/
Author: Крицков Л.В.
Tags: математика учебные пособия и учебники по математике задачи по математике высшая математика естественные науки учебное пособие
ISBN: 978-5-392-14372-6
Year: 2014
Text
Л. В. Крицков
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
В ВОПРОСАХ
И ОТВЕТАХ
Учебное пособие
Под редакцией
доктора физико-математических наук,
профессора, академика РАН
В. А. Ильина
О©
Электронные версии книг на сайте
www.prospekt.org
•ПРОСПЕКТ*
МОСКВА
Л. В. Крицков
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
В ВОПРОСАХ
И ОТВЕТАХ
Учебное пособие
Под редакцией
доктора физико-математических наук,
профессора, академика РАН
В. А. Ильина
О©
Электронные версии книг на сайте
www.prospekt.org
•ПРОСПЕКТ*
МОСКВА
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
К82
Электронные версии книг
на сайте www.prospekt.org
Под редакцией
доктора физико-математических наук,
профессора, академика РАН
В. А. Имина
К82
Крицков Л. В.
Высшая математика в вопросах и ответах: учеб, пособие / под ред.
В. А. Ильина. Москва: Проспект. 2014. 176 с.
ISBN 978-5-392-14372-6
Данное пособие предлагает краткое изложение курса высшей математики для
студентов вузов Учебный материал изложен в удобной форме ответов на ключе-
вые вопросы и содержит такие разделы, как аналитическая геометрия, математиче-
ский анализ, дифференциальные уравнения и т д
В пособии приведены все основные определения и утверждения курса, многие
из которых снабжены примерами, разъяснениями и иллюстрациями
Для студентов, обучающихся по техническим специальностям
УДК 51(075.8)
ББК 22 1я73
Учебное изоание
Крицков Леонид Владимирович
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В ВОПРОСАХ II ОТВЕТАХ
Учебное пособие
Оригинал-макет подготовлен компанией ООО «Оригинал-макет»
www o-maket ru. тел - (495) 726-18-84
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77 99 60 953 Д 004173 04 09 от 17 04 2009 г
Подписано в печать 25 02.2014 Формат 60x90 />
Печать офсетная Псч л 11,0 Тираж 500 экз Заказ №
ООО «Проспект»
111020, г. Москва, ул Боровая, д 7, стр 4
ISBN 978-5-392-14372-6
с- Л В Крицков, 2014
£-ООО «Проспект», 2014
Глава 1. Вещественные числа.
Множества вещественных
чисел
Какие основные числовые множества
рассматриваются в математике?
К основным числовым множествам относятся
— множество натуральных чисел (N), вводимых в арифметике для
счета, с операциями сложения и умножения;
— множество целых чисел (Z), расширяющее множество натуральных
чисел так, что в нем всегда выполнима операция вычитания;
— множество рациональных чисел (Q), расширяющее множество
целых чисел так, что в нем выполнима операция деления < кроме,
конечно, деления на нуль),
— множество вещественных чисел (R), дополняющее множество
рациональных чисел иррациональными так, что в нем выпол-
нимы, например, операции извлечения корня или вычисления
логарифма, и, кроме того, более приспособленное для измерения
длин, площадей и объемов;
— множество комплексных чисел (С), в котором, в отличие от
множества вещественных чисел, любой многочлен степени
не ниже I имеет корень (или, как еще говорят, множество С
алгебраически замкнуто).
Что такое рациональное число?
Рациональным называется число, представимое в виде отношения
двух целых чисел — точнее говоря1, а е Q<=> Зт, п е 7,л*0:а = т/п.
1 Для придания компактной формы математическим высказываниям
будем в дальнейшем использовать общепринятые символы* 3 — «сущест-
вует», V — «любой», о — равносильность, эквивалентность высказываний,
=> — импликация (т е. когда из первого высказывания следует второе)
Глава 1
Неотъемлемыми атрибутами множества рациональных чисел являются
правила их сравнения и образования их суммы и произведения
I. Любые два числа a, b е Q связаны одним и только одним из трех
знаков сравнения >, < или = по следующему правилу:
mi к т2 ь
— если о-—5- и fe = —=- неотрицательны, то о и b связаны тем же
И] Я2
знаком, что и целые числа »»|И2 и i ’
— если а и b неположительны, то они связаны тем же знаком, что
и числа |й] и |а|;
— если а неотрицательно и b отрицательно, то а > fe-
ll. Любым числам д=—, fe- —-cQ ставится в соответствие их
, й| Пг m.tij+myrt;
сумма а + fe, равная рациональному числу —!.
т т Л|И2
III. Любым числам а =—, b- —eQ ставится в соответствие их
п, пг ~ т
1 ' т.т7
произведение а Ь, равное рациональному числу —!.
«|«2
Что относят к основным свойствам
рациональных чисел?
К основным относят следующие 13 cbohcib рациональных чисел.
1. а > fe => fe < а\
а > fe, b > с => а >с (транзитивность знака >);
а=й, й=е^а=с (транзитивность знака =).
2. с+й=й+а (коммутативность сложения).
3. (а + fe) + с = а + (fe + с) (ассоциативность сложения).
4. 30 е Q: а + 0 = a Va е Q (особая роль нуля).
5. Vo е Q За’ g Q. а + а'- 0 (а’называется противоположным
числу fl)
6. а • fe = fe • а (коммутативность умножения).
7. (a - fe) • с = а • (fe • с) (ассоциативность умножения).
8. 31 е Q: а • I = a Vc е Q (особая роль единицы).
9. Vo 6 Q, а * 0 За’ g Q: а • а'= 1 (о* называется обратным числу а).
10. (а + fe) - с = а • с + b с (дистрибутивность умножения отно-
сительно сложения).
II. о > й => а + с > A t e Vcg Q.
12. а > b=> а с > b с Vc g Q, с > 0.
13. Каково бы ни было a g Q, число 1 можно повторить слага-
емым столько раз, что полученная сумма превзойдет а (аксиома
Архимеда).
Вещественные числа. Множества вещественных чисел
Какую роль играют бесконечные десятичные
дроби при введении понятия
вещественного числа?
Десятичной дробью называется конечная или бесконечная запись
вида ± й0, й] й2 ... й„.в которой д(| — натуральное число. о,, й2.
— цифры, т. е. целые числа от 0 до 9.
Десятичные дроби являются одним из инструментов для расшире-
ния множества Q до множества R. Число назовем вещественным (или
действительным), если оно представимо конечной или бесконечной
десятичной дробью.
Следует отметить, что конечная десятичная дробь является пред-
ставлением только рационального числа. При этом есть рациональные
числа, представимые и бесконечными десятичными дробями; дроби в
этом случае обязательно будут периодическими. Если дробь А = а0,
а2... «л конечна и«л#0, то ее можно преврати гь в бесконечную допи-
сыванием нулей в следующих десятичных знаках: А=ab, а2... й„000.
Однако это же рациональное число А представимо и другой дробью:
А = л, а2 ... й>;_| («и) 999... . Во избежание такой неоднозначности
договоримся не пользоваться вторым представлением.
Тем самым между множеством Ж и множеством бесконечных де-
сятичных дробей установлено взаимно однозначное соответствие.
Как сравнить вещественные числа?
Для вещественных чисел а = ±«0, а, а2 ... ап ,. и b — + b0, fc, b2... Ьп
правило сравнения выглядит следующим образом.
Числа а и b называют равными, если они имеют одинаковые знаки
и справедлива цепочка равенств
‘,о"4о. »| = »1. °2“*2.-
Если числа а и b неравны, то:
— в случае неотрицательных чисел а и b поступают так: находят
числа ак и Ьк в их представлениях с наименьшим номером к,
для которого ак * Ьк, и считают, что а < Ъ, если ак < Ък, и а > Ь,
если ак > Ьк,
— в случае отрицательных чисел а и b считают, что а < Ь, если |д| >
|й], и а > Ь, если |д| < |/;| (здесь модулем |й| вещественного числа а
называют число, представимое той же бесконечной десятичной
дробью, что и число а, но всегда взятой со знаком +);
Глава 1
— в случае, когда одно из чисел а и b неотрицательно, а другое
отрицательно, считают, что неотрицательное число больше
отрицател ьного
Какие множества вещественных чисел
называют ограниченными?
Множество Хс X называется ограниченным сверху (соответственно
снизу), если существует число М е X (соответственно число т е X),
для которого х < М V х е X(соответственно х> т V х е X).
Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называют просто
ограниченным.
Число М (соответственно число т) называется верхней гранью
(соответственно нижней гранью) множества X. Отметим, что верхних
граней у ограниченного сверху множества существует бесконечно
много, так как в качестве верхней грани можно взять любое число,
большее М. Аналогичное замечание можно сделать и в отношении
нижних граней ограниченного снизу множества.
Из аксиомы Архимеда, в частности, вытекает, что множество N
натуральных чисел не является ограниченным сверху.
Что называют точной верхней и точной нижней
гранями множества?
Так как объединение всех верхних граней ограниченного сверху
множества Хсамо ограничено снизу (например, любым элементом
X), то естественно поставить вопрос о существовании наименьшей
(и по своей сути наилучшей) верхней грани множества X.
Для ограниченного снизу множества X аналогично возникает
вопрос о существовании наибольшей нижней грани множества X
Число х называется тонной верхней гранью ограниченного мно-
жества X, если оно является его наименьшей верхней гранью, т. е.
I) х — одна из верхних граней: х< х Vx е Х\
2) любое вещественное число х’, меньшее х , уже не является
верхней гранью: ЗхеХ: х>х'. Обозначение: х = supAl
Аналогично число х называется точной нижней гранью ограничен -
него снизу множества X, если оно является его наибольшей нижней
гранью, т. е
1) х— одна из нижних граней: х > х Х/х & Х\
Вещественные числа. Множества вещественных чисел
2) любое вещественное число х', большее х, уже не является ниж-
ней гранью: ЭхеХ: х<х*. Обозначение: х = inf X.
Вопрос о существовании sup X и inf Xне является очевидным и
исчерпывающе решается в следующем утверждении.
Теорема I. У любого непустого ограниченного сверху (соответственно
ограниченного снизу) множества вещественных чисел X существует
точная верхняя (соответственно точная нижняя) грань.
Как определить сумму и произведение
вещественных чисел?
Правила сложения и умножения вещественных чисел основаны
на следующем соображении. Если заменить складываемые (соот-
ветственно умножаемые) вещественные числа их рациональными
приближениями с большой точностью1, то сумма (соответственно
произведение) этих приближений должна с большой точностью
аппроксимировать сумму (соответственно произведение) рассмат-
риваемых вещественных чисел.
Суммой чисел a, b е R называется такое число х с Л, которое
удовлетворяет неравенствам
«1 + Р,<х<а2 + Р2
для любых рациональных чисел а а2, Р(, Р2, для которых выполнены
неравенства ot] < а < а2, р, < b < Р2.
Можно доказать, что определенное таким образом число х = а + b
всегда существует2, и притом только одно.
Произведением положительных чисел a, b g R называется такое
число х е R, которое удовлетворяет неравенствам
«I • Р| <х<а2-р2
для любых положительных рациональных чисел ар а2, р(, р2, для
которых выполнены неравенства otj < а < <х2, р, < b < р2-
Произведение вещественных чисел любого знака определяется по
следующему правилу:
1 А это сделать возможно, так как для любого числа а g R найдутся два
числа (Х|, а2 g Q, для которых И|<л<а2иа2—а,= 10-г, причем натураль-
ное число п может быть выбрано сколь угодно большим.
2 В качестве х можно взять, например, точную верхнюю грань ограни-
ченного сверху множества {сц + р( | < а, р( <
Глава 1
1) а 0 = О - а = О Voe Я;
2) а • b = |л| • |fe|, если a, b g К имеют один знак;
3) а • b = — |й| • |Z>], если a, b g Я имеют разный знак.
Точно также, как и для суммы, можно доказать, что определенное та-
ким образом число х = а - b всегда существует1, и притом только одно.
Какими свойствами обладают
вещественные числа?
Вещественные числа обладают всеми 13 основными свойствами,
перечисленными выше для рациональных чисел. С их помощью од-
нозначно решается вопрос о введении понятий разности и частного
чисел a, b g Я. Разностью чисел a, b g Я называют число с g Я, для
которого b + с ~ а. Частным чисел a, b g Я (Ь * 0) называют число
d g Я, для которого b d = а.
В чем заключается аксиоматический метод
введения вещественных чисел?
Вещественные числа можно ввести как объекты любой природы,
для которых указаны правила сравнения, сложения и умножения,
удовлетворяющие 14 аксиомам, в качестве которых берутся 13 ос-
новных свойств и аксиома о полноте, постулирующая, что опреде-
ляемое множество нельзя расширить до более широкого множества,
в котором также были бы справедливы 13 основных свойств.
Следует отметить, что если отказаться от правила сравнения и
связанных с ним свойств 1, 11 — 13, то множество вещественных чи-
сел удается расширить до множества так называемых комплексных
чисел С.
Какие типы множеств вещественных чисел
часто используются в математике?
В названиях множеств вещественных чисел широко используегся
геометрический язык. В силу возможности установить взаимно одно-
значное соответствие между множеством Я и множеством всех точек
1 Например, для положительных в, b е Я: а b = sup {aj • р( 10 < cq < а,
0<pl<i).
Вещественные числа. Множества вещественных чисел
прямой линии элементы произвольного множества Д'вещественных
чисел называют точкам и, и если при этом справедливо неравенство
х( < х2 (соответственно х( > х2) между числами х(, х2 е S, то говорят,
что точка X] лежит левее (соответственно правее) точки х2. Терми-
нология. относящаяся к наиболее часто используемым множествам
вещественных чисел, содержится в следующей таблице.
Множество Название и обозначение
{хе К\о<х<Ь\ Сегмент \о, Ь\ с концами он Ь; любое число х а < х < b назы- вается внутренней точкой этого сегмента
{х е К | а < х < 6} и {х е X | а < х < 6| Полусегменты \а, Ь) и (а, ft]
{хе К\а<х<Ь} Интервал (а, Ь)
Любой интервал, содержащий число с Окрестность точки с
Интервал (с — е, с + е), где е > 0 Е-окрестность точки с
Объединение интервалов (с — е, <) и (с, с + е), где е > 0 Проколотая Е-окрестность точки с
Множество R всех вещественных чисел Чис говая (бесконечная) прямая (-ос, со)
{хе Л|х>в)и{хе «|x<f»} Полупрямые \а, ос) и (—со, 6]
{х е R | х > о} и {х е R | х < Ь} Открытые полупрямые (a, so) и (—зо, Ь)
Глава 2. Системы координат
и их простейшие применения
Что называют осью?
Осью называют любую прямую линию с указанным на ней на-
правлением.
Что такое направленный отрезок на оси
и его величина?
Отрезок на оси называется направленным, если указано, какая из его
граничных точек является началом и какая — концом. Направленный
отрезок с началом в точке А и конном в точке В обозначается символом
АВ. Рассматриваются также нулевые направленные отрезки, т. е. те, у
которых начало и конец совпадают. Величиной направленного отрезка
АВ называется его длина | АВ |, взятая со знаком «+», если его направ-
ление совпадает с направлением оси, и со знаком «—» — в противном
случае. Величины всех нулевых направленных отрезков на оси считаются
равными нулю.
Какие направленные отрезки
называют равными?
Два ненулевых направленных отрезка называются равными, если сов-
падают их длины и их направления. Любые два нулевых направленных
отрезка считаются равными. Отметим, что равенство направленных
отрезков не означает их совпадения, а необходимым и достаточным
условием равенства направленных отрезков на оси является равенство
величин этих отрезков.
Какие операции над направленными отрезками
называют линейными?
Линейными операциями над направленными отрезками назы-
вают операцию сложения таких отрезков и операцию умножения
направленного отрезка на число.
Системы координат и их простейшие применения
Для нахождения суммы направленных отрезков АВ и CD необходимо
совместить начало С второго отрезка с концом Б первого отрезка — тогда
направленный отрезок AD считае1ся суммой АВ -У CD (рис. 2.1).
С D
А В
Рис. 2.1
Рис. 2.2
Произведением направленного отрезка АВ на число а называется
направленный отрезок, обозначаемый а • АВ, длина которого равна
|а| - | >42? | и направление которого1 совпадаете направлением АВ
при а > 0 и противоположно ему при а < 0 (на рис. 2.2: АС = 3 АВ
и AD = — 1 - АВ ).
Очевидно, что величина суммы направленных отрезков на оси
равна сумме их величин, а величина произведения а АВ равна
произведению а на величину АВ.
Как вводятся декартовы координаты
на прямой?
Говорят, что на прямой задана декартова система координат, если
на этой прямой выбрано направление (т. е. она является осью), неко-
торая точка О (начало координат) и указана единица масштаба, т. е.
указан какой-либо отрезок, длина которого считается равной I. В этом
случае декартовой координатой точки М на прямой будем называть
величину направленного отрезка ОМ и обозначать ее Л/(х).
Как наити величину и длину заданного
направленного отрезка на оси?
Если известны координаты начала Afj и конца Мг направленного
отрезка Л/,Л/2: A/jiXj) и Л/2(х2), то его величина равнах2— х,, а его
длина равна |х2 — х(|.
1 В случае, когда а = 0 или А = В, произведение а - А В является нулевым
направленным отрезком и его направление не требует определения
[лава 2
Как вводятся декартовы прямоугольные
координаты на плоскости и в пространстве?
Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом О и
одинаковой масштабной единицей (рис 2.3) образуют декартову
прямоугольную систему координат на плоскости. Три попарно пер-
пендикулярные оси в пространстве с общим началом О и одинаковой
масштабной единицей (рис. 2.4) образуют декартову прямоугольную
систему координат в пространстве.
На плоскости одну из осей называют осью Ох, или осью абсцисс,
а вторую — осью Оу, или осью ординат. В пространстве к осям абс-
цисс Ох и ординат Оу добавляется еше третья ось — ось Oz. или ось
аппликат.
Для нахождения координат точки М на плоскости необходимо
построить проекции Мх и М этой точки на оси Ох и Оу соответст-
венно; тогда величины х и у направленных отрезков ОМХ и ОМу
соответственно будут называться декартовыми прямоугольными ко-
ординатами точки М на плоскости: М (х, у), при этом координата х
называется абсциссой точки М, а координата у — ее ординатой.
Аналогично в пространстве — необходимо построить проекции Мх,
М и М точки М на оси Ох, Оуи О?соответственно; тогда величины
х, у и z направленных отрезков ОМ х. ОМу uOMz соответственно
будут называться декартовыми прямоугольными координатами точ-
ки М в пространстве: М(х, у, г), при этом координаты х, у, zточки М
называются соответственно ее абсциссой, ординатой и аппликатой.
Отметим, что направленные отрезки можно рассматривать не толь-
ко на оси, но на плоскости и в пространстве.
Системы координат и их простейшие применения
Как найти расстояние между точками
на плоскости и в пространстве?
Если точки Му и М2 заданы своими координатами в декартовой
прямоугольной системе координат на плоскости или в пространст-
ве, то расстояние р(Л/р М2) между ними вычисляется по одной из
формул:
— на плоскости
р(М„ М2) = +
для точек Л/j (ж,, у,) и М2 (х2, y2Y,
— в пространстве
Р»р м2) = 7<xl - х2)2 + (Л - >'2)2 + - 22)2
для точек Му (хр ур zp и М2 (х2, у2, z2).
Как найти координаты точки, делящей
заданный отрезок в известном отношении?
Пусть в пространстве заданы две различные точки Му и М2, и
рассмотрим на прямой, проходящей через эти точки, любую точ-
ку М. отличную от М2. Тогда число X. определяемое из соотношения
МуМ = лММ2, называется отношением, в котором точка М делит
направленный отрезок МуМ2. Из этого определения вытекает, что
число 1 может быть любым вещественным числом, отличным от—1
(рис. 2.5).
Если известны декартовы прямоугольные координаты точек
Му (Хр у,, Z|) и М2 (х2, у2, z2), то координаты (х. у, ?) точки Мделения
направленного отрезка МуМ2 определяются равенствами
Рис. 2.5. Стрелками указано положение точки при данном начении 1
Става 2
Как вводятся полярные координаты
на плоскости?
Точка О плоскости (полюс), выходящий из нее луч Ох и задан-
ная масштабная единица образуют полярную систему координат на
плоскости (рис. 2.6).
Для нахождения полярных координат
точки Мна плоскости необходимо провести
луч ОМ из полюса О; тогда число р, рав-
ное длине отрезка ОМ, и число <р, равное
углу, на который нужно повернуть против
часовой стрелки луч Ох до совмещения с
лучом ОМ, будут называться полярными
координатами1 точки М: М(р, <р). При этом
Р называется полярным радиусом, а <р — по-
лярным углом.
Очевидно, что полярные координаты (р, «р) точки М и ее декарто-
вы прямоугольные координаты (х, у) (при условии, что последняя
система координат согласована с полярной, как это показано на
рис. 2.6) связаны равенствами
x=p-cos<p, у = р • sinф
Как вводятся цилиндрические координаты
в пространстве?
Рис. 2.7
Пусть в пространстве задана плоскость П,
на ней — точка О и выходящий из нее луч Ох.
Рассмотрим, кроме того, ось Oz, выходящую
из точки О перпендикулярно плоскости П
(рис. 2.7).
Для нахождения цилиндрических координат
точки Мв пространстве необходимо найти про-
екцию /Уэтой точки на плоскость П и проекцию
Mz точки М на ось Oz. Тогда цилиндрическими
координатами точки Мназывается тройка чисел
(р, «р, z), в которой (р, <р ) — полярные коорди-
1 Если точка Мсовпадает с полюсом О, то р = 0, а угол <р считается неоп-
ределенным.
Системы координат и их простейшие применения
наты точки N в плоскости П относительно полюса О и полярной оси
Ох, а число z — величина отрезка ОМг на оси Oz.
Если декартова прямоугольная система координат в пространстве
согласована с цилиндрической системой координат, как это показано
на рис. 2.7, то имеют место соотношения:
х ~ р - cos 9, у = р - sin 9, z = Z.
Как вводятся сферические координаты
в пространстве?
Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система
координат Oxyz. Для нахождения сфери-
ческих координат точки М в пространст-
ве необходимо найти ее проекцию Д'на
координатную плоскость Оху (рис. 2.8).
Тогда сферическими координатами точки
М называется тройка чисел (р, 9, 0), в
которой р — расстояние от М до 0,0 —
угол, который образует направленный
отрезок ОМ с осью Oz, а 9 — угол, на
который нужно повернуть против часе- 2 g
вой стрелки (если смотреть со стороны
положительного направления оси Oz)
ось Ох до совмещения с лучом ON. Числа 0 и 9 называют широтой и
долготой точки М соответственно*.
Декартовы прямоугольные координаты (х, у, z) точки Мп ее сфери-
ческие координаты (р, 9,0) связаны соотношениями: х — р - sine cos 9,
у = р - sin6sin9, z = р • cose.
Что такое комплексные числа
и как определяются алгебраические операции
над ними?
Комплексным числом называют упорядоченную пару (х, у) вещест-
венных чисел, первое из которых х называется действительной частью,
а второе у — мнимой частью этою комплексного числа. Используются
следующие обозначения: если z — (х, у), то х = Re z, у = Imz.
* Если точка М совпадает с началом О, то р = 0, а широта 6 и долгота 9
считаются неопределенными.
[лава 2
Два комплексных числа zf = Ц, и z2 = {х2, у2) называются
равными, если одновременно Xj = х2 и у( — у2.
Правила сложения и умножения комплексных чисел вводятся
следующим образом.
Суммой комплексных чисел z, = (хр >,) и z2 = (х2, у2) назовем
комплексное число
г=<х, +х2,у, + д>2).
Произведением комплексных чисел zt = (х(, у() и z2 = (х2, у2) на-
зовем комплексное число
Z = (x|x2-y1y2, х^ + х^,).
Какими основными свойствами обладают
комплексные числа?
Комплексные числа обладают перечисленными выше (см. гл. 1)
свойствами 2—10 рациональных (и вещественных) чисел, при этом
роль нуля в свойстве 4 играет комплексное число (0, 0), роль про-
тивоположного к числу z = (х, у) в свойстве 5 играет число z! = (—х,
—у), в роли единицы в свойстве 8 выступает комплексное число
(1, 0), а обратным к ненулевому комплексному числу z — (х, у) яв-
ляется число
Как известно, указанные свойства полностью решают вопрос о вы-
читании комплексных чисел (как о действии, обратном их сложению)
и о делении этих чисел (как о действии, обратном их умножению).
При этом, если zt — (х(, j»j) и z2 = (х2, у2), то
Z|-Z2 = (X|-X2.J>|-J2>.
и в случае z2 * (0- 0)
z, (х,х2 + у1у2 х2у, -х,у2 'I
[ х2+у2 ’ х2+у2 )'
В множестве С комплексных чисел можно выделить подмно-
жество всех пар вида (х, 0), х g Я, которое можно отождествить
с множеством R вещественных чисел по правилу х = (х, 0). Такое
отождествление корректно, так как в применении к этим парам
Системы координат и их простейшие применения
правила сложения и умножения комплексных чисел приводят к тем
же результатам, что и известные правила сложения и умножения
вещественных чисел.
Что называется алгебраической формой
записи комплексного числа?
Для пары (0,1) используется отдельное обозначение i и специальный
термин — мнимая единица. С учетом указанного выше отождествле-
ния части множества комплексных чисел с вещественными любое
комплексное число z = (х, у) можно представить в виде
Z = (х, 0) + (у, 0) • (0, 1) =х + О,
который называют алгебраической формой записи комплексною чис-
ла z.
В чем состоит операция сопряжения комплексных
чисел и какими свойствами она обладает?
Комплексное число z = (х, —у) называют сопряженным к чис-
лу z = (х, у) = х +- /у. Операция сопряжения обладает следующими
свойствами.
1- ( Z) = Z.
2. z е л <=> z —Z-
3 *1 + *2 = А + *2»*1“*2 =?!-Z-L-
4. zrz2=zl z2; — =zi/z2-
1*2 J
5. z • z eRVz.eC.
Как изображаются комплексные числа?
Комплексное число z= (х,у) изображается точкой Мс координатами
(х, у) в некоторой декартовой прямоугольной системе координат Оху.
При этом на оси абсцисс расположены вещественные числа (х, 0); из-за
чего ось Ох называют действительной осью, а на оси ординат расположе-
[лава 2
ны числа (0, у) = iy, из-за чего ось Оу называют мнимой осью. Плоскость
координат Оху в этом случае называют комплексной плоскостью.
Правило сложения комплексных чисел допускает простую геомет-
рическую интерпретацию: сумма z — zt + г2 ДВУХ комплексных чисел
= и г2 = ^2’ Уз) на комплексной плоскости изображается точ-
кой М. являющейся концом направленного отрезка ОМ - ОМ} + ОМ2,
где точки Л/1 и Мг изображают числа Zj и z2 соответственно.
Отметим также, что в результате применения операции сопряжения
к числу z = (х, у) изображающая его точка М переходит в симметрич-
ную относительно действительной оси Ох точку.
Что называется тригонометрической формой
записи комплексного числа?
Если (р, <р) — это полярные координаты изображающей число
Z — (х, у) точки М, то от алгебраической формы записи z — х + iy
можно перейти к равенству
Z = р(СО8ф + /51Пф),
которое называется тригонометрической формой записи комплексного
числа z- Полярный радиус р в этой формуле называется модулем |z|,
а полярный угол ф — аргументом arg z числа z.
Обычно считается, что argz е (—л, л], и в этом случае называют
значение аргумента главным. Всю бесконечную совокупность зна-
чений угла ф —argz + 2лЛ, к о Z, обозначают Argz-
Как можно использовать тригонометрическую
форму записи при умножении и делении
комплексных чисел?
При умножении двух комплексных чисел = Р] (со8ф| + <sin<p ।)
и z2 = р2 ‘ (совф2 + »51Пф2) их модули перемножаются, а аргументы
складываются:
Ц?2 =(р1Р2Нсо8(ф1 + ф2)+181п(ф1+ ф2)]}
При делении их модули делятся, а аргументы вычитаются:
Zi Pi
--= —•[СОБ(ф1 -ф2) + /ЯП(ф1 -ф2)1-
Системы координат и их простейшие применения
Из этих двух свойств, в частности, вытекает так называемая фор-
мула Муавра
(cos 9 + /sin 9)" = cos(«9) +«sin(«p),
в которой л — любое целое число.
Как извлекается корень степени л
из комплексного числа?
Извлечь корень степени и (л > 2) из числа z g С— значи i наши все
решения уравнения w" = z-
Для этого необходимо записать заданное число z в тригономет-
рической форме:
Z — р • tcos 9 + isin 9)
и искать решения и> этого уравнения также в тригонометрической
форме
w ~ г - (cos9 + /sin9).
Тогда искомые модуль г и аргумент 9 числа должны удовлетво-
рять соотношениям:
r'~p; cos«9 = cos9; sin«9 = 81119.
Поэтому
9 + 2itk
r = 9=-------; k g Z.
и
При z * 0 среди получившихся таким образом решений
.г( 9 + 2r.k . 9 + 2пА 1
Wt ~ V РI cos—--+1 s,n —----I
имеется только л различных комплексных чисел, и тем самым до-
статочно взять значения А — 0, 1, ..., л — 1.
Отметим, что указанные п решений уравнения w" = z- w0, Wj,...,
wn-i имеют одинаковые модули, а их аргументы образуют арифме-
тическую прогрессию с разностью 2п / п.Поэтому на комплексной
плоскости эти числа расположены в вершинах некоторого правиль-
ного «-угольника, вписанного в окружность |w|=(^p.
Глава 3. Определители
и системы линейных уравнений
Что называют квадратной матрицей?
Матрицей размера тки называют прямоугольную таблицу из чи-
сел, содержащую т строк и п столбцов. Если в матрице число строк
совпадает с числом столбцов, то матрицу называют квадратной.
Числа, входящие в состав матрицы, называют ее элементами.
Что называют определителем второго порядка?
Опреде гителем второго порядка называют число, которое сопостав-
Ге1
ляется квадратной ма1рице 2x2 по правилу | | > «j/>2 -й2^-
1°1 *1
Обозначение:
|«2 Ь1
Элементами определителя второго порядка обычно называют эле-
менты его матрицы.
Очевидно, что определитель второго порядка равен нулю тогда и
только тогда, когда элементы его строк (или соответственно элементы
его столбцов) пропорциональны.
Как можно использовать определители второго
порядка для исследования и отыскания
решений системы двух линейных уравнений
с двумя неизвестными?
Рассмотрим систему
aix+biy = hl,
a2x+b2y = h2.
Определители и системы линейных уравнений
в которой коэффициенты а,, Ь}, а2, Ь2 и свободные члены ht, h2
считаются заданными. Введем следующие три определителя второго
порядка:
Д = К |А) ^1 Ь А)|
|«2 Ь2\ \h2 b2\ |п2 Л2|
1. Если определитель системы Д отличен от нуля, то единственное
решение системы определяется по формулам:
называемым формулами Крамера.
2. Если определитель системы Д равен нулю, то может предста-
виться только две возможности:
а) оба определителя Кх и &у равны нулю, тогда система имеет
бесконечно много решений1;
б) оба определителя Дх и Д отличны от нуля, тогда система не имеет
решений.
Следует отметить, что однородная система
(«1х + А)у = 0,
[а2х + А2у = С
(в ней Aj = h2 = 0) всегда имеет тривиальное решение х = 0, у = О,
и потому равенство нулю определителя этой системы равносильно
наличию у нее нетривиального решения.
Что называют определителем
третьего порядка?
Определителем третьего порядка называют число, которое сопо-
ставляется квадратной матрице 3 х 3 по правилу
с, bj
“1 *2
О3 I),
-ьа^Сз +А1с2Я}+С]Я2А} -с^а^ -!\а2с3 -a^bj.
1 Все эти решения образуют пары (ла, удовлетворяющие, например,
первому уравнению системы.
[лава 3
Обозначение:
«1
й2
(13
*2 С2
*3 <3
Как и для определителя второго порядка, элементы матрицы опре-
делителя третьего порядка называют его элементами. Элементы а(, Ь2,
с у называют главной диагональю, а элементы <з3, Ь2, с( — побочной.
Для запоминания выражения определителя третьего порядка через
его элементы используется следующее правило. В матрице
«1 С[ «| Ь)
а2 X
_йз--'^<€з'\°з х*з
произведения троек элементов, соединенных сплошной чертой, входят
в выражение для определителя со знаком «+», а произведения троек
элементов, соединенных пунктирной чертой, — со знаком «—».
