аппарат линейной теории ползучести и алге-
браически суммировать напряженные и вынужденные деформа-
ции.

Вторая гипотеза также вполне применима к бетону, если в со-
ответствии с первой предпосылкой рассматривать весьма малые вы-
нужденные дформации, не приводящие к микронарушениям сплош-
ности материала и вызывающие напряжения, не превышающие
его предела упругости, а также исключить из рассмотрения значи-
тельные изменения температуры и влажности бетона, как мы усло-
вились выше.

Наконец, третья гипотеза также применима к бетону, так как
вследствие низких значений величин его тепло- и влаго-физических
характеристик (см. § 1.3 и II.3) изменения температуры и влаж-
ности бетона происходят очень медленно, вследствие чего инерци-
онным эффектом упругих сил вполне можно пренебречь.

В дополнение к изложенному условимся в дальнейшем считать,
что поверхностные и объемные силы отсутствуют, сосредоточив свое
внимание лишь на напряжениях и деформациях тела, вызываемых
только его вынужденными деформациями.

При указанных предпосылках напряжеино-деформированное
состояние рассматриваемого упруго-ползучего тела будет опреде-
ляться напряжениями1:

*Ж ^(t), а2*(/);	1	у

^ио=т:ж ^ю=^ж1

деформациями

e*(/). *Ж *Ж 1	(IV45)

У?Ж « J

и средними вращениями
ду дг
du*(t)	dw*(t) .	/тлглсч

2<М0=-^---------<IV-46>

2Ю<«)=*Ц5—
дх ду ’
где и* (/), v* (/) и w* (f) — перемещения точек тела в направлении
координатных осей х, у и z соответственно.

1 Здесь и всюду в дальнейшем знак звездочки у напряжений, деформа-
ций и смещений указывает, что имеются в виду напряжения, деформации
и смешения, отыскиваемые р учетом ползучести,
При этом между деформациями
следующая связь [15, 2511:

и напряжениями существует

(1 +v)oj (0—vS*(O

=	----R_------

Р [(1+т)0*(т)—vS*(t)]

L (I, т) dx\



Tt



... Дх, у, г);

-----—р

£(0

' (IV.47)

fo+vHvo j

| Е(т)

Т1

(х, у, Z),

где

5*(0 = пИ0 + оИ0 + аг*(0	(IV.48)

и L (t, т)— наследственная функция второго рода (IV. 19); де-
формации удовлетворяют обычным уравнениям совместности:

(0 а2 е*(0 = а2 .

ду2 дх2 дхду ’
..........................(х,	у, z);

2 а2ех(О	= д	Г ^г(0	| дГхгЮ	| ^(0	1.

дудг дх	дх	ду	дг

.....................................(X,y,z)

(IV.49)

и связаны с перемещениями формулами:

еИ0 =	ди* (/) . дх		«ИО ду	dw* (t) dz ’	(IV. 50)
	УхЛП	_ ди* (0 ду	, dv*(t) . дх ’		
	y^(t)	dv* (i)	j dw* (t)		
		дг	ду		(IV.51)
	yxZ(t)	du* (t) дг	. dw* (t)  дх ’		

1 Здесь и всюду в дальнейшем символом ..... (х, у, г) указывается, что

остальные однотипные зависимости получаются последовательной круговой
заменой х на у, у на г и z на х.
а напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия

dx*z(t) = Q
дх	ду дг ’

......................(x,y,z).

(IV.52)

Кроме того, должны удовлетворяться соответствующие гра-
ничные условия.

В тех случаях, когда решение задачи о напряженно-деформиро-
ванном состоянии упруго-ползучего тела проводится в напряжениях,
необходимо располагать уравнениями совместности, выраженными
в напряжениях. Эти уравнения можно получить, если внести в урав-
нения совместности (IV.49), выраженные в деформациях, значения
деформаций, взятые из закона Гука. Мы их выпишем в готовом
виде, так как они нам понадобятся в дальнейшем. Эти уравнения
имеют вид:

t	1

[ 1 + V1 (/)] V2	(/) +	E (t) Ш о* (t) x

Ldx2	I

т) + 61(/,т)] + ^|^ .ВДх
дт	ox2 дт J

X dr —	(/);

............................................(x,y,z);

[i+v1(01v2^(0+^2-
дхду

-E{t) f	+	t)] +

J I	vx	J

+^.^|A = £i (z).

дхду	дт j

...............(x,y,z),	.

где

=	| д2'У°!' (t) _L V (f) 92	(Z) _L 92 У°гх _

1—Vj (t) | дхду ‘	1 dydz dzdx

ss°(0	^-eo(O ,	a2e«(/)

dy2 ax2 V10 дг2 V1 dy2

(IV.53)

(IV. 54)

(IV.55)

a2 e« (Z)	
аг2	ax2 / ’

...............................................(x,y,z);
о	Г32^2(0	й2т»гю

2	[ дхдг	+	дудг

2 a2s°(Q у

дг2,	дхду ’

.............................(х,у,	z).

(IV. 56)

Уравнения (IV.53) и (IV.54) выписаны для общего случая
V1 (т) =# v2 (t, т).

В заключение отметим следующее. Полные напряжения, дефор-
мации и смещения в общем случае всегда являются функциями ко-
ординат точек х, у, z и времени t. Начиная с этого параграфа, мы,
как это принято, для сокращения записи будем указывать только
их зависимость от времени t и снабжать их звездочкой, т. е. писать
о*(0.	^(0. ....	(0. -•

Это делается для того, чтобы отличить эти длительные полные
напряжения <з*х (х, у, z, t), ..., деформации в* (х, у, z, t), .... и пе-
ремещения и* (х, у, z, f), ..., связанные с ползучестью бетона, от
соответствующих кратковременных напряжений ох (х, у, z, f), .. .,
деформаций ех (х, у, z, f), ... и перемещений и (х, у, z, f),... упруго-
мгновенной задачи, рассмотренной в главах V и VI, не зависящих
от ползучести и отыскиваемых по уравнениям теории упругости.

§ IV.9. Некоторые общие замечания
по поводу метода решения рассматриваемых задач
линейной теории ползучести

В^современной линейной теории упруго-ползучего тела
Г. Н. Маслова — Н. X. Арутюняна весьма важным является по-
нятие об упруго-мгновенных напряжениях и деформациях, являю-
щихся решением так называемой упруго-мгновенной задачи теории
упругости. Эту задачу и связанную с ней терминологию ввел в рас-
смотрение Н. X. Арутюнян [25]. Он предложил упруго-мгновенной
задачей теории упругости называть задачу о напряженно-деформи-
рованном состоянии идеально упругого и, следовательно, не об-
ладающего ползучестью тела с упругими коэффициентами, завися-
щими от времени, вызываемом воздействием поверхностных и
объемных сил или вынужденных деформаций, считая при этом дей-
ствие этих сил статическим, т. е. рассматривая время как параметр.

Н. X. Арутюнян показал, что для такой задачи сохраняются
обычные уравнения равновесия, граничные условия и уравнения
совместности, выраженные в напряжениях, для чисто упругого
тела, в их обычной форме при условии, что в последних уравнениях
упругие коэффициенты (постоянные) Е и v заменяются функциями
Е (/) и v (/). Например, в случае простого одноосного сжатия обыч-
ная связь между напряжениями и деформациями в форме закона
Гука

о
~Е

(IV.57)

полностью сохраняется, но переписывается в форме

Р(/)
£(/)

(IV.58)

Большая заслуга Н. X. Арутюняна состоит в том, что он, введя
в рассмотрение указанную упруго-мгновенную задачу, обобщил
известный принцип Вольтерра на случай упруго-ползучего тела,
одновременно обладающего свойствами наследственности и старе-
ния, и показал, что при некоторых условиях напряженно-деформи-
рованное состояние такого тела, вызываемое факторами, связанны-
ми с изменением его деформаций (температурными воздействиями,
усадкой и т. п.), однозначно определяется с учетом ползучести и из-
меняемости модуля упруго-мгновенной деформации полными на-
пряжениями о* (/), ..., txy (t), , отыскиваемыми на основе
соответствующих напряжений ох (/), ..., тху (/), ... упруго-мгновен-
ной задачи для этого же тела.

Сравнив правые и левые части уравнений совместности упруго-
ползучего тела (IV.53), (IV.54) и воображаемого идеально упругого
тела, не обладающего ползучестью (V.9), при одних и тех же задан-
ных вынужденных деформациях, Н. X. Арутюнян получил следую-
щую систему совместных интегро-дифференциальных уравнений
1251:

да S (t)

[ 1 + (01 v2 (0 + Г2 = 11 + Vx (/)] v2^ (0 +

dx2

Ф	(/) [ (o* (t)	[8 (/, т) + б, (/, t)] +

OX*	J (	GT

Ti

। de,, . d2 S* (т) 1 .

dx	dx2 J

.............................................(x,y,z);

[ 1 + Vx (t)] v2 tx!Z (/) +	= [ 1 + (/)] v2 <y (0 +

dxdy

+	® f IV2 (T) 4-16 T) + T>] +

dxdy	J (	dr

(IV. 59)

и

SCi
я

Пй

(IV. 60)

«I»

Е(/) =

..............................................(X,	y,z),
где

S* (0 = о: (0 + о* (/)+oS (/); S (0 - ох (/) + оу (/) + oz (/);	(IV.61)

5i (!, т) = —J— [vj (0—v2 (t, t)]+v2 (/,т) б (t, т)	(IV.62)

£ (т)

и, кроме того,

S* (0 = S (0 +	- f S* (т)	[26 (t, т) + 6Х (t, т)] dr. (I V.63)

2+vj (t) J дх

Xi

Кроме уравнений (IV.59), (IV.60) и (IV.63) напряжения
о*х (I), Хху (0, ••• Должны еще, очевидно, удовлетворять одно-
родным уравнениям равновесия (IV.52) и граничным условиям:

о'х (/) cos (Nx) + Тад (t) cos (Ny) + т*2 (t) cos (Nz) = 0;
xyx(t) COS (Nx) + Oy (/) cos (Ny) 4- T^z (0 cos (Vz) = 0;
Tzx(0 cos (Nx) + t24, (/) cos (Ny) + Oz (t) cos (Nz) = 0.

(IV. 64)

На основе уравнений (IV.52), (IV.59), (IV.60) и (IV.64)
H. X. Арутюнян пришел к указанному выше выводу о том, что
полные напряжения о'х (/), ..., Тад (t), ..., вызываемые факторами,
связанными с изменением деформаций тела, как, например, тем-
пературными воздействиями, осадкой опор, усадкой и т. д., с уче-
том ползучести и изменяемости модуля Е (/) определяются через
соответствующие напряжения ох (t),'..., хху (t), ... упруго-мгновен-
ной задачи для этого же тела системой этих уравнений. При условии
(IV.5) решение системы (IV.59), (IV.60), (IV.63) будет удовлетво-
рять граничным условиям (IV.64) и уравнениям равновесия (IV.52)
только в том случае, если оно будет иметь следующий общий вид:

t

о^х (0- J оИт) К (t, т) dx = ох (0;

.................................(х,	у, z);

Х*У (0 — J хху (т) К (I, Т) dx = Хху (I)-
Xi

(IV. 65)

.........................(X,y,z).

Только в этом случае, внося о? (t), ..., х*у (х), ..., выраженные
таким образом, в уравнения (IV.52) и (IV.64), мы получим однород-
ные интегральные уравнения Вольтерра:
dx*y(t) dx*z(t)'
dx dy	dz

p Г da*

(*) . dx*yN)

dx

dy

dz

K(t, t)cZt = O;

(IV. 66)

(x, y, z)\

[o* (t) cos (Nx) +	(t) cos (Ny) + t*2 (t) cos (Vz)] —

—	f [<£ (T)cos (Nx) + xxy (i) cos (Ny) +
ti

+ xxz (t) cos (A/z)] К (t, t) dx — 0;

[t^ (t) cos (Nx) + Oy (t) cos (Ny) + x*z (t) cos (A/z)] —
t

—	J (T) cos (Nx) + o*y (t) cos (Ny) +

T1

+ x'yz (t) cos (A/z)] K(t, x)dx — 0;

[Xxx (t) COS (Nx) + X'zy (t) COS (Ny) + G*z (t) cos (Vz)] —

— J [x'zX (t)cos (Nx)+tzy (t) cos (Ny) +
ti

-}- Oz (t) cos (iVz)] N(t, x)dx= 0,

(IV. 67)

имеющие единственные решения (IV.52) и (IV.64), и, следовательно,
удовлетворим автоматически уравнениям равновесия и граничным
условиям.

Внося (IV.65) в систему (IV.59), (IV.60) и (IV.63), получим усло-
вия:

т) ’ Т-16 т> +	т>];

l + viU) dx

K(t, x)^E(t)-f-&(t, т),

которые с учетом (IV.5) вполне совместимы и дают нам

K(t,x)=E(t)-l-8(t, т).

ОТ

(IV.68)

(IV.69)

При этом система (IV.59) и (IV.60) распадается на независимые
интегро-дифференциальные уравнения;


й,

или

v2 °* (О — [ v2 °* (т)Е (О 6 т)dx = v2 Qx (О;
т»

......................................> • . (X, у, 2)\

V2 т*</ (О — f v2 т*</ (т)Е (О -£ 6 (z- T)dT = \2xXIJ(ty,
> Tt
...............................................(x, у, z)

(IV.70)

a* (/) — J aj (т) E (/) ~ 6 (t, t) ch = ux (/) + ox (/);
T1

..............................................(x,	y,z);

t	л	~

x*y (0 — f (т) E (/) — 6 (/, т)Лт = тх!/(0 + тЯ!/(0;
v	от

Ti

..............................................(x,y,z),

(IV.71)

где стх (/), ..., txy (/), ... — некоторые пока произвольные гармони'
ческие функции, удовлетворяющие уравнениям:

V2ctx(/) = 0;

........(х, у, z);

V2Txy(/) = 0;

........{х,у, z).

(IV.72)

Разрешая уравнения (IV.71) относительно напряжений
ох (/), ..., тху (/) ..., внося их в граничные условия упруго-мгновен-
ной задачи (V. 10) и принимая во внимание (IV.72), найдем, что на-
пряжения стх (/), ..., хху (/), ... на контуре тела должны удовлетво-
рять нулевым граничным условиям, аналогичным (IV.64), и, сле-
довательно, в силу известной теоремы об экстремальных значениях
гармонических функций тождественно должны быть равны нулю во
всей области тела.

Принимая это во внимание, мы и получим уравнения:

t	,

с* (0— f o-J (т)Е (0 -7-6 G. т) (0;

J	дх

Т1
.................................(х,	у, z);

f т:у(т)£(/) -£б(Л T)Jx = Txy(Z);

...............................  (х,	y,z)

(IV.73)
или с учетом (IV. 19):

E(t)

t

J Е{х)
ti

0(0 .
E(t) ’

............................•	(X, У, z);

x^t} , C

E(t) J

Л, (0

—-—L (t, t) dx =

E(x) '

XXy (0 _

E(t) 1

(IV.74)

......................(X,y,z),

найденные для этого случая Н. X. Арутюняном, решения которых
автоматически будут удовлетворять всем уравнениям задачи. Таким
образом, указанный выше весьма важный вывод Н. X. Арутюняна
в случае (IV.5) существенно упрощает решение рассматриваемой
задачи.

Отметим, что этот вывод доказан лишь для случая, когда гра-
ничные условия заданы в напряжениях, т. е. имеют вид (IV.64)
[25]. Важным поэтому является вопрос о его справедливости в слу-
чае, когда граничные условия заданы в перемещениях. Рассмотрим
этот вопрос.

Вначале ограничимся случаем, когда поверхность тела в каж-
дой точке жестко закреплена в пространстве, т. е. когда на каждую
точку его контура наложены абсолютно жесткие связи. В этом слу-
чае вдоль каждой из линий контура:

у — yh = const;
х = xk = const;
x = xn — const;

z = zk = const;
z = zh = const;
У~ yh — const

(IV.75)

соответственно:

и* (х,	Уь,	0 = 0;
D* (xft,	У> 4’	0 = 0;
	yk> z,	0=0 .

(IV.76)

и, следовательно, в любой точке поверхности тела

ди* (/)  dv* (t)  dw* (t)Q
дх ду дг

С помощью формул (IV.47), (IV.50), (IV.51) эти граничные
условия для тела с жестко закрепленным контуром мы раскроем
в следующей форме-
e.	U + v)«^^ +

' '	E(t)

/• i<i+v)°;w-vS-wl L t)A_0.

J E (t)

Ti
......................(x,y,z).

(IV.77)

Так как условия (IV.77) соблюдаются в любой момент времени
t, то они будут справедливы и для упруго-мгновенной задачи, для
которой эти условия, аналогично (IV.77), запишутся в форме:

О /£\ I (1 -р у) Ох (0 vE (t) __ g

А U '' ’ E(t)

(IV.78)

.......................(х,	у, Z).

Если мы теперь внесем сюда (IV.74), то получим уравнения, пол-
ностью совпадающие с (IV.77), следовательно, полные напряжения
ох((),..., Тху (/), ..., найденные в форме (IV.74), будут тождествен-
но удовлетворять и граничным условиям (IV.77) жесткого закрепле-
ния контура тела. В этом состоит доказательство применимости
указанного выше принципа Н. X. Арутюняна и в этом случае
граничных условий, а следовательно, и в общем случае смешанных
граничных условий.

Иначе будет обстоять дело, если на контур тела наложены упру-
гие связи, податливость которых зависит от величины напряжений.
Например, когда на контурной координатной плоскости тела
х = const

=	(IV.79)

В этом случае решение задачи в форме (IV.74), где напряжения
упруго-мгновенной задачи удовлетворяют на этой плоскости анало-
гичным условиям:

=	“",= адТ“(')' ,1V'80)

приводят к условиям ла контуре:

E(t)	^(0 + J	kl  E(t)	a* (t) L (/, t) dx = и (/);	
k2  E(t)	^Ю+f  Ti	^2  £(*)	t*x(t)A(Z, T)dT = o(Z);	(IV.81)
E(t)	(0 + f  T1	&3  E(t)	TzX (t)L(Z, t) dx = w(t).	
Поэтому на этом контуре мы будем иметь условия:

-^а*(0 = ц(/)_[ц(т)Я(/, т)^т;

23 И?	J

г;, (0 = v (0 - [' v (т) R (I, г) Л;

Е V)	J

- Tzx (О = w(t) — [ w (т) R (/, т) dx,
E(t)

совпадающие с (IV.81) только в том случае, если:

t

и* (/) — и (t) — \ и (т) R (I, т) dx\

Т1
t

v*(t) = v(f)—\v(t)R(t, x)dx-,
т»

t

xtf* (t) = w(f)—| w (x)R(t, t) dx,
T>

(IV.82)

(IV.83)

что, как это будет сейчас показано, не совместимо с (IV.79). Таким
образом, рассматриваемый принцип Н. X. Арутюняна на случай
упруго-податливых связей на контуре тела не распространяется.
Это обстоятельство в предположительной форме впервые, по-види-
мому, было отмечено И. Е. Прокоповичем [151] при рассмотрении
плоской задачи теории ползучести.

Отметим, наконец, одно очень важное обстоятельство.

Имея в виду рассмотренный выше принцип Н. X. Арутюняна,
в случае (IV.5) мы, с учетом уравнений (IV.47), (IV.73) и (IV.74),
находим:

е* (Z) = -O±v)^(/}-vS(n + ео (0;
.................................(х,	у,	z\,
(0=(0;

.................................(X,	у,	г),

(IV.84)

что совпадает с (V.4). Таким образом, в этих случаях полные дефор-
мации тела равны его упруго-мгновенным деформациям и, следо-
вательно, ползучесть бетона не оказывает влияния на его деформа-
ции, а изменяет лишь величину напряжений в нем.
Теперь вернемся к случаю (IV.79). Так как из уравнений (IV.84)
следует:

е* (/) = Вд. (Л;	]

1 хУ>	(IV.85)

. ... (х, У, z), I
то

ди* (0 _ ди (/) . dv* (/) _ dv (/) . dw* (/) _ dw (t) gg^
dx dx ’ dy dy ’ dz dz

в то время как согласно уравнениям (IV.83) должно быть:

du* (t)	du (t)	t	du (t)	
				
dx	dx		dx	
		Ti  t		
dv* (t)	= dv	—	dv (r)	R (t, t) Jt;
dy	dy		dy	
		Ti t		
dw*(t)	dw(t)	—	dw (t)	R (/, т)г/т. >
dz	dz		dz	
				J

(IV.87)

Из несовместимости уравнений (IV.86) и (IV.87) следует дока-
зательство неприменимости принципа Н. X. Арутюняна к случаю
упруго-податливых связей на контуре тела.

Резюмируя сказанное, можно теперь принцип Н. X. Арутюня-
на сформулировать следующим образом.

Если напряженное состояние тела вызвано его вынужденными
пеформациями, то в случае отсутствия на контуре тела упруго-
податливых связей и при v2 (/, т) — v1 (/) = v = const с учетом
ползучести и изменяемости модуля Е (т) его полные деформации

> Уху (t), ... равны деформациям еж (/), ..., уху (/), ... со-
ответствующей упруго-мгновенной задачи для этого же тела,
а полные напряжения о* (t), ...,	(/), ... определяются через

упруго-мгновенные напряжения этой задачи ох (0, Хху (J), 
с помощью независимых интегральных уравнений (IV.74), в кото-
рых L (t, т) — наследственная функция бетона первого рода.

Этот результат имеет огромное практическое значение, так
как, во-первых, существенно упрощает рассматриваемую задачу и,
во-вторых, позволяет использовать для ее решения имеющийся на-
бор готовых решений соответствующих задач теории упругости.

На основании всего изложенного выше может быть сформули-
рован следующий метод последовательного решения рассматривае-
мых задач о температурных и влажностных напряжениях в бетоне.

Вначале методами теории тепло- или соответственно влагопро-
водности определятся изменения температурного поля или поля
влажности данного тела. Для бетона молодого возраста соответст-
вующие методы определения полей температуры и влажности при
наличии внутренних распределенных источников тепла (экзотер-
мии) и стока влаги (химического связывания) с учетом влияния
на их интенсивность температуры процесса развиты в главах I и II
настоящей работы.

Для бетона зрелого возраста, когда внутренние источники тепла
и стоки влаги практически отсутствуют, для этой цели можно вос-
пользоваться имеющимися готовыми решениями соответствующих
классических задач теории тепло- и влагопроводности [12, 30,
93, 107].

Затем на основе найденных изменений полей температуры и влаж-
ности бетона методами теории упругости решается соответствующая
упруго-мгновенная задача для воображаемого идеально-упругого
£(<)
тела с модулями Е (/) и G (f), причем, как обычно, G (/) = ттг-——

-f- v) .
Для этого могут быть использованы, например, имеющиеся
готовые решения задач термоупругости.

Большое число таких задач рассмотрено в курсах теории упру-
гости, а также в работах Б. Г. Коренева [101], Н. Н. Лебедева [103],
Г. Н. Маслова [118, 119], А. В. Белова [31, 33—35], Э. Мелана
и Г. Паркуса [122], Г. Паркуса [147] и других исследователей.
В главе VI некоторые из этих задач уточнены и дополнены. Там
же рассмотрены и некоторые новые упруго-мгновенные задачи.

После этого по найденным напряжениям упруго-мгновенной
задачи и при заданных модуле упругости бетона Е (т) и наследствен-
ной функции второго рода R (t, т) с помощью квадратур отыскивают-
ся уже искомые полные (с учетом ползучести) напряжения
в рассматриваемом теле.

Полные же деформации принимаются равными деформациям
упруго-мгновенной задачи.

Эту последовательность решения рассматриваемых задач те-
ории ползучести мы и используем широко в дальнейшем.

Методы отыскания полных напряжений с учетом ползучести по
напряжениям упруго-мгновенной задачи развиты в главе VII, где
показано, что эта операция сводится к умножению соответствующих
составляющих тензора упругих напряжений заменяющей упруго-
мгновенной задачи на коэффициент приведения Н* (t, tJ. Для вы-
числения этого коэффициента достаточно располагать данными о
наследственной функции бетона второго рода 7? (/, т) и законе раз-
вития во времени его вынужденной деформации, который всегда
известен.

§ IV.10. О наследственных функциях теории
ползучести бетона

Выше мы видели, что в основные уравнения теории ползучести
входят наследственные функции L (t, т) и R (t, т) соответственно
первого и второго рода. В § IV. 7 был рассмотрен физический смысл
этих функций и дано их точное определение, как соответствующих
/ функций влияния. Теперь укажем пути их экспериментального
определения.

Функции L (t, т) и R (t, т) с помощью формул (IV. 19) и (IV.26)
однозначно выражаются через полную удельную относительную
продольную деформацию б (t, т) и полные удельные относительные
напряжения р (t, т), поэтому определение этих функций требует
построения экспериментальных кривых б (/, т) и р (t, т). Они имеют
вид семейства кривых, изображенных на рис. 39, а и б.

Обычно кривые б (/, т) и р (t, т) строятся в осях (б, /) или (р, /)
и каждая из них относится к заданному фиксированному возрасту

Рис. 44. Кривые осевых относительных удельных деформаций 6 (t, т) и на-
пряжений р (t, т) бетонного бруса при фиксированном t и переменном т

бетона т в момент загружения. Поэтому для нахождения на их осно-
ве функции L (t, т) и R (t, т) с помощью формул (IV. 19) и (IV.26)
эти кривые необходимо перестроить в осях (б, т) и (р, т) так, чтобы
каждая из них соответствовала заданному фиксированному моменту
наблюдения /г, а затем продифференцировать их (например, графи-
чески) по т. Перестроенные таким образом кривые б (/, т) и
р (t, т) имеют вид, изображенный на рис. 44. Обычно эту операцию
производят аналитически, аппроксимируя предварительно соот-
ветствующими выражениями кривые б (t, т) и р (t, т), построенные
в осях (б, I) и (р, f).

Так как поведение бетона при кратковременном (мгновенно-
упругом) и длительном загружении не равнозначно, то удобно из
полной удельной деформации б (/, т) выделить отдельно упруго-мгно-
венные деформации и деформации, развивающиеся во времени вслед-
ствие ползучести бетона. Сделать это можно по-разному:
а)	выделить упруго-мгновенные Деформации F, ., соответст-
вующие только моменту загружения т и	ji'j

б)	выделить текущие упруго-мгновенные деформации тДг-, со-
ответствующие текущему моменту времени наблюдения t.

Первый путь предложен Г. Н. Масловым [120] и был общепри-
нятым до настоящего времени [25, 49, 50, 151]. В этом случае по
предложению Г. Н. Маслова считают, что

6(/,т)=-^-+С(/,т),	(IV.88)

где С (t, т) — некоторая удельная деформация ползучести, изобра-
жающая собой часть полных деформаций 6 (/, т), натекающую во

времени сверх первоначальной упругой деформации

1

Е(т)

в момент

загружения. Поскольку сама упругая деформация

1
Е(т)

изменяется

во времени, функция С (t, т) в действительности представляет собой

лишь часть деформации ползучести, меньшую, чем сама деформация

ползучести.

Второй путь был предложен автором [18] п предполагает дефор-
мацию 6 (/, т) равной:

6(Л т)=^Г+с*(/’т)’

(IV.89)

te
,«
e(s|
И)

даЕ

Ж
вил

где С* (t, т) — удельная деформация ползучести, изображаю-
щая собой часть полных деформаций 6 (/, т), натекающую во вре-
мени сверх текущей упругой деформации -рХг- и представляющую
ссбой чистую деформацию ползучести.

Вопрос об определяемой таким образом чистой деформации
ползучести был поднят Уитнеем [253] и позже еще раз обсуждался
Мак-Генри [236], который называл ее «истинной» ползучестью.
Однако тогда он не вызвал интереса у специалистов. После указан-
ного выше предложения автора, облеченного в конкретную ана-
литическую форму, и сделанного на его основе критического ана-
лиза некоторых результатов непоследовательного использования
выражения (IV.88) [18] интерес к этому вопросу вновь возрос и в
настоящее время он снова обсуждается в ряде работ.

Смысл и различие двух представлений б (/, т) (IV.88) и (IV.89),
а также функций С (t, т) и С* (t, т) ясны из рис. 45, а.

Поскольку имеются в виду одни и те же экспериментальные кри-
вые полных деформаций б {t, т), обе формы записи (IV.88) и (IV.89)
равноценны и приводят к одним и тем же функциям L (t, т), опре-
деляемым с помощью формулы (IV. 19), а следовательно, к одно-
значному решению задач теории ползучести о полных деформациях
и полных напряжениях в бетоне.

SW

»|

ДЙ

М

-, Jli

ЭДИ

и(
'Л®
м

^4

‘-W
По-иному состоит дело, если требуется на основе выражений
(IV. 13) и (IV. 14) подсчитать только упругие деформации и напряже-
ния упруго-мгновенной задачи или только деформации ползучести.

В этом случае весьма важно разобраться в том, что собой пред-
ставляют функции С (t, т) и С* (/, т) и каков их физический смысл.
Это тем более необходимо потому, что физический смысл функции
С (t, т) неточно трактуется многими авторами, а сама функция
С (t, т), следуя Г. Н. Маслову, неправильно называется мерой ползу-
чести бетона, т. е. единичной (удельной) относительной деформацией

Рис. 45. Кривые деформаций 6 (t, т)
бетонного бруса, загруженного пос-
тоянными единичными напряжения-
ми (а) и напряжений р (t, т) в бетон-
ном брусе с сообщенной ему еди-
ничной постоянной деформацией (б)
1 —упруго-мгновенные деформации, возни-
кающие в момент загружения; 2— полные
деформации, развивающиеся вследствие
ползучести; 3—упруго-мгновенные напря-
жения, возникающие в момент создания
деформаций; 4—полные напряжения, раз-
вивающиеся вследствие релаксации

ползучести к моменту времени t. Такое определение функции С (t,
т) неточно и в ряде указанных случаев может привести к ошибкам
[120].

В действительности функция С (t, т) в уравнении (IV.88) пред-
ставляет собой не меру ползучести, а лишь ее часть, получаемую

уменьшением единичной относительной деформации чистой ползуче-

сти на переменную величину

1
Е(т)

1

E(t)

, представляющую собой

разницу упругих единичных деформаций бетонног i бруса в момент
приложения напряжений т и в момент времени наблюдения t
(рис. 45) [18]. Лишь в случае неизменного во времени модуля упру-

гости Е («старый» бетон) функция С (t, т) является его мерой пол-
зучести С* (t, т).

Таким образом, между функцией удельных деформаций С (t, т)
и мерой ползучести бетона С* (t, т) имеется следующая зависимость:

С*(/’т> = 77Т—?к+С<'’г>'	(IV.90)

£(т)	£(/)
Следовательно, для упругого тела, не обладающего ползучестью,

а

С* (t, т) = О,

С (t, т)

1 1

(IV.91)

(IV.92)

и не равно нулю. Внося (IV.92) в (IV. 17), мы и получим единствен-
но верное в этом случае соотношение (IV. 58), лежащее в основе
упруго-мгновенной задачи и принципа Н. X. Арутюняна, рассмо-
тренного в § IV. 9. Условие же

C(t, т) = 0,

(IV. 93)

применяемое некоторыми авторами при переходе к предельному
случаю упругого тела, является ошибочным.

Ошибку подобного рода, например, допустил Г. Н. Маслов
при рассмотрении температурных напряжений в теле с переменным
модулем упругости Е (/) и не обладающим свойством ползучести.
Г. Н. Маслов [120], используя условие (IV.93), получил при этом
для любой составляющей этих напряжений Q (х, у, z, t) при по-
стоянном во времени температурном перепаде Т = То неверную
формулу

Q (X, у, z,t) = o (х, у, z) То Ео,

в которой о (х, у, z) — напряжения упруго-мгновенной задачи при
Е = 1 и Т ~ 1, а Ей = const. В действительности же, с учетом
(IV.92), в этом случае должно быть

<2 (х, у, z,t) = a (х, у, г) 7|Е (I).

Укажем также, ч^о хотя в монографии Н. X. Арутюняна [25]
функция С (I, т) по традиции и называется мерой ползучести бетона,
однако в ней имеется и четкое разделение полных деформаций бе-
тона на упруго-мгновенные (IV. 13), подчиняющиеся линейному
закону, и деформации ползучести (IV. 14) ([25], стр. 16), при этом
предельный переход (IV.93) нигде не применяется.

В соответствии с изложенным выше взамен выражения (IV.88)
для полной осевой относительной единичной деформации бетонного
бруса, входящей в уравнение (IV. 19), автором было предложено
выражение (IV.89), в котором функция С* (t, т) уже представляет
собой действительно полную меру ползучести бетона.

Экспериментальное определение меры ползучести С* (I, т) про-
изводится на основе выражения (IV.90) и не сложнее определения
функции удельных деформаций С (t, т), поскольку для построения
кривой единичных упругих деформаций -7777, необходимой для
С (Г)
этого, никаких новых опытных данных не требуется.

Графически мера ползучести С* (t, т) весьма похожа на функцию
удельных деформаций С (t, т), поэтому для ее аналитического вы-
ражения пригодны в равной степени все обычно рекомендуемые
в литературе выражения для С (/, т), но, конечно, при других значе-
ниях, входящих в эти выражения параметров. Это видно из рис. 46,
на котором в качестве примера мера ползучести С* (t, т) изображена
в виде обычных кривых, построенных на основе экспериментальных
данных С. В. Александровского и Э. Я. Багрия.

Неправильно думать, как это делают некоторые, что введение
в рассмотрение меры ползучести С* (/, т),т. е. переход от выражения
(IV.88) к выражению (IV.89), приводит в итоге к завышению релак-
сационной способности бетона и иному характеру перераспределения
усилий в железобетонных элементах.

Возраст бетона В сутках к моменту наблюдения

Рис. 46. Кривые С* (t, т) и С (t, т) бетона состава 1 : 1,9 : 4,4, В/Ц = 0,65,
на портландцементе активностью 567 кгс/см^

------С (t, т);-----С* (/, т)

Сравниваемые выражения отличаются лишь различным соотно-
шением входящих в них двух слагаемых при неизменной их сум-
ме. По этой причине применение формулы (IV.89) взамен выраже-
ния (IV.88) в полном виде приводит к идентичным результатам, но
избавляет нас от ошибки при предельном переходе к материалу,
не обладающему ползучестью, а также при исчислении только упру-
гих деформаций и напряжений упруго-мгновенной задачи или только
деформаций ползучести.

Кроме того, применение указанного выше принципа Вольтер-
ра—Арутюняна требует строгого определения смысла напряжений
упруго-мгновенной задачи для стареющего бетона с переменным
модулем Е (/). Такое единственно верное определение этих напря-
жений, например, по уравнениям (IV.36) и (IV.41) мы получаем
только при условии (IV.91), т. е. при L (t, т) = R (t, т) = 0.
Рассмотрим вопрос о полных удельных напряжениях р (t, т), С*
введенных в § IV.6. Под этими напряжениями мы условились пони- вщйй
мать напряжения, которые в любой момент времени наблюдения
необходимо иметь в призматическом бетонном брусе для поддер- fa®'
жания неизменной во времени полной единичной относительной	;P,'ir

деформации, сообщенной ему в возрасте бетона т. Очевидно, для	guw

р (t, т) мы будем иметь формулу	B!1®t

р (Л т) = £ (т) — г (t, т),	(IV.94)

в которой Е (т) — модуль упруго-мгновенной деформации в момент
загружения бетона т, а г (t, т) — некоторая функция удельных
напряжений, изображающая собой закон падения во времени на-
чальных удельных напряжений за счет ползучести бетона. Таким
образом, первое слагаемое в формуле (IV.94) представляет собой
начальные упругие удельные напряжения, необходимые для сооб-
щения бетону в возрасте т единичной деформации, а второе слагае-
мое — степень уменьшения этих напряжений во времени.

Функцию г (t, т) по аналогии с функцией С (Z, т) можно было бы
назвать мерой релаксации напряжений или просто мерой релакса-
ции, однако по соображениям, аналогичным высказанным в начале
параграфа о функции С* (t, т), это было бы неправильно, так как
г (t, т) представляет собой лишь часть меры релаксации г* (t, т).
Лучше напряжения р (t, т) представить в виде (рис. 45, б):

p(t,x) — E(t)—r*(t, т).	(IV.95)

При такой форме записи входящая сюда функция г* (/, т) уже
будет представлять собой полную меру релаксации. Таким образом,
функция удельных напряжений г (t, т) и мера релаксации г* (t, т)
связаны соотношением

Г (t, т) = г* (t, т) +£ (т) — Е (/).	(IV.96)

Мера ползучести С* (t, т) и мера релаксации г* (t, т), введенные
нами в рассмотрение, представляют собой вторую пару наследст-
венных функций бетона, которые мы будем соответственно называть
наследственными функциями третьего и четвертого рода.

Пользуясь интегральным уравнением (IV. 16), устанавливающим
взаимосвязь между наследственными функциями L (t, т) и R (t, т),
можно получить аналогичное уравнение для второй пары наслед-
ственных функций С* (t, т) и г* (t, т). Это уравнение, в чем легко
убедиться с помощью формул (IV. 19), (IV.26), (IV.89) и (IV.95),
имеет вид [21]:

Е (т) — С* (t, т)---— . — г* (t, т) —

' ’ дх V ’	E(t) дх v

t

=	(IV.97)

J dx d%
x

192

Effl
ipaffl
дав
ш®1
рИ
tai
r/Bffl
ejc
[рвя
111 311

ВКЯ
ИЩИ

и

Ji start
ape
Чмар
li mi
t'O

4»)’ip)'
г1Ми

в|1Ц]|
w
^•ЙЗГИ
'®ft'tp4
цОйщ
«йф
»iiii
С помощью этого интегро-дифференциального уравнения одна
из наследственных функций, входящая в него, может быть всегда
найдена по заданной другой.

Таким образом, при соблюдении условий пятой из рассмотренных
в § IV.5 рабочих гипотез линейной теории ползучести бетона мы
имеем полный класс наследственных функций бетона, образующих
взаимные пары в указанном выше смысле

L (t, т);	т); C*(t, т); r*(t, т).

Если отказаться от гипотезы об одинаковой зависимости от
времени всех видов полных единичных деформаций бетона, как это
сделано в обобщенной теории ползучести, развитой Н. X. Арутю-
няном [25], то число наследственных функций соответственно воз-
растает. Необходимые сведения по этому вопросу можно найти в ра-
ботах [63, 64]. Однако, как это было показано в § IV.4, для рассма-
триваемой нами проблемы температурно-влажностных напряжений
такое усложнение теории не требуется и мы ограничимся случаем
применения указанных четырех наследственных функций.

Из этих четырех функций только одну можно выбрать в каче-
стве независимой; остальные же будут выражаться через выбранную
последовательными зависимостями (IV. 16), (IV. 19), (IV.26), (IV.89)
и (IV.95).

§ IV.11. Об основных разновидностях современной теории
ползучести бетона и наследственных функциях,
фигурирующих в их уравнениях

Среди ряда различных направлений современной теории ползу-
чести бетона различают три основные ее разновидности:

теорию упругой наследственности, предложенную Больцманом
[215] и Вольтерра [252], получившую в дальнейшем свое сущест-
венное развитие в работах А. Р. Ржаницына [159—163] и др.;

теорию старения, разработанную Дишингером [222] и Уитнеем
[253], значительно развитую в работах Н. А. Буданова [43], Глэн-
вилля [226—229], Я. В. Столярова [173] и особенно И. И. Улиц-
кого [181—186];

теорию упруго-ползучего тела (наследственную теорию старе-
ния), разработанную Г. Н. Масловым [120] и Н. X. Арутюняном
[25, 26], получившую свое дальнейшее развитие в работах Б. Л. Аб-
рамяна [1], В. М. Бондаренко [41], П. И. Васильева [49—53],
А. А. Гвоздева [63—66], М. А. Задояна [83], [84], М. М. Манукяна
[115—116], Н. Я- Панарина [146], С. В. Полякова [148], И. Е. Про-
коповича [149]—[151], М. И. Розовского [164] и многих других.

Для всех этих теорий в их линейной трактовке общими являют-
ся основные рабочие гипотезы теории ползучести, рассмотренные
в § IV.5. Отличие же их состоит в различном подходе к вопросу об
обратимости деформаций ползучести при частичной или полной
разгрузке, что находит свое выражение в различной физической
и математической интерпретации этого вопроса.

Теория старения полностью отрицает обратимость деформаций
ползучести. Этим самым постулируется параллельность кривых
ползучести у образцов раннего и позднего загружения1. Математиче-
ски это выражается в том, что функция удельных деформаций пол-
зучести принимается в виде:

С (t, т, Tj) = С (/, тх)—С (т, тД	(IV.98)

причем С (t, Tj) задается обычно в форме
C(t, т1) = С(оо, tJU—

(IV.99)

Здесь Tj — момент времени загружения, принятый за начало от-
счета и определяющий собой выбор исходной кривой ползучести
(IV.99).

Нетрудно понять, что задание С (t, т, тх) в виде (IV.98) посту-
лирует нулевую ползучесть в возрасте бетона т, значительно боль-
шем, чем принятый за начало отсчета времени. При длительных
интервалах времени наблюдения2 это обстоятельство должно при-
водить к существенным погрешностям в задачах, где напряжения
(деформации) претерпевают значительные изменения в моменты
времени t, отдаленные от выбранного начала его отсчета ть тем
большие, чем больше t — тх.

Принимая С (t, х, Tj в форме (IV.98) и имея в виду случай «ста-
реющего» бетона с переменным модулем упругости Е (т),
найдем входящие в основные уравнения теории (IV. 17), (IV. 18)
и (IV.94) наследственные функции теории старения в следующем

Я

•И

и
-

виде:

Е'(х) д

Е2 (т)  dr



R(t, т) =—— ,Л
v ’ 7 E(t) дх

г	д

— I Е(-г)--С (т, tj) dx

J	дх

Е(х)е х

(IV. 100)

г(/, т) = Е(т) [1—е
кроме того, мы будем иметь:

t	д

— Г Е (х) — С (т, -tj) dx

J	дх

«	g

— ( Е (-г) —- С (х, Xi) dx

J	дх

р (I, х) = Е(х)е х

(IV. 101)

1 Т. е. подразумевается, что кривая ползучести бетонного бруса, загру-
женного в более позднем возрасте, получается из кривой ползучести образ-
ца, загруженного ранее, параллельным смещением соответствующей ее
части вдоль оси ординат (оси деформаций). Гипотеза об указанной параллель-
ности кривых ползучести была предложена Уитнеем [253].

2 Имеются в виду длительные процессы.
На рис. 47а построены кривые С (t, т, тх), г (t, т, тх), L (т, tJ,
R(t, т, и р (t, т, тх), рассчитанные по формулам (IV.98), (IV. 100)
и (IV. 101), т. е. в таком виде, как они фигурируют в теории старе-
ния. За начало отсчета времени тх, определяющее собой выбор ис-
ходной кривой ползучести, в этих формулах принято Tj = 2 сут.
Все эти кривые рассчитаны для бетона, экспериментальные кривые
ползучести и модуля упругости которого описываются уравнениями

C(t, т) = Гсх + —) [1— e-vV-V]-,
\ т /

(IV. 102)

Е(т) = Е0(1 — е-₽т)	(IV.103)

при значениях параметров:

Сх = 0,975-10"5 (кгс/см2)-\ Ах = 4,62 • 10~Б

супг \.
кгс/с/л2 )

у = 0,03 сут.-1 1; Ео = 2,6 • 105 (кгс/сд2); р = 0,206 сут."1,

(IV. 104)

рекомендованных для бетона Н. X. Арутюняном [25]. Выражение
экспериментальных кривых С (t, т) и Е (т) в форме (IV. 102)
и (IV. 103) удобно для последующего сопоставления функций С (t, т),
г (t, т), L (t, т), R (t, т) и р (t, т) теории старения с соответствую-
щими функциями теории наследственности и теории упруго-ползу-
чего тела.

Нетрудно видеть, что при принятых выражениях для С (t, т)
(IV. 102) и Е(т) (IV. 103)

С(1, т, тх) = fCi-b- — )	(IV. 105)

k Т1 J

L (t, t, rj = E (r) +Y (A + e~T(T—T,)l; (IV. 106)
L Е2 (t) k Ti J	J

R (t, t, Tj) =

£2(t)
E(t)

£' (T) -Uy (С,
E2(t)	t, )

(IV. 107)

Теория наследственности постулирует полную обратимость де-
формаций ползучести. Этим самым предполагается полное тождест-
во кривых ползучести бетона, загружаемого в разные сроки1.

1 Т. е. подразумевается, что кривые ползучести бетонных образцов, за-
гружаемых единичными осевыми напряжениями в разные сроки, получаются
переносом одной и той же кривой ползучести вдоль оси абсцисс (оси време-
ни).
Математически это выражается в том, что мера ползучести задает-
ся в виде:

С* (t, т) = С (t, т) = С (t—т).	(IV. 108)

При этом С (t — т) принимается обычно в форме

C(t—т) = С1[1—	(IV. 109)

где Сг = const.

Физически это означает, что имеется в виду бетон с физико-ме-
ханическими свойствами, инвариантными относительно абсолют-
ного значения времени наблюдения. В соответствии с этим в этой
теории принимается также Е (т) = Ео = const.

Следовательно, теория наследственности применима лишь к
«старому» высохшему или невысыхающему бетону, наследствен-
ные функции этой теории поэтому имеют вид [21]:

L(t~T)=E0C1ye-^t~^;	(IV.110)

R (t—x) = E0 Сг ye-vd +ЕоС,)(/-т);	(IV. 111>

E°C1	(*-*)]. (IV.112)

т. e. тоже зависят только от t — т. Функция р (t, т) также зависит
только от t — т и равна:

?(*-?) =	[l+B0Cie-v(i+g.c,)(f-x)]. (IV.ii3)

На рис. 476 построены кривые наследственных функций
С (t — т), г (t — т), L (I—т), R (t—т) и кривые полных удельных
напряжений р (I — т) теории наследственности, рассчитанные по
формулам (IV. 109), (IV. 110) — (IV. 113), причем для Сь Ео и у
по-прежнему приняты их значения, взятые из формул (IV. 104).

Теория упруго-ползучего тела учитывает частичную обратимость
деформаций ползучести, вызванную влиянием старения бетона.
Таким образом, наследственные функции этой теории, помимо Е (т),
включают в себя еще и функцию старения ср (т). Математически это
выражается в том, что функция удельных деформаций ползучести
С (t, т) задается в виде:

С(Лт) = ф(т)С(/—т),	(IV. 114)

при этом обычно ср (т) и С (t — т) принимаются равными:

ф(т) = С1+Л-; C(t— т) = 1—e-vtf-й,	(IV.115)

т

id

5®

3)
Л
.3

а
Й
(,а

ЙВ
Л

4

i®

2i|i
так что для С (t, т) получают формулу (IV. 102). Наследственные
функции этой теории имеют вид [21]:

t

г (t, т) = уЕ (т) ф (т) еЖт) ' Е (т) ч(т) фТ;

т

(IV. 116)

L(t, т)==Е(т){[ф'(т) + уф(т)]е-*О-т) — ф'(т)} + 4тт; (lV117)
£ (т)

R (t, т) =---------—

V Е (О

t

у [ф (т) Е (т) e’lft)]' j Е (т) е——

—Е'(т) —уф(т)Е2(т) ,

(IV. 118)

где

Т] (т) = у f [1 4- ф (т) Е (т)] di,
ti

(IV. 119)

a Yi — произвольный момент времени, назначаемый из удобства
вычисления интеграла в формулах (IV. 116) и (IV. 118).

На рис. 47в построены кривые С (t, т), г (t, т), L (t, т), R (/, т),
рассчитанные по формулам (IV. 102), (IV. 116)—(IV. 118), и кривые
р (t, т), найденные по выражению

p(t, x) = E(t)

t

\~^R(t, i)di
%

(IV. 120)

на основе формул (IV. 102), (IV. 103) и (IV. 118) при значениях вхо-
дящих в них параметров (IV. 104), рекомендованных в теории упру-
го-ползучего тела Н. X. Арутюняном.

Переходя к сравнительному анализу наследственных функций
С (/, т), г (t, т), L (t, т), R (t, т) рассмотренных трех разновидностей
современной теории ползучести бетона, будем иметь в виду хоро-
шо известные экспериментальные кривые его ползучести и релак-
сации напряжений, а также кривые L {t, х) и R (t, т), построенные
экспериментальным путем для бетона в опытах А. В. Яшина [212]
(рйс. 43).

Сравнивая кривые С (t, т) на графиках рис. 47, мы видим, что
все три теории в современной их трактовке исходят из кривых
С (t, т), плохо согласующихся с экспериментальными данными. Все
они имеют общие для всех теорий недостатки, состоящие в том, что,
пользуясь формулами (IV.98), (IV. 102) и (IV. 109), нельзя достичь
хорошего соответствия теоретических и экспериментальных вели-
чин деформаций ползучести одновременно при малых и больших
значениях времени наблюдения t, особенно для образцов, загружае-
мых в ранних возрастах бетона.
Т98

Возраст 5стона t В сутнаг к моменту
наблюдения деформации

наблюдения напряжения

Рис. 47а. Наследственные функции и кривые релаксации удельных на-
пряжений в теории старения

1 — % = 2; 2 —т = 4; 3 — т = 6; 4 — Т=Ю; 5 — Т = 20; 6 — 7 = 4; 7 — 7 = 6; 8 — < = 10;
$ — t — 20; 10 — < = 40 (т и < — в сутках)
0,08.

g

О

0,06

0,04

-< 0,02

10	20	30	40

Продолжительность наблюдения t-б в сутках
С момента действия напряжения

0,08

g

О

0,06

0,04

0,02

п .	10	2°с □	30 „ ЧП

Продолжительность наблюдения t~t о сутках
j.IqS с момента возникновения деформации

5

2

Рис. 476. Наследственные функции и кривые релаксации удельных напря-
жений в теории наследственности

30

Продолжительность наблюдения
t-V в сутках за напряжением


Рис. 47в. Наследственные функции и кривые релаксации удельных напря-
жений в теории упруго-ползучего тела Г. Н. Маслова—Н. X. Арутюняна
7 — 1 = 2; 2—Т = 4; 3 — т = 6; 4— т=10; б— Т = 20; 6 — 7 = 2; 7—1 = 4; 8—t=fy
9 — / = 10; 10 — / = 20; 11 — 1 = 40 (г и t в сутках)

f
2
8
I

К
,1.
ft
'i
IS
К
J
s
pi

ffl
и
h

(f
fe

Й
fe
к

и
Tl)<

Д
в

S6

ns
?!!
Qil
££

fe

I
Эти формулы не отражают также наблюдаемое в опытах бы-
строе натекание деформаций ползучести во времени их наблюдения,
близкому к моменту загружения образцов. Начальные участки тео-
ретических кривых ползучести, построенных на основе этих выра-
жений, не имеют характерного крутого подъема, который всегда
наблюдается в опытах не только над молодым, но и над старым бе-
тоном [50, 94, 2121. Эго приводит к тому, что найденные на их основе
кривые функций влияния L (^,т)и R (/, т) не имеют правых круто
восходящих ветвей при т, близком или равном t. Как было указано
А. А. Гвоздевым [64], функции L (t, т) и R (t, т), обладающие этим
недостатком, не применимы для решения задач, в которых мы имеем
дело с быстроменяющимися во времени напряжениями (деформация-
ми), что в известной мере суживает область применения рассматри-
ваемых теорий ползучести. Для устранения этого недостатка мы
должны в формулах (IV.98), (IV. 102) и (IV. 109) придать у большие
значения, но при этом мы получаем быстро затухающую ползучесть,
что не наблюдается в опытах. При малых же значениях у мы имеем
медленно развивающуюся ползучесть, как это и наблюдается в дей-
ствительности, но не получаем начального крутого подъема кривых
ползучести сразу же после загружения. Приходится выбирать
среднее из двух зол и назначать параметр скорости ползучести у
средним по величине. При этих условиях скорость ползучести, осо-
бенно в молодом возрасте бетона, оказывается заниженной.

Мера ползучести теории старения (IV.98), кроме того, имеет
еще и тот недостаток, что приводит к нулевой ползучести в возрасте
бетона, далеко отстающем от возраста тъ выбранного за начало
отсчета времени. Это равносильно предположению о том, что ползу-
честь бетона быстро исчерпывается и приводит в релаксационной
задаче с первоначально созданной деформацией в момент времени
тх или близкий к нему к чрезмерно интенсивной релаксации напря-
жений. Кривые релаксации весьма скоро выходят на горизонталь-
ную асимптоту. Это хорошо видно на рис. 47а.

Так как, с другой стороны, теория старения полностью отрицает
обратимость деформаций ползучести, а следовательно, и эффект
последействия, то погашение натекающих деформаций ползучести
в релаксационной задаче мы должны производить только за счет
деформаций упругого возвращения при частичной разгрузке. Эго
приводит не только к интенсификации процесса релаксации на-
пряжений во времени, но и к существенному завышению самой
степени релаксации, особенно при начальном загружении бетона
в молодом возрасте и в возрасте, близком к т^. Происходит это
еще и потому, что упругие деформации разгрузки в старом возрасте
бетона при одной и той же ступени напряжений значительно меньше
по величине, чем деформации загружения в молодом возрасте, по-
этому для их осуществления в поздние сроки требуется сброс на-
пряжений в значительных пределах.

Степень релаксации напряжений, возникающих в возрасте
бетона т, в теории старения зависит от выбора начала отсчета вре-
'мени тх. Эго хорошо видно на примере старого бетона, для которого
она определяется по последней из формул (IV. 100). Действительно,
при т и значительно меньшим, чем т, как уже отмечалось выше,

C(t, тх) —С(т, тх)»0,	(IV.121)

поэтому в этом случае и г (t, т) ж 0.

При тх = т степень релаксации напряжений оказывается наиболь-
шей и равной

r(t, т)=Е0[1 — eEoCi(r-T)],	(IV.122)

где С (t — т) — кривая ползучести старого бетона.

Эго обстоятельство приводит к существенным и неоднозначным
погрешностям в оценке степени релаксации в задачах, где напряже-
ния (деформации) претерпевают изменения на всем интервале
времени наблюдения t — тг. А именно: для воздействий близлежа-
щих к выбранному началу отсчета времени ту она оказывается зна-
чительно завышенной, а для воздействий, происходящих в отдален-
ные от ту моменты времени t, — наоборот, значительно занижен-
ной и практически равной нулю, если t — ту велико. Поэтому без-
оговорочное суждение о том, что теория старения всегда приводит
к завышению степени релаксации напряжений, в широком смысле»
слова неверно.

Существенным недостатком теории старения является также то,
что функция влияния L (t, т) этой теории не зависит от времени
наблюдения t. Таким образом, согласно этой теории, эффект дей-
ствия напряжений в заданном возрасте т один и тот же для любого
момента времени наблюдения t, т. е. остается неизменным во вре-
мени. Это является следствием полного отрицания обратимости
деформаций ползучести.

Указанные недостатки теории старения делают ее мало при-
годной для описания длительных процессов, при которых напря-
жения или деформации претерпевают значительные изменения в
моменты времени, отдаленные от выбранного начала его отсчета. По-
этому она неприменима, например, к процессам с интенсивным на-
растанием напряжений (деформаций) после предшествующего
сравнительно спокойного периода их развития и при наличии интен-
сивных повторных и переменных кратковременных или длительных
воздействий. Эта теория может дать приемлемые результаты
лишь при решении задач теории ползучести, отличных от указанных
выше, для непродолжительных интервалов времени наблюдения
или в случае рассмотрения длительных результатов кратковремен-
ного или однократного (импульсного) воздействий (отпуск и потери
натяжения арматуры, однократная осадка опор и т. д.).

Мера ползучести теории наследственности (IV. 109), помимо ука-
занных выше общих недостатков, так же как и все остальные на-
следственные функции этой теории, инвариантна еще относительно
абсолютного значения возраста бетона. Эго делает ее применимой
только к кругу задач теории ползучести для «старого» и высохшего
(или невысыхающего) бетона, физико-механические свойства, в том
числе и влажность которого уже не изменяются во времени. Для
такого рода задач эта теория и применяется А. Р. Ржаницыным.

Функция удельных деформаций ползучести теории упруго-
ползучего тела (IV. 102), помимо рассмотренных выше общих недо-
статков, в состоянии описать лишь кривые ползучести с ординатами,
возрастающими во времени значительно медленнее, чем это наблю-
дается в опыте. При этом скорость этих деформаций у бетона моло-
дого возраста, спустя значительное время после загружения образ-

Рис. 48. Графическое доказательство
существования неравенства (IV. 124)
для молодого Жетона

Ф ______________еТ (т2 —Т1)

<р( тг)

цов, остается большей, чем в загруженных позднее образцах
(рис. 47в). Математически это вытекает из того факта, что про-
изводная

дС(А Л= уф(т)е-?ц-т)	(IV.123)

зависит в явном виде от возраста бетона т к моменту загружения,
а функция ф (т) с ростом т имеет быстро затухающий характер.
Поэтому оказывается, что для образцов-близнецов из молодого
бетона, загружаемых в близкие моменты времени ту и т2 (т2 > тх),
в любой момент времени наблюдения t имеет место неравенство

дС (t, Tj)	ЭС {t, т2)	j	/ул т 1 о л'

—	ПРИ	(IV. 124)

at	of

или с учетом (IV. 114) и (IV. 115)

±1Д1>ет(тг-т1).	(IV.125)

Ф (т2)	v

На рис. 48 построены графики левой и правой частей неравен-
ства (IV. 125), рассматриваемых как функции длины интервала
времени т2 — При этом для функции ф (т) принято выражение
(IV. 115) и значения параметров Съ Аъ и у (IV. 104), рекомендован-
ные для бетона Н. X. Арутюняном. Из рис. 48 следует, что для
молодого бетона (тх — 2 сут., = 4 сут., = 6 сут.) неравенство
(IV. 125) соблюдается для значительных интервалов времени т2 — тх.
Многочисленными же экспериментальными исследованиями уста-
новлено, что скорости деформаций ползучести образцов, загружен-
ных в различных, но близких друг к другу возрастах не слишком
большими напряжениями, спусгя некоторое время после загруже-
ния сравнительно быстро становятся почти одинаковыми. Это нахо-
дит свсе выражение в кажущейся параллельности эксперименталь-
ных кривых ползучести, за исключением некоторых их начальных
участков (см., например, рис. 32).

Выражение (IV. 114) не отражает также наблюдаемое в опытах
быстрое натекание деформаций ползучести вслед за загружением
образцов. При этих условиях скорость ползучести, особенно в моло-
дом возрасте бетона, оказывается заниженной.

Так как функцию старения <р (т) = Q + —г- в формуле (IV. 102)
подбирают независимо от у, стремясь к хорошему соответствию
теоретических и экспериментальных скоростей старения, то оказы-
вается, что для бетона молодого возраста мы, пользуясь этой форму-
лой, обычно получаем скорость старения больше, чем скорость пол-
зучести. Это приводит к неравенству (IV. 125), которое эквивалент-
но условию, что деформации последействия после полной разгрузки
имеют тот же знак, что и деформации ползучести, т. е. что после пол-
ной разгрузки образца в нем, хотя и с меньшей интенсивностью, но
продолжают развиваться деформации ползучести, а не последейст-
вия.

В действительности же деформации последействия после полной
разгрузки всегда имеют знак, обратный знаку предшествующих
деформаций ползучести. Указанный недостаток выражения (IV. 102)
приводит к завышению степени релаксации напряжений в молодом
возрасте и иногда даже к искажению качественной картины этого
процесса. Подтверждением этому является нижний график на
рис. 47в, из которого видно, что кривые релаксации напряжений
в молодом возрасте бетона, рассчитанные на основе выражения
(IV. 102), пересекают ось времени, переходя в область отрицательных
значений напряжений, что физически невозможно.

Происходит это потому, что из-за получаемого отсутствия после-
действия в обычном смысле этого слова в молодом бетоне при соблю-
дении постоянства первоначально сообщенной деформации прихо-
дится погашать натекающие деформации ползучести, так же как
и в рассмотренном выше случае теории старения, только за счет
упругого возвращения при частичной разгрузке. Так как модуль
упругости молодого бетона интенсивно возрастает во времени, то
в конечном итоге для этого потребуется сброс напряжений по ве-
личине, больший, чем первоначально приложенные напряжения.
Но по этой причине сохранение постоянной деформации образца
в конце процесса релаксации становится возможным только при
приложении напряжений обратного знака.

Наследственные функции L (t, т) и R (t, т), рассчитанные на осно-
ве выражения (IV. 102), противоречат также, в некотором смысле,
физической сущности процесса ползучести бетона.
Действительно, из рис. 47в видно, что кривые L (t, т) для малых
моментов времени t располагаются ниже аналогичных кривых для
более поздних t, т. е. имеют меньшие ординаты. Поэтому эффект
действия напряжений в заданном возрасте бетона т оказывается
большим не для близлежащих моментов времени t, а для более позд-
них моментов наблюдения. В действительности же в эксперименте
наблюдается совершенно обратная картина (рис. IV.43).

Далее, кривые R (t, т) на рис. 47 в, особенно в молодом возра-
сте бетона, имеют нисходящий характер с падающими ординатами
при приближении т к /. Эго приводит к тому, что эффект действия
вынужденной деформации тем больше, чем дальше он отдален от
моментов его наблюдения, что также противоречит эксперименталь-
ным данным. Характер этой погрешности значительно более сущест-
вен, чем той, которая была отмечена выше у функции L (/, т), и при-
водит, в частности, к искажению указанного выше характера
физической сущности кривых релаксации напряжений.

В то же время выражение (IV. 102) обладает очень существенным
достоинством: оно сравнительно просто и, главное, позволяет свести
решение основных интегральных уравнений теории ползучести
(IV. 17) и (IV. 18) к решению линейных дифференциальных уравнений
второго порядка с переменными коэффициентами и, при том, не
содержащих самих искомых функций, а включающих в себя лишь
их производные [25]. Это позволяет удобно выражать решения задач
теории ползучести в квадратурах.

Именно это обстоятельство позволило Н. X. Арутюняну впер-
вые получить решение ряда сложных задач теории ползучести для
молодого бетона, проанализировать их и сформулировать ряд важ-
ных теорем этой теории о соотношении между полными напряже-
ниями в бетоне, найденными с учетом ползучести, и соответствую-
щими напряжениями упруго-мгновенной задачи [25]. В частности,
им было показано, что при условии (IV.5) в области линейной за-
висимости между деформациями и напряжениями ползучесть не
изменяет величин напряжений в бетоне, вызываемых действием
внешней нагрузки, но существенно уменьшает напряжения, вызы-
ваемые изменением его деформаций (см., например, § IV.9).

Из всего изложенного выше следует, что из всех существующих
разновидностей современной теории ползучести старение и наслед-
ственность — эти важные свойства бетона — наиболее полно отра-
жает теория упруго-ползучего тела Н. Г. Маслова — Н. X. Ару-
тюняна [25, 120]*. Поэтому эта теория и используется в дальнейшем
для изучения интересующей нас проблемы температурно-влажност-
ных напряжений в бетоне. Однако степень соответствия экспери-
ментальным данным расчетных величин деформаций и напряжений,
отыскиваемых на ее основе, зависит от того, насколько удачно вы-
браны аналитические выражения для наследственных функций этой
теории. Применяемые в настоящее время для этой цели выражения

* Эту теорию часто называют также наследственной теорией старения.
находятся в противоречии с результатами опытов и требуют сущест-
венной корректировки.

Очень важно поэтому попытаться, сохранив указанное преиму-
щество выражения (IV. 102) для С (t, т), уточнить последнее с тем,
чтобы устранить полностью или в значительной степени описанные
выше его недостатки. В соответствии с этим ниже в § IV. 12 предла-
гаются аналитические выражения для наследственных функций
теории упруго-ползучего тела, свободные от указанных выше недо-
статков и, вместе с тем, позволяющие свести решение основных урав-
нений этой теории (IV. 17), (IV. 18) к квадратурам. Основанная на
этих наследственных функциях теория ползучести наилучшим
образом будет отражать все наиболее важные физико-механические
свойства бетона и давать результаты, близкие к тому, что наблюда-
ется в опыте.

Отметим, что в литературе имелись попытки синтеза теории ста-
рения и теории наследственности для устранения указанных выше
их недостатков.

Первая из таких попыток принадлежит Мак-Генри [236], ко-
торый, сохраняя принятые у нас обозначения, предложил с этой
целью функцию С (t, т) задавать в следующей форме:

С (t, т) = Со [1 — e-vi а—г)]	Х—Ае~ъ *+<V2-v.) т. (IV. 126)

Нетрудно видеть, что при у3 = у2 выражение (IV. 126) прини-
мает вид:

C(t, т) = С0[1 — е-ъ (<-*)]+Д(е-Т2т_е-Тг <), (IV.127)
т. е. сочетает в себе меры ползучести геории наследственности и
теории старения, а при у3 =

C(t, т) = (С0 + Ле-^'с)[1— О] (IV. 128)

и, в частности, при у3 = у2 = Yi = Т

С (t, -г) - (С0+Ле-^) [1 —e-v 0],	(IV.129)

т. е. принимает вид видоизмененной меры ползучести теории упруго-
ползучего тела [151, 152].

