Анализ систем управления запасами - Хедли Дж., Уайтин Т.

1.3. Складские системы
1.4. Складские системы с разветвленной структурой
1.6. Стохастические процессы, возникающие в системах управления запасами
1.10. Издержки выполнения заказов потребителей
1.12. Издержки, связанные с введением информационной системы
1.13. Выбор стратегии функционирования
2. Детерминированные модели размера партии и их обобщения
2.2. Простейшая модель размера партии при отсутствии дефицита
2.3. Дополнительные свойства модели. Пример
2.5. Случай, когда неудовлетворенные требования ставятся на учет
2.6. Случай потери неудовлетворенных требований
2.7. Случай, когда производительность конечна
2.11. Скидка на размер заказа --- <<оптовая» скидка>>
2.12. Дифференциальная скидка на размер заказа
3. Теория вероятностей и случайные процессы
3.2. Основные законы теории вероятностей
3.6. Усреднение по времени и усреднение по множеству
3.11. Марковские процессы с непрерывным временем и дискретным пространством состояний --- очереди
3.15. Свойства нормального распределения
4. Модели оперативного управления запасами при случайном спросе
4.2. Приближенное описание $<Q,r>$-моделей в случае учета неудовлетворенных требований
4.3. Приближенное описание $<Q,r>$-моделей в случае потери неудовлетворенных требований
4.4. Анализ упрощенных моделей и численный пример
4.5. Предварительное обсуждение более точных моделей
4.7. Точные формулы для системы с учетом требований при пуассоновском процессе спроса и постоянном времени поставок
4.11. Система с потерями неудовлетворенных требований при постоянном времени поставок
4.13. Модели управления запасами при $Q=l$
4.16. Определение стратегии функционирования без учета издержек дефицита
5. Модели управления запасами в системе с периодическими проверками при случайном спросе
5.2. Приближенное описание простейших $<R,T>$-моделей
5.3. Точное описание $<nQ,r,T>$-моделей управления запасами в системах с учитываемыми требованиями при пуассоновском спросе и постоянном времени поставок
5.4. Приближенное описание $<nQ,r,T>$-моделей управления запасами. Случай больших $Q$
5.5. $<nQ,r,T>$-модель, когда спрос распределен по нормальному закону
5.6. Точные уравнения для $<R,T>$-моделей управления запасами
$5.7. $<Q,r>$-модель как предельный случай $<nQ,r,T>$-модели при $Т \to 0$$
5.9. Вывод выражения для суммарных средних годовых издержек в случае $<R,r,T>$-модели
5.10. $<R,r,T>$-модель для случая, когда спрос считается непрерывной случайной величиной
5.11. Сравнение различных стратегий функционирования систем с периодической проверкой
5.12. Сравнение систем с периодической проверкой и систем с оперативной информацией
6. Модели управления запасами в течение одного периода
6.2. Общая модель управления запасами на одном периоде при постоянных издержках
6.4. Многопродуктовые модели с ограничениями
6.5. Модели с зависящими от времени затратами
7. Динамические модели управления запасами
7.3. Другие задачи динамического программирования
7.4. Динамические модели размера партии. Детерминированный случай
7.5. Пример динамической модели размера партии
7.6. Динамические модели планирования на фиксированном интервале времени при случайном спросе
7.7. Динамические модели планирования на интервале случайной длительности при случайном спросе
8. Использование методов динамического программирования для анализа моделей установившегося состояния
8.2. Основное функциональное уравнение для системы с периодическими проверками
8.5. Применение динамического программирования для вычисления оптимальных значений $R$ и $r$
8.6. Функциональное уравнение для систем с оперативной информацией
8.7. Оптимальность $Rr$-стратегий для систем с оперативной информацией
8.8. Явное решение функционального уравнения, когда спрос описывается процессом Пуассона, а требования имеют единичный размер
8.9. Явное решение функционального уравнения в общем случае
8.10. Явное решение функционального уравнения для модели установившегося состояния системы с периодическими проверками
9.8. Проблемы управления многопродуктовыми запасами
9.9. Проблемы персонала и процедурные вопросы
Словарь наиболее употребительных терминов
Author: Хедли Дж. Уайтин Т.
Tags: математика управление предприятием управление проектами организация производства организация учета
Year: 2020
Similar
Управление строительством
Современная теория систем управления.
Современные принципы управления сложными объектами
Управление проектами. Практическое руководство
Text
                    ДЖ. ХЕДЛИ
Т. УАЙТИН
Анализ систем
управления
запасами
Перевод с английского
М. А. КАСНЕРА, А. С. МАНДЕЛЯ и А. Л. РАЙКИНА
Под редакцией
А. Л. РАЙКИНА
(Г^
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКЬ
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1969

6П2.154
Х35
УДК 519.95
Анализ систем управления запасами, Хедли Дж.,
Уайтин Т., перев. с англ., Главная редакция
физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1969.
В книге систематически излагаются вопросы управления
запасами в системах с одним пунктом хранения.
Рассмотрены математические модели управления запасами в
системах с оперативной информацией и в системах с
периодическими проверками, когда состояние запасов становится
известным лишь после проведения очередной проверки. Особое
внимание уделяется вопросам практического использования
представленных математических моделей.
Книга предназначена для первого серьезного знакомства
с теорией управления запасами и организацией снабжения
и может быть полезна широкому кругу читателей, начиная
от руководства отделов снабжения предприятий,
плановиков и работников торговых предприятии и кончая
научными работниками, занимающимися проблемами управления
и организацией производства.
Табл. 18. Илл. 52. Библ. 64 назв.
G. HADLEY, Т. М. WHITIN
ANALYSIS OF INVENTORY SYSTEMS
Prentice-Hall, Inc.
Englewood Cliffs, New Jersey
3-3-14
141-69

Оглавление
От редактора перевода 8
Предисловие 10
1. Структура систем управления запасами 13
1. 1. Проблемы управления запасами 13
1. 2. Краткий исторический очерк 15
1. 3. Складские системы 17
1. 4. Складские системы с разветвленной структурой .... 17
1. 5. Характер запасов 21
1. 6. Стохастические процессы, возникающие в системах
управления запасами 22
1. 7. Учитываемые издержки 24
1. 8. Издержки поставок 25
1. 9. Издержки по содержанию запасов 27
1.10. Издержки выполнения заказов потребителей 32
1.11. Издержки из-за отсутствия запасов 33
1.12. Издержки, связанные с введением информационной
системы 37
1.13. Выбор стратегии функционирования 37
Литература 43
2. Детерминированные модели размера партии и их обобщения 44
2. 1. Введение 44
2. 2. Простейшая модель размера партии при отсутствии
дефицита 44
2. 3. Дополнительные свойства модели. Пример 51
2. 4. Учет дискретности спроса 56
2. 5. Случай, когда неудовлетворенные требования ставятся на
учет 58
2. 6. Случай потери неудовлетворенных требований 64
2. 7. Случай, когда производительность конечна 68
2. 8. Ограничения 72
2. 9. Ограничения—пример расчета 78
2.10. Системы с периодической проверкой 81
2.11. Скидка на размер заказа—«оптовая» скидка 82

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
2.12. Дифференциальная скидка на размер заказа 85
Задачи и упражнения 88
Литература 102
3. Теория вероятностей и случайные процессы 103
3. 1. Введение 103
3. 2. Основные законы теории вероятностей 103
3. 3. Дискретные случайные величины 107
3. 4. Непрерывные случайные величины 113
3. 5. Моменты случайных величин 119
3. 6. Усреднение по времени и усреднение по множеству . . 126
3. 7. Вероятностное описание спроса 128
3. 8. Совместные распределения 137
3. 9. Композиция 142
3.10. Марковские цепи 151
3.11. Марковские процессы с непрерывным временем и
дискретным пространством состояний—очереди 154
3.12. Другие типы марковских процессов 160
3.13. Свойства распределения Пуассона 161
3.14. Нормальное распределение 165
3.15. Свойства нормального распределения 169
Задачи и упражнения 175
Литература 181
4. Модели оперативного управления запасами при случайном
спросе 183
4. 1. Введение 183
4. 2. Приближенное описание <Q, г>-моделей в случае учета
неудовлетворенных требований 186
4. 3. Приближенное описание <Q, г>-моделей в случае потери
неудовлетворенных требований 193
4. 4. Анализ упрощенных моделей и численный пример . . . 195
4. 5. Предварительное обсуждение более точных моделей . . 200
4. 6. Вычисление средних по времени 201
4. 7. Точные формулы для системы с учетом требований при
пуассоновском процессе спроса и постоянном времени
поставок 206
4. 8. Один важный частный случай 215
4. 9. Нормальная аппроксимация 218
4.10. Численный пример 222
4.11. Система с потерями неудовлетворенных требований при
постоянном времени поставок 224
4.12. Случайные времена поставок 228
4.13. Модели управления запасами при Q=l 232
4.14. Вопросы переоценки 240
4.15. Ограничения 241
4.16. Определение стратегии функционирования без учета
издержек дефицита 245
Задачи и упражнения 248
Литература 262

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
5. Модели управления запасами в системе с периодическими
проверками при случайном спросе 264
5. 1. Введение 264
5. 2. Приближенное описание простейших <R, Т>-моделей . . 267
5. 3. Точное описание <nQ, r, 7>-моделей управления
запасами в системах с учитываемыми требованиями при пуас-
соновском спросе и постоянном времени поставок . . . 276
5. 4. Приближенное описание <nQ, r, 7>-моделей управления
запасами. Случай больших Q 287
5. 5. <nQ, r, 7>-модель, когда спрос распределен по
нормальному закону 289
5. 6. Точные уравнения для <R, Ту -моделей управления
запасами 293
5. 7. <Q, г>-модель как предельный случай <nQ, r, 7>-модели
при Т—-+ 0 297
5. 8. <#, г, Г>-модели 299
5. 9. Вывод выражения для суммарных средних годовых
издержек в случае <R, г, 7>-модели 303
5.10. <R, r, 7>-модель для случая, когда спрос считается
непрерывной случайной величиной 312
5.11. Сравнение различных стратегий функционирования систем
с периодической проверкой 818
5.12. Сравнение систем с периодической проверкой и систем
с оперативной информацией 320
5.13. Система с потерями требований 321
5.14. Случайное время поставки 325
5.15. Скидка на размер заказа 328
Задачи и упражнения 330
Литература 336
6. Модели управления запасами в течение одного периода . . . 337
6. 1. Введение 337
6. 2. Общая модель управления запасами на одном периоде
при постоянных издержках 337
6. 3. Примеры 340
6. 4. Многопродуктовые модели с ограничениями 346
6. 5. Модели с зависящими от времени затратами 351
6. 6. Маргинальный анализ 356
Задачи и упражнения 360
Литература 366
7. Динамические модели управления запасами 367
7. 1. Введение 367
7. 2. Динамическое программирование 368
7. 3. Другие задачи динамического программирования .... 375
7. 4. Динамические модели размера партии. Детерминированный
случай 382
7. 5. Пример динамической модели размера партии 391

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
7.6. Динамические модели планирования на фиксированном
интервале времени при случайном спросе 392
7.7. Динамические модели планирования на интервале
случайной длительности при случайном спросе 397
7.8. Задача прогнозирования 399
Задачи и упражнения 400
Литература 406
8. Использование методов динамического программирования для
анализа моделей установившегося состояния 408
8. 1. Введение 408
8. 2. Основное функциональное уравнение для системы с
периодическими проверками 409
8. 3. Оптимальность /?г-стратегий для систем с периодической
проверкой (качественные соображения) 411
8. 4. Доказательство оптимальности #г-стратегии, если / (у; Т)
выпукла, а цена товара постоянна 415
8. 5. Применение динамического программирования для
вычисления оптимальных значений R и г 423
8. 6. Функциональное уравнение для систем с оперативной
информацией 425
8. 7. Оптимальность Яг-стратегий для систем с оперативной
информацией 431
8. 8. Явное решение функционального уравнения, когда спрос
описывается процессом Пуассона, а требования имеют
единичный размер 433
8. 9. Явное решение функционального уравнения в общем
случае 439
8.10. Явное решение функционального уравнения для модели
установившегося состояния системы с периодическими
проверками 443
8.11. Случай потери требований 446
Задачи и упражнения 448
Литература . . . 452
9. Проблемы практического применения 453
9. 1. Введение 453
9. 2. Адекватность модели 454
9. 3. Проблема исходных данных 459
9. 4. Распределение объема спроса 460
9. 5. Предсказание спроса 468
9. 6. Распределение времени поставок 475
9. 7. Определение издержек 476
9. 8. Проблемы управления многопродуктовыми запасами . . 480
9. 9. Проблемы персонала и процедурные вопросы 483
9.10. Проблема оценки 486
9.11. Заключение 487
Задачи и упражнения 488
Литература 490

Оглавление 7
Приложение 1 491
Ш.1. Ограничения и множители Лагранжа 491
П1.2. Интерпретация множителей Лагранжа 494
П1.3. Ограничения в форме неравенств 495
Приложение 2 497
П2.1. Введение . . . 497
П2.2. Метод Ньютона 497
П2.3. Метод наискорейшего спуска 499
Приложение 3 500
Приложение 4 504
Словарь наиболее употребительных терминов 508
Предметный указатель 510

От редактора перевода
Предлагаемый перевод книги Дж. Хедли и Т. Уайтина
представляет систематическое учебное руководство по
теории управления запасами, которая за последние годы
приобрела большую популярность. Такая популярность науки
об управлении запасами объясняется вовсе не данью «моде»,
а тем, что при современных условиях в сложных системах,
будь то системы снабжения промышленного предприятия или
торговая сеть, при принятии решений стало невозможно
руководствоваться одним опытом и интуицией, подкрепленными
прикидками «на глазок». Незначительные ошибки могут стать
большими промахами, которые дорого обходятся народному
хозяйству страны. В этом свете привлечение математических
методов к анализу работы систем снабжения создает одну
из предпосылок принятия научно обоснованных решений.
К настоящему времени на русский язык переведено
несколько книг, посвященных управлению запасами и
организации снабжения предприятий. К изданию готовятся и работы
советских специалистов. И все-таки данная книга занимает
особое место в их числе не только потому, что ее авторы
являются известными специалистами в исследовании операций,
и в частности в области управления запасами: не всегда
результаты научных исследований удается изложить так
методически последовательно и доступно широкому кругу
заинтересованных читателей.
Дж. Хедли и Т. Уайтин систематически изложили
формальные методы анализа систем управления запасами с одним
складом или пунктом хранения. Структура таких систем и
структура принимаемых решений достаточно просты.
Например, если объем запасов на складе существенно превышает
объем спроса, то приходится нести убытки, связанные с
длительным содержанием запасов на складе. Если же наблюдается
дефицит запасов, то приходится платить штрафы и нести
убытки, связанные с нехваткой. В этих условиях чрезвычайно

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
9
важно решить, как и в каком объеме организовать
пополнение запасов на складе, чтобы минимизировать суммарные
издержки. Этим примером не исчерпывается представленный в
книге перечень задач управления запасами и снабжения.
Авторы уделяют много внимания вопросам практического
использования математических моделей управления.
Хочется отметить, что обоснованное назначение закупочных и
отпускных цен, равно как и объективная количественная
оценка издержек содержания запасов и потерь, связанных с
их дефицитом, создает еще один из возможных рычагов
управления. Не следует забывать, что для практического
осуществления оптимального управления запасами нужно иметь
сведения о параметрах системы. К числу таких параметров
относятся интенсивность спроса и размер требований, время
поставок и т. п. Наличие этой информации позволяет
одновременно предсказать ход работы системы в будущем.
Книгу Дж. Хедли и Т. Уайтина «Анализ систем
управления запасами» можно рекомендовать для первого
серьезного знакомства с кругом вопросов и методами организации
снабжения и управления запасами. Она написана в стиле
учебного руководства и содержит ряд вспомогательных
сведений из теории вероятностей и математического
программирования. В конце каждой главы приводятся многочисленные
задачи и упражнения, позволяющие лучше усвоить материал.
На многие вопросы, не вошедшие в книгу и являющиеся
предметом журнальных статей н научных отчетов, читатель
сможет ответить, продолжая самостоятельно изучать
управление запасами. Для облегчения этой работы в конце книги
дан перечень наиболее употребительных терминов,
составленный переводчиками книги.
Можно надеяться, что данная книга представит интерес
как для экономистов-практиков, руководителей отделов
снабжения предприятий, плановиков и работников торговли,
так и для научных работников, деятельность которых
связана с этим важным направлением исследования операций.
Перевод книги выполнили М. А. Каснер (главы 1, 2),
А. С. Мандель (главы 5, 6, 7), А. Л. Райкин (предисловие,
главы 3, 4, 8, 9 и приложения).
Декабрь 1967 г.
А. Райкин

Предисловие
В течение последних пятнадцати лет быстро возрос
интерес к теме, часто называемой научным управлением
запасами. Под научным управлением запасами обычно понимают
применение математических методов для выяснения правил
функционирования складских систем. Этот предмет вызвал
столь большой интерес, что на сегодняшний день считается
нормальным явлением, что каждый, кто серьезно изучает
науку о руководстве или организацию производства, должен
иметь определенный опыт работы с моделями складского
хозяйства. Первоначально разработка моделей управления
запасами имела непосредственные практические цели. В
значительной степени это остается справедливым и сегодня. Но,
по мере того как происходило углубление теоретических
исследований в данной области, все большее число людей
стало заниматься разработкой моделей управления запасами,
так как именно эти модели составили интересные в
математическом отношении задачи. Для таких исследователей
практическое использование не является основной целью;- впрочем,
возможность применения полученных ими результатов
относится к весьма недалекому будущему. Таким образом, в
настоящее время исследовательская работа над моделями запасов
ведется в различных направлениях — от чисто практических
задач до рассмотрения абстрактных математических свойств
модели.
Цель данного учебника — познакомить читателя с
методами построения и анализа математических моделей складских
систем. В нем затронуты различные вопросы разработки
моделей управления запасами. Это одновременно должно помочь
понять существо проблемы, возникающей при изучении
моделей управления запасами на всех уровнях — от чисто
практических задач до чисто теоретических.

ПРЕДИСЛОВИЕ
11
Известно, что во многих случаях читателя интересует
только одна сторона предмета, связанная с практическими
применениями. По этой причине была сделана попытка
написать учебник, доступный широкому кругу читателей с
различным уровнем математической подготовки. Чтобы добиться
этого, изложение строилось так, что каждая глава начинается
с вопросов, представляющих главным образом практический
интерес и не требующих сложных математических выкладок.
За ними следует более сложный в математическом
отношении материал. Вопросы, важные с точки зрения теории,
обсуждаются при рассмотрении более сложных моделей.
Исключение из этого правила представляет глава 8, исключительно
посвященная темам, разработанным математически. Таким
образом, интересующимся практическими приложениями
теории можно сначала читать главу 1, первые параграфы глав
со второй по седьмую включительно, пропустить главу 8 и
прочесть главу 9 полностью.
Данный учебник можно использовать в различных курсах,
включая односеместровый курс теории управления запасами.
Его также можно частично использовать в курсе организации
производства или курсе исследования операций. Весь
материал был использован авторами в курсах управления запасами.
Такой курс длится одну учебную четверть в Чикагском
университете (при нагрузке 15 учебных часов в неделю) и один
семестр в Калифорнийском университете (при нагрузке около 9
учебных часов в неделю). Кроме того, Дж. Хедли
использовал этот материал в лекциях, рассчитанных на половину
учебной четверти для изучающих организацию производства.
В этот курс вошел материал всей первой главы, глава 2 по
параграф 2.9, глава 4 по параграф 4.4, глава 5 по
параграф 5.2, глава 6 по параграф 6.3 и вся девятая глава.
Материал книги лочти исключительно связан с вопросами
определения оптимальных правил функционирования систем,
состоящих из одного склада и одного источника снабжения.
Такая ограниченность класса рассматриваемых систем
объясняется тем, что многие практические задачи относятся
к этой категории, многие интересные математические
проблемы возникают даже тогда, когда рассматриваемые системы
относительно просты по своей структуре, и, наконец, для
более сложных систем чрезвычайно трудно найти
оптимальные правила функционирования. Действительно, в этой

12
ПРЕДИСЛОВИЕ
области сделано еще очень мало. Часто в задачах анализа
систем со сложной разветвленной структурой исследователю
интереснее изучить динамический отклик и стабильность
системы, чем находить правило, минимизирующее некоторую
функцию стоимости при определенном стохастическом входе.
Вопросы анализа динамического отклика и стабильности
системы аналитическими методами и методами моделирования
будут изложены в отдельном томе и поэтому не включены
в книгу вовсе.
Здесь была сделана попытка собрать воедино большое
число оригинальных и интересных задач. Авторы считают
эти задачи очень важными, и потому любой серьезный
читатель должен по крайней мере просмотреть их и попытаться
разобрать часть из них.
Отдел аспирантуры по специальности «Деловые
отношения» Чикагского университета весьма любезно взял на себя
всю работу по подготовке рукописи к печати. Джексон
Е. Моррис прекрасно справился с задачей подбора эпиграфов
к каждой главе. Авторы признательны П. Тейчолцу и Б. Лунду
из Стэнфордского университета. Разработанные ими
вычислительные программы для ЭЦВМ были использованы при
расчетах примеров глав 4 и 5. Авторы также благодарят
своих студентов, заметивших ошибки и описки в рукописи.
И наконец, авторы выражают свою признательность
редактору журнала «Исследование операций» за разрешение
перепечатать некоторые материалы, публикуемые в книге
впервые.
Дж. Хедли, Т. Уайтин

1
Структура систем управления запасами
Почему математика, будучи в ко-
печном счете продуктом человеческого
мышления, независимого от опыта,
столь превосходно приспособлена к
объектам реальности?
Альберт Эйнштейн
1.1. Проблемы управления запасами
Управление запасами представляет собой проблему,
общую для предприятий любого сектора всякой системы
хозяйства. Запасы требуется создавать в сельском хозяйстве,
промышленности, розничной торговле и для целей обороны.
В Соединенных Штатах общие капиталовложения в запасы
огромны. Только для одних оборонных мероприятий эта
сумма превышает 50 миллиардов долларов, а в частном
секторе экономики она составляет более 95 миллиардов.
Существует много причин, почему организации идут на
создание запасов. Основным доводом является то, что обычно
либо физически невозможно, либо экономически невыгодно,
чтобы товары поступали именно тогда, когда на них
возникает спрос. При отсутствии запасов потребителям
приходилось бы ждать, пока их заказы будут выполнены. Однако
обычно потребители не хотят или не могут долго ждать.
Уже одно это говорит о необходимости хранения запасов
почти каждой организацией, снабжающей товарами
потребителей. Имеются тем не менее и другие причины для
создания запасов. Например, цены на сырье, используемое
изготовителем, могут подвергаться значительным сезонным
колебаниям. Когда цена низка, выгодно создавать
достаточные запасы сырья, которых хватило бы на весь сезон
высоких цен и которые можно было бы по мере надобности
использовать в производстве. Другой довод, особенно
важный для предприятий розничной торговли, состоит в том,
что объем продажи и прибыль могут быть увеличены, если

14 СТРУКТУРА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [1
имеется некоторый запас товаров, который можно
предложить потребителю.
При управлении запасами любого товара следует ответить
на два основных вопроса: когда пополнять запас и каков
должен быть размер заказа на пополнение. В этой книге
мы попытаемся показать, как дать ответ на эти вопросы при
различных обстоятельствах. По существу каждое решение,
принимаемое при управлении запасами всякой организацией
вне зависимости от сложности системы снабжения, так или
иначе связано с вопросами о том, сколько заказывать и
когда заказывать. Существуют определенные типы задач
управления запасами. Например, задача о водохранилище,
в которой процесс пополнения запаса неуправляем. Иными
словами, пополнение запаса воды в водохранилище зависит
от выпадения осадков, а организация, эксплуатирующая
водохранилище, не может управлять ими. Здесь мы не
будем рассматривать задачи этого типа, а займемся только
теми задачами, в которых организация, ответственная за
управление запасами, имеет некоторую свободу в решении
вопросов о сроках и объеме пополнения запасов. С другой
стороны, условимся, что в общем случае складская система не
может управлять спросом на те изделия,которые в ней хранятся.
Этот случай является полной противоположностью тому,
что имеет место в задаче о водохранилище, поскольку сброс
воды через плотину полностью контролируется организацией,
эксплуатирующей плотину. Другими словами, мы намерены
рассмотреть задачи управления запасами, которые
встречаются в сфере деловых отношений, промышленности и в
вопросах обороны.
Мы постараемся показать, как с помощью
математических методов можно выработать правила управления запасами.
Если для решения задач управления запасами применяются
математические методы, то исследуемую систему необходимо
описать математически. Такое описание часто называют
математической моделью. Метод решения заключается в
построении математической модели рассматриваемой системы
и последующем изучении ее свойств. Поскольку реальный
мир никогда нельзя описать абсолютно точно, то при
построении математической модели нужно ввести некоторые
приближения и упрощения. Для этого имеется много доводов.
Один из них заключается в том, что по существу невоз-

1.2]
краткий исторический очерк
15
можно выявить, что же на самом деле представляет собой
реальный мир. Другой состоит в том, что очень точная
модель может оказаться слишком трудной в математическом
отношении. И наконец, зачастую применение точных моделей
не оправдывается экономически. Более простые
приближенные модели могут дать настолько хорошие результаты, что
дополнительные уточнения, получаемые с помощью более
совершенных моделей, недостаточны, чтобы компенсировать
связанные с этим расходы.
В этой книге мы рассмотрим ряд математических
моделей управления запасами. Многие из них предназначены для
практического применения, другие же непосредственного
практического применения не имеют из-за ограничивающих
допущений. Однако и эти модели интересны и важны, потому
что теоретическое их описание позволяет выявить ряд
свойств,нужных для понимания сущности управления запасами.
1.2. Краткий исторический очерк
Хотя вопросы, связанные с хранением запасов, столь же
стары, как и сама история, только с начала нынешнего
столетия были сделаны попытки использовать аналитические
методы для их изучения. Первоначальным толчком к
применению математических методов анализа систем управления
запасами послужило, по-видимому, одновременное развитие
промышленности и технических наук, и особенно науки об
организации производства. Реальную потребность в анализе
впервые ощутили те отрасли промышленности, которым
пришлось столкнуться с вопросами календарного
планирования производства и хранения запасов, когда продукция
производится серийно (стоимость переналадки достаточно
высока) и поступает на заводской склад.
Впервые вывод формулы, которую часто называют простой
формулой размера партии, был сделан Фордом Харрисом [5]
в 1915 г. С тех пор эта же самая формула была получена,
по-видимому самостоятельно, многими исследователями. Часто
ее называют формулой Уилсона, так как она была получена
в качестве одного из результатов разработанной Уилсоном
схемы управления запасами. Первая книга, полностью
посвященная управлению запасами, была написана сотрудником

16 СТРУКТУРА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [1
Массачусетского технологического института Ф. Е. Рей-
мондом [6]. В ней нет ни теоретических обоснований, ни
выкладок —только попытка объяснить, как различные
обобщения простой модели размера партии могут быть
использованы на практике.
Лишь по окончании второй мировой войны, когда стали
развиваться наука о методах управления и
руководства и исследование операций, было обращено серьезное
внимание на случайный характер процессов управления
запасами. До этого системы рассматривались как
детерминированные, за исключением тех немногих случаев, как,
например, работа Уилсона, где были сделаны попытки как-то
учесть вероятностный характер этих систем. Во время
войны была разработана одна полезная стохастическая модель,
которую мы будем в главе 6 называть «рождественской
елкой». Вскоре после этого Уайтином [8] был разработан
стохастический вариант простой модели размера партии.
Его книга, опубликованная в 1953 г., была первой книгой
на английском языке, в которой подробно рассматривались
вероятностные модели управления запасами.
Интерес к использованию аналитических методов решения
задач управления запасами первоначально возник в
промышленности, где инженеры искали способы решения
практических задач. Интересно, что не экономисты были первыми,
кто проявил активный интерес к задачам управления запасами,
хотя именно эти проблемы играют важную роль в
исследовании динамики экономических систем. Причина такого
положения заключается, по-видимому, в том, что экономисты
интересовались главным образом статическими моделями
экономических систем. Однако в последнее время некоторые
экономисты и математики проявили интерес к моделям
управления запасами. Они не занимались вопросами прямого
практического приложения. Наоборот, эти модели
интересовали их из-за ряда математических свойств и
экономической интерпретации. Статья экономистов Эрроу, Хар-
риса и Маршака [1] была одной из первых, в которой
давался строгий математический анализ простой модели
управления запасами. За ней последовали часто цитируемые,
но довольно абстрактные статьи математиков Дворецкого,
Кифера и Вольфовица [3, 4]. С тех пор опубликован ряд
статей, написанных математиками. Недавно появилась книга

1.4] СКЛАДСКИЕ СИСТЕМЫ С РАЗВЕТВЛЕННОЙ СТРУКТУРОЙ 17
Эрроу, Карлина и Скарфа [2], целиком посвященная
математическим свойствам систем управления запасами.
В настоящее время работы в этой области ведутся
в различных аспектах. С одной стороны, значительная
работа проводится непосредственно в области практического
применения, хотя, с другой стороны, исследуются и
абстрактные математические свойства моделей управления запасами
безотносительно к задачам практики. Соответственно этому
изложенный в учебнике материал охватывает довольно
широкую область. Часть материала непосредственно связана
с вопросами практического применения, тогда как другая
часть касается математической структуры складских систем.
Тем самым читатель знакомится с применяемыми методами
анализа и с задачами, возникающими при исследовании
систем управления запасами.
1.3. Складские системы
Существующие складские системы во многом отличаются
друг от друга. Они отличаются размерами и сложностью,
типами хранимых изделий, издержками, связанными с их
работой, характером происходящих в них случайных
процессов и характером информации, поступающей к лицам,
ответственным за принятие решений. Эти отличия можно
трактовать как различия в структуре складских систем;
они могут также иметь непосредственное отношение к тому
типу стратегии функционирования, которую следует
применять при управлении системой. Под стратегией
функционирования мы понимаем правило, которое говорит нам о том,
когда и сколько следует заказывать.
Между складскими системами — будь то реальные системы
или же математические модели — существуют определенные
различия. В последующих разделах будут рассмотрены
некоторые из этих различий.
1.4. Складские системы с разветвленной структурой
В складской системе запасы могут храниться в одном
или в нескольких местах. Например, если рассматривается
такая организация, как система снабжения Военно-воздушных
сил США, то запасная часть самолета определенного типа

18 СТРУКТУРА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [1
может храниться более чем на 100 базах и ремонтных
предприятиях, расположенных в различных точках земного
шара. Если же рассматриваемая организация представляет
собой один частный склад пиломатериалов, то весь запас,
принадлежащий этой организации, будет содержаться на
одном складе.
Когда имеется более одного пункта хранения запаса,
то существует возможность различных форм взаимодействия
Рис. 1.1.
между ними. Одна из простейших форм состоит в том, что
имеется один пункт, который служит складом для одного или
нескольких других пунктов. Эга форма приводит к так
называемой складской системе с разветвленной структурой.
Один из возможных типов такой системы показан на рис. 1.1.
Стрелки указывают нормальное направление потока запасов
в системе которая имеет четыре уровня, называемых иногда
эшелонами. В показанной системе требования поступают
только в пункты хранения 1-го уровня. Запасы этих пунктов
пополняются со складов 2-го уровня, которые в свою очередь
пополняют свои запасы с 3-го и т. д. На рис. 1.1
представлен только один вариант системы с разветвленной
структурой. В других случаях требования могут возникать
на всех уровнях хранения. Пункты хранения на любом
уровне могут пополнять свои запасы не только с ближай-

1.4] СКЛАДСКИЕ СИСТЕМЫ С РАЗВЕТВЛЕННОЙ СТРУКТУРОЙ 19
шего верхнего уровня, но также от любого более высокого
уровня или из отдельного источника. В некоторых случаях
допускается перераспределение запасов между различными
пунктами на одном уровне.
Большинство встречающихся на практике систем
управления запасами имеет разветвленную структуру. Однако
часто нельзя или не нужно рассматривать систему с
разветвленной структурой целиком, так как различные участки
системы подчиняются различным организациям. Например,
схема на рис. 1.1 может изображать систему распределения
продукции, в которой источником является
завод-изготовитель, 4-й уровень представляет собой заводской склад,
3-й уровень —региональные склады, 2-й уровень — городские
склады, а 1-й уровень — предприятия розничной торговли.
В такой системе изготовитель может управлять только
заводским производством и его складом, тогда как
региональные склады могут подчиняться другим организациям,
а городские склады и предприятия розничной торговли —
третьим. Обратим внимание на то, что даже на одном уровне
может быть несколько организаций. Например, склады
в различных городах могут принадлежать различным
владельцам. В такой системе каждая организация имеет
возможность сама выбирать стратегию управления запасами,
находящимися в ее подчинении. Обычно не требуется
пытаться проанализировать систему в целом, чтобы указать
необходимую стратегию функционирования для каждого
пункта хранения на каждом уровне. Но может оказаться
нужным найти наилучший способ управления запасами,
например, на одном из складов 2-го уровня. При проведении
такого анализа потребителями считались бы предприятия
розничной торговли 1-го уровня, а источником пополнения
запасов был бы склад на 3-м уровне.
Часто мы будем предполагать, что имеется только один
источник, из которого складская система по мере
необходимости может производить пополнение запасов. Таким
источником может быть завод, заводской склад или просто склад
высшего уровня. Однако в некоторых случаях существует
выбор между двумя или более источниками. Например,
одно из предприятий розничной торговли на рис. 1.1 может
заказывать товары на нескольких складах 2-го уровня.
Иногда система управляет также и источником своего

20 СТРУКТУРА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [1
снабжения, т. е. заводом-изготовителем. В этом случае
задача включает не только управление запасами, но и
составление календарных планов производства.
В этой книге общая задача, включающая календарное
планирование и управление запасами, рассматриваться не
будет, за исключением некоторых частных случаев, когда
продукция производится партиями, а не непрерывно. Здесь будет
изучена складская система, которая намного проще системы
с разветвленной структурой, показанной на рис. 1.1. Она
ТребоЗания
потребителей
^ Тобары
для
потребителе
Луннт
хранения
и
Заказы
^ Тобары
Источник
Рис. 1.2.
состоит только из одного пункта хранения и одного
источника снабжения. Требования поступают в один пункт
хранения, а в соответствующие моменты времени источник
получает заказы на пополнение запасов пункта хранения. Эта
система схематически представлена на рис. 1.2.
Имеются достаточные основания для того, чтобы
ограничиться рассмотрением структуры, показанной на рис. 1.2.
Может быть, наиболее важная причина состоит в том, что
систему, показанную на рис. 1.1, очень трудно изучить
аналитически. Действительно, в этой области сделано
слишком мало. Далее будет ясно, что анализ даже
относительно простой структуры может оказаться очень сложным.
Кроме того, на практике часто (но ни в коем случае не
всегда) достаточно ограничиться простой структурой рис. 1.2.
Правильность этого утверждения подкрепляется тем, что,
хотя реальные системы, как было замечено выше, являются
обычно разветвленными, в них зачастую нужно
рассматривать различные пункты хранения в отдельности, потому
что ими управляют различные организации. И даже когда
несколько пунктов хранения принадлежат одной организации,
взаимодействие между ними бывает настолько слабым, что
появляется возможность рассматривать каждый пункт
независимо от остальных.

1.5]
ХАРАКТЕР ЗАПАСОВ
21
1.5. Характер запасов
Крупная военная система снабжения содержит более
500 000 различных наименований изделий, а типичный
универсальный магазин может иметь до 150 000 видов
товаров. Другие же складские системы хранят только один
или два типа изделий. Запасаемые изделия могут отличаться
стоимостью, весом, объемом. Некоторые запасы являются
скоропортящимися и не могут храниться долго, другие
можно сохранять невредимыми сколь угодно долго, третьи
быстро устаревают. Часто запасы могут храниться только
Рис. 1.3.
при специально поддерживаемом температурном режиме,
влажности и т. д. и требуют для хранения специальных
типов упаковки. Если на хранении находится более одного
типа изделий, то между ними может возникать
«взаимодействие». Например, изделия могут заменять друг друга, и
поэтому при отсутствии одного типа покупатель берет
другой. Или же они могут дополнять друг друга, и тогда один
не продается без другого. Часто «взаимодействие»
выражается в конкуренции между изделиями различных типов
за ограниченную емкость склада или за общие
капиталовложения, размер которых тоже ограничен.
Может существовать и другая форма «взаимодействия»
между изделиями, хранимыми в складской системе. Этот тип
взаимодействия возникает в так называемой
многоступенчатой системе, типичная блок-схема которой приведена на
рис. 1.3. В такой системе изготавливаемая продукция может
храниться на разных стадиях готовности (например, в виде
сырья, необработанных отливок, обработанных отливок,
частично собранных узлов и т. д.). Задача заключается

22 СТРУКТУРА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [1
в том, чтобы определить, требуется ли создавать на
различных стадиях производства запасы и какие именно, а
также какой должна быть на всех стадиях стратегия
управления запасами. В этой области сделано очень мало, и
потому задачи такого типа рассматриваться не будут, за
исключением некоторых весьма простых случаев,
приведенных в упражнениях.
Основной характеристикой изделия, интересующей нас,
является стоимость. В некоторых моделях будет
предполагаться, что запас может храниться сколь угодно долго,
в других предполагается, что в конце концов он устаревает.
Только одна модель будет специально посвящена
рассмотрению скоропортящихся запасов, которые можно хранить
только в течение малого времени. Мы не будем заниматься
непосредственно вопросами регулирования специальных
условий хранения. Очень мало можно сделать и при
рассмотрении взаимодействия между типами изделий. Можно
исследовать только простые случаи, когда изделия разных типов
вступают в конкуренцию за площадь склада или за общие
капиталовложения. В случае, когда существует конкуренция
за площадь, мы будем пользоваться удельным показателем
объема изделия.
1.6. Стохастические процессы, возникающие
в системах управления запасами
Вообще говоря, почти никогда о процессе, который
порождается спросом, не известно столько, чтобы можно
было с точностью указать временную характеристику спроса.
Самое большее, что можно сделать — это описать спрос
вероятностными методами. Процесс, описывающий характер
спроса в вероятностных терминах, является частью
математической модели системы. Когда спрос описывается в
вероятностных терминах, будем говорить, что спрос образует
случайный процесс. Иногда спрос настолько регулярен, что
его приближенно можно рассматривать как
детерминированный. Тогда задача анализа модели хранения запасов
значительно упрощается. Однако в общем случае этого сделать
нельзя.
На практике случайный процесс, порождаемый спросом,
будет всегда нестационарным. В некоторых случаях измене-

1.6] СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ 23
ние характеристик процесса происходит столь медленно, что
его можно рассматривать как стационарный. В других
случаях это изменение происходит столь быстро, что его
нужно явно учесть в модели. Будут рассмотрены оба типа
моделей спроса.
Если в складской системе имеется несколько пунктов
хранения, куда могут поступать требования, то неизвестно,
поступают ли они независимо. Если они зависимы, то
анализ становится чрезвычайно сложным. Мы ограничиваемся
системами с одним пунктом хранения, тем самым
подразумевая, что если реальная система и имеет более одного
пункта хранения, то поступающие на них требования
независимы. Иначе было бы невозможно рассматривать
независимо каждый пункт хранения в отдельности.
Экономически часто бывает трудно оправдать содержание
такого количества товаров, которое всегда обеспечивает
наличный запас. Из-за случайности спроса могут
существовать периоды, когда при поступлении требований в системе
нет наличного запаса. Важной характеристикой процесса
спроса является судьба требования в такой период. В
принципе здесь имеются две возможности. Или требование
теряется (как, например, в универсальном магазине, когда
покупатель уходит в другой магазин), или же оно
учитывается, и покупатель ждет, пока система получит
возможность удовлетворить его.
В дальнейшем будут рассмотрены два случая, когда (а)
все требования, поступающие при отсутствии запаса,
учитываются и (б) все требования, поступающие при отсутствии
запаса, теряются. Эти случаи будут называться
соответственно случаями учтенных и потерянных требований. В случае
учтенных требований они в конце концов удовлетворяются.
В дальнейшем будет видно, что такой случай изучать
значительно легче, чем случай потерянных требований.
Действительно, при потере требований конечные результаты
можно получить, только приняв весьма ограничивающие
допущения. Случаи учтенных и потерянных требований
представляют собой два существенно отличных процесса
обслуживания клиентов.
В конкретной складской системе может оказаться, что
некоторые требования, поступающие когда в системе нет
запаса, учитываются, тогда как остальные теряются. Если

24 СТРУКТУРА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [1
разработать отдельные модели соответственно для случаев
с учтенными и потерянными требованиями, то нетрудно
разработать и общую модель, в которой одни
неудовлетворенные сразу требования учитываются, а другие теряются.
Определим время обеспечения поставки (или просто время
поставки) для складской системы как отрезок времени
между моментом, когда принимается решение сделать заказ
на пополнение запасов, и моментом, когда заказанное
пополнение поступает в систему и может быть предоставлено
потребителям. Время поставки часто не будет постоянным,
потому что время выполнения заказа источником снабжения,
время доставки и время оформления документов и т. д.
могут меняться от заказа к заказу. Редко оказывается
возможным точно предсказать заранее, каково будет время
поставки. Иногда колебания времени поставки настолько
малы, что это время можно считать постоянным. В других
случаях, однако, оно будет подвержено таким случайным
колебаниям, что необходимо считать время поставки
случайным. Будут рассмотрены как модели, в которых время
поставки постоянно, так и модели, где время поставки
представляет собой случайную величину.
1.7. Учитываемые издержки
Издержки, связанные с работой складских систем, играют
важную роль при выборе стратегии функционирования. На
стратегию функционирования оказывают влияние, очевидно,
только издержки, меняющиеся с изменением стратегии
функционирования. Издержки, которые не зависят от
применяемой стратегии, не следует учитывать при анализе,
если они являются критерием выбора стратегии
функционирования.
Имеется пять основных типов издержек, которые могут
оказать влияние на выбор стратегии функционирования. К ним
относятся:
1. Издержки, связанные с поставкой.
2. Издержки содержания запасов.
3. Издержки выполнения заказов потребителей.
4. Издержки, связанные с дефицитом запасов, когда
поступающие требования не могут быть удовлетворены.

1.8]
ИЗДЕРЖКИ ПОСТАВОК
25
5. Издержки по сбору и обработке данных и по
управлению складской системой.
Далее будет рассмотрен более детально каждый из этих
типов издержек; при этом сразу станут ясными трудности
математически точного описания всех составляющих
издержек. По этим причинам желательно ввести ряд приближений.
Характер принимаемых приближений будет рассмотрен при
обсуждении вопросов, связанных с издержками.
1.8. Издержки поставок
Начнем с рассмотрения издержек по поставкам. Эти
издержки можно разделить на две части. Первую часть
составляет сумма, которую следует уплатить поставщику. Она
представляет просто стоимость поставляемого товара. Кроме
того, имеются издержки самой складской системы на
оформление и осуществление поставок. Эти издержки могут
зависеть от ряда различных факторов и по своему характеру
могут сильно отличаться для разных систем. Например,
существуют издержки на оформление и обработку заказа в
отделах закупки и учета. К ним относятся расходы на бумагу
и бланки, почтовые расходы, зарплата соответствующим
работникам, иногда стоимость телефонных переговоров с
поставщиком, стоимость машинного времени для производства
необходимых вычислений или стоимость составления
отчетных ведомостей. Стоимость транспортировки заказа от
поставщика к пункту хранения оплачивается обычно
поставщиком и поэтому включается в стоимость поставляемого
товара. В ряде случаев транспортировка оплачивается
складской системой. Транспортные издержки, конечно, зависят от
используемого вида транспорта. Существуют издержки,
связанные с поступлением товара на склад. Может возникнуть
необходимость распаковать товар, произвести его контроль
или детальную проверку. Кроме того, существуют и другие
издержки, связанные с учетом и регистрацией товаров.
Издержки самой складской системы по размещению заказа,
которые были перечислены выше, делятся на две категории:
на издержки, зависящие от размера заказа, и издержки, от
него не зависящие. Издержки транспортировки, часть
издержек, связанных с получением, и часть издержек контроля

26 СТРУКТУРА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ fl
поставки будут зависеть от размера этой поставки, и потому
их удобно включить в стоимость самого товара.
Обозначим издержки поставки, включающие стоимость
товара, транспортные издержки и т. д., которые зависят от
размера заказа Q, через C(Q). Средняя стоимость единицы
поставляемого товара, если объем поставки равен Q единиц, будет
C(Q)/Q- Особый интерес представляет случай, когда эта
стоимость С постоянна и не зависит от размера заказа Q.
Тогда стоимость поставки Q единиц товара будет просто CQ.
Конечно, это вовсе не означает, что линейная зависимость
от Q всегда справедлива, хотя часто подобное приближение
вполне удовлетворительно. Но оно будет неверно, если ввести
оптовую шкалу цен или скидку на объем перевозок.
Рассмотрим теперь издержки, которые не зависят от
размера заказа. Они включают расходы на бумагу и бланки,
почту, телефон и т. д., расходы по обработке заказов, а
также те части издержек поставки и издержек по контролю,
которые не зависят от размера заказа. Если складскую
систему снабжает предприятие-поставщик, то при условии
серийного производства продукции партиями стоимость
переналадки оборудования тоже попадает в эту категорию
издержек. Расходы, не зависящие от размера заказа, возникают
каждый раз при подаче заказа. Будем называть их
фиксированной стоимостью подачи заказа. Фиксированная стоимость
подачи заказа обозначается через А. Общие издержки
подачи заказа на Q единиц составят в этом случае A-\-C(Q).
Важно отметить, что фиксированная стоимость подачи
заказа обладает тем свойством, что с достаточной степенью
точности общие фиксированные расходы на подачу N
заказов обычно составляют просто AN, Эта пропорциональная
зависимость может и не выполняться. Число конторских
служащих, а следовательно, и годовые расходы на
содержание штата конторы зависят от среднего числа заказов,
поданных в единицу времени, как это показано на рис. 1.4.
По мере того как число заказов растет, штат конторы
должен увеличиваться. Каждая ступенька на рис. 1.4
соответствует увеличению штата на одного сотрудника. Однако для
заданного штата конторы всегда имеется некоторый
диапазон интенсивностей поступления заказов, в пределах
которого годовые расходы на содержание штата конторы не
меняются. На это указывают горизонтальные участки гра-

1.9] ИЗДЕРЖКИ ПО СОДЕРЖАНИЮ ЗАПАСОВ 27
фика на рис. 1.4. Но часто подобный график можно
аппроксимировать достаточно точно прямой, проходящей через
начало координат. Это позволяет получить линейную
зависимость годовых расходов от средней интенсивности
поступления заказов.
В математических моделях, представленных ниже, мы
будем считать, что фиксированные расходы на подачу N
заказов равны AN, где А — фиксированные расходы на подачу
111
<2-
ОI Среднее число заиазоб 6 единицу бремени
Рис. 1.4.
одного заказа. Это не будет, однако, справедливо в общем
случае для любой реальной ситуации, но обычно такое
приближение вполне удовлетворительно. Важно, что модели,
в которых принимается подобное приближение, можно
использовать для описания ситуаций, в которых справедливы
ступенчатые функции издержек, аналогичные графику на рис. 1.4.
Об этом будет говориться в главе 9.
1.9. Издержки по содержанию запасов
Рассмотрим теперь издержки содержания запасов. К этим
издержкам относятся страховка, налоги, порча, мелкие
хищения с места хранения, арендная плата за складское
помещение, если оно не принадлежит системе, и стоимость
эксплуатации помещения склада, куда входят плата за освещение,
отопление, охрану и т. п. В ряде случаев наиболее важными
являются не прямые издержки, а те косвенные
экономические потери, которые никогда не указываются в отчетных
документах. Эти потери возникают от того, что капитал

28 СТРУКТУРА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [1
вкладывается в запасы, вместо того чтобы использоваться
в других сферах деловой активности. Потери такого сорта
равны наибольшей норме прибыли, которую система могла
бы получить от размещения капитала в других сферах
деловой активности. Инвестируя капиталы в складское
хозяйство, тем самым приходится отказываться от указанной
прибыли. Следовательно, потерянная прибыль представляет
косвенные издержки содержания запасов.
Норма этих косвенных издержек пропорциональна общим
капиталовложениям в складское хозяйство. Подобным же
образом норма издержек, связанных с порчей запасов и
мелкими хищениями, будет, грубо говоря, также
пропорциональна общим капиталовложениям. Норма страховых
издержек обычно не пропорциональна общим капиталовложениям.
Наоборот, страховка составляет определенную величину, и
пока страховой полис сохраняет силу, страховая сумма будет
постоянной вне зависимости от колебаний уровня запасов.
Однако страховой полис периодически пересматривается, и,
следовательно, страховые издержки могут претерпевать
некоторые изменения при колебаниях уровня запасов. Точная
картина изменения страховых издержек при колебаниях
уровня запасов может быть для каждой системы различной.
Характер обложения налогами также не единообразен,
хотя часто налоги взимаются по уровню наличных запасов.
В таких случаях налоги взимаются не непрерывно на
протяжении года, а в дискретные моменты времени. Если в
установленный день года запасы малы, то и годовые налоги
будут относительно малы, и наоборот, если запасы велики,
то и годовые налоги будут относительно велики.
Обычно на аренду складского помещения заключается
договор, который сохраняет силу в течение определенного
времени. Размер арендуемого помещения зависит от
максимального количества запасов в период действия договора.
Таким образом, арендные расходы изменяются не день ото
дня с изменением уровня запасов, а могут лишь меняться
при заключении нового договора. Издержки на эксплуатацию
склада могут совсем не зависеть от уровня запасов, или,
наоборот, часть издержек будет изменяться более или менее
пропорционально уровню запасов.
Приведенные рассуждения показывают, что не все
издержки содержания запасов одинаково изменяются с измене-

1.9] издержки по содержанию запасов 29
нием уровня запасов. В самом деле, весьма трудно учесть
все эти издержки с большой точностью. Обычно требуется
ввести некоторые упрощающие приближения. Будем считать,
что мгновенная норма издержек по содержанию запасов
пропорциональна капиталовложениям в данный момент времени.
Коэффициент пропорциональности обозначим через / и будем
называть его коэффициентом издержек содержания запасов.
Время (годы)
Рис. 1.5.
/ имеет размерность — стоимость в единицу времени на
единицу капитала, вложенного в запасы. Будем пользоваться
для измерения / долларами за год на доллар
капиталовложений. Обычно выполняется неравенство 0</<1. Тогда
мгновенная норма издержек содержания в долларах за год
может быть записана как 1Сх, где С —стоимость единицы
запаса (или иногда средняя стоимость единицы запаса, если
эта стоимость непостоянна), а х— наличный запас.
Из сказанного ясно, что издержки содержания единицы
запаса прямо пропорциональны времени хранения.
Предположим, что уровень запасов системы изменялся в течение
года так, как показано на рис. 1.5. Тогда издержки
содержания за год составят
г
1С J х (/) dt.
о
Отметим, что интеграл равен площади, ограниченной кривой
и осью абсцисс от t = О до / = 1 год. Поскольку интервал

30 СТРУКТУРА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [1
интегрирования равен единице, то интеграл представляет
собой средний запас (усредненный по периоду в один год).
Таким образом, наше определение издержек содержания
запасов подразумевает, что эти издержки за год
пропорциональны среднему за год уровню запасов. При такой
интерпретации коэффициент издержек содержания /представляет
собой долю средних годовых капиталовложений,
затрачиваемую на хранение запасов в течение этого года.
Метод, выбранный для подсчета издержек содержания
запасов, не отражает абсолютно точно ни одну из
описанных выше составляющих издержек. Он был выбран потому,
что достаточно хорошо учитывает косвенные издержки
хранения запасов, обычно наиболее важные из всех видов
издержек. Приближенный характер подсчета объясняется тем,
что наибольшая возможная норма прибыли, полученная
с вложенного капитала, зависит от периода времени, на
который рассчитываются эти капиталовложения. Кроме того,
максимальная норма прибыли зависит также от суммы
выделенных капиталов и от общего состояния деловой активности.
Таким образом, возможные издержки, учтенные
коэффициентом /, могут характеризовать лишь средний уровень
прибыли.
Как указывалось ранее, норма издержек, связанных с
порчей товара и мелкими хищениями, грубо говоря,
пропорциональна капиталовложениям, и, следовательно, если только
нет достаточных доводов в пользу иного решения,
используемый метод учета этих издержек вполне разумен. С
другой стороны, из предыдущих рассуждений ясно, что
мгновенная норма страховых издержек с изменением уровня
запасов в общем случае не изменяется. Однако если
мгновенная норма издержек на содержание пропорциональна
уровню запасов, то годовые издержки на содержание
пропорциональны среднему уровню запасов. Для многих случаев,
особенно когда средний уровень спроса остается
относительно постоянным, годовые расходы на страховку по
существу пропорциональны среднему уровню запасов, так как
страховой полис составляется на основе среднего уровня
запаса. Следовательно, можно добиться, чтобы при
определении издержек содержания запасов вполне точно
учитывались страховые издержки. В других случаях, когда средняя
интенсивность спроса непрерывно меняется во времени, годо-

1.9] ИЗДЕРЖКИ ПО СОДЕРЖАНИЮ ЗАПАСОВ 31
вые издержки страхования уже не обязательно
пропорциональны среднему уровню запасов (поскольку чрезвычайно
трудно предсказать заранее средний уровень запасов). В таких
случаях метод, используемый для подсчета издержек
содержания запасов, будет учитывать страховые издержки только
приближенно.
Учет налогов при определении издержек содержания
запасов будет еще более грубым, чем учет страховых издержек.
Если налог зависит только от уровня запасов на складе
в определенный день года, то он может вовсе не иметь
никакого отношения к среднему уровню запасов. С другой
стороны, метод, который здесь использован для вычисления
издержек содержания запасов, часто учитывает, каким
способом в системе создаются фонды для уплаты налогов.
Обычно устанавливается фонд налогов, и с каждой единицы
запасов взимается сумма, пропорциональная
продолжительности хранения. Если в складской системе применяется
именно такой способ накопления средств на уплату налогов,
то используемый метод определения издержек приемлем.
В других же ситуациях, где так не поступают, учет налогов
в коэффициенте издержек содержания / можно рассматривать
лишь как грубое приближение. С практической точки
зрения налоги в коэффициенте издержек содержания разумно
учитывать только тогда, когда не предпринимаются
искусственные меры понижения уровня запасов в день, когда
производится налогообложение. Если же такие меры
предпринимаются, то следует учесть факт взимания налогов
в определенный момент времени, и не пытаться учесть их
в коэффициенте издержек содержания запасов. Далее будут
рассмотрены модели, которые можно использовать для этой
цели.
Существует еще один вид издержек, которые часто
пытаются включить в издержки содержания запасов. Это
издержки старения. Стоимость товара, который может быть
списан по причине устаревания, равен разнице между
начальной стоимостью товара (плюс некоторая прибыль, которая
могла бы быть получена с момента покупки за время
старения, если бы фонды, выделенные на закупку товара, были
бы использованы в другой области) и ликвидной стоимостью.
Издержки старения всегда приходится нести в определенный
момент времени, а заранее точно указать эту дату зачастую

32 СТРУКТУРА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [1
нельзя. Еще более нереалистично издержки старения вводить
в коэффициент издержек содержания, чем пытаться учесть
величину налога. Обычно взимание суммы, пропорциональной
времени хранения запасов, означает образование фонда
для страхования от старения. Но такой подход может сильно
исказить действительную картину и привести к выбору
стратегии управления запасами, которая весьма далека от
хорошей. Если старение играет существенную роль, следует
применять математическую модель издержек, которая бы явно
учитывала факт взимания издержек старения в какой-то
фиксированный момент времени. Такие модели будут
рассмотрены в главе 7.
Итак коэффициент издержек содержания можно мыслить
в виде суммы
/=/1 + /, + /i+/4+...f A.1)
где ^ — коэффициент, учитывающий косвенные издержки,
/2 —коэффициент, учитывающий мелкие хищения и порчу
запасов, /8 — коэффициент, учитывающий страховые издержки,
/4 —коэффициент, учитывающий налоги (если налоги
включаются в коэффициент издержек содержания) и т. д.
Некоторые подробности расчета коэффициента / приведены в
главе 9. Следует подчеркнуть, что вовсе не обязательно, чтобы
в каждом конкретном случае учитывались все упомянутые
составляющие издержек. Могут существовать и другие виды
издержек.
Некоторые издержки, как, например, арендная плата за
помещение, будут пропорциональны максимальному уровню
запасов. Хотя мы и не включили составляющие коэффициента
издержек содержания запасов, пропорциональные
максимальному уровню запасов, учет их в математической модели не
представляет труда. Читателю самому представляется
возможность показать, как это сделать.
1.10. Издержки выполнения заказов
потребителей
Для выполнения каждого заказа потребителя заявка
должна пройти ряд учетных операций, когда, кроме всего прочего,
составляется накладная, которая посылается на склад. На
складе товар берется из соответствующих бункеров. Затем

1.11] ИЗДЕРЖКИ ИЗ-ЗА ОТСУТСТВИЯ ЗАПАСОВ 33
может понадобиться упаковать заказанный товар перед
отправкой. Наконец, заказ отправляется потребителю. После
отправки заказа документ об отправке обычно направляется
в отдел учета, где производятся соответствующие записи.
Если заявка потребителя поступает в момент, когда в системе
нет запаса, то обычно с заявкой нужно выполнить ряд
операций, чтобы обеспечить покупателя информацией о
существующем положении дел.
Издержки выполнения заказов потребителей состоят
обычно из издержек на упомянутые выше учетные операции,
заработной платы работникам склада, занятым обработкой
заказов, издержек на упаковку и транспортировку в случае,
если они оплачиваются складской системой. Важно отметить,
что, хотя эти издержки меняются при колебаниях
интенсивности спроса, они, вообще говоря, не зависят от стратегии
управления запасами. Поэтому их не следует учитывать при
определении издержек, которые меняются с изменением
стратегии функционирования системы. С другой стороны,
издержки, связанные с дефицитом запасов в системе, зависят от
стратегии функционирования, поскольку именно от нее
зависит, какое время в системе наблюдается дефицит запасов.
1.11. Издержки из-за отсутствия запасов
Рассмотрим тедерь издержки, вызываемые требованиями,
поступающими в моменты, когда в системе нет запасов. При
этом следует различать случаи учета и потерь
неудовлетворенных требований. Рассмотрим сначала случай, когда все
требования, поступающие в систему в период отсутствия
запасов, ставятся на учет. В практической ситуации очень
трудно определить точно характер издержек, связанных с
учетом требований. Эти издержки возникают из-за потери
покупателем интереса (т. е. в будущем он может вести дела
с кем-нибудь другим). В системах военного снабжения такие
издержки означают, скажем, потери от бездействия системы
обороны из-за отсутствия запасных частей. Другие
составляющие издержек из-за учета требований легче оценить, но
обычно они составляют только малую долю от общих
издержек учета. К ним относятся расходы по уведомлению
потребителя об отсутствии данного товара и о том, что
заказ будет поставлен на учет, плюс расходы по выяснению
Дж. Хедли, Т. Уайтин

34 СТРУКТУРА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [1
возможного времени выполнения заказа потребителя, плюс
стоимость передачи ему этой информации. Если система сама
эксплуатирует оборудование, то издержки по учету
неудовлетворенных требований могут представлять собой просто
стоимость простоя машины из-за отсутствия запчастей.
В подобных случаях можно ввести относительно простую
меру таких издержек.
Если каждый раз требования поступают на одну единицу
запаса, то издержки составят стоимость учета каждой
единицы. Когда же поступает требование более чем на одну
единицу, стоимость учета может зависеть от размера
требования. Однако далее всюду будем считать, что издержки
учета возникают на каждую единицу запаса, даже если
одновременно возникает требование на несколько единиц.
Эта стоимость учета будет, вообще говоря, зависеть от
времени, в течение которого единица требуемого товара
находится на учете. Будем считать, что эта стоимость
зависит только от продолжительности времени учета. В
принципе зависимость стоимости учета каждой единицы запаса
от времени t, в течение которого требование остается
зарегистрированным, может быть описана неубывающей
функцией я (/), которая может иметь различный вид для разных
систем. На практике невозможно точно определить вид
функции я(/). Можно, например, использовать функцию вида
я (/) = я; -f я/. Другими словами, существует фиксированная
стоимость учета каждой единицы запаса плюс переменная
составляющая, которая линейно зависит от времени, в
течение которого неудовлетворенная заявка остается
зарегистрированной в книге учета. В приведенных в данной книге
математических моделях применяется функция вида я (t) =
= я + я/. Когда же я(^) зависит от t более сложным
образом, то математическая структура моделей управления
запасами усложняется. Так как более сложные модели на
практике не используются, то они и не будут рассматриваться
подробно. Однако в некоторых задачах читателю
предлагается разработать соответствующие модели, использующие
функцию я(/) более сложного вида.
Если в течение года учитываются требования на п
единиц, то издержки, соответствующие фиксированным
издержкам на единицу запаса я, составят я/г. Если число учтен-

1.11]
ИЗДЕРЖКИ ИЗ-ЗА ОТСУТСТВИЯ ЗАПАСОВ
35
ных требований Ъ (t) в функции времени в течение года
меняется так, как показано на рис. 1.6, то годовые издержки,
соответствующие переменным издержкам nt, составляют
1
п[^ + и + ^+...+^] = я\ьа)сИ, A.2)
О
так как высота каждого прямоугольника равна единице.
Заметим, что если t измеряется в годах, то интеграл
1
J Ъ (t) dt
о
имеет размерность единицы товара, умноженной на год.
Если требуется вычислить годовые издержки в долларах, то
3
г
1
ИИ
j
га
Время
(годы)
Рис. 1.6.
коэффициент я имеет размерность доллар на единицу то-
варо-лет нехватки запасов. Заметим, что так как интервал
интегрирования равен единице, то
J Ь (t) dt
о
представляет собой просто среднее число учтенных заявок
в течение года, т. е. число единиц товаро-лет нехватки
запасов за рассматриваемый год численно равно среднему
числу учтенных заявок за год.
Теперь рассмотрим систему с потерями требований. Когда
в системе нет запасов, издержки от потерь требований не
2*

36 СТРУКТУРА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [1
могут зависеть от времени, так как несостоявшаяся сделка
не вносит расходов, зависящих от продолжительности учета
заявки. Таким образом, когда размер требования равен одной
единице, издержки от каждого потерянного требования равны
просто константе. Если же спрос возникает одновременно
не по одной единице, то тогда издержки зависят от
размера потерянного требования, и эта зависимость может
иметь более сложный характер. Далее будем считать, что
издержки, вызванные потерей требования в пересчете на
единицу запаса, которого не оказалось на складе,
фиксированы, даже если и не требуется, чтобы одновременно
возникал спрос только на одну единицу запаса.
Издержки от потери требования зависят от многих
факторов. Как и в случае учета спроса, основную часть
представляют прямые издержки, которые могут фигурировать
в отчетных ведомостях. По-видимому, наиболее важной
составляющей издержек из-за потери требования является
почти неощутимая потеря интереса и предпочтений
потребителей, которая может обусловить потерю доходов от
продажи других товаров или от продажи в будущем
дефицитного товара, так как потребитель временно или постоянно
будет вести дела с другой организацией-поставщиком или
он разочарует других возможных потребителей, сообщив им
о неудовлетворительном обслуживании. Издержки от потери
требования включают также расходы на осуществление
специальных мер информации потребителя о невозможности
немедленного удовлетворения его заявки и прибыль,
потерянную от несостоявшейся сделки. Обозначим через я0
расходы от поступления требования-заявки на единицу
товара, когда в системе нет запасов, исключив
потерянную на этой единице прибыль. Через я будут
обозначаться расходы я0 плюс потерянная на этой единице запаса
прибыль.
Иногда мы будем называть издержки, связанные с
учетом заявки на единицу запаса, издержками учета единицы
спроса. Аналогично издержки от потери одного требования,
связанные с отсутствием запасов в момент поступления
требования, будут названы издержками от потери одного
требования. Когда же нам не будет важна разница между
издержками от потери требования, то мы просто будем
называть их издержками дефицита запасов.

1.13] ВЫБОР СТРАТЕГИИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ 37
1.12. Издержки, связанные с введением
информационной системы
Для того чтобы использовать ту или иную стратегию
функционирования, в складской системе нужно организовать
сбор информации, необходимой для принятия решения.
Издержки по сбору информации будут зависеть от
используемой в системе стратегии функционирования. Эти издержки
включают расходы на непрерывную корректировку с
помощью вычислительной машины ведомостей спроса и
предложений, стоимость учета фактических запасов, расходы по
прогнозированию ожидаемого спроса и т. д. Учет подобных
издержек в математических моделях будет рассмотрен далее.
1.13. Выбор стратегии функционирования
Цель разработки математической модели складской
системы состоит в выборе с ее помощью приемлемой
стратегии функционирования. Обычно пытаются найти такую
стратегию функционирования, которая обеспечивает наибольшую
возможную прибыль или минимизирует возможные издержки.
Другими словами, критерием выбора стратегии
функционирования является максимум прибыли или минимум издержек.
Иногда задача выбора оптимальной стратегии так сложна,
что определение оптимальной стратегии или совсем
невозможно, или неэкономично. Тогда оптимизация проводится
для некоторого подмножества стратегий функционирования.
В ряде случаев математическая модель оказывается столь
сложной, что получить какие-либо результаты аналитически
чрезвычайно трудно. Тогда можно применить
вычислительную машину для моделирования системы. В общем случае
с помощью моделирования невозможно определить
оптимальную стратегию функционирования, а нахождение
оптимума для некоторого подмножества стратегий оказывается
исключительно трудной задачей. Самое большее, что можно
сделать с помощью моделирования — это исследовать
небольшое число стратегий функционирования и выбрать ту,
которая окажется наилучшей. Нами будут рассмотрены
только аналитические методы исследования математических
моделей, и потому моделирование как средство определе-

38 СТРУКТУРА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [1
ния наилучшей стратегии функционирования не будет
изучаться.
Выше упоминалось об определении оптимальной
стратегии функционирования как о задаче максимизации прибыли
или минимизации издержек. Однако не было оговорено,
о каких именно прибылях или издержках идет речь. Нужно
указать составляющие издержек, которые следует учесть,
период времени, на который они рассчитываются, и методы
учета факторов случайности, влияющих на условия задачи.
Конечно, прибыль всегда равна доходу минус издержки.
Однако прибыль или издержки не обязательно должны
представляться в виде, требуемом для отчетов, так как для
определения оптимальной стратегии функционирования
необходимо учитывать только те издержки, которые зависят от
ее выбора (переменные издержки). Издержки, не зависящие
от стратегии функционирования, включать не следует.
Нужно учесть только те издержки, которые перечислены
в параграфе 1.7. К ним относятся издержки на поставку
товаров, издержки на содержание запасов, издержки из-за
дефицита запасов и издержки по введению и эксплуатации
информационной системы. Напомним, что издержки по
обработке заявок потребителей включать не следует, поскольку
та их часть, которая зависит от выбора стратегии
функционирования, включена в издержки из-за дефицита. Имеется
еще одна причина, по которой прибыль или издержки будут
совсем не теми, какими они были бы, если бы подсчитыва-
лись по отчетным ведомостям. Издержки из-за дефицита
запасов и издержки содержания запасов включают в себя
компоненты, не являющиеся прямыми издержками, а
представляющие собой издержки из-за потери интереса или
косвенные издержки. Во многих моделях получаемый доход
не зависит от стратегии функционирования; при этом
максимизация прибыли эквивалентна минимизации переменных
издержек. В таких случаях будет решаться задача
минимизации издержек.
Рассмотрим теперь вопрос о периоде времени, в течение
которого следует подсчитывать прибыль или издержки. Для
моделей, в которых принимается, что запасы будут
храниться только в течение ограниченного времени (возможно
потому, что запас стареет или является скоропортящимся),
прибыль, которую нужно максимизировать, или издержки,

1.13] ВЫБОР СТРАТЕГИИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ 39
которые нужно минимизировать, являются прибылью или
издержками за все время, в течение которого товар
хранится на складе. Однако если это время достаточно велико,
то при определении прибыли или издержек следует
учитывать текущую ценность, поскольку в подобных ситуациях
требуется использовать текущую прибыль или издержки
(т. е. переоцененную прибыль или издержки). Максимизация
прибыли или минимизация издержек для конечного периода
времени будет применяться в тех моделях, когда средний
уровень спроса может меняться во времени. В таких случаях
можно рассматривать только конечный период времени
(горизонт планирования).
Для моделей, в которых процессы, порождаемые спросом
и временами поставок, от времени не зависят (это означает,
в частности, что и средняя интенсивность спроса постоянна),
а запасы могут храниться сколь угодно долго, удобно
считать, что складская система будет продолжать
функционировать и в будущем. Тогда логично максимизировать перео
цененную прибыль или минимизировать переоценненныс;
издержки за все будущее время. Отметим, что здесь
переоценка может быть использована, если прибыль или издержки
должны быть конечными. Однако имеется и другой
критерий. Согласно этому критерию стратегия> функционирования
определяется максимизацией средней годовой прибыли или
минимизацией средних годовых издержек. По определению,
средняя годовая прибыль $ и средние годовые издержки $
являются соответственно средними значениями прибыли и
издержек в год при усреднении за большой отрезок времени
и определяются, как показано ниже. Пусть Зй(?), 8@ —
общая прибыль и общие издержки (не переоцененные) за
период в ? лет. Тогда
ф = цт ЛШ-, я= am IttI. (i.3)
?->00 » ?-> оо »
Для моделей рассматриваемого типа будет удобнее
максимизировать среднюю годовую прибыль или минимизировать
средние годовые издержки, чем максимизировать текущую
стоимость всех будущих прибылей или минимизировать
текущую стоимость всех будущих издержек.
Было бы весьма плохо, если бы оптимизация средних
годовых норм прибыли или издержек на практике приводила

40 СТРУКТУРА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [1
к выбору такой стратегии функционирования, которая бы
полностью отличалась от стратегии, полученной при
оптимизации текущих стоимостей всех будущих прибылей или
издержек. К счастью, дело обстоит совсем не так. Для
практического диапазона значений средних годовых норм
прибыли и среднего времени между подачами заказов оба
подхода дают или одинаковые, или почти одинаковые
результаты. Легко видеть, что если ежегодные прибыль или
издержки были бы каждый год одинаковы, так что $Р, $
представляли бы соответственно прибыль и издержки для
каждого года, то тогда эти подходы дали бы одинаковые
результаты для любых значений средних годовых норм
прибыли или издержек. Пусть, например, g будет текущей
стоимостью всех будущих издержек, а Я — средними (а также
средними годовыми) издержками. Тогда, если / — средняя
годовая норма относительного прироста и а = A+/)"и
если производить переоценку из года в год, то
а ® Я
1 —a i
Таким образом, J и й отличаются только постоянным
множителем 1//, и потому минимизация одной величины
приводит к минимизации другой. Однако обычно фактическая
прибыль и фактические издержки будут из года в год
изменяться, иногда превышая, иногда не достигая того среднего
годового значения, которое было определено выше. Поэтому
можно, взяв достаточно высокую среднюю годовую норму
прироста, получить различные результаты при минимизации
средних годовых издержек и минимизации текущей
стоимости всех будущих издержек или при максимизации
средних годовых прибылей и максимизации текущей стоимости
всех будущих прибылей. Как указывалось выше, почти во
всех случаях, представляющих практический интерес, эти
различия будут пренебрежимо малы, если средняя годовая
норма прироста находится в соответствующих условиям
практики пределах. Следует все же заметить, что по мере
роста среднего времени между подачами заказов на
пополнение средняя годовая норма прироста приобретает все
большее значение. Если средняя годовая норма настолько
велика, что возникает различие в конечных результатах, то

1.13] ВЫБОР СТРАТЕГИИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ 41
следует проводить оптимизацию по критерию текущей
стоимости.
Остается выяснить вопрос о том, как учитывать
факторы случайности. В тех моделях, в которых
предполагается постоянство в течение всего времени средней
интенсивности спроса, будет производиться максимизация средней
годовой прибыли или минимизация средних годовых
издержек.
Чтобы определить среднюю годовую прибыль или
издержки при существенном влиянии случайных факторов,
необходимо использовать методы теории вероятностей. Эти
средние значения вычисляются как средние значения по
времени. Когда средняя интенсивность спроса изменяется
во времени, используется критерий максимума ожидаемой
прибыли или минимума ожидаемых издержек на некотором
отрезке времени. В подобных случаях не вполне ясно, что
следует использовать именно математические ожидания.
Было бы вполне разумным использовать математические
ожидания интересующих нас величин, если бы в системе
неоднократно возникали одни и те же условия, а
ожидаемые прибыль или издержки можно было бы рассматривать
как средние прибыль или издержки по тому времени, когда
в системе возникает определенная совокупность условий.
Однако часто в системе определенная совокупность
условий возникает лишь однажды и более не повторяется.
Основание для использования ожидаемых значений в подобных
случаях содержится в предложенной фон Нейманом и Мор-
генштерном теории полезности [7]. Не будем здесь пытаться
детально изложить эту теорию, а укажем лишь, что в ней
утверждается следующее. Если некто может
непротиворечиво выразить свое предпочтение различным ситуациям,
исходы которых нужно описать вероятностными методами,
то тогда существует некоторая функция, численные
значения которой связаны с каждым возможным исходом так, что
предпочтение какой-либо ситуации будет выражено
правильно, если выбор проводится по максимуму ожидаемого
значения этой функции. Числовая функция, упомянутая
выше, часто называется функцией полезности. В данной
книге всюду предполагается, что в любой задаче
управления запасами система имеет функцию полезности,
определенную для всех возможных исходов. Таким образом, система

42 СТРУКТУРА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [1
должна вести себя всегда так, чтобы ожидаемое значение
ее функции полезности достигало максимума.
Предположим далее, что полезность можно измерить
в денежном выражении и что она при соответствующем
определении ее составляющих представляет собой просто
ожидаемую прибыль за соответствующий период времени.
Именно в таком случае применение средней прибыли
оправдывается даже в тех ситуациях, где нельзя ожидать, что
данная совокупность условий может когда-либо встретиться
снова. В ряде случаев максимизация ожидаемой прибыли
эквивалентна минимизации ожидаемых издержек, и тогда
можно столь же успешно минимизировать ожидаемые
издержки на некотором интервале времени.
Мы уже отметили, что часто на практике бывает трудно
определить функции издержек из-за дефицита запасов. Чтобы
избежать решения такой задачи, можно использовать
максимизацию прибыли или минимизацию издержек без учета
издержек из-за дефицита запасов, основываясь на
предположении, что средняя доля времени, в течение которого в
системе нет запасов, не превышает заданной величины. Вместо
того чтобы определять характер издержек из-за дефицита
запасов, определяют верхний предел средней доли времени,
в течение которого в системе нет запасов. Далее будут
рассмотрены критерии подобного типа для выбора стратегий
функционирования. Будет изучена их связь с
соответствующими критериями для случаев, когда функция издержек
из-за дефицита запасов определена.
Прежде чем завершить эту вступительную главу, нужно
сказать несколько слов о том, какие размерности будут
применяться в дальнейшем при выводе выражений,
описывающих прибыль и издержки. Приведенные уравнения
справедливы для любой непротиворечивой системы единиц. Однако
всегда будет предполагаться, что денежной единицей
является доллар, а единицей времени —год. Конечно,
физически количество любого товара будет измеряться просто
в единицах, если не требуется определить эти единицы более
точно. Единицей, например, может в зависимости от задачи
быть ящик отверток, дюжина отверток или одна отвертка.
Нужно лишь помнить, что важно не то, как определена
единица, а чтобы эта единица последовательно
использовалась на протяжении всей задачи.

ЛИТЕРАТУРА
43
В заключение стоит заметить, что, хотя далее будут
рассмотрены вопросы оптимизации изучаемых математических
моделей, из этого вовсе не следует, что реальные системы,
описываемые оптимальной математической моделью, также
будут оптимальны. Для построения математической модели
следует принять ряд упрощений и допущений, и потому мы
можем рассчитывать самое большее на то, что применение
на практике оптимального решения даст «хорошую»
стратегию функционирования или стратегию, которая будет
лучше уже существующей. Действительно, в реальных
условиях практики обычно имеется столько сложных вопросов,
что определить, что же является на самом деле
оптимальной стратегией функционирования, чрезвычайно трудно.
ЛИТЕРАТУРА
1. Arrow К., Harris and J. Marschak, Optimal Inventory
Policy, Ecorometrica, XIX A951), pp. 250—272.
2. Arrow K., S. Karl in and H. Scarf, Studies in the
Mathematical Theory of Inventory and Production, Stanford, Calif.:
Stanford University Press, 1958.
3. Dvoretzky A., J. Kiefer and J. Wolfowitz, The
Inventory Problem: I. Case of Known Distribution of Demand; II, Case
of Unknown Distributions of Demand; Econometrica, XX A952),
pp. 187—222 and 450—466.
4. Dvoretzky A., J. Kiefer and J. Wolfwi t z, On the
Optimal Character of the (s, S) Policy in Inventory Theory,
Econometrica, XXI A953), pp. 586—596.
5. Harris F., Operations and Cost. (Factory Management Series),
Chicago: A. W. Shaw Co., 1915, pp. 48—52.
(». Raymond F. E., Quantity and Economy in Manufacture, New
York, McGraw-Hill Book Co., 1931.
7. Von Neumann J. and O. Morgenstern, Theory of Games
and Economic Behavior, Princeton, N. J.; Princeton University
Press, 1953.
8. W h i t i n T. W. The Theory of Inventory Management, Princeton
University Press, Princeton, N. J., 1953.

2
Детерминированные модели размера партии
и их обобщение
Порядок так прекрасен,
Над хаосом свое крыло
расправив,
Заставит простоту запеть.
Анна X. Бренч,
«Монах на кухне»
2.1. Введение
Рассмотрение складских систем начнем с изучения
нескольких самых простых моделей, в которых интенсивность
поступления требований предполагается известной и
постоянной во времени. Как уже говорилось выше, на практике
спрос почти никогда нельзя указать с определенностью;
вместо этого его следует описывать в вероятностных
терминах. Детерминированные модели все же представляют
определенный интерес, потому что они позволяют познакомиться
с методами анализа, используемыми в более сложных
системах. Кроме того, результаты, полученные с помощью этих
моделей, дают качественно правильные суждения о поведении
системы даже при отказе от гипотезы детерминированности
спроса.
2.2. Простейшая модель размера партии
при отсутствии дефицита
Рассмотрим задачу управления запасами данного типа на
одиночной базе (например, розничный склад) при условии,
что спрос детерминирован и интенсивность поступления
требований равна % единиц в год вне зависимости от времени.
Основная проблема для этой, впрочем, как и для любой
другой, складской системы состоит в определении того, когда
должен быть подан заказ на пополнение и каков должен быть
его размер. Предположим, что время поставки т постоянно
и не зависит от Я и размера заказа. Кроме того, будем пред-

2.2] МОДЕЛЬ РАЗМЕРА ПАРТИИ ПРИ ОТСУТСТВИИ ДЕФИЦИТА 45
полагать, что весь заказ поступает в виде одной партии,
т. е. никогда не бывает так, чтобы заказ разбивали на части,
поступающие не в одно время. Будем считать, что товар
может храниться неограниченное время и что он не
устаревает. Тогда, как указывалось в главе 1, удобно считать, что
система будет продолжать работать и в будущем. Поскольку
лит постоянны, а спрос и время поставки детерминированы,
то сразу же становится ясным, что если система
функционирует оптимально, то при подаче заказа каждый раз
заказывается одно и то же количество товара, а уровень
наличного запаса в момент поступления пополнения всегда один
и тот же*.
В данном параграфе исследуется система, в которой при
поступлении требований отсутствует дефицит. Подобное
ограничение вполне закономерно, потому что спрос неслучаен,
а время поставки постоянно. Удобно считать, что размер
требования в момент t является непрерывной функцией от t.
Позднее будет учтен дискретный характер требований.
Поскольку в системе всегда отсутствует дефицит и л
постоянна, годовой доход, получаемый от реализации запасов, тоже
постоянен и не зависит от стратегии функционирования.
Следовательно, минимизация издержек обеспечит отыскание
той же самой стратегии функционирования, что и
максимизация прибыли. Оптимальная стратегия функционирования
будет определяться из условия минимума средних годовых
издержек. При этом следует учитывать только те издержки,
которые зависят от стратегии функционирования.
Составляющие издержек были уже рассмотрены в главе 1. Нужно
также учитывать закупочную стоимость товара,
фиксированные издержки, связанные с подачей заказа (издержки подачи),
и издержки содержания запасов. Будем считать, что издержки,
связанные с работой системы обработки информации, не
зависят от объема заказа и точки подачи заказа. Поэтому их
не надо включать в выражение полных издержек.
Для определения средних годовых издержек следует
вычислить общие издержки за произвольный период ?, затем
разделить их на ? и, наконец, устремить ? к бесконечности.
* Строгое доказательство того, что оптимальная стратегия
функционирования имеет именно такую форму, может быть проведено
методами, изложенными в главе 8.

46 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
В пределе это дает требуемые средние годовые издержки.
Действительные же издержки по работе системы могут
меняться из года в год, потому что в действительности
число подаваемых заказов может изменяться. Лишь когда
период между моментами подачи заказов кратен целому числу
лет, фактические издержки постоянны каждый год.
Различие между средними годовыми издержками и
фактическими издержками системы за какой-то год будет показано
далее на конкретном примере. Методика определения средних
годовых издержек может на первый взгляд показаться
слишком сложной для простой модели. Однако она дает
возможность определить строго средние годовые издержки и
позволяет с помощью простой модели усвоить метод, который
окажется полезным для более сложных вероятностных
моделей. Кроме того, этот метод определения средних годовых
издержек является прямым, т. е. средние годовые издержки
определяются как предел, к которому стремится отношение
издержек за время ? к этому времени ? при ?—*оо.
Если каждый раз для пополнения заказа заказывается Q
единиц товара, то после поступления каждых Q требований
подается заказ на Q единиц товара. Таким образом, время Т
между последовательными заказами составляет T=Q/X.
Время между поставками пополнений тоже равно 7\ Будем
говорить, что система совершает один цикл работы за время
между моментами подачи двух последовательных заказов или
между получением двух последовательных пополнений, или,
в более общем виде, между любыми двумя моментами,
разделенными интервалом Т. В течение каждого цикла система
ведет себя в точности так же, как и в течение предыдущего
цикла, причем длина Цикла равна Т.
Пусть v будет наибольшим целым числом, меньшим или
равным ?/7\ Тогда за время ? будет иметь место v полных
циклов и, возможно, еще доля одного цикла, причем начало
отсчета времени несущественно. Поскольку, за цикл подается
в точности один заказ, число заказов, поданных за время ?,
будет равно v или v-\-\, если эта доля цикла достаточно
велика. Число поданных заказов может быть записано как
(?>/Т) + 8, где |е|< 1 (|е| — абсолютная величина е), или как
(A,?/Q) + s. Если стоимость подачи заказа равна Л, то
издержки на подачу заказов за время ? равны [(?/7) + е]Л,
а стоимость товара, заказанного за время ?, равна

2.2] МОДЕЛЬ РАЗМЕРА ПАРТИИ ПРИ ОТСУТСТВИИ ДЕФИЦИТА 47
[(^?/Q) + e]QC, если стоимость единицы товара при подаче
заказов на партии из Q единиц равна С.
Пусть наличный запас в системе в момент поставки
пополнения равен s. Тогда сразу же после поставки наличный
запас составит s-\-Q. Следовательно, издержки содержания
запаса за цикл составят
т
IC§(Q + s-Xt)dt = Ic[(Q+s)T-^] =/CT[!• + *], B.1)
О
так как в любой момент t с начала цикла, которое для
удобства отсчета является моментом поставки заказанного
товара, наличный запас равен Q + s — %ty а издержки за
интервал (/, t + dt) составят 1С (Q -\-s — %t) dt. Суммируя
элементарные издержки по всему циклу и используя
соотношение T = Q/X, получим уравнение B.1). За время ? имеется
tF=(i)-6, 0<g<l,
полных циклов. Издержки по содержанию запасов за период
времени длительности ? равны
lC7-[f-6][|+ ,]+„,
где через г) обозначены издержки содержания за долю цикла
?—vT. Отметим, что т) меньше издержек содержания
запасов за один цикл. Общие переменные издержки* за период
времени длительности ? тогда составят
[AS + 8](?C+ [^ + е]л + /СГ [|-е] [! + *] +т]. B.2)
Средние годовые издержки йс за период ? получим
делением общих издержек на ?. Это дает
St = *C+ !f +±A + f + IC [% + •]-
* To есть зависящие от стратегии функционирования. В
дальнейшем будем говорить просто «издержки». (Прим. перев.)

48 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
Для определения средних годовых издержек ? устремляют
к бесконечности. Поэтому средние годовые издержки
я=ьс+Ал+/с[5.+/|. B.3)
Формула для St может также быть получена с помощью
следующих простых рассуждений. Так как за год поступает
X требований и так как все требования удовлетворяются,
то в среднем за год должно быть поставлено X единиц
товара на общую стоимость ХС. Подобным образом, если заказ
подается на Q единиц, то число подаваемых за год заказов
должно составлять в среднем X/Q. Фиксированные издержки
подачи заказов равны при этом XA/Q. Кроме того, по условию,
издержки содержания единицы товара пропорциональны
времени хранения. Следовательно, издержки содержания за год
должны быть в 1С раз больше среднего объема запаса.
Средний объем запаса равен половине суммы максимального
запаса Q + s и минимального запаса s, т. е. (Q/2)-\-s. Сумма
этих трех составляющих дает выражение B.3).
Вначале (вплоть до параграфа 2.10) ограничимся
рассмотрением ситуаций, когда стоимость единицы товара не
зависит от количества заказываемого товара. Тогда ХС не
зависит от Q и от точки заказа. Поэтому ХС не следует
включать в выражение переменных издержек. Отсюда
следует, что средние годовые издержки, представляющие собой
сумму издержек, связанных с заказами и содержанием запасов,
Я = Ал + /с[| + *]. B.4)
В B.3) и B.4) используется один и тот же символ Я1 на том
основании, что им обозначают средние годовые издержки.
Выражение для ^ не включает издержек, которые не зависят
от переменных Q и s, характеризующих работу систем.
Из уравнения B.4) видно, что единственным членом,
который зависит от точки заказа, является ICs. Этот член
минимален при s —0, т. е. при условии, что система не
имеет запасов к моменту поставки пополнения. Условие s = 0
позволяет сразу же определить оптимальное значение точки
заказа для любого заданного значения Q. Пусть т —
наибольшее целое число, меньшее или равное т/Г, где т—время
поставки. Тогда если заказ подается, когда наличный запас

2.2] МОДЕЛЬ РАЗМЕРА ПАРТИИ ПРИ ОТСУТСТВИИ ДЕФИЦИТА 49
достигает уровня rh
rh = X(x—mT) = to—mQ = \i—mQ, B.5)
где \х = Хх — объем спроса за время поставки (т. е. число
затребованных единиц товара с момента подачи заказа и до
момента поставки), то к моменту поставки наличный запас
будет равен нулю. Число гн называется точкой заказа.
Каждый раз, когда наличный запас в системе достигает
уровня, равного гл, подается заказ на Q единиц, как
показано графически на рис. 2.1.
-Е ^| U Г »-
Один цикл
Рис. 2.1.
Остается определить оптимальное значение Q. Мы
видели, что оптимальное значение 5 равно нулю при любом Q.
Таким образом, средние годовые издержки в сущности
зависят только от одной переменной Q, и поэтому можно
записать, что
К=±А + !^. B.6)
Издержки Я, оптимизированные по s, будут всегда
обозначаться через К. (Нужно найти такое значение Q > О,
которое минимизирует B.6).) Напомним, что спрос считается
непрерывной переменной. Поэтому и Q можно рассматривать
как непрерывную переменную. Известно, что если
оптимальное значение Q (обозначим его через Q* и будем в
дальнейшем обозначать все оптимальные значения звездочкой)
находится в интервале 0 <Q<oo, то тогда Q* должно

50 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
удовлетворять уравнению
dj?
dQ
dK-o = —тА+'4' B-7>
откуда
Следует отметить, что К=оо при Q = 0 и при Q = oo и что
К < оо для всех других Q > 0. Кроме того, функция К
дифференцируема по Q для всех Q > 0. Таким образом,
оптимальное значение Q должно удовлетворять B.7) и,
следовательно, B.8). Однако уравнение B.7) имеет только одно
решение при Q > 0. Следовательно, формула B.8) дает Q,
которое соответствует абсолютному минимуму К по Q
при Q > 0.
В этом можно убедиться и иначе. Вспомним, что если Q*
удовлетворяет уравнению dK/dQ = Q и если d2K/dQ2>0
в точке Q*, то Q* дает относительный минимум К по Q.
Однако, если d2K/dQ2 > 0 для всех значений Q из
рассматриваемой области, а не только для Q*, то тогда Q* является
точкой абсолютного минимума К по Q. Далее
^=|?>0 B.9)
для всех Q > 0, и, следовательно, Q, найденное из
уравнения B.7), доставляет абсолютный минимум К. Уравнение
B.8) в литературе известно под многими названиями. Иногда
его называют формулой размера партии, экономичной
величиной заказа, формулой квадратного корня, или формулой
Уилсона. Мы будем пользоваться несколькими из этих
названий. Уравнение B.8) иногда называют формулой Харриса,
потому что, как указывалось в главе 1, Харрис вроде бы
первым вывел ее. Так как выражение с квадратным корнем
B.8) часто будет встречаться при дальнейшем изложении,
то обозначим его через Qw. Где бы далее ни встречалось Qw,
оно всегда будет относиться к формуле B.8).
Теперь задача управления системой решена. Точка
заказа, получаемая из B.5) при подстановке Q* вместо Q,
говорит о том, когда следует подавать заказ. Объем заказа
определяется из выражения B.8).

2.3] ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МОДЕЛИ. ПРИМЕР 51
2.3. Дополнительные свойства модели. Пример
Изучим подробнее свойства модели из предыдущего
раздела и ее оптимальную стратегию функционирования. Если
представить графически зависимость издержек содержания
запасов, стоимости заказа и их
суммы К от Q, то они имеют
вид, как показано на рис 2.2.
Минимум К достигается
только при одном значении
Q, причем d2K/dQ2 > 0 для
всех Q > 0. Следует также
отметить, что в точке Q = Q*
тангенс угла наклона кривой
стоимости заказа на
пополнение равен по величине и
обратен по знаку тангенсу
угла наклона кривой
издержек содержания. В задаче
2.2 нужно показать, что в
этом частном случае обе кривые
в этой точке.
При использовании оптимальной стратегии управления
запасами средний уровень запасов в системе будет равен
а
Рис. 2.2.
пересекаются
а
именно
2 V :
ХА
2/С
B.10)
Наличный запас колеблется между Q* и 0 и в среднем
равен Q*/2. Уравнение B.10) указывает на тот весьма
интересный факт, что средний уровень запаса в системе (а также
максимальный уровень и Q*) пропорционален корню
квадратному от интенсивности поступления требований, а не самой
интенсивности поступления требований. Аналогично средний
уровень запасов обратно пропорционален корню квадратному
от стоимости, и потому средний уровень запасов более
дорогих изделий должен быть при прочих равных условиях
ниже, чем более дешевых, т. е. при выборе стратегии
управления запасами следует дифференцированно подходить к
изделиям разной стоимости. Это, например, означает, что если
имеются различные по стоимости товары, спрос на которые
существенно различен, то условие, при котором средний

52 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
уровень запасов каждого типа товаров достаточен для
удовлетворения спроса в течение k недель (где k не зависит от
типа товаров), не будет оптимальным.
Средние годовые издержки К* на поставку и содержание
запаса при оптимальной стратегии поставок
р.иИ'Ч?
-С
\2кА,
+ ¦
''2Ы\1/г
[1С )
iu/cY»
+ (
~ы/с
1/2
= V2kAIC=Kw. B.11)
Эти расходы К* также пропорциональны А,1/2. Выражение
под знаком корня в B.11) будет в дальнейшем часто
встречаться, и поэтому оно всегда будет обозначаться через Kw.
Сравним К* с Ку когда Q отличается от Q*. Для этого
вычислим К/К* в зависимости от Q/Q*. Тогда
К X
/С*
-ЛBЫ1С)
-1/2
B.12)
Заметим, что выражение К/К* не зависит от параметров
системы. График функции B.12) показан на рис. 2.3.
Интересно, что в окрестности оптимального значения Q кривая
К/К* имеет довольно
плоскую форму. Если
действительное значение
Q сильно отличается от
оптимального, скажем, в
любом направлении на
200%, то издержки
увеличиваются при этом
только на 25%.
Подобный анализ показывает,
насколько реальные
издержки будут отличаться
от оптимальных, если
такие параметры как % или
А измерены недостаточно
точно. Анализ чувствительности будет рассмотрен далее в
задачах.
Если время поставки меньше длительности одного цикла,
то одновременно будет существовать не более одного не-
Рис. 2.3.

2.3] ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МОДЕЛИ. ПРИМЕР 53
выполненного заказа. Более того, никогда не будет
существовать невыполненных заказов в момент, предшествующий
подаче заказа (т. е. непосредственно перед тем, как
достигается точка заказа). С другой стороны, если
предположить, что время поставки больше длительности одного
цикла, то тогда всегда будет существовать по крайней
мере один невыполненный заказ. Чтобы наглядно
представить ситуацию, для которой время поставки больше
длительности цикла, удобно использовать диаграмму,
показанную на рис. 2.4, где время поставки в 3,5 раза больше
1
° Подача Постабж ВРеш
заказа заиаза
Рис. 2.4.
длительности цикла. Из рис. 2.4 видно, что всегда имеется
3 или 4 невыполненных заказа (после периода длительностью
в 4 цикла). За первую половину этого периода имеется три
невыполненных заказа, а на протяжении другой половины —
четыре. Поэтому среднее число невыполненных заказов равно
3,5. Отсюда следует, что среднее количество заказанного
товара составляет 3,5Q, т. е. в точности равно |х—спросу
за время поставки. Таким образом, в данном конкретном
случае средний объем заказанного товара равен спросу за
время поставки. В задаче 2.10 читателю предлагается
доказать, что среднее количество заказанного товара равно
спросу за время поставки для произвольного времени
поставки т. На рис. 2.4 количество заказанного товара
непосредственно перед точкой заказа равно 3Q, а сразу же
после нее—4Q. Вообще говоря, количество заказанного
товара непосредственно перед достижением точки заказа
равно mQ (где т—наибольшее целое число, меньшее т/Г),
а сразу же после нее—(m-\-\)Q. В частном случае, когда
т/Г равно целому числу т, всегда имеется точно т
невыполненных заказов на пополнение.

54 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИЙ [2
Часто бывает полезно учесть сумму наличного запаса и
объема заказов. В точке заказа наличный запас равен
fi—mQ, а при подаче заказа на пополнение указанная сумма
увеличивается на Q единиц. Таким образом, сумма
наличного и заказанного товара колеблется от [А до \i-\-Q.
Соотношение между наличным запасом и суммой наличного и
аказанного товара показана на рис. 2.5. Наличный запас
Наличный запас
плюс заказы
на пополнение
Наличный запас
Рис. 2.5.
достигает минимума, равного 0, непосредственно перед
поставкой пополнения, а максимальной величины Q сразу
же после поставки. Сумма наличного и заказанного товара
достигает минимума \i непосредственно перед подачей
заказа и максимума [A + Q непосредственно после подачи
заказа.
В рассматриваемой системе наличный запас однозначно
определяет сумму наличного и заказанного товара, и
наоборот, сумма наличного и заказанного товара однозначно
определяет наличный запас*. Поэтому можно задавать точку
заказа, используя сумму наличного запаса и заказанного
товара. Эту точку заказа будем обозначать через г, а г = \х
(\х — спрос за время поставки). Таким образом, когда сумма
наличного запаса и заказанного товара достигает |л, подается
* Исключение составляют точка заказа, где кривая суммы
наличного и заказанного товара имеет разрыв, и точки, соответствующие
моментам поставки пополнения, когда кривая наличного запаса имеет
разрыв.

2.3] ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МОДЕЛИ. ПРИМЕР 55
заказ на пополнение. Ниже, когда будет учтен случайный
характер спроса, не всегда можно правильно определить
точку заказа, основываясь на наличном запасе. Точку заказа
следует определять по сумме наличного запаса и
заказанного товара (или, точнее говоря, следует определить сумму
наличного запаса и заказанного товара минус учтенные
требования). Лишь в некоторых частных случаях точку
заказа можно определить по наличному запасу.
Пример. Рассмотрим складскую систему со следующими
параметрами: А, = 600 единиц запаса/год, Л =8 долларов, С = 0,30
доллара, / = 0,20, т=1 год. Для большей конкретности можно
предположить, что дешевый товар хранится на складе универсального
магазина. Высокая фиксированная стоимость заказа объясняется
тем, что товар поставляется из Европы. Этим же объясняется и
продолжительность поставки.
Оптимальный размер заказа будет
м ,/2ЯЛГ -|/ 2-600.8 Antx -
Q*=V 7с- = Ко^оазо=400^
Время между подачами заказов (длина цикла)
г-=т = ш = 2/3годв-
Спрос за время поставки составляет
li = Хт = 600 ед.
Точка заказа, определяемая на основании суммы наличного запаса
и заказанного товара, равна тогда г* = 600 единиц. Для вычисления
точки заказа по наличному запасу заметим сначала, что т/Т = 3/2.
Наибольшее целое число, меньшее чем т/Г, будет 1. Таким образом,
Xh = \i— Q*=200 ед.
Минимальные средние годовые издержки на заказы и
содержание запасов равны
/С*= У2КАТС = V2-600-8-0,06 = 24 долл.
Годовые расходы на собственно изделия составляют
А,С=180 долл.
Таким образом, издержки, связанные с заказами и содержанием,
составляют небольшую долю общих издержек, включающих также
и стоимость самих изделий.
Фактические издержки по поставкам и содержанию меняются
из года в год. В этом можно убедиться на рис. 2.6. Предположим,
что отсчет времени проводится с момента, следующего сразу же
после подачи заказа. Тогда за первый год подается один заказ, а
за второй — два. Затем описанная ситуация повторяется. За первый

56 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
год фактические издержки системы составляют 8 долларов на заказ
и 10 долларов за содержание, что в сумме равно 18 долларам.
1гоЗ-~*\ вРеш
Рис. 2.6.
За второй год фактические издержки равны 16 долларам на заказ
и 14 за содержание, что составляет в сумме 30 долларов. В среднем
суммарные издержки равны 24 доллара, что и было получено выше
при вычислении /С*.
2.4. Учет дискретности спроса
В предыдущих разделах объем спроса считался
непрерывной величиной. В большинстве случаев на практике для
изученной нами простой модели значение Q* достаточно
велико, и потому можно было считать объем спроса
непрерывной величиной и округлять Q* до ближайшего целого
числа, поскольку заказывать нужно только целое число
единиц товара. Интересно изучить случай, когда считается,
что требования дискретны, а на Q* налагается ограничение
положительности и целочисленности. Для конкретности
будем считать, что каждый раз подается требование на одну
единицу товара и время между подачей требований ts
известно достоверно. Тогда % = \/ts.
Как и при непрерывном спросе, наличный запас при
поставке заказа должен быть равен нулю. Теперь, однако,
это условие не определяет однозначно момент подачи заказа,
так как требования поступают через интервалы
длительностью ts. Однако нет необходимости, чтобы заказ
поставлялся раньше момента поступления требования, ибо иначе
издержки увеличатся. Следовательно, заказ должен
поставляться через ts после поступления требования, которое

2.4] УЧЕТ ДИСКРЕТНОСТИ СПРОСА 57
снизило наличный запас до нуля. В течение каждого цикла
на протяжении времени ts наличный запас будет равен нулю.
Сразу же после поставки пополнения поступает требование
на одну единицу товара. Поэтому максимальный уровень
запаса равен Q—1, а минимальный—нулю.
Издержки содержания за один цикл*
ICts
[Q-\+Q-2+...+\+Q]=IC^(^=±y B.13)
Среднее число циклов за год, как и ранее, равно %/Q, так
что издержки содержания за год составляют y/C(Q—1).
Средние годовые расходы по поставкам не изменяются и
равны XA/Q. Таким образом, средние годовые издержки по
поставкам и содержанию запасов для заданного значения
Q ^ 1 составляют
K(Q) = ±A + ±IC(Q-\). B.14)
Если Q* является наименьшим значением Q,
минимизирующим K(Q)f причем Q*—целое число, то при Q*^2
необходимо, чтобы
*T(Q*)-A:(Q*-1)<0, /C(Q*+1)-AT(Q*)>0. B.15)
Оптимальным значением Q* является тогда наибольшее Q,
для которого
AK(Q) = K(Q)-K(Q-\)<0
или
Однако для Q > 1
AK(Q) = bA [±-^y +4./С--5#_) + -5./С-
= 2QW=IJ[-2^+/a3(Q-1)] <0-
* Напомним читателю, что

58 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
Таким образом, Q* является наибольшим положительным
целым значением Q, для которого
Q(Q-1)<7j?. B-16)
Когда единицей по сравнению с Q можно пренебречь и когда
принимается, что Q может меняться непрерывно, то
получается уравнение B.8). В рассмотренном нами случае с
дискретными величинами Q* может принимать не одно значение.
Если во втором условии B.15) соблюдается строгое
равенство, то тогда оптимальными значениями будут и Q*, и
Q4-1.
Определение точки заказа несколько усложняется по
сравнению со случаем непрерывного спроса. Если Т
означает длительность цикла, т — время поставки, a m —
наибольшее целое число, меньшее или равное т/Г, то тогда
выражение ?=т—тТ представляет собой время от момента,
когда следует подать заказ, до момента поставки
очередного заказа. Если m означает наибольшее целое число,
меньшее или равное t/tS9 то тогда заказ должен быть подан
в момент (\~\-m)ts — t, когда наличный запас уменьшится
до величины m (покажите это графически). Аналогично
можно показать, что если точку заказа определять по сумме
наличного запаса и заказанного товара, то заказ нужно
подавать в момент (m+\)ts—т, когда этот суммарный
уровень снижается до т, где т—наибольшее целое число,
меньшее или равное x/ts.
2.5. Случай, когда неудовлетворенные требования
ставятся на учет
В модели из параграфа 2.2 требовалось, чтобы все
поступающие требования удовлетворялись немедленно, т. е.
чтобы система никогда не испытывала дефицита запасов.
Теперь рассмотрим более общий случай, когда в конце
концов все требования удовлетворяются. Здесь допускается,
чтобы при поступлении некоторых требований в системе
отсутствовал запас. В таком случае требования,
поступающие при дефиците запаса в системе, учитываются до
момента поставки пополнения. Предполагается, что при по-

2.5] УЧЕТ НЕУДОВЛЕТВОРЕННЫХ ТРЕБОВАНИЙ 59
ставке пополнения в первую очередь удовлетворяются все
учтенные требования, а затем остальные.
Очевидно, что если бы дефицит в системе не приводил
бы к дополнительным издержкам, связанным с учетом, то
оптимально было бы не иметь вообще наличного запаса.
С другой стороны, если издержки учета достаточно велики,
то вообще не следует допускать дефицита. При
промежуточных значениях издержек учета оптимально допустить
Рис. 2.7.
дефицит в конце цикла. Примем, что издержки учета
описываются выражением я + я?, где t—продолжительность
учета. Таким образом, эти издержки включают постоянную
составляющую я и составляющую я/, пропорциональную
продолжительности учета.
Пусть 5 означает число требований, зарегистрированных
к моменту поставки пополнения Q единиц (s —
неотрицательное число). Тогда после удовлетворения всех учтенных
требований наличный запас составит Q—s, так как 5
единиц товара нужно для удовлетворения учтенных
требований. На Q — s единиц требования поступят в течение
времени T1 = (Q — s)/X. Поэтому продолжительность времени
в течение одного цикла, когда требования в связи с
дефицитом ставятся на учет, составит Т2 = Т—Тг. Поведение
такой системы показано графически на рис. 2.7*. Издержки
* Отметим, что минимальное значение Q — s равно нулю.
Издержки нельзя уменьшить, если сразу же после поставки
пополнения будут оставаться учтенные требования. Таким образом, для
заданного Qs должно находиться в интервале O^s^Q.

60 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
по содержанию запасов за цикл составят*
Тг
1С J (Q-s-Xt)dt = ^(Q-s)K
о
Этот результат непосредственно следует из рис. 2.7, так
как (Q—sJ/2a. представляет собой площадь треугольника /.
Как и раньше, в течение года имеется в среднем Я/Q
циклов, так что средние годовые издержки содержания
запасов равны IC(Q—sJ/2Q. Издержки учета за цикл равны
ns + л \ ktdt = ns-\-Yn*'Tl = ^s + 'nT",
о
поскольку
т -—
Средние годовые издержки учета тогда равны
-?-[яхм4«"].
Средние годовые издержки й, которые включают издержки
заказа, содержания запаса и учета требований,
®=±A + ±(Q-s)*+±[nXs + ±ns*]. B.17)
Здесь й является функцией Q и s. Нужно найти
абсолютный минимум й в области 0<Q<oo, O^s. Ясно, что
при любом конечном s $ бесконечно, если Q = 0 или Q=co.
Следовательно, оптимальное значение Q, т. е. Q* должно
удовлетворять неравенству 0<Q*<oo. Если оптимальное
значение s, т. е. s* удовлетворяет неравенству 0<s*< со,
то, поскольку $—функция, дифференцируемая по всей
интересующей нас области, Q* и s* должны удовлетворять
уравнениям
Щ =§ = 0. B.18)
Как будет видно в дальнейшем, оптимальное решение может
иногда и не удовлетворять B.18). В некоторых случаях
оптимум может находиться на границах.
* Начиная с этого момента и до конца главы, спрос Q и s
будут считаться непрерывными переменными.

2.5] УЧ?Т НЕУДОВЛЕТВОРЕННЫХ ТРЕБОВАНИЙ 61
Рассмотрим теперь решение уравнения B.18). Из B.17)
следует, что
Щ=~$i[bA + ±IC(Q-sr + «Xs + ±h*\ +
+ '-%(Q-s) = 0 B.19)
ИЛИ
—L(Q—s)*' + Q(Q—s) = ^[ы+я^ + 1я*2], B.20)
откуда
Тд2 = 7^[Ы + я^ + Т^2] +Т*2' B-21)
Далее заметим, что
™=-!C.(Q-s) + ^n%+±ns = 0 B.22)
или
«Hz+o+rcb <223>
Чтобы получить явные выражения для Q и s через
параметры системы, подставим сначала выражение Q из B.23)
в B.21). После преобразований получим
[я2 +я/С] s2 + 27mXs + (яХJ—2ХА1С = 0. B.24)
При я = 0 уравнение B.24) преобразуется к виду (п%J =
= 2L4/C. Последнее уравнение в общем случае неверно.
В общем случае при я = 0 не существует такого значения
s, которое бы удовлетворяло неравенству 0<s<oo.
Другими словами, решение находится на границе, и 5 = 0 или
s = oo. Когда (яЯ,J = 2L4/C, любое значение 5 в этом
интервале удовлетворяет уравнению B.24).
Если я = 0, то легко установить, какое из значений 5
(s — Q или s--oo) будет оптимальным. Надо только
сравнить соответствующие издержки, оптимизированные по Q.
Когда s* = 0, то уравнение B.17) сводится к B.6),
оптимальное значение Q определяется из уравнения B.8) для
Qw, а минимальные издержки равны Kw. Когда s*=oo, то
заказ не подается вовсе, а минимальные издержки за год

62 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
равны пХ. Это означает, что на практике вообще не
следует использовать складскую систему и что лучше из года
в год расходовать средства на учет. Если
я>
/цр-
б или пХ > Ки
B.25)
то оптимальным решением будет s* = О, a Q* определяется
из уравнения B.8); если же я < 6, то не следует вообще
использовать складскую систему. Когда я = б, то
оптимальным будет любое значение s, удовлетворяющее неравенству
0^5^оо (конечно, оптимальное значение Q зависит от
выбранного значения s). Мы показали, что, когда я = б,
издержки одинаковы при s — О и s==oo. В задаче 2.18 нужно
показать, что те же издержки будут иметь место и при
любом другом значении s.
Рассмотрим теперь случай, кога я Ф 0. При этом, решая
квадратное уравнение B.24), получим
52=(л+/С)
м-
пХ +
BXAIC) (\ +J4p) — ^(яЬJ]7* } .
B.26)
Чтобы Q выразить явно, исключим s из уравнения B.21) с
помощью B.23). Тогда
«¦-и
%А
nXIC
л + IC n + ICl
<«*)' ]
+
+(й+0
1С
лХ
Ы+IC n+ICi
Таким образом, оптимальное значение Q* равно
0* =
я + /С
2ХА
(яА,J
7С—/C(S+/C)J > я*0- <2'27>
В случае, если значение 5, определенное из B.26), будет
отрицательным, оптимальное s находится на границе, т. е.
б'* = 0. В задаче 2.62 нужно доказать, что если nX^Kw,
то s* = 0. Когда 3X^=0, s* не может быть бесконечно
большим (почему?). Уравнение B.27) справедливо только в том
случае, если s, вычисленное из B.26), принимает
положительное значение; в противном случае Q* = QW. Более того,

2.5] УЧЕТ НЕУДОВЛЕТВОРЕННЫХ ТРЕБОВАНИЙ 63
если значение 5, полученное из B.26), положительно, то
оно является оптимальным, т. е. s = s* не лежит на
границе 5 = 0. Чтобы доказать это, напомним, что при 5 = 0
О* = Qw\ однако дК/ds < 0 при 5 = 0, когда Q = QW и
АГда>яА,, так что 5 = 0 не может быть оптимальным, если
Kw > яХ.
Когда я = 0, уравнения B.26) и B.27) имеют
следующий вид:
Н^Ы1/,=к^(к+1С)]~'/г B28)
и
*=[ЦгТV™=Ч^Т'- B29)
Из B.28) видно, что, когда я = 0, 5*>0, если только я
конечно, т. е. при оптимальных условиях функционирования
всегда будет существовать некоторое количество учтенных
требований. Объясните этот результат.
В принципе точку заказа для данной модели определяют
таким же образом, как и в параграфе 2.3. Однако нужно
по-новому определить понятие «уровень запаса». Понятие
«наличный запас» теперь уже не годится, потому что в
момент подачи заказа наличный запас может отсутствовать,
а учтенные требования могут быть. Удобно заменить
наличный запас разностью наличного запаса и объема учтенных
требований, которая часто будет называться чистым
запасом*. Если имеется наличный запас, то учтенных
требований не будет, и чистый запас будет положительным. Если
имеются учтенные требования, то не будет наличного запаса,
а чистый запас будет отрицательным. При использовании
понятия чистого запаса точка заказа будет равна г? = [г —
— mQ*—5*, где, как и прежде, m означает наибольшее
целое число, меньшее или равное т/Г. rJJ может принимать
отрицательные значения. С другой стороны, это значит, что
* Некоторые авторы принимают, что наличный запас может быть
отрицательным, что указывает на наличие учтенных требований. При
таком условии нет необходимости вводить понятие «чистый запас».
Однако мы предпочитаем придерживаться правила, повсеместно
принятого в промышленности и военных организациях, что наличный запас
принимает неотрицательные значения.