Какими основными свойствами обладают
определители?
Определители третьего порядка1 обладают следующими свойст-
вами.
1. Значение определителя не изменится, если в нем строки и
столбцы поменять ролями:
л, // с,
й2 h f2
йз by Су
ai а2 а-у
bi by
С1 с2 Су
В силу подобного равноправия строк и столбцов определителя все
дальнейшие свойства приведем только для строк. Для столбцов все
свойства формулируются аналогично.
2. Перестановка двух строк определителя равносильна умножению
его на число —1.
3. Если определитель имеет две одинаковые строки, то он равен
нулю.
4. Умножение всех элементов некоторой строки определителя на
число X равносильно умножению определителя на это число X.
1 А также определители второго, как, впрочем и любого другого порядка
Определители и системы линейных уравнений
23
5. Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю,
то и сам определитель равен нулю.
6. Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то
определитель равен нулю.
7. Если все элементы некоторой строки определителя представ-
лены в виде суммы двух чисел, то этот определитель может быть
представлен в виде суммы двух следующих определителей:
й2
«3
Ь[+Ц c-t+c;
f>2 <’2
h <3
ai bi ci
°2 *2 c2
йз *3 c3
a"i c{
й2 c2
a3 b3 e3
8. Если к элементам некоторой строки определителя прибавить
соответствующие элементы другой строки этого определителя, ум-
ноженные на произвольный множитель 1, то значение определителя
не изменится.
Как можно свести определитель
третьего порядка к вычислению
определителей второго порядка?
Для построения соответствующей формулы необходимо ввести по-
нятие минора и алгебраического дополнения элемента определителя.
Минором данного элемента определителя и-го порядка (здесь п = 3)
называется определитель (п — 1)-го порядка, получаемый изданного
определителя вычеркиванием в нем той строки и того столбца, на
пересечении которых стоит данный элемент.
Алгебраическим дополнением данного элемента определителя назы-
вается его минор, взятый со знаком «+», если сумма номеров строки
и столбца, в которых он расположен, четна, и со знаком «—» — если
сумма нечетпа.
Теорема (о разложении определителя). Сумма произведений элемен-
тов какой-либо строки (или какого-либо столбца) определителя на их
алгебраические дополнения равна величине этого определителя.
Например, разложение определителя третьего порядка по первой
строке имеет вид:
й] bt С|
а2 *2 с2
а3 Ь3 с3
J*2 С2|+с> Ч
<з| |о, г3| |о, *з|
24
[лава 3
Отметим, что если при построении такого разложения элементы
строки (или столбца) умножать не на свои алгебраические дополне-
ния, а на алгебраические дополнения соответствующих элементов
другой строки (соответственно другого столбца), то такая сумма
произведении всегда будет равна нулю.
Как можно использовать определители
третьего порядка для отыскания решения
системы трех линейных уравнений
с тремя неизвестными?
Рассмотрим систему
fa1x+ijy>+e]z = *J.
d2X + f>2J- + C2Z=/!2.
[fi3X + ^J + C3Z=/l3,
в которой коэффициенты при неизвестныхх, y,z» свободные члены
ft,, й2. h3 считаются заданными. Введем следующие четыре опреде-
лителя: так называемый определитесь системы
а} а} с,
д=й2 f>2 с2
°з by с3
и три дополнительных определителя
С1
ДА. = Ь2 Ь2 с2
h3 by с3
ai
а2 b2 h2
а3 by h3
Если определитель системы Д не равен нулю, то единственное
решение системы определяется по формулам
так же, как и выше, называемым формулами Крамера.
Определители и системы линейных уравнений
Как можно использовать определители
для отыскания решений однородной системы
двух линейных уравнений
с тремя неизвестными?
Рассмотрим систему
{й|Х+^у+С|2 = 0,
a2x+b2y+c2z=<).
Из матрицы коэффициентов
Г«, Ь, е,1
|_О2 Z>2 C2J
составим всевозможные определители второго порядка:
1. Если все эти определители равны нулю, то одно из уравнений
системы (например, второе) является следствием другого и решени-
ями системы являются все тройки чисел (х, у, z), удовлетворяющие
только одному (соответственно первому) уравнению.
2. Если хотя бы один из этих определителей отличен от нуля,
то система имеет бесконечное множество решений, определяемых
формулами
х = Дх-г, 2=Дгт,
где t — любое вещественное число.
Как можно использовать определители
для исследования однородной системы трех
уравнений с тремя неизвестными?
Однородная система
(fljX+Ajy+CjZ-O,
a2x+&2>+c2z=0.
[a3x+^j+c3z=O
Пава 3
всегда имеет тривиальное решение х= 0, у=0, z—0. Равенство же нулю ее
определителя Л равносильно наличию у нее нетривиального решения.
Что можно сказать о множестве решений
неоднородной системы трех линейных
уравнений с тремя неизвестными,
если ее определитель равен нулю?
Если в системе трех линейных уравнении с тремя неизвестными
свободные члены AJt h2, Л3 не все равны нулю, то в случае, когда оп-
ределитель системы Д равен нулю, могут представиться следующие
возможности:
1) если хотя бы один из определителей ДЛ, Ду или Л? отличен от
нуля, то система не имеет решений;
2) если Д*=Ду=Дг=0, то система может как иметь, так и не иметь
решений; но если хотя бы одно решение имеется, то у системы —
бесконечное множество различных решений.
Как можно ввести определители
любого порядка?
Установленное выше для определителя третьего порядка разложение
по строке (столбцу) может быть положено в основу последовательного
введения определителей любого порядка по индукции.
Пусть уже имеется правило, по которому каждой квадратной матрице
размера (я — 1) х (п — 1) сопоставляется значение ее определителя.
Тогда определителем порядка п. отвечающим квадратной матрице
°П й12 Л13 — а1л
°21 а22 (,23 — а2п
Й31 °32 в33 й3л ’
_°Л1 йи2 "пЗ
называют число, равное сумме
~ai2M\2 +Й13Л*13 ---+(~0и+1й1ПЛ^|И-
Определители и системы линейных уравнений
27
Здесь Л/|; — миноры элементов расположенных в первой
строке матрицы (они являются определителями (и — 1)-го поряд-
ка — см. выше).
Отметим, что это разложение при и = 3 совпадает с разложением
определителя третьего порядка по первой строке.
Можно показать, что введенный таким образом определитель
я-го порядка обладает свойствами, аналогичными свойствам оп-
ределителей второго и третьего порядка, и, кроме того, с помощью
этого определителя можно исследовать и решать систему я линейных
уравнений с и неизвестными.
Следует также обратить внимание на то, что определитель порядка
и может быть введен непосредственно через элементы его матрицы
(см. по этому поводу: Ильин В. А, Ким Г. Д. Линейная алгебра и ана-
литическая геометрия М.: Проспект, 2007).
В чем состоит метод Гаусса исследования
и отыскания решения линейной системы?
Метод Гаусса по своей сути является методом последовательного
исключения неизвестных в линейной системе.
Поясним его на следующих трех примерах.
Пример 1. Рассмотрим систему
|2х1+х2-х3=0,
|х1+х2+х3=4.
| ЗХ| +2х2 -2х3 = -2.
Выберем любой ненулевой коэффициент при неизвестном х(,
например, равный I во втором уравнении, и назовем его ведущим
коэффициентом первого шага. Для исключения неизвестного х,
из остальных уравнений вычтем почленно — из первого второе,
умноженное на 2, а из третьего второе, умноженное на 3. Получим
новую систему
Ixi+x2+i3=4.
<-х2 -Зх3 = -8,
[-х2-5х3 =-14.
Теперь повторим выбор ведущего коэффициента при неизвестном
х2 в укороченной системе
Гтава 3
Пусть ведущим выбран коэффициент —1 в первом из этих урав-
нений. Исключим неизвестное х2 из второго уравнении, вычитая из
него почленно первое:
В последнем уравнении теперь осталось только неизвестное х3.
Следовательно, прямой ход метода Гаусса завершен.
Теперь в обратном ходе метода Гаусса последовательно найдем все
неизвестные, начиная с последнего, из получившейся приведенной
системы
Получим х3 = 3, х2 = — 1, х, =2. Единственное решение системы
найдено.
Пример 2. Рассмотрим систему
Х[ — 2х2 +4х3 =1.
Для эюй системы прямой ход метода Гаусса сводит си к следую-
щим переходам:
Из последней системы видно, что третье уравнение превратилось в
верное тождество, а из второго и первого уравнений в обратном ходе
метода Гаусса можно однозначно найти неизвестные л, и х2, только
если неизвестному х? придать произвольное значение.
Определители и системы линейных уравнений
Получим, что если х3 = Г, где Г е R — произвольное, то х2 — 1 + t
и Х| — 3 — 2г. Таким образом, система имеет бесконечно много реше-
ний:
х( = 3 — 2/, х2 = 1 + Г, х? = t, Vt е R
Пример 3. Рассмотрим систему
|ЗХ| -4х2 -х3 =2,
2л|-Зх2+х3=3,
Л-2х2+3хз=|-
В этом случае прямой ход метода Гаусса выглядит следующим
образом:
[Х| -2х2 +Зх? =:
2х2 -10х3 = -1.
|х2-5х3=1
Х( - 2х2 + Зх3 = 1,
х2 -5х3 =1,
О = -3.
В последней системе третье уравнение превратилось в неверное
тождество. Следовательно, эта система, как и исходная, решений
не имеет.
Глава 4. Векторная алгебра
Что такое геометрический вектор?
Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направ-
ленный отрезок. Начало вектора называют точкой его приложения. Для
вектора пользуются обозначением а. и если он приложен к точке А.
то пишут а— АВ. Длина вектора обозначается | а | или | АВ |.
Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают.
Нулевой вектор не имеет направления, а его длина равна нулю.
Векторы называются кол шнеарными, если они лежат на одной пря-
мой либо на параллельных прямых. Два ненулевых вектора называются
равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одина-
ковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.
Отметим, что точка приложения вектора в силу такого определения
равенства векторов может быть выбрана произвольно, в соответствии
с чем векторы часто называют свободными.
Какие операции над векторами принято
называть линейными?
Линейными принято называть операцию сложения векторов и
операцию умножения вектора на число.
Суммой векторов а + b называется вектор, идущий из начала
вектора а в конец вектора Ь, при условии, что вектор Ь приложен к
концу вектора а. Такое правило сложения обычно называют правилом
треугольника (рис.4.1).
Отметим, что сумма двух неколлинеарных векторов а и b может
быть найдена и по правилу пара иелограмма, согласно которому сумма
а +Ь
Рис. 4.1
Ь
Рис. 4.2
а + b представляет собой диагональ параллелограмма, построенного
на векторах а и Ь, приложенных к общему началу (рис. 4.2).
Произведением а а вектора а на число о. е называется вектор Ь,
коллинеарный вектору а, имеющий длину, равную | о | | а |, и на-
Векторная алгебра
правление1, совпадающее с направлением а в случае а > 0 л проти-
воположное этому направлению в случае а < 0.
Какими свойствами обладают линейные
операции над векторами?
К основным свойствам линейных операций над векторами отно-
сятся следующие 7 свойств.
1. а + b = b + а (коммутативность сложения).
2. (а т Ь) + с = а + (Ь + с) (ассоциативность сложения).
3. Для нулевого вектора 0:fl + 0 = aVa (особая роль нулевого
вектора).
4. Vo На'- а + а’ = О (существование противоположного вектора).
5. а(а + Ь) = аа + а.Ь (дистрибутивность умножения на число
относительно сложения векторов).
6. (а + р)с = аа + ра (дистрибутивность умножения на число
относительно сложения чисел).
7. а-(р-в)=(сгр)-л (ассоциативность умножения на число).
Свойства I—4 позволяют исчерпывающе решить вопрос о вычи-
тании векторов.
Разностью а — b называется такой вектор с, который в сумме с
вектором b дает вектор а. Нетрудно показать, что вектор разности
а — b равен с = а + Ь'. где Ь' — вектор, противоположный b
В чем состоит критерий коллинеарности
двух векторов?
Критерий коллинеарности утверждает: вектор b кол гинеарен нену-
левому вектору а тогда и только тогда, когда ЗХеЯ: b - 7.-а.
Что такое проекция вектора на ось
и каковы ее основные свойства?
Для нахождения проекции вектора а - АВ на ось I необходимо
опустить из точек А и В перпендикуляры на ось /. Пусть А' и В' — ос-
нования соответствующих перпендикуляров. Тогда проекцией вектора
1 В случае, когда а = 0 или а = 0, произведение а а является нулевым
вектором и его направление не требует определения.
[лава 4
а = АВ на ось / называется величина направленного отрезка А'В' на
оси I.
Отметим, что:
1) проекция вектора а на ось I равна длине | а |, умноженной на
косинус угла наклона вектора в коси /;
2) при сложении двух векторов их проекции на произвольную ось I
складываются; при умножении вектора на число Z. е R проекция этого
вектора на произвольную ось Iтакже умножается на число 1.
Последнее свойство принято называть свойством линейности
проекции вектора на ось.
Как определяются декартовы прямоугольные
координаты вектора?
Пусть в пространстве введена декартова прямоугольная система
координат с началом в точке О и векторы i, j, к имеют единичную длину,
лежат на осях Ох, Оу, Oz соответственно и их направления совпадают
с направлениями этих осей. Тогда для любого вектора dсуществуют
три однозначно определяемых числа X, Уи Z, таких, что
d = X i + Y j + Z к
Эти числа называются декартовыми прямоугольными координатами,
или просто координатами, вектора d.
При этом пишут:
Можно показать, что координаты X, Y. Хвектора dравны проекциям
этого вектора на оси Ох, Оум Oz cootbcicibchho и эги координаты,
как и проекции векторов на ось, обладают свойством линейности.
Что называется скалярным произведением
векторов?
Скалярным произведением двух векторов а и b называется число,
обозначаемое (в, Ь), которое равно произведению длин этих векторов
на косинус угла между ними в случае, когда оба вектора ненулевые,
и равно нулю в случае, когда хотя бы один из векторов нулевой:
Векторная алгебра
(a, b) = 11а 1’1 * l'cos(e- если а * fl, b * в,
О, если а О или Ь = О.
Здесь под углом между ненулевыми векторами а и b понимается
наименьший угол между лучами ОА и ОВ, если а -ОА и Ь=ОВ.
Если один из векторов (например, Ь) является ненулевым, то
скалярное произведение (а, Ь) совпадает с произведением длины
этого вектора b на проекцию другого вектора а на ось, определяемую
вектором Ь.
Какими свойствами обладает
скалярное произведение?
Следует отметить сначала, что скалярное произведение (а, Ь) рав-
но нулю лишь в двух случаях: либо когда один из векторов нулевой,
либо когда угол между ними прямой. Если (а. Ь) = 0, то векторы а и
Ь называют ортогональными.
К основным свойствам скалярного произведения относятся сле-
дующие 4 свойства.
1 (в.Ь)=(Ь,а) (коммутативность).
2. (а+b,c)-(a,c)+(b,c).
3. (ka, Ъ)=1-(с. Ь) (свойства 2 и 3 называют свойством линейности
скалярного произведения по первому множителю).
4. (а, а)>0 Vfl?OH(e,a) 0 <=> \?а 0 (свойствоположитель-
ной определенности).
Из свойств 1—3 вытекает, что скалярное произведение линейно
и по второму множителю, т. е
(а, b + с) = (а, Ь) + (в, е), (в, кЬ) = А(в, Ь).
Как найти скалярное произведение векторов,
зная их координаты?
Если два вектора а и b заданы своими декартовыми прямоуголь-
ными координатами e = {X|,l],Z]} и й = {А'2,12,Z2}, то имеет место
равенство
34
Става 4
Как следствие, получается, что два вектора а и b ортогональны тогда
и только тогда, когда их координаты удовлетворяют соотношению
XlX2+YlY2+ZlZ2=O.
Как определяется ориентация тройки векторов
в пространстве?
Век юры называю >ся компланарными, если они лежа i либо в одной
плоскости, либо в параллельных плоскостях.
Понятие ориентации вводится только для упорядоченных троек
некомпланарных векторов и состоит в следующем.
Тройка некомпланарных векторов а, Ь, с называется правой (со-
ответственнолево»). если после приведения этих векторов к общему
началу третий вектор с располагается по ту сторону от плоскости,
определяемой векторами а и Ь, откуда кратчайший поворот от
первого вектора а ко второму вектору b кажется совершающим-
ся против часовой стрелки (соответственно по часовой стрелке)
(рис. 4.3 и 4.4).
Если две тройки векторов обе являются правыми или левыми, то
говорят, что эти тройки имеют одинаковую ориентацию. В противном
случае — противоположную ориентацию.
Рис. 4.3
Рис. 4.4
Всего из трех некомпланарных векторов а, Ь, с можно составить
шесть упорядоченных троек:
а,Ь,с; Ь,с,а; с,а,Ь\
Ь,а.с: а.с.Ь. с.Ь.а.
Из них первые гри тройки имеют ту же ориеН|ацию, чтоитройка
а, Ь, с, а также последние три тройки имеют ориентацию, противо-
положную ориентации тройки а, Ь, с.
Векторная алгебра 35
Ради определенности будем рассматривать только те декартовы
прямоугольные системы координат, в которых векторы i,j, А: образуют
правую тройку (такие системы координат называются правыми).
Что называется векторным произведением
векторов?
Векторным произведением двух ненулевых векторов а и b называ-
ется вектор с удовлетворяющий трем требованиям:
1) длина | с | равна произведению длин этих векторов на синус
угла между ними:
|c|=|e||*|sin(e,*);
2) вектор с ортогонален каждому из векторов а и Ь\
3) вектор с (в случае, если оказался ненулевым) направлен так, что
тройка а,Ь,с— правая. Векторное произведение векторов анЬ, хотя
бы один из которых нулевой, считается равным нулевому вектору.
Обозначается векторное произведение векторов а и b символом
1« Я
Что называется смешанным произведением
векторов?
Смешанным произведением трех векторов а, Ь, с называется число,
обозначаемое (а, Ь, с), которое равно скалярному произведению
векторов |д, Л| и с, т. е.
(а. Ь. с) ~ (|с. й], с)
В чем состоит геометрический смысл
векторного произведения?
Во-первых, векторное произведение |а. Ь[ равно нулевому вектору
тогда и только тогда, когда векторы а и b кол гинеарны.
Во-вторых, в случае, когда векторы а и b неколлинеарны, длина
, (а, й] | векторного произведения равна площади параллелограмма,
построенного на приведенных к общему началу векторах а к Ь.
И в третьих, вектор | [о, й| | всегда перпендикулярен плоскости,
определяемой приведенными к общему началу неколлинеарными
векторами а и Ь.
36 Става 4
В чем состоит геометрический смысл
смешанного произведения?
Во-первых, смешанное произведение (а, Ь, с) равно нулю тогда и
только тогда, когда векторы а, b и с компланарны
Во-вторых, в случае, когда векторы а, Ь, е некомпланарны, абсо-
лютная величина | [а, Ь, с) | смешанного произведения равна объему
параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу
векторах а, b и с.
И в-третьих, смешанное произведение (а, Ь, с) некомпланарных
векторов а, Ь, с положительно тогда и только тогда, когда тройка
а, Ь. с правая
Какими алгебраическими свойствами обладают
векторное и смешанное произведения?
К основным алгебраическим свойствам векторного произведения
относят следующие 4 свойства.
1. |в, Ь] = -(6, е| (антикоммутативность).
2. |л+Л,с]-|л,с|+[й,с].
3. pi.fi, й] - Х-[ а, А] (свойства 2 и 3 называют свойством линейности
векторного произведения по первому множителю)
4. |д,«| OVe.
Из свойств 1—3 вьиекае!, что векюрное произведение линейно
и по второму множителю, т. е.
|о. b + с| = |«, 6] + [я, с), (в, Л*] = Л[в, Л|
К основным алгебраическим свойствам смешанного произведения
относят следующие 3 свойства.
1. (в, Ь, с) = (Ь, с, а) = (е, а, Ь) - —(й, в, с) = -(а, с, Ь) = -(с, Ь, а).
2. (в,<&,С| + c2)-{a,b,cl) + (a,b,c2).
3. (fi. b, Ac) = ).(«, b, с) (свойства 2 и 3 называют свойством линей-
ности смешанного произведения по последнему множителю).
С учетом свойства 1 из свойств 2 и 3 вытекает, что смешанное
произведение линейно по любому из трех своих множителей.
Векторная алгебра
Как найти векторное и смешанное
произведения, зная координаты
перемножаемых векторов?
Если векторы а и b заданы своими декартовыми прямоугольны-
ми координатами1 a = {Xi,Yi,Zl} и b={X2, Y2,Z2}, то имеет место
равенство
[«, й] = {У,Z2 - r2Zj,ZtX2- Z2Xt, X.У2 - X2r,}
или в удобном для запоминания виде2
[М] =
к
z\
Z2
Если три вектора а.Ьи с заданы своими декартовыми прямоуголь-
ными координатами a={Xt,Yi,Zy},b = {X2, Y2,Z2},c = {X3,Y3,Z3}, то
имеет место равенство
Что называют двойным векторным
произведением?
Двойным векторным произведением называется вектор [e,[i>.e]|
Справедливо равенство
[в, (й, <?)] = Ь(а, с) - с (а, Ь).
1 Система координат, как сказано выше, всегда предполагается правой.
2 Значением этого определителя является вектор, получающийся при
разложении определителя по первой строке
Глава 5. Преобразование
декартовых прямоугольных
координат
Как меняются координаты точки на плоскости
при параллельном переносе системы
координат и при повороте системы координат
вокруг начала?
Если новая система координат О'х' у' получена ил старой систе-
мы координат Оху посредством ее параллельного переноса и при этом
новое начало координат О' имеет координаты («, Ь) (рис. 5.1), то для
каждой точки М плоскости ее старые координаты (х, у) связаны с ее
новыми координатами (х', у') равенствами:
х = х'+ а, у = у'+ Ь.
Если новая система координат О'х’у' получена из старой системы
координат Оху посредством ее поворота на угол а1 (рис. 5.2), то для
каждой точки М плоскости ее старые координаты (х, у) связаны с ее
новыми координатами (х', у') равенствами
[х=x'-cos a -y'-sina,
|_у =x'sina + y'-cosa.
1 Угол а считается положительным, если поворот выполняется против
часовой стрелки, и отрицательным — если по часовой стрелке.
Преобразование декартовых прямоугольных координат
Как меняются координаты точки в пространстве
при параллельном переносе?
В полной аналогии с параллельным переносом на плоскости, если
известно, что новая система координат O'x'y’z' получена из старой
системы координат Оху; посредством ее пара i гельного переноса и при
этом новое начало координат О’ имеет координаты (а, Ь, с), то для
каждой точки М пространства ее старые координаты (х, у, z) связаны
с ее новыми координатами (х*, у', z.') равенствами
х=х'+й, у =y' + b, z=z'+c-
Как связаны координаты точки пространства
в двух произвольных системах координат
с общим началом?
Если две правые декартовы прямоугольные системы координат
Oxyz и O'x'y’z' имеют общее начало О, то для задания положения
одной системы координат относительно другой используются так
называемые углы Эйлера.
Рис. 5.3
Обозначим через Ои ось, сов-
падающую с линией пересечения
координатных плоскостей Оху и
Ох'у’ и направленную в ту сто-
рону. откуда кратчайший пово-
рот от оси Oz к оси Oz' кажется
совершающимся против часовой
стрелки (рис. 5.3).
Углами Эйлера называются три
угла ф, уи в, определяемые сле-
дующим образом:
— угол у — это угол между
осями Ох и Ои, отсчитываемый
в плоскости Оху от оси Ох в на-
правлении кратчайшего поворота
от оси Ох к оси Оу;
— угол 6 — это не превосходящий п угол между осями Oz и Oz",
— угол <р — это угол между осями Ои и Ох', отсчитываемый в
плоскости Ох'у' от оси Ои в направлении кратчайшего поворота от
оси Ох’ коси Оу'.
Если заданы углы Эйлера, то переход от старой системы коорди-
нат Oyz к новой системе Ox'y’z' можно представить в виде после-
довательного проведения трех поворотов на углы у, 0 и у вокруг
соответствующим образом выбранных координатных осей. При этом
старые координаты (х, у, z) каждой точки М пространства связаны с
ее новыми координатами (х', у', z') равенствами
х = jX'+а2|Г*+
> =й12х'+а22у'+онг',
z=al3x'+a23y,+a^z'.
й|! - cos у cosy - sin у cos 0 sin у, 2 = sin у cos <p+ cosy cosOsin y,
Ли -sinGsiny, />21 --cos у sin y-sin у cos© cosy,
o22 - -sin у sin у+cos у cos Bcosy, «23 - s*n ©cosy,
a31 = sin у cosG, a32 = -cosy sin 6, o33 = cosG.
Глава 6. Основы аналитической
геометрии
Что называется алгебраической линией
п-го порядка?
Линия на плоскости называется алгебраической линией п-го порядка,
или просто линией п-го порядка, если эта линия в некоторой декарто-
вой прямоугольной системе координат Оху определяется уравнением
Ф(х, у) — 0, в котором функция Ф(х, у) является алгебраическим
многочленом степени п относительно двух переменных х, у.
Данное определение математически корректно, так как линия
я-го порядка в любой другой декартовой прямоугольной системе
координат также будет задаваться алгебраическим уравнением сте-
пени и с двумя неизвестными.
Уравнение Ах + By + С= 0, в котором либо А, либо В отлично от нуля,
является общим уравнением линии первого порядка. Уравнение Ах2 +
+ Вху + Ct2 + Dx + Еу + Г= 0, в котором либо А, либо В, либо С отлично
от нуля, является общим уравнением линии второго порядка.
Что называется алгебраической поверхностью
п-го порядка?
Поверхность в пространстве называется алгебраической поверх-
ностью п-го порядка, или просто поверхностью п-го порядка, если
эта поверхность в некоторой декартовой прямоугольной системе
координат Oxyz определяется уравнением Ф(х, у, ?) = 0, в котором
функция Ф(х, у, z) является алгебраическим многочленом степени
я О1нисительно трех переменных х, у, Z-
Математическая корректность этого определения понимается в
смысле, аналогичном корректности определения линии н-го порядка,
сформулированного выше.
Уравнение Ах + By + Cz + D — 0, в котором либо А, либо В, либо
С отлично от нуля, является общим уравнением поверхности первого
порядка. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид
42 Глава (i
А1 Iх2 + А21У2 + Аз*2 + А12ХУ + А2зУг + Азх* +
+Я(х + Вгу + BjZ + С = О,
в котором хотя бы один из коэффициентов Ац отличен от нуля.
Как можно описать линию в пространстве?
Линию в пространстве обычно рассматривают как пересечение
двух поверхностей. Поэтому если известны уравнения Ф((х, у, г) = 0 и
Ф2(х, у, z) — 0 двух таких поверхностей, то система двух уравнений
(Ф1(х,у,?)=О.
}ф2(х.>.г) = О
определяет рассматриваемую линию.
Другим способом описания линии в пространстве является задание
ее параметрических уравнений
x=fp(t), ,y=v(/), z=x(O-
в которых координаты (х, у, z) точки на линии определяются как
некоторые непрерывные функции переменной /, называемой па-
раметром.
Как можно задать прямую линию на плоскости?
I. Основным способом задания прямой линии на плоскости яв-
ляется задание ее общим уравнением
Ах + By + С = О,
в котором либо А, либо В отлично от нуля. Таким образом, прямые линии
на плоскости, и только они, являю тся алгебраическими линиями первого
порядка. Отметим также, что коэффициенты А и В в общем уравнении
имеют простой геометрический смысл: вектор л = {А, В} перпендику-
лярен прямой (и потому называется ее нормальным вектором).
2. Общее уравнение Ах + By + С = 0 прямой линии называется
полным, если все его коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Любое
полное уравнение может быть приведено к виду
Основы аналитической геометрии
43
которое называется уравнением прямой в отрезках. Это уравнение
имеет следующий геометрический смысл: числа а и b в нем равны
величинам направленных отрезков, которые эта прямая отсекает на
осях Ох и Оу соответственно.
3. Каноническое уравнение прямой
У~У0
I т
является уравнением прямой, проходящей через точку М0(х0, у0)
параллельно вектору q = {/, т} (вектор q в данном случае называется
направляющим вектором этой прямой). Вектор q ненулевой, однако
при этом одна из его координат / или т может оказаться равной нулю.
Тогда каноническое уравнение прямой понимается как пропорция,
т. е. эквивалентно равенству (х — х())гл = (у — у0)1.
4. С помощью канонического уравнения можно написать уравне-
ние прямой, проходящей через дае данные и отличные друг от друга
точки Л/|(Х|, у,) и Л/2(х2, у2):
х-х, у —У,
*2"*1 У1-У1
5. Из канонического уравнения можно получить параметрические
уравнения прямой
Гх=х0+Й,
]у=уо+тг,
в которых параметр / принимает любые вещественные значения.
6. Любую прямую, не параллельную оси Оу, можно описать урав-
нением с угловым коэффициентом
у ~ кх + Ь,
в котором узловой коэффициент к равен тангенсу угла наклона
прямой к оси Ох.
Как выяснить взаимное расположение
двух прямых на плоскости?
Как известно, две прямые и £2 на плоскости могут быть па-
раллельными, могут сливаться в одну и могут пересекаться в одной
44
ГлаваЬ
точке. Будем далее называть две прямые коллинеарными, если они
либо параллельны, либо сливаются.
Все условия того или иного взаимного расположения двух прямых
в зависимости от способа их задания сведем в таблицу
£р Л|*+.В|У+ С| = 0 £2: А2х+В2у+ С2 = 0 £I:y=*1x + fc| £2:y = *2x + fc2 I1 11 И1-
£, и L2 коллинеарны Л _ Bi *1 =k2 rliT -“I-!'
£, и Ь2 параллельны 1 к 1 ►Pl-n £j = k2, £| * b2 /j /»| J'|/| —X|M| /2 tn2 y^2-x^n2
L, и L2 стиваются 1М®| /ij — *2» ~ /], mi У|/| —Х|»1( /2 m2 y^-x^
£, и £, пересекаются 4 д. *i * k2 l^m2
В следующей таблице приведены условия ортогональности (пер-
пендикулярности) двух прямых и формулы для вычисления угла
между прямыми.
Условие ортогональности Косинус угла между прямыми
Ll.Alx+Bly+ C, =0 £2: A2x + B2y + C2 = 0 a{a2+ BlB2 = 0 ДА-гДД2 7а2+а2'7л2+^2
£1:y=£,x + ft| L1 У ~ k2x + 62 *1*2 = -l л,а2+1
ft Zj/j + mtm2 = 0 lll2+tnltn2 4^1 +mi ">^2 +/И2
Основы аналитической геометрии
45
Как с помощью нормированного уравнения
прямой найти расстояние отточки до прямой?
Нормированным уравнением прямой называется уравнение вида
В7
Расстояние d от точки Л/(л, у) плоскости до этой прямой равно
абсолютной величине левой части ее нормированного уравнения,
т. е.
| Аг+ Ву+С|
Как можно задать плоскость в пространстве?
1. Основным способом задания плоскости в пространстве является
задание ее общим уравнением
Ах + By + Cz + D~ 0.
в котором либо А, либо В, либо С отлично от нуля. Таким образом,
плоскости в пространстве, и только они, являются алгебраическими
поверхностями первого порядка. Отметим также, что, как и для прямой
на плоскости, коэффициенты А, В, Св общем уравнении плоскости
имеют присюй 1еоме1рический смысл: вектор л - {А, В, С} перпенди-
кулярен плоскости (он называется ее нормальным вектором).
2. Общее уравнение Ах + By + Cz + В = 0 плоскости называется
полным, если все его коэффициенты А, В, С и В отличны от нуля.
Любое полное уравнение может быть приведено к виду
а b е
которое называется уравнением плоскости в отрезках. Это уравнение
имеет следующий геометрический смысл: числа а, b и с в нем равны
величинам направленных отрезков, которые эта плоскость отсекает
на осях Ох, Оу и Oz соответственно.
3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
Afj(xj, у(, Z]), Д/2(х2, у2, Z2), Л/}(х3, у3, z?), не лежащие на одной пря-
мой, может быть записано в виде
ГлаваЬ
Л -*1 У-У1 Z~ZX
Х2~ХУ Уг-У\ г2-?|=0.