Однако сам Мак-Генри признает свою попытку неудачной, так
как произведенное им сопоставление выражения (IV. 126) с резуль-
татами своих собственных, а также и чужих опытов показало, что
даже при Yi #= у2 ¥= Тз» т- е- ПРИ максимальном числе независимых
параметров, это выражение, как пишет Мак-Генри [236], «дает не-
удовлетворительное решение» для бетона молодого возраста и
«является неточным» при длительных загружениях бетона. При
меньшем числе независимых параметров в выражении (IV. 126),
т. е. в случаях (IV. 128) или (IV. 129), сходимость с результатами
опытов будет еще худшей.
Вторая попытка аналогичного вида была сделана А. В. Яшиным
[212]; им было предложено выражение

С (t, т) = ф (т) Ф (t—т) + F (т)—F (t),

или в раскрытом виде

C(t, т)= ( 1 + —Йс0[1—e“v,(z_t,l +
\ т /

4-В [1 —e-v3 к-т)]}_|_Д(е-Т21—'),	(IV.130)

в какой-то мере устраняющее недостатки формулы (IV. 102), но
вместе с тем и ее достоинства, поскольку указанное выше приведение
построенных на его основе интегральных уравнений Теории пол-
зучести (IV. 17) и (IV. 18) к соответствующим линейным дифферен-
циальным уравнениям, решаемым в квадратурах, становится не-
возможным. Эго обстоятельство является также общим для всех
без исключения аналитических выражений наследственных функ-
ций теории упруго-ползучего тела, рекомендованных и другими
исследователями. Поэтому мы не будет их подвергать здесь подроб-
ному критическому обзору.

Выражение (IV. 130), кроме того, сохраняет в себе важный недо-
статок формулы (IV. 102), состоящий в том, что скорость ползучести

= ф (т) А Ф (t—x)—F' (t),

найденная на его основе,по-прежнему зависит в явном виде от
возраста бетона т. Это обстоятельство было подробно рассмотрено
выше.

Отметим, что при К = В = 0 выражение (IV. 130) принимает
уже известный нам вид (IV. 127), пользуясь которым при ух =# у2
нельзя найти наследственную функцию второго рода 7? (/, т) и по-
лучить решение задачи теории ползучести в замкнутом виде. Это
удается сделать только при ух = у2 = у, но тогда выражение (IV. 127)
приобретает вид (IV. 129), мало чем отличающийся от выражения
(IV. 102) и содержащий в себе те же его основные недостатки.

Укажем еще на так называемую модифицированную теорию
старения [105], основанную на сочетании обычной для теории ста-
рения гипотезы о параллельности кривых ползучести с предложе-
нием автора о приближенном представлении меры ползучести в виде
кривых с начальными конечными вертикальными отрезками [18].
Последнее приводит к мгновенной частичной обратимости деформа-
ций ползучести, поэтому эта теория по существу представляет собой
упрощенный приближенный вариант теории упруго-ползучего тела,
приводящий к большим погрешностям, особенно в случае быстро
изменяющихся воздействий, хотя и меньшим, чем в обычной теории
старения.
§ IV.12. Новые аналитические выражения
для наследственных функций теории ползучести бетона

Проведенные нами исследования [18, 20, 21] показали, что
функция удельны деформаций ползучести С (t, т) может быть зада-
на в виде:

(pft—A \

-----— )4-Д(т)[1 — e-a(i-T)] (IV.131)

где

а»?>0; 0<Д<1,	(IV.132)

аф (т) и Д (т) — функции, быстро убывающие с ростом т, подобные
функции старения ф (т) в теории упруго-ползучего тела (IV. 114).

Выражение (IV. 131) удобно для дальнейшего представить в
форме

С (t, т) =ф (т)—F (/) (е^—Аг)~Д (т)	<*-’), (IV. 133)

где

Ф (т) = ф (т) + Д (т),	(IV. 134)

а

F®= J’V'	(IV. 135)

е — /12

Проанализируем выражение (IV. 131). Нетрудно видеть, что

C(t, т) = 0; С(оо,-г) = ф(т)

(IV. 136)

и при достаточно большом т (старый бетон)

С (t, т) = С (t—т) = А3 [ 1 —e-v (<-*)] ф-А4 [ 1 —е-« <*—*>], (IV. 137)

где

А3 = ф (оо) = const и А4 = Д (оо) = const.

Таким образом, выражение (IV. 131) обладает теми же достоин-
ствами, что и функция (IV. 102), но улучшает ее применимо к старо-
му бетону, поскольку наличие второго слагаемого в формуле
(IV. 131) при условиях (IV. 132) обеспечивает начальный крутой
подъем кривых ползучести при малых t — т.

Переписывая выражение (IV. 131) в виде:

С(/, т) = ф(т)—ф (0

1 _ Л р —	\

А_________Ь-у (/- Т) _|_

4-Д(-г)[1—	<'-*)],

(IV. 138)

мы видим, что начальный крутой подъем кривых ползучести при
малых t — т, который обеспечивается наличием третьего слагаемого
в формуле (IV. 138), в молодом возрасте бетона увеличивается с убы-
ванием т потому, что при этом возрастает функция А (т).

Далее, сравнивая сумму двух первых слагаемых в формуле
(IV. 138)

ф(т)—ф(0 ( ———— ---(IV.139)

\ 1-Л2е-^ J

с правой частью выражения (IV. 102)

ф(т)—<p(T)e~v (<—т)>	(IV.140)

мы видим, что при фиксированном т вычитаемое в выражении
(IV. 139) с ростом t убывает значительно быстрее, чем вычитаемое
в формуле (IV. 140), потому что с ростом t в этом случае функция

1-д2е-ут

1-Л2е-^

ф (/) и дробь

быстро убывают, в то время как функция

<р (т) остается неизменной.

Все указанное в итоге приводит к тому, что кривые ползучести
(IV. 131) как в молодом, так и в старом возрасте бетона при малых

t — т и при прочих равных условиях подымаются значительно кру-
че, чем кривые (IV. 102), что и должно быть.

Вычисляя далее производную

дС {t' т) = F' (t) (evr _Д) + аД (Т) е-« (/-1)	(I V. 141)

dt

и составляя неравенство (IV. 124)

F' (/) (е^т> —Л2) +аЛ (rj е~а	(f)	—А2) +

+ аД (т2) е~а Тг>

(IV. 142)

при т2> т1т мы видим, что оно с учетом (IV. 132) при т2 > ту и
любых t не соблюдается. Таким образом, выражение (IV. 131) при
применении принципа наложения воздействий обеспечивает наличие
последействия после разгрузки в обычном смысле этого слова.

На рис. 49 приведено сопоставление выражений (IV. 102) и
(IV. 131) при

Д(т) = т-(-пе~ат	(IV. 143)

и

т = 0,25 • 10-6 (кас/слг2)-1; п = 0,99 • 10-5 (кгс/см2)-1;

а = 0,275 сут.-1.	(IV. 144)

Причем в обоих случаях функция <р (т) принята равной (IV. 115)
при значениях входящих в нее параметров (IV. 104), рекомендован-
ных для бетона Н. X. Арутюняном. Как следует из рис. 49, выра-
жение (IV. 131) значительно лучше, чем выражение (IV. 102), опи-
сывает характер экспериментальных кривых ползучести, особенно
для бетона молодого возраста, и обеспечивает обычно наблюдаемую
кажущуюся параллельность этих кривых.

На основе формулы (IV. 131) автором [21] были найдены следую-
щие выражения для наследственных функций L (t, т) и R (t, т):



ф'(т) + уГ(0е^т +

+ [Л' (т) + аЛ(т)] е~а (i~т)

(IV. 145)

Рис. 49. Сопоставление применяемого выражения (IV. 102) и рекомендуе-
мого выражения (IV. 133) для функции С (t, т), рассчитанной по формуле
(IV.133) — сплошные линии и по формуле (IV.102) — пунктирные линии
возраст бетона к моменту загружения:

1—1 сутки; 2 — 3 суток; 3 — 7 суток; 4—14 суток; 5 — 28 суток; 6 — Д (т)

R (t, т) « - -1- {№ (т) F' (т) (^-Л2)-Е' (т)-
д (О

t

— [К (т) (е?т—Л2) е~^ <т>]' J К (г) F' (т) е”	dt +

+Е3(/)е-М0 («-*)},	(IV.146)

Е3 (?) = F' (?) (е*'-Л2) [Е2 (/)-№ (01-

—ссЕ2 (?) Д (?) + К'(t) — Е' (ty,	(IV. 147)

Н (?) =	{В’3 (?) + F' (0 [Е2 (t)-К2 (01 -

-№ (/) (ev' -Л2)2 [Е3 (/) -№ (/)] -аЕ (0 [Е (?) Д (?)]'-

—а2 Е3 (?)	(t) (etf—Д2) [Е2 (?)—№ W1' +

Е (0	2

+2аЕ3 (0 Д (?) F' (?)	—А)};	(IV. 148)
K(t)=

E(t)

1+ △(/)£(/) ’

t

n (7) = 5 к (T) F' (t) (eV* —A) dx,
?!

(IV. 149)

(IV. 150)

a Tj — произвольный момент времени, принимаемый из удобства
вычисления интеграла (IV. 150).

Имея выражение для 7? (t, т) (IV. 146), можно по формуле (IV. 120)
и выражению

г (7, т)=Е(т)—Е(7)

t

1 — § 7? (7, т) dx
т

(IV.151)

найти функции р (t, т) и г (t, т).

Отметим, что структура выражения (IV. 146) такова, что оно весь-
ма удобно для вычисления интегралов в формулах (IV. 120) и
(IV. 151), а также для выполнения квадратур в уравнении (IV. 18).
Происходит это потому, что интеграл от третьего слагаемого в вы-
ражении (IV. 146) легко берется по частям, а функции B3(f) и
р. (7), входящие в четвертое слагаемое этого выражения, зависят
только от времени наблюдения t. Действительно, нетрудно
убедиться в том, что при 7? (7, т), найденной в форме (IV. 146),

$7? (7, t)Jt = --^-.K(t)-K(7) +

т	£ (0 1

_|_£з (0ц__е-ц (о а—
ц(0

t

+ К (т) (е**—Д) е~ч <’> $ К (?) F* (т) еч <*> dx j.
т	*

(IV. 152)

На рис. 50 построены кривые В3 (7) и р, (7), рассчитанные по
формулам (IV. 147) и (IV. 148) с учетом (IV. 104), (IV. 115), (IV. 143)
и (IV. 144). Как видно из этого рисунка, функция р, (7) с ростом 7
изменяется весьма мало, поэтому в формуле (IV. 146) вместо р (7)
можно пользоваться средним значением

*1

( р(7)Л

(IV. 153)

для интервала времени 7г — тх.

Для старого бетона, т. е. при

Е (f) = Е0 = const; К (7) = Ко = const;

А (7) = До = const; ф (7) = ф0 = const;

(IV. 154)
L (t—т) = £o [Woe-T (Z~T) +aAoe~a	(IV. 155)

R	u-0 +Де-Р» «-V,	(IV.156)

где

A = —{(Wo + aAo) [£o (Wo + «до)—P21 +
Pi—P2

+ а2А0+у2ф0};	(IV.157)

A = £o(Wo + “Ao)~ А»	(IV. 158)

Рис 50. Графики функ-
ций B3 (0 и ji (0, опре-
деляемых по формулам
(IV. 147) и (IV. 148)

1 — кривая Bs (t); 2—кривая
ц (О; <5—5—средние значения
ц (t) на данном промежутке t

а рх и р2 — корни характеристического уравнения

равные

Pi,2= y{a+?+£o(Y'h) + aAo)±

± VE2o (Wo + аДо)2 Ч (“—V)2—2£0 (Wo~ аАо) («—?)}• (IV. 160)

На рис. 51 построены кривые наследственных функций С (t, т),
L (/, т) и R (t, т) стареющего бетона, рассчитанные по формулам
(IV. 131), (IV. 145) и (IV. 146) при

4(г) = С,+ ^; Д(т) = С1-С,+ ^=^-;	(IV.161)

Т	т

Е(т)=£0(1-е-₽т)

(IV. 162)
В о эраст бетона г в сутках н моменту Возникновения деформации

Рис. 51. Рекомендуемые для теории упруго-ползучего тела наследственные
функции С (t, т), L (t, т) и R (I, т)

1 — т = 2; 2—х = 4; 3 — т = 6; 4 — т = 10; 5 — т = 20; 6 — f = 2; 7 —1 — 4; 8 — t = <5', 9 —

»	—/=10; 10 —1 = 20; ll — i=40

Примечание, ти t—в сутках.
и значениях параметров:

4 = 4,62 • IO"6 ( —ут /); Сх = 0,975• 10-Б (кгс/сж2)-1;

4 = 1;

4 = 3,416-10-5 f сут ) ; С3 = 0,756- 10-Б (кгс/см2)-1-
\ кгс/см2 /

4 = 2,6-ЮБ (—) ;

\см2 J

а = 6 сут.-1; 0 = 0,206 сут.-1; у = 0,03 сут.-1,

(IV. 163)

рекомендованных Н. X. Арутюняном [25] для бетона. Как видно
из этого рисунка, все эти кривые очень похожи на соответствующие
экспериментальные кривые. Для того чтобы убедиться в этом,
достаточно обратитвсяк рис. 43.

Удельные напряжения hrcIcmz

Возраст Бетона в сутках к моменту наЪлюденцХ:

Рис. 52. Кривые
полных удельных
напряжений р (t,
т) (кривые релак-
сации), рассчитан-
ные с помощью
формулы (IV. 120)
на основе новых
наследственных
функций

На рис. 52 изображены кривые полных удельных напряжений
(кривые релаксации напряжений) в бетонном брусе при сообщен-
ной ему постоянной единичной относительной деформации. Эти
кривые рассчитаны с помощью формулы (IV. 120) численным методом
на электронно-вычислительной машине «Урал-4» по наследственной
функции 2-го рода (IV. 146) с учетом (IV. 161)—(IV. 163). Как видно
из рисунка, эти кривые имеют вид, обычно наблюдаемый в экспери-
ментах, и даже для очень молодого бетона не переходят в область
отрицательных значений напряжений р (t, т), как это было в случае
С (t, т), принятой по Г. Н. Маслову — Н. X. Арутюняну в форме
(IV. 102) и при тех же самых значениях параметров (IV. 163).

Все изложенное выше дает право рекомендовать применение
наследственных функций (IV. 131), (IV. 145), (IV. 146) и (IV. 151).
При этих условиях теория упруго-ползучего тела, как это показано
ниже, наилучшим образом будет отражать все наиболее важные
физико-механические свойства бетона и давать результаты весьма
близкие к тому, что наблюдается в опыте даже в самом общем слу-
чае кратковременных быстро изменяющихся воздействий.

§ IV.13. Экспериментальные исследования областей
применимости основных разновидностей
теории ползучести бетона

Для экспериментальной проверки предложенных выше аналити- •
ческих выражений для наследственных функций бетона необходимо
располагать данными об экспериментально установленной связи
между напряжениями и деформациями бетона при длительных и
в первую очередь переменных нагрузках. Такие данные имеются
в литературе, но в довольно ограниченном объеме. Кроме того,
подавляющее их число относится к случаю постоянных напряжений
и лишь некоторые из них получены в условиях ступенчатых нагру-
зок и разгрузок с длительными выдержками их отдельных ступеней.
Поэтому наряду с использованием имеющихся экспериментальных
данных для указанной цели автором совместно с Э. Я- Багрием
и В. Я. Багрием были поставлены специальные опыты, в которых
изучалось поведение бетона при переменных режимах его загру-
жения.

Результаты этих опытов, а также опытов А. Д. Росса [244] поз-
волили не только проверить предложенные в § IV. 12 новые анали-
тические выражения для наследственных функций бетона, но и под-
крепить соображения об области применимости основных разно-
видностей современной теории ползучести, высказанные в § IV. 11,
а также получить дополнительные данные о применимости принци-
па наложения воздействий. Ниже приведены результаты указанных
исследований.

Опыты А. Д. Росса

Исследования А. Д. Росса [244] проводились на высокопрочном
вибрированном бетоне состава 1 : 1,6 : 2,8, В/Ц = 0,375 на бы-
стротвердеющем портландцементе. Бетонные кубы с ребром 4"
(~ 10 см) имели в возрасте 28 дней прочность 672 кгс/см2. Образца-
ми служили бетонные цилиндры диаметром 45/8" (— 12 см) и дли-
ной 12" (~ 30 см) с прочностью на сжатие, равной примерно 0,7 Дкуб.

Исследовались деформации образцов при длительных нагрузках
в условиях ступенчатых нагрузок, разгрузок и чередующихся на-
грузок и разгрузок с наибольшей величиной напряжений, не пре-
вышающей 0,5 Дпр.

Параллельно с указанными переменными режимами загружения
исследовалась ползучесть образцов в разном возрасте бетона при
постоянных напряжениях сжатия. Результаты этой части опытов
позволили построить кривые С (/, т) удельных относительных де-
•формаций ползучести. Эти кривые изображены на рис. 53, где
Рис. 53. Обработка результатов опытов А. Д. Росса по теории старения
и теории упруго-ползучего тела при С (t, т) Н. Х« Арутюняна (IV. 102) и ав-
тора (IV. 133). Кривые удельных относительных деформаций ползучести
СК, т)

------экспериментальные кривые; —II—II— по теории старения; —•—по теории упруго-
ползучего тела при С (t, т) Н. X. Арутюняна;----по теории упруго-ползучего тел»

при С (t, т) автора (нижний график)
также нанесены теоретические кривые С (t, т), рассчитанные по те-
ории старения, а также теории упруго-ползучего тела по формуле
Н. X. Арутюняна (IV. 102) и по формуле автора (IV. 133). Для по-
строения экспериментальных кривых С (t, т) из экспериментальных
кривых полных единичных деформаций б (/, т), полученных А. Д. Рос-
сом, вычитались упругие единичные деформации. Необходимая для
этого экспериментальная кривая Е (т) изображена на рис. 54, где
нанесена также теоретическая кривая Е (т) (IV.3) при

Ео = 4,73-10е — ; g = 0,3; ₽ = 0,06 сут.А (IV.164)

ГМ2

В связи с тем, что описываемые опыты проводились на молодом
«стареющем» бетоне (загружение образцов в ряде режимов начина-

Рис. 54, Экспериментальная и теоретическая кривые модуля упругости бе-
тона Е (т)

1 — экспериментальная кривая: 2—теоретическая кривая по формуле (IV.3) с уче-
том (IV. 164)

лось с восьмисуточного возраста бетона), область применения тео-
рии наследственности не исследовалась, так как последняя к такому
бетону неприменима. Исследовались лишь аналитические выражения
для С (t, т) по теории старения [184]:

C(t, т)-=<р(т1)[е-т(т-Т1)_е-т(/-т1)]	(IV.165)

и по теории упруго-ползучего тела в двух вариантах: на основе
формулы, предложенной Н. X.Арутюняном (IV. 102), и на основе
предложения автора (IV. 133).

Подбор функций и параметров, входящих в эти формулы, про-
изводился исходя из требований как можно лучшего приближения
теоретических кривых к экспериментальным.

Значения найденных таким способом функций и параметров,
входящих в выписанные выше аналитические выражения для С (t, т)
сравниваемых теорий ползучести, оказались равными:
в формуле (IV. 165)

Ф(тх) = 21,7-10“7 f—
\см2 J

при = 8 сут. (рис. 55, а, в);

ф(т,) = 17,15- IO"7 (—V1 ПРИ ti = 28 сут. (рис. 55, б);

\см2/

7 = 0,05 сут.-1;

в формуле (IV. 102)

= 9,714-10-7	’. Л, = 135,7-10-7	’•

\ см2 J	\ СМ2 I

у = 0,05 (сут.)-1;

в формуле (IV. 133)

(IV. 166)

(IV. 167)

Д(т) = ( —4-2,714^ Ю-Ч — Г\т-в сут.);
\ т	J \СМ2 J

ф(т) = (2,971 4-20е~°’0118'с Д 1,428е~°-1г) 10"7f —V1

\см2 /

(т—в сут.)	(IV. 168)

Л2 = 0,3; 7 = 0,03 сут.-1; а — 5 сут.-1 (IV. 169)

Для построения теоретических кривых С (t, т) по теории старе-
ния на рис. 53 за начальную кривую естественно принята кривая,
соответствующая началу отсчета времени, равному 8 суткам. Из
этого рисунка хорошо видны погрешности принимаемой этой те-
орией дополнительной рабочей гипотезы о параллельности кривых
ползучести бетона, загружаемого в разном возрасте. Уже для об-
разцов, загруженных в возрасте 28 суток, наблюдается резкое не-
соответствие теоретической кривой экспериментальным данным.
Для более поздних кривых это расхождение еще больше увеличи-
вается и для кривой, соответствующей т = 91 суткам, ползучесть
бетона согласно этой теории в рассматриваемом случае практиче-
ски исчерпывается.

Из рис. 53 следует, что лучше всего описывают эксперименталь-
ные данные теоретические кривые С (t, т), полученные на основе
предложения автора (IV. 133). Причем это хорошее соответствие со-
блюдается на всем диапазоне времени наблюдения, т. е. теоретиче-
ские кривые как качественно, так и количественно хорошо отражают
все особенности ползучести бетона как в молодом, так и в старом
возрасте.

Хуже согласуются с опытом кривые С (t, т), построенные на
основе формулы (IV. 102). Это особенно наглядно видно на кривых
ползучести образцов, загруженных в раннем возрасте бетона. На-
чальные участки этих кривых С (t, т) не имеют необходимого харак-
терного подъемистого очертания, что наблюдается также и на кри-
вых ползучести старого бетона.

Недостатки и преимущества сравниваемых аналитических вы-
ражений для функции удельных деформаций ползучести С (t, т)
лучше видны на результатах теоретической обработки на их основе
экспериментальных кривых деформаций ползучести, полученных
А. Д. Россом при разнообразных режимах загружения, осуществлен-
ных им в различных возрастах бетона.

На рис. 55 представлены некоторые экспериментальные кривые
полных деформаций ползучести бетона, наблюдаемые в описывае-
мых опытах при ступенчатых нагрузках и разгрузках, и соответст-
вующие им теоретические кривые, найденные на основе сравнивае-
мых аналитических выражений для С (t, т).

Указанные экспериментальные кривые были получены некоторой
перестройкой (отбрасывались упругие деформации в моменты на-
гружений или разгрузок отдельными ступенями напряжений)
экспериментальных кривых полных деформаций, полученных
А. Д. Россом.

Для сравнения были выбраны три наиболее характерных ре-
жима нагружения в соответствии со схемами, показанными в верх-
ней части графиков рис. 55. (Обозначения кривых даны в соответст-
вии с рис. 53; кружочками показаны экспериментальные точки.)

Так как напряжения на каждой из ступеней нагрузок поддержи-
вались постоянными, то теоретические значения деформаций ползу-
чести в любой момент времени наблюдения t вычислялись как алге-
браическая сумма произведений приращений напряжений на орди-
наты теоретических кривых удельных деформаций ползучести
С (/, т), соответствующих данному приращению напряжений.

Дак видно из рис. 55, лучше всего экспериментальным данным
соответствуют теоретические кривые деформаций ползучести, вы-
численных на основе выражения для С (t, т) (IV. 133). Эти кривые
качественно и количественно хорошо согласуются с соответствую-
щими экспериментальными кривыми на всем диапазоне изменений
напряжений, особенно в случае чередующихся нагрузок и разгрузок.

Из рассмотрения рис. 55 следует, что теория упруго-ползуче-
го тела, основанная на применении выражения (IV. 102) для С (t, т),
предложенного Н. X. Арутюняном, качественно правильно описы-
вает процесс ползучести при ступенчатых нагрузках и разгрузках.
Однако недостатки этого выражения для С (I, т), рассмотренные
выше в § IV. И, здесь сказываются в выпуклом виде. Теоретически
вычисленные на его основе значения относительных деформаций
ползучести для моментов времени наблюдения, близких к моменту
приложения приращений напряжений, плохо соответствуют экспе-
риментальным значениям. Кроме того, накапливающиеся при этом
отклонения теоретических значений относительной деформации
ползучести от ее экспериментальных значений к концу периода на-
блюдения составляют довольно значительную величину. Даже после
полной разгрузки образцов, например в возрасте бетона, равном
Рис, 55а, Опыты А, Д. Росса, Случай ступенчато-возрастающих напряже-
ний

Рис. 556, Опыты А. Д. Росса. Случай ступенчато-падающих напряжений
120 суткам (рис. 55), деформации ползучести, вычисленные с уче-
том теоретической кривой С (t, 120), с ординатами, значительно пре-
вышающими ординаты соответствующей экспериментальной кри-
вой С (t, 120) для этого возраста загружения (рис. 53), не могут
полностью компенсировать сумму накопившихся отклонений, в ре-
зультате чего остаточная теоретическая деформация ползучести
получилась все же больше экспериментальной.

На рис. 55 также хорошо видны погрешности теории старения,
о которых уже говорилось выше. Кривые деформаций ползучести,
рассчитанные по этой теории, по истечении месяца, начиная с мо-
мента первичного загружения образцов, уже не реагируют на по-
следующие нагоузки и разгрузки.

Опыты С. В. Александровского и Э. Ц. Багрия

Автором с Э. Я. Багрием проведены специальные опыты
по исследованию связи между напряжениями и деформациями бе-
тона при переменных режимах его загружения и разгрузки. Иссле-
довался бетон состава 1 : 1,9 : 4,4, В/Ц = 0,65 на портландцемене '
активностью 567 кгс/см?, речном песке средней крупности и мелком
дробленом щебне, просеянном через специальное сито с отверстиями
диаметром 15 мм.

Образцы в виде бетонных призм 7 X 7 X 60 см с оголовками
из стальных плиток изготовлялись в стальных формах и хранились
укрытыми влажными опилками. В возрасте 3 суток они р зспалубли-
Рис. 56. Общий вид образцов во
время испытания.

вались, гидроизолировались парафином, техническим вазелином
и полиэтиленовой пленкой и подвергались испытаниям на централь-
ное сжатие в специальных рычажных установках, начиная с
4-суточного возраста1.

Измерение деформаций производилось по четырем граням образ-
цов с точностью 0,4- 10~Б с помощью индикаторов часового типа
с ценой деления 2-10~3 мм.

Опыты проводились в каме-
ре со стабильными температу-
рой и влажностью воздуха
14,5° С и 70% соответственно.

На рис. 56 показан общий
вид образцов во время их испы-
тания.

Одновременно с рабочими
призмами, подвергаемыми основ-
ным испытаниям, изготовлялось
большое количество контроль-
ных образцов-близнецов, храня-
щихся в идентичных условиях
(кубы и призмы). Результаты
испытания этих образцов свиде-
тельствовали о хорошей степени
однородности исследуемого бе-
тона.

Часть основных рабочих
призм испытывалась на ползу-
честь при постоянных напря-
жениях в различных возрастах
бетона, а часть — на перемен-
ный режим нагружения и раз-
грузки для установления экспе-
риментальной связи между нап-
ряжениями и деформациями
бетона при этих условиях.

Каждый из указанных режимов испытания проводился одновре-
менно на двух образцах-близнецах, которые во всех случаях пока-
зали весьма схожие результаты.

Все испытания проводились на сжатие при напряжениях, не
превышающих 0,45 /?пр, назначаемых по предварительным испыта-
ниям контрольных образцов-близнецов.

Было проведено несколько серий опытов, давших близкие ре-
зультаты, поэтому ниже приводятся лишь результаты одной из
них.

1 Испытания на гидроизолированных призмах проводились с целью ис-
ключения погрешностей в определении деформаций ползучести, связанных
с неаддитивностью усадки и ползучести [18].
На рис. 57 приведены экспериментальные и теоретические кривые-
удельны:: относительных деформаций ползучести С (t, т).

Так же как и в случае опытов А. Д. Росса и по той же методике,
экспериментальные кривые С (t, т) и Е (т) аппроксимировались
с помощью формул (IV.3), (IV. 102), (IV. 133), (IV. 165). В этом слу-
чае значения функций и параметров, входящих в эти формулы, ока-
зались равными:

в формуле (IV. 165)

кгс

см2  а

ф(тх) = 51-Ю-’ — при ^ = 4 сут.; у =1,06 сут.-1;	(IV.17U)

кгс

в формуле (IV. 102)

Cj. = 27,61 • 10-’ —; Ai = 109,7-10"’
кгс

у = 0,06 сут.-1;

в формуле (IV. 133)

Д(т) = (11,2+34е-°-125т) 10-’f—'j (т—в сут.); (IV. 172)
\кгс j

ф(-г) = (24,5 + 10е-0'023т + 43,2е~0-127Бт —36е-°-35т) 10’’ —

кгс

(Т—В сут.);

(IV. 173)

А2 = 0,85; у = 0,02 сут.-1; а = 5 сут.-1; (IV. 174)

в формуле (IV.3)

£о=3,3-1Ое—; £ = 0,575; 6 = 0,072 сут."1 (IV.175)
см2

Для построения теоретических кривых С (t, т) по теории старения
(рис. 57) за начальную кривую естественно принята кривая, соот-
ветствующая возрасту бетона тх = 4 сут., начиная с которого осу-
ществлялись переменные режимы загружения режимных призм.

На рис. 57 изображены результаты указанной аппроксимации
экспериментальных кривых С (t, т).

На рис. 58 показана схема режимов загружения режимных
образцов I серии опытов, испытанных при переменных напряжениях.

На рис. 59 и 60 изображены экспериментальные кривые напря-
жений и относительных деформаций ползучести режимных призм
Н и Р, испытанных при переменных режимах нагружения и раз-
грузок в соответствии со схемами, показанными на рис. 58. Как
следует из этих рисунков, деформации призм-близнецов до тех пор,
пока эти образцы оставались близнецами (примерно до т = 40 сут..)
мало отличались друг от друга. В последующем же, когда образцы
по режиму нагружения переставали быть близнецами, характер их
деформирования существенно различался.
[!S«t

Рис. 57. Сопоставление экспериментальных и теоретических кривых ползу-
чести при постоянных напряжениях

-----экспериментальные кривые; —1| —1| —II— по теори ..дарения (а); по теории упруго-

ползучегс тела’ —•— — •—на основе выражения (IV.102) Н. X. Арутюняна (6);
------------------------на основе выражения (IV. 133) автора (в)

Ji Jifit

ИИ
a is ка

км

J®t3T

№l)i
la

"Si. I

«ИЦ
Результаты описываемых экспериментов, изображенные на
рис. 59—60, и были подвергнуты соответствующей обработке.

Для построения теоретических кривых относительных деформа-
ций ползучести режимных образцов Н и Р экспериментальные кри-
вые напряжений о (/) в этих образцах, изображенные на верхних
графиках рис. 59—60, аппроксимировались с помощью соответст-
вующих элементарных функций (экспоненциальных и линейных).
После чего с помощью квадратур

t

еп (0 = — $ о(т)-f-С(t, т) dx	(IV.176)

**	пт

учетом этих аппроксимирующих функций о (/), выражений

Рис. 58. Схема режимов загружения образцов I серии опытов, испытанных
при переменных напряжениях

лись теоретические значения относительных деформаций ползуче-
сти еп (/) и на рис. 59—60 строились соответствующие теоретиче-
ские кривые.

Сопоставление экспериментальных и теоретических кривых еп (t),
найденных по всем сравниваемым теориям, проведенное на
рис. 59—60, полностью подтвердили соображения, изложенные
в § IV. 11. В связи с этим нет необходимости вновь подробно останав-
ливаться на анализе областей применимости сравниваемых теорий
ползучести. Отметим лишь наиболее важные результаты теоретиче-
ского (см. § IV. 11) и экспериментального (см. § IV. 13) изучения
этого вопроса.

Теория старения наихудшим образом описывает поведение бе-
тона при переменных, не монотонно изменяющихся напряжениях.
В частности, она не может отразить и не отражает эффекта воздейст-
вий, развивающихся или появляющихся спустя длительное время
после начального загружения (третий этап опытов т 40 суток).

Для монотонно изменяющихся воздействий, непродолжитель-
ных во времени (I и II этапы опытов 4 т 40 суток), теория ста-
Рис. 59. Сопоставление экспериментальных и теоретических кривых деформаций ползучести образцов,
подвергнутых действию переменных напряжений

а —режимы Р-1, Р-3; б —режимы Р-2 и Р-4; 1 — экспериментальная кривая; 2 — по теории старения на основе выражения
(IV. 165;; 5 —по теории vnpyro-ползучего тела на основе выражения (IV. 102) Н. X. Арутюняна; 4 — то же, на основе
выражения (IV. 133) автора

.• «а
рения и теория упруго-ползучего тела, основанные на мере ползу-
чести Н. X. Арутюняна (IV. 102), дают близкие между собой резуль-
таты, но существенно отличающиеся от результатов опыта, осо-
бенно в случае падающих напряжений после первичного загруже-
ния (рис. 59) и на отрезке времени, близком к моменту загружения.

Наилучшее соответствие результатам опытов дает модифициро-
ванная теория упруго-ползучего тела, основанная на выражении
(IV. 131) для С (t, т), предложенном автором и наследственных функ-
циях из него вытекающих. Это подтверждается также опытами
С. В. Александровского и В. Я- Багрия [19] по изучению ползуче-
сти бетона при периодических воздействиях, некоторые результаты
которых приведены на рис. 61 и 62.

Однако степень соответствия экспериментальным данным рас-
четных величин деформаций и напряжений, отыскиваемых на основе
(IV. 131), зависит от того, насколько точно аппроксимированы
с помощью выражения (IV. 133) кривые меры ползучести бетона
С принимаемой за независимую наследственную функцию.
Ниже в § IV. 13 приводится методика определения входящих в это
выражение функций и параметров, наилучшим образом удовлетво-
ряющих этому условию. Применение этой теории особенно оправда-
но для учета температурно-влажностных воздействий при расчете
бетонных и железобетонных конструкций. Именно с этой целью она
широко и используется ниже.

Результаты описанных опытов С. В. Александровского и
Э. Я. Багрия представляют еще одну возможность для проверки
прийципа наложения воздействий в теории ползучести, использо-
ванного при их обработке.

Действительно, если обратиться к рис. 59 и 60, мы можем вы-
делить группы призм, которые не были образцами-близнецами по
условиям загружения на 1 этапе, но стали ими в этом смысле на III
этапе загружения (т 40 суток) после предшествующих отдыха
без нагрузки или выдержки ее. Такими образцами являются следую-
щие группы призм: Н-1 и Н-3; Н-2 и Н-4; Р-1 и Р-3; Р-2 и Р-4.

На рис. 63 изображены кривые абсолютных приращений дефор-
маций ползучести этих образцов, начиная с момента их повторного
нагружения или разгрузки (т = 40 суток). Из этого рисунка сле-
дует, что, несмотря на существенное различие в режимах загру-
жения этих образцов в пределах каждой! из их групп на I этапе
(4 т 24 сут.), эти приращения деформаций ползучести у об-
разцов одинаково загруженных на III этапе (т 40 сут.) оказались
практически одинаковыми.

Таким образом, основное положение принципа наложения, по-
ложенное в основу 4-й рабочей гипотезы теории ползучести
(см. § IV.5), нашло свое подтверждение в этих опытах.

Необходимо подчеркнуть, что в данном случае речь идет о при-
ращениях деформаций! ползучести, а не об их абсолютных величинах.
Поэтому было бы неправильно думать, как это делают некоторые,
что величина полной деформации к данному моменту времени на-
я*
Рис 60. Сопост’вление экспериментальных и теоретических
переменных
а—режимы Н-1 и Н-3; б—режимы


кривых деформаций ползучести образцов, подвергнутых действию
напряжений

Н-2 и Н-4 (обозначения см. иа рис. 59)
блюдения t > т, за вычетом ее приращения, вызываемого прираще-

нием напряжений, действовавшим за время t — т, не зависит от
предыстории загружения на промежутке 0 t т и попросту равна
деформации, натекшей к моменту времени т.	j

Возраст бетона В сутках к моменту наблюдения

Рис. 61. Ползучесть бетона при плавно периодически изменяющихся знако-
переменных напряжениях

а, б—режимы загружения; в—деформации ползучести; г — полные деформации образцов;
1 — экспериментальная кривая относительных деформаций ползучести; 2— теоретические
кривые по теории упруго-ползучего тела иа основе формулы (IV. 131); 3—кривая упругих
деформаций

Следует, однако, отметить, что в описываемых исследованиях,
так же как и в других известных в литературе опытах, деформации
ползучести при разгрузке образцов оказались меньше примерно
на 30%,а иногда даже и несколько более, чем деформации ползу-
чести образцов-близнецов, впервые загружаемых в том же возра-
сте. С этой точки зрения применения принципа наложения приводит
к некоторым погрешностям.

Однако при использовании новых аналитических выражений
для наследственных функций бетона (IV. 145) и (IV. 146) и, в част-

Рис. 62. Ползучесть бетона при плавно периодически изменяющихся знако-
переменных напряжениях (обозначения см. на рис. 61)

ности, для меры ползучести С (t, т) (IV. 133), погрешности эти не-
велики. Это наглядно видно на рис. 55, 59 и 60, особенно в случае
сложных чередующихся воздействий.

Таким образом, применение принципа наложения в теории
ползучести бетона, значительно упрощающего решения многих
практических задач, является вполне оправданным.

В заключение следует отметить, что применение принципа
наложения в его обычной форме, как это следует из рис. 59 и 60,
приводит к некоторому преувеличению эффекта ползучести (после-
действия) как при нагрузках, так и при разгрузках.*В связи с этим
даже лучшая из современных теорий ползучести бетона — теория
упруго-ползучего тела, основанная на эффективных аналитических
выражениях для наследственных функций бетона, предложенных
выше, все же дает некоторое расхождение с опытом.

D
11
И

S

Рис. 63. Эксперимен-
тальные кривые абсо-
лютных приращений де-
формаций ползучести
образцов, подвергнутых
действию переменных
напряжений, с начала
повторных переменных
воздействий

Степень этого расхождения невелика и поэтому в большинстве
случаев этой уточненной теорией можно вполне удовлетвориться.
Для получения же еще большей точности придется уже произвести
более глубокий ее пересмотр, связанный с тем или иным усложне-
нием ее математического аппарата.

§ IV.	14. О методике аппроксимации кривых
меры ползучести бетона с помощью формулы (IV.133)

Аппроксимацию кривых С (t, т), на основе выражения (IV. 133)
лучше всего производить в следующем порядке.

Имея опытные кривые меры ползучести С (t, т) бетона для
различных возрастов его загружения (рис. 64), можно построить
график изменения значений ф (т). Очевидно, что ф (т) представляет
собой предельную деформацию ползучести при t оо

С(оо, т) = <р(т).

(IV. 177)

Однако в большинстве случаев экспериментатор имеет дело с кри-
выми С (t, т), полученными в сравнительно кратковременных опы-
тах, где условие t оо не выполняется. В этом случае значения
Ф (т) рекомендуется принимать по экспериментальным кривым
С (t, т), экстраполированным до момента времени t, отвечающего
кажущемуся затуханию деформации ползучести. Найденная с по-
мощью этого приема опытная кривая ф (т) с хорошей степенью точ-
ности аппроксимируется простой суммой экспоненциальных функ-
ций вида

ф (т) — ф0 + ф1 е~₽>т + фа е~ т,	(IV. 178)
где фо — предельное значение меры ползучести С (t, т) бетона,
загруженного в наиболее зрелом возрасте, а фх, ф2, Pi и |32 — опыт-
ные параметры, причем |32 рх > 0.

При медленно убывающей кривой ф (т) в формуле (IV. 178) для
этого достаточно двух первых слагаемых:

Ф1('Г) = Фо + Ф1в-₽«т.

(IV. 179)

Параметр ф0 принимаем равным минимальному предельному
значению ординаты кривой ф (т) (рис. 65). Затем на кривой ф (т)
выделяем и аппроксимируем конечный, сравнительно пологий ее
участок, применяя следующий прием. Записываем выражение

Рис. 64. Сопоставление экспериментальных кривых меры полаучести С (t, т)
и соответствующих теоретических кривых, рассчитанных на основе выраже-
ния (IV. 131)

—-----экспериментальные кривые;-----теоретические кривые

(IV. 179) для двух различных моментов времени загружения бетона,
например, т = 40 и 60 суток (см. пример). Так как значения ф (40)
и ф (60) для этих выбранных моментов времени известны, то, при-
равнивая им записанные выражения’ для ф1 (т), получим систему
из двух уравнений для определения фх и 0Х:

Фо + ф1е~₽*’4О = ф(4О); 1
Фо + ф1£~₽2’60 = ф(60). J

(IV. 180)

Решая полученную систему уравнений, находим параметры
Ф1 и 0Х. По выражению (IV. 179), где все параметры теперь извест-
ны, строим кривую ф1 (т), которая, хорошо соответствуя пологому
участку заданной кривой, очевидно, не совпадает с последней в пре-
делах ее крутого участка при малых значениях т (см. рис. 65). Это
несоответствие устраняется второй, быстро убывающей экспо-
ненциальной функцией фп(т) = ф2	Параметры ф2 и 02
определяют приравнивая выражение для этой функции разности
значений ординат заданной ф(т) и найденной ф1 (т) кривых для двух
моментов времени т, например т — 4 и 28 суткам (см. пример):

ф2е-₽г’4 = ф(4)—(Фо + Ф^-Р*’4); |
ф2 • 28 = $ (28)—(ф0 + фг е-₽> •28) J

(IV. 181)

где ф(4) и ф (28) — величины ф (т) для моментов времени загруже-
ния бетона, соответственно равных 4 и 28 суткам.

Решая систему уравнений (IV. 181), находим требуемые значе-
ния ф2 и р2.

Функция А (т) отражает изменение значений весьма быстро
натекающей вслед за мгновенным загружением образца части его

Рис. 65. Сопоставление экспе-
риментальных и теоретических
кривых предельной меры пол-
зучести <р (т) (/) и функции
быстронатекающих деформа-
•"ГЦГЙ nn.TjyiULTir а (£) 
------экспериментальные кривь!5;

------теоретические кривые

деформации ползучести, изображаемой на графиках кривых пол-
зучести в масштабе оси времени их наблюдения почти вертикальными
отрезками. Величину этой части деформации удобно принять не-
сколько большей или равной значению ординаты экспериментальной
кривой С (t, т) при t — х = 1 суткам для каждого возраста т
загружения бетона и отнесенной к моменту времени т. Графиче-
ски изменение величины А (т) изображается монотонно убываю-
щей кривой с увеличением т (см. рис. 65).

Аппроксимация кривой А (т) производится аналогично ф (т)
с помощью выражения

А (Т) = До + Ах е~а* * + А2	(IV. 182)

где Ао — величина быстро натекающей деформации ползучести
бетонного образца, загруженного в наиболее зрелом возрасте,
а Дх, Д2, и сс2 — параметры, подбираемые из опыта, причем
И2 >> ttl > О-

Функцию ф (f) находят как разность функций ф (А и Д (/):

Ф(0=ф(0—Д(0.	(IV. 183)


Необходимо стремиться к тому, чтобы функция ф (т), так же
как и функции ф (т) и Л (т), была монотонно убывающей для всех
значений времени т наблюдения деформации, чего всегда можно до-
стигнуть корректировкой функции Д(т).

После определения параметров, входящих в функции ф (т)
и Д (т), в выражении (IV. 131) подбираются параметры а, у и А2.

Параметр а обеспечивает на кривых ползучести наблюдаемую
в опыте высокую степень затухания быстро натекающей части де-
формации ползучести. Величина его изменяется мало и для обычно-
го тяжелого бетона находится в пределах 5—6 (сут.)-1.

Параметр у характеризует скорость затухания деформации
ползучести на длительных интервалах времени наблюдения и при
сравнительно кратковременных опытах (в течение нескольких ме-
сяцев) для тяжелого бетона изменяется в пределах 0,02—0,04
(сут.)-1. При длительных экспериментах (в течение нескольких лет)
параметр у может иметь значения, меньшие 0,02 (сут.)-1.

Параметр А2 позволяет существенно изменить кривизну кривых
меры ползучести С (t, т) бетонных образцов, загруженных в моло-
дом возрасте, при малых t — т, но не влияет на кривизну кривой
С (t, т) для образцов, загруженных в зрелом возрасте бетона.

Для назначения параметра А2 в первом приближении можно
воспользоваться следующим приемом. Для бетонного образца, за-
груженного в молодом возрасте, примерно через двое суток с мо-
мента загружения находят опытную величину меры ползучести
С (t, т). Этому значению приравнивают выражение (IV. 131), в ко-
тором величины остальных параметров предварительно найдены.
Решая полученное уравнение, определяют величину А2. Обычно А2
находится в пределах 0,5 А2 1. Для пологих кривых ползу-
чести 0 А2 1-

По найденным параметрам, входящим в выражение (IV.131),
строят теоретические кривые С (t, т). Рекомендуется начинать по-
строение расчетных кривых меры ползучести С (t, т) для бетонного
образца, загруженного в наиболее зрелом возрасте. Если в вели-
чинах конечных ординат экспериментальной и расчетной кривых
С (t, т) наблюдается расхождение, приходится уточнять ф (т); при
существенном расхождении начальных ординат С (t, т) необходимо
уточнить Д (т).

После получения необходимой точности в аппроксимации кри-
вых С (t, т) бетона зрелого возраста изменением в незначительных
пределах параметров А2, а и у, как правило, удается достичь хо-
рошего соответствия опытных и расчетных кривых С (t, т) бетона
молодого возраста.

Пример1. Требуется аппроксимировать экспериментальные
кривые меры ползучести С (t, т) бетона (см. рис. 64), полученные
для моментов времени т его загружения, равных 4, 10, 17, 28, 40
и 90 суткам.

1 Пример составлен Н. А. Колесниковым,
С помощью приведенного выше приема находим значения ф (т),
которые для соответствующих моментов времени т загружения бе-
тона оказались равными (в см2/кгс);

Ф (4) = 51 -IO"7;

Ф (10) = 39,3 -IO”7;

Ф (17) = 32,8-10-7;

Построив кривую изменения

Ф (28) = 27,5-IO-’;

Ф (40) = 24,5 -10-7;

Ф (90) = 22.10-\

Ф (т) в зависимости от возраста

бетона в сутках к моменту нагружения (см. рис. 65), аппроксими-
руем ее участок для моментов времени т > 40 суток. Для этого,
приняв фо = 22-1О-7 (кгс!см2)—1; ф (40) = 24,5-10~7 (кгс/см2)~1
и ф (60) = 23-10~7 (кгс! см2)—1, составляем систему уравнений
(IV 180) для вычисления параметров фх и |3Х:

22 • 10-7 + ф1е-40₽, = 24,5. Ю-7;

22 • IO"7 4- фх e-6o₽i = 23 • Ю"7,
откуда фх = 15,61 • 10—7 (кгс/см2)—';	= 0,0458 (сут.)—1.

Быстро убывающий участок кривой ф (т) аппроксимируем вто-
рой экспоненциальной функцией. Значения параметров этой функ-
ции определяем из системы уравнений (IV. 181), приняв:

Ф (4) = 51-10—7 (кгс/см2)-1 и ф (28) = 27,5-10-7 (кгс/см2)-1;
ф2е-4₽Е = 51.10-7—[22 +15,61 е<-°-0458)4] 10"7;

ф2е-28^=27,5-10-7—[22 + 15,61 е(°-0458) 28] 10-7,

откуда ф2 = 24,75-10—7 (кгс/см2)—1; |32 = 0,109 сут.-1.

Внося значения параметров ф0, фх, ф2, 0Х и р2 в выражение
(IV. 178). имеем:

Ф(т) = (22+ 15,61 е~ 0.0458т + 24,75	°-109т) 10"7.

Подставляя сюда соответствующие значения т, находим величи-
ны ординат теоретической кривой ф (т). Как видим (см. рис. 65),
точность полученной аппроксимации вполне удовлетворительна.

Затем аналогично предыдущему аппроксимируем эксперимен-
тальную кривую Д (т). Значения Д (т), найденные по кривым С (!, т)
(см. рис. 64), для соответствующих моментов времени состав-
ляют (в см2/кгс):

Д (4) = 30,7-IO"7; Д (28) =11,9-10-7;

Д (10) = 2 МО"7; Д (40) = 9,5-10-7;

Д(17) = 15,7-IO"7; Д (90) =8-IO"7.

Учитывая, что изменение значений Д (т) изображается сравни-
тельно пологой кривой (см. рис. 65), для ее аппроксимации вос-
пользуемся выражением (IV. 179).
Составляя систему уравнений (IV. 180) для моментов времени
т = 4 суток и т = 40 суток, имеем l

Д (4) = 30,7 • 10“’ = 8 • 10“’ + Дх е-4а>;

Д (40) = 9,5 • 10"’ = 8 • 10~’+Дхе~40а*.

откуда Дх = 30,72-10~7 (кгс/сл«2)-1; аг = 0,0755 (сут.)-1.

Таким образом,

Д (т) = (8+30,72 6-0.0755Т) ю-7.

Для соответствующих моментов времени т находим значения
ординат теоретической кривой Д (т) и убеждаемся, что точность
полученной аппроксимации вполне приемлема.

Значения параметров а и А2 принимаем соответственно равными:

а = 5 (сут.)-1; Л2 = 0,8.

Параметр у подбираем исходя из лучшего соответствия всего
семейства теоретических кривых С (t, т) опытным.

Для кривой С (t, т), соответствующей т = 4 суткам при t = 2т =
= 8 суткам, имеем:

С (8,4) = 36-10“’ см21кгс\ ср (4) = 51-10“’ см21кгс-,
Д (4) = 30,7-10“’ см2/кгс\ ар(8) = 18,39-10~7 см2!кгс.

Таким образом:

36-10-’ = 51 — 18,39

е4т 0,8\_30 7е_20
, e8v—0,8/

10-’.

Обозначая е4? = у, приводим это выражение относительно у к
уравнению

0,8161/8— ^/+0,147 = 0,

корни которого равны ух = 1,055; у2 — 0,171.

Отбрасывая второй корень, соответствующий отрицательному
значению у, найдем:

	In 1,055 0,534 у= 	= —	=  4	4	= 0,013 сут -1
Аналогичным	образом находим:	
для	кривой С (t, 10)	7 = 0,021 сут.-1
в	в С (/,17)	7 = 0,022 в
в	в С (t, 28)	у = 0,025 в
в	в С (/,40)	7 = 0,019 в
Среднее из пяти найденных значений у = 0,02 (сут.)-1 и прини-
маем за окончательное.

Далее находим (/), A (/) и гр (f) для моментов времени, соот-
ветствующих различной продолжительности наблюдения,для разных
кривых С (t, г). Для этих же моментов времени t вычисляем значе-
ния ординат теоретических кривых меры ползучести С (t, г). Как
следует из рис. 64, на котором сопоставлены экспериментальные
и соответствующие теоретические кривые С (t, г), аппроксимация
опытных кривых вполне удовлетворительна и, следовательно, нет
необходимости в дополнительном уточнении параметров в выраже-
нии (IV. 131).
Глава V

УПРУГО-МГНОВЕННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ПРИ НАЛИЧИИ ВЫНУЖДЕННЫХ ДЕФОРМАЦИИ.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

§ V.	l. Общая трехмерная упруго-мгновенная задача
теории упругости

В соответствии с определением упруго-мгновенной задачи тео-
рии упругости, данным в § IV.9, напряженно-деформированное
состояние рассматриваемого ею упругого тела определяется напря-
жениями:

°х (0. Оу (0> °? (I);

^ху (0 ~ ^ух (О’» ^xz (0 ~ Xzx (О’» Tj/z(0 ~ Tzy (01

(V.l)

деформациями-

МО; МО; ez(0’> Vxy№ Yxz(0; 7^(0	(V.2)

и средними вращениями

2ох(0 =	dw (t) ду	dv (/) dz
	du (t)	dw(t)
	dz	dx
2со2 (/) =	dv (t)	du (t)
	dx	dy

(V.3)

где и (f), v (/), w (/) — перемещения точек тела в направлении
координатных осей х, у и z соответственно.

Зависимость между деформациями и напряжениями устанав-
ливается обобщенным законом Гука:

4	1(1 + v) °* (0-^s W +е°

С (О
.....................(х,	у, г);

Уху (/) = + Уху (

.............................(X,	у, Z),
где

S(0 = M0+M0+M0;	(V.5)
деформации удовлетворяют уравнениям совместности:

д2 8Х (0 . д2 гу (t)  да уху (0 ф
ду2 дх2 дх ду

..................................................(X, у, Z)-

2 д2 ех (/)  £ Г дууг (0 dyxz (t) ( духу (t) 1

ду дг дх дх ду	дг

....................................................(х, у, Z) .

(V.6)

и связаны с перемещениями формулами:

ех(0 =	ди (0 дх ’	Уху(0 =	ди (/) ду	д» (0 .  дх ’	
еу =	dv (0. ду	Ууг№ =	dv (t) дг	dw(t)_ ду	(V.7)
М0 =	dw (t) . дг ’	Ухг (0 =	ди (/) дг	dw(t) дх ’	

а напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия:

дох (t) дхху (?) dtxz (/)

дх

ду

дг

0;

(V.8)

(х, у, Z).

Кроме, того, должны удовлетворяться соответствующие гранич-
ные условия.

Решение рассматриваемой упруго-мгновенной задачи можно
проводить в напряжениях или в перемещениях.

В первом случае сначала отыскиваются напряжения (V. 1), а за-
тем деформации (V.2) и перемещения. Последовательность решения
задачи при этом следующая.

Вначале отыскиваются напряжения (V. 1), удовлетворяющие
уравнениям равновесия (V.8) и уравнениям совместности (V.6),
выраженным в напряжениях [251:

Z1 1	\ 2 ZA । d2S(t) ...

(1 + v) v2 ох (0 + —= Qx (/);

-.................................(х,	у, z);

................................(X,	У, z),

(V.9)
где (/) и Qxy (/) определяются по формулам (IV.55) и (IV.56)
при условии (1V.5) и граничным условиям:

ох (0 cos (2Vx) +rXJ/ (0 cos (Ny) +тХ2 (t) cos (Nz) = 0;

Xyx (t) cos (Nx) + Gy (t) cos (Ny) + xyz (t) cos (Nz) = 0;
xzx (t) cos (Nx) + xzy (t) cos (Ny) + gz (t) cos (Nz) = 0. .

(V.10)

Затем по формулам (V.4) отыскиваются деформации тела и да-
лее по уравнениям (V.7) с учетом характера закрепления тела в про-
странстве определяются уже его перемещения. В силу линейности
уравнений (V.8) и (V.9) их решение можно искать в виде суммы:

(0 = (0 + °*, (0;	(0 =	(t) +	(t)- 1

................(х,	у, z);	.................(х, y,z); I ’ *

где oXj(/), ...,xxyi(f) — общие интегралы однородных уравнений
(V.8) и (V Э), соответствующие случаю отсутствия вынужденных
деформаций тела, a oX2(f), тхУ2 (t), ... —любое из возможных
частных решений уравнений (V.8) и (V.9), соответствующее их
заданным правым частям.

Общие решения уравнений (V.8) и (V.9) могут быть найдены
по методу трех независимых бигармонических функций, предло-
женному Б. Г. Галеркиным, в соответствии с которым эти решения
имеют вид:

г <э2	<Э2	1

a-(0=[5V+^-(1-v)v]x

р1(0+^0.1 _2(1 _v)2 2 ф1 (/):

[ дх ду dz J	дх

...	Гд2 . д2 ..	. о

ra^W+^)+a&«j_2(1_v)A^ (0.

|_ дх ду dz J	ду

°*.(0=r^4~-V-'’)v2]x
(dx2 ду2	J

бфНО дфНО	_2 (1 _ V) A v2 ф

дх ду дг J V 1 дг v Ys v h

т, (t)=-----

dxdy[

+ (1— v)v2

d<Pi (t) . dq>2 (i)  дфз (Q~
дх dy dz

Гдф1 (/) । d<p2 (/)! .

I dx dx ’

(V.13)
...	<э2 гдф! (t) д(р2 (0 . a<ps (01

T^Zi V/ — алл * Л * Л

ду dz L дх ду dz J

_|_ (1 — v)v2 fа<Рй (/) + а<Рз (/)1;

[_ dz ду J ’

^xzt (О —

д2 Гftpi (О , а<р2 (0 , а<р3 (/)1

дх дг дх ду дг J

(V.13)

+ (l-v)v2

d<pi (Z) дф3 (Q1
дг дх J ’

где <рх (/), <р2 (0> <Рз (0 — независимые бигармонические функции,
включающие в себя время t в качестве параметра, являющиеся ре-
шениями уравнения

V2V2( )=°	(V.14)

и принимаемые в соответствии с требованиями, накладываемыми на
напряжения и перемещения тела граничными условиями.

Частные решения оХ2 (Z), тХЙ2 (/), ... определяются видом вы-
нужденных деформаций ех (/), ....	(0> ••• Пути их отыскания

будут указаны ниже.

В тех случаях, когда наряду с напряжениями требуется отыска-
ние перемещений точек тела, например, когда граничные условия
заданы в перемещениях., решение задачи удобно проводить в пере-
мещениях. Необходимые для этого уравнения можно получить сле-
дующим образом.

Принимая во внимание формулы (V.7), с помощью уравнений
(V.4) найдем:

	(0 =	£(0  1	V .1—2v	-6(0+  dx		-eao-	——6° (0  1—2v	.			
°У	(0 =	E(t) 14' v	V  1—2v	-0(0 + ^J0_ dy			(O'  1 —2v			(V.l 5)
	(0 =	E(t)	V	O/A_l dw (t)		-еИО-	v 0	(0	1.	
°z		1 -pv	.1—2v		dz		1 —2v	0 V/	1’	
			до =	E(t)	'du (t)	, dv (/)	-M)			
				2(1+0	. dy	dx		J		
		^z(0 =		E(t)	'dv (t)	! dw (t)	~ Ууг (0			(V.l 6)
				2(l+v)	dz	dy				
			.(/) =	E(t)	'dw (t)	, du(t)	-y°2X^			
		* ЧГ				dz				
				2(1+0	L dx					
где										
				e°(O=e	ax(i) + $(t) + z		W);			(V.17)
				6(0 = e	x(0 +	Ej/CO + e	2(0.			(V,18)
После чего, внося (V. 15) и (V.16) в уравнения равновесия (V.8),
будем иметь:

ав	[ ду°х,, (О ду” (О

2v)v2«(0 = (1-2v)	+	+

дх	[ ду	дг

де° (О
дх

2у

1—2у

(О

дх

+ (1 -2v)Jv2 v (0 = (1 - 2v)	+ д2к^. +

ду	I дг дх

де” (/) 2у

ду	1—2у

(V.19)

—е°Ю

ду

^^+(1— 2v)v2 w(0 = (l— 2v)	+ ~гУду-~- +

де” (/) 2v	д

дг	1—2v	дг

+ 2

Таким образом, ход решения задачи в перемещениях следующий.
Вначале по уравнениям (V. 19) отыскиваются перемещения и (/),
v (t), w (f), затем по уравнениям (V-15) и (V. 16), по заданным вы-
нужденным деформациям е® (/), у”у (f)> --- и найденным пе-
ремещениям находятся напряжения, а затем по формулам (V.4)
и деформации тела.

В силу линейности уравнений (V.19) их решения можно искать
в виде:

и (0 = МО + МО;

v(0 = MO + ^ (0;

^(0 + ^(0.

(V.20)

где иг (/), 14 (0 и (/) — общие решения однородных уравнений
(V. 19), соответствующие случаю отсутствия вынужденных дефор-
мации, а и2 (0, v2 (0, w2 (f) — любое из возможных частных ре-
шений уравнений (V. 19), соответствующее их заданным правым
частям.

Общие интегралы однородных уравнений иг (t),	(f), (А

всегда могут быть найдены по методу Б. Г. Галеркина с помощью
трех независимых бигармонических функций в следующем виде:
14-v (д_ Г^SPi (0 , дф2 (/)  дфз (ty
E(t) щх дх ду dz

—2(1—v)v2<Px (Op

Ч'-v ( д_ Гd<Pi (0 . дф2 (0 ,	8 (01

Е (f) t<3f/ L дх ду dz J
— 2(1—V) у2 ф2(Ор

(V-21)

	1 +v (d	Г<Эф1 (/)	<Эфа (0	d(ps (/)
	E (t) (dz	dx		dz

— 2(1—v) у2 ф3 (/)}

Вид частных решений и2 (f), v2 (О, w2 (О определится видом
вынужденных деформаций. Некоторые из них будут рассмотрены
ниже.

При отыскании перемещений и (О, v (/) и w (t) входящие в них
произвольные функции интегрирования определяются с помощью
граничных условий, которые также всегда могут быть выражены
в перемещениях.

Ниже будут рассмотрены решения некоторых упруго-мгновен-
ных задач термо-упругого равновесия тел, которые нам понадо-
бятся в дальнейшем. В этих задачах вынужденные деформации свя-
заны с изменениями температуры тела и в соответствии с гипотезой
Дюамеля—Неймана равны:

е«(0 = ^(0 = ^(0 = ссФ(0; 1
y°xAt) = y°xz(t) = ^z(t)^O. J

(V.22)

Здесь Ф (/) — температурная функция, определяющая собой
расчетные изменения температурного поля тела, в общем случае за-
висящая от координат его точек и времени, а а — коэффициент
линейного расширения.

При условиях (V.22) большинство из выписанных выше уравнений
упруго-мгновенной задачи упрощается и принимает следующий вид
[1181: закон Гука —

Вх (0 = туг- К1 + v)	(0 —vS (0] + «Ф {ty,

Ь{1)

.................................{x,y,z)\

Уху (0 =	Хху (fy

ixy \ •	лу \ /’

(V.23)

{X, у, z),
или

ах(/) =		——tyt 1 — 2v	) + du  dx	aE (t) 1—2v		Ф(/);
	= E(t) 1-J-V	—— e (/) +  1—2v	v	dy _			aE (t)  1—2v		Ф(0;
	_ Е (/) 14-v	1—2v '	dz ’		aE (/) 1 —2v		Ф(0;
	М') =	E(t)	~du (/) , dv (/)'			
		2(l + v)	L dy	dx		
	HVz (0 =	E (t)	dv (t) , dw (t)'			
		2(l+v)	dz '	dy .	»	
	Т«(0 =	E(t)	'dw (/) , du (t)'			
		2(l+v)	dx '	dz	1	

(V.24)

уравнения равновесия —

+ (1 — 2v) v2 и (<) = 2а (1 + v)	;

^ + (l-2v)v2^(0 = 2«(l+v)^-;

_|_ (1 _2v) у2 w (t) = 2а(1 + v);

уравнения совместности —

(l+v)v!aI(0+^,=

= -a£(i)[l±rv’0(/)+^)];

..........................(X, у, z);

/1,\2 /а । <?2S(Z)	. ,,.й2Ф(/)

(l+v)v2Txy 0+-	at (/) У

dxdy	дх ду

..........................(x,y,z).

(V.25)

(V.26)

§ V.2. Плоская упруго-мгновенная задача теории
упругости. Основные уравнения

Рассмотрим особо случай плоской упруго-мгновенной задачи
о напряженно-деформированном состоянии тела при наличии вы-
нужденных деформаций. Такое состояние возникает в телах опре-
деленной конфигурации вследствие изменения температуры, усад-
ки и т. п. Например, в случае изменения температуры тела по за-
кону Ф (х, у, z, f) составляющие его вынужденных деформаций будут
равны (V.22).
Эта задача может ставиться в двух вариантах: в виде задачи
о плоской деформации длинных призматических тел и в виде за-
дачи о плоском обобщенном напряженном состоянии тонких при-
зматических дисков. Займемся первой из них.

Рассмотрим длинное призматическое тело с полностью защемлен-
ными торцами1; ось Oz совместим с его продольной осью.

Будем иметь в виду случай, когда граничные условия, распре-
деление напряжений и вынужденных деформаций не зависят от ко-
ординаты z, отсчитываемой вдоль образующей. При этих условиях
часть тела, выделенная на значительном расстоянии от его торцов,
находится в условиях плоской деформации. Вследствие этого компо-
ненты напряжений и деформаций будут зависеть только от двух
координат точки х, у и времени t. Таким образом, в рассматривае-
мом случае:

и (0 = и (х, у, t); v(t) = v (х, yt /); w (/) = О,	(V.27)

т. е.

ех (О ех (х, У> 0> ei/ (0	(*» У, 1)\ Уху (0 — Уху (xt У* О» | /у 28)

Тх2(0 = Тг/2(0 = ег(0 = 0	J k

и, кроме того,

вх (О = ах (х, у, ty, Оу (0 = Оу (х, у, 0; Xxv (t) = хху (х, у, 0; |
r„(0=t„(0 = 0;	)(V-29)

<т2 (0 = V	(0 + Оу (01 -е» (0 Е (0.	(V.30)

Имея в виду напряжения, вызываемые вынужденными деформа-
циями, будем считать, как и прежде, поверхностные и объемные
силы равными нулю.

Вначале рассмотрим метод решения рассматриваемой задачи
в напряжениях.

При сделанных выше предположениях напряженное состояние
тела будет описываться следующими уравнениями. Компоненты ц®
напряжений будут удовлетворять двум уравнениям равновесия:

дох (0 дХху (t) _Q

дх	ду

дхуХ (t) дву (t)Q
дх	ду

и однородным условиям на поверхности:

огх (/) cos (Nx) + rxv (t) cos (Ny) = 0; 1

xyx (t) cos (Nx) + Oy(t) cos (Ny) = 0. )

1 Имеется в виду отсутствие поворота и продольных смещений торцовых
сечений тела.

"И
я
Iffh

Кроме того, они должны удовлетворять еще условиям сомест-
ности (V.9), из числа которых в силу условий (V.27) и (V.29) оста-
нется только одно

Bit.

..

Uffl-
IF-

K(
ЙГ

—;V2K (0 + ^(0! =
t (t)

1	Р2 ej (t)	а2е» (/)
1—V2	[ ду2	дх2

92 Уху ,	2 0 /Л

----- -----HV 8° (f)
дхду

(V.33)

По аналогии с функцией напряжений Эри введем в рассмотрение
функцию напряжений упруго-мгновенной задачи <р (f), такую, что



д2 <р (0 .

