/
Text
В. И. Демидов
Н. Б. Колоколов А. А. Кудрявцев
ЗОНДОВЫЕ
МЕТОДЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ
низко-
температурной
ппазмы
В. И. Демидов
Н. Б. Колоколов А. А. Кудрявцев
ЗОНДОВЫЕ
МЕТОДЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ
низко-
температурной
плазмы
Предисловие
Метод электрических зондов традиционно является одним из
основных в диагностике плазмы. Метод был предложен в ра-
ботах Ленгмюра с сотр. (см., например, [1]) и использовался
первоначально для диагностики плазмы низкого давления в
условиях, когда размер возмущенной области меньше длины
свободного пробега электронов и ионов. Далее эта теория раз-
вивалась в работах Дрювестейна [2], который показал возмож-
ность измерения функции распределения электронов по скоро-
стям зондовым методом.
Важным достоинством метода зондов по сравнению с дру-
гими экспериментальными методами является возможность из-
мерения локальных параметров плазмы.
За время с 30-х до 80-х годов экспериментальная техника и
теория зондов были усовершенствованы многими исследовате-
лями и обобщены в ряде обзоров и монографий [3-10]. Основ-
ное внимание в них уделялось определению таких параметров
плазмы, как концентрация и температура заряженных частиц.
Информацию об этих параметрах можно получить из анали-
за как электронной, так и ионной частей зондовой характе-
ристики.
На практике необходимо иметь более детальную информа-
цию об электронном газе, поскольку он в значительной степени
определяет свойства плазмы в целом. Для этого требуется зна-
ние функции распределения электронов (ФРЭ), которая может
быть получена только из анализа электронной части зондовой
характеристики. Изложение методов измерения ФРЭ в извест-
ных руководствах [3-10] фактически ограничено рассмотрени-
ем случая бесстолкновительной газоразрядной плазмы (ленг-
мюровский зонд), который имеет довольно узкую область при-
менимости по концентрации нейтрального газа па < 1017см-3 .
За последние 10-15 лет достигнут значительный прогресс
как в теоретическом обосновании использования зондовых ме-
тодов в сложных условиях, так и в развитии новых экспери-
ментальных методик зондовых измерений в нестационарной,
неравновесной и неоднородной плазме. Получено много новых
экспериментальных данных из зондовых исследований лабора-
торной и космической плазмы. Однако достигнутые результаты
не изложены последовательно в отдельном руководстве.
В данной работе авторы стремились восполнить существую-
щий пробел в литературе и обобщить последние теоретические
и экспериментальные результаты в затронутой области, уде-
лив основное внимание исследованиям функции распределения
электронов.
В значительной части книга основывается на материалах
оригинальных исследований, выполненных при участии авто-
ров в лаборатории физики плазмы физического факультета
Ленинградского (Санкт-Петербургского) государственного
университета (СПбГУ).
Авторы признательны сотрудникам и аспирантам СПГУ, в
соавторстве с которыми были выполнены и опубликованы рабо-
ты, составившие основу монографии, - А.Б.Благоеву, Б.П.Лав-
рову. П.М.Праматарову, И.Ю.Баранову, О.Г.Торонову, Н.А.Гор-
бунову, В.А.Романенко, Н.А.Хромову, Р.Р.Арсланбекову.
Авторы искренне благодарны. Б.М.Смирнову и Л.Д.Цен-
дину за полезные обсуждения, стимулировавшие работу над
книгой; Е.А.Кралькиной за плодотворное участие в работах
по применению методов регуляризации в зондовых исследо-
ваниях.
Авторы
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
В НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЕ
В начале данной главы кратко излагаются основные понятия
из физики плазмы, необходимые для дальнейшего изложения.
С различными аспектами кинетики плазмы и теории столкно-
вений можно ознакомиться в специальных руководствах [11-
20]. Нами же основное внимание уделено вопросу о функции
распределения электронов, что связано со следующими обсто-
ятельствами. Электронная компонента в значительной степе-
ни определяет свойства плазмы в целом, а зондовый метод,
как уже указывалось, является фактически единственным экс-
периментальным способом измерения ФРЭ. Очевидно, что без
рассмотрения вопросов формирования ФРЭ невозможно сопо-
ставление результатов зондовых исследований функции рас-
пределения и теории: остается непонятной и та роль, которую
играли и играют зондовые методы в развитии физики плазмы.
Следует также подчеркнуть, что в настоящее время отсутству-
ет руководство, последовательно излагающее методы расчета
ФРЭ, особенно в нелокальном режиме, к которому можно было
бы отослать читателя.
1.1. Основные понятия из физики плазмы
Плазму можно определить как полностью или частично иони-
зированный газ. в котором плотности положительно и отри-
цательно заряженных частиц практически одинаковы. В плаз-
менном состоянии находится подавляющая часть материи Все-
ленной. Присутствует плазма и в ближнем космосе - заполняет
магнитосферу Земли и образует ионосферные слои.
Весьма многочисленны примеры образования плазмы в ла-
бораторных условиях: в электрических разрядах в газах..в про-
цессах горения и взрыва, в установках для управляемого тер-
моядерного синтеза и т.д. Плазма широко используется в прак-
тических приложениях, таких, как газовые лазеры, термоэлек-
тронные преобразователи, МГД-генераторы, плазмотроны, га-
зоразрядные приборы, источники света и т.п.
1.1.1. Дебаевский радиус экранирования
Характерной особенностью плазмы является ее способность
экранировать действующие на нее электрические поля. Это
происходит вследствие того, что при введении в плазму или
при помещении около ее границ заряженного тела вблизи это-
го тела происходит поляризация, или разделение зарядов.
Рассмотрим, например, поле сферического заряда q в плаз-
ме. Потенциал этого поля у? вне заряда определяется уравне-
нием Пуассона
Дуэ = — 4тгр, (1-1)
где плотность объемного заряда р в случае однозарядных ио-
нов
(1-3)
р — пе). (1.2;
В этом выражении е - заряд электрона; п, - концентрация ио-
нов; пе - концентрация электронов. При максвелловском рас-
пределении скоростей частиц зависимость их концентрации от
потенциала описывается формулой Больцмана
(еуэ\ / еуэ
- jrJ 5 ne = nexp —
где Ti и Те - температуры ионов и электронов соответствен-
но, ап- концентрация заряженных частиц в невозмущенной
области, для которой п,- = пе — п.
Подставив выражения для концентрации заряженных ча-
стиц в уравнение Пуассона, получим самосогласованное урав-
нение для потенциала. Оно приводится к виду'
Л л 2 Те + Ti
Л<р = 4тге п<р тт--
если считать выполненным условие ер <С Ti,Te, что позволяет
для щ и пе записать выражения
Л еТ\ Л , eS₽\
n, ~ n 1-----; ne ~ n 1 + — .
\ tJ.’ \ те)
(1-4)
Решение уравнения (1.4), переходящее на малых расстояниях в
обычный кулоновский потенциал заряда q , имеет вид
9 ( г А
<р = - ехр-----,
г \ tqJ
где
(1-5)
1 / ТГ X1/2
Гй = ~7Г^ (tTtJ (L6)
у4тгпе2 \-*е + Л/
есть общее выражение для дебаевского радиуса экранирования
(или радиуса Дебая-Гюккеля) при произвольном соотношении
между Те и Т{. Видно, что при г < гр потенциал близок
к кулоновскому, а при г-> гр он значительно меньше куло-
новского. Таким образом, поле заряда в плазме экранируется
заряженными частицами на расстоянии порядка дебаевского
радиуса.
При Те > Т, или Ti » Те выражение (1.6) переходит в
следующее:
/ у \1/2
D \4тгпе2/ ’
где Т - наименьшая из температур. Тогда для числового зна-
чения дебаевского радиуса можно записать
/уч1/2
гр - 500 I — ) ,
\п/
где гр выражается в см; Т - в эВ; п-в см-3 . Дебаевский
радиус экранирования гр определяет также связанный с те-
пловым движением заряженных частиц пространственный мас-
штаб разделения зарядов и соответствующий временной мас-
штаб:
. гр
/р = —,
vy
где vr = (Те/m)1/2 - тепловая скорость электронов.
Колебания пространственного заряда при нарушении квази-
нейтральности называют плазменными, или ленгмюровскими,
частота которых
( 4тгпе2\1/<2
(1-7)
Плазменные колебания определяют механизм восстановления
квазинейтральности плазмы и to ~ 1/шр • Подставляя в (1.7)
значения констант, можно получить шр = 5,6 • IC^n1/2 , где шр
выражается в с-1 , а п - в см-3 .
Из проведенного краткого рассмотрения следует, что иони-
зованный газ является плазмой, если характерный размер за-
нимаемого им объема А > гд,- а характерное время измене-
ния его параметров т > to . Обычно эти условия выполня-
ются с большим запасом, поэтому в плазме положительный и
отрицательный заряды компенсируют друг друга, так что кон-
центрация ионов п, и электронов пе практически одинаковы:
Т1е — П{ 1Пе | .
1.1.2. Столкновения в плазме. Средняя длина
свободного пробега
Обмен энергией и импульсом между частицами плазмы в основ-
ном осуществляется через столкновения, которые подразделя-
ются на упругие и неупругие. В последних может происходить
изменение внутренней энергии частицы. Эффективность столк-
новений определяется их частотой, т.е. числом столкновений,
испытываемых частицей за единицу времени. Если скорость на-
летающей частицы относительно покоящейся частицы-мишени
равна v то частота столкновений
у = nav , (1-8)
где п - плотность рассеивающих частиц; а - эффективное
поперечное сечение столкновения. Величина т = р-1 является
временем свободного пробега. Расстояние, которое проходит ча-
стица между двумя столкновениями, называется средней дли-
ной свободного пробега
Л - v/v - (пег)-1 . (1.9)
При упругом рассеянии частиц различают полные сечения
рассеяния
/da
(1.10)
(Ш
и диффузионные или транспортные сечения
<Jk = /(1 - cos 0)da, (1-11)
где dSl — sin0d0d<p - телесный угол; 0 - угол рассеяния;
dcr/dSl - дифференциальное сечение, характеризующее рассе-
яние в интервале углов fl, fl + dfl. Транспортные сечения ха-
рактеризуют потерю направления скорости, поэтому рассеяние
на малые углы входит в сечение с малым весом. При рассеянии
заряженных частиц сечения рассеяния логарифмически расхо-
дятся на малых углах рассеяния. В плазме из-за дебаевской
экранировки зарядов [см. (1.4)] такой расходимости нет.
1.1.3. Особенности явлений переноса в плазме.
Амбиполярная диффузия
При наличии градиента плотности и электрического поля в
плазме возникает поток положительных или отрицательных
заряженных частиц, который складывается из диффузионно-
го и дрейфового потоков
Ге,1 = ~ ne>ibefi Е, (1.12)
где D = - коэффициент диффузии, в силу большей мас-
сы иона Di « De; U = ЬЕ - скорость дрейфа или напра-
вленная скорость, которая добавляется к хаотической скоро-
сти каждой заряженной частицы в электрическом поле; Е -
напряженность электрического поля; Ь - величина, называе-
мая подвижностью. Связь между коэффициентом диффузии и
подвижностью дается соотношением
Dlb = T/e. (1.13)
Поскольку Ье ~ (т)-1/2, подвижность, а следовательно, и
дрейфовая скорость электронов намного больше, чем ионов.
В отсутствие электрического поля или в направлении, пер-
пендикулярном полю, расплывание плазмы происходит за счет
диффузии заряженных частиц. Более подвижные электроны
стараются опередить ионы. Однако в силу условия квазиней-
тральности независимое движение электронов и ионов в плазме
невозможно. Быстрый уход электронов из некоторого элемента
объема плазмы приводит к разделению зарядов и связанному
с этим возникновению электрического поля поляризации, тор-
мозящего диффузию электронов и увеличивающего диффузию
ионов. В итоге возникает равновесное распределение зарядов,
при котором электроны и ионы дрейфуют с одинаковыми на-
правленными скоростями. Этот процесс называют амбиполяр-
ной диффузией. Для плазмы простого состава из равенства по-
токов электронов и ионов нетрудно найти
Ге = Г, = -DaVn = -~ebi tf~eVn, (1.14)
ое + О,-
где
_ Debi + Dibe /
а~ Ье + Ьг
(1-15)
- коэффициент амбиполярной диффузии.
В заключение отметим-, что в плазме сложного состава, на-
пример в электроотрицательном газе, потоки каждой заряжен-
ной компоненты в самосогласованном электрическом поле за-
висят от градиента концентрации всех остальных, так что вве-
дение единого коэффициента амбиполярной диффузии Da в
общем случае не представляется возможным [19]. В неодно-
родных электрических полях, наряду с потоком амбиполярной
диффузии, возникает поток ’’амбиполярного дрейфа” [19], свя-
занный с градиентом электрического поля. В сильных электри-
ческих полях он может превышать поток амбиполярной диф-
фузии.
1.2. Кинетическое уравнение для электронов
Состояние электронного газа в плазме описывается функци-
ей распределения электронов (ФРЭ) /(/, г, v), которая, соглас-
но определению, дает для элемента объема d3r = dxdydz чи-
сло электронов, 'имеющих скорости, заключенные между v и
v + dv . Проинтегрировав ФРЭ по скоростям, получим концен-
трацию электронов
пе(г,/) = У f(t.r,v)dv. (1-16)
v
Равенство (1.16) есть условие нормировки ФРЭ.
Функция распределения является решением кинетического
уравнения Больцмана, имеющего следующий вид (см., напри-
мер, [11]):
Ц + W/ + - (Е(г, t) + УН(Г’^ Vv/ =
ot m \ c /
= 5 = 5е + 5г + 5ау + 5ан. (1.17)
Здесь и далее df/dt - частная производная в точке (r,v); V -
градиент в координатном пространстве; Vv - градиент в про-
странстве скоростей; Е и Н - напряженности электрического
и магнитного полей. Далее, если это специально не оговорено,
мы будем предполагать, что Н = 0; S - интеграл столкнове-
ний, описывающий взаимодействие электронов с ионами (St),
электронами (5е), нейтральными частицами (атомами) в ре-
зультате упругих (Say) и неупругих (5ан) столкновений.
Вопросы, связанные с выводом уравнения Больцмана в га-
зах, подробно рассмотрены в [11,15], и мы на этом останавли-
ваться не будем. Также не будем проводить последовательный
вывод интегралов столкновений с различными частицами плаз-
мы.
Левая часть (1.17) представляет собой полную производную
df /dt вдоль фазовой траектории электрона, определяемой его
уравнениями движения. В отсутствие столкновений для ФРЭ
справедлива теорема Лиувилля
^ = 0, (1.18)
dt
в силу которой уравнению (1.18) удовлетворяет любая функция
f, зависящая от интегралов движения.
Для интегродифференциального уравнения (1.17) не суще-
ствует общих методов решения. Чтобы его решить, необходимо
сделать некоторые предположения относительно свойств функ-
ции распределения и столкновений.
Одно из предположений, которое обычно используют, состо-
ит в том, что из-за очень большого числа столкновений анизо-
тропия распределения электронов по скоростям, как правило,
мала. Например, при упругих столкновениях электронов с тя-
желыми частицами направление скорости электронов может
измениться сильно, тогда как в силу условия т <С М скорость
меняется мало. Поэтому можно считать, что в любой точке
пространства распределение по абсолютному значению скоро-
сти близко к сферически-симметричному. Это позволяет разло-
жить ФРЭ в ряд по сферическим функциям, а быстрая сходи-
мость ряда дает возможность ограничиться малым числом чле-
нов. Сравнение последующих членов позволяет определить, в
каких пределах допустимо изменение параметров плазмы, что-
бы эти предположения оставались верными.
Обычно используют двучленное разложение
/(t,r,v.) = f0(t,T,v) + - • f](t, г, v), (1.19)
V
где /о - симметричная или изотропная часть ФРЭ, которая
определяет распределение электронов по абсолютному значе-
нию скорости или по энергии; Д - асимметричная или напра-
вленная составляющая ФРЭ, позволяющая вычислить скорость
дрейфа и другие кинетические характеристики электронов.
В ряде случаев (сильные электрические поля, низкие давле-
ния газа и др.) двучленное разложение (1.19) недостаточно точ-
но и необходимо учитывать следующие члены разложения по
сферическим функциям. Выпишем это разложение, ограничи-
ваясь часто встречающимся случаем аксиально-симметричной
плазмы, где ось z , параллельная Е , является выделенным на-
правлением. Тогда f(t, г, v) можно записать в виде f(y, z, 6, Z),
где 0 - полярный угол. В этом случае ФРЭ можно разложить
по сферическим функциям нулевого порядка, т.е. полиномам
Лежандра Pj(cosO) :
f(z,v,9,t) = ^2fj(z,v,i)Pj(cos0).
j=o
Коэффициенты fj полностью описывают f.
Аналогично можно разложить и S :
S(z,v,6, t) = 57 $j(~, v, f)Pj(cos 0).
j=o
(1.20)
(1-21)
Для дважды дифференцируемых по угловой координате функ-
ций ряды типа (1.20) и (1.21) сходятся абсолютно и равномер-
но. Связь между fj и Sj определяется системой кинетических
уравнений, которая может быть получена из (1.17) за счет ис-
пользования свойств ортогональности многочленов Лежандра.
Подставим (1.20) в (1.17):
57 fj(cos0)-^’ + vc°s в 57 fj(cos^)^^’ - c°s ох
3=0 3=0
х 2 Pj(cosO)-^---------sin
dv mv
з=о
00 dP
Здесь учтено, что
df „ df Esm2e df
E— = Ecos 0-^- +-------—----— .
dv ov v a(cos0)
(1.23)
Умножив (1.22) на Pj(cos0) и проинтегрировав по угловым ко-
ординатам в пространстве скоростей, получим
dfj l/ f (j + 1) f I f l_
dt + dz t (2j + 3)/j+1 + (2j - l);j 1J
_e_E ( U_+l)._l_£/ j+2; Y+ .
m 1 (2j 4- 3) vi+2 dv ' J '
7 1 Z) / \ 1
+ (2jb)^(’ = > = 0.1,2..., (1.24)
где
Sj = I SPj(cosfi)dSl. (1.25)
В (1.24) учтено, что
1
/ 2
P}(x)Pt(x)dx = ——-6]г (1.26)
J + 1)
_ (2,'+ + (2j + 1)F’-' ’
(1-1г)^=йЯчк-1(1,’л+,(1)|- (1-27)
Потагая в (1.24) j = 0,1,2..., получаем цепочку уравнений
j = 0 (скалярное уравнение)
д/о vdfi еЕ д ( 2с \ _ с
dt + з dz 3mv2dv v s°' 8)
j = 1 (векторное уравнение)
dfi (dfo 2df2\ еЕ Гд/0
dt V \ dz 5 dz J m ,dv
(v3f2\ = S1' (1,29)
J = 2
df2 /2 dfi 3 dfa\ _ e_E_ Г2 d_ /1 \
dt V \3 dz 7 dz J m 3Vdv /
+ Щ- р/з)1 = s2 (1.30)
7 v4 dv \ /J
и т.д.
Эти выражения потребуются нам в дальнейшем при рассмо-
трении зондовых методов исследования в анизотропной плазме.
Здесь же анализ будем проводить для условий, когда справед-
ливо двучленное разложение (1.19). Поскольку в этом случае
ФРЭ близка к сферически-симметричной, для дальнейшего по-
лезно ввести функцию распределения по абсолютному значе-
нию скорости fv(t,r, т) (ФРЭС), а также функцию распреде-
ления по энергиям е = mv2/2 fs(t,r,e) (ФРЭЭ). Функция /£
может быть получена из fv заменой интервала de соответ-
ствующим интервалом dv, т.е.
fvdv = fedE-, fE = fv/(mv) = fv/V2me , (1.31)
fv получается из ФРЭ /(t,r,v) при переходе к сферической
системе координат в пространстве скоростей и интегрировании
по всем угловым координатам:
fv(t,r,v)= у у f(t, г, v)v2sin edQdy . (1.32)
Для изотропной ФРЭ из (1.31), (1.32) следует, что
fv(t,r,v) = 4?rv2/(t, г, -и);
/£(t,r,f) = 5(е)/(«,т,5/2е/7п), (1.33)
где ^(f) = 4х/2л-^/£/т3/2 = дОу/Ё.
Условия справедливости двучленного разложения (1-19)
имеют вид [20,21]:
(I-34)
е£А/£<1; (1.35)
А <С Л, (1.36)
где v* , va - соответственно частоты неупругих и упругих
столкновений электронов с частицами плазмы; А — v/va - дли-
на свободного пробега электрона; Л - характерная диффузи-
онная длина плазменного объема. Для цилиндрической геоме-
трии Л = 7?/2,4, где R - радиус.
В атомарных газах условие (1.34) всегда выполняется. В мо-
лекулярных газах частота резонансного колебательного возбу-
ждения может достигать значения ~ 0,5z/a и вопрос о спра-
ведливости (1.19) существен. Тем не менее сравнение результа-
тов решения кинетического уравнения методами Монте-Карло
и с использованием (119) показало их хорошее совпадение [21].
Выполнение неравенства (1.35) требует малости отношения
энергии, набираемой в электрическом поле на длине свободно-
го пробега, к энергии электрона. Для основной группы элек-
тронов, обладающих средней энергией е ~ Те, из уравнения
баланса энергии только при учете упругих столкновений
е2 Е2/тиа = Ьиа{Те - Та) (1.37)
имеем
еЕХ/Те-уД <1. (1.38)
Здесь 6 = 2m/М - относительная потеря энергии при упругом
столкновении электрона с тяжелой частицей.
Для выполнения неравенства (1.36) давление газа должно
быть достаточно высоким для того, чтобы средняя длина сво-
бодного пробега была меньше характерного размера плазмен-
ного объема. Это обычное условие применимости диффузион-
ного рассмотрения. Отметим, что в разряде низкого давления
из условия (1.35) следует малость анизотропной части ФРЭ и
при А > Л [22].
Считая условия (1.34) - (1.36) выполненными и пренебрегая
в (1.20) функцией /2» получаем систему уравнений для /о и
Л:
^--—^ + ^/0 = 5!. (1.40)
dt m dv
Уравнение (1.39) определяет изменение энергии электронов, в
котором третий член в левой части связан с энергией, полу-
чаемой электронами от электрического поля, а второй член-
диффузионный ток. Члены в правой части (1.39) описывают
изменение энергии электронов при столкновениях различного
типа.
Для оценки компонент 5оа и У1а справедливы равенства
— Vafl i SOa — йа^а/о i (1’41)
где 6а - коэффициент передачи энергии при столкновениях
электрона с частицей сорта а .
Для дальнейшего рассмотрения необходимо связать инте-
гралы столкновений So и S\ с компонентами функции рас-
пределения.
Для упругих столкновений электронов с тяжелыми части-
цами Sq^ имеет фоккер-цланковский вид и в -переменной е
записывается в виде [20]
sin = (D°^r+М] (1-«)
ус Ос \ Ос /в
где Da — bvaETa : Va = fivaE . Соответственно
(1-43)
Межэлектронные столкновения в уравнении для изотропной
части ФРЭ учитываются интегралами столкновений Ландау и
имеют вид [20]
Soe = + К/о)
ч/Е ОЕ \ ОЕ J
(1-44)
где De = 2реЕА1(/о); К = 2ре£Д2(/0);
Ai(/o) =
оо
+ £3/2 j f0(E)dE
А2(/о) = J^fo^dE.
О
Из (1.45) следует, что при е —> оо
42(/о) = 1; Ai(/0) = Te,
(1-45)
(1-46)
при е —> 0 41(/о), А2(/о) -> £3/2 •
Выражения для S\e имеют громоздкий вид, но ь практи-
чески важных случаях его можно не учитывать, поскольку в
уравнении для Д отношение Sie/S^ ~ ре/ра [см.(1.43)]. Да-
лее мы всегда будем считать, что ре < ра. Для низкотемпе-
ратурной плазмы это условие обычно выполняется до степе-
ней ионизации < 10-3. В обратном случае межэлектронные
столкновения формируют ФРЭ, близкую к максвелловскому
распределению. Для полностью ионизованной плазмы расчет,
учитывающий межэлектронные столкновения, выполнен в [23].
Электрон-ионные столкновения можно не учитывать и в
Sq , так как <5;^ <С ие •
Интеграл неупругих столкновений Sq1^ можно предста-
вить в виде [23,24]
^/о(£ + £„) -
9i
(1-47)
Здесь Ni и Nj - концентрация частиц на уровнях i,j; gi и gj
- статистический вес уровней; £ij = £i~£j - энергетический за-
зор между состояниями i и j ; = aijV - частота возбужде-
ния уровней г —> j . Аналогично (1-47) можно записать вклад
ионизации и рекомбинации [14]. Отметим , что в атомарных га-
зах к неупругим столкновениям относятся процессы возбужде-
ния и ионизации и обратные - девозбуждения и рекомбинации.
В молекулярных газах кроме возбуждения электронных состо-
яний необходимо учитывать неупругие столкновения электро-
нов с возбуждением колебательных и вращательных уровней.
Как видно из (1.41), релаксация электронов по импульсам
происходит намного быстрее, чем по энергиям, причем харак-
терное время этой релаксации ти ~ р”1 мало. Это позволяет
считать /1 квазистационарно меняющейся и пренебречь про-
изводной по времени в уравнении (1.40). Считая иа > р*,ре , из
(1.40) имеем
/i = —^--V/o. (1.48)
mua OV va
Подставляя это выражение в (1.39), нетрудно получить урав-
нение для определения изотропной части функции распределе-
ния /о • В пространственно-неоднородной плазме оно является
уравнением в частных производных от г и v . Сравнивая в нем
члены с радиальными градиентами /о и члены, связанные с ее
изменением за счет столкновений, получаем,что соотношение
между ними определяет параметр релаксации [22,25]
К = (ye + 6ya + ^rdf = 4Х2/Х2£, (1.49)
где ту = Л2/De - время свободной диффузии электронов к
границам плазмы;
Ае = \/^DeT£ (1.50)
- длина энергетической релаксации электрона с энергией Е .
Если К 3> 1 , что соответствует Л > Л£ , члены с градиен-
тами в координатном пространстве малы и ими можно прене-
бречь. В этих условиях ФРЭ определяется локальными параме-
трами, и ее можно представить в виде произведения пе(г)/о(^),
где пе(г) - концентрация электронов, а /о(^) нормирована
на единицу. В таком локальном приближении аргументом /0
является v или кинетическая энергия е = mv2/2. Распределе-
ние пе(г) и радиальное электрическое поле определяются из
решения уравнения амбиполярной диффузии [12].
В обратном случае К <С 1 (Л «С Л£) функцию распределе-
ния необходимо вычислять с учетом градиентов в координат-
ном пространстве и амбиполярного электрического поля. При
этом ее нельзя записать в виде произведения двух сомножите-
лей, один из которых зависит только от координат, а другой
от скоростей, т.е. ФРЭ электронов..является нелокальной. По-
скольку диффузия электронов к границам происходит в этом
случае быстрее, чем изменение их энергии за счет столкновений
и во внешнем поле, полная энергия W = £ + е<£>(г) (кинетиче-
ская плюс потенциальная) является приближенным интегра-
лом движения, т.е. аргументом функции распределения [22,25].
Теоретические расчеты ФРЭ электронов в локальном при-
ближении проводились во многих работах, которые частично
обобщены в [12,14,21,26]. Наиболее детальные аналитические
расчеты локальной ФРЭ для разрядной плазмы выполнены в
[24,27,28] и для бестоковой плазмы в [26,29]. Хотя факт нело-
кальное™ ФРЭ при А < А£ известен еще с работы [30], по-
следовательное исследование нелокальной функции распреде-
ления началось с середины 70-х Годов с работ Л.Д.Цендина
[22,25] для разрядной атомарной плазмы. Далее в [31] был вы-
полнен соответствующий расчет для разряда в молекулярном
газе и в [32] для бестоковой плазмы.
Проведем некоторые оценки. В слабоионизованной плаз-
ме атомарных газов (ре <С 6z/a) при упругом балансе дли-
на энергетической релаксации электрона в ’’упругой” области
АЕ = А/аА. Поскольку <5 = 10-4 -г 10—5 , для оценок можно
положить А£ = 102А. В лабораторной плазме радиус труб-
ки R обычно составляет 0,3 — Зсм, так что можно считать
А ~ 1см. Поскольку радиус зонда технически трудно сделать
менее 10-3 — 10-2 см , для оценки будем полагать а 10-2 см .
Тогда из приведенных выше оценок следует, что условие приме-
нимости зонда Ленгмюра (а< А) требует выполнения условия
A <g А£ , т.е. в условиях применимости традиционной зондовой
методики функция распределения является, как правило, не-
локальной. Из сказанного следует, что при корректном сопо-
ставлении теории с зондовыми измерениями необходимо учи-
тывать возможную нелокальность ФРЭ. Как будет видно из
дальнейшего, в подавляющем числе работ при сопоставлении
результатов зондовых измерений ФРЭ с теорией этот факт не
учитывался.
1.3. Локальная ФРЭ во внешнем
электрическом поле
Рассмотрим неравновесную плазму, в которой концентрации
электронов и возбужденных атомов много меньше равновес-
ных значений, соответствующих температуре электронов, что-
бы можно было пренебречь обратными процессами. Примером
может служить плазма положительного столба разряда в усло-
виях интенсивной гибели возбужденных состояний за счет сту-
пенчатой ионизации или высвечивания. Для подобных условий
кинетическое уравнение исследовалось во многих работах. Бы-
ло показано, что в широком диапазоне условий средняя энергия
электронов Те заметно меньше, чем энергия порога возбужде-
ния £i . При этом основное число электронов сосредоточено в
упругой области энергии £ < £i , которая определяет такие
кинетические характеристики электронного газа, как диффу-
зия и подвижность. Основными процессами, формирующими
вид ФРЭ при £ < £i , являются межэлектронные и упругие
электрон-атомные столкновения. Количество электронов в бы-
строй части ФРЭ при £ > £i мало, вместе с тем вид распределе-
ния электронов в этой области представляет большой интерес,
так как именно эти электроны ответственны за возбуждение
и ионизацию в плазме. Большую роль в формировании ФРЭ
в этой области играют неупругие столкновения электронов с
атомами.
В пренебрежении межэлектронными столкновениями де-
тальный анализ кинетического уравнения дан в [22,25,33]. Сле-
дуя этим работам, для слабоионизованной ,(ре < ^ра) плазмы
кинетическое уравнение для изотропной части /о в переменной
£ можно записать в виде
de I \ dE /]
= P*(£)V£/o(£) - 1,*(£ + fi)x/£ + £1/о(£ + £1) , (1-51)
где
9 p2 F2
Dc — DE = ±-—e (1.52)
3 mva
есть коэффициент диффузии по энергиям во внешнем электри-
ческом поле; Vc = Va = Ebva - потери энергии при упругих
ударах (1.42). В силу сказанного выше в интеграле неупругих
столкновений учтено возбуждение с основного состояния (ча-
стота и* ) и пренебрежено обратными процессами.
Поскольку обычно и* 3> 6иа , в области за порогом возбу
ждения £ > Ei существенны только диффузия по энергии в
электрическом поле и неупругие удары. Функция распределе-
ния спадает с характерным масштабом
T* = (DE/^2 = T/y/^, (1.53)
где
Т(£) = Dc/Vc
(1-54)
- энергетическая длина в упругой области, а параметр
v*T
ап = ---- > 1 (1.55)
характеризует соотношение между упругими и неупругими про-
цессами. Благодаря большому значению параметра ап Т* ма-
ло, причем Т*
В области Т* < £ < ФРЭ формируется диффузией по
энергии в электрическом поле и упругими столкновениями с
малой потерей энергии. Если Т(е) < , то функция распреде-
ления спадает с характерным масштабом, равным Т . Действи-
тельно, решение уравнения (1.51) в этом случае имеет вид
/о(е) = -нуехр
+ Cjy .
(1.56)
Поскольку T’CT, приближенно /о(^1) = 0, так что
С1у — С*ну ехр
Т(£)
и это соответствует известному приближению ’’черной стенки”
в теории диффузии.
На практике, зная зависимость z/a(f), из (1.56) можно полу-
чить соответствующие формульилля расчета ФРЭ в конкрет-
ных газах. Если использовать аппроксимацию
„а = »ОР(Е/Е-1)П ,
(1.57)
где р - давление, Па, то показатель в экспоненте (1.56) равен
где
2е2Е2с2п(2п + 1)~| 2"+I
3m^(z/oP)2
(1;58)
В расчетах можно полагать [33]: для гелия п = 0, izq = 1,88 х
х107с-1 • Па-1 ; для неона п = 1, iz0 = 2,1 • 107с-1 Па-1 ; для
аргона п = 3, iz0 = 1,28 • 108с-1 • Па-1 .
Из (1.58) видно, что при постоянной частоте упругих элек-
трон-атомных столкновений (например, гелий) ’’ядро” функции
распределения является максвелловским независимо от напря-
женности поля.
Если Т(е) > ei , то за время
тЕ = e^/D£(ei), (1.59)
малое по сравнению с (Z>iza)-1 , электрон попадает в неупругую
область е > Ei . В этом случае баланс энергии определяется
неупругими ударами и членом Ve в (Е51) можно пренебречь.
При выполнении неравенств
bva<^v*, Т* <Т,Е1
(1.60)
приближение ’’черной стенки” остается справедливым и реше-
ние (1.51) в области Т* < е < Ei имеет вид
ei
/0(E) = Cm [ ~^~ + С1п. (1.61)
О
Для аппроксимации iza (1.57) в итоге получаем
/ £ \ п—1/2
/о — [1 ) ДЛЯ. 71 1/2 ,
\ Е1 /
/о = С.ш1п- ДЛЯ п=1/2. (1.62)
Е
Значения констант Спу и Ст находят из условия нормировки,
а С1у , С1н - из условия сшивки при е = fij . Для случаев (1.56)
и (1.62) при аппроксимации цДе) (1.57) соответственно имеем
г „ (2п + 1) 1 . _ пе 1
^ну-71е Онн ~ 3/2 /2 _1_\ j
(2n+l) V У' £1 1,3 п+1)
для 71 / 1/2; Сш = 9/4 для п = 1/2; Г - гамма-функция.
При малых энергиях 0 < £ < Т* выражения (1.56), (1.61)
несправедливы и следует учитывать возврат частиц, претер-
певших неупругое столкновение, в область малых энергий -
последний член в правой части (1.51) [22]. Эта область ’’за-
стревания” является малосущественной (Т* < Т), и мы ею
интересоваться не будем (подробнее см. [22]).
При £ > £j в (1.51) необходимо учитывать потери энергии
при неупругих ударах, причем в силу неравенства Т* < Т ФРЭ
спадает существенно круче, чем при £ < £j . Вид решения в зна-
чительной степени определяется зависимостью iz*(f), которая
в общем случае является сложной функцией, а абсолютные по-
грешности в знании I/* достигают 10-100% [14]. В литературе
при решении кинетического уравнения используют различные
аппроксимации для i/*(f), наиболее употребительными из ко-
торых являются
^(е) = ^а(^1-1); (1-64)
^б(£) = ^об(^Л)1/2- (1-65)
Выражение (1.64) хорошо описывает энергетическую зави-
симость iz*(£) в припороговой области энергий £ ~ £j с интер-
валом несколько электрон-вольт, но дает существенно завы-
шенные значения при больших энергиях. Зависимость (1.65),
наоборот, завышает z/*(£) в припороговой области, но хорошо
согласуется с реальной кривой в области больших энергий.
Решение кинетического уравнения с v* по (1.64) и =
= D(ei) выражается через функцию Макдональда A'i/3 [34],
в то время как зависимость (1.65), обеспечивая простоту мате-
матических выкладок, позволяет наглядно понять физический
смысл получаемого решения. В силу интегральной зависимости
от частоты неупругих ударов получаемое решение слабо зави-
сит от деталей поведения iz*(f), причем главный вклад дает
значение v* при энергии £ = £j + Т* . Решение дает удовле-
творительную точность при введении корректирующего (попра-
вочного) коэффициента Ai(T*/£j) в виде
1/О*В = «'оЛ1(Т‘/£1), (1.66.)
а значение Л1 можно, например, затабулировать из результа-
тов численных расчетов.
С учетом сказанного выше, для определенности, будем ис-
пользовать зависимость ^*(е) в виде (1.65). Тогда решение ки-
нетического уравнения при £ £i , убывающее на бесконечно-
сти, можно представить в виде
/o(£) = C,exp[-f^L_] ,
(1.67)
где значения Т* (1.53) берутся при £ = £i + Т* . Константы
С2 в (1.67) и С] в (1.56), (1.61) находятся из условия сшивки
функций и производных при £ = £1 и равны:
С2у = CBy(£i/£y)2n+1(2n + 1)— exp [-(£i/£y)2n+1
£1 L
г -Г - „а
^2н — t'lH — . ДЛЯ
4 £]
- 1 exp [-(£1/£у)2п+1] ;
для п ф 1/2; (1.68)
п = 1/2,
а индексы у и н, как и выше, относятся к упругому балансу
Т < £1 и неупругому > £j соответственно. Как видно из
(1.67), при большом значении параметра ап ФРЭ резко зату-
хает с ростом £ — £1 .
Для примера на рис. 1.1 результаты численного расчета
уравнения Больцмана для слабоионизованной плазмы гелия
[36] сопоставлены с расчетами по (1.62), (1.67), которые, как
видно, хорошо согласуются между собой. Для иа при £ >
> £о = 3 эВ и и* использовались аппроксимации (1.57), (1.65)
с z/q = 6,47 105с-1Па-1 . При £ < £о для иа было принято:
va = z/op(£/£o)1/2 [36].
В условиях максвелловского ядра /o(f), когда межэлек-
тронные столкновения доминируют в ’’упругой” области энер-
гий, аналитические решения кинетического уравнения получе-
ны в ряде работ, например [14,35], причем в [35] для z/*(e) ис-
Рис. 1.1. ФРЭ в слабоионизован-
ной плазме гелия, Е/р — 7,5 х
х 10-2 В/( см • П'а) :
1 - численное решение [36]; 2 -
расчет по (1.62), (1.67); 3- рас-
чет по (1.118), (1.119); 4 ’ экспе-
римент ( р — 67 Па , ток разряда
7 мА, радиус трубки 1,7 см)
пользовалась аппроксимация (1.64), а в [14] - (1.65), что приве-
ло к существенному упрощению вычислений. Для произвольно-
го соотношения между частотами межэлектронных и упругих,
и неупругих столкновений с атомами приближенное аналитиче-
ское решение кинетического уравнения получено в [24]. Однако
формулы работы [24] являются громоздкими и их редко ис-
пользуют на практике. Далее, используя результаты [14,24,35],
получаем приближенное решение кинетического уравнения в
электрическом поле при произвольном соотношении между 1/е,
bva и v* .
В этом случае кинетическое уравнение имеет вид (1.51), где
коэффициенты
De = De + De + Da , V = Ve + Va, (1.69)
а члены De, Dt, Da, Ve, Va выражаются (1.52) и выписаны по-
сле (1.44), (1.42). Учитывая (1.46), коэффициенты ЛД/о) и
Дг(/о) в области £ > Ei будем заменять их предельными зна-
чениями.
Для целей приближенного решения, рассматривая Ai и А?