*з-*1 У3-У1 г,-?!
Как выяснить взаимное расположение
двух плоскостей?
Как известно, две плоскости Л[ и п2 в пространстве могут быть
параллельны, могут сливаться в одну и могут пересекаться по неко-
торой прямой линии L.
Все условия того или иного взаимного расположения двух плос-
костей сведем в таблицу.
+Л|У + л2: А2х + В2у + с,г+л,-0 С2с + d2 — 0
it ( и л:j параллельны II э 1 > н
П| и л2 сливаются А- в> и
П| и п2 пересекаются S eTlfif я С, СТ н «Г| 05*
Условием ортогональности (перпендикулярности) двух плоскостей
Лр Ахх + В{у + CjZ + О| = 0и л2: А2х + В2у + C2z + D2 = 0 является
равенство
А{А2 + вхвг + С,С2 = 0,
а косинус двугранного угла, получающегося при их пересечении,
равен
cos<p =
+ BtB2 +
74! + Bl,+c12-.J>i!, + B’+cf
Основы аналитической геометрии
Как с помощью нормированного уравнения
плоскости найти расстояние от точки
до плоскости?
Нормированным уравнением плоскости называется уравнение вида
А В
^а2 + в2+с2 ^а2 + в2+с2У
у!а2+В2+С2 1 ^а2+в2+с2
Расстояние d от точки М(х, у, z) пространства до этой плоскости
равно абсолютной величине левой части ее нормированного урав-
нения, т. е.
\Ax+By + Cz + D\
^а2 + в2+с2
Как можно задать прямую линию
в пространстве?
1. Прямую линию L в пространстве можно задать как линию пе-
ресечения двух различных плоскостей, ее содержащих1:
|Дх+ Bjy + C|Z+ £>j =0,
+ ®2-К +CjZ + D2 = 0.
2. Однако более удобным является задание прямой L ее канони-
ческим уравнением
х~Хд _У~Уо _Z-Z0
в котором {/, т, п} — координаты направляющего вектора q прямой L
(т. е. вектора, параллельного L), a (xe, yu, Zjj) — координаты некоторой
точки Мо на прямой L. Направляющий вектор q ненулевой,однако
при этом некоторые его координаты могут оказаться равными ну-
лю. Тогда каноническое уравнение прямой понимается как двойная
пропорция.
1 Как отмечалось выше, при этом должно быть выполнено одно из нера-
л, В. В. с.
венств: ——ь или —st—.
А вг вг с,
48
ГлаваЬ
3. С помощью канонического уравнения можно написать уравне-
ние прямой, проходящей через две данные и отличные друг от друга
точки Л/](хр yt, z() и М2(х2, у2, z2):
4. Из канонического уравнения можно получить параметрические
уравнения прямой в пространстве
[л- =х0 +Н,
[z=z0+«r.
в которых параметр г принимает любые вещественные значения.
Как выяснить взаимное расположение
двух прямых в пространстве?
Две прямые L\ и L2 в пространстве могут быть параллельными,
могут сливаться в одну прямую, могут пересеки!вся в одной гичке и,
наконец, могут скрещиваться. Только в последнем случае две прямые
не лежат ни в одной плоскости пространства.
Сведем все условия того или иного взаимного расположения двух
прямых пространства в следующую таблицу:
/, mt л( 12 tn2 л2
L j и £2 лежат в одной плоскости /, m, л, l2 m2 n2 xi~xi У2-У1 г2-г, = 0
сливаются ik «-|'f II
параллельны u a- * SI- fl f
L\ и L2 пересекаются A mi Й1 l2 m2 n2 x2~xi У2-У1 г2-г. n- A tnl tn. n, =4 —*— или —- >2 ,П1 Ш2 tl2
Основы аналитической геометрии
49
Окончание табл.
£, и L2 А *»1 п,
скрещиваются 12 т2 «2 *0
*2*1 У2-У1 Z2-Z|
Условием ортогональности (перпендикулярности) двух прямых
х-л, у-у, z-Zj х-х2 у-у2 z-z2
в пространстве L,:-----=------------ и £2:------------— -----
/Mj я, 12 т2 и2
является равенство
/|/2 + т |/я2 + И|И2 = 0.
которое выражает собой условие ортогональности направляющих век-
торов этих двух прямых. Косинус угла между прямыми Lx и Ьг равен
/./•> + т,т2 + и.и,
cos<p = _ ^=.
т. е. равен косинусу угла между направляющими векторами этих
прямых.
Как выяснить взаимное расположение прямой
и плоскости в пространстве?
Прямая L и плоскость п в пространстве могут быть параллельны-
ми, могут пересекаться в одной точке, и. наконец, прямая L может
целиком лежать в плоскости л.
Все условия того или иного взаимного расположения прямой и
плоскости в пространстве сведены в таблицу.
£:£_^L=2L2k=I_Je.i n:Ax+By+Cz = D=0
L лежит в плоскости я А! + Вт + Сп = 0, Ах^ + + Cz$ + D=0
L параллельна плоскости я Al + Вт + Сп = 0, Ах^ + Ву0 + Czq + О * 0
Lan пересекаются в одной точке Al + Вт + Сп * 0
Условием ортогональности (перпендикулярности) прямой L :Х х° =
= ? =г и плоскости л: Ах + By + Cz + D — 0 является равенство
m я
50
ГлаваЬ
АПС
I Г11 п
а синус угла между прямой L и плоскостью п равен
\А1+Вт+Сп\
Что называют стандартным упрощением
уравнения линии второго порядка?
Стандартным упрощением общего уравнения Ах1 + Вху + Су2 +
+ Dx: + Еу + F= 0 линии второго порядка на плоскости принято на-
зывать переход к новому уравнению вида
А' (х')2 + С'(у')2 + D'x' + Е'у' + F’ = 0,
в котором отсутствует слагаемое, содержащее произведение х'у'.
Такое упрощение всегда можно сделать, выполнив поворот1 исход-
ной системы координат Оху на угол а, определяемый равенством
„ Л-С
cte2a =---.
В
Какие линии второго порядка называют
центральными?
Пусть линия второго порядка задана уравнением
Ах2 + Су2 + Dx + Еу + F= 0.
прошедшим стандартное упрощение. Если в этом уравнении оба ко-
эффициента А и С отличны от нуля, то его можно привести к виду2
Л(х-х„)г + C(y-J„)2 = Н.
Такая линия второго порядка имеет единственный центр симмет-
рии — точку О *(X(j, у0), и поэтому ее принято называть центральной.
Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что прямые
1 Напомним, что при этом х = x'cosa — у'sin a, у = x'sina + у'cos a.
2 Для этого необходимо выделить полные квадраты по переменной х и
по переменной у.
Основы аналитической геометрии
х = х0 и у =у0 являются осями симметрии такой линии второго по-
рядка.
Какие центральные линии второго порядка
относятся к эллиптическому типу,
а какие — к гиперболическому?
Пусть уравнение центральной линии второго порядка приведено
к виду1
Ах1 + Су2 = Н.
Принята следуюшая классификация центральных линий второго
порядка.
1) линия, определяемая уравнением Ах~ + Су2 = Н, называется
линией ы гиптического типа, если коэффициенты А и С одного знака.
В этом случае линия является
а) либо эллипсом, если все три числа А, С, //одного знака;
б) либо вырожденным эл гипсом и определяет на плоскости Оху
только одну точку х = 0, у = 0, если // = 0;
в) либо мнимым эллипсом и не определяет никакого геометрического
образа, если у коэффициента Я знак противоположен знакам
коэффициентов А и С;
2) линия, определяемая уравнением Ах- + Су1 — Я, называется
линией гиперболического типа, если коэффициенты А и С имеют
разный знак. В этом случае линия является*
а) либо гиперболой, если Я* 0;
б) либо вырожденной гиперболой и определяет на плоскости Оху
пару пересекающихся прямых, если Н~ 0.
Какая линия называется эллипсом и каковы
его основные свойства?
Эллипсом называется линия, которая в некоторой декартовой
прямоу! ильной сис|еме киордина! Оху (называемой канонической)
задается уравнением
1 Для этого достаточно в уравнении А(х — х0)2 + С(у — у0)2 = Я положить
х' =х — xjj, у' = у — >о- т. е. выполнить параллельный перенос системы Оху,
поместив точку О в новое начало координат О'(х0, у0).
ГлаваЬ
ки М до фокусов F и F' есть величина постоянная'. Такое свойство
эллипса называют характеристическим и часто принимают за его
определение.
Величина е = — называется эксцентриситетом эллипса. Эксцент-
а
риситет эллипса удовлетворяет условию 0 < е < 1 и показывает, сколь
сильно эллипс отличается от окружности:
— при е = О эллипс является окружностью; а
— чем ближе е к 1, тем больше отношение полуосей
о
Какая линия называется гиперболой
и каковы ее основные свойства?
^.))
Гиперболой называется линия, кото -
рая в некоторой декартовой прямоуголь-
ной системе координат Оху (называемой
канонической) задается уравнением
Рис. 6.2
где числа а и b положительны. Это урав-
нение называется каноническим, а числа а и b — действительной и
мнимой полуосями гиперболы соответственно (рис. 6.2).
1 Равная числу 2а.
Основы аналитической геометрии
Положим e = V«?1 2 + Z>2. Точки F(c, 0) и F'(—c, 0) называются фоку-
сами гиперболы и обладают следующим свойством: для всех точек
М гиперболы, и только для них, модуль разности расстояний от точки
М до фокусов F и F' есть величина постоянная1. Такое свойство ги-
перболы называют характеристическим и часто принимают за ее
определение.
л b b
Прямые у =—х и у — —х являются асимптотами гиперболы в том
а а
смысле, что при увеличении |х| точка М(х, у) на гиперболе неограниченно
приближается либо к первой, либо ко второй из этих прямых.
Величина е = — называется эксцентриситетом гиперболы. Экс-
а
центриситет гиперболы удовлетворяет условию е > 1 и характеризует
модуль угловых коэффициентов асимптот гиперболы:
— чем ближе е к 1. тем ближе к нулю угол наклона асимптот к
оси Ох,
— чем больше е, тем ближе этот угол наклона к прямому углу.
Какая линия второго порядка относится
к нецентральным и каковы ее основные
свойства?
Пусть линия второго порядка задана уравнением
Ах2 + С/ + Dx + Еу + F= 0,
в котором один из коэффициентов А или С равен нулю. Пусть, напри-
мер, А = 0 и С * 0. Тогда уравнение можно привести к виду2
(У - Уо>2 ~ хо>-
Если в исходном уравнении D-r 0, то параметр р в приведенном
уравнении также отличен от нуля. Такая линия второго порядка имеет
одну ось симметрии у и не имеет центра симметрии.
Будем далее считать, что приведенное уравнение имеет вид
У1 = 2рх,
в котором параметр р положителен3.
1 Равная числу 1а.
2 Для этого необходимо выделить полный квадрат по переменной у.
5 Для этого достаточно в уравнении (у — у0)2 = 2р(х — х0) положить х' =
=х-х0,у' =У~У(1, т.е выполнить парад тельный перенос системы Оху, аза-
тем, если р < 0, изменить направление оси абсцисс на противоположное.
54
ГлаваЬ
Рис. 6.3
Линия, заданная таким уравнением,
называется параболой ( рис. 6.3).
Точка F
называется фокусом
параболы, а прямая д: х = -—,0 — ее
директрисой. Имеет место следующее
свойство, для всех точек М параболы, и
только для них, расе тояния от М до фоку-
са Fи додиректрисы драены между собой.
Это свойство параболы называют характеристическим и часто прини-
мают за ее определение.
Каковы основные типы поверхностей
второго порядка?
Основные типы поверхностей второго порядка сведены в следу-
ющую таблицу, первый столбец которой содержит названия поверх-
ностей, второй — их канонические уравнения (в некоторой декар-
товой прямоугольной системе координат Оху), а в третьем столбце
указаны ссылки на соответствующие рисунки.
Эллипсоид :44' Рис 6.4
Однополостями гиперболоид х2 v2 г2 Рис. 6.5
Двуполостный гиперболоид а2 Ь2 с2 Рис 6.6
Конус второго порядка 2 2 2 Рис. 6.7
Эллиптический параболоид х2 у2 г\,’ +/,’ Рис. 6.8
Гиперболический параболоид Рис. 6.9
Основы аналитической геометрии
Окончание табл.
Эллиптический цилиндр второго порядка а2 Ь2 Рис. 6.10
Гиперболический цилиндр второго порядка а2 Ь2 Рис 6.11
Параболический цилиндр второго порядка Рис 6.12
Рис. 6.7
ГлаваЬ
Рис. 6.9
Рис. 6.12
Рис. 6.11
Отметим, что для двух типов поверхностей второго порядка — для
однополостного гиперболоида и для гиперболического параболоида—
справедливо следующее свойство: через каждую точку поверхности
проходит две розничные прямые линии, целиком на этой поверхности
лежащие. Такие прямые называются прямолинейными образующими
поверхности*
* Очевидно, что прямолинейные образующие имеют конус и все цилинд-
ры второго порядка.
Глава 7. Предел
последовательности
Что называют числовыми
последовательностями и какие
арифметические операции
допустимы над ними?
Если VneN пос 1 явлено в соответствие число хиеЯ, то юворят,
что числа Jtj, х2,хи,... образуют числовую последовательность, или
просто последовательность. Отдельные числа хп последовательности
называют ее элементами, или членами, а саму последовательность
обозначают {хи}.
Последовательности можно складывать, вычитать, умножать и делить.
Под этими действиями понимают почленное выполнение операций,
т. е. для последовательностей {хи} и {уИ} их сумной, разностью, произ-
ведением и частным называют последовательности {хя + уи}, {хя — уп},
{х^уДи соответственно.
Какие последовательности называют
ограниченными?
Последовательность {х/(} называется ограниченной сверху (соот-
ветственно снизу), если 3M&R (соответственно 3/иеR), для которого
хи < М (соответственно xn > т) 3hgN. Число М (соответственно т)
называется верхней гранью (соответственно нижней гранью) этой после-
довательности. Если последовательность {хи} является ограниченной
и сверху, и снизу, то она называется просто ограниченной.
В соответствии с этими определениями последовательность {хя}
является неограниченной, если для любого сколь угодно большого
числа А > 0 Зхи, удовлетворяющий неравенству |хя| > А.
58 Става 7
Какие последовательности называют
бесконечно большими?
Последовательность {хя} называется бесконечно большой, если для
любого сколь угодно большого числа А > О ЭК g N найдется номер
N, обеспечивающий справедливость неравенства | хп | > А для всех
и > N,t. е.
V/l>0 3NeN. Vn>N =>\х„\>А.
Тот факт, что (хя} — бесконечно большая, обозначают одним из
символов: либо хИ при л —> от, либо Нт = от.
Любая бесконечно большая последовательность является неогра-
ниченной, но не наоборот. Например, последовательность 1,2, 1,4,
..., 1, 2л, ... неограниченная, но не является бесконечно большой.
Какие последовательности называют
бесконечно малыми?
Последовательность {ая} называется бесконечно малой, если для
любого сколь угодно малого числа е > О 3N g N. обеспечивающий
справедливость неравенства | ап | < е для всех л > N,t. е.
Ve>0 B/Vg^Y: =>|ая |<е.
Toi фак1, что {ая} — бесконечно малая, обозначают одним из
символов: либо а -» С при п -> от, либо lim ая = 0.
и-»-»
Следующие последовательности, например, являются бесконечно
малыми:
lim q" = 0 при qeR: |§| < I,
lim — -() при qgjR: а > 0,
л"
lim—-0 при\/йб.Я,
lim — - 0 при Vo.gjR и Vc > 1,
"—-a"
Предел последовательности
lim = о при Vc > 1 и Va > 0.
я->«
Какими основными свойствами обладают
бесконечно малые последовательности?
К основным относят следующие 5 свойств бесконечно малых
последовательностей.
1. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей
являются бесконечно малыми, т. е. если |аи} и {Ри} — бесконечно
малые, то
2. Произведение ограниченном последовательности на бесконеч-
но малую является бесконечно малой, т. е. если {хя} ограниченная,
(о.и} — бесконечно малая, то
hm(x„a„) = 0
3. Всякая бесконечно малая последовательность ограничена.
4. Произведение двух бесконечно малых последовательностей является
бесконечно малой, т. е. если {<*„} и {Р„} — бесконечно малые, то
Нт(аяР„)=0
5. Если последовательность {у„} — бесконечно большая, то начи-
ная с некоторого номера определено частное которое является
бесконечно малой последовательностью.
Какие последовательности называют
сходящимися?
Последовательность {хи} называется сходящейся, если Bae R, для
которого последовательность {хя — а} — бесконечно малая. При этом
число а называют пределом последовательности {хя} и пишут: либо
хй -> а при л -> оо, либо lim х„ —а.
60
Используя определение бесконечно малой последовательности, данное
определение можно сформулировать в другой, эквивалентной форме.
Последовательность {хи} называется сходящейся к числу а е Л,
если для любого сколь угодно малого числа е > 0 найдется номер N,
обеспечивающий справедливость неравенства | хп — а | < е для всех
и > N, т. е.
Ve>0 BNeN: Vh> TV =>|хи-д |< е.
Последнее условие имеет простую геометрическую интерпретацию:
для любого сколь угодно малого е > 0 в £-окрестности точки а, т. е.
на интервале (а — е, а + е), содержатся все элементы последователь-
ности, начиная с некоторого номера N.
Последовательности, не являющиеся сходящимися, называют
расходящимися.
Какими основными свойствами обладают
сходящиеся последовательности?
К основным относят следующие 5 свойств сходящихся последо-
ва । ел ьн остей.
1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
2. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
3. Сумма, разность, произведение и частное двух сходящихся
последовательностей являются также сходящимися последователь-
ностями, и при этом, если limxn =«, lim уп -1)1 то
lim(xn+j>„)=<z+&, 1пп(хн-у„)-й-&,
Ит{хИ-уп)=аЬ, lim—=—
л->х »-»»уп Ь
(для частного необходимо требовать, чтобы b * 0, и рассматривать
элементы — только начиная с того номера TV, с которого уп * 0
^л
V и > N).
4. Если хй -> х при и -> оо и, начиная с некоторого номера N,
выполнено неравенство хи > а (соответственно хи < Ь), то предел х
удовлетворяет тому же неравенству: х> а (соответственно х< Ь). Это
Предел последовательности
свойство часто называют теоремой о предельном переходе под знаком
неравенства.
Из этого свойства, в частности, следует, что если для двух сходя-
щихся последовательностей {хв} и {у„}, начиная с некоторого номера
Л’, выполнено неравенство хп < уи , то
limxB < lim уП.
Отметим, что если для сходящейся последовательности {хД вы-
полнено строгое неравенство хв > а, то это не означает, что lim хи > а.
Достаточно рассмотреть пример
5. Если последовательности {хв} и {ув} сходятся к общему пределу
а, при этом элементы третьей последовательности начиная с
некоторого номера N, удовлетворяют неравенствам хя < z„ 5 у„ , то
limz„=sup{x„}.
Какие последовательности называют
монотонными и каким основным свойством
они обладают?
Последовательность {хв} называется неубывающей (соо1ветственно
невозрастающей), если для Vn> N справедливо неравенство хя < хи+1
(соответственно хя > хя+1).
Неубывающие и невозрастающие последовательности называют
монотонными.
Имеет место следующая теорема о сходимости монотонной ог-
раниченной последовательности.
Теорема. Ее iu последовательность {хв} не убывает (соответственно
не возрастает) и ограничена сверху (соответственно снизу), то она
сходится, при этом
lim z„ = sup(xB}. (соответственно lim х„ = inf {хя}).
Как определяется число е?
( । Y
Число е определяется как предел последовательности хп - 1 + — I .
62 Става 7
Можно показать, что эта последовательность возрастает и ограни-
чена сверху, что позволяет применить вышеупомянутую теорему о
сходимости монотонной ограниченной последовательности.
Число е является иррациональным и имеет с точностью до 15 знаков
после запятой вид:
«=2,718281828459045....
Что называют предельной точкой
последовательности?
Если из последовательности Х|, х2, — > — выбрать некоторое бес-
конечное подмножество элементов xki,xki,...,xk„,..., номера которых
образуют возрастающую последовательность кj < Л2 < — < < ..., то
получится новая последовательность I которая называется подпо-
следовательностью последовательности {хи}.
Любая подпоследовательность сходящейся последовательности
{хи} также сходится, причем к тому же пределу. Если же последова-
тельность {хй} произвольна (не обязательно сходится), то ее подпо-
следовательности могут как сходиться, так и расходиться.
Точка х g R называется предельной точкой последовательности
{х„}, если из {хп} можно выделить подпоследовательность, сходя-
щуюся к пределу х.
Понятие предельной точки допускает также следующее геометри-
ческое толкование: точках g Я является предельной точкой последова-
тельности {хд} тогда и только тогда, когда в любой е-окрестности точки
х лежит бесконечно много элементов этой последовательности.
В чем состоит утверждение теоремы
Больцано-Веерштрасса?
Теорема Больцано-Веерштрасса утверждает, что любая ограничен-
ная последовательность {хи} имеет хотя бы одну предельную точку
или, иными словами, из любой ограниченной последовательности (хп)
можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Предел последовательности 63
Какие множества называют замкнутыми?
МножествоXcR называется замкнутым, если оно содержит все
свои предельные точки1, т. е. те точки, в любой е-окрестности которых
содержится бесконечно много элементов этого множества.
Что называют верхним и нижним пределами
последовательности?
Наибольшая (соответственно наименьшая) предельная точка после-
довательности {xj называется ее верхним (соответственно нижним)
пределом и обозначается
Нтхи (соответственно l’m ).
п > х «
Справедливо следующее утверждение: у всякой ограниченной после-
довательности (хЛ) существуют верхний предел х и нижний предел х,
причем для любого достаточно малого числа е > 0 все элементы этой
последовательности, начиная с некоторого номера N = N(e), лежат
на интервале (х-е,х + е).
Из этого утверждения, в частности, вытекает, что если ограни-
ченная последовательность {хи} имеет единственную предельную
точку х, то эта последовательность сходится и lim хи = х.
В чем состоит критерий Коши сходимости
последовательности?
Критерий Коши сходимости последовательности позволяет сделать
заключение о сходимости лишь по самим элементам хп последова-
тельности и не использует величины ее предполатаемого предела.
Теорема. Дгя того чтобы последовательность (хп) была сходящейся,
необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна, т. е. для
любого сколь угодно малого числа е > 0 нашелся бы номер N, обес-
печивающий справедливость неравенства |хп+₽ — хи| < е для Vh > N
мУр g N
1 Для предельных точек множества X с бесконечным числом элементов
также справедлива теорема Больцано-Веерштрасса.
Глава 8. Функция и ее предел
Что называется пределом функции в точке?
Пусть функция у =f(x) определена на некотором бесконечном
множестве ХсЛи пусть а — предельная точка1 этого множества X.
Число b называется пределом функции у = /(х) е точке а (или при
х —► а), если для любой последовательности {хи} точек множества X,
сходящейся2 к а и состоящей из чисел хи, отличных от а, соответст-
вующая последовательность {Дхи)} сходится к числу Ь, т. е.
с X. хп * а: {х„} -> а => {/(хи)| -> Ь.
Данное определение принято называть определением предела
функции по Гейне. Наряду с ним используется и эквивалентное ему
определение предела функции по Коши
Число b называется пределом функции у = /(х) в точке и (или при
х —* а), если для любого сколь угодно малого числа е > О найдется
соответствующее ему число 8 > 0 такое, что для всех значений х е X,
удовлетворяющих условию 0 < |х — й| < 8, справедливо неравенство
|Дх) - Ь\ < £, т. е.
Ve > 0 38 > 0: Vx е X, 0 <| х - а |< 8 =>| /(х) - b |< е.
Обозначение: ft-lim/(x)
илиДх) —> b при х —> л
Последнему определению
можно дать такую геометри-
ческую интерпретацию. Число
8 - liin/(x), если для любой
е-окрестности точки b найдет-
ся проколотая 8-окрестность
точки а, такая, что всем зна-
1 Например, X — интервал (Xj, х2) Тогда в качестве а можно взять как
любую точку этого интервала, так и его концы xt, х2.
2 Именно для возможности выбора такой последовательности {хи} точка
а и считается предельной
Функция и се предел 65
чениям хиз этой проколотой 8-окрестности соответствуют значения
функции из Е-окрестности точки b (рис. 8.1).
Что называется односторонним пределом
функции в точке?
Это понятие, как и обычный предел функции в точке, можно
ввести двумя эквивалентными способами.
Определение (по Гейне). Число b называется правым (соответст-
венно левым) пределом функции у =f(x) в точке1 а, если для любой
последовательности {хи} <= X, сходящейся к а и состоящей из чисел
хп, больших а (соответственно меньших а), соответствующая пос-
ледовательность {/(хи)} сходится к числу Ь, т. е.
V{x„}c:X,хп >а:(xj->а =>{/(*„)}->b
для правого предела и
*К>сX, хп < а :{х„} -> а => {/(хя)| -> b
для левого предела.
Определение (по Коши). Число b называется правым (соответст-
венно левым) пределом функции у =f(x) в точке а, если для любого
сколь угодно малого числа е > 0 найдется соответствующее ему число
8 >0, такое, что для всех значений хе X. удовлетворяющих условию
а < х < а + 8 (соответственно условию а — 8 < х < а), справедливо
неравенство [/'(х) — 8| < е, т. е.
Ve>0 38>0:VxgA,c<x<c + 8_>|/(х)-А|<е
для правого предела,
Ve> О Н6 > 0: Ух е А’, а -8 < х <а=>|/(х) -Ь |< е
для левого предела.
Используются обозначения: lim f{x)=b или f(a + 0) = b для
»-»л+0
правого предела, lini^/(x) =Z> или/(о — 0) = b для левого предела.
Если оба односторонних предела функции у =f\(х) в точке а сущест-
вуют и равны одному и тому же числу Ь, то эта функция имеет в
точке а предел, равный b
1 Здесь также считается, что точка а — предельная для области опреде-
ления Xфункции у —f(x).
66
Става 8
С другой стороны, если односторонние пределы функции в точке а
не равны друг другу, то эта функция не имеет предела в точке а.
Так, например, функция1
1L еслих>0,
0. если х ~ 0,
—1. если х< 0
имеет разные односторонние пределы в точке а — 0: lim^sgnx^l,
lim sgnx=—I; значит, эта функция не имеет предела при х—> 0.
Как определяется предел функции при х > оо?
Будем считать, что функция у —fix) определена на множестве X,
имеющем хотя бы один элемент х, лежащий вне любого сегмента
вида [—8, Б]2.
Определение (по Гейне). Число b называется пределом функции
у — fix) при х -> <», если для любой бесконечно большой последо-
вательности {х„} с X соответствующая последовательность {fixn)}
сходится к числу Ь, т. е.
V{x„} с X : {х„} -> «, => {f(x„)} -> b.
Определение (по Коши). Число b называется пределом функции
у —fix) при х—><х>, если для любого сколь угодно малого числа е > 0
найдется соответствующее ему число 8 > 0, такое, что для всех зна-
чений х 6 X, удовлетворяющих условию | х | > 6, справедливо нера-
венство |/(х) — b | < е, т. е.
Ve>0 Э8>0:VxeA',|x|>S=>|/(x)-Z>|<e.
Используется обозначение: lim f(x)=b.
Отметим, что данные два определения предела функции при х —► со
эквивалентны.
Если в первом определении (по Гейне) рассматривать не все бес-
конечно большие последовательности {хи}, а только те, у которых все
элементы хи > 0 (соответственно хл < 0), и совершенно аналогично
во втором определении (по Коши) рассматривать только те х g X,
которые удовлетворяют условию х > Б (соответственно условию
1 Функция «знак числа х», или «сигнум х».
г Например, в качестве X может быть взята полупрямая [л, +<» ) или
полупрямая (—со, а].
Функция и се предел 67
х < — 8), то получатся определения предела функции при х —> +со
(соответственно при х-> — <ю):
lim f(x) = b и lim f(x)=b.
В чем состоит критерий Коши существования
предела функции?
Как и в случае числовом последовательности, критерий Коши поз-
воляет решить вопрос о существовании предела функции, не находя
самого предела, а только анализируя поведение функции в окрестности
предельного значения аргумента.
Ради определенности сформулируем критерий Коши существо-
вания предела в точке а.
Теорема. Для того чтобы функция у =f(x) имела в точке а конечный
предел, необходимо и достаточно, чтобы функция у =Дх) удовлетво-
ряла в точке а условию Коши, т. е. для любого числа с > 0 найдется
соответствующее ему число 8 > 0, такое, что для любых значений х',
х" 6 X, удовлетворяющих условиям
0<]х'-а|<8, 0<|х"-й|<8,
справедливо неравенство
Какими арифметическими свойствами
обладают функции, имеющие предел?
Ограничимся только случаем предела функции в точке.
К арифметическим свойствам функций, имеющих предел в точ-
ке а, относят следующее утверждение.
Теорема. Если две функции Дх) и g(x) заданы на одном множестве
X и имеют в точке а пределы
lim f(x\-b и lim g(x) - c,
то их сумма, разность, произведение и частное также имеют пределы
в точке а, причем
+g(x)) = b + с, lim(/(x) - jc))=b - с.
68
Става 8
lim(f(x)g(x)) = 6+c, lim^^ = -
*-»<! *->«1 g(X) С
(для частного необходимо дополнительно потребовать, чтобы с * 0).
Каким образом сравнивают две бесконечно
малые и две бесконечно большие функции
в данной точке?
Функция у—а(х) называется бесконечно малой в точке а, если а(х)
имеет в точке а нулевой предел: lim а(х) = 0.
х-»0
Функция у — А(х) называется бесконечно большой в точке а, если
для любой последовательности {*„}, сходящейся к а и все элементы
которой отличны от а, соответствующая последовательность {/(-*„)}
является бесконечно большой1. Используются обозначения:
lim>l(x) = co или А(а) = оо.
Если соответствующая последовательности {хи} последовательность
{Дхп)} бесконечно большая и все ее элементы, начиная с некоюрого
номера, положительны или отрицательны, то пишут:
limj4(x) = +oc или А(а) = +со
или соответственно
lim Л(х) = -оо или А(а) = —оо.
Правило сравнения двух бесконечно малых или двух бесконечно
больших функций основано на вычислении предела их отноше-
ния.
Пусть а(х) и Р(х) — две бесконечно малые при х —> а функции,
заданные на одном и том же множестве X.
Говорят, что а(х) является в точке а бесконечно малой более высо-
кого порядка, чем р(х) (имеет в точке а более высокий порядок малости,
чем Р(х)), если
1 Аналогично вводятся понятия бесконечно малой и бесконечно боль-
шой функции при х —> а + 0, при х -> а — 0, при х -» со, при х -> +оо и при
Функция и се предел
69
В этом случае пишут: а = о(р) прих-» а
С I- а(х>
Если lim---- равен числу, отличному от нуля, то говорят, что
Х-»«Р(Х)
а(х) и р(х) являются в точке а бесконечно малыми одного порядка
(имеют в точке а одинаковый порядок малости). Если же этот предел
равен единице, то бесконечно малые а(х) и Р(х) называют эквива-
лентными в точке а.
Аналогично сравниваются две бесконечно большие в точке а
функции А(х) и В(х). Пусть для определенное! и
lim А(х) +а> и limB(x)=+co.
Тогда говорят, что:
— Л(х) имеет при х —ь а более высокий порядок роста, чем В(х),
А{Х)
если km-----= +оо:
»-»« В(х)
— функции Л(х) и В(х) имеют при х—> а одинаковый порядок роста,
А(х)
если lim------ равен конечному числу, отличному от нуля.
Глава 9. Непрерывность функции
Какая функция называется непрерывной
в точке?
Пусть функция у —f(x) задана на некотором множестве Xи пусть
точка а принадлежит множеству X и является его предельной точ-
кой.
Функция у =Дх) называется непрерывной в точке а, если
lim/(x)=/(a).
Привлекая сформулированные выше определения предела функции
в точке по Гейне и по Коши, получим два развернутых определения
непрерывности.
Определение (по Гейне). Функция у =Дл) называется непрерывной
в точке о, если
VU„} G X : {х„ I -> а => {/(хи)} -> /(а)
Определение (по Коши). Функция у =Дх) называется непрерывной
в точке а, если
Ve>036>0: VxeA', |x-a|<S=>|/(x)-61< е.