64 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
заказ подается в момент, когда объем учтенных
требований достигает величины jrj|. Сумма наличного запаса и
заказанного товара заменяется теперь суммой наличного
запаса и заказанного товара минус объем учтенных
требований. Часто эта сумма именуется фиктивным уровнем
запасов в системе. При использовании фиктивного уровня
запасов точка заказа равна г* = |х—s*, причем г* может
принимать также отрицательные значения.
Пример. Рассмотрим систему управления запасами со
следующими характеристиками: Я = 200 единиц/год, /=0,20, л = 0,20 дол-
лара/ед, т=9 месяцев, С = 25 долларов, Л = 5 долларов, я = 10
долларов на единицу за год. Из B.6) имеем
s* = [10+5]-i{-40+ [2.200.25.(l +4)—А'1600]Л} =
= 5,27 « 5 ед.
Тогда из B.27) следует, что
«-('+тГ[(,-т!:!)-йа*-»-»*
Время между поставками
т* = ш - °'12 "*•
Спрос за время поставки равен ц = 0,75-200 =150 единиц. Таким
образом, исходя из фиктивного уровня запасов системы, получаем
точку заказа
г* = (г— s*= 150—5= 145ед.
Чтобы определить точку заказа гл, исходя из уровня чистого запаса,
заметим, что m —наибольшее целое число, меньшее т/Г, равно 6.
Следовательно,
га = (а — mQ*—s*= 150 — 144 —5 = led.
2.6. Случай потери неудовлетворенных требований
В предыдущем разделе предполагалось, что все
требования, поступающие в систему, когда в ней отсутствует
запас, ставятся на учет. Теперь будет рассмотрен случай
потери требований, т. е. случай, когда требования,
поступающие в момент дефицита запаса, навсегда теряются.
Если требования, поступающие при отсутствии запаса,
теряются, то утверждение, что годовой доход не зависит от

2.6] СЛУЧАЙ ПОТЕРИ НЕУДОВЛЕТВОРЕННЫХ ТРЕБОВАНИЙ 65
стратегии функционирования, становится неверным. Доход
будет зависеть от продолжительности состояния дефицита
в системе и, следовательно, от стратегии функционирования.
Таким образом, мы не можем сразу же заключить, что
максимизация средней годовой прибыли приведет к той же
стратегии функционирования, что и минимизация средних годовых
издержек. Однако мы покажем, что при
соответствующем определении издержек из-за дефицита запасов
минимизация средних годовых издержек дает те же результаты,
что и максимизация средней годовой прибыли. Пусть 5
означает продажную стоимость единицы товара ,(цену), $ —
среднюю годовую прибыль, дх0 — издержки из-за потери
требования без учета потерянной прибыли, а С—единичную
стоимость (цену) товара. Тогда если /0 означает долю
времени, в течение которого в системе наблюдается дефицит,
то средняя годовая прибыль равна
^5 = ^,E—С)(\—/0) — я0^/о— расходы на заказы
и содержание — X (S—С) — (зт0 -f 5—С) Х/0—расходы
на заказы и содержание.
Ясно, что % {S — С) представляет собой годовую прибыль,
которая была бы получена, если бы в системе всегда
отсутствовал дефицит. Эта прибыль не зависит от стратегии
функционирования. Таким образом, если записать, что я~
= я0 + 5—С, где я—издержки из-за потери требований,
включая потерянную прибыль, и если при определении
средних годовых издержек принять, что я представляет собой
издержки из-за потерь требований, то тогда минимизация
средних годовых издержек даст ту же стратегию
функционирования, что и максимизация средней годовой прибыли.
Так как эти два выражения отличаются только на X(S—С),
которое не зависит от стратегии функционирования,
поступим именно так. Поэтому можно снова определить
оптимальные значения Q и г из условия минимума средних
годовых издержек, представляющих сумму расходов на подачу
заказов, издержек содержания и издержек из-за отсутствия
запаса на складе.
Пусть Т означает время, в течение которого требования
для одного из циклов теряются. Для любого размера заказа
Q длина цикла равна T = (Q/X)-\-T. Следовательно, средние
Дж. Хедли, Т. Уайтин

66 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
годовые издержки
* м+?-«Ц+
лХ
Q+Xf 2 Q + ^f Q + Xf
XT,
B.30)
так как в среднем за год происходит X/(Q + XT) циклов и
издержки на содержание запасов за цикл равны ICQ2/2X,
а издержки из-за потерь требований за цикл равны пХТ.
Графически поведение системы показано на рис. 2.8.
Рис. 2.8.
Необходимое условие того, чтобы 7* и Q* были
оптимальными, состоит в том, чтобы они удовлетворяли
следующим уравнениям:
^4 = 0=— (Q + Xf)~2 \x2A+^Q2+nX*f~\ +
+ (Q + XT)~lnX2=0
или, другими словами,
яЬ=^ + Т«
B.31)
и
или
= 0= -[Q+X7*]-2 hA+^Qi+nXif\ +ICQ[Q+Kfy
-XA + '-^Cy—nWf+ICQKf^ 0
B.32)
при условии, что
0<7»<оо, 0<Q*<oo.

2.6] СЛУЧАЙ ПОТЕРИ НЕУДОВЛЕТВОРЕННЫХ ТРЕБОВАНИЙ 67
Решая B.31) относительно Q, получаем
«-й4(й)'-"Г- <2-33»
Если (пХJ < 2XAIC, то не существует действительных
значений Q, удовлетворяющих B.31). Если (л%J = 2ХА1С, то
существует единственное положительное значение Q,
которое удовлетворяет B.31). Когда (пХJ > 2*кА1С, то имеются
два положительных значения Q, которые удовлетворяют
B.31), поскольку в этом случае
7с>[{7с)-1с\ ' <2'34)
В случае, если такого действительного значения Q,
которое бы удовлетворяло B.31), не существует, то нет и такого
Г, которое, удовлетворяя неравенству 0< 7< оо,
доставляло бы минимум й. Следовательно, оптимальное значение
Т должно быть 0 или оо. Оптимальное значение 7'=оо,
поскольку неравенство (zikJ < 2ХАТС подразумевает, что
постоянно иметь издержки из-за потерь требований
выгоднее, чем иметь систему, в которой не бывает потерь
требований. В таком случае вообще никакая складская система
не нужна.
Рассмотрим теперь случай, когда соотношению B.31)
удовлетворяют сразу или одно, или два положительных
значения Q. Подставляя Q из B.33) в B.32), после небольших
преобразований получим
*—%*[{%)'-%]''•¦ ,2-35)
Однако из B.34) следует, что в B.35) 7<0 для обоих
знаков. Следовательно, оптимальное значение Т снова не
находится в интервале 0<Г<оо. В этом случае
оптимальное значение 7=0, так как (пХJ > 2XAIC, т. е.
издержки по системе, не имеющей потерянных требований,
по крайней мере столь же малы, как и в системе с любым
положительным числом потерянных требований. В частном
случае, когда (лХJ = 2XAIC, любое значение Т будет
оптимальным.
3*

68 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
Смысл сказанного выше состоит в том, что если
складская система вообще должна функционировать, то
допущение дефицита никогда не может быть признано оптимальным.
Даже если и допустить потерю требований при (яЯJ >
> 2XAIC, оптимальное решение будет в точности тем же
самым, что и для модели из параграфа 2.2.
Перестроим временную диаграмму событий на рис. 2.8
так, чтобы в течение значительного времени не
наблюдалась потеря требований (т. е. в этой области имеет место
ситуация, подобная той, что была показана на рис. 2.1),
а затем чтобы долгое время наблюдались только потери
требований. Это не меняет средних годовых издержек.
Однако если (пкJ > 2XAIC и Q, показанное на рис. 2.8,
определяется из уравнения B.8), то издержки можно
уменьшить, создав запасы в течение периода потерь
требований и подав заказы на партии размера Qw единиц.
2.7. Случай, когда производительность конечна
В предыдущих разделах считалось, что заказ на Q
единиц поступает в складскую систему в виде партии размера Q,
т. е. все Q единиц поставляются одновременно. Теперь
рассмотрим складскую систему типа заводского склада.
Будем предполагать, что продукция производится партиями
и поступает с завода непосредственно на заводской склад.
Будем также предполагать, что, коль скоро оборудование
завода налажено для выпуска продукции партиями, его
производительность составляет г|э единиц в год (независимо от
размера партии). Считается, что спрос неслучаен и
требования поступают на заводской склад с интенсивностью Я
единиц в год. Объемы выпущенных и потребных изделий
будут считаться непрерывными величинами. Ясно, что
система может работать, только если г|) > X.
Подсчитаем средние годовые издержки, когда размер
партии равен Q. Будем предполагать, что переналадка
связана с некоторыми фиксированными издержками А на
каждую партию. Одновременно имеются издержки по
содержанию запасов, равные 1С долларов на единицу товаро-лет,
где С—стоимость изделия. Стоимость изделия не зависит
от размера партии. Вначале рассмотрим случай, когда нужно,

2.7] СЛУЧАЙ, КОГДА ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ КОНЕЧНА 69
чтобы спрос удовлетворялся имеющимися запасами, т. е. не
допускаются учет или потеря требований.
В течение периодов производства чистая интенсивность
поступления продукции на склад составляет г|э —^ единиц.
В течение периодов простоя чистая интенсивность выдачи
продукции со склада составляет X единиц. Если
обозначить через 5 количество наличного запаса на заводском
Рис. 2.9.
складе к моменту, когда завод начинает выпускать
продукцию, то оптимальное значение s равно нулю (что ясно из
анализа, проведенного в параграфе 2.2). Остается
определить такой размер партии Q, при котором издержки
минимальны.
Графически описанная ситуация представлена на рис. 2.9.
Продолжительность производства партии равна Tp = Q/ty.
Наличный запас на заводском складе достигает максимума
в момент, когда на заводе прекращается производство.
Максимальный наличный запас равен
т <i>-x)=c 1 *
.,„ -v-.v. ,,- B-36)
Время, необходимое для полного расхода наличного запаса
на складе,
Qf
<ih /
7= Г,
Т =-Q-
B.37)
"а ~ я, V +1
Средние годовые издержки по переналадке и
содержанию запаса на складе
* « ¦ "- Q A __ к\ B.38)
K=%A+.lC%[l-j),

70 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
Так как издержки содержания запаса за один цикл
составляют
Т Та
Если Q*, 0<Q*<oo, минимизирует К, полученное из
B.38), то тогда необходимо, чтобы Q* удовлетворяло
уравнению
которое имеет единственное положительное решение
Значение Q*, найденное из B.41), доставляет абсолютный
минимум К для значений Q в диапазоне 0<Q< oo. Пусть
с момента подачи заказа со склада на завод и до момента
выпуска первой единицы продукции проходит время т. Тогда
при определении точки заказа rh на основании уровня наличного
запаса пусть т будет наибольшим целым числом, меньшим
или равным т/Г. Если %—тТ < Td, то точка заказа гл=
=ji—mQ. Однако если %—mT> Tdt то точка заказа равна
rh = \i-r\ + (m + \)(±-\}Q, B.42)
где г) = г|)Т. В задачах 2.30 и 2.31 нужно описать
изменения суммы наличного запаса и заказанного товара и
определить точку заказа, исходя из значения этой суммы.
Следует отметить, что иногда трудно решить, какое
значение стоимости С следует использовать при подсчете
коэффициента издержек содержания на заводском складе.
Сюда должны быть включены только переменные издержки
производства.
Рассмотрим теперь случай, когда допускается учет
неудовлетворенных требований. Будем считать, что издержки
учета представляются как зх + я/, где
/—продолжительность времени учета. Пусть Q*—оптимальный размер
партии, a s* — оптимальное значение максимального числа

йЛ\ СЛУЧАЙ, КОГДА ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ КОНЕЧНА 71
учтенных требований за цикл. Тогда можно показать, что
если п = 0у то s* = 0 или со, а если s* = 0, то Q*
определяется из уравнения B.41). Когда пфО
~^-(M2|1/2i B.43)
и
Q ~\ п ; Ь-Л 1С) 1с(я+1С)\ -{А)
В задаче 2.28 нужно дать более подробный вывод
уравнений, которые были выписаны выше для случая учета
требований, а также детальнее рассмотреть вопрос о том, когда
оптимальное значение 5 находится на границах области.
В задаче 2.29 требуется доказать, что если требования,
поступающие в систему, когда в ней нет запасов, теряются,
а не учитываются, то всегда не оптимально допускать
потери требований.
Пример. Фирма производит полный набор клапанов. Эти
клапаны поставляются потребителям непосредственно с заводского
склада. Клапаны производятся партиями, и для производства всех
клапанов используется одно и то же оборудование. Можно считать,
что спрос на каждый набор точно известен и составляет 2500 единиц
в год. Фиксированные издержки переналадки равны 50 долларам,
а удельные издержки производства равны 3 долларам. Коэффициент
издержек содержания / = 0,20. Производительность завода составляет
10 000 единиц в год. Со времени получения заводом заказа и до
момента, когда выдается готовая продукция, проходит два месяца.
Требуется найти оптимальный размер партии и точку заказа, исходя
из того, что дефицит запаса на складе не допускается.
Используя B.41), найдем оптимальный размер партии
Г2- 2500 -50 10 000 1 i/2 _ Г 25.10* ] i/2 _
W ~~ L 0,20-3 10 000—2500J "[_ 0,60 ' 'J ~"
= ^5576.102 = 745 ед, B.45)
что на 15,5% больше размера партии, который был бы получен,
если бы производительность была бесконечно большой, т. е. при
использовании формулы B.8). Предлагаем читателю самому ответить
на вопрос, почему Q* при конечной производительности всегда больше,
чем при бесконечно большой. Заметим, что такой подход не
учитывает издержек содержания продукции за время производства. При
условии что время, затрачиваемое на производство единицы товара,

72 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
не зависит от Q, эти издержки также не зависят от Q и,
следовательно, не войдут в выражение для издержек.
Время между моментами подачи заказов Q*/X = 0,298 года.
Наличный запас на складе достигает максимальной величины при
Q*A-i)=745A-S)=559^ <2-46>
а время Тр после поставки первой единицы готовой продукции
745
Г^=Ш)=0,0745 года=21>2 дня- B-47)
Поскольку время поставки т = 2/12 = 0,167 года, точка заказа,
определяемая на основе наличного запаса,
г? = Ят = 2500-0,167 = 417 ед. B.48)
2.8. Ограничения
На практике на большинстве складов хранится большое
число различных типов изделий. Их изучение можно
провести независимо лишь в том случае, если между ними
отсутствует взаимодействие. Это взаимодействие может
носить различный характер. Например, изделия могут частично
заменять друг друга, изделия могут конкурировать при
ограничении на площадь склада. Может существовать верхний
предел общего числа заказов, и потому изделия могут
вступать в конкуренцию из-за этого фактора. Может
существовать верхний предел и для максимальных
капиталовложений в запасы. Здесь будут рассмотрены случаи, когда
ограничения наложены на размер складского помещения и
(или) на возможное число заказов на пополнение, поданных
за год, и (или) максимальные годовые капиталовложения.
Рассмотрим вначале случай, когда имеется ограничение
/ на площадь склада. Предположим, что на складе хранится
п типов изделий и что для изделия у-го типа требуется
/у квадратных метров площади склада. Рассмотрим случай,
когда все требования должны удовлетворяться из запаса,
т. е. учет или потеря требований не допускаются. Если
обозначить через Qj размер заказа на изделие у-го типа,
то, при условии что ограничение на площадь помещения
нельзя нарушить, должно выполняться неравенство
2 Щ =/А + • • • +fnQ» </• B-49)

2.8]
ОГРАНИЧЕНИЯ
73
Мы не будем пытаться учесть возможный сдвиг заказов по
времени, вследствие которого никогда не потребуется иметь
в наличии одновременно максимальное количество изделий
каждого типа. Пусть Яу- означает годовую интенсивность
спроса (предполагается, что спрос неслучаен),
Aj—фиксированные издержки заказа, Су.— стоимость единицы изделия
(предполагается, что она не зависит от Qj) и
/у.—коэффициент издержек содержания изделий /-го типа. Тогда
суммарные средние годовые издержки по всем типам изделий
составят
*=Е[-^/+'Ат]- B-50>
/=1L4' J
Нужно найти абсолютный минимум К по Qj в интервале
0<Qy<oo, y=l, 2, ..., /г, с учетом ограничения B.49).
В приложении 1 рассматриваются математические методы
решения этой задачи. Сначала решают задачу без учета
ограничения B.49), т. е. К минимизируется отдельно по
каждому Qj. Это дает такие результаты:
-jjcj, 7=1, -..,.*. B.51)
Если Qj, найденные из B.51), удовлетворяют B.49), то
они являются оптимальными. В этом случае это
ограничение является несущественным, т. е. площадь помещения
достаточна, и, увеличив ее, нельзя уменьшить средние
годовые издержки. С другой стороны, если Q,, найденные из
B.51), не удовлетворяют B.49), то тогда это ограничение
является существенным, a Qy-, найденные из B.51), не
являются оптимальными.
Для определения оптимальных значений Qj применяют
метод множителей Лагранжа. Составляется функция Лагранжа
где 6 — множитель Лагранжа. Тогда набор Qy., у== 1, . . ., л,
доставляющих абсолютный минимум К при соблюдении
ограничения B.49), язляется решением следующей системы

74 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
уравнений:
dJ ^ = -^YA/ + IjY-+Qfr 7=1. •••• "> B-53)
dQf Qf
dJ 0=^//гу-/. B.54)
Эта система уравнений имеет единственное, и
следовательно, оптимальное решение
'-./ 2XjAj
где 6*—такое значение 0, при котором Q*, найденное из
B.55), удовлетворяет B.54). Выражение
Д // [2 V/ <7/С/ + 20//)"Ч1/2 -/
является монотонно убывающей функцией 0, и,
следовательно, существует только одно значение 0* > 0, которое
удовлетворяет уравнению B.54).
Как показано в приложении, 0* = — dK*/df, где К* —
минимальное значение К, найденное из условия оптимума
по Qj при заданном значении /. Таким образом, нестрого
говоря, 0* определяет уменьшение минимальных издержек
при увеличении площади помещения склада на один
квадратный метр. Множитель Лагранжа часто называют
назначаемыми (imputed) издержками или неявной (shadow)
стоимостью помещения. Если бы не было ограничений на площадь
складских помещений, а квадратный метр площади стоил 0*
доллар в год, то средние годовые издержки составили бы
п _ . п
/=1 L 4J J /=1
Набор Q., доставляющих минимум этому выражению, в
точности совпадает со значениями Qy., минимизирующими
издержки вида B.50) при наличии ограничения B.49). Задача
минимизации К из B.56), когда назначается стоимость, а не
верхний предел площади складского помещения, является
двойственной задачей минимизации B.50) при условии B.49),
когда плата за помещение не взимается, но имеется зерх*
ний предел площади складского помещения?

2.8]
ОГРАНИЧЕНИЯ
75
Рассмотрим теперь случай, когда ограничение
накладывается на общее числов заказов, подаваемых в течение
года. Предположим, что в течение года может быть подано
не более А заказов. Это означает, что
t^<A- B.57)
Здесь мы пренебрегаем тем, что число заказов, поданных
в течение любого года, должно принимать целые значения
и должно отличаться от среднего значения Ay/Qy не более
чем на единицу. Предполагается, что влияние этого
упрощения незначительно. Кроме того, считается, что
фиксированные издержки, связанные с подачей заказов, равны
нулю. В задаче 2.35 предлагается обобщить теорию,
которая будет развита ниже, на случай, когда каждому заказу
сопутствуют фиксированные издержки. Тогда учитываются
только издержки хранения. Средние годовые издержки
содержания равны
п
К = Y*rfj^-- B-58)
Нужно найти абсолютный минимум выражения B.58) при
ограничении B.57). Ввиду того что в B.58) учитываются
только издержки хранения, то очевидно, что ограничение
B.57) будет всегда существенным (см. П. 1), т. е. будет
обработано максимально возможное число заказов, так как
этим можно сократить издержки по содержанию запасов.
Для определения оптимального значения Qj составляют
функцию
J=t'fi,% + *(t%-*). B-59)
где г) — множитель Лагранжа. Тогда оптимальное значение
Qj должно удовлетворять уравнениям
щ-°-'4-$- i=x "' ,2601
?=.0-?*~*. B.61)

76 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
Оптимальным решением является
Q/= V тУ, 7=1,..-,л, B.62)
If/
откуда после подстановки B.62) в B.61) получаем
тр
B.63)
В этом случае легко получить явное выражение для
оптимального значения множителя Лагранжа. Значение rf можно
рассматривать как назначенные издержки, связанные с
подачей заказов.
И наконец, рассмотрим случай, когда в каждый момент
времени существует верхний предел D капиталовложений
в складское хозяйство. Ограничение имеет вид
j^CjQj^D B.64)
/=i J
(здесь мы снова пренебрегаем возможностью такого
распределения заказов по времени, когда уровни по каждому типу
не достигают своих максимальных значений одновременно).
Нужно минимизировать выражение B.50) при наличии
ограничения B.64). Ограничение B.64) формально эквивалентно
ограничению на площадь складского помещения вида B.49).
Следовательно, нет необходимости повторять анализ
полностью, нужно только заменить fj на С;. и / на D.
Существуют и менее значительные варианты описанных выше
трех типов ограничений. Некоторые из них указаны в
задачах.
Возможно также наличие одновременно нескольких
ограничений. Предположим, что, например, имеется ограничение
на число заказов, подаваемых в течение года, и
ограничение на максимальные капиталовложения в любой момент
времени. Таким образом, мы желаем минимизировать
выражение B.58) при наличии ограничений B.57) и B.64)*.
Мы знаем, что ограничение B.57) будет существенным.
Ограничение B.64) может быть как существенным, так и
* Возможно, что ограничения B.57), B.64) несовместны, и тогда
решения нет. Мы здесь принимаем, что они совместны.

2.8] ОГРАНИЧЕНИЯ 77
несущественным. Таким образом, сначала мы решим задачу,
пренебрегая ограничением B.64). Если полученное решение
удовлетворяет B.64), то задача решена. Если B.64) не
удовлетворяется, то вводятся множители Лагранжа 0, ф и
составляется функция
п л / п * \ / п \
j=% lfj -т+е (? -^ - * J+ф (Е ад- D) • B-65>
Тогда оптимальные значения Qy. должны быть решениями
следующих уравнений:
ао7 = °=^—^+фСу, У=1 я, B.66)
п .
,7=1 ^
g = 0=?c/?y-D. B.68)
i=i
Из B.66) следует, что
^/-/су(У+2ф*)' У=1' ••-"• B'69)
Тогда, подставляя Qy* из B.69) в B.67), получим
е*= fFat^A^+^l* B-7°)
И наконец, последовательно подставляя 9* из B.70) в B.69)
и Q* из B.69) в B.68), получим
it [/-w]1/2} {111^/^ + 2ф*I1/а}=^B-71)
Процедура численного решения состоит в следующем:
1) Определим ф* из B.71).
2) Определим О* из B.70).
3) Определим Q* из B.69).

78 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
Значение ср* можно определить из B.71) методом проб
и ошибок. Однако более эффективным оказывается метод
Ньютона, рассмотренный в приложении П.2. Трудности
численного определения QJ значительно возрастают с
введением каждого нового ограничения, накладываемого на систему.
В случае если бы в системе управления запасами имелись
ограничения на размер складского помещения и на максимум
капиталовложений, то тогда задача была бы более сложной,
поскольку или одно, или оба ограничения могут быть
несущественными. Вычислительная процедура состоит в
следующем: сначала, пренебрегая обоими ограничениями,
определяем из B.8) значения Qj. Если эти значения Qj
удовлетворяют ограничениям, то они являются оптимальными. Если
же нет, то введем одно из ограничений, скажем, ограничение
на капиталовложения, но не оба сразу. Если полученные
после этого значения Qj удовлетворяют ограничению на
размер складского помещения, то эти значения будут
оптимальными, а если же нет, то решим ту же задачу, введя
ограничение на размер помещения, но без учета ограничений на
капиталовложения. Если значения Qj удовлетворяют
ограничению на капиталовложения, то они являются оптимальными,
а если нет, то приходим к выводу, что оба ограничения
являются существенными. Тогда вводятся два множителя
Лагранжа и решается задача с двумя существенными
ограничениями. Следует отметить, что возникает необходимость
исследовать случаи, когда один или оба множителя Лагранжа
равны нулю, т. е. когда одно или оба ограничения имеют
вид строгих неравенств.
2.9. Ограничения—пример расчета
Рассмотрим завод, который производит и хранит на своем
складе три типа .изделий. Руководству желательно; чтобы
капиталовложения в запасы не превышали 14 000 долларов.
Продукция выпускается партиями. Интенсивность спроса на
каждый тип изделий постоянна, и можно считать, что спрос
неслучаен. Учет заказов не допускается. Соответствующие
данные по типам продукции приведены в таблице 2.1.
Коэффициент издержек хранения для каждого типа изделий
составляет /=0,20. Определим оптимальный размер партии
для каждого типа изделий. Оптимальные размеры партий

2.9]
ОГРАНИЧЕНИЯ — ПРИМЕР РАСЧЕТА
79
Таблица 2.1
Данные для примера
Интенсивность спроса
А,у, единицы в год
Издержки Су,
доллары на единицу
Издержки по
переналадке на партию Лу,
доллары
Тип изделия
1
1000
20
50
2
500
100
75
з J
2000
50
100
при отсутствии ограничений
500-75
20
= 61,
2-2000-100
10
= 200.
При использовании этих значений Q, максимум
капиталовложений равен? = 20-158 + 100.61 +200.50 = 3160 + 6100 +
+ 10 000 =19 260 долл, что превышает максимально
допустимые капиталовложения в запасы. Следовательно,
ограничение на капиталовложения является существенным, и после
введения множителя Лагранжа р убеждаемся, что
оптимальные значения Qj по аналогии B.55) определяются как
<?••
/;
ZKj /г f
С/(/ + 2р*);
где р* —решение уравнения
Lk 7w=d==1400=
/=1, 2, 3,
3=1
"" V o,io+p*^ V оло+р*^ V o,
10-106
10 + p*
Таким образом,
6,10
К0,Ю + р*+^[1 +1,935 + 3,16] =^ = 0,436

80 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
или р*--0,091. Следовательно, оптимальные значения Q,
01= V
2-100-50
20-0,382 :
-500-75
100-0,382:
44,
Qt= Y%
2000-100
50-0,382
= 145.
Подставляя эти значения Q* в ограничение, убеждаемся, что
последнее имеет вид
строгого равенства (с точностью,
которую можно обеспечить
при вычислениях, Q* затем
округляются до целых
значений).Минимальные
издержки на переналадку
оборудования и хранение запасов
для трех типов изделий при
отсутствии ограничения на
капиталовложения
10000
15000
В (доллары)
Рис. 2.10.
20000
K=%V2b/AjICj
3=1
= 632 + 1225 + 2000 =
= 3857 доля/год.
Соответствующий минимум
издержек при наличии
такого ограничения
,7=1 L Ч/ -¦
= 667 + 1292 + 2105 =
= 4064 долл/год.
Таким образом, издержки
при наличии ограничения на
капиталовложения на 207
долларов больше, чем при его отсутствии. Интересно
заметить, как оптимальные значения Qy и минимальные
средние годовые издержки меняются при изменении максималь-
10000
15000
В (доллары)
Рис. 2.11.
20000

2.10] СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПРОВЕРКОЙ 81
ных допустимых капиталовложений D, как показано на
рис. 2.10, 2.11. Если D!> 19 260, то оптимальными
значениями Q/ будут просто те значения, которые получены при
отсутствии ограничения. Если D^ 19 260, издержки
составят К* = 3857 долларов/год.
2.10. Системы с периодической проверкой
Рассмотрим складскую систему, в которой заказ подается
через каждые Т единиц времени. Нужно найти оптимальное
значение Т, при котором средние годовые расходы,
представляющие сумму издержек, связанных с подачей заказов, и
издержек хранения, достигают минимума. При этом требуется,
чтобы все заказы удовлетворялись из наличных запасов, т. е.
чтобы не было учтенных и потерянных требований. Будем
считать, как и раньше, что интенсивность спроса % известна
и не меняется со временем. Тогда ясно, что если наличный
запас не должен непрерывно возрастать или уменьшаться по
периодам, то количество товара, заказываемого каждый раз,
будет равно Q = XT. Кроме того, уровень наличного запаса
к моменту поступления пополнения должен быть равен нулю,
чтобы достигали минимума издержки хранения. Если А
представляют собой фиксированные издержки, связанные с
подачей заказов, С—стоимость изделия, а /—коэффициент
издержек хранения, то средние годовые издержки составят
К=^г + 1С^У B.72)
а оптимальное значение Т
г-YWa- <2J3>
Если Т* умножить на %, то объем заказа за каждый период
составит
что в точности совпадает с B.8).
Мы показали, что при неслучайном спросе нет различия
между моделями, в которых размер заказа каждый раз
равен Q, если запас достигает точки заказа (они будут

82 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
именоваться <Q, ry-моделями, или моделями размера партии
и точки заказа), и моделями с периодической проверкой, в
которых заказ подается через равные промежутки времени Т.
Далее мы увидим, что если в спрос ввести неопределенность,
то модели с периодической проверкой и <Q, г>-модели будут
иметь несколько различную структуру.
2.11. Скидка на размер заказа — «оптовая» скидка
На практике стоимость изделия иногда зависит от
размера заказа. Часто при закупке товара большими партиями
вводятся скидки. Эти скидки иногда имеют такой вид: пусть
заданы числа q0 = 0, qv
Яр • • • » Яшу Я/ < 4f+v
7=1, . .., m и^+1 = оо.
Если размер закупки
равен Q/, 9><<?<^у+1,
то цена товара для
каждой единицы из партии
равна Cj, т. е. стоимость
Q единиц равна CjQ и
Су+1 < Cj. Общая
стоимость закупки Q единиц
имеет тогда вид, как
показано на рис. 2.12.
Подобные скидки на размер
заказа будем называть оптовыми, так как скидка начисляется
на каждую единицу закупаемого товара.
Введение оптовых скидок затрудняет определение
оптимального размера заказа на пополнение. Посмотрим все же,
как это делается. Рассмотрим случай, когда допускаются
учтенные требования, причем я = 0, пфО. Для любого
значения Q оптимальное значение s определяется из B.23).
Следовательно, если Су- представляет собой стоимость одного
изделия, то средние годовые издержки, минимизированные по s,
Kj(Q)^lCJQ+^A+n{:^j
+ ICj
f,j=0,\,...,m.B.74)
Для qj^.Q <<7y+i величина Kj представляет собой средние
годовые переменные издержки. Заметим, что теперь возни-

2.11] СКИДКА НА РАЗМЕР ЗАКАЗА —«ОПТОВАЯ» СКИДКА 83
Cj. Важно
кает необходимость включить стоимость самого товара в
выражение переменных издержек, так как стоимость изделия
зависит от размера заказа, т. е. от стратегии управления.
Можно считать, что выражение B.74) определяет кривую
издержек для всех значений Q, а не только для Q в
интервале qj^Q < <7у+1. При этом можно получить (т-\- 1) кривых
издержек, соответствующих каждому значению ^ °
отметить, что эти кривые
не пересекаются и что
*)+1 (Q) < К/ (Q) Д™
BcexQ (доказательство?).
Типичное семейство
таких кривых показано на
рис. 2.13. Те части
кривых, которые показаны
пунктиром, физически не
реализуются.
Задача состоит в
определении самой нижней
точки на кривой с
разрывами. Это можно сделать,
вычислив сначала
значения Q. Назовем их Q(/72>; они дают
кривых для каждого Кт. Если Q(m)
минимум затрат на
удовлетворяет
соотношению qm^:Q(m), то тогда Q(m) является оптимальным,
потому что при этом достигается минимум издержек по кривой
для Кт1 а затраты ни по одной из других кривых для Kj (j < m)
не могут быть меньше этих затрат. Если Q{m) < qmi то тогда Q{m)
физически не реализуется. В этом случае вычисляем Km(qm),
представляющее издержки, соответствующие Кт в точке /и-го
излома кривой стоимости; Km(qm) используется на
последующем этапе.
В начале второго этапа вычислений (если в этом есть
необходимость) определяется значение Q{m~1)f которое
соответствует минимуму издержек по кривой для К,
m-V
Если
9«-i^Q(m~1}» T0 вычислим Km^.1(Q{m~1)) и сравним с ~Km(qm).
Если /Tw_i(Q(/7z)) < Km(qm)y то тогда значение Q{m~1)
оптимально, так как любые другие издержки на кривых
Kj{j<im— 1) не могут быть меньше, и любые издержки,
полученные на кривой Кт1 не будут меньше. Когда Km(qm) <
< Km-i (Q(/7*~X)), то тогда оптимальным будет ^(если

84 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
fjB(?«)=:=-^m-i(Q(w~1))» т0 Т0ГДа оптимальными будут или qm,
или Q0*"*). Если Q(m-1) находится вне интервала qm-\^
<0Ся,-1)<?я> то вычисляется /^ (^w_1), a *«_! =
= min[/Cm(tfm), ^m-ij^-i)]- Пусть qm_x будет равно ?у,
соответствующему Кт_1, т. е. в данном случае qm_\ равно
или 0Я, или ^_!.
Если на втором этапе не удается найти оптимального
значения Q, то тогда третий этап начинается с вычисления
такого значения Q — Q{m~2\ при котором издержки по
кривой Кт_2 достигают минимума. Если Q<"*-2) находится в
интервале qm-2<Q{™~2) <Ят-1> т0> вычислив^ Km_2(Q{m~2)),
сравниваем его с Km_v Если Km_2(Q{m~2)) < Кт_ъ то Q{m~2)
оптимально. Если же Кт_г > Km_2(Q{m~2))y то тогда
оптимальным будет qm_x (если Кт_1~Кт_2 (Q{m~2))f то
оптимальным будет одно из них). Если Q^~2> находится вне
интервала физически допустимых значений, то Кт_2 вычисляют
как mln[Ku_t{qu_%), Кт_г] и пишут qm_2.
Остальная часть процедуры представляет собой просто
повторение описанных выше этапов. Если какие-либо
априорные сведения об оптимальном значении Q отсутствуют, то,
по-видимому, лучше всего начинать вычисления так, как
указывалось выше. Если на кривой издержек имеется много
разрывов, то вычисление оптимального значения Q будет
достаточно длительным.
Пример 1. Рассмотрим вновь пример, приведенный на стр.55.
Напомним, что %= 600 единиц/год, Л = 8,0 доллара,/==0,20. Будем
считать, что установлены скидки рассмотренного выше типа. Пусть
имеется два разрыва кривой издержек при ^ = 500 и <7а=Ю00; более
того, Со = 0,30 доллара, С2 = 0,29 доллара, С2 = 0,28 доллара.
Для определения оптимального значения Q сначала вычислим
q(/»)==qB)> где /^=/?2 принимает минимальное значение. Таким
образом,
4 V IC2 V 0,200,28 *Х*ва-
Q(a) не удовлетворяет неравенству QB)^1000, и потому QB)
физически нереализуемо. Затем вычисляем
К* Ш = №2 + — А + /С3 -§- = 200,80 долл.
Яг *

2.12] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СКИДКА НА РАЗМЕР ЗАКАЗА 85
На втором этапе вычислим
Q(i)= j/?^ = 40fied.
Однако QA) не удовлетворяет неравенству 500<;QA)< 1000, и QA)
является нереализуемым. Затем находим
KiW=^it- Л + /Ci ^=198,10 долл.
Тогда ^1 = min[/Ci(^i), #2 (^2)] = #1 (<7i) = 198,10 доллара и ^ = 500.
На третьем этапе определяем
Q(°)== }^^ = 400вд,
причем значение Q@) допустимо, поскольку 0 < Q@) < 500. Тогда
/Со (Оо) = №0 + /*2Ы/С0 = 204 долл.
Однако /Ci</Co(Qo)' Следовательно, значение Q* = <71 = 500 ед
будет оптимальным, а оптимальное значение Q находится в точке
разрыва кривой цен.
Пример 2. Несколько изменив в предыдущем примере
характер скидок, можно указать случай, когда оптимальным является одно
из Q(A Примем, что ^х = 300, G2 = 400, а значения параметров С0,
Clt С2, Я, Л, / те же, что и в предыдущем примере. Тогда Q'2) = 414
удовлетворяет неравенству q2^QB\ и, следовательно, QB)
оптимально. Минимальные средние годовые издержки тогда
/Ci = XCa + >r2Xi4/C1= 191,19 долл.
2.12. Дифференциальная скидка на размер заказа
Другой тип скидки, которую мы назовем
дифференциальной скидкой, состоит в том, что если размер заказа колеблется
от 1 до qly то стоимость единицы изделия составляет С0,
при размере заказа от qx +1 до q2 стоимость составляет Сг
и т. д. Графически общие издержки на закупку Q изделий
показаны на рис. 2.14. Общие издержки C(Q) на закупку Q
изделий при tfy<Q^<7y+i могут быть представлены как
C(Q) = /?y + Cy(Q--<7y), У=0, 1, ...,/и,
где Rj = C(gj), R0 = 0, q0 = 0 и qm+1=oo. Средняя цена
изделия равна
Ш = ^ + С/-С^, ; = 0, 1, ...,«. B.75)

86
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ
12
Таким образом, если дефицит не допускается, средние
годовые издержки при 9;<Q^9/+i составляют
*,= Щ + A (A +Rj.-C/qJ) + I-? + IC.R. -lCjq± . B.76)
Соответствующее выражение для издержек при наличии
системы учета требований слишком громоздко, и потому
здесь не приводится. Анализ такого случая предлагается
провести в задаче 2.66,
но общие результаты,
представленные здесь,
применимы и для систем
с учетом
неудовлетворенных требований.
Можно представить, что Kj
в^ B.76) определено для
всех положительных
значений Q, хотя Kj
физически реализуемо только
при 0/<Q<fy+i- Если
имеется т изломов на
кривой стоимости, то имеется (т+ 1) кривых, как показано на
рис. 2.15. Фактическая кривая общих издержек представляет
собой участки этих кривых, представленные сплошной линией.
\\\ \ у X /
K,Wi\ *зХ X X
Рис. 2.15.
Вычисление оптимального значения Q при
дифференциальной скидке несколько отличается от расчета при
оптовой скидке. В этом случае минимум средних годовых
издержек не может находиться в одной из точек излома

2.12] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СКИДКА НА РАЗМЕР ЗАКАЗА 87
кривой. Это следует из того, что результирующая кривая
общих издержек непрерывна, т. е. Kjmml(gj) = #}(gy), /=1,
. . ., т. Кроме того, крутизна кривой Kj в точке д^ меньше
крутизны Kj_x в gj (читателю предлагается доказать это
в задаче 2.45). Таким образом, средние годовые издержки
не имеют относительного минимума в точке #/> и поэтому
абсолютный минимум не может существовать в точке <7у
Вычисление оптимального значения Q проводится
следующим образом. Вычисляется значение Q(y), т. е.
значение Q, минимизирующее Kj для у = 0, 1, ..., т. Из B.76)
следует, что
Q(/>
W + Rr-Wyy B7?)
Для тех значений QW, которые физически реализуемы, т. е.
gj < Q(y)^?y+i, определяются значения Kj(Q{J))-
Оптимальным будет то Q{J\ которое соответствует наименьшим из
этих затрат. Отметим, что если Q{m) физически реализуемо,
то отсюда не следует, что Q{m) оптимально. Следующий
пример иллюстрирует ситуацию, когда Q{m) допустимо, но
не оптимально.
Пример 1. Рассмотрим систему, в которой используется
дифференциальная скидка. Первые сто изделий продаются по цене
100 долларов за штуку, а следующие по 98 долларов. Параметры
системы следующие: А, = 500 единиц/год, / = 0,20, Л = 50 долларов.
Для определения оптимального значения Q сначала вычисляем
W-Fi = »*
/'2ХА
/С0
Так как Q@) находится в интервале допустимых значений, то
Ко (Q<o)) = KC0 + }r2kAIC0 = 5\ 000 долл.
Затем вычисляем QA), соответствующее минимуму К\:
4
•2k(A+R1-C1q1y
1/2 = 113,а.
1С,
QA) также находится в интервале допустимых значений
= 51 234 долл.
Следовательно, оптимальное значение Q будет Q* = Q@, = 50 единиц.
Точки излома кривой стоимости проверять не следует, потому что
ohji не могут соответствовать оптимуму.

88 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
Задачи и упражнения
2.1. Отдел текстильных товаров большого
универсального магазина за месяц продает 500 штук купальных
полотенец определенного вида. Одно полотенце обходится
универмагу в 0,50 доллара, а стоимость заказа составляет
2,00 доллара. Коэффициент издержек хранения в универмаге
составляет /=0,17. Считая, что спрос неслучаен и
непрерывен и что дефицит не допускается, определите
оптимальный размер заказа. Чему равно время между моментами
подачи заказов на пополнение? Время поставки составляет
один месяц. Чему равна точка заказа, подсчитанная по
уровню наличного запаса?
2.2. Докажите, что для модели размера партии из
параграфа 2.2 средние годовые издержки хранения равны
средним годовым фиксированным издержкам по поставкам при
Q=zQ*, т. е. покажите, что на рис. 2.2 кривые JCQ/2 и
XA/Q пересекаются в точке Q = Q*.
2.3 Мыловаренный завод выпускает моющие средства,
используя для всех них одно и то же оборудование. Очистка
оборудования и подготовка его к производству данного вида
моющих средств стоит 1000 долларов. Интенсивность спроса
на некоторое моющее средство составляет 100 тонн в месяц.
Спрос неслучаен. Издержки производства на тонну
продукции составляют 200 долларов. Коэффициент издержек
хранения /=0,17. Чему равен оптимальный объем продукции,
производимой за один цикл, если дефицит не допускается?
Чему равно время между циклами?
2.4. Выведите формулу экономичного размера партии,
которая устанавливала бы зависимость оптимального размера
заказа от его стоимости. Считайте, что дефицит
недопустим. Какие практические преимущества можно получить,
используя эту формулу размера партии?
2.5. Выведите формулу, устанавливающую зависимость
(К—К*)/К* от у, когда размер заказываемой партии yQ*,
у > 0, а не Q*. Считайте, что дефицит недопустим.
Покажите, что если yQ* заменить на 1/yQ*, to в результате
получается то же самое соотношение.
2.6. Функция f(x) называется выпуклой на некотором
интервале а^х^Ь, если для двух различных значений

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
89
xlt х2 в этом интервале и всех O^a^l
/[ax1 + (l-a)^2]<a/(x1) + (l-a)/(^2).
Функция называется строго выпуклой, если выполняется
строгое неравенство 0<а< 1. Функция является выпуклой,
если прямая, соединяющая две точки на кривой y=f(x)t
лежит на или выше этой кривой. Изобразите выпуклую
кривую графически. Покажите, что сумма выпуклых функций
также выпукла. Покажите, что строго выпуклая функция
может иметь только один относительный минимум на любом
интервале и что он также является абсолютным минимумом
в этом интервале.
2.7. Покажите, что /1(Q)==M/Q является строго
выпуклой функцией и что /2(Q) = /CQ/2 является выпуклой
для О <Q < оо. Тем самым докажите, что функция /С,
определяемая из B.6), строго выпукла. Используя результаты,
полученные в задаче 2.6, покажите, что уравнение dKJdQ = 0
может иметь только одно решение для 0 < Q < оо и что
это решение доставляет абсолютный минимум К на этом
интервале. Указание. Для этого требуется доказать, что К
не может иметь относительного максимума.
2.8. На практике часто бывает трудно определить
точное значение параметров Ли/. Рассмотрим случай, когда
Я, С и /определены правильно, а Л— неправильно. Пусть Аа
представляет собой истинное значение стоимости подачи
заказа, а Л —ее оценку. Пусть Q будет оценкой Q*,
причем Q получено из уравнения B.8), где вместо Аа
используется А. Обозначим через К средние годовые издержки
в реальной системе при подаче заказов размера Q. Найдите
уравнение, связывающее К/К* и А/Аа, где К* — минимальные
средние годовые издержки. Какую полезную информацию
даст эта кривая? Какой оценкой Аа лучше пользоваться,
завышенной или заниженной? Определите соотношение между
Q/QP и А/Аа. Выведите аналогичные соотношения при
условии, что оценки коэффициента издержек хранения
неверны.
2.9. Определите первую и вторую производные функции
издержек из B.6). Как форма кривой К зависит от величин
Л, /, С и Я? Изобразите семейство кривых К при
фиксированных Я, / и С, если А — параметр.

90 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
2.10. Докажите в общем виде, что при неслучайном
спросе и постоянном времени поставки средний объем
заказанного товара равен спросу за время поставки.
2.11. В большой авторемонтной мастерской на
некоторую деталь наблюдается очень низкий спрос, равный 8
единицам в год. Его можно считать неслучайным и постоянным
во времени. Стоимость подачи заказа на эту деталь
составляет 1 доллар, а стоимость одного изделия составляет
30 долларов. Коэффициент издержек хранения в мастерской
составляет /=0,20. Используйте материал параграфа 2.4
для учета дискретности спроса и определите оптимальный
размер заказа. Чему равно время между моментами подачи
заказов? Какое значение Q было бы получено при
использовании уравнения B.8)?
2.12. Чему было бы равно оптимальное значение Q в
примере на стр. 55, если использовать подход, рассмотренный
в параграфе 2.4?
2.13. Используя модель системы с учетом требований
параграфа 2.5, покажите, что средний уровень наличного
запаса может быть представлен как A/2) Q — s + B (Q, s), где
В (Q, s) — среднее число учтенных требований (это
усреднение производится по всему времени, а не только по
времени, в течение которого существуют учтенные требования).
2.14. Используя модель системы с учетом требований
из параграфа 2.5, покажите, что средние годовые издержки
из-за наличия учтенных требований, определяемые
членом я/, просто равны произведению числа товаро-лет
отсутствия товара за год на я. Кроме того, покажите, что
среднее значение дефицита в единицах товаро-лет запасов численно
равно среднему числу учтенных требований.
2.15. Введите явно точку заказа г в модель
параграфа 2.5 и исключите переменную s.
2.16. Покажите, что для модели, представленной в
параграфе 2.5, оптимальные значения Q и s не будут
зависеть от того, определяются ли издержки содержания
запасов по наличному запасу или по сумме наличного запаса и
заказанного товара.
2.17. Дайте подробный вывод уравнений B.26) и B.27).
2.18. Покажите, что если знак неравенства заменить
в уравнении B.25) знаком равенства, то тогда любое s^0

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
91
оптимально, т. е. докажите, что для любого 5 будут
получены те же издержки при условии, что оптимизация
проводится по Q.
2.19. Рассмотрите случай системы с учетом требований,
изученный в параграфе 2.5. Вместо того, чтобы считать
стоимость учета равной я + я^, примите, что она имеет
вид aebt, а, Ь > 0, где ^ —продолжительность учета. Выведите
уравнения для оптимальных значений Q и s.
2.20. Для модели, рассмотренной в параграфе 2.5,
определите, какую часть времени в системе наблюдается
дефицит, если используются оптимальные значения Q и s.
Примите, что я = 0, я =7^=0.
2.21. Химическая компания производит партгями
органическое вещество. Годовая интенсивность спроса на эту
продукцию составляет 100 000 кг. Можно считать, что спрос
известен точно и что его интенсивность во времени не
меняется. Фиксированные затраты на изготовление партии
равны 500 долларов. Переменные издержки производства
равны 2,00 долларов на 1 кг. Издержки пг> ,-чсту
требований составляют 5,00 долларов за 1 кг в год, а
фиксированная стоимость учета требования равна нулю (я = 0).
Определить оптимальный размер партии и оптимальное число
учтенных требований.
2.22. Докажите, что если s* и Q* из B.28) и B.29) для
случая я = 0, я=5^0 подставить в выражение B.17), то
^=^{[i+f]1/2-/c[n(Jt+/c)]-'aj.
2.23. Одна компания придерживается такой практики,
чтобы у нее никогда не было дефицита. Отдел сбыта
провел для этой цели анализ по определенному типу
продукции. Спрос неслучаен, постоянен во времени и равен
625 единицам в год. Стоимость единицы продукции
составляет 50 долларов вне зависимости от размера заказа.
Стоимость подачи заказа равна 5,00 доллара, а коэффициент
издержек хранения / = 0,20. Стоимость учета единицы
производимой продукции составляет 0,20 доллара в неделю.
Определите оптимальную стратегию функционирования,
считая, что дефицит недопустим, и требования могут у -итываться
по приведенным выше расценкам. Чему равны годовые потери

92 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
из-за принятия политики недопущения дефицита, если
отдел сбыта правильно определил соответствующие
параметры?
2.24. Для случая, описанного в предыдущей задаче,
руководство компании настояло на том, чтобы в выражение
издержек была введена дополнительная стоимость учета
требования, равная 0,50 доллара на единицу продукции.
Как это скажется на значениях Q* и Я*?
2.25. Рассмотрите систему, характеристики которой
приведены ниже. Найдите оптимальные значения Q и $.
Подсчитайте средние годовые издержки, используя
уравнение B.17) и выражение для Я* из задачи 2.22. % = 90 единиц
в год, /=0,20, С=90 долларов, А = 2,00 доллара, я = 0,
я=16 долларов на единицу продукции в год.
2.26. Решите предыдущую задачу, если я=оо.
Подсчитайте средние годовые издержки и сравните их с
издержками в предыдущей задаче.
2.27. Очень часто, особенно в розничной торговле,
пользуются понятием «интенсивность оборота запасов».
Интенсивность оборота определяется как годовой спрос, деленный
на средний запас. Дайте этому понятию интерпретацию.
Подсчитайте оптимальное значение интенсивности оборота,
если дефицит недопустим и если используется система учета
требований. Указание. Чему равен средний уровень запасов
для системы при наличии учтенных требований?
2.28. Дайте подробный вывод уравнений B.43) и B.44).
В каких случаях s* = 0, если я =^0?
2.29. Исследуйте случай, когда производительность
конечна, причем допускается потеря не,удовлетворенных
требований. Покажите, что, как и в случае бесконечно большой
производительности, всегда неоптимально допускать потери
неудовлетворенных требований.
2.30. Пусть т означает время поставки продукции при
конечной производительности предприятия. Найдите
точку заказа как для случая, когда дефицит недопустим,
так и в случае, когда неудовлетворенные требования
учитываются; используйте при этом соответствующие уровни
запасов.
2.31. Начертите на одном и том же графике кривую
наличного запаса и кривую суммы наличного запаса и за-

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
93
казанного товара для предприятия с конечной
производительностью, если дефицит недопустим.
2.32. Решите снова задачу 2.3, считая, что
производительность завода моющих средств составляет 400 тонн
в месяц.
2.33. Фирма, производящая электронное оборудование,
выпускает магнитные сердечники определенного типа
партиями. В день может быть изготовлено 1600 сердечников.
Ежедневный спрос на сердечники этого типа составляет
250 штук. Стоимость переналадки оборудования равна
700 долларов. Коэффициент издержек хранения по системе
/ = 0,30, цена сердечника 0,10 доллара. Считая, что
дефицит недопустим, подсчитайте оптимальный размер партии.
Сколько времени должен длиться производственный цикл?
Чему равно время между циклами?
2.34. В предыдущей задаче считайте, что
неудовлетворенные требования на сердечники могут учитываться и что
л = 0,01 доллара, а я = 0,04 доллара на единицу в год.
Определите оптимальные значения Q и s.
2.35. На складе хранится п типов изделий. Стоимость
подачи заказа на изделие у-го типа равна Aj. Коэффициент
издержек содержания / для всех типов изделий одинаков.
Можно подать максимум h заказов в год. Выведите
формулы оптимального размера заказа по каждому типу
изделий, чтобы средние годовые издержки по поставкам и
хранению достигали минимума с учетом ограничения на
допустимое число заказов.
2.36. Покажите, как можно учесть ограничение на
трудо-затраты в человеко-годах за год на переналадку
оборудования завода, выпускающего изделия партиями.
Выведите формулы оптимального размера партии для каждого
типа изделий. Считайте, что с каждой переналадкой
связаны также некоторые издержки.
2.37. Дайте подробный вывод уравнений, определяющих
оптимальные размеры заказов по ряду типов изделий, если
заданы ограничение на площадь складского помещения и
ограничение на максимальные капиталовложения. Считайте,
что дефицит запасов недопустим.
2.38. Дайте подробный вывод уравнений, определяющих
оптимальные размеры заказов для ряда типов изделий, если

94 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
заданы ограничение на площадь складского помещения,
ограничение на число заказов и ограничение на
максимальные капиталовложения. Считайте, что дефицит не
допускается.
2.39. Укажите, какие изменения надо внести в
представленные в данной главе модели, учитывающие
ограничение на максимальные капиталовложения в запасы, если
ограничение устанавливается на средние капиталовложения
в запасы.
2.40. Небольшая мастерская производит партиями три
вида деталей A, 2 и 3). Складские помещения мастерской
имеют площадь 700 м2. Данные по системе приведены
в таблице 2.2. Коэффициент издержек содержания равен
Таблица 2.2
X, единиц/год
А у доллары
С, доллары
f/> м2/изделие
Тип изделия
1
5000
100
10
0,70
2 | 3 1
2000
200
15
0,80
10 000
75
5
0,40
/ = 0,20. Определите оптимальный размер партии по
каждому типу изделий, если дефицит запасов недопустим.
2.41. Можно ли в моделях, рассмотренных в данной
главе, ввести ограничение на общие средства, затраченные
на покупку изделий или создание запасов? Рассмотрите, при
каких условиях такое ограничение можно использовать.
2.42. Фирма, производящая детали для автомобилей,
выпускает коленчатые валы партиями. Фирма решила
применить формулу экономичного размера партии для
минимизации суммарных издержек на переналадку и на хранение
запасов. Ежегодный спрос равен восьми тысячам валов.
Стоимость каждой переналадки равна 245 долларов (исходя
из нормы затраченного времени). Издержки на хранение
одного вала составляют два доллара в год. Предположим,
что в год можно провести лишь четыре переналадки
оборудования. Чему равен оптимальный размер партии? Каков

ЗАДАЧИ Й УПРАЖНЕНИЯ
95
оптимальный размер партии, если бригада наладчиков может
проводить десять переналадок?.
2.43. На складе тары хранятся ящики, каждый из
которых занимает 4 м2 площади стеллажей. Общая площадь
стеллажей составляет . 600 м2. Параметры системы таковы:
Х, = 2000 ящиков в год, Л = 5,00 доллара, С = 2,00 доллара
и /=0,25. Во что обойдется один дополнительный
квадратный метр складского помещения? Сколько будут стоить
100 дополнительных квадратных метров стеллажей?
2.44. Агент снабжения отвечает за поставку трех типов
изделий (табл. 2.3). Инспектор компании установил
ограничение в 2400 долларов на средний запас. Площадь
складского помещения составляет 2500 м2. Данные по типам
Таблица 2.3
Спрос за год, единиц/год
Стоимость заказа, доллары
Стоимость изделия, доллары
Требуемая площадь, м2/из-
делие
Тип изделия
1
1000
10
30
5
2
3000
10
10
10
3 1
2000
10
20
8
изделий приведены в таблице. Коэффициент издержек
содержания / = 0,25. Определите оптимальный размер
поставок по каждому типу изделий.
2.45. Докажите, что при введении дифференциальной
скидки оптимальное значение Q не может оказаться в точке
излома кривой стоимости. Для этого исследуйте
производные функций Kj и KJ+1 в точке qJ+1 и докажите, что
производная KJ+1 меньше производной Kj.
2.46. Фирма, поставляющая корм для собак, может
закупить его по цене 0,06 доллара за 1 кг за первые 1000 кг
и 0,058 доллара за каждый дополнительный килограмм.
Годовая потребность в корме составляет 50 000 кг.
Стоимость подачи заказа равна 1 доллару. Коэффициент
издержек хранения /=0,25. Вычислите оптимальный размер
закупки.

96 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
2.47. Дайте подробный вывод уравнения B.74).
2.48. Поставщик устанавливает цену на партию из Q
приборов в 400-f25Q долларов. Покупателю требуется
в год 2000 таких приборов. Он использует их равномерно.
Прямые издержки, включая издержки по заказу, получению,
проверке и проч., которые связаны с каждой поставкой,
равны 20 долларов на заказ. Коэффициент издержек
хранения составляет /=0,20. Время поставки равно трем
месяцам. Определите экономичный размер заказа и точку заказа,
основываясь на уровне наличного запаса.
2.49. Одна корпорация имеет специальный фонд,
используемый для благотворительных целей, расходы на которые
имеют устойчивый характер. Корпорация пополняет этот
фонд периодически, снимая деньги со своего счета в банке,
который платит 4% годовых. Фонд не должен иссякнуть.
Инкассатору платят по 5 долларов за каждую доставку
денег из банка. Если оптимальное число пополнений фонда
равно девяти, то чему равны годовые расходы на
благотворительные цели?
2.50. Маклерская фирма взимает со своих клиентов
плату в размере 20 + 0,01^ долларов, где v — биржевая
стоимость акций, купленных или проданных в течение
данного дня. Один из клиентов фирмы ежегодно расходует
10 000 долларов, помимо тех 8% дохода, которые он
получает от своих капиталовложений. Считая, что клиент
равномерно накапливает капитал, определите размер
инвестируемого капитала, т. е. чему равно оптимальное значение v?
2.51. Одна фирма осуществляет программу расширения
оборотного капитала, которая потребует ежегодных займов
на сумму 300 000 долларов. Банк представляет кредит
фирме при условии 4% годовых с первых 100 000 и 5%
с дополнительной суммы. Расходы на оформление каждого
займа составляют 500 долларов. Займы не будут возвращены
до полного завершения программы. Чему равен оптимальный
размер каждого займа?
2.52. Решите предыдущую задачу при условии, что
банк устанавливает 4% годовых с первых 50 000 долларов
и 5% годовых с дополнительной суммы каждого займа.
2.63. Предположим, что в последней задаче с займа,
превышающего 50 000 долларов, банк берет 6,5% годовых.
Решите эту задачу.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
97
2.54. Одна фирма предпочитает производить заказы на
два типа изделий одновременно. Характеристики системы
следующие: для изделий первого типа X = 5408 единиц в год,
С=10 долларов, А = 3,00 доллара, / = 0,30; для изделий
второго типа X = 845 единиц в год, С =1,00 доллара,
А = 3,00 доллара, /=0,30. Дефицит не допускается. Заказы
можно подавать только в начале недели. Определите
наилучшую стратегию подачи заказов на эти два типа изделий, если
заказы производятся одновременно. Чему равны средние
годовые издержки при такой стратегии заказов? Подсчитайте
дополнительную экономию, которую можно получить, если
при заказе изделий разных типов придерживаться различных
стратегий.
2.55. Агент снабжения, специализирующийся на запасных
частях для самолетов, должен выбрать один из трех
источников снабжения. Источник А продает деталь по цене 10
долларов независимо от размера заказа. Источник В не
принимает заказ меньше, чем на 600 деталей, но продает их по
цене 9,50 доллара, если заказ подан на 600 или более
штук. Источник С не принимает заказ меньше, чем на
800 штук, но продает их по цене 9 долларов каждую, если
объем заказа равен 800 штук или более. Годовая
потребность в этих деталях составляет 2500 штук при /=0,25.
Каждый раз при подаче заказа фиксированные расходы равны
300 долларам. Какой источник снабжения следует выбрать?
Чему равны годовые издержки, связанные с заказами,
хранением и закупкой деталей?
2.56. Предположим, что в предыдущей задаче источник
В требует, чтобы объем заказа был не меньше 3000 штук,
а источник С—55 000 штук. Стоимость заказа составляет
100 долларов. Решите задачу для новых данных.
2.67. Товар продается со склада по цене р за единицу,
а спрос за год равен X единиц. Если заказ на пополнение
равен Q единиц, то стоимость изделия составляет b + (a/Q).
Стоимость подачи заказа равна Л, а коэффициент издержек
содержания равен /. При каком размере заказа на
пополнение средняя годовая прибыль будет максимальна при
условии, что дефицит недопустим?
2.58. Пусть годовой спрос на некоторый товар составляет
Я единиц. Если заказывается Q^gx единиц, то стоимость
одной единицы равна q0e~aQ, а если Q>qlt то стоимость
4 Дж. Хедли, Т. Уайтин

98 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
единицы равна b = q0e~aeii. Фиксированная стоимость заказа
равна Л, а коэффициент издержек содержания равен /.
Покажите, как определить оптимальный размер заказа, если
дефицит недопустим.
2.59. Рассмотрим кривые, определяемые выражением B.74).
Пусть Я, А и / фиксированы, a Cj будет переменным
параметром. Обозначим через Q* такое Q, при котором для
заданного Cj издержки К достигают минимума. Пусть
минимальное значение К равно К*. Найдите кривую, являющуюся
геометрическим местом точек (Q*, 1С) при изменении С- от
нуля до бесконечности.
2.60. Выведите формулы для оптимальных значений Q и s
в случае, когда принята система учета требований, причем
нужно учесть дискретность Q и s. Считайте, что я = 0,
а пфО. Используйте методику из параграфа 2.4.
2.61. Объясните, почему в случае, когда принята система
учета требований и зх = 0, а я Ф 0, то всегда s* либо равно
нулю, либо бесконечно велико. Указание. Используйте
рассуждения, аналогичные рассуждениям из параграфа 2.6.
2.62. Покажите для уравнения B.26), что если s* = 0,
то 7tX — Kw. Покажите также, что если в уравнении B.27)
принять n% — Kw, то Q* = Qvf.
2.63. Покажите, что для уравнений B.8) и B.11)
соответственно имеем
dQ^J^dA dK^^dA
Q* ~~ 2 А ' К* ~ 2 А '
Что это говорит об относительном изменении Q* при
небольших относительных изменениях Л? Определите для примера
на стр. 55 приблизительное изменение Q*, если А возрастает
до 8,50 доллара. Чему приближенно равно изменение /С*?
Чему равно точно изменение Q* и К*? Выведите формулы,
аналогичные вышеприведенным, для изменений %, С и /.
2.64. На складе хранятся п типов изделий. Было
установлено, что проверка и подача заказов на пополнение
должны производиться для всех типов изделий одновременно.
Пусть Т означает время между проверками, А — стоимость
проверки и подачи заказа на все п типов изделий,
/—коэффициент издержек содержания, Яу —годовой спрос на
изделия у'-го типа и Cj — стоимость изделия у-го типа. Выведите
формулу для оптимального значения Г, минимизирующего

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
99
средние годовые издержки, связанные с проверками и
хранением для'Всех п типов изделий при условии, что дефицит
недопустим; Найдите оптимальное значение Тдля системы
со следующими параметрами: А = 75 долларов, 7=0,20,
Я1==500, л.2 = 300, Х3= 1000, Сх = 2,00 доллара, С2*=
= 25,00 доллара, С3 = 10,00 доллара. Вычислите средние
годовые издержки и размер заказа по каждому типу изделий.
Предположим, что имеется возможность применить <Q, г>-
модель для каждого типа изделий отдельно при стоимости
заказов Аг= 15 долларов, Л2 = 40 долларов, Az — 20
долларов. Определите оптимальные значения Q и средние
годовые издержки по этим трем типам изделий. Сколько можно
сэкономить, если для каждого типа изделий использовать
<Q, г>-модель?
2.65. За исключением параграфа 2.7, в этой главе было
принято, что заказы на пополнение не разделяются, т. е.
все Q единиц поставляются одной партией. Предположим
теперь, что каждый раз поставка производится частями —
часть f±- поступает через хг после подачи заказа, а часть
A—/i) поступает через т2 после подачи заказа. Выведите
формулы для оптимального значения Q и точки заказа, исходя
из предположения, что учет невыполненных требований
недопустим. Как можно проверить отсутствие дефицита?
2.66. Рассмотрите задачу об определении оптимального
значения Q при наличии дифференциальной скидки и системы
учета требований. Покажите, что модели из параграфа 2.12
применимы и в этом, более общем случае.
2.67. Какой вывод можно сделать, используя уравнение
B.11), относительно экономической стороны эксплуатации
складских систем различного масштаба, т. е. при прочих
равных условиях, что было бы выгоднее иметь большую
систему с большой интенсивностью спроса или малую систему
с относительно малой интенсивностью спроса?
2.68. Фирма имеет несколько складских помещений. Пусть
интенсивность спроса на /-м складе равна %;. Управление
складами можно вести децентрализовано, когда с каждого
склада подается свой заказ установленного размера при
определенной точке заказа, или же централизовано, когда
размер заказа и точка заказа установлены для системы в целом,
а внутри системы поставки распределяются. Покажите, что
если стоимость изделия постоянна, коэффициент издержек
4*

100 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
содержания для всех складов одинаков, то стоимость заказа и
время поставки не зависят от структуры управления, т. е. от
того, происходит ли управление централизовано или
децентрализовано. Покажите, что если транспортные расходы по
доставке товаров от поставщиков к складам также не зависят
от способа функционирования, то централизованное
управление всегда выгоднее децентрализованного. Изменится ли этот
вывод, если ввести скидку на размер заказа? При анализе
считается, что дефицит недопустим.
2.69. Рассмотрим простейшую детерминированную <Q, г>-
модель, изученную в этой главе, т. е. модель, в которой
дефицит недопустим, а стоимость изделия не зависит от
размера заказа. Предположим, что вместо того, чтобы
определять Q* и г* из условия минимума средних годовых
затрат, эти значения ищутся из условия минимума
переоцененных затрат в будущем. С учетом такой переоценки
можно получить разные ответы в зависимости от того, от
какой точки в цикле ведется отсчет времени. Для простоты
примем, что время отсчитывается от точки, непосредственно
предшествующей поставке заказа, чтобы в нулевой момент
наличный запас был равен нулю. Представим, что
используется непрерывная переоценка (читатель найдет ее
описание на стр. 426). Если годовой коэффициент переоценки
равен /, то текущая стоимость расходов Н в момент t будет
равна Не~и. Рассмотрим теперь любой цикл, начало
которого берется от момента поставки заказа. Стоимость подачи
заказа и стоимость Q единиц, переоцененная к началу цикла,
равна (Л \-CQ)e~itry где tr означает время от поставки
заказа до достижения точки заказа. При расчете
переоцененной стоимости расходов следует учесть стоимость товара,
даже если С постоянная величина. Почему? Стоимость
хранения, переоцененная к началу цикла, равна
т
I0cl(Q—%t)e-tidt.
о
При учете переоценки не следует в общем случае вводить
интенсивность спроса в стоимость хранения, потому что она
учтена в /. Мы обозначим через /0 коэффициент издержек
хранения без учета нормы прибыли. (Читатель должен
изучить этот вопрос детально, чтобы представить себе, почему

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
101
норма прибыли не должна включаться.) Пусть Я будет общей
стоимостью расходов за цикл, переоцененной ко времени
поставки заказа. Тогда переоцененные будущие издержки
равны
00
3 = Я 2 е~ыт-
п = о
Определите Q, при котором достигает минимума g.
Разложите в ряд по степеням / выражение для g и покажите, что
в первом приближении
0> i/ ЫА _0
Как частота подачи заказов влияет на точность этого
приближения? В качестве конкретного примера рассмотрите
случай, когда А ==15,00 доллара, С = 20,00 доллара, /==0,10,
/ = 0,10, X = 1000 единиц в год. Определите точное
значение Q, минимизирующее g, и величину Qw. Выберите в
качестве начальной другую точку, отличающуюся от точки
поставки заказа, и подсчитайте g в этом случае. Одинаковы
ли результаты при малых значениях П Предположим теперь,
что вместо непрерывной переоценки годовой процент равен /
и его учет производится раз в течение цикла, т. е.
текущая стоимость затрат И в начале цикла будет равна
///A+Q//A,). Подсчитайте для этого случая g. Насколько
она отличается от g, полученного при учете непрерывной
переоценки? Чему теперь равно Q*? Используя то же
разложение, что и для непрерывной переоценки,найдите
приближенное значение Q*. Равно ли оно Qw? Покажите также, что
при различных условиях переоценки — с момента подачи заказа
или с момента получения заказа — могут быть получены
различные результаты. Какой способ переоценки использован
выше? Указание. Решение уравнения dQ=0 для Q* в явном
виде может оказаться трудным. Для получения предельных
соотношений определите коэффициенты при Л, С, 10С и
разложите их в степенной ряд по /, используя только низшие
ненулевые степени /. Может оказаться, что в начале полезно
считать, что /г = 0 и /0 = 0.

102 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ [2
ЛИТЕРАТУРА
1. Bowman E. H. and R. В. Fetter, Analysis for Production
Management, Revised Ed. Homewood, Illinois: Richard D. Irwin,
Inc., 1961.
2. ЧерчменС. У., Арноф Р. Л., Акоф Е. Л., Введение в
исследование операций, перев. с англ., изд-во «Наука», 1968.
Главы 8, 6, 10 посвящены вопросам управления запасами. В главе 8
рассматривается простейшая модель размера партии, когда дефицит не
допускается, и модель с учетом неудовлетворенных требований при
условии, что л=0. В этой главе рассматривается также ряд простых
вероятностных моделей. В главе 9 очень подробно рассматриваются оптовые
скидки и предлагается примерно тот же порядок вычислений, что в данной
книге. Глава 10 посвящена элементарному изложению задач с
ограничениями и метода множителей Лагранжа.
3. Fetter R. В. and W. С. Dal leek, Decision Models for
Inventory Management, Homewood, Illinois: Richard D. Irwin, Inc. 1961.
В главах 1, 2 авторы рассматривают простейшую формулу размера
партии без дефицита и случай конечной производительности' при
отсутствии дефицита. Рассматриваются также некоторые вероятностные модели.
Рассматриваются оптовые скидки; однако предложенный метод
определения оптимального значения Q представляется нам неверным.
4. Magee J. F., Production Planning and Inventory Control, New
York. Mc Graw-Hill Book Co., Inc., 1958.
5. Morris W. Т., Engineering Economy Homewood, Illinois:
Richard D. Irwin, Inc., 1960.
6. Raymond E. E., Quantity and Economy Manufacture, New York:
McGraw-Hill Book Co., Inc., 1931.
7. Sasieni, M. A. Jaspan and L. Friedman, Operations
Research, Methods and Problems, New York: John—Wiley and Sons,
Inc., 1959.
В главе 4 рассматриваются модели складских систем Рассматривается
простейшая модель размера партии без дефицита, а также ей тема о учетом
неудовлетворенных требований при л:=0. Приводится также модель
складирования при конечной производительности без дефицита. Половина главы
посвящена достаточно простым вероятностным моделям.
8. Welsh W. E. Scientific Inventory Control, Greenwich, Conn:
Management Publishing Corp., 1956.
Изложение чрезвычайно элементарно, предназначено для работников
промышленности, не имеющих математической подготовки, которым нужно
ознакомиться с прикладными вопросами.
9. W h i t i n Т. М. The Theory of Inventory Management, Revised
Ed., Princeton N.J., Princeton University Press, 1957.

3
Теория вероятностей и случайные процессы
Чтоб выдумкой своей не вызывать
сомнения,
Используй вероятности по ходу
изложения
Джон Гэй.
3.1. Введение
Прежде всего отметим, что спрос на запасы товаров
можно указать точно только в очень редких случаях.
Поэтому спрос следует описывать в вероятностных терминах.
В реальных моделях управления запасами должна
учитываться неопределенность спроса. Зачастую случайный
характер имеют и времена поставок. В данной главе излагаются
основные сведения теории вероятностей и теории случайных
процессов. Этот материал понадобится для усвоения
содержания последующих глав. Предполагается, однако, что
читатель знаком первоначально хотя бы с кратким введением
в теорию вероятностей.
3.2. Основные законы теории вероятностей
Напомним, что основания теории вероятностей можно
строить с различных точек зрения, используя 1) априорный
метод, основанный на принципе «равновозможности», 2)
частотный подход, 3) степень уверенности познающего
субъекта, 4) аксиоматический подход. При решении некоторых
практических задач часто пользуются одновременно
различными определениями вероятности, например, частотным
определением и определением, в основу которого положен
принцип «равновозможности». Мы не будем здесь пытаться
развивать теорию с какой-либо из указанных точек зрения.
Вместо этого будут изложены основные правила
действий над вероятностями, которые должны быть знакомы

104 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
читателю. Одновременно будет объяснен смысл этих
действий.
Рассмотрим некоторый эксперимент, результат которого
может состоять в наступлении одного или нескольких
событий из конечного числа п событий. Эти события
символически будем обозначать Аг, ..., Ап. Предположим, что
результат этого эксперимента имеет недетерминированный
характер, и его можно описать в вероятностных терминах.
Пусть р (Aj) означает вероятность возникновения события Aj.
Для обозначения совместного возникновения событий Ai и Aj
используется запись А([\Ар 1ф], а А([}Ар ьф),
означает возникновение событий Ai или Aj. Символ Л,- служит
для обозначения того, что событие At не возникает. Три
основных закона теории вероятностей представляются в виде
1) о<Р(лу);<1, C.1)
2) p(Ai[)Aj)=p(Ai)+p(Aj)-p(Ai()AJ), 1ф], C.2)
3) p(AinAj)=p(Ai\Aj)p(Aj) = \
= Р (Aj | At)p (Л,), 1Ф1 р (Лу), р (А<) Ф 0, i C.3)
р (А; Л AJ) = 0, если р [Aj) = 0 или р (А() = 0. J
Неравенство C.1) просто указывает, что p(AJ) является
неотрицательным числом, не большим единицы. Если Aj не
происходит вообще, то р (Aj) = 0, и если Aj происходит
всегда, то /?(Лу) = 1. Второй закон устанавливает, что
вероятность возникновения событий Ai или Aj равна
вероятности возникновения Ai плюс вероятность возникновения Aj
минус вероятность того, что произойдут события At и Aj.
Два события Ai и Лу, ьф], называют взаимно
исключающими, если они не могут происходить совместно, т. е. не
может возникнуть событие А( и Aj\ тогда p(Ai(]Aj) = 0.
Для взаимно исключающих событий соотношение C.2)
приобретает вид
Р (Л; U Aj) =р (А^ +Р (Aj), l ф j. C.4)
Из определения Aj следует, что Aj и Aj суть события
взаимно исключающие*. Более того, либо Лу, либо Aj должно
произойти. Отсюда
p(Aj[)Aj) = \=p(Aj)+p(Aj).
* Иначе — несовместные. (Прим. перге.)

3.2] ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 105
В более общем случае предположим, что имеется конечное
множество взаимно исключающих событий Аг, .. .,ЛГ. Это
означает, что события, состоящие в совместном
возникновении комбинаций двух или более событий из этого
множества, невозможны. Тогда
РИхUЛ2U • • • UAr) =p(At) +p(Л2) +...+р(Аг). C.5)
Для доказательства этого соотношения введем новое событие
Al = A2\jA3[) ... [)АГ и заметим, что р(Л1П^) = 0, так
как Аг не может произойти совместно с любым событием
Л2, . ..,ЛГ, т. е. с А\. Таким образом,
Р (Аг U Ла U ... U Аг) =р (Аг U At) =p (Аг) +р(А*2).
Те же рассуждения повторим для р (АI) и т. д., пока не
будет доказано соотношение C.5).
Третий закон C.3) служит для определения условных
вероятностей p(At\Aj) и p(Aj\A(). Эти условные
вероятности имеют следующий смысл: р(А(\А^) является
вероятностью того, что Л,- происходит (или произойдет), если
известно, что событие Aj уже произошло. На практике такое
интуитивное объяснение смысла р (Ai \ Aj) позволяет
вычислить эту вероятность непосредственно, не применяя C.3).
Если событие таково, что
p{At\A,)=p(A,),
то условная вероятность не зависит от Лу. В таких случаях
говорят, что события А; и Aj независимые, а
соотношение C.3) принимает вид
p(Ai[\AJ)=p(Ai)p(AJ)y 1ф]. C.6)
События А; и Aj являются независимыми, если
возникновение At не оказывает влияния на появление Лу, и наоборот.
Пример. Если основания теории вероятностей строить с
помощью принципа «равновозможности», то законы C.1)—C.3) также
можно вывести. Будем считать, что результаты изучаемого
эксперимента можно описать с помощью конечного числа п равновероятных
и взаимно исключающих исходов. Если п{ этих исходов обладают
свойством Л/, то вероятность события Л/

106 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
Так как Я/^0, п{^п и п > 0, то кераЕенстЕо C.1) вытекает
непосредственно и^ этого определения. Если п,у исходов обладают
свойствами А{ и Aj, то число исходов, имеющих свойстео Ац или А]у,
равно п/ + я/—л//э и отсюда
П; tit Tift
p(Ai{jA/) = -+-±-1[-=p(Ai) + p {Aj) -p (А,- П A,),
qTo соответствует C.2). И наконец, заметим, что
рМ/П^)«™^:-5=рМ/М/)рМ/). */*°-
где n,y/n равно вероятности Л/ при условии, что исход Aj уже имел
место, т. е.
tiff
А это и есть соотношение C.3).
Часто бывает удобно представить п исходов эксперимента
символически точками некоторого пространства. Это
пространство называют выборочным. Если предположить, что
исходы представляются
точками плоскости, то можно
нарисовать диаграмму
исходов, как показано на рис.
3.1. Выборочное
пространство будет состоять тогда из
точек (представленных
крестиками) внутри
прямоугольника. Множество исходов
со свойством А( является
множеством всех точек
внутри заштрихованной области,
помеченной индексом At.
Аналогично множество
исходов со свойством Aj является множеством всех точек
внутри заштрихованной области, помеченной индексом Лу.
Множество точек со свойствами А( a Aj представлено
дважды заштрихованной областью, т. е. эти точки представляют
собой множество точек со свойством Aff)Aj. Множество
точек со свойством AfljAj является множеством цсек точек
заштрихованных областей,

3.3] ДИСКрЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 107
С помощью рис. 3.1 довольно легко вывести формулу
C.2). Если исходы А( и Aj взаимно исключают друг друга,
то на рис. 3.1 области, представляющие Л/ и Лу«, не
пересекаются.
3.3. Дискретные случайные величины
Многие события, которые будут рассмотрены в этой
книге, можно представить неотрицательными целыми числами.
Например, таким событием может быть месячный спрос на
товары. Рассмотрим некоторый эксперимент со взаимно
исключающими исходами 0, 1, 2, ...,/г. Пусть р (х) будет
вероятностью того, что исход этого эксперимента можно
описать неотрицательным целым числом х. Но так как одно
из целых чисел 0, 1, . . ., п должно описывать этот исход
и так как не более чем одно число служит описанием исхода
(из-за несовместимости событий), то
/>@U1U2U...U*) = 1 =
= Р@)+РA)+ ... +/>(*)= 2/>(*)• C.7)
Если эксперимент осуществляется много раз, то
отношение числа исходов, описываемых целым числом лг, к общему
числу экспериментов будет стремиться к р{х). Тогда можно
считать, что исход эксперимента описывается переменной ху
а вероятность исхода р(х) можно будет рассматривать как
функцию х. Переменная X*, принимающая только
неотрицательные целые значения 0, 1, ... , #, называется случайной
величиной, так как она описывает исход эксперимента,
определяемый законами случайности, р (х) называют
распределением вероятностей случайной величины X; р(х) должно
удовлетворять C.7) и неравенству 0^р(л:)^1. Заметим,
что р(х) должно быть определено для каждого возможного
исхода х, а исходы нужно определить так, чтобы они были
взаимно исключающими.
Рассмотрим теперь вероятность р (О (J 1 U ... U f), г ^ #,
которая является вероятностью того, что X принимает зна-
* Прописными буквами обозначены случайные величины, а
принимаемые ими значения—строчными. В оригинале книги такого
различия нет. (Прим. перев.)

108 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
чение или 0, или 1 ... , или г, т. е. вероятностью того, что X
принимает значение, меньшее или равное г. Обозначим эту
вероятность через Р(г). Тогда
P(r)=p@UlU...Ur)=p@)+p(l)+ ... +р{г). C.8)
Отметим, что г может принимать те же значения, что и дг,
а именно 0, 1, ... , п. Можно определить новую функцию Р (х),
которую мы будем называть функцией распределения X.
Она является вероятностью того, что исход эксперимента
принимает значения, меньшие или равные х. Часто
используют другую функцию, которая определяется как
P(x) = l-p(x_l)==p(x)+p{x+l)+ ... +p{n)a (з.9)
Р(х) представляет собой вероятность того, что исход
эксперимента будет принимать значения, большие или равные х.
Часто удобнее пользоваться функцией Р(х), а не Р(х).
Случайная величина Ху введенная выше, принимающая
только п +1 целочисленных значений, называется
дискретной случайной величиной. Вообще говоря, любая случайная
величина, которая может принимать только целочисленные
значения, называется дискретной. Вероятностный закон,
описывающий дискретную случайную величину, однозначно
определяется распределением вероятностей или функцией
распределения. Вероятностный закон также называют
распределением случайной величины, которое для дискретной
случайной величины именуется дискретным распределением.
Важный случай дискретного распределения составляет
так называемое биномиальное распределение, к которому
приходят при повторении независимых «испытаний», каждое
из которых имеет только два возможных исхода. Без потери
общности эти исходы можно классифицировать как успех
и неудачу. Пусть р — вероятность того, что испытание
заканчивается успехом, а A — р) — неудачей. Представим
себе, что испытания проводятся последовательно. Определим
вероятность того, что первые х испытаний (О^лс^л)
заканчиваются успехом, а последние п — х — неудачей. Так как
испытания проводятся независимо, то искомая вероятность
равна произведению вероятностей каждого из событий,
т. е. р*A—р)п~х- Тот же самый результат получается для

3.3] ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 109
вероятности х успешных и п—х неудачных исходов э
любом установленном порядке.
Далее определим вероятность х успехов в п испытаниях
независимо от порядка, в котором наблюдались успешные
исходы. Заметим, что события, соответствующие наблюдению
х успехов в различных последовательностях испытаний,
являются взаимно исключающими. Отсюда вероятность
наблюдения х успехов безотносительно порядка их появления
равна сумме вероятностей наблюдения х успехов в каждой
возможной последовательности. Вероятность наблюдения х
успехов в любом заданном порядке равна рхA — р)*~*.
Остается вычислить число комбинаций, в которых
наблюдаются х успешных исходов. Это число равно числу способов,
которыми п объектов (испытаний) можно разделить на две
группы (безотносительно порядка их в группе) так, чтобы
в одной было х объектов, а в другой п — х. Это число
равно числу сочетаний из п по х, т. е. п\/(х\ (п—л;)!).
Вместо последнего выражения будем применять обозначение
( j. Таким образом, вероятность появления х успешных
исходов в п испытаниях независимо от порядка равна
р(х) = Ь(х;пур)=щ?^рх(\-р)»-*, 0<р<1. C.10)
Число успешных исходов X можно считать случайной
величиной, принимающей значения 0, 1, ... , /г, а Ъ (х; п, р) —
распределением вероятностей для этой случайной величины.
Заметим, что
п
Е(*)рМ1-р)"-* = [р+0-р)]',==1> (з.п)
а Ь(х\ л, р) является х-м членом разложения бинома
[Р + A—Р)]п» В дальнейшем часто будет использоваться
разложение бинома (jc-f-^O1, которое для любого
действительного значения п представляет собой частный случай
разложения Маклорена
00
/w=L4/</,@)x/'
1 = 0'

110 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ \3
когда f(x) = (x-\-b)n. /{J)@) является j-ft производной f(x)
в точке # = 0. Когда f (х) = (х-\-b)ny
/</>@) = л(л — 1)...(л—y+l)ft»4 у>1; f«>=f@)=b°
и отсюда
/ (*) = ft» + Ё "("-О---(*-/+!) ^я-у
в том случае, если этот ряд сходится. Этот ряд сходится,
если \х/Ь\<\. Для положительных целых значений п
/(/>@) = 0, j > /z, и бесконечный ряд становится суммой
конечного числа я-f-l членов
п
/=о ЧУ у
где я—положительное целое число. Если п является
отрицательным целым числом, то
л (л-1)... («-/+!) =
= (-1И(|«|+у-1)(|л!+у-2)...|л| = (-1)/^^±/=|1)
и потому
со
(*+*г»=2 (-^i)/(nti71)Jf/*"""/'
/=о v '
где п — положительное целое число и |л;/Ь|<1.
Примеры. 1. На базе имеется п ракетных снарядов,
исправность которых проверяется каждый месяц. Если вероятность того, что
снаряд будет исправен в течение месяца, равна р и если все п
снарядов исправны в начале этого месяца, то выражение C.10)
позволяет найти вероятность того, что х снарядов будут исправны в конце
месяца.
2. Монета бросается п раз. Вероятность выпадения герба равна р.
Тогда вероятность выпадения герба х раз определяется по формуле
C.10). Для того чтобы проверить (ЗЛО), вообразим, что монета
бросается трижды, а нам нужно вычислить вероятность выпадения герба
дважды. Обозначим выпадение герба через Я, а выпадение решетки
через Т. Тогда желаемый результат можно получить тремя способами
ННТу НТН и ТНН. Вероятность каждой из этих серий равна
р2A — р), так что вероятность двухкратного выпадения герба равна
3!
Зр2A — р). Но^г-1гг = 3, так что из C.10) также получим Зр2 A — р).

3.3] ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 111
Выше была введена случайная величина, определенная
на конечном множестве неотрицательных целых чисел. Далее
будут использованы случайные величины, определенные на
счетном множестве неотрицательных целых чисел.
Как и ранее, предположим, что исход эксперимента
описывается одним и только одним неотрицательным
целочисленным значением х. Так как различные значения х взаимно
исключают друг друга, то
Sp(*) = 1> P(x)>0. C.12)
Для конечных п соотношение C.7) можно было доказать
с помощью основных законов C.1), C.2), C.3), тогда как
C.12) непосредственно из C.1), C.2), C.3) не следует.
Поэтому примем C.12) в качестве постулата*.
Интересный для практики случай представляет
распределение Пуассона, когда
Р(х)=р(хц1) = ^е-», *.-=0, 1,2, ..., C.13)
где \i — некоторая постоянная, физическая интерпретация
которой будет дана позднее. Пуассоновское распределение
вероятностей будем обозначать через р(х; |х). Функции
распределения Р(х; [i) и Р(х; \х) тогда имеют вид
* J * 7
P(*IV) = ?*%•'-*' P^^-StT^- (ЗЛ4)
/=0 '* \-х *
Заметим, что
00 00
х=0 х=0
так как
<*»
е*=У^
/=о '
Другим распределением случайной величины,
определенной на счетном множестве неотрицательных целых чисел,
* См., например, М. Лоэв, Теория вероятностей, ИЛ? М,?
1962, стр. 23. (Прим. перге.)

112 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
является отрицательное биномиальное распределение.
Отрицательное биномиальное распределение л-го порядка имеет вид
Р(х) = Ь„{х;п,р) = (х+^1У)р*A-р)*,
0<р<1, * = 0, 1, 2,..., C.15)
где п—положительное целое число, а р—постоянная. Для
отрицательного биномиального распределения далее будет
использовано обозначение bN(x; n, р). Из разложения бинома
[1—A—p)]~w = p~n получим
р—f(*?7>-p>--
Умножив обе части равенства на р", убеждаемся, что сумма
bN(x\ я, р) по х от 0 до оо равна единице. Отрицательное
биномиальное распределение можно получить различными
способами. Предположим, что при бросании монеты
вероятность выпадения герба равна р. Монета бросается до тех
пор, пока герб не выпадет п раз. Какова вероятность того,
что потребуется точно х + п бросаний для выпадения герба
п раз? Это означает, что герб выпадаете первых х + п—1
испытаниях п — 1 раз и при /z-м бросании выпадает герб.
Вероятность первого события равна Ь(х+п—1,/г—1; р), а
второго р. Отсюда результирующая вероятность равна
pb(x + n—1; п—1, р), что соответствует C.15). Поэтому
случайная величина X имеет отрицательное биномиальное
распределение.
Для п=\ из C.15) получим
p(x) = bN(x;\9(>) = p(l—p)*, * = 0, 1, 2,... C.16)
Такое распределение вероятностей называется геометрическим
Ранее было отмечено, что вероятность невозможного
события равна нулю. И наоборот, если X является
случайной величиной, определенной на конечном или счетном
множестве неотрицательных целых чисел, то выражение р (х) = 0
для конкретного значения х понимается так, что целое
число х никогда не появляется. В тех случаях, однако,
когда необходимо оценить вероятность по
экспериментальным данным, выражение р(х)—0 интерпретируется как
услозие возможного, но очень редкого появления х,

3.4] НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 113
3.4. Непрерывные случайные величины
В предыдущем разделе были рассмотрены случайные
величины, определенные на конечном или счетном
множествах неотрицательных целых чисел. Теперь рассмотрим
переменные, которые могут принимать любые значения от О
до оо или от — оо до оо и которые нельзя указать с
определенностью. Такие переменные называются непрерывными
случайными величинами. При переходе к непрерывному случаю
нужно несколько видоизменить вероятностное описание
случайных величин. Это видоизменение аналогично тому, с чем
приходится сталкиваться в механике при переходе от
изучения объектов с массой, сосредоточенной в точке, к
непрерывному распределению масс. Говоря нестрого, если для
каждого значения х (или даже для каждого значения х
в некотором интервале а^х^Ь) имелась бы некоторая
положительная вероятность, то было бы невозможно,
суммируя эту вероятность по всем значениям х, получить единицу.
Поэтому вероятность любого заданного значения х должна
равняться нулю. Введение непрерывной случайной величины
в действительности является математической абстракцией.
Даже время, по тому как мы его измеряем, не является
непрерывным. Рассматривая непрерывную случайную величину,
интересуются вероятностью того, что X будет находиться
в некотором интервале а^.Х^.Ь. Нас не будет
интересовать вероятность того, что X принимает заданное значение;
нас будет интересовать лишь вероятность того, что X
находится в некотором интервале.
Для этой цели введем некоторую функцию f(x) ^ 0,
называемую функцией плотности для X. Эта функция обладает
тем свойством, что вероятность того, что а^Х^Ь,
ь
p(a^X^b)=^f(x) dx. C.17)
а
Важно отметить, что f(x) не является вероятностью
того, что Х = х. Вероятность того, что X находится
внутри интервала (х, x + dx), равна f(x) dx.
Графически/^) можно представить кривой на плоскости.
Вероятность р(а^Х^Ь) является площадью, ограниченной этой
кривой и осью х от точки х = а до х — Ь, как показанд

114 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
на рис. 3.2. Поскольку X может принимать любые
значения от —оо до оо, имеем
J f{x)dx = \. C.18)
— 00
Из C.17) следует, что вероятность р(Х~а) равна нулю,
так как это означает Ь = а.
Будем рассматривать непрерывные случайные величины,
которые принимают неотрицательные значения и которые
Рис. 3.2.
могут принимать любые действительные значения. Без потери
общности для непрерывной случайной величины, принимающей
только неотрицательные значения, можно расширить область
возможных значений до всех действительных чисел, если
при этом принять функцию плотности равной нулю для всех
X < 0. Такое определение функции плотности будет
гарантировать, что вероятность р(хх^.Х^.х2) = 0 прил^, х2 < 0.
Кроме того, нижний предел интегрирования изменяется с — оо
на 0. Любую функцию f(x) ^ 0, для которой выполняется
соотношение C.18), можно рассматривать как функцию
плотности вероятности. Функция
X
?(*)=$ fil)dl C.19)
— СО
называется интегральным распределением вероятностей, или
функцией распределения X. F (х) равна вероятности того,
что случайная величина X принимает значения, меньшие или
равные х. F(x) = \—F(x) является вероятностью того, что

3.4] НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 115
X принимает значения, большие или равные а*. Заметим, что
Вероятностный закон для непрерывной случайной величины
однозначно определяется либо функцией плотности
вероятности, либо интегральным распределением F(x), либо F(x).
Распределение непрерывной случайной величины называется
непрерывным распределением.
При изучении непрерывных случайных величин часто
приходится оперировать некоторой функцией 0(X) от случайной
величины. Тогда V = Q(X) также является случайной
величиной. Определим плотность V по известной плотности
вероятности f(x) для X. Предположим, что V=Q(X) имеет
обратную функцию с непрерывной первой производной. Таким
образом, можно записать X = ty(V) (для различных областей
значений X функция я|э может принимать разные формы)
и dx = ty' (v) dv, где tyf = dty/dv. Тогда
\/(x)dx= J f[4>(v)]y>'(v)dv=\, C.20)
-00 6(-00)
где пределы интегрирования в C.20) соответствуют
значениям х = — оо и л; = оо. Переменная v может изменяться
и не от — со до оо. Предположим, что v принимает значения
01 ^min Д° ^тах- Преобразовывая интеграл в выражении C.20)
справа к виду
утах
J h{v)dv=i, h(v) = 0 для v>vmax, v<vminC.2\)
umin
и определив h (v) ^ 0 из условия нормировки, получим
функцию плотности распределения V. В тех случаях, когда
переход от X к V является взаимно однозначным и г|/ ^ 0, так
ЧТ0 <1п = в(— °°) И ^тах = 0(°°)' ТО h(v)=*f ft (V)]V (V).
Если переход от X к V взаимно однозначен и i|/^0,
a ^min = 6(oo) и vmax = Q(—оо), то в C.21) нужно изменить
пределы интегрирования так, чтобы h(v) = —/[я|> (v)] г|/ (v).
В общем случае при взаимной однозначности перехода
от X к V выполняется соотношение h (v) =f[ty(v)] |г|)' (v) |.

116 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
Если г|)A/) не является единственной обратной функцией
и различным областям значений X соответствуют различные
функции г|), то правая часть C.20) распадается на сумму
интегралов для каждой функции я|) с соответствующими
пределами интегрирования. Пример такого случая будет
приведен ниже.
Наиболее распространенным видом непрерывного
распределения является нормальное распределение
(*-ц)»
п(х; !Х, o)=yj=-e~ 2<" , C.22)
где \i и а —постоянные, смысл которых станет ясным из
дальнейшего изложения. Коэффициент \/(у 2па) появляется
из условия нормировки C.18). Покажем, что
_<*-м.)«
е
V2,
$-"
по — со
d* = l. C.23)
Введем новую переменную да = -, так что dx = adw,
т. е. г|)' = а. Когда х = —оо, да =— оо, а когда л: = оо,
да = оо. Поэтому функция плотности для W, обозначенная
как ф^), является плотностью нормального распределения
с|х = 0иа=1. Другими словами,
ф (да) = у= е~ 2 = п [г|> (да); |i, о] ф' (да). C.24)
Для доказательства C.23) достаточно показать, что
1
00 W%
б = ,.L_ Г е 2 dw—\.
Заметим, что
00 ог>* °° и* со оо (ш2+«2)
— СО —СО —00—00
Введем полярные координаты да2 + и2 = г2, да = г cos 6,

3.4] НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 117
и = г sin 0
б2= -gjj-f \ге~тс1гс1в= \re~^ dr = С *-*rfg = l,
0 0 О О
что и требовалось доказать. В качестве другого примера
непрерывного распределения рассмотрим гамма-распределение
с плотностью
у(х; a, P) = j а! > Х^"> C.25)
I 0 , *<0,
где а—неотрицательное целое число, а E — любое
положительное число. Функция у(х; а, р) называется плотностью
гамма-распределения порядка а 4-1. Докажем, что условие
нормировки C.18) выполняется и в этом случае. Заметим,
что
СО 00 СО
J Y(*; a, P) = ± §№xre-9*dx = ±§ife-"du,
-со О О
где и = $х. Интегрируя по частям, получим
со со
-со О
со
= 7-Лп {ua-1e'adu.
(а—1)! J
о
Повторив эту процедуру а раз, имеем
со со со
С 7(лг; а, р) dx = [ e~udu = — e~u 1 =1,
-со О О
что и требовалось доказать. Можно также показать, что
интеграл вида
со
Г(а+ 1) = J P фхуе-^dx C.26)
о
сходится для любого действительного а> — 1. Значение
этого интеграла зависит только от а и обозначается через

118
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[3
Г(а+1). Этот интеграл называется гамма-функцией от
аргумента а+1. Таким образом, C.25) можно обобщить
для любого действительного а> —1, если а! заменить
на Г (а+1). Если а неотрицательное целое число, то
Г(а+1) = оь!.
Примеры. 1. Если в C.25) а = 0, то
y(*;-o, Р)
_/ Р?
-з*
,*
О,
О , х < О,
что является частным случаем гамма-распределения, именуемым
экспоненциальным распределением. Плотность экспоненциального
распределения будем обозначать
через е (х; $) = у (х\ О, Р).
Интегральное распределение для
г (х\ Р) имеет вид
X
?(х) = р С e-f*dfc=l—е-Р*,
о
а Е(х) = \—Ё(х) равна е~$х.
Вид функций е (х\ Р), Е (х),
Е(х) для р = 2 показан на
рис. 3.3.
2. Рассмотрим замену
переменных v — w2/2 или w=
= ± BиOг в нормальном
распределении с \i = 0 и о=1. При
w = оо и == оо; когда до = 0 и = О,
а при до=—оо и=оо. Поэтому C.20) можно переписать в таком
виде:
О
2,0
US
to
05
0
\фф)
Г f 1
/ 2
Е(х)
а
Рис. 3.3.
УЪ
Когда ю изменяется от — оо до оо, v пробегает интервал от 0 до оо
дважды. Переходя к переменной и, имеем
2 V
и
-d/2)
e~vdv +
2 Г
оо
(^-«А^
A/2>«-»<fo.

3.5] МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 119
Отсюда функция плотности для случайной величины V имеет вид
{ У я
[ 0 , v < О,
что представляет гамма-функцию при E=1, <х = — 1/2. Этот результат
будет использован в задаче 3.4, чтобы показать, что Г A/2) = 1^
3.5. Моменты случайных величин
В главе 1 было предложено использовать в качестве
полезного критерия при определении правила
функционирования складских систем минимум средних годовых издержек.
В главе 2 было показано, как проводить усреднение по
времени при определении средних годовых издержек для
детерминированных систем управления запасами. Для
недетерминированных систем со случайным спросом нужно также
провести усреднение по всем возможным значениям спроса.
Рассмотрим некоторый эксперимент, исход которого
представляется дискретной случайной величиной Ху
принимающей значения 0, 1, . . . , п согласно распределению р (х).
Допустим, что этот эксперимент осуществляется достаточно
много раз. Сложим значения л:, полученные в отдельных
экспериментах, и разделим полученную сумму на число
экспериментов. В результате получим среднее значение,
которое будем обозначать через х* Возникает вопрос, к
какому пределу будет стремиться х, если число
экспериментов неограниченно возрастает? Учитывая определение р (х)
как частоты наблюдения определенного исхода при
неограниченном [повторении испытаний, можно установить, что х
стремится к значению
1*= 2 *Р(*)- C.27)
д:=0
Это значение называется средним значением, или
математическим ожиданием X*. Иногда [X называют средним
значением распределения случайной величины X. Рассмотрим
* Иначе—момент первого порядка. (Прим. перев.)

120 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
теперь некоторую неслучайную функцию от случайной
величины X, скажем 9 (X) (для модели складирования X может
означать годовой спрос, а 0 (X) издержки, связанные с
работой склада), 0 (X) также является случайной величиной.
Тогда среднее значение 0 (X) при неограниченном
повторении эксперимента стремится к числу
2Je (*)/>(*), C.28)
которое будем называть математическим ожиданием 0 (X).
Отметим, что в общем случае математическое ожидание 0 (X)
не будет равно 0(ц), где \i — математическое ожидание X.
Если X может принимать любое неотрицательное
целочисленное значение, то в C.27) и C.28) при вычислении
математических ожиданий нужно заменить верхний предел
суммирования с п на оо. Необходимым условием
существования математического ожидания X и 0 (X) (если X
принимает значения из счетного множества неотрицательных
целых чисел) является сходимость рядов C.27) и C.28) при
п—+ оо. Во всех рассматриваемых случаях это условие
будет выполняться. Если 0 (Х) = (Х—|хJ, где |х —
математическое ожидание X, то C.28) называют дисперсией
случайной величины X и обозначают а2*. Дисперсия является,
грубо говоря, мерой разброса значений случайной величины
около ее среднего значения. Значение o=]/lfi часто
называют средним квадратическим отклонением X. По определению,
a2=S(*-liJP(*)
можно записать, что
л
а2= 2i(x2 — 2\ix + ii2)p(x) =
п п п
= 2 х2р(х) — 2(х 2 ХР(Х) +М»2 2 Р(х) =
лг=0 л: = 0 х=0
п п
= 2 Х*Р (*) — 2[х2 + и,2= 2 х2р(х) — \х2. C.29)
х=0 *=0
* Иначе—центральный момент второго порядка. (Прим. перев.)

3.5) МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 121
Соотношение C.29) также справедливо, если X определена
на счетном множестве неотрицательных целых чисел при
условии, что эти ряды при п—+оо сходятся. Вычислим
теперь математические ожидания и дисперсии для
некоторых дискретных распределений. Для биномиального
распределения из C.27) и C.10) следует, что
^=2/Щ^)!Р*A-Р)П-* =
=лР2 (п~и1)ра(\-р)п-1-а =
= пр[р + A-р)]»-* = пр. C.30)
Вначале в C.30) проводится сокращение числителя и
знаменателя на х, выносится за знак суммы пр. Затем
проводится замена переменных и — х — 1. Полученное выражение
представляет разложение бинома [р + A — р)]""- Таким
образом, математическое ожидание для биномиального
распределения равно пр. Этот результат интуитивно ясен, так
как, если р является вероятностью успеха в одном
испытании, то среднее число успешных исходов в п испытаниях
должно быть пр. Для вычисления а2 используем C.29)
+ 2*^xy.PxV-rt"-x-W2 =
= я(я-1)р»Дв,^Г2^в),Р'0-р)—- + «P-W=-
= п (п- 1) р2 + лр-(/грJ = лр A -р). C.31)
Заметим, что для биномиального распределения \i и о2
зависят как от л, так и от р. Далее рассмотрим пуас-
•соновское распределение. Отметим прежде всего, что

122 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ f3
математическое ожидание для него равно
t^e-^i^e-^t^e-^. C.32)
Таким образом, параметр \х из C.13) просто равен среднему
значению этого распределения. Из C.29) можно определить
дисперсию:
* = 0 *=2
00
= И2Ц^е-м + ц-и2 = ц. C.зз)
Таким образом, для пуассоновского распределения a2=|i.
Для отрицательного биномиального распределения
¦-Ё*?ед.-<1-р>-
.-0=Й?(«+»)р.«A_Р)._
=^=^i^(«;«+i,P)=n-^- <3-34>
00
а2= 2 *2М*; л, р) —fx2 =
д:=0
со
= 2 x(x — \)bN(x; л, р) + Ц, — ц2 =
*=2
g»(»+i)d-P)'f ^(в. л+2, р) + |1_|1.»
л=0
n(B+1H1-pLti_tx2;=?ij_p) (зз5)

3.5]
МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
123
Для геометрического распределения согласно C.16) имеем
^ = If?, o1-^?. C.36)
Рассмотрим теперь порядок вычисления моментов
непрерывных случайных величин. Если /(х)—функция плотности
вероятности случайной величины X, то/(лг) dx—p (x < Х<
<Cx + dx). Отсюда если 9 (X) какая-либо функция X, то
среднее значение 0 (X) равно
or
J Q(x)f(x)dx, C.37)
если этот интеграл сходится. Математическое ожидание
и дисперсия X определяются, тогда как
со со
(г= J xf(x)dx, a2= J (x — \iJf(x)dx C.38)
(в первом случае в(Х)=Х, а во втором 9 (X) = (X—\iJ)
Вычислим теперь математическое ожидание и дисперсию для
нормального распределения
V2no J
хе \2аг) их
^2я J о ^
— СО
со О
-~ [e"vdv + -^=r [e-vdv + \i = \i, C.39)
О —ос
Таким образом, параметр \l из выражения C.22) для
нормального распределения является средним значением этого
распределения.
где

124 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
Дисперсия нормального распределения равна
1
У~2ло
f (*~[02
(х-ц)*
2а2
dx —
V
2я J
СУ2
Интегрируя по частям и используя замену u — w и fifo =
ОУ2 ИJ
= te; e 2dw> так что т> = е 2, получим
к
00
я J
w
!? 2 Jw==
= - I — we
V2n
до2
Т
+
1 е 2 dw\ =о2.
L )
C.40)
Параметр а из C.22) является таким образом средним квад-
ратическим отклонением нормального распределения. Один
из возможных графиков нормального распределения показан
n(X;[l,6)k
0[ JJL-C JH р+б
Рис. 3.4.
на рис. 3.4. Нормальное распределение обладает симметрией
относительно x = \iy а точки перегиба находятся на
расстоянии а по обе стороны от точки х = fx.
И наконец, рассмотрим гамма-распределение. Покажем,
что для любых действительных а > О Г (а+ 1) = аГ (а).

3.5] МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 125
Напомним, что из C.26)
со со
Г(а+ 1) = J Р фх)*е-$* <** = J wae~w dw =
о о
а» со
= — w*e-«>\ +a^w*-1e-wdw = aT(a), а >0. C.41)
о о
Вычислим математическое ожидание и дисперсию в случае,
когда а может быть любым действительным числом, большим
—1, а р—любое действительное положительное число.
Заменив в C.25) а! на Г(а+1), получим на основании C.41)
?^Р*? р r(a4 2)lb(W^ 9 a+1
Р-\т(а+\)в йХ- Г(а+1) р jT(a + 2) в йХ ~ р *
о о
C.42)
Аналогично можно вычислить дисперсию
2_ f Р*2(Р*)« .в (a+iy _Г(а + 3) 1 /а+П1
° -J Г(а + 1)* йХ \ Р ) ~Г(сс+1)р2 ^ р ) -
_(а+2)(а+1) /а+1\2_1+а
- р2 \,"Т"/ ~~~?~> ( }
(В качестве задачи 3.22 докажите, что имеет место
соотношение, эквивалентное C.29)
в случае, когда X—неп- у(х>а>Р)\^
рерывная случайная
величина.) Для того чтобы
выразить аир через \i
и а, используем C.42)
и C.43)
Н а2»
C.44)
так что
a=(?J_i. C.45)
Рис. 3.5.
Графики гамма-распределения для различных
целочисленных значений а при фиксированном р качественно
представлены на рис. 3.5.

126 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
3.6. Усреднение по времени и усреднение
по множеству
В предыдущем разделе было показано, как вычислить
моменты случайной величины. В моделях складских систем
часто используются средние значения. Математическое
ожидание случайной величины будет интерпретироваться как
среднее по времени, среднее по множеству (ансамблю) или
как среднее по времени и множеству. Введем понятия
среднего по времени и среднего по множеству некоторой
случайной величины и покажем их связь с понятием
математического ожидания этой случайной величины. Понятие среднего
по времени является совершенно естественным. Представим
себе, что в системе управления запасами спрос; и времена
поставок образуют соответствующие случайные процессы.
Тогда среднее по времени случайной величины X,
описывающей эту систему, будет равно
t
lim -~\x(t) dty
если величина X определена в любой момент времени (скажем,
наличный запас или число учтенных требований) или
п
lim тХ.*(Д
л-*» со '* .•_ i
если X определена только по некоторым периодам времени
(как, например, число заказов на пополнение, сделанных
в течение года). Тогда п является числом периодов, по
которым ведется усреднение. Приведенные определения
справедливы соответственно для непрерывных и дискретных
случайных величин.
При дальнейшем изложении предполагается, что X
является дискретной случайной величиной, хотя аналогичные
результаты справедливы, если X— непрерывная
случайная величина.
Вообще говоря, усреднение по времени будет применяться
лишь тогда, когда случайные процессы, описывающие
систему, стационарны. Понятие среднего по времени чаще всего

3.6] УСРЕДНЕНИЕ ПО ВРЕМЕНИ И УСРЕДНЕНИЕ ПО МНОЖЕСТВУ 127
будет использоваться при вычислении средних годовых
расходов, определение которых дается в первой главе.
Аналитические выражения средних по времени в указанном выше
смысле не всегда удается получить, так как эти средние
зависят от вида соответствующих случайных процессов.
Чтобы установить связь между случайной величиной и этими
случайными процессами, определяют распределение
вероятностей р(х), которое обладает тем свойством, что, когда
рассматриваемый интервал времени становится достаточно
большим, доля времени, в течение которого случайная
величина равна xt стремится к р (х). Тогда математическое
ожидание можно вычислить по формулам, приведенным в
предыдущем параграфе. Именно по тому, как определяется
распределение р (х), оно и будет средним значением в смысле
среднего по времени.
Другим более важным способом усреднения является
усреднение по множеству. Понятие среднего по множеству
часто используется в статистической механике. То же самое
понятие полезно использовать и при изучении складских
систем.
Предположим, что нужно изучить систему управления
запасами, для которой случайный процесс спроса
нестационарен. Возникает вопрос, как понимать смысл фразы:
«Вероятность возникновения спроса на х изделий в течение
следующей недели равна р(хO». Ясно, что под этим нельзя
понимать стремление к р (х) доли времени, в течение
которого наблюдался спрос на х изделий, если время
наблюдения достаточно велико. Интенсивность спроса может
изменяться во времени, и поэтому понятие среднего по
времени было бы в таком случае бессмысленным.
Ясную физическую интерпретацию р (х) можно дать
следующим образом. Предположим, что вместо одной-един-
ственной системы имеется N одинаковых систем, причем N
достаточно велико. Пусть все эти системы в начале недели
находятся в одинаковых состояниях, и спрос в каждой
системе возникает независимо. Так как системы одинаковы, то
один и тот же случайный процесс будет описывать каждую
систему. Однако недельный спрос будет изменяться от
системы к системе, так как по предположению системы
функционируют независимо. Учитывая это, можно сказать,
что доля систем, у которых спрос точно равен х, будет

128 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
стремиться к р(х), когда N—+oo. Таким образом, при
вычислении среднего слроса по правилам, изложенным в
предыдущем разделе, получают ожидаемый спрос, который будет
средним по множеству систем.
Предположим теперь, что случайный процесс,
описывающий систему, нестационарен. Пусть снова имеется N таких
же идентичных систем. После того, как они проработают
достаточно долго, будет достигнуто условие статистического
равновесия. Это означает, что среднее значение по множеству
не будет зависеть от времени. Если достигается
статистическое равновесие, среднее значение по множеству
становится равным среднему по времени для одной системы *, так
что р (х) можно интерпретировать или как долю времени,
в течение которого спрос в системе будет точно равен дг,
или как долю всех систем множества, у которых спрос
в некоторый заданный момент времени равен х. Понятие
среднего по множеству (или по ансамблю) является
достаточно общим, так что каждое среднее значение,
используемое в этой книге, можно мыслить как среднее по множеству,
а каждую вероятность как предел отношения числа систем,
у которых при определенных условиях реализуется заданное
значение случайной величины к общему числу систем ансамбля,
когда это число неограниченно возрастает. Когда
рассматриваемый случайный процесс стационарен, его
математическое ожидание можно интерпретировать и как среднее по
времени, и как среднее по множеству. Более того, в этом
случае математическое ожидание не зависит от способа его
вычисления.
3.7. Вероятностное описание спроса
В этом разделе будут изучены вопросы математического
описания случайного спроса в системах управления запасами
при условии, что образуемый спросом процесс стационарен.
Начнем с предположения, что спрос за любой период
времени будет зависеть от времени между поступлениями тре-
* Эквивалентность средних по времени и средних по множеству
в этом случае является, грубо говоря, утверждением знаменитой
эргодической теоремы статистической механики. В 1931 г. Бирхгофф
и Дж. фон Нейман дали строгое доказательство этой теоремы.

