ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Н- И. ЛОБКОВА, Ю, Д. МАКСИМОВ, Ю. А ХВАТОВ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Том 1
О©
Электронные версии книг на сайте www.prospekt.org
-ПРОСПЕКТ-
Москва 2014
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
хзо
Электронные версии книг
на сайте www prospekt.org
Лобкова Н. И., Максимов Ю. Д., Хватов Ю. А.
ХЗО Высшая математика. Том I: учебное пособие / отв. ред. В. И. Антонов, Ю. Д. Максимов. — Москва: Проспект, 2014. — 584 с.
ISBN 978-5-392-12162-5
го математике, малинного в СП6ГПУ в 2000—2004
УДК 51(075.8) ББК22.1я73
Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного по ^технического университета.
Учебное издание
Лобкова Наталья Ивановна, Максимов Юрий Дмитриевич, Хватов Юрий Алексеевич
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ТОМ 1
Учебное пособие
Оригинал-макет подготовлен компанией ООО «Оригинал-макет»
www o-maket ru; тел : (495) 726-18-84
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77 99.60 953Д.004173 04 09 от 17 04.2009 г
Подписано в печать 16 05.2014 Формат 60*90 '/и.
Псчатьцифровая Псч. л 36,5. Тирах 100 экз Заказ №
ООО «Проспект»
111020. г Москва, ул Боровая, д. 7, стр. 4
ISBN 978-5-392-12162-5
С1 Коллектив авторов, 2014
о ООО «Проспект*. 2014
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие создано на основе восьми выпусков опорного конспекта по математике, изданного в СП б ГПУ в 2000—2004 гг. для общетехнических и экономических направлений, а также учебного пособия «Математика, выпуск 10», являющегося дополнением к предыдущим выпускам и содержащим выводы формул и доказательства теорем. Эти выпуски соответствуют государственным образовательным стандартам и действующим программам. Они написаны авторами, в течение многих лет читавшими лекции по высшей математике на технических факультетах СПбГПУ. Авторы выражают глубокую благодарность профессору кафедры «Высшая математика» СПбГПУ [Романову М.Ф.| за активное участие в подготовке раздела 9, доцентам Лагуновой М. В и Семенову В. М. за подготовку разделов 1 и 3.
Изложение теоретического материала, методы решения основных задач сопровождаются значительным количеством примеров. Все приводимые примеры призваны проиллюстрировать обшис методы. Естественно, они являются простыми, чтобы внимание читателя акцентировалось на методе, а не на трудностях преобразований Сам же пример, в силу его простоты, иногда может быть решен и другими частными приемами более эффектно.
Нумерация формул, таблиц, рисунков и пр. в каждом параграфе — двухпозиционная, отражает номер параграфа и порядковый номер по параграфу Начало и конец доказательства или вывода формулы отмечаются знаками ►◄. Материвл, необязательный для изучения, помечен знаком *.
Всего в два тома настоящего издания предполагается включить 15 разделов курса высшей математики:
1	Линейная влгебра
2.	Векторная алгебра.
3.	Анвлитическая геометрия.
4.	Введение в математический анвлиз.
5.	Дифференцивльное исчисление функций одной переменной.
6.	Комплексные числа, многочлены, рационвльные дроби.
7.	Интегральное исчисление функций одной переменной.
S. Дифференцивльное исчисление функций нескольких переменных.
9. Дифференциальные уравнения.
10. Числовые и функциональные ряды.
4 Предисловие
И, Ряды и интеграл Фурье.
12.	Интегральное исчисление функций нескольких переменных.
13.	Теория поля.
14.	Теория вероятностей.
15.	Математическая статистика.
Разделы указаны в том порядке, который рекомендуется при изучении курса математики. Первые 8 разделов составляют содержание первого тома, а остальные — второго.
Авторы
ВВЕДЕНИЕ К КУРСУ МАТЕМАТИКИ
1. Математика как наука, ее предмет и метод. Определение математики как науки. Математика — это наука, исследующая пространственные формы, количественные огноще-ния, аксиоматические структуры и вопросы доказательства путем построения абстрактных моделей действительного мира.
Моделью реального объекта, процесса, явления называется описание его существенных свойств на каком-либо языке. Математическая модель — это абстрактная модель, основанная на математических понятиях и математической символике, т. е. записанная на языке формул, функций, уравнений, неравенств, алгоритмов и т. д. Для решения своей основной задачи — построения математических моделей реального мира — математика использует метод абстракции, т. е. совершенно отвлекается от конкретных физических свойств предметов и явлений, исследует только сами количественные отношения, пространственные формы, теоретико-множественные структуры.
2. Роль математики в других науках. Математизация — характерная черта любой современной науки. В принципе, область применения математических методов ничем не ограничена. Особенно велика роль математики в естествознании и технических науках. Математическая модель, в отличие от моделей в других науках, дающих лишь качественное описание явлений, позволяет получить количественный прогноз, т. е. описать явление более точно.
Функции математики:
1.	Средство расчета.
2.	Универсальный язык науки.
3.	Mei од исследования.
3.	Источники и критерии истинности математического знания. Источником математического гнания является практика, т. е. математика строит свои абстрактные понятия на основе конкретных задач исследования природы, жизни, производства. Понятия длины, площади, объема, производной, интеграла вошли в математику благодаря потребностям измерения, решения задач о скорости, о пути, о работе и т. д. Критерием истинности всякой науки также является практика. Математика не является исключением. Математические знания, создан
Введение к курсу математики
ные для решения практических задач, практикой и проверяются.
4.	Единство математики. Элементарная, высшая, вычислительная, прикладная, конструктивная и другие математики являются лишь ветвями, частями единой науки математики. Под элементарной математикой понимается математика, изучаемая в средней школе. Вся остальная математика условно называется высшей. У всех ветвей математики есть общие черты, обеспечивающие единство математики:
1.	Дедуктивный (доказательный) абстрактный метод построения знаний.
2.	Общность математических понятий и символики.
3.	Наметившаяся тенденция аксиоматизации всех математических знаний.
4.	Все части математики охватываются одним и тем же определением математики.
5.	Математика как дисциплина высшего технического учебного заведения. Математика как дисциплина отличается от математики как науки прежде всего наличием технологии преподавания, к которой относятся методика преподавания, учебно-методические пособия, вычислительная лаборатория, учебные планы и программы.
Основными целями преподавания математики во втузе являются математические знания и умения, развитие и мышление, достаточные для решения задач по будущей технической специальности. Математика втуза должна в первую очередь обеспечить потребности общенаучных дисциплин — физики и механики. Ее положение среди дисциплин втуза можно изобразить цепочкой:
Математика -» общенаучные дисциплины -> общетехнические дисциплины -» специальные технические дисциплины.
Математика, как и всякая дисциплина, имеет свой базис. Его составляют базисные понятия (число, уравнение, множество, производная, интеграл и т. д.), основные задачи, возникающие на основе базисных понятий, и базисные методы решения основных задач.
6.	Краткие исторические сведения о развитии математики. Начало зарождения математики невозможно отметить. Счет предметов появился вместе с человеком. Элементарная геометрия сложилась в IV — Ill веках до нашей эры в античной Греции. Зарождение элементарной алгебры как науки относится к началу IX века. Тригонометрия, как учение о тригонометри
Введение к курсу математики 7
ческих функциях и их свойствах, сложилась в XVII —XVIII веках, хотя отдельные тригонометрические знания в связи с астрономическими наблюдениями имелись в древние времена в античной Греции, Вавилоне, Египте.
Аналитическая геометрия в основном была разработана французскими математиками Декартом и Ферма в XVII веке. Основоположниками дифференциального и интегрального исчисления являются английский математик Ньютон (1642—1727) и немецкий математик Лейбниц (1646—1716). Период математики переменных величин можно очертить рамками XVII — середины XIX века. Периодом современной математики условно считается промежуток с середины XIX века по настоящее время.
7.	Развитие математики в России. Начало математических исследований в России связано с деятельностью Петербургской академии наук. Петербургского университета (1724), а также с именем Л. Эйлера (1707—1783), внесшего огромный вклад в развитие мировой математики.
Большое значение для науки и преподавания математики имела деятельность отечественных ученых Н. И. Лобачевского (1799—1856), П Л. Чебышева (1821—1894), А. М. Ляпунова (1857—1918), А. Н Колмогорова (1903—1987) и других.
Современные математики в России работают практически во всех областях этой науки.
Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Возникновение алгебры относится к глубокой древности. Ее задачи и методы создавались постепенно под влиянием нужд практической деятельности в результате поисков общих приемов для решения однородных арифметических и геометрических задач. Уже в древнем Вавилоне (I тысячелетие до н. э.) решались задачи, содержащие уравнения 1-й и 2-й степени. Неизвестные величины в них трактовались как длина, площадь и т. д. и обозначались словами из шумерского языка, вышедшего из употребления уже к концу III тысячелетия до н. э. Буквенная символика в алгебре впервые появилась у александрийского математика Диофанта (III век н. э.), но решающий шаг в этом направлении был сделан французским математиком Ф Виетом (1540—1603) Современная символика идет от Р. Декарта (1596—1650) и И. Ньютона (1642—1727).
До второй половины XIX века алгебра понималась как наука об алгебраических уравнениях различных степеней и системах таких уравнений. Во второй половине столетия в ней была выделена часть, названная линейной алгеброй, включающая в себя теорию систем линейных уравнений и связанную с ней теорию определителей и матриц, а также линейных пространств.
Значение систем линейных уравнений объясняется не только тем, что они являются простейшими системами алгебраических уравнений, но и тем, что их решение составляет существенную часть решения разнообразных практических задач. Матрицы и определители были введены в рассмотрение для решения и исследования систем линейных уравнений. Однако оказалось, что их роль этим не исчерпывается, и они стали предметом самостоятельного изучения. В наши дни теория матриц находит обширные применения в вычислительной математике, физике, экономике и других областях науки.
§ 1- Системы линейных алгебраических уравнение Основные понятия. Метод Гаусса
Глава 1
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§ 1.	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. МЕТОД ГАУССА
1.	Основные понятия. Равносильные системы
Определение 1.1. Система линейных алгебраических уравнений (или система линейных уравнений) имеет вид
flnX( +Л|2Х2 +---+й1вхи = Л '
а2|х( +а22х2+...+а2яхя =Z>2,
лт1х( +йт2х2+...+атяхя — Ьт,
при этом х1,х2,...,хя называются неизвестными, ailt, i = 1,2...., т, к = 1,2,... ,п — коэффициентами при неизвестных или коэффициентами системы, причем индекс i означает номер уравнения в системе (1.1), а индекс к — номер неизвестной. Величины bl,b1,... ,Ьт называются свободными членами. Иногда систему (1.1) для простоты будем называть линейной системой.
Замечание 1.1. Если система (1.1) содержит не более четырех неизвестных, то они часто обозначаются буквами х, у, z, t без индексов.
Если т = п, т. е. число уравнений равно числу неизвестных, то систему (1.1) называют квадратной. При b —Ь2 =...= Ьт =0 система (1.1) называется однородной, в про-
[Зх—4у = 5,
тивном случае — неоднородной. Так, <	— неоднород-
[2х+5у= 7
ная квадратная линейная система из двух уравнений с двумя неизвестными х и у.
Определение 1.2. Решением системы (1.1) называется такой упорядоченный набор чисел а(,а2,... ,а„, который при подстановке в систему (1.1) вместо неизвестных х(, х2,... ,хя превращает ее в систему тождеств:
10 Глава 1. Определители, матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
о,,»! +fl|2ct2 +...+fl1(la, = Л’ а,,а, +ау,а, +...4-с,„а„ = /_>,,
21 I 22 2 2и и 2’	/|
°miai +й1.2,'2+'-+Й™11» =^т'
Решение системы (1.1) принято обозначать следующим образом: (а,,а2,...,ая) или х, = a,,x,=a,, ..,х„=а„.
Определение 1.3. Система (1.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной в противном случае.
[Зх-4у = -1,
Пример 1.1. Система <	имеет единственное ре-
[2х+5у = 7
шение х = 1, j' = l. поэтому является совместной определенной системой.
[ Зх-4у = -1.
Пример 1.2. Система | 6 +8 — 2 имеет ®олее ОЯНО1° решения, например, ее решениями являются: х= 1,у = 1; х=2, у = 7/4; х —5,у = 4. Эта система является совместной неопределенной системой.
[ Зх—4у = —1,
Пример 1.3. Система I	не имеет решений,
[-6х+8у = 7
т. е. является несовместной.
Решить систему (1.1) — это значит наити все ее решения или доказать, что она не имеет решений. Для этого систему преобразуют в более простую, решения которой легко найти или доказать ее несовместность. При этом центральным понятием является равносильность двух систем.
Определение 1.4. Две линейные системы с неизвестными х,,х2,... ,х„ называются равносильными, если они обе несовместны, или же они обе совместны и каждое решение одной системы является решением другой и наоборот.
(Зх—4у = —1,	[х+у = 2.
Пример 1.4. Системы 12	5	7 И| q являются
равносильными, так как х=1,у = 1 является решением и гой и другой системы, а других решений они не имеют.
. _	(Зх—4у = —1, [х+у = 2,
Пример 1.5. Системы 1	и 1	также явля-
[Зх—4у = 7	(х+у=0
ются равносильными, поскольку обе они несовместны.
§ 1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса
Число уравнений в равносильных совместных системах может быть различным, но они должны содержать одни и те же неизвестные.
2.	Теорема об элементарных преобразованиях в системе линейных уравнений
Определение 1.5. Элементарными преобразованиями над системой линейных уравнений вида (1.1) называются:
1)	перестановка местами двух любых ее уравнений;
2)	умножение всех членов любого уравнения системы на любое отличное от нуля число;
3)	почленное сложение любых двух ее уравнений.
На практике обычно объединяют последние два элементарных преобразования в одно и рассматривают два основных типа:
1-й тип — перестановка местами уравнений системы;
2-й тип — почленное сложение двух любых ее уравнений, все члены одного из которых предварительно умножены на одно и то же число.
Теорема 1.1. Конечное число последовательно выполненных элементарных преобразований 1-го и 2-го типов приводят систему (1.1) к равносильной ей системе.
*► Очевидно, достаточно доказать теорему для одного элементарного преобразования каждого из двух типов.
Пусть в системе (1.1) переставлены местами какие-либо два уравнения, например, 1-е и 2-е:
Если система (1.1) несовместна, то и система (1.3) должна быть несовместной. Действительно, предположим противное: система (1.3) имеет решение а,,а2,...,аи. Подставляя его в уравнения системы (1.3), приходим к системе тождеств:
12 Глава 1 - Определители, матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
Переставляя в (1.4) 1-е и 2-е равенства, получаем систему тождеств (1.2) и заключаем, что a(,a,,...,an — решение системы (1.1). Поскольку этот вывод противоречит условию несовместности утой системы, то предположение о совместности системы (1.3) неверно и остается принять утверждение о несовместности этой системы. Аналогичным образом доказывается обратное утверждение: несовместность системы (1.3) влечет несовместность системы (1.1).
Предположим теперь, что система (1.1) совместна, г. е. справедлива система тождеств (1.2) для какого-либо решения а|,а2,...,аи этой системы. Тогда, переставив 1-е и 2-е тождества в (1.2), приходим к системе тождеств (1.4). А это означает, что a(,a,— решение системы (1.3). Аналогично доказывается, что любое решение системы (1.3) является решением системы (1.1).
Таким образом, доказано, что преобразование 1-го типа преврашае! систему (1.1) в равносильную систему (1.3).
Пусть теперь ко всем членам какого-либо уравнения системы (1.1) (для определенности — 1-го) прибавили все члены другого уравнения (для определенности 2-го), умноженные на одно и то же число X, не равное нулю:
(л(1 +Хй21)х, +(с12 +Хл22)х2+...+(й1в + Ха2„)х„ =Z>, +Xi2,
Л2Г*| ~^О22Х2 +---+а2яЛя ~ ^2’
+°М2Х2+ -+О»Л ~Ьш-
Если система (1.1) несовместна, то и система (1.5) должна быть несовместна. Доказывая это утверждение, предположим противное: система (1.5) имеет решение a,,a2....ая. Подстав-
ляя его в эту систему, приходим к следующей системе тождеств:
(e„	+(а12 + Хо22)а,+...+(а,и + Ха2я)а„ = Ь, +
л21а( +й22а2 +...+л2яая = Ь2,
аи1а1	+...+Ля„а.я =^т-
Вычитая почленно из 1-го тождества системы (1.6) 2-е, все члены которого умножены на одно и то же число X, не равное нулю, получаем систему тождеств (1.2) и заключаем, что
§ 1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса 13
а,,а2,...,аЛ — решение (1.1). Этот вывод противоречит условию несовместности системы (1.1). Полученное противоречие означает, что предположение о совместности системы (1.5) было неверным, и остается принять то, что требовалось доказать. Аналогично доказывается, что из несовместности системы (1.5) следует несовместность системы (1.1).
Предположим теперь, что система (1.1) совместна и — какое-либо ее решение, т. е. справедлива система тождеств (1.2). Прибавляя ко всем членам 1-го ее тождества соответствующие члены 2-го, умноженные на одно и то же число A.ZO, получим систему тождеств (1.6). А это означает, что а|,а2,....аи — решение (1.5).
Аналогично, предполагая, что а, ,а2,...,а„ — решение (1.5) (т. е. справедлива система тождеств (1.6)), и вычитая почленно из 1-го ее тождества 2-е, все члены которого умножены на одно и го же число 1*0, приходим к системе (1.2). А это означает, что а,,а2,...,а„ — решение (1.1).
Таким образом, и для элементарных преобразований 2-го типа утверждение теоремы доказано.^
Пример 1.6. Показать, что при помощи элементарных пре-(Зх—4у = —1,
образований можно из системы 4	? получить систе-
Jx+y=2,
МУ|х-у=0.
► Проведем последовательно следующие элементарные преобразования.
1)	Умножим 1-е уравнение исходной системы на 3, э ,	[9х—12у=—3,
а 2-е — на 7, получим равносильную систему 1
[23х+23у = 46,
2)	К 1-му уравнению прибавим 2-е: |
3)	1-е уравнение умножим на 1/23, а 2-е — на 2/7: 1х+у = 2,
| 4х+10у = 14.
4)	Ко 2-му уравнению прибавим 1-е, умноженное на (—7): |х+у = 2, |-Зх+Зу=0.
5)	2-е уравнение умножим на (—1/3):
*+у = 2, х—у = 0.
14 Глава 1. Определители, матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
3. Расширенная матрица системы. Ступенчатая матрица. Метод Гаусса
Коэффициенты системы (1.1) удобно объединить в прямоугольную таблицу, называемую матрицей системы. Для матрицы принято обозначение:
°и °ii	ai„
а,п	°->г.
Матрица А содержит т горизонтальных рядов, называемых строками, и п вертикальных рядов, называемых столбцами, числа 1 = 1, 2,... , т, к = 1,2, , п называются ее элементами. Таким образом, первый индекс /-го элемента а№ указывает номер строки (номер уравнения системы (1.1)), а второй индекс к — номер столбца (или номер неизвестной хк, коэффициентом при котором является ал в i-m уравнении системы (1.1)).
Если т = и, то матрица А называется квадратной матрицей «-го (или /и-го) порядка. У квадратной матрицы число строк и столбцов одинаково Квадратная матрица называется единичной, если ее элементы аи =1, /=1, 2,...,п, а все остальные элементы равны нулю.
р ° ')
Так, матрица А, = О 1 —2 — квадратная матрица 3-го Ь 2 О I
г Р	о
порядка, а матрица =1 I — единичная матрица 2-го по-
рядка. Нижние индексы в обозначениях квадратных матриц соответствуют их порядку.
Если к матрице А добавить (и + 1)-й столбец из свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу А* системы, содержащую всю информацию о системе:
Gll Й12	" °|я ^1
Й21 °22	°2» Ь2
° ml "
§ Т. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса 15
Для системы из примера 1.1 матрицей системы является
, а расширенной матрицей этой системы является
На практике элементарным преобразованиям подвергают не саму систему (1.1), а ее расширенную матрицу. Преобразованиям двух типов над системой (1.1) соответствуют два типа элементарных преобразований над строками матрицы Л* 1-й тип — перестановка местами двух любых ее строк;
2-й тип — сложение соответствующих элементов двух любых ее строк, все элементы одной из которых предварительно умножены на одно и то же число
Целью элементарных преобразований является приведение расширенной матрицы Л* системы (1.1) к так называемой ступенчатой форме.
Определение 1.6. Матрица называется ступенчатой, если для нее выполняются следующие условия:
1) если какая-либо строка данной матрицы состоит из нулей, то и все последующие строки также состоят из нулей;
2) если а.к — первый ненулевой элемент т-й строки, а д.+1 m — первый ненулевой элемент (i+ 1)-й строки, то к<т.
Так, например, матрица Л =
О
О О
О О
О
О О О О
о о о о
2
О
О
О о
3 2 О О
о
4 I
4 О О
3 2 О О
является ступенчатой.
Матрица из одной строки считается ступенчатой по определению.
Теорема 1.2. Любую матрицу Л конечным числом элементарных преобразований 1-го и 2-го типов можно преобразовать в ступенчатую матрицу.
► Если данная матрица Л состоит из одной строки или является нулевой (все ее элементы равны нулю), то она по определению ступенчатая
Пусть теперь ненулевая матрица Л содержит т>2 строк и я столбцов Проводя доказательство методом математической индукции, предположим, что матрицу с числом строк,
16
Глава 1 - Определители, матрицы и системы линейных алгебрцичажих уравнений
меньшим ли, можно привести к ступенчатому виду. Поскольку А — ненулевая матрица, то хотя бы один ее элемент отличен от нуля. Выберем в матрице А строку, в которой первый ненулевой элемент расположен в столбце с наименьшим номером к (I < к < л). Во всех других строках первые ненулевые элементы расположены в столбцах с номерами, большими или равными к. Преобразованием 1-го типа переставим эту строку на 1-е место сверху. Тогда преобразованная матрица имеет вид:
/О ... О alt
О ... О
О ... О апк
где а,к *0.
Проделаем следующие элементарные преобразования 2-го типа: к элементам 2-й, 3-й, .... /n-й строк прибавим соответствующие элементы I-й строки, умноженные на числа — а,А /а1к, —aik/aJk, ..., ~апк/а1к. В результате преобразованная матрица имеет вид:
О ... О	aiit
0.00
А. =  •	• в
о ... о о
Заметим, что все элементы к-го столбца матрицы А2, кроме 1-го, являются нулями, а через В обозначена матрица из (т — 1) строки и (л — к) столбцов.
По предположению индукции матрица В приводится к ступенчатой форме преобразованиями 1-го и 2-го типов. Очевидно, выполняя эти же преобразования над строками матрицы А? (над всеми, кроме 1-й), приведем и матрицу А2 к ступенчатому виду, так как при этом нули в первых к столбцах матрицы А2 переходят при этих преобразованиях в нули.^
Пример 1.7. Привести к ступенчатому виду матрицу / I 0 2
А* = -I 3 0-5.
(1 I 1 4 ,1
► Выполним следующие элементарные преобразования над матрицей А*:
§ 1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса
17
1) к элементам 2-й строки прибавим элементы 1-й строки и из элементов 3-й строки вычтем элементы 1-й строки, в результате А* преобразуется к виду:
11 0 2 8)
0 3 2 3; о 1 -1-4J
(1 0 2 8\
0 I -1-4:
0 3 2 з)
3) из 3-й строки полученной матрицы вычтем 2-ю строку, умноженную на 3:
А* - Д'
11 0 2 84
0 1 -1-4. 0 0 5 is)
На приведении расширенной матрицы А* системы (1.1) к ступенчатой матрице Aj основан метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Система линейных уравнений с расширенной ступенчатой матрицей А’ называется ступенчатой, по теореме 1.1 она будет равносильна системе (1.1). Приведение системы (1.1) к ступенчатой форме называется прямым ходом метода Гаусса. Решение полученной ступенчатой системы называется обратным ходом метода Гаусса. Он может быть выполнен как в форме последовательного
определения неизвестных, начиная с последнего уравнения ступенчатой системы, так и в форме преобразования матрицы А* к ступенчатой матрице В* специального вида.
Пример 1.8. Решить методом Гаусса систему уравнений x+2z = 8,
-х+Зу = -5,
х+у +z=4.
(1 0 2 8\
-1 3 0-4 — расширенная матрица системы.
1	1 1 15
18 Глава 1. Определители, патрицы и системы линейных алгебраических уравнений
Прямой ход метода Гаусса. В примере 1.7, матрица А при помощи элементарных преобразований приведена к следующей ступенчатой матрице:
Теперь матрице А,' сопоставим систему, для которой она
будет расширенной матрицей:
x+2z=8, y-z=-4, 5z=15.
Обратный ход метода Гаусса. 1-й с п о с о б. Имеем
2	= 3;
j = -4+z = -4+3 = -1=>>=-1;
х=8—2z = 8—6=2.
2-й способ. Умножим последнюю строку матрицы А" на 1/5, сложим со 2-й строкой, а к 1-й строке прибавим последнюю, умноженную на (—2), с целью получить нули в 3-м столбце:
11	0	2 8\ /1	0	2 8\ /1	0	0 2^
О	1	-1-4-0	1	0-1-0	1	0-1=5.
0	0	I з) (о	0	1 з) (о	0	I з)
х = 2.
Напишем систему с расширенной матрицей В*: у = — 1,
2 = 3.
Ответ: система совместная и определенная, она имеет единственное решение х=2,у = —l,z = 3. ◄
Замечание 1.2. В главе 3 рассмотрены примеры на метод laycca, отражающие различные случаи, встречающиеся при решении линейных систем.
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го и 3-го ПОРЯДКОВ
1.	Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Понятие определителя 2-го порядка. Метод laycca не дает яв
§ 2. Определители 2-го и 3-го порядков 19
ных формул, выражающих решение системы линейных уравнений через элементы ее расширенной матрицы. Проблема отыскания таких формул приводи! к понятию определителя. Рассмотрим систему 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными:
[ах+А у = с ,
1	<2Л>
[а2х+Ь2у=с2,
где х, у — неизвестные, a al^a2,bl,b2,cl,c2 — известные величины.
Исключим из этих уравнений сначала неизвестную у, а потом х. Для этого умножим все члены 1-го уравнения системы (2.1) на Ь2, а	2-го —	на	(—bt)	и	сложим:
(alb2—a2b,)x=clb2—c2bl. Затем все члены 1-го уравнения умножим на (—а2),	а 2-го	—	на at	и	сложим:
(atb2 — a2b,)y = a,c2 — а2с,. Получили новую систему, равносильную исходной:
| (а А2 -а2Ь, )х = (с,А2 -с2Ь, у
[ (atb, -a,bt )y=(alc2 -atct)
Если alb2—a2bl *0, то система (2.2) (и вместе с ней система (2.1)) имеет единственное решение, выражаемое формулами
( =<с,Ь1 -с2Ь, }/(а,Ь2 -а,Ь,),
Это утверждение называется теоремой Крамера (1704— 1752, швейцарский математик) для системы двух уравнений с двумя неизвестными, а формулы (2.3) — формулами Крамера. Далее эта теорема будет сформулирована в обшем виде для системы из п линейных уравнений с п неизвестными
При atb2 —а2Ь, =0 система (2.2) и, следовательно, система (2.1) может быть совместной и неопределенной (при условии ctb2 — c2bt =atc2 — а2с, =0) или несовместной (при условии clb2—c2bl *0 или atc2— a2ct *0).
Очевидно, что при решении системы (2.1) особую роль играют разности atb2 —a2b,, ctb2 ~e2bt, а,е2 —a2et, построенные из элементов расширенной матрицы этой системы. Эти разности называются определителями 2-го порядка.
Глава 1 - Определители, матрицы и системы линейных алгебрцичецпх уравнений
Определение 2.1. Пусть дана квадратная матрица 2-го по-/л b, \
рядка Я= I. Определителем 2-го порядка, соответствую-
лов:
шим матрице А (или определителем матрицы А), называется число л,й2 — a2bt, которое принято обозначать одним из симво-det4,|/l|,A2, А. Итак, по определению
(2.4)
Числа называются элементами определителя; числа а, ,/>, образуют главную диагональ определителя, а й,, а2 — побочную диагональ. Из формулы (2.4) следует правило: определитель 2-го порядка равен разности произведений его элементов, находящихся на главной и побочной диагоналях.
Например,	j=3 (— 1)— 4- 2 = — 11.
Используя определение 2.1, формулы (2.3) можно записать в виде
|у„=Ах/А.
(2.3а)
где А — определитель матрицы А системы (2.1), Дл, А, — определители матриц, полученных путем замены 1-го и 2-го столбца А на столбец свободных членов.
Пример 2.1. С помощью теоремы Крамера решить [Зх+4у=7, систему: (
— матрица этой системы, В-
столбец
свободных членов. Вычислим все нужные определители:
A = deM = |23 =	’И"'
По формулам (2.3а) находим решение системы: х = 1, у = !.◄
§ 2. Определители 2-го и 3-го порядков 21
2.	Свойства определителей 2-го порядка.
Свойство /. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.
Свойство 2. Определитель, в котором все элементы одной из строк являются суммой двух слагаемых, равен сумме двух определителей, у которых элементами этой строки являются упомянутые слагаемые, а элементы остальных строк те же.
k+о." Ь;+Ь!\ к М К АГ1
Например, |
Свойство 3. Общий множитель элементов какой-либо строки определителя можно выносить за знак определителя.
Свойство 4. При замене строк столбцами величина определителя не изменяется:
Замечание 2.1. Операция замены строк столбцами называется транспонированием. Благодаря свойству 4, все свойства определителя, справедливые для его строк, будут справедливы и для его столбцов.
Свойство 5. Определитель единичной матрицы 2-го порядка равен 1.
Свойство 6. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак, оставаясь неизменным по абсолютной величине. Например,
Свойство 7- Величина определителя не изменяется при элементарных преобразованиях второго типа над его строками (столбцами). Например,
|е, + Ле, Ь, + }.Ьг I Io, b, I
I о, Гк а]
Замечание 2.2. Все перечисленные свойства определителей 2-го порядка доказываются с помощью определения 2.1. Однако не все они являются независимыми. Так, свойства 6—7
22 Глава 1. Определители, матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
следуют из свойств 1—5. Первые пять свойств далее будем называть основными. Докажем, например, свойства 2 и 6.
►Свойство 2 докажем, исходя из определения 2.1. Имеем:
|a,'+< Д'+й,1
| а, Ь2 | = «+<A-<i’1'+6.'X =
Обоснование свойства 6 проведем, используя свойства 1 |й2+й. b2 +b. I
и 2. Рассмотрим определитель:	.	. - Он равен нулю
|а2 +al b, +bt |
по свойству 1 как определитель с равными строками. В силу свойства 2 имеем
следний определители в правой части соотношения (2.4а) равны 0 как определители с равными строками (свойство !).-<
3.	Определитель 3-го порядка и его свойства. К понятию определителя 3-го порядка, так же как и в случае определителя 2-го порядка, приводит процесс отыскания формул, выражающих решение системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными через ее коэффициенты и свободные члены.
Определение 2.2. Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка
Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице А (или определителем матрицы А), называется число
§ 2. Определители 2го и 3-го порядков
23
°ПЯ22Й33 +°12Й23ЯЭ1 +Я1Э°21Я32	Я11Я23°Э2	°12Й21С33 fll3fl22°3l>
которое обозначается одним из следующих символов:
det Л, |Л|, Аэ, А.
Таким образом, по определению

(2-6)
+Й1ЭЙ21Я32	С||Й23СЭ2	О12°21°Э’	Й13°22°31 -
Элементы матрицы А из (2.5) называются также элементами det А. Элементы с|(,о,2,й„ образуют главную диагональ этого определителя, а элементы ап,с,,,«31 — его побочную диагональ.
Правило Саррюса. Определитель 3-го порядка равен сумме произведений его элементов, расположенных на главной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали, минус сумма произведений элементов, расположенных на побочной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали (рис. 2.1а, 6).
Рис. 2.1а
Рис. 2.16
Пример 2.2. Вычислить по правилу Саррюса определитель
1 2
-1 О
4 5
24
Глава 1 - Определители, матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
1 2
-1 О
4 5

2 =1-О-(—П+4-2-2+3-(—1)-5—3-0-4—
—(—!)•(—1)-2—1-2-5=0 + 16—15—0—2—10=—11.
◄
Сгруппировав слагаемые в правой час е и (2.6), с учетом
(2.4) имеем:
Для исследования свойств определителя 3-го порядка введем новые понятия минора и алгебраического дополнения элемента матрицы А.
Определение 2.3. Минором М№ (дополнительным минором) элемента а.к квадратной матрицы 3-го порядка из (2.5) называется определитель матрицы 2-го порядка, полученной из матрицы (2.5) путем вычеркивания ее i-й строки и к-го столбца, на пересечении которых находится а.к.
Например, М =1 22 221, М,, =1^” 25
Рз2	|^3|	«13
Используя три последних равенства, (2.7) можно перепи-
сать в виде	Л11 «.2 «О а2> а-п «гз аз. ам	— а^М,, —а12М12 +а13М13.	(2-8)
Определение 2.4. Алгебраическим дополнением элемента матрицы А называется число
Лд=(-1)‘+‘Л/„.	(2.9)
Так, А„ =(—1)|+| Mlt = М„, А12 =(—1)|+2 М12 = —Мп, А1} =
= (-1),+3 М„ = М13.
I ' 2 ч
Пример 2.3. Дана матрица А= — 1 0 41. Найти Ак и
I. 2 3 -1J
Л/„.
§ 2. Определители 2го и Зго порядков
25
►По определению 2.3 имеем: Л/,3
силу (2.9) и определения 2.4 приходим к соотношению:
Л„ = <-!)”'Л/,, = -Р 5 = -(4+3) = -7.-«
Заменяя в (2.8) миноры на алгебраические дополнения, в соответствии с определением 2.4 и формулой (2.9) получим*
Й,1
а31
°12
°22
а,3 =det>4 =с||Л11 +с|2Л(2 +о|3Л|3
(2.Ю)

Каждое из равенств (2.7), (2.8), (2.10) называется разложением по элементам его первой строки.
Свойства определителя 3-го порядка
Первые семь свойств определителя 3-го порядка аналогичны свойствам определителя 2-го порядка. Доказать эти свойства можно, вычислив по определению определители из обеих частей соответствующих равенств. Кроме этого сформулируем и докажем еще два свойства: 8-е и 9-е.
Свойство 8. Определитель квадратной матрицы 3-го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо его строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Свойство 8 называют также теоремой о разложении определителя по элементам строки или столбца.
► Надо доказать справедливость следующих равенств:
det А = at., Ап +ai2Aj2 +al3Al3, i= 1,2, 3,	(2.11)
det.4 = f +a2JA2j +a3jA3J ,7 = 1.2,3.	(2.12)
При f = l равенство (2.11) следует из (2.10). Чтобы обосновать это равенство при < = 2, перепишем (2.6) в виде
<1е1Л = о2|(<1|А,(2 |3)
Разности в скобках являются алгебраическими дополнениями элементов й21,й22,й23, т.е. о13л52 —й12о13 = Л21, alta3i — —д|3д3| =А22, й12о31 —йийз2 = Л23, поэтому (2.13) переписывается в виде
26 Глава 1. Определители, патрицы и системы линейных алгебраических уравнений
det/ = o2l/2l +а22А22 +a2iA2}.
что и требовалось доказать. Для случая равенство (2.11) обосновывается аналогично Таким же образом может быть обосновано и равенство (2.12).^
Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.
Свойство 9, называемое также теоремой аннулирования, докажем, используя свойство 7.
► Надо доказать справедливость следующих равенств:
a.,Akl +ajiAlt2 +anAtl =0, i = 1, 2, 3, 1 = 1, 2, 3, k*r, (2.14)
a^A,, +a2JAit +a3iAu =0, j = l, 2, 3, /=1, 2,3, j.
Проведем обоснование равенства (2.14) при i = 1 и к = 2, т. е. докажем, что
+Й|2Л22 +*иАэ =0-	(2-15)
ри ап
Рассмотрим матрицу В= й2| а2, а2, . Ее определитель (о}1 Л,2 Лу)
равен нулю, так как он имеет две одинаковые строки, detB=O. Первая и третья строки матриц А и В совпадают, поэтому совпадают и алгебраические дополнения для элементов вторых строк det/ и det В, ибо эти алгебраические дополнения содержат только элементы одинаковых строк упомянутых матриц. Разложив det В по элементам второй строки (свойство 7), имеем: detB — aaA2l+al2A22+al3A2}. Так как detB=O, то приходим к равенству (2.15). Все остальные случаи рассматриваются аналогично ◄
Применение свойств существенно упрощает вычисление определителя.
Пример 2.4. Используя свойства определителя, вычислить 1 -5 3
Д=—1 -5 2.
4 6-1
►Используя свойство 6, выполним следующие преобразования.
§ 3. Определители высших порядков
1) Ко 2-й строке прибавим 1-ю, а из 3-й вычтем 1-ю строку, умноженную на 4, определитель при этом не меняется:
31
2)
-5
-10
26
Из 2-й строки вынесем общий
-13
3-й вынесем множитель 13: Д=—65-
множитель (—5), а из
-5 '
2
2
=0, ибо полу-
чился определитель с одинаковыми строками. ◄ Пример 2.5. Используя разложение определителя по строке
или столбцу, вычислить
2
0
2
► Выберем строку или столбец, где есть нули. Используя свойство 7, разложим данный определитель, например, по 2-му столбцу.
1 2
-1 О
2 3
4=2 (-,>“|_21
=-2(1-8)+0-3(4+3)=14-21 = -?.◄
§3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
1. Понятие определителя л-го порядка и его основные свойства. Понятие определителя л-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей 2-го и 3-го порядков. Так, например, в силу формул (2.7) определитель 3-го порядка выражается через определители 2-го порядка. Рассмотрим квадратную матрицу 4-го порядка:
28
Глава 1 - Определители, матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
По аналогии с формулой (2.8) определителем 4-го порядка назовем число
ч -<>,! м„ 1 ч, ч.=2(_	".
где через Mtk обозначен определитель 3-го порядка, соответствующий матрице, получаемой из матрицы А путем вычеркивания ее 1-й строки и А-го столбца. Таким образом, вычисление определителя 4-го порядка сводится к вычислению четырех определителей 3-го порядка. По аналогичной формуле вводится понятие определителя 5-го порядка, в результате его вычисление сводится к вычислению пяти определителей 4-го порядка и т. д.
Рассмотрим квадратную матрицу я-го порядка:
л=
(3.1)
Определение 3.1. Определителем п-го порядка, соответствующим матрице А из (3.1), называется число, равное
д Л/|(;, где Mlt есть определитель (и — 1)-го порядка,
соответствующий матрице, получаемой из матрицы А путем вычеркивания ее 1-й строки и А-го столбца. Определитель
я-го порядка обозначается одним из символов:
а.,
deM,Aw,A. Итак, по определению
det А - J?(- О* +‘	•
(3.2)
Определитель Mlt, А = 1,2,..., я, из определения 3.1 называется минором (дополнительным минором) элемента с1( матрицы А из (3.1). Наряду с ним рассматривается также минор Mik любого элемента а.к этой матрицы, являющийся определителем (я — |)-го порядка, соответствующим матрице, получаемой из матрицы А путем вычеркивания ее i-й строки и А-го столбца, на пересечении которых находится элемент аЛ. Для
§ 3. Определители высших порядков 29
элемента aiK определителя и-го порядка вводится также понятие алгебраического дополнения Aik согласно формуле
А.к =(-1)'+*Л/й, 1=1...л, к =1...л. (3.3)
В силу (3.3) равенство (3.2) можно переписать так: det.<4 = ^Гс1Л/11Л.	(3.4)
Замечание 3.1. При и = 3 формула (3.2) совпадает с равенством (2.8) для определителя 3-го порядка. При л =2 из (3.2) имеем
det7l=r" “а I = Т"	Л-Л, - 0-5>
|fl2l а22\ ГД
Под минором М.х элемента а.к определителя 2-го порядка будем понимать его элемент, оставшийся после вычеркивания i-й строки и Л-го столбца, на пересечении которых находится элемент а№, i,k = \,2. Так, =а12, Mtl=au. После подстановки последних равенств в (3.5) приходим к следующей формуле:
лишь обозначениями элементов отличающейся от равенства (2.4), являющегося определением определителя 2-го порядка.
Свойства определителя и-го порядка
Свойства определителя n-го порядка аналогичны свойствам определителей 2-го и 3-го порядков из § 2, и. 2, 3.
Свойство 1. Если матрица А из (3.1) содержит две одинаковые строки, то det/=O.
Свойство 2. Если элементы какой-либо строки матрицы А являются суммами двух слагаемых, то det >4 —det А'+det А", где
30 Глава 1. Определители, патрицы и системы линейных алгебраических уравнений
А" =
Свойство 3. Общий множитель элементов какой-либо строки матрицы А можно выносить за знак определителя.
Свойство 4. det Л = det Л г, где А — матрица из (3.1), а АТ — матрица, полученная из А заменой строк на столбцы, то есть
Си
°12
(3.7)
Замечание 3.2. Замена строк столбцами называется операцией транспонирования матрицы, а сама матрица АТ называется транспонированной по отношению к матрице А.
Свойство 5. Определитель единичной матрицы w-го порядка равен 1
Свойство 6. При перестановке двух любых строк (столбцов) в матрице А из (3.1) для полученной матрицы А' справедливо равенство
det Л'=—det А.
(3-8)
Свойство 7. Величина определителя матрицы А не меняется при элементарных преобразованиях 2-го типа над строками матрицы А
Свойство 8. Определитель матрицы А равен сумме произведений элементов какой-либо его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т. е справедливы равенства
det Л = ^д.^Л,,.., / = 1, 2, ... ,
det А = ^даЛй, к = 1, 2, ... , п.
(3-9)
(3.10)
Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя матрицы А на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.
§ 3. Определители высших порядков 31
Замечание 3.3. Свойство 8, как и в случае определителя 3-го порядка, называют теоремой о разложении определителя п-го порядка по элементам какой-либо строки (столбца), а свойство 9 — теоремой аннулирования.
Доказательства свойств 1—8 приведены, например, в [3].
2. Примеры вычисления определителей высших порядков.
Пример 3.1. Вычислить определитель 4-го порядка 1-1	2	3
1	2-3	0
Л--2	4	0	6’
6	0	0	3
► Вынесем последовательно из 3-й строки общий множитель 2 и из последнего столбца — общий множитель 3, по свойству 3 имеем
1-1	2	1
I 2-3	0
4 = 2’3	„	„ .
-12	0	1
3 0	0	1
Пользуясь равенством (3.9), разложим полученный определи гель по элементам последней строки:
Вычислим определители 3-го порядка, например, по правилу Саррюса:
Д = —18(3+6—4)+6(—3 + 4+ 4+6) = —24. ◄
32 Глава 1. Определители, матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
Пример 3.2. Доказать, что определитель и-го порядка
►Доказательство проведем методом математической индукции.
1.	Проверим наличие базы для индукции. При п = 2 имеем
2.	Выдвигаем индукционную гипотезу: пусть справедливо равенство
3.	Докажем законность индукционного перехода. Разложим определитель Дл по элементам последней строки. Имеем
аи	ai2	”	°1Я
О	а,	а„	-	о„
Л.= 0	0	а.,	-	=О„(-1Г’-Л__,.
О	0	0	-
Используя индукционное предположение, окончательно получим:

В примере 3.2 рассмотрен определитель от треугольной матрицы или треугольный определитель. Как было показано, он равен произведению элементов, находящихся на главной
§ 3. Определители высших порядков
33
диагонали. При вычислении определителей высших порядков удобно с помощью свойств определителя привести его к определителю от треугольной матрицы.
Пример 3.3. Вычислить определитель ил примера 3.1, приведя его к определителю от треугольной матрицы.
► Вычтем из 2-й строки определителя 1-ю строку, к 3-й строке прибавим 1-ю строку, умноженную на 2, а из последней строки вычтем 1-ю, умноженную на 3. Величина определителя при этом не изменится:
1-1	231-1	2	3
1	2	-3	00	3-5-3
Д--2	4	0	б"0	2 4	12
3	0	0	3 |о	3-6-6
Из 2-й строки вычтем 3-ю, а из 4-и строки вычтем 2-ю:
1-12	3
О	1 -9 -15
Д=
0 2	4	12
О 0-1-3
Из 3-й строки вычтем 2-ю, умноженную на (—2), после чего поменяем местами 3-ю и 4-ю строки, при этом определитель изменит знак:
1-12	3
0	1 -9 -15
Д"о 0-1 -3’
0 0 22 42
Чтобы получить определитель от треугольной матрицы, осталось к последней строке прибавить 3-ю, умноженную на 22:
Глава 1 - Определители, матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
При вычислении определителей л-го порядка часто пользуются рекуррентными соотношениями, выражающими определитель л-го порядка через определитель меньшего порядка, имеющий ту же структуру. Поясним этот способ на примере вычисления определителя Вандермонда, который потребуется далее при изучении теории линейных дифференциальных уравнений.
Пример 3.4. Вычислить определитель Вандермонда л-го порядка
при Vx,, х,,..., х„ GR.
► Из каждой строки, начиная со 2-й, вычтем предыдущую, умноженную на хг величина определителя при этом не изменится:
Разложим этот определитель по элементам 1-го столбца и после этого вынесем из каждого столбца полученного определителя общий множитель (х. — xj. i=2.3..... п.
АД*,, Х2’ -,Хи) = (х}-х,)(х}-х1)...(х/1-х1)х
1 1 1
§ 3. Определители высших порядков 35
Определитель в правой части последнего равенства является определителем Вандермонда (и — 1)-го порядка. Итак, получаем рекуррентное соотношение:
1=2
Используя это соотношение, имеем
Л.(л,, х„ ..,а.) = Й(х,-х1) Й(х,-х!)-...х 1=2	;=3
>-2 JM*,,-! ,*,,)
Учитывая, что Д,(хя|.хя)=|	| = х0—хя|, приходим
к равенству
л.(х1,х!,...,л,)=	<3||>
Таким образом, заключаем, что определитель Вандермонда равен произведению всевозможных разностей (х,—х7), где /> j. Определитель Вандермонда обращается в нуль тогда и только тогда, когда среди чисел х,,х2,...,хи есть равные.-^
1 1
Пример 3.5. Вычислить определитель Д = 5 —3 4.
25 9 16
►Данный определитель является определителем Вандермонда 3-го порядка, Д = Дэ(х,,х2,Хз), где х, = 5,х2 — — З,х3 = 4. В силу формулы (3.11) имеем
А =	~х)~ ^2 “*1	-Л1	“Х2 ) =
= (-3- 5)(4-5)(4— (-3)) = 56.Ч
36
Глава 2. Матрицы и действия с ними
Глава 2
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ С МАТРИЦАМИ И ИХ СВОЙСТВА
В главе 1 было введено понятие числовой матрицы А как прямоугольной таблицы чисел (см. гл. 1, § 1, п. 3). Матрица
(1.1)
содержит т строк и и столбцов. Говорят, что она имеет размер тхп, для нее принято также обозначение Атх„. Элементы матрицы А обозначают малыми латинскими буквами с двумя индексами, первый из которых указывает номер строки, в которой стоит элемент, а второй — номер столбца, так, например, элемент av стоит в <-й строке и в j-м столбце матрицы А.
Определение 1.1. Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковый размер и их соответствующие элементы равны, т. е.
т. / = 1. 2,.... п.
При т = п матрица (1.1) называется квадратной. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы равны нулю, кроме находящихся на главной диагонали (т. е. кроме элементов aa,i = 1,2,...,п). Единичные матрицы — частный случай диагональных матриц, в них все элементы, находящиеся на главной диагонали, равны 1. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей или нуль-матрицей Единичную матрицу будем обозначать через Е, а нуль-матрицу — через О.
§ 1 - Линейные операции с матрицами и их свойства
37
Пример 1.1. Даны матрицы:
а) Указать размер каждой матрицы; б) какие матрицы являются квадратными, диагональными?
►а) Размеры матриц: А — 2x2, В — 2x3, С — 3x2, D — 3x3; 6) квадратными являются матрицы А и £>, а диагональной — только матрица D. ◄
Определение 1.2. Суммой двух матриц А и В одинакового размера /и Хя называется матрица С того же размера, элементы которой суть суммы соответствующих элементов слагаемых, т. е.
=ау +Ьв, / = 1,2,...,т, 7 = 1,2,...,п.
Принято обозначение С=А
Итак, если
матриц
матриц А
Пример 1.2. Найти сумму
^+в=(’з
2 3 -2И1 2 3 41
-3 2	О/ (.4 3 2 1J
/—1 + 1 2+2 3+3 —2+41/0 4 6 21
( 3+4 -3+3 2+2 0+уД7 0 4 U
Определение 1.3. Произведением матрицы А размера лих я на вещественное число X называется матрица того же размера, обозначаемая ХА или АХ, элементы которой есть произведения соответствующих элементов матрицы А на число X.
38 Глава 2. Матрицы и действия с ними
- °,.) ('<'„	Ч„]
Таким образом, АЛ = А/. = А -	 = -	- .
к. 
Пример 1.3. Дана матрица А из примера 1.2 Найти ЗА.
Определение 1.4. Операции сложения матриц и умножения матрицы на вещественное число называются линейными операциями с матрицами.
Свойства линейных операций с матрицами
1.	А+ В= В+А — коммутативность (переместительный закон) сложения.
2.	(А + В)+С= А + (В+С) — ассоциативность (сочетательный закон) сложения.
3.	Для любой матрицы А существует единственная матрица, равная нуль-матрице О, такая что А+О = А.
4.	Для любой матрицы А существует единственная магри-ца (—А), называемая противоположной, такая что А+(—А) = О, где О — нуль-матрица.
5.	1Л = Л.
6.	MjiA}=(7.p)A.
7.	(к +р)Л = ТА +рА.
8.	ЦА + В) = ТА+Т.В.
Замечание 1.1. Во всех восьми свойствах А, р — произвольные вещественные числа, а А, В, С, О — матрицы, для которых осуществимы указанные в этих свойствах операции. При этом все вышеприведенные равенства понимаются так, что если определена правая часть равенства, то определена и левая, и наоборот, при этом матрицы в левой и правой частях равенств равны между собой. Все перечисленные свойства следуют непосредственно из определений 1.2, 1.3.
Замечание 1.2. Матрица (—А) из свойства 4 равна (—1)-Л.
Пример 1.4. Для матрицы Л из примера 1.2 найти противоположную, а также проверить, что 2Л+ЗЛ = 5Л.
-Л = (-1)Л = (-1)
2
-3
3 “2W 1 “2 “3 2)
2	—3	3 -2 Of
§ 2. Операция умножения матриц и ее свойства
39
lA+.^A
§2. ОПЕРАЦИЯ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ И ЕЕ СВОЙСТВА
Для прямоугольных матриц А и В произведение определено, если длины строк первого сомножителя А равны длинам столбцов второго сомножителя В, т. е. если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В
Определение 2.1. Произведением матрицы А размера т х к на матрицу В размера Ахи называется матрица С размера тхи, элемент которой cv, стоящий в i-м строке и в j-м столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В:
с = а ,Ь, +a..,b,.+...+a.,b.. — у а b .
У »1 I/ <1	rt kj / / V PJ
Принято обозначение С=АВ.
Рассмотрим частный случай произведения матриц. Пусть даны матрица-строка А1>1я=(а1 а2 - ся) и матрица-столбец

Матрица С = АВ имеет размер 1x1, причем ее
элемент сн =о161 +а2Ь2+...+аяЬл — ? ар2, или
40
Глава 2. Матрицы и действия с ними
Пример 2.1.
Найти произведение матрицы-строки
А — h/2 0 —3) на
матрицу-столбец В=
►ЛЯ=(ч/2 О
-3)-
12
= (л/2  -Л+0- п + (-3)-1)=(-1).-
Правило для вычисления произведения матриц схематично проиллюстрировано на рис.
Рис. 2.1. К определению произведения матриц
Замечание 2.1. При умножении матриц обычно говорят, что элемент cv матрицы С = АВ, находящийся в г-й строке и в j-м столбце является «произведением i-й строки матрицы А и 7-го столбца матрицы В».
Пример 2.2. Даны матрицы А, В из примера 2.1, а также
ма грицы С-
Установить, для
каких матриц определена операция умножения, найти эти произведения.
►Имеем: Дх3,В5Х|,С,х2,/)гх,,/:’,х1. Сравнивая размеры данных матриц, убеждаемся, что определены следующие произведения: АВ, BA, CD, DC, CF, DF. Произведение АВ было найдено в примере 2.1. Имеем

2 0
ВА —
п-0
-Зл/2
—Зп
§ 2. Операция умножения матриц и ее свойства___________41
С0=Р 2¥' 2)=('1+2-5 1-2+2-31/11 81
\3 4Д5 3) Ц-1+4-5 3-2 + 4-3) \23 18)
ОС = Р 4р 2\_/Г1+2-3 1.2+2-41/7 101
^5 ЗДЗ 4/ 15-1+3-3 5-2+3-4) (14 22)
_р 2V1 0 -Й /11+2-3 10+2-2 1-(—1)+2-0\_ "(з 4-Дз 2 о)-(з-1+4-З 3 0+4-2 3-(-l)+4-oJ-
J7 4 -11 (15 8 -3)
Произведение DF найдите самостоятельно.-^
Замечание 2.2. При перестановке матриц результат умножения может получиться различным (пример 2.2, сравните АВ и BA, CD и DC). Легко заметить, что хотя произведение CF определено, произведение FC не определено. В общем случае свойство коммутативности при умножении матриц не имеет места.
Определение 2.2. Матрицы А и В. для которых АВ = ВА. называются коммутирующими.
Чтобы матрицы были коммутирующими, необходимо, чтобы они были квадратными матрицами одинакового порядка, однако, как показывают приведенные выше примеры, это условие не является достаточным, так матрицы С и D из примера 2.2 не коммутируют.
/1 г1)	/0 4\
Пример 2.3. Показать, что матрицы J и коммутируют.
/1 2V0 4\_/1-0+2-6 1-4+2-6\_/12 16\
Дз 4ДО б)~р-0+4-6 3-4+4-6) \24 36)’
/0 4V1 2\_/0-1+4-3 0-2+4-4\ /12 16\
Дб бДз 4)-(б-1+6-3 6-2+6-4/ ^24 36)’
т. е. АВ= ВА, значит, матрицы А и В коммутируют.-^
Свойства действия умножения матриц
1.	{АВ)С = А{ВС) (ассоциативность умножения).
2.	(кА)В=А(7.В) = ЦАВ).
42 Глава 2. Матрицы и действия с ними
з.	(а, +а2)в=а,в+а2в
4.	а(В, + В2) = АВ, +АВ2.
5.	Если матрица А имеет размер гохи, то справедливо равенство Е,„А = АЕ„ = А, где Ет,Е„ единичные матрицы т-го и л-го порядка.
Все перечисленные свойства трактуются так, что если одна из частей равенства имеет смысл, то имеет смысл и другая, и они равны. Свойство 2 следует непосредственно из определений 1.3 и 2.1, распределительные свойства 3 и 4 — из определений 1.2 и 2.1, доказательство ассоциативности умножения (свойство 1) см., например, в [3]. Справедливость равенства из свойства 5 проверяется с помощью определения 2.1 и понятия единичной матрицы.
Теорема 2.1. Если А и В — квадратные матрицы л-го порядка, то
det А В= det А - det В
(2-1)
Теорему 2.1 принимаем без доказательства. Для случая и = 2 она может быть доказана непосредственным вычислением произведения определителей из правой части равенства (2.1) и сравнения полученного равенства с определителем из левой части этого равенства. Случай произвольного л рассмотрен в [3J.
§3. ОПЕРАЦИЯ ТРАНСПОНИРОВАНИЯ МАТРИЦ И ЕЕ СВОЙСТВА
Определение 3.1. Если в матрице А размера т х п заменить строки на столбцы, то получится матрица размера л х т. называемая транспонированной по отношению к матрице А.
Транспонированная матрица обозначается АТ. Таким образом, если
Так, если матрица А
§ 4. Обратная матрица 43
Диагональная матрица совпадает со своей транспонированной. Для двух матриц А и Ат всегда определена операция умножения.
Свойства операции транспонирования
1.	(Л7)Г=А
2.	(А+В)т= Ат+Вт.
3.	(М)Г=М7.
4.	(AB)r=BTAf.
Первые три свойства проверяются непосредственно с помощью определения 3.1 и определений 1.2, 1.3. Доказательство свойства 4 приведено, например, в [3] Здесь справедливость свойства 4 мы проверим на следующем примере.
/1 -3\	/0 -1\
Пример 3.2. Даны матрицы	if ^=1] Ш прове-
рить справедливость равенства: (АВ)Г = ВТА7.
§4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
1. Понятие обратной матрицы. Существование и единственность обратной матрицы. Присоединенная матрица.
Определение 4.1. Пусть А — квадратная матрица порядка п. Матрица В называется правой обратной для матрицы А если АВ= Е„, где £„ - единичная матрица порядка и. Матрица С называется левой обратной для матрицы А если СА = Еп. Матрица, являющаяся одновременно правой и левой обратной по отношению к матрице А, называется обратной к матрице А.
Для матрицы, обратной к матрице А. принято обозначение Д1.
Таким образом, для матрицы А ' справедливо равенство АА-1 =А'А= Е.
Пример 4.1. Для матрицы Д =
найти обратную.
44
Глава 2. Матрицы и действия с ними
„ М ь\ ► Пусть /?=1 I.
Найдем элементы матрицы В из усло
вия: ВА=Е, где Е — единичная матрица 2-го порядка, имеем
(а Ь\(\ П (1 0\
-1 = 1-	Из определения произведения матриц (оп-
dj\2 5} (О i;
ределение 2.1) и определения равных матриц (определение
1.1) для а. Ь. с, d получаем следующую систему:
а+26 = 1, л+36=0, с+26 = 0, с+36 = 1.
Из этой системы имеем: а=3, b = — I, с — — 2, <У = 1, поэтому ^=^2 jj — Девая обратная матрица для матрицы А. Так как АВ—1	)=Р )=£. то В является также
U ЗД—2	1J ^0 1J
и правой обратной матрицей для матрицы А. Итак, в соответствии с определением 4.1, В — обратная матрица для матрицы ЛЧ
Замечание 4.1. В силу определения 2.1 матрицы В и С из определения 4.1 также должны быть квадратными матрицами порядка п.
Определение 4.2. Квадратная матрица А называется невырожденной (неособенной) у если det/1^0. В противном случае матрица А называется вырожденной (особенной).
Теорема 4.1. Если матрица А имеет правую или левую обратную матрицу, то она невырожденная.
► Пусть В — правая обратная матрица для матрицы А, АВ= Е (определение 4.1, Е — единичная матрица), поэтому det(AE?)=l Имеем: det(/LB)=det4-det£ (теорема 2.1), значит, det/4-detf?= 1. Отсюда следует, что det4^0, т. е. матрица А является невырожденной. Аналогично рассматривается случай, когда матрица А имеет левую обратную матрицу. ◄
Следствие из теоремы 4.1. Если матрица А вырожденная, то она нс имеет обратной.
Теорема 4.2 (о существовании и единственности обратной матрицы). Всякая невырожденная квадратная матрица А л-го
§ 4. Обратная матрица
45
порядка имеет единственную обратную матрицу А 1, для которой справедливо равенство
где Ац алгебраические дополнения элементов матрицы А.
►Для простоты выкладок ограничимся случаем, когда А — квадратная матрица 3-го порядка:
(ч, “,i “.s')
Л= К.	°!! 
U. “1! "-’I
Рассмотрим матриц}
Р„ Л„
Л"=|Л12 л= л„ .
\Aj ^24 Л33)
Матрица А' это протранспонированная матрица из алгебраических дополнений к элементам det А. Она называется присоединенной по отношению к матрице А. Покажем, что справедливо равенство
AA'J = AvA = detAE,	(4.2)
где Е — единичная матрица 3-го порядка. Имеем:
“и “„ри А„ А.)
А4"=к, “1, °!1 И,! ЛП т |
Для элемента матрицы С~АА' из определения 2.1 следует равенство
Су = ailAil +апАп +д1ЭЛ/3. /,/ = 1.2,3.	(4.3)
При i=j в соответствии с теоремой о разложении определителя по элементам какой-либо строки (§3, гл. 1, свойство 7) из (4.3) следует: с. = deL4, а при i ^-j в силу теоремы анну-
Глава2. Матрицы и действия с ними
лирования (см. упомянутый параграф) — су =0. Таким образом, для произведения матриц А и А получаем
det А
или АЛ v = det Л - Е.
Аналогично доказывается равенство AVA =det/l' Е.
Поскольку по условию матрица А невырожденная, то det А	Пусть
det/l
(4.4)
Очевидно, что введенная таким образом матрица А 1 совпадает с матрицей А~' из (4.1). В силу (4.2) и свойств действий с матрицами имеем
=—— йал-Е=Е det-4
и аналогично
А~'А = Е.
Итак, матрица А~' из (4.4) (и, следовательно, из (4.1)) является обратной к матрице А. Покажем, что Л-1 — единственная обратная матрица для невырожденной матрицы А. Предположим противное, что существует матрица В:ВА = Е, ВаА~'. Умножим последнее равенство справа на А , получим
ВАЛ 1 = ЕА~' => В(АА~')=А~' => ВЕ = А~' => В=А '.
Полученное равенство противоречит предположению В* А ', следовательно, это предположение неверно и А~' — единственная левая обратная матрица для матрицы А. Аналогично доказывается, что А~‘ — единственная правая обратная матрица для А. Таким образом, приходим к выводу, что А~' — единственная обратная матрица для матрицы
Замечание 4.2. С помощью матрицы >4V формула (4.1) записывается в виде (4.4).
§ 4. Обратная матрица 47
Пример 4.2. Найти матрицу, обратную к матрице
4:::)
► det/! = —5#0=s« матрица А неособенная и имеет обратную. Вычислим алгебраические дополнения ее элементов?
Теперь в силу формулы (4.1) для обратной матрицы имеем:
Сделаем проверку. Покажем, например, что А 1 А= Е.
(3 2 -6V 1 0 2\ 1 -1 -2 -1 3 0 =
—4 -I ЗД I 1 1)
1 3-2-6 0+6-6	6+0-б\ р 0
1 + 1-2 0-3-2 2+0-2 = 0 1 о|=£Х
-4+1+3 0-3+3 —8+O+3J (о 0 1J
48 Глава 2. Матрицы и действия с ними
Свойства обратной матрицы
1.	det А 1 = (det А) '.
2.	(АВ)-' = В-'А-'.
3.	(Л-1)-1 = А.
4.	(Л7)-1 = (Аг'У
► 1. Это свойство следует из равенства АА 1 = Л 'Л = Е и теоремы об определителе произведения двух матриц (теорема 2.1).
2.	Используя ассоциативное свойство умножения матриц, покажем, что
(В-1 А ')(АВ) = Е.	(4.5)
Действительно, (В~'А~')(АВ) = В~'(А~'А)В =В~'ЕВ = В~'В = Е. Из равенства (4.5) следует, что В~'А 1 = (АВ)-' .
3.	Умножим обе части верного равенства (л-1) Л ' = Е справа на матрицу А: (л А~'А=ЕА. Теперь, использовав ассоциативное свойство умножения матриц, приходим к соотношению, (а 1) Л 'Л = £Л=>(Л ') Е = = л=>(л ') ' =л.
4.	Перейдем в равенстве ЛЛ 1 = Е к транспонированным матрицам, получим: (А-,)7Л7’ = Е. откуда и следует доказываемое равенство. ◄
2. Обращение матрицы методом элементарных преобразований. Для квадратной матрицы Л большого порядка вычисление обратной матрицы по формуле (4.1) связано с трудоемкими вычислениями. В этом случае используется метод элементарных преобразований. Вместо матрицы Л порядка п рассмотрим прямоугольную матрицу (Л|£) размера пх2и, первые и столбцов которой есть столбцы матрицы Л, а вторые п столбцов — столбцы единичной матрицы Е порядка п (обычно она отделяется от столбцов матрицы Л чертой). С помошью элементарных преобразований над строками, эту матрица приведем к виду (Е\В), тогда В = Л '. В самом деле, приведение матрицы Л к матрице Е эквивалентно ее умножению слева на матрицу А'. Но тоща и вся матрица (Л|£) умножается слева на Л_|, в итоге получаем матрицу (£|Л_|), откуда следует В = Л-1.
Пример 4.3. Методом элементарных преобразований наити матрицу обратную к матрице Л из примера 4.2
► Припишем к матрице Л справа единичную матрицу 3-го порядка, получим матрицу С и проведем последовательно такие элементарные преобразования:
§ 5. Понятие о ранге матрицы. Ранг ступенчатой матрицы
49
2) из последней строки вычтем 2-ю, умноженную на 3 и после этого последнюю строку разделим на 5:
3) ко 2-й строке прибавим последнюю строку а из 1-й строки вычтем последнюю строку умноженную на 2:
Элементы, находящиеся
ную матрицу к матрице А.
справа от черты, и составят обрат-
Следовательно, имеем
/-3/5	-2/5	6/5\ /2	2	-6\
А' =1 — 1/5	1/5	2/5=J 1	-1	-2.
\ 4/5	1/5	—З/sJ 5(-4	-1	з)
Получен пл же результат, что и в примере 4.2. ◄
§5. ПОНЯТИЕ О РАНГЕ МАТРИЦЫ. РАНГ СТУПЕНЧАТОЙ МАТРИЦЫ
Определение 5.1. Минором к-го порядка матрицы 4 размера ткп (k < min(m, «)) называется определитель к-ro порядка, составленный из элементов этой матрицы, находящихся на
Глава2. Матрицы и действия с ними
пересечении любых ее к строк с любыми к столбцами. Обозначение: Мк.
Пример 5.1. Дана матрица .4=1
. Определить
число ее миноров 2-го порядка и найти какой-нибудь один из них.
► В силу определения 5.1 данная матрица А может иметь несколько миноров 2-го порядка, их число равно Nt Л\, где — число способов, которыми можно выбрать две строки из трех, a N2 — число способов, которыми можно выбрать два столбца из четырех. Так как Nt =3,	=6, то = 18. Од-
ним из миноров М2 является определитель
5, состав-
ленный из элементов матрицы А, находящихся на пересечении ее 1-й и 2-й строк с 3-м и 4-м столбцами. ◄
Определение 5.2. Базисным минором матрицы А размера ихл называется любой ее минор порядка r(r<min(/n,я)), если он отличен от нуля, а все миноры порядка (г + I) либо равны нулю, либо не существуют. Порядок г базисного минора называется рангом матрицы А, а ее строки и столбцы, входящие в базисный минор, называются базисными.
Ранг нулевой матрицы принимается равным нулю. Для ранга матрицы А приняты обозначения: rang4, гапкЛ, г(А).
Так, например, ранг матрицы А из примера 5.1 равен 3,
2
О
м,=
так
минор
имеет
О
2
10*0, а миноров 4-го порядка она не
Пример 5.2. Найти rangJ, если Л = 1
§ 5. Понятие о ранге матрицы. Ранг ступенчатой матрицы
51
►ЭЛ/, =Р ^|= —15*0=>rang/l >2.
Данная матрица имеет
только
минор
= 0 => rang/1 > 2.
3-го
порядка
Теорема 5.1. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее не-
нулевых строк
► В самом деле, рассмотрим минор, составленный из элементов, находящихся на пересечении ненулевых строк данной матрицы и столбцов, выбранных так, чтобы получить треугольный определитель. Этот минор отличен от нуля, ибо на его главной диагонали находятся элементы, не равные нулю (пример 3.2, глава I). Порядок этого минора равен числу ненулевых строк, а миноры более высоких порядков всегда либо
содержат нулевые строки и, следовательно, они равны нулю, либо не существуют. ◄
Пример 5.3. Найти rang А, если А =
1-1	021
2-110
0 0 3 1
0 0 0 0
О
О
О
► Матрица А — ступенчатая (см. определение 1.6, гл.1), у нее три ненулевые строки, поэтому ее ранг в силу теоремы 5.1 равен 3. ◄
Теорема 5.2. При элементарных преобразованиях над матрицей ранг не изменяется, т. е. ранг полученной матрицы равен рангу исходной.
Доказательство см., например, в [3].
Теоремы 5.2 и 5.1 положены в основу вычисления ранга матрицы методом элементарных преобразований, при этом матрицу А преобразуют к ступенчатой форме А,. Эта операция всегда возможна (теорема 1.2 главы I). Ранг А, определяется по теореме 5.1, а ранг матрицы А получают из равенства: rang А = = rang А,.
52
Глава2. Матрицы м действия с ними
Пример 5.4. Методом элементарных преобразований найти
0 4 2’
-1 3 1
-1 4 1
16 2
(2 —2
rang А, если А =
1 1
► Выполним следующие элементарные преобразования:
1)	переставим 1-ю и 2~ю строки, после чего из 4-й строки вычтем 1-ю, а из 2-й — 1-ю, умноженную на 2, получим
2)	переставим 2-ю и 3-ю строки, затем из 3-й строки вычтем 2-ю, умноженную на 2, в полученной матрице переставим 3-ю и 4-ю строки:
1 1-13 О'
02-141 Л-»	;
0 2 0 3 1
0 0 0 6 2
3)	из 4-й строки вычтем 3-ю, умноженную на 2,
Поскольку А, — ступенчатая матрица, имеющая три ненулевых строки, то по теореме 5.1 rang Л, = 3. Но тогда и rang А = = rang At = 3.-<
Понятие ранга матрицы применяется в теории систем линейных алгебраических уравнений и в других разделах математики.
§ 1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений
53
Глава 3
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§ 1.	КРАМЕРОВСКИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1-	Матричная форма записи системы линейных уравнений. Пусть дана система из т линейных уравнений с и неизвестными х,, х2, ... ,
(1.1)
С введением понятия матриц и операции над ними (см. §1—2 гл. 2) появляется возможность записать систему (1.1) более компактно, а именно, в виде так называемого матричного уравнения. Рассмотрим следующие матрицы:
Матрица А — это матрица коэффициентов системы (1.1) (см. §1, гл. 1), матрица X называется столбцом неизвестных, а матрица В — столбцом свободных членов. Вычислим произведение матриц А и X:
- ММ +-+а'-М
... ,,2)
Элементами столбца из правой части (1.2) являются левые части уравнений системы (1.1). Используя определение равенства двух матриц (определение 1.1 гл. 2), перепишем систему (1.1) в виде
54
Глава 3. Общая теория систем линейных алгебраичешж уравнений
Заменяя в этом соотношении его левую часть в силу (1.2) на АХ, а правую — на В, приходим к соотношению
АХ = В.
(1.3)
Равенство (1.3) называется матричным уравнением, соответствующим системе (1.1). Решением матричного уравнения (1.3) называется такой столбец X, который при подстановке в это уравнение обращает его в матричное тождество. Решение матричного уравнения (1.3) эквивалентно решению системы (1.1).
Jx-3y+2Z = -l,
Так, системе (	можно поставить в соответст-
[2x + 4y-z = 5
„	„	/1 -3 2\
вие следующее матричное уравнение: АХ = В, где А = I	L
2. Теорема Крамера. Крамеровские системы. Рассмотрим систему из п уравнений с и неизвестными х,,х2,...,х„:
а„1Х1 +аи2Х2+--+апЯХи=^и
(1-4)
Система (1.4) называется квадратной. Матрица А этой сис-к 
темы — квадратная матрица /т-го порядка, А= -	- .
U„, •••
Определитель матрицы А называется главным определителем системы и обозначается Д. Таким образом.
§ 1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений
55
Наряду с главным определителем системы А рассмотрим так называемые вспомогательные определители i = 1, 2, , и, которые получаются из главного путем замены его /-го столбца на столбец свободных членов:
Теорема 1.1 (теорема Крамера) Если главный определитель
А системы (1.4) отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение, определяемое равенствами
х, =А,./Д, 1 = 1. 2,.... п.
(1-5)
Равенства (1.5) называются формулами Крамера, а система (1.4) при А 7*0 называется крамеровской системой.
► Рассмотрим матрицу А системы (1.4), столбец X из неизвестных и столбец В из свободных членов:
fa. 	(м
л= 	• , х = , в= - ,
Uh	UJ \М
и сопоставим системе (1.4) матричное уравнение:
АХ = В.	(1.6)
Так как А = det.-lzO, то существует единственная обратная матрица А-1 (теорема 4.2 гл. 2). Умножим слева обе части равенства (1.6) на Л-1, получим: А~‘АХ = А~'В или (А~‘А)Х = А 'В. Последнее равенство можно переписать в виде: ЕХ=А~‘В. ибо А~‘А = Е (определение обратной матрицы, Е — единичная матрица п-ro порядка). Поскольку ЕХ =Х. имеем
Х=А~'В.	(1.7)
Столбец Л- из (1.7) — решение матричного уравнения (1.6). В самом деле, подставим его в (1.6): АА~' В= В=>(АА~')В= В. Так как А~'А = Е и ЕВ= В, то приходим к матричному тождеству В— В, а это и гначит, что данный столбец — решение (1.6). Покажем, что это решение единственно. Пусть Xt — некоторое решение уравнения (1.6), AXt = В. Умножим обе части
56
Глава 3- Общая теория систем линейных алгебраически* уравнений
этого равенства слева на А~1: А 'АХ, =А 1 В. Проведя рассуждения, аналогичные вышеизложенным, для Х1 получаем равенство: X, = А~' В. В силу (1.7) заключаем: = X.
Элементы столбца А~' В составляют решение системы (1.4), поэтому для обоснования равенств (1.5) надо доказать, что они равны Д, /Д, 1 = 1,2,..., п. Используя для А~' равенство (4.1) из главы 2, имеем
det А
*22
(Ь, ь,
1а
к элементам матрицы
где Ал — алгебраические дополнения
A, i, к = \, 2,..., п. Выполнив умножение матриц в правой части заменив обозначение det А на Д, по-
последнего равенства и лучим
А'В=-
(18)
Элементы столбца из правой часто (1.8) являю гея разложениями вспомогательных определителей Д,,/=1,2, ... , л, по элементам их i-x столбцов (свойство 8 определителей л-го порядка или теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца, гл. 1, §3). Поэтому с учетом (1.7) соотношение (1.8) можно переписать так:
* = (11)(Д, дг -Д„)г
Используя понятие операции умножения матрицы на число и понятие равенства матриц, получим соотношения
которые и являются формулами (1.5) — формулами Крамера.
Таким образом, доказано существование решения системы (1.4), определяемого формулами (1.5). Единственность такого решения следует из доказанной выше единственности решения матричного уравнения (1.6), соответствующего данной системе. ◄
§ 1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений
57
Пример 1.1. Используя формулы Крамера, решить систему x+2z=8, -х+Зу = -5, x+j’ +z = 4.
►Для отыскания решения системы по формулам (1.5) вычислим главный определитель системы Д и вспомогательные определители Ах, А,,, А., получающиеся из А путем замены его первого, второго и третьего столбцов соответственно на столбец свободных членов:
Л, = -5 3 0=8^ °|+г| ’ ’|=S-3 >2(- 5-|2)=-|<>,
Теперь находим решение системы по формулам (1.5):
Х = лх /Д = 2, у- А,,/А = —1, г = Аг /Л = 3. ◄
Замечание 1.1. Равенство (1.7) позволяет получить решение крамеровской системы в матричной форме. При этом предварительно надо перейти от системы к соответствующему матричному уравнению. Такой способ решения называют методом обратной матрицы.
Пример 1.2. Используя матричную форму записи, решить систему уравнений из примера 1.1.
►Через А обозначим матрицу системы, через В — столбец свободных членов, а через X — столбец из неизвестных:
58
Глава 3. Общая теория систем линейных алгебраически* уравнений
( 1 м
Рассматриваемой системе соответствует уравнение (1.6), где матрицы А и В имеют указанный смысл. Матрица А имеет обратную (см. пример 4.2 гл. 2)
С помощью равенства (1.7) найдем решение системы
/ 3 2 -6V 8)
=: it
13-8+2-(-5)+(-6)-4\	/-10) / 2)
1-8+(—!)•(—5)+(—2)-4 =-|	5 = -1.
-4 8 +(—!) (-5) +3-4/	(-15) I з)
Таким образом, система имеет единственное решение х=2, у = -1,2=3. ◄
Замечание 1.2. Систему уравнений с квадратной неособенной матрицей (крамеровскую систему) можно решать тремя способами: методом Гаусса, по формулам Крамера (1.5), а также методом обратной матрицы по формуле (1.7) (см. примеры 1.8 гл. 1, примеры 1.1 и 1.2 настоящего параграфа).
§2. РЕШЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений, число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений. В настоящем параграфе исследуются системы, в которых число уравнений и число неизвестных произвольны. Такие системы будем называть произвольными системами линейных уравнений.
Пусть дана система из т линейных уравнений с п неизвестными Х.Х,, ... .X 
§ 2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений
59
Й„Х1 +д]2х2+...+Д,
Й2,х, +д22х2+...+д2их„ =bt.
(2-1)
а„,х, +flmJX2+—+ЙИЛ ~b"’
где тип — произвольные натуральные числа. Через А и А' обозначим матрицу коэффициентов системы и ее расширенную матрицу:
f°i. 	(ап ЬД
Л= •	• р‘= •	'  -	(2.2)
\Йт1 ’ fl»/	° ml	йтп Ьт)
Выполнив конечное число элементарных преобразований, матрицу А' всегда можно привести к ступенчатой матрице
A't (см. теорему 1	2 гл.	1):					
	°и	ап	"	°1г			Ь[	
	0	«22	а'1г	«2 г +1	•	 «2л	А'	
Л' -*At' =	0 0	0 0	" а',г  0	0	• <  0	Ь'г Ь'г	(2-3)
	0	0	0	0	0	0	
	0	0	0	0	•	0	0	
Можно считать.		что	ни	один	из		элементов
а',, ,... , а'„ матрицы X		не	равен	нулю, в	противном случае		
этого можно добиться перестановкой столбцов матрицы А', изменив при этом нумерацию неизвестных.
Первые л столбцов матрицы А', соответствуют матрице At, получающейся при указанных преобразованиях из матрицы А. При г<т матрица Л, имеет г ненулевых строк, а в матрице А,' число таких строк равно (г+1) или г, в зависимости от величины ее элемента Ь’+1. При г = т число ненулевых строк в матрицах Л, и Д' одинаково и равно г.
Случай 1. r<m, b't+l #0, число ненулевых строк в матрицах Л[ и Л' различно и равно г и (г + 1) соответственно.
60 Глава 3. Общая теория систем линейных алгебраических уравнений
Матрица Л’ является расширенной матрицей следующей системы линейных уравнений:

х. +...+ О';, х, +а'1п1 хп1	х_ = Ь'2,
Система (2.4) несовместна, поскольку ее (rtl)-e уравнение не имеет решений. Так как, в силу теоремы 1.1 главы 1, системы (2.1) и (2.4) равносильны, то несовместной оказывается и система (2.1).
2х, +Зх2-2х3 =1,
Пример 2.1. Решить систему уравнений
X, — хг +х2 =0, Зх, +2х2-х3 =2.
► Рассмотрим расширенную матрицу этой системы:
(2 3 -2Й
1 -1	10.
3 2 -12)
Первые три столбца этой матрицы образуют матрицу А — матрицу коэффициентов системы. Подвергнем А" следующим элементарным преобразованиям. Переставим 1-ю и 2-ю строки, затем последовательно умножим 1-ю строку на (—2) и на (—3) и сложим со 2-й и 3-й строками, после чего из 3-й строки вычтем 2-ю:
Матрица А при этом преобразуется в матриц)' А{, составленную из первых трех столбцов матрицы . Матрице А' соответ-
§ 2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений
61
ствует система
5х2—4х} = 1, которая является несовмест
ной, так как ее последнее уравнение не имеет решений. Поэтому несовместна и равносильная ей исходная система. ◄
Случай 2. r<m, b'r+l =0 или г=т. Число ненулевых строк в матрицах А, и Л* одинаково и равно г. В этом случае матрице А’ сопоставляется следующая система:
апхг + +,хг+| +...+а'„х„ = Ь',
равносильная системе (2.1), в силу теоремы 1.1 из гл. 1.
Система (2.5) (а следовательно, и система (2.1)) будет иметь различное число решений в зависимости от соотношения между числами г и л.
2.1. г=п. Система (2.5) имеет вид
(2-6)
и является крамеровской (она квадратная и ее определитель Д*0),
0
(2.7)
0	0 - а'„
Система (2.6) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера (1.5), но естественнее и проше выполнить обратный ход метода Гаусса, который заключается в том, что сначала из последнего уравнения системы (2.6) находят хп —Ь'м/а'т, потом из предпоследнего уравнения находят хи_, после подстановки в него найденного значения хя.
Глава 3. Общая теория систем линейных алгебраических уравнений
Аналогичные операции производят до тех пор. пока из первого уравнения не будет найдено х(.
Пример 2.2. Решить систему уравнений
х, -х2 +х3 =—2, 2х, +х2 —Зх3 = 7, х, —2х2 +х, = —4, 4х, —2х2—х3 =1.
► Выпишем расширенную матрицу этой системы А':
I -1	1-2
2	1-3 7
1-2	1-4
4 “2 -1
и подвергнем ее элементарным преобразованиям. Умножим 1-ю строку на числа 2, 1. 4 и вычтем ее последовательно из 2-й, 3-й и 4-й строк. После этого поменяем местами 2-ю и 3-ю строки, а затем умножим 2-ю строку на числа 3, 2 и сложим ее последовательно с 3-й и 4-й строками:
Наконец, умножим 2-ю строку на (—1), 3-ю строку вычтем из 4-й, после чего умножим 3-ю строку на (—1/5):
-1 1-2
1 0 2
О 1-1
ООО
Матрице А’ соответствует система
является крамеровской, ибо ее
х, -х, +х, = -2.
х2 = 2, которая хэ=-1,
главный определитель
§ 2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений
63
Она имеет единственное решение
х, = 1,х2 = 2,х3 =-1. ◄
2.2. г<п. Перенесем члены с неизвестными хг+1,...,хи в правые части уравнений системы (2.5), получим
я', х + в12х2 +.. .+д'(.хг = й' —a’ nix	а'1пхп,
oLx, +...+а'х =й' —а, ^,х^,
22 2	2г г 2	2 г+1 г+>	2и и’	q.
a‘rrXr =^r~arr+lXM-i~---~amX„ -
Относительно неизвестных х,,...,хг система (2.8) является кра-меровской (число ее уравнений равно числу неизвестных, и ее определитель А отличен от нуля (см. (2.7)). Поэтому из системы (2.8) можно единственным образом выразить неизвестные х(, ... , х, через неизвестные хг+|,..., хи по формулам Крамера или, осуществив обратный ход метода laycca:
х. =р, +а11хг+1+...+а1я_гх„.
х2 =р, +а21хг+|
(2-9)
х, =Рг+аг]хг+1+.
Числа Pf,ae(/=1,..., г, j = l,... ,п—г) получаются в результате арифметических операций над коэффициентами и свободными членами системы (2.8) в процессе вычислений. Для них можно записать и явные выражения в виде
Pf = Af/А, a(J =—Af/Л, 7 = 1, ... , л—г,	(2.10)
где через А,,А# обозначены определители, полученные из А путем замены его /-го столбца на столбцы (b\ ,... , й',) и
, J = l,	,п—г. Равенства (2.10) являются след-
ствием формул Крамера и свойств определителей.
В равенствах (2.9) неизвестные хж,... , хя принимают произвольные значения, поэтому их называют свободными неизвестными, а неизвестные х,,..., х, — базисными. Используя
64 Глава 3. Общая теория систем линейных алгебраических уравнений
для свободных неизвестных традиционные обозначения хг+] =С,, х,+2 = С2,..., х„ =СЯ_„ перепишем (2.9) в виде
X, =Р)	+-.. + «! я_Ся_г,
хг = Р2 +<х2|С] +...+а2 Я_ГСЯ_Г,
хг =РГ +аг1С, +...+агя_гСл_,, =С.
x„=C„_,GjR
(2.П)
При частных значениях С,, Сг,... , Cn_t правые части равенств (2.11) определяют все решения системы (2.1).
Замечание 2.1. В равенствах (2.11) под Я понимается множество вещественных чисел (см. раздел 4, гл. 1, §3).
Определение 2.1. Совокупность правых частей системы равенств (2.11) называется общим решением системы (2.1).
Пример 2.3. Найти все решения системы
х,-х,+х,-х.=2.
2х, — х2 + 4х3 —Зх4 =5. Зх( — 2х2 +5х3 — 4х4 = 7,
х2 +2х3 — х4 = 1
► Выпишем расширенную матрицу системы
1 -1 1 -12
. 2-14 -35
А ~ 3 -2 5 -47’
О 12-1 1
Подвергнем матрицу Л* элементарным преобразованиям. Умножим 1-ю строку на числа (—2) и (—3) и сложим последовательно со 2-й и 3-й строкой, после этого вычтем 2-ю строку из 3-й и 4-й:
§ 2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений
65
1 -1 1	12\	/1 -1 1 -12'
. О 12-11	. _ О 12-11
”о 1 2 -11"* ’"О 00 00
О	12—11/ |о 0 0 0 0
Матрице А' соответствует следующая система:
равносильная данной. Неизвестные х, ,х2 примем за базисные, а неизвестные х,,х4 за свободные. Перенесем члены со свободными неизвестными в правые части уравнений последней сис-(х-х, =2-х3+х4,
темы: (	Отсюда имеем
[ х2 = 12х3 +х4.
|х2 = 1—2х}+х4, |х, = 2—х3 +х4 +х2 =3—Зх3 +2х4.
Приняв обозначения: х3 =Ct ER, х4 = С2 ЕЛ, получаем совокупность всех решений данной системы в виде: х, = 3—ЗС, +2С2,
х2 =1—267, +С2.
х, = С, ЕЛ.
х4=С2 ЕЛ.
Таким образом, при решении произвольной системы линейных уравнений (те. системы (2.1)) реализуется один из следующих случаев.
1)	Система (2.1) не имеет решений (т. е. является несовместной), если не совпадает число ненулевых строк в матрицах Л1 и Л,', полученных в результате приведения матрицы системы Л и ее расширенной матрицы Л* к ступенчатой форме.
2)	Система (2.1) имеет единственное решение (т. е. является совместной и определенной), если число ненулевых строк в матрицах At и Л,’ одинаково и равно числу неизвестных. В этом случае система (2.1) крамеровская или равносильна такой системе.
3)	Система (2.1) имеет бесчисленное множество решений (т. е. является совместной и неопределенной), если число не
66
Глава 3. Общая теория систем линейных алгебраических уравнений
нулевых строк в матрицах At и А, одинаково и меньше числа неизвестных.
Замечание 2.2. Множество решений системы (2.1) может быть либо пустым, либо состоять из одного элемента, либо быть бесконечным. Оно не может состоять из двух, трех и т. д. элементов
Пример 2.4. Дана система линейных уравнений (Л-2)х, +х2 +хэ =1,
х, +(Л-2)х2+хэ=1,
х, +х2+(Л—2)х3 =1.
При каких значениях параметра Л она: а) не имеет решений? б) имеет единственное решение? в) имеет бесчисленное множество решений?
► Рассмотрим матрицы
(Л-2	1	1\	р.-2	1	11'1
1 Л-2	1 и А' =1	1 Л-2	111.
1	1	Л-2)	(	1	1	Л-21)
Для приведения матрицы А' (и тем самым матрицы А) к ступенчатой форме А‘ выполним над А следующие элементарные преобразования.
1.	Переставим местами первую и третью строки:
I
Л-2
I
Х-21^
2.	Последовательно вычтем из 2-й строки 1-ю и из 3-й — 1-ю, умноженную на (Л—2), получим
§ 2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений
67
3.	К 3-й строке прибавим 2-ю. имеем
(' 1 м
о К-3 з-х!
|р О -X2 +3X.J
При —Х2+ЗХ.#О (т. е. А#0Д#3) матрицы А, и A't имеют по три ненулевых строки, причем число ненулевых строк совпадает с числом неизвестных в системе. Таким образом, в этом случае рассматриваемая система является крамеровской и имеет единственное решение.
II	I	—2\	р	I	—2
О	—3	3	и	Л,'=10	—3	301.
о	о	о)	(о	о	оз)
Число ненулевых строк в матрицах Л, и A't различно, поэтому при Х.=0 система не имеет решений.
При Х = 3 имеем Л = |о 0 0 и Л('= О 0 00.
(о о о) (о о о|о)
Число ненулевых строк в матрицах А, и Л,’ одинаково, оно меньше числа неизвестных, поэтому система имеет бесчисленное множество решений.
Ответ: а) система не имеет решений при А=0;
б) система имеет единственное решение при К * ОД 3;
в) система имеет бесчисленное множество решений при К = 3. ◄
Замечание 2.3. Поскольку, в силу теоремы 5.1 гл. 2, число ненулевых строк в матрицах At и А, совпадает с их рангами, и, как было отмечено в § 5, гл. 2, справедливы равенства гапёЛ1 = rangJ, гапёЛ * = rang/1 ’, то приведенное выше резюме можно перефразировать следующим образом:
1)	если гапёЛ ^rang/T, го система (2.1) несовместна;
2)	если гапёЛ = гапёЛ* =г и г=п, то система (2.1) имеет единственное решение;
3)	если rang4 =гапёЛ* =/• и г<л, то система (2.1) имеет бесчисленное множество решений.
68 Глава 3. Общая теория систем линейных алгебраических уравнений
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим однородную систему линейных уравнений
Й.Л. +л12х2+...+о1ихи=0.
(3-1)
где тип — произвольные натуральные числа.
Обозначим через А и А' матрицу и расширенную матрицу системы (3.1):
(о,, - О,.)	(“и -	°]
и=|.	 |.и-=|.	..I
am/J	апп Oj
Система (3.1) всегда совместна, так как при любых значениях коэффициентов ои,т = 1,2,...,т,А = 1,2,...,и она имеет так называемое нулевое (или тривиальное) решение х, =...=х„=0 Решение системы (3.1), не совпадающее с тривиальным, называется ненулевым. Система (3.1) является частным случаем произвольной системы линейных уравнений (2.1), она получается из этой системы при 6. =0, / = 1, ..., т. Поэтому к ней можно отнести результаты исследований упомянутой системы.
Расширенная матрица однородной системы при помощи конечного числа элементарных преобразований может быть приведена к виду:
А ^Л, =	Йп Й[2	Й1г Й|'г+1	Й1л 0 0 "и	°',,	 °',. 0 0	0	 a'rr а'гмл	а'г„ 0 0	0	0	0	-0	0 0 0 0	0	0	0	-0	0
при этом первые п столбцов матрицы At образуют матрицу А,, получающуюся из матрицы А при выполнении указанных преобразований. Очевидно, число ненулевых строк в матрицах
§ 3. Однородные utcrexJ линейных алгебраических уравнений
69
Л1 и А, всегда совпадает, поэтому при решении однородной системы реализуется один из следующих двух случаев.
1)	Нулевое решение системы (3.1) единственно, если число г ненулевых строк в матрице Л,' совпадает с числом неизвестных (г = п). В этом случае рассматриваемая система является крамеровской или равносильна такой системе. Для квадратной однородной системы условие г= п эквивалентно условию А* О, где А — главный определитель этой системы.
2)	Система (3.1) имеет бесчисленное множество решений, если число ненулевых строк в матрице A't меньше числа неизвестных (г < п). В этом случае кроме тривиального она имеет также и ненулевые решения. Общее решение такой системы получаем из равенств (2.11) при условии р,-=0,/=1,2,...,г:
(3.2)
Для квадратной однородной системы условие г < п эквивалентно равенству А=0, где А — главный определитель этой системы.
Пример 3.1. Дана система:
х, +2х2 — х3 =0, 2xt — хг +3х, =0, Зх, +рх2 +2х} =0.
Найти значения параметра р, при которых: а) нулевое решение этой системы единственно; б) данная система имеет ненулевые решения.
►Данная система квадратная. Вычислим ее главный определитель А:
70
Глава 3- Общая теория систем линейных алгебраических уравнений
1 2—1 1	2-11
Д=2 -1 3 = 0 -5 51=-25-5р+30=5(1-р).
3 р 2 0 р-6	5|
а)	Нулевое решение х,=х, =хэ=О единственно, если Дт*0. Это условие выполняется в случае p^L
б)	Поскольку система имеет ненулевые решения при Д = 0, то для параметра р получаем условие р = 1.
Ответ', а) нулевое решение системы единственно в случае Р*1;
б)	система имеет ненулевые решения при р = 1. ◄
Контрольные вопросы и задачи к разделу 1
1-	Напишите расширенную матрицу системы из двух линейных уравнений с тремя неизвестными: х = 1, у — z = 0.
2.	Совместна ли система л• + у = 1, 2х + 2у = 4?
3.	Какая система линейных уравнений называется квадратной?
4.	Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
5.	Дайте понятия определителей 2-го и 3-го порядков.
6.	Напишите квадратную матрицу А 3-го порядка в обшем виде. Какие элементы находятся на главной диагонали det/? На его побочной диагонали? Сформулируйте правило Саррюса для вычисления определителя 3-го порядка.
7.	Дайте понятие определителя «-порядка и сформулируйте его свойства.
8. Вычислите
определители: а)
2
2
0
9.	Какие две матрицы называются равными? Равны ли /1 0\	?0
матрицы А и В, если Л = )	Л ®=1] дР
§ 3. Однородные ьистелы линейных алгебраиажих уравнений 71
10.	Дайте определение действия сложения матриц. Можно ли сложить две матрицы с размерами 2x3 и 3x2?
11.	Даны матрицы Ам и 5гахи- При каких соотношениях между числами к,1,т,п операции сложения и умножения определены для данных матриц одновременно?
12.	Матрица А имеет размерность .3 х 4. Какой размерности должна быть матрица 5, чтобы было определено произведение: а) АВ\ б) ВА\ в) ВА\ г) Л/Р?
13.	Дана матрица А. В каком случае справедливо равенство АТ = А?
14.	Докажите, что все!да определены произведения АА‘ и АТА.
15.	Известно, что для матрицы А выполняется равенство: (1 2 3) А = (0 1). Каковы размеры матрицы Л?
16.	Дайте понятие единичной матрицы. Какая из матриц:
a) jj; б) в) является единичной?
17.	Известно, что det455=3. Чему равен: a) det2A; б) det/r; в) deL4-1?
18.	Найдите detlABC). если Л, В, С — квадратные матрицы одною порядка, при этом одна из них вырожденная.
19.	Докажите, что если Л2 = Л, то матрица В = 2А — Е удовлетворяет условию В2 = Е.
20.	Какими должны быть матрицы Л, В, С, чтобы было определено выражение: а) (АВ) С; б) (А+В)С; в) А(В+С); г) Л2(ВС); д) {А2+2В)С?
21.	Пусть Л и В — две квадратные матрицы. Докажите, что сумма элементов, находящихся на шавной диагонали, для матриц АВ и ВА одна и та же.
22.	Какая матрица всегда имеет обратную9 Сколько обратных матриц она имеет? Как найти обратную матрицу?
23.	Используя обратную матрицу, найдите матрицу X из (1 2\	/4 -6\
уравнения АХ = В, если Л = 1 gb	] /
24.	Решите в матричном виде уравнение АХС + D = Е, где А, С, D, F — данные матрицы (какая у них должна быть размерность?), X — искомая матрица.
72 Глава 3. Общая теория систем линейных алгебраических уравнений
25.	Понятие ранга матрицы. Найдите ранг матрицы
\:: 1
[ О 3 -2 з)
26.	Найдите общее решение системы.
х, —2х2	+ х4 - 1,
х,-2х2 + х3- х4=—1, х, —2х, +х3 +5х4 =5.
27.	При каких значениях параметра "к система х + ку-4z = -l,
Хх+у—3z=0,	а) совместна и определенна; б) совместна
X-j+z = l.
и неопределенна; в) несовместна?
28.	Решите систему уравнений по формулам Крамера: х, +х? +2х, = -1,
2Х] -хг +2х, =—4,
4Xj +х2 +4х3 = —2
29.	В каком случае однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения? Ее нулевое решение единственно?
Ответы на контрольные вопросы и задачи к разделу 1 /1 0 0|1\
1. I J Г1. 2. Несовместна. 8. а) 74; б) 900. 9. Нерав-
ны, ибо не равны их соответствующие элементы. 10. Нельзя, ибо они имеют неодинаковый размер. 11. к = 1 = т = п. 12. а) 4 х к\ б) А х 3, где к — любое натуральное число; в) В квадратная матрица 3-го порядка; г) В — квадратная матрица 4-го порядка. 13. Матрица А должна быть квадратной и симметричной относительно главной диагонали. 15. Матрица А имеет размер 3x2. 16. в). 17. а) 96; б) 3; в) 1/3. 18. 0. 20. а) Матрицы должны иметь размеры: А — кхт, В-тхп, С — их р, где к, т,п, р — любые действительные числа; б) матрицы А и В должны иметь одинаковый размер кхт, а матрица С — размер /их п, где к, т,п — любые действительные числа; в) матрица А может иметь размер
§ 3. Однородные ьистелы линейных алгебратческих уравнений 73
к х т, а матрицы В и С должны иметь одинаковый размер тхл, где к, т,п — любые действительные числа; г) матрица А — квадратная к-ro порядка, матрица В должна иметь размер кхт, а матрица С размер /их л, где к, т,п любые действительные числа; д) матрицы А, В — квадратные Х-порядка, матрица С должна иметь размер к х т, где к, tn — любые дей-. ( 5 -2\	/16 —32\
ствительные числа. 23. А = L X = I
(-2	1J’	(-6 13)
24. X = A~‘(F—D)C~', А, С, Д F — квадратные матрицы одного порядка 25. 2. 26. (2С, С, 0, 1), где С — любое действительное число. 27. а) Х*2, X*—1; б) X = 2; в) X = —1. 28. (1, 2, -2).
Раздел 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Предметом изучения в векторной алгебре являются векторные величины (векторы) и действия с ними. Примерами таких физических величин могут служить скорость и ускорение движущейся точки, сила и т. п. Они характеризуются не только своими численными значениями, но и направленностью.
Начальные сведения о векторах и некоторых действиях с ними (сложение векторов, умножение вектора на число и скалярное произведение векторов) содержатся в школьном курсе элементарной математики. В данном разделе на основе дальнейшего развития и углубления этих сведений вводятся новые понятия линейной зависимости и линейной независимости векторов, базиса на некоторых множествах векторов, а также рассматриваются новые действия с векторами — векторное и смешанное произведения. Изучение свойств операций с векторами приводит к алгебраизации геометрических высказываний, т. е. к замене геометрических утверждений некоторыми векторными равенствами. Введение понятия координат вектора заменяет действия с векторами действиями с числами. Построенная таким образом теория, называемая «векторная алгебра», служит математическим аппаратом для построения аналитической геометрии и других разделов математики, а также имеет многочисленные приложения в физике, теоретической механике и различных технических дисциплинах
На основе понятия так называемого прямоугольного базиса вводится прямоугольная декартова система координат, названная именем великого французского ученого Р. Декарта (1596— 1650) В дальнейшем (см. разд. 3) она служит основой для построения аналитической геометрии.
§ 1. Понятие вектора. Равные векторы. Коллинеарные и компланарные векторы
75
Глава 1
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
§ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА. РАВНЫЕ ВЕКТОРЫ. КОЛЛИНЕАРНЫЕ И КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ
Определение 1.1. Геометрическим вектором (или вектором) называется направленный прямолинейный отрезок, для кото-
рого указано, какая из ограничивающих его точек считается началом, а какая концом. Начало вектора называют также точкой его приложения.
Если точки А и В — начало и конец данного вектора, то
сам вектор обозначается символом АВ или а (рис. 1.1).
Пусть выбрана какая-либо система измерения длин прямолинейных отрезков, иначе говоря, масштаб. Длиной вектора, или его модулем, называется длина отрезка, образующею вектор. Обозначение:	|ё|.
Определение 1.2. Два вектора называют-
Рис. 1.1. Изображение векторов
ся равными, если они лежат на параллельных прямых (или на одной прямой), одинаково направлены и имеют равные длины.
Векгор, у которою начало и конец совпадают, называется нулевым или нуль-вектором. Нуль-вектор не имеет определенного направления, а его модуль равен нулю. Таким образом.
можно считать все нуль-векторы равными и ввести для них единое обозначение: 0.
Определение 1.3. Векторы ё,, ё2, ... , ё„ называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Для обозначения коллинеарных векторов а и b (рис. 1.2) используется символ параллельности' «||/>.
Замечание 1.1. Нуль-вектор 0 считается коллинеарным любому вектору а.
Определение 1.4. Вектор, коллинеарный данному вектору а, равный ему по длине и направленный в противоположную сторону, называется противоположным по отношению к вектору и обозначается через «—а».
76
Глава 1. Линейные операции над векторами
а ^7	Определение 1.5. Векторы
—'\хх'"^ ____ е2, --- , еи называются компланарны-
___	ми, если они расположены на прямых,
b	параллельных одной и той же плоскости,
х'"'	Замечание 1.2. Два вектора а и b все-
Рис 1.2. Изображение гаа компланарны. Из определения 1.3 коллинеарных векторов следует, что любые коллинеарные векторы являются одновременно и компланарными.
Определение 1.6. Вектор, коллинеарный данному вектору а, одинаково направленный с ним и имеющий единичную длину, называется ортом вектора а и обозначается а„ (рис. 1.1).
Замечание 1.3. В соответствии с определением 1.2 точка приложения данного вектора (иначе говоря, его начало) может быть выбрана произвольно. Такие векторы называются свободными. Однако в механике и физике рассматриваются и другие типы векторов — скользящие и приложенные (или связанные). Для них определение 1.2 заменяется другим. А именно, равные скользящие векторы обязательно лежат на одной прямой (и, следовательно, не могут быть расположены на параллельных прямых, как свободные векторы). Равные приложенные векторы должны лежать на одной прямой, иметь равные длины и общее начало. Примером скользящего вектора может служить сила, приложенная к твердому телу при изучении механического движения этого тела. При перемещении силы вдоль ее линии действия механическое движение остается гем же. Связанным вектором является сила, приложенная к некоторой точке упругого (нетвердого) тела, вызывающая деформации и напряжения в окрестности точки приложения. В дальнейшем рассматриваются только свободные векторы.
§2. ОПЕРАЦИЯ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ И ЕЕ СВОЙСТВА
Действие сложения векторов вводится двумя эквивалентными способами: с помощью «правила треугольника» или «правила параллелограмма».
Определение 2.1 (сложение векторов по правилу треугольника). Пусть даны два вектора а и Ь. Приложим вектор Ь к концу вектора а. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец — с концом вектора Ь, называется суммой векторов а и b и обозначается а+Ь (рис. 2.1).
§ 2. Операция сложения векторов и ее свойства
77
Определение 2.2 (сложение двух неколлинеарных векторов по правилу параллелограмма). Пусть даны два вектора а и Ь. В какой-либо точке строят векторы, равные векторам а и Ь. Далее на этих векторах, как на сторонах, строят параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма, исходящая из общего начала данных
векторов, _ называется суммой векторов а и b (рис 2.2).
Оба рассмотренных правила сложения для неколлинеарных векторов эквивалентны, т. е. если вектор а +6 является суммой векторов а и b в смысле определения 2.1, то он есть сумма этих векторов и в смысле определения 2.2 и наоборот (рис. 2.3).
Свойства операции сложения векторов
Пусть а.Ь.с — произвольные век-
Рис. 2.1. Сложение векторов по правилу треугольника
Рис. 2.2. Сложение векторов по правилу параллелограмма
торы. Тогда:
1. а +Ь = Ь +а (коммутативное или переместительное свойство).
2. (а+Ь)+с = о+(6 +<?) (ассоциативное или сочетательное
свойство).
3. Существует единственный вектор, равный нуль-векто-руО, такой, что а+О = а для любого вектора а.
4. Для любого вектора а противоположный ему вектор (—а) является единственным, для которого справедливо равенство а+(— а)=0
►Для доказательства свойств 1 и 2 достаточно сослаться на рис. 2.3 и 2.4, отдельно рассмотрев случай, когда векторы коллинеарны.
Справедливость равенства а + 0 = а для любого вектора а (свойство 3) следует из определения 2.1. Остается показать, что нуль-вектор является единственным, для которого выполняется это равенство. Рассуждая от противного, предположим, что существует вектор 6^0 такой, что а+Ь=а для любого вектора а. Возьмем а = 0. тогда 0+6=0 и 0+6=6, т. е. 6=0,
что противоречит предположению.
Глава 1. Линейные операции над векторами
Рис. 2.3. Иллюстрация коммутатив-
(<7+Р)+с ~а+(Ь+с}
Рис. 2.4. Иллюстрация ассоциативного
свойства сложения векторов
ного свойства сложения векторов
Равенство а + (—а)=0 из свойства 4 справедливо для любого вектора а в силу определения 2.1. Остается доказать, что вектор (—а) является единственным, для которого оно выполняется. Рассуждая опять от противного, предположим, что существует вектор b ^—а, такой, что а+Ь =0. Прибавим к обеим частям этого равенства вектор (—ё), получим о+/>+(—а)— = 0+(— а). Для правой части последнего равенства имеем 0+(—д)=—а. С другой стороны, его левую часть в силу первых трех свойств можно записать в виде а+Ь+(— а) = = Ь +(«+(—a))=b +0=Ь. что приводит к равенству b =—а. По
лученное противоречие доказывает единственность вектора (—5) и тем самым свойство 4 доказано. ◄
Понятие суммы двух векторов с помощью метода математической индукции можно обобщить на случай сложения п векторов olto,, ..., а„, сумма которых a = at +а2 +...+ аи определяется следующим образом: к концу первого вектора при-
кладывается начало второго ра — начало третьего и т. д.
с началом первого вектора, а вектора (рис. 2.5).
вектора, к концу второго векто-Тогда начало вектора а совпадает
конец — с концом последнего
Рис. 2.5. Сложение векторов
Определение 2.3. _ Разностью двух векторов а и b называется вектор с такой, что b +с = а (рис. 2.6). Обозначение: а — Ь._
Для любых векторов а и b разность существует и выражается формулой
с =a—b=a+(—b).
§ 3. Операция умножения вектора на число и ее свойства
79
В самом деле, ё+(— b)+b = = = а +((-b)+b)=a +б=й
Существует единственный вектор с—а—Ь. Действительно, пусть кроме с существует еще один вектор d со свойством b+d = a. Тогда, с одной стороны, (d +b)+(-Ь)=а +(-Ь)=с, а с другой — d + (b +(— 6)) = d+0 = d, т. е. d = с.
Рис. 2.6. Разность векторов
Непосредственно из определений 2.1 и 2.3 вытекает правило построения разности а—Ь: разность векторов а и />, приведенных к общему началу, представляет собой вектор, идущий из конца вектора b (вычитаемого) в конец вектора а (уменьшаемого) (рис. 2.6).
§3. ОПЕРАЦИЯ УМНОЖЕНИЯ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО И ЕЕ СВОЙСТВА
Определение 3.1. Произведением вектора а на вещественное число X называется вектор Ь, определяемый следующими тремя условиями:
О |i|=l4l»J:
2) вектор b коллинеарен вектору а;
3) векторы а и b одинаково направлены, если 'к >0, и противонаправлены, если Х<0.
Для введенной операции применяется обозначение: Хй, т.е. Ь = 'Ка. При о=0 или Х=0 из условия I следует |Ха|=0, т. е. Ха = 0.
I	о
При Х = —- получаем вектор Ь= — = а,,— орт вектора а, м	и
при Х = —1 — противоположный вектор (—а) = (—!)• а.
Теорема 3.1 (свойство коллинеарных векторов). Для того чтобы два ненулевых вектора а и Ь были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
Ь = 'Ка	(3.1)
при некотором вещественном X.
80 Глава 1. Линейные операции над векторами
► Пусть а и b коллинеарны Положим Х=±|/>|/|а|, причем выберем шак «+», если а и b сонаправлены и «—», если а и b противонаправлены (af|Z>). Тогда Ь=ка по определению 3.1.
Предположим теперь, что равенство (3.1) справедливо для векторов а и Ь при некотором действительном X. Тогда коллинеарность векторов а и b следует ил определения 3.1. Ч
Замечание 3.1. Число к в равенстве (3.1) определяется единственным образом.
Свойства операции умножения вектора на число
1.	1-а = а;
2.	Х(ра)=(1р)я (свойство ассоциативности относительного скалярного множителя);
3.	(к+ц)а = ка +рй (свойство дистрибутивности умножения вектора на сумму вещественных чисел);
4.	к(а +b)=ka +kb (свойство дистрибутивности умножения вещественного числа на сумму векторов).
►Свойство 1 непосредственно следует из определения произведения вектора на число.
Свойство 2 очевидно, если Х = 0. или р=0. или <5 = 0. Поэтому его необходимо доказывать только при условии Х*0, р*0, о*0. Для доказательства заметим, что векторы Х(ца) и (Хр)а коллинеарны и имеют одинаковую длину | Х|| р||о| (определение 3.1). При этом они одинаково направлены с вектором а, если числа к и р имеют одинаковые знаки, и противонаправлены, если знаки к и р — разные. Итак, в любом случае Х(ра)=(1р)о по определению равных векторов (определение 1.2).
Доказательства свойств 3 и 4 приведены, например, в [3].-4
Замечание 3.2. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.
Пример 3.1. Показать, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
►Обозначим середины сторон четырехугольника ABCD буквами Е, F, G, Н (рис. 3.1). Тогда для вектора EF имеем равенство:
§ 4. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов
ГТ = ГВ + BF = | (ЛВ + ВС).
Аналогично HG - j (AD+ DC) = = -i(CD+ZM).
Так как АВ+ ВС+ CD+ DA = б, то, очевидно, EF— HG = 0, г. е. EF = HG. Последнее равенство оз-
Рис. 3.1. Иллюстрация к примеру 3.1
начает равенство длин и параллельность двух противолежащих сторон четырехугольника EFGH. Следовательно, как известно из планиметрии, он является параллелограммом. ◄
§4. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ
И ЛИНЕЙНОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ
Определение 4.1. Линейной комбинацией векторов ё(, ё2,	, ея называется сумма произведений данных векто-
ров на произвольные вещественные числа А,, ..., А„.
Таким образом, линейная комбинация векторов ё(, ё2, ... , ёп имеет вид
Х,ё, + А2ё2 + — +Аяё„,	(4.1)
где А,. ЕЙ, / = 1, ...,я. Здесь под R понимается множество всех вещественных чисел (см. разд. 4, гл. 1, §1). Очевидно, линейная комбинация векторов также является вектором.
Определение 4.2. Линейная комбинация (4.1) векторов eL, ё2, ... , ёя называется нетривиальной, если не все числа А;, / = 1, ..., и, равны нулю, т. е. А2+А2+...+Ая >0. Если все А, =0, 1=1, ...,л. то линейная комбинация (4.1) называется тривиальной.
Заметим, что тривиальная линейная комбинация любых векторов является нуль-вектором. Действительно, О- ё, + 0-ё2 + ... + 0-ё = б.
Определение 4.3. Векторы ё,, ё2, ... , ёя называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нуль-вектору, иначе данные векторы называются линейно независимыми.
82
Глава 1. Линейные операции над векторами
Для линейно зависимых векторов равенство
Х.ё, +Х2ё2 + ... +Хяёя =б	(4.2)
выполняется при некоторых 1,, л2,	, Хн, удовлетворяю-
щих условию X* +Х2 +...+Хя >0, а для линейно независимых векторов равенство (4.2) справедливо только при 4=4=... = Ч=о.
Свойства линейно зависимых векторов
1.	Если хотя бы один из векторов ё,, ё2, .... ёя — нулевой, то эти векторы линейно зависимы.
2.	Если какие-то к из и векторов ё(, ё2, ёг (2<к<п) линейно зависимы, то и все векторы ёг, ё2, ёя линейно зависимы
3.	Векторы ё], ё,, ёя линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией всех остальных.
► 1—2. Доказательство следует из возможности выбора ненулевых коэффициентов в равенстве (4.2) В первом случае такой коэффициент можно выбрать при нулевом векторе. Во втором случае этот выбор обеспечивается линейной зависимостью к векторов системы. Пусть это векторы ё,, .., ёк. Тогда существуют числа X,, ... , ХА, не все равные нулю, такие, что к.1ё1 + ... +. Если положить Хл+|=Х*+2 = ...= Хя =0, то получим нетривиальную линейную комбинацию Х,ё, + ... +Х4ёл +0-ёА+| + ... +0-ёя, равную б-вектору.
3.	Утверждение «данные векторы линейно зависимы* означает, что в равенстве (4.2) не все X, =0, ( = 1, ..., п. Для определенности предположим, что Хя ^0, при этом равенство (4.2) преобразуется к виду
ёя = а,ё, +а,ё, + .. 4-а^ё^,,	(4.3)
где а, = —X, /Хя, 1 = 1, ..., п — l А зто и означает, что один из векторов (а именно ё„) является линейной комбинацией векторов ё,, ё2, ..., ёя ,. Напротив, если имеет место равенство (4.3), то для векторов ё,, ё2, ..., ёя из (4.3) получаем
а,ё, +а, ё2 + ...+а„_, ёя_, -ё„ = б.	(4.4)
Левая часть равенства (4.4) — нетривиальная линейная комбинация данных векторов, так как коэффициент при векторе ёя равен —1. Следовательно, по определению 4.3 в силу (4.4) данные векторы линейно зависимы. ◄
§ 5. Геометрический смысл линейной зависимости векторов 83
Замечание 4.1. Понятие линейной зависимости и линейной независимости, вообще говоря, отнесены к системе векторов. Для единства формул и формулировок любой ненулевой вектор целесообразно считать линейно независимым, а нуль-век^ тор — линейно зависимым. Действительно, равенство 7.а = 0 при 7.^0 справедливо только при а = 0.
§5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ВЕКТОРОВ
Теорема 5.1. Для того чтобы два вектора ё} и ё2 были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
► Пусть векторы ё1 и ё2 линейно зависимы. В силу определения 4.3 имеем
7.,ё,+Т.2ё2 = 0,	Л’+7.’>0.
Считая для определенности 7., з*0, из последнего равенства получим ё, = —-^-ё2. Последнее соотношение, согласно определению произведения вектора на число (определение 3.1), означает, что данные векторы коллинеарны.
Пусть векторы ё1 и ё2 коллинеарны. Если один из них нулевой, то они линейно зависимы по свойству 1 из § 4 В случае, когда они оба ненулевые, согласно теореме 3.1 имеем равенство
ё, = Т.ё2, 7.
из которого следует линейная зависимость этих векторов (свойство 3 из § 4).-^
Следствие из теоремы 5.1. Для того чтобы два вектора были неколлинеарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно независимы. Доказательство — от противного.
Пример 5.1. а и b — неколлинеарные векторы. Доказать, что векторы а+2Ь и а— ЗЬ линейно независимы.
► Приравняем нуль-вектору линейную комбинацию данных векторов: \(а+2Ь) + Т.2(«—36) = 0. Перегруппируем члены в левой части этого равенства: (7.,+ 7.3)я + (27. ( — 37.2)/> = 0. Векторы а и b неколлинеарны и, следовательно, линейно независимы (следствие из теоремы 5.1), их линейная комбинация, равная нуль-вектору, может быть только тривиальной. Для 7Ч
84 Глава 1. Линейные операции над векторами
и А.2 получаем следующую систему уравнений: < 1
12А». —ЗА_2
Так как главный определитель А этой системы отличен от нуля (А = —3 —2 = —5 * 0). то по теореме Крамера ее нулевое решение А.1=А.2=0 единственно. Итак, показано, что линейная комбинация данных векторов, равная нуль-вектору, может быть только тривиальной, поэтому эти векторы линейно независимы по определению 4.3. ◄
Теорема S.2. Пусть даны два неколлинеарных вектора ё, и ё2. Любой компланарный с ними вектор а можно представить в виде линейной комбинации этих векторов
д=А.|ё, + >-гег,
(5.1)
причем числа А,(,А,2в (5-1) определяются единственным образом. Равенство (5.1) называется разложением вектора а по векторам ё, и ё2.
► Если вектор а коллинеарен одному из векторов ё, и ё2, равенство (5.1) следует из свойства коллинеарных векторов (теорема 3.1), причем одно из чисел А.,, А., равно нулю Если
все три вектора ё,, ё2, а попарно неколлинеарны, отнесем их к общему началу
Q__________ О (рис. 5.1) и из конца вектора а про-
4	ведем прямые, параллельные векторам
Рис. 5.1. Разложение г таКие, что ОР= А. ё. и ОС=А.2ё2 вектора по двум некол-
линеарным векторам
доказана. Предположим теперь, что существует еще одно разложение
а ~ Mt^i +	-
Вычтем почленно равенства (5.1) и (5.2), получим: (А., —+(А.2—р2)ё2 =б.
(5.2)
(5-3)
§ 5. Геометрический смысл линейной зависимости векторов
85
Векторы ё, и ё2 линейно независимы как неколлинеарные векторы, следовательно, равенство (5.3) выполняется только
при условии: X, — р, =0, Х2—р2 =0 или Х( = р,, X, =р2.^
Пример 5.2. Даны векторы:
ё, = ОА, ё2 = ОВ, а = ОС, |ё(| = 2, |ё2|=3; |й|=4, угол АОВ — прямой, а угол СОВ равен л/3 (рис. 5.2). Разложить вектор а по векторам ё, и ё,.
► Из точки С опустим перпендикуляры на прямые ОА, ОВ, получим точки Al, В1 (рис. 5.2). Тогда
a=OC=OAl +ОВ,, при этом |СЦ| = |а|sin " = 4
= 4-^=2Д |oi,|=p|<
ОД||ё, и OBt f ]ё,, то в силу (3.1) имеем
|ОЙ,|_ 2V3. й_
°Л = |-| ^ = 1 Г! =ЧХ. kJ 2
Icos — = 4- — = 2. Так
1	3	2
В, в
Рис. 5.2. К примеру 5.2
IOBI 2
2
Для вектора а получаем разложение ё = Л/Зё1 +—ё2 ◄
Теорема S3. Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компла-
нарны.
► Пусть векторы ё(, ё2, ё3 линейно зависимы. Тогда по свойству 3 из § 4 хотя бы один из них линейно выражается через другие, например, ё,=Хё+Х2ё2, где X,, Х2 GB Из этого равенства следует компланарность векторов ё[7 ё,, ё3.
Напротив, предположим, что векторы ё,, ё2. ё3 компланарны. Если какая-то пара из них коллинеарна, то векторы, составляющие эту пару, линейно зависимы по теореме 5.1, и тогда вся система из трех векторов линейно зависима (свойство 2, §4). Если все три вектора ё,, ё2, ё3 попарно неколлинеарны, любой из них, согласно теореме 5.2, можно разложить по двум другим, после чего линейная зависимость системы векторов ё(, ё2, ё3 следует из свойства 3 § 4.<4
86
Глава 1-Линейные операции над векторами
Следствие из теоремы 5.3. Для того чтобы три вектора были некомпланарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно независимы. Доказательство — от противного.
Теорема 5.4. Любой вектор а можно разложить по трем некомпланарным векторам ёх, ё2, ё3, т. е. представить в виде
ё = Х,ё| +Х2ё2+Х,ё., где 1,, 12, "К, ER, (5.4) причем разложение (5.2) единственно.
► Векторы ё,, ё,, ё3 попарно неколлинеарны, иначе все эти векторы были бы компланарны. Если вектор а компланарен с любыми двумя из этих векторов, то равенство (5.4) следует из теоремы 5.2, при этом один из коэффициентов ХРХ2, А, равен нулю. Если любая тройка из векторов ё,, ё2, ё3, а некомпланарна, отнесем их к общему началу О (рис. 5.3) и из конца вектора а проведем прямую, параллельную вектору ё} до пересечения с плоскостью, определяемой векторами ё, и ё2, в точке Р. Очевидно, а=ОР+РА. Поскольку вектор РА коллинеарен ёэ, то существует число А.} ER-. РА = 'к3ё3. По теореме 5.2 найдутся числа А,(,Х2 Ей такие, что ОР=к1ё1+к2ё2, поэтому а = А^ё, +А.2ё2 +А.эё3. Возможность представления вектора а в виде (5.4) доказана. Единственность разложения (5.4) доказывается так же, как в теореме 5.2. *4
Пример 5.3. Векторы ё, = ОА. ё3 =ОС попарно перпендикулярны, на них. как на ребрах построена треугольная призма (рис. 5.4). Вектор a — OD, где точка D — середина отрезка С(С,, при этом точки Ct,C2 делят соответствующие ребра
Рис. 5.3. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
В
Рис. 5.4. К примеру 5.3
§ 6. Базис и координаты вектора Прямоугольная декартова система координат
87
призмы в отношении 1:3. Разложить вектор а по векторам ё(, ё2, ё}.
► a=OCt + С,D=OA, +ОД +C,D, где точки А,, В,— основания перпендикуляров, опушенных из точки С, на прямые О А и О В (рис. 5.4). Поскольку
ОА, = —ОА = —ё ОВ, = -бВ=-ё,, С,В = -СС, = -ё„ '4	4 1	1 4	4 1	2 1 - 2 ’
то для вектора а получаем разложение
Теорема 5.5. Любые четыре вектора ► Если среди данных векторов есть
линейно зависимы.
два или три линейно зависимых, то вся система из четырех векторов линейно >ави-сима (свойство 2 из §4). Иначе, среди данных четырех векторов есть тройка линейно независимых векторов, состоящая из некомпланарных векторов (следствие из теоремы 5.3). Тогда четвертый вектор, согласно теореме 5.4, можно представить в виде разложения по векторам этой тройки. Следовательно, и в этом случае система из четырех векторов линейно зависима по свойству 3 из § 3.4
§6. БАЗИС И КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ
Понятия вектора и линейных операций над векторами ал-гебраизируют геометрические высказывания, т. е. заменяют геометрические утверждения векторными равенствами. Используя результаты предыдущих параграфов, приведем теперь действия с векторами к действиям с числами, т. е. арифметизируем векторно-алгебраические соотношения. Для этого введем понятия базиса на данном множестве векторов.
Определение 6.1. Базисом данного множества векторов называется любой упорядоченный набор из п его линейно независимых векторов, где л равно максимально возможному числу линейно независимых векторов этого множества.
Введение базиса на множестве векторов служит основой для построения системы координат на прямой, плоскости и в пространстве.
1.	Базис множества векторов, параллельных данной прямой. Пусть дана прямая / и множество Vt векторов, параллельных /, И, — это множество коллинеарных векторов. Любая пара векторов из линейно зависима (теорема 5.1), а любой ненуле
88 Глава 1. Линейные операции над векторами
вой вектор а из l7t линейно независим (замечание 4.1), поэтому максимально возможное число линейно независимых векторов в равно I.
Определение 6.2. Любой вектор а * 0 из Pj называется базисом в Vt и на данной прямой /.
Для любого вектора b из Vt в силу свойства коллинеарных векторов (теорема 3.1) справедливо равенство
b=xa, хЕК,	(6.1)
которое называется разложением вектора b по базису а, а число х — координатой вектора b в базисе а. Выбор базиса в V, вводит взаимно однозначное соответствие между векторами из Vt и вещественными числами.
Выбор базиса а на прямой / задает на ней направление и превращает ее в ось /. Пусть о = ё, |ё| = 1, вектор е называется ортом данной оси. Тогда Ь=хё, а х=±|Ь|, как это следует из определения 3.1. Знак «+» соответствует сонаправленности векторов Ь и ё, а «—» — противонаправленное™. Число х в этом случае называется координатой вектора b на оси I.
2.	Базис множества векторов, параллельных данной плоскости. Пусть дана плоскость и множество векторов, ей параллельных. V, — множество компланарных векторов. Любая тройка векторов из К линейно зависима по теореме 5.3, а любая пара неколлинеарных векторов из V2 линейно независима по следствию из теоремы 5.1. Поэтому максимально возможное число линейно независимых векторов в F2 равно 2.
Определение 6.3. Любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов ё} и ё2 из множества И, векторов, параллельных данной плоскости, называется базисом в И, и на данной плоскости.
Любой вектор а из F, по теореме 5.2 можно представить единственным образом в виде*
а = хё1 +уё2, x,y^R	(6.2)
Числа х и у называются координатами вектора а в данном базисе (ё,,ё2), а равенство (6.2) называется разложением век гора а по данному базису. Выбор базиса в И, устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами из Г2 и упорядоченными парами (х, у) вещественных чисел. Так, для век
§ 6. Базис и координаты вектора Прямоугольная декартова система координат 89
тора а из примера 5.2 числа J3, 2/3 — его координаты в базисе (ё,,ё2).
Пример 6.1. а и b— неколлинеарные векторы. При каких значениях параметра а векторы а +2Ь и За +а6 образуют базис в множестве И,?
► Найдем значения параметра а, при которых векторы й+26 и 35+аб линейно независимы и, следовательно, неколлинеарны. Приравняем нуль-вектору линейную комбинацию данных векторов: ^(5+2/»)+Х2(3а+а6) = 0. Перегруппируем члены в левой части этого равенства: (А^+ЗХ^а + (2Z,+ ak2)b = 0. Линейная комбинация векторов а и Ь, равная нуль-вектору, может быть только тривиальной, так как эти векторы неколлинеарны и, следовательно, линейно независимы (следствие из теоремы 5.1). Поэтому для Х1 и к2 получаем следующую [Х. +ЗХ, =0,
систему уравнений: !	' Теперь задача формулирует-
[2X.J +<хХ2 =0.
ся так: найти значения параметра а, для которых нулевое решение этой системы единственно. В силу теоремы Крамера это условие выполняется только в том случае, если главный определитель А системы отличен от нуля. Поскольку А = = а — 6, то приходим к выводу, что нужные значения параметра а определяются неравенством: а 6.-А
3.	Базис множества Р3 всех векторов пространства. Любые четыре вектора из К линейно зависимы по теореме 5.5, а три некомпланарных вектора из Ц линейно независимы по следствию из теоремы 5.3. Поэтому максимальное возможное число линейно независимых векторов в И, равно 3.
Определение 6.4. Любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов (ё,,ё2,ё}) из множества всех векторов пространства называется базисом в Ц и в пространстве.
Любой вектор а из F3, согласно теореме 5.4, можно единственным образом представить в виде:
а = хё] + уё, +ze3, х, у, гЕЙ.	(6.3)
Числа х, у, z называют координатами вектора а в данном базисе (ё], ёг, ё}), а равенство (6.3) называется разложением вектора а по данному базису. Выбор базиса в 13 устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами из Ц и упорядоченными тройками (x,y,z) вещественных чисел. Для
SO Глава 1. Линейные операции над векторами
вектора а из примера 5.3 числа 3/4. 1/4. 1/2 — его координаты в базисе (ё15ё2,ё3).
Обобщая вышесказанное, заключаем, что на пути арифметизации векторно-алгебраических соотношений сделан важный шаг — установлено взаимно однозначное соответствие между векторами из множеств У2, и упорядоченными наборами действительных чисел. Для достижения поставленной цели осталось установить правила выполнения линейных операций с векторами, заданными разложениями в некотором базисе.
Правило 6.1. При сложении векторов, заданных разложениями в некотором базисе, складываются их соответствующие координаты.
► Пусть, для определенности, даны два вектора а и b из И3, а также (ё,, ё2, ё3) — базис в И3. Имеем:
<j=a^, +а?ё2 +а3ё3,	(6.4)
6=Р,ё, +Р,ё, +Р,ё,,	(6.5)
где а(.а2.аэ — координаты с. а р,,р2,р, — координаты b в выбранном базисе. Используя свойства линейных операций с векторами (§ 2 и 3), сумму а +Ь можно преобразовать следующим образом:
а+b ={а-1ё1 +а2ё2 +а,ё,) + (Р|ё1 +Р2ё2 +р,ё,) =
=(а, +р, )ё, +(а2 +р,)ё, +(а, +рз)ёэ,
что и требовалось доказать.^
Правило 6.2. При умножении вектора, заданного разложением в некотором базисе, на действительное число все его координаты умножаются на это число.
► Пусть, для определенности, дан вектор а из И3, (ё,, ё2, ё3) — базис в И3. Имеем:
а = а1ё1 +а1ё2 +«3ё3,
где а,,а2,а3 координаты а в выбранном базисе. Используя свойства линейных операций с векторами (§ 2 и 3), произведение Ха вектора а на число (можно преобразовать так:
Хё = Х(а|ё( +а2ё2 +а3ё3)=(Ха|)ё| +(Ха2)ё2 +(1а3)ё}, что и требовалось доказать.◄
§ 6. Базис и координаты вектора Прямоугольная декартова система координат 91
Свойство координат коллинеарных векторов. Соответственные координаты коллинеарных векторов в любом базисе пропорциональны.
►Действительно, пусть заданы векторы а и b из Иэ, а также (ё1,ёг,ё3) — базис в К,, причем ё||6. Для лих векторов имеем разложения (6.4), (6.5). Согласно теореме 3.1 для а и b справедливо соотношение b = Ха, где '/ — некоторое действительное число. Используя правило 2 и единственность разложения вектора в данном базисе, получаем равенства р, = Ха,, Р2 = Ха,. Рз=Хаа, что и означает пропорциональность координат.-^
Поставленная в начале параграфа задача решена — линейные операции с векторами сведены к арифметическим операциям (сложению и умножению) над действительными числами.
4.	Прямоугольный базис. Прямоугольная декартова система координат. Особую роль в аналитической геометрии играет так называемый прямоугольный базис, в котором векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения: = i, ё}= j, ё3=к. Векторы i, J, к называются ортами прямоугольного базиса. С прямоугольным базисом связано понятие о прямоугольной декартовой системе координат.
Определение 6.5. Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называется совокупность некоторой точки О и прямоугольного базиса. Точка О называется началом координат', прямые Ох, Оу, Oz, проходящие через начало в на-
правлении ортов базиса, называются координатными осями — абсцисс, ординат и аппликат соответственно (рис. 6.1). Плоскости, проходящие через какие-либо две координатные оси, называются координатными плоскостями Оху, Oyz и Oxz. Прямоугольными координатами произвольной точки М пространства называются координаты ее радиуса-вектора ОМ в данном прямоугольном базисе (рис. 6.1). Их пишут в скобках после обозна-	Mw) х|	s' i/V	1 Рис. 6.1. Прямоугольный базис и прямоугольная декартова система координат
Глава 1-Линейные операции над векторами
чения точки, например. A/(x,y,z), при этом х называется абсциссой, у — ординатой, az — аппликатой точки М.
Выбранное определение прямоугольных координат точки
пространства устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками вещественных чисел (x,y,z).
Пример 6.2. Дана точка М{2, 3, 5). Найти координаты точек, симметричных М относительно: а) каждой из координатных плоскостей; б) каждой из координатных осей; в) начала
координат.
► Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат и изобразим точку М на чертеже (рис. 6.2)
а)	Точка симметрична точке М относительно плоскости х=0, М, (—2, 3, 5); точка М2 симметрична точке М относительно плоскости у=0, А/,(2, —3, 5); точка Л/3 симметрична точке М относительно плоскости z=0, Af3(2, 3, —5), рис. 6.2.
б)	Точка Л/4 симметрична точке М относительно оси Ох, МА(2, —3, —5); точка Л/5 симметрична точке М относительно оси
Рис. 6.2. К примеру 6.2
Оу, М5(—2, 3, —5); точка А/6 симметрична точке М относительно оси Oz, Мь(—2, —3, 5), рис. 6.2.
в) Точка М7 симметрична точке М относительно начала координат, М7(—2, —3, —5), рис. 6.2. ◄
Найдем зависимость между координатами вектора в прямоугольном базисе и координатами его начальной и конечной точек А и В. Пусть заданы точки A(xt ,yt ,z,) и B(x2,y},z2)-Очевидно. АВ—ОВ—ОА (рис. 6.3) Так как ОА = x,i +У] j +z,k
и OB=x2i +y,j +ztk, то в силу правила 6.1, рассмотренного
выше, имеем:
АВ = (х2 -х,)/ +(у2 -у, )j +(z2 -z, }k.
(6.6)
Таким образом, приходим к выводу:
для того чтобы получить координаты вектора в прямоугольном
базисе /, j, к, надо из прямоугольных координат конца этого
§ 7, Полярная система координат
93
вектора вычесть соответствующие прямоугольные координаты его начала.
Замечание 6.1. Координаты вектора в прямоугольном базисе часто пишут в скобках после обозначения вектора. Например,
АВ(л2 -х,, -у,, z2 -z,).
§7. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
Прямоугольная декартова система координат не является единственным способом установления взаимно однозначного соответствия между точками плоскости и упорядоченными парами вещественных чисел. Во многих сдачах более удобна так называемая полярная система координат.
При введении полярной системы координат на плоскости выбирают некоторую точку О, называемую полюсом, и исходящий из нее луч ОР с выбранным на нем масштабом, называемый полярной осью. Полярными координатами точки М называются полярный радиус г=|(?Л/| и полярный угол ф, определяемый как угол поворота полярной оси до совмещения с лучом ОМ (рис. 7.1). Для любой точки плоскости г>0. Полярный угол ф обычно измеряется в радианах и считается положительным, если поворот осуществлен в направлении против часовой стрелки, и отрицательным — в противоположном случае. Таким образом, определение полярного угла совпадает с определением угла в тригонометрии. Очевидно, любая пара вещественных чисел (г,ф) при условии г>0 определяет на плоскости единственную точку. Обратное утверждение неверно. Так, две различные пары (2, тг/4) и (2. 9.-/4) определяют на плоскости одну и ту же точку. Однако если условиться брать полярный
угол ф в границах —л<ф<п или 0<ф<2л (так называемое главное значение полярного угла), то тогда между точками плоскости (кроме полюса) и упорядоченными парами вещественных чисел (г,ф) устанавливается взаимно однозначное соответствие (при условии /•>0). В полюсе г=0, а ф — любое.
Рис. 7.1. Полярная система координат
94
Глава 1. Линейные операции над векторами
.3_____С	Пример 7.1. Дан правильный шести-
/	угольник, сторона которого равна а.
/	/ \ Приняв за полюс одну из его вершин,
/	/	\ а за полярную ось — сторону, через нее
/	/	проходящую (рис. 7.2), найти полярные
Ж /	координаты остальных пяти вершин.
\ / s' /	►>£ = ОЕ = а, <р£ = 0, Е(а, 0). Внут-
Is / £ ренние углы правильного шестиуголь-О Е ника равны 2п/3, поэтому в равнобед-Рис. 7.2. К примеру 7.1 ренном &ODE (рис. 7.2) OED = 2п/3, a DOE = тг/6. Итак. <pD = л/6, a rD = OD найдем по теореме косинусов: OD2 =2ОЕ1	—
2O£2cos(2n/3) = 2а1—2а\—1/2)=За2, отсюда имеем: OD = a-j3, D{a-j3. тг/6).
гс = ОС = 2а, <рс = тг/З, С(2а, я/3);
rB = OB = OD = а-\[3, <рв = п/2, В(а-ч/3, п/2);
гл = ОА = а, (Рл = 2п/3, А(а, 2п/3).^
Для установления связи между полярными и прямоугольными координатами одной и гой же точки плоскости введем прямоугольную систему координат так: поместим ее начало в полюс О, а ось Ох направим вдоль полярной оси ОР (рис. 7.3). Определения тригонометрических функций синус и косинус приводят к следующим соотношениям:
bc=rcos<p. |у = rsin<p
(7.1)