Аналогично можно ввести понятие односторонней непрерывности
функции в точке. Функция у —fix) называется непрерывной в точке а
справа (соответственно слева), если
lim f(x\-f{a) (соответственно lim /(х)=/(а)).
х-м+О
Если функция у =/(х) не является непрерывной в точке а, то
говорят, что точка а — точка разрыва данной функции.
Что значит, что функция непрерывна
на множестве X?
Определение непрерывности функции на множестве дается по-
разному для разных множеств X.
Непрерывность функции
Если X — интервал, открытая полупрямая или вся бесконечная
прямая, то говорят, что функция у —f(x) непрерывна на множестве X.
если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Если же X — например, сегмент [д, Ь], то говорят, что функция
у —f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь], если она непрерывна в каждой
внутренней точке этого сегмента и, кроме того, непрерывна в точке
а справа и непрерывна в точке b слева.
Какие свойства непрерывных функций
называют локальными?
К локальным относят те свойства непрерывных функций, кото-
рые характеризуют ее поведение в окрестности рассматриваемой
точки х = а.
Теорема 1 (о локальной ограниченности). Если функция f(x) оп-
ределена в некоторой окрестности точки а и непрерывна в точке а,
то найдется такая 6-окрестность точки а, в которой функция fix)
ограниченна (рис. 9.1).
Напомним, что функция у = f(x) называется ограниченной на мно-
жестве X, если Эт, М е R. обеспечивающие справедливость нера-
венств т < у —f[x) <у = М для Vx е X.
Теорема 2 (об устойчивости знака). Если функция f(x) определена в
некоторой окрестности точки а, непрерывна в точке а и ее значение
f(a) > 0 (соответственно f(a) < 0), то найдется такая 8-окрестность
точки а, всюду в которой функция fix) положительна (соответственно
отрицательна) (рис. 9.2).
Рис. 9.1
Аналог теоремы 2 справедлив и для функции, обладающей лишь
односторонней непрерывностью в точке а. Будем называть для каж-
дого 6 > 0 полусегмент [а, а + 5) правой 8-полуокрестностью точки а,
а полусегмент (а — 8, а] — ее левой 6-полуокрестностью.
Главам
Теорема 3. Ес ги функция^х) опреде ге-
на в некоторой правой (соответственно
левой) полуокрестности точки а, непре-
рывна в точке а справа (соответственно
с гева) и ее значение fia) * 0. то найдется
такая правая (соответственно левая)
8-полуокрестность точки а, всюду в
которой функция fix) имеет тот же
знак, что и в точке а (рис. 9.3, на ко-
Рис. 9.3
тором функция/jx) непрерывна справа
в точке a и fia) > 0).
Теорема 4 (об арифметических операциях над непрерывными функци-
ями). Если две функции fix) ug(x) определены в некоторой окрестности
точки а и обе непрерывны в точке а, то каждая из функций
[f(x)+g(x)], [f(x)-g(x)|. [/(x)-g(x)], ^21
g(x)
непрерывна в точке а (для частного нужно дополнительно потребовать,
чтобы g(a) 0).
Какие утверждения характеризуют свойство
непрерывной функции принимать любое
промежуточное значение?
К подобным утверждениям относятся следующие две теоремы.
Теорема 1. Если функция fix) непрерывна на сегменте [<з, Ь] и ее
значения на концах сегмента fia) и fib) — разного знака, то внутри
сегмента [а, Ь] найдется точка с, в которой fic) = 0 (рис. 9.4)
Теорема 2. Если функция fix) непрерывна на сегменте |й, /)| и прини-
мает на его концах различные значения a. —fia) и р —fib), то для любого
числа у, заключенного между а и р, внутри сегмента \а. Ь] найдется
точка с, в которой fic) = у (рис. 9.5).
Рис. 9.4
Рис. 9.5
Непрерывность функции
На рис. 9.6 показано, что если функ-
ция у ~Дх) имеет разрыв лишь в одной
точке х0 сегмента [«, 6]. то она может
принимать не все значения между
о. = Да) ир- ДЬ) (например, значе-
ние у не принимается ни в одной точке с
данного сегмента).
Рис. 9.6
Какие функции называют монотонными
и каковы их основные свойства?
Функция у =Дх) называется неубывающей (соответственно невоз-
растающей) на множества X, если
Vxj,x2 е А : х, <х2 => /(х,)< f(x2)
(соответственно
Vjq, х2 g X : х, < х2 => f(xt)>/(х2)).
Неубывающие и невозрастающие на множестве X функции на-
зываются монотонными на этом множестве.
Если же
Vxh х2 g X : х, < х2 => Дх,)< Дх2)
(соответственно
Vxn х2 еХ: х, < х2 => f(x,) > /(х2)).
то функция у = Дх) называется возрастающей (соответственно убы-
вающей) на множестве X.
Возрастающие и убывающие на множестве Xфункции называют
строго монотонными на этом множестве.
1. Строгая монотонность функции обеспечивает существование
для нее обратной функции.
Теорема 1. Пусть функция у = Дх) возрастает (соответственно
убывает) на сегменте [о. /'| и пусть а = Да), р = ДЬ). Тогда, если
множеством всех значений функции Дх) является весь сегмент [а, Р|
(соответственно весь сегмент (р, а |, то на этом сегменте определена
обратная дляу—Дх) функция1 x~f~l(y), которая также возрастает
(соответственно убывает) на указанном сегменте.
* Обратная для fix) функциякаждому значению у из области значений
функции fix) ставит в соответствие единственное решение х уравнения:
fix)=y.
74
Главам
2. Монотонные на сегменте [с, Ь] функции в каждой точке этого
сегмента имеют односторонние пределы.
Теорема 2. Если функция fix) монотонна на сегменте |с, й], то в каж-
дой внутренней точке сегмента [о, Ь\ она имеет правый и левый предепя
и, кроме того, у нее существует правый предел в точке а и левый преде г
в точке Ь.
3. Критерий непрерывности строго монотонной функции содержит
следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть функция у = fix) возрастает (соответственно
убывает) на сегменте |д. Ь] и пусть a ~fia). р = fib). Тогда для того,
чтобы функция у — fix) являлась непрерывной на сегменте [в. Ь], необ-
ходимо и достаточно, чтобы любое число у g [а, р] (соответственно
[Р, а] являлось значением зтой функции в некоторой точке с g [«, й|.
Ha рис. 9.7 изображена убывающая функция у =fix), непрерывная
на сегменте [а, й]. Изображенная же на рис. 9.8 функция у —fix) воз-
растает на сегменте |о, й], однако терпит разрыв в точке х0 g [а, й].
4. Строгая монотонность и непрерывность функции обеспечивает
существование для нее строго монотонной и непрерывной обратной
У=Лх)
Рис. 9.8
ol fib) =р fia) =а *
Рис. 9.9
Теорема 4. Пусть функция у = fix) возрас-
тает (соответственноубывает) и непрерывна
на сегменте [й, й] и пусть о. = fia), р = fib).
Тогда на сегменте [а, р ] (соответственно
на сегменте [а, Р|) определена обратная для
у — fix) функция х — f которая так-
же возрастает (соответственно убывает) и
непрерывна на указанном сегменте
На рис. 9.9 изображена функция х = f~l(y),
обратная к убывающей непрерывной функции
y = fix) (см. рис. 9.7).
Непрерывность функции
75
Что такое сложная функция и какие условия
обеспечивают ее непрерывность?
Пусть на некотором множестве Тзадана функция х= <р(/) и пусть
множество ^является множеством ее значений. Тогда если на Хзадана
функция у =f(x), то говорят, что на множестве Топределена сложная
функция у =/(<р(Л) (или суперпозиция функций <р и/).
Условие непрерывности сложной функции содержит следующее
утверждение.
Теорема. Если функция х = <р(г) непрерывна в точке 1=а,а функция
у —f(x) непрерывна в точке х = <р(й), то сложная функция у =
непрерывна в точке t — a.
Какие функции относятся к простейшим
элементарным, как они определяются
и каковы их основные свойства?
К простейшим элементарным обычно относят следующие функ-
ции: степенную функцию у — х° (ас Л), показательную функцию
у=а*(а >0, о* 1). логарифмическую функцию у = log^xCw >0, 1),
тригонометрические функции у = sinx, у = cosx, у = tgx, у = etgx
и обратные тригонометрические функции у = arcsinx, у = arccosx,
у = aretgx, у = arcctgx.
Определим эти функции и исследуем их на непрерывность.
1. Для определения показательной функции необходимо сначала
ввести любую вещественную степень числа а >0.
Натуральная степень п числа а определяется как результат «-крат-
ного умножения числа а на самого себя. Таким образом на полупря-
мой [0, + оо) полностью задана степенная функция у = хп, которая
возрастает и непрерывна на этой полупрямой. Следовательно, она
имеет обратную функцию х = у1/*, которая также непрерывна и
возрастает на полупрямой [0, + оо). Тем самым можно ввести любую
рациональную степень числа а равенствами:
, если f —, т, п е N.
«°=1,
a~r -j - если re Q и г > 0
Пусть теперьх 6 Ли а > 1. Если для всех чисел а, р g Q, удовлет-
воряющих неравенствам а < х < р, число у g Л удовлетворяет нера-
Главам
венствам в° < у< а₽, то определим число ах равным у. Если а е (0, 1),
то положим ах равным |—|
Таким образом, на всей числовой прямой (—оо, +со) полностью
определена показательная функция у =ах.
Приведем ее основные свойства:
а) множеством значений функции у ~ ах является открытая по-
лупрямая (0, +оо), причем
lim а* =+оо, lim ах =0, если а > I.
lim ах =0, lim ах =+оэ, если 0 < а < 1;
б) показательная функция непрерывна на всей прямой (—оо, + оо);
в) функция у = IIх возрастает при а > 1 и убывает при 0 < а < 1 на
всей прямой (—оо, + оо);
г) для любых X], х2 6 Л справедливы соотношения
aXl-a'<i =ax,+!ti, (ах‘)'‘2 -ах,х‘.
Графики показательной функции изображены на рис. 9.10 и 9.11.
и
Рис. 9.10
о
Рис. 9.11
В заключение отметим, что соотношение ах> -а*2 =д*,+,:2 может быть
положено в основу функционального определения показательной
функции. Можно доказать, что существует единственная функция
у —f(x), определенная на всей прямой R и такая, что. 1) Дх, + х2) =
=Дх,) • Дх2) Vjt[, х2 е Л; 2) ДО) — 1,Д1) = о; 3)Дх) непрерывна при
х = 0. Такой функцией и является функция у = ах.
2. В силу монотонности и непрерывности показательной функ-
ции у = 0х у нее существует обратная функция, которая называется
логарифмической и обозначается символом х = logay. Приведем ее
основные свойства:
Нспрсры ВНОСТЬ фу 11КЦИИ
77
а) логарифмическая функция у— log^x определена и непрерывна
на открытой полупрямой (0, +эо);
б) множеством ее значений является вся бесконечная прямая
(—<ю, 4-эо), причем
lim logex=-co, lim 1оейх=+от, если а > 1,
lim logax=+<x>, Ijm к®йх = -оо. если 0 < а < 1:
в) функция у — log^x возрастает при а > 1 и убывает при 0 < а < 1
на открытой полупрямой (0, +эо):
г) для любых X], х2ей справедливо соотношение
logfl(X]X2) = log^x, + log^Xj.
Графики логарифмической функции изображены на рис. 9.|2
и 9.13.
В заключение отметим, что если основание «логарифма равно е,
то этот логарифм называется натуральным и обозначается 1пх.
3. Степенная функция у =х° с показателем аеЛ определяется как су-
перпозиция логарифмической и показательной функции по формуле
х“ =aal°i,,x
где a&R, а > 1.
Перечислим ее основные свойства:
а) степенная функция определена и непрерывна на открытой
полупрямой (0, +эо).
б) множеством ее значений является множество (0. +оо), причем
lim х“ =0, lim х“ =+оо, если а > 0,
> >(||(| Л-»+У
Главам
lim х" =+оо, lim х° =0. если а < 0:
к—>0+0 *->+»
в) функция у = ха Boapaciaei при а > 0 и убывае! при а < 0 на
открытой полупрямой (0, +«>).
Графики степенной функции при различных показателях а изоб-
ражены на рис. 9.14 и 9.15
Рис. 9.14
Рис. 9.15
4. Тригонометрические функции у = sin х и у=cos х были введены в
курсе элементарной математики из наглядных геометрических сооб-
ражений. Отметим, что ло!ически безупречным способом введения
этих функций является следующий подход.
Можно доказать, что существует единственная пара функций
у —Дх) и у =g(x), определенных на всей прямой R и удовлетворяющих
соотношениям
ДХ] + х2) =Дх,) • g(x2) +Дх2) ^(х,);
g(x, + х2) = g(x,) • g{x2) —Дх,) -Дх2) Vx|t х2бЖ;
/2« I ?<>) = 1
/(0)=<u(0) = l, /[jj-l,
0< /(х)<х vxe^O,
Таковой и является пара функций Дх) = sin х и g(x) = cos х.
Приведем основные их свойства:
а) функции у — sin х и у = cos х непрерывны на всей бесконечной
прямой (—ос, +оо);
Непрерывность функции
б) эти функиии являются периодическими* с периодом 2л. Мно-
жеством их значений является сегмент |—1. 1];
в) функция у = sin х возрастает на каждом сегменте — — + 2лА,
- + 2т.к
VkeZ и убывает на каждом сегменте
Г — + 2пА, — + 2лЛ
|_2 2 J
VAeZ Функция у = cos х возрастает на сегментах [-л + 2лА:.2лА:],
VAeZ и убывает на сегментах |2пА, л + 2эт£], X/k^Z.
Графики функций у = sin хи у = cos х изображены на рис. 9.16 и
9.17.
Рис. 9.16
Рис. 9.17
К тригонометрическим также относятся функции tgx =------ и
COSX
COSX „
etgx=----. В силу теоремы об арифметических операциях над непре-
sinx
рывными функциями функция у = 1§хопределена и непрерывна в любой
л
точке х * — + лк, vAgZ, а функция у = etg х определена и непрерывна
в любой точке х * пк, VkeZ. Кроме того, функция у = 1g х возрастает на
любом интервале [ — —+ лА. —+ лк I, причем
lim tgx = -oo, lim tgx-+oo;
>.> ."int i() x->—+irt-0
2 2
функция у = etg x убывает на любом интервале (— л + пк, лА), VfceZ,
причем
lim ctgx = +oo, lim ctgx=-w.
А—>-П+л£+О Х-КпЛ-0
Графики функций у = tg х и у = etg х изображены на рис. 9.18 и
9.19.
1 То есть sin (х + 2л) = sin х и cos (х + 2л) = cos х Х/хе й
80
Главам
5. Так как функция у ~ sin х непрерывна и возрастает на сегменте
имеет множеством своих значений сегмент [—1, 1], то на
этом последнем сегменте определена обратная функция х = arcsiny,
которая также возрастает и непрерывна на сегменте |—1. 1]. Анало-
гично:
— функция х — arccos у, обратная к непрерывной и убывающей
на сегменте [0, п] функции у ~ cos х, является непрерывной и убы-
вающей на сегменте [— 1, 11;
— функция х = arctg у, обратная к непрерывной и возрастаю-
( я л А
шеи на интервале I I Функции у = tg х, является непрерыв-
ной и возрастающей на бесконечной прямой (—со, +со), причем
л л
lim arctgy = —, lim arctgy = —;
y-t— 2 у-**" 2
— функция x= arcctgy, обратная к непрерывной и убывающей на интер-
вале (0, л) функции у—cigх, является непрерывной и убывающей на бес-
конечной прямой (—оо, +эо), причем lim arcctgy - л, lim arcctgy = 0.
Графики обратных тригонометрических функций изображены на
рис. 9.20—9.23.
В заключение отметим, что любая элементарная функция, т. е. та,
которая получена из простейших элементарных функций посредством
конечного числа арифметических операций и конечного числа супер-
позиций, непрерывна в каждой точке своей области определения.
Непрерывность функции
у =arcctgx
Рис. 9.23
Какой предел называют первым
замечательным?
Первым замечательным пределом называю! равенство
sinx ,
lim-------------------------= I.
Основными его следствиями являются следующие пределы:
tex . arcsinx . arctex ,
lim-=— -1, lim------------=1, lim------— = 1,
х-»П X X *-»<) X
Какой предел называют вторым
замечательным?
Вторым замечательным пределом называют равенство
lim(l + х)^Л -е.
л—>0
Главам
Основными его следствиями являются следующие пределы:
.. 1п(1 + х) . .. е*-1 . (1+х)“-1
lim--------= 1, lim-----= 1, hm----------= .
х-»0 Л' х-»0 X х->4 X
Как классифицируются точки разрыва функции?
Точки разрыва функции принято подразделять на три типа.
1. Точка а называется точкой устранимого разрыва функции у = fix),
если предел этой функции в точке а существует, но он не равен зна-
чению До):
31im/(x)*/(a)
Если функция имеет устранимый разрыв в
точке а (рис. 9.24), то ее можно превратить в
непрерывную функцию в этой точке, заменив
значение Да) на значение lim/(х).
2. Точка а называется точкой разрыва пер-
вого рода функции у=fix), если эта функция
имеет в этой точке конечные, но не равные
друг другу правый и левый пределы:
lim f(x)* lim f(x)
x->«+0 х-ьа-0
Рис. 9.25
Как видно из рис. 9.25, разрыв первого рода можно назвать ко-
нечным скачком в данной точке
3. Точка а называется точкой разрыва второгорода функции у —fix),
если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке
либо не существует, либо является бесконечным.
На рис. 9.26 точка а является точкой разрыва второго рода, так
как предел lim /(х) конечный, однако lim Д(х) = +а>.
Непрерывность функции
Какие свойства непрерывных функций
относятся к ее глобальным свойствам?
К глобальным относят те свойства непрерывной функции, кото-
рые характеризуют ее поведение сразу на всем множестве X, где эта
функция непрерывна.
Кроме упомянутых выше теорем о прохождении непрерывной функции
через промежуточные значения к глобальным свойствам непрерывных
функций относят также следующие три утверждения.
Теорема 1 (первая теорема Веерштрасса). Если функция у =f(x)
непрерывна на сегменте [«, />], то она ограничена на этом сегменте
(рис. 9.27).
Отметим, что 1ребование непрерывности функции именно на
сегменте [о. &], а не на интервале (а, Ь) или на полусегментах (а, Ь]
и [«, Ь) является в теореме 1 существенным. Функция у — fix} на
рис. 9.28 непрерывна на интервале (а, Ь), но не на сегменте [а, />].
так как lim /(х) = +оо; соответственно функция у —Дх) не является
х—»<1+0
ограниченной сверху на интервале (а. Ь).
Для ограниченной на множестве ^функции, очевидно, ограничен-
ным является множество ее значений {/(х) | хе А) на этом множестве.
Поэтому можно ввести точную верхнюю и точную нижнюю грани
функции Дх) на множестве X:
М = sup/(x), т = inf /(х).
Теорема 2 (вторая теорема Веерштрасса). Если функция у — fix)
непрерывна на сегменте [й, fe|, то на этом сегменте найдутся такие
точки Х| «х2: Дхр ' М иДх2) = т (см. рис. 9.27).
В этой теореме, так же как и в теореме 1, требование непрерыв-
ности функции именно на сегменте [й, Л] является существенным.
Функция у —fix) на рис. 9.28 достигает на интервале (й, Ь) только
своей точной нижней грани. Но даже если функция ограничена на
84
Главам
сегменте [а, />], а непрерывна лишь
на интервале (а, Ь), она может ни в
=/(х) одной точке сегмента не достигать
своих точной верхней и точной ниж-
ней граней (рис. 9.29).
Последнее утверждение, относя -
---► щееся к глобальным свойствам непре-
рывных функций, касается свойства
равномерной непрерывности.
Функция у —Дх) называется рав-
номерно непрерывной на множестве X, если для любого сколь угодно
малою числа е > О найдется число 8 > 0, обеспечивающее спра-
ведливость неравенства [Дх') — Дх")| < е для любых точек х*, х"еХ,
удовлетворяющих условию |х' — х"| < 8, т. е.
Ve>0 38>0: Vx',x*g Х,|х'-х''|<8=>|/(х')-/(х'')|<е.
Равномерная непрерывность функции у — Дх) на множестве X
означает, что чем ближе произвольные точки х* и х" находятся на
множестве X, тем меньше друг от друга отличаются значения Дх') и
Дх") функции в этих точках, причем малость величины отклонения
[Дх*) — Д**')|не зависит от положения х* и х" на множестве X.
Теорема 3 (теорема Кантора). Если функция у =Дх) непрерывна на
сегменте [а, Z>], то она и равномерно непрерывна на этом сегменте.
В этой теореме также существенно требо-
вание непрерывности функции на сегменте.
„ ж 1
Рассмотрим пример функции у- —, непре-
рывной на интервале (0, 1) (рис. 9.30).
Точки х' ---- и х'=— с ростом номе-
п +1 " п
ра п становятся все ближе и ближе друг к
другу. Однако значения рассматриваемой
функции в них: /(х^) = и + 1,/(х“) = и всег-
да отличаются друг от друга на 1. Таким образом, функция у = —
не является равномерно непрерывной на интервале (0, 1).
Глава 10. Основы
дифференциального исчисления
Что называется производной функции в точке?
Пусть функция у —fix) определена на некотором интервале (а, Ь)
и пусть х— некоторая точка этого интервала. Наряду с точкой х рас-
смотрим близкую к ней точку х+Дх этого же интервала. Величина Дх
называется приращением переменнойх, а соо1ве1ствующая ей разность
Ду —fix + Дх) — Дх) — приращением функции fix) в точке х.
Производной функции у — fix) в данной точке х называется пре-
Ду
дел при Дх -> 0 так называемого разностного отношения —т е.
Дх
отношения приращения функции Ду в точке х к соответствующему
приращению аргумента Дх.
Итак, используя обозначение производной f'(x) или у '(х), имеем
/(а>= 1.П, Л>'- lim
дх-»0Дх а*-»о Дх
Каковы физический и геометрический смыслы
производной?
Если функция у —fix) описывает закон движения материальной
точки по прямой линии, т. е. определяет зависимость пути у, прой-
денного этой точкой за время х от начала отсчета, то производная
f(x) определяет мгновенную скорость точки в момент времени х.
Это одно из физических приложений производной.
Для выяснения геометрического смысла производной рассмотрим
график функции у —fix), определенной и непрерывной на интервале
(«, Ь) (рис. 10.1).
Пусть М — точка графика функции с координатами (х.Дх)), а Р—
другая точка графика с координатами (х + Дх,Дх + Дх)) Прямая МР
называеюя секущей графика функции у —fix). При Дх —> 0 точка Р
приближается вдоль графика к точке М, а секущая занимает пре-
Глава 10
Рис. 10.1
дельное положение — пе-
реходит в прямую MS, на-
зываемую касательной к
графику функции у — fix)
в точке М.
Разностное отношение
/(х+Дх)- /(х)
-------------в точке х
Дх
равно угловому коэффици-
енту секущей МР, т. е. равно
1£<р(Дх). Если производная
. _ . .. У(х + Дх)-/(х)
функции у =fix) в точке х существует, то существует lim ---------,
х-»С Дх
а следовательно, существует предельное положение секущей МР. т. е. ка-
сательная MS к графику в точке М. При этом И m tg<p( Дх) = tg <р0 и угловой
д*-»о
коэффициент наклона касательной к графику функции в точке Л/(х,Дх))
будет совпадать со значением производной/’(х) в этой точке.
Отсюда, в частности, следует, что уравнение касательной1 к гра-
фику функции у —fix) в точке с абсциссой х0 имеет вид
У =/Ц)) + f(xQ)(x - Хо).
Что называют правой и левой производными
в точке?
Правой (соответственно левой) производной функции у = fix) в
точке х называют правый (соответственно левый) предел разностного
Ду п
отношения —— при х -> 0. т. е.
Дх
/”(х + 0)= lim и f'ix-0)= lim —.
Д*->0+0Дх ' Л»_>0-0Дх
Функция у =flx) имеет в точке х производную тогда и только
тогда, когда она имеет в этой точке правую и левую производные и
они равны друг другу.
1 Если, конечно, касательная существует, или, что то же самое, сущест-
вует производная/>(хй).
Основы дифференциального исчисления
87
Какую функцию называют дифференцируемой
в точке?
Пусть функция у =Дх) определена на некотором интервале (а, Ь)
и пусть хи х + Дх — точки этого интервала.
Функция у —fix) называется дифференцируемой в данной точке х,
если приращение Ду —fix + Дх) — fix) этой функции в точке х, соот-
ветствующее приращение аргумента Дх, представимо в виде
Ду — А • Дх + а(Дх) • Дх,
где А — число, не зависящее от Дх, а <х(Дх) — функция, являющаяся
бесконечно малой при Дх-* О,
Таким образом,
Ду = Л Дхч-о(Дх),
где о(Дх) — бесконечно малая более высокого порядка, чем Дх
Имеет место следующее утверждение: того чтобы функиия
у = fix) являлась дифференцируемой в данной точке х, необходимо и
достаточно, чтобы она имела в этой точке производную. Константа
А из определения дифференцируемости равна значению f'{x).
Итак, окончательно для дифференцируемой функции получим
представление
Ду = /'(х)-Дх+о(Дх).
Какая связь между дифференцируемостью
и непрерывностью функции в точке?
Если функция у —fix) дифференцируема в данной точке, то она
и непрерывна в этой точке.
Обратное, как показывает пример функции у = |х|, неверно. Эта
функция непрерывна в точке х = 0, однако в этой точке производной
не имеет, так как в точке х = 0 ее правая производная/'(0 + 0) = 1 и
ее левая производная/'(0 — 0) = — 1 не равны между собой.
Что называется дифференциалом функции
в точке?
Пусть функция у =fix) дифференцируема в точке х.
Дифференциалом функции у = Дх) в точке х, соответствующим
приращению аргумента Дх, называется первое слагаемое А Дхпра-
Глава io
вой части представления приращения, или, что то же самое, главная
(линейная относительно Дх) часть приращения функции в данной
точке х.
На рис. 10.1 дифференциалом функции, соответствующим изоб-
раженному приращению Дх, является величина отрезка NQ*.
Дифференциал функции обозначается символом dy; величина
приращения Дхназывается дифференциалом независимой перемен-
ной и обозначается символом dx. Таким образом,
dy ~f'{x) dx.
Как найти производную сложной функции
в точке?
Пусть сложная функция у = f(<p(/)) является суперпозицией двух
функций х = <р(г) и у ~ f(x).
Если функция х = <р(/) дифференцируема в точке t, а у = f(x)
дифференцируема в соответствующей точке х = <р(г), то сложная
функция у —/(<р(г)Дифференцируема в точке t, причем справедливо
равенство
[Л<р(О>]' =Г(*> -
В чем суть свойства инвариантности формы
первого дифференциала?
Под инвариантностью формы первого дифференциала понимают
следующее свойство: равенство
=f'(x) - dx,
полученное выше для дифференциала dy функции у = Дх) незави-
симой переменной х, остается справедливым, если переменная х
сама является функцией х = <р(/) другой независимой переменной t
и соответственно дифференциал dx в правой части является диффе-
ренциалом этой функции х= <р(г).
Б то время как приращение функции Ду равно величине отрезка NP,
не равной дифференциалу NQ
Основы дифференциального исчисления
89
Как найти производную обратной функции?
Пусть функция у —fix) монотонна и непрерывна в окрестности
некоторой точки х0. Пусть, кроме того, эта функция имеет произ-
водную f(xQ) в этой точке, причем fix^) * 0. Тогда в некоторой ок-
рестности точки yQ —fix0) определена обратная функция х —f~l(y)
и справедлива формула
№>
Каковы правила дифференцирования суммы,
разности, произведения и частного функций?
Пусть каждая из функции у = и[х) и у = v(x) дифференцируема в
данной точке х. Тогда их сумма, разность, произведение и частное
также дифференцируемы в этой точке, причем
|д(х)± v(x)]' =u'(x)± v'(x).
[u(x)- v(x)]’=u’(x) • v(x)+u(x) v'(x k
Гw(-x)l u'(x) v(x)-u(x) v'(x)
|_v(x)J V2(x)
(в случае частного дополнительно предполагается, что v(x) # 0 в
рассматриваемой точке х).
Как найти производные простейших
элементарных функций?
1. Производная функции у = sin х.
По определению производной имеем
90
Глава io
В силу непрерывности функции у = cos х предел первого сомно-
жителя равен cos х, а в силу первого замечательного предела предел
второго сомножителя равен 1.
Итак, (sin х)’ = cos х
2. Производная функции у = cos х.
Из тождества cosx=sin^y-x} и правила дифференцирования
сложной функции следует
(cosx)' =
Итак, (cos х)' = —sin х.
3. Производная функций у = tg х и у = ctg х.
Из определений этих функций и правила дифференцирования
частного имеем
, (sinx'l cosx-cosx + sinx-sinx I
(tgx)' = --- =-----------5---------=---
(.cosxy COS X cos X
, (cosx^ -sinx-sinx-cosx-cosx 1
(ctgx) = -— =---------—--------------- —.
VsinxJ sin2x sin x
Итак, (tgx)'=—, (ctgx)' =------.
cos x sin x
4. Производная показательной функции у = а*.
По определению производной имеем
_х+Дх _х _Дх , 1по-Лх .
. *1» 1- ° ~а х а ~1 х. е “1
(а ) = lim-------=о lim------а ln« lim-----------.
Дх—*0 Дх Дх->0 Дх Лх-»0 Ina-Дх
Последний предел в силу одного из следствий второго замеча-
тельного предела равен 1 Итак, (ах)'=ах-1па, (е*)'=е*.
5. Производная логарифмической функции у = logfl х.
По определению производной имеем:
Основы дифференциального исчисления
Последний предел в силу непрерывности логарифмической функции
и второго замечательного предела равен logoe. Итак, (loga х)’=— -logoe,
(1пх)' = 1.
6. Производная степенной функции у =х®.
Воспользуемся тождеством if1 = еа 1п * и правилом дифференци-
рования сложной функции
(х“ У = (<!“'" ’ У = е°<' In >>' = х“ - = ах“-'
Итак, (х“)' = ах“-1.
7. Производная функции у = arcsin х.
Так как функция у = arcsin х на интервале — 1 < х < 1 является об-
... пл
ратной для функции х=sin у, определенной на интервале -—< у < —
и (sin у)’ = cos у, что отлично от нуля на этом интервале, то по правилу
дифференцирования обратной функции получим
(arcsin х)' =------=--------— . = = .
(stay)' cosy y]l-X2
Итак, (arcsin х)’- ‘ = прихе(—I, I).
>11-х2
8. Производная функции у — arccos х.
Так как для всех хе [— I, I ] сраведливо равенство arcsin х + arccos х =
, (тг
(arccos х) =1- -arcsin х
9. Производная функции у = arctg х.
Та к как функция у = arctg х является обратной для функции х = tg у,
п п . |
определенной на интервале — <у<—, и (tgy) =-----—*0, то по
2 2 cos2 у
правилу дифференцирования обратной функции получим
(arctg х)'=—!— = cos2 у =---
92
Глава io
Итак, (arctex)'= ———.
1 + х2
10. Производная функции у = arcctg х.
Так как для всех х е Я справедливо равенство arctg х + arcctg х =
(arcctgx)' - - arctgx
Как найти производную
степенно-показательной функции?
Степенно-показательной принято называть функцию видау> =и(х)'^х\
где функция н(х) строго положительна. Для нахождения производной
такой функции можно использовать два подхода.
Во-первых, можно перейти ксложной функции вида у = е1’’*' от-
куда по правилу дифференцирования сложной функции следует, что
у' = = u(x))- =
= u(x)l’w- v'(x)-lnu(x) + т(х)-“^
L “(х)
Во-вторых, можно использовать так называемую логарифмическую
производную. Логарифмической производной функции у =Дх) в точке х
называют производную сложной функции w = InДх), равную
w' = (In >•)'/=—=—V
У Дх)
Если у = ы(х)*'^, то получим
у’=у (in у у=у •( v(x)- In «(X))'=
= и(х)‘м- v'(x)’lnu(x) + v(x)'———
L “(x)
Что называется л-й производной функции?
Если функция у —fix) определена и дифференцируема на интервале
(а, Ь), то значение ее производной/'(х) также можно рассматривать
как функцию независимой переменной х, определенную на том же
Основы дифференциального исчисления
93
интервале (а, Ь). Если эта функция f'(x) сама дифференцируема в
некоторой точке хе (а, Ь), то ее производную называют второй про-
изводной (или производной второго порядка) функции у —Дх) в точке х
и обозначают символом/(2>(х) или/"(х).