3.7J ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ СПРОСА 129
бований и от размера каждого требования. В реальных
условиях и времена поступления требований, и размер
каждого требования могут быть случайными. Время между
поступлениями требований будет непрерывной случайной
величиной, а размер требования—дискретной случайной
величиной. Обозначим через G(t) вероятность того, что
время от момента поступления некоторого фиксированного
требования до поступления
следующего требования бу- Oft) f f
дет больше или равно t.
В общем случае G(t) может
зависеть от моментов
появления всех предыдущих
требований, от размеров
каждого предыдущего
требования, от календарного
времени и от многих других
факторов. Ограничимся слу- Рис. 3.6.
чаем, когда G(t) зависит
только от времени, прошедшего с момента поступления
последнего требования и не зависит от моментов
поступления любых других требований, размеров каждого требования
или календарного времени.
Возможный вид графика функции G(t) показан на рис. 3.6.
При / = 0 величина G(t) должна равняться единице, так
как вероятность того, что после поступления одного
требования возникает еще одно, равна единице. Предположим,
что G(t) стремится к нулю, когда t—* оо. На рис. 3.6
индексом / отмечен случай, когда время между
поступлениями двух требований детерминировано, т. е. это время
всегда равно t0.
Кривые, представленные на рис. 3.6, можно достаточно
хорошо аппроксимировать гамма-распределением, выбирая
соответствующим образом коэффициенты аир. Наибольший
интерес представляет случай, когда G(t) является
экспоненциальным распределением (см. пример на стр. 118), т.е.
G(t) = e-U. C.46)
Тогда говорят, что времена между поступлениями
требований распределены по экспоненциальному закону. Плотность
5 Дж. Хедли, Т. Уайтив

130 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
вероятности для C.46) имеет вид
а вероятность поступления следующего требования в
интервале (t, t-\-dt) равна е (t; X)dt. Среднее время t между
поступлениями требований определяется как
00
F= f A,fe-X* dt = j-, C.48)
о
так что среднее число требований в единицу времени равно X.
Если G(t) определяется по формуле C.46), то легко
вычислить Vп (t) — вероятность поступления в течение времени /
вслед за некоторым фиксированным требованием еще п
требований. Это можно сделать, составив рекуррентные
соотношения для Vn(t). Заметим, что
V0(t) = G(t) = e~lt. C.49)
Для п^\ представим, что первое требование за время /
появляется в интервале (т, x + dx) при условии, что tux
отсчитываются от одной точки. Если точно п требований
возникают за t и если первое требование появляется в
интервале (т, x-\-dx), то точно (п — 1) требование должно
возникнуть за время t—x. Вероятность появления точно
(/г—1) требований за время t — x вслед за некоторым
фиксированным требованием равна просто Vn_x (t — x). Таким
образом, совместная вероятность того, что первое
требование возникает в интервале (т, x-\-dx), а остальные п—\
требования поступают за оставшееся время t — т, равна
he-uVn_1(t-x)dx. C.50)
События, соответствующие различным моментам
возникновения первого требования, являются несовместными. Отсюда
вероятность Vn(t) определяется суммированием C.50) по
всем т, 0 < х < /, т. е.
t
Vn(i) = b\e-UVn_l(t-x)dxi л>1. C.51)
о

3.7] ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ СПРОСА 131
Используя C.51), можно получить явное выражение Vn(t).
Из C.49) следует
t t
г (t) = XJ e~uV0 {t-x)dx=*k\ e'ue~x U~T) dx =
о о
t
о
Тогда
t
о
Аналогично получаем
Эти результаты позволяют установить, что
Vn(t)=^e-*, л = 0, 1, 2, 3, ... C^2)
Справедливость последнего соотношения легко доказать
по индукции. Было уже показано, что соотношение C.52)
справедливо для п = 0 и я = 1. Остается показать, что
если оно справедливо для п = т—\, то оно также
справедливо для п = т. Для этого вычислим Vm(t) по формуле
C.51), используя выражение Vmmml(t) из C.52) при п = т— 1.
Тогда получим
v.(o-xJ.-*&?=?|p.-'«-«#.-
О
(m-1)! Jir Т) йТ~ т\ е
о
и отсюда по индукции заключаем, что C.52) выполняется
для всех неотрицательных целочисленных п.
Таким образом, доказан интересный результат, что
вероятность поступления т требований за время t вслед за
некоторым фиксированным требованием определяется из
распределения Пуассона, т. е. Vm (t) =p (m; Xt)t причем
5*

132 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
среднее число требований за t равно Ai, так как
А,—средняя интенсивность спроса. Среднее значение пуассоновского
распределения равно среднему числу требований за время t.
В приведенных выше рассуждениях отсчет времени не был
произвольным, а наоборот, / отсчитывалось от момента
поступления некоторого фиксированного требования. Вычислим
теперь вероятность того, что т требований поступит за
время t, если отсчет времени или наблюдения за системой
производятся с произвольного момента, а не после
поступления фиксированного требования. Установим другое
свойство, следующее из условия, что времена между
поступлениями требований распределены по экспоненциальному закону.
Вычислим условную вероятность того, что требование,
поступающее вслед за фиксированным требованием, возникает
в интервале (/, t + dt) .при условии, что оно должно
возникнуть после t. Если через А обозначить событие
отсутствия спроса до момента времени t, а через В появление
требования в интервале (t, t + dt)> то p(A) = e~Xt и
p(B) = Xe~Xt dt. Вычислим р(В\А). На основании C.3) имеем
Но р(А\В) = \> так как если требование поступает винтер-
вале (t, t + dt), то оно не может возникнуть до /..Таким
образом,
Следует отметить, что р (В/А) не зависит от t. Это значит,
что если начать наблюдать за системой в произвольный
момент времени, то вероятность поступления требования
в интервале длительностью dt равна Xdt и не зависит от
того, когда было начато наблюдение, так как эта
вероятность не зависит от того, сколько времени прошло с
момента поступления последнего требования.
Используя C.53), можно теперь вычислить ^(^ —
вероятность отсутствия спроса за время t, отсчитываемое от
произвольного момента начала наблюдения. Для этого
заметим, что U0(t-{-dt) является произведением вероятности
отсутствия спроса за время t на условную вероятность
отсутствия спроса в интервале (/, t-\-dt) при условии, что

3.7] вероятностное описание спроса 133
спрос до t не возникал. Таким образом,
U0(t + dt) = (\-Xdt)U0(t)
или
^2=-ЯЛ.
^ и°
Отсюда
U0 = ce~xt,
где с—постоянная интегрирования. При t = 0 U0 = \, так
как наблюдение начато в момент t — 0. Отсюда получаем
?/,@=«-х*. C.54)
Напомним, что, по нашему предположению, вероятность
того, что время между поступлением двух требований друг
за другом больше или равно t, определяется как G(t) = e~Xt.
Вычислив U0 (/), можно легко определить вероятность
возникновения точно п (п^\) требований за время t,
отсчитываемое от произвольной точки начала наблюдений.
Если первое требование возникает в интервале (т, x + dx)
@<т</) после начала наблюдения / = 0, то для
поступления п требований до момента t нужно, чтобы точно п — 1
требование возникло за время / — т. Вероятность того, что
первое требование поступает в интервале (т, x-\-dx) и что
остальные п±—1 требование возникают за время /—т,
равна
_dlhQVn_i{i_x)dx = %e-uVn_i{t_x)d%
Отметим, что вместо Un_x в этом выражении появляется
Vnmml, так как интервал (t — x) начинается непосредственно
после поступления некоторого фиксированного требования.
Усредняя по т, имеем
t
Un (t) = Я$ е-и Vn_x (t—x) dx} л > 1, C.55)
о
Отсюда на основании C.52) получим
Un{t) = Vn(t)=P[n; ^) = (-^Vx<, л = 0, 1, ..., C.56)
т. е. Un(t) также подчиняется распределению Пуассона
с математическим ожиданием Xt. Таким образом, доказано,

134 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
что вероятность поступления точно п требований за время t
равна р (п; Kt) независимо от того, начато ли наблюдение
непосредственно после поступления некоторого требования
или в произвольный момент времени. Равенство Un и Vn
является специфическим свойством экспоненциального
распределения. Данное свойство не сохраняется для
произвольного распределения времени между поступлениями требований.
Если это распределение экспоненциально, поступающие
требования образуют пуассоновский процесс. Важной
характеристикой этого процесса является отсутствие памяти,
т. е. вероятность поступления требования в интервале
длительностью dt равна Xdt независимо от поступлений
предыдущих требований.
Пусть спрос образует пуассоновский процесс, так что
размер поступающих требований всегда одинаков*. Тогда
Un (t) является одновременно вероятностью поступления п
требований за время t и вероятностью того, что объем
спроса составит п единиц. Коэффициент X является средней
интенсивностью спроса, a Kt математическим ожиданием
объема спроса. В последующих главах термин «средняя
интенсивность требований» используется для обозначения
интенсивности спроса. Если же размер поступающих
требований неодинаков, то интенсивность поступления
требований и интенсивность спроса не одинаковы. Для
распределения Пуассона легко получить аналитически многие результаты.
На практике довольно часто случайный процесс, образуемый
спросом, можно достаточно точно аппроксимировать пуассо-
новским процессом. Почти во всех задачах, рассматриваемых
далее в книге, предполагается, что если возникающие
требования дискретны, то они описываются процессом
Пуассона.
Когда периоды между поступлениями требований имеют
гамма-распределение C.25) (а—целое число), спрос образует
процесс Эрланга порядка а-f-l. Для процесса Эрланга
порядка а+1 вероятности Vn(t) не будут выводиться, так
как их выражения при a^l слишком сложны и редко
используются при анализе систем управления запасами.
Вычислим для процесса Пуассона вероятность того, что
Q-e по счету требование возникает в интервале (t, t-\-dt)
* Его можно условно считать единичным. (Прим. перев.)

3.7] вероятностное описание спроса 135
после начала наблюдений за системой. Это событие можно
трактовать как произведение событий А и В, где Л
—событие, состоящее в возникновении Q—1 требований за
время от 0 до f, а В представляет событие поступления
требований за время (/, t-\-dt). Отметим, что для процесса
Пуассона В не зависит от А, и поэтому р (А П В) =р (А)-р (В),
где
p(A)=p(Q—l; Xt)y p(B) = Xdt.
Таким образом, искомая вероятность равна
(Q-1)! е at'
Поэтому плотность вероятности времени поступления Q-ro
требования является гамма-распределением ca = Q—1, т.е.
гамма-распределением Q-ro порядка. Пусть в некоторой
системе управления запасами моменты поступления
требований образуют процесс Пуассона, а размер требований
одинаков и равен единице спроса. Если заказы на
пополнение запасов делать каждый раз после возникновения спроса
на Q единиц, то времена между подачами заказов на
пополнение будут иметь гамма-распределение Q-ro порядка.
Если размер требований случайным образом меняется, то
задача отыскания распределения объема спроса в
значительной степени усложняется. Проиллюстрируем это на
одном простом примере, когда размер требований может
быть случайным. Предположим, что процесс возникновения
самих требований описывается процессом Пуассона, а размер
требований подчиняется геометрическому распределению,
т. е. вероятность спроса на х единиц запаса в момент
поступления некоторого требования равна
bN(x—\\ 1, l-v) = (l-v)v*-\ *=1, 2, ... C.57)
В геометрическом распределении C.16) х могло принимать
и нулевое значение. Здесь же при возникновении требования
ставится условие, чтобы его размер был не меньше
единицы спроса, и потому в C.16) х следует заменить
на х—\*. Удобно заменить v на 1—р. Предполагается,
* Другими словами, если обозначить через Y излишек спроса
сверх единицы, то У имеет геометрическое распределение C.16).

136 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
что размер каждого требования не зависит от того, сколько
времени прошло с момента возникновения предыдущего
требования. Процесс, для которого моменты
возникновения требований образуют пуассоновский процесс, а размер
самих требований подчиняется геометрическому
распределению, называют иногда составным пуассоновским*.
Вычислим вероятность возникновения спроса объемом
точно п единиц за время t для составного пуассоновского
процесса. Так как моменты поступления требований образуют
процесс Пуассона, то начало отсчета времени не влияет на
конечные результаты. Если спрос составляет п единиц, то
может возникнуть не более «требований. Однако спрос на
п единиц может стать результатом поступления 1, 2, ... ,
или п требований. Возникновение различного числа требований
для заданного объема спроса составляет множество
несовместных событий. Вероятность поступления точно у требований
равна р (j; р/), если 1/Р — среднее время между поступлениями
требований. Таким образом, вероятность спроса объемом п
единиц равна
ад=2рИУ)/>(У; Р'), л=1, 2, ..., C.58)
/=1
где.р(л|у) — вероятность того, что спрос составит п единиц
при условии поступления j требований. Соотношение C.58)
не будет справедливым при л = 0. Вероятность нулевого
спроса равна вероятности отсутствия требований. Таким
образом,
tfo(*)=P@; P0 = *-pt. C.59)
Остается вычислить p(n\j). Пусть Х(—размер /-го
требования. Тогда p(n\j) является распределением суммы
случайных величин Хг+Х2 + ... -\-Xj. Известно, что
распределение каждой величины Х( будет геометрическим. Позднее, при
рассмотрении композиций (сверток) распределений случайных
величин будет показано, как получить распределение суммы
независимых случайных величин. Если Х{ имеют
гамма-распределение C.57), то излишек спроса** подчиняется отрица-
* Точнее, это частный случай составного пуассоновского
распределения. (Прим. перев.)
** См. примечание на стр. 135. (Прим. перев.)

3.8] СОВМЕСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 137
тельному биномиальному распределению bN(n—j, j; 1 — v).
Отсюда
ЖУ) = Ы»-У; h i-v) = ^~11)(i-v)/v4 C.60)
так что
W=*<-»tjr^ » = '>2>
C.61)
Выражения U0 (t) из C.59) и Un(t) из C.61) для
./1=1, 2, ... называют составным пуассоновским
распределением. Даже в самом простом примере, когда размер
требований случаен, получается весьма сложное выражение
для распределения объема спроса. Как будет показано
далее, существуют простые аппроксимации этих дискретных
распределений непрерывными, что позволяет уменьшить
аналитические трудности и получить хорошие приближения для
практики.
3.8. Совместные распределения
Часто при анализе систем управления запасами
необходимо оперировать совместно двумя или более переменными.
Например, случайные величины могут означать число
требований, поступающих в различные периоды времени. Одна
или несколько случайных величин могут относиться к спросу,
тогда как другие случайные величины—к временам
поставок.
Рассмотрим кратко двумерные распределения. Для
случайных величин X, Y, определенных на счетном множестве
неотрицательных целых чисел, введем некоторую функцию
р(х, у), определенную для каждого из множеств значений
X и Y; р(х> у) определяет вероятность события Xf]Y.
Функция р (х, у) называется совместным распределением
случайных величин X и Y. Ее принято обозначать именно
так, а не p(Xf)Y). Для р (х, у) должно выполняться
соотношение
2 2р(*. j) = i. C.62)
х=0у=0

138 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
Может возникнуть вопрос, какова же вероятность того,
что Х = х безотносительно к тому, какое значение
принимает У. Обозначим эту вероятность через р(х); р{х) должна
равняться сумме р (х; у) по всем возможным значениям У
СО
р(*)=2 р(*> у)- C.63)
Аналогично можно определить р (у)
00
Р(У)=%Р(х, у). C.64)
А = 0
Функции р (х) и р (у) называются безусловными
распределениями X и У соответственно. Заметим, что они являются
распределениями, так как р (х) ^ 0 и р(у)^0 и из C.62)
следует, что
S/>(*) = !, 23/>(у) = 1.
*=0 у=0
Если одна или обе случайные величины определены на
конечном множестве целых чисел, то пределы суммирования
нужно соответствующим образом изменить. Если р{х)фО
и Р(у)Ф®> то условные вероятности р(х\у) и р(у\х)
определяются как
р(х, у) =р (х\у) р (у) =р (у\х) р (х).
В терминах условных вероятностей можно записать
СО 00
р(х)=2р(х\у) р(у), р{у)=^Р(у\х)р(х), C.65)
*/ = 0 *=0
X и У будут независимыми, если р (х, у)—р(х)р(у).
Пример. Пусть поступления требований в систему управления
запасами образуют процесс Пуассона. Предположим, что размер
требований одинаков и равен единице, так что вероятность
возникновения спроса на х единиц за время t равна р {х\ Xt), где X—средняя
интенсивность спроса. Допустим также, что время поставки
случайно и * может принимать конечное число значений tlt ... , tk
с вероятностями / (/,-). Найдем вероятность того, что за время
поставки пополнения возникает спрос на х единиц. Другими словами,
найдем распределение объема спроса за время поставки пополнения.
Отметим, что объем спроса за время поставки зависит от времени

3.8] СОВМЕСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 139
поставки. Однако на основании C.65) распределение спроса за время
поставки пополнения определяется как
k
Рассмотрим случай, когда X является дискретной
случайной величиной, определенной на счетном множестве
неотрицательных целых чисел, a Y—непрерывная случайная
величина, определенная на множестве действительных чисел.
Пусть /(аг, у) будет их совместным распределением, а
f\x,y)dy вероятностью того, что Х = ху а у< Y<y-\-dy.
Так как какая-то пара значений всегда должна иметь место, то
00 °°
2 I f(x,y)dy=l. C.67)
Безусловные распределения р (х) и v(y) определяются
соответственно как
р(х)= )f(x,y)dy, v(y)=2f(x,y). C.68)
Ясно, что р(х)=р(Х = х), a v (у) =р (у < Y<y + dy).
Далее для v{y)=?Q и р(х)фО определим функции g(y\x)
и h(x \y) так, что
/(*, y)dy = k{x\y)v(y)dy = [g(y\x)dy]p(x). C.69)
Тогда h(x\y) является вероятностью того, что Х—х при
условии, что Y=y, a g(y\x)dy вероятностью того, что
у < Y < у-\-dy при условии, что Х=х. Соотношения C.68)
можно записать в виде
00
р(х)= )h(x\y)v(y)dy; v<y)=2g(y\x)p(x); C.70)
X и Y будут независимыми случайными величинами, если
f(x,y)=p(x)v(y). C.71)
Если в системе управления запасами время поставки считать
непрерывной случайной величиной, а объем спроса
дискретной случайной величиной, то эта ситуация как раз и служит
иллюстрацией только что рассмотренного случая. Вычислим

140 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
безусловное распределение спроса р (х) за время поставки,
когда время поставки имеет гамма-распределение, а
поступления требований образуют процесс Пуассона. Таким образом,
плотность вероятности времени поставок определяется как
y(t; а, Р) из C.25), а распределение спроса равно/?(х; Xt),
где X — средняя интенсивность спроса
Ttt*P>=$?i)«~*. />(*; ^) = ^-х<, C.72)
где р(х; Xt) соответствует вероятности h(x\y). Используя
C.70), с помощью C.26) найдем р{х). Имеем
Р(Х) J *! Г(а + 1)е аг х\Т(а+1)У е ""
о о
_ . р*-"** Г(а+*+1) f ф + к)'+*+Ч*+* (р+Х)< d, _
- *!Г(а+1) (p+*)a+*+1J Г(а+*+1) е ыг ~~
-ЗДЗ? (rfi)"W-">-,!*х>°' <373>
Если а положительное целое число, то безусловное
распределение спроса за время поставки пополнения р (л;) является
отрицательным биноминальным распределением bN[x, a-f-1,
Р/(Р + Я)]. Выражение C.73) можно рассматривать как
обобщение отрицательного биномиального распределения, если
а может быть и не целым числом.
Остается рассмотреть случай, когда и А', и У—
непрерывные случайные величины. Определим совместную
плотность f(x,y) так, что f(xу у) dx dy — вероятность того, что
х < Х< x + dx, а у <Y<y + dy. Тогда
00 00
$ lf(x,y)dxdy = \, C.74)
— QD — СО
а безусловные плотности определяются как
со со
«(*)= \f{x,y)dy, v(y) = l/(x,y)dx, C.75)
— СО — СО
где u(x)dx — вероятность того, что х < X < х-\- dx, а
v(y)dy — вероятность того, что у <Y<y + dy. Условные

3.8] СОВМЕСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 141
плотности h(x\y) и g(y\x) определяются как
/(*, y) = h(x\y)v(y) = ?(y\x)u(x)i v(y)^09 и(х)фО,
C.76)
где h(x\y)dx—вероятность того, что х <Х< x + dx при
условии, что Y—y, a g(y\x)dy является вероятностью того,
что у < Y<y + dy при условии, что Х=х. Тогда можно
записать
со со
и(х)= I h(x \у) v(у) dy, «(у) =» $ g(y\x) и (х) dx. C.77)
— 00 — СО
Если f(x, y) = u(x)v(y), то случайные величины X и Y
являются независимыми.
В заключение рассмотрим дискретные случайные величины
Хг и Х2, определенные на счетном множестве
неотрицательных целых чисел. Пусть р(х1У х2) будет их совместным
распределением. Математическое ожидание любой
неслучайной функции от случайных величин 0 (Х1У Х2) равно
00 00
2 2 e(*i. *t)P(*i, *.)• C-78)
*1 = 0 *2 = 0
В качестве частного случая предположим, что 0 (Xv Х2) =
= W(Xt). Тогда на основании C.78) математическое
ожидание Wx (Хг) равно
2 2 Y^pfo, x%)= S 4{хг) 2 p(xlt x2) =
= 2 ViixJpixJ, C.79)
где p(^x) — безусловное распределение Xv В качестве
другого частного случая допустим, что 0 (Xv Х2) = XL ± Xj.
Тогда математическое ожидание Хг ± ^2 равно
СО 00
2 2 (*i±*2)p(*i> *») =
*1 = 0 *2 = 0
со со
= 2 *i/> (-^i) ± 2 хгр (*,) = щ ± Ц2> C-80)

142 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
где \л1 и |х2— математические ожидания Хх и Х2
соответственно. Математическое ожидание суммы конечного числа
случайных слагаемых Хг +...+ Хп равно сумме их
математических ожиданий, т. е. Щ+ .. . + fV Это можно
доказать, положив, что Х1 = Х2 + . . . + ХПУ и применив C.80)
к сумме X-^+Xl. Затем те же рассуждения повторим для Х*2.
Формулы, подобные C.78), C.79) и C.80), справедливы и
в тех случаях, когда одна случайная величина дискретна,
а другая непрерывна или обе случайные величины непрерывны.
Нужно только заменить соответствующие знаки
суммирования интегралами. Аналогично математическое ожидание
Хг ± Х2 ± . . . ± Хп равно \i± ± Щ ± • • • ± IV
3.9. Композиция
Пусть дискретная случайная величина X определена на
счетном множестве неотрицательных целых чисел и имеет
распределение вероятностей/? (х). Тогда производящая
функция, или z-преобразование Х, обозначаемая как 9$ (s) или
z{P(x)}y определяется как
оо
$(s)=z{p(x)}=p@)+p{\)s+pB)s* + ... = %p(x)s*
C.81)
для таких значений s, при которых ряд сходится. Так как
сумма всех р (х) должна равняться единице, то $РA) = 1.
Следовательно, ряд C.81) будет всегда ,сходиться для s
в интервале — l^s^l. Если известно $P(s), то можно
наТйти и р (х) как
и так как разложение функции в степенной ряд является
единственным, то р(х) однозначно определяется 9$(s).
Производящие функции будут использованы в этом разделе для
отыскания распределений сумм независимых случайных
величин.

3.9] композиция 143
Примеры. 1. Производящая функция распределения
Пуассона будет всегда обозначаться через $ (s; \i)
*=0 х=0
со
= *-hi-5> ? iHf e-w=e-wi-5)e C.83)
лг=0
2. Производящая функция отрицательного биномиального
распределения для целочисленных п имеет вид
00
-р-?(*:17')к'-р>'1-[1ч^вг]"- "•">
Тот же результат получается и для любых положительных
л, если при этом использовать C.73). Доказать этот факт
предлагается в задаче 3.23 в конце главы.
3. Производящая функция геометрического
распределения будет обозначаться как 9$g(s; p). Полагая п=\
в C.84), получим
У«с;р>-1-AР-р).- <3-85)
Рассмотрим независимые дискретные случайные величины
Хг и Х2, определенные на счетном множестве
неотрицательных целых чисел с распределениями вероятностей рх (хг)
и р2 (х2). В задачах, возникающих на практике, часто бывает
необходимо определить распределение суммы независимых
случайных величин Y = X1-\-X2. Вероятность р(у) того,
что Х1-\-Х2=у, является суммой вероятностей у-\- 1
несовместных событий (X1=j)f](X2=y—j)y j = 0, l, ..., у.
На основании независимости Хг и Х2 можно записать, что
p{X1 = jnX2=y-j)=p1(j)p2(y-j) C.86)
и отсюда
Р(У)=?р1(ЛР,(У-Л- C.87)
/=о

144 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
Распределение вероятностей р (у) называется композицией
(сверткой) распределений рг(хг) и р2(х2). Обозначим через
$i ($) и $2 (s) производящие функции распределений рг (хх)
и Р%(*ъ) соответственно. Тогда, по определению,
*i W = 2 Pi U) ^, *2 (s) = 2 Рг U) *'• C.88)
/=0 /=0
По теореме умножения степенных рядов
*i is) $2 (s) = 2 [ 2 Pi (А)Л G-*I *Л C.89)
/=о U=o J
Замечание. Соотношение C.89) можно эвристически
доказать так:
*iW*iW = [Pi@)+P1(l)* + P1B)s«+...]X
X[p2@) + p2(l)s+/?2B)s2+...] =
= Pi @)Л @) +Pl @)p2(\)s +Pl @)p2 B) s* +Pl @)p2 C) s3+
+Pi 0)Р. @) * + Рх A) р2 A) 52 +Л A) р2 B) s*+
+ PiB)p1@)si+p1B)p1(l)*»+
+P1C)p2@)s3+...
=Pi@)p,@)+ [^@)^A) +p1(l)p1@)]* + [M0)P.B) +
+ Pi0)P»(l)+PiB)p1@)]^ + [p1@)p8C)+p1(l)p2B) +
+PiB)p2(l)+PiC)p2@)]53+...
= 2 fspiWPit/-*)!^
/=o U=o J
Таким образом, производящая функция распределения суммы
случайных величин Y=X1-\-X2 равна произведению
производящих функций ^5Х (s) и $2 (s) соответственно. Если Хг
и ^2 имеют одинаковые распределения с производящей
функцией ^3 (s), то производящая функция распределения
Y равна $2 (s) .
Рссмотрим сумму п независимых случайных величин
Y = X1-\-X2-\- . . . + Хп. Производящая функция
распределения X/ равна $($,•($). Производящая функция
распределения суммы Y1 = X1-\-X2 равна $i(s)$2(s), а производящая
функция распределения суммы Y2 = Yx + Х3 = Хг + Х2 + ЛГ3
равна ^хE) 9$2(s) $Р8E)- Продолжая этот процесс, находим

3.9]
композиция
145
что производящая функция распределения суммы Y=Yn_2+Xn
равна $i(s)$2E) ••• ФлE)- ^сли все %i имеют
одинаковое распределение р (х) с производящей функцией 9$ (s), то
производящая функция распределения суммы п независимых
случайных величин равна $$"($), а само распределение
называется п-кратной композицией р (х), которую будем
обозначать р{п)(х). Заметим, что
Р^(х)=р(х)
и
Рш (*) = S Р{п~г) (у) Р (х-у), п = 2, 3, ...
Предположим, что случайные величины X;(i=\, ..., п)
имеют распределение Пуассона с математическими
ожиданиями jji,-. Производящая функция распределения Пуассона
определяется из C.83). Тогда производящая функция
распределения суммы независимых случайных величин К =
=Хг+... + Хп равна
$(*; |Ж!)ф№ Us) ...*(* |*я) = *-<*+• ••+!»¦><¦-¦> =
= $(*; 1*х-Ь — -Ы*«>. ¦ C.90)
т. е. равна производящей функции распределения Пуассона
с математическим ожиданием Hi+• • • Н-Цл- Теперь
предположим, что Х( /=1, ..., п имеют геометрическое
распределение с математическим ожиданием A—р)/р.
Распределение суммы У = Хг+ ... . + Хп является /г-кратной
композицией геометрического распределения с параметром
р. Поэтому производящая функция распределения суммы
Y = XX+ ... +Хп равна
:*2(*р)= [n=(fcrt^]" = ^<5; *• р)- C-91)
Таким образом, Y имеет отрицательное биномиальное
распределение. Выше было показано, как определяется
производящая функция распределения суммы конечного числа
независимых случайных величин. Рассмотрим теперь сумму
случайного числа независимых случайных величин. Пусть
слагаемое Х( имеет распределение рг(х) с производящей
функцией $i(s), а распределение числа слагаемых N р2(п)
имеет производящую функцию ^52E)- Вероятность p*(j)

146 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
того, что Г=/ (Y=X1+...+XN),
00
P*U) =p{Y=J) = 2/>2(л)р№+ ••• +Хп = Л, C-92)
/1 = 0
где у—заданное неотрицательное число. Если обозначить
через *Р* (s) производящую функцию распределения p*(j)y то
$*(s)= 2р*(у)sf= 2 [ 2 р2 (>*)/> №+ •.• +*я«л1 si.
/=о /=о L«=o J
Изменяя порядок суммирования, получим
?*(*) = 2 Pi (я) I 2 />№ + • • • + *Я=У) Д C.93)
л = 0 L/ = 0 J
Выражение в квадратных скобках является производящей
функцией для суммы фиксированного числа случайных
слагаемых, т. е. $i(s). Поэтому
**(*) = 2 Pi (*)$?(*)• C-94)
л=0
со
По определению $2 (s) ~ 2 Рг (п) 5"> и отсюда
*•(*) = *« ИМ*)]- C-95)
В C.95) 9$*(s) представляет собой функцию от функции.
Для составного пуассоновского распределения р2(п)
представляет распределение Пуассона, т. е. $2(^) = ФE; Р0>
где р — средняя интенсивность возникновения требований
(см. 3.83), а ^ (s) — производящая функция
геометрического распределения. Учитывая, что для составного
пуассоновского процесса спроса производящую функцию
распределения размера требований C.85) следует домножить на s*
(вероятность того, что размер требования равен единице,
будет bN(x—1, 1, р)), получим
*1(*) = Т^Г» C'96)
где v=l—р. Таким образом, производящая функция
составного пуассоновского распределения
%sp(s; v, P) = e-P< {i-[«(i-v)/(i-vs)]} = e-p/(i-s)/(i-vs)e C.97)

3.9]
композиция
147
Перейдем снова к непрерывным случайным величинам*
Рассмотрим функцию
(s)= С e~sxf(x)dx =
/=o
] *Jf(x)
dx
Коэффициент при s* равен (—\y'\ij/j\, где
00
ji^.= ^ xJ'f(x)dx.
C.98)
C.99)
Этот коэффициент называют у-л* моментом случайной величины.
Функция %(s)y если она существует, называется моментной
производящей функцией распределения f(x) или случайной
величины*. Когда X определена только на множестве
неотрицательных чисел, $ (s) называют также преобразованием
Лапласа функции f(x). Укажем без доказательства, что
плотность вероятности однозначно определяется моментной
производящей функцией.
Пусть Х± и Х2— независимые случайные величины с
плотностями /г (хг) и /2 (л:2) и моментными производящими
функциями Зч (s) и г?2 (s) соответственно. Вычислим плотность
g(y) и моментную производящую функцию &(s) для У —
=Х1-\-Х2. Вероятность того, что у < У <iy-\-dy при
условии, что хх < Хх < хг + dxv равна
Л (*i) Л О* - *i) dxi dx* (dx2 = dy)-
Рассмотрим случай, когда и Xv и ЛГ2 могут принимать
только неотрицательные значения. Так как У—Хх^0, то и
я
g(y) = $Л (*i)/a ty-*i) dxv C.100)
* Можно также определить моментную производящую функцию
дискретных случайных величин. Эги вопросы выносятся на
обсуждение в качестве задач и упражнений.

148
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[3
Вычислим моментную производящую функцию для плотности
g(y), если Y^O. На основании C.98) имеем
оо у
® (*) = $ $/i (*i)/a (y-*i) е~уя dxx йу. C.101)
о о
Это выражение представляет собой двойной интеграл по
заштрихованной области в плоскости хлу, как показано на
рис. 3.7. Этот интеграл можно вычислить, суммируя либо
элементарные прямоугольники
шириной dy, параллельные оси хг, либо
элементарные прямоугольники шири-
^ ной dxv параллельные оси у. Таким
образом, C.101) можно записать в
виде
®(s) =
= И A (*i)/2 <y—*i) e~ys йУ dxi =
О Xl
Рис. 3.7.
= \fi(*i)\f%iy-Xi)*-y'dydxv
C.102)
Но справедливо соотношение
GO CO
lf2(y-Xi)e-ysdy = e-*>*$f2(u)e-»sdu = e-***%2(s),
и потому
оо
© (s) =»& (*)$Л (ДГх) e-^dXl = %x ($) gf, (s). C.103)
О
Таким образом, моментная производящая функция суммы Хг
и Х2 является произведением моментных производящих
функций для Хх и Х2, имеющих плотности вероятности
/i (*i) и Л (хъ) соответственно. Точно такой же результат
получим, когда Хг и Х2 могут принимать любые
действительные значения. Доказательство этого факта составляет
упражнение 3.24 в конце главы.
Аналогично моментная производящая функция суммы п
независимых случайных величин Xh имеющих моментные

3.9] композиция 149
производящие функции $,- (s), равна
©(*) = & (*)&(*) ••• &.(*)• (З.Ю4)
В частном случае, когда все Xt имеют одинаковую
плотность f{x) и моментную производящую функцию $(s),
©(s) =$п (s). Тогда g(y) называется п-кратной
композицией f(x). Если все Х( принимают только неотрицательные
значения, то
У Ух Уп-*
^) = И--- S fiy-yi)fi?i-y%) ••• /(Уп-г-Уп-2)Х
0 0 0
*f(yn-t-x)f(x)dxdya_% ... rfy. C.105)
Моментная производящая функция нормального
распределения равна
со
Ш[з; ц, о)= Г «-«e-d/w) (*-!*>•</* =
— 00
00
= L_ е-A/2)(ц/а)« Г ^-A/2а«)[^ + 2(а^-ц)дг]^--.
]/ла J
— 00
+ 00
= _i_e-(i/2)№/oJe(i/2a2) (o*s-ii)* Г ^-(i/2a2)[^+(a2s-M-)]2^ =
Уяа J
-со
= е{1/2) @*S*- 2J1S), C.1 06)
Для суммы двух независимых нормально распределенных
случайных величин Хг и Х2 с математическими ожиданиями
соответственно |jl19 ц2 и средними квадратическими
отклонениями ах и а2 моментная производящая функция имеет вид
е A/2)(<J*S*- 2Щ8) е{\/2) (o\s*~ 2^s) =
_."'•> [<*'»*"-"'+"%Я(,; Ц1+Ц2, V^+^. C.107)
Отсюда видно, что У^Я^ + Л^ имеет нормальное
распределение с математическим ожиданием fxx + (д2 и дисперсией

3] ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 150
ai + a2- Моментная производящая функция или
преобразование Лапласа для гамма-распределения представляется как
00
О
0D
о
. Г/ ,ч1A+т)"Г
fi+-M U p^ Г(а+1)
w- ,3-,08)
Эти результаты можно использовать для отыскания
другим способом плотности распределения времени
возникновения Q требований, если спрос образует процесс
Пуассона. Напомним, что времена между поступлениями требований
тогда имеют экспоненциальное распределение. Моментная
производящая функция для экспоненциального распределения
равна 1/[1 + (s/P)], в чем можно убедиться, положив в C.108)
а = 0. Если Q-e требование поступает в момент t после
начала наблюдений, то t = tx + t2 + •. • + tq, где tx — момент
поступления первого требования. Так как время поступления
/-го требования имеет экспоненциальное распределение и
все моменты поступления не зависят друг от друга, то
плотность вероятности времени поступления Q-ro
требования является Q-кратной композицией плотности
экспоненциального распределения времени, а моментная
производящая функция суммы равна
Q = N(s; Q-l, P). C.109)
Таким образом, сумма Q независимых случайных величин
имеет тогда гамма-распределение Q-ro порядка.
1 +

3.10]
МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
151
3.10. Марковские цепи
Рассмотрим некоторую систему, наблюдаемую только
в моменты t0, tXi t2, ... (где tr+1 = tr + At и М > 0
конечны). В эти моменты система будет находиться в одном
из п состояний, скажем у-м состоянии, у=1, 2> ..., п.
Примером может служить система, состояние которой
проверяется через равные интервалы времени. Эти состояния
определяются, скажем, уровнем запаса. Пусть вероятность
пребывания системы в у-м состоянии в момент времени tr+1
при условии, что в момент tr система находилась в /-м
состоянии, равна atj > 0. Будем предполагать, что а^ не
зависят от предыстории системы и от времени. Так как
система в момент времени tr+1 должна находиться в каком-то
одном из п состояний, то
п
2 а//=1. C.110)
/ = i
Вероятности а{- называют вероятностями перехода. Если
в момент tr система находится в /-м состоянии, то
вероятность ее пребывания в момент tr+2 в у-м состоянии
определяется как
п
eif=Se/A/, C.111)
так как она может совершить переход из /-го состояния
в любое &-е за время (try tr+1) с вероятностью aik
(которая может быть и равна нулю) и из &-го состояния в у-е
за время (^r+1, tr+2) с вероятностью akj. Поэтому в C.111)
суммирование проводится по всем k от 1 до п.
Обозначим через рг (/) вероятность пребывания системы
в /-м состоянии в момент времени tr. Тогда pr+1(j)
определяется как
п
Рг+1 (У) =2Рг (')«//. C.112)
и на основании C.111)
п
Pr+2(./)=2/V(/)a:f =
/ = 1
п п п
= 2 2 Рг (*) «л«*у = 2 Pr+i (*) ак). C.113)

152 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ C
Таким образом, если известны вероятность /?0 (/) для
момента /0 и вероятности перехода а/у-, то можно вычислить
вероятности пребывания системы в у-м состоянии в моменты
tr г = 1, 2, ... Описанный процесс переходов системы
называется марковский процессом с дискретным временем и
дискретным пространством состояний (или марковской цепью).
О состоянии системы можно говорить только в моменты
времени t0l tly t2, ... Характерная особенность марковского
процесса состоит в том, что вероятность пребывания
системы в определенном состоянии в момент tr+1 зависит
только от состояния системы в непосредственно
предшествующий момент tr и от вероятности перехода и не зависит
от предыстории системы (т. е. от того, как она очутилась
в этом состоянии в момент tr).
Можно ожидать, что с течением времени начальное
распределение вероятностей состояний р0 (у) будет все меньше
и меньше влиять на распределение вероятностей рг (у).
Будем говорить, что система находится в установившемся
состоянии (steady state), если вероятности pr(j) не зависят
от г, т. е.
Pr+iG)=M7) Для всех 7-
Если установившееся состояние для системы существует,
то p(j) будет означать вероятность пребывания системы
в у-м состоянии G=1, 2, ..., п). Эти вероятности можно
найти из C.112), полагая р(у') — pr(j) =рг+1 (у). В
результате получаем следующую систему п линейных однородных
уравнений с п неизвестными:
РG)=2/>('*Ку, 7=1, ..., п. C.114)
Эти уравнения не будут однозначно определять p(f). Но
так как система должна находиться в одном и только одном
из п состояний, то р (у) должны удовлетворять соотношению
2JpG) = l. C.115)
С этим дополнительным ограничением распределение
вероятностей состояний p(j) будет определяться однозначно.
Далее всюду будет изучаться только предельное распреде-

ЗЛО]
МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
153
ление p(j). Более того, будут рассматриваться марковские
процессы, для которых в каждое состояние можно попасть
из любого другого, но не обязательно за один шаг.
Наоборот, для этого может потребоваться достаточно большое
число шагов. Марковский процесс такого типа называется
неприводимым (irreducible) марковским процессом. У
такого процесса для каждой пары индексов / и у существует
такое целое N, что aff* > 0, где а\Р—вероятность
пребывания системы в у-м состоянии в момент гг+^, если в
момент tr она находилась в /-м состоянии.
Для неприводимых марковских процессов с конечным
числом состояний хорошо известно, что существует
единственное распределение />(у), определяемое из C.114),
C.115), и каждая его компонента р(у)>0. Докажем этот
факт, основываясь на некоторых сведениях из линейной
алгебры. Пусть А = ||а/у||—матрица (лхл), составленная
из вероятностей перехода, а р = [рA), ...,
р(п)]—вектор-строка предельного распределения р (у). Тогда
уравнения C.114) можно записать в матричной форме рAл—А)=0,
где 1Л—единичная матрица л-го порядка. На основании
C.110) сумма элементов каждой строки А равна 1, а
каждой строки матрицы AЛ—А) равна нулю. Таким образом,
столбцы матрицы AЛ—А) линейно зависимы, и определитель
этой матрицы |1Л—А| равен нулю. Отсюда следует, что
существуют вероятности р (у), не все равные нулю,
которые удовлетворяют уравнению в матричной форме р AЛ—А)=0.
Исключим из системы уравнений C.114) л-е уравнение.
Оставшиеся (л— 1) уравнений с л неизвестными можно
записать в матричной форме как
P*-i(I„-i—An.i)=p(/2)aw,
где рп_г — вектор, содержащий первые (л— 1) элементов
вектора р, \п_г— единичная матрица (л—1)-го порядка,
Ал-1—подматрица матрицы А, в которой вычеркнута
последняя строка и последний столбец, а ал=[ал1, ..., аю Лв1].
Заметим, что по крайней мере один элемент ал положителен,
в противном случае было бы невозможно когда-либо
покинуть л-е состояние. Таким образом, по крайней мере для
одной строки матрицы Ал-1 сумма элементов будет
неотрицательным числом, меньшим 1. Как известно из теории

154 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
матриц Леонтьева, матрица (\п^1 — An-i)'1 существует и
может быть записана в виде степенного матричного ряда.
Таким образом,
Ря.1=Р(л)ая[1я-1 + Ая.1 + А2-1+...]. C.116)
Для заданного значения р (п) вектор рл_х определен
однозначно. Если р (п) = О, все р (j) стремятся к нулю и поэтому
в сумме не могут равняться единице. Поэтому /?(л)>0.
Когда р (п) > 0, каждый элемент р„_г будет
положительным, так как для каждой пары / и у существует такое 7V,
что элемент матрицы А^ а\Р > 0. Используя C.115),
убеждаемся, что существует единственное распределение р (у)
(у=1, ..., /г), а все компоненты p(j) отличны от нуля.
3.11. Марковские процессы с непрерывным временем
и дискретным пространством состояний — очереди
Рассмотрим ситуацию, когда система находится непрерывно
под наблюдением и ее состояние известно в любой момент
времени. Состояниям системы можно поставить в соответствие
целые числа. Однако теперь их может быть счетное
множество. Как и ранее, нужно вычислить вероятности пребывания
системы в одном из возможных состояний в любой момент
времени. Будем искать только предельное распределение
вероятностей состояний для установившегося режима. Но теперь время
будет непрерывным. Обозначим вероятность пребывания
системы в у-м. состоянии в момент времени т > t, если в момент t
она находилась в /-м состоянии, через f(ift;j,%). Эту
вероятность называют вероятностью перехода. Если случайный
процесс является марковским, то вероятность р(у; т)
пребывания системы в у-м состоянии в момент времени т зависит
только от вероятностей пребывания системы в /-м состоянии
в момент времени / и от вероятностей перехода /(/, t\ у, т)
и не зависит от того, как она попала в 1-е состояние
к моменту t. Для такого процесса со счетным множеством
состояний можно записать
00
p(/;t)=S/>№')/(U;y,T). C.117)
/=0

3.11] МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ 155
Так как система, находящаяся в момент t в 1-м состоянии,
в момент х > t должна оказаться в одном из состояний
счетного множества состояний, то
со
2/(/, t;j, т)=1. C.118)
д- о
Если заданы моменты времени такие, что t < тх < т2, и
соответствующие вероятности перехода
f(h t\ у, т2), /(/, t; k, хг), f(k, хг; у, т2),
то
со со
Р U; т2) = S Р (''; ')/('. t; j, т3) = 2 Р (A; ti)/(*. ь; у, т2) =
i-о ft=o
2 />(';')
2/С'; *. *i)/(*>*i;y. *2) -
А;=о J
Для моментов времени, удовлетворяющих неравенству / <
< тх < т2, выполняется соотношение
со
/(*, U У, т8) = 2 /(Л * *, *i)/(*> тх; у, т2). C.119)
Для задач, представляющих практический интерес, обычно
выполняется условие. /(/, t\ у, т) —>0, если )Ф1, и /(/, t;
у, т) —> 1, если у = /, при т—W. Другими словами, когда
x—+t, вероятность изменения состояния системы стремится
к нулю, тогда как вероятность сохранения состояния
системы прежним стремится к единице. Хотя при т —> t f(i, t\
у, т) —> 0, если Ьф], отношение /(/, t\ у, т)/(т—/) может
стремиться к конечному значению, отличному от нуля. Это
отношение обозначается через tf/y-@> Т- е-
а (/) = нш lUdilfl, / ^ у. (з. 120)
Если т = / + ^/, то
f{i,t;j,t + dt)=fii't;^t+di)dt = alf{t)dt, 1Ф;\
причем вероятности atj(t)dt называют инфинитезимальными
вероятностями перехода, a a^(t)—интенсивностями перехода.

156 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
Из C.118) следует, что
со
f(i,t;i,t + dt) = ]—dt2 ai}(t). C.121)
i=o
Для вероятностей состояний р (/; t) можно составить
дифференциально-разностные уравнения. Учитывая C.117),
C.120), C.121), имеем
p(i;t + dt)=p(i;t)
+ ^ip(J;t)aJi(t)dt
}Ф1
\—dt% atJ(t)
i=o
ЗФ1
или
pd-j+dn-PdJ) = _p{l; t)I {i) + %pu. t) (t)
i=o i=o
Переходя к пределу при dt —¦»- 0, получаем бесконечную
систему дифференциально-разностных уравнений
dp (/; 0
= —р(';0.21«//@+21р(У;0л//@, / = 0,1,2,...
ai j=o j=o
ЗФ1 ЗФ1
C.122)
Эти уравнения являются дифференциальными по времени
и разностными относительно индексов состояний. Если для
некоторого момента времени t0 задано распределение
вероятностей состояний р (у; ^0), то можно предполагать, что
уравнения C.122) будут однозначно определять
распределение р (j; t) для всех последующих моментов времени.
Распределение вероятностей состояний наиболее легко найти
в тех случаях, когда переходы системы из одного состояния
в другое описываются пуассоновскими процессами.
Применительно к системам управления запасами это означает, что
поступления требований или моменты подачи заказов на
пополнение образуют процессы Пуассона, т. е. вероятности
f(iit'>j\f) составляют распределение Пуассона, являются
взвешенными суммами или произведениями компонент
распределения Пуассона. В тех случаях, когда переход из /-го
состояния в у-е представляет собой одно событие пуассо-
новского процесса, отношение f(i,t;j,t + At)/At будет
конечным, а в остальных случаях—бесконечно малой поряд-

3.11] МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ 157
*ч = 1
ка'А/ или степени At. Таким образом, а^ будут равны нулю
для всех переходов, за исключением тех случаев, для которых
переход означает одно событие процесса Пуассона*, т. е.
( \x,ij (постоянная), если переход из состояния/
в состояние j происходит
как одно событие
процесса Пуассона;
C.123)
и> если для перехода из
состояния / в состояние j
требуется возникновение
более одного события
процесса Пуассона,
где l/|i/y представляет собой среднее время перехода из
состояния / в состояние j. Отметим, что a{j- не зависят от t.
Для всех рассматриваемых далее моделей управления
запасами при любом фиксированном значении I будет
существовать только одно или два значения у, для которых atj Ф О,
т. е. переходы из состояния / за время dt будут происходить
только в одно или два других состояния.
Уравнения C.122) описывают изменения вероятностей
состояний р (/; t) во времени. Далее мы будем оперировать
в основном стационарными вероятностями р (/) для режима
установившегося состояния, когда dp(i)/dt = 0. Для этого
режима относительно стационарных вероятностей имеют место
следующие уравнения:
со со со
/>(/) 2 «,у= 2 р (/)«,•,•> / = о,1,2,...,у, 2/>(У) = 1-
C.124)
Уравнения C.124) допускают простую интуитивную
интерпретацию. Если вероятность^пребывания системы в состоянии /
остается постоянной во времени, то вероятность перехода
системы из /-го состояния за dt должна быть в точности
равна вероятности перехода из любого другого состояния
в состояние /. Вероятность того, что система покинет /-е
состояние за время dt, равна р (i) ^a^dt, а вероятность
* Условие ординарности процесса переходов. (Прцм. перге.)

158 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
перехода из любого состояния в /-е за dt равна У]р U) ^jidt.
Приравнивая эти вероятности и сокращая обе части равенства
на dt, получим уравнения C.124), которые можно назвать
уравнениями, равновесия. Левую часть C.124) можно
интерпретировать как интенсивность изменения/? (/), возникающего
при переходе из /-го состояния, а правую часть как
интенсивность изменения p(i) от переходов в /-е состояние. Эти
интенсивности должны быть равны.
Марковские процессы с непрерывным временем и
дискретным пространством состояний, которые используются в
качестве моделей систем, обслуживающих случайно
поступающие требования, относят к задачам теории массового
обслуживания. Таким образом, теория массового обслуживания
может быть использована и при изучении систем управления
запасами.
Уравнения C.122) можно легко обобщить, если каждому
состоянию поставить в соответствие два или более
неотрицательных целых чисел. Пусть p(i,j',t) означает
вероятность пребывания системы в состоянии (/, у) в момент /,
a aijifnn (t) dt будет вероятностью перехода из состояния (/, /)
в состояние (/и, п) за интервал (t,t-{-dt). Тогда уравнения
C.122) приобретают вид
dp(iJ'J) _
dt ~~
m = o/i=o m=o/i=o
13фтп ij=?mn
Простейшей моделью массового обслуживания, по-видимому,
является обслуживание клиентов одним обслуживающим
прибором (скажем, ремонтной мастерской) за случайное время,
распределенное по экспоненциальному закону (т. е. когда
вероятность того, что время обслуживания больше /, равна
e~vt)m Предполагается, что поступления клиентов образуют
пуассоновский процесс со средней интенсивностью
-поступления Я. Обслуживание клиента производится
незамедлительно, если прибор свободен в момент его поступления; в
остальных случаях клиент встает в очередь. Обслуживание

3.11] МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ 159
производится в порядке поступления. Пусть состояниям
системы поставлено в соответствие число клиентов в системе,
т. е. число обслуживаемых клиентов, находящихся в очереди
(заметим, что на обслуживании одновременно может
находиться только один клиент). Таким образом, в данном
случае число состояний будет счетным. Будем предполагать, что
клиенты поступают по одному. Если система находится
в /-м состоянии в момент t (т. е. в системе / клиентов), то
она может оказаться в состоянии /> / в момент т при
условии, что произойдет одно из следующих событий: 1) за время
т — t поступит j—/ новых клиентов, и за это время ни один
клиент не будет обслужен полностью; 2) за это время
поступит у—/+1 клиентов и один клиент будет обслужен;
3) поступит j—/ + 2 клиентов и два клиента будут
обслужены полностью и т. д. Таким образом,
GO
/(', t\h т) = 1jP[J—* + *;Мт—')]р[*|/—/ + /М,|х,т — *],
где p[k\j—i + k, /, |i; t — t] — вероятность обслуживания
за т—t точно k клиентов при условии, что за это время
j—i-\-k клиентов поступило, а в момент t в системе было
/ клиентов. Здесь \i означает среднюю интенсивность
обслуживания. Однако
д^о А' \ 0, х = 2, 3, ...,
и поэтому для />/ все а/у. = 0, за исключением j=i-\-\.
Более того,
Условная вероятность того, что за нулевое время ни один
клиент не будет обслужен, равна 1, так как если клиент уже
находится на обслуживании, то вероятность того, что время
обслуживания превысит t, равна е-**. Следовательно, можно
записать
а = ( К Для у = / + 1,
^ i 0, для всех остальных у>/.

160 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ C
Аналогично если j < /, то
а.. = / Р* для ¦/=/—Ь
4 \ О, для всех остальных j < /.
Таким образом, за время dt в данном случае возможны
переходы лишь в соседние состояния. Диаграмма состояний системы
с допустимыми за dt переходами представлена на рис. 3.8.
И- Н> Р f1
X X X X
Рис. 3.8.
Можно сразу же выписать уравнения равновесия C.124) для
стационарных вероятностей/? (у). Они имеют следующий вид:
Ю>A) = Я/>@), ИР(я+1) + ЯвР(я—1) = (Х + |1)р(л),
л = 1,2, ...
Обозначив р = к/[л, получим
РA) = ЙР@), р(л) = рвр@), «=1,2, ...
Далее, из условия нормировки следует
ос
/»@) Sp/=p@) [tJ_1 = i, p<i,
т. е. если р<1, то стационарные вероятности состояний
системы составляют геометрическое распределение
Р(У) = РУA—Р), У = 0, 1,2, ...
Если р^1, т. е. средняя интенсивность обслуживания
меньше или равна средней интенсивности поступления
клиентов, то статистическое равновесие не достигается, а
средняя длина очереди неограниченно возрастает.
3.12. Другие типы марковских процессов
Рассмотрим кратко марковские процессы с дискретным
временем и непрерывным пространством состояний и только
упомянем о процессах с непрерывным временем и
непрерывным пространством состояний.

3.13] СВОЙСТВА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА 161
Допустим, что система наблюдается лишь в моменты tn
г = 0, 1, 2, . . ., где tr = tr_1 + At, At > 0 и конечно, а ее
состояние можно описать непрерывной случайной величиной X,
принимающей неотрицательные значения. Пусть gr(x)dx
означает вероятность того, что в момент времени tr х < X <
< х + dx, a f(x\y) dx будет вероятностью того, что в момент
^•+i>*r x<X<x-\-dx при условии, что в момент tr
система находится в состоянии у. Тогда
00
grMx) = [f(Ay)griy)dy. C.126)
О
Если существует стационарная плотность g(x)*> то
со
g(x)^\j/(x\y)g(y)dy. C.127)
О
Уравнение C.127) является однородным интегральным
уравнением Фредгольма. Вобщем случае такое уравнение достаточно
трудно решить. Далее при рассмотрении складских систем
с периодической проверкой встретится очень простой случай,
когда уравнение C.127) решить можно.
Марковские процессы с непрерывным временем и
непрерывным пространством состояний часто называют
диффузионными процессами. Анализ систем, описываемых
диффузионными процессами, более сложен, так как определение
вероятностей состояний требует решения дифференциальных
уравнений в частных производных. Однако диффузионные
процессы дают возможность описать системы с непрерывным,
а не дискретным спросом. В конечном счете получается
нормальное распределение объема спроса с математическим
ожиданием %t и дисперсией Dt, где X—средняя
интенсивность спроса, a D—некоторая постоянная.
3.13. Свойства распределения Пуассона
В последующих главах книги распределение Пуассона
будет применяться довольно часто. Ряд необходимых свойств
этого распределения дается в приложении П.З. Здесь же
будут приведены выводы некоторых свойств. Напомним, что
* Которая не зависит от г. (Прим. перев.)
6 Дж. Хедли, Т. Уайтдн

162 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
распределение Пуассона определяется формулой C.13), но
многие соотношения удобнее выражать в терминах
00
P(x;n)=5jpU;n), C.128)
что объясняется наличием таблиц [2, 7] для Р(х; |х), а также
соображениями удобства вычислений на цифровой
вычислительной машине. Далее всюду предполагается, что
выведенные соотношения справедливы для счетного множества
неотрицательных целых чисел г при условии, что р (у; \i) = О,
a P(j; |ut) = 1 для отрицательных целых чисел у. Хотя г
должно быть неотрицательным, все же в некоторых
выражениях для p(j; \i) и P(j; \i) можно встретить отрицательные
значения аргументов, если г достаточно мало. Эти
выражения будут корректны в указанных случаях, если использовать
оговоренное выше условие. Из C.13) следует, что
хр (х; \i) = ^р- е~* = \i (^_1}! е~* = \ip (х— 1; ц),
*=1,2, ... C.129)
Это свойство дается первым в приложении П.З. В дальнейшем
индекс свойства П3.5 означает пятое свойство приложения П.З.
Часто используются суммы следующего вида:
00
и»(') = 2уярG;и), л! = о, 1,2, ... (злзо)
Заметим, что
СО GO
И» (г) = S jmP (/; ц) = Ц S У'"/' U-1: I*) =
со со m~1fm 1\
= р 2 (Ач- 1)*-*/»(Л; I*) »= к. 2 2 „ *"р(&;(а)=
*=г-1 А=г-1п=о\ « /
=Ф 2 я И» ('-!), «=1,2, ... C.131)
/1 = 0 \ П J
(свойство П3.2). В частном случае имеем
со
Ы')= 2>(/; |i) = |i(io(r—1) = |*Р(г-1; |i) C.132)

3.13] СВОЙСТВА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА 163
(ПЗ.З). При определении среднего числа учтенных
требований в некоторых моделях управления запасами нужно оценить
следующее выражение:
со
2 (j—r)p[j;v).
Его можно преобразовать к более удобному виду, учитывая
C.132):
00 СО
2 U—r)p(/; и) = .2 JP(Л v)—rP{r; |i) =
= цР(г— 1; |*)—rP(r,[i). C.133)
свойство ПЗ.Ю). Часто возникает необходимость вычислять
суммы вида
Qm(r)=2rP(j;\i).
j=r
Последние можно тоже представить в рекуррентной форме
00
.S[(/-i)"+1-r+1]^(/;|x) =
= (r—\r^P(r;\i)—rm+1p(r, p) — (r+l)"+1p(r+U fi) -
- ... =(r-l)-+»/>(r; |i)-|ie+1(/-), C.134)
где (xm+1(r) вычисляются по формуле C.130). По формуле
разложения бинома получим
2Ш-1)-+1-У"+1]Я(У;|*) =
со т / _1_ 1 \
= 2 2(-1)"+1-'ГТ )j'pU;p). (ЗЛ35)
Приравнивая C.134) и C.135), находим
1
0«(') =
|в(-1)-1+'(Л1+1H/(г) +
/я+1
+ l*e+i@-(r-l)-l+1P(r;|i)]l л*>1. C.136)
6*

164 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
(свойство ПЗ.7). Для того чтобы использовать C.136), нужно
вычислить
а0(')=2/>(У;ц). C.137)
}= г
Это легко сделать, если Q0(r) записать как
Go (г) =р (г; ц) +р (г + 1; ц) +р (г + 2; ц) + ...
+р(г+\;ц)+р(г + 2;ц)+...
+р(г + 2;у)+...
=р(г;ц) + 2/»(г + 1;|1) + Зр(г + 2;ц)+...=
00
= S (/-*¦ +1)Р(Л \i) = [iP(r-Uii) + (\-r)P(r,ii) C.138)
О-Г
и учесть C.133). Последнее соотношение является
свойством П3.6. Используя C.138), C.136), C.131) и C.132),
получим свойство П3.8
Й1('-) = ^;/:>(/;|1)=4[О0(г) + ц2(г)-(г-1JР(г;ц)] =
= ip(r-l;|i)+(l=^P(r;|i)+ f-P(r-l;(i) +
+ !f P(r-2;lx)-i^P(r; ц) =
= ^P(r-2; ц) + цР(г-1; ц) _/-?=Д я (Г; ^. (ЗЛ39)
При использовании распределения Пуассона приходится
вычислять интегралы, как, например,
т т %т
0 0 О
1 г ^+i _„р с ^+1 _ -1
о
= j-P(r + l;M). C.140)

3.14] нормлльное распределение 165
Это свойство П3.16 также вынесено в приложении. Из C.140)
непосредственно следует свойство П3.17
т т
§t»p(r;%t)dt = §tn^e-Udt==
о о
_ 1 (Я + ГIГ Х" + ' ,-xrfy-
-TF^^T^){n+r)\e ax~
О
= j^i^±^Р(п +г+1; XT), /2 = 0,1,2,... C.141)
И наконец, интегрируя по частям, полагая du = tndt и
используя П3.15 и C.141), получим
т т
jW(r, Х0Л = ^Р(г;^)|оГ-Я^^р(г—1;^)Л =
о
T'w+i
= 1_Р(гаГ)-^^±^_Я(« + г + 1;Я7) C.142)
(свойство П3.19).
3.14. Нормальное распределение
Нормальное распределение /г (л:; [х, о) определяется по
формуле C,22), а вероятность того, что хг^Х^х2, равна
интегралу от п(х; fi, а) в пределах от хг до #2. Если
ц = 0, а сг = 1, то нормальное распределение называют
нормированным с плотностью <p(*e>), определяемой из C.24).
Интегральное распределение Ф(w) равно
00 СО
Ф{-ш) = -±=[е-«1,гйу= [y(y)dy. C.143)
W W
Почти во всех справочных математических таблицах (см.,
например, [2]) имеются таблицы ф (w) и Ф (w) (или
функции, с помощью которых можно легко получить Ф (w)).
Заметим, что
п(х; ц, о) = ±<р (*-т) = ^-«-A/2о')('-,°! C-144)

166 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
И
х2 w2
C.145)
где w = (x — \i)/o. В моделях управления запасами бывает
легко получить аналитические результаты, если все
переменные непрерывны. Это позволяет избавиться от проблем,
связанных с дискретностью, скажем, вычислять
производные вместо разностей и т. д.
Во многих случаях интенсивность спроса в системах
управления запасами настолько велика, что дискретностью
спроса можно пренебречь, считая его непрерывной
случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Одна
из причин популярности нормального распределения при
описании спроса состоит в том, что оно служит достаточно
хорошей аппроксимацией на практике. С другой стороны,
нормальным распределением удобно оперировать, так как
для него имеются весьма полные таблицы. И наконец, все
рассмотренные выше типы распределений: биномиальное,
отрицательное биномиальное, пуассоновское,
гамма-распределение и составное пуассоновское, в силу предельной
теоремы можно аппроксимировать нормальным. Доказательство
предельной теоремы мы опустим, а внимание будет
сосредоточено на том, насколько быстро каждое из этих
распределений стремится к нормальному и какова будет ошибка
аппроксимации. Оценки быстроты сходимости и точности
аппроксимации, вообще говоря, представляют собой
достаточно трудные вопросы. Поэтому мы не будем пытаться
дать их полное изложение.
Важно, однако, отметить, что при больших значениях
математического ожидания распределение Пуассона можно
аппроксимировать нормальным. Поэтому таблицы
распределения Пуассона составлены только до значений |ы = 100.
Для \х > 100 нужно использовать нормальное распределение.
Пусть вероятность того, что Х = х определяется как
p(x;\i), где \i— математическое ожидание. Для заданного
значения \х график р (х; \х) можно представить
последовательностью вертикальных отрезков, как показано на
рис. 3.9. Но теперь эти вероятности можно представить

3.14]
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
16?
прямоугольниками на рис. 3.9. Длина основания каждого
прямоугольника равна единице, отсчитываемой от точки
х—1/2 до л:+ 1/2. Вероятность того, что Х=х, равна
площади прямоугольника с высотой р (х; |х) и единичным
основанием. Поэтому можно записать
00
Р (х; \л) =Р (х; \i) Ах, Р (х; \х) = 2р (У\ V) Ду,
у=х
где Ах = Ау=\—длина основания прямоугольника на
рис. 3.9. Заметим, что р (х; |х) является площадью,
ограниченной ступенчатой кривой от точки х—1/2 до # + 1/2,
Р(х;Щ
а Р(х\ \х) — площадью, ограниченной ступенчатой кривой от
точки х—1/2 до оо.
Предельная теорема, упомянутая выше, гласит, что, когда
для пуассоновского распределения |х—^оо, ступенчатая
кривая, ограничивающая заштрихованную область на рис. 3.9,
стремится к кривой плотности нормального распределения и
р (х; \i)-+n (x; \iy V]x)\ P (х; \l)-+0
VH
C.146)
а математическое ожидание и дисперсия нормального
распределения равны математическому ожиданию и дисперсии
распределения р(х; \х).
Вспомним, что Р@;|а) = 1. Поэтому при аппроксимации
распределения Р(х;\х) функцией Ф ( ^-^ ] для требуемой

168 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [А
точности аппроксимации можно считать, что
ф(^)->-
т. е. площадь, ограниченная кривой нормального
распределения слева от л; = 0, пренебрежимо мала. Конечно, это
предположение становится все ближе к действительности,
по мере того как [х возрастает.
Для конечных значений \х более подходящей
аппроксимацией распределения Пуассона будет
*+A/2)
Г Г *-A/2) ЧГ Г '
= ф(НШ)_ф(?+Ш), C.147)
Р(*;|1)=Ф^-=^|. C.148)
Часто предполагают нормальное распределение в
качестве достаточно точной аппроксимации распределения
Пуассона при [1^25. Однако при этом следует учитывать, что
ошибка аппроксимации зависит от интересующей области
значений х. Аппроксимация будет наилучшей для значений
jc, близких математическому ожиданию, и будет
последовательно ухудшаться по мере стремления х к оо (т. е. по
мере приближения к хвосту распределения). По-видимому,
для большинства практических случаев такая аппроксимация
будет достаточно точной, если [х^25. Но так как таблицы
распределения Пуассона составлены до значений ц, = 100,
то поэтому нет необходимости использовать аппроксимацию
нормальным законом, если |А^100. На основании C.146)
при t—> оо имеем
р(х; kt)-+ г— Xl g-(i/»H*-M>V4 C.149)
Если, скажем, поступления требований образуют процесс
Эрланга /г-го порядка, а не процесс Пуассона, или если
спрос описывается составным пуассоновским процессом, или
если нас интересует безусловное распределение спроса за
случайное время поставки пополнения, то распределение
объема спроса за время t будет стремиться к нормальному

3.15] СВОЙСТВА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 169
с математическим ожиданием Xt, где % — средняя
интенсивность спроса. В более общем случае дисперсия не должна
быть равна %t, а ее можно записать условно как Dt,
учитывая этим, что дисперсия пропорциональна времени. Тогда
п{х;М, VDi)=-r=^-Tre-1/iix-Xt)VDt- C-150)
3.15. Свойства нормального распределения
Далее нам понадобится использовать ряд свойств
нормального распределения, перечисленных в приложении П.4.
Вывод ряда свойств будет дан ниже, а вывод остальных
составит задачи и упражнения к данной главе.
Непосредственно можно установить соотношение
00 СО »
г У п r V л г2/2
1 е-Г2/2=ф(г) C.151)
V2 л
(свойство П4.1) и
СО 00
Г лг2ф (х) dx = -f=r С х (хе~х2^) dx =
г г
со со
= —Lrf— xe-^lA +f е-«/«Лс1 = Ф(г) + г<р(г) C.152)
Г Г
(свойство П4.3). Вычислим интеграл вида
00
^ хпФ (х) dx, л = 0, |1, 2, . ..
г
Интегрируя по частям и используя замену dv = xn dx,
получим свойство П4.5
со со
j х"Ф (х) dx = -j^-L г«+1Ф (г) + -^ j *"+1q> (*) rf*.
л = 0, 1, 2, ... C.153)

170 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Из C.153) непосредственно следует свойство П4.6
00
<\)<X>(x)dx = <f(r) — гФ(г). C.154)
Г
Более того, на основании C.152) получаем свойство П4.7
CD
J *Ф (х) rfx =-1г2Ф (г) + 1 [Ф (л)+гср (г)] =
г
=±[A_г»)ф(г) + гФ(г)]. C.155)
Необходимо также вычислять интегралы вида
п \ 1» V J уг2я?) /Va
Г/
7"
= ?-^тгфГ-^=тт-1л, Г,, Г.>0, C.156)
где /г — целое число. Рассмотрим сначала интеграл
j0(x, Tv T2). Если
У(*)-
х—Xt
(Dt)l/*
rfy =
L~(i>oVf 2?I/2 '3/2
dt, C.157)
то
T
1 Г2 Г а:—A,/ 1
(jc—Xt)
(DO72 2DVz *8/2J
tftf —
(* (*—M) Г а:—^ .,
\ i/ 3/ Ф i7 \dt =
У(Т2)
птх)
1 j (pN^4)^^wlrf/' (ЗЛ58)

3.15]
СВОЙСТВА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
171
Теперь заметим, что
Подставляя C.159) в C.158), получим
т2
•М*. Tv Т2)^ТФ
x—%t
YiptL*.
D dJ0 (*, Tlt T2)
"*" 2% dx
C.159)
C.160)
rt
Для определения J0 нужно решить дифференциальное
уравнение C.160). Умножим обе части этого уравнения на
e-{2\x/D)m т0Гда
т2
~[e-^x/°)J0] =— 1 e-l**'DKI>
-U
L №/)¦
V.
. C.161)
Интегрируя обе части C.161) от л: до оо и замечая, что
lime-(«Wz>)yo(jc> Ti> Га)==0>
получим
'S-w,
.Ф
(ого72
\й%. C.162)
= hplXxlD Г е-BЯ,уО)/ф
?> J \ L(OT,i),/*.
Теперь интеграл вида
оо оо оо
f е-2^/офГк^Ъ? = ^ J е-***/Яф(р)<*р<*Е C.163)
(D7,)V2
представляется как двойной интеграл по заштрихованной
Рис. 3.10.
области в плоскости р?, как показано на рис. 3.10.
Вычислим этот интеграл, разбивая заштрихованную область на

172 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
[3
элементарные полоски, параллельные оси р. Тогда
площадь одной полоски равна
(DT^/tQ+XT
= ф(р)йр[|
e-2hx/D &_ e-2teT/De-2hTi/2Q/Dt/i~\
2a J
так что
1—хт
(DT)-
dl^e-^/оф
х—ХТ
(DTI
ц-
ОС
_g.-e-iX»r/D Г е- 2^rV2Q/DV2(p (p) ^ C.164)
(*-ЯТ)
(D7)V2
НО
5
0-2KT1/2P/D1/2
(f(p)dp
(x-KT)/(DTI/2
(^-и)/фГ)/2
00
= e2\*T/D Г , *_ e-1/2[Q+B^7')/(D7')V2]2 rfp =
(x-KT)/(DT)./i
:е2^г/офГ?±А^1. C.165)
Подставляя C.165) в C.164), а затем выражение C.164)
в C.162), получим окончательно
•М*; ^ 7a) = W0(*, Г2)-1Р0(*, 7\),
где
0 v ' ' Я тл/« ^ (ПТ) /2
L(Dr)/2J
L(D?)/2J
C.166)
(свойство П4.9). Теперь определим Ух(д:, 7\, 72). Сначала
проинтегрируем У0 (л;, 7\, Г2) по частям, используя замену

3.15] СВОЙСТВА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
dv = t~i^dt. Тогда
J о (х> 7\» ' г) ==
0/'4@')/*Jk ^"L
, 1 (х—Х021 Гх—ЯП j, 2<v
173
~ *1/z \(x—Xt)X
Dt
2 D/2
"]ф L(do,/2J ?>1/2 L(^I/2J
;2 Г> Г 8/2
+ §Ух(*. Т,, ТУ-4 j^fcp
x—Xt
\_{Dt)x,\
т +
dt. C.167)
Теперь на основании C.159) имеем
74
а-М*. ту rp _ * г г3'*
г.
ж—Я/
.№0'
<ft +
+ -?-/„(*, 7\, Т2). C.168)
Подставляя C.168) в C.167), получим
J,(x, Tv T2)=-?i^l(})
х—Xt
l(Dt)
V.
г,
+
+ -
[l + ?] /„ (х, Tlt Tt) - ^dJo(X'dl1' Гг). C.169)
Теперь интеграл выражен через известные величины. Остается
несколько преобразовать выражение для Jt (х, Т1У Т2). Из
C.166) следует
dW0(x, T)
дх
X(DT)lf
¦Ф
,ХТ
(DTI/2] D
±.e2bx/D ф
х + ХТ
+
X(DT)
92%x/D
Ф
х + ХТ
(DTI'*]
(DTI/*
C.170)
Подставляя выражения C.166) и C.170) в C.169), получим
•М*. 7*1, T2)=W1(x, T2)-Wx(x, Tx),

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
174
где
1М*,Л = -^ф
[3
А2
_e2kx/D($
х—ХТ
(ОТI'*
"х + ХТ
{DT)l/*
9г
-Г хае ч>
DV..
Язг1/
17. Ф
(DT)
-XT
(DT)'*
Dl/*x
~х*т1/*
*2lx/D
Ф
x + XT
[(DT)l/*
или
D,/a / *
*-xJl +
|(DT)
+ Ж^-27'/г)<Р[^]+^/°№)Х
х^-Т^ф
L(Dr),/2J X3T'h
*ет- ,3m>
что дает при использовании П4.18 свойство П4.10.
Интегрируя по частям Jn(x, 7\, 72), можно связать Ул+1(х, 7\, Т2)
с */„(#, 7\, Т2) и ^w_i(A:, 7\, 72). Используя замену
dv = tn~{i/2] dt, получим свойство П4.11
Jfi + l \Х> * V V2) —
2(Dt)i/4n [ x—Xt
А2
Г x—Xt
+
/z = 0, 1, 2, ... C.172)
Нам понадобится также вычислять интегралы вида
Я»(*. Tv 72) = J/|j^j<tf, л = 0, 1, 2, ... C.173)
Интегрируя C.173) по частям и используя замену dv = tndt)
получим П4.14
*.<*, Ti, Т^=7^Т(п+1ф[^1
~2(n + l)^n+1 ^ ^' ^— 20^+1)^"^' ^' ^' C-174)

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
175
Но так как интегралы /я, Jn+1 известны, то Rn можно
определить из C.174). Например, из П4.9 и П4.10
Яо(*> Tv T*) = Vo(*>T2) — V0(x,T1),
где
фГ)'/. m [х-ХТ-\ _ J_ ^_jD'^ elWO ф рх+ХГ ]
2х v*~~ л J*1
L(Dr)V.J'
.?ф Г*~Я,7'1 4--e^/flO Г* + яг
L(DT)"
ИЛИ
+
+ Ш2^фГ?=1+^в.^/оф
+ Я (pL(Dr),/2J+2^e
(свойство П4.16).
'x + KT
Коту
7.
C.175)
Задачи и упражнения
3.1 Пусть X—дискретная случайная величина, которая
может принимать только п значений /+1, . . ., j-\-n. Если
Р (/+*) = 1/я, *"= 1, . . ., л, то говорят, что X имеет
равномерное или прямоугольное распределение. Аналогично в
случае, если плотность вероятности f(x) определяется как
О , х < а,
1
/(*)¦=
О ,
Ь>а,
то говорят, что X имеет равномерное или прямоугольное
распределение. Вычислите математическое ожидание и
дисперсию в обоих случаях.
3.2. Предположим, что поступающие требования образуют
процесс Эрланга /г-го порядка. Нужно определить
вероятность поступления требования за время (t> t-\-dt) при
условии, что за время t с момента поступления фиксированного
требования спрос отсутствовал,

176 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
3.3. Иногда для описания случайного процесса спроса
используют коэффициент вариации k\ k = ok, где 1Д —
среднее время между поступлением требований, а а2 — дисперсия
этого времени. Чему равно k для процесса Пуассона и для
процесса Эрланга п-то порядка?
3.4. Покажите,_что Т (г/2)=Уп. Покажите также, что
Г (п + V2) = 4я1 * ' л=1» 2> 3> ••• Указание. При
вычислении Г (Vg) используйте замену х = и2.
3.5. Сравните дисперсии пуассоновского и отрицательного
биномиального распределений, если они имеют одинаковые
математические ожидания. Выразите дисперсию
отрицательного биномиального распределения через его математическое
ожидание и порядок п. Напомним, что если требования
поступают согласно процессу Пуассона, а времена поставок
имеют гамма-распределение, то безусловное распределение
спроса за время поставки пополнения запасов является
отрицательным биномиальным распределением. Что можно
сказать о влиянии неопределенности на дисперсию
безусловного распределения спроса за время поставки?
3.6. Пусть $$($) — производящая функция распределения
р(х). Покажите, что \х— математическое ожидание X
определяется как первая производная от 9$(s) при $=1, т. е.
как $'A), а
а2 = Г0) + $'0)-[$'0)]2,
где $"E) — вторая производная 9$(s) в точке 5=1.
Используя эти результаты, вычислите математическое ожидание
и дисперсию распределения Пуассона и отрицательного
биномиального распределения.
3.7. Вычислите производящую функцию биномиального
распределения и используйте соотношения задачи 3.6 для
определения математического ожидания и дисперсии этого
распределения. Пусть Х19 ..., Хт — независимые случайные
величины, распределенные по биномиальному закону с
одинаковым р, но различными п. Каково будет распределение
3.8. Пусть К—сумма случайного числа N независимых
одинаково распределенных дискретных случайных величин Xh
т. е. У=Хг + ...+XN, a \xyy [ix и \хп и a*, aj и a* —
соответственно математические ожидания и дисперсии

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 177
К, Xi и N. Используя результаты задачи 3.6 и
производящую функцию распределения F, покажите, что
Ь = РхРп и <*I = И»<? + |ijaj •
Указание. Напомним, что производящая функция
распределения У определяется из C.95), а *РA) = 1.
3.9. Получите те же результаты задачи 3.8, не пользуясь
производящими функциями. Указание. Если р (х) —
распределение Xh а г (п) — распределение N, то вероятность любого
набора (Xv ..., XN, N) равна-/? (хг)р (х2) ... р(хп)г(п)
и
ь=2 2 ур (*i) • • • р (*«)г м =
п хи .. ., хп
для заданного
п
=2 2 2 *//>(*/)»•(*),<$=
для заданного
= 2 2 (*1+ • • • + */> (*l) • • • Р (Хп) Г (П) -\12у =
п хи . . ., хп
для заданного
=2 2 И + • • • + х"+2*<-*/1 р(*i>¦ ¦ -р(*»)Гп-р1=
п хх, .. .,хп\_ I, / J
= %[по2х + n\i2x + n (п— \) \х2х]г (п) — \х2.
п
3.10. Результаты задачи 3.8 позволяют вычислять
математическое ожидание и дисперсию объема спроса за время т,
если времена между поступлениями требований и размер
каждого требования случайны, а соответствующие
математические ожидания и дисперсии известны. Примените эти
результаты в случае составного пуассоновского
распределения. Эти же результаты позволяют вычислить
математическое ожидание и дисперсию безусловного распределения
объема спроса за время поставки пополнения в случае, если
время поставки дискретно. Здесь Х{ можно интерпретировать
как спрос за /-й день.
3.11. Рассмотрите ситуацию, при которой спрос дискретен,
а время поставки является непрерывной случайной величиной
с плотностью g(t). Пусть p(x\t) — вероятность спроса на х

178 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [3
единиц за время t, a $(s;^) — соответствующая
производящая функция. Пусть У—случайный спрос за время поставки,
a $*(s)—производящая функция распределения этого спроса.
Покажите, что
%*(s) = ^(s;t)g(t)dt.
О
Определите $* (s) для пуассоновского процесса поступления
требований, размер которых всегда равен единице, если время
поставки имеет гамма-распределение. Это представляет другой
способ доказательства, что безусловное распределение спроса
за время постав ки имеет отрицательное биномиальное
распределение.
3.12. Пусть р (x\t) — вероятность спроса на х единиц
за время t. Допустим, что математическое ожидание равно Xt,
где X — средняя интенсивность спроса, а дисперсия равна а?/.
Пусть g(t) — плотность вероятности времени поставки со
средним \it и дисперсией о\. X может быть или дискретной,
или непрерывной случайной величиной, a t непрерывно.
Покажите, что для случайного спроса за время поставки У
имеют место соотношения
|iy = fyif и ol = \itel + №ol
Указание.
СО 00 00
(b\it? + el=\\fp(y\t)g{t)dydt=\{alt + 'k4*)g{t)dt.
0 0 О
3.13. Предположим, что требования образуют процесс
Пуассона, а размер требований имеет биномиальное
распределение. Определите распределение спроса, производящую
функцию этого распределения, математическое ожидание
и дисперсию спроса.
3.14. Допустим, что время поставки является непрерывной
случайной величиной с математическим ожиданием \it и
дисперсией о). Процесс поступления требований таков, что
среднее время между поступлениями требований равно \idi а
дисперсия числа требований за время t определяется как o2dt.
И наконец, размер требований — случайная величина с
математическим ожиданием \ix и дисперсией о\. Используя
результаты зздэч 3.8 и 3,12, определите математическое о>кц-

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
179
дание и дисперсию объема спроса за время поставки в
терминах заданных математических ожиданий и дисперсий.
3.15. Используя моментные производящие функции,
получите выражения математического ожидания и дисперсии
нормального и гамма-распределения.
3.16. Пусть X—дискретная случайная величина с
распределением р (л:). Моментная производящая функция X
определяется как
00
m{s)= 2 e'*sp(x).
Как по Ш (s) определить математическое ожидание и
дисперсию X} Вычислите 9Jt(s) для биномиального, пуассонов-
ского и отрицательного биномиального распределений.
3.17. Используя результаты задачи 3.16, вычислите
математическое ожидание и дисперсию для биномиального, пуас-
соновского и отрицательного биномиального распределений.
3.18. Пусть Хх и Х2 — независимые дискретные
случайные величины с моментными производящими функциями <Ш1 (s)
и Ш2 (s) соответственно. Определите моментную
производящую функцию суммы Y = X1-\-X2.
3.19. Рассмотрим процесс поступления требований, для
которого вероятность поступления требования в интервале /,
t-\-dt, если отсчет времени ведется с момента поступления
последнего требования, равна g(t)dt и зависит только от t.
Пусть наблюдение за системой начато в некоторый момент т
после возникновения последнего требования, a g(t\t)dt—
вероятность того, что следующее требование поступит
в интервале t, t-\-dt после начала наблюдения. Покажите, что
00
X
Определите g(t \ т) для пуассоновского процесса поступления
требований. Теперь предположим, что отсчет времени ведется
с произвольного момента. Это означает, что нам неизвестно,
сколько времени прошло с момента возникновения последнего
требования. Вероятность возникновения последнего
требования в интервале т, x-}-dx в прошлом равна совместной
вероятности того, что следующее за ним требование не
возникает до момента т, т. е. 0(т)у и что наблюдения

180 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ C
начинаются в интервале т, x-\-dx. Последняя вероятность не
зависит от т, если отсчет времени (наблюдения) ведется
с произвольного момента, и пропорциональна dx, т. е. равна
adx. Таким образом, совместная вероятность равна aG(x)dx,
где а определяется так, чтобы интеграл по всем возможным
значениям т от этого выражения был равен единице.
Используя эти результаты, покажите, что если u(t)dt есть
вероятность появления требования в интервале /, t-\-dt при
произвольном моменте отсчета t (произвольном моменте
начала наблюдений), то
со
u(t) = X^g(t + x)dx = XG(tI
о
где % — средняя интенсивность поступления требований.
Вычислите и (t) для распределения Пуассона и покажите,
что u(t)=g(t).
3.20. Используя результаты предыдущей задачи,
покажите, как следует вычислять вероятности Un(t) того, что п
требований поступает за время t, отсчитываемое от
произвольной точки, если заданы вероятности Vn (t) спроса точно
на п единиц за время /, измеряемое от момента поступления
фиксированного требования.
3.21. Вычислите и (t) для случайного процесса спроса
Эрланга т-го порядка. Попытайтесь определить вероятности
Un(t) и Vn(t). Заметим, что u(t) определяется в задаче 3.19,
a Un(t) и Vn(t)—в задаче 3.20.
3.22. Покажите, что соотношение, эквивалентное C.29),
справедливо и для непрерывных случайных величин.
3.23. Докажите, что выражение C.84) представляет
производящую функцию отрицательного биномиального
распределения, даже если п не является целым числом.
3.24. Пусть Хх и Х2— непрерывные независимые
случайные величины, принимающие любые действительные значения.
Покажите, что моментная производящая функция суммы
У = Х1-\- Х2 равна произведению моментных производящих
функций для Хх и Х2.
3.25. Рассмотрите марковский процесс с непрерывным
временем и дискретным пространством состояний. Докажите,
что если переходы из одного состояния в другое образуют
процесс Пуассона, то только те а/у-, 1ф}, отличны от нуля,
которые соответствуют переходам за одно событие.

ЛИТЕРАТУРА
181
3.26. Дайте вероятностную интерпретацию уравнения
C.140).
3.27. Вычислите вероятность р C0; 25)—р(х; \х) и ее
аппроксимацию нормальным распределением. Вычислите
РC0; 25)—РD0; 25) и их нормальные аппроксимации.
Вычислите также р(95, 75), Р(95, 75) и Я (95; 75) —
— РA05; 75) и соответствующие аппроксимации.
Используйте при вычислении таблицы [7].
3.28. Продифференцируйте по Т C.166) и используйте
полученный результат для доказательства корректности
выражения W0 (л:, Т).
3.29. Определите предельные формы свойств
распределения Пуассона, выведенных в параграфе 3.12, заменив
распределение Пуассона его нормальной аппроксимацией.
Сравните эти результаты с соответствующими свойствами,
полученными непосредственно для нормального распределения.
3.30. Дайте выводы всех свойств приложения П.З, вывод
которых отсутствует в тексте.
3.31. Дайте выводы всех свойств приложения П.4, вывод
которых отсутствует в тексте.
3.32. Определите математическое ожидание и дисперсию
составного распределения Пуассона с помощью производящей
функции.
3.33. Рассмотрим систему управления запасами, в
которой требования поступают согласно процессу Пуассона,
а размер каждого требования равен единице. Средняя
интенсивность спроса 40 единиц/год. Правило функционирования
системы состоит в подаче заказа на пополнение, когда
уровень наличного запаса становится равным г. Для времени
поставки пополнения, равного двум месяцам, определите
такое значение г, чтобы вероятность поступления одного
или более требований за время пополнения, не
удовлетворенных из-за дефицита, была меньше или равна 0,02.
ЛИТЕРАТУРА
1. Б а р у ч а-Р и д А. Т., Элементы теории марковских процессов
и их приложения, изд-во «Наука», перев. с англ. (готовится
к изданию).
2. Burrington R. S. and D. С. May, Handbook of Probability
and Statistics with Tables, Sandusky, Ohio: Handbook Publishers,
Inc., 1953.

182 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ C
3. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения,
изд-во «Мир», 1964.
В этой хорошо известной книге излагается теория вероятностей только
для дискретных случайных величин.
4. Jewell W. S., The Properties of Recurrent-Event Processes,
Operations Research, vol. 8, № 4, I960, pp. 446—472.
5. К e men у J. G. and Snell J. L., Finite Markov Chains,
Princeton, N. J., D. Van Nostrand Co, Inc, 1960.
6. К erne n у J. C, H. Mirkil, J. L. Snell and Thompson,
Finite Mathematical Structures. Englewood Cliffs, N. I., Prentice-
Hall, Inc., 1959.
Дается весьма элементарное, но ясное изложение дискретных и
непрерывных задач теории вероятностей, включая теорию марковских цепей.
7. Molina E. С, Poisson's Exponential Binomial Limit. Princeton,
N. J. D. V. D. Van Nostrand Co., Inc., 1942.
Содержит наиболее полные таблицы р {х; jn) и Р (х; |i).Однако
несколько полнее такие таблицы составил совсем недавно Пеллетьер из «Дженерал
Электрик К°» (Report R60DSD13) Возможно, эти таблицы будут
опубликованы в ближайшем будущем.
8. Morse P. M., Queues, Inventories and Maintenance New York,
John Wiley and Sons, Inc., 1958.
В книге дается введение в теорию очередей. Излагаются некоторые
приложения.
9. Takacs L., Stochastic Processes., London, Methuen and Co., 1960.
Представлено свыше ста задач с решениями. Основной упор сделан
на применение случайных процессов в различных областях физики. Имеется
также краткое введение в теорию марковских процессов.
10. Wadsworth G. P. and J. Bryan, Introduction to Probability
and Random Variables, New York., Mc Graw-Hill Book
Co., Inc., 1960.
Весьма элементарно излагается теория вероятностей для дискретных
и непрерывных случайных величин.

4
Модели оперативного управления запасами
при случайном спросе
Если четыре пилюли осталось у Вас,
Спешите в аптеку пополнить запас.
(из рекламы)
4. 1. Введение
Начиная с этой главы, мы будем изучать модели
управления запасами, для которых спрос описывается в
вероятностных терминах. Введение фактора случайности в процесс
возникновения спроса выдвигает ряд новых вопросов,
которые отсутствовали при изучении детерминированных моделей
главы 2.
Один из таких вопросов состоит в том, что же известно
о состоянии системы в любой момент времени. Для
детерминированных моделей главы 2 можно было установить
точно весь ход функционирования системы в будущем, если
было известно ее состояние в заданный момент времени,
а также если были определены моменты подачи заказов на
пополнение и размеры партий пополнения запасов. При учете
фактора случайности моменты возникновения требований
(а может быть, и размер самих требований) уже являются
случайными. Состояние системы в каждый момент времени
может стать известным, если только все операции и сделки
(требования, подача заказов, получение товаров и т. д.)
немедленно регистрируются и сообщаются. Будем говорить,
что в системе управления запасами используется
оперативная информация (transactions reporting), если все сделки и
операции немедленно регистрируются и сообщаются лицам,
ответственным за принятие решений. В системах управления
запасами с оперативной информацией можно принимать
решения по ходу дела, скажем, подавать ли каждый раз заказ
на пополнение при поступлении очередного требования. Для

184 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
создания оперативно действующей системы могут
потребоваться различные средства. В некоторых случаях в бункерах
хранения запасов устанавливаются метки, позволяющие
определить момент подачи заказа на пополнения, когда
уровень запаса достигнет этой метки. При этом отсутствует
какая-либо дополнительная система регистрации и подачи
сведений, так как регистрация и индикация осуществляются
автоматически при достижении соответствующей степени
опустошения бункера. В ряде случаев использование
оперативной информации в системах управления запасами может
потребовать сложной системы обработки данных, в которую
поступают сведения о всех сделках и операциях, а затем
с помощью вычислительной машины автоматически
регистрируются. Машина сама выдает необходимые заказы на
пополнение запасов и т. д. Иногда введение оперативной
информации в складских системах обходится слишком
дорого. Поэтому на практике обычно используют другую
процедуру, называемую периодической проверкой. В таких
случаях состояние складской системы проверяется только
в дискретные моменты обычно через равные интервалы
времени. Решения, касающиеся функционирования системы,
как, например, давать или не давать заказ на пополнение,
принимаются только в эти моменты проверок. Фактически
лица, ответственные за принятие решений, не знают ничего
о состоянии системы между моментами проверок.
В данной главе мы ограничимся рассмотрением систем
с оперативной информацией, а в следующей — изучим системы
с периодическими проверками. В главе 2 не делалось
различия между системами с оперативной информацией и системами с
периодическими проверками. Однако с введением фактора
случайности между этими двумя типами систем возникают
существенные различия.
В главе 2 были изучены лишь такие системы, в которых
процесс возникновения спроса не меняется во времени.
В частности, это означает, что интенсивность спроса остается
все время постоянной. Как и ранее, далее при определении
оптимальной стратегии функционирования системы будет
использоваться критерий минимума средних годовых
издержек. Они по-прежнему определяются как предел отношения
годовых издержек за время ? к этому времени, когда ?-—> оо.
Но средние годовые издержки уже нельзя так просто оце-

4.1]
ВВЕДЕНИЕ
185
нить, как это делается в главе 2, если спрос меняется
случайным образом во времени (или если время поставки
также случайно).
Для детерминированных моделей управления запасами
можно было указать точно наличный запас в момент
поставки пополнения, но, когда время поставки является
случайной величиной, этого сделать нельзя. Наличный запас
будет также случайным. Назовем ожидаемый чистый запас
при учете неудовлетворенных требований или ожидаемый
наличный запас для системы с потерями * в момент поставки
пополнения гарантийным запасом**. Обозначим его через s.
Для систем с учетом неудовлетворенных требований s
может принимать положительные и отрицательные значения,
а также быть равным нулю, а в случае систем с потерями
требований s должно принимать неотрицательные значения.
В главе 2 было показано, что всегда неоптимально
иметь какой-либо наличный запас в момент поступления
заказа. Однако при случайном спросе иногда будет
оптимальным положительный гарантийный запас. Объясняется
это тем, что если гарантийный запас равен нулю, то из-за
случайности спроса за время поставки в системе может
возникать дефицит до поступления заказанного пополнения.
Дефицит вызовет потери, связанные с нехваткой запасов.
В тех случаях, когда с потерями или учетом
неудовлетворенных требований сопряжены большие издержки, то
выгодно иметь некоторый дополнительный запас, чтобы
избежать потерь из-за дефицита.
В этой главе, как и в главе 2, будут изучены модели
одиночного склада, функционирование которого определяется
размером партии и моментами подачи заказов на пополнение
запасов. Напомним, что в таких моделях каждый раз при
снижении уровня запасов (скажем, наличного запаса, чистого
запаса, наличного запаса плюс объем заказа на пополнение,
именуемого фиктивным уровнем запасов) до определенного
уровня г подается заказ на партию размера Q. Задача
анализа таких систем заключается в определении оптимального
размера заказываемой партии Q и моментов подачи заказов
на пополнение.
* Имеется в виду потеря неудовлетворенных требований из-за
дефицита запасов. (Прим. перев.)
** Иначе страховой запас. (Прим. перев.)

186 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
Для осуществления этой стратегии управления нужно,
чтобы состояние складской системы проверялось после
поступления каждого нового требования. Таким образом,
применение <Q, г>-модели управления запасами требует введения
оперативной информации. На возможность подачи заказа на
пополнение в момент снижения уровня запаса точно до
установленной отметки влияет характер спроса. Если размер
каждого требования случаен, то в силу «интегральности»
спроса этот момент можно проскочить. В таких ситуациях
при поступлении каждого требования не имеет смысла
заказывать партии фиксированного объема. Другая процедура
управления предусматривает два уровня запасов г, R (/?>/*).
Если уровень запаса снижается до х(х^г) при
поступлении одного из требований, то делается заказ размером R — х.
Такую процедуру управления будем называть /?г-стратегией,
а модель оперативного управления запасами, использующую
эту стратегию, </?, г>-моделью. Разработка моделей такого
типа при случайном размере поступающих требований будет
намного сложнее, чем <Q, г>-моделей. </?, г>-модели будут
изучены в главе 8. <Q, г>-модель представляет частный
случай </?, г>-модели при /? = /• + (?, когда размер всех
требований равен единице запаса, и потому точку подачи
заказов нельзя проскочить. На практике, даже если размер
требований случаен, но вероятности больших скачков через
установленные точки подачи заказов на пополнение
достаточно малы, можно использовать <Q, г>-модель управления
при непостоянных размерах требований. Для этого нужно
вычислить Q* и /**, используя модель управления из
следующего раздела, а затем каждый раз заказывать партию
размером Q* или заказывать пополнение до уровня Q*4-r*
при достижении точки подачи заказа.
4.2. Приближенное описание <Q, г>-моделей
в случае учета неудовлетворенных требований
Прежде чем детально изучить некоторые частные случаи
<Q, г>-моделей, рассмотрим вопросы их приближенного
описания. В этом разделе коснемся случая учета
неудовлетворенных требований, а в следующем изучим системы с
потерями неудовлетворенных требований. Именно эти простые

4.2] <ф,Г>-МОДЕЛИ ПРИ УЧЕТЕ ТРЕБОВАНИЙ 187
приближенные варианты <Q, г>-моделей обсуждаются в
литературе [2,6].
Будем предполагать, что рассматриваемая система состоит
из одного склада. При управлении системой используется
оперативная информация. Нужно определить оптимальные
размеры заказываемых партий Q и уровень подачи заказов г
для заданного типа изделий. Если в системе хранится более
одного типа изделий, то будем считать, что между ними
нет никакой зависимости. Выбор оптимальных значений Q
и г будет проводиться по критерию средних годовых
издержек. Будем также предполагать, что A) стоимость
единицы запасов С не зависит от размера партии Q, B)
издержки по учету неудовлетворенных требований равны я
в пересчете на единицу запасов и не зависят от
продолжительности учета t, т. е. я = 0, C) в системе имеется не
более одного невыполненного заказа*, D) издержки,
связанные с работой системы обработки оперативной информации,
не зависят от Q и г.
Предположение C) означает, что в момент достижения
уровня подачи заказа на пополнение отсутствуют
невыполненные заказы, так что фиктивный запас (наличный запас
плюс размер заказа минус учтенные требования) равен
чистому запасу (наличному запасу минус объем учтенных
требований). Таким образом, выбор точки подачи заказа не
зависит от того, ведется ли расчет по фиктивному запасу
или по чистому. Дополнительно предположим, что E) уровень
подачи заказов г (рассчитанный по фиктивному уровню и
по чистому запасу) положителен. Это предположение почти
всегда выполняется на практике, так как вряд ли стоит
медлить с подачей заказа, если уже имеются
неудовлетворенные требования. В силу предположения E) в моменты
подачи заказов на пополнение в системе не будет
неудовлетворенных требований из числа учтенных. Действительно,
в этот момент фиктивный уровень запасов равен наличному,
как показано на рис. 4.1. В рассмотренной выше системе
точка подачи заказа на пополнение может быть определена
и по наличному запасу, и по чистому, и по фиктивному
уровню запасов. При использовании наличного запаса нужно
* Далее будет показано, что эта модель применима и в случаях,
когда может существовать произвольное число невыполненных заказов.

188 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
предположить, что объем пополнения будет достаточным для
удовлетворения всех учтенных требований и создания уровня
наличного запаса, превышающего уровень заказа пополнения.
Если когда-нибудь такое превышение не достигается, то в
системе будут накапливаться неудовлетворенные требования.
Если точка подачи заказа определяется по фиктивному
уровню, то условие C) гарантирует, что наличный запас
i Фиктивный
Т уровень
Рис. 4.1.
после пополнения будет превышать уровень,
соответствующий точке подачи заказа.
Как и раньше, в главе 2, будем называть циклом
интервал между двумя последовательными подачами заказов или
между двумя последовательными поставками. Но теперь
в течение каждого цикла система может и не сохранять
в точности характер функционирования. Даже сам цикл
теперь является случайным. Однако фиктивный уровень
запаса будет каждый раз меняться от г до r + Q.
Рассмотрим составляющие средних годовых издержек:
стоимость подачи заказов, издержки содержания запасов и
издержки по учету неудовлетворенных требований. В силу
предположения A) стоимость самих запасов (изделий) можно
не учитывать, так как средняя годовая стоимость поставок
не зависит от Q и г, и стоимость единицы запасов С не
зависит от Q. Рассмотрим непрерывный вариант модели. Не
составляет особых трудностей видоизменить результаты на
случай, когда Q, г и спрос дискретны. Подобная
модификация составляет содержание задач 4.1, 4.2 и 4.3. Обозначим
через /(х; f)dx вероятность того, что объем спроса X

4.2] <ф,Г>-МОДЕЛИ ПРИ УЧЕТЕ ТРЕБОВАНИЙ 189
в момент t x^.X <Cx-\-dx, а через X— среднюю
интенсивность спроса, которая, по предположению, не зависит от /.
Стоимость подачи заказа равна А. Так как средний годовой
спрос равен X, а заказ подается каждый раз после
поступления Q требований, то средние годовые издержки на
подачу заказов будут равны XA/Q. Коэффициент издержек
содержания запасов как всегда обозначается через /.
Средние годовые издержки * содержания запасов равны
произведению 1С на среднее число товаро-лет за год. По
определению, чистый запас равен наличному запасу минус
объем учтенных требований, т. е. разности двух случайных
величин. Поэтому математическое ожидание чистого запаса
равно разности математических ожиданий наличного запаса
и объема учтенных требований. Для определения среднего
числа товаро-лет за год необходимо проинтегрировать по
времени средний наличный запас, или, что то же, средний
чистый запас плюс средний объем учтенных требований.
Средний объем учтенных требований будет в сильной
степени отличаться от нуля только на очень малых интервалах
времени, при условии что издержки учета требований высоки.
Поэтому при интегрировании эта добавка будет незначительна,
и можно считать, что среднее число учтенных требований
пренебрежимо мало, а средний наличный запас можно
приравнять среднему чистому запасу.
По определению, средний уровень чистого запаса в
момент поставки пополнения равен гарантийному запасу s, a
сразу же после поставки будет Q + s. Поэтому в начале
цикла средний уровень чистого запаса равен Q-f-s, а в
конце— 5. Если среднее число учтенных требований
пренебрежимо мало, а средняя интенсивность спроса не меняется во
времени, то средний уровень наличного запаса будет
убывать линейно от Q+s в начале цикла до s — в конце.
Поэтому среднее число товаро-лет за год будет определяться
как
* В этой и последующих главах условимся называть средними
годовыми значениями математические ожидания, вычисленные
усреднением по годичному интервалу в отличие от усреднения,
проводимого по произвольному интервалу или в заданные моменты.

190 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
В главе 2 был введен некоторый эквивалент s в качестве
одной из переменных модели. Теперь удобнее исключить
s, заменив 5 на г. (Для детерминированных моделей это
можно легко сделать, решив задачу 2.15.) Точка подачи
заказа на пополнение одинакова и равна г при вычислении
через наличный запас и через чистый запас. За цикл
выполняется лишь один заказ на пополнение. Поэтому для
времени поставки т, при условии что спрос за это время
равен X, чистый запас в момент поставки равен | (X, г) =
= г — X, а среднее значение чистого запаса, усредненное
по всем значениям х для заданного т, будет
00 00
?б(*, г)f{x; x)dx = ^{r-x)f{x\ x)dx. D.2)
о о
Если время поставки постоянно, то соотношением D.2)
определяется гарантийный запас. Предположим, что время
поставки случайно и имеет плотность вероятности g(x). Тогда
среднее значение | (X, г) будет
о
где
)Ъ(х, г) f(x; x)g(x)dxdx=^(r — x)h(x)dx, D.3)
k(x) = \f(x; x)g(x)dx D.4)
о
—безусловное распределение спроса за время поставки.
Поэтому можно записать
со
s = J (г — x) h (x)dx = r—[x, D.5)
о
где [X — средний объем спроса за время поставки, т. е.
00
[г = j xh (x) dx, D.6)
о
a h(x)=f(x; т), если время поставки постоянно и равно т,
или h (x) определяется из D.4), если время поставки
случайно и имеет плотность вероятности ?"(т). Поэтому сред-

4.2] <B,Г>-М0ДЕЛИ ПРИ УЧЕТЕ ТРЕБОВАНИЙ 191
ние годовые издержки по содержанию запасов равны
/C[(Q/2)+r-|i].
Остается определить средние годовые издержки учета
требований. Среднее число учтенных требований за год
равно произведению среднего числа учтенных требований
за цикл на среднее число циклов за год, т. е.
произведению X/Q на среднее число учтенных требований за цикл.
Число учтенных требований за цикл г\ (X, г) будет просто
числом записей неудовлетворенных требований в книге учета
в момент поставки пополнения. Если спрос за время поставки
равен X, то число учтенных требований будет
п (X г) - { °' если Х~г < °' D 7)
Среднее число учтенных требований за период т) (г) равно
00 00
rj (г) = ^ rj (л:, г) h (х) dx = J (x — r)h (x) dx =
О г
00
= $ xh(x)dx—rH(r), D.8)
Г
где А (л:) —безусловная плотность распределения объема
спроса за время поставки, а Я (г) —интегральное
распределение объема спроса за время поставки, так что—h(x) =
= dH(x)jdx. Тогда средние годовые издержки учета
неудовлетворенных требований определятся как
со 
f xh(x) —rH(r) .
Теперь найдены все составляющие средних годовых
издержек ^
00
®=*LA + Ic[?. + r-n]+f[§xh(x)dx-rH(r)] , D.9)
Г
так как из-за предположений A) и D) не обязательно
включать стоимость самих запасов и издержки, связанные
с работой информационной системы обработки данных. Нужно
определить значения Q = Q* и г = г*, минимизирующие
як

192 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
издержки Я, вычисленные с помощью D.9). Если оптимальные
значения Q* и г* удовлетворяют неравенствам 0<Q*<oo,
О < г* < оо, то Q* и г* должны быть решениями уравнений
д$ п. kА .1С яХ — . ч (л лс\\
^ = 0 = __+-2—^Ti(r), D.10)
^ = 0 = /С+^[-гА(г) + гА(г)-Я(г)], D.11)
а D.10) и D.11) удобно переписать в виде
Q= уГ2%[А + т\{г)] ^щ
Н{г)=Ц?. D.13)
Напомним, что т] (г) определяется из D.8). В параграфе 4.4
будет дана процедура численного решения уравнений для Q* и г*.
Часто оказывается необходимым оценить численно Я для
заданных значений Q и г. Если предположить, что h (х)
является нормальным распределением с математическим
ожиданием [л (средним объемом спроса за время поставки) и
средним квадратическим отклонением о, т. е. h (х)=п (x; [i, а),
то
СО 00 CD
\ xh {x) dx = \ хп (х\ [X, а) dx = \ ~ ф (^^) dx~
Г г г
со оо
= а \ v(f(v)dv+\i \ q>(v)dv= D.14)
{г-ц)/о (г-ц)/а
= аФ(^)+цф(^Н) D.15)
+ | [(,_,)ф(^В)+вчр(?=К)]. DЛ6)
В таком виде й легко подсчитать с помощью таблиц
нормального распределения.

4.3] «?,Г>-МОДЕЛИ ПРИ ПОТЕРЕ ТРЕБОВАНИЙ 193
4.3. Приближенное описание <Qf г>-моделей
в случае потери неудовлетворенных требований
В данном случае модель системы управления запасами
будет мало отличаться от только что рассмотренной. Ясно,
что минимизация средних годовых издержек равносильна
максимизации среднего годового дохода, если издержки от
потери требования включить в потерянный доход. Ясно
также, что среднее число циклов за год теперь уже не
равно X/Q, а равно ty(Q + AT), где 7 — среднее время в
течение цикла, когда в системе наблюдается дефицит запасов.
На практике Т составляет весьма малую часть цикла. Так
как учет Т создает ряд трудностей при анализе, то обычно
предполагают, что величиной f можно пренебречь, так что
среднее число циклов за год будет X/Q.
Будем считать, что допущения A), C) и D) параграфа
4.2 применимы и в данном случае. Допущение B) из
параграфа D.2) здесь не нужно, так как вряд ли имеет смысл
говорить о времени, в течение которого существует
потерянное требование. Предполагается только, что издержки
от потерь заявок я влияют на доход. Единственное отличие
по сравнению со случаем учета требований возникает в
выражении для гарантийного запаса. Средний уровень наличного
запаса в момент поставки равен гарантийному запасу s, а
непосредственно после поставки будет Q + s. Таким образом,
средний уровень наличного запаса меняется от s до Q + 5
за цикл, и потому средний уровень наличного запаса за цикл
будет ir + s. Пусть е (Ху г) будет наличным запасом в момент
поставки пополнения, если спрос за время поставки равен X.
Тогда
( г — X, г—Х^О,
•<*1-{ о, г-Х<0,
а средний наличный запас в момент поставки будет
• СО Г
s = J e (*, г) h(x)dx= [{r—x)h(x)dxy D.17)
о о
7 Дж. Хедли, Т. Уайтин

194 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
где h(x) — безусловное распределение спроса за время
поставки поаолнения. Но
00 00
5 = 5 (г—х) h{x)dx—J (r—х) h (x) dx =
о г
00
= /• — n+<\)xh(x)dx—rH(r). D.18)
Г
Поэтому средние годовые издержки хранения запасов равны
00
/С Г^+г —|il + /c\^xh(x)dx —rH(r)\ D.19)
Среднее число потерянных из-за дефицита требований
за цикл в точности равно среднему числу учтенных
требований в модели параграфа 4.2 и поэтому определяется из
D.8). Средние годовые издержки в случае системы с
потерями равны
Я = -|^ + /С[|+г-ц] +
+
(lC + ^[]xh(x)dx-rH(r)
D.20)
И снова нужно определить Q = Q* и г = г*,
минимизирующие Я. Если 0<Q*<oo, 0 < г* < оо, то Q* и г* должны
удовлетворять условиям dSijdQ = д$/дг = 0. Тогда получим
соотношения, аналогичные D.12) и D.13):
Q=-/*lA+**{rI, D.21)
Численный пример, иллюстрирующий решение этих
уравнений, будет дан в следующем параграфе. Если h{x) является
нормальным распределением, то
+ (/С+|)[„-г)ф(^)+Сф(^е)]. D.23)

4.4] АНАЛИЗ УПРОЩЕННЫХ МОДЕЛЕЙ И ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР 195
4.4. Анализ упрощенных моделей и численный пример
В данном параграфе будет рассмотрен ряд интересных
свойств двух упрощенных моделей, представленных выше,
и оплсан численный меГод определения оптимальных
значений Q и г. Кроме того, будет приведен численный пример,
иллюстрирующий применение этих моделей.
Заметим, что на основании D.12), D.21) и D.8) и для
системы с учетом требований, и системы с потерями Q*^QW1
т. е. оптимальное значение Q никогда не бывает меньше
размера партии по формуле Уилсона. На самом деле обычно
Q*7>QW ПРИ любом г (а не просто при оптимальном г).
Это условие можно объяснить тем, что среднее число
учтенных или потерянных требований за цикл зависит от г, но
не зависит от Q. Средние годовые издержки, связанные
с учетом или потерей требований, пропорциональны 1/Q.
Поэтому для фиксированного значения г, когда я > 0, всегда
имеет смысл несколько увеличить размер партии для того,
чтобы достичь выгоды от соответствующего уменьшения
издержек. Но Q не следует увеличивать безгранично, так
как при некоторых значениях Q выигрыш от уменьшения
потерь от дефицита становится меньше увеличения средних
расходов по содержанию запасов.
Во-вторых, нужно отметить, что D.13) не имеет смысла,
если QIC/n% > 1, так как при определении издержек
содержания запасов была опущена составляющая издержек от
учета требований; в случае системы с потерями (уравнение
D.22)) это ограничение отсутствует.
Перед тем, как рассмотреть третье свойство моделей,
опишем процедуру численного решения уравнений D.12),
D.13) или D.21), D.22). Она состоит в следующем.
Принимают значение Qw в качестве первого приближения для Q,
т. е. Q1==^QW. Затем подставляют Qt в уравнениях D.13)
или D.22) для вычисления г1# Полученное значение гг
подставляют в D.12) или D.21) для определения Q2. Это
значение Q2 используется снова в D.1.3) или D.22) для
вычисления г2 и т. д. Описанная итеративная процедура
продолжается до тех пор, пока значение Q и г не будут найдены
достаточно точно. Если уравнение имеет решение, то описанная
итеративная процедура должна обеспечить отыскание условия
минимума издержек.
7*

196 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
Доказательство сходимости итеративной процедуры для
системы с учетом требований будет проведено графически.
Соответствующее доказательство для системы с потерями
требований можно выполнить аналогичным образом (см.
задачу 4.4). Уравнения D.12) и D.13) можно представить
графически, как показано на рис. 4.2. Для кривой,
описываемой уравнением D.13), имеет место условие, что Q = 0,
когда г = оо, а когда Q = jtty/C, то Н(г) = \ или г = 0.
Кроме того, из D.13) сле-
Ура8нениёD.!2)
дует, что
57 = -7гА(г)
dr
1С
1С 1
ИЛИ
dQ
яХ h (r)
< 0. D,24)
У равнение @.13)
Для кривой, описываемой
уравнением D.12), при г = 0
Q^Q
_ у/2Х[А +
~ V 1С
+ Я\1]
Рис. 4.2.
а при г = оо Q = QW. Кроме
того, drjdQ < 0. Сначала
для вычисления г используется уравнение D.13) при Q = QW,
т. е. поиск решения (по уравнению D.13)) начинается в точке
Q = Qw Полученное значение г используется в уравнении
D.12) для вычисления нового значения Q = Q2, т. е. из точки
(Qw ri) на кривой, описываемой уравнением D.13),
совершается переход в точку на кривой, описываемой уравнением
D.12), с ординатой rv Значение Q2 используется в D.13)
для вычисления нового значения г, т. е. из точки на кривой,
определяемой D.12), происходит переход в точку на кривой,
определяемой D.13), при том же значении Q. Таким образом,
получается последовательность шагов, как показано на
рис. 4.2. Ясно, что указанная итеративная процедура должна
сходиться к значениям Q* и г*. На практике эта
сходимость будет достаточно быстрой.
Оказывается, что решение уравнений D.12), D.13) или
D.21), D.22) будет всегда единственным. Доказательство
этого фак т\а основывается на выпуклости функции
издержек $(Q, r). Этапы доказательства читатель может про*

4.4] АНАЛИЗ УПРОЩЕННЫХ МОДЕЛЕЙ И ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР 197
следить самостоятельно, решив задачи с 4.5 по 4.8. Для
системы с учетом требований решение уравнений D.12),
D.13) может и не существовать. Изучение условий
существования этого решения составляет содержание задачи 4.9.
Для системы с потерями неудовлетворенных требований легко
показать, что решение существует всегда (см. задачу 4.10).
Теперь перейдем к выяснению третьего свойства модели
систем с учетом требований и модели с потерями. Если
сравнить оптимальные значения Q* и г*, вычисленные для
двух типов моделей при одинаковых значениях X, А, С и я,
то Q* для модели с учетом требований окажется больше Q*
для системы с потерями, тогда как г* для системы с учетом
меньше г* системы с потерями. Этот факт следует
непосредственно из рассмотрения итеративной процедуры вычисления
Q* и г*. На первом шаге при Qt — Qw большее значение
гг соответствует системе с потерями, что в свою очередь
дает меньшее значение Q2. Следовательно, правая часть
в D.22) будет снова меньше правой части D.13), а значение
г2 для системы с потерями будет больше значения г2 для
системы с учетом требований. Продолжая эти рассуждения,
получим требуемый результат. На практике различие между
соответствующими значениями Q* и г* в обоих случаях
будет весьма малым.
Становится понятным, что, если в обеих моделях
использовать одинаковые значения Q и г, то средние годовые
издержки содержания запасов будут меньше в системе с
учетом требований (так как в этой системе за циклами, в
которых имеются учтенные требования, следуют циклы, в
которых начальные уровни запасов снижаются ниже Q из-за
удовлетворения учтенных требований, тогда как в системе
с потерями эти начальные уровни не могут стать меньше Q).
Следовательно, при прочих равных условиях приходится
расходовать больше средств на увеличение г в системе
с учетом. С другой стороны, увеличение Q вызывает меньшее
увеличение средних годовых издержек содержания в системе
с потерями, чем в системе с учетом, хотя и приводит к
одинаковому изменению средних издержек из-з# Дефицита
(при условии что значения <? в обоих случаях одинаковы).
Отсюда при прочих равных условиях в системе с потерями
выгоднее иметь большее значение г, нежели в системе с уче»
том требований.