ду2 ’

д2Ф(/).

дх2 ’

Хху№ =

д2 <р (/)
дх ду

(V-34)

0^(0 =

тогда, очевидно

v2К (О+°у (01=v2 V2 ф (О-

(V.35)

где

<Э4

д*

дх2ду2	ду*

(V.36)

2 2

v

Таким образом, уравнение совместности (V.33) примет вид:

fl

j»
fflK

41

к

IH

31)

v2v2t(0= —

Е (I) Г<32 е® (/) д2 е® (/)

1—V2

ду2

дх2

02 Уху (0 ,	20

-—4------hvv2e°(/) .

дхду

(V.37)

После введения функции <р (t) уравнения равновесия (V.31)
будут тождественно удовлетворены, а условия на поверхности
(V.32) перепишутся следующим образом:

д cos (7Vx) — -	cos (Nу) = О*,

ду2 '	7 дхду х

—д <р (t) cQg	д ф(/) cQs (де_ Q.

дхду	дх2

(V.38)

Итак, решение рассматриваемой задачи о плоской деформации
сводится к интегрированию дифференциального уравнения совмест-
ности (V.37) при граничных условиях (V.38).

Отыскав функцию напряжений упруго-мгновенной задачи ср {t),
удовлетворяющую уравнению (V.37) и граничным условиям (V.38),
по формулам (V.34), найдем компоненты напряжений упруго-мгно-
венной задачи, которыми полностью определяется искомое напря-
женно-деформированное состояние рассматриваемого тела, посколь-
ку напряжения cz (?) с помощью формулы (V.30) однозначно
выражаются через напряжения ох (i) и (/), а деформации ех (/),
гу (О и Уху (0 на основе выражений (V.4) с учетом (V.29) также бу-
дут однозначно выражаться через эти напряжения по формулам:

(О = Мй- Id - V) ах (/) -va, (/)] + (1 + V)	(/);

С (I)

*у (О = 7— [(1 —V) Оу (/)—vox(/)] +(1 +V) (/);
с и)

Уху (О = 2 (F".V) т:ху (О + Уху (О-
ь (Г) •

Однозначно будут определены также и смещения точек тела,
поскольку они связаны с деформациями соотношениями (V.7).

Рассмотрим случай, когда

y0xy(t) = y°xZ(t) = y^(t) = o. J

(V.40)

Такой случай, например, наблюдается при температурных де-
формациях, тела, усадке, набухании и т. п. При этом постоянная
а может рассматриваться как коэффициент соответствующей линей-
ной деформации, например коэффициент линейного температурного
расширения, а функция е° (/) — как поле вызывающих ее изменений
соответствующей характеристики состояния материала, например
поле изменений температуры тела. Если при этом ввести в рассмо-
трение новые физические характеристики материала

Bi(0 = 7^; vi=~~; a1==(14-v)a	(V.41)

и учесть, что

1±^=1±L,	(V.42)

Ei(t) E(t)

то все основные уравнения задачи о плоской деформации, выписан-
ные выше, перепишутся следующим образом:

а)	уравнение совместности

v2v2(p(O = — «1 £1 (0 v2 е° (0;	(V.43)

б)	граничные условия:

б2ф(Л /ЛГ X	Э2ф(Л /ДГ \ А

— — cos (Nx)---------— cos (Ny) = 0;

ду2	дх ди

д2Ф(П	<V-44)

----- — cos (Nx) -]--cos (Ny) = 0;
в) связь между деформациями и напряжениями	
(0 = дК (0 — vi °у (01 + «1 е° (0;	
гу (0 =	(0 ~V1 ах (01 + «1 ®о (0;  Ei (1)	(V.45)
«, /л — 2 (1Ч-У1) т ЕНО ху	

г) связь между смещениями и деформациями:

дх	ду М

ди (/) । dv (Z)

ду

дх

= 7^(0-

(V.46)

Теперь рассмотрим тонкий призматический диск со свободными
торцами и боковой поверхностью, сохранив выбранное ранее на-
правление осей координат и по-прежнему считая, что объемные силы
отсутствуют, а вынужденные деформации не зависят от координаты г.
Вследствие этого, как и прежде, компоненты напряжений, переме-
щений и деформаций будут зависеть только от двух координат точ-
ки х, у и времени t. Таким образом, в рассматриваемом случае мы
будем иметь:

и = и (х, у, t)-, v — v (х, у, /),	(V.47)

т. е.

(О = (-'» У' 0> ®i/ (0 — еу (х> у> 0> Уху (0=Уху	у 0>. | /у ^g\

YxZ(^ = bz(0=-0	)

и, кроме того,

°х (0 = °х у. 0; ° у (0 = °у U, у, 0; (о = хху (х, у, ty i
t„(0=^2(0 = <M0 = 0.	i ’

При сделанных предположениях диск находится в плоском
обобщенном напряженном состоянии, которое будет описываться
следующими уравнениями. Компоненты напряжений по-прежнему
будут удовлетворять двум уравнениям равновесия (V.31) и одно-
родным условиям на боковой поверхности (V.32). Кроме того, они
должны удовлетворять еще уравнениям совместности (V.9), из
числа которых, в силу условий (V.48) и (V.49), останется только

одно

vV<P(0=~£(0

~д2 е« (0

ду2

д2 еу (0
дх2

Уху ~
дх ду

(V.50)

где <р (/) — по-прежнему функция напряжений, связанная с напря-
жениями формулами (V.34).
Итак, решение рассматриваемой задачи о плоском обобщенном
напряженном состоянии сводится к интегрированию дифферен-
циального уравнения совместности (V.50) при граничных условиях
(V.32).

Отыскав функцию напряжений упруго-мгновенной задачи ср (/),
удовлетворяющую уравнению (V.50) и условиям (V.32), по формулам
(V.34) найдем компоненты напряжений, которыми полностью опре-
деляется искомое напряженно-деформированное состояние тела,
поскольку его деформации на основе выражений (V.4) с учетом
(V.49) будут однозначно выражаться через эти напряжения по
формулам:

Л1
з
jjjg!

$£

с

;з
I-1'
Я

М0 =	ц (г)	
М0 =	^[^(/)_VaJZ)]+e0(Z); с (Г)	(V.51)
уху (0 =	t (Г)	'	)	

а смещения будут связаны с этими деформациями выражениями (V.7).  Рассмотрим теперь случай (V.40). Выписанные основные урав-				
нения примут вид:  а) уравнение совместности:  V2 V2 Ф (0 = —«£ (0 V2 е° (0;			(V.52)	4
б) граничные условия:				
д	cos (Nx) — --- cos (Ny)  ду2	дх ду  —(/) CQS	д <р(/) cQs (nу} _  дх ду	дх2	= 0;			ж?  КХ
	= 0;		(V.53)	ас  <1
в) связь между деформациями и напряжениями:				
ех (0 - Р ,Л lQx (0 VGy (01 +	(/);  С (Г)  (0 =	~v°x	+ ае°			(V.54)	•Идя «а
тет(0=  £ (1)				
г) связь между смещениями и деформациями:				«д
^=ех(П; ^ = еД0; дх	ду  ^+^=v.,(0- ду	дх			(V.55)	If®
Сравнивая уравнения (V.52)—(V.55) с уравнениями (V.43)—
(V.46), мы видим, что эти группы уравнений с точностью до по-
стоянных a, v и функции Е (/) совершенно идентичны, поэтому мы
приходим к следующему практически весьма важному выводу.

В случае, когда вынужденные деформации тела заданы в форме
(V.40), как это, например, имеет место при изменениях температуры
или влажности бетона, решения упруго-мгновенных задач о пло-
ской деформации и о плоском обобщенном напряженном состоянии
с точностью до постоянных a, v и функции Е (t) совпадают. По-
этому достаточно решить лишь одну последнюю задачу с физиче-
скими характеристиками материала a, у и Е (/). Ее решение для
случая плоского обобщенного напряженного состояния будет окон-
чательным. Решение же соответствующей задачи о плоской дефор-
мации мы получим, заменив в найденном решении а на а17 v на
и Е (/) на Ej (/), вычисленные по формулам (V.41).

Для полноты последнего решения необходимо будет еще по
формуле (V.30) найти напряжения ст2 (/), которые будут соответство-
вать рассмотренному выше случаю жестко защемленного по торцам
тела. Их равнодействующие:

N(t)=^oz(t)dF-

F

Mx(t)=^vz(t)ydF; My(t) =^cz(t)xdF

(V.56)

будут представлять собой реакции заделки. Здесь F — площадь
поперечного сечения тела.

Наконец, рассмотрим один важный случай, когда вынужденные
деформации заданы в форме:

е« (0 = е® (/) =	(/) = у®2 (/) = у®2 (0 = 0; )

е® (/)= Л (/)+£(/)* +С (/)i/, j

(V.57)

где А (/), В (/), С (f) — некоторые функции только одной перемен-
ной t. Он понадобится нам в дальнейшем для решения задачи о пло-
ской деформации бруса со свободными торцами. В этом случае пра-
вая часть уравнения (V.50) тождественно равна нулю, поэтому

V2 V2 Ф (0 = °-

(V.58)

Поскольку функция ср (/) в рассматриваемом случае должна
к тому же удовлетворять еще однородным граничным условиям
(V.38), то, очевидно, она тождественно равна нулю, следовательно,
равны нулю и напряжения:

<W = <MO=MO = o.	(V.59)

Поэтому с учетом (V.30), (V.57) и (V.59)

о2 (/) = -Е (t) [Л (t) +B(t)x + C (/) у\.	(V.60)
Реакции заделки при этом будут равны:

i,

Мх (0 = -С (/) Е (/)	Му (t)=-B (t) Е (0 Jy, )

где Fo — площадь, a Jx и Jy — моменты инерции поперечного се-
чения тела относительно его главных центральных осей.

До сих пор мы рассматривали длинное призматическое тело
с жестко защемленными торцами. Рассмотрим теперь такое же
тело, свободное от защемлений по концам. Решение упруго-мгно-
венной задачи о плоской деформации для рассматриваемого случая
мы получим, накладывая решение (V.59)—(V.61) только что изу-
ченной задачи на решение соответствующей задачи для защемлен-
ного по торцам бруса, рассмотренной выше, и подбирая функции
А (/), В (t), С (/) таким образом, чтобы в каждом отдельном случае
было бы

N(t) = Mx(t) = My(t) = Q.	(V.62)

Это всегда удается сделать. Например, в случае температурных
деформаций, как мы видели в главе I,

е« (/) = Е« (/) = Е« (/) = ат (О X (х) Y (у),	(V.63)

ян
поэтому в этом случае достаточно принять

A(t)=B(t)=C(t) = T(t).	(V.64)

При этих условиях напряжения о* (/), оу (/) и тху (/) оста-
нутся неизменными, напряжения жесг2, (/), определяемые по формуле
(V.30), изменятся на величину (V.60) и будут равны:

о, (/) = v [о, (/) + п, (/)] -е! (<) Е (0 -

-Е(0[Л(/)+В(0*+С(01/1.	(V.65)

где A (t), В (/) и С (f) будут уже известными функциями t, равными:

(f) о р	I

В = р /а г S + Gv е° Е xdE', (V.66) Ifa
£ W Jy F

С W = S ® W “е° Е (Z)} ydF-

тара

Отметим, что на торцах тела напряжения oz (/) в рассмотренном
случае будут сняты лишь, как говорят, с точностью до главного
вектора и главного момента. Таким образом, задача о незащемлен-
ном по торцам брусе решена нами в духе принципа Сен-Венана. ,
Более точное решение ее пока еще не найдено.
Аналогичным образом могут быть получены решения рассматри-
ваемой задачи и для других условий на торцах тела. Например,
для случая, когда торцовые сечения тела не могут поворачиваться,
но не закреплены по отношению к продольным смещениям, мы будем
иметь В (t) = С (t) = 0, а А (I) определяется по первой из формул
(V.66). В случае же, когда, наоборот, торцы тела могут поворачи-
ваться, но длина его оси остается неизменной А (/) = 0, а В (/)
и С (/) определяются по формулам (V.66).

§ V.3. Плоская упруго-мгновенная задача.

Метод решения

Рассмотрим метод решения плоской упруго-мгновенной задачи
теории упругости, а именно, задачи о плоском обобщенном напря-
женном состоянии, ограничившись случаем, когда вынужденные
деформации заданы в форме (V.40). В § V.2 мы видели, что в этом
случае решение задачи сводится к интегрированию уравнения
(V.52) при граничных условиях (V.53) с последующим отысканием
напряжений, деформаций и смещений тела по формулам (V.34),
(V.54) и (V.55) с обязательным удовлетворением третьему из урав-
нений (V.55).

Полный интеграл уравнения (V.52), как известно, состоит из об-
щего интеграла соответствующего однородного уравнения

V2V2<P(/) = O	(V.67)

и удобного частного решения уравнения (V.52) с правой частью.

Общий интеграл уравнения (V.67) можно всегда найти в виде
бигармонической функции координат точки х и у с произвольными
постоянными интегрирования, являющимися функциями времени t.

Практически, однако, функция 8° (/), входящая в правую часть
уравнения (V.52) (см. главы I и II), обычно задана в виде:

ео(/)=Х(х)У(^)Т(/),	(V.68)

поэтому и функцию ф (/) удобно искать в форме произведения

ф(/) = ссф(л, y)T(t)E(t).	(V.69)

Таким образом, задача сводится к отысканию общего интеграла
уравнения

V2 V2 Ф (х> У) = °-	(V.70)

Этот интеграл удобно в общем случае.записывать в виде ряда:

ф(*. У) = ~-Ах2 + Вху+ уО/2 +

+ -S fn (У) cos ^пх+ 2 Tn(^)sinconx, (V.71)
п=1	п = 1
где

fn(У) = Ап ch у+Вп shZnу + Сп Knychкпу+

+Dnlnyshlny,	(V.72)

Фп (у) = Fn ch ап у + Gn sh соп у + Рп ®ni/ch(oni/+

+ Qn®ni/shcon у	(V.73)

*

— общие интегралы дифференциальных уравнений четвертого по-
рядка:

fV{y)-^nfn{y)+^nfn{y) = ^	'	(V.74)

TnV(у)—2со® Фп (у) + ton фп (%) = о.	(V.75)

Входящие в решение (V.71) произвольные постоянные А, В,
С, Ап, ..., Fn, ... определяются из граничных условий и условий
равновесия тел. В этом решении предполагается, что грани у = 0
и у = И являются продольными кромками тела, а грани х = ±1 —
его поперечными кромками.

Функции (V.71) соответствуют следующие выражения для на-
пряжений и смещений1

Gx(t) = aT (t)E(t)

П — оа

с + 5 fn(y)cosKnx +
п — 1

П=:О0

+ 2 фп (I/) sin соп Л ;
п= 1

су (t) = aT (t)E(t)

п — оо

A— s ^п fn (у) COS Апх—

П = 1

П = оо

— 2 ®п Фп (у) Sin апх
п— 1

(V.76)

xxy(t)=-aT(t)E(t)

П — со

П — оо

в — 2 WA(l/)sinXnx +
п=1

+ Я ton фА (у) COS X
п= 1

u(t) = aT (t)^b1 + bsy + (C—vA)x + 2B(l +v)y +

+ 2 Г" (f/) + vKn fn (f/)l sin Kn x —
n = l LAn	J

n = oo

— фл(*/)+*й>пФп(*/) COS(OnX
ton	J

(V-77)

1 Имеется в виду случаи плоского обобщенного напряженного состояния.


v(f) = aT(t) \b2—bsx + (A—vC) y +

tl =OO

+ 2	(2+v)fn(y)]cosknx +

n=l Ия	J

n — co

+ 5 ГАф4*/) —(2 +V) ф'(^)1 sin G)nx]
„= i l<on	J J

Входящие в формулы (V.71), (V.76) и (V.77) постоянные blt
b2 и b3 выбираются из условий закрепления тела в пространстве
как целого жесткого, а постоянные и ып — в зависимости от
граничных условий на поперечных кромках тела х = + I, а именно:

а)	если на этих кромках ох (/) = 0, а тху (/)	0, то

= (2п-1) л да	(V.78)

п 21	. I	4

б)	если на них ох (0 #= 0, а хху (f) = 0, то

Xnx = A—I2”-1)*1* ; (ОПЛ=— + — ;	(V.79)

п 2	21	2	1	'

в)	если на них сх (/) #= 0, а хху 0, то

К =	(V.80)

Переходим теперь к отысканию ряда практически важных
частных решений уравнения (V.52), при этом будем иметь в виду
случай (V.68).

В соответствии с видом общего интеграла (V.71) функцию е° (/),
заданную в формуле (V.68), удобно также представить в виде ряда
—	с-

е°(0 = [£ + ^*(1/)1 \а + Ьх 4- 2 encos2inx +

I	n=.l

+ 5 dn sin uin J T (t),	(V.81)

n= 1	J

где

н

f у Mdy

8=^—5-------- (V.82)

n

среднее значение функции Y (у),

Y4y) = Y(y)-g-,	(V.83)
I

eh = — § [X(x)—a—bx] cos	xdx-,

1 —i

i

dn— — § [X(x)—a—bx] sin con xdx,
1 —i

(V.84)

(V.85)

а а и b — пока произвольные постоянные, смысл которых мы сейчас
же выясним.

В случае (V.78) должно быть:

±[Х(/) + Х(_/)]; b= J_[X(Z)-X(-Z)];	(V.86)

•ч

в случае (V.79):

i

a=—\X(x)dx\ b=X\l)-,	(V.87)

2Z _j

в случае (V.80):

i

a=±-\x(x)dx- b= J-[X(Z)-X(-Z)].	(V.88)

Представив теперь выражение (V.81) в виде:

{П = оо

(£z + Z?x)g + (a + Z?x)y*(t/) + [g + K*(t/)] 2 enQosKnx +
п = 1

Ц = О)	\

+ [^ + У*(1/)] 2 C?nsin®п7(Z).
n = l	J

(V.89)

найдем частные решения уравнения (V.52), соответствующие каж-
дому из слагаемых фигурной скобки в выражении (V.89).

Так как

\f(a + bx)gT (/) = 0,

(V.90)

то частное решение, соответствующее первому из этих слагаемых,
также равно нулю. Для учета этого слагаемого нам придется ввести
дополнительный частный интеграл однородного уравнения (V.70)
Метод отыскания таких интегралов мы изложим ниже.

Частное решение, соответствующее второму слагаемому, выпи-
шем сразу в простой форме

н

<р2 (Z) = аЕ (Z) Т (/) (а + Ьх) У*(У) dy,
у

(V.91)
ему будут соответствовать следующие значения напряжений и сме-
щений1:

ох (0 = - аЕ (/) Т (0 (а + Ьх) У* (у)-, ву (t) = 0;
н

гху (0 =	(0 Т V) b $ У* (у) dy,

У

У

u(t) = —\\-Yv)aT(f)b ^Y*(y)dy + 2^Y*(y)dy dy,

о

У

v (/) = (1 + v) аТ (/) (а + Ьх) § У* (у) dy.
.	о

(V.92)

(V.93)

Частные интегралы ф3 (f) и ф4 (/), соответствующие третьему
и четвертому слагаемым формулам (V.89), будем искать в форме:

п= оо

Фз(0 = — a,E(t)T(t) 2 ф3п (t/) cos Хп х;
Л==1

П = оо

^i(t) = ~aE(t)T(t) 2 ^п(У) sinwnx,
n= 1

(V.94)

тогда для функций tp3n (у) и ф4п (у) будем иметь уравнения:

ф1Х (у) - Фзп (У)+Фзп (У)=еп {К*ж (У) -Ьп [£+О/)!};
ф4п (у) — 2(Лп ф4п (у) + со„ ф4п (у) = dn {У*’ (у) — (On [g -J- У* (у) ]}.

Поскольку общие интегралы (V.72), и (V.73) уравнений (V.74)
и .(V.75) без правой части известны, частные решения этих уравне-
ний ф3п (у) и ф4п (у) найдем методом Коши. Следуя этому методу,
подчиним интегралы (V.72) и (V.73) условиям:

^(0) = /Л(0) = /"(0) = 0;	(0) = 1; 1

Фп(0) = Ф«(0) = ф;;(0) = 0; ф'(0) = 1, J

это сделает их равными:

Nn (#) = 2Хз (Кп У ch КпУ—sh К УУ
Мп (у) =^т(^пУ ch	у—sh оп у).

(V.96)

(V.97)

----------- 4

1 Здесь и в дальнейшем при определении перемещений и (t) и v (t), со-
ответствующих частным решениям, опущены произвольные функции инте-
грирования, определяющие смещение тела как целого жесткого, поскольку
такие функции уже содержатся в формулах (V.77), отвечающих общему инте-
гралу бигармонического уравнения.
Тогда частные решения уравнений (V.95) будут равны:

у

Фзп ({/) = еп $	(У~г1) {¥*' 01)—^ [£ + К* (Т))]} dr];

°

Ф4П (У) = dn^Mn (у—n) {Y* (п)—Ып [g+У* (1])]} dr\.
о

Например, при

У(у)=ё+УЦу) = С1 + С2у

(V.98)

(V.99)

Фзп (у) = — {G к [^n У sh Кп у + 2 (1 — ch у)] +

+ с2 [ кп у (2 + ch Хп у)—3 sh Xn z/]};	(V. 100)

Ф4п(^) = — vr{Ci«nt<oni/shconi/+2(l—ch(»ny)] +

[2o)n

+ с2 [соп у (2 + ch con у)—3 sh <on y\}.

(V.101)

Отметим, что в силу условий (V.96) любое и' частных решений
(V.98) удовлетворяет условиям

ф(0)=[ф'(0)= <Р"(0) = ф"'(0) = 0,	(V.102)

что существенно упрощает уравнения для отыскания произвольных
постоянных функции напряжений, получаемые из граничных усло-
вий.	__

Имея выражения (V.98) для функций (рзп (у) и q>in(y), по фор-
мулам (V.94) всегда можем определить искомые частные решения
Фз (0	”(?). Этим частным решениям в их совокупности будут соот-

ветствовать следующие выражения для напряжений и смещений:

п = со

ак(/)= —aE(t)T(t)

2 фЗп (У) cos X +
л= 1

rt = oo

+ 2 ф4л (£/) sin con X

оу (t) = aE

П — OQ

2 ^лфзпО/) cosXnx +
п==1

п =ОО

+ 2 Ып ф4п (t/) Sin сопх

п=1

(V.103)

-txy(t)=-aE(l)T(t)

~П=;ОО

2 ^пфзп(г/)51пХпх —
_п=1

п — оо

— 2 «и ф4п (У) COS (0n X

л = 1
a(t) = —aT (/)

Г~— фЗп (у) + v^n фзп C«)l S'n Х

,п = 1	J



— ф4« (У) + ф4п ({/)
®п

cos wn х

tl="X

п=\

т4-фзп(^)—(24-v) фз«(г/) cosXnx +

_ *^п

(V. 104)

ф4п(г/) — (2 + г)ф4„(г/) sinconx

В некоторых случаях удобно проводить решение рассмотренной
плоской задачи в перемещениях, поэтому ниже мы кратко рас-
смотрим и эту возможность, ограничившись случаем плоского обоб-
щенного напряженного состояния, при вынужденных деформациях,
заданных в форме (V.40). При таком методе решения задачи до-
статочно, как известно, найти общее решение следующих уравнений
равновесия, выраженных в перемещениях [1181:

[МО+Н (01	+ Н (0 V2 «(0=2	(0 + р (/)] a ;

дх	дх

[A1(0+p(01^- + H(0v2^(0 = 2[X1(/) + p(Z)]a^-,	(VJ°5)

ду	ду

где

6(/)=	+	(V.106)

дх ду

\ = 2р(0М0 = у£(0_	!07)

М0^2и(/)	1—v2	4	'

a Z (7) и р (7) — «постоянные» Ляме, равные:

X (/) = -2£10-- и (/) = £(0 .	.	(у. 108)

(l+v)(l-2v)’	2(l^v)	v ’

Если ввести среднее вращение 2Q (/) по формуле

2й(/)=	(V.109)

дх ду

то уравнения (V, 105) перепишутся следующим образом:

(0 + 2р (/)] ^-2р (0^ = 2	(/) + р (/)]	'

ох	Оу	дх

{Х1(0+2р(01^ + 2р(0^ = 2[А1(0+р(0]а^.	(V‘H0)

ду	дх	ду
Полные интегралы этих уравнений могут быть представлены
в виде суммы общих интегралов иг (/),	(/) однородных уравнений

(V. ПО) без правой части и удобных частных решений и2 (/) и v2 (О
полных уравнений (V.HO)i

U (/) = u&t) + u2r(/);I<(0 =	+ v2(t).	(V. 111)

Общие интегралы ur (/) и (f) однородных уравнений хорошо
известны в курсах теории упругости. Они были получены Файло-
вом в общем виде, который выразил их через известные алгебраиче-
ские и трансцендентные функции. Одна из удобных для нас форм
общих интегралов (/) и (/) была выписана нами выше в виде
формул (V.77). Поэтому здесь мы ограничимся лишь рассмотрением
некоторых частных решений и2 (t) и v2 (t).

Это полезно сделать для некоторых простейших случаев задания
вынужденных деформаций е° (/), например, для которых V2e° (0 =
= 0, и поэтому даже при решении задачи в напряжениях все равно
приходится отыскивать перемещения, с тем чтобы получить это
решение в полном виде. Именно этому случаю как раз и соответст-
вует первое слагаемое в фигурных скобках формулы (V.89).

Одно из частных решений уравнений (V. 110) может быть найдено
по методу Лява [118], если положить,, что Q (t) = 0. В этом случае,
очевидно,

e2(0 = (l+v)ae»(0,	(V.112)

а п2 (/) и v2 (f) — частные решения уравнений:

^2(0 + М) = (1 + v) ае° (0;
дх ду

dw2(t) du2(t)

дх ду

(V.l 13)

Умножая второе равенство на i и складывая с первым или соот-

ветственно вычитая, приводим их к виду:

-^-[^(0+^2 (01 —1 -j- [«г(0 + ^2 (О1.= (1 +v) ае°(0;
дх	ду

~ [п2 (0 - iva (/)] + i 4- [и2 (/) -iva (?)] = (1 + V) ае° (/).

(V.l 14)

Произведем замену переменных по формулам:

£ = х + й/; т]=х — iy\	(V.l 15)

х = -4(^ + п); У =	П)»	(V.116)
предварительно отметив соотношения:

dip(х, у) = dip (В, П) _ д dip(B. П) .
dx	d£	dx	dr] • dx ’

dip (x, y) = dip(g, n) . dip yg. П) dr]
ду	d£	dy	dt] dy ’

а также

dip (х, у) . д$(х, у) = 2 <Этр (g, тр .
дх	ду	dr]

dip (х, у)  . dip (х, у) = 2 dip (В, П)
дх	ду	d|

Обозначая:

u2(t)-j-ivz(t) = U (х, у, ty, 1

u2(t) — iv2(t) = V (х, у, t), J

приводим равенства (V.114) к виду:

dt/^,O = J-(1+v)(xeo(g> Т)> /);

dV (| т]. О = _L + аео

di}	2

и, следовательно:

с/(В, л, 0=-~(1+v)« Je°(S> n,

V (В, Т], 0 =	(1 + v) а С е° (В, Т]> О

после чего находим:

«2(0=-у(1 +^)а [$е°(В, т), О^ + $е°(В, т), J

=	+^)а[5е°(В, Т]> 0°^—$6° (В, Т), OdTjJ •

(V.117)

(V.118)

(V.119)

(V.120)

(V.121)

(V.122)

После выполнения интегрирования в формулах (V.122) следует
произвести обратную замену переменных В и т] на х и у по форму-
лам (V.115).

Например, при

8°(0=ах^(0	(V.123)

с учетом формул (V.116)
таким образом:

।

fe0(L i],

J	4	\ О	/	f

I eG(g,	T), t)dx]=---— ai (т]£2----— if'j	T (t);

 •	4	\	3	/

Je°(£> rb O^+Je°(L Л, 0^Tl = -y-«(3x2*/ + «/3)T(/);

f e° (£, t], t) d%— f e° (I, T], t) dt] — — ai (Зху2 -j-x3) T (/).

«J	«J	3

Следовательно:

«2(0=-^(1 + v)a(3xzy-\-yz)aT(t);
s>2 (0 = (1 + v) a (3xyz + x3) aT (t).

Часто при простых способах задания
уравнений (V.113) легко выписать сразу.

e°(t) = Y(y)T(t)

е° (/) частные решения
Например, при

(V.125)

у

«2(0 = 0; t)2(0 = (l+v)«7(0 5 Y{y}dy,

У1

(V.124)

(V.126)

а при

e°(0=X(x)T(0	(V. 127)

«г (0 = (1 + v) аГ (0 X (х) dx; v2 (0 = 0,	(V. 128)

где Ху и уу — произвольные числа, выбираемые из соображений
удобства, например из условий максимального упрощения уравне-
ний для определения произвольных постоянных функции напря-
жений. Часто из этих соображений удобно принять Ху = Vj = 0.

Таким образом, в случае

е°(0 = Т(0,

(V.129)

как это, например, будет при равномерном нагреве тела, возмож-
ны три формы частных решений:

1)	w2(0 = 0; v2(t) = (l+v)ayT(t);	(V.130)

2)	w2(/) = (l+v)axT(0; М0 = 0;	(V.131)

3)	«2 (0 = Ч" (1 + v>ахТ	&2 (0 = 4 (1 + v) ауТ	(V‘132)
Здесь принято условие хг = ух = 0, так как исключается сме-
щение тела, как целого жесткого.

Перемещениям (V.126) и (V.128) будут соответствовать напря
жения:

, ox(t)=-aE(t)T(t)Y(yy, оу(/) = тед(0 = 0,	(V.133)

или соответственно

= о,(0 = -aE(t)T(t)X(х),	(V.134)

а перемещениям (V.130)—(V. 132) — напряжения:

1)	ах(0 =	^’(0 =^(0=0;	(V.135)

2)	ox(t)=T:xy(t)==0-, oy(t)=—aE(t)T(t)-,	(V.136)

3)	ох (0 = оу (/) =	аВД Т (/); хху (0 = 0. (V. 137)

В зависимости от вида граничных условий удобно принимать
ту или иную форму частных решений (V. 130) — (V. 132). Например,
если поперечные кромки свободны от напряжений, удобно принять
частное решение в форме (V. 131). Если же торцовые кромки закреп-
лены, а продольные свободны, то удобно принять частное решение
(V.130).

Некоторые из этих частных решений мы используем в дальней-
шем.

Например, слагаемому

E°(t) = (a + bx)gT(t)	(V.l 38)

формулы (V.89) на основании изложенного выше будут соответство-
вать перемещения

U2(t) = (l+v)agT(t) (ox + — j; ц2(/) = 0	(V.139)

и напряжения

ах(0=^(0=0; oy(t) = -aE(t)]T(t)g(a + bx).	(V.l 40)

Просуммировав формулы для напряжений или соответственно
перемещений, полученные выше, отвечающие всем рассмотренным
частным решениям и общему интегралу бигармонического уравне-
ния, мы получим формулы для полных напряжений и смещений
тела рассматриваемой задачи о его плоском обобщенном напряжен-
ном состоянии. Мы сделаем это ниже в § V.4.

Отметим, что распоряжаясь должным образом постоянными
и функцией Y* (у) в формуле (V.89), мы можем получить из рассмо-
тренного выше общего решения ряд практически важных частных
случаев. Например, положив

b = en = dn = Y*(y) = 0	(V.141)
и считая е° (f) температурой тела, получим случай его равномер-
ного разогрева, исследованный при некоторых частных граничных
условиях Г. Н. Масловым [117]. Ниже мы рассмотрим этот случай
более подробно.

§ V.4. Повышение точности решений плоской
упруго-мгновенной задачи

Как мы видели в § V.2, решение плоской упруго-мгновенной
задачи сводится к интегрированию бигармонического уравнения
с правой частью (V.50) относительно функции упруго-мгновенных
напряжений <р (/).

Общее решение этого уравнения обычно получают в рядах по
гиперболо-тригонометрическим функциям типа (V.71), с помощью
которых не удается строго удовлетворить всем граничным условиям
задачи. Поэтому на некоторых из кромок тела эти условия удовлет-
воряются только в духе принципа Сен-Венана, что приводит к тому,
что часто, в тех случаях, когда на свободных кромках должны пол-
ностью отсутствовать напряжения, они снимаются лишь в интеграль-
ном смысле, т. е. с точностью до главного вектора и главного момента
этих напряжений в пределах указанных кромок. Получаемые при
этом решения оказываются практически применимыми лишь для
вытянутых в должном направлении контуров и относятся только
к их средней части, где погрешности указанного выше вида, в соот-
ветствии с принципом Сен-Венана, не велики.

Для повышения точности подобных решений может быть пред-
ложен следующий метод, основанный на идее метода Менаже.

Прибавим к общему интегралу (V.71) однородного бигармониче-
ского уравнения (V.70) частный интеграл этого уравнения в виде
полинома по степеням х и у

ф2(М =	(V.142)

a} (k)

Матрица коэффициентов aih этого полинома будет иметь вид:

°-00 ^01| ^02 ^03 ^04 ^05 ^061	• • •

Q10i G11 а12 ^1.3 G14 ^15 |.....

^20 ^21 ^22 ^23 ^21.............

^зо Дзх ^32 ^33 I........................ (у	143)

С40 ^41 ^42 I...................

^50 а51 I.......................

«60 |...........................

Три коэффициента этой матрицы в верхнем левом углу, очевидно,
будут соответствовать смещению тела как целого жесткого при на-
пряжениях, равных нулю, поэтому они не представляют интереса
и могут быть опущены.

Средняя очерченная область коэффициентов уже будет давать
напряжения, отличные от нуля. Эти коэффициенты могут быть вы-
браны совершенно произвольно, так как эта часть полинома тож-
дественно удовлетворяет бигармоническому уравнению (V.70).

Правая область матрицы также дает напряжения, отличные от
нуля, но ее коэффициенты уже должны удовлетворять определенным
соотношениям, лишь при соблюдении которых эта часть полинома
(V. 142) будет удовлетворять уравнению (V.70). Например, огра-
ничиваясь случаем выписанного треугольника коэффициентов ма-
трицы, ’мы будем иметь шесть таких условий:

3Q04 + fl22 + 3^40 = 0;
$а5о + а32+ alt = 0»
5а06 + а23 + o4i = 0;

5«61 + За33 + 5а16 = 0;

15аов -ф а42 -ф 2а24 = 0;

15aeo -ф 2а42 -ф а24 = 0*

(V.144)

С учетом дополнительного слагаемого (V. 142) функции (V.71),
ограниченного выписанным выше треугольником коэффициентов
полинома, полные напряжения и смещения тела в случае его пло-
ского обобщенного напряженного состояния, рассмотренного
в § V.3, будут выражаться следующими формулами при обязатель-
ном соблюдении условий (V. 144):

Gx (0 = аЕ (0 т (*) (2а02+6cz03у 4-12а04у2 -ф 20а05 у3 -ф
+ 30а06 у1 + 2а12 х -ф 2а22 х2 -ф 2а32 х3 -ф 2а42 х4 -ф 6а- 3 ху -ф
ф 12аи ху2 -ф 20а15 ху3 -ф 6а23 х2у -ф 12а24 х2у2 -ф 6а33 х3у—

—(a + bx)Y*(y)+ S lfn(y)~фзп(^)]созХпх-ф
п= 1

П — со

+ S [фп(*/)~ ф4п(!/)] Sin апх

П=1

(V.145)

(t) — аЕ (t) Т (t) {2а20 -ф 20а21 У -ф 2а22 у2 -ф 2а23 z/3 -ф

-ф 2а24 + 6а30 х -ф 12а40 х2 + 20а60 х3 -ф ЗОаво х4 -ф

+ 6а31 ху+6а32 ху2 -ф 6а33 ху3 -ф 12а41 х2у -ф 12а42 х2у2 -ф

Ф2!'а61х3г/—g(a + £>x)— 2 [fn (У)~Ф3п (^)]cosXnx—

П = со

— 2 (On [фп ((/)—ф4п (У)] sin (Оп X
п= I

(V.146)
Хху (О = —^Е (/) Т (/) {ап + 2о12 у + За13 у2 + 4а14 у* + 5а16 у4 +
+ 2а21 х + За31 х2 + 4а41 х3+5а61 х4 4- 4а22 ху + 6а23 ху2 +

4-	8oSj xz/3 + 6л32 х2у + 9а33 x2z/2 + 8а42 х2у 4-

"	П = оо

-Yb\Y*(tj)dy~ 2	<P3n(*/)]smXnx +

у	n=1

+ 2 ®п[фп(£/) — ф4п («/)] COS (On х);	(V.147)

п= 1	J

и (/) = аТ (t) {2х [а02—va20 + (За03 —va21) у +

+ (6а04—va22) у2 + (10tzO5—va23) у2 + (15a0e—va24) у4 +

4—— (о42 —3vG30) X	— (tZ22 X 4 ~ (fls2	10vo6o) X 4-

2	о	zx

+4- («42—15va60) x4 4~ 4 («13—^31) + 4" (2a14—va32) хг/2 +
5	z	z

+ 4 (10а15—Зшзз) ХУЭ + («23—2w) x2y + 2 (a24 — vai2) x2y2 +

4—— (3cz 3 3 — 10va51) x3z/j—[ 3a30 4- 2 (1 4- v) a12] y2 —
4

— [«31 + (2 + v) «13] У3----y [«32 + 2 (2 4- v) «14] z/4 —

—43азз + 1°(2 + v)«16]^ + (l+v)g(' «x + 4)~

H

У

—(14-v)Z>jj $ Y*(z/)dy4-2$ Y*(y)dу dy-\-b1-\-b3y+

_o

У

n = oo

+ у Г4 ~ ^n	+vKn	~^3n

~ LAn

n= 1	•

sinXnx—

— У Г — (<Pn(^)—<RnG/))4-VC0„((PnU/)— Ф4П (*/))] cos£0nxl; (V.148)

L“n	J J

n=l

v (0 = аТ (0 12y |а20—vOoa 4-	(a21—3va03) у 4-

+ 4 (G22—6va04) y2 4- 4 <а2з —1 ^«05) У3 +

О

+ -7- (^24 —15 v«oe) У* + (3«so — х«12) X 4- (6tz40—va22) x2 4-
D
+ (10«50—va32) х3 + (15ae0—va42) х44--у (а31—va13) ху 4-

~Ь (а32—2va14) ху2 4- -у (За33—10va15) ху3 4-

4- А (2о41—va23) х2у + 2 (а42—va24) х2у2 4-
*

4- -у (10«Б1—3va33) х3у — [ За03 4- (2 4- v) а21] х2 —

— [Я1з + (2 + v) а31] х3 —у [а23 4- 2 (2 4- v) а41] х4 —

1

10

у

[3tz334-10(2+v)a51]x54-(14-v)(a4-fex) ^Y*(y)dy 4-
о

+ &2 + М4- У	ОМ*/)) —

п = I

— (2 4- v) (/n (//)—фзп («/))] COS xn X 4-

Л (фп (г/) — Ф4п («/)) — (2 + v) (ср' (р) — <рк (у))
L СОп

sin <оп х

(V.149)

Входящие в формулы (V. 148) и (V.149) постоянные by, Ь<>, Ь3,
bi определяются из условий закрепления тела в пространстве как
целого жесткого; при этом должно соблюдаться условие

Ч- ^4 U + v) ~ 0-	(V. 150)

Таким образом, произвольно распоряжаться постоянными
bi, b2, Ь3, мы не можем.

Всего в формулах (V. 145)—(V. 149) мы имеем 25 постоянных
Ап, Вп, Сп, Dn, Fn, Gn, Рп, Qn и aik, из числа которых, в силу усло-
вий (V.144), только 19 независимых. Распоряжаясь ими должным
образом, мы сумеем полностью удовлетворить граничным условиям
на продольных кромках тела и приближенно выполнить условия на
торцовых (поперечных) кромках с большой степенью точности, зна-
чительно большей, чем это обычно получается.

Это увеличение точности решения получается, например, в слу-
чае свободных торцовых кромок за счет того, что в силу большого
числа постоянных мы можем снять на них напряжения с точностью
до их главного вектора и главного момента не только в пределах
всей высоты этих кромок, но и в пределах их отдельных участков,
а также строго снять эти напряжения в ряде их характерных точек,
в которых они должны быть равны нулю при точном решении зада-
чи. Кроме того, удается повысить и практическую ценность решения
(V.71) в случае, когда используется ограниченное число членов ря-
да в нем.

Связанные с этим практические приемы рассмотрим ниже в
§VI.7, 8 на конкретных примерах.

§ V.5. Одномерная упруго-мгновенная задача
для бесконечного полупространства

Исследуем одномерную упруго-мгновенную задачу для беско-
нечного полупространства при вынужденных деформациях, задан-
ных в формуле (V.40):

ео(0 = ео(0 = 8о(0=аео(/> 2);)

Т«(0=Т°ИО —Y»z(0 = 0. J 1	}

т. е. в случае, когда е° (t, 2) зависит только от времени и только от
одной координаты z, отсчитываемой от поверхности слоя вглубь.

В рассматриваемой задаче по условиям симметрии равны нулю
все деформации сдвига и касательные напряжения. Кроме того,
должно быть равно нулю нормальное напряжение о2 (f), так как
граничную поверхность слоя z = 0 мы будем считать незагружен-
ной. Наконец, из условия безграничности слоя и постоянства на- • $
пряжений и деформаций вдоль осей х и у горизонтальные напряже-
ния ох (t) и Оу (t), а также деформации ек (?) и (0 должны быть
инвариантными относительно координат х и у и полные деформации
вдоль этих осей к тому же должны быть равны нулю. Все эти рас-
суждения приводят нас к уравнениям:

Л

Уху (0 =Txz (0 = Ууг (О = 6х (О = ег/ (0	1 ,у 152)

(0 = Ъсг (0 -	(0 = (0 = 0;	)

ox(t) = o(t)=o(t, 2) = —	2).	(V.153)

I 1—V

Нетрудно убедиться в том, что при напряжениях и деформациях,
заданных в форме (V.151)—(V.153), уравнения равновесия (V.8),
совместности (V.6) и закона Гука (V.4) тождественно удовлетворя-
ются; последнее из них, кроме того, дает

J

ez (0 2) —а Iе°(/, 2).	(V.154)

\ 1—v )

Наконец, из уравнений (V.7) находим:

и (t) = v (0 = 0; w(t, 2) = а ;	1 f е°(0 z)dz. (V.155)
Уравнения (V.152)—(V.155) полностью определяют напряженно-
деформированное состояние слоя при заданном законе его вынужден-
ных деформаций (V.151). Из их рассмотрения следует, что напряже-
ния и деформации в слое пропорциональны этим вынужденным де-
формациям и получаются умножением последних на соответствую-
щие множители, величины которых ясны из формул (V. 153) и (V. 154).
Отметим, что в рассматриваемом случае мы имеем следующие оче-
видные равенства:

0(/, 2)=afl±XVo(/; 2); S(t, =	z). (V.156)

и—V/	1—V

Ei

§ V.6. Одномерная упруго-мгновенная задача
для прямого бруса

Рассмотрим наконец одномерную упруго-мгновенную задачу
для прямого длинного призматического прямоугольного бруса при
его вынужденных деформациях, заданных в форме:

Y*Zj(0 — Ууг (О — Уху (О = 0;

«	- е« (0=е“ (0=e5(0=(a+te) Т (0,

где а и b — некоторые константы, a z отсчитывается вдоль оси
бруса от его левого торца. В этом случае линейного распределения
вынужденных деформаций вдоль длины бруса удается найти точное
решение упруго-мгновенной задачи, удовлетворяющее строго ее
граничным условиям.

Действительно, применяя обратный метод теории упругости,
найдем, что уравнения равновесия и совместности будут тождест-
венно удовлетворены, если положить:

(V.157)

(0 = К* (0 = Кг (0 = К (t) = иу (0 = 0;
uz(t) = CE (t)T(t)J

(V.158)

После чего, пользуясь законом Гука (V.4), сразу находим:

Ухг Ц)=Уху (!)=УУг (0 = 0;

К (0 = К (0 = -vCT (0 + а (а + bz)\T (0;
ez (t) = СТ (0 + сс (а + bz) Т (t).\

(V.159)

Далее, применяя обычные приемы, с помощью уравнений (V.7)
найдем перемещения точек бруса:

и (0 = [а (а + bz)—vC] хТ (0;

v (0 = [а (а + bz)—vC] уТ (0;

ш(0=	—^-z^ zT

(V.160)


При этом предполагается неподвижно закрепленной в простран-
стве точка бруса х = у = z = 0.

Формулы (V. 158) — (V. 160) полностью определяют напряженно-
деформированное состояние бруса с точностью до произвольной
постоянной С. Эту постоянную мы определим из граничных усло-
вий.

Из формул (V. 158) следует, что боковая поверхность бруса пол-
ностью свободна от напряжений, поэтому обратимся к его торцам.

Если брус имеет свободу продольных перемещений, то равно-
действующая напряжений oz(Z), а следовательно, и сами напряже-
ния должны быть равны нулю. Поэтому в этом случае С = 0 и,
следовательно:

=	+	{I)-,	(V.161)

0 (/) = За (а + bz) Т (Z);

и (/) = а (а + bz) хТ (t)\	)

»(0 = a(a-j-bz)yT'(ty, !

w(t) — a fa-|- zT (t),

(V.162)

(V.163)

t. e. брус остается ненапряженным и неискривленным; но отдельные
его точки испытывают перемещения (V. 163), связанные с расшире-
нием и удлинением бруса.

Если брус закреплен от продольных смещений, то его длина I
остается неизменной, поэтому

i

е2 (Z) dz — w (/) = 0.
о

Это дает нам

С — —a f a -f~ — / 'j .

\	2	/

После чего в рассматриваемом случае имеем:

oz(/)--ai п + А/)£(0Т(/);

(V.164)

(V.165)

(V.166)

M0 = MZ) = [( а + -7гН v + (a + te)la£ (/);

ez(Z)=-^(Z-2z)7(Z);

(V.167)
«w= (°+4

~l\ v + (а + bz) аТ(/) у,

(V.168)

w (0 = —а ~ Т (Z) (/ —z) z.

1 сим образом, в этом случае при Т (/)> 0 в брусе возникает
равномерное сжатие, но он по-прежнему остается неис кривленным,
испытывая расширение вдоль осей хи у и сгущение вдоль оси z без
изменения своей длины. Последнее, как это следует из второй фор-
мулы (V. 167), приводит к деформации сжатия бруса на его участке
0 < z<y и деформации растяжения на второй половине его длины

. I

2‘

Отметим, что в рассматриваемом случае мы будем иметь;

Q{t) = a а(1 -]-2v) + 6 ( vl

(V.169)

S (t) = —a



(V.170)
Гласа VI

НЕКОТОРЫЕ УПРУГО-МГНОВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
О ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ

В сопротивлении материалов и теории упругости рассмотрено
большое число задач о температурных напряжениях в брусьях,
плитах, оболочках и объемных Телах. Наиболее интересные исследо-
вания принадлежат А. В. Белову [31, 33—35]; С. Г. Гутману [75,
76], Г. Н. Маслову [117, 118, 119]; В. Г. Орехову [142, 143] и ряду
других авторов. Соответствующие классические задачи рассмотрены
в курсах теории упругости, а также в ряде специальных монографий
Б. Г. Коренева [101], Н. Н. Лебедева [103], В. М. Майзеля [121],
Э. Мелана и Г. Паркуса [122, 147].

На основе этих готовых решений могут быть сконструированы
указанным в § IV. 9 способом решения соответствующих упруго-
мгновенных задач.

Поэтому нет необходимости их здесь подробно выписывать. Ниже
рассматриваются лишь некоторые важные упруго-мгновенные зада-
чи. в решения которых удалось внести уточнения или дополнения.

Температура тел в общем случае в этих решениях предполагает-
ся изменяющейся по закону

Ф (х, у, z, t) = Т (t) X (х) У (y)[Z (z),	(VI. 1)

т. е. с одинаковым масштабом во времени для всех точек тела. В гла-
ве I мы видели, что в таком виде обычно находят решения задачи
теории теплопроводности. Эти решения получаются в виде ряда
по произведениям функций, подобным (VI. 1), поэтому достаточно
исследовать именно этот случай.

Более общее решение задачи может быть получено всегда сумми-
рованием соответствующих ее простейших решений, аналогичных
тем, которые мы сейчас рассмотрим.

§ VI. 1. Напряжения в бесконечном полупространстве
при неравномерном изменении его температуры
по глуби не

Исследуем составляющую температурных напряжений в беско-
нечном полупространстве в предположении, что температура слоя
изменяется лишь по его глубине и во времени по закону

ф(2, 0 = Т (t)Z(z,	(VI.2)

Полагая в формулах § V.5

е°(/, z) = T(t)Z(z),	(VI.3)

в рассматриваемом случае найдем следующие формулы для напря-
жений, деформаций и смещений точек слоя:
^ху (0 = Ххг (О = *yz (О = ^ (/) = 0;

а. (О=°в (0=о (0=т (0 7- И;

(VI.4)

Уху	= Ухг (О = Ууг (О = Ех (0 = Еу (О = °>

M0 = E(0-a(|±^T(/)Z(z);

u(f)=zv (t) = 0;

,л I 1+v \ 't/а C 7<.\^	(VI.6)

w (t) = a ( p— j T (t) t Z (z) az.

Кроме того, будем иметь

0(/, z) = a(^}T(f)Z(z)-	(VI.7)

\ 1—V )

S (t, z) =	т (/) Z (z).	(VI.8)

1—V

Например, в случае гармонических колебаний температуры по-
верхности слоя по закону

<р (/) — Лп sin con /	(VI.9)

изменение температуры его точек, как известно из теории тепло-
проводности [93], определяется выражением

Ф(1, z) = Ane XnZsin(conZ—X„z),	(VI.10)

где

ton

2cz<p

ат — коэффициент температуропроводности материала слоя. По-
этому, пользуясь формулами (VI.4) и (VI.5), напряжения и дефор-
мации слоя найдем в следующем виде:

g (t, z) = — Апе K”z sin (con t—z);
1—v

£(/, z) = a Л71е_Л"г51п(соп/ — Xnz).
\ 1—v )

(VI. 11)

Из этих формул следует, что напряжения и деформации слоя
будут также гармоническими функциями с амплитудами, неограни-
ченно затухающими с глубиной.

Решение рассмотренной задачи имеет практическое значение
для расчета расстояний между температурными швами (надрезами)
в массивных бетонных сооружениях с открытыми поверхностями
большой площади, подверженными воздействиям температуры воз-
духа. Эта задача рассматривалась с указанной целью П. И. Ва-
сильевым [51, 52] и А. Р. Ржаницыным [159].
§ VI.2. Напряжения в прямом брусе при линейном
распределении температуры вдоль его оси

Рассмотрим напряженно-деформированное состояние призма- .
тического бруса длиной I с прямоугольным сечением в случае, когда
изменения его температуры заданы в виде:

Ф (t, z) = (а + bz) Т (/).	(VI. 12)	-,i

С помощью формул §V.6 в этом случае найдем следующие вы-
ражения для напряжений, деформаций и смещений бруса:

а)	если торцы бруса свободны от закреплений

Чу (0 = Чг (0 = Чг V = ч V = ч (О =МО ~ (VI. 13) J

Чу (0 = Чг (0 = Ууг (0 = 0; I v

ex(0 = eyr.(z) = 6z(0 = e(0-a(n4-te)T(0; J (	'

и (/) = а (а 4- bz) хТ (t)-,

v(t)=a(a+bz)yT(t)-,	(VI.15)

w (t) — a ।a + zT (fy,

б)	если торцы бруса закреплены от продольных смещений

ху (0 = txz (0 = 4z (0 = ах (0 = ° у (0 = 0;

аг(0=-а[а4--^^(07,(0;

(VI. 16)

Чу (0 = Vxz(0=Y»z(0 = 0;

М0 = М0 =

а 4- -у-1 \ v + (а + bz) аТ (/);

(VI. 17)



<•+4

а+~2

х;

I) v Ц- (а + bz) аТ (/) у,

w (t) - — а	Т (t) (I —z) z.

Анализ напряженно-деформированного состояния

(VI. 18)

бруса дан

в § V.6, где показано, что в обоих случаях брус остается прямоли-
нейным.


§ VI.3. Напряжения в призматическом брусе
со свободными гранями при неравномерном
распределении температуры по его сечению

Исследуем температурные напряжения в длинном прямоуголь-
ном призматическом брусе сечением 2х0 X 2г/0 с продольными гра-
нями, свободными от напряжений при изменении его температуры
по закону

Ф(х, у, t) = T(t)F(x, у),	(VI. 19)

аналогичному (VI. 1). Точное решение этой задачи на основах плоской
задачи теории упругости, как это, например, показано в § V.2,
требует интегрирования уравнения

V V <Р у, t) = V2 ф (%> у, f) (VI 20)

1 — V

при граничных условиях:

<?2Ф(х, у, t) п

’	= 0 при у = ± г/0;

дх2

д2(р (х, у, t) п

----у ' ^--0 при ± х0;	(VI.21)

д2 ф (х, у, А	„

—--------< = 0 при х = ±х0; у = + у0.

дх ду

В работе [5] показано, что эта задача аналогична задаче о проги-
бах тонкой пластинки того же очертания, что и поперечное сечение
бруса, с цилиндрической «жесткостью»

£> = —,	(VI.22)

а

загруженной поперечной «нагрузкой»

q (х, у, 0 = — Е (/) у?2 Ф (х, у, 0	(VI.23)

и жестко защемленной по контуру. Точное решение ее неизвестно,
поэтому приходится довольствоваться приближенным решением.
Такое приближенное решение, например, может быть получено
по вариационному методу Б. Г. Галеркина. Таким путем оно было
найдено Г. Н. Масловым [118], а затем в более общем виде А. В. Бе-
ловым [35]. Нам предстоит лишь его обобщить на случай произволь-
но заданной температуры в форме (VI. 19) и переменного модуля
упругости Е (t).
Будем искать функцию напряжений ф (х, у, t) в следующем виде

Ф (х, у, t) = Т (t) Р (х, у).	(VI.24)

Тогда с учетом (VI. 19) и (VI.20) для функции Р (х, у) будем иметь
уравнение

V2v2jPU> I/) = V2^(X> У)	(VI.25)

и граничные условия:

д*Р(х, у) ~

——=0 при у - ± t/0;

ОХ2

—Qyl ~ = 0 ПРИ х = ± хо;	}	(VI.26)

-У~ = 0 при х = ±х0; у = ±у0.

дхду

Зададим функцию Р (х, у) в виде полинома

Р(х, z/) = (x2-xg)2(£/-yB)2lS "s aikxly\ (VI.27)
t = 0 k = 0

где aik — пока произвольные постоянные. Нетрудно убедиться
в том, что функция Р (х, у), заданная в таком виде, автоматически
удовлетворяет граничным условиям (VI.26).

Для определения постоянных aik воспользуемся методом
Б. Г. Галеркина. Подставляя (VI.27) в (VL25), умножая получен-
ное равенство последовательно на (х2 — х02)2 (у2 — у02)2 aihX‘yk
и интегрируя его затем в пределах от —х0 до х0 и от —у0 до у0,
получим надлежащее число уравнений для определения постоянных
aik.

Ограничиваясь тремя первыми членами ряда (VI.27), будем
иметь:

Р(х, ^-(х^-х^^-^^оо + Оюх + по!!/).! (VI.28)

Внося (VI.28) в (VI.25),'получим уравнение

п00 [3 (У2~1/В)2 + 4 (Зг/2-^) (Зх2-х§) + 3 (x2-xg)2J +

+ а10 х [ 15 (г/2—у о)2 + 4 (Зг/2—у о) (5х2—Зхб) + 3 (х2—xg)2] +

-ЬСох г/[3 (y2~yl)2 + 4 (Зх2—хо) (5г/2—Зг/о) +15 (x2-xg)2] =

=	У)-	(VI.29)

О

Применив указанный выше прием отыскания коэффициентов
aih, найдем:
Goi =

х0 У

1575 J J ^F(X,y) (х2—х™)2 (у2—у о)2 dx dy

—xt> —y0____________________________________

QO 7CO 9 6 , . 4 l Уо \2	/ Уо \4

32 768 x0 y0 1 *	( I 41 I

I \ Xg )	\ Xo J J

2205 f° jV F (x, у) (x2-x2)2 (у2—Уо)2 *dxdy

—Xp —Уо_____________________________

7 Э Г 4 / Xg \2	7 / Xg \

32 768 Xo I/® 14>— -M	— I

15 \ Уо 5o \ Уд j _

2205 j J fF(x, y)(x2 — xo)2(y2 —yo)2ydxdy

—Xp —Уо

(VI.30)

Тем самым функция Р (х, у) будет полностью определена.

С учетом (VI.24) и формул (V.34) найдем напряжения в призме

в следующем виде:		
<7х(0 =		аЕ (/)	„ д*Р (х, у) . 1—v	' ду*	
<7,(0 =		aE(t) у, д*Р (х, у) .  1 —v	дх*	(VI.31)
^ху	<хЕ (/) у д*Р (х, у)  1 —v	дх ду	

После чего для деформаций призмы будем иметь формулы:

1

1 —V

Гд2Р (х, у)

L ду*

Ех(/)=а

(l+v)T(/)^(x, у)

v\/2P (х,у)

e,(/)=a(l+v)T(0[F(x, у)

1 Гд2Р (х, у)

1—v дх*

vy2P (х, у)

(VI.32)

Уху'Ц)

aT{t}d2P(x,y)

1—v	дхду

Например, в случае (VI.28):

^(0 4 (%2—4)2 [о0о(Зг/2—4) +

+ а10 х (Зг/2 — г/2) + а01 у (Ъу* — 34)];

°у ~ Т & 4 ^2~Po)2iaoo (3%2 ~х§) -И
+а10 х (5х2—34) + «01У (Зх2 —4)];

х-у = TZT Т 4	ХУ +

4- а10 у (5х2 — xl) +а01 х {Ъу2 —4)1-
Кроме напряжений (VI.31), в брусе будут еще действовать напря-
жения oz (/).

Если торцы полностью защемлены, то эти напряжения равны:
oz (0 = v [ах (0 + оу (0J-аЕ (/) Т (/) F (%, у),	(VI.34)

где ох (/) и оу (f) определяются по формулам (VI.31).

Если же торцы бруса свободны, то главный вектор и главный
момент напряжений oz (/) в любом сечении призмы должны быть
равны нулю.

Учтя это, в соответствии с изложенным в § V.2, найдем:

°z (0 = V [ох (/) + оу (/)] + аЕ (t) Т (О [Л + Вх +

+ Сг/-Е(х, г/)],	(VI.35)

где

хо ув

У J J

—Х„ —у о

(VI.36)

Здесь Fo — площадь поперечного сечения бруса, a Jx и Jv —
моменты инерции этого сечения относительно его главных централь-
ных осей.

Эффективность рассмотренного приближенного решения зави-
сит от степени его сходимости. Г. Н. Маслов [118] исследовал ее
для случая симметричного распределения температуры1

ф (%, у, t) = T it) cos ~ cos	(VI.37)

и нашел, что разница в величинах напряжений, вычисленных при
учете одного и трех членов ряда, соответствующих симметричному
виду функции (VI.27), не превышаете—10%. Таким образом, впол-
не достаточно ограничиться малым числом членов ряда (VI.27),
а именно: одним членом, соответствующим коэффициенту а00,
в случае симметричного распределения температуры относительно
обеих координатных осей; двумя членами ряда, соответствующими
коэффициентам о00 и о10, при симметричном распределении темпе-
ратуры только относительно оси Оу и тремя членами ряда с коэффи-
циентами аОо, <2ю, °oiв общем случае несимметричного распределения
температуры.

В частности, Г. Н. Маслов [118] при симметричной функции
Ф (х, у, f), заданной в форме (VI.37), при Е (/) = Ео и Т (f) = Т&

1 В таком виде получается решение задачи теории теплопроводности
о симметричном остывании бруса. См., например, главу I настоящей работы.
на основе одного первого члена ряда нашел следующие формулы
для напряжений:

и показал, что при разогреве бруса наибольшие растягивающие нор-
мальные напряжения возникают в середине более длинной стороны
контура поперечного сечения и равны, например, при х0 = 2у0
0,78 При этом брус вытянутого сечения оказывается более
напряженным, чем, например, бр ус с х0 = у0, у которого соответст-
вующие напряжения были равны всего 0,59 t

А. В. Белов [35] дополнил этот анализ и показал, что также
велики, и даже несколько больше, напряжения oz, действующие
вдоль ребер бруса. Поэтому при разогреве, например от экзотермии,
в нем могут появиться продольные трещины в середине более широ-
ких граней и поперечные трещины, надрезающие его ребра, причем
появление последних даже более вероятно.

§ VI.4. Напряжения в призматических прямоугольных
брусьях при изменениях их температуры,
неравномерных по высоте бруса

Рассмотрим прямой призматический прямоугольный брус с вы-
сотой поперечного сечения Н = 2?0(рис. 66) и исследуем температур-
ные напряжения, возникающие в нем при отсутствии поверхност-
ных и объемных сил при изменении его температуры по закону

Ф(г, 0 = 7,(0Z(z).	(VI.39)
Для удобства в дальнейшем координатные оси направляем так,
как это показано на рис. 66. Иными словами, исследуем случай
изменения температуры бруса по одинаковому закону во времени
для всех его точек равномерно по длине и ширине, но неравномерно
по его толщине.

В главе I мы видели, что в таком виде часто находятся решения
одномерных по координатам задач теории теплопроводности.

Практическая ценность такого решения очевидна. Например,
в таких условиях, с точки зрения распределения температуры, или
близким к ним находятся элементы каркасных стен и другие подоб-
ные им конструкции, у которых преобладает тепловой поток в од-
ном направлении.

Рис. 66

Не налагая пока никаких ограничений, подобных гипотезе
плоских сечений, применим обратный метод решения задач теории
упругости и зададим напряжения в брусе в следующем виде:

(VI.40)

^ху (О — ^xz (О — ^yz (О — °z (О — О»
ох (0 = к£(/)Г(/) [Сх + С2 z-Z (z)J
1—V

(/) = aE (t)T(t) [Cs + CiZ__Z (2)]
и	1—v

где Сх, С2, С3, С4 — некоторые пока еще произвольные постоянные.
Нетрудно убедиться, что эти напряжения тождественно удовлетво-
ряют уравнениям равновесия (V.8) и совместности (V.26), поэтому
это решение будет общим, если с помощью постоянных Cj, ..., С4
нам удастся удовлетворить граничным условиям задачи.

Напряжениям (VI.40), как нетрудно установить с помощью урав-
нений (V.7) и (V.23), соответствуют деформации:

Уху (0=тУг(0=тда(<)=0;

ea(0 = ^-[C1-vC3+(Cs-vC4)z];
1—v

е (/) = Spil [C3-vCi + (C4-vC2)zJ;

(Z) = _	{v [C1 + c3 + (C2 + C4) z] - (1 + v) Z (z)}

1—V

(VI.41)
и перемещения:

и^) = аП/)_	[Cx—vC3 + (C2—vC4) z] x;
1 — V	
	[C3—vCx + (C4—vC2) z] y;
1—V	
...	avT(t)  w(t) =  1—V	(Cx+C3)z+^-(C2 + C4)z2 +
+ ^(C2-vC4)%4 2v	-^(C4-vC2)</2--^ jz(z)tfe| .

(VI.42)

Из выражений (VI.42) следует, что, независимо от вида функции
изменения температуры (VI.39) и граничных условий бруса, пере-
мещения и (/) и v (f) являются линейными функциями от z, следо-
вательно, его вертикальные сечения x=const и у = const все
время1"остаются плоскими.

Перейдем теперь к рассмотрению граничных условий.

Из уравнений (VI.40) следует, что грани бруса z = ± z0 сво-
бодны от напряжений, а напряжения ох (/) не зависят от координаты
х, поэтому снять их на боковых гранях строго не удается. Следова-
тельно, мы можем снять на этих гранях лишь главный вектор и глав-
ный момент напряжений их (f). Для этого достаточно определить по-
стоянные Ci и С2 из условий

г0	z„

§ oa.(/)dz= § ox(t)zdz = 0,	(VI.43)

что дает

Cx=^- Jz(z)<fe; = p Jz(z)z<fe. (VI.44)
—Zo	0 —z0

Постоянные C3 и C4 подлежат определению из граничных усло-
вий на торцах бруса.

При свободных торцах, не закрепленных от поворотов и смеще-
ний, должно быть

Оу (/) dz = ау (0 zc^z = О’	(VI.45)

—Zo	—Zo

Эти условия дают нам:

С3 = СХ; С4 = С2,	(VI.46)

где Сх и С2 определяются по формулам (VI.44). Таким образом, в
рассматриваемом случае

<Д(0 = ^(0=^+^г-?^-Ф(г, О, (VI.47)

Г	J	1-V
где

f ф(г> t)dF\
1 —v J

F

t)zdF

F

!}
Й
Я

(VI.48)

й
T

— некоторые фиктивные продольная сила и изгибающий момент,
приложенные к торцам бруса, a F nJ — соответственно площадь
и момент инерции поперечного сечения бруса относительно его
горизонтальной центральной оси.

Деформации, отличные от нуля, и смещения бруса будут равны:

1 —V

w (о, (о д -

F + J J ’

е,(0=

2v IW) , M(t)z
£(0l F J

ty,

1—v

(VI. 49)

«(/) =

1—v [W (0
E(t) L F

M (/) z

w(t) =--------У-

' E (t)

1-v |W(0 , M(t) ?