как известные функции, можно формально разрешить (1.51),
которое с учетом поведения Aj,A2 при е — О дает для области
(1-70)
fo(E} = C'H exp
Явный вид экспоненты в (1.70) можно найти в предельных
случаях слабого (De > De, Va > Ve) и сильного (De <
< De,Va < Ке) межэлектронного взаимодействия. При De >
> De и Va » 14 членами с De и Ve можно пренебречь и /о(с)
выражается формулами (1.56), (1.61). При De > De , Ve > К
в области £ ~ Те преобладает межэлектронное взаимодействие
и распределение близко к максвелловскому. В этом случае в Aj
и Аг можно подставить максвелловскую функцию и получить
[24,27]
При этом
Ds _ 2//eA(y^7Z) + jgg + tvaTa
2 ц,A(^/f/Te) + 6i/a *"
[ср. c (1.54)].
Приближенный метод решения при произвольном соотноше-
нии между De, К и De,Va в [24] основывается на том факте,
что коэффициенты Aj и Аг входят в решение под знаком ин-
теграла, поэтому вид решения слабо чувствителен к деталям
их поведения, а вид самих коэффициентов не сильно зависит от
вида /0(е) [27]. Аппроксимировав Al и Аг простыми выраже-
ниями, передающими общий характер их поведения, можно по-
лучить из (1.70) приближенное выражение для /о, зависящее
от параметра Те . Температуру электронов Те следует опре-
делить из уравнения баланса их энергии. Подобная процедура
является решением по обобщенному методу моментов Галер-
кина и используется при решении задачи без учета неупругих
ударов в работе [27]. В [24,27] рассмотрены два вида аппрокси-
мации для А1 и Аг
В простейшем случае можно положить Ai = A-\JTe = 1 при
всех значениях е . Расчеты, проведенные в [27], показывают, что
такое приближение вносит погрешность около 15%. Более точно
решение можно получить, полагая А2 = А\/Те = Ао(Е/Те), где
°Т: (1-7з)
По данным [24,27] такое приближение вносит погрешность око-
ло нескольких процентов. Учитывая сказанное, приближенное
решение кинетического уравнения при £ < £1 имеет вид (1.70)
с А(х/ё) = по (1.73).
При использовании i/*(e) в виде (1.65) решение кинетиче-
ского уравнения при е > можно представить в виде
/о(е) = С2ехр
(Ан + 1)(е — Ei)
2Т(£1)
(1-74)
где Т(е) выражается формулой (1.72) с параметром А по
(1.73); Ан = у/1 + 4ая, а параметр
Н El^e + ^a) К(£1)
[ср. с (1.55)] характеризует эффективность неупругих процес-
сов по отношению к меж электронным и упругим электрон-
атомным. В слабоионизованной плазме (i/e < 6иа) он, есте-
ственно, совпадает с фактором (1.55), введенным ранее,
причем практически всегда ав > 1. При ve > 6i/a (сильно-
ионизованная плазма) параметр совпадает с фактором немакс-
велловости ФРЭ в неупругой области С, введенным в [14]:
с
5 — С —
£1^е
2Na Ai Те
Ne А Е! ’
(1-76)
где Ai - так называемый кулоновский логарифм для связан-
ных состояний, график которого приведен в [14]. Для расчетов
удобна аппроксимация
Л1 =а(Те/£1)ь ,
(1-77)
£1 /
где а = 0,03; b = 4/9 при Те/е\ ^0,07 и а = 0,25; Ь =
= 6/5 при Те1е\ 0,07. Константы C'i в (1.70) и С2 в (1.74)
находятся из условия сшивки функций и производных при Е =
— £i и равны
Константа Сн находится из условия нормировки и при
vt <С t>va выражается формулой (1.63), а при ve Ьиа , ко-
гда ядро ФРЭ является максвелловским,
2 1
(1-79)
Из (1.74) следуют предельные случаи. При ав < 1 неупру-
гие процессы не возмущают /о(^) и ФРЭ является максвел-
ловской. При ав > 1 функция распределения за порогом возбу-
ждения резко убывает, и при ав 1 справедливо приближение
’’черной стенки”, которое подробно рассмотрено выше.
Кратко рассмотрим влияние зависимости частоты возбу-
ждения iz’ от энергии на вид ФРЭ. Выше мы использовали
зависимость iz* ~ £-1/2, предложенную в [14]. Если использо-
вать зависимость (1.64), то решение в области £ > £j имеет
вид
где К\/з - функция Макдональда.(см., например, [34]), а па-
раметр ан выражается формулой (1.75), в которую вместо и"
следует подставить .
Константу С'2 находят из условия сшивки (1.80) и (1-70)
при Si . При этом изменяется и значение константы в (1.70).
Проделав указанную процедуру, получим
(1-81)
С[ = Сне-^П
М/3 12я" “ А 2/3 12 я"
^1/3 Ha,,j + ^2/3 12ан
(1.82)
Отметим также, что к настоящему времени выполнено значи-
тельное количество детальных расчетов кинетического урав-
нения в локальном приближении для атомарных газов, напри-
мер в Не [36], Хе [37]. Аг [38] и т.д. Подробная информация об
этом содержится в [21]. Анализу формирования ФРЭ в молеку-
лярных газах, находящихся в электрическом поле, посвящены
работы [28.39-41].
1.4. Локальная ФРЭ в бестоковой плазме
Под бестоковой обычно понимают плазму, в которой отсут-
ствует механизм ионизации, обусловленный столкновениями в
силовом поле внешнего источника. Примером может служить
плазма послесвечения, существующая после окончания раз-
рядного импульса. Важной разновидностью бестоковой плазмы
является фотоплазма (лабораторная или ионосферная), кото-
рая образуется при фотовозбуждении или фотоионизации га-
зообразного вещества.
Отличительными особенностями бестоковой плазмы по
сравнению с разрядной являются малые средние энергии элек-
тронов (Те < 1 эВ), а также относительно большие концен-
трации возбужденных атомов в нижних долгоживущих (в част-
ности, метастабильных) состояниях в плазме послесвечения и
в резонансных, накачиваемых внешним облучением - в фото-
плазме. Поэтому большое влияние на ФРЭ и другие характери-
стики электронного газа оказывают процессы с участием воз-
бужденных атомов, в результате которых образуются быстрые
электроны с энергией е > Те [29]. К этим процессам относятся
удары II рода между возбужденными атомами и медленными
электронами
А“ + е —с А + е,
(1.83)
а также реакции хемоионизации при столкновении двух возбу-
жденных атомов:
Д’ + Д‘
А+ + 4 + е;
Д^ + е ’
(1-84)
где Д’ - атом в возбужденном состоянии; Д+,Д2 -атомарный
и молекулярный ионы; е - быстрый электрон, энергия которо-
го много больше температуры максвелловских электронов.
Кинетическое уравнение в бестоковой плазме (De = 0)
имеет вид *
d
(D^ + Vcf0}
\ ас )
^mcfo \/~Ё
~ Щтп(е)/о(е)\/Ё + 1тЯт(Е)у/Ё +
(1.85)
+/е7?е(-Jv/F — 0.
где D£ = Da + De \ V£ = Va + V"e: коэффициенты Da, De, Уо, Ve
выражаются, как в (1.42) и (1.44).
Второй член в выражении (1.85) выглядит следующим обра-
зом :
—Vmc(£ + AEmc)fo(E + + &Етс ,
(1.86)
где ртс - суммарная частота ступенчатых процессов возбужде-
ния й ионизации с уровня т . для которой, в частности, можно
использовать формулу Томсона [17]
= 2тге4 / _ ЛЕтс\
тс у/2тЕДЕтс \ £ /
Здесь Д-Етпс _ порог ступенчатого возбуждения.
Далее в выражении (1.85) - частота возбуждения уров-
ня т из основного состояния;
(1-87)
Im = (3mN^r)-, =/?Лт(,т)пе(г) (1.88)
- интенсивности источников или потоки образования быстрых
электронов; Рт,Ре - константы процессов (1.84) и (1.83) соот-
ветственно; Nm - заселенность возбужденного уровня с номе-
ром m; J?m(e) и J?e(c) - плотности источников образования
быстрых электронов за счет процессов хемоионизации и ударов
II рода.
Для определенности далее будем предполагать, что эти ис-
точники определяются одним уровнем с номером т. В плаз-
ме послесвечения это метастабильный уровень или блок ниж-
них долгоживущих резонансных (с учетом пленения) и метаста-
бильных состояний, заселенность которых значительно больше
заселенности других возбужденных уровней и обычно сравни-
ма или превышает концентрацию заряженных частиц. В фо-
топлазме - это резонансный уровень, накачиваемый внешним
источником излучения, и т.д.
Как будет видно из дальнейшего, полученные результаты
нетрудно обобщить и на случай с несколькими источниками
Ят(Е) и ЯДе).
Функции Rm(£) и Re(s) нормированы условиями
ОС ос.
Я„Де)у^Е = У ЯДЕ)у/^Е = 1 .
О о
Выражение для Яе(£) запишем, используя связь между се-
чениями ударов I и II рода, для максвелловского ядра ФРЭ
D I > _ '^9т *Лтп (Е) х/Ё е
______________ 3/2
ga^^NaT^/2
где да,дт ~ статистический вес атома в нормальном и возбу-
жденном СОСТОЯНИЯХ. Поскольку = 0 при £ < £1 , фуНК-
ция Ле(£) имеет вид узкого пика шириной порядка Те вбли-
зи £i. Ширина спектра хемоионизации мала ( < 1эВ) [26],
и Ат(£) также имеет вид узкого пика вблизи ет - энергии
появления быстрых электронов в реакции (1.84). Поэтому для
задач кинетики можно не интересоваться тонкой структурой
спектра Rm(e) и представить его в виде 6-функции:
я„(£) = <(£ ~£т)
(1.90)
^7П
Поскольку £i > Те , в кинетических задачах можно считать
6 -образным и источник Яе(£).
Максимальная энергия, с которой рождается электрон при
столкновении двух метастабильных атомов £2 2Em + Df — Ег
( Ет - энергия возбуждения метастабильного атома; Е, - энер-
гия ионизации атома; - энергия диссоциации молекулярно-
го иона), обычно на несколько электрон-вольт меньше £1 . Так,
для гелия £1 = 19,8эВ; £2 < 15,6эВ. Поскольку Ат(£) = 0
при £ > £2 , спектры Ят(£) и Яе(£) можно считать неперекры-
вающимися.
Нетрудно показать, что решение кинетического уравнения
(1.85) можно представить в виде суммы
/о = fos + fof , (1.91)
где /os _ функция распределения электронов основной груп-
пы, полученная без учета источников быстрых электронов (ре-
шение однородного уравнения); /о/ _ функция распределения
быстрых электронов, рождающихся за счет процессов хемоио-
низации и ударов II рода.
В отсутствие внешнего поля температура электронов урав-
нительно невелика и fos выражается формулой (1.70) с Ci =
= 0. При этом Т(£) имеет вид (1.72) при Е = 0. Ядро этой
функции является максвелловским с температурой Т = Та
при t'e(T) «С 6иа(Т) или Т = Те в обратном случае.- Темпера-
туру электронов Те необходимо находить из соответствующего
уравнения баланса энергии электронов основной группы.
При нахождении составляющей ФРЭ, обусловленной источ-
никами быстрых электронов, с точностью до малого параметра
7’(е)/£ •< 1 в (1.85) можно пренебречь членом с диффузией в
пространстве энергий Dedf/de [29]. Физически это означает,
что возникающие быстрые электроны в основном тормозятся.
Замедление быстрых электронов при s < £i может происхо-
дить квазинепрерывно (при релаксации на межэлектронных и
упругих электрон-атомных столкновениях) или дискретно (при
релаксации на ступенчатых процессах). Соотношение между
этими механизмами релаксации определяет параметр ас [ср.
с (1.75)]:
__ ^тс^Етпс ___ тс
Лс Е(ре + 6l/a) ‘
(1.92)
Для энергии е > ДЕтс, используя (1.87) и типичные значения
6 = 10~4 4- 10-5 , сечения упругого рассеяния электронов на
атомах аа = 10-15 4-10-16 см2 и кулоновского логарифма Ак =
= 10 , получим следующие оценки:
Vmc^Emc
6l/a£ ~ Na ’
Vmc^Emc 1
veE ne 2AK 20ne ’
(1.93)
Решение кинетического уравнения при произвольном значе-
нии ас получено в [26]. Учитывая, что условие ас ~ 1 реализу-
ется на практике довольно редко [см. (1.93)], далее рассмотрим
предельные случаи.
При ас •< 1 из (1.85) получим, что /о/ имеет вид ’’ступень-
ки” [29]:
/о/ -
^Ej-E) + e ^^(E-Ej)
(1-94)
где 0(г) - ступенчатая функция Хевисайда. Для источника
быстрых электронов, обусловленного процессами хемоиониза-
ции, Ij = 1т (1.88); Ej = еп . Для источника, обусловленного
ударами II рода, при ан <С 1 [ан выражается формулой (1.75)]
Ij = Ie (1.88), Ej = El , а при aa > 1 Ij = CnNmgm/Naga . Фи-
зический смысл этих формул очевиден: возникающие быстрые
электроны релаксируют на процессах с малой потерей энергии,
образуя сплошной электронный спектр в области £ Ej [29].
Число быстрых электронов nej определяется интенсивно-
стью источников и значением z/e + 6i/a , т.е. в первую очередь
концентрациями возбужденных и нормальных атомов и элек-
тронов. Для источника, обусловленного процессами хемоиони-
зации,
При Ре > ДЛЯ ТИПИЧНЫХ 0т ~ 10 9 СМ3/С И Еп ~ 4, 5 4-
~ 15 эВ
nef ~ (10-4 4- 10-5)Л^/пе. (1.96)
В слабоионизованной плазме (ре < 6i/a) &ля типичных зна-
чений 6va ~ 7,5 • 102р (р - давление газа в Па)
пе/~ 1,33-10-12С/р. (1.97)
Из полученных результатов и проведенных оценок следует,
что в области £ > Т(е) процессы хемоионизации и удары II
рода могут существенно обогащать ФРЭ быстрыми электрона-
ми по сравнению с максвелловской функцией распределения.
Отметим, что эти электроны существенно влияют на свойства
бестоковой плазмы [26].
В другом предельном случае ас >> 1 возникающие быстрые
электроны релаксируют на ступенчатых процессах, в резуль-
тате которых потеря энергии происходит не квазинепрерывно,
а дискретно с шагом, равным порогу /\Етс Пренебрегая в
(1.85) первым членом в левой части, получаем, что foj име-
ет вид максимумов (примерно равной высоты) вблизи точек
Е Ej п/\Етс ( Ej — Em, £1 , — 0, 1, 2 ... ).
f ( \ Vmc(E + ^Ещс^у/е + ^Emcfo^E 4" Д-Е^пс) . .
/oz(£) =-------------:--------------------- (1-98)
Рис. 1.2. ФРЭ в плазме послесвечения азота [42]:
1 - С А = св = 0; 2 - С А = 10-7 , Св = Ю"8 ; 3 - СА = 10"® , Св =
= 10-6 ; Са,Св - относительные концентрации ЛГг(Л3£+) и ^(В3Нд);
Tv - колебательная температура
В заключение отметим, что зондовые измерения ФРЭ в бе-
стоковой плазме, которые будут рассмотрены в гл.5, полностью
подтверждают полученные результаты.
В бестоковой плазме молекулярных газов, кроме рассмо-
тренных выше источников образования быстрых электронов
за счет процессов хемоионизации и ударов II рода медленных
электронов с электронно-возбужденными молекулами, необхо-
димо также учитывать и процессы колебательного девозбужде-
ния. Решение можно построить таким же образом, как это сде-
лано выше. К настоящему времени для плазмы послесвечения
молекулярных газов, таких, как Нг , N2 и СО, выполнены и
численные расчеты кинетического уравнения Больцмана [42—
44]. Для примера на рис.1.2 представлены результаты для мо-
лекулярного азота из [42]. Видно, что процессы девозбуждения
электронных и колебательных состояний обогащают быструю
часть ФРЭ по сравнению с максвелловским распределением.
1.5. Нелокальная ФРЭ во внешнем
электрическом поле
Если параметр К (1.49) много меньше единицы, что в слабо-
ионизованной плазме реализуется при давлениях менее тыся-
чи паскалей, члены с градиентами ФРЭ и потенциала <р(г) в
кинетическом уравнении становятся главными, и аргументом
/о является т и Полная энергия W = е + е^(г) (кинетиче-
ская плюс потенциальная) [25]. Поэтому для нахождения функ-
ции распределения необходимо знать профиль амбиполярного
потенциала у(г) и значение пристеночного скачка потенциа-
ла tph , которые, в свою очередь, определяются видом ФРЭ.
Поскольку в нелокальном случае поперечная диффузия элек-
тронов происходит быстрее, чем изменение их энергии за счет
столкновений, энергетическое распределение электронов в дан-
ной точке пространства определяется параметрами плазмы не
только в этой области, но и во всем объеме. В отличие от ло-
кальной, нелокальную ФРЭ нельзя, как уже говорилось, запи-
сать в виде произведения двух сомножителей, один-из которых
зависит от координат, а другой от кинетической энергии.
Метод расчета ФРЭ в нелокальном режиме был развит в
[22,25] и применялся для положительного столба газового раз-
ряда низкого давления в атомарных газах. Было показано, что
использование локального приближения в подобных условиях
может приводить даже к качественно неверным результатам.
Перейдем в кинетическом уравнении (1.39), (1-48) от пере-
менных г, £ к переменным г, W = £ + е</?(г). При этом
\dE J т \dWJт ' \drje \drjw a\dWjTv J
и члены с амбиполярным полем Еа выпадают при подстановке
(1.99) в (1.39). В итоге кинетическое уравнение для fo(W, г)
будет иметь вид (ср. с п. 1.3):
д ( п Гд&\ д г
— [ rDTy/E--— ) + —— v<
dr у dr J dW
= z/*(£)/o(V^,r)v^,
(1.100)
Рис. 1.3. К формированию не-
локальной ФРЭ
где DT = tzA/З - коэффициент диффузии электронов. Здесь
первый член описывает диффузию по радиусу, а второй и тре-
тий совпадают с соответствующими членами в (1.51). Коэффи-
циенты DE = De + De + Da ; VE = Ve + Va и v* есть функции от
кинетической энергии £ — W — е<р(г), которая в данном случае
различна в различных точках радиуса (рис.1.3) и не является
независимой переменной.
Конкретизируем критерии нелокальности ФРЭ в различ-
ных областях энергии. В упругой области W < £i /о зави-
сит от W , если время диффузии электрона поперек трубки
Tdj = А2/Dr меньше, чем время tE , за которое существенно
изменится его энергия за счет столкновений в объеме. Если
энергетическая длина Т(е) (1-54) в упругой области Т(£) < £i
(упругий баланс энергий), то tE = (ve + 6z/a)-1 , и критерий не-
локальности имеет вид
7(0 <d; А< - - = >.. (1.101)
V + b'e/l'a
В слабоионизованной плазме (ре < 6иа) для типичных значе-
ний А 10/р ( А - в см, р - в Па) и ~ 10-2 получим, что
для А ~ 1 см ФРЭ нелокальна до давлений р ~ 103 Па.
При неупругом балансе энергий (Т(£) > £i) за время те
(1.59) (те < (tfi'a)-1) электрон попадает в неупругую область
Е > £i и tc = те . Тогда из условия ту > те получим критерий
нелокальное™ ФРЭ '
Т(е)>е1; К<Е\/еЕ. (1.102)
В неупругой области энергий W > Ei электрон обладает
кинетической энергией £ > Ei , достаточной для возбуждения,
лишь при т г* , где г* находится из условия W—Ei = е<^(г*).
Поскольку радиальный потенциал возрастает от центра к стен-
кам, зона действия неупругих ударов мала и сосредоточена
вблизи оси трубки (см. рис.1.3), где их потенциальная энергия
близка к нулю. Поэтому на периферии столба неупругие удары
практически отсутствуют, и в нелокальном случае отсутству-
ет и пропорциональность между концентрацией электронов и
числом неупругих столкновений. При W > Ei ФРЭ является
нелокальной, если р* <(т^)-1 ,где
4 = (т*)2/я (1.103)
- время диффузии электронов с энергией W из зоны действия
неупругих ударов. Условие (1.103) можно записать в виде
г* < -/АЛ*, (1.104)
где X* — v/v* - длина пробега электрона относительно неупру-
гих ударов.
Отметим, что, поскольку обычно и* > Ьиа , а г* < R , усло-
вие нелокальное™ ФРЭ в неупругой области является более
жестким, чем в упругой. Для типичных Л ~ 1 см это соответ-
ствует давлению р < 10 -=- 100 Па.
Вид решения уравнения (1.100) существенно зависит от раз-
ности потенциалов между осью и стенкой трубки <^(Я), по-
скольку при W < е<^(Я) электроны заперты в объеме, а при
W > etp(R) уходят на стенки трубки. В условиях стационарно-
го разряда скорость ионизации, а также равное ей число уходов
на стенку меньше, чем скорость возбуждения. Поскольку при
W > e<p(R) в нелокальном режиме вероятность ухода на стен-
ку намного превышает вероятность неупругих ударов, в таких
условиях потенциал стенки <^(Я) > £i/e [22].
3777 y/sD£ уг- + у/ЁУе/о
dW dW
Главный член в (1.100), описывающий диффузию по коор-
динате, обращается в нуль любой функцией от полной энергии
W, и для нахождения fo(W) при £ < необходимо про-
интегрировать (1.100) по сечению, доступному для электрона с
энергией W , от 0 до ri(IV), которое определяется из условия
W = e<^(ri(IV)) [22,25]. В итоге первый член в (1.100) обратится
в нуль и кинетическое уравнение примет вид
= 7^*/o(lV), (1.105)
где
-=—ч n(lV)
^/£Г>е)_2_ Г ( De(W - е<р(г))У
J К2 J t Ve(W - e^r)) J X
x^/lV — e<^(r)rdr ; (1.106)
_____ ?*W
v/Fiz* =I i/*(W — e<p(r))yjw — etp(ryrdr , (1.107)
XL J
0
a ri(IV) и r*(IV) находятся из условий W = e<^(ri(IV)), IV —
-£i = e<p(r*(W)) (см. рис.1.3).
Это уравнение формально совпадает с уравнением локаль-
ной теории (1.51) с заменой кинетической энергии Е на пол-
ную энергию W и коэффициентов у/Ёу*(е) на
^/eZ>E(IV), y/£VE(W), v/Fp*(IV) . Поэтому решение (1.105) имеет
вид (1.56), (1.61), (1.67).
При вычислении усреднений по радиальным пролетам
(1.106), (1.107) необходимо знать профиль потенциала <^(г).
Как уже отмечалось выше, задача нахождения <р(г) являет-
ся самосогласованной и должна включать в себя совместный
расчет ФРЭ и уравнения для ионов [45]. Вблизи оси профиль
<Хг) является параболическим [45], и на практике использу-
ются две аппроксимации. Иногда применяют параболическую
зависимость <^(г) для всех г [22]:
^(г) = <^(Я)(г/Я)2. (1.108)
Однако, как известно [12,45], значение определяется дву-
мя слагаемыми - амбиполярной разностью потенциалов в плаз-
ме <^а(Л) и пристеночным скачком потенциала tph. • Поэтому
более реалистичной является зависимость
V’zz(z’) = ¥’а(-й)(г/А)2 + <Ph6(r - R). (1.109)
Зависимость <^(г) можно найти, например, из радиальных зон-
довых измерений. В предположении бесселевского профиля
пе(г) обычно принимают
eVa(r) = 1,44Теэф(т/Я)2. (1.110)
Выполним усреднения (1.106), (1.107), используя для iza(£)
и р*(с) зависимости (1.57), (1.65), а для <^(г) -(1.110):
= -----—х
ЗтпроР(| — п)
Г жЬ"/е^а(д)
х ) ЖЬП - (Ж - еуа(Я))Ь"
I е<ра(Я) ’
(1.Ш)
W^O(A);
e<^a(A) W е<р(Я);
^К(Ж) =
f>vpp
£7(f +п)
(1.112)
X
х
W^/e^R)
Ж?+п - (Ж - еуа(Я))Ь"
e<Pa(R)
WO<Pa(A);
e<Pa(A) W e^(A);
^*(Ж) =
= ^^p( ^7^’ £1 + (1.113)
1 , W £1 + e<Pa(A).
Отметим, что если для г*(е) использовать (1.64), то
7^*(Ж) =
= "У ~ « И7 « П + ‘V.W (1.114)
y/£l2e<pa(tt)
Как следует из (1.111) - (1.113), в нелокальном режиме ха-
рактеристические энергии TH(JV) и T*(JV) отличаются от ло-
кальных Т(г) и Т*(с) (помимо замены кинетической энергии
£ на полную IV ):
TH(W) = (У^еА^К) = T(W)(5 + 2n)/(5 - 2n); (1.115)
t;(W) = (^*Ш)1/2 = 4/l - ~ 1, (1-И6)
V £1
где
/ Гё------\ 2/3
ToH = TH*(£1+TH-)= ?/3.
Как следствие этого, нелокальные ФРЭ будут отличаться
от локальных. В частности, поскольку Т* > Т*, особенно в,
припороговой области энергий, спад ФРЭ при W > £j является
более пологим, чем в локальном режиме.
В неупругой области энергий W £i ФРЭ выражается че-
рез функции Макдональда A'j/з и К-щ при использовании
(1.113) и (1.114) соответственно. Для упрощения математиче-
ских выкладок решение при W > £i запишем в квазикласси-
ческом приближении, сшивая решения в точке W = £i + Т^а.
В итоге имеем:
при Тн(£1) < £1 / Г w /o(IV) = Сву 1 exp “У \ L о £iyOn(Bvl\ “ехр - J тГ +с ° J / при Тн(£1) > £1 £1 +70н /о(^) = Снн [ V а ly, w C£i; (1-117) |-C1H, W^£i; (1.118)
/о(^) = С3ехр
2 (W -еЛ3/2‘
3\ Тон )
(1.119)
W > Ei ,
где Сз = C-J е2/3 ;
С1н - СнТон/Р\/^(£1 + Tq„) ;
/-г _ едн
1' - Т.(£1 + Щ ехр
(1.120)
(1.121)
dW
Т
1 н
а константа Сн(у,н) находится из условия нормировки.
Если для частоты р*(е) использовать (1.64), а для у?(т) -
(1.108), то для неупругого баланса энергий (Th(ei) > £i), кото-
рый обычно реализуется в разрядах низкого давления, выра-
жение для f0(W) имеет вид [22]:
so
dW
(1.122)
W
w
/o(W) = В
W - d \ 2‘
7o*H J.
(1.123)
я В
2 21/4Г(|)у7^7;
2Wv^- ’
so =
£T(I) .
Tqh —
'4Д2Е1в^(Я)~|1/4
Зтр(£1)р*л
(1.124)
При энергии W > еу?(Я) электроны могут уходить Настен-
ки и ФРЭ начинает зависеть от координат. Если выполнено
(1.104), то в уравнении (1.100) можно оставить два первых чле-
на, описывающих диффузию по радиусу и по энергии. Харак-
терный спад при этом
Т3 - УDErdJ = еЕА < Т*
мал, и в первом приближении можно считать fo(e<p(R)) = 0.
Строгое решение (1.100) при W е<^(7?) — Тд является слож-
ным [22], и мы не будем его рассматривать. Для приосевых
областей, где изменение радиального потенциала невелико по
сравнению с еу?(Н), в квазиклассическом приближении полу-
чаем при W :
/о(И» = fo(e<p(R))exp
[W - ey>(H)] R
Ta (R - г)
(1.125)
Обсудим отличия нелокальной ФРЭ от локальной в разряд-
ной плазме атомарных газов. Аргументом нелокальной ФРЭ
является полная энергия W , а не кинетическая, как в локаль-
ном приближении. Если в локальном режиме вид ФРЭ при раз-
личных т подобен друг другу, изменяясь лишь по абсолютному
значению, то в нелокальном режиме происходит существенная
деформация энергетического распределения при смещении от
центра трубки к периферии. Резкий спад ФРЭ, обусловленный
неупругими процессами, начинается в нелокальном режиме от
значений кинетической энергии е = — еу>(г), намного мень-
ших, чем . Практически все неупругие удары происходят в
приосевой области г < г*. В то же время на оси трубки, где
W = е , спад ФРЭ при W > £i является более пологим, чем
в локальном режиме, поскольку Т* > Т*. Отличия нелокаль-
ной ФРЭ в тепловой области, где сосредоточена основная часть
электронов, также могут быть значительными (Т / Тн) > осо-
бенно на периферии столба. Эти результаты видны из непо-
средственного сравнения нелокального и локального решений.
На ФРЭ в нелокальном режиме наблюдаются две области рез-
кого спада: при W > £i - порога неупругих процессов и при
W > е<р(R) - потенциала стенки.
На рис. 1.1 приведены результаты расчета нелокальной
ФРЭ по (1.118), (1.119) для гелия, которые подтверждают ска-
занное выше. В отличие от атомарных, в молекулярных газах
кроме возбуждения электронных состояний, имеющих большой
энергетический порог, происходит возбуждение вращательных
и колебательных уровней.
Методика расчета нелокальной ФРЭ в молекулярных га-
зах аналогична рассмотренной выше. Соответствующее реше-
ние приведено в [31].
1.6. Нелокальная ФРЭ в бестоковой плазме
Как показано в §1.5, в разряде р(Я) > fj/e и основной ин-
терес представляет вид ФРЭ при е < е<р(Л), когда электро-
ны являются запертыми в объеме. Иная ситуация обычно ре-
ализуется в бестоковой плазме, где вследствие низкого зна-
чения Те потенциал стенки, составляющий несколько Те/е,
мал. В этом случае быстрые электроны, рождающиеся в ре-
зультате процессов (1.83), (1.84), являются пролетными и дви-
жутся к стенкам в режиме свободной диффузии. Кроме того,
как показано в [47], когда поток образующихся быстрых элек-
тронов If = Im + Ie (1.88) превышает амбиполярный поток
ионов Г,- = Пе/т^а (тда - время амбиполярной диффузии),
то из-за необходимости сохранения квазинейтральности плаз-
мы возникает аномальный пристеночный скачок потенциала
<Ph — £n/«,£i/e и часть быстрых электронов (If - Г,) запира-
ется в объеме. Этот потенциал можно создавать и искусственно
в случае проводящей стенки плазменного объема, подавая на
нее регулируемый запирающий потенциал eV ~ £n,£i • Таким
образом, в бестоковой плазме могут создаваться различные си-
туации, которые будут рассмотрены ниже.
Как показано в §1.3, ФРЭ в бестоковой плазме можно пред-
ставить в виде суммы /о = foa + /о/ • Распределение элек-
тронов основной группы /оа имеет максвелловский вид при
W < еу>(7?) и резкий спад при W > еу?(Я), что подробно рас-
сматривалось выше.
Далее рассмотрим энергетическое распределение быстрых
электронов /о/ в условиях, когда е<^(7?) £n,£i. Для подоб-
ных условий расчет ФРЭ с учетом диффузии к стенкам в при-
ближении W = е был выполнен в [29], в [32] было учтено вли-
яние радиального поля.
В условиях, когда параметр релаксации К < 1 (1.49), в
кинетическом уравнении членами, определяющими изменение
энергии электронов за счет упругих и ступенчатых процессов,
можно пренебречь. Физически это связано с тем обстоятель-
ством, что за время ухода на стенку электрон успевает прбдиф-
фундировать по энергии лишь на Д£ = у/4Петц « Те(Л/Ас) <
<С Те, и уширением исходных спектров источников образова-
ния быстрых электронов Ят(е) и Яе(е) (1-89), (1.90) за счет
столкновений можно пренебречь. Более точный критерий та-
кого приближения К <С 47’(£п)/£л приведен в [32], где также
получено общее решение кинетического уравнения для произ-
вольного К < 1 с учетом всех членов, входящих в исходное
уравнение.
Для определенности рассмотрим источник образования бы-
стрых электронов за счет процессов хемоионизации (1.84), пред-
ставляя ею в <5-образном виде (1.90). Общее решение, как из-
вестно, является сверткой найденного решения и источника
Ят(е).
С учетом сделанных допущений кинетическое уравнение
для foj(W,r) при К С 1 в переменных г, W имеет вид
1 д ( /rrdf\ , г с (W - е?(г) - Еп\ _ , i„fi.
I Ur\/ET I -|- lmo I — I — 0. (1.12b)
Г or \ or J у ,/£„ J
Отметим, что в результате процессов (1.84) в различных
областях пространства рождаются быстрые электроны с оди-
наковой кинетической энергией £ = £л , в то время как полная
энергия W = Еп + еу?(т) этих электронов различна при разных
г и меняется от W + £п на оси до W = £п + еу?(Я) у стен-
ки. Поэтому в нелокальном режиме моноэнергетический по ки-
нетическим энергиям источник электронов ’’размывается” по
полным энергиям на еу?(й).
Решение (1.126) имеет вид
_ /3m7V>o)ro(W)
^/£^Рге^(г0)
г Я1
X 0(то~ 7')1п---1- 0(т — Го)1п —
То Т _
(1.127)
где 0(х) - ступенчатая функция Хевисайда; ^(И7) находит-
ся из условия W - е^(го) = £п . Аналогично (1.127) нетрудно
найти /о/(Ил, г) для источника Ле(£). Из (1.127) видно, что
в нелокальном случае для 6 -образного по кинетической энер-
гии источника быстрых электронов ФРЭ имеет вид узких пиков
вблизи энергии их появления с шириной основания ~ еу>(Я).
Напомним, что в локальном режиме моноэнергетический ис-
точник за счет релаксации по энергии в упругих и межэлек-
тронных столкновениях образует сплошной спектр в области
£ < £п •
Отметим, что на связи /о/ со спектрами реакций (1.83),
(1.84) типа (1.127) основан метод плазменной электронной спек-
троскопии, который будет подробнее рассмотрен в гл. 5. От-
метим также, что если не интересоваться тонкой структурой
размытия исходного спектра источников образования быстрых
электронов за счет радиального поля и столкновений в объеме,
имеющего при низких Те малую энергетическую ширину, то
можно, как и в [29], положить W = £ и получить при К <С 1,
е<ХЯ) Ej
f0J = Rj^Ij^Tdf , (1.128)
где j = m, е, а усреднение источников Im , 1е по т имеет вид
R т'
iiM Ыт'У'Лг". (1.129)
Г О
Физический смысл (1.127), (1.128) очевиден. Возникающие в ре-
акциях с участием возбужденных атомов быстрые электроны
уходят на стенку, не успев прорелаксировать по энергиям в
объеме.
Если еу?(Я) > еП5£1 , что реализуется, как уже отмечалось
выше, в условиях возникновения аномального скачка потенци-
ала или может создаваться искусственно, то возникающие бы-
стрые электроны заперты в объеме, и решение кинетического
уравнения строится так же, как и в §1.5. Кинетическое урав-
нение будет иметь вид (1.85), формально совпадающий с ло-
кальным случаем с заменой кинетической энергии на полную и
коэффициентов Р£, V£, Р1т(е), йт(Е), Яе(£) на усредненные по
радиусу по формулам (1.106), (1.107). Для <5 -образного по ки-
нетической энергии источника, выполняя усреднение, получа-
ем
ММ =
2 Щ(И9)
R2
X [0(W - £j) + 0(£j + Mr) - Ж)] .
(1.130)
Решение полученного таким образом кинетического уравнения
будет иметь такой же вид, как и в локальном случае, который
подробно рассматривался выше в §1.4.
Рассмотрим далее типичные для бестоковой плазмы усло-
вия, когда амбиполярное поле определяется электронами ос-
новной группы (максвелловскими электронами) и амбиполяр-
ная разность потенциалов е<ра составляет несколько Те/е.При
этом большое значение потенциала стенки еу?(й) > > Те ,
равное сумме <ра + Ph, целиком определяется пристеночным
скачком (f>h , так что ~ е</?( А). Такая ситуация реализу-
ется, например, в упомянутых выше условиях возникновения
аномального скачка потенциала или в экспериментах с упра-
влением быстрой частью ФРЭ [48]. Поскольку £n,£i е'ра ,
при усреднении коэффициентов De, Vc, i/*, Rm(£), Re(e) можно
пренебречь отличием полной энергии W = £ + еу?(й) от кинети-
ческой £, и для запертых электронов кинетическое уравнение
будет полностью совпадать с (1.85) с тем лишь отличием, что
интенсивность источников Ij не зависит от г и равна
R
(1131)
о
Для /о/ при £ < ер(7?) будут справедливы решения (1.94),
(1.98) с заменой Ij на Ij . В частности, при ас < 1 в области
£ < e<p(R) ФРЭ быстрых электронов будет представлять со-
бой ’’ступеньку”, как и в локальном случае. Поскольку режим
является нелокальным, в отличие от локального решения бу-
дет отсутствовать радиальная зависимость /о/ : ФРЭ, получен-
ные в различных точках по радиусу, будут совпадать в быстрой
части.
Таким образом, в данной главе рассмотрены методы рас-
чета функции распределения электронов в различных услови-
ях. Однако возможность подобных расчетов не делает менее
актуальной задачу экспериментального изучения ФРЭ. Дело
в том, что для расчета энергетического распределения элек-
тронов необходимо иметь надежную информацию об основных
параметрах плазмы и разнообразных элементарных процессах,
формирующих ФРЭ. Более того, в ряде случаев, например в
нелокальном режиме, задача определения параметров плазмы
и ФРЭ является самосогласованной, т.е..требует описания со-
стояния плазмы в полном объеме. С этой точки зрения часто
оказывается предпочтительным прямое измерение ФРЭ. Кро-
ме того, сопоставление расчетов и измерений используется для
апробирования методик расчетов и получения информации об
элементарных процессах в плазме.
Глава 2
ОСНОВЫ ЗОНДОВОЙ ДИАГНОСТИКИ
ПЛАЗМЫ
В данной главе кратко рассмотрены основные теории электрон-
ного и ионного токов на зонд. Развитие таких теорий позволило
разработать методы количественной диагностики плазмы, ко-
торые приведены в обзорах и монографиях по зондовым измере-
ниям [3-10]. При этом основное внимание уделяется определе-
нию таких интегральных параметров плазмы, как концентра-
ция и температура заряженных частиц. Информацию об этих
характеристиках плазмы можно получить из анализа как ион-
ного, так и электронного токов на зонд. На практике особый ин-
терес представляет возможность измерения ФРЭ, которая свя-
зана с электронным зондовым током. В этом направлении за
последнее время были получены новые результаты, позволив-
шие распространить зондовые методы измерения ФРЭ на ани-
зотропную плазму и плазму повышенных давлений. Поэтому в
последующем изложении новым результатам уделено основное
внимание. Сами методы получения ФРЭ обсуждаются в после-
дующих главах.
Рис. 2.1. Схематическое изображение конструкций зондов:
а - цилиндрический; б - плоский; в - сферический; 1 - проводник; 2 -
изолятор; 3 - плазма
2.1. Метод зондов
Зондовый метод исследования плазмы был предложен в рабо-
тах Ленгмюра с сотр. [1]. Он основан на измерении плотно-
сти тока заряженных частиц j на электрический проводник,
помещенный в плазму, в зависимости от его потенциала V.
Соответствующая кривая называется зондовой вольтамперной
характеристикой. Наибольшее распространение при исследова-
нйях получили цилиндрический, сферический и плоский зон-
ды (рис. 2.1). Проводящая часть зонда, находящаяся в плаз-
ме, может быть выполнена из любого металла. Выбор металла
определяется свойствами среды, в которую он помещен, и ха-
рактеристиками изолятора, с которым он имеет механический
контакт. Это может быть, например, молибден, вольфрам, а
в случае агрессивной среды - золото, платина. Изолирующая
часть зонда изготавливается из стекла, кварца, различных ти-
пов керамики.