198 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
Иногда интересно сравнить средние годовые издержки
моделей этих складских систем с издержками
соответствующей детерминированной модели, имеющей те же самые
значения параметров. Средние годовые издержки для
детерминированной модели системы никогда не превосходят
соответствующих издержек для модели со случайным спросом.
Различие издержек, возникающее из-за влияния случайных
факторов, будет названо средними годовыми издержками
из-за неопределенности.
Рассмотрим теперь пример, иллюстрирующий описанные
выше упрощенные модели.
Пример. На большой военной базе имеется запас электронных
ламп специального типа, используемых в радиолокационных
установках. Средний годовой спрос на лампы этого типа равен 1600 штук.
Каждая лампа стоит 50 долларов. Лампы нужно заказывать, и
каждый раз при подаче заказа необходимо оформить договор на поставку.
Стоимость подачи заказа равна 4000 долларов. Коэффициент издержек
содержания запасов на базе / = 0,20. Если потребность в лампах этого
типа не может быть удовлетворена из-за дефицита запасов на базе, то
такую лампу можно получить из заводских запасов одного из
изготовителей. Дополнительные расходы, связанные с посылкой самолета
для транспортировки, и другие сопутствующие издержки равны
2000 долларов. На основании экспериментов установлено, что
безусловное распределение спроса за время поставки пополнения является
нормальным с математическим ожиданием 750 ламп и средним квадра-
тическим отклонением 50 ламп. Необходимо вычислить оптимальные
значения размера пополнения, уровня запаса при подаче заказа
и оптимальный гарантийный запас.
Описанная выше система является системой с потерями, так как
при возникновении потребностей в лампах и отсутствии запаса на
базе лампы поставляются извне. Издержки, связанные с потерей
требования, в данном случае равны я = 2000 долларов. Оптимальные
значения Q и г находят из уравнений D.21) и D.22). При этом
используется итеративная процедура, описанная выше. Заметим,
что в данном случае Я =1600 ламп/год» С = 50 долларов, / = 0,20,
Ль=4000 долларов. Начальное значение Q равно
п л Л/ШЛ ,/2.1600-4000 ,/-. оолппп 110Л л
Qi = Q«,= V lc- = V 0,20.50 -^^80000= ИЗО еа.
Из D.22) с помощью Qx вычисляем rv В данной задаче
так как время поставки распределено по нормальному закону с
математическим ожиданием, равным 750, и средним квадрэтическим от-

4.4] АНАЛИЗ УПРОЩЕННЫХ МОДЕЛЕЙ И ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР 199
клонением, равным 50. Поэтому
//W50V QJC 1130.10 1,130_
V 50 / —Хя + Q^C — 1600.2000+ПЗО-10-321,1 —
Из таблиц нормального распределения находим, что
ri~50750s=2,695 ИЛИ ^1 = 750+134,7 = 884,7 ед.
Для вычисления Q2 используем уравнение D.21). Вначале
подсчитаем г\(гг)
По тем же таблицам устанавливаем, что фB,695) = 0,01057, поэтому
rj (/-!) = — 134,7 @,00352) + 50 @,01057) =
= — 0,47414 + 0,5285 = 0,05436.
Тогда имеем
Qj= уч- 1600t4000+2000.0g6r== y% ШАт>72=Ш7 О.
Затем для г2 устанавливаем, что
Ф^ 50 У —321,1— э ' 50 ~Zl™
или
г2 = 750+134,5 = 884,5 « 884 ед.
Существенного различия между гх и г2 нет. Поэтому итерации можно
прекратить и считать, что Q* = 1147, r* = 884 и s* « 134. Из-за
больших издержек, связанных с нехваткой ламп на базе,
приходится содержать гарантийный запас в 134 лампы. Среднее время
между моментами подачи заказов на пополнение равно 8,60 месяца.
Средние годовые издержки, связанные с подачей заказов,
содержанием запасов и дефицитом, определяются с помощью D.23)
Я = ТШ'4000+1° p4r + 884-750l +
+ Г10+20^417600 [-134.0,00357 + 50.0,01071] =
=5580 + 7075 + 160= 12 815 долл/год.
Соответствующие издержки для детерминированной системы равны
Kw = VWKTC = УУ 1600.4000-10 = У"й28хЮ* = 11305 дблл/год,
так как в детерминированной системе ие является оптимальным
допускать потери требований. Таким образом, средние годовые издержки
из-за неопределенности равны
Я—/(да = 12815— 11305 = 1510 долл/год,
что на 170 долларов больше средних годовых издержек по содержа
нию гарантийного запаса в 134 лампы. Из этих 170 долларов 160 дол-

220 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
и ,иуи 2000 3000 Ш0 5000'
Издержки из-за дефицита п (доллары)
Рис. 4.3.
ларов составляют средние годовые издержки из-за дефицита, а
остальные издержки в 10 долларов объясняются тем, что Q* Ф Qw. При
оптимальных значениях Q и г средние годовые издержки из-за
дефицита ламп равны только 160 долларам, т. е. неудовлетворенная
потребность базы в лампах
будет возникать в среднем
один раз за 12,5 года.
Представляет интерес
выяснить, насколько Q* и г*
чувствительны к изменениям
параметров А, / или я. На
рис. 4.3 показан характер
изменения Q* и г* при
изменении я. Из графиков на
рис. 4.3 видно, что размер
партии заказа Q* весьма
нечувствителен к изменению я,
тогда как г* более
чувствителен к этому изменению.
Изменение я от 500 до 5000
долларов приводит к
изменению г* только на 40 единиц,
т. е. увеличивает гарантийный запас на 40 ламп. Так как
средний спрос за время поставки составляет 750 ламп, то гарантийный
запас изменяется менее чем на 10% при изменении в 10 раз издержек
из-за дефицита. Это означает, что если даже нельзя установить точно
значение я, найденные значения Q и г не будут отклоняться в
значительной степени от оптимальных, соответствующих точному значению я.
4.6. Предварительное обсуждение более точных моделей
После рассмотрения приближенных моделей перейдем
к обсуждению вопросов построения точных моделей.
Напомним, что стратегия функционирования, использующая заказ
партии определенного размера при снижении запаса до
некоторого уровня, может быть оптимальной, если в системе
используется оперативная информация, а размер
поступающих требований одинаков. Далее основное внимание будет
уделено выводу точного выражения средних годовых
издержек при пуассоковском процессе спроса, постоянном времени
поставки пополнения при учете неудовлетворенных
требований. Будет также рассмотрено обобщение модели для
случайного времени поставки. Однако точное выражение
издержек можно получить сравнительно просто, приняв только
ряд ограничивающих допущений. Система с потерями также
будет изучена, хотя модель в этом случае оказывается
значительно сложнее. При выводе точных выражений издер-

4.6] ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ ПО ВРЕМЕНИ 201
жек считают, что в системе может существовать не более
одного невыполненного заказа на пополнение.
Почти во всех случаях будет принято предположение,
что поступления требований образуют процесс Пуассона,
а размер каждого требования равен единице запасов.
Обсуждение моделей, в которых размер требований случаен,
а распределение времени между поступлениями требований
не является экспоненциальным, переносится в главу 8.
В данной же главе будет рассмотрена аппроксимация
распределения Пуассона нормальным распределением. Эта
аппроксимация используется в ряде моделей главы 8.
Процедуру приближенного вычисления средних годовых
издержек, изложенную в параграфах 4.3 и 4.4, можно
с успехом применять довольно часто в самых различных
случаях. Для иллюстрации другого интересного подхода
будет рассмотрена система с учетом неудовлетворенных
требований при постоянном времени поставок пополнения
и при пуассоновском процессе спроса. Этот подход
использует в качестве модели марковский процесс с непрерывным
временем и с дискретным пространством состояний.
Марковские модели оказываются полезными для различных систем,
но, по-видимому, они не всегда применимы, если средние
издержки за год вычисляются как произведение- ожидаемых
издержек за цикл поставки на среднее число циклов за год.
Марковские модели, однако, позволяют непосредственно
оперировать вероятностями состояний, которые не так просто
получить для других типов моделей.
Перед тем, как вывести точное выражение годовых
издержек для системы с учетом требований при постоянном
времени поставок, будут рассмотрены вопросы усреднения
по времени. Будет сказано несколько слов о возможной
интерпретации вероятностей состояний и об их
использовании при усреднении по времени.
4.6. Вычисление средних по времени
При вычислении оптимальных значений Q и г
используется критерий минимума средних годовых издержек.
Последние определяются как предел отношения средних
издержек за период времени ? к этому времени ? при ? —* оо .
Допустим, что значения Q и г были выбраны произвольно,

202 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
и система начинает функционировать при этих значениях Q
и г. В произвольный момент после начала работы системы
за ней устанавливается наблюдение. Предположим, что за
время ? с начала наблюдений произошло точно п полных
циклов и, возможно, один цикл не завершился. Для
определения момента начала цикла можно использовать как
момент подачи заказа, так и момент поставки пополнения.
Пусть неудовлетворенные требования ставятся на учет. Для
процессов, описывающих возникновение спроса и поставки
пополнения, будет предполагаться стационарность. Размер
каждого требования равен единице.
Пусть 7} означает продолжительность /-го цикла, Т\ —
долю времени за /-й цикл, в течение которого в системе
есть наличный запас, a T'l=Ti—T'i. Обозначим через Q;
число товаро-лет запасов, хранимых на складе в течение
1-го цикла, через А,— число товаро-лет, оказавшихся
дефицитными в течение этого цикла, а через ?,- — число
неудовлетворенных требований, поставленных на учет за /-й цикл.
Число заказов на пополнение, поданных за период
времени ?, равно п + е, где 8 = 0 или 1 в зависимости от
того, равно ли время ? точно продолжительности п циклов
или нет. Среднее число заказов в год, подсчитанных за
период времени ?, будет равно (п + 8)/?. При ? —> оо п —* оо
и среднее число заказов в год будет равно в пределе*
так как е/?—-> 0, nQ стремится к общему спросу за время ?.
По определению средней интенсивности спроса,
Urn ^ = Ь. D.26)
* В данном разделе изучаются пределы последовательностей
случайных величин, которые нельзя считать пределами в строгом
математическом смысле этого слова, так как нельзя гарантировать
существование некоторого числа Т0 (е), чтобы для всех Т > Т0 (е)
разность между членом последовательности случайных величин и ее
предельным значением была меньше по модулю любого наперед
заданного 8 > 0. Можно лишь говорить о сходимости
последовательности случайных величин к некоторому заданному пределу по
вероятности, когда вероятность того, что случайная величина будет
отличаться по модулю от предельного значения на некоторое наперед
заданное число, стремится к нулю при Т—>- оо.

4.6] ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ ПО ВРЕМЕНИ 203
Таким образом, в системе с учетом требований среднее
число заказов за год, т. е. среднее число циклов за год,
равно X/Q. Этот результат не зависит от характера спроса
или вида распределения времени поставки при условии, что
заказ на пополнение подается каждый раз после
поступления Q требований. Доля времени, в течение которого в
системе будет наблюдаться дефицит запасов, определяется как
2^
?->оо to
D.27)
Это выражение, по определению, представляет собой
вероятность того, что в системе в произвольный момент нет
запаса. Найдем также среднее число единиц товаро-лет
запасов, хранимых в течение года, среднее число единиц
товаро-лет нехватки за год и среднее число учтенных за
год требований. Они равны
D= lirri
2°'
Л'=1
2А*
? = iim Ul
i
2&«
?•= Шп i=i- D.28)
? -> 00 to
соответственно. Если бы наличный запас был всегда
постоянным и равным D, то число единиц товаро-лет запасов,
содержащихся в течение года, было равно D. Таким
образом, математическое ожидание наличного запаса в любой
момент времени равно D. Аналогично В является
математическим ожиданием числа требований, поставленных на учет.
Перепишем выражения для Е, учитывая, что предел
произведения равен произведению пределов
= lim^~= lim <
?-> оо b ?-><
2 t"i 2 it
/=i
e
2Jtf
= lim
2Jtf
/=1
lim
n
2 6/
I/'
%p,
деф-
D.29)

204 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
Второй предел равен Я, так как 2?=i?/ представляет собой
общий спрос за время 2?-i ^ • Их отношение в пределе
при ?-—> оо должно равняться, по определению, средней
интенсивности спроса. Таким образом, среднее число
учтенных за год требований равно произведению средней
интенсивности спроса на вероятность того, что в системе нет
запаса. Заметим, что
D= lim
?-> ос
где
п \
2°А
?i^-( = lim ? 1
2Q<-
" Um -i=i_ =
° Hm ^ = 4
Q = lim
?-* со
2°/
Q, D.30)
D.31)
представляет собой среднее число товаро-лет запасов,
хранимых на складе за цикл. Кроме того, по определению Я,
lim nQfe—'k. Отсюда и следует соотношение D.30). Таким
?-> со
образом, среднее число единиц товаро-лет запасов,
хранимых на складе в течение года, равно произведению %/Q
на среднее число единиц товаро-лет, хранимых в течение
цикла.
Значения D, В, Е и /^деф зависят от характера
процессов, образуемых спросом и моментами поставок, и их можно
вычислять, определяя сначала соответствующие средние
значения за цикл, а затем умножая на X/Q. Средние
значения за цикл вычисляют на основе информации о спросе
и временах поставок. Однако, если имеется возможность
определить стационарное распределение уровня чистого
запаса г|) (x), то значения D, В и Рдеф можно вычислить
непосредственно
Я= 2 *¦(*), В = — 2 *¦(*)> ^яеф= 2 *(*)•
D.32)
Важно отметить, что распределение i|)(jc) допускает ряд
интерпретаций. ty(x) является вероятностью того, что фик-

4.6] ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ ПО ВРЕМЕНИ 205
тивныЙ запас равен х, если система находится в состоянии
статистического равновесия (установившемся состоянии).
Кроме того, я|э (л:) определяет долю времени в
установившемся режиме . работы, в течение которого чистый запас
равен х. И наконец, г|)(лг) интерпретируется как предел
доли общего числа N систем ансамбля при N—+oo, у
которых фиктивный уровень запаса равен х в любой момент
времени при условии статистического равновесия.
Анализ системы с потерями требований проводится точно
так же. Используя те же обозначения, можно установить, что
среднее число потерянных требований равно ^Рдеф, а
среднее число дефицитных единиц товаро-лет за год D
определяется с помощью D.28) и D.32). Однако среднее число
циклов за год будет иметь другое выражение, отличное от
соответствующего выражения для системы с учетом
требований. В системе с потерями требований среднее число
циклов, по определению, равно
lim ? = lim Ш = 4г Ига
?-> оо
QZ~ Q tZ
nQ
r n -i
i = l
=itlim
nQ
n
2^'
lim
2?-;
D.33)
Но за время 2?-i ^* СПР0С составляет nQy и потому их
отношение должно стремиться к X. Заметим далее, что
а отсюда
Таким образом,
|п=2 7*/-2 я.
п п
lim is*— = 1 _ lim i^_ = 1 _рдеф.
с-
Ит| = |-A_ядеф)
D.34)
D.35)
D.36)

206 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
и среднее число циклов за год (k/Q)/(\ —-Ядеф). Кроме того,
lim y = lim - -— =
lim
1 1 А,
*=1
2 г;
.1 = 1
+!?:«
1
-|- + Г Q+ЯТ
, D.37)
где Т—среднее время за цикл, в течение которого в
системе нет запаса.
4.7. Точные формулы для системы с учетом требований
при пуассоновском процессе спроса
и постоянном времени поставок
Выведем теперь точное выражение для средних годовых
издержек при пуассоновском процессе возникновения
требований интенсивностью % и при постоянном времени
поставок т. Требования возникают каждый раз на единицу запаса.
Общий спрос предполагается дискретной случайной
величиной, дискретные значения также принимают размер партии Q
и уровень подачи заказа г.
До сих пор не обсуждались вопросы о том, какой
уровень запаса нужно использовать для определения момента
подачи заказа на пополнение. Но сразу же видно, что
наличный (или чистый) запас нельзя использовать для точного
определения момента (точки) подачи заказа, так как при
очень интенсивном спросе в одном из циклов между
поставками из-за учета требований выполненная поставка может
не обеспечить уровень запаса выше уровня подачи заказа
на пополнение. Поэтому новый заказ на пополнение не будет
подан. Остается лишь использовать фиктивный уровень
запаса (т. е. наличный запас плюс размер заказа на
пополнение минус сумма учтенных требований). При
использовании фиктивного уровня подобная ситуация не возникает.
Если в течение некоторого цикла спрос становится весьма
интенсивным и возникает значительное число учтенных
требований, то заказы на пополнение будут поданы столько

4.7] СИСТЕМА С УЧЕТОМ ТРЕБОВАНИЙ 207
раз^ сколько нужно, и уровень подачи заказа будет
достигаться соответственно этому нужное число раз.
Если обозначить через г уровень подачи заказа в
терминах фиктивного уровня, то сразу же после подачи заказа
этот уровень становится равным Q + r. Таким образом, он
может принимать значения г+1, ..., r + Q. Система не
будет оставаться конечное время в состоянии, определяемом
уровнем г, так как при этом немедленно дается заказ
на пополнение до r + Q. Но фиктивный уровень запаса не
позволяет судить о наличном или чистом запасе. Если
фиктивный уровень равен г+Л то ПРИ 9Т0М чистый запас может
быть равен r-\-j при нулевом объеме невыполненных заказов
на пополнение или равен г + у—Q при одном невыполненном
заказе и т. д. Для пуассоновского процесса спроса
существует ненулевая вероятность спроса на любое количество
запасов в течение любого конечного интервала времени.
Поэтому теоретически в любой момент времени можно иметь
любое число невыполненных заказов. Конечно, вероятность
большого числа невыполненных заказов будет весьма мала.
В тех случаях, когда существует конечный верхний предел
спроса в течение любого заданного периода времени, общее
число невыполненных заказов никогда не будет превышать
максимального спроса за время поставки пополнения. С
другой стороны, чистый запас однозначно определяет число
невыполненных заказов и фиктивный уровень запасов, так
как, если чистый запас равен л:, а число невыполненных
заказов равно п, то фиктивный уровень запаса будет равен
x-\-nQ или его можно представить как r+у, у=1, ..., Q.
Это ограничение определяет п и у. Значение п будет равно
наибольшему неотрицательному целому числу,
удовлетворяющего неравенству г <x-\-nQ^r-\-Q.
Для приближенной модели, описанной в параграфе 4.2,
предполагалось, что в системе может существовать не более
одного невыполненного заказа и что моменты подачи
заказов следует определять по наличному запасу. Было
показано, что такие ограничения нельзя выполнить точно. Однако
удовлетворительные результаты получают, предполагая
вероятность более одного невыполненного заказа
пренебрежимо малой.
Для того, чтобы определить среднее число учтенных
требований, средний уровень наличного запаса и вероят-

208 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
ность Ядеф, нужно знать вероятности состояний системы,
если этим состояниям соответствуют различные уровни
чистого запаса. Прямой способ вычисления вероятностей
состояний заключается в составлении разностных уравнений
типа C.124), описывающих возможные переходы из одного
состояния в другое. Но времена поставок здесь достоянны,
и поэтому будет применен другой подход, связанный с
вычислением вероятностей р(г+7) того, что фиктивный
уровень запаса равен г+7>
А X XX у = 1, ..., Q. На их
вычисление не влияет
характер времени поставок.
За время dt
фиктивный уровень запаса пе-
Рис. 4.4. реходит из состояния
r-f/ в состояние r-\-j—Л,
j 2^2. Если поступление требований образует процесс
Пуассона, а размер каждого требования равен единице, то
переход происходит с вероятностью %dt. Если же система
находится в (г+1)-м состоянии и возникает одно
требование, то система переходит в состояние г + Q, так как
поступление этого требования связано с подачей заказа на
пополнение. Диаграмма возможных переходов показана на
рис. 4.4. Уравнения статистического равновесия типа C.124)
в этом частном случае имеют вид
^р(г+У+1) = ^р(г+у), 7=1, ...,Q-1, )
D.38)
Ap(r-bQ) = bp(r-M). J
Таким образом,
p(r-fQ) = p(r + Q-l)=...=p(r+l).
Так как 2?=1 Р (г+У) = 1> т0 решение единственно и
Р(г+Л = ^, /=1. •••- Q- D.39)
Этим дрказано, что в установившемся режиме каждому
состоянию системы соответствует вероятность 1/Q независимо
от 7- Поэтому распределение вероятностей р(г + 7) будет
равномерным.
г+Д) [г+(Н]

4.7]
СИСТЕМА С УЧЕТОМ ТРЕБОВАНИЙ
209
Для определения вероятностей состояний,
соответствующих различным уровням наличного запаса, и числа учтенных
требований рассмотрим систему в некоторый момент
времени t. Рассмотрим эту систему также в момент / — т, где
т—время поставки. Заметим, что к моменту / будет
поставлено лишь то, что заказано в момент i—т. Если в
момент t—т фиктивный запас равен r + j, то вероятность того,
что в момент / наличный запас будет равен х, равна
вероятности того, что за время поставки т спрос составил
r+j—х, если r+j—лг^О, или равна нулю, еслиг+У—
— х < 0. Для пуассоновского процесса спроса вероятность
поступления такого числа требований равна p(r+j—х; AT),
если г+у —лг^О. Вероятность того, что фиктивный запас
составляет r + j в момент / — т, равна 1/Q. Поэтому для
определения ^(л;) —вероятности того, что наличный запас
в момент t равен х, нужно умножить р (г + у —лг; А,т) на 1/Q
и просуммировать полученное выражение по всем у, для
которых r + j—х^О:
Q r+Q-x
^(*) = ^?/>(/-+У-*;^) = -^ Ц Р(и;Хх) =
j=l u=r+i-x
L«=r+i-
p (и; %%)— ? p (и; %x)
= ±-[P(r+\-x;lT)-P(r + Q+\-x;lT)l
0<x<r+l, D.40)
Q r+Q-x
ti(*) = ^ ? P(r + j-x;lr) = ± ? p(u;Xx) =
j=x-r и = о
= ^-[\-P(r + Q+\-x;Xx)l r+l<*<r + Q. D.41)
Аналогично, если система находится в состоянии r+j
в момент ?— т, а вероятность учета j/требований к моменту t
составляет р (у + г +у; А,т), у^О, то распределение числа
учтенных требований я|?2(у) можно определить как
Q y+r+Q
j = l u=y+r+i
= i-[P(y + r+WkT)-P(y + r + Q+\;Xx)], y^O. D.42)

210
УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ
[4
Те же самые вероятности состояний в несколько другой
форме были получены в [3]. Используя результаты,
приведенные в приложении П. 3 данной книги, можно легко
вычислить вероятность дефицита в системе в момент /. Имеем
у=о
^=?¦«00 =
= 0
со оо "I
X Piy + r+UW-J^Piy + r+Q+U Jit) U
_1_
Q
L*/=o
#=о
со оо 
2 Р(и-Л%)- ? Р(и;%х)\ D.43)
и с помощью П3.6 находим, что
1
P^ = ^[a(r)-*(r + Q)l
D.44)
где
a(v)= 2 P(u;Xi:) = XxP(v; Xt) — vP(v+\;Xx). D.45)
U = v\-1
Среднее число учтенных требований за год на основании
D.29) равно
E(Q,r)-~-XP^ = ^[*(r)-a(r+Q)). D.46)
Математическое ожидание числа учтенных требований в
момент /, по определению, равно
B(Q,r)=%yy2(y) =
у=о
ОЭ
у=о
Ц (и-г-\)Р(и;Хт)-
со
. ? (u-r-Q-\)P(u;%i)\. D.47)
u=r+Q+l

4.7] СИСТЕМА С УЧЕТОМ ТРЕБОВАНИЙ 211
Кроме того,
2 (u-v-l)P(u; Лт) =
и=о+1
со со
= 2 иР(и; Хт) —(tF+1) 2 Р{Ц\ И. D.48)
и на основании П3.8 и П3.6 имеем
? иР(и; А,т) = -^/>(*—!; &,т) + Я,т/>(*; Хх) -
ы=и + 1
.??+]> p(v+l; Я,т), D.49)
(«Ч-i) 2 Р(в;Ят) =
и=»+1
= XT(t»+l)P(v, Хт) —v(»+l)P(v+l; Хт). D.50)
Отсюда если
Р(«)= Z (e-f-l)^(B;XT) = ^P<v-l; U)-
11=0+ 1
ХтоР(г; а,т) + ^±1)Р(я+1; %л), D.51)
2
то
B(Q, r) = -i-[P(r)-p(r + <?)]. D.52)
В параграфе 4.6 было показано, что Z?(Q, г) представляет
собой также среднее число единиц товаро-лет нехватки
запаса за год. Остается определить средний уровень

212 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
наличного запаса в момент /:
r+Q
x=0
-=-i~{ilx[P(r+\-x; Xx)-P(r + Q+\-x; Kx)] +
r+Q ч
+ E x[l-P(r + Q+l-x; lx)]\ =
x=r+\ J
r + Q
1LX
*x = r +1
r+Q
О \ И x + ^xPir+l-xito)-
4 \x=r+[ x=0
— Z xP(r + Q+\-x; Jit)>.
x=0 >
D.53)
Далее имеем
гл Q Q
-g-L *=-5-Z ('+./) =
/='=^[Q-b^i)]=^+i + r D.54)
и, кроме того,
V V
2 xP(v+\—x; Xx)= 2 лгЯ(г>+1—л:; at) =
V 00
= 2 (v+\-u)P(u; at)- 2(^+l-w)P(w; at)+
w=l w=l
00
+ 2 (u-v-X)P(u; U). D.55)
Таким образом,
D(Q, r) = ?±± + r +
/00 CO
+ -A-JX (r+\-u)P(u; Хт)-? (r+Q+l-«)x
00
XP(«, Ят)+ ? (и—г-1)Р(и; Яд)-
¦ L {u-r-Q-\)P(u; kt)\.
u = r+Q+l '

4.7] СИСТЕМА С УЧЕТОМ ТРЕБОВАНИЙ 213
Заметим, что
2 (г+1-и)Р(и; лт)-2 [r + Q+l-u)P(u; Лт) =
00
= -QS Р(«; M=-Qn, D.56)
где |х = Ят—средний спрос за время поставки. Теперь
используем свойство П3.6. Тогда на основании D.47) имеем
D(Q, r) = -^±^- + r-(A + B(Q, r). D.57)
Имеется другой простой способ вычисления среднего
уровня наличного запаса. Заметим, что средний фиктивный
уровень запаса равен математическому ожиданию наличного
запаса плюс математическое ожидание заказа минус средний
объем учтенных требований. Средний фиктивный уровень
запаса равен
Q Q
^(г+Лр(г + Л = ±^(г + Л=^Р- + г, D.58)
/=1 ч /=i
0(Q, r) = 2^± + r-J+B(Q, r), D.59)
где У—ожидаемый размер заказа. Сравнивая D.59) и D.57),
устанавливаем, что
/=|1, D.60)
т. е. ожидаемый размер заказа равен ожидаемому спросу
за время поставки. Этот результат справедлив и для более
общих случаев. Представим себе условно, что заказы
поступают с одного конца воображаемой трубы, а поставки —
с другого. Так как все требования обязательно выполняются,
то средняя интенсивность потока заказанного товара должна
быть равна X. Заказ остается в «трубе» в течение т, и
поэтому средний объем заказа должен быть равен Хт=|л.
Теперь все составляющие средних годовых издержек 5?
подсчитаны; Я' состоит из ожидаемых издержек, связанных
с подачей заказов, издержек содержания и издержек по

214 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
учету требований. Поэтому
fte^ + /c[4- + | + r-|i + fl(Q, r)]+nE(Q} r) +
+ nB(Qt г) = -|-л + /с[4- + | + г-^] +
+ tlE(Q, r) + (n + IC)B(Q,r), D.61)
где E(Q, г) и B(Q, г) определяются с помощью D.46) и
D.52). Здесь предполагается, что стоимость единицы товара
С не зависит от Q. Кроме того, издержки по введению
системы оперативного контроля уровня запаса и контроля
всех операций не зависят от Q и г и поэтому не
включены в Я. ¦
В приведенных выше формулах считается, что г > О, но
они также верны при г<10, если положить, что P(v; Ат) = 1
для v < 0. Читателю предоставляется возможность
доказать эти утверждения в качестве задачи 4.56. Например,
если
a(v) = Xx + \vl D.62)
то
$(v) = ?f- + Xx\v\ + -^(\v\-\). D.63)
Вообще говоря, трудно найти оптимальные значения Q
и г, используя выражение D.61), так как Е и В зависят
от Q и г довольно сложным образом. На самом деле, включая
в рассмотрение члены a(r + Q) и P(r + Q), трудно доказать,
что не может существовать локальный минимум^ отличный от
абсолютного. В случае, когда при определении Q* и г*
учитываются a(r-\-Q) и P(r + Q), оказывается необходимым
использовать соответствующим образом разработанные
алгоритмы и вычислительную технику. Б. Лундом и П. Тей-
чолцем из Станфордского университета была разработана
программа определения Q и г из условия минимума
издержек D.61). Эта программа обеспечивает отыскание
относительного минимума, но она не гарантирует, что этот
минимум является абсолютным, если только существует
локальный минимум, отличный от абсолютного. В параграфе
4.10 приведены результаты вычислений с помощью этой
программы. Хот? авторам и не удалось теоретически
доказать отсутствие локального минимума, выполненные ими

4.8)
ОДИН ВАЖНЫЙ ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ
215
в ряде конкретных задач расчеты не позволили обнаружить
его существование.
К счастью, на практике редко используются точные
формулы и точные модели. Почти во всех случаях
определение Q* и г* не представляет особой сложности.
Точное выражение для ft нужно лишь тогда, когда издержки
учета требований очень малы, но такие случаи не так часто
встречаются на практике.
4.8. Один важный частный случай
На практике обычно a(r-\-Q) и |J(r-f Q), входящие в
E(Q> г) и B(Q, г) соответственно, пренебрежимо .малы. Они
должны учитываться только в тех случаях, когда имеется
существенно большая вероятность того, что спрос за время
поставки превышает r-f-Q- Если это так, то после поставки
пополнения будут по-прежнему оставаться неудовлетворенные
требования из числа учтенных до поставки, т. е. пополнение
будет недостаточным для удовлетворения всех учтенных
требований. Если только издержки по учету не будут
пренебрежимо малы, неоптимально допускать такое число
учтенных требований, чтобы их нельзя было удовлетворить
одной поставкой. На практике можно пренебречь членами
a(Q + r) и P(r + Q), и тогда издержки
+ ^na(r) + -i-(ft + /Qp(r). D.64)
Если Q* и г* являются наименьшими значениями Q и г,
минимизирующими ft(Q, r), то необходимо, чтобы
Д<?Я (<?, г*) = ft (Q», г*) - ft (Q*-1, г*)< 0, \
A<>ft(Q*+l, r*) = ft(Q*+l, г*)-Я«Г, г*)^0 }
или Q*=l, D.65)
Arft (Q\ г*) = ft (Q*, r*) -ft (Q*. r*-1 )< 0, \
Arft(<?*, r* + l) = ft(Q*. r*+l)—ft(Q*, г*Mг0. j D-ЬЬ>
Таким образом, Q* представляет наибольшее значение Q,
для которого AQSt{Q, г*) <0 или Q*=l, и г* является
наибольшим значением г, для которого Arft (Q*, г) < 0. Если

216 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
$ определить из D.64), то
Ае^ (Q, г) =
=\ХА + \яа(г) + (я+1С) p(r)l[-i—q-Lj-] +'-§. D.67)
Если Aq$? (Q, г) < 0, то
0((?-1)<^-[л + яа(г)+("+/С) Р(г)]. D.68)
Для вычисления ArR (Q, г) заметим вначале, что на
основании D.45)
Дга (г)=— P(r; at). D.69)
Кроме того, из D.51) следует, что
ДгР(г) = -^-р(г-2; лт) + г(лт)р(г-1; Лт)-
_лтр(г_1; хт)-ур(г; лт)+-?[Р(г+1;лт)+Я(г;лт)] =
=^р(г—2; кх)+гр(г; лт)—ЯтР(г; лт) — лт/> (г— 1; лт)—
—-f Р(г; Лт) + гЯ(г; лт) —?-/> (г; лт) =
= (г-лт)Р(г; лт)— гр(г; лт). D.70)
Таким образом,
ДД(<Э, г) = /С + -1-{[-ля + (я+/С)(г-лт)]Р(г, Лт) —
-(я + /С)гр(г; лт)}, D.71)
и если АД (Q, г) < 0, то
1-тг('-Н/,(,; Ят) +
+ <^р(г;Лт)>^. D72)
Процедура отыскания оптимальных значений Q и г
начинается с подстановки Qw в D.72) и определения
наибольшего г, удовлетворяющего D.72). Затем, используя это
значение гх в D.68), определяем Q2 как наибольшее
значение Q, удовлетворяющее D.68). На следующем шаге Q2
используется снова в D.72) для определения г2 и т. д.
Итерации продолжаются до тех пор, пока г и Q не станут
постоянными при переходе к следующему циклу вычислений.

4.8]
ОДИН ВАЖНЫЙ ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ
217
Часто Q можно представить как непрерывную
переменную, даже если нам нужно, чтобы г было дискретно. Когда
Q принимает значения порядка 10 или 12, то его обычно
можно считать непрерывной величиной. Однако г можно
считать непрерывной переменной, только если \i не
меньше 25. Тогда формула D.68) для Q принимает вид
Q=V%[A + *aiD + m2-№
D.73)
Хотя определение Q* и г* потребует существенно больше
времени, чем для приближенной модели параграфа 4.2, эту
задачу все же легко выполнить вручную и за короткое
время.
Пример, фирма продает в среднем за год 50 оптических линз
для рефлекторов. Процесс спроса на эти изделия приближенно можно
считать пуассоновским, причем почти всегда требование возникает
на одну линзу. Издержки по заказам и поставкам составляют 100
долларов на каждый заказ. Стоимость каждой линзы равна 50 долларам
независимо от размера заказа, а коэффициент издержек содержания
для фирмы / равен 0,2. Неудовлетворенные требования учитываются,
причем издержки учета оцениваются в 50 долларов на требование
плюс 500 долларов штрафа за нехватку единицы товара в течение
года. Время поставки почти всегда близко 0,4 года. Фирма ранее
использовала систему периодического контроля уровня запасов, но
в последнее время ввела систему оперативной информации. Поэтому
фирма захотела применить для управления систему подачи заказов
при снижении уровня запасов ниже определенного значения.
Вычислим оптимальную точку подачи заказа и его оптимальный размер.
В данном случае А, = 50 штук/год, А — 100 долларов, /С = 10
долларов, я = 50 долларов, л: = 500 долларов/ед. товаро-лет, т = 0,4
года. Сначала вычислим
Q«,= ]/"^ ==1^1000 = 31,6.
Значение Qw достаточно велико, и потому Q можно считать
непрерывной переменной. Однако средний спрос за время поставки
р, = А,т = 20 достаточно мал, и его нужно считать дискретной
величиной. Поэтому для проведения итераций будем использовать D.72)
и D.73). Заметим, что, когда Q = QW = 31,6, а г = 31, неравенство
D.72) приобретает вид
['-^>-2^.3«5+<*«?§* 0.0053*3=
-°'|5г>-тйг="''2в-

218 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
Но если л = 32, то знак неравенства меняется на противоположный.
Таким образом, наибольшее значение г, при котором неравенство D.72)
выполняется для Q = QW, равно 31. Подставляя гх в D.73), находим
Q2= rio|lOO+500,0186 + ^.0,0227J>l1/2=31,8.
Подставляя Q2 в D.72), находим, что г2 = г1 = 31. На этом процесс
итерации заканчивается. Если Q округлить до 32 и это значение
использовать в D.72), то г снова получается равным 31. Таким
образом, оптимальный размер заказа равен 32, а оптимальная точка подачи
заказа, вычисленная, исходя из фиктивного уровня запаса, равна 31.
Так как ожидаемый спрос за время поставки равен 20 линз, то
гарантийный запас составит 11 линз.
4.9. Нормальная аппроксимация
При большом спросе за время поставки пуассоновское
распределение для числа требований в моделях управления
запасами можно аппроксимировать нормальным
распределением. В таких случаях удобно считать Q и г непрерывными
величинами. Напомним, что в параграфе 3.14 было показано,
что при [X —> оо р (х; и) стремится к нормальному
распределению с математическим ожиданием ц и дисперсией o2 = \i.
Мы не будем ограничиваться условием а2 = |л, так как далее
будет рассмотрен случай переменных времен поставок. Часто
бывает необходимо представить безусловное распределение
спроса за время поставки нормальным распределением.
Однако в таких случаях дисперсия а2 будет больше ji из-за
непостоянства времен поставок. В этом разделе будем
считать, что время поставки постоянно. Сняв ограничение
o2 = \i и полагая а независимым параметром, получим
уравнения, которые одновременно можно использовать при
случайных временах поставок.
Фиктивный уровень запаса может принимать теперь
любые значения от г до Q-\-r, а не только целые значения
r-f-1, ... , г+ Q. Вероятность того, что фиктивный запас
находится в интервале (л:, x-{-dx)y r^ix<Q-\-r, равна
dx/Q, так как в параграфе 4.7 было показано, что
вероятность р (r + j) пребывания системы в состоянии г+у равна 1/Q.
Это следует из тех же рассуждений, которые были
использованы в параграфе 3.14 при аппроксимации распределения
Пуассона нормальным. Фиктивный уровень запаса изменяется
от г+1/2 до r + Q+1/2. Но так как в практических слу-

4.9]
НОРМАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
219
чаях разница от замены этого интервала интервалом г, r-\-Q
будет невелика, то
~ = \. D.74)
5
Вместо распределения Пуассона р (х; \i) для спроса за время
поставки будем использовать нормальное распределение
. . 1 / х — и,
п(х; [х, а) = — <р' ^
D.75)
где \х — математическое ожидание спроса за время поставки.
Далее будем использовать тот факт, что при аппроксимации
нормальным распределением можно принять Ф( — \i/o) = 1
(см. параграф 3.14). Тогда для уровня наличного запаса
в момент t можно выписать плотность вероятности
г + Q
j — X — ll \
V
г
= ±-[ф ('-*-*} _ф fr + Q-x-y.
, 0<*<г, D.76)
/-4Q
r^x^r + Q. D.77)
Ч['-ф('-±2^?=И)
Аналогично для числа учтенных требований в момент t
можно выписать плотность вероятности щ(у):
r+Q
~k[ф(г^)-ф(,+Qty"|t)]>»°- <4-78>
Тогда
со
]o(*^)*-JO(c±s±I^L,
. D.79)

220 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
Используя свойство Г14.6, имеем
0 (У-Ц)/(Т
= оф(^)-(«-Ц)ф(в-?>
Таким образом, среднее число учтенных требований за год
составит
E(Q, r)=XPMfib = ±[a(r)-a(r + Q)], D.80)
где
а(«) = оф(?=*)-(*-|1)Ф (?=?). D.81)
Математическое ожидание числа учтенных требований в
любой момент времени
се
B{Q,r) = §yy%(y)dy =
О
-tIM^^-W'-*2*")*}- <«¦«>
На основании П4.6 и П4.7
^o(H±?z±)^ = |^ + (.-^]o(^)-
-l(«-|i)q>(^). D.83)
Поэтому
Б (Q, г) = -1 [р (г) - р (г + Q)], D.84)
где
-|.(«_ц)ф (?=?). D.85)
И наконец,
?>(Q, г)= j**M*) **==-§- + '-!* + *(<?.г). D.86)

4.9]
НОРМАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
221
Теперь можно подсчитать средние годовые издержки А как
a=±A + /c[± + r-p]+nE(Q, г) +
+ (k + IC)B(Q, r). D.87)
Оптимальные значения Q и г будут решениями следующих
уравнений:
$-?-¦>• <*¦»)
В задаче 4.16 требуется определить все первые и вторые
частные производные Я*. В тех случаях, когда членами
a(r + Q) и |J(r + Q) можно пренебречь, уравнения D.88)
имеют вид
Q== |/2Х[Л + то(гI + 2[л + /С1Р(г)> D
89)
[яХ + (Я + /С)(г-^)]ф(^) + (Я + /С)аФ(^) = QIC
J
D.90)
Итеративную процедуру такого же типа, как и в параграфе
4.2, можно применить здесь для определения Q* и г*.
Полагая Q = QW в D.90), определим гг. Затем гг используем
в D.89) для определения Q2 и т. д. Теперь, конечно, будет
несколько сложнее решить уравнение D.90).
Когда я = 0, а член a(r + Q) пренебрежимо мал, влияние
B(Q, r) на коэффициент издержек содержания запасов
незначительно, соотношения D.87), D.89) и D.90) принимают вид
D.16), D.12) и D.13) соответственно. Когда указанные
только что условия выполняются, модель из параграфа 4.2
можно применить и для любого числа невыполненных заказов
на пополнение.
При использовании точного выражения издзржек,
полученного в данном разделе, расчетная процедура несколько
усложняется. С учетом членов a(r-\-Q) и P(r-j-Q) функция
издержек й будет не всегда выпуклой. Это обстоятельство
затрудняет поиск оптимальных значений Q* и г*. Кроме
того, ухудшается сходимость метода Ньютона и алгоритма
наискорейшего спуска в тех примерах, которые авторы

222 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
пытались решать с учетом членов a(r + Q) и $(r-\-Q).
Когда нужно учесть a(r + Q) и PC + Q), для отыскания Q*
и г* необходимы специальные алгоритмы, реализуемые на
вычислительной машине. На практике эти члены приходится
учитывать весьма редко.
4.10. Численный пример
Рассмотрим случайный спрос, описываемый распределением
Пуассона при Х = 400 единиц/год. Время поставки
постоянно и равно т = 0,25 года. Остальные параметры задачи
имеют следующие значения: А = 0,16 доллара, С = 10
долларов, 7=0,2, jc = 0,1 доллара, я = 0,30 доллара/единицу
товаро-лет. Используется стратегия Qr, а Q* и г* нужно
определить по условию минимума издержек Я, вычисляемых
из точного выражения D.61). Такая задача решалась на
вычислительной машине. Были получены следующие
результаты:
Q*=19, г* = 96, Я = 31,75 долл/год. D.91)
В параграфе 4.7 указывалось, что используемый алгоритм
позволяет найти относительный минимум, но нет гарантии,
что он является абсолютным. Авторам не удалось
обнаружить признаков существования еще одного относительного
минимума, и потому весьма вероятно, что найденные
значения Q и г являются оптимальными. Были определены
различные составляющие минимальных издержек
^r A = 3,368, D.92)
/с[^ + г*--|1 + Я@*, г*)] =15,386, D.93)
я?(<2*, г*) =12,341, D.94)
jt?(Q*, г*) = 0,658. D.95)
Издержки, связанные с учетом неудовлетворенных
требований, составляют почти 40°/0 средних годовых издержек.

4.10] численный пример 223
Значения $ в окрестностях точки (Q*, /**) представлены
в таблице 4.1.
Таблица 4.1
Значения Я
F
95
96
97
18
31,94
31,90
31,99
19
31.91
31,75
32,11
20
31.95
31,91
32,27
Заметим, что Q* намного больше Qw:
В данном примере a(r + Q) и P(r + Q) не настолько малы*
чтобы ими можно было пренебречь, но по сравнению с а (г)
и р (г) для Q* и г* они и не настолько велики:
а (г*) = 6,204, а (г* + Q*) = 0,3241, D.97)
Р (г*) = 42,86, р (r*+Q*) = 1,1В. D.98)
Хотя значения кип малы, a (r+ Q) и P(r-(-Q) в точке
(Q*, г*) не очень значительны по сравнению с а (г) и Р(г).
Поэтому приближенная модель параграфа 4.8, в которой
членами a(r + Q) и P(r + Q) пренебрегают, обеспечивает
определение значений Q и г, близких к оптимальным. На
самом деле, значение г, полученное из приближенной модели,
равно г*, а значение Q, полученное в предположении
непрерывности, отличается от Q* в пределах единицы. Если начать
с Q1r=Qw = 8 и использовать уравнение D.J2), а затем
D.73), то получим такую последовательность значений Q и
г: Q1 = 8, ^ = 105, Q2=12,9, r2 = 101, Q3=15, г3 = 99,
Q4=17,5, r4 = 98, Q6=18,4, r5 = 97, Qe = 19,4, re = 96,
Q7 = 20,3, г7 = 96. Вычисления, проводимые вручную для
приближенной модели, весьма трудоемки и занимают около
трех часов работы, тогда как на вычислительной машине
с невысоким быстродействием подсчет Q* и г* по точной
модели составляет около 15 секунд.

224 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
Интересно, что приближенная модель особенно хороша
в тех случаях, когда я и я: чрезвычайно малы. Оказывается»
что приближенная модель параграфа 4.8 применима для
весьма общих случаев. Если попытаться использовать
простую приближенную модель из параграфа 4.2, в которой
пренебрегают составляющей издержек от учета
невыполненных требований в издержках содержания (я = 0), то
процедура отыскания Q* и г* не будет сходиться.
Последовательность итераций в этом случае будет следующая: Qx =
=QW = 8, 1^=102,0,=: 14, га = 95, Q3=18, r3 = 87, Q4=24;
г4 должно быть наибольшим целым, удовлетворяющим
неравенству
/>(г; 100)>^=|>1, D.99)
что невозможно.
4.11. Система с потерями неудовлетворенных требований
при постоянном времени поставок
Точные выражения издержек для системы с потерями
намного сложнее получить, чем для системы с учетом
требований. На самом деле, для системы с потерями получены
соответствующие уравнения лишь в случае Q=l, если
допускается наличие более одного невыполненного заказа.
В данном разделе мы рассмотрим трудности, возникающие
при построении модели системы с потерями, а также выведем
точные формулы, предполагая, что допустимо наличие только
одного невыполненного заказа на пополнение. В параграфе
4.13 будет рассмотрен предыдущий случай, когда Q=l.
Пусть требования, поступившие в систему, когда в ней
отсутствуют запасы, теряются. Как и раньше, предположим,
что эту систему можно описать с помощью марковского
процесса. Предположим также существование состояния
статистического равновесия для системы. Допустим, что
время поставок постоянно и равно т, а спрос образует
процесс Пуассона, причем размер каждого требования равен
единице. Как и ранее, считается, что в системе используется
стратегия Qr.
Если наличный запас плюс размер заказа используются
при определении точки подачи заказа г, то наличный запас

4.11] СИСТЕМА С ПОТЕРЯМИ НЕУДОВЛЕТВОРЁННЫХ ТРЕБОВАНИЙ 225
плюс заказ будут колебаться от уровня Q + r до r-j-1
в течение каждого цикла. Однако теперь распределение
вероятностей состояний не обязательно будет равномерным,
так как наличный запас плюс размер заказа не будут меняться
от г+у до r-\-j— 1 при поступлении требований в период
дефицита запасов. Когда в системе нет запасов, сумма
наличного запаса и размера заказа не меняется при
поступлении требований. Теперь уже нельзя описывать изменение
этой суммы независимо от уровня наличного запаса, что,
в частности, и затрудняет изучение системы с потерями.
Теперь нужно вести точный учет времени подачи всех
заказов и учет их числа. По-прежнему справедливо утверждение,
что все заказанное к моменту t — т будет поставлено к
моменту t, и то, что не заказано к моменту t — т, не может
быть поставлено к моменту t. Однако отсюда еще не следует,
что если в момент t — т сумма наличного запаса плюс заказ
равна г+у, то вероятность наличия лг^О единиц запаса в
момент t равна вероятности того, что за время т спрос
составит r-\-j—x. Система может оставаться на некоторое
время без запаса в период от t — т до /, когда возможно
поступление одного или нескольких требований. Те
требования, которые поступают при отсутствии запаса на складе,
теряются, и поэтому в момент t наличный запас может быть
равен х единиц, если даже более r-\-j — x требований
поступило за время поставки.
При учете неудовлетворенных требований может
существовать любое число невыполненных заказов. В системе
с потерями это число не может превышать максимального
целого числа, меньшего или равного (Q + r)/Q=\-\-(r/Q).
Поэтому максимальное число заказов определяется
значениями г и Q. Если г < Q, то не может существовать более
одного невыполненного заказа.
Теперь выведем точные выражения для системы с
потерями при условии, что допускается не более одного
невыполненного заказа на пополнение. Вычислим сначала
ожидаемые издержки за цикл между поставками, а затем для
определения средних годовых издержек умножим полученное
выражение на среднее число циклов за год. Этот
подход позволяет не вычислять вероятности
состояний, так как в данном случае вычислить их не так
просто.
8 Дж. Хедли, Т. Уайтин

226 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
Определим продолжительность времени в течение цикла,
когда в системе нет запасов. При достижении уровня подачи
заказа на пополнение в наличии имеется г единиц запаса, а
невыполненных заказов нет. Если за интервал /, t-\-dt после
подачи заказа на пополнение запас полностью исчерпан
то это означает, что за время от 0 до / спрос составлял
(г—1) единицу, и г-е требование поступило в интервале
(t, t-\-dt). Вероятность такого события равна Хр{г— 1;
Xt)dt. Если система оказалась без запаса в интервале
(t, t-\-dt), то она будет оставаться без запаса время i — t
в течение цикла. Отсюда среднее время за цикл, в течение
которого в системе наблюдается дефицит, равно
О
= тР(г; Xx)—j-P(r+\; Хт). D.100)
На основании D.37) среднее число циклов за год составит
%/(Q-{-%T), где f определяется из D.100). Легко
подсчитать ожидаемое число потерянных требований за цикл. Если
за время поставки т спрос А*>г, то будет потеряно X— г
требований. Таким образом, математическое ожидание числа
потерянных требований на основании П3.10 составит
2 (х — г)р(х\ Хт) = к%Р(г — \; %%) — гР(г; кх). D.101)
Но на основании П3.13 можно установить, что Г равно
произведению ожидаемого числа потерянных требований на
среднее время между поступлениями требований \/Х. Это
соответствует и интуитивным представлениям. Остается
вычислить ожидаемое число единиц товаро-лет запаса на
складе в течение цикла. Вероятность наличия w единиц
запаса на складе в момент поставки равна Р(г; Ят) для
<до = 0 up(r—w; Хт), \^.w^r. Но эта вероятность будет
также вероятностью наличия w-\-Q единиц запаса сразу
после поставки. Таким образом, вероятность г|э (v) того, что
наличный запас составляет v единиц сразу после поставки,
Г Р(г; Я/г), «f = Q,
¦<•>-{,«+,-., ад. в<.<«+г. D-,02>

4.11] СИСТЕМА С ПОТЕРЯМИ НЕУДОВЛЕТВОРЕННЫХ ТРЕБОВАНИЙ 22 7
Ожидаемое число единиц товаро-лет запаса на складе за
цикл подсчитывается в два приема. Сначала этот показатель
вычисляется для периода, предшествующего точке подачи
заказа (это время случайно), а затем для периода т от
момента подачи заказа до его поставки. Если после поставки
пополнения в наличии имеется v единиц, то до
поступления первого требования этот уровень не меняется. Он будет
равен v—1 от момента удовлетворения первого требования
и до поступления второго и т. д. и будет равен (г + 1) от
момента удовлетворения v — r—1-го требования до
поступления (v — /*)-го. Среднее время между поступлениями
требований равно 1Д. Если наличный запас равен v, то
ожидаемое число единиц товаро-лет, содержащихся на складе
до момента подачи заказа, будет составлять
-?-[*' + *'— 1 + • • • +v — (v — г— 1)] =
= у (о- r)-±(v-r- 1) (v-r) = ±[v(v + 1) - г (г +1)].
Усредняя по V, получим ожидаемое число единиц товаро-
лет, содержащихся на складе до момента подачи заказа на
пополнение,
Q + r
Я%&{о+\)-г(г+\)]${о) =
v=Q
= ^[Q(Q+l)-r(r + \)]P(r; Xx) +
г — 1
+ ^Е [(r+Q-u)(r+Q+\—u)-r(r+\))p(u;%%). D.103)
U=zV
Ожидаемое число единиц товаро-лет запаса на складе от
момента подачи заказа до поставки пополнения
определяется как интеграл в пределах от 0 до т от ожидаемого
наличного запаса в момент t
{г- У
12 (r — x)P(xi М)М. D.104)
о х=0
Из D.103) и D.104) получим ожидаемое число единиц
товаро-лет, содержащихся на складе в течение цикла
8*

228 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
(см. задачу 4.62)
iQ(Q+l)+X-? + XP(r-;XT^TP(r;^T)' DЛ05)
Поэтому средние годовые издержки равны
+ (-г+п)[11Р{г^1;Хт)-тР(г; Н}' D,106)
где я представляет стоимость потерянного требования,
включая потерянную прибыль, a f определяется с помощью
D.100). В качестве задачи 4.74 читателю предлагается
доказать, что минимизация средних годовых издержек,
включающих стоимости потерянных требований, а также
потерянную прибыль, дает такие же значения Q* и г*, как и в
случае максимизации среднего годового дохода.
Интересно отметить, что для пренебрежимо малых Т
выражение D.106) становится дискретным вариантом простой
модели системы с потерями, изученной в параграфе 4.3. На
практике Q* и г* значительно труднее найти из выражения
D.106). К счастью, почти всегда достаточно ограничиться
простой моделью. Нужно, конечно, не забывать, что
выражение D.106) для средних годовых издержек будет точным
лишь при условии, что может существовать не более
одного невыполненного заказа на пополнение. Более общие
случаи теоретически не разработаны.
4.12. Случайные времена поставок
Для простых приближенных моделей управления запасами
предполагалось, что время поставки случайно и имеет
плотность вероятности g(T). Для точных моделей, изложенных
выше, время поставки считалось постоянным. Если число
невыполненных заказов не становится большим единицы, то
при построении точных моделей никаких теоретических
трудностей не возникает. Нужно лишь провести усреднение
ожидаемых годовых издержек в момент т по всем возможным т.
Так, если ff(Q, г, т) — средние годовые издержки для
заданного т, то средние годовые издержки, усредненные

4.12] случайные времена поставок 229
по т, составят
!(Q, r)=$ft(Q, г, i)g(x)d%9 D.107)
причем $(Q, r) затем нужно минимизировать. Легко видеть,
что Я (Q, r) непосредственно вычисляются с помощью
безусловного распределения спроса за время поставки.
Детальное доказательство этого факта для различных случаев
составляет предмет задачи 4.58.
Плотность бероятности
постаЗни заказа 1
Подача
заказа 1
Подача
заказа 2
Плотность бероятности
постабш заказа 2
U
i
Рис. 4.5.
Время
Однако для <Q, г>-моделей с пуассоновским процессом
возникновения спроса и учетом требований невозможно
установить строго факт наличия только одного невыполненного
заказа. Для любого интервала длительностью />0 имеется
отличная от нуля вероятность поступления произвольно
большого числа требований, а потому имеется и отличная
от нуля вероятность того, что за время t будет подано
любое заданное число заказов на пополнение. Это означает,
что имеется отличная от нуля вероятность наличия в любой
момент времени t любого заданного числа невыполненных
заказов. Единственно можно предположить, что вероятность
наличия более одного невыполненного заказа очень мала.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда допускается наличие
более одного невыполненного заказа в любой момент
времени. Будем считать, что время поставки заказа не зависит
от времени поставок других невыполненных заказов.
Однако если это строго верно, то нужно допустить
возможность пересечения времен поставок, т-. е. заказы должны

230 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
выполняться не обязательно в том же порядке, в каком
были поданы. Из рис. 4.5 видно, что имеется отличная от нуля
вероятность, что заказ 2 будет выполнен раньше заказа 1.
Поставка заказа 2 может произойти раньше заказа 7, если
поставка заказа / произойдет в интервале от f до t". На
практике поставки заказов почти всегда осуществляются в
том же порядке, в каком они были поданы, так что
пересечений не может быть. Но если это так, то времена
поставок нельзя считать независимыми случайными величинами,
т. е. время поставки одного заказа, поданного, скажем,
в момент t, может зависеть от времени поставок других
заказов. Например, если по каким-либо причинам источник
снабжения ведет учет и устанавливает очередь заказов,
то новые заказы должны будут ждать, пока не будут
выполнены предыдущие заказы. К сожалению, до сих пор
отсутствуют простые способы описания систем с зависимыми
временами поставок. Вообще говоря, зависимость такого сорта
очень трудно учесть, не детализируя модели работы
источника снабжения. До сих пор в литературе нет моделей,
в которых бы учитывалась эта зависимость времен поставок.
Но даже, если допустить возможность пересечения
времен поставок, считая их независимыми, то общую модель
все же трудно построить. При постоянном времени поставок
вывод выражений для вероятности состояний,
классифицируемых по уровню наличного запаса, основывался на
предположении, что все заказы выполнены до того, как будет
осуществлена поставка заказа. Но было бы неправильно
(если допустить пересечение времен поставок) говорить, что
для случая пуассоновского спроса и независимых случайных
времен поставок с плотностью вероятности g(x) получается
выражение, эквивалентное D.40),
0D
^i(*) = ф J J р (г + / — х; Хт) g(x) d% =
= 5"il*(r + 7-*). DЛ08)
где й(г+/—х) — безусловное распределение спроса за
время поставки. При таком подходе предполагается, что
поставки происходят в той же последовательности, в которой

4.12] случайные времена поставок 231
были поданы заказы, а времена поставок не пересекаются.
Имеется один частный случай, который можно описать
точно при условии, что времена поставок не зависят друг от
друга. При этом g(T) = 6e~'''. Тогда при пуассоновском
процессе возникновения требований систему можно описать
марковским процессом с непрерывным временем и
дискретным пространством состояний. Такой случай рассмотрен в
[3]. Это обобщение не имеет большого значения и не всегда
оправдано, так как экспоненциальное распределение времени
поставки не очень распространено на практике. Кроме того,
времена поставок обычно не пересекаются. Применение
марковского подхода к анализу простого частного случая будет
проиллюстрировано в следующем разделе.
Обычно на практике в любой момент времени могут
существовать два или более невыполненных заказов, но
интервалы между ними настолько велики, что между ними
отсутствует какое-либо взаимодействие. С достаточно
хорошим приближением можно считать, что времена поставок
независимы и не пересекаются. При этом условии выражение
D.108) справедливо, т. е. для приближенного вычисления
ожидаемых издержек необходимо только заменить р (х; Хт)
на h (х).
Предполагая времена поставок независимыми и
одновременно не допуская возможности их пересечения, удобно
принять в качестве g(%) гамма-распределение. В параграфе
3.7 было показано, что если спрос распределен согласно
закону Пуассона, а время поставки имеет
гамма-распределение, то безусловное распределение спроса за время поставки
будет отрицательным биномиальным. Поэтому при
вычислении средних издержек нужно только заменить р (х; Ят) на
bN[x; а+1, Р/(Р + Я)] в выражениях для ^г(х) и ty2(y)-
Используя отрицательное биномиальное распределение,
труднее проводить расчеты, особенно вручную, поскольку
для него нет таких подробных таблиц, как для
распределения Пуассона. Интуитивно ясно, что по мере возрастания
дисперсии времени поставки дисперсия уровня чистого
запаса также возрастает. Это в свою очередь означает, что
гарантийный запас и г нужно увеличить. Предположение
о том, что время поставки постоянно и равно
математическому ожиданию времени поставки, может привести к
значительному снижению гарантийного запаса. Ошибка будет

232 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
расти с ростом дисперсии времени поставки. В тех случаях,
когда считают, что Q и г — непрерывные величины, а спрос
имеет нормальное распределение, одновременно
предполагают, что безусловное распределение спроса также является
нормальным. Тогда формулы из параграфа 4.8 можно
использовать без изменений.
4.13. Модели управления запасами при Q=l
При определенных условиях оптимально заказывать
пополнение по одной единице в моменты поступления требований.
Это может быть справедливо в случае, если спрос очень
мал или единица запаса стоит очень дорого. Решение,
найденное для <Q, г>-модели в параграфе 4.7, позволяет
выяснить, является ли значение Q=l оптимальным.
Рассмотрим сначала систему с учетом неудовлетворенных
требований. Вероятности состояний и выражения издержек
можно непосредственно получить в параграфе 4.7, полагая,
что Q=l. Однако эти результаты можно получить и прямо.
Так как Q= 1, т. е. заказ подается каждый раз при
поступлении очередного требования, то фиктивный уровень запаса
должен оставаться постоянным. Обозначим его через R.
Тогда задача сводится к определению оптимального
значения R. Будем считать, что спрос дискретен, a R принимает
только целочисленные значения. Объем спроса описывается
распределением Пуассона с параметром X.
Пусть время поставки постоянно и равно т. При
определении распределения наличного запаса трг(х) нужно
помнить, что все товары, заказанные в момент t—т, будут
поставлены в момент t. В момент времени t—x фиктивный
уровень запаса равен R. Поэтому i|?1 (х) представляет собой
вероятность того, что спрос за время поставки пополнения
составляет R—х или R
+i(*) = {
p(R — x; to), 0 <*</?,
P(R; to), лг = 0.
D.109)
Аналогично определяется распределение числа учтенных
требований
*> (У) =Р (R +У1 Ьт), У > 0. D.110)

4.13] МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ ПРИ Q=l 233
Вероятность дефицита запасов Рдсф и ожидаемое число
учтенных требований соответственно равны
/>деф=|]1Ь(у) = Р№Хт)| D.Ш)
со со
В (R) = 2 У*г (У) = 2 (*-Я)/> («; Я.т) =
= Хт/>(Я —1; %x)—RP(R; %x). D.112)
Математическое ожидание уровня наличного запаса к
моменту t определяется как
R R-1
2л%(*)= 2 (Я —u)p(tt;kx)=R — \i + B(R). D.113)
л:=0 ы=о
Поэтому средние годовые издержки по учету
неудовлетворенных требований и содержанию запасов равны
St (R) = /С (/? — |i) + пХР (/?; Хт) +
+ (/С+Я)[ХтР(Я — 1;Хт)—ЯР(/?; Хт)]. D.114)
Средние годовые издержки по оформлению и подаче
заказов КА не зависят от R и потому в D.14) не включаются.
Если R* является наименьшим значением /?, при котором
Si (R) достигает минимума, то необходимо, чтобы
ДЯ (/?*)< О, ДЯ(Л*+1)>0, D.115)
но
ДЯ(Л) = /С —яАр(/?— 1; А,т)-(/С + я)Р(/?; Лт).
Поэтому /?* будет наибольшим значением /?, для которого
P(R;Xx)+-^p(R-\;kx)>^—. D.116)
Если ДЯ(/?* + 1) = 0, то и /?*, и /?* + 1 минимизируют $. Когда
я = 0, задача сводится к определению максимального R
такого, что
P(R;Xt)>J?-, D.117)
л-+- /с
а когда тс = 0, нужно найти наибольшее R такое, что
?p{R;-M>+P{R-1;Xt)>?. D.118)

234 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
Получив выражение средних годовых издержек и
установив условие оптимальности для постоянного времени
поставки, вернемся теперь к изучению системы со случайным
временем поставки. Пусть моменты поставок образуют процесс
Пуассона, т. е. плотность вероятности времени поставки будет
экспоненциальна со средним значением
т=1/б. Заказы могут выполняться не в той
последовательности, в которой были
поданы. В этом случае можно построить
марковскую модель системы. Пусть состояния
системы соответствуют уровням чистого запаса
(их может быть счетное множество).
Вероятность перехода системы за время dt из
v-xo состояния в (v—1)-е состояние
представляет собой вероятность появления
одного требования за dt, т. е. Xdt.
Вероятность перехода из г>-го состояния в (v-\- l)-e
за время dt равна вероятности выполнения
за это время одного заказа на пополнение.
Для вычисления вероятности этого
перехода заметим, что если система находится
в v-м состоянии (т. е. чистый запас
равен v), то R— v заказов еще не выполнено. Вероятность
выполнения любого одного из них за dt равна (R — v)8dt.
Одному пуассоновскому событию соответствуют переходы
только в соседние состояния, и потому только их нужно
учитывать за время dt. Диаграмма переходов системы
представлена на рис. 4.6. Если обозначить через г|э (v)
стационарное распределение уровня чистого запаса, то уравнения
для установившегося режима имеют вид
%^(v+\) + (R — v+\)bty(v—\)--=[k + (R-vN]ty(v),
\^(R) = 8^(R — 1), * = Л-1, /? —2, ...
Если \х — Х/8 — at, то с помощью последовательной
подстановки, начиная с г|) (/? — 1) = fxi|) (/?), находим, что
*(/?-*)=»?*(/?), А = 1,2,... D.119)
Рис. 4.6.
k\
Так как
Х^(Я-*)=^Я)?^=еЧ> (#) = *>
* = 0

4.13] МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ ПРИ Q—\ 235
то
1|>(/?) = е-|\ D.120)
и на основании D.119) имеем
y(v)=p(R—v; Хт). *> = /?, Я —1, /? —2, ... D.121)
Таким образом, получаем те же самые вероятности
состояний, что и при постоянном времени поставки. Но это
справедливо лишь при Q—\ и не выполняется при Q> 1 [3].
При Q=l можно доказать, что для независимых времен
поставок при произвольном законе ^(т) со средним
значением т вероятности состояний определяются также из D.121).
Другими словами, вероятности состояний и оптимальное
значение R не зависят от вида распределения времени поставки,
если времена поставок независимы. Доказательство этого
факта проведем, следуя Такачу [5]. Но перед этим
рассмотрим одно интересное свойство распределения Пуассона.
Предположим, что за время от 0 до / произошло п > 0
событий согласно процессу Пуассона. Вычислим условную
вероятность того, что первое событие произойдет в
интервале (tv t1^-dt1)i второе — в интервале (/2, t2 + d.t2) и т. д.,
а /г-е событие — в интервале (/„, /„ + dtn), tx < t2 < ... < tn.
Вероятность возникновения п событий, если /-е событие
происходит в интервале (//,// + *#,•), /=1, . ..,/*, должна
быть равна
(*-** %dtx) (e-W*-*uXdtt).. :(е-ь«»-'—4Шп) (*-*•<'-'¦>),
D.122)
так как за время | в интервалах
0<?<'i, h<l<U, ...,/„<!</
ни одно событие не должно произойти, тогда как /-е
событие происходит в интервале (/,-, tj + dti). Выражение D.122)
можно привести к виду
tee-Udtb ... dtn. D.123)
Вероятность наступления п событий за время @, /) равна
просто p(n;Xt). Отсюда условная вероятность того, что
события возникают согласно описанной выше схеме при
условии, что за это время произошло точно п событий, можно
определить, разделив D.123) на р (п; Xt). В результате

236 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
получим
njfldt1dt2 ... dtn. D.124)
В задаче 4.63 читателю предоставляется возможность
доказать, что n\/tn является распределением вероятностей. Так
как n\jtn не зависит от th то моменты появления различных
по счету событий суть независимые случайные величины.
Более того, вероятность появления любого события в
интервале (th ti + dt;) равна dt{/t. Чтобы объяснить появление л!
в выражении D.124), можно условно представить
интервал @, t) в виде ящика, который делится на Bп-\-\)
ящиков, п ящиков соответствуют интервалам (th tj-^-dt;) (i =
= 1, ...,#), а остальные (/z + 1) ящиков — оставшимся
(я-j- 1) интервалам. События, возникающие согласно процессу
Пуассона, уподобим шарам, которые бросаются в эти ящики.
Теперь предположим, что п шаров бросают в эти ящики.
Все шары должны попасть в один из ящиков, а в ящик,
соответствующий интервалу (th ti-\-dt(), может попасть
только один шар. Тогда вероятность попадания одного из
шаров в ящик, соответствующий интервалу (tv t1-{-dt1)i
равна п dtjt. При условии что один из шаров попадает
в ящик, соответствующий интервалу (tv t1-\-dt1)J
вероятность того, что один из оставшихся (п—1) шаров попадает
в ящик, соответствующий интервалу (t2, t2-\-dt2), равна
(п—\)dt2/t и т. д. Таким образом, вероятность попадания
одного из шаров в каждый из п ящиков определяется с
помощью D.124). Мы показали, что, если по крайней мере
одно событие согласно процессу Пуассона происходит в
интервале @, /), то вероятность возникновения любого по
счету события в интервале (?, |-f-d|) равна d\jt и не
зависит от числа событий, возникших за этот интервал @, /),
и от моментов их появления.
Теперь вернемся к доказательству того, что вероятность
состояний не зависит от вида распределения времени
поставки пополнения. Вероятность получения поставки на
единицу запаса в момент t, заказанного в момент tf,-(*>/,-),
равна
t-ti
¦S(* — */)= S gWdx. D.125)
о

4.13] МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ ПРИ Q=\ 237
Тогда, если известно, что по крайней мере одно
требование поступает в интервале @, t), то совместная вероятность
поступления любого требования в интервале (th ^+ **/,•) и
получения поставки, заказанной в момент ti к моменту /,
определяется как
t °
и, следовательно, вероятность того, что любой заказ,
поданный на интервале @, /), поступит к моменту t, равна
t t
\§S(t-tt)dt, = ±§S(l)dl. D.126)
Предположим теперь, что складская система
функционирует в течение времени /. Первоначально наличный запас
составлял R единиц. Вычислим вероятность того, что чистый
запас в момент / равен х, если с момента начала работы
системы поступило п требований. Если чистый запас равен ху
то п-\-х—R заказов было выполнено, a R — х заказов не
поставлено. Вероятность такого события q(x;n,t)
определяется просто по формуле биномиального распределения как
вероятность п-\-х—R успехов в п испытаниях, если
вероятность успеха вычисляется с помощью D.126). Другими
словами,
q (x; n,t) =
= (Rn_x)U$s(t)dt
n+x-R
lit-
\R-x
S(l)]dl
D.127)
Вероятность того, что чистый запас в момент t равен х
единиц, определяется с учетом вероятности поступления п
требований
^*(')= 2 P(n\bt)q{x\n%t) =
--R-x
M[i-S(E)]<«}
-*]¦ [i-s<6)M6
<*-*)!
D.128)

238 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
Чтобы найти lim Wx(t), заметим, что
t-> 00
t СО 00
lim J [1 -S (g)] d% = \ [1 - 5 (I)] d\ = \ -Id [1 -S (%)) =
/-^Q0 ooo
CO 00
= ^^dl = §lg(l)dt = T. D.129)
0 0
Используя результаты D.129), из D.128), находим, что
lim Wx (/)=/? (R — x\ А,т), D.130)
т. е. стационарное распределение вероятностей состояний
является пуассоновским и зависит только от среднего
времени поставки т.
Посмотрим теперь, что произойдет, если времена
поставок не будут пересекаться, т. е. поставки заказов будут
осуществляться в порядке подачи заказов. Используем
метод, изложенный в параграфе 4.12, когда времена поставок
считались независимыми, но порядок поставок
соответствовал порядку подачи заказов. Средние годовые издержки
можно определить из D.107). Предположим теперь, что^(т)
является гамма-распределением, т. е. g(T)=y(x; a, (i). Тогда
на основании C.73) безусловное распределение спроса за
время поставки пополнения будет отрицательным
биномиальным распределением bN[x;a+\, P/(P + X)]. Поэтому
средние годовые издержки имеют вид
00
й(/?) = /С[Я-ц] + яд. 2 Ь„[х;а+1, Р/(Р + Ь)] +
со
+ (я + /С) 2 (х—R)bN[x;a+\, Р/(р + Ь)], D.131)
x=R
и по аналогии с D.116) R* определяется как наибольшее /?,
для которого
^L-bN[R-\; a+1, p/((J + X)] +
со
+ ?^[лг; a+l; р/(р + Х)]>^-. D.132)
лг=« П + 1С

4.13] МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ ПРИ Q=\ 239
(R-m
Оптимальное значение /?, вычисленное с помощью D.132),
будет, вообще говоря, больше значения /?, вычисленного из
D.116). Эта разность может быть значительной, если
дисперсия безусловного распределения спроса за время поставки
намного больше дисперсии пуассоновского распределения
для среднего времени поставки. Таким образом, при Q=\
метод, предложенный в параграфе 4.12,
приводит к увеличению дисперсии
распределения чистого запаса и, вообще говоря,
позволяет находить значение /?*
большее, чем при условии пересечения времен
поставок.
Рассмотрим кратко случай потери
неудовлетворенных требований. Даже, если
Q=l, то описать строго этот случай,
считая, что в системе может быть более одного
невыполненного заказа, весьма трудно.
Однако эту задачу можно решить, предположив
распределение времени поставки
экспоненциальным с математическим ожиданием
т=^1/б, а также считая, что эти времена
независимы и могут пересекаться. Если обозначить через
х текущее значение наличного запаса в любой момент
времени, то х может быть равным 0, 1, 2, ...,/?. На рис. 4.7
представлена диаграмма переходов системы. С ее помощью
можно сразу же выписать уравнения для состояния
статистического равновесия. Если через г|)(дг) обозначить
стационарное распределение наличного запаса, то
Ал|> (v+ 1) + (R—v + 1) бф {V— 1) = [к + (R — v) б] г|) (v),
v=\, ...,#—l, D.133)
и
АдИЯ) = 6ф(/? —1), М>A) = /?бгН0).
Таким образом,
*(р)=(/*р-пГ*(Я). f = 0, 1, ..-,/?, D.134)
Рис. 4.7.
(R-v)\
и так как
2 ч> (*) = i.
v=0

240 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
то отсюда следует, что
R , _ч
у Ut)
*(/?) =
и наконец,
г|)(г>)
R-v
, *-¦ (Я—и)!
z
UtT
и!
(Ят)
R-v
v = 0, 1, ..,,/?.
(Я-*)! j?
(brf
D.135)
D.136)
Умножая числитель и знаменатель D.136) на
лучим
-Хт
по-
г/ = 0, 1, ...,#. D.137)
В [1] было показано, что yjp(j) определяются из
выражения D.137), если времена поставок независимы и могут
пересекаться, а g(x) имеет произвольный вид, но ему
соответствует непрерывное интегральное распределение (однако
приводимое там доказательство не охватывает случай
постоянного времени поставки). Пальм [4] также доказал, что
выражение ty(j) не зависит от вида распределения времени
поставки, если эти времена независимы и могут пересекаться.
Если вероятности состояний определяются из D.137), то
выражение средних годовых издержек имеет такой вид:
Й=/С
/? — Хх
l—P(R;Xi)
1-P(# + 1;A,tT)J
+ %п
р(#Дт)
1-Р(#+1;А,т)
, D.138)
при условии, что стоимость одного изделия, хранимого на
складе, постоянна. Определение оптимального значения R
составляет предмет задачи 4.64.
4.14. Вопросы переоценки
Выше предполагалось, что цена одного изделия или
единицы запаса постоянна и не зависит от размера заказа Q.
На самом деле, при закупке больших партий товара часто
вводят коэффициент скидки. Иногда приходится применять
два типа скидки, рассмотренные соответственно в
параграфах 2.11 и 2.12. Те же самые методы вычислений, которые
используются в детерминированных моделях, можно приме-

4.15]
ОГРАНИЧЕНИЯ
241
нять и при стохастическом спросе. Кривые средних годовых
издержек, оптимизированных по г, при стохастическом спросе
будут иметь такой же вид, как и на рис. 2.13, 2.15.
Процедуры вычислений из параграфов 2.11 и 2.12 применимы
также и в этом случае. Только теперь нужно вычислить
оптимальные значения Q и г. Когда скидка вводится на
размер партии, то издержки нужно вычислять в точке излома
кривой зависимости стоимости от размера партии и
использовать оптимальное значение г, соответствующее размеру
заказа в этой точке. Для систем с потерями
неудовлетворенных требований стоимость единицы запаса влияет на
издержки, связанные с дефицитом. Однако изменение этих
издержек из-за переоценки пренебрежимо мало и может не
учитываться.
4.15. Ограничения
Когда на складе хранится несколько типов изделий,
между ними почти всегда возникает некоторая взаимосвязь.
Эта взаимосвязь может в отдельных случаях сильно
повлиять на оптимальные значения Q и г. Простейшие формы
такой взаимосвязи, перечисленные в параграфе 2.8,
возникают в связи с вопросами наилучшего использования
площади склада, с возможностью подачи ограниченного числа
заказов на пополнение, в связи с определением допустимых
общих капиталовложений в складское хозяйство. Формально
все эти ограничения можно учесть теми же способами, что
и в параграфе 2.8. Однако это не всегда дает
удовлетворительные результаты. Далее станет очевидным, что для
систем со случайным спросом ограничения такого сорта не
так просто учесть.
Предположим, что в системе хранится п типов изделий.
Рассмотрим сначала ограничение на общее число заказов
(или поставок), которые можно осуществить за год. Ввиду
случайности спроса теоретически возможно (если, скажем,
спрос описывается распределением Пуассона или нормальным
распределением) подать за год произвольно большое число
заказов на пополнение. Таким образом, нельзя гарантировать
точно определенное число заказов в год. Можно говорить
лишь о вероятности подачи определенного числа заказов
или можно потребовать, чтобы ожидаемое число поданных

242 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
заказов было меньше или равно некоторому заданяому
значению. Ограничение на ожидаемое число поданных заказов
легче всего учесть. Среднее число заказов, поданных за год
на все п типов изделий, равно
— V""* А./
Af=?^. D.139)
Вначале нужно решить задачу без ограничения, т. е.
вычислить Qj и Гу, используя модели предыдущих разделов. Если
N^.h, где h — ограничение на общее ожидаемое число
заказов в год, то полученные решения будут оптимальными.
ЕслиМ>й, то, как известно, следует составить функцию
Лагранжа
^??.(Q., rJ + Jj^-h), D.140)
где т] — неопределенный множитель Лагранжа. Тогда наборы
значений Qj и г;-, минимизирующие средние годовые издержки
п
вида 2^/(Фл г1) ПРИ наличии ограничения N=h, одно-
временно минимизируют функцию $, когда rj выбирается
так, что N=h. Но так как Qj и Гу входят в у-ю
составляющую функции Лагранжа
87«?у, rj) = R,(Qj, rj) + i\^- у=1, ..., п, D.141)
то отсюда следует, что при любом значении т) функция $
будет достигать минимума, когда каждая из п ее
составляющих $j(Qj, rj) достигает своего минимума. Поэтому
нужно минимизировать каждую %j(Qp rj) для заданного т),
определить значения Qj и rj (у=1, ..., п)> подсчитать N
и сравнить с h, затем выбрать новое значение г\ и повторять
вычисления до тех пор, пока N станет равным А.
Совокупность полученных таким образом значений Qy-, гу- (у= 1, . . ., п)
будет служить оптимальным решением.
Нужно учесть, что описанная процедура устанавливает
лишь верхний предел ожидаемого числа заказов, поданных
в течение года. В отдельные годы число заказов может

4.15]
ОГРАНИЧЕНИЯ
243
оказаться больше или меньше h. Вероятность подачи точно М
заказов, вообще говоря, не так просто определить, если
имеется п типов изделий. Рассмотрим вначале склад с одним
типом изделий при пуассоновском процессе спроса, когда
размер каждого требования равен единице. Пусть в системе
используется порядок учета неудовлетворенных требований.
Если в начале тода фиктивный уровень запаса равен r-f-y,
точно т(т^\) заказов будет подано, если спрос заключен
между (т—\)Q + j и (mQ + j—1). Вероятность этого
события равна
P[(m—l)Q + j; X]—P(mQ + j; I).
Заказы не подаются, если спрос не превысит у. Вероятность
такого события есть 1—P(j; X). Вероятность того, что
в начале года система будет находиться в у'-м состоянии,
равна 1/Q. Отсюда вероятность подачи точно т заказов
определяется как
'« = (m-l)Q+l u = mQ + l
+ ? />(«; Х)\, »>1, D.142)
u=(m+l) Q + l )
и на основании П3.6
в (т) =-!¦ {KP[(m-\)Q; X]-(m-\)QP[(m-\)Q+ 1; %]—
— 2%P(mQ; %) + 2mQP(mQ+V, K) + XP[(m+\)Q; X] —
— (m+l)QP[(m+\)Q+l; %}}, я»>1. D.143)
Когда /я = 0
вИ-^ЕП-^СЛ *)] =
/=1 1
= 1—~{X-XP(Q; X)+QP(Q+\; %)}. D.144)
Таким образом, при наличии на складе изделий одного типа
вероятность подачи точно т заказов в течение года опре-

244 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
деляется из D.143) и D.144). При наличии на складе изделий
п различных типов вычисление вероятности подачи точно М
заказов намного усложняется. Пусть 0. (/»•) означает
вероятность подачи в течение года точно ntj заказов на изделия
у-го типа. Предположим, что спрос на изделия различных
типов осуществляется независимо, т. е. вероятность
одновременной подачи тг заказов на изделие первого типа, тг
заказов на изделие второго типа и т. д. равна произведению
п
П в, (mj) - вх {щ) 02 (т2) . . . вя (тп). D.145)
п
Таким образом, вероятность 6 (М) того, что 2 mj= M,
равна сумме выражений вида D.145) по всем /»у-^0 таким,
п
что У\ mf = M. Ясно, что результирующее распределение
/ = i
вероятностей будет весьма сложно по своему виду. Для
его отыскания легче всего воспользоваться производящими
функциями (см. задачу 4.59). Если п велико, то
распределение в (М) согласно центральной предельной теореме будет
приближенно описываться нормальным распределением.
Можно, например, предположить, что при подаче каждого
заказа сверх заданного числа h взымается дополнительная
сумма G. Тогда ожидаемые издержки из-за подачи заказов
сверх установленного предела равны
00
О 2 (М—К) в (Ж), D.146)
где в (Ж) является функцией Qx, ..., Qni но не зависит
от Гу. В этом случае ограничение отсутствует. Выражение
издержек имеет тогда такой вид:
fl=Sft/(Qy. rj) + 0 2 (M-h)B(M). D.147)
Если на вероятность в (М) наложено существенное
ограничение вида
00
2 в(Л1)<о, D.148)
M=h+l

4.16] СТРАТЕГИЯ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ БЕЗ УЧЕТА ДЕФИЦИТА 245
п
то задачу минимизации 2 ^у-(Qy, rj) можно решить методом
/=1
множителей Лагранжа.
Последние две задачи трудно решить аналитически, даже
если п велико и распределение 0 (М) можно считать
нормальным, так как 6 (М) будет зависеть от всех п
значений Qj. Поэтому нельзя проводить независимую оптимизацию
для каждой пары Qj и гу-. Практически остается только
перейти к ограничению на ожидаемое число поданных заказов.
Однако такой переход нельзя признать удовлетворительным
в тех случаях, когда неизвестны возможные флуктуации
числа заказов около среднего значения. Такие же проблемы
возникают и при введении других ограничений, например
ограничения на площадь склада и общие капиталовложения
(см. задачи 4.60 и 4.61). К счастью, в ряде практических
случаев взаимосвязь между изделиями, возникающая из-за
ограничений, не слишком важна, и потому ею можно
пренебречь и изучать каждый тип изделий независимо.
4.16. Определение стратегии функционирования
без учета издержек дефицита
На практике очень трудно установить численные
значения издержек из-за нехватки запасов. Поэтому интересно
изучить методы определения оптимальных стратегий
функционирования, когда не требуется устанавливать явно
издержки дефицита. При этом зозникает мысль минимизировать
средние годовые издержки, связанные с заказами пополнений
и содержанием запасов при условии, что средняя доля
времени, в течение которого наблюдается дефицит запасов,
не превышает заданного значения. Такой критерий был
предложен в главе 1 и его можно использовать как для
системы с потерями, так и для системы с учетом
неудовлетворенных требований. Для систем с учетом можно
минимизировать средние годовые издержки, связанные с заказами
и содержанием запасов при условии, что ожидаемое число
поставленных на учет требований не превышает заданного
значения.
Рассмотрим первый критерий. Средняя доля времени,
в течение которого в системе нет запасов, равна вероятнос-
ти ^Деф> которая также интерпретируется как отношение

246 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
среднего числа учтенных или потерянных требований за год
к средней интенсивности спроса, т. е. как E{Q, r)/k. Таким
образом, для системы с учетом требований нужно
минимизировать выражение вида
*j-A+IC^-+r-ii + B(Q, r)] D.149)
при наличии ограничения
Е (Q, г)
</, D.150)
где / означает верхний предел средней доли времени, в
течение которого в системе нет запаса. Ясно, что если надо
минимизировать издержки вида D.149), то средняя доля
времени, в течение которого в системе наблюдается
дефицит запасов, будет максимальной. Поэтому минимум
достигается на границе D.150), т. е. когда Е (Q, r) = Xf (а когда
Q и г дискретны, то значение Е (Q, г) должно выбираться
максимально близким а/, но не превышать его). Для
минимизации D.149) при наличии ограничения Е (Q, г) = А/
составляют функцию Лагранжа (см. приложение 1)
F(Q, r, Q)=2LA+Ic[?-+r-ti+B(Q, г)] +
+ Q[E(Q, r)-X/], D.151)
где 6—неопределенный множитель Лагранжа, a Q*, г* и 0*
будут решениями уравнений
так как минимум достигается не на границе. Минимизация
функции F(Q> г, 0) для заданного значения 8 равносильна
минимизации издержек вида
? = |-Л + /С [Q- + r-li + B(Q, г)] + 0?(Q, г), D.153)
так как 0а/ не зависит от Q и г. Поэтому для определения
Q* и г* можно сначала определить функции Q*@) и г*@),
минимизируя D.153), а затем выбрать такое 0 = 0*, чтобы
?[Q*@). r* {Q)] = Xf.

4Л6] СТРАТЕГИЯ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ БЕЗ УЧЕТА ДЕФИЦИТА 247
Значения функций Q*F) и /**(8) в точке 8 = 8* дают
соответственно Q* и г*. Выражение DЛ53) представляет собой
просто средние годовые издержки, если я = 6, а я = 0.
Учет средней доли времени, в течение которого в системе
нет запаса, эквивалентен условию я = 0 и я = 8*. Отметим,
что указанное значение я будет однозначно определяться
значением /. Вычисление Q* и /**, однако, усложнится, если
задано /, а не я и я. Сначала полагают я = 0 и выбирают
начальную оценку я, скажем, 60. Затем вычисляют Q*@O),
f*@o)> используя любую подходящую модель из данной
главы. Кроме того, вычисляют /0 как
E[Q*(B0), r*(90)]-i.
Если /0 >/, то выбирают новое значение я, скажем, 6Х
такое, что 6Х > 0О, а если /0</, выбирают Qt такое, что
6г < 0О (если /0=/, то значения Q и /*, найденные на этом
шаге, являются оптимальными, и вычисления на этом
прекращаются). Затем определяют
СГ(вг), г*(вг) и ?[0»^), г*(&,)]!=/,,
и описанная процедура вычислений повторяется. Когда
дополнительные вычисления проделаны, можно ускорить
сходимость алгоритма, интерполируя 8 так, чтобы ожидаемая
доля времени, в течение которого в системе нет запаса,
стала желаемой. Становится ясно, что процедура назначения
некоторого значения / на практике означает также
установление некоторого значения издержек учета требований. Для
системы с потерями описанный выше метод не изменяется.
Рассмотрим теперь случай, когда ожидаемое число
учтенных требований в любой момент должно быть меньше или
равно заданному значению. Ясно, что и в этом случае
экстремум достигается на границе В (Q, г) = б, и потому
нужно минимизировать D.149) при наличии этого
ограничения. Решение такой задачи эквивалентно минимизации
издержек вида
® = ^А + 1С [|- + г-^ +(y] + IC)B(Qy r) DЛ54)
по Q и г для заданного т). Это сводится к определению
0*(т|) и г* (ц) и последующему вычислению оптимального

248 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
значения множителя Лагранжа г)* такого, что В [Q* (г)),
г*(т])] = б. Тогда 0*(тг*) и г* (ту*) будут оптимальными
значениями Q и г. Процедура вычислений остается в этом
случае без изменений. Задание ожидаемого числа учтенных
требований эквивалентно принятию условия я —0 и
однозначному определению я. Таким образом, задавая б, тем самым
определяют единственным образом л, когда я = 0.
Более сложная процедура включила бы в себя задание
как средней доли времени отсутствия запаса в системе, так
и ожидаемого числа учтенных требований. В этом случае
понадобилось бы два множителя Лагранжа.
Задачи и упражнения
4.1. Разработайте модель, эквивалентную модели из
параграфа 4.2, если процесс спроса является пуассоновским,
размер каждого требования равен единице, а время поставки
постоянно и равно т. Считайте, что Q и г принимают
дискретные значения. Покажите, что для определения Q* и г*
можно использовать следующую процедуру: начав с Q = Qw,
определить наибольшее целое значение г, скажем rv которое
удовлетворяет неравенству
затем подставить гг в выражение
Q(Q-l)<2?{A + n[kTP(r; %x)-rP(r + \; ал;)]}
и определить наибольшее значение Q, скажем Q2,
удовлетворяющее этому неравенству; используя Q2, определить г2
как наибольшее значение г, удовлетворяющее первому
неравенству и т. д.
4.2. Разработайте модель, эквивалентную модели системы
с потерями из параграфа 4.3, когда процесс спроса образует
процесс Пуассона, время поставки т постоянно. Предложите
процедуру определения Q* и г*.
4.3. Решите задачи 4.1 и 4.2 для случая, когда Q
считается непрерывной величиной, а г дискретно.
4.4. Начертите соответствующие кривые для системы
с потерями требований (см. рис. 4.2) и докажите, что ите-

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
249
ративная процедура из параграфа 4.4 сходится и в этом
случае.
4.5. Функция двух переменных Я (Q, г) называется
выпуклой в некоторой области на плоскости (Q, г), если для
любых двух точек (Q1? гх) и (Q2, г2) из этой области и для
любого а, О^а^СМ, выполняется следующее неравенство:
flfaQi + O—а)<?2, а/^+О-оОгаК
<atf (<?!, ri) + (\-a)k(Q2, r2). D.155)
Если Я представить поверхностью в пространстве трех
измерений, то к будет выпуклой, при условии, что линия,
соединяющая любые две точки этой поверхности, находится на
или выше этой поверхности. Выпуклая функция будет иметь
форму чаши. Функция называется выпуклой строго, если
в D.155) выполняется строгое неравенство для 0<а< 1.
Функция двух переменных называется строго выпуклой
относительно одной из переменных, скажем, Q, если для любых
точек (Qv г), (Q2, r), Q1=^Q2, и любого г в D.155)
выполняется строгое неравенство для 0<а< 1. Докажите, что
сумма выпуклых функций является также выпуклой функцией.
Докажите, что строго выпуклая функция в некоторой области
плоскости (Q, г) имеет единственный минимум. Покажите,
что если Й—функция издержек — выпукла и достигает
минимума в двух различных точках (Qlt гг) и (Q2, г2), то
минимум также достигается в любой точке [(»<?! +A—a)Q2,
ari + 0—a)r2]> O^a^l. Докажите, что любой
относительный минимум выпуклой функции является также и
абсолютным минимумом.
4.6. Докажите, что
со
¦fi§(x—r)h(x)dx
Г
является выпуклой функцией Q и г для г^О, если h(x)—
функция плотности вероятности. Докажите, что она будет
строго выпуклой, если h(x) принимает только
положительные значения для всех допустимых значений х. Отметим,
что этот же факт справедлив и для всех неотрицательных
r^.rmi если h(x) = 0, х > rm, и верхний предел
интегрирования заменить на rm (т. е. если применительно к задачам
управления запасами существует верхний предел для спроса

250 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ D
Рис. 4.8.
за время поставки пополнения). Заметим, что указанные
свойства зависят от свойства функции h (х) принимать
только неотрицательные значения, но не от ее вида.
4.7. Используя результаты упражнений 4.5, 4.6,
докажите, что функции издержек для системы с учетом
требований и для системы с потерями из параграфов 4.2, 4.3
являются выпуклыми. Покажите также, что эти функции
строго выпуклы, если h (x) является нормальным
распределением. Докажите, что в этом случае решение Q* и г* будет
единственным. Покажите, что в любом случае функция
Я (Q, г) строго выпукла
по Q, так что не может
быть двух или более
оптимальных решений
для одного г* и различ-
~*? ных значений Q.
4.8. Из 4.6 и 4.7
следует, что Q* и г*
являются единственным
решением, когда h(x)>]0 для всех х из рассматриваемой
области. Однако решение (Q*, г*) единственно даже тогда,
когда h(x) = Q на некотором интервале. Предположим,
например, что h(x) имеет вид, как показано на рис. 4.8,
и h(x) = 0 для r0^x^rv Вид и форма кривой Н(х)
определяются уравнениями D.13) и D.22). Каков наклон
кривой, определяемой уравнениями D.13) или D.22)
между значениями г0 и гг7 Докажите, что значения Q* и г*
должны быть единственными. Указание. Для всех г в
интервале от 0 до г0 функция $ (Q, г) строго выпукла. Аналогично
$ (Q, г) строго выпукла для значений г в интервале от гг
до гт. Это доказывает (почему?), что если существует не
один минимум, то при двух или более значениях г в
интервале от г0 до гх должен достигаться минимум. Покажите,
определяя наклон кривой, соответствующей уравнениям D.12)
или D.21), что этого не может быть.
4.9. При каких условиях не существует решения
уравнений D.12), D.13)? Как это можно объяснить на рис. 4.2?
4.10. Докажите, что решение уравнений D.21), D.22)
существует всегда.
4.11. Видоизмените рассуждения, представленные в
параграфе 4.2, 4.3 для систем с учетом требований и потерями,

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
251
чтобы полученные модели были справедливы и при условии
существования любого числа невыполненных заказов.
Считайте при этом, что определение момента подачи заказа
проводится по фиктивному уровню для системы с учетом
неудовлетворенных требований и по сумме наличного запаса
и объема заказов для системы с потерями. Нужны ли какие-
либо дополнительные допущения в каждом из случаев?
4.12. Склад скобяных товаров обслуживает большое
число магазинов скобяных изделий в городе. Изделия
каждого типа поставляются в магазины со склада в картонной
упаковке по две дюжины изделий в каждой. Можно считать,
что почти всегда любой магазин будет заказывать не более
одной коробки, а склад не будет отпускать менее одной
упаковки, и поэтому почти всегда отгружается одна коробка
на заказ. Руководители складского хозяйства планируют
управление запасами определенного типа изделий по системе
подачи заказа определенного размера при снижении запаса
ниже некоторого уровня. Известно, что спрос на изделия
за время поставки пополнения приближенно описывается
нормальным распределением со средним значением, равным 125,
и средним квадратическим отклонением, равным 25 коробкам.
Средняя годовая интенсивность спроса составляет 500
коробок в год. Расходы по оформлению одного заказа
составляют 1,5 доллара, а издержки поставки и разгрузки запасов
в бункер хранения с учетом расходов по оформлению
накладных и другой документации равны 2 доллара плюс
0,15 доллара, умноженные на размер заказа. Одна коробка
изделий стоит 12 долларов. Коэффициент /издержек по
содержанию запасов на складе равен 0,18. На складе введена
система учета неудовлетворенных заявок. Расходы, связанные
с потерей предпочтения и с перепиской склада с магазинами
при отсутствии товара на складе, составляют 25 долларов.
Определите оптимальный уровень подачи заказа и
оптимальный размер заказа. Чему равны издержки из-за
неопределенности спроса за время поставки?
4.13. Для примера из параграфа 4.4 определите, как
изменяются Q* и г* при изменении А. Пусть А меняется от
500 до 5000 долларов. Представьте эти результаты
графически.
4.14. Большой магазин планирует для себя систему
(Q? г> управления запасами радиоприемников определенной

252 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
модели. Спрос на них, как показала практика, описывается
распределением Пуассона со средним значением 5 приемников
в неделю (это не включает период предпраздничного
увеличения спроса, который будет учтен отдельно). Время
поставки существенно постоянно и равно 3 неделям. Стоимость
каждого приемника составляет 40 долларов. Коэффициент
издержек по содержанию запасов / равен 0,20. При
отсутствии радиоприемников покупатель почти всегда отправляется
в ближайшие магазины в надежде купить приемник именно
этой модели. Известно, что каждая неудовлетворенная заявка
обходится магазину в 20 долларов из-за потери предпочтения
плюс потеря 25 долларов валового дохода. Общая стоимость
подачи заказа оценивается в 3 доллара. Определите Q* и г*.
Каковы издержки из-за неопределенности спроса? Сколько
будет в среднем несостоявшихся покупок за год?
4.15. Центр снабжения вооруженных сил имеет запас
авиационных гироскопов для баллистических ракет. Средняя
интенсивность спроса на эти гироскопы составила за
последние три года 100 штук в год, причем спрос достаточно
хорошо подчиняется распределению Пуассона. Время
поставки пополнения постоянно и равно 6 месяцам. Каждый
гироскоп стоит 2000 долларов. Стоимость подачи заказа,
контроль при приемке и т. д. составляют в целом 100 долларов.
Коэффициент издержек содержания / равен 0,2. В центре
принята система учета неудовлетворенного спроса, но
стоимость отсутствия запаса трудно оценить. Вместо этого
требуется, чтобы вероятность дефицита была не более 0,0005.
Для <Q, г>-стратегии управления определите Q* и г*. Какова
стоимость одного учтенного требования? Каковы издержки
из-за неопределенности?
4.16. Вычислите все первые и вторые частные производные
функции $(Q, г) из уравнения D.87).
4.17. Предположим, что 5?(Q, г) аппроксимируется
неоднородной квадратичной формой
Я(<?, r)«ft(Q0, r0) + g(Q-Q0) + ^(r-r0) +
где частные производные берутся в точке (Q0, г0). Покажите,

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
253
что уравнения, решение которых обеспечивает минимизацию
этой квадратичной формы, будут совпадать с уравнениями,
получаемыми методом Ньютона при решении уравнений
сШудС? = дй/дг = О, где (Q0, г0)—начальное приближение.
4.18. Докажите, что функция Я1 (Q, г) из D.87) не
является, вообще говоря, выпуклой. Указание. Будет ли она
выпуклой функцией г при фиксированном Q?
4.19. Решите задачу 4.12, предполагая, что издержки
учета требований за неделю составляют 5 долларов плюс
10 долларов за каждую упаковку.
4.20. Решите задачу 4.15, предположив, что издержки
учета равны 1000 долларов плюс 5000 долларов на единицу
товаро-недель нехватки.
4.21. Пусть спрос детерминирован и составляет 500
единиц в год. Стоимость единицы запаса равна 20 долларам,
а /=0,2. Стоимость подачи заказа составляет 40 долларов.
Время поставки случайно, но может принимать только два
значения: либо 3 недели, либо 6 недель, причем первое
значение принимается с вероятностью 0,6.
Неудовлетворенные требования учитываются, а издержки учета составляют
250 долларов на одно требование. В системе используется
<Q, г>-стратегия. Определите Q* и г*. Каковы издержки
из-за неопределенности?
4.22. На складе большого магазина принята <Q, r>-
система для управления запасами товаров. В конце каждого
дня торговли проводится учет закупок дефицитных товаров,
и если уровень запасов на складе снижается до
критического уровня, на следующий день делается заказ на
пополнение. Иногда, конечно, точку подачи заказа можно
проскочить, но этим фактом обычно пренебрегают. Анализ данных
торговли за прошедший год (исключая периоды
предпраздничной торговли) дает возможность составить следующую
таблицу частоты недельного спроса на электрические
кофеварки:
Спрос на кофеварки
за неделю
Частота
0
2
1
6
2
3
3
8
4
2
5
4
6
2
7
1

254 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
В течение недели спрос не может превышать 7 штук.
Стоимость одной кофеварки равна 8 долларам, а коэффициент
издержек содержания 7=0,13. Время поставки товаров на
склад составляет одну неделю. Стоимость подачи заказа
равна 0,5 доллара. Магазин считает, что издержки,
связанные с потерей одного требования покупателей из-за
изменения предпочтения, включая потери дохода, составляют
10 долларов. Вычислите Q*, г* для заданного распределения
недельного спроса. Каковы будут Q* и г*, если принять
пуассоновское распределение недельного спроса с
математическим ожиданием, подсчитанным на основании приведенных
выше данных?
4.23. Станция по ремонту автомобилей устанавливает на
машины новые глушители. Потребность в глушителях
определенного типа описывается по данным практики
распределением Пуассона со средним значением 1 глушитель в день.
Время поставки случайно и может быть равно либо 8 дням,
либо 15, причем последнее значение принимается с
вероятностью 0,7. Каждый глушитель обходится станции в 6
долларов, а коэффициент издержек содержания /= 0,2. Стоимость
подачи заказа равна 1 доллару. Если на станции нет
глушителей, то отказ клиенту вызывает потери, оцениваемые в 25
долларов. Если на станции применить <Q, г>-систему управления,
то каковы будут значения Q* и г*? Каковы средние годовые
издержки из-за неопределенности? Оцените характер
допущений, принятых в отношении времени поставки пополнения.
4.24. Выпишите уравнения, из которых определяются
Q* и г* для случая упрощенной модели из параграфа 4.2,
если h(x) =-«- е~х/6. Как при этом меняются
результирующие уравнения?
4.25. Решите пример из параграфа 4.4, когда безусловное
распределение спроса за время поставки является
экспоненциальным, а не нормальным. Пусть математическое ожидание
и все другие показатели остаются прежними. При расчетах
используйте результаты решения задачи 4.24.
4.26. Составьте уравнения для определения Q* и г* из
простой модели параграфа 4.2, если безусловное
распределение спроса за время поставки является
гамма-распределением со средним значением [А и средним квадратическим
отклонением а.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
255
4.27. Решите пример из параграфа 4.4, если безусловное
распределение спроса за время поставки является гамма-
распределением с теми же значениями математического
ожидания и среднего квадратического отклонения, что и
в указанном примере.
4.28. Выпишите точное выражение суммарных издержек
и составьте уравнения, из которых определяются Q* и г*
в предположении, что безусловное распределение спроса за
время поставки является экспоненциальным. Считайте, что
времена поставок независимы, но не пересекаются.
4.29. Выпишите точное выражение суммарных издержек
и составьте уравнения, из которых определяются Q* и г*
в предположении, что безусловное распределение спроса за
время поставки является гамма-распределением с
математическим ожиданием \i и средним квадратическим отклонением а.
Считайте, что времена поставок независимы, но не
пересекаются.
4.30. Решите задачу 4.12, предположив, что безусловное
распределение спроса за время поставки экспоненциально,
причем среднее значение то же самое, что и у нормального
распределения в задаче 4.12.
4.31. Заметьте, что часто, увеличив гарантийный запас
на единицу, можно в значительной степени уменьшить
вероятность дефицита за время поставки. Можно ли на
практике ожидать такого же изменения? Почему?
4.32. Можно ли при непрерывном случайном спросе
использовать для его описания гамма-распределение со
средним значением Xt вместо нормального распределения,
применяя в качестве модели <Q, г>-системы марковский
процесс с непрерывным пространством состояний и
непрерывным временем? Почему?
4.33. На большом военном складе хранится дорогая
запасная часть для самолета. Средний спрос составляет
3 штуки за год. Заявки на нее образуют процесс Пуассона,
а заказы делаются по одной детали сразу же при
поступлении очередного требования. Деталь стоит 2000 долларов,
а коэффициент издержек хранения /==0,2. На складе
принята система учета невыполненных требований. За учет
требования нет обусловленных фиксированных издержек,
однако недельный простой самолета из-за отсутствия
этой запасной части обходится в 10 000 долларов. Время

256 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
поставки можно считать постоянным и равным 6 месяцам.
Определите оптимальный фиктивный уровень запаса,
который должен поддерживаться постоянным.
4.34. Решите задачу 4.33, предполагая, что
распределение времени поставки является гамма-распределением со
средним значением, равным 6 месяцам, и средним квадра-
тическим отклонением, равным 1 месяцу. Считайте, что
времена поставок независимы, но поставки осуществляются в той
же последовательности, в которой были поданы заказы.
4.35. Решите задачу 4.33, предположив, что
дополнительно к издержкам по учету, равным 10 000 долларов в неделю,
каждое учтенное требование обходится в 5000 долларов.
4.36. Решите задачу 4.34, предположив, что
дополнительно к издержкам по учету, равным 10 000 долларов
в неделю, каждое учтенное требование обходится в 5000
долларов.
4.37. Для задачи 4.33 начертите кривую зависимости
оптимального значения фиктивного уровня запасов от
издержек учета я.
4.38. Решите задачу 4.12, предполагая, что с учетом
невыполненных требований связаны только недельные
издержки в размере 20 долларов.
4.39. Решите задачу 4.15, предполагая, что вместо
вероятности нехватки задаются издержки в размере 10 000
долларов за единицу товаро-недель нехватки.
4.40. Магазин красок заказывает красную краску в
банках емкостью 0,568 литра. Банки поставляются в картонной
упаковке. В картонном ящике содержится 24 банки.
Каждые 24 часа подается заказ на одну упаковку. Заказ всегда
равен одному ящику банок. Стоимость одного ящика банок
составляет 12 долларов, а коэффициент издержек хранения
в магазине оценивается как / = 0,2. Неудовлетворенные
требования теряются, и потери от каждой несостоявшейся
сделки оцениваются в 1 доллар. От момента заказа
пополнения до получения товара требуется 3 недели. Чему равен
оптимальный уровень подачи заказа?
4.41. Решите пример из параграфа 4.4, предположив,
что используется скидка на общий размер партии заказа:
единица товара стоит 50 долларов, если 0<Q<1200;
единица товара стоит 49,50 доллара, если 1200^Q<2500,
и единица товара стоит 49 долларов, если 2500^Q<oo.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
257
4.42. Решите пример из параграфа 4.4, предполагая,
что применяется такая система скидки: для партий
размером 0<Q^1200 единиц устанавливается цена 50
долларов за единицу, за весь дополнительный товар сверх 1200
единиц до 3000 единиц включительно взимается 25
долларов за единицу. За весь товар сверх 3000 единиц взимается
40 долларов за единицу.
4.43. Решите задачу 4.12, предположив, что используется
такая скидка на общий размер заказа: стоимость единицы
равна 12 долларам, если 0 < Q < 50, и равна 11 долларам,
если 50 ^Q < сю.
4.44. Решите задачу 4.14, считая, что используется
система скидки: стоимость радиоприемника равна 40
долларам, если 0 < Q < 39, равна 37 долларам, если 40 ^ Q ^ 99,
и равна 33 долларам, если 100^Q<oo.
4.45. Рассмотрите проблему использования (Q, г>-си-
стемы для управления запасами изделий, если размер заказа
должен равняться целому числу, умноженному на
фиксированный объем упаковки. Видоизмените соответствующим
образом упрощенные модели из параграфов 4.2 и 4.3.
Выведите уравнения, позволяющие определить Q* и г*.
4.46. Отдел косметических товаров большого
универсального магазина недавно ввел <Q, г>-систему для управления
запасами товаров многих типов, которыми торгует этот отдел.
Духи одной из дорогих марок нужно заказывать в
количествах, кратных дюжине, так как в стандартной упаковке
содержится 12 флаконов. Спрос на эту марку духов
составляет в среднем 3 ящика в неделю и распределен
согласно закону Пуассона. Стандартный ящик духов обходится
магазину в 70 долларов. Коэффициент издержек содержания
запасов / равен 0,20. Стоимость подачи заказа составляет
0,50 доллара. Эту марку духов трудно найти в других
магазинах, и потому в магазине производится учет
невыполненных требований. Однако только самые состоятельные
клиенты покупают духи этой марки, и потому руководство
магазина считает, что частое отсутствие этого вида
парфюмерии плохо отразится на его репутации. Стоимость
учета одного требования принимается равной 100 долларам.
Определите Q* и г*, если время поставки равно 5 неделям.
Сколько можно в среднем сэкономить в год, если снять
ограничение, накладываемое на размер заказа?
9 Дж. Хедли, Т. Уайтин

258 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
4.47. Для модели, представленной в параграфе 4.9,
вычислите вероятность наличия в любой момент времени
точно п невыполненных заказов. Вычислите также
ожидаемый объем заказов и покажите, что он равен ожидаемому
объему спроса за время поставки. Указание. Задание
чистого запаса однозначно определяет число невыполненных
заказов.
4.48. Для модели, представленной в параграфе 4.9,
определите вероятность наличия точно п невыполненных
заказов в любой момент времени. Вычислите также ожидаемый
объем заказов и покажите, что он равен ожидаемому объему
спроса за время поставки. Указание. То же самое, что и
в задаче 4.47.
4.49. Вычислите математическое ожидание
распределения в (/и), определяемого из D.143) и D.144), и покажите,
что оно равно %/Q.
4.50. Пусть
X =700 единиц/год, А = 15 долларов.
С = 50 долларов, я=1 доллар,
/ =0,20, jx = 15 долларов на единицу
товаро-лет.
Объем спроса за время поставки имеет нормальное
распределение со средним значением 300 и средним квадратиче-
ским отклонением 50. Время поставки можно считать
постоянным. Попытайтесь определить Q* и г*, используя
уравнения D.89) и D.90).
4.51. Какие изменения нужно внести в уравнения,
используемые при определении Q* и г* в простых моделях из
параграфов 4.2 и 4.3, если, кроме того, имеются годовые
издержки по содержанию запасов, пропорциональные
максимально возможному уровню наличного запаса. Ответьте на
такой же вопрос для модели из параграфа 4.9.
4.52. В тексте предполагалось, что издержки учета
невыполненных требований имеют вид я + я^, где t—время
учета. В общем случае, конечно, издержки учета могут быть
произвольной функцией времени, и тогда изложенные
методы расчета годовых издержек учета не будут годиться.
Представим себе, что каждая единица заказанного товара
адресуется определенному требованию, так что издержки

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
259
учета не взимаются за объем уже заказанного пополнения,
если только требование не должно быть удовлетворено до
поставки заказа. Пусть в некоторый момент времени
заказано Q единиц, которые должны удовлетворить спрос
(г_|_1)} ###j (r_j.Q)-ro требования, поступивших после
подачи заказа на пополнение. Покажите, что при пуассонов-
ском процессе спроса, постоянном времени поставки т и
издержках учета я (t) для требования, находящегося на
очереди время ty ожидаемые издержки учета, связанные с
заказом (т. е. за цикл), будут равны
Q г
?ftoi(T—?)р(г+7—1; K)dl.
Каковы тогда ожидамые годовые издержки, связанные с
учетом? Для случая, когда n(t)=n-\-nty покажите, что
приведенная выше формула дает те же результаты, что и в
тексте. Вычислите средние годовые издержки по учету
требований, когда
а) я (t) = я0 + nx(t) + n2t\
б) п (t) = n0ebt, b>0.
Какие видоизменения потребуется внести, чтобы учесть
случайный характер времени поставки?
4.53. Решите задачу 4.52 при условии, что спрос
описывается нормальным распределением.
4.54. Подсчитайте дисперсию наличного запаса в модели
из параграфа 4.7.
4.55. Вычислите дисперсию наличного запаса в модели
из параграфа 4.9.
4.56. Выведите формулу для издержек й,
соответствующую D.61) при условии, что г отрицательно.
Покажите, что уравнение D.61) справедливо при условии,
что a(v), p (v) определяются соответственно из D.62)
и D.63).
4.57. Дайте подробный вывод уравнений D.83).
4.58. Докажите, что выражение ft(Q, г) из D.107) можно
получить непосредственно, если использовать при
определении вероятностей состояний безусловное распределение
9*

260 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
спроса за время поставки, а не распределение спроса за
время поставки для фиксированного т.
4.59. Определите производящую функцию распределения
в (/и), определяемого из D.143) и D.144). Как получить
выражение производящей функции распределения в (М), где
М — общее число заказов за год на все п типов изделий.
Попытайтесь получить точное выражение для &(М). Почему
распределение 0 (М) при возрастании п стремится к
нормальному?
4.60. Рассмотрите ограничение на площадь склада для
<Q, г>-модели управления п типами запасов при случайном
спросе. Покажите, что при этом возникают задачи того же
типа, что и при ограничениях на число заказов.
4.61. Рассмотрите проблемы, связанные с введением
ограничения на общие капиталовложения в <Q, г>-системе
управления п типами запасов при случайном спросе. В этом
случае существует верхний предел возможного наличного
запаса. Чему он равен? Какова связь этого верхнего предела
с ограничением на общие капиталовложения в складское
хозяйство? Насколько трудно будет определить вероятность
того, что общие капиталовложения в складское хозяйство
превышают заданное значение?
4.62. Дайте подробный вывод уравнения D.105).
4.63. Докажите, что n\/tn в D.124) является законом
распределения. Указание. Какова допустимая область
изменения t{>
4.64. Как найти /?*, если средние годовые издержки
определяются из D.138)?
4.65. Для модели из параграфа 4.7 получите выражения
E(Q, r) и B(Q, г), вычисляя сначала ожидаемое число
учтенных требований или единиц товаро-лет нехватки за
цикл, а затем переходя от цикла к году. Указание.
Считайте за цикл время между двумя последовательными
поставками. Необходимо обязательно учесть, что
продолжительность цикла случайна.
4.66. Если размер каждого требования равен единице,
то за каждый цикл возникает точно Q требований. Пусть
цикл определяется временем между двумя последовательными
поставками. Тогда фиктивный уровень запаса равен r + Q до
момента поступления первого требования, r + Q—1 до
момента поступления второго требования и т., д., г + 1 до

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
2&1
поступления Q-vo требования. Вычислите ожидаемые издержки
по содержанию запасов и учету требований между
поступлением у-го и (/+1)-го требования. Тогда издержки за
цикл будут равны сумме таких элементарных издержек по
всем / от 0 до Q — 1. Так подсчитываются издержки при
пуассоновском спросе и постоянном времени поставки
пополнения. Указание. Время между поступлениями двух
требований не будет постоянным, а случайно и имеет
экспоненциальное распределение.
4.67. В любой реальной системе конечное
использование любого изделия может изменяться от раза к разу.
В связи с этим можно считать различной и стоимость
учета в зависимости от конечного использования. Такая
ситуация особенно характерна для военных систем
снабжения. Допустим, что имеется N различных
возможностей конечного использования изделия, находящегося на
складе. Пусть /-й возможности соответствуют издержки
учета щ-^-п^. Пусть f) означает долю требований, для
которых конечное использование будет /-го типа (или
вероятность того, что требование возникает на изделие,
конечное использование которого будет /*-го типа).
Покажите, как учесть такую ситуацию в моделях,
представленных в главе 4.
4.68. Используя модели из параграфов 4.2 и 4.3,
постройте модель управления запасами для случая, когда
доля / всех требований, поступивших при отсутствии
запасов, учитывается, а остальные — теряются. Считайте, что
издержки учета не равны издержкам, связанным с потерями
требований.
4.69. Решите задачу 4.12, когда вместо издержек учета
задано, что средняя доля времени, в течение которого
в системе нет запасов, не должна быть больше 0,01. Чему
равна назначенная (imputed) стоимость учтенного
требования?
4.70. Решите задачу 4.14, когда вместо стоимости
потери требования задано, что средняя доля времени, в
течение которого в системе нет запасов, должна быть не
более 0,05. Чему равна назначенная стоимость потерянного
требования?
4.71. Решите задачу 4.22, когда вместо стоимости
потери требования задано, что средняя доля времени7

262 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ [4
в течение которого в системе нет запасов, должна быть не
более 0,02. Чему равна назначенная стоимость потерянного
требования?
4.72. Решите задачу 4.33, когда вместо издержек учета
задано, что средняя доля времени, в течение которого
в системе нет запасов, не должна быть более 0,005.
Чему равна назначенная стоимость учета одного
требования?
4.73. Пусть спрос образует процесс Пуассона с
постоянной во времени средней интенсивностью. Время поставки
всегда постоянно и равно т. Принята система учета
требований. Пусть издержки учета не имеют фиксированной
составляющей, а составляющая издержек, зависящая от
времени, такова, что если требование находится на учете
время /, то издержки за интервал (tj-\-dt) составят
jt0 dt. Эти издержки не зависят от числа невыполненных
заказов. Средние годовые издержки считаются
пропорциональными максимальному значению фиктивного уровня
запаса. Стоимость подачи заказа равна Л, а стоимость
единицы запаса равна С независимо от размера заказа.
Выведите выражение для средних годовых издержек для
<Q, г>-стратегии управления. Выведите формулы для
вычисления Q* иг*.
4.74. Для системы с потерями требований, изученной
в параграфе 4.11, покажите, что, минимизируя средние
годовые издержки, включая потери дохода от потери
требований, получим такие же значения Q* и г*, что и при
максимизации среднего годового дохода.
4.75. Какие ограничения нужно наложить на h (x) в
модели из параграфа 4.2 для того, чтобы считать Q и г
непрерывными переменными и дифференцировать функцию Я!
по этим переменным, если эти производные должны
существовать для всех Q > 0, г > 0?
ЛИТЕРАТУРА
1. Arrow К. J., S. Karl in and H. Scarf, Studies in The
Mathematical Theory of Inventory and Production, Stanford, California:
Stanford University Press, 1958.
2. Fester R. B. and W. C. Dal leek, Decision Models for
Inventory Management, Homewood, Illinois: Richard D. Irwin, Inc.,
1961.