= f + J 2

(VI.50)

_2 , 1-v M(t)
~~TZ + ~T + 2v * J

Угол поворота сечений бруса

<Р (0 =

dv (0__1—v

dz “ Е (/)

(VI.51)

М (/). .
—г*у-1

Перемещение v (f) осевой линии у торцов бруса и угол поворота

<р (/) его торцовых сечений будут равны:

0(/)=77^-Т'; ’,(/)=775”^:л	(VL52)

С (t) Г	С (I) J

Прогиб осевой линии бруса

(VLSS)

ZC (t) J

Перемещение концов осевой линии бруса по отношению к ее
средней точке равно:

Для верного толкования выведенных здесь формул следует усло-
виться о знаках температурных воздействий (знаках фиктивных
продольной силы N (f) и изгибающего момента М (/) и способе
закрепления бруса в пространстве, как целого жесткого. В этих
формулах и дальше всюду принято:

1)	положительные фиктивные силы N (t), М (/) соответствуют
случаю равномерного разогрева (удлинения) бруса и большему
нагреву его нижних волокон (изгибу выпуклостью в положительном
направлении оси z) соответственно;

2)	неподвижно в пространстве закреплена точка бруса с коор-
динатами х = 0; у = 0; z = 0.

В связи с последним обстоятельством прогибы осевой линии
бруса, определяемые по формулам (VI.53) и (VI.54), при положи-
тельном фиктивном моменте М (/) всегда отрицательны.

При торцах бруса, имеющих свободу поступательных продоль-
ных перемещений, но закрепленных против поворота, должно быть:

а (0 dz = 0;	|	=0.	[(VI 55)

-2о	дг 1*=±'

Из этих условий следует:

С3 = Сг, C4 = vC2,	(VI.56)

где Ci и С2 находятся по формулам (VI.44) В связи с этим’будем
иметь:

ох (t) =	+^-z—^27 ф.(2> 0;	(Vi.57)

Га^ (0 =	z—^pH-ф (z , t)-	(VI.58)

(VI.59)

=	t)

1—V

v Г2М (0

F(0 [ F

...	1—v ГЛЧП , ,, , . M(t) 1

=	₽ +(1+v) г 2 x'

Ei (?) L Г	J

w (t) = —— а Ф (z, t) dz---------——z +

1—v J V	E(t) L F

2 l-vx2X-l

2 J V v

(VI.60)
Так как = 0, то в рассматриваемом случае первоначально
прямолинейный брус сохраняет свою прямолинейную форму и после
изменения температуры.

При полностью защемленных торцах должно быть:

U(0	у = ±1	дг	= 0.  У = ± 1	(VI.61)
Это дает нам:			он
-	С3 = vCf, С	4 = V^2-	(VI.62)
Поэтому:			

,Л N (Z) М (/) аЕ (t)
огж(0=-^24----——— Ф(г, /);

F J	1—V

_ ,Л vN (t) . vM (t) аЕ (/) j. .

г	J	i —v

MO

(1—v8) p(0 , M(t) 1

£(0 [ F + J J’

(VI.63)

!•

P
я1,
ft

W
p

MO

1 —v 4	' E(t) \_ F J

(VI.64)





...	1—v2 Г/V (П , M (t) 1	n

и (t) =----- —— H---— z\x; v (t) = 0;

' ' E (0 L F	J J V'

1+v Га/ л j v(l-bv)r^(0 ,

w (/) = —— a 1 Ф (2, t) dz--— 1 —— z +

1—v J	E (t) L F

। M[t)f 2	1-y ,

+ 2J Г v

(VI.65)

%
и,н

В настоящем примере, так же как и в предыдущем, смещения
v (/) не зависят от 2, поэтому, независимо от вида температурной
функции Ф (г, /), первоначально прямой брус остается прямоли-
нейным и после температурного воздействия.

Возможны и другие граничные условия для бруса; решения для
них могут быть получены аналогичным образом, и мы их здесь уже
рассматривать не будем.

В заключение отметим, что Г. Н. Маслов, рассмотрев настоящую
задачу [119] с учетом гипотезы плоских сечений при постоянном
модуле и стационарном тепловом режиме, получил для напряжений
и перемещений бруса следующие формулы, отличные от тех, кото-
рые были получены выше:

При
ГДИ
ЕИ
J1S
ittfc

'Dpi
а)	для бруса со свободными торцами

[(VI.66)

где N и Доопределяются по формулам (VI.48) при
и Ф = Ф (z);

б)	для бруса с жестко защемленными торцами

Е = const

—аЕФ(г)-, у = 0.	(VI.67)

Сравнивая эти формулы Г. Н. Маслова с соответствующими фор-
мулами (VI.47), (VI.50), (VI.63) и (VI.65), видим, что формулы для
перемещений с точностью до знака у прогибов оси бруса w совпа-
дают1.

По-иному обстоит дело с напряжениями. Для них сравниваемые
формулы дают совпадающие результаты только при линейном рас-
пределении температуры по закону

Ф^(г) = Ф0(1 +«z),

(VI.68)

в этом случае свободный брус оказывается ненапряженным (сгх =
=	= 0) и лишь искривляется по параболе

ш\х=г=0=-^-аФ0ау2,	(VI.69)

а брус с полностью защемленными торцами остается прямолиней-
ным, но испытывает лишь напряжения (ох — 0)

иу = — аЕФ0 (1 +az).	(VI.70)

При произвольном (нелинейном) распределении температуры
сравниваемые формулы дают уже существенное расхождение в ве-
личинах напряжений.

Для свободного бруса напряжения, вычисленные по формуле
Г. Н. Маслова (VI.66), меньше в t раз, т. е. для бетона, напри-
мер, на 25—30%, в зависимости от величины v.

1 При выбранном Г. Н. Масловым положительном направлении верти-

кальной оси бруса и закрепленной неподвижно в пространстве точке х = у =
= z = 0 в формуле Г. Н. Маслова для прогибов изогнутой оси бруса (w | z=x=o)
стоит неверный знак.
Для защемленного бруса разница в напряжениях сгу, вычислен-
ных по полученным выше формулам и по формулам Г. Н. Маслова,
как нетрудно видеть, равна:

a=v(t+tz)	(VI.71)

ки может быть самой различной в зависимости от величин площади
и статического момента площади эпюры Ф (z, t).

Таким образом, решение рассмотренной задачи о термоупругом
равновесии бруса, полученное в свое время Г. Н. Масловым, дает
верные с точностью до знака значения его перемещений и менее
точные значения напряжений1.

Происходит это потому, что без учета напряжений ох = <зу ре-
шение Г. Н. Маслова не удовлетворяет уравнениям совместности
(V.26). Таким образом, например, в случае жестко защемленного
по торцам бруса он допустил на его свободных гранях х — const
наличие напряжений ох с главным вектором и главным моментом,
отличным от нуля, рассмотрев по существу задачу о температурных
напряжениях в брусе при неуравновешенных поверхностных силах.
В соответствии с этим рекомендуется пользоваться более точными
формулами для напряжений, найденными выше.

§ VI.5. Напряжения в плите при неравномерном изменении
температуры по ее толщине

Рассмотрим плиту высотой 2z0 (рис. 67) и исследуем температур-
ные напряжения, возникающие в ней при изменении ее температуры
по закону (VI.2).

Именно в таком виде обычно находится решение задач теории
теплопроводности для плит, вытянутых в двух направлениях и от-
носительно тонких (см. главу I).

В § VI.4 мы, рассмотрев аналогичную задачу для бруса, нашли
ее решение в форме (VI.40), (VI.41) и (VI.42). После определения
значений постоянных Сх, С2, С3 и С4, входящих в это решение, из
соответствующих граничных условий оказалось, что оно не содер-
жит в себе размеров бруса в плане и поэтому является одновремен-
но и решением соответствующей задачи для плиты той же высоты
2z0, с теми же граничными условиями на боковых гранях. Однако
возможные комбинации этих условий у плиты шире и нам придется
рассмотреть дополнительно еще некоторые наиболее важные их
сочетания.

Итак, для плиты, свободной по всем четырем граням, решение
задачи определяется формулами (VI.47)—(VI.50). Из последней
из формул (VI.50) следует, что при М (/) =/= 0 плита искривляется
по поверхности второго порядка.

1 Для перемещений Г. Н. Маслов получил верные формулы потому, что
нашел их прямым путем, а не через неточные значения напряжений.
Такое же решение получим и в случае, когда две смежные грани
боковой поверхности плиты закреплены полностью или частично
от нормальных смещений, а две другие противоположные им смеж-
ные грани свободны от напряжений с указанной выше степенью

точности.

Для плиты с гранями х = const, свободными от закреплений,

и с гранями у = const, имеющими свободу продольных перемещений,
но закрепленными против поворотов, для напряжений, деформаций,
и смещений будем иметь формулы (VL57)—(VI.60). Из последней

из формул (VI.60) следует, что в этом
случае плита искривляется по ци-
линдрической поверхности второго
порядка с прямолинейной образую-
щей, направленной вдоль оси у.

Такое же решение мы получим и
в случае, когда грани у = const зак-
реплены указанным способом, одна
из граней х = const свободна, а дру-
гая закреплена от продольных смеще-
ний произвольным образом.

Для плиты с гранями х = const,

Рис. 67

свободными от закреплений, и с граня-

ми у = const, полностью закрепленными от продольных смещений,
решение задачи будет определяться формулами (VI.63)—(VI.65).

В этом случае плита также искривляется по цилиндрической

поверхности указанного выше вида.

Такое же решение будем иметь и в случае, когда грани плиты
у = const полностью закреплены, одна из граней х — const сво-
бодна, а другая закреплена произвольным образом.

Наконец, в случае, когда вся боковая поверхность плиты за-
креплена от перемещений по нормалям к соответствующим боковым
граням, произвольные функции Сх (/),..., С4 (/) в формулах (VI.40)—
(VI.42) следует найти из условий:

ц(/)=^-^_ 0 на гранях х = const; (VI.72)
dz

v (/) =	= 0 на гранях у — const.	(VI.73)

Это даем нам

G (/) = с2 (/)=С3 (0 = С4 (0=0	(VI.74)

и, следовательно:

|) = хУг (0 =	(0 = °2 (0 '= 0;

(0Йо, (0 = о (0 = т (0 Z (г);

I —V

(VI.75)
Уху (0 = Ухг (О = Ууг (О = ех (О = (О = Oj
ez(/)==kHaT(/)Z(z);

1—V

u(t) — v (t) — О;

w (t) = aT (0 f Z (z) dz.

1—	V	J

(VI. 76)

(VI. 77)

Из найденного решения следует, что в случае защемленной плиты,
помимо вертикальных сечений, плоскими остаются и ее горизонталь-
ные сечения, независимо от вида функции изменений температуры
(VI.39), т. е. плита в рассматриваемом случае, оставаясь плоской,
не искривляется, а испытывает лишь сжатие в горизонтальных на-
правлениях напряжениями (VI.75).

Из всех рассмотренных решений вытекает, что независимо от
вида закона изменения температуры (VI.39) и граничных условий
плиты перемещения и (f) и v (/) ее точек являются линейными функ-
циями от а; следовательно, вертикальные сечения плиты х = const
и у = const все время остаются плоскими.

Во всех полученных решениях фигурируют фиктивные продоль-
ная сила N (0 и изгибающий момент М (f), определяемые по форму-
лам (VI.48). В этих формулах, так же как и во всех формулах для
напряжений деформаций и смещений, под площадью F и моментом
инерции J этой площади удобно понимать соответствующие величи-
ны, отнесенные к полоске любого поперечного сечения плиты еди-
ничной ширины.

Решение рассмотренной задачи для некоторых частных случаев
стационарных тепловых потоков при Е = const для плит, полно-
стью защемленных или полностью свободных по всему контуру,
было получено Г. Н. Масловым [118]. Здесь оно обобщено на слу-
чай нестационарного теплового потока при переменном Е (t),
а также даны соответствующие решения для плит с иными граничны-
ми условиями.

Kato'

а!сЙ

•П

игр
з ®

1.0
СШ1С
ив
дари
ирвя
СЕЙМ
сдам

Это pi

§ VI.6. Напряжения в прямоугольном блоке, защемленном
по основанию при равномерном разогреве
(торцы блока закреплены от тангенциальных смещений)

Исследуем температурные напряжения в длинном прямоуголь-
ном призматическом блоке в случае его неравномерного разогрева
во времени, но равномерного от точки к точке. Этому случаю соот-
ветствует изменение температуры блока по закону

=	(VI. 78)

Предположим, что продольная сторона блока у — 0 (рис. 68)
связана с жестким основанием таким образом, что все принадле-
жащие ей точки лишены возможности вертикальных перемещений v
г);

и горизонтальных и, а торцы блока, имея свободу горизонтальных
перемещений и в направлении оси Ох, лишены возможности верти-

кальных перемещений V.

Как было показано выше, для решения такой задачи о плоской

деформации длинного блока достаточно рассмотреть задачу о пло-
ском обобщенном напряженном состоянии соответствующего пло-

ЙЕ;„

•ш,. -
ИВЙ(“^
li, ввг-
trapaai

ив&
rje®,
ШИТ
И1Ш1-

ШИНк
еим^
Ш'^И
[ВЙЖ
wn
иима

шыхслу»

I ПМ,Г’
1MJ к
й™
ре®
ним^

ского' диска.

Эла последняя задача,
применимо к указанным
выше граничным условиям,
для случая Е = const и
Т = const была решена
Г. Н. Масловым [117]. В

У

Рис. 68

связи с тем,что опублико-

ванное им решение содер-

жит ряд досадных опечаток, а также ошибки в формулах для
произвольных постоянных, приведем это решение в готовом виде,
свободное от указанных недостатков и относящееся вместе с тем к
случаю переменного модуля Е (/) и изменений температуры (VI.78).

Это решение имеет вид:

jjeji"



ах (/) = аЕ (О Т (i) *2 1(ЗЛА + Ch + 2Xft Bk П) ch П +

+ (ЗВь+£)Л + 2ХйЛйт)) shXftT)]cosXftE;	(VI.79)

(П = аЕ (/) T (0 f 2° [(ЛА—Cft—2XftBkn) ch T) +

+ (Bk—Dk—2\	n) sh T)1 cos Kk £ — 11;	(VI .80)

xxy (0 = aE (/) T (0 *2 [(Bft + Dh + 2Xft Ak tj) ch t) +

+ (4+Ch+2Xft Bh T]) sh T)] sin	(VI .81)

W(0=a/r(0|(l + v)S+ 2 r-l(4(3-v) +
l	fe=l

+ (1 +v)(Cft + 2XftBftT]))chXfeii +

+ (Bft(3-v) + (l+v)(DA+2Xft^T)))shXfcT)]sin^B} ; (VI.82)
v (0 = alT (0 ^2 j~h	(3 ~v) + (1- v) (Dh + 2Xft Ah Л)1 ch П +

+	(3 -v) - (1 + v) (Cft+2Xft Bk T))] sh t]} cos Kk I (VI.83)

10 Зак. 1018	280
где

n = -p;	(VI.84)

Xft = (2fe~1)jT ,	(VI.85)

а

Ak =	14 [2ch ti + (1 + v) х

k (l+v)XftAftl	v 7

X (XA ji sh Xfe ji—ch2\ji)— (1—v)];	(VI.86)

Bh = s [2 (1 — v) shXft p + (1 + v) X

(1 +v) Aft Aft

X (2XAp —2Xfe p ch Xft p + sh 2Xfe p)];	(VI.87)

ев

в
Р
В

я

c (-I)*"1 4

к (l+v)XfcAft

2(3—v)

1 +v

chXfe p—

—(3 —v) (Xftp sh Xft p + ch2 Xft [-0—2 (1 +v) X£ jt2

(-l)^1 2(3-v) |~2(1—v)
(l+v)4Afc L 1+v

sh Xfe ji —

—2Xft p ch p + sh 2Xft p 4- 2Xft ji

В этих формулах:

Д* = 4

^ch2Xftji + Mji4

(1-v)2'

(1+v)2.

(VI.88)

(VI. 89)

(VI.90)

(VI.91)

На рис. 69, а показаны эпюры напряжений crx для сечений блока
£ =0; £=0,25; £=0,5;£ = 0,75 и напряжений с>у и тху для сечения
у = т] = 0, рассчитанные для случая

(VI.92)

на основе пяти членов ряда в формулах (VI.79)—(VI.81). Ординаты
этих эпюр даны в долях от величины аЕ (/) Т (/), так что истинные
значения температурных напряжений находятся умножением этих
ординат на аЕ (/) Т (I).

Из рассмотрения рис. 69, а следует, что наибольшие нормаль-
ные напряжения ах возникают в плоскости сопряжения блока с ос-

tai

^1

ЙШ
I»

V
h

....

я

Дв

'ЗИ

"it

Й||||

'hi

Чй

D

h



_н_ .

I ’

1
р =—;

2

1

v = —

4
нованием, где они достигают величины, близкой к аЕ (/) Т (/),
практически мало изменяясь на всем протяжении шва. Лишь вблизи
торцов блока они быстро снижаются, обращаясь непосредственно
в нуль на самих торцах х = ± I.

Напряжения оу по подошве блока знакопеременны. При разо-
греве блока они стремятся оторвать от основания его среднюю часть
и прижать к нему приторцовые участки шва, где напряжения оу до-
стигают наибольшей величины.

Касательные напряжения хху по подошве блока не велики, но
по мере приближения к его торцам быстро возрастают, стремясь
в крайней точке к бесконечности по мере увеличения числа членов
ряда, учитываемых в формуле (VI.81). Это означает, что в этой точ-
ке блок испытывает большие местные напряжения, которые приво-
дят к пластическим деформациям материала в этой зоне или локаль-
ному нарушению связи блока с основанием.

При разогреве блока на 1° в молодом возрасте бетона, т. е. при

Т(0 = 1°С; а = 1-10-5 град~1 и E(t) = (1 4- 2) 106 кгс/см2,
в нем в средней части шва сопряжения с основанием возникнут не-
большие напряжения отрыва

1-1-10—5(1 4-2) 106-0,212 « 0,212 4-0,424 кгс/см2.

Кроме того, эти напряжения существенно снижаются еще за
счет ползучести бетона, поэтому, по-видимому, опасность отрыва
блока от основания при его разогреве, например от экзотермии
в молодом возрасте, при хорошем качестве шва невелика.

Как следует из формул (VI.79)—(VI.91), в решение задачи с рас-
смотренными граничными условиями абсолютные размеры блока
не входят. Его напряжения, деформации и смещения зависят лишь
от соотношения его сторон и не изменяются у блоков с различными
размерами, но одним и тем же их соотношением.

Этот вывод остается справедливым до тех пор, пока жесткость
блока остается несоизмеримо меньше жесткости основания. В том
случае, когда эти жесткости равны или соизмеримы, необходимо
учитывать податливость основания. При этом мы приходим к гранич-
ным условиям по подошве блока, соответствующим случаю упруго-
податливых связей.

Задача о термонапряженном состоянии блока с учетом ползу-
чести при таких граничных условиях различной модификации рас-
сматривалась Б. Л. Абрамяном [ll^H. X. Арутюняном и Б. Л. Аб-
рамяном [26] и И. Е. Прокоповичем [150]. Ими было показано, что
при учете податливости основания напряженно-деформированное
состояние блока уже зависит от его абсолютных размеров.

Отметим, что в своем опубликованном решении Г. Н. Маслов
[117] по неизвестной причине при тех же величинах р и v (VI.92)
получил значения краевых ординат эпюры оу, равные — 0,727, не
вытекающие даже из его собственных формул.
Рис. 69. Эпюры напряжений в бетонных блоках при равномерном разогреве от ^кзотермии
а—блок с защемленными торцами; б — .блок со свободными торцами
§ VI.7. Напряжения в защемленном по основанию
прямоугольном блоке при равномерном разогреве
(торцы блока свободны от напряжений)

Для иллюстрации метода решения плоской упруго-мгновенной
задачи, изложенного в § V.3, исследуем температурные напряжения,
возникающие в длинном прямоугольном бетонном блоке (рис. 68),
жестко защемленном по основанию, при его равномерном разо-
греве по закону (VI.78).

В §V.2 было показано, что для этого достаточно получить ре-
шение аналогичной задачи для тонкого диска. Заменив затем в нем
физические характеристики материала a, v и Е (I) соответственно на
аь и E^t), вычисленные по формулам (V.41), получим интересую-
щее нас решение. Поэтому рассмотрим в первую очередь задачу об
обобщенном плоском напряженном состоянии тонкого диска того же
очертания. На ее примере проиллюстрируем метод решения плоской
задачи, изложенный в § V.3, V.4, и выясним его преимущества по
сравнению с обычными методами ее решения.

Примем для диска следующие граничные условия:

ох(х, У> 0=0 ПРИ * = ±/;

(х, у, 0 — 0 при у = Н\
хху (х, у, 0 = 0 при у = Н\
хух (х, у, 0 = 0 при х ± Г,

и(х, у, 0 = 0 при у —О',
v(x, у, 0=0 при #-=0.

(VL93)

(VI .94)

Учитывая симметричное распределение температуры, напряже-
ний, деформаций и смещений в диске, а также его равномерный ра-
зогрев, мы должны в формулах (V.145)—(V. 149) положить:

Сц — &12 —	— <214 — П15 — П30 — Я31 — ^32 —

= ^33 = ^50 = ^51 ~	~	~ РП = Qn =	7Т пе.

= i = e„=il„=yto) = 0;	<VL9S)

a = g—l.

Кроме того, из условий заделки блока следует, что

^>=^ = ц(0 = а(0=0 при x=y=0;	(VI.96)

дх ду

это дает дополнительно

b1 = b2 = b3 = bi=0.	(VI.97)
Теперь обратимся к граничным условиям (VI.93). Для того что-
бы удовлетворить строго первому из них, в соответствии с рекомен-
дациями § V.3 положим:



(2fe—1)л__
2Z I ’

где

а также:

(2k— 1) л
2



^оз 4~	— 0;	g05 — Сое — 0»

Со4 + «24/2 = О, а02+«22^+«42^ = °;

кроме того, с учетом (V.144) и (VI. 100) должно быть:

^42 2я24 — 0; Зя04 -|- cz22 + Зс40 — 0;
15а60 + 2cz42 -j- а24 = 0; ^гз+^х — О-

(VI.98)

(VI.99)

(VI. 100)

(VI.101)

Условий (VI.98), (VI. 100) и (VI. 101) достаточно, чтобы полностью
снять напряжения ах (Z) на поперечных кромках.

Из всей матрицы коэффициентов aik у нас осталось лишь 12 ко-
эффициентов:

^02> ^03, ^04> ^20> ^21, ^22, ^23, ^24> ^40 > ^41> ^42> ^60> (VI. 102)

но только 5 из них в силу условий (VI. 100) и (VI. 101) независи-
мы.

Выбрав в качестве них коэффициенты

^60» ^40, ^23, ^20 И ^21>

исключим все остальные с помощью формул:

a02 = 3a40Z2—5a60Z4; а03= — a23Z2;

^04 == 5сео Z2, cz22 — 15cze0 Z2 3n40,
G24 — 5g60; cz41 = —#2з> ^42 ~—lOGgo, 

(VI. 103)

(VI. 104)

вытекающих из (VI. 100) и (VI. 101). Кроме того, для удобства в фор-
муле (V.71) примем:

К	=	(VI.105)
	о„=4А-	(vi.106)
После этого для напряжений и смещений будем иметь формулы:

г	г	4

ox(t) — aE(t)T(t) 6(l-g2) («!-«.,ii)~^a3(l-2g24-6ii) +
[	|	О

+ 2 1 (34 + Ск 4- 24 Вк т]) ch 4 4 4-
k= 1

+ (3Bk + Dk ф- 24 Ah ii) sh 4 13] cos Kk gj ;

(VI. 107)

<yv (/) = aE (/) T (/) 12 [«4 4-6a4 g2 + T| (c5 -6c2 g2) 4-

4 5«3 (rf (3 + ii2 -12g2) + 3g4) -

- if (3fli - ria.)] -14-2 [ (4 - Ck - 24 Bk i]) ch 4 ii 4-

k=i

4-(Bfe—£>h—21ft/lfeii)shlfcTi]cos4lj ; (VI.108)
тху (t) = aE (t) T (/) J2g [2a, g2 ~a-0 4- 3ii (2ax - w) 4-

4-10n3 ii (4g2—2tj2—3)] 4-

4- 2 l(Bk 4- B>k 4- 24 Ah 11) ch 4 114-
k=i

+ (4 4- ck 4- 24 Bk 1!) sh 411] sin 4 aj ; (VI. 109)

и (t)=alT (/) J 2g j (3-g2) (ax-a.2 n) -v (2czx g2 4~a4) -

—Vil («5—2g2 £2—3«1 T| -r a, ti2) 4- 2- (1 + v) —

-5сЦ1 -112 [2 (1 4-2v) g2-3 (2 4 v)-vi!2] -g2 [1	+

+ *2°-71- [Uft(3-v) + (1 + v) (4 4-241! 4))ch 4 T) 4-
ft=l Ak

4- (Bh (3—v) 4- (1 4- V) (Dk 4- 21,t Alt 11)) sh 411] sin 4 gl; (VI. 110)

v (t) = alT(t) J 2ii p4 4- 6^! g2 4- 2

il(a5—6«2g2)4-

+T12 (tG211“G1) ^'5°3

V4-T)2 ( 1 4~2v-[----

T)2
—g2 (3v—(3 + 2v) B2)-2 (2 + v) BV)j-vt]Z (1 -£2) (б^-Заг Л) +
+ £2 [3a2 - (2 + v) a6] + ± a2 (3+2v) +

+ 2 V^(3~v)-(1+v) &+2МЛЖч4-
*vb

+K(3-v)-(l+v)(Cft + 2XftnB/t))shXftn]cosX^j. (VI.lll)

Эти формулы при = a2 = a3 — a4 - a5 = 0; E (f) = E ~
= const и T (/) = To = const с точностью до пока еще произвольных
постоянных Ah, Bh, Ch и Dh полностью совпадают с аналогичными
формулами рассмотренного выше в § VI.6 решения Г. Н. Маслова
1117]. В них введены безразмерные постоянные

Я1 = П40	»	^2 = ^23^3>	^3 = ^60^4> ^4 = ^20»	^"б ~ ^21	11 — 1

и безразмерные координаты £ и т) (VI.84).

Всего имеем 5 + 4/г независимых постоянных а1У ..., аъ, Ah,
Dk, с помощью которых мы должны удовлетворить граничным
условиям.

С помощью формул (VI.84) и (VI. 107) устанавливаем, что пер-
вое из граничных условий (VI.93) тождественно удовлетворено;
второе и третье из этих условий, а также условия (VI.94) дадут нам
4 уравнения для определения произвольных постоянных, входящих
в формулы (VI. 107)—(VI. 111). После разложения в соответствующие
ряды полиноминальных слагаемых, входящих в формулы (VI. 108)—
(VI. 111), эти уравнения получим в следующем виде:

Ah (ch ЧИ—2Ч I1 sh Kh р) + Bk (sh \ р—2\ р ch \ р) —

-Ckch р-А sh \р + (-1)*-> к	[(2-р2) М-4] +

I М

+ с2	[(р2 -6) М + 12] + а3	[)Ak (р4-9р2 + 3) +

+ 12М(2р2-3)+72]+а4А+с5±£_ 2] = 0; (VI.113)
Ч kk)

Ak (sh М р + 2ХД р ch р) + Bk (ch X,ft Р + 2Xft р sh p) ф-

4- Ch sh M p -j- Dh ch p 4*

4-(-l)ft-> k^ + fl2-I|[(2-p2)M-4]4-

l Ч2 4

+«3 IM (9—2p2) -24] — a6 A] = 0; (VI. 114)
2

{94	2

th—(H-2v-vV)-

'^k

-a3-^ [8 (2+3v)-6Z!(l+2v)+vxn-

_O4^+20_^)l 0;	(VI.115)

'ife	j

(3-v)B,-(1+v)D„+(-1)‘-UA(4_2) +

+ (3±2y)	12 (^_2)]]a2_(_ i)*-i x

4	J

x2(2^v)(%| „.2)аб = 0	(VI. 116)

В этих уравнениях введено обозначение (VI.90).

Четвертому граничному условию (VI.93) мы удовлетворить строго
не можем, но у нас осталось еще 5 произвольных постоянных, с по-
мощью которых это можно сделать приближенно, но с достаточно
большой степенью точности. Для этого распорядимся ими так, чтобы
максимально приблизить приближенное решение к точному.

При точном решении должно быть

(0 = 0 при х = ± Z; у = 0.	(VI. 117)

Это дает нам дополнительное уравнение для определения произ-
вольных постоянных следующего вида:

у (S,+Dt)+24a2-!-M-2>-“s4! “°- (VI.H8)
1	Ч I

У нас осталось 4 произвольных постоянных. Распорядимся ими
следующим образом. Разобьем высоту поперечной кромки на четыре
равных участка и потребуем, чтобы в пределах каждого из этих
участков равнодействующая напряжений (/) была равна нулю:

(П-Ц) я

4

J хху (/) dy = 0 при х = ±1.
пН

4

Эти уравнения в сочетании со вторым и третьим условиями (VI.93)
эквивалентны условиям:

+1	и

^cy(t)dx = 0 при У=—,	(VI.119)
298

Таблица 3$

Структура системы алгебраических уравнений для определения произвольных постоянных Лц..., Л5, alt. а5

। № урав- | нения	Смысл уравнения		к		о	q“	СЧ  X	К)	О	N  Q			У	Q			и	Q	ю	«о  03	ю	ia  Q		е» О	Q	Q		Правая  | часть	1
1	Тгг/ (0 = 0 при	И  II 	"		•		•		•		•		•		•		•		•		•		•		•			•	
2	4-i	п = 0;	•		•		•		•		•		•		•		•		•		•		•		•	•		•
3	J Оу (0 dx = 0	п — 1;	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•
4	пН при у-	п — 2\	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•
5		п — 3	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•
6  7  8  9	Оу (0 = 0 при у- Н тху (0 = 0 при у = Н и (t) = 0 при у = 0 v (0 = 0 при у = 0	к=\	• • •	•  •  •	•  •  •	•  •  •																	• •  •	• •  •	• •  •	•  •	•  •  •	• •
10  11  12  13	Оу (0 = 0 при у —И ^ху (0 = 0 при у = Н и (0 = 0 при у = 0 v (0 = 0 при у = 0						• •  •	•  •  •	•  •  •	•  •  •													•  •  •	•  •  •	• • •	•  •	•  •  •	•  •
											::	1г	1г	1-	1			\	\	\		\	\ -	\ -		\ _	\	\
т )	г^~)	i г^—f

14  15  16  17	ay (0 = 0 при y = H тху (0 = 0 при у=Н и (0 = 0 при у = 0 v(t) = 0 при у=0	л=з									•  •  •	•  •  •	• •  •	•  •  •									• • •	• •  •	•  •  •	•  •	• •  •	•  •
18  19  20  21	oy(i) = 0 при у = Н тх,у (0 = 0 при у~Н u(t)=0 при у = 0 v(0=0 при у = 0	Я = 4													•  •  •	•  •  •	•  •  •	•  •  •					•  •  •	• •  •	•  •  •	•  •	•  •  •	•  •
22  23  24  25	при у — Н Тху (0 =0 при у=Н и (0=0 при {/ = 0  v (0 = 0 при у —0	К=5																	•  •  •	•  •  •	•  •  •	• •  •	•  •  •	•  •  •	•  •  •	•  •	• •  •	•  •
'которые с учетом формулы (VI. 108) с разложенными в ряд по
cos полиноминальными слагаемыми дают нам четыре уравнения
вида:

k = оо

у ь f26sh v-4-сьмН
Г-.	I \	Ль	/

Й=1	'	Я	/

Н- В>. ( ch Xft6 -  sh Xft b] 4~Cft—— chXfe b -}-Dk —— shXfth—
\	kh	7	Afe

1)*-1 L JL (2 (X£-2) - %2 62) +	62 -6 (XI -2) W

L	\	Kk	j

20

+ аз -re- W b* (b* -9) + 3X£ (XI + 8&2 -12) + 72) +
•^k

4	’ 4h 9 I'i

+ -fr 1 = 0,	(VI.120)

Лл л& kk JJ

где	b = -^~	(VI. 121)

4

соответственно для следующих четырех значений п:

[n = 0; п— 1; n = 2; /г = 3.	(VI.122)

Выписанных нами уравнений (VI. 113)—(VI. 116), (VI. 118) и
(VI. 120) вполне достаточно для определения всех произвольных
постоянных, входящих в формулы (VI. 107)—(VI. 111). Эти уравне-
ния образуют собой систему совместных алгебраических уравнений,
число которых возрастает по мере увеличения числа учитываемых
членов ряда на четыре единицы на каждый его член. Так, при учете
одного члена ряда нужно решить систему, состоящую из 8 уравне-
ний, двух членов ряда — из 12 уравнений и т. д. При современном
состоянии вычислительной техники это не вызывает затруд-
нений.

Структура полученной системы уравнений для случая уче-
та пяти членов ряда показана в табл. 35, где черными точками ука-
заны коэффициенты уравнений и свободные члены, только отличные
от нуля. Эта структура такова, что при осуществлении программы
вычисления неизвестных, относящейся к данному случаю учета 5
членов ряда, по системе алгоритма Гаусса попутно можно получить
значения неизвестных, относящихся к случаю учета 1, 2, 3, 4 и 5
членов ряда.

Система уравнений, схематически представленная в табл. 35,
была решена с учетом соотношений (VI.92) и по найденным значе-
ниям произвольных постоянных и формулам (VI. 107)—(VI. 109)
рассчитаны напряжения в блоке для тех же точек, что и в примере
§ VI.6. Найденные эпюры напряжений изображены на рис. 69, б,
на котором ординаты этих эпюр даны по-прежнему в долях от вели-
чины ссЕ (/) Т (/).

к®

v*
8?
И

и

к

Js
Й

0И

iE!!JS

Из

LJ

ЙЕ

Р

ЙР

и
Из рассмотрения рис. 69, б следует, что наибольшие нормальные
напряжения ох (/), сжимающие при разогреве блок, возникают
в плоскости сопряжения блока с основанием, где они достигают ве-
личины, близкой к аЕ (t) Т (t), практически мало изменяясь на
всем протяжении шва, и лишь вблизи торцов, быстро снижаясь,
обращаются в нуль на самих торцах.

Напряжения оу (/) по подошве блока неравномерны и знакопере-
менны. При разогреве блока они на средней части длины шва со-
пряжения растягивающие, а у торцов блока сжимающие.

При разогреве блока на 1° напряжения отрыва блока от основа-
ния оу (/) в средней его части в бетоне молодого возраста могут до-
стичь величины Оу (/) = 1  1 • 10-5 (1-4-2) 105-0,19 = 0,19 -4-
-4- 0,38 кгс/см*. Таким образом, при разогреве блока от экзотермии
на 45—35° уже вполне вероятно образование продольной тре-
щины по шву сопряжения блока с основанием.

В связи с этим представляет практический интерес задача о
температурных напряжениях в блоке со свободными верхней и тор-
цовыми гранями, сопряженном с основанием таким образом, что
на плоскости сопряжения вследствие наличия продольной трещины
и сил трения

оу (/) = 0; и(/) = 0 при г/ = 0.	(VI.123)

Эта задача на основах линейной теории упруго-ползучего тела
была решена автором в 1952 г. [5].

Сравнивая решения задач о температурных напряжениях в бло-
ках, рассмотренных в §VI.6 и VI.7, видим, что освобождение от
закреплений торцов блока приводит к существенному увеличению
напряжений оу (t) по его подошве и большей неравномерности их
распределения. Поэтому блок со свободными торцами напряжен
более невыгодно, чем в случае, когда его торцы закреплены от тан-
генциальных смещений.

§ VI.8. Температурные напряжения в блоке,
защемленном по основанию и имеющем
свободные торцы,

в общем случае его неравномерного разогрева

Обратимся теперь к общему случаю неравномерного разогрева
блока, рассмотренного в §VI.7.

Представляя в соответствии с рекомендациями § V.3 заданный
закон изменений температурного поля блока в форме (V.89), полу-
чим соответствующие формулы для напряжений и смещений блока
в виде выражений (V.145)—(V.149). Остается только определить из
граничных условий входящие в них произвольные постоянные.

Дальнейшие рассуждения ограничим случаем симметричного
распределения температуры блока относительно его оси Оу. Усло-
вившись об этом, мы должны положить в формуле (V.89)

6 = =	(VI.124)
Это дает нам для изменений температуры следующее выражение:

{k=O0

ag + aY*(y) + g V eftcosM +

k= 1

k = co	1

+ У*(г/) V eAcosZ^ .	(VI.125)

k=\	I

Проанализируем эту формулу.

Первый из множителей в ней Т (t) устанавливает заданный мас-
штаб изменения температуры блока во времени, получаемый из
решения соответствующей задачи теории теплопроводности и
связанный с условиями остывания блока.

Второй множитель, заключенный в фигурные скобки, определяет
закон распределения изменения температуры по сечению блока.

Каждое из четырех слагаемых фигурной скобки соответствует
определенной части объемной эпюры изменения температуры блока.

Первое слагаемое определяет случай равномерного разогрева
блока на некоторую величину agT (/), устанавливаемую с помощью
формул (V.82) и (V.86).

Второе слагаемое выражает равномерное изменение температуры
блока вдоль оси Ох и неравномерное — вдоль оси Оу по закону
«У* (у) Т (t). Масштаб этой части эпюры изменения температуры
устанавливается по формулам (V.83) и (V.86).

Третье слагаемое определяет случай равномерного разогрева
блока вдоль оси Оу и неравномерного вдоль оси Ох по закону
k—CQ

Т (t) g Ъ eh cos Масштаб этой части устанавливается по форму-

лам (V.82) и (V.84).

Наконец, четвертое слагаемое определяет часть объема эпюры
изменения температуры блока, связанную с его неравномерным

разогревом вдоль обеих осей по закону Y* (у) Т (/) S eh cos
k=\

масштаб которой устанавливается с помощью формул (V.83) и (V.84).

Выше мы видели, что каждой из этих частей эпюры изменения
температуры соответствует свое частное решение уравнения (V.52),
которые мы нашли в § V.3. С учетом этих частных решений полные
формулы для напряжений и смещений блока в рассматриваемой
задаче на основе выражений (V. 145)—(V. 149) и данных §VI.6
и VI.7 будут иметь вид:

k

оЛ (/) = (Ух (/) - аЕ (/) Т (/) W* (/11) + k f(/П) cos \ ; (VI. 126)
I	А=1	I

°у (О = °у (О +	(0 71 (0 1 ~ ag +
k = co ^2

+ У, -^-<P3kGn)cosXftg
k=l 1

(VI.127)

rxy(t)=xxy(t)~aE(t)T(t) 2 ^<p^(/T])sin%ft|; (VI. 128)
*= i

u(t) = u(t)—alT (t) g(l+v)(l-Q£) +

sinXft£

(VI. 129)

_	л

v(t) = v (/) alT (/) a (1 + v) V* (/<]) dr] —
b

~1T^[4L^U^)-MVL^‘P3H/9)lcosXft4-* (VI.130)
b_, W м	i	j

где ox (t), oy (/), xxy (/) и и (/), v (/) — соответственно напряжения
и смещения, определяемые по формулам (VI. 107)—(VI. 111), но при
значениях постоянных Ah, Bk, Ch, Dk и аг, .... а5, найденных из
граничных условий (VI. 113)—(VI. 116), (VI. 118) и (VI. 120) с учетом
всех или соответствующих рассматриваемому случаю разогрева
блока столбцов табл. 36.

В этих формулах: £ и т) — безразмерные координаты, определяе-
мые формулами (VI.84);	— безразмерная величина, отыскиваемая

по выражению (VI.85); а и g— постоянные, определяемые по фор'
мулам (V.86) и (V.82); У* (/ц) — заданная функция, отыскиваемая
по выражению (V.83):

ч

ф3дап)=fN*{у*"(/е)[ёг+г*(Z0)li dQ’ (VL131)
о

1

eh = $ [X(/g)-a-6/£]cosAft^, (VI.132)
— i

1

а производные функции <p3ft (/т]) и Y* (IQ) берутся по аргументам 1т\
и IQ соответственно.

Выражения для напряжений (VI. 126)—(VI. 128) и перемещений
(VI. 129), (VI. 130) удовлетворяют уравнениям совместности и равно-
весия , поэтому для полноты решения нам осталось только удовлет-
ворить граничным условиям (VI.93) и (VI.94).

Полагая в (VI. 126) В = 1, видим, что на поперечных кромках
блока действуют напряжения

ox(t)\^±l^~aE(t)T(t)aY*(lvO,

(VI. 133)
отличные от нуля в общем случае криволинейного распределения
его температуры вдоль оси Оу. Таким образом, строго удовлетворить
первому граничному условию мы не можем. Заметим, однако, что
в силу равенств (V.82) и (V.83)

.	н

=	(VI. 134)

о

поэтому первое из граничных условий (VI.93) удовлетворяется
в интегральном смысле, т. е. с точностью до принципа Сен-Венана.

Остальным граничным условиям (VI.93) и (VI.94) мы можем
удовлетворить с той же степенью точности, что и для блока, рассмо-
тренного в § VI.7. Это дает нам необходимое число аналогичных
уравнений для определения произвольных постоянных Ah, Bh,
Ch, Dh, а1г ..., a5 и приводит к однозначности решения рассматривае-
мой задачи. Эти уравнения будут иметь те же левые части, но их
правые части (свободные члены) будут иными.

Для удобства применения этих уравнений в отдельных частных
случаях отсутствия тех или иных слагаемых объемной эпюры рас-
пределения температуры (VI. 125) их правые части, соответствующие
каждой из ее составляющей, вычислены отдельно и собраны в
табл. 36. Пользуясь данными этой таблицы, мы охватим все воз-
можные частные случаи распределения температуры. Например,
учитывая только один ее первый столбец и полагая в нем а = g= 1,
получим случай равномерного разогрева блока, подробно рассмо-
тренный в §VI.7.

Принимая же во внимание все столбцы табл. 36, получаем ре-
шение задачи для общего случая неравномерного разогрева блока.

Из табл. 36 следует, что все свободные члены выписанных
уравнений, соответствующие случаю

e°(/)=aV*(f/)T(0,	(VI. 135)

равны нулю, поэтому и все произвольные постоянные для данного
случая также равны нулю. Это означает, что мы нашли решение
задачи, соответствующее этому случаю в замкнутом виде и притом
не требующее полиноминальных слагаемых для функций напря-
жений.

Компоненты напряжений и перемещений в этом случае, как
вытекает из формул (V.92) и (V.93), равны:

(0 = -аЕ (Z) Т (0 аУ* (г/); оу (/) =хху (/) = 0; (VI. 136)

у

u(t) = O; v(t) = (l+v)aT(t)a^Y*(y)dy. (VI.137)
b

Они вошли в формулы (VI. 126)—(VI. 130) в готовом виде.

Выше был рассмотрен случай симметричного разогрева блока
относительно его оси Оу. Не представляет труда получить теперь
304






305

Таблица 36

Правые части уравнений для определения произвольных постоянных Ak, Bk, Ck, Dk, ai,---,
при различных законах изменения температуры блока

Физический смысл уравнения	При изменении температуры по закону				
	e»(f)=ag7’(/)	e»(h =  = аУ(А1)Г(0	k~ оо  eo(O=g7’(O 2еЛС05^Л?  *=1	k=-» е»(П=У*(/т])Г(0 у eftcosXftg *=1	
оу(0 = 0 при у=Н		0	-ф- [ХА |Л sb р,—	X a: 03  I s- c3J>: «  1	^lg-0
^ху (t) = 0 при у=Н			-2 (ch M-l)l		
	0	0	(^нсЬ W—sh W)	%b ——  -Г-Фзй(^)	g = 0
u(t)=Q	. 2 (1-ф-v) ag	0	0		
при у = 0	(—О	,			0	
v(/) = 0  при у = 0	0	0	0	0	
^ху (t) — 0  при х=±1 и у = 0	0	0	0	0	
1  J ау (/) dx = 0  пН	е a-	s?  II  -	8  1»	0	k = oo	.  *= 1 * 4	»• ».  1	LX
при у- 4			xsh—И1 -	— / n/ii \ ХфзЛ -7-	
(n = 0, 1, 2, 3)			_{,['chAs_1M  \	4	J J		g = 0
решение и для произвольного распределения температуры относи-
тельно обеих осей блока. Формулы для напряжений и смещений
блока, соответствующие этому случаю, имеют вид (V.145)—(V.149).

Для определения входящих в них постоянных из рассмотрения
граничных условий можно всегда составить необходимое число
уравнений, подобных (VI.113)—(VI.116), (VI.118) и (VI.120), и тем
самым однозначно решить рассматриваемую общую задачу о тем-
пературных напряжениях в блоке. Мы не будем здесь выписы-
вать эти уравнения, но обратим лишь внимание на необходимость
соблюдения рекомендаций § V.3 при их составлении.

В заключение отметим, что все выписанные нами формулы для
напряжений, смещений и уравнения для определения входящих
в них произвольных постоянных относятся к случаю плоского обоб-
щенного напряженного состояния. Соответствующей заменой в них
a, v и Е (t) на ab и Er (t) (см. § V.2) можно легко получить все
необходимые формулы и уравнения, относящиеся к случаю плоской
деформации.

§ VI.9. Некоторые замечания по поводу рассмотренных
упруго-мгновенных задач

В настоящей главе был рассмотрен ряд упруго-мгновенных задач,
относящихся к случаю температурных напряжений. Решения этих
задач могут быть непосредственно использованы в их готовом виде
и для расчета влажностных напряжений в телах, если для по-
следних имеет место линейная зависимость между изменениями влаж-
ности материала и его влажностными деформациями вида

e°(O-lt/(O,	(VI. 138)

I
где | — коэффициент линейной влажностной деформации (усадки
или соответственно набухания), a U (/) — изменение поля влаж-
ности.

Для этого достаточно в этих решениях заменить коэффициент
линейного расширения а коэффициентом линейной влажностной
деформации |, а изменение поля температуры Ф (х, у, z, f) — изме-
нением поля влажности U (х, у, z, t).

Для некоторых капиллярно-пористых коллоидных материалов
зависимость (VI. 138) неоднозначна, поэтому для них указанная
возможность оказывается неприемлемой. К числу таких материа-
лов относится, например, бетон, у которого деформации набухания
связаны с увеличением влажности более сложной зависимостью
(II 1.6), а деформации усадки в общем случае неоднозначно зависят
от уменьшения его влажности.

Однако в § II 1.7 были указаны практические пути для преодоле-
ния этих затруднений, состоящие, во-первых, в учете указанной
неоднозначной зависимости усадки бетона от изменений его влаж-
ности с помощью введения эффективной и критической влажностей
бетона, во-вторых, в применении в практических расчетах среднего
значения коэффициента линейного набухания бетона, и в-третьих,
в использовании разных по величине коэффициента линейной
усадки (3 и среднего коэффициента линейного набухания т] бетона.

При этих условиях для расчетных влажностных деформаций
бетона будем иметь формулы:

Еу (/) =	(0;	(/) = - Tit/ (/),	(VI. 139)

в которых U3 (/) — изменение эффективной влажности бетона,
a U (0 — изменение его полной влажности.

Смысл введенного понятия об эффективной влажности бетона
разъяснен в § III.7, где также указано, как она выражается через
полную и критическую влажность бетона. Необходимые дополни-
тельные разъяснения содержатся в главе X.

Сравнивая формулы (VI. 138) и (VI. 139), видим их полное внеш-
нее тождество, из чего следует, что полученные решения ряда прак-
тически важных упруго-мгновенных задач о температурных напря-
жениях могут быть непосредственно использованы в их готовом
виде для расчета влажностных напряжений в бетоне. При этом
в случае расчета напряжений набухания в них следует заменить
коэффициент линейного расширения а средним коэффициентом ли-
нейного набухания бетона т], а изменение температурного поля
Ф (х, у, z, t) — изменением поля его полной влажности U (х, у, z, f).
В случае же расчета усадочных напряжений в этих решениях а
нужно заменить коэффициентом линейной усадки бетона р, а
Ф (х, у, z, f) — изменением поля его эффективной влажности
1/э (х, у, z, t).

В связи с указанным простым приемом мы не будем особо вы-
писывать формулы для влажностных напряжений и перемещений
рассмотренных выше упруго-мгновенных задач, имея в виду, что
они всегда могут быть найдены из решений, полученных в настоя-
щей главе указанным выше простым путем.

Методика отыскания расчетных изменений поля эффективной
влажности бетона U 3 (х, у, z, f) состоит в следующем.

Вначале методами теории влагопроводности, развитыми в гла-
ве II, отыскиваются поля влажности бетона в рассматриваемые мо-
менты времени его высыхания и /2- Затем они сравниваются с по-
лем критической влажности бетона

U(x, у, z, t) = UKp.	(VI. 140)

определяемой методом, изложенным в § II 1.7.

Если в любой точке объема тела влажность бетона в моменты
времени и t2 оказывается меньше критической влажности t/Kp,
то эти поля влажности одновременно являются и полями его эффек-
тивной влажности. Поэтому расчетные изменения влажности бетона,
вводимые в расчет усадочных напряжений, развивающихся в нем
за время t2 — tlt в данном случае будут равны:

fi

U3(x, у, z, t)—U(x,y,z,t2)— U (х, у, z, tj).	(VI.141)

Если влажность бетона в моменты времени и /2 оказывается
больше его критической влажности UKp в некоторой части объема
тела, то тогда следует в этих частях его объема принять:

И

U3 У, z> Л) ~	1 (VI 142)

при х<хх; у^уу, z<z(x1, z/x) /

jsffl

U3 (х> У, z, > ^2) — ^кр	1	(У! . 142)

при х < х2; у^у2; z < z (х2, t/^, J

где	I

z = z(xx, yj при t = tx	(VI. 144)

и

z = z(x2, у2) при t=t2	(VI. 145)

— уравнения поверхностей изовлаги, на которых влажность бетона
равна его критической влажности Uкр, а

x<xf, У<Уъ z<z(xi,yi) при / = /х;	(VI.146)

и

х<х2; у<у2; z^z(x2, у2) при t = t2	(VI. 147)

— области тела, где

U(x,y,z, t)>UKV.	(VI. 148)

В остальной части объема тела, где

U(x,y,z,t)<UKpl	(VI.149)

следует считать!/-’ (х, у, z, /) равной его действительной влажности
U (х, у, z, t).

Определив таким образом поля эффективной влажности бетона,
можно составить их расчетное изменение

U3 (х, у, z, t) = U3(x, у, z, t2) — U3 (х, у, z, tj)	(VI.. 150)

и далее уже ввести его в расчет усадочных напряжений. Этот слу-
чай на примере одномерной задачи распределения влаги по сечению
тела более подробно рассмотрен в § Х.5.

Интересен случай, когда на периоде высыхания бетона t2 — t±
во всем его объеме влажность, уменьшаясь, остается все же большей
UKp. Это может, например, наблюдаться на раннем периоде высыха-
ния бетонного тела, имеющего большую начальную влажность (мо-
лодой бетон с высоким В/Ц или бетон предварительно увлажнен-
ный). В этом случае

U3 (х, у, г, tj = U3 (х, у, z, t2) = UKP (VI. 151)
и поэтому расчетное изменение эффективной влажности бетона
(VI. 150) равно нулю. Следовательно, при этих условиях за время
— t± в бетоне не возникают усадочные напряжения, что экспери-
ментально доказано в опытах автора, описанных в § VIII.5.

Из изложенного и особенно из последнего примера следует,
что ранее применяемая методика расчета усадочных напряжений по
изменениям полной, а не эффективной влажности бетона, приводит
к их существенному преувеличению. Поэтому, по предложению ав-
тора, она заменена описанной выше новой методикой, основан-
ной на понятиях эффективной и критической влажности бетона, во-
шедшей в СНиП П-В.1-62* 1174] и [19].
Глава VII

УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ ПРИ РАСЧЕТЕ НАПРЯЖЕНИЙ

В БЕТОНЕ, ВЫЗЫВАЕМЫХ ЕГО ВЫНУЖДЕННЫМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ

§ VII.1. Общие указания

В § IV.9 мы видели, что при условии (IV.5) полные напряжения
в бетоне о*х (/), ..., х*ху (t), отыскиваемые с учетом ползучести,
определяются через соответствующие упруго-мгновенные напряже-
ния сх (t), ..., хху (/), ... с помощью независимых интегральных урав-
нений (IV.74), решения которых могут быть записаны сразу в гото-
вом виде:

_ Г R (с t) А;

Em £«) J £(т)

...............................(х,	У, Z)

* *

Ъсу (0 = гху (0 __ Г Т^(т) R , d
ЕЦ) E(t) J F(t)

T1

...............................(X,	y, z),

(VII.1)

где R (t, t) — наследственная функция бетона второго рода. Та-
ким образом, отыскание напряжений ползучести с*х (/), ..., х*ху (t),
... сводится к вычислению квадратур (VI 1.1), поскольку напряже-
ния упруго-мгновенной задачи предполагаются уже найденными
(см. главы V и VI), а функция R (t, т) — известной (см. § IV. 12).

Дальнейшее упрощение задачи получим, если учтем, что вынуж-
денные деформации бетона обычно задаются в форме (V.40), а поле
изменений соответствующей характеристики состояния материала
е° (0 (температуры или влажности бетона) отыскивается методами
теории тепло- или влагопроводности (см. главы I и II) в виде про-
изведения (или суммы произведений)

г° (О = Ео т (О F (х, у, z),

(VI 1.2)

где е0 = const, а Т (/) и F (х, у, z) — некоторые безразмерные функ-
ции, одна из которых зависит только от времени /, а другая — толь-
ко от координат точек тела х, у, z. В соответствии с этим напряжения
упруго-мгновенной задачи (см. главы V и VI) всегда находятся
также в виде произведений:

°х (О = «Еот (О Е (О Fx (х, у, z\,
....................(х,	у, г);

(О = ае0Г (О Е (t) Fxy (х, у, z);

.....................(х,	у, z)

(VII.3)

аналогичной структуры.
Введем теперь в рассмотрение вспомогательную упруго-мгновен-
ную задачу, решение которой имеет вид:

стх. (/) = ае0 Е (О Fx (х, у, z);

_................(*,	У, z);

хху У) =	(0 ?ху (*, У. Z);

.....................(М,	Д

(VI 1.4)

т. е. получается из решения исходной упруго-мгновенной задачи
при Т (t) = 1. Такую вспомогательную задачу будем называть заме-
няющей упруго-мгновенной задачей. Тогда решение исходной упру-
го-мгновенной задачи может быть записано следующим образом:

................(х,	у, z);

хху (О = *ху Ц)т (Ъ ]

...........(х, У, z).l

(VII.5)

В этих формулах функцию Т (/) можно рассматривать как ко-
эффициент приведения упругих напряжений заменяющей задачи
к напряжениям исходной упруго-мгновенной задачи.

Будем теперь по аналогии с (VI 1.5) искать полные напряжения

(/), ..., т*хг/(/),... в форме:

оИ0=Фх(0^(Лт1);	^^(^(Аи); 1 (уп 6)

.............{х,	у, Z)-,	............(х, у, z), J

где Н* (t, Ту) — коэффициент приведения упругих напряжений
заменяющей задачи к искомым полным напряжениям, отыскивае-
мым с учетом ползучести.

Внося (VII.4) и (VII.6) в (VII.1), для И* (/, получаем сле-
дующую формулу:

t

Н* (t, тх) = Т (/) — Т (т) R (t, x)dx.	(VI1.7)

Итак, отыскивание полных напряжений о*х (/), ..., х*ху (f), ...
с учетом ползучести сводится к нахождению напряжений ох (/), ...,
хху (t), ..., заменяющей упруго-мгновенной задачи и коэффициента
приведения И* (t, Tj). Отыскав эти напряжения (VII.4) и коэффи-
циент И* (t, Xj) (VII.7), по формулам (VII.6) всегда можем составить
выражения для искомых полных напряжений и*х (/), ..., х*ху

Рассмотрим случай стационарной вынужденной деформации.
В этом случае

T(t) = T(x) = l	(VII.8)

и напряжения упруго-мгновенной задачи совпадают с напряжениями
заменяющей задачи. При этом

t

H*(t,x1) = l— J R(t, x)dx.	(VH.9)

Ti
Из определения функции /? (f, т) (см. § IV.7) вытекает, чтс всег-

Да	м

t	a li

$R (t, т) <Д> О при < t	(VII. 10)

т.	S®

и стремится к определенному пределу lim f R (t, т) dx <Z 1. По-

этому функция Н* (t, xj, определяемая формулой (VII.9), затухаю-
щая от

Н (t,x1) = l при t=xr
до

£	ир

0< Н* (t, тх) = 1 — lim \ R (t, xjdxcl при £->oo.

т,	8я

фЛ

В связи с этим и учитывая структуру формул (VII.6), функцию яш
Я* (t, тх) в рассматриваемом случае можно интерпретировать как
коэффициент затухания (релаксации) упругих напряжений за счет
ползучести бетона к данному моменту времени наблюдения t.	'дга.

Нетрудно видеть, что с учетом (VI 1.6) введенный нами коэффи- Ци
циент приведения И* (t, тх) равен:

$ /j.	. \	JfWi

//*(/, тх) = '-J?’	,	(VI1.11)	э к

т. е. представляет-собой отношение полных напряжений о* (/, тх)
в данный момент времени наблюдения t, исчисленных с учетом ползу-
чести, к упругим напряжениям о (t, тх) заменяющей упруго-мгно-
венной задачи в тот же момент времени t, найденным в предполо-
жении отсутствия ползучести бетона, причем оба эти напряжения
и* (t, ri) и о (/, тх) отыскиваются для соответствующей вынужден-
ной деформации, начинающей'развиваться, или соответственно воз-
никающей с одного и того же момента времени t = тх.

Для тела, не обладающего ползучестью, R (t, х)— 0, поэтому

для него

Я* (/,^ = 7(0.	(VII.12)	,*

Иными словами, полные напряжения в нем равны упругим на- ’fh
пряжениям, отыскиваемым на основе упруго-мгновенной задачи.

Чем больше ползучесть материала (выше степень релаксации л®
упругих напряжений), тем больше текущие значения R (t, т) и тем ИУдщ
меньше, следовательно, коэффициент Н* (t, тх).	аае

Из изложенного следует, что учет ползучести при расчете напря-
жений в бетоне, связанных с его вынужденными деформациями, сво-
дится к определению коэффициента приведения Н* (/, тх) упругих [(5
напряжений по формуле (VII.7) и самих напряжений ползучести
по выражениям (VI 1.6) умножением на этот коэффициент соответст-
вующих упругих напряжений заменяющей упруго-мгновенной зада-
чи. Поскольку функции Т (/) и R (t, т) предполагаются извест-
ными, нахождение Я* (/, тх) по формуле (VI 1.7) сводится к вычис-
лению квадратур, которое может быть всегда выполнено наиболее
доступными способами машинного и численного интегрирования или
непосредственно аналитическим методом.

В §VII.2 изложена наиболее удобная практическая методика
вычисления коэффициента приведения Н* (t, тх) напряжений за-
меняющей упруго-мгновенной задачи, основанная на применении
готовых таблиц функции R (t, т).

§ VII.2. Методика учета ползучести при расчете
напряжений, вызываемых вынужденными деформациями

Вычисление коэффициента приведения упругих напряжений
И* (t, тД существенно упрощается, если составить таблицы значе-
ний наследственной функции второго рода R (/, т) для различных
бетонов. Желательно иметь такие таблицы для бетонов разных со-
ставов и марок на различных вяжущих. Это — дело ближайшего
будущего.

Однако проведенный анализ изменчивости значений функции
R (t, т) в зависимости от величин параметров, определяющих меру
ползучести бетона и его модуль упругости, для ряда различных
бетонов показал, что эта изменчивость носит довольно вялый ха-
рактер. Объясняется это тем, что в выражения для R (t, т) (IV. 146)
модуль упругости Е (I) и составляющиеф (/) и Д (/) предельной меры
ползучести бетона входят лишь в виде произведений Е (/) ф (/) и
Е (/) Д (f). Для того чтобы убедиться в этом, проще всего обра-
титься к выражению R (t — т) (IV. 156) для старого бетона.

Так как с увеличением, например, прочности (марки) бетона
величины Е (/) иф (/), Д (/) изменяются в обратных направлениях,
то их произведения оказываются мало изменчивыми, что и приво-
дит к указанному выше обстоятельству.

Подмеченное свойство R (t, т) позволяет упростить табулирова-
ние этой функции, ограничиваясь составлением ее таблиц для
«среднего» бетона, характеризуемого некоторыми средними значе-
ниями параметров функций Е (I), ф (/) и Д (/).

Анализ имеющегося в литературе экспериментального материа-
ла о деформациях бетона при кратковременных и длительных за-
гружениях, существенно облегченный уже имеющейся’системати-
зацией соответствующих экспериментальных данных, проведенной
И. И. Улицким [186], показал, что для такого бетона могут быть
приняты следующие средние значения параметров функций Е (f),
Ф (0 и Д (/), входящих в формулы (IV.3), (IV. 145) и (IV.146)-

£о = 2,6-1О6 кгс/см2- 5=1; р = 0,206 сут.-1;	(VII.13)
ф0 = 0,756-IO5 см21кгс\ фу = 3,416-10-5 сут1кгс1см2\

Ао = 0,219-10-5 см2/кгс; Лх = 1,204-10 5 сут1кгс1см2\
Д = 1; а = 6 сут. -1; v = 0,03 сут. -1.

(VII. 14)

Параметрам (VI 1.13) и (VI 1.14) соответствуют следующие зна-
чения параметров меры ползучести С (/, т) (IV. 102):

Сх = 0,975 • 10-5 см^кгс', А1 = 4,62-10-5 сут/кгс/см2-,

7 = 0,03 сут.-1,	(VII.15)

в свое время рекомендованные в качестве средних для обычного
тяжелого бетона Н. X. Арутюняном [25] на основе, по-видимому,
аналогичного обобщения экспериментальных данных о ползучести
бетона.

Рекомендуемое значение параметра £0 (IV. 13) близко к средне-
му значению начального модуля упругости бетона марок 300—500
на мелком заполнителе по данным приложения I СНиП [174],
как и должно быть, если учесть, что имеющиеся экспериментальные
данные о деформациях бетона, положенные в основу рекомендуемых
параметров (VII. 13) и (VII. 14), относятся именно к бетонам на мел-
ком заполнителе.

Для «среднего» бетона, определяемого параметрами (VI 1.13)
и (VII. 14), автором были составлены таблицы R (t, т), приведенные
в приложении 1. Числовые значения R (t, т), содержащиеся в этих
таблицах, найдены численным решением по шагам уравнения (IV. 16)
с учетом (IV. 145) на электронно-вычислительной машине «Урал-4»
с заменой интеграла конечной суммой.

При наличии готовых таблиц функции R (/, т) для определения
коэффициента И* (t, тх) приведения упругих напряжений к данному
моменту времени t удобнее всего пользоваться следующей простой
методикой:

1)	выбирается таблица функции/? (t, т), соответствующая данно-
му моменту времени наблюдения t, для которого определяется
коэффициент приведения И* (/, тх);

2)	значения функции R (t, т), содержащиеся в этой таблице,
умножаются на известные переменные значения заданной функции
Т (т), зависящей от т;

3)	любым доступным методом вычисляется площадь

t

T(r)R(t,x)dx	(VII. 16)

Т1

криволинейной трапеции, ограниченной кривой

F (t, т) = Т (т) R (t, т),	(VII. 17)

ссью абсцисс (времени т) и ординатами г = t и т = тх;
Таблица 37

Tm+1

Формулы для интегралов J Т (т) R (t, T)di

Tm -1

Атх = тт— Tm-X; Дт2 = тт+1—тт; Дт= Атх + Лт2=Тт+Х ^т-1

Квадратная парабола			Tm+1  T (t) R (t, t) dx  Tm-1
	'"яЪ'Гт)		
	-—zir	-1		
Квадратная парабола			
		"I	«ПЛ^Л 2	{R(/, тт_1)Ат2[2Т(тт_1) Ат2(ЮЛт2-5ЛтАт1 + Ат2) +  60Atj
Тг	r/-1	2	'm + 1	+ T (7m+i) Atx (IOAtjAtj — ЗЛт2)4-Т (тт) At2 (SAtj —2Лт2)]-ф-
Tfrm-i)	T(tm)	\r(r„4f)	+ R (t, rm) Ат2 [T (Tm-i) At2 (5Atx — 2Лт) + Т (тт+1) Атх (ЗДт—5Atx) + + 2T (Tm) At2] + R ((, Tm+X) Атх [T (Tm-i) At2 (10Atx At2 — 3At2) + + 71 (Tm) Ат2 (3At — 5Лтх)+2Т (тт+х) Атх (10Лт|4-6Ат2—15АтАтх)]}
	-t	7	т+1	

Трапеция

w
сл

Дт

Т77 7 {R (Л Tm-i) [Т (тт-х) (ЗАтх— Ат2) Атг + Т (тт+1) (Атх—
1 zZ\T। ЛТ2

— Лт2) Лт2]-Ь/? (t, тт) Дт2 [Т (Tm-X) + T (Tm+i)]-b

+ Я (Л Tm+1) [71 (тт-х) (Лт2—Ati) Ат1^-7' (тт+1) (ЗЛт2—Атх) Дтх]}
4)	вычитанием этой площади из Т (/) по формуле (VII.7) находит-
ся коэффициент Н* (t, тг) приведения к данному моменту наблюде-
ния t напряжений заменяющей упруго-мгновенной задачи, возни-
кающих с момента т\.