По формулам (7.1), выражающим прямоугольные координаты (х,у) точки М через ее полярные координаты (г,<р), можно осуществить переход от полярных к прямоугольным координатам.
Пример 7.2. Точки М и М2 заданы полярными координатами: М,(2, п/3), М2(^2, Зя/4). Найти их прямоугольные координаты.
Л/(х,у)
Рис. 7.3. К установлению связи между прямоугольными и полярными координатами точки плоскости
§ 7, Полярная система координат
95
► Пусть х,, у, и х2, у, — прямоугольные координаты данных точек и Мг. По формулам (7.1) имеем
,	"l1! О ' Л	К
х, =2cos = 2- — = 1, у. = 2-sin —=2-= <3,
1	3	2'	3	2
/а	.	/х . Зл I— -J2
х, = V2cos— = V2 —— = — 1, у, = v2 sin — = v2  — = 1;
2	4	( 2 J 2	4	2
Л/,(1, Д). ЛЛ(-1, !).-<
Разрешив равенства (7.1) относительно г и <р, получим формулы перехода от прямоугольных координат точки М к ее полярным координатам:
(7.2)
®ф=--
Угол (с помощью второго из равенств (7.2) определяют с учетом четверти, в которой находится данная точка или выбирают его значение так, чтобы sin<p имел тот же знак, что
и ордината у.
Пример 7.3. Точки
М,, М2, Му, Мл заданы их прямоугольными координатами: Л/,(Д, i), л/,(-1,Д). Л/,< 1,-1), Л/4(2,—2) (рис. 7.4). Найти их полярные координаты.
► Пусть г(, <р, — полярные координаты точки Л/,, i = 1, 2, 3, 4. Для rt и <р,, (=1, 2, 3, 4, из равенства (7.2) имеем:
г, = ^(Д)!+р =2, ®р, = iД»
Рис. 7.4. К примеру 7.3
=><р, = л /6;
г?=	*)2+(^3) =2, Г£<р}=-л/3 => <р2=2л/3;
G=V(-02+l2 =Л, ®ф3=1 => фз=5л/4;
56 Глава 1. Линейные операции над векторами
rt=^22 +(-2)2 =2-72, (gq>4=-l => (р„=7тг/4, значения полярных углов данных точек выбраны с учетом четвертей, в которых они находятся. Итак, М, (2, л/б), М,(2,2л/3), ЛА(72,5я/4), Л/4(2-^,7л/4)-<
§ 8. ЗАДАЧА О ДЕЛЕНИИ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ
Пусть на некоторой прямой / заданы две различные точки А, В и некоторое положительное число X. Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат Oxyz. В предположении, что известны координаты хл, ул, zA и хв, ув, точек А и В, требуется найти координаты точки С из отрезка [Лй] такой, что выполняется равенство: \АС/]СВ=к (рис. 8.1, 8.2).
I 4	< ?
Рис. 8.1. Задача о делении отрезка в данном отношении.
Случай X > О (X = 2)
L 4 f
Рис. 8.1. Задача о делении отрезка в данном отношении.
Случай X < О (X = —2)
Для векторов АС и СВ справедливо соотношение
АС = У СВ.	(8.1)
Число X называется отношением, в котором точка С делит отрезок [АВ[.
Так как АС=(хс -хл,ус -yA,zc ~zA ). СВ=(хв -хс,ув -ус. zB~ze). то, переходя в (8.1) к координатам, имеем:
\ ~ХА = ^(хв ~хс), ус -ул = X(yfi -ус), zc ~zA = >4zB -zc).
Определяя из этих соотношении лс, yr, zc, приходим к равенствам:
хя +Лхв Уя+*Ув ZA+XzB
х‘ = i н ’ >' = lt-, ’	= i н z (8-2)
Замечание 8.1. В случае, если точка С делит отрезок [АВ] пополам, то Х=1 и формулы (8.2) принимают вид
§ 8. Задача о делении отрезка в данном отношении 97
Замечание 8.2. Формулы (8.2) остаются справедливыми и тогда, когда точка С не принадлежит отрезку Число к
|Ж?]
определяется из равенства: к --- (векторы Ж’ и СВ проти-
|И|
вонаправлены, рис. 8.2), при данной постановке задачи к отрицательна. И в этом случае (называется отношением, в котором точка С делит отрезок [>1В|, хотя здесь она не принадлежит этому отрезку. Заметим, что в принятой постановке задачи £#0, к*—\.
Пример 8.1. Даны вершины треугольника: У1(хг, ,z,), B(x2,y2,z2), C(x3,y,,Zj). Найти координаты точки пересечения его медиан.
► Пусть точки К и М — середины	£
сторон АС и ВС данного треугольника,	//у
тогда ВК и AM — его медианы, а £ —	/ / Л
точка их пересечения (рис. 8.3). Из /
KL 1 ХХТ \
планиметрии известно, что — = —. Ко-	/	\
LB 2	л^-Н-—+—Н—V
ординаты точки К найдем по форму-
лам (8.2):	Рис- 8-3, к пРиме₽У 81
а координаты точки £ — по формулам (8.1). приняв £ = 1/2. Для xL, например, имеем
Х.+-Ц *' Д’ .
х _ * 2	_	2	2	+*2 +-S
1	1+1/2	3/2	3
Проведя аналогичные вычисления для у, и <д, получим равенства:
Пример 8.2. Даны две смежные вершины параллелограмма ABCD: Д1, 3, —3), Д(2, —5, 5) и точка M(l, 1, I) пересечения его диагоналей. Найти координаты остальных вершин.
Глава 1. Линейные операции над векторами
Рис. 8.4. К примеру 8.2
► Пусть	D
Точка М — середина отрезков АС и BD (рис. 8.4) Запишем формулы (8.2) для координат точки С:
где А = -—-=—2, и подставим в эти формулы координаты то-|СМ|
чек А, М и число А:
1-2-1	3-2-1	-3-2-1 е
=	л	=5
Координаты точки D можно найти аналогичным образом. Имеем: С(1, —1, 5), £>(0, 7, —3).-<
§ 1. Проекция вектора на ось и ее свойства
99
Глава 2
ОПЕРАЦИИ УМНОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ
§ 1. ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ И ЕЕ СВОЙСТВА
Определение 1.1. Проекцией точки Р на ось называется основание Q перпендикуляра, опушенною из точки Р на прямую (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Проекция точки на Рис. 1.2. Понятие компоненты вектора ось	вдоль оси
Определение 1.2. Компонентой любого вектора АВ вдоль оси / называется вектор AtBt, где At, В: — проекции точек А и В на ось I (рис. 1.2).
Пусть ё — орт оси (рис. 1.2), тогда
Л, = ±] Л, ДI ё-	(1.1)
Определение 1.3. Проекцией вектора АВ на ось I называется длина его компоненты At Bt, взятая со знаком «+», если компонента сонаправлена с/, и со знаком «—», если компонента и ось / противонаправлены.
Обозначение: пр Л В или пр а.
Из определения 1.3 и соотношения (1.1) следует равенство
Л( Bt =пр АВ-ё.
(1.2)
Определение 1.4. Углом между двумя ненулевыми векторами а и Ь, приведенными к общему началу, называется наимень
100 Глава 2. Операции умножения векторов
ший угол, на который надо повернуть один из этих векторов так, чтобы его направление совпало с направлением второго
вектора. Обозначение:
Угол между векторами не является направленным углом (он не зависит от направления поворота) и принимает любое значение между 0 и п: 0<(й,й)<л.
Свойства проекций векторов
1.	пр а есть координата на оси / компоненты вектора а на этой оси;
2.	проекции вектора а на оси прямоугольной декартовой системы координат являются координатами а в прямоугольном базисе (i,j,k), определяюшем эту систему;
3.	пр (й+/>) = пр й+пр Ь:
4.	пр-(Хй)=Х-пр а;
5.	пр^-й =|a|cos(a,Z>), й#0.
Замечание 1.1. Свойства 3—4 называются линейными свойствами проекций.
► 1. Данное утверждение следует из равенства 1.2 и понятия координаты вектора на оси, введенного в § 6 гл. 1 (ср. (1.2) с формулой (6.1) из упомянутой главы).
2.	Начало вектора а поместим в начале декартовой прямоугольной системы координат. Обозначим через А конец вектора а. через В — основание перпендикуляра, опушенного из точки А на плоскость Оху, а через С, D, Е — проекции точки В на оси Ох, Оу, Oz (рис. 1.3),
а = ОВ+ ВА = OC+OD+ ВА, (1.3) где. как легко видеть. ОС. OD. ВА = ОЕ являются компонентами вектора а вдоль осей координат. Согласно (1.2) имеем:
ОС = (пр. a)i, OD = (пр. й)j,
ВА = (пр -а)к.
ординат
Рис. 1.3. Разложение вектора ОЛ по компонентам вдоль осей ко-
§ 1. Проекция вектора на ось и ее свойства 101
Подставляя эти равенства в равенство (1.3k приходим к соотношению:
й = (пр a)i +(npya)j+(пр<й)А.
(1.4)
Равенство (1.4) есть разложение вектора а в прямоугольном базисе, поэтому пр.д=х, пр а=у, пр a = z — координаты а в этом базисе, что и требовалось доказать.
3,	4. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат, один из базисных векторов которой совпадает с ортом оси I. Тогда пр (й+6) или пр (Ха) является, согласно свойству
2, одной из декартовых координат вектора а+b или Ха. Свойства 3 и 4 теперь следуют из правил 1 и 2 действий с векторами, заданными разложениями в некотором базисе (см. § 6 гл. 1).
5. Угол <р между векторами а и b удовлетворяет условию:
0£(p=(o,Z>)< л.
Рассмотрим два случая: угол ср — острый или тупой (рис.
„	|ЛЯ| пр а
1.4,	1.5). В первом из них cos<p=;--------------=	. г. е.
|Л«|	'!
МД1 прЛ
npt а = | й| cos(a, b ). Во втором cos а =----= —j——.
и-ч
nptа = —|ajcoso =—| c|cos(п—«р) = | о|cos<р = | a|cos(a, b).◄
г. е.
Рис. 1.4. Иллюстрация к доказательству св. 5 проекции вектора а на направление вектора Ь. Случай
0<<р=(в,
Рис. 1.4. Иллюстрация к доказательству св. 5 проекции вектора а на направление вектора Ь.
Случай —<«р=(л, Ь)<п
102 Глава 2. Операции умножения векторов
Пример 1.1. Дан вектор а = АВ, где >4(1, —1, 0), В(— 1, 2, 3). Найти его проекции на оси прямоугольной декартовой системы координат.
► По свойству 2 проекции а на оси координат — это его координаты в базисе В силу формулы (6.6) гл. 1 име-
ем а = AB =—2i + 3J +3к, отсюда пр<Лй = —2, пр£А,л=3, про.й = 3. ◄
§ 2.	СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Определение 2.1. Скалярным произведением двух векторов а и b называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.
Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол между ними не определен (т. е. может принимать любое значение между 0 и л). Однако косинус этого утла ограничен, и в соответствии с определением 2.1 скалярное произведение таких векторов существует и равно 0.
Скалярное произведение двух векторов а и b принято обозначать так: a-b. ab иногда (а.Ь). Таким образом, по определению	,—
a-b = |fl||Z»|cos(c,/>),
где (а.Л) — угол между векторами а и Ь.
Скалярное произведение применяется в физике при вычислении работы А, затрачиваемой при прямолинейном движении материальной точки из положения Pt в положение Рг в поле действия силы F,
A = F-PJV	(2.1)
Свойства скалярного произведения
1.	a-b=b-a\
2.	а-b = |«|-првй = |6|-пр4л:
3.	а-(р +с)=а-Ь +а-с;
4.	a-{kb)=~k(a b),
5.	л-ё = |д|2;
6.	a-b =0<*aS-b
Замечание 2.1. Свойства 3—4 называются линейными свойствами скалярного произведения.
§ 2. Скалярное произведение двух векторов 103
► 1. Данное равенство является следствием определения 2.1 и свойства угла между векторами: (a,b)=(b,a).
2.	Данное утверждение следует из определения 2.1 и свойства 5 проекции вектора а на направление вектора b (§1). Де йствительно,
а-b =|д||/>|со5(я.2>)=|о|пргА. a-b =|Z>|-|a|cos(a.A)=|/»|npta.
3.	Доказываемое равенство очевидно, если хотя бы один из векторов а, Ь, с нулевой. Пусть теперь а * 0, b з* 0, с ?* 0. Тогда по доказанному свойству 2 и свойству 3 проекции суммы векторов имеем:
о-(й+с) = |й|-пра(*+с)=|5|-(пряй+пряс) =
= |о|-пряb +|5|-пряс = а b +ас.
4.	Данное соотношение очевидно в случае, когда хотя бы один из векторов а_ и b нулевой, или 1=0. Предполагая теперь, что b 9*0 и 7.9*0, в силу выше доказанного свойства 2 и свойства 4 проекции вектора а на направление вектора Л, имеем:
й-(Хй) = |о|-пря(ХЛ)=Х-|й|-пря* = Х-(л-й).
5.	В случае а * 0 доказываемое равенство следует из определения 2.1, так как тогда (3^S)=0 и cos(a,a) = l. Если же а—(), то |а|2 = 0 и о-о = 0. Таким образом, и в этом случае а-а= |ор.
6.	Предположим сначала, что а & 0 и b 9* 0. Утверждение а-Ь—0, согласно определению 2.1, эквивалентно утверждению
соз(с,й)=0 или утверждению а Л.Ь, гак как в этом случае уюл (а,Ь) = п/2. Если же хотя бы один из этих векторов нулевой, то а-Ь=0, а нуль-вектор можно считать перпендикулярным любому вектору, в том числе и нулевому. ◄
Пусть векторы ё и b заданы разложениями в прямоугольном базисе i, j, к:
а = а i +а i +а к,
yj .	(2.2)
b=bj +byj+bzk.
104 Глава 2. Операции умножения векторов
Тогда
a-b = (aj +ayj +a.k)-(b,i +brj + b,k).
Раскрывая скобки в правой части этого равенства, учитывая линейные свойства 3 и 4 скалярного_ произведения и принимая во внимание, что i-i = j-j =k-k=\. a i • j = j-i =i -k = = k-i = jk=k-j =0. получим:
a-b =axbx +at.bt. +a.b..	(2.3)
В частном случае, при a = b, имеем д-а = |о|2 =о’ +а* т. е.
|а|=^с’ +а2 +а2.	(2.4)
Равенство (2.4) дает выражение для длины вектора а через его координаты. В частности, если а = АВ, A(xt ,yt ,zt), В(х2
и, следовательно. a = AB=(x,—xl)i + (у2 — у,)j + (z, — z,)к (см. (6.6). гл. I). то
|Я|=|= Vu, -х,)! +(у, -у,)! I (г, -г,)!.	(2.5)
С помощью соотношения (2.5) вычисляется расстояние между точками А и В по известным прямоугольным координатам этих точек.
Из определения 2.1 с учетом (2.3) и (2.4) следует формула для косинуса угла между данными векторами:
_ - а-b охЬх Уа^Ь^ +а.Ь.
cos(a,/>) = —= -=—	-	=.	(2.6)
|а||6| ^а;+а2+а2-^Ьх +Ь2+Ь2
Полагая в (2.6) поочередно b = i,b=j,b = k, приходим к формулам для так называемых направляющих косинусов вектора а, под которыми понимают косинусы углов, образованных а с векторами прямоугольного базиса i, j, к или, что то же самое, с осями прямоугольной системы координат:
- а-i а - aj а
СО5(О,/) = —y- = -i, COS(O,/)=—^- = ;
Idl'l И 141/1 l°l р.7)
- a-к о cos(a, к ) =-— =—,
|o|U| |о|
§ 2. Скалярное произведение двух векторов
105
cos2 (a, i)+cos2 (й, у) + cos2 (й, к ) = 1.
Направляющие косинусы вектора а — это координаты его 1 _
орта а0 =
|о|
Из равенств (2.7) следует, что по знаку координаты вектора а можно судить о том, какой угол — острый или тупой — образует этот вектор с данной осью координат. В самом деле, в силу этих равенств знак координаты вектора а по данной
оси координат совпадает со знаком косинуса рассматриваемого угла. Таким образом, если координата по данной оси отрицательна, то этот угол тупой, а если положительна, то острый.
Наконец, для проекции вектора й, заданного первым из разложений (2.2), на ось / с ортом ё справедливо равенство
пр а =а-е = ах cosa +at cos р+л. cosy, где cosa, cosp, cosy — направляющие косинусы вектора ё.
Пример 2.1. Точки >4(1,—1,0),	&
5(3,—3,1), С(2,1,2) — вершины тре-
угольника. Найти его внутренний
угол при вершине В.	У' \
►Угол треугольника АВС при вер- s'	\
шине В образован векторами ВА и
ВС (рис. 2.1). Найдем их координаты. Рис. 2.1. К примеру 2.1 вычитая из координат их концов ко-
ординаты начала (формула (6.4), гл. 1): ВА—(— 2,2,— 1),
ВС=(—1,4,1), а их длины по формуле (2.4):
IВЛ\ = V(-2)' +2! +(-!)= = 3, |*1 = д/(-1)2 +4! +г = 3 Д.
Для cos В в силу (2.6) имеем равенство
cos в =	= (~2)(-1)4-24+(-1)-1 = 1
|ВЛ||ЛС1	3‘3'2
откуда заключаем, что 5=л/4.<
Пример 2.2. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах й и Ь, если a = 3p+2q, b — 2~p—qx |р| = 4, |?|=3, (Д$)=2я/3.
106 Глава 2. Операции умножения векторов
_	ta	►Длины диагоналей параллелограм-
ма равны |ё+6|, |а— 6| (рис. 2.2), \	a+b=5p+q, a — b=p+3q. Имеем:
\ /S'S>s4s. \ |о+6 | = д/(с+А)2 (свойство 5) или l\L—fl+oX jа + h11 = -J(5p+q)2 =^25p2 +10/j$ +$2.
Рис. 2.2. К примеру 2.2 ПОСКОЛЬКУ	pq = |p||?|cos(p,4) =
4-3-cos(2ir/3)=—6,
p2 — |p| = 16, q2 =|4p = 9, to |o + 6| = 725-16—60+9 — = 7349. Аналогично,
^(a-b)i=^(p+3q)2=^p2 +6pq +9<?2 =716-36+9-9 = Тб !.◄
Пример 2.3. Найти работу, совершаемую при прямолинейном движении материальной точки из положения 7^(1,—1,3) в положение Рг(2, — 1.1) в поле действия силы F = (— 2. 3. —5).
►Согласно (2.1) для работы А имеем равенство: А = F- Pt Р,. Поскольку
руг = (1,0,—2), то А = (-2)-1+3-0+ (-5)(-2) = 8 (ед. энергии).◄
§3. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Определение 3.1. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов а, Ь, с, приведенных к общему началу, называется правоориентированной или правой_ (соответственно левой), если поворот от вектора а к вектору Ь на наименьший угол виден из конца вектора с происходящим против (по) часовой стрелке (рис. 3.1, 3.2).
/ * ис. 3.1. Тройка векторов а,Ь,с — правая	/ & 	 Рис. 3.2. Тройка векторов й,Ь,с — левая
§ 3. Векторное произведение двух векторов 107
Замечание 3.1. Угол <р поворота от а к Ь в этом определении, очевидно, равен по величине углу между векторами а и Ь, у = (a,b), и поэтому 0<<р<я. Он не может быть равным О или я, так как а, Ь, с — некомпланарные векторы и, следовательно, а, b — неколлинеарные векторы.
Замечание 3.2. В соответствии с ориентацией ортов декартовой прямоугольной системы координат, последняя называется правой или левой. В дальнейшем, если не оговорено противное, используется правая система координат.
Определение 3.2. Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, удовлетворяюший следующим трем условиям:
1.	| с|=|а||b\sin(c,/>);
2.	вектор с перпендикулярен векторам а и й;
3.	векторы а, Ь, с образуют правую тройку.
Замечание 3.3. Если векторы а и Ь
коллинеарны или хотя бы один из	А ях/>=2£
них нулевой, то их векторное произ-	Г
ведение с считается равным нуль-век-
тору. В самом деле, тогда |с|=0, так
как либо sin(r??/>)=0. либо | а|=0. либо	k
Й=а
Для векторного произведения век-	Д—
торов а и b принято обозначение:	—— %..
а*Ь, иногда [с, 6].	У Ч /
Пример 3.1. _ Даны векторы -	/
a = i+j, b = -i+j, где i,j — орты прямоугольного базиса. Найти век- ₽ис" 3'3‘ к п₽имеР> 3-* торное произведение а~х.Ь и изобразить его на чертеже
►Рассмотрим прямоугольный базис (i ,j,k) и построим векторы а и А(рис. 3.3). Так как (о,А) = п/2 и |й|=|й|=-у/2, то |йхА|= |o||6|sin(^£»)=2. Вектор к перпендикулярен векторам а и Ь, а тройка а, Ь. к — правая (рис. 3.3). Поэтому векторы а*Ь и к коллинеарны и сонаправлены, и
i*i
Глава 2. Операции умножения векторов
Рис. 3.4. К понятию момента силы F относительно точки О
Векторное произведение применяют, например, в физике для вычисления момента М силы F относительно точки О, который по определению равен rxF. где г — радиус-вектор точки Р — точки приложения силы F, отложенный от точки О (рис^ 3.4). Итак,
M=rxF.	(3.1)
Свойства векторного произведения
1.	Модуль_ векторного произведения двух неколлинеарных векторов аиЬ численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах.
2.	Векторное произведение ненулевых векторов а и b равно нуль-вектору тогда и только тогда, когда его сомножители коллинеарны (линейно зависимы).
Следствие: йха = 0 для любого вектора а.
3.	a xb= —Ьха (антикоммутативность)
4.	(ka)xb = Ъ.(ахЬ).
5.	ax(b +c) = axb +ахс (дистрибутивность).
► 1. Из планиметрии известно, что площадь параллелограмма S’ равна произведению длин его смежных сторон на синус угла между ними. Поэтому из определения 3.2 п. 1 имеем |cxA|=|o||Z>|sin(£j>)= S
2.	Из равенства сх/>=0 следует коллинеарность этих векторов. Действительно, предположив, что «и ь неколлинеарны, из определения 3.2 п. I получаем дх/>?*0, поскольку в этом
случае sin(c^)7^0, |а|^0, |6|^0. Если векторы а и b коллине-
арны, го (4<Л)=0 или п, поэтому sin(c-,~6)=0. В каждом из этих случаев имеем охА=0
3.	Доказываемое равенство очевидно, если а и b коллинеарны или один из них нулевой. Далее предполагаем, что а и b — неколлинеарные и, следовательно, ненулевые векторы. Длины векторов axb и Ь ха равны в силу первого условия из
определения 3.2, так как	Они коллинеарны, по-
скольку перпендикулярны одной и той же паре неколлинеарных векторов. Остается показать, что они противонаправлены. В самом деле, тройки векторов Z>, о, Ьха и a, b, axb — обе
§ 3. Векторное произведение двух векторов 109
правые по определению 3.2, а тройка векторов b, a, axb — левая (рис. 3.5). Поэтому axb и Ьха противонаправлен
4.	Доказываемое соотношение очевидно, если векторы а
b. а. b х а — правая тройка
а, Ь. а* Ь — правая тройка
Ь, а. а* Ь — левая тройка
Рис. 3.5. Иллюстрация к доказательству свойства 3 — свойства антикоммутативности векторного произведения
и Ь коллинеарны, либо один из них нулевой, либо А = 0. Для неколлинеарных (и, следовательно,_ ненулевых) векторов а и b и 1^0 покажем, что вектор А(йхй) является векторным произведением векторов Ай и Ь. Имеем:
| А (а х b )|=| А |-| а х Ь\=| А || й|| й| sin(«^)=| АЙ|| й| sinfcAM
Углы (а^Ь) и (Ай^) либо совпадают (при А>0, рис. 3.6), либо в сумме равны ((при А<0, рис. 3.6), отсюда sin(o^) = sin(AoJ6). Окончательно получаем |А(йхА)|=| Ай|-|6|8ш(Ай^)= =|(Ай)х6|. Условие I из определения 3.2 выполнено.

Случай >. <0
Рис. 3.6. Связь между углами (а,Ь) и (ка,Ь)
110 Глава 2. Операции умножения векторов
Условие 2 также выполнено, ибо вектор Х(«хй) перпендикулярен векторам а и Ь, поэтому перпендикулярен и векторам Хй и Ь. Наконец, векгоры Ха, b и при любом Х*0 образуют правую тройку (рис. 3.7).◄
Свойство 5 будет доказано в § 4 настоящей главы.
‘ Х(« > b )
a v b
Случай X > 0
Рис. 3.7. Иллюстрация к доказательству свойства 4 векторного произведения
Х(о х Ь)
Случай X <0
Пример 3.2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
a—lp—q и й = р + 3£, если |р|=2, |?|=3, а (р,<?)=л/6. ► Искомая площадь 5’=|ахЛ| (свойство 1), axb = (2р—q}x х(р+3д). Используем свойство 5: а хb = (2р)х р—q х р +(2р)х х(3^)—q х(3£). По следствию из свойства 2: (2р)хр= = qx(3q) = 0, а по свойству 4: (2р)х(3^) = 6(рх^). В результате получаем равенство axb — —qxp+6(pxq). Поменяем местами сомножители в первом слагаемом в правой части (3.2). В силу свойства 3 это слагаемое изменяет знак. После приведения подобных членов приходим к соотношению axb —7{pxq). Теперь имеем
5’ = |7(pXfl)]=7|pX^|=7]^||^|sin(p,fl)=7-2-3-l/2 = 2l (кв. ед.).-<
§ 4. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ
Пусть дана тройка векторов а, Ь, с. Так как axb есть вектор, то можно рассматривать скалярное произведение этого вектора на вектор с.
Определение 4.1. Скалярное произведение (охй)-ё вектора a xb на вектор с называется смешанным произведением векторов а, Ь, с.
§ 4. Смешанное произведение трех векторов 111
Очевидно, смешанное произведение (ох/>)-с есть число.
Свойства смешанного произведения
1.	Смешанное произведение (ахА)-с трех некомпланарных векторов а,Ь,с по модулю равно объему V параллелепипеда, построенного на данных векторах, как на ребрах.
2.	Тройка векторов а.Ь.с является компланарной тогда и только тогда, когда их смешанное произведение (ахй)-с равно нулю.
3.	Тройка некомпланарных векторов а, Ь, с является правой (левой) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение (axb'pc положительно (отрицательно).
4.	Смешанное произведение векторов а,Ь,с не изменяется при циклической перестановке сомножителей, т. е. справедливы равенства
(ax.byc = (bxc)-a = (cxa)‘b,	(4.1)
(йХЛ)-ё=с-(схЛ)=й-(й хс)=А-(сХй).	(4.2)
Замечание 4.1. Равенство (схЛ)-с =ё-(6 хс) из (4.2) позволяет обозначать смешанное произведение векторов а. Ь. с в виде abc, не указывая при этом, какая пара из них перемножается векторно.
► 1. Воспользуемся свойством 2 скалярного произведения (см. § 2). Имеем:
(ax.b)‘c=\ax.b\np.xlic.	(4.3)
Из свойства 1 проекций вектора на ось (§ 1) следует, что |пр с| есть длина компоненты с вдоль вектора axb. Эта длина, очевидно, равна высоте h параллелепипеда, построенного на данных векторах а,Ь,с (рис. 4.1). Так как |<а х/>| геометрически трактуется как площадь 5 параллелограмма, являющегося основанием данного
Рис. 4.1. Иллюстрация к доказательству свойства I смешанного произведения
112 Глава 2. Операции умножения векторов
параллелепипеда, то из (4.3) получаем:
| (а х b )• ё|=| а х £|-| пргх£с|= Sh = V,
что и требовалось доказать.
2.	Покажем, что из равенства (axb)-c =0 следует компланарность а,Ь,с. В самом деле, предположив противное, в силу свойства 1 получим, что ЦахА)-ё| равен отличному от нуля объему параллелепипеда, построенного на этих векторах и поэтому (ох А)-с* О, что противоречит принятому равенству. Следовательно, остается принять, что векторы а,Ь,с компланарны.
Предположим теперь, что векторы а,Ь,с компланарны, и покажем, что (ох£)-с = 0. Это равенство очевидно, если хотя бы один из этих векторов нулевой. В противном случае вектор axb перпендикулярен вектору с и, следовательно, (axb)-c = 0 по свойству 6 скалярного произведения (см. § 2).
3.	В силу равенства (4.3) знак смешанного произведения векторов а.Ь.ё совпадает со знаком пр с. Из свойства 5 проекций вектора на ось следует, что пр -с положительна тогда и только тогда, когда угол между векторами с и axb острый, т.е. когда векторы с и axb направлены в одно и то же полупространство относительно плоскости, определяемой векторами а и или, что то же самое, когда тройки а,Ь,с и а, Ь, axb одинаково ориентированы. Поскольку вторая из них по определению правая, то заключаем, что (axbYc положительно тогда и только тогда, когда тройка векторов а.Ь,с— правая. Аналогично обосновывается вторая часть свойства 2 для левой тройки векторов.
4.	Для компланарных векторов а,Ь,с доказываемые равенства очевидны, ибо тогда все смешанные произведения в равенствах (4.1) и (4.2) равны нулю. В случае, когда эти векторы некомпланарны, заметим, что, во-первых, все смешанные произведения в (4.1) по модулю равны объему одного и того же параллелепипеда, построенного на данных векторах Во-вторых, в силу свойства 3, их знаки одинаковы, поскольку тройки (а, Ь. с), (Ь, с. о) и (с. а. 6) ориентированы одинаково (см. рис. 4.1). Таким образом, все смешанные произведения
§ 4 Смешанное произведение трех векторов 113
в (4.1) равны. Равенства (4.2) получаются из (4.1) после применения коммутативного свойства скалярного произведения.-^
И в заключение докажем свойство 5 векторного произведения:
ах(й+с)=ахА+дхс.	(4.4)
► Если хотя бы один из векторов а,Ь,с нулевой, то это равенство очевидно. Далее предполагаем, что эти векторы ненулевые. Возьмем произвольный вектор q и рассмотрим смешанное произведение (йх(Нс))-£, которое преобразуем, поочередно применяя свойство 4 смешанного произведения и дистрибутивное свойство скалярного произведения (свойство 3. § 2):
(аХ(/> +с))$ = (qxii)-(b +c)=(qXa)-b +(qxa)-c =
= (axb)-q+(axc)‘q = (axb +axc)q.
Таким образом, приходим к равенству (ax(b +c))-q = = (axb +axc)-q, или
fax(b +c)—(axb +axc))-q = 0,	(4.5)
справедливому для произвольного вектора q. Из (4.5) получаем:
аХ(Ь+с)—(ахй+ахс)=б.	(4.6)
Действительно, предположение ах(Ь+с)—axb +ахс ^0 приводит, в силу свойства 6 скалярного произведения (§ 2) и равенства (4.5), к выводу, что этот ненулевой вектор перпендикулярен произвольному вектору q, что невозможно. Итак, из (4.6) следует доказываемое равенство (4.4).◄
Пример 4.1. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с, как на ребрах, если |а|=2, |£| = 3, |ё|=3, (а.Ь) = п/4. с Да. с±Ь.
►Обозначим объем данного параллелепипеда через Кпар, Кпар =|айс| (свойство 1). Векторы axb и с коллинеарны, так как каждый из них перпендикулярен векторам а и Ь; кроме того, |а xZ>| = 2-3sin(n/4)=3-\/2.
114
Глава 2. Операции умножения векторов
„	_ loxil . ЗД .
Поэтому охв = ±-----с = ±----с
|с|	_3
х4)-г = (±Дг,г) = ±Дс! = ±9Л и
= ±*j2c. Тогда abc = (а х КП„=|±9Д|=9Д (куб.
ед.). ◄
§5. ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ, ЗАДАННЫХ РАЗЛОЖЕНИЯМИ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ БАЗИСЕ
Пусть векторы а,Ь,с заданы разложениями ь прямоугольном базисе (i, /, к):
a = axi +ayj +а.к, b = bj+bj+b.k, c=cxi +cyj +сгк.
Найдем выражения для axb и abс через координаты сомножителей. Имеем:
axb=(aj +ayj +a.k)x(bxi +bvj +hjc).
С помощью свойств 4 и 5 векторного^ произведения (см. § 3) и с учетом равенств i xi = ух_/=ЛхЛ=О последнее соотношение преобразуется так:
axb =atby(i xj)+axbz(i xk)+ajbx(J xi) + +ayb. (]хк)+а.Ьх(кХ1)+а.Ьу(к x j).
В силу свойства 3 векторною произведения (см. § 3), в правой части последнего равенства заменим jxi на —ixj, kxj на —jxk и к xi на —ixk После перегруппировки слагаемых получим:
a xb = (axbv —aybx)(i х j)+(axb. —a.bx)(i xk) + +(a)bz —azby)(j xk).
Векторы i,j,k попарно перпендикулярны, тройки (i,j,к), (j,k,i) и (i,k,—j) — правые (рис. 5.1, 5.2, 5.3) и |i X/| = l=|£|,
§ 5. Векторное и смешанное произведения векторов в прямоугольном базисе
115
Рис. 5.1. Тройка векторов	— пра-
Рис. 5.2. Тройка векторов (.j,k,i) — пра-

1
-1 3	J
у	~
t/
Рис. 5.3. Тройка векторов (/,Л, —/) —
правая
| j x£|=l=|i|, |/ хА|= 1 =|—Поэтому верны равенства i У j = к, jy.k=i, iy.k = ~j, с учетом которых соотношение (5.1) переписывается в виде:
аУЬ = (ауЬ, — a.by)i —(aj). —a.bx)j	— aybx)k.	(5.2)
Умножим теперь обе части (5.2) скалярно на вектор с:
abc —{а Ьг —а.Ьу)сх ~(а>Ьг —агЬх )су +(ахЬу —ауЬх)с,. (5.3)
Записывая разности в круглых скобках в формулах (5.2) — (5.3) как определители второго порядка, получаем:
Для компактной записи йхй введем формальный определитель 3-го порядка, первая строка которого состоит не из чисел, а из векторов i, j, к. По аналогии со свойством 7 определителя 3-го порядка (или теоремой о разложении определителя по элементам строки, разд. 1 гл. 1 § 2), по определению примем:
116 Глава 2. Операции умножения векторов
axb =
i j к a, as аг bx by Ь.
(5-5)
Правую часть равенства (5.4) можно рассматривать как разложение по элементам третьей строки некоторого определителя, а именно:
Итак, для вычисления смешанного произведения abc получаем равенство:
ах а> az
Ь* bZ
(5.6)
Пример 5.1. Сила F = 3i—2j+k приложена в точке Р(1, 1, 2). Найти момент этой силы относительно точки е<2, -1,2).
►	Пусть М — искомый момент. По формуле (3.1) M = QPx.F. Так как QP=(—1,2,0), то
Пример 5.2. Доказать, что векторы а, Ь, с компланарны, если а = 2/ — 3j +к, b = i + j — 2к и с = 31 —2j —к.
►	Вычислим смешанное произведение abc по формуле
(5.6):
2 -3	1
I 1 -2
3 -2 -1
§ 5. Векторное и смешанное произведения векторов в прямоугольном базисе 117
В
Рис. 5.1. К примеру 5.3
abc=0 и, следовательно, векторы а,Ь,с — компланарны. ◄
Пример 5.3. Дан тетраэдр, вершинами которого являются точки Д11, 2), В(2, I, 2), C(l, I, 4), Р(6, —3, 8). Найти объем тетраэдра V и длину высоты h, опушенной из вершины D на грань АВС.
► Рассмотрим векторы:
АВ= (1,2,0), АС=(0,2,2),
ЛЛ=(5,-2.6).
Они служат ребрами тетраэдра ABCD и одновременно ребрами параллелепипеда с основанием АВ ЕС (рис. 5.1). Очевидно, тетраэдр и параллелепипед имеют одну и ту же высоту Л, при этом объем тетраэдра Ит составляет одну шестую часть объема параллелепипеда . Действительно,
5	л\2	) о
„ _ _	_	у
Так как Уп =|А8 АСАЕЦ, SABEC =\АВхАС], h = —^— = ^АВЕС
\ABACAD\
= --------\ то здесь более рационально сначала вычислить
\АВхАС\
АВхАС:
J к
2 О
АВхАС= 1
0 2 2
“Н “H’lo 2|=4^27+2‘ ТОГДа
АВ ACAD= (АВхАС) AD=(4i -2j +2k)(5i-2j +f>k)=
= 36=>Vn =36 и ^=±-36 = 6,
118
Глава 2. Операции умножения векторов
= Д’ + (—2)’ +21 = V24 = 1Л, Л = “ = 37б.-«
§6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
Поскольку выбор прямоугольной системы координат произволен, то принципиальное значение имеет задача отыскания формул, осуществляющих переход от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой. Эту задачу можно решить с помощью скалярного произведения.
Рассмотрим на плоскости две прямоугольные декартовы системы координат: старую О, i, j и новую О', i', j'. Обозначим координаты произвольной точки М плоскости в этих системах через х, у и х', у' соответственно, а координаты точки О’ в старой системе координат через я, b (рис 6.1). Имеем
ОМ = ОО'+О~М.	(6.1)
Заменим в (6.1) векторы ОМ и 00' на их разложения в старом базисе, а вектор О' М — на его разложение в новом базисе:
х । + yj =ai +bj + х' i' +у' j'.	(6.2)
Далее, умножив обе части равенства (6.2) скалярно на орты старой системы, приходим к соотношениям:
х(Г7)=я(7 7)+х-(Й-Г)+/(7-7),
yU j)=b(j 	' j)+y'(J' j),
или
х=о+х'Д';(‘ь/(?Д	(63)
у = b+x'(i '
так как (i =	Введем ориентированный как в триго-
нометрии угол а поворота вектора / до совмещения с вектором /' (рис. 6.1). Для векторов i',j’ в силу определений тригонометрических функций синус, косинус и формул приведения имеем следующие разложения по базису i,j:
§ 6. Преобразование грямсуольных координат на плоскости
119
м
Рис. 6.1. Старый и новый прямоугольные базисы на плоскости i '= i cosa + j sin a,
- ( n\ : . ( 711 ~	“
j = i cos! a I + j sin I a +y I = — i sina + j cosa.
Вычислим теперь скалярные произведения из правых частей равенств (6.3):
i'-i = cosa, j'i =—sina, i'-J = sina, j'-j =cosa.
От системы (6.3) приходим к следующим равенствам:
х = x'cosa—y'sina+o,	(64)
y = x'sina +j’'cosa+Z»
Система (6.4) — решение поставленной задачи, в ней старые координаты х, у произвольной точки М плоскости выражаются через ее новые координаты х', у'. Можно также получить формулы, выражающие новые координаты этой точки через старые. Во-первых, эти формулы можно получить, разрешая систему (6.4) относительно х', у. Во-вторых, они также получаются в результате последовательного умножения обеих частей равенства (6.2) скалярно на орты i', j' нового прямоугольного базиса. Имеем:
Рис. 6.2. Случай параллельного переноса
Глава 2. Операции умножения векторов х' = х cos а + у sin а—a cos а—b sin а, у'=—jcsinct +ycosa+t/sina—Acosa.
Если а=0, то получаем случай так называемого параллельного переноса (рис. 6.2) Равенства (6.4) принимают вид:
Л = х'+°-	(6.5)
у = у'+Ь.
Пример 6.1. Даны две точки Л/((1, —7) и Л/2(3, —3). Новая ось абсцисс проходит через точку Л/,, а новая ось ординат — через точку Л/2, при этом старые и новые оси сонаправлены. Написать формулы преобразования координат и найти новые координаты этих точек.
► В системе координат Оху построим точки Л/, и Л/2, затем через них проведем оси новой системы координат Ол/у (рис. 6.3). Старые абсциссы точек О и М2 совпадают, старые ординаты точек О и Л/, совпадают, поэтому (7(1, —3). Теперь, используя соотношения (6.5), напишем формулы преобразования координат:
х=х'+1,
у = у‘-з
Рис. 6.3. К примеру 6.1
Подставим в ли равенства поочередно старые координагы точек М, и М2. Для координат точки М, имеем систему: 3=х'+1,—3=У—3, из которой получаем x*=2, У=0, Л/,(2, 0). Для координат точки М2 имеем систему: 1 = х' + 1, — 7 = у'— 3, откуда следует: х* = 0, у'= —4, Л/2 (0, —4). ◄
§ 6. Преобразование прямоугольных координат на плоскости
121
Пример 6.2. Даны две точки Л/,(2,—1) и Л/,(5,3). Начало координат перенесено в точку Л/,, а оси координат повернуты так, что положительная часть новой оси абсцисс проходит через точку Л/2. Написать формулы преобразования координат и найти координаты точки Л/, в новой системе координат-
ору системе координат Оху построим точки М, и М2, за начало новой системы примем точку Л/| и построим оси новой системы координат согласно условию задачи (рис. 6.4). Система координат Л/|ХУ получена из системы координат Оху с помощью параллельного переноса старых осей в точку и последующего поворота на некоторый угол а. Координаты одних и тех же точек в этих системах связаны соотношениями (6.4), причем координаты нового начала известны: a=2,b=— 1, остается найти синус и косинус угла поворота, т. е. sin а и cosa. В прямоугольном треугольнике M{M2N найдем длины катетов MtN, Л/, Д' = 5 — 2 = 3, NM2 = 3 - ( 1)=4, Л/, М, = ^M,N! +NM' = -Ji’ + 4‘ = 5.
Теперь вычислим sin а и cosa:
NM2 sina =------
M, M2
4
—,cosa = 5
MtN _3
MtM2 5
Соотношения (6.4) в данном случае принимают вид:
ты точки Л/,, получим:
Подставим в эти равенства старые координа-
Из последней системы имеем: х* = 5, у' = ().◄
Контрольные вопросы и задачи к разделу 2
1.	Что такое вектор; его длина; орт вектора?
2.	Сформулируйте свойства операции сложения векторов.
3.	Докажите свойство 2 операции умножения вектора на
122 Глава 2. Операции умножения векторов
4.	Какие несколько векторов называются линейно зависимыми; линейно независимыми?
5.	Как геометрически располагаются пара или тройка векторов линейно зависимых векторов; линейно независимых векторов?
6.	Что такое базис некоторою множества векторов; координаты вектора в выбранном базисе?
7.	Сформулируйте правило сложения двух векторов, заданных разложениями в некотором базисе.
8.	Сформулируйте понятие прямоугольного базиса и прямоугольной декартовой системы координат.
9.	Какая задача называется задачей о делении отрезка в данном отношении?
10.	Что такое компонента вектора вдоль некоторой оси?
11.	Сформулируйте свойства проекции вектора на ось.
12.	Что такое скалярное произведение двух векторов? Перечислите свойства скалярного произведения.
13.	Выведите формулу для вычисления скалярного произведения векторов, заданных разложениями в прямоугольном базисе.
14.	Что такое направляющие косинусы вектора?
15.	Дайте определение векторного произведения двух векторов.
16.	Докажите свойство антикоммутативности векторного произведения.
17.	Какое произведение грех векторов называется смешанным? Сформулируйте его свойства.
18.	Выведите формулы для вычисления векторного и смешанного произведения векторов, заданных разложениями в прямоугольном базисе.
19.	Выведите формулы для преобразования прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.
20.	Даны векторы а = —5i +2 j — 7k, b = 3i —j +k. Найдите: а) проекцию вектора а на направление вектора й; б) косинус угла между векторами а и й; в) площадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ь.
21.	Даны четыре точки: Л(1, -1, 3), ₽(0, 7, 9), С(5, -4, 1), Z)(2, —2, 3). Найдите объем тетраэдра A BCD.
Ответы на контрольные вопросы и задачи к разделу 2
20.	а) —24/я; 6) -24/(778-VT1); в) 7282. 21. 10/3.
Раздел 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Аналитическая геометрия — раздел математики, в котором геометрические фигуры изучаются с помощью алгебраического анализа. При этом геометрическим фигурам по некоторому способу сопоставляются алгебраические уравнения. Это способ, называемый методом координат, был создан независимо друг от друга двумя великими французскими математиками XVII века — Р. Декартом (1596—1650) и П. Ферма (1601— 1665). Метод координат дал возможность определить положение точки с помощью чисел и тем самым выразить геометрические свойства фигур в свойствах их уравнений. Сопоставляя геометрическим фигурам уравнения, аналитическая геометрия решает две основные задачи:
1) получить уравнение (или систему уравнений) данной геометрической фигуры и с его помощью исследовать ее свойства;
2) данному уравнению сопоставить геометрическую фигуру и с его помощью изучить ее свойства.
В настоящем разделе решаются эти задачи для прямых, плоскостей, некоторых кривых и поверхностей, традиционно изучаемых в аналитической геометрии. При этом понятие точки, прямой и плоскости считаются начальными, а под кривой (линией) и поверхностью понимаются некоторые множества точек, обладающие общим геометрическим свойством. Такой подход к этим понятиям соответствует элементарной планиметрии и стереометрии и обеспечивает непрерывность и преемственность изучения математики в школе и в вузе.
124
Глава 1 Геометрия прямых и плоскостей
Глава 1
ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
§ 1. ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИИ ПЛОСКОЙ ЛИНИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ. ТЕОРЕМА ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ПОРЯДКА
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Оху и некоторая линия Г.
Рис. 1.1. Окружность с центром в точке А и радиусом г
Определение 1.1. Уравнение
Г(х,у)=0	(1.1)
с двумя переменными х и у напвается уравнением плоской линии Г, если ему удовлетворяют координаты х, у любой точки Г и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих Г.
В аналитической геометрии под функцией F(x,y) от двух пе-
ременных х, у понимают, как правило, многочлен
Равенство
(х-а)2 +(y-Z>)2 =г2
(1-2)
есть уравнение окружности с центром в точке А (а,Ь) и радиусом г (рис. 1.1), так как ему удовлетворяют координаты любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих ей.
Замечание 1.1. Уравнение вида (1.1) не всегда задает линию. Так. уравнению (х—а)2 +(у— ЬУ2 =0 удовлетворяют координаты единственной точки А а уравнению (х—а)2 +(у—b)2 = —1 не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости.
Две основные задачи аналитической геометрии на плоскости
1. По описанию общего геометрического свойства всех точек линии Г получить уравнение Г в выбранной системе координат и по нему изучить такие ее свойства, как форма, место расположения на плоскости и т. д.
§ 1. Понятие об уравнении плоской линии. Алгебраические линии..125
2. Данному уравнению сопоставить линию Гис его помощью исследовать ее свойства.
Для окружности, задаваемой уравнением (1.2), рассмотрена первая из этих задач, а для уравнений (х—а)2 +(у—Ь)2 =0 и (х—а)2 +(y~b)2 = —1 — вторая.
Уравнение с двумя переменными не является единственным способом задания линии Г с помощью уравнения. В некоторых случаях представляется удобным выразить координаты точек этой линии через третью вспомогательную переменную (или параметр) л
Определение 1.2. Система уравнений
(1.3)
называется параметрическими уравнениями линии Г, если для любой ее точки М(хц,уи) найдется такое значение параметра /0 GT, что ее координаты определятся из этой системы при t = tu: х0 = х(Г0), yu=y(tv), а для точек, не принадлежащих ей, такого значения t не существует.
Под x{f) и v(f) в правых частях уравнений системы (1.3) понимаются некоторые функции параметра I, например, такие, которые выражаются через элементарные функции, изученные в школьном курсе алгебры и начал анализа.
В соответствии с принятым определением система уравнений
x=rcos/+o,
y=rsin/+Z> fG[0, 2л],
задает рассмотренную выше окружность. Параметр t в данном случае является углом поворота вектора АВ, коллинеарного оси Ох, до совмещения с вектором AM, где М(х,у) — произвольная точка окружности (рис. 1.1).
При задании параметрическими уравнениями траектории Г движущейся по плоскости точки М за параметр t принимается время, прошедшее от начала движения. Тогда функции х(г) и ХО из уравнений (1.3) определят координаты точки М на любой момент времени t из промежутка Т.
Определение 1.3. Плоская линия Г называется алгебраической линией порядка п, если в некоторой прямоугольной декар
126
Глава 1 Геометрия прямых и плоскостей
товой системе координат Оху она может быть задана уравнением вида
(1-4)
где все показатели степени — неотрицательные целые числа, и — степень этого уравнения, равная наибольшей из сумм к(+1,, / = 1, ... . s, при этом отличен от нуля хотя бы один коэффициент А,, для которого ki +/, =п.
На плоскости можно выбрать бесчисленное множество прямоугольных декартовых систем координат, поэтому возникает вопрос о зависимости порядка данной алгебраической линии от выбора системы координат. Ответом на этот вопрос служит теорема об инвариантности порядка.
Теорема 1.1. Порядок алгебраической линии инвариантен по отношению к выбору прямоугольной декартовой системы координат.
► Перейдем от системы координат Оху к системе координат О'х'у' по формулам (6.4) из гл. 2 разд. 2:
{х = x'cosct—y'sino 4-с, у = х' sin а + у'cos а + Ь.
(1-5)
Чтобы получить уравнение линии в новой системе координат О'х'у', подставим в уравнение (1.4) равенства (1.4). При этом имеем:
-л, =(x'cosa —y'sina+o)*’ '' — px'sinct-Ky'cosa+й)л
= 1, - , s, 1, ... , 5.
(1.6)
При возведении правых частей равенств (1.6) в степени к. и ( получаем сла-гаемые, степени которых не превышают этих чисел, поэтому заключаем, что степень п, уравнения данной линии в новой системе координат и тем самым ее порядок, не превышает л, т. е. <п.
Наоборот, при переходе от О'х'у' к Оху, рассуждая аналогичным образом, приходим к неравенству л<л,. Следовательно, остается принять « =
Замечание 1.2. Все линии, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными. Таковыми будут, например, графики логарифмической, показательной, тригонометрических функций.
§ 2. Прямая как линия первого порядка Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнении— 127
§ 2. ПРЯМАЯ КАК ЛИНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ЗАДАННОМУ ВЕКТОРУ
Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Олу и рассмотрим уравнение первой степени относительно х, у:
Ах+Ву+С=Ъ, А* + В'*0.	(2.1)
Теорема 2.1. Любая прямая на плоскости может быть задана в произвольной прямоугольной декартовой системе координат уравнением вида (2.1).
► Пусть L — любая прямая на плоскости. Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Оху так, чтобы ось Ох совпала с L (рис. 2.1). Равенство у = 0 есть уравнение L в выбранной системе координат, ибо ему удовлетворяют координаты любой точки £ и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих £. Кроме того, это уравнение первой степени, так как оно получается из (2.1) при А = О, В
любой другой прямоугольной декартовой системы координат порядок алгебраической линии не изменяется (теорема 1.1), поэтому и в новой системе координат прямая £ будет задана уравнением первой степени, т. е. уравнением вида (2.1).-^
Теорема 2.2. Любое уравнение вида (2.1) определяет на плоскости прямую.
►Уравнение (2.1) в силу условия А~ + В1 *0 имеет хотя бы одно решение. Например, если А^О, то х = —С/А, j = 0 — решение этого уравнения. Пусть х = у = у0 — любое решение (2.1). имеем:
УД
—-----------------*
Рис. 2.1. Иллюстрация к доказательству теоремы 2.1
= 1, С = 0. При выборе
+ Вуи +С-0.
(2.2)
Вычтем из уравнения (2.1) почленно равенство (2.2). После перегруппировки слагаемых получим;
+^0'-J0) =0-
(2.3)
128
Глава 1 Геометрия прямых и плоскостей
Рис. 2.2. Иллюстрация к доказательству теоремы 2.2
Левую часть уравнения (2.3) можно считать скалярным произведением векторов я = (А. В) и Л<Л/ = (х-х„, з—_>„). AT„(a„, j„), М(х,у). Это скалярное произведение равно нулю, поэтому векторы п и М„М перпендикулярны. Рассмотрим прямую L, проходящую через точку Л/о перпендикулярно вектору п (рис. 2.2). Координаты любой точки М(х,у) этой прямой удовлетворяют уравнению (2.3), ибо векторы
Ми М и л перпендикулярны, а координаты любой точки
М'{х',у'}, не принадлежащей L, ему не удовлетворяют, так как
векторы МиМ' и л не перпендикулярны (рис. 2.2). Итак, равенство (2.3) по определению является уравнением прямой L. Покажем, что и уравнение (2.1) является уравнением этой же прямой. Раскроем скобки в левой части (2.3) и перегруппируем слагаемые:
Ах + By—Ах,, — Ву„ = 0.
Заменив — Ах„ — Ву„ в силу (2.2) на С, приходим к уравнению (2.1). ◄
Из теорем 2.1 и 2.2 следует, что прямая на плоскости и только она является линией первого порядка.
Уравнение (2.1) называется общим уравнением прямой на плоскости. Его коэффициенты А и В имеют определенный геометрический смысл, а именно, они являются координатами вектора й, перпендикулярного прямой, определяемой этим уравнением. Этот вектор называется вектором нормали, или нормальным вектором к данной прямой
Уравнение (2.3) при различных значениях коэффициентов А, В задает все прямые плоскости, проходящие через точку Л/о (*0’ Уо)-
Оно называется уравнением пучка прямых с центром в точке Mv. Выбор конкретных значений А и В в (2.3) соответствует выбору той прямой пучка, которая проходит через точку Л/с перпендикулярно заданному вектору п = (А, В) (рис. 2.3).
§ 3. Различные виды уравнений прямой на плоскости
129
В случае, когда один из коэффициентов А или В равен нулю, уравнение (2.1) задает прямую, параллельную одной из осей координат, а именно, при А = 0 — прямую, параллельную оси Ох, а при при В = 0 — оси Оу. При при С = 0 уравнение (2.1) задает прямую, проходящую через начало координат.
Пример 2.1. Написать уравнение прямой £, проходящей через точку Л/о(—I, 2) перпендикулярно вектору и = (3,-2).
► Напишем уравнение пучка Л/м(—1. 2):
Рис. 2.3. К уравнению пучка
прямых
прямых с центром в точке
А(х+1)+В(у-2)=0.
(2-3)
Коэффициентами уравнения (2.3), как отмечено выше, являются координаты вектора нормали к прямой L, каковым можно считать вектор п = (3,-2) из условия задачи. Подставив в (2.3) вместо А и В координаты вектора п, после очевидных преобразований получаем уравнение прямой L: Зх—2у + 7=0. ◄
Пример 2.2. При каком значении параметра (прямая L: (а2 — 4)х+(а2 — За +2)у +а —4—(к 1) параллельна оси абсцисс? 2) параллельна оси ординат? 3) проходит через начало координат?
► Параметр (а * 2, иначе коэффициенты при х и у в данном уравнении обращаются одновременно в нуль, и оно не определяет никакой прямой.
1.	а2—4=0 и а^2, отсюда а = —2. Уравнение L имеет вид 3=1/2.
2.	а2—За+2 = 0, а*2, отсюда а = 1. Уравнение L имеет вид х = —1.
3.	а =4, ее уравнение имеез вид 2х+_у = 0. ◄
§3. РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИИ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ
В § 2 было показано, что любая прямая на плоскости в произвольной прямоугольной декартовой системе координат
130
Глава I Геометрия прямых и плоскостей
может быть задана уравнением вида (2.1), которое называется общим уравнением прямой на плоскости. Ниже будет показано, что прямую можно задать и другими уравнениями.
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Оху и прямую £, определяемую уравнением (2.1). Пусть в этом уравнении В*0. При этом условии прямая L не параллельна оси Оу, а упомянутое уравнение приводится к виду
у = Ах+А.
(3.1)
где к = —А/ В, Ь=—С/В
Коэффициент b из уравнения (3.1) называется начальной ординатой данной прямой L. Он равен ординате точки пересечения этой прямой с осью Оу (у = Ь при х = б). Для геометрической интерпретации коэффициента к введем понятие угла наклона данной прямой к оси Ох.
Определение 3.1. Углом наклона (прямой L к оси Ох называется наименьший угол поворота этой оси, производимого вокруг точки пересечения Ох и £ в направлении против часовой стрелки до совмещения Ох с £ (рис. 3.1).
Угол (принимает значения из промежутка [0,л), при этом а	<Р=0, если прямая £ и ось Ох
З'	параллельны или совпадают.
Рассмотрим новую прямо-/	угольную декартову систему ко-
S	ординат О'х’у', которая получа-
/'V	ется из данной при параллель-
х ном переносе на вектор 00', jr Q	где О'(О, Ь) — точка пересече-
ния прямой £ и оси Оу (рис.
Рис. 3.1. Угол наклона прямой 3.2). Имеем:
к оси Ох	х'=х. у'=у—Ь.	(3-2)
Угол наклона £ к оси О' х' также равен ср, ибо оси Ох и О’х' параллельны (рис. 3.2). Пусть М — произвольная точка £, отличная от точки О', х, у — ее координаты в системе Оку*, а х', у' — в системе О’х'у’. Из элементарной триго-нометрии известно: tg<p=y'/x' или (?(<р+л)=у'/х' в зависимости от расположения точки М на прямой £. Поскольку tg((p+n)= igtp, то при любом расположении точки М на £ имеем: tg^—y'/x' или (g<p = (y—Ь)/х (использованы равенства (3.2)). Из уравнения (3.1) следует k = (y—b)/x, поэтому k = tgq>.
§ 3. Различные виды уравнений прямой на плоскости 131
Итак, приходим к выводу, что коэффициент к из правой части уравнения (3.1) равен тангенсу угла наклона (прямой L к оси Ох. Он называется угловым коэффициентом этой прямой, а уравнение (3.1) — уравнением прямой с угловым коэффициентом
Замечание 3.1. Уравнением с угловым коффициентом не может быть задана прямая, параллельная оси Оу, ибо она определяется уравнением вида (2.1) при В = 0 и поэтому не имеет углового коэффициента.
Совокупность уравнений
[у~Уп=к(х-х0),
Рис. 3.2. К геометрическому смыслу коэффициента А в уравнении (3.1)
задает все прямые пучка с центром в точке M0(x0,yv).
Если известны координа-
ты двух точек M0(xv,yu) и М^х^у,) прямой L, то ее угловой коэффициент к определяется из равенства
Л =	(3.4)
X, -х0
которое можно получить из (3.3), подставив туда координаты ТОЧКИ Л/, .
Пример 3.1. Найти угол между осью Ох и прямой L: л/Зх+j'—2=0.
►	Обозначим искомый угол через <р. Преобразуем уравнение L к виду (3.1): у = — д/Зх+2, отсюда k=tgff = — д/3 и <р=2п/3. ◄
Пример 3.2. Луч света проходит через точку >1(6, 2) и, отразившись от оси Ох в точке В, проходит через точку С(—4, 3). Найти абсциссу точки В.
►	Как известно из физики, угол падения равен углу отражения. Для угловых коэффициентов и к7 прямых Lt и L2 (рис. 3.3) справедливо равенство:
A2=-A,,	(3.6)
132
Глава 1 Геометрия прямых и плоскостей
называется каноническим уравнением прямой на плоскости. Оно определяет прямую £, проходящую через точку М0(хи,уи) параллельно вектору называемому ее направляющим вектором (рис. 3.4, точка М(х, у') — текущая точка прямой).
Если заданы две точки М0(х„,у„) и Л/Дх^уД принадлежащие данной прямой, то ее уравнение можно записать в виде
Рис. 3.4. К заданию прямой на плоскости каноническим уравнением
§ 3. Различные виды уравнений прямой на плоскости
133
(3-8)
ибо ia направляющий вектор q здесь можно принять вектор
— хп,у, — у„). Уравнение (3.8) называется уравнением
прямой, проходящей через две данные точки.
Пример 3.3. Написать уравнение перпендикуляра, опущен-
ного из точки Л(2, — I) на прямую L: Зх—2у+5 = 0.
► За направляющий вектор q перпендикуляра АР примем й — вектор нормали к прямой L (рис. 3.5): #=Я = (3, — 2). Уравнение
АР имеет вид — — -— ◄ 3	-2
Пример 3.4. Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(2, -1) и 5(1, 3).
► Подставим координаты точек А и В в уравнение (3.8), получим: x-2^y+i ; x-2_y+i ◄
1-2 “ 3 + i * -I 4
>А

L P
3. Параметрические уравнения прямой. Приравняем каждое из равных отношений в (3.7) параметру £
~*0 _t У~У0 I ' т
Рис. 3.5. К примеру 3.3
(3.9)
Выражая х и у из равенств (3.9), приходим к следующей системе:
[х = // + х0.
[у=/яг+уи, / ей.
(3.10)
которая называется параметрическими уравнениями прямой на плоскости.
Система (3.10) допускает механическую интерпретацию, а именно, она определяет координаты точки, движущейся равномерно по данной прямой, причем числа I и т являются координатами вектора скорости, а параметр t трактуется как время, прошедшее с начала движения.
134
Глава 1 Геометрия прямых и плоскостей
Пример 3.5. Точка движется по прямой из положения (1, 0) с постоянной скоростью т = (2, 3). Написать уравнение траектории движения.
► Из системы (3.10) получаем параметрические уравнения [х = 2/ + 1, траектории: 1	/>0, где за параметр t принято время.
I у=3i.
Исключение из этих уравнений параметра t приводит к каноническому уравнению траектории:	= у И, наконец, после
очевидных преобразований получим уравнение траектории в виде общего уравнения прямой: Зх—2у—3=0. ◄
§4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ. ВЫЧИСЛЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ
Две прямые на плоскости могут либо совпадать, либо пересекаться в одной точке, либо не иметь ни одной обшей точки, т. е. быть параллельными.
Пусть прямые Lt и £, заданы следующими уравнениями с угловым коэффициентом: L,: y = k,x+b}, L2. у=к2х+Ь2.
Условие параллельности таких прямых следует из условия равенства углов наклона <р, и <р2 этих прямых к оси Ох. Поскольку =(g<p2, то приходим к следующему утверждению:
£.||£2 « *,=£2.
(4.1)
Выведем формулу для угла <р между прямыми £ , и £2, понимаемого как угол поворота в направлении против часовой стрелки прямой £ , до совмещения с прямой £, (рис. 4.1). Из планиметрии следует равенство <р2 = «р2 +<Р или <р=<р, — <р,, где под <р понимается угол поворота в направлении против часовой стрелки прямой Lt до совмещения с прямой £2 (рис. 4.1). По известной формуле тригонометрии имеем:
ЙФ = (?(рЛ£ -<Р„
®tp2-g»p, l+(g<p,^<p?
Замечая, что tgipl=kl и (gtp2=£2, получаем:
&<р =
*2-£i
1+к, к 2
(4-2)
§ 4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Вычисление угла.135
Рис. 4.1. К формуле для тангенса угла между прямыми
Необходимо отметить, что с помощью соотношения (4.2) вычисляется тангенс угла <р, понимаемого в вышеописанном смысле.
Если {+к1к2 =0. то с(£гр = О, следовательно, <р = л/2. и данные прямые перпендикулярны. Итак, любое из следующих равенств
к{к2 + 1-0 или к, = — 1/к2	(4.3)
является условием перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.
Пример 4.1. Написагь уравнение прямой L, проходящей через точку (2,3), если она: а) параллельна прямой Lt: у- —2х+5; б) перпендикулярна прямой L2: у = 3х— 1; в) перпендикулярна прямой £3: у = 1; г) образует угол л/4 с прямой £,: у = Зх+5.
► Пусть	Л,, кг, к4 — угловые коэффициенты прямых
L ,, L г, LL,, kt = —2,
к2 —к4 =3, к. =0, а к — угловой коэффициент прямой L. Используя равенства (3.3) — (3.4), напишем уравнение пучка прямых с центром в точке (2, 3): у—3=к(х—2), х=2 и определим к так, чтобы удовлетворить условиям а) — г).
a)	к = к1=—2, тогда L: у -3=— 2(х—2)=> L: у = — 2х+7
б)	к=-\/к2 =-1/3, тогда: L: у—3=-(х-2)/3=>
у = -х/3-7/3.
в)	Прямая L} параллельна оси Ох, следовательно, прямая L перпендикулярна этой оси и не имеет углового коэффициента. Данному условию удовлетворяет прямая L: х = 2 из рассматриваемого пучка.
136
Глава 1 Геометрия прямых и плоскостей
г)	Из (4.2) имеем равенства	(g<p = l=——	или
гир = I =-,
1+ЗГ
р+зл=л-з, [1+3£ = 3—А,
откуда для к получаем два уравнения:
Г* = -2,
|* = 1/2. ГаК““
образом, данному условию
удовлетворяют две прямые:
L: у—3=—2(х—2) =»
L-. у = -2х + 7.
£: >-3=Ъх-2) => £:> = 1х+2. ◄ 2	2
§ 5. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ
Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат и заданы прямая
L: Дх + Ду+С=О.	(5.1)
а также точка Ми{х0,ую), не принадлежащая L.
Рис. 5.1. К понятию расстояния от точки Мо до прямой L
Расстоянием d от точки Ми до прямой L называется, как известно, длина отрезка MUN, где Nix^y^ проекция точки М„ на прямую L (рис. 5.1). Из определения проекции вектора на ось следует, что с/=|пр„ А'Л/|||, где п(А,В) — вектор нормали
§ 6. Понятие об уравнении поверхности Алгебраические поверхности Теорема...
137
-* и  nm *
к L. Так как nprfW0=—j^j-Ч a MN„ =(х0-х1,у0-у11,
л |« NM„ | I A(x„ - *,, + В(Уи ~ У, и d =——— —----------.	----- или
1«1	у1А2+В2
то
I Ахи + Вуи -(Лх, + By, d —--------,	----
у/А2+В2
(5.2)
Точка 7V(xI,j'l) принадлежит £, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению (5.1), значит Лхь + By, +С=0, отсюда имеем Ах, + By, =—С. Подставляя это равенство в (5.2), получим:
I Ахи + Ву„ +С]
Ja2 +в2
(5.3)
Пример 5.1. Найти длину стороны квадрата, если одна из его сторон расположена на прямой £ у = —х + 3, а одна из вершин находится в точке А(3, 6).
►Точка А не принадлежит прямой £, ибо ее координаты не удовлетворяют уравнению £. Длина
Рис. 5.2. К примеру 5.1
стороны квадрата равна расстоянию
d от точки А до прямой £ (рис. 5.2). Преобразовав уравнение £ к виду: х+у—3=0, найдем это расстояние по формуле (5.1):
§6. ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИИ ПОВЕРХНОСТИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ТЕОРЕМА ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ПОРЯДКА
Пусть в пространстве введена прямоугольная декартова система координат Oxyz и задана некоторая поверхность (5), понимаемая как множество точек пространства, обладающих общим геометрическим свойством.
Определение 6.1. Уравнение F(x,y,z);=0 с тремя переменными х, у, z называется уравнением данной поверхности (.S), если
138
Глава 1 Геометрия прямых и плоскостей
Рис. 6.1. Сфера с центром в точке А и радиусом г
ему удовлетворяют координаты х, у, z любой точки (5) и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих ей
Под функцией F(x, у, z) в аналитической геометрии понимаются в основном многочлены.
Равенство (х~а)2 +(у—Ь)2 + +(z—с)2 = г} является уравнением сферы с центром в точке А (а,Ь,с) и радиусом г (рис. 6.1), так как ему удовлетворяют координаты любой точки этой сферы и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих ей.
Замечание 6.1. Уравнение вида F(x,y,z)=O не всегда задает поверхность. Так, уравнению (х—a)2 +(y—b)2 +(z— с)2 =0 удовлетворяют координаты единственной точки А (а,Ь,с), а уравнению (х—я)2 -Цу—b)2 +(z—с)2= —1 не удовлетворяют координаты ни одной точки пространства.
Две основные задачи аналитической геометрии в пространстве
1. По описанию общего геометрического свойства точек поверхности (5) получить ее уравнение в данной системе координат и с его помощью изучить такие ее свойства, как форма, расположение в пространстве и т. д.
2. Данному уравнению сопоставить поверхность (5) и с его помощью изучить ее свойства.
Для вышерассмотренной сферы решена первая из этих задач, а для уравнений (х—а)2 +(у—b)2 +(z—с)3 =0 и (х—о)2+ +(у—Ь}2 +(zc)2— — 1 — вторая.
Определение 6.2. Поверхность (.V) называется алгебраической поверхностью п-го порядка, если в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz она может быть задана уравнением вида
4,x‘‘y''z' + ...+Л,х*-/-г*- =0,
где все показатели степени — неотрицательные целые числа, а п — степень этого уравнения, равная наибольшей из сумм
§ 7, Плоскость как поверхность первого порядка. Общее уравнение плоскости. Уравнение .	139
А,+/( 4-/п,, 1 = 1,..., s, при этом отличен от нуля хотя бы один коэффициент Л,, для которого А,- 4-/f + mi = п.
Для алгебраической поверхности, так же как и для алгебраической плоской линии, справедлива теорема об инвариантности порядка.
Теорема 6.1. Порядок алгебраической поверхности инвариантен по отношению к выбору прямоугольной декартовой системы координат.
Доказательство теоремы 6.1 аналогично доказательству теоремы 1.1 при наличии формул преобразования прямоугольных координат в пространстве, которые могут быть получены так же, как в плоском случае.
Замечание 6.2. Все поверхности, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.
§7. ПЛОСКОСТЬ КАК ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ЗАДАННОМУ ВЕКТОРУ
Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координап Oxyz и рассмотрим уравнение первой степени (или линейное уравнение) относительно х, у; Z-
Ax + By+Cz+D=b, A2+B2+C2*0.
(7-1)
Теорема 7.1. Любая плоскость может быть задана в произвольной прямоугольной декартовой системе координат уравнением вида (7.1).
Точно так же, как и в случае прямой на плоскости, справедлива теорема, обратная теореме 7.1.
Теорема 7.2. Любое уравнение вида (7.1) задает в пространстве плоскость.
Доказательство теорем 7.1 и 7.2 можно провести аналогично доказательству теорем 2.1, 2.2. Из теорем 7.1 и 7.2 следует, что плоскость и только она является поверхностью первого порядка.
Уравнение (7.1) называется общим уравнением плоскости. Его коэффициенты Л, В, С трактуются геометрически как координаты вектора п, перпендикулярного плоскости, определяемой этим
Рис. 7.1. К уравнению связки плоскостей
140
Глава 1 Геометрия прямых и плоскостей
уравнением. Этот вектор п(А, В,С) называется вектором нормали к данной плоскости. Уравнение
A(x—xul + Bly-y0) +C(z-z0) =0
(7.2)
при всевозможных значениях коэффициентов Л, В, С задает все плоскости, проходящие через точку Mv(xu,y0,zu,- Оно называется уравнением связки плоскостей. Выбор конкретных значений А, В, С в (7.2) означает выбор плоскости Р, прохо-
дящей через точку Mv перпендикулярно вектору п(А,В,С) (рис. 7.1).
примеру
► Вектор нормали п к Р перпендикулярен данным векторам а и b (рис. 7.2), поэтому за п можно взять их векторное произведение:
= 2/ -3/-4А
Подставим координаты точки Мп и вектора п в уравнение (7.2), получим уравнение плоскости Р: 2(х- I)—3(у—2)-4?=0 или Р: 2х—Зу—4z+4—().◄
Если два из коэффициентов А, В, С уравнения (7.1) равны нулю, оно задает плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей. Например, при Л = В=0, С#0 — плоскость P}:Cz + D=0 или Р{ :z=—£)/С(рис. 7.3). Она параллельна плоскости Оху, поскольку ее вектор нормали й((0, 0, С) перпендикулярен этой плоскости. При А = С=0, В&О или В—С=0, Л*0 уравнение (7.1) задает плоскости Рг: By + D=0 и Р3: Ax+D=0, параллельные координатным плоскостям Oxz и Oyz, ибо их векторы нормали й2(0. В. 0) и я3(Л, 0, 0) им перпендикулярны (рис. 7.3).
Если только один из коэффициентов А, В, С уравнения (7.1) равен нулю, то оно задает плоскость, параллельную одной из координатных осей (или ее содержащую, если Z) = 0).
§ 7, Плоскость как поверхность первого порядка. Общее уравнение плоскости. Уравнение .	141
Рис. 7.3. Плоскости, параллельные плоскостям координат
Так, плоскость Р:Ах + Ву +25=0 параллельна оси Oz, ибо ее вектор нормали я(Л, В, 0) перпендикулярен оси Oz. Она проходит через прямую L: Ах + By+ 0=0, лежащую в плоскости Оху (рис. 7.4).
Рис. 7.4. Плоскость Р:Ах + Ву + D — 0. параллельная оси Oz
При 2)=0 уравнение (7.1) задает плоскость, проходящую через начало координат.
Пример 7.2. Найти значения параметра А, при которых уравнение
7л+(12 +2А)> +(2? +1-2)?+Х-3=0
142
Глава 1 Геометрия прямых и плоскостей
определяет плоскость Р а) параллельную одной из координатных плоскостей; 6) параллельную одной из координатных осей; в) проходящую через начало координат.
►Запишем данное уравнение в виде
Хх+Х(Х +2)у+(X+2)(Х - Ik + X - 3 = 0.	(7.3)
При любом значении X уравнение (7.3) определяет некоторую плоскость, так как коэффициенты при х, у, z в (7.3) не обращаются в нуль одновременно.
а)	При Х= 0 уравнение (7.3) определяет плоскость Р, параллельную плоскости Chy, Р z=—3/2, а при Х=—2 оно определяет плоскость Р, параллельную плоскости Oyz, Р. х = —5/2. Ни при каких значениях X плоскость Р, определяемая уравнением (7.3), не параллельна плоскости Oxz, поскольку коэффициенты при х, z в (7.3) не обращаются в нуль одновременно.
б)	При Х = 1 уравнение (7.3) определяет плоскость Р. параллельную оси Oz, Р х+Зу—2 = 0. При остальных значениях параметра X оно не определяет плоскости, параллельной только одной из координатных осей.
в)	При Х = 3 уравнение (7.3) определяет плоскость Р, проходящую через начало координат. Р. Зх+15у+ 10z—0. ◄
Пример 7.3. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через: а) точку Л/(1, —3, 2) параллельно плоскости Оху, б) ось Ох и точку М(2, — 1, 3).
►а) За вектор нормали п к Р здесь можно взять вектор к (0,0,1) — орт оси Oz, так как он перпендикулярен плоскости Оху. Подставим координаты точки Л/(1, —3, 2) и вектора й в уравнение (7.2), получим уравнение плоскости Р. г—3=0.
б) Вектор нормали п к Р ортогонален векторам i (1,0,0) и
ОЛ/(2,—1,3), поэтому за й можно взять их векторное произведение
Подставим координаты точки О и вектора й в уравнение (7.2), получим уравнение плоскости Р —3(у—0)—(г—0)=0 или Р. 3y + z=0.^
§ 9. Уравнения линии в пространстве
143
§ 8.	РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ
Пусть в пространстве введена прямоугольная декартова система координат и задана плоскость Р, определяемая уравнением
Ах + By +Cz+D = О,
(8-1)
и точка М, (эсп, То, не принадлежащая Р.
Расстоянием d от точки Л/(1 до плоскости Р называется, как известно, длина отрезка M0N, где N(xt, yt, zt), — проекция точки Ц, на данную плоскость
(рис. 8.1). Рассуждая так же как в § 5. можно показать, что для величины d справедлива формула:
+Вуи +Cz„ +Д| л/Л2 +Я2 +С2
Рис. 8.1. К понятию расстояния от точки А/, до плоскости Р
(8-2)
Пример 8.1. Найти длину ребра куба, если одна из его граней
Рис. 8.2. К примеру 8.1
расположена в плоскости Р: х~2у—2z+2 = 0, а одна из его вершин — в точке А (4, -1,-2).
►Точка А (4, — 1, —2) не принадлежит плоскости Р, поскольку ее координаты не удовлетворяют уравнению Р. Следовательно, длина d ребра куба равна расстоянию от точки А до плоскости Р (рис. 8.2). Найдем это расстояние по формуле (8.2):
|4—2(—1)—2(—2)+2| _ 12 х'|’ + (-2)! +(-2>!	-J9
§9.	УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть в пространстве введена прямоугольная декартова система координат Oxyz и задана линия Г, понимаемая как множество точек пространства, обладающих некоторым общим
144
Глава 1 Геометрия прямых и плоскостей
геометрическим свойством. Таким свойством, например, может служить принадлежность любой ее точки одновременно двум поверхностям, что соответствует заданию Г как линии пересечения этих поверхностей.
Определение 9.1. Система из двух уравнений с тремя переменными х, у, z вида
называется уравнениями линии Г, если координаты любой ее точки удовлетворяют этой системе, а координаты точек, не принадлежащих Г, ей не удовлетворяют.
Под функциями	и F,(x,y,z) в аналитической гео-
метрии понимают, как правило, многочлены от трех переменных X, у, Z-
Очевидно, что если каждое из уравнений системы (9.1) задает некоторую поверхность, то Г является линией пересечения этих поверхностей Например, система уравнений
определяет в пространстве окружность как линию пересечения сферы (5): х2 +у2 +z2 =г' и плоскости Р: y = z (рис. 9.1).
Рис. 9.1. Окружность Г как линия пересечения сферы (Л) и плоскости Р
Одна и та же линия может быть пересечением различных пар поверхностей. Поэтому ее можно задавать различными
§ 9. Уравнения линии в пространстве
системами уравнений вида (9.1). Так, вышеупомянутая окружность является также линией пересечения плоскости Р. y = z и поверхности (5, У. х2 +2у2 =г2, которая (см. гл. 3, § 6), называется цилиндром (рис. 9.2). Поэтому система уравнений
Рис. 9.2. Окружность Г как линия пересечения цилиндра и плоскости Р
также, наряду с (9.2), является уравнениями данной окружности. Для линии Г, определяемой системой (9.1), можно найти уравнение ее проекции Г' в ту или иную координатную плоскость. Пусть, например, точка М'(х,у,О) — проекция точки M(x,y,z), принадлежащей Г, в плоскость Оху (рис. 9.3). Очевидно, что абсциссы и ординаты этих двух точек равны. Поэтому исключение координаты z из уравнений (9.1) дает ту связь между х и у, которая и характеризует линию Г’ — проекцию Г в плоскость Оху, т. е. приводит к уравнению Г’. Так, при исключении z из уравнений (9.2) приходим к уравнению х2 +2у2 =г2, определяющему проекцию Г' данной окружности Г в плоскость Оху, которая, как мы увидим ниже (гл. 2, § 2), является эллипсом (рис. 9.3). Аналогично может быть рассмотрен вопрос об уравнении проекции данной линии в другие координатные плоскости.
146
Глава 1 Геометрия прямых и плоскостей
Рис. 9.3. Линия 1 проекция линии Г в плоскость Оху
Система из двух уравнений с тремя переменными х, у, z не является единственным способом задания линии в пространстве с помощью уравнений В некоторых случаях представляется более удобным выразить координаты ее точек через третью вспомогательную переменную (или параметр) t.
Определение 9.2. Система уравнений
Х = Х(Г), y=y(t), IGT, z = z(O
(9-3)
называется параметрическими уравнениями линии Г, если для любой ее точки A/(l(xIJ,j0,zu) найдется такое значение параметра lu GT, что ее координаты определятся из этой системы при t = tv, xu=x(tu), yu=y(tv), z0=z(/0), а для точек, не принадлежащих Г, такого значения параметра не существует.
Под x(f), y(f), z(r) в правых частях уравнений системы (9-3) понимают некоторые функции параметра t, например, выражающиеся через элементарные функции из школьного курса алгебры и начал анализа. Так, вышеупомянутую окружность можно задать такими параметрическими уравнениями:
x=Rcost,
у = (Л/-Л)sin t, t G [0,2л],
z = (R/y/2)bint,
§ 10 Различные виды уравнений прямой в пространстве
147
где ла параметр t принят угол поворота вектора ОА до совмещения с радиусом-вектором ОМ точки М этой окружности (рис. 9.1). Действительно, подстановка этих равенств в (9.2) обращает каждое из уравнений этой системы в тождество.
Если линия Г является траекторией движущейся точки, то за параметр t принимается время, прошедшее от начала движения. Тогда функции x(t), y(t), z(t) из уравнений (9.3) определят координаты этой точки на любой момент времени г из промежутка Т
§ 10.	РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
Введем в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz.
1.	Общие уравнения прямой. Пусть прямая L является линией пересечения двух непараллельных плоскостей Pt и Д, определяемых уравнениями AtxA Biy-\-Ctz+Di =0 и A2x + B,y+C2z+D2 =0. Система уравнений
+	=0,
[A2x + B2y+C2z+D2 =0
(10.1)
называется общими уравнениями прямой L. Равенства А, IA, = В, / В2 =С, /С2 не имеют места хотя бы для одной из пропорций, иначе плоскости Р{ и Р7 были бы параллельны.
2.	Канонические уравнения прямой. Любую прямую L в пространстве можно задать принадлежащей ей точкой Mv(xu,yu,z0) и ненулевым вектором	коллинеарным
ей и называемым ее направляющим вектором (рис. 10.1), причем и точка М., и вектор q могут быть выбраны произвольно. Уравнения
-*-о _ У	У и _
I т п
(10.2)
называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Пример 10.1. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки Л(1, —2, 1) на плоскость Р: х+2у—z+2 = 0.
►За направляющий вектор д перпендикуляра АВ к плоскости Р можно взять вектор нормали п к плоскости
148
Глава 1 Геометрия прямых и плоскостей
Рис. 10.1. К заданию прямой в пространстве каноническими уравнениями
Р (рис. 10.2): q =п = (1,2, — 1). Уравнения АВ имеют вид: х-1_ j+2 _z~l
1 “ 2 “^1
3.	Параметрические уравнения прямим. Параметрические уравнения прямой в пространстве получим так же, как для прямой на плоскости, приняв за параметр i равные отношения в уравнениях (10.2):
(Ю.З)
Приравнивая каждое отношение в (10.3) к t и выражая из полученного равенства соответствующую координату, приходим к следующей системе уравнений:
х = Л+л„ у = mt +у„. Z = nt + z0.
tERR.
(Ю.4)
Рис. 10.2. К примеру 10.1 Система (10.4) называется параметрическими уравнениями прямой в пространстве. Она имеет то же механическое истолкование, как и система (3.10).
4.	Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Задание прямой каноническими уравнениями позволяет легко установить их взаимное расположение в пространстве. Так, пусть прямые Lt и £, заданы уравнениями:
§ 10 Различные виды уравнений прямой в пространстве
149
Их направляющие векторы —	и #2(/2,m,,n2) со-
ответственно.
Условие параллельности прямых £, и L2 сводится к условию коллинеарности векторов д, мд,, заключающемся в пропорциональности их координат:
/,	тх п,
1г т-, п 2
(10.5)
Условие перпендикулярности этих прямых эквивалентно условию ортогональности векторов д, и д2, которое, в свою очередь, приводит к условию выполнения равенства д1-д2=0, или
/(/2 +т tni 2 +п fn 2 =0.
(10.6)
Понимая угол (между прямыми Lt и L} как угол между их направляющими векторами, получаем для coscp следующую формулу:
а,-о,	/./, +т. т, +п ,п ,
cos<p =	=	—	(10.7)
ItfiHtfil ф2 +т* +п2+л12 +л2
Условием совпадения прямых L, и £2 является совместное х, — х у2 — v выполнение равенства (10.5) и равенства —---=-------=
/| т (
z2 -zt =-------, выражающего условие принадлежности точки
П (
Л/2(х2,у;,г2) прямой £2 также и прямой £,.
Пример 10.2. Найти значения параметров Л и р так, чтобы прямые
L Л+1_>-3_г~2 / Л-'.-У-З-г ’’ 2	-2 I ’	3	> р
были: а) параллельны, б) перпендикулярны.
►Обозначим через gt и д2 направляющие векторы данных прямых, gt = (2, — 2, 1), д2 = (3, X, р).
150
Глава 1 Геометрия прямых и плоскостей
2	2	1	3
a)	,=“7 = -	=» Х=-3,	ц =
3 Л р	2
£, |[£2 ^q{ II <Л **qt -q2 =0=>6—2Х +ji =
Пример 10.3. Найти угол <? между прямыми
£ х~2 -y+i-z I х + 2 _у-1 _ г + 1 '' 2	-2 Г 2’ 1	-4-1
►Обозначим через qt, q2 направляющие векторы данных прямых q, = (2, —2,1), q2 = (1, —4, 1). Из (10.7) имеем
2-1-2(— 4)+11	9
COS ф = ,	—,	= = 7=—т= =
у]2‘ +(-2)! +11 -ф’ +(—4)1 +11 ”Л18
5.	Переход от общих уравнений прямой к ее каноническим уравнениям. Задание прямых в пространстве каноническими уравнениями позволяет исследовать их взаимное расположение по простым формулам, приведенным выше. Поэтому важно уметь переходить от обших уравнений прямой £ вида (10.1) к ее каноническим уравнениям вида (10.2). Координатами точки принадлежащей £, может служить любое решение системы (10.1). Предположим, что
4 В ---*----.
А,
(Ю.7)
Координате г придадим произвольное значение, например, г=4). Из системы (10.1) имеем:
tAlx + B,y = -D.,
[а2х + В2у = -В2.
(Ю.8)
Ввиду условия (10.7) система (10.8) имеет единственное решение, которое можно найти, например, способом подстановки. Обозначим его через (х0,у0). Тогда точка A/0(x0,je, 0) принадлежит £, так как ее координаты удовлетворяют уравнениям (10.1) этой прямой. Чтобы найти направляющий вектор q, за-
§ 10 Различные виды уравнений прямой в пространстве 151
метим, что q±nt(Al ,Bt ,С}) и qJ-й ,(Аг,В2,С2), где й, и п2 — векторы нормали к плоскостям Р, и Р2, определяемым уравнениями системы (10.1) (рис. 10.3), поэтому за q можно принять векторное произведение п, и й2, q = nl4ii1. После того как найдены координаты q, пишут канонические уравнения L в форме (10.2).
Рис. 10.3. К переходу от общих уравнений прямой I к ее каноническим уравнениям
Пример 10.4. Перейти от обших уравнений прямой L к каноническим, если
j2x-y + z+4=0, |х + 2у—z + 7=0.
(Ю.9)
► В уравнениях (10.9) положим z = 0, приходим к системе: j2x-y+4=0,
I 2+7 0 Решив КОТОРУЮ’ получим: х = —3, у = —2. Таким образом, мы нашли точку М„(— 3, — 2, 0)GL. За направляющий вектор q прямой L примем векторное произведение я( хй2, которое найдем по формуле (5.5) гл. 2 разд. 2:
q — п1 Хл, = 2
-I
2
Ч -и -к+
=-/ +3J +5А.
152
Глава 1 Геометрия прямых и плоскостей
Теперь, используя соотношение (10.2). напишем канониче-.. . х+3 у+2 z
ские уравнения данной прямой А: ----=-----= —.4
§11. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Прямая и плоскость в пространстве могут быть параллельными, прямая может принадлежать плоскости, а также может пересекать ее в некоторой точке. Пусть плоскость Р задана общим уравнением
PAx + By+Cz+D=O, А2 +В2 +С2 *0,
а прямая L — каноническими уравнениями:
Lx~xo
I т п
Тогда п(А,В,С) — вектор нормали к Р, вектор <?(/, ди, п) — направляющий вектор прямой L, а точка M„(x„,yn,z0) принадлежит L.
Условие параллельности прямой L плоскости Р эквивалентно условию ортогональности векторов п и q (рис. 11.1) или равенству нулю их скалярного произведения: —0. что. в свою очередь, приводит к равенству
А1+Вт+Сп=0.	(11.1)
Если к равенству (11.1) присоединить условие принадлежности точки	прямой L плоскости Р, г. е. равенство
Жо+Вуи+Сги+/)=О,	(11.2)
то система равенств (11.1) и (11.2) выражает условие принадлежности прямой L плоскости Р.
L --------
Рис. 11.1. Прямая L параллельна плоскости Р
Рис. 11.2. Прямая L перпендикулярна плоскости Р
§ 11 Взаимное расположение пряной и плоскости
153
Условие перпендикулярности прямой L и плоскости Р равносильно условию коллинеарности векторов п и q (рис. 11.2), выражаемому равенством:
А _ В	С
I	tn	и
(11.3)
Пример 11.1. Найти значение параметра X, при котором прямая , х-1 у+1 Z-2 L. ---=-----=----- и плоскость
2	3 X
Р: 2х—y+z+5~ 0 параллельны
Рис. 11.3. Прямая L образует угол <р с плоскостью Р
►Обозначим через q направляющий вектор прямой L, q = (2, 3, X), а через я - вектор нормали к плоскости Р, п = (1, —1, 1). Прямая L и плоскость Р будут параллельны, если векторы q и п будут ортогональны (рис. 11.1). Поскольку последнее условие эквивалентно равенству (^,й)=0, то для X по-
лучаем уравнение 2 • 2+3 • (—1)+Х = 0, откуда находим Х = —!.◄
Пример 11.2. Найти значения параметров X и ц. при кото-
рых прямая
x+2_j-l_z + l
1	3	2
плоскость
Р: 2х+ку+pz +5 = 0 перпендикулярны.
► Пусть q— направляющий вектор прямой L, q—(\, 3, 2), а й — вектор нормали к плоскости Л й=(2, X, р). Прямая L и плоскость Р будут перпендикулярны, если векторы q и й будут коллинеарны (рис. 11.2). Из (11.3) имеем соотношения 1/2 = 3/Х = 2/р, откуда находим: Х = 3/2, р = 4.^
За угол (между прямой L и плоскостью Р, неперпендикулярной L, примем, как в стереометрии, угол между L и ее проекцией на плоскость Р (рис. 11.3). Очевидно, <р = 0, если прямая L принадлежит плоскости Р. В случае, когда L перпендикулярна Р, будем считать <р = л/2. Имеем
sin<p=jcos(«, <у)|=
1»Н?1
| Ai + Вт + О?| ^А2+В2 +С2 -yll2 +тг +я2
(Н-4)
Пример 11.3. Найти
. л+2 у-1 z + 2 L'.---=----=----- И ПЛОСКОСТЬЮ
2	-1	-2
угол между прямой
Р 4х + у - z - 5 = 0.
154
Глава 1 Геометрия прямых и плоскостей
► Вектор « = (4,1,-1) — вектор нормали к плоскости Р, а q — (2, —1,-2) — направляющий вектор прямой L. Понимая угол <р между L и Р в вышеописанном смысле, из формулы (11-4) имеем
sin<p=|cos(H, $)| =
|4-2+!(—1)+(—!)(—2)[
V(-4)! +1= +(-!)= J2! I (-1)’ +(-2)!
1 л
= ?2’Ф = Т
§ 1. Общее уравнение линии второго порядка Классификация линий второго порядка
155
Глава 2
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ B1UPU1O ПОРЯДКА. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Определение 1.1. Линией второго порядка называется множество точек, координаты которых в произвольной прямоугольной декартовой системе координат О’х’у' удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени, т. е. уравнению вида
Ах'2 +2Вх' у' +Су'2 +Dx' +Еу' +F=0,	(1.1)
где А2 + В1 +С2 *0.
Используя формулы преобразования прямоугольных координат из § 6 гл. 2 разд. 2, можно доказать [3], что путем подходящего выбора системы координат уравнение (1.1) можно привести к одному из следующих девяти видов:
	-+F=I;	<L2>
а2	+£=-';	(1-3) b
а2	-+тг=0;	П.4) ь
а2	— ТГ=1’’	<’-5) ь
а2	(«-б) -2=2рх;	(1.7) й2 =0;	(1.8)
У	!+с2=0;	(1.9) у’2=0.	(1.10)
156
Глава 2. Кривые второго порядка
Предполагается, что а, Ь, р>0 в каждом из уравнений (1.2) — (1-9). Уравнения (1.3) и (1.9) не задают никакого множества точек; говорят, чго они определяют мнимые линии второго порядка. Уравнение (1.4) задает одну точку — начало координат. Уравнения (1.6), (1.8), (1.10) определяют пару пересекающихся прямых, пару параллельных и пару совпадающих прямых соответственно. Эти пары прямых называются вырожденными линиями второго порядка. Остаются три уравнения: (1.2), (1.5) и (1.7), которые определяют невырожденные линии второго порядка (или невырожденные кривые второго порядка), называемые эллипсом, гиперболой и параболой. Именно эти кривые и будут изучаться в настоящей главе. При этом будет решаться вторая из двух основных задач аналитической геометрии на плоскости — каждому из этих уравнений будет сопоставлена линия и с его помощью будут изучены ее свойства.
§2. ЭЛЛИПС И ЕГО СВОЙСТВА
Определение 2.1. Эллипсом называется кривая второго порядка, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением
^ + ^-=1. о>*>0.	(2.1)
а b
Равенство (2.1) называется каноническим уравнением эллипса.
Свойства эллипса
1.	Эллипс — осесимметричная и центрально симметричная фигура. Осями симметрии эллипса являются оси координат, а центром симметрии — начало координат.
В самом деле, если точка М(х,у) принадлежит эллипсу, го ему принадлежат, как следует из уравнения (2.1), также и точки М}(— х,у), М,(х,—у), М,(—х—у) (рис. 2.1). А эго означает, что оси координат являются осями симметрии, а начало координат — центром симметрии эллипса. Эти оси симметрии называются главными осями эллипса, а центр симметрии — его центром. Из свойств симметрии эллипса следует, что его достаточно исследовать и построить только в первом квадранте (х>0, у>0).
§ 2. Эллипс и его свойства
157
Ш-ху) _____У1' i л/(хг)
	