ЛИТЕРАТУРА
263
3. G a 11 i her H. P., P. M. ATorse and M. Simond, Dynamics
of Two Classes of Continuous Review Inventory Systems., Opns.
Res., vol. 7, № 3, June 1959, pp. 362—384.
4. Palm Conny, Analysis of The Erlang Formula for Busy-Signal
Arrangements, Ericsson Technics, vol. 6, 1938, p. 39.
5. Takacs L., On the Generalization of Erlang's Formula, Acta
Mathematica, Acad. Scientiarum. Hungericae. Tomus VII, 1956,
pp.419—432.
6. W hit in Т. М., The Theory of Inventory Management, Rev. Ed.
Princeton, New Jersey, Princeton Univ. Press, 1957.
7. Whit in T. M. and W. T. Joungs, A Method of Calculating
Optimal Inventory Levels and Deliverv Times, Naval Res. Logist.
Quart, Sept. 1955, pp. 157—173.

5
Модели управления запасами в системе
с периодическими проверками при случайном
спросе
На каждом витке решение
принимается лишь один раз. Каждая
минута приближает космонавта к
моменту выбора, когда, пролетая над
Тихим океаном, с помощью системы
управления он должен решить:
продолжить полет или опуститься где-то
в Атлантике. И это—необходимая,
очень ответственная и периодически
повторяющаяся процедура.
Из газетного сообщения
5.1. Введение
Несмотря на то, что детерминированная <Q, г>-модель и
модель управления запасами с периодической проверкой
полностью совпадают, при случайном спросе у них
появляются характерные особенности. В этой главе будут
изучены различные модели управления запасами в системах
с периодическими проверками. Эти системы используются
гораздо чаще систем с оперативной информацией, что в
первую очередь объясняется неэкономичностью систем с
оперативной информацией и трудностями, возникающими при
попытке их практического использования. Впрочем, можно
было бы показать, что с введением быстродействующих
устройств сбора и обработки оперативных данных все
отчетливее проявляется тенденция к переходу на системы
с оперативной информацией. Если система с оперативной
информацией не слишком дорога, то ее применение позволяет
сократить средние капиталовложения в запасы. В данной
главе этот вопрос будет рассмотрен более подробно.
Для систем с периодической проверкой содержание
«проверки» может существенно меняться от одной системы к
другой. Иногда можно регистрировать сообщения об операциях
по мере их выполнения, избегая непосредственной передачи
этих сообщений руководству. В этом случае необходимо
вручную или с помощью вычислительной машины собрать

5.1]
ВВЕДЕНИЕ
265
уже полученную информацию и выделить из нее параметры,
интересующие руководство. В других случаях, прежде чем
принять решение, требуется непосредственно проверить
уровень наличных запасов. Нередко это необходимо делать
даже тогда, когда имеются возможности регистрации, так
как зарегистрированные данные могут оказаться недостаточно
точными. Примером такого положения может служить
поведение покупателя в универсальном магазине. Обычно
покупатель сам подсчитывает общую стоимость приобретенных
им товаров, несмотря на то, что он мог бы воспользоваться
чеками и квитанциями. По ряду причин информация,
содержащаяся в чеках и квитанциях, часто в значительной
степени искажена. Бесспорно, что и системы с оперативной
информацией не избавляют от необходимости непосредственного
контроля состояния запасов с целью уменьшения ошибок,
возникающих из-за поломок, порчи, хищений, просчетов и,т. п.
Для систем с оперативной информацией средняя
интенсивность спроса постоянна, размер каждого требования равен
единице *, а процесс, порождаемый моментами поставок,
стационарен. Если и стратегия функционирования должна
быть стационарной, то естественно управлять запасами,
основываясь на Qr-стратегии, позволяющей наиболее полно
использовать преимущества того, что принятие решения
производится по мере поступления деловой информации.
Таким образом, Qr-стратегия является оптимальной
стратегией управления запасами. Строгое доказательство этого
утверждения опирается на методы, изложенные в главе 8.
Однако для системы с периодической проверкой исследование
вопросов оптимальности усложняется. В такой системе
возможны различные стратегии функционирования.
В системах с периодической проверкой часто используется
стратегия функционирования, согласно которой заказ на
пополнение запасов подается в момент проверки только в том
случае, если спрос за предшествующий период
функционирования отличен от нуля. Здесь периодом функционирования
называется интервал между двумя последовательными
проверками. В момент проверки заказывается партия, доводящая
фиктивный уровень запасов (т. е., по определению, объем
* Причем моменты поступления требований образуют ординарный
поток. (Прим. перев.)

266 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
наличных запасов плюс объем еще не выполненных заказов)
до некоторого значения R. Отметим, что в этом случае размер
заказа меняется от проверки к проверке. Назовем эту
стратегию управления запасами правилом постоянного уровня,
или просто R-стратегией.
Некоторой альтернативой является такая стратегия, когда
заказы на пополнение запасов подаются, если только в
момент проверки фиктивный уровень запасов в системе оказался
меньшим или равным г, после чего фиктивный уровень
запасов доводится до /?(г < /?). Эту стратегию в дальнейшем
будем называть Rr-стратегией. ^-стратегия является частным
случаем /?г-стратегии при r = R— 1, когда уровень запасов
дискретен, и при r = R, если уровень запасов непрерывен.
Стратегии промежуточного типа также требуют, чтобы
запас пополнялся, если только при очередной проверке
фиктивный уровень запасов в системе оказался меньшим или
равным г. Отличие все же состоит в том, что объем
заказываемой партии кратен некоторой фиксированной величине Q,
т. е. заказывается партия размера /zQ, где л=1, 2, 3, ...
Здесь п — наибольшее целое число, для которого фиктивный
уровень запасов после подачи заказа оказывается меньшим
или равным R — r-{-Q. Назовем такую стратегию управления
запасами nQ-стратегией. Нужно отметить, что если уровень
запасов дискретен, то /?-стратегия является частным
случаем /zQ-стратегии при Q—\ и R — r-\-\. Если же уровень
запасов непрерывен, то /^-стратегия также представляет
частный случай /zQ-стратегии при Q—^0. Только эти три
стратегии управления запасами по существу и используются
на практике в системах с периодической проверкой. В
данной главе, предполагая стационарность процессов спроса и
поставки, мы рассмотрим и сопоставим различные модели
управления запасами, в которых применяются эти стратегии.
Цель такого исследования состоит не только в том, чтобы
при заданном Т подобрать соответствующие значения г и /?,
но и чтобы в случае, когда период проверки можно
изменять, найти оптимальное значение Т. Модели управления
запасами для систем с периодической проверкой, в которых
используется /?-стратегия, будем называть </?, Ту-моделями;
</?, г, ТУмодели основаны на /?г-стратегии. Наконец, при
использовании в системе с периодической проверкой nQ-
стратегии будем говорить о </zQ, г, 7>-моделях. Любую из

5.2] ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПИСаНИЕ ПроСТЕЙШЙХ </?,7>-МОДЕЛЕЙ 267
этих моделей можно использовать как для определения
оптимального значения 7, так и для вычисления оптимальных
R и г при заданном 7.
В главе 4 в средние годовые издержки не включались
расходы по эксплуатации систем с оперативной информацией,
так как предполагалось, что эти расходы не зависят от
параметров Q и г. Чтобы определить оптимальное значение 7,
нужно учесть стоимость проверки. Будем считать, что эта
стоимость не зависит от параметров модели. В стоимость
проверки не включаются расходы, связанные с поставкой
пополнения, так как, вообще говоря, необходимость в
пополнении возникает далеко не при каждой проверке.
Так же как и в главе 4, мы начнем с рассмотрения двух
простых приближенных моделей, получивших наибольшее
распространение на практике.
5.2. Приближенное описание простейших </?, 7>-моделей
На практике в системах с периодической проверкой чаще
всего используется /?-стратегия. В этом разделе будут
рассмотрены модели управления запасами в системах с
учитываемыми требованиями и в системах с потерей требований,
аналогичные моделям из параграфов 4.2 и 4.3. Как и раньше,
считаем, что все переменные непрерывны.
Рассмотрим систему с учитываемыми требованиями. Пусть
7—интервал времени между двумя последовательными
проверками, в каждую из которых фиктивный уровень запасов
пополняется до величины /?. Необходимо определить
оптимальные значения R и 7. Примем следующие
предположения: A) Стоимость проверки J не зависит от R и 7. B)
Стоимость единицы запасов не зависит от размера заказа и
равна С. C) Суммарный объем требований, учтенных за
период 7, невелик. Отсюда нетрудно видеть, что сразу после
пополнения почти всегда можно выполнить требования,
поставленные на учет. D) Стоимость учета каждого
невыполненного требования я не зависит от времени, прошедшего
с момента его регистрации. E) Предполагается, что при
случайном времени поставок заказы на пополнение
выполняются в порядке их подачи; кроме того, времена поставок для
различных заказов являются независимыми случайными
величинами. Отметим, что строгое выполнение предположений

268 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
о независимости времен поставок и о сохранении
очередности в выполнении заказов для <Q, г>-моделеЙ было бы
невозможным, так как при этом всегда существует
положительная вероятность того, что на сколь-угодно малом
интервале могут быть поданы сразу два заказа. Однако заказы
подаются не чаще чем один раз за 7, и, следовательно, эти
предположения могут выполняться одновременно при условии,
что времена поставок меняются в достаточно узких
пределах, а Г не слишком мало.
Пусть, как и в главе 4, А означает стоимость подачи
заказа, а / — коэффициент издержек содержания запасов.
Введем плотность вероятности f(x; t) спроса объемом х за
время / и обозначим через X среднюю интенсивность спроса.
В средние годовые издержки нужно включить: (а) стоимость
проверки, (б) расходы, связанные с подачей заказов на
пополнение, (в) издержки хранения и (г) издержки, связанные
с учетом неудовлетворенных требований.
Проверки проводятся один раз за Т месяцев, и поэтому
средняя стоимость проверки составляет J/T. Средние
расходы, связанные с подачей заказа, равны Л/Г, так как при
каждой проверке обязательно подается заказ (если считать
объем спроса X за время / непрерывной величиной, то
вероятность того, что ^ = 0, равна 0). Если обозначить
через L сумму Л + У, то средние издержки на проверку и
подачу заказов составят ЦТ. В этом случае стоимость
проверок и расходы на заказы могут быть объединены, так как
каждая проверка обязательно сопровождается заказом на
пополнение.
Средние годовые издержки хранения определяются как
средние за период затраты на содержание запасов с
последующим умножением на 1/7\ В качестве периода удобно
использовать интервал времени между двумя
последовательными поставками. По определению </?, 7>-моделей, сразу
же после подачи заказа фиктивный уровень запасов в системе
равен /?. но заказанная партия поступает на склад только
по истечении времени поставки, причем на всем этом
интервале запасы не пополняются. Поэтому к моменту поставки
математическое ожидание чистого запаса составляет R — [г,
где р,—-средний спрос за время поставки. Так как средняя
интенсивность спроса постоянна, средний уровень чистого
запаса линейно убывает во времени и к моменту очередной

5.2] ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПИСАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ </?, Г>-МОДЕЛЕЙ 269
поставки равен /? — |х — Л.Т*. Это можно объяснить тем, что
математическое ожидание спроса за период должно быть
равно среднему объему заказа, так что если сразу после
очередного пополнения средний уровень- чистого запаса
составляет /? —|i, то непосредственно перед поставкой этот
уровень равен R—\i — XT. В силу предположения C)
интеграл по времени от чистого запаса приближенно равен
интегралу от объема наличных запасов. Следовательно,
средний интегральный объем запасов или среднее число единиц
товаро-лет за один период приближенно определяется как
так что средние годовые издержки хранения составляют
/с [я-и-т] • EЛ>
В дальнейшем будет показано, что эти простые
рассуждения справедливы только в том случае, когда
математическое ожидание интеграла за достаточно большой
промежуток времени от величины учтенного спроса значительно
меньше среднего интегрального объема запасов за тот же
промежуток времени. Отметим, что последнее утверждение
справедливо даже тогда, когда время поставки случайно.
Для того чтобы подсчитать средние годовые расходы на
учёт требований, необходимо определить среднее число
учитываемых за год требований. Для этого вычислим среднее
число таких требований за один период и умножим
полученную величину на 1/7*. Рассмотрим сначала случай
постоянного времени поставки. Товары, заказанные в момент
времени /, поступят на склад в момент / + т, где т — время
поставки, а следующее пополнение запасов произойдет в
момент / + т+7\ Одновременно с подачей заказа в момент
времени / фиктивный уровень запасов в системе становится
равным /?. Подсчитаем среднее число требований, учтенных
на интервале от t + x до / + т + 7\ Согласно
предположению C) требование регистрируется в том и только в том
случае, когда спрос за время Г+т превысит уровень /?.
Условие C) гарантирует, что после поставки партии,
заказанной в момент времени /, не остается ни одной
невыполненной заявки, и, следовательно, очередь учтенных заявок

270 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
образуется исключительно из требований, поступивших на
интервале от t + x до t-\-x-\-T. Отсюда среднее число
учтенных за период требований равно
GO
$(*-/?)/(*; x+7)dx. E.2)
R
Заметим, что здесь вместо спроса за время поставки
фигурирует суммарный спрос за время поставки и следующий
за этой поставкой период 7. Это объясняется тем, что если
заказ был подан в момент времени /, то независимо от
происходящих событий следующий заказ не может быть подан
раньше, чем в t-\-T. Поэтому необходимо учитывать спрос
на отрезке длиной Т + т, начиная с момента времени t. Выше
было установлено, что средний объем чистого запаса к
очередной поставке равен R — [i — XT. Это есть, по
определению, гарантийный уровень запасов. Как и следовало ожидать,
этот уровень зависит от среднего спроса за время х-\-Т.
Предположим теперь, что время поставки т —случайная
величина с плотностью распределения ^(т), и пусть область
возможных значений времени поставки ограничена сверху и
снизу величинами ттах и tmin. Тогда если хг и г2 означают
времена поставок для заказов, поданных соответственно
в моменты времени t и t-\-T, то среднее число учтенных
за период требований составит
max max *
S S l(X-R)f(X'iX2+T)g(X2)g(X1)dxdX1dX2 =
Tmin Tmin*
CO
= \{x — R)h(x)T)dx, E.3)
R
где
x
max
h(x;T)= J f(x;x2+T)g(x2)dx2. E.4)
xmin
Это следует из того, что
1
max
$ g{t1)dx1=\.
Tmin

5.2] ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПИСАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ </?,^-МОДЕЛЕЙ 271
Для строгого выполнения E.3) необходимо, чтобы
распределения времен поставок, относящихся к разным рабочим
периодам, не перекрывались, т. е. чтобы
Tmax ^ Tmin "Г ' •
Однако результат E.3) приближенно верен и в том
случае, когда область, в которой эти распределения
перекрываются, мала. Отметим, что h(x; T) не является
безусловной плотностью распределения величины спроса за время
поставки. Если положить h(x; T) равной f(x; %~\-T) при
постоянном времени поставки, а для случайного времени
поставки определить функцию h соотношением E.4), то
в любом случае среднее число учтенных за период
требований будет определяться выражением E.3). За год учитывается
в среднем E(R, T) требований, где
00
E(R,T) = ±r^(x-R)h(x\T)dx, E.5)
R
а средние годовые расходы по учету требований составят
nE(Ry T). Все слагаемые суммарных издержек теперь
оценены. Общие средние годовые издержки даются следующим
выражением:
Я = ф + /С [я-ц_??] +nE(R, T). E.6)
Значение /?, минимизирующее функцию й при
фиксированном 7\ удовлетворяет уравнению E.7)
g=0 = /C—?//(/?; 7), E.7)
в котором
оо
H{R; T) = $ h(x; T)dx. E.8)
R
Таким образом, R* — оптимальное значение R — является
решением следующего уравнения:
H(R; T) = ^f. E.9)

272 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
Обычно уравнение E.9) имеет единственное решение при
фиксированном Г, хотя в некоторых частных случаях (один
из которых рассмотрен в задаче 5.4) это может быть и не
так. При /СТ/я > 1 уравнение вообще не имеет решений.
Выполнение этого условия означало бы, что очередь
зарегистрированных требований растет достаточно быстро.
Поэтому, если справедливы принятые вначале предположения,
то указанное выше неравенство выполняться не может.
Для того чтобы найти оптимальное Г, можно попытаться
решить уравнение д$/дТ=0 совместно с E.9) с помощью,
скажем, метода Ньютона, и тем самым одновременно
определить оптимальные R* и 7*. Можно было бы также
использовать метод наискорейшего спуска. Впрочем, для нашего
случая можно протабулировать й как функцию Г, используя
каждый раз для вычисления Я* оптимальное при заданном Т
значение /?, а затем, представив найденную зависимость
графически, можно по графику определить 7х*. Более
подробное обсуждение вопросов применения метода Ньютона и
метода наискорейшего спуска переносится в задачи 5.5 и 5.7.
Уравнения для систем с потерей требований мало
отличаются от уравнений для систем с учитываемыми
требованиями. Стоимость проверок, расходы на подачу заказов,
потери из-за невыполнения заявок будут в точности теми же,
что и раньше. Незначительные изменения должны быть
внесены в выражение для издержек хранения. В этом случае
гарантийный запас равен математическому ожиданию объема
наличных запасов в момент поставки заказа. Отсюда, как и
в параграфе 4.3, нетрудно видеть, что гарантийный запас
составляет
со
R-\i-XT+^(x-R)h(x; T)dx. E.10)
R
Для систем с периодической проверкой это соотношение
является приближенным даже тогда, когда в каждый момент
времени выполняется не более одного заказа на
пополнение, и оказывается достаточно точным, если потери из-за
невыполненных заявок невелики. В выражении E.10) не
учтены потери вследствие дефицита на интервале от
момента подачи заказа до поставки заказанной партии. В E.10)
включены потери, возникающие после очередной поставки

1С
5.2] ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПИСАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ </?,Г>-МОДЕЛЕЙ 273
и до поставки следующего заказа. А так как доля времени,
в течение которого на складе нет запасов, относительно
невелика, то и поправки к E.10) будут малы и,
следовательно, E.10) является достаточно хорошим приближением.
По той же причине эта модель применима и в том случае,
когда в любой момент времени могут выполняться сразу
несколько заказов. Таким образом, для систем с потерей
требований издержки хранения определяются по следующей
формуле:
/?-|i-^ + J(*-/?)A(*; T)dx\. E.11)
R J
Суммарные средние годовые издержки $ для системы
с потерей требований вычисляются по формуле
00
Л ~ + 1С [я_ц-*?] + (/C + -f) J (x-R) h (x; T) dx.
E.12)
Здесь аналогом E.9) является уравнение
^№1] = ^. E.13)
Этим завершается исследование простейших </?>-моделей.
В приближенном виде эти модели могут использоваться и
тогда, когда времена поставки случайны или одновременно
выполняется сразу несколько заказов.
Пример. На одном из больших калифорнийских складов секции
проверяются раз в квартал. Для каждой секции используется /?-стра-
тегия управления запасами. Рассмотрим одну из секций, где хранятся
шины для тракторов. Средняя интенсивность спроса постоянна и равна
600 шин/год. Склад заказывает шины непосредственно у изготовителя,
и время поставки приблизительно постоянно и равно 6 месяцам.
Величина суммарного спроса за время Г + т с достаточной точностью
описывается нормальным законом распределения со средним 600 (т+Т)
и дисперсией 900 (t-f Г). Дисперсия не равна среднему (как это было
бы при пуассоновском спросе), так как размеры самой партии,
запрашиваемой в каждом из поступающих на склад требований, случайны,
а это увеличивает дисперсию. Каждая шина обходится складу в 15
долларов, а принятый на складе коэффициент издержек хранения
составляет 0,2. Регистрируются все требования, поступившие в то
время, когда на складе не было запасов, и учет каждого из этих
требований обходится в 25 долларов. Желательно определить
оптимальное значение R.

274 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
Прежде всего отметим, что при фиксированном Т оптимальное R
может быть найдено при отсутствии сведений о стоимости проверки и
расходов на пополнение склада. Из приведенных выше данных Т +
+ т = 3/4 года и средний спрос за время Г + т равен 600x3/4 = 450,
а дисперсия составляет 900x3/4 = 675, т. е. стандартное отклонение
равно 25,981. Таким образом, согласно E.9) R* является решением
следующего уравнения:
V 25,981 ) п 25-4
Из таблиц для нормального распределения следует, что
И
R* = 450 + 48,8 = 498,8 « 499 ед.
Из E.5) и П4.25 среднее число учтенных за год требований
составляет
4[25,98.фA,881) + D50—499) Ф A,881)] =
= 4 [25,98-0,0679—49 0,030] = 1,175.
Таким образом, доля времени, в течение которого на складе нет
запасов, равна в среднем 1,175/600 = 0,00196, т, е. малой величине,
что и является необходимым условием применимости этой модели.
Напомним, что Г = 6 месяцам, а т = 3 месяцам, поэтому в каждый
момент времени выполняется в точности два заказа. Допустим, что
суммарные затраты на проверку и подачу заказа составляют 25
долларов. Определим оптимальную величину периода проверки 7\ Эта
задача решается простым табулированием $ как функции периода Т
при оптимальном R для принятого значения Т. В рассматриваемом
случае суммарные издержки выражаются следующей формулой:
.Й==?+3(#—300-300Г) +
+ Р {]ЛЮ0@,5 + Г)Ф Г*-600<0.5 + 7У| +
тг у -г /y ^ j/-900@,5 + T) J
+ [600@,5 + Г)-^фР7600@>5 + ГI^
L 1^900@,5 + 7) J/
Результаты вычислений сведены в таблицу 5.1, а на рис. 5.1
изображена функция $G\ R* (Т)). Из рисунка видно, что оптимальное
значение Т приблизительно равно 1,9 месяца. Замена принятой
ежеквартальной проверки проверкой с оптимальным периодом Т* принесла
бы выигрыш в 24 доллара. Т* можно было бы вычислить более точно.
Приведенное выше значение Т* лежит в пределах ± 0,05 месяца от
истинного оптимального значения. Для практики такая точность вполне
достаточна и главным образом потому, что сумма, которую удалось
бы выручить за счет более точного определения 7*, не превысила бы
одного доллара. Данные в таблице 5.1 округлены до ближайших

5.2] ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПИСАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ </?,7*>-МОДЕЛЕИ 275
т,
месяц
0,5
1,0
1.5
1*7
1,8
1,9
2,0
3,0
R* (Т),
ед,
запаса
382
403
426
436
440
445
449
499

Гарантийный
запас,
ед.
запаса
57
53
51
51
50
50
49
49
Средние
годовые расходы
на проверку
и заказы,
доллары
600
300
200
177
167
158
150
100
Средние
годовые издержки
хранения,
доллары
208
234
265
281
285
292
297
372
Таблица 5.1
Средняя
годовая стоимость
учтенных
требований,
доллары
23
23
27
25
27
27
31
29
Суммар- 1
ные сред-1
ние годо-1
вые из- 1
держки, 1
доллары 1
831
557
492
483
479
477
478
501
У
целых значений. Вследствие этого стоимость учтенного требования
в каждом случае своя и меняется при переходе от одной строки
таблицы к другой.
Результаты вычислений требуют некоторого пояснения.
Наблюдаемое уменьшение гарантийного запаса при увеличении Т на первый
взгляд кажется просто удивительным, но читатель без труда убедится
в том, что характер зависимости
сохраняется и при еще больших Т.
Интуитивно ясно, что чем чаще объем
чистого запаса снижается до уровня
гарантийного запаса, тем выше
должен быть этот последний уровень в
целях предотвращения чрезмерно
больших затрат по учету требований.
Впрочем, в системах с периодической
проверкой объем чистого запаса
приближается к гарантийному запасу один
раз за период. Отсюда, чем меньше 7\
тем больше должен быть гарантийный
запас. Другой особенностью этой
модели является то, что объем
гарантийного запаса неограниченно
возрастает при Г-э-О, что невозможно.
Разгадка скрывается в структуре
математической модели. Предполагалось,
что поставка всегда способна
удовлетворить учтенные требования, но если Т мало, то это предположение
становится неверным. В дальнейшем будут сформулированы более
точные утверждения.
Если считать, что проверки производятся бесплатно, т. е. сумма
в 25 долларов расходуется исключительно на оплату заказа, то в по-
575
550
<^525
hoo\
I
ш
1 2 3
Т(мвтт)
Рис 5.1.

276 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
следнем примере можно провести интересное сравнение рассматриваемой
здесь </?, Г>-модели и простейшей <Q, /*>-модели из параграфа 4.2.
Если для определения оптимальных Q и г используются преяшие
значения Л, С, / и л, то итеративная процедура дает следующие
результаты: Qw=100, Q* = 108 и г* = 313. Среднее время между
поставками в случае <Q, />модели составляет Т = Q/X = 108/600 = 0,18
года =2,16 месяца.
Эти результаты показывают, что для системы с периодической
проверкой оптимальное Т* несколько меньше среднего времени между
поставками <Q, г>-модели, в то время как гарантийный запас E0
единиц) для первой модели превышает 43 единицы гарантийного запаса
для случая <Q, г>-модели. То же самое получается при сопоставлении
любых систем с периодической проверкой с <Q, />системами. Дело
в том, что в системе с периодической проверкой объем гарантийного
запаса должен обеспечивать функционирование системы в течение
времени поставки и одного периода, тогда как в случае <Q, г>-системы —
только в течение времени поставки. Это означает, что для </?, Ту
моделей объем гарантийного запаса будет больше. Одновременно с этим
приходится несколько чаще пополнять запасы, уменьшая тем самым
средний уровень наличных запасов, что в некоторой степени является
вознаграждением за дополнительные издержки хранения, которые
связаны с увеличением гарантийного запаса.
5.3. Точное описание </г Q, г, 7>-моделей управления
запасами в системах с учитываемыми требованиями
при пуассоновском спросе и постоянном времени поставок
Выпишем точные соотношения для <#Q, г, 7>-системы
с учитываемыми требованиями, считая, что суммарный спрос
за любой промежуток времени распределен по пуассоновскому
закону, а время поставки остается постоянным и равно т.
Напомним, что </?, 7>-модель является частным случаем
</*Q, г, 7>модели при Q=l и /? = г +1. Таким образом,
выписав точные соотношения для <#Q, r, Г>-моделей, мы
сможем сразу же получить точные уравнения для </?, Т>-
модели, справедливые при тех же предположениях, которые
быу1и"принять1 для </zQ, г, 7>-модели.
Во всех наших выкладках будем считать, что уровень
запасов и спрос являются дискретными величинами.
Напомним, что согласно лф-стратегии заказ подается в том и только
в том случае, когда во время проверки оказывается, что
фиктивный уровень запасов в системе меньше или равен г.
Если у^г, то заказывается пополнение на nQ единиц
(я=1, 2, 3, ...), где п выбирается так, чтобы г<у-\-
+ nQ^Lr -f-Q. Таким образом, сразу же после проверки

5.3) <лф,г, Ту -модели при учете требований 277
фиктивный уровень запасов примет одно из Q возможных
значений г + \, г+ 2, ..., r-\-Q.
Вначале мы вычислим р(г+у) — стационарные
вероятности того, что сразу же после проверки фиктивный
уровень запасов в системе составит г+у, /=1, ... , Q. При
этом нетрудно видеть, что если нас интересует состояние
системы только в моменты времени сразу же по
окончании проверок, то при условии, что спрос в разные
периоды независим, процесс переходов из состояния в
состояние можно считать марковской цепью с конечным числом
состояний. При фиксированном Т независимость может
иметь место даже в случае непуассоновского спроса. Однако,
если требовать независимости спроса на разных периодах
при любом 7, то это справедливо только тогда, когда спрос
распределен по пуассоновскому закону. Впрочем, вовсе не
обязательно, чтобы в каждом требовании содержалась заявка
на партию определенной (в частности, единичной) величины.
Размеры поступающих на склад требований могут быть
случайны, и спрос в разные периоды будет независимым при
любом Т только в том случае, если поток поступающих на
склад требований является пуассоновским, а размеры заявок
не зависят от предыстории. Этому условию удовлетворяет
составное пуасооновское распределение и, в частности, тот
его распространенный сцучай, когда величина требования
распределена по геометрическому закону.
Вычислим теперь переходные вероятности я/у., где a(j —
вероятность того, что сразу же по окончании очередной
проверки фиктивный уровень запасов составит г+/, при
условии что после предыдущей проверки он был равен г + /.
Обозначим через р(х; Т) вероятность того, что за период
между проверками со склада будет затребовано х единиц
запаса.
Рассмотрим случай j^i. Тогда из состояния г + / можно
попасть в состояние г + /, если только спрос за период
между рассматриваемыми проверками оказался равным /—у,
/—j+Q, i—/+2Q, ..., так как если d — объем спроса
за период, то для d справедливо следующее равенство
(см. рис. 5.2):
r + i-d + nQ = r + jy л = 0, 1, 2, ...,
ИЛИ d = i—j+nQ, n -0, 1, 2, ... E.14)

278 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ E
Вероятность того, что спрос за период равен /—j~\-nQ,
по определению, есть р (/—j-\-nQ; T). События, состоящие
в том, что величина спроса примет одно из значений,
удовлетворяющее E.14), несовместны, поэтому
ai/^j&PV—J+nQl т), j<i-
л=0
E.15)
Однако при /">/ система не сможет перейти в
состояние у, если только спрос за период не окажется равным
r*flt
1
1
*§
Проверка Проверка
Рис. 5.2.
по крайней мере /—J+Q- Таким образом,
со
я,у= 2 Р (i—J+nQ; Г), j>L E.16)
n=i
Из параграфа ЗЛО известно, что р(г+У) должны удов-
летворять следующим уравнениям:
Р(г+Л= 2р(г + /К7, 7=1, ...,<?. E.17)

5.3] </*Q,r, Г>-модели при учете требований 279
Заметим теперь, что
2 fiP(l-J+nQ; Л+2 fiPii-J + nQ; 7) =
/ = 1/г=1 * = /л = 0
= 2p(A; Л = 1, /=i, ..., 0, E.18)
где все суммы, у которых верхние пределы суммирования
равны j—1, полагаются при /=1 равными 0. Отсюда
следует, что при любом j сумма 2Д= i а/у = 1- Непосредственно
видно, что уравнениям E.17) удовлетворяют постоянные,
не зависящие от j значения p(r+j). Кроме того, из
равенства 2Д=1 Р (Г+У) = 1 следует, что
9{r+j)Jh !='"•• >Q> E.19)
( 0 в противном случае.
Таким образом, в системах с периодической проверкой
уровень запасов после окончания проверки распределен
равномерно. Напомним, что в случае <Q, г>-моделей это
распределение было равномерным в каждый момент времени.
Отметим, что E.19) справедливо при любом распределении
спроса, если только спрос на несовпадающих периодах
независим. Кроме того, все а^ > 0, откуда в соответствии с
результатами параграфа 3.10 следует, что E.19) является
единственным решением системы уравнений E.17).
Теперь можно продолжить вывод выражения для средних
годовых издер>жек. Здесь мы ограничимся случаем пуассо-
новского потока требований единичной величины. В принципе
можно было бы рассмотреть и тот случай, когда размеры
заявок случайны и распределены, например, по
геометрическому закону, но это приводит к очень сложным и трудно-
обозримым уравнениям. Кроме того, будем предполагать, что
стоимость единицы запасов постоянна и не зависит от размера
заказа. Предполагается, что расходы, связанные учетом одного
требования, имеют вид я + зт/, где t — время, прошедшее
с момента регистрации требования. Пусть J и А —
соответственно стоимость одной проверки и расходы на подачу
-

280 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
одного заказа. /—как обычно, коэффициент издержек
хранения. Сначала мы вычислим средние издержки за период,
а затем, умножив полученный результат на 1/7, получим
выражение для суммарных средних годовых издержек. В
задаче 5.12 предлагается по аналогии с параграфом 4.6
показать, что последнее преобразование ведет к правильному
результату.
Так как за год производится \/Т проверок, то средние
годовые расходы на проверки составляют J/T. За год на заказы
расходуется сумма, меньшая, чем А/Т, так как заказы
подаются не при каждой проверке. И если ръ означает вероятность
того, что при произвольно выбранной проверке подается
заказ на пополнение, то средние годовые расходы на заказы
составят р3Л[Т. Вычислим р3. Если по окончании проверки
фиктивный уровень запасов в системе равен г+у, то
вероятность события, состоящего в том, что к моменту следующей
проверки фиктивный уровень запасов станет меньшим или
равным г, равна вероятности того, что спрос за период
превысит или по меньшей мере окажется равным у, т. е.
вероятности P(J; XT). Вероятность того, что по окончании
проверки уровень запасов равен r-\-j\ составляет 1/Q. Отсюда
Q
р3 = ~-2я(у; XT)
и из П3.6
Рз^П-т XT)]+P(Q + \; XT). E.20)
Заметим, что р3 является функцией Т и Q, но не зависит
от г. Перейдем к определению средней стоимости учтенных
за год требований. Сначала вычислим среднее число
требований, учтенных за период, а умножив полученный результат
на 1/Г, получим среднее число требований, учтенных за год.
Допустим, что проверка производится в момент t, а
следующая за ней проверка — в момент t+T. Вычислим среднее
число требований, учтенных на интервале от t + т до t + т -f- Т.
Общее число учтенных на этом интервале требований можно
представить в виде разности двух случайных величин, одна
из которых определяет число требований, учтенных к
моменту / + т+Г, а вторая равна числу требований,
учтенных к моменту t-\~x. Если после проверки, проведенной

5.3] <лР,г,Г>-модели при учете требований 281
в момент времени ty фиктивный уровень запасов в системе
равен г+у, то среднее число учтенных к моменту t + x + T
требований составляет
00
2 (x—r—j)p[x; Я(т+Г)],
а к моменту t-\-x
со
2 (x-r-j)p(x; Хт).
Таким образом, если после проверки в момент
времени t фиктивный уровень запасов в системе равен г+у, то
математическое ожидание числа требований, учтенных на
интервале от t-\-x до t + x+T, определяется, как
00
2 (x-r-j){p[x; Ь[х+7)]—р(х;.Щ.
Усредняя это выражение по /, получаем после умножения
на \/Т среднее число учтенных за год требований
Q оо
Е (Q, г, Т) = ^ ? ? (x-r—J) {р [х; X (т+ Т)]-р (х; Щ =
r+Q ю
= nf ? 2'(*—в){рИ Х(т+7K— />(*; Хт)} =
-^ 2 {Ь(*+Т)Р[и-\; Я(т+Г)]-
— иР[и; Х(т+7)] —ЯтР(в—1; Хт) + иР(и; Хт)}. E.21)
Далее, используя П3.6 и П3.8, можем записать, что
E(Q, г, Г)=-1[Л(г, 7) -Л (r + Q, 7)], E.22)
где
Л(«, 7) = i[pK T+T)-P(v, т)] E.23)
и
P(t», /) = ^!-Я(«_1, Xt)-%tvP(v, %t) +
+ Ei°±ilp(v+l;.fc). E.24)

282 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
Совершенно так же можно вычислить среднюю
интегральную нехватку за год. Математическое ожидание
интегральной нехватки за период равно среднему значению
интеграла от текущего числа требований, учтенных на интервале от
tf-f-тдо / + Т+71.- Но математическое ожидание от интеграла
равно интегралу от математического ожидания (так как
математическое ожидание от суммы равно сумме
математических ожиданий). Для любого момента времени t-\-^ такого,
что т^|^т+Г, среднее число учтенных требований при
условии, что сразу же по окончании проверки в момент t
уровень запасов в системе был равен г + у, составляет
2 (x-r-j)p(x; XI),
x=r+j
а средняя интегральная нехватка за один период определи*
ется следующим выражением:
Х-\-Т
J 2 {x-.r-j)p(x; X|)dg.
Усредняя это выражение по j и разделив его на Т,
находим среднюю интегральную нехватку за год
r+Q r+T »
B(Q, r, Т)=-± ? J ?{х-и)р(х; Xg)dg
U = r+l X X = U
или из П3.10
fl(Q, r, 7)-^? ] [^("-l; П)~иР(а; Я|)]й|.
«=r-f-l т
E.25)
Однако
х+Г
$ [XlP(u-\; Ц)-иР(и; Xg)]d| =
X
= ?{(т + 7)»Р[В-1; ^(т+Г)]--с2Р(и-1; Я,т)} +
+ !L<«+I> {/>[„+!; Х(т+Г)]-Р(и + 1, Ят)}-
—и{(х+Т)Р[и; Х(х+Т)—хР(и; %т)}. E.26)

5.3] <яР,г,Г>-модели при учете требований 283
Применяя формулы, приведенные в конце книги в
приложении 3, можно переписать В (Q, г, Т) в виде
B(Q, r, 7)=1[Г(г, T)-T(r + Q, Т)], E.27)
I>, T) = E(v, T + x)-S(v, т) E.28)
где
+ 2<?+Plp{v+lt U)-v{v+H$+2)-P{v + 2; IT). E.29)
Подробное рассмотрение преобразований E.26)—E.29)
составляет предмет задачи 5.13. Таким образом, средние
расходы за год, связанные с учетом требований, равны jt?(Q, r,/)-f
+ пВ (Q, г, Т). Остается вычислить среднюю интегральную
нехватку за год. Как и раньше, сначала будет подсчитана
средняя интегральная нехватка за период. Если в момент
времени t сразу же по окончании проверки фиктивный
уровень запасов равен г+/, то для любого ? такого, что
T^g^T+Г, математическое ожидание объема чистого
запаса составляет
2 (г+7—*)/>(¦*; Xg) = r + y-Xg.
Для любого момента времени математическое ожидание
объема наличного запаса равно сумме математического
ожидания объема чистого запаса и математического ожидания
суммарного числа учтенных требований. Таким образом,
средний объем наличного запаса в момент времени / + ? равен
со
r+j—kl+ 2 (*-r-j)p(x; Xg). E.30)
Интегрируя это выражение в пределах от т до Т-\-% и
усредняя его по у, получим после умножения на 1/7

284 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
среднюю интегральную нехватку за год
Q t+7*
D(Q, г, Л = ^? J (r+j-kt)dZ + B(Q, г, Г) =
= т+у+г-т:-'А+Б^ г> 7); E-31)
здесь \i — средний спрос за время поставки. Этим же
выражением определяется средний объем наличных запасов и для
произвольного момента времени. Функции Е, В и D
вычислялись в этом разделе иначе, чем соответствующие величины
для <Q, г>-моделей из главы 4. Дело в том, что здесь
в нашем распоряжении имеется распределение уровня запасов
только в моменты окончания проверок, тогда как в случае
<Q, г>-моделей это распределение было известно в любой
момент времени.
Среднюю интегральную нехватку за год можно вычислить
и другим способом. В любой момент времени средний объем
наличных запасов равен математическому ожиданию
фиктивного уровня запасов минус средний объем еще не
поставленных заказов плюс математическое ожидание величины
учтенного спроса. Для того чтобы вычислить интеграл по периоду
от среднего уровня запасов, удобнее всего воспользоваться
интервалом времени между двумя последовательными
проверками. Если в момент t окончания очередной проверки
фиктивный уровень запасов в системе равен r+j, то средний
уровень запасов в момент / + ?•, где 0^|^Г, составляет
г+/—Х|. Интегрируя это выражение от 0 до Т и усредняя
его по у, имеем
?2^<'+у-*б)*-г[!+4-+г-?]. E-32)
/=10
Кроме того, умноженный на \/Т интеграл по периоду от
средней величины заказа равен среднему объему заказа
в произвольный момент времени. Отсюда, возвращаясь
к выражению E.31), вновь приходим к выводу, что в этом
случае средний объем заказа в любой момент времени
совпадает со средним спросом за время поставки.

5.3] </zQ,r, Г>-модели при учете требований 285
Все слагаемые суммарных издержек уже вычислены.
Средние годовые издержки равны
*=-jr+4-P>+'c [«.+!-,*_?] +
+ я?(<Э, г, T) + (n + rc)B(Q, г, Т). E.33)
Так же как и в случае <CQ, r >-моделей из главы 4,
для < /zQ, г, 7>-модели трудно вручную определить Q*,
а* и Г*. И вновь трудности связаны с вычислением тех
членов в E(Q, г, Т) и B(Q, г, Г), которые зависят от
r-{-Q. Но в отличие от ранее рассмотренного случая
пренебрегать этими членами для < nQ, г, Т >-модёли означало
бы допустить слишком большую неточность. Бывает, что
даже при относительно большом среднем объеме заказа
оптимальное значение Q мало; в этом весьма вероятном
случае нельзя пренебрегать членами, зависящими от r-\-Q.
Обычно Q*, г* и 7* определяются на вычислительных ма-
щинах с помощью алгоритмов, минимизирующих функцию Я.
П. Тейчолцом и Б. Лундом из Стэнфордского
университета была разработана программа для машины «Burrough-220»,
позволяющая определять Q*G) и г*(Т) для < nQ, г, 7>-
модели. С помощью этой программы были получены
результаты в приведенном ниже примере. Нужно иметь в виду,
что программа позволяет отыскивать локальный, но не
абсолютный минимум функции $*.
Пример. Вычислить Q*, г* и Т* для случая, когда
используется nQ-стратегия, а спрос за любой интервал времени распределен
по пуассоновскому закону со средней интенсивностью, равной 100
единиц/год. Время поставки постоянно и равно 0,25 года. Остальные
параметры имеют следующие значения: / = 2 доллара, А = 4 доллара,
С =10 долларов, / = 0,20, я = 20 долларов и я = 1 доллар/ед.
товаро-лет. Отметим» что подача заказа обходится в два раза дороже
проверки. Если стоимость заказа гораздо меньше стоимости проверки,
то мы вправе ожидать, что Q*=l и </zQ, r, Т>-модель эквивалентна
</?, Т^-модели. И только в том случае, когда стоимость заказа выше
стоимости проверки, можно рассчитывать на то, что Q* больше
единицы. Здесь как раз и рассматривается один из таких случаев.
Для разных значений Т были вычислены Q*(T) и г* (Г).
Результаты вычислений представлены на рис. 5.3. Кажется несколько
странным, что для 7\ больших 0,15 года, Q*(T)=\. Окончательно
Q*=l, г* = 63 и Т* = 0,25 года. Таким образом, в ситуации, когда,
казалось бы можно было ожидать, что Q* > 1, оптимальное Q
получилось равным единице. Другой интересной особенностью этого

286 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
примера является то, что при Т < 0,15 года Q* (Т) резко изменяется
от единицы до Qw = 20.
С помощью вышеупомянутой программы можно, зафиксировав
Q = l, вычислять оптимальные для заданного Т значения г. Таким
образом; может быть найдена оптимальная /^-стратегия и
соответствующие ей суммарные затраты. Как уже было отмечено, оптимальная
НО
100
?
с so
I
<% 80
70
0 - 0,10 0,20 0JO ОАО
Т(годы)
Рис. 5.2.
nQ-стратегия совпадает с оптимальной /^-стратегией при Т > 0,15 года.
Из рис. 5.3 видно, что при Т = 0,1 года кривые, соответствующие
этим двум стратегиям, уже не совпадают. При 7\ меньшем 0,1 года,
расхождение в величине издержек резко увеличивается.
Этот пример показывает, что /?-стратегия эквивалентна
/zQ-стратегии при более общих условиях, чем можно было
бы предположить. И только в том случае, когда
вероятность подачи заказа при произвольно выбранной проверке
мала, </zQ, r, 7>-модель обеспечивает существенное
снижение издержек по сравнению с </?, 7>-моделью. Как раз
сюда относятся те случаи, когда период проверки настолько
мал, что система с периодической проверкой по характеру
протекающих в ней процессов напоминает систему с
оперативной информацией (а именно, вычислительное устройство
будет обрабатывать информацию о каждой операции в
отдельности, но не сразу же после выполнения операции,

5.4] <я, Q, г, Г>-модели. случлй больших Q 287
а например, раз в день или раз в два дня). В таких
ситуациях Q* может быть достаточно велико по сравнению со
средним спросом за период между проверками, и здесь,
конечно, /zQ-стратегия была бы гораздо предпочтительней
/?-стратегии. В этом случае для определения оптимальных
значений Q и г почти всегда можно пользоваться
результатами, полученными на <Q, г>-модели. Иногда, правда,
этого сделать нельзя и определить оптимальное г
достаточно точно не удается. Когда Q* —величина порядка Qw, то
обычно можно пренебречь теми членами в Е и В, которые
зависят от r-\-Q. В следующем разделе будет дано
упрощенное описание </zQ, г, 7>-модели, которое получается,
если в функциях Е и В при достаточно большом Q
пренебречь членами, зависящими от r-f-Q-
В литературе уже появились предложения об
использовании /zQ-стратегий функционирования (см., например, [4]).
Результаты этого раздела впервые были получены в [3].
5.4. Приближенное описание </*Qf r, ^-моделей
управления запасами. Случай больших Q
Сначала рассмотрим случай, когда Q достаточно велико,
для того чтобы можно было пренебречь зависимостью от
r-f-Q в функциях E(Qt г, Т) и В(Q, г, Т) из выражения
E.33). Тогда E.33) принимает следующий вид:
+^А(г,Т) + ?±^Г(г, Т). E.34)
Если Q*, г*—наименьшие Q и г, которые при заданном
Т минимизируют функцию Я, то необходимо, чтобы
V*(Q*. П = Я(Q*, г*)—Я(Q*-1, !¦•)< О,
AQfl(Q*+l, г*)>0,
АД@*, r*) = ®(Q*, г*)—?(Q*, r*—1)<0,
ДД@*. г*+1)>0.
Вычислим А0Я'(<2, г). Из E.20) следует, что
IT
E.35)
E.36)

288 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
Следовательно,
-^Q(Q-l) + JiA(r, Г) + (Я + /С)Г(г, 7)}. E.38)
Рассмотрим теперь Дг$(<2, г). Далее понадобятся
следующие соотношения:
Аг{Р(г-\;Щ=-г^^р(г; U), E.39)
\{гР(П %t)} = -rJ^p(r;Xt)-\-P(r, %t), E.40)
Ar{r(r-\)P(r+\; Щ = — г(г+\)р{г; %t) +
+ 2rP(r; Xt), E.41)
Аг{г(г + \)(г + 2)Р(г + 2;Щ =
=г(г+1)|зЯ(г; W)-[W-J±?- + 3]p(r; Я/)}. E.42)
В каждом из этих соотношений разности в левой части
выражены через вероятности p(r\ %t) и P(r; Xt). Нетрудно
видеть, что
ДгЛ(г, D = -^[MMr, т + 7)-Дгр(г, т)], E.43)
где
Дгр(г, t) = (r—%t)P(r; %t)—rp(r; U). E.44)
Аналогично
ДГГ (г, Т) = Д,2 (г, т+ Т)-АГВ (г, т), E.45)
где
ArE(r, t) = ~[(Xtf-2rXt + r(r+\)]P(r; Xt) +
+ ^г[и-(г + \)}р(П U). E.46)
Тогда
Д,Я«?, г) = /С + -^Д,Л(г, Г) + ^Ь^ДгГ(г, Т). E.47)
Если в выражении E.47) пренебречь слагаемыми,
зависящими от т, и учесть зависящие от т + Т, то, вообще
говоря, хорошего приближения не получится. Здесь это

5.5] <#Q,r,Т>-модель при нормальном спросе 289
особенно верно, так как мы считаем Q большим, из чего
довольно часто следует, что Т относительно невелико.
Для того, чтобы количественно оценить Q*(T) и г*G),
можно воспользоваться методом последовательных
приближений. Пусть Qx—первое приближение для Q*. Используя
в E.47) это Q1? найдем наибольшее г1э для которого
Дг5? (Q, г) < 0. Подставим гх в E.38) и определим Q2,
отыскав наибольшее Q, для которого ДдД (Q, г) < 0. Затем
по Q2 из E.47) найдем г2 и т. д. Процесс вычислений
достаточно продолжителен, но все же он заканчивается
быстрее, чем соответствующая процедура из предыдущего
раздела. В приведенном там примере предлагается в качестве
первого приближения использовать значение Qi = Qw. И
действительно, нередко Qw может служить удовлетворительным
приближением к оптимальному Q*, так что оптимальное г
определяется из E.47), в котором Q заменено на Qw.
5.5. <»Q, г, ^-модель, когда спрос распределен
по нормальному закону
В этом разделе займемся решением уравнений для
<#Q, г, Г>-модели, когда величина спроса за время t
распределена по нормальному закону со средним %t и
дисперсией Dt. Будем считать, что спрос за любой интересующий
нас промежуток времени — непрерывная случайная величина.
Кроме этого, будем предполагать, что Q и г также
непрерывны. Пусть v(x; T) означает плотность распределения
величины спроса за период (л: предполагается непрерывным).
Предполагая, что спрос на разных периодах независим,
покажем, что сразу же после проверки уровень запасов
в системе распределен равномерно.
Отметим, что этот результат основывается только на
том, что спрос независим на разных периодах, а не на
предположении о независимости спроса на любых
непересекающихся интервалах времени. Последнее необходимо только
тогда, когда Т может принимать любые положительные
значения. Пусть p(r+y)dy означает стационарную
вероятность события, состоящего в том, что фиктивный уровень
запасов сразу же после окончания проверки заключен
в пределах r+у и г -\-y-\-dy. Так же как и в
параграфе 5.3, можно показать, что плотность р(г-\-у) должна
Ю Дж. Хедли, Т. Уайтин

290 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
удовлетворять следующему уравнению:
Q
Р (г +у) = $ Р (г +I) q (I; у) dg, E.48)
о
где
со
q(by)=2v(l-y + riQ; T). E.49)
Здесь 8 = 0, если jf^|, и 8 = 1, если у > |. Остается
только заметить, что
$ S^F-^ + ^Q; T)dl=lv{l; T)dl=\.
е Л=в о
Отсюда видно, что р (г -\-у) = const при 0 ^у ^ Q
является решением E.48). А так как
Q
то
К'0
I 0 в
р(г+^)= i Q ' J<y<Q' E.50)
противном случае.
Сейчас мы уже можем вычислить отдельные
составляющие суммарных средних годовых издержек для случая
нормального распределения спроса. На проверки в течение
года расходуется J/T долларов, заказы обходятся в
среднем в р3Л/Т долларов в год. Здесь ps является
вероятностью того, что при произвольно выбранной проверке
подается заказ. Эта вероятность
Q (Q-KT)/VDT
0 -kT/VDT
Отсюда, используя П4.6 и вспоминая, что при
приближении с помощью нормального закона значения плотности
вероятности и функции распределения при у = 0 достаточно

5.5] <лФ,г,7>модель при нормальном спросе 291
близки к нулю, получим
-T»($bf)- ***
Легко видеть, что средние годовые издержки хранения
равны
/c[-| + r-n-^ + B(Q, г, Г)], E.53)
где B(Q, г, 7), как и раньше, средняя интегральная
нехватка за год, т. е. среднее число учтенных к произвольно
выбранному моменту требований. Остается выписать в
явном виде выражения для среднего числа учитываемых за
год требований и для средней интегральной нехватки за
год. Для этого используются те же приемы, что и в
дискретном случае (см. параграф 5.3). Очевидно, что среднее
число учтенных за год требований составляет
Но согласно П4.25 имеем
- "Мтя!)-<¦-"> ф(т?)- E'55)
10*

292 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
Поэтому из П4.6 и П4.26 следует, что
И
E(Q, r, t)=-L[h(r, T)-h(r+Q, Т)], E.57)
где
h(v, T)=-L[l(v, T+x)-l(v, x)]. E.58)
Аналогично
Q T+T oo
0 x r+y
Вычисление B(Q, r, T) проводится в несколько этапов.
Прежде всего в соответствии с формулами приложения 4
получаем
~ L 4Я.» + 2Х* + 2Х, J v ^ у &i ) "Г
+i[l/s?-^-^]T("-^)-

5.6] ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ </?,Г>-МОДЕЛЕЙ 293
Далее
со
S (г, T) = Jtf(tf, t)Ai =
ГА*т3 D*r U*r Dr* . Рт? тг» г3 Д81(Т)Л~*"Л 1
= L~6 45? 2 4b»"*" 4 "Г 2 6X 8^J il^tj1"
, [AJ^DTb гТ^Рт» , r2l/"D^ )/"D48 Г|/Н
+ L 6 3 h 6JL "*" 12А, "*¦ 4Ь*
+ -4X3-J Ф V^Dt / +8Ь« * ^ 1/57/
Тогда
S(Q, г, 7) = -!-[Г (г, 7)-Г (r + Q, Л],
где
I>, 7) = 1{SKt+7}-S(^,t)},
a S определяется соотношением E.61). Суммарные средние
годовые издержки теперь могут быть записаны в
следующем виде:
+ nE(Qy г, T) + (IC + n)B(Q, г, 7). E.63)
К сожалению, функция $, вообще говоря, не является
выпуклой функцией Q и г. Это усложняет задачу
вычисления Q* и г*, так как у функции ^ может оказаться несколько
локальных минимумов, тем более, что найти хотя бы какое-
нибудь решение уравнений d$/dQ = d$/dr~0 весьма трудно.
Таким образом, как и в дискретном случае для отыскания
оптимальных Q и г представляется необходимым
использование вычислительных устройств и применение
эффективных поисковых алгоритмов.
5.6. Точные уравнения для </?, ^-моделей
управления запасами
При постоянном времени поставки нетрудно получить
точные уравнения для </?, 7>-моделей в случае пуассонов-
ского спроса. Для этого достаточно во всех уравнениях
параграфа 5.3 положить Q = l, /? = r+l. Прежде всего из
E.61)
E.62)

294 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
E.20) очевидно, что, как и следовало ожидать,
рп = ЬТр@;ХТ)+Р{2-ЛТ)=р(\; ХТ) + РB, Я7) =
= Р(\;ХТ). E.64)
Легко вычислить Е(\, R — 1, Т) и 5A, R — 1,7), так
как при Q=\ в формулах E.21) и E.25) не нужно
суммировать по и от г+1 до r + Q, а достаточно положить
u = r-\-\ =R. Таким образом,
E(\,R-\yT) = ±{k(x+T)P[R-\;X(x+T))-
— RP[R; X(x+T)]-%tP(R-\; Xx) + RP(R; Щ E.65)
и
B(\,R-\,T) =
= ±[y{(*+T)*P[R-\;K(%+T))-t*P(R-\;Xt)} +
+^!]|P[i?+i;MT+7)]-P(R+i;^-
— R{(x+ T)P[R;X(x + T)]—xP(R; Xx)}] . E.66)
Поэтому средние годовые издержки равны
^(R)=-y+tp^'KT]+ic[r-^-t} +
+ nE(\,R—\, T) + (IC+n)B(\,R-l, T). E.67)
Отсюда
- ir
Т
A$?(R) = IC-^{P[R;X(x+T)—P(R; Хх)} +
-I-?f^ [-j {(x+ Tfp [R-2; X (т+ 7)]-х2р (R-2; Xx)}+
+ ^{2RP[R; X(x+ T)]-2RP(R; Xx)-
-R(R+\)p{R;X(x+T)] + R(R+\)p(R;Xx)}-
— {(x+T)P[R; X(x+7)]—xP(R; Xx) —
-(x+T)(R-\)p[R-\;X(x+T)] + x(R-\)p(R-\;Xx)}] =
¦-IC-±[n—^(lC + n)]{P[R; X(x + T)]-P(R; Xx)}-
-1-^ат+Т)Р[ЪХ{%+Т)]-%Р{ЪЩ-
-(/Cff R {p [R; X (T+ T)]-p (R; Xx)\. E.68)

5.6] ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ </?,7>МОДЕЛЕЙ 295
Наименьшее /?, минимизирующее функцию ft, является
наибольшим Я, для которого Aft (R) < 0. Для Aft (/?)
получено достаточно простое выражение, к которому нетрудно
применить численные методы. Впрочем, во многих случаях
можно пренебречь слагаемыми, зависящими от А/г, по
сравнению с членами, зависящими от %(т+Т). В результате
этого выражение для Aft(/?) упрощается:
ДЯ(/?)=/С—
-^{*-[f-(T+T)](IC+n)}p[R;X(% + T)]-
-tH*p[/?;*(t+7)]. E'69)
Отметим, что E.68) справедливо для всех Г, тогда как
E.69) выполняется только для достаточно большого Т.
Оптимальное значение Т проще всего определять,
табулируя функцию ft, в которую для каждого Т подставляется
оптимальное для этого Т значение R.
Выведем теперь точные уравнения для </?, 7>-модели
в случае, когда R— непрерывная величина, а объем спроса
за любой промежуток времени распределен по нормальному
закону со средним Xt и дисперсией Dt. Для того чтобы
воспользоваться результатами предыдущего раздела, нужно
в выведенных там уравнениях положить r = R и перейти
к пределу при R —> 0 (в дискретном случае мы полагали
r-f-l=/? и Q=l). Очевидно, что в непрерывном случае р3
должна быть равна единице, так как вероятность того, что
суммарный спрос за любой отрезок времени отличен от
нуля, равна единице. К такому же выводу приводит
соотношение E.52), если положить в нем Q = 0 и предположить,
что в области отрицательных значений аргумента плотность
вероятности достаточно близка к нулю. Для того чтобы
вычислить среднее число учтенных за год требований и
среднюю интегральную нехватку за год, т. е. E@fR, T)
и В @, /?, 7), заметим, что для любой интегрируемой
функции /(у) справедливо следующее соотношение:
1 С
lim-L\f(y)dy=f@). E.70)

296 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
Действительно, если F (у) = V f(y) dy, то, по определению
производной, имеем
St. * j™*-,»-.*^-^..-/™- <¦»•>
Непосредственно из E.54) следует, что
-|/кЧтй)+<я-адф(т^)}- EJ2)
Аналогично из E.59) и E.60) имеем
B@,R,T) = ±[U(R,t+T)-U(R,t)], E.73)
где U определяется формулой E.60). Таким образом,
суммарные средние годовые издержки равны
Я' = -?• + 1С [r-ц-Щ + ПЕ@, R, 7) +
+ {IC+n)B{0,R, 7), E.74)
где L = J-\-'A. При фиксированном Г оптимальное #
определяется из следующего уравнения:
g-0-/C+ng + (/C+*)g|, E.75)
где
а/? г| Wot) [Vd(x+t)}(
и
ад _ 1 \dU(R, х+Т) dU(R, тI ,-»_.
а#~~ г L ая a;? J ' [0-">
dR v ' ' \2Я* Я, У V J^D* /
«ID
_ 1^ ф /*=?\_jEL."о"ф (*±*Г) . E.78)

5.7] <ф,Г>-МОДЕЛЬ КАК СЛУЧАЙ </Z, Q, Г, 7>М0ДЕЛИ 297
По-видимому, проще всего определить оптимальное Г,
вычислив к (/?*) для ряда значений Г, и найти Т* графически,
как это сделано в параграфе 5.2.
5.7. <Q, г>-модель как предельный случай
<nQ, г, 7>модели при Т —> О
Суммарные издержки для </zQ, г, Г>-модели при всех
7>0 выражаются формулой E.33). Если стоимость
проверки />0, то при Т—+0 суммарные средние годовые
издержки стремятся к бесконечности. Однако если не
учитывать расходы на проверку, то при Т —* 0 средние
годовые издержки должны стремиться к конечному пределу.
Действительно, этот предел в точности равен средним
годовым издержкам для <Q, г>-модели, a Q*G), г*G)
стремятся к Q*, г* для <Q, г>-модели с теми же значениями
параметров. Сейчас мы это докажем. Напомним, что при
выводе E.33) предполагалось, что спрос за любой
промежуток времени распределен по закону Пуассона, а времена
поставок постоянны (т. е. это была модель из параграфа 4.7).
Когда время поставки случайно, высказанное выше
утверждение остается справедливым, если только выполнены два
дополнительных условия: во-первых, времена поставок по
различным заказам независимы и, во-вторых, в каждый
момент времени выполняется не более одного заказа на
пополнение. Исследование последнего случая переносится в
задачу 5.18.
Существенным фактом является непрерывность перехода
от </zQ, г, 7>-моделей к <Q, г>-моделям. Вводя стоимость
проверки для <#Q, г, 7>-модели и учитывая расходы на
поддержание работы системы с оперативной информацией,
можно предсказать, какая из систем (функционирование
которых основано на nQ-стратегии) лучше: система с
оперативной информацией или система с периодической
проверкой.
Покажем теперь, что если T—+Q и расходы на
проверку не учитываются, то при пуассоновском спросе и
постоянном времени поставки издержки $ для </zQ, г, 7>-модели
стремятся к Я* для <Q, г>-модели. Отсюда следует, что
0*(Т), г* (Т)—оптимальные значения Q, г—при заданном Т
стремятся к Q*, г* для <<?, г>-модели, так как Q* и г* не

298 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
зависят от стоимости проверки. Из E.33) и E.20) имеем
lim^==A—A lim P(Q;XT)+ lim -i-P(Q+i; %T).
Из-за того что Q ^ 1,
lim P(Q;kT)= lim -l/>(Q-fl;A.T) = 0,
r-»-o T-*o l
так как /? (/; XT) стремится к нулю при Г—* 0 для всех у,
за исключением у = 0 (в суммах, входящих в приведенные
выше формулы, суммирование начинается с 7=1). Поэтому
Ит &=А E.79)
и стоимость заказа стремится к XA/Q, как и должно быть
в случае <Q, г>-модели. Рассмотрим теперь
lim E (Q, г, Т) =
= lim6T Z ?(*-«OW*;M*+t>]-p(*; M}.
По определению производной, имеем
[im P^Mr+T)]-p(X;Xr) d(x;U)\ =
= ^[/?(л: — 1; %%)— р(х; %х)].
Однако
2(д:-и)[р(л;-1;^)-/>(л:;Ят)] =
х=и
= 2 (ж—«)/>(* —1; Хт)—2 (*—«)/>(*: *т) =
= 2 (у-и)р(у-Лх)+ 2 />(*;**)—
»=«-! U=U-1
— 2 (*—")/> (*г И = Р(и; Ял).
Следовательно,
1 Г+<г
lira E(Q, r,T) = ± V />(«; fcr), E.80)
что согласно D.45) и D.46) равно E(Q,r).

5.8]
<Я, г, 7>моделй
299
В заключение рассмотрим
г + Q Х+Т со
lim B(Qf г, Т) = lim ^ ? \ ? (* — ")/>(*; *6)<*6-
По определению производной имеем
Откуда
r + Q со
lim S(Q, r, 7) = ^- V ? (*-в)р(*;Хт), E.81)
М:=Г + 1 Х = И
что эквивалентно D.47). Конечно, издержки хранения также
стремятся к соответствующим издержкам для случая
<Q, г>-модели, так как ХТ/2 стремится к 0. Следовательно,
Q*(T) и г*(Т) для </zQ, г, 7>-модели стремятся к Q* и г*
для <Q, г>-модели, что и требовалось доказать.
5.8. <#, г, 7*>-модели
При использовании /?г-стратегии в моменты проверок
заказывается партия, пополняющая уровень запасов (для
системы с учитываемыми требованиями) или суммарный
объем наличных запасов и еще не выполненных заказов на
пополнение (для системы с потерей требований) до уровня R.
Для принятых здесь функций издержек при случайном
спросе /?г-стратегия обычно оптимальна, если регистрируются
все заявки, поступившие во время дефицита запасов. Это
будет показано в главе 8. Оптимальную /?г-стратегию
приближенно можно заменить /zQ-стратегией и ^-стратегией.
Ниже мы получим точное выражение для средних годовых
издержек в системе с учитываемыми требованиями; когда
используется /?г-стратегия, спрос на любом интервале
времени распределен по пуассоновскому закону и время
поставки постоянно. Однако этот вывод уже не будет таким
простым, как в случае </?, 7>- и </*Q, r, 7>-моделей. Более

300 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
того, оказывается, что задача определения R* и г*
исключительно сложна, и решить ее вручную почти невозможно,
хотя эти вычисления без труда могли бы быть проведены
с помощью вычислительной машины.
Прежде чем сосредоточить внимание на случае пуассо-
новского спроса, попробуем для произвольного распределения
спроса р(х; Т) вычислить, как и раньше для <#Q, r,
^-моделей, стационарные вероятности того, что к окончанию
проверки уровень запасов* в системе равен r-f-y.
Предположим, что спрос за разные периоды независим. Если бы
нам были известны р(г+у), то мы могли бы вычислить
средние годовые издержки точно так же, как это было сделано
в случае </zQ, г, 7>-модели. Здесь случайный процесс
переходов из состояния в состояние также может
рассматриваться как марковская цепь с конечным числом состояний.
Выведем уравнения, которым должны удовлетворять
вероятности р(г+у). Уровень запасов в системе сразу же по
окончании проверки может принять одно из R—г значений
г+1, г+ 2, ..., R. Для того чтобы вычислить
вероятности а{^ предположим, что к окончанию очередной
проверки уровень запасов в системе равен г + /, /=1, ...
..., R—г. Необходимо вычислить вероятность того, что
к концу следующей проверки уровень запасов в системе
составит r+j. Если /<у'</?— г, то эта вероятность
равна нулю, так как такие переходы невозможны. Если
у</, то а/у=р(/—у; 7), Когда j = R—r и i<R—r,
вероятность перехода получается равной P(i; 7), где
Р(х; Т)—функция распределения, связанная с р(х; Т).
Последнее объясняется тем, что если спрос достаточно велик
для того, чтобы к следующей проверке уменьшить уровень
запасов до величины, меньшей или равной г, то сразу же
после этой проверки фиктивный уровень запасов
восстанавливается до R. Когда / = /?—г, то j=R—/*, в случае,
если за период требований на склад не поступало или их
было по меньшей мере R—г, т. е. этому случаю
соответствует вероятность
p@;T) + P(R-r;T).
* Здесь имеется в виду фиктивный уровень запасов. (Прим.
перев.)

Таблица 5.2 .
Вероятности перехода для Rr-
Фиктивный уровень
запасов после
промен и t
R
R-\
Я-2
R-Ъ
r+l
стратегии
функционирования
Уровень запасов после окончания проверки в момент времени T-\-t I
R
p@;T) + P(R-r;T)
/>(/?_Г_1; Т)
P(R-r-2;T)
P(R—г—3; Т)
РA;Т)
Я-1
P(UT)
Р@;Т)
0
0
0
Я-2
РB;Г)
P(UT)
Р@;Т)
0
0
R-г
РC;Л
РB; Л
P(UT)
р@;Т)
0
...
...
г+1
р(Я_г-1; T)
| р(#_г_2; Г)
Р(# —/•—3; Т)
р(#-_г_4; Г)
р@;Г)

302 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЁРкАМИ t5
E.85)
Таким образом,
J>t,j?*R—r,
altR-r =P№ T), l^R—r, E.83)
а*-г,*_г=р@; Г) + Р(/? —г; Г). E.84)
Эти вероятности удобно свести в одну общую таблицу
(см. табл. 5.2).
Стационарные вероятности р (/* + /) удовлетворяют
следующей системе уравнений:
R-r
P(r+j)= 2p(/* + *K7> 7=1, ...,/?—г,
Sp(r+y) = i.
J=l
Однако из изложенного не совсем ясно, как решить
систему E.85) и найти вероятности р (/* + /). Впрочем, сразу
же становится очевидным, что распределение на этот раз
не является равномерным, так как состоянию R должна
соответствовать ббльшая, нежели другим состояниям,
вероятность. В следующем разделе мы найдем р(г + у), но
сделаем это несколько косвенным способом. Сначала выведем
точное выражение для суммарных средних годовых
издержек, вычислив средние издержки на интервале или цикле
между моментами последовательной подачи двух заказов на
пополнение и умножив полученный результат на среднее
число таких интервалов в году. Вероятности р(г+у) будут
получены в качестве побочных результатов этих вычислений.
Можно показать, что если в моменты времени,
предшествующие очередным заказам, распределение фиктивного
уровня запаса известно, то задача определения р(г + У)
оказывается достаточно простой. Пусть в(х) — стационарное
распределение фиктивного уровня запасов в моменты
проверок непосредственно перед подачей заказа. Отметим, что
х может принимать любые целые значения от R до —оо.
Тогда
р(г+у) = 9(г+у), 7=1,2, ...,/?-г-1, E.86)
p(R) = Q(R) + 2 Э(*). E.87)

5.9] СУММАРНЫЕ СРЕДНИЕ ГОДОВЫЕ ИЗДЕРЖКИ 303
Можно, как и раньше, описывать изменения уровня
запасов от момента подачи одного заказа до другого
некоторой марковской цепью. Это дает возможность выписать
систему уравнений, из которой в принципе можно было бы
найти 6 (х). Получим теперь эти уравнения и убедимся, что
их не так-то просто решить. Следует заметить, что в
состояние у можно попасть только из тех состояний л:, для
которых х ^у, г + 1 ^ х или г ^ х (так как в этом
случае заказ поднимет фиктивный уровень запасов к.началу
периода до величины /?). Отсюда следует, что 0^)
удовлетворяет следующей системе уравнений:
г R
Q(y)=P(R-y;T) 2 в(*)+ S р(х—у;Т)в(х), у^г,
*=-<» ЛГ = г-|-1
E.88)
г R
в(у)=р(Щ-у; 1) 2 в[х)+'2р(х-у, Т)в(х),
г + 1<.у<Я. E.89)
Эти уравнения можно выписать непосредственно, но в
задаче 5.19 читателю предлагается провести этот вывод
более подробно. Уравнения E.88), E.89) представляют собой
бесконечную систему линейных уравнений, которая и должна
быть решена для определения Ь(у). К сожалению, эту
.систему так же трудно решить, как и уравнения E.85).
Поэтому мы откажемся от марковской модели изменения уровня
запасов в системе, а средние годовые издержки вычислим,
подсчитав средние затраты за один цикл работы системы
и умножив этот результат на общее число циклов.
5.9. Вывод выражения для суммарных средних годовых
издержек в случае </?, г, Ту -модели
Попытаемся получить в явной форме выражение для
средних годовых издержек, не вникая в особенности
случайного спроса. Примем только два предположения: 1) что
спрос является стационарным случайным процессом и 2) что
спрос в разные лериоды независим. Кроме того, будем
считать, что время поставки постоянно. Оказывается, что без
специальных предположений невозможно выписать некоторые

304 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
слагаемые в выражении для суммарных издержек в явной
форме. Однако даже из этого неявного выражения мы
можем получить общее решение уравнений E.85), т. е. то,
чего мы не могли бы добиться в предыдущем разделе.
Ограничимся случаем, когда спрос порождается пуассо-
новским потоком требований единичной величины. Будет
получено явное выражение суммарных средних годовых издержек
как функции от /?, г и 7\
Если используется /?г-стратегия, то необходимость в
заказе возникает далеко не при каждой проверке. Отрезок
времени между последовательной подачей двух заказов
(продолжительность цикла) всегда будет кратен периоду Т
между проверками, однако число периодов в цикле будет
случайным. Следовательно, и продолжительность цикла
является случайной величиной, которая может принимать
значения вида пГ, л = 1, 2, 3, ...
Пусть р(х; Т) — вероятность того, что спрос за период
составит х единиц. Тогда в силу предположения о
независимости спроса в разные периоды работы вероятность
того, что спрос за п периодов составит х единиц запаса,
равна р{п)(х; Т), где р(п)(х\ Т) — л-кратная композиция
р(х; Г). Пусть t означает момент проверки, и пусть сразу
же после принятия решения о необходимости пополнения
складских запасов фиктивный уровень запасов в системе
равен г+у, а #(r+/, Т) — сумма средних издержек по
хранению и учету требований на интервале от t-\-x до t-^-x+ Г,
где т—время поставки.
Допустим, что заказ на пополнение подается в момент
/0. Кроме того, представим себе, что, начиная с этого
момента до t0-\-nf включительно, не подается больше ни
одного заказа, а фиктивный уровень запасов к моменту
t0-\-nT равен /* + /'. Это означает, что, начиная с /0, за
время пТ со склада затребовано в точности R — г—j
единиц запаса. Вероятность этого события равна p{n)(R—г—у; Т).
Средние издержки хранения и средняя стоимость учета
требований на интервале от t0-\-nT-\-x до t0-\-(n-\-1) Т-\-%
составят Я(г+у, Т). Далее, начиная с t0l следующий заказ
может быть подан не раньше, чем через один период, два
периода и т. д. Если за п периодов не возникла
необходимость в заказе, то на (я+1)-м периоде издержки хранения
и расходы на учтенные требования составят H(r-\-j, T)

5.9] СУММАРНЫЕ СРЕДНИЕ ГОДОВЫЕ ИЗДЕРЖКИ 305
при условии, что к началу (я + 1)-го периода фиктивный
уровень запасов в системе составил r-\-j единиц.
Вероятность того, что цикл состоит более чем из п периодов, а
уровень запасов к началу (п+\)-то периода составит г+у,
равна как р{п) (R—г—/; Г). Таким образом, в среднем
издержки хранения и расходы на учтенные требования на
(л+1)-м периоде работы составят
R-r
%p^(R-r-r,T)H(r+j\ Г), л>1.
/=i
В цикле всегда имеется по меньшей мере один период,
а на первом периоде работы суммарные затраты составляют
//(/?, Т) долларов, так как сразу же после подачи заказа
фиктивный уровень запасов в системе равен /?. Средние
затраты на хранение запасов и учтенные требования за один
цикл находятся суммированием приведенных выше
выражений по п для всех я^1. Таким образом, эти средние
затраты равны
H{R, Т) + S trp{n)(R-r-J; T)H{r+J, Г),
Л=1 /=1
что можно переписать в виде
2 trpM(R-r-f,T)H(r+j,r), E.90)
Д=0 /=1
если, по определению, положить
р«) @; Т) = 1, р{0) (х; Т) = 0 для х ф 0.
Определив средние затраты на хранение запасов и учет
требований за один цикл, мы должны теперь найти среднее
число циклов в году, т. е. величину, обратную к средней
продолжительности цикла *. Продолжительность периода
равна 7, поэтому средняя продолжительность цикла равна
Т, умноженному на среднее число периодов в цикле.
Вычислим теперь среднее число периодов б цикле. Цикл в
точности равен одному периоду, если спрос на первом периоде
* Это утверждение неверно, так как если случайные величины
X и Y связаны соотношением X—\/Yt то это еще не означает, что
математическое ожидание X=\/Y. Поэтому 1 /Y можно считать лишь
некоторой оценкой X. (Прим. перев.)

306 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
цикла превышает величину R— г. Вероятность этого
события равна P(R — r; Г), где Р(х; Т) равна единице минус
функция распределения, получающаяся суммированием
вероятностей р(х; Т). Рассмотрим теперь вероятность того,
что цикл состоит в точности из п периодов (п ^2). Если
на первых (п — 1) периодах после подачи очередного заказа
со склада было затребовано R—г—j единиц запаса и спрос
на я-м периоде превысит или окажется по меньшей мере
равным у, то цикл будет продолжаться в точности п
периодов. Отсюда вероятность того, что цикл состоит в
точности из п периодов, равна
R-r
2p<»-»(R-r-j;1)P(j;T).
Следовательно, среднее число периодов в цикле
составляет
P(R-r; Т)+ 2 t'np^iR-r-j; T)P(j; 7),
П = 2 /= 1
что можно переписать следующим образом:
2 2V"_1) (R-r -j; T) P (j; T), E.91)
Я=1/=1
если воспользоваться введенным выше определением
р{0)(х; Т). Теперь можно выписать выражение для
суммарных годовых издержек. Если, как и обычно, J—стоимость
проверки и А—стоимость подачи заказа, то
оо R-r
®(R
г л+2 2р(й)(^Н;ЛЯ(г+/,Г)
' '' 1' Т ' °° R—r
Т 2>У1пр<"-»A1-г-1;Т)Р(у,Т)
/i=i j^\
E.92)
Если известно распределение спроса, то можно в явной
форме выписать выражения для р{п)(х; Т) и H(r-{-jy T).
Прежде чем сделать это для случая, когда спрос
порождается пуассоновским потоком требований единичной величины,
найдем из E.92) стационарные вероятности р(г+у), решив
тем самым систему уравнений E.85). Заметим, что содер-

5.9]
СУММАРНЫЕ СРЕДНИЕ ГОДОВЫЕ ИЗДЕРЖКИ
307
жание запасов и учет требований обходится за год в
среднем в следующую сумму, умноженную на 1/Г:
R-r
2><»>(Д-г-/;Г)
2 ^V"-1» (R-r-J; Т) Р (/; Т)
H(r+j,T), E.93)
так что выражение E.93) представляет собой
соответствующие издержки за период. Но, по определению р (/* + /) и
H(r+j> T), средние издержки за период равны 2f=Yp(r+y) X
X//(r-f у, Т). Отсюда следует, что
2рЫ(Я_г_/;Г)
р(г+у)= .«,;¦- ,
/1=1 /=1
у=1,..., /?-г. E.94)
Покажем, что это действительно так. Необходимо
доказать, что р(г + у), определяемые из E.94), удовлетворяют
системе уравнений E.85). Если вероятности a{J из
таблицы 5.2 подставить в уравнения р (г +/) = 2?=V а//Р (Г+Л
то они преобразуются к следующему виду:
R-r-i
Р(Я)= 2 Р(г + /)Р№Л +
+ р(/?)[Р@;7)+Р(/?-г; Г)], E.95)
R-r
p(r + j)=%p(r + i)p(i-j;T), У=1, .... Л—г. E.96)
Покажем теперь, что
p(r + /)=62p<">(#-r-/; Г), у=1, ..., /? —г, E.97)
удовлетворяют E.95), E.96) при любом 6. Рассмотрим
сначала правые части уравнений E.96) для р (/* + ./)» которые

308 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
определяются из E.97). Имеем
2р(г + /)р(*-/;7)=б2 %P{n)(R—r-ilT)p(i-j;T) =
= 62 2 p<n-»(R-r-j-u;7)p(u;T) =
n = i ы = о
= 6Sp««>(/?-r-/,T).
Последнее преобразование основано на определении
p(n)(R—г—у; Т) через вероятности p(w) и р (см. стр. 145).
Однако для /=1,..., R— г — 1, по определению,
p(°>(R —r— у; Г) = 0, так что
2/><»>(я_г_у; Л= 2Уя)(Л-г-/; 7).
Л=0 Я = 1
Отсюда следует, что р(г + у) из E.97) действительно
удовлетворяют E.96). Докажем, что те же самые р (/*+/)
удовлетворяют и уравнениям E.95). Для этого нужно
показать, что
1 + 2/>(п)@; 7) = 2 2 p{n)(R-r-i;T)P(i;T) +
/1=1 /1=1 1 = 1
+ [1+2р<">@;Г)][р@;Г)+Р(/?-г;7)]> E.98)
Л=1
так как р{0) @; 7) = 1 и p@)(x; 7) = 0, д:^=0. Из тождества
рA)@; Т)=р@; Т) немедленно следует, что
со
о@; Г)+Р@;7J/>(П,@;Г) =
п-1
00 СО
=р«>@; т) + 2р@; Лр(п_1)@; Т)= 2/>(»>@; 7).
/1=2 /1 = 1
Таким образом, правую часть E.98) можно переписать
в следующем виде:
2 ?jP{n){R-r-i\ T)P(i; Г)+2р<">@; Т).

5.9] СУММАРНЫЕ СРЕДНИЕ ГОДОВЫЕ ИЗДЕРЖКИ 309
Далее можно убедиться в справедливости E.98); это
эквивалентно тому, чтобы доказать справедливость соотношения
оо R-r
2 ^P^iR-r—i; T)P(i;T) = \. E.99)
Я = 01=1
Но очевидно, что сумма в левой части E.99) равна
единице, так как это есть просто вероятность того, что хотя
бы за какое-нибудь число периодов спрос достигнет
величины R—г. Строгое доказательство выглядит так:
2 %P{n)(R-r-i; T)P(t; 7)= |j %pW(R-r-i; T)-
n = о / = l л = о f = l
-У>трм(К-г-1;Т)р{и;Т) =
П-0/=1«=0
= 1 + 11 2pM{R-r-l;T)-
/2 = 1 t' = l
со R-r-i R-r-v-l
~2 2 2 ?»4v,T)p(u;T).
я=о v=o и=о]
Таким образом, доказательство справедливости E.98)
сводится к доказательству того, что
со R-r со R-r-l R-r-v-l
2 2Pln) (R-r-i; i) = 2 2 2 Pln) («; Т) р (щ Т).
n=W=i n=o u=o w = o
Ho
со R-r-i R-r-v-i
2 2 2 /><">; 7)/>(И;Г) =
= 22' 2pU) У-*; t)p («; Л =
= sW;7)+2 212p("-1,('-«;7')p(«;7) =
/=1 П=2 1 = 0 И = 0
со R-r-1 со J?-r
= 22 p™(i;T)= 2 2/>(n> (Я-г-/; 7),
rt=l /=0 /1=1 /=1
что и требовалось доказать. Таким образом, р(г+у) из
E.97) действительно удовлетворяют E.95) и E.96).

310 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
Остается доказать, что если
S-i= 2 SV"_1) (R-r—j; T)P(j; T),
Л = 1 /=1
то 2/="irp (Г+У) = 1- Но это эквивалентно равенству
2 trpKn4R-r-j; 7)= 2 Hnp<*-*{R-r-j; T)P(j; T).
Я=0/=1 Д=1/=1
E.100)
Для того чтобы доказать E.100), заметим, что
2 2ярся}(Л-г-У; 71) Р(у; Т) =
= 2 2(" + Dp'"'(R-r—j; Т)ри; Т) =
= 2 SV"» {R-r-j; T)P(j; 7) +
я=о/=i
+ 2 2npM(R~r-j; T)P(j; T).
n=o/=i
С учетом E.99) нам нужно доказать равенство
Hp{n)(R-r-j;T)= S j}np^(R-r-j;T)P(J;T).
rt=l/=l Я=1/=1
Имеем
я= 1 j=l
= S ^^^(Л-г-У; 7)-
-2 2Г'2 np^(R-r-j; Т)р(щ 7) =
n=l j==l и=0
- 2 R$Pin4R-r-j\ 7-)+ 2 ^(я-Dp№-''-;; Т)
ю R-rR-r-i-1
-2 2 2 я/'1"' С; т>/>(«; л =
Л=1/=7) и=о
-2 ^гл/»0,+1,(л-г-у; т) =2 *2/>0,,<л-'—/; Л.
л=1 ^1 л=1 j==T

5.9] СУММАРНЫЕ СРЕДНИЕ ГОДОВЫЕ ИЗДЕРЖКИ 311
Таким образом, мы получаем как раз то, что нужно, т.е.
вероятность того, что сразу же после проверки
фиктивный уровень запасов в системе равен г+/,
определяется соотношением E.94). Это верно для любого
распределения спроса при том единственном предположении, что
спрос на разных периодах независим. Более того, этот
результат не зависит от характеристик случайного процесса
поставки.
Обратимся теперь к случаю, когда объем спроса за
любой промежуток времени распределен по закону Пуассона.
Тогда/? (х; Т)=р(х; XT) и р<»> (х; Т)=р(х; пХТ). Теперь
можно выписать явное выражение для //(r-fy> T). Это уже
было сделано для </zQ, г, 7>-,модели. Если фиктивный
уровень запасов в момент времени / был равен r+у, то среднее
число требований, учтенных на интервале от t-\-% до t-\~t-\-T,
равно
8(г + у, Л= 2 S*-r-J)\p[*\ Ь(*+Т)]-Р(х; Х%)} =
=Х(х+Т)Р[г+/-\; Мт+ЛЫ'+7)Я[г+У; Мт+7)]-
_ЯтР(г+У-1; Xx) + (r+j)P(r+j; Хт). E.101)
Аналогично средняя интегральная нехватка за период от
t-\-x до / + т+7 согласно E.26) равна
b(r+j, Г)=( 2 (x-r-j)p(x; XS)d? =
= l{(T+T)«P[r+y-l; b(x+T)]-T*P(r+j-\; Щ +
+ (r+J)(r+i+D{p[r+J+u X(x+T)]_P(r+j+l. Лт)}_
-ir+j){{v+T)P[r+j; %(r+T)]-xP(r + j; Xx)\. E.102)
Наконец, среднее число единиц товаро-лет на интервале от
t-\-x до i-\-x-\-T равно
т+г
d(r+j, Г)= S (r + y-X6)dg + ft(r + y, Г) =
t
= т(г+у-|*-^)+*(г+у,Г). E.103)

312 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
Отсюда H(r-\-j\ T) просто равно
+ (n + IC)b(r + j\ 7), E.104)
а выражение для средних годовых издержек имеет
следующий вид:
оо R-r
Л+2 ^p(R-r-n пХТ)Н(г+иТ)
Я (Я, г, Т)={г+ .У/" •
т 2 2 rip [R —г—/; (/г- 1) W] Р (/; AT)
E.105)
Упрощение E.105) представляется достаточно трудной
задачей. И ясно, что было бы очень сложно пытаться
вручную определить /?*, г* и 7*, используя E.105). Однако эта
задача могла бы быть достаточно успешно решена на
большой цифровой машине. Так, например, вычисления на машине
IBM-7090 заняли бы всего минуту.
5.10. </?, г, 7^-модель для случая, когда спрос
считается непрерывной случайной величиной
В этом разделе изучим модель, аналогичную </?, г, 7>-
модели из предыдущего раздела с той лишь разницей, что
параметры R, г и спрос считаются непрерывными величинами.
Пусть v (x; T) означает плотность распределения объема
спроса за период. Предполагается, что спрос на разных
периодах независим. Как и раньше, будем считать время
поставки т постоянным. Если сразу же после проверки
в момент времени t фиктивный уровень запасов в системе
равен r + лг, то в этом случае H(r-\-x\ T) представляет
сумму средних издержек хранения и средней стоимости учета
требований на интервале от t + x до t + x-\-T. Пусть в
момент времени t0 подается заказ. Рассмотрим событие,
состоящее в том, что в момент времени /0 + #7\ /z^l,
фиктивный уровень запасов заключен в пределах от г-\-х до
г-\-x-\-dx, при условии что, начиная с момента /0, не было
подано ни одного заказа. Вероятность этого события равна
v{n) (R—г—х; Т) dx, где v{n) (х\ Т) — /г-кратная композиция

5.10] </?,Г,Г>-МОДЕЛЬ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПРОСА 313
v (х; T). Отсюда средние затраты на цикл равны
2 J vin)(R_r_x. 7)Я(г + лг, T)dx + H(R, T). E.106)
Второй член в этой сумме появляется из-за того, что
фиктивный уровень запасов в момент времени t0 равен R;
здесь уже нельзя присоединить этот член к основной сумме,
как это было сделано в дискретном случае изменением
пределов суммирования от п = 0 вместо п = 1. Средняя
продолжительность цикла равна
Г А *г"
Т\ S \ тР-Нф—г—х; T)V(x; T)dx+V(R—r, T)
|_"=2 о
E.107)
где V (х; Т) равна единице минус функция распределения
величины спроса за период. Таким образом, суммарные
средние годовые издержки определяются по следующей формуле:
Я (Л, г, Г> =
А+У\ \ v^(R—r—x;T)H(r + xtT)dx + H(R,T)
J , n=1 о
а V 1
У. \ nvto-n(R—r—x; T)V(xt T)dx+V (R—r9T)
«=2 i J
E.108)
В задаче 5.22 предлагаем читателю самостоятельно
получить явные выражения для Н(г + х, Т) и v{n)(R—г—л:, Т)
для случая, когда спрос за период распределен по
нормальному закону.
Интересно проследить за изменением фиктивного уровня
запасов в моменты окончания очередных проверок.
Характерно, что существует положительная вероятность /?(/?)> О
того, что к окончанию проверки фиктивный уровень запасов
в системе равен /?, в то время как для любых других
значений существует лишь вероятность р (г -\-у) dy того, что
фиктивный уровень запасов лежит в пределах от г-^у до
г +y + dy, а вероятность некоторого определенного уровня,

314 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
скажем, г-\-у, где r-\-y=?R, равна нулю (как и должно
быть в случае непрерывного распределения). Легко видеть,
что р (R) и р (г -\-у) должны удовлетворять следующим
уравнениям:
R-r
p{R)=p(R)V(R-r;T) + $ p(r+y)V(y; T)dy E.109)
R-r
P(r+y)= $ p(r + x)v(x-y; T)dx. E.110)
0 .
Из выражения для средних годовых издержек ясно, что
1
/>(/?) =
2 \ nxfi*--»(R—r—xr,T)V{r,T)dx+V(R—r,T)\
E.111)
р(г+у) =
00
2 <,<">(/?-г-*/; Г)
__ п=\
Т J S /ш<"-1> (#-/¦-*; 7)К(*; Г)<**+К(#--г; Г)
0<j;<# —r. E.112)
Доказательство того, что E.111) и E.112) действительно
являются решением уравнений E.109) и E.110), переносится
в задачу 5.23. В общем случае для произвольного
распределения v(x; T) очень трудно получить из E.111) и E.112)
простые выражения для р (R) и р(г+у), не содержащие
сумм по п. Если рассматривать моменты времени,
предшествующие подаче заказа, то вероятность равенства г +
-\>x = R также будет равна нулю. Если в (л:)—плотность
распределения фиктивного уровня запасов в моменты,
непосредственно предшествующие подаче заказа, то,
рассматривая возможные переходы, нетрудно видеть, что 0 (х)

5.10] </?,г,7>-модель для непрерывного спроса 315
удовлетворяет следующим уравнениям:
г R
0 (x)=v(R—x; T) J 6 (у) dy + J 0 (y)v(y—x; T) dy,
-СО Г
*<г, E.113)
г R
Q(x) = v(R—x; T) ]Q(y)dy + \Q(y)v(y-x;T)dy,
-СО X
г<лг</?. E.114)
В общем случае уравнения E.113), E.114) трудно разрешимы
относительно 0(л;). Отметим, что, когда 0 (х) известно,
г
р(*) = в(*), /•<*<#; p(R)= \Q(x)dx. E.115)
Для плотности вероятности v(x; T) одного частного
вида из уравнений E.113), E.114) можно найти в явном
виде выражение для 0(л:), а в формулах E.111), E.112) —
выполнить суммирование по л. Это возможно, если v (лг; Т) —
гамма-распределение. С увеличением порядка
гамма-распределения процедура отыскания решения становится все более
сложной. Мы проиллюстрируем ее для случая
гамма-распределения первого порядка, т. е. когда v(x\
T)—плотность экспоненциального распределения. Будем предполагать,
что
v(x; Г) = р*гК
Заметим, что здесь не показана зависимость от времени: Т
считается фиксированным. Покажем сначала, как из
уравнений E.113), E.114) найти 0(л:). Заметим, что
^ = — р*е"Р* = —р«г. E.116)
Для того чтобы решить E.113), E.114), преобразуем
их в дифференциальные уравнения с помощью E.111).

316 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
Дифференцируя E.113), E.114) по лг, получаем
г R
9' (х) = —vf (R—x; T) J 9 (у) dy— J 9 (у) v' (y—x; T) dy,
*<r, E.117)
г
B'(x) = —v'(R—x;T) ^6(y)dy—Q(x)v@; T) —
— 00
R
— ^Q(y)v'{y—x\T)dy, r<x</?. E.118)
X
Подстановка E.116) в E.117) и E.118) вместе с равенством
v @; Т) == р дает
е'(*) = рв(х), х<г; в'(*) = 0, г<д:</?. E.119)
Интегрируя E.119), получаем
в (*) = *!***, д:<г, в (jc) = Ла, г <*</?, E.120)
где кг, k2—постоянные, которые нужно определить. Из
E.113), E.114) видно, что 9 (х) должно быть непрерывно
при х = г. Отсюда следует, что
Для того чтобы 9 (л;) было плотностью некоторого закона
распределения, необходимо, чтобы
R г
С 9 (х) dx = 1 = VPr (R—r) + кЛ e**d* =
= VPr[/?-r+|],
поэтому
k — e~ r
R-r+j
и, следовательно,
p, /•<*<;/?,
б <*)="{ ePu-n E-121)
г, *<r.

5.10] </?,Г,7>-М0ДЕЛЬ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПРОСА
Таким образом, из E.115) имеем
317
p(R)= §Q(x)dx =
1
»(«-+*)¦
^
Р(г+У)-
>. E.122)
= г, 0^y<R-r. J
R-r+j
Вычислим теперь р(г-\-у) и p(R) по формулам E.111),
E.112) для того, чтобы показать, что получается тот же
самый результат. Из C.108) следует, что если v(x; 7) =
= $е~$х, то v{n)(x; 7)—это гамма-распределение /z-го
порядка, т. е.
*Ы(*; Л=№^.-^==рР(/г-1; р*). E.123)
По-прежнему
V(x; Т) = е~'*х
и
R-r
f ^«-«(Л—г—at; T)V(x; 7) dx = jv<n) (R—г; 7) =
=/>[/*-!; Р(Я-г)], E.124)
следовательно,
R-r
П=2
S ^ nv^-^iR—r—x\ T)V(x; T)dx+V(R—r; T) =
л=1
A = 0
= S «/> [л; р (/г-г)] + 2 р [«; Р (я-О] = Р (R-r) +1.
/i=0 л = 0
Наконец,
fjrf»> (/?—/• — *; 7) = Р2р[/г-1; $(R—r—x)] =
= Р2р[л; р(/?-г-х)] = р,
л = 0

318 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
откуда следует, что
Р(*) = р(/Д+1: Р (г+J»-—Ц-, 0<y<R-r,
что в точности совпадает с E.122). Таким образом, один и
тот же результат получен двумя различными способами.
Для гамма-распределения второго порядка решить уравнения
E.113), E.114) относительно 0 (д:) значительно сложнее.
Способ решения уравнений E.113), E.114), состоящий в
преобразовании этих уравнений в дифференциальные,
предложен Карлином для случая гамма-распределения в главе 14
работы [1].
По ряду причин простые выражения для р(г+у) и /?(/?),
полученные для экспоненциального распределения объема
спроса, не имеют большой практической ценности. Прежде
всего экспоненциальное распределение редко может служить
хорошей аппроксимацией для распределения объема спроса
в реальных системах. Во-вторых, для вычисления Н(х, Т)
могут понадобиться и другие распределения, например
нормальное, так как в Н(х, Т) учитывается спрос, имевший
место на интервале от t + x до t + x+T, а
экспоненциальное распределение не дает возможности явно учесть
зависимость от времени. Наконец, даже при экспоненциальном
распределении спроса не удается получить такое выражение
для средних годовых затрат, чтобы по нему можно было
вычислять издержки, не прибегая к вычислительным
машинам. Хотя только что полученный результат, по-видимому,
не имеет большой практической ценности, с теоретической
точки зрения интересно было показать, как вычислять р (г -\-у)
и p(R) двумя разными способами.
5.11. Сравнение различных стратегий функционирования
систем с периодической проверкой
В этой главе рассмотрены три стратегии
функционирования, используемые в системах с периодической проверкой:
(а) правило постоянного уровня, или /^-стратегия, (б) /zQ-стра-
тегия и (в) /?г-стратегия. Уже отмечалось, что /^-стратегия
является частным случаем как /zQ-стратегии, так и г/?-стра-
тегии функционирования. /zQ-стратегия также является част-

5.11] СРАВНЕНИЕ СТРАТЕГИЙ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ 319
ным случаем /?г-стратегии при условии, что R—r = Q,
а размеры заказа всегда кратны величине Q. Таким образом,
эти стратегии функционирования в какой-то степени
взаимосвязаны. Мы видели, однако, что по сложности численных
алгоритмов эти три стратегии далеко не равноценны. Для
</?, Г>-модели вычисления относительно просты и могут быть
проделаны вручную, но уже для </*Q, г, 7>- и </?, г,
^-моделей в большинстве случаев необходима
вычислительная машина. Интересно выяснить, при каких условиях
правило постоянного уровня близко к оптимальному правилу
функционирования, т. е. выяснить условия, при которых
средние годовые издержки в случае использования
^-стратегии так мало отличаются от соответствующих издержек
для /zQ-или /?г-стратегий функционирования, что нет смысла
использовать /zQ-или /?г-стратегии.
Ответ на этот вопрос зависит, конечно, от соотношения
между стоимостью проверки и стоимостью подачи заказа.
Когда стоимость проверки гораздо выше стоимости подачи
заказа, обычно нежелательно проводить проверки, не
заканчивающиеся подачей заказа, так как это было бы слишком
расточительно. Это означает, что </?, г, 7>-модель,
оптимизируемая по Г, должна обладать тем свойством, что после
проверки почти всегда следует заказ. Последнее в свою
очередь означает, что </?, 7>-модель по существу обладает
всеми достоинствами </?, г, 7>-модели, т. е. обеспечивает
почти столь же низкий уровень средних годовых издержек.
Следовательно, если стоимость проверки выше стоимости
подачи заказа, то скажем, что /^-стратегия является
существенно оптимальной. На практике довольно часто
оказывается, что проверка значительно дороже заказа, и,
следовательно, во многих практических ситуациях нужно ожидать,
что /?-стратегия существенно оптимальна.
И только в том случае, когда стоимость заказа выше
стоимости проверки, /?г-стратегия может оказаться
существенно лучше /^-стратегии. В этом случае возникает вопрос,
не лучше ли вместо системы с периодической проверкой
применить систему с оперативной информацией. Если не лучше,
то можно выбрать </?, г, 7>-модель или. </zQ, г, 7>-модель.
Вообще говоря, <#, г, 7>-модель имеет более низкий уровень
средних издержек по сравнению с </*Q, r, 7>-моделью, но
можно ожидать, что выигрыш будет столь незначительным,

320 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
что практически всегда можно будет пользоваться любой из
этих моделей в случае, когда по тем или иным
практическим соображениям /?-стратегия функционирования
невыгодна.
5.12. Сравнение систем с периодической проверкой
и систем с оперативной информацией
Если не учитывать расходы на проведение проверок,
системы с оперативной информацией при прочих равных
условиях имеют более низкий уровень средних годовых
издержек по сравнению с системами с периодической проверкой.
В системе с периодической проверкой объем гарантийного
запаса должен обеспечивать функционирование на
интервале длительностью Г+т, тогда как в системе с
оперативной информацией соответствующий интервал равен т месяцам.
Таким образом, система с периодической проверкой требует
большего объема гарантийного запаса и более высоких затрат.
Практически преимущество одной системы перед другой
определяется сравнением затрат на поддержание
функционирования. Эти затраты могут изменяться в широких пределах
при переходе от одной системы складирования к другой,
так что в каждом конкретном случае может оказаться
предпочтительней та или другая система. По этому поводу нельзя
высказать общего суждения. Как уже было отмечено, на
военных и промышленных объектах в недалеком прошлом
гораздо чаще использовались системы с периодической
проверкой, но с появлением совершенных автоматических
устройств по сбору и обработке информации усиливается
тенденция к переходу на системы с оперативной информацией.
Отсюда вовсе не следует, что переход от систем с
периодической проверкой на использование принципа оперативной
информации в сложной складской системе осуществляется
во всех ее подсистемах и отделениях. Во многих случаях
может оказаться предпочтительней использовать в некоторых
отделениях принцип оперативной информации, а в других —
применять периодическую проверку. Безусловно, встречаются
и такие исключительные случаи, когда мы вынуждены
использовать системы с периодической проверкой, например
потому, что заказы можно подавать только в определенные
моменты времени. В этом случае бессмысленно прибегать
к сравнению функций издержек.

5.13] СИСТЕМА С ПОТЕРЯМИ ТРЕБОВАНИЙ 321
5.13. Система с потерями требований
Не считая простейшей приближенной модели из
параграфа 5.2, все модели этой главы относились к моделям
с учитываемыми требованиями. В четвертой главе было
отмечено, что строгое описание систем с потерями требований
невозможно, если одновременно могут выполняться сразу
несколько заказов. Для систем с периодической проверкой
эти вопросы еще сложнее. Здесь возникают трудности даже
при исследовании случая, когда в каждый момент времени
выполняется не более одного заказа.
Для иллюстрации этих трудностей рассмотрим самый
простой случай, когда спрос за любой отрезок времени
распределен по закону Пуассона, время поставки т постоянно
и в системе используется /?-стратегия. Будет сделано
дополнительное предположение о том, что в каждый момент
времени выполняется не более одного заказа. Это условие
выполняется строго, если т < Т. Для того чтобы подсчитать
средние годовые издержки хранения и издержки вследствие
дефицита, необходимо знать распределение наличного запаса
в моменты проверок или сразу же после поставки заказанных
партий.
Пусть 0 (л:) означает вероятность того, что в момент
проверки на складе имеется х единиц запасов. Если объем
наличных запасов равен х, то должно быть заказано R—х
единиц товара, так что сразу же после подачи заказа объем
наличных запасов вместе с размерами заказа в сумме
составит /?. Чтобы вывести уравнения, которым удовлетворяет
6 (л:), удобно разбить интервал времени между двумя
последовательными проверками на два подинтервала, первый —
длительностью т от момента подачи заказа до момента
поставки заказанной партии и второй —от момента
поставки до подачи следующего заказа. Следует заметить, что
требования могут теряться на каждом из этих подпе-
риодов.
Пусть г|)(г) означает вероятность того, что сразу же
после поставки заказанной партии на складе имеется z единиц
запаса. Следующая проверка состоится через время Т—т
после поставки заказа. Рассмотрим событие, состоящее в том,
что во время следующей проверки на складе имеется х
единиц запаса, если во время поставки последнего заказа
11 Дж. Хедли, Т. Уайтин

322 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
имелось z единиц. Вероятность этого события равна
(p[z — x;k{T—x)]9 Q<x^z,
| P[z;X(T-x)l * = 0, E.125)
{ О, x>z.
Поэтому
в(дг)= 2 1Н*)р[* —*;МГ—т)], *>°> E.126)
*=*
R
9@) = 2 ¦ (*)/>[*; к{Т—%)]. E.127)
2=0
Далее, рассмотрев интервал поставки от 0 до т, выразим
а|)(?) через в(х). После этого можно сделать замену в
выведенных выше уравнениях и получить уравнение,
содержащее только одну неизвестную функцию Э(лг) илиг|)B:). Если
после очередной поставки в момент времени т на складе
имеется z единиц запаса, то х, уровень наличных запасов
в момент подачи заказа, не мог бы быть меньше, чем R—z,
так как размеры самого заказа равны R—х. Если х
удовлетворяет неравенству
x>R—z,
то для того, чтобы после поставки заказанной партии на
складе стало г единиц запаса, за время поставки со
склада должно быть затребовано /? — z единиц запаса. Если
x = R—z, а спрос за время поставки по меньшей мере
равен или превосходит R—z, то наличные запасы после
поставки заказанной партии составят z единиц. Таким образом,
имеем
R
ty(z)=p(R—z;%T) 2 Q(x)+P(R — z;Xx)Q{R — z)9
x=R-z + i
z>0, E.128)
ф@) = Р(Я;Хт)в(Л). E.129)
Подставляя $(z) и г|)@) из E.128), E.129) в E.126), E.127),

5.13] СИСТЕМА С ПОТЕРЯМИ ТРЕБОВАНИЙ 323
получаем
0(*)=2 \p(R-z;te)p[*-x;b(T-%)] 2 в(у)} +
z=x { y=R-z+i J
R
+ 2 {P(R—z\ \x)p[z — x\fk(T—x)\^{R—z)), х>0,
z—x
E.130)
0 @) = 2 \P (R-z; kx) p [z; X (T-x)} 2 в Щ +
2=1 l Jf=fl—2+1 J
R
+ ?}{P(R-z;Xx)p[z; %(T—x)]Q(R—z)}. E.131)
2=0
Эти соотношения могут быть переписаны следующим образом:
R
eW=2a(^j)eH). * = 0, 1, ...,/?, E.132)
0=0
где
я
а(*, jf) = 2 Р (R—z; Xx)p[z—x; XGе—т)],
_у = 0, 1, ...,дг— 1; лг>0, E.133)
R
а(х,у) = 2 p{R—z;%x)p[z—x;%{T—x)} +
+ />(/?—.у; Хт)р[у—х;%{Т —т)], j = *, ...,/? —1, х>0,
E.134)
а(дг,/?) = Я@Дт)р[/?—лг;А,(Г—т)], дг > 0, E.135)
R
<*@,у)= 2 p(R—z; Kx)p[z;K(T — x)] +
+ P(R-y;%x)p[y;%(T-x)}, y = 0, 1, ..., Я—1, E.136)
а@, #)=Я@; Хт)Я[Д; Я. (Г—т)]. E.137)
Если в уравнения E.128),E.129) подставить 6 (х) из E.126),
E.127), то получим уравнения относительно неизвестной
11»

324 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
функции а|) (z) в виде
^(z)=p(R-z;Kx) 2 2>Ц(У)Р[у-х;%(Т-%)] +
x=R-z+iу-х
R
+ P(R — z;'k%) 2 Ц(У)Р[У — R + z;%(T— т)], для
*=1, ...,#—1, E.138)
if (R) =Р @; и S3 2 Ч> Су)р [.у-*; * (г-т)] +
x=iу-х
R
+ Р@; Хт) 2 ФО0Я[.у; Я(Г-т)], E.139)
у=о
ф @) = Я (/?; Ят)р [0; Я G—т)] ф (/?). E.140)
Эти уравнения можно преобразовать к следующему виду:
R
*(*)=2 Р(*,.УЖЛ-.У). EЛ41)
|/=0
В задаче 5.25 предлагается найти $(z,y). К сожалению, не
представляется возможным найти явные выражения для
решений уравнений E.132) или E.141). Для любого заданного
R можно численно найти 0 (х) или г|)B), но это не то, что
нужно. Можно было бы вычислять как 0 (д;), так и г|)B),
но несколько удобнее искать ty(г), так как для этого не
пришлось бы разбивать период на два подпериода. Среднее
число потерянных за год требований составляет
R <х>
Е (Я, 7) = -I" ? * (*) S1 («-*)/>(«; * Л, E.142)
2=0 И=2
а среднее число единиц товаро-лет за год должно равняться
r т z
D{R, Л =4"^ *(*) fZ (z—x)p(x;Xt)dt. E.143)
2=0 0 Jf = 0
Если цена товара не зависит от времени, то средние
годовые издержки определяются следующей формулой:
® = ± + А-Р(\; XT) + ICD(R, T) + nE(R, 7). E.144)

5.14] случайное время поставки 325
Теперь уже ясно, как строится модель в случае, когда
известно распределение t|?(z). К сожалению, как уже
отмечено, не представляется возможным найти явное выражение
для -ф(г) и получить, таким образом, D (/?, Т) и Е (/?, Т)
в явном виде. Следовательно, для систем с периодической
проверкой в случае потери требований нельзя строить
точные модели, даже если предположить, что в каждый момент
времени выполняется не более одного заказа. Единственное,
что еще можно, это использовать простые приближенные
модели систем с потерями требований из параграфа 5.2. Для
большинства практических приложений этого достаточно.
5.14. Случайное время поставки
В параграфе 5.2 уже отмечалось, что в отличие от
<Q, г>-моделей системы с периодической проверкой допускают
строгое описание и для случайного времени поставки,
причем в каждый момент времени могут выполняться сразу
несколько заказов при одном только условии, что разброс
возможных значений времени поставки не превышает по
величине Т. В этом случае распределения времен поставок,
относящихся к разным заказам, не перекрываются и можно
совершенно строго требовать, чтобы времена поставок были
независимыми случайными величинами и чтобы при поставке
сохранялась последовательность, установленная при подаче
заказов. Для <Q, г>-моделей всегда существует
положительная вероятность того, что на сколь угодно малом интервале
будут поданы сразу два заказа, тогда как для систем с
периодической проверкой интервал времени между моментами
последовательной подачи двух заказов во всяком случае
не меньше 7\ Именно поэтому можно достаточно строго
рассматривать поведение многих систем с периодической
проверкой при случайном времени поставки.
Покажем, как учесть случайное время поставки в
</zQ, г, 7>-модели из параграфа 5.3. Будем пользоваться
обозначениями и определениями, введенными в параграфе 5.3.
Предположим, что времена поставок — независимые
случайные величины и что заказанные партии поступают в той же
последовательности, что и заказы. Это предположение
является совершенно строгим, если разброс возможных значений

326 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
времени поставки не превышает 7, в противном случае
рассмотрение становится приближенным.
Пусть очередной заказ подается в момент времени /,
а следующий заказ — в момент времени t + 7\ и пусть xv т2
означают случайные времена поставок для каждого из этих
двух заказов. Обозначим через g(x) плотность
распределения времени поставки. Тогда среднее число требований,
учтенных на интервале между поставками по этим заказам,
определяется следующим выражением:
со со г -\- Q со
0 0 и=г+1х=и
r+Q со
Xg^dT.dr^-^- ?, L (x-u){h(x;T)-h(x)}, E.145)
u-r+ix=u
где
се
h (x) = J р (л:; Л,т) ? (т) </т E.146)
о
представляет собой плотность безусловного распределения
величины спроса за время поставки, а
00
Л (ж; T) = \p{x;%(x + T)}g(i)dx. E.147)
О
Интегралы вычисляются в пределах от 0 до оо. Конечно,
?-(т) в большей части этой области может быть равна нулю
и при желании в.качестве пределов интегрирования можно
взять Tmin и ттах. Ясно, что сделанные выше предположения
не могут выполняться строго, если ^(т) отлична от нуля
для всех неотрицательных значений т, как это, в частности,
имеет место для гамма-распределения, для которого
результаты в лучшем случае будут приближенными. Средняя
интегральная нехватка за время между двумя последовательными
поставками равна
4" [ f f Z L (* - ») P (x> K& В ^S D) dt dxt dr2.
9 О X, u-r+lx=u
E.148)

5.14] СЛУЧАЙНОЕ ВРЕМЯ ПОСТАВКИ 327
Не обязательно, чтобы заказы подавались при каждой
проверке. В этом случае, вычисляя среднюю интегральную
нехватку, необходимо иметь в виду невыполненные
требования, учтенные на всех периодах, входящих в интервал
времени между моментами подачи двух последовательных
заказов. Иногда удобно предполагать, что заказы подаются после
каждой проверки, считая, что объем заказа равен нулю, если
в действительности заказ не состоялся *. Плотность
распределения времени поставки такого заказа точно такая же, как и
для отличного от нуля заказа. В силу этого среднее число
учтенных требований и средняя интегральная нехватка
определяются соответственно по формулам E.145), E.148).
Отсюда среднее число учтенных требований и средняя
интегральная нехватка за год составят
E(Q,r, Т)=,-Хг ? ? (x-u)[h(x; T)-*(*)], E.149)
«=г+1х=и
оо оо Х2+Т r+ Q оо
оо %t w=r+i x=u
Xg(t2)dldx1dx2. E.150)
Эти изменения позволяют учесть случайные времена поставок
в рассмотренной выше модели управления запасами.
Выражения E.149), E.150) удается упростить только для
плотностей g(x) весьма частного вида, например, если т имеет
гамма-распределение. Именно этот случай рассматривается
в задаче 5.27. Предположение о том, что область разброса
возможных значений времени поставки не превосходит 7,
в этом случае перестает быть строгим. Если объем спроса
считается непрерывной случайной величиной, распределенной
по нормальному закону, то обычно для того, чтобы учесть
случайность времени поставки, достаточно просто изменить
дисперсию нормального закона D. В этом случае дисперсия
спроса в момент т не обязательно должна совпадать с
дисперсией в момент времени Г+т.
* При этом следует иметь в виду, что использование этого
приема никак не отражается на величине издержек, так как считается,
что заказ оплачивается только в том случае, если он отличен от
нуля. (Прим. авт.)