Для вычисления площади (VII. 16) можно пользоваться, напри-
мер, планиметром, предварительно вычертив в нужном масштабе
кривую (VI 1.17). Удобно также аппроксимировать эту кривую про-
стейшими интегрируемыми функциями, после чего выполнить квад-
ратуру (VII. 16) непосредственно. Последний прием наиболее прост
и удобен. В связи с этим составлена готовая табл. 37 интегралов
(VII. 16) для простейших случаев аппроксимации функций Т (т)
и R (/, т) в виде отрезков квадратных парабол на заданном проме-
жутке Ат.

Задавая различные соотношения между Т (тт_1), Т (хт),Т (тт+1)
и Атх, Ат2, в частности полагая некоторые из них равными
нулю, с помощью этих таблиц можно получить готовый набор инте-
гралов (VII. 16) для ряда простейших случаев, сочетая которые с
одновременным варьированием Атх, Ат2 и Ат всегда можно
вычислить эти интегралы при любом очертании кривых Т(х). Для
этого достаточно разбить заданную кривую Т(х) на характерные
участки, подобрать в табл. 37 соответствующие случаи их аппрок-
симации и воспользоваться отвечающими им готовыми значениями
интегралов (VII. 16), после чего произвести их суммирование.
Последние могут быть всегда вычислены с большой степенью точно-
сти, поскольку имеются весьма подробные готовые таблицы R (t, т)
(см. приложение I).

В § VII.3 и VII.4 на ряде примеров проиллюстрировано приме-
нение рекомендуемой методики учета ползучести при расчете на-
пряжений в бетоне, вызываемых его вынужденными деформациями.

§ VII.3. Случай стационарной вынужденной деформации

Рассмотрим один важный частный случай вынужденной деформа-
ции и вычислим соответствующий ему коэффициент приведения упру-
гих напряжений.

Допустим, что в некотором возрасте бетона тх в нем появляется
некоторое поле вынужденных деформаций, приводящее к возник-
новению напряжений, которое затем остается неизменным во вре-
мени. В этом случае стационарных вынужденных деформаций, оче-
видно, имеет место условие (VI 1.8).

Такой случай, например, мы получим, если создадим в свободном
от внешних связей брусе или плите стационарный температурный
перепад, а затем наложим внешние абсолютно жесткие связи,
устраняющие температурное искривление элемента, и в дальнейшем
будем неизменно сохранять его прямолинейную форму. При этих
условиях напряжения в брусе, а следовательно, и реакции в этих
связях вследствие ползучести будут затухать во времени по закону
коэффициента приведения Н* (t, тх) с учетом (VI 1.8), равного (VII.9).
Принимая во внимание (IV. 152), для Н* (/,тх) получаем:

«•((Л1)=1+-1-(к(г1)-К(0 +АЙ.[1_е-»'0 «->.)] +

С (4) I	М \Ч

t

+ К (?1) (е^1 —Л2) е-11 (Т1) § K(r) F' (т) <т> dr

Ti

(VII.18)

Для бетона, характеризуемого средними значениями параметров
(VII 13), (VII.14), по формуле (VII. 18) были вычислены коэффициен-
ты Н* (t, ti) для различных t и Тц а затем рассчитаны относитель-
ные значения Ррг удельных напряжений р (t, т,), необходимых
для поддержания неизменной во времени осевой продольной дефор-
мации бруса е (/) = 1, начиная с его возраста тг (табл. 38). Пос-
кольку для этого в упругом брусе необходимо было бы иметь упру-
гие напряжения

о(0=Д(0>	(VII. 19)

то сами напряжения р (t, гг), для каждого своего т1г очевидно,
будут равны:

P(t, т1)=Я*(/,т1)Е(0,

(VII.20)

где Н* (t, ту) определяется по формуле (VII. 18) или (VII.9).

Из табл. 38 видно, что ползучесть приводит к существенной ре-
лаксации напряжений в бетоне молодого возраста; степень релак-
сации начальных упругих напряжений в рассматриваемом случае
составляет 81,4% —для кривой тх = 2 сут., 80% —для кривой
ту = 5 сут., 79% —для кривой ту = 10 сут. и 74,9% —для кри-
вой ту = 20 сут.

Таблица 38

Р (t, Tt)
Относительные напряжения ——-------- в бетонном брусе

£ (ту)

при стапчонарной деформации

тг = 2	суток	т^ = 5 суток		тг = 10	суток	тг = 20	суток
t	Р ц. тр	t	Р (<• Тг)	t	Р («. тг)		Р(«. Т4>
	£СУ)		£ СЧ)		£(V)		£(ri)
2	1	5	1	10	1	20	1
2,25	0,426	5,25	0,510	10,25	0,551	20,25	0,592
2,5	0,342	5,5	0,443	10,5	0,499	20,5	0,549
2,75	0,304	5,75	0,410	10,75	0,476	20,75	0,534
3	0,278	6	0,383	11	0,457	21	0,521
4	0,225	7	0,296	12	0,392	22	0,473
5	0,199	8	0,262	14	0,306	25	0,367
10	0,187	10	0,228	18	0,251	30	0,301
20	0,186	20	0,215	20	0,238	40	О; 253
30	0,186	30	0,208	30	0,214	50	0,252
ОО	0,186	ОО	0,200	ОО	0,210	ОО	0,251

Примечание, t—возраст бетона в сутках к моменту наблюде-
ния; —то же, к моменту создания деформации.
В приложениях III и IV приведены численные значения нап-
ряжений р(/,тг), расчитанные с помощью формул (VII.18) и
(VII.19) при соответствующих средних значениях входящих в них
параметров.

Отметим, что рассмотренный нами случай (VI 1.8) относится не
только к равномерной по объему тела вынужденной деформации.
Он одинаково применим к любому закону ее распределения, лишь
бы она была стационарной во времени.

§ VI 1.4. Коэффициент приведения упругих напряжений
в старом бетоне

Для бетона зрелого возраста и практически уже не стареющего
вычисление коэффициента приведения напряжений заменяющей
упруго-мгновенной задачи существенно упрощается, поскольку
у него модуль упругости постоянен и в выражение для наследствен-
ной функции второго рода /? (t, т) возраст бетона в явном виде не
входит. В этом случае формула (VI 1.7) принимает вид.

t

H*(t, x)=H*(t) = T(t)~^T(x)R(t — x)dx. (VII.21)
о

Для такого бетона R (t — х) определяется по формуле (IV. 156)»
С ее учетом и с помощью выражения (VII.21), например, при ста-
ционарной вынужденной деформации будем иметь:

Я* (/) = 1 — A (j _е-ри)_А_ (1 —е-^9,	(VI 1.22)

Pi	Рг

где А1У А2, рх и р2 находятся по формулам (IV. 157)—(IV. 160).

В табл. 39 приведены значения коэффициента Н* (/), найден-
ные по формуле (VI 1.22) для старого бетона при средних значениях
параметров (VII. 13) и (VII. 14).

Таблица 39

Коэффициенты затухания Н* (t) упругих напряжений
при стационарной вынужденной деформации в старом бетоне

(сут.)	0	0,25	0,5	0,75	1	3	10	20	40	ОО
Н* (0	1	0,667	0,626	0,617	0,611	0,570	0,462	0,374	0,306	0,283

Предельное значение Н* (f)
н*(оо) = 1—A__At	(vn.23)

Pi P2
при соответствующих значениях постоянных:

Лх = 0,023701 сут. -1; Д2 = 3,451670 сут.-1; 1 (VII 24)

Pi = 0,067419 сут.-1; р2 = 9,43797 сут.-1, J
равно:

Н*(оо) = 0,28273.	(VI 1.25)

Следовательно, степень релаксации напряжений в старом бетоне
при стационарной вынужденной деформации составляет 71,7%
и по-прежнему является довольно значительной.

Рассмотрим теперь некоторые практически важные случаи не-
стационарной вынужденной деформации. Предположим, что

?(/) = !—е~₽С	(VI 1.26)

Этот случай, например, имеет место при регулярном режиме
остывания или высыхания [12] призматического тела. Внося (VI 1.26)
в (VII.21), с учетом (IV. 156) найдем:

/7* (/) = 1 —е-Р' —	(1 — е-Р‘9 —(1 —е-Р«9 +

Р1	Рз

-|—di_(e-₽/ —е-Р.Л —dl_(g-₽<_e-P,f).	(VII.27)

Pl—Р	Р2—₽

Предельное значение И* (Z), как нетрудно видеть, совпадает
с (VII.23). Таким образом, в рассматриваемом случае полная сте-
пень релаксации упругих напряжений такая же, как и в случае
стационарной вынужденной деформации, однако закон релаксации
этих напряжений во времени иной.

Упругие напряжения в бетонном брусе с защемленными торцами,
остывающем, например, по закону (VII.26) на То градусов, равны
(см. § VI.4):

о(0 = аТ0Е(1 — е-₽').	(VII.28)

Следовательно, напряжения заменяющей упруго-мгновенной за-
дачи

о(0 = ссТоЕ.	(VI 1.29)

Поэтому полные напряжения в нем с учетом ползучести отыски-
ваются по формуле

o*(Z) = aToEH*(0,	(VI 1.30)

в которой И* (/) берется из выражения (VII.27).

Интересен случай, когда брус с защемленными торцами внезап-
но разогревается на То, а затем медленно остывает по закону

T(t) = e~V	(VII.31)

до первоначальной температуры. Соответствующий этому случаю
коэффициент приведения И* (Z) найдем по формуле (VI 1.27), опу-
стив в ней члены, не содержащие р, и изменив знаки у оставшихся
слагаемых:

Я* (Z) = е~&---(е-₽<—е-Р1<)-------(VII.32)

Р1—₽	Р2—Р
Упругие напряжения в брусе будут равны:

а(/) = — аТ0Ее~&,	(VII.33)

напряжения заменяющей упруго-мгновенной задачи

о(0 = —аТ0£,	(VI 1.34)

а полные напряжения с учетом ползучести

о* (0 = ~аТ0Е (е~&--------(е-₽<_g-PJ) _

I Pi — ₽

------[(VII.35)
Рг~ Р	)

Их предельное значение

о*(оо) = 0,	(VII.36)

а характер изменения во времени зависит от соотношения plt р2 и р,
т. е. от соотношения скоростей релаксации напряжений и остыва-
ния тела. При малых скоростях остывания бруса ф Pi < Р2)
напряжения а* (/), затухая во времени, сохраняют первоначальный
знак; при больших скоростях остывания ф р2 > Pi) вследствие
относительного замедленного последействия возможна перемена
знака напряжений с последующим их полным затуханием. В этом
случае мы имеем аналогию с действием импульса полной деформации,
исследованного в § IV.7 при выяснении физического смысла функ-
ции влияния R (t, т) (см. рис. 40, б).

Теперь рассмотрим случай гармонической вынужденной де-
формации, при которой

Т (/) — sin con t.	(VII.37)

Он возникает, например, при воздействии на защемленный бе-
тонный брус периодических колебаний температуры или влажности
окружающей среды. С учетом формул^(УП.21) и (VII.37) в этом
случае найдем:

//* (/) = sin соп /-A1 -7 (рх sin con t —con cos соп/ -ф	е~р1/) —

Р1 ф" «п

-----2 А.2-— (Р2 sincon t—concoscon t + conе~р«<).	(VI 1.38)
Р2 -ф®п

При достаточно большом t получаем асимптотическое значение

Н* (0 « sin t-----2-Л1-— (pi sin ®n t—®ncos®n /)—

PI +<on

----2-Лг— (pa sinron t — cos con t).	(VII.39)
p2 -h<on
Упругие напряжения в рассматриваемом брусе при изменении
его температуры по закону (VI 1.37) с амплитудой То и начальным
разогревом будут равны:

о (/) — —аТ0 Е sin con t.	(VII.40)

Напряжения заменяющей упруго-мгновенной задачи опреде-
ляются формулой (VI 1.34), поэтому асимптотическое значение пол-
ных напряжений с учетом ползучести

о* (/)да — аТ0 Е171----^5---------sin con t +

+	+	(VII.41)

Из формулы (VII.41) следует, что полные напряжения a* (t),
так же как и упругие напряжения о (/), изменяются по гармониче-
скому закону, но с иной амплитудой.

При Т (/), заданном в виде:

T(/)=cosconL	(VII.42)

аналогичным образом найдем:

Я* (0 = cos con t--A1 -2- (pj cos ion t + <on sin con t—

Pl +<°n

—Pi e~p>')----2^2 2 (p2coscon t + con sin cont—p2	(VIL43)

Рг +On

При достаточно большом t

И* (/) да cos t----A1 2 (Pi cos con 4- con sin co„ t) —

Pl + 4>n

----2 Ai — (P2cos con t + con sin con t).	(VIL44)

Упругие напряжения в брусе при изменении его температуры
по закону (VI 1.42) с амплитудой То и начальным разогревом в этом
случае будут равны:

о(/)=—аТ0Е coscon/.	(VII.45)

Напряжения заменяющей упруго-мгновенной задачи по-прежне-
му определяются формулой (VI 1.34). Асимптотические значения
полных напряжений

о*(0 да — аТ0Е ( 1

A Pi
Р?+<0п

^2 Pz

Рг

cos wnt —

9	2

Pl

Az \
p2+«n J

con sin con t

(VII.46)

Из этой формулы следует, что полные напряжения о* (/), так
же как и упругие напряжения (VI 1.45), изменяются по гармониче-
скому закону, но с иной амплитудой.
Глава VIII

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕМПЕРАТУРНЫХ И УСАДОЧНЫХ	j®

НАПРЯЖЕНИЯХ В БЕТОНЕ

10

При строительстве массивных бетонных сооружений часто на-
блюдается появление трещин, возникающих в них иногда даже до
приложения эксплуатационной нагрузки, например в американских
плотинах Оуахи, Гренд Кули, Боулдер 1214], а также в прискальных
зонах в период строительства отечественных плотин Бухтарминской,
Братской и Мамаканской ГЭС [2].	t8J

Типичные трещины иногда появляются также в бетонных и же- ®'
лезобетонных конструкциях ряда промышленных сооружений (гра-
дирни, резервуары, промышленные цехи и т. п.).	®

Причинами образования подобных трещин являются усадка ®
бетона и его температурные деформации, развивающиеся вследствие
экзотермии цемента, на величину которых оказывают также влия-
ние изменения температуры и влажности внешней среды. При этом
в немассивных сооружениях главную роль играют усадка и внеш-
ние температурные воздействия, в то время как основной причиной
образования трещин в массивных сооружениях являются повышение
температуры бетона при его твердении от экзотермии и последующее W
понижение ее при остывании затвердевшего массива, вызывающие
значительные температурные напряжения. В таких сооружениях
усадка может служить лишь причиной образования неглубоких
поверхностных трещин, которые впоследствии либо закрываются,
либо развиваются уже от других причин.

Температурные напряжения, возникающие в массивных соору-
жениях от экзотермии цемента и, в частности, в бетонных блоках,
на которые они разрезаются в процессе возведения, крайне нежела-
тельны. Механизм их развития таков, что в начальный период, из-
меряемый несколькими днями и характеризующийся значительным
разогревом блока, его ядро претерпевает температурные расшире-
ния, значительно превышающие деформации поверхностных слоев
бетона, ограничивающих блок. По этой причине ядро массива в пе-
риод его разогрева оказывается сжатым, а наружные, свободные
слои бетона могут испытывать растяжение. При некоторых усло-
виях (массивный столбчатый блок, высокотермичный цемент, большое
содержание цемента, быстрое возведение) это может привести к об-
разованию поверхностных температурных трещин в бетоне, появ-
лению которых способствуют усадка его открытых слоев и колеба-
ния температуры внешней среды.

Так как неглубокие поверхностные трещины, появляющиеся
в раннем возрасте бетона, впоследствии при его остывании закры-
ваются, то опасными являются только трещины, проникающие
глубоко внутрь бетонного массива.

В последующем наступает длительный период охлаждения мас-
сива, в течение которого более значительные деформации затвердев-
шего остывающего ядра, противоположные по знаку начальным
температурным расширениям, вызывают перераспределение усилий
в бетоне. Наружные свободные слои, ограничивающие высокий
столбчатый блок, оказываются сжатыми, а его ядро испытывает рас-
тяжение. При известных условиях (значительный начальный разо-
грев в период твердения, короткий период остывания, бетон с низ-
кой ползучестью) это может привести к образованию внутренних
температурных трещин в ядре массива и в совокупности с глубокими
трещинами на поверхности — к его сквозному растрескиванию.

У низких вытянутых блоков, деформации которых стеснены
скалой или ранее изготовленными блоками, на которые они уложе-
ны, в этот период могут возникать значительные растягивающие
температурные напряжения. Именно поэтому в прискальных
зонах бетонных сооружений и наблюдается наибольшее число верти-
кальных температурных трещин [2].

Для предупреждения растрескивания, а также из соображений
удобства работ массивное бетонное сооружение в процессе его
возведения приходится разрезать на отдельные блоки и устраивать
температурные швы. Размеры блоков при этом назначаются в за-
висимости от производительности механизмов, изготовляющих
и укладывающих бетон, и из условий предотвращения появления
трещин. Таким образом, при высокой производительности бетонных
работ оба эти условия вступают в противоречие друг с другом, по-
скольку первое из них требует увеличения размеров блока, а вто-
рое эти размеры ограничивает. Следовательно, необходимо научно
обосновать оптимальные размеры бетонных блоков. Эта задача по
существу все еще остается нерешенной с достаточной полнотой.
Размеры блоков обычно назначаются по производственным сообра-
жениям на основе существующего опыта и часто не удовлетворяют
второму требованию. Поэтому необходимо развитие и совершенство-
вание практических способов борьбы с образованием температурных
трещин в массивных бетонных сооружениях (применение специали-
зированных низкотермичных цементов, искусственное охлаждение
бетона, специальные способы производства работ и т. п.).

Серьезные неприятности могут причинить температурные тре-
щины в бетонных и железобетонных статически неопределимых кон-
струкциях промышленных сооружений, вызываемых колебаниями
температуры воздуха или технологическими причинами. Поэтому
и здесь приходится уделять большое внимание конструктивным
мерам: устройству температурно-усадочных швов, надлежащему
армированию, выбору рациональных конструктивных схем соору-
жений и т. п.

Исследованию температурных напряжений в бетоне посвящены
работы Б. Л. Абрамяна 11], С. В. Александровского [5, 15],
Н. X. Арутюняна [25, 26], А. В. Белова [31, 33—35], П. И. Ва-
сильева [51—53], О. Е. Власова [79], А. А. Гвоздева [63, 65],
М. М. Гришина [74], К- И. Дзюбы [77], Л. И. Дятловицкого и
Л. Б. Рабиновича [81], М. А. Задояна [83, 84], М. М. Манукяна
[115, 116], Г. Н. Маслова [117—120], Ю. А. Нилендера [134—138],
В. Г. Орехова [142, 143], Н. Я. Панарина [145, 1461, И. Е. Про-
коповича [150, 151], А. Р. Ржаницына [159, 160], М. И. Розовско-
го [164], С. Е. Фрайфельда [194], С. А. Фрида [196] и многих дру-
гих авторов.

Интересные исследования термонапряженного состояния эле-
ментов гидротехнических сооружений, в том числе и натурные,
проведены в НИС Гидропроекта им. С. Я. Жук. Краткий обзор
результатов этих исследований, выполненных только за последние
годы, дан К. И. Дзюбой [77]. Эти исследования позволили сделать
ряд важных выводов и дать рекомендации, используемые при про-
ектировании гидротехнических конструкций и сооружений.

Усадочным напряжениям в бетоне также посвящено много ис-
следований, среди которых следует, в первую очередь, указать
на оригинальные работы Н. X. Арутюняна [25], А. В. Белова
[28, 29, 30], А. А. Гвоздева [63, 65], Ю. А. Нилендера [134—138],
Т. Пауэрса и Т. Броунярда [240], Д. Пикетта [239], А. Р. Ржаницы-
на [161], И. И. Улицкого [182—184] и А. Е. Шейнина [201—204].
Широкое исследование усадки и усадочных напряжений в бетоне
было проведено в течение последних лет в НИИЖБ Госстроя СССР
[7—10, 13, 15].

В связи с актуальностью проблемы температурно-усадочных
напряжений в бетоне необходимо уточнение и совершенствование
надежных методов их расчета, учитывающих в полной мере изменчи-
вость во времени его физико-механических свойств и ползучесть.
Поэтому развитие эффективной теории температурно-усадочных
напряжений, подкрепленной экспериментом, по-прежнему является
важной задачей, решение которой связано с большими трудностями
из-за отсутствия надежных приборов для непосредственного изме-
рения напряжений в бетоне, что осложняет прямую эксперименталь-
ную проверку этой теории.

Ниже на основах линейной теории упруго-ползучего тела при
уточненных выражениях для наследственных функций бетона и
в соответствии с рекомендациями, изложенными в главах IV и VII,
рассмотрены ряд одномерных и плоская задачи о температурных
напряжениях в бетоне. При указанных условиях исследованы темпе-
ратурные напряжения и деформации в бетонных брусьях, полубес-
конечном слое (бесконечном полупространстве) и бетонном блоке
на основе соответствующих задач, рассмотренных в главе VI

§ VIII.1. Некоторые одномерные задачи о температурных
напряжениях в старом бетоне с учетом его ползучести

В начале исследуем составляющую напряжений в бесконечном
полупространстве, вызываемую изменениями его температуры по
закону (VI. 10), соответствующему гармоническим колебаниям тем-
пературы поверхности слоя. Упругие напряжения в слое при этих
условиях мы нашли в §VI.l равными (VI. 11) или, что то же:

f|l
р

Iv
4

mi

и

Bi
fee
a
a (t, z) = (t, z) + o2(t, z) =

1 — v

e~'-n z sin Xn zE (t) cos —

— -—— e~'fnz cosXnz£ (/) sin ant.	(VIII.1)

1 — v

Полные напряжения с учетом ползучести бетона и принципа
наложения воздействий будут равны:

о* (/, z) = стх (/,z) Н\ (t, tJ +о2 (/, z) Я2* (/, тх), (VIII.2)

где оу (/, z) и <т2 (/, z) — напряжения соответствующих заменяющих
упруго-мгновенных задач:

(/, z) = Е (t)e ?“nZsinXnz;

о/(/, 2) =----Е (/) e-^z cosXn z,

1 —V

(VIII.3)

а /7*! (t, Tj) и H*2 (t, tJ — коэффициенты приведения этих напря-
жений, определяемые по формуле (VI 1.7) для двух случаев Т (/),
соответственно равных:

Тг (t) = cos con t; T2(f) = sincon7.	(VIII.4)

Таким образом:

t

Н* (t,xr) = coscont— § cos сопт R (t, т) dx-,	(VIII.5)

T1
i

H2 (t, ту) = sin ion t —sin con xR (t, t) dx.	(VIII.6)

T1

Входящая в эти формулы наследственная функция второго рода
R (t, т) определяется по формуле (IV. 146) или с помощью таблиц
приложения I.

Для случая годовых гармонических колебаний температуры по-
верхности слоя с амплитудой Ап = 18° и периодом Т = 8640 ч
(соп = 0,7272-10~3 Нч) при а = 1-Ю-5 град~~1; v = 0,25; ат =
= 3-10-3 л12/ч, т. е. при Хп = 0,3482 м~1 и ту = 1 сут. были рас-
считаны упругие и полные (с учетом ползучести) напряжения в слое
для бетона, характеризуемого параметрами (VII. 13) и (VII. 14).

Вначале с помощью табл. 37 и таблиц приложения I для R (t, т)
вычислялись интегральные члены в формулах (VIII.5) и (VIII.6).
При этом интервал времени t — ту разбивался на неравные проме-
жутки (начиная от t) с шагом 0,1 сут., затем с шагом 0,3; 0,5 и 1 сут.

После этого вычислялись коэффициенты (t, xj и Н*2 (/, tJ.
Значения этих коэффициентов, найденных таким способом, приве-
дены в табл. 40, где даны также значения модуля Е (0.
Далее по формулам (VII 1.3) при Е (/) = 1 вычислялись упругие
относительные напряжения (/, z) и о2 (/, z) (табл. 41). После
этого по формуле (VII 1.2) были найдены полные напряжения в сл е
<т* (/, z).

Таблица 40

Модуль упругости и коэффициенты приведения И* (t, тО
и /72 (t, тх) упругих напряжений заменяющей задачи

t в сут.	Е (t) 10 $ 6 кгс/смг	(t. т.)	Н*2 (i, т,)
2	0,8788	0,135550	0,007030
6	1,8446	0,062411	0,021353
10	2,2686	0,047943	0,045944
20	2,5578	0,012732	0,092525
40	2,6000	—0,098716	0,164470
120	2.6000	—0,512600	0,096594

Таблица 41

Относительные упругие напряжения (при Е(0=1)
г) и о2(^« z)

Z В м	с, (f. г)	ог (t. г)
0	0	24
0,5	3,4926	19,8605
1	5,7813	15,9274
2	7,6724	9,1772
3	7,3033	4,2416
5	4,1464	—0,7127
10	—0,2464	—0,6956
20	0,01428	0,01763

На рис. 70 показаны эпюры упругих и полных напряжений
в слое, найденных с учетом ползучести. Как видно из рисунка, пол-
зучесть бетона, особенно в раннем возрасте, приводит к существен-
ному снижению температурных напряжений.

Рассмотренная задача в общем виде для старого бетона на осно-
ве теории наследственности была решена А. Р. Ржаницыным [159].
Здесь получено ее решение по теории упруго-ползучего тела
Г. Н. Маслова — Н. X. Арутюняна на основе нового аналитиче-
ского выражения для С (t, т) в формуле (IV. 133) для стареющего
бетона с переменным модулем упругости.

Исследуем теперь напряжения в защемленном по торцам бе-
тонном брусе старого возраста высотой 2z0 при вынужденной де-
формации (VI 1.26), соответствующей, например, его равномерному
остыванию или высыханию при температуре или соответственно
Рис. 70. Напряжения в бетонном слое при гармоническом изменении температуры его поверхности
/—упругие напряжения; 2—полные напряжения с учетом ползучести
эффективной влажности бетона, изменяющихся во времени по
этому закону до предельной величины То (см., например, § VIII.5).

Принимая во внимание вторую из формул (VI.63), условия зада-
чи, а также формулы (VI.48), упругие осевые напряжения в брусе1
найдем равными:

а, (/) = а£Т0 (!-<?-₽').	(VI1I.7)

Напряжения заменяющей задачи

ог/(/) = а£70.	(VIII. 8)

Коэффициент приведения //* (/), соответствующий случаю
(VII.26), был найден в § VII.4 и равен (VII.27). Таким образом,
полные напряжения в брусе с учетом ползучести будут равны’

о*(/) = сс£70Г1 —	— -^-(1 — е-Р^)-----^-(1— е-Р^) +

L	Р1	Рг

. (VIII.9)

Напряжения
8 кгс/см2

/е-₽<_е_Р1л .

Pi-Р	р2 — ₽

Продолжительность наблюдения 8 сутках

Рис. 71 Напряже-
ния в защемлен-
ном бетонном бру-
се при его равно-
мерном разогреве
по экспоненциаль-
ному закону

1 — упругие напряже-
ния; 2 — полные нап-
ряжения с учетом
ползучести

Их предельное значение совпадает с (VI 1.23) и при значениях
параметров (VI 1.24) для «среднего» бетона составляет всего 28,3%
предельных значений упругих напряжений (VIII.7).

Из формулы (VIII.9) следует, что при весьма большом р, т. е.
в случае, например, внезапно возникающего температурного пере-
пада полные напряжения равны:

O*(t)=aET0

1----(1—

Pi

-^-(1—e~P2t) .
Рг

(VIII. 10)

Их предельное значение равно (VII.23) и при значениях пара-
метров (VI 1.24) для «среднего» бетона составляет те же 28,3% пре-
дельных значений упругих напряжений (VIII.7).

На рис. 71 показаны кривые упругих и полных напряжений
в рассматриваемом брусе, рассчитанные по формулам (VIII.7)
и (VIII.9) при а = 1-Ю-5 град~1; То = 18°; |3 = 0,206 сут.-1,
Е = 2,6 105 кгс/см2 и значениях параметров А2, рх и р2
(VI 1.24) резольвенты Е (t— т) для старого бетона.

1 Напряжения ах (t), как нетрудно убедиться с помощью первой из фор-

мул (VI.63), тождественно равны нулю.
Как видно из рис. 71, ползучесть бетона не только существенно
снижает величины температурных напряжений, но и изменяет ха-
рактер их развития во времени. Если упругие напряжения монотон-
но возрастают, стремясь к некоторому пределу, то полные напряже-
ния, возрастая, проходят через свой максимум, а затем начинают
релаксировать, постепенно затухая во времени.

§ VII1.2. Напряжения в бетонной плите от экзотермии
при учете изменений температуры наружного воздуха

Исследуем с учетом ползучести температурные напряжения в за-
мыкающем блоке-плите толщиной 2z0 = 2 м перекрытия отсасы-
вающих труб (или водоприемных отверстий) гидростанции (рис. 72),
развивающиеся в нем от экзотермии и последующего остывания.

Распределение температуры в плите с учетом изменения темпера-
туры наружного воздуха было найдено в примере § 1.16 и опреде-
ляется формулой (1.213).

Рис. 72. Схема очеред-
ности бетонирования от-
сасывающих труб гидро-
станции

1 — забетонированная часть
сооружения; 2—замыкающий
блок-плита; 3 — подвесная
опалубка

Упругие температурные напряжения в плите найдем в соответст-
вии с указаниями § VI.5 по формулам (VI.63) § VI.4 , имея в виду,
в силу условий симметрии, полное защемление ее торцовых граней
у = const в ранее уложенные смежные блоки перекрытия. Грани
плиты х = const будем считать свободными от закреплений.

Расчетные изменения температуры плиты с учетом формулы
(1.213) равны:

Ф (z, f) = Ф (0 -ф(Т1) + [Т (/) -Т (т,)] F (z), (VIII. 11)
где — возраст бетона, начиная с которого в нем могут развивать-
ся температурные напряжения, отсчитанный с момента окончания
бетонирования плиты. Учитывая большие сроки схватывания порт-
ландцементов и некоторую их условность, примем равным одним
суткам.

С помощью формул (1.214), (VI.48) и (VIII.11) для погонного
метра ширины плиты имеем:

N	Ф(*1)]2го + [Т(О —	(VIII.12)

М =	~ Т 1 (sin az° ~ аго cos ос z0).	(VI11.13)
И, далее, с учетом формул (VI.63), (VIII.11) — (VIII.13), на-
ходим следующие выражения для упругих напряжений в плите:

1 — V

(0 = о‘*> (/) +	(/) = [Г (/)-Т (тх)] ф2 (z) -

~aE(t) [<р(0 —ф^)],
где

(VIII.14)

, , . sin az0
Ф1 (?) =

<%z0

3e / . —

— )2 (sir cxZq

— az0 cos a z0

. . . vsinaz0 3ve z . —

ф2 (?) = —=—- +	(sin az0 —

az0	(az0)

2z0 — толщина плиты, a

F (z) — cosccz + e sinaz.

(VIII. 15)

(VI1I.16)

Напряжения заменяющей упруго-мгновенной задачи будут рав-
ны:

а, (/> = ^-4,, (г). <М0 =о"’(0+4!)(0. (VIII.17)

где

(Z)	(г); о<2’ (/) = -аЕ (/). (VII1.18)

1 — v

Полные напряжения в плите с учетом ползучести по принципу
наложения воздействий найдем по формулам:

(0 — (O^i (^» 1-i)>	(VIII 19)

(0 =^*’ (0 НТ (/, Ь) + о<2) (/) Н*2 (t, тх),

предварительно вычислив коэффициенты приведения Н*г (t,
и //*2 (Л тг) по выражению (VII.7) для двух случаев Т (/), входящих
в формулы (VIII. 14), а именно для

Л(/) = Т(0-7(т1); 72(0 = Ф(/)-ф(т1).	(VIII.20)

Входящие сюда значения Т (тг) и <р (тх) равны:

TCrJ^l.e0; <р(т1) = 5,685°,	(VIII.21)

а текущие значения <р (/) и Т (t) берутся из табл. 10 и 16.

Ill

И(

S
а
а
п;

й
f,
L
Графики функций Ту (/) и Т2 (/) приведены на рис. 73; в табл. 42
даны их некоторые значения, необходимые в дальнейшем.

Таблица 42

Значения функций Ту (/) и Т2 (/) в град для некоторых моментов
времени наблюдения t

t в сут.	1	2	3	3,8	4	120
	0	6,3	9,200	10,300	10,485	—23,075
Л(0	0	—0,315	—0,627	—0,845	—0,945	— 15,285

Рис. 73. Графики функций Ту (1)~^Т>Т2 (t)
а—функция Т (/); б — функция <р (<)

Для вычисления интегралов (VII. 16), входящих в формулу
(VI 1.7) и соответствующих функциям Ту (/) и Т2 (/), воспользуемся
методикой, изложенной в §VII.2.

Разбивая кривые Ту (/) и Т2 (/) на характерные участки, удоб-
ные для применения таблиц приложения I, принимая во внимание
данные этих таблиц и пользуясь формулами табл. 37, найдем зна-
чения коэффициентов приведения Н*у (/, ту) и Н*2 (t, ту) для двух
моментов времени наблюдения: t = 4 сут., соответствующего наи-
большему разогреву плиты от экзотермии, и t = 120 сут. после ее
длительного остывания. Ниже в качестве примера приводится по-
рядок вычисления коэффициента Н\ (t, ту) для t = 4 сут.

Разбивая промежуток t — на четыре интервала 4—3,8;
3,8—3; 3—2 и 2—1 сут., заменяя непрерывную кривую Ту (t) ку-
"сочно-ломаной, составленной из прямых, а кривую R (t, т) — ку-
сочно-ломаной, составленной из ветвей квадратной параболы, вы-
xk

числяем последовательно интегралы [ Тг (т) R (t, т) di с помощью

формулы последней строки табл. 37:

7\ (т) R (t, x)dx =--------[0,884824 х

v v	12-0,1-0,1

3,8

(Дт1=Дт2=0,1 сут.)

X 10,30 (3-0,1 —0,1) 0,1 -1-2,083471 • 0,22 (10,3 + 10,485) +

4-5,64944 • 10,485 (3-0,1 —0,1) 0,1 ] = 5,16526 град.

Аналогично находим:

3,8

§ Л (т) R (Е т) dx = 2,25914 град\

з

з

, 7\ (т) R (t, т) dx — 1,024857 град;

2

2

, А (т) (Лт) dx = 0,258445 град.

1

Поэтому

4

(x)R(t, т) dr = 5,16526+ 2,25914 +
i

+ 1,024857 + 0,258445 = 8,707702 град.

Далее, с учетом (VI 1.7), находим:

И* (/, Т1) = 10,485—8,707702 = 1,777298 град.

Итак, при t = 4 сут.

Н\ (/, -q) = 1,777298 град.	(VIII.22)

Аналогично найдем:

при / = 4сут. Hl (t, ti) = —0,253103 град; (VI 11.23)

при / = 120 сут.

/у*	Т1) = —6,449986 град; Hl (t, rj = —2,05785 град. (VIII.24)

В табл. 40 даны значения модулей упругости Е (/) для «среднего»
бетона, вычисленных по формуле (IV.3) при параметрах (VII.13),
а в табл. 43 — значения функций + (z) иф2 (2) Для ряда характерных
Таблица 43

Значения функций 4ч (z) и ф2 (2) в отдельных точках плиты

z в м	— 1	-0,6	-0,2	0	- 0,2	0,6	1
(г)	0,45657	0,016301	-0,21047	—0,23240	—0,19453	0,035999	0,40263
Фа (г)	—0,31238	—0,67535	—0,82482	—0,80810	—0,731583	—0,423750	0,020183

Примечание. Нижняя грань плиты г=—г0 утеплена опалубкой; верхняя грань открыта.

Таблица 44

Напряжения в кгс/см^-град заменяющей упруго-мгновенной задачи в отдельных точках сечеиия плиты

Z в м		— 1	-0,6	-0,2	0	0,2	0,6	1
= 4 сут.		—0,60768	—1,31378	—1,60455	— 1,57202	— 1,42317	—0,82433	0,039262
	(/)	— 1,45900						
-*-4	(0	0,88818	0,031711	1-0,40943	—0,45209	—0,37842	0,070030	0,78325
/=120 сут.		— 1,08292	—2,34122	—2,85938	-2,80142	—2,53616	— 1,46900	0,069968
	^2)(0	-2,60000						
	МО	1,58278	0,056510 | —0,72963			—0,80565	—0,67437	0,12480	1,39579
точек плиты, найденные с учетом формул (VIII. 15), (VIII. 16) и
табл. 17 при

а = 1-10"6 град-1; v = 0,25.	(VIII.25)

Наконец, в табл. 44 даны значения упругих напряжений заме-
няющей задачи сф1’ (f), Оу2)(/) и gx (t), найденных с помощью формул
(VIII.17) и (VIII.18), табл. 40 и 43 с учетом (VIII.25) для двух вы-
бранных моментов времени.

гв9сит.

f г if сит.		t = 120 сит.		(0,939)	9 сут.	t = 120 сут.  1,790 (9,899) 38,126
(1,392)	8,212 	(-9,003)	-32208		
(0,129)-	1  0,739	\\ (-0,805)^	—2,880	/  (-1,096) Д 1	\ \  -7,269 (19(825) 1
(-0,672)	-3,968	(9,350)	±\l5,561	1 (-2,160) -+	-13,593 (21,709)	1 98,263 \  -15,109 (23,919)\	\_(M,3B9	\
(-0,809)	-9,790	(5,196)	-Н ^,590	(-2,425) -1	
(-0,728)	-1^293	(9,706)	L-ji6,B36	|	-15,995(23,793)	1 W5i721	1  I	/
(0,0569)	.0,332	(-0,369)/ /1 (-1О.гр9)1	'-1,309	(-1,966^ 1	-12(396(20,951) —r-g3,7g5	/  -9,993 (12,335) ' 69,729 /  J-L Z.l U. 1 > / > > 1 > > > > f ) > >
№			-36,523		

Рис. 74. Эпюры нормальных напряжений в плите через 4 и 120 суток после
бетонирования (цифры без скобок— упругие напряжения, цифры в скобках —
напряжения, рассчитанные с учетом ползучести)

На рис. 74 показаны эпюры упругих ох (/), оу (/) и полных
о* (0»°у (0 напряжений в плите, найденных по формулам (VIII. 19)
с учетом (VIII.22)—(VIII.25) и данных табл. 44, в рассматриваемые
моменты времени.

Из рис. 74 следует, что плита в направлении оси Оу вследствие
закрепления граней у = const вначале испытывает сжатие почти
по всему сечению, а затем, после длительного остывания, — су-
щественное растяжение. В направлении оси Ох напряжения в плите
знакопеременны, самоуравновешены и незначительны по величине.
Ползучесть существенно снижает напряжения оу (/), но в конце
периода остывания плиты эти растягивающие напряжения все же
довольно велики, что может привести к сквозной трещине в обычно
более слабом шве сопряжения с ранее уложенными блоками.

§ VII	1.3. Напряжения в бетонных блоках при их разогреве
от экзотермии

Воспользуемся решениями задач §VI.6 и VI.7 об упругих на-
пряжениях в массивных бетонных блоках для приближенной оценки
с учетом ползучести температурных напряжений, развивающихся
в них вследствие экзотермии.
Будем иметь в виду лишь первое слагаемое формулы (VI. 125),
соответствующее изменению средней температуры блока при его
разогреве, положив для определенности

ф (0 = agT[(t) ~ 7\ (/) = Т (!) - Т (тх) (VI11.26)

и приняв 7\ (/) по рис. 71 и табл. 42 при тх = 1 сут.

Таким образом, речь идет об оценке основной составляющей пол-
ных напряжений в блоке, вызываемой изменением его средней
температуры, подобным изменению температуры массивной плиты,
рассмотренной в § 1.16 и VIII.2.

Ограничимся рассмотрением блока с торцами, закрепленными
от тангенциальных смещений, изученного в §VI.6. Аналогично
всегда могут быть исследованы и напряжения в блоке со свободными
торцами (§ VI.7).

Упругие напряжения в блоке найдем умножением ординат эпюр,
изображенных на рис. 69, а на аЕ (!) [Т (/) — Т (ту)], приняв
а = 1 • 10~5 град~1, Е (/) по табл. 40 и 7\ (/) = У (/) — Т (ту) в со-
ответствии с данными табл. 16 и 42. Выполнив это, найдем:

при t = 4 сут.

(/)ki=o«or (0|ч=о « — 1  1 • 10~М,459< 105 х
U=0 у 1б=±1

X 10,485= —15,298 кгс/см2-,

(Z) |^Z°± ( ~ -1 •1'10-5•1 >459 •105 =

= -1,459 кгс'с<--
град

при t =120 сут.

)

°х (О|г) = о « (0 |т)=о±	-1 • 1 - IO"5  2,6 • 106 х

х(—23,075) = 59,995 кгс/см2-,

ч=о « (OH=o «-Ы • 10“ь-2,6-105 =
|g=o у 11= ±1

__	2 g кгс/см2
град

. (VIII.27)

(VIII.28)

Коэффициенты приведения Н * (t, ту) напряжений заменяющей
упруго-мгновенной задачи, соответствующие 7\ (/), были найдены
в § VIII.2 равными (VIII.22) и (VIII.24). Умножая напряжения,
(VIII.27) и (VIII.28) соответственно на эти коэффициенты, найдем
следующие значения полных напряжений в рассматриваемых
точках блока:

при / = 4 сут.

п=о «-1,459-1,777 = —2,593кгс/см2-, (VIII.29)

Е=± 1
при Z = 120 сут.

(О |т,=о « а* (/) _,1Г о ^-2,6 (-6,45) = 16,77 кгс/см2. (VIII.30)

Сравнивая эти напряжения с упругими напряжениями, видим,
что ползучесть приводит к существенной релаксации температурных
напряжений от экзотермии, особенно в бетоне молодого возраста.
При длительном остывании блока напряжения о-* (О|ч=о и <з* (Z)l 1]=0
ё=о ||=±1
меняют знак и становятся растягивающими. Их величина довольно
велика, так что даже при благоприятном действии ползучести воз-
можно появление вертикальной сквозной трещины по середине
блока и его отрыв от основания в приторцовых зонах. Сказанное
относится и к блоку со свободными торцами (§VI.7), поскольку эпю-
ры напряжений ох (/) и оу (t) в нем весьма схожи с эпюрами этих
напряжений в рассмотренном блоке.

§ VIII.	4. Экспериментально-теоретические исследования
температурных напряжений в бетоне

Для экспериментального изучения температурных напряжений
в бетоне были поставлены специальные опыты с призматическими
брусьями (блоками), жестко защемленными по торцам, с заданным
температурным режимом. Таким образом, в опыте искусственно
создавались условия наиболее простой одномерной температурной
задачи. Жесткая заделка блока осуществлялась с помощью специ-
альной рычажной установки [23].

Заданный температурный режим создавался специальной цирку-
ляционно-нагревательной системой с насосом и регулированием тем-
пературы водяной ванны, в которой во время опыта находился блок.

Блок с призматической частью 25 X 50 X 140 см имел форму
восьмерки. Для создания простых граничных условий защемления
по торцам он укладывался на пружинное основание в виде «матра-
ца», не препятствующее его смещениям. Опалубка боковых граней
призматической части блока набиралась из отдельных досок, уда-
ляемых перед заливкой ванны. В процессе испытания блока произ-
водилось измерение: температуры его отдельных точек, усилий в нем
и деформаций его призматической части.

В опытах была избрана наиболее простая схема испытания блока,
а именно: равномерный разогрев блока до заданной температуры без
ограничения деформаций и последующее его остывание при полно-
стью стесненных деформациях. Неизменность длины блока в про-
цессе охлаждения обеспечивалась периодическими догрузками (под-
тяжками) блока с помощью рычажной системы; величина этих до-
грузок определялась по тарировочным данным рычагов. Таким обра-
зом, экспериментально определялись температурные усилия в блоке
в любой момент времени наблюдения в условиях его жесткой заделки.
Состав бетона для блоков и контрольных образцов-близнецов
1 : 1,9 : 3,18, В!Ц=0,6 на портландцементе активностью 590 кгс!см2.
Прочность бетона в среднем оказалась равной: 390, 460 и
400 кгс!см2 соответственно в блоках № 1, 2 и 3.

Для сопоставления экспериментальных и теоретических зна-
чений температурных усилий в блоках необходимо было распола-
гать сведениями о физико-механических свойствах исследуемого
бетона. С этой целью было проведено исследование: ползучести
и релаксации напряжений при растяжении, предела прочности при
сжатии, осевом растяжении и растяжении при изгибе, модуля упру-
го-мгновенной деформации при растяжении. Эти свойства изучались
на контрольных образцах-близнецах, находящихся в ванне вместе
с блоком и проходящих тот же цикл разогрева. Перед запиранием
блока в рычажной системе образцы извлекались из ванны и после
остывания до комнатной температуры подвергались соответствующим
испытаниям.

Основные результаты испытаний бетонных блоков приведены
в табл. 45. На рис. 75, 76 и 78 результаты испытания одного из
блоков (№ 2) изображены графически. Разогрев и охлаждение по
сечениям и по длине блока были равномерными, потому на рис. 75
показана лишь одна кривая температуры для блока в целом, по-
строенная по средним из показаний термопар, заложенных в блок.

Таблица 45

Основные результаты испытания бетонных блоков

№ блока	Возраст к началу разогрева в сут.	Разогрев			Остывание		Усилия и напряжения в блоке в конце опыта				
		продолжи- тельность в ч	(Англах в град	Qode а	продолжи- тельность в ч	<А7)тах в град	га	Мх в кгС'М	Му в кгС'М	о краевое в кгс/см2	g  га  с, о  о
1	19	49	37,8	57,4	166	34,3	17,7	30,2	45,6	15,0	14,1
2	21	67,5	42,5	60,5	336	41,8	19,2	54,4	77,6	17,4	15,4
3	36	48	40,0	59,0	204	38,0	22,8	12,6	3,7	18,4	18,3

На рис. 76 показаны графики изменения во времени усилий, пе-
редаваемых тягами на блок, продольной силы и изгибающих мо-
ментов в нем, развивающихся в период его охлаждения в условиях
стесненной деформации. На этом рисунке Мх — момент относитель-
но горизонтальной, а Л4У — относительно вертикальной оси попе-
речного сечения блока.

Результаты наблюдений за температурой отдельных точек блока
и его деформациями во время разогрева позволяли определить ве-
личину коэффициента линейного расширения бетона.
Она оказалась в среднем равной: а = 1,01-10—5 (град)-1.

Наблюдение за бетонными блоками во время их остывания по-
зволяло к данному моменту времени получить следующие экспери-

Рис. 75. Кривая изменений средней температуры блока № 2 в процессе его
разогрева и остывания и схема размещения термопар в сечении блока]
1—температура блока в момент его запирания; 2 — принятая расчетная кривая

ментальные данные: 1) среднюю температуру оси блока; 2) относи-
тельную осевую деформацию блока; 3) продольную силу в блоке
или соответственно температурные напряжения в нем; 4) фактиче-
ский модуль деформации блока на отдельных ступенях его догру-
жения (подтяжки); 5) предел «длительной» прочности бетона на рас-
тяжение в условиях водяной ванны, прошедшего цикл значитель-
ного (до 60° С) разогрева и охлаждения.

Изменения средней температуры оси блока № 2 в процессе его
разогрева и охлаждения приведены на рис. 75. Ординаты А71
изображенной там расчетной кривой, отсчитанные от горизонталь-
ной пунктирной прямой, соответствующей абсолютному значению
средней температуры блока в момент его закрепления, определяют
кривую изменений температуры блока при его охлаждении, начи-
ная с этого момента времени. Будучи умноженными на соответствую-
щую величину коэффициента линейного расширения бетона, орди-
наты этой кривой дают свободные температурные деформации при
остывании блока, которые возникали бы, если бы блок не был за-
креплен от деформаций. Эти деформации и были положены в основу
определения теоретических значений температурных напряжений
в блоке. Для этого они аппроксимировались выражением.

е tt—xA = В [1 —e-fW-*.)] +А sin 2п (Z7T1) ,	(VIII.31)

Af0

причем: В = 51,4-10-5 мм/мм; А — 4-10-6 мм/мм;

р — 0,073 сут.-1; А/о = 12 сут.; тх = 2,81 сут.
Экспериментальные значения температурных напряжений в бло-
ке находились делением продольной силы в нем к данному моменту
наблюдения на площадь его поперечного сечения. Температурные

Рис. 76 Усилия в тягах, продольные силы, изгибающие моменты и действи-
тельная осевая деформация блока № 2 на периоде его остывания

изгибающие моменты вследствие их малости не учитывались1. Най-
денные таким образом значения напряжений, отнесенные к середи-

1 Краевые напряжения, найденные с учетом этих моментог (см. табл. 45),
отличались от средних напряжений, вычисленных без их учета, не более чем
Деформация после 3 суток б °/о

Рис. 77. Ползучесть бетона
различной влажности при раз-
ных температурах. Опыты
А. Тэйера

1 — «сухой» бетон; 2 — «полусухой»
бетон; 3 — «влажный» бетон; • —
/?=200 кгс/смг; Q—R=480 кгс/см*

нам интервалов между дву-
мя догружениями блока,
изображены графически на
рис. 78 в виде пунктирных
кривых 3 и соответствую-
щих экспериментальных
точек.

Модуль деформации рас-
тяжения блока находился

как частное от деления приращения напряжений в нем на прира-
щение его осевой деформации на каждой ступени догружения.

За расчетное значение модуля деформаций блока была принята
его величина, соответствующая 15-минутной ступени догруже-
ния блока, равная £ср = 0,88-105 кгс/см2.

Усилия в блоках № 1 и 3, при которых произошел их разрыв,
позволяли найти предел прочности при растяжении исследуемого
бетона в горячей воде. Для блока № 1 этот «длительный» предел
прочности на растяжение оказался равным: ор = 14,1 кгс!см\ т. е.
в 2,12 раза меньшим, чем кратковременная прочность контрольных
образцов горячего хранения, испытанных на воздухе при комнат-
ной температуре. Соответственно для блока № 3 ор = 18,3 кгс/см1
и ор.к = 39 кгс!см\ т. е. для него ор было в 2,14 раза меньше ор.к.

Влияние температуры в пределах до 100° С на ползучесть
обычных бетонов изучалась в опытах К. Ли [235], А. Тэйера [249]
и И. Серафима [246]. Результаты этих опытов показывают, что
скорость деформации ползучести существенно зависит от темпера-
туры среды, особенно в моменты времени, близкие к моменту
загружения [249].

Представляющие наибольший интерес опыты А. Тэйера (рис. 77)
вместе с тем содержат и некоторые противоречия. Как видно из
рис. 77, при одних и тех же температурах «влажные» образцы пре-
терпевают большие деформации ползучести, чем «сухие», и меньшие,

чем «полусухие».

Несмотря на известную противоречивость этих опытов, можно
все же на основании их с уверенностью сказать, что повышение тем-
пературы мокрого бетона даже в незначительных пределах сущест-
венно увеличивает скорость его ползучести, а следовательно, и аб-
солютные значения деформаций ползучести на ограниченном интер-
вале времени их наблюдения. Так, по данным А. Тэйера, ползу-
честь образцов при повышении температуры бетона от 10 до 50° С
за трое суток наблюдения увеличилась в 10,5 раза (образцы с
R = 200 кгс!см1') и в 2,6 раза (образцы с R = 480 кгс/сж3). В сред-
нем образцы с R = 415 кгс!см2, т. е. с R, близким к наблюдаемому
у бетона блоков № 2 и 3, в соответствии с изложенным должны
были бы увеличить свою ползучесть в 4,4 раза (по линейной
интерполяции).

Действительно отношения полных удельных начальных кратко-
временных деформаций горячего образца в ванне и холодного об-
разца при комнатной температуре, обратное отношению модулей
этих деформаций, у сравниваемых образцов составляли: для блока
№ 1	= 4,152; для блока №2 k2 = 4,261 и для блока № 3 k3 =

= 4,506, т. е. были весьма близки к коэффициенту увеличения ползу-
чести горячего влажного бетона в опытах А. Тэйера, равного 4,4.

Расчетные теоретические значения температурных напряжений
в испытанных блоках к моменту времени наблюдения t находились
по формуле, аналогичной (IV.18):

t

е (^—Ti)—§е(т—Ti) Rtf—т)^т
Ti

о* (/—тх)—£ср

(VIII.32)

в

которой

£ср — расчетный модуль деформации растяжения блока;

е(/—-rj — расчетная вынужденная деформация блока,
Tj — момент времени, соответствующий закреплению блока.

При этом имелось в виду, что R (I — т), е (t — о* (/ — тг)

являются функциями лишь продолжительности опыта, так как по-
следний производился на бетоне зрелого возраста, прошедшем ра-
зогрев. По этой же причине модуль деформации £ср считался
не зависящим от возраста бетона.

Теоретические кривые температурных напряжений, рассчитан-
ные с учетом и без учета ползучести, изображены на рис. 78; на
этих же рисунках показаны экспериментальные (пунктирные) кри-
вые напряжений, измеренных в период остывания блоков. Между
теоретическими кривыми температурных напряжений, рассчитан-
ных с учетом ползучести бетона, и экспериментальными кривыми
этих напряжений имеется хорошее соответствие. Учет ползучести
приводит к существенному снижению температурных напряжений
в бетонных блоках в среднем на 35%.

Теоретические значения температурных напряжений, найденные

на основе данных о ползучести и модуле упругости «холодного»
бетона, т. е. контрольных образцов, прошедших тот же цикл разо-
грева и охлаждения, но испытанных на воздухе и при комнатной
температуре, оказались в 4—5 раз больше экспериментальных зна-
чений температурных напряжений в блоках. Такое расхождение
можно объяснить существенно более высокой ползучестью мокрого
«горячего» бетона по сравнению с ползучестью бетона «холодного»
[249], что учитывалось при построении расчетных кривых ползуче-
сти «горячего» бетона.

Интересны также и некоторые другие результаты описанных
исследований температурных напряжений в бетоне.
Рис. 78. Экспериментальные и теоретические кривые температурных напря-
жений в блоках

1—теоретические упругие напряжения; 2—теоретические напряжения с учетом приведен-
ной ползучести; 3—экспериментальная кривая напряжений
Прочность бетона на растяжение у восьмерок горячего хра-
нения и испытанных при комнатной температуре оказалась ниже,
чем у соответствующих образцов-близнецов холодного хранения,
всего на 18%.

Прочность же на растяжение бетонных блоков, испытанных
непосредственно в горячей воде, значительно снизилась по сравне-
нию с контрольными образцами холодного хранения: у блока № 1
в 2,12 раза и у блока № 3 в 2,14 раза.

Здесь мы имеем полное соответствие известным опытам
А. 3. Басевича [271, JK- А. Мальцева [113, 114] и Н. А. Мещанского
[129, 130]. Напомним, что снижение прочности на растяжение
бетона, находящегося в воде, составляло в опытах А. 3. Басевича
2—2,2 раза, а в опытах К. А. Мальцева 1,87—2,14 раза.

Снижение прочности бетона при растяжении должно было
наблюдаться при деформировании блока в ванне во время его до-
гружений (подтяжек). Действительно, большое снижение модуля
деформации растяжения, так же как и прочности при растяжении,
отмечалось у блоков, растягиваемых усилиями догрузок в горячей
воде. Значения этих модулей деформации у всех трех испытанных
блоков были меньше 1 • 105 кгс!см2 и меньше модулей деформации
контрольных образцов в среднем в 4,3 раза.

Такое значительное снижение модуля деформации в горячей
воде было связано не только с указанным эффектом снижения
прочности бетона в воде, но и с существенным «размягчением»
мокрого бетона при повышении его температуры подобно тому, как
это наблюдалось в опытах К. Ли [235] и А. Тэйера [249].

Бетон исследуемых блоков в горячей воде обладал значительной
ползучестью, существенно превышающей по величине ползучесть
контрольных образцов холодного хранения. Это полностью согла-
суется с опытами К. Ли и А. Тэйера. В исследуемом бетоне это
увеличение примерно составляло от 4,1 до 4,3 раза.

Развивающиеся при остывании бетонного блока в условиях стес-
ненной деформации температурные напряжения достигли проч-
ности бетона на растяжение и в двух случаях из трех привели к раз-
рыву блоков. В результате повышенной ползучести горячего бе-
тона наблюдалось и существенное снижение температурных напря-
жений по сравнению с их теоретическими значениями, найденными
без учета ползучести. В среднем за 10 суток наблюдения оно со-
ставило 35%, т. е. примерно было равно тому, что в обычном бетоне
при комнатной температуре наблюдается на значительно более
длительных интервалах времени. Таким образом, ползучесть бе-
тона играет важную роль, существенно снижая температурные
напряжения в нем.

§ VII 1.5. Экспериментально-теоретические исследования
усадочных напряжений в бетоне

Экспериментальное изучение усадочных напряжений, развиваю-
щихся в бетоне при его высыхании, проводилось на призматических
брусьях, жестко заделанных по торцам и гидроизолированных по
боковой поверхности. Тем самым в опыте были искусственно со-
зданы условия одномерной задачи осевых высыхания и усадки об-
разца. Жесткая заделка образца производилась на специальной
рычажной установке [24], изображенной на рис. 79. Усилия на
брус передавались четырьмя (с каждого торца) тягами, заделанными
в образец на части его длины. Таким образом, торцы бруса остава-
лись открытыми для высыхания. Степень последнего в любой мо-
мент времени определяли взвешиванием на весах образца вместе

Рис. 79. Установка для экспериментального изучения}усадочных напряже-
ний в бетоне

1 — испытуемый образец; 2 — поддерживающие образец рамки; 3 — постамент; J —рабочие
тарированные рычаги; 5—рычаги; 6 — распорка; 7- тяги; 8— рамки для крепления под-
весок; 9— ножевые опоры; 10— крючья, заделанные’в образец; 11 — мессуры

с установкой. Поддержание постоянства длины образца контролиро-
валось с помощью тензометров, а необходимые для этого усилия
определялись по тарировочным данным рычагов. В ходе экспери-
мента на основании этих данных определялись продольная сила
и изгибающие моменты в образце, с помощью которых затем рассчи-
тывались усадочные напряжения в нем.

По мере развития усадки, обнаруживаемой по изменению пока-
заний тензометров, укоротившийся образец принужденно возвра-
щался к своей первоначальной длине, тем самым погашалась уса-
дочная деформация. С течением времени усилие, необходимое для
этого, прогрессирующе возрастало и в конце концов становилось
равным разрывному усилию в данном возрасте бетона. В этот мо-
мент образец разрывался.

Параллельно испытывались также образцы-близнецы в усло-
виях одномерных (осевых) высыхания и усадки без ограничения де-
формаций. Эти образцы имели те же размеры и однотипную гидро-
изоляцию, но не испытывали препятствий свободной усадке. Взве-
шиванием образцов и наблюдением за их деформациями устанавли-
вались связь между усадкой и изменением влажности бетона и ход
свободной усадки во времени, необходимые для теоретического рас-
смотрения напряженного состояния от усадки в рабочих образцах.

Ползучесть бетона при растяжении изучалась на бетонных приз-
мах сечением 5 X 5^гм. До начала испытания образцы хранились
гидроизолированными по боковой поверхности на длине, равной
21 см, а также на некоторых участках вблизи их торцов.

У концов призм имелись участки, по площади равные площади
торца и не имеющие гидроизоляции, через которые проходило высы-
хание образцов. Указанная методика хранения призм моделирова-
ла характер высыхания, аналогичный высыханию основных рабочих
образцов. Перед загружением, для исключения дальнейшего раз-
вития усадочных деформаций, призмы полностью гидроизолиро-
вались по всей поверхности.

Описанная методика позволила получить необходимые кривые
ползучести, начиная с некоторого возраста бетона, с малыми по-
грешностями, близкие к кривым ползучести непрерывно высыхаю-
щих образцов.

Методика опытов по изучению релаксации напряжений в бетоне
при его растяжении была схожа с описанной методикой опытов на
ползучесть. Отличие состояло лишь в том, что после начального
загружения образцов в заданном возрасте во времени сохранялось
постоянным не усилие в образце, а сообщенная ему загружением де-
формация. Предел прочности и модуль упругости бетона на растя-
жение определялись испытанием на осевое растяжение до разрыва
вытянутых бетонных восьмерок сечением 5 X 5 см с призматиче-
ской частью длиной 23,5 см.

После распалубки до момента испытания восьмерки хранились
запарафиненными на части боковой поверхности, аналогично
призмам, подвергаемым испытаниям на ползучесть.

Такие условия хранения обеспечивали высыхание образцов во
времени, подобное тому, которое имело место в основных образцах,
испытываемых на рычажной установке.

Предел прочности при сжатии определялся в разных возрастах
бетона испытанием бетонных кубиков 7 X 7 X 7 см.

Одновременно исследовались: ход развития во времени и вели-
чины свободной нестесненной усадки и усадочных напряжений
в бетоне, пределы прочности бетона при осевых сжатии и растяжении,
а также модуль упругости при растяжении бетона как функции его
возраста. Указанный комплекс опытов по изучению усадочных
напряжений, усадки и связанных с ними физико-механических
свойств бетона был проведен на пяти больших сериях образцов-
близнецов.

Таблица 46

Основные сведения о бетоне исследованных I — V серии

№ серии	Состав бето- на (по весу)	в/ц	Расход цемента в кг/м2	Прочность бетона в кгс/см2 при		Модуль упру- гости бетона при растяже- нии  в кгс1смг • 10~5
				сжатии	растяжении	
I	1 : 2,2 : 4,9	0,66	273	212 (—1,8)	18,5 (+5,6)	2,20 (—10,2)
II	1 : 2,1 :4,9	0,67	271	233 (+7,9)	20,9 (+6,6)	2,81 (+14,7)
III	1 : 2,2 : 4,9	0,67	273	227 (+5,1)	19,1 (—2,5)	2,42 (—1,2)
IV	1 : 2,1 : 4,9	0,74	269	190 (—12)	19,2 (—2)	2,57 (+4,9)
V	1 : 1,9 : 4,9	0,82	268	220 (—1,8)	20 (+2)	2,25 (—8,2)

Примечания: 1. Приведенные данные механических испытаний
относятся к 28-дневному бетону.

2. Прочность на растяжение бетона II серии найдена по линейной
интерполяции соответствующих данных для бетона в возрасте 21 и 39 су-
ток.

Как следует из табл. 46, во всех пяти сериях удалось получить
однородный и сравнимый по физико-механическим свойствам
бетон1.

Для изготовления бетона применялись портландцемент актив-
ностью 475 кгс!см\ речной песок и мелкий щебень из двух фракций
2,5—5 и 5—10 мм в соотношении 1:1; кривая роста во времени
модуля упругости аппроксимирована экспоненциальной зависи-
мостью (IV. 162) при

£о = 2,6-1О5 кгс/см2- 0 = 0,206 сут.-1.	(VIII.33)

Сводные осредненные кривые удельных деформаций и релакса-
ции удельных напряжений по всем сериям испытанных образцов
приведены на рис. 33, в; они и были положены в основу расчета тео-
ретических значений усадочных напряжений в исследуемых бетон-
ных образцах.

На рис. 80 приведены результаты наблюдений за рабочими об-
разцами III серии. Цифрами указаны значения усилий в заделан-
ных образцах в момент их разрыва; цифрами в скобках — среднее
значение продольной силы и сумма изгибающих моментов в образце
соответственно в момент его разрыва. Из двух моментов для каждого
из образцов указан только один, имевший в опыте наибольшую ве-

1 В столбцах табл. 46, где содержатся две цифры, последние имеют сле-
дующий смысл: цифра без скобок означает среднее для соответствующих
образцов-близнецов данной серии, а в скобках — наибольший процент от-
клонения, наблюдавшийся в данной серии, от среднего для всех соответст-
вующих образцов-близнецов всех пяти серий.
личину; для другого момента указана лишь его величина в момент
разрыва образца.

Развитие усадки во времени начиналось у всех серий образцов
сравнительно поздно (в среднем в возрасте бетона, равном 12—16 сут-
кам), т. е. на 7—11-й день после начала их высыхания, которое
было замедлено вследствие гидроизоляции их боковой поверхности.

65 70

Возраст бетона б суткак к но менту наблюдения

Рис. 80. Результаты наблюдения за образцами III серии, претерпевающими
свободную усадку и испытываемыми в рычажно-упряжных установках
а — кривая усадки свободных образцов; б—влагопотери образцов; в—усадочные усилия
в защемленных образцах; в —нагруженные образцы; Q, А, □ —ненаг ружейные образцы







Аналогичным образом развитие усадочных напряжений в заделан-
ных образцах начиналось практически также в эти сроки, по тем же
причинам отдаленные от начала их высыхания.

Некоторые начальные значительные влагопотери образцов в
результате удаления свободной воды не сопровождались ни раз-
витием усадки, ни возникновением усадочных напряжений. Это
обстоятельство неоднократно подчеркивалось ранее и наблюдалось
и в прежних экспериментах автора [7, 9].
Во всех сравниваемых сериях опытов напряженные образцы
имели заметно большие величины влагопотерь, чем их ненагружен-
ные образцы-близнецы, претерпевающие свободную усадку.

Соответствующие средние превышения влагопотерь у нагружен-
ных образцов к моменту из разрыва при этом были равны: 3,6 г —
у образцов I серии, 2,9 г —-у образцов III серии, 2,7 г — у образ-
цов IV серии и 1,1г — у образцов V серии, что составляет соответст-
венно 13,2; 9,7; 10,1 и 4,4% влагопотерь к этому моменту времени
у ненагруженных образцов. Это объясняется влиянием на высыхание
бетона развивающихся в нем усадочных напряжений, что согла-
суется с результатами прежних опытов автора [8, 13].