	0
Л/3(-х-г)	44(4-3')
Рис. 2.1. Точки, симметричные
и начала координат
2.	Эллипс — ограниченная кривая. Построение лиипса. Эллипс шключен внутри прямоугольника D-{(x,y) :|х|< а, |b}, а также внутри окружности х2 +у2 = а2 с центром в начале координат и радиусом а (рис. 2.2). На рис. 2.2 заштрихована та часть плоскости Оху, в которой расположен эллипс.
Доказывая первое из этих утверждений, заметим, что из уравнения (2.1) следуют неравенства х2 /с2 £1 и у2 /Z>2 <1, откуда получаем |х|<а, |у|<6. Для доказательства второго утверждения преобразуем выражение для квадрата расстояния произвольной точки эллипса М(х,у) от начала координат:
Так как Ь2 /а2 £1 (а>Ь), то
(2.1)	получим:
и требовалось доказать.
Эллипс может быть построен путем равномерного сжатия	окружности
х2 +у2 =а2 к оси Ох. Действительно, пусть точка Л/,(х,У) принадлежит этой окружности (следовательно. Y2 =а2 — х2). Покажем, что точка лежит на эллипсе. Подставим ее коорди
из последнего равенства в силу
Рис. 2.2. К расположению эллипса на координатной плоскости
158
Глава 2. Кривые второго порядка
наты в левую часть уравнения (2,1) и заменим К2 на а1—х2. имеем:
х2 Ф2 /a'-^Y1 х2 ф2 /а1 )(а--х2) _ хг	_л2 _
а2 Ь2 а2	Ь1	а2 а2
Таким образом, координаты точки М2 удовлетворяют уравнению (2.1) и, следовательно, эта точка принадлежит эллипсу.
Итак, эллипс получается из рассматриваемой окружности путем ее равномерного сжатия к оси Ох с коэффициентом b/а, т. е. такого сдвига всех точек окружности к оси Ох, при котором ордината каждой точки окружности умножается на одно и то же число b/а (рис. 2.3). Построив дугу эллипса в первом квадранте (х>0, jp>0), остальные его части получим, используя его симметрию относительно осей координат (рис. 2.3)
Рис. 2.3. Эллипс как фигура, получаемая при сжатии окружности (Л/«=2/5)
Из уравнения (2.1) следуе!, что гочки Л,(—а, 0), Л,(о, 0), В,(0, — Ь), В,(0,Ь) принадлежат эллипсу. Они называются его вершинами. Отрезки А, А г и Д , а также их длины 2а и 2Ь называются большой и малой осями эллипса соответственно, а числа а и b — большой и малой полуосями (рис. 2.3).
3.	Фокусы эллипса. Свойство фокальных радиусов точки эллипса. Точки Д(— с, 0) и F2(c, 0), где с = у!аг —Ь1, находящиеся на большой оси эллипса, называются его фокусами, а расстояния rt и г, произвольной точки эллипса М(х,у) до этих точек и отрезки FVM, F2M называются фокальными радиусами точки М (рис. 2.4). Число 2с называется межфокусным расстоянием.
§ 2. Эллипс и его свойства
159
Рис. 2.4. Точки Г] и Г, - фокусы эллипса, и г2 — фокальные радиусы его точки
Свойство фокальных радиусов
г,+г2=1а.	(2.2)
► Имеем:
=х'(а !-г)’	(2.3)
Раскрывая в подкоренном выражении скобки и заменяя, в силу (2.1). у2 на й2(1—х2/о2), приходим к соотношению:
(х±с)2 +у2 -х2 ±2хс+с2 +b2(l—x2 /а2).
После перегруппировки слагаемых получаем:
(х±с)2 +у2 = -—^—х2 ±2хс+с2 +Ь2. а~
(2.4)
Поскольку с2 = а2—Ь2 и, следовательно, с2 +Ь2 =а2, то правая часть равенства (2.4) преобразуется к виду:
(х±с)2 +у2 —^-ух2 ±2хс+а2 =(—х±д) ,	(2.5)
а для г, и гг из (2.3) и (2.5) получаем:
(2-6)
160
Глава 2. Кривые второго порядка
ибо Ixlso, 0s <1 и поэтому с±-х>0. Из (2.6) следует а	а
равенство (2.2).Л
Свойство фокальных радиусов можно сформулировать следующим образом.
Сумма расстояний произвольной точки М эллипса, определяемого уравнением (2.1), до двух фиксированных точек /’|(—с, 0) и Г,(с, 0), где с=^а2 —Ь2, есть величина постоянная, равная длине его большой оси.
4.	Эксцентриситет хиипса.
Определение 2.2. Отношение расстояния между фокусами эллипса к длине его большой оси называется эксцентриситетом эллипса и обозначается е. 2с с
По определению е —— = —, следовательно, е(=[0, I), по-2а а
скольку Oscca.
Зафиксируем большую ось (т. е. эафиксируем а). При е=0 имеем с=0, поэтому Ь = а. В этом случае эллипс превращается в окружность с центром в начале координат и радиусом а (рис. 2.5), а оба его фокуса сливаются в один в начале координат. С увеличением эксцентриситета с увеличивается, а малая полуось Ь уменьшается (рис. 2.5). Итак, с увеличением эксцентриситета эллипс сжимается, а его фокусы сдвигаются к концам большой оси. Предельным положением эллипса при е -»I является отрезок А, А,, т. е. большая ось эллипса.
5.	Каноническая систе-у	ма координат. Эллипс оп-
'' /	1	ределяется уравнением
(2.1), если система коор-
9 Динат выбрана следующим
Д'	=— образом: ось Ох проходит
1Л через фокусы эллипса, а ось Оу — через его центр. Такая система координат называется канонической по отношению к данному эллипсу, а уравнение (2.1) именно в этой связи называется каноническим уравнением эллипса. В другой прямо-
Вис. 2.5. Влияние пели
ситета на форму эллипса
§ 2. Эллипс и его свойства
161
угольной декартовой системе координат уравнение эллипса не будет каноническим и может содержать члены с первыми степенями координат и их произведением.
Пример 2.1. На плоскости выбрана прямоугольная декартова система координат Оху и задан эллипс с полуосями а, Ь, центром в точке О'(х|1,у0) и осями симметрии, параллельными осям координат (рис. 2.6). Написать его уравнение.
Рис. 2.6. Эллипс с центром в точке О' и осями симметрии, параллельными осям координат
► Выберем новую систему координат О'х'у', оси которой параллельны осям старой системы В новой системе данный эллипс имеет каноническое уравнение ^-+^-=1. Переходя а b
в нем от новых координат к старым по формулам х‘=х—хп, у'— у—у0,	получаем	уравнение
(*~V (y-J'J*
a2 b2
Пример 2.2. Эллипс гадан уравнением 16х2+25у! = 400.
Найти его полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет. Изобразить этот эллипс на чертеже.
►Разделим обе части уравнения эллипса на 400, получим
равенство — + -—=1, сравнив которое с уравнением (2.1), за-25 16
ключаем, что а1 =25, 62=16, откуда а=5, Ь = 4, с = ^аг —Ь2 =3.
Точки Ft{— 3, 0), Р,(3, 0) — фокусы эллипса, эксцентриситет е=с/о=3/5. На рис. 2.7 изображен данный эллипс, AtAt — его большая ось, Л((— 5, 0), Л, (5,0), В, В, — малая ось, В,(— 4, 0), 52(4,0).^
162
Глава 2. Кривые второго порядка
Определение 3.1. Гиперболой называется кривая, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением
о. *>0.	(3.1)
а b
Равенство (3.1) называется каноническим уравнением гиперболы.
Свойства гиперболы
1.	Гипербола — осесимметричная и центрально симметричная кривая. Осями симметрии служат оси координат, а центром симметрии - начало координат.
Обоснование этого утверждения проводится так же, как и в случае эллипса. Оси симметрии называются осями гиперболы, а центр симметрии — ее центром.
2.	Точки гиперболы принадлежат множеству G=|(x,y) :
|х|>о, [> |<— |х|. Гипербола — неограниченная кривая. a J
Из (3.1) следует: х2 = й2(1+у2 /Ьг) и у2 =Ь2(х1 /аг — 1), от-
,	’	2
сюда имеем: х~>а_, у <—х, приводящие к неравенствам: а2
|х| — а и |>|< —|л| Итак, первая часть утверждения доказана. За-
§ 3. Гипербола и ее свойства
метим, что в силу второго из последних неравенств гипербола b
не пересекает прямых у = ±—х.
а
Для расстояния ОМ произвольной точки гиперболы М[х,у)
до начала координат с учетом (3.1) имеем:
ОМ = Jx2 +у2 = д/х2 +b2(x21 а2 — 1) =у$(а2 +Ь2)/а2 —Ь2.
Используя эго соотношение, заключаем, что при неограниченном увеличении |х| (]х|-» + «>) ОМ также неограниченно увеличивается, поэтому ОМ может быть сколь угодно большим. А это и означает, что гипербола — неограниченная кривая.
Рис. 3.1. К расположению гиперболы на координатной плоскости
Гипербола имеет две бесконечные ветви, расположенные в левой и правой полуплоскостях координатной плоскости. На рис. 3.1 заштрихованы те части плоскости Оху, в которых расположены ветви гиперболы.
Из уравнения (3.1) следует, что точки А,(—а,0), А2(а, 0) принадлежат гиперболе, они называются вершинами гиперболы. Отрезок AtA,, а также его длина 2« называется действительной осью гиперболы (рис. 3.3). Гипербола не пересекает ось Оу.
3.	Фокусы гиперболы. Свойство фокальных радиусов точки гиперболы. Точки F}(— с, 0) и F2(c, 0), где с=л!а2 +Ь2, находящиеся на действительной оси гиперболы, называются ее фоку
164
Глава 2. Кривые второго порядка
сами, а расстояния г, и гг произвольной точки М(х,у) до этих точек — фокальными радиусами точки М (рис, 3.1).
Свойство фокальных радиусов:
к,-А| = 2<!.
Обоснование этого равенства проводится так же, как в случае эллипса (см. § 2).
Свойство фокальных радиусов можно сформулировать следующим образом.
Модуль разности расстояний произвольной точки М гиперболы, определяемой уравнением (3.1), до двух фиксированных точек F((— с, 0) и F2(c, 0), где c = -Ja2 +Ь2, есть величина постоянная, равная длине ее действительной оси.
4.	Асимптоты гиперболы. Построение гиперболы. Прямые , b , ь
Lt:y = —x и L,:y =—х, между которыми, как показано вы-
ше, лежат ветви гиперболы, играют важную роль в исследовании формы и построении гиперболы.
Рис. 3.2. К понятию асимптоты гиперболы
Рассмотрим часть гиперболы, расположенную в первом квадранте, и прямую L :у = —х (рис. 3.2). Данная а
часть гиперболы определяется уравнением: у = —^х2 —а2. На гиперболе а
возьмем любую точку М(х, у), а уравнение jL| преобразуем к виду: ЬХ — aY = 0, где X, Y — координаты текущей точки прямой Ц. Обозначим через d расстояние точки М(х,у) до
прямой Lt, d = |Л/Л] (рис. 3.2). Найдем расстояние d по формуле (5.1) из гл. 1, учитывая, что Ьх—ау>0 при х > 0, у> 0 (свойство 2):
-\!b2 +а2
Ьх—ау
В полученном равенстве заменим у на его выражение из уравнения гиперболы:
, bx-b-Jx2 —а2	Ь(х--\!х2 —а2)
а = — = .	---.
у/? +а2	\Ь2 +а2
§ 3. Гитербола и ее свойства
165
Перенесем иррациональность из числителя в знаменатель:
b	<х- ?х' - а2 Хх + Vx2 - а2) _	а2Ь
~ -Jb2 +а2	х+^х2-а2	Л2 +a2(x+Vx2-o2 )
Из последнего равенства следует, что расстояние d произвольной точки гиперболы М(х,у) до прямой £, неограниченно уменьшается с увеличением ее абсциссы, т. е. с удалением точки М(х,у) по гиперболе от начала координат. Другими словами, по мере удаления (с увеличением х) точки М(х,у) от начала координат по гиперболе вправо (у>0) эта точка приближается сколь угодно близко к прямой Lt (но не пересекает ее — см. рис. 3.2 и свойство 2). Прямая £( называется асимптотой для ветви гиперболы, расположенной в первом квадранте. В силу свойства симметрии гиперболы прямая Lt является асимптотой и для ветви гиперболы, расположенной в третьем квадранте, а прямая £2 — асимптотой для ее ветвей, расположенных во втором и четвертом квадрантах. Асимптоты гиперболы проходят через противолежащие вершины прямоугольника, ограниченного прямыми х = ±и, у = ±Ь, называемого основным прямоугольником гиперболы (рис. 3.3).
Рис. 3.3. Построение гиперболы, прямые L, и £2 — асимптоты гиперболы
5.	Эксцентриситет гиперболы.
Определение 3.2. Отношение расстояния между фокусами гиперболы к длине ее действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается е.
По определению е —2с/1а —с / а, откуда следует, что е>1, поскольку для гиперболы с > а. При фиксированной действительной полуоси а с увеличением эксцентриситета с увеличивается, поэтому b также увеличивается (b = -Jc’ —а2). При этом
166
Глава 2. Кривые второго порядка
увеличивается угол наклона асимптоты гиперболы у = — х а
к оси Ох и, следовательно, ветви гиперболы раскрываются (рис. 3.4)
Рис. 3.4. Влияние эксцентриситета на форму гиперболы
6.	Каноническая система координат. Гипербола определяется уравнением (3.1), если система координат выбрана следующим образом: ось Ох проходит через фокусы гиперболы, а ось Оу — через ее центр симметрии. Эта система координат называется канонической по отношению к данной гиперболе, а равенство (3.1) именно поэтому называется каноническим уравнением гиперболы. В другой прямоугольной декартовой системе координат уравнение данной гиперболы не будет каноническим и может содержать члены и первыми степенями координат и их произведением.
Пример 3.1. Гипербола задана уравнением 9х~ — 16у2 = 144. Найти ее полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот. Изобразить гиперболу на чертеже.
► Разделим обе части данного уравнения на 144:
^- = 1. Сравнив это равенство с (3.1), видим, что о2 =16, Z>2 = 9=*а= 4, /> = 3, <? = -Jo2 +b} = 5. Точки F,(—5,0), F,(5,0) — фокусы гиперболы, а ее эксцентриситет е=с/а = 5/ 4. Асим-
3
птоты гиперболы L и £, имеют уравнения у = ±—х. Основ-1	-	л
§ 3. Гитербола и ее свойства
167
ной прямоугольник гиперболы образован прямыми х = ±4, у=±3, асимптоты L и I. проходят через его вершины (рис. 3.5). На этом рисунке изображена данная гипербола, ее действительная ось А,А2, Л, (—5,0), Л2(5, 0), отрезок BtB2, называемый мнимой осью, В, (О,—4), В3(0, 4), точки Ft, F2 — фокусы гиперболы. ◄
Рис. 3.5. К примеру 3.1
Уравнение (3.1) при а = Ь принимает вид —--=1 или
а2 а2
хг-у2=аг	(3.2)
и определяет так называемую равнобочную гиперболу. Ее асимптоты имеют уравнения у = ±х и являются биссектрисами координатных углов, а основной прямоугольник — квадратом. С равнобочной гиперболой читатель уже встречался в курсе элементарной математики, а именно, эта кривая есть график обратно пропорциональной зависимости. В самом деле, рассмотрим функцию у = к/ х в предположении к>0 и преобразуем последнее равенство к виду:
ху = к.	(3.3)
Выберем новую прямоугольную декартову систему координат Оху', которая получается из системы Оху поворотом на угол я/4 вокруг начала координат (рис. 3.6). Используя формулы (6.4) из гл. 2 разд. 2, напишем формулы преобразования координат:
fx=x'cos(n/4)—y'sin(n 4),	1х — х'/л/2х'—у’/-jl,
(	или j
|j = j.'s!n(i:/4) I Ус<»(тг/4),	|>> = Х-/-Д.
Подставим последние равенства в (3.3):
168
Глава 2. Кривые второго порядка
Рис. 3.6. Равнобочная гипербола как график обратно пропорциональной зависимости ,р = к/х
(х' / д/2 — у' / 42у')(х' / л/2+j' / -J2y')=k или х'2—у'г=2к
Положив в последнем соотношении 2Л = л2, приходим к уравнению
-у'2=а2
(3.4)
Сравнив это равенство с (3.2), заключаем, что уравнение (3.4) определяет равнобочную гиперболу Она изображена на рис. 3.6, A(j2k,j2k).
§ 4.	ПАРАБОЛА И ЕЕ СВОЙСТВА
Определение 4.1. Параболой называется кривая второго порядка, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением
у2=2рх, р>0	(4.1)
Равенство (4.1) называется каноническим уравнением параболы.
Свойства параболы
1.	Парабола — осесимметричная кривая. В самом деле, если точка М(х,у) принадлежит параболе, то ей принадлежит также и точка М(х,—у). А это означает, что ось Ох является осью симметрии параболы (или осью параболы). Других осей симметрии и центра симметрии парабола не имеет.
2.	Парабола вся расположена в правой полуплоскости и является неограниченной кривой. В самом деле, из уравнения (4.1) следует, что абсцисса х любой точки параболы М(х,у) должна быть неотрицательна. Для расстояния ОМ точки М до начала координат с учетом (4.1) имеем:
§ 4. Парабола и ее свойства
169
ОМ = у]х} +у2 = -yjx2 +2рх.
(4.2)
Из (4.2) следует, что при неограниченном увеличении х
(х-*+<») расстояние ОМ также неограниченно увеличивается
и может стать сколь угодно большим. А это и означает, что парабола — неограниченная кривая. Как следует из уравнения (4.1), начало координат 0(0, 0) принадлежит параболе. Эта
точка называется вершиной параболы.
3.	Фокус и директриса параболы. Точка F(p/2,0), находящаяся на оси параболы называется ее фокусом, а расстояние г произвольной точки М(х,у) параболы до этой точки — фокальным радиусом точки М (рис. 4.1).
Пусть r= FM (рис. 4.1). Имеем г=^(х—р/2)1 +у2. Раскроем скоб
Hf.O)
1
Рис. 4.1. Фокус и директриса параболы
ки в подкоренном выражении, заменим, в силу (4.1), у2 на 2рх и перегруппируем слагаемые:
г = у]х2 — рх + р2 / 4+2рх = -^(х + р/2)2 = х+р/2. Таким обра-зом, приходим к соотношению:
г = х+р/2.	(4.3)
Правая часть последнего равенства совпадает с выражением для расстояния d точки М до прямой D: х = ~р/2, так как d-x + p/2 (рис. 4.1). Эта прямая называется директрисой параболы. Итак, расстояния любой точки параболы до директрисы и до фокуса равны между собой.
4.	Параметр параболы. Построение параболы. Число р из уравнения (4.1) называется параметром параболы. Он равен фокальному радиусу точки параболы, расположенной на перпендикуляре, восставленном из ее фокуса к оси Ох (при х= р/2 из (4.3) имеем г= р). Это свойство вместе с предыдущими позволяет построить параболу (рис. 4.2).
5.	Каноническая система координат. Парабола определяется уравнением (4.1), если система координат выбрана специальным образом: ось Ох проходит через фокус параболы перпендикулярно ее директрисе в направлении от директрисы
170
Глава 2. Кривые второго порядка
Рис. 4.2. Построение параболы, параметр параболы
к фокусу, а ось Оу — через вершину параболы Такая система координат называется канонической по отношению к данной параболе, а ее уравнение (4.1) именно в этой связи называется каноническим уравнением параболы. При выборе другой прямоугольной декартовой системы координат парабола будет иметь другое уравнение и может содержать члены с произведением координат.
Пример 4.1. Найти параметр, координаты фокуса и уравнение директрисы параболы у2 = 8х. Изобразить эту параболу на чертеже.
►Сравнив данное уравнение с (4.1), имеем 8 = 2р, откуда р=4. Точка F(2, 0) — фокус параболы, а х=—2 — уравнение ее директрисы D. Построим на чертеже точки Mt (2, — 4) и Л/2(2, 4). Теперь проведем параболу через эти точки и ее вершину — начало координат (рис. 4.3).-^
Пример 4.2. Найти координаты фокуса параболы у2 — 2у = 4х+3 и построить эту кривую.
► В левой части уравнения выделим полный квадрат: {у— I)2 =4(х+1). Перейдя к новым прямоугольным координатам х',у’ по формулам: л'=х+1, у'=у—I, получим уравнение: у'2 = 4х'_ В системе координат О'х'у' оно является каноническим уравнением параболы вида (4.1). Имеем 4=2р, откуда р=2. В новой системе координат фокус параболы имеет координаты (1, 0), а его старые координаты можно найти из формул перехода: F(0, 1). Точка О' — вершина параболы, поэтому
в системе Оху она имеет координаты: (—1, 1). Далее строим параболу, используя свойство параметра (рис. 4.4). ◄
Замечание 4.1. Наряду с параболой, определяемой уравнением (4.1), рассмотрим параболу, задаваемую следующим уравнением:
х2 =2ру.
(4.4)
Осью симметрии такой параболы является ось Оу, ее фокус находится в точке Г(0,р/2), а директриса D имеет уравнение у=—р/2 (рис. 4.5). В этой параболе читатель, очевидно, узнает график квадратной функции у=ах' (оО) из курса элементарной математики (а = 1/(2р)).
Рис. 4.5. Парабола, определяемая уравнением хг = 1ру, р>0
Замечание 4.2. Ветви парабол, определяемых уравнениями
(4.1) и (4.4) направлены вправо и вверх соответственно. Пара
Глава 2. Кривые второго порядка
болы с противоположным направлением ветвей определяются уравнениями:
у2 = — 2рх, р>0,	(4.5)
х2 = —2ру, р>0.	(4.6)
Осью симметрии параболы, определяемой уравнением (4.5) является ось Ох, ее фокус находится в точке F(—р/2,0), а директриса D имеет уравнение х — р/2 (рис. 4.6). Осью симметрии параболы, определяемой уравнением (4.6) является ось Оу, ее фокус находится в точке F(0,—р/2), а директриса D имеет уравнение D: у = р/2 (рис 4.7).
Пример 4.3. Найти параметр, координаты фокуса и вершины, а также уравнение директрисы параболы х~ — 2х= — 4у—3.
► В левой части уравнения выделим полный квадрат: (х—I)2 =— 4(у+1). Перейдя к новым координатам х',у' по формулам: х'=х—1, у'=у+1, получим уравнение: х,2=—4у' вида (4.6). Так как 4=2р, то р=2. Координаты фокуса параболы в новой системе координат есть (0, —1), а его старые координаты найдем из формул перехода: Г(1, —2). Точка О' — вершина параболы, поэтому в системе Оху она имеет координаты: (1, 1). Уравнение директрисы: у = 0.-4
Рис. 4.6. Парабола, определяемая уравнением уг = ~2рх, р > 0
Рис. 4.7. Парабола, определяемая уравнением х1 =—2ру, р>0
§ 1- Общее уравнение поверхности второго порядка Классифгаация поверхностей второго 173
Глава 3
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1.	ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Определение 1.1. Поверхностью второго порядка называется множество точек, координаты которых в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени’
Ах2 + By2 +Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz +Gx + Hy + Iz +J =0, (1.1)
где А, В, C, D. E, F, G, H,l,JER,b A2 + В2 +C2 +D2 +E2 + +F2*0.
Можно показать [3], что при надлежащем выборе прямоугольной системы координат множество точек, определяемое уравнением (1.1), будет описываться одним из ниже перечисленных уравнений:
а2	+22+^ = Г Ь2 с2 '	(1-2)	а2	У Ь2	4=1;	(1-3)
X	+^-—--1	(1.4)	X	у		z -О-	(1-5)
а2	+ Ь2 с2~ *’		а2	V	с2^	
Р	+ —= 2?; Ч	(1.6)	Р	Ч	= 2z;	(1-7)
У	+^- = 1: ь-	(1-8)	а2		= 1:	(1-9)
у2	=2рх;	(1.10)	а2		= 0;	(1-П)
а2	=1;	(1-12)	а2	4	- = 0;	(1-13)
а2		(1-14)	а2	4	+Д=-!; С	(1-15)
а2	4=-|:	(1-16)	а2	=-i =а		(1-17) (1-18)
174
Глава 3. Поверхности второго порядка
Предполагается, что a, b, c,p.q>0 в каждом из уравнений (1.2) — (1.17). Уравнения (1-15) — (1.17) задают пустые множества точек, уравнение (1.13) задает ось Oz (x = i =0, zG/?), уравнение (1.14) — начало координат (x=y = z=Q). Уравнения (1.11) и (1.12) определяют пару пересекающихся и пару параллельных плоскостей, уравнение (1.18) — пару слипшихся плоскостей. Геометрические образы, задаваемые уравнениями (1.2) — (1.10), называются невырожденными поверхностями второго порядка, а уравнения (1.2) — (1.10) — их каноническими уровнениями. Форма и некоторые свойства этих поверхностей, вытекающие из их уравнений, изучаются в следующих параграфах с помощью так называемого метода параллельных сечений.
§ 2.	ЭЛЛИПСОИД
Определение 2.1. Эллипсоидом называется поверхность второго порядка, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz уравнением вида
Уравнение (2.1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Эллипсоид обладает центральной симметрией относительно начала координат и симметрией относительно координатных плоскостей.
Эллипсоид — ограниченная поверхность. Он находится внутри шара радиуса а с центром в начале координат. Действительно, для расстояния |ОЛ/| любой точки M(x,y,z) эллипсоида до начала координат с учетом (2.1) имеем:
И' = х‘ +г‘ + ? =а‘ t+2L+rl< а а )
Произведем сечения эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям В сечении плоскостью Р: z=z0, |zu|<c, получим эллипс Г, определяемый уравнени-х2 , уг . z02
ем —= *—г в ПРЯМ°УГОЛЬНОИ декартовой системе коор-а b а
§3. Гиперболе иды
175
Рис. 2.1. Эллипсоид
динат Otxy, введенной на этой плоскости так, что точка 0,(0, 0, Zo) — начало координат, а оси О,х и О, у параллельны осям Ох к Оу системы координат Oxyz (рис. 2.1, zu *0). Полуоси Г, равны z,, /а2 и ьф—z2 /о2. В сечении плоскостью z=0 (z0 =0) получается эллипс Г, с наибольшими полуосями а и b (рис. 2.1). Аналогичным образом можно убедиться, что сечения эллипсоида плоскостями х=х„ (х0|<а) и у = у0 (|Л’(,|<£) тоже эллипсы, полуоси которых не превосходят а, Ь, с. В сечении координатными плоскостями х=0, у = 0 полуоси этих эллипсов Гэ и Г4 наибольшие и равны Ь, с м а, с (рис. 2.1) Числа а, Ь, с называются полуосями эллипсоида, а точки А, (-«,0,0), Л , (с, 0,0), Я, 0), В2(0,/>, 0), С, (0,0,—с), С2(0, 0, с) — его вершинами (рис. 2.1). Описанный эллипсоид иногда называют также трехосным эллипсоидом.
§3.	ГИПЕРБОЛОИДЫ
Определение 3.1. Поверхности второго порядка, определяемые в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz уравнениями
т с>0-
х2 V2 Z-’
—+^--^-=-1, o>Z>>0, с>0, a2 b' c2
(3.1)
(3-2)
называются однополостным и двуполостным гиперболоидами соответственно.
176
Глава 3. Поверхности второго порядка
Характер симметрии этих поверхностей такой же. как у эллипсоида. Числа «, Ь, с называются их полуосями
1. Однополостный гиперболоид. В сечении плоскостью z=0 получаем горловой эллипс Т\'—у + ^-т- = 1 с полуосями а и b (рис.
а b
3.1), а в сечении плоскостями х = 0, у = 0 — гиперболы у2 z2	х2 z2
Г, тг- г=1 и Г}:—-^ = 1 (рис. 3.1).
о с	ас
2. Двуполостным гиперболоид. Эта поверхность расположена вне части пространства, лежащей между плоскостями z=±c, где |z)<c- Точки С|(0, 0, —с) и С2(0, 0, с) называются вершинами двуполостного гиперболоида (рис. 3.2). Сечения данной поверхности координатными плоскостями х=0 и у=0 являются гиперболами Г4:^-—=1, Г,: 4——- = 1 (рис. 3.2). Сечения b с2 а с2
поверхности плоскостями z=h, |й]>с, есть эллипсы: 444-
Рис. 3.1. Однополостный гиперболоид
Рис. 3.2. Двуполостным гиперболоид
§ 4. Конус второго порядка 177
§4. КОНУС ВТОРОГО ПОРЯДКА
Определение 4.1. Алгебраическая поверхность п-го порядка называется конической поверхностью {конусом), если в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz она может быть задана уравнением вида
F{x,y,z)=0,
(4.1)
где F(x,y,z)— многочлен относительно переменных х, у, z такой, что сумма показателей степени при х, у, z в каждом его члене постоянна и равна п:
F(x,y,i) = A,x‘‘y''z‘’ +...+Л,х‘-у' г~-,
где kf +lt +mt = ...=ks +lf + m, =n, kt, lt, tn., n Vi = l, 2,...,s.
Начало системы координат О (0, 0, 0), очевидно, принадлежит конусу. Если точка M{x,y,z) лежит на конусе (рис. 4.1), то прямая, проходящая через точки О и М, лежит на этом конусе (рис. 4.1). Действительно, пусть M’{x',y',z') — произвольная точка этой прямой. Так как векторы ОМ' и ОМ коллинеарны, то найдется действительное число 'К такое, что будут справедливы равенства х'=кх, у'='Ку, z=kz. В силу условия, наложенного на многочлен F{x,y,z№ определении 4.1, имеем:
F{x' ,у' ,z')= F(kx,ky,kz)= knF{x,y,z)

Рис. 4.1. К понятию конической поверхности
Из последнего равенства с учетом (4.1) имеем соотношение F{x' ,у' ,z') = Q, из которого следует, что координаты x‘,y',z' точки М' удовлетворяют уравнению (4.1). А это означает, что она принадлежит данному конусу. Итак, установлено.
178
Глава 3. Поверхности второго порядка
что любая коническая поверхность, определяемая уравнением вида (4.1), образована прямыми, проходящими через одну и ту же точку О (начало координат). Эти прямые называются ее образующими, а точка О — ее вершиной.
Определение 4.2. Поверхность второго порядка, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz уравнением

(4.2)
называется конусом второго порядка.
Характер симметрии этой поверхности такой же, как у эллипсоида. Ее сечение плоскостью Р. z = z^ (Zo * 0) представляет собой эллипс Г (рис. 4.2). Образующими конуса второго порядка, определяемого уравнением (4.2), являются прямые, проходящие через начало координат — вершину этого конуса и пересекающие эллипс Г, называемый его направляющей.
§5. ПАРАБОЛОИДЫ
Определение 5.1. Поверхности второго порядка, определяемые в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz уравнениями:
—+—=2z, p,q>0, Р 4
(5.1)
§ 5. Параболоиды
179
———=2z, р,<7>0, Р Q
(5.2)
называются эллиптическим и гиперболическим параболоидами соответственно.
Данные поверхности симметричны относи 1ельно координатных плоскостей Oxz и Oyz. В отличие от ранее изученных поверхностей, эллиптические и гиперболические параболоиды не обладают ни центральной симметрией, ни симметрией относительно плоскости Оху.
1. Эллиптический параболоид. При принятом предположении р, q > 0 вся поверхность расположена в полупространстве, где z>0. Начало координат принадлежит эллиптическому параболоиду и называется его вершиной.
Сечение эллиптического параболоида плоскостью Р. z — Zq (?,. > 0) — эллипс Г, с полуосями ^2рги и ^2qzb (рис. 5.1). а в сечении координатными плоскостями х = 0 и у = 0 имеем параболы Г2: у2 = qz и Г3: х2 = 2pz (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Эллиптический параболоид
Рис. 5.2. 1йперболическии параболоид
2. Гиперболическим параболоид. Сечения этой поверхности плоскостями х=0 и у = 0 являются параболы Г1:у2=—2qz и Г,:х2 = 2pz (рис. 5.2). Сечение плоскостью х =	6^ * 0) есть
парабола Г3 с вершиной на параболе Г2, а сечение плоскостью у =	(у0 * 0) — парабола Г4 с вершиной на параболе Г, (рис.
5.2). Параболы Г, и Г4 можно получить путем параллельного переноса парабол Г! и Г2. Название гиперболический параболоид объясняется тем, что в сечении этой поверхности плоскостью z — Zq (za * 0) образуется гипербола Г5 (рис. 5.2).
180
Глава 3. Поверхности второго порядка
§6. ЦИЛИНДРЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Определение 6.1. Алгебраическая поверхность n-го порядка называется цилиндрической поверхностью (или цилиндром), если в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz она может быть адана уравнением вида
Г(х, у) = 0,	(6.1)
где F(x, у) — многочлен и-й степени относительно переменных х, у, не содержащий переменной z. Кривая Г, определяемая уравнением (6.1) в плоскости Олт. называется направляющей этого цилиндра (рис. 6.1).
Если точка М{х, у, 0) принадлежит Г (значит, и данному цилиндру), то все точки М'(х, у, z), где z — любое действительное число, тоже ему принадлежат, ибо координаты М' удовлетворяют уравнению (6.1). Все они расположены на прямой L, проходящей через точку М(х, у, 0) параллельно оси Oz (рис. 6.1). Итак, данный цилиндр образован прямыми, параллельными оси Oz и пересекающими его направляющую Г. Эти прямые называются его образующими.
Замечание 6.1. Цилиндры с образующими, параллельными осям Ох и Оу, определяются уравнениями вида СЦу, z) = О и Н{х, z) = 0.
Рис. 6.1. К понятию цилиндри-
ческой поверхности
Рис. 6.2. Эллиптический цилиндр
Определение 6.2. Поверхности второго порядка, определяемые в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнениями вида
(6-2)
§ 7, Поверхности вращения второго порядка
181
называю гея цилиндрами второго порядка.
Рис. 6.3. Гиперболический цилиндр Рис. 6.4. Параболический цилиндр
Направляющими этих цилиндров служат эллипс, гипербола и парабола, определяемые уравнениями (6.2) — (6.4) в плоскости Оху. Их образующие, как было установлено выше, параллельны оси Oz (рис. 6.2 — 6.4).
§7. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Определение 7.1. Алгебраическая поверхность называется поверхностью вращения, если в некоторой прямоугольной декартовой системе координат она может быть задана уравнением вида
F(x2+y2, z)=0,	(7.1)
где F(x2 + у2, z) — многочлен от х2 +у2, z-
Замечание 7.1. Данное определение является конструктивным в том смысле, что позволяет выделить поверхности вращения по виду их уравнений из множества всех алгебраических поверхностей Так, например, в соответствии с этим определением уравнения 2 (х2 +у2)+z=О и (х2 + у2)2 +4z2 = 1 задают алгебраические поверхности вращения.
Теорема 7.1. Поверхность (S), определяемая уравнением (7.1), образуется при вращении вокруг оси Oz кривой Г, являющейся линией пересечения (Л) с плоскостью Oyz-
182
Глава 3. Поверхности второго порядка
► Пусть Л/,(О,уо, z0) — любая точка Г (рис, 7.1). В силу (7.1) имеем:
/гО’„,го)=О.	(7.2)
Проведем через Л/о плоскость Р: z = Zo, перпендикулярную оси Oz, и рассмотрим в ней окружность с центром в точке ОДО, 0, го) и радиусом |у0| (рис. 7.1). Пусть точка M{x,y,zv) — произвольная точка этой окружности. Так как ЩЛ/р =ЩЛ/0|2, то х2 +у2 =у2. Подставляя координаты точки М в уравнение (7.1), с учетом последнего равенства и равенства (2) имеем1
F(x2 + у2, z„) = F(y2,z,])=О-
Таким образом, показано, что координаты произвольной точки М упомянутой окружности удовлетворяют уравнению (7.1). Следовательно, эта точка принадлежит (3). Тем самым установлено, что поверхность (5) образуется при вращении линии Г вокруг оси Oz (рис. 7.1).-^
Следствие из теоремы 7.1. Алгебраические поверхности, определяемые уравнениями G(x,y2 +z2)=0 и Н(х2 +z2,y)=0, образуются при вращении некоторых кривых вокруг оси Ох и оси Оу соответственно.
Из вышеприведенного определения следует, что уравнение поверхности вращения второго порядка в некоторой прямоугольной декартовой ситеме координат имеет вид
А(х2 +y2) + £z2 +Cz+D=0.	(7.3)
Сопоставив уравнение (7.3) с уравнениями эллипсоида, гиперболоидов, конуса 2-го порядка, эллиптического параболоида и эллиптического цилиндра из § 2—6, приходим к выводу, что эти поверхности будут поверхностями вращения при уело-
§ 7. Поверхности вращения второго порядка 183
вии p=q для эллиптического параболоида и а~Ь для всех остальных поверхностей. Сопоставление этого уравнения с уравнениями гиперболического параболоида из § 5, гиперболического и параболического цилиндров из §6 приводит к заключению, что эти поверхности не могут быть поверхностями вращения ни при каких значениях констант. Итак, уравнения
х1 +у* z1 хг +y2_z2
а2 с2 ’ а2 с2
^-4=0.	и^=.
а с2 р	а
определяют алгебраические поверхности вращения второго порядка, а именно, эллипсоид вращения, гиперболоиды вращения, конус вращения второго порядка (или прямой круговой конус), параболоид вращения (или круговой параболоид) и цилиндр вращения второго порядка (или прямой круговой цилиндр) соответственно. Каждая из этих поверхностей образуется при вращении вокруг оси Oz кривой, являющейся пересечением данной! поверхности с плоскостью Oyz. Так, например, вышеуказанный эллипсоид вращения образуется при вращении вокруг оси Oz линии Г, (рис. 2.1).
Контрольные вопросы и задачи к разделу 3
1.	Что такое алгебраическая линия9 Сформулируйте теорему об инвариантности порядка алгебраической линии.
2.	На плоскости Оху даны прямая L: х—2у+2=0 и точка Л (2, —1). Найдите: а) проекцию точки А на прямую L; б) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно прямой Ц в) расстояние от точки А до прямой L.
3.	Каковы различные виды уравнений прямой на плоскости: прямой в пространстве?
4.	Напишите равенства, выражающие условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости и в пространстве.
5.	Какие прямые на плоскости нельзя задать уравнением с угловым коэффициентом?
6.	Напишите формулы для угла между двумя прямыми на плоскости.
7.	Напишите формулу для расстояния от точки до прямой на плоскости, от точки до плоскости.
184
Глава 3. Поверхности второго порядка
8.	Почему плоскости и только они называются поверхностями 1-го порядка?
9.	Какими двумя способами можно задать линию в пространстве с помощью уравнений?
10.	Каков геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости; в общем уравнении плоскости?
11.	Даны плоскость Р. Зх—2у + 7=0 и точка 4(2, —1,3). Найдите проекцию точки А на плоскость Р.
12.	Что такое эллипс? Сформулируйте свойство фокальных радиусов точки эллипса. Постройте эллипс 4х2 — 8х+у2 =0. Найдите координаты центра симметрии, полуоси, координаты фокусов.
13.	Каким свойством обладают фокальные радиусы гиперболы? Какие прямые называются асимптотами гиперболы? Напишите уравнения асимптоз гиперболы 4х2 — 9у2 =36.
14.	Что такое эксцентриситет гиперболы? Как он влияет на ее форму?
15.	Сформулируйте свойство параболы, связанное с ее директрисой и фокусом. Постройте параболу у1 + 4х— 2 у+5 = 0, найдите координаты фокуса и уравнение директрисы.
16.	Какая алгебраическая поверхность называется цилиндрической, конической?
17.	Какую поверхность определяет уравнение, содержащее только две прямоугольные координаты из трех?
18.	Какие уравнения в прямоугольной декартовой системе координаз Oxyz задают невырожденные поверхности второго порядка?
19.	Что такое эллипсоид? Какими линиями являются его сечения координатными плоскостями в прямоугольной декартовой системе координат?
20.	В каком случае эллипсоид называется эллипсоидом вращения? При вращении какой фигуры и вокруг какой оси он образуется?
21.	Какой симметрией обладают однополостный и двуподостный гиперболоиды, параболоиды и почему?
22.	Написать уравнения линий, образующихся в сечении координатными плоскостями гиперболоидов и параболоидов, заданных каноническими уравнениями. Нарисовать эти линии.
23.	Постройте поверхности, определенные уравнениями:
а) х=3;	б)х2=4(х+у); в) х2-у2+z2 =-1.
§ 7, Поверхности вращения второго порядка
Ответы на контрольные вопросы и задачи к разделу 3
2. а) (4/5; 7/5): б) х-2у-4 = 0; в) 6/А 11. (-19/13; 17/13; 3). 12. Эллипс с центром в точке (1, 0), оси симметрии параллельны осям координат; длины полуосей: 1, 2; (1, ±Д) — координаты фокусов. 13. у = ±2х/3. 15. Вершина параболы находится в точке (—1, 1), фокус в точке (—2, 1), х = 0 — уравнение директрисы 23. а) Плоскость, перпендикулярная оси Ох и отсекающая от нее отрезок, равный 3; б) параболический цилиндр с образующими, параллельными оси Oz, направляющей цилиндра служит парабола, расположенная в плоскости Оху и определяемая уравнением х’=4(х+у) или (х—2)2 =4(у+1); ее вершина находится в точке (2, —1), фокус — в точке (2, 0); в) двуполостный гиперболоид вращения, ось гиперболоида — ось Оу.
Раздел 4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Математический анализ - рад разделов математики, посвященных исследованию функций методами анализа бесконечно малых. В настоящем разделе вводятся основные понятия математического анализа: функция, предел, непрерывность функции. Описание нового по сравнению с элементарной математикой действия — предельного перехода — является центральным для всего раздела. Сначала это действие рассматривается в его простейшем варианте, для последовательностей чисел, затем применительно к функциям одного аргумента. С помощью операции предельного перехода далее будут построены другие основные понятия математического анализа — производнвя, интеграл и т. п
§ 1 - Множества и операции над ними
187
Глава 1
МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ
§ 1. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НДЦ НИМИ
Понятие множества  одно из основных в математике. Оно относится к так называемым первичным, классификационно неопределяемым понятиям. Термины «совокупность», «семейство», «система», «набор» и т. п. — синонимы слова «множество». Примерами множеств могут служить множество граждан, живущих в данном городе, множество натуральных чисел и т. д. Приведенные примеры показывают, что множество может содержать конечное или бесконечное число произвольных объектов.
Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Множества обычно обозначаются большими буквами, а их элементы — малыми.
Если х — элемент множества X, то пишут: хЕХ (х принадлежит X). Запись х^Лследует читать так: «х не принадлежит X». Запись Л=х1,х2,...,хл означает, что множество X состоит из элементов х|,х2,...,хи. Аналогичный смысл имеет запись X = х1,х,,...,хя,...
Пусть X и Y — два множества. Если всякий элемент множества X принадлежит и множеству У, то X называют подмножеством множества, при этом записывают: X Y. Множества X и Y, состоя шие из одних и тех же элементов, называют равными и пишут X = Y.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают символом 0. Очевидно, что 0CX, X — любое множество.
Объединением множеств X и Y называют множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из данных множеств X или Y. Объединение множеств X и Y обозначают X U Y. Пересечением множеств X и Y называют множество, каждый элемент которого принадлежит одновременно и множеству X, и множеству Y. Пересечение множеств X и Y обозначают XDY.
Разнос! ью множеств X и Y называю! множество, состоящее из тех элементов множества X, которые не принадлежат У; обозначают разность множеств X и Y символом X \ Y-
188
Глава 1. Множества и функции
На рис. 1.1 —1.3 заштрихованные фигуры изображают объединение, пересечение и разность множеств X и У, представленных прямоугольниками.
ли У
Рис. 1.1. Объединение Множеств X и У
Х\¥
Рис. 1.3. Разность множеств X и ¥
Пример 1.1. Найти Ли У, X ПУ и Л\У, если Х= {2,4,5,71, У={1,3,4,5,8}.
►Л иУ={1,2,3,4,5,7,8}, ЛПУ={4,5}, Л\У={2,7}. ◄
Пример 1.2. Найти X U У, X ПУ и Л\У, если X, У — множества решений неравенств: хi 2 — 4<0 и х2 — 4х—5<0.
►х2 - 4<0<*(х—2)(х+2)<0. Ре-
-1 X шим последнее неравенство, напри-
i	)	।	„ мер, методом интервалов: —2<х<2.
2 _]	2	5 Итак, множество X состоит из чисел
х, удовлетворяющих полученному
Рис. 1.4. к примеру 1.2 неравенству (рис. 1.4). Это утверждение можно записать так: X = (х:
—2<х<2}, где знак двоеточия имеет смысл «такой, что» Решив второе из данных неравенств, получим: У={х:—1<х<5} (рис. 1.4) Имеем:
X UУ=(х:—2<х<5}, X ПУ=(х- 1<х<2}, А\У=(х:-2<х<-1}.^
Множество Л, состоящее из одного элемента, из двух элементов, вообще, из л элементов, где п — любое натуральное число, называют конечным множеством. Пустое множество 0 также относят к конечным множествам. Множества, не относящиеся к конечным, называют бесконечными. Бесконечным является, например, множество А. состоящее из всевозможных натуральных чисел.
Всякое бесконечное множество является либо счетным, либо несчетным. Бесконечное множество называют счетным, если между его элементами и натуральными числами можно установить взаимно однозначное соответствие, т. е. если можно перенумеровать все его элементы. Существуют множества, для которых такая процедура неосуществима: при любом способе
§ 2. Логические символы- Прямая, обратная и противоположная теоремы. Необходимые—	189
приписывания его элементам натуральных номеров, всегда часть элементов остается непронумерованной. Такие множества называют несчетными. Простейшим примером счетного множества является множество N всевозможных натуральных чисел. Совокупность всех точек отрезка прямой есть несчетное множество.
§2. ЛОГИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ. ПРЯМАЯ, ОБРАТНАЯ И ПРОТИВОПОЛОЖНАЯ ТЕОРЕМЫ. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
При записи математических предложений (определений, формулировок теорем и т. п.) вместо часто повторяющихся слов и целых выражений удобно использовать экономную символику из математической логики. Ниже приводятся наиболее простые и употребительные символы.
Пусть а, р - некоторые высказывания или утверждения, относительно каждого из которых можно сказать, истинно оно или ложно
Запись а означает «не а», т. е. отрицание утверждения а.
Запись а => р означает «из утверждения а следует утверждение р» (символ => — символ импликации).
Запись а р означает «утверждение а эквивалентно утверждению р», т. е. из а следует р и наоборот, из р следует а (символ <*— символ эквивалентности).
Запись алр означает «а и р» (символ Л — символ конъюнкции).
Запись avp означает «а или р» (символ V — символ дизъюнкции).
Запись VxGA? а(х) означает: для любого элемента х из множества X справедливо утверждение а(х) (символ V — квантор всеобщности, V — перевернутая первая буква английского слова Алу — любой, всякий).
Запись ЭхЕА: a(x) означает: существует элемент хЕА, для которого справедливо утверждение а(х) (символ 3 — квантор существования, 3 — перевернутая первая буква английского слова Existence — существование).
Теорема — математическое предложение, истинность которого доказывается. Она записывается в виде: «если а, то р» (или а=>р), где а— условие, ар — заключение теоремы. По
190
Глава 1. Множества и функции
меняв местами условие и заключение, получим обратную теорему «если р, то а» (или р=>а), теорема «если а, то р» называется в гаком контексте прямой. Так, в теореме «если четырехугольник — параллелограмм, то его противоположные стороны попарно равны» условие а: четырехугольник — параллелограмм, заключение р: его противоположные стороны попарно равны. Обратная теорема: «если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм» Здесь верны обе теоремы: прямая и обратная, но так бывает не всегда. Для теоремы — «если два угла вертикальные, то они равны» — обратная теорема неверна.
Теорема «если не а, то не р» (или а => Р) называется противоположной по отношению к теореме «если а, го р» (или а=>Р). Противоположная теорема всегда верна, если верна обратная теорема.
Пусть верна теорема «если а, то р» (или а=>р), тогда а называется достаточным усювием р, а р — необходимым условием р в том смысле, что выполнение а достаточно для выполнения Р, а р всегда (т. е. необходимо) верно при выполнении а. Когда верна обратная теорема «если р, то а» (или Р=»а), р оказывается достаточным условием а, а а — необходимым условием Р- Необходимые и достаточные условия иначе называют признаками. Если верны обе теоремы — прямая и обратная, их формулировки можно объединить: «для того чтобы выполнялось а, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось р» (или «а выполняется в том и только том случае, если выполняется р», «а выполняется тогда и только тогда, когда выполняется р», а«»р). Например, объединим формулировки теорем о параллелограмме: «для того чтобы данный четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны». Понятно, что при такой формулировке надо доказывать две теоремы: прямую и обратную.
§3. ПОНЯТИЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА. МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Я И ЕГО СВОЙСТВА
Будем пользоваться общепринятыми обозначениями:
^ = {1, 2, 3,...} — множество натуральных чисел;
§ 3. Понятие вещественного числа. Множество вещественных чисел Я и его свойства 191
Z = {0, 1, 2,	— множество целых чисел;
Q — множество рациональных чисел, т. е. чисел вида p/q, где §G7V, a pGZ: множество Q можно рассматривать также как совокупность всевозможных конечных или бесконечных периодических десятичных дробей.
Можно показать, что множество Q — счетное множество.
Бесконечные десятичные непериодические дроби не принадлежат множеству Q. Эти числа называются иррациональными. Рациональные и иррациональные числа называют вещественными или действительными числами; совокупность всех вещественных чисел обычно обозначают через R.
Основные свойства множества R
1.	Упорядоченность. Пусть xt, х2 — вещественные числа; справедливо одно и только одно из следующих утверждений:
2.	Плотность. Пусть xt,x2 — вещественные числа, причем х( <х2. Всегда существует вещественное число х, лежащее между х(, х2: х, <х<х2.
3.	Неограниченность. Для любого положительного числа А существует вещественное число х большее, чем А\ А<х. Для любого отрицательного числа А существует вещественное число х меньшее А: х <А.
4.	Непрерывность. Пусть X, Y — множества из R. Если неравенство х<у справедливо для VxGA, VyGK, то существует хотя бы одно вещественное число с: х<с<у.
Замечание 3.1. Множество Q обладает свойством плотности. но не обладает свойством непрерывности. Пусть X, Y — множества всех рациональных чисел, меньших и больших ?2 соответственно. Очевидно, неравенство х<у выполняется для VxGA', VyGK, а неравенство: х<с<у — только при с = л/2, которое, как известно, не является рациональным числом.
5.	Множество R несчетно.
6.	Неметрическая интерпретация множества R Геометрически Л/0 1 х
вещественные числа интерпрети-
руются как ТОЧКИ числовой прямой. Рис- 3-*- Числовая прямая представляющей из себя направ-
ленную прямую, на которой выбран масштаб и начало отсчета (рис. 3.1). При этом вещественному числу х ставится в соответствие единственная точка М числовой прямой, для которой
192
Глава 1. Множества и функции
число х является координатой, и, обратно, каждой точке М числовой прямой — единственное вещественное число х — ее координата Началу отсчета соответствует число 0.
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ПОДМНОЖЕСТВА ИЗ R
Пусть а и b — заданные вещественные числа, причем а<Ь. Далее будем использовать следующие обозначения и терминологию:
1.	|хЕЙ а < х < Ь} = {а, Ь) — интервал или открытый промежуток.
2.	{х G R: а < х < b} = [a, Z>] — отрезок (сегмент, замкнутый промежуток)
3.	{xGJt a<x<b} = (а, 6] и {xGA: a<x<b} = [а, Ь) — полуинтервалы.
Множества 1—3 относятся к конечным промежуткам.
4.	(хЕЙ: х<а} = (—«, о] и {xGjR: х>а\ = [а,-ь») — бесконечные полуинтервалы.
5.	{xGjR: х < а} = (—со, а) и {xG/?: х > а} = (а,-н») — бесконечные интервалы.
6.	(хЕ Л: — оо < х < + со} = (— то, со) — бесконечный интервал или числовая прямая.
7.	1/(а) — окрестность точки a D — любой интервал (а,, а,), содержащий эту точку a D (рис. 4.1)
	
«j а а2
Рис. 4.1. Окрестность точки а
Рис. 4.2. е — окрестность точки а
8.	t/(a) = (а — £, а + е) — е-окрестностъ гички а (рис. 4.2).
9.	1/(з) — проколотая окрестность точки а — объединение интервалов (ар а) о (а, а2), ар а2 — любые вещественные числа (рис. 4.3).
—(' I	'I	>
a	ch
Рис. 4.3. Проколотая окрестность точки а
10.	U^a) — проколотая s-окрестность точки а — объединение интервалов (а — е, а) и (а, а + е) (рис. 4.4).
§ 5. Модуль вещественного числа и его свойства 193
z"—-а+е
---------(--------1-------4---------> а
Рис. 4.4. Проколотая г — окрестность точки а
Пример 4.1. Записать в виде промежутков множества f/£(l) u U£(3), t/£(l)r>t/£(3) при eG(1, 2).
► t/c(l)= (1-е, 1 + е), С(3) = (3 - Е, 3 + е). 1/Д1) u 1£(3)=
= (1—е, 3+е), {/(1) f/£(3) = (3 —е, 1 + е) (рис. 4.5).^
Рис. 4.5. К примеру 4.1
§5. МОДУЛЬ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА И ЕГО СВОЙСТВА
Определение 5.1. Абсолютной величиной (модулем) вещественного числа х называется число, обозначаемое через |х| и определяемое формулой:
Гх, если х>0;
[—х, если х<0.
Замечание 5.L Геометрически |х| интерпретируется как расстояние от точки х числовой прямой до точки О (начала отсчета) (рис. 5.1, 5.2).
О.-------.Л	А,-------О
О	Д'	х	О
Рис. 5.1. К замечанию 5.1, х>0, Рис. 5.2. К замечанию 5.1, х<0, |*|=|ОЛ|	|х|=|ОЛ|
Свойства абсолютной величины
1.	Неравенство [ х) > О выполняется для Vx G R, | х] = 0 только для х = 0.
2.	Для VxGjR справедливо равенство: |х|=|—х].
3.	Для Vx G R справедливо неравенство: — | х | х < | х |.
4.	Неравенства |х|<д и — а<х<а равносильны для Va>0 и VxGl?.
Следствие. |х—b\<a*>b— а<х<Ь+а для Vc>0 и Vx, b Еб.
194
Глава 1. Множества и функции
5.	Неравенство |х|>« и объединение двух неравенств: х<-аУх>а равносильны для V«>0 и VxGT?
6.	|лу| = |х||у| для Vx G R, Vy G R, если у г О, то |х/у] = |х|/|у|.
7.	Неравенство ||х|—|у|<|х+у|^|х|+|у| справедливо для
Vx, у G R
Замечание 5.2. Из свойства 4 следует, что число х находится в данном случае на числовой прямой на отрезке длиной 2а между точками —а, а и на расстоянии от точки 0, не большем, чем а (рис. 5.3), а из свойства 5 — число х находится от точки 0 на расстоянии, не меньшем, чем а (рис. 5.4).
Замечание 5.3. Геометрическая трактовка свойства 4 (замечание 5.2) приводит к двум важным выводам: xGt/(о)<* |х—о]<е и xGl/(л)«*0<|х—й|<£.
2а
- -  -------- ' - ~ ___________________1________
______^/////////^////////^_ р	0	с
-а 0 а
Рис. 5.3. К замечанию 5.2	Рис. 5.4. К замечанию 5.2
Замечание 5.4. Неравенство |х+у|<|х| + |у| называют неравенством треугольника Можно доказать и более обшее утверждение: пусть п — заданное натуральное число, а х,, х2, ... , х„ — заданные вещественные числа, тогда справедливо неравенство: | х, + х2 + — + х„ | < | х,| + | х2 | + ... + | хй |.
► 1. Пусть х>0, тогда | х | = х (определение 5.1), поэтому |х|>0. Для х<0 имеем |х|=—х (определение 5.1) и потому | xj>0, так как (—х)>0.
2.	Пусть х>0, |х| = х, |—х]= —(—х) = х (определение 5.1) и |х| = |—х). Если х<0, |х|=—х, |—х] = —х (определение 5.1). Итак, и в этом случае | х| = |—л|.
3.	Пусть х > 0, тогда | х | = х (определение 5.1) и —| х | < х, так как —| х |< 0 (свойство 1), а х>0 Таким образом, заключаем: —|х|<х = |х|. Для х<0 имеем |х| = —х (определение 5.1), поэтому —|х| = х. В то же время: х<|х|, ибо |х)а0 (свойство 1), а х<0. Итак, для х<0 верно соотношение: —|х|=х<|х|.
4.	Пусть | х | < а, отсюда имеем: —| х | > — а. Эти два неравенства и свойство 3 приводят к соотношению: — а < — | х | < х < | х | < а или — а < л < а.
Предположим теперь, что — а < х < а. Для х: 0 < х < а имеем |х]= х (определение 5.1), поэтому приходим к неравенству:
§ 6. Ограниченные и неограниченные числовые множества Точные грани числовых множеств 195
| х] < а. Для х. — а < х < 0 имеем |х| = —х (определение 5.1), откуда следует, что —а < —|х| или |х]< а.
5.	Доказательство аналогично доказательству свойства 4.
6.	Доказательство следует из определения 5.1 и свойств действий с действительными числами.
7.	В силу свойства 3 для Vx, у&Л справедливы неравенства: —|х|<х<|х|, — |у|<у <|у|. Сложив их почленно, получим:
—(]х|+]и)<х+у <|х| + |у|. Отсюда, по свойству 4 имеем |x+y|<|x| + |j|.
Представим число х в виде: х=(х+у)+(—у). В силу выше-доказанного и свойства 2 имеем: |х|<|х+у|+|—у| = |х+у|+|у| или |х|—|у|<]х+у| Проведя аналогичные рассуждения для у, получим: |у[—|х|<|х+у|. Объединение двух последних неравенств приводит к неравенству: ||х|—|у||<|х+у|.^
Пример 5.1. Решить неравенства: а) |х—1|<3; б) |х+2|>2, в) |л + 2|>—2.
►а) В силу свойства 4 имеем —3<х—1<3. Прибавив ко всем частям неравенства по 1, получим: — 2<х<4 или хе 1-2, 4].
б)	Из свойства 5 имеем: х+2<—2Vx+2>2. Прибавив ко всем частям этих неравенств по —2, получим х<— 4vx>0, или хе(—00, — 4]U [0, +«).
в)	В силу свойства 1 решением данного неравенства является Vx е R -4
§6. ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА. ТОЧНЫЕ ГРАНИ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ
Определение 6.1. Непустое множество A'CR называется ограниченным сверху (снизу), если найдется некоторое число А такое, что для VxGX будет выполняться неравенство х<Л(х>Л). Число А при этом называется верхней (нижней) гранью множества X. Множество X, ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным. Множества, не относящиеся к ограниченным, называют неограниченными множествами.
Множество X является ограниченным тогда и только тогда, когда существует число М > 0 такое, что для Vx 6 X выполняется неравенство |х| < М.
Определение 6.2. Пусть X — ограниченное сверху (снизу) множество. Точной верхней (нижней) гранью множества X называется наименьшая из его верхних граней (наибольшая из его
196
Глава 1. Множества и функции
нижних граней). Обозначается это число символами supA и supx (inf X и inf х).
Точные грани множества могут как принадлежать ему, так и не принадлежать. Так, если X = (0, 2], то inf X = О, a supA = 2, при этом infA (£А, a supA
§ 7. ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ. ГРАФИК ФУНКЦИИ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ.
КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ
1. Понятие числовой функции. График функции.
Определение 7.1. Пусть DfZR — некоторое непустое множество. Если каждому значению переменной x£D поставлено в соответствие по некоторому закону единственное число уG£CR, то говорят, что на множестве D задана числовая функция (или просто функция) и пишут y=f{x). Переменная х называется аргументом, а множество D — областью определения функции, для нее приняты обозначения D(f), D(y). Число у называется частным значением функции в точке х, а совокупность всех частных значений — множеством значений функции и обозначается E(f), Е(у)
Замечание 7.1. Буква / в обозначении функции у = fix) символизирует вышеуказанный закон. Для обозначения функции могут употребляться и другие буквы, например, s = g(t) и т.д.
Замечание 7.2. Наряду с термином «функция» применяется термин «отображение» и пишут f'.x-*y или f'.x&D~*yGfY.
Определение 7.2. Графиком функции у — f (а), х G D, называется множество всех точек М(х,у) плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют уравнению у = f (л) (рис. 7.1, Г график функции у = f (х)).
/(*)
Рис. 7.1. К определению 7.2
2. Способы задания функции.
1). Аналитический способ — задание закона, устанавливающего связь между переменными х и у.
с помощью формулы. В школьном курсе математики так были введены обратно пропорциональная зависимость у — к/х, квадратная функция у = ах2 +Ьх+с и т.д. Функции могут задаваться разными формулами на различных участках области
§ 7. Понятие числовой функции. График функции. Способы задания функции. Классификация.. 197
-1. если х<0.
определения. Например, функция p = sgnx= 0. если х=0. зада-
1, еслихсО
на аналитически на всей вещественной оси (рис. 7.2, стрелки в точках (0, —I) и (0, 1) означают, что при х = 0 функция не прини-	“*
мает значений — 1 и 1, символ sgnx ___________
читается как сигнум х, по латыни	° х
signum — знак).	---------* 1
2). Табличный способ — задание
таблицы отдельных значений аргу- Рис. 7.2. График функции мента и соответствующих им значе-	у = sgnx
ний функции. 3). Графический способ — соот-
ветствие между аргументом и функцией задается посредством графика (получаемого, например, с помощью прибора).
4). Алгоритмический способ — задание функции с помощью алгоритма (программы) Этот способ используют при вычисле-
ниях на компьютерах.
5). Задание функции словесным описанием. Например, функция ,у=[х], называемая целой частью числа х, определяется как наибольшее целое число, не превосходящее х.
3. Классификация функции.
Определение 7.3. Функция y=f(x) называется четной (нечетной), если ее область определения D(f) симметрична относительно точки х = 0 и для VaGjD(/) справедливо равенство
=я*) (/<-*)=-/(*))•
Так, функция у = х2— четная, ибо у(—х) = (—х)2 ~х2 ~у(х) для VxGR, а функция у = х3 — нечетная, поскольку у(—х) = = (-х)’ = -х3 = -у(х) для VxG/?.
График четной функции обладает симметрией относительно оси Оу, а нечетной — симметрией относительно начала координат (рис. 7.3, 7.4).
Определение 7.4. Функция y=f(x) называется периодической, если существует число Г >0, называемое периодом функции, такое, что для VxGZX/) справедливы равенства x±TE.D!jy и f(x±T)=f(x).
Замечание 7.3. Если число Т>0 — период данной функции, то и число Тп — период этой функции при VxGTV. По-
198
Глава 1. Множества и функции
этому под Т обычно понимакл наименьший положительный период (если он существует).
Замечание 7.4. Любую часть графика периодической функции можно получить путем параллельного переноса вдоль оси Ох его части, соответствующей промежутку, длина которого равна периоду.
Из школьного курса математики известно, что тригонометрические функции у = sin х, у = cos х имеют наименьший положительный период 7=2п, а для функций y = tgx, y=ctgx имеем Т = к.
Пример 7.1. Найти период функции у = |sin xj.
► Найдем наименьшее положительное число Т такое, что для VxGfi справедливо равенство: |sin (x+7)|=|sin х|. В частности, оно должно выполняться при х = 0: |sin 7]=|sin 0|. Отсюда sin 7=0 и T = nk, kEZ. Поскольку' Т — наименьший положительный период, то Т = п. Проверим, что для Vx G fi справедливо равенство |sin (x+7t)|=|sin х]. Действительно, по формулам приведения sin (х+п)=—sin х, но тогда sin (x+7)|=|sin х|.Ч
Определение 7.5. Функция y—f{x) называется возрастающей (убывающей) на множестве XCD(f), если для Vx,,x2 ЕЛиз неравенства х, <х2 следует неравенство /(х,)</(х2) (/(Х])> /(х,)). Если из неравенства х( <х2 следует неравенство /(х,)</(х2Х/(х,)>/(х,)), то функцию /(х) называют строго возрастающей (строго убывающей) на множестве X.
Возрастающие и убывающие функции объединяют общим термином монотонные функции.
Пример 7.2. Показать, что функция у = (х—I)2 строго возрастает на отрезке [1,3]
§ 7- Понятие числовой функции. График функции. Способы задания функции. Классификация.. 199
► Возьмем Vx,, х,[1,3f х, < х,. Имеем у(х,)~У(х,)= = (х2 I)2 — (х, — I)2 =(х2 — х,)(х, 4-х, — 2). Поскольку х2 —х, >0 и х, 4-х, — 2>0 для любых выше выбранных х,, хг, го у(х2)—у(х, )>0 или у(х,)>у(х,) и, по определению 7.5, заключаем, что данная функция убывает на (— со, 2).^
Определение 7.6. Пусть £(/) — множество значении функции y=f(x) при x£lC D(f). Если E(f) ограничено сверху (ограничено снизу, ограничено), то данная функция называется ограниченной сверху (ограниченной снизу, ограниченной) на множестве X. Точная верхняя (нижняя) грань множества £(/) называется точной верхней (нижней) гранью данной функции на множестве X и обозначается sup f(x) (inf f(x)). Если sup f(x) хех	xgx
<E E(j) (inf f (x) & E(j"j), то его называют также наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве X и обозначают max f (х) (min f (х)). хел	>е.»
Пример 7.3. Найти sup /(х), inf/(х) и max /(х), min /(х), ес-
ли Лч = 1/^л| + 1) и Х=К
► Неравенство 0< 1/(|х|4-1)< 1 верно для VxGft, при этом 1=/(0). Поэтому sup/fx) = max/(x)=l. inf/(x) = 0. a min/(x) не существует. ◄ '£Х
Определение 7.7. Пусть даны функции у = f (х) и z — gg (у), при этом E{f) С D(g). Функция z =g(/(x)), x(=.D(f называется сложной функцией (композицией или суперпозицией) функций fug.
Определение 7.8. Пусть дана функция у= f (х), D{f) — ее область определения, a E(f) — множество значений. Если каждому значению y&E(f) сопоставляется единственное значение х G D(f), для которого f (х) = у, то говорят, что на E(j) задана функция х = _Л’(у), называемая обратной по отношению к данной функции у = /(х).
Замечание 7.5. Обозначая, как обычно, аргумент обратной функции х, а значение у, ее записывают в виде у = f~l(x). Графики функций у= f (х) и у = /"1(х) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (т. е. относительно прямой у = х).
Теорема 7.1. Если функция у = f (х) определена и строго возрастает (строго убывает) на [я, /?], а отрезок [а, р] является множеством значений этой функции, то на [а, р] существует обратная функция х = У4 (у), строго возрастающая (строго убывающая) на [а, р]. Ее множеством значений служит отрезок [я, Ь].
200
Глава 1. Множества и функции
Доказательство теоремы 7.1 приведено, например, в [10].
Пример 7.4. Для функции у=(х-1)\ х6[1,3|, найти обрат-
ную.
Рис. 73- К примеру 7.4
►Данная функция квадратная, се график приведен на рис. 7.5. Найдем для нее обратную функцию, выразив х через у х=\+^у (перед радикалом взят знак плюс, так как х>1 на промежутке [ 1, 3]). Перейдем к традиционным обозначениям для аргумента и функции: > -| I Л. О0) = |0,4], flv) = |l,J|. График обратной функции получим, отобразив дугу параболы у = (х 1)", хЕ[|,3] симметрично
относительно прямой у=х (рис. 7.5, график обратной функции выделен жирной линией). Обратная функция у = \+4х строго
возрастает на отрезке [0, 4], ибо прямая функция у = {х-I)2 строго возрастает на отрезке [1,3] (теорема 7.1).^
§8, ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Перечисленные ниже функции называют основными элементарными функциями; они наиболее употребительны в приложениях математики.
1.	у=С — const, для VxEA\ где X — промежуток числовой прямой, ее график при С 5*0 представляет собой отрезок прямой, параллельной оси абсцисс.
2.	Показательная функция у = а\ а 5*1, а>0 Основные свойства этой функции известны из школьного курса математики: a) D(y) =R, Е(у) = (0, +а>);
б) при а > 1 показательная функция возрастает, при 0 < а < 1 она убывает.
На рис. 8.1 изображены графики у = ах при а>\ и 0<а< 1.
3.	Логарифмическая функция r = logox, а*Л, а>0. Эта функция является обратной по отношению к показательной функции, поэтому, в силу теоремы 7.1, основные ее свойства следуют из свойств функции у = ах:
а) Д(у)=(0, +оо), Е(у)= R, б) при с>1 логарифмическая функция возрастает, при 0<с<1 она убывает; в) график функ-
§ 8. Элементарные функции
201
Рис. 8.1. Графики показательной Рис. 8.2. Цтафики логарифмической функции	функции
ции y = logx симметричен графику функции у=а" относительно прямойу—х. На рис. 8.2 изображены графики y = logox при й>1 и 0<а<1.
4.	Степенная функция у=ха, atzR, а 7^0. При л>0 эту функцию рассмотрим как суперпозицию показательной и логарифмической функций: х" =10'Я8Л, Igx=logl0x. Функции 10' и Igx возрастают на (О, +<»); тогда и у=х", а^О, строго монотонна на (0, +«), а именно возрастает при о>0 и убывает при а<0. При а>0 эта функция определена в точке 0: у(0) = 0. При некоторых значениях а (например, при а ЕЛ) она определена на всей числовой оси. На рис. 8.3 изображены графики степенной функции при о = 3, ±1/3.
Рис. 8.3. Графики степенной функции при различных значениях в
5.	Тригонометрические функции у = sinx, y=cosx, tgx, y = ctgx.
Эти функции подробно рассмотрены в школьном курсе математики Их графики приведены на рис. 8.4—8.5.
6.	Обратные тригонометрические функции: у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х.
1. Функция у = arcsin х. По определению, у = arcsin х — это угол (или дуга) из промежутка [—тг /2, п/2], синус которого равен х. Итак, у=arcsin х — функция, обратная функции
202
Глава 1. Множества и функции
Рис. 8.4. Графики функций у =sin х и j»=cosjc
j>=sinx, х Е[—л /2, л/2], полому основные ее свойства можно вывести из свойств функции y=sinx, х G[—п/2, л/2], и теоремы 7.1:
а)	ад=[-1, 1], Е(у)=|-л/2, n/2J;
б)	j=arcsinx возрастает на D(y) от [—п/2, л/2];
в) у = arcsin х при VxG[—1,1J;
нечетная функция: arcsin!—х) = —arcsin х
Рис. 8.6. График функции у = arcsin х
г) график функции у = arcsin х симметричен графику функции у = sin х, х G[—л /2, л /2|, относительно прямой у=х (рис. 8.6);
д) sin(arcsin х)=х при Vx G[— 1, IJ, arcsin(sin х) = х при Vx Е[—л /2, л /2].
2. Функция у = arccos х. По определению, у = arccos х — это угол (или дуга) из промежутка [0, л], косинус которого равен х. Итак, у = arccos х — функция, обратная функции y=cosx.
§ 8. Элементарные функции
203
х£[О, nJ, поэтому основные ее свойства можно вывести из свойств функции у = cosx, х6[0, я], и теоремы 7.1:
a)	D(y) = [-1, I], £(у)=[0, nJ;
б)	у = arccos х убывает на D(y) от п до 0;
в)	функция у = arccos х не обладает свойствами четности
Рис. 8.7. График функции у = arccos *
или нечетности: arcos(—х) = п — arccos х:
г) график функции у = arccos х симметричен графику функции у = cos х. xG [0, л], относительно прямой у=х (рис. 8.7);
д) cos(arccos х) = х при Vx G [— I, I], arccos x(cos х) = х при VxG[0, я].
3.	Функция у = arctg х. По определению у = arctg х — это угол (или дуга) из промежутка (—п/2, п/2), тангенс которого равен х. Таким образом, у = arctg х — функция, обратная функции у = tg х, х £ (—п/2, л/2), поэтому ее основные свойства можно вывести из свойств этой функции и теоремы 7.1:
a)	D(y) = К. Е(у) = (-п/2, п/2);
б)	функция у = arctg х возрастает на D(y);
в)	у = arctg х — нечетная функция: arctg(—х) = —arctg х при VxG*;
г)	график функции j=arctgx симметричен графику функции y=tgx, х£(-п/2, п/2), относительно прямой у=х (рис. 8.8):
д)	tg(arctgx)=x при VxGjR: arctg(tgx)=x при VxG(-n/2, п/2).
Рис. 8.8. График функции у = arctg х
Рис. 8.9. График функции у =arcctgx
4.	Функция у = arcctgx. По определению у = arcctgx — это угол (или дуга) из промежутка (0, п), котангенс которого равен х. Таким образом, y = arcctgx — функция, обратная функ
204
Глава 1. Множества и функции
ции у = ctg х, х Е (О, л), поэтому основные ее свойства можно вывести из свойств этой функции и теоремы 7.1:
а)	Лу)Л, £Ы = (0, л);
б)	функция у = arcctgx убывает на D(y);
в)	функция у = arcctgx не обладает свойствами четности или нечетности, arcctg(—х) = п—arcctg х;
г)	график функции у = arcctgx симметричен графику функции y=ctgx, хЕ(0, п), относительно прямой у =х (рис. 8.9);
д)	ctg(arcctg х) = х при Vx G Л, arcctg(ctg х) = х при VxE(0, п).
Определение 8.1. Функция, которая может быть задана одним аналитическим выражением с помощью конечного числа суперпозиций и арифметических операций над основными элементарными функциями, называется элементарной функцией.
Элементарная функция называется алгебраической, если ее можно задать с помощью конечного числа алгебраических действий (сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с рациональным показателем). Все другие элементарные функции называются трансцентдентными. На-
Vl + V^-2
пример, у = —==-------- — алгебраическая функция, а
___yx+5+x2/s
Vex — 1 + lncos(3x+1) y = arctg-----------.	— элементарная трансцентдентная
sin(l /х) +ctgV2x—5 функция.
Частным случаем алгебраической функции является так называемая рациональная функция Щх), представляемая в виде отношения двух многочленов:
„	Q,„ (*) ьихп +Ь.Xм-' +...+b .X +Ьт
R(x) =	=	-----2L
Р„ (х) Лпх" 4-Й,х" +.-X +ак
Если степень знаменателя лг1, то рациональную функцию называют рациональной алгебраической дробью.
В противном случае, т. е. при к =0 рациональная функция представляет собой многочлен (ибо Ри(х)=р0, где рц ЕЛ).
Пример 8.1. Найти область определения функции
► D(y): log|;2(4—х2)г0 или, в силу свойств логарифмической функции, D(y)'. 0<4— х2<1. Последнее неравенство рав-
§ 8. Элементарные функции 205
несильно системе из двух нера- -2.<~	~	~>,2______
венств: 0 < 4—х2 Л 4—х2 < 1. Для ______-2^	*	-----
первого из них имеем: 4—х2 >0	„
л 11,-4	-4 , ,1 г» Рис. 8.10. Ь. примеру 8.1
«*х-<4»|х|<2<*—2<х<2. Решение второго выполним по аналогии: 4—х2 <1 «>х2 > 3<*| х| > -75 « х < —75vx > -75. Пересечение найденных решений приводит к равенству: £>(у)=(-2, - V5]U1V5,2) (рис. 8. !()).◄
Пример 8.2. Является ли функция у=(ех — е“*)/2 четной? нечетной?
► Я.	у(—х) — (е'—е~'~х')/2=—(ех—е~,:)/2 = —у(х)	при
УхЕЯ, поэтому данная функция нечетная.-^
Пример 8.3. Найти sup /(х), inf f(x) и max f(x), min /(х), ес->еЛ хе*	хеА	хе*
ли /(х) =arctg]x| и А=Я.
►Данная функция является четной, следовательно, ограничимся рассмотрением голько неотрицательных значений х, при этом 0<arctg|x| <л/2. Поэтому inf /(х) = min /(х)=0, sup/(x)=n /2, a max/(х) не существует.-^ х хе*	*G *
Пример 8.4. Дана функция у = 1 3 |sin5x|. Найти ее период и ад>.
► D(y) = R. Период функции у = |sinx| равен п (пример 7.1), поэтому 1—3|sin 5х| = 1—3|sin(5x + л)] и	I—3]sin 5х| =
= 1—3|sin5(x + n/5)] для Ух ЕЯ и период данной функции Т=п/5. Для отыскания Е(у) рассмотрим неравенство 0<|sin5x|<l, вытекающее из свойств функции синус и справедливое при УхСЯ.
Умножим все его члены на (—3), знак неравенства изменится на противоположный: 0>—3|sin5x|> —3. Прибавив теперь ко всем членам неравенства по 1, получим: 1>1—3|sin5x|>—2. Из последнего неравенства следует, что Е(у) = [—2, ]].◄
Пример 8.5. Построить график функции у = х/(х—1)
► Имеем х/х/(х—1) = ((х—1)+|)/(х—1)=1+1/(х—1), поэтому у = 1+1/(х—1). График данной функции построим путем параллельного переноса центра симметрии 0(0, 0) графика функции у = 1/х в точку >4(1, 1). На рис. 8.11 график функции j> = l/x изображен пунктирной линией.^
Пример 8.6. Построить график функции у = [xj, х£Я -целой части числа х.
206
Глава 1. Множества и функции
Рис. 8.11. К примеру 8.5. График функции /Чх) = 1 /(* -1)
Рис. 8.12. К примеру 8.6. График функции > =(х]
► у = к, х£[/г, A + l], kE:Z, график данной функции является объединением тех частей прямых у=к, абсциссы точек которых удовлетворяют неравенству к<х<к+1 (рис. 8.12).-^
§9. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ НЕРАВЕНСТВО БЕРНУЛЛИ
Метод математической индукции применяется для доказательства истинности утверждения а(и) для	при этом
должны быть выполнены следующие два условия:
1). Утверждение а(п) истинно для п = I — база индукции.
2). Из гипотезы: утверждение а(и) верно при п = к {к — любое натуральное число) следует, что оно истинно и при п = к + 1 — индукционный шаг.
Пример 9.1. Доказать, что неравенство Бернулли (1+я)">|+«« верно при	и V«> —1.
►Заметим, что при а=—1 справедливость неравенства Бернулли очевидна. Далее предполагаем, что я* —1.
При п = I имеем верное равенство I + а = I + а. Гипотеза: данное неравенство верно при п = к, т. е. неравенство (1+я)* >1+ка верно при Vk^N. Проверяя гипотезу, умножим обе части последнего неравенства на 1+я, получим: (1+я)*+| >(|+Ля)(| +я) или (1+я)*+| >]+ка+а+ка2= |+(А+1)я+ +ка2>1+(к+1)а. Итак, (1+я)*+| >1+(А + 1)я, а это и означает, что неравенство Бернулли верно при п= к+1 Отсюда следует, что оно верно и для VhGW и Ма> — !.◄
§ 10 Символ суммирования. Факториал. Бином Ньютона 207
§ 10. СИМВОЛ СУММИРОВАНИЯ. ФАКТОРИАЛ. БИНОМ НЬЮТОНА
Пусть имеется набор из и пронумерованных вещественных чисел: a,, at...а„. Для суммы этих чисел употребляется
обозначение:
°, + -+‘1.=2У.-
при этом символ Е называется символом суммирования.
Произведение всех натуральных чисел, не превышающих п, обозначают через л! (читается «эн факториал»). Таким образом, л!=1 -2-...- (л — 1)-л. Во многих формулах удобно использовать символы 0! и 1! (нуль факториал и один факториал), принимая по определению: 0!=1!=1.
Для любых вещественных чисел а и b и Мп Е N справедлива формула:
(а + Ь)' =	(10.1)
*=0
называемая биномом Ньютона (И. Ньютон (1643—1727) английский математик, физик). Коэффициенты этой формулы С*, к = 0,1,..., п, называются биномиальными коэффициентами и определяются равенством:
с-=	-("-*+)	(|02)
” к\(п-к)\	к\
Отметим следующие свойства биномиальных коэффициентов.
1. с* =с;-*, /с=о, ।_л; =с;=1, с; =с;-' =«.
2. С*-' +СЯ* =С*+|, * = 1, 2, ..., п.
Свойство I упрощает процедуру вычисле-коэффициентов С* с верхними индексами. Так, для С,’ из (10.2) имеем:
Замечание 10.1. ния биномиальных близкими к п. 10-9-8-7-6-5-4
10-9-8 3!
208
Глава 1. Множества и функции
Замечание 10.2. Обоснование формулы (10.1) и свойств биномиальных коэффициентов будет проведено далее (см разд. 5, гл. 2, §6).
При п=2, 3 из (10.1) следуют формулы для квадрата и куба двучлена:
(а >/))’	'/)' = С°а‘Ь° +С\а'к' +С‘а°Ь‘=п‘ +2ab+b‘.
(о+t)" =^С’о' ‘Ь‘ = C’ii4>" +C‘,a’b' +C‘a't2 I С;«"/>'= 1=0
=а5 +3a2b+3ab2 +b2
Биномиальные коэффициенты С* w 2	12 1 ПРИ неболыиих значениях п удобно
fl 2	13 3 1 полУчать с помощью так называемого
треугольника Паскаля (рис. 10.1). л	4	1	4 6	4	1	Данный коэффициент бинома полу-
п	5	1	5	1010	5	1	Чаем в соответствующей строке как
............	сумму двух коэффициентов предыду-
Рис-10.1.	Треугольник	шей ст₽оки’ Расположенных слева
Паскаля	и справа от него. Например, для
(а+Ь)5 имеем равенство:
(a+b)5 =as +5a4b+U)crb2 +lUtri3 +5«rf>4 +b5, а для (й+6)6— равенство:
(а+Ь)ь =аь +6а5Ь+15а4Ь2 +20а2Ь3 +I5a2b* +6abs +Ь\ биномиальные коэффициенты в котором получены с помощью треугольника Паскаля.
§ 1. Числовая последовательность. Классификация шюледовательнсютеи 209
Глава 2
ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ.
КЛАССИФИКАЦИЯ ПОСЛ ЕДОВАТЕЛЫ1ОСТЕЙ
Определение 1.1. Если любому натуральному числу 1, 2, ..., и, ... поставлено в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число хи, то множество занумерованных чисел х,,х2...хи,... называется числовой последовательностью
или просто последовательностью. Числа х,,х2,..., хп, ... называются членами последовательности, х„— п-м членом последовательности или ее общим членом.
Заметим, что х„ есть /(и) — функция номера члена последовательности. Последовательность обозначается символом {х(1}, иногда {хи}“=1.
Из элементарной алгебры известны две последовательности — арифметическая и геометрическая прогрессии, общие члены которых соответственно задаются равенствами: х, = а, + + d(n —1) и хя=«|^"“|, при этом af называется первым членом, d — разностью арифметической прогрессии, a q — знаменателем геометрической прогрессии.
Классификация числовых последовательностей
Определение 1.2. Последовательность {х, } называется возрастающей (убывающей), если неравенство хя < xw+| (хп > хя+|) выполняется для VnE.1V. Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.
Определение 1.3. Последовательность {х(1) называется ограниченной. если ЭЛ/>0: |xj< М для VnE.1V.
Замечание 1.1 Из определения 1.3 следуе! ограниченность последовательности {хп} в случае, если для VnE.1V выполняется неравенство М, < х„ < М}, где , Мг — некоторые действительные числа. В самом деле, в этом случае число М из определения 1.3 можно выбрать так: Л/=тах{|Л/,|,| Так, последовательность хя = n / (п +1) ограничена, поскольку неравенство 0 <п/(п + 1)<1 выполняется для VnElV.
210
Глава 2 Предел числовой последовательности
Пример 1.1. Показать, что последовательность хя =(3д—1)/(2и+3) является возрастающей и ограниченной.
►Определим знак разности х — хп Имеем х — х = 3(и+1)-1 Зл-1 Зл+2 Зи-1 " И
=---------—------=------—-----=------------->0 для
2(я + 1)+3 2и+3 2и+5 2и+3 (2я+5)(2л+3)
VnGlV, поэтому неравенство хм| >х„ верно для VhGW и, следовательно, данная последовательность возрастающая (определение 1.2). Отсюда следует, что любой член последовательности не меньше х|:хя>х|=2/5, V/iGN. В то же время Зл —1 Зл Зл 3
х =------<------< — = — для v/i £ /V Итак, неравенство
2и+3 2и+3 2п 2
2	3
— <х„ <— справедливо для Vn G7V,
а это и означает, что дан-
ная последовательность ограничена (замечание 1.1). 4
Пример 1.2. Является ли последовательность х„ =(—1)и-1(л+1)/л монотонной? ограниченной?
►х,=2, хг =—3/2, х3=4/3=, х4 =—5/4, .. Эта последовательность не монотонная, ибо ни одно из неравенств хя<хя+1 и х„ >хя+1 не выполняется для Xfn&N. Первое из них не выполняется для л=1, 3.... т. е. для всех нечетных п,
а второе — для всех четных п. Данная последовательность ограниченная, так как хя =(—I)"-1 (1+1/л) и поэтому |хя|<2 для VhEJV.4
Пример 1.3. Найти наибольший член последовательности Хя = 11 + 10/7—Л2.
►хя = 11—(и2 —10и)=11—(л2 -10л+25)+25 = 36-(и-5)2 <36 для Vn<EN, причем равенство достигается только при п = 5, поэтому заключаем, что наибольшим членом последовательности является х5 = 36.4
§2. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
СХОДЯЩИЕСЯ И РАСХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение 2.1. Число а называется пределом числовой последовательности {хя}, если для любого е>0 можно найти номер N(e) такой, что при и > N(e) выполняется неравенство |х„-с|<£.
Обозначение: hnx,=&
Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися, не имеющие предела — расходящимися. Если limxn = а, то говорят, что последовательность {хи} сходится или
§ 3. Свойства сходящихся последрватеидостеи 211
стремится к а при п. стремящемся в бесконечность (х„ -»д при п -* со).
Замечание 2.1. Неравенство |хя — с|<£ равносильно утверждению хя Gt/До). В символической форме определение 2.1 можно	записать	следующим	образом:
lim хя = и«• Ve>03 N(e) G N: n > N(e) =>x, Gt/, (a).
Замечание 2.2. Геометрически определение 2.1 трактуется так: если число а — предел данной последовательности, то в любой U, (о) находятся все ее члены, начиная с некоторого номера, зависящего от е.
Замечание 2.3. Если все члены последовательности {} равны одному и тому же числу а, то. очевидно, 1ппхи =а, так как в этом случае неравенство |хя—о|<е из определения 2.1 выполняется для Vn GN и Ve > 0.
Пример 2.1. Показать, что lim «у" = 0 для |$]<1.
►Зададим Ve>0. Найдем номер N(e) такой, что при п> N(e) выполняется неравенство l#"— 0|<е или |^]"<е. Разрешив последнее неравенство относительно л, получим: «lg|gj<lg£ или H>lg£'lg|^|, откуда N(e) = [Igs / lg| ] — целая часть числа lgE/lg|</ ◄
Пример 2.2. Показать, что последовательность^,,}: хя= = (—1)” расходится.
►{хи} ~ — L 1, — 1, I, — - Очевидно, любая Е-окрестность точек 1 и —1 содержит бесконечное число членов последовательности {хя}, однако при 0<е<1 она содержит не все члены, начиная с некоторого номера. Если какой-то член последовательности принадлежит t/t(l), то последующий член принадлежит уже t/.(—1) и т. д. Для любых других точек числовой прямой можно указать с-окрестности, не содержащие членов этой последовательности. Таким образом, приходим к выводу, что она не имеет предела.-^
§ з. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Теорема 3.1 (о единственности предем). Если данная последовательность имеет предел, то он единственный.
►Пусть число а — предел последовательности {хя}, о = 1ппхя. В противоположность тому, что требуется доказать, предположим, что существует число b такое, что b = limxii, при этом а&Ь. Для определенности будем считать, что"7Г</>. Выберем положительное число е<(£>—о)/2, тогда е-окрестно-
212
Глава 2 Предел числовой последовательности
сти точек о и 4 не будут иметь общих точек, U,(a)(~'\Ui(b)=0 (рис. 3.1, (а+Ь)/2 — середина отрезка [а, Л]). Из определения 2.1 следует, что существуют натуральные числа JV((e) и М(£) такие, что при п> Nt (е) справедливо утверждение хп а при л>М(е) — утверждение xrE(/t(A). Обозначим через N(e) максимальное из чисел М(£) и М(е), для п > N(e) члены последовательности х„ будут одновременно принадлежать двум непересекающимся промежуткам t/E(o) и Ut(b), что невозможно. Это противоречие доказывает теорему.-Й
Теорема 3.2 (об ограниченности сходящейся последовательности). Сходящаяся последовательность ограничена.
► Пусть {хя} — сходящаяся последовательность, o=limxM. Возьмем любое число е>0. Из определения предела числовой последовательности (определение 2.1) следует, что найдется натуральное число Me) такое, что при л > Me) верно утверждение хп Glfja) или о—£<xw<o+e. За пределами окрестности 1/(о) остались члены последовательности с номерами и<Ме)' -X, .*2.... Пусть М = тах| х,|,|х2|,... ,|хЛ|е,|,
|а—е|,|о+е. При указанном выборе числа М неравенство |xj< М выполняется для любого натурального л, а это и означает, что данная последовательность ограничена (определение 13)4
Замечание 3.1. Теорема, обратная к теореме 3.2, неверна, и ограниченная последовательность может не иметь предела (см. пример 2.2).
Теорема 3.3 (о предегьном переходе в неравенстве). Пусть даны последовательности {х„}, {у„} и для \fnGN выполняется неравенс|во хи < уИ. Если йпх, =о, a limyn=/>, го а < Ь.
►Доказывая от противного, предположим, что а>Ь и возьмем положительное число е<(и—Ь)/2. Из определения предела числовой последовательности (определение 2.1) следует, что найдутся натуральные числа 7V,(e) и N2(e) такие, что при л>271(е) имеем: хя Е(/ь(а), а при л>7У2(е) — уп &Ut(b). Пусть N(e) = max{M(EK М(£)}, Д™ я>М£) члены последовательности хи будут принадлежать промежутку U^a), а члены последовательности уп — промежутку С4(/>), при этом ^е(°)П£/(4’)=0, так как А+е<£>+(л—А)/2 = (л+А)/2; а—Е>а—(а—Ь)/2 = (а+Ь)/2 (рис. 3.2). Отсюда при h>N(e) имеем неравенство: хя >уп, противоречащее условию теоремы:
§ 3. Свойства сходящихся последрватеидостеи 213
х„ <у„ для \fnfEN. Полученное противоречие доказывает тео-рему.^
Замечание 3.2. Из утверждения: неравенство хн<уи верно для V« €= Л, вообще говоря, не следует неравенство а<Ь, где а = limхп, b = limуя. Так, например, неравенство \/п<2/п
верно для Vn G Л. a lim(l/п) = lim(2 /и)=0.
Теорема 3.4 (о сжатой последовательности}. Пусть даны три последовательности {xn},	{z,.}, при этом для Vn €Е 7V
выполняется неравенство хП < уп
< z„- Если 3 lim хп =lim = о, то
**	и.1л
ЗМтуя — а.
►Возьмем любое число е>0.
' I ) I----1-----г-
a (o+fr)/2 b
Из определения предела число- „	,,
вой последовательности (опреде- Рис' 3'2' \л™™-™» ™-ление 2.1) следует, что можно найти натуральные числа N,(e) и JV2(e) такие, что при и>А,(е) верно неравенство а—e<xu<o+e, а при и>А,(е) — неравенство a—E<z„ <а+Е. Пусть N(E)=maxNi(E), А2(е), при h>N(e) одновременно выполняются вышеприведенные неравенства для хи и z„- Из них следует с учетом неравенства из условия теоремы, что неравенство а—Е<хн <уИ <z„ < а 4-е верно при и>А(е). Итак, показано, что для Ve>0 можно найти натуральное число N(e) такое, что для п > N(e) будет верно неравенство а—е< у <й4-е. А это и означает, что а = limy (определение 2.1).<
Арифметические операции над сходящимися последовательностями
Определение 3.1. Пусть даны две последовательности {хи}, {уи}. Последовательности {хп 4- уи), называются суммой и произведением данных последовательностей, а последовательность {хя/уи} — их частным при условии, что у„ ф 0 при v«G7V.
Теорема 3.5 (об арифметических операциях над сходящимися последовательностями). Если limx„=o и limy„=/), то lim(x„ 4-уя)=о4-А, limхпуп =ab, а" если при этом” b 0, то
уJ=°! ь-
214
Глава 2 Предел числовой последовательности
►Докажем, что верно второе равенство из заключения теоремы. Доказательства справедливости остальных приведены, например, в [I]. Рассмотрим разность xhyu—ab. Прибавив к ней и вычтя из нее произведение , после группировки слагаемых получим: х„у„ — ab=yl\xll — я)4-с(ги — Ь). В силу свойств абсолютных величин (§ 5 гл. 1) для модуля этой разности имеем:
Кт.	-Щ-»	(л,
-ol+llol Д. -*
Последовагельность {уи} ограничена как сходящаяся (теорема 3.2), поэтому существует положительное число М такое, что неравенство | | < М выполняется для \/п<Е!У (определение 1.3).
Возьмем любое число е>0. Поскольку |imx„=G и lim уи = Ь, то по выбранному е можно найти натуральные числа Л,(е) и АГ2(е), такие, что для m>N,(e) верно неравенство: |х — о|<—, а для п>А,(е) — неравенство |v — А|<-^-.
2М	2|с|
Пусть Л(£)=тах{ЛГ (е), Л2(е)}, для п> N(e) одновременно выполняются выше приведенные неравенства для хп и уи. В правой части (3.1) заменим |ij на М. |хп— с] на |у„ — Ь\ на
имеем:	-oi|< Л/|й|=Е.
2|а|	2 М
Итак, для Ve>0 найдено число натуральное N(e) такое, что для п~> N{e) верно неравенство |хпуп — сЛ|<е, отсюда Итхиуи=аА определение 2.1).-^
2«+‘
Пример 3.1. Найти	——.
►Оба члена дроби под знаком предела поделим на 2", по-
2и+1+з г+з/г" г+за/г)" „	. Л
лучим: -------=----------=---------. Поскольку hm(l / 2) = О
2"—I 1-1/2" I—(1/2)"	J '
, ч 2"+| +3	24-3(1/2)' „
(пример 2.1), то 11 т——р = шп——^^у	В силУ теоРемы
3.5.^
§ 4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства 215
§ 4. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА
Определение 4.1. Сходящаяся последовательность {хл} называется бесконечно малой, если 11тхя =0.
Так, последовательность {fl"},Rie |fl] < 1, — бесконечно малая (см. пример 2.1).
Замечание 4.1. Последовательности {хп} и {|х„|| являются бесконечно малыми одновременно.
Теорема 4.1 (необходимое и достаточное условие сходимости числовой последовательности). Для того чтобы число а было пределом последовательности {хя} при и-»со, необходимо и достаточно, чтобы для общего члена этой последовательности хя выполнялось равенство: хя=л+ая, где ая -»0 при п ->а>.
^Необходимость. Пусть 3limx„=c и ая=хя—л. Так как хя ->й при п -*оо, то, по теореме, 3.5 ал ~»0 при »-*<».
Достаточность. Предположим теперь, что выполняется равенство хя =а+ая, где ая -*0 при и ->а>. Тогда в силу теоремы 3.5 Э11тхя=о. ◄
„	2-6” +3” ,
Так, хя =----------* 2 при п -* со, поскольку хя можно
6”
представить в виде: хя =2+3”/6” =2+(1/2)”. где (1/2)”-» О при л-»<» (пример 2.1).
Арифметические операции над бесконечно малыми последовательностями
Теорема 4.2. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Данная теорема является следствием из теоремы 3.5.
Теорема 4.3. Произведение бесконечно малой и ограниченной последовательностей — бесконечно малая последовательность.
► Пусть х„ — бесконечно малая последовательность, а уя — ограниченная последовательность. Для второй из них можно найти положительное число М такое, что неравенство |у„|< М будет справедливо для \fn^N (определение 1.3). Возьмем произвольное положительное число е. Поскольку Нтхл =0, то существует натуральное число 7V(e) такое, что
216
Глава 2 Предел числовой последовательности
неравенство Е|>„ — О)=|хя|<е/Л/ выполняется для п > N(e). То-
гда |х у — 0] =|х ||у |<—  Л/ = е, а это, в силу определения М
предела числовой последовательности (определение 2.1), и означает, что 1нпхяуя =0.<
Пример 4.1. Найти lim(sin«2)/2".
► (sinn2)/2" =(l/2”)sin/?2 =(1/2)" sin/?2 при л-*оо в силу теоремы 4.3, ибо (1/2)" -»0 при и-»сс (см. пример 2.1), а последовательность {sin/?2} ограничена, поскольку |sinп2|< 1 при V/?G/V.«I
Определение 4.2. Числовая последовательность {х„} называется бесконечно большой, если для любого Л/>0 можно найти номер N(M) такой, что при п >N(M) выполняется неравенство |х.|> М.
Обозначение’ limxB =со или хя -»оо при п-*&>.
Замечание 4.2. Бесконечно большая последовательность является расходящейся, ибо она не имеет конечного предела в смысле определения 2.1.
В символической форме определение 4.2 можно записать следующим образом: lim х„ = оо •» VM > 0 BN(M) G N п> N(M)=>\xu\> М.
Замечание 4.3. Для бесконечно больших последовательностей рассматриваются два частных случая: lim >,.= + «> и Нтхя=—оо. Соответствующие им определения в символической форме имеют вид:
limx, =+<ю о VJW>0 S./V(A/)G2V:/?> 7V(1W)=»|xw|> М, limx„ =-оо «• VM>0 3N(M)GN:n > N(M)=>\x„\<-M.
Пример 4.2. Показать, что Iimn₽=+oo при Vp>0.
►Зададим VA7>0. Найдем номер N{M) такой, что при /? > N(M) выполняется неравенство п" > М. Разрешая это неравенство относительно п, имеем п> М1 , откуда N(M)=[M''F] — целая часть числа
Теорема 4.4 (о связи бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей). Пусть дана последовательность {хя}, причем хя * 0 при Xfn&N. Тогда:
1) если хв-»0 при /?-»<», то 1/хя-*оо при /?-»<»;
2) если хп -» оо при п *- оо, то 1 /хя -> О при /? -> оо.
§ 4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства 217
► 1) Пусть х„-»0 при Возьмем произвольное положительное число М и рассмотрим число е = I / М. Из определения предела числовой последовательности (определение 2.1) следует, что для данного можно найти натуральное число Л(е)= Л(|/Л/)= Л'[ (Л/) такое, что для п> N(e) будет выполняться неравенство: |хя|<е=1/Л/, но тогда для значений и> Л,(Л/)= Л(е) будет выполняться неравенство |1/хи]>|/е= Л/, а это означает, согласно определению бесконечно большой последовательности (определение 4.2), что 1/х„-*«> при п-*&>.
2)	Пусть хп -* со при п-»оо. Возьмем произвольное положительное число е и рассмотрим число Л/ = 1/е. Для выбранного числа М в силу определения бесконечно большой последовательности (определение 4.2) можно найти число JV(A/)=JV(I/e)= Л,(е) такое, что для п > N(M) будет выполняться неравенство: | хп |> М = 1/е, тогда для значений «>Л (е) =	будет выполняться неравенство
||/х„|< 1/Л/=е, а это, в соответствии с определением предела числовой последовательности (определение 2.1), и означает, что 1/хи-»0 при «-»«>.◄
Пример 4.3. Показать, что 1пп1/яр=0 для Vp>0.
► lim«₽=+«> при Vp>0 (пример 4.2). поэтому в силу тео-
ремы 4.4 liml/«*'=0 для Vp>0.-^
Замечание 4.4. Примеры 4.2, 4.3 приводят к следующему обобщению:
•00, р>0,
liniи
I, Р=0,
0,р<0.
Арифметические операции над бесконечно большими последовательностями
Теорема 4.5. Если хч -* ± со, а уИ -* ± со при ««-<», либо последовательность {г„} ограничена, то и хи +уя -• ± оо при п -»оо (везде берется либо знак «+», либо знак «—»).
Теорема 4.6. Если хч ->со, а ук ->со или у„ -*«*0 при п ->со, то и хИуи -*<» при и-*оо.
►Докажем теорему 4.5 для случая х„ -» + оо и уИ -* + со. Выберем произвольное число М >0. Из замечания 4.2 следует,
218
Глава 2 Предел числовой последовательности
что существуют числа и Л,(Л/) такие, что для л>Лц(А/) верно неравенство x„>JW/2, а для л>Л2(Л/) — неравенство yn > М /2. Пусть А(Л/) = тах{^(Л/), Л2(Л/)}. Тогда для n>N(M) имеем: х„ + уи > М, а это и означает, что х„ + у„ -» + со при « -> + со. Доказательство теоремы 4.6 приведено, например, в [!]-◄
Пример 4.4. Найти lim(«2 +д/й).
► limn2 = limVn = +оо (пример 4.2), limp?2 +-7л) (теорема 4.5). ◄
Замечание 4.4. Арифметические действия с бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями могут привести к случаям, когда неприменимы теоремы 3.5, 4.5 и 4.6 Так, при вычислении lim(x„ — у,) неприменима теорема
4.5, если хИ,уи -» +оо,—со. В этом случае говорят, что выражение хИ—уИ приводит к неопределенности вида оо—оо, а отыскание его предела называют раскрытием неопределенности. Частное хп/уп приводит к неопределенности 0/0, если хп -*0 у„ -»0 и неопределенности оо/оо, если х„->оо, уя-»со при п -» оо. В гл. 3 будут рассмотрены другие виды неопределенностей.
В случае неопределенности одно знание пределов последовательностей при «-*«> не позволяет судить о поведении выражения, составленного из общих членов этих последовательностей, необходимо исследовать само это выражение при я-*оо. Например, хя=и-*+со, _уя=и2-*+оо, хя /уп =1/и-*0 при й->оо, а в случае, если х_=п1 -*+<», у „=п -*+<*>, Хя / у„ = п -> + оо при п -* оо.
► Выражение под знаком предела при п-»оо — неопределенность оо/оо Оба члена дроби под знаком предела поделим
4"+3 2"+3/2"	I
на 2", получим: ——- =	= (2" + 3(1 / 2)’)ду2”)~ ^ак
как lim(2" +3(1/2"))= + оо (теорема 4.5), a lim---= 1 (тео-
—	I—(1/2”)
4" +3
рема 3.5), то lim---= +со (теорема 4.6).^
2" — 1
Пример 4.6. Найти limp?2 — Jn).
§ 5. Достаточный признак существования предела числовой последовательности..21S
► Выражение под знаком предела при я-*со — неопределенность оо—оо. Имеем: л2 —-7л=и2(1—и-1/2). Так как limn2 = +«>, lim(I— n“J/2)—1 (пример 4.2, пример 4.3 и теорема 3.5). то lim(/?2 — т/л)= 4-ос (теорема 4.6). ◄
§5. ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ЧИСЛО е. НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ
Теорема 5.1 {теорема Вейерштрасса — достаточный признак существования предега числовой последовательности).
Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс К. (1815—1897) немецкий математик) является типичной теоремой существования, т. е. она гарантирует существование предела последовательности, но не дает способа его отыскания. Доказательство этой теоремы приведено, например, в [1].
Теорема 5.2. Последовательность {(14-1/л)" J сходится при л ->оо.
Предел этой последовательности по предложению Эйлера принято обозначать буквой е (Л. Эйлер (1707—1783), математик и механик, родился в Швейцарии, работал в России). Можно доказать [10], что е — число иррациональное. Итак.
Пт(14-1/и)л =е.	(5.1)
► Введем обозначения =(14-1/л) и хк = (14-1/л)"+ . Докажем, что последовательность {х„} является монотонно убывающей и ограниченной. Имеем:
_ (1+1/(" +!))"’ _ ('+!/(" +1»"' Г I ]_ (1+1/,о"	(i+1/и)" 1 п+|/
г м [<^П1+_LtР-Ь2л4-1-1ГЛ	и
V п +1Г\(п 4-I)2} П+1ГI («+1)2 } I »+М
220
Глава 2 Предел числовой последовательности
Таким образом.

Рассмотрим неравенство Бернулли (§ 9, гл. 1):
(1+с)"+| >1+(л+1)а, а>—1, Vnf=N.	(5.3)
При а ——-—- из (5.3) имеем: 11ч-!—-I 21+ —— За-
(л+1)2	I (и +1)4	w+1
меним в (5.2) сомножитель 1 + —— на большее выражение (1+-ЦГ, получим: Ц-Lj“[1+_!_r = 1 («+1)4	х„ (н +1)4 I («+1)4
= 11------1 <1 для VnG-A.
(«+в 4
Итак, последовательность хк монотонно убывает. Ее ограниченность следует из неравенства 0<хя<х1 = 4, верного для Vh G/V (замечание 1.1). Но тогда, по теореме Вейерштрасса (теорема 5.1), она имеет предел. Введем обозначение:
limxn=e. Поскольку хя =----—, го 11шхя =Нтхя =е, ибо
1+1/н	"-'°
Пт(1+!/«) = ! (теорема 3.5).^
Замечание 5.1. Число е служит основанием натуральных логарифмов: In а = log с а. Для показательной функции у = ех и логарифмической функции у = 1пх многие формулы из последующих разделов имеют более простой вид, чем для функций у—а* и y = log(jx с основанием а е.
§ 1 - Два определения предела функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции - 221
Глава 3
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
§ 1. ДВА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПА БЕСКОНЕЧНОСТИ
Понятие предела функции в точке — одно из основных понятий математического анализа. С его помощью исследуется поведение функции в проколотой окрестности данной точки, результаты такого исследования применяются, например, при построении графика функции.
Пусть функция /(х) определена на $«) — некоторой проколотой окрестности точки а.
Определение 1.1 (по Гейне или на языке последовательностей, 1ёйне Г. (1821—1881) — немецкий математик). Число А называется пределом функции f (х) в точке а (при х-»я), если для любой последовательности {х„}С$я), сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции {/(х„)} сходится к А.
Обозначение: А = lim f (х)
Определение 1.2 (по Коши или на языке е—6, Коши О. (1789—1857) — французский математик). Число А называется пределом функции /(х) в точке а (или при х-*а), если для любого числа е>0 можно найти число 8>0, зависящее от е, такое, что для х: 0<]х—я] <6 выполняется неравенство |/(х) - А | < £.
Обозначение: А = lim f (х).
Замечание 1.1. Неравенство 0<|х—я|<8 равносильно утверждению х€Гь(с), а неравенство |/(х) — А\ < е — утверждению /(х)е(/ь(Л). В символической форме определения 1.1—1.2 записываются так:
А = lim /(х)« V{x„} С0(a) СD(f): хп^а=* f(x) -* А,
А = lim f(х) «• Ve > 038(e) > 0: Vx G 0(a) C D(f) => / (x) G UJA)
Замечание 1.2. Предел функции Дх) в точке я характеризует поведение функции в некоторой проколотой окрестности
222
Глава 3 Предел функции
точки а. Значение функции J[a), если оно существует, не влияет ни на существование, ни на величину lim f(x).
Теорема 1.1. Определения 1.1 и 1.2 эквивалентны, т. е. если число А — предел функции в точке в смысле определения 1.1, то оно же является и пределом этой функции в этой точке в смысле определения 1.2 и наоборот.
►Докажем лишь одну часть теоремы: «если число А — предел функции Дх) в точке а по Коши, то предел Дх) в точке а по Гейне также равен А». Доказательство другой части приведено, например, в [1].
Для Ve>0 35(e)>0: для VxG(7^(«) С £)(/)=> f(x)GlSc(A) (определение 1.2) Пусть {x„}C.t)(a) — любая последовательность, сходящаяся к а. По 6(e) можно найти число Л/(8(е)): при и >jV(5(e)) получим: х„ G(?*(o) (определение 2.1 гл. 2). Тогда при и>Лг(8(е))=Л^(е) имеем: /’(хя)€(4(Л), поэтому число А — предел функции в точке а по Гейне (определение !.!).◄
Пример 1.1. Используя определение 1.1 показать, что lim(x2 — Зх) / (х +2)=—1/ 2.
► Возьмем V{x„}:x„-»2 при л-» со. Пусть /(х)=(х2 -Зх)/(х +2), тогда Hm /(х„) =lim(х2 -Зх„)/(х„ + 2) = = (2-2—3-2)/(2+2)=—1/2 (теорема 3.5 гл.+ 2). В силу определения 1.1 заключаем, что lim(x2 — Зх)/(х+2)=—1/2.-^
Пример 1.2. Используя определение 1.2, показать, что lime os х — 1.
► Неравенство |/(х)—Л|<е здесь имеет вид: |cosx—1}< е или 2 sin2 (х/2)<е. Возьмем Ve>0 и найдем число 5(e) >0: для Vx:0<|x—0|=>|xJ<8(e)	выполнялось бы неравенство
2 sin2 (х/2) < £. Неравенство | sin xj<| xj верно для Vx *0 (см. доказательство в § 3, замечание 3.1), поэтому и неравенство 2sin2(x/2)<2-(x/2)2 =х2/2 верно для Vx?*0. Пусть х: х2/2<е«*х: |x)<-J2e. Для таких х справедливо неравенство 2sin2(x/2)<e«>|cosx—1|<е, поэтому 8(e) = j2c. Отсюда следует, что limcosx = l (определение 1.2).^
Пример 1.3. Используя определение 1.1, показать, что 31imsin(l/x).
► Возьмем две последовательности: х’” = 1/(ли) и х‘2’= = 1 /(я/2 +2яи), обе они стремятся к нулю при и-»<» и обозначим: Дх) = sin(l/x). Имеем:
§ 1 - Два определения предела функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции - 223
f (х( 1 *) = sin —-— = sin ли = 0 -» 0 при п -» ©о, 1/(тш)
fU'”) = sin 1 —- = sin(n/2+2nn)=l-l при п-и.
1/(п/2+2пп)
Так как lim/(x‘l’)^lim/(x‘2>), то 31imsin(l/x) (определение
Определение 1.3 (ио Гейне). Число А называется левым пределом функции Дх) в точке а (или при х-*а-0), если Дх) задана на некотором промежутке (а,, а) и для любой последовательности {хи}С(«|,о), сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции {/(х,,)} сходится к А.
Обозначение: А= lim /(х) или А = f(a—0).
Определение 1.4 (ио Коши). Число А называется левым пределом функции Дх) в точке а (или при х-»а—0), если Дх) задана на некотором промежутке (а,, а) и для любого е>0 можно найти число 8(e)>0 такое, что для х: о( <а—8(е)<х<о выполняется неравенство |/(х) — Л| < е.
Обозначение: А= lim /(х) или А = f(a—01
Аналогично определяется правый предел функции /(х) в точке а (или при х->о+0), если /(х) задана на некотором промежутке (а, с2).
Обозначение: А= lim f(x) или Л = /(д+0).
Теорема 1.2. Для того чтобы 31im /(х), необходимо и достаточно, чтобы были выполнены два условия: 1. 3/(л—0) и 3/(«+0); 2. /(я-0)= /(а+0).
►Пусть ЗНт/(х) = Л, поэтому функция Дх) определена, по крайней мере” на 0(a). Для Ve>0 найдется число 8(e) >0: \ix (=0^(0) С. 0(a) будет верно неравенство: |/(х)— Л|<е (определение 1.2). Поскольку 0&(а) есть объединение промежутков (а—ё,а) и (о, а+8), то заключаем, что 3/(«—0),/(я+0) и выполняется равенство f(a—0)=/(а+0)= А (определение 1.4).
Пусть 3/(я—0),/(а+0), при этом f(a-0)=/(а+0)=Л. Для ^/£>0 38! =81(е)>0, 82=8,(е)>0: VxG(g—8(, o)UxG(a,а+8,)=> =*1/(х)—Л|<е (определение 1.4). Если 8=min{8|,8,}, то для VxG(—8. d)U(o, а+8) = (76(а) верно неравенство |/(х)—Л|<е, что означает 31im/(х)=Л (определение 1.2 и замечание !.[).◄
224
Глава 3 Предел функции
Следствие из теоремы 1.2. Если f(a—0)z /(в+0). то функция Дх) не имеет предела в точке а. Доказательство от противного.
Пример 1.4. Показать, что lim/(x)=0, если /(х)=|х—1].
{1—х прих<1.
Для х—1 при х>1.
V{xw)C(0, 1): х-* 1 последовательность /(х„)=1—х„^»0 при и-»со и /(1—0) = 1 (определение 1.3), а для V{xn)C(l, 2): х-»1 имеем /(хи)=хи —1-»0 при w-*oo, отсюда /(1+0)=1. Так как/(1—0) = /(1+0)=0, то lim/(х) = 0 (теорема 1.2).<
Пример 1.5. Показа 1ь, что Slim /(х), если [0 прих<1,
/W = 12-x при х>|.
►Для V{xr)C(0, 1): хп->1 последовательность /(хя)=0-*0 при «-»<», поэтому /(1—0) = 0 (определение 1.3), а для V{xw)C(l, 2): х„-*1 последовательность /(хи) = 2—хя-* 1 при и ->оо, следовательно /(1+0) = L Так как /(1—0)9=/(1+0), то lim /(х) не существует (следствие из теоремы 1.2).Ч
Определение 1.5. Число А называется пределом функции Дх) при х^*оо, если Дх) определена на множестве X = (—<», —а) U (а, +оо), где а — некоторое положительное число, и для любой бесконечно большой последовательности {хи}С¥ последовательность значений функции {/(хя)) сходится к А.
Обозначение: Л = Пт/(х).
Пример 1.6. Показать, что lim 1/х₽ =0 для Vp>0 и Vx>0.
► Возьмем V{xn}:хя -*+оо при и-»со и Ve>0. Положим /(х)=1/х", тогда /(х) = 1/хя. Так как liml/xn =0 (теорема 4.4 гл. 2), то, по определению предела числовой последовательности (определение 2.1 гл. 2), для е, =е|/₽ можно найти номер 7V(ei)=A'(e) такой, что для h>N(e) верно неравенство |1/хп|<е, =е,/₽ или |1/хя|<е. Итак, lim/(xB) = liml/x,f =0 и liml/x',=0 (упомянутое определение и определение 1.4).^
Замечание 1.3. Определение 1.5 сформулировано «на языке последовательностей» (см. определение 1.1). Можно сформулировать его аналогично определению 1.2 (см., например, [I]).
Упражнение. Сформулировать определения, соответствующие следующим обозначениям: А= lim /(х), А= lim /(х).
§ 2. Свойства пределов функций 225
§2. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ
В силу определения 1.1 свойства пределов функций аналогичны свойствам сходящихся последовательностей (см. § 3, гл. 2).
Теорема 2.1. Если 31im /(х), то он единственный
Теорема 2.2 (теорема об арифметических операциях над функциями, имеющими предел). Если 31im f(x) = А и 31im^(x) = В, то
1.	31im(/(x)±^(x))=?l± В,
2.	3lim(/(x)-g(x)) = А- В, f(x) А
3.	31im----= — при условии, что функция ₽(х)^0 на 0(a)
g(x) В
и В * 0.
Теорема 2.3 (о сжатой функции}. Если функции f(x), g(x), h(x) определены на 0(a) и для VxGl/(c) справедливо неравенство /(x)S£(x)<A(x), а также 31im/(x) = A ЗНтЛ(х) = Д то 31im^(x)=A
Теоремы 2.1—2.3 можно доказать, используя определение 1.1 и соответствующие теоремы о свойствах сходящихся последовательностей — о единственности предела числовой последовательности (теорема 3.1 гл 2), об арифметических операциях над сходящимися последовательностями (теорема 3.5 гл. 2) и теорема о сжатой последовательности (теорема 3.4 гл. 2).
Замечание 2.1. Теоремы 2.1—2.3 верны также и в случае, когда под а понимается один из символов оо, +« или — оо.
Теорема 2.4 (об ограниченности функции, имеющий предел в точке). Если функция имеет предел при х -*а, го существует некоторая достаточно малая проколотая окрестность точки а, в которой эта функция ограничена.
► Пусть lim/(x)=A Тогда для Ve >0 35(e) >0: неравенство |/(х)—у!|<е или A— е</(х)<А +е верно для Vx Gf/s(o)CD(/) верно (определение предела функции в точке по Коши — определение 1.2). Положив е —1, заключаем, что неравенство A —1< f(x)<A+l выполняется для VxGt76(o), а это и означает, что функция f(x) ограничена в 0&(а) — проколотой окрестности точки а.-4
Теорема 2.5 (о сохранении знака функции, имеющей предел в точке). Если функция /(х) имеет отличный от нуля предел в точке а, то существует некоторая достаточно малая проколо
226
Глава 3 Предел функции
тая окрестность точки а. в которой значения функции сохраняют знак её предела.
►Пусть Iim/(x)=u4 *0, для Ve>0 35(e) >0: неравенство |/(х)—u4|<e или А—е< f(x)<A+e. верно для VxG(7b(a) (определение 1.2). При е=М| получаем неравенство: Л—|Л|</(х) <Л+]Л|, справедливое для VxG(7e(u). При Л<0 из него следует: 2 A <f(x)<0, а при Л>0 имеем: 0</(х)<2Л. Два последних неравенства выполняются для VxG(7b(c), т. е. найдена проколотая окрестность, а именно, 0&(а), где функция имеет знак своего предела -4
Теорема 2.6 (о замене переменной при вычислении пределов или о пределе сложной функции). Если существуют пределы Iim<p(x)—b и lim f(y) = A, при этом <р(х)^Л в некоторой проколотой окрестности 0&(а) точки а, то на #в(л) определена сложная функция /(<р(х)), которая имеет предел при х-*а. при этом справедливо равенство: lim/(<p(x)) = lim/(у)=А
► Из существования пределов ^функций fix) при х-*а и f(y) мри у-*Ь следует, что эти функции определены на некоторых проколотых окрестностях 0s(a) и 0(b), причем для xGt7e(«) значение функции у=<p(x)G 0(b). Таким образом, на 06(а) определена сложная функция Л<р(х)).
Пусть lxw}C(7s(a) — любая последовательность, сходящаяся к а. В силу определения предела функции в точке по Гейне (определение 1.1) последовательность {у„}, где уя =<р(хл), сходится к Ь, при этом уп &J(b). Поэтому последовательность = {/(<р(*„))1 сходится к А (определение 1.1), а это и означает, что lim/(<р(х))= lim f(y)= А-4
Замечание 2.2. При вычислении пределов полезна теорема: «Любая элементарная функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки имеет в этой точке предел, равный f(xu) (т. е. ЭИт/(х) = /(х0))». Она выражает свойство непрерывности эле’мё'йтарной функции, определенной на некотором промежутке (теорема 5.1 гл. 4)
Пример 2.1. Вычислить lim(x2 — 8)/log2 х.
► Пусть f(x) = x2 —8, g(x) = log 2 х. Данные функции элементарные, определенные в некоторой окрестности точки х = 4, поэтому в силу замечания 2.2, lim f(x)= /(4)=8, limg(x)=
g(4) = log, 4=2. Отсюда lim/(x)/g(x)=8/2 = 4 (теорема 2.2).-<
§ 3. Замеательныв пределы 227
§3. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Первый замечательный предел: lim(sinx)/x=l. х-»0
► На окружности радиуса г=1 возьмем дугу АВ с центральным углом, ради-анная мера которого равна х, 0<х<я/2	/
(рис. 3.1) и рассмотрим треугольники / ОАВ, ОАС, а также сектор ОАВ Для их I площадей выполняется неравенство: \ Зщ, < \,.и. <	 Используя извест-
ные формулы для площадей этих фигур.
получим: (sinх)/2 < х /2 <(tgx)/2.
Поделим все члены последнего неравенства на (sinx)/2: l<x/sinx<l/cosx. Перейдем в этом неравенстве к обратным величинам:
Рис. 3.1. К доказательству первого замечательного предела
l>sin х/л >cosx, 0<х<л/2.
(3.1)
Функции (sinx)/2 и cosx — четные, поэтому неравенство (3.1) верно и для VxG(n/2,0). Итак, неравенство (3.1) выполняется для VxG(rc/2,0)U(0, я/2). Так как lim 1 = 1, limcosx=l (пример 1.2), то из теоремы о сжатой функции (теорема 2.3) следует, что lim(sinx)/x = !.◄
Замечание 3.1. В процессе доказательства первого замечательного предела доказано неравенство sinx/2<x/2 или sin х < х для 0 < х < я / 2. Его можно записать в виде: | sin х] <| х]. Легко убедиться в том, что последнее неравенство верно и для —я /2 < х< 0. Для | х|а я /2 оно очевидно, так как | sin х] £ 1, п/2>1. Итак, |sinх]<|х] для Vx#0.
Следствия из первого замечательного предела:
lim(l—cos х)/ х2 = 1 /2,	lim(tgx) /х=1,	lim(arcsin х)/ х = 1,
lim(arctgx)/x = l.
Первые два из этих пределов будут вычислены ниже в примерах 3.1, 3.2, а последние два будут вычислены в гл. 4.
Пример 3.1. Показать, что lim(l—cosx)/х2 =1/2.
1—cosx_2sin2(x/2)_ sin2(x/2) 1
(х/2)2 2’
228
Глава 3 Предел функции
(первый замечательный предел).
lim(lcosx)/x2 =1/2 .◄
^'Пример 3.2. Показать, что lim(tgx)/x=l.
поэтому
•=-----/cosx Так как lim(sinx)/x = l (первый замеча-
1.2), то lim(tgx)/x=l
тельный предел) и limcosx = l (пример по теореме 2.2.-|<	д"1'
„	> - „	sin 2х
Пример 33. Вычислить lim-------
**<• tg3x
sin2x sin2x Зх 2x ► =-----=----------------. Имеем
tg3x 2x tg3x 3x sin и . ,
= lim----= 1 (первый замечательный предел). Аналогично по-
“-u и
Зх , sin2x 2 .	_ _. .
лучим lim-----=1; lim------=— (теорема 2.2).-<ч
~«tg3x tg3x 3
sin2x .	.
lim------= |2х = « =
™ 2х	г	1
Второй замечательный предел: lim(l+l/x)' =е или lim(l+x),M =е.
►Докажем сначала, что lim(l+l/x)' = е. Так как х-*+<», то можно считать, что х>0. Пусть л=[х], где [х] — целая часть числа х, имеем п<х<п + 1 или 1/л >1/х>1/(л+ 1), отсюда 1 + 1/(л+ !)<! +1/х<1+1/и. Возведем члены последнего неравенства в степени и.х.л+1:
(1 + !/(„ +I))' <(1 + 1/х)‘ <(1 + 1/„)"“.	(3.2)
Если х-» +со, то и л->+оо. Вычислим пределы крайних членов из (3.2):
ит(1+1/<„+1»-=ит»±^аг1=
Я-+» 1+1/(л + 1)
lim (1 + 1/(л +1))и+1 р =	-----------=—=е
lim (1+1/(л+1))	1
Отсюда следует: lim(l+l/x)x =е (теорема о сжатой функции (теорема 2.3)).
Доказывая равенство lim(l+l/x)‘ =е, перейдем к новой
переменной у: х = — 0 +1). Имеем:
§ 4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции______229
lim (1+1/х)’ = lim^l—= lim^+^ *j =
= ."4" J (^")=£|=р
Объединяя оба случая, окончательно получаем lim(l+l/x)' = е.
Равенство обосновывается заменой переменной: \/х = у.Л
Следствия из второго замечательного предела
, 1п(1+*)	. ех-1 (1+х)и-1
lim-------=1, lim-----= 1, lim--------= ц, u£fi.
Эти пределы будут вычислены в гл. 4.
Замечание 3.2. Во всех вышеприведенных пределах х можно заменить любой функцией, стремящейся к нулю.
Пример 3.4. Вычислить lim	.
'1 1п(1—Зх)
VS+л—2 _ (I +х/8),/э -1 _2 (1+х/8),/5-1 -Зх х/8 1п(1—Зх)	1п(1—Зх)	х/8	1п(1—Зх) —Зх
Имеем:

1 ,	—Зх
—, lim-------— 1
3 In(l-Зх)
,	V8+X-2
lim---------
>-0 1п(1—Зх)
и
= 2-— 1---------(следствия из второго замечательного преде
ла и теорема 2.2). ◄
§4. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ
Определение 4.1. Функция называется бесконечно малой при ха, если 31im /(х) = 0 (под а может пониматься и один из символов оо, +оо или —со).
Так, функция ]/х" — бесконечно малая при х-*+оо и V/;>0, поскольку lim 1/х₽ =0 для Vp>0 (пример 1.6).
Бесконечно малые функции имеют такие же свойства, как и бесконечно малые последовательности.
230
Глава 3 Предел функции
Свойства бесконечно малых функций
Теорема 4.1. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при ха есть бесконечно малые функции при ха.
Эта теорема следует из теоремы об арифметических операциях над функциями, имеющими предел (теорема 2.2).
Теорема 4.2. Произведение функции /(х), бесконечно малой при х-*а, на функцию g(x), ограниченную на 0(a) — некоторой проколотой окрестности точки а. есть бесконечно малая функция при х-*а.
► lim/(x)=0, а из ограниченности функции g(x) следует, что найдется число М >0 такое, что неравенство |g(x)|<A/ будет справедливо для VxG(7(o). Для Ve>0 можно найти 5(e) >0 такое, что для VxG(?6(o)C(?(o)(/(o) выполняется неравенство |/(х)|<е/М (определение 1.2). Тогда для этих же значений х имеем |/(x)g(x)|<E, а это и означает, что Iim/(x)g(x) = 0.-^
Пример 4.1. Показать, что limxsin(l/x)=0.
► limsin(l/x) (пример 1.3), но функция sin(l/x) ограниче-
на в своей области определения (sin(l/x)|<l при Vx: х*0). Функция xsin(l/x) является бесконечно малой при х-*0 в силу теоремы 4.2. ◄
Теорема 4.3. Для того чтобы число А было пределом функции /(х) при х -» а, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:
f(x)=A+a(x),	(4.1)
где о.(х)-»0 при х->а.
► Пусть 311т/(х)=Л и а(х)=/(х)— А, тогда lima(x) =
= lim(/(x)— А)—А — А = 0. Итак, для /(х) получаем равенство
(4.1), где а(х)->0 при х-*а.
Предположим теперь, что выполняется равенство (4.1), где а(х) -* 0 при х-*а. Имеем lim f(x) = lim(4 +а(х))=А.◄
Определение 4.2. Функция f (х) называется бесконечно большой при х-»с, если она определена на 0(a) — некоторой проколотой окрестности точки а и для любой последователь
§ 4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 231
ности {хи}С$(а), сходяшейся к а, соответствующая последовательность значений функции {/(х„)} является бесконечно большой (/(хя)-» со при «-»<»). Обозначение: lim/(x)=oo.
Замечание 4.1. Определение 4.2 можно назвать, аналогично определению 1.1, определением бесконечно большой функции по Гейне. Определение бесконечно большой функции можно сформулировать и по Коши, аналогично определению 1.2 (см. [I]). '
Замечание 4.2. Определение 4.2 можно переформулировать на случай, когда lim /(х) = ±оо Это определение и теорему 4.2 можно переформулировать и на случай, когда под а понимают ОДИН ИЗ СИМВОЛОВ 00, +оо, —00
Пример 4.2. Показать, что lim ах = + со при а > 1.
►Возьмем {Vxn}: lim х„ = +<» и покажем что а'" -»+оо при
П +00.
В соответствии с определением бесконечно большой последовательности (определение 4.2 гл. 2) для числа Л/, >0 существует номер МЛ^|) такой, что для п	верно неравен-
ство хп >МУ. Пусть Л/, = log/j Л/, где М — любое положительное число, при я>Л,(ЛО=Л'(Л/1) и о! верно неравенство ах" >ам' =а'а‘°м = Л/, а это и означает, что ax"->+«i при п -» +оо в силу вышеупомянутого определения для а > !.◄
Теорема 4.4 (о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций).
Пусть дана функция /(х), отличная от нуля на (7(о). Тогда:
1) если /(х) при х^а. то 1//(х)-»оо при х-»с:
2) если /(х) при х-*а, то 1//(х)-»0 при х^а.
Эта теорема следует из теоремы о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями (теорема 4.4 гл. 2), определения 1.1 и определения бесконечно большой функции (определение 4.2)
Пример 4.3. Показать, что функция Дх) = х? — бесконечно большая при х-»+<» для любого положительного р
►Функция g(x\=\/xf — бесконечно малая при х-»+со для Vp>0 (пример 1.6 и определение 4.1). Поскольку /(x)=l/g(x), то /(х)=х₽ — бесконечно большая функция при х -» + со для Vp>0 (теорема 4.4). Ч
232
Глава 3 Предел функции
Арифметические операции над бесконечно большими функциями
Теорема 4.5. Если /(х)-»±оо и g(x)^»±oo при х^»а. либо функция g(x) ограничена на 0(a), то и /(x)+g(x)-»± со при х-»а (здесь нужно брать либо везде знак «+», либо везде знак «—о).
Теорема 4.6. Если f(x)-*<x>. a g(x)-»&> или g(x)~* А&О при х-*а, го и f(x)‘g(x)-» со при х->«.
Эти теоремы следуют из теорем об арифметических операциях над бесконечно большими последовательностями (теоремы 4.5—4.6 гл. 2), определения предела функции в точке по Гейне (определение 1.1) и определения бесконечно большой функции (определение 4.2).
Пример 4.4. Найти lim Рп(х), Р11(х)=аихй +а1х‘’~' +...
+°«-1Л+йи, °о
► Имеем Рц(х)=х"(ап +а1х~* +... +ая_1х,~п +лпх_в). Так как lim х" =+оо, a lim(ac +д(х_| +... +оп _,х1-в +апх~я)=аи (примеры 4.3, 1.6 и теорема 2.2), то lim Рн(х)=±со (теорема 4.6, знак бесконечности совпадает со знаком а0).-4
§5. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ СТЕПЕННО-ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Арифметические действия с бесконечно малыми и бесконечно большими функциями, как и в случае последовательностей (замечание 4.3 гл. 2), могут привести к так называемым неопределенностям, когда неприменимы теоремы 2.2 и 4.5. Так, при вычислении lim(/(x)—g(x}), если /(х), #(х)-»+оо или f(x), g(x}-* —оо при x-»d, неприменима теорема 4.5. В этом случае говорят, что выражение /(х)—g(x) при х-*о приводит к неопределенности вида со—оо, а отыскание его предела называют раскрытием неопределенности. Если /(х)-»0, g(x)-»0 или /(х)->оо, g(x)-»co при х-*а, го при вычислении lim/(x)/g(x) неприменима теорема 2.2, говорят, что частное /(x)/g(x) при х-*о приводит к неопределенности 0/0 или оо/оо. Ниже рассматриваются некоторые методы для раскрытия неопределенностей.
§ 5. Неопределенности. Вычисление пределов степенно показательных функций
233
1.	Неопределенность оо/оо в отношении многочленов при х-»оо. Пусть
Рк(х) _avxk +о,х* 1 +... +a<t_,x+a<t
О„(*) box" +Ь,х”-' +... +Z>„,х + b„ ’
при этом й(, э*0, Ьи 5*0 В членах дроби вынесем за скобки старшие степени х:
аихк +а,хк- +...+ак_,х+аК _ х>в +д,х- +...4-а>_,х-« +акх~К) Ьихя +ЬХ' +-+bH_tx+b„ x"(bD +b,xl +...+Z>„]x'" +A„x-)
о, +д,х 1+...+o<t 1x1
b„ +Л]х-,+...+Аи_|х,-я
+й*х“*
+Ь„х-
Предел второго сомножителя полученного произведения равен со/6„*0 (пример 1.6, теорема 2.2), а 0 при к <п,
limx*-” = 1 при к = п, (примеры 1.6, 4.3). Тогда, в силу теорем оо при к >п,
2.2 и 4.6,
{0 при к <п,
при к < л, со при к>п.
(5-1)
Т I- 2*’ -Зх2 +5х	2 и	1	-» i. ОЧ
Так, lim----т--------= — (к — п = 3,	= 2, Ь.. — 3), а
3xs -х+2	3 '	°
х2—х+5
lim—z------— = 0 гак как здесь А =2, л = 3 и, следовательно,
2xJ -х2 +1
к<п.
2.	Неопределенность оо/со в отношении алгебраических функций, содержащих иррациональности, х -* +оо. Неопределенность раскрывается в результате выделения в обоих членах дроби старшей степени х.
Пример 5.1. Найти lim +х+х ^+”Vx2-3x+5x
► Вынесем из-под знака радикала старшие степени х, после чего вынесем их за скобку в обоих членах дроби:
234
Глава 3 Предел функции
Имеем:
ибо х,/2 -» 4-<х при х-> 4-со (пример 4.3), а второй сомножитель стремится к 1/6 (теорема 2.2 и пример 1.6).^
3.	Неопределенность 0/0 в отношении многочленов. х-*а. aER. Метод раскрытия таких неопределенностей состоит в разложении на множители обеих членов дроби и последующего сокращения на разность х — а. При этом используется следующая теорема: «если число х=а является корнем многочлена Р„(х), то этот многочлен делится на разность х—а без остатка».
Пример 5.2. Найти lim—5-------.
х —5x4-6
► М ногочлен Р3 (х) = х3 — Зх2 4- 4 дел ится ибо х=2	— его корень, имеем:
на разность х—2,
г А(*) lim—--------=
ч-2 х" —5x4-6
± = 0.
= lim^ "	/ = lim:
"=	(л-2)(х-3)
При вычислении предела х принадлежит проколотой окрестности точки х=2 (х#2), поэтому оба члена дроби под зна-
ком предела можно разделить на х—2. Дробь
не дает
неопределенности при х-»2, ее предел вычислен по теореме 2.2.'4
4.	Неопределенность 0/0 в отношении алгебраических функций, содержащих иррациональности, х-*а, aER. Неопределенность раскрывается путем перенесения иррациональности из одного члена дроби в другой и последующем разложении полученных многочленов на множители с целью сокращения на разность х—а.
Пример 5.3. Найти lim
► Перенесем иррациональность из числителя дроби в знаменатель:
§ 5. Неопределенности. Вычисление пределов степенно показательных функций
235
Vx3 + 4-x^3 _(Vx3 +4-Хл/3)(л/х3 +4+х-Л) _ х2 —4х + 4	(х-2)2(7х3 4-4+х-Л)
х3—Зх2 +4
(х-2)2(7х3+4+хЛЗ)
= (хг-х-2)(х-2)	=	(х-2)2(х+1)
(х-2)2 (л/х3 +4 +х& (х-2)2 (л/х3 +4+х-Л)’
многочлен х3 — Зх2 + 4 разложен на множители как в примере
5.2. Имеем:
х'-4л +4	>-! (Л-2)’(Л' + 4+лД)'
Сократим оба члена дроби в правой части последнего равен-
.	~.2 ,. Vx3 +4—х-ч/З	х+1
ства на (х — 2r lim—----------------= lim ——	------=
-г х'- 4х + 4 -JJTfi+хД
з Д ,, _
=	= — (теоремы 2.2).Я
5.	Неопределенность оо — оо. Общий принцип — трансформация данной неопределенности в неопределенность оо/оо или 0/0	_______________________ ______
Пример 5.4. Найти lim(^x2 +3х—т/х2 —4).
► Разность радикалов под знаком предела умножим и раз-
Теперь при х->со имеем неопределенность оо/оо. Аналогично примеру 5.1:
236
Глава 3 Предел функции
6.	Вычисление пределов степенно-показательных выражений. Функция вида у = и(х)Их> называется степенно-показательной. С помощью основного логарифмического тождества ее можно представлить в виде:
У z=«(x)’’ort = (eh-,«)’'“‘ = е’<х’,"“‘1’.	(5.1)
При вычислении lim«(x)*’"'* могут встретиться следующие
случаи.
1.	lim«(x)v<x’ = Ав, если существуют конечные пределы Iimu(x)=A Л>0, limv(x)= В. Действительно, в силу замечания 2.2, lim т(х)1пы(х)=в1пЛ и lim«(x)rU> = е" =е = = е«|^ =(е'"л)« = АВ.
|0, если lim v(x) In и(х) = — оо,
2.	limu(x)’cx’ ={
*-«	l + oo. если lim v(x) In u(x) = + oo.
Это утверждение следует из формулы (5.1), а также из равенств: lime1 =+ос, lime" = 0, которые следуют из примера
4.2 и теоремы 4.4.
3.	Выражение и(хУм является неопределенным, когда т(х)1пн(х) — неопределенность 0-оо, т. е. если
a)	lim v(x)=0. limln и(х) — — оо «• lim и(х) = 0:
б)	limv(x)=0, limlnn(x)= +оо«• lim«(x)= +<»;
в)	lim v(x)=со, limln u(x)=limк(х)=1.
В этих случаях говорят, что выражение u(x)v<xl представляет из себя неопределенность вида 0“,оо°,Г.
Пример S.S. Найти lim^^^j
. ..	I- 2х+| _
► Имеем	пт——р=2	(пункт	1),
lim(Vx2 +3х—Vx2 —4)=3/2 (пример 5.4), следовательно,
Пример 5.6. Найти limPX+^j
§ 6. Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о» и его свойства 237
► В силу формулы (5.1) имеем
= eV?7I7lr«Ix«»/<x-i» Так как |im2^±l=2 (пункт »-+« х-1
1), lim -Jx2 +3x=lim x-Jl+3/x2 =+«>, то
Пример 5.7. Найти Iim(2x—1),'°'“
► Выражение (2х—|)1/1х ° при х->| — неопределенность Г. Имеем (2х—1),/<х-1)	следовательно,
lim(2x—	°/<х ° (см. замечание 2.2). Так как
|п(2х—I) 1п(1+2х—2) 1п(1+2(х—1)) „	1п(2х-1) „
	=	=	 2, то lim-----------= 2 х-1--------------------------------------------------х-1-2(х-1)-л-i х-1
(lim *П(*+2(Л—— = 1, см. § 3), поэтому lim(2x—= е2.^ 2(х—1)
§6. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ. СИМВОЛ «О» И ЕГО СВОЙСТВА
Пусть функции а(х)ир(х) являются бесконечно малыми при х-*а.
Определение 6.1. Если существует lim ^у = С*О.оо, то а(х) и р(х) называются бесконечно малыми одного порядка при х-*а.
Пример 6.1. Показать, что функции sin22x и х1 — бесконечно малые одного порядка при х-»0.
_	, sin2 2х .. fsin2x\ . . _
► Поскольку lim---у— = |iml I 4=4z0,<x>, то, по оп-
ределению 6.1, заключаем, что sin22x их2 — величины одного порядка при х->().◄
Определение 6.2. Если существует Bm^^=U, то а(х) назы-р(х)
вается величиной более высокого порядка малости, чем Р(х) при х-*а
Обозначение: а(х)=о(р(х)) при х->« (а(х) есть «о» малое от Р(*)>-
238
Глава 3 Предел функции
Так, sin32x имеет более высокий порядок малости, чем х при х-*0 (или sin22x=o(x) при х-»0), поскольку lim S‘n =
= lim]
4х=0.
Свойства символа «о»
imD<P>+-°<P>
— Р(х)
= lim№±^ = -4р(х) p(x)J
Пусть р(х) —> 0 при х —> а.
1.	О(Р)±О(Р) = О(Р).
2.	о(ср)=о(Р), со(Р)=о(Р) и о(ср+о(Р)) = о(Р) для Vt'*0.
3.	(оСРП^оф”) и р"о(Р)=о(Р'’+') при УлеЛ
Х-Р(Х) —ф(х)
+0 = 0, отсюда, в силу определения 6.2, следует доказываемое равенство.
2. lim °w> = lira ™W’> = dim	lim «(P) =
P(x) -V- cP(x) cP(x)	P(x)
= clim^^ = c-0 = 0, отсюда следуют первые два из доказывае-р(х)
<- о(сР+о(Р)) О(сР+о(Р))
мых равенств (определение 6.2); lim---------=lim------------:
’ Р(х) — сР+о(Р)
уср+о(Р) _Н[ О(ф+о(Р)) [ офИ
Р(Х) ф+о(Р) P(X)J третье из доказываемых равенств.
3. lim» — Р"(х)
да, в силу упомянутого определения, следуют доказываемые равенства Ч
Так, для Р(х) = х->0 имеем равенства: 1) о(х)±о(х)=о(х); 2) о(2х)=о(х), 2о(х) = о(х) и о(2х+о(х)) = о(х); 3) (о(х))3 =o(xJ) и xJo(x)=o(x4).
Замечание 6.1. Если lim——=со то, по теореме 4.2, — р(х)
= 0-(с+0) = 0, отсюда следует
=0, lim-»=lim^ = 0, отсю-
—’Ря+,(х) —Р(х)
lim -=0. Тогда Р(х)=о(а(х)) при х—> а (определение 6-2).
§ 6. Сравнение бесконечно малых функций. Символ -о» и его свойства
239
Определение 6.3. Если не существует lim а^х\ то бесконеч-Р(х)
но малые а(х) и Р(х) называются несравнимыми при х -> а.
Так, бесконечно малые a(x) = xsin(l/x) и Р(х) = х несравнимы при х —> О, поскольку ct(x)/p(x) = sin(l/x), a limsin(l/x) не существует (пример 1.3).^
Замечание 6.2. Сравнить две бесконечно малые функции — значит установить, что они являются бесконечно малыми одного порядка, или что одна из них более высокого порядка, чем другая, или что они несравнимы. При этом вычисляется предел отношения данных функций в случае, если он сущест-вует.
Пример 6.2. Сравнить бесконечно малые а(х) = ея ~2* —е~'.
Р(х) = х-1. х-> 1
_ а(х) е' — е~‘	,	, е,г-1’ —1
=--------------= е’’(х-1)-----—:
PU) х-1	(х-1)2
eix ” -1 lim----------= 1. по-
- (х-1)2
этому lim = 0, и а(х)=о(Р(х)) при х-*1 (определение 6.2).-**' Р(х)
Определение 6.4. Бесконечно малая а(х) называется бесконечно малой к-го порядка по отношению к бесконечно малой Р(х) при х—если Slim =С^0,оо.
— р*(х)
Например, функция a(x) = sin22x имеет второй порядок малости относительно р(х) = х (к = 2) при х—>0, ибо lim =
= lim S‘n ,^Х= 4^0,оо (пример 6.1).
Пример 6.3. Определить порядок бесконечно малой а(х) = = 1п(х5—Зх2 +3х) относительно бесконечно малой р(х) = х — 1 при х-э 1.
а(х) _ 1п(х3 -Зх2 +3х) = 1п((х-1)3 +1) = 1п((х-1)3 +1) (х-1)3
р*(*)-	(*-’)'	(*-*/	(*-*)’ U-1)*'
_	1п((х—I)3 +1) , а(х) (х—1)J , .
Поскольку lim-------------=1. то urn-----— lim------= 1^0.со
- (х-If	->р‘(х) -(х-D*
при к = 3 Поэтому порядок малости а(х) относительно р(х) при х —> 1 равен З.Ч
240
Глава 3 Предел функции
§7. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА. ГЛАВНАЯ ЧАСТЬ БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ ФУНКЦИИ
Пусть даны функции а(х) и р(х) — бесконечно малые при х —> о, где а может быть не только числом, но и одним из символов <*>, 4-ео. —оо.
Определение 7.1. Если существует lim^^=l, то а(х) и 0(х) — 0(х)
называются эквивалентными бесконечно малыми при х —> а.
Обозначение: а(х) ~ 0(х) при х —> а.
Так, 1п(хэ — Зх2 -Ь3х)~(х—I)3 при
ln(xJ — Зх2 Ч-Зх)
hm-----—jp------= 1 (пример 6.3).
Замечание 7.1. Эквивалентные бесконечно малые функции являются частным случаем бесконечно малых одного порядка (см. определение 6.1).
ибо
Свойства эквивалентных бесконечно малых
Теорема 7.1 (теорема о юмене эквивалентными в произведении и отношении). Если аДх), а2(х), 0Дх), 0Дх) являются бесконечно малыми при х-*а и аДх)~0Дх), а2(х)~02(х) при х-»о, го
1) а,(х)а2(х) ~ 0,(х)-р, (х);
а,(х) 0,(х)	аДх) 0Дх)
2)------------при х —> а\ 3) lim------= lim---.
а2(х) 02(х)	-*-а,(х)	-0Дх)
а (х) аДх)
► 1) iim------= lim —	= 1 (определение 7.1). Имеем
— 0Дх) — 02(х)
а,(х)-а,(х) а (х) а2(х)	а,(х)	а2(х)
lim-----------= lim---------= lim--------hm------= 1, отсю-
— 0Дх)-0,(х) — 0,(x) 02(x) -<-0Дх) «--0Дх)
да следует доказываемое соотношение (определение 7.1).
Г	«|М 02 (X)
2) hm------/-----= hm-----------= 1. отсюда следует до-
<х2 (х)/ 02 (х) — 0Jx) а 2 (х) называемое соотношение (определение 7.1).
•л г ai(x) г а>И Рг<*) ₽|<х)	М*),- 02<х)
-»ct2(х) -° PL (X) а2(х) 0, (х)	0, (х) х-о а2 (х)
v1. Р,(х)	0,(х)	«,(*) .. 02 (*) , .
хlim-----= lim------, так как hm----= hm---------= 1.4
— р2(х) >-»P2(x)	^ИР,(*) — а2(*)
§ 7, Эквивалентные бесконечно малые функции, их свойства. Главная часть бесконешо...
241
Теорема 7.2. Для того чтобы бесконечно малые функции а(х) и Р(х) были эквивалентными при ха, необходимо и достаточно, чтобы при х —> а выполнялось одно из равенств а(х)—Р(х)=о(а(х)) или а(х)—Р(х)=о(Р(х)).
а(х)—Р(х)
Имеем lim-----------=
— р(х)
► Пусть а(х)~ Р(х) при
= lim
О и, следовательно, а(х)—Р(х)=о(а(х)). Второе
равенство доказывается аналогично.
Предположим теперь, что верно равенство а(х)—Р(х) =
= с(Р(л» при х-а Имеем llm“W~PW =	=
Р(х) ’\Р(х) )
= 0 => lim	= 1 => а(х) ~ Р(х) при х
Р(х)
Замечательные пределы, следствия из них (§ 3) и замечание 3.1 позволяют найти эквивалентные для некоторых элементарных функций.
Таблица 7 /
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций
Пусть функция а = а(х)<-0 при ха. Тогда
sin а ~ а.	(7-1)	1—cosa-а2 /2,	(7-2)
tga~a.	(7-3)	arcsin а-а.	(7-4)
arctg а ~ а,	(7.5)	е“—1~а,	(7-6)
1п(1+а)~а,	(7.7)	(1+о)" -1~р.а.	(7.8)
Пример 7.1. Найти lim .	=—.
Vl+x2-l
►Дробь под «каком предела при х—>0 дает неопределен-
А ..	Ineosх ln(l+cosx-l)
ность и/и. Имеем: ,	—=-------—-----. Из таблицы 7.1
V1+X1-! (1 + х!)' “I
при х—>0 следуют соотношения:
ln(l+cosx—l)~cosx—1—х2/2 ((7.7), а = cosx-1 и (7.2), а = х), (1+х2),/2 —1~х2/3 ((7.8), а = х2, р = 1/3),
242
Глава 3 Предел функции
поэтому, в силу теоремы 7.1, получаем:
Ineos х urn .
— lim —г--=—.
х2/3	2
п Т 1 U 1- arcsin(x2 -2х)
Пример 7.2. Наити lim------—--------
►Дробь под знаком предела при х -»2 ностъ 0/0. При х->2: arcsin(x2 — 2)~х2 — 2х ((7.4), а = х2 — 2х), е1®”*—l-tgjrx ((7.6), a = tgnx). Поскольку tgjtx=tg(nx—2л) = = tg л(х—2)~тг(х—2) при x—>2, to e*®"'—l~tg пх~л(х—2) при x—>2. Используя теорему 7.1, приходим к равенству:
.. arcsin(x2 — 2х) . х(х—2) 2 „ lim-------------= lim —-------= — .◄
-2	€>^<-1	А-2 л(х-2) 7Г
неопределен-
Пример 7.3. Найти lim(tg(nx/4))1/<x ”.
►Выражение под знаком предела при х-*1 — неопределенность Г. Из равенства (tg(nx/4))	(см (5 ц
имеем (замечание 2.2):
, .	, ,	lim ln|g( ях/4)/(э
lim(tg(nx/4)) /( ,f=e^'
Числитель в показателе степени заменим на эквивалентную бесконечно малую:
In lg(nx /' 4) = ln(l + tg(nx/ 4)-l) ~ tg(nx / 4)-1 ((7.7) a = fg(nxz 4)—1).
Отсюда следует соотношение (теорема 7.1):
limlntg(nx/4) = 1.mtg(nx/4)-l
«-I	x-1	x-1
Теперь к числителю применим формулу для разности тангенсов:
tg(7tx / 4) -1	Ig(jrx / 4) - tg(л / 4) _	sin(л (х -1) / 4)
х — 1	х—1	(х— 1) cos(nx / 4) соз(л / 4)
§ 7, Эквивалентные бесконечно малые функции, их свойства. Главная часть бесконето...243 _	sininix—1)/4) тг(х—1)/4 п	л
Поскольку lim---------------= lim--1— = —, a hmcos(— х)=
п	1	..	lntg(irx/4)	л	... я	_
=cos—то hm------------------= — и lim(tg—х)/( ’=е '
4	-I х-i	2	4	'
Замечание 7.2. При решении примеров 7.1—7.3 производилась замена эквивалентными в отношении двух бесконечно малых функций (теорема 7.1). Замена эквивалентными в сумме или разности двух бесконечно малых функций может привести к функции, не эквивалентной данной сумме. Так, например, 2—2cosх ~ х2 +х4, a sin2 х ~ х2 +2х' при х * 0, но функция 2— 2 cos х—sin2 х не эквивалентна функции х2 +х4 — (х2 +2xJ) при х-*0. Действительно,
2—2cosx—sin2 х = 1—2cosx+cos2 х = (1—cosx)2 ~х4/4, а х2 +х4 —(х2 +2xJ)=—2хэ +х4 —2х3 при х-»0.
Определение 7.2. Пусть даны функции а(х) и Р(х), являющиеся бесконечно малыми при х —> а. Функция Р(х) называется главной частью функции а(х) при х —> а, если а(х) при х —> а можно представить в виде:
а(х)=р(х)+о(Р(х)).	(7.9)
Замечание 7.3. Из теоремы 7.2 и определения 7.2 следует утверждение: «функция р(х) есть главная часть бесконечно малой функции а(х) при х —> а тогда и только тогда, когда эти функции эквивалентны при х —> а». Бесконечно малая функция а(х) при х —> а может и мет бесчисленное множество главных частей, ибо любую бесконечно малую функцию р(х), эквивалентную а(х) можно считать ее главной частью. Так, функции х, tgx — главные части sinx, ибо sinx~x, sinx~ tgx при х->0.
Обычно главную часть функции <х(х) бесконечно малой при х -»а находят в виде степенной функции р(х) = = С(х—л)*, А >0 при a^R или Р(х) = С(1/х)*, А>0 при й = со. Найти для а(х) такую главную часть — значит найти константу С и порядок к этой функции относительно разности х—а или дроби 1/х.
Пример 7.4. Выделить главную часть вида С(х—2)* из бесконечно малой a(x)=arctg(x3 — Зх2 +4) при х —>2.
244
Глава 3 Предел функции
►Имеем
lim---------= lim
С(х—2)*
arctg(xJ — Зх1 + 4) С(х-2)‘
= 11m
л«-2
xJ-3x2 +4 С(х-2)'
Здесь функцию а(х) заменили на эквивалентную. Разложив числитель на множители, получим:
а(х)	(х—2)2(х+1) 3	» -» г- о
lim-------= lim ------------ = — = 1 при к = 2 и С = 3.
«»С(х-2)‘ С(х—2)*	С
Так как а(х) ~ 3(х—2У при х —> 2. то функция 3(х—2)2	глав
ная часть бесконечно малой а(х) при л -> 2.Ч
Пример 7.5. Выделить главную часть вида СП/х)" из
бес-
конечно малой a(x)=siny-j—— при х
Зх2 +х	Зх2 +х Зх2 +х
►lim-------=0 (§5, п. 1), а(х) = sin — ---~ — ----
-»5х4-2	'	5х4—2 5х4—2
..... Зх2+х	..	Зх2+х 1 3+1/х
х-><» ((7.1). а = —;---1. Имеем — ------= —----------~
5х4 — 2	5х —2 х2 5-2/42
при
3 5л?
при х-»оо, отсюда следует: а(х)~3/(5х2) при х-»<х и 3/(5х2) — главная часть а(х) при х-*оо.^
♦§ 8. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ
Для бесконечно больших функций можно ввести классификацию, подобную той, которая описана в определениях 6.1-6.4.
Пусть /(х) и g(x) — бесконечно большие функции при х —> а, где а может быть не только числом, но и одним из
СИМВОЛОВ », +<», —оо.
f со
Определение 8.1. Если Slim------ конечный и не равный
g(x)
нулю, то функции /(х) и я(х) называются бесконечно большими одного порядка при х —» а. Если этот предел равен нулю, то функция /(х) называется бесконечно большой более низкого порядка роста по сравнению с функцией g(x) при х —> а, в этом случае принято обозначение /(x)=o(g(x)). Если данный предел бесконечен, то функция /(х) называется бесконечно большой более высокого порядка роста по сравнению с функ-
‘jj 8. Сравнение бесхогею больших функции
245
fix)
цией g(x) при х—>а, при этом g(x)=o(/(x)). Если Slim-------, то
g(x)
функции /(х) и g{x) называются несравнимыми при х —» а.
Рассмотрим два многочлена:
0и(х)=Лохя Ч-^х" 1 +...+Ля_,х+Аи, при этом а0 5*0, bv &0.
В п. 1 § 5 рассмотрен предел отношения этих многочленов при х-*оо (см. (5.1)). В силу равенства (5.1) и определения 8.1, заключаем:
а)	к = п=* Рк(х) и Q„(x) — бесконечно большие одного порядка при х
б)	А < л=>Р(1(х) имеет более низкии порядок роста при х-»а>, чем 0„(х), или Pk(x)=o(Qn(x)) при х-»оо;
в)	к>п=& Рк(х) имеет более высокий порядок роста при х-><ю, чем Qn(x) при х-»со.
Пример 8.1. Показать, что функция /(х)=х2(3—sinx) — бесконечно большая и несравнима с функцией g(x)=x2 при
►Неравенство lx1 s/(х)<4х2 верно для VxG/?, поэтому функция /(х)-»+оо при х-*+<» по теореме о сжатой функции (теорема 2.3), которая справедлива и для бесконечно больших fix)
функций. Так как 3 lim —=lim(3—sinx) (ибо Н lim sinx, при-^+" g(x) *-+»
мер 1.3, то функции /(х) и g(x) несравнимы при х->+<» (определение &.!).◄
Определение 8.2. Бесконечно большая функция /(х) называется бесконечно большой Л-го порядка роста по отношению к бесконечно большой функции g(x) при х —> и, если существует lim С *(),<».
~e g (х)
Пр	имер 8.2. Определить порядок роста функции f[x) = (2х3 + 5х) / (7х—3) относительно функции g(x) = х
при
►lim Um gk(x) —
к = 2, порядок роста функции f(x) относительно g(x) х-»<» равен !.◄
= lim
при
при
246
Глава 3 Предел функции
у V0
Определение 8.3. Если существует lim-—= 1, то функции g(x)
/(х) и g(x) называются эквивалентными бесконечно большими
при х а.
Обозначение: f(x) ~ g(x) при х а.
Многочлен Р„(х)=аохп 4-в|х" 1 +...+ав (х+сп эквивалентен
<Р(х) его первому члену а..х при х-»со, так как lim—-—=
**" о0х"
= lim(l+—х '+...+-

Замечание 8.1. Эквивалентные бесконечно большие функции частный случай бесконечно больших одного порядка. Их свойства аналогичны свойствам эквивалентных бесконечно малых функций.
Пример 8.3. Показать, что функции f(x) = ctgrcx и «,(х)=1/(л(х-1». /(X) и g,(x)=l/(2n(Vx-1)) эквивалентны при х-»1.
= л(х - l)cig пх = Г 1 У’ = nycig л (у +1)= nycig лу =
*,(*)	к=у+1|
лусозлу .. /(х) лусозлу	лусозлу
=---------, hm-----= lim--------= lim--------=1, поэтому
sinny	*-1 gt(x) >-u sinny	ny
функции /(x) и g,(x) эквивалентны при x-»l по определению
8.3. Поскольку	Ц» 1и=2я(х-1)с1ежх =
яЛх>	Vx+i
= -=—- ^х\ то lim = 1 и, следовательно, функции /(х) Vx+1 g,U)
и g2(x) также эквивалентны при х-*1.^
Определение 8.4. Пусть даны функции Дх) и g(x), являющиеся бесконечно большими при х—> а. Функция g(x) называется главной частью функции Дх) при х —> а, если Дх) при
а можно представить в виде:
Дх) = g(x) + o(g (х)),	(8.1)
где o{g (х)) имеет смысл, описанный в определении 8.1.
Из (8.1) следует утверждение; «функция g (х) есть главная часть бесконечно большой функции f (х) при ха в том и только том случае, если эти функции эквивалентны при х а».
*6 9. Асимптотическое представление бесконечно малых и бесконечно больших функции
247
Поэтому функция f (х) может иметь несколько главных частей при х—)а. Так, функции 1/(л(х—1)), 1/(2л(ч/х —I)) — главные
части ctgJLA при х—> 1, ибо обе они эквивалентны ctgnx при х—> 1 (пример 8.3).
Обычно главную часть функции, бесконечно большой при х+а, находят в виде степенной функции С(х—а)~к при aER или Схк при а =оо (А>0). Найти для функции / (х) такую
главную часть — значит определить константу С и порядок к этой функции относительно дроби 1/(х—а) или относительно х. Для ctgnx при х—» 1 главной частью указанного вида является функция 1/(л(х—1)), при этом С=1/я, к = 1, а для многочлена Plt(x)=avx" +aJx”~1 +...+ди _Jx+atl при х-><» — его
первый член оКхп.
Пример 8.4. Выделить главную часть вида Сх* из бесконеч-
-	...	. 2хэ +5х
но большой функции /(х)=-------- при Х-»00.
7х—3
= l при С= — и к = 2 (пример 8.2), поэтому
2х2	,
-------главная часть функции f (х) при х
*§ 9. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ
Пусть / (х) и g (х) — бесконечно малые или бесконечно большие функции при х-»а, а — вешественное число или /'(х)
один из символов со, +«>, -оо. Если lim----= 1, то из теоремы
g(x)
/'(х)
4.3 следует равенство = 1-На(х) или
/ (х) = g (х) + a(x)g (х).
(9.1)
где а(х)-»0 при х-»«. Произведение a(x)(g(x) имеет более высокий порядок малости, чем g(x), если Дх) и g(x) — бесконечно малые при х-»а, и более низкий порядок роста, чем g(x) при х-*а, если Дх) и g(x) — бесконечно большие при х-»с. В обоих случаях верно равенство a(x)g(x) = o(g(x)) где символ о имеет смысл, описанный в определениях 6.2 и 8.1. Заменив
248
Глава 3 Предел функции
в (9.1) в силу последнего равенства a(x)g(x) на о(д(х)), приходим к соотношению:
Дх) = g(x) + 0(gU))-	(9-2)
называемому асимптотическим представлением функции Дх) при х-»а. Слагаемое о(д(л)) в (9.2) называют остаточным членом. В качестве функции g(x) обычно выбирают степенную функцию С(х—а)* или многочлен.
Асимптотические представления (иначе асимптотические разложения или асимптотические формулы) используются при решении различных задач математического анализа, например, при раскрытии неопределенностей, отыскании асимптот графиков функций и т. д.
Замечание 9.1. В разд. 5 будет рассмотрен другой способ получения асимптотических разложений, требующий, однако, чтобы функция удовлетворяла более жестким условиям, чем те, при которых получена формула (9.2).
Замечание 9.2. Функция g(x) из равенства (9.2) может служить аппроксимацией (приближением) функции /(х). Приближенное равенство f(x)*=g(x) представляет функцию/(х) гем точнее, чем меньше |х—если а — действительное число, или, чем больше |х|, если а один из символов оо, +<» или — оо.
Напишем асимптотические разложения для некоторых элементарных функций, используя таблицу 7.1 и теорему 7.2.
Таблица 9 1
Асимптотические разложения бесконечно малых функции
Пусть функция а = а(х) -» 0 при х —> с. Тогда
sina=a+o(a),	(9.3)
tga=a+o(a),	(9.5)
arctg a = a+o(a),	(9.7)
ln(l+o)=a+o(a),	(9.9)
1—cosa=a2/2+o(cr), (9.4) arcsin a = a +o(a),	(9.6)
e" — l = a+o(ct),	(9.8)
(1 +a)M -1 = pa+o(a).	(9.10)
Равенства (9.3) (9-10) служат источником для получения аналогичных формул для различных элементарных функций.
Пример 9.1. Найти асимптотическое разложение функции f(х)=Vcos6x + sin2 х при х-*0 с остаточным членом вида о(х”), где р >0.
►cos6x= 1— 18х2 +о(х2) при х-»0 (разложение (9.4), а = 6х), отсюда имеем: Vcos6x = (1— 18х2 + о(х2) или
•§ 9. Асимптотическое гредставгесие бесконечно малых и бесконечно больших функции	249
Vcos6x = 1+1/3(— 18х2 +о(х2))+о(— 18х2 + о(х2)) = 1—6х2 + о(х2) (формула (9.10) и свойства символа о, § 6). Функцию sin2 х запишем в виде:
sin2 х = ^(1—cos2x) = ^(^4х2 + о(4х2)) = х2 + о(х2)
(формула (9.4)). Итак, приходим к равенству: /(х) = 1—6х2 + +о(х2)+х2+о(х2) или /(х)=1—5х2 + о(х2).-^
Пример 9.2. Найти асимптотическое разложение функции /(х)=(1+х)х при х-»0 с остаточным членом вида о(х'), где р >0.
►Для функции /(х) справедливо равенство /(х)=ех|",1+х> (см. (5.1)). Из (9.9) при х—>0 следует разложение х 1п(1 + х)=х(х +о(х)) = х2 +о(х2), следовательно, /(х) = е* *®(~ ’. Теперь е помощью (9.8) приходим к соотношению:
/(х)=1+х2 +с»(х2)+обх2 +о(х2))
или, в силу свойств символа о (§ 6), /(х)=(1+х)х =
= 1+х2 +о(х2).Ч
Асимптотическое разложение бесконечно малой функции можно получить, выделив ее главную часть. Так, для функции /(x)=arctg(xJ — Зх2 +4) при х—> 2 имеем разложение: /(х) = = 3(х—2)2 +о((х—2)2), поскольку — ее главная часть при
Зх2 +х
х—>2 (пример 7.4). Для функции g(x)=sin—---------- равенство
5х —2
g(x)=3/(5x2 )+<?(!/х2) — асимптотическое разложение при х->оо, ибо 3/(5х2) — главная часть g(x) при х-»<» (пример 7.5).
Пример 9.3. Найти lim—-----------L__
arcsin(xJ —2х )
►Дробь под таком предела при х—>0 дает неопределенность 0/0. Поскольку (1+х)х — 1 = х2 +о(х2) (пример 9.2) и arcsin(xJ —2х2)=х3 —2x2+o(xs — 2х2) = —2х2 +, то
11111 ------5-----.--11111 --Z-------у----11111 ------у---у----
arcsin(x — 2х )	-2х +о(х ) *-о — 2+о(х )/х	2
так как о(х2)/х2 -»0 при х—>0 по определению символа о (определение 6.2).◄
250
Глава 3 Предел функции
Пример 9.4. Найти lim(Vcos6x + sin2 x)l/v 1
►	Выражение под знаком предела при х-* 0 дает неопределенность Г. Из основного логарифмического тождества и замечания 2.2 следует равенство:
lim(Vcos6x + sin2 х),/ч2х= е'~“ *

Так как Vcos6x +sin2 х = 1+ (пример 9.1), то
ln(Vcos6x + sin2 х) = 1п(1—5х2 + о(х2)) =—5х2 +о(х2)
(формула (9.9) и свойства символа о, § 6). Функцию tg2x запишем в виде: tg2x = (x+o(x))2 = х2 + 2х-о(х)+(о(х))2=х2 +о(х2) (формула (9.5) и свойства символа о, § 6) Итак, имеем:
ln(Vcos6x +sin2 х)	— 5х2 +о(х )	—5+otx2)/x2
lim-----------------= lim---------—= lim------------—
tg2x	*-« х2 +о(х)	*“> 1+о(х2)/х2
= —5.
Отсюда получаем: lim(Vcos6x +sin2 х)1'1* х=е
п «с и •	1- е' -V2-х-arctg(x-1)
Пример 9.5. Наити lim--------------------
sin(x—1)
►	Выражение под знаком предела при х-»1 — неопределенность 0/0. Сделаем замену переменной:
.. е* — J1—х—arctg(x—1) |« = х—1 hm-----------------------=
sin(x—1)	|x = u + l
е»<u+2) __^]_и _arctg и lim---------------—
“-*0 sinu
И меем	eM”*2 ’= 1 + ы(и+2)+о(ы(и +2))= 1+2и + o(u), arctg и =
= «+о(«), V1—п — (1~«)'/2 =1—ы/2+о(ы). Числитель запишем в виде: е“‘"+2* — ^1 —«—arctg1+2и+о(«)—(1—и/2 + о(ы))— —(u+o(«))=3w/2+o(«) (использованы свойства символа о), а знаменатель — в виде: sin« = i/+o(«). Подставив полученные разложения в вычисляемый предел, получим:
—^1—и—arctgu 3w/2+o(«) lim------------------= lim---------=
"-° sin«	u+o(u)
3/2+o(u)/u 3
= lim-----------=—.^
“-о ]+o(u)/u	2
§10 Гипер&ммчеаме функции 251
В настоящей главе в процессе изложения теории пределов функций рассмотрен ряд примеров, иллюстрирующих различные способы отыскания пределов функций. Эти способы можно резюмировать в виде следующих правил.
Правила вычисления пределов
1.	В отсутствие неопределенности предел вычисляется с помощью георем о пределах и непрерывности функций (теоремы 2.2, 4.3—4.5, замечание 2.2).
2.	Предел выражения, представляющего неопределенность 0/0 или О-», вычисляется с помощью теоремы о замене эквивалентными бесконечно малыми (теорема 7.1), при этом применяется таблица эквивалентных бесконечно малых функций (таблица 7.1).
3.	Если х-»о#0, го целесообразно сделать замену z = x—a. Тогда z-*0.
4.	Для вычисления предела неопределенного выражения, содержащего сумму или разность бесконечно малых, применяется таблица асимтотических разложений некоторых элементарных функций (таблица 9.1).
Например, предел из примера 2.1 вычисляется с помощью правила I. предел из примера 7.1 — с применением правила 2, а в примере 9.5 применены правила 3 и 4. При вычислении других пределов производятся некоторые преобразования, после этого применяется одно из вышеупомянутых правил.
§ 10. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Со вторым замечательным пределом и следствиями из него связана особая роль показательной функции с основанием е, у = ех, которая также называется экспонентой и иногда обозначается так: у = ехр(х). С помощью экспоненты вводятся так называемые гиперболические функции, находящие применение, например, в описании некоторых процессов, связанных с электричеством, а также при описании тепловых явлений.
Определение 10.1. Функции	у = (е' +е-х)/2	и
у = (ех — е-х)/2 называются гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом. Для них приняты следующие обозначения: chx и shx. Таким образом.
ch_x = (e'+e ‘)/2, shx = (ex—e х)/2.
(ЮЛ)
252
Глава 3 Предел функции
Функция chx — четная, ее график симметричен относительно оси Оу (рис. 10.1), а функция shx — нечетная, ее график обладает центральной симметрией относительно начала координат (рис. 10.1).
По аналогии с тригонометрическими функциями y = tgx и у = ctg х вводятся гиперболические тангенс и котангенс, у = th х и у—cthx:
thx=^^, cthx = ^^.	(10.2)
chx shx
Обе эти функции являются нечетными, их графики приведены на рис. 10.2.
Рис. 10.1. [рафики функций	Рис. 10.2. Графики функций
у =ch* и у-shx	у = cth* и y=th*
Для гиперболических функций справедлив ряд тождеств, аналогичных тождествам для тригонометрических функций у — cos х и у = sin х. Так,
ch2x-sh2x = 1,	(10.3)
ch(x+y)=chxchy+shxsh>, sh(x + y)= shxchy+chxshy. (10.4)
Докажем равенство (10.3).
►ch2x—sh2x=|(e'+e-Jf)2 —(e* —е-Л)2]/4. Раскрыв скобки и приведя подобные члены, приходим к равенству (10.3).4
Докажем первое из равенств (10.4).
►clixchj + shxshj=[(e' -^e_x)(e,' +е-,')+(ех — е~“)(еу — е“’)]/4. Раскрыв скобки и приведя подобные члены, приходим к доказываемому ра венству: clixchy+shxshy = (ех+ у +е-А- J ) / 2 = =ch(x+y).4
253
§10 Гиперболические функции
При условии х = у из (10-4) следуют тождества: ch2x = ch2x + sh2x, sh2x = 2shx chx.
Для гиперболических функций при х —> 0 справедливы следующие формулы:
shx~x, thx~x, chx—1~х2/2,	(10,5)
которые легко обосновываются с помощью определения эквивалентных бесконечно малых (определение 7.1) и формул (10-1), (10.2)
Замечание 10.1. Термин «гиперболические функции» связан с тем, что эти функции используются при задании гиперболы параметрическими уравнениями. Например, гиперболу Г,: х2 — у2 =1 в силу тождества (10.3) можно задать следующими параметрическими уравнениями:
Г,: x=chr, y = sh/, tGR
Для сравнения приведем параметрические уравнения окружности Г2: х2 +у2 =1, F2:x=cosz, y = sinr, rG[0,2nJ.
Пример 10.1. Найти lim—-—.
'-о sh2x
►Дробь под знаком предела при х —>0 дает неопределенность %. Имеем lnchx = ln(l+(chx— l))~chx—1~х2 /2 (использованы формулы (7.7) и (10.5)) и sh2x~x2 (формула (10.5)). Заменив числитель и знаменатель дроби под знаком предела
In chx х2 /2 1
на эквивалентные, получим: lim—-—— hm—-— = — .◄
sh2x «-•> х2 2
254
Глава 4. Непрерывность функции
Глава 4
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
§ 1.	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНОЙ в точке.
ОДНОСТОРОННЯЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ
С понятием предела функции в точке тесно связано другое важнейшее понятие математического анализа — непрерывность функции, отражающее свойство непрерывности многих процессов и явлений, происходящих в природе и обществе. Непрерывные функции обладают многими важными свойствами, чем и объясняется большое значение этих функций в математике и ее приложениях.
Определение 1.1. Функция fix) называется непрерывной в точке до,, если выполнены следующие три условия:
1)	она определена на (/(х„) — некоторой окрестности точки Х(,;
2)	существует lim f(x);
3)	Ит/(х)=/(х*У
Так, функция /(х)=|х—1| непрерывна в точке х0=1, ибо она определена на любой £/(!) и lim|x—1|= /(1)=0 (пример 1.4 гл. 3).
Замечание 1.1. Поскольку Iimx=x01 то равенство из
третьего условия в определении 1.1 можно переписать в виде: lim f(x)= /(limx). Таким образом, для непрерывной функции знак функциональной зависимости f и 1нак предельного перехода можно переставлять местами.
Определение 1.2. Функция fix) называется непрерывной в точке х„ справа (слева), если она определена на промежутке [х0, х0 + 8) ((х0 —8, х0|), где 8 — некоторое положительное число, и fix0 + 0) = Дх0) (fix0 - 0) =fix0)).
f 0	при х < 1,
Например, функция f(x) = \	непрерывна
[2-х при х>1
в точке х= 1 справа, так как/(1 + 0) =/(1) = 1 (пример 1.5 гл. 3).
Определение 1.3. Функция fix) называется непрерывной на отрезке [а, й], если она непрерывна в любой точке х0 G (д, Ь), а также непрерывна в точке а справа и в точке b слева.
Замечание 1.2. Из теоремы 1.2 гл. 3 следует, что необходимым и достаточным условием непрерывности функции fix)
§ 1. Понятие функции, непрерывной в точке Односторонняя непрерывность Непрерывность... 255
в данной точке является ее непрерывность в этой точке как справа, так и слева.
Определение 1.4. Пусть дана функция у = Дх) и х, x0D(f). Разность х — хЛ называется приращением аргумента х в точке хс и обозначается Дх. Разность Дх) — Дхй) называется приращением функции в точке х0, отвечающим данному приращению аргумента, и обозначается Д/(х0), Ду.
Итак, по определению, Дх=х — х^, ЛДхо) = Д*) — / (лс). Из первого равенства выразим х и подставим во второе, получим: х = х0 + Дх. Д/(х0) =Дх0 + Дх) - Дх0) или Ду = =Дх0 + Дх) - Дх0).
Пример 1.1. Найти ДД1), если Дх) = х3 — х.
►М1)= Д1 + Дх) - Д1) = (I + Дх)3- (1 + Дх) - 0 = = 1+ ЗДх +3(Дх)2 + (Дх)3 - 1 - Дх = 2Дх +3(Дх)2 + (Дх)3.-* Теорема 1.1. Пусть функция у = Дх) определена на окрестности точки х0. Для того чтобы эта функция была непрерывной в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы бесконечно малому приращению аргумента соответствовало бы бесконечно малое приращение функции (т. е. было бы справедливо утверждение: Дх—> 0 => Ду —> 0.
► Пусть функция у = Дх) непрерывна в точке х0, следовательно, Э lim/(х)=/(х„). Имеем lim Ду = Нт(/(х)—/(хо))=О, что означает" справедливость утверждения: Хх°—> 0 Ду —> 0.
Обратно, предположим, что верно утверждение Дт —> 0 => Ду —> 0. Так как Ду = Дх) — Дх0), а из Дх —> 0 следует х—>х0, то заключаем, что lim(/(x)—/(хе))=0 и поэтому
lim/(x)=/(x„). В силу определения 1.1 приходим к выводу, функция у = Дх) непрерывна в точке х0.^
Пример 1.2. Показать, что функция Дх) = х5 — х непрерывна в точке х = I.
►Д/(1) = 2Дх +3(Дх)2 + (Дх)3 (пример 1.1). Поскольку Д/?1)—>0 при Дх—>0, го данная функция непрерывна в точке х = 1 в силу теоремы 1.1. ◄
Пример 13. Показать, что функция у = sinx непрерывна на Л.
► Возьмем Vxu EJ? и рассмотрим Ду = sin (х0 + Дх)= —sin х0.
По формуле разности синусов двух
Ду = 2 sin(Ax / 2)cos(xp + Дг / 2) или Ду =
углов имеем:
sin(Ax / 2)
Дх/2 ’ЛХХ
Xcos(xu +Дх/2). Так как lim s*n(A*/2)_j ^перВЬ]^ замечатель-« Дх/2
256
Глава 4. Непрерывность функции
ный предел (§ 3 гл. 3)). Дх-*0. a |cos(x0+Ах/2)|<1 для Vxe, AxGjR, то Ay — бесконечно малая при Ах-» О как произведение бесконечно малой функции на ограниченную. В силу теоремы 1.1, заключаем, что функция у = sinx непрерывна в любой точке х = х„ E.R и поэтому непрерывна на /?.◄
§2. КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА НЕПРЕРЫВНОСТИ
Исследование функции в окрестное! и точки, где она не является непрерывной, играет важную роль в изучении функции. Оно особенно важно для построения графика функции.
Определение 2.1. Точка хй называется точкой разрыва функции /х), если в ней нарушено хотя бы одно из трех условий определения функции, непрерывной в точке (определения 1.1).
При этом различают следующие случаи.
1. Существует конечный предел функции /(х) в точке х=х0: lim/(х), но либо 3/(хй), либо lim/(x)#/(xu). В этом случае Хд называют точкой устранимого разрыва данной функции.
Пример 2.1. Показать, что функция fix) = (sinx)/x имеет в точке х = 0 устранимый разрыв.
► 3lim/(x)= lim((sinx)/x)=l, но 3/(0), поэтому точка
х=0 — точка устранимого разрыва данной функции.^
м3
Рис. 2.1. 1),афик функции из примера 2.2
Пример 2.2. Показать, что функция +*)/(*+!) при х#-1, [—2	при х = —1
имеет в точке х = —1 устранимый разрыв и построить ее график.
х2+х	х(х+1)
► lim------= lim------= lim х = — 1,
1 х+1	~-i х +1
но /(—1)=—2^—1, поэтому х =—1 точка устранимого разрыва. Для построения графика /(х) преобразуем задающее	ее	выражение:
{х при х* —I,
-2 при х = — 1.
§ 2. Классификация точек разрыва непрерывности
257
{рафик функции приведен на рис, 2.1. точка (—1. —2) принадлежит графику. ◄
Замечание 2.1. Функцию Дх) с устранимым разрывом в точке х0 можно доопределить или переопределить, положив f(xu)= lim/(х). Построенная таким образом функция
J/(x) при х#х0, f = [Кт /(*) при х = х0
будет непрерывной в точке хс. В этой связи точку хс и называют точкой устранимого разрыва. Так, для функции Дх) из примера 2.2
[(х2+х)/(х+1) при х#-1,	ч
/*(х)= \	р	’ или /*(х)=
[—1	при х=—1
Рис. 2.2. График функции из примера 2.3
Эта функция непрерывна в точке х= —1.
2. 3 lim /(х), но при этом существуют оба односторонних конечных предела Дхй — 0) и Дх0 + 0), очевидно, не равные друг другу. Точка xfl называется точкой разрыва 1-го рода, а разность Дхй 0) — Дхй + 0) скан, ке xfl.
Пример 2.3. Показать, что функ-
_	[0, при х<1,
ция f(x} — \	имеет
[2-х.при х>1.
в точке х = 1 разрыв i-го рода и построить ее график
► 31im/(x) (пример 1.5 гл. 3), но
3/(1—0)=0, /(1+0)=1. Скачок функции Дх) в данной точке равен /(1+0)—/(1—0)= 1. График /(х) приведен на рис 2.2.<
3. В точке хс функция /(х) не имеет хота бы одною из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен. Точка xfl называется точкой разрыва 2-го рода.
Пример 2.4. Показать, что функция /(х)=е2/<х-1’ имеет в точке х=2 разрыв 2-го рода.
► /(2—0) = lim e2/u-1 * = |г = — 2 / (х—2)| = lim e~z — 0 (пример 4.2 и теорема 4.4 гл. 3),	/(2+0)= hrn^e3'"’" =
258
Глава 4- Непрерывность функции
Рис. 2.3. График функции /(х)=₽г/<*‘
= |г = 2/(х—2)|= lime1 =+<» (пример 4.2 гл. 3). 1рафик данной функции приведен на рис. 2.3.-<
§ 3. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ
Теорема 3.1 (об арифметических операциях над непрерывными функциями). Если функции Дх) и g(x) непрерывны в точке то в этой точке непрерывны также их сумма Дх) + g(x), произведение Дх) £(х) и частное fix) / g(x) при условии, что в случае частного g(xu)*0.
Эта теорема является следствием теоремы об арифметических операциях над функциями, имеющими предел (теорема 2.2 гл. 3) и определения функции, непрерывной в точке (определение 1.1).
Пример 3.1. Показать, что многочлен Рл(х)=аох" +л|х""’ + ...+ай1х+оя непрерывен на R
►Функция Дх) = х непрерывна на R (6fix0) = Да0 при Дх->0 для Vx0 G/?), поэтому функция g(x) = х” непрерывна на R как произведение п непрерывных функций, а многочлен Рп(х) непрерывен на R в силу теоремы 3.1. Ч
Пример 3.2. Показать, что рациональная алгебраическая Q (х) Ь,.хт +Ь,хп~' +...+Ь _,х+Ь
дробь Л(х)=-^-у =----------—------—------— непрерывна на
области определения.
► Поскольку функция R(x) является отношением двух многочленов, то она непрерывна на своей области определения
§ 4. Свойства функций, непрерывных на отрезке 259
в силу теоремы 3.1, как частное двух непрерывных функций: многочленов Р„(х) и Qn(x).A
Теорема 3.2 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна в точке л^, то она ограничена в некоторой достаточно малой окрестности этой точки
Теорема 3.3 (о сохранении знака непрерывной функции) Если функция f(x) непрерывна в точке л^ и /(хо)^О, то в некоторой достаточно малой окрестности точки л^ значения данной функции отличны от нуля и имеют такой же знак, как f(xu).
Теорема 3.4 (о непрерывности сложной функции). Если функция z = <р(х) непрерывна в точке л^, а функция у = f(z) непрерывна в точке zv'.z0 =<р(х0), то сложная функция У = ЛчИ-х)) непрерывна в точке л^.
Теоремы 3.2—3.4 следуют из теоремы об ограниченности функции, имеющей предел (теорема 2.4 гл. 3), о сохранении знака функции, имеющей предел (теорема 2.5 гл. 3) и теоремы о пределе сложной функции (теорема 2.6 гл. 3), а также из определения функции, непрерывной в точке (определение 1.1).
§4. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ. НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ
Теорема 4.1 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке [о, Z>J, то она ограничена на этом от-
резке.
Непрерывность функции именно на отрезке существенна для вывода об ее ограниченности. Например, функция /(х)—1/(1—х2), непрерывная на интервале (— 1,1), не является ограниченной на нем (рис. 4.1).
Ограниченность функции на отрезке является только необходимым, но не достаточным условием непрерывности, г. е. не любая функция, ограниченная на отрезке, непрерывна на этом отрезке. Так, функция из примера 2.3, ограниченная на отрезке [0, 2], не является непрерывной на нем.
Рис. 4.1. График функции /(*)=1/(1-*1) на интервале (—1, 1)
Теорема 4.2 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке [«, А], то она принимает на этом отрезке свои наименьшее и наибольшее значения.
260
Глава 4. Непрерывность функции
Непрерывность функции именно на отрезке существенна для заключения теоремы 4.2. Функция /(х)=1/(1—х2), непрерывная на интервале (—1, 1), принимает на нем наименьшее значение: /(0)=1, но не принимает на нем наибольшего значения (рис 4.1).
Теорема 4.3 {первая теорема Больцано-Коши, Больцано Б. (1781—1848) — чешский математик, философ, логик). Если функция f{x) непрерывна на отрезке [а, Ь\ и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то на интервале (о, Ь) найдется хотя бы одна точка с, в которой функция обращается в нуль, т. е. /(с)=0.
Замечание 4.1. Теорема 4.3 позволяет построить алгоритм вычисления корней уравнения /(х)=0, причем на функцию /(х) не накладывается никаких условий, кроме условия непре-
рывности на некотором промежутке.
Пример 4.1. Найти действительный корень уравнения х3 +х—1=0 с точностью до 0,01.
Рис. 4.2. К примеру 4.1
на 10 равных частей и
►Запишем уравнение в виде: х3 =1—х. Искомый корень — абсцисса точки пересечения графиков функций у = х3 и у = 1—х, он находится на отрезке [0, I] (рис. 4.2). Это следует и из теоремы 4.3: функция х3 +х—1 непрерывна на отрезке [0, 1]. на его концах она имеет значения разных знаков: /(0)= — 1 < О,
/(1) = 1>0, поэтому на интервале (0,1) найдется точка, в которой /(х) обратится в нуль. Разделим отрезок [0, 1] вычислим значения /(х) в точках деле-
ния: /(0,1) =0/99, ....	/(О, 6)=-0,184, /(а 7)=0,043, ...,
/(О,9)=0,629. В силу теоремы 4.3 корень находится на отрезке [0,6, 0,7], ибо функция /(х) принимает на его концах значения разных знаков. Разделив этот отрезок на 10 равных частей
и вычислив значения /(х) в точках деления, заключаем, что корень находится на отрезке [0,68, 0,69] (/(0,68)=—0/105, /(0/9)=0,018). Итак, приходим к выводу, что с точностью до 0,01 корень уравнения равен 0,68.-*4
Теорема 4.4 (вторая теорема Больцано—Коши). Если функция /(х) непрерывна на отрезке [я, А] и f(a)^ f{b), то она принимает на [я, Ь\ все промежуточные значения между /(я) и f(b). Таким образом, для любого числа р, расположенного ме
§ 5. Непрерывность алиментарных функций
261
жду /(«) и f(b), на [с, й| найдется хотя бы одна точка с такая, что /(с)=р. (рис. 4.3).
Следствие из теоремы 4.4. Если функция определена и непрерывна на некотором промежутке, то множество ее значений £(/) также представляет собой некоторый промежуток.
Например, функция /(x) = sinx, непрерывная на отрезке [—п/2, п/2], принимает на нем все промежуточные значения между /(—п/2)—sin(—п/2)= — 1 и /(n/2) = sin(n/2)—1 (рис. 4.4), т. е. любое число из отрезка [—1, 1] будет значением этой функции для некоторой точки из промежутка [—п/2, п/2].
Рис. 4.3. К теореме 4.4
Рис. 4.4. Трафик функции /(x)=sinx
Теорема 4-5 {теорема существования и непрерывности обратной функции). Если функция у = Дх) определена, строго возрастает (строго убывает) и непрерывна на отрезке [й, А], то на отрезке [/(й), ДА)] ([/(А), Дй)]) существует обратная функция f '(у), строго возрастающая (строго убывающая) и непрерывная на этом промежутке.
Так, функция у = (х—I)2, х€=[1, 3] определена, строго возрастает на отрезке [1, 3] (пример 7.2 гл. I) и непрерывна на этом промежутке в силу теоремы 1.1, ибо Ду — у(х+Дх)— —у(х)=(х+Дх—I)2 — (х—I)2-*0 при Дх-»0 для Vx^l, 3]. Она имеет обратную функцию y = l+Vx (см. упомянутый пример), строю возрастающую и непрерывную на отрезке [0, 4].
Замечание 4.2. Доказательства теорем 4.1—4.5 приведены, например, в [1].
§ 5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим сначала некоторые простейшие и основные элементарные функции
1.	у— С = const, для VxGA\ где X — промежуток числовой прямой.
262
Глава 4. Непрерывность функции
Очевидно, данная функция непрерывна на X по теореме 1.1, так как Ду = 0-»0 при Лх-»0 для Vxu ЕА'.
2.	Многочлен Рп(?с)=avx" +alx”~' +...+ап ,х+ди непрерывен на R (пример 3.1)
, „	. Q,AX)
3.	Рациональная алгебраическая дробь л(х) =------=
РЛх)
buxn+...+b ,х+Ью
=-------------------непрерывна на своей области определе-
avx“ + ...+аи_1х+аи
ния (пример 3.2).
4.	Показательная функция у = а', с*1, а>0.
Имеем Ду = й'*|+Йг — й'“ = ах"(айх — 1). С помощью определения предела функции в точке (определения 1,1 или определения 1.2 1Л. 3) можно доказать равенство: 11010^=1 (см., например- [Ц)< поэтому для показательной функции 4у-»0 при Лх-»О для Vx„ Ей, следовательно, она непрерывна на R по теореме 1.1.
5.	Логарифмическая функция y = logax.	а>0.
Эта функция непрерывна на своей области определения — промежутке (0, +“) по теореме существования и непрерывности обратной функции (теорема 4.5), как обратная по отношению к показательной функции.
6.	Степенная функция у = х“, a^R, a^O,D(y) = (P, +«>).
При х > 0 эту' функцию можно рассматривать как суперпозицию показательной и логарифмической функций: х" =ео1"', поэтому степенная функция непрерывна на промежутке (О, +«») по теореме 3.4 как суперпозиция непрерывных функций.
7.	Тригонометрические функции у = sin х, у = cos х, у = tg X, у = cig X.
Непрерывность функции у = sinx на R показана в примере 1.3, непрерывность функции y=cosx на R обосновывается аналогично. Непрерывность функций у = tg х и у = ctg х на их областях определения следует из теоремы об арифметических операциях над непрерывными функциями (теорема 3.1), поскольку эти функции являются отношениями непрерывных функций у = sin X и у = cos X.
8.	Обратные тригонометрические функции: у = arcsin х, у = = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х.
Эти функции описаны в § 8 гл 1 Они непрерывны на своих областях определения как функции, обратные по отно
§ 5. Непрерывность алиментарных функций
шению к соответствующим тригонометрическим функциям, в силу теоремы о существовании и непрерывности обратной функции (теорема 4.5).
Итак, непрерывность основных элементарных функций обоснована.
Теорема 5.1. Любая элементарная функция, определенная на некотором промежутке вещественной оси, конечном или бесконечном, непрерывна на этом промежутке.
Доказательство теоремы 5.1 следует из определения элементарной функции (определение 8.1 гл. 1), из непрерывности основных элементарных функций, из теоремы об арифметических операциях над непрерывными функциями (теорема 3.1), из теоремы о непрерывности сложной функции (теорема 3.4).
Замечание 5.1. Условие теоремы 5.1, требующее, чтобы элементарная функция была определена на некотором промежутке, существенно для заключения об ее непрерывности. Так, элементарная функция у = -Jsinx + >/—sinx имеет разрывы в любой точке своей области определения D(y), состоящей из отдельных точек (D(y)={x = nk, к EZ}).
Пример 5.1. Показать, что lim(arcsinx)/x=l.
►	Положим z=arcsinx, тогда z-*0 при х-*0 в силу непрерывности функции arcsinx. Поскольку x=sinz, то lim(arcsinx)/x = limz/sinz=l в силу первого замечательного
предела и теоремы 2.2 гл З.Ч
Упражнение 5.1. Показать, что lim(arctgx)/x= 1
Пример 5.2. Показать, что lim(ln(l+x))/x = 1.
►	Имеем: (1п(1+х))/х = 1п(1+х)1/х (свойства логарифмов), Ит(1+х)|/х=е (второй замечательный предел, § 3 гл. 3). В силу непрерывности логарифмической функции, lim(ln(l+x))/x = limlnf I+х),/х = ln(lim(l +х)1/ч) = In е = 1. ◄
_	е' —1
Пример 5.3. Показать, что lim-----=1.
► Пусть z = e* —1, тогда z-*0 при х-»0 в силу непрерывности показательной функции. Так как x=ln(i+z), то е' —1 z
lim-----= lim = I (пример 5.2 и теорема 2.2 гл. 3).Ч
Пример 5.4. Показать, что lim -------- = р.
264
Глава 4. Непрерывность функции
► Пусть 1+х=е;. тогда z=ln(l+x)->0 при х-*0 в силу не-.	л.	М (1+хУ-1
прерывности логарифмическом функции. Имеем -----------=
ен'—1 z	е^-1 , z ,
=-----=--------------ц. Поскольку lim-----= 1 и Inn---= 1
е'-1 JJ.Z ег — 1	т-о
(пример 5.3 и теорема 2.2 главы 3), lim	—-=ц по теоре-
х-0 х
ме 2.2 гл, 3.^
Контрольные вопросы и задачи к разделу 4
1.	/4 = 1,3,9,11 и 5=1,3,4,9,10. Постройте: /4U5; /4 Г) 5; А\В.
2.	Запишите в виде промежутков множества (/Е(0) U 1/Е(2), £4(0)0 <4(2) при с€(1, 2).
3.	Дайте определение модуля вещественного числа. Решите неравенства: а) |х—2| < 1; 6) |х—2| > 2.
4.	Приведите пример числового множества Л. для которого in£¥ G X, a supA X.
5.	Дайте понятие числовой функции, ее графика, способов задания.
6.	Какой симметрией обладает график четной функции; нечетной функции? Покажите, что функция f(x) = (ex +е ')/2 — четная.
7.	Найдите наименьший положительный период функции y = cos3x.
8.	Покажите по определению, что функция у = х2 +2х возрастает при х>1.
9.	Найдите inf f(x) и sup/(х). если f(x}= 1/(1+х2). Л	Л
10.	Для функции у=х3 ,xGR, найдите обратную.
11.	Постройте графики функций: a) y = |log,x|; б) y = |log2(x+l)]; в) у = log2(x+l)+5;
12.	Какие функции называются элементарными? Будут ли элементарными функции из п. Па? из п. 11 в?
13.	Запишите сумму 1 +1 / 22 +...+1 / л2 с помощью символа суммирования.
14.	Покажите, что последовательность {х.}={(2„ +1)/(2и —1)} является убывающей и ограниченной.
§ 5. Непрерывность алиментарных функций
15.	Используя определение предела числовой последова-I- Зл —1 тельности, покажите, что lim---= 3.
л+1
16.	Пусть {хп+у„} — бесконечно малая последовательность. Следует ли отсюда, что хотя бы одна из последовательностей {хя}, {>„} бесконечно малая?
17.	Приведите примеры последовательностей {>„} и {у„}, ДЛ” которых limx„=0, limy„=oo, а их произведение {хя-уя} есть последовательность: а) сходящаяся; б) расходящаяся, но ограниченная; в) бесконечно малая; г) бесконечно большая.
18.	Является ли последовательность {х„} бесконечно большой, если:
а) х„ =1+(—1)"л; б) хп = (!+(- 1)")л?
19.	Найдите наименьший член последовательности {*„}, если: а) хи = п1 — 9п—100; б) хи = п2 — 4л + 3.
20.	Сформулируйте два определения предела функции в точке. Что означает эквивалентность этих определений?
21.	/(3—0)=3, /(3+0)=—3. Какое утверждение справедливо: a) 31im/(x)=3; б) 3lim/(x)=—3; в) 3lim/(x)?
22.	Сформулируйте определения по Коши и по Гейне, соответствующие символическим обозначениям: /(л+0) =—оо, lim /(x)=Z>, lim /(х)=+°о.
23.	Найдите пределы:	_
ч 2х+3	3-75+7
a) lim----б) lim---------,
-^“х + 77	1-75^7
в) lim-—^C,°SA: г) lim(x/(x+D)\
24.	В каком случае верно равенство (х—I)2 =оф) при х->1, если:
а) Р(х)=(х—I)3; б) P(x)=sin(x—I)2; в) Р(х) = (х—I)2/|пх?
25.	Выделите главную часть вида С(х—2)* из бесконечно малой а(х) = 7х2 +2—77с при х-»2.
26.	Используя методы выделения главной части бесконеч-. ,	. sin7x-sinl2x+sin3 х
но малой функции, найдите lim------------—------.
""	(х-х*)2
266
Глава 4. Непрерывность функции
27.	При каких значениях аргумента функция /(х)=arcsin(ln х) непреры вна?
28.	Исследуйте на непрерывность функции* а) у = х* sin(l/x);
6) у = с‘,,“".
Ответы на контрольные вопросы и задачи к разделу 4
1.	Л и В={1, 3, 4, 9,10,11}; А О 5={1, 3, 9}; Л\={11}.
2. f/l(0)(Jt/t(2)=(—а, 2+е); Г/ь(0)ПГ/Д2) = (2-е,е).
3. а) 1<х<3; б) х<0,х>4. 7. 2л/3.
9.	inf/(x)=0. sup/(x)=l. 10. y = 3jx. 13. V-y-"	r	i
14.	x =11-----—, дробь 1/(и—1/2) убывает с ростом п,
и—1/2
поэтому последовательность {х„} убывает. Данная последовательность ограничена, так как 1 < хп < 3 для V« €Е Л.
16.	Нет, не следует. Например, пусть хи=1/я + |, ун = 1/л —I, уп = \/п— 1, хп -* 1, уя -* — 1 при п -* +оо. Эти последовательности не являются бесконечно малыми при и-»+<». Однако х/1+уп=2/я-»0 при «-»+<». Следовательно, {хя +у„} — бесконечно малая последовательность. 18. а) яв-
ляется; б) нет, не является.
19. а) х4 = х5 =-120; б) х2 = -1 21. в). 23. а) 2; б) -1/3; в)
1/4; г) е~‘. 24. в). 2S.	26. 84. 27. sxse. 28. а) х = 0 -
2-Тб
точка устранимого разрыва; б) х = — 1 2-го рода.
точка разрыва
Раздел 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Раздел знакомит с важнейшими понятиями математического анализа (производная, дифференциал, дифференцируемая функция) и с некоторыми их приложениями (исследование поведения функции, вычисление пределов).
Понятия и теоремы этого раздела образуют фундамент, на который опираются последующие разделы математического анализа.
268 Глава 1. Производная и дифференциал
Глава 1 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. ОДНОСТОРОННИЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Определение 1.1. Пусть функция у = /(х) определена на некоторой окрестности точки хц. Предел отношения /(х„+Дх)-/(х0) Ду
-------—------= — при ZU -* 0, если он существует и конечен, называется производной этой функции в точке х„
_ е,. . #(*«) и обозначается следующими символами: / (хи),--------------,
dx
Таким образом.
ч I- /К+Ах)-/(х0) .. Ау f (х..) = lim------------— lim —.
”	Лг	Л>-»П Av
(1-1)
»	iir'	df(xK) dy df dy
Замечание 1.1. Символы -----—, —	, —, — были вве-
dx dx dx dx
дены немецким математиком, философом и физиком Г, В. Лейбницем (1646—1716), а символы f'(xu), у'(х0) — французским математиком и механиком Ж. Л. Лагранжем (1736—1813). Символ у ввел И. Ньютон (1643—1727), в настоящее время он употребляется только в том случае, когда аргументом является время.
Пример 1.1. Найти, по определению, /'(1), если /(х) = х'-х.
..	А/(1)	2Дх+3(Дх)2 +(Дх)’ ,
rf (1) = lim----= lim---------------- (выражение для
4а-*0 л V	Лл-*О	Л у
Д/(1) приведено в примере 1.1 гл. 4 разд. 4). Сократив оба члена дроби под знаком предела на Дх, получим /'(1)= Нт(2+ЗДх+(Дх)2) = 2.«<1
Определение 1.2. Пусть функция у = /(х) определена на промежутке (х0— 8,х0] ([х0,хи +6)), 6 — некоторое положительное число. Если существует предел отношения
§ 1- Производная функции в точке. Односторонние и бесконечные производные
269
f(X„ + Дх)— fix..) Ay	„
----——---------~ = ~^_ при Лл ^ 0 (Лх->+0), то он называется левой (правой) производной этой функции в точке х( и обозначается /_'(хи) (или /+'(х0)). Итак.
еч г /(*u+^)-/(xD)	ДУ
/(х.,) = lim--------------= lim —,
Да	Дх
Л(ХС)= lim '	lim
Дх	ЛХ-+0ДХ
(1.2)
(1.3)
Замечание 1.2. Левая и правая производные объединяются термином односторонние производные
Замечание 1.3. Из существования производной f'(xu) следует существование односторонних производных /_'(х„), Д.'(хп) и равенство
=//(хя) = /'(х„)	(1.4)
(теорема 1.2 гл. 3 разд. 4). Обратно, если существуют равные /_'(х0) и /+'(х0), то существует и f'(x0) и верно равенство (1.4). Если /_'(хи) и /Дхц) существуют, но не равны, то функция /(х) не имеет производной в точке х0.
Пример 1.2. Показать, что не существует /'(—1), если
/(х)=х|х+1|.
►ДС(-П = /(-1+Ах)-/(-1)=(-1+Дх)|Дх| Из (1.2) и (1.3) имеем:
/'(-!)= Нт <-Ч-Ах)(-Дх)=1 /ч_1)= Цт (-1+Дх)(Дх)=1 дк—и	дх	^-+° Дх
Поскольку /_'(—!)* /+'(— 1), то не существует /'(“!) (замечание 1.3).-<
Определение	1.3.	Если	существует
1 /(хи З-Ах)—/(х„)
hm----------------— = ±<ю, то говорят, что в точке х„ функция
Дл-0	ДЛ
f(x) имеет бесконечную производную.
Пример 1.3. Показать по определению, что /’(!)= +оо, если /(x)=VTT.
270
Глава 1- Производная и дифференциал
Аналогично вводится понятие односторонних бесконечных производных.
Пример 1.4. Показать по определению, что /_'(!) = —оо, а
/+'(1)=+оо, если /(х)=^(х-1)2 
►/_(!)= lim J '' = lim -------------------= lim -7= =
a.\—-u Ду дх-*-о	Ду	дл—-о Vду
=—co, _/+' (1) = lim = + <».◄
§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Рис. 2.1. К понятию касательной к графику функции
мой х=х.. Гем. 6 3 гл.
1. Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки х0, а Г — график этой функции. Прямая £, проходящая через точки Л/в(хв,/(х„)),
Л/, (л0 + Дх, /(хи + Дх)) е Г, называется секущей по отношению к Г (рис. 2.1). Уравнение
у-у0=А(х-х„),	(2.1)
где уя = /(х(|), задает все прямые, проходящие через точку Ми с данным угловым коэффициентом к, кроме пря-1 разд. 3). Подставив в (2.1) координа
ты точки М,, получим: /(хи+Дх)—/(хи)=А1(х0+Дх—xG), отсюда Ду=£]Дх, где Ду =/(хц+Дх)—/(х,,), а Л, =lg<p— угловой коэффициент секущей L (рис. 2.1). Имеем к} =Ду, Дх. Если Дх-*0, то Ду-»0 как приращение непрерывной функции, при этом точка Mt еГ приближается к точке Мп 6 Г. Если данная функция имеет в точке х=х0 производную у'(хи), то секущая L при Дх-»0 имеет предельное положение, характери-
Ду
зуемое угловым коэффициентом £u=tga = lim— = у'(х„), ко-
торое называется касательной Т к графику Г в точке Mu(x0,yu) (рис. 2.1). Уравнение касательной Т получим из (2.1), взяв нужный угловой коэффициент:
= у'(х0)(х-х0).
(2.2)
§ 2. Геометрический и >ж?>аиг*-:лиг смысл производной
271
Итак, геометрически производная функции y=f(x) в точке х0 интерпретируется как угловой коэффициент касательной, проведенной к графику этой функции в точке Ми(хи,уи). где Уи=/(х0).
Пример 2.1. Написать уравнение касательной Т к графику функции f(x)=x3—x в точке (1,0).
►/'(1)=2 (пример 1.1). Уравнение касательной Т получим из соотношения (2.2): у—0—2(х-1) (х0= 1, у0= 0, у'(х0)= 2 (пример 1.1)), Т: у = 2х—2.4
Если односторонние производные функции y=j\x) в точке хи не равны между собой, т. е. у'_(хк)^у\ (х0), то ее график Г не имеет касательной в точке Мк(х„,уи), где = f(xu). Однако в этом случае в точке Mu(xi),yt>) есть так называемые односторонние касательные Г, и Тг (левая и правая), являющиеся предельным положением секущей L при Дх-»—0 или Дх-»+0. угловыми коэффициентами которых служат Х(хи), Х(хи) Касательные Tt и Т2 определяются уравнениями:
Г,: з-Л=У_(х„)(х-л„).	(23)
7? >—>•„ =>•', (х„)(х-х„)	(2.4)
Точка Л/с (.ч^, у0) при этом называется угловой точкой графика Г. Так, функция
в точке х = — 1 имеет производные: /_'(—!) = 1, /+'(—1)= —1 (пример 1.2), ее график имеет в точке (—1, 0) односторонние касательные Ту. у = х + 1 и Ту. у = —х—1 (рис. 2.2), их уравнения можно получить из (2.3), (2.4). Точка (—1, 0) — угловая точка графика.
График Г функции у = / (х) имеет в точке Л/о (хс, у0), где у0 = / (хс), вертикальную касательную, определяемую
уравнением х = х0, если /,(хп)=±оо.
Так, график функции /(х)= Vx—1 имеет в точке (1, 0) верти-
кальную касательную Т: х = 1 (рис. 2.3), ибо /'(!)=+« (пример 1.3). Если /_'(х0) и /+'(х(1) есть бесконечные производные
272
Глава 1- Производная и дифференциал
разных знаков, график имеет в точке Мо (л^, у0) так называемое острие, через которое проходит вертикальная касательная. Например, график функции /(х)=^(х—I)2 имеет в точке (1, 0) остриее через него проходит вертикальная касательная х = 1 (рис. 2.4), ибо /_'(!)= — со, а /+'(!) = +<» (пример 1.4).
2. Пусть s = s(f) — путь, пройденный материальной точкой за время t при движении по прямой, тогда s(r+A/)—— путь, пройденный за время А/, а отношение As/Az — средняя скорость движения на этом промежутке времени. Если суще-
As
ствует конечный lim — = s(n, то он является мгновенной ско-д/
ростью v точки в момент времени t, т. е. s(/)=v(z).
Итак, механически производная интерпретируется как мгновенная скорость движения, если данная функция определяет путь, проходимый материальной точкой в прямолинейном движении.
§ 3 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Определение 3.1. Пусть функция y = f(x) определена на некоторой окрестности точки хе. Если ее приращение Ду = /(х(1 + Ах)—f(xu) представимо в виде
dy = А  Ах +о(Дх),	(3.1)
где множитель А зависит от л^. но не зависит от Дх. а о(Ах)— величина более высокого порядка малости, чем Ах при Дх-*0,
§ 3. Диффержццзуемость функции в точке. Дифферещиал 273
то данная функция называется дифференцируемой в точке х^, а слагаемое Л-Лх из (3.1) называется дифференциалом функции у = f (х) в точке х0 и обозначается следующим образом: df(xu), А’(х0), dyi=Xv, dy. Итак, dy = A-hx.
В силу равенства (3.1) дифференциал dy = A-/\x при Л#0 главная часть приращения функции Ду, линейная относительно Дх (определение 7.2 гл. 3 разд. 4), при этом Ьу-dy при Дх-»0. Если А = 0, то dy = 0 при любых значениях Дх, а Ду = о(Дх) при Дх->0, в этом случае Ду является при Дх-»0 бесконечно малой более высокого порядка, чем Дх.
Для линейной функции у = кх + Ь приращение функции в любой точке х0 вещественной оси совпадает с ее дифференциалом в этой точке. Действительно,
Лу(х„)=к(хи + Лх)+Ь-кх0-Ь = к-Ьх.
В этом случае о(Дх)=0, a dy=k-Ax = Ay.
Пример 3.1. Показать, что функция /(х)=х3 —х дифференцируема в точке х = 1 и найти ее дифференциал в этой точке.
►ДГ(1) = 2Дх+3(Дх)2+(Дх)' (пример 1.1 гл. 4 разд. 4). Так как 3(Лх)2 + (Дх)3 = Дх2(3+Дх) = о(Дх) при Дх -* О, то Л/(1) = 2Дх + о(Дх). Данная функция дифференцируема в точке х = 1 по определению 3.1, г/у=2Дх.^
Равенство (3.1) можно записать в другой эквивалентной форме:
Ду — А  Лх+а(Дх)Дх,
(3.2)
где о(Дх)-*0 при Дх-»0
► Покажем сначала, что из равенства (3.2) следует (3.1). Имеем:
, сс(Дх)Дх	Л
hm--------— = lim а(Д х)=О,
Дх
следовательно, по определению символа о (определение 6.2 гл. 3, разд. 4) а(Дх)Дх = о(Дх) при Дх-»0. А это и означает, что из (3.2) следует (3.1).
Теперь осуществим переход от (3.1) к (3.2). В силу вышеупомянутого определения символа о имеем: Нт(о(Дх) Дх) = 0, поэтому о(Дх) / Лх=0+а(Дх) или о(Дх)=а(Дх)-Дх, где а(Дх)-»0 при Дх-»0 (теорема 4.3 гл. 3 разд. 4). Таким образом, переход от (3.1) к (3.2) обоснован.^
274
Глава 1- Производная и дифференциал
Теорема ЗЛ (необходимое и достаточное условие дифференцируемости). Функция у = f(x) дифференцируема в точке х0 тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке конечную производную у' (х(|).
► Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке хи, т. е. для нее справедливо равенство (3.2). Поделим обе его части
Ду	z
на Дх: — = Л+а(Дх). Имеем: lim(y4+а(Дх))=А ибо а(Дх)-»О
Ду
при Дх -» 0. Но тогда 3 lim — = А. Этот предел по определению равен производной у'(хи), поэтому заключаем, что данная функция имеет в точке х0 производную, при этом у'(хи)=А.
Ду
Предположим теперь, что существует y'(xv), т. е. Slim —=
= /(х„). Тогда
Ду
—= у (хс)+ct(Дх) или Ду = у (хи)Дх + а(Дх)Дх,
где а(Дх)-»0 при Дх-»0 (теорема 4.3 гл. 3 разд. 4). Приращение Ду представлено в виде (3.2), где А = у'(х0), и функция дифференцируема в точке х0.<
Следствие из теоремы ЗЛ. Для функции у = f(x), дифференцируемой в точке х(|, множитель А в равенствах (3.1) и (3.2) определяется единственным образом, а именно: А = у’(хи).
В силу определения 3.1 и следствия из теоремы 3.1 имеем:
dy = y'(xtj)Ax.	(3.3)
Из формулы (3.3), в частности, при у = х следует, что Jx=(x)'Дх = Дх, т. е. дифференциал аргумента равен его приращению: dx=Ax. Поэтому равенство (3.3) можно переписать в виде:
dy = y'(xn)dx.	(3.4)
Замечание 3.1. Вычисление производной и дифференциала функции в данной точке принято называть одним термином — дифференцирование.
Пример 3.2. Найти дифференциал функции /(х)=хэ—х в точке х = 1.
► /-« способ. Д/(1) = 2Дх + о(Дх) (пример ЗЛ), следовательно, <^(1)=2Дх (определение 3.1) или df(p)=2dx.
§ 4. Геометрический и механический смысл дифференциала
275
2-й способ. f'(\)~2 (пример 1.1k в силу (3.4) df(y) = 2dx.-4 dy
Замечание 3.2. Из (3.4) имеем y'(xtl)=—, поэтому символ dx dy
Лейбница — можно трактовать и как отношение дифферен-dx
циалов dy и dx.
Теорема 3.2 {необходимое условие дифференцируемости) Если функция у = f(x) дифференцируема в точке хе, то она непрерывна в этой точке.
► В самом деле, Ду — А-Дх+о(Дх) (формула (3.1)). Данная функция непрерывна в точке хе, ибо Ду -» 0 при Дх-» О (теорема 1.1 гл 4 разд. 4)-<
Замечание 3.3. Непрерывное 1ь функции в данной точке не является достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке, т. е. теорема, обратная теореме 3.2, неверна.
Пример 3.3. Показать, что функция /(х)=х]х+1] непрерывна в точке х= — 1, но не дифференцируема в этой точке.
►Д/Х—1) =(—1+Дх)|Дх] (пример 1.2), Af(—1)-»0 при Дх-»0. Функция непрерывна в точке х = —1, ибо бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции (теорема 1.1 гл. 4 разд. 4), но она не дифференцируема в этой точке, ибо 3/'(—I) (пример 1.2). ◄
Замечание 3.4. Дифференциал можно использовать для вычисления приближенного значения функции в точке. Из равенства (3.1) следует, что Ду = dx при малых значениях Дх, т. е. /(х0 + Дх)- f(x0)=/'(х0)Дх или
/(*«> + Дх) = /(х0)+f (х0 )Дх.	(3.5)
При вычислениях приближенного значения /(х0 4-Дх) по формуле (3.5) погрешность тем меньше, чем меньше Дх. Эта погрешность при Дх-*0 является бесконечно малой более высокого порядка, чем Дх.
§ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
1. Пусть функция у = f(x) имеет конечную производную у'(х0), а точка Л/|(х0+Дх, Дх0+Дх)), принадлежит ее графику Г (рис. 4.1). В точке М0(х0, ус), у0= _Лх0), проведем к Г касательную Т, В(хв, ув,) — точка пересечения прямых
276
Глава 1- Производная и дифференциал
£:х = хв 4-Дх и Т. Подставим координаты хв=хе4-Дх и ув точки В в уравнение касательной (2.2), в силу (3.3) получим:
У в “К. =/(*,, )Дх или ув -у„ =df{x„).
Рис. 4.1. К геометрической интерпретации понятия дифференциала
На рис. 4.1 длина отрезка AMt есть приращение функции = Ах0 + Ах) -Дх0), а длина отрезка АВ — дифференциал dy данной функции в точке х = Замена Ду на dy приводит к замене части графика функции (рис. 4.1, дуга С. Г) на отрезок касательной, т. е. на отрезок прямой (рис. 4.1, отрезок МаВС. Т).
Дифференциал функции у= f(x) в точке х„ геометрически трактуется как приращение
Уб ~Уо ординаты касательной Т к графику этой функции, проведенной в точке Л/0(х0,у0), при перемещении из точки Л/, в точку В или при изменении аргумента х от х0 до хе 4-Ах.
2. Пусть s — s{t) — путь, пройденный материальный точкой за время t при движении по прямой, тогда s(/u +Д/)— —s(fe)=As — путь, пройденный материальный точкой за время Л/. По формуле (3.2) имеем ds = s(t(f&t.
Дифференциал функции s = s(f) механически можно трактовать как путь, который прошла бы материальная точка за время Д!, если бы она двигалась все это время с постоянной скоростью v = s(tu). При замене приращения этой функции As дифференциалом ds реальное движение за время Д( заменяется равномерным со скоростью s(r0).
Так, при свободном падении материальной точки $(г)=#2/2 (g — ускорение земного тяготения). За промежуток времени Аг она пройдет путь As—g(/+Аг)2/2—gt2 /2 = = gZA/+g(Ar)2/2, при этом ds = gtfa. Замена As на ds означает замену реального движения равномерным со скоростью v = gt.
§ 5. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Правилами дифференцирования называю! формулы, по которым вычисляются производная функции, являющейся постоянной на некотором множестве, производная от произведе
§ 5. Правила дифференцирования 277
ния постоянного множителя на функцию, производные от суммы, произведения и частного двух функций.
Теорема 5.1. Если функция и(х) дифференцируема в точке х, а С — некоторое постоянное число, то справедливы следующие формулы:
(О'= 0. (Cu(x)Y = Си'(х).	(5.1)
Ду
►Пусть у = С, тогда Ду —0 и (С)'=у'= lim —=0. Если у = Си(х), то Ду = Си(х+Дх)-Си(х)=С(и(х + Дх) - и(х))=СДи, а (С«(х))'= у'= lim — = lim —''L/ = dim — = Cu‘(x) ◄
дх-о Ду Ла-u Ду Лх-о Ду
Замечание 5.1. Вторая из формул (5.1) эквивалентна следующему утверждению: постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Теорема 5.2. Если функции н(х) и у(х) дифференцируемы в точке х, то:
1) функции «(x) + v(x), м(х)-у(х) дифференцируемы в этой точке и справедливы формулы:
(м(х) + у(х))'=м(х)'+г(х)';	(5.2)
(u(x)- v(x))'= ы(х)' -г (х) +н(х)- у(х)';	(5.3)
2) функция и(х)/у(х) дифференцируема в этой точке при условии у(х)^0 и справедлива формула:
(- "'(*)• У(х)-ц(х)-
v2(x)	’	( J
►Докажем, например, формулу (5.3). Имеем:
(иг)' = lim	(формула (1.1)).
где Д(ну) = м(х+Дх)у(х+Дх)—и(х)г(х). Заменим в этом равенстве «(х+Дх) на м(х) + Дм, а у(х+Дх) на у(х)+Ду, получим:
Д(«у)=(и(х) + Ди)- (v(x)+Ду)—и(х)v(x) или Д(иу)=и(х)’ Ду +у(х)- Дм +ДиДу.
,,	.	н(х)Ду 4-у(х)Дм 4-ДмДу , Ду
Тогда (uv) = lim------------------------= lim(u(x)— +
Ал- 11	Ду	Ла—!	Д у
Дм Дм,
+у(х)—+Ду—). В силу теоремы об арифметических опера
278
Глава 1- Производная и дифференциал
циях над функциями, имеющими предел (теорема 2.2 гл. 3 разд. 4), последнее равенство принимает вид:
, ..	Лу , ,Ли
(uv) = и(х) lim — + v(x) lim — 4-Ду lim —.
(5.5)
Поскольку lim — = v'(x), hm— = u'[x), а Ду->0 при Дх-»0 как приращение дифференцируемой и, следовательно, непрерывной функции, то при Лх->0 из (5.5) получаем формулу (5.3).^
Пусть и = и(х) и v = v(x) — дифференцируемые функции х. Из равенств (5.1) — (5.4), (3.4) следуют правила вычисления дифференциалов:
dC=0, С — const. dCu = Cdu, С — const. d(u + v)=du +dv.
d(u-v) = vdu +u-dv, и v-du—u-dv d- =-------------.
(5-6) (5-7)
(5-8) (5-9)
(5.10)
Получим, например, формулу (5.8). Имеем:
d(u + у)=(и + v)‘dx — (и’ +v')dx = u'dx + v'dx= du +dv.
§ 6. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ И ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВО ИНВАРИАНТНОСТИ ФОРМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Теорема 6.1. Если функция y = f(u) дифференцируема в точке и0, а функция u=g{x) дифференцируема в точке хс, причем =g(xoh то на некоторой окрестности точки х() определена сложная функция у= f(g(x)), дифференцируемая в этой точке, при этом справедливо равенство:
ли.)=Х(".)“:и»)-	<6-i)
►Функция у—f{u) дифференцируема в точке ии, поэтому ее приращение в этой точке представимо в виде (3.2): Ду — А - Ди +а(Ди)Ди, где A=y'(xv) (следствие из теоремы 3.1). Отсюда получаем:
Ду = у' (и„ )• Д« 4-а(Ди)Д«,	(6.2)
где а(Д«)-»0 при Ди^»0. Поделим обе части соотношения (6.2) на Дх:
§ Б Производная сложной и обратной функции. Свойство инвариантности формы...279
=	(6.3)
Пусть Дх-»0, тогда —-*у'(х0), — ~»и'(хц), Ди-* О как приращение дифференцируемой и потому непрерывной функции, значит, и а(Д«)-»0. Итак, переходя к пределу в (6.3) при Ал-*0, приходим к формуле (6.1).<
Теорема 6.2. Если функция у = Дх) непрерывна, строго монотонна на некоторой окрестности точки и дифференцируема в точке причем у (jQ * 0, то на некоторой окрестности точки хв, у0—Дх0), определена непрерывная, строго монотонная функция х = /-1(у), обратная по отношению к данной. Эта функция дифференцируема в точке у0, при этом справедлива формула
►Существование, непрерывность и монотонность обратной функции х = (у) следует из теоремы 4.5 гл. 4 разд. 4, при этом Ду^0=> Дх^О. Докажем, что верна формула (6.4). Рас-
Дх 1
смотрим равенство: — =--------и устремим в нем Ду к нулю,
Ду Ду/Дх
при этом в силу непрерывности обратной функции Дх также г 1 г 1	1
стремится к нулю, имеем: hm------------= hm-------=-------.
Л.-и Ау / Дх ***<> Ду / Дх у'(х„)
Но тогда Slim —= —-— и, следовательно, верно равенст-лз-0Ду у'(х(1)
во (6.4). ◄
Свойство инвариантности формы дифференциала
Пусть функция у — /(х), где х — независимая переменная, дифференцируема в точке х, при этом, как установлено в § 3, справедливо равенство
dy = y\.dx.	(6.5)
Введем в рассмотрение функцию x = g(r), дифференцируемую в точке х — теперь зависимая переменная. В силу теоремы 6.1 сложная функция у = /(#(/)) дифференцируема в точке t. Имеем:
</у = у'tdi = у'я  x‘tdt = у'dx
280
Глава 1- Производная и дифференциал
(использованы формулы (6.5) и (6.1) и равенство dx = x',dt, вытекающее из (6.5)). Последнее равенство вместе с равенством (6.5) позволяет сделать следующий вывод.
Форма записи дифференциала dy=y'xdx в случае, когда переменная х является независимой, остается справедливой и для случая, когда х является функцией (например, переменной I). Это свойство дифференциала называется свойством инвариантности формы.
Пример 6.1. Пусть у = sinx,x = cosf. Какие из следующих равенств справедливы:	=0; B)z/y. . =dx,
C)rfy|<=.,2 = —df!
► В силу инвариантности формы дифференциала имеем dy=cc&xdx. Так как х=0 при Г = п/2, то dy=dx и потому равенство В) верно. Равенство С) верно, поскольку dx=— sin ft/? и dx=—dt при t — nl'l. Равенство А) неверной
§7. ПРОИЗВОДНЫЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
1.	Производная показательной функции у = д',
(л*У=дх In о, VxGjR.
►По определению производной (определение 1.1) имеем
^(g^ -D:
а —а*
(а ) =lim — —---=lim
hm— —--
(oA'=e4!!l"e в силу основного логарифмического тождества). Заменив разность ейх|"‘ -1 на эквивалентную ей при Дх-»0 функцию Axlntj (формула (7.6) и теорема 7.1 гл. 3 разд. 4), приходим к равенству:
, , , , , Axlnc
(с )—а lim———=а In с.-Я
2.	Производная логарифмической функции	y = logox,
а > 0, а * 1
(ios.A)'=-J—, х>а хшд
►Логарифмическая функция у = loga х является обратной по отношению к показательной функции х = о‘, а>0, с*1,
§ 7. Производные основных элементарных функций. Таблица производных 281
jGjR. В силу формулы (6.4) для производной обратной функции имеем: у' = (log х)' =--=--------=----. ◄
х'у с* 1по xlne
3.	Производная степенной функции у = х“, а G Л.
(х'-у^ах01, xGD(y)
Область определения D (у) функции зависит от показателя степени а. Если а целое или дробное с нечетным знаменателем, то!)(у) = /?/х = 0, х=0 принадлежит D (у) только при а > 0. Во всех друшх случаях полагаем, что D (у) = (0, +«:).
►Пусть х, x+AxGZ)(y). Из определения производной имеем: (*")’= lim +	или
х'[(1+Лх/х)'-1]
(х‘)’= Um —1-----—---------- = х‘ lim„
Здесь бесконечно малую (1 + Дх/х)°—1 заменили на эквивалентную ей величину о(Дх/х), при этом использована формула (7.8) из гл. 3 разд. 4.Ч
4.	Производные тригонометрических функций
(sinx)'=cosx, (cos х)'= —sinx, VxG/?
,	1	я	„	,	1
(tgx) =--T—, X^ — +nn,n (=Z, (cigx) =—----5—, x* m,n6Z
cos x 2	sin x
. , .	,	sin(x + Ax)— sin x
►(sin x) = lim-----—--------=
, 2sin(Ax/2)cos(x+Ax/2) „
= lim-----------—----------•. Заменив множитель sin(Ax / 2)
в числителе на эквивалентную бесконечно малую, получим:
........... 2(Ax/2)cos(x+Ax/2) , (sin х) = hm---------—---------= limcos(x + Дх/ 2).
Поскольку limcos(x + Ax/2)=cosx в силу непрерывности функции косинус (§ 5 гл. 4 разд. 4), приходим к равенству: (sinx)'=cosx.
Имеем: (cosх)'= (sin(x + я /2))'= cos(x + п / 2)- (х + я /2)'= = —sinx (использовано правило дифференцирования сложной функции (см. (6.1)).
282
Глава 1- Производная и дифференциал
Обоснование формул для вычисления производных от тангенса и котангенса проведем, используя формулу для вычисления производной частного и формул для вычисления производных синуса и косинуса. Так,
„ (sinx\ (tgx)= -----
\cosx/
(sin x)'cos х—(cosx)' sin х _ cos2 х
cos2 х—(— sin х) sin х _cos2 x+sin2 x_	1
cos2 x	cos2 X cos2 X
Формулу для производной котангенса докажите самостоятельно. ◄
5.	Производные обратных тригонометрических функций
(arcsin хУ=	* * . (arccos хУ = — * * . Vx €Е (— 1,1).
(arcigx)'=
——(arccig х)'= ———-, Vx GJ?
I + х	1+х
►Докажем первую из этих формул. Функция у = arcsin х, xG[—1, I], является обратной по отношению к функции х = sin у при у G[—л /2, л /2]. В силу формулы (6.4) для производной обратной функции имеем:
, 1 । у х = (arcsinx) =-------=-------
х'}. cosy
при условии, что cos у# 0, т.е. у^±л/2. Заметим, что из неравенства у*±я/2 следует, что х#+—I. При yG(—л/2, л/2) справедливо равенство
cosy = -yl—sin2 у = Vl—х2.
поэтому для у\ = (arcsinx)' получаем: у= (arcsin х)'=
VI-х2 xG(-!,!).◄
6.	Производные гиперболических функций
(sh х)'=ch х, (ch х)' = sh х, Vx е /?, (thx)'=—, VxGjR, (cthx)'= ——5^, VxGjR, кроме x = 0. ch x	sh x
§ 7. Производные основных элилентарных функций. Таблица производных
283
>(shx)*=^e * ) = |(е’-е ')'=1(с*-(-е '))-= |(*‘ +<?x)=chx.
Здесь использованы правила дифференцирования (§ 5), а также формула для вычисления производной сложной функции. Формулы для производной гиперболических косинуса, тангенса и котангенса докажите самостоятельно.-^
Сводка вышеприведенных формул для производных основных элементарных функций вместе с правилами дифференцирования, формулой для производной сложной функции составляет так называемую таблицу производных
Таблица производных
	(л")'=о/x>0,VxG«,	(7-1)
в частности.	(1/х)’=-1/х2, й = -1.	(7.2)
		(7-3)
	(а')'=а* Inc,	в>0,в?1,	(7-4) I
в частности.	(е’)'=е\	(7-5) |
	(log „ х)'= —!—, х > 0. а > 0. а * 1. Л 111 с	(7.6)
в частности.	(1пх)'=1/х.	(7-7)
	(sin х)'= cosx, xGfi.	(7.8)
	(cosх)*=—sinx, xGjR.	(7.9)
	tsi ID s c e + Й |<N и I? s II 1	(7.10)
	(ctgx)'=	, x# jot,л e z sin x	(7.11)
	(arcsinx)'= .	xG(—1, 1). Vl-x’	(7.12)|
	(arccosx)'=— * , xG(—1,1). vi-x2	(7-13)
	(arctgx)'= -—-y, x G R.	(7.14)
	(arcctgx)'= —* t, xER.	(7.15)
284
Глава 1- Производная и дифференциал
(shx)'=chx, (chx)'=shx, xGjR,
(thx)'=—3—, VxGR, (cthx)'=----, x GR,
ch x	sh x
кроме x=0.
(7-16)
(7-17)
Правила дифференцирования
Пусть и = ы(х) и v = v(x)— дифференцируемые функции х.
(С)'=0, где С — const.	(7.18)
(Сы)'=Си', где С — const.	(7.19)
(iz + v)'=i/'+v'.	(2.20)
(uv)'=u'v+uv'.	(7.21)
(“)=“
Если у = у(и), а к = н(х), то
/,<«(*»=/. («)«’, (X).(7-23)
На основе формул для производных основных элементарных функций, входящих в эту таблицу, и правил дифференцирования можно прийти к следующему важному выводу: производная любой элементарной функции также является элементарной функцией.
Замечание 7.1. Производные некоторых трансцентдентных элементарных функций являются алгебраическими функциями. Так, производные обратных тригонометрических функций у= arcsin х, у = arccos х, у =arctgx,y=arcctgx, производная логарифмической функции y=logex — алгебраические функции, причем для трех последних они являются дробно-рациональными Это обстоятельство далее используется при
вычислении интегралов.
2 3
Пример 7.1. Вычислить у' если y = log, Vx — — +— xtfx.
3 4
► X =(log2 Vx)'-II -]' J - xtfx |'(правило дифференцирова-
ния суммы, формула (7.20)).
Имеем (log2 Vx)'=^log2 xj
= — (log, xY = — (log, x)' =- (использованы свойство лога-
2	2	2xln2
§ 7. Производные основных элементарных функций. Таблица производных_285
рифмов и формулы (7.19), (7.6)), j'=2^—(формулы (7.19), (7.2)), (|xV^’=|(x4,3)’=|-jX,',=V^ (формулы (7.19), (7.1)). Таким образом, приходим к равенству: у' =	~
2х In 2
Пример 7.2. Вычислить у',, если y = e*ctgx.
► Применим правило дифференцирования произведения (формула (7.21)): у’—(e’ctgx)—(e')'ctgx4-eJ(ctgx)’. Вычислив производные: (е')'и (ctgx)* по формулам (7.5) и (7.11), приходим к равенству: y’=eActgx—ех sin-2 х.-^
Пример 7.3. Вычислить у'х, если у =	)arctg-*_ |пд.
►у*=^+х )arctgxj (использованы формулы (7.20) и (7.7)). Имеем'
^(l+x2)arctgxj _ ц 14-х2)arctgх)'х-(1 4- х2 )arc»gх _ _ (2xarcig х 4- 1)х—(14-х2 )arcig х _ (х2 — l)arcig х 1
(использованы формулы (7.22) и (7.21) для производной дроби и произведения, формулы (7.20), (7.1), (7.14)). Для у\ получа-(х2 — Darctgx _
ем равенство: у --------------.◄
Пример 7.4. Вычислить у', если у = x’arccosx—(х2 4-2)х xVl-x2 /3.
►y\=(xJarccosxY—((х2 +2)V1—х2 /3)'. (xsarccosx)'=
= 3x2arccos х —.
(7.1) и (7.13)).
(использованы формулы (7.20), (7.21),
Имеем:	((х2 4- 2)V1—х2)' = 2xVl—х2 4-
(использованы формулы (7.20) и (7.23) для вычисления произ-
286
Глава 1- Производная и дифференциал
водной сложной функции). Итак, ((х2 +2)V1—х2 )*=2xVl—х2 —
(х2 +2)х „
—;^=-. После
приведения к общему знаменателю и приве-
дения подобных
членов имеем: ((х2 +2h/l—х2 /ЗУ= —
Для у'л получаем равенство: у'л = 3x2arccosx.^
1—х2
Пример 7.5. Вычислить у'л, если у = arcsin-у.
1-х2
►Положим: у = arcsinи, и =----------у, Vx GЯ, у’х = (arcsinи)’и•
(формула (7.23)). Таким образом.
, _	1	—2х(14-х2)—2х(1—х2)
П+л1)1
1	—4х
(использованы формулы (7.12) и (7.22)). После очевидных
_	,	1	—4х	—2х _
преобразовании получим: у я =	?	у = —-уу. В силу
определения модуля приходим к равенству: , (2/(1+х2), х<0, л
v	Остался нерешенным вопрос о сушест-
|—2/(14-х2), х>0.
вовании производной в точке х=0. К нему мы вернемся в следующей главе. ◄
Пример 7.6. Вычислить уя, если y=sh(tgx).
Ch(lg х)
►(sh(tgx))’=ch(tgx)-(tgxy=--s—- (использованы формулы
COS’ X
(7.23), (7.16) и (7.10)).^
Пример 7.7. При каком значении параметра а парабола у = ах2 касается логарифмической кривой у = 1пх?
► Надо найти значение а, при котором данные кривые имеют общую касательную Т в некоторой точке Л/0(х0,уи). Производные данных функций в точке х0 должны быть равны, так как обе они трактуются как тангенс одного и того же угла. Для а, х0, у0 получаем систему:
§ 8. Прсизводные неявных функции и функции, заданных параметрически
287
Из последнего уравнения системы имеем: ах2 = 1/2, отсюда, в силу первого уравнения системы, получаем: Уо =1/2. Тогда из второго уравнения определяем х^: x„=el/2=-Je, а из третьего находим а: а = 1/(2х2) = 1/(2е). На рис. 7.1 изображены данные кривые и их общая
Рис. 7.1 К примеру 7.7
касательная Г.^
§8. ПРОИЗВОДНЫЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
1. Понятие неявной функции одной переменной. Вычисление производных от неявных функций.
Определение 8.1. Пусть дано уравнение
Лх,у)=0,
(8.1)
связывающее две переменные х и у. Если каждому значению х из некоторого множества X это уравнение ставит в соответствие одно значение у так, что упорядоченная пара (х, у) является его решением, то говорят, что уравнение (8.1) на множестве X задает у как неявную функцию х.
Не всегда уравнение вида (8.1) задает какую-либо неявную функцию. Так, уравнение х2+у2 = —1 не задает никакой функции. В некоторых случаях уравнение вида (8.1) задает две и более неявных функций. Например, уравнение х} +у2 = 1 на промежутке (—1, 1) задает неявно две функции: ^1—х2 и y=—y}l—x1. Вопрос об условиях, при которых уравнение (8.1) задает так называемую однозначную неявную функцию, достаточно сложен и будет рассмотрен далее в разделе 8. Там же будут рассмотрены условия существования производной неявной функции. В настоящем параграфе приводятся примеры вычисления производной неявной функции.
Пример 8.1- Найти у'х, если j' = x+arctgy.
►Считая, что равенство из условия задачи задает у как неявную функцию х, продифференцируем обе его части по х,
288
Глава 1- Производная и дифференциал
рассматривая arctgy как сложную функцию лс у*
1 hV>’"
= 1
Перенесем в левую часть все члены, содержащие у*, и вынесем из них у' за скобки: у'11———г| = 1- Отсюда у' = *◄
Ч 1+У I	У
Пример 8.2. Найти у', если у—xtgln(x2 +у2)=0.
► Из условия примера имеем: y/x = lgln(x2 +у?). Считая у неявной функцией х, возьмем производные по х от обеих частей последнего равенства:
х-у‘х~у_ 1 2х+2уу‘х
cos21п(х2 +у2) х2 +у2
1	У
(дробь ---г-------— заменена на 1 + tg2 1п(х2 +у2)=1+^-у.
cos 1п(х +у )	х
После упрощений получаем х  ух — у = 2х + 2 у  у,', отсюда у,' =(2х+у)/(х-2у).^
С помощью производной неявной функции можно полу-
чить уравнения касательных к некоторым кривым, например, к кривым второго порядка.
Пример 8.3. Написать уравнение касательной к эллипсу Г: ^г + тг = 1, в его точке Л/0(х0, у0). а b
► Продифференцируем по х от обе части уравнения эллип-2х 2уу'х , Ьгх
са, считая у функцией jc — ч-----— =	. Итак,
а b	а у
у'(хи)= — Ь	для VxuG(—а. а). Подставим выражение для
' о Л.
Уч-(хо) и координаты точки М0(х0, у0) в уравнение касательной (2.2): у—у== —	" (х-хД Умножим обе части этого равенст-
Л2 V
ва на а2у0 и перенесем в левую часть члены, содержащие х и у: Z»2xtlx+a2yny = Ь2х2 +а2у2. Поделим обе части последнего равенства на a2h2, получим:	•‘*^ + ^^=1,	так как
а b
Ь •^‘0	J ’l) -*0 . J’t I
-----—------=—т + ^~Г = 1 в СИЛУ того, что координаты точки
§ В. Производные неявных функции и функции, заданных параметрически 289
Л/0(х0, у0) удовлетворяют уравнению эллипса. Уравнение касательной к эллипсу в его точке Л/С(хо, у0) имеет вид:
Используя равенство (8.2), получим, например, уравнение X2 у'-	9
касательной Т к эллипсу 2У+-^_=^ в его точке Л^«(4,-). Оче-
видно, в этом случае с2 = 25, Ь2 =9, х, = 4,	=9/5, поэтому'
4х 9v/5
Г: — +±^- = 1 или Т. 4х+5у—25=0.
25	9
Уравнение (8.2) получено в предположении, что xG(-а, а). Можно показать, что оно также определяет касательную к эллипсу при х = ±d.<
2. Понятие функции, заданной параметрически. Вычисление производных от таких функций. Зависимость переменной у от переменной х может быть задана через посредство третьей переменной, которую, как правило, обозначают через t и называют параметром
Определение 8.2. Пусть х и у заданы как функции г.
lx=x(t),
(83)
Если функция х=х(/)на промежутке [а,р] имеет обратную t = t(x), то на множестве X = Е(х{1)) определена сложная функция ОТ X
у=у(Нх)), называемая функцией, заданной параметрически равенствами (8-3).
Формула для производной функции, заданной параметрически, следует из правил дифференцирования сложной и обратной функции (§ 6). Имеем:
(8.4)
Замечание 8.1. Формулу (8.4) можно также получить, рассматривая у' как отношение дифференциалов dy и dx (замеча-dy
ние (3.2)): у' =—. Вычислив dy и dx1. dy dx = x’dt, подставив dx
эти равенства в выражении для у' и произведя сокращения, приходим к формуле (8.4).
290
Глава 1- Производная и дифференциал
Пример 8.4. Найти у'х, если x = cos 1 t,y = tgt—t.
. ,	sin/ ,	1	1—cos’/
►a , = —(COS /) (- sin /) = ——,	у, =--------1 =-------=
COS /	COS / COS" /
= Sin . Подставив выражения для у’ и х’ в формулу (8,4), cos2 /
имеем: у'х = sin /.◄
Замечание 8.2. Производная функции, заданной параметрически, вычисленная по формуле (8.4), также является функцией, заданной параметрически, ее зависимость от х дается через посредство параметра /.
§9. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Определение 9.1. Пусть функция y = f(x) имеет производную у' =g(x), х€Л. Если существует производная g', хЕЛ, то она называется производной второго порядка от функции у = f(x) и обозначается следующими символами:
J2y d2f
у", у”,. ГН, //Дх), -4,-4- Итак, у"=(уу.
х dx- dx
Механический смысл второй производной. Пусть $ = х(/) — путь, пройденный материальной точкой за время / при движении по прямой, тогда, как было установлено в §2, s(/)=v(/) — скорость движения точки в момент времени /. Для второй производной от пути по времени справедливо равенство: j(/)=v(/) и, следовательно, вторая производная от пути по времени в прямолинейном движении интерпретируется как ускорение.
Пример 9.1. Показать, что если скорость v(/) прямолинейного движения материальной почки пропорциональна ^(/), где л(/) — путь, пройденный за время /, то ускорение материальной точки обратно пропорционально
► По условию v(/)= ktfs(t) или s(t) — k где k — коэффициент пропорциональности. Возьмем производные по / от обеих частей последнего равенства: 5(/)=ЛЦ/$(/))',= = Л15 2/’(/) 5(/), к, =к/3. Заменив $(/) на равное ему выражение kijs(f), имеем s\t)=kt s~2,i (/)• k$]s(f) = кг/	где
k2 = ktk = k2 /!◄
Определение 9.2. Производная от производной второго порядка функции y=f(x) называется производной третьего порядка и обозначается у'", у'"=(у")'. Для обозначения произвол-
§ 9. Производные высших порядков
ных более высоких порядков используют римские цифры или арабские в круглых скобках: у1У, у*, .... у*, ... или у{4> у(5> yv0>
Производной п-го порядка у'"1
(или данной функции
в точке х называется производная от ее производной (и-1)-го порядка. Итак,
/"‘“О'
(9.1)
Пример 9.2. Найти y'v, если у = (х3 +2)/(х—1)
► Представим у в виде суммы многочлена и некоторой рациональной дроби. И меем: х3 + 2 = (х2 + х+1)(х—I) + 3. Разделим обе части этого равенства на х — 1: (х3 +2)/(х—1)= = х2 +х+1+3/(х-1).	Имеем:	у" = ((х’ +2)/(х-1))" =
= (х2 + х + 1)/г+(3/(х — 1))/г или у,г=(3/(х — 1))/г, ибо (х2 + х +	1)/|'=0. В самом деле, (х2+х+1)'=
= 2х +1, (х2 +х +1)''=2, (х2 +х +1)"'=(х2 + х+1)" = 0. Так как (3/(х—1))'=—3/(х—I)2, (3/(х—1))"=6/(х—1)‘, (3/(х—1))' = = —|8/(х—I)4, (3/(х-1)),г =72 / (х-1)5, то у,‘'=72/(х-1)5.^
Замечание 9.1. В процессе решения примера 9.2 установлено, что многочлен 2-й степени имеет производные любого порядка, при этом все его производные порядка выше 2-го равны нулю. Этот результат обобщается на случай многочлена и-й степени, который имеет производные любого порядка при VxG/?, все его производные, начиная с (л+1)-го порядка, равны нулю.
Если функция у = f (х) имеет в точке х, х G R, производные любого порядка, то представляет интерес формула для производной у*"*, Xfn&N.
Пример 9.3. Найти /"*, VzjG/V, если у = хех.
► Решим задачу методом математической индукции.
1)	База индукции — изучение частных случаев. Имеем:
у'=е* +хех=(х+\)е*, у" = ех +(х+1)ех = (х+2)ех.
2)	Гипотеза: у*"* = (х+л)ех для п=к, где к — произвольное натуральное число, т. е. ytl) =(х+к)ех.
3)	Покажем, что гипотеза справедлива и при п = к + 1 Из (9.1) имеем:
292 Глава 1. Производная и дифференциал
^1‘*,>=O,"’)' = ((x+t)e")'=e> + (, + *),’ =(х+*+1)г*
Полученное выражение следует из гипотезы при п = к + 1, поэтому приходим к выводу, что эта формула верна при VnG/V. Итак, j’1"* =(х+л)е\ V/IGAL4
Метод математической индукции позволяет доказать следующие формулы.
(е*)*"’ = е* для VxG/? и VhG/V,	(9.2)
(sin х)‘л) = sin(x + ™) для Vx G JR и Vw G Л.	(9.3)
(cosx)'"’ = cos(x+-y-) для VxG/? и VhG/V. (9.4)
(1п(1+х))<л’ =(— I)" 1 —p- для VxG(—I, +oo) и VnG(V, (9.5)
((1 +x)“ )*’” = ct(ct - l)...(a - (и -1»(1 + x)-”,
для VxG(—l,+<»), VxG/? и VnG/V (9.6)
Проведем, например, обоснование равенства (9.3).
► 1) Проверим, что оно выполняется на частных случаях, например, при п = 1,2. Имеем (sinх)'= cosx, (sinx)" = ((sinх)')'= = (cosх)'=—sinx. Очевидно, эти равенства получаются из (9.3) при указанных значениях п.
2) Выдвигаем гипотезу: равенство (9.3) справедливо при V»G7V.
3) Проверим, что гипотеза верна на следующем шаге, т. е. при и +1. Имеем (sin х)‘л+| 1 = ((sin х)‘"’ )'= (sin(x + ял / 2))'= =cos(x+/ 2). Так как cos(x+пп } 2) = sin(x+лп/2 + in / 2) = sin(x+л(л +1) / 2) (формулы приведения из тригонометрии). то приходим к равенству: (sinx)*"*11 = = sin(x+n(« +1)/2), получающемуся из (9.3) при замене п на и+1, поэтому соотношение (9.3) верно при VnG/V.-4
Если функции и(х) и v(x) дифференцируемы п раз в точке х, xG/?, то их сумма и произведение также п раз дифференцируемы в этой точке. Имеем:
(ы + и)1"1 =«'”*+v‘"’,	(9.7)
(9.8)
§ 9. Прамвддцые высших порядков 293
где и<0> =«, v'“* = V. а коэффициенты С*, к—О,называемые биномиальными (§ 10 гл. 1 разд. 4). определяются равенством:
х _ л! _л(л-1)...(л-*:+1)
" к\(п-к)\	к\	{ f
Замечание 9.2. Равенство (9.8) называется формулой Лейбница.
► 1) Равенство (9.8) выполняется в частных случаях: (и-v)'=u v +uv' (л=1), (wv)"= ((u-v)'y= (u'v+uv')'=u"v + +2u'v'+uv" (л = 2).
2) Выдвигаем гипотезу: равенство (9.8) верно при любом натуральном л.
3) Проверим, что гипотеза верна на следующем шаге. г. е. при л+1. Имеем:
=	(«'*”’ V—*> +„**> р- *-") =
*=0	*=0
Заменим индекс суммирования по следующим формулам: к +1 = / или к =/—1 для первого слагаемого и k = i для второго, получим:
<п-=£СУ V V1"'-" +ХС>‘" """ " = =с_-„'-]> „™ > jjc; +c;)u"’ v1™-” чс,"»1"’»1"".
Из свойств биномиальных коэффициентов следуют соотношения: С'-1+С'=С'+|, С" =С”+', ^и=^и+1’ поэтому для (иг)1"*1* имеем: («• v)*"*1* = ^C'+l u“l или (и-г)*"*1’=
= ^С^+|й<*’ у<и+1-*’. Последнее равенство получается из гипо-
тезы при замене п на п + 1, потому заключаем, что гипотеза
294
Глава 1- Производная и дифференциал
справедлива (и вместе с ней равенство (9.8)) при любом натуральном п.Л
Пример 9.4. Найти у<2и’,если у = (х2 +l)sinx.
►Из (9.8) имеем у ‘201 = (и  v)<20’ = Jeju"1 2 гае
*=0
« = х2+1,	v = sinx.	Поскольку и'=2х, «" = 2, и"' = и=
= ы<4) =...=«<20> =0. то для у,20‘ получаем:
у’20’ = (и-у)*2°’ = £(?*	v(20-*’ =c2>-v<20’ +
Коэффициенты С“о, Cj0, C2U вычислим по формуле (9.9): С“о=1, С2|) =20, С,20 =190, производную г'18* по формуле (9.3): = sin(x +18тг /2) = sin(x+9л) = sin(x+л)=—sinх. Для производных v*19’, v’20> имеем равенства:	= ((sinx)"8’)——cosx,
v'2” = ((sin x)’,9,)'= sinx. В результате приходим к равенству: у *20’ = (х2 +1) sin х—40xcos х -380 sin х ◄
§ 10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ОТ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
1. Вычисление производных высших порядков от функций, заданных неявно. Вычисляя производную второго порядка от функции, заданной неявно, сначала вычисляют ее производную у', а гатем дифференцируют по х обе части полученного равенства с последующей подстановкой выражения для у'х.
Пример 10.1. Найти у", если y = x+arctgy.
► В примере 8.1 для у' было получено равенство: yj = (1+у2)/у2. Преобразуем его к виду: у' =у-2 +1 и возьмем производные по х от обеих частей, считая у функцией х: (у')1 =0’-2 или у"=— 2у_’у'. Поставим в последнее равенство выражение для у'х:	у"2=— 2у_’(у-2 +1)=
= -2(1+у2)/у5.Ч
Аналогичным образом могут быть вычислены и производные более высоких порядков от функций, заданных неявно.
2. Вычисление производных высших порядков от функций, заданных параметрически. Производная у' функции, заданной
§ 71 Дифференциалы высших порядков. Нарушение свойства инвариантности формы
295
параметрически, вычисленная по формуле (8.4), также является функцией, заданной параметрически:
[X = y',/x; = g(t). [х = х(П,

и, следовательно, ее производная (у'х)'х = у"г, если она существует, может быть также вычислена по формуле (8.4):
у г =&:):/<
(10.1)
Пример 10.2. Найти у"., если x = cos ' t,y = tg/— t.
►В примере 8.4 были получены равенства: л' = Sm , cos t
у' = sin г и X =ып/. В силу равенства (10.1), имеем: cos* t
„ _ (sin/)' _cos’/
*’ sin//cos2/ sin/
Возможен и другой подход к вычислению производной второго порядка от функции, заданной параметрически. Подставим в формулу (10.1) вместо у’ правую часть формулы /ОЛч	л (ХК (Х/ХК т,
(8.4), получим: у , =——=-------—. Вычислив (у,/х,), как
производную дроби, приходим к равенству:
(10.2)
Упражнение. Найти у”, по формуле (10.2) для функции из примера 10.2.
Аналогичным образом могут быть вычислены и производные более высоких порядков от функций, таданных параметрически
§ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. НАРУШЕНИЕ СВОЙСТВА ИНВАРИАНТНОСТИ ФОРМЫ
Определение 11.1. Пусть функция у = /(х) дифференцируема на множестве X. Дифференциалом второго порядка с!гу, или вторым дифференциалом данной функции в точке xG-Х, называется дифференциал, взятый в этой точке (если это возмож
296 Глава 1. Производная и дифференциал
но) от её дифференциала dy, который в этом контексте называют первым дифференциалом. Итак,