328 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
В <#, г, Т>-модели случайные времена поставок могут
быть введены совершенно так же, как это было сделано для
</zQ, г, 7>-моделей. Более подробно этот вопрос рассмотрен
в задаче 5.28.
5.15. Скидка на размер заказа
Если в зависимости от размеров заказываемой партии
заказчику предлагается оптовая скидка, то такие стратегии
функционирования, как /?г-стратегия или ^-стратегия, уже
не обязательно оптимальны. Для оптимального управления
запасами желательно, используя методы динамического
программирования, описанные в седьмой и восьмой главах,
вычислить функцию Q(?). Здесь Q(|) означает размер заказа
как функцию фиктивного уровня запасов ? в момент
проверки. На практике часто приходится использовать /?-, Rr-
или ^-стратегии управления запасами, даже если заказчику
предоставляется скидка, так как вычисление и
использование Q(?) оказывается слишком сложным. Тем не менее скидка
может сказаться на оптимальных значениях /?*, г* и 7*,
а в системах с периодической проверкой прежде всего на
увеличении 7*. Покажем это на примере </?, 7>-модели.
Рассмотрим систему с учитываемыми требованиями,
считая, что спрос за любой промежуток времени распределен
по закону Пуассона. Пусть за партию размером х заказчик
платит С (^долларов. Вероятность того, что при произвольно
выбранной проверке заказывается х единиц, равна
вероятности того, что спрос за весь предыдущий период составил
х единиц, т. е. р(х; XT). Поэтому математическое ожидание
стоимости заказа при произвольно выбранной проверке равно
2С(*)р(*;Х7),
а средние годовые расходы на пополнение запасов
определяются следующей формулой:
со
M = ~Y* C(x)p(x;KT). E.151)
Вычислим это математическое ожидание для случая, когда
заказчику предоставляется оптовая скидка. Допустим, что

5.15)
СКИДКА НА РАЗМЕР ЗАКАЗА
329
существует т уровней скачкообразного изменения цен
?i> • • чЯт (Яо = ®* Ят+г^00) так> что если РазмеР заказа х
удовлетворяет неравенству Vt^x <.qi+v то цена товара
равна С/. Тогда средние годовые расходы на пополнение
запасов составят
т V а
Ж(Г)=4-? ? *Ci-1p{x;KT) + -^2i xp(x;XT) =
i=ix=qi_x x=qm
m
= ^SCM[P(?M-1; ХГ)-/>(?,-1; ЯГ)] +
+ ХСвР(^-1;ХЛ. E.152)
Средняя стоимость единицы товара С равна сумме
средних годовых затрат, поделенной на среднюю интенсивность
спроса, т. е.
__ m
C^ZC^lPiq^-U M)-P(q,-l; KT)] +
+ CmP(qm-\;%T).
Именно эту величину С нужно использовать при
вычислении издержек хранения запасов. Отметим, что при
фиксированном Т оптимальное R* не зависит от вида МG). Однако
средняя стоимость единицы запасов С будет теперь
функцией от Г, и поэтому для вычисления 7* необходимо
в выражении для суммарных средних годовых издержек
учесть М(Т).
Для системы с потерей требований алгоритм вычислений
не меняется только при том условии, что можно пренебречь
зависимостью штрафа за потерянные требования от величины
скидки. А это допущение обычно практически оправдано.
В задаче 5.29 предлагается получить формулу,
аналогичную формуле E.152) для случая дифференциальное
скидки. Несложные, но утомительные вычисления М и С
для nQ- и /?г-стратегий перенесены в задачу 5.30.

330 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
Задачи и упражнения
6.1. Состояние каждого из хранящихся на складе
товаров проверяется один раз в полгода. Используется /?-стра-
тегия. Для одного из товаров стоимость единицы товара
равна 25 долларам независимо от размеров заказываемой
партии. Стоимость подачи заказа 2 доллара, а проверка
состояния товаров обходится в 15 долларов. Требования,
поступившие в то время, когда на складе не было товаров,
регистрируются, и стоимость каждого учтенного требования
принимается равной 100 долларам. Принятый на складе
коэффициент издержек хранения /=0,2, Величина спроса
за любое время t распределена по нормальному закону со
средним 240/ и дисперсией 500/; здесь t исчисляется в
единицах лет. Время поставки постоянно и равно 2,5 месяца.
Чему равно оптимальное значение R для принятого в условии
задачи периода проверки 7* =6 месяцев? Чему равны
оптимальный период проверки и /?*G*)? Каковы наименьшие
средние годовые издержки, которых можно достичь,
используя оптимальное значение периода проверки?
5.2. Постройте дискретный аналог модели управления
запасами из параграфа 5.2 для случая пуассоновского
процесса спроса. Рассмотрите случаи постоянного и случайного
времени поставки. Какое неравенство используется при
определении /?*G)? Рассмотрите два случая: систему с
учитываемыми требованиями и систему с потерями требований.
5.3. На большой военной базе хранятся материалы
одного типа, состояние которых проверяется один раз
в 3 месяца. Используется 7?-стратегия. Величина спроса
распределена по закону Пуассона, причем средний спрос за год
составляет 15 единиц. Время поставки практически постоянно
и равно 5 месяцам. Единица материала стоит 500 долларов,
стоимость учтенного требования принимается равной
5000 долларов и стоимость подачи заказа равна 30
долларам. Коэффициент издержек хранения /=0,2. Определите
оптимальное значение R для принятого периода проверки Т.
Чему равен гарантийный запас? Чему равны издержки из-за
неопределенности вследствие случайного характера спроса?
6.4. При каких условиях уравнение E.9) имеет не
единственное решение? Указание. Решение единственно, если
h (х; Т) > 0 для всех х > 0.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
331
5.5. Для модели из параграфа 5.2 найдите производные,
необходимые для определения R* и Г* по методу Ньютона.
5.6. Используя результаты предыдущей задачи,
определите /?* и Г* в примере из параграфа 5.2.
5.7. Исследуйте возможность применения метода
наискорейшего спуска при вычислении R* и Т* для модели
управления запасами из параграфа 5.2.
5.8. Используя метод наискорейшего спуска,
определите R* и Г* для примера из параграфа 5.2.
5.9. Докажите, что функция издержек E.6) является
выпуклой функцией R при фиксированном Т. При каких
условиях эта выпуклость становится строгой? Является ли 51
выпуклой функцией переменных R и 7?
5.10. Для модели из параграфа 5.2. исследуйте, как
ведет себя гарантийный запас при Т—> 0, и объясните
полученные результаты.
5.11. В универсальном магазине раз в неделю
проверяется наличие в ассортименте белых мужских рубашек.
Используется /?-стратегия. Можно считать, что спрос на
рубашки определенного размера на любом отрезке
распределен по закону Пуассона со средним 25 штук в неделю.
Каждая рубашка обходится магазину в 3 доллара, а
продается за 5,95 доллара. Коэффициент издержек хранения
принимается равным 0,17. Необслуженные во время
требования теряются, и каждое из этих утраченных требований
обходится в 10 долларов, не говоря уже об общем
снижении прибыли. Время поставки можно считать
постоянным и равным 10 дням. Определите оптимальное
значение R.
5.12. Так же, как и в случае < Q, г>-модели
управления запасами из параграфа 4.6, получите средние по времени
для различных показателей в < /zQ, г, 7>- и < R, г, 7>-
моделях и покажите, как эти средние по времени связаны
с математическими ожиданиями тех же величин. В
частности, покажите, что средние годовые издержки хранения,
средние потери вследствие дефицита запасов и т. д. равны
соответствующим средним издержкам за период,
умноженным на 1/7. Кроме того, покажите, что средние годовые
издержки равны средним издержкам за цикл, умноженным
на среднее число циклов за год.
5.13. Получите E.27), используя равенство E.29).

332 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
5.14. Для </*Q, r, 7>-модели вычислите стационарную
вероятность я|э (л:) того, что во время проверки (до подачи
заказа) фиктивный уровень запасов в системе равен х.
Используйте для этого р(г+у). Кроме того, выведите
систему уравнений для вероятностей состояний марковского
процесса изменения запасов от момента одной проверки
до другой проверки, решая которую можно найти ty(x).
Можете ли вы непосредственно решить эти уравнения?
5.15. Вычислите среднее и дисперсию распределения г|> (лг),
найденного в предыдущей задаче.
5.16. Для непрерывного варианта <#, 7>-модели из
параграфа 5.6 найдите производные функции издержек, которые
понадобились бы, если бы для определения /?и Г
использовался метод Ньютона.
5.17. Является ли E.74) выпуклой функцией R при
заданном 7? Является ли $ из E.74) выпуклой функцией
двух переменных R и Т? Какое значение имеет этот
результат для определения R* и Т*?
5.18. Выполните предельный переход Г—* 0
(параграф 5.7), когда время поставки—случайная величина.
Какие здесь необходимы предположения?
5.19. Дайте подробный вывод уравнений E.88), E.89).
5.20. Для заданных значений г и R дайте процедуру
численного решения системы уравнений E.88), E.89).
5.21. Для системы с периодической проверкой найдите
в явной форме выражение для средних годовых издержек,
если невыполненные во-время требования теряются.
Используется /?г-стратегия, а спрос на интервале между двумя
проверками распределен по экспоненциальному закону.
Предполагается, что время поставки в точности равно
одному периоду, я = 0 и издержки хранения за период
зависят только от объема наличных запасов в момент
окончания периода. Определите R* и г*.
5.22. Найдите функции Н (/?, Г) и v{n) (x; T) из формулы
E.108) для случая, когда v(x; T)—плотность нормального
закона.
5.23. Покажите, что E.111), E.112) дают решение
уравнений E.109), E.110). Кроме того, покажите, что p(R)
и р(г+у) представляют собой плотности вероятности.
5.24. Проведите подробный вывод формул E.113), E.114).
5.25. Выпишите выражение для функции (i (z,y) из E.141).

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
333
5.26. Опишите процедуру численного решения системы
уравнений E.132), E.141) для заданного значения R.
5.27. Для случая, когда время поставки имеет гамма-
распределение, упростите выражения E.149), E.150).
5.28. Рассмотрите </?, г, 7>модель управления запасами
для случайного времени поставки.
5.29. В системе применяется дифференциальная скидка.
Найдите выражение для М(Т)9 аналогичное E.152), если
используется /^-стратегия, а спрос распределен по пуассо-
новскому закону.
5.30. Получите уравнения, описывающие поведение
<л<2, /*, 7>- и </?, г, 7>-моделей при наличии оптовых
скидок.
5.31. Покажите, что уравнения для моделей управления
запасами (см. параграф 5.15) при наличии оптовых скидок
переходят в уравнения, описывающие поведение систем,
в которых не делается уступок заказчику, если цены не
зависят от размеров заказа, т. е. С;~с для всех /.
5.32. Используя E.113), E.114), найдите 0 (*), р(г+у)
и р (R) в случае, когда v(x; T) — гамма-распределение
второго порядка. Получите также р(г-\-у) и p(R) с помощью
E.111), E.112). Указание. Используя свойства v(х; 7),
получите дифференциальные уравнения второго порядка
относительно функции 0 (х). Эти уравнения имеют следующий вид:
0" (х)— 200' (х) + Р20 (х) = 0, *<г,
0" (*) — 200' (*) = 0, г < х < /?.
Четыре константы интегрирования находятся исходя из того,
что 0(/?) = О, 0' (х), Q(x) непрерывны при х = г, а 0 (л:)
должна быть плотностью вероятности. В результате
получаются следующие выражения для р(г-{-у) и p(R):
р(г+.у) = 2рД[1 — еЧ{г+У-*>], 0^y<R—r,
р (R) = 4Д, А = [3 + 2Р (R—r) + е-*? <*-/¦>]-i#
5.33. Допустим, что вместо того, чтобы устанавливать
издержки вследствие дефицита, нужно минимизировать
суммарные расходы на проверку, заказы и хранение запасов
при ограничении, что доля времени, в течение которого на
складе нет запасов, в среднем не больше /. Покажите, как
можно, используя этот критерий, определять оптимальные

334 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
значения параметров для каждой из обсуждавшихся в этой
главе стратегий функционирования. Покажите, что этим
результатам соответствует назначение нуля для я и
единственное значение я. Рассмотрите также случай, когда
желательно задать нижнюю границу для среднего числа
учтенных требований в любой момент времени..
5.34. Решите задачу 5.1 в предположении, что, кроме
постоянной составляющей затрат на учтенные требования
я = 100 долларов, имеется еще и переменная составляющая
с я = 2000 долларов/ед. товаро-лет.
5.35. При том же, что и в 5.34, дополнительном
условии решите задачу 5.3, считая я = 50 000 долларов/ед.
товаро-лет.
5.36. Определите Т* в задаче 5.1, если заказчику
предоставляется оптовая скидка, которая имеет следующий вид:
если объем заказа Q удовлетворяет неравенству 0 < Q < 100,
то стоимость единицы запасов равна 25 долларам, а если
Q ^ 100, то соответствующая стоимость снижается до
20 долларов.
5.37. То же самое найдите для задачи 5.3, считая, что
при Q< 10 единица запаса обходится в 500 долларов, а
при Q^IO в 300 долларов. Положите стоимость проверки
равной 50 долларам.
5.38. Рассмотрите возможность вычисления ty(x)y где
г|?(дг) — вероятность того, что в произвольно выбранный
момент времени t фиктивный уровень запасов в системе
с периодической проверкой равен х. Найдите г|)(д;) для
случая, когда используется /^-стратегия, а спрос распределен
по пуассоновскому закону.
Указание. Покажите, как вычисляется вероятность i|)(*)
через время ? после проверки. Затем усредните ? по периоду.
Можно ли найденную подобным образом г|) (л:) использовать
для вычисления полученных ранее функций Е и В?
5.39. Рассмотрим систему военного снабжения, в
которой хранится некий дорогостоящий, редко запрашиваемый
материал. Спрос на него можно считать распределенным по
пуассоновскому закону со средней интенсивностью 4
единицы в год. Цена единицы равна 1000 долларов
безотносительно к размеру заказа. Все требования, поступившие
в систему, когда в ней нет запасов, регистрируются, и каж-

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
335
дое такое учтенное требование обходится в 30 000
долларов независимо от времени, прошедшего с момента
регистрации требования. Время поставки является случайной
величиной со средним 6 месяцев и стандартным отклонением
3 месяца. Распределение времени поставки может быть
с достаточной точностью представлено
гамма-распределением. Коэффициент издержек хранения равен 0,2. Проверки
проводятся раз в 6 месяцев, причем используется /?-стра-
тегия. Определите оптимальное значение R.
5.40. Решите задачу 5.39 в предположении, что для
данной системы невозможно определить, во что обходится
учтенное требование, но известно, что доля времени, в
течение которого в системе нет запасов, в среднем не может
быть больше 0,001. Чему равны расходы на учет
требования, соответствующие этой схеме?
5.41. Решите задачу 5.1 в предположении, что стоимость
учтенного требования не задана, а необходимо, чтобы доля
времени, в течение которого в магазине нет товаров, в
среднем была не больше 0,01.
5.42. Решите задачу 5.3, если средняя доля времени
состояния дефицита не больше 0,001.
5.43. Решите задачу 5.11 в предположении, что издержки,
связанные с утратой требований, не заданы, а доля времени,
в течение которого в магазине нет белых рубашек, в
среднем не может быть больше 0,05?
5.44. Рассмотрите вопросы, связанные с нелинейностью
издержек, возникающих из-за дефицита в системах с
периодической проверкой. Используется /^-стратегия управления
запасами. Пусть n(t) — сумма, в которую обходится* учет
одного невыполненного требования, если с момента его
регистрации прошло время t. Попробуйте получить
выражение для средних годовых расходов на учтенные требования,
если спрос распределен по пуассоновскому закону.
5.45. С помощью понятия среднего по множеству
покажите, что интеграл от математического ожидания объема
наличных запасов или числа учтенных требований равен
математическому ожиданию от этого интеграла.
5.46. В системе военного обеспечения хранится некий
дефицитный материал, запас которого проверяется раз
в неделю. Используется /zQ-стратегия. Спрос на материал
можно считать пуассоновским со средней интенсивностью

336 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОВЕРКАМИ [5
50 единиц/год. Время поставки практически постоянно и
равно 2 месяцам. Единица материала обходится в 500
долларов независимо от величины заказа, а коэффициент
издержек хранения равен 0,2. Стоимость подачи заказа
оценивается в 200 долларов. Все поступившие в систему
требования регистрируются и стоимость учтенного
требования составляет 10 000 долларов. Определите Q* и г*.
5.47. Для простейшей модели управления запасами из
параграфа 5.2 покажите, как изменится уравнение для
определения /?*, если издержки хранения определять по
максимальному уровню запасов.
6.48. Предположим, что в складской системе хранится
п видов запасов. Допустим, что по отношению к каждому
виду запасов используется /?-стратегия, и пусть Т—период
проверки, одинаков для всей системы. Как определяется Г*?
5.49. Какие вопросы возникают при учете ограничений
на объем хранящихся запасов или на капиталовложения
в запасы, если в системе хранится п различных товаров,
состояние каждого из которых периодически проверяется?
5*50. Выпишите выражение для средних годовых
издержек в </*Q, r, 7>-модели управления запасами, вычислив
сначала средние издержки за цикл и умножив полученную
величину на среднее число циклов в году.
5.51. Выполните предельный переход при Т—>0 в
<i?, г, 7>-модели для случая пуассоновского спроса и
постоянного времени поставки. Совпадают ли полученные
результаты с соответствующими результатами для <Q,r>-
модели?
ЛИТЕРАТУРА
1. Arrow К. J., Т. Harris and Marschak, Optimal Inventory
Policy, Econometrica, XIX A951), pp. 250—272.
2. Arrow K. J., S. Karl in and H. Scarf, Studies in the
Mathematical Theory of Inventory and Production, Stanford, Calif.:
Stanford University Press, 1958.
3. H a d 1 e у G. and Т. М. W h i t i n, A Family of Inventory Models,
Management Science, vol. 7, No 4, July 1961, pp. 351—371.
4. Morse P. M., Solutions of a Class of Discrete Time Inventory
Problems, Operations Research, vol. 7, No. 1, Jan.-Febr. 1959,
pp. 67-78.

6
Модели управления запасами в течение
одного периода
Семь раз отмерь, —
один отрежь*,
6.1. Введение
В этой главе мы изучим простейшие модели управления
запасами при случайном спросе. Существенная особенность
этих моделей состоит в том, что функционирование системы
рассматривается только на одном, чаще всего конечном
интервале времени, в течение которого производится лишь
одно пополнение запасов. На практике такие задачи
возникают при снабжении запасными частями, скоропортящимися
продуктами, товарами, быстро выходящими из моды, а также
сезонными товарами. Так как в этой главе рассматриваются
модели управления запасами на одном периоде, то их
исследование не связано с изучением стационарных состояний.
Такие модели представляют промежуточную ступень между
стационарными моделями, изложенными во второй,
четвертой и пятой главах, и динамическими моделями,
рассматриваемыми в следующей главе.
6.2. Общая модель управления запасами
на одном периоде при постоянных издержках
Задача этого раздела часто фигурирует под названием
«задачи рождественской елки» или «задачи продавца
газет», так как задача торговца (сколько елок заказать
к рождественским праздникам) или задача продавца газет
(сколько газет закупить для киоска на определенный день)
* В оригинале «Сомневайтесь часто, решайте один раз».
(Прим. ред.)

338 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В ТЕЧЕНИЕ ОДНОГО ПЕриОДЭ [6
сводится именно к задаче управления запасами в течение
одного периода.
Сформулируем «задачу рождественской елки».
Предположим, что продавец рождественских елок должен заказать
партию за месяц до Рождества. После этого срока, даже
если возникнет необходимость, он больше заказать не
может. Таким образом, в течение сезона продавец имеет
только одну возможность подачи заказа. Одна ель
обходится в С долларов, а продается за 5 долларов. Затраты
на непроданные до конца сезона елки составляют итоговые
потери из-за нереализованных товаров. Пусть/? (х) означает
вероятность того, что за сезон потребуется х елей *. Если
к началу сезона было заготовлено к деревьев, то © —
математическое ожидание прибыли за сезон — составит
h оо
®(h) = S^xp(x) + Sh 2 p(x)—Ch, F.1)
лг=0 x=h+\
так как если x^ih, то годовой доход равен Sx, а если
х > А, то за проданные елки будет получено Sh долларов.
Задача состоит в том, чтобы найти /г, максимизирующее
среднюю прибыль.
«Задача рождественской елки» представляет частный
случай более общей задачи, которая может быть
сформулирована так. Товары можно заказать только в начале
периода. Единица товаров стоит С долларов независимо от
объема заказываемой партии. Товар продается по цене S
долларов за штуку. Пусть р(х) — вероятность того, что за
период потребуется х штук. Если в момент возникновения
требования на складе нет товаров, то, помимо
недополученной прибыли, фирма терпит убытки, связанные с потерей
предпочтения, которые можно оценить в п0 долларов в
пересчете на единицу товара. Все нераспроданные к концу
периода товары могут быть реализованы по цене L
долларов (L<C). Нужно определить оптимальный объем
наличных запасов в начальный момент времени по критерию
максимума средней прибыли за период.
* Здесь не учитывается, что в действительности продавец
запасает елки разной величины, причем размеры требований на деревья
разной величины нельзя считать независимыми, так как если у
продавца не окажется деревьев нужного размера, то покупатель может
согласиться купить другую елку.

6.2] ОБЩАЯ МОДЕЛЬ ПРИ ПОСТОЯННЫХ ИЗДЕРЖКАХ 339
Если в начале периода было заготовлено А единиц, то
средняя прибыль равна
h оо
®(h) = S%xp(x) + Sh 2 Р(*) +
х=0 x=h+\
h-\ со
+ L 2 {h-x)p(x) — Ch — n0 2'(* — *)/>(*) =
*=0 x=h
=,(S-L)ix-(C-L)h^-(S + n0-L) fi(x — h)p(x), F.2)
x=h
где ii — средний спрос за период. Наименьшее А,
максимизирующее среднюю прибыль, представляет такое
наибольшее А, для которого А® (А) > 0, но
Д© (А) = (S + я0 — 1) Р (А) + L—C, F.3)
где Я(А) = 2?=лР(*). Таким образом, оптимальным А, т. е.
А*, будет наибольшее А, для которого
P(A)>S + Jt0_L = (S_C) + n0+(C~L)- F*4)
Отметим, что (С—L) представляет собой потери в
расчете на единицу нереализованных к концу периода товаров,
(S — С) — прибыль в расчете на единицу товара, а
[(S — С)+я0] — потери в расчете на единицу товаров,
связанные с нехваткой. Отметим также, что на распределение
объема спроса за период не накладывается никаких
ограничений. Например, вовсе не обязательно, чтобы запас
запрашивался поштучно и чтобы суммарные объемы требований
на непересекающихся промежутках времени были
независимы. Если А@(А*+1)=0, то и А*, и А*+1 оптимальны.
Часто удобно считать А и спрос непрерывными
величинами. Тогда если /(л:) —плотность распределения спроса,
a F(x) = \ /(х) dx, то математическое ожидание прибыли
X
за период составит (при условии что к началу было

340 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В ТЕЧЕНИЕ ОДНОГО ПЕРИОДА [6
заготовлено h единиц запасов)
h со
© (h) = S J xf(x) + Sh J f{x) dx +
0 h
+ L jj (h — x)f{x) dx—Ch—n0 J (x—h)f(x) dx =
о /i
GO
= E—/,)|я — (С— L)h — (vS + Яо — ?)$(*—h)f(x)dx. F.5)
Оптимальное значение А определяется из уравнения d®/dh =
= 0, т. е. h* удовлетворяет следующему уравнению:
'W-srs^r- F-6)
В задаче 6.4 читателю предлагается показать, что
выражение F.5) представляет собой вогнутую функцию от h.
Более того, © (/г) обычно является строго вогнутой функцией.
Отсюда вытекает, что любой локальный максимум функции ©
является и абсолютным максимумом. Когда © представляет
собой строго вогнутую функцию, то абсолютный максимум
единствен. В задаче 6.5 предлагается обсудить условия, при
которых уравнение F.6) имеет не единственное решение.
6.3. Примеры
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих все
многообразие практических задач, в которых используется
простейшая модель из предыдущего раздела.
1. В большом продовольственном магазине необходимо
определить, сколько хлеба нужно заказать на день.
Изучение накопленного опыта сбыта показало, что спрос за день
можно считать случайной величиной, распределенной по
нормальному закону со средним 300 и со средним квадратиче-
ским отклонением 50. Один батон продается за 25 центов.
Себестоимость товара для магазина составляет 19 центов
батон. Весь непроданный хлеб сбывается на следующий день
по цене 15 центов за штуку. Нужно определить
оптимальный размер закупки, максимизирующий среднюю выручку
за день.

6.3] примеры 341
В обозначениях предыдущего раздела S =--25 центов,
С =19 центов, /,= 15 центов, я0 = 0. Тогда h* является
решением следующего уравнения:
Из таблиц для нормального распределения находим, что
-^=|^ = 0,253 или h=r. 300 + 12,65«313.
Таким образом, следует ежедневно закупать 313 батонов
хлеба. Среднее число нереализованных за день батонов
составляет
Отсюда при А* = 313 и [х = 300 среднее число оставшихся
к концу дня батонов равно
13—13.0,40 + 50-0,3863 = 13 + 14,1=27,1.
Интересно сравнить среднюю дневную выручку для
случая, когда на день закупается h* батонов, со средней
выручкой, когда магазин закупает на день 300 батонов,
т. е. такое количество, которое равно среднему спросу \i.
Когда f(x) является нормальным распределением, F.5)
переписывается в виде
®(А) = E-1)|1+(С-1)А+E-1+я0)(А-ц)Ф(-5:=й-)-
Тогда для рассматриваемого случая при я0 = 0 имеем
@ (/г*) = 30,00 — 12,52 + 0,52—1,93 = 16,07 доля
и
© (ц) = 30,00—12,00 + 0— 1,99 = 16,01 долл.
Таким образом, используя оптимальное значение /г = й*,
получим по сравнению с h — \i ежедневный выигрыш в 6
центов, т. е. около 0,5% от всей выручки.

342 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В ТЕЧЕНИЕ ОДНОГО ПЕРИОДА [6
2. Рассмотрим теперь случай, когда при неспособности
удовлетворить спрос покупателя магазин терпит убытки,
связанные с потерей предпочтения. Эти убытки оцениваются
в размере я0 = 50 центов за штуку. Тогда оптимальное
значение А является решением следующего уравнения:
^ / Л—300 \ 0,04 0,04 Л Л™7
Ф С—50—J = 0,10+0,50 =1Щ = °>06667-
Откуда
А~3°0 = 1,500 или h = 300 + 75 -375.
Среднее число непроданных за день батонов равно 76,48.
Средняя выручка за день для соответствующих значений h — h*
и h = [i составляет
© (/г*) = 30,00—15,00 + 3,00 —3,88 = 14,12 долл,
© (ц)=*30,00—12,00 + 0—11,97 = 6,03 долл.
Выручка в первом случае, когда заказывается h* батонов,
значительно отличается от выручки, получаемой при /г = [х.
Следует заметить, что в этом примере средняя дневная
выручка не равна выручке, которую можно было бы получить,
используя данные из накладных и отчетных ведомостей,
так как в этих документах не отражаются убытки,
связанные с потерей предпочтения. Действительно, судя по
накладным и отчетным ведомостям, средняя выручка при
использовании h = 375 меньше, чем при h = 313 или h — \x.
Читателю предлагается проверить это самостоятельно,
подсчитав среднюю выручку при А = 375, если я0 = 0.
3. Фешенебельная кондитерская сама не готовит
шоколада, а заказывает его у фирмы кондитерских продуктов,
которая обслуживает несколько магазинов. Владелец
кондитерской должен решить, сколько ему заказать шоколадных
фигурок к празднику. Заказ нужен не позднее, чем за 2
месяца до праздника. Каждая шоколадная фигурка обходится
магазину в 2 доллара 50 центов, а продается за 7
долларов. Сумма, затраченная на нереализованный за праздники
шоколад, составляет платежный дефицит. Можно утверждать,
что за неделю праздников магазину почти наверняка удастся
• продать не меньше 100 фигурок, но не больше 500.
Продажа любого количества между 100 и 500 считается равно-

6.3] примеры 343
вероятным событием, т. е. магазин предполагает, что объем
спроса равномерно распределен на интервале от 100 до 500.
Если считать объем спроса непрерывной случайной
величиной, то соответствующая плотность вероятности равна
/(х) = { Ш> 1°°<*<500,
0 для всех остальных л:,
а для F(x) = 1 — V f(x) dx справедливы следующие соотно-
0
шения:
1, 0<л;<100,
F(*) = { 1—450" (^-ЮО), 100<л:<500,
0, х ^500.
Из приведенных выше данных S = 7 долларов, С = 2,50
доллара, L = 0, я0 = 0. Таким образом, F.6) преобразуется
к виду
/4A) = l-4sg(A-100)=:?gj = 0,3571
или
А* = 357,2 «357.
Среднее число нераспроданных к концу праздников
шоколадных фигурок при условии, что к началу праздников
их было заказано Л штук A00 ^Л^ 500), равно
Л оо
J (A — x)f(x) dx = h — \i+ J xf(x) dx—hF(h) =
0 h
= A —|i + gL[A«—Ю00А + 250000].
Так как А* = 357 и [1 = 300, то среднее число
нереализованных за праздники фигурок при условии, что к началу
периода их было заказано А* штук, равно
57 + щ [12,75-104 —35,7-104 + 25-104] = 82,6.

344 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В ТЕЧЕНИЕ ОДНОГО ПЕРИОДА [6
Средняя прибыль в функции размера заказа h A00 ^ h ^ 500)
удовлетворяет следующему соотношению:
© (h) = (S — L) [х - (С — L) h —
—щE-1 + я0)х(А2-1000А + 25.104).
Отсюда
©(А*) = 2100,00 — 892,00 —178,93 = 1028,57 долл
и
® (|i) = 1350,00 — 350,00 = 1000,00 долл.
Таким образом, если размер заказа на 57 единиц
превышает средний объем спроса, то это приводит к увеличению
прибыли на 28 долларов 57 центов за период праздников.
4. Одновременно с выпуском самолетов изготавливаются
и некоторые запасные части к ним. После того, как сборка
самолета закончена, весьма трудно достать к нему
дополнительные запасные части. При завершении сборки
военного самолета нужно определить, сколько запасных частей
определенного типа следует иметь в комплекте к нему.
Предполагается, что спрос на запасные части этого типа
невелик (объем спроса распределен по пуассоновскому
закону), а интенсивность спроса (на основании накопленного
опыта) составляет 0,75 штуки в год. Распределение
«времени жизни» самолета точно неизвестно. Принимается, что
«время жизни» самолета может быть описано
гамма-распределением со средним значением 6 лет и средним квадрати-
ческим отклонением 1,5 года. Каждая запасная часть
рассматриваемого типа стоит 2000 долларов, а если к моменту
выхода из строя всего самолета какие-либо запасные части
этого типа остаются неиспользованными, то каждая из них
к этому времени будет стоить всего 100 долларов. Если
все запасные части комплекта израсходованы, то для того,
чтобы достать еще один запасной блок (часть), необходимо
истратить 13 000 долларов.
Чтобы определить, сколько запасных частей
определенного типа должно быть в комплекте к самолету,
необходимо сначала найти безусловное распределение величины
спроса за время эксплуатации самолета. Из C.73) следует,
что в данном случае оно представляется отрицательным
биномиальным распределением bN[x\ a-fl, Р/(Р + Я)],

6.3]
ПРИМЕРЫ
345
так как спрос на запасные части распределен по закону
Пуассона, а «время жизни» самолета имеет
гамма-распределение. Для определения а, Р используем соотношения
C.44), C.45), связывающие а и 0 со средним значением и
средним квадратическим отклонением для
гамма-распределения. Таким образом,
Р=Й5 = 2N7,а=(АJ-1 = 15.
Отсюда при А. = 0,75, 0/ф + Л) = 0,781, а+1 = 16 и
bN[x; а+1, Р/(Р + Ь)] = (-?=Уг 0,781».0,219*.
Из приведенных данных видно, что С = 2000 долларов,
/,= 100 долларов, jt0 = 13 000 долларов и S = 0,
Максимизация прибыли при 5 = 0 эквивалентна минимизации средних
затрат. Следовательно, в этом случае применима формула
F.4). Если h означает количество запасных частей в
комплекте (речь идет о запасных частях определенного типа),
то оптимальное h равно наибольшему /г, для которого
со
?м*; 16; 0>781)>-ет=0'1475-
x-h
Определение оптимального h не будет слишком сложным,
так как если значение bN(x; 16; 0,781) известно для
некоторого заданного х, то для других значений х bN(x;
16; 0,781) подсчитывается по следующей формуле:
bN(x+\; 16; 0,781) = ?±* 0,219 bN(x\ 16; 0,781).
Обозначив функцию распределения через BN(x), находим,
что ?^F) = 0,3061, BNA) = 0,1906, 5^(81=0,1111 и
BN(9) = 0,0609. Отсюда ясно, что Л* = 7. Если в
комплекте к самолету имеется h запасных частей, то среднее
число запасных частей, не использованных к моменту
снятия самолета с эксплуатации, равно
%(h-x)bN[x; а+1, Р/(Р + Л)] =
¦h-li+^(x-h)bN[x; а+1, р/ф + Я)].

346 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В ТЕЧЕНИЕ ОДНОГО ПЕРИОДА [6
Средний спрос на запасные части за «время жизни»
самолета \i = 6-0,75 = 4,5; поэтому если в комплекте к
самолету имеется А* = 7 запасных частей определенного
типа, то среднее число неиспользованных запасных частей
составит
2,5 + 0,0502 + 2.0,0275 + 3.0,01421 +
+ 4.0,00702+...«2,7.
6.4. Многопродуктовые модели с ограничениями
Другой класс практических задач управления запасами
в течение одного периода связан с хранением п различных
типов товаров, которые не являются независимыми, а
подчиняются бюджетным и другим ограничениям. Запасы товаров
взаимодействуют между собой через общие ограничения.
Объемы спроса на разные типы товаров являются
независимыми случайными величинами. Мы рассмотрим одну из таких
задач, известную под условным названием задачи «о походном
ранце» [3]. Можно привести следующий пример. Нужно
определить количество и типы запасного оборудования для атомной
подводной лодки и ее ракет, которые следует взять на
борт на время патрулирования. Предполагается, что для
времени патрулирования известно распределение объема
требований на запасное оборудование. Считается, что при
возникновении необходимости в одной детали /-го типа
в случае ее отсутствия на борту начисляется штраф
(потери) Л/. Объем отсеков для хранения запасного
оборудования на подводной лодке строго ограничен. Задача сводится
к минимизации средних издержек, связанных с дефицитом.
Определим, сколько нужно захватить с собой запасных
частей разных типов, не превышая при этом ограничения на
суммарный объем запасного оборудования.
Предположим, что имеется п типов запасного
оборудования. Пусть Vi означает объем одной детали /-го типа, а
V—суммарный объем отсеков, отведенных под хранение
запасного оборудования. Вероятность того, что за время
патрулирования потребуется х запасных деталей /-го типа,
равна Р;(х). Тогда если в начале похода имелось hi
запасных деталей /-го типа, то нужно определить эти А,- так,

6.4] МНОГОПРОДУКТОВЫЕ МОДЕЛИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ 347
чтобы обеспечить минимум следующей функции затрат:
® = niyi(x — h1)p1(x)+...+nn%(x-hn)pn(x)==
=2 я* 2 (*-*/)/>/(*) F.7)
при условии, что суммарный объем запасного оборудования
не превышает V, т. е.
2 */*/ = vxhx + . . . + vnhn < V. F.8)
Возникает вопрос о том, как определить А* *.
Предположим сначала, что А* (/=1, ... , п) достаточно велики и
их можно считать непрерывными величинами. Пусть pi (х)
аппроксимируется плотностью //(#)• Определим F;(x) как
1 — \ fi(x)dx. Ясно, что если считать А,- непрерывными
величинами, то А* обратят неравенство F.8) в строгое
равенство**. Для решения можно воспользоваться методом
множителей Лагранжа. Вводится множитель Лагранжа 8 и
составляется функция
П оо Г п 
ЭД = ХЯ/S (*—*/)//(*) <** + е X*/*/ — V . F.9)
*'=i aj L**=i J
Тогда если все А/ > 0, то А* должны быть решением
системы уравнений
Щ = 0 = -Я&(hi) + Qv0 I = 1, ... , п F.10)
или
%.Ft{kt) = Q, /=1, ... , л. F.11)
Процедура вычислений состоит в том, что вначале
выбирается некоторое Эй из F.11) находят h{ (i = 1, .. . , п).
* Подобная задача в дискретном случае подробно рассмотрена
в книге А. Л. Райкина, Элементы теории надежности для
проектирования технических систем, Ияд-во «Сов. радио», 1967. (Прим,
ред.)
** Так крк минимум достигается на границе. (Прим. ред.)

348 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В ТЕЧЕНИЕ ОДНОГО ПЕРИОДА [6
Затем вычисляется К = 2?-1^/й/. Если V > V, то
выбирается большее 0, а если 1?<V, то меньшее 0 и процедура
повторяется. Если же V=V, то полученное решение
оптимально. В случае, когда номенклатура запасного
оборудования не очень велика, вычисления можно без труда провести
вручную. Полученные таким образом hi должны быть
округлены до ближайших целых значений. Такое
округление не должно привести к существенным отклонениям от
оптимального решения, если ht достаточно велики и
применяется непрерывная аппроксимация.
Однако во многих практических случаях ht очень малы
@,1 или 2), и любая попытка использовать описанную
процедуру с округлением полученных результатов могла бы
привести к существенным отклонениям от оптимального
решения. В этом случае нужно поступить следующим образом.
Если вместо (hi—1) детали г-го типа взять hi деталей,
то ожидаемое уменьшение издержек составит я,-Р;(/г;), где
При этом суммарный объем запасного оборудования
увеличивается на V;. Таким образом, среднее снижение издержек
на единицу объема по /-му типу запасных частей равно
П;Р; (hi)lvi. Процедура состоит в том, что последовательно
добираются детали того типа, которому соответствует
наибольшее удельное снижение (снижение на единицу
объема) издержек, связанных с дефицитом. На первом шаге
вычисляется
max {S./»,(!)}•
Если максимум достигается при /=/, то полагаем, что
hj— 1, и вычисляем
m«{max[f.p/(l)].f/VB)}.
Затем к комплекту запасного оборудования добавляется
одна деталь того типа, которому соответствует максимум
последнего выражения и т. д. Такая процедура продолжается
до тех пор, пока очередная добавка не приведет к
нарушению ограничения. В задаче 6.28 читателю предлагается

6.4] МНОГОПРОДУКТОВЫЕ МОДЕЛИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ 349
самостоятельно выяснить, почему эта процедура нередко
приводит к весьма удовлетворительным результатам.
Одновременно возникает вопрос о том, при каких условиях
можно ожидать, что эта процедура будет работать плохо.
Задача отыскания неотрицательного целочисленного
решения, максимизирующего F.7) при наличии ограничения F.8),
может быть решена точно методами динамического
программирования, которые излагаются в следующей главе.
В ней же будут приведены соответствующие примеры.
Впрочем, можно было бы показать, что даже с помощью
динамического программирования нельзя получить точное
решение реальных физических задач. Недостаточно
установить объемы V; и задать ограничение V. Необходимо
также учесть форму запасного оборудования и отсеков,
предназначенных для его хранения. Другими словами, если
согласно F.8) в объеме, предназначенном для хранения
запасного оборудования, остаются свободными два
кубических метра, то это еще не означает, что в этих двух
кубических метрах разместится деталь, объем которой
составляет 1,75 кубических метра. Существенны также форма
свободного пространства и форма детали.
В некоторых случаях могут быть заданы два и более
ограничений, например, по объему и весу. Добавление еще
одного ограничения делает задачу гораздо более
трудоемкой, но в этом случае можно использовать методы
динамического программирования *.
Многопродуктовые задачи управления запасами на одном
периоде с одним или несколькими ограничениями могут
быть весьма разнообразны по своему содержанию.
Следующий пример несколько отличается от приведенного, но
метод решения остается тем же.
Пример. Обычно коммерческий директор магазина оформляет
закупку 100 и более видов товаров. Однако для простоты
предположим, что нужно закупить всего три типа товаров: медные
тазы, разные столовые наборы и кофеварки. Каждый медный таз
обходится магазину в 6,5 доллара, а продается по цене 15 долларов.
Коммерческий директор рассчитывает, что в будущем году спрос на эти
тазы будет подчиняться нормальному закону со средним значением 50
* См., например, Р. Беллман, С. Дрейфус, Прикладные
задачи динамического программирования, изд-во «Наука», 1964,
(Прим. ред.)

350 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В ТЕЧЕНИЕ ОДНОГО ПЕРИОДА [6
и средним квадратическим отклонением 10. Цена каждого из
оставшихся к концу года тазов снижается на 10%. Столовый
набор обходится магазину в 8 долларов, а продается по цене 25
долларов. Опыт торговли подсказывает, что за год удастся продать
не менее 50 столовых наборов, но не более 200. Любой спрос в этих
пределах равновероятен. В конце года цена на каждый непроданный
столовый набор снижается на 20%. Кофеварки обходятся магазину
в 3 доллара 50 центов, а продаются по цене 9 долларов. Считается,
что спрос на кофеварки распределен по нормальному закону со
средним 100 и средним квадратическим отклонением 15.
Нераспроданные кофеварки сбываются в следующем году по той же цене.
В распоряжении коммерческого директора имеется 1600 долларов,
которые он может израсходовать на закупку товаров. Каким образом
распределить эти средства по типам товаров?
Если закупить Л/ штук товара t-ro типа, то средняя прибыль
©/ (ЛЛбудет определяться по формуле F.5). Требуется
максимизировать 2j®i(hi) при условии, что VJ С/Л/<; 1600, где С/ — закупочная
цена единицы товара t-ro типа. Вводя множитель Лагранжа 9,
составляем следующую функцию:
ал=2 ®/(*/>+e[2 са—1600I .
Если существуют положительные h*r то они должны
удовлетворять следующим соотношениям:
аи_0_*»<(*/), ор
dht Щ~ "
или в обозначениях, принятых в параграфе 6.2, имеем
f,-(ft,-)=c'~;L/7ec'"' «=1.2.3.
о/ —Ь/
Используя конкретные данные, получаем следующие уравнения:
для тазов
/h1 — 30\ 0,65—6,50 6
.(«
10 J 9,15
для столовых наборов
1 f2no 1,60-8,00 9
для кофеварок
Ф
Л3— 100 V —3,50 6
15 J 5,50 "
В рассматриваемом примере еще не ясно, оптимально ли
расходовать весь бюджет полностью. Тем не менее сразу видно, что при
отсутствии ограничений (т. е. 6 = 0) следовало бы закупить
бесконечное число кофеварок (почему?). Таким образом, 6 должно быть

6.5] МОДЕЛИ С ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ВРЕМЕНИ ЗАТРАТАМИ 351
отлично от 0. В частности, 6 должно быть отрицательным. В
таблице 6.1 представлены результаты вычислений. С точностью,
соответствующей округлению до ближайших целых значений, можно выбрать
Таблица 6.1
Результаты вычислений
—е
0,1
0,2
1,0
0,99
0,98
At
61
58
42
42
43
h*
181
174
123
123
124
h9
123
117
95
95
95
Стоимость,
доллары
, 2275
2178
1590
1590
1604
либо 6= — 0,99 (и тогда Л1 = 42, Л2=123, Л3 = 95), либо 9 =—0,98
(и тогда Лх = 43, Аа = 124, /i8 = 95). С практической точки зрения
более точные расчеты не имеют смысла.
6.5. Модели с зависящими от времени затратами
В модели управления запасами из параграфа 6.2
рассматривались только постоянные, не зависящие от времени
затраты. Обобщим рассмотренную ранее модель, введя
издержки содержания запасов, пропорциональные времени
хранения, и считая, что издержки, связанные с дефицитом
запасов, пропорциональны интервалу времени между
моментом поступления неудовлетворенного требования и концом
периода. Как обычно, издержки, связанные с хранением
запасов в течение года, в пересчете на единицу запасов
составляют /С, где С — цена запасов. Кроме того, как и
раньше, вводится я — стоимостной коэффициент удельной
нехватки. Введение этих показателей делает задачу менее
общей по сравнению с задачей из параграфа 6.2, так как
в этом случае необходимо знать распределение объема спроса
в любой момент времени / из рассматриваемого интервала.
Если переменные дискретны, то оказывается, что эта задача
допускает простое решение только при пуассоновском
процессе спроса.
Предположим, что средняя интенсивность спроса X
постоянна, а продолжительность периода фиксирована и

352 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В ТЕЧЕНИЕ ОДНОГО ПЕРИОДА [6
неслучайна. Тогда, если в начале периода на складе имеется
h единиц запаса, то средний объем наличных запасов к
моменту времени t определяется из П3.11 и равен
h
%(h—x)p(x; Xt) = h—,kt + XtP(h; %t)—hP(h + \, kt)t
x=o
F.12)
а средние издержки хранения за период составят (см. П3.18,
П3.19)
г
ICD(h) = IC$[h—%t + XtP(h; U)—hP(h+l; %t)]dt =
о
—hTP(h+\; %t) + h(h+l)P(h + 2; Я,ТI =
=*ICrih— Ц- + Щ-РФ; %T)—hP(h + \; %T) +
+^±l)p(A + 2; Я7}}. F.13)
Если к моменту времени t спрос достиг уровня h-\-yy
то на интервале (/, t + dt) издержки, связанные с
дефицитом, составят nydt. Среднее значение у в момент времени /
определяется из соотношений П3.10, П3.13:
J\(x—h)p(x; Х/) = Я/Я(А; kt) — hP(h+l; Kt),
x±h
и средние за период издержки вследствие дефицита равны
я В (А), где
т
B{h) = \[ktP(h\ Xt)—hP(h+\; М)]Л =
о
= фр(А; XT)—hTP(h+\; XT) +h(h + 1)P(h + 2; XT).
F.14)
Таким образом, к F.2) нужно прибавить следующее
выражение:
/СГ Га— ^П+(/С + я)В(А). F.15)

6.5] МОДЕЛИ С ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ВРЕМЕНИ ЗАТРАТАМИ 353
Выражение для средней прибыли имеет тогда вид
1
2
?+я0~(я + /С)
®(h) = (S—L)ii — (C—L — IC7)h—-^ICXT2
-li [s—L+ я0—у (n + /C)J Я (А; л-Г) +
+ /г[5—1 + я0 —Г(я + /С)]Я(А+1; Я7) +
/С + ЯА(А+1)Р(А + 2; ЯГ). F.16)
2л-
Здесь ji = A,7\ Отсюда имеем
A® (h) = — (C—L—ICT) +
+ [5-1 + Яо+(А_г)(я+/д]р(А;ЯЛ-
— ~-(я + /С)р(/г;Х7). F.17)
Наибольшее А, для которого А© (А) положительно, будет
оптимальным. Определение оптимального А из F.17)
представляет далеко не простую задачу (сравните с F.4)). Тем
не менее ее всегда можно решить, протабулировав функцию,
входящую в правую часть уравнения F.17).
Нужно избегать неправильной интерпретации издержек,
связанных с дефицитом, и равных пВ (А). Обычно эти издержки
не связаны с расходами на регистрацию поступающих
требований, так как требования, поступившие во время
отсутствия запасов, чаще всего не регистрируются, а если и
регистрируются, то затраты на это не зависят от времени.
Источник таких издержек обычно состоит в другом. Если
например, рассматривать содержание запасных деталей к обо
рудованию, используемому в выпуске продукции, то л
представляет интенсивность уменьшения производительности
из-за простоев оборудования, связанных с нехваткой запасных
деталей в течение года.
В некоторых случаях время окончания периода, совпада-,
ющее с моментом полного износа, нельзя предсказать точно-
и его нужно описывать вероятностным распределением.
Например, можно предположить, что момент времени полного
износа имеет гамма-распределение. Тогда в уравнении F.16)
вместо вероятностей для распределения Пуассона войдут
вероятности для отрицательного биномиального распределения.
12 дж. Хедли, Т. Уайтин

354 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В ТЕЧЕНИЕ ОДНОГО ПЕРИОДА [6
В задаче 6.13 для случая гамма-распределения
предлагается получить уравнение, аналогичное уравнению F.17).
Зачастую трудно обосновать выбор непрерывного
распределения вероятностей. В этом случае лучше всего задать п
различных значений 7у, приписав каждому из них
вероятности coy. Тогда если в начале периода на складе имелось А
единиц запаса, а средняя прибыль за период
продолжительностью Tj равна © (А, 7у), то усредненная по всем
возможным значениям Tj прибыль составит
п
©(А) =2 ©/©(А, 7». F.18)
Нужно найти А, максимизирующее ©(А). Этим А будет
наибольшее А, для которого выражение F.19) положительно
А© (А) =2 со,Д® (А; Т.). F.19)
Каждое A© (A, Tj) имеет вид F.17), в котором Г заменяется
на Tj. По сравнению с предыдущим случаем задача
определения А* значительно усложняется.
В заключение дадим еще одно обобщение
рассматриваемой модели. Допустим, что средняя интенсивность спроса
изменяется во времени, причем известно интегральное
среднее объема спроса D (t) для любого момента времени t.
Тогда спрос за время t распределен по пуассоновскому
закону со средним значением D(t). Введем %(t) так, что
D(t) = tX(t). Если средняя интенсивность спроса на всем
интервале от 0 до t постоянна и равна Х(/), то вероятность
того, что за время t со склада будет затребовано х единиц
запасов, равна соответствующей вероятности для процесса
спроса с переменной интенсивностью и интегральным
средним D(t).
Пусть интенсивность спроса изменяется во времени, но
продолжительность периода функционирования зафиксирована
и равна Т. Для того чтобы найти оптимальный уровень
запасов в начале периода, весь период удобно разбить на т
отрезков так, чтобы /-й отрезок был заключен между ti_1
и //(^о = 0, tm=T). Кроме того, введем предположение, что
внутри /-го подпериода средняя интенсивность спроса
постоянна и равна Xi = X (tj). Выбирая интервал разбиения {/,-},

6.5] МОДЕЛИ С ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ВРЕМЕНИ ЗАТРАТАМИ 355
можно сколь угодно точно аппроксимировать случайный
процесс спроса на практике.
Средние издержки по содержанию запасов и средние
издержки, связанные с дефицитом, в /-м периоде
соответственно
и
1С j [h — 'kit + XitPih; bfi — hPih + U V)]d/ =
= /сф Щ-1СТ,_г[к-Щ=1\ +
+ /C[D(A, th M-D(A, *,_!, X,)] F.20)
и
я[?1(А, th *,)-?>(*, //-lf Я,)], F.21)
где
?(*¦ ', Я) = ^-Я(А; Xt)—htP(h+\; Xt) +
+Tp<A+2; x/)- <6-22)
Это следует из F.13) и F.14), если интеграл в пределах
от ti^1 до /,. представить в виде разности интегралов в
пределах от 0 до // и от 0 до ^/_1. Поэтому средняя прибыль
за период равна
m
® (А) = (S—L) Ц—(С—L—ICT)h—IIcYt%iW —^-i) —
— цE—1 + я0)Р(А; %T)+h(S—L + n0)P(h+\; %T) +
m
+(я+/c) 2 [?> (h, и, я,)—a (A, ^_lf a,,.)]. F.23)
Оптимальное значение А* равно наибольшему целому А
для которого следующее выражение больше нуля:
Д®(А)=— (С—L—ICT) + (S—L + st0)P(h; XT) +
m
+ {n + IC)h^^-[P(h; V/)-^(A; M/-i)]~
m
-(Я + /С) 2 ttP{h; W-ii-yP(h; M/-i)]-
m
-(я + /C) A ? 1 [p (A; V;) —p (A; V/-i)I- F-24)
f-l l
12*

356 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В ТЕЧЕНИЕ ОДНОГО ПЕРИОДА [6
Как и раньше, применяя табулирование, можно определить
оптимальное А*, но в этом случае вычисления вручную могут
оказаться чересчур громоздкими и утомительными.
Некоторые слагаемые в F.24) содержат разность двух выражений,
мало отличающихся друг от друга, например Р(А; Х^) —
— P(h; Х^^г). В задаче 6.14 читателю предлагается
преобразовать эти слагаемые, применив разложение в ряд Тейлора,
и тем самым существенно упростить выражение для А© (А).
Можно также рассмотреть случай, когда длительность
периода принимает одно из п возможных значений Tj. Вообще
говоря, для каждого значения Tj интенсивность спроса по-
разному зависит от времени. Можно получить выражения,
аналогичные формулам F.23), F.24) для всех возможных
значений Tj. Пусть ©(А, Гу) означает среднюю прибыль за
период Tj. © (A, Tj) вычисляется по формуле F.23),
в которой Т заменяется на Tj, %( на Хц и m на ntj. Тогда
п
©(А) =2 Юу®(*, Tj) F.25)
/=i
и
п
А© (А) =2 соуД©(А, TJ). F.26)
/=i
Определение оптимального А вручную в этом случае
практически невозможно, тогда как на вычислительной
машине задача решается сравнительно просто. Если
длительность периода считается непрерывной величиной, то
всякая попытка рассмотреть случай переменной интенсивности
спроса связана со значительными трудностями. В задаче 6.15
читателю предлагается объяснить, причину возникновения
этих трудностей. Модели этого раздела рассмотрены в
работах [4, 5].
6.6. Маргинальный анализ
В параграфе 6.2 А® (А) определяется в два этапа:
сначала вычисляется ©(А), а затем разность ©(А)—©(А—1).
В экономических терминах А® (А) представляет собой
приращение прибыли, связанное с изменением уровня наличных
запасов от (А—1) до А. Дальнейшее повышение этого уровня
целесообразно до тех пор, пока А® (А) > 0. Покажем, как

6.6]
МАРГИНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
357
можно просто рассчитать Д©(А), не прибегая к вычислению
функций @(А). Заметим, что Д© (А) равно среднему
увеличению выручки в связи со своевременной распродажей
дополнительной партии товаров минус среднее приращение
затрат на закупку товаров плюс среднее приращение
выручки от распродажи вовремя нереализованных товаров
минус среднее изменение издержек, связанных с дефицитом.
Первое слагаемое в Д© (А) равно S, если дополнительная
партия товаров распродана, и 0 в противном случае.
Вероятность первого из этих событий равна Р(А)—вероятности
того, что величина спроса по крайней мере не меньше А.
Таким образом, среднее приращение выручки от
своевременной распродажи равно SP(h). Второе слагаемое равно С,
где С—закупочная цена единицы товара. Приращение выручки
от распродажи вовремя нереализованных товаров равно L,
если дополнительная партия не продана, и 0 в противном
случае. Вероятность первого из этих событий равна [1—Я (А)],
и, таким образом, среднее приращение составит L[\—Р(А)].
И наконец, при закупке дополнительной партии среднее
изменение издержек, связанных с дефицитом, должно быть
во всяком случае неположительным. Это изменение будет
равно —я0, если дополнительная партия распродана, и 0 в
противном случае (считается, что дополнительная партия
товаров представляет собой неделимую единицу, которая
может быть продана сразу или не продана вообще).
Следовательно, среднее изменение издержек, связанных с
дефицитом, равно—л0Р(А). Таким образом,
Д®(А) = 5Р(А) — c + L[\— P(h)] — (— я0)Я(А) =
= (S + n0-L)P(h)-(C—L), F.27)
что в точности совпадает с F.3). Выражение для ДО (А)
находим, не прибегая к вычислению ®(А). Такой метод
исследования хорошо известен экономистам под названием
маргинального анализа. Маргинальный анализ является весьма
полезным инструментом при решении различных задач
оптимизации. В частности, с помощью маргинального анализа
можно получить условия оптимальности для большинства
задач, рассмотренных в предыдущих разделах. Существенной
особенностью метода является то, что в каждом случае
исследуются приращения, связанные с единичным изменением
рассматриваемой переменной.

358 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В ТЕЧЕНИЕ ОДНОГО ПЕРИОДА [6
Рассмотрим еще один пример (модель из параграфа 5.2)
управления запасами по правилу постоянного уровня в
системе с учитываемыми требованиями. ДЯ (R) равно среднему
приращению издержек содержания запасов плюс среднее
изменение расходов на учтенные требования при замене R—1
на R. Если доля времени, в течение которого на складе
нет запасов, пренебрежимо мала, то это означает, что
дополнительно введенная единица почти весь период будет
оставаться на складе, и среднее приращение ежегодных
издержек хранения запасов составит 1С. Приращение затрат
на учтенные требования равно 0, если дополнительная
единица запасов так и остается на складе, и —я в противном
случае. Таким образом, среднее приращение затрат на
учтенные требования составит за период [—nH(R; 7)], а за
год [—nfl(R; T)/T]. Следовательно,
ДЯ(Я)=/С—-J- /?(/?; 7), F.28)
что совпадает с формулой E.7). К сожалению, изложенный
метод далеко не всегда так прост, как в этих простейших
случаях. Обычно маргинальный анализ непосредственно
приводит к желаемому результату, если все входящие в модель
издержки и стоимости не зависят от времени, в противном
случае задача усложняется. В последнем примере издержки
содержания запасов зависели от времени. Однако
предположение об относительной малости дефицита запасов привело
к упрощению анализа.
С помощью маргинального анализа можно без труда
исследовать простейшую модель из параграфа 2.4. Однако
этот пример показывает, что иногда трудно обойтись без
предварительной оценки слагаемых, входящих в функцию
издержек. Заметим, что A$(Q) равно сумме приращения
затрат на дополнительные заказы и приращения издержек
содержания запасов при замене Q—1 на Q. Среднее
годовое приращение затрат на дополнительные заказы
\л Г х 1 1 __ М
KAIQ~ Q— lj Q(Q—1)"
А так как средний уровень запасов равен (Q—1)/2, то
среднее приращение издержек хранения за год запасов состав-

6.6]
МАРГИНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
359
ляет УС/2. Суммирование этих двух составляющих дает AR (Q).
В данном случае маргинальный анализ не имеет серьезных
преимуществ, так как при вычислении приращений
используются выражения самих издержек и затрат. По существу
результат введения дополнительной единицы запасов нельзя
оценить, не рассматривая влияния этой добавки на издержки,
связанные с остальными Q—1 единицами запасов.
С помощью маргинального анализа удается без труда
учесть случай зависящих от времени затрат. Примером
может служить модель управления запасами из параграфа 4.7.
Рассмотрим приращение ArS(Q, г). Пусть /—момент подачи
заказа. Если в момент времени t—х фиктивный уровень
запасов в системе равен /, то при переходе от г — 1кг
среднее число требований, учтенных к моменту времени /,
уменьшится на единицу при условии, что объем спроса будет
не меньше г+у, и останется без изменений в противном
случае. Вероятность первого события равна P(r+j; %%).
Таким образом,
Q
ArS(Q,rL^H/;H F.29)
4 5 = 1
Последнее выражение можно упростить, используя свойства
распределения Пуассона. Сложнее применить маргинальный
анализ для вычисления AQB(Q, г). В задаче 6.16 читателю
предлагается проделать это самостоятельно.
Маргинальный анализ часто оказывается полезным
методом решения задач. В некоторых случаях он может
существенно облегчить отыскание условий оптимальности. Иногда,
правда, маргинальный анализ настолько сложен, что
ощутимого выигрыша во времени получить не удается. В принципе
методами маргинального анализа можно воспользоваться при
исследовании всех моделей, рассмотренных в этой книге.
Безусловно в ряде случаев нужно получить явные выражения
прибылей и издержек. Тогда потенциальные преимущества
методов маргинального анализа не реализуются. Тем не менее
и в этих случаях маргинальный анализ может быть полезен
в качестве средства проверки результатов
дифференцирования функций издержек или функций прибыли. Если
переменные непрерывны, то можно применить так называемый
инфинитезимальный маргинальный анализ, когда рассматри-

360 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В ТЕЧЕНИЕ ОДНОГО ПЕРИОДА F
вается элементарное приращение от х к x-\-dx. Несколько
примеров на использование инфинитезимального
маргинального анализа приводится в задачах.
Задачи и упражнения
6.1. Продавцу рождественских елок нужно определить,
сколько елок заготовить к празднику. Опыт подсказывает,
что спрос на елки распределен по нормальному закону со
средним 200 и дисперсией 300. Каждая елка стоит торговцу
4 доллара, а сам он продает ее за 7,5 доллара.
Нераспроданные вовремя елки сбыта не находят. Сколько елей
следует заказать, чтобы максимизировать среднюю прибыль?
Чему будет равна средняя прибыль, если размер заказа
в точности равен среднему спросу? Каково среднее число
нераспроданных елей, если размер заказа оптимален?
6.2. Решите задачу 6.1, предполагая, что спрос распределен
равномерно с теми же, что и в задаче 6.1, дисперсией
и средним.
6.3. Рассмотрим систему, подверженную старению.
Известно, что полный износ может наступить к концу пятого,
шестого или седьмого года эксплуатации соответственно
с вероятностями 0,5, 0,3 и 0,2. В системе имеется
высоконадежный блок. Комплект запасных блоков ограничен. Спрос
на эти блоки распределен по закону Пуассона со средней
интенсивностью один блок в год. Стоимость одного блока
50 долларов, причем неиспользованные блоки применения
не находят и обесцениваются. Каждое неудовлетворенное
требование обходится в 2000 долларов. Сколько блоков
должно быть в комплекте, чтобы достигали минимума средние
издержки? Чему равно среднее число неиспользованных
блоков?
6.4. Покажите, что выражение F.5) представляет собой
вогнутую функцию х. Функция f(x) называется вогнутой,
если /[ад:!-]- A —a) *2]*^af(xi) + 0 —а)/{хг) Для O^a^l
и всех xlt x2 из области определения функции /(я).
Отметим, что если f(x) является вогнутой функцией, то —f(x)
будет выпуклой функцией (см. задачи 2.6, 2.7). Назовем f(x)
строго вогнутой, если —f(x) — строго выпуклая функция.
При каких условиях функция © (А) является строго вогнутой?
Докажите, что любой локальный максимум функций & (А)

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
361
является ее абсолютным максимумом. Кроме того, докажите,
что если ©(/*) — строго вогнутая функция, то абсолютный
максимум достигается только в одной точке.
6.5. При каких условиях решение уравнения F.6) не
единственно? Дайте графическую иллюстрацию.
6.6. Международный нефтяной концерн закупает большой
танкер для перевозки необработанной нефти. Запасные узлы,
например рули, должны быть изготовлены вместе с самим
кораблем. Достать их в процессе эксплуатации танкера
будет очень сложно. Рассмотрим определенный узел
механизма руля, который в процессе изготовления корабля
обходится в 5000 долларов, а при попытке достать в процессе
эксплуатации—в 25 000 долларов. Согласно накопленному
опыту необходимость в узлах этого типа выражается законом
Пуассона со средним 0,2 в год. Предполагается, что общее
время использования танкера имеет гамма-распределение со
средним 20 лет и средним квадратическим отклонением
10 лет. Используя приведенные данные, определите, сколько
запасных узлов рассматриваемого типа концерну следует
заказать в процессе сборки танкера.
6.7. Покажите, как ввести оптовую скидку в модель из
параграфа 6.2. Розничная цена товара предполагается
постоянной. Дайте алгоритм определения оптимального размера
заказа. Постройте кривые для данного случая, аналогичные
кривым на рис. 2.13.
6.8. Покажите, как учесть дифференциальную скидку
в модели из параграфа 6.2. Дайте алгоритм определения
оптимального размера заказа. Розничная цена предполагается
постоянной. Постройте кривые, аналогичные кривым на
рис. 2.15.
6.9. Рассмотрите задачу 6.1, введя в условие оптовую
скидку. Если закупается меньше 225 елок, то каждое дерево
обходится торговцу в 4 доллара, а если размер заказа А^225,
то каждое дерево обходится в 3 доллара.
6.10. Рассмотрите задачу 6.1, введя дифференциальную
скидку. Каждая из первых 225 елей обходится в 4 доллара,
а каждая елка из закупленных сверх этого количества всего
в 3 доллара.
6.11. Вернемся к задаче 6.1. Пусть вводится оптовая
скидка. Если размер заказа равен /г, то при 0 < h < q
закупочная цена одной елки равна 4 долларам, а при оо> h^q

362 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В ТЕЧЕНИЕ ОДНОГО ПЕРИОДА [6
равна 3 долларам. Обозначим оптимальный размер заказа
через д. Чему должно быть равно q? Для каких q оптимальная
закупочная цена составляет 4 доллара? 3,5 доллара?
6.12. К сезону рождественских праздников коммерческий
директор универсального магазина должен закупить в Италии
партию дорогих кожаных сумок. Каждая сумка стоит
магазину 17,5 доллара, а продается за 50 долларов. Коммерческий
директор уверен в том, что все нераспроданные в сезон
сумки рано или поздно будут реализованы по прежней цене.
Тем не менее 30 центов каждого доллара, вложенного в
нереализованные вовремя сумки, «омертвляются», так как,
использовав эти средства иначе, по-видимому, можно
получить большую прибыль. Предполагается, что удастся
продать за сезон не менее 50, но и не более 250 сумок, причем
продажа любого количества в названных пределах
равновероятна. Сколько сумок следует закупить? Позднее было
установлено, что спрос более точно выражается нормальным
распределением со средним 175 и средним квадратическим
отклонением 20 сумок. Чему равен оптимальный размер заказа
в этом случае? Что даст магазину дополнительная
информация о спросе?
6.13. Рассмотрите модель управления запасами из
параграфа 6.5 (см. выражение F.15)), предполагая, что
продолжительность периода имеет гамма-распределение. Определите
среднюю прибыль ®(h) и Д©(А).
6.14. Напомним, что в первом приближении разложение
функции в ряд Тейлора имеет такой вид: /(^)—f(t0) =
= /'(^0)Д/, где At = t1 —10, a /' (/0) — первая производная
функции f(t) в точке t0. Используя это соотношение,
упростите следующие выражения:
P(h; %ttt)—P(h\ %ь *,_!),
UP(h\ W-tt-iPfo V/-i)
p(h; M/)-P(*; M/-i)
и
tiP(h; M/) — */-iP(*; V/-i)-
Как будет выглядеть в этом случае уравнение F.24)? Почему
существенно упрощаются выкладки?
6.15. Предположим, что продолжительность
функционирования системы представляет непрерывную случайную ве-

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
363
личину. Какие трудности возникают при рассмотрении спроса
с переменной интенсивностью?
6.16. Вычислите AQB(Q, r) методом маргинального
анализа (см. рассмотренную выше модель управления
запасами из параграфа 4.7).
6.17. Выведите формулу F.6), вычислив непосредственно
приращение средней прибыли при увеличении размера заказа
от h до h\-dh.
6.18. Спрос на запасные части к двигателям случаен и
описывается распределением Пуассона со средним значением
0,01 штуки в день. Известно, что через 600 дней хранения
стоимость каждой запасной детали вследствие износа
снижается на 200 долларов. Издержки хранения равны 10
центам в день в расчете на одну деталь. Потери, связанные
с простоем двигателя из-за отсутствия запасных частей,
составляют 900 долларов в день в расчете на каждую
незамеченную деталь. Двигатель должен проработать 600 дней.
Комплект запасных частей может быть заказан только в
начале этого периода. Сколько запасных деталей должно
быть в комплекте?
6.19. Раз в неделю фермер везет овощи в город.
Грузовик вмещает 3,6 тонны овощей. Обычно фермер
поставляет в город кочанную и цветную капусту и помидоры. Спрос
на каждый из этих продуктов случаен и распределен по
нормальному закону со средним значением (в килограммах)
400, 1200 и 800 соответственно и средними квадратичес-
кими отклонениями 80, 120 и 160 кг. Цена килограмма
капусты 10 центов, килограмма цветной капусты—15 центов
и килограмма помидоров—18 центов, причем
нереализованные овощи полностью обесцениваются. Как фермер должен
заполнить свой грузовик, чтобы максимизировать среднюю
прибыль при условии, что у фермера имеется достаточное
количество овощей?
6.20. Перед неделей праздников ателье закупает
импортные ткани, причем заказы должны быть сделаны
задолго до праздников. Если в ателье нет уже готовой одежды,
то только треть всех заказчиков соглашается ждать. Общее
число заказчиков случайно, колеблется в пределах от 101
до 200 равновероятно. Пошив костюма до наступления
сезона стоит 20 долларов, а во время праздников—30
долларов. Заказчик платит за костюм 100 долларов. После

364 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В fE4EHHE ОДНОГО ПЕРИОДА [6
праздника неиспользованная ткань может быть продана по
цене 15 долларов за единицу (за единицу принято
количество ткани, необходимое для пошива одного костюма),
полностью пошитые костюмы после праздников распродаются
по 50 долларов за штуку. Сколько ткани ателье должно
заказать? Сколько костюмов следует сшить до наступления
праздников? Чему равна средняя прибыль за сезон
праздников?
6.21. Допустим, что ателье, упомянутое в задаче 6.20,
должно сшить все костюмы до наступления сезона (или
потому, что лишь незначительная часть заказчиков
согласится ждать, или потому, что пошив костюма во время
сезона потребует слишком больших дополнительных расходов
и времени). Чему равно оптимальное число готовых
костюмов? Какой будет средняя прибыль?
6.22. Спрос на запасные части распределен по пуассо-
новскому закону со средним 0,1 штуки в день. Имеются две
стратегии поставки. Заказ доставляется через 2 дня в случае
первой стратегии и через 8 дней в случае второй по цене
18 долларов и 10 долларов за штуку соответственно.
Дефицит запасных частей обходится по 5 долларов в расчете
на каждую неудовлетворенную единицу спроса, а
издержки хранения в расчете на одну запчасть составляют 1
доллар в день. Неудовлетворенные требования
учитываются. Разработайте систему управления запасами по
минимуму суммы издержек вследствие дефицита, издержек
хранения и транспортных расходов. Можно использовать только
одну из двух стратегий поставки. Во сколько в среднем за
день обходится функционирование системы? Какими
должны быть транспортные издержки при использовании первой
стратегии, чтобы средние затраты для этой стратегии
совпадали со средними затратами для восьмидневной стратегии?
6.23. Рассмотрим однопериодическую модель для системы
N складов. Если объем спроса превосходит объем наличных
запасов, то /-й склад (/=1, ... , N) терпит убытки,
оцениваемые в А; долларов. Для случая, когда спрос на каждом
из складов случаен, дайте алгоритм распределения х единиц
запаса по N складам по критерию минимума средних
издержек. Предположим далее, что издержки зависят от
величины дефицита, причем на /-м складе эти издержки
составляют Bi долларов в расчете на единичное неудовлет-

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
365
воренное требование. Как распределить х единиц запаса,
чтобы минимизировать издержки из-за дефицита? (Все
распределения вероятностей предполагаются непрерывными.)
6.24. Фирма, выпускающая обручи «хула-хуп», может
хранить свою продукцию в виде уже готовых обручей и
в виде заготовок, которые могут быть обработаны в течение
недели. Лишь одна треть всех покупателей соглашается
ждать изготовления обручей. Рассмотрите модель
управления запасами на одном периоде. Предполагается равномерное
распределение спроса в интервале от 100 до 200 (вне этого
интервала спрос равен 0). Заготовка для обруча обходится
фирме в 50 центов, а при отсутствии спроса может быть
по окончании периода продана за 20 центов. Обработка
заготовки стоит 10 центов, тогда как обручи продаются по
цене 1,2 доллара. Нераспроданные вовремя обручи «хула-хуп»
сбыта не находят. Чему равно оптимальное число заготовок
и готовых обручей?
6.25. Плотность вероятности объема спроса на изделия
имеет вид
/(*)=2Й6*2A0--*), 0 <^< 10.
Изделие состоит из ряда деталей. Стоимость каждой детали
3 доллара, а стоимость сборки в расчете на деталь равна
2 доллара. Сборка проводится только при возникновении
спроса на изделие, а неиспользованные детали могут быть
проданы по цене 1 доллар за штуку. Изделие стоит М
долларов. Сколько деталей нужно заказать, чтобы
максимизировать среднюю прибыль? Все необходимые для сборки детали
должны быть поставлены к началу рассматриваемого периода.
6.26. В примере 2 из параграфа 6.3 выразите разность
® (h*)—© (А) через приращение средней прибыли от продажи
хлеба, прямые убытки вследствие наличия нереализованных
остатков и через приращение издержек, связанных с потерей
предпочтения.
6.27. В пример 3 из параграфа 6.3 введите убытки,
связанные с потерей предпочтения, из расчета 1 доллар на
одну шоколадную фигурку. Как изменится оптимальный
уровень запасов? Как изменится средняя прибыль?
6.28. Рассмотрите алгоритм решения задач с
ограничениями (см. параграф 6.4) в случае дискретных переменных.

366 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В ТЕЧЕНИЕ ОДНОГО ПЕРИОДА [6
При каких условиях алгоритм дает точное решение? В каком
случае приближенный ответ обеспечивает достаточную
точность?
6.29. Рассмотрите взаимосвязь уравнений F.4) и D.116)
с я = 0 для стационарной модели при Q = 1. Почему эти
уравнения по форме должны совпадать?
6.30. Для общей однопериодической модели управления
запасами из параграфа 6.2 покажите, что h* является
решением следующего уравнения:
если h считается непрерывной величиной, сх—цена
«передержанного» продукта, а с2—цена «недодержанного»
продукта*. Выведите это уравнение с помощью методов
маргинального анализа, составив соотношение баланса для средних
издержек обоих типов. Как выглядит соответствующий
результат в дискретном случае? Как выражаются цены сг
и с2 через я0, С, L, S?
ЛИТЕРАТУРА
1. Bowman E. H. and R. В. Fetter, Analysis for Production
Management, Rev. Ed. Homewood, Illinois: Richard D. Irwin,
Inc., 1961.
Десятая глава этой книги посвящена дифференциальному анализу.
Авторы предполагают, что условием оптимальности является равенство
нулю приращения прибыли или маргинальной прибыли в то время, как
для случая дискретных переменных это не всегда верно. Поэтому
описанная процедура для случая дискретных переменных не является
строгой. Однако для рассматриваемых там задач это не очень существенно.
2. Fetter R. В. and W. С. Dal leek, Decision Models for
Inventory Management. Homewood, Illinois; Richard D. Irwin,
Inc., 1961.
3. Geisler M. A. and H. W. Karr, A Fruitful Application of Static
Marginal Analysis, Management Science, vol. 2, No. 4, July, 1956.
4. H a d 1 e у G. and Т. М. W h i t i n, An optimal Final Inventory
Model, Management Science, vol. 7, No. 2, January, 1961, pp.
179-183.
5. H a d 1 e у G., Generalizations of the Optimal Final Inventory
Model, Management Science, vol 8, No. 4, July, 1962, pp. 454—457.
* Здесь c2 — удельные издержки в единицу времени вследствие
дефицита. (Прим. перев.)

7
Динамические модели управления запасами
...Желая строить,
Мы место выберем и план начертим;
Когда оке форма зданья нам ясна,
Прикинем мы расходы на постройку,
И если выше наших средств она,
Нам остается план наш сократить
Иль вовсе от постройки отказаться.
Шекспир «Генрих IV», часть II*
7.1. Введение
Строго говоря, стационарные состояния не существуют
на практике. Существенной особенностью всех
экономических систем является их постоянное изменение. В складских
системах изменяется спрос, времена поставок, издержки и
даже состояние хранящихся в системе товаров. Тем не менее
во многих случаях эти изменения происходят настолько
медленно, что на довольно больших промежутках времени
систему можно считать стационарной. Бывает и наоборот —
с этими изменениями нельзя не считаться, так как они
значительны. В качестве примера можно привести изменение
характеристик спроса, которые наиболее существенны при
построении модели. В этой главе мы изучим многошаговые
модели управления запасами при переменной интенсивности
спроса.
Как и следовало ожидать, трудности, возникающие при
постановке и численном решении реальных динамических
задач, несоизмеримо выше трудностей, сопутствующих
анализу стационарных моделей. Действительно, если
предположить, что средний объем спроса зависит от времени, то
эта задача может быть решена вручную только в самых
простых случаях. Обычно для вычислений необходима
мощная цифровая вычислительная машина. Для численного
решения динамических задач управления запасами
используются методы динамического программирования.
* Перевод В. Морица.

368 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [7
Прежде чем перейти к собственно динамическим моделям,
дадим общее представление о динамическом
программировании и рассмотрим те его аспекты, которые будут использованы
нами в дальнейшем.
7.2. Динамическое программирование
Рассмотрим задачу определения неотрицательных чисел х,
которые минимизируют функцию g(xly ... , хп),
определенную соотношением
п
g(xlt ..., *„)= 2/,(*,) =
/=i
= /i(*i)+Л<*.)+.. •+/„(*„) G-1)
при ограничении вида
п
%VjXj^V, G.2)
/=i
где Vj, V—заданные константы, a fj{Xj)—функция одной
переменной х. Предположим, что Vj и V—целые числа. Это
не уменьшает общности постановки задачи, так как всегда
можно добиться необходимой точности, выбрав
соответствующий шаг разбиения, например заменив кубические метры
кубическими сантиметрами -и т. д. Одношаговые
многопродуктовые задачи с ограничениями (например, задача «о
походном ранце»), которые были рассмотрены в главе 6,
представляют собой частные случаи сформулированной здесь
общей постановки задачи.
Основные идеи метода динамического программирования
будут представлены на примере задач 7.1, 7.2. Порядок
минимизации по разным переменным не играет роли при
условии, что выбранный способ минимизации позволяет
проверить, если это необходимо, все возможные комбинации
переменных. Представим себе следующую процедуру.
Зафиксируем некоторое значение хп и найдем минимум
функции g по переменным xv .. . , хп_1 при заданном хп.
Из G.2) следует, что хх, ... , хп должны удовлетворять
неравенству
п-\
2 VjXj^V—vnxn, G.3)
/=i J J

7.2] ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 369
так что область допустимых изменений переменных хг, ...
. . . , хп_г зависит от выбранного значения хп. Переменная хп
может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, ...
••• [^/*>я]| где [Vlvn] означает целую часть V/vn. Далее
л-1
min g=f(xn)+ min 2//(*/)> G.4)
Xlt ... , *n-l **» •*• » ХП-1 /= 1
где переменные xv ... , at„^x должны удовлетворять
неравенству G.3). Таким образом, в силу G.3) следующее
выражение должно быть функцией от V—vnxn:
л-1
min 2//(*/)• G.5)
xlt ... , *n_, /=1
Обозначим выражение G.5) через Z„_1(l/—vnxn), т. е.
Zn_1(V—vnxn) равна минимуму суммы 27=///С*/) по Иел°-
численному множеству переменных jq, ... , хя-1, которое
определяется неравенством G.3). Таким образом,
min g=f(xn) + Zn_1(V-vnxn). G.6)
Если #** представляет собой оптимальное значение g, то
еГ - min [/„ (*я) + Zn_x {V—v„xn)]. G.7)
Следовательно, если функция Zw-1(g) известна для всех
целочисленных ? из отрезка [О, V], то ?•* можно
определить, вычислив /„@) + Z„el(V), ЛA) + ^-1(^-1),
/nB) + Z„^1(K—2) и т. д. до xn = [V/vn] и выбрав из них
наименьшее. Тем самым одновременно будет определено
оптимальное хп. Как же вычислить Zn_x (?)? По определению,
л-1
Zn_1(t)= min 2//(*/), G.8)
причем в этом выражении все х^ /= 1, ... , л — 1, — целые
числа, удовлетворяющие неравенству
/=1

370 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [7
Здесь снова можно воспользоваться тем же приемом.
Пусть выбрано некоторое хп_1у а сумма ^?1\//(х/)
Достигает минимума по целочисленному набору неотрицательных
чисел хъ ... , хп__2> удовлетворяющих неравенству
л-2
Для произвольного ? определим функцию Z„_2(?)
соотношением
Z„_2(?) = min 2/,(*,), G.9)
*t *n-« /=1
где лгу (/=1, ... , л — 2)—целые неотрицательные числа,
удовлетворяющие неравенству
я-2
Тогда
Zw_x (?) - min [/л_х (л^) + Z„_2 (Е-^_Л_Х)]. G.11)
Продолжая таким же образом, в итоге получим
Z1(|) = min/1(*1), G.12)
в котором минимум ищется среди всех целых
неотрицательных хх таких, что ^x^fS/^i]- ^1 (?) вычисляется
непосредственно. Вообще говоря, Zx (?) нужно определить для всех
целых \ из отрезка [0, V] (далее это станет ясно). Если
известны все значения функции Zx (I), то можно вычислить
Z2 (E) с помощью соотношения
Z2 (I) = min [/2 (x2)+Zt (I— v2x2)].
xt
Затем вычисляется Z8(|) и т. д., пока, наконец, по
значениям функции Zn_1 (?) не находится с помощью G.7)
величина g*. Проследим порядок вычислений. Одновременно с
вычислением функций Zk (?) получаем набор х\, ... , х\.

7.2] динамическое программирование 371
Определяем последовательность функций
k
Zk(l)= min 2/y(*y), А=1, ...,л, G.13)
где а:-, у=1, . ..,&—неотрицательные целые числа,
которые удовлетворяют неравенству
2 «/*/<*• G.14)
/=1
Тогда
*• = *,. (У) G.15)
и Zk (|) можно найти с помощью рекуррентного соотношения
Z*F)= min \fh(xk) + Zk_1(l—vkxk)l k = 2, ...,/*.
G.16)
Для того чтобы вычислить Zk(%), необходимо знать Zk_1(r\)
для всех г] = 0, 1, ...,?. Но для определения Zft+1(g)
требуется знать Zfc(?) для всех ? = 0, 1, ..., ?. И наконец,
из того, что g,* = Z„(V), следует, что каждое Zft (|) должно
быть известно для всех 5 = 0, 1, • •., V.
Вычислительную процедуру такого типа можно
представить в виде /г-шагового процесса. На первом шаге
вычисляется набор значений Z1(\) для ? = 0, 1, ..., V, на втором
шаге—набор Z2(?) и, наконец, на п-м шаге подсчитывается
одно значение Zn(V). Отметим, что, когда получен набор
значений функции Zft(?), наборы значений функций Z,-(?),
* < *i Уже не нужны.
В процессе вычислений по формулам G.16), G.12) для
каждого | определяется значение хк, доставляющее
минимум G.12), G.16). Обозначим через хк (|) то значение хк,
которое соответствует минимуму в выражении G.12) или G.16).
Предположим, что наряду с таблицей значений Zk (|)
составляется таблица хк (?). На последнем шаге вычисляется Zn (V)
и вместо таблицы значений хп(?) получаем
единственное х*п. Кроме того, в нашем распоряжении имеется (п — 1)
таблиц значений хк (?) для &=1, ...,/г—1. Возникает
вопрос, как по ним определить х\, ..., х*п^х1 Для этого нужно
идти от последнего х*п. Так, x^i равно хп_г(У—vnx%)\

372 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [7
зная это J^rt-i) можно вычислить х*п-2 по формуле х*_2 =
= хп-ъ(У—vnxn — vn-ixn-i) и т. д., пока, наконец, не
получим
xl^x^V-^VjxYj.
Таким образом, в общем виде
xt^xjv— 2 VjxA k=l,...,n — l. G.17)
Условие единственности оптимального решения вовсе не
обязательно, т. е. функции хк (?) не должны быть
однозначными. Если на &-м шаге оказывается, что минимум Zk (?)
достигается при нескольких значениях хкУ то в качестве
xk (?) можно выбрать любое из этих значений. Или можно
поместить в таблицу все эти хк так, что в первом случае
в конце концов будет получено только одно решение из
набора возможных оптимальных решений, а во втором—все
оптимальные решения.
Так выглядит численная процедура точного решения
задачи, поставленной в начале раздела. Эта процедура может
быть представлена в виде /z-шагового процесса, в котором
на &-м шаге составляются таблицы значений Zk (|) и хк (?)
для | = 0, 1, ...,V. Для того чтобы заполнить позиции
каждой из этих таблиц, необходимо осуществить
минимизацию по одной переменной. Ясно, что если число шагов
велико и V тоже достаточно велико, то осуществить эту
процедуру без вычислительной машины не удастся, тогда
как с помощью последней можно обычно без труда и
довольно быстро выполнить все необходимые расчеты. Вовсе
не обязательно в зависимости от Vj вычислять Zk (?) для
всех целых ? из отрезка [0, V]. Однако задача определения
интересующих нас ? может быть настолько сложной
(придется проследить все вычисления в обратном порядке,
начиная с последнего шага), что нередко проще вычислить
значения Zk (?) для всех целых ? из отрезка [0, V]. Это
особенно характерно для задач, решаемых на цифровых
вычислительных машинах.
Для Zk (?) можно дать полезную интерпретацию. Zk (?)
можно представить как минимально возможные издержки,

7.2] ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 373
если весь процесс состоит из k шагов, а ограничение на
ресурсы для этого /^-шагового процесса равно ?. Смысл
соотношения G.16) состоит в том, что оптимальная
политика для ^-шагового процесса обладает тем свойством, что,
каково бы ни было решение на первом шаге, для
оставшихся (k — 1) шагов процесса политика должна быть
оптимальной по отношению к тому состоянию, которое получится
в результате выбора xk на первом шаге. Беллман [1] назвал
это свойство принципом оптимальности.
Используя методы динамического программирования,
можно значительно сократить объем необходимых вычислений
по сравнению с методом прямого перебора.
Пример. Рассмотрим упрощенный вариант задачи о «походном
ранце» для трех различных продуктов. Для их хранения отведен
объем 9 м3. vt—объем, занимаемый единицей продукта /, равен 1 м3\
для продукта 2 объем v2 = 2 м3 и, наконец, v3 = 2 м3. Спрос на
каждый из продуктов распределен по закону Пуассона со средним
значением 4 за период для продукта /, 2 за период для продукта 2 и 1
для продукта 3. Издержки из-за дефицита равны 300, 700 и 1400
долларам для продуктов /, 29 3 соответственно. Нужно определить, каким
должен быть запас продуктов /, 2 и 5, чтобы издержки из-за
дефицита достигали минимума в пределах ограничений.
Обозначим через #/ общий объем продукта i. Минимизируется
следующая функция:
3 I "со
Я = 23 я' 2] (У—*д Р (У* ИЛ
з
= 21 */ № р to—l; р/)—ър (*/; и*)]
для неотрицательных целых чисел */, удовлетворяющих ограничению
*i+2*2+2*3<9.
Определим функции Zk (?) следующими соотношениями:
к
zk (i) = min 2] */ №р to—l' у/)—*/* (*/; I*/)]; * = 1,2, з
*i *л/=1
для неотрицательных целых чисел х-1% удовлетворяющих неравенству
k
2] vi*i < 6.
/=1
Если S* означает оптимальнее значение ,ft, то ff* = Z8(9). Для
k^2 функции Zk(l) могут быть последовательно вычислены из
-

374
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
[7
уравнения
Zk(l)= min {ztk[v.kP (xk— 1; \ik)-xkP(xk; \ik)] +
0<xk<[l/vk)
7 m +^-1(!-^Л)},
где Zx (I) определяется как
Zx (l)= min {900 [4P fa—1; 4)-*^ (*i; 4)j}.
Так как vx=\t ясно, что минимум этого выражения достигается при
*i = ?> так как минимизируемое выражение равно издержкам из-?а
дефицита продукта /, если вначале имелось хх единиц этого
продукта. Следовательно,
Zx(i) = 900[4P(g—1; 4)—gP(l; 4)],
и если обозначить через *i(?) значение х1у минимизирующее Zl(x)t
то ii(?) = 6.
Выше предполагалось, что Z^(|) определяется обычно для всех
| = 0, 1, ..., К. Однако в этом простом примере нетрудно определить
те значения аргумента ?, которые действительно необходимы. Если
определить их с самого начала, то уменьшится общий объем
проводимых вычислений. Для вычисления Z3 (9) нужно знать Z2 (9—2х9)"
где х3 может принимать все целые значения от 0 до [9/2] = 4. Таким
образом, необходимо знать Z2(?) для ? = 9, 7, 5, 3, 1. Для этого
в свою очередь потребуются значения Zx (g —2д:2) при х2 от 0 до
[5/2]. И, следовательно, Zi(?) нужно вычислить для ? = 9, 7, 5, 3, 1.
Значения Z1(g), Z2 (?), ххA) и х2 (?) для этих g представлены в
таблице 7.1. Например, Zx E) = 900[4 @,56653)—5 @,37116)] = 369,3.
Таблица 7.1
Результаты вычислений
1
1
3
5
7
9
Zt(l)
2716
1213
369,3
76,29
11,04
*i A)
1
3
5
7
9
z2 A)
4116
2613
1769,3
1164
748,2
*г (S)
0
0
0
1
2
Z2(|) вычисляется по следующей формуле:
Z2(l)= min {700[2Р(д:2-1;2)-^Р(хг; 2I + 2!(|-2а:2)}.
0<*,<ге/2]
G.18)

7.3] ДРУГИЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 375
При ?=1 х2 должно быть равно нулю, и, следовательно,
Z2(l) = 1400 + ^i(l) = 1400+2716 = 4116.
При |=3 х2 может быть либо 0, либо 1. Чтобы определить, какое из этих
х2 оптимально, в выражение в фигурных скобках из G.18) нужно
подставить значения дг2 = 0 и х2=\ и выбрать то из них, которое
доставляет выражению в фигурных скобках минимум. Для х2 = 0
выражение в фигурных скобках равно 2613, а при х2 = 1 только Zx(l) = 2716,
что больше выражения в фигурных скобках при *2 = 0. Следовательно,
Z2C) = 2613 и *2C) = 0. Когда ? = 5, х2 может равняться 0, 1, 2.
Для *2 = 0 выражение в фигурных скобках равно 1769, а для
#2=1 2008, и наконец, при х2 = 2 превышает 2716. Таким образом,
?2E) = 0 и ZaE)=1769. Точно так же можно провести вычисления
для 5 = 7 и 9; результаты вычислений представлены в таблице 7.1.
Далее можно перейти к определению j?* = Z3(9). Имеем
Z3(9)= min {1400[Р(*3-1; 1)-*3P(*3; l)] + Z2(9-2*3)}. G.19)
Вычисляя значение выражения в фигурных скобках из G.19) для х3 = 0,
получаем 2148, для *3= 1 1679 и для х3 = 2 число, большее 1679. Для
#з = 3;4 выражение в фигурных скобках принимает еще большее
значение. Следовательно, ?3(9)=#3 = 1 и ,fJ* = Z3(9) = 1679. Остается
определить х\ и **. Из G.17) следует, что xt—x2(9—2xt)=x2G)=\
(см. таблицу 7.1). Наконец, xl = x1(9—2xt—2xl)=x1E) = 5. Таким
образом, следует создать запас на 5 единиц продукта / и по одной
единице продуктов 2 и 3. При этом средние издержки из-за дефицита
составят 1679 долларов.
7.3. Другие задачи динамического программирования
Обобщим задачу, рассмотренную в предыдущем разделе,
введя второе ограничение. Требуется минимизировать
следующую функцию:
л
g(xv ...,*„) = 2//(*/) G.20)
на множестве неотрицательных целых чисел х*у j— 1,..., п,
удовлетворяющих неравенствам
п п
2 «/*/< V; 2 «/*/< W> G.21)
где т/у, Wj, V, W—целые числа. Для решения этой задачи
можно воспользоваться тем же алгоритмом, заменив
функцию Zk(l) функцией двух аргументов Zk(?„r\). Введем

376 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [7
последовательность функций
к
Zk&yr\) = min 2//(*/). ?=1,...,л, G.22)
где Xj—неотрицательные целые числа, удовлетворяющие
следующим неравенствам:
S*y*/<?, 2«/*/<Ч- G.23)
Тогда g* = Zn(Vj W). Минимизацию по разным переменным
можно проводить в произвольном порядке, поэтому для 6^2
справедливо следующее соотношение:
Zk(l, T)) = min
*fc L
/*(**) +
min 2//(*/)
.... ^-i/=i J
причем при вычислении
min 2//С*/)
*i Jfjt-i /=i
переменные Xj, j= 1, . . ., & — 1, должны удовлетворять
следующим неравенствам:
?-1 ?-1
2] */*/< Б—****. 2 *jXj < л—<w
Но, по определению, этот минимум равен просто Zk_1(B> — vkxk,
т]—Wkxk)- Таким образом, Zft(?, т]) можно вычислить с
помощью следующего рекуррентного соотношения:
Zk(l,r\) = min[fk(xk) + Zk_1(l-vkxkl r\—wkxk)], 6^2,
хк
G.24)
в котором xk может принимать все целые значения от 0 до
И наконец,
Z1(g>T|) = min/1(x1). G.25)
*t
Численное решение задачи с двумя ограничениями
осуществить значительно сложнее, чем в случае одного ограниче-

7.3] другие Задачи динамического программирования 377
ния. Теперь Zft является функцией двух аргументов. Таким
образом, если в случае одного ограничения g могло
принимать 100 различных значений, то при двух ограничениях
нужно просмотреть 10 000 точек, вычисляя Zk для
различных комбинаций значений переменных \ и т), каждая из
которых принимает по 100 различных значений. Для
решения такой задачи на вычислительной машине понадобится
в 100 раз больше времени. Кроме того, потребуется
значительно больший объем запоминающего устройства. Здесь
обнаруживается одно из серьезных препятствий на пути
применения методов динамического программирования. Этими
методами хорошо решаются только такие задачи, в которых
функции Zk зависят лишь от очень небольшого числа
параметров. Если Zk зависит более чем от трех параметров, то
решение такой задачи практически неосуществимо даже на
большой вычислительной машине. Задача с тремя
параметрами потребует огромных затрат машинного времени.
Обратимся теперь к одной интересной задаче теории
управления запасами, которую также можно решить
методами динамического программирования. Пусть требуется
найти неотрицательные целые числа лгу., у=1, ...,л,
минимизирующие функцию
п
g(xv ...,xn)=%fj(ypxj)} G.26)
где ух задано, а
y/+i=yj + Xj—dj> /=1> ...,л—1. G.27)
Пусть g—затраты на работу системы в течение п периодов,
afjiyjtXj) — издержки, связанные с у'-м периодом; здесь
Xj — размер заказа, поданного в начале периода,
aj/y—фиктивный уровень запасов в начале у-го периода до подачи
заказа. Соотношение G.27) связывает фиктивный уровень
запасов в начале (у+1)-го периода с фиктивным уровнем
запасов в начале предыдущего периода, размером поданного
в у-м периоде заказа и величиной спроса за у-й период dj.
Ниже будет показано, как эту задачу сформулировать в
терминах динамического программирования. Отметим, что g*
будет зависеть от ylt т. е. в общей постановке ух будет
единственным параметром задачи. Отсюда следует, что
параметр уг должен играть ту же роль, что и V в задаче из

378 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [7
предыдущего раздела. Другими словами, функция Zk должна
зависеть от фиктивного уровня запасов в начале &-го
периода.
Как и раньше, представим задачу минимизации в виде п-
шагового процесса. В этом случае вычисления придется
начать с последнего периода и двигаться в «обратном»
времени от конца процесса к его началу, так как у±
характеризует состояние системы в начале первого периода. В
предыдущем разделе порядок выполнения вычислений не имеет
значения, но здесь это уже не так. Определим
последовательность функций
Zk(l)= min S/yOry,*y). G-28)
Ч *п/=*
Здесь Xj—неотрицательные целые числа, a yj определяются
с помощью рекуррентного соотношения, y = ft, ...,/z:
yj+i^yj + Xj—dp 7= *. ...,/г—1, G.29)
Л = ?. G.30)
Тогда g* — Z1(y^). Кроме того, для k < п
п
Zk(l)=min[fk(l,xk)+ min 2 //(У/,*/)]>
где
yk+i^l + xk — dk,
а Ук+2> •••» Уп Должны удовлетворять G.29). Отсюда
следует, что
Z,(g) = min[/,(|, xk)+Zk+1(l + xk-dk)) G.31)
Хк
И
Z„(S) = min/„(?, хя). G.32)
хп
В выражениях G.31), G.32) хк может принимать целые
неотрицательные значения. Алгоритм вычислений остается
прежним. На первом шаге для всех допустимых целых ?
подсчитывается Z„(?). Одновременно определяется #„(?),
равное тому значению хпУ которое минимизирует /я(|, хп).
Затем с помощью G.31) рекуррентно вычисляют все
остальные Zk(E,). Одновременно составляется таблица значений

7.3] ДРУГИЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 379
хк(%). На последнем шаге вычисляется Z1{y1)i а остальные
значения Zx (?) не нужны. На этом же шаге определяется х\.
Тогда
xt=x2(y1 + xl — d1)i xl = x*(yl + xl—di). G.33)
Такой метод иногда называют методом вычислений в
обратном времени, так как вычисления ведутся, начиная с
последнего шага в реальном физическом времени. Zk (?)
интерпретируется как минимально возможные издержки на отрезке
от начала &-го периода до конца /г-го периода, если
фиктивный уровень запасов в начале А-го периода был равен ?.
Пусть требуется, чтобы
Уп+1=Уп + Хп — йп> G.34)
где уп+1—фиксированная константа. Соотношение G*34)
сужает область возможных значений уп и хп. Новое
ограничение определяет фиктивный уровень запасов в конце
последнего периода. В этом случае можно указать алгоритм
решения задачи в «прямом» времени. Для этого определим
последовательность функций
**(?)= min S//0V. */)> G-35)
*1 Хк }=1
где
а уг, ...,ук удовлетворяют G.29). Тогда рекуррентное
соотношение имеет следующий вид:
Zk A) = min [fk (l + dk—xk, хк) + Zk_t (t + dk—xk)],
k>\ G.36)
и
Z1(l) = min/1(l + d1-x1, Xl), G.37)
так что g* = Zn{yn+1). Представленный алгоритм полностью
аналогичен предыдущему. Здесь Zk (?)—минимально
возможные издержки на первых k периодах при условии, что в
конце &-го периода фиктивный уровень запасов равен ?.
Рассмотрим случай, когда dj — дискретные, независимые
случайные величины. Пусть pj(dj) означает распределение d*.

380 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [7
Такая постановка задачи означает управление запасами
при случайном спросе. Функции /у(уу, xj) можно
интерпретировать как средние издержки на у-м периоде
функционирования, если фиктивный уровень запасов сразу же после
проверки (и подачи заказа) был равен Уу + Xj.
Минимизируемая функция в этом случае равна средним издержкам, т. е.
по всем dj ^ 0
Л pa*A 2//(у/. */)
i=i
G.38)
где 2]/Li//0V, xj) соответствует фиксированному набору
переменных yj (уу. связаны с dj соотношениями G.29)), а
TL-Pj(<*/) =Pi{di)pt(<**) ... p„(dn) G.39)
i = l
•/¦'
представляет собой вероятность данного набора величин d
так как dj—независимые случайные величины. Как и раньше,
предположим, что уг задано. Для случайного процесса, вообще
говоря, нельзя определить состояние системы в конце
последнего периода, и поэтому для таких задач решение всегда
будет вестись в обратном времени. По аналогии с
детерминированным случаем введем последовательность функций
zk(l) =
** яДпо.всем d,* 0 [+3ft J b=* \\
A=l,
, n, G.40)
где ук — %. Тогда, как и раньше, g* = Z1(y1). Перейдем
к выводу рекуррентных соотношений. Заметим, что
входящая к Zk функция Д (ук, хк) — Д (|, хк) не зависит от dj.
Кроме того,
2
по всем dj ^ 0
Ш,(Л/)]=пГ2лС/I
J = k J j = k ldj=0 J
1.

7.3] ДРУГИЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 381
Следовательно,
Zk(l) = mln{fk&, хк) +
Хк
+ mi" по всД > О [U PJ W] \ 2 // 07. */>1
= min f Д (?, *Л) + 21 Л <**>[ min 2 X
*k I rffc=0 '* + t *n по всем dj^O
V L 5=Л+1 л
li=A+i J u=*+i J J;
= min |д (g, ^)+^2оРЛ(^)гЛ+1F + хЛ—сШ.
Таким образом, эти рекуррентные соотношения имеют
следующий вид:
Z,(?) = min |д(?, ^)+ДрЛ(^)^Л+1 (l + xk-dA
k<n G.41)
и
гп(б) = ш1пД(б, хп).
хп
Описанный алгоритм в точности совпадает с алгоритмом
динамического программирования для детерминированного
случая. Однако вычисления будут несколько сложнее, так
как в G.41) Zk+1 приходится суммировать по всем
возможным значениям dk. Верхний предел суммирования в G.41)
равен оо, но для любой практической задачи этот предел
обычно конечен. При определении х* появляются некоторые
особенности. Формулы выглядят совершенно так же, как и
в детерминированном случае, но непосредственное
определение возможно лишь для хг. Для вычисления x2i ..., хп
нужно знать dj. Интуитивно такое утверждение очень
убедительно, так как, например, не хотелось бы принимать
решение о размере заказа на 2-й период, не зная, каким
был спрос на 1-м периоде. Как и в детерминированном случае,
можно считать Zk (?) минимально возможными издержками
на отрезке от А-го периода до л-го периода при условии,

382 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [7
что фиктивный уровень запасов в начале &-го периода
равен ?.
Динамическое программирование можно также
использовать для решения задач, в которых все переменные
непрерывны. Впрочем, для того чтобы в рекуррентном
соотношении провести минимизацию по непрерывной переменной xk>
необходимо создать некоторую поисковую процедуру. В этом
случае невозможно непосредственно проверить каждое
допустимое значение xk. Один из прямых способов решения этой
задачи состоит в том, что непрерывная область изменения xk
заменяется набором дискретных значений, а затем на этом
конечном множестве определяется локальный минимум (или
минимумы). Затем в окрестности найденного минимума (или
минимумов) используют более мелкие разбиения, пока не
будет получена достаточная точность. Существует большое
многообразие алгоритмов, которые применяются, если
функции /} обладают некоторыми специфическими свойствами*
(например, вогнутость). Если xk непрерывны, то обычно
непрерывна и переменная ?. В этом случае Zk (?) вычисляется
для ряда дискретных значений, а в остальных точках
значения Zk (|) определяются интерполяцией. Динамическое
программирование гораздо лучше приспособлено для
решения дискретных задач, и именно это отличает его от тех
численных методов, которые были развиты в предыдущих
разделах.
7.4. Динамические модели размера партии.
Детерминированный случай
Остановимся на одном обобщении модели управления
запасами из параграфа 2.2. Динамическое программирование
позволяет проводить вычисления только для конечного числа
периодов, поэтому в рамках этого метода трудно
рассматривать случай «бесконечного горизонта» планирования (т. е.
на всей временной оси). Практически «бесконечность
горизонта» несущественна, так как обычно отдаленное будущее
почти не влияет на решения, которые принимаются в
настоящем. Кроме того, во многих случаях запасы подвержены
* Вообще говоря, специализированные алгоритмы могут оказаться
полезными и в случае дискретных переменных.

7.4]
МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ
383
износу, и потому не имеет смысла выбирать отрезок
планирования чрезмерно большим.
Предположим, что спрос имеет детерминированный
характер. Дефицит исключается, т. е. считается, "то требования
всегда могут быть удовлетворены. Стоимость единицы
запаса С не зависит от размера партии. Заказы можно
подавать в моменты времени ?х, ..., ?п. Время поставки по у-му
заказу постоянно и равно %р причем ту- таковы, что времена
поставок заказов не пересекаются во времени. Таким
образом, поставки осуществляются в моменты /у= gy-f-fy Pac*
ходы, связанные с подачей у-го заказа, равны Aj. Заказ
подается в момент времени ?у только в случае
необходимости.
Пусть Qj означает размер заказа, поданного в момент
gy(Qy^O). Определим Qp минимизируя суммарные издержки
на всем интервале планирования ?(?>?л + тл). Допустим,
что желаемый уровень наличных запасов в момент времени ?
равен уп+1. Отметим, что издержки хранения на интервале
от ?х до tx не зависят от Qj и поэтому их не нужно
учитывать в выражении для суммарных издержек. Существенны
издержки хранения на интервале от tx до ?.
Интервал от tj до tj+1(tn+1 = t) назовем у-м периодом.
Пусть Tj — tj+1 — tp а уг— наличный запас в момент
времени tv Обозначим через Я (t) интенсивность спроса. Тогда
спрос за у'-й период равен
df= \ k(t)dt.
h
Теперь можно выписать выражение для суммарных
издержек. Все переменные величины считаются непрерывными.
Обозначим через /уС издержки хранения единицы запасов
в течение у-го периода. Если до поставки у-го заказа объем
наличного запаса в начале у-го периода равен ур то
издержки хранения на у-м периоде равны
Щ Uyf+Q/-h(u)du\dt =
tj L t} J
=I.C[yj + Qf]—Lj j §X(u)dudt.
4 h

384 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [7
Как станет ясно из дальнейшего, это выражение удобно
переписать в виде функции уровня наличных запасов в конце
периода, что нетрудно сделать с помощью уравнения баланса
yj+i^yj + Qj-dj, j=i, . ¦., п. G.42)
Здесь yJ+1 означает наличные запасы в конце /-го
периода (и в начале (y-fl)-ro периода до поставки у-го заказа).
Таким образом, издержки хранения на у'-м периоде
составляют
fjCy/+i + ljC
Г 0+1 '• 1
^у—ут J §h(u)dudti G.43)
L J tj tj J
Первое слагаемое в G.43) представляет издержки
хранения, связанные с той частью запасов, которая на у'-м периоде
не нашла спроса. Второе слагаемое соответствует dj
запрошенным единицам запаса и не зависит от Qj. Поэтому его
можно не включать в выражение для издержек. Таким
образом, издержки на интервале планирования составляют
где
/О, если Qy—0,
/=~\ 1, если Qy>0,
a j/y. удовлетворяют соотношению G.42). Как уже отмечалось
выше, функция Я не учитывает всех расходов и
представляет лишь переменные издержки на планируемом интервале.
St можно интерпретировать как переоцененную стоимость,
если считать, что в Aj и Ij введены некоторые
коэффициенты переоценки. Кроме того, если на цены товаров
вводится переоценка, то это также должно быть отражено в 5?.
Исследование этого случая переносится в задачу 7.5.
Метод динамического программирования позволяет
определить Q/ без помощи вычислительной машины. Начальный
и конечный уровни запасов заданы. Поэтому задачу можно
решать как в прямом, так и в обратном времени. Как станет
ясно в дальнейшем, первый способ решения представляет
для нас и больший интерес.

7.4]
МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ
385
Определим последовательность функций
Zk&)= min ^{Afij + tfiyj^}, ?=1, ...,/z, G.45)
Qu .... Qki=i
где ук+1 = %, а остальные yj удовлетворяют G.42). Тогда
из G.36), G.37) следует, что
Zk (g) = IkCl + min {ЛА + Z*-i F + <** -Q*)}, G.46)
а
( А, если Q* > О,
АF)-/С6 + |0^ „„ п_. G-47)
где
HS
если Qi = 0,
+ ^i —^и если ^>.У1 — ль
в остальных случаях.
G.48)
Рассмотрим случай уг = 0, т. е. когда наличный запас в
момент времени \х к моменту первой поставки полностью
израсходуется на удовлетворение спроса. Если ух > 0, то
подавать заказ не имеет смысла. Поэтому уг = 0 является
единственным интересным случаем. Если ^ = 0, то можно
установить ряд свойств, существенно сокращающих объем
необходимых вычислений. Прежде всего отметим, что если
QI > 0, то yl = 0, т. е. наличный запас к моменту поставки
очередного заказа должен равняться нулю. Это следует из
того, что при ук > 0 можно сократить издержки хранения,
поставляя вместо QI единиц запаса Qt+Ук единиц. При этом
расходы, связанные с подачей заказа, не изменятся, и,
следовательно, общие издержки уменьшатся. Такие
рассуждения основаны на предположении о независимости цены
товара от размера заказа.
Из того, что yt = 0 при QI > 0, следует, что Q% может
быть равно одному из следующих n — k-\-\ чисел:
Qt = dk или dk-\-dk+1 или ... или йк-\-... + dn. G.49)
Это позволяет значительно сократить перебор в G.46).
Отметим, что если заказ Q\ предназначен для
удовлетворения спроса за у-й период (у>&), то этим же заказом
удовлетворяется спрос за (к+\)-йу ..., (у— 1)-й периоды.
В самом деле, допустим, что это не так, т. е. что
существует Q* > 0, к < v < у, предназначенное для удовлетворения
13 Дж. Хедли, Т. Уайтин

386 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [7
спроса на v-м периоде и, может быть, на (т>+1)-м, ...,
(у—1)-м периодах. Тогда Q*, yv > 0, так как какая-то часть
QI должна быть сохранена для удовлетворения спроса за
у-й период. Полученное противоречие и служит
доказательством нашего утверждения.
Далее покажем, что если для Zk @) оптимальным
решением является QI > 0 (и, следовательно, yl = 0), то и для
всех ? > 0 QZ > 0. Обратимся к уравнению G.46). Прежде
всего заметим, что
Z»@) = mln {4^+^-1 («**-<?*)} =
Qk
= mm\zk_M. G-50)
Так как, по предположению, Ql > 0, т.е. при | = 0
имеем Ql = dk, то Ak + Zk_1@)^.Zk_1(dk). Кроме того,
^*-i(?) > Zk-iWk) ПРИ 2 > dk, так как последнее означало
бы, что к концу (k—1)-го периода остается
неизрасходованный запас, а это увеличивает издержки. Далее имеем
Zk(l) = m\n{Akbk + Zk_1{l + dk-Qk)}. G.51)
Qk
Но выше отмечалось, что
4 + Zbl@)<Zft.1(^)<Zft.ia когда l>dk,
и, следовательно,
что и требовалось доказать. Полученный результат можно
интерпретировать следующим образом. Если для ^-шагового
процесса, в котором наличный запас в конце &-го периода
равен нулю, в начале &-го периода оптимально получить
отличный от нуля заказ, то это же решение будет
оптимальным на k-м шаге л-шагового процесса с п > k.
Рассмотрим теперь ^-шаговый процесс, для которого
наличный запас в конце последнего периода равен нулю.
Оптимальная политика для этого процесса распадается на
две группы решений. В начале w-то периода поставляется
заказ, предназначенный для удовлетворения спроса за
периоды с w-то по k-ft. Кроме того, имеется последовательность
решений, образующих оптимальную политику (w— 1)-шаго-

7.4]
МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ
387
вого процесса при условии, что наличный запас в конце
(«к;—1)-го периода равен нулю. Таким образом,
Zk@) = minlAw + C^\lf 2J */!+*—i@)l,
w-l, 2 6,
где Z0 @) = 0, или, если ввести
^(wJ^^ + Cjjf/, J d+Z^.^O), G.52)
/S» L /=7+1 J
то
Zk@) = minYk(w), w=l, 2, ..., ft. G.53)
Отметим, что Yk (w) суть издержки за ft периодов
функционирования при условии, что, во-первых, наличный запас
в конце ft-го периода равен нулю, во-вторых, для первых
(w—\) периодов используется оптимальная политика,
соответствующая условию нулевого запаса для (w—1)-го
периода, и, в-третьих, в начале «а/-го периода производится
поставка, для удовлетворения спроса за до-й, ..., ft-й
периоды. Теперь можно показать, что, если для Zkmml @)
спрос за. (ft—1)-й период удовлетворяется поставкой в
начале v-то периода (v < ft), то, заказ, предназначенный для
удовлетворения спроса за ft-й период, поступит в начале
т/-го или следующих за ним периодов. Таким образом,
вычисляя Zk@), не нужно учитывать возможность выполнения
требований, поступивших на ft-м периоде, за счет заказов,
поставленных до начала г>-го периода. Тогда в G.53)
допустимое w должно изменяться в пределах от v до ft.
Докажем это от противного. Допустим, что
Zk @) = Yh (и) = Аа + С Д \lj Д i «*/] + *.-i @) < Ун («),
где
**-i @) = Уп-х И=А,+с? [h^ d] + zv-i @)
и v > и. Но, выделяя в Zk @) издержки хранения запасов
за время от периода и до периода ft, предназначенных для
13*

388 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [7
удовлетворения спроса за k-ft период, находим, что
k-i
Zk @) = Cdk 2 fj+Y^ (и) = Yk (и),
j=u
при этом
Yft(v) = Cdk%I/+Yk_1(v).
j=v
Вычитая Yk (v) из Zk@), вследствие того, что
Yh-i (и) > Yk (*) = Zh_x @) и Cdk 2 /y > 0,
получаем
Zft @) - Yk (v) = Cd, "S '/ + >Vi («) - ^-i И > 0.
Следовательно, Zk@)^Yk(v), что противоречит принятым
условиям. Таким образом, вычислительная процедура
сводится к очень простому алгоритму. На k-м шаге с помощью
G.52), G.53) вычисляется Zk@), причем w изменяется в
пределах от v до /5,-тде v определено при вычислении Zk_t@).
Оптимальная политика находится обычно при вычислении
Zn @)., Если же в конце нужно иметь | единиц наличного
запаса, то на последнем шаге Zn (?) подсчитывается как
Zn (I) = min Lw + С  \lj ( 2 d,+l
+ <*—1@)
где вновь необходимо, чтобы w пробегало все значения от
v до л, причем в Z„_1 @) поставка, удовлетворяющая спрос
на (п—1)-м периоде, поставляется в начале т>-го периода.
Наличие в конце процесса ? единиц запаса эквивалентно
увеличению спроса за /2-й период на g. Поэтому алгоритмы
вычисления Zn (|) и Z„ @) совпадают.
Результаты вычислений удобно представить в табличной
форме (см. таблицу 7.2). В последней строке таблицы в
скобках объединены периоды, на которых спрос удовлетворяется
заказом, поставленным в начале периода, который
расположен в скобках первым. Таким образом, C,4,5) означает,
что заказ, поставленный в начале 3-го периода, оптимальным
образом удовлетворяет спрос за 3-й, 4-й и 5-й периоды.
В таблице 7.2 Y\ (w) означает оптимальное Y^ (w), т. е, Zk @).