Наконец, на рис. 81 изображены сводные осредненные кривые
усадки, изменений весовой относительной влажности и усадочных
напряжений нагруженных образцов сравниваемых серий опытов.
Пунктиром нанесены также соответствующие средние кривые, ко-
торые и были положены в основу определения теоретических зна-
чений усадочных напряжений в защемленных образцах при задан-
ном законе развития во времени усадки в них. Эти значения в лю-
бой момент t можно найти из условия совместности деформаций в
форме

«н(0 + еу.н(0 = 0	(VIII.34)

по формуле

= Е,..я (/. г,) - $ е, (г, т,) R (I, т) A,	(VIII.35)

"£1

где Е (/) — модуль упругости бетона; еу.н(£,	— закон развития

во времени усадки в нагруженном образце.

Функция R (t, т) определяется по формуле (IV.26).

Развитие усадки и усадочных напряжений в образцах начиналось
с того момента, после которого модуль упругости бетона практически
уже не изменялся. Поэтому было принято Е (t) = Ео = const
и выбрано в качестве Ео его предельное значение (VIII.33).

Закон развития во времени средних относительных деформаций
усадки нагруженных образцов (рис. 81) аппроксимировался зави-
симостью

£у.н(Л И)=ео(*— Ti)>	(VIII.36)

где

е0 — 0,286-10~5 мм/мм-, ту —16 сут. (VIII.37)

Внося (VIII.36) в (VIII.35), интегрируя по частям, принимая во
внимание (IV.26) и учитывая, что е (тъ ту) = 0, найдем:

i

о (/, Ti) = е0 § р (t, т) dr.
Tj

(VI 11.38)
Входящая сюда функция р (t, т) в нашем случае задана в виде
экспериментальных кривых релаксации удельных напряжений,
изображенных на рис. 33, в. Однако эти кривые относятся к бе-

Возраст бетона В сутках к пйменту наблюдения

Рис. 81. Сводные приведенные кривые усадки, изменений весовой относи-
тельной влажности и усадочных напряжений в защемленных образцах срав-
ниваемых серий опытов

------приведенные кривые для отдельных серий опытов;-------осредиенные по всем
сравниваемым сериям опытов расчетные кривые; 1 — I серия опытов; 2—III серия;

3 — IV серия; 4— V серия

тону, не высыхающему с момента загружения. Поэтому их следует
несколько видоизменить с учетом последующего высыхания образ-
цов-близнецов, подвергнутых испытаниям на усадочные напря-
жения.
Из рис. 33, в вытекает, что кривые релаксации образцов, за-
груженных в более поздние сроки (26, 28 и 29 сут.), по истечении
большого интервала времени выходят на одну горизонтальную
асимптоту. Это означает, что влияние высыхания на ползучесть
бетона к этим срокам его загружения уже практически исчерпы-
вается. Поэтому мы можем кривые релаксации непрерывно высыхаю-
щего бетона более ранних сроков загружения представить огибаю-
щими кривыми, выходящими на ту же асимптоту.

Эти кривые аппроксимировались формулой

р (f, т) =^-(^-^6-^1) [1

—В2[1—е-р/.Ж],	(VIII.39)

при Ео = 2,6-10Б кгс/см2-, Bt = 0,6- 10Б кгс/см2-,
В2.= 0,82-10б кгс/см2-, В3= 14,8- 10Б кгс/см2-,
рх = 0,61 сут.-1; р3 = 2,5 сут.-1;

ц — 0,17 сут.-1.

(УШЛО)

Внося (VIII.39) в (VIII.38), находим:

о(/, 't1)=Eoey.H(Z—— -^-,(Bi + B2—Вае~& —

-	9[1 -e~p2'(T~°])• (VIII.41)

Pi U — T1J	p2 (I — Ti)	J

На рис. 82 нанесена рассчитанная по формуле (VIII.41) с уче-
том (VI 11.40) теоретическая кривая усадочных напряжений в за-
щемленных образцах. Там же показаны экспериментальная кривая
этих напряжений и теоретическая кривая упругих усадочных напря-
жений, рассчитанных без учета ползучести. На рисунке указаны
также сроки разрыва исследуемых образцов во время их испытания.
Как видно из рис. 82, экспериментальная и теоретическая кривые
усадочных напряжений пересекаются в точке, близкой к среднему
моменту времени разрыва образцов, и дают при этом напряжения,
близкие к пределу прочности на растяжение исследуемого бетона.
Напряжения разрыва, соответствующие точке пересечения этих
кривых, составляют около 18 кгс/см2, т. е. примерно всего на 8%
ниже средней кратковременной прочности бетона на растяжение,
равной ~ 19,6 кгс/см2 (см. табл. 46). Физически это вполне объяс-
нимо, так как известно, что предел длительной прочности бетона
несколько ниже его кратковременной прочности.

Нужно иметь в виду, что в момент разрыва образцов в них име-
лись некоторые, хотя и незначительные, изгибающие моменты (см.
например, рис. 80, в). По этой причине, а также вследствие неодно-
родности бетона разрывы большего числа образцов наступали не-
сколько ранее теоретического времени разрыва, соответствующего
случаю осевого растяжения однородного бетона, который и имеет-
ся в виду при построении теоретической кривой усадочных напря-
жений.

Из изложенного следует, что полученная теоретическая кривая
усадочных напряжений в защемленных образцах количественно
согласуется с экспериментальными данными о предельных величи-
нах напряжений разрыва от усадки бетона. Вместе с тем экспери-
ментальная кривая усадочных напряжений по своему очертанию
отличается от теоретической. Это связано с принятым способом
передачи усилия растяжения образцу через крючья, заделанные
в него у его торцов.

Рис. 82. Экспериментальная н теоретические кривые усадочных напряжений
в защемленных бетонных образцах

1—теоретические упругие напряжения; 2— экспериментальная кривая напряжений —
теоретическая кривая полных напряжений, найденных с учетом ползучести бетона;

4 — образец разорвался преждевременно у крюка тяги

При этих условиях возникающую в образце деформацию усадки
приходилось погашать в опыте усилием, хотя и действующим на
всей длине образца, но вызывающим его удлинение в основном за
счет растяжения средней неармированной части. »

Совершенно очевидно, что для погашения деформации, развив-
шейся на всей длине образца, его растяжением на меньшей базе
(т. е. части его длины) в эксперименте требовались большие напря-
жения, чем в случае расчетной теоретической схемы, когда предпо-
лагается равномерное удлинение бетонного образца на всей его
длине. В соответствии с этим экспериментальная кривая усадочных
напряжений на рис, 82 в начале процесса располагается выше соот-
ветствующей теоретической кривой.

Незадолго до разрыва образца в нем образуются прогрессирую-
щие микронадрывы и деформативность его повышается. При этих
условиях для погашения соответствующих ступеней деформаций
усадки в опыте требовались уже меньшие значения напряжений.
По этой причине экспериментальная кривая напряжений на
рис. 82 начинает загибаться вправо; наступает как бы «текучесть»
бетона, заканчивающаяся разрывом образца.

Возвращаясь к результатам описанных исследований, мы видим,
что экспериментальные значения усадочных напряжений значитель-
но ниже теоретических упругих напряжений, найденных в предпо-
ложении отсутствия ползучести бетона. К моменту разрыва образцов
полные напряжения в них были примерно в 2 раза ниже теоретиче-
ских упругих. Таким образом, ползучесть существенно снижает
напряжения в бетоне от усадки.

Проведенные исследования усадки и усадочных напряжений поз-
воляют сделать еще следующие выводы.

Теория упруго-ползучегс тела Т.Н. Маслова—Н. X. Арутюняна
при надлежащем выборе аналитического выражения для наследст-
венной функции второго рода 7? (/, т) в формуле (IV.26) с учетом
(VIII.39) дает хорошее соответствие результатам эксперимента
и правильно оцени: ает вел чины усадочных напряжений в высыхаю-
щем бетоне.

Выражение (VIII.39) для полных удельных напряжений р (/ — т)
и получаемое на его основе с учетом (IV.26) выражение для функции
влияния второго рода R (t — т):

R <Z~T) =4- <Р1 (в1~вз e-p‘ +

+ В2р2е-р*Р-т)}.	(VIII.42)

для практически нестареющего, но высыхающего бетона хорошо
согласуется с результатами эксперимента и может быть рекомендо-
вано для применения.
Глава IX

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ БЕЗ ТРЕЩИН
ПРИ НАЛИЧИИ ВЫНУЖДЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ

В главе VII мы видели, что отыскание полных напряжений
о*х (t), ...,t*xv (f), ... в бетоне с учетом ползучести,сводится к на-
хождению напряжений (VII.4) заменяющей упруго-мгновенной
задачи и коэффициента приведения H*(t, (VII.7).

Отыскав эти напряжения (VI 1.4) и коэффициент Н* (t, tx), по
формулам (VI 1.6) всегда можно найти искомые полные напряжения.

Для определения напряженно-деформированного состояния одно-
родной среды (бетона) уравнений (VII.4), (VII.6) и (VII.7) вполне
достаточно. Поэтому для расчета бетонных элементов и однород-
ных конструкций из них никаких дополнительных уравнений не
требуется.

В главах VI —VIII подробно рассмотрен ряд практически важ-
ных задач подобного вида.

Для неоднородных сред (армированный бетон, неоднородные
сборно-монолитные конструкции) уравнений (VII.4), (VII.6) и
(VII.7) уже недостаточно. Чтобы описать их напряженно-дефор-
мированное состояние кроме приведенных уравнений приходится
привлекать уравнения равновесия и совместности деформаций
сопрягающихся элементов из старого и молодого бетонов или бе-
тона и арматуры, а в некоторых сложных случаях (изгиб и вне-
центренное сжатие) и геометрические гипотезы о характере дефор-
мирования (закон плоских сечений). Ниже на ряде конкретных
примеров показано, как это делается.

§ IX.1. Напряженно-деформированное состояние
армированных сжато-изогнутых элементов

Рассмотрим напряженно-деформированное состояние, вызывае-
мое внешней нагрузкой и вынужденными деформациями, средней
части армированного сжато-изогнутого призматического элемента,
достаточно удаленной от его концов, для которой можно считать,
что ее сечения остаются плоскими и в них не нарушается сцепление
арматуры с бетоном. С хорошей степенью приближения это прием-
лемо для предварительно-напряженных железобетонных элементов
или обычных ненапряженных, работающих без трещин при эксплу-
атационных нагрузках.

Будем иметь в виду поперечное сечение произвольной формы,
но с одной осью симметрии, с односторонним армированием. Не-
обходимые обозначения геометрических параметров даны на рис. 83.

Пусть бетон и арматура имеют модули упругости соответствен-
но /? (/) и Еа.

Рассмотрим случай сжимающей, переменной по величине, про-
дольной силы N (t), внецентренно приложенной, начиная с возраста
бетона т = тх, с переменным эксцентриситетом (/) относительно
центра тяжести 0б бетонной части поперечного сечения элемента.
Будем иметь в виду одновременное действие на него линейно рас-
пределенной по сечению вынужденной деформации бетона

вО(/,*/) = е° (0(1+	(IX. 1)

Роль такой вынужденной деформации могут играть, например,,
температурная

ео(/, г/) = сс7(/)(1+М	(IX.2)

или усадочная

8°(/, z/) = pt/(/)(!+М	(IX.3)

Обозначим напряжения в бетоне и

рез об (/, у) и оа (/), тогда условия

деформации, вызываемые
соответственно изменением
Т (0 — средней темпера-
туры или изменением
U (0 — средней влажности
бетона и их градиентов.

В формулах (IX.2) и
(IX.3) а — коэффициент
линейного расширения, а
Р — коэффициент линей-
ной усадки бетона.

арматуре соответственно че-

равновесия элемента:

N6(t)+Fa<Ja(t)=N(ty,

(IX.4).

Здесь N6 (f) и Мб (f) — соответственно равнодействующая на-
пряжений в бетоне и ее момент относительно центра тяжести Об
бетонного сечения элемента.

Нормальные сжимающие напряжения в бетоне от действия силы
N (/) с учетом закона плоских сечений равны:

<у6 (t, у) =	,	(IX.5)

F& [/б

где у — текущая ордината точки, а /б — момент инерции бетонной -
части поперечного сечения относительно горизонтальной оси х,
проходящей через центр тяжести Об.

Внося в (IX.5) Лгб (/) и Л4б (t), взятые из (IX.4), находим:

аб (Л У) =-------—- н-------------------j~5---------- (IX.

°«W =---------------------------------- •	<1Х-7>
Между полной продольной относительной деформацией бетона
еб (^> У) и напряжениями об (/, у) в рассматриваемом нами случае
имеется следующая связь:

вб (/, у) = е° (0 (1 4- by) 4- °б^’У~ + Г °6??L (t, т) dr.	(IX.8)

Подставляя ос (t, у), взятое из (IX.6), в (IX.8), находим:

Еб (t У) = Е°(^^ +Ьу)Л

N (t) — Оа (t)Fa
Е (/) F&

(0 eN (t)+oa(t)Faya] у Р (N(%y—oa(T)Fa
Е(0/б	+ jt E(t)F6

h

+ [«W^(T) + „	L A_	(IX 9)

£ (v '6	)

Из условия совместности деформаций арматуры и бетона
имеем;

Еб (t, У)/у= -ул = еа (0 ‘	(IX. 10)

Пользуясь соотношениями (IX.8), (IX.9), (IX.10), учитывая,
что

е.(0 = 4Я,	<1Х11>

Еа

и вводя обозначения:

I = I6+F6yl-
n6 = -L^l + ^l
6 /б	/б

(IX. 12)

для напряжений оа (/) и об (t, у) получаем интегральные уравнения
Вольтерра второго рода:

t

оа (0 = fi (0 — J оа (т) К (/, т) dr-
h

t

^б У) = 7г (t, У) — $ об (т, у) К (t, х) dx
ii

(IX.13)

-с ядром

K(t, т) =

щгб т (т)
14-щ?б/и (Z)

L (t, Т)

(IX.14)
и свободными членами:

= ЕаеР (t) (I — ЬУа) ।

1 + ]im (t) «б	F6 /б [1 +Н”б т (О1

+ Г N^}[IG-eN (т) уаГб] К{^ х>) dx.	(1Х д 5)

J	^а^б^б

. .. .	М0К'6-Ш , N(t)[I6+eN(t)yF5]

М'У>~	t- /бДб +

+ С	x}dx	(IX 16)

J	I& Уб

Ti

При N (/) = No = const и eN (t) = eN = const формулы (IX. 15),
(IX. 16) принимают вид:

/(')= , +Д(|) р(0(1-ад +
, NAI6-eNyaF^{t’ Ti)l.

F6^	J’

(IX.15)'

f2	~ /б^б U + Ц«б m (!)] П + ^б £a 6 Ti)l

^КШб-ГбУьУ)-
'6

(IX. 16)'

Решения уравнений (IX.13) имеют вид:

t	'i

<^а (^) = fl (0 — 5 fl (Т) Н (Z> Т)
т»

t

У) = ft У) — к (т> У)НЦ, т) dr,
Т1

(IX. 17)

где И (t, т) — резольвента ядра К (t, т), связанная с ним соотно-
шением

t

К (t, т)—Н (t, т) = $ К (t, В) Н (В, т) dt,.
т

(IX. 18)

ta

□15
iiti
ta
Im
J

Перемещение точек поперечного сечения элемента вдоль его оси
равно:

Z

w (t, y,z)= ео (t, у) dz.
о

(IX.19)
Взаимный угол поворота поперечных сечений элемента

. dw(t,y, г)

=।
ду

(IX.20)

Осевое удлинение элемента и взаимный угол поворота его тор-
цовых сечений с учетом (IX.8) будут соответственно равны:

w(l,y, г)/„.о=/к(О + ^^+	(IX.21)

z=l	Е (0 J £ (Т)	J

Т1

ф (t, z)/z=i = I

C-^-Go(T,y)

E° (t)b + —-----------h -------------L {t, t) .

E (f) J E (t)	J

(IX.22)

В выражениях (IX.21) — (IX.22) напряжения об (/, у) опреде-
ляются по второй из формул (IX. 17), а

%('. У)
ду

с ее учетом равно:

дап (t, у)	р

- °’ = k (0 - СО н (/, т) dx,	(IX.23)

ду	J

где

„ fi(t) F&ya N(t)eN(t) Г N(x)eN(r)

f3 (0 =----;------+------+ -------------r1---К (t, т) dx. (IX.24)

JG	JG	J	JG

Отыскание резольвенты H (t, x) ядра (IX. 14) для бетона сред-
него возраста весьма затруднительно, но может быть сведено к ре-
шению обыкновенного дифференциального уравнения второго по-
рядка с переменными коэффициентами, зависящими от времени t
при заданных начальных условиях.

Для старого бетона, для цоторого Е (т) = Еъ = const и т (т) =
= т =	= const, ядро (IX. 14) принимает вид:

К (J—т) = Ео [уф0ег~х <'-т) 4-аД0е-“	(IX.25)

где

_ ynv.mEa
Eq -

1т

(IX.26)
Его резольвента может быть легко найдена и равна:

Н (t—т) = Д е-Р* +Л2	<<-’>,	(IX.27)

где

А =----—  {(Wo + «До) l£0 (Wo + «до) — Р2] +

Р1-Рг

+ «2Ao + yWo};	(IX.28)

A = Eo(Wo + °A))—А»	4 (IX.29)

a Pi и р2 — корни характеристического уравнения:

Р2 — [Т (1 + AWoH«(l +до£о)1р +

+ аТ[Ц-Ео(фо + до)]=0.	(IX.30)

Наконец, для бетона молодого возраста и /, близких к т, когда
т (т)	т (т)

6	- »—А ,	(IX.31)

1+РлбтЮ	m (О

резольвента Н (I, т) ядра (IX. 14) равна:

Я(Лт) = -^-Я(/,т),	(IX.32)

в чем легко убедиться при подстановке (IX.32) в (IX. 18) с учетом
(IX.31).

Рассмотрим некоторые частные случаи исследованной выше
общей задачи о напряженно-деформированном состоянии сжато-
изогнутого железобетонного элемента.

Случай 1. Элемент не армирован. В этом случае уравнения
для сга (/) теряют смысл и должны быть отброшены; ц = 0 и, следо-
вательно,

К (t, т) = 0, f2 (t, у) =	[1б + eN (0 Ес у],

'б Гб

поэтому

.. .	, .. . N(t) I М (t) у

Об (t, у) = f2 (t, у) =	.

2 б	б

Таким образом, напряжения в брусе подчиняются закону пло-
ских сечений и, в силу статической определимости, тождественны
напряжениям, определяемым как в упругом теле. Следовательно,
ползучесть бетона в данном случае не влияет на его напряженное
состояние, а при N (/) = М (t) = 0 и вынужденной деформации,
заданной в форме (IX. 1), брус оказывается ненапряженным.
Случай 2. Внешняя нагрузка отсутствует, т. е. М (/) =
— N (t) = 0; е° (/) #= 0. В этом случае:

f	(ОО-^а) .

/1U	14-[лп6т(/)

г \ Rga е° (0(1 —bt/a) (/б—У)
12{’У	/б(1 + р«бт(0]

и эпюры напряжений сгб (t, у) и оа (/), найденные с учетом этого,
как нетрудно убедиться, взаимно уравновешены.

Случай. 3. Вынужденная деформация отсутствует, т. е.
е° (f) = 0. В этом случае эпюры оС)(/, у) и оа (t) взаимно неуравнове-
шены, равнодействующая этих напряжений, будучи приведенной
к центру тяжести сечения, дает продольную силу и момент, урав-
новешивающие главный вектор и главный момент внешней нагрузки,
а сами напряжения об (/, у) и аа (f) отличны от напряжений, опре-
деленных как для упругого тела, и отыскиваются на основе инте-
гральных уравнений вида (IX.13). Следовательно, в этом случае,
так же как и в общем случае совместного действия внешней нагруз-
ки и вынужденной деформации, ползучесть оказывает существен-
ное влияние на напряжения в бетоне и арматуре, изменяя и
перераспределяя их во времени.

Из рассмотренного общего случая внецентренного сжатия желе-
зобетонного элемента могут быть легко получены более простые
случаи изгиба и центрального сжатия. Мы рассмотрим их ниже.

§ IX.2. Напряженно-деформированное состояние
армированного изгибаемого элемента

Чтобы получить необходимые формулы для напряжений и де-
формаций бетона и арматуры изгибаемого элемента с односторонним
армированием, в уравнениях § IX. 1 следует всюду положить

М(0 = 0;	(IX.33)

В результате найдем, что напряжения в бетоне и арматуре по-
прежнему нужно определять по уравнениям (IX.17), в которых:

£ /^_ 5ае° (/)(! — bj/a)

1 -и [V?6 m (0	/б [ 1 -i- [ЛП6 m (01

_ Г Wfe K T) dx,	(IX. 34)

J Ц«б/б

(Л y) =	Уа У) fl (0 +

'6

J к T) dT>	(ix.35)

a fr (0 в формуле (IX.35) берется из (IX.34).
В частном случае момента, постоянного во времени М (t) =
= М — const, формулы (1-Х.34) и (IX.35) принимают вид:

М0=, . £‘	; <1Х-36>

1 +p.n6m(0L	'б J

f2 (Л =	[У + и£а {у + У а) б (Л Ч)] —

—цЕа е° (/) (1 — bya) (I6—F6 уа I/)}.

(IX.37)

Осевые перемещения точек и взаимные углы поворота поперечных
сечений элемента, его осевое удлинение и взаимный угол поворота
торцовых сечений по-прежнему следует определять по выражениям
(IX. 19)—(IX.22) с учетом формулы (IX.23), в которой

f3 (f) = Уа + /ТО + f	f) jT> (IX.38)

/б уб J 1б

а Д (/) берется из (IX.34).

§ IX.3. Напряженно-деформированное состояние
армированного центрально-сжатого элемента

Рассмотрим теперь центрально-сжатый элемент с двусторонней
арматурой, общий центр тяжести которой совпадает с центром тя-
жести бетонного сечения, и этот элемент подвергнут равномерной
вынужденной деформации е° (/). Чтобы получить соответствующие
этому случаю формулы для напряжений бетона и арматуры, не-
обходимо в уравнениях § IX. 1 всюду положить:

М0=0; t/a = 0; 6 = 0.	(IX.39)

При этом напряжения в бетоне и арматуре по-прежнему будут
определяться по формулам (IX. 17), в которых:

fi (0 =------ Еа е° (0 +	1 +

1	+ hMOL	Гб J

+ f К (t, т) di-,	(IX.40)

J Га
и

/.(0 =	1	Р-Й--р£ае»(о].	(IX.41)

1+щп(0 [ f6	J

I.
я
Ф
m

И
№
|№
о
ч
и
И
ВЦ

аре
.«я
и

В рассматриваемом случае взаимные углы поворота поперечных
сечений элемента будут равны нулю, а его осевое удлинение следует
определять по формуле (IX.21) с учетом (IX. 17), (IX.40) и (IX.41).

я®

%
В частном случае постоянной во времени силы N (/) — N = const
формулы (IX.40) и (IX.41) принимают вид:

Ь = -7Т£-Л-к(0 + 4" 6гЛ]'	(1Х-42>

М0 = 	---		(IX.43)

1-Ppm (t) L Fg	J

§ IX.4. Релаксация напряжений и усилий
в железобетонном элементе

Полученные в § IX. 1—IX.3 формулы для напряжений в бетон
и арматуре соответствуют общему случают одновременного действия
нагрузки и вынужденной деформации на железобетонный элемент
при отсутствии внешних связей, препятствующих перемещениям
точек его свободных торцовых сечений. Если в рассматриваемом
случае действует только нагрузка или только вынужденная деформа-
ция, эти формулы упрощаются. Чтобы получить эти более простые
формулы, достаточно положить в них е° (/) = 0; N (/) =/= 0, если
рассматривается только действие нагрузки, или е° (Z)y=O; N (/)=0—
если рассматривается только действие вынужденной деформации.

Представляет особый интерес случай, когда торцы железобе-
тонного (бетонного) элемента испытывают заданные принудитель-
ные взаимные поступательное и угловое перемещения с одновремен-
ным действием вынужденной температурной или влажностной де-
формации, также заданной, например, в формуле (IX. 1). Этот слу-
чай релаксационной задачи, таким образом, характерен тем, что
заданы:

полное осевое удлинение эле- 1ента

(t, У, z) I v=o = w0(t)	(IX. 44)

| z=l

и полный взаимный угол поворота его торцовых сечений

ф (Л Z) I 2= Z = Фо (0

(IX.45)

с учетом дополнительной вынужденной температурной или влажност-
ной относительной деформации (IX. 1) и ставится задача отыскать на-
пряжения в арматуре оа (/), закон релаксации напряжений в бе-
тоне об (t, у) и усилия в элементе 2V (/) и М (/) = /V (/) eN (/).

Нетрудно видеть, что условиям (IX.44) и (IX.45) соответствует
задание полной относительной деформации бетона в форме



(IX.46)
Внося (IX.46) в выражение (IX.8), соответствующее как раз
случаю (IX.1), найдем следующее уравнение для отыскания напря-
жений в бетоне об (/, у):

__ео m (1	= рс(Лу). + С Об(т, у)_ L(f fa

I Г I	М	Е (t) J Е(т) V ’

Ti

(IX.47)
в котором

МО—eo(0* = W)	(IX.48)

— собственно принудительная осевая деформация элемента, а
Фо (0—e0(0M = A<p(/)	(IX.49)

— собственно принудительный взаимный угол поворота его пло-
ских торцовых сечений.

Представляя об (t, у) в форме

аб(0//)=^,)(0 + 42)(Л г/),	(IX.50)

внося (IX.50) в (IX.47) и группируя члены для слагающих напря-
жений о(б’(0 и о'б’ (0 у), будем иметь следующие интегральные
уравнения:

®о(О 0...	<#’(0 . (’°б1,(т),„ . ,	,IY КП

— -----е°(/	(Л т dr;	(IX.51)

I	E(t) J Е (т)

Т1

4,0 (/) У Н\ h,,	°б2) (0 У) С °б2) <т> У) т (t . - /TV К 04

--- -----е0 (/) by = ——------——— L (t,x) dx,	(IX.52)
I--------E (0 J E (t)

Tj

решения которых имеют вид:

— e°(/) —	— e°(r) /?(/,T)drj; (IX.53)

42)(0.v) = ^(0z/

(IX.54)



№.

El!

it»



Фо (0 co

I

Фо (т)
/

e° (r) b R (/, r)cfr.j .

1 {(j.

h{
ЗЕй
Зйд

III

Отыскав по формулам (IX.53) и (IX.54) напряжения о”’ (0
и 0*6* (Л у) и суммируя их в соответствии с выражением (IX.50),
найдем полные напряжения в бетоне об (t, у).

Поскольку относительная деформация бетона в рассматривае-
мом случае задана и равна (IX.46), с учетом совместности дефор-
маций бетона и арматуры (IX. 10) напряжения в последней будут'
равны:

р

<*а (0 = ~ 1^0 (0 — Фо (0 Z/aL

(IX.55)

Таким образом, если полное осевое удлинение w0 (/) и взаимный
угол поворота торцовых сечений элемента <р0 (/) равны нулю

(0 = Фо (V = 0

(брус жестко защемлен по торцам), то напряжения об (t, у) в бе-
тоне, определяемые с учетом выражения (IX.48) слагаются из на-
пряжений а(б’ (/) и о(б’ (/, у), отличных от нуля, и равны:

t

<4° (/) = — Е(/) [е° (0 — е° (т) R (t, т) dx]-,

t

Об2) (t, У) — —Е (/) by [е° (/) — § е° (т) R (/, т) dx],

Ti

(IX.56)

Следовательно,

t

об (t, у) = —Е (/) (1 +Ьу) [е° (0 — $ е° (т) R (/, т)dx]. (IX.57)

Напряжения же в арматуре в этом случае в соответствии с фор-
мулой (IX.55) равны нулю.

Если же ш0 (/) и <р0 (/) равны соответственно осевой деформации
и взаимному углу поворота торцовых сечений элемента от усадки, то

AZ (Z) = Д<р (/) = 0.

(IX.58)

В этом случае из уравнений (IX.50), (IX.51) и (IX.52) следует, что

<ГбП (Z) = о(б2) (Е У) = аб (Л у) - 0,’
а из формул (IX.48), (IX.49) и (IX.55)

(IX.59)

<^а (0 = £а(1—Ш е° (0-

(IX.60)

Имея формулы для напряжений в бетоне и арматуре, найдем
реакции «в заделке», т. е. усилие ZV (Z) и момент М (/), необходимые
для создания заданных осевого удлинения w0 (/) и взаимного угла
поворота торцовых сечений элемента ф0 (Z):

^(0=оа(ПЛ+$об(^1/)^;

7И (0 = са (0 Fa уа + $ об У) ydF.

F

(IX.61)
В случае железобетонного элемента прямоугольного сечения
с учетом формул (IX.50) и (IX.53)—(IX.55) будем иметь:

N (/) =	(/) [а,0 (/) - Фо (/) i/a] + w0 (/) -

t

—е° (/) I— § [ц’0(г) — е° (т) I] R (/,т) Jtj ;	(IX.62)

Т1

М	[ fayam(0	(/)__фо (/)	+

I I ‘б

t

+ Фо Ю — е° (0 Ы — 5 [Фо (т)—е° (т) Ы ] R (t, т) dt\ (IX.63)

Т1

Если брус жестко защемлен по торцам, то в этом случае с учетом
(IX.53):

t

N (0 = — Е (/) Еб [е° (/) — е° (т) R (I, т) dr];

Т,

t

М (t) = —Е (Z) W6 [e° (/) — J e° (t) R (t, t) dr],
ti

(IX.64)

Итак, в § VI. 1—VI.4 мы получили общие формулы для напряже-
ний и деформаций бетона и арматуры железобетонного элемента,
подвергнутого воздействию переменных во времени внешней на-
грузки, вынужденных и искусственно принудительных деформаций,
в том числе и периодического характера. Вычисление этих напряже-
ний и деформаций с помощью полученных формул сводится к квадра-
турам, хотя и несколько упрощающимся в случае периодических
воздействий, однако все же довольно сложных. Последнее обстоя-
тельство не вызывает принципиальных затруднений, так как все
необходимые вычисления всегда с успехом могут быть выполнены
на основе стандартных программ для ЭВМ и электронно-вычисли-
тельной техники.

Особую сложность представляют методы расчета на температур-
ные и влажностные воздействия статически неопределимых желе-
зобетонных конструкций с трещинами. Поскольку жесткости эле-
ментов таких конструкций зависят от наличия трещин, а само на-
личие трещин — от температурно-влажностных усилий, определяе-
мых с учетом этих жесткостей, то жесткости элементов и усилия в них
оказываются взаимосвязанными. По этой причине расчет таких кон-
струкций возможен лишь приближенным методом последователь-
ных приближений. Такой приближенный метод, удовлетворяющий
требованиям действующих норм [174], рассмотрен в главе X.
Глава X

УЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНО-ВЛАЖНОСТНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
ПРИ РАСЧЕТЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

С ТРЕЩИНАМИ ПРИБЛИЖЕННЫМИ МЕТОДАМИ

В обычных условиях работы железобетонных конструкций тем-
пература и влажность бетона непрерывно изменяются во времени.
В связи с низкими значениями коэффициента диффузии тепла и осо-
бенно коэффициента диффузии влаги у бетона изменения его темпе-
ратуры и влажности происходят неравномерно по сечениям конструк-
ций: быстрее высыхают и изменяют температуру наружные открытые
слои бетона; медленнее — его внутренние зоны. Это обстоятельство,
а также ограничение свободных деформаций бетона арматурой и
внешними связями приводят к развитию в нем температурно-влаж-
ностных напряжений, которые следует учитывать при расчете проч-
ности, трещиностойкости, раскрытии трещин и деформаций железо-
бетонных конструкций.

Например, в жестко защемленном бетонном брусе при его равно-
мерных охлаждении на Г и высыхании на 0,1% (при изменении ве-
совой относительной влажности на 1 • 10-3 г/г) в предположении
его упругой работы могут возникнуть температурные az и усадоч-
ные сту растягивающие напряжения:

of = а£АТ = 1 • 10-5-3-105-1 = Зкгс/см2; )

оу = ₽£АД=3 • 10~2-3-105-1 • 10"3=9 кгс! см2.)

Эти величины напряжений столь велики, что при обычно наблю-
даемых изменениях температуры и влажности все бетонные статиче-
ски неопределимые конструкции, например находящиеся на откры-
том воздухе, должны были бы иметь сквозные температурно-усадоч-
ные трещины. Действительно, в опытах автора, описанных в § VIII.5,
усадочные напряжения в защемленных высыхающих бетонных
брусьях с течением времени достигали длительной прочности бетона
на растяжение и все образцы, несмотря на благоприятное действие
ползучести, рано или поздно разрывались.

В железобетонных статически неопределимых конструкциях
температурно-усадочные трещины, хотя и встречаются довольно
часто, но в большинстве случаев из-за благоприятного действия ар-
j	мирования и ползучести не носят такого угрожающего характера,

7 и инженеры уже научились с ними бороться различными конструк-
£ тивными мероприятиями. К их числу относятся: устройство темпе-
ратурно'-усадочных швов, надлежащее армирование, выбор рацио-
нальной конструктивной схемы сооружений, регулирование их
температурно-влажностного режима и т. п. Однако все эти мероприя-
тия могут быть действенными только тогда, когда они основаны на
надежном расчете величин усилий в конструкциях, вызываемых изме-
нениями их температуры и влажности. Кроме того, встречаются и
специальные железобетонные конструкции, для которых основными
расчетными воздействиями являются именно изменения температуры
и влажности бетона.

В соответствии с этим ряд нормативных документов [139, 1791
содержит рекомендации по учету усадки и изменений температуры
при расчете бетонных и железобетонных конструкций. Аналогич-
ные указания включены и в СНиП П-В.1-62* [1741. Ниже кратко
излагаются основные положения, касающиеся учета температурно-
влажностных воздействий в соответствии с требованиями этих норм.

§ Х.1. Общие методические указания

В подавляющем числе случаев железобетонные статически не-
определимые конструкции представляют собой либо стержневые
системы, составленные из брусьев (неразрезные балки, рамы сбор-
ных промышленных цехов и т. д.), либо пространственные кон-
струкции, составленные из плит с расчетными схемами в виде пло-
ских элементов, работающих по схеме стержневых конструкций
(туннельные конструкции, многопролетные покрытия и т. д.).

Исследование методами теории упругости напряженного состоя-
ния прямоугольных брусьев и плит, вызываемого неравномерным
распределением температуры по их высоте (см. §VI.4 и VI.5), по-
казывает, что их сечения, плоские до деформации, остаются пло-
скими и после температурных воздействий. Поэтому для определения
температурных деформаций (перемещений) и нормальных напряже-
ний (усилий), действующих в подобных конструкциях в сечениях,
перпендикулярных их продольной оси, можно воспользоваться ги-
потезой плоских сечений.

В соответствии с этой гипотезой взаимные сближения А/т кон-
цов осевой линии и угол Дфт поворота торцовых сечений прямого
бруса, имеющего свободные торцы, длиной /, вызываемые измене-
нием температуры Т (х) точек его поперечного сечения, неравномер-
ным по высоте h = 2х0 (рис. 84, а), на основе выражений (VI.52)
и (VI.48) находятся по формулам!

| Т (х) dx	f Т (х) xdx

= al^----------- ; Дго, = al	.	(Х.2)

г	h	l-/i3

12

Здесь a — коэффициент линейного расширения бетона.

Заменим изображенную на рис. 84, а заданную действительную
эпюру ABDFG изменения температуры Т (х) условий (расчетной)
трапецеидальной эпюрой ACEG, равновеликой ей по площади и ста-
тическому моменту площади относительной осевой линии бруса.
Исходя из этих условий, найдем:
f T(x)dx

—*o	_AT

-	_	2 _Шср

xa

j T (x) xdx

—xp ?2—T'i = AT*
1-h3	h

12

(X.3)

(X.4)

и, следовательно,

A// = a/A7’cp; Aq^a/AT*. '	(X.5)

Нетрудно видеть, что величины ЛТср и АТ*, входящие в форму-
лы (Х.З)—(Х.5), представляют собой соответственно изменения
средней расчетной температуры Тср и расчетного перепада тем-

Рис. 84. Эпюры Т (х) изменений температуры точек поперечного сечения
элемента (а) и U (х) распределения влажности бетона по его сечению (б)
/—действительная эпюра Т (х) (ABDFG); 2—условная трапецеидальная эпюра Т (х)
(ACEG), учитываемая в расчетах; 3—действительная эпюра U (к) (ACDFKY, 4 — услов-
ная трапецеидальная эпюра U (х) (ЛВНК), учитываемая в расчетах

пературы Т*, вычисляемые по указанной выше условной трапеце-
идальной эпюре. В соответствии с этим в п. 4.26 СНиП1 и введены
понятия средней расчетной температуры (влажности), расчетного
перепада температуры (влажности) и условной (расчетной) трапе-
цеидальной -эпюры, распределения температуры (влажности) по
сечению элемента. С помощью формул (Х.5) всегда могут быть найде-
ны свободные температурные члены канонических уравнений метода
сил при расчете статически неопределимых стержневых конструкций
на изменение их температуры.

При отыскании величин АТср и АТ*, входящих в формулы (Х.5),
можно поступить двояким путем:

1)	по заданным действительным эпюрам распределения тем-
пературы, соответствующим двум рассматриваемым моментам вре-

1 Здесь и далее,если это не оговорено особо, под СНиП понимается СНиП
П-В. 1-62* [174]
мени и /2 найти соответствующие условные трапецеидальные эпю-
ры распределения температуры и по ним свои величины и
затем отыскать расчетные изменения ДТср и АТ* по формулам

АТср = Т<2)-Т«‘); ДТ*=Т*(2)-Т*(1)	(Х.6)

или

2)	по указанным двум заданным действительным эпюрам рас-
пределения температуры сразу найти действительную эпюру изме-
нений АТ температуры Т, по ней условную трапецеидальную эпюру
этих изменений, а затем по последней отыскать уже значения А7\Л
и АТ*.	Р

Оба указанных пути равноценны и дают одни и те же результаты.
Однако, как это будет указано ниже, в случае отыскания аналогич-
ными способами расчетных изменений АДср и АТ* влажности бе-
тона методически верным является лишь первый из них. Поэтому
именно только первый способ и рекомендуется для применения.

Экспериментальные исследования влажностных деформаций бе-
тона, проведенные автором, выявили ряд особенностей этих дефор-
маций, представляющих практический интерес. Наиболее важные
из них рассмотрены в § III.7 и учтены при составлении СНиП.

В пп. 4.25 и 4.26 СНиП введены понятия об эффективной и кри-
тической влажностях бетона и дано указание при учете изменений
средней расчетной влажности и расчетного перепада влажности по
толщине элемента принимать во внимание лишь те из них, которые
связаны с изменениями эпюры распределения эффективной влаж-
ности по его сечению. Приведены формула и необходимые спра-
вочные данные для определения критической влажности бетона, а
также физических характеристик бетона, связанных с его темпера-
турными и влажностными деформациями: коэффициентов линейного
расширения а, линейной усадки [3 и линейного набухания тр Вве-
дена классификация бетонных и железобетонных конструкций по
степени массивности в зависимости от модуля поверхности m эле-
мента конструкции и даны практические рекомендации по учету
влияния масштабного фактора на влажностные деформации этих
конструкций (критическую влажность бетона) (см. § III.7).

Рассмотрим изображенную на рис. 84, б заданную в момент
времени действительную эпюру (ACDFK) распределения влаж-
ности бетона по сечению элемента. В отличие от эпюры изменений
температуры, показанной на рис. 84, а, эта эпюра относится к абсо-
лютным значениям влажности бетона в отдельных точках сечения,
а не их изменениям, которые нам пр’едстоит еще вычислить. Для общ-
ности будем полагать, что на этой эпюре имеется участок (MEFK)
(рис. 84, б, справа) с ординатами, превышающими критическую
влажность бетона Uv$.

Отсекая часть этой эпюры (EFG), лежащую выше Дкр, мы най-
дем эпюру эффективной влажности (ACDEGK). Далее, заменяя эту
эпюру эквивалентной в указанном выше смысле трапецеидальной
эпюрой (АВНК), получим расчетную эпюру распределения влаж-
ности, по которой, пользуясь формулами, аналогичными (Х.З)
и (Х.4), найдем:

2	h

Поступая аналогичным образом с другой действительной эпю-
рой распределения влажности бетона по сечению элемента в момент
времени т2, точно так же найдем:

лг(2)
с/ ср

. г*<2)

’	2	h

(Х.8)

После чего по формулам

=	'А(У*(2’П =t/*(2> —1/*(1)	(Х.9)

отыщем уже значение изменений средней расчетной влажности
At/'U1’ и расчетного перепада влажности At/*<2>1> бетона за время
Т2 — Тх.

" Нетрудно сообразить, что описанный метод отыскания величин
At/'c'p1’ и At/*'2’1’ является единственно верным, так как только
он позволяет манипулировать с эпюрами распределения эффектив-
ной влажности бетона. Если же мы по заданным действительным эпю-
рам распределения влажности бетона по сечению элемента в момен-
ты времени т2 и сразу нашли бы по их разности эпюру изменения
влажности бетона в отдельных точках его сечения за время т2 — чу,
то получили бы эпюру изменений действительной, а не эффективной
влажности и не смогли бы выделить из нее изменения влажности за
счет удаления свободной воды из бетона, не вызывающего усадки.
Это особенно очевидно в случае, когда интервал времени т2 — чх мал
и ординаты получаемой таким способом эпюры изменения влажно-
сти бетона будут заведомо меньше его критической влажности U
Поэтому, как уже отмечалось выше, расчетные эпюры изменения
влажности следует всегда находить по соответствующим эпюрам
распределения не действительных, а эффективных влажностей
бетона.

Располагая данными об изменениях средней расчетной влажности
At/ср и расчетного перепада влажности At/*, можно по формулам,
аналогичным формулам (Х.5), найти перемещения, вызываемые из-
менениями влажности элементов конструкции. Эти формулы имеют
вид:

а)	при высыхании (усадке) бетона

А/у = р/А[/ср; Афу = р/А{/*;	(Х.10)
б)	при увлажнении (набухании) бетона

A/H = t]/A[/Cp; АФн = r^U*.	(Х.11)

В этих формулах [> — коэффициент линейной усадки и т} —
коэффициент линейного набухания бетона (см. § II 1.5).

Необходимые данные о распределении температуры и влажности
по сечениям элементов бетонных и железобетонных конструкций для
отыскания расчетных изменений температуры и влажности бетона
находятся методами теории тепло- и влагопроводности при учете
рассмотренных выше особенностей температурно-влажностных де-
формаций бетона (см. главы I и II).

Определение усилий от температурно-влажностных воздействий
в элементах бетонных и железобетонных конструкций, в которых по
условиям эксплуатации не допускается образование трещин, про-
изводится как для однородных упругих систем с учетом работы бетона
сжатой и растянутой зон и ползучести бетона, если рассматриваются
длительные температурно-влажностные воздействия.

Железобетонные конструкции, в которых допускается образо-
вание трещин, рассчитываются с учетом неупругих деформаций и на-
личия трещин в растянутом бетоне, т. е. по повышенным
кривизнам (пониженным жесткостям) их элементов. Поскольку
при этом жесткости элементов и усилия в них оказываются взаимо-
связанными, этот расчет приходится вести методом последователь-
ных приближений.

Отметим, что при расчете бетонных и железобетонных конструк-
ций на температурно-влажностные воздействия возможны: а) рас-
чет существующего сооружения с учетом известного заранее его
температурно-влажностного режима и б) предварительный расчет
еще не существующего сооружения на гипотетические изменения его
температурно-влажностного режима.

Первый случай встречается очень редко, например, при выясне-
нии причин аварии эксплуатируемого сооружения с учетом фактиче-
ских данных о его температурно-влажностном режиме1.

Второй случай, обычный для инженера-проектировщика, носит
некоторый условный характер. Здесь приходится исходить из осред-
ненных данных многолетних наблюдений за метеорологическими ус-
ловиями местности предполагаемого района строительства, анализа
технологического режима подобных и уже эксплуатирующихся
сооружений и т.п. Имея ввиду известную гипотетичность подобных
расчетов, не следует стремиться к их большой точности. В соответ-
ствии с этим в указанном выше методе последовательных прибли-
жений достаточно ограничиться двумя, максимум тремя прибли-
жениями, включая и первоначальный расчет сооружения, как упру-
гой системы (см. § Х.6).

1 Например, данных метеорологических сводок за некоторый истекший
период времени или результатов непосредственного измерения температуры
и влажности на месте, анализа технологического режима сооружения и т. п.
§ Х.2. Расчет железобетонных конструкций на изменения
их температуры и влажности

Температурно-влажнистные воздействия на железобетонные кон-
струкции следует учитывать при установлении расстояний между
температурно-усадочными швами, а также в особых случаях расче-
та конструкций, подверженных значительным изменениям темпера-
туры или влажности, например, при: а) резко неравномерном рас-
пределении температуры или влажности по сечениям элементов;
б) периодическом воздействии на конструкции производственно-
технологических тепловыделений; в) устойчиво низкой влажности
окружающей среды; г) расчете конструкций, находящихся на от-
крытом воздухе в первом климатическом районе (см. табл. Б и рис. 8,
п. 8.1 СНиП П-А.6-62 [175] ив сухих и устойчиво сухих районах
(см. приложение II).

Можно не учитывать усадку бетона в элементах сборных железо-
бетонных конструкций, а также в конструкциях, с раннего возраста
защищенных от высыхания грунтом или лакокрасочными покры-
тиями.

При расчете в необходимых случаях на изменения температуры
и влажности железобетонных конструкций, рассматриваемых как
системы, состоящие из брусьев или плит (балочные, рамные, ароч-
ные и другие системы), необходимо пользоваться следующими ука-
заниями.

При определении вызываемых изменениями температуры и влаж-
ности усилий и перемещений (деформаций) железобетонных стати-
чески неопределимых конструкций, у которых допускается наличие
трещин, учитываются лишь изменения средней расчетной темпера-
туры (влажности) их элементов и расчетного перепада температуры
(влажности) по толщине сечений элементов, отыскиваемые на осно-
ве соответствующей условной трапецеидальной эпюры изменений
температуры (влажности) (см. § X.l, X. 4, Х.5). Расчет таких кон-
струкций производится с учетом неупругих деформаций и наличия
трещин способом последовательных приближений (см. § Х.З), при-
нимая во внимание длительность рассматриваемых воздействий.

В статически неопределимых железобетонных конструкциях,
у которых наличие трещин не допускается, при расчете по образо-
ванию трещин (см. п. 4.1 СНиП) учитывается вся эпюра изменения
температуры (эффективной влажности). Такие конструкции рассчи-
тываются как однородные упругие системы, при этом жесткости их
элементов определяются по указаниям п. 9.3 СНиП.

В статически определимых конструкциях изменения темпера-
туры или влажности вызывают лишь напряжения, эпюры распре-
деления которых по их сечениям статически эквивалентны нулю.
Поэтому у конструкций этого вида, у которых допускается наличие
трещин, учет температурно-влажностных’воздействий производит-
ся только при вычислении перемещений (деформаций). При этом
учитываются лишь изменения средней расчетной температуры (влаж-
ности) их элементов и расчетного перепада температуры (влажно-
сти) по сечению элементов (см. § X.l, Х.4 и Х.5).

В статически же определимых железобетонных конструкциях,
у которых наличие трещин не допускается, расчет по образованию
трещин производится по разности эпюр изменения температуры
(эффективной влажности): действительной (криволинейной) и ус-
ловной трапецеидальной.

Необходимые для расчета железобетонных конструкций вели-
чины средних расчетных температуры и влажности их элементов,
а также расчетных перепадов температуры и влажности по толщи-
не сечений элементов определяются в соответствии с указаниями
§ X.l, Х.4 и Х.5.

При определении усилий, возникающих от изменений температу-
ры и влажности в элементах статически неопределимых конструк-
ций, должны учитываться их деформации (перемещения) в соответст-
вии с указаниями § Х.1 и Х.З.

Температурно-влажностные усилия в железобетонных конструк-
циях, отыскиваемые в соответствии с рекомендациями настоящего
параграфа, принимаются одинаковыми при расчете этих конструк-
ций по всем трем предельным состояниям.

Расчет статически неопределимых железобетонных конструкций
на температурно-влажностные воздействия, рассматриваемых как
системы, составленные из массивных брусьев или плит, или пред-
ставляющих собой сочетание массивных и немассивных элементов
(балки, рамы, арки и т. п.), на основах строительной механики
лучше всего проводить по способу последовательных приближений
(см. § Х.З) методом сил с учетом влияния продольных деформаций
и деформаций сдвига на перемещения основной системы. При этом
следует широко применять различные упрощающие приемы расче-
та, а именно: рациональный выбор основной системы, группирова-
ние лишних неизвестных, разложение нагрузки, на косо- и прямо-
симметричные составляющие, применение статически неопредели-
мых основных систем, использование симметрии расчетных схем
и введение жестких консолей для надлежащего переноса лишних
неизвестных в упругий центр.

Расчет статически неопределимых балочных, рамных или ароч-
ных систем, составленных из немассивных или средней массивности
элементов, вполне допустимо производить без учета влияния про-
дольных деформаций и деформаций сдвига на перемещения основной
-системы. Можно также не учитывать деформации сдвига при расчете
массивных конструкций, обладающих симметрией геометрических
размеров, условий опирания и распределения жесткостей, на сим-
метричные воздействия температуры, влажности и внешней нагруз-
ки. При определении степени массивности элемента конструкции
следует пользоваться указаниями п. 4.26 СНиП.

Массивность конструкций следует учитывать также при выборе
расчетной схемы сооружения, подлежащего расчету; Например, со-
оружение, изображенное схематически на рис. 85, а, нельзя рас-

jiS
0
il;i«
0
Si®
ЛИ

•i,p

JI»

Й

HI
riffl
lip

pa
 и
sfl
*i|
ini

ZE

»

;я
ц
м

-It

1Ш
toi
tiffl
ж
tap

is®

ц

«1

,'iEUl
’ft
Jit
Рис. 85. Действительная и расчетная схе-
мы массивной железобетонной рамы
а—действительная; б—расчетная

сматривать как обычную раму с длинами составляющих ее стержней,
равными их продольным размерам в осях. Ясно, что такой выбор
расчетной схемы привел бы к завышенным значениям внутренних
усилий и превышению запаса прочности всего сооружения в целом.
При выборе расчетной схемы такого сооружения следует учитывать
разгружающее влияние на деформации изгиба и сдвига составляю-
щих его элементов их концевых участков, опирающихся на массив-
ные, примыкающие к ним смежные элементы. Поэтому правильной
расчетной моделью рас-
сматриваемого сооруже-
ния, учитывающей массив-
ность его элементов, будет
служить рама с приузло-
выми участками ее стерж-
ней, бесконечно жесткими
по отношению к их сдви-
гу и изгибу (рис. 85, б).

Практически это озна-
чает, что при учете де-
формаций изгиба и сдвига
при вычислении переме-
щений (метод сил) или
реакций (метод деформа-
ций) основной системы
следует исходить из длин
элементов /г «в свету» и
их пролетной жесткости.
Поскольку приузловые

участки элементов, составляющих сооружение, на их продольные
деформации разгружающего влияния не оказывают, то при учете
последних следует исходить уже из действительных длин элементов
Lit т. е. из их размеров «в осях» и их пролетных жесткостей.

Расчет железобетонных конструкций на изменения их темпера-
туры и влажности в необходимых случаях производится: в период
строительства при отсутствии эксплуатационных нагрузок и в пе-
риод эксплуатации с учетом последних.

В первом случае расчет железобетонных конструкций на указан-
ные воздействия следует производить, как правило, в предположе-
нии их упругой работы, т. е. по жесткостям, соответствующим сплош-
ному приведенному сечению их элементов без наличия трещин в них.
При этом жесткость Вк при изгибе назначается в соответствии с ре-
комендациями п. 9.3 СНиП. В период эксплуатации железобетонные
конструкции, в которых по условиям эксплуатации появление
трещин недопустимо (предварительно-напряженные элементы 1-й
и 2-й категории трещиностойкости, слабоармированные элементы
и т. п.), также должны рассчитываться аналогичным образом.

При расчете обычных и предварительно-напряженных железо-
бетонных конструкций 3-й категории трещиностойкости в период
эксплуатации следует учитывать наличие трещин в растянутом бето-
не и исходить из повышенных кривизн, назначаемых в соответствии
с рекомендациями п. 9.7 СНиП и продольных осевых деформаций,
определяемых в соответствии с указаниями § Х.З. При этом жест-
кость на сдвиг при расчете массивных конструкций назначается со-
ответствующей сплошному сечению элементов без учета трещин в них.
В тех же случаях, когда в массивной конструкции возможно появ-
ление косых трещин при соответствующем обосновании, допускает-
ся также снижение жесткости ее элементов на сдвиг на 10%.

При расчете железобетонных элементов с трещинами на длитель-
ные воздействия нагрузки, температуры или влажности их кривиз-
ны и продольные осевые деформации вычисляются в соответствии
с рекомендациями п. 9.7СНиП и указаниями § Х.З. При этом отно-
шение v упругой части деформации крайнего волокна сжатой гра-
ни сечения к полной его деформации, в зависимости от условий
работы конструкции, принимают: при сухом режиме работы конст-
рукции v = 0,l; при нормальном режиме v = 0,15; при влажном
режиме v = 0,2.

Классификация режима работы конструкций, находящихся на
открытом воздухе, по указанному признаку может производиться
в соответствии с влажностно-климатическим районированием терри-
тории СССР [87], приведенным в приложении II.

Необходимые для расчета распределения температуры и влаж-
ности бетона по сечениям элементов, а также температурных и влаж-
ностных деформаций и усилий средние величины физических ха-
рактеристик тяжелого бетона можно принимать по данным СНиП
П-И.14-69 [139] и СНиП П-В.1-62* [174].

При расчете железобетонных элементов на изменения их влаж-
ности расчетные значения коэффициентов линейной усадки и ли-
нейного набухания могут приниматься сниженными и равными ве-
личинами [3 и т) для бетона, умноженным на коэффициент т1:

(Х.12)

где

(Х.13)

Указанная в [139] и [174] средняя величина коэффициента линей-
ного набухания т) относится к случаям набухания бетона за счет его
контакта с водой (наполнение емкостей, затопление конструкций
и т. п.). При расчете деформаций бетона, вызываемых его гигроско-
пическим увлажнением за счет адсорбции водяных паров из воздуха
(деформации бетона, связанные с увеличением относительной влаж-
ности воздуха в суточном, месячном или годовом цикле), расчетную
величину коэффициента линейного набухания rj следует принимать
равной указанной там же величине коэффициента линейной усад-
ки р.

1 Формулы (Х.12) и (Х.13) даны в обозначениях СНиП [174],
§ Х.З. Определение перемещений железобетонных
конструкций при их расчете на изменения
температуры и влажности

Перемещения (линейные смещения и углы поворота) железо-
бетонных конструкций, рассматриваемых как плоские системы, со-
стоящие из брусьев или плит (балочные, рамные, арочные системы
и т. п.), следует вычислять, определяя их жесткости или кривизны
по рекомендациям пп. 9.3, 9.7 СНиП применимо к рассматриваемо-
му случаю.

При определении перемещений железобетонных конструкций
в необходимых случаях должна учитываться длительность воздей-
ствия нагрузок, температуры и влажности.

Расчетные изменения температуры и влажности конструкций,
находящихся на открытом воздухе, связанные с колебаниями тем-
пературы и влажности воздуха, за исключением специально огова-
риваемых случаев их кратковременных (например, суточных или де-
кадных) изменений, относятся к категории длительных воздействий.
К ним относятся также изменения температуры и влажности кон-
струкций, связанные со стационарными технологическими режимами
(конструкции кондиционируемых зданий, пропарочных камер не-
прерывного действия и т. п.). К категории кратковременных воз-
действий относятся изменения температуры и влажности конструк-
ций автоклавов, нестационарных пропарочных камер и т. д.

Перемещения плоской статически определимой системы, состоя-
щей из т железобетонных элементов, вызываемые изменениями тем-
пературы и влажности бетона, в общем случае могут быть определе-
ны по формулам:

Ап —2 § А1г aAt*ds 4- 2 . A^ccAiCpds;

<m)(M	(Lm)

Aiy = £ 5 Alz₽Ai/*ds+2 5 ^г₽А(/ср ds;

(m) (Lm)	(m)	(Lm)

A/H = s $ 7И, T)A(7*ds4- 2 $ ^TiAf/cpds,
<m) (Lm)	<m>	(Lm)

(X.14)

где AH, Aiy, AiH — перемещения заданной системы в i-м направ-
лении, вызываемые соответственно изменения-
ми температуры, усадкой и набуханием бетона;

7Иг, — изгибающие моменты и продольные силы в за-
данной системе от действия в i-м направлении
соответствующей единичной обобщенной силы;

Lm —- длина элемента т системы «в осях»;

а, Р, г) — соответственно коэффициенты линейного темпе-
ратурного расширения, линейной усадки и
линейного набухания, средние значения кото-
рых были указаны выше;
А£ср, А{7ср — соответствующие изменения средних расчет-
ных температуры и влажности элементов, вы-
числяемые на основании указаний § Х.4 и Х.5;

А/*, АС/* — соответствующие изменения расчетных перепа-
дов температуры и влажности по толщине сече-
ния элементов, отыскиваемые с помощью реко-
мендаций тех же параграфов.

В формулах (Х.14) суммирование распространяется на все т
элементов всей заданной системы. Для массивных брусьев или
плит в формулах (Х.14) в первом слагаемом длину Lm следует
принимать равной длине элементов «в свету» /т.

Вызываемые нагрузкой перемещения плоской статически опре-
делимой системы, состоящей из брусьев или плит (балочные, рамные,
арочные системы и т. п.), в которых не допускаются трещины в рас-
тянутой зоне или появление их маловероятно (предварительно-
напряженные элементы 1-й и 2-й категории трещиностойкости, слабо
армированные элементы), определяются как для сплошного упру-
гого тела по жесткости Дк, уменьшенной в случае длительного дей-
ствия нагрузки в С раз (см. п. 9.4 СНиП). В общем случае переме-
щения таких систем, составленных из массивных элементов, вызывае-
мые кратковременным действием нагрузки, определяются с учетом
продольных деформаций и деформаций сдвига и указаний § Х.2.

Для немассивных и средней массивности брусьев или плит
следует учитывать перемещения, вызываемые только изгибом элемен-
тов, с учетом их длин «в осях».

Перемещения плоской статически определимой системы, состоя-
щей из брусьев или плит, изгибаемых, внецентренно сжатых и вне-
центренно растянутых с большими эксцентрицитетами, в которых
при нагрузках, соответствующих стадии определения перемещений,
могут появиться трещины в растянутой зоне (т. е. выполняемых без
предварительного напряжения, а также предварительно-напряжен-
ных 3-й категории трещиностойкости), вызываемые внешней на-
грузкой, находят пользуясь методами строительной механики. При
этом значения кривизн 1/р элементов определяются в соответствии
с указаниями п. 9.7 СНиП и с учетом уточнений формулы для от-
носительной высоты сжатой зоны [67]

1,8-р

1+5Д+Т)
lOpzz

1,54-т'

П.5-Д- + 5
h0

(X.l 5)

1

Здесь верхние знаки принимают при сжимающей,— а ниж-
ние—при растягивающей продольной силе.

В общем случае таких систем, составленных из массивных
элементов, перемещения определяются с учетом продольных де-
формаций и деформаций сдвига по формуле

=2 (м<гй*+ 2рм«)*+ 2 Р<хл6>

М('т) К <m>(Lm)	(Zm)
~ 1

Здесь —— кривизна данного внецентренно сжатого или вне-
Pk(s)

центренно растянутого с большим эксцентриците-
том элемента (с предварительным напряжением
или без него), определяемая для его отдельных се-
чений с учетом указаний п. 9.7 СНиП и формулы
(Х.15);

sfe(s) — осевая деформация данного элемента с трещинами,
определяемая для его отдельных сечений по фор-
муле1

„ , 1	(М3—Л,с21)'Фа

с — ---------—  -------—-

Р F& Еа Z1

(Х.17)

а остальные величины имеют тот же смысл, что и в (Х.14).

В формуле (Х.17): z0 — расстояние от центра тяжести площади
сечения всей арматуры, расположенной в растянутой зоне, до оси
элемента; 1/р — кривизна элемента в данном сечении, определяе-
мая по формуле (172) п. 9.7 СНиП с учетом выражения (Х.15),
а остальные величины имеют тот же смысл, что и в формуле (172)
п. 9.7 СНиП.

При вычислении первого слагаемого в выражении (Х.16) мож-
но пользоваться формулой

1_____

Рк (s)

Mi ds

J Bn

<") (an)

(X.18)

где n — число характерных участков эпюры моментовЛ1ь;

ап — длины этих участков, в сумме составляющие длину /то;

Вп — условная жесткость участка п.

Под характерными участками эпюры моментов Mk понимаются
ее участки, на длине которых в рассматриваемом элементе имеются
или, наоборот, не имеются трещины. Границы этих участков имеют
ординаты, равные моменту Мт соответствующего знака. Условные
жесткости Вп этих участков принимаются равными: в пределах
участка без трещин — жесткости Вк, уменьшенной в случае дли-
тельного действия нагрузки в С раз (см. п. 9.4 СНиП); в пределах
участка с трещинами

Вп= .	(Х.19)

Рп

Здесь 7ИПтах— наибольший момент эпюры Mh на ее участке
с трещинами и; 1/рп — кривизна в сечении, где действует момент
max, определяемая с учетом длительности действия нагрузки.

1 В обозначениях СНиП [174]
Второе слагаемое в формуле (Х.16) в запас прочности можно вы-
числять по формуле

2 j	J	(X.20)

(Lm)	<m> (4)

При вычислении перемещений в соответствии с указаниями
настоящего параграфа, используемых для определения усилий
в статически неопределимых конструкциях, в запас прочности гра-
ницы участков с трещинами определяются из расчета по образованию
трещин по моменту Л4Т, найденному по рекомендациям СНиП при
замене Дт на 7?рн.

Для немассивных и средней массивности брусьев или плит в фор-
муле (Х.16) можно ограничиться только одним первым слагаемым
и полагать в нем lm = Lm, т. е. вычислять перемещения с учетом
длин элементов «в осях» и без учета влияния продольных деформа-
ций и деформаций сдвига.

При расчете железобетонных конструкций на изменения темпе-
ратуры и влажности для элементов постоянного сечения на каждом
участке с трещинами кривизна 1/р вычисляется только для наиболее
напряженного сечения. В остальных сечениях такого участка вполне
допустимо принимать кривизну изменяющейся пропорционально
изменению значений изгибающего момента.

Перемещения плоских статически определимых систем, состоя-
щих из брусьев (плит) различной степени массивности и работающих
в разных условиях, в зависимости от случаев, рассмотренных выше,
отыскиваются с помощью надлежащего сочетания соответствующих
формул для каждого данного элемента или группы элементов си-
стемы.

Для отыскания перемещений плоских статически неопределимых
систем, состоящих их железобетонных брусьев или плит, на осно-
вах строительной механики эти системы сначала рассчитываются по
способу последовательных приближений методом сил с учетом, в не-
обходимых случаях, влияния продольных деформаций и деформаций
сдвига на их перемещения. После отыскания таким способом усилий
в их элементах последние рассматриваются уже как статически опре-
делимые конструкции, искомые перемещения которых определяются
с помощью указаний настоящего параграфа.

Способ последовательных приближений состоит в следующем.
Вначале статически неопределимая конструкция рассчитывается на
действие заданных внешней нагрузки и изменений температуры
и влажности, как упругая система в соответствии с рекомендациями
настоящего параграфа. Затем на основании данных этого расчета для
ее элементов на участках с трещинами в зависимости от полученного
упругим расчетом случая и с учетом приведенных выше рекоменда-
ций определяются новые жесткости (кривизны) элементов на этих
участках; жесткости элементов на участках без трещин остаются
прежними. После этого последовательно, до достижения хорошей
степени приближения, повторяется расчет исходной статически
неопределимой конструкции с учетом нового распределения жест-
костей (кривизн). Данные этого расчета используются, как указано
выше, для непосредственного определения окончательных жестко-
стей (кривизн), необходимых для вычисления искомых перемещений.

Имея в виду известную гипотетичность расчетов на изменения
температуры и влажности, как уже отмечалось выше, не следует
стремиться к их слишком большой точности. В соответствии с этим
в указанном способе последовательных приближений достаточно
ограничиться максимум тремя приближениями, включая и перво-
начальный расчет сооружения, как упругой системы.

§ Х.4. Расчет распределения температуры бетона
по сечению элементов конструкций
и выбор средней расчетной температуры
и расчетного перепада температуры

Распределение температуры по сечениям элементов массивных
и средней массивности железобетонных конструкций, находящихся
на открытом воздухе или подверженных воздействиям периодических
технологических изменений температуры, отыскивается методами
теории теплопроводности с учетом технологических данных (см., на-
пример, § 1.16).

Нельзя, как это часто делается, расчет распределения темпера-
туры по сечениям элементов таких конструкций производить в пред-
положении их стационарного (не зависящего от времени) теплового
режима.

Необходимая для расчета распределения температуры по се-
чениям конструкций, находящихся на открытом воздухе, расчет-
ная температура наружного воздуха <р (т) может быть найдена по
формуле

Ф(т)

__^тах4~ 6т11п I / ^тах — ^mln

2 "Ч 2

/	> 2лт \

cos р -]------

\	?! J

(Х.21)

где г — время в ч; тТ = 8640 — число часов в году; Zmin, /гаах —
расчетные температуры наружного воздуха соответственно самого
холодного и самого жаркого месяца года для данной местности, наз-
начаемые на основе соответствующих обоснований и в соответствии
с указаниями СНиП П-А.6-62 [175]; р — числовая величина, при-
нимаемая по табл. 47, в зависимости от начала отсчета времени г.