Для цилиндрического зонда типичным является диаметр
10-3 -10-1 см , для сферического 10-2 —10-1 см , при этом дли-
на той части цилиндрического зонда, которая непосредственно
собирает заряженные частицы, составляет 10-1 —1см (указан-
ные размеры зависят от параметров плазмы). Линейные раз-
Рис. 2.2. Схема перемещения
зонда:
1 - сферический зонд; 2 - осте-
клованный металлический ци-
линдр; 3 - спираль
меры плоского зонда обычно равны 10-1 — 1см. Для переме-
щения зонда в объеме может использоваться конструкция типа
приведенной на рис. 2.2.
Зондовый метод является контактным методом диагности-
ки. С этим обстоятельством связано одно из его преимуществ
по сравнению, например, с оптическими и СВЧ-методами ис-
следования плазмы, а именно локальность определения пара-
метров плазмы. В то же время контактный характер измере-
ний приводит к возмущению плазмы в некоторой области око-
ло зонда. Характерные размеры такой области определяются
дебаевским радиусом экранирования и, как правило, оказыва-
ются существенно меньше размеров плазменного объема. Так,
при концентрации заряженных частиц 1012 см-3 и температуре
электронов 104 К дебаевский радиус примерно равен 10-3 см ,
что, как видно, позволяет проводить зондовые измерения и в
плазме малых линейных размеров.
Зондовая теория связывает параметры невозмущенной
плазмы с видом вольтамперной зондовой характеристики, что,
собственно, и позволяет из анализа экспериментально получа-
емой зависимости определять в самом простом случае концен-
трацию, температуру электронов и потенциал плазмы. Усовер-
шенствование зондового метода дает возможность при опреде-
ленных условиях находить и другие плазменные характеристи-
ки [7-10], в том числе и важнейшую из них - ФРЭ. Отметим,
что зондовый метод является единственным прямым методом
нахождения ФРЭ, что во многом определяет его особое место в
плазменном эксперименте.
Простейшая схема зондовых измерений изображена на рис.
2.3. Питание разряда осуществляется источником Bi . Зонду
придают различные потенциалы относительно опорного элек-
трода, которым, в частности, может быть анод А или катод
Рис. 2.3. Схема зондовых измерений
К . Чаще всего в качестве такового используется анод, посколь-
ку в этом случае требуется источник зондового смещения Бг
на меньшее предельное напряжение. Полный зондовый ток i
является суммой электронного ге и ионного г,- токов. Разность
потенциалов между зондом и опорным электродом Vp , задава-
емая источником смещения, равна
Vp = Vps + Vsa i (2.1)
где Vps ~ разность между потенциалами зонда и плазмы в ме-
сте его расположения (она сосредоточена в тонком призондовом
слое размером порядка дебаевского радиуса); Vsa - потенциал
плазмы (пространства) относительно опорного электрода.
На рис. 2.4 представлена типичная зондовая вольт-ампер-
ная характеристика (ВАХ). Ее вид может быть объяснен сле-
дующим образом. При больших отрицательных (относительно
потенциала плазмы) потенциалах на зонд в основном попадают
положительные ионы. На этом участке АВ характеристики,
который называется участком ионного тока насыщения, выпол-
няется условие г{ ге При уменьшении зондового смещения
по абсолютному значению зондовый ток уменьшается, так как
возрастает электронный ток. При некотором потенциале Vfa ,
называемом потенциалом изолированного зонда, i обращается
Рис. 2.4. Типичная зондовая вольт-
амперная характеристика (ВАХ)
в нуль, так как |г,| = |ге|. Очевидно, что Урд всегда отрицате-
лен по отношению к потенциалу плазмы, так как средняя ско-
рость электронов больше средней скорости ионов. На участке
электронного тока отталкивания CD вкладом ионного тока в
суммарный зондовый ток можно пренебречь. В точке D, соот-
ветствующей потенциалу пространства, на вольт-амперной ха-
рактеристике наблюдается более или менее резкий излом, свя-
занный с изменением характера движения электронов к зонду.
Дальнейшее увеличение потенциала зонда приводит к насыще-
нию электронного тока (участок EF).
Как уже отмечалось выше, для определения параметров
плазмы из экспериментальной зондовой характеристики необ-
ходимо сопоставить ее вид с теоретической кривой. Наиболее
интересной с точки зрения получения ФРЭ является теория
для участка электронного тока отталкивания, однако в тех слу-
чаях, когда достаточно знания интегральных характеристик
плазмы, можно использовать участки ионного или электрон-
ного тока насыщения. При этом следует иметь в виду, что, по-
скольку ионный ток насыщения по абсолютному значению су-
щественно меньше электронного тока насыщения, то на участ-
ке АВ плазма меньше искажена присутствием зонда, который
при этом и меньше разогревается протекающим током. Кроме
того, в силу большой массы ионов магнитное поле оказывает
меньшее влияние на их движение в призондовом слое. Поэтому
на практике в диагностических целях участком EF электрон-
ного тока насыщения пользуются гораздо реже, чем участком
ионного тока насыщения АВ .
Перечислим основные предположения простейшей теории,
при выполнении которых можно довольно просто провести рас-
чет зондовой характеристики.
а. Характерный размер области однородной плазмы мно-
го больше длины свободного пробега электрона и иона.
Плазма изотропна;
б. Средние длины свободного пробега электронов Ае и ионов
Xi велики по сравнению с радиусом зонда а и толщиной
призондового слоя h;
в. Отсутствуют генерация и рекомбинация заряженных ча-
стиц в слое около зонда;
г. В плазме отсутствует магнитное поле;
д. Держатель зонда не влияет на характеристики плазмы и,
следовательно, на измерения;
е. Отсутствует отражение электронов от зонда и их вторич-
ная эмиссия, не образуются пленки на поверхности зонда
в результате химических реакций (что может повлиять на
отражение и вторичную эмиссию электронов с поверхно-
сти);
ж. Отсутствуют колебания потенциала плазмы (относитель-
но потенциала опорного электрода);
з. Работа выхода электронов с поверхности зонда одинакова
в различных точках;
и. Потенциал плазмы постоянен на характерных размерах
зонда.
С использованием этих предположений в работах Ленгмю-
ра [1], Бома [49], Ю.М.Кагана [3] и других была развита теория
как электронного, так и ионного токов на зонд, довольно хоро-
шо согласующаяся с экспериментом. Можно смело утверждать,
что становление физики плазмы как науки связано с использо-
ванием для диагностики ленгмюровских зондов. В то же время
все более сложные задачи, возникающие при решении важных
прикладных проблем (управляемый термоядерный синтез, га-
зовые лазеры, плазмохимия и др.), требовали разработки но-
вых и усовершенствования существовавших ранее методов диа-
гностики, в том числе зондовых.
Развитие зондовых методов происходило по двум основным
взаимосвязанным направлениям.
1. Отказ от упрощающих предположений, изложенных вы-
ше, и создание зондовых теорий для следующих более сложных
случаев:
• соотношение между длинами пробега заряженных частиц,
радиусом зонда и размером слоя объемного заряда про-
извольно;
• в призондовом слое объемного заряда происходят плаз-
мохимические процессы;
• коэффициент отражения от зонда и вторичной эмиссии
электронов с поверхности зонда не равен нулю;
• плазма анизотропна, имеются направленные потоки ча-
стиц;
• плазма находится в магнитном поле;
• плазма нестационарна.
2. Усовершенствование зондовых измерительных схем, в том
числе:
• разработка методов измерений с временным разрешением;
• создание схем для измерений в условиях плазменных шу-
мов;
• повышение чувствительности схем и автоматизация зон-
довых измерений.
Естественно, что работа по перечисленным выше направле-
ниям находится в различной степени завершенности и продол-
жается в настоящее время. Если Ограничиться рассмотрением
тех случаев, для которых определение параметров плазмы хо-
рошо обосновано, то можно приближенно указать пределы при-
менимости зондовых методов диагностики: по концентрации за-
ряженных частиц (104 пе 1015)см-3, по давлению газа
р 105 Па, по атомной температуре Та 103 К и по электрон-
ной температуре Те 105К. По этим причинам зондовые ме-
тоды диагностики широко использовались и используются при
исследованиях низкотемпературной плазмы самого различного
происхождения (разрядная и бестоковая лабораторная плазма,
космическая плазма и т.п.).
2.2. Классификация режимов работы зонда
Главная трудность в создании теории электрических зондов за-
ключается в том, что зондовые поверхности являются гранич-
ными по отношению к плазме, и уравнения, описывающие ее
поведение в этой области, существенно меняются. В частности,
около поверхности может возникнуть слой объемного заряда
притягиваемых к зонду частиц, экранирующий приложенный
потенциал. В этом слое нарушается квазинейтральность и воз-
никают сильные электрические поля, поскольку в нем сосре-
доточен практически весь перепад потенциала между зондом
и плазмой (подробнее см., например, [5,9]). Для возникнове-
ния слоя необходимо, чтобы приложенный к зонду потенциал
превышал половину средней энергии отталкиваемых ча-
стиц. При этом разность потенциалов между границей слоя и
невозмущенной плазмой V(ts) можно оценить из выражения
eV(rs) ~ Т , где rs ~ радиус слоя объемного заряда, Т - тем-
пература отталкиваемых частиц. Например, при отрицатель-
ных потенциалах зонда eV(rs) — Те, так что ионы пересекают
границу слоя со скоростью v^s = у/Те/М, значительно пре-
вышающей их тепловую скорость (критерий Бома [49]). Мерой
толщины слоя объемного заряда h является дебаевский ради-
ус Гд = (eVpsITyl^TD , поэтому при eVps > Т радиус слоя
может существенно превышать гд . В частности, в бесстолкно-
вительном режиме толщина ионного слоя Л, примерно на два
порядка превышает гд [см. формулу (2.19)]. Поэтому далее
следует различать толщину слоя h и дебаевский радиус гд .
Для сферических и цилиндрических зондов удобно ввести ра-
диус слоя ts = а + h , характеризующий размер возмущенной
области.
Вид зондовой характеристики зависит от соотношения ме-
жду рядом параметров, которые можно получить из описыва-
ющих плазму уравнений. К ним в первую очередь относятся
толщина слоя объемного заряда h, характерный размер зон-
да а (например, радиус для сферического и цилиндрическо-
го зондов), длина свободного пробега заряженных частиц А,
характеризующая длину релаксации по импульсам (или на-
правлению скорости), и длина энергетической релаксации Аг
(см. гл.1). Отметим, что для ионов релаксация по импульсам
и по энергиям происходит одинаково быстро и на расстояни-
ях порядка длины свободного пробега At, определяемой пере-
зарядкой на нейтральных частицах. Для электронов релакса-
ция по энергиям происходит гораздо медленнее, чем по импуль-
сам, и на большей длине Ае Ае. Так, для атомарных газов
Аг = А/\/б = 102Ле (см. гл.1).
В зависимости от соотношения между этими параметрами
можно выделить ряд предельных режимов работы зонда, в ко-
торых создание теории существенно упрощается. За основу при-
мем классификацию работы [8], совпадающую с представлен-
ной ниже для ионного тока. Изменение классификации связано
с тем, что для электронов необходимо различать Ае и Хе . С
учетом того, что А, Ае, ясно, что классификации для элек-
тронов и ионов не будут совпадать.
I. Классический ленгмюровский зонд (зонд в бесстолкнови-
тельном режиме): Ае); >• ts
II. Диффузионный режим для электронов: Ае > > Ае.
Для электронов эти два режима, включая и промежуточ-
ную область, можно объединить в один Ae Ts, который бу-
дем называть кинетическим. Как будет показано в §2.5, в этом
случае электронный ток на зонд несет информацию о функ-
ции распределения электронов по энергиям в невозмущенпой
плазме.
III. Зонд в гидродинамическом режиме (в режиме сплошной
среды): для электронов Ts А£ , для ионов Ts А, .
Поскольку размер возмущенной области rs определяется
размером зонда и слоя объемного заряда rs = а + h, в ка-
ждом режиме целесообразно выделить два случая: а h -
тонкий слой объемного заряда; а С h - толстый слой объем-
ного заряда. Случай толстого слоя для ионов и электронов в
бесстолкновительном режиме соответствует предельному слу-
чаю орбитального движения, проанализированному еще Ленг-
мюром.
Для зонда Ленгмюра в искаженной им области простран-
ства (~ rs) заряженные частицы движутся без столкновений,
и их движение по траекториям к зонду можно рассматривать
по законам классической механики. Поскольку при этом попа-
дающие на зонд частицы испытывают последнее столкновение
на расстояниях, с которых он виден под малым телесным углом
(~ г^/А2), присутствие зонда не изменяет концентрацию заря-
женных частиц на расстояниях г А .
В кинетическом режиме для электронов (А£ rs) для
расчета тока на зонд уже необходимо использовать кинетиче-
ское уравнение (уравнение Больцмана). При этом оно содержит
только диффузионный член, и, как будет показано ниже, мож-
но связать ie с невозмущенной ФРЭ в плазме единым образом
[46].
В предельном случае зонда в режиме сплошной среды (А£
С rs, А, rs) справедливо гидродинамическое приближение,
т.е. ток заряженных частиц на зонд определяется макроско-
пическими характеристиками - подвижностью и диффузией.
Ясно, что при этом ВАХ полностью теряет информацию о не-
возмущенной ФРЭ и по току на зонд можно определить лишь
интегральные характеристики плазмы - концентрацию и сред-
нюю энергию электронов.
Отметим также, что длина пробега иона обычно примерно
на порядок меньше, чем электрона. Поэтому уже в бесстолкно-
вительном случае для электронов для ионов возможен гидро-
динамический режим.
Важным параметром в теории зондов является также от-
ношение температур электронов и ионов Те/Тг. При Те Т,
(приближение холодных ионов) можно пренебречь начальными
скоростями ионов, что значительно упрощает вычисления.
В более сложных случаях (движущаяся, турбулентная, на-
магниченная, химически активная и другая плазма) могут
иметь существенное значение и иные параметры (см., напри-
мер, [8,10]).
В качестве примера проиллюстрируем влияние плазмохи-
мических процессов на ионный ток. Поскольку в этом случае
осуществляется гидродинамический режим (А, <С г s'), уравне-
ние для ионов можно записать в виде
Aj,- = Г,-, (2.2)
где Г, - скорость изменения концентрации ионов за счет раз-
личных процессов. К ним относятся: ионизация, рекомбинация,
прилипание, отлипание и т.д. Введем характерную длину про-
текания реакции
/ 11/2
Lx = Di ^1 + тх , (2-3)
где Di - коэффициент диффузии ионов; тх - характерное
время протекания реакции. Например, для ионизации ти =
= (па/5)-1 (/3 - коэффициент ионизации), для рекомбинации
тр = (пео)-1 , где а - коэффициент рекомбинации и т.д. Если
Lx » ts , то влиянием плазмохимических процессов в возму-
щенной области можно пренебречь (плазма с ’’замороженны-
ми” химическими реакциями) и при расчете тока на зонд пра-
вую часть уравнения для ионов (типа (2.2)) можно положить
равной нулю. В обратном случае Lx < ts ионный ток на зонд
будет зависеть от Lx .
Чтобы показать, какими будут значения параметров, вхо-
дящих в классификацию, рассмотрим пример плазмы неона,
для которой длина свободного пробега электрона Ае = 17/р,
иона - А, = 0,6/р, длина энергетической релаксации в упру-
гой области энергий А£ = Ае/\/б = 2,4- 103/р, в неупругой -
A* = y/XeA* = 260/p, где p выражено в Па, A - в см. Принимая
радиус зонда а = 10~2 см, получаем что в слабоионизованной
плазме для ионов при р <С 60 Па имеет место бесстолкнови-
тельный режим, при р 3> 60 Па гидродинамический. Для элек-
тронов при р < 1700 Па - бесстолкновительный режим, при
р < 2, 7 104 Па - кинетический, при р > 2,7 • 104 Па - гидро-
динамический. Для электронов длины протекания плазмохи-
мических реакций Lx > А£. Из проведенных оценок следует,
что гидродинамический режим для электронов выполняется,
начиная с давлений порядка атмосферного, в то время как для
ионов - примерно на три порядка меньше.
Далее рассмотрим последовательно основные теории зон-
дового тока, обращая особое внимание на условия, в которых
возможно измерение ФРЭ.
2.3. Электронный ток на ленгмюровский зонд
при отрицательном потенциале
Если не оговорено иное, далее будем считать, что предположе-
ния (п.п. а - и) из §2.1 настоящей главы выполняются, кроме
требования об изотропности ФРЭ. Для вычисления плотности
электронного тока на зонд необходимо знать функцию распре-
деления электронов на поверхности зонда /(гр, 0р, <рр), где 0р
и <рр - полярный и азимутальный углы, определенные в сфе-
рической системе координат, полярная ось которой направлена
по нормали к собирающей поверхности зонда. Тогда для зонда
выпуклой формы (это требование необходимо для того, чтобы
пределы интегрирования по 0Р были определены для всех то-
чек поверхности зонда)
2% оо
je = / d<fiP / £р<1£р Х
О о
тг/2
X У _f(£p,0p,<pp) cos др sin Opd0p. (2.4)
о
Как видно из этой формулы, для вычисления je необходимо
связать ФРЭ на поверхности зонда с функцией распределения
в невозмущенной плазме.
В отсутствие столкновений по теореме Лиувилля (см. гл. 1)
ФРЭ не меняется вдоль траектории частицы в фазовом про-
странстве, следовательно,
д /(£o>Wo), 0^бр^7г/2;
о 5 7г/2 < 0р < 7Г ,
где индекс 0 относится к невозмущенной плазме, а р - к по-
верхности зонда.
Изменение кинетической энергии электронов при движении
к зонду из невозмущенной плазмы в рассматриваемом здесь
бесстолкновительном случае происходит при сохранении пол-
ной энергии Ео = £ + е<р(т), где <p(r) - распределение потен-
циала в призондовой области. Поэтому на поверхности зонда
выражение Ео = ер + eV ( V - потенциал зонда относительно
потенциала плазмы, V = Vps, но для удобства здесь и далее
индекс будем опускать) не зависит от пространственного рас-
пределения потенциала.
Если ФРЭ в невозмущенной плазме изотропна, то из (2.5)
следует, что /(Ep,eV) = /(ео - eV) (для 0 0р тг/2). Под-
ставляя это выражение в (2.2) и выполняя интегрирование по
углам и опуская для удобства индекс 0, получаем известное
соотношение
оо
7.= ^ Д£-еГ)/(£)*. (2.6)
т£ J
eV
Таким образом, в ленгмюровском случае для изотропной функ-
ции распределения электронов ток на зонд связан с ФРЭ в не-
возмущенной плазме.
Из (2.6) видно, что плотность тока на все участки выпу-
клого зонда одинакова и ток на зонд равен ге = jeS, где S -
площадь поверхности зонда.
Для плазмы с произвольной степенью анизотропии целе-
сообразно рассмотреть два случая - тонкого и толстого слоя
пространственного заряда h . Для рассматриваемых здесь от-
рицательных потенциалов зонда толщина слоя определяется
ионами h — ht . Для представляющего интерес случая плоского
зонда при измерениях в плазме с анизотропной ФРЭ значение
ht можно оценить по формуле (2.19) в бесстолкновительном
режиме движения ионов и по (2.49) - для столкновительного
режима.
t
2.3.1. Тонкий слой пространственного заряда (Л <С а)
В этом случае ФРЭ в невозмущенной плазме можно связать с
функцией распределения электронов на поверхности зонда для
плазмы с произвольной степенью анизотропии. Для тонкого
слоя угловые переменные преобразуются следующим образом:
фо , 9р —> arcsin I у/1--------sin до I . (2.7)
Тогда, учитывая, что arcsin \/1 — я2 = arccos х , в итоге полу-
чаем
2тг оо
Зе —
т2
О eV
difo / ede х
f(E, 0О, фо) cos 00 sin 0od0o.
(2.8)
Как видно из этой формулы, в случае анизотропной ФРЭ je в
различных точках зонда (кроме плоского одностороннего) бу-
дет, вообще говоря, разной по значению. Если плазма изотроп-
на, то интегрирование (2.8) по углам приводит к (2.6). Таким
образом, для ленгмюровского зонда с тонким слоем простран-
ственного заряда электронный ток на зонд связан с невозму-
щенной ФРЭ с произвольной степенью анизотропии.
2.3.2. Толстый слой (h а)
Для толстого слоя в плазме с анизотропной ФРЭ для электро-
нов не выполняется закон сохранения момента импульса при
движении в слое, что не позволяет однозначно связать их угло-
вое распределение в плазме и на поверхности зонда. Поэтому
получить соотношение между током на зонд и ФРЭ в невозму-
щенной плазме [типа (2.6), (2.8)] в общем случае не удается.
Для шарового зонда со сферически-симметричным слоем
закон сохранения момента импульса будет справедлив. Однако
при движении в толстом слое угловое распределение электро-
нов будет изменяться в зависимости от изменения потенциала
плазмы на различных расстояниях от зонда и ФРЭ на поверх-
ности будет зависеть от хода потенциала в слое <р(т) (в отли-
чие от предыдущего случая тонкого слоя, в котором электро-
ны не успевают перераспределиться по поверхности зонда). В
этом случае можно получить выражение для полного тока ie
на зонд. Действительно, из уравнения движения электронов в
центрально-симметричное поле следует, что
9 9(
р2 = а2 (1 - — \ , (2.9)
где р - прицельный параметр для такой траектории электрона,
двигаясь по которой он попадает на зонд. Тогда для тока имеем
2т т/2
ie = етга2 J dip J cos в sin Odd х
о о
ОО
х у 7(е,0<^)(£ - eV)de .
eV
(2.10)
Подставляя в (2.10) разложение ФРЭ (1.20) по полиномам Ле-
жандра (в общем случае по шаровым функциям) и интегрируя
по углам, получаем
8?г2а2 [, (
ге = ----г- (£~ eV)/o(f)<te ,
m* J
eV
(2-11)
где /o(f) _ изотропная часть ФРЭ.
Как видно, шаровой зонд при сферически-симметричном
распределении потенциала позволяет измерять изотропную
часть функции распределения электронов.
Подчеркнем, что для этого необходимо выполнение двух
условий: зонд должен быть шаровым и со сферически-симмет-
ричным распределением потенциала. В общем случае анизотро-
пия распределения искажает форму призондового слоя и поле
вблизи зонда перестает быть центральным. Оба условия выпол-
няются, например, в случае частично анизотропной плазмы,
в которой распределение основной группы тепловых электро-
нов изотропно, а концентрация быстрых электронов, имеющих
произвольное анизотропное распределение по скоростям, пре-
небрежимо мала [50]. Так как призондовый слой формируется
под действием основной группы медленных электронов, элек-
трическое поле вблизи зонда будет сферически-симметричным.
Полученные здесь формулы описывают участок CD (см.
рис. 2.4). Они могут быть использованы для определения ФРЭ.
Этим вопросам посвящена следующая глава. Здесь отметим,
что, логарифмируя этот участок, можно определить темпера-
туру электронов по формуле
„ dlnie
le dV
(2.12)
Для учета влияния ионного тока необходимо из полного то-
ка вычесть ионный ток г,, экстраполируя (например, линейно)
участок АВ зондовой характеристики на меньшие потенциа-
лы. Естественно, что при этом предполагается максвелловская
ФРЭ, так что In ie является линейной функцией.
Измеренный ток при потенциале плазмы V5.4 позволяет
определить концентрацию электронов пс по формуле
Tl/g
iey/2Tr
eSy/Te'
(2.13)
Потенциал плазмы может быть определен по излому ВАХ зон-
да (точка D ). Более точно он определяется из измерений вто-
рой производной зондового тока по потенциалу.
2.4. Ток на ленгмюровский зонд
в притягивающем поле
Для расчета тока i зонд на участках АВ и EF (см. рис.
2.4) необходимо рассматривать движение заряженной частицы
(электрона или иона) с массой р, в притягивающем поле. Наи-
более просто это можно сделать для центрально-симметричного
поля, в котором описание движения заряженной частицы сво-
дится к одномерной задаче с эффективной потенциальной энер-
гией
C/(r,V) = e^(r) + ^-2-. (2.14)
Однако даже в этом простейшем случае решение задачи за-
висит от поведения </?(т), поскольку если <^(т) уменьшается
быстрее, чем т-2 , то на U(г, v) наблюдаются локальные экс-
тремумы, влияющие на движение частиц [3,8,9]. Возникающие
при этом физические ситуации подробно рассмотрены, напри-
мер, в [4,9,10].
Задача упрощается только для слоя объемного заряда бес-
конечной толщины h/a —► оо (предельный случай орбитально-
го движения), так как в таких условиях (2.14) не имеет локаль-
ных экстремумов и собирающей поверхностью является зонд.
Эта задача была решена еще Ленгмюром для максвелловского
распределения частиц по скоростям.
Если притягиваемыми частицами являются ионы, то
eneve f eV\
Je = _exp^_J,
для цилиндра. При eV/Ti > 1 выражение (2.16) имеет вид
1/2
ji =
eneVi 2
4 л/тг
В (2.15), (2.16) vk = (STk/irii)1/2 Если притягиваемыми части-
цами являются электроны, то в (2.15), (2.16) следует поменять
местами индексы i и е.
Выражения для в случае орбитального движения дают
верхние предельные значения тока на зонд в бесстолкновитель-
ном режиме, поскольку возникающие при конечном значении
h/a потенциальные барьеры могут только уменьшать ток. От-
метим, что условия применимости (2.15), (2.16) соответствуют
достаточно низкой концентрации заряженных частиц.
Для конечного радиуса слоя объемного заряда в литерату-
ре имеется несколько приближенных теорий токов на зонд в
притягивающем поле, подробный анализ для которых приве-
ден в [3-6,8,9]. Из них отметим результаты для ионного тока,
полученные в [3] для максвелловской ФРЭ и в [51] для про-
извольной функции распределения электронов. Отметим, что,
как показано в [51], ионный ток может меняться на десятки
процентов для ФРЭ различного вида с одной и той же средней
энергией. При eV/Те > 1 и Te/Ti 3> 1 результаты [3] имеют
простой вид с наглядным физическим смыслом
/от
г, = СПеу"л^5” (2Л7)
где с = 0,4 для цилиндрического и с = 0,8 для сферического
и плоского зондов; Si - площадь поверхности ионного слоя,
Si = 47гт? для сферы, 5,- = 2тгт^ для цилиндра (г,- - радиус
ионного слоя).
Для определения радиуса ионного слоя г,- в (2.17) исполь-
зуется закон ’’трех вторых” [3,4]. При этом зондовый ток счита-
ется эквивалентным току сферического, цилиндрического или
плоского диода, собирающей поверхностью которого является
сам зонд, а эмитирующей - поверхность с радиусом ионного
слоя.
Приведем оценку для толщины ионного слоя плоского зон-
да, важную для расчета je в плазме с анизотропной ФРЭ (см.
§2.3). Ток в плоском диоде выражается формулой
(2.18)
• - 1 у3/2
Je’’ “ 9тг у ц h2ei
где р, равно m либо М соответственно, если эмитируются
электроны либо ионы.
Приравнивая (2.17) и (2.18), находим толщину электронного
(положительный потенциал зонда) и ионного (отрицательный
потенциал зонда) слоев соответственно:
L /8^\1/2/еУ\3/2
td ;
(2.19)
L /4е\1/2 ZeV\3/4/М\1/4
- 77 Нт- — TD • .
\ 9 / \Те J \тп /
Видно, что толщина электронного слоя имеет порядок тр , в то
время как ионного, когда eV!Te >1 и (М/m)1/4 сг 10, более
чем на два порядка превышает дебаевский радиус. Необходи-
мые данные для расчета т, при использовании сферического и
цилиндрического зондов приведены в [4].
Строгие теории, основанные на численных расчетах токов
на зонд с учетом практически всех возможных траекторий ча-
стиц и возникающих потенциальных барьеров в слое, были вы-
полнены в [52-54]. В [10] проведены детальные расчеты ионного
и электронного токов на цилиндрический и сферический зонды
в широком диапазоне изменения параметров путем численно-
го решения системы бесстолкновительных уравнений Власова.
Там же проведен подробный анализ имеющихся литературных
данных и показана близость результатов между собой. В [10,52-
54] приведен большой фактический материал по расчетам ион-
ного и электронного токов на зонд в бесстолкновительном ре-
жиме. Некоторые типичные результаты для цилиндрического
зонда приведены на рис. 2.5 и 2.6. На этих рисунках ток нор-
мирован на значение хаотического тока.
Во всех перечисленных выше работах функция распределе-
ния частиц в невозмущенной плазме предполагается максвел-
Рис. 2.5. Зависимость плотности
ионного тока на цилиндрический
зонд от а/гв при eV/Те = 25 и при
различных значениях Ti/T<. [53]:
------максвелловское распределе-
ние ионов;
--------- моноэнергетическое рас-
пределение ионов
Рис. 2.6. Зависимость плотности
электронного тока на цилиндриче-
ский зонд в плазме от а/гр при
eV/Тл = 25 и при различных зна-
чениях Ti/Te [53]:
-------максвелловское распреде-
ление электронов;
-------моноэнергетическое рас-
пределение электронов
ловской (или моноэнергетической), что, по-видимому, для не-
максвелловской ФРЭ может приводить к погрешностям до де-
сятков процентов [51]. На практике удобно для этих расчетов
использовать имеющиеся аппроксимационные формулы, кото-
рые получены, например, в [55,56] (см. также [8,10]). Приведем
их для наиболее употребительного в экспериментах цилиндри-
ческого зонда.
Для ионного тока на цилиндрический зонд [8,55] при
Ti/Te 1:
л ж FfTi/T') [1 + wr^eVm'l2\ ' (220)
где
F(x) = (е0-693/* erf ^/о, 693/х + 2^0,693/™) ;
G(x) = 2,18 (1 - 0,2ж°-35) (1 + ®)'1/8. (2.21)
Другая аппроксимационная формула для тока на цилин-
дрический зонд имеет одинаковый вид для электронного и ион-
ного токов [8,56]:
(2.22)
= ГГГ~т + + d;
1п(а/то) + о
/3 = 1 +
Те
, Л о V
f + д I In — )
\ rDJ
11 а
---- + In — .
a td
(2.23)
Приведем значения констант в выражении (2.23) при Т{/Те 1.
Константы ...kb с d е f д I m
Ионный ток ... 2,9 2,3 0,07 -0,34 1,5 0,85 0,135 0 0,75
Электронный
ток... 2,9 2,3 0,11 -0,38 -2,8 5,1 0,135 2,8 0,65
Как указано в [8,10], погрешность аппроксимационных формул
(2.20), (2.22) для цилиндрических зондов примерно одинакова и
их расхождение с результатами численных расчетов [53] не пре-
вышает 3%. Их предпочтительно использовать при а/тр 5
[8], поэтому они неприменимы в условиях орбитального движе-
ния.
Знание электронного и ионного токов насыщения может
быть использовано для определения концентрации заряженных
частиц. Если в эксперименте выполнены условия применимо-
сти формул (2.15) - (2.17), то определение пе не вызывает за-
труднений. При этом необходимо определить Те по электрон-
ному току при V < 0 , ионная температура в большинстве слу-
чаев совпадает с температурой нейтральных частиц. В общем
случае необходимо пользоваться формулами (2.20), (2.22) или
данными численных расчетов, например, рис. 2.5 и 2.6, реали-
зуя определенный итерационный процесс.
Электронную часть характеристики удобно использовать
при измерениях в движущейся плазме, когда скорость напра-
вленного движения может быть сопоставлена или больше те-
пловой скорости ионов. В то же время в силу малой массы
электроны имеют большие тепловые скорости ve > 107см/с
и практически не зависят от направленной скорости плазмы.
Следует иметь в виду, что диагностика плазмы по электронно-
му току обычно затруднена вследствие его большого значения и
связанным с этим разогревом зонда и термоэмиссией электро-
нов с его поверхности. Поэтому электронную часть зондовой
характеристики можно использовать при измерениях в плазме
низкой концентрации (ионосфере и т.п.), где, в свою очередь,
ионный ток ничтожно мал.
2.5. Кинетическая теория электронного
тока на зонд
Применение полученных выше в §2.3 формул для расчета элек-
тронного тока на ленгмюровский зонд ограничено условием
Ае гд, т.е. случаем довольно низких давлений нейтрально-
го газа (р < 500 Па). Поскольку релаксация электронов по
импульсам (направлениям скорости) происходит на длине сво-
бодного пробега Ае и за время =. v~* , определяемое часто-
той упругих электрон-атомных столкновений, то при т$ > Ае
для расчета электронного тока на зонд необходимо исходить из
соответствующего кинетического уравнения.
В столкновительной плазме ФРЭ обычно близка к изо-
тропной и зависит от энергии (или модуля скорости), т.е. вы-
полняются неравенстве, (1.35), (1.36) и справедливо разложе-
ние (1.19). В то же время релаксация электронов по энер-
гиям происходит гораздо медленнее, чем по импульсам te =
= (6va + ve + р*)-1 , и на большей длине А£ (1.50), так что
А£ Ае (подробнее см. гл. 1).
Невозмущенная функция распределения электронов (ФРЭ)
формируется на расстояниях порядка А£. Поэтому, если раз-
мер возмущенной области rs = а + h меньше длины энер-
гетической релаксации Ае (rs <С А£), электроны приходят
на зонд из невозмущенной плазмы, сохраняя полную энер-
гию W = £ + е<р(т) (кинетическую плюс потенциальную в
поле зонда) и приносят информацию о невозмущенной ФРЭ
[57,58]. При этом существует принципиальная возможность свя-
зать электронный ток на зонд с невозмущенной ФРЭ единым
образом, включающим в себя ленгмюровскую (бесстолкнови-
тельную, rs Ае), диффузионную (Ае ts < Ае) и про-
межуточную (тд ~ Ае) области. При Ае ;> в кинетическом
уравнении для изотропной части ФРЭ главными являются чле-
ны с градиентами, а изменением энергии за счет столкновений
и нагрева во внешнем электрическом поле, имеющем порядок
Ts/Ае <С 1, можно пренебречь.
В переменных W, г кинетическое уравнение для изотропной
части fo(W, г) имеет вид [57]
VTD(W - e</>(r))Vr/0(W, г) = 0, (2.24)
где D(e) = vDT = г>2 Ае/3 .
Граничные условия на бесконечности (т —► оо) можно за-
писать в виде
Ж г ^оо) = /«>(£), (2.25)
где - невозмущенная ФРЭ. Потенциал </?(г —> оо) = 0 .
Формулировка граничного условия на зонде для /о натал-
кивается на известные трудности, поскольку уход электронов
на зонд приводит к нарушению изотропности их энергетиче-
ского распределения вблизи поглощающей поверхности (в силу
отсутствия обратного потока). Поэтому анизотропия функции
распределения мала лишь на расстояниях от зонда т , больших
Ае, и в общем случае расчет тока на зонд не может быть про-
веден с помощью формального применения уравнения (2.24).
Для двух предельных случаев задача существенно упроща-
ется. Это ленгмюровский, или бесконечно тонкий зонд т$ =
= а + h •< Ае, который не искажает исходного энергетиче-
ского распределения, так что fo(a,Ep) = fo(e — eV), и для je
справедливо выражение (2.6) (подробнее см. §2.3). В обратном,
диффузионном случае (А£ » rj > Ае) обеднение ФРЭ вбли-
зи зонда столь велико, что приближенно применимо обычное
для диффузионных задач нулевое граничное условие, которое
было использовано в [57].
Из сказанного следует, что в общем случае необходимо ис-
ходить не из (2.24), а из решения кинетического уравнения для
функции распределения электронов по скоростям, решение ко-
торого, как известно, представляет большие трудности даже в
простейших случаях. Проблема аналогична известной из астро-
физики задаче Милна [59] и исследовалась в связи с теорией
переноса излучения, а позднее в связи с переносом нейтронов
в ядерных реакторах [60,61]. В этих работах показано, что с
удовлетворительной точностью решение можно получить, ис-
пользуя диффузионное уравнение (2.24) с исправленными гра-
ничными условиями. Эти условия, называемые также эффек-
тивными, позволяют избавиться от указанной выше трудности
при решении кинетического уравнения в узком (~ Ае) слое
около зонда. Они имеют вид
/о(а,Ж > eV) = 70/1 (a, W), (2.26)
где
/i(r,W)=-AeVr/0(r,W)=-Ae^ (2.27)
от
- направленная часть функции распределения; V = <^(а) - как
и ранее, потенциал зонда.
Величина 7о(а/Ае) лежит в диапазоне 4/3 7о 0,71
и монотонно меняется при изменении а/Ае. Ее асимптотиче-
ские значения 70 = 4/3 при а <С Ае (ленгмюровский зонд) и
7о = 0,71 при а > Ае [59-61]. Выполненный в [35] анализ по-
казал, что для неизотропного по углам рассеяния (cos# / 0)
вплоть до cos в ^0,5 значения 7 практически совпадают с со-
ответствующими 7о для cos 0 = 0. Поскольку у большинства
газов диффузионное сечение отличается от полного не более
чем на 10-20% [18], то используемые в [59-61] выражения для
7о можно применять в практических расчетах.
Для цилиндрического и сферического зондов произвольных
размеров [60,61]
4 / а \
70= д-Фс,ц г , (2.28)
где индексы ” с ” и ” ц ” относятся к сфере и цилиндру соот-
ветственно. Графики зависимости Ф(х) приведены, например,
в [60]. При х > 1 удобны следующие аппроксимации:
2 1
7ос = 0,71+ —; 7оц = 0,714-—. (2.29)
5а: 4а:
Решение уравнения (2.24), удовлетворяющее граничным ус-
ловиям (2.25), имеет вид [46]
/о(т, W) = /о(а, Ю + [/ТО(Ж) - /о(а, ^)]
где на поверхности зонда при £ eV
fo(a,W) =
W)
оо
1 2 (с-eV) [
+ з m-yo J (г/а)"Л(Ж — е<р(т))
(2.М)
(2-31)
В этих выражениях п = 1 для цилиндра и п = 2 для сферы.
Плотность тока на зонд выражается через направленную
часть функции распределения (2.27):
оо
&4F f
je = ^ fl^,W)dW.
dm/ J
eV
Используя (2.26), (2.31) и (2.32), находим для W eV [46] :
/V,- 8,ге 7(w~eV)MW)dW
w > з^70 / ’
где диффузионный параметр
_ 1 7 D(W)dr
(2.32)
(2.33)
(2.34)
V D(W - ер(г))(г/а)" '
а
При D = const из (2.34) следует, что диффузионный пара-
метр
(2.35)
а С = 1 для сферы и С = ln(Z/a) для цилиндра, где I - его
длина.
Отметим, что более строгое решение, которое получается из
решения (2.24), для эллипсоида вращения и последующего пре-
дельного перехода к конечному цилиндру дает С = 1п(л7/4а)
[62], что незначительно отличается от интегрирования по г в
(2.34) до т — I для типичных I а.