Дифференциал dy можно вычислить по формуле (3.4): dy — y'(x)dx. В этой формуле у'(Л) — функция точки xGX a dx = Лх не зависит от аргумента х, тогда d~y — d(y'(x))dx = = (y"(x)dx)dx = y"(x)dx2. Под обозначением dx1 всегда подразумевают степень дифференциала: dx2 = (dx)2, дифференциал от степени обозначается так: d(x2). Таким образом, для d2y имеем:
d2y = y"(x)dx2.
Пример 11.1. Найти d2y, если y = xlnx.
__________.______1 1
(П 1)
► Имеем у' = 1пх:+лг—= lnx+l,y''= —, d2y= — dx2 (формула
(11.1). ◄
Определение 11.2. Дифференциалом третьего порядка dyy или третьим дифференциалом функции у = f (х) в точке хЕ:Х называется дифференциал, взятый в этой точке от ее второго дифференциала d2y, dyy = d(d2y) и т. д. Дифференциалом п-го порядка d“y функции у= f(x) в точке xGA' называется дифференциал, взятый в этой точке от ее дифференциала (и—В -порядка d”~'y, г. е. d"y = d(d"~'у).
Замечание 11.1. В математическом анализе принято, что при каждой операции дифференцирования в определениях 11.1, 11.2 приращение (дифференциал) аргумента берется одним и тем же.
Для d"y справедлива формула
4пу=умдхя.
(11.2)
► При п = 1, 2 она следует из формул (3.4) и (11.1). Предположим, что эта формула верна при п = к, где к — любое натуральное число, т. е. dk у = /*)<&*. Из определения 11.2 имеем <rf*+l у = d(dky), поэтому в силу нашего предположения, dk+l у = d(yik)d^). Вычислим по формуле (3.4) d(y**)dx*: z/A+ly = (y№)dx*)'dx — У*+1)г/х*+1. Итак, заключаем, что формула (11.2) остается справедливой и при п = А+1, откуда следует, что она верна при V« €Е N. ◄
§ 11 Дифференциалы высших порядков. Нарушение свойства инвариантности формы
297
Из равенства (11.2) следует, что символ производной и-го
d”y ~dF
порядка
можно рассматривать как дробь.
Пример 11.2. Найти cFy, если у = (х' + 2)/(х — 1).
► Из (11.2) при п = 4 следует равенство d*y = y^dx*. Поскольку р* = 72/(х — I)5 (пример 9.2), то d*y = 72/(х — l)5Jx 4 4
Первый дифференциал dy обладает свойством инвариантности формы, т. е. его можно вычислять по формуле (3.4) независимо от того, является х независимой или зависимой переменной (см. § 6). Покажем, что дифференциалы высших порядков этим свойством не обладают.
Пусть у = / (х), х 61, а х = g(/), t G Г, причем £(д) С Л, поэтому у есть сложная функция г. у = f (g(t)), t&T. Ее первый дифференциал обладает свойством инвариантности формы, для него верна формула (3.4): dy=y*-dxx где dx=x’-dt — часть приращения функции x=g(t) и потому зависит от /. Имеем:
d2 у = d(y' • dx)=dy’x  dx+у* • d(dx).
Для dy* в силу свойства инвариантности формы первого дифференциала имеем равенство: dy* — {y'x)'xdx = у' 2dx2, а d(dx)=d2x. Окончательно получаем:
d2y = у"2  dx* +у'х -d2x.	(И З)
Сравнивая формулы (11.1) и (11.3), заключаем, что бРу не обладает свойством инвариантности формы. Для дифференциала третьего и более высоких порядков можно получить аналогичные формулы, причем число добавочных слагаемых по сравнению с формулой (11.2) в их правых частях будет расти вместе с порядком дифференциала. Заметим, однако, что в случае бРх = 0 свойство инвариантности формы имеет место и для (Ру. Например, если х — линейная функция I, х = at + bx—at + b, тобРх = 0и<Ру можно вычислить по формуле (11.1)_
Пример 11.3. Найти (Ру, если у = cos 2х, если: а) х — независимая переменная; б) х = <р(7), где <р(Г) — дважды дифференцируемая функция независимой переменной t.
►а) В силу равенства (11.1) имеем: d2y — y"(x)dx2 = = — 4cos2xJx2;	б) здесь применим формулу (11.3):
d2y = y"(x)dx2 +y'd2x=— 4cos2xdsr —2sin2xJ3x.4i
298
Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления
Глава 2
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Основные теоремы дифференциального исчисления служат теоретической базой для приложения дифференциального исчисления к изучению функций. Они связаны с именами французских математиков Г1 Ферма (1601—1665), М Ролля (1652—1719), Ж. Л. Лагранжа (1736—1813), Г. Лопиталя (1661—1704), О. Коши (1789—1857) и английского математика Б. Тейлора (1685—1731).
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКСТРЕМУМА. ТЕОРЕМА ФЕРМА
Определение 1.1. Точка х0 называется точкой максимума (минимума) функции у = Дх), если Дх) определена на некоторой окрестности £/(хй) и для Ух€(/(хи)£/(хй) справедливо неравенство Дх) Дхй) (Дх) Дхй)). Значение Дхй) называют максимумом (минимумом) данной функции.
Если для всех х на некоторой проколотой окрестности #(хй) верно строгое неравенство Дх) <Дхй) (Дх) >Дхй)), то точка хй называется точкой строгого максимума (строгого минимума) функции у = Дх).
Функцию у = Дх) обычно предполашю] непрерывной в точке в точке хй.
Максимум и минимум объединяют общим термином —
экстремум.
Замечание 1.1. Утверждение: функция f (х) имеет в точке хй строгий экстремум равносильно следующему: приращение ДДхй) сохраняет знак на некоторой окрестности t)(x0), а именно, ДГ (хй) < 0 для VxGt?(x0) в случае строгого максимума и Afi,x0) 0 в случае строгого минимума.
Замечание 1.2. Понятие экстремума функции Дх) в определении 1.1 отнесено к окрестно-
Рис. 1.1. К понятию экстремума функции
§ 2. Теорема Ролля 299
сти точки х0, поэтому' его называют локальным экстремумом. На отрезке [й, Ь] функция Дх) может иметь несколько локальных экстремумов (рис. I. I, х2 — точки локального максимума, a Xj — локального минимума).
Теорема Ферма. Если функция у — Дх) дифференцируема в точке х0 и имеет в этой точке экстремум, то ее производная Д'(хо) = 0.
►Функция у = Дх) дифференцируема в точке jq,, поэтому она определена на некоторой окрестности (/(х^). Пусть, для определенности, в точке х0 эта функция имеет максимум, поэтому ее приращение 2V(xa)<0 для VxG(x0). Для односторонних производных функции Дх) в точке л,, имеем:
/_'(х0) = Нт	0, /+'(х0)=Jto	0.
Так как 3/'(х0), то /_'(*□) = f+(xv), а это возможно только, если /_'(хо)=/+'(хв) = О Поскольку /_'(хе) =/+'(х0) = /'(хи), то получаем / '(х0) = 0. ◄
Геометрическая интерпретация теоремы Ферма. Пусть в точке х0 функция у = Дх) дифференцируема и имеет экстремум. Из геометрического смысла производной (§ 2 гл. I) и теоремы Ферма следует, что в точке (х0, Дх0)) касательная Т к графику Г этой функции пара цельна оси Ох (рис. 1.1).
§ 2.	ТЕОРЕМА РОЯЛЯ
Теорема Ролля. Если функция у = Дх)
1)	определена и непрерывна на отрезке [а, й],
2)	дифференцируема на интервале (а, Ь),
3)	Да) = Дй),
то на интервале (а, Ь) найдется хотя бы одна точка с, в которой f'(c)=0.
►В силу второй теоремы Вейерштрасса (теорема 4.2 гл. 4 разд. 4) данная функция принимает на отрезке [а, Ь\ свои наименьшее и наибольшее значения, т. е. найдутся числа т и М такие, что т= min /(х), М= max /(х), при этом т и М есть
*1	я=|«*|
значения функции /(х) для некоторых х из отрезка [а, й].
Если т = М, то f(x)=const на промежутке [а, й] и, следовательно, f'(x)=0 для любого х из интервала (а, Ь).
Предположим, что т*М, тогда одно из этих значений функция /(х) принимает в некоторой точке с интервала (о, й),
300 Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления
поскольку на концах этого интервала значения функции равны. Так как в точке с функция /(х) имеет экстремум, то по теореме Ферма Г (с)=0.4
Геометрическая интерпретация теоремы Ролля. Пусть функция у = fix) на отрезке [я, AJ удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Тогда на интервале (я, Ь) в соответствии с теоремой Ролля и геометрическим смыслом производной найдется хотя бы одна точка с такая, что касательная Т к графику Г этой функции, проведенная в точке (с, f (с)) будет параллельна оси Ох (рис 2.1).
Пример 2.1. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции /(х)=—х2 +2х+1 на отрезке [0, 2].
►Данная функция непрерывна на отрезке [0, 2] как элементарная и на его концах принимает равные значения: /(0) = /(2)=1. дифференцируема в любой точке интервала (0, 2), /'(х) =—2х+2. Итак, для fix) выполнены все условия теоремы Ролля и на интервале (0, 2) должна существовать точка с, в которой /'(с’)=0. Действительно, из равенства /'(<) = —2с 4-2 = 0 имеем: c = lG(0,2).4
Рис. 2.1. К геометрической интерпретации теоремы Ролля
Рис. 2.2. График функции /(х) = 1 х1 ня отрезке |—1, 1]
Замечание 2.1. Все условия теоремы Ролля существенны для справедливости ее заключения. Так, например, рассмотрим функцию /(х)=1/х2, заданную и непрерывную во всех точках отрезка [— 1, I], кроме точки х=0, где она имеет разрыв 2-го рода, /(—1)=/(!) = 1. На интервале (—1, 1) нет точки, где бы ее производная f'(x) = —l/x2 обратилась в нуль (рис. 2.2).
Следствие из теоремы Ролля. Между двумя нулями дифференцируемой функции всегда есть хотя бы один нуль ее производной.
§ 3. Теорема Коши 301
► Пусть функция /(л) определена и непрерывна на отрезке [о, й] и дифференцируема на интервале (а, Ь), при этом Д«) = =/ (Ь) = 0. Тогда по теореме Ролля на интервале (а. й) найдется хотя бы одна точка с, в которой /'(с)=0.<
§3. ТЕОРЕМА КОШИ
Теорема Коши. Если функции / (х) и g(x)
1)	определены и непрерывны на отрезке [о. й].
2)	дифференцируемы на интервале (а, й),
3)	g'(x)^0 на интервале («, Ь),
то на интервале (а, Ь) найдется хотя бы одна точка с такая, для которой будет справедливо равенство
/(й)-/(д)	(с)
g(Z>)-g(tf)	g'(c)’
называемое формулой Коши.
► Из условия теоремы следует, что g{b) * g{a), иначе бы, в силу теоремы Ролля, на интервале (о, Ь) нашлась бы хотя бы одна точка х0, в которой бы g'(xe)=0, что противоречит условию g'(x)*0 на интервале (а, Ь).
Рассмотрим вспомогательную функцию
F(х) = 7(х)-	(>(>->-g(o)).
g(fc)-g(o)
Она обладает следующими свойствами:
1)	F(x) непрерывна на отрезке [а, й] как алгебраическая сумма непрерывных функций;
2)	F(x) дифференцируема на интервале (а, Ь) как алгебраическая сумма диф-ференцируемых функций, при этом
F(x)=/'(x)-/^~/(°)g'(x);	(3.2)
8<b)-g(a)
3)	F(a) = F(b) = 0.
Итак, для функции F(x) выполнены условия теоремы Ролля, поэтому на интервале (а, Ь) найдется хотя бы одна точка с такая, что F'(c) — 0 При х = с из (3.2) получаем: 0=/'(e)——^я'(с), отсюда следует равенство (3.1).-^ £(й)-£(с)
302
Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления
Пример 3.1. Проверить справедливость теоремы Коши для функций /(х)=хэ — 8х и g(x)=xi /2—2х, заданных на отрезке 12. 4J.
►Для f(x) и g(x) на отрезке [2,4] выполнены все условия теоремы Коши. Поэтому на интервале (2, 4) есть хотя бы одна точка с, для которой справедлива формула Коши, имеющая /(4)-/(2) Зс1—8	40 Зе1—8 „
здесь вид: ----------=----- или — =-------- Отсюда для
£(4)— g(2)	с-2	2	с-2
с получаем уравнение: Зе1 —20с+32 = 0, которое имеет два корня: cI=4,Cj=8/3. Так как с, =4^(2,4), то гаключаем, что с=8/3.4
Замечание 3.1. Как и в случае теоремы Ролля, можно привести примеры, показывающие, что условия теоремы Коши
существенны для ее заключения.
Рис. 4.1. К геометрической интерпретации теоремы Коши
2. Геометрическая интерпретапия теоремы Коши. Пусть дуга Г задана параметрически: х = x(t), у = y(t), t G[a,p], функции х((),у(0 удовлетворяют на отрезке [а,р] условиям теоремы Коши, поэтому: --------=------. У S (а, Р) (см. хф)-х(а) xf'(y)
(3.1)). Правая часть этого равенст-
У'М . . , у.	.. ж
ва —-—=у х (х(у)) — угловой коэф-
фициент касательной Т, проведенной в точке С(х(у),(у(у)) к кривой Г, а левая — угловой коэффициент
хорды АВ, ?l(x(a),(i’(a)),J(x(P),(j’(P)). Итак, на кривой Г есть точка С такая, что проведенная в ней касательная Г к Г параллельна хорде, соединяющей концы дуги Г (рис. 4.1).
3. Механическая интерпретация теоремы Коши. Пусть материальная точка движется по дуге Г, заданной параметрически: х = x(f), у = у(1), [	/2]. Параметр t трактуется как время,
а функции х(т), у{/) удовлетворяют на этом промежутке условиям теоремы Коши. В силу формулы (3.1) получаем равенст-у(?,)-у(<л y'(t*)
во:	у—= ’(t*)’	^так’ на интеРвале ’ G)
есть момент времени /* в который вектор скорости движения
§ 4. Теорема Лагранжа
303
точки v(x' (/*), у' (/*)) будет коллинеарен вектору АВ, где B(x(f,).y(t,)) — концы дуги Г.
§ 4.	ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА
Теорема Лагранжа. Если функция Дх) непрерывна на отрезке [а, Ь\ и дифференцируема на интервале (а, Ь), то на интервале (о, Ь) найдется хотя бы одна точка с, для которой будет справедливо равенство:
=	(4.1)
Ь-а
Равенство (4.1) называется формулой Лагранжа.
Теорема Лагранжа следует из теоремы Коши при g (х) = х.
Замечание 4.1. Формулу Лагранжа (4.1) можно переписать в виде
f{b)—f(a) = f'(c)(b—a).	(4.2)
Пример 4.1. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции /(х)=—х2+2х, заданной на отрезке [I, 3J.
►Функция f (х) непрерывна на отрезке [1, 3] как элементарная и дифференцируема на интервале (1, 3), f’(x)=— 2х+2, поэтому на интервале (1, 3) есть точка с, для которой будет справедлива формула (4.1), имеющая в данном случае вид: —	= у'(c) или 1 = /'(с), откуда следует равенство:
У'(с)=—2. Сравнив его с выражением для производной У'(х), получаем уравнение: —2с+2=—2, отсюда имеем c=2G(l, 3).Ч
1.	Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа. Пусть функция у = Дх) удовлетворяет на отрезке [о, />] условиям теоремы Лагранжа, АВ — хорда, соединяющая точки A{a,f(a)), B(b,f(b}) графика Г этой функции (рис. 4.1). Отношение
из равенства (4.1) есть угловой коэффициент хорды Ь—а
АВ, а производная f'(c) является угловым коэффициентом касательной Т, проведенной к Г в точке С(с,/(с)). Итак, заключаем, что на графике данной функции существует хотя бы одна точка С(с,/(с)), касательная Т в которой к графику функции Г параллельна его хорде АВ (рис. 4.1).
Пример 4.2. На дуге параболы у = —х2 +2х между точками /1(1,1), В(3,—3) найти точку С(с,у(с)), касательная Т в которой параллельна хорде АВ. Написать уравнение этой касательной.
304 Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления
Рис. 4.1. К геометрической интерпретации теоремы Лагранжа
► В примере 4.1 показано, что функция у = —х2 +2х на отрезке [1, 3] удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа и найдена точка с = 2. Так как у(с)=у(2) = 0, то С(2,0) (рис. 4.2). Уравнение Т получим, подставив в равенство (2.2) из гл. 1 координаты точки С и у'(с)= —2: у—0 = — 2(х—2). После очевидных преобразований приходим к уравнению 7! 2х+у—4=().◄
2.	Механическая интерпретация теоремы Лагранжа. Пусть функция $ = 5 (Г), описывающая прямолинейное движение точки на промежутке [/,. t2], удовлетворяет на этом промежутке условиям теоремы Лагранжа, тогда из (4.1) следует равенство:
s(G)-дг.)
= 5'(Г),
(4.3)
где f*G(/j, t2). Итак, на интервале у,, г2) есть момент времени Г* в который мгновенная скорость движения равна средней скорости движения на отрезке [Гр /2].
Пример 4.3. Прямолинейное движение точки на промежутке времени [0, 2] задано уравнением s(/)=2r2—Z+L Найти момент времени Г*, в который мгновенная скорость движения равна средней скорости движения на отрезке [0, 2].
► Напишем формулу (4.3) для данной функции:
—^-^=4/*—1, отсюда получаем уравнение для /*: 3=4/*—1.
Следовательно, /* = !.◄
3.	Формула конечных приращений. Формула Лагранжа (4.2) справедлива как для случая а<Ь, так и для случая а>Ь. Запишем ее в другой форме. Возьмем любое значение х0 G(«,fe) и придадим ему приращение Дх такое, чтобы хи +Дх6[в,й]. На
§ 4. Теорема Лагранжа
305
пишем формулу (4.2) для промежутка [х0,х0+Дх] при Дх>0 или для промежутка [х0+Дх,х„] при Дх<0:
/(хо +Дх)- /( хе)= Д/( х0)=/'(с)Лх,
(4.4)
с — число, заключенное между х0 и х„ + Дх. Положим: с=х0 +0-Дх, 0 G(0,1), при этом равенство (4.4) принимает вид:
V(x0)=/'(xB +6Дх)Дх.
(4.5)
Соотношения (4.4) и (4.5) являются точными равенствами и справедливы для конечных значений Дх. Каждое из них называется формулой конечных приращений в отличие от приближенного равенства
ДЖ ) = /'(>., )Ах,
(4-6)
называемого формулой бесконечно малых приращений. Формулы (4.5) и (4.6) можно переписать в виде
ДГ(*0)=#(хв 4-0-Дх),
(4-7)

(4-8)
Пример 4.4. Используя формулу конечных приращений, для функции /(х)=х2—2х на отрезке [1, 5] найти точку с, в которой дифференциал совпадает с прирашением функции на этом отрезке.
►Напишем формулу (4.4) для данной функции: Д5) — Д1)=(2с — 2) • 4, отсюда находим с. 16=8(с—1)=>с=3.^
*4. Вычисление односторонних производных.
Следствие из теоремы Лагранжа. Пусть функция у = fix) дифференцируема на интервале (a, Ь), кроме, быть может, точки x0G(a, b), где она непрерывна. Если существует конечный или бесконечный lim f'(x)=A . то 3/_'(х0) и /_'(х0)=Л.
Аналогично, если существует lim f'(x)= В, то /+*(х„)=В.
►На интервале (с, Ь) рассмотрим точку л^+Дх, тогда на отрезке, концами которого служат точки х0+Дх и х0 для функции f (х) выполнены условия теоремы Лагранжа. Формулу Лагранжа (4.1) здесь можно переписать так:
(4-9)
306 Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления
где 6 — некоторое число из интервала (0, 1). Так как 3 lim /’(х0 +6Дх)= lim f'(x)=A, то при Дх-»—0 существует предел и левой части равенства (4.9), по определению равный /_'(х0), при этом /Дхе )=/!.◄
Замечание 4.3. Для функции у = fix), удовлетворяющей на интервале (а, Ь) условиям следствия из теоремы Лагранжа справедливы равенства:
/U -0)=/Дхс), /'(*„ +0) = /Дхи), хи f=(a,b).	(4.10)
Пример 4.5. Найти /ДО), /ДО) и /'(0), если ч - |-Jf2
/(х)=arcsin j-pp-.
f2/(l+x2), х<0,
► D(f)= JR, /'(x)={	(пример 7.6 гл. 1).
[—2/(l+x2), x>0
Имеем:	/ДО) = /'(-0) = Jim2/(1 +x2)= 1 . /Д0) =/'(+0) =
= lim (—2/(1+x2))= — l (см. (4.10)). Так как /ДО) 9е/ДО), то в силу замечания 1.3 предыдущей главы заключаем, что в точке х=0 данная функция не имеет производной.-^
Пример 4.6. Наити /_'(2) и /Д2), если /(х)=^(х—2)2.
2
►/'(х)=—, х*2. Из (4.9) имеем: /Д2) =/'(2-0) = ЗУл-2
2	2
= lim —,	— — со и /' (2) = /'(2+0) = lim —,	= + со.Ч
^2-° 3 Vx-2	г‘ч 3 Vx-2
5. Применение теоремы Лагранжа для доказательства неравенств.
Пример 4-7. Используя теорему Лагранжа, доказать неравенство | arctg 6—arctgc]<]£>—с) для любых действительных значений а и Ь.
► При а = b данное соотношение верно и является равенством. Функция / (х) = arctg х на промежутке [о, 6] (при а > Ь) или на промежутке [А, а] (при а < 6) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому из формулы (4.1) следует равенство arctg 6—arctg о = (А—в)/(1+с2) или | arctg b—arctg о)= =|й—а|/(1+с2), где с — число, находящееся между а и Ь. Заменяя в этом равенстве дробь 1/(1+с2) (0<1/(1+с2)<1) для VcG(c, 6)) на 1, приходим к доказываемому неравенству. ◄
§ 5. ПравилоЛопиталя
307
§5. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
Правилом Лопиталя называют теоремы, сводящие вычисление предела отношения двух функций в случае неопределенности 0/0 или <ю/оо к вычислению предела отношения производных этих функций.
Теорема 5.1 (правило Лопиталя для раскрытия неопределенности 0/0).
Если фикции f(x) и g(x)
1)	определены и дифференцируемы на некоторой проколотой окрестности 0(a) точки а, при этом lim f(x) = lim д(х)=0,
2)	производная g'(x)*0B указанной окрестности точки а, /**(х)
3)	существует конечный или бесконечный lim --. то су-
g'(x)
f(x) шествует и lim---, при этом выполняется равенство
g(x)
limZw=limZM
‘““gM *~а g'(x)
► Рассмотрим две вспомогательные функции:
Г/(Л), хе (?(»),	Ux),xe(?(0),
W = 1„	к W = 1a
[О, x = a,	[0, x=a
(5.1)
(5-2)
Эти функции удовлетворяют условиям теоремы Коши на любом из отрезков [х, с] или [а, х] при условии, что х принадлежит упомянутой окрестности точки а. В силу теоремы Коши имеем:
К*(х)-К*(д) g*'W’
где с = х+6(х-й),6ё(0,1). В равенстве (5.3) х*а, поэтому с* а и, значит, из (5.2) имеем: /*(а) = ^*(с) = 0; /*(х)—/(х), g*(x)=£(x), /*’(с) = f'(с), g*'(c)=g,(c). Таким образом, равенство (5.3) переписывается в виде:
ZW = £(6	(54)
g(x) g‘(c)
Перейдем в этом равенстве к пределу при х-»а, при этом отметим, что из утверждения х-*а следует утверждение с-*а. Для правой части (5.4) имеем:
308
Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления
.. / (О . /Чс) f'(x) hm--------= hm —-— = lim —-—.
g (с)	g (с) Л-в g (Л)
Но тогда существует предел при х-*а и левой части равенства (5.4) и справедливо соотношение (5.1).-4
Пример 5.1. Вычислить lim	с помощью правила
Лопиталя.
►Функции /(х)=1п(х2 — 3) и g(x)=3x2 — 5х—2 удовлетворяют первым двум условиям теоремы 5.1 в некоторой проколотой окрестности точки х=2. Поскольку .. /'(*)	2х/(х2—3) 4
lim-----= hm------------ = —. то выполнено и третье условие
*-ig’(x) «-2	6х—5	7
|п(х2—3)	2х/(х2—3) 4
этом теоремы и поэтому hm	———- = lim —у—-— = -4
е* — 1—х
Пример 5.2. Вычислить lim-------— с помощью правила
х-° sin х
Лопиталя.
►Функции f (х) = 6х — 1 —х и g(x) = sin2x удовлетворяют первым двум условиям теоремы 5.1 в некоторой проколотой Л f'(x)	f'(x) .. ех 1
окрестности точки х = (), lim-=hm-------= lim-----------=
g'(x) '-° g (x) 2sinx-cosx
= lim e	* =RPi- Первое применение теоремы 5.1 не избавляет
sin2x LOJ
от неопределенности. Поскольку /(х) и g(x) также удовлетворяют первым двум условиям теоремы 5.1, можно применить ее (е’— |)'	ех	1
еще один раз: lim-------— = lim------=—. Итак, двукратное
(sin2x)'	2cos2x 2
применение теоремы 5.1 приводит к равенству
Теорема 5.2 (правило Лопиталя для раскрытия неопределенности оо/оо).
Если функции /(х) и g(x)
1)	определены и дифференцируемы на некоторой проколотой окрестности точки а. при этом lim f (х) = lim g(x) = со,
2)	производная g'(x)z0 в указанной окрестности точки а,
§ 5. Правило Лопиталя
309
3)	существует конечный или бесконечный lim——, g (>)
.. f(x)
то существует и предел hm-------, при этом справедливо ра-
х~а g(x)
венство (5.1).
Теорему 5.2 здесь принимаем без доказательства (см., например, в [1]).
_	_ _ „	Insin х
Пример 5.3. Вычислить hm-------с помощью правила Ло-
’-*+0 ctgx
питали.
►Функции f(x) = Insin х и g(x) = ctg х удовлетворяют первым двум условиям теоремы 5.2 на промежутке (0, 6], где 8 — /,/(х)	cos х / sin х
некоторое положительное число, lim-------= lim----------— =
*- g' (х)	— 1 / sin х
— — limcosx-sinx —0, поэтому выполняется и третье условие.
»-+«	Insin х , cosx/sinx	.
Отсюда lim-------= lim-----------— =— hmcosx-sinx =0.-4
*-+'i ctgx x-+o — 1/sin x *-+«
Замечание 5.1. Теоремы 5.1, 5.2 справедливы и в случае, когда под а понимается один из символов — оо, +оо, оо, при этом первые два условия этих теорем должны выполняться для значений х, удовлетворяющих одному из неравенств: х < —6, х > 8, |xj > 8, где 8 — некоторое положительное число (см., например, в [1]).
Замечание 5.2. Условие существования предела отношения производных в теоремах 5.1—5.2 важно для их заключения. Если это условие не выполняется, т. е. указанный предел не существует, эти теоремы применять нельзя. Предел отношения функций может в этом случае как существовать, гак и не существовать, этот вопрос решается методами, описанными в гл. 3 разд. 4.
Пример 5.4. Найти lim —-—cos*.
3x + sinx
►Функции / (х) = 2х — cosx и g(x) = Зх + sin х удовлетворяют первым двум условиям теоремы 5.2 (с учетом замечания ,	fix) , 2+sinx
5.1), но 3 hm = h m-----------(это можно доказать с помо-
x-*«g’(x) »-+"3+cosx
щью определения предела функции на языке последовательностей). Итак, в данном случае теорема 5.2 не применима. Однако искомый предел существует и конечен. В самом деле,
310 Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления
разделив оба члена дроби под знаком предела на х и применив теорему об арифметических операциях над функциями, имеющими предел (теорема 2.2 гл. 3 разд. 4)), получим: 2х—cosx	2—1/x-cosx 2
lim-------= lim------------= —,	так как функции
x-+«3x+sinx *-+“ З+1/x-sinx 3
1 1 .
—cosх,—-sinx — бесконечно малые при х->+<ю как произве-
дения бесконечно малой функции 1/х на ограниченные функции cos х, sin
Правило Лопиталя применяется также для раскрытия неопределенностей 0-со,оо—оо, Г, оо®, 0u. С помощью некоторых тождественных преобразований задача сводится к раскрытию неопределенности 0/0 или оо/оо, после чего и применяется правило Лопиталя.
Пример 5.5. Найти lim(l/x)“'x.
► Выражение под знаком предела — неопределенность оос. С помощью основного логарифмического тождества и свойства непрерывности показательной функции приходим к равенству: 11т(1/х)®"л =е1'*"я"х ” /ч Задача сведена к вычислению limsinxlnl/x= — limsinxlnx, т. е. к раскрытию неопределенности 0 оо. Преобразуем произведение sin х In х в дробь: sinxlnx= *ПХ . Эта дробь при х-> +0 есть неопределенность
1/sinx
оо/оо. Применим правило Лопиталя:
1пх	1/х	.. sin2x
lim------= lim--------------— = — lim---=
1 / sin x	— cos x / sin x	^+° x cos x
Можно опять применить правило Лопиталя для раскрытия неопределенности [0/0], однако проще использовать первый замечательный предел и теоремы об арифметических операциях над функциями, имеющими предел (разд. 4 гл. 3):
sin2x sinx sinx
lim-------= lim--------= 10 = 0.
XCOSX '-+tl x cosx
Итак,	limsinxlnl/x = 0, поэтому lim(1/х)и"л = f*""	’ =
§ 6. Формула Тейлора для многочлена Бином Ньютона как частный случай формулы 311
§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ МНОГОЧЛЕНА. БИНОМ НЬЮТОНА КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА
ДЛЯ МНОГОЧЛЕНА
Пусть дан многочлен
Рп(х)=аи +aIx+...+allx" —	(6.1)
од, к =0,1,... , п, — коэффициенты многочлена. Положим: х=(х—х0)+х0,где хе — любое фиксированное число, получим: ^,(х)-^«Д(х-х0)+х0]л. Возведя сумму (x-xu)+xu в степень к, после приведения подобных членов приходим к равенству:
Р.Ю = Ь„ + 6,(х-х„)+...+6.(х-х„)" = ]Рб,(х-х„>‘. (6.2) *=с
называемому разложением многочлена по степеням разности х—х0.Коэффициенты Ьк, к = 0,1,..., п, этого разложения »ави-сят от х, и коэффициентов «л, к =0,1,..., я, например, b, = й„ +atxu +... +о„х^- Продифференцируем равенство (6.2) почленно п раз:
(х)=Ь, +2/>Дх-х0)...+ я/>и (х—х0)и-1 ,
Р"„ (х)=2 • 1 Ьг + 3-2Ь, (х-х0)+...+я(я - !)£>„(х-х0)”’2,
Р£*' (х)=к(к-1>...-2• \Ьк+(к + 1)4...• 2(х- х0)+...+
+и(и —1>.. .-(л — Л + !)/>„ (х- х0 )"*.
Р‘"' (х)=л (л -1)...- 2 • 1- Ь„, производные многочлена Р„(х) порядка выше п равны нулю. Положим в этих равенствах и в формуле (6.2) х=х0, получим: PM=bn, P,n(x0)=bi, ^(хп)=|-262, ..., Г?и(х,)=1-2-...*-4,=*!61.. или
Pw(x 1
bk = "	", к:= 0, 1, ... , я,	(6.3)
где по определению принимаем 0! = I, 1! = 1 и /^°’(х)= Р„{х). Итак, показано, что разложение (6.2) единственно, так как его
312
Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления
коэффициенты Ьк, к =0,1,..., п, всегда определяются формулой (6.3). Подставим (6.3) в (6.2):
Д«=Д<х.) + ^^(л-х,,)+...+^у^и-л„)-. (в.4)
Равенство (6.4) называется формулой Тейлора для многочлена Р„(х).
Пример 6.1. Многочлен Р3(х)=х3 — 7х2 + 18х—13 разложить по степеням разности л—2.
►Запишем для данного мноючлена формулу (6.4) при *о=2:
р'п\ Р.72)	Р."Р}
РДх)=Р3(2) + -^(х-2)+-^(х-2)2 +^(х-2)3. (6.5)
Имеем Р3’(х) = Зх2-14х+18, Р."(х)=6х-14, Р3\х)=6 и Р,(2) = 3, Д'(2)=2, /у'(2)=—2, /f(2)=6. Подставив в (6.5) четыре последних равенства, приходим к соотношению: Р,(х)=3+2(х—2)— -(х-2)2 +(х-2)3 ◄
Пример 6.2. Пусть Р-(х) — многочлен третьей степени, Р3(1)=0, Р.'(1) = ~4, P3"(l)=2, Pj'(l)=6. Написать его разложение по степеням х.
► Напишем для данного многочлена формулу (6.4) при л = 3, х0=1:
Л Р,'(1)	Р3"(1)	, Ри'(1)	,
Р3 (х) = Р3 (1) + (л]} +	(Х_ и* +	.
Подставим в это равенство значение многочлена и его производных в точке х = 1, получим: Р3(х)=0— 4{х— 1)+(х—1)! + +(л—1)J. Раскрыв скобки и приведя подобные члены, приходим к равенству Р3(х)= 4—Зх—2х~ +х3.-^
Следствие. Вывод формулы бинома Ньютона.
► Рассмотрим многочлен: /^(х)=(а+х)" и напишем его разложение по степеням х. Из (6.4) при хс =0 имеем:
Р’(0)
Ря(х) = (О+х)"
Р:(0)х2 2! Х
^*40) , + , к\ Х	п\ Х
(6-6)
Последовательно находим производные Р*к>(х) в точке х=0,
А =0,1____л:
§ 6. Формула Тейлора для многочлена Бином Ньютона как частный случай формулы 313
Л,(0)=Д'"’(0) = <1-; Р'.(х) = „(«+*Г'; r,(0) = ™-';
Р‘ 'п (х)=п(п -l)to +x)”2: Р"„ (0)=п(п-Do-1:
7?*’ (х)=л(л -1)(л -2)...(л ~к +])(« +х)"“*;
Д'‘’(0) = „(„-1)...(П-4+1)»-‘;
Р*п> (х)=п(п - 1)(л -2)...(л - л +1)о”" = П!, Р^(0) = п!.
Подставим значения 7^‘*’(0), 4 = 0,1,..., и, в формулу (6.6), получим:
«,+,)=о- +... +
2!	<6.7)
и(и-1)...(и-Л+1)д,_, д +	+*_
V.
Запишем соотношение (6.7) в более краткой форме:
(а+х)" = Jc>-*x *,	(6.8)
где
с,‘ =	л=о,1,(6.9)
Для общности формулы (6.8) для всех указанных значений к полагают
С°=0!=1!=1.
Каждое из равенств (6.7), (6.8) называется формулой бинома Ньютона, их правые части называются разложением бинома, коэффициенты С*, 4=0,1...и. формулы (6.8) называются би-
номиальными коэффициентами.
Замечание 6.2. Формулы (6.7) и (6.8) были приведены ранее в § 10 гл. 1 разд. 4 (формулы (10.1). (10.2)) без доказательства.
Свойства формулы бинома Ньютона
1.	Число членов разложения бинома равно м +1.
2.	Показатель степени а последовательно убывает от и до 0, а показатель степени х возрастает от 0 до л.
3.	Сумма показателей степени при лих постоянна в каждом члене разложения и равна л.
4.	Для биномиальных коэффициентов справедлива формула:
Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления
л!
4!(л-Л)!’
к =0,1,
, п.
(6.10)
►Умножим числитель и знаменатель в формуле (6.9) на (п—к)\, в результате приходим к формуле (6.10).^
5.	Биномиальные коэффициенты членов, равноудаленных от концов разложения, равны, г. е.
С„*=С;-*, 4 = 0,1, ... ,и.	(6.11)
►Заменим в формуле (6.11) к на п—к, при этом величины числителя и знаменателя не изменятся, что и доказывает справедливость формулы (6.11).<
6.	Биномиальные коэффициенты С* сначала возрастают при 1<4<(п —1)/2, а потом убывают при («1)/2<4<я.
► Найдем величину отношения двух последовательных биномиальных коэффициентов:
С*+| _ л (л—1)... (п—к) п(п—1) ...(п—к +1) _ п—к
~С^	(4+1)!	' Л!	4 + 1
Отсюда заключаем, что биномиальные коэффициенты возрас-п—к , п — 1
тают при условии  --->1=>4< —— и убывают при условии
4+1	2
2
7.	Разложение бинома Ньютона при четном п содержит единственный член с максимальным биномиальным коэффициентом, находящийся посредине разложения, а при нечетном л — два члена с равными и максимальными биномиальными коэффициентами, находящиеся посредине разложения.
► В первом случае число членов разложения нечетно и, в соответствии со свойством 6, единственный член с максимальным коэффициентом находится посредине разложения. Во втором случае разложение имеет четное число членов. В силу свойств 6 и 5 разложение имеет два члена с равными максимальными биномиальными коэффициентами.◄
8.	Для биномиальных коэффициентов с последовательными верхними индексами выполняется следующее соотношение:
С +с.‘=с‘„, *=1,....".
(6 12)
§ 7. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано 315
► Биномиальные коэффициенты из левой части равенства (6,12) вычислим по формуле (6.9):
r*-i . г* _«(«-!) —(«-А:+2) л(л-1)...(и-А +1)_
"	"	(Л-1)!	к\
_я(я—!)...(«—А +2)Г +«—Л+11 и (и—1)...(л — Л+2) и+1 _
(Гч)! L к J (Гй)! к
_ (п+1)п(п-\)...(п-к+2) к
к\
9.	Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2".
► Положим в формуле (6.8) а=х = \. получим: 2" =
10.	В биноме (а—хУ знаки членов чередуются, а абсолютные величины коэффициентов те же, что и в формуле (6.8).
§ 7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ
В ФОРМЕ ПЕАНО
Определение 7.1. Пусть функция /(х) дифференцируема в точке х0 до л-го порядка включительно. Многочлен
Гги)=/(Аи)+^^(х-хи) + ...+^^(х-х0)я	(7.1)
называется многочленом Тейлора функции /(х).
Пример 7.1. Для функции /(х)=(х—1) Х(х—2) написать многочлен Тейлора Г,(х) при хс =3.
► /'W=Jt~2~^r1)=-—/«=-2-г.
(х—2)	(х-2)2	(х—2)
6
=	/<3) = 2’	/"(3) = 2, /'"(3) = -6.
(х-2)
В силу формулы (7.1) получаем: Т~(х) — 2 —(х—3)+(х—З)2 —
- (х-3)\<
Равенство (7.1) является разложением многочлена Т„(х) по степеням разности х—хи.В виду единственности такого разло-
) fw(x 1
жения (§ 6) имеем: —-----— =— ----—,к =0,1,... , и. Отсюда
следует равенство:
т:иы=/:иы, *=о,1,(7.2>
316 Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления
выражающее свойство многочлена Тейлора. При этом в случае к = 0 подразумевается равенство Ти(хи)=f(xu).
Итак, в точке хв функция fix), ее многочлен Тейлора Тп{х) и их производные до л-го порядка включительно совпадают. Однако на проколотой окрестности 0{хй) функция fix) совпадает со своим многочленом Тейлора тогда и только тогда, когда она сама на $(хй) является многочленом л-й степени.
Далее полагаем, что функция fix) не является многочленом на некоторой окрестности t/(x^) точки хй. Разность между fix) и ее многочленом Тейлора Тн(х) обозначим через R„(x): f(x)—TH(x)= R„(x), Rfix) есть погрешность представления функции f(x) ее многочленом Тейлора Ти(х) на U(xv). Преобразуем последнее равенство к виду:
/Ю=7»+Д,(х).
(7.3)
Заменив в (7.3) Г„(л) на правую частв равенства (7.1), получим:
7(>) = 7(^„) I У ’(Ч-Л,) I I У лг**"’<>-*„)'1 л.<^) <7.4)
Равенство (7.4) называется формулой Тейлора функции fix), а /?„(л) называется остаточным членом.
Свойства остаточного члена Ло(х)
1. д](хи)=тг;(хи)=тг;'(хи)=...=c’(*„)=o.
2. Если на некоторой окрестности £/(хй) существует /(л+|,(х), то на U(x0) существует й*"+,,(х) и справедливо равенство

(7-5)
Свойство 1 следует из определения й„(х) и равенства (7.2), а свойство 2 — из равенства (7.3) с учетом соотношения
7Г+,’(х)=0.
Теорема 7.1. Если функция f(x) имеет в точке х(| производные до л-го порядка включительно, то для этой функции на некоторой окрестности U(x0) точки хй справедлива формула
/(х)=/(хи)+ТДа2(х-х11)+...-
+ f	+O((X-X„)-),
л!
(7-6)
§ 7. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
317
где под о((х—х0)и) понимается бесконечно малая более высокого порядка малости, чем (х—xt)" при x-»xt.
Равенство (7.6) называется формулой Тейлора функции f(x) с остаточным членом в форме Пеано (Д. Пеано (1858—1932) — итальянский математик).
► Пусть й„(х) — остаточный член формулы Тейлора функции f(x) (формула (7.4)). Надо доказать, что Rll(x) = о((х—хи)"). Функции и (х—х^)", а также их производные до (и—1)-го порядка включительно удовлетворяют условиям применения правила Лопиталя (теорема 5.1), поэтому имеем:
„П1 =,„„ *'«
> п(и—1)...2(х—х„)’
Правило Лопиталя применено л—1 раз. В числителе последней дроби вычтем равное нулю число /?^и-,’(х0), получим:
*„(*) C’l’w-C’l’K)
lim — ---= lim — ---------—=
(x-x0)"	n !(x-x„)
= 1 нт ^Г'ЧхНДГЧх,)
л’—	(x-xe)
По определению производной правая часть последнего соотношения равна — й‘"Чх0). Приходим к равенству lim ) =0, поскольку/?'"Чхи)=0 (свойство 1 остаточного > ^(х-х0)"
члена), отсюда заключаем, что /?)1(х)=о((х—х0)”).^
Пример 7.2. Написать для функции /(х)=(х—1)/(х—2) формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано при х0 = 3 и л = 3.
► Из формулы (7.3) следует равенство /(х) =Г.(х)+/?3(х). Заменяя в нем Г.(х) на 2—(х—3)+(х—З)2 —(х—З)3 (см. пример 7.1), а й3(х) на о((х—х0)3) в силу теоремы 7.1 имеем: /(х)=2—(х—3)+(х—З)2 —(х—З)3 +о((х-3)3).^
Замечание 7.1. При хщ =0 формула (7.6) принимает вид
=	+	+о(л")	(7.7)
1!	л!
318
Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления
и называется формулой Макларена с остаточным членом в форме Пеано (К. Маклорен (1698—1746) — шотландский математик).
Напишем формулы Маклорена для функций ех, sinx, cosx, 1п(1+х) и (1+х)“, имеющих при х=0 производные любого порядка. В гл. I приведены формулы (9.2)—(9.6) для производных л-го порядка от этих функций. При х=0 из этих формул получаем соотношения
f(x)=ex, f(x)=sinx,
f (х) = COS X,
/(x)=ln(l+x),
Дх)=(1+х)“,
/‘"’(0)=U
/•‘"’(0)=sin™ =
/-(O^cos™:
[0, n = 2k, [(—!)*', л = 2/1-1, [О, л = 2А—1,
I
|(-1)А, л = 2Л,
/<"’(0)=(—1)и-1(л—1)!
/<"‘(0)=а(а—1)...(а—(л—1)).
Подставляя в формулу (7.7) поочередно указанные выражения для /‘"’(О) каждой из пяти данных функций, приходим к следующим равенствам:
г"=1+х + ^-+...+^-+о<х->,	(7.8)
2’ л'
йпх=л-^-+	(^Z|),+oU!").	(79)
cosx = l-|?+...+ (-!)" |^+O(x=-"),	(7.10)
1п(1+х)=х-—+...+(-1)"“1 —+о(х”),	(7.11)
2	л
(|+х)" = 1+„х+5^21>х-+...+
21	(7.12)
f а(а - 1)...(а ~(л -1)) л!
Теорема 7.2. Если функция /(х) имеет в точке xG производные до л-го порядка включительно и на некоторой окрестности точки хц эта функция представлена равенством:
= +о,(х-х0)+.-+Ч,(х-х,,)" +<><(*-*!,)"), (7.13)
§ 7. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
319
где под о((х—х0)и) понимается бесконечно малая более высокого порядка малости, чем (х—х0)и при х-»хо, то для коэффициентов ак этого равенства справедлива формула:
°t= А! ’ *=0J......................(7J4)
т. е. представление данной функции равенством (7,13) единственно.
► В условиях теоремы для функции /(х) выполняется равенство (7.6), приравняем правые части равенств (7.6) и (7.13):
Лх„)+^-^(х-х„) + ... +f ^{х-х.У +О((Л-Х„Г) = 1!	и!
=ак +л,(х-хе)+...+а„(х—х0)" +о((х-хс)'').
(7-15)
В (7.15) перейдем к пределу при х-»х„, получим: /(х0) = а0. Вычтем из обеих частей равенства (7.15) равные слагаемые /(х0) и а„и все члены полученного соотношения поделим на х—х():
Перейдем в этом равенстве к пределу при х-*х0, получим:
х-*х0. Повторив описанные преобразования Л —1 раз, приходим к формуле (7.14).^
Пример 7.3. Написать для функции f(x)=ex формулу Маклорена до членов 2л-го порядка включительно и найти ее производную /'2я’(0).
► Введем обозначение: z = x2. Для функции е из (7.8) имеем равенство:
Z2	z
eJ=l+z+4-+...+^-+o(z").
2!	и!
Подставим в него х2 вместо z, получим ех‘
+^-+О(х2я).
и!
320 Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления
Коэффициент 1/л! при х2к в правой части последнего соотношения в соответствии с теоремой 7.2 и формулой (7.14) равен /<2'"(0)/(2и)!. Таким образом, приходим к равенству 1/л !=/<2'”(0)/(2и)!, откуда находим /<2'”(0) = 12и)!/и!.^
Замечание 7.2. Равенства (7.8)—(7.12) являются асимптотическими разложениями для функций е*, sinx, cosx, ln(l + x), (1+х)" Они служат источником разложений такого рода для некоторого класса элементарных функций. Полученные разложения применяются, например, при вычислении пределов
Замечание 7.3. Формула Тейлора (7.6) аппроксимирует (т. е. приближает) функцию f (х) ее многочленом Тейлора на некоторой окрестности точки х0, причем эта аппроксимация гем точнее, чем меньше модуль разности х —
Пример 7.4. Найти lim----s*nx з/l + x
л-U	X1
► Выражение под знаком предела при х-*0 дает неопределенность 0/0. Имеем:
е' — sin х—Vl+x2 =1+х + х2 /2 +х3 /6+о(х3) — -(х-х3 /6+о(х3))—(1+х2/2—х4 /8+о(х4))=х3 /3+о(х3).
Здесь использованы формулы (7.8), (7.9), а также (7.12) при а =1/2 и свойства символа о (§ 6 гл. 3 разд. 4). Итак,
|ime--sinx-VlZF= х-/3+0(х-) = 1. /1	1
х-о	х3	X3	X3 )	3
Здесь использовано определение символа о из упомянутого параграфа. ◄
Пример 7.5. Найти Iim(e6>ros> +61п(1—х)),/л .
► Выражение под знаком предела при х-»0 дает неопределенность 1”.	Из	(7.10) следует равенство:
6xcosx = 6x(l—х2/2+о(х2))=6(х—х3/2 + о(х3)) (свойства символа о, § 6 гл. 3 разд. 4), поэтому
е6леО!х=	1+6(х_х5 /2 +О(х’)) +
+3(х—х3 /2+о(х3))2 +(х—х3 /2+о(х3))3 + + о((х—х3 /2 +о(х3))3)=1+6х+Зх2 — 2х3 +о(х3)
(использованы формула (7.8) и упомянутые в примере 7.2 свойства символа о).
§ 8. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа 321
Из (7.11) имеем: 61п(1—х)= — 6х—Зхг — 2х3 +о(х3). Сложив асимптотические разложения функций е6хсо!х и 61п(1 — х), получим:
е*х““+61п(1-х) = 1-4х’ +о(х3).
Вычисляемый предел принимает вид:
Ит(е6х<ж* +61n(l—х))|/х = lim(l—4х3 +о(х3)),/х = = е.Т»п<1-4х +о<х ** х
(использованы основное логарифмическое тождество и свойство непрерывности показательной функции). Вычислим предел: , 1п(1—4хэ+о(х3)) Г01	-4х3+о(хэ) . , „ о(х3)
hm —---------—= -I = lim----------= lim(-4 4—^) = -4
(числитель разложен по формуле (7.11)). Следовательно, lim(4>tx“sx +61п(1-х)),/х’ =е~\4
Замечание 7.4. В примерах 7.4—7.5 можно было применить правило Лопиталя, однако это привело бы к более громоздким выкладкам.
§ 8. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА
Теорема 8.1. Если функция /(х) на некоторой окрестности £/{х(1) тючки хе имеет производную /1,1+0 (х), то для /(х) справедлива формула
/<n+,,(xu +е(х-х„)) («+!)!
(х-хи)”+|
(8.1)
где 6 — некоторое число из промежутка (0, 1).
Равенство (8.1) называется формулой Тейлора функции fix) с остаточным членом в форме Лагранжа.
► Рассмотрим функцию <р(х)=(х—х0)"+|, имеем:
<P(*u)=«p'U0)= — = ф‘",(\,) = 0, ф(',+”(х) = («+1)! для VxG/?.
322 Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления
Пусть R„ (х) = /(х)- (/(хц) 4-	> (х - хп)+ ..4-^
1!	л!
х(х—х0)") — остаточный член формулы Тейлора функции /(х).
Надо доказать, что =—----------(х—хп )"+|, где 6G(0,1).
(п 4-1)!
Предположим сначала, что х<л^, х£Цхв). Функции Яя(х) и <р(х) и их производные до л-го порядка включительно удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезке [х, л^], а также на любом отрезке [о, х0]С[х, х0]. В силу теоремы Коши с учетом равенства Яя(х0) = <р(х0) = 0 имеем:
Яп(х)_Яя(х)-Яя(хи)_Яя(х1) ф(х) ф(х)-ф(х0)	ф'(х,)’
(8.1а)
Применяя теорему Коши к функциям Я'(х) и tp'(x) на отрезке [хь х0] с учетом равенства Я'(хи)=ф'(х1))=0. получаем:
я; (х,) я; (х,)- я' (х„) _ я;;(х2)
«Р ’(X,)	ф'(Х] )-ф'(хе)	ф"(х2)’
Из (8.1а) и (8.16) следует равенство:
Дя(х)_^(х,)_я;(х2) ф(х) ф'(х,) ф"(х2)’
Применив теорему Коши последовательно к функциям Я"(х) и ф”(х). Я''(х) и ф"'(х). и	ф‘*”(х). с учетом свойств остаточ-
ного члена имеем равенство:
яи(х)_я;(х,)_ = яг (х^ДГ11 (*,,,)
ф(х) ф'(х,) " ф°”(хи) ф,л+1’(хя+1)’
(8.1в)
где х<х, <...<хи <хи+] <х0. Ввиду того, что число хп+1 принадлежит отрезку [х. x0J. оно представимо в виде: хл+1 =х0 4-6(х—х0), 6 — некоторое число из промежутка (0, 1). Поскольку ф<',+|,(хв+1)=(л 4-1)!, а в силу свойств остаточного члена формулы Тейлора Я*"+1>(хч+,)=/<л+п(хч+1), то (8.1 в) преобразуется к виду:
ЯИ(Х) _/(я+11(хи+е(х-х„))
(х-х.г1	(л 4-1)!
§ 8. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа 323
/'я+,,(х0+е(х-хе))
отсюда получаем =-----------------------(х—х0) . Теорема до-
(«+!)?
казана для х<х0. Очевидно, что случай х>х„ рассматривается аналогично. ◄
Замечание 8.1. При х, =0 равенство (8.1) принимает вид
/« = /(0) + П°’х + ...+^х-+в1.-	(8.2)
1!	я! (я + 1)!
и называется формулой Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.
Напишем формулы Маклорена для функций sinx, cosx, ln( 1 + х) и (I + х)°:
3!
х2" 1	sin(0x + rc«) 2и
(2л-1)!	(2л)! А
(8.3)
(8.4)
+ ( I)-	_ + eos(ex + n(2n+l)/2>x„.
(2л)!	(2л+1)!
1п(1 +х)=х-— + ...+(-1)”-1 —+(-1)”--------------х'
2	и (1+ех)я+1(л+1)
(1+х)“ = H-ax+S^x2 +... + а(а-'> -<а-<и-1)>. 2!	и!
а(а-1)-(а-я)(1+ех)*-я1
(8.7)
(и+1)!
В каждой из формул (8.3) — (8.7) 0<6<1, они отличаются от соответствующих формул (7.8) — (7.12) только выражением для остаточных членов.
Замечание 8.2. Формула Тейлора (8.1) или формула Маклорена (8.3) позволяют оценить погрешность при замене функции ее многочленом Тейлора. Так, с ее помощью можно вычислить число е с любой наперед заданной точностью.
Пример 8.1. Вычислить число е с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0,0001.
► В разложении (8.3) для ех положим х = |. получим:
2!
я! (я + 1)!’
324
Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления
Заметим, что е"/(и + 1)!<3/(п+1)!, так как е<3 и е° <3 для 0<6<1. Наименьшее значение и, удовлетворяющее условию:
е° / (л +1)! < 3/ (и +1)! < 0,0001,
естья0=7, следовательно, е = 1+1+1/2!+...+11/7!=2,7183.-«1
Замечание 8.3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа служит базой для получения разложений функций в так называемый ряд Тейлора (разд 11).
Перенесем в формуле (8.1) /(х0) в левую часть, получим
/(*)-/(*<,) =—(*-*<,)+ - +——у—(*~х0) +
..^^-•»(x-x„r.0<6<L	(8.8)
Левая часть соотношения (S.8) является прирашением функции Дх): Дх) — Дхв) = АДх0). Поскольку х — х0 = Дх = dx, то произведения производных на степени разности х — в правой части равенства (8.8) можно рассматривать как дифференциалы соответствующих порядков. В результате формула (8.1) записывается в следующей модификации:
tf(xu)=df(xll)+...+—dnf(xlt) + ...
ni
+—J—‘'"’’’/и.+еи-л.)). о<е<1.	(8.9)
(и+1)!
При п = 0 из (8.9) получаем формулу (4.7), следующую из теоремы Лагранжа. Таким образом, формула (8.9), а вместе с ней и формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа является дальнейшим развитием формулы (4.7) и теоремы Лагранжа. Однако, отметим, что формулы (8.8) и (8.9) при и > 1 справедливы для функции Дх), удовлетворяющей более жестким условиям, чем условия теоремы Лагранжа.
§ 2. Достаточный признак строгой мыютонюсти функции на промежутке 325
Глава 3
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
§ 1. УСЛОВИЕ ПОСТОЯНСТВА ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ
В § 5 1л. I было установлено, что производная функции, являющейся постоянной на некотором промежутке X, равна нулю. Здесь рассматривается обратное утверждение.
Теорема 1.1 {достаточное условие постоянства функции на промежутке). Если производная функции fix) равна нулю в любой точке некоторого промежутка X, то функция fix) является постоянной на этом промежутке.
► Из условия теоремы имеем f'(x)=O для УхЕЛ. Фиксируем некоторую точку из промежутка X и рассмотрим любую другую его точку х. На отрезке [хол] или [х, х0] для функции fix) выполнены все условия теоремы Лагранжа (см. § 4 предыдущей главы), поэтому справедливо равенство:
fix) -fix0) =fy(c)(x-KJ,	(1.1)
где с — некоторая точка между х0 и х. Поскольку с принадлежит промежутку X, то f'(c)=0, так что для VxG-А' в силу (1.1) верно равенство fix) —fix0) = 0 или fix) =Дх0). Итак, все значения данной функции на промежутке X равны одному и тому же числу fix0), поэтому заключаем, что она постоянна на Х.4
Замечание 1.1. Равенство нулю производной функции на промежутке X — необходимое и достаточное условие ее постоянства на этом промежутке.
§ 2. ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК СТРОГОЙ монотонности ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ
Понятие монотонной функции было рассмотрено в § 7 гл. I разд. 4 (определение 7.5).
Теорема 2.1 (достаточный признак строгой монотонности функции). Если производная функции / (х) положительна (отрицательна) на интервале (а, Ь), то данная функция возрастает (убывает) на этом промежутке.
► Пусть /'(х)>0 для VxG(a, b). Возьмем две любые точки х, и х; этого промежутка такие, что х, < х2 тогда на отрезке
326 Глава 3. Исследование функций и построение графиков
[х,,. x2J для функции Дх) выполнены все условия теоремы Лагранжа (см. § 4 гл. 2), в силу которой имеем:
/(х2)-/(х,)=/(с)(х2-X,), cGUpXjl <2.1 >
Поскольку /'(с)>0, а разность х2— х, положительна, то Дх2) — Дх,) > 0 или Дх2)) > Дх,), следовательно, Дх) возрастает на интервале (а, Ь). Аналогично проводится доказательство для случая /'(х)<0.4
Замечание 2.1. Теорема 2.1 позволяет найти так называемые промежутки монотонности дифференцируемой функции, на каждом из которых она только возрастает или только убывает.
Пример 2.1. Наити промежутки монотонности функции /(х)=х2-4х.
►/'(х) = 2х—4=2(х—2), /'(•х)<0 при х<2 и /'(х)>0 при х>2, поэтому в силу теоремы 2.1 данная функция убывает на промежутке (—оо. 2) и возрастает на промежутке (2. +<»).◄
§3. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМА. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ
Понятие экстремума функции введено в § 1 предыдущей главы. Пусть функция Дх) дифференцируема на интервале (а, Ь), за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она непрерывна.
Теорема 3.1 {необходимые условия существования экстремума). Если функция Дх) имеет в точке х„ из интервала (а, Ь) экстремум, то либо /'(х„)=0, либо /*(хп)=со, либо /'(х(1) не существует.
► Пусть х0 — точка экстремума функции Дх). Возможны только два случая: либо f'{xtl) существует, либо не существует. Если /'(хе) существует, то также возможны только два случая: либо /'(х„) конечна, либо /'(хо)=о°- Если f‘(xu) конечна, то по теореме Ферма из § I /'(хе)=0.-^
Определение 3.1. Точки из области определения функции Дх), в которых ее производная равна нулю, бесконечности, или не существует, называются критическими точками данной функции (иначе точками, подозрительными на экстремум). Точки, где производная f'{x) равна нулю, называют также стационарными точками.
Пример 3.1. Найти критические точки функции Дх) = х|х + 1|.
§ 3. Необходимые условия существования экстремума Критические точки
327
[—(х2 +х), х < — 1,	[— 2х—1, х < — 1,
►«/)=*, /М=|х!+А хг_и /Чл) = |2а + | А>_, f'(x)=0 при х — —1/2 и f'(x) не существует при х= —1 (пример 1.2 гл. 1). Таким образом, точки х = —1/2 и х=—1 — критические для данной функции, а точка х = —1/2 является также стационарной точкой.◄
Пример 3.2. Найта критические точки функции /(X) = V(A-1)2-
2	„2
*D(f)=R, /'(x)=((x-l)2/J)'=-(x-l) " =^___. /'(x) не обращается в нуль на £)(/), но /'(1)=°°- Точка х = 1 — критическая точка Дх).^
Определение 3.2. Экстремум функции Дх), достигаемый в стационарной точке, называется гладким экстремумом. Если в точке экстремума не существует Д'(х), но существуют неравные между собой односторонние производные, то такой экстремум называется угловым. Если в точке экстремума производная бесконечна, то он называется острым.
Например, функция Д(х)=х|х+1] в точке х=—1/2 имеет гладкий минимум, а в точке х=— 1 — угловой максимум (рис. 3.1). Функция /(х)	1)2 имеет в точке острый минимум
(рис. 2.4 гл. 1).
Замечание 3.1. Характер экстремума определяет положение касательной к графику функции в точке экстремума. В точке гладкого экстремума функции Дх) касательная к ее графику Г параллельна оси Ох. В точке углового экстремума график Г имеет различные односторонние касательные, а в точке острого экстремума — вертикальную касательную. Например, график функции Д(х)=х|х+1] в точке гладкого минимума (—1/2, —1/4) имеет горизонтальную касательную, а в точке углового максимума (—1, 0) — односторонние касательные (рис. 3.1). 1рафик функции Д(х)=^/(х—I)2 в точке (1. 0) острого экстремума имеет вертикальную касательную (рис. 2.4 гл. 1).
Замечание 3.2. Необходимые условия существования экстремума (теорема 3.1) не являются достаточными, ибо не в любой критической точке функция имеет экстремум. Например, для функций у = х2 и у=х* точка х=0 является критической ((х2)'=2х=О и (х3)'=Зх2 =0 при х=0), однако первая из них имеет в этой точке экстремум (гладкий минимум), а вторая функция не имеет экстремума в этой точке (рис. 3.2,
Глава 3. Исследование функции и построение графиков
Рис. 3.1. График функции /(х)=х|х + 1|
Рис. 3.2. График функ- Рис. 3.3. 1)>афик функции /(х)=х1	ции /<*)=*’
3.3). Для функций у = Vx—1 и у = ^/(х—1)? точка х = 1 является критической (у'(|)=оо), при этом первая функция не имеет в ней экстремума, а вторая имеет острый минимум (рис. 2.3, 2.4 гл. 1)
§4. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМА
С помощью теоремы 3.1 можно найти критические точки данной функции (или точки, подозрительные на экстремум). Однако, не в каждой критической точке функция имеет экстремум (замечание 3.2). Вопрос о наличии экстремума в критических точках решается путем применения достаточных условий, или достаточных признаков существования экстремума.
1. Достаточный признак существования экстремума, связанный с первой производной.
Теорема 4.1. Пусть функция Дх) непрерывна на некоторой окрестности (/(х0) критической точки х0 и дифференцируема в любой точке этой окрестности кроме, быть может, самой точки х0 Если при переходе аргумента х через эту точку слева направо производная /'(х) меняет знак, то в точке х0 функция Дх) имеет экстремум (при изменении знака /'(х) с плюса на минус — максимум, с минуса на плюс — минимум).
► Рассмотрим VxGt?(xe). Для функции /(х) на отрезке [х,х0] (х<х0) или на отрезке [х„,х] (х>х0) выполнены все условия теоремы Лагранжа, поэтому для нее справедлива формула (4.4) из гл. 2, имеющая здесь вид:
/(*)-/( ХВ ) = Wo )=Г (с)(х- х0),	(4.1)
где с — некоторое число, заключенное между х„ и х. Пусть /'(х)>0 при х<х0 и f'(x)<0 при х>х0, в этом случае f'(c) и
§ 4. Достаточные условия существовашя экстремума
329
х— х0 имеют разные знаки для VxG$(x0). Действительно. /'(f) >0 и х-х„ <0 при х<хи, /'(с)<0 и х-х0 >0 при х>х0. Итак, на окрестности 0(хи) приращение функции Л/'(хс)<0 в силу (4.1), следовательно, в точке х0 функция Дх) имеет максимум (замечание 1.1 гл. 2). Случай изменения знака /'(х) с минуса на плюс рассматривается аналогично. ◄
Пример 4.1. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции /(х)—(2 — х)ех +2.
►Д/) = Д /'(х) = ((2 —х)е' +2)'=(1—х)е’, х=1 — единственная критическая точка, /'(1)=0. Она делит ось Ох на два интервала: (—«>,1) и (1,+оо). Знак /'(х) на них приведен в табл. 4.1. В силу теоремы 2.1 на первом из указанных интервалов /(х) возрастает, а на втором — убывает (направление стрелок в табл. 4.1 указывает характер изменения функции). В точке х=1 функция имеет гладкий максимум (теорема 4.1), /(1) = 2 +е = 4,7 (рис. 5.6). ◄
Таблица 4 1
X			(1.+О0)
Л*>	+	0	—
/(х)		2+е~4,7 гладкий максимум	
Пример 4.2. Найти промежутки монотонности и экстрему-1—х~
мы функции /(х)=arcsin	2 .
[2/(14-х2). х<0,
►£)(/) = 2?, /'(х) = ]	(пример 7.5 гл. 1),
[—2/(14-х2). х>0
3/'(0) (пример 4.5 гл. 2), х = 0 — единственная критическая точка Дх). Она делит ось Ох на два интервала: (—<»,0) и (0,4-оо), знак /'(х) на этих промежутках приведен в табл. 4.2, стрелками показан характер поведения функции на указанных интервалах, установленный с помощью теоремы 2.1. В точке х=0 функция имеет угловой максимум (теорема 4.1), /(())—тг/2, /_'(0)=2,/+'(0) = -2. В § 7 после дополнительных исследований табл. 4.2 используется при построении графика этой функции ◄
Таблица 4 1
X	01	1	(0, +
Л*>	+	а	—
/(*)		л / 2 угловой максимум	
330 Глава 3. Исследование функций и построение графиков
2. Достаточный признак существования экстремума, связанный с второй производной. Если в стационарной точке функция имеет вторую производную, то вопрос о существовании экстремума в ней может быть решен с помощью следующей теоремы.
Теорема 4.2. Пусть х( — стационарная точка функции f(x) (т. е. f'(xtl)=0} и /(х) имеет в данной точке вторую производную. Тогда:
а) если /"(хо)<0, то точка локального максимума /(х), б) если f'\x0)>Q, то — точка локального минимума f(x\
►Для функции /(х) напишем формулу Тейлора при и = 2 с остаточным членом в форме Пеано (равенство (7.6) гл. 2):
/Ь) =/(»„)+Д^(х-х„)! +о((х-х„)!) или
Л/(а()=/^()(>-а,1)’ +О((Л-Х„)1),	(4.2)
где 4f(xu) = /(х)—/(хи). Из определения символа о имеем: о((х—х..)2) ,	о((х—х,.)2)	,
lim------= 0. тогда ---------'1-г-=0+а(х) или о((х-х„) ) =
’**» (х—Хо)	(х—Хц)
= а(х)(х—х0)2, где а(х)-»0 при х-*хи (теорема 4.3 гл. 3 разд.
4). Подставим последнее равенство в (4.2):
&f(x0)=(/"(*„) /2 !+а(х))(х - хи У.	(4.3)
Поскольку Нт(/"(хи)/2!+а(х)) = /"(х0)/2!, то найдется проколотая окрестность (Лх0). в которой сумма /"(х11)/2!+а(х).
а вместе с ней в силу (4.3) и А/(хв), имеют знак f"(xu) (теорема 2.5 гл. 2 разд 4). Пусть f(xv)<0, тогда 4f(xB)<0 для любого х из (7(хв), поэтому в этом случае функция /(х) имеет в точке максимум. При /"(хи)>0 для приращения функции /(х) справедливо неравенство 4f(xu)>0, тогда в точке эта функция имеет минимум.◄
Пример 4.3. Найти экстремумы функции /(х)=х4/4—
—хэ/3—2х2 +4х+5.
►Л(/) = Л, /'(х)=х3-х2-4х4-4=(х-1)(х2-4), х = 1 и х=±2 стационарные точки fix}. /'(1) = /'(±2)=0. Имеем:
/"(х)=3х2 —2х—4, /"(—2) = 12>0, /"(1)=-3<0, /"(2)=4>0.
§ 4- Достаточные условия существовашя экстремума
331
Рис. 4.1. График функции /(х)=х4/4-х3/3-
-2*2 + 4* + 5
В силу теоремы 4.2 приходим к выводу: х = ±2 — точки минимума Дх), а х = 1 — точка максимума. Вычислив значения функции: /(—2)= — 13/3, /(2) = 19/3, Д(1) = 83/12, можно построить эскиз графика Дх) (рис. 4.1).^
Замечание 4.1. Теорема 4.1, вообще говоря, более универсальна, чем теорема 4.2, она применима для любой критической точки, в окрестности которой установлен знак первой производной. Теорема 4.2 неприменима, во-первых, в тех критических
точках, где первая производная не существует или равна бесконечности, во-вторых, в стационарных точках, в которых вторая производная равна нулю, не существует или является бесконечной.
*3. Достаточный признак существования экстремума, связанный с производными высших порядков.
Теорема 4.3. Пусть функция Дх) и раз дифференцируема в точке х0, причем все ее производные до (и—1)-го порядка включительно равны в этой точке нулю: /'(*,,) = /"(*„) = - = /""(*,,) = «, а	тогда
1) если п — четное число, то функция Дх) имеет в точке х0 экстремум, а именно, при /”"(х„)<0 — максимум, а при f{,'i{xv)>0 — минимум;
2) если п — нечетное число, то функция Дх) не имеет
в точке х0 экстремума.
►Для функции Дх) напишем формулу Тейлора я-го порядка с остаточным членом в форме Пеано (равенство (7.6) гл. 2):
f(x) =/(хц)+\x-xvУ +о((х-хиУ) ИЛИ
W„)= Г 2\Хи)(х-х.У +о((х-хкУ).	14.4)
где Д/(х0) = /(х)—/(х0). Рассуждая так же как при доказательстве теоремы 4.2, преобразуем (4.4) к виду:
V(x")=ГД^+“Wr-Jf","’	(4‘5)
332 Глава 3. Исследование функций и построение графиков
где а(х)-»0 при х-»х0. Так как lim[ ——^2+а(х)] = ——^"2, и!	) л!
то найдется окрестность G(x ), в которой сумма ------—+а(х)
п!
имеет знак /’"’(х^) (теорема 2.5 гл. 2. разд. 4).
При четном п из (4.5) следует, что приращение функции Af(xv) на окрестное!и G(x0) имеет знак f<ni(x0). Пусть fni(xc) < 0, тоща Д/‘(х0)<0 для любою х из G(xu) и, следовательно, в этом случае функция Дх) имеет в точке хй максимум. При /<"’(хе)>0 для приращения функции &f(xv) справедливо неравенство Л/(хй)>0. и поэтому в точке хй эта функция имеет минимум.
Если п — нечетное число, го из (4.5) следует, что приращение функции Л/(х„) на окрестности Ахй) меняет знак при переходе через точку хй и, следовательно, данная функция не имеет экстремума в данной гочке.<<
§5. НАПРАВЛЕНИЕ ВЫПУКЛОСТИ И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Пусть функция Дх) дифференцируема на интервале {а, Ь). Тогда в любой точке Л/(х, f (х)) графика Дх) функции существует невертикальная касательная.
Определение 5.1. График Г функции Дх), дифференцируемой на интервале (а, Ь), называется выпуклым вниз (вверх) на этом промежутке, если он расположен выше (ниже) касательной, проведенной к Г в любой его точке М(х, Дх)), где х (а, Ь).
На рис. 5.1а изображен график Г функции f (х), направ-
ленный на интервале (а, Ь) 5.16 — выпуклостью вверх.
выпуклостью вниз, а на рис.
Рис. 5.1. К определению 5.1
§ 5. Направления выпуклости и точки перегиба графика функции 333
Теорема 5.1. Если функция Дх) дважды дифференцируема на интервале {а, Ь) и /”(х)<0(/"(х)>0) всюду на этом интервале, то график Г этой функции на интервале (а, Ь) является выпуклым вверх (вниз).
► Пусть Xfl — произвольная точка интервала (а, Ь) (рис. 5.2) Напишем уравнение касательной Т, проведенной к графику Г функции у = fix) в точке Л/0(л^, Дхй)), обозначая ординалу текущей точки Т через Y:
У = Дхи)+/' (xv )(х - х„).
(5.1)
Для функции у = fix) напишем формулу Тейлора при и = 1, остаточный член возьмем в форме Лагранжа:
У =/и„)+^^(х-л„)+^(х-х„)!.	(5.2)
где с — число, расположенное между х, и х. Вычтем почленно
(5.1) из (5.2):


(5.3)
В силу (5.3) знак разности у —У при х*хи совпадает со знаком f"(c). Поэтому для Vx Е (а, Ь) выполняется неравенство у—Y <0, если /"(х)<0 на интервале (а, Ь), и неравенство у—Y >0, если /в(х)>0 на интервале (а, Ь). В первом случае график функции у = fix) лежит ниже касательной, проведенной к нему в точке fix^) (рис. 5.2а), во втором — выше этой касательной (рис. 5.26). Ввиду произвольного выбора точки хй на интервале (о, Ь) в первом случае в соответствии с определением 5.1 график этой функции является выпуклым вверх на интервале (а. Ь). во втором — выпуклым вниз.<
Рис. 5.2. К доказательству теоремы 5.1
334 Глава 3. Исследование функций и построение графиков
Пример 5.1. Найти интервалы выпуклости графика функ-
ции f(x)= х2+3-
-1 О
Рис. 5.3. График функции /(х)—хг/(хг+3)
= R. /'(х)= ,6х , ,	Так как
v / j \ (дд +3)2 , j \	(л.2 +3),
/"(х)<0 на интервалах (— со, — 1), (1,1+оо) и /"(х)>0 на интервале (—1, 1) то в силу теоремы 5.1 заключаем, что на промежутках (—оо,—1) (1,1+оо) график функции направлен выпуклостью вверх, а на промежутке (—1, 1) — выпуклостью вниз (рис. З).^
Определение 5.2. Пусть функция f (х) непрерывна на некоторой окрестности U{x^ точки и дифференцируема на 1/(л^) за исключением, быть может, самой точки л^. Если при переходе аргумента х через эту точку меняется направление выпуклости графика Г этой функции, то точка М0(х0, f (л0)) называется точкой перегиба графика Г (рис. 5.4).
Так, (±1,1/4) точки перегиба графика функции /(х)=х2 /(х2 +3) (рис. 5.3).
Замечание 5.1. Пусть в точке перегиба Л/0(х0, f (х0)) график функции f (х) имеет касательную Т. Из определения 5.2 следует, что при переходе х через точку график переходит с одной стороны касательной Т на другую и «перегибается через
нее» (рис. 5.4), отсюда и произошло название «точка перегиба».
Рис. 5.4. К определению 5.2 Шествует.
§ 5. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
335
► Возможны только два случая: /”(хс) существует либо не существует. Если f"(xu) существует, то также возможны только два случая: либо f'(x0) конечна, либо /"(х0)=<ю. Если f"(xu) конечна, то докажем, что f"(x0)=C.
Для упрощения доказательства ограничимся случаем, когда /"(х) непрерывна в точке х0. Предположим противное, что /"(хе)*0. В силу непрерывности второй производной в точке хи и теоремы о сохранении знака функции, непрерывной в точке (теорема 3.3 гл. 4 разд. 4) найдется окрестность t/(x0) точки х0, в которой f"(x) не меняет знака. Тогда график функции Дх) в пределах этой окрестности имеет одно и то же направление выпуклости. Так как это противоречит наличию перегиба в точке Л/0(х0, Дл^)), остается принять го, что требовалось доказать. ◄
Рис. 5.5. Трафик функции /(х)=*4
Определение 5.3. Точки из области определения функции Дх), в которых ее вторая производная равна нулю, бесконечности, или не существует, называются точками, подозрительными на перегиб.
При исследовании функции Дх) на направление выпуклости ее графика и существование точек перегиба из области определения этой функции с помощью определения 5.3 выделяют точки, где график может иметь перегиб.
Замечание 5.2. Не в любой точке, подозрительной на перегиб, график функции имеет перегиб. Так, для функций у = х’ и у = х“ точка х=0 является подозрительной на перегиб: (х’)"=6х=0 и (х4)"=12х3 =0 при х = 0. Но для графика первой из них она является точкой перегиба, а для графика второй не является (рис. 3.2, 5.5).
Теорема 5.3 (достаточное условие существования точки перегиба графика
функции). Пусть х0 — точка, подозрительная на перегиб графика функции Дх) и данная функция имеет вторую производную на некоторой проколотой окрестности точки х0. Если при переходе аргумента х через эту точку производная f"(x) меняет знак, то х0 является абсциссой точки перегиба Mv(x„, /(х0)) графика данной функции.
► В самом деле, в точке Ми ь силу теоремы 5.1 меняется направление выпуклости графика, поэтому Мо является точкой перегиба (определение 5.2).^
Глава 3. Исследование функции и построение графиков
Пример 5.2. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции /(х)=(2 — х)ех +2.
^D(f)= R, f'(x)={\-x)ex (пример 4.1), /"(х)=((1—х)ех)'=— хе', /"(х) = 0 при х=0 — в точке (0,/(0)) график может иметь перегиб. Поскольку /"(х)>0 при х<0 и /"(х)<0 при х>0, то заключаем, что при х<0 в силу теоремы 5.1 график направлен выпуклостью
вниз, а при х>0 — выпуклостью вверх, следовательно, по определению 5.2 (0,/(0)) - точка перегиба графика (рис. 5.6, /(0)=4).^
§6. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Определение 6.1. Пусть функция Дх) определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0. Если хотя бы один из односторонних пределов функции Дх) в точке х0 бесконечен, то прямая L: х=х„ называется вертикальной асимптотой графика функции Дх)
Прямая £: х = 1 вертикальная асимптота графиков функций /(х)=1/(х—1) и £(х) —1/(х—I)2, ибо односторонние пределы этих функций в точке х = | бесконечны: lim /(х)=±со,
Рис. 6.1. График функции
/(х) = 1/(х-1)
Рис. 6.2. График функции
/(xj l/tx l)1
Замечание 6.1. Вертикальные асимптоты графика данной функции проходят через ее точки разрыва 2-го рода, так как
§ 6. Асимптоты графика функции 337
точка хс из определения 6.1 есть точка разрыва 2-го рода функции f (х) (§ 2 гл. 4 разд. 4).
Пример 6.1. Найти вертикальные асимптоты графика функции /(х)=(х-2)е-,',‘-21.
сЛ(/)=(— оо, 2)U(2, +оо), х=2 — точка разрыва непрерывности, lim /(х)=0, lim /(х)=[0-со]. Преобразуем fix) в дробь, х-*2+0	х-2-U
получим неопределенность оо/оо, раскрывая которую, применим правило Лопиталя:
lim (х—2)е ,,х ’ = lim --------=
х-2-U	х-2-0 1/(х—2)
-1/(х~2)2	х-2 0
В силу определения 6.1 прямая х = 2 — вертикальная асимптота графика данной функции при х-*2—О (рис 7.3).◄
Определение 6.2. Пусть функция fix) определена для сколь угодно больших по модулю значений х. Прямая L: у=кх + Ь называется асимптотой графика функции fix) при х-»+со (х-»—«>), если f (х) представима в виде:
/(х)=Лх+6+а(х),	(6.1)
где а(х)-»0 при х-> +оо(х->-<»).
Замечание 6.2. Если угловой коэффициент к асимптоты L: у=кх + Ь равен нулю, то она называется горизонтальной, если же к 5*0. то асимптота называется наклонной.
Замечание 6.3. Если lim f(x) = b, то /(х)=А+а(х), где
а(х)-»0 при х-»±оо (теорема 4.3 гл. 3 разд. 4). Тогда из определения 6.2 следует, что прямая L: у=Ь является горизонтальной асимптотой графика fix).
Так. прямая у=0 — горизонтальная асимптота графика функции /(х)=1/(х—1) (рис. 6.1), ибо lim 1/(х—1)=0, а прямая у = 1 — горизонтальная асимптота графика функции Дх)= * (рис 5.3), ибо lim *	= 1.
х +3	*-±“х2+3
График функции fix) может иметь различные горизонтальные и наклонные асимптоты при х-»+<»и х->—со. Например, прямая L: у = 2 — горизонтальная асимптота графика функции /(х) = (2—х)е* +2 при х-»—сс (lim /(х)=2)), однако она не
является асимптотой этого графика при х-»+<»(рис. 5.6).
338
Глава 3. Исследование функции и построение графиков
Пример 6.2. Используя определение 6.2, найти наклонные асимптоты графика функции /(x)=x+arctgx.
► lim arctgx = я /2, поэтому arctgx= я/2 +а(х), а(х)-*0 при х -* +’те+к(теорема 4.3 гл. 3 разд. 4). Отсюда имеем: /(х) = = х+я/2+а(х). В силу определения 6.2 заключаем, что прямая Lt у = х+п/2 — наклонная асимптота графика f(x) при х-»+оо. Аналогично можно показать, что прямая Lt у = х+п/2 — наклонная асимптота графика Дх) при х
Теорема 6.1. Для того чтобы прямая Lt у= кх + b была асимптотой графика функции Дх) при х-> + оо, необходимо, чтобы существовали два предела:
lim Л"*} = к, lim(/(x)—kx)=b	(6.2)
и достаточно, чтобы существовал второй из них.
► Пусть прямая £: у= кх + b — асимптота графика функции Дх) при х-»+оо. Тогда в силу определения 6.2 функция Дх) представима в виде (6.1). Поделим обе части этого равенства Д(х)
на х:----=к +А/х+а(х)/х и в полученном равенстве перей-
дем к пределу при х-*+оо. Имеем lim(£+£>/х+а(х)/х) = так как lim(Z>/x+a(x)/x)~ 0. Но тскйа” существует и предел f(x} х"+"
lim —к. Перепишем равенство (6.1) в виде: Дх) — к х =
= b + а(х) и перейдем в полученном равенстве к пределу при х-»+со. Имеем lim(Z>+ct(x)) = 6, так как и(х)-»0 при х-»+<». Но тогда существует и предел lim(/(x)—кх) = Ь.
Обратно, предположим, что В lim(/(x)—kx) = b. Имеем
/(х)—кх=Ь+о.(х) или Дх) = х + b + где а(х)-»0 при х-»+со (теорема 4.3 гл. 3 разд. 4). Таким образом, показано, что функция Дх) представима в виде (6.1), а это и означает, в соответствии с определением 6.2, что прямая Lt у=кх + b — асимптота графика функции f (х) при х
Замечание 6.4. Теорема 6.1 остается справедливой и для случая х->—со. Пределы из равенств (6.2) рассматриваются отдельно для х — со и х -» + со, поскольку, как упомянуто выше, график функции может иметь различные асимптоты в каждом из этих случаев.
Пример 6.3. Найти асимптоты графика функции /(х)=71+х2.
§ 6. Асимптоты графика функции
339
► График Дх) не имеет верти-	у
кальных асимптот, ибо функция х	х
не имеет точек разрыва 2-го рода
Вычислим для Дх) пределы из ра- \\	у/Ц. У=х
венства (6.2) Имеем:	XX. \У/
Vhx'	+1	\ /
hm-------= lim —---------=	____________\ Z_______*
J-1.X -О». Х	/V/-X
| + 1,х-> +00.
__	,	, Рис. Ь.З. График функции
Получили два значения к: kt — — 1	f(x)-Vl+x*
(при х-»—<») и Л2 = +1 (при х->+<»). С каждым из них вычислим второй из пределов (6.2):
a)	kt —— 1, b, = lim(Vl + x2 +х) = [оо— оо]—hm * + Х	А— = 0;
>•—	**—Vl+x2-x
,---	1+X2-X2
б)	кг = + 1, b, = lim(vl + x2 — х)=[оо—со]=Um --=0.
х-+“	Vl+x2+x
Заключаем, что график данной функции имеет две наклонных асимптоты Ll:y = —х при х-> — оо и £,:у = х при х-»+« (рис. 6.3).^
Геометрическая интерпретация понятия асимптоты
Каждое из определений 6.1 и 6.2 допускает одну и ту же геометрическую трактовку расстояние d точки М(х, Дх)) графика Г функции Дх) до прямой L, являющейся асимптотой графика Г, стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат.
В самом деле, пусть прямая £: х = хи — вертикальная асимптота графика функции Дх), тогда Дх) -*<» при х-»х0—О или при х-»хе+0. поэтому точка Л/(х, Дх)) неограниченно удаляется от начала координат, и в то же время d=|x—хо|-*0 (рис. 6.4). Пусть прямая £: у=кх+Ь— наклонная асимптота графика данной функции Г при х->+<». Опустим из точки М (х, Дх)) Е Г перпендикуляр на ось Ох и через Р обозначим точку его пересечения с асимптотой L (рис. 6.5), 7’(х,у/>), при этом у? =кх+Ь. При х-»+со точка М (х, Дх)) неограниченно удаляется от начала координат, а в силу определения 6.2 имеем:

340 Глава 3. Исследование функций и построение графиков
О	Л,|	о
Рис. 6.4. К геометрической интер- Рис. 6.5. К геометрической интерпретации понятия вертикальной	претации понятия наклонной
асимптоты	асимптоты
Так как §<d<MP (рис. 6.5), то заключаем, что d-*0 при х -» +со.
Замечание 6.5. Геометрическая интерпретация понятия асимптоты используется при построении математических эскизов графиков функций.
Замечание 6.6. Формула (6.1) является асимптотическим разложением функции Дх) при х->+«(x->—со) (§9 гл. 3 разд. 4). Линейная функция g(x)=kx+b из этой формулы может служить аппроксимацией f (х) при достаточно больших по модулю значениях аргумента х.
§ 7.	ОБЩИЙ ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА
Нижеследующий план-схема исследования функции обобщает результаты, изложенные в предыдущих параграфах. Исследование функции по этому плану позволит построить обоснованный математический эскиз графика функции.
План исследования функции
1.	Отыскание области определения данной функции у = Дх), установление свойств четности (нечетности) и периодичности.
2.	Отыскание точек пересечения графика функции с осями координат и промежутков знакопостоянсгва.
3.	Исследование функции на непрерывность и существование асимптот.
4.	Отыскание промежутков монотонности и точек экстремуму
§ 7. Общий план исслвдовашя функции и построение ее графика 341
5.	Отыскание промежутков одинаковой направленности выпуклости графика функции и точек перегиба.
6.	Построение математического эскиза графика функции и отыскание множества ее значений.
(*~2)3 2(х-1)2
Пример 7.1. Построить график функции /(х) =
► 1. D(/) = (-oo,l)U(l,+oo).
2.	График пересекает оси координат в точках (2, 0) и (0, —4), /(х)<0 при х<2, /(х)>0 при х>2.
3.	На D(f) данная функция непрерывна как элементарная, (х—2)3
х = I — точка разрыва 2-го рода (lim--------— = — оо), прямая
л-1±о2(х—1)
х = 1 — вертикальная асимптота графика функции (замечание 6.1). Вычисляя пределы (6.2), имеем: lim ——^-z-= —=><: = —, х-±~2х(х— 1)	2	2
/(х—2)’	1 \ , —4х2 4-11х—8 „ ,
lim -------——х I = lim--------—= — 2 => b =—2.	Прямая
х-±^2(х-1)2 2 /	2(х—I)2
L. у = х!1—'1— наклонная асимптота графика (теорема 6.1).
4.	/'(х)=((*~2И =<*-2)?(a+') на D{/) только две
J ' 9 \2(х-1)2/	2(х—1)'	v/
критические точки: х=—1, х=2, /'(-1)= /'(2)=0. Вместе с точкой х=1 они делят ось Ох на 4 промежутка: (—со, —1), (—1, 1), (1,2), (2,4-со). Знак /'(х) в каждом из них приведен в табл. 7.1. Характер изменения функции указан стрелками, 3 — символ несуществования, х= — 1 — точка гладкого максимума, в точке х = 2 нет экстремума, ибо /'(х) не меняет знака при переходе аргумента х через эту точку.
Таблица 71