В соответствии с таким принципом вводятся и производные других,
более высоких порядков. Если определена (п — 1)-я производная и она
сама является дифференцируемой функцией в некоторой точке х, то
п-й производной (или производной п-го порядка) называют величину
/я)(х) = ~ П(х))'.
Как можно найти n-е производные некоторых
простейших элементарных функций?
Непосредственным дифференцированием можно убедиться в
справедливости следующих формул:
(х“)(и) = а(а -1)(« -2)...(о - п + 1)х“ ",
(о*>(й,=а*-1пиа,
(smx)<n> =sin^x+«-^;
(cosx)<n)-cosfx+л
Какое правило носит название
формулы Лейбница?
Формула Лейбница позволяет найти н-ю производную произве-
дения функций, зная производные сомножителей:
(uv)M =«<и)г + С>(иЧ,т' + Сй2и<й-2)г<2' +С><ВА><5) +
где С* — биномиальные коэффициенты, вычисляемые по формуле
С* =---—---.
я k'(n-k)l
94
Глава io
Как определяются второй дифференциал
и другие дифференциалы высших порядков?
Рассмотрим первый дифференциал dy =f'(x) dx как функцию ар-
гумента х, и пусть эта функция дифференцируема в данной точке*.
Значение 8(dy) дифференциала от первого дифференциала dy,
взятое при 8х = dx, называется вторым дифференциалом функции
у =f(x) в данной точке хи обозначается символом d2y.
Дифференциал любого порядка, также как и л-я производная,
вводится по индукции: п-м дифференциалом функции у — /(х) называ-
ется значение 8(dn~ly) дифференциала от (и—1)-го дифференциала,
взятое при 6х = dx
Обладают ли дифференциалы высших порядков
свойством инвариантности формы?
В отличие от первого дифференциала функции у =f(x) уже при
вычислении ее второго дифференциала необходимо различигь два
случая
1 Пусть аргумент х является независимой переменной. Тогда dx не за-
висит от х (ведь dx =Дх по определению) и потому 8(</х) = (dx)' х 8х — 0.
Следовательно,
d2y =т» |и„л=|н,.*={«/'<*»* + ГЫ№» |ь_4, =
2 . Пусть теперь аргумент х является два раза дифференцируемой
функцией некоторой независимой переменной 1. Тогда из определе-
ния второго дифференциала следует, что 8(Jx)|gx = dx = d2x и, следо-
вательно,
<12у = (6{/'(х)т/л)} |&яЛ + {/'(x)S(dr)} 1^=^= /2,(х)-( Jx)2 + f(x)d2x.
Сопоставление выражений для d2y в этих двух случаях говорит о
том, что второй дифференциал уже не обладает свойством инвари-
антности формы.
* Для этого достаточно потребовать, чтобы функция у = f(x) была два
раза дифференцируема в точке х, а аргумент х являлся либо независимой
переменной, либо также два раза дифференцируемой функцией другой
переменной I.
Глава 11. Теоремы
о дифференцируемых функциях
Что означает возрастание или убывание
в точке и какие условия обеспечивают
такое свойство функции?
Говорят, что функция у — Дх) возрастает (соответственно убы-
вает) в данной точке х0, если существует такая окрестность точки
х0, в пределах которой Дх) >Дх0) при х > х0 иДх) < /(х0) при х < х0
(соответственно Дх) </(х0) при
х > х0 иДх) >/(х0) при х < х0).
На рис. 11.1 функция у —fix)
убывает в точке х0 и возрастает
в точке Ху
Условие, обеспечивающее воз-
растание или убывание функции
у =Дх) в данной точке, содержит-
ся в следующем утверждении.
Теорема. Если функция у —fix)
дифференцируема в точке х() и
f'(xo) > 0 (соответственно/'(х^) < 0), то данная функция/1.x) возрас-
тает {соответственно убывает) в точке х^.
Отметим, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Действительно, функция у =х5 возрастает в точке х0 = 0, однако ее
производная в этой точке равна нулю.
Что означает наличие у функции локального
экстремума в точке и какое условие
необходимо для этого свойства?
Говорят, что функция у —fix) имеет в точке хи локальный максимум
(соответственно локальный минимум), если существует такая окрест-
ность точки в пределах которой значениеДх^) является наибольшим
(соответственно наименьшим) среди всех остальных значений Дх)
46
этой функции. Точки локального максимума и локального минимума
называют также точками локального экстремума.
На рис. 11.1 функция у =fix) имеет локальный максимум в точке с.
Теорема. Если функция у —fix) дифференцируема в точке х^ и имеет
в этой точке локальный экстремум, то f{x^) — 0.
Это утверждение имеет простой геометрический смысл: если в
точке кривой у =fix), соответствующей локальному экстремуму, есть
касательная, то эта касательная параллельна оси Ох (см. рис. 11.1).
Как показывает поведение функции у — х3 при х = 0, утвержде-
ние, обратное данной теореме, может быть неверно. Действительно,
несмотря на то, что производная функции у =х3 равна нулю в точке
х= 0, сама функция в эюй ючке возрастает и, следовательно, не имеет
локального экстремума.
Отметим также существенность условия дифференцируемости
функции у = fix) в точке локального экстремума. Так, например,
функция у = | х | имеет в точке х = 0 локальный минимум, однако у
нее нет в этой точке производной.
В чем состоит теорема Ролля и каков ее
геометрический смысл?
Теорема Ролля. Если функция у = fix) непрерывна на сегменте [о, Ь]
и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и если.
Рис. 11.2
кроме того, fia) =fib), то внутри сегмента
[а, й] найдется точка £;, производная /’(£,) в
которой равна нулю.
Теорема Ролля имеет простой геометричес-
кий смысл: если значения функции у —fix) на
концах сегмента равны, то на кривой у =fix)
найдется точка, в которой касательная к кри-
вой параллельна оси Ох (см. рис. 11.2).
В чем состоит теорема Лагранжа и каков
ее геометрический смысл?
Теорема Лагранжа. Ес iu функция у = fix) непрерывна на сегменте [а, й]
и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента, то внутри
сегмента [а, й] найдется точка £, для которой справедливо равенство
fib) —fia) =/*(« (* - а),
называемое формулой Лагранжа.
Теоремы о дифференцируемых функциях
97
Теорема Лагранжа имеет следующий
геометрический смысл: между точками
А и В на кривой у = fix) найдется точка,
в которой касательная к этой кривой па-
раллельна секущей АВ (рис. 11.3).
Каковы основные следствия
теоремы Лагранжа?
Рис. 11.3
К основным следствиям теоремы Лагранжа относят следующие
три утверждения.
1. Если функция у = fix) дифференцируема на интервале (а, Ь) и если
всюду на этом интервалеf'(x) — 0, то функция fix) является постоян-
ной на этом интервале.
Иными словами, если в каждой точке некоторого участка кривой
У ~ fix) касательная к кривой параллельна оси Ох, то этот участок
кривой представляет собой отрезок прямой, параллельной оси Ох
2. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (а, Ь) функция fix)
не убываю {соответственно не возрастала) на этом интерва 1е, необходимо
и достаточно, чтобы производнаяf'(x) этой функиии была неотрииательна
(соответственно неположительна) всюду на интервале (а, Ь).
3. Если производная f'(x) положительна (соответственно отрица-
тельна) на интервале (а, Ь), то функция у = fix) возрастает (соот-
ветственно убывает) на этом интервале.
Отметим, что утверждение, обратное последнему утверждению,
вообще говоря, неверно. Действительно, функция у =х? возрастает
на интервале (—1, 1), однако ее производная у = Зхг обращается в
нуль на этом интервале.
В чем состоит теорема Коши?
Теорема Коши. Если каждая из двух функций fix) ug(x) непрерывна
на сегменте [a, fe] и дифференцируема во всех внутренних точках этого
сегмента и если, кроме того, производная £ (х) * 0 Vxe(«, fe), то внутри
этого сегмента найдется точка £,, такая, что справедлива формула
f(b)-f(a) f'(td
g(b)-g(a) g'(fy’
называемая формулой Коши.
98
Отметим, что формула Лагранжа является частным случаем фор-
мулы Коши при g(x) = X.
.. О
Что называют неопределенностью типа
оо °
или типа — ?
ос
В математике неопределенностями при х -» « называют такие
выражения с переменной х, для которых формальная поставка в них
значения х = а не позволяет судить о поведении этого выражения
при х —» а.
fix)
Например, если в отношении двух функций -- обе функции
«(х)
являются бесконечно малыми при х —> а, то говорят, что имеет место
неопределенность типа —. Действительно, для бесконечно малых при
х —> 0 функций Дх) = х° и g(x) = х₽ (а, р > 0) предел их отношения
=х<1_₽ в зависимости от а и Р может быть как равен нулю (при
£(*)
а > р), так и быть равен оо (при а < р)
с fiX) «ж « к
Если в отношении---обе функции являются бесконечно боль-
£(х)
шими при х -» а, то говорят, что имеет место неопределенность типа
00 R
—- Действительно, те же функцииДх) = ха и д(х) = х" (а, Р > 0) яв-
ляются бесконечно большими при х —> +<ю , однако
lim lim ха ₽
Г+оо при а > р,
1 при а = р,
|0 при а < Р-
Раскрыть неопределенность* 1 — значит вычислить предел рассмат-
риваемого выражения при х —> а.
. и ос
1 Наряду с неопределенностями типа — и — рассматривают также неоп-
0 ос
ределенности других типов. О • со, оо — оо, 1“, 0°, со®, 0“ и т. д.
Теоремы о дифференцируемых функциях
99
В чем состоит правило Лопиталя?
Правило Лопиталя дает возможность раскрыть неопределенность
О со Дх)
типа — или —, сводя вычисление предела отношения функции---
О со g(x)
f'(x)
к вычислению предела отношения их производных-----.
g'(x)
Теорема. Пусть функции f\x) ug(x) определены и дифференцируемы
всюду в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может,
самой точки а. Пусть lim Дх) = lim g(x)=0 или lim Дх) = lim g(x) = со
и производная g'(x) отлична от нуля в указанной окрестности точки а.
Тогда если существует {конечный или бесконечный) предел
1 Дх)
то существует и предел lim--, причем
g{x)
lim------= um-------.
Отметим, что данная теорема переносится на случай, когда аргу-
мент х стремится не к конечному, а к бесконечному пределу а = +оо
или а = —оо. В этом случае лишь необходимо в качестве окрестности
точки а рассматривать либо полупрямую (с, +эо) (при а = +эо). либо
полупрямую (—со, с) (при а = —оо).
Какое соотношение называют
формулой Тейлора?
Формулой Тейлора называю! следующее предо авление для функ-
ции у —Дх) в некоторой окрестности точки х = а:
f(x) = /С< + f+ /‘21(°)<х -«>’+..+ /И’(‘1)<Х - о>" + Я„,Ы.
I! 2! л!
Величина Rn+ j (х) в правой части называется остаточным членом.
Сумма остальных слагаемых правой части является многочленом
переменой х степени не выше и; этот многочлен называется много-
членом Тейлора функции Дх)
fiaea 11
100
Практическую ценность формулы Тейлора определяет возмож-
ность оценить поведение ее остаточного члена Rn+ ((х) в окрестности
точки и.
Теорема Тейлора. Пусть п е N и функция у —fix) имеет в некоторой
окрестности точки а производную порядка (п + 1). Тогда для любой
точки хзтой окрестности найдутся такие лежащие между а и х точки
<; । и что справедлива формула Тейлора, в которой для остаточного
члена Яй+|(х) справедливо любое из следующих представлений:
Ли+1(х) = /|И+1>(^1) — остаточный член в форме Лагранжа,
р л а 1
Л»+1'Л/ J vs?) —остаточный член в форме Коши
На практике формулу Тейлора применяют, приближенно заменяя
функцию f(x) ее многочленом Тейлора, а представления остаточно-
го члена Rn+i(x) позволяю! при si ом оценить шлрешность такого
приближения.
Если необходимо оценить лишь порядок малости остаточного
члена Йй+|(х) при х > а, можно использовать представление оста-
точного члена в форме Пеано*:
при х-> а.
Отметим в заключение, что формула Тейлора при а = 0 называется
формулой Макларена и, соответственно, имеет вид
где остаточный член /?й+ ((х) представим либо в форме Лагранжа,
либо в форме Коши, либо в форме Пеано с а = 0.
1 Для этого достаточно потребовать, например, чтобы функция Дх) имела
в окрестности точки а производную порядка п и чтобы эта производная fin\x)
была непрерывна в самой точке а.
Теоремы о дифференцируемых функциях
101
Каковы основные разложения
по формуле Маклорена?
1. Функция у =ех.
Формула Маклорена для любого ne N имеет вид
х х2 х"
«* -U-+—ч -^йл+|(л),
1! 2! я!
где на любом сегменте — г < х < г выполнена оценка
2. Функция у = sin х.
Формула Маклорена для любого нечетного пе ТУ имеет вид
sinx = х-—+-——+„.+(-1)(""’)/2—+ Яч+2(х),
3! 5! 7! и! J+z
где на любом сегменте — г< х < г выполнена оценка
3. Функция у = COS X.
Формула Маклорена для любого четного не /V имеет вид
cosx =
6!
л!
где на любом сегменте —г<,х< г выполнена оценка
4. Функция у = 1п( 1 + х).
Формула Маклорена для любогоneN имеет вид
2 3 4 и
1П(14-Х) = Х -±-4-±-+- + <-1|" ‘
2 3 4 п
где на сегменте 0 < х < 1 выполнена оценка
102
Гтава 11
а на любом сегменте —1 < — г < х < 0 — оценка
|/U|WI<T“7
Какие условия достаточны для наличия
экстремума в данной точке?
Как уже было отмечено выше, условие f’(c) = 0 является лишь
необходимым условием локального экстремума в точке с. Поэтому
корни уравнения f'(x) = 0 называют точками возможного экстремума,
или стационарными точками функции
Укажем три достаточных условия наличия экстремума
1. Пусть точка с является стационарной для функции Дх), диф-
ференцируемой всюду в некоторой окрестности точки с. Тогда если
в пределах указанной окрестности
f'(x) > 0 при х < с и fix) < 0 при х > с.
то с — точка локального максимума функции fix)', если же/'{х) < 0 при
х < с и f'(x) > 0 при х > с, то с — точка локального минимума функции
fix). В случае, когда производная f'(x) имеет один и тот же знак слева
и справа от точки с, экстремума в точке с нет (рис. 11.4 и 11.5).
Рис. 11.4
Рис. 11.5
2. Пусть точка с является стационарной для функции Дх), которая
имеет в точке с конечную вторую производную. Тогда ecauf*2 3\c) > О,
то с — точка локального минимума функции fix)', если же f^(c) < О,
то с — точка локального максимума.
3. Пусть функция у —fix) дифференцируема в некоторой окрест-
ности точки с, за исключением, быть может, самой точки с, и непре-
рывна в точке с. Тогда если в пределах указанной окрестности
f'(x) > 0 при х<с и f’{x) < 0 при х>с.
Теоремы о дифференцируемых функциях
103
то с — точка локального максимума функции fix)', если же
f’[x) < 0 при х <с и f'(x) > 0 при х > с,
то с — точка локального минимума. В с гучае. когда производная fix)
имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, экстремума в
точке с нет (рис. 11.6 и 11.7).
Рис. 11.6 Рис. 11.7
Что называется краевым экстремумом
и как его найти?
Пусть функция у —fix) определена на сегменте [«, />| и граничная
точка b । акова, что в некоторой ее левой полуокрестности значение/}Ь)
является наибольшим (соответственно наименьшим) среди всех других
значений функции. Тогда говорят, что функция имеет в точке b краевой
максимум (соответственно краевой минимум). Аналогично определяется
краевой максимум и краевой минимум в граничной точке а.
Справедливо следующее утверждение: если функция у —fix) имеет
в точке b положительную (соответственно отрицательную) левую
производную f(b — 0), то эти функция имеет в этой точке краевой
максимум (соответственно краевой минимум)
Как определяется направление выпуклости
графика функции и что такое точка перегиба?
Пусть функция у —fix) дифференцируема в любой точке интервала
(а, Ь). Говорят, что график функции у =/(х) имеет на (а, Ь) выпуклость,
направленную вниз (соответственно вверх), если график этой функции
в пределах указанного интервала лежит не ниже (соответственно
не выше) любой своей касательной.
График функции на рис. 11.8 имеет выпуклость, направленную
вниз, а на рис. 11.9 — выпуклость, направленную вверх.
Точка М (с, fie)) графика функции у ~ fix) называется точкой
перегиба, если существует такая окрестность точки с оси абсцисс, в
104
Гтава 11
Рис. 11.10
пределах котором график функции у =fix)
слева и справа от с имеет разные направ-
ления выпуклости.
На рис. 11.10 график функции имеет
перегиб в точке М (с,fie))
Как выяснить направление выпуклости графика
функции и найти его точки перегиба?
1. Если функция у —fix) имеет на (л, Ь) конечную вторую произ-
водную f<1 2\x) и эта производная неотрицательна (соответственно
неположительна) на этом интервале, то график функции у —/(х) имеет
на (л, Ь) выпуклость, направленную вниз (соответственно вверх).
2. Для нахождения точек перегиба графика функции у =fix) сначала
отметим, что если М (с,/(c)) — точка перегиба и/^21(х) непрерывна в
точке с, то f^(c) — 0. Это означает, что решения уравнения f<2\x) “ 0
являются абсциссами возможных точек перегиба.
Наличие перегиба графика в данной точке решает любое из сле-
дующих утверждений.
Теорема 1. Пусть функция у — fix) имеет вторую производную в
некоторой окрестности точки с и = 0. Тогда если в пределах
указанной окрестности /^2'(х) имеет разные знаки слева и справа
от с, то график этой функции имеет перегиб в точке М (с, fie)) (см.
рис. 11.10).
Теорема 2. Если функция у — fix) имеет в точке с конечную третью
производную и f^fic) = 0,f^(c) * 0, то график функции у —fix) имеет
перегиб в точке М (с, fie)).
Теоремы о дифференцируемых функциях
Что называют асимптотами графика функции
и как их найти?
Различают вертикальные и наклонные асимптоты.
Говорят, что прямая х = а является вертикальной асимптотой
графика функции^ =Дх), если хотя бы один из пределов
lim f(x} или |im f(x)
равен +со или —оо.
Для функции у =f(x) на рис. 11.11 прямая х=л( является вертикаль-
ной асимптотой, так как Пш /(х)=-оо, прямая х =а, также является
вертикальной асимптотой, так как lim Д(х) = lim /<х) = +оо.
Говорят, что прямая у = kx + b является наклонной асимптотой
графика функции у —f(x) при х —» +<ю (соответственно при х —> —оо),
если эта функция представима в виде
Дх) = kx + b + а(х).
где а(х) — бесконечно малая функция при х—> +со (соответственно
При X —» —00).
Для функции у = f(x) на рис. 11.12 горизонтальная прямая £,
является асимптотой при х -> +со, а прямая £2 — асимптотой при
Справедливо следующее утверждение1: для того чтобы график
функции у = f(x) имел при х -> + оо наклонную асимптоту у = kx + b,
необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела
1 Определенности ради это утверждение сформулировано здесь только
для асимптоты при х —» +со.
Глава 12. Неопределенный
интеграл
Что называют первообразной функцией?
Функция F(x) называется первообразной функцией (или просто
первообразной) функцииДх) на интервале (а, Ь), если в любой точке
хе (а, Ь) функция F(x) дифференцируема и F'(x) —f[x).
Связь между первообразными одной и той же функции проясняет
следующее утверждение: ест Ft(x) и F2(x) — две первообразные одной
и той же функции на интервале (а. Ь), то всюду на зтом интервале'.
Г,(х) — F2 (х) = С, где С — некоторая постоянная.
Что называют неопределенным интегралом
функции?
Неопределенным интегралом от функции Дх) на интервале (а, Ь)
называют совокупность всех ее первообразных на этом интервале и
обозначают символом J ftx)dx.
Здесь J называется знаком интеграла, выражение fix)dx — подын-
тегральным, а сама функция Дх) — подынтегральной функцией.
С учетом свойства первообразных можно утверждать, что если
F(x) — одна из первообразных функций Дх) на (а, Ь), то
f fix)dx = F(х) + С.
где С — произвольная постоянная
Операцию нахождения неопределенного интеграла или первооб-
разной функции принято называть интегрированием
Какими основными свойствами обладает
неопределенный интеграл?
К основным принято относить следующие свойства неопреде-
ленного интеграла.
1. d J fix)dx =flx)dx.
Неопределенный интеграл 107
2. JdF(x) = F(x) + С, VCgR
3 J [/(x) ± tfx)Jdx = jf(x)dx ± J g(x)dx.
4. J [ДДх)]</х = A jf(x)dx, A — постоянная
Свойства 3 и 4 называют свойствами линейности неопределен-
ного интеграла.
Для интегрирования необходимо также составить таблицу основ-
ных неопределенных интегралов. Она заполняется на основе таблицы
производных простейших элементарных функций.
1 |0dv = C.
2. Jldx = x + C.
3 fx“dx =-+ С(приа* —1).
J а +1
4. J—= ln|x|+C.
5. [<Л/х =-+C (при 0 < а * 1), [e*dx=e* +C.
J Ina J
6. jsinx<7x = -cosx+C.
7. jcosx<7x = sinx+C.
г dx
8. I-j—=tgx+C.
J COS X
fJx
——=-ctgx+C.
sinx
г dx „ и
j q J = arcsin x+C = -arccosx+C+—
j dx „л
11, J--j-=arctgx + C = -arcctgx + C+—.
12.
Отметим, что если операция дифференцирования не выводит из
класса элементарных функций, то операция интегрирования таким
свойством уже не обладает. Так, например, неопределенные интег-
r , pcosx , rsinx , г dx rsinx ,
ралы le ax, I—p^tfx, I ^—dx, I---, |--dx не выражаются через
3 1 yjx 3 -Jx Jlnx J X
элементарные функции.
IOS Глава 12
Как выполнить замену переменной
в неопределенном интеграле?
Если функция г= <р(х) определена и дифференцируема на интер-
вале (а, Ь) и Тявляется множеством значений этой функции, причем
на множестве Т
Jg«)A-G(z>TC,
то функция Дх) = g(<p(x)) • <р'(х) имеет на (в, Ь) первообразную и
выполнено равенство
f ф(х))- ф'( x)dx - G(<p(x))+ С.
В чем состоит метод интегрирования
по частям?
Если функции и(х) и v(x) дифференцируемы на интервале («, Ь)
и если функция v(x) • и ’(х) имеет на этом интервале первообразную,
то и функция и(х) v'(x) имеет на (а, Ь) первообразную и выполнено
равенство
Ju(x)v'(x)</x=h(x)-v(x)-Jv(x)-«'(x)</x.
С учетом определения первого дифференциала это равенство
часто пишут в виде
Ju-rfv-имJi -du.
Отыскание интеграла в левой части с помощью этой формулы
называют интегрированием по частям
В чем состоит основной метод интегрирования
рациональных дробей?
Р(х)
Рациональной дробью называется отношение-двух алгебраичес-
ки)
ких многочленов с вещественными коэффициентами. Рациональная
дробь называется правильной, если степень многочлена Р(х) меньше
степени многочлена Q(x)
Любую рациональную дробь можно проинтегрировать в элемен-
тарных функциях. Для этого необходимо выполнить следующие
преобразования этой дроби.
Неопределенный интеграл
109
1. Если рациональная дробь не является правильной, то предста-
вить ее в виде
pt{x)
0(х)’
где Pq(x) — некоторый многочлен, а дробь--------правильная1.
Р(х)
2. Если дробь --- правильная, то представить ее в виде суммы
Qix)
дробей
Здесь Л(,Ьк— вещественные корни многочлена Q(x) кратностей
Р],..., рд, соответственно; многочлен х2 + pgx + для каждого а — 1,..., г
порождается парой комплексно сопряженных (не вещественных) кор-
ней fijH многочлена Q(x) по формуле х2 + psx+qs ={x-as){x-asY,
числа А । Аг— кратности корней Коэффициенты, стоящие
в числителях дробей этой суммы, можно найти, если привести все эти
дроби к общему знаменателю и приравнять результат к дроби -.
<?(х)
3. Проинтегрировать по отдельности каждую дробь полученной
суммы:
a) J—Я1п|х-6|+С,
б) J—^—^dx=-^—{x-b)'^+C\
J(x-fc)₽ 1-₽
Г Мх + N ,
в) в интеграле I— ---ах представить знаменатель поды нтег-
Jx + px+q
2 f ( Рг 1
ральной функции в виде х +px + <?=lx+— I м, положив
I Р
выполнить в интеграле линейную замену t = х+у. Тогда
интеграл преобразуется к следующему виду:
1 Для этого можно разделить многочлен Р(х) на многочлен Q(x) с ос-
татком.
Ill)
Глава 12
г) выполняя те же замены, что и в пункте в), интеграл
f Mx + N
I—:------
3(x2+px+qy
можно преобразовать к следующему виду:
последний интеграл К, = [--& . может быть вычислен по рекур-
J(/2+a2)'
рентной формуле
„ _(/2+д2)1' 2X 3
2а2(Х-1) а2(2Х-2)
Какие другие классы функций можно
проинтегрировать в элементарных функциях?
Укажем еще три класса функций, интегрирование которых можно
свести к интегрированию рациональной дроби.
1. Для инте1риривания триюнометрических выражений вида
1 Акт)
A(sin х, cosx), где R(y, z) — рациональная дробь*-от двух эргу-
C(y,z)
ментову и z, обычно применяют универсальную тригонометрическую
подстановку / = В результате этого интеграл JjRfsinx. cosxkfr
сводится к интегралу от рациональной дроби аргумента I
1 В ней Р(у, г) и Q(y, г) — алгебраические многочлены от двух перемен-
ных у и ?.
Неопределенный интеграл
2. Пусть R(y, z) — снова рациональная дробь от двух аргументов
у и z- Для интегрирования дробно-линейной иррациональности вида
I lax + b'] lax + b Т
Л х’!1---- достаточно сделать подстановку i = ;I-. Тогда ин-
ycx+d) Vcx+d
теграл сведется к интегралу от рациональной дроби аргумента /.
3. Для интегрирования квадратичной иррациональности вида
R(x, ^ах2 + Ьх + с), где R(y, z) — рациональная дробь от двух аргу-
ментов у и z, а квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с не имеет совпадающих
вещественных корней, рассмотрим два случая:
а) трехчлен «х2 + Ьх + с имеет комплексные корни и а > 0. Тогда
интеграл от квадратичной иррациональности переходит в интеграл
от рациональной дроби, если выполнить так называемую первую
подстановку Эйлера
t = д/дх2 +bx+c + x-Ja\
б) трехчлен ах2 + Ьх + с имеет два несовпадающих вещественных
корня Х| и х2- Тогда интегрирование следует проводить, выполняя
так называемую вторую постановку Эйлера
Глава 13. Определенный
интеграл
Что называется определенным
интегралом функции?
Пусть функция у —fix) определена и ограничена на сегменте [«, й].
Рассмотрим внутри этого сегмента точки х(, х2.x«-i- xi < х2 < —
< xn-i и положим х0 = а. хп = Ь. Эти точки тем самым производят
разбиение сегмента [й, Ь] на п частичных сегментов I х(|, xj, (х., х2].
Рис. 13.1
|хп_ ।, хй]- Длину каждого частич-
ного сегмента обозначим Дх* =
=х* — х*_| и возьмем на каждом
сегменте (х*_ (, х*] произвольную
точку !;* (рис. 13.1)
Сумму
и = ®(х*, )Дх* ’
Л=1
составленную для данною разби-
ения сегмента точками хк и дан-
ного выбора точек ^*е [х*_ ।, х*],
будем называть интегральной суммой для функции Дх) на сегмен-
те [a, />|
Для неотрицательной функции у =Дх) интегральная сумма о имеет
простой геометрический смысл: число с равно площади ступенчатой
фигуры, определяемой графиком функции у =flx) так, как, например,
это показано на рис 13.1.
Обозначим через d максимальную длину частичных сегментов
разбиения и назовем число d диаметром данного разбиения:
d = тах{ДХ], Дх2,..., Дхи}
Число /называется пределом интегральных сумм <з(х*. Е,к) при стрем-
лении к нулю диаметра разбиения d, если для любого сколь угодно малого
числа е > О найдется отвечающее ему число 8 = 8(e) > 0, такое, что при
единственном условии d< 8 (независимо от выбора точек разбиения с
Определенный интеграл 43
таким диаметром d и независимо от выбора точек ^ае[ха_(, ха|) спра-
ведливо неравенство
|с(хА, £,к) - /) < е.
Функция Дх) называется интегрируемой на сегменте [«, £>|, если
для этой функции существует на сегменте [а, Ь] конечный предел /
ее интегральных сумм о = о(хА, ^А) при стремлении к нулю диаметра
разбиения d. При этом указанный предел /называется определенным
интегралом от функции Дх) по сегменту [о, Ь] и обозначается сим-
волом
J f(x)dx.
В этом обозначении функция Дх) называется подынтегральной,
число а — нижним, а число b — верхним пределом интегрирования.
Переменная х интегрирования в обозначении определенного инте-
грала может быть заменена на любую другую букву.
Отметим также, что предположение об ограниченности подын-
тегральной функции Дх) является существенным. Можно доказать,
что если функция у =Дх) не ограничена на [й, й], то множество интег-
ральных сумм ^(Xf,, £а), отвечающих разбиениям с данным диаметром
d, является неограниченным.
Какое необходимое и достаточное условие
существования определенного интеграла
можно сформулировать с помощью верхних
и нижних сумм?
Обозначим через Мк (соответственно через /»А) точную верхнюю
(соответственно точную нижнюю) грань функцииДх) на частичном
сегменте |хА_(, xj:
Мк = sup f(x), тк = inf /(х)
и составим две следующие суммы:
*=1 *=1
Сумма 5 называется верхней, а сумма л — нижней суммой, отвеча-
ющей данному разбиению сегмента.
114
Глава 13
Справедливо следующее утверждение.
Теорема. Для того чтобы для функцииДх) существовал определен-
ный интеграл по сегменту [a, fc], необходимо и достаточно, чтобы для
любого сколь угодно малого числа е > О существовало отвечающее ему
число 8(e) > 0, обеспечивающее справедливость неравенства
S — s< £
для верхней суммы S и нижней суммы s любого разбиения сегмента (а, й],
у которого диаметр d < 8(e).
Отметим, что более глубокий анализ показывает, что необходимым
и достаточным условием интегрируемости функции Дх) на сегменте
[a, fc] является требование справедливости неравенства S—s< ехотя
бы для одного разбиения сегмента |л. й|.
Каковы основные классы интегрируемых
функций?
Интегрируемыми на сегменте [а, />| являюich:
а) все функции Дх), непрерывные на этом сегменте;
б) все функции Дх), которые не убывают или не возрастают на
этом сегменте;
в) все кусочно-непрерывные на сегменте \а, Л] функции Дх), т. е.
те, которые непрерывны во всех внутренних точках сегмента [о, й],
за исключением, быть может, конечного числа точек Х|,х2,—,хр, в
которых эти функции определены и имеют разрыв первого рода, и,
кроме того, существуют конечный правый предел Да + 0) и конечный
левый предел fib — 0).
Какими свойствами обладает
определенный интеграл?
I. Принимается как соглашение, что
а о b
J/(x)t/x = 0 и J/(x)rfx = -|/(x)r/x
для любой интегрируемой на |й, Л] функции.
2. Свойство линейности. Если обе функцииДх) и#(х) итерируемы
на сегменте [а, Ь], то функцииДх) + g(x),fix) — g(x) и а - fix) (V ас J?)
также интегрируемы на [а, Ь], причем
Определенный интеграл
115
j[/(x)±g(x)]Jx = J/(xWx± JgixWx.
J [a-/(x)]</x = a-J f(x)dx.
3. Если каждая из функций Дх) и g(x) интегрируема на сегменте
К*] , то и их произведение [/(x)g(x)] является интегрируемой на [а, Ь]
функцией.
4. Свойство аддитивности. Если а < с < b и функция Дх) интегри-
руема на сегменте [и. fe], то она интегрируема на каждом из сегментов
[а, с] и |с, 6] и выполнено равенство
J f(x)dx + J f(x)dx = J f(x)dx.