Как видно из (2.33), в общем, случае для нахождения пара-
метра V’(W) необходимо знать профиль потенциала <р(т), ко-
торый может быть рассчитан путем совместного решения урав-
нений для ионов и Пуассона. К настоящему времени выполне-
ны расчеты <р(т) путем численного решения этих уравнений
для различных условий (см., например, [10]). Аналитическую
зависимость уз(т) в возмущенной области можно получить из
расчета ионного тока на зонд в приближении слоя объемного
заряда (см. §2.6 и [63]). Как показывают литературные данные
и. отмечалось выше, практически весь приложенный к зонду
потенциал V сосредоточен в слое объемного заряда, причем
основная его часть в более узкой (~ тд < h) области вблизи
зонда.
Дале^рассмотрим случай тонкого слоя объемного заряда
h <С а, типичный в практических приложениях. Из (2.47) (см.
также [63]) для заданных V и rs = а + h для <р(т) можно
принять аппроксимацию при а > h:
/ х \71
= v\h) ’ (2.36)
где п = 1 для цилиндра, п = 2 для сферы, а х = rs — т.
Разбивая интеграл по г в (2.34) на две части, принадлежащие
слою и квазинейтральной плазме можно оценить вклад обла-
сти слоя в V’(W’) для различных энергетических зависимостей
D(e) . Если для частоты упругих электрон-атомных столкно-
вений использовать аппроксимацию типа (1.57) v = VQEn , то
D = Z)oe3/2-" •
Для наиболее употребительного цилиндрического зонда из
(2.34) с использованием (2.36) получим
MW) = -А_ [in — + А
7оЛе ts
п / -;
г 2
(2.37)
Отсюда видно, что при п > —1/2 при интегрировании по г в
(2.34) можно пренебречь той частью интеграла, которая отно-
сится к слою. В итоге ф = фо , и мы снова приходим к формуле
(2.35).
При п < — 1/2, когда 2)(е) резко стремится к нулю при
малых кинетических энергиях, поток электронов ’’застревает”
вблизи зонда [57] и основной вклад в (2.34) вносит область слоя
пространственного заряда.
Для реальных зависимостей р(е) обычно п > —1/2 и эф-
фектом ’’застревания” практически всегда можно пренебречь.
Как уже отмечалось в §2.3, для максвелловской ФРЭ в бес-
столкновительном режиме (а/Ае <С 1) наклон логарифма элек-
тронного тока отталкивания позволяет определить Те. Как
видно из (2.33), при увеличении давления и приближении к по-
тенциалу пространства рост тока на зонд происходит медлен-
нее, чем по экспоненте. Поэтому применение общепринятой ме-
тодики определения Те при конечных а/Ае дает завышенные
значения температуры электронов. Для конкретных условий
количественные данные нетрудно получить из (2.33). Здесь от-
метим, что при увеличении отталкивающего потенциала, когда
погрешности в определении Те уменьшаются, начинает сказы-
ваться искажающее действие ионного тока. Поэтому значения
Те целесообразно определять по производным зондового тока
по потенциалу. Эти вопросы подробно рассмотрены в гл. 3.
Из выражений (2.33) - (2.35) следуют известные предельные
случаи.
а) Для зонда Ленгмюра (^ <С 1), пренебрегая вторым сла-
гаемым в знаменателе (2.33) и принимая 70 = 4/3, приходим
к известному выражению (2.6). Отметим, что из (2.31) автома-
тически следует, что при ip < 1 fo(a, Ж) = fodW). Из (2.33)
видно, что влияние диффузии электронов на зонд сказывается
при малых энергиях уже при ip 1. Этот эффект, называемый
в литературе как ’’сток” электронов на зонд, известен еще с ра-
боты [64], в которой близкая к (2.33) с ip в виде (2.35) формула
была получена для ip С 1 из упрощенного анализа. Отметим
также, что для цилиндрических зондов, для которых обычно
I » а , условие ленгмюровского зонда о1п(//т$) Ае является
более жестким, чем это обычно предполагается (rs Ае).
б) При Ае <С ts Ае , пренебрегая единицей в знаменателе
(2.33), получаем результат диффузионной теории [57]. Как вид-
но из (2.31), это соответствует нулевому граничному условию
на зонде. Отметим, что при ip > 1 выражение для je практи-
чески не зависит от фактора 70.
Для расчета электронного тока на зонд мы использовали
уравнение для изотропной части ФРЭ (2.24) с эффективными
граничными условиями. Отметим работу [58], где авторы ис-
ходили непосредственно из кинетического уравнения для ФРЭ
типа (1.17) с модельным интегралом столкновений. В результа-
те его приближенного решения было получено выражение тока
на сферический зонд при Ас > т$ , которое фактически совпа-
дает с полученным выше (2.33) при 70 = 4/3 .
В заключение отметим, что выражение (2.33) справедливо
при Ае » ts . При более высоких давлениях, когда длина энер-
гетической релаксации электронов меньше размеров возмущен-
ной зондом области, зондовая вольт-амперная характеристика
полностью теряет информацию о невозмущенной ФРЭ в плаз-
ме. В этом случае по току на зонд можно определить лишь
интегральные характеристики электронов - их концентрацию
и среднюю энергию, для расчета которых применимы гидроди-
намические уравнения.
2.6. Ионный ток на притягивающий зонд в
гидродинамическом режиме
Рассмотрим теперь ионный ток в гидродинамическом режиме
(rs Aj) при отрицательных потенциалах зонда. Напомним,
что при положительных потенциалах зонда (участок отталки-
вания ионов) ионный ток мал и зондовая характеристика опре-
деляется электронным током насыщения.
Для выполнения поставленной задачи необходимо решить
совместно систему уравнений баланса заряженных частиц и
уравнение Пуассона с соответствующими граничными услови-
ями.
Для ионов гидродинамическое приближение применимо, на-
чиная со сравнительно низких давлений нейтрального газа
(р > 14-10 Па), при которых длина пробега ионов А,- стано-
вится меньше размеров возмущенной области тд Поскольку
обычно А,- < Ае, в диапазоне А, С rs Ае для электронов
осуществляется кинетический режим, рассмотренный выше в
§2.5. Этот случай представляет особый интерес, поскольку при
Ае > Ts электронный ток на зонд связан с невозмущенной ФРЭ
в плазме. Обычно в условиях Ае rs можно пренебречь вли-
янием плазмохимических процессов на баланс ионов (плазма с
замороженным химическим составом Lx ts , см. §2.3. Поэто-
му вначале проведем расчет ионного тока для подобных усло-
вий.
2.6.1. Случай Ае > rs > А,, Lx > rs •
Для выполнения поставленной задачи необходимо решить си-
стему уравнений для ионного тока и концентрации электронов,
а также уравнения Пуассона, которые при Ае rs А, и
Lx > rs можно записать в виде '
ji = ; (2.38)
оо
ne(y?, г) = J f(W, r)y/w - e<p(r)dW; (2.39)
Ду? = 4тге(п,- — ne), (2.40)
где D{ и bi - коэффициент диффузии и подвижность ионов
соответственно. Для максвелловской ФРЭ из (2.39) следует из-
вестное распределение
, ч Mr)’
пе(<^) = пеОехр---—
е .
В общем случае система (2.38) - (2.40) может быть реше-
на только численно и анализировалась для максвелловских
ФРЭ в ряде работ, отличающихся различными приближения-
ми (их обзор дан, например, в [8,10]). Результаты этих расче-
тов практически совпадают с вычислениями, основанными на
более простом приближении, связанном с разбиением возму-
щенной области на область слоя пространственного заряда и
квазинейтральной плазмы.
В данном приближении расчет ионного тока на зонд вы-
полнен в работах [62,63,65-68], основную схему расчета кото-
рых и будем использовать ниже. В области квазинейтральности
пе = nt и для рассматриваемых условий ФРЭ электронов за-
висит только от полной энергии /(е,г) = /(е + e</?(r)) = f(W),
а концентрация электронов определяется по (2.39).
Полагая, что ионы, попадающие на слой, захватываются
зондом, из условия непрерывности иойного тока с плотностью
(2.38) (ji(r)rn = ji(a)an) имеем
Jt(a) f-'j =-еДпо^-- i>,ene(r)^ , (2.41)
\r / dr dr
где j,-(a) - искомая плотность ионного тока на зонд; п0 - кон-
центрация заряженных частиц в невозмущенной плазме; n = 1
для цилиндра, п = 2 для сферы. Граничное условие к (2.41)
формулируется в следующем виде: (^>(r) -* 0 при г —> оо для
п = 2 и г —> 7г//4 для п = 1.
При приближении к границе слоя, там, где начинаются от-
клонения от квазинейтральности, потенциал резко возрастает.
Обычно граничное условие на слое выбирается из стремления
потенциала к бесконечности <^>(т) —> оо при г —> . Это пред-
полагает, что концентрация электронов на границе слоя равна
нулю (ne(rs) = 0), что является разумным приближением при
тр ts и eV/kT > 3 [63].
Учитывая, что
ОО оо
/2 Г
= - / e3/2/(e)cJe = п0Теэф (2.42)
О J
о о
(Теэф - эффективная температура электронов), и интегрируя
(2.41) по т от ts до оо, в итоге получаем
ji(a)an = п0(Т, + Теэф)^- <
rs
(сфера);
(цилиндр).
(2.43)
Для нахождения радиуса слоя rs = а + h необходимо обра-
титься к уравнению Пуассона (2.40) и ионного тока (2.38).
В большинстве случаев толщина заряженного слоя вокруг
зонда мала и можно положить г$ = а. Если это не так, то дви-
жение ионов в нем определяется столкновениями. Поскольку в
рассматриваемых условиях потенциал зонда велик и практиче-
ски весь приложен к слою, можно принять следующие два до-
пущения. Можно пренебречь концентрацией электронов в слое
и уравнение Пуассона (2.40) записать в виде
V2(^> = 4тгеп,(т). (2-44)
В слое также можно пренебречь диффузионной составляющей
ионного тока по сравнению с дрейфовой.
Для определенности далее рассмотрим цилиндрический
зонд в силу его практической важности. Соответствующие вы-
ражения легко обобщаются и на сферический зонд (подробнее
см., например, [63]).
Из (2.38) с использованием (2.43) получим для цилиндра
z ч ' (2]i + 2еэф)^О /9 .гх
n,(r).= ~3---/ Т\ • (2-45)
• <*Г \ 4 Ts /
Подставляя это выражение в (2.44) и записывая в безразмер-
ных переменных, получаем
d
dR
G \ 2 Tt; + Теэф
(2-46)
где R = т/а; т/ = eif/Ti] Ар, - дебаевский радиус, вычислен-
ный при температуре ионов Т,.
Дважды проинтегрировав (2.46) с граничными условиями
¥’(а) = V, <p(rs) = 0, (df/dr)\Ts = 0, в итоге получим для
распределения потенциала в слое
( Vrs -т2 ~ rsln
V(r) = V) -------
( Vrs -а2 ~ rsln
(2-47)
При г = а решение (2.46) можно записать в виде
Tj 11/2 Ар, eV =
Т, + Геэф] aTi 72
[й$ In (й$ + yjR2s - 1) - yjR2s-l
\4aHsJ
(2.48)
Равенство (2.48) связывает искомый радиус слоя Rs с зон-
довым потенциалом и параметрами плазмы. Его левая часть не
зависит от Rs . Вычисленные в [63] зависимости Rs от 72 по-
казывают, что эта зависимость хорошо аппроксимируется вы-
ражением Rs = 1 + С 7™ • В результате найдено
Rs — 1 + Ci <
Г гт 11/2
2 J- еэф
Теэф + Tj
eV
Теэф
(2.49)
где Ci = 0,83 и 3,0, Сг = 3/2 и 1, т — 0,535 и 0,62 для
сферы и цилиндра соответственно.
Подставляя искомые коэффициенты, (2.49) можно перепи-
сать в виде
( V 1 т
Я$=1 + Сз МТеэф + Т,)]-1^- ,
I Л )
(2.50)
где Сз = 388 и 3650 , т = 0,535 и 0,62 для сферы и цилиндра
соответственно. Концентрации пе выражаются в см-3 , темпе-
ратура - в кельвинах, потенциал V - в вольтах, радиус зонда -
в см. Подставляя числовые значения коэффициентов в (2.43),
получаем расчетную формулу
по(^еэф + I») —
= 1,3-1012-
а
А’ 1пте
(сфера);
(цилиндр).
(2.51)
При вычислении радиуса слоя rs предполагалось, что ско-
рость дрейфа ионов пропорциональна электрическому полю
(нормальный дрейф ионов) ц,- ~ Е. Это справедливо, ко-
гда электростатическая энергия, набираемая ионом на средней
длине свободного пробега eEXi, мала по сравнению с их те-
пловой энергией ~ Т{. В обратном случае аномального дрейфа
ионов, когда eEXi > Ti, ~ \/Ё и формула (2.51) несправед-
лива.
Для подобного случая, который реализуется при весьма
больших значениях Е/р, порядка нескольких единиц В/( см х
х Па), радиус слоя вычислен в [67] и определяется по формуле
rs = а(1 + п)(1 + ап),
(2.52)
где а = 0,05 для цилиндрического, 0,075 - для сферического
и нулю - для плоского случаев,
/у3дЛ 1
п = 2,3-10“2Но77 “• (2.53)
\JiM J а
Таким образом, ионная часть зондовой характеристики по-
зволяет определить произведение поТе по (2.51). Для цилин-
дрического зонда, как видно из (2.51), радиус слоя входит под
знак логарифма, так что результат малочувствителен к значе-
нию rs •
В [8,10] выполнены численные расчеты ионного тока на зонд
в гидродинамическом приближении. Как обычно, функции рас-
пределения электронов и ионов в невозмущенной плазме пред-
полагались максвелловскими. В этих работах приведен боль-
шой фактический материал для различных условий в виде та-
блиц и графиков. Как указано в [8,10], результаты этих работ
удовлетворительно согласуются между собой.
2.6.2. Промежуточный случай А, ~ rs
Выше была рассмотрена теория ионного тока на зонд в лен-
гмюровском А, > rs и гидродинамическом А, «С rs режи-
мах. Обычно в соответствии с этим размеры зонда выбирают-
ся такими, чтобы осуществлялся тот или иной случай. Однако
на практике возможны ситуации, когда использование рассмо-
тренных выше режимов технически затруднено. Теория ионно-
го тока для промежуточного случая наиболее сложна и рассма-
тривалась в ряде работ [65,66,69] при различных упрощающих
предположениях.
В [65,66] предполагалось, что дебаевский радиус много мень-
ше радиуса зонда и длины свободного пробега ионов, а функции
распределения заряженных частиц - максвелловские. Плазма
в области квазинейтральности разбивалась на две части. В уда-
ленной от зонда области параметры плазмы слабо менялись на
длине свободного пробега и для ионного тока использовалась
формула (2.38). В призондовой области, где параметры плаз-
мы резко менялись на длине пробега А, и локальное прибли-
жение (2.38) несправедливо, поле считалось сильным, так что
начальными скоростями ионов после перезарядки пренебрега-
лось. Решения находились численными методами и сшивались
на границе областей. За границу области квазинейтральности
принималась точка, где поле обращалось в бесконечность.
На рис. 2.7 по данным [66] приведены результаты расче-
тов безразмерной плотности ионного тока насыщения =
= jis/(eneX/2TJM) в зависимости от значения а/А, для ци-
линдрического зонда. На рис. 2.8 зависимости Jt(a/At) срав-
ниваются с расчетами для ленгмюровского (2.17) и гидроди-
намического (2.43) режимов. Видно, что имеет место хорошее
согласие.
Рис. 2.7. Безразмерная плот-
ность ионного тока насыщения
на цилиндрический зонд
Рис. 2.8. Сравнение безразмер-
ной плотности ионного тока для
ленгмюровского (7), гидродина-
мического (2) и промежуточного
(5) режимов
0,1 0J. 0,4 0/1 2 4 6 10a/2t
2.6.3. Ионный ток на зонд в сильноионизованной
плазме
Выше (см. пп. 2.6.1, 2.6.2) был рассмотрен ионный ток на зонд
в слабоионизованной плазме, когда плазмохимическими про-
цессами можно пренебречь (Lx > А,). В данном пункте рас-
смотрим ионный ток в разрядной плазме при произвольном
соотношении между длиной ионизации Д и А,. Эта задача
рассматривалась в [8,10,65,36,70,71].
В [65,66] расчет производился при следующих предположе-
ниях: функции распределения частиц максвелловские, в невоз-
мущенной области плазма находится в состоянии локального
термодинамического равновесия, температура газа Та посто-
янна.
Качественно работу зонда в плазме с большой степенью ио-
низации при отрицательных потенциалах можно пояснить сле-
дующим образом [66]. Попадающие на зонд ионы нейтрализу-
ются и далее испаряются с поверхности зонда в виде нейтраль-
ных атомов, так что в призондовом слое навстречу ионному по-
току направлен равный ему поток нейтральных атомов от по-
верхности зонда. Поскольку тепловая скорость атомов обычно
меньше скорости ионов, концентрация атомов превышает кон-
центрацию ионов и плазма у поверхности зонда слабоионизо-
вана. Это, в частности, приводит к преобладанию реакции ио-
низации над рекомбинацией в призондовом слое, и ионный ток
зависит от соотношения между длиной ионизации Д и длиной
свободного пробега ионов А, .
Если Li А,, то атомы, покидающие поверхность зонда,
ионизуются на расстоянии, большем А,. Образующиеся при
этом ионы достигают зонда в режиме диффузии, и
Д = х/4Дт,-, (2.54)
^де Di - коэффициент диффузии ионов, а время ионизации
= 1/~г (i/i - частота ионизации).
Плотность ионного тока на зонд в [66] была представлена в
виде
j.(a) = т-еД0(1 + r)n00F/3oo,T(io), (2.55)
где Lq = \/DioTio(l + т)/2 - величина порядка ионизационной
длины; T = Te/Ti, Dio и тщ - коэффициент диффузии ионов
и эффективное время ионизации, вычисленные на границе с
зондом; Роо — Поо/Nfx - степень ионизации в невозмущенной
плазме; Xo^a/Lo.
Функция F/^.r^o) в [66] рассчитывалась численно для ци-
линдрического зонда, результаты приведены на рис. 2.9 в за-
висимости от io для различных значений параметров Д» и
т. Кривая 1, дающая зависимость Fq)T(zo) для слабоионизо-
ванной плазмы, совпадает с аналогичной кривой из [71]. Как
следует из расчетов, Fo,T(zo) не зависит от т. Кривые 2-4
относятся к полностью ионизованной плазме для т = 2,3 и
10. Зависимости F^^xo) для промежуточных Д» проходят
между кривыми Fo,t(xq) и Fx,tT(xo) для соответствующих т.
Рис. 2.9. Зависимость Гд„1Т для ци-
линдрического зонда от безразмер-
ного радиуса зонда
Поскольку Р/Эоо.т^о) слабо зависит от степени ионизации и от-
ношения Те/Т{, погрешности при измерениях невелики.
При Li А,, что реализуется при повышенных темпера-
турах электронов и степенях ионизации, покидающие поверх-
ность зонда атомы ионизуются прежде, чем успевают испытать
столкновения с ионами. В этом случае ионизационная длина
Li ~ va[neve^t(Te)]-1, (2.56)
где va , ve - средние скорости атомов и электронов; сц(Те) -
эффективное сечение ионизации.
Образующиеся в результате ионизации ионы в пролетном, а
не диффузионном, как выше, режиме достигают зонда. Ионный
ток на зонд в этом случае высокой степени ионизации такой
же, как и в случае ленгмюровского зонда [66], и выражается
формулой (2.17).
2.7. Зонд в магнитном поле
Вследствие вращения заряженных частиц вокруг силовых ли-
ний магнитного поля эффективная длина свободного пробега и
коэффициент диффузии вдоль и поперек поля различны. Это
приводит к усложнению теории зондов в условиях, когда по-
перечный размер зонда меньше ларморовского радиуса элек-
трона ре. Характерным параметром, определяющим влияние
(2.57)
магнитного поля, является
^e,i ^e,i
•^e,i — — ;
Pe,i Ve,i
где индекс e, i относится соответственной электронам и ионам;
ларморовский радиус рел = , а циклотронная частота
электронов и ионов
еН
Slei =—, (2.58)
’ flC
где Н - напряженность магнитного поля.
В ленгмюровском случае при xej <С 1 влияние магнитного
поля слабо сказывается на виде зондовой ВАХ. В силу большой
массы иона ре «С Pi магнитное поле начинает проявляться ра-
нее на электронной части зондовой характеристики. Поскольку
ре ~ у/Ё, в первую очередь искажается область вблизи потен-
циала плазмы. Далее рассмотрим вид зондовой характеристи-
ки в магнитном поле, обращая особое внимание на условия, в
которых возможно измерение ФРЭ.
2.7.1. Зондовая характеристика в магнитном поле
Работа зонда при xe>t- > 1, когда необходимо учитывать диффу-
зионное движение заряженных частиц в магнитном поле, рас-
смотрена, в частности, в [72-75]. Наиболее корректное рассмо-
трение приведено в [75], которое ниже будет кратко изложено.
Рассматривается зонд в форме вытянутого эллипсоида вра-
щения с большой полуосью b, направленной вдоль магнитного
поля, причем между длинами Ь и малой полуоси а выполня-
ются неравенства
Ь Ь
Хе < < (1 + Z;)1/2
Как указано в [75], такая форма дает возможность получить
наиболее подробную информацию о свойствах плазмы.
Рассматривается слабоионизованная плазма, которая опи-
сывается гидродинамическими уравнениями типа (2.38) для ио-
нов и электронов. Отличие, в первую очередь, состоит в том,
что коэффициенты диффузии D в (2.38) становятся тензорами
с компонентами (см. , например, [11,12]):
г,3.
^11 = —
" "е,>
D D"
1 ’ 1 + п2„М ‘
(2.60)
Для зонда, находящегося при достаточно отрицательном
или положительном потенциале относительно плазмы, токи на-
сыщения if и if вычислены в [72,73] и имеют вид
4тгеп0 (1 + Z>eJ.iea(l - 7е)1/2
; (2-6i)
arctg
^ = -
1п
8тгеп0 (1 + 5=-) А||(72 - 1)1/2
(2.62)
где по - концентрация невозмущенной плазмы;
- Ь
4 а(1 4- ж2)1^ ’
_ 6_________Ь_
а(1 + а:2)1/2 ахе'
Эти токи собираются на зонд из различных областей простран-
ства (рис. 2.10).
Концентрация плазмы в режиме электронного тока насы-
щения возмущена в эллипсоиде с полуосями а поперек В и
ахе > b вдоль В (электронный эллипсоид) и схематично изо-
бражена как область I на рис. 2.10. В режиме ионного тока
насыщения соответствующие полуоси есть b и 6/(1 + х2)1/2
(область 77 на рис. 2.10 - ионный эллипсоид). Электронный и
ионный токи на зонд собираются из различных областей про-
странства, поскольку область перекрытия электронного и ион-
ного эллипсоидов мала.
Рис. 2.10. Схематическое изображение областей, из
которых собираются электронный и ионный токи на
зонд (заштрихован), х, < 1
Решения гидродинамических уравнений для электронов и
ионов и уравнения Пуассона вдали от области перекрытия эл-
липсоидов имеют вид [75]
п = по(1 — апе — /Згц);
(2.63)
etp = Те 1п(1 — /?nt) — Ti 1п(1 — апе),
(2.64)
где
/eBarctg[^]1/2 .
4тгеп0 (1 + Z)e±iea(l - 72)1/2 ’
(2.65)
ff(i + *?)1Я +
8тгеап0 (1 + (7t? - I)1/2 1 ( т?-1 \1/2
L
(2.66)
а - эллиптическая координата в единицах а в ’’сплюсну-
той” системе координат z' — z/xe\ & - эллиптическая коор-
дината в ’’растянутой” системе координат х' = х(1 + ж2)1/f2 ,
у' = у(1 + ж2)1/2 . Коэффициенты а = Ie/lf , /? = Д//,® пред-
ставляют собой отношения электронного и ионного токов на
зонд к значениям соответствующих токов насыщения (2.61),
(2.62). Случай а = 1, /3 = 0 соответствует электронному току
насыщения, а = 0, (3 = 1 - ионному. Полная вольт-амперная
характеристика определяется зависимостью a(V), /?(У).Если
потенциал зонда положителен, то а ~ 1 , /3 < 1. При этом в
области перекрытия профиль концентрации спадает на мас-
штабе ~ а, который мал по сравнению с размером ионного
эллипсоида. Поле в этой области тормозит ионы, и они имеют
больцмановское распределение. Потоки заряженных частиц из
плазмы, идущие на зонд, рассчитаны в [72,73]. Основной пере-
пад потенциала между зондом и плазмой сосредоточен в узком
слое вблизи зонда, где концентрация мала и задачу можно счи-
тать одномерной. Разность потенциалов как функция потока
частиц была найдена численно для плоского столкновитель-
ного слоя в [73]. Асимптотические решения, соответствующие
результатам [73] для случая малых ионных потоков, получены
в [75] для диффузионного слоя
eV(a = 1, (3 < 1) -
= Т,1п{
90поеД1±(1 - /?) Г/ва262еТ3
1/3)
Т-
+Т1П
(цВр^тЛ
+ Те1п(1 -/?);
(2.67)
+
eV(a < 1,/3 = 1) =
—Те In
90neeZ)e||(l - а)
1?а2Ь2еТ?
^Di\\Te
21 1/3)
- T, ln(l - а);
(2.68)
В случае пролетных слоев разность потенциалов между зон-
дом и плазмой зависит только от ионного потока. При отрица-
тельных потенциалах зонда [75]
eV(o < 1,/) = 1) = -T.ln (_
\ Zg a j
-T,ln(l - а),
(2.69)
где VTe = (8Те/ятУ'2 .
При положительных потенциалах зонда [75]
f 4пепоаЬр^(1 - (3)\ ,
eV(a = 1, /3 < 1) = Г, In I --------- I +
+TJn(l-/3). (2.70)
При Xi < 1 следует рш заменить на тепловой поток ПоУт,/4.
Из (2.69) и (2.70) видно, что электронный ток при а <С 1
и ионный при (3 < 1 экспоненциально растут с изменением
потенциала и уже при а,/3 = 1/е близки к бомовским I& и
I? . При значениях потенциала в интервале между Ve = V(а =
= 1/е, в = 1) и Vi = V((3 = 1/е,а = 1) на зонд текут практи-
чески оба тока насыщения. Поэтому идеализированная вольт-
амперная характеристика должна иметь вид [75], изображен-
ный схематически на рис. 2.11. Вид этот довольно сложный, и
характеристика содержит разнообразную информацию о пара-
метрах плазмы.
Температуру электронов Те и ионов 7, можно определить
по начальным экспоненциальным участкам характеристик I и
II. При этом, чтобы с помощью одной зондовой характеристики
получить обе температуры, значения токов насыщения должны
быть сравнимы.
По известным Те и Т; измерения концентрации заряжен-
ных частиц можно выполнить тремя способами: по значениям
электронного и ионного токов насыщения 7® и 7® по форму-
лам (2.61) и (2.62), а также по плато 777 на характеристике,
соответствующей разности этих значений. Значения потенциа-
лов Ve и Vi отсчитываются от потенциала пространства V54 ,
который по этим значениям определяется двумя независимыми
способами. В [75] также отмечено, что характеристики a(V),
/?(V), определяемые по (2.68), (2.69) при 0,2 < а,/3 < 0,8 с
погрешностью меньше 5% являются линейными функциями с
наклоном (1 + у/1 + Ti/Te)~2 = Te^Ie/eI^AV . Это дает воз-
можность определить температуру частиц плазмы более точ-
но, чем по экспоненциальным частям характеристики. Ширина
плато 777 в зависимости от условий может быть как мала, так
и велика. Если Те = 7\ = Т и а;,- > 1, то [75]
Те
Pi ~ Ре = —
е
, [ 0, За2^Пе , / .
In -----------In 4-
\ VTeVT, \ о/
- 0,9
(2.71)
Ширина плато будет значительна, если 7® ~ 7® или если
а ре, b VTi/i^i- При записи гидродинамических уравне-
ний для электронов и ионов предполагалось, что электроны и
ионы имеют максвелловское распределение. .
В сильном магнитном поле, в частности, когда нарушаются
условия (2.59), зонд любой формы действует фактически как
плоский, собирая заряженные частицы с поверхности, перпен-
дикулярной Н . Работа плоского зонда в поперечном магнит-
ном поле обсуждается в [76].
2.7.2. Электронный ток на отталкивающий зонд
в магнитном поле
Как было указано выше, наличие магнитного поля, в первую
очередь, приводит к анизотропии пространственного движения
заряженных частиц и уменьшению эффективной длины про-
бега электрона поперек поля, которая становится величиной
порядка ларморовского радиуса ре. В этом смысле в попереч-
ном направлении действие магнитного поля имеет аналогию с
увеличением давления нейтрального газа в немагнитной плаз-
ме. Поэтому появляется принципиальная возможность распро-
странить результаты §2.5 по расчету электронного тока на зонд
в диффузионном режиме на случай наличия магнитного поля
[57].
Поскольку в магнитном поле коэффициент диффузии ста-
новится тензором с компонентами (2.60), длины энергетической
релаксации электрона вдоль Аец и поперек Aei поля будут
различны. Из (1.50) и (2.60) следует, что Аец = Ае где Ае
определено по (1.50), a Aei = Аере/Пе = Ae/ie, и при силь-
ном влиянии магнитного поля (хе > 1) Aei < А£. В усло-
виях, когда зонд не является ленгмюровским, т.е. ларморов-
ский радиус и длина свободного пробега электрона меньше со-
ответствующих размеров зонда вдоль и поперек магнитного
поля ре < Ts± , Ае < г,ц, возможно выполнение неравенств
Aej_ rs± , Ае|| Г5Ц и существует принципиальная возмож-
ность связать электронный ток на зонд с функцией распреде-
ления в невозмущенной плазме аналогично §2.5.
Не рассматривая далее общий случай, выберем, как и в
п. 2.7.1, зонд в форме эллипсоида вращения, ориентированного
вдоль достаточно сильного магнитного поля, так что ре <С Ае,
т.е. хе 1. Будем также считать, что характерный размер
зонда и слоя меньше соответствующих длин релаксации элек-
тронов по энергиям, т.е.
rs|| = 5 + h Ае||; rs± = а + h < Aei. (2.72)
Для подобных условий ток на зонд был вычислен в [57] исходя
из следующих соображений. Будем считать, что выполняются
неравенства (2.59), когда, как показано выше, электронный ток
собирается из электронного эллипсоида с полуосями а поперек
и аХе вдоль В (см. рис. 2.10). Его размеры меньше размеров
эллипсоида ’’обеднения” с полуосями а + Aei , Ь + Аец, так что
на зонд идут электроны из области, где функция распределе-
ния является невозмущенной. Решение уравнения (2.24) с ну-
левым граничным условием на зонде /(е > eV, r)|s = 0 имеет
вид
f 9 1
/о(е, г) = /оо(е) И----------arctg(7e2 + 6)-1/2 ( ,
I 7Г )
(2.73)
где 7е = Ь/ахе [см. (2.62)], а £е - эллиптическая координата в
единицах а, определяемая согласно
-I- v2 z2
а2(1+6) ^ + а^ ’ 1 1
£е = О соответствует поверхности зонда.
Подставляя (2.74) в (2.32), для тока на зонд получаем
4<v)=lr^7£3/2/“(£)*' (2-75)
eV
Видно, что при хе 1 зондовый ток не зависит от вида часто-
ты va(e), что связано с выполнением условия Пе > иа .
Выражение (2.75) связывает электронный ток на зонд с не-
возмущенной ФРЭ и будет использовано в §3.4 для определения
энергетического распределения электронов в сильном магнит-
ном поле. Отметим, что аналогично рассмотрению, проведенно-
му в §2.5, можно получить связь между электронным током на
зонд и невозмущенной ФРЭ для произвольного хе. При этом
ток на зонд будет выражаться согласно (2.33), а для диффузи-
онного параметра получим
= 5(1 + ^>1/2 I >" (^±1) для Ь > аа; (2
8тг/ЗтпА(£)7о ( тг — arctga™ для Ь < аа,
где 0т = \а2 — У2]1/2 , У = 6/(1 + i2)1/2 , а™ - Ь'/0т .
В сильном магнитном поле, когда Ь < аа и 3> 1, из
(2.76), (2.33) получим (2.75).
2.8. Зондовая характеристика в плазме,
содержащей отрицательные ионы
До сих пор мы рассматривали электрические зонды, помещен-
ные в плазму в присутствии только положительных ионов. При
наличии отрицательных ионов зондовая характеристика изме-
няется. Качественно это изменение выглядит следующим обра-
зом. В связи с тем что скорость отрицательных ионов много
меньше скорости электронов, они практически не будут влиять
на ток положительных ионов на зонд, даже если их концен-
трация п_ в несколько раз превышает концентрацию электро-
нов пе. При этом ток отрицательных ионов будет существенно
меньше тока электронов, а последний будет изменяться при из-
менении п_ за счет изменения пе.
При увеличении концентрации п_ ток отрицательных ио-
нов становится больше тока электронов. При этом движение
положительных ионов в призондовом слое будет определяться
уже не параметрами электронного газа, а температурой тяже-
лых частиц. Ток положительных ионов i+ перестает зависеть
от ФРЭ и зависит от температуры ионов. В этом случае зон-
довая характеристика может стать практически симметричной
относительно потенциала плазмы.
При низких давлениях, когда для электронов и ионов обо-
их знаков осуществлялся бесстолкновительный режим работы
зонда, зондовая характеристика в плазме с отрицательными
ионами рассматривалась, в частности, в работах [3,9,77,84].
В обзоре [77] для зондовых измерений в плазме с элек-
троотрицательными ионами предлагается использовать плос-
кий зонд. Это связано как с простотой теории идеального плос-
кого зонда, так и с экспериментально установленной более на-
дежной регистрацией токов насыщения и потенциала плазмы.
Ток насыщения is при положительных потенциалах зонда
(V > 0) определяется током электронов ies и отрицательных
ионов i_s:
„ neVe П-V-1 ,
ts = ies + i_s = eS + —-— , (2.77)
где, как и ранее, S - площадь зонда, ve<_ - средняя скорость.
Ток насыщения положительных ионов i^s при отрицатель-
ных потенциалах зонда
, (2.78)
где дрейфовая скорость ионов, пересекающих границу слоя
объемного заряда, определяется критерием Бома [49], так что
v+s = (2eVs/M+y/2 . Напомним, что в отсутствие отрицатель-
ных ионов потенциал слоя Vs = Те/2 [см. (2.17)].
Наиболее просто потенций"4 Jzs находится из дифференци-
рования условия квазинейтральности
П-|- — Tig “Ь 71—
(2.79)
на границе слой - плазма.
При задерживающих потенциалах зонда для отрицатель-
ных частиц последние имеют больцмановское распределение
концентраций
eV
Tij - nOj е Т3' , j = е, — , (2.80)
а концентрация положительных ионов п+ определяется по
плотности тока j+ и скорости (Т+ = Т- = Т)
П+ = (2eV,/M+)V2 • (2,81)
Дифференцируя (2.79) по V и используя (2.80), (2.81) для
определения потенциала слоя Vs в присутствии отрицатель-
ных ионов, имеем [77,84] для типичного случая Т_ = Т+ = Т:
eVa _ 1 1 Т
Те ~ 2 1-а(1-Те/Т) ЗТе’
(2.82)
На рис. 2.12 показаны рассчитанные в [77] по выражению,
аналогичному (2.82), значения приведенных к Те потенциалов
слоя eVa/Te в зависимости от а = п_/п+ для различных
Те/Т. Видно, что увеличение о, а значит, и концентрации от-
рицательных ионов приводит к уменьшению Vs. При а = 0
eVa = Те/2 — Т/3 , в то время как при а = 1 eVa = Т/Ъ значи-
тельно меньше. Из расчетов следует, что при малых и больших
а значения eVa слабо меняются, а переход происходит прак-
тически скачкообразно.
Отношение токов насыщения R = i_a/i+a позволяет найти
а при известных Те, Т_ и Т+ [77,78]:
1 - а vea av.s
л ~ 1— -— + 7 ~—
4 v+a 4 v+a
В гидродинамическом режиме, когда длины пробегов отрица-
тельных и положительных ионов меньше размеров зонда, ток
(2.83)
Рис. 2.12. Зависимость приведенного зондового потенциала е-V,/Те от
п_/п+ при разных значениях Т+/Тс
насыщения при отрицательных потенциалах зонда можно най-
ти аналогично тому, как это было сделано в §2.6. Система
(2.38) - (2.40) должна быть дополнена уравнением для кон-
центрации отрицательных ионов, которая при задерживающих
потенциалах: для максвелловской функции распределения име-
ет больцмановский вид (2.80). Тогда, проведя аналогичные §2.6
выкладки, для тока насыщения j+s получим [ср. с (2.43)]:
j+s(a)an = Ь+п+[Т+ + Те(1 - а) + аТ-] X
rs
(сфера), п = 2;
(цилиндр), п = 1.
(2.84)
При п_ = 0 (2.84) переходит в (2.43). Нетрудно заметить, что
(2.43) переходит в (2.84) при замене Те +Т+ на Те + 7\- а(Те -
-Т-), где, как и прежде, а = п_/п+ .
Соответственно уравнение Пуассона в виде (2.44) и после-
дующие выкладки будут аналогичны проведенным в §2.6 с ука-
занной заменой. В итоге для радиуса слоя в плазме с отрица-
тельными ионами вместо (2.50) получим
где С3 = 388 и 3650, т = 0,535 и 0,62 для сферы и цилиндра
соответственно.
Из (2.84), (2.85) видно, что присутствие отрицательных ио-
нов приводит к изменению тока насыщения положительных ио-
нов, что необходимо учитывать в расчетах.
В заключение отметим, что общая теория тока на зонд в
плазме с отрицательными ионами разработана недостаточно.
Некоторые модельные расчеты зондовых характеристик пред-
ставлены в [8,10].
2.9. Влияние направленной скорости потока
плазмы на зондовые характеристики
При зондовых измерениях в потоках плазмы, в том числе на
ракетах и спутниках, направленное движение заряженных ча-
стиц может влиять на вид зондовой ВАХ.
2.9.1. Бесстолкновительный (ленгмюровский) зонд
Поскольку хаотическая скорость электронов велика (ve >
> 107см/с), движение плазмы влияет на электронную часть
зондовой ВАХ лишь при очень больших скоростях потока vq .
Для ионной части характеристики это влияние следует ожи-
дать при меньших vQ в силу меньшей (в у/М/т раз) их хаоти-
ческой скорости. Далее, как обычно, целесообразно выделить
случай тонкого и толстого слоев объемного заряда.
В случае тонкого слоя объемного заряда можно подобрать
геометрию зонда таким образом, чтобы направление скорости
потока было параллельно поверхности зонда. Тогда зондовый
ток будет определяться лишь хаотической скоростью частиц и
направленная скорость не будет оказывать на него влияние.
Наиболее удобно при этом использовать плоский или ци-
линдрический зонды, поверхности и оси которых соответствен-
но параллельны вектору скорости потока. Для обработки зон-
довых характеристик в этом случае справедливы изложенные
выше методы для покоящейся плазмы. Исследования, выпол-
ненные в [8,10], показывают, что для цилиндрического зонда
удовлетворительная точность достигается при а/то 100 .
Для плоского зонда, ориентированного под углом к потоку,
распространяющемуся вдоль оси х со среднемассовой скоро-
стью г>о , плотность ионного тока в предположении максвел-
ловского распределения [8]
1 + erf
(2.86)
где, как и выше, ц,- = у/2Т\/М , a uq - нормальная составляю-
щая скорости v0 по отношению к поверхности зонда.