Таблица 7.2 Г*
Форма вычислений для динамической модели размера партии ^
1
|
2ft @)
Ql
i
Y{A)
Z1<0) = F1A)
A)
2 | 3 | 4 | | л-1 1 n 1
r;o)
У. B)
Z2@) = K2A)
A.2)
ПA)
M2)
K*C)
Z3@) = K3C)
A.2)C)
W
^4D)
| ...
Z4@) = r4C)
A.2) C,4)
...
...
Y„-Av)
^;-i(»-o
Z„_1@) =
= K„_1(n-l)
A,2) C,4,...)-
...(«-!)
F*(n-1) 1
V„(«)
Z„@) = r„(n-1)
A,2) C.4,...)...
...(n— \,n)

390
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [7
со
*3
ю
cd
Н
»5
S
лен
и
S
2
со
2
тат
.0
ч
>»
8
а.
я-
к
О)
2
CN
"""
-
О
а»
оо
h~
со
ю
"**
со
CN
-
<=>
о
*"*
о
о
о
*""
ю
см
—
1Л
О)
о
о
о
ю
о
о
о
""*
1ft
CN
о
о
о
оо
о.
1 <•>
*
ооо
ю ю ю
ослеп
со смсм
2650
2650*
2750
*
оо
LO Ю
смсм
_
ооо
т т ю
^см см
смсм см
*
оо
ю о
ОО
— см
*
ооо
ооо
00 t^- Г-
*
888
Tf ^ Ю
,—1 _Н «^
1200
1200*
1300
*
88
О •"*
I—* 1-й
*
О О О
§й§
*
88
Ю СО
г» -^— '
о
8
^ч
~
.*
I >*
ю
ел
см
о
ю
со
см
о
ю
см
2250
о
ю
О)
о
о
^
о
о
"*
-
8
о
§
5
ю
8
о)
I ^
^,^™—¦^^S^""j
СМ -^ СО 00 ^-n— ^ 1
_ . . .О) -СМ 1
—1 СО Ю h* ^О ^ 1
~^-З-З—^ 1
rf 00 —< 1
A.2)C,
E, 6) G.
(9) A0,
^оо* 1
C0~h-*0 I
/—ч^-v 1
<^^о^
-^юw 1
>_^N_^ I
""^-3-^3-^^ 1
см ^ сооо^^ 1
. .. * ,а> 1
-союь4-' 1
s-"^>—'^ 1
^^_^ 1
^ 00 1
СО~1^ 1
см^со4 1
С^Ю- 1
СО,^ 1
см'со4 1
~-Гю 1
\^Z^Z^Z. 1
CM rf СО
-^сою 1
>w^^>-^ I
со ^
«—s^-ч
см •*
-?со^
^—s
CM ^v
>w 1
,^-s
см
^-«
W
¦ -at
о»

7.5] ПРИМЕР ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАЗМЕРА ПАРТИИ 391
В представленной модели моменты подачи заказов заданы.
В более общем случае, кроме размеров заказа, нужно
определить и моменты подачи заказов. Если интенсивность спроса
изменяется во времени, то даже в простейшем случае эта
задача оказывается чрезвычайно сложной. В задаче 7.6
предлагается вывести уравнения для определения этих
моментов, когда расходы на подачу заказа не заданы. Нужно
отметить, что если достаточно часто подавать заказы, то
можно сколь угодно точно аппроксимировать искомое
оптимальное решение, т. е. моменты подачи заказов.
7.5. Пример динамической модели размера партии
По договору с одной из крупных фирм, занятой
производством ракет, поставщик обязан в начале каждого месяца
текущего года предоставить определенное количество
штампованно-литых конструкций. Из месяца в месяц это количество
меняется. Примерные данные приведены в таблице 7.3.
Конструкции производятся партиями. Стоимость переналадки
равна 300 долларам. Изготовление одной конструкции
обходится в 120 долларов. Принятый коэффициент издержек
хранения равен 0,2. Изготовление партии занимает один
производственный цикл, который продолжается немногим
менее месяца. Производственный цикл начинается в первые
дни месяца, а в конце месяца все неотправленные заказчику
конструкции отсылаются на склад. Требуется определить
оптимальное число производственных циклов и время их
проведения. Действие контракта заканчивается в конце года.
К этому времени поставщику невыгодно иметь запасы
неотправленных конструкций.
Используя обозначения из предыдущего раздела, запишем,
что Лу.=гЛ = 300 долларов, а //С = /С/12 = 2 доллара в месяц
на одну конструкцию. Период равен одному месяцу. Поэтому
количество конструкций, которое должно быть поставлено
в начале (& + 1)-го месяца, удобно рассматривать как спрос
за k-ft период со стороны поставщика.
Тогда
Z1@)=^ = 300=K1A),
|2Л = 600=Г2B) )
Z^0) = min{2A00) + 300 = 500=r2(l)h50°=r^1^

392 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [7
Если наличный запас к концу второго периода равен
нулю, то проводить для этого периода второй
производственный цикл нецелесообразно. Далее,
I ^ + Z2@) = 800=r3C)
Z3@) = min] 2.125 + 2Л = 850 = Г3B)
|>125 + 2-225 + A=1000 = r8(l)J
= 800 = Г3C).
Для 3-шагового процесса оптимально провести два
производственных цикла. Один должен быть рассчитан на
удовлетворение спроса за первые два периода, а второй—на
удовлетворение спроса за 3-й период. Это следует учесть
при вычислении Z4@) (см. предыдущий раздел)
у ,т_ • М + *.@) = 1100=Г4D) \
*4(и)-тиц2.100 + 4 + Z2@) = 1000 = K4C)J-
= 1000 = Г4C).
Таким образом, для удовлетворения спроса за 3-й и 4-й
периоды нужно осуществить один производственный цикл.
Результаты вычислений представлены в таблице 7.3.
Оптимальное решение имеет следующий вид:
<Я=180, Q; = 0, <?J = 225, <Й = 0, <?=100,
<Й = 0, Q? = 225, <? = 0, QJ=125, QJ0 = 150,
где Q* представляет размер партии, которую нужно
выпустить на у-м периоде. Отметим, что оптимальное решение
неединственно. На 5, 6, 7, 9, 11 и 12-м периодах можно
сделать другой выбор. Суммарные издержки равны 2950
долларам.
7.6. Динамические модели планирования
на фиксированном интервале времени
при случайном спросе
Предположим, что спрос случаен. Как и в предыдущем
параграфе допустим, что заказы можно подавать в моменты
^ = 0, ?2, ..., ?я. Продолжительность периода планирования
конечна и равна ?. Рассмотрим систему с регистрацией
неудовлетворенных требований. Время поставки %j для заказа,

7.6] МОДЕЛИ НА ФИКСИРОВАННОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ 393
поданного в момент ?у, считается постоянным (времена
поставок могут зависеть от у, однако считается, что времена
отдельных поставок н* перекрываются). Обозначим моменты
поставок через tv .-..,/„, где tfy=?y + Ty. Предполагается,
что ? > tn. Назовем у-м периодом время от t;- до t/+1 (*„+1 = ?)•
В момент времени ?х задан фиктивный уровень запасов уг.
Из-за случайности спроса невозможно задать фиктивный
уровень запасов в конце периода планирования в момент
времени ?.
Допустим, что средний спрос за время t (O^it^t,)
определяется с помощью непрерывной функции D(t), причем
спрос за любой интервал от V до t" (O^f < ?, t' < f^Q
распределен по закону Пуассона со средним D{t")—D{t').
Пусть
7/^Ey+i-S/, /=1, ...,л. G.54)
Удобно ввести Яу и оу так, что
Таким образом, если на интервале от ?/До/у+1 рассмотреть
спрос с постоянной средней интенсивностью Яу, то для
объема спроса за этот интервал получим то же самое
распределение, что и для спроса с соответствующей
переменной интенсивностью. Точно так же можно интерпретировать (Гу.
Обозначим через Aj расходы на подачу заказа в момент ?/.
Пусть Qy означает размер этого заказа (Qy-^0). Учитывая
нелинейность цен, представим, что стоимость Qj единиц
заказа, поданного в момент ?у, равна Cj(Qj). Издержки
хранения единицы запасов в течение у-го периода равны IjCj.
Здесь Су означает среднюю цену товаров, определенную
в любом наперед установленном смысле. Постоянные издержки,
связанные с учетом требований, в расчете на одно требование
составляют я-, а стоимостный коэффициент удельной нехватки
равен Яу. В большинстве практических случаев весь
наличный запас, оставшийся к моменту ?, продается по цене L
за единицу товара.
Как и для детерминированной модели из предыдущего
параграфа издержки на отрезке от ?х до tx не зависят от Qy,
и их можно не учитывать.

394 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [7
Вычислим издержки хранения и издержки, связанные
с учетом требований на у-м периоде, если в момент ?у
фиктивный уровень запасов (до подачи заказа) равен у^. После
подачи заказа фиктивный уровень запасов становится
равным yj-\-Qj. Допустим, что моменты ?у следуют так часто,
что лля любого t, заключенного между tj и tj+v с
достаточной точностью можно записать
K,(t-tj) = D(t)-D&j).
Тогда на у-м периоде средние издержки хранения равны
Ч + т^-т, J X (yj+Qj-x)p[x;l.j{t-tj)]dt =
tj V=0
r A TJ + *i+
h'4 r
j |yy+Q,-V+
i" Z (x—yj — Q^Pixi^Udx^IjCjlyj+Qj—
x=!/j+Qj >
• ^-(Tj+x/+1 + Xj)+B{yj + Qp 7> + ту+1,ту)] , G.56)
где G) + Ту+1—Ту) В (yj + Qj, Гу + т/+1, ту) представляет собой
среднюю интегральную нехватку за у-й период. Это выражение
уже было получено в параграфе 5.3, причем для этого
достаточно в формуле E.26) х-\-Т заменить на Ту+1+7/, а т на
Ту. Среднее число учтенных требований на у-м периоде равно
E(yj-VQj\ 7> + т/+1, ту) =
00
= И ix-yJ + QJ){p[x\%j(Tj + x^1)]-p(x\'kjXj)}. G.57)
Используя П3.10, последнее выражение можно упростить.
Ожидаемая выручка от продажи наличного запаса, оставшегося
к моменту времени ?, составляет
Уп+Qn
G(yn + Qn) = L ? (x-yn-Qn)P[xiK(t-U]- G-58)
х=о

7.6]
МОДЕЛИ НА ФИКСИРОВАННОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ
395
Все составляющие суммарных издержек вычислены.
Значения yj удовлетворяют уравнению баланса запасов
yJ+i=yj + Qj—dp
G.59)
где dj—спрос за отрезок от ?у до ?уЧ1. Вероятность
наблюдения спроса dj равна p(dj\ajTj). Отсюда следует, что
суммарные средние издержки на всем интервале планирования
я= 2
по всем
dk>0
И р (d/, OjTj) Ц Ufr + Cj (Qj) +
.7=1 J Li=i \
+ fjCj [yj + Qj-^- (Tj + t/+1 +Xj)] +
+ n/E(yJ+QJ, Tj + xJ+11 Xj) + [(Tj + Xj+1-Xj)nj + IjCj]x
xB(yJ+QJJ Tj + %j+1, b)\-G(yn + Qn)]. G.60)
Функцию 9l можно также интерпретировать как
переоцененные издержки, если считать, что в показатели Лу, Cj(Qj), /у,
Яу, Яу, L введены коэффициенты переоценки.
Динамическое программирование дает естественный
способ численного определения Q* (yj): Из-за случайности спроса
задача решается в обратном времени. Определим
последовательность функций Zk(l), &=1, ...,/z.
Имеем
Zk{l) =
Qk
+
min f 2 l&PWpOjT;)} [2<k.6,
Qn\ повеем U=k J u=k *
+ CJ(Q/) + IJ.CJ.[y/+QJ.-^-(TJ. + TJ.+1 + xJ)] +
+ n/E(yJ + QJ, Tj + x/+l, т/) + [G) + ту+1-ту)я/ + /уСу]х
ХВ{У/+Qp 7} + т/+х, Xj)} -G (yn + Qn)
k=\, ..., n.
G 61)

396 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
[7
С помощью G.41) получаем следующие рекуррентные
соотношения:
Zk(l) = minUk8k+Ck(Qk) +
Qk I
+ /kCk[l + Qk-^(Tk+xk+1 + Tk)] +
+ nkE(t + Qk, Tk + xk+vxk) +
+ 2 P(dk> oJk)Zk+1(l + Qk-dh)\, ft=l, ..., /i-l,
dk=0 )
G.62)
ZJiF)=mlnii4A + Cll(Qi.) +
Q* I
+ t(?-^-Tj^ + /„Cn]^(S + Q„,?-S,,T„)-G(E-Qw)}.
G.63)
Следует напомнить, что численно можно найти только Q1#
Остальные Qy- получаются в виде функций Qj(yj).
Соответствующее Q*j может быть выбрано тогда, когда станет из
вестным j/y, т. е. Q* можно выбрать только в момент подачи
заказа. На практике довольно часто интересуются только Q*,
так как в процессе функционирования поступает
дополнительная информация, и для того, чтобы учесть ее, каждый
раз при подаче заказа приходится решать задачу заново.
Процедура численного решения была изложена в
параграфе 7.3. В большинстве случаев невозможно провести
вычисления вручную, но их легко осуществить с помощью»
мощной вычислительной машины. Тем не менее и при
использовании вычислительной машины желательно предусмотреть
способы сокращения расхода машинного времени. Если Q%
велико, например больше 100, то процедура минимизации
по всем целочисленным Qk может оказаться слишком про-
должительной. Чтобы уменьшить расход машинного времени,
можно установить для Qk переменный шаг. Например, можно-
проверить все целые Qk между 1 и 25, а для 25^Qft^100>
положить шаг изменения Qk равным 5, и если Q^^5100,,

7.7] МОДЕЛИ НА ИНТЕРВАЛЕ СЛУЧАЙНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ 397
проверить каждое десятое значение Qk. Другими словами,
начиная с 25, Qk пробегает следующий набор значений
30, 35, 40, ..., 100, 110, 120, ... Максимальное
значение, которое может принимать фиктивный уровень запасов,
равно верхнему пределу для |. Поэтому рекомендуется
в целях сокращения расхода машинного времени
придерживаться как можно меньших значений ?. Если средний спрос
за время поставки велик, то целесообразно вместо
распределения Пуассона использовать его аппроксимацию
нормальным законом.
Рассматриваемую модель можно распространить и на
случайные времена поставок. Этому вопросу посвящена
задача 7.9. Исследование системы с потерей требований,
как обычно, сопряжено с трудностями. Все вопросы,
возникшие при изучении стационарных состояний системы с
периодической проверкой, возникают и здесь. Если одновременно
можно выполнить несколько заказов на пополнение, то Zk
становится функцией нескольких переменных. Поэтому в
настоящее время численное решение таких задач невозможно.
В задаче 7.10 предлагается рассмотреть случай системы
с потерями неудовлетворенных требований.
7.7. Динамические модели планирования на интервале
случайной длительности при случайном спросе
Иногда целесообразно воспользоваться моделью из
предыдущего параграфа, когда интервал планирования не
зафиксирован. Его нужно считать случайным. Практической
иллюстрацией служит хранение запасных частей к военным
самолетам, для которых эксплуатация (время до снятия
с вооружения) описывается вероятностным законом. В этом
параграфе мы попытаемся распространить изложенную
теорию на случай, когда момент времени ? будет случайным.
Если ? считать непрерывной случайной величиной, то задача
становится очень сложной.
Практически очень трудно для ? выбрать подходящую
форму плотности вероятности. Лучше отобрать конечное число
моментов времени ?(/),/=1, . . . ,/и, и назначить им
р,-—вероятности событий, состоящих в том, что время эксплуатации
равно ?(/). Например, ?(/) может быть равно 5, 6 и 7 годам,
a pi определяет вероятность того, что самолет выйдет из

398 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [7
употребления в конце 5-го, 6-го или 7-го года
эксплуатации соответственно. Таким образом, в дальнейшем будем
использовать дискретное распределение для ?.
Обычно предполагается, что средний суммарный спрос
за время t зависит от времени эксплуатации. Следовательно,
здесь вместо функции D(t) имеется т функций /)/(/), где
D](t) — средний суммарный спрос за время t при условии,
что время до выхода из употребления равно ?(/).
Аналогично моменты подачи заказов могут зависеть от времени
эксплуатации. Так, если время ?(/) велико, то желательно
иметь большую возможность подавать заказы, чем в случае
меньшего времени. Будем предполагать, что если время
эксплуатации равно ?(/), то существует пA) моментов
подачи заказов, которые мы обозначим через ?/(*')>
/=2, ...,/*(/); gx = 0, так как момент подачи первого
заказа безусловно одинаков для всех /. Для каждого / имеется
набор величин Лу (/), оу(г'), 7у (/), ху- (/), соответствующих
параметрам Ау, оу, Ту, Ту, используемым в предыдущем
разделе. Кроме того, Ар /у, Ср яу-, яу-, L заменяются на
Aj(i), /y(/), С ,.(/), Яу(/),Яу(/), L{i).
Как и раньше, ух означает фиктивный уровень запасов
в момент времени ?х. Пусть Wi(y1-\-Q1) — средние издержки,
если в момент ?х подается заказ размера Qv время
эксплуатации равно ?(/), а после момента ?х используется
оптимальная политика. Тогда
Ъ (У1 + Qi) = Аг (I) 6t + Сх (Qx) +
+ /А {л +Qi-|[П (/) + т,(/) +^1 +
+ %? bi + Qi, П (') + *2 (/), tj] +
+{[7,1@ + т2(/)-т1]я1 + /А}5^1+С1, П (')+*¦ С). тг] +
+ 2 P К <*i (i) Тг (i)} Z* (yx + Qi-dj. G .64)
Z?} и остальные Z?° определяются формулами G.62),
G.63), в которых все соответствующие параметры должны
быть снабжены индексом (/). Средние издержки для любого
Qx в этом случае равны
m
Sp^tVi + Qi)- G-65)
/ = 1

7.8]
ЗАДАЧА ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
399
Оптимальное Qx должно доставлять минимум G.65). Для
того чтобы решить эту задачу, по существу приходится
решать т задач рассмотренных предыдущем разделе, так
как нужно найти т функций Z^ (\). На последнем шаге
результаты вычислений объединяются в G.65), а затем
определяется QJ. В каждый из моментов подачи заказов
задача решается заново с использованием дополнительно
полученной информации.
7.8. Задача прогнозирования
В параграфах 7.6, 7.7 предполагалось, что спрос имеет
распределение Пуассона, а средняя интенсивность спроса
известна в любой момент времени. На практике для оценки
средней интенсивности спроса в будущем применяются
методы прогнозирования. Из-за ошибок, присущих конкретному
методу прогноза, предсказанные значения средней
интенсивности спроса не будут достоверны. Можно использовать
различные методы прогноза. Иногда прогнозирование
осуществляется по данным предыстории спроса. Если такая
информация не накапливается, прогнозирование
основывается на требованиях плана. И наконец, предсказание может
основываться на детальном экономическом анализе и
прогнозе.
Точность прогноза уменьшается с увеличением интервала,
на который он осуществляется. Увеличение неопределенности
должно отразиться на вероятностных характеристиках, т. е.
по мере движения в будущее дисперсия должна возрастать.
Желательно получить распределение ошибок прогноза, т. е.
распределение разностей фактического и предсказанного
спроса. Однако чаще всего распределение ошибок прогноза
чрезвычайно трудно получить. Кроме того, само
распределение может зависеть от времени с изменением
характеристик спроса.
Другая трудность изучения динамических моделей
состоит в проблеме учета ошибок прогноза, так как
нередко из-за недостаточности информации управление
запасами в сильной степени затруднено. Если о будущем
известно слишком мало, то математические выкладки,
связанные с прогнозом, трудно признать убедительными, сколь
бы внушительно они ни выглядели,

400 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [7
Задачи й упражнения
7.1. Раз в месяц на отдаленную военно-воздушную
базу прилетает транспортный самолет с центральной базы,
на котором доставляется необходимое запасное
оборудование. На базе хранятся запасные части п типов. Незадолго
до вылета транспортного самолета на центральную базу
послана радиограмма о состоянии наличного запаса по
каждому типу запасных частей. Обозначим через yi наличный
запас запасных частей /-го типа непосредственно перед
поставкой, объем которых в расчете на единицу составляет
V;. Объем грузовых отсеков транспортного самолета
равен V. Издержки из-за дефицита в расчете на одно
требование составляют ni (для /-го типа). Месячный спрос на
запасные части /-го типа подчиняется распределению
Пуассона со средним \i{. Обозначим через х( загрузку
транспортного самолета запасными частями /-го типа.
Сформулируйте задачу определения xt (/ = 1, ..., п) по критерию
минимума ежемесячных издержек из-за дефицита как задачу
динамического программирования.
7.2. Рассмотрите упрощенный вариант задачи 7.1 для
3-х типов продуктов. Пусть У=15^8, v1 = 5m3, v2 = 3m3,
vs = 4 лс3, уг = 1, у2 = 0, у$ = 2, ях = 5000 долларов, я2 = 2000
долларов, я3= 10 000 долларов, |гх = 1, \i2 = 5, [i3 = 3.
Найдите оптимальные значения xl9 х2, х3.
7.3. Разносчик газет получает на вечер пачку из N
газет. Он продает газеты двух названий. Центральная газета
обходится разносчику в сг центов, а продает он ее за р1
центов. Непроданные центральные газеты он может вернуть,
получив за каждую dx центов. Местную газету разносчик
получает за с2 центов, а продает за р2 центов.
Непроданный экземпляр местной газеты можно вернуть за d2 центов.
Пусть yvy2 представляют спрос на центральную и местную
газеты соответственно, причем ух и у2 — независимые
случайные величины с распределениями р1(у1) и р2 (у2).
Разносчик закупает хг центральных и х2 местных газет.
Поставьте задачу определения хг и х2 как задачу
динамического программирования. Найдите хх и х2 для следующих
значений параметров: с1 = 71 рг=\0, d1 = 4, c2 = 5, р2 = 7,
tf2 = 3, 7V=15. Спрос на каждую из газет имеет распреде-

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
401
ление Пуассона со средним 7 для центральной газеты и 8 —
для местной.
7.4. Рассмотрите «задачу о походном ранце» для трех
продуктов. Суммарный объем равен 11 м3, vx = 2 мг, v2 = 3 ж3,
v3 = 4ms. Издержки из-за дефицита в расчете на единицу
продукта равны л^—- 500 долларов, я2=1000 долларов и
я3 = 2000 долларов. Спрос на каждый из продуктов
распределен по закону Пуассона со средним значением 3 для
продукта /, средним 2 для продукта 2 и со средним 1 для
продукта 3. Каков должен быть объем каждого из
продуктов, чтобы достигали минимума издержки из-за дефицита?
7.5. Рассмотрим соотношение G.44). Предположим, что
норма относительного прироста равна /. Определите
коэффициенты переоценки, которые должны быть введены в Aj и /у,
чтобы Я была функцией издержек с учетом переоценки.
Учтите возможность переоценки стоимости единицы запасов
и для этого случая дайте метод решения задачи.
7.6. Рассмотрите случай детерминированного спроса с
известной функцией D(t). За время [0,7] может быть
подано п заказов на пополнение. Стоимость подачи заказа не
задана. Выведите уравнения для определения моментов
подачи заказов по критерию минимума издержек хранения за
время [0,7]. Покажите, что эти t( удовлетворяют
следующей системе уравнений:
±D(tn)=D(T)-D(tn)+yT,
где ут — уровень запасов в момент времени Т. Обсудите
возможность решения этих уравнений. Дайте
геометрическую интерпретацию. Указание. Эти уравнения могут иметь
несколько решений. Можно ли привести пример?
7.7. Телевизионный завод выпускает конденсаторы
большими партиями. Цена переналадки линии равна 200 долларам.
Изготовление каждого конденсатора обходится в 1 доллар.
Коэффициент издержек хранения / = 0,2. Согласно
производственному графику по месяцам должно быть поставлено
следующее количество конденсаторов: 10 000, 20 000, 20 000,
15 000, 10 000, 5000, 5000, 10 000, 10 000, 20 000, 25 000,
10 000. Временем, необходимым для производстЕ|а партии конч

402 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [7
денсаторов, можно пренебречь. Найдите оптимальные
моменты выпуска партий, если в начале года в распоряжении
завода было 5000 конденсаторов и к концу года их должно
тоже быть 5000.
7.8. По контракту с одной из ракетных фирм фирма,
производящая управляющие механизмы, каждый месяц
текущего года должна поставлять следующие партии своей
продукции: 25, 50, 100, 175, 200, 200, 175, 150, 100, 75, 200, 150.
Стоимость переналадки равна 800 долларам. Производство
каждого механизма обходится в 300 долларов. Коэффициент
издержек хранения /—0,2. Определите оптимальные
моменты времени выпуска партий и оптимальные размеры партий,
если временем изготовления можно пренебречь.
7.9. Распространите модель из параграфа 7.6 на
случайные времена поставок. Какие для этого потребуются
дополнительные предположения?
7.10. Рассмотрите вопросы, возникающие при построении
модели из параграфа 7.6 для системы с потерей неудовлетво»
ренных требований. Покажите, что функция Zk должна
зависеть от размеров каждого из еще невыполненных заказов.
Дайте модель управления запасами для случая, если в
каждый момент времени выполняется не более одного заказа на
пополнение.
7.11. Как изменится модель из параграфа 7.6, если,
во-первых, jt = 0, во-вторых, слагаемыми, зависящими от т,
можно пренебречь и, наконец, если
Таблица 7.4 можно не учитывать издержки,
связанные с регистрацией
неудовлетворенных требований?
7.12. Спрос за первую, вторую
и третью недели сезона равен
соответственно 1, 2 и 2 единицам.
Оптовая цена товара в начале каждой
недели определяется по
таблице 7.4.
Издержки хранения за неделю
составляют 1 доллар в расчете на
единицу товара, оставшегося к концу
недели. Рассчитайте оптимальную программу закупок при
условии , что дефицит недопустим,

Количество
товара
0
1
2
3
4
5
Недели
1
0
1,00
2,00
1,50
4,00
6,00
2 | 3 1
0
0,75
1,50
2,00
5,00
8,00
0
2,00
3,50
5,00
6,50
8,00

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
403
7.13. В контейнер объемом 0,4 м3 можно загрузить
товары А, Б и В. Стоимость содержимого контейнера не должна
превышать 4 доллара. Методами динамического
программирования максимизируйте выручку от реализации товара
одного контейнера. Исходные данные приведены в таблице 7.5.
Таблица 7.5
Товар А
Товар Б
Товар В
Объем

единицы
товара,
0,1
0,1
0,1

Стоимость ,

доллары
3,00
1,00
0

Выручка за

единицу,
доллары
5,00
2,00
1,50
7.14. Владелец магазина продает товар, который
достается ему по цене 5 долларов за штуку. Розничная цена равна
9 долларам, а остатки распродаются по цене 2 доллара за
штуку. Поставщик привозит новую
партию товара в начале каждой не- Таблица 7.6
дели. Сезон длится 3 недели.
Начальный запас равен нулю, а
издержками хранения можно пренебречь.
Распределение объема спроса
задано в таблице 7.6. Определите
оптимальную политику заказов.
7.15. Увеличение установленного
объема продукции обходится в 4
доллара в месяц на единицу
дополнительно выпущенной продукции. Потери от снижения
производительности равны 3 долларам в месяц в расчете на единицу
продукции. Спрос в каждый из трех месяцев равен
соответственно 2, 4 и 1 единицам. Издержки, связанные с
производством единицы продукции, в первый месяц равны 6
долларам, во второй—10 долларам и в третий — 8 долларам.
Издержки хранения равны 2 долларам в месяц в расчете на
единицу нереализованной продукции. Предполагая, что
дефицит недопустим, а начальный и конечный уровни запасов
равны нулю, определите по критерию минимума издержек
оптимальный план производства, рассчитанный на 3 месяца.

Количество
товара
0
1
2
Недели
1 | 2 | 3 |
Вероятности
0
0
V.
Чз
1,3

404 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [7
7.16. Цена фотоаппарата марки «Дивелопо» равна 120
долларам. Каждый понедельник представитель
фирмы-поставщика может доставить новую партию фотоаппаратов по
цене S долларов за штуку или выкупить нераспроданные
аппараты, уплатив за каждый В долларов. Рассматривается
двухнедельный отрезок, в начале которого в магазине вообще
нет фотокамер марки «Девелопо». Если фотоаппарат
пролежит две недели, то его нужно снять с продажи, причем
за такую камеру можно
получить только 50 долларов. Таблица 7.8
Постройте оптимальную
политику для двухнедельного
Таблица 7.7
S,доллары
В .доллары

Неделя 1
80
70

Неделя 2
90
70
периода, используя следующие данные. Предполагается, что
издержки хранения пренебрежимо малы (табл. 7.7, табл.7.8).
7.17. Фирма производит товар, который к концу второго
периода совершенно обесценивается. Издержки по
производству единицы этого товара в течение первого периода
равны 9,5 доллара, а в течение второго периода — 8
долларов. Наличный запас равен нулю. Цена переналадки для
первого периода равна 1 доллару, а ко второму периоду
увеличивается до 4 долларов. На первом периоде розничная
цена товара равна 10 долларам, а величина спроса
может с равными вероятностями принимать значения 0, 1,2.
В течение второго периода фирма может повысить
розничную цену на 2 доллара или оставить ее неизменной. В
первом случае величина спроса за период может стать равной 1
с вероятностью 3/в и 2 — с вероятностью 5/в- Если не
менять розничную цену, то распределение спроса имеет
следующий вид: спросу на 2 единицы будет соответствовать
вероятность 0,1 и спросу на 3 единицы — вероятность 0,9.
Чему равна оптимальная производительность в течение
первого периода? Чему равна оптимальная розничная цена и
Величина
спроса
2
з
4
6
Распределение 1
спроса 1
Неделя 1
?
0
Неделя 2
о
V4

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЙ
405
Как выглядит оптимальная стратегия для второго периода?
Какова средняя прибыль за два периода, соответствующая
использованию оптимальной политики?
7.18. Ежегодный спрос на продукт А равен 1000, а спрос
на продукт Б равен 3125. Для хранения этих продуктов
отведен бункер объемом 210 м3. Единица продукта А
занимает 1 jn3, а единица продукта Б — 3 м3. Стоимость подачи
заказа равна 10 долларам, а коэффициент издержек
содержания запасов / = 0,2. Единица продукта А стоит 10
долларов, а единица продукта Б стоит 20 долларов. Дефицит
недопустим. Исходя из критерия минимума ежегодных
издержек, методами динамического программирования
определите оптимальную политику заказов. Сравните
результаты, которые можно получить методами, изложенными
в главе 2, с результатами, полученными с помощью метода
множителей Лагранжа.
7.19. Покажите, как с помощью динамического
программирования решить задачу 2.44.
7.20. Допустим, что спрос детерминирован, a D (t)=^ t2.
Продолжительность интервала планирования равна 10. На
этом интервале можно подать 3 заказа. С помощью
уравнений, полученных в задаче 7.6, найдите оптимальные
моменты подачи заказов, если начальный уровень запасов
равен 4, а конечный уровень запасов (при ^=10) равен 0.
Обеспечивает ли полученное решение абсолютный минимум
издержек?
7.21. Пусть продолжительность интервала планирования
равна 1. Сравните полученный результат с ответом
задачи 7.20.
7.22. Допустим, что в задаче из параграфа 7,Ъ
производственный цикл может быть начат как в середине каждого
месяца, так и в начале. Чему равен выигрыш, связанный с
появлением новых возможностей управления производством?
7.23. Продажная стоимость и себестоимость изделий Л,
Б и В приведена в нижеследующих таблицах 7.9, и 7.10.
Общая стоимость не может превышать 4 доллара.
Суммарный вес изделий не может быть больше 5 кг. Одно
изделие А весит 3 кг, а изделия Б и Б весят по 1 кг каждое.
Максимизируйте суммарную продажную стоимость изделий
при ограничениях на себестоимость и вес. Больше трех
изделий каждого типа потребоваться не может.

406 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ [7
Таблица 7.9 Таблица 7.10
Количество
изделий |
1
2
3
Себестоимость,
доллары
А
1
3
5
Б
1
2
4
в
2
3
4
7.24. Упрощенный вариант динамической модели из
параграфа 7.7 полезен при рассмотрении ситуаций
определенного типа. Допустим, что нельзя точно предсказать, каким
будет средний спрос на разных периодах интервала
планирования, и, таким образом, нельзя утверждать независимость
объемов спроса за эти интервалы. Можно утверждать, что
с вероятностью р,- средний спрос выражается одной из i
возможных кривых. По существу такая постановка близка
к задаче из параграфа 7.7 с той лишь разницей, что выход
из употребления (старение) может вообще не играть
никакой роли. Практически целесообразно упростить модель из
параграфа 7.7. В нашем случае единственным случайным
элементом является возможность выбора различных кривых
спроса. Таким образом, определение Wt из уравнения G.64)
дсвоится к решению детерминированной задачи динамического
программирования. При этом уравнение G.65) не изменится.
Проведите более тщательное исследование упрощенной
модели для случайных времен поставок.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bellman R., Dynamic Programming, Princeton, N. J., Princeton
University Press, 1957. Русский перевод: Беллман Р.,
Динамическое программирование, ИЛ, 1960.
2. Bellman R. and S. Dreyfus, On the Computational Solution
of Dynamic Programming Processes-X: The Fly away-Kit Problem,
RM-1889. The Rand Corp., April, 1957.
3. Bellman R. and S. Dreyfus, On the Computational Solution
of Dynamic Programming Processes. — IX: A Multistage. Logistic-
Procurement Model, RM-1901, The RAND Corp., November 5,
1956.
Количество
изделий |
1
2
3
Продажная
стоимость, доллары
А
6
8
10
Б
4
6
7
в
5
7
9

ЛИТЕРАТУРА
407
4. В е 11 m a n R. and S. Dreyfus, On the Computation Solution of
Dynamic Programming Processes—II—On a Cargo Loading Problem,
RM-1746. The RAND Corp., November 5, 1956.
5. Bellman R., Combinatorial Processes and Dynamic Programming,
P— 1284, The RAND Corp., February 24, 1958.
6. Dreyfus S., Dynamic Programming Solution of Allocation
Problems, P-1083, The RAND Corp., May 9, 1957.
7. H a d 1 e у G. and Т. М. W h i t i n, A Family of Dynamic
Inventory Models, Management Science, vol. 8, No 4, July, 1962, pp.
458—469.
8. Wagner H. M. and Т. М. W h i t i n, Dynamic Version of the
Economic Lot Size Model, Management Science, vol 5, No. 1, Oct.,
1958, pp. 89—96.

8
Использование методов динамического
программирования для анализа моделей
установившегося состояния
Мы часто не делаем то, что следует,
А что не нужно — делаем, наоборот,
И полагаем, почему—никто не ведает,
Что случай нас не подведет.
Мэттью Арнольд
«Эмпедокл на Этне»
8.1. Введение
Методы динамического программирования, рассмотренные
в предыдущей главе, использовались для численного
решения динамических задач управления запасами с конечным
числом периодов планирования. Эти методы также оказались
полезными при изучении некоторых теоретических вопросов,
связанных с анализом моделей установившегося состояния,
действительно, именно этими методами при
соответствующих предпосылках можно доказать оптимальность
^-стратегий. Кроме того, методы динамического
программирования обеспечивают другую возможность определения средних
годовых издержек как для систем с оперативной
информацией, так и для систем с периодическими проверками. С
помощью этих методов будут получены выражения для средних
годовых издержек в моделях из глав 4 и 5. Кроме того,
можно вывести выражения для средних годовых издержек в
системах управления запасами с оперативной информацией,
когда размер поступающих требований не равен условной
единице.
Изучая модели управления запасами для установившегося
состояния, будем считать, что планирование осуществляется
на бесконечное (а не конечное) число периодов, т. е.
мыслится, что система будет продолжать функционировать в
будущем бесконечно долго. Для бесконечно большого числа
шагов рекуррентные соотношения динамического
программирования приобретают вид функциональных уравнений.
Проводя анализ этих уравнений, можно получить многие
интересующие нас результаты,

8.2] ОСНОВНОЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 40§
8.2. Основное функциональное уравнение
для систем с периодическими проверками
В предыдущей главе предполагалось, что средняя
интенсивность спроса меняется со временем, и поэтому задача
планирования формулировалась только на конечное число
периодов. Теперь мы хотим рассмотреть стационарное
поведение систем управления запасами с периодическими
проверками, когда средняя интенсивность спроса остается
постоянной во времени. Здесь уже можно считать, что система
будет работать достаточно долго.
Рассмотрим систему с периодическим контролем и учетом
неудовлетворенных требований. Как и ранее, J будет
означать стоимость проверки, Л —стоимость подачи заказа,
С—стоимость единицы товара (предполагается, что С не
зависит от размера поставки), I—коэффициент содержания
запаса, я + nt — издержки учета, Т—время между
проверками и т—время поставки (т считается постоянным). Спрос
в различные периоды времени представляет собой
независимые случайные величины, причем р (х; Т) означает
вероятность того, что спрос на х единиц будет наблюдаться
в течение периода времени Г.
Предположим, что момент ? является моментом проверки.
Ничего нельзя сделать с издержками содержания и
издержками учета, возникающими за время между ? и ? + т, если
любой поданный заказ поступает в момент ?. Как и в
предыдущей главе, с временами проверок будем связывать
ожидаемые издержки содержания запасов и издержки учета за
время от ? + т до ? + т-|-7\ Обозначим через /(| + Q; T)
сумму издержек по содержанию и учету за период от ? + т
до ? + т+7\ переоцененную на момент времени ?, где
!•—фиктивный уровень запаса в момент ? до подачи заказа,
a Q^O— размер заказа. Тогда
fil + Q; 7) =
= ICDT(l + Q; T)+nET(l + Q; T) + nBT(t + Q; 7), (8.1.)
где ICDT и пЕт + пВт представляют соответственно
издержки по содержанию и учету за время от момента ? + т до
?-fт-f-7, (и переоцененные на текущий момент ?). Пусть я,
О < а < 1, означает коэффициент переоценки любой
стоимости, заданной & момент ?+7", на текущий момент ?.

410 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ [8
Определим Zc(?; T) как переоцененные на текущий
момент ? все будущие издержки (при условии что издержки
по содержанию или учету за время (?, ?+т) не включаются),
если в момент ? и во все моменты проверок заказывается
оптимальное количество товаров, ? — фиктивный уровень
запаса в момент ? перед подачей заказа любой величины, а Т —
время между проверками. Для того чтобы Z. (?, Т) было
конечно, необходимо ввести переоценку и считать, что
норма относительного прироста / положительна. Аналогично
Zc+r (|; Т) определяются как текущая стоимость в момент
?+Г всех будущих издержек, если в момент ?>+Т и во
все последующие моменты делается заказ оптимальной
величины, | —фиктивный уровень запаса в момент ?+7* перед
подачей заказа. По условию Z+т (?; Т) не включает
издержек по содержанию запасов за время (?+7\ ? + т+Г).
Тогда, используя методы, изложенные в предыдущей главе,
можно записать
Zc(g; T) = min{J + A8 + CQ+f(l + Q; T) +
+ а(Т)%р(х; T)Z^T{l + Q-x\ Г)}, (8.2)
дг=0
где
6= I 0, если- Q = 0,
~ \ 1, если Q> 0.
Можно заметить, что
Z, (t; T) = Z^T {%; Т) = Z^+nT (g; Т), п = 2, 3, ... (8.3)
Другими словами, в момент проверки текущая стоимость
всех будущих издержек, если перед подачей каждого
заказа фиктивный уровень запаса равен ?, а в моменты текущей
и всех будущих проверок следовать оптимальной политике,
будет одинакова для момента любой проверки. Конечно, это
связано с введением переоценки при планировании с
бесконечным горизонтом. Поэтому если определить Z(?; T) как
текущую стоимость в момент проверки всех будущих
издержек (при условии что издержки содержания и учета не
включаются до того, как пройдет время поставки), если в
моменты проверок следовать оптимальной политике, то (8.2)

8.3] ОПТИМАЛЬНОСТЬ /?Г-СТРАТЕГИЙ 411
приобретает вид
Z(g; Г) = ппп
Q
+ a^p(x; T) Z& + Q-X; T)
(8.4.)
где ?— фиктивный уровень запасов в момент проверки перед
подачей заказа, а Т — время между проверками.
Уравнение (8.4) называется функциональным, так как в него входит
неизвестная функция Z(|; 7). Решение этого уравнения
позволяет найти Z(?; 7), а также Q*(|; 7). Далее будет показано,
как можно явно получить выражение для Z(|; 7) в несколько
видоизмененном уравнении (8.4).
Теперь нас будет главным образом интересовать
оптимальная стратегия заказа пополнения Q*(|; 7). Обычно при
анализе проще всего полагать, что Q, li, и спрос
представляют собой непрерывные величины. Тогда вместо р(х; Т)
введем v (х; Т) — плотность вероятности спроса за период
длительности 7. В (8.4.) необходимо только заменить р (х; 7)
на v (x; T) и произвести суммирование под знаком интеграла.
В результате получим
Z(g, 7) = min
Q
J + A6 + CQ+/&+Q; Т) +
00
+ a^v(x;T)Z(l + Q-x;T)dx
. (8.5)
Уравнение (8.5) представляет собой основное
функциональное уравнение, которое будет использовано при дальнейшем
анализе.
8.3. Оптимальность /?г-стратегий для систем
с периодическими проверками (качественные соображения)
Эрроу, Харрис и Маршак [1] первыми применили
функциональные уравнения для изучения систем управления
запасами с периодическими проверками, хотя эти уравнения
в работах по управлению запасами появились несколько
ранее, например в работе Массе [8]. Статья Эрроу, Харриса

412 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ [8
и Маршака стимулировала дальнейшие исследования,
посвященные оптимальным стратегиям функционирования в
системах с периодическими проверками. Со времени ее публикации
появилось несколько работ, в которых рассматривались
весьма близкие вопросы [2, 5, 6, 7, 9]. По-видимому, лучше
всего из них известны две статьи Дворецкого, Кифера и
Вольфовица [6, 7]. Большинство авторов принимали весьма
ограничивающие допущения, как, скажем, предположение
о нулевом времени поставки. Кроме того, часто стоимость
подачи заказа полагалась равной нулю. Но даже и при этих
условиях математический анализ моделей зачастую
оказывался весьма сложным. С практической точки зрения
наибольший интерес представляет последняя работа Скарфа [9].
Она позволяет при весьма общих предположениях
рассмотреть ряд практически важных случаев.
В данном разделе будет показано, как, используя подход,
связанный с функциональными уравнениями, определить
оптимальную стратегию функционирования в системах с
периодической проверкой, находящихся в стационарном режиме.
В следующем разделе будут представлены результаты Скар-
фа [9].
Пусть F{y; T) определяется как
со
F(y; T) = Cy+f(y;T) + a\v(x;T)Z(y-x; T)dx. (8.6)
о
Для некоторого фиксированного значения 7"функция/7зависит
только от у. Тогда на основании (8.5) имеем
( A + minF& + Q; Т),
Z(g; T)=J-Cl + mm\ Q (8.7)
I F(l; T).
Мы прибавили и вычли С|, так что F является функцией
только от ? + Q- Рассмотрим теперь F(y; T). Ясно, чта
если Л задано, то оптимальная стратегия функционирования
будет зависеть от формы кривой F(y; T) и только от нее.
Вначале предположим, что для некоторого фиксированного
Т кривая F(y; T) имеет вид, как показано на рис. 8.1.
Пусть F(R*; T) является абсолютным минимумом функции
F(y; Т) по у, a R* (Т) единственной точкой, в которой этот
минимум достигается. (R* будет функцией от у,) Кроме того,

8.3] ОПТИМАЛЬНОСТЬ /?Г-СТРАТЕГИЙ 413
пусть г* является таким значением у (у < /?*), для которого
Fiy\ T)=A + F(R*;T), т. е.
F(r*; T)=A + F(R*; 7), (8.8)
что иллюстрируется на рис. 8.1. Ясно, что если ? заключено
между г* и R* и равно, скажем, ?1э то Q* = 0, т. е.
оптимально не делать заказа вообще. Этот результат можно
пояснить так. Делая любой заказ, нельзя снизить F(y; T) ниже
Рис. 8. К
F(R*; 7). Однако F(R*; T)+A>F&; 7), если г* < I < R*y
т. е. ожидаемые издержки только возрастут в результате
подачи заказа. С другой стороны, если | < г* и равно,
скажем, |2, то оптимально подать заказ, а размер его
должен быть достаточным, чтобы F(y\ T) приняло минимально
возможное значение, т. е. нужно дать заказ размером /?*-—12.
Тогда
A + F(R*; T)<F(l2; T).
Более того, при всех Q, отличных от Q* = R* — ?а,
ожидаемые переоцененные издержки будут больше A-\-F(R*; Г).
Ясно также, что если \ > #*, то заказ делать не следует.
Но если система функционирует нормально, \ никогда не
будет больше, чем /?*. Мы покажем, что в данном случае
оптимальной будет /?г-стратегия. Проводя некоторые
рассуждения, можно показать, что если Л = 0, то стратегия
подачи заказа, пополняющего запас до /?, будет
оптимальной. Этот результат интуитивно ясен, так как если сама
подача заказа не связана с расходами, а цена товара постоянна,
то будет оптимально производить заказы каждый раз, доводя

414 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ [8
при этом фиктивный уровень запасов до /?. Если F(y\ T)
является выпуклой функцией от у, то /?г-стратегия
функционирования будет оптимальной.
Если функция F(y; T) имеет вид, как показано на рис. 8.2,
то /?г-стратегия уже не будет оптимальной. Вместо этого
оптимальным будет такое правило: если ? < г*, то размер
заказа равен R* — |; если г*^^^:^, то заказ не делается
вовсе; при г\ < \ < г\ размер заказа равен /?* — ?, а при
\ > г\ заказ не производится.
Мы полагаем, что кривая
F(y; Т) такого вида, как
показано на рис. 8.2, не будет
встречаться на практике.
Обычно это так. Однако легко
привести примеры, когда Rr-
стратегия не является
оптимальной. Мы сделаем это
позже. Вначале же изучим
несколько детальнее условия, при
которых /?г-стратегия
оказывается оптимальной.
Заметим, что, за
исключением члена Су у F(y; T)
представляет собой ожидаемые переоцененные издержки, если
рассматриваемый период функционирования начинается тогда,
когда фиктивный уровень запасов равен \ (после подачи
любого заказа), а далее при управлении всегда следуют
оптимальной стратегии. Если у относительно мало, то
ожидаемые издержки будут относительно велики из-за больших
издержек по учету за текущий период. По мере роста у
эти издержки в среднем убывают до тех пор, пока у
достаточно велико, так что уменьшение издержек по учету
преобладает над увеличением издержек содержания. Как только
наступает баланс этих составляющих, то при дальнейшем
росте у ожидаемые издержки также будут расти.
Добавление члена Су не меняет основной формы этой кривой.
Поэтому F(y; Т) будет иметь вид, показанный на рис. 8.1, а
не на рис. 8.2. Таким образом, если цена товара постоянна,
то /?г-стратегия будет оптимальной. Если цена товара
непостоянна, то утверждение об оптимальности /?г-стратегии
уже не будет справедливо. В этом случае нельзя рассмат-
Рис. 8.2.

8.4] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОПТИМАЛЬНОСТИ /?Л-СТРАТЕГИЙ 415
ривать функцию F(l+Q; T), зависящую только от 1+Q.
Функциональное уравнение принимает тогда вид
( A + minF(l, Q; Г),
Z(?; T) = J + minl Q
{ F(l, 0; Г),
где
F(l,Q; T) = C(Q) + F(l + Q; T)
и
00
F(l + Q; T)=f(l + Q; T) + a\v(x; T)Z(t + Q-x; T)dx,
FftpVO
причем C(Q) является стоимостью Q единиц товара. Пред.
положим, что применяется «оптовая» скидка, так что C(Q)
имеет вид, как показано
на рис. 2.12. На рис. 8.3 "MiO
для этого случая
показано, какой вид может иметь
функция F(\, Q; Т) для
двух различных значений
?. В этом случае
^-стратегия не будет
оптимальной, так как верхний
уровень, до которого
пополняется запас, зависит от
|. В обоих случаях
оптимально заказывать
пополнение, достаточное
для того, чтобы получить
выигрыш от изменения цен, но этот излом цен будет в
каждом случае различным, и потому верхний уровень, до
которого следует пополнить запас, также будет различным.
8.4. Доказательство оптимальности /?г-стратегии,
если f(y; T) выпукла; а цена товара постоянна
Хотя приведенные выше соображения говорят о том, что
обычно /?г-стратегия будет оптимальной при условии
постоянства цен на товар, чрезвычайно трудно это утверждение
доказать при достаточно общих условиях. Существует один
важный для практики случай, когда такое доказательство
г-й%И
Рис. 8.3.

416 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ (8
можно дать. Этот случай обусловлен выпуклостью функции
f(y; T) от у (см. задачу 2.6, где дано определение
выпуклости функции). Именно этот случай и был изучен Скарфом.
Для доказательства мы не будем использовать (8.5)
непосредственно. Вместо этого мы будем рассматривать
стационарный случай как случай с конечным числом шагов я, когда
п —у оо. Пусть Zn (?, Т) представляют переоцененные издержки
за п периодов, когда фиктивный уровень запаса в начале
/z-го периода перед подачей заказа равен ?, а решения на
каждом шаге составляют оптимальную политику*. Заметим,
что эти периоды пронумерованы в обратном лорядке по
отношению к их последовательности во времени. Тогда
Z(?;7)= WmZn(l\T) (8.9)
Л-* 00
И
Zn(l\ 1) = min[J + Ab + CQn+f(t + Qn; T) +
Qn
со
+ alv(x;T)Zn_1(t + Qn-x;T)dx) =
= J-<Л+ min [Ab+Fn(l+Qn;T)], (8.10)
On
где
F„{l + Qai T) = {l + Qn)C+f(l + Q„; T) +
00
+ alv(x;T)Zn_1(l + Qn-x; T)dx, n = 2, 3, ...(8.11)
0
Кроме того,
Zx(l\ T) = min[J + A6 + CQ1+f(l + Q1; 7). (8.12)
Qi
Доказательство будет весьма простым, так как оно
следует из факта выпуклости функций Fn (?; Т) при условии
выпуклости /(у; Т). Однако в общем случае это не так. Одно
из условий, препятствующих выпуклости функций Fn(B>> Т),
можно установить для самого простого случая двух
периодов планирования. На основании (8.12) можно записать
ггA; Л=-/-С6 + т1п[Лв + /?1(? + <г1; 7)],
* То есть последовательность оптимальных решений (Прим.
перев.)

8.4] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОПТИМАЛЬНОСТИ /?Г-СТРАТЕГИИ 417
где
/Ч0>; T) = Cy+f(y; 7),
причем Fx (у; 7) является выпуклой функцией от у> так как
f(y\ T) и Су выпуклы. Таким образом, /?г-стратегия будет
оптимальной для случая планирования на один период, и
поэтому
/y + fiE;7)-C6 = 7+/(S;7), t>r*
zi& ^=\j + A + Fl{R*; T)-Ct,l<r\ (8ЛЗ)
Функция Z1(l; 7) представлена на рис. 8.4 для случая, когда
f(yf 7) — всюду дифференцируемая функция по у. Отметим,
что Zx(?; 7) не будет выпуклой функцией от ?. Функция
^i(?; T) непрерывна, хотя ее
производная имеет точку
разрыва при ? = г*. Отсюда на
основании (8.11) можно
установить, что F2(y\ 7), включая
в себя Zx (I; 7), не может,
вообще говоря, быть
выпуклой. Продолжая эти
рассуждения, можно заключить,
что Fn(y; 7), п > 1, не
обязательно будет выпуклой.
Именно наличие Л,
фиксированной стоимости подачи
заказа, обусловливает то, что Zx(?; 7), а вообще говоря,
Zn(?; 7) и Fn(y; T) не будут выпуклыми функциями, даже
если f(y; 7) —выпуклая функция. На самом деле, можно
доказать, что если Л = 0, то при условии выпуклости f(y; T)
функции Fn (у; 7) и F(y; 7) являются выпуклыми. Это можно
сделать непосредственно, и читателю предлагается доказать
выпуклость этих функций в задаче 8.2.
Так как F(y; 7) не является выпуклой функцией, то на
основании сказанного выше доказательство нельзя
основывать на свойстве выпуклости. На самом деле, F может иметь
несколько относительных максимумов и минимумов. Как и
раньше, обозначим через R* точку, в которой достигается
абсолютный максимум F, а если эта точка не является
единственной, то /?* будет означать наименьшее значение у,
доставляющее функции F абсолютный минимум. Через R
Рис. 8.4.
14 дж. Хедли, Т. Уайтин

418 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ [8
обозначим любую точку, в которой F достигает
относительного минимума (R* будет одной из таких точек).
Предположим теперь, что выполняются следующие условия: для
каждого R не существует точек у < /?, для которых F(y; T) >
>A-\-F(R; T), чтобы в них функция F достигала
относительного максимума. Это означает, что кривая z = F(y; T)
может пересекаться горизонтальной прямой z — А + F (R; Т)
только один раз в точке у < R. Таким образом, если г* <CR
представляет собой точку, в которой кривая z = F(y; T)
пересекается горизонтальной прямой z = A-\-F(R*\ 7), то
Q* = 0 при ?^г* и Q* = R* — ? при ?<г*, так что/?г-стра-
тегия оптимальна. Когда указанные выше условия
удовлетворяются, случаи, подобные представленному на рис. 8.2,
исключаются. Кроме того, исключаются и случаи, в которых
относительный максимум достигается при R > /?*, так что
для некоторых ? > R* оптимально доводить запас до R
(покажите это графически).
Ниже будет доказано, что если f(y; T) — выпуклая и
всюду дифференцируемая функция относительно у% то F(y; T)
является непрерывной и всюду дифференцируемой функцией
относительно у (хотя Z (?; Т) не обязательно должна быть
дифференцируемой всюду относительно ?) и что для любого
а 2^ 0 имеет место неравенство
A + F(*+y; T)-F(y; T)-aF' (у; Г)>0, (8.14)
где штрих—символ производной по у. Однако неравенство
(8.14) действительно не гарантирует нам отсутствия
относительного максимума функции F{y; T) в точке у < /?, если
F(y\ T)> A + F(R; T). Чтобы убедиться в этом,
предположим, что F(y; T) достигает относительного максимума
в точкеу1<ску причем F(y1; T) >A + F(R; 7). Используя
(8.14), получим противоречие, если положим R = a+yv так
как в точке уг F' (уг; 7) = О и (8.14) принимает вид
A + F(R; T)-F(yi; Г)>0,
поэтому справедливость неравенства гарантирует
оптимальность /^/--стратегии. Остается доказать, что неравенство
(8.14) выполняется, если функция f(y; Т) выпукла и
дифференцируема всюду. Для всех видов издержек по содержа-

8.4] доказательство оптимальности /?г-стратегии 419
нию и учету неудовлетворенных требований, используемых
в данной книге, функция f(y; T) будет всегда
дифференцируемой всюду по у, если все переменные считаются
непрерывными. Выше мы назвали некоторую функцию /(у)
выпуклой, если для любых значений^ у2 и любого а такого,
что O^a^l, имеет место неравенство
/[оУ1 + A-аЫ<а/(Л) + A-а)/(Л)-
Если f(y) дифференцируема всюду, то эквивалентное
определение выпуклости для любого а^О представляется в виде
неравенства
/(*+У)-/(у)-а/'(у)^0, (8.15)
где f'(y) = df/dy. Читателю предлагается самостоятельно
показать эту эквивалентность и дать геометрическую
интерпретацию этому определению (см. задачу 8.3).
Скарф вводит видоизмененное определение выпуклости,
называемое А-выпуклостью, которое оказывается полезным
при доказательстве оптимальности /?г-стратегии. Для
любого числа Л^О дифференцируемую функцию /(у) называют
А-выпуклой, если для всех у и любого а^О имеет место
неравенство
A+f{a+y)-f{y)-af'{y)>0. (8.16)
Из (8.15) видно, что О-выпуклая функция является просто
выпуклой. Далее нам понадобятся следующие свойства Л-вы-
пуклых функций*.
(а) Если f (у) является Л-выпуклой функцией, то f(y + x)
является также Л-выпуклой для любого фиксированного
значения х.
(б) Если fx(y) является Л-выпуклой функцией, а f2(y)
является Л2-выпуклой, то их взвешенная сумма 0^ (у) +
+ ^2/2 (У) является (Э1Л1+'02Л2)-выпуклой функцией, если
elf e2 > о.
(в) Если f(y) является Л-выпуклой функцией, то
со
а \ v (х) f (У~~х) dxy 0 < а ^ 1,
о
* Эти свойства нетрудно доказать, и потому детали
доказательства отнесены в задачу 8.4.
14*

420 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ [8
является Л-выпуклой функцией, если v(x)— функция
плотности вероятности.
(г) Если f(y) является Л-выпуклой функцией, то она
также будет Л2-выпуклой для Л2 > А±.
Теперь докажем неравенство (8.14). Вначале покажем,
что функции Fn (у; Т), определенные с помощью (8Л1)для
л-шаговой аппроксимации, являются Л-выпуклыми. Это
делается последовательно, по индукции. Мы замечаем, что
Fx(y\ T) = Cy+f(y; T) является Л-выпуклой функцией, так
как у и F(y; T) представляют собой 0-выпуклые
функции, и согласно (б) Ft (у; Т) являются 0-выпуклой, а потому
и Л-выпуклой функцией на основании свойства (г).
Теперь предположим, что F1(y; 7), • •., Fn-i(y> Л
являются Л-выпуклыми функциями для любого положительного
целого числа п > 1. Покажем, что тогда и Fn (у; Т) является
Л-выпуклой функцией. Тогда по индукции следует, что
Fj(y; T) является Л-выпуклой функцией для всех
положительных целых чисел у. Из (8.11) видно, что Fn (у; Т) будет
Л-выпукла, если выпукла функция
со
a j v(x)Zn_1 (у — х\ T)dx.
о
Но последняя функция Л-выпукла, если функция Zn__x (у; Т)
Л-выпукла. Для доказательства Л-выпуклости функции
Zn-i(y> Л заметим сначала, что ввиду предположения
Л-выпуклости Fn_ml (у; Т) оптимальной стратегией пополнения на
(п— 1)-м шаге будет /^/-стратегия, т. е. существуют такие
числа г*_! и #*_!, что если |< г*п_ъ то Qt_1 = R*n_1 — ?,
и если |^/•?_!, то Q*-]L=:0. Таким образом,
J + A-Ct + F„_l(Rl.1; Т), 1<Гп-1,
j-a+Fa.id; т), |>г*_1.(8Л7)
Читателю предлагается в задаче 8.5 доказать, что если
Fn_1(y; T) — всюду непрерывная и дифференцируемая по у
функция, то Zn_1 (?; Т) является непрерывной всюду
функцией !¦, a Fn (у; Т) будет непрерывной и дифференцируемой
всюду функцией у. Кроме того, Fx (у; Т) является
непрерывной и дифференцируемой всюду функцией у, если функция
f(y; T) обладает теми же свойствами. Отсюда следует, что
Zn-iill Т)

8^4] доказательство оптимальности /?г-стратегии 421
все функции Fj(y; T) являются непрерывными и
дифференцируемыми всюду функциями у.
Используем теперь соотношение (8.17) для того, чтобы
показать, что Zn_1 (?; Т) является Л-выпуклой функцией.
Для этого требуется доказать, что (8.16) выполняется для
всех ? и любого а ^0. Нужно рассмотреть три случая в
зависимости от соотношения г^г к значениям ?, ? + а:
Случай 1. l + a, l^/^-i. Из (8.17) видно, что в этой
области Zn_^\ T) является суммой 0-выпуклой и
Л-выпуклой функций и потому представляет собой Л-выпуклую
функцию.
Случай 2. ? < rJJ.i^^ + a. Здесь нужно определить знак
суммы
A + Z^d + a; Ti-Z^d; T)-aZ'n.Al; T), (8.18)
где штрих означает дифференцирование по |. Для
определения знака этой суммы заметим, что из (8.17) следует
соотношение
Z'n-t(l\ T) = -C, (8.19)
так как \ < г^_х. Кроме того, для Ъ, < г^_г
2„-i<6: T) = min ij + A + CQ^+fa + Q^; T) +
Qn-i {
+ a]v(x; T)Zn_,(l + Q„_1—x; 7)«Ц< (8.20)
<У + Л + Са+/(| + а; 7) +
CO
+ a\v{x\ T)Zn_2& + a—x; T)dxy
о
так как оптимальное значение Qn^x будет давать меньшее
или равное значение, чем Qn_1 = a. Но когда S + a^fn-i,
^«-i(E+a; T) имеет вид
*»-i(S + a; T)=7+/(|+a; 7) +
со
+ <*$«(*; 7)Z„_a(| + a—дс; 7) d*. (8.21)
о

422
АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ
[8
так как в этом случае оптимально не заказывать
пополнение вообще. Поэтому с помощью (8.21) и (8.20) получим
Zn.x{%; T)^A + Ca+Zn_x{\ + a; Т)
или на основании (8.19) имеем
Л + Z^d + a; T)-Zn_x(\; T)-aZ'n^(l: Л>0,
что и требовалось определить.
Случай 3. I, |+a</-*«!. Из (8.17) следует, что
Zn_1(l; T) является линейной, а потому и Л-выпуклой
функцией в этой области. Этим завершается доказательство
%г>,
0
t
t
- - __ _ _-!
-* /
/
т /
А /
'* я'
Рис. 8.5.
Л-выпуклости Zn_x (?; Т) при условии Л-выпуклости
функции ^п_г(у; Т). Отсюда следует, что функция Fn {у; Т)
Л-выпукла, если Л-выпуклыфункции Fx(y\ 7), ... , Fn_1(y; T).
Таким образом, по индукции убеждаемся, что функция
Fj (у; 7) Л-выпукла для всех положительных целых чисел J.
Для доказательства Л-выпуклости функции F(y; Т)
нужно перейти к пределу при п—юо. Ясно, что Zn{&\ T)
стремится к Z(?; Т) при п—*оо, а отсюда следует, что
Fn(y; T) имеет единственный предел F(y; T)
(доказательство?). Более того, для фиксированных значений у, a, T
имеет место неравенство
ап(у9 a; T)=A + FJy+a; T)-Fn(y; T)-aF'n{y\ 7)>0,

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ R И Г 423
так что 0 является нижней гранью этой последовательности
и отсюда (как мы убедились в существовании Z7'?)
о Су, <*; т)= lim °п(у> а; ^
Я-*ао
= A + F(y + a; T)—F(y; T)-aF'(у; 7)>0
для любого у и любого а^О. Таким образом, функция
F(y; T) Л-выпукла, и /?г-стратегия оптимальна для
стационарного режима систем с периодическими проверками, если
f(y; T) является выпуклой функцией у, а цена товара
постоянна. Факт Л-выпуклости функции F(y; T) исключает
возможность случаев, подобных представленному на рис. 8.2,
где /^/--стратегия не будет оптимальной. Это, однако,
не исключает возможности таких случаев, как
показанный на рис. 8.5, где /?г-стратегия оптимальна.
8.5. Применение динамического программирования
для вычисления оптимальных значений /? и г
Решая функциональное уравнение (8.5), получаем Z(?; T)
и Q*(l; Т). Если /?г-стратегия оптимальна, то Q*(?; Т)
определяет значения R* и г*, так как Q* = 0, если |^г*,
и Q* = #*-
•I для I < г*
аы1
Поэтому Q* будет иметь вид,
как показано на рис. 8.6. Таким образом, г* является такой
точкой, в которой Q* скачком меняется от 0 до R*—/**,
и потому величина этого скачка определяет R*.
Одна из возможных процедур вычисления R* и г* при
заданном Т состоит в аппроксимации системы с бесконечным

424 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ [8
интервалом планирования системой с п периодами, как это
делалось в предыдущем параграфе при доказательстве
оптимальности /?г-стратегий. Рекуррентные соотношения
для случая п периодов даются в (8.10) и (8.12). Q„(|; 7)
используется в качестве аппроксимации Q*(?; T), a R* и г*
можно найти с помощью Qn (?; 7), как это было показано
выше. Уравнения для л-периодной системы можно решить
численно на цифровой вычислительной машине. Значение п
должно выбираться порядка 100. Весьма легко определить,
является ли Qn(\\ T) достаточно близкой аппроксимацией
Q*(?; 7). Если только пренебрежимо малые расхождения
наблюдаются в Q*(|; T) для ряда периодов, то
использование Qn(?>; T) в качестве аппроксимации Q*(|; T) можно
признать удовлетворительным. При проведении вычислений
нужно, конечно, все переменные считать дискретными.
Для выполнения расчетов необходимо установить
значение нормы относительного прироста, т. е. необходимо
установить значение а. Для существенно малых
значений / конечные результаты не зависят от /. Однако
если норма относительного прироста становится большой,
то полученные результаты могут зависеть от выбранного
значения г. Позже будет показано, что результаты,
полученные на основе /г-периодной аппроксимации, обеспечивают
более точное определение R* и г*, чем при
использовании выражения средних годовых издержек из
параграфа 5.9, если норма относительного прироста / принята
равной нулю.
Для определения оптимального значения Т* нужно
повторить вычисления для различных Т. Но если Т достаточно
велико, то минимум ожидаемых издержек Zn (?; Т) будет
одинаковым для любых ?, заключенных между R и г, так
как любое из этих значений допустимо в момент проверки,
если система работает в стационарном режиме. Таким
образом, Т* можно определить минимизацией Zn[R*(T); T]
по Г. Далее будет дано более строгое обоснование, почему
можно выбирать любое значение Zn (|; 7) для ?,
заключенных между г и R.
Конечно, вручную было бы очень трудоемко подсчитать
/?*, г* и 7*, используя описанный выше метод. Однако
такие расчеты можно весьма просто провести на мощной
цифровой вычислительной машине. Метод, представленный

8:6] уравнение для систем с оперативной информацией 425
здесь, требует, вообще говоря, для своей реализации больше
машинного времени, чем вычислительная процедура,
описанная в параграфе 5.9, но все же он дает еще одну
возможность вычисления R* и г*.
8.6. Функциональное уравнение
для систем с оперативной информацией
Подход, связанный с использованием функциональных
уравнений, одинаково хорошо применим и для изучения
систем управления запасами с оперативной информацией.
На самом деле, этот подход позволяет изучить такие
системы, когда размер требований случаен, а время между
поступлениями очередных требований распределено не по
экспоненциальному закону. Однако системам с оперативной
информацией посвящено значительно меньше работ, фактически
только две работы: Бекманна [4] и статья Бекманна и Мута [3].
Рассмотрим теперь систему с оперативной информацией
с постоянным временем поставки, когда неудовлетворенные
требования ставятся на учет. Определим Z (?) как
переоцененные ожидаемые издержки за все время работы
системы в будущем, если для управления запасами постоянно
следуют оптимальной стратегии, причем отсчет времени
производится от момента, непосредственно следующего за
моментом поступления требования, а ? означает фиктивный
уровень запасов в момент, следующий непосредственно за
принятием соответствующего решения (т. е., скажем, после
подачи заказа на пополнение, если пополнение необходимо).
Как и выше, в Z(|) не будут включены издержки по
содержанию и учету за время до т (т—время поставки).
Для вывода функционального уравнения представим Z(|)
в виде суммы ожидаемых переоцененных издержек,
возникающих до появления следующего требования, и
аналогичных издержек, возникающих после поступления следующего
требования.
Будем считать, что цена товара постоянна, а символы
Л, /, С, я, я имеют обычный для них смысл. При
составлении функционального уравнения будем считать, что
размер требований случаен и что вероятность возникновения
требования в интервале от t до t-\-dt, отсчитываемом от
момента поступления предыдущего требования, является

426 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ [8
функцией /. Пусть g(t)dt является вероятностью того, что
время между поступлением двух последовательных
требований находится между tn t-\-dt, a d(j\t) означает вероятность
того, что спрос на j единиц товара возникнет при
поступлении требования, если с момента поступления предыдущего
требования прошло время /. (Отметим, что размер
требования зависит от времени, прошедшего с момента
поступления последнего требования.) Пусть Vn{t) означает
вероятность спроса точно п единиц товара за время /,
отсчитываемое с момента поступления некоторого требования.
Представим себе, что требование возникает в момент О,
и после осуществления необходимых операций фиктивный
уровень запаса равен \, Будем считать, что всегда
неоптимально допустить \ < 0. Вероятность поступления
следующего требования в интервале (/, t-\-df) равна g(t)dt. Нам
нужно вычислить ожидаемые издержки (переоцененные на
момент времени 0) по содержанию запасов и учету в
интервале (т, %-\-t). Представим, что в момент t требуется j
единиц. Вероятность такого события равна d(j\t\. Вычисление
разобьем на два этапа в зависимости от того, т > t или
т^^. Введем коэффициент переоценки, чтобы издержки
оставались конечными. Здесь физический период отсутствует,
и потому удобно применить непрерывный вариант
переоценки. Под этим понимается, что если в момент / задана
сумма S(t), то при норме относительного прироста / в
момент t-\-At сумма S(t-\-At) определяется как
S(t + At) = (\+iAt)S(t)
для малых А/. Переходя к пределу при Д*—^0 и решая
полученное дифференциальное уравнение, имеем
S(t) = S@)eif или S@) = S(t)e-if. (8.22)
Таким образом, текущая стоимость S(Q) в момент t~0
суммы S(t) в момент t равна S(t)e~lt, так что коэффициент
переоценки равен e~lt.
Рассмотрим сначала случай т > t. Вероятность
появления х требований за время от 0 до ?(т^?^т + 0 будет
равна
j±d{j\t)Vx4(l-t). (8.23)

8.6] УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СИСТЕМ С ОПЕРАТИВНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ 427
Переоцененные ожидаемые издержки интегральной нехватки
запаса в единицах товаро-лет за время (т, i-\-t)
определяются усреднением по t < т
**+' оо Г X 1
я$ S 2(*-Ъ)'~*\2 *U\t)Vx4{t-t)\g{t)dZ4t. (8.24)
о т Х-Ь L/=i J
В действительности труднее вычислить ожидаемые
фиксированные издержки учета за время (т, т+/) ввиду
непрерывности переоценки. Нельзя подсчитать ожидаемое число
учтенных требований за (т, x-\-t) и просто умножить на я
и коэффициент переоценки. Издержки учета требований
должны подсчитываться и переоцениваться на момент
времени поступления неудовлетворенных требований. Для этого
определим Wk(n-{-k; t)dt—вероятность того, что за
время t, отсчитываемое от момента появления некоторого
требования, возникнет спрос на п единиц, а за время
(t, t-\-df) поступит требование на k единиц. Тогда легко
получить выражение переоцененной ожидаемой стоимости
учета за время (т; x-\-t). Если усреднение проводится
по / < т, то
t X+t CD CO X
я$ J *-«2 2 2kWh(x— j+k; t—t)d(J\t)g(t)dtdt +
+ *\ \«"i6S 2 2 (ft+*-6)ИЪ(*-/+*; C-')x
i i x=i k=t-xj=i
Xd{j\t)g(t)dt4t. (8.25)
Второе слагаемое в (8.25) появляется в связи с тем,
что х может быть меньше ?, тогда как # + &>?.
Значения Wk(n-\-k; t) можно получить последовательно, как и
Vn(t). Ясно, что
Wh(n + h9t) = l 2 d{k\t-Qg{t-t)Wu(n; Odt л>1,
5 m=l
(8.26)
и
ГА(А; *) = d(*| <)*(*). (8-27)

428
АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ
[8
Ожидаемые переоцененные издержки содержания запасов за
время (т, t-\-t) получаем усреднением по t < т
XX + t | г х -1
IC\ S ^(l-x)e-^\^d{j\t)Vx_j(l-t)g(t)\dtdt.{%.2%)
о х *=1 L/=i J
Теперь нужно вычислить соответствующие издержки для
случая t^x. За время от т до / наличный запас равен |
(и учтенных требований на этом интервале нет, так как
предполагается, что ?^0). Издержки за время от / до x + t
вычисляем так, как было указано выше. Переоцененные
ожидаемые издержки интегральной нехватки в единицах
товаро-лет за время (/, т+*), усредненные по *^т, равны
я\ $ ^(x-l)e^\^d(j\i)Vx4(l-i)g(i)\d^L (8.29)
х t x=l L/=i J
Аналогично переоцененная ожидаемая стоимость учета
(фиксированная по я) за время (/, %+t), усредненная по t^x,
равна
*S 2 (У-Е>в-«й(у|/)^(/)Л +
х
+ Л J *-<С 2 2 2 А^(х-у+Л; t-t)d{j\t)g(t)
"т+* 6-1 oo г
х</&« + я\ \«-*2 2 2 (*¦+*—S)x
Х^(*-У+А; С-*) </(У|/)*(*)<*&«• (8.30)
Первое слагаемое учитывает возможные издержки, если
требование поступает в момент t. Ожидаемые издержки
содержания запасов за время (т, т + /), усредненные по
/^т, равны
00 t
ic\]e'4g(t)dldt +
X X
oo X+t ?
+ /С$ J 2 (S-Ar)e-'t
T *
AT=1
2 <*(y|ovx _,(?-')
g (t) dldt.
(8.31)

8.6] УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СИСТЕМ С ОПЕРАТИВНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ 429
Переоцененную величину ожидаемых издержек содержания
запасов и учета требований от т до т + /, усредненную по
всем /, можно тогда представить как
где
/F)=/СОF)+яБF) + яВF),
Я(&)=2 A-х)г\(х),
х=0
(8.32)
(8.33)
(8.34)
Я F) = 2 (х-1)ц(х),
?— 1 со со оо
?E) = 2 2 (H4)8(M)t2S*ii(U)t
00
+ 2(^-6N@, х) (8.35)
xx+t
о т L/= i
g(t)d&t +
со T+f
+S S «-tLSd(y|0^./(C-0
t i
L/=i
*(*)«*&«,* = 1,2,3,...
(8.36)
T+<
4@) = —7 j [«-«-е-1?(/)Л, (8.37)
TT+/
8(*,*) = $ J e-<5
0 t L/ = l
00 X + t
Xg(t)dt,dt+\ 5 e-«
2 Wk(x-J+k; l-t)
X t
2 Wb (*-y+*;
7=1
X
Xg(t)dbtU, ?=1,2,..., *=1, 2, ... (8.38)
-it
0(O,x) = $e d(x\t)g(t)dt, x=\,2,.

430 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ (8
Подсчитав ожидаемые переоцененные издержки /(?) по
содержанию запасов и учету требований за время (т, т+0
и усреднив их по t, можно непосредственно выписать
функциональное уравнение для Z(|)
Z(l)=f(l) +
+ [ ^e-iU{j\t)g{t){mm[Ab + Cy + Z{l+y-j)]}dt.{Z.b$)
o/=1 У><>
Так как Z(^,-\-y—j) от / не зависит, то
Z(l)=f(l) + a2p[j){mln[A6+Cy + Z{l+y-j)]}t (8.40)
где
30
\e-«d(j\t)g{t)dt = ap(j) (8.41)
О
и
оо
a = \g(t)e-ndt. (8.42)
о
Отсюда
и потому р (у) можно считать вероятностями. Отметим, что
а представляет просто ожидаемое значение коэффициента
переоценки, найденное усреднением по интервалу до момента
возникновения следующего требования. Функциональное
уравнение (8.40) отличается от функциональных уравнений,
встречавшихся в изученных нами задачах динамического
программирования тем, что минимизация по у должна
проводиться до суммирования по у, т. е. у* является функцией
?—у, а не ?. Интуитивно это легко объяснить.
Оптимальный размер поставки будет зависеть от числа требуемых
единиц товара в момент, когда поступает следующее
требование. Решая это функциональное уравнение, найдем
Z(?) иу*(? — у). С помощью у* (i—у) можно найти
оптимальную стратегию функционирования.

,8.7] ОПТИМАЛЬНОСТЬ /?Г-СТРАТЕГИЙ 431
8.7. Оптимальность /?г-стратегий для систем
с оперативной информацией
Можно предположить, что #г-стратегия будет
оптимальной для систем управления запасами, использующих
оперативную информацию о сделках. Мы хотим доказать здесь,
что обычно /?г-стратегия будет оптимальна. Из результатов
параграфа 8.4 мы знаем, что /?г-стратегия оптимальна, если
функция /(?) выпукла при условии, что ? считается
непрерывной величиной, а цена товара постоянна (доказательство?).
Для того чтобы убедиться в выпуклости /(?), заметим, что
ICD(l) + nB(%)
можно записать как
где
2/F—*)л(*). (8-43)
l(S_,)-( ?«-*>¦ \-Х>°' (8.44)
Таким образом, функция /(?-—#) выпукла по ? для
заданного х (начертите график функции /A — х) от ?). Так как
г) (х) ^ 0, то отсюда следует, что
ICD(l)+nB(l)
является выпуклой функцией от ?. Доказательство этого
факта составляет предмет задачи 8.7. Член пЕ(%) не
обязательно должен быть выпуклой функцией для всех g.
В задаче 8.7 от читателя требуется объяснить, почему это
так. Однако л?(?) обычно будет выпуклой функцией от g
для интересующего нас диапазона значений ?. Поэтому
обычно /?г-стратегия будет оптимальной при условии, что
цена товара постоянна.
Можно показать, что, когда в системе с оперативной
информацией требования имеют единичный размер, /?г-стра-
тегия будет оптимальна при значительно более общих
условиях. В данном же случае /?г-стратегия будет оптимальной
только, если ожидаемые издержки содержания и учета за
время (т, %-\-t) зависят только от ? и потому могут быть
представлены как /(|). Оптимальность /?г-стратегии це

432 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ [8
зависит от вида /(?). Здесь не надо предполагать, что цена
товара постоянна. /?г-стратегия будет оптимальна, даже если
вводится скидка. Доказательство этих фактов переносим
в задачу 8.20.
Можно численно оценить Z(?) и у*(%—у), а отсюда
и /?*, г*, используя процедуру, подобную той, которая
применялась в параграфе 8.5 для -систем с периодическими
проверками. Заменим систему с бесконечным числом периодов
системой с п периодами, так что (8.40) заменяется
следующим выражением:
ZAD-fiD+aipWlminlAb+Cy+Z^il+y-j)}),
(8.45)
Zx(i) =/(?). (8.46)
Тогда у*п(Е>—Л принимает вид у* (&—/). Так как здесь шаг
понимается как время между возникновением двух
последовательных требований, то для выполнения условия у*п (?,) =
= у* (?) нужно, чтобы п приняло достаточно большое значение.
Таким образом, значение п, при котором наступает состояние
равновесия, будет в сильной степени зависеть от средней
интенсивности спроса. Для очень малых интенсивностей может
потребоваться, чтобы п было порядка сотен, тогда как при
более интенсивном спросе п будет порядка нескольких тысяч. При
средних и больших значениях интенсивности спроса может
потребоваться значительно больше шагов при тех же
характеристиках спроса по сравнению с системами, в которых
используется периодическая проверка. С другой стороны, отпадает
необходимость многократных расчетов для определения
оптимального значения Т, как это требовалось в системах с
периодическими проверками. Отыскание оптимальной
стратегии функционирования для системы с оперативной
информацией может потребовать достаточно много времени даже при
решении задачи на быстродействующей вычислительной
машине. Но такую задачу все же можно решить. Ниже будет
приведена несколько упрощенная процедура определения /?*
и г*, в которой используется выражение средних годовых
издержек. Однако и эта процедура требует для своей
реализации быстродействующей вычислительной машины.

8.8] ABftQE РЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 433
8.8. Явное решение функционального уравнения,
когда спрос описывается процессом Пуассона,
а требования имеют единичный размер
Функциональное уравнение (8.40) можно разрешить явно
относительно Z(|). Покажем, как это сделать в случае,
когда требования поступают согласно процессу Пуассона,
а размер каждого требования равен единице товара. В
следующем разделе будет рассмотрен более общий случай. Явное
решение функционального уравнения позволяет также
получить явное выражение средних годовых издержек. Этим
устанавливается связь между подходом, основанным на
применении функционального уравнения, и подходом, изложенным
в главе 4. При указанном выше характере спроса будет
получено выражение средних годовых издержек и будет
показана его тождественность соответствующему выражению
из главы 4. Если размер каждого требования равен единице,
то функциональное уравнение (8.40) можно записать в виде
Z(l)=f{l) — aCl+ndn{aA6 + a(l+y)C+aZ(l+y — \)\.
(8.47)
/?/*-стратегия должна быть оптимальной в этом случае. Можно
записать, что /?* = r* + Q*. Размер поставки всегда будет
равен Q*. Пусть г*+1 будет наибольшим значением ?
таким, что у*, найденное из (8.47), будет положительным.
Кроме того,
F(x) = Cx + Z(x— 1). (8.48)
Пусть min/7^) достигается в точке x = R* + \. Тогда
X
Z (г* + 1) =/(г*+ 1) + aCQ* + aA + aZ (/?*). (8.49)
При \ > г* + 1 при поступлении следующего требования
пополнение не заказывается. Таким образом,
Z(r* + 2)=/(r* + 2) + aZ(r*+l), (8.50)
Z(r* + 3)=f(r* + 3) + aZ(r* + 2), (8.51)
Z(R*)=f(R*) +aZ(R*—\). (8.52)

434
АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТ0ЙНИЯ
[8
Если система функционирует оптимальна, то фиктивный
уровень запаса никогда не будет больше R*. Подставив
Z(r* + 1) из (8.49) в (8.50), а полученное соотношение
в (8.51) и т. д., получим
k
Z(r* + ?)=.2 akSf(r* + j) + ak[A + CQ* + Z(R*)l
A = l, ... , Q*. (8.53)
В частности,
Q*
Z(R*)=%aQ*-ff(r* + j) + aQ*[A + CQ* + Z(R*)]
/=
или
Z (/?*) =
1
ГQ* 1
^а*'-1/(г* + Л + а<1*(А + С<2*)\. (8.54)
L/=i J
1-а^
Подставляя Z(R*) из (8.54) в (8.53), получим явные
выражения для каждого k7 т. е.
^ (/•* + *) = ? ak-'f(r* + j) +
/=i
1-^*
<?*
^ + CQ* + ][>Q*-//(r*+y)
/=i
1-а<?*
k Q*
A+CQ*+Y*a~J f(r*+J)+aQ* ? a~Sf(r*+j)
/г=1, ... , Q*. (8.55)
Напомним, что под Z (I) можно понимать переоцененные
издержки за все будущее время (при условии, что издержки
по содержанию и учету не включаются, пока время поставки
не закончится), если фиктивный уровень запаса
непосредственно после поступления требования равен ? и применяется
оптимальная стратегия заказов. Ранее мы отметили, что
/?г-стратегия оптимальна, и потому, если система
функционирует оптимально, то ? может принимать только одно из
значений г*+1, ... , r*-f-Q* = /?*. Для каждого из таких
значений | из (8.55) получаем явное выражение для Z(|).

8.8] ЯВН^Д РЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 435
Определим новую функцию 8F; R, г). Пусть g F; /?, г)
представляет переоцененную величину всех ожидаемых
издержек в будущем, определенных непосредственно после
появления некоторого требования (момент 0), если используется
/?г-стратегия (г—точка заказа, aQ = (R—г) — размер заказа),
а 6— фиктивный уровень запаса в момент 0 после выдачи
заказа. Как обычно, предполагается, что издержки по
содержанию и учету не включаются до момента т, т. е. до
окончания периода поставки. Функция 8F; /?, г)
удовлетворяет следующему уравнению:
8F; /?, г)=/F) + а8(Б-1;Я,г),Е = г + 2, ...,/?
(8.56)
8(г + 1; /?; r) = Oi4 + aCQ+/(r+l) + aj(fl; Я, г),
так как при использовании /?г-стратегии ? может принимать
только значения г + 1, ..., /?. Уравнения (8.49)—(8.52)
выполняются, если Z заменить на 5 и индексы
оптимальности при г, R и Q опустить. Поэтому явное выражение для
3F; /?, г) можно получить из (8.55), если заменить Z на з,
а индексы оптимальности при г и Q опустить. Заметим, что
Z(r* + *) = 8('* + fc #*• г*)> * = 1' •••> Q*-
Теперь покажем, как 8F; #> г) связать с 5f (Q, г). Для этого
рассмотрим множество идентичных систем, находящихся
в состоянии статистического равновесия. Если определить
средние по множеству издержки за время Д^, а затем
разделить на Д^, то полученный результат, имеющий размерность
доллары за год, будет выражать средние годовые издержки
$(Q, г) для At > 0 (однако Д^ должно быть мало). Кроме
того, норма издержек не будет зависеть от времени. Теперь
рассмотрим показатель 2, определяемый как
со со
8 = С е-"Stat = St[ е~» Л = А .
о о
Таким образом,
Я = *2. (8.57)
Если в заданный момент времени начать наблюдения за этим
множеством систем и для каждой системы множества
непрерывно определять переоцененные на момент времени t общие

436 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ [8
издержки, которые накапливаются за время с начала
наблюдений, то ? будет пределом среднего ло множеству этих
издержек по мере того, как время наблюдений неограниченно
возрастает. Уравнение (8.57) известно как соотношение для
текущей стоимости средних годовых издержек.
Теперь нужно связать ? и g(|; /?, г). Напомним, что J
определяет издержки одной системы при условии, что
наблюдения начались непосредственно после поступления
требования, а фиктивный уровень запаса в момент начала наблюдений
был равен ?. При этом принимается обычное допущение об
издержках содержания и учета. Теперь читателю нетрудно
видеть, что
Q
так как из главы 4 следует, что вероятность того, что
фиктивный уровень запаса в произвольный момент времени
равен г + &, будет 1/Q. Таким образом, доля систем из
множества, имеющих фиктивный уровень запаса r + k в
момент начала наблюдений, будет равна 1/Q. Однако это не
совсем правильно на том основании, что 5(г + ^> Я, г)
определялись несколько иначе. Напомним, что, по
определению, в i(r + k\ R, г) издержки содержания и учета за
время от 0 до т не включаются. С другой стороны, в S эти
издержки включены. Более того, l{r-\-k\ R, г) определяется
не для произвольных моментов, а только для тех моментов
времени, которые непосредственно следуют за моментами
поступления требований. Однако, по мере того как норма
относительного прироста / становится все меньше и меньше,
различия между ними становятся пренебрежимо малыми, так
как эти составляющие издержек представляют пренебрежимо
малую долю от общих переоцененных издержек. С учетом
сказанного Я* определяется как
Я=Ш±^ь(г + к; R, г). (8.58)
Вычисляя lim/j(r-f-?; /?, г), убеждаемся, что тот же самый
результат получается для каждого А=1, ... , Q. Читателю
предлагается доказать этот результат в задаче 8.11. По мере

В.8] ЯВ*ЮЕ РЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 437
того как / —* 0, составляющие издержек, которые зависят
от начального значения фиктивного уровня запаса,
становятся малыми и составят пренебрежимо малую долю общих
переоцененных издержек. Вследствие этого можно записать
Я = lim/j (г + Л; /?, г), &=1, ..., Q, (8.59)
или в частном случае
Я = lira /3(/?; /?, г). (8.60)
/->о
Используя (8.60), вычислим теперь $ в случае, если спрос
описывается пуассоновским процессом, и покажем полное
соответствие этого результата с результатами, полученными
в главе 4. Учитывая, что для пуассоновского процесса спроса
g{t)= %е~м, из (8.42) получим
00
а = X { <г<*+А* dt = J;— . (8.61)
о
Таким образом,
limfl<W=l /=0, ...,Q, (8.62)
и
lim = ^ = lim ;~ п/п , 1Ч = тг> (8.63)
1—flQ q Q(Q+1) . Q' '
причем в знаменателе а^ разлагается в ряд. Поэтому на
основании (8.54) имеем
'=lim/8(fl; /?, г) = ? Л+ ЯС+ -??/('•+*)> (8-64)
/->О * ^
где / в /(г-|-&) полагается равным нулю. Остается
определить /(г+у). Для этого нужно вначале вычислить т)(д:) и
0 (k; x). Если процесс спроса описывается процессом
Пуассона, а размер каждого требования равен единице, то
«*(ф) = 1, <*(У|') = о, ]ф\, vx{t)=p(x;M),
Wk(n + k; t) = 0, кф\ и W1(n+\; t) = Xp(n; Xt),

438 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ [&
так как W1(n-\-\\ t)dt представляет собой вероятность
возникновения п требований за время t, отсчитываемое от
момента поступления некоторого требования, а еще одно
требование возникает в интервале (t> t + dt). Из (8.36)
с помощью подстановки Г=?—/ при фиксированном t
убеждаемся, что, когда / = 0,
т х
г,(лг) = я5 [р{х— 1; XT)e-MdTdt +
О x-t
оо X
+ bllp(x—l;kT)e-XtdTdt,x = l,2,... (8.65)
т О
Теперь изменим порядок интегрирования в первом слагаемом.
Используя соответствующие результаты из главы 3,
приведем его к виду
Т X
^S S Р(х~^ ^T)e~udtdT,
о х-г
а затем получим
X 06
т| (д:) = X J J p(*—1; XT)e~MdtdT.
О х-Г
Теперь можно вычислить этот интеграл
t
T)(x) = e-x*j|g^i d7=-Ip(*; Хт), *=1, 2, ... (8.66)
О
Из (8.37) следует, что
Л(о)= и» -* [грг-г] ^(/+х,т=т^=г"№ **>•
(8.67)
Так как
^(дг + 1; f)^XVx{t)~Xp{x; It),
то из сравнения (8.36) и (8.38) убеждаемся, что
в(\,х)=р{х;кх). (8.68)

8.9] функциональное уравнение в общем случае 439
Из (8.32) непосредственно следует, что
f(r + k) = I-?^d(r + k--x)p(x;'kx)+n ^р(х;1т) +
x=r+k
+ Т Е (x — r-k)p(x;te) =
К x=r+k
1С *
= T(r+k— ii)+n J^p(x;to). (8.69)
x=r+k
Отсюда на основании (8.64) Я* представляется как
Q »
= ?-A + XC + IC
T + j + r-[i
+
+ ^ ?P(«;M + ^? ?(*-.у)/>(л:;Хт). (8.70)
w=r-\-i У-г-\-1 x=y
Используя замену y = v-\-j\ w=-x—у, имеем
00 00 00 CO
2 2 (ж—у) p (x; M = 2 2 («—«)p (»+/; ^) =
y=v x=y 3=0 w=v
00
= 2^—^)P(w;Xt).
Таким образом, мы видим, что $ на самом деле
эквивалентны средним годовым издержкам, выражение для
которых было получено в главе 4. Конечно, здесь в Я
включена средняя стоимость запасов, затребованных за год.
8.9. Явное решение функционального уравнения
в общем случае
Уравнение (8.40) можно решить явно и в общем случае,
но эта задача будет несколько сложнее, чем задача, в
которой размер требований считается всегда равным единице.

440 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ [8
Допустим, что /?г-стратегия оптимальна. Пусть г* будет
таким значением фиктивного уровня запаса, что, если | < а*,
то после поступления требования подается заказ на
пополнение. После подачи этого заказа фиктивный уровень запаса
поднимается до R*. Если после удовлетворения
поступившего требования этот уровень равен /•* —J— 1, то заказ будет
подан после поступления следующего требования.
Аналогичным образом, если фиктивный уровень запаса равен г*+ 2,
то после поступления следующего требования он снизится
до г*+1, а уже после возникновения еще одного
единичного требования последует заказ на пополнение и
фиктивный уровень запаса возрастет до /?*. Заказ также будет
подан, если возникнет одно требование на две или больше
единиц товара. Таким образом,
Z(r*+l)=f(r*+\) + a[A + Z(R*)] +
СО
+ aC^,(R*-r* + j—\)p(j), (8.71)
Z(r* + 2)=f(f + 2) + aPB)[A + Z(R*)] +
+ ap{\)Z(r*+\) + acJZ(R*—r>+j-2)p(j), (8.72)
/=»
Z(r* + 3)=f(r* + 3) + aPC)[A + Z(R*)] +
+ ap(\)Z(r* + 2) + apB)Z(r*+l) +
'¦ +aC2,(R*-r*+j-3)p(j), (8.73)
Z(R*— 1) =/(#*—\) + aP(R*—r*—\)[A + Z(R*)] +
+ ap A) Z (R*-2) + ap B) Z (R*-3) +...+
00
+ ap(R*-r* + 2)Z(r*+\) + aC 2 U+ VpU), (8-74)
l=R»-r*-l
Z(R*)=f(R*) + aP(R*—r*)[A + Z(R*)] + ap(\)Z(R*—\) +
+ apB)Z{R*-2)+...+ap(R*-r*-l)Z(r*+\) +
CO
+ aC 2) jp(j), (8.75)
/ J=R*-r*
где P(j)—функция распределения, связанная с
распределением p(j). Найдем теперь явное выражение для Z (/?*),
подставляя для этого Z (/?*—1) из (8.74) в (8.75), затем
Z (R*—2) в полученное выражение и т. д. Поставляя

8.9] ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 441
Z(R*—\) из (8.74) в (8.75), получим
Z (/?*) =/(/?•) + ар (l)f(RT— 1) + а [Р(/?*-/•*) +
+ ap(\)P(R*-r*-\)][A + Z(R*)] +
+ [a*p*(\) + apB)]Z(I?-2) +
+ [а*р (\)р B) + ар C)] Z (/?*-3) + ... +
+ [а2р (\)Р (/?*—г*—2) + ap(R* —г*— 1)] xZ (r*+ 1) +
+ яС[ S Ур(У) + «РA) 2 (У+1)Р(У)]. (8.76)
Продолжая эту подстановку, быстро замечаем, что
коэффициент при f(R*—h) будет вероятностью спроса h
единиц в 1 или 2, или, ..., h поступивших требованиях,
умноженной на коэффициент переоценки, вводимый для каждого
из требований. Таким образом, если X(И) является
коэффициентом при f(R*—А), то
X(l) = ap(\), ХB) = а*р*(\) + арB)у
Х(Ъ) = а*р*(\) + 2а*р{\)р{2) + ар(?>)
или в общем случае
*<*> = 2 „S uhiJ4aPU)n (8-77)
где uf—неотрицательные целые числа, удовлетворяющие
соотношению Zjj=iju,j~h. X(h) можно также получить
иным способом. Определим Хп (k) из следующего
рекуррентного соотношения:
k
*»(*)= 2 *Р (У)*»-i (А—У), /2-2,3,...; ?=1,2,...,
/=1
(8.78)
причем
Xi(k) = ap(k), ?=1,2, ..., и *я@) = 1, ^=1,2, ...
-ЛГ„(/5) определяется почти как /г-кратная композиция (свертка)
ар (к) (см. параграф 3.9). Отличие состоит в том, что
в (8.78) суммирование осуществляется с у=1, а не с У=0,
и в том, что используется искусственное условие <<V„@) = 1,
тогда как в действительности ар @) = 0, ввиду того, что

442 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ [8
при возникновении требования нужно выдать по крайней
мере одну единицу запаса. Хп (к) можно представлять как
вероятность того, что k единиц будет затребовано при
возникновении или 1, или 2, ..., или п заявок. Таким образом,
X(h)=Xh(h). (8.79)
Коэффициент при [A + Z (/?*)] представляется как
а 2 X(h)P(R*—r*—h),
где Х@) = \. Этот коэффициент представляет вероятность
(соответствующим образом переоцененную) того, что 1 или
2, или, ..., R*—г* требований поступит до того, как
фиктивный уровень запаса понизится от R* до г* и пересечет
(или достигнет) этот уровень. Коэффициент при С имеет вид
Q(a) = a 2 XX(h)[ S (j+h)p(J)] (8.80)
/1=0 /=Я*-г*-Л
и представляет собой переоцененную величину ожидаемого
размера заказа. Учитывая изложенное, можно записать
Z(I?)= S 1X(h)f(R*-k) + CQ(a) +
А = 0
R'-r*-l
+ а[ S X(h)P(R*—r*-h)][A+Z(R*)] (8.81)
или
Z (#*) =
Д*-г*-1 _ R*-r*-i
аА 2 X(/i)P(/?*~A*-/i) + CQ(a)+ 2 X(h)f(R*-h)
1-я 2 X(h)P{R*-r*-h)
(8.82)
В качестве задачи 8.12 читателю предлагается получить
явные выражения для Z(r* + k). Там же требуется
доказать, что lim[/Z (/•*+&)] одинаков для каждого 6, k =
= 1 Q.

,8.10] УРАВНЕНИЕ ДЛЯ МОДЕЛИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ 443
Рассмотрим снова функцию $ (R, г), определенную в
предыдущем разделе. Заметим, что соотношения (8.71)—(8.75)
выполняются, если изъять знак оптимальности у R и г и
заменить Z(r* + k) на 5 (/* + &; /?, г). Явное выражение для
5 (R; R, г) можно получить из (8.82), если опустить знак
оптимальности у R и г. Кроме того, lim[/g(r + &; R, г)]
одинаков для каждого k, k=\, ..., Q. Поэтому
Я (/?,/) = lira ij (/?;/?/). (8.83)
Здесь мы имели возможность получить явно выражение для
средних годовых издержек, которое затем используется при
определении оптимальных значений R и г. Для любого
процесса спроса, отличного от пуассоновского, скажем, для
составного процесса Пуассона, значительно труднее
непосредственно вывести выражение для №(#, г), хотя в
принципе это можно сделать. В задаче 8.21 читателю
предлагается вывести выражение для $*(/?, г), если объем спроса
в любой момент времени подчиняется составному
распределению Пуассона. В задаче 8.22 нужно вывести выражение
для й (/?, г) в этом случае, вычисляя ожидаемые издержки
за цикл и умножая их на среднее число циклов в году.
Нужно показать, что при этом получается такое же
выражение для №(/?, г), как и в (8.83). Вручную было бы трудно
вычислить R* и г*. Однако определение R* и г* на цифровом
вычислителе не представляет особых трудностей, причем
определение R* и г* по заданному выражению Я (/?; г) обычно
требует меньше времени, чем решение /z-шаговой задачи
Динамического программирования из параграфа 8.7.
8.10. Явное решение функционального уравнения
для модели установившегося состояния системы
с периодическими проверками
Результаты последних разделов указывают на то, что
функциональное уравнение решается явно и в случае
систем с периодическими проверками. Покажем теперь, как это
следует сделать. Разобрав этот способ решения, мы
получим еще одну возможность вычисления средних годовых
издержек для </?, г, 7>-модели. Полученные результаты
будут, конечно, совпадать с результатами из главы 5. Для

444 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ [8
этого будем полагать, что ? в Z(?; T) представляет
фиктивный уровень запаса в момент проверки после подачи заказа
любого размера (но не до.его подачи). Определим Z (?; 7)
как переоцененные ожидаемые издержки за все будущее
время, если применять оптимальную стратегию пополнения
запаса, а функционирование системы начинается в момент
проверки, когда фиктивный уровень запаса равен ? после
подачи заказа любого размера. Как обычно, мы не включаем сюда
составляющих издержек по содержанию и учету до тех
пор, пока не будет осуществлена поставка. Тогда
функциональное уравнение в этом случае имеет вид
Z(!;7)=/(&;7) +
00
+ а%р(х; 1) {min [A8 + Су+ Z(I + у—х;Т))\, (8.84)
причем оно по форме совпадает с (8.40). Было опущено У,
которое входит в (8.4), так как оно не влияет на
результаты вычислений при фиксированном Т. Теперь р (х; Т)
представляет вероятность спроса на х единиц за период,
а /(!•; 7) — ожидаемые издержки содержания запасов и учета
требований за период от т до т+ Г, переоцененные на момент
времени 0, если фиктивный уровень запаса в этот момент
после подачи заказа любого размера равен ?.
Предположим, что /?г-стратегия оптимальна. Тогда при
условии оптимальности системы управления запасами
фиктивный уровень запаса в моменты проверок после подачи
заказов любой величины будет принимать значения г*+1,
г*+ 2, ..., /?*. Поэтому для них уравнение (8.84)
принимает вид
Z(r*+1, T)=/(r*+l; T) + ap@; T)Z(r*+\; T) +
+ aP(\;T)[A + Z(R*;T)} +
СО
+ aC'%(R*—r* + x — \)p{x;T), (8.85)
Z(r* + 2; Г)=/(г* + 2; T) + ap@; T)Z(r* + 2; T) +
+ ар(\; T)Z(r*+\; Т) + аРB; T)[A + Z(R*; T)] +
00
+ aC2,(R*—r* + x—2)р(х; T), (8.86)

8.JO] уравнение для модели установившегося состояния 445
Z(R*-\; T)=/(R*-\; T) + ap@; T)Z{R*-\; T) +
+ ap(l;T)Z(R*-2;T)+...+ap(R*-r*-2;T)Z(r*+\;7)+
+ aP(R*—r*-\; T)[A + Z(R*; T}] +
00
+ aC 2 (x+\)p(x;T), (8.87)
*=fl*-r*-i
Z(R*; T)=f(R*\ 1) + ap@; T)Z(R*; 7} +
+ ap(\; T)Z(R*—\; T) + apB; T)Z(R*-2; T) +
+ ...+ap(R*—r*—\; T)Z(r*+\;T,+
CO
+ aP (/?*—/-*; T)[A + Z(R*; T)]+ aC 2 xp(x; T), (8.88)
где P(x; T)—функция распределения, связанная с
распределением р (х\ Т). Последние уравнения отличаются от
уравнений (8.71)—(8.75), так как в случае периодических
проверок за период требования могут и не возникать, и
поэтому появляется вероятность р @; 7). Уравнения (8.85) —
(8.88) можно использовать для получения явного
выражения Z (R; Т). Это решение (читателю предоставляется
возможность получить его в задаче 8.13) имеет вид
оо Я*_г*-1
аЛ2 2 anpM(h;T)P(R*—r*—h;T)
Z(V; Л= n;V-7*°-i =
I—a 2 2 anp™(h\T)P(R*—r*—h\T)
п=о h=o
_ оо #*-r*-i
CQ+ 2 2 a"P{n) №; T) f (R* -A; T)
= ^b^I . (8.89)
1—а 2 2 anp<n>(h\T)P(R*—r*—h;T)
n=o h—o
где p{n)(h; T) является /г-кратной композицией р (х; Т) и,
по определению,
p@,@;7) = l; pW)(A;7) = 0, A = l,2, ...
В качестве задачи 8.14 найдите другие выражения
Z(r* + k;T) для ft=l, ..., /г*—г*—1. В задаче 8.15
читателю нужно показать, что
lim iZ(r* + k; T) А=1, ..., /?*—г*,

446 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ [8
не меняется при изменении &, и потому средние годовые
издержки представляются этим предельным значением.
Приведенные выше результаты можно использовать для
получения явного выражения ожидаемых годовых издержек.
Для этого, как обычно, определим функцию g (?; /?, г, Т)
как переоцененные ожидаемые издержки в момент проверки,
если используется /^/--стратегия с критическими значениями
R и г. Заметим, что R и г могут отличаться от R* и г*>
а фиктивный уровень запаса после проведения
соответствующих мероприятий (отпуска товара по требованию и
подачи заказа) равен ?. Тогда уравнения (8.85) — (8.88) по-
прежнему справедливы, если Z(?; T) заменяется на
5(|; /?, г, 7), а индекс оптимальности у R и г опускается.
Явное выражение для j (/?;/?, г, Т) получается из (8.89),
если опустить индексы оптимальности у R и г. Кроме того,
lim i%(l; Ry t\ T) одинаков для каждого ?, ? = /•.+ !, ..., Я.
/->о
Следовательно, средние годовые издержки, исключая
стоимость проверок, равны
RT(R, T) = \imii(R;R1ry T), (8.90)
а учитывая стоимость проверок, средние годовые издержки
можно представить как
St(R,r,T) = ± + StT(R,r). (8.91)
Таким образом, мы получили явное выражение для ожидаемых
годовых издержек в системе с периодическими проверками
при использовании /?г-стратегии пополнения запасов. В задаче
8.16 нужно доказать, что полученный здесь результат в
точности совпадает с соответствующим результатом из главы 5.
8.11. Случай потери требований
Подход, связанный с использованием функциональных
уравнений для динамического программирования, окажет
малую помощь при изучении моделей установившегося
состояния для системы с потерями. Для иллюстрации этого
рассмотрим систему с периодическими проверками, если время
поставки постоянно и точно m ^ 1 невыполненных заказов

3.11] случай потери требований 447
на пополнение имеется в любой заданный момент проверки
перед подачей заказа любого размера. В этом случае функцию
Z нельзя представить функцией одной переменной.
Предположим, что ?—момент проверки, а партии товара wv ... , wm
заказываются соответственно в моменты ?—7, ?—27", ...
. ..,?—тТ. Кроме того, будем считать, что ?
представляет наличный запас в момент ?. Z теперь будет зависеть
от ?, wlt ... , wu.
Пусть Z (?, wlf ..., wm) представляет собой переоцененные
ожидаемые издержки за все будущее время, если в момент ?
принято оптимальное решение о поставках, а время между
проверками равно Г. Здесь мы начнем вычислять издержки
содержания и издержки от потери требований в момент ?,
а задержку от времени поставки не будем вводить. Теперь
функциональное уравнение для Z нельзя составить
непосредственно. Напомним, что если время поставки постоянно, то
заказ, поданный в момент ?—тТ, будет поставлен в
промежутке от ? до ? + Т. Допустим, что этот заказ размера
wm^0 поставляется в момент ? + ? Пусть рг (Xj) означает
вероятность спроса хг единиц за время от ? до ? + ^,
а/М^г)—вероятность спроса х2 единиц за время от Z> + i
до ? + 7\ Если хг < g и x2^wm + %— xlt то наличный запас
в момент ?+Гравен?-|-'а;/я—хг—х2. Если хг > ? ид;2^^й,
то наличный запас в момент ? + Т равен wm—х2. И наконец,
наличный запас в момент ? + Т равен нулю, если хг < |
и #2 ><а/|Я4-?— *i или если хх^\ и д:2>^т.
Таким образом, если хг и л:2 независимы, то
Z(b,wv...,wJ = J+f{l,wJ + mlnJA6 + CQ +
+ « 2 SPiWftW2ffiK-Jfr^Q,»i,...,«i,-i)+
Wm Л
+ я 2 2 Pi(*i) a (*2) ?(«>.—*a, Q> wv • • • > ««-i) +
*2 = 0 Xl=l
+д 2 SpiWaw+
со oo "I Л
+ 2 SftWftWZfO.Q.e, «..J, (8.92)

448 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ [8
гДе /(?, wm) представляет ожидаемые издержки хранения
и из-за потери требований за время от ? до ?+ Т (а не от
? + т до ? + т+Л- В задаче 8.17 читателю предлагается
вывести явное выражение для /(?, wm).
Теперь Z является функцией (/»+1) переменной, а не
функцией одной переменной, как для системы с учетом
неудовлетворенных требований. Ни один из изложенных выше
методов нельзя применить к функциональному уравнению
(8.92). Мы не будем пытаться продолжить анализ этого
случая. В задаче 8.18 пусть читатель сам попытается
получить функциональное уравнение для случая, когда в момент
проверки нет невыполненных заказов на пополнение.
Задачи и упражнения
8.1. Выпишите явные выражения для ?r(? + Q; T) и
?r(? + Q; Л с помощью (8.1) для случая, когда спрос
подчиняется распределению Пуассона.
8.2. Для модели из параграфа 8.2 докажите, что если
А = О, то Zn (?; 7) и Z (?; Т) выпуклы и таким образом
стратегия пополнения до уровня R оптимальна. Дайте прямое
доказательство, не используя свойство Л-выпуклости.
8.3. Для всюду дифференцируемой функции/^) покажите
эквивалентность определения выпуклости функции, данное
в задаче 2.6, и определения (8.15).
8.4. Докажите четыре свойства Л-выпуклых функций,
перечисленных в параграфе 8.4.
8.5. Докажите, что если /(у; Т) — выпуклая и всюду
дифференцируемая функция, то функция Fn(y; 7),
определяемая из (8.11), будет непрерывной и всюду
дифференцируемой. Для этого докажите, что функция Ft (у; Т)
непрерывна и всюду дифференцируема. Затем покажите, что
функция Zx (|; 7) непрерывна всюду. Таким же образом
покажите, что функция F2 {у; Т) непрерывна и
дифференцируема всюду и т. д.
8.6. Рассмотрите определение т) (х) для х > О согласно
(8.36). Покажите, что если каждое требование имеет
единичный размер, то
Т 00
т)(х) = I Vx.x(x-t)е-» Jg@е-*dt,dt.
о t

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
449
Можно ли сделать аналогичное преобразование для
6A, х)?
8.7. В параграфе 8.7 докажите, что ICD (?) + SIB (?)
является выпуклой функцией от ?. Объясните, почему Е (|) не
должна быть выпуклой. Указание, Рассмотрите, что может
произойти при малых значениях ?.
8.8. Видоизмените уравнения (8.29), (8.30) и (8.31) на
случай, когда | может быть отрицательным. Как это
повлияет на функциональное уравнение для Z(|)?
8.9. В параграфе 8.6 покажите, как упростить
вычисление ожидаемого числа учтенных требований за время от
т до t + t, если норма относительного прироста / = 0.
8.10. Дайте подробный вывод уравнения (8.55).
8.11. Вычислите
lim/Z(r* + ?), &=1, ... , Q*,
где Z (/** + &) определяется с помощью (8.55). Покажите,
что этот предел не зависит от k.
8.12. Используя уравнение (8.82), получите явное
выражение для Z (г* +/г), ft=l, ..., Q*—1. Покажите, что
lim \iZ(r*-\- k)] не зависит от k.
8.13. Получите уравнение (8.89), используя (8.85) —
(8.88). Указание. Имеется много способов, с помощью
которых можно вывести явное выражение для Z (R; Т).
Трудности можно уменьшить, если подстановки проводить в
определенном порядке. Начните с уравнения (8.88). Замените
Z (R*; 7), коэффициент при котором равен ар @; 7), на
правую часть уравнения (8.88); замените Z(R*—1; 7) правой
частью уравнения (8.87) и т. д. Тогда получите
Z(#*; 7)=f(R*; T) + ap@; T)f(R*; T) +
+ ар(\; T)f(R*-\; T) + apB; T)f(R*-2; T) +
+ ... +ap{R'-r*—l; T)f(r*+U T) +
+ аУ2)@; T)Z(R*; Т) + а2р™(\; T)Z(R*—\; 7) +
+ ... +аУ2)(Я*—г*— 1; T)Z(r* + l; T) +
+ a{[\ + ap@; T)]P(R* — r*; Т) + ар(\; Т) Р (#*—г* -1; Т) +
+ ... +ap(R*-r*-\;T)P(\; T)}x[A + Z(R*; T)] +
15 ДЖ. Хедли, Т. Уайтин

450 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ [8
00
+ аС[\ + ар@; Т)] 2 хр (х; Т) +
x = R*-r*
со
+ а*Ср(\; Т) 2 (х + \)р(х; Т) +
x=R*-r*-l
со
+ а*СрB; Т) 2 (х + 2)р(х; Т) + . . .
x=R*-r*-2
СО
... +a2Cp(R*—r*— 1; 7) 2 (#* — г* + * — 1)/> (х; Т).
х=1
Теперь повторите процесс подстановки согласно
приведенному указанию.
8.14. Дайте вывод выражений для Z(r*-\~k\ T) в случае
системы с периодическими проверками. Используйте при
этом уравнение (8.89).
8.15. Используя результаты задачи (8.14), покажите,
что lim IZ (г* + k; Г), k= 1, . . . , R*r* не зависит от k.
8.16. Дайте явное выражение для $iT,(R, r) согласно (8.90).
Используйте при этом (8.89) и покажите, что (8.91) в точности
совпадает с соответствующими результатами из главы 5.
8.17. Дайте явное выражение /(?, wm) из параграфа 8.11.
8.18. Выведите соотношение, эквивалентное (8.92), для
случая, когда в момент проверки не бывает невыполненных
поставок.
8.19. Докажите, что в детерминированной системе
управления запасами из главы 2 оптимально не допускать
дефицита и использовать /?г-стратегию. Покажите, что
^-стратегия сохраняет оптимальность и при наличии учета
невыполненных требований.
8.20. Докажите, что в системе оперативного управления
запасами, если размер каждого требования равен единице,
стратегия Rr оптимальна только при условии, что ожидаемые
издержки по хранению и учету за время от т до т + /,
следующее за моментом поступления требования (т постоянно,
a t — время до поступления следующего требования), зависят
только от \. Здесь ? означает фиктивный уровень запаса
в момент непосредственно после поступления требования
и принятия соответствующих действий. Покажите, что
это утверждение справедливо и в случае непостоянства
цены товара.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
451
Указание. Рассмотрите сначала случай постоянной цены
товара. Пусть F(y) определяется так же, как и в параграфе
8.8. Предположим, что абсолютный минимум F(y) достигается
в точке y = R. Покажите, что независимо от предположения
о дискретности или непрерывности объема спроса и от формы
кривой F(y), /?г-стратегия оптимальна. Покажите, что это
справедливо и в случае, когда R имеет не единственное
значение. Как определить г? Обязательна ли справедливость
утверждения, что г — наибольшее целое (если у < R) такое,
что F (г) ^ Л-\-F (R)? Рассмотрите затем случай, когда цена
товара не постоянна.
8.21. Найдите $(/?, г) из (8.83) для случая, когда объем
спроса подчиняется составному пуассоновскому
распределению.
8.22. Найдите й (/?, г) для случая, когда объем спроса
подчиняется составному распределению Пуассона, вычисляя
ожидаемые издержки за цикл и умножая их на среднее число
циклов за год. Покажите, что полученный результат
совпадает с решением задачи 8.21.
Указание. За цикл может возникнуть 1,2, . . . , R—г
требований. Чему тогда равна ожидаемая длительность цикла?
Пусть f(r-\-k) представляет ожидаемые издержки за время
от ? + т до ?-f-T-f-/, если фиктивный уровень запаса в
момент ? непосредственно за поступлением требования равен
r-f-&, a t — время до возникновения следующего требования.
В начале цикла фиктивный уровень запаса равен R. Чему
равна вероятность того, что фиктивный уровень запаса будет
r-\-k в некоторый момент в течение цикла? Каковы
ожидаемые издержки за цикл?
8.23. Обратитесь к задаче 2.69. Покажите, что и при
случайном спросе по-прежнему при минимизации текущей
стоимости всех будущих издержек не следует включать
норму прибыли в коэффициент издержек содержания. Если,
однако, это сделать, то после перехода к пределу,
рассматриваемому в данной главе, с целью получения средних
годовых издержек в результирующем выражении нужно
вычесть снова норму прибыли из издержек содержания.
8.24. В параграфе 8.4 было доказано, что если f(y; T)
выпукла, то F(y; T) не может иметь относительного
максимума в точке у, для которой F(y; Т) > A-\-F(R*; T).
Покажите, что F(y\ T) может иметь относительный максимум
15*

452 АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ [8
в точке у такой, что F(y\ T)=A-\-F(R*\ T) без нарушения
оптимальности /?г-стратегии. Дайте геометрическую
иллюстрацию.
8.25. Используйте уравнение (8.2) для строгого
доказательства (8.3).
8.26. Выполните то же, что в задаче 8.25 при условии
оптимальности /?г-политики для динамической модели из
параграфа 7.6 (/? и г могут принимать различные значения
для каждого периода) *.
ЛИТЕРАТУРА
1. Arrow К. J., Т. Harris and Marschak, Optimal
Inventory Policy, Econometrica, XIX, 1951, pp. 250—272.
2. Arrow K. J. S. Karl in and H. Scarf, Studies in the
Mathematical Theory of Inventory and Production, Stanford,
California, Stanford University Press, 1958.
3. Beckmann M. and R. Muth, An Inventory Policy for a Case
of Lagged Delivery, Management Science, vol. 2, No, 2, Jan. 1956,
pp. 145—155.
4. Beckmann M., An inventory Model for Arbitrary Interval and
Quantity Distributions of Demand, Management Science, vol. 8,
No 1, Oct. 1961, pp. 35—37.
5. Bellman R., I. Glicksberg and O. Gross, On the
Optimal Inventory Equation, Management Science, vol. 2., No. 1,
Oct. 1955, pp. 83—104.
6. Dvoretzky A., J. Kiefer and J. Wolfowitz, «The
Inventory Problem: I. Case of Known Distributions of Demand;
II. Case of Unknown Distributions of Demand», Econometrica, XX,
Nos. 2—3, 1952, pp. 187—212 and 450—466.
7. Dvoretzky A., J. Kiefer and J. Wolfowitz, On the
Optimal Character of (s, S) Policy in Inventory Theory,
Econometrica, XXI, 1953, pp. 586—596.
8. Masse P. B. D., Les Reserves et la regulation de L'avenir dans
vie evonomique. Paris. Hermann and Cie, 1946.
9. Scarf H., The Optimality of (S, s) Policies in the Dynamic
Inventory Problem, in Mathematical Methods in the Social Sciences
(K. J. Arrow, S. Karlin, and P. Suppes, editors), Stanford,
California: Stanford University Press, 1960, pp. 196—202.
* Поэтому решения о пополнениях для последовательных
периодов составляют политику, именуемую в данном случае ^/--политикой.
(Прим. перге.)