5. Если функция fix) интегрируема на сегменте |а, fe] и неотри-
цательна на нем, то
{/(«)* >0.
6. Если каждая из функций Дх) и g(x) интегрируема на сегмен-
те |а, fe] и если в каждой точке хе|а, fe] справедливо неравенство
Дх) >g(x), ro
J/(x)rfx>Jg(x)r/x
7. Формула среднего значения. Если функция Дх) ограничена и
интегрируема на сегменте [а, fe] и
М- sup /<х), т= inf /(х),
а<х<Ь п<х<Ь
то найдется число jx, удовлетворяющее неравенствам т < ц < М и
обеспечивающее справедливость равенства
J7(x)dx=p(fe-a),
называемого формулой среднего значения.
8. Формула среднего значения для непрерывной функции. Если функ-
ция Дх) непрерывна на сегменте [а, 6[, то на этом сегменте найдется
точка £, такая, что справедливо равенство
I lb Глава 13
также называемое формулой среднего значения.
9. Если функцияДх) интегрируема на сегменте [в, />], то и функ-
ция |Дх)| интегрируема на этом сегменте, причем справедливо нера-
венство
ь 1 ь
jf(x)dx < J|/(x)| dx.
В чем состоит формула Ньютона-Лейбница?
Формула Ньютона—Лейбница, или, как еше ее называют, основ-
ная формула интегрального исчисления, устанавливает связь между
определенным интегралом функции и ее первообразными.
Теорема. Если функцияДх) непрерывна на сегменте [а, Ь] и Ф(х) —
любая ее первообразная на этим сегменте, то
]7(х)</х = Ф0>)-Ф(й).
Последнее равенство называют формулой Ньютона—Лейбница и
часто записывают в виде
|/(х)</х=Ф(х)-|*.
Обоснование формулы Ньютона—Лейбница проводится с помо-
щью определенного интеграла называемого интегралом с
переменным верхним пределом. При этом доказывается, что интеграл
с переменным верхним пределом от непрерывной функцииДх) яв-
ляется одной из первообразных этой функции Дх).
Отметим также, что формула Ньютона—Лейбница позволяет пе-
ренести на случай определенного интеграла два метода вычисления
неопределенного интеграла — метод замены переменной и метод
интегрирования по частям.
1. Пусть выполнены следующие условия: 1) функцияДх) непрерыв-
на на сегменте [а, Ь], 2) сегмент [с, Ь\ является множеством значений
некоторой функции х =g(t), определенной при Ге|а, р| и имеющей
Определенный интеграл 47
на [а, р] непрерывную производную 3) g(<x) = a, g(P) = b. Тогда
справедлива формула
ь ₽
2. Пусть каждая из двух функций и(х) и г(х) имеет на сегменте
|д, Ь\ непрерывную производную. Тогда справедлива формула
Jh(x)-v’(xMx =[u(x)-v(x)]|* - Jv(x)-m'(xWx.
Что называется площадью плоской фигуры?
Пусть на плоскости задана плоская фигура, ограниченная замк-
нутой кривой линией L — своей границей.
Назовем плоскую фигуру Q элементарной, если площадь ее из-
вестна (например, из курса элементарной математики). Примером
элементарных фигур могут служить многоугольники (т. е. фигуры
на плоскости, границами которых являются замкнутые ломаные
линии).
Рассмотрим множество {$} площадей всех элементарных фигур,
содержащихся в плоской фигуре Q, и множество {5} площадей всех
элементарных фигур, содержащих фигуру Q. Множество {а} ограничено
сверху, обозначим через I его точную верхнюю грань; аналогично
множество {5} ограничено снизу, обозначим через / его точную
нижнюю грань. Очевидно, что / < / .
Плоская фигура Q называется квадрируемой (т. е. имеющей пло-
щадь). если / = /. При этом число / = / = / называется площадью
плоской фигуры Q.
Как используется определенный интеграл
для нахождения площади плоской фигуры?
1. Пусть на сегменте [и, Ь\ задана непрерывная и неотрицательная
функция у =Дх). Криволинейной трапецией, лежащей под графиком
этой функции, будем называть плоскую фигуру Q, ограниченную
графиком этой функции на [а, 6|, ординатами, проведенными в
точках а и b оси Ох, и отрезком [л, fe] оси Ох (рис. 13.2).
Ills
Глава 13
Теорема. Криволинейная трапеция Q,
лежащая под графиком непрерывной и неот-
рицательной на сегменте [о, />| функции
fix), квадрируема, и ее площадь /равна
/ = jf(x)dx.
2. Пусть кривая L задана в полярной
системе координат уравнением г = r(q>)
при а < <р < р, причем функция г(<р) непре-
рывна и неотрицательна на сегменте [а, 0]. Кри-
волинейным сектором будем называть плоскую
фигуру Q, ограниченную кривой L и двумя лучами
<р = а и ф = р (рис. 13.3).
Теорема Криволинейный сектор Q квадрируем.
Рис. 13.3 и его площадь Iравна
1 ₽
Z = -j>2(<₽W
Как используется определенный интеграл
для нахождения объема тела вращения?
В полной аналогии с понятием квадрируемости плоской фигуры вво-
дятся понятия кубируемости ограниченного тела Q и его объема.
Назовем злементарными такие тела, объемы которых известны
(из курса элементарной математики таковыми являются, например,
многогранники и объединения круговых цилиндров). Множество
{л} объемов элементарных 1ел, содержащихся в теле Q, ограничено
сверху, его точную верхнюю грань обозначим через I. Множество {.S'}
объемов элементарных тел, содержащих тело Q, ограничено снизу,
и его точную нижнюю грань обозначим через /-
Тело Qназывается кубируемым (т. е. имеющим объем), если I - I.
При этом число 1 = 1 = 1 называется объемом тела Q.
Пусть криволинейная трапеция, лежащая под графиком непре-
рывной и неотрицательной на сегменте [я, Л| функции у =fix), вра-
щается вокруг оси Ох. Тогда возникающее при этом тело вращения
Q кубируемо и его объем /равен I = n[f\x)dx.
Определенный интеграл
119
Как используется определенный интеграл
для нахождения длины спрямляемой кривой?
Дуга кривой АВ называется спрямляемой (т. е. имеющем длину),
если существует предел /, к которому стремится длина вписанной1
в эту дугу ломаной линии при стремлении к нулю ее наибольшего
звена. При этом указанный предел / называется длиной дуги АВ.
Пусть кривая является графиком функции у = fix) на сегменте
|й, /?| и эта функция Дх) непрерывна на |й, Ь] и имеет производную
f (х). также непрерывную на этом сегменте. Такую кривую называют
гладкой.
Теорема. Если кривая, задаваемая уравнением у —fix) при а <х<Ь,
является гладкой, то она спрямляема, и ее длина /равна
ь _________
и
Отметим, что если гладкая кривая задана параметрически, т. е.
равенствами
х = ч>(0, у = Ф(Л при /, < l < t2,
то для длины Iэтой кривой справедливо равенство
fj
Если же гладкая кривая задана уравнением в полярной системе
координат
Р - р(ф) при а.< ч> < Р,
то длина / этой кривой определяется из равенства
₽ .-----------------------------------
I = JvIp'<<p)12 + 1р(ф)]2^ф-
1 Ломаная линия считается вписанной в кривую L, если концы каждого
ее звена лежат на L.
120
Глава 13
Какие методы применяются для приближенного
вычисления определенных интегралов?
Основными методами приближенного вычисления определен-
ного интеграла являются метод прямоугольников, метод трапеций
и метод парабол.
1. В основе метода прямоугольников лежит идея
замены криволинейной трапеции, лежащей под гра-
фиком функции у ~Дх) на малом сегменте |—й, Л],
прямоугольником с основанием й, й] высоты ДО)
(рис. 13.4):
й
-й
Если функция у = flx) задана на некотором сег-
менте [а, й], то сначала разбивают этот сегмент на п
равных частей точками а = х0< х2< ... < х2„ = b и
затем, обозначая через jc2fc_ । середину частичного
ь
сегмента |х2А 2, л2А], заменяют интеграл jf(x)dx на
сумму
° b
J f(x)dx » ) + /(Л-3)+...+f(x2n-t)]
площадей прямоугольников с вы-
сотами, соответственно равными
Дх2А_|), и основаниями, равными
Ь-а
х2»-хИ-| <Р™- 13 5>-
Погрешность такой прибли-
женной замены при условии, что вто-
рая производная Д7\х) непрерывна
на \а, й], удовлетворяет оценке
Рис. 13.5
7Ли£ а<х<Ъ
из которой следует, что с ростом количества п точек разбиения по-
грешность Rn стремится к нулю.
Определенный интеграл
2. В основе метода трапеций лежит идея замены
криволинейной трапеции, лежащей под графиком
функции у =Дх) на малом сегменте ]—ft, ft], трапе-
цией ABCD (рис. 13.6):
А
J/(x)A.*-|/<-4 + /<*)|.
-А
Если функция у —f(x) задана на некоюром сег-
менте |а, ft], то сначала разбивают этот сегмент на п
равных частей точками а = х0 < х( < ... < хп = Ь, а
ь
затем заменяют интеграл J/(x)c/x на сумму
Рис. 13.6
J f(x}dx а -[/(а) + 2!/(/(х() + 2 f(x2 ) + ... + 2/(хи_,) + /(Л)]
площадей трапеций с основаниями, соответственно равными
/(xfc_j) и /(xfc), и высотами, равными
b-а ,
х*-хА_]=----- (рис. 13.7).
J f(x)<lx * + 4/(0) + ДЛ)|.
-А 3
Погрешность Rnтакой приближенной
замены при условии, что вторая про-
изводная f^Xx) непрерывна на [a, ft],
удовлетворяет оценке
3. В основе метода парабол (или метода Симпсона)
лежит идея замены криволинейной трапеции, лежащей
под графиком функции у = fix) на малом сегменте
|—ft, ft], параболой, проходящей через точки графика
этой функции с абсциссами —А, 0 и ft (рис. 13.8):
Если функция у —f[x) задана на некотором сег-
менте [a, ft], то сначала (как в методе прямоуголь-
ников) разбивают этот сегмент на п равных частей
122
Глава 13
точками а = х0< х2< ... < х2п = Ьи затем, обозначая через-^t-i се"
ь
редину частичного сегмента [х2Л_2, *2jJ, заменяют интеграл J f(x)dx
на сумму а
j/(x)<*c « ^[/(а) + 4/<^|) + 2/(*2)+4/(х3)+
+2/(х4 >+... + 2/(х2л2 )+4/(*2л| ) + /(б)]
Рис. 13.9
площадей криволинейных тралений,
лежащих под параболами, проходящими
через три точки графика функции у =fix)
с абсциссами x2fc_2, хи _ । и х2к на каждом
частичном сегменте (рис. 13.9).
Погрешность Rn такой приближен-
ной замены, при условии что четвер-
тая производная/4^(х) непрерывна на
[а, 6|, удовлетворяет оценке:
2880л4
шах
а<х<Ь
l/4)W|.
Что называют несобственным интегралом?
Для распространения понятия определенного интеграла на случаи,
когда либо промежуток интегрирования бесконечен, либо интегриру-
емая функция не является ограниченной, требуется дополнительный
предельный переход.
1. Пусть функция fix) определена на полупрямой [а, +<») и ин-
тегрируема по любому сегменту вида [а, 6], где b > а. Тогда если
существует предел
lim jf(x)dx,
то этот предел называеюя несобственным интегралом (первою рода)
от функции fix) по полупрямой [а, +оо) и обозначается символом
\ f(x)dx.
Определенный интеграл 123
Если функция/(х) непрерывна на [й, +ш) и функция Ф(х) является
ее первообразной, то из формулы Ньютона—Лейбница при дополни-
тельном условии, что существует предел, следует равенство:
J f(x)dx = lim Ф(х)-Ф(д).
л •*->+»
2. Пусть теперь функция fix) определена на полусегменте (а, Ь),
не ограничена в окрестности точки Ь, однако интегрируема на любом
сегменте вида [«, b — 2] при любом достаточно малом 2 > 0. Тогда если
существует предел
ь-&
lim Г f(x)dx,
б-»о+о J
а
то этот предел называется несобственным интегралом (второго рода) от
функции fix) по сегменту [а, Ь] и обозначается обычным символом
ь
|/(х)г/х.
а
Если функция fix) непрерывна на |«, Ь) и ее первообразная Ф(х)
имеет предел Ф(Ь — 0) при х-> b — 0, то из формулы Ньютона—Лейб-
ница следует равенство
ь
J/(x)</x = Ф(Ь - 0) - Ф(а).
Глава 14. Криволинейные
интегралы
Что называется криволинейным интегралом
первого рода?
Пусть на плоскости Оху задана спрямляемая кривая L = АВ без
точек самопересечения, параметризуемая уравнениями:
x=<p(f),y = y(rt. a<t<b.
Рассмотрим функцию Дх, у), определенную в каждой точке кривой
L. Разобьем сегмент a <t<b при помощи точек а = t0 < < ... < rB = b
на п частичных сегментов tk] и рассмотрим соответствующее
этому разбиению разбиение кривой L на дуги Л/А^|Л/Л,где Мк(хк,
ук), хк = 4>(1к^ У к = V(/*)- На каждой частичной дуге Мк_1Мк выберем
любую точку1 Nk (Е,к ,«]*)-
Составим интегральную сумму
к=1
в которой Д/д. — длина частичной дуги .
Число / называется пределом интегральной суммы о при стремле-
нии к нулю длины наибольшей частичной дуги d = max Л/., если для
1<*^и
любого сколь угодно малого числа е > 0 найдется число 8 = 8(e) > О,
такое, что при условии d < 8 и при произвольном выборе промежу-
точных точек Nk справедливо неравенство |о —/| < е.
Это число I называют криволинейным интегралом первого рода от
функции Дх, у) по дуге L — АВ и обозначают символом J
или АВ
1 Очевидно, что точке /^соответствует некоторое значение т^ерЛ_(, zA],
такое, что = <р(тЛ.), ц* = у(гЛ).
Криволинейные интегралы 125
Отметим, что криволинейный интеграл первого рода дает массу
так называемой нагруженной кривой L, если fix, у} равна линейной
плотности распределения массы вдоль кривой L.
Что называется криволинейным интегралом
второго рода?
Пусть так же, как и в определении криволинейного интеграла
первого рода, произведено разбиение спрямляемой кривой L — АВ
на частичные дуги Мк^М к. к = 1, 2,.... л, и на каждой из этих час-
тичных дуг выбрана промежуточная точка Nk[qk,t\k}.
Рассмотрим теперь две функции Р(х, у) и Q(x, у), определенные
в каждой точке кривой L, и составим для них следующие интеграль-
ные суммы:
°. -*и>, ",=2«?Л..лЛ>(л
*=1 Л=1
Число I называется пределом интегральной суммы (соответст-
венно а2) при стремлении к нулю длины наибольшей частичной дуги
d = max Alk, если для любого сколь угодно малого числа е > 0 найдется
Ик<п
число 8 = 8(e) > 0, такое, что при условии d< 8 и при произвольном
выборе промежуточных точек Nk справедливо неравенство |о( — 7] < е
(соответственно |ст2 — 7) < е )
Это число I называется криволинейным интегралом второго рода
и обозначав!ся символом J P(x,y)dx (соответственно J Q(x,y)dy ).
АВ АВ
Сумму J P(x,y)dx + J Q(x,y)dy, называют общим криволинейным uh-
ab АВ г
тегралом второго рода и обозначают символом J Pdx + Qdy.
АВ
Отметим, что в отличие от криволинейного интеграла первого рода
криволинейные интегралы второго рода при изменении направления
обхода кривой АВ меняют знак на противоположный.
Если кривая L = АВ является замкнутой (т. е. точки А и В совпада-
ют), то принято считать, что кривая L обходится в направлении «против
часовой стрелки»; это направление обхода называют положительным
Глава 14
126
Отметим, что общий криволинейный интеграл второго рода дает
работу по перемещению материальной точки из А в В вдоль кривой
, *(x,y) = {P(x,y),Q(x,y)\.
L под действием силы
Как свести криволинейные интегралы
к определенным интегралам?
Пусть кривая L, параметризуемая уравнениями х=<р(г), у = уО), а<
t< 6 является гладкой1 и не имеет особых точек, т. е. производные
и */'(0 ни в одной точке /е[«, й] не обращаются в нуль одновременно.
Пусть, кроме этого, подынтегральные функцииДх, у), Р(х,у), Q(x,y)
непрерывны вдоль кривой L,T.e. для любого сколь угодно малого числа
е > 0 найдется число 8=6(e) > 0, такое, что для любых двух точек (х(, )
и (х2, у2) кривой L, связанных условием2 yj(xl -х2 )2 ч»-ъ)2 <6,
справедливо соответствующее неравенство:
I Дх{, >-! ) - /(Х2,у2)|<£.| Р(Х{,у{)-Р(Х2, у2) |< Е ИЛИ
\QiXt,yt)-Q(x2,y2)\<E.
Тогда все криволинейные интегралы первого и второго родов
существуют и вычисляются по формулам
f пх, yui - J/mo, w</)i J[<p'a>i’ +1ф'«>|’л,
AB
J P(x,y)dv = jF[(p(r),4>(/)]<p'(O«*,
AB
[ Q(x, y)dy = Jc[<p(f), v(Olv'(O</f-
AB
Отметим, что эти формулы остаются в силе, если кривая L является
не гладкой, а кусочно гладкой (т. е. распадается на конечное число
не имеющих общих внутренних точек участков, каждый из которых
является гладкой кривой) и если интегрируемые функции/, Ри Q не
непрерывны, а кусочно непрерывны вдоль кривой L.
1 То есть функции <р(1) и у(/) имеют на |й, />| непрерывные производные.
2 Иными словами, расстояние между точками (х(, у,) и (х2, у2) меньше S.
Криволинейные интегралы 127
В каком случае криволинейный интеграл
второго рода не зависит от пути
интегрирования и как его при этом
можно вычислить?
Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) определены н непрерывны в
некоторой области Сив этой области С фиксированы две точки
ЛМА'|>Л) и М2^Х2' У2>-
Говорят, что интеграл J P(x,y)dx+Q(x, y)dy не зависит от пути
Л/рИ,
интегрирования, если он принимает одно и то же значение для любой
гладкой кривой L, соединяющей точки Л/, и М2-
Справедливо следующее утверждение: ес iu в области Gсуществует
такая дифференцируемая функция U(x, у), что выполнено равенство1
dU(x, у) = Р(х, y)dx + Q(x, y)dy,
то криволинейный интеграл J Pdx+Qdy не зависит от пути интег-
рирования. м >м
Отсюда, в частности, следует, что если такая функция U{x, у)
существуется, то криволинейный интеграл можно вычислить по
формуле, аналогичной формуле Ньютона—Лейбница:
| Р(х,y)dx + Q<х, y)dy = l/(x2,y2)-l/(xt,у,).
Кроме того, если путь интегрирования L в области G является
замкнутым, то2
фЛ¥х. у) + Qix. y)dy - 0-
1 То есть подынтегральное выражениие является полным дифферен-
ту
циалом функции t/(x, у) и выполнены равенства Р(х, у) =-(х, у) и
™ 8Х
G(x,y) = —-ix.yy.
By
2 Кружок у знака интеграла символизирует замкнутость контура L.
Глава 15. Дифференциальное
исчисление функций
многих переменных
Что такое т-мерное евклидово пространство?
Множество всевозможных упорядоченных совокупностей , х2, -., хт)
т вещественных чисел будем называть т-мерным координатным про-
странством. Его элементы, следуя геометрическим аналогиям, называют
точками и обозначают символом Л/(Хр х2 хи); при этом сами числа
Хр х2 хк называют координатами точки М.
Если в m-мерном координатном пространстве каждой паре точек
М'(х\, х2,х',) и М"(х", х2, —, х") поставлено в соответствие число
р(М', Л/’), называемое расстоянием между М' и Л/" и определяемое
соотношением
Р(М'. М-1-^{-х^х^-х^х.^х^-х-Д-
то такое координатное пространство называют еквлидовым и обо-
значают символом Я'”.
Какие основные множества рассматриваются
в т-мерном евклидовом пространстве?
1. Множество всевозможных точек Л/ей"'. удовлетворяющих усло-
вию р(М, Л/о) < Я, называется открытым т-мерным шаром радиуса Я
с центром в точке М^. Замкнутым т-мерным шаром радиуса Rc цент-
ром в точке Мо называется множество всевозможных точек MeRm:
р( М, Мо) < Я. Все же точки Л/е Я'”, для которых р( М, Ми) = Я, образуют
так называемую т-мерную сферу радиуса Яс центром в точке М^.
Открытый ж-мерный шар радиуса е > 0 с центром в точке будем
также называть е-окрестностью точки М§.
2. Множество всех точек М(хг х2, хт), координаты которых
удовлетворяют неравенствам
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
129
I», - *,1 < 1*2 - *21 < ^2.К - < 4».
где <?|. dj . ..., дт — некоторые положительные числа, называется
открытым т-мерным координатным параллелепипедом с центром в
точке Л/()(Х|,Х2...хт^ или прямоугольной окрестностью точки Мо.
3. Точка М множества XcRm называется внутренней точкой этого
множества, если существует некоторая е-окрестность точки М, це-
ликом лежащая в множестве X. Точка М называется внешней точкой
множества X, если существует некоторая е-окрестность точки М,
не имеющая с Xобщих точек. Точки, не являющиеся ни внутренни-
ми, ни внешними точками множества X, называются его граничными
точками.
Отметим, что граничная точка может как принадлежать, так и
не принадлежать самому множеству. Например, все точки т-мер-
ной сферы радиуса R с центром в точке Мо являются граничными
как для замкнутою, так и для открытою /n-мерною шара тою же
радиуса и с тем же центром — первому множеству они принадлежат,
а второму нет.
4. Множество XcR1” называется открытым, если любая его точка
является внутренней, и замкнутым, если оно содержит все свои гра-
ничные точки.
5. Произвольное открытое множество XcRm, содержащее данную
точку Л/о, принято называть окрестностью точки М^.
6. Точку AeRm называют предельной точкой множества XcRm, если
в любой Е-окрестности точки А содержится хотя бы одна точка этого
множества, отличная от А. Справедливо следующее утверждение:
множество X замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит
все свои предельные точки
7. Множество XcRm называется ограниченным, если найдется т-
мерный шар, содержащий все точки этого множества.
8. Непрерывной кривой L в Rm будем называть множество точек,
координаты Х|, х2, ..., хт которых представляют собой некоюрые
непрерывные функции параметра I:
xi = Ф[(0,х2 = Ф2(0, -;Хт = фт(0, а<t<Р
Точки M'(x'hx2,...,x'm) и Л/ (X[,x2,...,xra) с координатами
= ф|(а), х2 = ф2(а).х'„ = фи(а),
<= Ф(<РК Х2 = Ф2(Р),..., х" = фт(Р)
будем называть концами кривой L и говорить, что кривая L соединяет
точки М' и М".
130
Глава 15
9. Множество XcRm называется связным, если любые две его точки
можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в мно-
жестве X.
10 Всякое открытое и связное множество в Rm называется об-
ластью. Если X представляет собой область в Rm, то множество X.
полученное присоединением к Xвсех его граничных точек1, назы-
вается замкнутой областью.
Как определяется предел последовательности
точек евклидова пространства?
Пусть каждому числу леЛГпоставлена в соответствие точка MneRm.
Тогда говорят, что в евклидовом пространстве Rm задана последова-
тельность точек {Мп}: Mt, М2,..., Мп,....
Последовательность {М„} называется сходящейся, если сущест-
вует точка AeR™, такая, что для любого сколь угодно малого числа
е > 0 можно указать отвечающий ему номер N, такой, что при л > Л
выполнено неравенство р А) < е, т. е.
Ve>0 3 NeN: Х7л > N р(Мп, А) < е.
При этом число А называют пределом последовательности {MJt и
используют один из символов: lim Мп - А или Мп —> А при л —» аз.
Отметим, что справедливо следующее утверждение: последова-
тельность {Л/л} сходится к точке А тогда и только тогда, когда
числовые последовательности {х}"’}, (Xj"’}.{х^'1} координат точек
Мп сходятся соответственно к числам а1г а2,.... ат, представляющим
собой координаты точки А.
Как формулируется критерий Коши сходимости
последовательности точек в Rm?
Критерий Коши сходимости последовательности точек в R"1 со-
вершенно аналогичен критерию Коши сходимости числовой по-
следовательности.
Теорема. Д ы того чтобы последовательность {точек пространст-
ва Rm была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была
фундаментальна, т. е. для любого сколь угодно малого е > 0 можно
1 Такая операция называется замыканием множества X
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
131
указать номер N, такой, что при я > N и любом p&N выполнялось
неравенство р(Л/я+г, Л/Я)<е.
Как формулируется теорема
Больцано-Веерштрасса в Rm?
Последовательность {Мп} точек пространства Ят называется огра-
ниченной, если существует такое число а > 0, что для Х7яеЛ'выполнено
неравенство р(О, Мп) < а, где 0(0, 0,..., 0) — начало координат в S'”.
Иными словами, последовательность {Мп} ограничена, если все ее
точки принадлежат замкнутому шару достаточно большого радиуса
с центром в начале координат
Теорема Больцано-Веерштрасса. Из любой ограниченной после-
довательности {Мп} в R'" можно выделить сходящуюся подпоследова-
тельность.
Отметим, что предел А последовательности {М^ точек, принадлежащих
замкнутому множеству также принадлежит этому множеству.
Как определяется предел функции
ш переменных?
Пусгь на множеств задана функция1 и i. в. каждой
точке М&Х поставлено в соответствие некоторое число ДЛ/)еЖ.
Пусть точка является предельной точкой области задания X
этой функции.
Определение (по Гейне). Число b называется пределом функции
w —f(M} в точке А (или при М->А), если для любой сходящейся к А
последовательности точек множества X, все элементы Мп ко-
торой отличны от Л, соответствующая числовая последовательность
сходится к числу Ь, т. е.
V{A/} с X, М„ * А: {AQ -> А => {/(М„)} -> Ь.
Определение (по Коши). Число b называется пределом функции
и =/Ш) в точке А (или при М>/), если для любого сколь угодно
малого числа в > О найдется соответствующее ему число S > 0, такое,
что для любой точки МеХ, удовлетворяющей условию 0 < р(М, А) < 8,
справедливо неравенство |/(ЛЛ — Z>] < е. т. е.
1 Наряду с обозначением и = f[M) будем также использовать символ
и =Дхр х2,..., хт), где (ж,, х2, —, xm) — координаты точки М
132
Глава 15
Ve>038>0:VA/gX,0<p(A/, Л)<8=>|ДЛ/)-й|<е.
Как и в случае функции одной переменной, определения и по
Гейне, и по Коши эквивалентны.
Для обозначения предела функции и =J[M) в точке А использу-
ется символика.
lim/(Л/) Л или lim /(А А- ,Ат) = Ь.
М^>А Х|-»о(
t2-»o2
По аналогичной схеме1 можно ввести понятие предела функции
и ~J\M) при Л7—>ос, сформулировать критерий Коши существования
предела функции т переменных, теорему об арифметических опера-
циях над функциями, имеющими предел, ввести понятие бесконечно
малой функции и описать правила сравнения двух бесконечно малых
функций.
Какие функции т переменных называются
непрерывными?
Пусть А 6 Rm — некоторая точка, принадлежащая области задания X
функции /и переменных и —f[M) и являющаяся для этого множества
X предельной.
Функция и = f\M) называется непрерывной в точке А, если
lim f(M) = f(A).
М-лА
Привлекая любое из сформулированных выше определений предела
функции, получим два развернутых определения непрерывности.
Определение (по Гейне). Функция и —f\M) называется непрерывной
в точке А, если
ЩМ.^Х.-ьА =>{/(Л/й)}-»-/(71).
Определение (по Коши) Функция и —j\M) называется непрерывной
в точке А, если
Ve>0 38>0: VMe Х,р(М, А)<&^>\ f(M)-f(A)\<z.
I Достаточно в соответствующих определениях для функции одной пере-
менной аргумент х заменить на точку М, а расстояние |х*— х" | на числовой
оси заменить расстоянием р(М', М").
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
133
Точки пространства Rm, в которых функция и —flM) не является
непрерывной, называются ее точками разрыва.
Пусть теперь множества точек X с Rm таково, что любая его точ-
ка Мявляется предельной точкой множества X (такие множества X
называют плотными в себе).
Функция и =flM), определенная на таком множестве X, называ-
ется непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой
точке Л/еА'.
Какая существует связь между непрерывностью
функции т переменных по каждой своей
переменной и обычной непрерывностью
этой функции?
Введем понятие непрерывности функции и =flxi, хг, .... хт) по
одной из переменных при фиксированных значениях остальных
переменных в разностной форме.
Пусть точка M(xf, х2, хт) принадлежит области задания X
функции и —flM). Зафиксируем аргументы х2,.... хт, а аргументу х,
придадим произвольное приращение ДХ], такое, чтобы точка с ко-
ординатами (х + ДХр Дх2,..., Дхт) тоже принадлежала множеству X.
Соответствующее приращение функции
дх,“ =ДХ| + Д*1. хг.хн) ~Л*]. х2.хи)
называется частным приращением функции flM) в точке М, соответст-
вующим приращению Дх( аргументах]. Аналогично вводятся частные
приращения Д^н,..., Д^ы, соответствующие приращениям других
аргументов.
Функция и = /(Х|, х2, —, хт) называется непрерывной в точке
Л/(Х], х2, ..., хт) по переменной хк, если1
lim Дг и—0.
Отметим, что если функция и —flM) просто непрерывна в точке
М, то ее полное приращение
&и =Дх( + Дх,, х2 + Дх2,..., хт + Дхт) -/(X], х2,.... хт)
1 Иными словами, функция и = flx\, х2, ..., хт) является непрерывной
функцией одной переменной хк при фиксированных значениях остальных
переменных.
134
Глава 15
является бесконечно малой функцией при Дх( ->0, Дх-^ —>0,..., Дхм ->0.
Поэтому справедливо следующее утверждение: если функция и —f(M)
непрерывна в точке М, то они непрерывна в лтой точке по каждой
своей переменной
Обратное утверждение уже, вообще говоря, неверно. Действи-
тельно, функция
при X1 + у1 г О,
при х1 + у2 = 0,
непрерывна в точке 0(0, 0) по каждой из переменных х и у, так как
на координатных осях она равна нулю. Если же для каждого Лей рас-
.. (1 к} , _
смотреть последовательности точек М = 1,2,..., сходящиеся к
\п п)
точке О, то соответствующие значения функции и{ Мп) -— образуют
1 + А2
постоянные последовательности, пределы которых, очевидно, зависят
от к. Значит, рассматриваемая функция не имеет предела в точке О.
Какими основными свойствами обладают
непрерывные функции нескольких переменных?
Свойства непрерывных функций нескольких переменных во многом
аналогичны свойствам непрерывных функций одной переменной.
Теорема 1 (об арифметических операциях над непрерывными функ-
циями). Если функции ft Mi ug{Mi заданы на одном и том же множест-
ве X и непрерывны в некоторой точке АеХ, то функции ftM)xg(M),
ftM) 'g(M) и также непрерывны в точке А (в случае частного
g(M)
нужно дополнительно потребовать, чтобы g{A) * 0).
Теорема 2 (о непрерывности сложной функции). Пусть функции
xi ~ Ф/Ор г2» — * ‘ ~ 1,2,...,»» непрерывны в точке A(ait а2,..., ак),
а функция и =ДХр х2, ..., хЛ„) непрерывна в точке B(bf, b2.Z>M), где
b-t ~ ф(- («|, а2, —, ак) при I— 1,2,_, т. Тогда сложная функция
и = .....г*), ФгО )> <M'i ’ fk »
непрерывна в точке A(at, а2, ..., ак).
Теорема 3 (об устойчивости знака). Если функция u=f(M) непрерывна в
точке Ае Rm и ее ги f(A) * 0, то существует такая ^-окрестность точки А,
в пределах которой ft М) имеет знак, совпадающий со знаком ftA).
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
135
Теорема 4 (о прохождении через любое промежуточное значение).
Пусть функция и — f[M) непрерывна на связном множестве X<^R'n,
причем f(A) и f(B) — значения этой функции в некоторых точках А,
В е X. Пусть, далее, у — число, заключенное между ft А) и f(В). Тогда
на любой непрерывной кривой L, соединяющей точки А и В и целиком
лежащей в X, найдется точка N, такая, что f(N) = у.