Из (2.86) следует, что при u0 г,
_7,1 = еп;и0- (2.87)
Таким образом, измерениями с зондом, ориентированным
вдоль вектора скорости потока, можно определить концентра-
цию п,, и, далее, ориентируя зонд перпендикулярно потоку, по
(2.87) можно определить Uq .
В случае толстого слоя объемного заряда, который реализу-
ется при относительно низких концентрациях заряженных ча-
стиц, размер слоя может быть сравним или превышать размер
зонда. В предельном случае орбитального движения прибли-
женное выражение для ионного тока на цилиндрический зонд,
установленный под углом атаки 0 по отношению к потоку, име-
ет вид [1,8]
т .2/, 2eV
ii = 2еп,1?оа£ sin в — ,, 9 .
L Мго]
(2.88)
При 0 = 0 (2.88) аналогично выражению (2.16) в пределе
eV Т{ и определяет ток, который следует ожидать при па-
раллельном расположении зонда и вектора скорости потока.
При больших скоростях потока, когда Mvfi eV , (2.88) при
в = 90° переходит в выражение
г, = 2en,aZv0 % (2.89)
аналогичное (2.87).
Однако при нулевом угле атаки зондовый ток не описывает-
ся (2.88) из-за так называемого ’’концевого эффекта” [8]. Этот
эффект заключается в том, что при 0 = 0 зондовый ток может
достичь максимума, который резко уменьшается с увеличени-
ем угла атаки. При 0 = 0 ионы, проходящие через торцевую
поверхность слоя, под действием поля зонда изменяют свою
траекторию движения и попадают на зонд, увеличивая зондо-
вый ток. Концевой эффект определяется параметром [8]
л = (2.90)
TD V0
где L - длина цилиндрического зонда.
При 7] > 1 хаотический поток ионов на боковую поверх-
ность значительно превышает их направленный поток на то-
рец и концевой эффект пренебрежимо мал. Концевой эффект,
в случае его возникновения, реализуется в узком диапазоне
углов в окрестности 0 = 0, поскольку даже при Т| > 1 уже
при малых 0 налетающие через торец зонда ионы будут мало
времени находиться в области действия радиального притяги-
вающего поля и не попадут на зонд [8].
Некоторые результаты численных расчетов зондовой ВАХ
в движущейся плазме приведены в [8,10].
2.9.2. Зонд в гидродинамическом режиме
Зондовая ВАХ в потоках низкотемпературной плазмы в гидро-
динамическом режиме (режиме сплошной среды) рассматрива-
лась во многих работах, результаты которых обобщены, в част-
ности, в [8,10,85,91]. Поскольку, как уже отмечалось выше, в та-
ких условиях ВАХ теряет информацию о невозмущенной ФРЭ,
мы не будем здесь останавливаться подробно на всех возни-
кающих ситуациях. Следуя [91], кратко рассмотрим основные
положения асимптотической зондовой теории на примере ча-
сто встречающегося случая с большим числом Рейнольдса Re
и малым числом Маха М в условиях, когда
I'D < С Lx, (2-91)
vRe
где Re = v^a/Di; vq - скорость набегающего потока; a/\/Re -
масштаб толщины газодинамического пограничного слоя на
зонде; Lx - длина объемных плазмохимических реакций, на-
пример, рекомбинации, ионизации и т.п. Согласно [91], ВАХ
зонда ограничена значениями токов насыщения и линейным пе-
реходным участком между ними:
г = 4тгссг0У , (2.92)
где i - зондовый ток; ст0 - проводимость невозмущенной плаз-
мы; с - электростатическая емкость зонда, зависящая только
от его геометрии; V - потенциал зонда.
Для сферического зонда радиусом R с = R , для цилиндри-
ческого с = L/[2/ln(L/R)], для диска радиусом R с = 2Л/я,
для стеночного зонда в виде круга радиусом R , установленно-
го заподлицо на непроводящей плоскости, с = R/ir и т.д.
Таким образом, при высоких давлениях ВАХ зонда в пере-
ходной области между токами насыщения является линейной
и позволяет определить невозмущенную проводимость плазмы
<7о • В свою очередь, по ар можно определить концентрацию
электронов.
Зависимость ионного тока насыщения при этом близка к
рассмотренной в §2.6. В частности, для дозвуковых течений,
тонкого слоя объемного заряда и случая, когда химические ре-
акции заморожены
fD v А1/2
di = сещ (—— ) , (2.93)
где коэффициент d 0,5 и слабо зависит от состава плазмы
[91].
Более подробные выражения для тока насыщения в различ-
ных ситуациях приведены в [8,91].
В данной главе были рассмотрены теории электронного и
ионного токов на зонд. Основное внимание уделялось услови-
ям, когда зондовый ток несет информацию о невозмущенной
функции распределения электронов в плазме. Было показано,
что это требование выполняется до тех пор, пока длина энер-
гетической релаксации электронов больше размеров зонда. В
этих условиях для ионов может быть применимо гидродинами-
ческое описание, которое также было рассмотрено. Обратный
случай высоких давлений и сильных магнитных полей, когда
и для описания электронного газа справедливо гидродинами-
ческое приближение, нами рассматривался более кратко. Это
связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, в таких услови-
ях зондовая ВАХ теряет информацию о невозмущенной ФРЭ
и, во-вторых, континуальная теория электрических зондов по-
дробно обобщена в [8,10,91].
Глава 3
ЗОНДОВЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
В ПЛАЗМЕ
Перейдем теперь непосредственно к изложению методов опре-
деления ФРЭ в плазме. В начале данной главы рассмотрен спо-
соб измерения ФРЭ в изотропной немагнитной плазме низкого
давления, в которой электроны проходят возмущенную зондом
область пространства без столкновений. В этих условиях зондо-
вые способы определения ФРЭ наиболее надежно разработаны
и являются практически единственными широко применяемы-
ми на практике в плазменных экспериментах [3-9].
Эта часть главы является также введением к рассмотре-
нию недавно разработанных методов измерения ФРЭ при по-
вышенных давлениях и в анизотропной плазме. Далее рассмо-
трены особенности зондовых измерений в плазме в более слож-
ных условиях: в присутствии магнитных полей, плазме элек-
троотрицательных тазов и др.
Созданные к настоящему времени установки позволяют про-
водить измерения ФРЭ в присутствии интенсивных шумов и с
высоким временным разрешением. Типичные схемы зондовых
измерений также рассмотрены в настоящей главе.
Большую важность для зондовых измерений ФРЭ имеют во-
просы, касающиеся искажений и погрешностей эксперимента,
которые связаны с применяемыми методами, а также возника-
ющих из-за отклонений реальных условий в плазме от идеали-
зированных, для которых получены используемые здесь фор-
мулы. Оценки погрешностей приведены в соответствующих па-
раграфах этой главы. Дальнейший анализ этих проблем по-
зволил разработать методы коррекции результатов измерений.
Этим вопросам посвящена следующая глава.
3.1. Получение ФРЭ из зондовых характеристик
в бесстолкновительной плазме.
Формула Дрювестейна
В данном параграфе рассмотрим способы измерения ФРЭ для
классического ленгмюровского случая. Эти методы основаны
на использовании формулы (2.6), связывающей ФРЭ в плазме с
плотностью электронного тока на зонд для случая бесстолкно-
вительного движения электронов в возмущенной зондом обла-
сти. Будем предполагать пока, что все условия (см. п. а-и §2.1),
при которых выведена формула (2.6), выполняются. Как видно,
некоторые из них, например Щ д, е, з, для выполнения требуют
определенного материала зонда, выбора подходящей конструк-
ции и соответствующего расположения в плазменном объеме
держателя зонда. Возможности выполнения других условий (п.
а-г, ж, и) определяются свойствами плазмы и не нарушаются,
в частности, только при низких давлениях нейтрального газа
и не слишком малой концентрации электронов. Последствия, к
которым приводит невыполнение основных предположений (п.
а - и), возможность учета ошибок, возникающих при их невы-
полнении, и получение при этом надежной информации о виде
ФРЭ - все это представляет значительный интерес и будет рас-
смотрено в дальнейшем.
Понятно, что формула (2.6) может быть непосредственно
использована для получения ФРЭ по зависимости je от потен-
циала зонда V. Однако эта задача является непростой, что
связано в основном с двумя причинами: некорректностью ре-
шения интегрального уравнения (2.6) и трудностями выделе-
ния электронного тока из измеренного полного тока на зонд,
включающего в себя и ионный ток j = je 4- ji.
Некорректность решения уравнения (2.6) означает, что да-
же небольшие погрешности в измеренном электронном токе на
зонд могут приводить к неконтролируемым погрешностям при
получении ФРЭ. Естественно, что возможность решения некор-
ректной задачи определяется тем, насколько разработан соот-
ветствующий математический аппарат. От этого зависят тре-
бования к необходимой для удовлетворительного решения за-
дачи априорной дополнительной информации, полученной из
каких-либо других источников, а также к точности исходных
данных. Так, если дополнительная информация весьма вели-
ка, например известен функциональный вид ФРЭ, то из (2.6)
можно довольно легко определить параметры соответствующей
функции и в некоторых случаях проверить функциональную
зависимость.
На первом этапе плазменных исследований (начиная с 20-х
годов) предполагалось, что ФРЭ в плазме является максвел-
ловской или близка к ней. Это позволяло по (2.6) определять
электронную температуру Те . В настоящее время ясно, что та-
кая методика имеет весьма ограниченную область применимо-
сти, поскольку истинная ФРЭ в плазме обычно существенно
отличается от равновесной (см. гл. 1).
Развитие вычислительной техники, а также методов реше-
ния некорректных задач (см., например, [79-80]) позволило су-
щественно ослабить требования к необходимой для получения
ФРЭ дополнительной априорной информации и подтвердить
практическую возможность использования уравнения (2.6) для
непосредственного получения функционального вида ФРЭ [81-
83].
Выше упоминалось, что в экспериментах обычно измеряют
полный ток на зонд, который является суммой электронного и
ионного. Исключение составляют многоэлектродные зонды [6],
для которых, однако, трудно выдержать условия применимо-
сти формулы (2.6) из-за больших линейных размеров. Поэтому
на практике их используют редко.
Электронный ток на зонд доминирует над ионным по аб-
солютному значению только в узком диапазоне потенциалов
зонда относительно плазмы от 0 до (3 4- 5)<е>/е, где <е> -
средняя энергия электронов. Соответственно этому по измерен-
ному полному току на зонд уравнение (2.6) позволяет опреде-
лять ФРЭ только в узком энергетическом интервале вблизи
энергий ~ <£> . Для расширения энергетического интервала
определения ФРЭ на область, где |j,| > |je|, необходимо каким-
либо образом учесть вклад ионного тока. Здесь следует отме-
тить, что неизбежные, даже небольшие, отличия теоретических
значений j,- от истинных при |j,| > |je| делают эту задачу до-
вольно сложной. В простейшем случае можно аппроксимиро-
вать энергетическую зависимость ионного тока в области на-
сыщения выражением j = (aV + b)c, где а, Ь и с - некоторые
постоянные [7]. При правильном подборе этих постоянных и
при достаточном времени накопления полезного сигнала мож-
но, по-видимому, добиться удовлетворительных результатов.
Таким образом, полученная еще в 20-е годы формула (2.6)
была использована для непосредственного определения ФРЭ
путем решения обратной задачи только в 70-х годах [81-83],
когда на достаточном уровне были развиты методики решения
некорректных задач и вычислительная техника. В силу это-
го развитие зондовых методов определения ФРЭ исторически
пошло по другому пути, связанному с имевшимся в то время
уровнем экспериментальной техники и обработки результатов.
Крупным шагом на пути к зондовому определению ФРЭ в
эксперименте была формула, полученная из (2.6) в 1930 г. Дрю-
вестейном [2]. Продифференцировав дважды выражение (2.6)
по потенциалу зонда, можно получить
Из этой формулы видно, что ФРЭ в плазме связана со вто-
рой производной плотности электронного тока по потенциалу
зонда.
Естественно, что формула Дрювестейна (3.1) справедлива
при тех же условиях, что и выражение (2.6). Кроме того, по-
нятно, что в случае ее использования не устраняются отмечен-
ные выше трудности получения ФРЭ (некорректность задачи
и влияние ионного тока), так как операция дифференцирова-
ния также некорректна, а в конечный результат вносит вклад
вторая производная ионного тока на зонд j". Однако уже в
30-е годы разработанные экспериментальные методы [2] полу-
чения производных позволили находить вторую производную
плотности тока на зонд j" радиотехническими способами на
достаточно хорошем уровне. Кроме того, при отрицательных
потенциалах зонда ионы ускоряются в призондовом слое и ион-
ный ток слабо зависит от V , в то время как электроны оттал-
киваются и зависимость je(V) носит резкий (экспоненциаль-
ный для максвелловской ФРЭ) характер. Это автоматически
ведет к исключению влияния части ионного тока, в том числе
соответствующей выражению ji — aV + b. Таким образом, в
большинстве практически важных случаев j" превосходит по
абсолютному значению j" на большем интервале потенциалов
зонда (т.е. энергий электронов), чем |je| превосходит |j,|.
Высказанные выше соображения привели к тому, что в по-
следующие годы в основном развивались методы определения
ФРЭ в бесстолкновительном режиме, основанные на формуле
Дрювестейна. Поэтому именно они преимущественно исполь-
зовались на практике до настоящего времени, и в дальнейшем
изложении им будем уделять основное внимание. Фактически
сведение задачи решения интегрального уравнения к операции
дифференцирования является тем математическим приемом,
который позволяет проводить измерение ФРЭ эксперименталь-
ными методами, хорошо развитыми на практике. В то же вре-
мя в настоящее время ясно, что оба метода [решение инте-
грального уравнения (2.6) или операция дифференцирования
(3.1)] при правильно проведенном эксперименте дают близкие
результаты.
Таким образом, резюмируя сказанное, отметим, что вплоть
до настоящего времени в практических работах по измерению
ФРЭ в основном используется метод Дрювестейна. Для не-
го имеет существенное значение методика нахождения второй
производной тока на зонд. Этот вопрос рассмотрен далее в §3.5.
Однако использоваться метод Дрювестейна может только при
низких давлениях (до нескольких сотен паскалей). Поэтому
представляет интерес разработка метода получения ФРЭ при
более высоких давлениях.
3.2. Получение ФРЭ из зондовых характеристик
в кинетическом режиме. Общий случай
промежуточных и высоких давлений
Рассмотренная ранее в §2.5 кинетическая теория электронного
тока на зонд в изотропной немагнитной плазме при Ае Э- а 4- h
позволяет существенно расширить применимость зондового ме-
тода определения ФРЭ на область промежуточных и высоких
давлений. Она также включает как частный случай бесстолк-
новительную плазму и позволяет единым образом связать элек-
тронный ток на зонд и невозмущенную ФРЭ в условиях, когда
длина энергетической релаксации электронов превышает раз-
меры возмущенной области.
Как показано в §2.5, при А£ a + h зависимость плотности
электронного тока на зонд от его потенциала дается соотноше-
нием
ОС
je = Cj I K(E,V)f(E)dE , (3.2)
eV
eV
(3-3)
где Cj = 87re/3m27o, а ядро этого интегрального уравнения
имеет вид (2.33). Для степенной аппроксимации частоты упру-
гих столкновений (1.57) при п = 3/2 или в практически важ-
ном случае тонкого слоя объемного заряда h <С а при реаль-
ных п > —1/2 (см. §2.5)
tf(£,V) = ——
1 + V’o
параметр диффузии
(3.4)
где С = 1 для сферы и С = In | для цилиндра.
Как уже отмечалось в §2.5, из (3.2) следуют известные пре-
дельные случаи. Для зонда Ленгмюра (-00 1), пренебре-
гая вторым слагаемым в знаменателе (3.3), получаем формулу
Ленгмюра (2.6) и двойным дифференцированием по потенциа-
лу приходим к формуле Дрювестейна (3.1) (при этом 70 = 4/3 ).
При Ае С а 4- h С А£, что соответствует V’o > 1 ? прене-
брегая единицей в знаменателе (3.3), получаем результат диф-
фузионной теории [57]. В этом случае ФРЭ пропорциональна
первой производной электронного тока на зонд
= > = <3-5’
Отметим, что в этом случае je не зависит от 70, поскольку,
как видно из (2.31), случай т/’о 1 соответствует нулевому
граничному условию на зонде, использовавшемуся в [57].
Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, в настоя-
щее время для экспериментального получения ФРЭ наиболее
широко применяются методы, основанные на измерении произ-
водных зондовых ВАХ. При использовании этих методик неиз-
бежно возникают искажения, связанные с отличиями предель-
ных формул (3.1) и (3.5) от (3.2). Эти отличия можно учесть
введением соответствующих аппаратных функций, что будет
рассмотрено в гл. 4. Здесь же рассмотрим подробнее условия
применимости формул (3.1) и (3.5) при изменении отношения
а/Ае для типичных ФРЭ в плазме.
3.2.1. Определение ФРЭ по первой и второй
производным электронного тока на зонд
Рассмотрим случай тонкого слоя h < а, когда для А'(е,У)
справедливо выражение (3.3). Влияние толщины слоя объем-
ного заряда на измерение ФРЭ рассмотрим отдельно. Первая и
вторая производные зондового тока (3.2) по потенциалу имеют
вид
ОО
Л(Ю = -Ci j 7C(s, V)/W*; (3.6)
eV
j"(V) = Cjf(eV) - Cj1 K'^£, V)f(£)d£ , (3.7)
eV
где из (3.3) имеем
g2
A^(£’У) = [£(1 + V>o) - V-oeV]2 ; (3,8)
jfi'f? т/л_________________ /о ch
Av(^V)_ [£(1 + ^о)_^оеУ]з- (3-9)
При записи (3.6), (3.7) было учтено, что Kv(eV, eV) = О,
ТС'(eV, eV) = — 1. Далее проведем анализ для двух предель-
ных случаев V’o <С 1 и V’o 1 в различных областях энергий
е и eV .
Вторая производная при V’o С 1 . Как видно из (3.9),
при малых V’o второе слагаемое в (3.7) мало, за исключением
области вблизи потенциала пространства V —»• 0. Его относи-
тельный вклад различен в разных областях энергии, посколь-
ку при фиксированном V значение ^''(е, V) падает с ростом
е, а значение в максимуме K"(eV,eV) = — 2ip0(eV)/eV пада-
ет с ростом eV. Поскольку К"(е, V) падает с ростом eV и
е , высокоэнергетическая часть ФРЭ при малых V’o(s) хорошо
передается второй производной j". Соответствующая поправ-
ка имеет порядок 2V>o(eV)T(eV)/eV и много меньше единицы
при V’o(eV) « 1 и T(eV) < eV, где T(eV) = (dinf/d£)~y -
характерный масштаб спада ФРЭ. Поэтому при прочих равных
условиях быстро спадающая ФРЭ, у которой T(eV) мало, пе-
редается функцией j" лучше. Поскольку K"(eV, eV) растет
при eV —»• 0, отличия от ФРЭ будут велики при приближении
к потенциалу пространства даже при V’o(eV) < 1.
При малых eV главный член разложения K"(£,V) по ма-
лому параметру -фоеУ/£ < 1 имеет вид при eV —»• 0 :
и неограниченно возрастает при е —> 0 . Поскольку /(0) конеч-
но, существует значение потенциала eVj, для которого
jefeVz) = 0, как видно из (3.7). Поэтому истинный потенциал
плазмы не совпадает с потенциалом точки, в которой вторая
производная электронного тока обращается в нуль и которую
обычно принимают за потенциал пространства.
При малых V’o < 1 величину V2 можно оценить, исполь-
зуя (3.10) и считая, что главный вклад в интеграл (3.7) дает
область порядка T(eV)/2. Тогда
eV2 Т('€^ е~Д> < T(eV2). (3.11)
£
Приведем значения V2 Для максвелловской ФРЭ и произ-
вольного V>o:
^0 ... о 0,2 0,3 0,4 0,5 1 5 10 20 50
^...0 0,014 0,038 0,065 0,093 0,21 0,58 0,71 0,82 0,9
*е
Первая производная при V’o 1 • Преобразуем ядро
K'v(e, V) выражения (3.8) следующим образом:
7С;(£,У) = ^1(£,У) + А';2(£,У) =
_ _____________________________
~ (1 + i/>0)[eV + (1 + V’oXe - eV)]2 +
+ (1 + ^о)[еУ + (1 + ^о)(е-еУ)] ’ (3’12)
Нетрудно убедиться, что при больших V’o 1
Ге I"1
= (злз)
_ _________VfoeV________ У’рТ/еУ»! eV?4P V>p ( _ VA
[eV + (1 + ^о)(е - eV)]2 1 + Фо + £
где й+(е — eV) - односторонняя дельта-функция, нормирован-
ная условием
y\(E-eV)<te = 1. (3.14)
eV
Полуширина Дез функции K'v1(e, V)e/(1 + V’p) равна
Ае, = 1} • (3.15)
1 + 'Фо
Поэтому для таких фоТ(еУ)/еУ 1, когда Де2 < T(eV), т.е.
при
тО] *1 ’ (3-16)
можно заменить K'v1(e,V) согласно (3.13) и получить для
j'(eV) из (3.6) при V’o > 1
ОО
eV
Оценим вклад второго слагаемого в различных областях
энергий. Отношение
K'vi = Фо?У
Kv2 [С1 + ФоУ ~ ФоеУ]
велико (кроме eV = 0 ) при энергиях е < 2фоеУ/(1 + фо) 2еУ .
Поэтому при прочих равных условиях отличия (3.17) от (3.5)
будут увеличиваться для медленно спадающих функций /(е),
особенно когда T(eV) > 2eV. При малых eV —»• 0, т.е. при
приближении к потенциалу пространства, первое слагаемое в
(3.17) стремится к нулю, а второе конечно и при eV —> О
(1 + ФоУ ‘ (3'19)
Из сказанного следует, что, как и для второй производ-
ной при фо < 1, при фо 1 отличия первой производной
j'e от функции eV f (eV}/фо будут максимальными при малых
V -+ 0.
Используя (3.19), можно ввести поправку к (3.5), прибли-
женно учитывая область eV « 0. Таким образом, при ф0 > 1
/(eV) = ~ёу^1 + т(еУ)/(фоеУ) ’ (3’20)
Чтобы использовать (3.5) и (3.20) на практике для определе-
ния ФРЭ по первой производной электронного тока на зонд при
фо >• 1, необходимо знать положение потенциала пространства
V = 0 на зондовой ВАХ и ее производных.
Для идеальной ВАХ, имеющей ярко выраженное насыще-
ние электронного тока при V > 0 , потенциал пространства со-
ответствует нулю первой производной. Однако даже из-за. сла-
бого роста je при V > 0 j'e нуля может не достигать, т.е.
производная j'e хотя и будет убывать при переходе через по-
тенциал пространства, но нулю равняться не будет. В такой
ситуации можно поступить следующим образом. Как видно из
(3.17), (3.19), j'e(y) при некотором еУ2 имеет максимум. По-
скольку его положение определяет нуль второй производной,
дифференцируя (3.17) по V , находим при V’o > 1:
V2 /'W)V (l + V’o)2/ ’ ( '
что для максвелловской ФРЭ дает [76]
eV2 ~Tc flкТе. . (3.22)
Таким образом, для больших V’o > 1 максимум первой про-
изводной, или нуль второй производной зондового тока, отсто-
ит от истинного потенциала пространства на значение порядка
Те. На практике целесообразно использовать расчеты, приве-
денные на с. 109.
Проведенный выше анализ можно проиллюстрировать пу-
тем решения модельных задач, которые позволяют также про-
вести и количественную оценку возможных искажений при из-
мерении ФРЭ по первой и второй производным электронного
тока на зонд. Выражения (3.6) - (3.9) позволяют рассчитать
первые и вторые производные электронной части ВАХ для лю-
бых модельных функций распределения и произвольных зави-
симостей V’o(e) •
Учитывая, что, с одной стороны, максимальные расхожде-
ние возникают вблизи потенциала пространства, а с другой -
сечения упругих столкновений при малых энергиях постоян-
ны [15], далее, для конкретности, будем полагать, что V’oCA —
= const. Данные расчеты будут справедливы и в случае, если
Рис. 3.1. Решение модельной зада-
чи для максвелловской ФРЭ:
-------модельная ФРЭ;
-------расчет ln(—ieV’o/e);
1 - Vo = 1;
2 - Vo = 5 ;
3 - Vo = 20
характерный масштаб спада ФРЭ Т(е) меньше соответству-
ющего изменения V’o(s) • Нами были выполнены расчеты для
типичных ФРЭ в плазме: а) максвелловская ФРЭ; б) функция
типа ’’максимум”; в) функция типа ’’ступенька”. Случай б) реа-
лизуется, например, в стратах, а также в послесвечении низко-
го давления в результате возникновения быстрых электронов
за счет процессов пеннинговской ионизации и ударов 2-го ро-
да; случай в) - в пучковой плазме, а также в послесвечении
повышенного давления.
Результаты некоторых расчетов приведены на рис. 3.1 - 3.4.
Из расчетов следует, что для максвелловской ФРЭ (рис. 3.1)
при V’o > 5 погрешность в определении температуры и кон-
центрации электронов по первой производной не превосходит
10%. Для второй производной (рис. 3.2) уже при небольших
фо возникают существенные искажения ФРЭ в области ма-
лых энергий. Если для определения температуры при фо 1
использовать энергии eV > 2Те, то погрешность ее опреде-
ления не будет превосходить 10%. Рисунок 3.3 подтверждает,
что вторая производная воспроизводит /м типа ’’максимум”
(/м ~ ехр(—о(е — £о)2) с погрешностью определения концентра-
ции электронов 50% до значений фо ~ 5 при а = 1, eq — 20.
Рис. 3.2. Решение модельной за-
дачи для максвелловской ФРЭ:
-------------- модельная ФРЭ;
-------расчет In i" ;
1 - Vo = 0, 3 ;
2 - Vo = 1;
3 — Vo — 2
Для первой же производной этот критерий выполняется при
-фо 30 . Искажения второй производной ФРЭ увеличиваются с
уменьшением £о и увеличением ширины максимума. Для пер-
вой производной наблюдается обратная тенденция. Из данных,
приведенных на рис. 3.4, можно сделать вывод, что для опре-
деления концентрации электронов с погрешностью 50% при на-
личии /м типа ’’ступеньки” (/м ~ [1 4- еа(е_е°)]_1) по первой
производной требуются фо 10, а по второй фо 0,5 (при
£о = 15, а = 2). Если /м плавно спадает от нуля до £о , то
искажения как по первой, так и по второй производной умень-
шаются.
Решение модельных задач подтвердило все выводы, сделан-
ные при качественном анализе поставленной проблемы. Сум-
мируя, можно сказать, что область возможного применения ме-
тодики определения ФРЭ по второй производной фо 1, а по
первой фо 10. Погрешности, присущие этим методикам, су-
щественно зависят от диапазона энергий при измерении ФРЭ и
ее вида. Таким образом, в широком диапазоне параметров диф-
фузии фо для конкретных видов энергетической зависимости
ФРЭ методики их измерений по первым и вторым производ-
ным зондового тока обладают определенными систематически-
ми погрешностями. Поэтому представляется важным рассмо-
треть возможности получения ФРЭ путем решения интеграль-
ного уравнения (3.2), следующего из кинетической теории зон-
дового тока.
3.2.2. Восстановление ФРЭ решением интегрального
уравнения при помощи регуляризующих
алгоритмов
Кратко напомним основные методы, используемые для восста-
новления ФРЭ из интегрального уравнения Вольтерра (2.6) при
помощи регуляризующих алгоритмов [80,82]. Эта задача может
быть сформулирована в виде линейного операторного уравне-
ния
Kf=F,
(3.23)
и для его решения необходимо применение одного из методов
регуляризации. При этом можно использовать [82]:
Рис. 3.4. Решение модельной за-
дачи для ФРЭ типа ступеньки:
--модельная ФРЭ;
--—-----{'^фо/е ;
точки -- i" ;
1 - фо = 5 ;
2 - фо = 20 ;
3 - фо = 50 ;
4 - Фо = 0,3 ;
5 - фо = 0, 5
а) метод Тихонова [78] с выбором параметра регуляризации
а по невязке
Ца’/“ - f||2 = Д2, (3.24)
где А - оценка погрешности правой части уравнения (3.24);
б) метод статистической регуляризации [79] с выбором а
путем решения уравнения
= Sp^A'+WA'+aJl)-1} + (fa,ilfa) , (3.25)
где К+ - сопряженная матрица; Sp - символ следа матри-
цы; Я - стабилизатор; W - матрица ковариации для F; п -
размерность вектора f;
в) модифицированный итерационный метод Крянева [80] с
алгоритмом поиска решения
(A'+L)/(n) = А/(п-1) + ^, (3.26)
где L - некоторый стабилизующий оператор, например по
Тихонову, а завершение итерационного процесса определяется
уровнем погрешностей исходных данных.
Отметим также, что схемы регуляризации, основанные на
понятии нормального решения [78,80], позволяют, в принципе,
восстанавливать ФРЭ в области энергий, превышающей энер-
гетический интервал измерения зондового тока. Применитель-
но к ленгмюровскому зонду нахождение ФРЭ непосредственно
Рис. 3.5. Восстановление максвел-
ловской ФРЭ из реше-
ния интегрального уравнения при
V'o = 1 :
1 - модельная ФРЭ; 2 -- результат
решения (3.2) с ядром (3.3)
из решения интегрального уравнения (3.2) с ядром А'(е,У) =
= е — eV применялось в [81,83].
Нами была рассмотрена возможность получения ФРЭ из
(3.2) в широком диапазоне изменения V’o при типичной для
современного эксперимента погрешности измерения зондовой
ВАХ. Решение (3.2) находилось при помощи регуляризующих
алгоритмов, разработанных А.Н.Тихоновым. Программа реше-
ния этого уравнения на ЭВМ была составлена в ВЦ МГУ
Е.А.Кралькиной, которая и провела ряд модельных расчетов.
При этом не ставилась довольно сложная задача построения
алгоритма для выбора оптимального значения параметра сгла-
живания «о, соответствующего уровню шума в измерении.
Важно было рассмотреть принципиальную возможность реше-
ния (3.2) при различных V’o • Поэтому параметр V’o задавался
как внешний при решении уравнения (3.2) и в диалоговом режи-
ме с ЭВМ сравнивались полученные в результате вычислений
решения с модельной функцией.
В качестве примера на рис. 3.5 - 3.7 приведены результаты
решения ряда модельных задач. Относительная погрешность,
набрасываемая на модельную ВАХ, во всех задачах составляла
0,6%.
Рис. 3.6. Восстановление макс-
велловской ФРЭ из решения ин-
тегрального уравнения при V'o =
= 20 :
' 1 - модельная ФРЭ; 2 - резуль-
тат решения (3.2) с ядром (3.3)
Было найдено, что для максвелловской ФРЭ при = 1
(рис. 3.5) погрешность определения средней энергии Ё модель-
ного распределения составляет ~ 7%, что в 4-5 раз меньше,
чем при получении £ как интеграла от г" с соответствующим
весом с учетом только систематической погрешности. Напо-
мним, что, не применяя математической обработки результатов
измерений г", при таком уровне шума вообще нельзя получить
информацию даже о качественном виде ФРЭ.
Из рис. 3.6 видно, что максвелловская ФРЭ хорошо восста-
навливается и при ф0 = 20. Погрешность определения £ со-
ставляет « 8%, что приблизительно равно соответствующей
систематической погрешности при вычислении £ из результа-
тов измерения первой производной.
Расчет показал, что /м типа прямоугольника при ф0 = 0,1
(рис. 3.7) хорошо восстанавливается из решения (3.2). Погреш-
ность определения концентрации электронов составляет 10%,
при этом удовлетворительно передается общий вид /м. При
ф = 10 прямоугольная /м восстанавливается со значитель-
ными искажениями вида ФРЭ в области малых энергий, кон-
центрацию электронов можно определить с погрешностью до
двух раз. Расчеты показали, что для данной /м погрешности
при восстановлении ФРЭ из решения интегрального уравнения
соответствуют систематическим погрешностям получения ФРЭ
по первой и второй производным при приведенных значениях
Фо- , .
Рис. 3.7. Восстановление ФРЭ типа
ступеньки из решения интегрального
уравнения:
1 - модельная ФРЭ; 2,3 - результат
решения (3.2) с ядром (3.3); 2 - ,^о =
0,1 ; 3- = Ю
Таким образом, результат решения модельных задач позво-
ляет сделать вывод о том, что в широком диапазоне 0,3
применение метода получения ФРЭ из решения ин-
тегрального уравнения (3.2) улучшает ее восстановление. Так,
для максвелловской ФРЭ погрешность нахождения ее параме-
тров из решения уравнения (3.2) в 2-4 раза меньше соответству-
ющих погрешностей измерения по первой или второй производ-
ным ВАХ. Для модельной функции типа ’’ступенька” погреш-
ности рассмотренного метода не превосходят систематические
погрешности получения ФРЭ по первой и второй производным
в указанном диапазоне V’o •
Для широкого внедрения в практику зондовых измерений
метода восстановления ФРЭ из решения интегрального урав-
нения, по-видимому, следует разработать надежные алгорит-
мы выбора оптимального значения параметра регуляризации
в соответствии с получаемой в эксперименте информацией о
погрешности измерения ВАХ.
3.2.3. Получение ФРЭ путем точного решения инте-
грального уравнения
Обычно энергетические зависимости V’o(s) являются более сла-
быми по сравнению с изменением /(е) , поэтому вначале будем
полагать параметр диффузии V’o постоянным. Далее это огра-
ничение будет снято. '
Замена переменных [86]
eV = е1, V€[0,oo), z € (-00,00);
е = е*, е € [0,00), (-00,00) (3.27)
приводит уравнение Вольтерра 2-го рода (3.2) с ядром (3.3) к
уравнению с разностным ядром
h(x) = У К(х — t)g(t)dt, (3.28)
X
где
1 - ех~1
КСх - /) = ----г---------. (3.29)
Тогда в новых переменных h(x) = je(ex); g(t) = е2< /(е<) •
Для решения уравнения (3.28) используем преобразование
Фурье [98]. Поскольку уравнение (3.28) является уравнением
типа свертки, для фурье-образов имеем
F[/1](w) = F[A'](u,).F[!7](u,). (3.30)
Тогда, выполняя обратное преобразование Фурье с последую-
щей заменой переменных р = io;, в итоге получаем
<т+1оо
ff( )-27ri J F[K](p)dp’ (3’3 }
<7—ioo
где a > 0 .
Рассмотрим подробнее фурье-образы, Входящие в (3.31):
ОО •
/1 ________
Л + *>(1-е-)* =
О
00
1
1 + V’o
Ер-г
E - 1 .
-----de
E - a
(3.32)
где a = ^о/(1 + V’o) • Эта функция регулярна в области Rep <
< 0 . Разложив (е — а)-1 в ряд, который сходится в силу усло-
вия а < 1 и е > 1, после интегрирования в (3.32) в итоге
получим
ВДМ = (3.33)
1 + V>o
где
1 00 ак
= + (а - 1) k , (3.34)
р к=ор К 1
уже определена на всей комплексной плоскости. Для F[/i](p)
имеем
ОО оо
F[h](p) = [ h(x)e~pxdx = I je(V)V-p~ldV ,
(3.35)
откуда видно, что функция F[A](p) регулярна в области
Re р < 0 .
Из (3.3.1) с учетом (3.33) - (3.35) для искомой функции рас-
пределения /(е) получаем точное решение уравнения (3.2) с
ядром (3.3) [86]:
(3.36)
где
ОО
Л?) = J jeWV-r-'dV,
О
(3.37)
а А\(р) выражается согласно (3.34). Таким образом, мы по-
лучили выражение для ФРЭ через зависимость электронного
тока на зонд.
Интегрируя по частям (3.37), можно записать 7(р) относи-
тельно любой измеряемой производной электронного тока:
00 оо
Кр) =U AmV-’dV = —!— [ j'e'(V)V-^dV (3.38)
pj р(р- 1) J
о о
и т.д.
Из (3.36) с использованием (3.38) вытекают рассмотренные
выше предельные случаи. При "С 1, а ~ 0 и l + V’o — 1 для
Ki(p) (3.34) имеем A'i(p) = [р(р - I)]-1 и
<7-|-ioo
/w = гй I s"~Up х
о—ioo
00
X j j'^V-^dV = j"(£). (3.39)
о
При V’o > 1, а — 1 ~ 0, A'i(p) ~ р-1 и
<т + 1ОО
<7—ioo
оо
X Jj'(V)V~pdV = -^j'(£). (3.40)
о
Проанализируем функцию A'i(p) (3.34), которая, как не-
трудно показать, возрастает в области Rep < 0 и, следова-
тельно, не имеет там корней. Как видно из (3.34), А\(р) имеет
разрывы в точках рп = п , где п = 1,2,3,..., оо , между кото-
рыми и находятся ее корни, которые обозначим рк .
В практических расчетах бесконечный предел суммирова-
ния по к в (3.34) целесообразно ограничить большим, но ко-
нечным номером N . Чтобы отличить подобную функцию от
А\(р), обозначим ее . При N —> оо разность |А\(р) -
-A'i/v(p)| —> 0. Преобразуем A'i/v(p) к виду
А'ъу(р) =
Qn-i(p)
п£=0(р-*- 0 ’
(3.41)
где Q;v-i(p) - полином степени TV — 1 . Очевидно, что даже
нули функций A"i;v и Qn-i совпадают между собой и лежат
в интервалах (к, к + 1), где к = 1,2,3... Поскольку число
таких интервалов равно TV — 1, других корней у Qn-i , а, сле-
довательно, и у А’1д,(р) нет. Из сказанного вытекает важное
следствие, что все корни pt функции Кщ вещественные и
простые.
Используя теорему о вычетах [98], в итоге имеем
N
f^ = ^Ck^-\ (3.42)
fc=i
где
Л11У\Рк)
а 1(рк) являются значениями аналитического продолжения
функций (3.37) и (3.38) в область р > 0 вычисленных в точках
Рк Для их нахождения можно поступить следующим образом.
Предполагая, что р < 0 , /(р) (3.37), (3.38) находятся в анали-
тическом виде, а затем полученные выражения используются
для нахождения 1(рк) Если же интегралы (3.37), (3.38) не бе-
рутся в явном виде, то зондовый ток или его производные ап-
проксимируются такими функциями, интегралы (3.37), (3.38)
от которых имеют известное аналитическое продолжение.
Проиллюстрируем этот метод на решении модельных за-
дач. Для определенности /(е) будем находить через первую
производную j’e(V). Для максвелловской функции (/(е) =
= ехр(—е/Т,.)) аналитическое выражение для первой произ-
водной j'e является сложным. Поэтому для вычисления ин-
тегралов (3.38) по методу наименьших квадратов (МНК) j'e(V)
аппроксимировалась функцией вида
j:(V)--=(b + cV)e-“v, , (3.44)
где потенциал V измеряется в единицах Те, а константы а, 6, с
есть параметры аппроксимации. Тогда
ОО
Д?)=- / j:(V)V-PdV = -aPr(-p)pf- + (l-p)4>) (3.45)
р J \а а/
о
где Г(р) - гамма-функция [98]. В итоге коэффициенты Ск
(3.43) имеют вид
= /(Pfc)(l + V>o) =
Рк^ш(Рк)
/(pfc)(l + V>o)
(3.46)
Рк
N , . \п
1 । 1 V' ( 0о, ) 1
рТ ' 14-00 \ 14-00 / (pit-n-I)2
К П=и
Число членов ряда N в (3.46) выбирается в зависимости от
требуемой области энергий, в которой восстанавливается ФРЭ.