Начальное распределение температуры по сечению элемента
зависит от начальных условий изготовления конструкции и ее
предшествующего температурного режима. Если рассматривается
температурный режим элемента конструкции, начиная с момента ее
изготовления, то его начальную температуру можно считать по-
стоянной и равной температуре укладываемого бетона. При необ-
Таблица 47

Значения параметра р в зависимости от начала отсчета времени

Начало отсчета времени	Месяц года											
	I	II	ш	IV	Г  V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
р	л	7л	4л	Зл	5л	Пл	0	л	л	л	2л	5л
		6	3	2	3	6		6	3	2	3	6

ходимости рассмотрения температурного режима конструкции лишь
на отдельном периоде ее работы (например, на отрезке времени с на-
чала замыкания конструкции до приложения эксплуатационной на-
грузки) начальное и часто уже неравномерное распределение темпе-
ратуры по сечениям элементов конструкции в начале этого периода
должно приниматься на основе соответствующих данных (например,
равным заданной температуре бетона в момент замыкания конструк-
ции) или на основе рассмотрения nj едшествующего этому моменту
времени температурного режима конструкции.

В соответствии с формулой (Х.З) средняя расчетная температу-
ра /ср элемента, изменения которой вызывают его осевые деформа-
ции удлинения или укорочения, равна лежащей на оси этого элемен-
та ординате условной трапецеидальной эпюры распределения темпе-
ратуры по сечению элемента. Расчетный же перепад температуры
по сечению элемента в рассматриваемом направлении, изменения
которого вызывают искривления его оси, на основании формулы
(Х.4) равен взятому с соответствующим знаком тангенсу угла на-
клона в заданном направлении наклонной стороны этой условной
трапецеидальной эпюры распределения температуры к поперечному
сечению элемента. Правило знаков для Zcp, t*, Д/ср и Д/* (рис. 86)
устанавливается следующим образом.

1.	Изменения средней расчетной температуры (влажности) элемента
и расчетного перепада температуры (влажности) по сечению элемента нахо-
дятся как разности соответствующих величин, найденные вычитанием их зна-
чений для предыдущего момента времени из их значений для последующего
момента времени.

2.	Положительные изменения средней расчетной температуры (влажно-
сти) соответствуют разогреву (увлажнению) элемента.

3.	Положительный расчетный перепад температуры (влажности) соот-
ветствует случаю, когда на грани х=хс элемента с высотой поперечного се-
чения 2х0 температура (влажность) бетона больше, чем на его грани
х0 = —х0 (см. рис. 86).

4.	Положительное изменение расчетного перепада температуры (влажно-
сти) по сечению элемента соответствует случаю, когда вызываемое им искрив-
ление элемента обращено выпуклостью в сторону положительного направле-
ния оси ординат, лежащей в плоскости его поперечного сечения (рис. 86).

Условная трапецеидальная эпюра распределения температуры п°
высоте 2х0 прямоугольного сечения бетонного (слабо ар мирован-
'ного) элемента находится из условий ее равенства по площа ди и ста-
тическому моменту площади относительно оси элемента действи-
тельной эпюре распределения температуры:

2x0^p,= Ft; ^x^ = St.	(Х.22)

О

Условная трапецеидальная эпюра распределения температуры
по сечению железобетонного элемента должна быть по площади
и статическому моменту площади относительно оси элемента от-
лична от действительной эпюры распределения температуры на не-
которые величины, в связи с тем, что для такого элемента нужно

u*(K) = tq<*>0	u*(c) = O	U*(K)=tW'<B



At (K,i)=t*(K)-t*((.)<o;

z

Рис. 86. Правило знаков для расчетного перепада температуры (влажности)
и изменений средней расчетной температуры (влажности) и расчетного пере-
пада температуры (влажности)

исходить из его приведенного сечения. В случае прямоугольного
элемента с симметричным распределением арматуры в направлении
его толщины условная трапецеидальная эпюра распределения тем-
пературы находится при этом из условий:

(Х.23)

2xotcv=Ft~ (п~ 1) s /<z> kp + z*4z>-z (4Z>)];

и)

4 х° **=st-(n-1) Ef(^	КР +1* 4Z) -t uz))]

a	(i)

т. e. должна быть по площади и статическому моменту площади
относительно оси элемента меньше или больше, чем действительная
эпюра распределения температуры, ,на некоторые величины в за-
висимости от знака сумм, в формулах (Х.23). Входящие в выраже-
ния (Х.22)—(Х.23) величины имеют тот же смысл, что и в форму-
лах Х.24)—(Х.26).
Средняя расчетная температура /ср и расчетный температурный
перепад I* по сечению прямоугольного железобетонного элемента
в общем случае криволинейного распределения температуры в на-
правлении высоты 2х0 его сечения, когда температура элемента по
его толщине 2у0 не изменяется и арматура расположена симметрично
относительно оси Ох сечения (рис. 87, а), на основании выражений
(Х.23) находятся по формулам:

(Х.24)

(Х.25)

(Х.26)

^ср — К {(п — 0 iVn vta — (п— 1) $a "Sial +

+ 2r/0[JnFi-(n-l)SaS<]};

^ = /C{(«-l)[FnSta-(n-l)Sa^a] +

+ 2i/0[FnSt-(n-l)SaF/l},
где

Д _________1______ .

“ JnFn~(n-iysl ’

Jn, Ри — соответственно момент инерции относительно оси Оу
и площадь приведенного сечения элемента; F — площадь бетонного
сечения элемента; Fa— площадь всей учитываемой арматуры, Sa,
Ja — соответственно статический момент и момент инерции отно-
сительно оси Оу площади всей учитываемой арматуры; vta —часть
объема заданной эпюры распределения температуры по сечению
элемента, выделяемая боковой поверхностью всех учитываемых
арматурных стержней:

=	(Х.27)

(О

Sta — статический момент части объема заданной эпюры распре-
деления температуры по сечению элемента, выделяемой боковой
поверхностью всех учитываемых арматурных стержней, относитель-
но оси Оу его поперечного сечения:

*5<а = 2 fai ^ai "^ai»	(Х.28)

п — коэффициент приведения площади арматуры к бетону (мо-
дульное число); St, Ft — соответственно статический момент от-
носительно оси Оу и площадь заданной эпюры распределения темпе-
ратуры по сечению элемента; fai — площадь г-го стержня учитывае-
мой арматуры; xai — взятое с соответствующим знаком расстояние
от центра тяжести поперечного сечения t-ro стержня учитываемой
арматуры до оси Оу поперечного сечения элемента; tai — ордината
заданной эпюры распределения температуры по сечению элемента,
лежащая над центром тяжести поперечного сечения t-ro стержня
учитываемой арматуры. Для бетонного (слабо армированного) эле-
мента формулы (Х.24)—(Х.25) принимают вид:
Рис. 87
В формулах (Х.27)—(Х.28) суммирование производится по

всем учитываемым арматурным стержням сечения элемента, число ко-

Рис, 88

(рис. 88), приближенно можно

торых предполагается равным t.

Для железобетонных элемен-
тов с прямолинейным или близ-
ким к нему распределением тем -
пературы по высоте поперечного
сечения, а также элементов,
имеющих только конструктив-
ную арматуру, вполне допустимо
среднюю расчетную температуру
элемента /ср и расчетный темпе-
ратурный перепад t* по сечению
элемента определять по форму-
лам (Х.29), как для бетонных
х (слабо армированных) элементов.

Площадь Ft и статический
момент Sf плоской эпюры рас-
пределения температуры по сече-
нию элемента в случае, когда рас-
пределение температуры задано
в табличной форме (графически)
отыскивать по формулам:

Ft= — (^o+2S/n + /m); (n = 1,2,..., m—1); (Х.ЗО)
т '	(п)

дай ®
(о.нзф
распредели
производит
от времени,
Необхсд
сечениями
шрам®
даа ю Й

средечесяч
процентах ।
табл. 3 и. 1

ТОТ М СМИ'
воздуха; р
II в формул
иесящ, а I
ШИП
вующей ед

Раста
стрпщиях.
форш.те

Здесь т —- четное число равных участков, составляющих высо-
ту элемента 2х0. a t0, tx, ..., Zm-i, tm — ординаты заданной эпюры
распределения температуры на границах этих участков. Вычисление
площади Ft эпюры распределения температуры по сечению элемен-
та в случае ее графического задания удобно производить также
с помощью планиметра.

§ Х.5. Расчет распределения влажности бетона
по сечению элементов конструкций
и выбор средней расчетной влажности
и расчетного перепада влажности

Распределение влажности бетона по сечениям элементов массив-
ных и средней массивности железобетонных конструкций, находя-
щихся на открытом воздухе или подверженных воздействиям перио-
дических технологических изменений влажности, отыскивается ме-
384

11е(/(т)-
в помещении
фикцией вр
Начально
® сечению •
инструкции
Ийрще,
наясмакента
в® бпона j,
«л 111.12).

При кеоои
ТОДП ,Ч|щ
Р|!°ж, соотееп
°Р'Ч1Н J0 т
«We и ч
ио (щ
ЙЙООЩщ
мязащ;

K®ofeiei
ВД|нйщ
flW®!
DO 8И® 1114
а ив 
мио иг
WM;
MfflJW,-,.
fp и pace®
ropaajfL
предыям
i, иМ
роваиН
> F( к »
ПЛОСКОЙ ЗЕ
тетрад
звслучад» j
течператус!
форме (гр^
по формуг

тодами теории влагопроводности с учетом технологических данных
(см., например, § 11.10). Нельзя, как это иногда делают, расчет
распределения влажности по сечениям элементов таких конструкций
производить в предположении их стационарного (не зависящего
от времени) влажностного режима.

Необходимая для расчета распределения влажности бетона по
сечениям конструкций, находящихся на открытом воздухе, расчет-
ная равновесная относительная влажность бетона может быть най-
дена по формуле

ф (Т) =20+1,5 f^x + ^mlnj

+ 1,5

^max k'mln
2

COS I р +

10-4 г/г,

(Х.32)

пав.®®
да®*

да. Ви®
даави
оизвоЯ

где (7гаах и l/min — соответственно максимальная и минимальная
среднемесячные относительные влажности наружного воздуха в
процентах для данной местности, назначаемые в соответствии с
табл. 3 п. 3.2 СНиП П-А.6-62 [175]; т, — величины, имеющие
тот же смысл, что и в формуле (Х.21) для температуры наружного
воздуха; р — числовая величина, имеющая те же значения, что
и в формуле (Х.21), но с нулевым значением, отнесенным не к июлю
месяцу, а к месяцу максимальной среднемесячной относительной
влажности наружного воздуха для данной местности, и соответст-
вующей’ сдвижкой по месяцам остальных ее значений.

Расчетная равновесная относительная влажность бетона в кон-
струкциях, находящихся в закрытом помещении, находится по
формуле

ф (т) = [20 + 1,5/7 (т)] IO"4 г/г,	(Х.ЗЗ)

еп»

।

леитови^
й», »-
j®nirt
[скваа®'

где U (т) — технологическая относительная влажность воздуха
в помещении в процентах, в общем случае являющаяся заданной
функцией времени т.

Начальное распределение относительной влажности бетона
по сечению элемента зависит от начальных условий изготовления
конструкции и ее предшествующего влажностного режима. Если
рассматривается влажностный режим элемента конструкции, начи-
ная с момента ее изготовления, то начальную относительную влаж-
ность бетона можно считать постоянной и равной ее начальной влаж-
ности (11.12).

При необходимости рассмотрения влажностного режима кон-
струкции лишь на отдельном периоде ее работы (например, на пе-
риоде, соответствующем отрезку времени с начала замыкания кон-
струкции до приложения эксплуатационной нагрузки) расчетное
начальное и часто уже неравномерное распределение влажности
бетона по сечению элемента конструкции в начале этого периода
должно отыскиваться на основе рассмотрения предшествующего это-
му моменту времени влажностного режима конструкции.
Средняя расчетная влажность Ucp элемента, изменения которой
вызывают его осевые деформации укорочения или удлинения, равна
лежащей на оси этого элемента ординате условной трапецеидальной
эпюры распределения относительной влажности бетона по сечению
элемента.

Расчетный перепад влажности U* по сечению элемента в рассма-
триваемом направлении, с изменениями которого связаны искривле-
ния его оси, равен взятому с соответствующим знаком тангенсу
угла наклона в заданном направлении наклонной стороны этой ус-
ловной трапецеидальной эпюры распределения относительной влаж-
ности бетона к поперечному сечению элемента. Правило знаков для
Ucp, U*, At/cp и At/* (см. рис. 86) см. на стр. 381.

При отыскании условной трапецеидальной эпюры распределе-
ния относительной влажности бетона возможны два расчетных слу-
чая.

Случай первый — имеются в виду изменения средней расчетной
влажности и расчетного перепада влажности бетона при высыхании
элемента (расчет на усадку бетона) или гигроскопическом увлажне-
нии за счет адсорбции водяных паров из воздуха (расчет влажност-
ных деформаций бетона, связанных с колебаниями влажности наруж-
ного воздуха). Случай второй — имеются в виду изменения средней
расчетной влажности и расчетного перепада влажности бетона при
увлажнении элемента за счет контакта с водой (расчет на набухание
бетона).

В первом расчетном случае условная трапецеидальная эпюра
распределения относительной влажности бетона по высоте 2х0
сечения бетонного (слабо армированного) элемента находится из
условий ее равенства по площади и статическому моменту площади
относительно оси элемента эпюры распределения эффективной
относительной влажности бетона

2x0Ucp=Ff, -?-x30U* = Sl.	(Х.34)

О

Условная трапецеидальная эпюра распределения относитель-
ной влажности бетона по сечению железобетонного элемента в пер-
вом расчетном случае должна быть по площади и статическому мо-
менту площади относительно оси элемента отлична от эпюры рас-
пределения эффективной относительной влажности бетона на не-
которые величины, в связи с тем что для такого элемента нужно исхо-
дить из его приведенного сечения. В случае прямоугольного эле-
мента с симметричным распределением арматуры в направлении его
толщины условная трапецеидальная эпюра распределения относи-
тельной влажности бетона находится при этом из условий:

2t/cp х0 = Ft -(п~ 1)	<Z) [t/cp + t/*x<Z) -1/9	;

(0

— xg (/* = S?,-(n -1) 2 f <z,x<z) [t/cp 4- t/*x<z> -1/3 (x<z>)],
3	(/)

(X.35)
т. е. должна быть по площади и статическому моменту площади от-
носительно оси элемента меньше или больше, чем эпюра распределе-
ния эффективной относительной влажности бетона, на некоторые
величины в зависимости от знака сумм в формулах (Х.35).

Входящие в выражения (Х.35) величины имеют тот же смысл,
что и в формулах (Х.36)—(Х.40), а величины Fy, Sy; U3 (x(al))
относятся к эпюре распределения эффективной относительной влаж-
ности бетона.

Во втором расчетном случае условная трапецеидальная эпюра
распределения относительной влажности бетона находится ана-
логичным путем, но по полной эпюре распределения действитель-
ной относительной влажности бетона. Формулы (Х.34) и (Х.35)
справедливы и в этом случае, но в них вместо Fy, Sy, U3 (xi0)
берутся соответствующие величины, найденные по полной действи-
тельной эпюре распределения относительной влажности бетона.

Эпюра распределения эффективной относительной влажности
бетона находится из эпюры распределения его действительной отно-
сительной влажности по сечению элемента, отсечением и отбрасы-
ванием ее частей, лежащих выше критической относительной влаж-
ности бетона 1/кр.

Определения эффективной и критической влажностей бетона
даны в § III 7, там же указаны методы их отыскания.

Средняя расчетная влажность Ucp и расчетный перепад влаж-
ности U* по сечению прямоугольного железобетонного элемента
в общем случае криволинейного распределения влажности в направ-
лении высоты 2х0 его сечения, когда влажность элемента по его
толщине 2//0 не изменяется и арматура расположена симметрично
относительно оси Ох сечения (см. рис. 87, б) в первом расчетном
случае, указанном выше, находятся по формулам:

а)	если вся кривая распределения действительной влажности
бетона по высоте сечения элемента лежи! выше критической влаж-
ности бетона U-

кр

^р = Жр{4^ + («-1)[-/п/?п-(п-1)]5^}; Р*=0; (Х.36)

б)	если на кривой распределения действительной влажности
бетона по высоте сечения элемента имеется лишь участок b х с,
лежащий выше критической влажности бетона (7кр,

^ср = К {(« - 1) (4 Ц?/а - (и - 1) Sa Sta -

—4/о Sa [0,5t/Kp (с2—b2) —Sy]) -|-

+ 2i/0 (4 [I7Kp (c 6) F— (n— 1) Sa Sy -|- 4^4)} Jf(X.37)

+	b‘)~ Sa] +FnSI/_(n_l)Safyj; (X.38)
в)	если вся кривая распределения действительной влажности
бетона по высоте сечения элемента лежит ниже критической влаж-
ности бетона U-
кр

иср = К{(П~ 1) [Jn vla -(и-1) Sd +

+ 2z/0[JnFc7-(n-l)SaSc/]};	(Х.39)

U* = К {(п -1) [4 Sla - (и -1) Sa ^а] +

+ 2//0[FnSc/-(n-l)SaFt/]}.	(Х.40)

В формулах (Х.36)—(Х.40):

Vc/a —часть объема эпюры распределения эффективной влажности
бетона по высоте сечения элемента, выделяемая боковой поверх-
ностью всех учитываемых арматурных стержней:

vba=£Uhfal,
о)

(Х.41)

S«a — статический момент части объема эпюры распределения эф-
фективной влажности бетона по высоте сечения элемента, выделяе-
мой боковой поверхностью всех учитываемых арматурных стержней,
относительно оси Оу его поперечного сечения:

3На = 2L ^а/ fai Xai,	(Х.42)

S[j и FLI — соответственно статический момент относительно оси
Оу и площадь заданной эпюры распределения действительной влаж-
ности бетона по сечению элемента; Зу и Fy — соответственно ста-
тический момент относительно оси Оу и площадь участка Ъ 4 x<Zc
заданной эпюры распределения действительной влажности бетона по
сечению элемента, ограниченного абсциссами х = b и х — с; Uh —
ордината эпюры распределения эффективной влажности бетона по
сечению элемента, лежащая над центром тяжести поперечного се-
чения /-го стержня учитываемой арматуры, а остальные постоянные
имеют тот же смысл, что и в формулах (Х.24)—(Х.26).

При определении ординаты Uai возможны два случая:

а)	ордината заданной эпюры распределения действительной
влажности бетона, лежащая над центром тяжести поперечного се-
чения рассматриваемого /-го стержня учитываемой арматуры, боль-
ше или равна критической влажности бетона L/Kp; в этом случае
Uh принимается равной (7кр;

б)	ордината заданной эпюры распределения действительной
влажности бетона, лежащая над центром тяжести поперечного се-
чения /‘-го стержня учитываемой арматуры, меньше 1/кр; в этом слу-
чае Uai принимается равной этой ординате.
В формулах (Х.41) и (Х.42) суммирование производится по всем
учитываемым арматурным стержням сечения элемента, число кото-
рых предполагается равным i.

Для бетонного (слабо армированного) элемента формулы (Х.36)—
(Х.40) принимают вид:

а)	если вся кривая распределения действительной влажности
бетона по высоте сечения элемента лежит выше критической влаж-
ности бетона (7кр:

=	^* = 0;	(Х.43)

б)	если на кривой распределения действительной влажности
бетона по высоте сечения элемента имеется лишь участок 6 х с,
лежащий выше критической влажности бетона (7ьр:

t/cp =	[Л,—Fu+UKp(c-b)];	(Х.44)

и*=Л Is	;	<х -45>

в)	если вся кривая распределения действительной влажности
бетона по высоте сечения элемента лежит ниже критической влаж-
ности бетона 1/кр:

иср

ри . у* 3So

2х0 ’ 2xg

(Х.46;

Средняя расчетная влажность Ucp и расчетный перепад влаж-
ности U* для железобетонного элемента во втором расчетном слу-
чае, указанном выше, находится по формулам (Х.39) и (Х.40).
Для бетонного (слабо армированного) элемента в этом случае сле-
дует пользоваться формулами (Х.46).

В формулах (Х.36)—(Х.40) конструктивную арматуру можно не
учитывать.

Для железобетонных элементов с прямолинейным или близким
к нему распределением действительной влажности бетона по высоте
поперечного сечения, а также элементов, имеющих только конструк-
тивную арматуру, вполне допустимо среднюю расчетную влажность
Ucp и расчетный перепад влажности U* определять по формулам
(Х.43)—(Х.46), как для бетонного (слабо армированного) элемента.

Площадь Fu и статический момент Sv эпюры распределения дей-
ствительной влажности бетона по сечению элемента отыскиваются
аналогично площади Ft и статическому моменту S( эпюры распре-
деления температуры по сечению элемента (см. § Х.4). Части Fy и Su
соответственно площади Fu и статического момента Su эпюры рас-
пределения действительной влажности бетона находятся по форму-
лам:

Fu = Fu-UKp(c-b)‘, Su=Su-0,5UKp(c*-*&).	(Х.47)
§ Х.6. Числовой пример расчета железобетонной
статически неопределимой рамы на изменения
температуры и влажности бетона

Рассчитаем железобетонную раму погонного метра зоны изотер-
мического прогрева стационарной пропарочной камеры двухтуннель-
ного типа (рис. 89) на изменения температуры и влажности ее
элементов, связанные с переходом к длительному несимметричному
циклу пропаривания изделий в одном (правом) из ее отсеков.
Имея в виду худший случай работы рамы, поворотом ее фундаментов
пренебрегаем.

Рис. 89. Схема стационарной пропарочной камеры двухтуннельного типа

Температура 4 и влажность воздуха со стороны внешнего
контура рамы и в ее левом отсеке, а также температура /2 и влаж-
ность воздуха в правом отсеке рамы соответственно равны:
ti = 15е С; Uг = 60%; /2 = 80е С; U2 = 100%.

Ригель рамы несет суммарную равномерно распределенную на-
грузку, расчетное значение которой q - 2,5 тс!м2.

Все элементы рамы выполнены из бетона марки 200 кгс!см2
и первоначально предполагаются симметрично армированными го-
рячекатаной арматурой Q 12 А III с шагом 200 мм.

Определяем модуль поверхности элементов рамы (см. примеча-
ние 2 к п. 4.26 СНиП):

/и =-AL:1._ = 5 72 ж-1.

1-1-0,35

Так как 2 < т < 15, то рама принадлежит к конструкциям
средней массивности.

В соответствии с указаниями § Х.2 упругий расчет рамы произ-
водим по методу сил без учета продольных деформаций и деформа-
ций сдвига, а ее расчетную схему (рис. 90, а) и основную систему
(рис. 90, d) выбираем с учетом длин элементов рамы в осях с груп-
повыми лишними неизвестными, перенесенными в упругий центр.

По заданным расчетным влажностям воздуха и U2 находим
расчетные относительные равновесные влажности граней элементов
рамы по формуле (Х.ЗЗ) , принимая во внимание, что в рассматри-
ваемом стационарном состоянии^ t/max = t/min = U:

ч) , t.

2,5тс/м

[ППНИПППИПШ]

. S5

ti
«1

I

t, = /5°
и,=60%

t^80°
иг=1оо%

400

435

400

435

t,
a,

Ч = ?,5тс/м

а) левый ригель и стойка

= ф2 = (20 + 1,5С7г) 10~4 = *
=(20+1,5 • 60) 10-4= 1,1  10-2г/г;

Рис. 90. Расчетная схема (а), основная система (б) и эпюры изгибающих мо-
ментов в основной системе от сил Хг = 1 и нагрузки q (в)





б) правый ригель, средняя и правая стойки

= (20 +1,5 • 60) 10-4 = 1,1 • 10-2 а/а;

= (20 +1,5 • 100) 10"4 = 1,7 • 10-2 а/а.

В соответствии с указаниями § III.7 находим относительную
критическую влажность бетона (71;р По формуле (II 1.2).

По линейной интерполяции, как для конструкции средней
массивности, имеем:

W = (0,0125 0,00625) (5 72_2)+ 0,00625 = 0,803-10-2 а/а;
15—2 v

1/*р =- (0’0115~°2005) (5,72 — 2) + 0,005 = 0,643 •10-2 г!г-
Для определения коэффициента k формулы (II 1.2) пользуемся
табл. 34, по которой находим, что k— 1,4. Тогда

Дкр = № + kU*p = 0,803-10"2 + 1,4 • 0,643 • 10"2 = 1,7 • 10~2 г/г.

Так как в рассматриваемом случае < Днр и ф2 < ДцР, то
изменения средней расчетной влажности АДср и расчетного перепада
влажности АД* по сечениям элементов рамы находим по действи-
тельным влажностям фх и ф2 (§ Х.5).

Учитывая симметричное армирование рамы и линейное распре-
деление расчетной влажности вследствие ее стационарного влаж-
ностного режима в соответствии с указаниями § Х.5, имеем:

а)	до перехода к несимметричному циклу пропаривания для
всех элементов рамы

=1,1-10-2а/г; Д*<»> = 0;

б)	после перехода к несимметричному циклу пропаривания —
для левых стойки и ригеля

t/‘p’ = l,I-10-2a/a; Д*(2> = 0;

для правой и средней стоек, а также правого ригеля

Д<2р)=11^1±1^=1,4-10-2г/г.

и*(2) = (1,7—1,1) 10~2 = | 713-1Q-2 г'г
0,35	’	м

Таким образом, расчетные изменения средней расчетной влаж-
ности АДср и расчегного перепада влажности АД* будут равны:
для левых стойки и ригеля

АДср = Д<2) — U$ = 0; ДД* = Д*'2) — Д*(1) =0;

для средней и правой стоек, а также правого ригеля

Д Дсс = 1,4 • 10-2 — 1,1 • 10'2 = 0,3  10-2 г/г-

ДД* = 1,713-10-2—0 = 1,713-10~2 —.
м

Аналогичным образом находим расчетные изменения средней
расчетной температуры А/ и расчетного перепада температуры А/*:

для левых стойки и ригеля

А/ср = 0; Дг* = О;

для средней и правой стоек, а также правого ригеля ,
А/Ср = 32,5 град-, А/* = 185,7 град!м.

В соответствии с указаниями § Х.2 находим расчетные значения
коэффициентов линейной усадки (3* и линейного расширения а бе-
тона.
Из формулы (Х.12) при FH = F„ = 0 и Fa = F'a = 5,65 смг

имеем:

Ш

<Й

I

т = —=-----------------!-----------= 0,97;

1 + >гц	2-10“	2-5,65

+ 2,65-105 ’ 100-35

₽*	= 0,97-3 • 10-2 = 2,910- ю-2^!^ -

г/г

а =110-6!град~\

В первом приближении расчет рамы производим без учета нали-
чия трещин по кратковременной жесткости ее элементов, снижен-
ной за счет пластической деформации бетона на 15% [СНиП, п. 9.3,
формула (170)].

Предварительно находим:

п =

2-106

2,65-Ю6

= 7,55;

г ЬИ I О Z 1 \ Г /	\ ~

Ai ~Г к 2 (/г 1) F a а | —

= _!^+(755_1)2.5,65(17,5-3)2 = 3729.10-<!л4;

Вк = 0,85Еб 7П = 0,85 • 26,5 • 105 • 3729  1О-6 = 0,0840 -105 тс • №.

Пользуясь найденными значениями коэффициентов а, р* и же-
сткости Вк, в соответствии с указаниями § Х.З находим перемеще-
ния &ik, Дгр, А,/, Дгу основной системы. В качестве примера при-
ведем вычисление перемещений по направлению действия сил Хг.
На рис. 90, в приведены необходимые для этого эпюры изгибающих
моментов в основной системе от сил X i = 1 и от нагрузки q\

6И = —

/г

2

- 2 Aj_A.2/.A1

2 ’ 3 ‘ 2 1 2	2 J

/г2

6ВК

(/г + 3/) =

4.1752

6-0,084-Ю5

(4,175 + 3-4,35) = 595,710-10-5

м

ТС

2

Д1 =

9 Вк \	3	8	2	)	24 Вк

2,5-4,175-4,353
24-0,084-105

= —426,155-10-5 м;

Ьи = — -l-а-М* + 1-/-а-ДСп = а1 (-Ы* + Д/Сп Ъ
2	I 2	ср j

= 1 -10-5-4,35	185,7 + 32,5 j = 1828,1 - 10-5я;
Л1Ц = — •/₽*-At/* + 1-/-6*. A(/cd = ₽M —д^*+д^ср1 =

At/ 2	•	1	\ 2	у

= 2,91 • IO'2- 4,35 / —— 1,713- IO”2 4-0,30-10~2 'I = 488,62• 10~5m.
\ 2	J

Аналогичным образом вычисляем перемещения по направле-
нию остальных лишних неизвестных.

Далее составляем канонические уравнения для лишних неиз-
вестных вида:

бц +6]2 Х2	4-А1р 4- А1( 4- Д1У = 0;

Система этих уравнений представлена в матричной форме
в табл. 48. Значения лишних неизвестных, найденные решением
этой системы уравнений, даны в табл. 49.

На рис. 91 приведены эпюры суммарных изгибающих момен-
тов, поперечных и продольных сил в раме от полезной нагрузки,
изменений температуры и влажности ее элементов, полученные в
первом приближении.	’

Пользуясь данными упругого расчета рамы и принимая

А = 5,65 см2 (5 0 12), находим необходимую площадь растянутой *
арматуры в ее элементах из расчета по прочности.	j

Так как для стоек рассматриваемой монолитной железобетонной 
рамы, жестко заделанных в фундамент (при /0 = I = 4 м), оказы- с
вается, что тд_дл = 0,999 и tj = 1,022 (см. п. 7.51 СНиП), то влия- '
ние гибкости ее элементов и длительного воздействия нагрузки на г;
их несущую способность можно не учитывать.

Правый ригель:

М = 25,94 тс-м.-, N —1,292 тс,	|

/го = О,32ж; ео = 2О,О8ж;	i

ол ло . 0,32—0,03	•

е = 20,08 4—’-----’— — 20,22 м;

2	'	

Ne—Rubx(h0 —— /?гс F' (/*<> ~«') =

= 1292- 2022 -100-100% (32 — 0,5%) — 3400 • 5,65 (32 —3) = 0,
откуда, как и должно быть,

% = 7,23 см <0,55 h0 = 0,55-32 = 17,6 см.

Поэтому (см. п. 7.48 СНиП)

_	6%4-tfac Fa — N 100-100-7,23 + 3400-5,65 —1292 _	, 2

а	R&	3400

Таким образом, принимаем:

F& = 26,6 см2 (70 22); Т' = 5,65 сж2 (5012);
Канонические уравнения метода сил для лишних неизвестных основной системы
(первое приближение)

	Состояние  системы	Я? уравнения	Значения коэффициентов системы канонических уравнений при неизвестных						Свободные члены		
				х2	X, •		х>		от суммарной нагрузки	от изменений температуры	от изменений влажности
		1	595,710	0	—216,200	0	0	0	—426,155	1828,100	488,620
	Прямосим- метричное	2	0	633,550	-216,200	0	0	0	— 1278,464	1550,600	414,519
		3	—216,200	—216,200	202,980	0	0	0	—791,940	— 1583,100	—423,207
		4	0	0	0	884,520	0	—216,200	0	— 1828,100	—488,620
	Кососим- метричное	5	0	0	0	0	1574,000	216,200	0	1550,600	414,519
Ю СП		6	0	0	0	—216,200	216,200	401,790	0	3133,700	337,726
Лишние неизвестные первого приближения

Состояние системы	Лишние неизвестные в Тс и Тс-м	От сум- марной на- грузки	От изме- нения темпера- туры	От изме- нения влажности	Суммар- ные
		—0,723	—0,276	-0,0738	— 1,073
Прямосимметричное	х2	0,666	0,178	0,0476	0,892
	*3	—3,962	7,696	2,057	5,791
Кососимметричное	х4  Х5	0  0	0,173 0,0793	0,0462 0,0212	0,219 0,100
		0	—7,749	—2,071	—9,820

Правая стойка:

М = 22,498тс-м; N = 4,646тс;
h0 = 0,32 м; е0 = 4,85 м;

. ос , 0,32—0,03 с

е = 4,85 4- —-----— = 5м.

2

По аналогии с расчетом правого ригеля находим:

х = 6,09 см <. 0,55 h0 = 17,6 см;

Fa = 22,8см2 (6 0 22); F'a = 5,65 см2 (5 0 12).

В связи с возможным случаем перехода к несимметричному цик-
лу пропаривания в одном левом отсеке камеры армирование левых
стойки и ригеля рамы принимаем соответственно таким же, как
для правых, а среднюю стойку армируем симметрично; при этом
имеем:

средняя стойка

М = 20,118 тс-м; N = 12,658тс;

ho = 0,32 м; е0 = 1,59 м;

е= 1,59 4-0,15 = 1,74 м.

Так как

.V 12 658	. ос	о о с

х =----- --------- = 1,26 см < 2а = 2 • 3 = 6 см,

bRu 100-100

то площадь сечения арматуры находим по уравнению

„	7V[e(/!o fl')]	12 658 [1,74 —(32—3)]	1R с _ >

a	Ra (ho—а')	3400(32—3)

Принимаем

Fa =fa = 19 см2 (5 0 22).

Для расчета рамы во втором приближении определяем кривизны
ее элементов в сечениях наибольших моментов.
CD

25,900^

1,508	5,822

D,850n

0,00616

1,876



'2,058

18 308

'Т 22,098

' 20,118

18,29117,100

Пербое приближение
0,006 Ql 6,029 © 0,606

© 6,229

0,850
0,038

^42,0581^ 121658к 17U00TSM

10,716 3,281.

fl.

1,292

0,850

44

N

0,006

12,658

-0,606

1,297 ®'=

5,0503,996

<U. 5,050
42,330

Г:, 600
0,929

0,009

0,905

15,Ю[
5,81

0,881

0,738

Второе приближение

f 6681

6,137

0,760

41,1210,881

10,68212,330-

4 zA

0,738

Третье приближение

2’8f 5,921 5,911

5,860

9

1,059

8,853
®

41,508 1,059

410,302

.0,009

<6,752

1,508 1,059

5,01112,616 =

© z

® Ё

0,123 =

•ж	10,302

42,616	Т- 0,123

Pi.c 91 Эпюры суммарных изгибающих моментов, продольных и поперечных сил в раме
от суммарной нагрузки и изменении температуры и влажности

П р ч меча н и е. Моменты в тс-лг, силы в тс
Правый ригель:

Fn = 100 • 35 + 7,55 (26,6 + 5,65) = 3743 см2;

Sn == 100  35 • -у + 7,55 [26,6 • 3 + 5,65 (35 — 3)] = 63 215 см3;

Sn 63215	,_п

у =	=-------= 16,9 см;

FB 3743

4-100-35 (17,5 — 16,9)2 +7,55-26,6 (16,9 —З)2 +

+ 7,55  5,65 (35—16,9—3)2 = 395 500сж4;

7П _ 395 500
у ~ 16,9

_ Wo _ 23 400
я— Fn ~ 3743

= 23 400 еж3,

= 6,25сж.

По табл. 34 приложения II СНиП у = 1,75

’ №Т1 = у№0 = 1,75 - 23 400 = 40 900 см3;

7ИТ1 = 7?р И7Т1 = 16-40900 = 655 000 кгс-см В^,55’тс-ж;

N

6,55

е0—гя	20,08—0,0625

= 0,327 тс.

7И3 = 2V (е0 +1/—а) = 1,292 (20,08 + 0,169 — 0,03) = 26,16 тс - ж;

7И3т = +т (е0 + у—а) = 0,327 (20,08 + 0,169—0,03) = 6,62jmc-ж;

М3 2 616 000
— 100-322-180

Л4ЗТ 662 000
bh2RKu ~ 100-322-180

р

F&n
bh0

26,6-7,55
~ 100-32

= 0,0831

<?1

Ms 26,16

1,292

= 20,25 ж;



^1т

А4зт

JVT

= 20,24 ж.
0,327

При кратковременном действии нагрузки (v = 0,45):

nFa

Vbho

7,55-5,65
0,45-100-32

= 0,0296;
T = y' fl----Л =0,0296 fl------— ) =0,0268;

V	h0)	\	32 7

1_________,	1.5+/ =_______________1______________,

l+5(L + 7)^	ex	1+5(0,142 + 0,0268)

+----------- 11.5------— 5	1,84-------------------

lOpz	’ h0	10-0,0831-7,55

ч---K5/0-02^ =0 214 >	= 215 = 0,188;

11,5 ^-5	32

0,32

1_______ i	Ь5 + / =______________1______________

l + 5(LT + 7)~rH 5_+l_5 j 1+5(0,0362+0,0268) "Г
Юра	’ h0	’ +	10-0,0831-7,55

---1,5 + 0,0296 = 0 258	2+ = 2 + = 0 j88

'	20,24	’	h0 32

11,5-----— 5

0,32

При длительном действии нагрузки (у = 0,2, случай влажного
режима):

, nF а 7,55-5,65 п

у =-------= —-------:-- = 0,0667;

vbho 0,2-100-32

Zi = h0 1

2а'

До

2(/+В)

[2-3	я

— 0,0667-НО, 2142

1__-32______________

2(0,0667+0,214) _

= 28,6 см.-,

2а' ,	«1

-т— У +£т

й0_______

2 (у' +£т) -

^1т	1

г 2-3

— 0,0667 + 0,2582

— 32 1____32________________

L 2(0,0667+0,258)

= 28 см;

m ^зт — zit Nт _ 6.62—0,28-0,327  g 253’
М3—Z1N ~ 26,16 — 0,286-1,292 “ ’

чр =13—Sm--------^-^- = 1,3 —0,8-0,253-----1 °’253 = 0 9 44.

6 —4,5 m	6-4,5-0,253

Кривизна при длительном действии нагрузки при v = 0,2 (слу-
чай влажного режима):

1 _ Мз ~ Ч’а _|____________Фб_______1 Мра _

Р h0Zi[EaFa (у'+Ю bh0E& v J й0£а£а

_ 2 616 000 Г 0,944	,_______________0,9________________

32-28,6 [ 2-106-26,6 ' (0,0667 + 0,214) 100-32-2,65-105-0,2

1292-0,94-;

32-2-106-25,6

= 116,3- Ю-« — = 11,63-10~3— .

СМ	М
Далее, аналогично предыдущему, находим:

правая стойка

— — 9,544 -10-3—;

р	м

средняя стойка

— = 8,52- 10-3 —.
р	м

Так как трещины имеются по всей длине элементов правого
отсека рамы (Л4 > Л4Т), то, пользуясь указаниями § Х.З, находим
условные длительные жесткости Вп элементов рамы:

а)	правый ригель

В = .^пдпах =. _?5,?40_ = 0 223 105 тс м2
п 1	11,63-10-з

Р

б)	правая стойка

В = —— = 0,0236 • 105 тЦ  ж2;

9,544-10-3

в)	средняя стойка

R = —2"-1 -— = 0,0237 • 105 тс - ж2.

п 8,52-10-3

В связи с возможностью указанного выше случая перехода к не-
симметричному циклу пропаривания в одном левом отсеке рамы
и чередования несимметричных циклов, кривизны, а следовательно,
и условные жесткости левых стойки и ригеля принимаем такими же,
как для правых стойки и ригеля соответственно.

Учитывая, что найденные условные жесткости очень близки по
величине, в расчет рамы по второму приближению вводим среднюю
для всех ее элементов условную жесткость

В = (0,0223 + 0,0236 + 0,0^37)10^ =	. 1{)5

3

Так как	= 3>621> то расчет рамы во втором

приближении сводится к пропорциональному снижению лишних
неизвестных первого приближения, вызванных изменениями тем-
пературы и влажности, в 3,621 раза. Лишние же известные, вызван-
ные полезной нагрузкой, остаются неизменными.

В табл. 50 приведены найденные таким способом лишние неиз-
вестные второго приближения, а на рис. 91 — соответствующие ему
суммарные эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных
сил.
Лишние неизвестные второго приближения

Состояние системы	Лишние неизвестные в Тс и Тс-м	От сум- марной на- грузки	От изме- нения темпера- туры	От изме- нения влажности	Суммар-  ные
	Xi	—0,723	—0,0762	—0,0204	—0,820
Прямосимметричное	X.	0,666	0,0492	0,0132	0,728
	х3	—3,962	2,125	0,568	—1,269
Косое пмметр ич ное	х4 хБ	0  0	0,0478  0,0219	0,0128  0,00585	0,0606  0,0248
	хБ	0	—0,140	—0,672	—2,712

Пользуясь данными расчета рамы во втором приближении, под-
бираем ее армирование из расчета по прочности:

а)	ригели

М = 10,716 тс• м; М = 0,881/тгс;

Fa = 10,7cM2; Fa =5,65 см2;

б)	крайние стойки

М = 7,674 тс-м; М=4,738/тгс;

Fa = 7,06см2; Fa = 5,65 см2;

в)	средняя стойка

М = 5,555 тс-м; М = 12,33/пс;

Fa =F'a = 5,65 см2.

Далее производим расчет рамы в третьем приближении.

Для элементов рамы по усилиям второго приближения определя-
ем Л4Т:

а)	ригепь

Fn = 100 • 35 + 7,55 (10,7 + 5,65) = 3623 см2;

Sn = 100 • 35 -у + 7,55 [ 10,7 • 3 + 5,65 (35 —3)] = 62 805 см3;

Jn = -1(У •353-+ 100 • 35 (17,5 — 17,3)2 +

+ 7,55-10,7(17,3—З)2+7,55-5,65 (35 —17,3—З)2 = 382 860см4;

г U = 382860 =22 100сл{3
У 17,3
r _ ^0	22 100	_ .

— — —----------“6,1 CM,

Fn 3623

UZ71 = y№0 = 1,75 • 22 100 = 38 700 сж3;

MT = RHpW.ll-[-Nrfl = 16-38 700 + 881-6,1 =
= 624 574 кгс-см = 6,246 тс-м.

Рис. 92. Границы участков с трещинами в элементах правого отсека рамы
и эпюры условных жесткостей В

По аналогии находим:

б)	крайние стойки

Л4Т — 6,301 тс-м-,

в)	средняя стойка

МТ = 6,704 тс‘М.

Определяем длины участков элементов рамы с трещинами и’без
трещин. Границы этих участков показаны на рис. 92. На этом
же рисунке изображены эпюры условных жесткостей В на этих
участках, вычисленных аналогично второму приближению. Поль-
зуясь этими эпюрами, вновь повторяем расчет рамы в третьем при-
ближении. Значения лишних неизвестных, полученных в резуль-
тате этого расчета, приведены в табл. 51, а суммарные эпюры изги-
бающих моментов, поперечных и продольных сил — на рис. 91.
Лишние неизвестные третьего приближения

Состояние системы	Лишние неизвестные в Тс и Тс-м	От сум- марной на- грузки	От изме- нения темпера- туры	От изме-  »нения влажности	Суммар-  ные
	*1	—0,503	0,639	0,169	0,305
Прямосимметричное	*2	0,541	0,261	0,0691	0,871
	Х3	—4,665	3,722	0,986	0,043
Кососпмметр и ч ное	X. х5	0  0	—0,596  —0,351	—0,158  —0,093	—0,754  —0,444
	хй	0	—3,981	— 1,054	—5,035

Сравнивая эпюры моментов второго и третьего приближений, на-
ходим, что моменты в правом ригеле для этих приближений раз-
личаются незначительно, а моменты в стойках несколько завышены
по сравнению с их вероятной конечной величиной, так как они полу-
чены при жесткостях, превышающих действительные конечные жест-
кости стоек рамы. Истинные значения этих моментов будут нахо-
диться между их значениями во втором и в третьем приближении,
т. е.

5,555 тс-м<Мтах < 15,149 тс-м (средняя стойка);

5,921 тс-м<А1тах < 10 342 тс-м(крайняя стойка).

Принимая приближенно

»,	15,149 4-5,555 QC-_

Мпах =-------~—!----= Ю,352 тс-м

для с; едней стойки и

л, 10,3424-5,921 о ,

/Итах =-------------= 8,142 тс-м

для крайней стойки, получаем моменты, близкие к максимальному
моменту ригеля в третьем приближении Л4тах = 11,64 тс-м,
который и принимаем за расчетный для всех элементов рамы. Рас-
четные же значения продольных сил принимаем по третьему при-
ближению.

В соответствии с принятыми значениями моментов и продольных
сил подбираем арматуру в элементах рамы по прочности-

а)	ригели

М = 11,64тс-м; JV = 1,059тс;

Fa = 12,3 см2 (8 0 14); Fa = 5,65 см2 (5 0 12);
б)	крайние стойки

Л4 ~ 11,64тс-м; N = 4,12тс;

Fa = 12,3см2 (8 0 14); F'a — 5,65см2 (5 0 12);

в)	средняя стойка

М = 11,64тс-м; N = 12,62тс;

Fa =Fa = 12,3 см2 (8 0 14)

Поперечная арматура в элементах рамы устанавливается кон-
структивно, так как удовлетворяется условие (п. 7.30 СНиП)

Q = 6,75 тс < 7?р bh0 — 7,2  100-32 = 23 000 кгс = 23 тс,

где Q = 6,75 тс — максимальное значение поперечной силы из
трех приближений для всех элементов рамы. Так как

Q = 6,75 тс < 0,25 Ru bh0 = 0,25 • 100 • 100 • 32 = 80 000 кгс = 80 тс,

то условие (58) п. 7.25 СНиП также удовлетворяется.

Далее по окончательно принятым расчетным значениям усилий
следует произвести расчет элементов рамы по деформациям и по
раскрытию трещин, после чего расчет рамы можно считать закон-
ченным. Эти расчеты показывают, что даже при учете расчетной
суммарной нагрузки раскрытие трещин в наиболее напряженном
сечении рамы с наибольшим моментом и наименьшей продольной
силой (в месте примыкания правого ригеля к средней стойке) со-
ставляет 0,29 мм, т. е. меньше величины 0,3 мм, допускаемой норма-
ми при учете нормативной суммарной нагрузки. Наибольший про-
гиб наиболее напряженного правого ригеля рамы даже при учете
расчетной суммарной нагрузки также оказывается значительно
меньше допускаемого нормами.
ТАБЛИЦЫ НАСЛЕДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ БЕТОНА ВТОРОГО РОДА
R (/, т) в сут.-1

Предельная характеристика ползучести В (т) = Е(т) д (т) | — 2,54

X	Я U. т)	X	Д (t, т)	X	« (t. т)
t-	2 суток				
2	6,59306010	1,075	0,18471021	3,325	0,22322229
1,975	5,11022750	1,050	0,17914047	3,300	0,21890892
1,950	3,98590270	1,025	0,17384154	3,275	0,21482407
1,925	3,13267040	1	0,16880591	3,250	0,21092379
1,900	2,48442090	0,950	0,15940217	3,225	0,20717465
1,875	1,99164200			3,200	0,20355126
1,850	1,61510460			3,175	0,20003429
1,800	1,10726520	7 =	4 суток	3,150	0,19660903
1,775	0,93756848		5,64943980 4,36630360 3,39055460 2,64831770 2,08347110 1,65338020 1,32565810 1,0757021 0,88482388 0,73882766 0,62693074 0,54094299 0,47464369 0,42330804 0,38334754 0,35203681 0,32730596 0,30758307 0,29167432 0,27867313 0,26789102 0,25880518 0,25101857 0,24422969 0,23820960 0,23278440 0,22782206	3,125	0,19326429
1,750 1,725 1,700 1,675 1,650  1,625 1,600	0,80624754 0,70398496 0,62374222 0,56020312 0,50935277 0,46815947 0,43433414	3,975 3,950  3,925 3,900  3,875 3,850  3,825 3,800  3,775 3,750  3,725 3,700  3,675 3,650  3,625 3,600  3,575 3,550  3,525 3,500  3,475 _ 3,450  3,425 3,400  3,375 3,350		3,100 3,075 3,050 3,025  3  2,950 2,900	0,18999152 0,18678419 0,18363732 0,18054706 0,17751047 0,17146472 0,16567551
1,575  1,550	0,40614846 0,38229763			2,850  2,800	0,16010729  0,15473899
1,525 1,500 1,450 1,425 1,400	0,36179648 0,34390110 0,31381754 0,30088391 0,28900587			2,750  2,700  2,650  2,600  2,550	0,14955787 0,14455593 0,13972792 0,13507013 0,13057972
1,375	0,27799946			2,500	0,12625432
1,350	0,26772504			2,450	0,12209186
1,325	0,25807642			2,400	0,11809037
1,300 1,275  1,250 1,225 1,200 1,175 1,150 1,100	0,24897254 0,24035131 0,23216482 0,21437596 0,21695559 0,20988064 0,20313258 0,19055904			2,350 2,300 2,250 2,200  2,150 2,100 2,050  2  1,900	0,11424796- 0,11056276 0,10703286 0,10365636 0,10043131 0,097355740 0,094427625 0,091644897 0,086127191
г	R U. т)	х	R (t, г)	х	Г< (t, т)

1,800	0,081493893	5,050	0,15098101	?=	10 суток
1,700	0,077493252	5,025	0,14837374		
1,600	0,074032592	5	0,14778830	10	5,0156228
1,500	0,071069455	4,950	0,14455268	9,975	3,8600671
1,400	0,068576758	4,900	0,14144194	9,950	2,9772604
1,300	0,066531624	4,850	0,13842468	9,925	2,3028063
1,200	0,064911811	4,800	0,13548267	9,900	1,7875079
1,100	0,063694557	4,750	0,13260536	9,875	1,3937816
1	0,062856123	4,700	0,12978657	9,850	1,0929166
0,5	0,054642791	4,650	0,12702269	9,825	0,86298076
		4,600	0,12431156	9,800	0,68722038
		4,550	0,12165186	9,775	0,55283815
t =	6 суток	4,500	0,11904277	9,750	0,45005897
		4,450	0,11646107	9,725	0,37141648
6	5,34935117	4,400	0,11240014	9,700	0,31120792
5,975	4,12027240	4; 350	0,11182247	9,675	0,26507767
5,950	3,18471960	4,300	0,10829196	9,650	0,22969914
5,925	2,47245070	4,250	0,10686080	9,625	0,20253167
5,900	1,93007560	4,200	0,10450745	9,600	0,18163498
5,875	1,51696830	4,150	0,10221941	9,575	0,16552728
5,850	1,20221660	4,100	0,099989415	9,550	0,15307697
5,825	0,96229951	4,050	0,097882178	9,525	0,14341993
5,800	0,77832053	4	0,095460657	9,500	0,13589626
5,775	0,63966297	3,900	0,091414363	9,475	0,13000211
5,750	0,53296665	3,800	0,087244661	9,450	0,12535268
5,725	0,45134923	3,700	0,083484789	9,425	0,12165422
5,700	0,38881374	3,600	0,079980604	9,400	0,11868240
5,675	0,34079768	3,500	0,076680530	9,375	0,11626594
5,650	0,30283000	3,400	0,073566554	9,350	0,11427407
•5,625	0,27527003	3,300	0,070630886	9,325	0,11260698
5,600	0,25210886	3,200	0,067872450	9,300	0,11118842
5,575	0,23581825	3,100	0,065285977	9,275	0,10996021
5,550	0,22223562	3	0,062870238	9,250	0,10887792
5,525	0,21147660	2,900	0,060624273	9,225	0-10790764
5,500	0,20286845	2,800	0,058544526	9,200	0,10702348
5,475	0,19589942	2,700	0,056629385	9,175	0,10620567
5,450	0,19018024	2,600	0,054876470	9,150	0,10543913
5,425	0,18541483	2,500	0,053283362	9,125	0,10471235
5,400	0,18137794	2,400	0,051847513	9,100	0,10401652
5,375	0,17789828	2,300	0,050566216	9,075	0,10334494
5,350	0,17484554	2,200	0,049436705	9,050	0,10269250
5,325	0,17212060	2,100	0,048456031	9,025	0,10205527
5,300	0,16964808	2	0,047521111	9	0,10143027
5,275	0,16737064	1,900	0,046828714	8,950	0,10011613
5,250	0,16524467	1,800	0,046375456	8,900	0,098870826
5,225	0,16323700	1,700	0,045957749	8,850	0,097669901
5,200	0,16122239	1,600	0,045671899	8,800	0,096499104
5,175	0,15948164	1,500	0,045513952	8,750	0,095350147
5,150	0,15770017	1,400	0,045479816	8,700	0,094218196
5,125	0,15596686	1,200	0,045287733	8,650	0,093100439
5,100	0,15427326	1	0,045095650	8,600	0,091995229
5,075	0,15261294	0,5	0,044999609	8,550	0,090901604
т	R (1, т)	Г	R (t. т)	X	R V. т)
8,500	0,089818999	19,550	0,10099561	15,250	0,032761039
8,450	0,088747076	19,525	0,091318268	15	0,031789665
8,400	0,0876856*2	19,500	0,083809218	14,750	0,030849486
8,350	0,086634546	19,475	0,077973612	14,500	0,029940253
8,300	0,085593737	19,450	0,073429534	14,250	0,029061736
8,250	0,084563153	19,425	0,069882229	14	0,028213726
8,200	0,083542757	19,400	0,067104221	13,750	0,027396039
8,150	0,082532523	19,375	0,064919957	13,500	0,026608511
8,100	0,081532426	19,350	0,063193959	13,250	0,025851004
8,050	0,080542449	19,325	0,061821676	13	0,025123401
8	0,079562575	19,300	0,060722431	12,750	0 024425614
7,750	0,070374717	19,275	0,059833964	12,500	0,023757577
7,500	0,066242053	19,250	0,059108236	12,250	0,023119254
7,250	0,062560841	19,225	0,058508174	12	0,022510634
7	0,059093069	19,200	0,058005176	11,750	0,021931736
6,750	0,055826613	19,175	0,057577168	11,500	0 021382609
6,500	0,052761092	19,150	0,057207122	11,250	0,020863332
6,250	0,049896871	19,125	0,056881897	11	0,020374019
6	0,047234487	19,100	0,056591356	10,750	0,019914816
5,750	0,044774635	19,075	0,056327676	10,500	0 019485904
5,500	0,042518150	19,050	0,056084821	10,250	0,019087504
5,250	0,040463060	19,025 ,	0,055858137	10	0,018719873
5	0,039619356	19	0,055644031	9,750	0,018383314
4,750	0,036979442	18,950	0,055193196	9,500	0,018078169
4,500	0,035517682	18,900	0,054787668	9,250	0,017804821
4,250	0,034325624	18,850	0,054409806	9	0,017563732
4	0,033314949	18,800	0,054049117	8,750	0,017355372
3,750	0,032517474	18,750	0,053693696	8,500	0,017180294
3,500	0,031935151	18,700	0,053356824	8,250	0,017039105
3,250	0,031570065	18,650	0,053019301	8	0,016932473
< 3	0,031424438	18,600	0,052685474	<7,750	0,016861138
		18,550	0,052354562		
		18,500	0,052026095		
	= 20 суток	18,450	0,051699792	t =	=40 суток
		18,400	0,051375487		
20	4,46763110	18 350	0,051053074	40	3,98442990
19,975	3,46280510	18 300	0,050732494	39,975	3,11697490
19,950	2,68705390	18,250	0,050413704	39,950	2,40073800
19,925	2,08815790	18,200	0,050096679	39,925	1,91186790
19,900	1,62579820	18 150	О'049781402	39,900	1,49969270
19,875	1,26884560	18 100	0,049467861	39,875	1,17805850
19,850	0,99326595	18^050	0 049156046	39,850	0,92707460
19,825	0,78050422	18	О’048845949	39,825	0,73121973
19,800	0,61623518	17,750	О’044464959	39,800	0,57838217
19,775	0,48939957	17,500	0^042971357	39,775	0,45911085
19,750	0,39145973	17^250	О'041692586	39,750	0,36603096
19,725	0,31582473	17'	0,040459473	39,725	0,29338786
19,700	0,25740666	16,750	0 039260981	39,700	0,23669116
19,675	0,21227791	16,500	О’, 038096039	39,675	0,19243702
19,650	0,17740665	16,250	0,036964219	39,650	0,15789143
19,625	0,15045260	16	О’035865149	39,625	0,13092106
19,600	0,12960930	15,750	0 034798479	39,600	0,10986132
19,575	0,11348239	15,500	О', 033763879	39,575	0,093413379
Г	R. (/, т)	Г	R (/, т)	т	R (1, т)
39,550	0,080563784	35,250	0,022846657	t=	120 суток
39,525	0,070521783	35	0,022369052		
39,500	0,062670387	34,750	0,021901062	120	3,63644440
39,475	0 056528188	34,500	0,021442529	119,975	2,86583211
39,450	0,051719567	34 250	0,020993299	119,950	2,25961890
39,425	0,047951454	34	0,020553219	119,925	1,78273100
39,400	0,044995184	33,750	0,020122142	119,900	1,40757731
39,375	0,042672349	33,500	0,019699921	119,875	1,11245330
39,350	0,040843748	33,250	0,019286416	119,850	0,88028497
39,325	0,039400776	33	0,018881484	119,825	0,69764470
39,300	0,038258698	32,750	0,018484990	119,800	0,55395514
39,275	0,037351403	32,500	0,018096800	119,775	0,42091606
39,250	0,036627312	32,250	0,017716782	119,750	0,35198525
39,225	0,036046182	32	0,017344810	119,725	0,28201916
39,200	0,035576617	31,750	0,016980757	119,700	0,22697172
39,175	0,035194124	31,500	0,016624499	119,675	0,18366002
39,150	0,034879591	31,250	0,016275918	119,650	0,14958025
39,125	0,034618109	31	0,015934896	119,625	0,13276274
39,100	0,034398046	30,750	0,015601319	119,600	0,10165811
39,075	0,034210329	30,500	0,015275075	119,575	0,085047482
39,050	0,034047876	30,250	0,014956054	119,550	0,071972071
39,025	0,033905167	30	0,014644151	119,525	0,061677631
39	0,033777891	29,750	0,014339261	119,500	0,055570841
38,950	0,033528912	29,500	0,014041282	119,475	0,047184968
38,900	0,033321204	29,250	0,013750118	119,450	0,042152857
38,850	0,033138827	29	0,013465671	119,425	0,03818568b
38,800	0,032972082	28,750	0,013187848	119,400	0,035050257
38,750	0,032815070	28,500	0,012916559	119,375	0,032585845
38,700	0,032664201	28,250	0,012651715	119,350	0,030633857
38,650	0,032517293	28	0,012393231	119,325	0,029089697
38,600	0,032373017	27,500	0,011895013	119,300	0,027866365
38,550	0,032230564	27	0,011421274	119,275	0,026895423
38,500	0,032089441	26,500	0,010971423	119,250	0,026123037
38,450	0,031949348	26	0,010544914	119,225	0,025506856
38,400	0,031810101	25,500	0,010141241	119,200	0,025013566
38,350	0,031671589	25	0,0097599452	119,175	0,024616962
38,300	0,031533374	24,5	0,0094006088	119,150	0,024296429
38,250	0.031396515	24	0,0090628613	119,125	0,024035752
38,200	0,031259886	23,5	0,0087463743	119,100	0,023822172
38,150	0,031123834	23	0,0084508837	119,075	0,023645657
38,100	0,030988349	22,5	0,0081761512	119,050	0,023498313
38,050	0,030853424	22	0,0079220059	119,025	0,023373929
38	0,030719053	21	0,0074750496	119	0,023267621
37,750	О', 028334122	20,5	0,0072821690	118,950	0,023076782
37,500	0,027616311	20	0,0071097419	118,900	0,022928734
37,250	0,027034426	19,5	0,0069578917	118,850	0,022807257
37	0,026473082	19	0,0068268116	118,800	0,022702320
36,750	0,025923433	18,5	0,0067167699	118,750	0,022607714
36,500	0,025384645	18	0,0066281147	118,700	0,022519602
36^250	0,024856490	17	0,0065167917	118,650	0,022435609
36	0,024338785	16,5	0,0064952771	118,600	0,022354264
35,750	0,023831358	<16	0,0064737625	118,550	0,022274657
35',500	0,023334038			118,500	0,022196229
т '	R. (t. г)	Г	R (1, т)	X	R (t, т)
118,450	0,022118629	109,250	0,011221057	93	0,0025558389
118,400	0,022042641	109	0,011034864	92	0,0024293176
118,350	0,021965131	108,750	0,010851766	91	0,0023094835
118,300	0,021889017	108,500	0,010671712	90	0,0021960023
118,250	0,021813247	108,250	0,010494652	89	0,0020885572
118,200	0,021737788	108	0,010320536	88	0,0019868476
118,150	0,021662621	107,750	0,0101493166	87	0,0018905886
118,100	0,021587731	107,500	0,0098094512	86	0,0017995101
118,050	0,021513111	107,250	0,0098153755	85	0,0017133565
118	0,021438756	107	0,0096525617	84	0,0016318851
117,750	0,019920857	106,750	0,0094924584	83	0,0015548663
117,500	0,019498853	106,500	0,0093350210	82	0,0014820826
117,250	0,019116728	106,250	0,0091802058	81	0,0014133282
117	0,018848738	106	0,0090279696	80	0,0013484081
116,750	0,018536095	105,750	0,0088782702	79	0,0012871379
116,500	0,018228675	105,500	0,0087310659	78	0,0012293434
116,250	0,017926344	105,250	0,0085863154	77	0,0011748598
116	0,017629014	105	0,0084439788	76	0,0011435314
115,750	0,017336602	104,750	0,0083401621	75	0,0010752113
115,500	0,017049029	104,500	0,0081663887	74	0,0010297608
115,250	0,016766215	104,250	0,0080310579	73	0,00098704937
115	0,016488081	104	0,0078979860	72	0,00094695388
114,750	0,016214550	103,750	0,0077671360	71	0,00090935869
114,500	0,015945548	103,500	0,0076384713	70	0,00087415515
114,250	0,015681000	103,250	0,0075119560	69	0,00084124134
114	0,015420832	103	0,0073875548	68	0,00081052189
113,750	0,015164973	102,750	0,0072652331	67	0,00078190774
113,500	0,014913354	102,500	0,0071449565	66	0,00075631591
113,250	0,014665902	102,250	0,0070266915	65	0,00073066934
113	0,014422551	102	0 0069104051	64	0,00070789674
112,750	0,014183232	101,750	0,0067960646	63	0,00068693246
112,500	0,013947879	101,500	0,0066836382	62	0,00066771637
112,250	0,013716429	101,250	0,0065730945	61	0,00065019382
112	0,013488817	101	0,0064644025	60	0,00063441205
111,750	0,013264979	100,750	0,0063575316	59	0,00062003464
111,500	0,013044853	100,500	0,0062524521	58	0,00060731891
111,250	0,012828379	100,250	0,0061491344	57	0,00059613154
111	0,012615497	100	0,0060475497	56	0,00058644521
110,750	0,012406148	99	0,0034749900	55	0,00057823793
110,500	0,012200273	98	0,0033017826	54	0,00057149345
110,250	0,011997816	97	0,0031361387	53	0,00056620152
100	0,011798721	96	0,0029791474	52	0,00056235817
109,750	0,011602932	95	0,0028303721	51	0,00055996601
109,500	0,011410395	94	0,0026833999	<50	0,00055903471

.'Г

i£i

D

ТАБЛИЦА НАПРЯЖЕНИЙ РЕЛАКСАЦИИ p(t, т) в (кгс/сл2)-10~»
ПРИ ЕДИНИЧНОЙ ОДНООСНОЙ ДЕФОРМАЦИИ
ДЛЯ НЕВЫСЫХАЮЩЕГО БЕТОНА.