Теорема 5 (первая теорема Веерш трасса). Если функция и = f(M)
непрерывна на замкнутом ограниченном множестве X, то она ограни-
чена на этом множестве.
Так как множество значений функции ограничено, то оно имеет
точную верхнюю и точную нижнюю грани, которые будем называть
соотвегственно точной верхней и точной нижней гранями функции
f(M) на множестве Хи обозначать
H=sup/(A/), «=inf/(M).
Теорема 6 (вторая теорема Веерштрасса). Если функция и = ftM)
непрерывна на замкнутом ограниченном множестве X. то она достигает
на этом множестве своих точной верхней и точной нижней граней.
Функция и =ftM) называется равномерно непрерывной на плотном
в себе множестве XcRm, если для любого сколь угодно малого числа
е > 0 найдется такое число 8 > 0, что для любых точек М’ и М" этого
множества, удовлетворяющих условию р(М’, М") < 8, выполняется
неравенство [f(M’) — f[M")\ < е.
Теорема 7 (теорема Кантора). Непрерывная на замкнутом ограничен-
ном множестве функция равномерно непрерывна на этом множестве.
Что называется частной производной функции?
Пусть M(Xf, х2, хт) — внутренняя точка области задания X
функции и = ДХр х2, —, х1п). Рассмотрим в этой точке следующее
разностное отношение
--,.>- /Ui. --.Jt»>
Если существует предел этого разностного отношения при Дх* -> О,
то этот предел называется частной производной функции и = Дх,. х2,
.... х>;|) в точке М по переменной х* и обозначается одним из симво-
Глава 15
ди
Таким образом, дхк
&х и
lim —
дх*^о &хк
Отметим, что частная производная -является обычной про-
<4
изводной функции и ~/(xt, х2, —,хт) как функции одного аргумента
хк при фиксированных значениях остальных ее переменных.
В отличие от функций одной переменной из существования всех
частных производных функции в точке Мне следует даже непрерыв-
ность этой функции в точке М. Так как функция
1х2^.2 прих2 + у2*0,
| О при х2 + у2 - О
на координатных осях тождественно равна нулю, то —(0,0)-О,
fir
ди
—(0.0)=0. хотя. как было показано выше, эта функция не имеет
йу
предела в точке 0(0, 0).
Какую функцию нескольких переменных
называют дифференцируемой?
Функция и —fi.xt, хг,хт) называется дифференцируемой в данной
точке Л/(х(, хг, хет), если ее полное приращение
Л" =/(1, + Лл,, л2 + Лх2...х„ +Лх„) - Лл„ Л;......х„>
в этой точке может быть представлено в виде
Лк-Л1Лл|+Л2-Лл2 + ...+>1„Лх„+а|Лл + а2Лл + ...+а„Л.1„,
где Л2, Ат — некоторые не зависящие от приращений перемен-
ных числа, «|, «2.ат — бесконечно малые при Дх( —> 0, Лл2 -> 0.
..., Дхм —» 0 функции, равные нулю при Дх( = Дх2 = ... Дхт = 0.
Последнее соотношение обычно называют условием дифференци-
руемости функции в точке М.
Можно показать, что ееги функция и =f{xx, х2, ..., хт) дифферен-
цируема в точке М, то в этой точке существуют все частные произ-
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
137
ди
водные, причем -^- = Д при i = 1,2,
из условия дифференцируемости.
..., т, где числа A-t определяются
С учетом этого свойства и символики, связанной со сравнением
бесконечно малых, условие дифференцируемости функции в данной
точке М может быть записано в следующей форме:
Ди =----(Л/)-Дх. +—(Л/)-Дх2 + ...+-(Л/)-Дх_ =о(р),
<4_________
где +...+л4-
Справедливо следующее утверждение: ее w функция и =fixl, х2,..., хт)
дифференцируема в точке М, то она непрерывна в этой точке.
В чем состоит геометрический смысл условия
дифференцируемости функции
двух переменных?
Дифференцируемость фун-
кции и —fix, у) в точке Л/0(х0,
у0) с геометрической точки
зрения означает наличие ка-
сательной плоскости к графи-
ку1 функции и —f(x, у) в точке
Na<x<P Л), “о)’ где “о = Я*о» л»)
Рис. 15.1
рис. 15.1). Касательной плос-
костью к поверхности 5 назы-
вается плоскость, проходящая
через точку поверхности
и удовлетворяющая условию:
угол между этой плоскостью и
секущей, проходящей через
точку No и любую точку
поверхности, стремится к нулю, когда точка /V, стремится к No.
Уравнение касательной плоскости к графику функции и = fix, у)
в точке N0(x0, уи, и0) имеет вид
" =“о +|^<х0’ Уо>(х - *о) +>’о НУ - % >
дх су
1 То есть к поверхности, задаваемой в системе координат Оху уравнением
и =fix, у).
138
Глава 15
_ [йи. . йи .1
Тем самым вектор я = •{ —(хв, уп),—(хп, у0) } является нормальным
[ дх ду |
вектором этой касательной плоскости.
Какие условия достаточны
для дифференцируемости функции
нескольких переменных?
Справедливо следующее утверждение: если функция и =/(х|, х2 хт)
имеет все частные производные в некоторой окрестности точки М^. причем
все эти частные производные непрерывны в самой точке М(), то указанная
функиия дифферениируема в точке М^.
В чем состоит правило дифференцирования
сложной функции нескольких переменных?
Пусть задана сложная функция вида и =Дх(, х2,.... хю). где
X, =Vi(/i’t2..4 ),/ = !, 2.т.
Если все функции <р//р ..., /= 1,2..т, дифференцируемы в
точке N(tt,t2 tk), а функция и =/(Х|, х2 хт) дифферениируема
в соответствующей точке М(хх, х2,..., х,л), где х(. -,/2,...,tk),
У = 1,2,..., т, то и сложная функция дифференцируема в точке N и
выполнены равенства
ди _ ди йх, ди дх2 ди дхт
dtt йх, й^ йх2 dt} дхт ЙГ]
ди _ ди ЙХ| ди йх2 ди дхт
dt2 йх, dt2 dx2 dt2 дх„ dt2 '
ди ди ЙХ| ди дх2 ди дхт
а» " ’
ди ди
где все частные производные ---,------берутся в точке М, а про-
а, аг„
дх/
изводи ые-----в точке N.
dt.-
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
139
Отметим, что в частном случае, когда в сложной функции и =Дх(,
>-2, .... хт) все функции х( = <р,(/). х2 = <p2(rt.хт = <рет(/) являются
du
функциями одной переменной /, производная — этой сложной
dt
функции определяется равенством
du _ ди </Х] ди dx2 ди dx„,
dt с'л| dt дх2 dt дхт dt
Что называют дифференциалом функции
нескольких переменных и обладает ли он
свойством инвариантности своей формы?
Дифференциалом du дифференцируемой в точке М функции и =
= ДХ|, х2, ..., хт) называется главная линейная часть приращения
этой функции в точке М из условия дифференцируемости: Л1Дх| +
+ Л2Дх2 + ... + ЛтДхт.
Если все коэффициенты Л, равны нулю, то дифференциал du
считается равным нулю.
Используя формулы для коэффициентов Aj и считая дифферен-
циалами Jxf независимых переменных их приращения Дх^ получим
равенство:
Отметим, что, как и для функции одной переменной, дифференциал
Ju обладает свойством инвариантности своей формы. Это значит, что
написанное выше равенство для Ju остается справедливым и в случае,
когда переменные х( сами являются функциями других переменных
(например, х^ = <р^г(, г2,..., гЛ), i = 1,2,..., /я).
Данное свойство инвариантности формы позволяет установить
следующие аналоги правил дифференцирования функций одной
переменной:
J(au)=a-Ju (a — постоянная);
d(u± v) = du + dv; d(u v)-u-dv+ v Ju;
[ и । v-du —u-dv
где и, v — функции любых (не обязательно независимых) переменных.
Глава 15
140
Что называется производной по направлению
и как ее найти с помощью градиента функции?
Пусть функция и —fix, у, z) трех переменных определена в неко-
торой окрестности точки M0(x,y,z) и дифференцируема в самой
точке Мо.
Рассмотрим некоторый луч, выходящий из точки Л/() и определя-
емый единичным вектором е с координатами1 (cos a, cos р, cos у).
Как известно, координаты точки М(х, у, z), лежащей на прямой,
содержащей этот луч, определяются равенствами
х = jc+/cosa, j = j'+/cosp,z = z+/cosy, feJl
Производной функции и =f{x, у, z) в точке Мо по направлению, опре-
деляемому единичным вектором в, называют производную сложной
функции «= /(x+/cosa),(y+/cosP),(z+/cosy) по переменной I, взя-
. , ди
тую в точке / = 0, и обозначают символом —.
де
Из правила дифференцирования сложной функции следует, что
справедливо равенство*
£и ди ди ди,
—= ~ ) -cosa + —(М о) -cosp + —(М u )*cosy.
де дх ду dz
Назовем градиентом grad и функции и = fix, у, z) в точке Л-/(. вектор
с координатами
gradi/(Af(j) = Кл/0Лл/0),^Л/0)1.
[йх ду dz J
Тогда формула для производной по направлению может быть
записана в виде скалярного произведения
йн
—=te,gradwj.
де
Отметим следующие два основных свойства градиента.
1. Производная функции и —f(x, у, z) в точке Л/(| по направлению,
определяемому градиентом этой функции в указанной точке, имеет
максимальное значение по сравнению с производной в этой точке
1 Эти координаты (очевидно, удовлетворяющие условию cos2a + cos2p +
-t-cos'y = 1) называются направляющими косинусами вектора е и равны коси-
нусам углов а, р и у, которые этот вектор образует с соответствующими осями
координат.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
141
по любому другому направлению и равна длине |grad м| вектора гра-
диента в данной точке.
2. Вектор |grad u| в каждой точке М поверхности уровняДх, у, z) = С
(С — константа) ортогонален к этой поверхности в том смысле, что он
является нормальным вектором касательной плоскости к поверхности
уровня в точке М.
Как определяются частные производные
высших порядков?
ди
Если частная производная —функции и =fix.,x->, ...,х„) существует
dXj i z m
в каждой точке некоторой области Хс то ее можно рассматривать
_ . ди
саму как функцию переменных хр х2, х№. Если функция —— имеет
частную производную по аргументу хк в некоторой точке М е X, то эту
частную производную называют второй частной производной, или частной
производной второго порядка, функции и =Дхр х2,.... хю) в точке М по
аргументам х;и хк и обозначают одним из символов
р . . Л “
Если i = к, то используется обозначение ——.
Если г* к, то частная производная —-—— называется смешанной.
dxkdxf
Частные производные п-го порядка определяются аналогичным
образом через частные производные (и— 1)-го порядка, так что
Если не все индексы гр .... /и совпадают между собой, то такая
частная производная л-го порядка называется смешанной.
Функцию и =ДХ|,х2,..., хт) назовем л раз дифференцируемой в точке
Мц (Х|, х2, - - -, хт ), если эта функция (л— 1) раз дифференцируема в неко-
торой окрестности точки Мо и все ее частные производные порядка
(л—1) являются дифференцируемыми в точке Л/о функциями.
142
Глава 15
Из приведенных выше утверждений следует, что если все частные
производные п-го порядка функции и =f(xt, х2, ..., хи) существуют в
окрестности точки Мо и являются непрерывными в точке Л/о функии-
ями, то эта функция п раз дифференцируема в точке Mq.
Какие условия обеспечивают независимость
значения смешанных частных производных
от порядка выполнения дифференцирования?
Естественно поставить вопрос о том, зависит ли значение сме-
шанной частной производной от порядка выполнения отдельных
операций дифференцирования в ней, т. е., например, для функции
и =fix, у) двух переменных различны ли смешанные производные
Ви Ви
---- и ------
ВхВу ВуВх
Ответ на этот вопрос в обшей ситуации положительный. Так,
например, для функции
и(х,у) =
обе смешанные частные производные второго порядка в точке 0(0, 0)
существуют, и при этом
(0,0) = 1, (0,0)=-1,
Вхду------------Вудх
Следующие утверждения содержат условия, обеспечивающие сов-
падение смешанных производных при разном порядке выполнения
дифференцирования.
Теорема 1. Пусть функция и =Дх|, х2,..., х„,) п раз дифференцируема
в точке Л/q. Тогда в этой точке значение любой смешанной производной
п-го порядка не зависит от порядка, в котором проводятся пос гедова-
тельные дифференцирования.
Теорема 2. Пусть в некоторой окрестности точки функция
и =fix,y) имеет частные производные fxifyifxy^Jyx- Пусть, кроме
того, производные и непрерывны в точке Мо. Тогда в этой
"’«-КС
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
143
Как определяются дифференциалы высших
порядков функции нескольких переменных?
Будем наряду с символами dxt,dxm и du использовать символы
Бх(, 8хт и Бы и введем понятие второго дифференциала функции
и =ДХ|, х?..хт) по схеме, аналогичной той, которая была исполь-
зована для определения второго дифференциала функции одной
переменной
Рассмотрим величину в правой части равенства для первого диф-
ференциала
, ди , ди ,
du =------dx, +-----dx-j +.
Лг, дх2 1
ди ,
-+—dx.n
дх,п
как функцию аргументов Х|,х2, —, хт. Если эта функция дифферен-
цируема1 в данной точке М, то рассмотрим ее дифференциал
Значение дифференциала Б(</и), взятое при 8х( = dxt, &х2 — dx2,
.... &хю = dxm, называется вторым дифференциалом функции и —f[Xy,
х2,хт) в данной точке М и обозначается символом d2u.
Дифференциал д?и любого порядка л вводится через дифферен-
циал d” 1и аналогичным образом
Уже при вычислении второго дифференциала приходится сущест-
венно различать два случая.
1. Пусть аргументы х(, х2, ..., хт являются независимыми пере-
менными. Тогда справедливо равенство
w т ^-ч
= У*. У,-------dXj -dxk
Иными словами, второй дифференциал d2u представляет собой
симметричную квадратичную форму2 от переменных dxlt dx2,.... dxm
д2и
с коэффициентами, равными значениям ----- в данной точке М.
dxjdxk
2. Пусть аргументы Хр х2,..., хт сами являются дважды дифферен-
цируемыми функциями независимых переменных /(, t2, ..., ts. Тогда
справедливо равенство:
1 Для этого достаточно потребовать, чтобы все частные производные
были дифференцируемы в точке М. а аргументы х(, х2 хтбыли либо неза-
висимыми переменными, либо два раза дифференцируемыми функциями.
2 Квадратичной формой называют функцию переменных , /2,..., вида
Ф У, У, aikVk Если ее коэффициенты удовлетворяют условиям ajk = akj для
всех индексов i и к, то квадратичная форма Ф называется симметричной.
144
Глава 15
2 " " “ ди
du - > >------------dxxfx,. + > -----1
Сопоставляя эти два случая, приходим к выводу, что второй и все
последующие дифференциалы не обладают свойством инвариант-
ности своей формы.
В заключение укажем компактную форму записи дифференциала
dnu в случае, когда аргументы х,, х2, хт рассматриваемой функ-
ции являются независимыми переменными. Для этого используем
формальный символ
d =dx, +dx-, +...+dx„ •-.
a<, at, • a,„
Тогда выражение для второго дифференциала приобретает вид
а и=\ ах,----+ах,-----i-...+«x -
I 'а,, !а<2 "a,„J
и точно так же — для дифференциала любого порядка п-
dXl дх. +dX} дх2
-+dx„,^-
8хт
Какой вид имеет формула Тейлора для функции
нескольких переменных?
Как и для функции одной переменной, формула Тейлора для
функции и =/(х,,х2>...,хт) позволяет заменить полное приращение
Да = f[xx + Дх,, х2 + Дх2....,хи + Дхи) -Дх,, х2 хм) этой функции
на сумму многочленов относительно приращений Дх,, Дх2...Дхт
и оценить совершаемую при такой замене погрешность
Ради сокращения записи приведем формулу Тейлора для функции
и =f[x, у) двух переменных.
Пусть функция и —f(x, у) определена и (л + 1) раз дифференциру-
ема в некоторой окрестности точки Л/0(х, у) Тогда для достаточно
малых приращений Дхи Ду справедливо равенство:
О О О О [ 5 I ° О
/<Х+ДХ, v+Ду) - /(х. у) = Дх— + Ду— |/(х. у)4
I, дх ду)
+Ядх^+дуА] /(;,;)+...+_Цдх|-+дуА'| л°х,°у}+
2!^ дх оу) дх &у)
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
145
1(0 8 Y е
+-—— Дх—+ &У-Z- /<х+ ОДх. едУХ
(и + 1)’^ дх 8у )
где 8 — некоторое число из интервала 0 < 8 < 1. Это равенство назы-
вается формулой Тейлора для функции и ~f(x, у) в точке М^(х, у) с
остаточным членом в форме Лагранжа
Отметим, что в случае функции т переменных в этой фор-
муле надо заменить координаты «центральной» точки (х, у), на
(Х|,х2, ...,хт), координаты «смешенной» точки (х+Дх,у+Ду) на
О о о Г О В I
(х,+ Дх.,х2+ Дх2,хт+ Дх„), атакжевыражение I Дх—+ Ду— на
V дх ду)
( д д о «
Дх.---+Дх2-----+ ... + Дх„- и координаты точки (х+0Дх,у+8Ду)
в остаточном члене на (xj+0ДХ], х2+ 0Дх2,.... хю+©Дхга).
Что называют локальным экстремумом функции
нескольких переменных и какое условие
для него необходимо?
Говорят, что функция и =Дх1 ,х2,..., хт) имеетвточке Л/0(Х|, х2,..., хт )
локальный минимум (соответственно локальный максимум), если зна-
чение f(M0) в этой точке является наименьшим (соответственно
наибольшим) среди всех значений ДУИ) функции из достаточного
малой 8-окрестности точки Л/с. Точнее говоря, существует такое
число 6 > 0, что разность
Дм = f(xi + Дх,, х2+ Дх2.хт + Дх„.) - /(х(, х2,.... хт)
является неотрицательной (соответственно неположительной) для
всех приращений, удовлетворяющих условию
(Лх,)2 +(Л.«2)2 +....(л.«„)2 <s2.
Если функция и =fixj, х2,....хт) имеет в какой-либо точке локаль-
ный минимум или локальный максимум, то говорят, что функция
имеет в этой точке локальный экстремум.
Теорема (необходимое условие локального экстремума дифференци-
руемой функции). Пусть функция и =Дх1, х2,—,хи) дифференцируема
е точке Л/0(Х|, х2,..., хт ) и имеет в этой точке локальный экстремум.
146
Глава 15
Тогда все частные производные первого порядка этой функции обраща-
ются в точке Мо в нуль. т. е.
^(М„) = О, ) = О ^(М„) = О.
ЙХ] Зх2 ^хт
Данное условие может быть записано и в другой форме: первый
дифференциал функции в этой точке
du = ^-(M0)dxl + -^4.MIJ)dx2 + ... + ^(M(>)dxtri
ах, дх2 дхт
равен нулю тождественно относительно дифференциалов независимых
переменных dXf, dx2, дхт.
Отметим, что данное необходимое условие выполняется лишь при
условии, что функция дифференцируема в точке своего локального
экстремума. Так, например, функция и = |х| + |у| имеет в точке (0,0)
локальный минимум1, однако не дифференцируема в этой точке, так
как не имеет в точке ГО. 0) ни одной частной производной первого
порядка
Кроме того, указанное необходимое условие не является достаточ-
ным для существования локального экстремума в соответствующей
точке. Так, например, функция и —х1 — у2 дифференцируема во всех
ди , ди
точках, имеетчастные производные —=2х и — = -2у, равные нулю в
дх ду
точке (0> 0)> однако не имеет в этой точке локального экстремума2.
Таким образом, в точках Мо, в которых все частные производные
первого порядка равны нулю3, требуется проводить дополнительное
исследование.
Какие условия обеспечивают локальный
экстремум в стационарной точке функции
нескольких переменных?
Пусть функция и =f(xl, х2, ..., хю) один раз дифференцируема в
достаточно малой S-окрестности точки Ми(х1,х2,—,х1„) и дважды
1 Она равна нулю в этой точке и неотрицательна при всех значениях
своих аргументов хм у.
2 Она равна нулю в этой точке, при этом i/(U, у) = —уг < 0 при всех у * 0
и ы(х, 0) = х2 > 0 при всех х * 0.
3 Такие точки принято называть стационарными точками функции, или
точками ее возможного экстремума.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
147
дифференцируема в самой точке Л/о, причем эта точка Л/() является
стационарной точкой рассматриваемой функции, т. е.
Тогда:
— функция и =/(jC|, Jtj,х,п) имеет е точке Mtj локальный минимум,
если второй дифференциал d2f в этой точке является положительно
определенной квадратичной формой от переменных dxt, dx2, —, dx^,
— функция и =/(Xj, х2> —, хт) имеет в точке Мо локальный максимум,
если второй дифференциал d^fe этой точке является отрицательно оп-
ределенной квадратичной формой',
— функция и —/(Хр х2, —, хт) не имеет в точке Мо локальный
экстремум, если второй дифференциал d^f в этой точке является
знакопеременной квадратичной формой .
Для исследования второго дифференциала
*” *” Р^и
х х ,<л/« w'<<
Л=1 i=l exiexk
как квадратичной формы от переменных dxx, dx2, —, dxm можно
использовать критерий Сильвестра. В матрице
«II «12 — aim
«21 «22 «2»
«ml ат2 — втп,
ди
с элементами alk =----считаются так называемые главные
миноры, т. е. определители вида
и применяется следующее утверждение
1 Квадратичная форма Ф у "УАгМг называется поюмительно(соответст-
»=1 Л=1
венно отрицательно) спреде генной, если она принимает строго положительные
(соответственно строго отрицательные) значения при всех /у, г2,tm, одновре-
менно не равных нулю. Квадратичная форма Ф называется знакопеременной, если
среди ее значений имеются как положительные, так и отрицательные числа.
Глава 15
148
Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы рассматриваемая
квадратичная форма явля гаеь положительно (соответственно отри-
цательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все числа
А Л ^3 Ап
А А An-i
были положительными (соответственно отрицательными).
С учетом этого утверждения для функции двух переменных
и ~f(x, у) имеет место следующее утверждение, уточняющее при-
веденные выше дос1аточные условия локального экстремума в ста-
ционарной точке М0(х,у).
Пусть =—~(М0), а12 = л2| —(Л/с), а22 =—у(Л/0).
Вх2 By2
Тогда.
— функция и =f(x, у) имеет в точке Mv локальный экстремум при
ус weuu в| |й22 — > 0, причем это будет локальный минимум при а । ( > О
и локальный максимум при (( < 0;
— функция и —f(x, у) не имеет в точке Мо локального экстремума,
если а1 |й22 ~ai2 < 0
Следует отметить, что рассмотренные здесь достаточные условия
не позволяют исчерпывающе исследовать стационарные точки любой
функции нескольких переменных. Например, для функции и —f(x, у)
двух переменных случай ацв22 является сомнительным (в этом
случае, как показывают конкретные примеры, возможно как наличие,
так и отсутствие локального экстремума в точке Л/о).
Как найти максимальное и минимальное
значение функции нескольких переменных?
Пусть функция и =Дх1, х2,.... хт) определена и непрерывна в огра-
ниченной замкнутой области 2)и дифференцируема во всех внутренних
точках этой области. Для нахождения максимального и минимального
значений функции и =Дх|, х2, —, хт) в области D следует:
— найти значения этой функции во всех точках возможного ло-
кальною экс1ремума, оказавшихся внутри области D;
— сравнить эти значения со значениями функции на границе
области D.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
149
Что называют условным экстремумом функции?
В случае когда экстремум функции нескольких переменных ищется
при условии, что ее аргументы удовлетворяют некоторым допол-
нительным соотношениям, говорят о поиске условного экстремума
функции.
Как найти условный экстремум функции?
Для отыскания условного экстремума можно использовать два
подхода. В целях упрощения записи рассмотрим эти подходы на
примере нахождения экстремума функции пяти переменных
и =fixt, х?, х3, у2)
при наличии двух условий связи
Fi{Xi,X2,X3,yi,y2)^0,
F2(x„x2,x3,y1,y2) = 0.
Будем говорить, что функция и =Дх(, х2, х3, у,, у2) при наличии
этих условий связи имеет условный максимум (соответственно ус-
ловный минимум) в точ ке (х(, х2, х3, у}, ут ). коорди наты которой
удовлетворяют этим условиям связи, если найдется такая окрестность
точки Мо, в пределах которой значение рассматриваемой функции в
точке Л/о является наибольшим (соответственно наименьшим) сре-
ди ее значений во всех точках указанной окрестности, координаты
которых удовлетворяют условиям связи.
1. Первый подход при отыскании условного экстремума удобен
тогда, коща система из двух приведенных выше условий связи разре-
шима (по крайней мере, локально, т. е. в пределах некоторой окрест-
ности рассматриваемой точки) относительно у( и у2- В этом случае
найдутся функции^! = ф|(х(, х2. х3) иу2 = ф2(х(, х2, х3), обращающие
условия связи в верные тождества, а задача нахождения условного
экстремума тем самым сведется к задаче об обычном (безусловном)
экстремуме функции трех переменных
и = Ф(х,, х2, х3) =Ях,, х2, х3, ф^х,, х2, х3), ф2(х,, х2, х3)|.
2. Второй подход позволяет избежать нарушения симметрии от-
носительно переменных х(, х2, х3, у(, у2, когда одни переменные
(Xj, х2, х3) остаются независимыми, а другие (У|,у2) выражаются через
ISO
Глава 15
них'. Этот подход был предложен Лагранжем и называется методом
неопределенных множителей Лагранжа.
Составим так называемую функцию Лагранжа
V = /(JC|, хг, х3, У), у2) + F, F, (х,, х2, х3, у,, у2)+ Z.2 F2(X], х2, х3, у,, у2),
где Х( и Х.2 — постоянные и пока неопределенные числа. Из урав-
нений
^ = 0,^L = 0. ^-=0.^=0. ^- = 0
5Х| дх2 йх3 dyt ду2
находятся точки возможного безусловного экстремума функции Ла-
гранжа v (выражающаяся через постоянные и 12). Для определения
1| и А2 используются условия связи F| =0, F2 = 0
Пусть теперь точка Мо — найденная точка возможного экстрему-
ма. Для выяснения того, является ли эта точка точкой экстремума
функции и =Дх|5 х2, х3, Уу, у2) при наличии связей F( = 0, F2 = 0,
достаточно исследовать знакоопределеность второго дифференциала
функции Лагранжа в точке А/() при выполнении дополнительных
условий в этой точке
[SF. c?F. ?F. c?F. ЙЯ n
OX] cx2 cx3 оу, By2
SF2 , 8F1 , 8F2 SF2 , 8F2 , л
——dx, + —-dx? + —-dx? + ——dy, + —-dy? - 0
Fx, Bx2 Bx3 * <:y-, By2
на дифференциалы переменных rfx(, dx2, dx3, dyt, dy2. Если второй
дифференциал окажется при выполнении этих условий
положительно (соответственно отрицательно) определенной квад-
ратичной формой, то точка Л/о является точкой условного минимума
(соответственно условного максимума).
1 Этот недостаток первого подхода становится особенно существенным
в тех конкретных задачах, когда не удается найти явное решение условий
связи относительно у, и у2 в элементарных функциях.
Глава 16. Двойные и тройные
интегралы
Как определяется двойной интеграл
от функции двух переменных?
Обычно двойной интеграл от функции двух переменных определя-
ется поэтапно: сначала вводится двойной интеграл для прямоуголь-
ника, а за । ем строится интеграл для произвольной области
1. Пусть функция Дх, у) определена на прямоугольнике R — [а <
< х < 8] к [е < у <d].
Каждому разбиению сегмента а < х < b на п частичных сегментов
а = х0 < Х| < х2 < — < хй = b и каждому разбиению сегмента с < у <d
на р частичных сегментов с =ус < у( < уг < — < ур = dестественным
образом соответствует разбиение прямоугольника R на пр частичных
прямоугольников:
Я*/= [ХА_, <х<хк] X <y<yt] (к = 1, 2...л; 1 = 1, 2, ...,р).
На каждом частичном прямоугольнике Rkl возьмем произвольную
точку rj,). Положим Дхк —хк — xk_t, Ay, =у/ — yt-l и обозначим
через &Rkl = ^х^^у/ площадь прямоугольника Rkt. Составим для
данного разбиения следующую сумму
к=1 /=1
которую будем называть интегральной суммой для функции fix, у) на
прямоугольнике R.
Диагональ Axt )2 + (Лу/ )2 частичного прямоугольника Rkf будем
называть его диаметром, а наибольший из этих диаметров d по всем
прямоугольникам разбиения — диаметром данного разбиения
Число / называется пределом интегральных сумм о при стремлении к
нулю диаметра разбиения, если для любого сколь угодно малого числа е > О
найдется отвечающее ему число 8=8(e) > 0, такое, что при единственном
условии d < 8 (независимо от выбора точек RkI) справедливо
неравенство |ст — 7] < е.
152
Глава 16
Функция fix, у) называется интегрируемой на прямоугольнике R,
если для этой функции существует на прямоугольнике R конечный
предел / ее интегральных сумм ст при стремлении к нулю диаметра
разбиения d При этом указанный предел / называется двойным
интегралом от функции fix, у) по прямоугольнику R и обозначается
одним из символов
1 = jjfix, yldxdy - JJ f( M }dc.
R R
Отметим, что так же, как и для однократного определения инте-
грала, ограниченность функции fix, у) на прямоугольнике R является
необходимым условием ее интегрируемости на этом прямоугольнике.
2. Пусть теперь функция Дх, у) задана и ограничена в некоторой
ограниченной замкнутой и квадрируемой области D.
Обозначим через R любой прямоугольник (со сторонами, па-
раллельными координатным осям), содержащий область D. В этом
прямоугольнике определим следующую функцию:
{fix, у) в точках области D,
О в остальных точках R.
Функцию fix, у) назовем интегрируемой в области D, если функция
Нх^интегрируемавпрямоугольнике К При этом число / ~$F(x,y)dxdy
R
назовем двойным интегралом от функции fix, у) по области D и обозначим
одним из символов
/ = JJ fix, yfdxdy=JJ f( M)do.
D D
Отметим также, что двойной интеграл для произвольной области
D можно вводить разбиением области D на конечное число квадри-
руемых областей Dt, D2,..., Dr, определяя его как предел интеграль-
ных сумм й = £/(/*)-Д/)(- при диаметре разбиения, стремящемся к
нулю1 Можно показать, что такой подход полностью эквивалентен
приведенному выше.
1 Здесь Р/— произвольная точка области Dj, &Dj— площадь D-, диаметром
области Dj называют точную верхнюю грань расстояний между любыми двумя
точками этой области, а диаметром разбиения — наибольший из диаметров
всех частичных областей.
Двойные и тройные интегралы 153
Для каких функций двух переменных
существует двойной интеграл?
В случае функции Дх, у), заданной и ограниченной в прямоуголь-
нике R = [а < х < fc] х |с < у <rf], справедливо утверждение, полно-
стью аналогичное утверждению для однократного определенного
интеграла.
Теорема. Для того чтобы для функции Дх, у) существовал двойной
интеграл по прямоугольнику R, необходимо и достаточно, чтобы для
любого сколь угодно малого числа е > 0 существовало отвечающее ему
число 8(e) > 0, обеспечивающее справедливость неравенства S—s<e для
верхней суммы S и нижней суммы s любого разбиения прямоугольника R
с диаметром д<8(е).
Здесь верхняя и нижняя суммы определяются соответственно
равенствами
k=\ /=1 А=1 /=1
где Mklu тк1 — соответственно точная верхняя и точная нижняя грани
функции Дх, у) на частичном прямоугольнике Rkt.
Из этого критерия непосредственно следует, что любая непрерывная
в прямоугольнике R функция Дх, у) интегрируема на этом прямоуголь-
нике.
Можно несколько расширить этот класс интегрируемых в пря-
моугольнике функций.
Назовем элементарной фигурой множество точек, представляющих
собой сумму конечного числа лежащих на плоскости Оху и не име-
ющих общих внутренних точек прямоугольников со сторонами,
параллельными координатным осям. Будем говорить, что функция
Дх, у) обладает 1-свойством в ограниченной замкнутой области D,
если: 1) она ограничена в области D; 2) для любого числа е > 0 сущест-
вует элементарная фигура, содержащая все точки и линии разрыва
функции Дх, у) и имеющая плошадь. меньшую е.