Например, для интервала [0 -г 5Те] достаточно взять N = 20 .
На рис. 3.8 представлены результаты расчета /(е) по (3.42)
с коэффициентами Ск (3.43) для максвелловской ФРЭ при
фо — 0,1; 1; 10, а также по первой и второй производным зон-
дового тока. Видно, что в отличие от расчета по j'e и j" разра-
ботанная выше методика позволяет практически идеально вос-
станавливать ФРЭ в широком диапазоне изменения параметра
диффузии фо
Отметим, что экспериментальное нахождение ФРЭ как из
интегрального соотношения (3.2), так и по первой и второй про-
изводным зондового тока является типичной задачей, неустой-
чивой к погрешностям измерений [78]. Поэтому важным явля-
ется вопрос о влиянии погрешностей измерения j'e на качество
восстановления ФРЭ. Не останавливаясь в данном пункте на
подробном анализе всех имеющихся при этом проблем, огра-
ничимся примером для максвелловского распределения. При-
веденные на рис. 3.8 результаты расчета с учетом случайной
погрешности j'e 5% показывают, что данный алгоритм облада-
ет высокой устойчивостью к погрешностям в исходных данных.
Для функции типа ’’ступенька” (/(е) = 0(fio - е)) ]'е(У)
аппроксимировалась полиномом третьей степени
j'(V) = а + bV + eV2 + dV3 .
(3-47)
Тогда
W =
a
1 - P
+
Ьео
2-P
egg , dE3
3 — p 4 - p
(3.48)
Рис. 3.8. Решение модельных задач для максвелловской ФРЭ при различ-
ных значениях параметра диффузии Vo :
1- In Ум ; 2- In f по (3.42); 3- ln(-;'Vo/e)
Результаты расчетов, приведенные на рис. 3.9, также показы-
вают высокую эффективность предложенного в [86] метода.
В случае, когда аппроксимация j^(V) одной функцией на
всем промежутке ее изменения затруднена или невозможна, це-
лесообразно использовать аппроксимацию j'(V) [или jg(V),
je(V') ] полиномами п-й степени, которые, как известно, с до-
статочной точностью аппроксимируют практически любые
функции.
Если j'e(V) представима в виде полинома n-й степени, то
при Rep > 0 формально возникает расходимость интеграла
У(р) на верхнем пределе (см. ниже (3.50) при k - р + 1 > 0).
Рис. 3.9. Решение модельных задач для ФРЭ типа ”ступенька”:
1 - модельная функция; 2 - f по (3.42); 3 - j" ; 4 - —j»Vo/e ;
----- - Vo = 1 ;-------Vo = 0, 5 ; ..'• - Vo = 5
Однако, поскольку je, j'e и j" обращаются в нуль на бесконеч-
ности, в реальной ситуации всегда можно выбрать такое значе-
ние потенциала Vo 5 при котором j'e практически упала до нуля
в том смысле, что вклад от оставшейся части интеграла (3.38)’
меньше наперед заданной погрешности. Тогда в (3.38) верхний
предел интегрирования можно заменить на Vo , что ниже и бу-
дем предполагать.
После аппроксимации j'e на промежутке [0, Vo] полиномом
n-й степени
п
= (3.49)
fc=0
интеграл (3.38) вычисляется аналитически и записывается в
виде
1 п
= ° X-’’- (3-50)
*-р+1
Таким образом, задача численного нахождения / по (3.42)
свелась к следующей процедуре. При заданном V’o находят-
ся корни рк функции Кцу (3.41) (к = 1,2,которые
при подстановке их в (3.50) позволяют вычислить Ik • Далее
по (3.43) находят коэффициенты Ск и по формуле (3.42) - ис-
комую функцию распределения /. Решение модельных задач
по предложенной методике, аналогичное проведенному выше,
показало высокую эффективность восстановления ФРЭ.
Нетрудно убедиться, что данный способ нахождения ФРЭ
требует знания зондового тока и его производных во всей обла-
сти изменения от V = 0 до V = Vq. В то же время для
практических целей желательно иметь возможность восстана-
вливать ФРЭ на более узком измеряемом интервале [VS, Vb] по-
тенциалов зонда.
Как известно из теории интегральных уравнений [98], из
уравнения Вольтерра 2-го рода типа je(V) = K(£,V)f(e)dE
можно восстановить f на любом промежутке [Vfc, Vb], если из-
вестно значение je на промежутке [VS, Vb], где VS > VS .
Применительно к уравнению (3.2) этот факт был проиллю-
стрирован на примере решения модельных задач. В качестве
модельных выбирались максвелловская /Дб) = ехр(-£/Те) и
функция типа ’’максимум” /2 = ехр(-(е - Ео)2/Т2) , для кото-
рой по (3.2) на промежутке [VS, Vb] рассчитывались значения
j"(V) или j'e(V). В качестве Vb выбирались такие значения
потенциала, при которых j"(^o) или j'(Vb) уменьшались при-
мерно в к = 100 раз. Такой выбор Vb связан с тем, что, как
показали вычисления, при увеличении к ухудшается точность
аппроксимации j'e полиномом около значения Vb . Далее вели-
чины j'e или j" на промежутке [VS,Vb] аппроксимировались
по (3.49), рассчитывались Ск по (3.43) и /(pt) по (3.50), и в
итоге восстанавливалась / по (3.42)
Некоторые результаты решений модельных задач для раз-
личных параметров диффузии V’o и интервалов восстановлё-
Рис. 3.10. Решение модельных задач для ФРЭ типа "максимум” ( фо = 5 ,
Vi = 10 В, Vo = 17 В):
1 - модельная ФРЭ; 2 - расчет по (3.42); 3 - j'e > 4 ~ —ЗеФо/е
Рис. 3.11. Решение модельных задач для ФРЭ типа "максимум” (фо = 1 ,
Vi = 10 В, Vo = 17 В):
1 - модельная ФРЭ; 2 - расчет по (3.42); 3 - j'c; 4 ~ ~3сфо/е
ния ФРЭ [Vi, Vo] представлены на рис. 3.10 - 3.12. Там же нане-
сены результаты предельных формул по первой j'e (V>o > 1)
и второй производным j" (V’o < 1) •
Из рисунков видно, что в интервале [Vi,Vq], где задава-
лись значения j'e или j", ФРЭ практически идеально восста-
навливается по разработанной выше методике. Отметим, что
вне интервала [У1,РЬ],где j'e или j" не определялись, восста-
новленные / могут существенно отличаться от модельных. За-
метим также, что если при значениях Vq j'e или j" не близки
к нулю, то рассматриваемое интегральное уравнение не соот-
ветствует исходному (3.2). В этом случае использовать решение
(3.42) для восстановления ФРЭ на конечном интервале нельзя.
Следует отметить, что случайная погрешность (менее 5%), ко-
торая набрасывалась на j'e или , практически не влияла на
результат восстановления /(б), поскольку j'e или j" аппрок-
симировались по методу наименьших квадратов.
Для того, чтобы иметь возможность восстановления ФРЭ на
любом интервале энергий, можно воспользоваться следующей
0,05
0>
J
1
_L
4
б
7
5
Рис. 3.12. Решение модельной задачи для максвелловской ФРЭ ( фо = 1 ,
eVj = ЗТе , eVo = 8Те ):
1 - модельная ФРЭ; 2 - расчет по (3.42)
процедурой. Сначала по рассмотренной выше методике восста-
навливается ФРЭ в интервале [Vi, Vo] > где потенциал Vo выби-
рается из условия обращения тока или его производных в нуль,
далее рассчитывается зондовый ток от ступенчатой функции
/(е)0(е -- eVi) [0(ж) - функция Хевисайда] и вычитается его
значение от значения полного тока. Тогда j(Vi) станет рав-
ным нулю и можно воспользоваться выражением (3.42) в сле-
дующем интервале энергий [V2,Vi] и тем самым снять ограни-
чение на ток при верхнем значении потенциала.
Напомним, что все приведенные выше формулы получены в
предположении постоянства параметра диффузии , что, как
видно из (3.3), справедливо лишь при постоянной длине свобод-
ного пробега электрона А(е) . В реальной ситуации всегда мож-
но выбрать такой интервал энергий, где А практически посто-
янна. Поэтому, разбивая интересующий интервал энергий на
несколько частей, можно восстановить /(е) по разработанной
выше методике при реальной зависимости А(е) . Таким обра-
зом, данная методика позволяет снять ограничение на приме-
нимость формулы (3.36), связанное с условием V’o(s) = const.
Итак, выше была предложена следующая процедура для
восстановления ФРЭ из (3.2). Экспериментально регистриру-
ется зависимость электронного тока на зонд je или его произ-
водных j'e, j" по потенциалу зонда в интересующем диапазоне
энергий до тех значений Vo, где j'e или j" практически упали
до нуля. Далее этот интервал разбивается на части, в которых
можно считать параметр диффузии константой, выбирается са-
мый крайний промежуток [Ц, Vo] ив нем восстанавливается
/(е) по предложенной выше методике. Далее восстанавливает-
ся /(е) в следующем интервале энергий и т.д.
Таким образом, в данном пункте представлено точное ре-
шение интегрального уравнения (3.2) с ядром (3.3) для произ-
вольного значения фо = const [86], позволяющее разработать
методику определения ФРЭ в плазме при промежуточных и вы-
соких давлениях. Данная методика позволяет восстанавливать
ФРЭ произвольных энергетических зависимостей в любом за-
данном интервале энергий для реальных энергетических зави-
симостей параметра диффузии.
3.2.4. Влияние слоя объемного заряда на
измерение ФРЭ
В предыдущих пунктах данного параграфа был рассмотрен
случай тонкого слоя объемного заряда (/г а), когда пара-
метр диффузии ^>(е, V) в (2.34) имеет вид (3.4), т. е. влиянием
радиального потенциала в слое на вид зондовой ВАХ можно
пренебречь. Далее проанализируем влияние профиля потенци-
ала у>(г) на параметр y>(s,V) цилиндрического зонда.
Зависимость <р(г) в приближении слоя объемного заряда
получена выше в §2.6 и выражается согласно (2.47). Исполь-
зуя аппроксимацию радиуса слоя объемного заряда (2.50), для
у>(г) можно записать приближенное выражение, которое проще
при вычислениях, чем (2.47), и имеет хорошую точность
, \ т/ (rslr - 1\0’62 г
= V (^й) «
Графики у>(г) при различных rs приведены на рис. 3.13. Из
них видно, что, как уже отмечалось выше, основная часть пере-
пада потенциала в слое сосредоточена в узкой области вблизи
поверхности зонда. При малой толщине слоя объемного заря-
да для цилиндрического зонда можно использовать линейную
аппроксимацию <^(г).
(3.51)
Рис. 3.13. Расчет профиля ради-
ального потенциала в слое объ-
емного заряда для цилиндриче-
ского зонда:
1- rs/a = 2; 2- rs/a. = 10; 5-
тsI<i = 30 ; 4 - аппроксимация
¥>(r) = Vy/a/y/r
Рис. 3.14. Расчет параметра
диффузии V) с учетом ра-
диального потенциала для ци-
линдрического зонда:
1 - rs/а = 2; 2 - rs/a = 10 ;
3 - rs/a = 30 ; 4 ~ аппроксима-
ция v’(r) = Vy/a/y/r
Учет у>(г) приводит к тому, что диффузионный параметр
становится функцией от V и Е. При А(е) = const с использо-
ванием (3.51) из (2.34) для •ф(У,Е') имеем
V>(V,e) =
(3.52)
Графики функций ^>(V/e) , рассчитанные для различных
rs при типичном ,1/а = 100, приведены на рис. 3.14. Из них
видно, что максимальные отличия -ф(у/Е) от = const на-
блюдаются при £ ~ eV и возрастают с увеличением rs • Зна-
чения -ф^У/е) асимптотически стремятся к при еУ/s—>0.
Указанные закономерности отражают тот факт, что если энер-
гия электрона, попадающего в слой из невозмущенной плазмы,
£ eV , то при его движении к поверхности зонда можно пре-
небречь отличием кинетической энергии от полной. В случае
£ ~ eV этого сделать нельзя.
Графики ф(у I £) характеризуют влияние у>(г) на вид зон-
довой ВАХ и ее производной. При малых отличиях ф(у/£} от
фо (малые г$) расчеты j" и j" будут близки к соответству-
ющим вычислениям при ф = const. С увеличением rs расхо-
ждение с расчетами при ф = const должны возрастать.
Поскольку в знаменателе выражения (2.33) ф(У,£) имеет
множитель (1 — V/e) и их произведение стремится к нулю при
V/е —► 1, максимальные отличия ф(у/£) от ф0 при £ ~ V
мало отразятся на значении интеграла (2.33). Влияние обла-
сти энергий £ « V [соответственно и у>(г)] на (2.33) должно
возрастать при увеличении а/Ае (или фо ), поскольку относи-
тельный вес интеграл (3.52) в знаменателе (2.33) будет увели-
чиваться.
Проведем оценку влияния (^(г) на определение ФРЭ по пер-
вой и второй производным ВАХ. Для этого используем аппрок-
симацию т?(г) = Vy/a/r . Из рис. 3.14 видно, что использование
такой аппроксимации <^(г) приводит к максимальным отличи-
ям V’(W£) от Фо • Следовательно, проведенные ниже расче-
ты будут являться оценкой сверху влияния у>(г) на измерение
ФРЭ.
Подставив указанную аппроксимацию у>(г) в (2.33), полу-
чим
ОО
/(е)(е - eV)d,£
(3.53)
Из (3.53) видно, что при У/е <С 1 это выражение обеспечи-
вает предельный переход в (3.3). Продифференцировав (3.53)
по задерживающему потенциалу, легко получить связь ФРЭ с
производными зондовой ВАХ.
Рис. 3.15. Расчет вторых производных для максвелловской ФРЭ с учетом
радиального потенциала при различных ф(е, V) :
------модельная ФРЭ; 1,2 - расчет In i" ; 1 - = фо ; 2 - с учетом у>(г)
В качестве примеров на рис. 3.15 и 3.16 приведены расчеты
In г" и ln(—i'V’o/s) Для максвелловской ФРЭ при различных
'фо. Из рис. 3.15 видно, что в области определения ФРЭ по вто-
рой производной С 1 значения In i", рассчитанные по (3.7)
и (3.53) слабо различаются между собой. Наблюдается отме-
ченная выше тенденция к увеличению этих различий при росте
00- Из рис. 3.16 видно, что в реальной ситуации определения
ФРЭ по первой производной в области < 50 различия в рас-
четах 1п(-г'Vto/s) по (3.6) и (3.53) также невелики. Поэтому в
качестве оценок искажения параметров максвелловской ФРЭ
по первой и второй производным ВАХ остаются справедливы-
ми расчеты п. 3.2.1.
Таким образом, выше с использованием приближения, свя-
Рис. 3.16. Расчет ln(—t’eVo/c) для максвелловской ФРЭ с учетом радиаль-
ного потенциала при различных ф(е, V):
------модельная ФРЭ; 1,2 - расчет ln(—t^o/e) ; 1 - Ф = V’o ;
2 - с учетом у>(г)
занного с разбиением возмущенной области вокруг зонда на
область слоя пространственного заряда и квазинейтральной
плазмы,полу йена связь радиального потенциала $р(г) с радиу-
сом слоя объемного заряда rs Решение модельных задач в ши-
роком диапазоне i/>q для типичных ФРЭ в плазме показало,что
учет радиального потенциала приводит к слабому изменению
связи ФРЭ с производными ВАХ [см. (3.6), (3.7)].
Итак, развитая кинетическая теория электронного тока на
зонд позволяет проводить измерения ФРЭ в плазме до давле-
ний десятки килопаскалей. Однако выше везде предполагалось,
что ФРЭ в плазме изотропна. Рассмотрим разработанные к на-
стоящему времени некоторые методы изучения анизотропных
ФРЭ.
3.3. Получение ФРЭ из зондовых характеристик
в анизотропной плазме
Как показано ранее в §2.3, в бесстолкновительном режиме фор-
мулы (2.6) и (2.11) для сферического зонда справедливы и для
анизотропной ФРЭ в двух случаях: бесконечно тонкого призон-
дового слоя и сферически-симметричного слоя произвольной
толщины. Отсюда следует, что в этих случаях для измерений
ФРЭ можно пользоваться формулами (3.1) и (3.5). При этом
информация об угловых характеристиках ФРЭ будет теряться,
а измеряться будет коэффициент /о в разложении (1.20) или
функция распределения электронов по энергиям. Напомним,
что симметричный призондовый слой возникает, в частности,
около зонда, помещенного в частично анизотропную плазму
[50], в которой основная ФРЭ изотропна и присутствует неболь-
шая анизотропная высокоэнергетическая добавка.
В последнее время был разработан метод, позволяющий
в плазме с произвольной степенью анизотропии определить
конечное число коэффициентов /,• в разложении (1.20) (при
этом предполагается, что плазма аксиально-симметрична) [87].
Для измерений используется плоский односторонний зонд. При
этом предполагается, что зонд не возмущает плазму, а призон-
довый слой - бесконечно тонкий. Рассмотрим математическое
обоснование метода и оценим возникающие при его применении
погрешности.
Пусть с плазмой связана сферическая система координат
с полярной осью, направленной вдоль оси симметрии. ФРЭ не
зависит от азимутального угла <р: /(v) = /(v,^), где v = |v|,
a - полярный угол. Метод основан на измерении плоским
односторонним зондом вторых производных j". Измеряемые
значения j" связаны с ФРЭ следующим соотношением:
;"(eV,a) =
2тге3
т2
27Г оо
1 А А д
“ 57 J J dee&vjf(e’
О eV
(3.54)
где f(e, 1?) = /(л/2е/пг, i?);
COS
eV .
— sin a cos <p .
(3.55)
Это соотношение получено двойным дифференцированием je
с использованием формулы (2.8). В (3.54) а - угол между нор-
малью к непроводящей поверхности зонда и осью симметрии
плазмы.
Разложим функции /(eV, ч?) и j'e'(eV, а) в ряды по полино-
мам Лежандра:
/(eV,1?) = f;/J(eV)P,(cos1?);
j=o
/"(eV, а) = £ F,(eV)P,(cos а).
j=o
(3.56)
Если функции дважды дифференцируемы по углу, то ряды схо-
дятся абсолютно и равномерно. Используя (3.54), получаем
F;(eV) = /ДеУ) - / fi&ggyfi
eV ' '
(3.57)
Далее [88,89]:
ОО
//eV) = F/eV) + / F/^/eV, e)<fe,
eV
(3.58)
где
Rj(eV, e) =
2-0+1) / £ x
/ = 0,1,2...;
(3.59)
kl 1 ' H(j - k)!(j - 2fe)! ’
•ji —-— для нечетных j ;
2 | i
J - для четных j.
Например:
J?o(eV, e) = 0; J?i(eV,E)= ;
ZeV
Q
i?2(eV,£)= -£1/2(eV)3/2.
Если в эксперименте измерены значения j”(eV, а), то, исполь-
зуя формулы (3.56), (3.58) и (2.8), можно последовательно рас-
считать Fj(eV), /j(eV) и /(eV, $). Проанализируем эти урав-
нения.
Коэффициенты Fj(eV) могут определяться независимо для
каждого V из некоторого заданного набора потенциалов зон-
да. Их можно найти двумя способами. В первом способе не-
посредственно используется представление коэффициентов Fj
при разложении в ряд по полиномам Лежандра:
*5 = Чтг1 / , (3-60)
-1
где (3 = 2тге3/т2 . Интеграл в (3.60) при этом заменяется какой-
либо квадратурной формулой. Если рассматривать Pj(x) в ка-
честве весовой функции и использовать квадратурную форму-
лу с алгебраической степенью точности не ниже интерполяци-
онной, то получаем
I SltWiW =
J
-1
= ЦР2£4,)7Ж). (з.б1)
р к=1
где
N ( ч
с — V' n"(^ 'i
-интерполяционный многочлен Лагранжа; w(x) = (i — ^(г —
-X2)...(® — ijv); {24} ~ система узлов, используемая при чи-
сленном интегрировании; N - число узлов;
4J)=/t------U^„—xP&)dx. (3.62)
к J (х-хк)ы'(хк)
Применение той же квадратурной формулы с постоянной весо-
вой функцией, равной единице, дает
Fi “ ?. Ci^Xi>P^ ’ <3-63)
где
С<=[. /х.
у {X - Xi)a>\Xi)
Всякая квадратурная формула точности ниже интерполяцион-
ной будет также иметь вид (3.63), но с другими коэффициента-
ми Ci.
Второй способ заключается в замене бесконечной суммы ря-
да (3.56) на конечную:
2тгр3 N-1
й'(х) = 1Н(г) = . (3.64)
5=0
Это позволяет определить Fj из системы линейных уравнений
[87]
; "(г,) = IN(xi) =
2тге3 N~1
= — ^FMxi), i = l,2,...,7V. (3.65)
Определитель этой системы отличен от нуля для любого на-
бора попарно различных значений х,, — 1 Х{ 1 . Следова-
тельно, решение этой системы единственное.
Так как полиномы Sn(x) и InIx) порядка JV-1 совпадают
в N точках, а значит, тождественно равны, то
Fi = =
= (3.66)
Как видно, точное решение (3.65) задается формулой (3.61).
Так как оба способа определения Fj исходят из (3.60) и не
требуют никаких предположений о виде угловой зависимости
j"(a:), то методика определения Fj свободна от ограничений,
связанных с априорной информацией о степени анизотропии
ФРЭ. Погрешность обоих способов определения Fj задается
погрешностью процедуры замены интеграла (3.60) квадратур-
ными формулами (3.61) или (3.63). Для того, чтобы сделать
эту погрешность минимальной, необходимо проводить измере-
ния плоским зондом при таких его ориентациях относитель-
но оси симметрии плазмы, при которых j'e'(x) имеет локаль-
ные экстремумы. Ясно, что в систему узлов должны входить
х = — 1 и z = l, соответствующие углам а = 0 и а = тг.
Для первого способа наименьшую погрешность будут иметь
квадратурные формулы Маркова, обладающие наивысшей ал-
гебраической степенью точности среди формул вида (3.63) с уз-
лами х = — 1 и х = 1 . Для второго способа наиболее точный
результат достигается для системы узлов, при которых матри-
ца линейных систем (3.65) наилучшим образом обусловлена.
Такой системой является набор углов на отрезке
( i — 11
а,. = тг ———, где i = 1,2,..., TV. (3.67)
Для определения /ДеУ) используется уравнение (3.58), ин-
теграл в котором имеет особенность в нуле, поэтому интегри-
рование ведется от некоторого минимального значения энергии
eVmin по всему промежутку [eVmin, eVmax], вне которого зна-
чение j"(eV, а) оказывается меньше порога чувствительности
установки. Шаг интегрирования нужно выбирать таким, чтобы
погрешность интегрирования была незначительной.
Оценим погрешности измерений. Систематическая погреш-
ность при измерении j"(eV,a) не оказывает влияния на зна-
чения Fj для 1 jС 2N — 3 при использовании формул
Маркова и для 1 j N — 1 при решении линейной систе-
мы (3.65). Это вытекает из свойств ортогональности полиномов
Лежандра и формул (3.61) и (3.63). Для определения Fo необ-
ходимо исключить систематическую погрешность из исходных
значений j"(eV\a), для чего нужно учесть, что при больших
энергиях j" и Fq должны быть практически равны нулю.
Если обозначить Д, Др и Д/ погрешности эксперимента,
Fj и fj соответственно, то получаем [90]:
для формул Маркова
Др^.(2у + 1)Д;
при решении системы (3.65)
(Amin)"1/2A; Д/^Др(1+ j Rj(eV,e)d£).
eV
Здесь Ajnjn - наименьшее из собственных чисел матрицы АТА ,
где А = {%} = {P)_1(cos а,)} - матрица линейной системы
(3.65), Ат - транспонированная по отношению к А матрица.
Значения (Amin)-1/2 для системы равноотстоящих углов при
N = 3,4,5 составляют соответственно 1,0; 1,1; 1,2.
На рис. 3.17 изображены в полулогарифмическом масштабе
графики величин
е^шах
A(eV/eVmax) = j Rj(eV,e)ds.
eV
Как видно из этого рисунка, интервал энергий [eV^n, eVmax],
т.е. [ITmin, i/max], Для которого погрешности вычисленных зна-
чений fj находятся в разумных пределах, сужается с увели-
чением j . Поэтому число fj , которое может быть определено
Рис. 3.17. Графики величин 13'
с помощью данного метода, ограничено и зависит от точности
эксперимента.
Для анализа возможности восстановления полной ФРЭ и
влияния экспериментальных погрешностей на результаты вы-
числений в [89] было проведено численное решение модельной
задачи. В качестве модельной была выбрана максвелловская
ФРЭ с пучком быстрых электронов
/(£) = Пе
{/f — £1 \ 2 COS — 1
“ ---- + ---Я--
\ 72 / Р
(3.68)
где /3 - степень анизотропии; £i - энергия пучка; 71 задает
соотношение концентраций медленных и быстрых электронов;
72 - характерная полуширина пучка.
По известной /(f) по формуле (3.54) вычислялись j", а
затем восстанавливались Fj , fj и /(f). Анализ показал, что
при N С 5 для вычислений лучше пользоваться системой рав-
ноотстоящих углов, а для N > 5 - формулами Маркова.
Пример расчета приведен на рис. 3.18. При этом предпола-
галось fi = 10 эВ, Те = 0,9 эВ, 72 = 0,5, X? = 0,1. Как вид-
но из рисунка, даже в случае довольно сильной анизотропии
относительно небольшое число ориентаций зонда обеспечивает
Рис. 3.18. Угловая зависимость ФРЭ, рассчитанная для разного числа ори-
ентаций зонда N :
1 - N = 3 ; 2 - N = 5 ; 3 - N = 7 ; 4 ~ N = 9 ; 5 - модельная ФРЭ
хорошую точность воспроизведения ФРЭ. Численный анализ
показал также, что присутствие случайной погрешности в ис-
ходных данных, равной 5%, практически не изменяет вид рис.
3.18.
Таким образом, плоский односторонний зонд позволяет оп-
ределить с хорошей точностью анизотропную ФРЭ в случае вы-
полнения условия его применимости (бесконечно тонкий при-
зондовый слой).
3.4. Особенности получения ФРЭ в плазме
в специальных условиях
Рассмотрим теперь особенности проведения измерений ФРЭ в
некоторых специальных условиях, связанных с наличием маг-
нитного поля и отрицательных ионов.
3.4.1. Измерение ФРЭ в магнитном поле
Вид зондовой характеристики в магнитном поле был рассмо-
трен в §2.7. Было показано, что если ларморовский радиус для
электронов ре больше длины пробега электрона Ае [параметр
хе (2.57) много меньше единицы], то магнитное поле слабо вли-
яет на зондовую ВАХ. Оценки показывают, что это выполня-
ется для полей с напряженностью Н < 105 А/м.
В п. 2.7.2 был рассмотрен электронный ток на зонд при
сильном влиянии магнитного поля (ie > 1). Было показано,
что длина релаксации электронов по энергии вдоль и поперек
поля различна, причем параллельно полю Аец = Л£ , где Ае
определяется по (1.30), а перпендикулярно ему Aej_ = Ae/ze.
Для зонда в форме эллипсоида вращения с большей полу-
осью в направлении вдоль поля при выполнении условий (2.72)
электронный ток на отталкивающий зонд выражается согласно
(2.75). Тогда, дифференцируя (2.75) по потенциалу V , получа-
ем [57]
_ 3 Qem5/2 die
= 64 e2(eV)3/2 dV
Видно, что в сильном магнитном поле так же, как и при по-
вышенных давлениях, ФРЭ связана с первой производной элек-
тронного тока по потенциалу зонда.
3.4.2. Измерения ФРЭ в плазме с отрицательными
ионами
Как показано в §2.8, присутствующие в плазме отрицательные
ионы изменяют зондовую характеристику. Измерение ФРЭ ме-
тодом Дрювестейна возможно, когда отрицательных ионов ма-
ло (об условии малости см. §2.8). В этом случае отрицательные
ионы могут давать ’’пик” на i" вблизи потенциала простран-
ства [77].
На рис. 3.19 приведен ход г" , г" в плазме при наличии
отрицательных ионов. В идеальном случае (пунктирная кри-
вая) пики, соответствующие электронам и отрицательным ио-
нам, не разделяются. В реальном эксперименте искажающие г"
факторы (сток электронов на зонд и т.д.) приводят к раздель-
ному наблюдению пиков (сплошные кривые). Такие измерения
позволяют по формуле (3.1) определить ФРЭ, а также темпе-
ратуру отрицательных ионов [77]. Может быть также оцене-
на концентрация отрицательных ионов, например, следующим
Рис. 3.19. Вид зависимостей i”,
i- , *+ и i” в плазме с отрица-
тельными ионами
образом [77]. Из (2.15) получаем
j"m п_ (ТЛ3'3 ! m V/2
У (мт) - (з-7о)
где j"TO и j'e'm - максимальные значения вторых производных.
Кроме того, плотность тока насыщения на зонд при положи-
тельном потенциале
/ кТе \1/2 А П_ / m V/2
Jes — €Пе I I I 1 + I . - 1 ( _, ) ]• (3.
\2irm/ у п+ \М_/ \Те / 1
Тогда, измеряя 3-тЦ"т , Те/Т_ и jes, можно найти и п_/п+
[77].
3.5. Методы дифференцирования зондовых
характеристик для получения ФРЭ
Как было показано ранее, для получения ФРЭ в большинстве
случаев необходимо определить первую или вторую произвол-
ные зондового тока по потенциалу зонда. В данном параграфе
рассмотрим способы дифференцирования зондовых характери-
стик, уделяя основное внимание нахождению j". Полученные
результаты легко распространяются на методы получения j'.
Для получения значений j' и j" на практике используются
три основных способа в различных модификациях и комбина-
циях: модуляция зондового тока, дифференцирующие цепочки
(усилители) и численное дифференцирование (сюда же отнесем
графическое дифференцирование). Рассмотрим их подробнее.
3.5.1. Модуляция зондового тока
В этом методе в зондовую цепь наряду с постоянным смеще-
нием V вводится переменное напряжение специальной формы
(дифференцирующий сигнал) ДУ и измеряется некоторая ха-
рактеристика зондового тока (обычно, хотя и не обязательно,
амплитуда гармоники тока на определенной частоте). Впервые
метод модуляции зондового тока был использован в работе [92],
в которой применялся дифференцирующий сигнал в виде коси-
нусоиды ДУ1 = acoso>/, а измерялось увеличение.постоянной
составляющей зондового тока Дг (фактически разцость между
током в отсутствие и в присутствии дифференцирующего сиг-
нала). В этом случае, разлагая зондовый ток г в степенной
ряд, получаем
/ а2 о4 \
i(Vo + a cos wt) = I i(Vo) + ~7~i" + + • • • I +
у 4 64 у
постоянная составляющая
( а3 . \
+ I ai' + —i"' + • • • I sinwZ —
\ О /
(3.72)
основная гармоника
д а .inf ।
—г" + — г"" + ... cos2wt +
4 48 /
вторая гармоника
высшие гармоники
Как видно из (3.72), при достаточно малом а (а < Vo) уве-
личение постоянной составляющей зондового тока практически
пропорционально г":
а2
Ai~—г". (3.73)
Такая методика, однако, не получила распространения, так
как измерение небольшой добавки к постоянному сигналу свя-
зано с большими погрешностями и чувствительно к шумам. Ме-
тод модуляции зондового тока в настоящее время применяется
в основном в следующих вариантах:
1. Метод гармоник. В этом методе используется такой же
дифференцирующий сигнал, как и в методе [92]: AVj = a coswt,
но измерения проводят на частотах пи). Как видно из (3.72),
амплитуда гармоники зондового тока на частоте пш при доста-
точно малом а пропорциональна n-й производной зондового
тока
= (2^.^ ’ (3’74)
например, i2u, ~ а2г"/4 .
2. Метод демодуляции [93]. При этом дифференцирующий
сигнал имеет вид
AV2 = а(1 4-cosu>i/) cos w2Z, (3.75)
где u>2 > , а измерения проводятся на частоте . Разложе-
ние зондового тока в степенной ряд для амплитуды гармоники
на частоте дает
я2 7
II , 1 _4;НП । /о пм
го>1 — п г сла г + • • • (3.76)
. Z 04
Таким образом, при достаточно малом а снова получаем
а2
М = уг". (3.77)
£
Кроме этих двух основных вариантов некоторое распростра-
нение получили еще два метода:
3. Метод биений [94]. Используется дифференцирующий
сигнал типа
ДУ3 = a(cosu>it + cosu?2^) • (3.78)
В этом случае измерение проводится на частоте - u>2 . Ам-
плитуда соответствующей гармоники зондового тока
2
+ (3.79)
4. Метод модуляции прямоугольными сигналами [95]. В
этом методе дифференцирующий сигнал имеет вид
ДУ4 = a(l + sign cos u^t) cosu>2< , (3.80)
причем о?! u>2 , а измерение проводится на частоте . Ам-
плитуда гармоники зондового тока на этой частоте
= —Г'+... (3.81)
7Г
5. Метод прямоугольников, модулированных прямоуголь-
ными сигналами. В [96] было предложено использовать в ка-
честве дифференцирующего сигнал типа
ДУ5 = а(1 + sign cos Wjt) sign cos uizt, (3.82)
в котором u>2 > Wi , а измерения проводятся на частоте
При этом соответствующая амплитуда гармоники
4а2
iW1 = — i" + ... (3.83)
7Г
Хотя эта модификация метода модуляции зондового тока до
сих пор в практической работе не использовалась, однако тео-
ретический анализ (он будет проведен далее) показывает, что
она обладает рядом преимуществ перед другими по причинам,
связанным с меньшими искажениями результатов измерений.
Поэтому исследования в данном направлении и разработки
соответствующей экспериментальной аппаратуры, несомненно,
представляют интерес. На рис. 3.20 приведены функциональ-
ные зависимости, соответствующие рассмотренным выше диф-
Рис. 3.20. Различные типы диффе-
ренцирующих сигналов
ференцирующим сигналам.
Таким: образом, из изложенного выше ясно, что, введя в
зондовую цепь некоторое переменное напряжение и измеряя
амплитуду гармоники зондового тока на определенной частоте
при достаточно малой амплитуде дифференцирующего сигна-
ла а, можно довольно надежно получить вторую производную
зондового тока по потенциалу зонда. Отметим, что проверить
малость амплитуды дифференцирующего сигнала на практи-
ке можно, измеряя зависимость искомой амплитуды зондового
тока от а2 . Сигнал считается достаточно малым, пока наблю-
дается линейная зависимость. Естественно, что а нужно вы-
бирать по возможности большей, так как при этом улучшается
отношение сигнал/шум.
6. Метод спонтанных флуктуаций [97]. В этом методе
<"(Г)=^Шф(р), (3.84)
где /x2(V) = <(£г)2> ; д3(У) = <(6i)3>; Ф(г/) = j<v2> :
: (<И> — <z/2>2); v - частота флуктуаций. Угловые скобки
означают операцию усреднения по ансамблю реализаций слу-
чайного процесса v(t), имеющего симметричную плотность ве-
роятности относительно среднего значения. В этой модифика-
ции метода модуляции в качестве дифференцирующего сигна-
ла можно использовать генератор случайного шума. Для этого
можно применять и естественный шум плазмы, который неиз-
бежно присутствует и, как отмечено в [97], является естествен-
ным минимальным по амплитуде дифференцирующим сигна-
лом.
Легко понять, что большой практический интерес предста-
вляет проблема сравнения между собой различных модифика-
ций метода модуляции зондового тока по качеству получаемой
полезной информации о ФРЭ. Оказывается, что эта проблема
тесно связана с вопросом об искажающем влиянии конечной
амплитуды дифференцирующего сигнала на результаты изме-
рений. Эти вопросы будут рассмотрены ниже.
В нестационарной плазме определение ФРЭ необходимо про-
водить так, чтобы время измерения было значительно меньше
характерного времени изменения функции распределения. Для
этих целей, как правило, используется метод коммутации зон-
дового тока, в котором при помощи коммутатора зондовая цепь
открывается только на время измерения, а все остальное вре-
мя зонд находится при плавающем потенциале. Если измере-
ния проводить в плазме с периодически изменяющимися пара-
метрами с периодом Тис временным разрешением т, то в
зондовой цепи будет протекать ток
i = i(V0 + AV(t))^(Z), (3.85)
где tp(t) - последовательность прямоугольных импульсов. Раз-
ложение в ряд Фурье функции </?(/) имеет вид
. . т 2 1 . ктгт , , .
¥>(*) = ™ + - 22 Т sin cos kut > (3-86)
1 7Г ТТ К 1
к=1
где ш — 2тг/Т.
В результате перемножения (3.86) с выражением, описы-
вающим разложение зондового тока в степенной ряд, перед
амплитудой подлежащих измерению гармоник в выражениях
(3.74)-(3.76), (3.79), (3.81), (3.83) появляется множитель т/Т.
Например, в импульсных периодических разрядах типичное от-
ношение т/Т ~ 10"2 -j- 10“3 . Этим обусловлены повышенные
требования к чувствительности установок, применяемых при
измерениях с временным разрешением, а также использование
специальных схем, описанных ниже.
Для передачи без искажений амплитуды измеряемой гар-
моники с частотой wt- = “lit/Ti необходимо также выполнение
условия Т 27}, вытекающего из теоремы Котельникова о
сохранении информации о функции с ограниченным спектром
[98].
3.5.2. Дифференцирующие цепочки (усилители)
Естественно, что для получения производных зондового тока
можно использовать последовательно включенные дифферен-
цирующие цепочки. На практике, однако, этот метод приме-
няется значительно реже, чем метод модуляции. Это связано,
по-видимому, с тем, что простейшие схемы без накопления сиг-
налов обладают значительно большими погрешностями и менее
помехозащищены, чем схемы, основанные на методе модуляции
зондового тока. Отметим, что при исследовании однократных
быстропеременных плазменных процессов схемы с использова-
нием дифференцирующих цепочек значительно проще реали-
зуются, чем схемы, основанные на других методах. В практи-
ческой работе, как правило, используются не просто диффе-
ренцирующие цепочки, а дифференцирующие усилители.
3.5.3. Численное дифференцирование
Эти методы основаны на формулах численного дифференциро-
вания, применяемых в вычислительной математике [98]. Сюда
же, в принципе, можно отнести и графическое дифференциро-
вание. Как известно, простейшая из формул численного диф-
ференцирования - дифференцирование по трем точкам - имеет
вид
_ i(V + AV) + i(V-AV)-2z(V)
(АУ)2
(3.87)
В этой формуле AV — некоторая постоянная величина (шаг
дифференцирования). Таким образом, измеряя зондовый ток
при трех значениях зондового напряжения и составляя из них
выражение (3.87), можно найти и i"(V). В принципе, можно
использовать и более сложные . формулы численного диффе-
ренцирования [98]. Однако практическое применение получило
дифференцирование именно по формуле (3.87).