_	, {(X-2)2(х+1)1	3(х-2)
5.	f (х)=  -------—-I =-----х = 2 — единственная
2(х—1)’ ) (х-1)
точка, подозрительная на перегиб, /"(2)=0. Вместе с точкой х=1 она делит ось Ох на три промежутка: (— оо, 1), (1, 2),
342 Глава 3. Исследование функций и построение графиков
(2,+оо) Знак /"(л) в каждом из них приведен в табл. 7.2. В ней дугами указано направление выпуклости графика функции. (2. 0) — точка перегиба графика.
Таблица 7 2
6.	Результаты проведенных исследований используем для построения графика данной функции Сначала строим асимптоты, точку максимума и точку перегиба, затем строим график функции с учетом характера поведения функции на D(f) (табл. 7.1) и направления выпуклости графика (табл. 7.2). График данной функции приведен на рис. 7.1, E(y)=R.-4
Пример 7.2. Построить график функции /(*) =——.
|п|л]
► 1. /)(/)=(—оо,—1)U (—1, 0) U(0, l)U(l,+oo), fix) — нечетная функция, так как fi—x) = —fix), ее график симметричен относительно начала координат. Далее исследование функции и построение графика проведем на промежутке (0,4-оо), потом, используя симметрию графика, построим его и на промежутке (-00,0).
2.	(рафик не имеет точек пересечения с осями координат, f(x) < 0 при 0 < х < 1, f(x) > 0 при х > I.
§ 7. Общий план исслЕдовамя функции и построение ее графика
343
3.	Данная функция непрерывна как элементарная при Vx>0, кроме точки х = 1, где она имеет разрыв. Прямая х=1 — вертикальная асимптота графика функции, поскольку lim * ——со. Нт * =+<ю. В точке х=0 функция имеет ^-«1п|х|	1п]х]
правосторонний устранимый разрыв, ибо lim-----=0, поэтому
л-+о 1пх
через эту точку не проходит вертикальная асимптота. Вычис-
X	1	X 00
лим пределы (6.2): lim-----=lim-----= 0=>А = 0, lim--= [—]
^-+" х in х	In х	*-+~ In х оо
= lim-----=lim-----=limx = +«>. Заключаем, что график
л-+»(1ПХ)' '-+“1/х *-+“
функции при х-»+со не имеет асимптот (теорема 6.1).
4.	/'(х)=(х/1пх)'=—-—, на промежутке (0, +<») есть In X
только одна критическая точка: х=е, /'(е)=0. Вместе с точкой х=1 она разбивает его на три промежутка: (О, I), (1,е), (е, +оо). Определив в каждом из них знак /’(х), результаты сведем в табл. 7.3. В ней стрелками указан характер изменения функции на данном промежутке, 3 — символ несуществования. В точке х=е функция имеет гладкий минимум.
Таблица 7 3
X	0			0	е	
Г(х)	2		3	—	«	+
/м	а		3			
5.	/"(х)=|^^—- =—ПрИ х = е2. в этой V In х / In х
точке график функции может иметь перегиб. Вместе с точкой х = 1 она разбивает промежуток (0, +<») на три промежутка: (О, 1), (1, е2), (ё2, +<»). Знак f\x) в каждом из них приведен в табл. 7.4, в ней дугами указан характер направления выпуклости графика функции, (е2. е~ /2) — точка перегиба графика.
Таблица 7.4
344
Глава 3. Исследование функции и построение графиков
6.	Используя результаты выполненных исследований, построим график функции на промежутке (0, + оо). Сначала строим асимптоты, точку минимума и точку перегиба, затем график функции с учетом характера поведения функции (табл. 7.3) и направления выпуклости графика (табл. 7.4). Часть графика данной функции, отвечающую отрицательным значениям х, получим, используя центральную симметрию. График функции приведен на рис. 7.2, E(y)=R.4
Пример 7.3. Построить график функции /(х) = (х—2)е',/<х_2’.
► 1.	оо,2)U(2, +оо), на D(f) данная функция непре-
рывна как элементарная, х=2 — точка разрыва. В примере 6.1 показано, что прямая L: х = 2 является вертикальной асимптотой графика данной функции при х-»2—О, при этом /(х)->—оо. Но L не является асимптотой при х^»2+0. так как /(2+0) = 0 (пример 6.1).
С помощью формулы (9.7) гл. 3 разд. 4 получим разложение:
= 1—1/(х—2)+о(1/(х—2)),
отсюда /(х)= (х—2)(1—1/(х—2)+о(1/(х—2))) или /(х) = х-3-
— (х—2)-о(1/(х—2)).	Поскольку (х—2)-о(1/(х—2))-»0 при
§ 7, Общий план исслЕдовамя функции и построение ее графика
345
х->±со, то в соответствии с определением 6.2 приходим к выводу, что прямая £: у = х—3 — наклонная асимптота графика функции при х * ± оо.
2.	на О(/>
есть одна критическая точка: х=1, в которой /'(х)=0. Вместе с точкой х = 2 она делит вещественную ось на три интервала: (—°°,1), (1,2), (2,+«). Знак f'(x) в каждом из них приведен в табл. 7.5. В ней стрелками указан
Рис. 7.3. График функции /(х)=(х-2)е ,/<J 21
характер изменения функции на данном промежутке В точке
х=1 функция имеет гладкий максимум
Таблица 7 5
X		|			
/'(*)	+	0		3	+
/(х)		max		3	/
на Di/} нет точек перегиба.
3. /	=----г-ге
(х-2)’
f"(x)<0 при х<2 и f{x)>0 при х>2, следовательно, график функции направлен выпуклостью вверх на промежутке (—со,2) и выпуклостью вниз — на промежутке (2,+°о).
4. (рафик функции, построенный с использованием результатов проведенных исследований, приведен на рис. 7.3, Ду) = (“°0, 4] (/ (0, + <»).◄
Пример 7.4. Построить график функции
/(х)=^(х-1)2 -tfx\
► 1. D(f)=R. Для координат точек пересечения графика
с осями координат имеем соотношения: х=0=>у = 1;
у = 0 => yj{x—l)2 — 1/х^= 0 => $(х—1)2 = Vx2”, отсюда получаем: (х—I)2 = х2 => —2х +1 = 0 =* х = 1 / 2. Итак, график пересекает оси координат в точках: (0, 1) и (1/2, 0). Поскольку
Дх)>0 =>	I)2 >	<Цх-I)2 >х2 «•-2х+1>0=»х<1/2.
то приходим к выводу, что f(x)>0 при х<1/2, /(х)<0 при х>1/2.
2.	График функции не имеет вертикальных асимптот, так как функция непрерывна на /? как элементарная. Прямая
346
Глава 3. Исследование функции и построение графиков
Рис. 7.4. График функ-
£: у=О — горизонтальная асимптота при х-»±оо, ибо lim (|/(х— I)2 — у[х^) = О
(замечание (6-3)) В самом деле, lim Ц/(х-1)2 - Vx1)=[co-co] =
±ахш (V(l-l/x)4+V<l-l/x)2+1)
3-	/'(x) = ((x-l)2 ,-x2'’)'=7((x-l)-,/1-x I/3)=|^^O^, 3	3 i]x(x-n
Vx-Vx-1 >0 при УхеЛ, /'(x) = co при x = 0, x=l. Итак, функция имеет две критические точки: х=0, х = 1, они делят ось Ох на 3 интервала: (— <»,0). (0.1). (!.+«>). Определив в каждом из них знак f'(x), полученные результаты сведем в табл. 7.6. В ней стрелками указан характер изменения функции на данном промежутке. В точке х — 0 функция имеет острый максимум, а в точке х=1 — острый минимум.
Таблица 7 6
X		0		1	
гм	+	а.	-	х	+
/(X)		1 max		1 max	/
_ 2 I) Д', /'(х) = 0 пр11	- Д1 =0, отсюда:
9 Vx'U-D*
V(x—I)4 = Vx^^x—I)4 = x4 => (x—I)4— x4 =0. Разложив левую
часть последнего соотношения на множители, получим: ((х-1)2 -х2)((х-1)2 +х2)=0=>(-2х+1)((х-1)2 +х2)=0. Итак, /"(х)=0 при —2х+1=0=>х=1/2. В точках х=0.х = 1 3/"(х), так как в них первая производная бесконечна. Точки х=0.
§ 7, Общий план исслЕдовамя функции и построение ее графика
347
х=1/2, х = 1 — точки, подозрительные на перегиб. Они разбивают ось Ох на 4 интервала: (—«>,0), (0,1/2), (1/2,1), (1,+«). Определив в каждом из них знак /*'(х), результаты сведем в табл. 7.7. В ней дугами указан характер направления выпуклости графика функции на данном промежутке, (1/2,0) — точка перегиба графика.
Таблица 7 7
X	0		1/2		2	
Г(Х)	+ 1 «	+	0	-	э	—
/(>)	и	1	!		и	0	п	-1	п
5. Используя результаты проведенных исследований, строим график функции (рис. 7.4), Е(у) = [—1 !].◄
1-х3
Пример 7.5. Построить график функции /(х)=arcsin------
► 1. D(f) = R. Данная функция четная (/(— х)=/(х)) — ее
график обладает осевой симметрией относительно оси Оу.
2.	х=0=> y = arcsinl = n/2. 1-х2	1—х?
у = 0 => arcsin---- — О =>---- = 0 => х = ± 1 — график пересекает
оси координат в точках (0, п/2) и (±1,0). Так как 1-х2	1-х2
f(х)>0 =s>arcsin--—>0«>0<-------у< 1 — 1<х<1, го приходим
к выводу, что /(х)>0 при — 1<х<1, /(х)<0 при х< —1, х>1.
3.	Функция непрерывна на R как элементарная — график функции не имеет вертикальных асимптот. Прямая L:y = —n/2 — горизонтальная асимптота графика при х->±<»,
ибо lim arcsin---=arcsin(—1)=—— (замечание 6.3).
j,-±"	1 + х	2
4.	Промежутки монотонности и экстремумы данной функции найдены в примере 4.2 (габл. 4.2). На интервале (— оо,0) функция /(х) возрастает, а на интервале (0,+«>) убывает. В точке х=0 функция имеет угловой максимум, /(0)=л/2, Л'(0)=1, д'(0)=-1.
(2/(l+xJ), х<0,
5.	/'(х)=1	2	х^0 (пример 4.2), отсюда
348
Глава 3. Исследование функции и построение графиков
[-4х/(1 + Х2)2,Х<0, |4х/(1+х2)г, х>0.
Рис. 7.4. График функции
1— х1
/(х) = arcsin
/"(*)=
Поскольку /"(х)>0 при любом Х5*О, то из теоремы 5.1 заключаем, что при любом х^О график /(х) направлен выпуклостью вниз.
6.	При построении графика сначала строим асимптот}' L-.y = — тг/2, затем точку углового максимума (0, тг/2), указав в нее направления односторонних касательных. График приведен на рис. 7.5. Е(у) = (— тг/2. п/2].-<1
§ 8.	ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ
Понятие наибольшего и наименьшего значения функции на некотором множестве X было введено в § 7 гл. 1 разд. 4.
Функция /(х), непрерывная на отрезке [о, Ь], в силу теоремы Вейерштрасса (теорема 4.2 гл. 4 разд. 4), принимает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения (М = = max fix) и т = min f(xft.
xejabl	xfc|o*|
Если функция /(х)непрерывна на отрезке [о, Л| и дифференцируема на интервале (а, Ь), за исключением, быть может, конечного числа точек, то отыскание Мит производится по следующему алгоритму.
1.	На интервале (а, Ь) находим критические точки (подозрительные на экстремум): х,, х,, ..., х„.
2.	Вычисляем значения функции /(х) в этих точках и на концах отрезка [с, Л|:
/(«), /(х,), /(х2)../(х„), f(b).	(8.1)
3.	Среди чисел (8.1) находим наименьшее и наибольшее. Наименьшее из лих чисел равно т, а наибольшее М.
Пример 8.1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции /(х)=—х4 ——х3 —2х2+4х+5 на отрезке [—3, 31.
4	3
► Критические точки данной функции найдены в примере 4.3: х = 1 и х=±2, там же приведены ее значения в этих точках: /(—2)= —13/3, /(2) = 19/3, /(1)=83/12. Вычислим значения /(х) на концах отрезка [3, 3]: /(—3)= 17/4,/(3)= 41/4. Те
§ 8. Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке
349
перь среди выделенных значений функции найдём наименьшее: /(—2)=—13/3 и наибольшее: /(3)=41/4. Итак, приходим к выводу, что max /(х) = 41/4. a min /(х)= —13/3. ◄
XEI-3 3I	>61-3 31
Замечание 8.1. Сушествование наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на интервале (а, Ь) не является обязательным. В прикладных задачах часто встречается случай, когда функция /(х) дифференцируема на интервале (я, Ь) и имеет на нем единственную стационарную точку х0:/'(хи) = 0. Если в этой точке /(х) имеет минимум, то число /(хц) является не только локальным минимумом данной функции, но и ее наименьшим значением на этом интервале, наибольшего значения на рассматриваемом промежутке функция может и не иметь. Аналогично рассматривается случай, когда в точке х0 функция имеет локальный максимум.
Пример 8.2. Из круглого бревна диаметра d надо вырезать балку прямоугольного сечения Каковы должны быть ширина х и высота h этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление:
а) на сжатие; б) на изгиб?
► Известно, что сопротивление балки на сжатие пропорционально площади ее поперечного сечения, а на изгиб — про-
изведению ширины этого сечения на квадрат его высоты. Рассмотрим функции f(x)=ktxh и g(x)=kixh2, где kt и к,— коэффициенты пропорциональности, /(х) — сопротивление балки на сжа
Рис. 8.1. К примеру 8.2 (в крут вписан прямоугольник)
тие, a g(x) — на h = -Jd2 —х2 (рис.
f(х)=kt x-Jd2 —х2	и
Для каждой из лих
изгиб. Так как
8.1), то g(x) = *2x(J2 -х2). функций найдем
значение х из интервала (0,J), при котором она принимает наибольшее значение на этом промежутке. Имеем f'(x)=k — 2Х и g'(x)=k2(d2 -Зх2), /'(х)=0 при x = d/^2, 4d2 -х2
g'(x)=0 при x = d/-jl. Так как f"(x) = —k.	+^Л ^<0 при
(Vj2-x2)3
x = —j= и g"(x) =—6k}x<0 при x = J/V3, то каждая из функций
350
Глава 3. Исследование функции и построение графиков
@/(х) и g(x) имеет в указанных точках локальный максимум. Он единственен на интервале (0,J), то он является одновременно и наибольшим значением этих функций на данном промежутке (замечание 8.1). Так как Л=х//->/2 при x = J/\/2 и h = dJ171	при х=<г/Д, то заключаем:
Рис. 8.2. К примеру	_
8 2	балка	с	квадратным	сечением
(х = Л = <//Д) оказывает наибольшее сопротивление	на	сжатие,	а с	прямоугольным	сечением
(х = <//Д, h = dJ173) — на изгиб. На рис. 8.2 показано, как построить этот прямоугольник (диаметр разделен на гри равные части, в точках деления восставлены перпендикуляры).-^
Контрольные вопросы и задачи к разделу 5
1.	Используя определение производной, найдите у'(4), если у = 4х
2.	Геометрический смысл производной. Напишите уравнение касательной к графику функции y=arctgx в точке х = 1
3.	Найдите углы, пол которыми пересекаются линии х2 +У1 =8, у2 = 2х.
4.	Приведите пример функции, график которой имеет в некоторой точке вертикальную касательную.
5.	Найдите /_'(1) и Д'(1), если /(х)=|х—1|е*. Существует ли /'(1)?
6.	Найдите у', если: а) у = ln(x + у!а2 +х2); б) у = arctg(thx).
7.	Что можно сказать о дифференцируемости суммы функций /(x)+g(x) в точке х=хи если, в этой точке: а) функция /(х) дифференцируема, а функция g(x) не дифференцируема? б) обе функции f(x) и g(x) не дифференцируемы?
8.	Используя определение, покажите, что функция у = х2 — 2х дифференцируема в точке х = 2 и найдите ее дифференциал в этой точке.
9.	Является ли непрерывность функции в данной точке достаточным условием дифференцируемости? Ответ обосновать с помощью примера.
10.	Для каких функций дифференциал равен приращению? Приведите пример.
§ 8. Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке 351
11.	Сформулируйте, в чем состоит геометрический и физический смысл дифференциала.
12.	Что понимается под инвариантностью формы первого дифференциала?
13.	Используя формулу для вычисления дифференциала, найдите dy, если у — xsinx+cosx.
14.	Пусть у = sinx, x=cosz. Какие из следующих равенств справедливы: а)</у| „ =0; 6)Jy| я = dx; в)гУ^ я = —df?
15.	Может ли существовать /'(х,,), если не существует
16.	Найдите /('*(x), если /(x) = xlnx.
17.	В каком случае d2y обладает свойством инвариантности формы9
18.	Найдите у*"1’, если y = x2eJx.
19.	Найдите у* и у", от функций, заданных неявно и параметрически:
а) У = %(х+у)', б) x = a(t— sin/), у = о(1—cos/).
20.	Справедлива ли формула Коши для функций f{x)=x1, g{x)=xy на отрезке |—1, 1J? Какое из условий теоремы Коши не выполняется в этом случае?
21.	Вычислите, используя правило Лопиталя: .. xcosx—sinx _ ..	т-4— , ,	/1	1 )
a) hm-------з-----; б) lim х4+|пл: в) lim I—— I.
22.	Напишите формулу Тейлора для функции /(х) с остаточным членом в форме: а) Пеано; б) Лагранжа.
23.	Разложите функцию /(х)= Ineos х по формуле Макло-рена до членов с х4.
24.	С помощью формулы Маклорена или канонических разложений получите приближенную формулу (ограничиваясь членами порядка х2) для функций:
a) y = Vl+x, х-»0, |х| <1; б) у=1п(1+3х), х-»0, |х] <1 3.
25.	Найдите числа а и b такие, что lim---।
x-U x-
26.	Исследуйте функции и построите их графики: (х—2)2(х+4) _	х ,	,1---г In х
а) у = -----б) У = ^г^ в) y = Vl-x2; г) У=^-
ЗБ2 Глава 3. Исследование функций и построение графиков
27.	Какой из конусов, описанных около данного шара радиуса /?, имеет наименьший объем?
Ответы на контрольные вопросы и задачи к разделу 5
1. 1/4. 2. 2х—4у + п—2 = 0. 3. a, =arctg3,a2 = л—arctg3.
5-	=—е, Л'(1)=г, 3/' (1).
7.	a) /(x)+g(x) не дифференцируема в точке х=х0. В самом деле, предположим противное: пусть функция А(х) = /(x)+g(x) дифференцируема в точке х = х0, тогда функция #(х)=й(х)— /(х) дифференцируема в точке х = х0 как разность дифференцируемых функций. Пришли к противоречию с условием.
б) f(x)+g(x) может быть как дифференцируема, так и не дифференцируема в точке х=х„. Так, функции /(х)=х2+]х|, g(x)=xi— |х| не дифференцируемы в точке х=0, но /(x)+g(x)=2x2 дифференцируема в этой точке. С другой стороны, функции /(x)=x2+jx|, й(х)= — х2 +|х] не дифференцируемы в точке х=0 и их сумма /(х)+й(х)=2|х| также не дифференцируема в этой точке.
8.	Данная функция дифференцируема в точке х = 2, так как ее приращение в этой точке представимо в виде: Ду = 2Дх+Дх2 =2Дх+о(Дх); dy = 2Ax.
9.	Нет, не является, функция у =|xj непрерывна в точке х = 0, но не дифференцируема в этой точке (Зу’(0)).
10.	Для линейных функций Пусть, например, у = 2х—3, тогда Ду = г/у = 2Дх.
13.	dy = xcosxdx.
14.	б), в).
15.	Нет, не может.
16.	/<"’(х)=(—1Г(л—2)х1_я для любого и >2.
18. у<,0,=31е5Ч9х2 +60х+90).
19	. ^ l+tg\x+y)_ 1+уг	2(1+у2)
tg2(x+y) у1 ' *' у5
б) у' ==ctg-, у" =-(l+Clg2r).
20. Нет, нарушено условие g’(x)*0 на интервале (—1,1).
§ 8. Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке
353
21. а) — 1, 3; б) е2; в) 1 3. 23. Ineos —^-+о(х4).
24.	а) 71 + х=1+^-х-|х2; б) 1п(1+3х)«3х-^-.
25.	с, =1, й, =2: а2 =-1. й2 =-2.
26.	а) Максимум при х= — 2, минимум при л=2; х = 0 — точка перегиба; б) экстремумов нет, функция убывает на области определения; х—О — точка перегиба; прямые х=±2 — вертикальные асимптоты, прямая у=0 — горизонтальная асимптота; в) максимум при х=0, х = ±1 — точки перегиба; в точках х=±1 график имеет вертикальные касательные; г) максимум при х=ег, перегиб при	прямая х=0 — вер-
тикальная асимптота, прямая у = 0 — горизонтальная асимптота. 27. Радиус основания конуса равен Ry/2, высота конуса равна 4R.
Раздел 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
И РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
На множестве вещественных чисел можно решать линейные уравнения, квадратные уравнения с неотрицательным дискриминантом, уравнения вида х" =а при «>0 и другие. Существуют, однако, такие алгебраические уравнения, которые не имеют вещественных корней. Таковы, например, квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом. Простейшее из них — уравнение х2 4-1=0. В связи с этим обстоятельством перед математиками прошлых столетий стояла задача дополнить множество R вещественных чисел числами иного вида, чтобы в этом расширенном множестве имели корни любые алгебраические уравнения, в частности уравнение х2 4-1=0. Таким множеством является описанное ниже множество комплексных чисел. Первые попытки введения в математику комплексных чисел были сделаны еще в XVI веке итальянскими математиками Кардано и Бомбелли в связи с решением уравнений 3-й и 4-й степеней. Однако широкое признание эти числа получили лишь в XIX веке благодаря работам Гаусса. Построенная в XIX веке на основе понятия комплексных чисел теория функций комплексной переменной оказалась могущественным средством исследования в важнейших разделах механики, физики и математики.
В этом разделе изложено решение указанной задачи — построена система С комплексных чисел, по отношению к которой R есть ее подмножество: RC.C.
Вторая глава раздела посвящена рациональным функциям — алгебраическим многочленам и рациональным алгебраическим дробям. Этот класс функций наиболее употребителен в математике и ее приложениях.
§ 1. Понятие ксмтлектого числа. Действия с комплексными числами, представленными
355
Глава 1
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Определение 1.1. Комплексным числом z называется упорядоченная пара (х, у) вещественных чисел. Первое число этой пары х называют вещественной частью комплексного числа z = (x,y) и обозначают через Rez: x=Rez- Второе число у называют мнимой частью числа z и обозначают через Imz: y=lmz- Множество всевозможных упорядоченных пар z = (x,y) вещественных чисел называют множеством комплексных чисег и обозначают буквой С.
Определение 1.2. Два комплексных числа z, = (х|,у]) и z2 = (х,,у,) называются равными в том и только том случае, если х, =х2 и у, =у2.
Комплексное число, мнимая часть которого равна нулю, т. е. комплексное число вида z = (х, 0), отождествляют с вещественным числом х, при этом записывают: (х, 0)=х. В частности. пару (0,0) отождествляют с числом 0: 0= (0, 0). Комплексное число, вещественная часть которого равна нулю, т. е. комплексное число вида z = (0,y), называют чисто мнимым числом.
На множестве комплексных чисел С вводят операции сложения и умножения в соответствии со следующим определением.
Определение 1.3. Суммой двух комплексных чисел z, = (х,, у,) и z2 = (х2, у,) называется комплексное число, обозначаемое z, +z2 и определяемое равенством:
z, +z2 =(xt +х2,у, + у2),	(1.1)
а произведением этих чисел комплексное число, обозначаемое z,  z2 и определяемое равенством:
г.-г-1 = (*А -У,У1, Х,У1 +Х1У,)-	0-2)
Для произведения комплексных чисел принято также обозначение: Z.Z.-
356
Глава 1. Комплексные числа
Среди комплексных чисел особую роль играет число (0,1). Его называют мнимой единицей и обозначают i: i = (0,1). Своим названием число i обязано равенству /2= —1 Действительно, из (1.2) при X] =х2 =0, у, =у2 =1 получим:
j1 =(/ = (0-0-1-1, 0-1 +0-1)=(-1, 0) = -1.
Пусть z = (x.y) — некоторое комплексное число Опираясь на (1.1) и (1.2), нетрудно убедиться в справедливости равенства
(х,у)=(х,0)+(0,1)-(у,0).
Так как (х,0) = х, (у,0)=у, а (0.1)=i, то отсюда вытекает следующее представление числа z:
Z=x+iy.
Его называют алгебраической формой комплексного числа z = (x, у).
Пусть z, =х1 +гу, и z2 = х2 +zy2 — два комплексных числа, записанные в алгебраической форме. Из равенств (1.1) и (1.2) следует:
z, +z2 =(х, +x2)+i(y, +у2),	(1.3)
z, -Zj = (х,х1-y,y2}+i(x,y2 +х2у,).	(1.4)
Свойства действий сложения и умножения
1.	z, +z2 =z2 +z,; zl-z2 = zi-z, (коммутативность).
2.	(z, +z2)+z3 = z, +(z2 +z3); (z,z2)z3 = z,(z2z3) (ассоциативность).
3.	(z, + z2 ) z3 = z, - z3 + z2 • z3 (дистрибутивность).
4.	Для всякого zGC справедливы равенства: z+0 = z, 0-z=0, l-z = z.
Свойства 1—4 следуют из равенств (1.1) — (1-4). Очевидно, что они аналогичны свойствам действий сложения и умножения вещественных чисел, знакомых читателю по школьным учебникам.
Пусть z — некоторое комплексное число. Число (—l) z обозначают через —z и называют противоположным по отношению к z- Заметим, что z+(—z) = z+(—!) z=(!—!) z=0-z=0. Если z = x+iy, то
-z = (-!)• (x+ly) = —x—iy
Разностью комплексных чисел z, и z2 называют число z,+(—z2); его обозначают через z, — z2- Если z, =-Xj 4-гу,, Zj =x2 +iy2, TO
§ 1- Понятие ксыплектого числа Действия с комплексными числами, представленными 357
Zi ~г2 =(*, +ij'l)+((-x,)+i(-j'2))=xl -х2 +/(у, -у2). (1.5)
Пусть zL и z2 — комплексные числа, причем z2 #0. Частным чисел z, и ?2 называют комплексное число z такое, что ЕС	^1 Г
z. = zz2- Его обозначают через z.'-z2 или через —. Если z2
z, =xt +iyt, z2=x2 +iy2, a z = x+iy, го из равенства z, = zz2 xx2 +y2y,
следует: x2x—y2y=xt, y2x+x2y=yt. Отсюда x= —-----------------—,
*2 +>’2
ИтаК1
z, _x,x, 4 3 ,
Zi +3=
(1.6)
Замечание 1.1. Из (1.3), (1.4) и (1.5) вытекает, что арифметические выкладки с комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно производить, руководствуясь правилами из элементарной алгебры и учитывая значения степеней числа i:
i° = 1, i'= i, i2 = -1, /3 = i4 = 1,
Частное двух комплексных чисел zt =х, +(у, и z, =х2 +iy2 можно найти, умножив числитель и знаменатель дроби z, / z2 на число х2— iy2, называемое сопряженным знаменателю:
Z, _ х, +iyt _ (л, +гу,)(х2-гу2) _ xtx2 ~yty2i2 +x,yli-xiy2i _
z2 >2 j <х2 +iy2 )(х2 —iy2)	(х2 )2 -(ту, )2
_XtX2 +У.У2	.Х2У\~Х,У2
xi+y* ' х'+у?
Пример 1.1. Найти произведение чисел z, =2+i и z, =3—i.
► Имеем z, z2 = (2 +i)(3—i)=2  3 +3/—2i— i2 = 7 +<.◄
Пример 1.2. Вычислить z=(l—2f)3.
► Надо получить алгебраическую форму числа z. Воспользуемся формулой сокращенного умножения
(а—Л)1 =а3 —3a2b +ЗаЬ2 —Ь2,
положив в ней я=1, Ь=2г.
z = 1-3-(20 +3-(202 -(203 = 1-6/-12 —8(—0 = -11+2Л ◄
358
Глава 1. Комплексные числа
л	, г,	5(2+3/)
Пример 1.3. Вычислить ---------— и записать в алгебраиче-
1—2/
ской форме.
►Умножим оба члена дроби на число 1+2/. сопряженное знаменателю:
5(2+3/) _ 5(2+3/)(1 +2/) _ 5(2 + 7/ +6/2) _ 5(—4 + 7/) _ 4+ 7/
1—2/	(1—2i)(l+2/)	I2 -Qi)'	5
Замечание 1.2 Неравенства z, >z3 или z, <z2 можно записывать только в том случае, когда оба эти числа вещественны; в противном случае эти записи лишены смысла. Например, если Z] =1, a z2=2—3/, то справедливы неравенства Re z, < Re z, (1 < 2) и Rez, > Im z2 (1 > —3). но неравенства 1>2—3/ или 1<2—3/ смысла не имеют.
Геометрической интерпретацией множества С является комплексная плоскость. Так называют плоскость, на которой введена декартова прямоугольная система координат Точку z этой плоскости с абсциссой х и ординатой у считают изображением комплексного числа z = (x,y) (рис. 1.1). Таким образом, каждая точка этой плоскости изображает одно из комплексных чисел, и обратно: каждое комплексное число можно представить точкой, лежащей на такой плоскости, причем два различных между собой комплексных числа изображаются двумя несовпадающими точками.
Вещественные числа z = (x, 0) представлены точками оси абсцисс (в частности, числу 0 = (0, 0) соответствует начало ко-
О
Рис. 1.2. Геометрическая интерпретация суммы и разности комплексных чисел
Рис. 1.1. К изображению комплексного числа на комплексной плоскости
§ 2. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма юмглексного числа 359 ординат), поэтому ось абсцисс называют вещественной осью комплексной плоскости. Ось ординат называют мнимой осью; точки этой оси изображают чисто мнимые числа z = (0,y), j *0.
Другая возможная интерпретация комплексного числа z = (x,y) состоит в том, что ему сопоставляют радиус-вектор точки, изображающей число z (рис. 1.1). Этот взгляд на комплексное число удобен в ряде случаев, например при геометрической интерпретации действий сложения и вычитания комплексных чисел. В приложениях комплексное число Z = (х,у) изображают также свободным вектором с координатами X, у.
Пусть числа z, =xt -Ну, и z2 = х, + iy2 представлены радиусами-векторами точек z, и z2 на комплексной плоскости (рис. 1.2). Тогда число z, + z, будет представлено вектором, совпадающим с диагональю параллелограмма, построенного на векторах z, и z2 (рис. 1.2). Другая диагональ этого параллелограмма совпадает с вектором, являющемся разностью радиусов-векторов точек z, иг,- Равный ему вектор, построенный в начале координат, является радиусом-вектором точки, соответствующей числу z, — z2 (рис. 1.2).
§2. МОДУЛЬ И АРГУМЕНТ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
На комплексной плоскости наряду с прямоугольной декартовой системой координат введем также полярную систему координат, поместив полюс в начало декартовой системы и направив полярную ось по оси Ох. Пусть точка г—(х,у) имеет полярные координаты (г,ф). Число г. равное длине век-
d	Г
Рис. 2.1. К понятию модуля и аргумента комплексного числа
тора Oz, называется модулем числа z и обозначается символом | z |- Число ф, т. е. полярный угол точки, изображающей число Z, называегся аргументом числа z и обозначается argz (рис. 2.1).
Модуль комплексного числа всегда неотрицателен и определяется однозначно, аргумент определен с точностью до слагаемого Ink, kEZ, кроме числа z=0, за аргумент которого можно взять любое вешест-
36D
Глава 1. Комплексные числа
венное число. Для модуля и аргумента числа z = (x,y) справедливы следующие равенства:
r=kl=V*' +А	<2|>
cos <р = х/г. sirup = >//•_	(2.2)
Значение аргумента <p:0<<p<2n (или <р:—л<<р<л) называют главным значением аргумента.
Пример 2.1. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = -З+м/З.
► Имеем r]z| = J(~ З)2 +(-7з) = 2->/3. Для cos ср и ып<р в си-
-3	Д	. Д	1
лу (2.2) имеем cos<p = —, = ——. sm<p=—= = —, отсюда 2Д	2 ?Д 2
<p = argz = — ТГ+2А.П, kfEZ.-1*
6
Замечание 2.1. Расстояние между точками комплексной плоскости z, и z2 равно |z,~ z3| — модулю разности чисел z, и z3 (рис. 1.2).
Замечание 2.2. Для любых комплексных z, и z3 справедливо неравенство
1ч +z,l s|г,HI Д
Оно называется неравенством треугольника, ибо на него можно смотреть как на неравенство, связывающее длины сторон треугольника, лежащего на комплексной плоскости, вершины которого есть точки О, г, и z, +z, (рис. 1.2).
Пример 2.2. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим условиям:
—л/3<<р<л/3 (<p = argz);
|z-l!<3;
Rez>l-
► Множество, описываемое первым неравенством, есть часть комплексной плоскости, покрываемая лучами, исходящими из точки О и имеющими всевозможные углы наклона к оси Ох из промежутка (—я/3; п/3) (рис. 2.2 а).
Левая часть второго неравенства есть расстояние между точками комплексной плоскости, изображающими числа z = =х + iy и 1. Это расстояние не должно быть больше 3, поэтому описываемое множество есть часть комплексной плос-
§ 2. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма го>.-глыоюгь числа 361
кости, находящаяся внутри круга радиуса 3 и центром в точке Л(1, 0) (рис. 2.26). Множество, описываемое третьим неравенством, состоит из тех точек комплексной плоскости, абсциссы которых больше 1 (рис. 2.2в). Итак, искомое множество состоит из тех и только тех точек плоскости, которые принадлежат одновременно тр<м построенным областям (рис. 2.2г).Ч
Пусть z = (x,v)=x+iy — отличное от нуля комплексное число, <p=argz, r=|z|- Учитывая равенство (2.2), можем записать:
z = х + iy = г (х/r +/(у /О) = г (costp + i sin ср).
Выражение /-(coscp+isincp) называют тригонометрической формой числа z, здесь r=|z|, <p=argz (одно из значений аргумента z, любое), при этом имеется в виду, что задано именно <р, а не cos<p и sin ср.
Пример 2.3. Число z = —З+Д/З представить в тригонометрической форме
► В примере 2.1 были найдены модуль и аргумент данного числа: г=-фЗ, (р = 5л/6+2&тг, &EZ. Взяв argz = 5n/6, получим
362 Глава 1. Комплексные числа
представление числа z в тригонометрической форме: z = 2V3(cos5n/6+isin5n/6). ◄
§3. ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫМИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
1.	Умножение комплексных чисел. Пусть отличные от нуля комплексные числа z, и z2 записаны в тригонометрической форме:
z, = r1(cos<p[ +isin<p(), z2 = r2(cos<p2 +/sin<p2)	(3.1)
Найдем тригонометрическую форму произведения z,z->- Имеем
z(z2 = rtr2 (cos<pl +isin<pl)(cos<p2 +i'sin<p2) =
= rlr2[(cos<pl cos<p2 — sintp, sin<p2)-H*(cos<p, sin<p2 +sin<p, cos<p2)] = = r|r2[cos(<p| +<p2)+/sin(<p| +<p2)].
Отсюда.
z,z2 =r,r2 (cos(<p, +<p2) +isin(<p1 +<p2)).	(3.2)
Правая часть равенства (3.2) является тригонометрической формой числа z,z2- Из (3.2) следует:
|z,z2| =|z,|-|z2|=rlr2; arg(z,z2)=<p, +<р2 =argz, +argz2-
При умножении комплексных чисел z,, z2 их модули перемножаются, а ар|ументы складываются (точнее сложив аргументы сомножителей, получаем одно из значений arg(z,z,))-Геометрически умножение z, на z2 сводится к повороту вектора zt на угол argz, и к изменению длины вектора z, в lz2| раз.
2.	Деление комплексных чисел. Найдем частное z, / z2, где z, и z2 заданы равенствами (3.1). Имеем:
z,	rl(cos<pl -Н'втфД Г( (cos ср, -H'sin<p,)(cos<p2 — isin<p2)
z2 r2(cos<p2 4-i sin<p2) r2 (cos<p2 4-i sin<p, )(cos<p2 — isin<p2) r, (cos<p, cos<p2 4-sin<p( sin<p2)4-/(sin<pl cos<p2 —cos<p( sin<p2) r2	cos2 <p2+sin2 <p2
= — -(cos(<p —<p2)+/sin(<pl — <p2)). Значит,
—=—(cos(<p, —<p2)+isin(<pl -«Pj))'	(3-3)
z2 ri
§ 3. Действия с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме 363 причем правая часть этого равенства является тригонометрической формой числа z, /z,- Таким образом, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются (точнее при вычитании из аргумента числителя аргумента знаменателя получается одно из значений аргумента частного).
Пример 3.1. Пусть г, =1-д	Zi=^+‘~Y'
и ••	г,
Наити z.z, и —.
z3
► Запишем заданные числа в триюнометрической форме:
Z, = -72 • (cos(—л / 4)+i sin(—л / 4); z2 = со$(л / 4)+i sin(n / 4);
z3 = cos(n / 3)+i sin(n / 3).
Таким образом, |zJ = -^2; argz, =—n/4; |z,| = |z3|=l; argz, =л/4; argz, =Jt/3, z,z2 = а/2-1-(со8(-л14+л14)+<sin(-n/4+л/4)) = =Л; |=тН-н)+^-н)НН4я)+
3.	Формула Муавра. Пусть z^O, z=r(cos<p+isin<p), где r=|z), »p=argz, л — натуральное число. Степень z" представляет собой произведение л одинаковых множителей, поэтому z” можно вычислить по формуле (3.2):
z” = гл (cos лф + i sin л<р).	(3.4)
Определим целые неположительные степени комплексного числа z, z^O. По определению положим z° =1 и z~" = — для z" всякого л, Заметим: если r=|z|, <p = argz, a «6N, то, воспользовавшись формулой (1.6), получим:
z' =------------------= — (cos «ф - i sin «ф) =
r"(cos лф+i sin «ф) г"
= r~" (cos (—п )ф+i sin (—л >р)
Итак, равенство (3.4) справедливо при любых целых и. Это равенство называют формулой Муавра', его правая часть представляет собой тригонометрическую форму числа z”, aGZ.
364 Глава 1. Комплексные числа
Заметим, что |г',| равен |z|'’. Если <p=argz, то ntp есть одно из значений arg(z"). В частности, при г=1 из (3.4) имеем:
(cos<p+isin<p)” = cos лф+i’sin л<р.	(3.5)
4.	Извлечение корня из комплексного числа.
Определение 3.1. Пусть n£N, и>2. Корнем п-й степени из комплексного числа z называется комплексное число w, удовлетворяющее равенству
w"=z.	(3.6)
Обозначение: w=tfz.
Покажем, что корень л-й степени из любого комплексного числа существует и имеет ровно и различных значений, за исключением случая z=0. Положим w = p(cosv+isin у), z=r(cos<p+i'sin<p). Равенство (3.6) в силу формулы Муавра эквивалентно следующему:
р"(со8Иф+<л sin <|/)=r(cos<p+<sin<p).	(3.7)
Два комплексных числа равны только в том случае, когда равны их модули, а аргументы отличаются на слагаемое, кратное 2л, поэтому из (3.7) имеем
р" = г, лу = (р + 2тгА, к (Е Z.
Отсюда получаем:
г	.	<р+2пк ,	_
p=yjr (корень арифметический), у=------------,kGZ.
л
Таким образом, корень я-и степени из числа z существует и имеет значения:
,,=^=V^I?	+; sin41+2п<: j, * е z. (3.8)
В случае z—О, очевидно, р = 0 и и = 0 — единственное значение V6. Покажем, что при z^O среди чисел, определяемых (3.8), ровно и различных. Положив в (3.8) к = 0.1.2. ..., л—1. получим л различных значений ^z:
к, = V? = ^cos’P +2,tt +1sin+211tj, *=0,1,2,...,л-1. (3.9)
§ 3. Действия с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме 365
Рис. 3.1. Расположение корней степени п из числа z
Если к не совпадает ни с одним из чисел 0,1,2,	я —I, то
соответствующее ему значение '^z в силу периодичности синуса и косинуса будет совпадать с одним из чисел в (3.9). Так. ww = . w(1+l = Wj ит. д. Таким образом, все различные значения корня я-й степени из числа z=r(cos<p4-4-isincp) содержатся в формуле (3.9). Модуль любого из этих значений равен л/г (имеется в виду арифметическое значение корня степени я из положительного числа г), а аргументы соседних значений О1личаются на одно и то же число 2я/я, гак что все они лежа? на окружности радиуса л/г с центром в точке z = 0 и делят эту окружность на я равных дуг (рис. 3.1).
Пример 3.2. Найти все значения V1-
►Обозначим w=Vl и представим число 1 в тригонометрической форме: I = l-(cos04-isin0). Так как r = l; tp=argl = O, то в силу (3.9) имеем:
( 0+2А:л	0+2*л\ 2пА . . 2пк
w = л/Г 1 cos------Н sin-------1 = cos--4-i sin--,
\ я	я ) я	я
где к достаточно придать значения 0,1, ..., я —1.
При я = 2 и к =0,1 получаем два значения корня квадратного из единицы:
Z(1 = cos 0 4-i Sin I) = 1;
2п 2л
z, =cos — 4-i sin — = —1.
1	2	2
При я = 3 и А=0, 1, 2 имеем три значения корня кубического из единицы:
z0 = cosO 4-i sin 0 = 1,
z, — cos(2jt /3) 4-i sin(2rc /3)=— 1 /2 4- V3i 12;
z, = cos(4tt 13) 4-i sin(47r /3)=— 1 /2 —Jii 12.
Эти три точки делят единичную окружность на три равные дуги.-<
366
Глава 1. Комплексные числа
§ 4.	ОПЕРАЦИЯ СОПРЯЖЕНИЯ. ЕЕ СВОЙСТВА
Определение 4.1. Комплексные числа х+/у и x—iy, т. е. числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными. Число, сопряженное числу z, обозначается Z, т. е. если z—x + iy, то z = x—iy.
На комплексной плоскости числа z и z расположены симметрично относительно вещественной оси (оси Ох).
Свойства операции сопряжения
1.	z = z тогда и только тогда, когда z — вещественное число.
2-	IzHzI-
3.	z+z = 2Rez, z-z=lz]2.
4.	Пусть z^O; если <p=argz, то число ( - <) является одним из значений аргумента z-
5.	(z)=z;
6.	(z, +z2)=z, +z2, (z, -z2)=z, z2,(z, /z2)=z, /z,-
7.	Если в некотором выражении над комплексными числами производятся только действия сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень, то после перехода в нем к сопряженным числам и само это выражение изменяет свое значение на сопряженное.
►Свойства 1 и 5 следуют из определения 4.1. Свойства 2 и 3 проверяются непосредственно. Свойство 4 является следствием расположения чисел z и z на комплексной плоскости. Для доказательства первого равенства из свойства 6 рассмотрим комплексные числа: г, = х, +/у, и zi=x2+iyJ. Имеем:
(z, +z2) = (x, +X2)+i(y, +J2) =
= (Х| +х,)-/(у, +y1)=(xl-iyl)+(x1-iy2)=z, +z2.
Аналогично проверяются второе и третье равенства из свойства 6. Свойство 7 следует из свойства 6.-4
Пример 4.1. Вычислить если z, =3 + 2/, z2 =2 + 2/.
z2
► Используя свойства операции сопряжения, имеем:
§ 5. Комплексная степень числа е. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа 367
(z,?) _ z,? _	_ z,2-z2 _ (3—2Г)2 (2—2i)_ 2(9-12i+4/2)(l-j) _
z, z2 z2z2 \z2\2	4+4	8
_(5-12i)(l-i) _5-12/-5j+12i2 _-7-17/_ 7 .17
4	”	4	~	4 ~ 4 ‘4
§ 5	КОМПЛЕКСНАЯ СТЕПЕНЬ ЧИСЛА E. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Определение 5.1. Пусть z — x+iy. Число ex(cosy +/siny) называют комплексной степенью числа е или экспонентой от z и обозначают через expz или ег. Таким образом, операция возведения числа е в комплексную степень z = x+iy определяется формулой
ez = ex(cosy+isiny).	(5.1)
Например, е2+3' = e2(cos3+/sin3), ем/2 =cos(n/2)+/sin(n/2)=j,
е"' =cosn+isin л=—1.
При z = «p из (5.1) следует равенство
е1'" =cos<p+isin<p,	(5.2)
которое называется формулой Эйлера.
Свойства комплексной степени числа е
1.	ег,+г* —ez,eZl, ег'~!' =ег' /eZl.
2.	Если z = x+0u, то ег = ех+0’‘ = ех, т. е. для вещественных значений z комплексная степень числа е есть степень с вещественным показателем;
3.	Для любого комплексного числа z справедливо равенство:
=^,
Предоставим читателю, используя определение 5.1, доказать эти свойства.
Пусть zGC, z*0. Запишем это число в тригонометрической форме: z—r(cos<p +isin<p), где r=|z|, tp^argz- Отсюда и из формулы Эйлера (5.2) вытекает следующее представление числа z.
Z=re">, которое называют показательной формой комплексного числа z-
368
Глава 1. Комплексные числа
Правила действии с комплексными числами, представленными в показательной форме
1.	Пусть z, и z2 — отличные от нуля комплексные числа, z2=r1e"ri (здесь г, =| z,|, r2 =| z2|, tp^argz,,
<р2 = arg z2). Тогда
Z, X2 — г, Гг е	,	— е
^2 Г2
2.	Пусть zGC, zs*O, wGZ Тогда z" =r‘'eiKf, где r=|z), <p=aig z-
3.	Пусть о E C, fl/0, л GN, n >2. Тогда числа zk, zl!=!ijp-ei,v+i,,,,i,n, k = 0, 1, 2, n-l, где p=|o|, »p=arg«, есть корни степени и из числа а (здесь ^/р есть арифметическое значение корня, те. ^/р>0).
Эти правила следуют из правил действий с комплексными числами гаписанных в тригонометрической форме.
Замечание 5.1. Формула (5.2) позволяет получить выражения coscp и sincp, где <pGR, через чисто мнимую степень е. Действительно, заменив в (5.2) <р на (—<р), с учетом свойства четности косинуса и нечетности синуса имеем:
е~'* =cos<p—isintp.	(5.3)
Рассмотрев равенства (5.2) и (5.3) как систему относительно costp и sirup, найдем из нее coscp и sintp:
coscp = (с'*1 -t—яп<р=(е** —e"*)/2i.	(5.4)
§6. ЛОГАРИФМ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Определение 6.1. Логарифмом числа z, г ЕС, z*0, называется число w, кЕС, такое, что е" =z-
Запишем число z в показательной форме z=re"f, где r = |z|, <р=arg z- Пусть и = Re w, v = Im w, таким образом, w=и +rv. Теперь равенство ev =z запишем в виде: е"^” =ге": или е“е" =гет. Приравняв модули левой и правой частей, получаем: е“=г, значит, ы = 1пг, где In г — натуральный логарифм положительного числа г. Число v найдем из равенства е" = е‘ч,
§ 7, Понятие функции комплексной переменной
369
отсюда fr = «p+f2fat, &EZ, т. е. р=<р+2Лтг. k^Z (свойство 3-й степени с комплексным показателем).
При всяком целом к положим wk = Inr+/(<р+2Лтг). Нетрудно увидеть, что каждое из чисел wk, к Е Z, является логарифмом числа z и что только >ти числа удовлетворяют определению 6.1.
Логарифм комплексного числа z, z^O, обозначают через Inz; он имеет бесконечное множество значений,
1пг = 1пг+»(<р+2Лл:), кE.Z.	(6.1)
Обычно под Inz понимают какое-либо одно число из этого множества.
Пример 6.1. Найти все значения In 1.
►	Пусть z = L Тогда г=| z| = 1, <р=arg z=0. Значит, каждое из чисел wk = In г +i(ср + 2кп) — ilkit, k<EZ, является логарифмом единицы. In 1 = ilkn, kEZ. Среди этих чисел только одно вещественное: w() =().◄
Пример 6.2. Найти все значения 1m, где х<0.
►	Пусть z = x, тогда г = —х, (р — п. Каждое из чисел wk =1п|—л|+/(я+2А:л), &EZ, является логарифмом отрицательного числа х. Среди этих чисел нет вещественных. Таким образом, известное утверждение школьной алгебры «отрицательные числа не имеют логарифмов» следует понимать так: логарифмы отрицательных чисел не имеют вещественных значений.-^
§7. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
На множестве комплексных чисел вводится понятие функции, аналогично тому, как это было сделано при введении понятия функции на множестве вещественных чисел (определение 7.1, гл. 1 разд. 4).
Определение 7.1. Пусть О С С — некоторое непустое множество комплексных чисел. Если каждому комплексному числу z G D поставлено в соответствие по некоторому закону комплексное число wG£CC, то говорят, что на D задана функция комплексной переменной z и пишут w =/(z).
Числа z = x+iy и w=u+iv будем интерпретировать как точки плоскостей Оху и Ouv. Функция w —f{z) каждой точке z множества D плоскости Олт ставит в соответствие точку и’ множества Е плоскости Ouv (рис. 7.1).
370
Глава 1. Комплексные числа
Степенная функция м'=гл, многочлен /^(z)=pllz'' + +p1z"-1+p„_,z + po, где д,,р,, ---,р„_1,р„— комплексные числа, показательная функция w~ е:, логарифмическая функция w=Inz являются простейшими функциями комплексной переменной.
Для функций комплексной переменной можно ввести многие из понятий, введенных в разд. 4, 5 для функции вещественного аргумента, например такие, как предел, производная и т. п.
Определение 7.2. ^-окрестностью точки а (ЕС называется множество комплексных чисел z, обозначаемое символом t/s(«) и определяемое равенством t/s(a)={z:|z~ о|<б}.
Проколотая ^-окрестность точки а(=С обозначается символом 6(a) и определяется равенством #e(a)={z:|z-al<S}.
Геометрически 5-окрестностъ точки а(=.С интерпретируется как часть комплексной плоскости, ограниченная окружностью |z—с|=5, при этом точки самой окружности не принадлежат 5-окрестности точки а (рис. 7.2, точка А соответствует комплексному числу а).
Определение 7.3. Комплексное число b называется пределом функции w = /(z) при z-*o, если для любого действительного числа £>0 можно найти действительное число 5>0, такое, что если zG(7x(g), то f(z}(=U (b)U.
Очевидно, определение 7.3 аналогично определению предела функции вешественного аргумента на языке е-8 (определение 1.2, гл. 3 разд. 4). Определение производной функции м»= /(z) также вводится по аналогии с определением производной функции действительного аргумента.
Определение 7.4. Пусть функция №/(z) определена на некоторой 5-окрестности точки z0- Предел отношения
§ 7, Понятие функции комплексной переменной
371
f(Zu + ^Z)~f{Zv)
— при Az -* О,
если он существует и конечен, называется производной этой функции в точке z0 и обозначается f’(z0). Таким образом,
х г /(ги+Az)-/(Zo) /<г°>= 'Д----------------=
О
Aw = lim —.
(7-1)
Рис. 7.2. К опреле1ению 7.2
Для функции комплексной переменной остаются справедливыми правила дифференцирования, рассмотренные в разд. 5, а также формулы таблицы производных. Так, например, (г',)'=лг". Для многочлена P„(z) можно обосновать формулу
Р‘ (a)	Р^Ча)
РЛг)= Рй(«)+—^2(z-g) + ... +^42(z-O)'’.	(7-2)
1!	л!
Равенство (7.2) называется формулой Тейлора для многочлена P„(z)- Формула (7.2) является аналогом формулы Тейлора для многочлена Р„(х) от вещественной переменной х с вещественными коэффициентами (формула (6.4) гл. 2 разд 5). При с=0 соотношение (7.2) принимает вид
Равенство (7.3) называется формулой Маклорена для многочлена P(z).
372 Глава 2. Алгебраичеоле иогочгены и рациональные алгебраический дроби
Глава 2
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
§ 1. УСЛОВИЕ ТОЖДЕСТВЕННОГО РАВЕНСТВА ДВУХ МНОГОЧЛЕНОВ
Пусть п — заданное натуральное число, а р„,	... , р„ —
заданные комплексные числа, при этом р„ *0. Функция
Р^я +Р,е ' + -+Р„_,г+Р„,
где z — любое комплексное число, называется алгебраическим многочленом степени п и обозначается через P,(z)'-
РА$= Р^" +рХ~' + - + /’«-iZ+p„=2/’*z"“*.
Числа pk, к =0,1, ... , п, называются коэффициентами многочлена P„(z), a pv — его старшим коэффициентом. Если /)„=₽, = ... = рп_1 =0, то /^(z) называется многочленом нулевой степени, в этом случае Ptl(z)= р„ при всех zGC.
Теорема 1.1. Многочлен P„(z)=pvz" +plzK~' +... + р„ ,z + p„
равен нулю для VzGC тогда и только тогда, когда равны нулю все его коэффициенты.
►Очевидно, если рк= pt = ...= рп_, = р„ =0, то AJ,(z)=O на С
Пусть теперь ^(z)=0 на С, тогда P„(z)= Р'„ (z) = ...
= /^',,(z)=0 для VzGC и в том числе при z=0. Из формулы
Маклорена для многочлена /^(z) (см. равенство (7.3) гл. I)
(0) имеем р, =--------,
" (п-ку.
поэтому приходим к выводу: рк =0,
к =0,1, ... ,«.◄
Теорема 1.2 (о тождественном равенстве двух многочленов). Два многочлена />(z)=Az" + />lz’’+... +P„_tz + p„ и Q„(z) =
= 9„z'‘ +tf,z" 1 +... +qil_lz+d„ равны при VzGC тогда и только тогда, когда равны все их коэффициенты при соответствующих степенях г, т. е. рк = qf, А = 0,1,... ,п.
►Очевидно, если д = qk, А = 0, I,... , п, то P„(z) Q„(z) на С.
§ 2 Разложение алгебраического многочлена на линейные множители. Число корней ..373
Пусть теперь P„(z) = Q„(z) на С. Рассмотрим многочлен rw(z)=P„(z)-e„(z)=(ft, -qjz" +(Р, -9,)z”“l + -
+(₽„_, _9„-|)г+(₽„-?„ )
Так как Tfl(z) = 0, то рк — qk, к = 0, 1, ... , п (теорема 1.1), от-
сюда рк = qk, к = 0, 1, ... , я.^
Теорема 1.2 является теоретической базой для метода сравнения коэффициентов, который будет рассмотрен далее.
§ 2. РАЗЛОЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ.
ЧИСЛО КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА
Пусть Рл(г) = 2^*гП * — многочлен степени не выше и и а — некоторое комплексное число.
Определение 2.1. Число а, а&С, называют корнем алгебраи-
ческого многочлена P„(z), если Р («)=0, т. е. если	=0.
Теорема 2.1 (теорема Гаусса, Гаусс К. (1777—1855) — немецкий математик, астроном, физик). Всякий алгебраический многочлен степени и, и>1, на множестве комплексных чисел имеет хотя бы один корень.
Доказательство теоремы laycca проводится методами теории функций комплексной переменной.
Теорема 2.2. Если число аЕС — корень алгебраического многочлена PB(z), то P„(z) делится на разность z—а без остатка.
►Так как а — корень P„(z), то Р„(а) = 0. Из формулы Тейлора для многочлена Pn(z) (см. равенство (7.2) гл. 1) имеем:
Л(г)= r,.W-«)+^(z-o)2+---+jf^-^U-<>)"-и!	я!
После вынесения разности z~а за скобку получаем:
/*„(*)=(*-*)&_, (z),	(2.1)
Р"(а)	Р'г>(а)
гае g _,(?)=/;,,(o)+-!!-^(z-o)+-.+ " , (z-a) — многочлен Я!	л!
степени л-1.
Равенство (2.1) доказывает теорему.-^
374 Глава 2. Алгебраические многочлены и рациональные алгебраические дроби
Теорема 2.3. Любой многочлен P„(z) степени п>1 представим в виде
Л(г)= poU-«,)(z-o,).-(z-fl„),	(2.2)
где о,,о,, ...,ап — корни многочлена, р0— старший коэффициент. Равенство (2.2) называется разложением многочлена P„(z) на линейные множители.
► По теореме Гаусса (теорема 2.1), многочлен P„(z) на множестве комплексных чисел имеет хотя бы один корень с,, тогда (см (2.1)):
/’.И=(г-о1)0..,(г),
где QKl (z) — многочлен степени л—I. По теореме laycca, многочлен имеет хотя бы один корень а2, поэтому в силу теоремы 2.2 представим в виде
G„_1(z)=(z-o>)r„_,(z),
где Tn_2(z) - многочлен степени и—2. Продолжая этот процесс, через п шагов получим равенство
5'1(z)=c(z-o„),
где с — многочлен нулевой степени, т. е. некоторое комплексное число. Подставив каждое последуюшее равенство в предыдущее, начиная с последнего равенства, получим:
Р„ (z)=c(z~ а, Xz-л,)... (z-а „).
Последнее равенство верно при VzGC, поэтому в силу теоремы о тождественном равенстве двух многочленов (теоремы 1.2) заключаем, что с= ри.-4
Следствие из теоремы 2.3. Алгебраический многочлен степени и, и > 1, имеет не более чем п попарно различных корней.
►Доказательство проведем методом от противною. Предположим, что кроме at,a2,... ,ав многочлен P„(z) имеет еше один корень ап+1, причем
йл+! А = 1,	, п-	(2.3)
Подставим z=a„+1 в разложение (2.2):
л. ("„,)=Л	-».)
§ 3. Понятие кратного корня. Признак кратности корня
375
Отсюда в силу (2.3) приходим к выводу: Рп(а1п1)^О. Полученное противоречие с предположением лв+|— корень P„(z) доказывав! теорему. ◄
Пример 2.1. Многочлен P(z) = z5 +z4 +2z3 +2z2 +z+l разложить на С на произведение линейных множителей.
► Как нетрудно убедиться, число z = — 1 является корнем Ps(z), поэтому Ps(z) делится на разность ?—(—!)=z+1. Произведя деление, получим:
P5(z)=(z4 +2? +l)(z+l)=(z2 +l)2(z+l)=(z+l)((z-0(z+0)2 = = (z+l)(z-i)2(z+i)2 ◄
Пример 2.2. Многочлен Pb(z)=zb +64 разложить на С на произведение линейных множителей.
____►Корни данного многочлена совпадают со значениями V—64 В соответствии с формулой (3.9) гл. 1 имеем:
Л =0,1,2,...,5. Отсюда
w0=2(cos(rr > 6)+i sin(n >6)) = -J3 +i,
и, = 2(cos(n /2)+i sin(n /2)) = 2i, (5л . . 5л\ i~ cos—+zsin—] = —v3 +t,
w3 =2^cos^-+i’sin^j=—73—», и* = 2lcos—+i sin—) = —2т. w =2(cos^-+isin — ) = -j3—т. 4	\	2	21	5	\	6	6)
В силу формулы (2.2) получаем разложение:
Pt(z)=z‘ +64=
= (z—2i)(z+2f)(z—-J3—i)(z—J3 +i)(z + -ТЗ-i)(z. + V3 +/).◄
§3. ПОНЯТИЕ КРАТНОГО КОРНЯ. ПРИЗНАК КРАТНОСТИ КОРНЯ
В разложении (2.1) некоторые множители могут оказаться равными (пример 2.1). В этом случае говорят, что многочлен имеет кратные корни.
376 Глава 2. Алгебраические многочлены и рациональные алгебраические дроби
Определение 3.1. Число а называется кратным корнем многочлена Р„(г), если этот многочлен представим в виде:
(3.1)
где С„.Дг) — многочлен степени п — к, при этом Qn k(z)*0. Число к называют кратностью корня. Если кратность корня а равна единице, то число а называют простым корнем многочлена P„(z).
Например, для многочлена P3(z)=z3 — 3z’+4 число (— 1) является простым корнем, а число 2 — корнем кратности 2, ибо этот многочлен представляется в виде: P3(z)=(z+l)(z—2)г.
Теорема 3.1 (признак кратности корня многочлена). Для того чтобы число а было корнем многочлена P„(z) кратности к, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения:
Р(с) = Р'(а) = Р"(а) = ... = Р'*"1 ‘ (я)=О, Р’*’ (а)* 0.	(3.2)
► Пусть число а — корень многочлена P„(z) кратности Л, значит, справедливо равенство (3.1). Разложим в (3.1) многочлен C„_*(z) по формуле Тейлора:
7 Q'Ла) с‘";*Чя) Л
отсюда имеем-
+ , /и (г-дГ'-	(3.3)
(п-кУ.
С другой стороны:
Р'(а)	Р{">(а)
P„(z)=P,(«) + ^(z-o)+ ... +^-^(2-0)"-	(3.4)
1!	п'.
Сравнение (3.3) и (3.4) приводит к равенствам:
Р“'(а)	P,ki(a)
Р„(а)=^ -JHr2=0’ /=1’ 2’	-£1Г2=е-*(й)’
§ 4. Вещественные алгебраические многочлены и их разложение ва неприводимые...377
из которых, с учетом условия Q„_k(a) ф 0, следуют соотношения (3.2).
Обратно, предположим, что выполняются соотношения
(3.2). В этом случае разложение (3.4) принимает вид:
Р'к'(а)	, Р'*+"(а)
/Г (a), v
----т—(z—л) п!
или P„(z) = (z-a)*(?„_*(z), где
0- «=*' + <*,!)• <г’ <г’
Ptk>(a)
Из (3.5) имеем: Qn _к(а}= —-—-—.
отсюда следует, что
Qn-a(z)*O, ибо Р^'(а)^0. Итак, приходим к выводу, что число а — корень многочлена P„(z) кратности к. ◄
Пример 3.1. Показать, что число z=l является корнем кратности 3 для многочлена Р4 (z) = z4 — 2zi +2z—1-
► /’(!>-<>, 2>;(г) = 4г!-6г! +2, Г(г)=12г’ 12г,	/>"(г)= 24г
Имеем: Pj(\)= /^"(1) —0, P4"(z)=24*0 и, следовательно, z=l — корень кратности 3 данного многочлена (теорема 3.1). 4
Пусть числа а1,...,ап - корни многочлена с кратностями при этом к, +к2 + ... +кт = п. Разложение (2.2) в этом случае принимает вид:
P„(Z)= Pe(z-a, )*’ (z-^)*’... (Z-C„)*".	(3.6)
§ 4. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ И ИХ РАЗЛОЖЕНИЕ НА НЕПРИВОДИМЫЕ МНОЖИТЕЛИ НА МНОЖЕСТВЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
Алгебраический многочлен P„(z)=2^*^" * называют
*=0
ственным многочленом, если все его коэффициенты — вещественные числа: pk^R, к=0, 1, ..., и. Значения, принимаемые вещественным многочленом в точках вещественной оси, являются вещественными числами:
378 Глава 2. Алгебраические многочлены и рациональные алгебраические дроби
Важная особенность таких многочленов отражена следующей теоремой.
Теорема 4.1. Если число z = a+ip является корнем кратности к алгебраического вещественного многочлена P(z), то сопряженное число z=ct—/р также является корнем P„(z) той же кратности.
► В силу признака кратности корня P(z) (теорема 3.1) имеем:
Р(а+ф)= Р(а+ф)= Р"(а+ф)=...= Д'*"(«+$)=О, Ри,(а+ф)*0.	(4.1)
Перейдем в (4.1) к сопряженным числам. Поскольку рк = д, А =0,1,...,и, то этот переход сводится к замене a+ф на а—10. В силу свойств операции сопряжения (§4, гл. 1) с учетом равенства 0=0 из (4.1) получаем:
Р(а-ф)= Р'(а-ф)=Р" (а-$)=...= Р11 ”(a-ip)=0, P’*’(a-<P)*0.
Отсюда, в силу признака кратности корня многочлена (теорема 3.1), следует, что число z = ct— ф является корнем кратности к многочлена P„(z)-4
Пусть P„(z) — вещественный многочлен степени и, л>1; а,, а2, .. . ат, т<п, — все его попарно различные корни, а kt, к,, ... , кт — кратности этих корней. Допустим, что a, =a+ip, где р^О. По теореме 4.1 число а} = а—/р также является корнем P„(z) кратности kt. Значит, в разложении (3.6) среди множителей (г—д2)Л (z—й,)* ...(z—имеется множитель (z—at )*’. Заметим, что (z-o,)*‘(z-o;)*' = (z2 +bz+c)k‘, где b = —at —а, =— 2a; c = alal =\at\2 =и2+f}2.
Итак, объединив множители, отвечающие паре комплексных сопряженных корней, получаем квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами в степени, равной кратности каждого из этих корней. Дискриминант D этого трехчлена отрицателен: D=b2 — 4с = 4а2 — 4(ог +р;)=—4р2 <0. так как р^О.
Пусть л,, х}, ... , л, — все вещественные числа в ряду д,, а,, ... , ат попарно различных корней рассматриваемого многочлена P(z), Ау — кратность ху, / = 1, 2, .. , /. Остальные числа этого ряда — комплексные с ненулевой мнимой частью. Поскольку их четное количество (теорема 4.1), то они разби-
§ 4. Вещественные алгебраические многочлены и их разложение на неприводимые...379 ваются на некоторое количество пар сопряженных друг другу корней: z, и z,, z2 и z2, zs и z,, ц, — кратность каждого из корней z} и zr 7 = 1- 2. ... . s. Тогда из (3.6) получим:
P„(z)= pjz-x,)*-... (z-x,)*'((z-z,)(z-z,)) ...
((Z~ZS )(z~zj)* - к, +... +к, +2q, + ...+2qs =n.
Отсюда
7>Bk)=Pu(z-x1)*' ...(z-x,)k,(z2 +Alz+cl)*'..	(4 2)
(z2 4-^Z+c,)4*,
kt +... +k, +2$, + ... +2<?s =n.
Это представление вещественного многочлена называют его разложением на вещественные множители, линейные и квадратные. Квадратные множители представляют собой квадратные трехчлены с вещественными коэффициентами и отрицательными дискриминантами; каждый из них имеет пару комплексных сопряженных корней с ненулевыми мнимыми частями. Разложение (4.2) называют разложением на неприводимые множители на множестве вещественных чисел в том смысле, что квадратные трехчлены в (4.2) не раскладываются на линейные множители с вещественными коэффициентами.
Пример 4.1. Многочлен Ps(z) из примера 2.1 является вещественным многочленом, он имеет простой вещественный корень z, = — 1 и пару комплексных сопряженных корней z2 = i, z3 =— i кратности 2. Справедливо представление:
^(z)=(z+l)(z-<)!(z+/)2 = (z+l)((z-/)(z+/))2 = = (z+l)(z2+l)2. VzeC
так что разложение вида (4.2) для Л(г) выглядит так: 7>(z)=(z+l)(z2+l)2.
Пример 4.2. Многочлен />6(z) = z6 + 64 является вещественным многочленом, у него 3 пары комплексных сопряженных корней: zl2 = ±2/, z34 zit =—т1з±1 (пример 2.2). Объединив в разложении этого многочлена множители, соответствующие сопряженным корням, получаем разложение вида (4.2):
p,(z) = z‘ +64=(z2 +4)(z2 -2Дг+4)(г2 -2Дг+4).-«
380 Глава 2. Алгебраические многочлены и рациональные алгебраические дроби
§ 5. РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В этом и следующем параграфах рассматриваются только вещественные многочлены.
л	е « гч	с
Определение 5.1. Отношение ------- алгебраических много-
членов Q„(x) и Р„(х) степени т и п соответственно называют рациональной функцией.
Если степень знаменателя «>1, то рациональную функцию называют рациональной алгебраической дробью, или, короче, рациональной дробью. В противном случае, т. е. при л=0, рациональная функция представляет собой многочлен (ибо ';<-«) л,, гае />„ е«).
Далее рассматриваются рациональные дроби	»> 1.
В качестве области определения X такой функции выступает вся числовая ось, за вычетом конечного множества точек — вещественных корней знаменателя Рн{х).
Рациональную дробь	называют правильной, если
Р„(х)
т<п, и неправильной в противном случае, т. е. при т>п. Неправильную рациональную дробь	поделив «уголком»
Р„(х>
многочлен Q„(x) на многочлен Р„(х) (в обшем случае с остатком), можно представить в виде суммы алгебраического многочлена и правильной рациональной дроби:
aw=c,.(-«).5'w
Р.ы	РМ
Здесь Та_п(х) и Sf(x) — алгебраические многочлены, причем степень / многочлена S,(x) меньше п.
Элементарными (простейшими) рациональными дробями называют рациональные дроби следующих четырех видов:
А А Вх+С Вх+С
х-а' (х-а)* ' х2+Ьх+с' (х2 +Ьх+с)* ’
где А, В,С,а,Ь,с — вещественные числа, причем (А2/4)—с<0, так что трёхчлен х2 +fcc+c имеет комплексные корни; к — натуральное число, к >2.
§ 6. Теорема о разложении правильной рациональной алгебраической дроби...
381
§6. ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ ПРАВИЛЬНОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ДРОБИ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ
Пусть Р„(х), л>1, — вещественный многочлен степени п со старшим коэффициентом рц = 1, получено его разложение на вещественные множители:
Рл(х)=(х-х,)*’(х-х2)**... (х-х,)'1 х (6 () х(х2 +bJx-t-c,)91 {х2 +Ь2х+с2)91... (х2 +bsx+cs)<!'
Таким образом, Р„(х) имеет I попарно различных вещественных корней Xj кратности к}, j = l, 2,..., I, и s пар комплексных сопряженных корней zf, z, кратности <?., i = 1, 2,..., s, при этом А, +к2 + ...+к1 +2^ +2^2 + ...+2^, = и.
Теорема 2.1. Пусть задана правильная рациональная дробь т<п, знаменатель Р„(х) которой представлен разложе-
нием (6.1). Существуют наборы вещественных чисел
где j = l, 2,..., /, и при каждом j индекс а =1,2, ..., kt, а также наборы и {CpJ> где < = 1- 2.......s, и при каждом i индекс
р = 1, 2, такие, что при всех х, xER, х^х^ верно равенство:
О.(х)_ Л« , А» ,	, А”.	,
Р.Ы х-х, (х-х,)г  (х-х,)*' + ^-+	,4...4	4-
х-х, (х-х,)!	(х-х,)*'
4 I Л„	4.	+
х-х, (х-х,)	(х-х,)*'
В х+С В х+С	Р, х+С.
X2+Ь1х+с1 (х2 +Ь,х+с,)2	(х2 +Ь,х+€,)“'
, ^+с21 , в12х+с12 , । Д«л4-с2<1 + х2+Ь}х+с2 (х2+Ь2х+с2)2 ’	(х1+Ь2х+с2)9‘
,	" В^х+С,, + ! Кл+Сх,.
X2+bsx+cs (х2 +bsx+cs)2 (х2+b]!x+cs)','
382
Глава 2. Алгебраические многочлены и рациональные алгебраические дроби
Здесь каждому вещественному корню знаменателя Р„(х) дроби соответствует строка (сумма) простейших дробей первого и второго вида с количеством слагаемых, равным кратности этого корня, каждой паре комплексно-сопряженных корней Р„(х), т. е. каждому квадратному множителю в формуле (2.1), соответствует строка (сумма) простейших дробей третьего и четвертого вида с количеством слагаемых, равным кратности этих корней. Доказательство теоремы 6.1 приведено, например, в [I].
Пример 6.1. Получить разложение (2.2) для дроби-, где
Ps(x)
Ps(x)=zs + z4 +2z3 +2z2 +z+l.
► Имеем (см. пример 3.1): Р(х} — (х+1)(хг +I)2. Значит (см. (2.2)),
I _ А Вх+С Рх + Е Р5(_х)~х+1 х}+1 (х2+|)2’
где А, В, С, Р. Е — константы, значения которых предстоит найти. После приведения дробей в правой части к общему знаменателю получим:
А(х2 +1)2 +(Яг+С)(х + 1)(х2 +l)+(Z)x + £)(x + l)_ ад
_ (Л 4- Д)х4 +(В+С)х* +(1А+В+С+Р)х2 +(В+С + Р + Е)х + Ps<*>
А-АА-Са-Е Тл(х)
ъю ад)'
Приравняв коэффициенты Г4(х) к соответствующим коэффициентам многочлена Qv (х) = 1, получим систему уравнений:
Аа-В=0,
В+С=0, 2Аа-Ва-Са-Р=0. Ва-Са-Ра-Е=0. А+С+Е=\.
Решив эту систему, найдем: Л = 1/4, В = —1/4, С = 1/4, Л=-1/2, £=1/2. Итак,
§ 6. Теорема о разложении правильной рациональной алгебраической дроби...
1 = 1__________________________
J^(x) 4(х + 1) 4(л2+1) 2(х2+1)2
383
Контрольные вопросы и задачи к разделу 6
1.	Дайте определение множества С комплексных чисел. Какие геометрические интерпретации этого множества вам известны?
2.	Пусть z, = 14-/, z2=—4+3/. Найти z(+z2, z,—z2, (z, +z,)(z, -z2), —-
z2
3.	Что называют модулем комплексного числа z = x+iy?
4.	Что называют аргументом комплексного числа z = x+d\ z^O? Что такое тригонометрическая форма этого числа?
5.	Числа z, = l-i-fi, z2 = (1—f)/(l +/), z3 = I +cos(n/7)4-+/sin(n/7) записать в тригонометрической форме.
6.	Используя формулу Муавра, записать в алгебраической форме числа z, = ((1 + /-Л) /(1—f)) , z2 = (14- 0s / (I_ 03
7,	Найти все____значения следующих выражений:
а) V-1 +к/3; б) ф-Л +2/.
8.	z,=l—й/3, z2=V3+/. Записать в алгебраической форме числа z,-z2; (z,/z2)
9.	Числа zL, z2 и z2 из п. 5 записать в показательной форме.
10.	Что такое корень алгебраического многочлена Р (z)' Что называют кратностью корня? Определите кратность корня а = 1 многочлена (z) = z4 ~(2 ~i)z* +(3 +2/)z2 — (4+i)z +2.
11.	Числа e,=L, a2=—i, a2=2i — все попарно различные корни многочлена P(z), причем at — корень кратности 2, а а2 и а, — простые корни. Запишите разложение P(z) на линейные множители, если его старший коэффициент pv = 1; найдите его другие коэффициенты.
12.	В чем состоит свойство корней вещественного многочлена? Число а = —1+/ является корнем многочлена P4(z)=z4 +4z3 +1 lz2 +14z+10; найти остальные корни /^(z), записать его разложение на вещественные множители первой и второй степени.
384 Глава 2. Алгебраические многочлены и рациональные алгебраические дроби
13.	Что такое рациональная алгебраическая дробь? Приведите примеры.
14.	Какую рациональную дробь называют правильной9 не-
•••> ПК правильной? Дробь ----------- представьте в виде суммы ал-
z +5г +4
гебраического многочлена и правильной дроби.
15.	Какие дроби называют элементарными рациональными алгебраическими дробями? Дробь 1/(х5 +1) разложите в сумму элементарных дробей.
Ответы на контрольные вопросы и задачи к разделу 6
2. z, +z2 =~3 + 4i; z,~z2 = 5—2/; (z, + z2)(z, ~z2) = -7 +26/;
z2 “ 25 25'
_	5 л	. 5п\ Зл . 3л
5. z =2 cos— + isin—, z, =cos— + zsin—,
1	3	3} 2	2	2
z,=2coS2L(coS|l + ,Si„^
6. z, = 512 — 51273/; z2 =2.
a) + 6) ^OSfe4*)+'Sinfe + H’ * = 0,1,2,3.
8- zlz2=~4i-. (z^Zi)1 =^ + ^-i. 9- zL=2e3\ z2 =e 2 ;
z, =2cos— e14 .
14
10. 2. 11. P(z)=(z-l)2(z+/)(z-2/)=z4-(2+/)zJ +
+(3+2i)z2 — (4+/)z+2.
12. /> (z) = (z2 + 2z+2)(z2 + 2z +5).
14	5x3+4z is 1/3 |~g/3)x+2/3
Z z4+5z2+4	* x+1 x2-x+l
Раздел 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
В разделе рассматриваются неопределенный и определенный интегралы от функции одной переменной. Тема «Неопределенный интеграл» непосредственно опирается на понятия производной и дифференциала. В разделе вводятся два базисных понятия — первообразной функции и неопределенного интеграла. Они определяют основную задачу — отыскание неопределенного интеграла заданной функции, — ее интегрирование. Для решения этой задачи изучаются различные методы интегрирования. Понятия «определенный интеграл» и «несобственные интегралы» являются базисными. В разделе изучаются их свойства и ставится основная задача — вычисление этих интегралов. Рассматриваются методы решения этой задачи, а также приложения определенного интеграла к решению геометрических и физических задач Тема «определенный интеграл» в краткой, простейшей форме изучалась в средней школе в другом аспекте.
386
Глава 1- Первообразная и неепределешый интеграл
Глава 1
ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. ПЕРВООБРАЗНАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определение 1.1. Функция F(x) называется первообразной для функции /(х) на промежутке X, если во всех точках ггого промежутка производная F(x) равна f(x) (или дифференциал F(x) равен f(x)dxy.
F'{x)=f(x),	(LI)
dF(x) = f[x)dx.	(1.2)
Пример 1.1. /(x)=x2, Тогда F(x)=x3/3, так как (x3/3) =(3x2/3) = x2, или j(x3/3) = 3xJrfx/3=x2rfx на всей вещественной оси.
Первообразная для заданной функции находится неоднозначно с точностью до постоянной С, так как (F(x)+C) = Г'(л)+(С)' = /(х)+0 = /(х).
Теорема 1.1. Множество всех первообразных для заданной функции /(х) заключено в выражении
F(x)+C,	(1.3)
где F(x) — какая-либо первообразная для /(х), а С — произвольная постоянная.
► Пусть Ф(х) — любая первообразная для /(х). Тогда Ф'(х) = /(х), поэтому
[Ф(х)- F(x)] = Ф' (х)— F' (X) = /(X)- /(х)=О
на рассматриваемом промежутке X. Равенство нулю производной на промежутке является необходимым и достаточным условием постоянства функции на промежутке (разд. 5). В данном случае заключаем, что Ф(х)— F(x) = C=const на X, поэтому Ф(х)—Г(х)+С. ◄
Теорема 1.2. Если функция /(х) непрерывна на промежутке А”, то в этом промежутке для нее первообразная F(x) существует.
§ 1- Первообразная Неочеделенныи интеграл
387
Эта теорема будет доказана в § 4 гл. 3 (следствие из теоремы Барроу).
Определение 1.2. Множество всех первообразных для данной функции /(х) называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается символом J f(x)dx. Операция отыскания неопределенного интеграла от функции /(х) называется интегрированием этой функции (неопределенным интегрированием).
Из теоремы 1.1 и определения 1.2 следует формула
ff(x)dx=F(x)+C.	(1.4)
Пример 1.2. j'xIdx = x3 /3+С.
Функция /(х), стоящая под знаком интеграла, называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx — подынтегральным выражением. Переменная х называется переменной интегрирования (интеграции).
Из определения неопределенного интеграла (определение 1.2) непосредственно следуют формулы:
(j/(x)rfx) =/(х),	О-5) d(j f(x)dx) = f(x)dx,	(1-6)
J F'(x)dx=F(x)+C.	(1-7) fdF(x)=F(x)+C.	(1.8)
Из (1.5) — (1.8) следует, что действия «интегрирование» и «дифференцирование» взаимно обратны. Обе формулы (1.5) и (1.6), с другой стороны, означают, что правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
Пример 1.3. J * — =ln(x+Vx2+а)+С. Правильность результата в этой формуле можно проверить дифференцированием'
Первичная таблица интегралов является непосредственным обращением таблицы дифференциалов. Обычно ее записывают в несколько более общей форме. Основная таблица содержит еще и несколько наиболее часто встречающихся интегралов. Все формулы проверяются дифференцированием.
388
Глава 1- Первообразная и неопределенный интеграл
Основная таблица интегралов
хя+|	'
1)	Г хяdx =-1- С,	я 5s—1.
J_________л+1	__________________________________|
2)	f—= ln|xl+C.
3)	J"exdx = ex +С.	|
4)	l'a'dx = ——t-C, а>0. а^1.
J Ina
г	I
5)	J sinx dx = — cosx+C.
6)	f cosx dx = sinx+C.
—~---------------------------------------------------------
8) / A =-ctgA + C J sin x	1					
9>J^ = ln J sinx	'H	:|+c.			
10)f-^=ln J cosx	4	Hl		+C. i	
11) f 2dx 1 = -arctg- + C. J a2 +x2 a a					
12) J a—x- 2a			a+x a—x		+c.
13) f , d*	= arcsin — +C, a >0.					
14) J* . d* - = ln|x+Vx*+a| +C. a*0 Vx2 +a	।					
15) J"Ve2 —x2dx = ^-^a2—x2 + ^-arcsin — + C, a>0.					
16) f -jx2 +udx = j-jx2 +a + у ln|x+Vx2 +a| + C.					
17) J*shx dx=chx+C.					
18) J*chxJx = shx+C.	'					
§ 2. Свойства неопределенного интеграла 389
19)	f-^- = thx + C.
_____ th ->______________________________________________।
20)	= —cthx + C.
J sh х I
§2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Свойство 1 {линейность интеграла). Для любых произвольных постоянных С, и Сг справедливо следующее равенство:
J[c, /, ы + С, f, (л)] <к = С, f /, (л) dx + С, f f, (х) dx	(2.1)
Частные случаи:
a)	fCf(x)dx = Cff(x)dx — постоянный множитель можно вынести $а шак неопределённого интеграла.
б)	J[/l(x)±/2(x)]rfx = Jft(x)dx±J*ft(x)dx — неопределенный интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности неопределенных интегралов от слагаемых.
►	Формула (2.1) проверяется прямым дифференцированием. Производная выражения, стоящего слева, равна Clfl(x)+C2f}(x). Найдем производную выражения, стоящего справа:
[С(} fi<x)dx+c> Jfi&ydx] = С, (j/, (x)dx) + +C2(J f2(x)dx) = C,/|(x)+C2/2(x).
Здесь применена формула (1.5): (J/(x)rfx) = /(x). Совпадение результатов и означает истинность доказываемой формулы (2-1). ◄
Свойство 2 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования остается справедливой, если переменную интегрирования х заменить любой дифференцируемой функцией х(г) другой переменной t
jf(x)dx = F(x)+C~ f Дх(0И(0= Г[х(г)]+с.	(2.2)
►	По условию, формула f f(x)dx= F(x)+C справедлива, поэтому дифференциалы левой и правой частей ее равны: df f(x)dx= f(x)dx=dF(x) (формула (1.6)). В силу свойства ин
390
Глава 1- Первообразная и неопределенный интеграл
вариантности дифференциала форма записи дифференциала сохраняется, если вместо переменной интегрирования х подставить дифференцируемую функцию х(Г). Тогда получаем /[х(0]А(/)=</Г[х(0], а это и есть результат дифференцирования левой и правой и частей формулы J* /[x(/)]<t£>c(r)= = гМ+с, следовательно, доказываемая формула верна. ◄
Определение 2.1. Метод непосредственного интегрирования состоит в применении таблицы основных интегралов и двух свойств интегралов — линейности и инвариантности При этом применяются также тождественные преобразования и формулы элементарной математики
Пример 2.1. J* Х г=arcsin -^=+С. Применена формула
г dx . х
I ,	= arcsin —т с из таблицы интегралов
J .1^____* а
Пример 2.2. f 3cosx—
cosxdx—J*x ,/2dx =
= 3 sin x—+ C=3 sin x—2-Jx + С. Применены свойство линеи-
ности и формулы j*x"dx = *+1+С, лг-1и Jcosxdx = sinx+C из таблицы интегралов.
г	1г	1
Пример 2.3. J sin2xdx = — J sin2xd(2x)=——cos2x+C Применены свойство инвариантности формул интегрирования и формула Jsinxdx = — cosx+C из таблицы интегралов.
Пример 2.4. Jx^l+x2dx = у J(1+х2 d(1+х2) -
= [1+х2 =(] = 1/(,«Л = 1-Гд+С = 1(1+л1)‘'’ +С. Здесь при-
менены свойство 2 и формула fx"dx = -—+С, и*—1 из таб-
J и + 1
лицы интегралов.
Замечание 2.1. В примерах 2.3 и 2.4 демонстрируется прием, называемый подведением множителя под дифференциал под знаком интеграла. В примере 2.3 под знак дифференциала подведен множитель 1/2. В примере 2.4 под дифференциал
§ 3. Ишарирование по частям в неопределенном интеграле 391
подведен множитель 2х, так как d(l+x3) = 2xdx. Для компенсации впереди интеграла поставлен множитель 1/2.
§3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Этот метод интегрирования состоит в применении формулы
f udv = uv—f vdu.
(3-1)
Здесь и = и(х), v=v(x) — дифференцируемые функции. Предполагается, что участвующие в формуле интегралы суще-
ствуют
► Формула (3.1) следует из формулы для дифференциала произведения двух функций d(uv)= vdu +udv. Интегрируя это равенство, получаем J d(uv)= J*vdu + fudv. Но f d(uv)=uv+C, следовательно, uv+C= f vdu + fudv: fudv = uv~fvdu+C. Каждый из интегралов в этой формуле имеет в своем составе произвольную постоянную, явно не выписанную, поэтому постоянную С мы можем присоединить к интегралу справа. Приходим к формуле (3.1 ).Ч
Название «по частям* объясняется тем, что (сложный) интеграл fudv берется двумя (более простыми) частями fdv = v и f vdu.
Пример 3.1. Вычислить интеграл fxe*dx.
Ги = х \du = cfxl r
xe'dx = I xde' =	= «v— I vdu =
J [dv = de3lv = eA J J
= xe* —f e'dx = хе* —ex +С.Ч
Пример 3.2. Вычислить интеграл J*xlnxrfx.
du = —dx
Интегрирование по частям может производиться несколько раз.
392
Глава 1- Первообразная и несоределенный интеграл
Пример 3.3. Вычислить интеграл f х2 sin xdx.
.{ 2 .	, Гм = х2 ldu = 2xdxl
► |х sinxox =	=— х cosx +
J	[rfv = sin х Jx|v = —cosxj
_	Г«, =x Idu, = dx 1
+2lxcosxJx =	=— X COSX +
J	[tfv, = COSxJx|l'] =sinx|
+2(xsinx—J* sinxJx)=—x2 cosx+2(xsinx+cosx)+C.^
Метод интегрирования по частям целесообразен для произведения степенной и трансцентдентной функций, а также во многих других случаях. Так, в нижеследующем примере интегрирование по частям применяется для сведения интеграла к самому себе.
Пример 3.4. Вычислить интеграл J*eOA sinfcxrfx. и = ет Idu = аеах dx dv= sin bxdx\v = —cosbx/Ь
и = еая	lt/и = аеах dx 1 _
dv = cos bx Jx| v = sin bx / b j c ----- I е°л sinbxdx. b2 J
Таким образом, приходим к равенству: cosbx	sinfcx о2 р	,
------Гее —z	z-1 е sin bxdx или b b2	b2j
sinbx
cosbx
► J* eax sin bx dx =
Je" cosbxdx = | sinfcx +ae —-—
cosbx
feax sin bxdx=
a2 +b2 c
---z— 1 e sin bxdx =
b2 J
cosbx
e“(osinZ>x—bcosbxi „ e sin bxdx =-------j----j-----+C, где
a2 +b2
a2 +b'
§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с целью упрощения вычислений. Этот метод интегрирования называют также «методом подстановки». Новая переменная выбирается так, чтобы получившийся интеграл был
§ 4 Замена переменной в неопределенном интеграле 393
известным или даже табличным. Обычно замена переменной выполняется в двух вариантах.
1-е правило. Искомый интеграл J = f f{x)dx преобразуем к виду:
J f{x)dx = f д[<р(л)]ф'(х)т/х =
Далее выполняем подстановку <р(х)—/. Тогда получаем интеграл /г(»)Л=Г(О+С. который предполагается известным. Затем возвращаемся к старой переменной Искомый интеграл взят: ./ = Т[<р(х)]+С. Запись:
J = f f(x)dx = f g[<p (х)] d<p(x) = [<р (х)=/] =
= f g{t)dt = f(O+C= F[<P(X)] +С.	(4.1)
Функция <р(х) предполагается дифференцируемой в рассматриваемой области.
► Применяем свойство инвариантности формул интегрирования: из справедливости формулы J"g(t)dt = F(t)+C следует справедливость формулы J*g[<p(x)]fftp(x)= f[<p<x)]+C, а это и означает, что J = ff(x)dx = f[<p(x)|+C. Формула (4.1) доказана. ◄
1-е правило по сути дела формализует применение свойства инвариантности интеграла путем введения новой переменной, иначе — формализует способ подведения множителя под дифференциал в неопределенном интеграле.
Пример 4.1. J"sinJ xcosxt/x = J*sin3 xdsin x = [sin x=/] =
= ft3dt= — +C = ^-?-+C.
J 4	4
Здесь множитель cosx подведен под дифференциал и произведена замена переменной — подстановка <p(x)=sinx=t Новый интеграл — табличный.
/dx	f d In x г_ . p dt .Il _
—— = J —-----= [in x = /]=J — = In |z|+C=
= In|lnx|+C. Здесь под дифференциал подведен множитель 1/х, так как dx/x=dlnx Получившийся после подстановки интеграл — табличный.
2-е правило. В данном интеграле J = f f(x)dx делаем подстановку х = <р(/), в результате он преобразуется к виду:
394
Глава 1- Первообразная и неопределенный интеграл
J = f Ач>(1)](р'(1)Ж = f g(t)^ =F(t) +С Здесь g(t)= Z[«p(/)]«p'(r) Интеграл fg(i)di = F(t)+C предполагается известным. Тем самым интеграл J взят: J = F[y(x)]+C, где / = у(х) — функция, обратная для x=tp(t). Запись:
J = f f(x}dx = [х=у(Г)]= f /[w)]«p'(O<* = f g[t)dt =
= F(0 +C= f[yU)] +C.	(4.2)
Функция x = <p(z) предполагается дифференцируемой и осуществляющей взаимно однозначное соответствие между переменными х и t в рассмагриваемых областях их изменения. Эти требования обеспечиваются, если функция <р(/) строго монотонна и дифференцируема. Область изменения t выбирается такой, чтобы х принял все свои допустимые значения.
► Применяем свойство инвариантности формул интегрирования: из справедливости формулы f g(t)dt= F(f)+C вытекает справедливость формулы Jg[y(x)]itfy(x)= F[y(x)]+C Упростим запись интеграла в левой части последнего равенства. g[y(x)]=	, =/(*)•—так как ф(у(х)) = х, в си
лу того что функции у и у — взаимно обратные
и однозначные, а <р'(г)=—г— по правилу дифференцирования у (х)
обратной функции. Тогда fg[y(x)]r?y(x) = f /(х)—'—w'(x)dx = у'(х)
= ff(x)dx = J. Таким образом, 7=F[y(x)]+C. Формула (4.2)
доказана. ◄
Пример 4.3.
Г *=[' = '’ |, = Л1=<.2£Л=2.(£±1)-1л =
J	|а = 2«й|	J J z+1 J /+1
=2А^-7Т1)'"=2/'"-2/‘7ГГ=2('-,п|'+|()+С=
= 2(аД-|п|аД + 1|)+С.
Пример 4.4. Вычислить интеграл J —.^Х ;.
§ 4 Замена переменной в неопределенном интеграле 395
396
Глава 2. Интегрирование основных классов элементарных функций
Глава 2
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОСНОВНЫХ КЛАССОВ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1.	Всякая рациональная функция после преобразований может быть представлена как сумма многочлена и конечного числа элементарных (простейших) дробей четырех типов (§ 5 гл. 2, разд. 6):
I)
Ах + В х} + px+q
, 4)
Ах + В (x2+px+qy
Здесь А, В, а, р, q — вещественные числа, п — натуральное (и >2), р2 — 4#<0, т. е. корни квадратного трехчлена х2 +px+q— комплексные. Таким образом, интеграл от любой рациональной функции может быть сведен к интегралам от многочлена и элементарных дробей. Заметим, что интеграл от многочлена равен линейной комбинации табличных интегралов от степенных функций. Таким образом, задача интегрирования любой рациональной дроби сводится к вычислению интегралов от элементарных дробей.
2.	Интегралы от элементарных дробей
1)	= =
2)	f ——dx = A f (х-а)-<Цх-11)=Л(^^-+C =
J (х—аУ J ' '	-и +1
=----------г+С, (и >2).
„ г Ах+ В ,	.
3)	I —	ах. Выделим в квадратном трехчлене из
J х2 + px+q
знаменателя полный квадрат:
Теперь сделаем подстановку:
§ 1. Ишедлфование рациональных функций 397
. Р .	. Р 4о — р‘	,	_	, .
х+ =7; х=7——; -----= а", так как 4а— р~ >0.
2	2	4
г Ах + В ,	rA(l-p/2) + B А г ИЛ
I —-------Jx = I-,--г--dt = — I - г +
J Л +px+q J I +а	2J t +a
+(е-т)/р7^=7|п<'1+о!)+(е-т)^"в^+с
Далее нужно возвратиться к старым величинам.
Пример 1.1. Вычислить интеграл J = j——------^^х-
►х2 +6х+10=(х2 +2х-3+9)+1 = (х+3)2+1; х + 3 = Р, dx = dt.
«•4(7—3) + 1	/• 2tdt	f dt pd(t2+l)
J =	/1	= Д П -f !U-	, I 1	=
=21n(f2 +1)—\larctgt +C=2 In (x1 +6x+10)—llarc(g(.x+3)+C.<
4)	Перед интегрированием мементарной дроби 4-го типа в общем виде рассмотрим интеграл
Л.,=/
dz
Здесь подынтегральная функция — частный случай указанной дроби. Интегрируем по частям, полагая и = (аг +z2)1-*; dv—dz. Тогда du — (1—к){аг +z2)_*2z<tfe; v = z. Имеем
-2(Л-1’“Т^г-
Полученное равенство можно записать компактнее:
=, ,	+2(X-1V,_, -2(Л-1)оЧ,.
(a +Z )
Приведем подобные члены и перегруппируем слагаемые:
2(к- 1)д2Jk = }	1 +	~в у  Отсюда
398
Глава 2. Интегрирование основных классов элементарных функций
2(Л —1)а2
,(й2 +z2)*-*
-игл-зу,.,
(1.1)
Эта формула называется рекуррентной. Она позволяет последовательно шаг за шагом более сложный интеграл сводить к более простому и в конечном счете к табличному. Запишем формулу (1.1) подробнее:
f ф	= —!—, I	г	+ ак - з> f , А I
2(Л-1)О= [(<?+?)*' J (г!+Л)* 'J
к = 2, 3, ..	(1.2)
Аналогично доказывается полезная на практике формула:
(,3>
Рассмотрим интеграл от элементарной дроби 4-го типа с Ах + В
в обшем виде: J= 1 —------dx. Сначала в числителе дро-
J(x2+px+^)"
би образуем производную квадратного трехчлена (х2 + рх +д)'=2х+р. Тогда
J = г2х + Р dx^B-^f^-^_______________-
2J(x2+px+gy	2Г(х2+рх + ?Г
Первый интеграл сводится к интегралу от степенной функции, а во втором в знаменателе выделяем полный квадрат
у квадратного трехчлена и выполняем постановку так же, как
для элементарной дроби 3-го типа.

4д—рг _ ------. Полагаем х
+—=г, ———=а2. Тогда dx = dz, и по-2	4
лучаем:
J = jf(x2 +₽А +9)-И(Х2 +РЛ	(g,	=
= d.________!________+ (5-	f dz
2 (1-и)(х2+₽х+9),-и I 2)J(a2+ey'
Последний интеграл берется по рекуррентной формуле (1.2).
§ 1. Интарпюеаьие рациональных функции
399
Пример 1.2. Вычислить интеграл J =	dx.
 Зх+5 ,	3 с 2х+1	,	7 с dx
—;-------dt=- I —------rdx+- I-----------
(x2+x+l)- 2J(x2+x+l)2 2J (x + 1/2) +3/4
4’	2
7 r dz
2 J (г+3/4)’
Первый интеграл — табличный, второй находим по рекуррентной формуле.
3	1 t 7	1 Г z Г dz 1
2х2 +х + 1 2 2(3/4) [z2+3/4 J z2+3/4]
3	1	7 x+1/2	7 2 г
?------+ т' —5--+——^=arctg—f= +С =
2 х2+х+1 3 х2+х+| 3 Л ^3/4
7Х/3-3/2+7/6 14	(х + 1/2)2
=-------у--:----+—-i=arctg--7=--+С =
х2+х+1 3-Уз Л
7х—1	14	2х+1 „
=----------1 —= arctg —— +С.Я
3(х!+х + П зД	Д
3.	Интегралы от правильных рациональных дробей. Правильная рациональная дробь (степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя) разлагается на сумму только элементарных дробей Предполагается, что многочлен знаменателя разложен на произведение линейных и квадратных множителей, порождающих соответствующие элементарные дроби. Принципы разложения правильной рациональной дроби на элементарные дроби рассмотрены в гл. 2 разд. 6.
Пример 13. Вычислить интеграл J = f----+2)&
►Запишем разложение подынтегральной дроби на простей-хх	х	А В
шие с буквенными коэффициентами: -——-------------+—
Неизвестные коэффициенты А, В находим методом частных значений. Приводим дроби к одному знаменателю и приравниваем числители:
400
Глава 2. Интегрирование основных классов элементарных функций
(х-1)(х+2)
А(х+2)+В(х-1) (х—1)(х+2)
=» х= А{х+2) + В{х—I).
Полагаем в этом тождестве последовательно х = 1 и х=—2;
х = 1 |1 = ЗЛ	=> >4 = 1/3;
х =—г|—2 =—35 => 5 = 2/3.
х _ 1/3 , 2/3 (x-INx+l)-^ х+2' j_ 1 г dx dx _ 1 rd(x—1)^2 rd(x+2)_ “V ^Zi + 3-’ x+2x—1 +3"’ x+2
=ita|x-l|+|ta|x+2|+C^
/dx -------------_ x(x2 + 4x + 10)
►Запишем разложение подынтегральной дроби на простейшие с буквенными коэффициентами: --------------=
х(х2+4х+10)
А Вх+С „
= —I— --------. Приводим дроби к одному знамена гелю
х х2+4х+10
и приравниваем числители:
1 = Л(х2 +4х + 10)+(5х+С)х = (Л + 5)х2 +(4А +С)х+10А.
Применяем метод сравнения коэффициентов: если два многочлена тождественно равны, то равны их коэффициенты при степенях с одинаковыми показателями (разд. 6). Если соответствующая степень в многочлене отсутствует, то это означает, что коэффициент при этой степени равен нулю. Имеем:
0=А + В
0=4А+С 1 = 10/1
В=-А:
1	4
=>С=-4/1; отсюда В = - А = ~ —; С = -4А= — —.
10	10
=>/1 = 1/10;
10J х J
<-1/10)х-4/10	1 ... 1 г х+4	.
-------------dx = — In х--I---------dx =
x2 +4x+10	10	10J (x+2)2 +6
= — ln|x|—— f——^x + 2)—L f---------------1—--tf(x+2)=
10	1 10J (x+2)2 +6	10J (x+2)2 +6 '
(Замена: x + 2 = t)
§ 1. Интегрпюеание рациональных функции
401
1 . ,	| 1 г t	. 1 Г dt	1 ...	1	t
= —In x—- I —---dt—— I —-= In x---,aictg-
10	10J/2+6	5J/2+6	10	576	л/6
1 rd(t2 +6) 1	. . I t 1 . z , x
2o/vzr=ioln|j:|-iJarc,g^-26ln(' +6)+c=
= 1<)1П|Х|-5^аГС,г^’й)1П(Х,+4Л+ВД+С<
4.	Интегрирование неправильной рациональной дроби. Сначала неправильную рациональную дробь следует представить в виде суммы многочлена (или одночлена) и правильной рациональной дроби. Этот процесс называется выделением из дроби целой части. В любом случае его можно осуществить делением числителя на знаменатель «углом». Правильная рациональная дробь далее разлагается на сумму элементарных дробей, как указано в 3.
Пример 1.5. Вычислить интеграл J =	—-dx.
► Выделим из неправильной дроби целую часть делением «углом»:
Теперь запишем разложение полученной правильной дроби на простейшие с буквенными коэффициентами:
Х' +1 =- + ^±£; -х2 + 1 = Л(х2 +1)+(йх+С)х. х(х2 +1) х X2 +1
Числа А, В, С находим с помощью метода сравнения коэффициентов
х2-1 = А+В => В=-1-А;
х 0=С	=» C=ft
Х°1 = л => А = 1; В=-1-1 = -2.
х4+1 _	1_ 2х
х(х2 +1)”	х х2 +]’
J = f xdx + J —— J	^dx = ^- +ln|x| — In (1+x2) +C-4
402
Глава 2. Интегрирование основных классов элементарных функций
§2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАВИСЯЩИХ РАЦИОНАЛЬНО ОТ СИНУСА И КОСИНУСА
В jtom параграфе рассматриваются интегралы вида
J* 7?(sinx, cosx)t£c.
(2-1)
Здесь 7?(u,v) — функция, рационально зависящая от аргументов и, и. Это означает, что для нахождения значения функции над аргументами производятся только 4 арифметические действия.
Примером такой функции является функция
и + v v
R(u, v) = —-+-----uv+u+5.
и +4v и
1. Основные тригонометрические подстановки. Для отыскания интегралов вида (2.1) можно применить 4 типа подстановок, которые сводят интеграл (2.1) к интегралу от рациональной функции нового аргумента z-
Универсальная тригонометрическая подстановка;
Z = tg^.	(2-2)
Имеем
------=	г, COS X =	=-- i+ts!| 1+г----------------------1+и!| 1+г
Из (2.2) следует равенство — = arctg z или x=2arctgz.
ах =---Сведем все формулы вместе:
Отсюда
2z	l-z2 . 2dz	-.
=-----cosx =---------—; dx =-------(2.3)
Подставляя выт
rJ J-Z2
>ажения | 2Jz
(2.3) в интеграл (2.1), получаем
Исходный интеграл преобразовался
в интеграл от рациональной функции нового аргумента z-
§ 2. Интегрирование функций, зависящих рацижалыю от синуса и косинуса
403
J R, (z)dz, как говорят, — рационализировался. Действительно, рациональная функция от рациональных функций является функцией рациональной. Четыре арифметических действия над рациональными функциями также приводят к рациональной функции. Алгоритм интегрирования рациональных дробей описан в § 1.
П -> i f dx Г t х	1—z2
Пример 2.1. ► I--------= z = tg —, cosx =--
J 2+cosx [	2 l + z
,	2* | , 2*/(l + ?)
dx =------1 = I---г-------— =
l+z2J J 2+(l—z )/(l+z )
f rfc	2	z	- 2	tg(x/2)
= 2 I------ = -=arctg -—+C = —arctg--— + C. •<
J 3+z2 -Л	-Л -Л -Л
Универсальная подстановка иногда может привести к громоздким преобразованиям. В некоторых случаях более целесообразны другие подстановки.
Подстановка
z = sin х.
(2.4)
Она целесообразна, когда подынтегральная функция является нечетной относительно косинуса, т. е. справедливо равенство: /?(sin х, —cosx) = — /{(sin x,cos x). Тогда функция /{(sin x, cos x)/ cos x будет четной относительно cosx, следовательно, может быть приведена к виду, содержащему лишь четные степени cosx. Можно положить /{(sin х, cos х) / cos х — Д (sin х, cos2 х). Отсюда
/?(sinx,cosx)= /?, (sinx, cos2 x)cosx= /^(sinx, 1—sin2 x)cosx.
Получаем
J*/?(sinx, cosx)dx-J*/^(sinx, 1—sin2 x)cosxrfx = J R, (sin x, 1—sin2 x) J sin x = J* Д (z, 1— z2)dz ~ f R2 (z)dz.
Интеграл в результате подстановки (2.4) преобразовался в интеграл от рациональной функции.
Определение 2.1. Если в результате выполненной подстановки данный интеграл становится интегралом от рациональной функции, то говорят, что данный интеграл рационализировался.
404
Глава 2. Интегрирование основных классов элементарных функций
Пример 2.2. ► f cos* rfx = [sin х = г; dz = cosхdx]=
J sin x
= f^=f^=f^=4+c=--^+c. 4
J sin x J z J -2 2sin X
Подстановка
Z = COSX.
(2-5)
Она целесообразна, когда подынтегральная функция обладает свойством /?(— sin х, cos х)=—/{(sin х, cos х), т. е. является нечетной относительно синуса.
Выполнение подстановки (2.5) аналогично случаю (2.4).
Подстановка (2.5) в примере (2.2) тоже может быть выполне-с	Г
на, но приведет к более сложному интегралу —J	—.
Подстановка
z = tgx.
(2-6)
Она может быть применена, когда подынтегральная функция обладает свойством А(— sinx,—cosx) = /{(sinx,cosx) или pa-sin x
ционально зависит от tg х =-----, т. е. рассматривается инте-
COSX
грал J /{(tg x)dx.
Рассмотрим сначала последний случай. Из (2.6) следую! равенства
dz
х=arctg z; dx = —y.	(2.7)
Подставив (2.7) в упомянутый интеграл, имеем: jR(tgx)dx= R(z) г — интеграл рационализировался. Об-
щий случай сводится к этому. Имеем
/{(sin х, cos х) = R(tg х - cos х, cos х) = A, (tg х, cos2 х), ибо подынтегральная функция не меняет знак при замене cosx на (—cosx). Тогда
/{(sin х, cos х) = R I tg х, —I = R2 (tg x).
\ 1+tgx)
§ 2. Интегрирование функций, зависящих рации алиюот синуса и косинуса 405
Пример 2.3. Вычислить Г-----—,—.
J sin xcos x
/dx Г	. dx 1 c dx
—-------— = z = tgx, dz =—— = J—---------— =
sin XCOS X L	COS xj tg XCOS X
f(sec2x)2 dx f(l+tg2x)2 f(l+z2)2
= I----7-----т— = I-------j-tftgx= I----,--dz =
J tg3X COS X J tg X	J z
= j(r' +| + z)* = ^ + 21n|;| + y +C =
= ~2'; t2ln|.-| I |C = -'ll»’* I2ln|tg*| I 1.Г, •*
2. Интегралы вида J”sin" xcos" xdx, tn, n — натуральные числа. Интегралы этого типа — частный случаи общего вида интегралов (2.1). Если хотя бы одно из чисел т или п — нечетное, то выполняется подстановка (2.4) или (2.5).
Пример 2.4. Вычислить J sin4 xcos3 xdx.
►/sin4 xcos3 xdx=j"sm4 x(l—sin2 x)Jsinx=[z = sinx] =
= f z4d—z2)rfz=^—^-+C=ySins x—4sinJ x+C. ◄
J	5	7	5	7
Если же оба числа т, п — четные, то в принципе может быть выполнена подстановка (2.6), но она здесь нецелесообразна, так как приводит к громоздким преобразованиям. Целесообразно понижать степени синуса и косинуса, повышая кратность аргументов, с помощью формул
sinx cos х = — sin 2х: cos2 х = - (1+ cos lx):
1	2	(2.8)
sin2 x=—(1—cos2x).
Пример 2.5. Вычислить J” sin2 xcos2 xdx.
►J sin2 xcos2 xdx = J sin2 2xdx = ^J (1—cos4x)rfx =
= |x-^/cos4xJ(4x) = ^x-^sin4x+C. ◄
3.	Интегралы типа J tg"xdx; J cig" xdx, n — натуральное
число.
406
Глава 2. Интегрирование основных классов элементарных функций
В процессе вычисления этих интегралов последовательно понижается показатель степени подынтегральной функции. В результате получим табличные интегралы J*dx, j tg xdx, fctgxdx. Применяются формулы l+tg2x = sec2x, l+ctg2x = =cosec2 x. Имеем:
Jtg"xdx=f tg" 2x-tg2xdx = f tg" 2x-(sec2x—l)dr= = f tg-’xdlgx- f lg' ’*A= ' , tg" 'x- f tg-!xA.
J	J	n- 1 J
(2-9)
Получаем рекуррентную формулу ftg',xdr=—J—tg"-,x—J J	n-1 J
с помощью которой и происходит понижение показателя степени подынтегральной функции.
Пример 2.6. Вычислить интеграл Jtgixdx.
►J tg’xdr= f tgx-tg2xdx = J tg x(sec2x—l)dr=
= J tgxdlgx- Jtgxdx = ^^- + ln |cosx|+C.-^
Аналогично выводится формула
J ctg"xdx =--^—clg"' x- J ctg”2xdx.	(2.10)
Пример 2.7. Вычислить интеграл fctg2xdx.
►J"ctg2xdr=—ctg x— fdx= —ctgx—X + C.<l
4.	Интегралы типа j" sin rnx cos fix dx; J sin/nx sin их dr: f cosmxcosnxdx, m, n — натуральные числа. Для отыскания интегралов этого типа применяются формулы тригонометрии: sin mxcosnx = — [sin (m +n)x + sin (m — и)х];
sin mx sin«x= j[cos(m—и)х—cos(m +«)x];
cos znxcosnx = j[cos(m +«)x+cos(m —л)х].
Пример 2.8. Вычислить интеграл J\in3xcos2xdr.
§ 3. Интеджрование иррациональных функций 407
► J sin Зх cos 2х dx =	(sin 5х + sinx) dx =
=——cos5x— — cosx+C ◄
10	2
Замечание 2.1. Метод интегрирования в 4 сохраняется, когда т, п — вещественные числа.
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Интеграл вида
1ах+Ь /сх+л'1 , fx——. -	(3-0
Здесь /?(х, и, v) — рациональная функция своих аргу-п с - ж	ах + Ь
ментов. Дробно-линеиная функция-------, в частности, может
сх + q
быть линейной ох + b или просто аргументом х. Интеграл рационализируется подстановкой
ах + 6	.
----= z .
cx+q
(3.2)
где к — наименьшее общее кратное всех показателей т, ..., п радикалов: к = НОК(ли. ..., и).
С 1 11+х
Пример 3.1. Вычислить интеграл J = J— J----dx.
► Выполним подстановку:
et ’+1	4?	г t
Получим: J= I-------1— -----dt — ^ I-----------dt, интеграл
J t2-l (7 +1)- J (7J-1)(7J+1)
рационализировался. Подынтегральную функцию разлагаем на простейшие дроби, полагая t2 =z. Имеем:
+-^-; z=A (z + l)+5(z-l). z+1
(/2-1)(Р+1) (z-l)(z + l) Z-1
Применяем метод частных значений:
408_____________________Глава 2. Интегрирование основных классов элементарных функций
z=l I 1 = 2Л => Л = 1/2;|
Z = -1|-1 = -2B => В=\ 2. |
Пример 3.2. Вычислить интеграл J = J _______
►А=НОК(2, 3) = 6. Выполняем подстановку x = z6. Тогда
z=\fx: Jx = zi: yfx = z2: dx=f>zsdz.
J={^?=6{	z+l’ITi) 4=
= 6 (?/3-z2 /2+z—ln|z+l|)+C=2>/x—3Vx+6^x — -6In (Vx+1)+C.^
2. Интегралы вида	(x,Vfl2 — x2 }dx.
J R^x, V>'2 —о2	J R^x, yla2 +x2 У dx. Подстановками
x = asin/ или x=ocosR	(3,3)
о	a	.
x =--- или x =----,	(3.4)
sin?	cos/
x = atgr	(3.5)
соответственно эти интегралы сводятся к интегралу вида J>R(sin/,cosO dt, который во многих случаях бывает проще. В общем случае он рассмотрен в § 2.
;dx
. =.
§ 3. Интегрцжва1ие иррациональных функции
409
Пример 3.4. Вычислить интеграл J = f ——--dx.
1	,	COSzdz
.----	х = ——; dx = — —
rJx2-l	Sinz SinzZ
►J= f ------dx =	______ .----:---
X yjx2 -I — I -1- I S*”2 Z _cos*
\sin2z V sin2 z sinz
_ p cos z sinz -cos zdz	г cos2 zdz __ r (1—sin2 z)dz _
sinz sin2z J sin2 z sin2 z
= -J	—и f dz=ctgz+z+C.
sm~ z
Теперь вернемся к x: sin z = —, отсюда ctg2 z = —-1 = x2 — 1
x	sin2 z
и, следовательно, ctg z = -\lx2 —1, z= arcsin— Имеем:
i... ?___।	_______
J = J-----------dx=-Jx2 —1 +arcsin - +(?.◄
fVl+X
Пример 3.5. Вычислить интеграл J = J--—dx.
*'J=f^-dx=
j dz
x — tg z; dx=——
COS’ z
Jl+x2 = sec z = —-— cosz.
_ p 1/cosz . dz _
J sin2 z/cos2 z cos2 z
. C dz r cos Z . r	cos z	,
J - I-------= I-------5------= I-------------z—dz =
coszsin z cos’ zsin z (1—sin z)sin z
[sinz = f; z=arcsin/]—
= 1-ln|1±^k _L + C = lln|1 + Sin(arC1SJ)|---------------'-----
2 11—sinz | sinz 2 11—sin(arctg x) | sin(arctgx)
Так как sin(arctgx)= , то
410 Глава 2. Интегрирование основных классов элементарных функций
J 4 |п|?144р,|+/>+г=>п1^+н-^+с.
◄
3.	Интеграл от дифференциального бинома Дифференциальным биномом (иначе — биномиальным дифференциалом} называется выражение вида
xn(a+bxnydx.	(3.6)
Здесь л, b — вещественные, т, п, р — рациональные числа. Интеграл от дифференциального бинома имеет вид
<3.7)
В следующих трех случаях интеграл от дифференциального бинома рационализируется с помощью подстановки, если он содержал иррациональности.
1)	р — целое. Такой интеграл в общем случае — типа (3.1), когда дробно-линейная функция равна просто х.
2)	—	целое. Рекомендуется подстановка
и
a+bx”=zk,	(3.8)
где к — знаменатель p=sfk.
. т +1	г,
3)	h р — целое. В этом случае рекомендуется подста-
п
новка
ах-" +b = z\	(3.9)
где к знаменатель p=slk.
В остальных случаях интеграл не выражается через конечное число элементарных функций. Этот результат известен как теорема Чебышёва. доказательство которой выходит за рамки курса.
Рассмотрим указанные три случая подробнее.
► 1) р — целое. В общем случае имеем интеграл типа (3.1), рационализирующийся подстановкой (3.2) (если она нужна). К этому случаю, например, относятся интегралы,
§ 3. Интегрцюеа1ие иррациональных функции
411
2) ------ — целое. Применим подстановку a+bx” = zk, где
и
к — знаменатель p — s/k. Тогда
x=b ,"'(zk —д)1/я; nbx" 'dx=kz* 'dz; х" *dx = ^-zk 'dz\ nb
J x"‘ (a +bx" Y dx = J > ^"+' (a +bx) “ x”~'dx = =b~'” 4 f (z*	z” -z*~'dz=
nb J
= -b-'-"‘ f (z* -o)<—z'**-'* n
Показатели степеней (ш+1)/л—1 и s+k — 1 подынтегральных функций — целые числа, поэтому в результате подстановки под интегралом оказалась рациональная функция нового аргумента z — интеграл рационализировался.
Аналогично непосредственно проверяется, что и в третьем случае в результате подстановки (3.9) интеграл рационализируется. ◄
Пример 3.6. Вычислить интеграл J — Jx^l+Vx) dx.
► Здесь т = 1, и = 1/2, р=2 — целое. Возводим бином в квадрат и разбиваем интеграл на сумму трех интегралов.
J = f х(1+2д/х +x)dx = f xdx+2 f x2,idx+J’x2dx=
г Vl+x2
Пример 3.7. Вычислить интеграл J = J----dx.
►J = J*x"1 (l+x2y,2dx. Здесь m=—1, n=2, p-l/2. Так как
(m +1) -1+1
-----=-----=0, то имеем второй случаи. Тогда выполняем
подстановку
l+x2=z2; 2xdx = 2zdz, xdx=zdz\ Vl+x2 =z. J = f ^-xdx = Jprj = j =
412 Глава 2. Интегрирование основных классов элементарных функций
rVl+x2
Пример 3.8. Вычислить интеграл J = J------—dx.
— j’x~2(l+x2)*dx, адесь m = —2,n = 2,p=l/2. Так как (т + 1)/п + р=0 — целое, то имеем третий случай. Выполняем
подстановку х 2 +\ = z2- Тогда -2x~idx=2zdz=> xidx=~zdz; х2
Замечание 3.1. В примере 3.7 демонстрируется общий метод интегрирования дифференциальных биномов, относящихся к третьему случаю В силу сравнительной простоты интеграла (а демонстрацию метода следует проводить на простом примере) его можно взять и с помощью других приемов, может быть и проще. Например, можно сделать подстановку х = tg;
rVl+x2
или x=shz или представить интеграл в виде: J--------—dx=
г 1+х2 f(l/x)d(l/x) f dx
= |---- ax= I --------------+1	и затем в первом
J a\'i ix' J +i J a ix’
интеграле выполнить подстановку: y = l/x.
§ 4- Понятие о небодщмхся интегралах
413
§4. ПОНЯТИЕ О НЕБЕРУЩИХСЯ ИНТЕГРАЛАХ
Определение 4.1. Интеграл называется неберущимся, если он не выражается через конечное число элементарных функций, т. е. если сам не является элементарной функцией.
Интеграл от дифференциального бинома, рассмотренный в § 3, дает примеры неберущихся интегралов в случаях, отличных от трех рассмотренных.
Примеры других неберущихся интегралов:
fe- dx. f^dx	f^dx. Jsinj'A.
fcosx2dx, f A* J	J IP (v\
где Pn(x) - многочлен выше второй степени. Интегралы последнего типа берутся только в частных случаях.
414 Глава 3. Определенный интеграл, его свойства и методы вычисления
Глава 3
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО СВОЙСТВА И МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 1.	ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА, ЕГО ФИЗИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
И НТЕГРИ РУ ЕМОСТИ
1.	Понятие определенного интеграла. Рассматривается функция f(x), вданная на отрезке [а, А].
1)	Отрезок [а, А| разбивается на и произвольных частичных отрезков точками х„=а, х,, х,......хг=Ь. При
этом a<xl <х} <...<хл1 <хя —Ь (рис. 1.1).
2)	В каждом частичном промежутке [хд_|Т xf| выбирается произвольная точка (х <£*<хл).
3)	Значение функции в точке умножается на длину Л-го частичного промежутка: Дхл = хА—х4_,. т. е. вычисляется произведение /(^л )Дхл .
4)	Составляется сумма всех этих произведений
= ^/(^t)AxJl., называемая интегральной суммой или суммой
Римана.
5)	Величина Х = тахАх₽ называется рангом дробления промежутка [а, />] на час^и. При А.-*О длина каждого частичного промежутка стремится к нулю.