Можно доказать, что если функция Дх, у} обладает /-свойством в
прямоугольнике R, то она интегрируема на этом прямоугольнике.
Что же касается двойного интеграла по произвольной области D,
то справедливо следующее утверждение.
Теорема. Если функция Дх, у) либо непрерывна в ограниченной за-
мкнутой и квадрируемой области D, либо обладает /-свойством в этой
области, то она интегрируема в области D.
154
Глава 16
Какими основными свойствами обладает
двойной интеграл?
1. Двойной интеграл JJk/xt/y равен площади области О.
о
2. Свойство линейности. Если функции Дх, у) и g(x, у) интегри-
руемы в области D, то функция |аДх, у) + Pg(x, у) ] (Va, Pel?) также
интегрируема в области D. причем
JJ [а/ (х, у) + ₽g(x, yftixdy = a jjf(x, y)dxdy + p Jj g(x, y)dxdy.
D D D
3. Свойство аддитивности. Если функция Дх, у) интегрируема в
области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль1
разбивается на две не имеющие общих внутренних точек области
/>! и Д2, то функция Дх, у) интегрируема в каждой из областей Dt и
/),, причем
JJ/(x, y'ldxdy = jj f(x. y)dxdy + JJ/U- y)dxdy
D Dt D2
4. Если каждая их функций Дх, у) и§(х, у) интегрируема в области
D, то и произведение этих функций [Дх, y))-g(x, у)] является инте-
грируемой в области D функцией.
5. Если обе функции Дх, у) и g(x, у) интегрируемы в области D и
всюду в D выполнено неравенство Дх. у) < g{x, у), то
JJ f(x, y)dxdy < Jj g(x, y)dxdy.
D D
6. Если функция Дх, у) интегрируема в области D. то и функция
[Дх, у)| интегрируема в области D, причем
ff /(*, fJI /<J-, Г > I <Шу.
Id I d
7. Формула среднего значения. Если обе функции Дх, у) и g[x, у)
интегрируемы в области D, функция g(x, у), кроме того, или неотрица-
тельна, или неположительна в области D, то найдется число р, лежащее
1 Кривую Г на плоскости Оху называют кривой площади нуль, если для
любого числа е > 0 существует элементарная фигура, содержащая Г и име-
ющая площадь, меньшую е.
Двойные и тройные интегралы 155
на сегменте между числами т = inf f(x, у) и М = sup f(x,y),
(x,y)eD (x.yfeD
такое, что справедливо равенство:
Jf/(x, y)g(x, y)dxdy = pJJ g(x, y)dxdy.
D D
В частности, если функция Дх, у) непрерывна в области D, а об-
ласть D является связной, то в этой области найдется точка (Е,, т]),
такая, что
If fix, y)g{x, y)dxdy = /(^, r])jjg(x, y)dxdy
D D
Как свести двойной интеграл к повторному
однократному?
Сведение двойного интеграла к повторному однократному явля-
ется одним из эффективных способов его вычисления. Суть такого
сведения заключена в следующих двух утверждениях.
Теорема I. Пусть функция f(x, >•) интегрируема в прямоугольнике
R = [й < х< 6] х [е< у <d] и, кроме того, для каждого хе [а, £>] существует
а
однократный интеграл /(х) = J/(x, y)dy Тогда существует повторный
ь *Г<? I
интеграл JI (x)dx =jl J/(x, y)dy Wx и справедливо равенство-,
a с|_« J
fj/(Л, yldxdy - уу/у j*.
Теорема 2. Пусть выполнены следующие два условия-. 1) область D
ограничена, замкнута и такова, что любая прямая, napa.i гельная оси Оу,
пересекает ее границу не более чем в двух точках, ординаты которых
суть у|(х) и у2(х), где у((х) < у2(х)-, 2) функция f(x, у) интегрируема в
области D, и для любого хе [х,, х2], гдеХу их2— наименьшая и наибольшая
абсциссы точек области D, существует однократный интеграл
У2<х)
I(x)= J f(x,y)dy.
У,(х)
Глава 16
Тогда существует повторный интеграл J I{x)dx и справедливо
равенство Л]
\\f(x,y)dxdy- J J f(x,y)dyyx.
D XiLhOrl J
Отметим, что в этих двух теоремах переменные х и у можно по-
менять ролями.
Как выполнить замену переменных
в двойном интеграле?
Пусть в двойном интеграле / - jjf(x,y)dxdy необходимо перейти
о
от переменных х, у к новым переменным Е,, п при помощи преоб-
разований
fx = T|(^,i1),
(у = Т2^,п).
Предположим, что преобразования взаимно однозначно отоб-
ражают область D на область D' в пространстве переменных ],
определяются функциями и Ч'2, которые имеют в области D'
непрерывные частные производные первого порядка и отличный
от нуля определитель
сх Вх
c’s ch] 8х 8у 8х By
By By ~В^ ch] ch] B^’
называемый определителем Якоби, или якобианом преобразования.
Тогда справедливо следующее утверждение
Теорема. При выполнении всех вышеперечисленных условий имеет
место следующая формула замены переменных:
' Я Л'I' I К. if>, Л)1 IЛС I
О'
Двойные и тройные интегралы 157
В важном частном случае, когда новыми переменными являются
полярные координаты точек (х, у): х = rcosrp, у = /*sin<p. якобиан
равен г и формула замены переменных принимает вид
1 = JJ/(г cos<p, г sin <p)rdrd<p.
D'
Как строится теория тройных интегралов?
Теория тройных интегралов строится в полной аналогии с теорией
двойных интегралов
Тройной интеграл jjjf(x,y,z)dxdydz по прямоугольному парал-
R
лелепипеду R с ребрами, параллельными координатным осям, оп-
ределяется как предел интегральных сумм при стремлении к нулю
диаметра разбиения. Интегрируемость функции fix, у, z) в произ-
вольной ограниченной замкнутой и кубируемой области D проще
всего определить как интегрируемость по содержащему D паралле-
лепипеду R функции F(x, у, г), совпадающей с fix, у, z) в области D
и равной нулю вне D.
Для сведения тройного интеграла У> Z)dxdydz коднократно-
R
му и двойному интегралам предположим, что область D ограничена,
замкнута и такова, что любая прямая, параллельная оси Ох, пересекает
ее границу не более чем в двух точках, абсциссы которых суть Х|(у, z)
и х2(у, z), где Xj(y, z) S х2(у, z). Пусть функция Дх, у, z) интегрируема
в области D и для любых у, z из области Dj, являющейся проекцией
области D на плоскость Oyz, существует однократный интеграл
*2<KZ)
/O’.Z)= f f(x,y,z)dx.
X,<V. z)
Тогда существует двойной интеграл z)dydz и он равен рас-
сматриваемому тройному интегралу, п,
В тройных интегралах также можно производить замену перемен-
ных. Здесь справедлива аналогичная формула замены переменных,
только в качестве якобиана перехода от переменных х, у, z к перемен-
ным г), С, выступает следующий определитель третьего порядка:
Глава 16
В частности, если новыми переменными являются сферические
координаты г, <р, 0:х = rcostpsinO, у = rsin<psin0, z = rcosfi, то яко-
биан преобразования имеет вид
Дг, <р, 0) = r^sinO.
Глава 17. Ряды
Что называют числовым рядом
и как определяется его сумма?
Числовым рядом, или просто рядом, называют формально состав-
ленную бесконечную сумму всех элементов какой-либо числовой
последовательности
«,+«2+ - + <'<+-
Л=1
При этом отдельные слагаемые ик называются членами этого ряда,
и
а сумму первых п слагаемых 8п = У — его л-й частичной суммой.
к=1
Сумма числового ряда вводится посредством операции предельного
перехода. Ряд называется сходящимся, если существует конеч-
*=|
ный предел 5последовательности {5П} его частичных сумм. При этом
указанный предел 5 и называют суммой рассматриваемого ряда.
Если последовательноегь |А'Л.} частичных сумм ряда не имеет ко-
нечного предела, то ряд называют расходящимся.
к=1
В чем состоит критерий Коши сходимости
числового ряда и каковы его следствия?
Теорема (критерий Коши). Для того чтобы ряд ^ик сходился, необ-
*=|
ходимо и достаточно, чтобы для любого достаточно малого числа е > О
I ”+₽ I
нашелся номер 7V(s), для которого неравенство \ ик < е выполнено
|а=л+1 |
для всех номеров п > N(e) и всех натуральных р.
160
Глава 17
Основным следствием этого критерия является следующее необ-
ходимое условие сходимости числового ряда.
Следствие 1. Если ряд У.м^ сходится, то его к-и член стремится
к нулю при А —> 0: *=1
lim =0.
к-ю
Отметим, что данное условие является лишь необходимым, но
не достаточным условием сходимости каждого числового ряда. Так,
последовательность членов гармонического ряда Рк является бес-
конечно малой, хотя этот ряд расходится. <=|
Следствие 2. Если ряд У.Ы{- сходится, то последовательность {гп}
к=1
п-х остатков этого ряда, т. е. чисел
rn = £ ик,
к—п+1
является бесконечно малой.
В чем состоит специфика изучения числовых
рядов с неотрицательными членами?
Основным харак1еристическим cbohcibom ряда У рк, все члены
Л=1
рк которого неотрицательны, является тот факт, что последователь-
ность {5^} его частичных сумм является неубывающей. Справедливо
следующее утверждение.
Теорема. Для сходимости ряда У рк с неотрицательными членами
к=1
необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных
сумм являлась ограниченной.
Это, в частности, позволяет получить ряд признаков, на основании
которых заключение о сходимости или расходимости рассматривае-
мого ряда можно сделать посредством сравнения его с другим рядом,
сходимость или расходимость которого уже известна.
161
Каковы основные признаки сравнения числовых
рядов с неотрицательными членами?
Пусть имеется два ряда с неотрицательными членами У и
« А=1
У и выполнено одно из следующих трех условий:
ы
1) для всех номеров к справедливо неравенство рк < рк;
2) существует конечный предел lim — = £;
3) для всех номеров к справедливо неравенство *+| < ^Aytl.
Тогда: Рк
— сходимость ряда УРь влечет за собой сходимость ряда У Р'к,
*=1 *=1
— расходимость ряда У рк влечет за собой расходимость ряда
Л=1
±л-
к=1
В чем состоят признаки Даламбера и Коши
сходимости/расходимости числового ряда?
Пус1ь имееюя ряд У рк со строго положительными членами.
Теорема 1(признак Даламбера).
I. Если начиная с некоторого номера к справедливо неравенство
Рк>1 <ф<1 (соответственно Рк>1 >1),
Рк Рк
то ряд У рк сходится (соответственно расходится).
к=1
II. (Признаквпредельной форме). Ес tu существует предел lim Pk+l = L
ос ' ' рк
то ряд У рк сходится при L < 1 и расходится при L > I.
Л=1
162
Глава 17
Теорема 2 (признак Коши).
I. Если начиная с некоторого номера к справедливо неравенство
ijpf, <q < 1 {соответственно ^рк > 1),
то ряд У сходится (соответственно расходится).
*=|
II. (Признак к предельной форме) Если существует предел
lim ^Pk = L, то ряд У сходится при L <1 и расходится при L
#-f?° *=1
К этим признакам необходимо сделать следующие два замечания.
Во-первых, неравенства <q<l и нельзя заменить
Рк
неравенствами hl < I и ^р^< 1, так как в этом случае уже нельзя
Рк
сделать какого-нибудь определенного вывода о сходимости или рас-
ходимости ряда 5L Рк- Во-вторых, при £ = 1 признаки в предельной
*=
форме «не действуют». Сказанное иллюстрируют два ряда: У — и
р. к='к
——> 1, первый из коюрых расходи юя, а второй — сходится.
Рк
Что понимается под абсолютной и условной
сходимостью числового ряда?
Для произвольно! о числового ряда У справедливо следующее
утверждение. *=
Теорема 1. Если ряд У 1°д I сходится, то сходится и сам ряд ^ик.
*=1 *=
Тем самым ряд называю! абсолютно сходящимся, если схо-
ди
дитсяряд £|«А|, составленный из модулей членов исходного ряда.
*=l О. и
Соответственно если ряд сходится, а ряд I расходится,
к=\ к=\
то исходный ряд называют ус ювно сходящимся.
163
Классическим примером условно сходящего ряда является ряд
,_1 + 1_1+ +(-!/' +
2 3 4 к
Ряд, составленный из модулей членов, — это гармонический ряд
22 —, который расходится. Сам же ряд сходится как знакочередую-
к=\^
щийся ряд*, удовлетворяющий следующему утверждению.
Теорема 2 (признак Лейбница). Если е знакочередующемся ряде
22 (-D* 1 Ph числа {рк} образуют невозрастающую бесконечно малую
*=|
последовательность, то этот ряд сходится.
Что такое степенной ряд и что называют
его радиусом сходимости?
Степенным рядом называется ряд вида
й0 + й1* + й2х2 + —=йо + 52 а/Сх*'
*.1
в котором ди, а{,а2, ... — постоянные вещественные числа, называемые
коэффициентами степенного ряда, ах— вещественная переменная.
Степенной ряд всегда сходится (причем даже абсолютно) при
х = 0. Для выяснения того, при каких значениях х * 0 этот ряд схо-
дится, изучается числовая последовательность || Справедливо
следующее утверждение.
Теорема Коши—Ада мара
I. Если последовательность -^/| Од. | является неограниченной, то
степенный ряд а^ + Уй^х^ сходится только при х = 0.
*=| , ________.
II. Если последовательность | ^является ограниченной и ее верхний
преде I «у=lim строго положителен, то степенной ряд я() + 52 qt хк схо-
( 111 *=| 1
дится абсолютно при всех х е I-, — и расходится при всехх: | х |> —.
1 То есть ряд 22 > в КОТОРОМ любые соседние члены ик и ик+1 суть чиста
разного знака.
164
Глава 17
III. Если последовательность | J ограничена и ее верхний предел
L равен нулю, то степенной ряд + '^_jakxk сходится абсолютно для
*=
всех значении х.
Число1
lim
Л->сс
называют радиусом сходимости степенного ряда + У\акхк.
*=
Отметим, что при R > 0 на концах промежутка сходимости ( R, R)
рассматриваемый степенной ряд может как сходиться, так и расходить-
ся. Так, каждый из рядов 1т У.х*, 1+ £—, 1+ имеет радиус
*=1 *=1 * к=1&
сходимости R = 1, при этом первый из них расходится и при х = 1, и
при х=—1, второй из них сходится только при х — —1, а третий сходится
на обоих концах х = ±1.
Какими свойствами обладает сумма степенного
ряда на промежутке сходимости?
Пусть степенной ряд <а0 + X.Oj-x* сходится не только при х = 0 и
*=1
имеет радиус сходимости R. Обозначим через Six) сумму этого ряда
для каждого хе (—Я, R).
Теорема 1. Сумма S(x) степенного ряда непрерывна всюду внутри
промежутка сходимости (-R. R).
Теорема 2. Ряд, полученный формальным почленным дифференциро-
X
ванием степенного ряда аи + У в; хА, т. е. ряд af + y'jkatxk~l. имеет
*=1 *=2
тот же радиус сходимости R и для всех хе (— R, R) абсолютно сходится
к производной S'(x) суммы исходного степенного ряда, которая сущест-
вует для всех х из промежутка сходимости.
Как следствие, из этих теорем вытекает, что сумма S(x) степенного
ряда имеет внутри промежутка сходимости (—Я, Я) непрерывные про-
изводные сколь уюдно высокого порядка, которые, в свою очередь.
165
являются суммами тех степенных рядов, которые получаются при со-
ответствующем почленном дифференцировании ряда а0 + У'аьхк.
к=1
Как разложить функцию в степенной ряд?
Говорят, что функция Дх) может быть разложена в степенной ряд на
интервале (-R, R) (соответственно на множестве X). если существует
степенной ряд а0 т У^о1.хк, сходящийся к fix) на интервале (—R, R)
(соответственно на множестве X)
Как следует из свойств суммы степенного ряда, если функция Дх)
разложима в степенной ряд на интервале (—/?, Я), то эта функцияДх)
имеет на этом интервале непрерывные производные сколь угодно
высокого порядка. Кроме того, коэффициенты соответствующего
степенного ряда определяются однозначно равенствами
г<Л)(П)
«о = /(0), <*к = при Л = 1, 2,....
Степенной ряд а0 + У д^х*, коэффициенты которого определяются
к=1
указанными равенствами, называют рядом Тейлора функцииДх).
Привлекая теорему о разложении функции по формуле Тейлора,
получим следующее утверждение.
Теорема. Для того чтобы функция fix) могла быть разложена в сте-
пенной ряд на интервале (-R, R) (соответственно на множестве X),
необходимо и достаточно, чтобы зта функция имела на рассматриваемом
множестве непрерывные производные любого порядка и чтобы остаточный
член Rnl ] (х) в разложении fix) по формуле Маклорена стремился к нулю
при и -> <» на интервале (-R, R) (соответственно на множестве X).
Основными считаются следующие разложения в степенные ряды:
-1+ > --------, sinx= > ------------
(2k)\ ~ (2Л-1)!
сходящиеся (причем даже абсолютно) для всех значений х, и разло-
жение 1п(1 + х) = У------, сходящееся при хе (— 1, 1].
*=l k
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 1. Вещественные числа. Множества
вещественных чисел............................... 3
Какие основные числовые множества рассматриваются
в математике?..................-............... 3
Что такое рациональное число?....................3
Что относят к основным свойствам рациональных чисел?..4
Какую роль играют бесконечные десятичные дроби
при введении понятия вещественного числа?....... 5
Как сравнить вещественные числа?.................5
Какие множества вещественных чисел называют
ограниченными?................................. 6
Что называют точной верхней и точной нижней гранями
множества?..................-____________________6
Как определить сумму и произведение вещественных
чисел?...........................................7
Какими свойствами обладают вещественные числа?...8
В чем заключается аксиоматический метод введения
вещественных чисел?..............................8
Какие типы множеств вещественных чисел часто
используются в математике?.......................8
Глава 2. Системы координат н их простейшие
применения...................................... 10
Что называют осью? ................... ........10
Что такое направленный отрезок на оси и его величина?.10
Какие направленные отрезки называют равными?....10
Какие операции над направленными отрезками
называют линейными?.............................10
Как вводятся декартовы координаты на прямой?..........11
Содержание 167
Как найти величину и длину заданного направленного
отрезка на оси?......................................11
Как вводятся декартовы прямоугольные координаты
на плоскости и в пространстве?..................... 12
Как найти расстояние между точками на плоскости
и в пространстве?............................ 13
Как найти координаты точки, делящей заданный
отрезок в известном отношении?.......................13
Как вводятся полярные координаты на плоскости?_______14
Как вводятся цилиндрические координаты в пространстве?... 14
Как вводятся сферические координаты в пространстве?..15
Что такое комплексные числа и как определяются
алгебраические операции над ними?....................15
Какими основными свойствами обладаю!
комплексные числа?............................. 16
Что называется алгебраической формой записи
комплексного числа?............................ 17
В чем состоит операция сопряжения комплексных
чисел и какими свойствами она обладает?............ 17
Как изображаются комплексные числа?.............. 17
Что называется тригонометрической формой записи
комплексного числа?................................ 18
Как можно использовать тригонометрическую форму
записи при умножении и делении комплексных чисел?....18
Как извлекается корень степени и из комплексного числа? .... 19
Глава 3. Определители и системы линейных
уравнений...............................................20
Что называют квадратной матрицей? ...................20
Что называют определителем второго порядка?..........20
Как можно использовать определители второго порядка
для исследования и отыскания решений системы двух
линейных уравнений с двумя неизвестными? ............20
Что называют определителем третьего порядка?.........21
Какими основными свойствами обладают определители?...22
I6«
Содержание
Как можно свести определитель третьего порядка
к вычислению определителей второго порядка?..........23
Как можно использовать определители третьего порядка
для отыскания решения системы трех линейных
уравнений с тремя неизвестными? .................. ..24
Как можно использовать определители для отыскания
решений однородной системы двух линейных уравнений
с тремя неизвестными?................................25
Как можно использовать определители для исследования
однородной системы трех уравнений с гремя
неизвестными?.................................... 25
Что можно сказать о множестве решений неоднородной
системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными,
если ее определитель равен нулю?................... 26
Как можно ввести определители любого порядка?........26
В чем состоит метод Гаусса исследования и отыскания
решения линейной системы?.......................... 27
Глава 4. Векторная алгебра...........................30
Что такое геометрический вектор?.....................30
Какие операции над векторами принято называть
линейными?..................................... 30
Какими свойствами обладаю! линейные операции
над векторами?..................................... 31
В чем состоит критерий коллинеарности двух векторов?.. ..31
Что такое проекция вектора на ось и каковы
ее основные свойства?............................. ..31
Как определяются декартовы прямоугольные
координаты вектора?............................... ..32
Что называется скалярным произведением векторов?.....32
Какими свойствами обладает скалярное произведение?.... 33
Как найти скалярное произведение векторов, зная
их координаты?..................................... 33
Как определяется ориентация тройки векторов
в пространстве?......................................34
Что называется векторным произведением векторов?.....35
Что называется смешанным произведением векторов?.....35
Содержание 169
В чем состоит геометрический смысл векторного
произведения?.................................. 35
В чем состоит геометрический смысл смешанного
произведения?.................................... 36
Какими алгебраическими свойствами обладают
векторное и смешанное произведения?.............. 36
Как найти векторное и смешанное произведения,
зная координаты перемножаемых векторов?............ 37
Что называют двойным векторным произведением?........37
Глава 5. Преобразование декартовых прямоугольных
координат...............................................38
Как меняются координаты точки на плоскости
при параллельном переносе системы координат
и при повороте системы координат вокруг начала?______38
Как меняются координаты точки в пространстве
при параллельном переносе?......................... 39
Как связаны координаты точки пространства в двух
произвольных системах координат с общим началом?.....39
Глава 6. Основы аналитической геометрии.................41
Что называется алгебраической линией я-го порядка?.....41
Что называется алгебраической поверхностью
я-го порядка?........................................41
Как можно описать линию н и ростра нет не?.............42
Как можно задать прямую линию на плоскости?............42
Как выяснить взаимное расположение двух прямых
на плоскости?................................ 43
Как с помощью нормированного уравнения прямой
найти расстояние от точки до прямой?............. 45
Как можно задать плоскость в пространстве?...........45
Как выяснить взаимное расположение двух плоскостей?....46
Как с помощью нормированного уравнения плоскости
найти расстояние от точки до плоскости?..............47
Как можно задать прямую линию в пространстве?........47
Как выяснить взаимное расположение двух прямых
в пространстве? ................................. 48
170
Содержание
Как выяснить взаимное расположение прямой
и плоскости в пространстве?......................-....49
Что называют стандартным упрощением уравнения
линии второго порядка?...........................-....50
Какие линии второго порядка называют центральными?....50
Какие центральные линии второго порядка относятся
к эллиптическому типу, а какие — к гиперболическому?..51
Какая линия называется эллипсом и каковы его основные
свойства?........................................... 51
Какая линия называется гиперболой и каковы
ее основные свойства?.................................52
Какая линия второго порядка относится
к нецентральным и каковы ее основные свойства?........53
Каковы основные типы поверхностей второго порядка?....54
Глава 7. Предел последовательности....................57
Что называют числовыми последовательностями
и какие арифметические операции допустимы над ними?...57
Какие последовательности называют ограниченными?......57
Какие последовательности называют бесконечно
большими?........................................ ..58
Какие последовательности называют бесконечно малыми? ....58
Какими основными свойствами обладают бесконечно
малые последовательности?.............................59
Какие последовательности называют сходящимися?........59
Какими основными свойствами обладают сходящиеся
последовательности?................................. 60
Какие последовательности называют монотонными
и каким основным свойством они обладают?..............61
Как определяется число <??............................61
Что называют предельной точкой последовательности?....62
В чем состоит утверждение теоремы
Больцано-Веерштрасса?.................................62
Какие множества называют замкнутыми?.... .............63
Что называют верхним и нижним пределами
последовательности?................................. 63
Содержание 111
В чем состоит критерий Коши сходимости
последовательности ?................................ 63
Глава 8. Функция и ее предел............................64
Что называется пределом функции в точке?..............64
Что называется односторонним пределом функции в точке? ..65
Как определяется предел функции при х —» оо?..........66
В чем состоит критерий Коши существования предела
функции?...................................... 67
Какими арифметическими свойствами обладают функции,
имеющие предел?.......................................67
Каким образом сравнивают две бесконечно малые
и две бесконечно большие функции в данной точке?......68
Глава 9. Непрерывность функции..........................70
Какая функция называется непрерывной в ючке?..........70
Что значит, что функция непрерывна на множестве X?..70
Какие свойства непрерывных функций называют
локальными? ..................................... 71
Какие утверждения характеризуют свойство непрерывной
функции принимать любое промежуточное значение?.......72
Какие функции называют монотонными и каковы
их основные свойства?............................... 73
Что такое сложная функция и какие условия обеспечивают
ее непрерывность?............................... 75
Какие функции относятся к простейшим элементарным,
как они определяются и каковы их основные свойства?...75
Какой предел называют первым замечательным?...........81
Какой предел называют вторым замечательным?...........81
Как классифицируются точки разрыва функции?...........82
Какие свойства непрерывных функции относятся
к ее глобальным свойствам?.......................... 83
Глава 10. Основы дифференциального исчисления.........85
Что называется производной функции в точке?...........85
Каковы физический и геометрический смыслы
производной?.................................... 85
172
Содержание
Что называют правой и левой производными в точке?......86
Какую функцию называют дифференцируемой в точке?.......87
Какая связь между дифференцируемостью
и непрерывностью функции в точке?.................. 87
Что называется дифференциалом функции в точке?.........87
Как наити производную сложной функции в точке?.........88
В чем суть свойства инвариантности формы первого
дифференциала?................................... 88
Как найти производную обратной функции?................89
Каковы правила дифференцирования суммы, разности,
произведения и частного функций?.....................89
Как найти производные простейших элементарных
функций? ......................................... 89
Как найти производную степенно-показательной
функции?.............................................92
Что называется и-й производной функции?..............92
Как можно найти л-е производные некоторых
простейших элементарных функций?................... 93
Какое правило носит название формулы Лейбница?.......93
Как определяются второй дифференциал и другие
дифференциалы высших порядков? .................... 94
Обладают ли дифференциалы высших порядков
свойством инвариантности формы?.................... 94
Глава 11. Теоремы о дифференцируемых функциях....... 95
Что означает возрастание или убывание в точке
и какие условия обеспечивают такое свойство функции?.95
Что означает наличие у функции локального экстремума
в точке и какое условие необходимо для этого свойства?.95
В чем состоит теорема Ролля и каков ее геометрический
смысл?............................................. 96
В чем состоит теорема Лагранжа и каков ее геометрический
смысл?........................................... 96
Каковы основные следствия теоремы Лагранжа?..........97
В чем состоит теорема Коши?..........................97
О оо
Что называют неопределенностью типа — или типа —?....98
О оо
Содержание 173
В чем состоит правило Лопиталя?.............. 99
Какое соотношение называют формулой Тейлора?..........99
Каковы основные разложения по формуле Маклорена?......101
Какие условия достаточны для наличия экстремума
в данной точке?................................. 102
Что называется краевым экстремумом и как его найти?...103
Как определяется направление выпуклости графика
функции и что такое точка перегиба?............. 103
Как выяснить направление выпуклости графика
функции и найти его точки перегиба?............. 104
Что называют асимптотами графика функции
и как их найти?............................... 105
Глава 12. Неопределенный интеграл................... 106
Что называют первообразной функцией?............ 106
Что называют неопределенным интегралом функции?.......106
Какими основными свойствами обладает
неопределенный интеграл? ................. 106
Как выполнить замену переменной в неопределенном
интеграле?...................................... 108
В чем состоит метод интегрирования по частям?.....108
В чем состоит основной метод интегрирования
рациональных дробей?.......................... 108
Какие другие классы функций можно проинтегрировать
в элементарных функциях?..........................110
Глава 13. Определенный интеграл......................112
Что называется определенным интегралом функции?.......112
Какое необходимое и достаточное условие существования
определенного интеграла можно сформулировать
с помощью верхних и нижних сумм?......................113
Каковы основные классы интегрируемых функций?_________ 114
Какими свойствами обладает определенный интеграл?..... 114
В чем состоит формула Ньютона—Лейбница?...............116
Что называется площадью плоской фигуры?...........117
Как используется определенный интеграл
для нахождения площади плоской фигуры?................117
174
Содержание
Как используется определенный интеграл
для нахождения объема тела вращения?..............118
Как используется определенный интеграл
для нахождения длины спрямляемой кривой?..........119
Какие методы применяются для приближенного
вычисления определенных интегралов?............. 120
Что называют несобственным интегралом?............122
Глава 14. Криволинейные интегралы....................124
Что называется криволинейным интегралом
первого рода?........................ .. ......124
Что называется криволинейным интегралом
второгорода?......................................125
Как свести криволинейные интегралы к определенным
интегралам? _____________________________________126
В каком случае криволинейный интеграл второго рода
не зависит от пути интегрирования и как его при этом
можно вычислить?.............................. 127
Глава 15. Дифференциальное исчисление функций
многих переменных ............................. 128
Что такое /n-мерное евклидово пространство?.......128
Какие основные типы множеств рассматриваются
в т-мерном евклидовом пространстве?...............128
Как определяется предел последовательности точек
евклидова пространства?...........................130
Как формулируется критерий Коши сходимости
последовательности точек в Кт?....................130
Как формулируется теорема
Больцано— Веерштрасса в S'”?................... ..131
Как определяется предел функции m переменных?.....131
Какие функции т переменных называются
непрерывными?................................... 132
Какая существует связь между непрерывностью функции
т переменных по каждой своей переменной и обычной
непрерывностью зтой функции?.................... 133
Какими основными свойствами обладают непрерывные
функции нескольких переменных?.................. 134
Содержание 175
Что называется частной производной функции?........135
Какую функцию нескольких переменных называют
дифференцируемой?............................. 136
В чем состоит геометрический смысл условия
дифференцируемости функции двух переменных?.........137
Какие условия достаточны для дифференцируемости
функции нескольких переменных?.................... 138
В чем состоит правило дифференцирования
сложной функции нескольких переменных?............ 138
Что называют дифференциалом функции
нескольких переменных и обладает ли он свойством
инвариантности своей формы?..................... 139
Что называется производной по направлению и как
ее найти с помощью градиента функции?............. 140
Как определяются частные производные
высших порядков?................................ 141
Какие условия обеспечивают независимость значения
смешанных частных производных от порядка выполнения
дифферен цирования?............................. 142
Как определяются дифференциалы высших порядков
функции нескольких переменных?.................... 143
Какой вид имеет формула Тейлора для функции
нескольких переменных?............................ 144
Что называют локальным экстремумом функции
нескольких переменных и какое условие для него
необходимо?....................................... 145
Какие условия обеспечивают локальный экстремум
в С|ационарной точке функции нескольких переменных?.146
Как найти максимальное и минимальное значение
функции нескольких переменных?.................... 148
Что называют условным экстремумом функции?..........149
Как найти условный экстремум функции?............. 149
Глава 16. Двойные н тройные интегралы.................151
Как определяется двойной интеграл от функции
двух переменных?....................................151
Для каких функций двух переменных существует
двойной интеграл?................................. 153
17b Содержание
Какими основными свойствами обладает
двойной интеграл?................................ 154
Как свести двойной интеграл к повторному
однократному?.................................... 155
Как выполнить замену переменных в двойном
интеграле?..................................... 156
Как строится теория тройных интегралов?............157
Глава 17. Ряды........................................159
Что называют числовым рядом и как определяется
его сумма?.......................-............... 159
В чем состоит критерий Коши сходимости числового
ряда и каковы его следствия?.......................159
В чем состоит специфика изучения числовых рядов
с неотрицательными членами?..................... 160
Каковы основные признаки сравнения числовых рядов
с неотрицательными членами?........................161
В чем состоят признаки Даламбера и Коши
сходимости/расходимости числового ряда?.......... 161
Что понимается под абсолютной и условной
сходимостью числового ряда?........................162
Что такое степенной ряд и что называют его радиусом
сходимости?.................................. 163
Какими свойствами обладает сумма степенного ряда
на промежутке сходимости?..........................164
Как разложить функцию в степенной ряд? ............165