Известно, что применение математических методов обработ-
ки результатов измерений повышает точность и надёжность по-
лучаемой информации [78]. В [99] было показано преимущество
использования по сравнению с формулой типа (3.87) сглажива-
ющих кубических сплайнов [100]. Сглаживающие кубические
сплайны, в отличие от интерполяционных, не точно воспроиз-
водят таблицу измерений, а проходят в некоторой близости от
узлов и имеют большую гладкость. Степень близости сплайна
к экспериментальным значениям определяется весовыми коэф-
фициентами Pi, а его гладкость - значением а > 0 (параме-
тром сглаживания). При этом возникает задача о минимизации
функционала
Ma[S(x),f] = afi(S(x)) + £ P~\ft - Ж))2 , (3.88)
г=1
где Q(S(z)) = Jq |S"(x)12dx - функционал, определяющий глад-
кость; SQ.n(x) - сглаживающий кубический сплайн; f - вектор
измеренных значений на интервале [а, 6].
При заданных граничных условиях выражение для сплайна
получается решением пятидиагональной системы алгебраиче-
ских уравнений. Параметры а и Pi необходимо выбирать в со-
ответствии с имеющейся априорной информацией. Из несколь-
ких типов экстремальных задач, которые можно решать при по-
мощи сглаживающих кубических сплайнов [100], для зондовых
измерений наиболее подходит алгоритм, доставляющий мини-
мум функционалу fl(S(2?)) при ограничении |S(2:t) - /,| 6,-
(г = 1,2,..., п). Решением этой задачи является функция, име-
ющая максимальную гладкость из всех функций, не выходящих
из заданного ’’коридора” ошибок <5,- . При других постановках
Рис. 3.21. Решение модельной зада-
чи для /м типа прямоугольника:
1- /м ; 2- а = 0 (ч = 53%) ; 3 -
сглаженная кривая (г? = 7%)
tizu
задачи, кроме информации о числовых характеристиках шу-
ма измерения, требуется информация о нормах производных
искомых функций /(z) [или значениях /(zt)], которых при
измерении ФРЭ, как правило, нет. При этом в эксперименте
должна иметься информация о 6,-, обусловленных и системати-
ческой, и случайной погрешностью. В наиболее полном объеме
эту информацию можно получить, применяя методику измере-
ния, описанную в [80].
Эффективность использования сглаживающих сплайнов
можно продемонстрировать на решении модельных задач. На
рис. 3.21 в качестве примера приведены результаты расчета
для модельной функции /м типа ’’прямоугольник” [99]. Соот-
ветственно /м строилась ВАХ, и на нее набрасывалась случай-
ная погрешность в указанном интервале 6. Затем находилась
вторая производная d2U ВАХ дифференцированием по фор-
муле (3.87) и при помощи сглаживающих сплайнов. Качество
восстановления /м оценивалось параметром
-/м(^))
t=l
т 1/2
2
ту =
L11/м(Ц)|
t=i
(3.89)
При этом узлы были равноотстоящими, друг от друга на опти-
мальный шаг дифференцирования Д V0 . Проведенный анализ
показал, что, как правило, Д V0 ~ 0, ЗТе, где Те - характерный
масштаб изменения ФРЭ (при этом погрешность восстановле-
ния будет минимальной). Из рис. 3.21 видно, что применение
сглаживающих сплайнов оказывается эффективным и умень-
шает погрешность восстановления ФРЭ в 6-10 раз по сравнению
с дифференцированием в конечных разностях.
3.6. Схемы измерений ФРЭ
Установки для зондовых измерений ФРЭ, основанные на ис-
пользовании рассмотренных выше способов дифференцирова-
ния (или их модификациях и комбинациях), позволяют прово-
дить исследования в стационарной плазме, плазме с интенсив-
ными шумами, плазме с периодически повторяющимися пара-
метрами и в импульсной непериодической плазме. В необхо-
димых случаях установки позволяют обеспечивать временное
разрешение порядка нескольких десятых микросекунды. Пре-
жде чем привести конкретные схемы, приведем ряд соображе-
ний, имеющих общий характер.
Все рассмотренные схемы могут быть проградуированы для
получения ФРЭ в абсолютной мере. Такая градуировка мо-
жет быть проведена двумя способами: подачей на вход схемы
напряжения известного значения и подключением вместо зон-
да устройства, имеющего диодную характеристику с известны-
ми параметрами [см. далее (4.р6)]. Эти способы позволяют, в
принципе, проводить измерений i" с погрешностью порядка не-
скольких процентов. В общем случае требуется, конечно, ана-
лиз конкретной схемы измерений, а для перехода от i" к ФРЭ -
анализ условий в плазме.
Для проведения измерений ФРЭ в плазме с шумами (ко-
торые не изменяют ФРЭ) можно использовать методику ’’сле-
дящего” зонда [101]. Эта методика разработана и применяется
сейчас в двух вариантах. В первом на небольшом расстоянии от
измерительного зонда помещают ’’следящий” зонд, регистриру-
ющий колебания потенциала плазмы. Последние без изменения
знака подают в цепь измерительного зонда, тем самым компен-
сируя шумы. Ясно, что, с одной стороны, расстояние от измери-
тельного зонда до следящего должно быть значительно меньше
длины волны шума. В то же время следящий зонд может иска-
жать своим присутствием параметры плазмы.
Во втором варианте [102] была сделана попытка, убрав до-
полнительный зонд, уменьшить искажения результатов изме-
рений. В этом случае в качестве следящего используют сам
измерительный зонд, который отключают на некоторое время
для измерения потенциала плазмы. Этот измеренный потенци-
ал запоминает специальная схема, и он используется для ком-
пенсации шумов. Однако в этом варианте из-за того, что на-
блюдение за потенциалом плазмы ведется не все время, часть
информации пропадает, что уменьшает степень компенсации.
Для измерений в плазме с периодически изменяющимися
параметрами исследования должны проводиться в определен-
ные моменты периода и за время, в течение которого ФРЭ изме-
няется мало. Для этого в зондовые цепи включают электрон-
ные ключевые схемы, которые пропускают сигнал в нужные
промежутки времени. Для запуска ключевых схчм использу-
ют устройства синхронизации, связанные со схемами питания
плазмы.
Измерения в плазме с непериодически изменяющимися па-
раметрами (однократная импульсная плазма) возможны все-
ми рассматриваемыми методами. При этом время измерения
должно быть много меньше времени изменения ФРЭ. Рассмо-
трим теперь типичные конкретные схемы установок.
3.6.1. Метод модуляции зондового тока
На рис. 3.22 изображена схема установки для измерения ФРЭ
с временным разрешением методом второй гармоники в плаз-
ме с периодически меняющимися параметрами. Плавное изме-
нение зондового потенциала V осуществляет блок 1. Комму-
тация зондового тока происходит при помощи транзисторного
ключа К1. Дифференцирующий сигнал AV(Z) = acosut пода-
ется в зондовую цепь во время замыкания электронного клю-
Рис. 3.22. Схема установки для измерения ФРЭ методом второй гармоники
ча К2, который включается с задержкой по отношению к К1.
Временной сдвиг между моментами открывания К1 и К2 необ-
ходим для отсечки переходных процессов на фронте импульса.
Узкополосная система, с помощью которой измерялась ампли-
туда гармоники на частоте 2ш , состоит из устройства выборки-
хранения УВХ, селективного фильтра Ф, узкополосного усили-
теля 5, синхронного детектора 4 и двухкоординатного самопи-
шущего потенциометра 5.
УВХ состоит из электронного ключа КЗ, выполненного на
микросхеме 1КТ011А и открывающегося на время измерения
т , запоминающего конденсатора С и усилителя А1 с высоким
входным сопротивлением. КЗ открывается с задержкой по от-
ношению к времени включения К2 в целях ослабления вли-
яния паразитных сигналов в момент переключения К2. При-
менение УВХ приводит к смещению спектра сигнала в более
(3.90)
низкочастотную область, что увеличивает амплитуду измеряе-
мой гармоники. Если пренебречь спадом напряжения на запо-
минающем конденсаторе С за время между двумя измерениями
Т т, то, как нетрудно показать, амплитуда измеряемого на-
пряжения 1^. будет даваться выражением
П — sin(7rT/Tt) 2-н
I/ — Г>,ЛИЗМ(1 I
Т 7Г
где = 27r/Tt- - частота измеряемой гармоники; Т < Ti/2’,
Bi - коэффициент перед а2 в соответствующих выражени-
ях п. 3.5.1, зависящий от вида дифференцирующего сигнала;
7?изм ~ измерительное сопротивление; а - амплитуда диф-
ференцирующего сигнала; i" - вторая производная зондовой
ВАХ. Так как множитель
2 < Ti sin(7rT/Ti) <
тг Т тг
много больше отношения т/Т , то применение УВХ оказывает-
ся эффективным методом для увеличения полезного сигнала
при измерении ФРЭ с временным разрешением.
После УВХ следует активный фильтр, выполненный на
операционном усилителе А1, с резонансной (на. частоте 2ш)
обратной связью. Для подавления основной гармоники диффе-
ренцирующего сигнала от на выходе А1 включен Т-образный
фильтр, который ослабляет амплитуду этой гармоники более
чем в 100 раз. Затем сигнал на частоте 2ш усиливается при
помощи селективного усилителя 5, синхронного детектора 4 и
поступает на вход ” у ” двухкоординатного потенциометра 5. На
синхронный детектор подается опорное напряжение, получен-
ное удвоением частоты дифференцирующего сигнала при помо-
щи блока б. На вход ” х ” потенциометра поступает напряжение
зондового смещения V .
Для получения ФРЭ в абсолютной мере через сопротивле-
ние градуировки RT, которое подключается вместо промежут-
ка зонд-плазма, подается известное напряжение с частотой 2ш .
Схемы, подобные рассмотренной цыше, позволяют измерять
ФРЭ при электронных концентрациях, больших 105см-3 . Раз-
Рис. 3.23. Схема измерения ФРЭ с использованием дифференцирующих
усилителей:
1,2- операционные усилители
личные варианты схем, использующих в своей основе метод мо-
дуляции зондового тока, можно найти, например, в [101-105].
3.6.2. Дифференцирующие цепочки (усилители)
На практике обычно используются дифференцирующие усили-
тели, которые кроме дифференцирующих цепочек включают в
свой состав операционные усилители с большим коэффициен-
том усиления (> 105). Возможный вариант такой схемы при-
веден на рис. 3.23 [103].
3.6.3. Численное дифференцирование
К настоящему времени разработано несколько разновидностей
схем, позволяющих находить первую и вторую производные по
формуле типа (3.87) [106-108].
На рис. 3.24 изображена схема установки для определения
ФРЭ методом численного дифференцирования (ЧД) с времен-
ным разрешением, предложенная в [106]. Она состоит из гене-
ратора Г ступенчато-возрастающего напряжения, формирую-
щего периодически зондовое смещение V — ДУ, V , V + ДУ ,
где V - медленно меняющееся по сравнению с периодом ра-
боты генератора напряжение; ДУ - шаг дифференцирования.
Система управления 1 синхронизирует работу генератора и по-
следовательное включение трех УВХ, состоящих из электрон-
ных ключей К1 - КЗ, запоминающих конденсаторов Cl - СЗ и
Рис. 3.24. Схема измерения ФРЭ методом численного дифференцирования
[Ю6]
буферных усилителей А1 - АЗ с высоким входным сопротивле-
нием 7?вх ~ 1010Ом. УВХ предназначены для запоминания в
момент открытия соответствующего ключа напряжения, кото-
рое создает зондовый ток i при протекании через измеритель-
ный резистор Яизм. Система дифференциальных усилителей
А4 - А6, работающих с коэффициентом усиления К, форми-
рует на выходе А6 напряжение Uy , пропорциональное второй
производной зондовой ВАХ:
Uy = Яизм№{г(У - ДУ) + г(У + ДУ) - 2г(У)} , (3.91)
Uy подается на вход ” у ” двухкоординатного потенциометра 2,
на вход ” х ” подается напряжение, пропорциональное У . При
помощи данной схемы автором [106] были проведены измерения
ФРЭ в стоячих и бегущих стратах в аргоне.
На рис. 3.25 приведена схема для быстрого измерения пер-
вой и второй производных зондовых ВАХ при помощи линий
задержки [107]. Она состоит из входного блока (операционные
усилители А1 - АЗ), в котором предусмотрена компенсация
Рис. 3.25. Схема для быстрого измерения первой и второй производных
зондовых ВАХ при помощи линий задержки [107]
влияния емкости кабеля Cs, приводящей к появлению пара-
зитных токов is — CsdV/dt, затрудняющих измерение зондо-
вой ВАХ. При соблюдении условия Сс = CsRi/R? происходит
полная компенсация емкостного тока is. Источником зондово-
го смещения V служит генератор пилообразного напряжения,
позволяющий проводить сканирование со скоростью 15 В/с. С
выхода АЗ сигнал, пропорциональный зондовому току, посту-
пает на две идентичные линии задержки 1 и 2, каждая из ко-
торых имеет время задержки т . На выходе УЗ суммирующего
усилителя А 7 формируется напряжение U? , пропорциональное
второй производной зондового тока i ь
U? = (3nRi\i(t) — 2i(t - т) + i(t — 2т)]. (3.92)
На выходе У1 суммирующего усилителя Аб формируется на-
пряжение {71 , пропорциональное первой производной зондово-
го тока г:
Ui = ап7?1[г({) — i(t — т)]. (3.93)
По данной схеме авторами [107] были проведены измерения
ФРЭ сферическим зондом в плазме с пучком электронов.
Систематическая погрешность методик [106,107] в определе-
нии первых и вторых производных зависит от линейности ис-
пользуемых устройств, коэффициента ослабления синфазного
сигнала дифференциальных усилителей (он должен быть не
Рис. 3.26. Схема для измерения ФРЭ методом численного дифференциро-
вания [108]
менее 70-80 дБ), а также от качества применяемых линий за-
держки.
На рис. 3.26 приведена:-схема установки для измерения
ФРЭ методом ЧД, описанная в [108]. Она состоит из блока
синхронизации-управления 1, блока ступенчато-возрастающего
зондового смещения 2 и системы регистрации зондового тока.
Блок 2 выполнен на основе цифро-аналогового преобразова-
теля (ЦАП), в котором шаг дифференцирования ДУ опреде-
ляется подаваемым на ЦАП опорным напряжением Поп. На-
чальный участок сканирования зондового смещения задается
стабилизированным источником напряжения Vo • Схема реги-
страции состоит из ряда усилителей зондового тока А1 - АЗ
и измерительно-вычислительного комплекса Ф-36, производя-
щего измерение зондовой ВАХ, усреднение ее измеренных зна-
чений (накопление полезного сигнала) и дифференцирование.
Для расширения динамического диапазона Ф-36 в определении
второй производной зондовой ВАХ на А 2 и АЗ подается по-
стоянное U* и ступенчато-возрастающее напряжение соответ-
ственно. Наличие электронных коммутаторов К1 - КЗ позво-
ляет проводить измерения с временным разрешением ~ 1 мкс.
Рис. 3.27. Зондовое смещение в установке для численного дифференциро-
вания зондовой характеристики
Максимальная частота измерений зондовой ВАХ определяет-
ся временем преобразования аналогового сигнала в цифровой
код измерительным прибором и составляет для Ф-36 10 кГц. В
импульсных периодических разрядах работа схемы синхрони-
зована частотой следования импульсов тока. Момент измере-
ния зондорого тока определяется соответствующим синхроим-
пульсом. Команда ’’цикл” задает количество измеряемых точек
ВАХ за один период накопления. Количество циклов накопле-
ния определяется соотношением сигнал-шум и составляет в за-
висимости от условий от 2° до 214. Соотношение сигнал-шум
контролируется по разбросу п измеренных значений при од-
ном значении зондового смещения. Число задается блоком 1.
Рисунок 3.27 поясняет работу схемы.
Систематическая погрешность данной методики определя-
ется в основном динамическим диапазоном (ДД) измеритель-
ного прибора, Ф-Зб позволяет измерять напряжения от —1В
до +1В при минимальном разрешении ё — 2 мВ, т.е. ДД со-
ставляет 103. Проведенный анализ показал, что при полном
использовании ДД для максвелловской ФРЭ в той части зон-
довой ВАХ, где электронный ток ie намного больше ионного
тока ii, при ДУ = 0, ЗТе и заданной начальной точке скани-
рования зондового смещения можно измерить но второй про-
изводной область на ФРЭ ~ ЗТе. При этом относительная по-
грешность измерения т) = ё/dPU не будет превосходить 15%.
Здесь d? U есть результат двойного дифференцирования зон-
довой ВАХ измерительным прибором.
При измерении высокоэнергетической части ФРЭ обычно
г,- > ге . Наличие ионного тока приводит к сужению ДД в опре-
делении второй производной ie. Компенсация ионного тока ви-
да i = a + bV , осуществляемая при помощи А2и АЗ, позволяет
расширить ДД на три порядка. Чувствительность приведенной
схемы позволила авторам [108] измерить ФРЭ в послесвечении
плазмы азота вплоть до абсолютных значений 105эВ-3/2 см-3 .
Таким образом, к настоящему времени разработаны раз-
нообразные схемы измерения функции распределения элек-
тронов с использованием численных методов обработки зондо-
вых ВАХ, обладающие достаточным временным разрешением
(« 1 мкс) и высокой чувствительностью (~ 105 эВ-3/2 см-3).
Целесообразность использования тех или других схем опреде-
ляется конкретными условиями проводимого эксперимента.
Глава 4
УЧЕТ ИСКАЖЕНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ
ЗОНДОВЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ ФРЭ В ПЛАЗМЕ
4.1. Основные искажения, возникающие при
зондовых измерениях ФРЭ
Возникающие при зондовых измерениях ФРЭ искажения можно
условно разделить на три группы.
1. Искажения, связанные с используемым методом диффе-
ренцирования (или решения обратной задачи}. Эти искажения
зависят как от самого метода, так и при использовании опреде-
ленного метода от шага дифференцирования (амплитуды диф-
ференцирующего сигнала). Естественно, что подобные искаже-
ния всегда будут присутствовать при измерениях, и в дальней-
шем изложении им уделено существенное внимание. Анализ та-
ких искажений позволяет провести сравнение между собой раз-
личных методов дифференцирования зондовых характеристик.
2. Искажения, связанные с нарушением основных предпо-
ложений, для которых выведены формулы гл. 3. К ним от-
носятся наличие отражения и вторичной эмиссии электронов
от поверхности зонда, изменение работы выхода электронов в
различных точках поверхности зонда, конечное сопротивление
зонд-плазма, колебания потенциала плазмы, влияние держате-
ля зонда на измерения, сток электронов на зонд при исполь-
зовании формулы Дрювестейна и др. Ряд этих искажений мо-
жет быть учтен единым образом с искажениями первой груп-
пы путем использования аппаратных функций. Другие, напри-
мер, влияние держателя зонда на измерения, учесть сложно и
можно провести лишь только их грубые оценки. Уменьшить их
можно подбором оптимальной конструкции зондового узла.
3. Искажения, связанные с ионным током на зонд.
Ниже искажения всех трех групп рассмотрены более по-
дробно и приводятся существующие к настоящему времени ме-
тоды их коррекции. Для учета искажений первой и второй
групп большой интерес представляют введенные соответству-
ющие аппаратные функции. Рассмотрение сделано в основном
на примере использования формулы Дрювестейна, которая в
большинстве работ и применяется при зондовых измерениях
ФРЭ. Все эти результаты могут быть распространены и на бо-
лее сложные случаи измерений. Соответствующие аппаратные
функции могут быть легко вычислены.
Для учета влияния ионного тока на зонд было предложено
несколько методик, которые также кратко рассмотрены ниже.
4.2. Аппаратные функции в зондовых
измерениях ФРЭ
В гл. 3 были рассмотрены основные способы получения про-
изводных зондового тока по потенциалу зонда г' и г". Если
эти значения измерены, то легко найти и производные от плот-
ности тока j' и j" и, следовательно, по формуле (3.1) или"
(3.5) и ФРЭ (если не учитывать влияние ионного тока). Однако
все это справедливо лишь в тех случаях, когда наложены соот-
ветствующие ограничения на методы дифференцирования (ма-
лость амплитуды дифференцирующего сигнала в методе моду-
ляции, малость постоянных времени дифференцирующих уси-
лителей или малость шага дифференцирования при численном
дифференцировании) и выполняются предположения a-и (см.
§2.1), при которых выводятся формулы (3.1) и (3.5). На прак-
тике эти условия далеко не всегда можно соблюсти.
Поэтому необходимо было разработать математический ап-
парат, способный дать теоретическое описание рассмотренных
методов дифференцирования, учесть отклонения реальных ус-
ловий эксперимента от идеализированных и дать возможность
получать истинные ФРЭ. Кроме того, необходимо провести
сравнение различных способов дифференцирования зондовых
характеристик между собой по способности получать необхо-
димую информацию.
Оказывается, что для теоретического описания способов
дифференцирования (и соответствующих экспериментальных
установок) можно воспользоваться понятием аппаратной функ-
ции (названа так по аналогии с аппаратной функцией оптиче-
ского прибора [109]). Такое описание разрабатывалось в [110—
114,121,122] и наиболее полно было развито в [115-121].
При таком способе описания результат измерения J (на-
пример, амплитуду гармоники зондового тока на определенной
частоте) представляют в виде
J(V)= У i"(V)A(V - V')dV' = (г" * А) (4.1)
—сю
[или аналогично для ?(V) ], где A(V — V1) - аппаратная функ-
ция. Большой интерес представляет случай, когда
У A(V - V')dV'= К2 , (4.2)
—сю
где К - некоторое конечное число (это означает, что площадь
под аппаратной функцией конечна). В этом случае может быть
введена нормированная аппаратная функция
A(V - V) = А (Ц^) а Л(») (4.3)
и тогда
J(V) = K2(i" * А). (4.4)
Введение нормированных аппаратных функций позволяет про-
водить сравнение между собой различных способов дифферен-
цирования, как это сделано ниже. Нормированные аппаратные
функции могут быть введены для всех рассмотренных далее
методов дифференцирования.
Использование понятия аппаратных функций зондовых ме-
тодов (экспериментальных установок) измерения ФРЭ позво-
лило прийти к следующим выводам.
1. Аппаратная функция метода (установки) дает полное си-
стематическое описание искажения i" или i! при измерениях.
Истинные производные зондового тока должны в общем случае
находиться по измеренным значениям J решением интеграль-
ного уравнения Фредгольма первого рода (4.1) или. (4.4) (эта
задача, вообще говоря, некорректна).
2. Если ширина аппаратной функции у основания в энерге-
тическом, интервале существенно меньше интервала значитель-
ного изменения ФРЭ, то J хорошо воспроизводит соответству-
ющие производные зондового тока.
3. Для некоторых видов ФРЭ (например, максвелловских)
зависимость J от V точно воспроизводит ФРЭ при любой ши-
рине аппаратной функции. Это утверждение нарушается при
потенциалах зонда, меньших ширины основания аппаратной
функции (в шкале потенциалов).
4. Аппаратные функции методов (установок) позволяют
проводить сравнение различных способов-измерений с любой
точки зрения (например, сравнивать точность решения обрат-
ной задачи восстановления i" или i' по результатам измере-
ний).
5. Если ФРЭ обладает свойством
«1 «2 +Де S2
У /(е)у/Ёс1€ + У f(€)y/ed€ У (4.5)
ei —Де е2
при — Де 0, где Де - половина ширины основания аппа-
ратной функции, то концентрация электронов, заключенных в
интервале энергий от ei до ег , может быть найдена из резуль-
татов измерений J и в том случае, когда ФРЭ в этом диапазоне
энергий существенно искажена методом измерения. Это имеет
место, в частности, в том случае, когда на ФРЭ имеется острый
максимум в этом интервале энергий.
Рассмотрим теперь аппаратные функции конкретных мето-
дов дифференцирования.
4.3. Аппаратные функции метода модуляции
Введем в данном параграфе аппаратные функции метода моду-
ляции зондового тока и сделаем это для дифференцирующего
сигнала произвольного вида. Это позволит, с одной стороны,
вычислить аппаратные функции вышерассмотренных методов,
а с другой - использовать полученные результаты для расши-
рения возможностей метода, о чем будет рассказано ниже.
Пусть зондовая вольт-амперная характеристика имеет вид
i = i(V). (4.6)
Разложим зондовый ток в интеграл Фурье:
i(V) = У C(i/)e2™v dv, (4.7)
—сю
где
C(i/)= j i(V)e~2vivV dV. (4.8)
—сю
Будем изменять потенциал зонда по закону
V(t) = V0 + a<p(t), (4.9)
где Vo ~ постоянное смещение; - дифференцирующий
сигнал (а - постоянный множитель). Очевидно, что в этом
случае зондовый ток будет функцией времени i = i(t). Пусть
Jn(Vb) есть преобразование Фурье функции i(t):
СЮ
Jq(Vq) = у i(i) e-2irin< dt. (4.10)
— СЮ
Подставляя (4.7) в (4.10), получаем
СО оо
Jn(V0)= у dte-^'iQt у C(i/)e2’ril'(VoWO)dl/ =
—сю —сю
= У di/e2^0 C(v) j e2™a^e~2*'lQtdt.
—сю —сю
Введем обозначение
СЮ
Kv(n,i/) = У е2^0^1) е~2*™ dt.
— ОО
Сравнивая формулы (4.7) и (4.11), видим, что
F(Jfi(Vo)) = F(i)^(M,
(4.11)
(4-12)
(4.13)
где F - фурье-образ функции. Используем соотношение [98]
F(i(“\V)) = (27rii/)“F(i(V)), (4.14)
где № обозначена величина dai!dVa . Тогда
W)) = f(.«^). (4.15)
Используя теорему Бореля о свертке [98], получаем из (4.15)
Jn(Vo) = i(a) * Af)(Q, V - V), (4.16)
где
(4.17)
v v 7 (2тги/)“ v ’
Таким образом, если известны значения Jq(Vq) и
- V), то из (4.16) может быть найдена и № . На-
зовем функцию V1 — V) аппаратной функцией метода
а-кратного дифференцирования. Формула (4.16) позволяет, в
принципе, решением обратной задачи находить производную
любой кратности зондового тока по потенциалу.
Таким образом,
СО
A^(Q,VZ-V)= j
—сю
p27riI/(V-V/)
diz—------------
(27ri)“i/Q
x
ОО
J e2?ripa^(t) е-2тпП<
(4-18)
Тогда для метода Дрювестейна аппаратная функция
/°° р2тгЬ(У-У')
dv—. 2 2 х
4тг2!/2
—оо
оо
J e2Trii/av(t) е-2тг1П* &
— ОО
(4-19)
Это выражение можно записать по-другому:
СЮ
А™ = У L(V - V ± O4>(t)) e-2,rint dt,
— ОО
(4.20)
где
ад = {о
г > 0;
х < 0.
(4-21)
Для метода, использующего i', выражения будут выглядеть
следующим образом:
t „2тгЬ(У-У')
4” 3 4»(п,г - v) = / &, -2^— х
— СЮ
ОО
j e2Tripay(t) e-2?riQt
—сю
(4-22)
или
сю
= j a(V - V + e-2,rint dt,. (4.23)
— oo
где
1, х 0;
О, х < О .
(7(1) = <
(4-24)
При экспериментальном использовании метода модуляции
измеряют некоторую величину, тем или иным образом связан-
ную с Jq . Аппаратная функция конкретно используемого ме-
тода А1^ будет связана с А^Р или А^ . Рассмотрим наиболее
широко используемые модификации метода модуляции.
Если для выделения гармоники зондового тока на частоте
используется узкополосный усилитель, а регистрируется ам-
плитуда гармоники с помощью осциллографа, стрелочного или
цифрового вольтметра [123], то измеряемой величиной будет
(4-25)
где g(fi) - коэффициент усиления системы [естественно, что
система настраивается так, чтобы g(fi) был максимален на
частоте По]- Тогда
JI = г"* j Avg(a)dSl = |г"*А*|
(4.26)
(вместо г" можно поставить г'). Из (4.26) в общем случае
нельзя однозначно получить значение г" (или г'). Необходи-
ма дополнительная информация, и дифференцирующий сигнал
должен удовлетворять ряду условий.
Рассмотрим этот вопрос подробнее. Как известно, значения
г" и г' могут быть как положительными, так и отрицательны-
ми (меняют знак при V = 0). Функция А£ в общем случае
комплексная. Ее можно представить в виде
= А£ +iA£ .
(4-27)
Тогда уравнение (4.26) принимает вид
/ i"W V - V) + iA£(ft, V - V))dV'
оо
У i"Ayv(Sl,V' -V)dV' + i У i”Ayv(a,V- V)dV'
-сю —сю
(4.28)
(для V - аналогично).
Предположим теперь, что подынтегральные выражения
имеют одинаковый знак при всех V и V. Для этого необ-
ходимо, чтобы
A*,/Ayv = £ = const .
(4.29)
Тогда уравнение (4.28) запишется в виде
(4.30)
Из (4.29) видно, что для однозначного решения задачи необхо-
димо знать знак выражения
СЮ
У i"V'A£(Q,V'-V)dV'. (4.31)
—сю
В том случае, когда Ау^ > 0, иногда это удается сделать по
экспериментально снятой зависимости Jq ( Jq всегда больше
нуля).
Таким образом, для того, чтобы можно было восстановить
измеряемую функцию, в этом варианте необходимо, чтобы:
1) фаза величины (комплексной) не зависела от v ;
2) аппаратная функция Ау^ не меняла знака;
3) был известен знак величины (4.31).
Другим широко используемым способом определения i"
(или г') является метод модуляции зондового тока с исполь-
зованием фазочувствительного элемента в схеме( фазового или
синхронного детектора). При этом измеряемая величина будет
ОО
J£ = У dSlg(ty У (й/е^^'-^ОДх
П -оо
оо
х у е2™“*(0 СО8(27ГШ + (4.32)
— ОО
где </>0 - начальная фаза, задаваемая опорным сигналом и вы-
бираемая обычно из условия максимальности полезного сигна-
ла.
Очевидно, что
4 = или = (4.33)
независимо от вида </?(/), где
, °? е2тпр(У'-У) j
лЦа, V- v) = у да5(п) у ——— х
П -оо
х у е2™а*(‘) cos(27rm + <£o)<ft ; (4.34)
— ОО •
A^,V'-V)= /dn5(Q) / ------------л2-2 *
J J — 4tHi/2
Q —oo
oo
x у е2™°*(‘) со8(2тгШ + , (4.35)
— СЮ
ИЛИ
сю
A# = j dSlg(ty у L(V- V' + a^W)6-2’^^; (4-36)
Q —оо
оо
А % = у (Ю5(0) у L{V - V + а^(0) e-2,rint dt. (4.37)
fi —оо
Введенные аппаратные функции позволяют проанализиро-
вать влияние конечной величины амплитуды дифференцирую-
щего сигнала на измерения, влияние искажений дифференци-
рующего сигнала на измерения, конечности времени действия
сигнала.
Для вычислений аппаратных функций воспользуемся фор-
мулой (4.37), выбирая </?о из условия максимума полезного сиг-
нала. Положим при этом </(Q) = 1 вблизи регистрируемой ча-
стоты, а ширину пропускания регистрирующей системы 2ДП
достаточно узкой, такой, чтобы проходила одна гармоника. При
вычислении аппаратных функций будем считать, что диффе-
ренцирующий сигнал начинается при t — — оо и заканчивается
при t = -I-оо .
В конце этого параграфа рассмотрим, к каким последстви-
ям приводит конечность времени действия дифференцирующе-
го сигнала и конечность полосы пропускания регистрирующей
системы, что особенно важно при быстрых измерениях в плазме
с изменяющимися параметрами.
Метод второй гармоники. Согласно формуле (4.36) в
этом случае
A^,V-V') =
2и,+ДП оо
= j dQ, У Z(acosu>Z 4- V — V7) cosfltdt. (4.38)
2а,—AQ -оо
Учитывая периодичность функции cos и/ и бесконечность вре-
мени действия дифференцирующего сигнала, получаем
1/2тго>
АЛ = — [ L(a cos cvt 4- V — V'} cos2u>/dt. (4.39)
* 7Г J
О
Если V — a cos u>t, то L(a cos wt 4- V — V') = a cos wt 4- V —
—V. Сделаем замену переменных wt = z. Тогда (4.39) можно
записать в виде
7Г
= — У (V — V' 4- acosz) coslzdz. (4.40)
arccosЬ
В этом выражении b = . Вычисляем интеграл (4.40) и
получаем
дЬ _ [ 1 _
Л¥>1 — I 1
2\3/2
(4-41)
Определим теперь нормированную аппаратную функцию мето-
да второй гармоники. Для этого вычислим выражение (4.2):
оо оо 2
У A(V-V')dV' = j A^dV^^,
— ОО “ОО
(4.42)
т.е. К = а/2 . Тогда нормированная аппаратная функция будет
равна
(4.43)
Как видно, К2 совпадает с первым членом разложения со-
ответствующего ряда. Вычисление аппаратных функций для
других дифференцирующих сигналов производится аналогич-
но. Опуская их, приводим окончательные результаты (в каче-
стве примера вычислим также а£25 ).
Метод демодуляции
! [^'
|х|/2\/2 L
> О
I/2
(4.44)
Метод биений
|х|/2\/2
О
(4.45)
|х| > 2у/2.
Метод модуляции прямоугольных сигналов
Я/2 _
А¥>4 —
( /в” ( А _ _ н ___________
= г V 1 2тг Т2тг агссоа(Н/72^)
—
•<^з
2тг;
(4.46)
Вычислим аппаратную функцию метода прямоугольников, мо-
дулированных прямоугольниками. По формуле (4.31) получа-
ем
и/j + AQ оо
= У dSl У Z(a(l + sign cos оМ) х
-АП -ОО
х sign cos w2t + V - V7) cosfltdt. (4.47)
Учитывая, что функция sign cos - периодическая, a w2 »
> и>1 , получаем
7Г
а£25 = У Z(a(l + sign cos wit) x
0
x sign cos w2t + V — V') coswitdt. (4.48)
Делаем замену переменных Wit = z:
7Г
= — [ Z(a(l + sign cos z) sign cos — z + V — V') x
v jt J a?i
о
тг/2
x cosuitdt = — I (2a + V — V1) cos zdz =
2ir J
о
2
a — la? I
(a — x) cos zdz =-----.
JT
о
Вычислим нормированную аппаратную функцию
J A(V-V'}dV = j^dx = ^.
—oo —a
Следовательно
(4.49)
Вычисленные нормированные аппаратные функции рассмо-
тренных пяти методов приведены на рис. 4.1 [96].
Рис. 4.1. Нормированные аппарат-
ные функции метода модуляции для
различных дифференцирующих сиг-
налов:
1 - А% ; 2- А& ; 3- А& ; 4 ~ А% ;
5~ А%
Для того, чтобы продемонстрировать возможности исполь-
зования аппаратных функций, рассмотрим влияние конечно-
сти времени действия дифференцирующего сигнала и конеч-
ности полосы пропускания системы (усилителя) (эти два фак-
тора тесно связаны между собой) на аппаратные функции. В
этих случаях в соответствующих выражениях для аппаратных
функций необходимо проводить интегрирование от t = 0 до
t — t\ , где ti - время выключения системы, и подставлять
реальные коэффициенты пропускания системы g(Q).
Проведем такой анализ для метода биений, воспользовав-
шись результатами [122]. На рис. 4.2 [122] показаны аппаратные
функции метода биений, вычисленные для ty = 5[2tt/(cji-cj2)]
При этом для коэффициента пропускания системы было при-
нято
= + iWo/Q - №}Q ’ (4’50)
где По/2тг - частота, соответствующая максимальному пропус-
канию; Qo/2ttQ - полуширина полосы пропускания. Как видно
из рисунка, в случае конечности времени измерения аппарат-
ная функция начинает зависеть от полосы пропускания (со-
ответственно ее формы) системы. Заметим, что при бесконеч-
ном времени измерения такая зависимость отсутствует. Отме-
тим также, что в случае, изображенном на рис. 4.2, аппаратная
функция становится несимметричной, а это, в свою очередь,
Рис. 4.2. Аппаратные функции ме-
тода биений при различных шири-
нах пропускания измерительной
схемы для ti = 5[2t/(wi — w2)]: 1 -
Q = 100 ; 2 - Q - 50 ; 3 - Q = 20 ;
4- <2 = 10
Рис. 4.3. Зависимость амплиту-
ды аппаратной функции мето-
да второй гармоники от времени
измерения при различных ши-
ринах пропускания системы:
1 - Q = 100 ; 1 - Q = 300
приводит к сдвигу измеренных особенностей на ФРЭ. Кроме
того, аппаратные функции в этом случае имеют отрицатель-
ные части. На рис. 4.3 [122] приведена зависимость амплитуды
аппаратной функции в максимуме от времени измерения для
метода второй гармоники при двух ширинах полосы пропуска-
ния системы. Эти результаты показывают, что наиболее удоб-
но выбирать полосу системы и время измерения такими, чтобы
аппаратные функции не изменялись. В то же время при невоз-
можности сделать это аппаратные функции позволяют, в прин-
ципе, извлечь из полученной информации верный результат.
4.4. Аппаратные функции других методов
дифференцирования
Введем теперь аппаратные функции методов дифференцирую-
щих цепочек (усилителей) и численного дифференцирования.
Будем считать, что две дифференцирующие цепочки с по-
стоянными времени и т2 соединены последовательно. При
линейном изменении зондового смещения V = at ток в зон-
довой цепи будет некоторой функцией времени i — i(t) и,
следовательно, напряжение, снимаемое с сопротивления R в
зондовой цепи и подаваемое на вход первой цепочки, будет
U(t) = Ri(t).
Как известно [123], коэффициент пропускания дифферен-
цирующей цепочки на частоте и> равен
к = -1 1й”~ .
1 + шт
Тогда коэффициент усиления двух последовательно включен-
ных цепочек будет равен
<jJ2T]T2
к2 = -
Следовательно,
F(U2) = F(U)K2, (4.51)
где U2 - напряжение на выходе второй дифференцирующей
цепочки. Из (4.51) следует, что
пгп-р(‘Ри'\ К1
F,L1! - F (*5-J •
Делая обратное преобразование Фурье и учитывая, что V = at,
получаем
/ d2i
U2(t) = a2T\r2R I -тг— * A,
\ avz
где
А,
1
(4.52)
Если Ti = тг = т , то формула (4.52) переходит в
Ац —
_L_ e-V/ar
а2т2
(4.53)
Поскольку при Т = Т1 = Т2 И Т2 = ТуТ2 функция (4.53)
имеет меньшую ширину на любой относительной высоте, чем
функция (4.52),в дальнейшем будем рассматривать только этот
случай. Функция (4.53) является нормированной аппаратной
функцией, так как для нее соответствующий интеграл (4.2) ра-
вен единице.
Рассмотрим теперь нормированную аппаратную функцию
метода численного дифференцирования по формуле (3.87). В
этом случае находится величина U3 , равная
_ г(У + ДУ) + г(У-ДУ)-2г(У)
3 (ДУ)2 ‘ 1
Делаем преобразование Фурье и получаем
F(i(V + ДУ)) + F(i(V - ДУ)) - 2Г(г(У))
(ДУ)2 ‘ 1
Используем свойства преобразования Фурье [98]:
г.тт . F(i(V)) е2™ду +г(ДУ)) е-2^ду -2Г(г(У))
FlU3> =--------------------(Avp--------------------
/ d2i \ е2™"^ _|_е-2™АУ _2
= F ( dV2 ) (27гн/)2(ДУ)2 ‘
(4.56)
По теореме Бореля о свертке [98] из (4.56) следует, что
( d2i \
F(tf3) = F —(4.57)
\ CL V у
или
t/з = * Л , (4.58)
dVz
где Ат - нормированная аппаратная функция численного диф-
ференцирования по (3.61). Из (4.56) следует, что Аг по виду
1 A
-b ~Z 0 2. Ь 6 V/V,
Рис. 4.4. Нормированные аппа-
ратные функции дифференци-
рующих цепочек (1) и числен-
ного дифференцирования (2),
Vi = AV
совпадает с функцией а£25 метода модуляции для дифферен-
цирующего сигнала типа (3.82).