•*А-1 хк
Рис. 1.1. Разбиение промежутка (а, Ь]
Определение 1.1. Если при X-» 0 существует конечный предел интегральной суммы стн, не зависящий ни от способов дробления промежутка [о, Ь\ на частичные, ни от способов выбора точек то он называется определенным интегралом от функции /(х) по промежутку [а, А] и обозначается символом
J* f(x)dx. Итак,
§ 1. Понятие определенного интеграла, его физический и геометрический смысл -415
//Ы<Ь = Пт	(1.D
Предельное равенство (1.1) понимается так. Для Ve>0 H S>0 такое, что как только Х<5 (т.е. отрезок [с, />] разбит на части с длинами Дх, <5, к = 1,2, ... , п), неравенство - jЛ*)<ь|<Е верно при любом способе разбиения промежутка [я, й] на частичные и любом выборе точек к = 1,2, ... , п. На этот новый вид предела распространяются многие известные теоремы о пределах.
Переменная х под знаком интеграла называется переменной интегрирования (интеграции), функция f(x) — подынтегральной функцией, числа а, Ь — пределами интеграла (нижним и верхним), произведение f(x)dx — подынтегральным выражением.
Функция, для которой существует определенный интеграл по заданному промежутку, называется интегрируемой по этому промежутку.
Оказывается, что не всякая функция является интегрируемой.
Пример 1.1. Показать, что функция Дирихле (1805—1859. немецкий математик)
[1, если х—рациональное число;
[О, если х—иррациональное число
неинтегрируема на произвольном промежутке [а, />] вещественной оси.
► Разобьем промежуток [а, 6] на п произвольных частей так, как указано в определении определенного интеграла. Выберем в каждом частичном промежутке [хА_,, хА] произвольную точку 1=1,2,... ,п и составим интегральную сумму для функции Дирихле и промежутка [а, Л| двумя способами:
а) ст' = ^/(дА)ДхА, все точки — рациональные, поэто-*=i
му /(£*)=! и ст; = 2Дх*
*=1
6)	а;=2/е,)дх,, все точки — иррациональные, потому /(£,)=О и с"=0.
416 Глава 3. Определенный интеграл, его свойства и методы вычисления
Предел постоянной величины равен ей самой, поэтому при Х->0 limo\ — b—a, limo" =0. Это означает, что предел интегральной суммы зависит от способа выбора точек 4,. поэтому 3/ f{x)dx для функции Дирихле.-^
2.	Необходимое условие интегрируемости. Укажем необходимое и несколько достаточных (без доказательства) условий интегрируемости функций. Они указывают классы интегрируемых функций.
Теорема 1.1 (необходимое условие интегрируемости). Если функция интегрируема по промежутку [а, Ь], го она необходимо ограничена на [a, bj
► Предположим противное, что функция f(x) не является ограниченной на [о, Ь\, но имеет конечный интеграл *
J = J* f(x)dx. Возьмем произвольное е>0. По определению интеграла, существует число 5>0 такое, что при любом разбиении промежутка [о, 6] на частичные промежутки и при выполнении условия Х<8 будет выполняться неравенство |оя — /|<е, которое эквивалентно двойному неравенству
J—e<o(i<J+e.	(1-2)
Неравенство (1.2) выполняется при любом выборе точек (Л = 1,2, ... , я) на частичных промежутках.
С другой стороны, неограниченная на [а, Ь\ функция не ограничена хотя бы на одном частичном промежутке, пусть на [хю_,,хт]. Тогда за счет выбора точки на этом частичном промежутке можно сделать значение функции /(^в), следовательно, и произведение /(^т)Дхлг, а потому и всю интегральную сумму о, сколь угодно большой по модулю, в частности, выходящей за пределы интервала (1.2). Полученное противоречие доказывает теорему. ◄
3.	Достаточные условия интегрируемости. Классы интегрируемых функций
Теорема 1.2. Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [<7, />], то она интегрируема по этому промежутку.
Теорема 1.3. Если определенная и ограниченная на замкнутом промежутке [а, Ь\ функция непрерывна на нем, за исключением, быть может, конечного числа точек, то она интегрируема по этому промежутку.
§ 1. Понятие определенного интеграла, его физический и геометрический смысл .417
Доказательства теорем 1.2 и 1.3 приведены, например, в [1. 10].
Указанные два класса функций в теоремах 1.2 и 1.3 практически исчерпывают все функции, встречающиеся в приложениях. В дальнейшем рассматриваются только эти классы функций.
4.	Физический смысл интеграла. Укажем несколько вариантов физической интерпретации интеграла.
1)	Задача о пути. Путь, пройденный материальной точкой со скоростью v(t) за время от момента Т} до момента Г,, равен определённому интегралу от скорости по промежутку времени движения:
s = fv(l)dl.	(1.3)
К этой формуле приводят следующие рассуждения. Путь s, пройденный материальной точкой за время движения с постоянной скоростью к равен произведению скорости v на время движения (Т2—7]): s = v(7’J—7]). В случае если скорость непостоянна, путь $ находят с помощью предельного процесса, который лежит в основе понятия определенного интеграла. Промежуток времени [7], 7",] делят на и произвольных частей моментами 7] = т0 </, <...<tn —Т-,. В каждом частичном отрезке [/* 1’^*1 выбирают произвольный момент и вычисляют значение скорости v (£,.) Все частичные отрезки полагают достаточно малыми, так что скорость у(г) в пределах каждого меняется незначительно. Ее считают приближенно постоянной в пределах каждого А-го отрезка и совпадающей с v (£,,), А = |, 2,... . п. Тогда путь, пройденный материальной точкой за время	с постоянной скоростью v(^*), равен
v (!;*)(/*	а для всего пути за промежуток времени [7], Г,] получаем равенство: sM	Величина
пути sn при таком воображаемом движении приближенно равна истинному пути s: s-s*. Это приближенное равенство будет тем более точным, чем мельче дробление промежутка 17], 7",] на
части По определению полагают s = lim г (%* )А/( =
=	где А. = max Аг*. Получили формулу (1.3).
418 Глава 3. Определенный интеграл, его свойства и методы вычисления
2)	Задача о массе стержня. Масса т прямолинейного стержня, расположенного в пределах отрезка [й, Ь\ оси Ох с линейной плотностью распределения массы р(х), равна определённому интегралу от плотности по [а, й]:
т — /р(л)Л.	(1.4)
К формуле (1,4) приходя!, рассуждая так же, как в задаче о пути. Отрезок [й, й] делят на и произвольных частей точками а=хи <х, < ...<х„ =Ь. В каждом частичном промежутке [х(ч, хА] выбирают произвольную точку к — 1, 2,... , п (рис. 1.1), в ней вычисляют значение линейной плотности р(£Д Предполагают, что дробление промежутка [и, й] на части настолько мелкое, что в пределах каждого частичного промежутка плотность р(х) меняется незначительно. В пределах промежутка [хд_(, xj ее считают постоянной и равной р (<;*). Тогда масса части стержня, расположенной на промежутке [х(|, хА], приближенно равна р(^(,)Дх)., а для массы т всего стержня получаем приближенное равенство: т»^р(^*)Дх*.
Это равенство гем более точное, чем мельче дробление, т. е. чем меньше ранг дробления Х=тахДх<1. По определению полагают т = У(р(%*)Ах* = fp(x)dx. Пришли к формуле (1.4).
»=1	а
3)	Задача о работе переменной силы, действующей вдоль прямо швейного пути. Работа А переменной силы F(x), действующей вдоль пути и перемещающей материальную точку в пределах отрезка (я, й] оси Ох, равна определенному интегралу от силы по отрезку пути:
.
А = J" F(x)dx.	(1.5)
Формула (1.5) обосновывается так же, как две предыдущие. Промежуток [я, й] разбивают на п произвольных частей точками а = х0 < х( <... < хя = Ь. В каждом частичном промежутке [х(_,, х*] выбирают произвольную точку к = 1, 2,... ,п (рис. 1.1). Работа силы F(x) на частичном промежутке х*] приближенно равна F(^*)AxJt, а для всей работы А получаем приближенное равенство: Л «	F(%t) Дх*. Это
§ 1. Понятие определенного интеграла, его физический и геометрический смысл .41S
равенство тем более точное, чем меньше ранг дробления Х = тахДх.. По определению полагают к *
Л = lim jp F(£J Дх* = J F(x)dx.
5. Геометрический смысл интеграла. Рассмотрим плоскую фигуру, называемую криволинейной трапецией. Это фигура, ограниченная графиком функции у = /(х), осью абсцисс и прямыми х = а и х = b (рис. 1.2).
Если функция fix) > 0 и непрерывна на отрезке [а, А], то площадь 5 криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и опирающейся на отрезок [а, Ь\, равна определенному интегралу от функции fix) по [а, £>]:
5=J/(x)rfx.
Рис. 1.2. Криволинейная трапеция
(1.6)
Эвристические рассуждения, приводящие к формуле (1.6), опираются на интуитивные представления о плошали плоской фигуры, полученные в средней школе. Они аналогичны выше-примененным в физических задачах Разобьем отрезок [а, А] на п произвольных частичных промежутков точками а = х0 < х, <... < хя = b	В каждом частичном промежутке
[х*,, х*] выберем произвольную точку к = 1, 2,... , п, и на нем, как на основании, построим прямоугольник с высотой /(^*) и площадью /(^*)Дх*. Получим ступенчатую фигуру (рис. 1.3), плошадь которой равна сумме плошадей составляющих ее прямоугольников: s„ =^/(^*)Дх*. Площадь ступенчатой фигуры приближенно равна площади криволинейной трапеции: = 5. Это приближенное равенство тем более точно, чем мельче дробление промежутка [а, 6] на части. Пусть X = max Дх,. Полагают: к *
5=!'™	=j fwdx.
Глава 3. Определенным интеграл, его свойства и методы вычисления
из прямоугольников, с площадью, приближенно равной площади криволинейной трапеции
Пришли к формуле (1,6), »
Пример 1.1. Показать, что J* dx = b—a.
►Jjx=lim^Axi =Нт(х, -х0 +х2-х, + ... 4-xn-x„_,)=
= 1йп(х11-х0)=й-а. ◄
Этот интеграл геометрически интерпретируется как площадь прямоугольника с основанием Ь—а и высотой 1.
§ 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Изучаемые далее свойства определенного интеграла позволяют вывести формулу для его вычисления (формула Ньютона Лейбница), а также облегчают действия с интегралами. Будем считать, что все нижефигурирующие функции интегрируемы на соответствующих промежутках.
Прежде всего, заметим, что определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т, е.
J /(х) dx= f f{t)dt.
(2-0)
►Действительно, интегральные суммы при данном разбиении промежутка [о, й] и данном выборе точек на частичных промежутках будут одинаковыми для функций /(х), хЕ[а, й], и
§ 2. Свойства определенного интеграла
421
/(/), /е [я, />]. Поэтому интегралы в формуле (2.0) будут равны в силу определения определенного интеграла. ◄
Свойство 1 (об интеграле с равными пределами). По определению примем:
ff(x)dx = 0
(2.1)
Интеграл в равных пределах равен нулю. Равенство (2.1) принимается по определению с целью распространения понятия определенного интеграла на промежуток нулевой длины.
Свойство 2 (о перемене местами пределов интегрирования).
По определению примем:
J /(x)Jx=-J f(x)dx.
(2-2)
При смене местами пределов интегрирования интеграл меняет лишь знак. Равенство (2.2) распространяет понятие определенного интеграла на случай разбиения отрезка [а, й] на п частей с нумерацией точек разбиения в направлении от b к а, тогда в интегральной сумме все разности Дх* = хЛ—хд_, <0.
Эти два свойства расширяют применение понятия определенного интеграла на случаи, не охваченные его первичным определением.
Свойство 3 (линейность интеграла).
ДС|/. (x)+C,/,(x)]dx=C, J/, (x)dx+C, f ft(x)dx. (2.3)
Частные случаи.
(2.4)
Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла.
2)	)[/,(л>±/2(х)]йх = j/,(x)dx± ff,(x)dx. (2.5)
Определенный интеграл от суммы или разносги функций равен сумме или разносги определенных интегралов от слагаемых.
422 Глава 3. Определенный интеграл, его свойства и методы вычисления
►	Составим интегральную сумму для функции С,^(х)+С,/2(х), предполагая, что произведены разбиение промежутка [а. А] на части и выбор точек (к = 1. 2______.л) Бу-
дем иметь:
Поскольку функции	предполагаются интегрируемы-
ми, то при к = max Дх* -»0 каждая интегральная сумма стремится к соответствующему интегралу. В пределе получим доказываемую формулу. ◄
Свойство 4 {аддитивность интеграла по промежутку) Если промежуток [а, А] точкой с разбит на два промежутка [а, с] и к, ^1, то определенный интеграл от функции /(х) по всему промежутку равен сумме интегралов от этой функции по частичным промежуткам:
f f(x)dx = J /(х) dx+f f(x)dx.	(2.6)
►	В силу предположенной интегрируемости функции f(x) можно провести разбиение промежутка [о, А| на части так, чтобы точка с оказалась одной из точек деления (рис. 2.1). Предел интегральных сумм по определению интеграла не зависит от способа дробления. Составим интегральную сумму для промежутка [о, А]. Ее обозначим о([с,А)). Эта сумма разобьется на две интегральные суммы, соответствующие промежуткам [а, с] и [с. А]. Их обозначим ст([«,с|) и o([c,Aj) соответственно. При этом выполняется равенство:
<т(|»,Л|) = п(|„,г|) |с([г,Л|).	(2.7)
Рис. 2.1. Разбиение промежутка на части, при котором точка с является одной из точек деления
Увеличение числа л точек дробления будем производить так, чтобы точка с всегда оставалась одной из точек дробления. Тогда при Z = maxAx;-»O каждая из интегральных сумм из равенства (2.7) с/ремится к соответствующему интегралу. В пределе получаем доказываемое равенство, -я
§ 2. Свойства определенного интеграла 423
Замечание 2.1. Свойство 4 остается справедливым, если точка с совпадает с концами промежутка или находится вне промежутка [о, А].
► Рассмотрим, например, случай, когда а<Ь<с. Тогда по с b »	Ь с I с Л
доказанному ранее имеем- J = J + J* Отсюда
так как J*=—J. Для краткости здесь опушена запись подынте-
гральных выражений. ◄
Свойство 5 (о знаке интеграла}. Определенный интеграл от функции, неотрицательной на промежутке интегрирования, также неотрицателен:
ь
/(х)20; х£|й, й]: (a<b)=»f f(x)dx>Q.
► Составим интегральную сумму для функции f(x) по промежутку [а. й|: ся= ^f(^t)Axk. Так как /(^д)г0 и Дх* >0 для любого k = 1, 2,... , п, го все слагаемые в п„ и сама эта сумма неотрицательны. Поскольку предел неотрицательной переменной ст,. при Л-»0 неотрицателен. то ь
lim cw = J* f(x)dx 20. ◄
Замечание 2.2. Можно доказать (см., например, [I]), что если функция /(х)>0 на [о, Ь\ строго больше нуля на некотором отрезке [а,р]С[о,й], то и интеграл от этой функции по всему промежутку [а, й] также строго больше нуля.
Свойство 6 (об интегрировании неравенства). Если на отрезке [и, й], для функций f(x) и <р(х) справедливо неравенство /(х)<<р(х), то и для интегралов от этих функций верно неравенство: ь	ь
JoWdx.	<2.«)
Геометрически при f(x)>0 это означает, что для площадей S,, Sj криволинейных трапеций, ограниченных графиками функций у = /(х) и у = <р(х), выполняется неравенство: 5, <5,, при этом обе трапеции опираются на промежуток [а, й] (рис. 2.2).
424 Глава 3. Определенный интеграл, его свойства и методы вычисления
► Рассмотрим разность <р(х)—/(х), <р(х)— /(х)>0 на отрезке
[а, 6]. Тогда J*[<p(x)—/(x)]dx>0 (свойство 5) и J<p(x)dx—
-f f(x)dx>0 и j f(x)dx<Jtp(x)dx. ◄
Свойство 7 (об оценках интеграла}. Если в промежутке интегрирования [«, Ь\ функция Дх) удовлетворяет неравенству т</(х)<Л/, то справедливы следующие оценки интеграла снизу и сверху:
m(b—а)<= §f (x)dx< M(b—a).	(2.9)
Геометрически при m>0 это свойство означает, что площадь криволинейной трапеции, выраженная данным интегралом, не меньше площади входящего прямоугольника и не больше площади выходящего прямоугольника (рис. 2.3).
► Пользуясь свойством 6, проинтегрируем неравенства tn< /(х)< М-. j mdx<f f(x)dx<f М dx или mfdxsf f(x)dx<
ь	t
<Mfdx. Ho fdx = b—a (пример 1.1), поэтому приходим к со-
отношению (2.9). ◄
Свойство 8 (об оценке модуля интеграла). Модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции: | J/(x)tfx|<	а<ь-
(2-Ю)
§ 2. Свойства определенного интеграла 425
► Проинтегрируем очевидное неравенство -|/(х)|< /(х)<
<|/(х)|, получаем: -J|/(x)|Jx< J/(x)x< $\f(x)\dx (свойство 6)
IЛ I ь
или f/(x)cW<f |/(x)|cfr (свойства абсолютных величин). Ч
^Свойство У (неравенство Коши — Буняковского — Шварца).
fl Р Р
ЛхМлМл < Л А)*' Jfg’W*. (2.11)
► Если хотя бы одна из данных функций тождественно равна нулю на отрезке [я, й], то соотношение (2.11) очевидно. Далее считаем, что каждая из этих функций отлична от нуля на каком-либо отрезке, содержащемся в [a, bj При V?. €Е R ь
справедливо неравенство J*[/(x)+Ag(x)]2Jx>:0 (свойство 5).
Возводя в квадрат сумму под знаком интеграла и применяя
ь	ь
свойство линейности, получим: X2 fg2(x) dx+2Х f f(x)g(x)dx +
+J'/2(x)Jx>0 Положим fg2(x)dx=A; f f(x)g(x)dx= B;
ь
f f2(x)dx=C. Последнее неравенство принимает вил
АХ2 +2ВХ+С>0, где X<ER. А, С>0 (замечание 2.2). Отсюда следует, что для дискриминанта квадратного трехчлена
АХ2 +2ВХ+С верно неравенство: (2В)2 — 4ЛС<0. т. е. В2 <АС. Заменим А, В,С равными им интегралами:
f J /№И*) s (j/ (x)<frj [ J s' (x)<fr|
Извлекая из обеих частей этого соотношения арифметический квадратный корень, приходим к формуле (2.11). Ч
Частный случай. g(x)=L Тогда неравенство (2.11) принимает вид
|f/(x)dJ If f2(x)dx
(2-12)
426 Глава 3. Определенный интеграл, его свойства и методы вычисления
Свойство 10 (об устойчивости интеграла). Пусть функция f(x) интегрируема по промежутку [а, А]. Если в конечном числе точек промежутка (о, Ь] изменить значения функции, оставив ее ограниченной, то от этого интегрируемость функции не нарушится и величина интеграла не изменится.
Доказательство этого свойства приведено, например, в [10].
§ 3. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ
НА ПРОМЕЖУТКЕ
Теорема 3.1. Пусть функция Дх) на промежутке [а, А] удовлетворяет неравенствам т <Дх) < М. Тогда существует число р, заключенное между теми же пределами т и М, т < р. < М, такое, что имеет место равенство
J f(x)dx=р(Ь~а).	(3.1)
► Сначала предположим, что а<Ь, тогда Ь—й>0. Применим свойство 7 об оценках интеграла: m(b—а}< J*f(x)dx<
1 6
<М(Ь—а) или т~1>---------------f М- Положив
1 ь	'I
р = -— J* f(x)dx, найдем, что т<р< М и ц(Ь—а)= f f(x)dx.
При а = Ь формула (3.1) остается справедливой, ибо тогда обе ее части равны нулю. Если а>Ь, то Ь< а, и для промежутка [f>, о] по доказанному имеем J*f(x)dx — p(a—b). Отсюда t	>,
—ff(x)dx=—p(b~a) и J*f(x)dx = p(b—a). Все случаи рассмот-
рены. Теорема доказана. ◄
Геометрический смысл равенства (3.1) Если функция Дх)>0 на отрезке [«, />], то площадь криволинейной трапеции, выраженная интегралом из (3.1), равна плошади прямоугольника с основанием (Ь — а) и высотой р (рис. 3.1). Число р выбирается так, чтобы площадь части трапеции, находящейся вне прямоугольника, равнялась площади части прямоугольника, находящейся вне трапеции.
§ 3. Теоремы о среднем для определенного интеграла Среднее значение функции—427
Теорема 3.2. Если функция f (л) непрерывна на отрезке [с, Ь] то в этом промежутке существует точка с такая, что выполняется равенство
f f(x)dx = f(c)(b-a).	(3.2)
Геометрическая интерпретация равенства (3.2) показана на рис. 3.1. В этом случае р = Де).
► Функция Дх) непрерывна на отрезке [о, Ь], поэтому она принимает на этом отрезке свои наименьшее и наибольшее значения: т и М (теорема Вейерштрасса). Отсюда т < fix) < М на [с, А]. Тогда верна формула
(3.1):	=	где р:
т < р < М По теореме Больцано — Коши функция fix) принимает это
промежуточное значение р в некоторой точке с отрезка [с, />]: Р = fid) и формула (3.1) переходит в формулу (3.2). ◄
Определение 3.1. Число р из теоремы о среднем 3.1 для интеграла, определяемое равенством
U'
Рис. 3.1 Геометрическая иллюстрация теорем о среднем 3.1 и 32 для определенного интеграла
1 ь
м=-— f/miix.
b—a ,,
(3.3)
называется средним значением функции fix) на промежутке [о, 6] (точнее интегральным средним функции на промежутке).
Замечание 3.1. К формуле (3.3) можно прийти естественным путем, который и объясняет название «среднее» для величины р. Разобьем промежуток [а, й] на п частей равной длины &х = (Ь—а)/п точками а = х0, х,, ... , хк=Ь. Рассмотрим среднее арифметическое значений функции в точках деления:
№„)+;+^.)=ll№1)=_l_.^g№1)=
=г!-У/(х1)дх - 2-ffWx.
b-a~ ^»b—aJa
428 Глава 3. Определенный интеграл, его свойства и методы вычисления
Пример 3.1. Найти среднее значение функции у = х2 на промежутке [0, 2|.
*Теорема 3.3 (обобщенная теорема о среднем для интеграла). Пусть функция Дх) на промежутке [с, й] удовлетворяет неравенству т < f (х) < М, а функция р(х), называемая весовой, неотрицательна. Тогда между т и М существует число р, т < р < М, такое, что имеет место равенство
fp(x)f(x)dx = pfp(x)dx.	(3.4)
► Умножим все части неравенства m<f(x)<M на р(х) и проинтегрируем получившееся неравенство по промежутку [о, А], получим
т J p(x)dx < f р (x)f(x)dx <М f p(x)dx.	(3.5)
Рассмотрим два случая
1) Jp(x)dx = 0. Тогда из (3.5) следует, что и
f p(x)f(x)dx=0. В этом случае слева и справа в формуле (3.4) стоят нули, поэтому формула (3.4) верна.
2) Jp(x)dx>0. Разделим все части неравенства (3.5) на »
число fp(x)dx>0:
т < f p(x)f(x)dx7 fp(x)dx<M.	(3.6)
§ 4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом Теорема Барроу 429
ь	ь
Положим р = f p(x)f(x)dx fpMdx. Отсюда
*	ь
Jp(x)f(x)dx=pJ'p[x)dx. Из неравенства (3,6) заключаем, что
т<у<Л/. ◄
Определение 3.2. Число р из обобщенной теоремы 3.3 о среднем для интеграла, определяемое равенством
ь	ь
Р = J p(x)f(x)dx f p(x)dx,	(3.7)
называется средневзвешенным значением функции J(x) на промежутке [а, А] при весовой функции р(х). Предполагается при этом, что J p(x)dx>0.
Замечание 3.2. К формуле (3.7) можно также прийти с помощью предельного перехода, как для формулы (3.3). Первая из них является более общей. Формула (3.3) получается из (3.7) при р(х)=С=const. Формула (3.7) применяется в теории
вероятностей для нахождения среднего значения случайной величины. Рассмотренные формулы (3.3) и (3.7) указывают ещё на одну роль определенного интеграла как оператора усреднения значений функции.
Пример 3.2. Найти средневзвешенное значение функции /(х)=х2 на промежутке [О, 2J при весовой функции р(х) = х.
► Заметим, что на [0, 2] выполняются соотношения:
0<х’<4; fp(x}dx = Jxdx = — о	с 2 |t
=2>0. Тогда по формуле
г	, г	1г,	1 X4 I	116
(3	.7) имеем: p = Jx-x2dx fxdx=—fx3dx =-—  — = 2.
в	।	2 0	2 4 |о 2 4
Отметим, что 0<2<4. ◄
§4	. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ
ПРЕДЕЛОМ. ТЕОРЕМА БАРРОУ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА
Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом
Ф(л)=	(4.1)
430 Глава 3. Определенный интеграл, его свойства и методы вычисления
Он является функцией верхнего предела х.
Теорема 4.1 (о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом). Если функция f(x) интегрируема по промежутку [с, й] и хЕ[о, й], то функция Ф(х) из (4.1) непрерывна в промежутке [с, й].
► Доказательство теоремы опирается на ряд свойств интеграла, верных для любой интегрируемой функции, но в нашем курсе обоснованных для класса кусочно-непрерывных функций, наиболее важного для практических приложений, которым мы и ограничиваемся в наших рассмотрениях. Доказательство свойств интеграла, а стало быть и теоремы 4.1, для общего случая интегрируемых функций приводится в более подробных курсах, например в [10].
Придадим аргументу х функции Ф(х) приращение Дх такое, что точка х+Дх не выходит за пределы рассматриваемого промежутка [о, й]. Тогда
Ф(х4-Дх)= J f(f)dt = f f(t)dt + J f(t)dt. Отсюда
ДФ(х)=Ф(х+Дх)—Ф(х)= f f(t)dt = рДх. (4.2)
Здесь к интегралу применена теорема 3.1 о среднем. Число р находится между точными границами т' и М' функции /(х) в промежутке между точками х и х+Дх, потому и подавно между постоянными границами т и М функции на отрезке [о, й], существующими ввиду ограниченности функции /(х), интегрируемой на [с, й] (теорема 1.1). Итак, ДФ(х)=цДх-»0 при Дх-»0, что и доказывает непрерывность функции Ф(х) в точке х. Так как точка х — любая из [с, й], то доказана непрерывность Ф(х) на [о, й]. ◄
Теорема 4.2 (теорема Барроу, Барроу И. (1630—1677) — английский математик, учитель Ньютона). Если функция /(х) непрерывна в промежутке [а, й], то для Vx Е [а, й] справедливо равенство Ф'(х)=/(х):
-^-Ф(х)= ^-f f(t)dt = /(х).	(4.3)
dx dx“
Итак, производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, взятой на верхнем пределе интегрирования.
§ 4. Определенный ингеграл с переменным верхним пределом Теорема Барроу 431
► Для приращения функции Ф(х) при доказательстве теоремы 4.1 получено равенство (4.2):
ДФ(х) = Ф(х +Дх)-Ф(х) = f f(t)di.
К интегралу применим теорему о среднем (формула (3.2)), получим:
ДФ(х) = /(с)Дх или ДФ(х)/Дх= /(с), где точка с принадлежит отрезку с концами х и х+Дх. Отсюда Ф'(х)= lim ДФ(х)/Дх= lim f(c)= f(x),, ибо при Дх-»0 точка с стремится к точке х, и /(с)-*/(х) ввиду непрерывности подынтегральной функции. ◄
* Замечание 4.1. В общем случае, когда подынтегральная функция не является везде непрерывной в промежутке интегрирования, равенство (4.3) сохраняется во всех точках непрерывности подынтегральной функции.
► Используем обозначения и результаты доказательства теоремы 4.1.
Ф(х) = J f(t)df, ДФ(х)=Ф(х+Дх)—Ф(х)=р-Дх,
где ш'<р< М'.
Имеем ДФ(х)/Дх = р. Функция f (t) непрерывна в точке г = х, поэтому для Ve>0 найдется 5>0 такое, что при |Дх|<5 неравенство /(х)—е< /(/)< /(х)+е будет выполняться для всех значений t из промежутка с концами х и х+Дх. Так как т' и М' — точные границы / (/) на этом промежутке, то верно неравенство:	/(х)—е < т'<р < М'< /(х)+е	или
/(х)—е<р</(х)+е. Отсюда заключаем, что limp = /(x) и Ф’(х)= lim ДФ(х)/Дх= limp = /(х). ◄	Лх"°
Следствие из теоремы Барроу. Для всякой непрерывной на отрезке [а, Ь\ функции Дх) существует в этом промежутке первообразная. Одна из первообразных для fix) есть интеграл с переменным верхним пределом (4.1).
Теорема Барроу имеет огромное теоретическое и практическое значение. С одной стороны, она устанавливает связь между двумя самостоятельно развитыми ветвями математического анализа — теориями неопределенного и определенного интегралов. С другой стороны, она дает важнейший способ вычисления определенного интеграла с помощью первообразной подынтегральной функции. Этот способ известен как
432 Глава 3. Определенный интеграл, его свойства и методы вычисления
формула Ньютона — Лейбница, рассматриваемая ниже. Формула Ньютона — Лейбница в средней школе служила определением определенного интеграла. Здесь она выводится, так как определенный интеграл определялся иначе, как предел интегральной суммы.
Теорема 4.3 (формула Ньютона — Лейбница, Лейбниц Г. (1646—1716) — немецкий математик, физик, философ). Определенный интеграл от функции, непрерывной на промежутке [о, />], равен разности шачений любой её первообразной, взятых на верхнем и нижнем пределах интегрирования:
f f(x)dx = F(b}~ F(a) = F(x)|".	(4.4)
Здесь F'(x) = f(x).
► Интеграл с переменным верхним пределом Ф(х)=/ЛОЛ в силу теоремы Барроу есть одна из первообразных для подынтегральной функции /(х). Пусть F(x) — еще одна из первообразных. Тогда Ф(х)= £(х)+С, ибо две любые первообразные для одной и той же функции f(x) отличаются лишь на постоянную. Найдем эту постоянную, положив в последнем равенстве х = а: получаем Ф(а)—£(о)+С, поэтому С =Ф(д) F(a)= -F(a), так как Ф(д) = J f(f)dt=0. Итак, Ф (х) = J* f(t)dt — F(x) + С = F(x)~ F(a). При x = b имеем
Ф(/>)— Jf(t)dt= F(b)— F(a). Пришли к формуле (4.4). ◄
г 4 Xs I' 1	1
Пример 4.1. I х dx = —- = - -0 = -
о Ч 5	5
Пример 4.2. fe ~'dx = —е х| =е_| — е~г
§5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле аналогична такой же формуле для неопределенного интеграла:
§ 6. Замена переменной в определенном интеграле
433
J" и dv = «у|‘ — J vdu.	(5.1)
Здесь « = «(%), v = v(x) — функции, непрерывно дифференцируемые на [а, Л].
► Известна формула для дифференциала произведения двух функций d(uv)= vdu+udv. Интегрируем обе части равен-b	ь ь
ства по промежутку [с, h]: j'd(uv)= fvdu+fudv. Заметим, h	b	b
что	«v|*. Тогда иг|* = J* vdu + fudv. Отсюда следует
формула (5.1). ◄
Р	Г и = х	I du ~ dx I
Пример 5.1. Ixsinxrfx=l	=
•J	I dv = sin xdx\ v = —cos> I
= —xcosx|(7? + j'cosxdx = — — cos — +0-cos0+ sinx|0'2 =1-
o	2	2
Пример 5.2.
= elne—Ini x|‘ =e—e + l=l.
§ 6. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Пусть требуется вычислить интеграл J f(x)dx, где /(л) — непрерывная на [о, А] функция. Для его вычисления производим замену переменной интегрирования по формуле
х=Ф(0,	(6.1)
где (р(Г) удовлетворяет условиям:
1) <р(г) определена на промежутке [а, р] и имеет там непрерывную производную <р'(О (следовательно, и сама функция <р(г) непрерывна в [а, р]);
2) ф(г) — строго монотонная функция в [и.,Р1; при этом
с = ф(о); А=ф(Р).	(6.2)
Тогда справедлива формула
434
Глава 3. Определенный интеграл, его свойства и методы вычисления
f f(x)dx = f f [<p(O]<p' (t)dl.	(6.3)
Заметим, что вместе с заменой переменной интегрирования по формуле (6.1) меняются и пределы интеграла по формуле (6.2). Возвращение к старой переменной не требуется.
►	Подынтегральные функции в интегралах в формуле (6.3) непрерывны, поэтому эти интегралы существуют, и для них можно воспользоваться формулой Ньютона - Лейбница Заметим при этом, что в силу строгой монотонности <р(г) и условий ср(а) = а, ф(Р) = й значения функции ф(() не выходят за пределы промежутка [а, Ь], где определена функция /(х).
Пусть F(x) — одна из первообразных для f(x), г. е. F'(x)= f(x). Тогда Г[ф(/)] — первообразная для функции /[ф(/)]ф'((). Действительно,
=	[ф(О]-ф'(О=/[ф(О]-<р'(О-
Далее, по формуле Ньютона — Лейбница (4.4) получаем:
ff(x)dx=F(b)-F(a)-
J/1ф(>)]ф'(()<* = ^[фСР)]- ^[ф(о)] = Л*)- F(a). ◄
Пример. 6.1. Вычислить интеграл J = j Vo’-x’A.
►	Подстановка x = csin(. 0</< л/2; ^а2 —х3 —acost;
dx=acostdf, x=Q => Г = 0; х = а =>t--n.il. Имеем: г/’	а1 п/2
J=a2 f cos2 tdt = — J (l+cos2r)Jz =
Пример 6.2. Вычислить интеграл / = JxVA =
§ 6. Замена переменной в определенном интеграле
435
► Подстановка хг = z;	х=0 => z — 0: х=2 =* г = 4:
1 г
J=—jze'dz. Далее интегрируем по частям: u = z; dv=e'dz; du = dz', v = ez.
2	2
Замечание 6.1 (об интегралах по промежутку, симметричному относительно начала координат). Покажем, что для функции /(х), интегрируемой и четной на отрезке [—а,а], симметричном относительно нуля, верно равенство:
J f(x)dx = 2 f f(x)dx.	(6.4)
а для нечетной — равенство:
ff(x)dx=0.	(6.5)
► Имеем
J f(x)dx = J f(x)dx+j f(x)dx.	(6.6)
В первом интеграле из правой части этого равенства сделаем замену: х = —t, отсюда dx~—dt, х = —л=>/ = о,х=0=>Г = 0, в результате получим:
J /ИЛ =- J /(-»* = J /(-»)<# = J ftrxldx.	(6.7)
Заменим первый интеграл в правой части (6.6) на равный ему интеграл из (6.7):
f f(x)dx = J f(—x)dx + j f(x)dx = f [/(x) + f(-x)]dx. (6.8)
Если функция f(x) является четной, то f(— х)= /(х), а если нечетной, то /(—х)= — f(x) для VxG[—а, й]. Для четной функции (6.8) преобразуется к виду (6.4), а для нечетной — к виду (6.5). ◄
436 Глава 3. Определенный интеграл, его свойства и методы вычисления
Пример 6.3. Не вычисляя интеграл J = fe ’ s*n Зхг/х. по-
казать, что 7 = 0.
► Подынтегральная функция является нечетной, а промежуток интегрирования симметричен относительно точки х=0, 7=0 в силу формулы (6.5). ◄
§ 7. МЕТОД ТРАПЕЦИЙ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
При наличии современной компьютерной техники метода трапеций достаточно для приближенного вычисления определенного интеграла с любой степенью точности, поэтому более сложные методы не рассматриваем ь
Пусть надо приближенно вычислить интеграл J*f(x)dx.
Промежуток интегрирования [о, Ь] разбивается на п равных частичных промежутков точками х„ =а, х}, х2, ...,xM_j, х„ —Ь. На каждом промежутке [xt_,, xj, к = 1,2.л. с длиной Дх по-
строим прямолинейную трапецию, длины основании которой равны ук_, = /(xt-l), ук= f(хк). Предположим сначала, что Дх) > 0 в промежутке интегрирования. Тогда площадь частичной прямолинейной трапеции равна ((у*, +У*)/2) Дх. Площадь фигуры, составленной из частичных трапеций, равна
Лх (<У„ +^,)/2+0’, +J-0/2+	+J-J/2).	(7.1)
В то же время она приближенно равна площади криволинейной трапеции, выражаемой определенным интегралом (рис. 7.1). Итак, после сложения одинаковых слагаемых в формуле (7.1) получаем приближенное равенство
=	J (7.2)
Это равенство тем более точное, чем больше п. Погрешность Rn приближенной формулы (7.2) можно оценить по формуле
§ 7, Метод трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла
Рис. 7.1. Иллюстрация метода трапеций приближенного вычисления определенного интеграла
Формула (7.2), полученная на основе геометрических соображений при /(х)>0, верна и в случае, когда подынтегральная функция на отрезке [а, Ь\ принимает значения любых знаков. Если точность формулы (7.2) при выбранном п недостаточна, то число п удваивается и снова применяется формула (7.2).
Формула (7.3), в силу сложности нахождения max |/"(л)|, для оценки погрешности применяется редко. Практически применяется правило Рунге [5].
Пусть 5, равно правой части формулы (7.2) и е — заданная точность вычислений интеграла. Тогда удвоение числа п производится до тех пор, пока не будет выполнено неравенство
|5!.-\|/3<е.	(7.4)
Пример 7.1. Вычислить приближенно по формуле (7.2) определенный интеграл J е~* dx. Заметим, что неопределенный интеграл fe ' dx неберущийся.
► В формуле трапеций (7.2) возьмем п = 4. Тогда Дх = 1/4= 0,25;
*0=°:	у„=ехр(0)=1;
х, = 025;	у, = ехр(—0.0625)=0,939413,
х2 = 05;	у} = ехр (-025)=0,778801;
х3 = 0.75;	у , = ехр (-0.5625)=0,569783;
х4 = 1; у. = ехр (-1)=0,367879.
438
Глава 3. Определенным интеграл, его свойства и методы вычисления
Получаем fe *'dx«Ax^u +у, +у, +y3j=0.742984. Срав-
ним этот результат с более точным, взятым из таблиц. Вос-
2 г
пользуемся специальной функцией егД = —= I е ' dt, называете о
мой интегралом вероятностей, или функцией ошибок (error
function):	dx=^f-«/1 = 0,74682412. Сравнивая это более
о
точное значение интеграла с полученным по формуле трапеций, находим абсолютную погрешность вычислений Д » 0,004.
Удвоим число точек деления промежутка, взяв и = 8. Тогда
Дх=0,125; хе =0;	х, =0,125; х2 =0,25; х, =0,375;
х4 =0,5; х5 =0,625; х6 =0,75; х7 =0,975; х, =1
К старым значения функции добавились 4 новых:
у, = ехр (-0,1252) =0,984496; у3 = ехр(-0,3752)=0^68815;
у. = ехр (—0,6252)=0,676634, у, = ехр (-0,8752)=0,465043.
Подставляя старые и новые значения функции в формулу
J= fe *;</х~Дх(>ц	4-у, +у2 +у, +у4 + у< +у6 +у,
получим Jts 0,745866. Это приближенное значение интеграла — более точное. Абсолютная погрешность в этом случае Д» 0,000958 <0.001. По формуле Рунге (7.4) получаем |5„ - 54|/3=(0,745860-0,742984) /3 = 0,000959< OjOOl.
Видим, что точность вычислений е = 0,001 при п = 8 обеспечивается и при ориентировке на правило Рунге. ◄
§ 1 - Интегралы по бесконечному промежутку (несобственные интегралы 1-го рода)
439
Глава 4
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
При введении определенного интеграла как предела интегральных сумм (гл. 3) предполагалось, что промежуток интегрирования конечен, а подынтегральная функция ограничена на нём. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то упомянутое понятие определенного интеграла теряет смысл. Бесконечный промежуток нельзя разбить на и конечных частей, а для функции, неограниченной на отрезке интегрирования, интегральная сумма не имеет конечного предела. Однако и на такие случаи обобщается понятие интеграла с помощью операции предельного перехода в дополнение к пределу интегральной суммы, с помощью которого был введен определенный интеграл. В результате такого обобщения и появилось понятие несобственного интеграла.
§ 1. ИНТЕГРАЛЫ ПО БЕСКОНЕЧНОМУ ПРОМЕЖУТКУ (НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ I-ГО РОЛА)
Эти интегралы называются также интегралами с бесконечными пределами. Пусть функция fix) определена на бесконечном промежутке [с, +ас) и интегрируема на всяком конечном промежутке [о, Z>] cz [я, +«:). Если существует конечный или беско-ь
нечный Um J" f (х) dx, то он называется несобственным интегралом 1-го рода от функции fix) по промежутку [с, +ос) и обозначается символом J* f(x)dx. Таким образом, по определению
J fix) dx= lim J fix) dx.	(I.I)
Аналогично b	D
J" fix) dx = lim J"f (x) dx,	(I .2)
f f(x)dx = Urn / f(x) dx.	(1.3)
440
Глава 4- Несобственные интегралы
В формуле (1.3) переменные а и b стремятся к своим пределам независимо.
В формулах (1.2), (1.3) предполагается, что функция fix) интегрируема на любом конечном промежутке, входящем в данный бесконечный промежуток, и существуют указанные конечные или бесконечные пределы, которые и называются несобственными интегралами 1-го рода. В случае конечных пределов (1.1) — (1.3) говорят, что соответствующий интеграл сходится. Если предел не существует или бесконечен, то рассматриваемый интеграл называется расходящимся. В случае, когда пределы (1.1) — (1.3) не существуют (ни как конечные, ни как бесконечные), соответствующий несобственный интеграл понимается лишь как символ. Далее для простоты будем предполагать, что подынтегральная функция непрерывна в соответствующем бесконечном промежутке.
Геометрический смысл несобственного интеграла 1-го рода. Если fix) > 0, то несобственный интеграл 1-го рода численно равен площади бесконечной криволинейной трапеции, опирающейся на промежуток интегрирования. Для интеграла по промежутку' [о, +«) такая криволинейная трапеция изображена на рис. 1.1.
л	,	7dx hrdx
Пример 1.1. J — = hm j — = lim
Интеграл сходится.
Пример 1.2. J* —jL = lim f ~^= = lim = Jim (i-Jb—l) = +a>. Интеграл расходится.
Пример 1.3. /——у — lim j 2 = lim(arctgx|*) =
Рис. 1.1. Бесконечная криволинейная трапеция с основанием [«, + <»)
л. Интеграл сходится.
= lim (arctgb—arctea) =— 2
Замечание 1.1. Интеграл (1.3) можно рассматривать как
сумму интегралов по промежуткам (—ос, о], (о, +«), а — лю
§ 2. Простейшие свойства несобственных интегралов 1-го рода 441
бое число. Несобственный интеграл (1.3) сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба слагаемых интеграла.
Замечание 1.2. Если в одном контексте есть несобственный и определенный интегралы, то последний называют также собственным интегралом.
§2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 1-ГО РОДА
Теорема 2.1 (свойство аддитивности). Пусть а<А. Если сходится интеграл J /(л) dx, то сходится и интеграл Sf(x)dx, и наоборот. При этом:
j fWdx= j f(x)dx + f f(x)dx.	(2.1)
► Пусть a< A< b. По свойству аддитивности для собствен-Ь	4	b
него интеграла имеем J* f(x)dx= J f(x)dx + J* f(x)dx. Если при
b -» +оо существует предел справа, то существует предел слева, и наоборот. В пределе приходим к (2.1). ◄
Теорема 2.2 (свойство линейности). Если сходятся интегралы J* f}(x)dx, J* f,(x)dx, го сходится и интеграл
J’[C|/|(x)+C,/,(x)]Jx, и верно равенство:
J[C,/;(x)+C2/2(x)]Jx=Cl jfl(x)dx+C1 ff2(x)dx (2.2)
► По свойству аддитивности для собственного интеграла имеем:
J|C, /, (х) + С2 /2 (х) J Jx=С, J /, (х) dx+C2ff2(x) dx.
Переходя к пределу при b -» +<», получим формулу (2.2). ◄
Теорема 2.3. Если интеграл J* f(x)dx сходится, то
442
Глава 4. Несобственные интегралы
Jim J/(x)rfx=O.
(2.3)
► Из формулы (2.1) получаем:
J №>*=7zW<fc-JZW<b^_ J/W*-
Аналогичные теоремы имеют место и для других интегралов с бесконечными пределами.
Формула Ньютона — Лейбница для несобственного интеграла 1-го рода. Подынтегральная функция f(x) полагается непрерывной на промежутке интегрирования, а потому она на этом промежутке имеет первообразную F(x). Если lim F(x)= = F(+<»), lim F(x) =£(—«>), то имеют место формулы
J /(x)rfx= F(x)|7 = F(+oo)-F(c),	(2.5)
J f{x)dx= F{x)\“ a = F(b)— F{-<x>),	(2.6)
J f(x}dx = F(x)|+” = F(+oo)— F(— °0)-	(2.7)
Они распространяют формулу Ньютона — Лейбница, известную для собственных интегралов, на случай интегралов несобственных.
► Проведем, например, обоснование формулы (2.5):
J f(x)dx- lim jf f(x)dx= lim F(x)|" = lim F(b)~ F(a)~ = F(+oo)— F(q). ◄
+r dx
Пример 2.1. Вычислить интеграл I —----
= 0+1-Л+“=1-Л.«<
2 4	4
*2 dx
Пример 2.2. Вычислить интеграл J---.
—(l+|x|)
§ 2. Простейшие свойства несобственных интегралов 1гс рода
443
►7 dl !=2f-^T = -2-L
А(1 + |х|)	Й1+*)	1+
= 0+2=2.-«
На сходящиеся несобственные интегралы распространяются формулы интегрирования по частям и замены переменной.
Формула интегрирования по частям для несобственного интеграла 1-го рода. Пусть функции и(х) и v(x) имеют непрерывные производные в промежутке [с,+оо). Тогда справедлива формула интегрирования по частям
fи dv = uv|*" — f vdu
(2-8)
в случае, когда любые два слагаемых из трех в формуле (2.8) существуют и конечны, что означает существование конечных пределов
ь	»
lim fudv, lim(uv| ), lim [vdu.	(2.9)
► Применим формулу интегрирования по частям к собственному интегралу fudv: f udv = uvj*—f vdu. Перейдем в этом равенстве к пределу при b -* + оо. Существование двух из трех пределов (2.9) обеспечивает существование третьего. В пределе получаем равенство (2.8). ◄
Пример 2.3.
7	,, Г и=х |л=л1	.. *; ,,
I хе dx=\	=— хе + ledx =
J |yv = e-*dx|v = -e-*J	lc
= 0-е-'Г=1.
Формулы, аналогичные (2.8), имеют место и для двух других типов интегралов с бесконечными пределами
Формула замены переменной интегрирования для несобственного интеграла 1-го рода. Рассмотрим эту формулу для случая интеграла с бесконечным верхним пределом. Аналогичные формулы имеют место и для других несобственных интегралов 1-го рода.
Теорема 2.4. Пусть функция Дх) непрерывна на промежутке [о, +сс). Пусть, далее, функция х = <р(Г)
444 Глава 4. Несобственные интегралы
1)	имеет непрерывную производную <?'(/) в промежутке [а, Р) (случай р = ас не исключается),
2)	строго монотонна на [а, р),
3)	удовлетворяет условию <р(а) = a; lim <р(/) =+00-
Тогда справедлива формула замены переменной
J/(x)Jx=//[<р(Г)]<р'а)Л	(2-10)
в случае, koi да интеграл справа (или слева) в формуле (2.10) сходится.
► Возьмем любое число у, удовлетворяющее условию: а су ср. По теореме о замене переменной в определенном интеграле справедлива формула
j/[4>(')]4>'(<)<j<= J/W*-	(2 11)
В этом равенстве перейдем к пределу при у-»р—0 и учтем, что lim <р(у) = +<ю. Если существует конечный предел одной из частей равенства (2.11), то существует и другой. В пределе получим равенство (2.Ю). -4
Пример 2.4. Вычислить интеграл J= f-------——.
• (I+Д)1
►Сделаем подстановку: Vx = z; x=z2: dx — 2zdz\ х = 4 => z = 2; > -»+сс =>	Имеем
= (—2 (г+1)+1, (г+1)!)|*'=2, Ж 9=5, 9.4
*§3. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим два признака применительно к несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом. Аналогичные признаки имеют место и для интегралов с бесконечным нижним пределом.
•§ 3. Признаки сходимости для несобственных интегралов с бижонечиями пределами от... 445
Теорема 3.1 {признак сравнения). Пусть функции /(х) и g(x) определены и неотрицательны на промежутке [а, +оо). Пусть далее существует такое число А, А>а, что при х> А выполняется неравенство /(x)<g(x). Тогда:
1) если Jg{x)dx сходится, то сходится и интеграл f при этом
f f[x)dx < Jg(x)dx;	(3.1)
2) если интеграл J" f{x)dx расходится, то расходится и интеграл J* g{x)dx.
► I) Пусть интеграл J — $ g{x)dx сходится. Тогда при Ь>А в силу неравенства /(x)<g(x) имеют место неравенства h	ь	+»
f	f EWdA< f g(j)di = J.	(3.2)
Л	+ 50
Существует конечный предел: lim f f(x)dx— f f(x)dx. ибо функция Ф(6)= J* f(x)dx возрастает и ограничена сверху. Итак, интеграл J fWdx сходится, поэтому сходится и интеграл f f(x)dx- f f(x)dx + f f(x)dx. Неравенство (3.1) следуе! из (3.2) в результате предельного перехода при b -> +со.
2) Пусть интеграл J f{x)dx расходится. Тогда интеграл Jg(x)d.v также расходится, ибо если бы он сходился, то по
446
Глава 4. Несобственные интегралы
первой части теоремы сходился бы и интеграл J*f(x}dx. что противоречит условию. ◄
Замечание 3.1. Формула (3.2) дает оценку интеграла f fWdA при А = а. Эта формула полезна, если интеграл от
функции /(л) неберушийся, а интеграл от функции g(x) легко взять.
Пример 3.1. Показать, что интеграл J е~” dx сходится.
►Неравенство 0<е-’’ <е-' верно при Vx>l. Далее инте-
грал Je~xdx — —ex^ =1. Интеграл fe~'~dx сходится по при
знаку сравнения.
Интеграл J*e~’dx может быть оценен сверху на
основании
неравенства (3.2): J*e X'dx<j\
Пример 3.2. Установить сходимость интеграла
и оценить его сверху.
dx.
Интеграл
7 1 ,	л
в правой части неравенства сходится: I----r«x=arctgx L =—.
“ 14-х	1	2
В силу теоремы 3.1 сходится и данный интеграл. Его оценку
JZ4-COSX , --------^dx расходит-
ся.
► Неравенства: 2+cosx>l; 14-ч/х^14-х справедливы для
,, „	2+cosx 1
VxG[l, +<»), поэтому --------------. Интеграл
14-JX	14-Х
*§ 3. Признаки сходимости для несобственных интегралов с бесжоелыми пределами от...	447
Jy^- = ln(l+x)|**’ = +<» — расходится. По признаку сравнения исходный интеграл тоже расходится. ◄
Теорема 3.2 {предельный признак сравнения). Пусть для положительных, определенных в промежутке [а, +«). функций f{x) и g(x) существует предел
lim ^-^ = k, Ат=О. Аг«>.	(3.3)
g(x)
Тогда интегралы Jf{x)dx, £ g(x)dx сходятся или расходятся одновременно.
► Из условий теоремы следует, что А>0. Возьмем произвольное положительное е такое, что к—е>0. По определению предела функции существует такое число Л, А>а, что при х>А выполняются неравенства
к -Е < f{x)/g(x) < к +е.	(3.4)
1) Пусть интеграл £g(x)dx сходится. Тогда интеграл
J (& +E)g(x)dx также сходится. Из правого неравенства (3.4) имеем: f(x)<(k+s)g(x) при х>А. По признаку сравнения (теорема 3.1) заключаем: интеграл £ f(x)dx сходится.
2) Пусть интеграл £g(x)dx расходится. Тогда интеграл
также расходится. Из левого неравенства (3.4)
находим, что f{x)>{k—E)g(x). По признаку сравнения (теорема 3.1) заключаем: интеграл £ f{x)dx расходится. ◄
Дня применения признаков сравнения необходим набор интегралов, сходимость или расходимость которых известна заранее. Интеграл с параметром р: £—^- (я >0) дает такой набор при различных значениях параметра р.
448
Глава 4. Несобственные интегралы
Пример 3.4. Показать, что интеграл с параметром р: J = f—y (с>0) сходится при р>1 и расходится при р<1.
► Пусть р=1; J = Inx£“ =+оо. Интеграл расходится.
Пусть р<1; J = x,-₽ /(1— р)| = +<», так как 1—р>0. Инте
грал расходится.
Пусть р>1; J = —  =0———=——; р—1>0. Интеграл 1-р|с	1-р	р-1
сходится. ◄
Пример 3.5. Показать, что инте!
► Имеем: ,	=-----,	при х-»+<». Исполь-
7 dx зуем для сравнения интеграл J 7/г.
Здесь р= —>1, значит, 2
Vx	1
этот интеграл сходится. Функции /(х)= — и ^(х) = —7/Г
VI + xs	х
эквивалентны при х->+оо, Нт--------= 1. По предельному при-
''+“ g(x)
знаку сравнения заключаем, что сходится интеграл J dx, потому сходится и данный интеграл f * dx (теорема 2.1) -Ч
7 Л+х
Пример 3.6. Показать, что интеграл I dx расходится.
J h-t-v2
расходится (р=1/2<1). По предельному признаку сравнения 7 Vi+x
(теорема 3.2) расходится интеграл J	_ Ух, следовательно,
расходится и данный интеграл.Ч
Замечание 3.2. Предельный признак сравнения (теорема
3.2) может быть дополнен рассмотрением исключенных случа-
449
•§ 4. Абсолютная и неабсолютная (условная) сходиости несобственных интегралов...
ев в формуле (3.3). Если 1 = 0. то из сходимости интеграла f ldx)dx следует сходимость интеграла f f<x)dx. а из расходимости интеграла f/(x)dx следует расходимость интеграла fg(x)dx.
Случай к = оо сводится к случаю к = 0 для обратного отно-g(.X) шения -----.
/М
►	Пусть А=0. Неравенство f(x)<(k +е)д(х) из доказательства первой части теоремы 3.2 при х>А сводится к неравенству f(x)<Eg(x). Из него заключаем: если интеграл Jg(x)dx, а тем самым и интеграл J Eg(x)dx сходится, то сходится и J f(x}dx.
Если интеграл J*f(x)dx и вместе с ним интеграл JegMdx расходится, то расходится и интеграл J*g(x)dx (теорема 3.1 )•<
Пример 3.7. Исследовать сходимость интеграла J = \—dx.
Ъ е”
. с-	,	+Cdx
►	Сравним интеграл J со сходящимся интегралом I —
(р = 2>1). По правилу Лопиталя вычисляем предел х2 1 х* 4-3-2-1
lim —:—= lim —= lim-----------=0 В силу замечания 3.2 ин-
X—К» g* X1 1-+» g* X—к» gx
теграл j'x2e~idx сходится, но тогда сходится и интеграл J по теореме 2.1. Дважды интегрируя по частям, получаем: J = 2. ◄
*§4. АБСОЛЮТНАЯ И НЕАБСОЛЮТНАЯ (УСЛОВНАЯ) СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
В предыдущем параграфе (§ 3) рассматривались признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных
450 Глава 4. Несобственные интегралы
функций. Здесь мы отойдем в исследовании сходимости от этого требования.
Теорема 4.1. Если сходится интеграл J*|/(x)|dx, то интеграл
J fWdx также сходится
► Имеем неравенство: —|/(x)|s /(x)s|/(x)] (свойства абсолютных величин). Отсюда Os /(x)+|/(x)]s2|/'(x)|. Интеграл 2/|Лл)|Л сходится, следовательно, по признаку сравнения
(теорема 3.1) сходится интеграл J"[/(x)+|/(x)|]dx. По теоре
ме 2.2 (свойство линейности) сходится интеграл
j[/«+l/wfl*-7l/wl*=7[/«+l/w]-|/w|]*=
= f /(xfdx. 4
Оказывается, обратное предложение в общем случае неверно. Это обстоятельство дает основание для введения нового понятия
Определение 4.1. Интеграл f f(x)dx называется абсолютно
сходящимся, если сходи гея интеграл J|/(x)]Jx. Если ff(x)dx
сходится, а интеграл J*|/(x)|dx расходится, то данный интеграл
называется неабсолютно (иначе — условно) сходящимся.
Далее рассматриваются примеры таких интегралов.
П Л а 1Л	7 sin ах
Пример 4.1. Интеграл I--------dx сходится абсолютно, так
J 1 4- Y2
,sin |:Ч как -----—
+г dx л
-, а интеграл I----— = — сходится,
и 1+*	2
•§ 4. Абсолютная и неабсолютная (условная) оадилисти несобственных интегралов...
451
Пример 4.2. Исследовать сходимость интеграла Дирихле
С = 7^Л.	(4.1)
r' 2sjn х	* * sin х
► D= J---------dx+ f------dx=Jl +J,. Здесь J( и J2 — пер
вое и второе слагаемые соответственно.
— собственный интеграл. Устранимая точка разрыва х = 0 подынтегральной функции предполагается устраненной доопределением функции sinx/х значением 1 при х = 0. Второй интеграл J2 берем по частям:
du = (— l/x2)dxj_ cosx|+“ yeosx v = -cosx	I X |„/2 X-
Внеинтегральный член равен нулю, а последний интеграл абсолютно сходится:
«л X2 У/2х2	х|г/2 л
Отсюда следует. что интеграл Дирихле D сходится. ◄
Пример 4.3. Исследовать интеграл D Дирихле на абсолютную сходимость.
VISin*l А I ,
►Докажем, что интеграл I !---------dx=J (о>0) расходится.
Предположим противное: J сходится. Так как |sin х| > sin22x, то rshrx +pi-cos2x
должен сходиться интеграл J----dx— J	——dx. Приба-
+сcos2x
вим к нему сходяшиися интеграл I-------dx (его сходимость
. 2х
доказывается гак же, как для интеграла Дирихле £)). должны 1 +г dx
получить сходящийся интеграл — J , но этот интеграл расхо-
дится (пример 3.4). Противоречие доказывает, что инте-.	+? | sin х[ ,
грал J расходится, но тогда расходится и интеграл J :---‘-dx.
Итак, интеграл D сходится условно.-^
452
Глава 4. Несобственные интегралы
Замечание 4.1. Понятия абсолютной и неабсолютной сходимости распространяются и на остальные типы интегралов с бесконечными пределами.
Замечание 4.2. На основании сходимости (хотя бы и неаб-7sinxj 7COSXJ / ^лч солютнои) интегралов J-----ах и J------ах (а>и) вводятся
табулированные неэлементарные функции — интегральный синус six и интегральный косинус cix:
six=-f—dt (х>0), cix=-fC°^dl (х>0).	(4.2)
§5. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ (НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2-ГО РОДА)
Пусть функция f(x) непрерывна на полусегменте [а, Ь) и /(х)-»о> при х->Ь—0. Тогда по определению
$ f(x)dx = lim j f(x)dx.	(5.1)
Аналогично, если функция /(х) непрерывна на полуинтервале (с, /»] и /(х)-»оо при х-»д4-0, то по определению
J f(x)dx = lim f f(x)dx	(5.2)
Если пределы (5.1), (5.2) существуют (как конечные или как бесконечные), то они называются несобственными интегралами 2-го рода от функции /(х) по промежутку [«, Ь\. Если эти пределы конечны, говорят, что данный несобственный интеграл сходится, в противном случае — расходится. Когда пределы (5.1), (5.2) не существуют (ни как конечные, ни как бесконечные), соответствующий несобственный интеграл понимается лишь как символ.
Если функция /(х) непрерывна на отрезке [д, А] за исключением точки с, а<с<Ь, и при этом /(х)-»оо при х-*с, то по определению полагают
f f(x)dx = f f(x)dx + J f(x)dx.	(5.3)
§ 5. Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2го рода)453
Интеграл по промежутку [а, й] по определению считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся оба слагаемых интеграла в формуле (5.3) по промежуткам [a, cj и [с. 6].
Пример 5.1. J — lim fx~2,3dx= lim3x!/3| =
= lim ( 3 Vr +з) = 3.
Пример 5.2. j—= lim J—= lim In x|'= lim (In 1—In£)=+<».
Интеграл расходится.
Пример 5.3.
dx +
lim jf(l—x) uidx
2{l~xV
—s'
. / 33/-
+ liml——V4
На несобственные интегралы 2-го рода (5.1) и (5.2) переносится формула Ньютона — Лейбница
f t \x)dx = F(b)— F(a}.
(5.4)
Здесь F(x) — первообразная функция, непрерывная в точке а справа, а в точке b — слева. Ее существование предполагается. При этом по определению
F(b}= lim F(x)\	F(a)= lim F(x).	(5.5)
Пример 5.4. Вычисление интеграла в примере 5.1 может быть	записано	следующим	образом:
j^L=3x''>|" = О-(-3)=3.
। yjx2
Геометрический смысл несобственного интеграла 2-го рода.
Рассмотрим сходящийся интеграл вида (5.1) при условии, что
454 Глава 4. Несобственные интегралы
функция Дх) неотрицательна и непрерывна на полусегменте [с, Ь). Этот интеграл равен площади бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной промежутком [а, 6|, графиком функции f (х) и вертикальной асимптотой графика х {Ь) (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Бесконечная криволинейная трапеция,
§6. СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 2-ГО РОДА
Эти свойства аналогичны свойствам
ственному интегралу несобственных интегралов 1-го рода.
2-ГО рода вида (5.1) Сформулируем их применительно к ин-
тегралам вида (5.1) без доказательства.
Доказательства свойств аналогичны тем доказательствам, которые проводились для несобственных интегралов 1-го рода.
В этом случае /(х) непрерывна на полусегменте [с, Ь) и /(х)-»оо при х-»Ь—0.
Теорема 6.1 {свойство аддитивности). Пусть а<с<Ь. Если сходится интеграл по промежутку [а, 6], то сходится и интеграл по промежутку [с, 6], и наоборот. При этом выполняется равенство
Jf(x)dx = fjMdx+f f{x)dx.
(6.1)
Теорема 6.2 {свойство линейности). Если сходятся интегра
лы J /, (х) dx и J /, (х) dx, то сходится интеграл /[С|/|(л) + С2/2(х)] dx и верно равенство
/Iе. /. (*)+ci w]dx ~c,ff, <x)dx+cif ft Wdx	(6-2)
Теорема 6.3 {признак сравнения).
1. Пусть в промежутке [а, Ь) выполняются неравенства
0</(x)<g(x),
(6.3)
§ 6. Свойства несобственных интегралов 2-го рода 455
и интеграл fg(Mx сходится. Тогда также сходится интеграл J* f(x)dx (первый интеграл называется мажорантным, а второй — майорантным). При этом имеет место неравенство
j/(x)<fcsj gWrfx	(6.4)
2. Если минорантный интеграл расходится, то мажорантный интеграл также расходится.
Доказательства свойств (теорем 6.1 --6.3) аналогичны доказательствам теорем 2.1—2.3 для несобственных интегралов 1-го рода.
Пример 6.1. Исследовать сходимость интеграла J
►}^i<fcsj-^=-2^|^=0+2 = 2.^ и VI X и <1 X
Теорема 6.4 (предельный признак сравнения). Пусть функции /(х) и g(x) положительны и непрерывны на полусегменте [а, Ь). Если существует предел
lim	= к; к* О; к*<*>,	(6.5)
g(x)
то интегралы ff(x)dx, fg(x)dx сходятся или расходятся одно-
временно.
Пример (
arctg х J = I , dx. J Jl-v
6.2. Исследовать сходимость интеграла
_	_	г dx
► Рассмотрим для сравнения интеграл I ,	=
u Vl-x
= —2-J1—х I =2, который сходится. Далее lim arct^x. * = lu	<-l-0	Jl-Y
= lim arctg х = arctg 1 = —. Отсюда следует, что интеграл J схо
дится.
456
Глава 4. Несобственные интегралы
► Вместо интеграла J рассмотрим интеграл от положитель-
функции
ной
|lnx| = — In > при л £|0, I). Возьмем
для сравнения функцию ----------, учитывая, что интеграл
J} - J — — 1п(1—х) |' = +оо расходится, о 1 х
.	1 / 1 \ 1пх .. 1/х ,
lim : —-—1= lim = lim = 1.
\ 1пх/ х-1-Ojc—1 х-1-о 1
Здесь применено правило Лопиталя. Так как предел конечен и не равен нулю и интеграл J2 расходится, заключаем, что расходится интеграл J,, а потому и интеграл J. ◄
Теорема 6.S. Если сходится интеграл J"|/(x)|dx, то интеграл
J/W* подавно сходится.
Определение 6.1. Если сходится интеграл от модуля подынтегральной функции, то несобственный интеграл от данной функции называется абсолютно сходящимся. Если же данный
несобственный интеграл сходится, а интеграл от модуля подынтегральной функции расходится, то данный интеграл на-
зывается неабсолютно сходящимся или условно сходящимся.
Пример 6.4. Интеграл J	СХОдИТСЯ и притом абсо-
дится.
Замечание 6.1. При использовании предельного признака сравнения часто привлекаются интегралы
dx j — Г d* {b-хУ' °~\{х-аУ
(6-6)
сходящиеся при р<1 и расходящиеся при р>1.
*§ 7. Гамма-функция (интеграл Эйлера 2-го рода)457
► Рассмотрим интеграл Jt.
Пусть р<1. Тогда	——I =0 + ^	.
!-р L '-Р
Пусть р=1. Тогда Jb — — 1п(Л—х)|* — +<».
Пусть р>1. Тогда Jt — — (b—х)1-₽ /(1—р)| = + «>. <
Замечание 6.2. На несобственные интегралы второго рода распространяются методы интегрирования по частям и замены переменной.
, _ г,	. Гн = In xldu = (l/x)dx]
Пример 6.5. I In хох = 1	1 =
J [dv = dxl	v = x	]
= xlnx|p— J rfx = lnl— limxlnx—1 = — 1. так как по правилу Ло-
питаля xlnx -> 0-
Замечание 6.3. Точки, в которых подынтегральная функция терпит разрыв, обращаясь в бесконечность, называют особыми. К особым точкам относят также несобственные числа ±со в случае несобственных интегралов 1-го рода.
*§ 7. ГАММА-ФУНКЦИЯ (ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА 2-ГО РОДА)
Изложенная в предыдущих параграфах 1—6 теория несобственных интегралов прилагается далее к исследованию свойств двух неэлементарных функций — гамма и бета, заданных несобственными интегралами. Эти функции широко используются в математической физике, теории вероятностей и математической статистике, а также в самом курсе математического анализа.
Гамма-функцией (иначе — интегралом Эйлера 2-го рода) называется функция, выраженная несобственным интегралом
Г(р)=	(7.1)
Этот интеграл зависит от параметра р, а потому является функцией этого параметра в случае сходимости интеграла. Особыми точками подынтегральной функции являются х=0 при р<1 и х = +оо.
Наша задача — изучить общие свойства этой функции, ее график и некоторые формулы, помогающие вычислять ее зна
458 Глава 4. Несобственные интегралы
чения. Некоторые свойства доказываются трудно и буду сообщены без доказательства. Более полное изложение свойств можно найти в [2].
Сначала выясним, какова область определения аналитического выражения (7.1), задающего гамма-функцию. Для этого интеграл (7.1) разобьем на два:
f xp~le~*dx= J*хр~'е 'dx+ ^хр~‘е~рdx.
Интеграл fx^'e^dx с особой точкой х=+<» сходится при
любом р. Действительно, сравним этот интеграл с заведомо +cdx
сходящимся интегралом J —, применив предельный признак
сравнения (теорема 3.2, замечание 3.2):
так как показательная функция растет быстрее степенной (можно применить правило Лопиталя). Интеграл
с особой точкой х = 0 при р<1 исследуем также с помощью предельного признака, хр~'е~,‘ ~ |р при х->0. Для сравнения «	Г dx
берем интеграл J | р, сходящийся тогда и только тогда, ко-
гда 1—р<1, т. е. при р>0. Итак, интеграл (7.1), определяющий гамма-функцию, сходится только при р>0. Итак, область определения аналитического выражения, представляющего гамма-функцию, есть интервал 0< р<+<».
Свойства гамма-функции
1.	Гамма-функция в интервале (0, +«>) непрерывна и имеет непрерывные производные любого порядка.
► Интеграл (7.1), представляющий гамма-функцию, можно дифференцировать по параметру р под знаком интеграла (доказательство этого факта опускается). Тогда Г'(р)= fxP ' -Inx-e ’dx; Г"(р)= fxp~‘ -In2 х-е 'dx и т. д.
*S 7. Гамма-функция (интеграл Эйлера 2-го рода)459
Г<п,(р)= fxpl-In" х е 'dx. п=1. 2. ...
Так же как и для интеграла (7.1), убеждаемся, что все эти интегралы сходятся при р>0. Дифференцируемая функция является непрерывной.
2.	Г(1) = 1. ► Г(1)= fe ~’dx=-e=1. ◄
3.	Г(р+1)= рГ(р) — формула приведения.
► Интегрируем по частям в интеграле для Г(р+1): Г(р+1) = = f xpe~*dx = fxpd(—x₽e-‘|* +pfxp~‘e~idx=O+pr(p)=
= рЦр)-<
4.	Если «GV, то Г(л+|)=я’
► Применяем последовательно свойство 3 для Г(« +1): Г(и +1)=«Г(я)=я(я—1)Г(я —|)=...=я(я—1)(и—1)- ...-2-1-Г(|)= = л (и-!)(«-!)•...-2-1=и». ◄
Это свойство, в частности, означает, что гамма-функция является обобщением факториальной функции я! на случай непрерывного аргумента.
5.	Г(р)-Г(1—p)=n/sin(pn) — формула дополнения.
Это свойство доказывается в более полных курсах (см., например [2]). Здесь его оставляем без доказательства.
6.	Г(1/2) = Л.
► Применяем формулу дополнения:
7.	График Г(р) направлен выпуклостью вниз (рис. 7.1).
► Это следует из того, что при при р>0
Г"(р) = fxp~'(lnx)2e~idx>0. ◄
8.	Г(р) убывает на интервале (0,pinin) от +<» до т — minГ(р) = Г(рП11|1)= 0,8856..., а затем возрастает до +оо.
► Изучим предварительно поведение Г(р) при р-»+оо и д-*+0. Возьмем любое а>\. Тогда
460
Глава 4. Несобственные интегралы
r(p) = J"x₽ 'е *dx + Jxf 'е ‘dx> > Jx‘,~,e~xdx>a'’~' J"e~*dx= = af~‘e~'’ -* +со-
1 2 3 4 I
Далее, из формулы приведения получаем
Aw,
Рис. 7.1. График гамма-функции при р > О
Г(р) = Г(р + 1)/р - =+<» г-+"
Из этих двух результатов и из факта выпуклости графика вниз следует, что в интервале (0,+оо) функция Г(р) имеет
один минимум. Точка минимума рИ|П расположена между точками I и 2. Действительно, Г(1)=Г(2) = 1. По теореме Ролля Г'(д) имеет корень в интервале (1, 2), в котором и достигается минимум. Путем приближенных вычислений можно найти, что Дпт = 1,4616..., min Г(д)=Г(рт|п)=0,8856... ◄
График Г(д) изображен на рис. 7.1.
Замечание 7.1. В большинстве справочников по математике (например, в справочнике И. Н Бронштейна и К. А. Семендяева [4]) значения гамма-функции табулированы для промежутка [I, 2]. Значения гамма-функции для интервала [0, 1] могут быть найдены по формуле Г(р)=Г(р+1)/р. Например,
Г(0,7)=Г(1,7)/0,7 = 0,90864/0,7 = 1,2981
Для промежутка (2, +со) применяется формула Г(д) = (д-1)Г(р-1). Так,
Г(ЗА = 2,5Г(2,5) = 2,5- 1,5Г(1,5)=25-1,5-0,88623 = 3,32336.
Замечание 7.2. Гамма-функция с помощью формулы Г(р)=Г(р+1)/ р продолжается на отрицательную часть вещественной оси, но там она имеет точки бесконечного разрыва во всех отрицательных целых числах. Если - 1<р<0, то 0<р+|<1, поэтому правая часть этой формулы определена. Она и продолжает Г(р) на интервал — 1<р<0 С этого интервала с помощью той же формулы Г(р) продолжается на интервал —2<р<— 1 и т. д.
Пример 7.1. Показать справедливость равенства:
(7.2)
*§ В Бета функция (интеграл Эйлера 1-го рода)
461
Интеграл из левой части (7.2) называется интегралом Эйлера — Пуассона. Этот интеграл применяется в теории вероятностей и в математической физике.
► В интеграле Эйлера — Пуассона выполняем подстановку х2 = t; x = 4t; 2xdx=dt, х=0=>/ = 0; x-*+<x> => t-*+<».
/еЛь = -Jx 'e- 2xdx=-jr"1e -d, = -jl^e -dl =
с	2 □	2U	2 ц
♦§ 8. БЕТА-ФУНКЦИЯ (ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА 1-ГО РОДА)
Бета-функцией (иначе — интегралом Эйлера 1-го рода) называется функция двух переменных B(p,q), выраженная несобственным интегралом
В(Р,«)=	(8.1)
Особые точки подынтегральной функции: х = 0 при р<1 и х = 1 при q < I.
Исследование интеграла с помощью предельного признака сходимости показывает, что интеграл (8.1) сходится тогда и только тогда, когда р>С и ?>0. При этих значениях параметров р, q он определяет бета-функцию.
► ] xpl {Х-х)"1 dx= /х^'Ц-х)" ‘dx+ jx' 1 (1—x),_| </x = 0	0	1/2
= J( +J,, me Jt и J2 — первое и второе слагаемые суммы. В интеграле Jt особой точкой является х=0 при р<1, xp~l (1—х),-‘ — при х-»+0. Он сходится тогда и только то-
гда, когда 1—р<\, т. е. при р>0. Аналогично исследуется интеграл /2. ◄
Свойства бета-функции
1.	Связь бета-функции с гамма-функциеи выражается формулой
462
Глава 4. Несобственные интегралы
Формула (8.2) дает способ вычисления бета-функции через гамма-функцию. Она доказывается сложно. Доказательство можно найти, например, в [2].
2.	В(р,у) = В(о/,р). ► Следует из формулы (8.2). ◄
3-	В<Л’) = *Л1Г^Л-	(83)
Формула (8.3) полезна при вычислении многих интегралов, встречающихся как в приложениях, так и в самом курсе математического анализа.
► В интеграле (8.3) выполняем подстановку 1+х-1//; / = 1/(1+х); dx=-dt/ti-, х=(1-/)/Г;	х=0 => Г = 1;
х-*+оо => г-*0. Имеем
и»	о /| .р+а ।
О V •	I ‘ ‘	о
= В(Р,4?). ^
4. jsin" xcos*1	=	(8 4)
► В интеграле (8.4) выполняем подстановку sinx = /: cosxdx=dt:
г~: 1	к 2	V—I	I	V—1
J sin" xcos' xdx = J sin" x(cos2 x) 2 cosxdx= J Г (1—f2) 2 dt. (IV	0
Снова выполним подстановку /2 =z; i = -Jz', dt =—z~''2dz.
j ,-0-,’)’=’ <4 = 1 j	(!-;)’=' <ft=l j z"
2 V 2	2 /
(1-z) 2 'dz =
/• x~dx
Пример 8.1- Вычислить интеграл J= I-
J л + »v
В данном интеграле сделаем подстановку: dx = (l/4)z-J/4dz, получим:
*jj 8 Бета функция (интеграл Эйлера 1-го рода)
463
x2dx _l+^z,ftz~i/9dz = 1	z'3,9>~'dz =
•!(1+х4)2 4{ (1 + z)2	4-J (l+Z)W4,+<5/4>
= 1в(- 5)- 1 Г<3/4)Г(5/4)_ 1 Г(3/4)Г(1/4)_
4 \4’4/ 4	Г(2)	16	1Г(1)
441)44)4;^=^
Пример 8.2. Вычислить интеграл J = fyftgxdx.
, "г 7	4	И 1 Г(3/4)Г(1/4)
► J= IsnPxcos 2 xdx=-В —=------------—
Jtl	2 \4 4) 2	Г(1)
= |г(1/4)Г(1-|/4) = я/2яп(я/4)=я/-/2?<
Пример 8.3. Вычислить интеграл fe‘'dx
464
Глава 5. Геометрические приложения определенного интеграла
Глава 5 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
§ 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ФИГУРЫ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ
В гл. 3 установлено (§ 1), что если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением y=f(x) (/(х)>0), то для площади криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя прямыми х = а и х=Ь и отрезком оси абсцисс а<х<Ь (рис 1.1), справедлива формула:
Пример 1.1. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом
► Ввиду симметрии эллипса относительно осей координат (рис. 1.2) достаточно вычислить площадь одной четверти фигуры, а затем учетверить результат. Из (1.2) находим
Сделав подстановку х = a sin /, имеем: dx = a cos t dr, х = 0 => =>/=0, x=a=>t = n/2. Поэтому
§ 2. Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах
465
S=4— f -^а1 —a1 sin2 Г-ocos tdt = 4ab J cos2 tdt =
— 4ab J l+cos2* = 2ablt +(sin2/)/2)|”2 = nab u 2
Итак, площадь, ограниченная эллипсом с полуосями а и Ь, равна nab.
Замечание 1.1. Формулу (1.1) можно использовать также для вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми, заданными параметрически.
Пример 1.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
х = й(7—sin/), у = о(1—cos/), 0</<2тт,
(1.3)
и осью Ох (рис. 1.3).
► Если / = 0, то х = 0, а при /=2п - х = 2тгй. В силу формулы (1.1) для площади 51 данной фигуры справедливо равенство: 5= f ydx. В этом интеграле ia-
Рис. 1.3. К примеру 1.2
меним переменную по формулам (1.3):
.8'= fc(l—cos/)//(c(/— sin/))=»2 f(1—cos/)2 di =
= a2 f(1—2cos/ +cos2 t}dt =a2(t—2 sin/)]’" + — j(l+cos2/)rf/ = о	2 (.
= 3na2 + ^-sin2/|’’ =3ти/2.^
§2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
Для вычисления площадей плоских фигур часто целесообразно применить полярные координаты. Площадь кругового сектора с центральным углом ((радиан!) и радиусом R (рис. 2.1). как известно из планиметрии, равна:
5=-й2е. 2
(2.1)
466
Глава 5. Геометрические приложения определенного интеграла
Рис. 2.1. Круговой сектор с центральным углом в
Этот результат позволяет найти площадь 5 так называемого криволинейного сектора, ограниченного лучами <р = а, <р = Р и кривой, заданном уравнением г = Д<р) в полярных координатах (рис. 2.2), где функция /(ф) непрерывна на отрезке [а, р]. Разобьем отрезок [а, р|, как обычно, на п частей, вставив между аир (рис. 2.2) значения полярного угла <р:
«=Фо «р, <<р2 <...«ря_, <<р„ =р.
Рис. 2.2. Криволинейный сектор
Проведем лучи, соответствующие углам ф* (А = I, 2, ... , и) (рис. 2.2). Если ввести наибольшее и наименьшее из значений /(ф) в [фА_(, <pj: mk и Mk, то круговые секторы с радиусами тк и Мк, заключенные между лучами ф=ф/._, и ф=фг будут соответственно входящими и выходящими для криволинейного сектора. Составим отдельно из входящих секторов (они на рис. 2.2 заштрихованы) и выходящих сек-
торов две фигуры, площади которых в силу (2.1) равны:
^^»Ц2Лф* и	где	= Ф*	Для площади
5 всего криволинейного сектора справедливо неравенство:
jm.’Aip, <5<|2л/л!Л<Рл.	(2.2)
Поскольку /(ф) непрерывна на [а, р], числа mt и Мк суть значения этой функции в некоторых точках промежутка [ф^.фД так что суммы в неравенстве (2.2) есть интегральные суммы для интеграла
1 г ,
j	<2-3)
и поэтому при Х = тахДфЛ-»0 (я-»со) имеют интеграл (2.3) своим пределом. Из* неравенства (2.2) тогда следует, что 5=^|/2(ф)«/ф, т е.
§ 2. Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах
467
Площадь 5 криволинейного сектора АО В (рис, 2.2), ограниченного дугой кривой r= где /(<р) непрерывна на отрезке [а, р], а также двумя полярными радиусами ОА: <р — а и ОВ: <р=р выражается интегралом
1 ₽
5 = -J/2(<p)d<p.	(2.4)
Пример 2.1. Найти площадь 5 фигу-
ры, ограниченной полярной осью и пер- мШо ......... вым витком спирали Архимеда r=a<p (рис. 2.3)
► 5=|/(<яр)2</<11 = ‘^-<р>|’' =
Рис. 2.3. Спираль
Пример 2.2. Найти площадь Л" фигу- Архимеда ры, ограниченной лемнискатой Бернулли: (х2 +у2)2 =а2(х2 — у2).
►Уравнение лемнискаты содержит х и у только в четных степенях, потому лемниската симметрична относительно осей Ох и Оу. Для установления формы лемнискаты достаточно выяснить форму той ее части, которая лежит в первом квадранте (х>0, у>0).
Для решения задачи напишем уравнение лемнискаты в полярной системе координат, приняв положительную часть оси Ох за полярную ось и начало координат О ia полюс. Тогда x = rcos<p, y = rsin<p, и уравнение лемнискаты принимает вид г* = а2г2(cos2 <р—sin2 <р), или
г2 = с2 cos 2<р.	(2.5)
Из уравнения (2.5) видно, что при <р = 0 получается г=а. С увеличением <р от <р=0 до <р= л/4, значения г уменьшаются от г = а до г — 0. Значениям же <р, заключенным между п / 4 и
п /2, отвечают мнимые значения г, т. е. на лемнискате нет точек с указанными ф. Значит, часть лемнискаты, лежащая в первом квадранте, имеет вид, изображенный на рис. 2.4, а вся лемниската такова, как это показано на рис. 2.5. В соответствии с формулой (2.4) для площади фигуры, ограниченной лемнискатой, получается следующее выражение:
Рис. 2.4. График лемнискаты в первом квадранте
Глава 5. Геометрические приложения определенного интеграла
Рис. 2.5. Лемниската
I г/4	1
5 = 4-— fa2 cos2<prf<p = 2я2 — sin2<p|”/4 = <г. ◄ О
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА ЧЕРЕЗ ПЛОЩАДИ ЕГО СЕЧЕНИЙ
Пусть надо вычислить объем V тела (к), изображенного на рис. 3.1 Возьмем в пространстве какую-либо прямоугольную систему координат Oxyz и условимся называть координату х «высотой» точки (над плоскостью Oyz). Плоскость, перпендикулярная оси Ох, при любом фиксированном х из [о, />], вообще говоря, пересекает тело (к) по некоторой плоской фигуре (рис. 3.1). Будем считать, что площадь этого сечения нам известна (или что мы умеем ее вычислять) для любого х(=[а, £>]. Эта площадь, разумеется, является функцией х, которую обозначим S(x). Тот специальный класс задач, который мы теперь рассмотрим, характеризуется тем условием, что площадь сечения 5’(х) тела предполагается данной и требуется с ее помощью найти объем V данного тела.
Допустим сначала, что данное гело есть прямой цилиндр, т. е. что все его сечения плоскостью, перпендикулярной оси
Рис. 3.2. Прямой цилиндр и его проекция на плоскость Oyz
Рис. 3.1. Гело (Г) и его сечение плоскостью, перпендикулярном оси Ох
§ 3. Вычисление объема тела через площади его сечении
469
Ох, проектируются на плоскость Oyz друг в друга (рис. 3.2). Если эта фигура есть круг, то мы имеем дело с прямым круговым цилиндром, объем которого, как известно из стереометрии, равен произведению площади основания на высоту. Это правило мы перенесем и на случай, когда основание цилиндра имеет произвольную форму С логической точки зрения мы находимся здесь в обычном положении: понятие объема тела до сих пор не введено, и наша первая задача состоит в том, чтобы дать ему целесообразное обшее определение
Итак, объем всякого прямого цилиндра мы принимаем равным произведению площади основания этого цилиндра на его высоту (рис. 3.2).
Перейдем теперь к общему случаю, предполагая для упрощения доказательства, что два различных сечения, ортогонально спроектированные на плоскость Oyz, перпендикулярную оси Ох, всегда будут содержаться одно в другом (рис. 3.3). Пусть тело (V) расположено между параллельными плоскостями х=а и х=Ь. Разобьем отрезок [с, />] оси Ох произвольным образом на п частей точками: с = х(1 <х( <...<хя_( <хя =Ь Через каждую точку деления проведем плоскость перпендикулярно оси Ох. Семейство плоскостей х=х(. (А = 1, 2, ... , п—1) разделит данное тело (Р) на вертикальные «слои», толщина каждого из которых равна величине Дх* = х* — х*_, соответствующего слоя (ДР*). В промежутке [х*_,,х*] функция S(x), если предположить ее непрерывной, принимает и свое наименьшее значение тк, и наибольшее значение Mf. Если на сечениях с наименьшей и наибольшей площадью построить прямые цилиндры высоты Дх* =х1[ —хк_,, то меньший из них будет содержаться в слое (ДР*), а больший будет содержать в себе слой (ДР*)- На основании вышесказанного объемы этих цилиндров будут соответственно равны /и*Дх* и МкДхк.
Из цилиндров, содержащихся в слоях ' ........
составится тело ((/„), а из содержащих в себе эти слои — тело (И''*); объемы тел ((/„) и (W„) соответственно равны У/и*Дх* и ^Л/*Дх*. Так как при этом *=i	*=i
тело ((/я) содержится в (Р), а тело (И) содержится в (№„). то
^от*Дх* <	О-D
1	кость Oyz
к), К =1,2, ... , П,
Рис. 3.3. Проекции сечений тела (Г) на плос-
470
Глава 5. Геометрические приложения определенного интеграла
Поскольку функция 5(л) непрерывна на [a, А], числа тк и Мк есть ее значения в некоторых точках соответствующего промежутка [л;, ,хД в силу чего суммы в неравенстве (3.1) являются интегральными суммами для интеграла
j S(x)dx
(3.2)
Поэтому при X —шахЛл( -»0 (я-» со) суммы в (3.1) имеют интеграл (3.2) своим* пределом. Из (3.1) тогда вытекает, что
К= fS(x)dx.
Если 5(х) — площадь сечения гела плоскостью, все точки которой имеют абсциссу х, то объем V этого тела равен
V = fS(x)dx.
(3.3)
Замечание 3.1. Формулу (3.3) можно доказать без предположения о том, что сечения проектируются дру! в друга, как изображено на рис. 3.3 (см. [10]).
Пример 3.1. Найти объем тела, ограниченного эллипсоидом с полуосями а, Ь, с (рис. 3.4):
(3-4)
► Если эллипсоид (3.4) пересечь плоскостью, параллельной плоскости Oyz, в точке М с абсциссой х, то, как следует из (3.4), в сечении получится эллипс
Рис. 3.5. Иллюстрация к примеру 3.2
§ 3. Вычисление объема тела через площади его сечении
с полуосями MQ — Ьф—х2 [а1 и MR = c-Jl—x2 /а2. Площадь, ограниченная этим эллипсом, на рис. 3.4 заштрихована. Для площади S(x) фигуры, ограниченной эллипсом с полуосями MQ и MR, как следует из примера 1.1, имеем равенство: S(x) = it‘MQ- М R= nbc\\—х2 /а2). Отсюда с учетом (3.3) получаем:
{а	й\ 4itabc
а—+а— =-------
3	З) 3
Пример 3.2. Найти объем V тела, ограниченного двумя круговыми цилиндрами радиуса R, оси которых пересекаются под прямым углом.
►Тело, изображенное на рис. 3.5, составляет восьмую часть интересующего нас тела. Ось Ох проведем через точку О пересечения осей цилиндра перпендикулярно к обеим осям. В сечении тела плоскостью, проведенной на расстоянии х от точ
ки О, получится квадрат ABCD, сторона которого AB = -\lR2 —х2, так что 5(х) = R2 — х2. Тогда по формуле (3.3)
имеем:
К	К	iz
l' = sj S(x)dx = Sj (/<’ —x2)dx =—R3.‘
Объем тела вращения. Пусть фигура, ограниченная линиями х = а, х —й, _у = 0, у — f(x) (рис. 3.6), вращается вокруг оси Ох. Найти объем V получающегося при этом тела вращения.
►Сечение тела вращения (F) плоскостью, пересекающей ось Ох в точке х, есть круг радиуса у = fix). Отсюда 5(х) = пу2 и, в силу формулы (3.3):
V = xfy’<lx.
(3.5)
При использовании формулы (3.5) надо заменить у функцией /(х), входящей в уравнение у = f(x).
Пример 3.3. Найти объем V тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной осью Ох и полуволной синусоиды у = sinx (рис. 3.7).
472
Глава 5. Геометрические приложения определенного интеграла
Рис. 3.6. Тело вращения вокруг оси Ох
Рис. 3.7. Иллюстрация к примеру
3.3
_ ,, г 2. г 2 . rl-cos2x тг!
► 1 = nJ у ах— л J sin xgx = ttJ---ах=—.
§ 4 ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ КРИВОЙ
Наряду с вычислением площадей плоских фигур и объемов тел одной из важнейших геометрических задач, решаемых методами интегрального исчисления, является нахождение длины дуги кривой. Логическая ситуация и здесь имеет уже привычные нам черты: как в случае площади и объема, мы должны определить общее понятие длины дуги кривой и одновременно создать аппарат для практического вычисления длин этих дуг.
1.	Длина дуги в прямоугольных координатах. Надо найти длину L дуги АВ плоской кривой, являющейся графиком функции y = f(x) (рис. 4.1). Подойдем к решению этой задачи, используя метод, являющийся прямым переносом на общий случай тех приемов, с помощью которых планиметрия определяет и вычисляет длины окружностей и их дуг.
Начнем с произвольного разбиения отрезка [с, й] точками:
на п частей В каждой точке деления восставим перпендикуляр к оси Ох, продолжив его до встречи с кривой у = f(x), при этом дуга А В разбивается на п частей. Каждые две соседние точки деления дуги АВ соединим хордой. Совокупность этих хорд образует ломаную линию, вписанную в дугу АВ (рис. 4.1).
Будем делать разбиение все более мелким, уменьшая наибольшую из длин звеньев впи-
<*, <*.=*
Рис. 4.1. Дуга АВ кривой и вписанная в дугу ломаная линия
§ 4. Вычисление длины дуги кривой 473
санной в дугу АВ ломаной. Построенная ломаная будет все теснее примыкать к дуге АВ. Поэтому естественно определить L (длину дуги АВ) как предел длин таких ломаных при безграничном измельчении разбиения, при условии, что этот предел существует, конечен и не зависит от способа сделанных разбиений. Дуга АВ в таком случае называется спрямляемой. Этим определением решается первая часть поставленной задачи.
Для того чтобы на базе этого определения создать аппарат для вычисления величины L, сначала найдем аналитическое выражение для длины L„ ломаной, вписанной в дугу АВ. Пусть	t,/(xJi_])), Mk{xk,f(xk)) — две соседние точки
деления дуги АВ,
I4-, 41=+[/(x.)-/(x,_,)]’,
е = Ё, 4-, 41=>' +[/(*•>-.№.-, >Г  *=1 *=1
Допустим теперь, что функция f(x) имеет на промежутке [а, Ь\ непрерывную производную f'(x). Дуга АВ, определяемая уравнением у = f (х), в этом случае называется гладкой. Тогда по теореме Лагранжа имеем:
f(xk)-f(xk_,)=f‘(!,k)(xk -х^), к = 1. 2-п.
где G[x ,хл ]. Полагая Ахк=хк — хк ,, получим
£~=Ё71+л:«.)ла..	(4.1)
Функция -Jl+f* (к) непрерывна на [я, Ь], это следует из непрерывности f'{x), правая часть (4.1) является интегральной суммой для интеграла
f -Jl+flMdx, (4.2)	/	х
°	О	"
и поэтому при Х = тахДх(1-»0	\ /
(п -»<ю) сумма £„ имеет своим пре-
делом интеграл (4.2). Итак, доказа-
на следующая теорема.	Рис. 4.2. Астроида
474
Глава 5. Геометрические приложения определенного интеграла
Теорема 4.1. Для длины L дуги гладкой кривой у = f(x). содержащейся между точками с абсциссами х=а и х=Ь, справедлива формула

(4.3)
При использовании формулы (4.3) надо заменить у функцией /(х), входящей в уравнение j = /(x).
Пример 4.1. Найти длину дуги астроиды, заданной уравнением
(4.4)
►Астроида симметрична относительно осей Ох и Оу, ибо х и у входят в ее уравнение в квадратах (рис. 4.2). Часть кривой, расположенную в первом квадранте (х>0, y>ty, можно задать уравнением

(4.5)
так что х изменяется лишь от 0 до а, чему соответствует убывание у от а до 0. Из (4.5) следует

При 0<х<о кривая гладкая, ибо у' непрерывна для этих х. Если х=а, то у'=0, а если х-*0, то у'-*— поэтому астроида касается и оси Ох, и оси Оу. Отсюда длина дуги, лежащей в первом квадранте, в силу (4.3) такова:
j Ф+y''dx = f^dx = l	Д ’ = Д
Значит, длина L всей астроиды равна L=t>a. ◄
2.	Длина дуги кривой, заданной параметрически. До сих пор предполагалось, что кривая задана уравнением вида у = f(x). Если та же кривая задана параметрически уравнениями вида х=х(Г), у = у(0, то, введя параметр t в качестве новой переменной интегрирования в интеграл (4.3), будем иметь:
§ 4. Вычисление длины дуги кривой 475
L = J7,+J'x dx = f ^(У' /х',)1х',Л = / у/х'2, +/*dt.
причем возрастанию t от tv до it отвечает возрастание х от а до Ь. Для простоты предполагаем, что x'f>0 на промежутке [/„, tt ], хотя окончательная формула свободна от этого предположения. Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 4.2. Если кривая задана уравнениями в параметрической форме л = х(/), y = y(t), где x(t) и y(f) непрерывно дифференцируемые функции, то длина L дуги кривой равна
(4.6)
где /„иг, — значения параметра I, соответствующие концам дуги (/„</,).
Пример 4.2. Найти длину одной арки циклоиды
x=a(l—sinz), у = с(1—cos/), 0</< 2п.
►Очеввдно, х', = а(1—cos/), у', = a sin/, откуда
ух'2 +у'2 = zzj(i—cos/)2 + sin2/ = 0^2(1—cos/) = 2а sinfr / 2).
Следовательно, L = 2аJ*sin(r 12)dt = 4a(cos(r / 2))]2" = 8a. ◄
3.	Длина дуги кривой в полярных координатах. Пусть требуется найти длину дуги кривой г=г(<р), а<<р<р, при этом функция r(q>) непрерывна на отрезке [а,р]. Если перейти к декартовым координатам с помощью формул x=rcos<p, y = rsin<p, то равенства x = r(<p)cos<p, у=r(<p)sin<p, а<<р<р представят собой параметрические уравнения нашей кривой, причем роль параметра играет угол <р. В гаком случае
< = < cos<p-rsin<р, у; = sin<р +rcos<p.
откуда х'2+у'29=г2 +г'2.
В силу формулы (4.6) приходим к следующему заключению: длина L дуги гладкой кривой г = г(<р), а < <р < р, определяется по формуле
(4.7)
476
Глава 5. Геометрические приложения определенного интеграла
Рис. 4.3. Кардиоида
Пример 4.3. Найти длину кардиоиды г = <j(1+ cosф), 0<ф<2п.
►Кардиоида имеет вид, изображенный на рис. 4.3. Так как г'9 = —двшф, то
г2 +r'2 = а1 ((1 +со8ф)2 + sin2 ф) = =2a2(l+cos<p)= 4а2 cos2(<p/2).
Отсюда в соответствии с формулой (4.7) имеем:
4.	Длина дуги пространственной кривой. Измерение длин ду1 пространственных кривых строится так же, как для плоских кривых. Здесь для длины дуги получается формула, аналогичная (4.6).
Для длины дуги пространственной кривой, заданной параметрически уравнениями x=x(f), y=y(t), z=z(t), где х(г), y(t) и г (О — непрерывно дифференцируемые функции, имеет место формула
(4.8)
где tv и г, — значения параметра t, отвечающие концам дуги ('0 </,) (см. [10]).
Пример 4.4. Найти длину одного витка винтовой линии x=«cos/, y = osinr, z=bt (0</<2п).
►Так как x't = —asin t,y', = acost,z',= b, то ^x'2 +y'2 +z'2 = = ^a2 +b2	и длина дуги будет равна
L= fyla2 +b2dt = 2ida2 +b2. ◄
§5. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
Пусть дуга АВ гладкой кривой с уравнением у = /(х)>0 (а<х<Ь) вращается вокруг оси Ох (рис. 5.1). Введем понятие
§ 5. Площадь поверхности тела вращения
477
площади S' получающейся поверхности вращения и получим формулу для вычисления S'. Понятие площади кривой поверхности в общем случае будет рассмотрено далее в теме «Двойной интеграл»
Разобьем отрезок [а, Ь\ на и частей точками: а=х0 < х <... < хя1 < хп = Ь, Мк(хк,ук) — точка графика функции у~ f(x), к = 1,2,..., л. Построим ломаную
(рис. 5.1). При вращении
Рис. 5.1. К определению площади поверхности вращения
этой ломаной вокруг оси Ох получим поверхность, составленную из боковых поверхностей усеченных круговых конусов, конусов или цилиндров. Для площади S'* каждой из них имеем равенство: S'* = п(у*_] +у*)| Мк_, Л/*|, А=1, 2, .... л. Пусть Х = *тах |Л/А1 Л/*|, а
5.=Ё\=«Ё<т.., +3-,)1Ч-,Ч1-»=1	*=|
Следуя интуиции, определим площадь S' поверхности вращения как предел суммы $и при X -» 0: S’ — lim Sw. Покажем, что для гладкой кривой АВ данный предел существует и конечен. Обозначим через з длину переменной дуги AM, где L — длина дуги АВ, а через з* — длину переменной дуги АМк, к =1,2,...,л. Для S^ имеем-
S. = Я jws.-,) +3<v, >>| М,_, Л/,|,
где Xs*) — ордината точки Л/А, А =1,2,..., л. Сравним Sr с величиной
где Дз*=з*—з* , А =1,2,...,л. Так как Аз* >] Мк1 Л/*|, (длина дуги не меньше длины хорды, соединяющей концы дуги), то
0 < оя - S'* = л 2(y(s*_I)+XS* ))ЬЧ Ч	Мк |].	(5.1)
*=i
Функция г(з) непрерывно дифференцируема на промежутке |0, £]. Действительно, для длины з переменной дуги AM имеем равенство:
478
Глава 5. Геометрические приложения определенного интеграла
S = f y/i + f'2 (Mt.
где х — абсцисса точки М Итак, длина переменной дуги s является функцией х: s = s(x),xE[e,4 Эта функция непрерывно дифференцируема и монотонно возрастает на отрезке [a, Д|, поскольку в силу теоремы Барроу (гл. 3) имеем:
s’, = ч'|	(5.2)
a f'(x) непрерывна на этом промежутке (кривая AM гладкая) и s'x>0 на [«,И По теореме об обратной функции имеет обратную функцию, x=x_,(s), 5 G[0, £], непрерывно дифференцируемую на отрезке [О, L\. Тогда функция у(л) = f(x~'(s)) непрерывно дифференцируема на промежутке [0, £] как суперпозиция непрерывно дифференцируемых функций и принимает на этом отрезке свое наибольшее значение К. В результате,
с учетом равенства = £. соотношение (5.1) преобразуется к виду:
0<о.-5.<2пЛ-|£-(5-3)
*=|
Разность в квадратных скобках в (5.3) стремится к нулю при Х-»0 (длина ломаной ^|Л/Л | Л/л| стремится к L при А-»0),
поэтому Нт(ст„ — \) —0 и
lim .S' =limo .	(5.4)
Л-0 "	Л-0 "
Для о, имеем:
",= "2b(s,_, )Л\ +к2>(л,)Л1д
Обе суммы в этом соотношении являются интегральными для функции у = y(s) по отрезку [0, £]. Поскольку функция у = у(х) непрерывно дифференцируема на [0, £]. то она интегрируема на |0. £] и. значит.
lim )ДлЛ = lim у(лЛ )Лл; = J yds, lim = 2п J"yds,
§ 5. Площадь поверхности тела вращения 479
где A., = *max &sk. Из условия к, -*0 следует, что 7.->0, поэтому имеем
lim <у„ = lim ст„ = 2nf yds.	(5.5)
В силу (5.4), (5.5) для площади 5 поверхности вращения получаем формулу
5 = lim S„ = 2л f yds или S=2nJ yds.
В интеграле из правой части последнего равенства сделаем замену переменной интегрирования: s = s(x). Так как в силу (5.2)
ds = s'xdx= ф+f'2 (x)dx = y[l+y'2dx, то
S = 2л J y(x)-Jl +y,2dx.	(5.6)
Пример 5.1. Найти площадь 5 поверхности, образованной вращением астроиды tfx2 +%[у^= tfa2 вокруг оси Ох (рис. 5.2).
►	Астроида рассмотрена в примере 4.1. Часть ее дуги, расположенную в первом квадранте (х>0, у>0), можно задать уравнением: у = (а2' — х1 ’)J'2, 0<х<а. Тогда
480 Глава 5. Геометрические приложения определенного интеграла
S = 12га’ j	--6га’
Замечание 5.1. Если кривая задана параметрическими уравнениями вида x=x{t), y = y(t),	то, введя параметр t в
качестве новой переменной интегрирования в интеграл (5,6) при y(t)>0, будем иметь
Таким образом, получается следующее выражение для площади 5" поверхности вращения дуги АВ кривой, заданной параметрически:
S=2 л f y(f)Jx'’ +>'’Л,
(5-7)
где tb и t — значения параметра t. соответствующие концам дуги АВ.
Пример 5.2. Найти площадь поверхности вращения для одной арки циклоиды x = a(t—sin/), у=й(1—cos/), 0</<2л (рис. 5.3)
Рис. 5.3. Тело, получающееся при вращении одной ярки циклоиды
►	В данном случае равенство (5.7) имеет вид
S=2nf y(t)Jx’2 +у'2 dt. Отсюда
S=2nf a(l—cos/)-^а2(1—cos/)2 +c2 sin21 dt =
=2 ля2 j" (1 —cos/)-72 —2cos/ dt =
25 ’z >2r	, t 64лд2
= 4na2 J (1—cos/) ‘dt = 8mr J sin ^dt = —-—•.
и	О
§ 1. Методика применения определенного интеграла к решению практических задач
481
Глава 6
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
§ 1. МЕТОДИКА ПРИМЕНЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К РЕШЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ 1АДАЧ
Рассмотрим общую схему применения определенного интеграла, иллюстрируя ее примерами механических и физических задач.
Пусть требуется определить некоторую постоянную величину Q, связанную с промежутком |я. />]. Эту величину будем предполагать аддитивной, т. е. такой, что разложение отрезка [а, А] точкой с (а<с<Ь) на части [о, с] и [с,А] влечет за собой разложение на части величины Q, причем значение величины Q, соответствующее всему отрезку [я, Ь}, равно сумме ее значений, соответствующих отрезкам [я, с] и [с, />|. Примерами аддитивных величин являются длина, плошадь, объем, масса, энергия и т. д. Переходя к решению задачи по определению величины Q, разделим отрезок [я, 6] с помощью точек
О = х„<л,	<л, =4	(1.1)
на и частей:
[Й,Х. ],[*,,	(1.2)
ДхА = хк — хк1 — длина к-го частичного промежутка, А = 1, 2, ... , и, > —maxAxf — ранг дробления (1.1). В соответствии с разложение^ (1.2) промежутка [я, А] величина Q разложится на п слагаемых: Д£>,,&Q2,...,&Q„:
е=Ё*е.-	ел
Допустим, что существует функция q{x) такая, что «элементарное» слагаемое ДС*, соответствующее отрезку [хА .хл] длины ДхА, записывается в виде:
де*«^<)Дх*,	(1.4)
где х’к лежит между х и хк, причем ошибка равенства (1.4) при малом ранге дробления А. будет бесконечно малой более высокого порядка, чем ДхА , т. е.
482 Глава 6. Приложения определенного интеграла к решению физических задач
АС* =«(х*)Ах( +o(AxJ.
В этом случае для Q получается приближенное выражение
(15)
Л=1
тем более точное, чем меньше X. Стало быть, точным значением величины Q будет служить предел суммы из (1.5) при Х-»0 или, что то же самое:
e=j«u»<fc.	(1.6)
На практике это рассуждение облекают в более краткую форму, говоря, что если прирашение AQ величины Q, отве-чаюшее элементарному отрезку [х, х+Дх], представимо в виде
Л£>=^(х)Лх+о(Лх),	(1.7)
то главной частью этого приращения будет дифференциал:
dQ=q<x)dx,	(1.8)
который называют элементом величины Q. Интегрируя элемент Q, г. е. дифференциал, вместо суммирования приращений в (1.5), получаем величину Q по формуле (1.6). Итак, все дело сводится к установлению равенства (1.7).
§2	. РАБОТА ПЕРЕМЕННОЙ СИЛЫ
Пример 2.1. Какую работу нужно затратить, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда радиуса й?
► Плоскостями, параллельными плоскости воды, разобьем полушар на элементы толщины dx (рис. 2.1). Элементарная сила (сила тяжести), действующая в направлении оси Ох на слой толщиной dx с точностью до бесконечно малых высших порядков относительно dx равна pgnr2dx, где р — плотность воды, g — ускорение свободного падения. Тогда элементарная работа силы по подъему слоя воды толщиной dx
Рис. 2.1. Иллюстрация
§ 3. Давление на пластинку, погруженную вертикально в жидкость
483
на высоту х (рис. 2.1) равна dA = pgitr1xdx. где х — уровень воды. r=-jR1 —х1: отсюда:
А - Jяря(/Г -г2 }xdx = npg(/?2x? /2-х4 /4)|о = = npg(/?’ / 2 - R’ / 4) = 7tpg.fi4 / 4. ◄
§3	. ДАВЛЕНИЕ НА ПЛАСТИНКУ, ПОГРУЖЕННУЮ ВЕРТИКАЛЬНО В ЖИДКОСТЬ
Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на пластинку плошали 5 с глубиной погружения h равна
P~pghS.	(3.1)
где р — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения.
Пример 3.1. Треугольный щит вертикально опушен в воду, причем основание треугольника находится на уровне воды (рис. 3.1). Требуется найти силу давления Р на одну из сторон щита, если шит имеет форму равностороннего треугольника со стороной а.
► Прямыми, параллельными плоскости воды, разобьем треугольник на элементы (полоски) ширины dx. Площадь одного такого элемента (отбрасывая бесконечно малые высшего порядка), находящегося на расстоянии х от поверхности воды, равна dS = ldx. Из подобия треугольников, изображенных на рис. 3.1, ясно, что для длины / полоски имеем равенство: — = а'^>IJ-—откуда / = 2/л/з(о-7з/2 — к), поэтому, в силу а а-^3/2	х '
Рис. 3.1. Иллюстрация к примеру 3.1
Рис. 3.2. Иллюстрация к примеру 3.2
484 Глава 6. Приложения определенного интеграла к решению физических задач
(ЗЛ), элементарное давление dP на полоску ширины dx равно dP = 2рдх / л/3(ял/3 / 2—x)dx. Отсюда
pgg3
8
Пример 3.2. Найти силу давления Р, испытываемую полукругом радиуса R, погруженным вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с поверхностью воды (рис. 3.2).
► Разобьем площадь полукруга на элементы (полоски) ширины dx, параллельные поверхности воды. Площадь одного такого элемента (отбрасывая бесконечно малые высшего порядка), находящегося на расстоянии х от поверхности воды, равна
dS = 2r dx — 2 -JR2 —х2 dx.
Сила давления, испытываемая этим элементом, равна dP=pgx 2ylR2 —х2 dx, где р — плотность воды, g — ускорение свободного падения. Отсюда вся сила давления есть Р = 2pgf xyjR2-x2dx =-^pg-Jtff-x2)1^ = |pg??3. ◄
§	4 МОМЕНТЫ. ЦЕНТР МАСС ПЛОСКИХ ФИГУР
Моментом инерции относительно оси / материальной точки М, имеющей массу т и отстоящей от оси / на расстояние d, называется величина Jt = md2.
Моментом инерции относительно оси / системы п материальных точек с массами т1,т2,...,т1 называется сумма
А ~ ^.т&’
где dt, dt,...,dn — расстояния точек до оси /.
Вычисление момента инерции плоской фигуры с распределенной на ней непрерывным образом массы относительно некоторой оси общая схема применения определенного интегра
§ 4. Моменты. Центр масс плоских фигур
485
ла (§ 1) приводит к вычислению определенного интеграла. Это утверждение проиллюстрировано на следующем примере.
Пример 4.1. Найти момент инерции однородной пластинки, имеющей форму треугольника с основанием а и высотой й, относительно его основания. Будем предполагать пластинку однородной, гак что ее поверхностная плотность рав-
на р (т. е. масса, приходящаяся на единицу площади) будет постоянной и, следовательно, т = p.S’, где 5 — площадь пластинки.
►Пусть основание треугольника лежит на оси Ох, а его высота — на оси Оу (рис. 4.1). Разобьем треугольник на бесконечно тонкие горизонтальные полоски ширины dy, играющие роль элементарных масс dm — pdS. Из подобия треугольников имеем:
Рис. 4.1. Иллюстрация к примеру 4.1
Площадь dS бесконечно гонкой гори-
зонтальной полоски ширины dy равна
dS=ABdy (АВ=—, тогда из (4.1) следует: dy
dS a dy
=	=• dS = j (h-y) dy,
n	h
откуда dJ =y’p dS =* dJ —— py2(fj—y)dy, поэтому h
имеем:

Статическим моментом относительно оси / материальной точки М, имеющей массу т и отклонение х (с учетом знака) от оси /, называется величина М, = тх
Статическим моментом относительно оси / системы и ма-
териальных точек с массами mt,mi,...,mlt, лежащих в одной плоскости с осью / и имеющих отклонения xl,xi,...,xn (с учетом знаков) от этой оси (рис. 4.2), называется сумма

(4-2)
486 Глава 6. Приложения определенного интеграла к решению физических задач
Рис. 4.2. К вычислению статического	Рис. 4.3. Иллюстрация
момента системы материальных точек	к примеру 4.2
Если массы непрерывно заполняют фигуру плоскости хОу, то вместо сумм (4.2) должен быть соответствующий интеграл.
Пример 4.2. Найти статический момент однородной пластинки плотности р, имеющей форму полукруга радиуса /?, относительно основания полукруга.
►Основание полукруга поместим на ось Ох, а за ось Оу примем перпендикуляр к оси Ох, проходящий через центр полукруга (рис. 4.3). Разобьем полукруг на бесконечно тонкие горизонтальные полоски ширины Ji: Элементарный статический момент dMx этой бесконечно тонкой полоски относительно оси Ох будет равен dMx = pydm = py-ABdy. отсюда: dMx = py2rdy.
Из треугольника (рис. 4.3) по теореме Пифагора находим /• = yjR1 —у1. Следовательно,
dMx = 2ру^й2—у2 dy-
(4.3)
Интегрируя равенство (4.3) по у, получим'
W. =2pf	|" =^р.
Центром масс системы материальных точек называется точка С(х',у’), такая, что если в нее поместить массу всей системы, то ее статический момент относительно любой оси будет равен статическому моменгу всей системы относительно той же оси.
Из определения центра масс следуют равенства: Mt=mx’, Мх=ту‘, где М,, и Мх — статические моменты плоской фигуры массы т. Отсюда получаем формулы для вычисления координат центра масс С(х‘,у) плоской фигуры массы иг.
§ 5 Расход воды через отверстие в стенке резервуара
487
м,. т
т
(4.4)
Пример 4.3. Найти координаты центра масс однородной пластинки, рассмотренной в примере 4.2.
► Пластинка предполагается однородной (плотность р), поэтому в силу симметрии ее центр масс С(х‘,у") должен лежать на оси Оу, т. е. х' =0 (рис. 4.4). Масса т пластинки равна
т = pS =—nR2p.
Так как из предыдущего примера известно, что М* = 2p/?J /3, то в си-
лу формулы (4.4) будем иметь у' = -т
Рис. 4.4. Иллюстрация к примеру 4.3
(4.5)
М
2р№ /3 4А
=	,---= ст И та к,
npR2 /2 Зл
С(0.4А/Зл) — центр масс однородного полукруга радиуса ЛЧ
§	5. РАСХОД ВОДЫ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЕ В СТЕНКЕ РЕЗЕРВУАРА
В стенке резервуара, наполненного водой, на глубине А (м) под поверхностью воды есть горизонтальная шель. Вода вытекает через нее со скоростью
У = $яМм/с).	(5.1)
Эта формула, доказываемая в гидродинамике, известна под названием формулы Торричелли.
Пример 5.1. В стенке резервуара имеется прямоугольное отверстие (рис. 5.1). Требуется определить расход воды, т. е. объем воды Q(jm3), вытекающей в 1 сек.
►Элементарной полоске ширины dx на глубине х О1вечает скорость V = ^2gx. Ее площадь есть b dx, поэтому расход воды через эту полоску выразится так: dQ=^2gxbdx. Интегрируем:
Q = byl2gJ4xdx = ^by/2g (j/?"-
Замечание 5.1. Фактический расход несколько менее вычисленного, ввиду наличия трения в жидкости и сжатия
488 Глава 6. Приложения определенного интеграла к решению физических задач
Рис. 5.1. Иллюстрация к примеру 5.1
струи. Влияние этих факторов обычно учитывают с помощью некоторого эмпирического коэффициента р<1 и пишут формулу в виде
e=|p^J-i(V'2-Ao'2)-
(5.2)
При Д, =0 из (5.2) получаем формулу для расхода воды через прямоугольный водослив
(5.3)
§6	. ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К ЭКОНОМИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ
Рассмотрим следующую типовую задачу. Предприятие выпускает однородную продукцию. Интенсивность ее выпуска в различные моменты времени t может быть различной в силу неравномерности поставок сырья и других причин Интенсивность выпуска продукции обозначим <р(г) — это количество выпущенной продукции за единицу времени начиная с момента t.
Стоимость единицы выпускаемой продукции также не постоянна, а меняется по закону f(t), в силу различной стоимости сырья, стоимости труда, величины налогов и т. д. Требуется найти стоимость выпущенной продукции за промежуток времени [7’1,Г,]. Будем предполагать функции /(г) и <р(Г) непрерывными. Пусть Q — искомая стоимость. Подсчитаем стоимость Д0 продукции, выпушенной за промежуток времени [/,г + Д/]. Если бы интенсивность <р(1) и стоимость /(г) за этот
§ 6. Приложение определенного интеграла к экономическим задачам 489
малый промежуток времени не менялись, то Д(?=<р(г)/(г)Д/. Если же они меняются, то это произведение является лишь главной частью А@, пропорциональной Л/, что можно записать в виде
ДО—ф(0/(0Д^+о(Д0-	(6.1)
Здесь о(Д?) — бесконечно малая высшего порядка, чем ДД о(Д/)/Д/^»0 при Л/-*0. Действительно, за бесконечно малое время Д/ функции /(О и <р(г) изменятся на бесконечно малые величины Д<р и ДС соответственно, что в произведении с Дг даст бесконечно малую высшего порядка, чем Д/. Эта бесконечно малая отнесена в о(ДГ). Итак, слагаемое
в формуле (6.1) есть главная часть ДО, пропорциональная Д/, т. е. по определению — дифференциал функции Q(f) — стоимости выпущенной продукции к моменту t начиная с какого-либо фиксированного момента: dQ=fp(t)f(t)At Тогда, интегрируя дифференциал в пределах 7\ и Т,, находим: е=/<;с(')=/ч>(о/(ол-
490
Глава 7, Элементы дифференциальной геометрии
Глава 7
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 1. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
Определение 1.1. Если каждому значению переменной tE:T(ZR поставлен в соответствие по некоторому закону единственный вектор г, то говорят, что на множестве Т задана вектор-функция скалярного аргумента и пишут r=r(t).
Например, радиус-вектор г движущейся точки, ее скорость v и ускорение w являются, очевидно, вектор-функциями времени t.
Зададим в пространстве прямоугольную декартову систему координат с прямоугольным базисом i, j, к. Разложим вектор г по этому базису:
r(O=xV)7 +yU)J +z(OA,	(1.1)
где функции
X = х(2), у = y{t), Z = ZV), t G Т
(12)
являются числовыми (скалярными) функциями одной вещественной переменной Г, заданными на множестве Т Очевидно, задание вектор-функции в этом случае эквивалентно заданию трех скалярных функций.
Определение 1.2. Годографом вектор-функции г = г (г) называ-
ется линия, которую описывает конец вектора г, если его на-
Рис. 1.1. К определению 1.2
чало помещено в некоторую фиксированную точку пространства, например в начало прямоугольной декартовой системы координат (рис. 1.1). Система функций (1.2) является параметрическими уравнениями годографа.
Годограф движущейся точки — это ее траектория, равенства (1.2) — параметрические уравнения траектории.
§ 1. Вектор-функция скалярного аргумента 491
Для вектор-функции вводятся понятие предела, непрерывности, производной по аналогии с указанными понятиями для функции скалярного аргумента.
Определение 1.3. Вектор а называется пределом вектор-функции r=r(f) при если lim|F(f)—о|=0. Обозначение: limr(r)=5 или F(/)-*e при
Замечание 1.1. Поскольку |г(/)—й| является скалярной функцией аргумента t, очевидно, что понятие предела вектор-функции опирается на понятие предела функции скалярного ар|умента.
Теорема 1.1. Вектор a =axi +at.j +а.к является пределом вектор-функции r(t)=x(t)i +y(t)j'+z(t)h при	в том
и только том случае, если выполняются равенства:
Ктх(О=лА, 11ту(г)=й,., limz(O=ej-	(13)
► Имеем
|r(r)-o|=J(x(0-o,)2 +(у(/)-л()’ +(z{t)-a:)}.	(1.4)
Пусть c = limF(z), тогда, в силу определения 1.3,
lim|F(z)—а|=0, и, следовательно, с учетом (1.4) имеем:
lftn(x(z)—й )=0, lim(y(Z)—л )=0, lim(z(/)—й,)=0.	(1.5)
i-i,	i-t,,	у	t-t„
Отсюда следуют равенства (1.3).
Если, напротив, выполняются равенства (1.3), то справедливы равенства (1.5), поэтому lim|/•(/)—д|=0, откуда, в силу
определения 1.3, fl = limF(r)-<
Свойства пределов вектор-функции скалярного аргумента
1.	limF(/)=F, если г - const;
2.	limkr(t)=klimr(t), если к — const;
3.	limu(/)F(r)= limu(r)- limF(r): i-ia i-i
4.	lim(/; (/) ± F2 (0) = Hm F, (0 ±	r, (i\,
5.	lim(F (z)-F,(/)l— limF (/)-limF,(/);
'-Qi		'-4	1-4
6.	lim(7j (/) x r2 (/)) = li m r\ (/) x lim F, (0-
492
Глава 7. Элементы дифференциальной геометрии
►Докажем, например, свойство 5, т. е. покажем возможность предельного перехода в скалярном произведении двух вектор-функций. Пусть
Л (О=*, (');	(!)] + г, (<)Г. Г, (/)=X, V)i I у, V>j + г,(гА,
тогда
(0-5(0=X, (Ох, (0+у. (Оз '2 (0+г,(0М')-
Обе части последнего равенства являются числовыми функциями переменной /, перейдем в них к пределу при
(О’ 5 (о) =	(0*г (О+у, (t)y2 (О+г, (t)z2 (г)).
В результате использования свойств пределов числовых функций (§ 2 гл. 3 разд. 4) приходим к равенству:
Ит(г, (О-5(о) = lim х, (7)lim х2 (7) + lim у, (Оlimу, (О + 4-lim z (О lim z, (О-	(1-6)
В силу теоремы 1.1 имеем:
lim rt (7) = lim х, (t)i + lim у, (7)/ + lim z, (t)k,
lim r2 (t) = lim x, (t)i + lim y, (t)j + lim z2 (t)k,
поэтому правая часть равенства (1.6) является скалярным произведением векторов lim г (7) и lim г, (7). Таким образом, свойство 5 доказано. ◄
Определение 1.4. Вектор — функция F(7) называется непре-
рывной в точке 7W, если r(i) определена в некоторой окрестности точки 70 и выполняется равенство: lim г (7)=г (/„).
Из теоремы 1.1 следует, что для непрерывности век-тор-функции г (7), представленной в виде (1.1) в точке /0 необ-
ходимо и достаточно непрерывности функций х=х(7), y=y(r), z = z(7) в точке 70.
Определение 1.5. Если существует предел
.. г(7и+Д7)-Г(7„) Дг
hm----------------= lim —. го он называется производной
дг-0 Д7	А-о Д7
вектор-функции z(7) в точке 7„
и обозначается г'(7и), Та-dt
ким образом, F'(70)=lim—.
Геометрический смысл производной вектор-функции. Вектор г'(70) направлен по касательной к годографу в сторону возрастания переменной 7, так как вектор Дг / Д7 всегда направлен
§ 2. Понятие кривой, гладкая кривая. Касательная к кривой
493
вдоль секущей МпМ годографа в сторону возрастания переменной г. Действительно, если Дг > 0, то вектор Дг направлен в сторону возрастания t (рис. 1.2, случай Д/>0), а вектор Дг / Дг сонаправлен с Дг.
Если Д/ < 0, то вектор Дг направлен в сторону убывания t
Случай Д/>0	Случай Дг О
Рис. 1.2. К геометрическому смыслу производной вектор-функции (рис. 1.2, случай Дг<0), а вектор Дг/Дг противонаправлен Дг.
В случае представления вектор-функции /'(/) в виде (1.1) в силу теоремы 1.1 справедливо равенство:
г'(0=х'(0/ + у'(Ы +z'(t)k.	(1.7)
Правила вычисления производных вектор-функции скалярного аргумента
Пусть вектор-функции r}(t)y r2{t) и скалярная функция f(t) имеют производные при некотором значении г аргумента. Тогда справедливы формулы:
1.	(^(n+Fj^P.CO+FSW;
2.	(/(ОТ; (/))'= /'(0^(0+/(О-r\ (f)\
3.	(F, (/) (/))'=я; (О(0+>; (О-г(О;
4.	(г, (OxF2 (t))'= r\ (OXF, (0+r, (Ox/’, (0-
Формулы (1—4) можно обосновать исходя из определения производной вектор-функции (определение 1.5) и свойств пределов вектор-функций.
§2. ПОНЯТИЕ КРИВОЙ, ГЛАДКАЯ КРИВАЯ. КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ
В § 9 гл. I разд. 3 было введено понятие линии Г (кривой Г) как множества точек пространства, обладающих некоторым общим геометрическим свойством, и рассмотрены различные способы задания линии, в том числе задание парамет-
494
Глава 7. Элементы дифференциальной геометрии
рическими уравнениями. Более общее определение кривой опирается именно на этот способ.
Определение 2.1. Множество Г точек пространства называется непрерывной кривой или просто кривой, если для радиуса-вектора г каждой точки этого множества справедливо равенство:
r(t)=x(t)i +y(t)j+z(t)k, /G[a, ₽],
(2-1)
где функции x=x[t), y = y(t), z = z(t) непрерывны на отрезке [о, р|. Переменная t называется параметром.
Очевидно, кривая Г из определения 2.1 есть годограф вектор-функции т(г) из (2.1). Функции х = х(О,	z = z(O-
iG|a, pj, задают координаты точек кривой Г. Равенство (2.1) называется параметрическим представлением, или параметризацией, кривой Г. Его принято вписывать также в виде:
Г={(л,у.г)еж,: х = х(О,у=><О,г=г(<), re[a, р]}. (2.2)
Параметрическое представление кривой Г эквивалентно способу задания этой кривой параметрическими уравнениями.
Если функции х= x(t),y=y(t), z = z(t) из (2.2) непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, р] и х'~ (t)+y‘2 (/) + z'1 (0*0 при VrG[a, р], го кривая Г называется гладкой.
Етадкая кривая Г с параметрическим представлением (2.2) в любой своей точке имеет касательную, определяемую как предельное положение секущей М0М, при условии, что точка М стремится к точке Л/с по кривой Г Вектор г'=(х'(0 является направляющим вектором касательной, направленным в сторону возрастания параметра t на Г.
§3. КРИВИЗНА плоской КРИВОЙ, РАДИУС И ОКРУЖНОСТЬ КРИВИЗНЫ
Пусть Г — плоская 1ладкая кривая, заданная представлением
Г = {(А,у)ЕЛ2: х = x(t),y = y(t), t G [a, pj}.
(3-1)
Длина Lr кривой Г, как показано в § 4 гл. 5, определяется формулой:
(3-2)
§ 3. Кривизна плоской кривой, радиус и сжружнсстъ кривизны
495
Обозначим через $ длину переменной дуги ЛЛ/СГ, где Л(х1а),у(а)). M(x(f),y(t)), г£[а, р]. Из (3.2) для s следует равенство:
s = f ^x'*+y'*dt.	(3.3)
В каждой точке гладкой кривой Г можно провести касательную. Угол а между касательными в двух различных точках Л/, М, кривой Г, направленными в сторону возрастания параметра на Г, называется углом смежности дуги ММ, (рис. 3.2, а — угол смежности) Отношение угла смежности а к длине дуги ММ, называется средней кривизной у этой дуги. Итак, Х = ——, где |As|=|s — s|— длина дуги ММ., $. и $ — длины дуг
1Л'1
AM, с Г и AM С Г, а — угол смежности дуги ММ, а Г
Рис. 3.1. К вычислению средней кривизны дуги окружности
Рис. 3.2. К соотношению между « и Д<р, случай Д«р>0, а = Д«р
Средняя кривизна любого отрезка прямой равна нулю, так как угол смежности а в этом случае равен нулю. Найдем среднюю кривизну дуги окружности ММ, радиуса А. Из планиметрии известно: длина дуги ММ, равна Ла, где а — ради
анная мера центрального угла а, опирающегося на эту дугу. Этот угол равен углу смежности, поскольку стороны этих углов перпендикулярны (рис. 3.1). Для средней кривизны дуги ММ, получаем равенство: у = 1/Л.
Определение 3.1. Кривизной Л кривой Г в точке М называется
lim у = lim -—, Л.-.С	д*-»о|Д$|
где у — средняя кривизна дуги ММ,, а — угол смежности этой дуги, a |А$| — ее длина, если этот предел существует
496
Глава 7. Элементы дифференциальной геометрии
и конечен. Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны и обозначается через R. Таким образом,
к = 11111-5-,	(3.4)
ат-" |Д$|
R=y.	(3.5)
к
Если кривизна равна нулю, то радиус кривизны считается равным + <».
Из определения 3.1 следует, что к = 0 в любой точке прямой, для окружности к = 1//?, где R — радиус окружности. Для окружности радиус кривизны совпадает с ее радиусом. Этим и объясняется термин радиус кривизны.
Обозначим через ф и ф + Дф утлы наклона касательных к оси Ох, проведенных к кривой Г в точках М и (рис. 3.2, 3.3). Углы а и Лф связаны соотношением: а = |Дф]. Действительно, а = Дф при Дф>0, и а = —Д<р при Д<р < 0 (рис. 3.2, 3.3). Равенство (3.4) преобразуется к виду:
Используя соотношение (3.6), получим формулу для вычисления кривизны плоской гладкой кривой Г, определяемой уравнением у = / (х), хб[с, Л]. Такой способ задания кривой эквивалентен следующему представлению:
Г={(х,у)ел2: x = x,y = f(x), xe[o,ij}. (3.7)
Параметром здесь является х, функция fix) непрерывно дифференцируема на [о, А] Из (3.3) с учетом (3.7) для длины л переменной дуги получаем:
s~f Ф+У'у^х-
(3-8)
В силу теоремы Барроу (теорема 4.2 гл. 3) из (3.8) имеем:
s,’ — -^1+у.’2- следовательно, ds = -Jl+y'^dx.
В § 2 гл. 1 разд. 5 установлено, что у' - tgtp, поэтому Ф=arctgy*. Предполагая, что функция у = Дх) дважды диффе
§ 3. Кривизна плоской кривой, радиус и окружность кривизны 497
ренцируема на промежутке [с, й]. продифференцируем обе части последнего соотношения:
dtp = (arctgj\ )' dx =-j2 dx.
i+0\)
Рассматривая производную — как отношение дифференциа-ds
,	,	d<p У*-
лов da и as, приходим к равенству — =---------, Отсюда,
л (1+0.;) )'
используя (3.6), получаем формулу для вычисления кривизны
1<.|
(1+6\)2)3/2
(3.9)
Для радиуса кривизны JR из (3,5) и (3.9) при условии у", #0 следуем формула:
1 _<1+G'i)2>s
1<1
(3.10)
Замечание 3.1. Радиус кривизны учитывается при сопряжении прямолинейного участка железнодорожного пути с круговым. Если бы прямолинейная часть пути примыкала к круговой, то при переходе на это закругление мгновенно возникла бы центробежная сила, и поезд испытал бы резкий и сильный толчок, вредный для подвижного состава и железнодорожного пути. Прямолинейную часть пути сопрягают с круговой с помощью некоторой переходной кривой, вдоль которой радиус кривизны постепенно убывает от бесконечности (на прямой) до величины радиуса кругового участка пути.
Замечание 3.2. Используя формулу (3.9), можно получить выражение для кривизны кривой, заданной параметрическими уравнениями или полярным уравнением (см., например, (6])_
Свойства кривизны
1. Если у'=0, то Л=|у"2|. Таким образом, Л=|у"г| в стационарных точках, в частности в точках гладкого экстремума функции у = f(x).
2. Если у", =0, то fc=0. Таким образом, в точках, где у\ =0, кривизна кривой совпадает с кривизной прямой.
498
Глава 7. Элементы дифференциальной геометрии
Определение 3.2. Окружностью кривизны кривой Г в точке Л/о называется окружность, имеющая в точке Л/о общую касательную с кривой Г, направление выпуклости которой вблизи точки Л/с совпадает с направлением выпуклости Г, а радиус равен радиусу кривизны данной кривой в точке Л/о.
Центр этой окружности называется центром кривизны кривой Г в точке Л/с (рис. 3.4, точка С — центр кривизны).
О
Рис. 3.4. К опреде гению 3.2
Замечание 3.3. Центр кривизны находится на прямой, проходящей через точку Л/0Е Г перпендикулярно касательной к Г в данной точке. Эта прямая называется нормалью к Г в этой точке (рис. 3.4. Т — касательная к Г в точке, М^С — нормаль).
Найдем координаты центра кривизны С(^,т]) кривой Г в ее произвольной точке М(х, у). Пусть Г является графиком функции y = f(x), дважды непрерывно дифференцируемой на промежутке [а, Ь\, при этом у", ^0 на этом промежутке Такое задание кривой эквивалентно, как упоминалось выше, представлению (3.7). Для точки М(х, у) имеем равенство:
р = г + МС =r + Rv,
(3.11)
где р=(^,т]) — радиус-вектор центра кривизны (точки Q, г = (х,у) — радиус-вектор точки М(х, у), R — радиус кривизны кривой Г в данной точке, v орт нормали к Г в точке М, направленный к центру кривизны (рис. 3.5). Вектор r'(x)=(Uy') является направляющим вектором касательной к Г в точке М(х,у). Вектор v можно записать в виде:
(3-12)
§ 3. Кривизна плоской кривой, радиус и окружность кривизны
Рис. 3.5. К выводу формул для координат центра кривизны, случай у*,(х)<0
Рис. 3.6. К выводу формул для координат центра кривизны, случай >’,(*)> О
где п=(—у’, 1) — вектор, перпендикулярный вектору г '(х) (скалярное произведение этих векторов равно нулю) и образующий острый угол с осью Оу.
Если у"<0 в точке х, то у" сохраняет свой знак в некоторой окрестности этой точки. В этом случае кривая Г вблизи точки М(х, у) направлена выпуклостью вверх и вектор v противонаправлен с вектором п (рис. 3.5). Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что эти векторы сонаправлены, если у">0 (рис. 3.6). Таким образом, в (3.12) выбираем знак «—», если у"<0. и знак «+», если j ">0, поэтому формулу (3.12), с учетом равенства |«|=^1+у'2, можно записать в виде
_=и » ,
у" /+?:*
(3.13)
а произведение Rv из (3.11) с учетом формулы (3.10) — в виде
Д7=1±11(_/,1).	(з.,4)
I У fi+y'.2 У
Перейдем в (3.11) к координатному представлению векторов р, г, Rv:
1+у'2
(^,т1)=(х,у)+^-(-у',1).
Приравняв соответствующие координаты векторов из обеих частей последнего соотношения, получим:
(3-15)
500
Глава 7. Элементы дифференциальной геометрии
Рис. 3.7. К примеру 3.1
Пример 3.1. Написать уравнение окружности кривизны в вершине параболы, определяемой уравнением: у=2х—х2/2. Построить кривую и ее окружность кривизны.
►Имеем: у'=2—х, у"=—1; у'=0 при х=2, точка (2, 2) — вершина параболы. Пусть q и т] — координаты центра кривизны. Поставим в (3.10)
и (3.15) найденные значения у' и у", получим: Я=1, q = 2, т] = 1, где R — радиус кривизны. Окружность кривизны в вершине данной параболы определяется уравнением: (х—2)2+(у—I)3 — 1. Парабола и ее окружность кривизны изображены на рис. 3.7. ◄
Свойства окружности кривизны
1.	Данная кривая Г и ее окружность кривизны в точке Л/о имеют одинаковую кривизну.
2.	Пусть кривая Г задана уравнением у = у(х), а У = У(х) — ордината точки части окружности кривизны Г вблизи точки Ми(х0,уи). Имеем:
у(х0)= У(х0),у'(х0) = У'(хи),у"(хи)= У"(х„).	(3.16)
3.	Пусть У = У(х) имеет смысл, описанный в свойстве 2. Найдется проколотая окрестность (7(хе) точки х0 такая, что равенство
у(х)—У(х)=о((х-хо )2)
будет выполняться для VxGt7(xe).
►Свойство 1 следует из определения окружности кривизны (определение 3.2) и определения радиуса кривизны.
Первое из равенств (3.16) очевидно, так как точка Л/„(х0,у0) принадлежит как данной кривой Г, так и ее окружности кривизны. Второе следует из геометрическою смысла производной и наличия общей касательной у кривой Г и ее окружности кривизны в точке Л/и(х0,у0). Третье равенство является следствием свойства 1, равенства (3.9), второго из равенств (3.16) и одинакового направления выпуклости кривой и ее окружности кривизны (определение 3.2).
§ 4. Эволюта, эвопяеша
501
Свойство 3 следует из равенства (3.16). В самом деле, разложим функцию у(х)— У(х) по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:
-Г(л) = у(х„)- Г(л„) +	<Хи)(х - х„) +
+o((x_xj!)
Отсюда в силу соотношений (3.16) следует доказываемое равенство. ◄
Замечание 3.4. В силу свойства 3 замена дуги данной кривой вблизи точки Л/0(х0,у0) на дугу окружности кривизны, проходящую через эту точку, дает погрешность более высокого порядка малости, чем (х—x0)J при х-»хе.
§ 4. ЭВОЛЮТА, ЭВОЛЬВЕНТА
Определение 4.1. Множество центров кривизны кривой Г называется эволютой Г. По отношению к своей эволюте кривая Г называется эвольвентой (инволютой или разверткой}.
Очевидно, соотношения (3.15) являются параметрическими уравнениями эволюты, в роли параметра выступает х.
Пример 4.1. Написать уравнение эволюты параболы у = т]2рх.
i+v-=i+?£=^+e 2-Jx’	4х 2х
1 Др i+y'2 _ 2-Jx(2x+p}
?	2 \ 2x-Jx) 4x-Jx’ у" ^2р
1 +у'2
Подставив выражения для у' и ----—в (3.15), приходим к ра-
венствам:
•,	2Д(2х + Р)
Ч =	-----т=--:
^*и+зх.
2хДх
Итак, получены следующие параметрические уравнения эволюты х данной параболы с х в роли параметра:
502
Глава 7. Элементы дифференциальной геометрии
4 = />+Зх,
2х^ п=—р- 
Исключим х из этих уравнений. Для этого из первого уравнения выразим х: х —(4—р)/3 и подставим это равенство во второе уравнение:
Рис. 4.1. К примеру 4.1
В последнем уравнении и р — прямоугольные координаты точки эволюты. После перехода к традиционным обозначениям прямоугольных координат имеем:
На рис. 4.1 показана данная парабола и ее эво л юта. <
Свойства эволюты
Пусть кривая Г есть график функции у = f\x), трижды дифференцируемой на отрезке [а, Ь].
1. Касательная к эволюте в точке W является нормалью к эвольвенте в точке М, для которой точка /V является центром кривизны эвольвенты (рис. 4.2).
2. Разность R2—R радиусов кривизны кривой Г в точках Л/ь М2 с точностью до знака совпадает с длиной дуги эволюты этой кривой, N2 — центры кривизны точек Л/,, М2 кривой Г, х, ,х2 (рис. 4.3).
► Возьмем производные по х ел обеих частей равенства (3.11), используя правила дифференцирования вектор-функции скалярного аргумента (§ 1):
dp dr d(Rv) _ dr । dR_ д rfv
dx dx dx dx dx dx	V ’
„	dv	„ „
Вычислим —•, используя равенство (3.13):
dx
§ 4. Эволюта, эвопяеша
503
Рис. 4.2. К свойству 1 эволюты, Т — касательная к эволюте, MN — нормаль к эвольвенте
Рис. 4.3. К свойству 2 эволюты
|j'11 - -у У" 1
у"	jl+y'2 dx
Для R— с учетом (3.10) получаем соотношение dx
R--dx
В последнем равенстве перейдем к координатному представле-
нию векторов: «=(—у',1).
—=(—после очевидных пре-dx
образований имеем
Итак, приходим к равенству
Rdv _ dr dx dx’
(3.18)
подставив которое в (3.17), получим
dx dx
(3-19)
Вектор — =(£t,r]x) является направляющим вектором каса-dx
тельной к эволюте. В силу равенства (3.19) он коллинеарен
504
Глава 7, Элементы дифференциальной геометрии
вектору v — орту нормали к эвольвенте. Таким образом, свойство 1 доказано.
Для доказательства свойства 2 перейдем в равенстве (3.19) к модулям
|ф|_	+
|dx| |dx| dx’
(3.20)
ибо |v) = l. Заметив, что |^|= 7^'* + *Ъг» преобразуем (3.20)
к виду
1/^Кг=±^-
Проинтегрируем почленно полученное равенство
As = J+n?dx = +-(^ - ЯД
где Дх — длина дуги NtN2 эволюты. Таким образом, свойство 2 доказано. ◄
Замечание 4.1. Условие существования третьей производной для функции у= f(x), графиком которой является данная кривая Г, необходимо для доказательства свойств эволюты. Это dJ? условие дает возможность использовать производную — (фор-dx
мула для радиуса
Рис. 4.4. К замечанию 4.2
кривизны R содержит у" (см. (3.10)).
Замечание 4.2. Свойства эволюты обосновывают способ построения для данной кривой Г одной из ее эвольвент. Пусть нерастяжимая нить натянута на дугу АВ кривой Г и закреплена в точке А. При сматывании нити с этой дуги ее конец опишет дугу М{ М2 эвольвенты кривой Г (рис. 4.4). Действительно, длины lt и /, отрезков Mt В и М2А равны радиусам кривизны кривой Г в точках А и В, а разность —/2 равна длине дуги А В данной кривой Г.
Замечание 4.3. В технике свойства эво-
люты применяют для гак называемого эвольвентного зацепления зубчатых колес (см. например, [6]).
§ 4. Эволюта, эвогьвеша
505
Контрольные вопросы и задачи к разделу 7
1. Дайте определение первообразной для функции f(x) на
промежутке X. Приведите примеры двух различных первообразных для функции /(х).
2. График какой первообразной для функции f(x)=1/(1+х2) проходит через точку с координатами (1,2л)?
3. Требуется вычислить интеграл § V4—х? dx. Выберите
замену переменной: a; x = sinr; 6) x=2sinr; в) x=2cosr. Вычислите интегралы:
s- f

10.
J 4л1 -л-
12. f Ь "> A;
J V Jv-9
14- f —
J x (x2 +1)
16. Г(^~8)А:
J . I____2
18. Г <	;
J 3+5cosx
20. f(g3x dx;
15- .f ,	:
J 4x!+4x+5
it. f, , ;
V2 +3x—2x2
1’- f ;
J l+sin2x
21. J sin3xcos5x dx.
22. Вычислите lim
23. Вычислите определенные интегралы
х	t / 2	+ w
a)f (4—3x)e~ixdx; 6) J"sin2 xcos1 xdx; в)J*
24. Вычислите или установите расходимость несобствен-
ных интегралов
xdx "г _	. г dx f(l+lnx)<&
a) J -j==; 6) J xe Xdx; b)J —-; r) J ----^=-.
0 Vx" +1 о	0х1 i x-tflnx
506
Глава 7. Элементы дифференциальной геометрии
25.	Вычислите плошади фигур, ограниченных линиями:
а) у = (х-2)2, у = 4х—8; б) r=4cos3(p, г=2 (г<2).
26.	Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной дугами парабол у2 =х,
27.	Вычислите массу круглой пластины радиуса R с центром в начале координат, если поверхностная плотность p(x,y)=Jx*+y2.
28.	Вычислите длину дуги кривой у = Inx,
29.	Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 Н она растягивается на 1 см?
30.	Вычислите работу, которую необходимо затратить для того, чтобы выкачать воду, наполняющую цилиндрический резервуар высотой Н, имеющий в основании круг радиуса R (Н =5м, Я=3м).
31.	Написать уравнение окружности кривизны в вершине кривой, заданной уравнением: у = (х+1)е-л Построить кривую и ее окружность кривизны.
32.	Написать уравнение эволюты параболы у = 1—х2/2.
Ответы на контрольные вопросы и задачи к разделу 7
_ 1 х _ „ xcos(3x+5) sin(3x+5)
5. —arcsin^+C. 6.
(2х-1)7 (2х+1)'
13. ^cos’ x(3cos2 x—5)+C.
14. In |X| +C 15. ' nrcl»2* * 1 I C.
4	45 2
§ 4. Эволюта, эвольвента 507
16. —2-^1—х—х2 —9arcsin +С 17. 4= arcsin ~ +С. л/5	Л 5
18. -ln|ft(x/2)~2|+C. 19. ' агс|г(Л  IgA) I С.
4 |<5(х/2)+2|	^2
20. у tg1x+ln |cosx| +С. 21. — ^_cos8x+^cos2x+C
22. 1. 23. а) (х+1/3)е-3х —1/3; б) 2/15; в) п/4. 24. а) расходится; б) 1; в) расходится; г) 2Vln2 +(2/3)In2- Vln2.
25. а) 32/3; б) 4 л/3+8-4^3- 26. Зл/10. 27. 2лй3/3.
28. 1+05In (3/2). 29. 0.08 нм (0.08 Дж. 30. 3 532 500 дж.
31. (0, 1), X2 +у2 =1. 32. 27х} +8>3 =0.
Раздел 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Изучение многих процессов в естествознании и технике требует рассмотрения соответствия между несколькими числами и одним числом. Так, в задаче о распространении тепла в некотором теле трем числам (координатам точки тела) сопоставляется одно число (температура этой точки). Если тело остывает или нагревается, то к этим трем числам присоединяется еще одно число (момент времени). В географии и картографии изучение формы поверхности Земли приводит к рассмотрению соответствия между двумя числами (широтой и долготой точки поверхности Земли) и одним числом (высотой этой точки над уровнем моря). Большое количество подобных примеров можно привести из разных отраслей естествознания, техники, экономики. Зависимости такого рода являются предметом исследования в данном разделе. С этой целью вводится понятие функции нескольких переменных и рассматривается аппарат для ее изучения.
§ 1. Пространство Р. и некоторые его подмножества
509
Глава 1
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§ 1. ПРОСТРАНСТВО И
НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПОДМНОЖЕСТВА
Определение 1.1. Множество {(jq, ..., xm), i= 1, ..., m} всевозможных упорядоченных наборов из «-вещественных чисел называется т-мерным координатным пространством. Элементы этого множества называются точками и обозначаются Af(x,,...,x„), а числа х.,хя — их координатами. Точку, все
координаты которой равны нулю, называют началам координат.
Расстоянием между двумя точками /«-мерного координатного пространства М(х‘",....хяп) и Л/(х’2>,...,хя’) назовем вещественное число р(Л/1,М2). определяемое равенством:
р(м,,м2)=/х;'1	+...+(<"	с)
Определение 1.2. «-мерное координатное пространство с расстоянием между его точками, определяемым по формуле (1.1), называется т-мерным евклидовым пространством и обозначается
Пространство /?, совпадает с множеством вещественных чисел К и геометрически интерпретируется с помощью числовой прямой. Пространства R} и R} геометрически интерпретируются как плоскость и трехмерное пространство, в которых введены прямоугольные декартовы системы координат. Формула (1.1) обобщает известную из аналитической геометрии формулу расстояния между двумя точками на случай w-мерно-го пространства.
Определение 1.3. Шаром (открытым шаром) в R,„ (или m-мерным шаром) с центром в точке Д(с( .., а1п) и радиусом г называется множество точек М из Ли, удовлетворяющих условию: р(Л/, А) г (р(Л/, А) < г).
Приведем примеры «-мерных шаров. При т = 1 это отрезок [а—г, a+rj, двумерный шар (т = 2) — это круг с центром в точке A(at, «2) и радиусом д при т = 3 получаем шар, известный из стереометрии, с центром в точке А(а1, а2, а3) и радиусом г.
510 Глава 1 Понятие функции нескольких переменных Предел Непрерывность
Определение 1.4. Открытый шар в /?„, с центром в точке j4(g,, ... а„) и радиусом 5 называют Ъ-окрестностью точки А и обозначают U£ (Л).
Определение 1.5. т-мерным параллелепипедам в пространстве Е,„ с центром в точке A(at, ... ат) называется множество точек ЛЦх^-^х^), координаты которых удовлетворяют неравенствам: |х — o(.|<j.,	где d. - некоторые положительные чис-
ла.
Одномерный параллелепипед — отрезок [о —dl,al +dt ], двумерный параллелепипед — прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат и с центром в точке A(al,ai) (рис. 1.1), трехмерный параллелепипед — это прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны осям координат, а центр находится в точке ЛЦ.0,,0,) (рис. 1.2).
Рис. 1.1. Двумерный параллелепипед
Рис. 1.2. Трехмерный параллелелипипед
Определение 1.6. Непрерывной кривой в пространстве Ип, называется множество точек M(xt ,...,хИ1) из /?/я, координаты которых заданы как непрерывные функции вспомогательного параметра г, изменяющегося на некотором отрезке:
\=Ф,(0, X2=tp2(t),
х„=Фт(П, re[a,pi.
§2	. ОТКРЫТЫЕ, СВЯЗНЫЕ, ЗАМКНУТЫЕ, ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА В ПРОСТРАНСТВЕ
Определение 2.1. Точка А(а1,...,ат) множества ЕСИт называется внутренней точкой этого множества, если существует 8-окрестность точки А, пюбая точка которой принадлежит данному множеству (рис. 2.1).
Определение 2.2. Точка А(а, ,...,дм), принадлежащая или не принадлежащая множеству EaR„, называется граничной точкой этого множества, если любая ее 5-окрестность содержит
§ 2. Открытые, связные, закинутые, ограниченные множества в пространстве Я
511
Рис. 2.1. К понятию внутренней точки множества (определение 2.1)
Рис. 2.2. К понятию граничной точки множества (определение 2.2)
как точки, принадлежащие этому множеству, так и точки, не принадлежащие ему (рис. 2.2). Совокупность всех граничных точек множества Е называется его границей.
Определение 2.3. Множество EC.R,„ называется открытым, если все его точки внутренние. Множество EC-R^ называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.
Определение 2.4. Множество EC.Rin называется связным, если две любые его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой будут принадлежать Е. Открытое связное множество называют также областью, а объединение области с ее границей — замкнутой областью.
Например, 5-окрестностъ точки А (определение 1.4) — область, а /«-мерный шар (определение 1.3) — замкнутая область.
Определение 2.5. Любая область, содержащая точку AERm, называется окрестностью этой точки. Для окрестности точки А принято обозначение: U(A).
Определение 2.6. Множество EC.R,„ называется ограниченным, если все его точки принадлежат некоторому /«-мерному шару. В противном случае множество Е называется неограниченным.
Так, /«-мерный параллелепипед — ограниченное множество точек из JRm. так как все его точки принадлежат /«-мерному шару с центром в точке А(а1,...,ап) и радиусом r=^dl2+...+d^.
Определение 2.7. Диаметром множества E^R^ называется точная верхняя грань расстояний между двумя любыми точками этого множества.
Например, диаметром /«-мерного параллелепипеда (определение 1.5) является число d = 2-^d*-t...+d*.
512
Глава 1 Понятие функции нескольких переменных Предел Непрерывность
§3	. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение 3.1. Если каждой точке Л/(х, ,...,xm)G ДСЙ1,,
поставлено в соответствие некоторое вещественное число и, то говорят, что на множестве D задана функция т переменных. Для нее принято обозначение: u = f(M} или u~f(xl ,...,хт). Величины Xj ,х2, ... , хп называют независимыми переменными или аргументами, я и — зависимой переменной, или функцией. Множество D называют областью определения функции и обозначают D(u),D(f).
Замечание 3.1. Функции двух и трех переменных часто обозначают гак: и= f(x,y), и = f{x,y,z).
Замечание 3.2. Понятие области определения (задания) функции не следует путать с понятием области как множества точек из Лт, введенным в предыдущем параграфе (определение 2.4). Область определения функции может быть произвольным множеством, в то время как область в смысле определения 2.4 есть множество, удовлетворяющее некоторым ус-
ловиям.
Пример 3.1. Найти область и = 1п(1—х2 — у2) + у[у. Является ли эта
определения функции
область замкнутой? oi-
раниченной?
Рис. 3.1. Область определения функции в примере 3.1
► Область определения функции D(u) определяется неравенствами: 1—х1 —у2 >0, т. е. х2 +у2 < I (открытый круг) и у>0 (верхняя полуплоскость). Таким образом, D(u) есть множество точек плоскости Оху, имеющее форму полукруга, изображенного на рис. 3.1. Граничные точки этой области, находящиеся на оси Ох, принадлежат ей, а точки окружности х2 +у2 =1 не принадлежат, поэтому D(u) не является замкнутым множеством. Она является ограниченной, так все ее точки принадлежат кругу: х2 + у2 <4 (рис. 3.1). ◄
Пример 3.2. Найти область определения функции и = yjy—х2. Является ли эта область гамкнутой? ограничен-
ной?
► Координаты точек области определения функции D(u) удовлетворяют неравенству: у—х2 >0, т. е. у>х2. Таким обра-
§ 3. Понятие функции иескояких переменных 513

Рис. 3.2. Область определения функции в примере 3.2
Рис. 3.3. Круговой параболоид — график функции и—хг+у1
зом, D(u) есть множество точек плоскости Оху, показанное штриховкой на рис. 3.2. Оно содержит все свои граничные точки, поэтому является замкнутым. Однако В(и) не является ограниченным множеством, поскольку на плоскости Оху нельзя построить круг, которому бы принадлежали все точки рассматриваемого множества. ◄
Для функции одной переменной у = f(x) рассмотрено геометрическое представление в виде графика на плоскости Оху (разд. 4), под которым понималось множество точек этой плоскости, определяемое уравнением, задающим эту функцию. В случае функции нескольких переменных геометрическое представление может быть рассмотрено только для функции двух переменных и = f(x,y). Графиком такой функции естественно считать поверхность в пространстве Охуи, определяемую уравнением, задающим данную функцию Так, графиком функции и = х2 +у2, заданной на всей плоскости Оуг. является круговой параболоид (рис. 3.3).
Определение 3.2. Поверхностью уровня (изоповерхностью) функции и = f(x,y,z) называется множество точек, в которых функция принимает одинаковые значения. Уравнение поверхности уровня: f(x,y,z)=C, где С — значение функции в точках изоповерхности.
В случае функции двух переменных и = f(x,y) поверхности уровня «превращаются» в линии уровня и(х,у)=С (вспомните изотермы, изоклины, изобары и т. д.). Термин «линии уровня» замствован из картографии. Там под линией уровня понимают множество точек земной поверхности, высота которых над уровнем моря одна и та же.
514 Глава 1 Понятие функции нескольких переменных Предел Непрерывность
§4	. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Последовательности точек в пространстве Rm.
Определение 4.1. Если любому натуральному числу 1, 2, ..., и, ... поставлена в соответствие по определенному закону некоторая точка	....х^и,)Е/?т, то множество зануме-
рованных точек {Л/„}“=| называется последовательностью точек в пространстве R„r
Определение 4.2. Точка А(а,,...,а„) называется пределом последовательности точек {Л/„}"=] пространства R„, при и-*+со; если
lim р{М„, А)=0.	(4.1)
Последовательность {Л/и}"=| в этом случае называется сходящейся к точке А.
Обозначение: lim Мп=А или Мп -*Л при п-*+<*>.
Определение предела последовательности точек основано на понятии предела числовой последовательности (определение 2.1, гл. 2, разд. 4). Таковой является последовательность р(Л/„,Л)”=1. Заметим, что в силу равенства (4.1) она является бесконечно мвлой.
Теорема 4.1. Пусть дана последовательность точек Л/И(х1,и’,х^и’,... .х^"’) в пространстве Rm. Для того чтобы ЛУ„ -» A(at при и-»+оо необходимо и достаточно, чтобы
х?"‘-»а/ при л-»+оо, 1 = 1, 2,..., т.	(4.2)
► Пусть Mv -»А при л-»+ оо, тогда в силу (4.1) имеем: р2(М11.А)-(х^И> -аУ +...+(х£* -ат)2 -*0 при л-»+<».
Отсюда следует утверждение (4.2). Действительно, если предположить противное, то вступим в противоречие с определением 4.2.
В случае если выполняется (4.2), справедливость утверждения -» А при п -»+ оо очевидна в силу определения 4.2 и равенства (1.1).
Например, пусть дана последовагельность точек {Л/.(|/„, 2/л,...,/и/и)}”^ и точка /4(0, 0,...,0). Очевидно, что Ми -» А при п -» + оо, так как i(n-»0 при п -» +оо, /= 1, 2,..., т.
2. Понятие предела функции нескольких переменных
Определение 4.3. (по Гейне или на языке поеледовательно-стей). Пусть функция и = определена на U(A) — некого-
§ 4. Предел функции нескол*ик переменных	515
рой окрестности точки А из JRm кроме, быть может, самой этой точки. Число b называется пределом функции u = J\M) в точке А (или при М-»А), если для любой последовательности точек {М„}“=1 С1/(Л), сходящейся к точке А при я —+<», последовательность значений функции {/(Л/и)}“=| сходится к числу b при П — + 00.
Обозначение: b= lim/(Л/) или b= lim f(x ,...,хм).
Л.-".
Здесь а,,а,,...,ои, b все или некоторые из них могут быть и символами оо, +оо, — оо. Для функции нескольких переменных можно сформулировать второе определение предела на языке в—5 (по Коши) и доказать его равносильность определению 4.3.
Функции нескольких переменных, имеющие предел в данной точке, обладают свойствами, аналогичными свойствам функции одной переменной, имеющими предел (§ 2 гл. 3 разд. 4). В частности, справедливы теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух функций. Для функций нескольких переменных также вводятся понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции при М —А, понятие о сравнении таких функций и т. д.
Пример 4.1. Найти lim (х2 — у2).
(х >)-(4 3)
►	Возьмем две любые числовые последовательности х(1 -* 4 и у,,-*3 при а —+оо и введем обозначение: f(x,y)=x2—у2. Имеем: (xw,yn)-(3,4), a f(xu,y„)=x2 -у; -16-9=7 при
п — + со => lim, (х1 — у2) = 7 (определение 4.3).
Пример 4.2. Показать, что 3 lim (х у)-»(0.0) х
►	Пусть f(x,y) = —-у. Рассмотрим две пары числовых
последовательностей: х’1 ’ = 1 / и — О,	у*1’ = 2 /я — О	и
х„2’=3/и-»0,	у*21=4/я — 0 при я —+<». Имеем:
Л	Л <2> «И 3’4	12	12
Аналогично устанавливается, что j(xu ’,у’ )=-------------=-----*—
9+16 25 25
при я —+<». Так как Нт/(х’,>,у*,’)э* lim/(x‘2’,y‘2>), то
3 lira —j-----т (определение 4.3).
516 Глава 1 Понятие функции нескольких переменных Предел Непрерывность
§ 5.	НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И В ОБЛАСТИ. РАЗРЫВЫ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Определение 5.1. Функция u = f(M) называется непрерывной в точке А/с, если выполнены следующие гри условия:
1)	она определена на U(Mf) — некоторой окрестности точки А/о;
2)	существует lim f(M\, м-»мв
3)	справедливо равенство
lim /(А/) = /(Л/(1)	(51)
Например, функция f(x,y)=x2 — у2 непрерывна в точке (4, 3), так как lim (х2 —у2)= 7= /(4,3) (пример 4.1).
<* у)-(4 3)
Определение 5.2. Разность значений функции и = f(M) в точках М и Л/о называется приращением функиии в точке Л/о и обозначается Ан. Итак,
Au = f(M)-f(Mn).	(5.2)
Перепишем (5.1) в виде: lim (/(Л/)—/(Л/)) = 0. Отсюда имеем
lim Дп=0.	(5.3)
Пусть известны координаты точек М и Л/о: Л/(х,,... ,л„), Л/0(х'х‘‘”). Разности координат этих точек назовем приращениями аргументов функции и = f(xl, ...,х„) в точке Л/о и введем обозначения: Дх,. =х,. — х‘°’, 1= 1,2,...,/я. Из последнего равенства имеем: xf = х‘“’ + Ax/t (=1,2,...,т. Теперь приращение функции Ан можно записать в виде:
AU = /<x]m + Лх,,+Лх_)-/(х,т.........хЯП.
а равенство (5.3) в виде:
lim ^Дн = О.	(5.4)
Равенство (5.4) следует из соотношения (5.3) и, следовательно, из (5.1). Обратно, если выполняется (5.4), то выполняется и (5.1). Таким образом, обоснована следующая теорема.
Теорема 5.1 (необходимое и достаточное условие непрерывности). Функция u = f(M), заданная в области DC.R„, непрерывна в точке Мо€= D тогда и только тогда, когда бесконечно малым приращениям аргументов в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.
§ 5. Непрерывность функции в точки и в области. Разрывы непрерывности 517
Пример 5.1. Показать, что функция и = ^|х]|у| непрерывна в точке (0, 0).
► Au = и(0 + Ах, 0 + Ду) — «(0, 0) = ДхН Ду! -»0 при Дх-»0, Ду-»0, поэтому данная функция непрерывна в точке (0, 0) в силу теоремы 5.1 ◄
Замечание______5.1. Если ввести обозначение:
р=^Дх2 + Дх’ +... + Дх’, то равенство (5.4) можно записать так: lim Ли =0.
Определение 5.3. Функция u = f(M), 1аданная в области D<LRm, называется непрерывной в области D, если она непрерывна во всех точках области D.
Легко показать, как и в случае функции одной переменной, что сумма, разность, произведение, частное и суперпозиция непрерывных в области D функций нескольких переменных суть функции непрерывные в этой области (в случае частного знаменатель предполагается необращающимся в нуль).
Из высказанных утверждений как следствие вытекает следующая теорема.
Теорема 5.2. Все элементарные функции нескольких переменных непрерывны в любой области, содержащейся в области их определения.
Основные теоремы о функциях одной переменной, непрерывных на отрезке, распространяются на функции нескольких переменных, непрерывных в замкнутой ограниченной области, являющейся в пространстве Rm аналогом отрезка числовой прямой.
Теорема 5.3 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция и~ f(M} непрерывна в ограниченной замкнутой области DC.R„„ то она ограничена в этой области, т. е. существует такое вещественное число L, что |/(Л/)|< L.
Теорема 5.4 (вторая теорема Вейерштрасса). Функция и = f(M), непрерывная в ограниченной замкнутой области DC.R„, принимает в ней свои наибольшее и наименьшее значения.
Теорема 5.6 (первая теорема Больцано — Коши) Пусть функция и = f(M) непрерывна в области DC.Rn и в некоторых двух точках этой области принимает значения разных знаков. Тогда внутри этой области найдется хотя бы одна точка С такая, что /(С)=0.
Доказательства теорем 5.3—5.6 приведены в [2].
518 Глава 1 Понятие функции нескольких переменных Предел Непрерывность
Определение 5.4. Если для функиии « = f(M) в точке Л/о не выполняется хотя бы одно из условий 1) — 3) из определения 5,1, то точка Л/о называется точкой разрыва функции f(M).
Пример 5.2. Функция /(х,у) = 1/(№ +у2) непрерывна как элементарная во всех точках плоскости Оху, кроме точки (О, 0), где знаменатель обращается в нуль. С приближением точки М(х,у) к точке (0, 0) данная функция неограниченно возрастает: lim /(Л/) = +<ю Точка (0, 0) — точка разрыва М->(0 О)
данной функиии. Поведение этой функции вблизи точки (0, 0) показано на рис. 5.1.
Замечание 5.1. Для функции нескольких переменных невозможна такая простая классификация точек разрыва, как в случае функции одной переменной (см. § 2 гл. 4 разд. 4). Точки разрыва функции нескольких переменных могут быть не только изолированными, как в примере 5.2, но и составлять линии, поверхности и т. д.