Предельная характеристика нолзучести з (т) = £(т) <р(т) | г=оо = 1,07

t	р а. т)	t	Р (С т)	t	Р (t, т)
			4 суток		-
4	2,1647	23	0,9704	43	0.8870
4,5	1,8030	24	0,9645	44	0,8858
5	1,6038	25	0,9585	45	0,8846
6	1,4175	26	0,9526	46	О', 8833
7	1,3334	27	0,9467	47	0,8821
8	1,2784	28	0,9408	48	0,8809
9	1,2364	29	0,9349	49	0,8797
10	1,1999	30	0,9290	50	0,8785
11	1,1666	31	0,9231	51	0,8773
12	1,1383	32	0,9172	52	0,8760
13	1,1138	33	0,9113	53	0,8748
14	1,0893	34	0,9054	54	0,8736
15	1,0681	35	0,8995	55	0,8724
16	1,0530	36	0,8955	56	0,8712
17	1,0379	37	0,8943	57	0,8700
18	1,0228	38	0,8931	58	0,8687
19	1,0077	39	0,8919	59	0,8675
20	0,9925	40	0,8906	60	0,8663
21	0,9822	41	0,8894		
22	0,9763	42	0,8882		
		т = Е	суток		
5	2,2900	24	1,0299	43	0,9478
6	1,6944	25	1,0195	44	0,9445
7	1,4991	26	1,0090	45	0,9413
8	1,4116	27	1,0001	46	0,9380
9	1,3556	28	0 9968	47	0,9347
10	1,3108	29	0,9935	48	0,9315
11	1,2719	30	0,9903	49	0,9282
12	1,2385	31	0,9870	50	0,9249
13	1,2087	32	0,9837	51	0,9219
14	1,1824	33	0,9805	52	0,9201
15	1,1562	34	0,9772	53	0,9190
16	1,1376	35	0,9739	54	0,9181
17	1,1190	36	0,9707	55	0'9175
18	1,1004	37	0,9674	56	0,9169
19	1,0823	38	0,9641	57	0'9165
20	1,0719	39	0,9609	58	0^9163
21	1,0614	40	0,9576	59	09160
22	1,0509	41	0,9543	60	0^9158
23	1 Owi	42	0,9511		
t	р (С t)	t	Р (t, т)	t	р (1. т)
		i= 11	,5 суток		
11,5	2,8066	28	1,3797	45	1,2539
12	2,3496	29	1,3690	46	1,2499
13	1,9666	30	1,3583	47	1,2459
14	1,8277	31	1,3476	48	1,2419
15	1,7541	32	1,3369	49	1,2379
16	1,7001	33	1,3262	50	1,2338
17	1,6558	34	1,3156	51	1,2298
18	1,6172	35	1,3049	52	1,2258
19	1,5818	36	1,2942	53	1,2218
20	1,5504	37	1,2860	54	1,2178
21	1,5215	38	1,2820	55	1,2138
22	1,4965	39	1,2780	56	1,2098
23	1,4715	40	1,2740	57	1,2057
24	1,4508	41	1,2700	58	1,2017
25	1,4327	42	1,2660	59	1,1977
26	1,4146	43	1,2620	60	1,1937
27	1,3966	44	1,2579		
		т= 18,5 суток			
18,5	3,0405	33	1,6459	47	1,4899
19	2,5744	34	1,6314	48	1,4838
20	2,1879	35	1,6178	49	1,4778
21	2,0522	36	1,6042	50	1,4718
22	1,9835	37	1,5905	51	1,4657
23	1,9337	38	1,5769	52	1,4597
24	1,8914	39	1,5633	53	1,4537
25	1,8542	40	1,5497	54	1,4477
26	1,8203	41	1,5361	55	1,4416
27	1,7902	42	1,5225	56	1,4356
28	1,7602	43	1,5140	57	1,4296
29	1,7347	44	1,5079	58	1,4236
30	1,7125	45	1,5019	59	1,4175
31	1,6903	46	1,4959	60	1,4115
32	1,6681				
		т = 2£	>,5 суток		
25,5	3,1354	32	1,9900	39	1,8152
26'	2,6746	33	1,9588	40	1,7952
27	2,2962	34	1,9307	41	1,7777
28	2,1682	35	1,9039	42	1,7622
29	2,1050	36	1,8798	43	1,7467
30	2,0606	37	1,8556	44	1,7312
31	2,0234	38	1,8352	45	1,7158
t	Р (С т)	t	Р (1. т)	t	Р О. t)
46	1,7026	51	1,6500	56	1,6041
47	1,6921	52	1,6395	57	1,5987
48	1,6815	53	1,6289	58	1,5933
49	1,6710	54	1,6184	59	1,5880
50	1,6605	55  т=32	1,6095  ,5 суток	60	1,5826
32,5	3,1738	42	1,9847	52	1,7996
33	2,7195	43	1,9615	53	1,7879
34	2,3492	44	1,9382	54	1,7762
35	2,2275	45	1,9163	55	1,7644
36	2,1684	46	1,8986	56	1,7527
37	2,1282	47	1,8809	57	1,7410
38	2,0954	48	1,8631	58	1,7293
39	2,0645	49	1,8454	59	1,7175
40  41	2,0364  2,0083	50  51  х = Ъ	1,8277  1,8114  0 суток	60	1,7058
40	3,1900	47	2,0963	54	1,9433
41	2,5050	48	2,0696	55	1,9248
42	2,3047	49	2,0465	56	1,9062
43	2,2290	50	2,0234	57	1,8897
44	2,1857	51	2 . 0UU4	58	1,8771
45	2,1530	52	1,9803	59	1,8646
46	2,1233	53	1,9618	60	1,8521

ПРИЛОЖЕНИЕ IV

ТАБЛИЦА НАПРЯЖЕНИЙ РЕЛАКСАЦИИ p(t, т) в {кгс! см2)-10~Б
ПРИ ЕДИНИЧНОЙ ОДНООСНОЙ ВЫНУЖДЕННОЙ ДЕФОРМАЦИИ
ДЛЯ ВЫСЫХАЮЩЕГО БЕТОНА.

Предельная характеристика ползучести Е = £(т)<р(т)|т=оо=2,54

i	Р (С т)	t	Р (С т)	t	р а, т)

т = 2 суток

2	0,8779	2,075	0,5932	2,150	0,4578
2,025	0,7580	2,100	0,5370	2,175	0.1299
2,050	0,6652	2,125	0,4928	2,200	0,4074
t	Р (/, т)	t	р (Л т)	t	Р (t, т)
2,225	0,3891	2,750	0,2667	5,5	0,1717
2,250	0,3740	2,775	0,2641	6,00	0,1697
2,275	0,3614	2,800	0,2615	6,50	0,1682
2,300	0,3508	2,825	0,2591	7	0,1672
2,325	0,3416	2,850	0,2567	7,50	0,1664
2,350	0,3336	2,875	0,2544	8	0,1658
2,375	0,3266	2,900	0,2522	8,50	0,1654
2,400	0,3203	2,950	0,2479	9	0,1651
2,425	0,3146	3	0,2440	9,50	0,1648
2,450	0,3095	3,100	0,2353	10	0,1646
2,475	0,3047	3,2	0,2285	11	0,1643
2,500	0,3002	з,з	0,2229	12	0,1641
2,525	0,2961	3,4	0,2179	13	0,1640
2,550	0,2921	3,5	0,2135	14	0,1639
2,575	0,2884	3,6	0,2096	15	0,1638
2,600	0,2849	3,7	0,2061	16	0,1638
2,625	0,2815	3,8	0.2029	17	0,1638
2,650	0,2783	3,9	0,2000	18	0,1637
2,675	0,2752	4,00	0,1974	19	0,1637
2,700	0,2723	4,50	0,1790	20	0,1637
2,725	0,2694	5,00	0,1746	21	0,1637
		Т = £	суток		
5	1,6718	5,600	0,7166	8,000	0,4381
5,025	1,4744	5,625	0,7110	8,250	0,4278
5,050	1,3221	5,650	0,7056	8,500	0,4187
5,075	1,2043	5,675	0,7004	8,750	0,4106
5,100	1,1128	5,700	0,6952	9,000	0,4034
5J25	1,0413	5,725	0,6902	9,250	0,3969
5,150	0,9852	5,750	0,6852	9,500	0,3911
5,175	0,9407	5,775	0,6804	9,750	0,3858
5,200	0,9052	5,800	0,6757	10,000	0,3812
5,225	0,8766	5,825	0,6711	10,250	0,3769
5,250	0.8532	5,850	0,6665	10,500	0,3730
5,275	0,8339	5,875	0,6620	10,750	0,3695
5,300	0,8177	5,900	0.6577	11,000	0,3663
5,325	0,8038	5,925	0,6533	11,250	0,3634
5,350	0,7918	5,950	0,6491	11,500	0,3608
5,375	0,7812	5,975	0,6449	11,750	0,3583
5,400	0,7718	6,000	0,6409	12,000	0.3561
5,425	0,7632	6,250	0,5674	12,250	0,3540
5,450	0,7553	6,500	0,5385	12,500	0,3521
5,475	0,7480	6,750	0,5153	12,750	0,3504
5,500	0,7411	7,000	0,4954	13,000	0,3488
5,525	0,7346	7,250	0,4781	13,250	0,3473
5,550	0,7284	7,500	0,4629	13,500	0,3459
5,575	0,7224	7,750	0,4497	13,750	0,3446
	Р (С t)	t	р (О т)	t	Р (0 т)
14,000	0,3435	15,250	0,3387	16,500	0,3352
14,250	0,3424	15,500	0,3379	16,750	0,3347
14,500	0,3413	15,750	0,3372	17,000	0,3341
14,750	0,3404	16,000	0,3365	17,250	0,3336
15,000	0,3395	16,250	0,3358	17,500	0,3332
в  |,й (		т = 10 суток			
1,И  (В	10	2,2686	10,700	1,0900	17	0,5896
10,025	2,0196	10,725	1,0853	17,50	0,5785
10,050	1,8279	10,750	1,0807	17,75	0,5735
10,075	1,6801	10,775	1,0761	18	0,5687
10,100	1,5699	10,800	1,0715	18,50	0,5600
10,125	1,4772	10,825	1,0671	19	О;5522
10,150	1,4081	10,850	1,0627	19,50	0,5451
10,175	1,3541	10,875	1,0583	20	0,5388
10,200	1,3115	10,900	1,0540	21	О;5280
10,225	1,2776	10,925	1,0497	22	0,5191
10,250	1,2505	10,950	1,0455	23	0,5118
t	10,275	1,2285	10,975	1,0413	24	0,5057
10,300	1,2104	И	1,0371	25	0,5006
10,325	1,1954	11,10	1,0135	26	0,4962
10,350	1,1827	11,20	0,9956	27	0,4926
10,375	1,1718	11,30	0,9801	28	0,4894
10,400	1,1623	11,40	0,9656	29	0,4868
10,425	1,1538	11,50	0,9519	30	0,4845
10,450	1,1462	12	0,8906	31	О', 4825
10,475	1,1392	12,50	0,7936	32	0,4807
10,500	1,1327	13	0,7556	33	О; 4792
10,525	1,1266	13,50	0,7232	34	0,4779
10,550	1,1208	14	0,6954	35	0,4767
10,575	1,1153	14,50	0,6713	36	0 4757
10,600	1,1100	14,75	0,6605	37	0 4748
10,625	1,1048	15,50	0,6321	38	0,4740
10,650	1,0998	16	0,6161	39	0,4733
10,675	1,0949	16,50	0,6020	40	О', 4727
jijj s					
i,®		т = 20 суток			
J,9	20	2,5578	20,200	1,5763	20,400	1 4281
20,025	2,3055	20,225	1,5414	20,425	1,4207
3	20,050	2,1099	20,250	1,5136	20,450	1,4142
20,075	1,9581	20,275	1,4914	20,475	1 4084
20,100	1,8402	20,300	1,4735	20,500	1,4034
₽	20,125	1,7483	20,325	1,4588	20,525	1 3985
20,150	1,7766	20,350	1,4468	20,550	1,3940
20,175	1,6204	20,375	1,4366	20,575	1,3898
t	р (t. т)	t	р V. т)	t	Р V. т)
20,600	1,3859	21,2	1,2964	27	0,8550
20,625	1,3821	21,3	1,2839	27,50	0,8298
20,650	1,3784	21,4	1,2724	28	0,8221
20,675	1,3749	21,5	1,2613	28,50	0,8074
20,700	1,3713	21,6	1,2506	29	0,7938
20,725	1,3679	31,7	1,2402	29,50	0,7812
20,750	1,3646	21,8	1,2299	30	0,7694
20,775	1,3613	21,9	1,2199	31	0,7483
20,800	1,3580	22	1,2100	32	0,7300
20,825	1,3548	22,5	1,1635	33	0,7140
20,850	1,3516	23	1,1213	34	0,7000
20,875	1,3484	23,50	1,0239	35	0,6878
20,900	1,3452	24	0,9929	36	0,6770
20,925	1,3421	24,50	0,9649	37	0,6674
20,950	1,3390	25	0,9391	38	0,6590
20,975 ,	1,3359	25,50	0,9154	39	0,6515
21	1,3329	26	0,8936	40	0,6448
21,1	1,3114	26,50	0,8736	41	0,6381
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Абрамян Б. Л. О температурных напряжениях в прямоугольном
бетонном блоке. Известия АН АрмССР. Серия физико-математических
и естественных наук, т. VII, № 3, 1954.

2.	Адамович А. Н., Ламкин М. С. Обследование трещино-
образования в бетоне плотины Братской ГЭС путем бурения специальных
скважин. Труды координационных совещаний по гидротехнике, вып IV.
Совещание по вопросам термонапряженного состояния бетонных гидротех-
нических сооружений. Госэнергоиздат, 1962.

3.	Александровский С. В. Теория температурных полей мас-
сивных бетонных тел с учетом экзотермии. Труды НИИ по строительству,
вып. 1, Минмашстройиздат, 1949.

4.	Александровский С. В. Теория теплопроводности бето-
на. Исследования. Массивные и стержневые конструкции. Труды НИИ по
строительству. Стройиздат, 1952.

5.	Александровский С. В. Температурные напряжения в мас-
сивных бетонных блоках от экзотермии цемента. Исследования. Массивные
и стержневые конструкции, Труды НИИ по строительству. Стройиздат, 1952.

6.	Александ ровский С. В.,Соколова 3. Г. Расчет тем-
ператур в массивных бетонных блоках аналитическим методом. Исследования,
Железобетонные конструкции. Госстройиздат, 1955.

7.	Александровский С. В.О гистерезисе деформаций усадки
и набухания бетона при его попеременных высушиваниях и увлажнениях
«Бетон и железобетон», 1958, № 9.

8.	Александровский С. В. О влиянии длительного действия
внешней нагрузки на режим высыхания и усадку бетона. Исследование
свойств бетона и железобетонных конструкций. Труды НИИЖБ. вып. 4,
Госстройиздат, 1959.

9.	Александровский С. В. Некоторые особенности усадки
бетона. «Бетон и железобетон», 1959, № 4.

10.	Александровский С. В. О набухании бетона при его
увлажнении. «Бетон и железобетон», 1959, № 10.

11.	Александровский С. В., Таль К-Э. Основные физико-
механические свойства бетона. Справочник по сборному железобетону. Гос-
стройиздат, 1959.

12.	Александровский С. В. О тепло-влагофизических свой-
ствах бетона, связанных с тепло- и влагообменом. Исследование свойств бе-
тона и железобетонных конструкций. Труды НИИЖБ, вып. 4. Госстройиздат,
1959.

13.	Александровский С. В. О влиянии длительного действия
внешнего растяжения на режим высыхания и усадку бетона Труды
НИИЖБ, вып. 17. Госстройиздат, 1960.

14.	Александровский С. В. О необратимости усадки и на-
бухания бетона. Исследования по теории железобетона. Труды НИИЖБ, вып.
17. Госстройиздат, 1960.

15.	Александровский С. В. Расчет бетонных и железобе-
тонных конструкций на температурные и влажностные воздействия (с уче-
том ползучести). Стройиздат, 1966.

16.	Александровский С. В. О влиянии масштабного фактора
на влажностные деформации бетона. Расчет железобетонных конструкций.
Экспериментально-теоретические исследования по усовершенствованию рас-
чета Труды НИИЖБ, вып. 17. Госстройиздат, 1961.	.

17.	Александровский С. В., Попкова О. М. Нелинейные
деформации бетона при сложных режимах заг; ужения. «Бетон и железобе-
тон», 1971, № 1.

18.	Александровский С. В. О методике исследования ползу-
чести и влажностных деформаций бетона. Методика лабораторных исследо-
ваний деформаций и прочности бетона, арматуры и железобетонных кон-
струкций. Госстройиздат, 1962.
19.	Александровский С. В., Багри й В. Я- Ползучесть
бетона при периодических воздействиях. Стройиздат, 1970.

20.	Александровский С. В. О разновидностях современной
теории ползучести бетона и наследственных функциях, фигурирующих в их
уравнениях. Ползучесть строительных материалов и конструкций. Строй-
издат, 1964.

21.	Александровский С. В. О наследственных функциях теории
ползучести стареющего бетона. Ползучесть строительных материалов и кон-
струкций. Стройиздат, 1964.

22.	Александровский С. В., Колесников Н. А. Не-
линейная ползучесть бетона при ступенчато изменяющихся напряжениях.
«Бетон и железобетон», 1971, № 6.

23.	Александровский С. В., Попкова О. М. Экспери-
ментально-теоретическое исследование температурных напряжений в бетоне.
Трещиностойкость и деформативность обычных и предварительно-напря-
женных железобетонных конструкций. Стройиздат, 1965.

24.	Александровский С, В. Экспериментально-теоретиче-
ские исследования усадочных напряжений в бетоне. Состав, структура, проч-
ность и деформации бетонов. Стройиздат, 1965.

25.	Арутюнян Н. X. Некоторые вопросы теории ползучести. Гос-
техтеоретиздат, М., 1952.

26.	Арутюнян Н. X., Абрамян Б. Л. О температурных
напряжениях в прямоугольных бетонных блоках. Известия АН АрмССР,
серия физ.-мат., ест. и техн, наук, т. VIII, вып. 4, 1955.

27.	Б а с е в и ч А. 3. Массивные гидротехнические сооружения с ис-
кусственным обжатием бетона. Госстройиздат, 1957.

28.	Б е л о в А. В. К вопросу об исследовании напряженного состоя-
ния в бетоне при его усадке. Известия НИИГ, т. 29, 1941.

29.	Белов А. В. Опыт математической теории усадки бетона. Изве-
стия НИИГ, т. 35, 1948.

30.	Белов А. В. Экспериментальное определение коэффициента
диффузии влаги в цементном растворе при его высыхании. Известия ВНИИГ,
т. 43, 1950.

31.	Белов А. В. Температурные напряжения в бетонной плите при
гармонических колебаниях температуры. Известия ВНИИГ, т. 45, 1951.

32.	Белов А. В. О влиянии арматуры на величину усадочных напря-
жений в бетоне. Известия ВНИИГ, т. 45, 1951.

33.	Белов А. В. Температурные напряжения в бетонной призме пря-
моугольного поперечного сечения. Известия ВНИИГ, т. 51, 1954.

34.	Б е л о в А. В. К определению предельной толщины бетонной плиты
из условия прочного сопротивления ее температурным растягивающим на-
пряжениям. Известия ВНИИГ, т. 53, 1955.

35.	Б е л о в А. В. К определению температурных напряжений в столб-
чатых массивах высоких плотин. Известия ВНИИГ, т. 66, 1960.

36.	Берг О. Я. Некоторые физические обоснования теории прочности
бетона. Теория расчета и конструирования железобетонных конструкций.
Госстройиздат, 1959.

37.	Б е р г О. Я- Прочность бетона и других материалов, имеющих
различное сопротивление растяжению и сжатию в условиях сложных напря-
женных состояний. Исследование бетона и железобетонных конструкций
транспортных сооружений. Трансжелдориздат, 1960.

38.	Б е р г О. Я. Физические основы теории прочности бетона и желе-
зобетона. Госстройиздат, 1961.

39.	Б л и н к о в В. В. Исследование деформаций бетона при чистом
сдвиге. Известия ВНИИГ, т 53, 1955.

40.	Блинков В. В. Исследование ползучести бетона при повтор-
ных длительно действующих нагрузках. Известия ВНИИГ, т. 60, 1958.

41.	Бондаренко В. М. Некоторые вопросы нелинейной теории
железобетона. Изд. Харьковского ун-та. Харьков, 1968.
42	Бор иш анскнй М. С. Исследование работы внецентренно
сжатых железобетонных элементов. «Проект и стандарт», 1936, № 6.

43.	Буданов Н. А. Расчет железобетонных конструкций с учетом
ползучести бетона. Госстройиздат, 1955.

44	Будников П Б., Гулинова Л Г. Повышение теплоты
гидратации портландцемента в бетоне. «Цемент», 1935, № 11.

45	Бужевич Г А Испарение воды из бетона. Технология и свой-
ства бетона. Труды НИИЖБ, вып. 1, 1957

46.	Булгаков В. С. О влиянии масштаба на несущую способность
и деформации железобетонных внецентренно сжатых элементов прямоуголь-
ного сечения. Расчет железобетонных конструкций. Экспериментально-
теоретические исследования по усовершенствованию расчета. Труды НИИЖБ,
вып. 23 Госстройиздат, 1961.

47	Б у т т Ю. М. Изучение скорости гидратации портландцементных
минералов. ЖПХ, т. 22, № 3, 1949.

48.	Бушков В. А. Железобетонные конструкции, ч. 1. Стройиздат,
1940

49	Васильев П. И Связь между напряжениями и деформациями
в бетоне при сжатии с учетом влияния времени. Известия ВНИИГ, т. 45, 1951.

50.	В а с и л ь е в П. И. Некоторые вопросы пластических деформа-
ций бетона. Известия ВНИИГ, т. 49, 1953.

51.	Васильев П. И., 3 у б р и ц к а я М. А. Температурные на-
пряжения от экзотермии цемента в блоках типа плиты. Известия ВНИИГ, т. 56,
1956

52.	В а с и л ь е в П. И. О влиянии расстояний между температурны-
ми швами на величину температурных напряжений в массивных бетонных
плотинах Научные доклады высшей школы «Строительство», 1958, № 2.

53.	Васильев П. И. К определению расстояний между температур-
ными швами в бетонных плотинах. Известия ВНИИГ, т. 64, 1960.

54.	Вейник А. И. Основные закономерности процессов тепло-
и массообмена в строительных ограждениях. Труды Всесоюзного совещания
по интенсификации процессов и улучшению качества материалов при сушке.
Профиздат, 1958.

55.	В е й н и к А. И., Шубин А С. Влияние температурных и
влажностных факторов на перенос влаги. Труды Всесоюзного совещания по
интенсификации процессов и улучшению качества материалов при сушке.
Профиздат, 1958.

56.	Вишневецкий Г. Д. Введение в техническую теорию дефор-
маций набухания и усадки бетона. Труды ЛИСИ, вып. 26, Госстройиздат,
1957; вып. 29, Госстройиздат, 1958.

57.	В и ш н е в е ц к и й Г. Д. Расчет температурных, прочностных
и деформационных изменений в бетоне массивных сооружений. Научно-тех-
ническое совещание по изучению свойств бетона, определяющих его трещино-
стойкость в массивных гидротехнических сооружениях. Доклады. Госэнерго-
издат, 1963.

58.	Власов О Е , Еремеев Г. Г Некоторые вопросы долго-
вечности ограждающих конструкций. Известия АСиА СССР, № 3, 1959.

59.	Власов О. Е. Физические основы повышения долговечности
конструкций. Известия АСиА СССР, № 2, 1962.

60.	Волженский А. В., С и л а е н к о в Е. С. Деформации
автоклавных мелкозернистых бетонов при изменении^их влажности. «Бетон
и железобетон», 1959, № 4.

61.	В о р о н к о в Н. И. Научно-техническая конференция по бетону
и железобетону. Тезисы докладов и сообщений. Госстройиздат УССР, 1956.

62.	Г а н с е н Т. К. Ползучесть и релаксация напряжений в бетоне.
Госстройиздат, 1963.

63.	Гвоздев А. А. Температурно-усадочные деформации в массив-
ных бетонных блоках. Изв. АН СССР, ОТН, № 4, 1953.
64.	Гвоздев А. А. Ползучесть бетона и пути ее исследования. Иссле-
дование прочности, пластичности и ползучести строительных материалов.
Стройиздат, 1955.

65.	Гвоздев А. А. Температурно-усадочные напряжения в бетон-
ных блоках и массивных сооружениях. Сб. трудов МИСИ, Ns 17. Госстройиз-
дат, 1957

66.	Г в о з д е в А. А. Некоторые особенности деформирования бетона
и теория ползучести. Ползучесть строительных материалов и конструкций.
Стройиздат, 1964.

67.	Гвоздев А. А., Нофаль М. Ш., Белобров И. К.
Влияние сжатых полок тавровых и других сечений на деформации (прогибы)
железобетонных элементов. Расчет "и конструирование элементов железобе-
тонных конструкций. Стройиздат, 1964.

68.	Гвоздев А. А., Галустов К- 3., Яшин А. В. Об
уточнении теорий линейной ползучести бетона. Инженерный журнал, Меха-
ника твердого тела, № 6, 1967.

69	., Гинзбург Ц. Г. Определение коэффициента теплопроводности
бетона. Изв. ВНИИГ, т. 47, 1952.

70.	Г л у ж г е П. И. Усадка бетона. Пуццолановые цементы. Строй-
издат, 1936.

71.	Г о л ь д е н б л а т И. И. Введение в теорию ползучести строи-
тельных материалов. Госстройиздат, 1952.

72.	Гольденблат И. И., Николаенко Н. А. Теория пол-
зучести строительных материалов и ее приложения. Госстройиздат, 1960.

73.	Г о р я и н о в К. Э. Исследование дегидратации при нагревании
для определения характера новообразований гидратированных минералов
портландцемента, ДАН, т. 104, Ns 3, 1955.

74.	Гришин М. М., Орехов В. Г., К а м з и н Б. И. Ис-
следование температурного режима и термонапряженного состояния блоков
гидротехнических сооружений, бетонируемых в зимнее время с применением
периферийного электрообогрева. Сб. трудов МИСИ, Ns 32, Госстройиздат,
1960.

75.	Г у т м а н С. Г. К решению плоской задачи термоупругости при
установившемся тепловом режиме. Известия ВНИИГ, т 45, 1951.

76.	Г у т м а н С. Г. Определение тепловых напряжений при гармони-
ческих колебаниях температуры. Известия ВНИИГ, т. 47, 1952.

77.	Дзюба К. И. Исследования термонапряженного состояния эле-
ментов гидротехнических сооружений, выполненные в НИСе Гидропроекта.
Труды координационных совещаний по гидротехнике, вып. IV. Совещание
по вопросам термонапряженного состояния бетонных гидротехнических соору-
жений. Госэнергоиздат, 1962.

78.	Д митр иев С. А., К а л а т у р о в Б. А. Расчет предвари-
тельно-напряженных железобетонных конструкций Госстройиздат, 1963.

79.	Долговечность ограждающих и строительных конструкций (физиче-
ские основы) Труды НИИСФ, под ред. О. Е. Власова. Госстройиздат, 1963.

80.	Д у б н и ц к и й В. И. Стационарный тепло- и массообмен в тер-
моизоляционных покрытиях. Диссертация, ВТИ, 1956.

81.	Дятловицкий Л. И., Рабинович Л. Б. Определе-
ние термоупрутих напряжений в массивах с учетом наращивания”массива.
Труды координационных совещаний по гидротехнике, вып. IV. Совещание
по вопросам термонапряженного состояния бетонных гидротехнических со-
оружений. Госэнергоиздат, 1962

82.	Е р е м е н о к И. П. Влияние температуры на тепловыделение це-
мента, прочность и модуль упруго-мгновенных деформаций бетона. Труды ко-
ординационных совещаний по гидротехнике, вып. IV. Совещание по вопросам
термонапряженного состояния бетонных гидротехнических сооружений.
Госэнергоиздат, 1962.

83.	3 а д о я н М. А. Упруго-пластическое состояние прямоугольных
бетонных блоков при равномерном распределении температуры, Доклады
АН АрмССР, т. 23, Ns 5, 1956.
84.	Задоян М. Л. Термонапряженное состояние блоков с учетом
ползучести материала. Известия АН АрмССР, серия физ.-мат., ест. и техн,
наук, т. 10, вып. 5, 1957.

85.	Запорожец И. Д. Основы теории тепловыделения в бетоне
Научно-техническое совещание по изучению свойств бетона, определяющих
его трещиностойкость в массивных гидротехнических сооружениях Гос-
энергоиздат, 1963.

86	И -в а и о в Ф. М., Нефедова Е Ф Усадка бетона и методы
ее измерения. Бетон в дорожном строительстве. Сб. трудов Союздорнии. Изд.
автотранспортной литературы, 1958.

87.	И л ь и н с к и й В. М. Проектирование ограждающих конструк-
ций зданий с учетом физико-климатических воздействий. Госстройиздат, 1955.

''8	8. К а р а п е т’я н К. С. Ползучесть бетона при высоких напряже-
ниях. Изв. АН АрмССР, серия физ.-мат., ест. и техн, наук, т. VI, № 2, 1953.

89.	Карапетян К. С. Влияние размеров образца на усадку и пол-
зучесть. Изв. АН АрмССР серия физ.-мат., ест. и техн, наук, т. 9, вып. 1, 1956.

90	Карапетян К С Влияние масштабного фактора на ползу-
честь бетона при сжатии и растяжении. Докл. АН АрмССР, т. XXXVIII,
№ 3, 1963.

91.	Карапетян К. С. Ползучесть бетона при кручении. Ползучесть
строительных материалов и конструкций. Стройиздат, 1964.

92.	Карапетян К. С. Влияние анизотропии на ползучесть бетона
при сжатии и растяжении в зависимости от величины напряжения. Доклады
АН АрмССР, т. 36, № 1, 1964.

93.	Карслоу X. С. Теория теплопроводности. Гостеоретиздат, 1947.

94.	К а т и н Н. И. Исследование ползучести бетона при высоких
напряжениях. Исследование свойств бетона и железобетонных конструкций.
Труды НПИЖБ, вып. 4. Госстройиздат, 1959.

95.	К в и р и к а д з е О. П. О зависимости между деформациями бе-
тона и скоростью нагружения. Издательство АН ГрузССР, Тбилиси, 1962.

96.	К и н д В. А., О к о р о к о в С. Д., В о л ь ф с о н С. Л. Теп-
лота твердения портландцементов различного химического состава. «Цемент»,
1937, №7.

97.	Коган Л. С. Значение минералогического состава клинкера
и роль добавок в специализации цементов. Труды IV Всесоюзного совещания
заводских лабораторий цементной промышленности. Госстройиздат, 1948.

98	К о г а и Л. С., Р у щ у к Г. М. Цементы для гидротехнического
бетона Труды Гипроцемента, вып. XI., 1949

99.	К о р е и е в Б. Г. Стационарное температурное поле в неограни-
ченной пластине, лежащей на сплошном однородном основании. Доклады
АН СССР, т. 107, вып. 9, 1957.

100.	Коренев Б. Г. Некоторые плоские задачи теории тепловых
волн Доклады АН СССР, т. 112, № 1, 1957.

101.	К о'р е н е в Б. Г. Некоторые задачи теории упругости и тепло-
проводности, решаемые в Бесселевых функциях Физ.-мат. изд., 1960.

102.	Корсак Н. Г. Исследование прочности и упругих свойств бе-
тона. Прочность, упругость и ползучесть бетона. Госстройиздат, 1941.

103.	Лебедев Н. Н. Температурные напряжения в теории упруг -
сти. ОНТИ, 1937.

104.	Л е р м и т Р. Проблемы технологии бетона. Госстройиздат, 1959.

105.	Лившиц Я- Д. Расчет железобетонных конструкций с учетом
влияния усадки и ползучести бетона. «Высшая школа», Киев, 1971.

106.	Лукьянов В. С. Борьба с появлением температурных трещин
в’бетонных мостовых опорах. Трансжелдориздат, 1937.

107.	Лыков А. В Теория теплопроводности. Гостехтеориздат, 1952.

108	Лыков А. В Явления переноса в капиллярно пористых телах,
Гостехтеориздат, М., 1954.

109.	Лыков А. В. Тепло- и массообмен в процессах сушки Гос-
энергоиздат, 1956.
110.	М а л м е й с т е р А. К. Виброползучесть бетона. В сб.: «Вопросы
динамики и динамической прочности», вып. 4, Рига, 1956.

111.	Малмейстер А. К- Упругость и неупругость бетона. Изд.
АН ЛатвССР, 1957.

112.	М а л ю г а И. Свойства портландцемента. «Инженерный журнал»
№9, 1891.	-

113.	М а л ь ц о в К. А. Вопросы трещинообразования бетонных арми-
рованных конструкций. Изв. ВНИИГ, т. 49, 1953

114.	М а л ь ц о в К. А. Влияние водонасыщения на прочность бето-
на. «Гидротехническое строительство», 1954, № 8.

115.	М а н у к я н М. М. Термонапряженное состояние массивных бе-
тонных блоков с учетом ползучести. Изв. АН АрмССР, серия физ.-мат., ест.
и техн, наук, т. IX, вып. 1, 1956.

116.	Манукян М. М. Определение напряжений в некоторых железо-
бетонных элементах с учетом ползучести и изменения модуля упруго-мгновен-
ных деформаций. Изв. АН АрмССР, серия физ .-мат., ест. и техн, наук, т.
XII, вып. 6, 1964.

117.	М а с л о в Г. Н. Температурные напряжения и деформации бе-
тонных массивов на основах теории упругости. Известия ВНИИГ, т. 13, 1934.

118.	Маслов Г. Н. Задача теории упругости о термоупругом равно-
весии. Известия ВНИИГ, т. 23, 1938.

119.	М а с л о в Г. Н. Элементарные статические расчеты сооружений
на температурные изменения. Известия НИИГ, т. 26, 1940.

120.	Маслов Г. Н. Термическое напряженное состояние бетонных
массивов при учете ползучести бетона. Известия НИИГ, т. 28, Госэнерго-
издат, 1941.

121.	Майзель В. М. Температурная задача теории упругости. Изд.
АН УССР, Киев, 1951.

122.	Мел ан Э., П а р к у с Г. Термоупругие напряжения, вызы-
ваемые стационарными температурными полями. Физ.-мат. изд., 1958.

123.	Милованов А. Ф. Жаростойкий железобетон. Госстройиздат,
1963.

124.	Миронов С. А. Расчет охлаждения бетона на морозе. Строй-
издат, 1935.

125.	Миронов С. А. Температурный фактор в твердении бетона.
Стройиздат, 1948.

126.	Михайлов В. В. Элементы теории структуры бетона. Строй-
издат, 1941.

127.	Михайлов В. В Предварительно-напряженный железобе-
тон. Госстройиздат, 1963.

128.	Москвин В. М., К а п к и н М. М Деформации цементного
камня при низких отрицательных температурах и методика их изучения.
Методика лабораторных исследований деформаций и прочности бетона, армату-
ры и железобетонных конструкций. Госстройиздат, 1962.

129.	Моща некий Н. А. Плотность и стойкость бетонов. Госстрой-
издат, 1951.

130.	М о щ а н с к и й Н. А. Об изменении прочности бетона при его
водонасыщении, «Гидротехническое строительство», 1956, № 10.

131.	Некрасов В. В Изменение объема системы при твердении
гидравлических вяжущих. Изд. АН СССР. ОТН, № 6, 1945.

132.	Некрасов В. В. Кинетика гидратации цементов различных
типов. ЖПХ, т. XXI, № 3, 1948.

133.	Некрасов К- Д- Жароупорный бетон. Промстройиздат, 1957.

134.	Н илендер Ю. А. Исследование деформаций и температурного
режима в теле плотины Днепростроя. Стройиздат, 1933.

135.	Н илендер Ю. А. (ред.) и коллектив авторов. Испытание Днеп-
ровской плотины. Стройиздат, 1937.

136.	Н илендер Ю. А. Поверхностная прочность бетона и связь
ее с появлением трещин. Труды конференции по коррозии бетона. АН СССР,
1937.

чЙ

13
кии
(И

В
₽ и

И
Й[м
t КО

I!
tsit
га it
ею
fiteii

йЦ
пи«

II	,
иш

[[Я
я Г

1*
иш
I»!

111

III I#
111

11,
ta

pi

ll!
нж

М
чди
' ж;

р
яв

151
1)1И1

15!
iiffliH

в
а

Ski
151 [

ЧМ

IS.P
3

Й.Р

1Р(
ЭД,!1
137.	Н и л е н д е р Ю. А. Расчет разрезки массивных бетонных со-
оружений. Труды IV Всесоюзной конференции по бетону и железобетонным
конструкциям, ч. II, Стройиздат, 1949.

138.	Нилендер Ю. А. Монолитность массивной бетонной кладки,
возводимой из отдельных блоков. Коррозия бетона и меры борьбы с ней. АН
СССР, М„ 1954.

139.	Нормы проектирования. Бетонные и железобетонные конструк-
ции гидротехнических сооружений (СНиП 11-И.14-69). Стройиздат, 1959.

140.	Окороков С. Д. Синтез портлендских минералов и изучение
их роли в формировании некоторых свойств цемента. Труды ЛПИ, изд. МВ
и ССО РСФСР, 1940.

141.	Окороков С. Д., Запорожец И. Д., Парий-
с к и й А. А. Прогноз возможного тепловыделения бетона при расчетах
его термонапряженного состояния. Научно-техническое совещание по изу-
чению свойств бетона, определяющих его трещиностойкость в массивных гид-
ротехнических сооружениях. Госэнергоиздат, 1963.

142.	Орехов В. Г. Расчет температурных напряжений в плоских
конструкциях гидротехнических сооружений. Труды МИСИ, № 29. Гос-
стройиздат, 1958.

143.	Орехов В. Г. Исследование термонапряженного состояния бе-
тонных и железобетонных конструкций гидротехнических сооружений. Труды
координационных совещаний по гидротехнике, вып. IV. Совещание по во-
просам термонапряжеиного состояния бетонных гидротехнических сооруже-
ний. Госэнергоиздат, 1962.

144.	Остр и ков М. С., Ростовцева И. В. и др. Влияние
сил капиллярной контракции на механические свойства и структуру высы-
хающих тел. «Коллоидный журнал», т. 22, № 4, 1960.

145.	Панарин Н. Я. Температурные напряжения в бетоне с уче-
том ползучести. Труды ЛИСИ, вып. 23. Госстройиздат, 1956.

146.	Панарин Н. Я- Некоторые вопросы расчета армированного
и неармированного бетона с учетом ползучести. Госстройиздат, 1957.

147.	П а р к у с Г. Неустановившиеся температурные напряжения.
Физ.-мат. изд., 1963.

148.	Поляков С. В. Ползучесть каменных и армокаменных конст-
рукций. Ползучесть строительных материалов и конструкций. Госстрой-
издат, 1964.

149.	Прокопович И. Е. К теории ползучести бетона. Науч-
ные доклады высшей школы. «Строительство», № 4, 1958.

150.	Прокопович И. Е. Приближенный метод определения тем-
пературных напряжений в массивных прямоугольных бетонных блоках. Тру-
ды координационных совещаний по гидротехнике, вып. IV. Совещание по
вопросам термонапряженного состояния бетонных гидротехнических соору-
жений. Госэнергоиздат, 1962.

151.	П р о к о п о в и ч П. Е. Влияние длительных процессов на на-
пряженное и деформированное состояние сооружений. Госстройиздат, 1963.

152.	Прокопович И. Е., Улицкий И. И. О теориях пол-
зучести бетона. Ползучесть строительных материалов и конструкций. Гос-
стройиздат, 1964.

153.	П у т а н с А. В. Усадка бетона при цикличных нагревании и ох-
лаждении. Исследования по бетону и железобетону. Труды института строи-
тельства и архитектуры АН ЛатвССР, вып. VII, изд. АН ЛатвССР, 1963.

154.	Р а б о т н о в Ю. Н. Равновесие упругой среды с последейст-
вием, П.М.М , т XII, № 1, 1948.

155.	Р а б о т н о в Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. «Наука»,
1966

156.	Р е б и н д е р П. А. Физико-химические исследования процессов
деформации твердых тел. Юбил. сб. АН СССР, посвященный 30-летию ВОСР,
1, 1947.

157.	Р е б и н д е р П. А. Физико-химическая механика. Изд. «Зна-
ние», М., 1958.
158.	Ржаницын А. Р. Некоторые вопросы механики систем, де-
формирующихся во времени. Гостехтеориздат, 1949.

159.	Ржаницын А Р. Температурные напряжения, возникающие
в бетонных плотинах от действия наружных температур. В сб.: «Исследования
по строительной механике». Госстройиздат, 1954.

160.	Ржаницын А. Р. Температурно-влажностная задача ползу-
чести. В сб.: «Исследования по вопросам теории пластичности и прочности
строительных конструкций». Труды ЦНИИСК- Госстройиздат, 1958.

161.	Ржаницын А. Р. Определение напряжений в тонком слое
при сушке с учетом изменения характеристик ползучести материала. Труды
Всесоюзного совещания по интенсификации процессов и улучшения качест-
ва материалов при сушке в основных отраслях промышленности и в сельском
хозяйстве. Профиздат, 1958.

162.	Ржаницын А. Р. Разработка основ общей теории ползуче-
сти. Исследование прочности, пластичности и ползучести строительных ма-
териалов Госстройиздат, 1955.

163.	Ржаницын А Р. Теория ползучести. Стройиздат, 1968.

164.	Розовский М. И. Температурные напряжения при наличии
последействия. Журнал техн. физ. АН СССР, т. 19 вып. 6, 1949

165.	С а т а л к и н А. В. Ползучесть бетона. Прочность, упругость
и ползучесть бетона. Сборник статей под ред. Н. М. Беляева, Стройиздат, 1941.

166.	Саталкин А. В. Деформативная способность бетона. Сборник
ЛИИЖТ, вып. 46, Трансжелдориздат, 1954.

167.	Саталкин А. В., Сенченко Б. А. Раннее нагружение
бетона и железобетона в мостостроении. Автотрансиздат, 1956.

168.	Сивер цег Г. Н. Пробужденный бетон. Гостехиздат Украи-
ны, 1950.

169.	С и л а е н к о в Е. С Долговечность крупноразмерных изделий
из автоклавных ячеистых бетонов. Стройиздат, 1964.

170.	Силаенков Е С., Тихомиров Г В. и др Влияние
карбонизации автоклавных ячеистых бетонов на их долговечность. Вопросы
долговечности ячеистых бетонов и изделий из них. Труды НИИ по строитель-
ству, Свердловск, 1962.

171.	С к а т ы н с к и й В. И. Исследование ползучести и релаксации
напряжений в силикатном бетоне при сжатии. Ползучесть строительных ма-
териалов и конструкций. Стройиздат, 1964.

172.	Скрамтаев Б Г., Панфилова Л. И. Исследование
явления вакуума в твердеющих цементах. Труды НИИЦемента, вып. 2.
Стройиздат, 1949.

173.	Столяров Я. В. Введение в теорию железобетона. Стройиз-
дат, 1941.

174.	Строительные нормы и правила, часть II, раздел В, гл. 1. Бетонные
и железобетонные конструкции. Нормы проектирования (СНиП П-В. 1-62*).
Стройиздат, 1970.

175.	Строительные нормы и правила, часть II, раздел А, гл. 6. Строи-
тельная климатология и геофизика. Основные положения проектирования
(СНиП П-А.6-62). Госстройиздат, 1963.

176.	Таль К. Э., Чистяков Е. А. Экспериментальное исследо-
вание влияния длительного воздействия нагрузки на несущую способность
гибких железобетонных колонн. Методика лабораторных исследований де-
формаций и прочности бетона, арматуры и железобетонных конструкций.
Госстройиздат, 1962.

177.	Тахтам ышев С. Г Лабораторные опыты по определению ко-
эффициента температурного расширения бетона. Испытание Днепровской пло-
тины Госстройиздат, 1937.

178.	Темнов И. И. Влияние на деформации ползучести размеров
поперечного сечения бетонного призматического образца и формы эпюры на-
пряжений. Изв АН АрмССР, серия физ.-мат. наук, т XIII, №6, 1961.

179.	Технические условия проектирования железобетонных, автодорож-
ных и городских мостов и труб (СН 200—62). Госстройиздат, 1962
180.	Троицк ий Е. А. Влияние скорости нагружения на деформа-
ции бетона. Труды Казанского института инженеров коммунального строи-
тельства, вып. 5, Казань, 1938.

181.	Улицкий И. И. Ползучесть бетона. Гостехиздат УССР, 1948.

182.	У л и ц к и й И. И. Определение напряжений от усадки бетона
в элементах гидротехнических сооружений. «Гидротехническое строительст-
во», 1951, №8.

183.	Улицкий И. И. Напряженное состояние сечения железобетон-
ных элементов, возникающее в результате усадки бетона. Сб. статей «Сбор-
ные железобетонные конструкции», вып. II. Госстройиздат УССР, 1957,

184.	Улицкий И. И., Чжан Ч ж у и - Я о, Голышев А. Б.
Расчет железобетонных конструкций с учетом длительных процессов. Гос-
стройиздат УССР, 1960.

185.	Улицкий И И., К и р е е в а С. В., Ф а н с т и л ь И. В.
Потери предварительного напряжения от ползучести и усадки бетона в же-
лезобетонных конструкциях. Госстройиздат УССР, 1962.

186.	Улицкий И. И. Определение величины деформаций ползу-
чести и усадки бетонов. Госстройиздат УССР, 1963.

187.	Фокин К. Ф. Строительная теплотехника ограждающих ча-
стей зданий. Госстройиздат, 1954.

188.	Франчук А. У. Таблицы теплотехнических показателей стро-
ительных материалов. Стройиздат, 1949.

189.	Франчук А У. Вопросы теории и расчета влажности ограж-
дающих частей зданий. Госстройиздат, 1957.

190.	Франчук А. У. Исследования и методы расчета тепло- и мас-
сообмена в пористых материалах ограждающих частзй зданий. Труды Все-
союзного совещания по интенсификации процессов и улучшению качества
материалов при сушке. Профиздат, 1958.

191.	ФрайфельдС. Е. Собственные напряжения в железобетоне.
Стройиздат, 1941

192.	ФрайфельдС. Е. Об исходных предпосылках уравнений ме-
ханического состояния реальных материалов. Труды ХИСИ, вып. 4, Харьков,
1955.

193.	ФрайфельдС. Е. Основные вопросы теории деформаций бе-
тона. Теория расчета и конструирования железобетонных конструкций
Госстройиздат, 1959.

194.	Фрайфельд С. Е., Кузнецов Ю. Д. Об учете ползу-
чести при определении температурных напряжений в бетонных массивах.
Совершенствование расчетов строительных конструкций. Госстройиздат
УССР, 1964.

195.	Ф р е й с и и э Е. Переворот в технике бетона. ОНТИ, 1938.

196.	Ф р и д С. А. Расчет изменения температуры бетонных массивов
под влиянием экзотермии цемента. Известия НИИГ, т. 41, 1949.

197.	Ф р и д С. А. Температурные напряжения в бетонных и железо-
бетонных конструкциях гидротехнических сооружений. Госэнергоиздат, 1959.

198.	Харламов В. А. Исследование ползучести жароупорного
бетона при высоких температурах. Исследования, по жароупорным железо-
бетонным и армокирпичным конструкциям. Труды НИИЖБ, вып. 6. Гос-
стройиздат, 1959.

199.	Ц-и л о с а и и 3. Н., Ч и к о в а н и X. С. О водоудерживаю-
щей способности затвердевшего раствора и бетона. Труды Института строи-
тельного дела АН ГрузССР, вып. 8, 1960.

200.	Цилосани 3. Н. Усадка и ползучесть бетона. Изд. АН
ГрузССР, 1963

201.	Ш е й к и н А. Е. К вопросу прочности, упругости и пластичности
бетона. Строительная механика и мосты. Труды МИИТ, вып. 69. Трансжел-
дориздат, 1946.

202.	Ш е й к и н А. Е., Г е р ш м а н М. И. Влияние минералогиче-
ского состава цемента на усадку бетона. Труды НИИЦемента, вып. 2, Строй-
издат, 1949.
203.	Ш е й к и н А. Е О причинах непостоянства вида функции
/ Г \

= f I — . Труды Всесоюзной конференции по бетону и железобетон-
\ С ]

ным конструкциям, ч III. Стройиздат, 1949.

204.	Ш е й к и н А. Е. Упруго-пластические свойства бетонов на порт-
ландцементах различного минералогического состава. Строительная механи-
ка и мосты. Труды МНИТ. Трансжелдориздат, 1950.

205.	Ш е й к и н А. Е., Б а к с а к о в Н. С. Влияние минералогиче-
ского состава портландцемента на ползучесть бетона при сжатии «Строи-
тельная промышленность», 1955, № 9.

206.	Шейкин А. Е. Ползучесть при повторных нагрузках и модуль
деформации бетона. Исследования железобетонных и сварных мостовых кон-
струкций. Труды МИИТ. Трансжелдориздат, 1956.

207.	Ш е й к и н А. Е., Николаев В. Л. Об упруго-пластиче-
ских свойствах бетона при растяжении. «Бетон и железобетон», 1959, № 9.

208.	Ш к е р б е л и с К. К- Влияние вибраций на ползучесть железо-
бетонных конструкций. В сб.: «Вопросы динамики и динамической прочности»,
вып. 4, Рига, 1956.

209.	Щербаков Л. М. О связи молекулярного и фазового давле-
ния со степенью дисперсности. Ученые записки Кишиневского Государствен-
ного университета, т. 1, вып. 2 (физико-математический), Кишинев, 1949.

210.	Штейнберг В. М., Прокопович И. Е., Гольд-
фа р б И. В. Практический метод исследования температурного поля в теле
массивных бетонных гидротехнических сооружений. Сб. трудов Одесского
гидротехн. инет., вып. 5. Изд. Минист. культуры СССР, 1953.

211.	Штейнберг В. М. Некоторые вопросы метода расчета неста-
ционарного температурного поля бетонных блоков. Труды координационных
совещаний по гидротехнике, вып. IV. Совещание по вопросам термонапряжен-
ного состояния бетонных гидротехнических сооружений. Госстройиздат, 1962.

212.	ЯшинА. В. Ползучесть бетона в раннем возрасте. Исследование
свойств бетона и железобетонных конструкций. Труды НИИЖБ, вып. 4,
Госстройиздат, 1959.

213.	Alexander К. М., W а г d 1 a w S. J. Possible Mechanism
for Carbonation Shrinkage and Crazing, based on Study of this Layers of Hydra-
ted Cement. Australian Journal of Applied Science, vol. 10, № 4, 1959.

214	Blanks R., Meissner H., Rawhouser C. Cracking
in mass Concrete, Journal of the American Concrete Institute, vol. 9, № 4, 1938.

215.	Boltzmann L Zur Theorie der elastischen Nachwirkung.
Wiener. Ber., 10, 1874.

216.	Carlson R. W. Drying Shrinkage as Affected by Many Factors.
Proc, of the Amer. Soc. for Test. Mat., vol. 38, p. II, 1938.

217.	Considere А. Способность армированного бетона выдержи-
вать значительные растяжения. Comptes Rendus, v. 140, Jan. 30, 1905, а так-
же Le Genie Civil, v. 46, Feb. II, 1905.

218.	Davis R. E. Flow of Concrete under Sustained Compressive, stress.
Proc. Amer. Concr. Inst. v. 24, 1928.

219	Davis R. E., Davis H. E. Flow of Concrete under the Action
of Sustained Loads, Journ. of the Amer. Concr. Inst., vol. 2, № 7, 1931

220.	Davis R. E., Davis H. E., Hamilton J. S. Plastic
Flow of Concrete under Sustained Stress. Proc. A. S. T. M., vol. 34., 1934.

221.	Davis R. E., Davis H. E., Brown E. H. Plastic Flow
and Volume Changes of Concrete. Proc. Amer. Soc. for Test. Mat., vol. 37., 1937.

222.	Dischinger F Elastische- und plastische Verformungen der
Eisenbetontragwerke und inbesondere der Bogenbriicken. Bauingenieur. Heft
33/34, 1937.

223.	DukeC. M, Davis H. E. Some properties of Concrete under
Sustained Combined Stress. Am. Soc. for Test. Mat. proc., vol. 44, 1944.
224.	D u t г о n R. Deformations lentes du Beton et du Beton — arme
sous taction des Charges permanents. Annalas des Travaux pablics de Belgique,
1936, 1937.

225.	G e h 1 e r W. Hypothesen und Grundlagen fiir das Schwinden und
Kriechen des Betons, Verlag Technik, Berlin, 1952.

226.	Glanville W. H. Work of the building research Station on
small movements in Concrete Congres de Liege, Beton Arme, 1930.

227.	Glanville W. H. The Creep and Flow of Concrete under Load.
Building Res., Studied in Reinforceed Concrete, part. III., Technic. Paper.,
№ 12, 1930.

228.	Glanville W. H. Creep of Concrete under Load. The Structural
Engineering, London, № 2, 1933.

229.	Glanville W. H. Thomas F. G. Further Investigations
on the Creep or Flow of Concrete under Load. Studied in Reinforced Concrete,
Part. IV, Building Research., Technical Paper., № 21, London, 1939.

230.	Joschida H. Ober das elastische Verhalten von Beton. Berlin,
1930.

231.	Kalousek G. L. Fundamental Factors in the Drying Shrinkage
of Concrete Block. Journal of the American Concrete Institute, Proc. vol. 51,
vol. 26, № 3, 1954.

232.	К г о о n e В., В 1 а к у F. A. Reaction between Carbon Dioxide
gas and Mortar, Journ. of the Amer. Concr. Inst., vol. 31, № 6, (proc. vol. 56),
1959.

233.	Lea F. M. The Chemistry of Concrete and Concrete, St. Martins
press. N. J. Rev. Ed., 1956

234.	Leber L, В 1 а к у F. A. Some Effects of Carbon Dicxide on
Mortar and Concrete., Journ. of the Amer. Concr. Inst., proc. v. 53, vol.28,
№ 3, 1956.

235.	L e e C. R. Creep and Shrinkage in restrained Concrete. B. R. S.
Note, No. E. 208, March, 1950, а также Quartieme Congres des Grand Barrages,
New Dehli, 1951, Q. N. 15.

236.	Me. Henry D. A. New Aspect of Creep in Concrete und Its Appli-
cation to Design , Proc Amer. Soc. for Test. Mat., vol. 43, 1943.

237.	Meyers S. L. Volum changes in Cement mortar Concrete., Con-
crete, vol. 43, № 8, 1935.

238.	Nevill A. Theories of Creep in Concrete, Am. Concr. Inst. Journ.,
proc. vol. 52, № 1, 1955.

239.	Pickett D. Shrinkage Stresses in Concrete, Journal of the Ameri-
can Concrete Institute, vol. 17, N. N. 3, 4, 1946.

240.	Powers T. С., В г о w n у a r d T. L. Studies of the physical
Properties of Hardened Portland Cement Paste, Journal of the American
Concrete Institute, vol. 18, N. N. 2, 3, 4, 5, 6, 1946, vol. 19, №№ 1, 2, 1947.

241.	Powers T. C. Cuses and Control of Volume Change, Journal
of the Research and Development Laboratories, vol. 1, N. 1, 1929.

242.	Powers T. C. Journal of Portland Cement Assoc, Res. and Dev.
Lab. vol. 4, № 2, 1962.

243.	Ross A. D. The Creep of Portland elast, furnace Cement Concrete,
Journ. Inst. Civ. Eng., № 8, 1938.

244.	Ross A. D. Creep of Concrete under variable Stress, Journ.
of the Amer. Concr. Inst., vol. 29, № 9, 1958.

245.	Schank I. R. Plastic flow of Concrete Ohio University Engi-
neering Experiment Station, Bulletin., № 91, Sept., 1935.

246.	Serafim J. L., GuerreiroM. Q. Influence of Temperature
an the Greep of mass Concrete, Bulletin Rilem, 1960, № 6.

247.	S p i n d e 1 M. Ober die Schwindung von Zement und Beton,
Beton und Eisen., H. 15, 1936.

248.	The Experimental and Mathematical Analysis of Arch Dams with
Special Reference to Dams by prof. D. Norman M. C. Allen M. A., Letitia
Chitty Ma., A. M. J. С. E., prof A. I. Sutton Pippard. The Institution of Civil
Engineers, part. II, v. 5, May, 1956, № 3.
249.	Theuer A U. Effect of Temperature on the Stress-Deformation
of Concrete, Journ. of Res. of the Nat. Bureau of St., vol. 18, No 2, February,
1937.

250.	Tonindustrie — zeitund, 1881, 1889.

251.	Verbech C. J. Carbonization of Hydrated Portland Cement.,
Am. Soc. for Testing Materials, Special Technical Pablication, № 205, 1958,
P. C. A. Research Departament, Bull., 87.

252.	Volterra V. Lecons sur les functions de lignes professeers a la
Sorbonne en 1912, Paris, 1913.

253.	Whitney C. S. Plain and Reinforced Concrete Arches., Journ.
Amer. Concr. Inst., № 7, 1932.

254.	W о о 1 s о n J. H. Some remarkable tests indicating «Flow» of
Concrete under pressure., Eng. News., № 54, 1905.
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие,.,. . «............................................. 3

Глава I. Некоторые вопросы теории теплопроводности бетона . .	5

§ 1.	1. Теплопроводность. Основные уравнения теории теплопро-
водности бетона ............................................ 6

§ 1.2	. Граничные и начальное условия........................ 8

§ 1.3.	Теплофизические свойства бетона.........	.	.10

§ 1.4	. Экзотермия бетона................................... 15

§ 1.	5. Уравнение теплопроводности при скорости экзотермии,
зависящей от температуры процесса...........................18

§ 1.6	. Классический метод решения задачи теории теплопровод-
ности при источниках тепла, зависящих от температуры 26

§ 1.7.	Первая классическая задача теории теплопроводности.
Одномерный тепловой поток в плите...........................27

§ 1.8.	Вторая классическая задача теории теплопроводности. Од-
номерный тепловой поток в плите ........................... 32

§ 1.9	. Упрощение задачи теории теплопроводности при источни-
ках тепла, зависящих от температуры. Метод автора ... 36

§ 1.	10. Первая основная задача теории теплопроводности Случай
замкнутого решения..........................................38

§ I	11. Первая основная задача теории теплопроводности. Обоб-
щенный квазистационарный температурный режим прямо-
угольной призмы. Случай незамкнутого решения ... 41
' § 1.12. Вторая основная задача теории теплопроводности. Одно-
мерный тепловой поток в плите ................................ 43

§ 1.13	. Вторая основная задача теории теплопроводности. Двух-
мерный тепловой поток в прямоугольной призме................50

§ 1.14.	Вторая основная задача теории теплопроводности. Тепло-
вой поток в неограниченном	цилиндре.................52

§ 1.15	.	Экспериментальная проверка	теории ................. 53

§ 1.1	6. Пример расчета распределения температуры в массивной
бетонной плите............................................. 56

Глава II. Некоторые вопросы теории влагопроводнос~и бетона . . 65

§ II.1	. Влагопроводность. Основные уравнения теории влаго-
проводности бетона..........................................65

§ II.2.	Граничные и начальное условия. Равновесная влажность
бетона......................................................69

§ П.З.	Влагофизические свойства бетона.................... 72

§ II.4	. Аналитическое выражение для скорости гидратации, за-
висящей от температуры процесса.............................76

§ II.	5. Уравнение влагопроводности при стоке влаги, зависящем
от температуры. Упрощение и метод решения задачи
теории влагопроводности ................................... 79

§ II.6	. Первая основная задача теории влагопроводности. Слу-
чай замкнутого решения......................................82

§ II.7.	Первая основная задача теории влагопроводности. Обоб-
щенный квазистационарный влажностный режим прямо-
угольной призмы Случай незамкнутого решения .	. . 83

§ II.8.	Вторая основная задача теории влагопроводности. Одно-
мерный поток влаги в плите..................................84

§ II.9.	Вторая основная задача теории влагопроводности. Двух-
мерный поток влаги в прямоугольной призме ................. 88

§ 11.1	0. Пример расчета распределения влажности в массивной
бетонной плите ............................................ 90
Глава III. Температурные и влажностные деформации бетона ... 97

§ III.1	. Температурные деформации бетона....................97

§ II	1.2. Вода в бетоне.....................................100

§ III.3.	Усадка бетона......................................104

§ III.4	. Набухание бетона..................................113

§ III.	5. Физические свойства бетона, связанные с его влажност-
ными деформациями...........................................118

§ III.6	. Влияние длительного внешнего нагружения на режим
высыхания и усадку бетона...................................120

§ III.7.	Некоторые особенности усадки и набухания бетона, су-
щественные для расчета влажностных напряжений . . . 122

Глава IV. Некоторые вопросы теории ползучести бетона............135

§ IV.	1.	Ползучесть бетона.............................136

§ IV.2.	Релаксация напряжений в бетоне.................148

§ IV.3.	Упруго-мгновенные деформации бетона............149

§ IV.4.	Поперечные деформации бетона...................153

§ IV.5.	Рабочие гипотезы современной линейной	теории	ползу-
чести бетона 	156

§ IV.6.	Основные уравнения линейной теории ползучести бетона.

Одномерная задача при наличии вынужденных деформаций 159

§ IV.7.	Физический смысл наследственных функций бетона . . 165

§ IV.	8. Общая трехмерная задача линейной теории упруго-пол-
зучего тела при наличии вынужденных деформаций . . 173

§ IV.9	. Некоторые общие замечания по поводу метода решения
рассматриваемых задач линейной теории ползучести . . 177

§ IV.	10. О наследственных функциях теории ползучести бетона 186

§ IV.11.	Об основных разновидностях современной теории ползу-
чести бетона и наследственных функциях, фигурирующих
в их уравнениях ............................................193

§ IV.	12. Новые аналитические выражения для наследственных
функций теории ползучести бетона............................208

§ IV.	13. Экспериментальные исследования областей применимости
основных разновидностей теории ползучести бетона 215

§ IV.	14. О методике аппроксимации кривых мепы ползучести
бетона с помощью формулы (IV. 133)......................... 232

Глава V. Упруго-мгновенная задача теории упругости при наличии
вынужденных деформаций. Общие уравнения и метод решения . 239

§ V.	1. Общая трехмерная упруго-мгновенная задача теории упру-
гости ......................................................239

§ V.2.	Плоская упруго-мгновенная задача теории упругости.
Основные уравнения ........................................ 245

§ V.3.	Плоская упруго-мгновенная задача. Метод решения . . 253

§ V	4. Повышение точности решений плоской упруго-мгновенной
задачи......................................................264

§ V.5	. Одномерная упруго мгновенная задача для бесконечного
полупространства............................................268

§ V.6.	Одномерная упруго-мгновенная задача для прямого бруса 269

Г л а в а VI. Некоторые упруго-мгновенные задачи о температурных
напряжениях...............................................272

§ VI.1.	Напряжения в бесконечном полупространстве при неравно-
мерном изменении его температуры по глубине .... 272

§ VI.2	. Напряжения в прямом брусе при линейном распредете-
нии температуры вдоль его оси...............................274

§ VI.	3. Напряжения в призматическом брусе со свободными гра-
нями при неравномерном распределении температуры по
его сечению.................................................275
§ VI.4	. Напряжения в призматических прямоугольных брусьях
при изменениях их температуры, неравномерных по вы
соте бруса................................................279

§ VI.5.	Напряжения в плите при неравномерном изменении тем-
пературы по ее толщине....................................286

§ VI	6 Напряжения в прямоугольном блоке, защемленном по
основанию при равномерном разогреве (торцы блока за
креплены от тангенциальных смещений)......................288

§ VI.7	. Напряжения в защемленном по основанию прямоуголь-
ном блоке при равномерном разогреве (торцы блока
свободны от напряжений)...................................293

§ VI.	8. Температурные напряжения в блоке, защемленном по
основанию и имеющем свободные торцы, в общем случае
его неравномерного разогрева ............................ 301

§ VI.9	. Некоторые замечания по поводу рассмотренных упруго
мгновенных задач..........................................306

Глава VII. Учет ползучести при расчете напряжений в бетоне,
вызываемых его вынужденными деформациями.......................310

§ VI	1.1.	Общие указания...................................310

§ VII.2.	Методика учета ползучести при расчете напряжений,
вызываемых вынужденными деформациями......................313

§ VII.3	,	Случай стационарной вынужденной деформации .... 316

§ VII.	4. Коэффициент приведения упругих напряжений в старом
бетоне....................................................318

Глава VIII Некоторые задачи о температурных и усадочных напря-
жениях в бетоне................................................322

§ VIII.	1. Некоторые одномерные задачи о температурных напря-
жениях в старом бетоне с учетом его ползучести . . . 324

§ VIII.2	. Напряжения в бетонной плите от экзотермии при учете
изменений температуры наружного воздуха....................329

§ VIII.3.	Напряжения в бетонных блоках при их разогреве от
экзотермии.................................................334

§ VIII.	4. Экспериментально-теоретические исследования темпера-
турных напряжений в бетоне.................................336

§ VIII	.5. Экспериментально-теоретические исследования усадоч-
ных напряжений в бетоне....................................343

Глава IX. Напряженно-деформированное состояние железобетонных
элементов без трещин при наличии вынужденных деформаций 353

§ IX.	1. Напряженно-деформированное состояние армированных
сжато-изогнутых элементов .	.	.	..........353

§ IX.2.	Напряженно-деформированное состояние армированного
изгибаемого элемента .................................... 359

§ IX.3.	Напряженно-деформированное состояние армированного
центрально-сжатого элемента...............................360

§ IX.4.	Релаксация напряжений и усилий в железобетонном
элементе..................................................361

Глава X. Учет температурно-влажностных воздействий при расчете
железобетонных конструкций с трещинами приближенными
методами ......................................................365

§ Х.1.	Общие методические указания........................366

§ X	2. Расчет железобетонных конструкций на изменения их
температуры и влажности ................................. 371

§ Х.З.	Определение перемещений железобетонных конструкций
при их расчете на изменения температуры и влажности 375
§ Х.4. Расчет распределения температуры бетона по сечению
элементов конструкций и выбор средней расчетной тем-
пературы и расчетного перепада температуры..................379

§ X 5 Расчет распределения влажности бетона по сечению эле-
ментов конструкций и выбор средней расчетной влажности
и расчетного перепада влажности.............................384

§ Х.6 Числовой пример расчета железобетонной статически не-
определимой рамы на изменения температуры и влажности
бетона......................................................390

П р и л о ж-е ния...............................................405

Список литературы ....	 417

Александровский Сергей Владимирович
РАСЧЕТ БЕТОННЫХ И ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
НА ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ И ВЛАЖНОСТИ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ

* * «

Стройиздат

Москва, К-31, Кузнецкий мост, д. 9
* « *

Редактор издательства Э. М. Осипова

Внешнее оформление художника В. М. Прокофьева
Технические редакторы В. Д. Павлова н Т. В. Кузнецова

Корректор Л. П. А т а в и и а	».

Сдано в набор 3. VII. 1972 г.	Подписано к печати 16. XI. 1972 г.

Т-17379 Бумага Xs 3. Формат бОХЭО’/и—13,5 бум. л. 27.0 печ. л. (уч.-изд. 29,0 л.)

Тираж 8 000 экз. Изд. Хе AVIII-3212 Зак. Хе 1018. Цена 1 р. 84 к.

Московская типография Хе 4 Союзполиграфпрома Государственного комитета
Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Б. Переяславская, д. 46