9
Проблемы практического применения
...Как шутят случайности,
Как в чашу перемен
Превратность льет различные
напитки.
Шекспи р
«Генрих IV», часть II *
9.1. Введение
Старая поговорка «по усам текло, да в рот не попало»
лучше всего характеризует положение, в котором
оказываются лица, пытающиеся реализовать на практике стратегию
управления запасами, найденную с помощью математической
модели. В этой главе внимание читателя будет перенесено
с главной темы книги — разработки и анализа математических
моделей управления запасами—на проблемы их
практического применения. Мы не намереваемся обсуждать здесь
вопросы применения в форме рекомендаций о том, как нужно
эти модели осуществить на практике, так как неясно, можно
ли разработать такие правила на все случаи жизни. А если
бы это и было возможно, то для их изложения
потребовалась, по-видимому, не одна книга. Наоборот, мы хотели бы
выявить своего рода проблемы, которые могут возникнуть,
и по возможности предложить способы решения таких
проблем или способы их устранения.
К сожалению, для большинства задач не существует
простых решений, и в достаточно большом числе случаев
вообще не было предложено удовлетворительных решений.
Здесь уместно обсудить различные вопросы, касающиеся
адекватности модели, проблемы исходных данных, проблемы,
связанные с созданием многопродуктовых запасов. Кроме
того, желательно обсудить вопросы процедурного характера,
проблемы, связанные с работой персонала, и задачу оценок.
Если не ставить никаких дополнительных целей, то данная
* Перевод В. Морица.

454 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ [9
глава должна помочь читателю уяснить для себя, что
успешная практическая реализация потребует чего-то
большего, чем простой формулировки соответствующей
математической модели.
9.2. Адекватность модели
Выше было отмечено, что при конструировании
математической модели любой реальной системы всегда необходимы
некоторые упрощения- и аппроксимации. Однако при
разработке модели нужно быть чрезвычайно осторожным, чтобы
обеспечить уверенность, что модель с достаточной
точностью отражает существенные характеристики системы,
определяющие выбор необходимой стратегии
функционирования. Если такую осторожность не проявить, то полученные
результаты могут быть хуже тех рабочих правил, которые
уже используются в настоящее время, или правил, полученных
на основе простых интуитивных соображений. Вряд ли
нужно останавливаться на этом вопросе, и все же авторы
столкнулись с рядом ситуаций, когда делались попытки
применить модели там, где они были совершенно
неприменимы, просто из-за того, что в наличии имелась уже готовая
модель. С другим ошибочным применением модели авторам
пришлось встретиться при анализе одной военной системы
снабжения, когда была предпринята попытка использовать
одну из моделей для состояния статистического равновесия
(типа моделей главы 4) при определении количества запасных
частей военного самолета, который был снят сравнительно
скоро с серийного производства. Указанная модель была
совершенно неприемлемой, так как средняя интенсивность
спроса непрерывно менялась во времени и, кроме того,
запасные части морально устарели после того, как серийное
производство этого типа самолетов было прекращено. Более
подходящей моделью оказалась одна из форм динамической
модели, рассмотренных в главе 7.
Не всегда адекватность модели бывает так легко
установить, но тем не менее ее несоответствие реальным
условиям может привести к тем же губительным результатам.
В качестве примера рассмотрим военную систему снабжения
электронными элементами. На ее складе хранится большое
число различных элементов. Основная идея состояла в том,

9.2]
АДЕКВАТНОСТЬ МОДЕЛИ
455
чтобы применить одну из моделей для состояния равновесия
из главы 4 при определении точек подачи заказов и размера
заказов на пополнение для элементов каждого типа.
Предварительно система работала, используя периодический
контроль. Такая процедура в достаточной степени разумна,
так как средняя интенсивность спроса на многие типы
элементов была существенно постоянна на приемлемом
интервале времени. В системе была установлена цифровая
вычислительная машина, которая дала возможность
осуществить сбор и обработку оперативной информации.
Однако было установлено, что размеры заказов не
обязательно использовать непосредственно, так как ежегодно
на поставку пополнения можно расходовать только
определенные суммы, устанавливаемые бюджетом. Поэтому нужно
учесть, что бюджет служит ограничением расходов на
пополнение. Поэтому было решено выбирать так размеры
заказов Qy. и уровни запасов при подаче заказа на
пополнение гj для каждого из п типов товаров, чтобы достигали
минимума общие средние годовые издержки St по всем п
типам и чтобы ожидаемые расходы, связанные с пополнением
запасов, не превосходили годового бюджета. Предполагалось,
что издержки учета единичного неудовлетворенного
требования на у-й товар имеют вид 0^|/Су., где Су—единичная
стоимость, / — время учета, а 0—параметр, не зависящий
от /, который нужно определить таким образом, чтобы
выполнялось ограничение на бюджет. Заметим, что в такой
модели нет фиксированной стоимости учета. (Остается
несколько неясным обоснование зависимости Яу = 0|/Су, но,
по-видимому, это не относится к делу, так как те же самые
вопросы возникнут, если Лу принять равным 0/у- для любого
произвольно выбранного числа /у.) Тогда функция, которую
нужно минимизировать, принимает вид
ft-i{^4+^[l+T+o-i'/]+
+ (QVc~j+IC;)Bj(Qj, г,)},
где все не упомянутые здесь величины имеют обычный смысл.
Минимизация проводилась для различных значений 0, и были
получены соответствующие значения ^*@), Q;@), /"/@),

456 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ [9
у=1, . . ., п. Значение 9 было выбрано так, чтобы ожидаемые
расходы 'на пополнение были в сумме равны принятому
бюджету. Случилось так, что, когда была введена описанная
выше модель, бюджет резко сократился. В связи с этим 9
было выбрано весьма малым, и потому стоимость единицы
товаро-лет нехватки оказалась низкой. К примеру, для
некоторых типов электронных ламп эта стоимость снизилась
до абсурдно малого значения 0,75 доллара. Определенные
на этой основе точки заказов соответствовали весьма низким
уровням запасов. Во многих случаях даже оказалось", что
гарантийный запас меньше нуля (т. е. г* было меньше |1у).
Значения гу. в общем случае оказались значительно ниже
уровня наличного запаса в начале года. С другой стороны,
значения Qj были не особенно малы, так как для этой модели
в издержках учета требований пренебрегли влиянием членов
fj + Qji и потому Qj не могла быть меньше постоянной
Уилсона Q. Значения Qj и гу-, полученные с помощью
упомянутой выше модели, были использованы в реальной
системе. Система начала функционировать, используя в качестве
параметра управления уровень наличного запаса по всем
товарам, и когда были достигнуты (очень низкие) уровни
подачи заказов на пополнение, был подан заказ на довольно
большие партии Qj. К концу года отведенные по бюджету
суммы были израсходованы, а система оказалась по многим
типам товаров без запаса. В одних случаях это произошло
потому, что заказы делались, но гарантийный запас был
отрицательным, в других <—моменты подачи заказов были
просрочены из-за отсутствия фондов. На данном этапе
в системе наступил кризис. Потребовались специальные
решения для получения аварийных фондов, которые позволили
возместить оплату поставок снабжающим организациям.
Применение математической модели дало, как показывает
этот пример, намного худшие результаты, чем те, которые
можно было бы получить, используя уже существующие
методы. Конечно, было бы совсем неразумно попытаться
применить равновесную модель в случае, когда годовой
бюджет на пополнение запасов фиксирован. Еще хуже было
поступать так, вводя ограничение на ожидаемые расходы,
когда стоимость учета меняется для приведения в
соответствие с бюджетом ожидаемых расходов (так как изменение
стоимости учета не оказывает большого влияния на Qj).

9.2] адекватность модели 457
Процедура функционирования системы при сокращенном
бюджете оказывается очень сложной. Ни одна из моделей,
рассмотренных в данной книге, не приспособлена для такого
случая. Ясно, что бюджет должен покрыть расходы по
поставкам запасов для удовлетворения среднего годового
спроса. В противном случае система не сможет продолжать
работу. Однако с помощью ряда специальных мер можно
добиться, чтобы система проработала некоторое время и при
урезанном бюджете.
Имеется много других случаев, когда модель управления
используется неправильно. Кратко упомянем некоторые из
них. Рассмотрим, например, ситуацию, когда средняя
интенсивность спроса достаточно низка, а размер каждого
требования меняется в широких пределах. Было бы очень опасно
использовать модель для установившегося состояния из
главы 4 при пуассоновском спросе, даже если средняя
интенсивность спроса остается постоянной, так как большая
дисперсия размера заказа может обусловить низкий уровень
гарантийного запаса. Другие ошибки возникают при
использовании равновесной модели для планирования запаса
товаров в универсальном магазине, если 50% распродаж
происходит в дни, предшествующие рождественским
праздникам. Ошибочно также пытаться использовать результаты
модели системы с оперативной информацией в системе с
периодическим контролем.
Читателю не следует отсюда делать вывод, что любая
модель всегда будет неудовлетворительной, если только она
не повторяет в точности поведение реальной системы.
Например, может быть целесообразно использовать
равновесную модель и при наличии слабых сезонных колебаний
спроса. Дополнительная экономия от использования
стратегии, основанной на динамической модели, по сравнению
с издержками эксплуатации при использовании <Q, /*>-модели
(когда Q и г фиксированы и вычисляются при постоянном
среднем спросе) может не оправдать себя, так как слишком
трудно получить дополнительный штат служащих,
необходимых для практической реализации модели с переменными Q и г.
Нетрудно грубо оценить разность стоимостей заказов и
издержек содержания, полученных соответственно при
фиксированном и колеблющемся по сезонам значении Q. Необходимо
только сравнить результаты, полученные на основе простой

458 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ [9
детерминированной модели размера партии из главы 2,
с результатами для соответствующей динамической модели
из главы 7. Пробные вычисления дают возможность
легко убедиться в том, что даже при значительных сезонных
колебаниях спроса разность издержек может быть очень
мала. Таким образом, во многих случаях постоянные
значения Q легко обосновать. Несколько труднее определить,
целесообразно ли поддерживать г постоянным и равным тому
значению, которое также определяется из равновесной
модели (т. е. иметь постоянный гарантийный запас). Ответ
на этот вопрос частично зависит от относительных значений
издержек нехватки и издержек содержания. На этот вопрос
можно ответить, используя методы моделирования.
Моделирование оказывается весьма полезным при
определении ожидаемого эффекта той или иной стратегии
функционирования в реальной системе. В частности,
моделирование позволяет изучить ожидаемое поведение системы при
использовании стратегии функционирования, полученной при
условиях, нескольк оотличных от тех, при которых она была
найдена. Такая процедура заключается в моделировании
поведения системы при использовании определенной стратегии
функционирования. Время между моментами появления
требований и размер требований воспроизводятся с помощью
генератора случайных чисел. Случайные числа генерируются
таким образом, чтобы они обладали теми же статистическими
свойствами, которые характеризуют процесс возникновения
требований и размер заказов на пополнение в реальной
системе. Тогда по заданной временной диаграмме спроса
можно определить уровень запаса системы в моменты, в
которые следует подавать заказ на пополнение (если времена
поставки случайны, то с помощью генератора случайных
чисел будет задана и продолжительность поставки), число
учтенных требований в каждый момент времени и т. д.
Используя эту информацию, можно вычислить годовые
издержки, долю времени, в течение которого наблюдается
дефицит, и т. д. А отсюда можно сравнивать стратегии
функционирования, полученные с помощью математической
модели, с фактически используемой стратегией для того,
чтобы выяснить возможности улучшения работы системы.
Кроме того, сравнивая стратегии функционирования,
найденные с помощью упрощенной и более точной моделей, можно

9.3] проблема исходных данных 459
выяснить, достаточны ли полученные преимущества в
качестве обоснования более сложной модели. Одновременно
моделирование позволяет выяснить некоторые эвристические
изменения стратегии функционирования, найденной из
упрощенной модели, если вообще возможно получить несколько
лучшую стратегию.
В простейших случаях моделирование выполняется вруч-
ную. Однако обычно для этих целей необходима цифровая
вычислительная машина, так как моделирование должно
проводиться на достаточно большом интервале времени или
повторяться достаточно много раз. Для этого понадобиться
генерировать 100 000 и более случайных чисел. Ясно, что
в таких условиях необходима вычислительная машина.
На практике для анализа стратегий функционирования, однако,
моделирование широко не применяется из-за больших затрат
времени и средств. В будущем по мере увеличения
быстродействия вычислительных машин и обеспечения условий их
эксплуатации можно ожидать расширения масштабов
моделирования по сравнению с уровнем, существующим в
настоящее время.
9.3. Проблема исходных данных
После того, как разработана адекватная математическая
модель для некоторой практической ситуации, остается
определить эмпирически значения различных параметров, а
также вид некоторых функций, используемых в модели. Затем
эту модель можно применить для отыскания конкретной
стратегии функционирования. Для того, чтобы получить
значения параметров, а также выяснить вид функций,
необходимо использовать данные об эксплуатации реальной
системы. К сожалению, по разным причинам, которые будут
подробно рассмотрены ниже, часто очень трудно получить
необходимые данные. Но даже, когда такие данные
имеются, очень трудно обработать их с большой точностью.
К счастью, оптимальный доход или издержки не
изменяются существенно при малых изменениях значений этих
параметров, а потому хорошие результаты можно получить, не
зная очень точно многие параметры. Однако весьма полезно
определить, при изменении каких параметров происходят
наибольшие изменения оптимального дохода или издержек.

460 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ [9
В связи с этим наибольшие усилия следует приложить
для уточнения значений именно этих параметров. Для
определения критических параметров необходимо провести
анализ чувствительности, сводящийся просто к выяснению
возможных изменений лри изменении одного из параметров.
Некоторые примеры такого анализа были приведены в
предыдущих главах.
В последующих разделах мы хотим обсудить более
подробно проблемы, связанные с определением значений
параметров и вида функций математической модели. Будет
удобно подразделить обсуждения вопросов исходных данных
по следующим пунктам: (а) распределение спроса, (б)
распределение времени поставок пополнения, (в) издержки.
9.4. Распределение объема спроса
Для всех моделей управления запасами требуется
некоторая информация, касающаяся спроса, на интересующий
товар. В простейшей детерминированной модели нужно знать
только один параметр — интенсивность спроса. В других
случаях необходимо определить характер процесса,
порождаемого спросом, и вид распределения размера требований.
Часто бывает нужно предсказать, как эти показатели будут
изменяться в будущем. Для получения самых грубых оценок
интенсивности спроса нужно иметь данные о предыстории
спроса. Удивительно, как часто обнаруживается полное
отсутствие всяких данных по спросу. Поэтому до того, как
пытаться использовать полученную с помощью
математической модели стратегию функционирования, необходимо
провести сбор таких данных. Почти во всех случаях
имеются данные об операциях продажи, и это эквивалентно
при отсутствии потерь данным о спросе. Но когда имеются
потери требований, информация о продаже не будет точно
отвечать данным о спросе. Даже при наличии полного
учета картина спроса может быть искажена, так как, если
момент продажи связан с моментом выполнения заказа на
пополнение, а некоторые требования нужно учитывать, то
временной характер поставки заказа на пополнение будет
отличаться от картины возникновения спроса во времени.
Обычно других возможностей нет, и приходится
использовать данные о продажах в качестве данных спроса. Для

9.4] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА СПРОСА 461
системы с потерей требований, если средняя доля времени
дефицита товаров известна, среднюю интенсивность спроса,
полученную на основе данных о продажах, можно
скорректировать, разделив на среднюю долю времени, в течение
которого в системе есть наличный запас. Но обычно долю
времени, в течение которого наблюдается дефицит, трудно
оценить.
Предположим теперь, что некоторые данные о спросе
(т. е. о сбыте) имеются. Рассмотрим, какие проблемы
возникают, если пытаться использовать эти данные для оценки
параметров распределения спроса. Во-первых, изучим случай,
когда предполагается, что случайный процесс, порождаемый
спросом, стационарен. Перед тем, как оценить его параметры,
следует проверить, разумна ли предпосылка о постоянстве
средней интенсивности спроса. Обычно на практике средняя
интенсивность спроса не будет строго постоянной, и
фактически нужно знать, будет ли средняя интенсивность спроса
существенно постоянной на соответствующем временном
интервале (скажем, в течение года). Такое решение очень
трудно принять, основываясь на количественном подходе, так
как это потребовало бы сравнить издержки от использования
стратегий, полученных при условии постоянства
интенсивности спроса и при наличии динамики в поведении системы.
Проведение таких сопоставлений может потребовать много
времени, а также может понадобиться большая
вычислительная машина для осуществления детального
моделирования. В ряде случаев полученные результаты могут
оказаться ошибочными из-за трудностей предсказания
изменений средней интенсивности спроса согласно
динамической модели. Поэтому вместо этого принимают решение,
основываясь на качественных соображениях, часто опуская
при этом детальное изучение исходных данных. Иногда
достаточно знать только вид запасаемого товара. Если запас
представляет предмет рыночной торговли, на который
отсутствуют сильные сезонные колебания спроса, а выход из
употребления не составляет непосредственной проблемы, то
среднюю интенсивность спроса можно считать постоянной,
так как преимущества более сложной динамической модели
не оправдывают относительно более высоких издержек,
связанных с ее использованием. Если средняя интенсивность
спроса как-то меняется во времени, то имеется возможность

462 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ [9
просто регулярно пересчитывать стратегию
функционирования через некоторый интервал, скажем, раз в год. С другой
стороны, если товар подвержен сильному влиянию моды и
его можно продать только в определенный период года или
если изделие должно быть снято с серийного производства
через сравнительно небольшой период времени, то было бы
неправильно предполагать постоянство средней
интенсивности спроса.
еоельныи i
спрос
d+3Sd
d
d-3Sd
0
i
Ж
ж
§§§§§
nt
я
Время
Рис. 9.1.
Когда возникает необходимость определить более
детально характер изменения средней интенсивности спроса
во времени, то для этих целей удобно использовать
контрольные карты. В качестве меры интенсивности спроса
используется спрос за определенное время, скажем день,
неделю, месяц. Спрос наносят на график в функции времени.
Используя эти данные, затем подсчитывают средний спрос
за некоторое время d и его среднее квадратическое
отклонение Sd. На графиках, представляющих данные по спросу,
нанесены линии d, d-{-3Sd и d — 3Sd, как показано на рис.
9.1 и 9.2. Если средняя интенсивность спроса
действительно постоянна, то вероятности попадания точек,
соответствующих недельному спросу, за контрольные пределы d-\-3Sd
и d — 3Sd очень малы. Если данные о недельном спросе
представлены в форме, как показано на рис. 9.1, то нет
оснований отрицать постоянство средней интенсивности
спроса. С другой стороны, если данные о недельном спросе
имеют вид, как показано на рис. 9.2, то становится ясным,
что средняя интенсивность спроса возрастает во времени.

9.4]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА СПРОСА
463
Однако в обоих случаях можно использовать стратегию
функционирования, полученную при условии постоянства
средней интенсивности спроса. На самом деле, графики,
показанные на рис. 9.1 и рис. 9.2, можно использовать
при выяснении желательности изменения параметров модели
и пересчета стратегий. Пересчет (или по крайней мере
исследование необходимости пересчета) производят, если
какая-то точка оказывается вне контрольных пределов. Для
Недельный ,
спрос
d+3Sd
d-3Sd
Время
Рис. 9.2.
таких целей не обязательно устанавливать контрольные
пределы от d-\-3Sd до d—3Sd. Можно заметить, что некот орые
результаты, полученные с помощью графиков, представленных
на рис. 9.1, могут сильно зависеть от выбранного периода
времени, т. е. от того, изучается ли спрос за день, за
неделю или за месяц. Например, дневной спрос по
понедельникам может оказаться очень низким, тогда как по
пятницам— очень высоким. Относительно такой единицы времени
контрольная карта указала бы на непостоянство средней
интенсивности спроса. С другой стороны, средняя
интенсивность спроса, полученная на основе недельных данных,
оказалось бы совершенно постоянной. Поэтому временной
интервал следует выбирать соответствующим образом.
Однако он не должен превышать время поставки или среднее
время между подачами заказов на пополнение.
Теперь мы вернемся к более подробному рассмотрению
вопросов оценки параметров процесса спроса или
распределения спроса. Если модель детерминирована и для нее
требуется знать лишь среднюю интенсивность спроса, то для
ее получения общий спрос за наибольший период времени,

464 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ [9
для которог интенсивность спроса представляется
текущим значением интенсивности, следует разделить на
продолжительность этого периода в годах. Если спрос
является случайной величиной, то можно использовать
некоторое теоретическое распределение, для которого нужно
только оценить параметры. Если воспользоваться
эмпирически найденным распределением, то в таком случае
необходимо определить это распределение полностью.
р(х;т)
Рис. 9.3.
Рассмотрим сначала случай, когда используется
эмпирическое распределение. Для большей конкретности предста
вим, что применяется одна из простых <Q, г>-моделей, рас"
смотренных в параграфах 4.2 и 4.3. Предположим также'
что время поставки пополнения постоянно и равно т.
Обсуждение дополнительных затруднений, связанных со случайностью
времени поставки, отложим до следующего раздела. Для
определения р(х\ т)—плотности вероятности возникновения
спроса на х единиц за время поставки все время, за которое
получены исходные данные, нужно разделить на интервалы
длительности т. Для каждого такого интервала определяем
количество поступающих требований. Затем строится
гистограмма спроса для выбранного интервала Ад: (рис. 9.3).
Но если т достаточно велико, то в период, за который
собирались исходные данные, попадает очень мало таких
интервалов. Чтобы получить достаточно детальную
гистограмму, нужно иметь по крайней мере 50 интервалов
длительности т. Часто этого нельзя сделать. Поэтому нужно
использовать другую процедуру отыскания р (а:; т)
эмпирически. Обычно поступают следующим образом. Данные по

9.4]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА СПРОСА
465
спросу собирают за меньшее время t, скажем день или
неделю, и выбирают t так, что т = /г/, где п — целое число.
Тогда, если предположить, что требования за различные
периоды длительности t независимы, то р(х; %)=р{п">(х\ t),
т. е. для получения р (х; т) вычисляется л-кратная
композиция распределения p(x\t). Но вручную чрезвычайно уто
мительно вычислять п-кратную композицию эмпирической
плотности, особенно в тех случаях, когда п достаточно
велико, а х тоже может принимать большое число значений.
Можно использовать непосредственно определение композиции
Рис. 9.4.
распределений, либо метод производящих функций. Однако
такие расчеты совсем просто провести на вычислительной
машине. Результаты расчета можно представить в виде
гистограммы, как показано на рис. 9.3.
Как только р (х; т) получена, не составляет труда
определить соответствующую функцию распределения Р(х;х).
Гистограмма этого распределения представлена на рис. 9.4.
Нужно также вычислить
00
ЛИ^ 23 (х-г)р(х; т),
что легко выполнить численными методами, по крайней мере
на вычислительной машине. При использовании Р(х; т)
нередко возникает другая неприятность. Если издержки,
связанные с нехваткой запасов, велики, то Р(г*; т) будет очень
мала, т. е. самая существенная часть распределения
определяется правым хвостом, т. е. весьма редкими случаями

466 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ [9
спроса. По этой причине понадобится чрезвычайно большая
предыстория спроса, чтобы можно было весьма точно оценить
хвост распределения. Добиться точного представления хвоста
этого распределения можно лишь в особых случаях. Обычно
с этим связаны серьезные ошибки при определении точки
заказа и гарантийного запаса.
Для моделей с периодическим контролем любая попытка
использования эмпирического распределения связана с еще
одной дополнительной трудностью. Например, в простейшей
модели доведения уровня запаса до R величина R зависит
от спроса за время т+7\ Поэтому если попытаться
провести оптимизацию по Г, то необходимо строить новое
эмпирическое распределение для каждого используемого
значения Т, что чрезвычайно трудно сделать вручную.
Приведенные выше соображения показывают, что во
многих случаях приходится сталкиваться с рядом трудностей при
использовании эмпирического распределения спроса даже для
простейших моделей управления запасами. Следует ясно
понимать, что эти трудности усугубляются, если в модели
принято допущение о том, что пфО, так как тогда это
распределение должно быть известно в функции времени.
По-видимому, наиболее серьезный недостаток способов,
связанных с использованием эмпирических распределений,
состоит в том, что часто важен только хвост
распределения, а для его точной оценки не хватает исходных
данных. И хотя имеется достаточно много примеров, когда
использование эмпирического распределения возможно и
желательно, существуют в равной степени много
ситуаций, в которых это сопряжено с чрезвычайными
трудностями. Тогда мы вынуждены использовать теоретическое
распределение.
Существует один тип модели управления запасами, когда
относительно просто применить эмпирическое распределение.
Этой моделью является модель с одним периодом. Имеются
две причины, позволяющие широко использовать эмпирическое
распределение. Во-первых, гистограммы спроса по периодам
можно получить непосредственно, не вычисляя композиций
распределений. Во-вторых, издержки, связанные с дефицитом,
могут вообще отсутствовать, либо быть относительно
низкими, и поэтому для определения размера заказа не нужно
использовать крайнюю часть хвоста этого распределения.

9.4] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА СПРОСА 467
Вследствие этого не так важно знать точный вид этого
хвоста.
Рассмотрим далее случай, когда используется
теоретическое распределение с неизвестными параметрами. Если
спрос за время поставки невелик, то в качестве
теоретического распределения обычно используется распределение
Пуассона. Единственный параметр — среднюю интенсивность
спроса X можно определить, разделив общее количество
требуемого товара за соответствующий отрезок времени на
длину интервала в годах. Дополнительно к этому, если
можно, полезно проверить, насколько хороша предпосылка
о пуассоновском характере этого распределения. На практике
предположение о том, что объем спроса подчиняется
распределению Пуассона, не будет обычно строго выполняться
хотя бы потому, что размер требования не всегда равен
единице. Часто информацию о размере требований бывает
трудно получить. Один из грубых, но простых способов
проверки правильности предположения о пуассоновском
характере распределения состоит в следующем. Сначала строят
гистограмму спроса за некоторый период времени, скажем
день или неделю, а затем вычисляют по ней математическое
ожидание и дисперсию. Если дисперсия сильно отличается
от математического ожидания, то это обстоятельство
указывает на то, что наше предположение не совсем правильно.
В тех случаях, когда спрос за время поставки настолько
мал, что аппроксимацию нормальным распределением нельзя
применить, а исходные данные не подтверждают пуассонов-
ской гипотезы, можно использовать в качестве
распределения спроса другое распределение, например составное пуас-
соновское. Это распределение следует использовать лишь
тогда, когда рассматриваемые запасы чрезвычайно важны,
так как при этом резко усложняется определение
оптимальной стратегии функционирования с помощью вычислительной
машины.
Если теоретическое распределение является нормальным,
то X определяют, как было показано выше. Теперь, однако,
необходимо также подсчитать D, где для произвольного
интервала / по определению a2 = Dt. Для вычисления D
необходимо, как обычно, выбрать соответствующий интервал t
(день или неделю) и подсчитать дисперсию спроса S2 за этот
период. Тогда D = S2/t.

468 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ [9
Остается рассмотреть случаи, когда средняя
интенсивность спроса меняется так быстро, что нужно перейти
к динамической модели управления. В рассмотренных здесь
динамических моделях считается, что на каждом периоде
времени в будущем будет известно точное распределение
спроса. На практике, конечно, существенные трудности
возникают и при прогнозе среднего спроса в будущем, не
говоря уже о точном определении вида распределения спроса.
Обычно невозможно с достаточной точностью предсказать
даже средний спрос.
Теперь рассмотрим кратко некоторые вопросы
предсказания спроса, а также некоторые методы, которыми можно
воспользоваться для этой цели.
9.5. Предсказание спроса
Центральным моментом при применении динамической
модели является сама процедура предсказания или прогноза.
Существует ряд методов прогноза. Например, при прогнозе
могут быть использованы данные предыстории спроса на
товар, сюда могут быть включены прогнозы общего
состояния экономики. Методы прогноза могут основываться на
требованиях плана (в случае запасных частей и т. д.).
Здесь не будут обсуждаться подробно методы
прогнозирования из-за их большого разнообразия, а будут кратко
рассмотрены некоторые из наиболее простых методов.
Рассмотрим вначале задачу предсказания спроса на запасные
части, когда спрос зависит от времени использования
оборудования. Такая задача весьма важна для любой военной
системы снабжения. Для большей конкретности допустим, что
нужно предсказать спрос на запасную часть самолета
данного типа в течение заданного периода времени. Типичная
процедура предсказания, используемая для военных
самолетов, состоит в определении среднего числа запасных частей,
необходимых на час полета, на основе прежних данных и на
основе степени использования. Математическое ожидание
общего числа часов полета для всех самолетов
рассматриваемого типа в течение заданного интервала времени
оценивается на основе текущих планов. Умножая
интенсивность использования на математическое ожидание часов
полета, получаем ожидаемый спрос на запасную часть в те-

9.5]
ПРЕДСКАЗАНИЕ СПРОСА
469
чение рассматриваемого интервала. Точность прогноза
зависит как от точности определения интенсивности
использования, так и от точности предсказания числа часов полета.
В связи с этим на практике прогнозы зачастую оказываются
ошибочными. Особенно трудно получить точные значения
интенсивности использования при очень низком спросе на
запасные части, так как самолет снимается с эксплуатации
еще до того, как будет собрана достаточная информация.
До сих пор многочисленные попытки найти способы более
точного предсказания интенсивности использования не имели
особого успеха.
Следует заметить, что в указанном методе прогноза
спроса на запасные части вероятностные характеристики
спроса не рассматривались. Ясно, что в подобных ситуациях
весьма трудно указать вид распределения будущего спроса.
В спросе на запасные части присутствует элемент
случайности даже тогда, когда часы полета можно предсказать
точно. Для динамической модели, в которой нужно
определить распределение спроса, в качестве теоретического
распределения обычно используется распределение Пуассона.
Если нужно знать и дисперсию этого распределения, то в
лучшем случае можно грубо оценить ее возможное значение.
Интересно обсудить тип стратегий функционирования,
используемых в течение ряда лет в военных системах
снабжения для запасных частей. Обычно применяются системы
с периодическим контролем, причем период бывает равен 3,
б месяцам или году. Пусть Т—время между проверками,
выраженное в месяцах. Обычная процедура управления
состоит в поддержании гарантийного запаса в виде наличного
запаса, соответствующего спросу за k месяцев (k может
изменяться от 1,5 до 12 месяцев). Во время проверок
поставщикам посылают оценки спроса за период %+T-\-k, где
т—время поставки в месяцах. Эти оценки собираются по
всем военно-воздушным базам и ремонтным предприятиям.
Предположим, что во время проверки уровень фиктивного
запаса равен R. Тогда заказ равен d — /?, если d — /?>0,
и 0 в противном случае. Здесь d представляет ожидаемый
спрос за рассматриваемый период. Такая стратегия не
учитывает издержки или вероятностные соображения. Значение k
обычно выбирается произвольно и одинаковым для многих
типов изделий. В настоящее время военные пытаются улуч-

470 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ [9
шить существующие процедуры управления поставками
запасных частей.
Вернемся теперь к ситуациям, когда прогнозы
осуществляются исключительно на основе данных предыстории.
Предположим, что применяется динамическая модель
управления с периодическим контролем, подобная модели из
главы 7. Рассмотрим сначала способы прогноза при
отсутствии сильных сезонных колебаний спроса. Наиболее широкое
применение нашли процедуры, основанные на методе
наименьших квадратов и на экспоненциальном сглаживании.
Согласно методу наименьших квадратов считается, что
если спрос dj за у-й период можно предсказать как d'jc=aj-{-b,
то а и b определяются из условия минимума выражения
/? = 2(^/- *})я = 2(*/- aj-b)\ (9.1)
В указанном выражении d) представляет собой прогноз
спроса за у-й период, dj—фактический спрос за у'-й период.
Допустим, что а и b нужно определить на основе данных
о спросе за N предыдущих периодов. Представим себе,
что текущее время t является временем проверки, а периоды
(t — Т, Г), (t—7*, t — 27),... пронумерованы через 0, —1
и т. д. Таким образом, при определении а и b нужно
использовать периоды с номерами 0,—1, . .., —(N—1). Для
определения а и b положим, что dF/da и dF/db равны 0,
и решим эти уравнения относительно а и Ь. Тогда на
основании (9.1) имеем
-(ЛГ-1)
Ш=~2 Е J{dj-aj-b) = 0,
= —2 ? (dj—aj—b) = 0.
/=о
db
(9.2)
Теперь
-(N-1)
/=о
Введем
_-(#-
2
>
обозначения
и=
-(ЛГ-1)
-(ЛГ-1
/=0
df,
)
р =
V =
->
-<ЛГ-1
{N-
)
jdj.
1)BЛГ—1).
/=о
/=о
(9.3)

9.5]
ПРЕДСКАЗАНИЕ СПРОСА
471
Тогда решение уравнений (9.2) представляется в виде
12 Гт/ , N — 1 ,Л . U.„fN—l
a=N(N-l)(N+\) Г +~2-~aj ; b = -N+a \ —
и
Jf U , Г. . tf—M
Г y+^zla 1
# "Г L^(^ — l)(^+l) J Г 2 J'
у=1, 3, ... (9.4)
Уравнение (9.4) позволяет вычислять прогнозируемый спрос
в течение у-го периода, у'=1, 2, ..., используя данные
наблюдений за периоды 0, —1, ..., —(N—1). Периоды
(/, t+ 7*), (/+ 7, / + 27) и т. д. пронумерованы как 1, 2 и т. д.
Заметим также, что UjN представляет средний спрос в
периоды 0, —1, ..., —(N—1). Из (9.4) видно, что
прогнозируемый спрос равен среднему спросу за последние N
периодов плюс поправка, учитывающая тренд*.
В (9.4) от наблюдаемых данных зависят только U и V.
Каждый раз для нового прогноза не обязательно
пересчитывать U и V. Используя их определения, вместо этого легко
подсчитать новые значения U и V с помощью предыдущих.
Пусть О и V представляют значения этих переменных в мо-
М(
а
2НТ
и
t + T,T.
и V для
U=dx
е. они подсчитаны на основе dl9 d0,
момента t вычисляются на основе
Легко видеть, что
+ U— <*-w-i>»
v=v-
-U+Nd_
d0
(N-
d_
!)•
-Ш-2)у
1) • • •
(9.5)
Намного проще U и V вычислять с помощью (9.5), чем
непосредственно используя их определения.
С помощью (9.4) и (9.5) не представляет никакого труда
либо вручную, либо на машине предсказать спрос на каждый
будущий период, а также предсказать (по крайней мере
приближенно) спрос за время поставки.
Неопределенность прогноза будет возрастать с ростом у,
т. е. по мере продвижения в будущее. Поэтому желательно
в тех случаях, где возможно, оценить как-то эту неопре-
* См., например, Б. Л. ван дер В а рден, Математическая
статистика, пер. с англ., ИЛ, 1960, стр. 179. (Прим. перев.)

472 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ [9
деленность в зависимости от у (числа периодов в будущем,
на которые делается прогноз). Если имеются достаточные
исходные данные, то можно найти гистограмму ошибки
прогноза. Такую гистограмму строят для каждого значения у.
Пусть S) означает дисперсию распределения ошибки прогноза
при прогнозе на у периодов вперед. Если в динамической
модели управления запасами в качестве теоретического
распределения используется нормальное распределение, то для
дисперсии спроса за у-й период можно использовать S).
Аналогично, суммируя соответствующие дисперсии, можно
по крайней мере грубо оценить дисперсию спроса за время
поставки.
Мы не сказали выше, как нужно выбирать число
периодов наблюдения в прошлом N. Один из способов такого
выбора заключается в выборе N из условия минимума
дисперсии распределения ошибок прогноза для заданного
значения у или из условия минимума некоторой комбинации
дисперсий по всем у. Такую процедуру выбора N бывает
трудно осуществить вручную, но ее легко реализовать на
вычислительной машине. Одна из трудностей, возникающих
при использовании метода наименьших квадратов, состоит
в том, что при этом нужно запоминать данные о спросе за
все N предшествующих периодов. Когда количество изделий
велико, запомнить все данные на машине оказывается
невозможно. Метод экспоненциального сглаживания устраняет
этот недостаток метода наименьших квадратов. Если задана
временная последовательность данных (с переменной /у,
соответствующей у-му периоду), то сглаженное значение
этой переменной /. равно
fj = af/+(\—aO/_1, 0<а<1, (9.6)
т. е. сглаженное значение для у-го периода равно
значению этой переменной для у-го периода, умноженному
на а, плюс сглаженное значение для (у—1)-го периода,
умноженное на A —а), где а—любое положительное число,
меньшее единицы. Так как /у. определяется через fj^lf то
все предыдущие данные участвуют при определении /у., т. е.
// = «// + «A-<*)/,_! + (!-а)»/у_,=
= а// + аA-а)//_1 + аA-аJ//-2+--- (9.7)

9.5]
ПРЕДСКАЗАНИЕ СПРОСА
473
Рассмотрим теперь вопросы применения
экспоненциального сглаживания к прогнозу спроса. Используем при этом
прежнюю терминологию. Пусть текущим моментом будет
момент времени t, а нам нужно сделать прогноз спроса на
у'-й период, у= 1, 2, . . ., т. е. в интервале (t-\-(j—1) 7, t +
+ JT). Обозначим спрос в интервале t — 7, 7 через d0, а в
интервале t — 27, t—7 через d_1 и т. д. Используя формулу
экспоненциального сглаживания, можно вычислить d\
(прогнозируемое значение dj) как
d; = 50 = ad0 + (l-a)rf.1> (9.8)
что эквивалентно использованию в качестве d) отношения
U/N по методу наименьших квадратов. Таким образом, при
наличии тренда всегда вводится некоторое запаздывание.
Предположим, что спрос растет линейно, т. е. с постоянной
скоростью. Определим поправку на тренд, необходимую при
использовании (9.8). Предположим, что спрос можно
представить как б + ру, где р является приростом спроса за
период. Тогда
d0 = аб -fa A —a) [6 —р] +a A —аJ [б — 2р] +
+ a(l_a)»[6-3p]+...=
= 6— a(l— a) p [1+2A— a)+ 3A— aJ + . ..] =
= 6-Цгр- <9-9)
На практике d~6 + py. Поэтому к d0 нужно прибавить
чтобы получить правильный результат. На практике нужно
также оценить р. Это можно сделать, используя метод
экспоненциального сглаживания. Пусть
P/=dj- dj_v (9.10)
Тогда сглаженное значение р будет нодсчитываться как
Po = aPo + (l — a)P-i» (9.11)
а формула для d) принимает вид
*/-*. +[>+-^]р.- (9Л2)

474 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ [9
Уравнение (9.12) эквивалентно уравнению (9.4),
полученному с помощью метода наименьших квадратов. Здесь тоже
можно получить гистограмму ошибок прогноза для
каждого у, а также определить дисперсию S). Значение а
выбирается из условия минимума дисперсии распределения
ошибок прогноза для заданного значения у.
Чтобы понять, почему операцию согласно (9.6)
называют экспоненциальным сглаживанием, обозначим a = yAt
и вычислим предел при А^ -*- О при условии, что у остается
постоянной. Тогда получим следующее дифференциальное
уравнение для непрерывного экспоненциального
сглаживания:
y-f +?=/(*)• (9.18)
Решение этого уравнения можно представить в виде
t
f = y $e-*<*-V(Q<*E. (9.14)
—со
если /(— оо) = 0, а/ является взвешенным средним всех
прошлых значений /. В тех случаях, когда сезонные
колебания сильно отражаются на спросе, обычно считают, что
сбыт в течение сезона равен сбыту в это же время за
прошлый сезон плюс относительная поправка на общее
состояние деловой активности или на другие влияющие факторы.
Это вовсе не означает, что для двух различных сезонов
должны выбираться одни и те же календарные даты, так
как начало сезона может определяться особыми событиями,
как, скажем, религиозные праздники, и поэтому
календарные даты начала сезона могут флуктуировать из года в
год. Интересно, что для многих сезонных товаров процент
общего сезонного сбыта за заданные периоды времени,
измеряемые от начала сезона, остается в значительной степени
постоянным при переходе от одного сезона к другому.
Поэтому общий сбыт за сезон можно предсказать с
определенной точностью после наблюдений в течение первых
нескольких недель. По крайней мере любая широкая сеть
розничной торговли использует эти проценты сезонного
сбыта для проведения ранних прогнозов, связанных с
размещением заказов или для введения новых сниженных
расценок на товары.

9.6] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ ПОСТАВОК 475
9.6. Распределение времени поставок
В предыдущем разделе отмечалось, что данные о
спросе, используемые в модели управления запасами, чаще
всего отсутствуют. В большей степени это относится и к
данным о временах поставок, когда поставки осуществляются
с большим запаздыванием, а заказы делаются не слишком
часто. Иногда лучше всего грубо оценить максимальные
и минимальные времена поставок. Тогда можно
ограничиться вычислением среднего значения этого времени и оценить
для него среднее квадратическое отклонение.
На практике кроме оценки распределения времени
поставок могут возникнуть и другие проблемы. В
действительности, процесс, описывающий поставки, нестационарен.
Более того, возникают ситуации, когда заказы дробятся, и
выполнение заказа происходит не одновременно. Кроме
того, могут существовать срочные заказы, когда возникает
опасность нехватки запасов. Хотя некоторые из этих
дополнительных условий можно учесть в модели управления,
но она при этом настолько усложняется, что вряд ли имеет
смысл подробно рассматривать все эти факторы.
Выше были указаны трудности, возникающие при
использовании эмпирического распределения спроса. Эти
трудности, конечно, возрастут, если и для времени поставок
использовать эмпирическое распределение. В таком случае
потребовалось бы численно определить безусловное
распределение спроса за время поставки. Это означает
одновременно, что потребовалось бы определить распределение
спроса для каждого возможного значения времени
поставки.. Лишь в очень частных случаях безусловное
распределение спроса можно определить с достаточной точностью,
оправдав при этом затраченные усилия. Можно, однако,
использовать эмпирическое распределение времени поставок
совместно с теоретическим распределением спроса, скажем,
распределением Пуассона, если предположить, что время
поставки т принимает конечное число значений tt с
вероятностями /(*/). Тогда безусловное распределение спроса за
время поставки определяется из C.66). Может оказаться,
что распределение спроса можно вычислить вручную, или,
во всяком случае, это не составляет никаких трудностей
для вычислительной машины. Можно, правда, ограничиться

476 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ [9
для времени поставок каким-то теоретическим
распределением, скажем гамма-распределением, определяя его среднее
и дисперсию на основе эмпирических данных. Тогда
безусловное распределение спроса за время поставки определяется
аналитически, если для описания величины спроса за любой
интервал также используется теоретическое распределение.
Если спрос описывается непрерывной переменной или
представлен нормальным распределением, то обычно считают, что
безусловное респределение спроса за время поставки также
нормально, причем среднее и дисперсия времени поставок
оцениваются на основе эмпирических данных как параметры
% и D для распределения спроса.
Если дисперсия времени поставок существенно велика,
то рискованно, по-видимому, использовать модель с
постоянным временем поставок, так как в результате можно в
значительной степени недооценить среднюю долю времени,
в течение которого в системе наблюдается дефицит запасов.
И следовательно, гарантийный запас, определенный с
помощью такой модели, может оказаться слишком малым.
Но предположение о постоянстве времени поставки дает
достаточно хорошие результаты, если вместо среднего времени
поставок использовать, скажем, максимальное время
поставок или сумму среднего времени поставок и его среднего
квадратического отклонения. Но когда данные о временах
поставок настолько скудны, что о распределении этого
времени нельзя по существу ничего сказать, указанные выше
подходы по существу нельзя применить.
9.7. Определение издержек
Различные виды издержек, учитываемых в моделях
управления запасами, обсуждались в главе 1. Ими являются
стоимость товаров, фиксированные издержки, связанные с
подачей заказов, издержки содержания, издержки из-за нехватки
и стоимость работы информационной системы. В некоторых
случаях все эти издержки трудно определить, а часть из
них почти всегда трудно найти. По этому вопросу можно
предложить весьма мало полезного в практическом
отношении, и потому мы ограничимся весьма краткими замечаниями.
Издержки из-за нехватки запасов труднее всего определить.
Их нельзя обычно измерить непосредственно, так как они

9.7]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗДЕРЖЕК
477
включают в себя такие трудно оценимые показатели, как
потеря предпочтений. К счастью, оптимальные стратегии не
слишком чувствительны к изменению этих издержек, а
поэтому правильная оценка порядка этих показателей может
зачастую оказаться достаточной. Выше было показано, как
определить стратегии функционирования на основании заданного
максимально допустимого значения средней доли времени,
в течение которого в системе наблюдается дефицит (или
ожидаемого числа учтенных требований в любой момент
времени). В таком случае после того, как стратегия
функционирования найдена, следует проверить, приемлимо ли
принятое значение издержек из-за нехватки. Если это не так,
то обоснование средней доли времени наличия дефицита
в системе следует пересмотреть.
Вспомним из главы 1, что, за исключением платы за аренду
помещения склада, которая зависит от максимального уровня
запасов, норма издержек содержания предполагается
пропорциональной капиталовложениям в складское хозяйство, а
коэффициент пропорциональности является коэффициентом
издержек содержания /, который измеряется в долларах за
год на доллар, инвестируемый в складское хозяйство. Более
того, / можно представить как 11-\-12-\- . . . , так как /
является суммой различных составляющих издержек
содержания запасов. Как отмечалось в главе 1, наиболее важной
составляющей издержек содержания зачастую оказывается
норма прибыли, связанная с тем, что капитал вкладывается
в складское хозяйство, а не в другое дело. В любом конкретном
случае чрезвычайно трудно точно определить максимальную
норму прибыли, которую организация могла бы получить,
инвестируя иначе свои капиталы. Вместо этого фирма
зачастую устанавливает норму желаемой прибыли на инвестируемый
капитал, а эту норму можно использовать для определения
составляющей нормы прибыли в коэффициенте содержания.
Обычно это значение равно по крайней мере 10%, так что
составляющая /х в коэффициенте содержания / от учета
нормы прибыли будет равна 0,10 или более. Для
неприбыльных организаций, как, например, военные системы снабжения,
норма прибыли в обычном смысле этого слова не будет
столь подходящей, так как отсутствуют всякие возможности
прибыльно инвестировать выделенные фонды (за исключением,
конечно, получения процентов за содержание вкладов

478 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ [9
в банке). Однако издержки такого рода имеются и в этом
случае, поскольку если выделенные фонды не инвестируются
в системы военного снабжения, то их можно использовать
для приобретения дополнительного количества новых
самолетов и ракет, которые бы увеличили боеспособность и т. п.
Труднее количественно определить издержки такого рода,
но, по-видимому, норма этих издержек должна быть
достаточно высока, скажем 10 % или даже больше.
Другие составляющие, влияющие на коэффициент
содержания, определяются такими факторами, как страховка,
компенсация за порчу товаров, мелкие хищения и налоги.
Напомним, что налоги следует учесть лишь в тех случаях,
когда не применяются специальные меры по уменьшению
запасов в определенные моменты с целью избежать
обложения налогами. Но в среднем, если такие искусственные
меры не принимаются, годовые издержки, связанные с
обложением налогами, будут пропорциональны средним
капиталовложениям в складское хозяйство. Составляющая
коэффициента содержания запасов из-за обложения налогами /2
является нормой налогообложений в долларах за год на
доллар, инвестируемый в складское хозяйство. Норма
капиталовложений обычно нелинейна для широкого диапазона
уровней запасов, включающего и оптимальный средний
уровень. Чаще всего составляющая /3, учитывающая
страховку, выражает просто стоимость страховки в долларах
за год на доллар инвестируемых в складское хозяйство
капиталов, причем она устанавливается по ожидаемому
среднему уровню запасов. Остальные составляющие /
можно оценить тем же способом. Например, для вычисления
составляющей /4, учитывающей порчу товаров и мелкие
хищения, нужно сложить общие издержки такого типа за
интервал наблюдений и разделить на общие
капиталовложения за это время, т. е. разделить на общее количество
долларов-лет хранимых запасов. Окончательно /
определяется в виде суммы 1г, /2 и т. д. Обычно / будет равно
по крайней мере 0,20. На практике допустимые значения
/ находятся в пределах от 0,15 до 0,35. Фирмы часто
допускают ошибку, используя слишком заниженные
значения /. Например, военные организации долгое время
использовали значение / = 0,03 и изменили его только
недавно.

9.7]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗДЕРЖЕК
479
В принципе определение фиксированной стоимости
подачи заказа Л не представляет труда. Для этого нужно
подробно проследить процесс подачи и выполнения заказа на
пополнение. Затем определяются расходы на оформление
документации, телефонные разговоры, вычисления (машинное
время) и т. д. В дополнение к этохму определяют время
обработки заказа и умножают его на соответствующую ставку
заработной платы (включая страховое пособие). Суммируя
общие расходы, получаем А. Если предприятие, выпускающее
продукцию партиями, является частью системы управления
запасами, то в Л нужно также включить расходы по
переналадке оборудования.
По разным причинам при определении А могут
возникнуть трудности. Так, скажем, если система мала и в штате
находится всего несколько сотрудников, то можно применить
последовательную процедуру, подобную представленной
на рис. 1.4. Предположим, что в системе должны работать
п служащих, пусть hn означает максимальное число заказов,
которые они могут обработать в среднем за год. Используя
метод множителей Лагранжа, определяют минимум средних
годовых издержек $? при условии, что hn является
верхним пределом среднего числа заказов, поданных за год.
Затем к Ш*п добавляются годовые расходы, связанные
с оплатой труда п служащих. Далее подобные вычисления
можно провести для (/z+l)-ro служащего, определяя
в конце концов оптимальный штат сотрудников. Однако
в военных системах снабжения, в которых военнослужащие
составляют обслуживающий персонал, издержки, связанные
с оплатой труда, могут и не участвовать при определении Л,
так как эти люди могут находиться на службе независимо
от того, поданы заказы или нет. Вместо этого представляет
интерес количественно оценить последствия задержек и
невыполнения заказов. Ясно, что издержки, возникающие по
таким причинам, трудно оценить.
Обычно легче всего определить стоимость самих товаров.
Напомним, однако, что эта стоимость включает в себя
транспортные расходы или любые другие издержки подачи
заказа на пополнение, меняющееся в зависимости от размера
заказа. В данной книге были рассмотрены два типа скидок и
было указано, что учет переоценки при определении Q* и
г* может привести к значительному росту объема вычислений.

480 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ [9
Имеется еще один тип скидки, с которым легче
оперировать. Этот тип скидки вводится на основе общего объема
годовых закупок, а не на основе размера каждого
отдельного заказа. В тех случаях, когда средняя
интенсивность спроса до некоторой степени постоянна, средний
объем годовых поставок будет зафиксирован независимо от
стратегии функционирования (по крайней мере в системах
с учетом неудовлетворенных требований и в системах с
потерями, если дефицит запасов возникает редко), и потому
средняя скидка будет таким образом предопределена.
В таком случае стоимость единицы запаса можно считать
постоянной, не зависящей от стратегии функционирования
системы. Эта стоимость, однако, должна изменяться из-за
введения скидки.
И наконец, рассмотрим издержки, вносимые работой
информационной системы. Вообще говоря, эти издержки
будут включать в себя расходы, связанные с введением
учета запасов, зарплату персонала, стоимость машинного
времени, стоимость материалов и т. д. . Кроме того, сюда
будут включены издержки, связанные с ведением учета
запасов, а также стоимость прогнозов спроса. Выше
предполагалось, что издержки в системах с периодическим
контролем и в системах с оперативной информацией не зависят
от выбираемой стратегии управления запасами. Но это
положение перестает быть справедливым, если параметры
стратегии функционирования меняются в широких пределах.
Если все же зависимость издержек от параметров
стратегии функционирования удается точно установить, то ее
нужно ввести в выражение для общих издержек. Обычно
достаточно ограничиться гипотезой независимости издержек
от стратегии функционирования.
9.8. Проблемы управления многопродуктовыми запасами
В большинстве систем управления запасами на складе
хранится большое число типов товаров. Для склада
большого универсального магазина наличие товаров 10 000
и даже 100 000 наименований не являются столь редким
явлением. Управление такими разнообразными запасами
выдвигает много новых задач, которые не возникали в одно-
продуктовых складских системах. Одно дело — попытаться

9.8] ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ МНОГОПРОДУКТОВЫМИ ЗАПАСАМИ 481
определить оптимальную стратегию управления однопро-
дуктовыми запасами, но совсем другое —пытаться искать
такие стратегии для 10 000 и 100 000 наименований
товаров. Как для промышленности, розничной торговли, так
и для систем военного снабжения обычно применяют
одинаковый подход для всех типов запасов. Например, на
военной установке каждые шесть месяцев проводится
проверка различных блоков, а затем подается заказ,
доводящий фиктивный запас до уровня шестимесячного спроса
плюс средний спрос за время поставки, плюс
гарантийный запас для удовлетворения спроса за k месяцев.
Одни и те же значения k используются для каждого типа
запасов. Если что-нибудь более подходящее нельзя
предложить, то для различных типов запасов нужно использовать
и различные модели в зависимости от типа учитываемых
издержек и вида случайных процессов, описывающих спрос
и поставки. Однако попытки найти и применить сложные
стратегии управления для каждого из 100 000 наименований
запасов могут оказаться слишком дорогостоящими. Так,
для управления 10 000 типами запасов может
потребоваться большая вычислительная машина, а если управлять
100 000 типами запасов, то для этих целей могут
потребоваться несколько самых мощных из имеющихся в настоящее
время вычислительных машин. Их эксплуатация в течение
года может обойтись в 2 или 3 миллиона долларов. Одно
из решений проблемы многопродуктового характера запасов
состоит в делении запасов на группы, которые следует
рассматривать отдельно.
Последние исследования, проведенные одновременно
в военных системах снабжения, розничной торговле и
промышленности, дали один и тот же весьма интересный
результат. Установлено, что на весьма малую долю общих
запасов приходится весьма существенная доля общего
объема сделок в денежном выражении. Например, на 10%
запасов приходится зачастую от 80% до 90% общего объема
сделок. Такие исследования заставили многие большие
системы управления запасами пересмотреть существующие
методы управления. Теперь все типы товаров делятся
обычно на три категории ценности: высшую, среднюю и
низшую. В военных систем&яуснабжения, скажем, запасами
высшей категории управляТЫ- очень тщательно, используя
16 ДЖ Хедли, Т. Уайтин

482 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ [9
наилучшие из имеющихся средств. Для запасов с
относительно постоянной интенсивностью спроса можно
использовать систему оперативной информации и <Q, г>-мо-
дель управления. Для запасов с сильно изменяющимся
спросом можно использовать наиболее подходящую
динамическую модель управления. Для запасов средней категории
следует использовать менее дорогостоящую процедуру
управления. Например, периодический контроль можно
использовать для всех категорий запасов, только изменяя в зависимости
от категорий интервал между проверками. Определяя
гарантийные запасы, следует также учесть вид распределения спроса
и издержки. Для запасов низшей категории не следует
применять усложненные процедуры управления. Запасы всех
типов можно проверять один раз в год. Гарантийный запас
на все типы товаров устанавливается более или менее
произвольно из расчета А-месячного снабжения. Применение
системы управления такого типа позволяет сохранить
стоимость управления на том же уровне, уделив основное
внимание управлению наиболее важными товарами. Система
управления такого типа может быть использована на складе
универсального магазина. В таком случае, однако, система
периодических проверок будет использована для всех типов
запасов, причем меньший период будет соответствовать более
важным типам запасов. Периодичность проверок может
колебаться от одного дня до двух недель для товаров
высшей категории, от одной недели до одного месяца — для
товаров средней категории и от двух недель до шести
месяцев — для товаров низшей категории.
Ранее было отмечено, что между запасами, хранимыми
на складе, может возникать взаимосвязь. Такие связи при
наличии большого числа типов товаров трудно учесть на
практике. В предыдущих главах были рассмотрены вопросы
о том, как учесть ограничения на площадь склада,
возможное число подаваемых заказов или допустимые
капиталовложения в складское хозяйство. При наличии 10 000 или
100 000 типов товаров в присутствии этих ограничений
весьма трудно найти оптимальные стратегии функционирования.
Эти трудности усугубляются существующей в системе
неопределенностью. К счастью, на практике указанные
ограничения не являются столь жесткими, чтобы их нужно было
вводить явно. Наиболее важными ограничениями на практике

9.9] ПРОБЛЕМЫ ПЕРСОНАЛА И ПРОЦЕДУРНЫЕ ВОПРОСЫ 483
являются ограничения бюджетных расходов на поставки.
Такие ограничения более существенны в военных системах,
нежели на частных промышленных предприятиях, где
имеется ббльшая возможность маневрировать средствами. Однако,
как было указано ранее, простые способы учета ограничений
бюджетных расходов отсутствуют.
9.9. Проблемы персонала и процедурные вопросы
Разработка соответствующей математической модели и
сбор данных, необходимых для отыскания стратегии
управления запасами, составляют лишь часть работы, требуемой
для успешного внедрения полученных результатов на
практике. Нужно также принять дополнительные меры для
обеспечения уверенности, что эта стратегия функционирования
будет использована правильно. Это означает одновременно
и то, что люди, работающие в системе, будут правильно
выполнять свои задачи. Для этих целей необходима
соответствующая тренировка персонала. Но одного этого
недостаточно. Необходимо также, чтобы в складской системе
действовала система поощрений, стимулирующая правильное
выполнение персоналом своих обязанностей. По тем или
иным причинам часть людей проявляет антагонизм к
введению новой системы. Для преодоления этого антагонизма
нужно принять любые меры. Если это невозможно сделать,
то следует ввести проверки, позволяющие определить, не
старается ли персонал умышленно своими неправильными
действиями полностью свести на нет все преимущества
новой системы.
Для того, чтобы добиться гарантий, что весь персонал
правильно выполняет свои задачи, необходимо подготовить
детальные и последовательные инструкции, охватывающие
все случаи, которые могут возникнуть. Такие инструкции
весьма трудно сделать ясными и понятными. Часто
из-за большого разнообразия условий эти инструкции
становятся непонятными даже самому составителю. Разработав
соответствующие формы ведения записей и отчетов, можно
значительно повысить эффективность системы. Как и
инструкции, эти формы должны быть понятны для
обслуживающего персонала. Часто для облегчения понимания
некоторые детали отчета оформляются многоцветным шрифтом.
16*

484 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ [9
Ряд конкретных примеров подтверждает приведенные
выше соображения.
Один крупный универсальный магазин в своем отделе
снабжения ввел систему заказов определенного объема при снижении
запасов до некоторого уровня. Спрос на многие типы товаров
имел достаточно постоянную интенсивность, за исключением
сезона рождественских праздников. Первоначально
заготовители были явно против такой системы, так как раньше они имели
большую свободу в выборе номенклатуры, объема и времени
закупок, объема поддерживаемых запасов, назначения расценок
и т. д.
Заготовитель самолично принимал все эти решения
относительно товаров, находящихся в его юрисдикции. При
введении новой системы поставок заготовитель потерял все эти
возможности, а эти вопросы стали решать работники отдела
учета, которые до этого не имели соответствующего опыта
принятия таких решений. Заготовители, без сомнения, стали
противиться введению новой системыпоставок частично потому,
что они опасались ухудшения своего положения. С другой
стороны, по-видимому, они опасались, что вскроются
некоторые недостатки их работы. Предварительная проверка
выявила недостатки скандального характера, как, скажем,
пятнадцатилетний запас на некоторые товары, большой
разнобой в товарах одного наименования (в различных отделах
склада, когда один заготовитель не знал, что делает другой).
Одновременно на складе были обнаружены вышедшие из
употребления товары, которые не могут быть проданы, а
по вине заготовителей в нужное время не были
пересмотрены розничные цены и т. д.
Первоначально введение новой системы не проходило
гладко. Самая большая трудность состояла в том, чтобы
заставить персонал выполнять правильно свои задачи.
Персонал путал уровни запасов, учитывал не те типы или допускал
другие ошибки учета. В результате заказы на пополнение
делались не вовремя, поступали не на те типы товаров или
производились не в том объеме, в котором было нужно. Со
временем эти трудности были в значительной степени
преодолены. Более того, большинство заготовителей стали
относиться к системе с большим энтузиазмом, так как она
облегчила их работу и, кроме того, позволила частично
снять ответственность за неправильные решения.

9.9] ПРОБЛЕМЫ ПЕРСОНАЛА И ПРОЦЕДУРНЫЕ ВОПРОСЫ 485
Деятельность некоторых военных систем снабжения
служит прекрасным примером, когда система поощрений и
наказаний заставляет персонал действовать иначе, чем
хотелось бы. Подобно заготовителю универсального магазина,
офицер, отвечающий за снабжение на военной базе, имеет
достаточную свободу выбора, несмотря на инструкции и
правила, которые теоретически должны определять
требуемый запас. Основная задача командования военной базы
состоит в том, чтобы все самолеты были готовы к полетам
или чтобы все корабли с имеющимися на них системами
были готовы к походам. Следовательно, если самолет не
готов к полету из-за отсутствия какой-то запасной части,
то офицер, отвечающий за снабжение на базе, будет
подвергнут строгому взысканию. С другой стороны, за
содержание слишком больших запасов не налагается эквивалентных
взысканий, и потому офицер-снабженец будет стараться
обеспечить максимально возможный наличный запас. В
результате на базе будет скапливаться намного больше
запасных частей и материалов, чем на самом деле необходимо;
Такие же ситуации возникают при использовании на
военной базе дефицитных материалов и частей. Эти материалы
и части заносятся в так называемый «критический» перечень
дефицитных материалов и запасных частей. Все офицеры-
снабженцы должны докладывать своему командыванию о
наличии у них этих материалов и запасных частей. Если на
какой-то базе возникает крайняя необходимость в таких
материалах, то они могут быть поставлены ей с другой
базы. Естественно, что, когда какой-либо тип материалов
или запасных частей попадает в перечень дефицитных
материалов, снабженцы всех баз стараются скрыть их
фактическое количество.
Чтобы уяснить себе до некоторой степени существо
проблем, возникающих при составлении точного перечня
инструкций по работе системы, необходимо только
ознакомиться с руководящими указаниями по снабжению военных
баз. Эти указания состоят из тридцати или более томов,
в которых устанавливается порядок работы системы. Однако
если читатель попытается уяснить, что же ему следует
делать, то он безнадежно запутается. Частично такое
положение объясняется сложностью самой системы снабжения, а
частично тем, как такие руководства составляются. Ни один

486 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ [9
человек не знает систему в целом настолько, чтобы
указать нужный порядок ее работы. Различные лица пишут
различные тома этих руководств, и, следовательно, одному
человеку трудно даже увязать все эти материалы.
9.10. Проблема оценки
Чаше всего при использовании любой модели управления
запасами пренебрегают оценкой того, насколько хорошо
модель работает. Даже в идеальных условиях бывает трудно
точно количественно оценить в денежном выражении
полученные результаты. В некоторых случаях достигнутое
улучшение настолько ощутимо, что хотя и нельзя назвать точно
среднюю годовую экономию в издержках, но ясно, что она
весьма существенна. В таких ситуациях обычно почти
любая рациональная процедура управления приводит к
значительному снижению издержек, а потому достигнутое
снижение нельзя относить за счет любой частной математической
модели. Если применение математической модели управления
запасами позволяет уменьшить в среднем наличный
запас, уменьшить долю времени, в течении которого
наблюдается дефицит запасов, уменьшить в среднем годовую
норму заказов, то при условии, что реализация новой
системы не потребует дополнительного увеличения персонала,
очевидно наличие улучшений. Остается, однако, вопрос,
оправдает ли новая система расходы на ее введение.
Стоимость введения новой системы, основанной на применении
математических моделей, оказывается зачастую очень
высока. В очень больших системах, где относительно малое
улучшение порядка работы означает экономию от
нескольких сотен тысяч до миллиона долларов только на одних
годовых издержках содержания, очень легко обосновать
некоторое увеличение расходов на реализацию таких мер. По мере
уменьшения размера системы становится труднее оправдать
увеличение расходов на введение новой процедуры управления.
Пример с универсальным магазином, рассмотренный выше,
достаточно хорошо иллюстрирует проблему, с которой
приходится столкнуться при оценке результатов любого
применения. Руководство вовсе не знало, возрастет ли доход или
уменьшатся издержки в результате таких изменений. Более
того, оно не знало, как это определить. Руководство чув-

9.11] заключение 487
ствовало, что большой выигрыш был достигнут за счет
лучшего управления запасами и выяснения того, что
следовало делать Ътотом. Более того, руководству стало ясно,
что некоторый выигрыш был достигнут за счет
освобождения заготовителей от задач, связанных с управлением
запасами всех типов. Но руководители магазина не знали, как
установить баланс этого выигрыша и дополнительных
расходов из-за введения службы учета. Авторы изучали работу
многих универсальных магазинов и пришли к выводу, что
в каждом случае такая картина повторяется. Руководство
фактически не имело представления о том, насколько новая
система лучше старой и лучше ли она на самом деле.
Те же самые трудности возникают и при управлении
запасами в промышленности. Более остро эти вопросы
возникают в военных системах снабжения, где почти невозможно
проводить оценки в терминах стоимости, так как многие
виды потерь непосредственно измерить нельзя (например,
штраф за неготовность межконтинентальной баллистической
ракеты из-за отсутствия какой-то запасной части).
Имеется и другая причина, по которой такие оценки
зачастую трудно получить. Персонал, ответственный за
практическое применение, будет делать все возможное, чтобы
создать видимость кажущегося успеха, и он будет
принимать любые попытки, чтобы скрыть имеющиеся в системе
недостатки. С другой стороны, если результаты
действительно успешны, то руководство ряда предприятий
промышленности попытается удержать их в секрете от внешних
организаций и своих конкурентов.
9.11. Заключение
В этой главе была сделана попытка осветить ряд
возможных трудностей, с которыми приходится столкнуться
при использовании моделей управления запасами на
практике. Здесь не обсуждались вопросы описания работы
сложных систем с разветвленной структурой, которая широко
используется во многих военных системах снабжения. При
управлении запасами приходится столкнуться со всеми
рассмотренными в данной главе проблемами плюс с трудной
задачей увязки всех частей системы надлежащим образом.
Как было указано в главе 1, общие модели, позволяющие

488 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ 19
проследить такие связи, до сих пор не разработаны.
Отсюда ясно, что наряду с проблемами практического
использования имеются и нерешенные теоретические задачи. Даже
для рассмотренного узкого класса систем управления
запасами было установлено, что для обеспечения успеха на
практике нужно решить много чрезвычайно сложных проблем.
Однако не будет совсем правильным считать, что при
каждой попытке применения все обсужденные здесь
проблемы будут служить основными препятствиями, которые
нужно преодолеть. Некоторые приложения относительно просты,
тогда как другие связаны с большими трудностями. Авторы
преследовали цель не отбивать у читателя охоту к
практической деятельности по применению результатов теории,
а подготовить его к трудностям, которые могут возникнуть
на его пути с тем, чтобы их легче было преодолеть.
Задачи и упражнения
9.1. Ежедневный сбыт одного типа товаров в
универсальном магазине регистрировался в течение 60 дней. Было
установлено, что спрос никогда не превышает трех единиц,
а соответствующие периоды такого спроса составляют 15,
10, 20, 10, 5 дней. Время поставки всегда равно четырем
дням. Определите на основе опытных данных безусловное
распределение спроса за время поставки.
9.2. Допустим, что в задаче 9.1 наблюдения* удлиняются
на один день. Спрос за этот день равен 6 единицам. Как
изменится при этом безусловное распределение спроса?
9.3. Рассмотрим данные о спросе, представленные в
задаче 9.1. Предположим, что время поставки всегда равно
либо 2, либо 3 дням, причем вероятность поставки за два
дня равна 0,3. Определите безусловное распределение спроса
за время поставки.
9.4. Недельный спрос на товар последовательно равен
25, 10, 15, 16, 9, 30, 17, 18, 8, 25, 26, 14, 12, 9, 15, 18,
7, 11, 19, 15, 28, 17. Используя скользящее среднее при
ДГ=3 без учета коррекции на тренд, оцените спрос на два
периода вперед для каждой недели, начиная с третьей в
этой последовательности и сравните с фактическим спросом.
Повторите вычисления, используя уравнение (9.4), которое
позволяет учесть тренд. Представьте графически получен-

ЗАДАЧИ И УПРАЖНеНИЯ
489
ные результаты, показав прогнозируемые и фактические
значения спроса в функции времени. Вычислите гистограмму
ошибок прогноза для случая, когда коррекция была введена
в прогноз.
9.5. Повторите решение задачи 9.4, используя
экспоненциальное сглаживание при а=0,15.
9.6. Предположим, что для всех наблюдений в прошлом
спрос за рассматриваемый период составил 10 единиц.
Затем с момента / = 0 спрос стал возрастать на 2 единицы
за период, так что dj=\0-\-2j. Начертите график dj и
d) = U/N, когда Af = 4. Начертите график dj и d) = dj = adj +
-f-(l—a)dj_ly если a = 0,20.
9.7. Предположим, что для всех прошлых наблюдений
спрос за период составлял 10 единиц. Внезапно при t = 0
спрос возрос скачком до 20 единиц и остался постоянным
на этом уровне. Начертите графики dj и d)% где d)
вычисляется с помощью уравнения (9.4) для N=4, а прогноз
осуществляется на следующий период.
9.8. Повторите решение задачи 9.7, используя
уравнение (9.12) при а=0,2, и снова определите прогноз на
следующий период.
9.9. Решите уравнение (9.13), если
/(*)
( 0, t<0,
\ 6/, *>0.
Представьте функции f(t) и f(t) на одном и том же
графике.
9.10. Решите уравнение (9.13), если
/(')
f 0, *<0,
\ 20, *>0.
Начертите кривые f(t) и f(t) на одном и том же графике.
9.11. Рассмотрите способ, с помощью которого можно
ввести ускоренную поставку в <Q, г>-модель,
рассмотренную в главе 4. Предположите, что заказ выполняется
ускоренно, если наличный запас снижается до заданного значения,
причем время поставки т < т. Если время до поступления
следующего заказа меньше, чем т, то ускорение поставки

490 ПРОБЛЕМЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ [9
не используется. Ускорение поставок стоит я*. Какие
усложнения для этого потребуются? Легко ли получить Q* и г*
в этой модели?
9.12. Рассмотрите детально возможность использования
производящей функции для получения я-кратной композиции
эмпирического распределения спроса.
9.13. Рассмотрите возможность вычисления /г-кратной
композииции эмпирического распределения спроса на
вычислительной машине непосредственно по определению без
применения производящих функций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Brown R. G., Statistical Forecasting for Inventory Control, New
York, McGraw-Hill Book. Co., 1959.
Рассмотрено несколько методов прогнозирования спроса на основе
данных о предыстории спроса. В книгу включены вопросы экспоненциального
сглаживания и применения метода наименьших квадратов. Однако все ре*
зультаты даются без выводов
2. Fetter К. В. and W. С. D а 11 ееk. Decision Models for
Inventory Management, Homewood, Illinois; Richard D. Irwin, Inc., 1961.
3. Magge J. F., Production Planning and Inventory Control, New
York, McGraw-Hill Book Co., 1958.
4. Whit in Т. М., The Theory of Inventory Management, Rev. ed.f
Princeton, N. J., Princeton University Press, 1957.

Приложение 1
П1.1. Ограничения и множители Лагранжа
Рассмотрим задачу минимизации непрерывной и
дифференцируемой функции z=f (хъ ...,хп) при наличии
ограничения g(xv ..., хп) = а, где g(xXi ..., хп)—функция также
непрерывная и дифференцируемая. Так как переменные
зависимы, то оптимальные значения х^ /=1, ..., /г, нельзя
найти из условия dfjdXj — 0, y=l, ..., /г. Процедура
решения этой задачи сводится к использованию ограничения
для выражения одной из переменной через остальные (п — 1)
переменных, скажем, хпУ хп = к(хъ ..., хПтт1). Подставляя
это выражение для хп в /, получим некоторую функцию
/от (п — 1) переменных. Затем можно применить методы
отыскания безусловного экстремума, т. е. решить уравнения
df/dxj, y=l, ..., /2 — 1, где
Я*1, ••.,*„-i)=/[*i, ...» *„-i, h(xl9 ...,x„_i)], (П1.1)
и поэтому
дх; dxj^dxndxj> 3 ь •••> л !-
Из ограничения g(xl9 ..., лг„)=а мы убеждаемся, что
dxj "^ дхп dxj
или
а*у ^' а*„^и'
дхп

492
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
так что
!-<|-Ь=». ;=¦ «-•• <П1-2>
дхп
Теперь, обозначив, через х\, ..., х„ значения переменных
#i> •••> хп-> доставляющие минимум функции /, запишем,
что т) = —df/dxn/dg/dxn,rjie dg/dxпи df/dxn вычисляются
для xl, ..., х%. Поэтому оптимальные значения Xj должны
удовлетворять (л+1) уравнениям
|L + r,|| = 0, у=1, ..., щ g(Xv ..., хя) = а. (П1.3)
Нужно решить систему (я + 1) уравнений относительно
х\у ..., х*п и т). Форма записи (П1.3) очень удобна, так
как все переменные входят симметрично. Выражение (П1.3)
эквивалентно (П1.2), если dg/dxпф0 для х*у ..., х*п. Для
определения х\, ..., х*п можно использовать уравнения (П1.3)
при условии, что не все производные dg/dxу- равны нулю
для х\у ..., х*п. Очень редко бывает так, что все
производные были равны нулю для х\, ..., д:*. Составим теперь
функцию
F{xl9 ..., хп, г))=/(д:1, ...,xn) + xi[g(xl9 ..., хп) — а].
(П1.4)
Тогда
dx, dxj^ildxj' J '
(П1.5)
Отсюда, положив dF/dXj = 0 и dF/dr] = 0, получим (П1.3).
Параметр г), введенный выше, называется множителем Лаг-
ранжа. Процедура определения переменных Хр /=1, .... nf
минимизирующих z при наличии ограничения g=af согласно
которой составляется функция F, а вычисленные частные
производные F по Xj и г) приравниваются нулю, называется
методом множителей Лагранжа.
Метод множителей Лагранжа можно также использовать
при наличии двух или более ограничений. Предположим, что
нужно минимизировать функцию z=f(xly ..., хп) при на-

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 493
личии ограничений gt (xlt ..., хп) =0^ и g2 (хъ . .., хп) =<%.
Введем два множителя Лагранжа т| и 9 и составим функцию
F(xl9 ..., хя, т|, 0) =/(*!, ..., хп) +
+ 4[ft(*i> •••> хп)— «i]+e[ft(*i> ..., хя)—aj. (П1.6)
Необходимые условия, которым должны удовлетворять дгу-,
доставляющие минимум функции z при наличии двух
ограничений, представляются как
dxj ~~ ~~ dxj ~*~ ^ дх/ ~* дх/'
- = ^^0^ = 0, ^=^-0^ = 0.
Здесь мы имеем систему из (п + 2) уравнений с (/г + 2)
неизвестными Xj, у=1, ..., /г, т). и 0. Эта процедура будет
работать при условии, что ранг матрицы ||д?//д#у||, * = 1, 2,
/=1, ... /г, имеющей размерность Bх/г), равен 2 в точке
минимума. Доказательство того, что описанная процедура
обеспечивает отыскание минимума, совпадает с аналогичным
доказательством для случая одного ограничения с тем
исключением, что теперь нужно использовать два ограничения.
Часто при решении задач оптимизации указанного выше
типа добавляются дополнительные ограничения
неотрицательности Xj^O для некоторых или всех переменных. В
таких случаях совокупность оптимальных значений Xj не
обязательно должна удовлетворять (П1.3) или (П1.7), так как
одно или несколько значений могут быть нулями, т. е.
попасть на границы области, определяемой ограничениями
Xj^Oy у=1, ..., п. Если существует возможность
оптимума при условии, что одно или более значений л;у = 0, то
нужно также найти все относительные минимумы на границах
области, задаваемой ограничениями Xj^O. Для этого
используется та же самая процедура при условии, что одна
из переменных должна быть равна нулю. Такая процедура
повторяется для каждой переменной, а затем для всех
комбинаций по две переменных, по три переменных и т. д.
Абсолютный минимум будет наименьшим из всех относительных
минимумов, полученных для О, 1, 2, ... переменных,
приравненных нулю. В задачах, рассмотренных в данной книге,
обычно относительные минимумы на границе отсутствуют.
(П1.7)

494
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
П1.2. Интерпретация множителей Лагранжа
Вернемся к изучению проблемы отыскания неотриц^ель-
ных значений xv ..., xni минимизирующих z=f(x1, .. ., хп)
при условии, что g(xlt ..., хп)=а. Вели z* является
минимальным значением z при наличии ограничения, то z*, вообще
говоря, будет зависеть от а, т. е. z* является функцией а.
Аналогично множитель Лагранжа т] будет также зависеть
от а. Теперь покажем, что dz*/da ——т], причем обе части
этого равенства вычислены при одном и том же значении а.
Для доказательства того, что dz*/da= —т|, положим,
что х\, ..., Хп—совокупность значений Хр которая дает z*.
Эти значения х* будут также функциями а. Таким образом,
да 2и дх*. da '
Однако из (П1.3) следует, что
дх* ч дх* '
и поэтому
Далее замечаем, что ограничение g(xt1 ..., хп) — а должно
всегда выполняться (т. е. оно должно быть тождеством
относительно а). Отсюда, дифференцируя это ограничение
по а, получим
или, подставляя (П1.9) в (П1.8), получим то, что
требовалось доказать. Ту же самую процедуру можно использовать,
чтобы показать, что если имеется т<Сп ограничений, то
dz*/d<Xj= —г)у., j= 1, ...,/». Однако доказательство в этом
случае будет более сложным и потому здесь не приводится.
Приведенным выше результатам можно дать интересную
экономическую интерпретацию. В данной книге z обычно
означает средние годовые издержки, а ограничения накла-

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
495
дываются на физические ресурсы, скажем, на капитал или
площадь склада. Поэтому размерность ц( должна выражаться
в единицах стоимости на единицу /-го ресурса. Из
соотношения dz*/da,;=—% следует, что rj,- является числом,
показывающим, на сколько минимальные издержки можно
сократить, прибавив одну единицу ресурса /. Таким образом,
множители Лагранжа можно рассматривать как
относительные ценности или неявные (shadow) цены ресурсов.
П1.3. Ограничения в форме неравенств
В рассматриваемых нами задачах ограничения обычно
заданы в форме gt (хг, ..., хп) ^.ah а не в форме равенства.
Требуется, скажем, чтобы расходовалось не более заданного
объема ресурса, но можно, однако, использовать ресурс
и меньшего объема. Теперь мы покажем, как метод
множителей Лагранжа можно обобщить на случай ограничений
в форме неравенств.
Представим себе, что нужно определить
неотрицательные значения переменных хъ . .., хп, минимизирующие
г=./(хг, ..., хп) при условии ограничения g(xt, ..., хп)^.а.
Пусть эти значения равны a:J, . .., #*. Тогда либо
A) g(xl, ..., х*)=а,
либо
B) g(xl, .... **)<a.
Если выполняется A), то говорят, что ограничение
существенное (active), а если B), то ограничение называют
несущественным. Ограничение должно быть либо
существенным, либо несущественным. Важно отметить, что для
несущественного ограничения точка минимума не зависит от
того, учитывается ли это ограничение или нет. Если
ограничение существенное, то точка минимума будет совпадать
с точкой, полученной при решении задачи с ограничением
в форме строгого равенства.
Пусть z*u является минимальным значением z для
неотрицательных Xj при отсутствии ограничения, и пусть z\
означает минимальное значение z для неотрицательных Xj при
наличии ограничения g{xx, ..., хп)=а. Тогда справедливо
неравенство z*^zly так как точка, дающая z\, является
также допустимым решением задачи без ограничения. Вообще

496
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
говоря, если z*m является минимальным значением z для
неотрицательных Xj при наличии т ограничений g{ (хъ . . ., хп) = а,-,
a Zm+i является минимальным значением z для
неотрицательных Xj при наличии (/я + 1) ограничений (т
ограничений совпадает по форме с упомянутыми выше) вида
gi(xt, ..., xn)=ah то ^m+i^^m» так как точка, в которой
z = Zm+i, является допустимым решением задачи с т
ограничениями.
Теперь ясно, как следует решать задачу отыскания
неотрицательных значений дгу, минимизирующих z=f(xl9 ..., хп)
при наличии ограничения g(xx, ..., хп)^а. Вначале
находим точку, в которой минимизируется z при условии
неотрицательности Xj и отсутствии указанного выше
ограничения. Если полученное при этом решение удовлетворяет
отброшенному ограничению, то на основании результатов,
приведенных в предыдущем разделе, оно является
оптимальным. Если же ограничение не удовлетворяется, то остается
решить задачу отыскания неотрицательных значений х^
которые минимизируют z при наличии ограничения в форме
равенства g(xly ..., хп)=а. Эту задачу можно решить
методом множителей Лагранжа, как было показано в П1.1.
Полученная таким образом минимальная точка будет
оптимальным решением рассматриваемой задачи. Если ограничение
задается в форме неравенства, то могут потребоваться
дополнительные шаги по сравнению со случаем, когда
ограничение задано в форме строгого равенства.
Рассмотрим теперь случай, когда нужно найти
неотрицательные значения Хр минимизирующие г=/(хъ ..., хп) при
наличии двух ограничений в форме неравенств g^x^ ..., ^„)^ах
и ?г(*1» •••» хп)^а2- Процедура решения такой задачи
сводится к нахождению сначала решения той же задачи, но
при отсутствии обоих ограничений. Если полученная точка
удовлетворяет этим ограничениям, то она является
оптимальным решением первоначальной задачи. Если оба
ограничения не выполняются, то по крайней мере одно из них
будет существенным. В таком случае на следующем этапе
решается задача отыскания неотрицательных х^
минимизирующих z при наличии ограничения g1(xlJ . . ., хп)=<х1 (при
этом игнорируется другое ограничение). Если решение,
полученное на этом этапе, удовлетворяет второму ограничению,
то оно является оптимальным, а если нет, то следующим

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
497
этапом находится совокупность неотрицательных значений Ху,
минимизирующих z при наличии ограничения g2 (хъ ..., хп) =а2,
при этом игнорируется другое ограничение gx (х1у..., xn)^xxv
Если решение, полученное на данном этапе, удовлетворяет
ограничению gi(xly ..., хп)^(х^у то оно является
оптимальным для всей задачи. В противном случае, есть гарантия
того, что оба ограничения существенны. Поэтому нужно
определить совокупность неотрицательных значений Хр
минимизирующих z при наличии двух ограничений в форме
равенств gx{xx, ..., хп) = а1 и g2(x1, ..., хп) = а2.
Полученная в результате совокупность значений х,- будет
оптимальным решением нашей задачи.
Такие же процедуры можно использовать для решения
задач с тремя или более ограничениями в форме неравенств.
Однако объем необходимых вычислений быстро возрастает
с ростом числа ограничений.
Приложение 2
П2.1. Введение
При определении оптимальных значений параметров,
связанных со стратегией функционирования, часто оказывается
необходимым использовать численные методы для решения
уравнений вида f(x) = 0 или системы уравнений вида
f1(x, у) = 0, f2(xy у) = 0. Мы обсудим далее один метод,
удобный для решения такого рода задач. Этот метод известен
под названием метода Ньютона. Мы также рассмотрим метод,
называемый методом наискорейшего спуска. Он позволяет
минимизировать выражение для издержек непосредственно, без
решения ряда уравнений, получающихся от приравнивания
частных производных функций издержек нулю.
П2.2. Метод Ньютона
Рассмотрим уравнение /(л;) = 0. Предположим, что х0
является приближенным решением, т. е. значение f(x0)
близко к 0, Используя первые два члена разложения в ряд

498
приложение 2
Тейлора, имеем
/(X):
*/(*•)+ ???-{х-Хо)>
(П2.1)
где х близко к х0. В (П2.1) df(x0)/dx означает
производную/ по х в точке х0. Нужно определить такое значение х,
чтобы /(д:) = 0. Полагая /(jc) = 0 в (П2.1), имеем
x—x0 = Ax=—f[x0)l(df(x0)ldx). (П2.2)
Затем в качестве новой оценки решения уравнения /(л;) = 0
можно использовать х1 = х0-\-Ах. Такой процесс
повторяется, и на (п-\-\)-м шаге имеем
bXn=—f(xn)IW(Xn)ldx), (П2.3)
а хп+1 = хп + Ахп. Описанная итеративная процедура
отыскания решения уравнения /(л:) = 0 и называется методом
Ньютона. Однако эта процедура не обязательно будет
сходиться к решению уравнения /(д;) = 0. Сходимость будет
наблюдаться лишь тогда, когда производные df/dx и d2fldx2
не меняют знака на интервале между значением х0 и корнем
уравнения /(л:) = 0. Ту же самую процедуру можно
использовать при решении системы уравнений /х(х, у) = 0,
Л(х, у) = 0. Предположим, что на (п-\-\)-м шаге
приближенные значения корней равны хп и уп. Тогда
dfi(xn, уп) ,„ ,
, dfx (хю уп) к
0=Л(хп, уп) +
0~f%{xu, уп)Л
dh (Xm Уп)
ду
~дх (Ar" + !
df2 (*n> Уп)
так что
Ах„ = х
п + 1
—х =
ду
-А
-л
(Хп> Уп)
(Уп+1—Уп) '
хп) +
(Уп + 1—Уп)
'/l (Хп + 1> Уп+1)>
;/г (xn+v Уп+Vi
Ц/ЛХп,Уп)^ду
\dfildx
&Уп=Уп + 1—Уп =
= -^[/i(x„,ya)
J_
/
df2(xn, yn)
дх
dfxldy
дА/ду
-Л(*„ Уп)дк%Уп)\ (П2.4)
-Л|_
dfjdx —/2
-Л (*„. Уп)
dfi(*n, Уп)
дх
]¦
(П2.5)

ПРИЛбЖЁНИЕ 2
499
где
j __^ d/i (xn, уп) df2 (xnt уп) dfx (хПУ уп) df2 (xni уп) п .
дх ду ду дх ' * ' '
Но хп+1 = хп + Ахп, уп+1=уп + &уп. И снова можно
утверждать, что такая процедура сходится не всегда. Но условия
сходимости уже не будут такими простыми, как в случае
одной переменной. Конечно, если уравнение /(д:) = 0 или
система уравнений fx (х, у) = 0, /2 (л:, у) = О имеют не
единственное решение, то метод Ньютона не обеспечивает
отыскания всех корней.
П2.3. Метод наискорейшего спуска
В большинстве моделей, рассмотренных в данной книге,
оптимальная стратегия функционирования определяется
минимизацией некоторого выражения для издержек, скажем,
средних годовых издержек Я. Метод Ньютона дает
возможность решить уравнения вида d$tldQ = d$/dr = 0, из которого
определяются Q и г, минимизирующие Я. Метод
наискорейшего спуска позволяет оперировать с 5? непосредственно,
не прибегая к решению уравнений d$/dQ = d$ildr = 0.
Предположим, что Я* является функцией двух переменных Q и г
и что нужно найти абсолютный минимум $.
Допустим, что выбор Q0, г0 осуществляется произвольно,
затем вычисляется ^(Q0> го)- Мы хотим определить такие
значения Ql9 rl9 что &(ЯЪ гг) < 5?(Q0, г0). Значения d$/dQ
и д^/дг говорят нам о характере изменения Я* относительно
Q и г в любой заданной точке, т. е. указывают, как нужно
изменить Q и г, чтобы значение Я стало меньше.
Рассмотрим значения
Qi=Q0-e^gp4, г^го-е9*®* Го), е>о. (го.7)
Тогда если 8 достаточно мало, то $t(Qv r1)<^(Q0, r0),
за исключением случая, когда d$/dQ = dU/dr — 0 в точке
Q0, г0. Если 0 одинаково в обоих выражениях (П2.7), то
мы говорим, что используется метод наискорейшего спуска,
так как можно показать, что движение происходит в
направлении наибольшей скорости уменьшения Я*. Затем эта
процедура сводится к вычислению Qt и гх из (П2.7).
Значение 6 выбирается произвольно. Правильный выбор значе-

500
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ния 0 представляет самостоятельный интерес, так как
если 0 слишком велико, то минимум будет перейден, а если
0 слишком мало, то потребуется много времени для
достижения минимума. Затем вычисляют R(Qn гг). Если
®(Qv ri)<$(Qo> го)> то d^/dQ, dSi/dr пересчитываются
в точке Qv гг, а новые значения Q, г находятся с
помощью (П2.7), где вместо Q0, r0 уже подставляются Ql9 гг.
Если $ (Qx, гх) ^ $ (Q0>ro)> выбирается меньшее значение 0,
и процедура повторяется. Здесь также возникают вопросы
сходимости алгоритма. Значение 0 можно менять по желанию
при каждой итерации.
При использовании метода Ньютона нужно вычислять
первые производные функций fx и /2. Они являются вторыми
производными $. По методу наискорейшего спуска нужно
вычислять только первые производные функции издержек Si.
Если эти производные трудно оценить численно, метод
наискорейшего спуска потребует относительно меньше
вычислений на итерацию. С другой стороны, может
потребоваться и больше итераций, если, конечно, не выбирать
каждый раз соответствующим образом значение 0,
Приложение 3
Ниже приведены следующие свойства распределений
p(r; \i), Р(г; 1*), y(t; a, р), bN(j; n, р):
Р(г, |1)в?е-*, P(r; |i) = ?/>(¦/; 1*Ь ' = 0> 1> 2. ••• .
/='
bN(j; n, P)=Iii±^p»(i_p)/, j=о, 1,2, ...
Эти свойства справедливы для всех (л > 0 и всех
неотрицательных целых чисел г*. Оператор А {/(г)} определяется
* Хотя и требуется, чтобы г было неотрицательным, но
некоторые свойства выполняются и при отрицательном аргументе для р
или Р. Эти свойства выполняются, если договориться, что для
отрицательных целых г имеют место соотношения p(j; jx) = 0, Р (/; |х) = 1.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 501
как A{f(r)}=f(r)—f(r—1)> а Г (#) является
гамма-функцией от аргумента х.
1. rp(r; \i) = \ip(r — 1; |i).
Пусть
2. 1*«(г) = 2/-р(/; Ц), /я = 0, 1, 2, ...
Тогда
т— 1
i*«w=i* X v 7" )мг—*)> л|=1'2> •••
т
3. 2//>(/; |i) = |iP(r —1; |i).
00
4. 2 ;V(;; Ц) = цР(г-1; |i) + |iV(r-2; |i).
CO
5- 2//>(/; n) = ti3P(r-3; ц) + 3|1«Я(г-2; |i) +
+ (iP(r-l; |i).
00
6. 2 P(j\ |i) = |*P(r-l; ^) + (l-r)^(r; (X).
00
7. Пусть 0,@ = 2/^G; И), ^ = 0, 1, 2, ...
Тогда
/m-l
+ C.,iW-('--i)-*IP(/'; |i)}, «-1, 2, ...
00
8. E/P(/; |i)=?/>(r-2; (i) + |iP(r-l, Ц)-
00
9. 1>Р(У; И)=Г-у+у~1г1р(г; l*) +
/=r L
+ цР(г-1; |i)+*-'P(r-2; ц)+^Р(г-3; |i).

502 ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ю. 2(у-г)р(у; |»)=2урС+У;ц) = .2 pU; й)=*
У«=г /=0 /=г+1
= |1Я(г—1; |*)—гР(г; ц) = ЦР(г; ц) + (ц~-г)Р(г + 1; ц).
"• 1>(г-ЛР(Г. \1) = г-\1 + \1Р(г; ц)-гР(г+1; ц).
/=о
12. rP(r + l; |i) = rP(r; ц)—цр(г —1; ц).
13. \iP(r; ц)-гР(г + \; ц) = (*Р(г-1; |i)—г/»(г; \i).
и <!Ej±v)_=p{r_x.^_p{r. ^
1 - dP (г; и) , i ч
15- di =р^-1' »*>¦
г
16. fp(r; М)Л = |-Я(г + 1; ^
о
г
17. J/»/>(/¦; Х/)Л =j^ii?L7ri^(« + /-+l; XT),
О
л = 0, 1, 2, ...
18. fР(г;Х/)Л = у. ? Р(ГЛТ) =
О /=г+1
= ТР(г;ХТ) — ±-Р(г + \;кТ).
т в
19. С/»Я(г;Х/)Л = ^?-?^
О /=г
л = 0, 1, 2, ...
20. [(T—t)np{r;Xt)dt =
о
*=0

ПРИЛОЖЕНИЕ 3
503
21. f (T— t)tt P (r;U) dt =
= ?(-!)* (!?)-J^ (ТцТ) [(ХТ)*"Р(гЛТ)-
—?±$-Р(* + г + 1;ХТ)].
СО
22. §y(t;a, p)/>(r; \t)dt = bN(r; а+1; -j^p") •
О
ао
23. JvC; «. $)Р[П b(t+T)]dt =
о
= ?/>(г-У; ХГ)&„(у; а+1, -^j] .
24. $?т(<; «, P)/>(r; Xt)dxdt =
= т[1-?ь»и«+1»тЗт)]'
25. J J ?(/; а, P)jD(r; \i)dxdt =
1-Е?р(У-': ЯГ)^(i; а+1, -JL-YI .
/=о»=о ч F/J
26. Д{^(г)} = -(г-1)р(г-1; ^) = -цр(г-2; ц).
27. Д{1-М' + т = А{ 2>(/; |i)Wp(r; |i) =
= ц/>(г—1; ц).
00 t
и
О О
ее t+T
И
о о
\_
28. л{2(У-г)/>(у; ,х)| = -/>(г; ц).

504 приложение 4
Приложение 4
Ниже приведены некоторые свойства распределений ф (г)
и Ф(г), где
00
ф(г)=-р^=-«-^; Ф(г) = ?<р(*)Лг,
а г может принимать положительные и отрицательные
значения или равняться нулю.
00
1. \ x(f(x)dx = (f(r).
г
оо оо
2. ^xn(p(x)dx = rn'1(f>(r) + (n—\) ^xn~\{x)dxy
г г
л —2, 3, ...
00
3. J*^(*)dx = 0(r) + r<p(r).
г
00
4. ^л:8ф(д:)^л:=(г2 + 2)ф(г).
г
00 00
Г Г
п = 0, 1, 2, ...
СО
6. ^<I>(x)dx = <((r)— гФ(г).
г
00
7. J *Ф (*) dx = 1 [A -/•*) Ф (г) + гФ (г)].
Г
00
8. Сд:2Ф(л:)^л: = ^-[(г2 + 2)ф(г) — л3Ф (г)].

Приложение 4
505
9- $^АЬ&]*=*й{х'г*~''*Ах,т')'
0 * [(DT)'' J Л. L(Z)r),/! J
Гг i —xt -\
10- К^УМфо^Г^^*' Ti)-Wl(x' 7l)'
7*lt Га > О,
, ~ D (л . ХхХ^Гх—ХТ! 2(DTY/, [x—XT~\ ,
^ х2 V яг *L(dd'/.J *
л = 0, 1, 2, ... ; Ти Г2>0.
Тогда
'п + 1\х1 L i> 1 2/ — * р I (D7
2(ОГ,)'/.у» _ Г*-^»1 , Bп + 1)Р у ,у у т,
х? V L(or2)'/sJ + J?—J»V> yi» y*
,2. ?4U[?^l<tt=iF,
J D4' \.(Dt)'*] 2
г,
W2(X, ?> — я.» L * *¦* J I {DTL'\
T2) +
я = 0, 1, 2, ...
+ —
Tlt T2 > 0.
Г^.ЗРх + ЗРМфГ*-ХГ1
L* + Я + X» J ^ [ фГ)Ч ~
2(РГ)У» [Г+ЗР1 J^|x
X2 L *¦* J L (ОГ) /2J '
Г 3D / DA *M адйф Г*+^ | .

506 ПРИЛОЖЕНИЕ 4
тх ..
xvr I ъ I Г а , 6хЮ . 15xD* . 15D»  л Г х—ХТ ~[
WAX, Т)= ^|*8 + _ + __+___|ф|^;^_
гфГ^'Г--, , 5D/„ . 3D \ . *»1 Г ж—W] ,
1фТ)<
L(DT)'
14, Пусть
Rn(x,TlyT2)^t^\^^]dt, л = 0, 1,2,...,ГХ, Г2>0.
Тогда
—7Г+ТГ"+1 Ф[ (ОГд)*^ J ~~ 2(«+1) У"+1 (*' 7l' Ti)~
15. А^ (л> Tl, Г2) = -У„ (л:, Гх> Г2)
СО
Я„ (*, Гх, Т2) = -J /„ (|, 71э 7.) d?.
, D n*fD«S x+KT 1
+ 2Х»е [(ОТ)*/.]'
Г,
17- 1'ф [(W^"]rf'=Kl {x' Ti)~ Vl (x' Tl)'Tl' T*> °'
vax т)=Цт*-?—2?*—2Що>\?=Щ +

ПРИЛОЖЕНИЕ 4
3D
507
18. е
D_\ ЗР],.2У«/офГх+Х.Г]
2X»L Tj UOr^J"
Г х+ХГ 1 Г ж—W 
91 д (Ту Г *~~M 1 — ' Г ** l * 1 Г *~X* 1
<» [ (W)V. J 2 [(D/)V, + Dv, ,•/. J * [ (W)V. J •
1 Г*2 а«Л Г* —Ml
22- ?ф
a*
_a_
a/
23. 4ф
x—Ц 1
{Dtf*
x—Xt
(Dtj
Г
26. ^xd>( ¦?=?-) dx =
00
27. Гл:2ф(-^)л«: = у(ц8 + 3ца2—г») ф f 1=йЛ +
+1 (г2 + цг + ц2 + 202)Ф(-^-) .
28. jfe2^>(±±!i)</* =
-?{Ч^)-'ш,0ф(^)}-

Словарь наиболее употребительных терминов
«all units» discounts
arrival of order
backorder (backlogged)
backorder case
backorder costs
backorder system
earring costs
cost per unit year of stoc-
kout
cumulative mean demand
demand
demands
department store
doctrina
dynamic model with finite
horizon
dynamic model with
variable horizon
goodwill cost
imputed price
incremental quantity
discounts
inventory carryng charge
-оптовая скидка.
-поставка заказанного пополнения запаса.
-учтенное или зарегистрированное
требование.
-случай учета невыполненных из-за
дефицита запасов требований.
-издержки, связанные с учетом
невыполненных требований.
-система с учитываемыми требованиями.
-издержки по содержанию запасов.
-удельные издержки, связанные с
нехваткой запасов.
-средний суммарный спрос от потребителя.
-требование, заявка.
-спрос.
-универсальный магазин.
-стратегия управления запасами!
-динамическая модель с «конечным
горизонтом» планирования.
-динамическая модель со «случайным
горизонтом» планирования.
-убытки, связанные с потерей предпочтения.
-назначенная цена.
-дифференциальная скидка.
inventory control
inventory position
asset)
inventory system
lead time
liquidation value
lot
lot size
lot size model
material balance equation
model
multiechelon system
•коэффициент издержек содержания
(хранения) запасов.
—управление запасами,
(stock—фиктивный уровень запасов, учитывающий
зарегистрированные требования и заказы
на пополнение).
—система управления запасами.
—время поставки пополнения.
—цена, назначаемая при продаже
нереализованных остатков товара.
—партия.
—размер партии.
модель размера партии,
уравнение баланса запасов,
модель (модель управления запасами),
система управления запасами или
снабжения с разветвленной структурой.

СЛОВАРЬ НАИБОЛЕЕ УПОТРЕБИТЕЛЬНЫХ ТЕРМИНОВ 509
net inventory
obsolescence
on hand inventory
on order inventory
operating doctrina
order
order on books
order placed
order received
outstanding order
overage cost
periodic review system
procurement
production engineering
production run
purchasing cost
quantity discounts
rate of interest
reorder point
safety stock
scrap value
selling price
single installation
single period model
stock-bin
stock-out
stock-out cost
stock-point
transaction reporting
system
trend
unit year of shortage
unit year of storage stock
underage cost
warehouse
—чистый запас.
—устаревание запаса.
—наличный запас.
—поданный, но еще не поставленный заказ
на пополнение.
—стратегия функционирования или правило,
по которому осуществляется снабжение
потребителей и пополнение запасов.
—заказ (со склада—поставщику).
—зарегистрированное требование, не
удовлетворенное из-за дефицита запасов.
—подача заказа на пополнение.
—поставка пополнения на склад.
—невыполненный заказ на пополнение, т. е.
не поставленный еще складу.
— стоимость «передержанного»
скоропортящегося товара.
—система с периодическими проверками
состояния запасов и сделок.
—заготовка, закупка.
—организация производства.
— производственный цикл.
—закупочная цена товара.
—скидка или переоценка.
—норма прибыли, норма относительного
прироста, процентная ставка.
— точка подачи заказа на пополнение или,
точнее, момент, когда достигается
определенный уровень запаса в системе и
принимается решение подать этот заказ.
—гарантийный (страховой) запас.
—цена изделия по окончании периода
нормальной эксплуатации.
—розничная цена.
—одиночный склад.
—одноперйодная модель управления.
—бункер для хранения запасов.
—отсутствие или дефицит запасов.
— издержки из-за дефицита запасов.
—точка или пункт хранения.
—система оперативного управления
запасами с постоянной информацией о сделках
(система с оперативной информацией).
—тренд.
—интегральная нехватка запасов,
измеряемая в единицах товаро-лет.
— интегральный объем запасов, измеряемый
в единицах товаро-лет.
— удельные издержки из-за дефицита.
—склад.

П редметны й указател ь
Анализ маргинальный 356
Аренда складских помещений 28 ,
32
Биномиальное распределение 108 ,
121
Вероятность перехода инфините-
зимальная 155
Взаимно исключающие события
104
Время* обеспечения поставки 24
Гарантийный запас 185
Геометрическое распределение
112 , 123
Динамическое программирование
368
Дискретное распределение 108
Дисперсия случайной величины
120
Дифференциальная скидка 84
Запас гарантийный 185
— страховой 185
Издержки 24
— дефицита запасов 36
— назначаемые 74
— от потери требований 36
— старения 31
— учета 33
единицы спроса 36
Интенсивность перехода 155
Инфинитезимальная вероятность
перехода 155
Косвенные издержки 27 , 28
Коэффициент издержек
содержания запасов 29
д-кратная композиция 145
Лапласа преобразование 147
Маргинальный анализ 356
Марковский процесс 152
неприводимый 153
Математическая модель 14
Математическое ожидание 120
Метод множителей Лагранжа 73
— наименьших квадратов 470
— наискорейшего спуска 497
— Ньютона 487
Многоступенчатая система 21
Модель «рождественская елка» 16
— с периодической проверкой 82
«Q , />-модель 82
«# , Т»-модель 266
Момент случайной величины 147
Моментная производящая
функция 147
Налогообложение 28 , 31
Независимые события 105
Оперативная информация 183
Оптимальная политика 416
Периодическая проверка 184
Правило постоянного уровня 266
Преобразование Лапласа 147
Принцип оптимальности 373
— равновозможности 105
Производящая функция 142
моментная 147
Простая формула размера партии
15
Процесс марковский 152
неприводимый 153
— Эрланга 134
Размер заказа 414
Распределение геометрическое
112 , 123

ПРЕДМЕТНЫЙ
Распределение дискретное 108
— нормальное 123 , 165
— Пуассона 111 , 121 , 161
— совместное случайных
величин 137
— составное пуассоновское 136 ,
137
Сглаживание экспоненциальное
474
Скидка дифференциальная 85
Складская система 17 , 18
многоступенчатая 21
с разветвленной структурой
18
Случай потерянных требований 23
—учтенных требований 23
Случайная величина 107
События взаимно исключающие
104
— независимые 105
Среднее по времени 126
— по множеству 126 , 127
— и по времени 126
Среднеквадратическое отклонение
120
Средняя годовая норма прироста
40
прибыль 41
Стоимость подачи заказа
фиксированная 26
— помещения 74
указатЕль 511
^-стратегия 266
Страховка 28
Страховой запас 185
Страховые издержки 28 , 30 , 31
Теория полезности 41
Условие ординарности процесса
переходов 157
Учетные операции 33
Фиксированная стоимость подачи
заказа 26
Фиктивный уровень запасов
в системе 63
Формула размера партии 15 , 50
— Уилсона 15 , 50
— Харриса 50
Функция выпуклая 249
строго 89 , 249
— распределения 108
Центральный момент второго
порядка 120
Цепь марковская 152
цикл 188
Экспоненциальное сглаживание
474
Эрланга процесс 134
Эшелон 18

Дж. Хедли , Т. Уайтин
Анализ систем управления запасами
М. , 1969 г. , 512 стр. с илл.
Редактор Д. С. Фурманов
Техн. редактор И. Ш. Аксельрод
Корректор Т. С. Вайсберг
Сдано в набор 25/XII 1968 г. Подписано
к печати 19/V 1969 г. Бумага 84х 108V82-
Физ. печ. л. 16. Условн. печ. л. 26 , 88.
Уч.-изд. л. 27 , 35. Тираж 6 500 экз. Цена
книги 2 р. 17 к. Заказ № 3465.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва , В-71 , Ленинский проспект , 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография
имени А. А. Жданова
Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Москва , Ж-54 , Валовая , 28
Отпечатано во 2-ой типографии изд-ва
«Наука» , Шубинский пер. , 10. Заказ № 2457.