Рис. 5.1. Иллюстрация к примеру 5.2
Рис. 5.2. Иллюстрация к примеру 5.3
I х—у|
Пример 5.3. Функция двух переменных f(x,y)=---+1
имеет конечные разрывы-скачки вдоль прямой у—х=0 (рис. 5.2), а функция трех переменных /(x,y,z)=^——-—-x+y+z-l
имеет разрывы на плоскости x+y+z—1 = 0.
§ 1. Частные производные
519
Глава 2
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Ограничимся рассмотрением функций двух переменных, однако все результаты с очевидными изменениями переносятся на случай функций любого числа переменных.
Пусть М(х,у) — внутренняя точка области определения функции u = f(x,y). Придадим аргументу х приращение Дх, данная функция получит приращение /(х+Дх,у)—f(x,y), которое называется ее частным приращением и обозначается Д^и. Итак:
=Пх+&х,у)-Ля.уУ
Определение 1.1. Если существует lim^—, то он называет-
ся частной производной функции и = f(x,y) в точке М(х,у) по ,	< о ди
аргументу х и обозначается одним из символов: и ,, /	,
дх
д/	ди Д,и
—. Таким образом, — = lim----.
дх	дх Ду-« Дх
Аналогично определяется частная производная от функции и = f(x,y) по аргументу у, которую принято обозначать одним , ди df	ди
из символов: и v, j —, —. По определению имеем: — = ду ду	ду
Л U = lim —. Ду-" Ду
При вычислении частных производных функции нескольких переменных все ее аргументы фиксированы, кроме одного, поэтому частные производные вычисляются по формулам и правилам, приведенным в разд. 5 для функции одной переменной.
Пример 1.1. и=ху. Найти частные производные в любой точке (х,у).
520
Глава 2. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких
► При вычислении частной производной — данную функ-дх
цию считаем функцией одной переменной х, в этом предположении функция и = ху является степенной функцией аргумента х По формуле для производной степенной функции du	_	ди .
имеем: —= ух . Вычисляя —, фиксируем аргумент х и дх	ду
функцию и = ху считаем показательной функцией аргумента у.
По правилу дифференцирования показательной функции по-йи
лучим: —=х 1пх <
§2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пусть функция и = f{x,y) задана в области D и имеет в ней частные производные (они называются также частными производными первого порядка). Эти частные производные являются функциями переменных х, у (вообще говоря, в новой области Dt CZ>), и можно поставить задачу вычисления их частных производных. Эти частные производные (от функций //, /'} называются частными производными второго порядка {вторыми частными производными) исходной функции и обозначаются следующими символами:
С'{х,у), f”{x,y), f^{x,y), f;y{x,y), f^{x,y), д2и д2и д~и д2и дх2 ’ ду2’ дХду' дудХ
Порядок расположения букв в нижнем индексе первой группы символов и в знаменателях второй группы указывает порядок вычисления производных. Так,
л; <х,у)=(//)'„,
д2и _ dllpiA д2и _ a pll' дхду ду\дх)’ дх2 сЩсЬс,
Производные	называют сме-
дхду дудХ
шанными.
Пример 2.1. и=х'. Найти вторые смешанные частные производные в любой допустимой точке (х,у).
§ 3. Дифференцц)уемость функции нескольких переменных. Полный дифференциал
521
. пи пи _	,, пи
►— и — были вычислены в примере 1.1: — = ух ,
д2и
д}и _ д (ди дудХ
—(х 1пх)=ух’ 1Inx+x* —= х* 1 +ух* 11пх.^
Смешанные производные второго порядка от функции из _ .	д*и д2и
примера 2.1 удовлетворяют равенству: —— = ----. Этот ре
дхду дудх
зультат не случаен, такое равенство всегда будет иметь место при выполнении некоторых условий.
Теорема 2.1 (о равенстве вторых смешанных производных). Если функция f(x,y) имеет в некоторой области D непрерывные смешанные частные производные f£(x,y) и f^(x,y), то во всех точках этой области f^(x,y)= f”x(x,y).
Доказательство теоремы 2.1 см., например, в [2].
Аналогично вводятся частные производные третьего, четвертого и т. д. порядков; обозначения аналогичны: так. — частная производная третьего порядка, при этом функция и дифференцируется 1 раз по х и далее 2 раза по у.
Определение 2.1. Частной производной п-го порядка (я-й частной производной) называется частная производная от частной производной п—1-го порядка. Частная производная я-го порядка от функции и = f(x,y), взятая г раз по х и s раз по у .	,	3"«
(г+я = я), обозначается символом —t——
дх'ду1
Теорема 2.1 очевидным образом обобщается на случаи любого числа переменных для смешанных производных любого порядка.
Теорема 2.2. Если частные производные я-го порядка функции нескольких переменных отличаются только порядком дифференцирования и непрерывны в рассматриваемой точке, то они равны в этой точке.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
1. Понятие функции нескольких переменных, дифференцируе-
мой в точке. Полный дифференциал. Пусть функция и = /(х,у) задана в области D, а точка (х,у)6й Придадим аргументам
522 Глава 2. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких
хи у прирашения Дх и Ду такие, чтобы точка (х + Дх, у + + Ду)е D и рассмотрим полное приращение функции:
Ди = Дх + Дх. у + Ду) - Дх. у).
т. е. приращение функции по всем аргументам в отличие от частного приращения по одному аргументу.
Определение 3.1. Функция и=/(х,у) называется дифференцируемой в точке (х,у), если существуют числа А и В такие, что полное приращение Ди в этой точке может быть представлено в виде:
Ди = ЛДх + 5Ду + о(р),	(3.1)
где р = ^/дх2 + Ду2 — расстояние между точками (х,у) и (х + + Дх, у + Ду), о(р) — бесконечно малая более высокого порядка, чем р, при р-*0. Главная часть приращения Ди, линейная относительно приращений аргументов Дх и Ду, называется дифференциалом (полным дифференциалом) данной функции и обозначается du,df. Таким образом,
du = Abx+Bby.	(3.2)
Пример 3.1. Показать по определению, что функция и — х'+у' дифференцируема в точке (3,4) и наити ее дифференциал.
►Ди = ((3+Дх)2 +(4+Ду)2)-(32 +42)=6Дх+8Ду + Дх2 + Ду’. Сравним полученное выражение с (3.1): /1=6, й=8, Дх2 + Ду2 =р2 =о(р) при р->0. Итак, полное приращение функции в данной точке представлено в форме (3.1), а это и означает, что функция дифференцируема в этой точке, du = 6Дх+8Ду.-4
Замечание 3.1. Равенство (3.1) можно записать в эквивалентной форме:
Ди = лд х + ЯДу 4-а(Д х, Ду)Дх+Р(Д х, Ду)Ду,	(3.3)
где а(Дх,Ду)-*0 и Р(Дх,Ду)-»О при Лх,Ду->0.
*► Покажем сначала, что из равенства (3.3) следует (3.1). Имеем
,. а(Д х, Ду) Д х+Р(Д х, Ду)Ду hm-----------------------=
р
= liml а(Д х, Ду)	+р( Д х, Ду)—I = О,
§ 3. Дифференцц)уемость функции нескольких переменных. Полный дифференциал 523
ибо Дх.Ду-*0 при р-*0. тогда а(Дх,Ду)-*0 и Р(Дх,Ду)-»0.
Дх &у	Дх| |Дх|
а дроби	—,—	ограничены: —1= .	<1,
Р Р	I Р I фЛх2 +Лу2
|ду| |Ду] , „
— = .	< 1. Рассмотренный предел равен нулю, по-
I р I 7Д-*2 +д^2
этому а(Дх,Ду)Дх+Р(Дх,Ду)Ду = о(р) при р-»0 (определение символа о), а это и означает, что из (3.3) следует (3.1).
Теперь осуществим переход от (3.1) к (3.3). В силу определения символа о lim(o(p)/p)=0, поэтому о(р)/р=0+у(р) или
о(р) = у(р)-р, где у(р)~*О при р-»0 (теорема 4.3 гл. 3 разд. 4). Выполним очевидные преобразования:
О(р) = УСР)^2 +д>,?) _ Y(P>Ajc + у(р)Ду Р	Р	Р	Р
Положив - а(дх,Ду), Ч(р№у = р(Дх,Ду), из (3.3а) получа-Р	Р
ем:
о(р)=а(Д х, Ду)Д х + Р(Д х, Ду)Ду
Поскольку |а(Дх,Ду)|=|у(р)|-|Дх/р|<|у(р)|, |р(Дх,Ду)|=|у(р)|х х|Ду/р|<]у(р)|, то а(Дх.Ду)-»0. р(Дх.Ду)-»0 при р-»0 и. сле-
довательно, при Дх-»0, Ду-»0. Таким образом, переход от (3.1) к (3.3) обоснован.◄
Замечание 3.2. Формулу (3.1) с учетом (3.2) можно записать так’
Д« = du + о(р).	(3.4)
2. Необходимые условия дифференцируемости в точке
Теорема 3.1 (первое необходимое условие дифференцируемости). Если функция и = /(х,у) дифференцируема в точке Л/о (х0,у„), то она непрерывна в этой точке.
► Из дифференцируемости функции u = f(x,y) в точке Л/0(хи,у0) следует, что полное приращение Д« представимо в этой точке в виде (3.3). Пусть Дх-»0, Ду->0. Из (3.3) получаем Ды-»0, а это и означает, что функция и — f(x,y) непрерывна в точке Л/о (теорема 5.1, гл. !).◄
S24 Глава 2. Частные производные и годный дифференциал функции нескольких
Теорема 3.2 [второе необходимое условие дифференцируемости). Если функция и = f(x,y) дифференцируема в точке Л/Ц(хо,уо), то она имеет в этой точке частные производные.
►Из условия дифференцируемости функции u = f(x,y) в точке Л/П(хо,уо) следует, что полное приращение Ди представимо в этой точке в виде (3.3). Положим в (3.3) Ду=0, при этом Ди становится частным приращением Д_и. Итак, имеем равенство: Дхи = ЛДх+а(Дх,О)Дх. Поделим обе его части на
^- = Л+а(Д.х,0).
При Дх имеем: Нт(Л+а(Дх,О))=Л, поэтому существует
Д,Н ди	, ди ,
игл----= — и верно равенство: А = —. Аналогично можно
Дх дх	дх
п ди
показать, что В— —.◄
Замечание 3.3. При доказательстве теоремы 3.2 выяснен аналитический смысл коэффициентов А и В в формулах (3.1) и (3.3), а именно, они равны частным производным данной функции. Формулу (3.2) для дифференциала функции двух переменных теперь можно переписать так:
ди	ди
du = —Дх ч-Ду.
дх	ду
(3.5)
Справедливы равенства: Ax=dx,Ay = dy. Действительно, пусть и =х. В соответствии с (3.5) получаем: du — dx= 1- Дх +0- Ду = Дх. Аналогично обосновывается равенство Ay = dy. Соотношение (3.5) теперь можно записать в виде:
, ди	ди ,
du = — dx+—dy.
ЙХ	йу
(3-6)
Дифференциал функции двух переменных вычисляют по формуле (3.6).
Пример 3.2. Найти дифференциал функции и=ху.
§ 3. Дифференцц)уемость функции нескольких переменных. Полный дифференциал 525
Эу
были вычислены в примере 1.1:
— = ух'	— = х’1пх. В силу формулы (3.6) имеем:
дх	ду
du — ух * 1 dx: + х ’ In xdy. ◄
Для полного приращения Ли функции и = f(x,y) в точке
Л/0(х„,уе) из равенств (3.4), (3.6) получаем формулу
пи ,	ии ,	, .
Ли =----d X +----dy + О(р).
дх	ду
(3.7)
Замечание 3.4. Непрерывность и существование частных производных функции в данной точке являются необходимыми, но недостаточными условиями дифференцируемости функции нескольких переменных в данной точке.
Пример 3.3. Показать, что функция н = л/|х|-|у| непрерывна в точке (0, 0), имеет в этой точке частные производные, но не дифференцируема в этой точке.
► Непрерывность функции и в точке (0, 0) показана в примере 5.1 гл. 1, а для ее частных производных справедливо равенство: к*(0,0) = и' (0,0)=0, ибо Ли = ы(0+Дх,0+Ду)—и(0,0) = = л/|Дх]-|Ду|, Лхи =Лки — 0 (определение 1.1).
Данная функция будет дифференцируема в данной точке, если ее полное приращение Ли представимо в виде
Ли= 0- Лх+0‘ Ду'+о(р) = о(р).
(3-8)
Одиако для Дх=Ду>0 имеем Ли = Лх=р/-^2, ибо р = д/дг2 +Ду’ = д/2 Дх.
_	Ли I
Таким образом, приходим к равенству — = —, из которо-
Р д/Г
Ли
го следует, что — не стремится к нулю при р-»0, поэтому Ли Р
непредставимо в виде (3.8).◄
Следствие из теорем 3.1, 3.2. Если функция и = /(х,у) не является непрерывной в данной точке или не имеет в ней частных производных, то она не дифференцируема в данной точке.
526
Глава 2. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких
1—----г; х2 +у2 >1),	, ,
х2 +у2	не дифферен-
0, х = у=0
цируема в точке (0, 0), поскольку имеет в этой точке разрыв (3 Hm f(x,y), пример 4.2 гл. 1). Но она имеет в этой точке частные производные. Действительно, /(х,0) = /(0,у)=0, поэтому /\ (0.0)= /', (0,0)=0.
Рассмотренный пример показывает, что в случае функции нескольких переменных из существования частных производных, вообще говоря, не следует непрерывность функции в данной точке.
3. Достаточное условие дифференцируемости в точке
Теорема 3.3. Если в некоторой окрестности точки (х, у) функция и = /х, у) имеет конечные частные производные // и /,', непрерывные в этой точке, то она дифференцируема в этой точке.
► Придадим х и у приращения Дх и Ду такие, чтобы точка (х+Лх, у+Ду) принадлежала рассматриваемой окрестности точки (х, у). Рассмотрим полное приращение функции: Дн = fix + Дх. у + Ду) — fix. у), представив его в виде:
Дн = [/(х+Дх,у+Ду)-/(х,у+Ду)]+[/(х,у+Ду)-/(х,у)] (3.9)
Выражение fix + Дх,у + Ду) — fix,y + Ду) можно считать приращением функции fix,y + Ду) одного аргумента х, изменяющегося на отрезке с концами в точках х и х + Дх. Выражение fix, у + Ду) fix, у) в (3.9) приращением функции fix. у) одного аргумента у, изменяющегося на отрезке с концами в точках у и у + Ду. Обе эти функции на рассматриваемых отрезках удовлетворяют всем условиям теоремы Лагранжа, в результате применения которой имеем
Ди = /Дх +0, Дх,у + Ду)Д х+/Дх,у +02 Ду)Ду, 0, ,02 G (0,1). (3.10)
В силу непрерывности и /,' в точке (х, у) при Дх->0, Ду-»0 имеем
/Дх+0, дх,у +Ду)-» /Дх,у), /,'(х,у +02 Ду) -» /Дх,у), поэтому по свойству пределов (переменная отличается от своего предела на величину бесконечно малую) будем иметь
§ 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Геометрический смысл дифференциала... 527
/Х'(х +0, А х, у + Ду) = f’(x, у) +а(Д х, Ay). fy(x, у +02Ду)=/Дх, у) +p(Ax, Ay).
где a(Ax,Ay) и P(Ax,Ay) — бесконечно малые при Ax-*О, Лу-*0.
Заменив в (3.10) частные производные на правые части двух последних равенств, получим соотношение:
Ан = /Дх,у)Ах + /,' (х, у)Ду Ч-а(Ах, Ау)Дх Ч-р(Ах, Ду)Ду, сравнив которое с (3.3), гаключаем, что функция и = Дх, у) дифференцируема в данной гочке.^1
Замечание 3.5. Произведения /X'(x,y)dx и fy(x,y)dy называют частными дифференциалами.
Замечание 3.6. Понятие полного дифференциала для функции двух переменных и = Дх, у) и формула (3.6) для его вычисления обобщаются на случай функции любого числа переменных. Так, если и = f (х, у, z), го формула для его вычисления имеет вид
, ди , ди , ди , аи = — ах ч dy + —az
Эх ду dz
Формула (3.7) также обобщается на случай функции любого числа переменных. Например, для функции трех переменных и = fix, у, z) имеем
ди ,	ди , ди ,
Ли =—dx +—ау Ч---------az +о(р).
ЙХ	ду dz
(З-П)
Пример 3.4. Найти полный дифференциал функции и = —.
Z
.ди	у	ди	X ди	XV	у	. X	. ХГ	,
►— =—, — =—, ———г, du = — ax-i—dy-^-dz.. ◄
дх	Z	ду	z dz	Z	Z Z Z
§4. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение 4.1. Плоскость Г, проходящая через точку Мс оверхности (5), называется касательной плоскостью к поверхности (5) в данной точке, если угол а между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку Л/(| и произвольную точку
528
Глава 2. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких
Рис. 4.1. К определении» 4.1
М поверхности (S), стремится к нулю, когда точка М стремится к точке Л/„ (рис 4.1).
Прямая L, проходящая через точку Мо перпендикулярно касательной плоскости Т, называется нормалью к поверхности (5) в данной точке (рис. 4.1).
Пусть поверхность (5) задана уравнением z = f(x,y) и функция f(x,у) дифференцируема в точке Nv(x0,y0). Покажем, что касательная плоскость Т к (5) в точке Mll(xtl,y0,zu), где zu = /(х0,у0), определяется уравнением
г-г. =/,'<A'„Mx-x,)+/,'(Wu)O.-J.I)	(4.1)
Известно, что уравнение (4.1) задает плоскость, проходящую через точку Мй, при этом л(— Д'(Л0),—/,'(Л/о), I) есть вектор нормали к этой плоскости, образующий острый угол с осью Oz. Пусть ф — угол между векторами п и Ми М(х—хи,у—yu,z— z0), ф+а = л/2. Плоскость 7 будет касательной к поверхности (S), если <р-> л/2. когда точка М стремится к точке М„. Имеем
- г .-Л п-М0М cos <р = cos(«, Л/о Л/)=--------,
-Л (/V0)(x-x0)-/'„ (^)(y-y0)4-(Z-ze) costp =	=—.
Va,2ov«)+/;2w.)+i	+O'-yo)2 +(z-zj2
-(4.2)
Поскольку //(WJ(x-xe)+/;(W0)(y-yu)=tk, a z~zu=Az, в силу (3.4) и замечания 3.2 имеем: —//(W0)(x—х0)—
§ 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Геометрический смысл диффц'оциала— 529
x(y-ro)+(z-ze)=Az-«/z=o(p), где р = т1(х-хоу- +(y-yv)2 — расстояние между точками No и N. Из (4.2) следует неравенство
cos<p<
_________|°<р)|_______
7(А-Л„)2 Kv-j,)’
|°<р)| р
(4.3)
Если точка М стремится к точке Л/о, то x-*xv,y^»yu, откуда следует р-»0. Тогда из соотношения (4.3) получаем: |<о(р)|/р -* 0* cos<p -* <р -» л /2.
Таким образом, показано, что дифференцируемость функиии z = f{x,y) в точке Л'уСхц.Уу) означает наличие касательной плоскости к графику данной функиии (поверхности (S)) в точке Mu(xu,yv,zv>-
Правая часть уравнения (4.1) является дифференциалом функции z = f(x,y) в точке Nv(xv,y0), отсюда следует геометрическая интерпретация понятия дифференциала.
Дифференциал dz равен приращению аппликаты точки касательной плоскости Т при переходе из точки N0(x0,yu) в точку N (рис. 4.1, точка принадлежит касательной плоскости 7, dz=zMi -zW(i).
Пример 4.1. Поверхность задана уравнением z=4x—ху+у2. Написать уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости 4x+2j+z+9 = 0.
► Найдем координаты точки касания M0(x0,yK,z0Y Пусть п,, — вектор нормали к данной плоскости, «Д4, 2, 1), ал; — вектор нормали к искомой касательной плоскости Т. Поскольку z А = 4—у, z',, = —х +2у, то п т (4-у0,—xv +2yv1). В силу условия задачи вектор й? коллинеарен вектору поэтому их координаты должны быть пропорциональны: 4—у —х 12у — 1
—=. Отсюда для хе,у0 следует система
[4-у„ = —4,
1	из которой находим уи =8, х0 =18. Координату
Ни +2уи =-2,
z0 получим из уравнения данной поверхности, подставив туда хи,уи: zv =4х„ — хоуо +у* =— 8. Таким образом, имеем: Л/и(18, 8, — 8), пт(—4,—2,— 1). В результате подстановки координат точки Мо и вектора пу в уравнение (4.1) приходим к уравнению касательной плоскости Г. -4{x-18)-2(y-8)-(z+8)=0 или Т. 4х+2у +?-80=0.Ч
53D
Глава 2. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких
§5. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ
Пусть функция и = f(x,y,z) задана в некоторой окрестности точки M0(xv,yu,zu). Из точки Мк проведем луч /, направление которого определяется вектором /. На луче возьмем точку М*М,. (рис. 5.1) и составим ы(Л/)-и(Л7„)
отношение —।	, которое можно рас-
сматривать как среднюю скорость изменения функции на отрезке М„ М. Устремим точку М вдоль луча к точке Мо.
Определение 5.1. Если существует конеч-.. .. и(М)-и(Ми)
ныи lim ----------——, то он называется про-
|Л/„Л/|
изводной по направлению I функции u = j{M) в точке М.
и обозначается Итак, по определению имеем
,йи _	«(Л/)—и(Л/0)
|A/0A/]
(5.1)
Эту производную можно трактовать как скорость изменения функции в точке М„ в направлении вектора /. Если
------—>0. то в достаточно малой окрестности точки М„
<)/
функция возрастает в направлении вектора /. Вычисление производной по направлению основано на следующей теореме.
Теорема 5.1. Если функция и = f(x,y,z) дифференцируема в точке Л/0(х0,уе,г0) из области определения функции, то в точке М„ для любого направления справедлива формула:
си
и
ди	ди	_ ди
= —cosa Н-cos В + —cos у,
дх	ду dz
(5-2)
где cosa, cosp, cosy — направляющие косинусы вектора 7, являющиеся координатами его орта /": / ** = i cosa + j cosp + +к cosy, а частные производные функции и вычислены в точке Мо.
§ 5. Проидодная по направлению. Градиент
531
► Пусть М(хи +Дх,уи +Ay,zu + Az)GD и М„М = А/ = Ах» + +Ауу + АгА- Тогда из определения 5.1 следует:
Эи	Ли Ди
—-= |ш1 ,.. = |1га— э/	\м„м* о-» р
(5-3)
где p=-jAx2 +Лу2 +Az\ А и — полное приращение функции и в точке Мо. Из дифференцируемости функции и в точке Л/о следует формула (3.11)
Эи	Эи	Эи
Ди = —Дх +—Ау +—Az+o(p), Эх	йу	Й£
где о(р) — величина более высокого порядка малости, чем р при р -* О, а частные производные функции и вычислены в точке Л/р. Поделим обе части последнего равенства на р:
Ли _ ди Ах + ди Ду ди Az о(р)	(5 4)
р йх р йу р	й? р	р
Т	Ay	Az
Так как —=cosa, —=cosp, — = cosy — направляющие ко-Р	Р	Р
синусы вектора /, по направлению которого вычисляется про-
Эи	о(р)
изводная —. а-------»0 при р-»0. то. перейдя к пределу в ра-
д1	р
венстве (5.4) при р-»0, в силу (5.3) получаем:
ди (ди Лх ди Ау ди Az о(р)|
—~ lim —---------к—----к------к----- 1 =
й/ ‘-°\ЭХ р	ду р	dz р р /
Эи	ди	г. . ди
= —cosa + —cosB +—cosy, ЙХ	ду dz
где частные производные функции и вычислены в точке Л/(,.-^
В частности, если вектор / сонаправлен с одной из координатных осей, то производная по направлению / совпадает с соответствующей частной производной. Например, если 7 = (1, О, 0), то ^=^1 = ^.
д! Эх Эх
Определение 5.2. Градиентом функции u = /(x,y,z) в точке М„ называется вектор, обозначаемый gradn и определяемый равенством
532 Глава 2. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких
где частные производные вычислены в точке Мо.
Свойства градиента
1.	Производную функции и = f(x,y,z) в направлении вектора 1 можно записать как скалярное произведение grad и на орт вектора /:
—=(grad«, 7°), /с — орт вектора /.
(5.5)
2.	Производная функции « = f(x,y,z) по направлению вектора 7 принимает наибольшее значение в направлении gradu, т. е. когда векторы 7 и gradiz сонаправлены, при этом наиболь-
ды ...
шее значение — равно |gradu|.
д/
3.	В любой точке А/(| из области определения функции ы = f(x,y,z)	направлен по нормали к поверхности
уровня данной функции, проходящей через точку А/(), г. е. к поверхности, задаваемой уравнением: /(x,y,z)=«(A/0), в сторону возрастания функции.
4.	gradC = О, С — постоянная.
5.	grad(« + v) = gradu + gradv.
6.	grad(uv) = ygradn + «gradv.
„ ,u vgradu—«gradv
7.	grad —= —---7, r/0.
8.	Градиент сложной функции: grad(i/(v))=i/'(v)gradv.
►Свойство 1 следует из формулы (5.2) и определения градиента (определение 5.2).
Свойство 2 следует из свойства 1 и определения скалярного произведения двух векторов. В самом деле, ^- = (gradi/,7<l) = |gradu||7“|cos<p, где <р - угол между векторами gradir и 7U — ортом вектора I. Из последнего равенства
§ 6. Проидодные сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала -533
этом ^- = |gradu| в случае, когда <р = 0, т. е. в направлении д1
gradu. Таким образом, наибольшее значение равно |gradu|.
Свойство 3 будет обосновано в следующей главе.
Свойства 4—8 демонстрируют аналогию между операциями дифференцирования и вычисления градиента. Они следуют из определения градиента (определение 5.2) и правил дифферен-цирования.Ч
Пример 5.1. Для функции м(х, у, z)= ln(3—x1 2)+xy2z найти градиент в точке Л/(1_(1,1,0) и производную в этой точке по направлению вектора /(2,—2,1).
.	ди —2х	, ди
►Имеем: — =--------+у	г,	—
дх	3—Х~	ду
=	'’"(Л/	> = 0.	|"<Л/.| = 1.
дх	ду	dz
В соответствии с определением 5.2 получаем: grad к=-г + J. Координаты орта направления определим с помощью равенст-
^(2,—2,1). Из (5.5) имеем ^-=(grad«,7") =
ди '-т.
ва:
= -(-1-2+0-(-2) + 1-1)=
§ 6. ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
1. Производные сложной функции. Рассмотрим функцию и = Дх, у), где х = х(Г), у = y(t). Пусть функции х = х(г), У = т(0 определены в некоторой окрестности t/(r0) точки t0, а точка (x(f), y(f))GD(f) для V/G£7(f0), в таком случае говорят, что в U(t0) определена сложная функция и = flx(f), y(i))- Здесь она является функцией одной переменной t.
Теорема 6.1. Если функция и = fix, у) дифференцируема в точке Л/0(хи,уц), а функции x(f), y(f) дифференцируемы в точке /0, причем х0 = х (t0), у0 = у (t0), то в U(t0) определена сложная функция точке и = Дх(Г), у(0) и имеет место равенство:
534 Глава 2. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких
du<l0) ,dx(t0) , ,,,,, xdy{t0)
=	—+/,(Л/„)——-	(6.1)
dt	dt	dt
►Функция и = fix, j) дифференцируема в точке Л/о, следовательно, она определена в некоторой окрестности £/(Л/0). Функции х(/), у{1) дифференцируемы в точке t0, поэтому они определены в некоторой окрестности этой точки. Таким образом, можно гарантировать существование окрестности U(t0), где определена сложная функция и = fix(t), у(0).
Из дифференцируемости функции и = fix, у) в точке Мо следует, что ее полное приращение функции и = fix, у) в точке Мо представимо в виде:
Ди = //(М„ )ДХ +/,'(Л/„ )Ду +а(Дх, Ду)Д_х +0(Дх, Ду)Ду, (6.2)
где а(Дх,Ду)-»0 и р(Дх,Ду)-*0 при Дх,Ду-*й Поделим обе части (6.2) на Д/. получим:
77=+/}ХМ>)77+«(Д-’С.ДУ)77 +Р(Дх,Ду)^. (6.3) д/ д/ д/ д/ д/
Устремим в этом равенстве Д/ к нулю, при этом Дх dx(tv) Ду dy(tv)
— -»-----,--*-----, кроме того, Дх-» 0, Лу-> и как прира-
д/ А д/ dt
щения функций, дифференцируемых в точке /0 и, следовательно, непрерывных в этой точке. Но тогда имеем: а(Дх,Ду)-*О и Р(Дх,Ду)-»0 (замечание 3.1). Таким образом, для правой части (6.3) при А/-» О справедливо равенство
liml f'(M„)— +/'(Л/,,)— +а(Дх, Ду)— +Р(Дх,Ду)—I = Д/	Д/	Д/	Д/)
=/;<ли^+/.ЧчЖ
Итак, показано, что при Д/-»0 существует предел правой части равенства (6.3), но тогда существует предел и левой части этого равенства, по определению равной производной от функции и по переменной t, и справедлива доказываемая формула (6.1).-^
Замечание 6.1. Формулу (6.1) можно переписать в других обозначениях:
du _ ifu dx ди dy dt дх dt ду dt ’
§ 6. Гроидодные сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала .535 при этом считаем, что все производные в (6.4) вычисляются в соответствующих точках.
Формулы (6.1) и (6.4) легко обобщить на случай большего числа зависимых и независимых переменных. Пусть дана функция и = fix, у), где х = x(t, г), у = y(t, v). При условиях, аналогичных вышеприведенным, можно говорить о сложной функции и = fix (t, v), y{t, у)) переменных t, v; здесь а, у — промежуточные переменные. При вычислении производных ди ди
—, — одна из независимых переменных фиксирована, в та-dt dv
кой ситуации и становится функцией одной переменной. Для этих производных из формулы (6.4) следуют равенства:
ди ди дх ди ду	, .
—---------1------,	(6.5)
dt	дх	dt	ду	dt
du	ди	дх	du	ду
			--.	(6.6) fly	дх-dv-ду-dv
2. Инвариантность формы полного дифференциала первого порядка. Используя формулы (6.5), (6.6), вычислим полный дифференциал функции и = fix{t, у), y{t, v)). Следуя (3.6), имеем
, ди , ди . аи = —at ч--dv.
dt dv _	ди
Подставим в это равенство выражения для производных —, ди
— из (6.5), (6.6): dv
(ди дх ди йу\ , (ди дх ди йН , дХ dt ду dt) ^ЙА ЙУ ду dv)
В правой части последнего соотношения перегруппируем слагаемые:
, ди(дХ , дх ,\ ди (ду , ду . )	„
du =— —dt +—dv +—\—dt+—dv\.	(6.7)
dx\d/ dv ) dyXdt dv /
Выражения в круглых скобках в формуле (6.7) в силу (3.6) являются дифференциалами dx, dy промежуточных переменных х, у, поэтому (6.7) можно переписать в виде:
536
Глава 2. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких
, йы , ди , аи = —ах-i--ay.
дх ду
(6.8)
Сравнение равенств (3.6) и (6.8) показывает, что дифференциал сложной функции и = flx(t, v), y(t, v)) выражается через промежуточные переменные х и у точно так же, как если бы хну были независимыми переменными. Итак, заключаем, что, как и в случае функции одной переменной, полный дифференциал функции нескольких переменных обладает свойством инвариантности формы.
Это свойство позволяет обобщить правило получения дифференциалов суммы, произведения и частного на случай функций многих переменных:
„	,	,	,	, ,и vdu—udv
d(u + у) = du + dv, d(uv) = vdu+udv, d—=-5-.
Действительно, используя только что доказанное свойство инвариантности полного дифференциала, можем написать, например,
,и д (и\ , д (и\ ,	1 и . vdu—udv
d—= — — k/и ч 1—pi = — du- — dv =---------.
v du\vj BvVv) v v	v
Пример 6.1. z = ^x2 +y2 .x=u — v.y = u + v.u = 7/2. v = l/2.
Какое из утверждений верно:
ч , 3dx—4dy „ , 3dx+4dy , du + ldv
a) dz----6) dz —--------в) dz-—-—•;
► Из условия задачи получаем: х=3,у = 4. Найдем dz, используя свойство инвариантности полного дифференциала сложной функции. Имеем:
л.	к-v	г>
Следвагельно, формула б) справедлива. Вычислим —, —: ди dv
§ 7. Дифференциалы высших порядков Нарушение свойства ^вариантности формы
537
dz _ dz dx dz ду _ 3 4	7
ди дх ди ду ди 5 5	5’
££-££££+££££-^./_n+f-1- 1 dv дх dv ду dv 5 '	5	5
_	, dz , dz . 7du +dv
Отсюда dz =—du +—dv =-----------. Итак, справедлива и фор-
du dv 5
мула г)_^
§ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. НАРУШЕНИЕ СВОЙСТВА ИНВАРИАНТНОСТИ ФОРМЫ
Определение 7.1. Функция нескольких переменных называется п раз дифференцируемой, если дифференцируема она сама и все ее частные производные до (л — 1)-го порядка включительно.
Из дифференцируемости функции следует ее непрерывность, поэтому из определения 7.1 вытекает непрерывность ее самой и всех ее частных производных до (и—1)-го порядка, в том числе и смешанных, значения которых в силу теоремы о равенстве смешанных производных не будут зависеть от порядка дифференцирования. Что касается частных производных л-го порядка, то их существование и конечность гарантируются дифференцируемостью производных (и — 1)-го порядка, а непрерывность может уже и не иметь места.
Пусть и = Дх, у) имеет непрывные частные производные до л-го порядка включительно на некоторой плоской области. Ее полный дифференциал в любой точке (х, у) этой области определяется по формуле (3.6), причем в этой формуле dx = Дх и dy = Ду — произвольные приращения независимых переменных, т. е. произвольные числа, никак не зависящие от х и у. Поэтому можем изменять х и у, оставив dx и dy постоянными В силу теоремы 3.3 du является дифференцируемой функций двух переменных х и у; дифференциал от этой функции d(du) называется полным дифференциалом второго порядка и обозначается d'u. Таким образом, по определению d2u = = d(du).
Аналогично, dJu-d(d2u) называется полным дифференциалом третьего порядка функции и и т. д. Вообще полный дифференциал л-го порядка есть дифференциал от полного дифференциала (л — 1)-го порядка: d”u = d(d"~lu), при этом дифференциалы независимых переменных считаются постоянными.
538
Глава 2. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких
Найдем явные выражения для введенных дифференциалов. Имеем:
,,	„, „ 1ди , ди I д2и , д2и , | ,
d2u — d(du) = ел —dx + —dy = —vdx +---dy Irfx +
\dx dy ) \dx2 дудх )
(И2и d2u \
+1----dx 4---dyidy или
ду2 )
d2u = ^-^-dx2 +2-^-^-dxdy+^-^-dy2	(7.1)
dx dxdy dy
Далее. d3u=d(d2u}= dl^-^-dx2 +2-^-^-dxdy + ^-^-dy21 = \dx‘ дхду dy }
(diU , ,	_ d3U . . d3U ,	,
= —vdx +2 —s—dxdy +—т—dy2 L/x +
\^X dx'dy dy2dx J
.( d2u	2 a’u	d3u Л
+ T~^~dx +2 T^~i~dxdy +TTdy' И’
^X dy dxdy	dy )
diu = ^-^-dxi +3 * dx2dy+3 U dxdy2 +^-^-dy3. (7.2) dx dx dy	dxdy	dy
Здесь предполагается, что все смешанные производные непрерывны в рассматриваемых точках. Тогда производные, отличающиеся только порядком дифференцирования, будут равны между собой.
Пример 7.1. Найти d2u и d3u, если «=cos(2x—3_у).
•Имеем: —=—2sin(2x—Зу). —=3sin(2x—3j>). Продиффе-dX	ду
ди ди
ренцировав производные — и — по х и у, получим: дх ду
= -4cos(2x— Зу), ^-^- = -9cos(2x-3y)-дХ2	ду
д2и дудх
д2и .	,
----= ocos(2x—Зу). дхду
Подставим выражения для производных второго порядка в (7.1):
d2u = — 4cos(2x—3y)dx2 +12cos(2x—3y)dxdy—9cos(2x—3y)dy2 или
§ 7. Дифференциалы высших порядков Нарушение свойства ^вариантности формы
539
d2u = -cos(2x-3y)(2t/x-3A')2.
Найдем все 4 частные производные третьего порядка данной функции, для этого продифференцируем ее вторые производные:
д*и а /а2и^	, й’« й (й2ы\	__ .
=	1П( ад’а7 = ^Ы = " 1П( Л
Г^=^И = “|2™(2х“ад-
дХ ду йу^йх )
dsU д I д2и \
. г, =— —V =18sin(2x-3j,).
йу дх дХ ду /
Подставив выражения для производных третьего порядка в (7.2), получим:
d *и = 8 sin(2x—3y)dx' — 36 sin(2x—3y)dx2 dy + +54sin(2x—3y)dxdy- — 27sin(2x—3y)t/y3 или
d2u = sin(2x—3y)(2dx—ЗА’)3 .◄
Формулы (7.1) и (7.2) напоминают разложения для квадрата и куба суммы двух величин соответственно. Методом математической индукции можно доказать, что это сходство сохраняется и для дифференциала «го порядка, т. е.
d"u = ^-^-dx" +С ——dx" 'dy + дх"	дх"‘ду
(7.3)
О U . „ , , , о и . „ --------—- dx 2 dy2 +... +---dy . дх" 2ду2	ду"
Формулу (7.3) можно записать в символическом виде:
d"u=l—dx +—A'l «-(йх ду )
(7.4)
При переходе от (7.4) к (7.3) выражение в скобках возводят в степень и по формуле бинома Ньютона, при этом степени символов частных производных считают их порядком. После этого в числителях этих символов приписывают и. Таким способом формулы (7.1) и (7.2) могут быть получены из (7.4).
Замечание 7.1. В случае функции и = /(х, ,х2,... ,хт) от т переменных понятие полного дифференциала второго, третьего и т. д. порядков вводится совершенно аналогично
540
Глава 2. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких
предыдущему. При этом имеет место следующая символическая формула:
d'u = — dx, +—dx1
^йх, йх2
Найдем полный дифференциал второго порядка сложной функции и — Дх, у), где х = x(t, v), у = у (t, v). При этом будем предполагать, что все три функции дважды дифференцируемы. По свойству инвариантности полного дифференциала , йи , ди .
первого порядка имеем: du =—dx-i---ay, тогда
дХ ду
d2u = d(du} = J[—dx +—rfyl
(йх ду J
Вычисляя теперь дифференциал второго порядка, получим формулу, отличную от формулы (7.1), так как в этом случае dx и dy нельзя рассматривать как константы, ибо эти величины будут, вообще говоря, зависеть от t и v. Будем иметь:
Если бы промежуточные переменные х и у были независимыми переменными, то d2u вычислялся бы по формуле (7.1). Правые части равенств (7.5) и (7.1) отличаются на слагаемое ди г ди ,
—d х+—dy. Итак, установлено, что в обшем случае для дх ду
сложной функции нескольких переменных свойство инвариантности не имеет места для дифференциалов второго и более высоких порядков.
Замечание 7.2. В некоторых частных случаях дифференциалы любого порядка сложной функции нескольких переменных обладают свойством инвариантности формы. Так, если хну — линейные функции независимых переменных t и v: х = a,t + b,v + ct, у = a2t + b2v + с2, то dx = a,dt + b{dv,
*§ 8, Формула Тейлора 541
dy = a2dt + b2dv, откуда d2x=0 и d2y = 0 и — d2x +—d2y=0. дх ду
Поэтому формула для d2u имеет вид (7.1), как и в случае, когда и х, и у являются независимыми переменными.
Все сказанное приложимо и к сложной функции « = /(х|,х2, ... ,xt) от к промежуточных переменных xt,x2. ... ,хк, зависящих от независимых переменных
*§8. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Для функции /(х), имеющей в некоторой окрестности £/{х(1) точки х„ производную /|и+1’(х), справедлива формула Тейлора (разд. 5 гл. 2 § 8):
)=df(xb) + d
, d"f(xu) , d"+'f(xv +0Ax) n\	(л+1)!
(8.1)
где fix) —fixQ) = АДх0) — приращение функции в точке х = х0, 0 — некоторое число из промежутка (0, 1).
Пусть функция и = Дх, у) имеет в некоторой окрестности (/(Л/о) точки Л/0(х0, у0) непрерывные частные производные до (л + 1)-го порядка включительно. Предположим, что точка М (х0 +Дх,у0 +Ay)E.U(Mu). Фиксируем «качения Дх и Ду и рассмотрим вспомогательную сложную функцию одной переменной г. Ф(/) = Дх(/), у(/)), где х(1) = х0 + /Дх и у(/) = у0 + /Ду, (О < / < 1). Для этой сложной функции с промежуточными переменными х и у имеем:
Ф(0) = ж у0) = /Щ), Ф(1) = Д^ + <*, у0 + <у) = fiM). (8.2)
При изменении / от 0 до 1 точка (х, у) перемешается вдоль отрезка, соединяющего точки Л/о и М и не выходит из окрестности 1/(Л/0), где функция /(х, у) имеет непрерывные частные производные до (я + 1)-го порядка включительно. По этой причине и в силу линейной зависимости промежуточных переменных х и у от / дифференциалы функции Ф(/) могут быть вычислены по формуле
d*<b{t) = dkf(x,y)\x=Xo+ltlx =dkf(xK +1Ьх,уь + lby),
Л = |, 2, 3, ..., л+1.	(8.3)
S42
Глава 2. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких
Для Ф(/) напишем формулу Тейлора в виде (8.1): d2Q>(t) дФ(г)=Ф(/+дг)-ф(г)=^Ф(О+—2,  + - -। <ГФ(Г) । г/^'Ф^+ед/) 0<е<1 л! (я+1)!
и положим адесь t = О, ДГ = 1. Получим
Ф(,)-Ф(0) = ИФ(0) + ‘'^ + ...+‘'^ + ‘р^, 2!	и' (л+1)!
или, если воспользоваться равенствами (8.2) и (8.3),
Ж + Ах, у0 + Ду) - fix.,, у0) = /(Л/) - f (Мо) =
те.
1 °’	2!	п\ (л+1)! ’
<8.4, 2!	п1 («+!)-
где N(x„ +0Дх, у0 +0Ду), О<0<1.
Равенство (8.4) называется формулой Тейлора функции двух переменных. Его можно обобщить на случай функции большего числа переменных.
Замечание 8.1. Формула (8.4) имеет такой же простой вид, как и формула (8.1). Однако если выразить дифференциалы в (8.4) через частные производные функции и = fix, у) в точке Л/0(х0, у0) и дифференциалы (приращения) аргументов, то эта формула становится более громоздкой. Так, при и = 1 имеем
V (Ч,)	№*+Л	(W*2 +
+ 2f” (N)AxAy + (N)Ay1 J,
где N{xq +0Дх,+0Ду), 0< 0 < L
Замечание 8.2. Равенство (8.4) получено в результате обобщения одного из видов формулы Тейлора для функции одной переменной. Если и = f (х, у) имеет в точке M^(xw у0) непрерывные частные производные до и-го порядка включительно, то ее формулу Тейлора можно записать в таком виде-
V(M„)=<(4)+^4rl2+-- +^Т^+°(Р"). (8.5,
*S 8. Формула Тейлора 543
где р = д/дх2 +Ду2, а о(р") — бесконечно малая более высокого порядка, чем р", при р->0. Равенство (8.5) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Оно справедливо при более слабых условиях, чем (8.4).
Пример 8.1. Используя равенство (8.5), написать формулу Тейлора для функции ы = 1/(х+2у—4) в точке Л/и(1, 2) до членов второго порядка.
► Выпишем равенство (8.5) при я = 2:
&u(Mu)=didMu)+----^-^ + о(р2).	(8.6)
Имеем: и'х =—1/(х+2у—4)2, и'=—2/(х+2у—4)2, и". = 2/(х+2у—4)2, ы^=4/(х+2у-4)2, и ,2 = 8/(х+2у-4)\ «(Л/о)=1, <(Л/и)=-1, и;(Л/„) = -2, к'',(Л/и)=2, ы"(Л/„)=4, и",(Л/о)=8.
Найденные значения производных подставим в выражения для d(M0), d2u(Mv) (формулы (3.6), (7.1)), после этого, подставляя выражения, полученные для дифференциалов, в формулу (8.6), положим Ди(Л/е)=и(Л/)—и(Мк)=и —1, dx = x— I, dy = y—2. В результате очевидных преобразований имеем:
и = |—(х—1)—2(у—2)+(х—I)2 +4(х-1)(у-2)+4(у-2)2 +о(р')<
Замечание 8.3. При п = 0 равенство (8.4) имеет вид:
=	(8.7)
где N(x0 +0Дх,ум +0Ду), О<0<1. Используя для дифференциала df(N) формулу (3.6) и заменяя в ней dx на Дх, dy на Ду, получим:
f(xu + Дх, у „ + Ду)— /(х0, у в)=
= Л'(*и +ед*. Уи +0Ду)Дх+/;(хм +0Дх, у„ +0Ду)Ду.	(8.8)
Равенства (8.7) и (8.8) называются формулами Лагранжа для функции двух переменных. Пусть
f:<x,y)=f;(x,y)=0, V(x,y)GDC/?2.	(8.9)
Из (8.8) следует, что в этом случае равенство /(х,у)=/(х0,уи) выполняется в любой точке области D. Это означает, что функция u = fix, у) является постоянной на области Z), а равенство (8.9) — условием постоянства рассматриваемой функции на области D. Равенство df(N)=G, справедливое в любой точке области D, в силу (8.7) также является условием постоянства функции двух переменных на области D.
544
Глава 3. Неявные функции
Глава 3
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1.	НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ОДНИМ УРАВНЕНИЕМ. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
1.	Теорема существования неявной функции. Для математики и ее приложений представляет интерес выяснение условий, при которых уравнение с несколькими переменными определяет одну из них как функцию остальных.
Для простоты и наглядности рассмотрим случай, когда задано уравнение с тремя переменными.
Определение 1.1. Пусть каждой точке A/fxjjEDCfi, уравнение
f(x,y,z)=0
(1-D
ставит в соответствие число z^R- такое, что упорядоченный набор чисел (x,y,z) является решением данного уравнения. В этом случае говорят, что на множестве D уравнение (1.1) задает z как неявную функцию х, у: z = f(x,y).
Пример 1.1. Даны уравнение x2+j’2+z2=l и точка (x,y)E.D, где D — открытый круг с центром в начале координат и радиусом L На D это уравнение задает две неявные функции: z-^i-x2 -у2, z=-^l~x2-у2.
Пример 1.2. Уравнение zJ — xyz+y2 = 16 в некоторой окрестности точки (1, 4. 2) определяет единственную неявную функцию z = f(x,y). причем /(1.4)= 2. Это утверждение будет обосновано ниже.
Пример 1.3. Уравнение х2 +у2 +z2 = —1 не определяет никакой функции.
Теорема 1.1 (существования и дифференцируемости неявной функции). Пусть функция F(x,y,z) дифференцируема в некоторой окрестности точки A/U(xo,yn,z1() ЕЛ3, причем F'(M) непрерывна в точке Л/„. Тогда если /?(Л/|1) = 0, а	то
в уравнение (1.1) задает единственным образом z как неявную функцию х, у: z = f(x,y), определенную и дифферен-
§ 7 .Неявные функции, определяемые одним уравнением Теорема существования
545
цируемую в некоторой окрестности точки Nu(xu,y„) G R2, при этом Z0=/(x0,y0).
Доказательство теоремы 1.1 приведено, например, в [2].
Используя теорему 1.1, покажем, что уравнение z3 —xyz+y2 =16 (пример 1.2) задает z как неявную функцию х, у: z= f(x,y) в некоторой окрестности £/(Л/0) точки Мо (1,4,2). Функция F(x,y,z) — z} —xyz +у2 —16 непрерывно дифференцируема на /?3 и тем самым в окрестности точки Л/о, F(M^)=(y F'(MU)^O, т. е. выполнены все условия теоремы 1.1. Поэтому найдется окрестность O(MV), в которой данное уравнение задает единственную неявную функцию z= f(x,y), определенную и дифференцируемую в некоторой окрестности точки N0(l,4), причем /(1,4)=2.
Рис. 1.1. Иллюстрация к теореме
1.1, точка А
Рис. 1.2. Иллюстрация к теореме
1.1. точка В
Нарушение условий теоремы 1.1 может привести к невыполнению ее заключения. Рассмотрим уравнение х2 +у2 +z2 =1 и две точки Л(|/2,1/2, X/-J2) и B(l/-j2, 1/-J2.0). обозначим: F(x,y,z)=x2 +у2 +z2 — 1- Функция F(x,y,z) непрерывно дифференцируема на R} и тем самым в окрестности точек А и В; F(A)= F(B)=0. F^(A)=2/	F'(B)=0. Итак,
для окрестности 0(A) точки А выполняются условия теоремы 1.1. В соответствии с заключением этой теоремы в (/(Л) данное уравнение 1адает единственную неявную функцию z = ^l—x2 —у2. определенную в окрестности f/(/VH) точки /Vu(l/2,l/2) — проекции точки А в плоскость Оху (рис. 1.1). В окрестности 0(B) точки В (рис. 1.2) условия теоремы 1.1 не выполнены, в 0(B) данное уравнение не задает единственной неявной функции вида z = f(x,y), оно задает, например, две функции: z=y/l~x2 -у2 (для z>0) и z = -Jl-x2-y} (для z<0).
546
Глава 3. Неявные функции
2.	Геометрическая интерпретация теоремы 1.1. Пусть уравнение (1.1) задает некоторую поверхность (S). В случае выполнения условий теоремы 1.1 часть поверхности, погруженную в окрестность	можно представить явным уравнением
вида z= f(x,y). Так, х2 +у2 +z2 =1 — уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом 1 (рис. 1.1). В силу теоремы 1.1 в окрестности точки Л(1/2,1/2,1/-J2) сфера может быть задана явным уравнением z = ^1—хг —у2, в то время как в окрестности точки в<1/Д, I/Д.0) ее нельзя задать этим уравнением
Замечание 1.1. Если /7.'(Л/„)=0, а /7('(Л/и)#0, то теорему 1.1 можно переформулировать, выбрав в качестве аргументов х и z. В этом случае теорема 1.1 будет гарантировать существование неявной функиии вида y = g(x,z) и возможность задания указанной части поверхности 5 этим уравнением. В случае Гд'(Л/())^О указанную часть поверхности S можно задать уравнением вида x=h(y,z). Так, сферу х1 +у2 +z2 =1 в окрестности точки В можно задать одним из двух уравнений: у=^1л’-г’, x =
3.	Вычисление частных производных неявной функции, заданной одним уравнением. Пусть для функиии F(x,y.z) из уравнения (1.1) выполнены условия теоремы 1.1 в окрестности произвольной точки (x-,y,z)GJ?3. Тогда в окрестности точки (x,y)GjR2 уравнение (1.1) задает неявную функцию z=f(x,y), при этом существуют z'x и z' В этих предположениях левая часть уравнения (1.1) есть сложная функция от х, у, она $ави-сит от них непосредственно и через посредство z- Возьмем производные по х, у от обеих частей уравнения (1.1) по правилу вычисления производной сложной функции (§ 6, гл. 2):
Предполагая, что F’ 5*0, из полученных равенств выразим z' и z':
При решении примеров, в которых надо вычислить частные производные функиии, заданной неявно, либо производят преобразования, приведшие к формулам (1.2), либо используют ЭТИ Формулы.
§ t. Неявные функции, определяемые одним уравнением Теорема существования S47
Пример 1.4. Найти частные производные неявной функции вида z = j\x,y), «адаваемой уравнением x2+y2+z2=l.
► /-« способ. Возьмем производные по х, у от обеих частей данного уравнения, считая z функцией х, у: 2x+2z~ z', =0, 2y+2z-z't.=0. Отсюда имеем:
z'„ =	z*0.	(1.3)
Z ' z
2-й способ Обозначим F(x,y,z)=x2 +y2 + z2 — L Имеем F*=2x, F'y=2y, F’=2z, Вычисляя z', и z't. по формулам (1.2), приходим к равенствам (1.3) ◄
Взяв производные по х, у от обеих частей формул (1.2), можно получить формулы для вторых частных производных от неявной функции, определяемой уравнением (1.1). На практике, однако, их вычисляют почленным дифференцированием равенств, полученных для первых производных.
Пример 1.5. Найти вторые частные производные неявной функции, задаваемой уравнением x2+y2+z1=I-
► Первые производные по х, у от этой функции были получены в примере 1.4 (формулы (1.3)). Возьмем производные по х от обеих частей первого из равенств (1.3), считая z функцией х, получим:
Вместо производной z' подставим равную её величину из (1-3):
„	z-x-(-x/z) z2+х2
г-=—р—е
В силу симметрии данного уравнения относительно переменных х, у имеем:
Теперь возьмем производные по у от обеих частей первого из равенств (1.3):
548
Глава 3. Неявные функции
Вместо производной z' подставлено равное ей выражение из формул (1.3).^
Замечание 1.2. Определение (1.1) и теорему (1.1) можно переформулировать на случай задания неявной функции одной переменной уравнением F(x,y) =0, а также и на случай задания неявной функции нескольких переменных уравненим вида F(xy ,х,...хи)=0, т > 3.
4.	Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, ваданной неявным уравнением. Пусть поверхность (S) задана неявным уравнением
F(x,y,z)=0.
(1.4)
Предположим, что функция F(x,y,z) из правой части уравнения (1.4) удовлетворяет условиям теоремы существования и дифференцируемости неявной функции, заданной одним уравнением (теорема 1.1) в некоторой окрестности £/(Л/(|) точки Л/0(х0,у0,?0), причем F(A/o)=O, а Г.'(Л/о)*0. Тогда в некоторой окрестности 6/(л/0) поверхность (S') может быть задана явным уравнением вида z = f(x,y). В §4 гл. 2 показано, что уравнение касательной плоскости Т к поверхности (S) в точке Ми в таком случае имеет вид
т. z~z0 = AW)(х-х0)+AW)0 -> о)-
Для частных производных	в точке
в соответствии с (1.2) имеем равенства:
(1.5)
AW)=-
А(Ч)
А'(Ч)’
A'W)=-
А’(Л/0)
(1-6)
В результате подстановки соотношений (1.6) в равенство (1.5) и последующих очевидных преобразований приходим к уравнению Т.
)(х-хе) + F;(M0 )(у- ) + А'(Л/0 )(Z- z„) = 0.	(1.7)
Коэффициенты при х, у, z являются координатами вектора нормали л к касательной плоскости Т, n(Fi(Mv),F{(M0), F'(MU). Этот вектор называют также вектором нормали к поверхности (5) в точке Л/о.
Напишем уравнение нормали L к поверхности (S) в точке Mv (определение 4.1, гл. 2), используя вектор нормали п к касательной плоскости Т как направляющий вектор £:
§ 1. Неявные функции, определяемые одним уравнением Теорема существования 549
£, х~хо _ У~Уо _	418)
’ г;(Л/„) fhm.S
Пример 1.6. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (.S): х2 +9у2 +z2 =z + 10 в точке Ч(М,0).
►Запишем уравнение (5) в виде х2 +9у2 +z2 — z—10=0 и найдем производные функции F(x.y,z)=x2 +9у2 +z2 — z—10 nF	HF c nF - . D
по всем переменным: — = 2x, — = 18y, — = 2z—1. Вычислим дх	Пу dz
значения этих производных в точке	Ми (1,1,0):
—(Мо)=2,—(Л/и)=18,—(Л/о) = —1. Используя равенство ЙХ	ду	Hz
(1.7),	напишем уравнение касательной плоскости к поверхности (5) в точке Л/о:
2(х—1)+18(г—1)—z=0, или 2х+18у—z—20=0.
Уравнения нормали к данной поверхности в точке Ми (1,1,0) получим из (1.8)
х-1_у-1_ z 2 ” 18	-1
Замечание 1.3. Пусть задана функция u = f(x,y,z) Ее поверхности уровня определяются уравнением /(x,y,z)=C, где С — постоянная. Вектор й(/х'(М0), f’(Mu), f.'(Mu)) есть вектор нормали к поверхности уровня в точке Л/((. В силу определения градиента (определение 5.2, гл. 2) имеем
grad«(Mu) = n(A/0),	(1.9)
а также важное соотношение
grad ы(Л/в) = ди(М° >пе(М	(1.Ю)
ЙЛ
Пи(Ми) где---------производная по направлению вектора нормали,
Пп
— орт вектора нормали п(Л/(1) к поверхности уровня функции и(М) в точке Л/„. В самом деле, в силу свойства 1 из § 5 гл. 2 и равенства (1.9) имеем
= (grad ы(Л/0), л0 (Л/„)) = |grad и(Л/„)].	(1.11)
550
Глава 3. Неявные функции
С другой стороны, из (1.9) получаем:
grad и( Ми)=|grad и( )| л ° (Ми).
I	| ди(М )
Заменив в последнем равенстве gradn(/W0) на ------- (см.
1	дп
(1.11), приходим к формуле (1.10). Итак, обосновано свойство 3 градиента функции и = f(x,y,z), сформулированное в §5 гл. 2.
§2. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ СИСТЕМОЙ УРАВНЕНИЙ. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
1.	Теорема существования. Выясним условия, при которых система из двух уравнений с гремя неизвестными определяет два из них как функцию третьего.
Определение 2.1. Пусть каждому числу х G X С Я система уравнений
(2.1)
ставит в соответствие упорядоченную пару чисел (у, z) G Я2 так, что упорядоченный набор чисел (х,у, z) является решением этой системы. В этом случае говорят, что на множестве X система (2.1) задает у, z как неявные функции х: у = /,(х), * = /.(*)-
Определение 2.2. Пусть даны две функции Ft(x,y,z) и F2(x,y,z), имеющие частные производные по аргументам у, Z-Определитель
dFt dy dz dF2 dF2 dy dz
составленный из частных производных функций Fl, F2 по аргументам у, z, называется определителем Якоби (или якобианом) и обозначается символом
D(Ft,F2)
D(y,z) ’
§ 2. Неявные функции, определяемые системой уравнений Теорема существования -
551
Пример 2.1. Найти якобиан
= x2+y2+z2-l и F2(x,y,z)=x-y.
D(F.,F2)
—-----—. если F.(x,y,z) =
Ду, г)
аг, д(г,,г2)_ ду
D(y, z)
ау
аг, az аг2 az
р ’.1
2z-^
Теорема 2.1 (существования и дифференцируемости неявных функции, определяемых системой уравнений). Пусть функции Ft(x,y,z) и Г, (х,у, z) дифференцируемы в некоторой окрестности V(MU)СjR3 точки Mll(xv,yu,z0), причем —- и —г = 1,2,
ду az непрерывны в точке Ми Тогда если r((xo,ye,zo)=O-D(F Г )|
Г2(х„,уо,го)=0, а 11 2	*0, то в Г(Л/„) система (2.1) за-
г) L(
дает единственным образом у и z как однозначные неявные функции х: у= /,(х), z= f2(x), определенные и дифференцируемые в некоторой окрестности L/(xt) точки х0, при этом Уи =Л(*0), z0 = fi
Теорема 2.1 является обобщением теоремы 1.1
Пример 2.2. Задает ли система уравнений
[*’ +y2+z2=l, [х-у = 0
(2-2)
единственную пару неявных функций у= ft(x), z = f2(x) в окрестности точки Л(1 / 2,1 / 2,1 /^2)? Точки В(1 / J2, I/V2,0)?
► Введем обозначения: Fl(x,y,z) = xi +уг +z2— 1 и
Г2(х,у,г) = х—у, якобиан этих функций вычислен в примере Р(Г,,Гг)_|2у 2zl
" ПСг.й |-1 о| Z'
а) В точке >4(1/2,1/2,1/-J2) имеем	^0 и вы-
D(y. г> V2
полнены остальные условия теоремы 2.1. В силу этой теоремы система уравнений (2.2) задает единственным образом у и z как неявные функции х, определенные в окрестности (/(1/2) точки х = 1/2. Действительно,
552
Глава 3. Неявные функции
Г Х,г—~ хб(/(1/2). |?=Vl-2x2
(23)
„	г- г-
б) В точке B(l/V2, l/V2,0) имеем ----------=0, условия
D(y, z)
теоремы 2.1 не выполнены. Система 2.2 не задает единственной пары неявных функций вида y = f,(x), z=/2(х) в окрестности точки В. Для точек этой окрестности имеем
хе1/(1/-Д) при z > 0; Г	^Gt/0/x/2)
lz=Vl-2x2.	lz=-Vl-2x2.
при z<0.
2.	Геометрическая интерпретация теоремы 2.1. Пусть уравнения системы (2.1) задают некоторые поверхности (5,), (S2), тогда эта система определяет линию Г пересечения этих поверхностей. Если выполнены условия теоремы 2.1. то часть Г, погруженную в окрестность точки Ми, можно задать параметрическими уравнениями вида х = х, у = у(х), z = z(x), хЕ(/(х0).
Так, система уравнений (2.2) определяет линию Г пересечения плоскости у = х и сферы x2+y2+z2=l (рис. 2.1). Часть Г. погруженную в окрестность точки А. можно задать уравнениями (2.3) (рис. 2.1), а ее часть, погруженную в окрестность точки В (рис. 2.2), нельзя задать такими уравнениями.
Рис. 2.1. Иллюстрация к теореме 2.1. точка А
Рис. 2.2. Иллюстрация к теореме 2.1. точка В
3.	Вычисление частных производных неявных функций, заданных системой уравнений. Будем считать, что для функций F,(x,y,z) и F,(x,y,z) из левых частей системы (2.1) выполнены условия теоремы 2.1, тогда система (2.1) определяет функции на некотором множестве XC.R, поэтому левые части уравнений этой системы являются сложными функциями х.
§ 2. Неявные функции, определяемые системой уравнений Теорема сущестоовавия ..553 Возьмем производные по х от обеих частей уравнений системы (2.1):
dFt	dy	dFt	dz у
dx	dy	dx	dz	dx
(2.4)
dF,	^dF-,	dy ^dF}	dz
dx	dy	dx	dz	dx
dy dz
Система (2.4) является линейной относительно —,—. Ее dx dx
главный определитель А — якобиан функций Ft(x,y,z) и F2(x,y,z) по переменным у и z
dF, dF,
A_IKF,,F2) _ dy dz
D(y, z)	3F2 ’
dy dz
В тех точках из R3, где Д^О, система (2.4) является крамеров-..	dy dz
скои. Решая ее, находим —,—.
dx dx
Пример 2.3. Найти для функций y = f(x), z = f2(x),
определяемых системой уравнений из примера 2.2 в точке /1(1/2, 1/2, 1/72).
►Система (2.3) в данном случае имеет вид (2х+2уу' +2z z' =0, _
Вычислим ее главный определитель:
|2у 2d
4=1	= 2z. Поскольку Д/0 в рассматриваемой точке А,
из этой системы произодные определяются единствен-у\=1.
х+уу'„ х+у Подставив координа-
ным образом:
,	.	1/Z+1/Z г-
ты точки Л, получим: у =1, z = —-----т=— = —-J2.^
1/72
554
Глава 4. Экстремумы функции нескольких переменных
Глава 4
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1 ПОНЯТИЕ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМА
Определение 1.1. Точка М0(хх0>,х20,,...,х^'>) называется точкой максимума (минимума) функции и = f(M) — f(xt,x2,... ,хв), если u = f(M) определена на некоторой окрестности V(MU) и для любой точки М из этой окрестности справедливо неравенство/(Л/)	(/(Л/)>/(Л/„)). Значение f(Mu) называ-
ют максимумом (минимумом) данной функции.
Если для любой точки М на некоторой проколотой окрестности	верно строгое неравенство /(Л/)< f(M0)
(f(M)> f(M0)), то точка Мк называется точкой строгого максимума (строгого минимума) функции u = f(M).
Точки максимума и минимума функции u=f(M) называются точками экстремума этой функции.
Замечание 1.1. Так же как и в случае функции одной переменной, утверждение функция u = f(xx,x2, ... ,хи) имеет в точке Мо строгий экстремум эквивалентно следующему утверждению: «приращение функции б/(Ми) сохраняет знак на некоторой проколотой окрестности	а именно
4f(A/o)<0 для любой точки М из 0(Ми), если Ми — точка максимума, и Af(Mn)>0, если Л/о — точка минимума».
Замечание 1.2. Понятие экстремума функции u = f(М) в определении 1.1 отнесено к окрестности точки Л/о, поэтому его называют локальным экстремумом. На области определения функция u = f(M) может иметь несколько локальных экстремумов.
На рисунках 1.1. 1.2 приведена геометрическая иллюстрация понятия экстремума для случая функции двух переменных.
Теорема 1.1 (необходимые условия существования экстремума). Если функция м =/(х,,... ,хм) имеет в точке Л/о (х’"’, ... , х’,'*) экстремум, то каждая из ее частных произвол-
§ 1 Понятие экстремума функции нескольких переменных. Необходимее условия
555
Рис. 1.1. Иллюстрация к определению максимума функции
Рис. 1.2. Иллюстрация к определению минимума функции
ных f’, ... , в этой точке либо равна нулю, либо оо. либо не существует.
► Пусть функция « = /(х1,... ,х„) имеет в точке Мо (х*®’. ... ,х£”) экстремум. Возможны только два случая: либо /' (Л/€),/ = 1,2,... ,т, существует, либо не существует. Если существует, то также возможны только два случая: либо	конечна, либо //. (А/О)=оо. Если	конечна,
то по теореме Ферма (§1, гл. 3, разд. 5) Д'(Л/о) = О, так как при вычислении все аргументы, кроме x.t, фиксированы, поэтому данная функция становится функцией одной переменной х,: и = f(x*'",..., х,., ... , х*01).^
Определение 1.2. Точки из области определения функции « = /(х,,... ,хт), в которых ее частные производные равны нулю, бесконечности или не существуют, называются критическими точками данной функции (иначе: точками, подозрительными на экстремум). Точки, где все частные производные этой функции равны нулю, называют также стационарными точками.
Например, для функции u=f(x,y) двух переменных х, у критические точки следует искать среди точек, где либо одновременно /х’(х,у)=О, //(х,у)=0, либо хотя бы одна из частных производных не существует или бесконечна.
Не всякая критическая точка будет точкой экстремума.
Пример 1.1. Для функции /(x,y) = xJ — у* точка (0. 0) будет стационарной, так как Д' = 3х2 и f'^—Уу1 равны 0 при х=у = 0. Однако экстремума в этой точке нет. В самом деле, / (0, 0) = 0, а в любой окрестности точки (0, 0) найдутся значения функции разных знаков.
556
Глава 4. Экстремумы функции нескольких переменных
§2. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМА. СЛУЧАЙ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Для простоты рассмотрим случай функции трех переменных.
Теорема 2.1. Пусть функция u —	M(x,y,z), дважды
дифференцируема в некоторой окрестности t/(A/0) стационарной точки Ми(х0,уп^\ Если d1 f не меняет своего знака на t/(A/0), то в точке Л/(| данная функция имеет экстремум, причем при J2/<0 — максимум, а при d2f>Q — минимум.
► Пусть точка Л/(х„ +Дх,у0 Ч-Лу,^ +Az)G U(MU). Рассмотрим приращение данной функции в точке Л/(|: Д/(Л/0) = /(Л/)—/(Л/,,). По формуле Тейлора при п = 1 имеем (§8, гл. 2)
лЛЧ)=«Ч)+^!/(«) = ^!/(М,
где N(x0 +&Лх,уи +QAy,z, +0Az), О<0<1.
Заметим, что df(M„) = //(М„)Дх+f[(M„)Ду+f!(Mn)Az=О, так как Д'(Л/||)=/1'(Л/о)=/.'(Л/11)=0. Итак, знаки и d2f(N) совпадают. Если J2/(A/)<0 в 1/(Л/(|), то, в частности, и d2а потому ДГ(Л/(|)<0. В этом случае в точке Л/(| данная функция имеет максимум (замечание 1.1). Аналогично обосновывается, что в случае d2f(M)>0 в U(M0) данная функция в точке Л/(| имеет минимум ◄
Замечание 2.1. Теорема 2.1 остается справедливой и для функции двух переменных, а также для функции « = (х,,х2, ... , хи), где т>3.
Пример 2.1. Исследовать на экстремум функцию и = 2х2 +у2 +z2 — 2xy+4z~ х.
► Составим систему:
и\ = 4х—2у—1=0, u'v = 2y-2x=0.
Из нее находим
u'z=2z+4=0.
единственную критическую точку: х=у = 1/, z=—2. Для вто-
рых производных имеем
и”х =4, и"у = 2, и". = 2, и"у = —2, и", = и”г =0, следовательно,
d2u = 4dx2 — 4dxdy+2dy2 +2dz2 = (2dx—dy)2 +dy2 +2dz2-
Отсюда видно, что d2u>0 в любой окрестности точки (1/2, 1/2, —2), т. е. при любых dx, dy, dz. В силу теоремы 2.1 заклю
§ 2. Достаточные условия существования экстремума Случай функции двух переменных 557
чаем, что в точке (1/2. 1/2. —2) данная функция имеет минимум, =-17/4. ◄
Хотя установленный признак наличия экстремума и прост по формулировке, пользоваться им часто бывает трудно, так как бывает трудно судить о знаке второго дифференциала в окрестности стационарной точки. Следующая теорема в этом отношении более удобна.
Теорема 2.2 (достаточные условия существования локального экстремума для функции двух переменных). Пусть функция и = =fix, у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности стационарной точки Ми(хи,у„). Положим
д=(Ч )•	(Ч )-</;. (ч )>2
Если Д > 0, то в точке М„ функция и = f (х, у) имеет экстремум, причем при /','(Ч)<0 — максимум, а при /”(Ч)>0 — минимум. Если же Д<0, то в точке Ми экстремума нет.
► Так как по условию f'(Mv) = 4'(Ч )=0, то по формуле Тейлора при и = 1 (замечание 8.1, гл. 2) имеем
+2 Д" (N)AxAy +f"2 (N)£sy2 ], где N(xt(+0Дх,уо +0Ду). 0<6<1. Обозначим:
(x0+Ar,x0.y,)+Ay)
л=4'(ЧХ *=/;<ЧХ с=/;дчх
тогда Д = АС— В2.
Вторые частные производные функции fix, у) непрерывны в точке Ми, потому их можно представить в виде
f”(N)=A+a; f"(N)=B+p-, f"2(N)=C+y,
где сс. р. у -»0 при р = т/дх2 +Ду2 -*0. Выражение для Af(Mu) тереь можно записать так:
Д/ХЧ^^МАх2 +2й4хДу+СДу2 +«Дх2 +2рДхДу+уДу2].
Положим Дх:= pcostp, Ду = р sirup, где р= -Jax2 + Дуг (рис. 2.1),
тогда
558
Глава 4. Экстремумы функции нескольких переменных
Д/(л'о ,з(1)=^-|(Л cos2 ф+2 В siiwcos<p +С81п2ф)+ +(acos2<p+2psin<pcos<p+ysin2 <р)]
и окончательно
Д/(х0,Л)=Н_(7(ф)+а'),	(2.1)
где
7'(<p)=t4cos2 <p+2/?sin<pcos<p+Csin2 <р,	(2.2)
a’=acos2 <p+2psin<pcos<p + YSin2 <р-»0 при р-»0.	(2.3)
1. Пусть Д=т4С— В2 >0. В этом случае /!С>0, так что А^О и тригонометрический трехчлен 7“(о) в (2.2) можно представить следующим образом:
Т(ф) = -^-[(/1со8ф+ £?sin<p)2 +(АС— В2 )sin2 <р].	(2.4)
Выражение в квадратных скобках в (2.4) всегда положительно, так что трехчлен Т(<р) при всех значениях <р€[0, 2л], не обращаясь в нуль, сохраняет знак коэффициента А. Этот трехчлен непрерывен на промежутке [0, 2тг|, поэтому его модуль имеет наименьшее положительное значение т: |Т(<р)]>т>0. С другой стороны, |a’|</n ввиду (2.3), если р=^Ах2+Ду1 достаточно мало. Но тогда все выражение в скобках в правой части равенства (2.1), а значит, и &f(x0,yu) будет иметь тот же 1нак. что и упомянутый трехчлен, т. е. знак числа А.
Итак, если А > 0, то и &f(xu,y0) > 0, т. е. функция в точке (x0,ju) имеет минимум, а при А < 0 будет и Af(x0,yu) < 0, т. е. в (х,,,/,,) максимум.
2. Пусть теперь Д = АС— В2 < 0. Если А & 0, то можно и здесь использовать преобразование (2.4). При <р = 0 выражение в квадратных скобках в (2.4) будет положительным и равным А2, а тогда знак трехчлена 7“(ф) совпадает со знаком А. Если же <р0 определить из условия /lcos<pt +/?sin<pe =0. то выражение в квадратных скобках в (2.4) будет равно (AC— B2)sin2 <ро<0, тогда знак трехчлена Т(<р) противоположен знаку А. Величина же а* при достаточно малом р = ^/дх2 + Ду2 (как при <р = 0, так и при <р=<р0), будет сколь угодно мала, и знак Af(xv,yu) определится знаком трехчлена
§ 3. Условные экстремумы
559
Г(<р) в (2.1). Итак, в любой окрестности точки (хи,у0) приращение функиии Л/(х0,у0) при ф = 0 и<р=ф0 имеет значения противоположных знаков, поэтому в этой точке экстремума нет.
Если А = О, В ф 0, то трехчлен Г(ф) в (2.1) сведется к выражению
Т(<р) = 2Вз1ПфСО8ф+С81П2 ф=(2/?СО8ф+С'51Пф)81Пф, которое, очевидно, меняет знак при переходе ф через значение ф = п, а тогда, как мы только что установили, экстремума нет. ◄
Пример 2.2. Найти экстремумы функции f(x,y) = Зх2 -бху + 2у3.
► Найдем сначала стационарные точки:
|/\=6х-6у=0,	[у = х,	=>{^ = х’	=>Р = Х’
[/',, =-6х+6у' =0,	х+у2=0, [—х+х2=0, {х(х—1) = 0.
Следовательно, (0, 0) и (1, 1) — стационарные точки. Для вторых производных имеем равенства: /" =6, /х" =—6, /" =12у.
1) (0, 0): А=//: (0,0)- /," (0,0)- (/*(0,0))2 = -36<0, У значит, в точке (0, 0) экстремума нет;
2) (1, 1): А=/*"(!, !)•//• (1,1)— (/х''(1,1))2=36>0, поэтому в точке (1, 1) есть экстремум, причем это минимум, так как =6>о. ◄
Замечание 2.2. Если Д=0, то существование экстремума в стационарной точке нельзя установить с помощью теоремы 2.2. В этом случае требуется дополнительное исследование, например с помощью производных более высоких порядков. В стационарной точке при А = 0 экстремум может быть, а может и не быть Например, для функций /(х,у) = хэ — у3 и g(x,y)= х4 +у4 точка (0,0) является стационарной. Однако для первой из этих функций она не является точкой экстремума, ибо /(0,0) =0, а в любой окрестности точки (0,0) функция f{x,y) принимает как положительные, так и отрицательные значения. Для второй функции (0,0) — точка минимума, так как g(x,y)>0 в любой точке, не совпадающей с точкой (0,0).
§3. УСЛОВНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ
1.	Понятие условного экстремума. Задача на отыскание экстремумов функций многих переменных часто возникает
56D
Глава 4. Экстремумы функции нескольких переменных
Рис. 3.1. Условные экстремумы функции при условии л' + у’ =1
в форме, отличной от вышеизложенной. Пусть, например, требуется найти экстремальные значения функции /(х,у) = х2 — у1 на окружности х2 +у2 =1. Эта функция определена на всей плоскости Олу и не имеет экстремумов на области определения, поскольку на любой окрестности единственной стационарной точки (0, 0) она принимает как положительные, так и отрицательные значения, в то время как /(0,0)=0. Однако на множестве точек данной окружности у нее есть экстремальные значения (рис. 3.1). В данной задаче координаты х, у уже не являются независимыми переменными, а связаны между собой дополнительным условием: они должны удовлетворять уравнению окружности х2 +у2 =1. Задачи такого рода называются задачами на отыскание условного экстремума.
Введём понятие условного экстремума в общем случае. Пусть дана функция и = f(xt ,хг,...,хт) и к (к <т) дополнительных условий
Ф2(л],х2,...,х_) = 0,
(3.1)
Ф,(л1,х2,...,х_) = 0,
называемых уравнениями связи.
§ 3. Условные экстремумы 561
Определение 3.1. Точка М0(х[и’,х20у,.... х'“'). координаты которой удовлетворяют уравнениям связи (3.1), называется точкой условного максимума (минимума) функции и =f(M)~ = /(х,, х,,... ,хю) при наличии связей (3.1), если и= f(M) определена на некоторой окрестности 1/(Л/и) и для любой точки М из этой окрестности, координаты которой удовлетворяют уравнениям связи (3.1), выполняется неравенство /(Л/)< f(Mu) (f(M)> /(Л/,,)). Значение f(Mtt) называют ус toe-ным максимумом (минимумом) данной функции. Точки условного максимума и минимума функции u = f(M) называются точками условного экстремума этой функции при наличии связей (3.1). В отличие от них экстремумы, рассматривавшиеся ранее (без дополнительных условий), называются безусловными экстремумами.
2.	Необходимые условия существовования условного экстремума. Для простоты рассмотрим задачу на отыскание условного экстремума функции u = f(x,y, z) при наличии уравнений связи:
|ф((х,у,г) = 0, |ф2(х,у,г)=0.
(3-2)
Пусть функции u = f(x,y,z) и <pL(x,y,z), <p2(x,y,z) непрерывно дифференцируемы на множестве Z)Cff5, а якобиан Д(Ф ,ф,)
---1--#0 в любой точке области D. Обозначим через Ал z)
X множество, являющееся проекцией D на ось Ох. В этих предположениях уравнения (3.2) задают у и z как неявные функции х: у = ft(x), z= f2(x), определенные и дифференцируемые на множестве X. Функцию « = f(x,y, z) можно считать сложной функцией: и =f(x,y(x), z(x)), хЕХ. Найдем произ-
. ...
водную — по правилу дифференцирования сложной функции dx
и приравняем ее нулю:
du _ df df dy df dz dx dx dy dx dz dx
Равенство (3.3) следует из необходимого условия существования экстремума функции одной переменной. Вместе с уравнениями связи (3.2) оно составляет систему для координат точек возможного условного экстремума. Однако заметим, что в ра-
562
Глава 4. Экстремумы функции нескольких переменных
венстве (3,3) фигурируют неизвестные нам производные —, dx
dz II с	<=
—. Чтобы наши их, возьмем производные по х от обеих час-dx
тей равенств (3.2), считая у и z функциями х:
дф,	дф,	dy	e<p,	dz
дх	ду	dx	dz	dx
<Эф2	<3<p2	dy	d<p2	dz^
dx	dy	dx	dz	dx
(3.4)
Из этой системы однозначно определяются производные —, dx
dz	.. ..
—, так как она является линеинои системой относительно dx
этих производных, главный определитель которой Z)to ,ф.)
Д=---------#0 в любой точке области D. Определив эти про-
Лу- z)
изводные, подставим их в равенство (3.3) и объединим полученное равенство с уравнениями связи (3.2) в систему, решением которой и будут координаты точек возможного условного экстремума данной функции.
Пример 3.1. Найти точки возможного условного экстрему-
ма функции u = x+y+z2 при наличии связей:
[у-х?=1.
► Найдем производную —, считая у и z функциями х, dx
приравняем ее нулю:
^=1Л2г*=о.
dx dx dx
(3-5)
В этом же предположении возьмём производные по х от обеих частей уравнений связи:
§ 3. Условные экстремумы
563
Поставив найденные производные в равенство (3.5), полученное равенство рассмотрим вместе с уравениями связи:
l+x + z+2z=0,	|x+3z=-l,
z-x = l, => z-x = l, => x= —l,y = l,z = 0.
y~XZ=l,	XZ = 1.
Таким образом, (—1, 1, 0) — точка возможною условного экстремума. ◄
3.	Метод неопределенных множителей Лагранжа. В вышеописанном методе отыскания точек условного экстремума переменные х, у и z играют различные роли: х является независимой переменной, а у и z завися! от х. Лагранж предложил метод отыскания точек условного экстремума, в котором ни одной из переменных не отдается предпочтения. Рассмотрим его на примере отыскания условного экстремума функции u = f(x,y, z) при наличии уравнений связи (3.2) в предположениях из п. 2. Умножим обе части первого из уравнений (3.4) на а второго — на Х2 и сложим их почленно с равенством (3.3):
а/ а/ dy nf dz дх ду dx dz dx /a<p,	a<p, dy a<p, dz'
д dx dy dx	dz dx,
r)<p2 a<p2 dy a<p2 dz\ dx dy dx	dz dx }
:0.
(3.6)
Полученному равенству удовлетворяют координаты точек возможного условного экстремума. В левой части соотношения (3.6) перегруппируем слагаемые:
¥., Й<Р‘ - i
дх 1 дХ 2 дх [бу 1 ду 2 ду ) dx +к+кА+н^-=о.
^Z dz dz )dx
(3-7)
Выберем Х1 и X2 так, чтобы выражения в скобках в (3.7) были равны нулю:
564
Глава 4. Экстремумы функции нескольких переменных
й<р‘ ,1<Р2 -п
Ду 1 йу 2 ду
(3.8)
—+1 —+ Х dz 1 dz 2 dZ
0.
Такой выбор всегда возможен и единственен, ибо система (3.8) является крамеровской относительно к, и Х2 (ее главный 0(ф. ,ф.)
определитель А =-------0 по предположению). В силу (3.8)
Лл*)
из (3.7) имеем
дх 1 дх 2 дХ
(3-9)
Рассмотрим равенства (3.8), (3.9) и (3.2) как систему из пяти уравнений с пятью неизвестными х, у, z, X, и Х2:
— + Х 6<Р‘ гХ 3(р2 -0 дх 1 дХ 2 дх
й(?| । х а(р; -О
ду	1 ду	2 ду
—+х Й<Р| гх а(р2 -о dz	' dz	2 dz
Ф,(х,у,г)=о, 4>2(x,y,z)=0.
(3.10)
Решив систему (3.10), получим координаты гочек возможного условного экстремума функции f(x,y,z) при наличии связей (3.2), а также значения X, и X,.
Систему (3.10) можно формально написать, если ввести в рассмотрение так называемую функцию Лагранжа'. Ф^У.г.Х, А?)’ содержащую неопределенные множители Лагранжа Х(,Х2:
Ф(х,у,г,Х,,Х2)= /(х,у,г)+Х,ф,(х,у,?)+Х2ф2(х,у,г), (3.11) и выписать для нее необходимые условия существования безусловного экстремума:
§ 3. Условные экстремумы
565
лФ.у а<р, ., *₽!_„
--—---Г Л । -Т Л 2 -— V, дх дХ дх дх
—=^+х —1 +х э<р? -о
ду ду	1 ду	3 ду
йф _, ? й<р| +х э<Рз -о
dz dz	' dz	2 dz
ЙФ
—=«pi(x,j,z)=0, аФ
——=«р2(х,у,г)=0.
(3-12)
Очевидно, получили гу же систему (3.10). На пракшке пишут функцию Лагранжа (3.11) и систему (3.12).
Пример 3.2. Найти точки возможного условного экстрему-г	.. [г-х = 1.
ма функции и = х+у +z при наличии связей: ( [у-хг=1.
► Составим функцию Лагранжа:
Ф(х, у, г, А, г)=х + У + г2 + X । (z-x-1)+X 2 (у -хг-1)
и напишем для нее систему (3.12):
ЙФ	Йф	Йф
— = 1-Х, -X,Z=O, — = !+>., =0. — дх 1	ду	dz
йФ , л йФ ^;=г"х"|=()- ^=у~к
Отсюда имеем: х= —l,y = l,z=0, Х,=1, Х2= —1 ◄
Метод Лагранжа, рассмотренный выше для частного случая, можно обобшить на случай отыскания условного экстремума функции /(х, ,х2,... ,хю) при наличии к < 1< к < т связей (3.1). Функция Лагранжа здесь имеет вид
Ф(х,, х2, .. .	... . Х,) = /(х,, х„ ... , х_) +
+2м,и,. *1. -, *-)
Выпишем для нее необходимые условия существования безусловного экстремума:
566
Глава 4. Экстремумы функции нескольких переменных
ао _ в/ । ? а<р, >? а«р2
dXt 1 dXf 2 dXt
аФ _ ef flip, а<р2 дхт дхп 1 йх„ 2 дх„ аФ
—=<р1(х1,х2,...,х„)=0,
аФ
----= <р (х * Л) = Q.
az, ‘ ' 2
^ = 0.
ЭХ,
V, „
йх- (3.13)
Решив систему (3.13), получим координаты точек возможного условного экстремума функции « = /(х,, х2,..., хт) при наличии связей (3.1), а также значения множителей Лагранжа X,, Х2, ... , кк.
4.	Достаточные условия существовования условного экстремума. Пусть точка Л/.Х-^о’З'п’^,) — точка возможного экстремума функции и = f{x,y, z) при наличии связей (3.2). Для решения вопроса о наличии экстремума в этой точке рассмотрим приращение Ди(Л/0)= f{M)— f(Mv) при условии, что координаты точки М удовлетворяют уравнениям связи. Из (3.11) с учетом (3.2) имеем:
Лн(Л/и)=/(Л/)-/(Л/„)=Ш,кг, 1,,	*.»)-
Далее будем считать X, и X, решениями системы (3.12). Считая, что выполнены условия теоремы 2.1, с учетом замечания 2.1 приходим к выводу, что знак А«(Л/0) зависит от знака </2Ф(х,у,г, X,, Х2), где точка М(х,у, z) принадлежит окрестности точки Л/Дхц.уо.гД в которой выполнены условия теоремы 2.1, причем ее координаты должны удовлетворять уравнениям связи. Входящие в <!~Ф дифференциалы dx,dy,dz не являются произвольными приращениями переменных х, у и z, а связаны между собой соотношенями, полученными в результате почленного дифференцирования уравнений связи:
^,wdx+^,wdy+^,wd,=0
ах	*У	*	(3.14)
аФ:<Ю dx + ->Ф,(Ч ) dy + -'Ф,<ЛЛ) 4 _ 0 Эх	йу	йг
§ 3. Условные экстремумы
567
Определив знак </!Ф в окрестности точки Ми с учетом системы (3.14), тем самым определим »нак Ли(М„) и решим вопрос о наличии экстремума в точке Mtl(xv,y0,zu)-
Пример 3.3. Исследовать функцию u = x+y + z2 на экстре-
.. (г-А = 1.
мум при наличии связей: s
ly-xz = l-
► В примере 3.2 были найдены точка возможного условного экстремума Мо{—I, 1, 0) и значения неопределенных множителей Лагранжа: Х,=|, 12= — 1- Найдем вторые производные функции Лагранжа:
Ф(х, y,zA,A2)=x+y + z2+l1(z-x-l)+l2(y-xz-l), для этого продифференцируем ее первые производные (см. систему (3.13)):
а2Ф_агФ_0 ЗгФ_2 32ф _ д2Ф _0 Д2Ф _ ? _j
дх2 ду2 ' dz2 ’ дхду dyilz ’ dxSz 1 г/2Ф(х,у,г, 1,, ’k2)=ldz2 +2dxdz.
Найдем связи между dx,dy,dz, продифференцировав уравнения связи и подставив в полученные равенства координаты точки Н-
Jdz - dx = 0,	(dz - dx=0,	(dz = dx,
[rfy - zdx—xdz - 0,	[dy +dz=0, |rfy = —dz.
C учетом установленных связей между dx,dy,dz имеем d2<D(x,y,z, 1,, l2)=2dz2 +2dxdz=4dx2.
Поскольку г/2Ф>0 в любой точке М(х,у, z) и для любых значений dx, не равных нулю, то приходим к выводу, что в точке Мо(—I, I, 0) данная функция имеет условный минимум.-^
Замечание 3.1. Примеры 3.1—3.3 носят иллюстративный характер. Точки условного экстремума можно было бы найти, выразив у и z через х из уравнений связи, после чего задача сводится к отысканию экстремума функции одной переменной. В нижеследующем примере 3.4 применение метода Лагранжа обеспечивает наиболее рациональное решение задачи.
Пример 3.4. Исследовать функцию и = х—2y+2z на экстремум при наличии связи: х1 +у2 +z2 =9.
►Составим функцию Лагранжа:
®(x,j,z,X)=x-2j+2z+?.(x2 +у‘ +г’ -9)
568
Глава 4. Экстремумы функции нескольких переменных
и напишем для нее систему (3.13) при ш = З.Л = Ь
аФ
— = 1+2Хх=0,
дХ
дФ
— = -2+2Ху=0,
ЗУ
дФ
— = 2+2Х? = 0,
dZ
^=Х‘+у‘+г-
Lax
х=-1/(2Х), у=ЧК z=-l/K X2 =1/4.
Имеем Х,= 1/2, х, = — 1, у’, = 2, z= —2; Х2 = —1/2, х, =1, = —2, z=2, Л/,(—1,2,—2), Л/2(1,—2,2) — точки возможного условного зкстремума.
Найдем второй дифференциал функции Лагранжа, вычислив для этого ее вторые производные:
а2Ф _ а2Ф _ а2Ф	а2Ф _ а2Ф _ а2Ф _
J у у 2Х,	й,
дх ду dz дхду dydz dxdz
d^(x,y.z, Х)=2Шг +dy2 +dz2)	(3.15)
Найдем связь между dx,dy,dz, продифференцировав уравнение связи:
xdx +ydy + zdz=0.	(3.16)
Из (3.16) для точки Л/,(—1,2,—2) получаем; dx = 2dy—2dz. Подставив это равенство и значение X, =1/2 в (3.15). имеем
d 2Ф(-1,2,-2,1/2)=5dy2-Kdydz +5dz.
В правой части последнего равенства выделим полный квадрат:
d2^-L2.-2A/21=(j5dy-4dz/j5)2 +9dz2 /5>0 при Vtfy, dz: dy2 +dz} >0.
Приходим к выводу, что точка	(—1,2,—2) — точка условного
минимума.
Проведя аналошчные рассуждения для точки Л/2(1,—2,2), можно заключить, что эта точка является точкой условного максимума.^
§ 4. Отыскание наибольших и наименьших значений функции 569
§ 4.	ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
Пусть функция f(N), N(xl,xi,... ,хт), задана и непрерывна в некоторой замкнутой ограниченной области DcJ?m. Тогда в соответствие со второй теоремой Вейерштрасса (теорема 5.1, гл. 1) эта функция принимает на области D наименьшее и наибольшие значения 6л = min f(N),M=max /(/V)). Оты-скание этих значение поизводится по следующему алгоритму.
1.	Находим критические точки Л^,... функции /(АО внутри области D и вычисляем в них значения функции:
/(^ ),...,/№).	(4.1)
2.	Находим точки )VS+I,... ,Nk+r возможного условного экстремума функции на границе области D и вычисляем в них значения функции:
/(JV*+1),-,/(^+f)-	(4-2)
3.	Среди чисел (4.1) и (4.2) находим наименьшее и наибольшее. Наименьшее из них равно т, а наибольшее — М
Пример 4.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции и = х2 +у2 +2х—2у в области D, определяемой неравенством х2 +у2 <4.
► 1. Найдём критические точки внутри области D: и'х = 2x4-2 =0=>х = — 1; и* =2у—2=0=>у = 1. Итак, (—1,1) — критическая точка, «(—1,1) = —2.
2. Найдем точки возможного условного экстремума данной функции при условии, что: х2 4- у2 =4. Составим функцию Лагранжа:
Ф(х,уД)=х2 4-у2 4-2х—2у 4-Х(х2 +у2 -4)
и выпишем для нее систему (3.13) при т = 2,А: = 1: йФ	аФ	йФ
— = 2x4-2 4-2Ах=0,  = 2у-2+2ку = 0, — = х2+/-4=0 йх	ду	ЭХ.
Сложим почленно первые два уравнения, после очевидных преобразований имеем
2(x+j)+2Z(x+3-) = 0e.2(x+j)(l + Z) = 0e.r 2 У,'
Подставим равенство х = — у в третье уравнение системы:
570
Глава 4. Экстремумы функции нескольких переменных
2у2 = 4=>у2 = 2=*у = ±&.
Отсюда с учетом равенства х = — у находим две критические точки данной функции внутри области D: (—у12,у/2),(у/2,—у/2). Вычислим в них значения функции
«<-72,72) = 4-4,2. ^(/2.- /2>= 4 I 4.'2.
3. Среди вышевыделенных значении функции найдем наименьшее и наибольшее: /n = min« = — 2, А/ = тахк = = 4(1 + -Д).-4
Контрольные вопросы и задачи к разделу 8
1.	Что называется га-мерным евклидовым пространством? Найдите расстояние АВ между точками Л(1;—3;0;2) и В(3;-5;-1;2).
2.	Что называется /и-мерным параллелепипедом? Как геометрически трактуются одномерный, двумерный и трехмерный параллелепипеды?
3.	Найдите область определения функции и = 1п(2х—х2 — у2) и изобразите ее на рисунке. Является ли это множество: а) замкнутым; б) неограниченным; в) связным; г) областью, д) окрестностью точки 0(0,0)?
4.	Что называется пределом функции нескольких перемен-х2-1уг	х2-1у2
ных? Найдите пределы: a) lim—т-----; б) lim—т----т.
*:2л -у	2л -х
5.	Какая функция называется непрерывной в области? В какой области непрерывна функция и = -Jx + д/у?
6.	Сформулируйте основные теоремы о функциях, непрерывных в ограниченной замкнутой области.
7.	Какая точка называется точкой разрыва функции? Найдите точки разрыва функции « = —-—-——.
х‘ +0’-1>
8.	Найдите первые и вторые частные производные функции и = (х +у)/ (х- у).
9.	Дана функция и = 1/у]х2 +у2 +z2 - Покажите, что эта д2и д2и л функция удовлетворяет уравнению —т-4----т-4-—-=0.
дх ду dz
§ 4. Отыскание наибольших и наименьших значений функции 571
10.	Сформулируйте теорему о смешанных производных второго порядка.
11.	Используя определение полного дифференциала, найдите полный дифференциал функции и = х2 +ху+у2 в точке (-2, 3).
12.	u = f(v,w), где v=v(y,z), w=w(x,y). Какая из ниже приведенных формул справедлива:
„	ди dv dw	~.ди ди dv	.ди „	ди ди div
а)	— —— + —;	б)— =——;	в) — = 0;	г)—= — —?
дх дх дх	ду dv ду	дх	дх dw дх
13.	В чем состоит свойство инвариантности полного дифференциала? Дана функция z=arctg — ,x=u + v,y = u—v,u = 2,
v = l. Какое из утверждений верно: a) dz =	=
dx— 3dv . , du—2dy . ,	—du+2dvn
= !<> ' В’ * =	5	; Г) * =	.
14.	Напишите уравнение касательной плоскости к поверхности (5): z = x2 +у2 в точке (1, 1,2).
15.	Найдите производную функции z=arctg(x/y) в точке (2,1) по направлению вектора I = (4,3)
16.	Найдите grad и в точке Л/(—3,1,1), если u = tfx+3y +z2
17.	Какая функция называется п раз дифференцируемой? Найдите полный дифференциал второго порядка функции и = хг +ху+уг.
18.	x+2y + z=eI~t, z„=2
(lx2 +у2 — 3z2 =—1,	dy dz
Найдите —при x=l, y = —2.
4x2 +2y2 -3z2 =0.	dx dx
z-2.
20.	Что называется максимумом и минимумом функции нескольких переменных?
21.	Какие точки функции нескольких переменных называются критическими? Какие точки называются стационарными? Найдите критические точки функции и = 3ху—х2 —у' и исследуйте их на наличие экстремума.
22.	Что называется условным экстремумом функции нескольких переменных? Найдите точку возможного условного экстремума функции и = х—2j + z при условии связи хг +у2 + z2 =1.
572 Глава 4. Экстремумы функции нескольких переменных
23.	Покажите, что поверхность прямоугольного параллелепипеда данного объема имеет минимум, когда тело есть куб.
24.	Найдите наиболее экономичные размеры прямоугольного бассейна данного объема.
25.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x, у) в замкнутой области D, если:
a)	fix,у)=хгу, D-.хг +у2^ 1;
6)	f\x,y) = x' +у' -Зху, Л:0<х<2,—1<у<2.
Ответы на контрольные вопросы и задачи к разделу 8
1.	3. 3. Открытый Kpyi радиуса 1 с центром в точке (1, 0); а) не является; б) не является; в) является; г) является; д) не является. 4. а) не существует; б) —1. 5. Л={(х,у):х>0,у >0}. 7. (О, 1).
Ни _	2у	Ни	_ 2х	Н и	_ 4у
Нх	(х-у)2’	Ну (х-у)2’	Нх2 (х-у)1’
Н2и х+у Н2и _ 4х
НхНу	(х-у)1' Ну' (х-у)5
11.	—dx+4dy. 12. г). 13. б), г). 14. 2x+2y-z-2 = 0.
15. -2/25. 16. (1/7,3/7,2/7). 17. 2dx2 +2dxdy +2dy2.
18. -3/(ег>-1)‘ 19. у; =-3/2,	=5/3 21. (0,0), (I, 1) -
критические точки, в точке (0, 0) экстремума нет, (1. 1) — точка максимума, «тах=1- 22. (— 1/J&,2/J&,—1/л/б) — точка условного максимума, (|/Л,-2/Л,1/Л) — точка условного минимума. 25. а) наибольшее значение Л/=2/(3-\/3) при х = ±^2/3, у = ^/1/3; наименьшее значение т =—2 / (3\'3) при х= ±^2/3,у = — -^1/3; б) наибольшее значение М = 13 при х=2,у = —1; наименьшее значение т=— 1 при х=у=1 и при х=0,у=-1
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...............................................3
Введение к курсу математики...........................    5
Раздел 1. Линейная алгебра
1лава 1. Определители, матрицы и системы линейных а.п сбрапческпх уравнений.................................9
§ I.	Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод laycca....................9
§2.	Определи к . iи 2-ю и 3-ю порядков.........IX
§ 3.	Определи к.in высших порядков..............27
Глава 2. Матрицы и действия с ними.....................  36
§ 1.	Линейные операции с матрицами и их свойства ...36 § 2. Операция умножения матриц и ее свойства.....39
§ 3.	Операция транспонирования матриц и ее свойства..................................  42
§4.	Обратная матрица.......................    43
§ 5.	Понятие о ранге матрицы. Ранг ступенчатой матрицы......................   49
Глава 3. Общая теория систем линейных алгебраических уравнений...........................................     53
§ 1.	Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений....................................... 53
§ 2.	Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений......................   58
§ 3.	Однородные системы линейных алгебраических уравнений.....................................   68
Раздел 2. Векторная алгебра Глава 1. Линейные операции над векторами................ 75
§ 1.	Понятие вектора. Равные векторы. Коллинеарные и компланарные векторы........................   75
§ 2	Операция сложения векторов и ее свойства......76
§ 3.	Операция умножения вектора на число и ее свойства.................................   79
§4.	Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов..........81
§ 5.	Геометрический смысл линейной зависимости векторов......................................   83
§6.	Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат..................... 87
§ 7.	Полярная система координат................  93
§ 8.	Задача о делении отрезка в данном отношении ....96
1лава 2. Операции умножения векторов...................  99
§ 1.	Проекция вектора на ось и ее свойства.........99
574
Оглавление
§2.	Скалярное произведение двух векторов........102
§3.	Векторное произведение двух векторов........106
§4.	Смешанное произведение трех векторов........ПО
§ 5.	Векторное и смешанное произведения векторов, заданных разложениями в прямоугольном базисе......114
§ 6.	Преобразование прямоугольных координат на плоскости......................................118
Раздел 3. Аналитическая геометрия
Глава 1. Геометрия прямых и плоскостей.................  124
§ 1.	Понятие об уравнении плоской линии. Алгебраические линии. Теорема об инвариантности порядка......................................    124
§ 2.	Прямая как линия первого порядка.
Обшее уравнение прямой на плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору................127
§ 3	Различные виды уравнений прямой на плоскости...................................  129
§4.	Взаимное расположение двух прямых
на плоскости. Вычисление угла между двумя прямыми..........................................134
§5 Ра	сстояние от точки до прямой на плоскости.136
§6.	Понятие об уравнении поверхности.
Алгебраические поверхности.
Теорема об инвариантности порядка................137
§ 7.	Плоскость как поверхность первого порядка Обшее уравнение плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно чаланному вскюру...........139
§8.	Расстояние от точки до плоскости...........143
§9.	Уравнения линии в пространстве..............143
§10.	Различные вилы уравнений прямой в г г рос тр, i не т ве...........................147
§11.	Взаимное расположение прямой и плоское ги...152
1лава 2. Кривые второю порядка...........................155
§ I.	Обшее уравнение линии второю порядка. Классификация линий второю порядка...............155
§2.	Эллипс и ею свойства.......................156
§3.	(ииербола и ее свойства....................162
§4.	Парабола и ее свойства.....................168
Глава 3. Поверхности второго порядка.................... 173
§ 1.	Обшее уравнение поверхности второго порядка. Классификация поверхностей второго порядка........173
§2.	Эллипсоид..............................    174
§ 3.	Гиперболоиды...........................    175
Оглавление
575
§4.	Конус второго порядка......................177
§5.	Параболоиды............................    178
§6.	Цилиндры второго порядка—..................180
§7.	Поверхности вращения второго порядка........181
Раздел 4. Введение в математический анализ
Глава 1. Множества и функции...........................  187
§ 1	Множества и операции над ними.............  187
§ 2.	Логические символы. Прямая, обратная
и противоположная теоремы. Необходимые и достаточные условия..........................  189
§ 3.	Понятие вещественного числа. Множество вещественных чисел R и его свойства..............190
§4.	Некоторые подмножества из R................192
§5.	Модуль вещественного числа и его свойства..193
§6.	Ограниченные и неограниченные числовые множества. Точные грани числовых множеств........195
§ 7.	Понятие числовой функции. График функции. Способы задания функции. Классификация функций........................................  196
§ 8.	Элементарные функции.....................  200
§ 9.	Метод математической индукции. Неравенство Бернулли...........................  206
§ 10.	Символ суммирования. Факториал. Бином Ньютона..................................      .	...207
Глава 2. Предел числовой последовательности..............209
§ 1.	Числовая последовательность. Классификация последовательностей..............  209
§ 2.	Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.....210
§3.	Свойства сходящихся последовательностей....211
§4.	Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.................215
§ 5.	Достаточный признак существования предела числовой последовательности. Число е.
Натуральные логарифмы..........................  219
Глава 3. Предел функции..............................    221
§ 1.	Два определения предела функции в точке.
Односторонние пределы. Предел функции на бесконечности.............................    221
§ 2.	Свойства пределов функций................  225
§3 За	мечательные пределы  .................  227
§4.	Бесконечно малые и бесконечно большие функции....................................      229
§ 5.	Неопределенности. Вычисление пределов степенно-показательных функций.................  232
576
Оглавление
§ 6.	Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о» и его свойства......................237
§ 7.	Эквивалентные бесконечно малые функции, их свойства. Главная часть бесконечно малой функции ...................................    240
*§ 8.	Сравнение бесконечно больших функций......244
*§ 9.	Асимптотическое представление бесконечно малых и бесконечно больших функций.............247
§10.	Гиперболические функции................  251
1лава 4. Непрерывность функции.........................254
§ 1.	Понятие функции, непрерывной в точке. Односторонняя непрерывность. Непрерывность функции на промежутке........................  254
§ 2.	Классификация точек разрыва непрерывности.256
§ 3.	Свойства функций, непрерывных в точке....258
§ 4.	Свойства функции, непрерывных на отрезке.259
§ 5	Непрерывность элементарных функций........261
Раздел 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1лава 1. Производная и дифференциал..................  268
§ 1.	Производная функции в точке. Односторонние и бесконечные производные........268
§ 2.	Геометрический и механический смысл производной................................    270
§ 3.	Дифференцируемость функции в точке.
Дифферен циал................................... .. .272
§4.	Геометрический и механический смысл дифференциала................................  275
§5.	Правила дифференцирования.............  276
§6.	Производная сложной и обратной функции.
Свойство инвариантности формы дифференциала....278
§ 7.	Производные основных элементарных функций.
Таблица производных........................    280
§ 8.	Производные неявных функций и функций, заданных параметрически......................  287
§ 9.	Производные высших порядков...........  290
§ 10.	Вычисление производных высших порядков от функций, заданных неявно и параметрически....294
§ 11.	Дифференциалы высших порядков.
Нарушение свойства инвариантности формы .......295
Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления.............................................298
§1	.	Определен не экстремума. Чеоремя Ферма..298
§2	.	(еорема	Ролля...........................299
§	3.	Чеорема	Коши............................301
§4	.	1еорема	Лагранжа........................303
Оглавление
577
§	5. Правило Лопиталя..........................307
§6	. Формула Тейлора для многочлена.
Бином Ньютона как частный случай формулы
Тейлора для многочлена........................  311
§	7. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано...............................    315
§	8. Формула Тейлора с остаточным членом
в	форме Лагранжа...........................    321
1лава 3. Исследование функций и построение графиков......325
§1.	Условие постоянства функции на промежутке...325
§ 2.	Достаточный признак строгой монотонности функции на промежутке...........................325
§ 3.	Необходимые условия существования экстремума.
Критические точ ки..........................    326
§4.	Достаточные условия существования экстремума..................................    328
§ 5.	Направление выпуклости и точки перегиба графика функции...............................  332
§ 6.	Асимптоты графика функции................  336
§ 7.	Общий план исследования функции и построение ее графика.........................340
§ 8.	Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке................  348
Раздел 6. Комплексные числа. Алгебраические многочлены и рациональные алгебраические дроби
1лава 1. Комплексные числа..............................355
§ 1.	Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами, представленными в алгебраической форме........................  355
§ 2.	Модуль и аргумент комплексного числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа......359
§ 3.	Действия с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме  ....362
§ 4.	Операция сопряжения. Ее свойства...........366
§ 5.	Комплексная степень числа е. Формула Эйлера.
Показательная форма комплексного числа..........367
§6.	Логарифм комплексного числа................368
§7.	Понятие функции комплексной переменной......369
Глава 2. Алгебраические многочлены и рациональные алгебраические дроби..................................  372
§ 1.	Условие тождественного равенства двух многочленов............................    372
§ 2.	Разложение алгебраического многочлена на линейные множители. Число корней
многочлена....................................  373
578
Оглавление
§ 3- Понятие кратного корня. Признак кратности корня...............................  375
§4.	Вещественные алгебраические многочлены и их разложение на неприводимые множители на множестве вещественных чисел...............  377
§ 5.	Рациональные алгебраические дроби.
Основные понятия............................    380
§6.	Теорема о разложении правильной рациональной алгебраической дроби на простейшие дроби........381
Раздел 7. Интегральное исчисление функций одной переменной 1лава 1. Первообразная и неопределенный интеграл........386
§ 1	Первообразная Неопределенный интеграл.......386
§ 2.	Свойства неопределенного интеграла.........389
§ 3.	Интегрирование по частям в неопределенном интеграле ...................  391
§4.	Замена переменной в неопределенном интеграле.................................      392
1лава 2. Интегрирование основных классов элементарных функций............................................    396
§1.	Интегрирование рациональных функций________396
§ 2.	Интегрирование функций, зависящих рационально от синуса и косинуса..............  402
§ 3.	Интегрирование иррациональных функций......407
§4 По	нятие о неберущихся интегралах.........413
Глава 3. Определенный интеграл, его свойства и методы вычисления.........................................    414
§ 1.	Понятие определенного интеграла, его физический и геометрический смысл. Необходимое и достаточные условия интегрируемости.....ш......414
§ 2.	Свойства определенного интеграла...........420
§ 3.	Теоремы о среднем для определенного интеграла Среднее шачение функции на промежутке...............................    426
§4.	Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.
Формула Ньютона — Лейбница....................  429
§ 5.	Интегрирование по частям в определенном интеграле...................................    432
§6.	Замена переменной в определенном интеграле........................................433
§ 7.	Метод трапеций для приближенного вычисления определенного	интеграла..............436
1лава 4. Несобственные интегралы......................  439
§ 1.	Интегралы по бесконечному промежутку (несобственные интегралы	1-го	рода)...........439
Оглавление
579
§ 2.	Простейшие свойства несобственных интегралов 1-го рода........................    441
*§ 3. Признаки сходимости для несобственных интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций...............    ...444
*§4. Абсолютная и неабсолютная (условная) сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами......................  449
§ 5. Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода).............452
§6. Свойства несобственных интегралов 2-го рода...454
*§ 7	. 1амма-функция (интеграл Эйлера 2-го рода).457
*§ 8	Бета-функция (интеграл Эйлера 1-го рода)....461
1лава 5 Геометрические приложения определенного
интеграла.....................................  464
§ 1.	Вычисление площади фигуры в прямоугольных	декартовых координатах..........464
§ 2.	Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах......................    465
§ 3.	Вычисление объема тела через площади его сечений.......................................468
§4.	Вычисление длины дуги кривой.............  472
§ 5	Площадь поверхности тела вращения..........476
Глава 6. Приложения определенного интеграла к решению физических задач....................................    481
§ 1.	Методика применения определенного интеграла к решению практических задач..........481
§ 2.	Работа переменной силы.....................482
§ 3.	Давление на пластинку, погруженную вертикально в жидкость........................  483
§4.	Моменты. Центр масс плоских фигур..........484
§ 5.	Расход воды через отверстие в стенке резер вуара...............................      487
§ 6.	Приложение определенного интеграла к экономическим гадачам.......................  488
1лава 7. Элементы дифференциальной геометрии............490
§ 1.	Вектор-функция скалярного аргумента........490
§ 2.	Понятие кривой, гладкая кривая.
Касательная к кривой..........................  493
§ 3.	Кривизна плоской кривой, радиус и окружность кривизны..................  494
§4.	Эволюта, эвольвента......................  501
580
Оглавление
Раздел 8. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Глава 1. Понятие функции нескольких переменных. Предел. Непрерывность.......................................    509
§ 1	Пространство Rm и некоторые его подмножества................................    509
§ 2.	Открытые, связные, замкнутые, ограниченные множества в пространстве R„.................510 § 3. Понятие функции нескольких переменных.......512
§4.	Предел функции нескольких переменных.......514
§ 5.	Непрерывность функции в точке и в области.
Разрывы непрерывности.........................  516
Глава 2. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных, их приложения.............519
§ 1.	Частные производные.....................  519
§ 2.	Частные производные высших порядков.......520
§ 3.	Дифференцируемость функции нескольких переменных. Полный дифференциал.................521
§4.	Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных...........527
§ 5.	Производная по направлению. Градиент.......530
§ 6.	Производные сложной функции.
Инвариантность формы полного дифференциала. Формулы для вычисления дифференциалов...........533
§ 7.	Дифференциалы высших порядков.
Нарушение свойства инвариантности	формы.......537
*§ 8. Формула Тейлора.........................  541
1лава 3. Неявные функции..............................  544
§ 1.	Неявные функции, определяемые одним уравнением. Теорема существования. Вычисление производных.................................    544
§ 2.	Неявные функции, определяемые системой уравнений. Теорема существования.
Вычисление производных........................  550
Глава 4. Экстремумы функции нескольких переменных........554
§ 1.	Понятие экстремума функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума..............  554
§ 2.	Достаточные условия существования экстремума. Случай функции двух переменных.......556
§ 3.	Условные экстремумы...................    559
§4.	Отыскание наибольших и наименьших значений функции............................    569