Ясно, что нормированные аппаратные функции численного
дифференцирования по любой другой формуле могут быть рас-
смотрены аналогично. Рассмотренные в этом параграфе функ-
ции приведены на рис. 4.4 [116].
4.5. Сравнение различных методов
измерения ФРЭ
Выше были рассмотрены несколько способов получения ФРЭ
с использованием формулы Дрювестейна. Однако остался от-
крытым исключительно важный вопрос о сравнении между со-
бой различных методов. После того как были введены нормиро-
ванные аппаратные функции методов, этот вопрос может быть
решен, и его решению посвящен данный параграф. Ясно, что
в зависимости от стоящей перед экспериментатором задачи от-
вет на вопрос, какой метод предпочтительнее, в принципе мо-
жет изменяться. Поэтому здесь проводится сравнение методов
по их разрешающей способности, вносимым искажениям, а так-
же по качеству восстановления истинной ФРЭ из результатов
измерений [118].
Для удобства пронумеруем рассмотренные ниже методы
следующим образом.
1. Метод второй гармоники.
2. .Метод демодуляции.
3. Метод биений.
4. Метод модуляции прямоугольным сигналом.
5. Метод прямоугольников, промодулированных
прямоугольниками.
6. Численное дифференцирование.
7. Дифференцирующие цепочки.
Разрешающая способность. По аналогии с оптикой под раз-
решающей способностью будем понимать возможность прибора
детально исследовать ФРЭ в плазме. Очевидно, что эта способ-
ность определяется формой и шириной аппаратных функций.
Будем измерять теоретическую разрешающую способность ме-
тода тем наименьшим интервалом энергий Дг, для которого
две монохроматические ФРЭ, нормированные на одинаковую
электронную концентрацию, еще наблюдаются раздельно. Для
количественных оценок разрешающей способности воспользу-
емся критерием Рэлея и за наименьший разрешимый интервал
Де примем величину, при которой ордината суммарной реги-
стрируемой функции составляет 0,8 ординаты максимума (для
несимметричных аппаратных функций ординату минимума бу-
дем сравнивать с ординатой наименьшего из максимумов).
Обозначим теоретические разрешающие способности мето-
дов 6ic(as), где к - номер метода. Тогда разрешающие способ-
ности от лучшей к худшей расположатся следующим образом:
<$б(®) : <5?(®) : М®): М®): Ы®): М®) : <*з(®) =
= 1,2 : 1,82 : 2,13 : 2,45 : 2,43 : 2,7 : 2,97 . (4.59)
Отметим, что критерий Рэлея, давая возможность сравнить
разрешающие способности различных методов для измерения
ФРЭ, не дает ответа на вопрос о разрешении двух моноэнергети-
ческих функций распределения в каждом конкретном случае,
поскольку это будет определяться, с одной стороны, реальной
аппаратной функцией, а с другой - точностью измерения ФРЭ.
Вносимые искажения. С точки зрения вносимых в изме-
рения искажений наилучшим методом является тот, у которого
нормированная аппаратная функция - самая узкая на любой
относительной высоте. Поскольку при таком сравнении неко-
торые из аппаратных функций оказываются более узкими по
отношению к другим в вершине и более широкими у основания
(или наоборот), целесообразно ввести усредненный критерий
минимума искажений следующим образом. Будем считать луч-
шим метод, у которого усредненная ширина аппаратной функ-
ции
х = 2
dA(x) _ 1
W" А(0)
является наименьшей (для несимметричной функции (4.53) ве-
личина х = 1/Ац(1)). Тогда для рассмотренных выше функций
получаем:
Хв : ' х4 х2 : Х1 : хз : хг =
= 1 : 1,77 : 1,97 : 2,21: 2,35 : 2,61 : 2,72. (4.60)
Искажения, вносимые каждым из перечисленных выше мето-
дов в определение ФРЭ, могут быть значительно уменьшены
при использовании математической обработки непосредствен-
но измеренных кривых Jk . Поскольку Jk связано с истинной
ФРЭ уравнением Фредгольма первого рода, используя один из
регуляризирующих алгоритмов [78], можно получить устойчи-
вое решение, т.е. по Jk восстановить истинную ФРЭ.
Качество восстановления истинной ФРЭ. Для выяс-
нения влияния вида аппаратной функции на точность восста-
новления /(г) при типичных для современного эксперимента
погрешностях определения Jk удобно воспользоваться реше-
нием модельных задач. Зададимся следующими модельными
распределениями электронов.
*
sin2 fa х
(kix)2 ’
О
|М| 7Г;
]fci®] > 7г;
(4-61)
’(«) = {J;
1®1 ®i;
|x| > Xl .
Далее схема расчета следующая.
1. Решается прямая задача, т.е. по известным распределени-
ям электронов /м1^ и и известным аппаратным функциям
вычисляются функции J/;. В связи с тем, что точность восста-
новления результатов может зависеть от соотношения ширины
аппаратных функций и ФРЭ, необходимо это сделать для раз-
ных таких соотношений.
2. На функции накладывается погрешность Д Л , моде-
лирующая наличие погрешностей эксперимента. Можно пред-
полагать их случайными величинами, распределенными равно-
мерно в некотором интервале.
3. По отклонению восстановленной функции fe(x) от мо-
дельной можно определить погрешность восстановления
Гу
\ Е (/fin - /мп)2
г _ V n=1____________
6 N ’
Е 1/вп|
П=1
где N - число точек, в которых известны распределения.
Приведем результаты конкретных расчетов, выполненных
по этой схеме при следующих параметрах: = тг/4, хг = 4 -
’’широкое” модельное распределение; кг = тг/2, хг = 2 - ’’уз-
кое” модельное распределение, погрешности экспериментов 1
и 5%. Расчеты выполнялись по программе А.С.Меченова, ре-
ализующей регуляризирующий алгоритм Тихонова. Параметр
регуляризации выбирался равным значению, соответствующе-
му минимальной погрешности восстановления 6 .
На рис. 4.5 приведены относительные погрешности расче-
та ФРЭ, восстановленных с использованием ’’узких” и ”широ-
Рис. 4.5. Зависимость относительной
погрешности восстановления ФРЭ от
номера к аппаратной функции:
1,2 - ftP, г = 0,05; 5 - ,
г = 0,01 ; 4,5 - f}P, т = 0,05 ; 6 -
ftP , г = 0,01 ; 1,4 и 2,3,5,6 - "уз-
кая” и ” широкая” аппаратные функ-
ции соответственно. Расчетные зна-
чения соединены отрезками прямых
для удобства рассмотрения
ких” аппаратных функций при различных погрешностях ис-
ходных данных. Оптимальный по точности результат удается
получить, используя численное дифференцирование (см. вы-
ше метод 7), наихудший наблюдается при использовании ме-
тода биений (метод 3). Та же зависимость от вида аппаратных
функций сохраняется для различных выборок случайных чи-
сел. Это продемонстрировано на рис. 4.5 на примере восстано-
вления /м ) с узкой аппаратной функцией при погрешности 5%
для трех выборок случайных чисел.
Совокупность данных, полученных в подобных модельных
расчетах, позволяет сделать вывод об эффективности примене-
ния метода регуляризации Тихонова для восстановления ФРЭ.
Относительные погрешности восстановления ФРЭ для методов
1, 2, 4 оказываются близкими и несколько большими, чем для
методов 5 и 6. Метод 3 в этом смысле уступает всем остальным.
Оптимальный результат можно получить, используя метод 7.
С точки зрения разрешающей способности, вносимых иска-
жений и качества восстановления истинной ФРЭ может быть
установлена единая последовательность рассмотренных мето-
дов. Методы от лучшего к худшему располагаются следующим
образом: 6,5,4,2,1,3. В этом ряду отсутствует метод 7, положе-
ние которого меняется.
Конечно, при практическом использовании различных зон-
довых методов измерения ФРЭ нужно принимать во внимание
их достоинства и недостатки, не связанные непосредственно с
видом аппаратных функции. Рассматривая особенности изме-
рительных схем, отметим, что методы модуляции с точки зре-
ния схемного решения, по-видимому, не имеют принципиаль-
ных преимуществ один перед другим. Однако метод 1 предпо-
лагает использование высококачественного генератора синусо-
идальных сигналов, поскольку сигнал регистрируется на ча-
стоте его второй гармоники; полезным оказывается использо-
вание фильтра-пробки, настроенного на частоту генератора и
устанавливаемого на его выходе. Применение синхронного де-
тектирования в этом методе требует удвоения частоты генера-
тора. При использовании в методе 1 простой перестройки часто-
ты возможно измерение первой, второй и третьей производных
зондового тока.
Методы 2-5 оказываются менее чувствительными к искаже-
ниям формы дифференцирующего сигнала. Наибольшее рас-
пространение в настоящее время из методов модуляции, как
уже говорилось, имеют методы 1 и 2.
Проведенный анализ свидетельствует о целесообразности
практического применения впервые предложенного в [96] ме-
тода 5. При этом особое внимание должно быть обращено на
длительность фронтов прямоугольных импульсов, от которой
зависит ширина аппаратной функции. Перспективным являет-
ся также использование метода 6 с применением радиотехниче-
ского дифференцирования, что должно уменьшить погрешно-
сти измерения ФРЭ. Однако применение дифференцирующих
усилителей предполагает широкую полосу пропускания изме-
рительной схемы, что существенно ухудшает отношение сиг-
нал/шум для этого метода по сравнению с методами модуля-
ции, в которых используется, как правило, синхронное детек-
тирование.
4.6. Аппаратные функции установок, связанные
с отклонением от условий, при которых
получена формула Дрювестейна
В предыдущей главе были рассмотрены способы определения
ФРЭ в тех случаях, когда справедливы выражение (3.1) и соот-
ветственно формула Дрювестейна. Однако в реальных экспери-
ментах условия, при которых они соблюдаются, выполняются
не всегда. Поэтому представляет интерес более подробно иссле-
довать вопрос о возможности получения ФРЭ в этих случаях.
Оказывается, ряд возможностей в этом направлении предоста-
вляет введение соответствующих аппаратных функций (конеч-
но, в тех случаях, когда это можно сделать). В данном пара-
графе рассмотрены аппаратные функции колебаний потенциа-
ла плазмы, отражения и вторичной эмиссии от зонда. Как из-
вестно, полная аппаратная функция установки будет являться
сверткой аппаратных функций различных искажений и аппа-
ратной функции метода дифференцирования. Естественно, что
при этом справедливы все преимущества такого описания ре-
зультатов, о чем говорилось выше.
4.6.1. Колебания потенциала плазмы
В плазме могут существовать колебания потенциала плазмы
(шумы) относительно опорного электрода. Для нас сейчас ин-
терес будут представлять колебания, не изменяющие ФРЭ. В
этих случаях для исключения их влияния можно, в принци-
пе, воспользоваться схемами со ’’следящими” зондами, однако
такие схемы во многих случаях не дают полной компенсации
колебаний, и поэтому анализ влияния колебаний на измерения
представляет интерес.
В рассматриваемом случае к зонду прикладывается допол-
нительное напряжение ДVK, создаваемое колебаниями отно-
сительно опорного электрода. Будем вести дальнейшее изло-
жение применительно к методу модуляции.
Таким образом, в схеме действует эффективный дифферен-
цирующий сигнал
ДУэф = Д V + ДК , (4.62)
где ДУ - подаваемый на схему дифференцирующий сигнал.
Необходимо найтй, как изменится амплитуда регистрируемой
гармоники зондового тока при переходе от ДУ к ДУэф . Для
этих исследований воспользуемся выражением для аппарат-
ной функции дифференцирующего сигнала произвольного ви-
да (4.18). Рассмотрим два вопроса: как изменится чувствитель-
ность метода модуляции при наличии колебаний и как меняет-
ся форма аппаратных функций.
Естественно, что изменение чувствительности метода в при-
сутствии колебаний потенциала плазмы будет давать погреш-
ность при измерении ФРЭ и в том случае, когда можно прене-
бречь уширяющим действием аппаратных функций.
Обозначим площадь под аппаратной функцией Sa (она ха-
рактеризует чувствительность метода). Очевидно, что
SAlfi = Пт
* V—>ос
#Д*У)
—4тг2!/2
(4.63)
(теорема Парсеваля [98]). Тогда
f
SAv = lim
v р—>0
g2irii/a¥>(t) g— гнги dt
—4тг21/2
J(l + 2iru/a<p - 2ir2v2a2<p2 + ...) е-27Г1П< dt
—ОО
— 4тг2!/2
оо 2 °°
= lim [ <^(2) е-27Г1П‘ dt + [ ^2(/) е-2,Г1П< dt.
р-0 —47Г2^2 2ТГ1/ J ’ 2 J v ’
Остальные члены разложения при v —► 0 стремятся к нулю.
Если Q 0 0, то 6(12) = 0. В том случае, если в спектре tp(t)
не содержится составляющих на частоте Q, то второй член
в (4.64) тоже равен нулю (обычно такие аппаратные функции
используют на практике). Тогда
Sa., = ~J V2(i)e-2’»' dt.
— ОО
(4.65)
Предположим теперь, что к дифференцирующему сигналу
прибавляются колебания потенциала плазмы V’(Z) • Тогда если
в спектре нет частоты Q (и Q 0 0 ), то
= у У Л) e-2?rint dt + у У il>2(t)e~2*intdt +
—оо —оо
оо
+ab j <p(t)^t)e~2^nt dt.
— оо
Предполагаем теперь, что удовлетворяются условия
ОО
Ь21
—оо
оо
а2 У <^2(/) зт2тгШеЙ ;
—оо
оо оо
Ь2 У ^2(^) соз27гШЛ <С а2 У <^2(t) соз2тгШЛ .
— оо —оо
Тогда используем неравенство Коши-Шварца [98]
ь
(4.66)
(4-67)
Ь \ V2 / Ь ч 1/2
(4.68)
для третьего интеграла в (4.66) и получим
оо
ab У </>(t)V>(2)sin27rfi/d/
—оо
1/2
X
оо
а2 У <^2(Z)sin2irQ,tdt
—оо
(оо \ 1/2 оо
Ь2 У <^2(i) sin27rflidt j «< a2 j <^2(/) sin 2тгШ<//; (4.69)
—оо
оо
ab У </>(/)^(0 с°з2тгШЛ
-оо
(оо \ 1/2
а2 У <^2(/)cos2n£ltdt I х
“ОО /
(оо Ч 1/2 оо
Ь2 У ff>2(t) соз2тгШ<Й j <С а2 У y?2(i) cos2irSltdt;
—оо / —оо
Отсюда следует, что
< |^| •
Следовательно,
(4-70)
« SAv . (4.71)
Выполнение условия (4.67) может быть легко проверено
экспериментально. Для этого достаточно выключить диффе-
ренцирующий сигнал <^(i) и провести измерения. Тогда (4.67)
сведется к условию
•>
(4-72)
где J* - амплитуда измеряемой гармоники без дифференциру-
ющего сигнала (только колебания потенциала плазмы), a J\ -
с дифференцирующим сигналом (плюс колебания потенциала
плазмы).
Рассмотрим теперь изменение формы аппаратных функций
в присутствии колебаний потенциала плазмы. По определению,
ОО п • 1Z 0°
I ________ I е2тг11/(а^+а^) e-2frifit
/ 4тг21/2 J
По теореме Бореля о свертке [98]
F(/i,/2) = F(/i)*F(/2).
Отсюда следует, что
F(AV+^) = /’(А^) * i/).
Тогда
OO
A^-i-v» = У А<Д£) * В.ф($1 — ,
—оо
(4.73)
(4-74)
(4-75)
(4-76)
где В - аппаратная функция колебаний потенциала плазмы. В
том случае, когда характерные частоты дифференцирующего
Рис. 4.6. Аппаратная функ-
ция метода модуляции в при-
сутствии колебаний потенциа-
ла плазмы Д Vk в виде синусо-
иды с амплитудой:
2-0 мВ; 2-50 мВ; 3 -
120 мВ
сигнала и колебаний потенциала плазмы сильно различаются,
то (4.76) переходит в
Av^ = Ар * Д/,(0). (4-77)
Для примера на рис. 4.6 и 4.7 приведены аппаратные функ-
ции метода модуляции в присутствии колебаний потенциа-
ла плазмы. Дифференцирующий сигнал имел форму 100%-
модулированной синусоиды с несущей частотой 120 кГц и оги-
бающей частотой 1500 Гц. Его амплитуда была 150 мВ (рис.
4.6) и 170 мВ (рис. 4.7). Расчеты аппаратных функций выпол-
нены по формуле (4.77), так как частоты несущей и огибающей
сильно разнесены. Для условий рис. 4.6 колебания потенциа-
ла были синусоидальными, а рис. 4.7 - в виде прямоугольного
сигнала.
4.6.2. Отражение и вторичная эмиссия
электронов от зонда
При зондовых измерениях, особенно в сложных условиях (на-
пример, при наличии пленок на поверхности зонда), могут
играть большую роль отражение и вторичная эмиссия элек-
тронов от зонда. В общем случае учет этих эффектов весьма
Рис. 4.7. Аппаратная функция
метода модуляции в присут-
ствии колебаний потенциала
плазмы AV* в виде прямо-
угольного сигнала с амплиту-
дой:
1-0 мВ; 2-170 мВ, отношение
длительностей положительной
и отрицательной частей сигна-
ла 2:1; 3 - 210 мВ, указанные
длительности равны
сложен, тем более что они могут изменяться в процессе изме-
рения. Однако в тех случаях, когда эти эффекты не зависят
от потенциала зонда, они могут быть у пены введением соот-
ветствующих аппаратных функций, не зависящих от энергии
электронов. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Пусть г и s - коэффициенты отражения и вторичной эмис-
сии электронов, падающих на поверхность зонда под углом i? с
энергией eW = e(Ve — V), где eVe - энергия электрона в невоз-
мущенной плазме; V - потенциал зонда. Введем обозначение
тг/2
С(Ж) = 2 j #(W,tf)sintfcostMtf, (4.78)
о
где H(W, i?) = 1 - (г + з). Тогда плотность зондового тока на
поверхность зонда дается формулой [ср. с формулой (2.6)] [124]
2л-е3 7
Je(V) = — / (К - V)G(Ve - V)f{ye)dVe. (4.79)
т J
v
Дифференцируя это выражение дважды по Ve , получаем
2тге3
X(V) = ^f(V)G(0)C, (4.80)
7П
где
С =
1 4-
J dW2
о
G(^)l f(v + whw
<?(о) /(V)
(4.81)
Преобразуем выражение (4.80) следующим образом [119]:
Ш = ^rfWG^c =
о Г ОО г»
г 3%
= — ЛЮ<?(0)+ -^[WG(W)]f(V + W)dW =
тпх J dW£
о
2»е3 7 iP
= f(V‘^WW1C!(W^ = <4-82>
О
= J /(K)A(V., VW = ^(/ . А),
О
где L(W) определяется формулой (4.21), а
d2
A(V. -V)s A(W) = —[L(W)G(W)J. (4.83)
Таким образом, А является аппаратной функцией отражения
и вторичной эмиссии электронов от зонда.
На рис. 4.8 приведены результаты расчетов аппаратной
функции метода модуляции с учетом отражения и вторичной
эмиссии электронов от зонда B(IV) — Ai * А2 , где Ai - аппа-
ратная функция метода модуляции без учета отражения и вто-
ричной эмиссии электронов от зонда; Дг _ аппаратная функ-
ция, определяемая формулой (4.83). На этом же рисунке приве-
ден результат измерений B(W) по методике, изложенной в §4.8
в плазме послесвечения неона. Измерения производили с помо-
щью молибденового зонда, очищенного предварительно ионной
бомбардировкой при высоком отрицательном напряжении на
нем относительно плазмы. В этом случае было обнаружено,
что G(W") = 1,1 ± 0,2 .
На рис. 4.9 приведен результат измерения B(IV) для мо-
либденового зонда при его длительной работе в криптоновой
плазме без предварительной очистки.
Гис. 4.8. Измеренная аппаратная функция B(W) в плазме послесвечения
неона (1), расчитанная функция B(W) с функцией G(W) = 1 — aW , где
а = 0,016В-1 (3)п а = 0,056В-1 (4); а = 0В-1 (2)
4.7. Получение истинных ФРЭ из результатов
измерений
В том случае, когда ширина аппаратной функции соизмерима
или больше ширины особенностей на ФРЭ, которые нужно изу-
чать, для получения истинной ФРЭ из результатов измерений
нужно решать уравнение Фредгольма (4.1). Такая задача явля-
ется некорректной. Поэтому для ее решения нужно применять
специальные методы. Одной из таких возможностей является
применение метода регуляризации Тихонова.
Этот метод был использован для изучения электронных
спектров в послесвечении в [115] по программам, разработан-
ным в ВЦ МГУ. На рис. 4.10 приведены результаты измерений
электронных спектров и их обработки. Кроме метода Тихоно-
ва на практике использовался также метод быстрого Фурье-
преобразования [120].
4.8. Измерение аппаратных функций
Выше были рассмотрены методы расчета и рассчитаны аппа-
ратные функции различных методов дифференцирования зон-
довых характеристик. Большой интерес представляет разра-
Рис. 4.9. Функция B(W) , получен-
ная в криптоне на неочищенном мо-
либденовом зонде
Рис. 4.10. Измеренная ФРЭ
в плазме послесвечения гелия
(1) и результат обработки ме-
тодом Тихонова,^
ботка способов экспериментального получения аппаратных
функций. Это связано с несколькими причинами. Во-первых,
они позволяют получить аппаратную функцию реальной изме-
рительной схемы и учесть искажения, возникающие из-за не-
идеальности дифференцирующего сигнала и влияния различ-
ных элементов схемы. Во-вторых, они позволяют получать ап-
паратные функции любых дифференцирующих сигналов без
расчетов и учитывать некоторые из искажающих измерения
факторов, о которых пойдет речь ниже.
Наиболее прямой путь получения аппаратных функций ре-
альных измерительных схем был предложен в [111]. Как следу-
ет из определения аппаратной функции, измерительная схема
воспроизводит ее в том случае, когда функция распределения
электронов в плазме является дельта-функцией. В [111] пред-
лагалось для этой цели использовать измерение ФРЭ в плазме
послесвечения инертных газов при низких давлениях. Как из-
вестно, в такой плазме на ФРЭ имеются вторичные максиму-
мы, возникающие в результате прохождения в плазме реакций
с участием возбужденных атомов А* -типа:
А* + А* —Л * А + е (4.84)
( AJ + е
А* + е—>А + е. (4.85)
Энергия этих максимумов для различных инертных газов при-
ведена в гл. 5, а их полуширина для реакции (4.85) составляет
« 0.1 эВ. Этот способ измерения аппаратных функций пред-
ставляет особенный интерес для изучения влияния зонда на
измерения (так как измерения проводятся непосредственно в
плазме).
Для более точных измерений аппаратных функций, связан-
ных с остальными частями установки, удобнее применить дру-
гой способ, так как максимумы на ФРЭ все-таки не являют-
ся идеальными дельта-функциями и сигнал в послесвечении
мал, поэтому трудно получить хорошее отношение сигнал/шум.
Этот способ основан на том, что соответствующая распределе-
нию по скоростям в виде дельта-функции /(е) = пе6(£ - е0)
вольт-амперная характеристика зонда имеет вид
{0 , при eV < £0 ;
eneS / £0\ (4.86)
2л/2т \ е J
Следовательно, для экспериментального определения аппарат-
ной функции можно использовать нелинейный элемент, имею-
щий характеристику типа (4.86). В качестве такого элемента
может быть использована прецизионная пороговая схема. При-
мер такой схемы приведен в [123]. Дифференцирующий сигнал
подается на вход схемы. Сигнал с выхода устройства регистри-
руется обычной зондовой схемой.
V, отн. ед.
Rhc. 4.11. Аппаратная функция метода демо-
дуляции;
точки - эксперимент, сплошная линия - рас-
чет
На рис. 4.11 представлен типичный результат измерения с
помощью пороговой схемы аппаратной функции реальной зон-
довой схемы, работающей по методу демодуляции. В этом слу-
чае — 420 Гц, и>2 = 97 кГц, а = 150 мВ. На этом же рисун-
ке представлен результат расчета соответствующей аппаратной
функции. Небольшие различия между измеренной и рассчитан-
ной функциями связан с неидеальностью дифференцирующего
сигнала.
4.9. О влиянии держателя зонда на
измерения ФРЭ
В том случае, когда зонд не является частью поверхности плаз-
менной камеры, он устанавливается в нужном месте плазмен-
ного объема с помощью держателя, изготовленного из изоли-
рующего материала (стекло, кварц, керамика и т.п.), внутри
которого проходит токопроводящий провод, который не имеет
контакта с плазмой. При этом поверхность держателя может
превосходить поверхность зонда во много раз. Таким образом,
в плазме появляется новая поверхность, которая может суще-
ственно изменить свойства плазмы.
Естественно, что нужно стремиться расположить держа-
тель так, чтобы он наименьшим образом искажал плазму, а
также уменьшить диаметр держателя, так как при условии, что
его радиус много меньше длины пробега заряженных частиц,
искажения существенно уменьшаются. Однако это сделать не
всегда удается.
В общем случае для учета влияния держателя на ФРЭ не-
обходимо решать соответствующее кинетическое уравнение с
новой границей, на которую суммарный ток ионов и электро-
нов равен нулю. В настоящее время имеются лишь работы, в
которых оценивались изменения концентрации и средней энер-
гии электронов в присутствии держателя для простейших гео-
метрий. Так, в [125] проведена оценка ухода заряженных ча-
стиц и возмущения электронной концентрации для цилиндри-
ческого держателя в бесконечной плазме в диффузионном ре-
жиме, кроме того, в [125] это сделано для двух идеализирован-
ных случаев: сферического зонда с коническим держателем в
сферически-симметричной плазме и цилиндрического зонда в
центре цилиндрической трубки, удерживаемого тонким цилин-
дрическим держателем, расположенным вдоль оси плазмы. Та-
кое рассмотрение позволило провести оценки и для более слож-
ного случая - сферического зонда в центре цилиндрической
трубки, поддерживаемого цилиндрическим держателем, веду-
щим от стенки трубки к оси плазмы.
4.10. Влияние ионного тока на зонд на
результаты измерений ФРЭ
Ранее уже отмечалось, что для экспериментального определе-
ния ФРЭ необходимо провести измерение электронной соста-
вляющей зондового тока или производных электронного тока
по потенциалу зонда. В реальных условиях измеряется сум-
марный ток на зонд i (или его производные), состоящий из
электронного ie и ионного г,- токов г = ге + гг. В связи с этим
возникает проблема учета влияния ионной составляющей зон-
дового тока при экспериментальном определении ФРЭ. Очевид-
но, она может быть решена двумя способами.
Во-первых, можно использовать многоэлектродный зонд [4],
который позволяет измерять раздельно электронный и ионный
токи и, при необходимости, их производные. Однако многоэлек-
тродный зонд в силу конструктивных особенностей обладает
значительными линейными размерами и требование Ае rs
оказывается выполненным только при низких давлениях в
плазме (р < I Па), что, естественно, ограничивает область его
применимости.
Во-вторых, можно провести измерение суммарного тока или
его производных одноэлектродным зондом и осуществить кор-
рекцию экспериментальных результатов с учетом ионной со-
ставляющей. Подавляющее число работ по исследованию ФРЭ
в плазме выполнено и продолжает выполняться одноэлектрод-
ным зондом, поэтому остановимся на применяющихся методах
коррекции [7].
Прежде всего отметим, что по вполне понятным причинам
ионный ток оказывает влияние на измерение ФРЭ только в той
части зондовой вольт-амперной характеристики, где гг- > ге . В
[126] проведен анализ отношения к — |i"|/|iel Для случая, ко-
гда ионный ток описывается лимитационной или орбитальной
теорией, а ФРЭ - широким классом монотонно падающих функ-
ций. Было показано, что двойное дифференцирование суммар-
ного тока позволяет получать достоверную информацию о ФРЭ
до значений энергий е и (4 т 6)е , где ё - средняя энергия
измеряемого энергетического распределения. Кроме того, ав-
торы [126] сделали вывод, что в случае справедливости ли-
митационной теории ионного тока отношение к для фикси-
рованного задерживающего потенциала зонда уменьшается с
увеличением диаметра зонда. На этой основе в [127] был пред-
ложен и реализован способ расширения диапазона измерения
ФРЭ в область больших энергий электронов с использовани-
ем двух зондов разных размеров. Тонкий зонд применялся для
измерения ФРЭ в низкоэнергетической области, где возможны
искажения из-за стока электронов на зонд, а зонд большого
диаметра - в высокоэнергетической, совмещение кривых про-
водилось в промежуточной области энергий. Недостаток это-
го метода связан с тем, что расширение диапазона измерений
ФРЭ требует увеличения диаметра зонда, из-за чего возникают
трудности совмещения кривых, полученных разными зондами.
К тем же трудностям приводит рост давления. Использование
теоретических зависимостей для описания ионного тока или
его производных [126], а также их аппроксимация какими-либо
выражениями на основе измерений в области ионного тока на-
сыщения [7,128] в силу неизбежных погрешностей не позволя-
ют надежно выделить искомое значение электронного тока и
его производных. В связи с изложенным выше рассмотрим экс-
периментальный метод исключения влияния ионного тока на
измерение ФРЭ с использованием наиболее употребительного
цилиндрического зонда.
В важном для практики случае не слишком низких давле-
ний длина свободного пробега ионов А, rs , и для них спра-
ведлив режим гидродинамического дрейфа на зонд (см. §2.6).
Это означает, в соответствии с формулой (2.43), что плотность
ионного тока слабо (логарифмически) зависит от радиуса слоя,
а ионный ток на цилиндрический зонд практически не зави-
сит от его радиуса. В то же время при соблюдении условия
А£ > rs, где ХЕ - длина энергетической релаксации элек-
трона, электронный ток на цилиндрический зонд пропорциона-
лен радиусу. Учитывая, что обычно А, Ае, регулированием
диаметра зонда практически всегда можно добиться одновре-
менного выполнения неравенств А, < г$ < А£. Регистрируя
в этих условиях разностный сигнал с двух зондов различного
радиуса и одинаковой длины, для каждого из которых справед-
ливы выписанные выше неравенства, можно взаимно компен-
сировать ионную составляющую зондового тока и тем самым
значительно расширить возможности зондовой методики опре-
деления ФРЭ.
Схема регистрации для измерения ФРЭ с компенсацией ион-
ного тока и временным разрешением изображена на рис. 4.12.
Электронные ключи К1 и К2 служат для включения схемы в
нужный момент времени. С помощью операционных усилите-
лей А1 и А2 зондовые токи преобразуются в соответствующие
напряжения, которые вычитаются дифференциальным усили-
телем АЗ. Для зондов разной длины 1\ и I2 компенсация про-
Рис. 4.12. Схема компенсации ионного тока при измерениях ФРЭ с времен-
ным разрешением:
1 - источник дифференцирующего сигнала; 2 - устройство выборки-
хранения
изводится путем подбора сопротивлений R\ и R^ так, чтобы
выполнялось условие RyJRz = h/h • После операционного уси-
лителя А 3 полезный сигнал подается на систему регистрации
первой и второй производных зондового тока. В данном случае
он усиливался и подавался на схему выборки-хранения. Для
регистрации второй производной зондового тока использова-
лись узкополосный усилитель и синхронный детектор, настро-
енные на удвоенную частоту модулирующего синусоидального
сигнала. Зондовое смещение и модулирующий сигнал подава-
лись на анод А разрядной трубки, что позволяло упростить
измерительную схему.
Работоспособность данной установки и ее возможности про-
верялись измерениями в плазме послесвечения гелия, где вли-
яние ионного тока, в силу малой массы атома гелия, особенно
велико. Эксперименты проводились в разрядной трубке ради-
усом 1,7 см при давлении гелия 65 Па, силе тока в импульсе
205 мА, его длительности 10 мкс, времени задержки в после-
Рис. 4.13. Результаты измерений i"
и i" в послесвечении гелия
свечении 200 мкс. Использовались зонды двух радиусов - 0,05
и 0,1 мм. Для регистрации ФРЭ в рассматриваемых условиях
было необходимо определить i".
В качестве примера на рис. 4.13 представлены результаты
измерения г" традиционным методом с использованием одного
зонда (кривая 1) и результаты измерения г" описанным выше
методом с применением схемы компенсации ионного тока (кри-
вая 2). На кривых видны характерные максимумы в областях
энергий 15; 7 и 4 эВ, которые связаны с появлением быстрых
электронов за счет парных столкновений метастабильных ато-
мов гелия и процессов пеннинговской ионизации примесных мо-
лекулярного водорода и азота метастабильными атомами ге-
лия. На кривой 1 на эти максимумы налагается монотонно па-
дающая зависимость i"(V}, которая их значительно маскирует
и существенно влияет на абсолютное значение i"(V). Как вид-
но, в результате компенсации эта зависимость исчезает.
Наличие второй производной ионного тока следует учиты-
вать и при определении температуры электронов по измерению
максвелловской части ФРЭ. На рис. 4.14 представлены резуль-
таты измерения в низкоэнергетической части распределения
i"(V) одним зондом (кривая 1) и по предлагаемой ме-
тодике (кривая 2). Видно, что искажения при £ 6ё связаны с
влиянием ионного тока, а применение схемы компенсации это-
го тока позволяет расширить диапазон измерений в сторону
больших энергий и тем самым уменьшить погрешности в опре-
Рис. 4.14. К определению тем-
пературы электронов диффе-
ренцированием зондовой ха-
рактеристики
делении электронной температуры.
4.11. Исключение искажений, возникающих
при измерении ФРЭ из-за конечной
проводимости плазмы
Обычно при зондовых измерениях считается, что все подава-
емое между зондом и опорным электродом напряжение сме-
щения Vp приложено к призондовому слою, т.е. неявно пред-
полагается, что проводимость плазмы бесконечна. В действи-
тельности плазма, находящаяся между границей призондового
слоя и опорным электродом, имеет ненулевое сопротивление
R, так что при протекании зондового тока г на нем падает
часть, равная iR , зондового смещения Vp . Поэтому напряже-
ние V, приложенное к призондовому слою (потенциал зонда
относительно плазмы), отличается от напряжения источника
зондового смещения Vp = iR + V (здесь и далее опущен не за-
висящий от зондового тока член, равный потенциалу плазмы в
месте расположения зонда относительно опорного электрода).
Аналогичное влияние оказывает и сопротивление зондовой це-
пи, поэтому под R в общем случае нужно понимать сумму со-
противления плазмы между границей слоя объемного заряда и
опорным электродом и сопротивления зондовой цепи. Из ска-
занного выше следует, что искажения при зондовых измерениях
будут малы, когда сопротивление R много меньше дифферен-
циального сопротивления зонд-плазма RCJ1 = (di/dV)-1 . До-
статочно очевидно [7], что RCJ1 минимально при малых задер-
живающих потенциалах и увеличивается с ростом V. Исходя
из теоретических оценок, в [7] было показано, что искажаю-
щее воздействие конечной проводимости плазмы на измерение
ФРЭ может быть существенным в диапазоне энергий от нуля
до нескольких средних энергий электрона ё.
Рассмотрим данный вопрос подробнее применительно к слу-
чаю, когда для нахождения ФРЭ необходимо зарегистрировать
либо первую, либо вторую производную зондового тока по по-
тенциалу зонда. С учетом отличия R от нуля связь между
измеряемыми значениями di(Vp~)/dVp, d2i(VP)/dV2 и истинны-
ми значениями dio(V)/dV, dliotyj/dV2 выглядит следующим
образом:
^р(У) _ / Д \ di(Vp)
dV V + Дел/ dVp ’
d2*o(V) / R\3d2i(Vp)
dV2 I + RCJ dV2
(4-87)
(4.88)
Из этих выражений видно, что измеряемые значения производ-
ных меньше истинных по абсолютному значению [за счет мно-
жителя (Ц-Д/Дсл) в соответствующей степени], а их аргумен-
том является не V , a V-\-iR , т.е. происходит сдвиг потенциала
зонда в область меньших задерживающих потенциалов.
В [129] описана схема, которая с помощью дополнительно-
го зонда могла компенсировать уменьшение полезного сигнала,
возникающее за счет сопротивления плазмы. Однако в ней не
была предусмотрена коррекция на сдвиг потенциала, что не по-
зволяло избавиться от искажений в полной мере. Кроме того,
данная схема может быть использована только для исследова-
ний стационарной плазмы.
Схема, позволяющая при зондовых измерениях ФРЭ с вре-
менным разрешением компенсировать оба типа искажений, изо-
бражена на рис. 4.15. Зонд 31 использовался для измерения
Рис. 4.15. Схема измерения ФРЭ с компенсацией искажений, возникающих
из-за конечной проводимости плазмы
производных di/dVp и dPi/dV^ с помощью традиционного ме-
тода модуляции. Дифференцирующее напряжение в зондовую
цепь подавалось через трансформатор Тр1. Блок 1 содержит
преобразователь ток-напряжение, схему выборки-хранения
(она необходима для измерений с временным разрешением),
узкополосный усилитель и синхронный детектор. Если реги-
стрировалась вторая производная, то узкополосный усилитель
и синхронный детектор настраивались на удвоенную частоту
дифференцирующего сигнала. Зонд 32 служил для компенса-
ции искажений, связанных с конечной проводимостью плаз-
мы. Для этого необходимо было поддерживать его потенциал
в определенной точке ВАХ при изменении тока, протекающего
через зонд 31. В данной схеме это осуществлялось с помощью
блока 2, который путем обратной связи с источником смещения
зонда 32 поддерживал его потенциал близким к плавающему.
Очевидно, что при изменении тока через зонд 31 при скани-
ровании его потенциала источник смещения 32 должен изме-
нить свое напряжение на А 99 = AiiR. Таким образом, раз-
ность напряжений смещений зондов 31 и 32 равнялась искомо-
му изменению напряжения AV . Дифференцирующий сигнал в
цепи зонда 31 acoswt перераспределялся между сопротивле-
ниями слоя и плазменного столба таким образом, что потен-
циал плазмы около зонда 32 менялся как acoswtR/(Rcn + R)
(постоянная времени обратной связи в блоке 2 была намного
больше, чем 1/о>). В блоке 2 соответствующая переменная со-
ставляющая зондового тока таким же способом, как и в блоке
1, пропорционально преобразовывалась в постоянное напряже-
ние V? . Трансформатор Тр2 служил для градуировки, при его
включении в цепь зонда 32 подавалось такое же модулирующее
напряжение, как и в цепь зонда 31, и измерялось напряжение
VT на выходе блока 2. Блок 3, состоящий из дифференциально-
го усилителя и аналогового умножителя, фиксировал напряже-
ние Vr и осуществлял преобразование (Уг - У2)-1 • Поскольку
VT/V? = (R + Rcn)/R , напряжение на выходе этого блока про-
порционально 1 + R/RCJ1. Блок 5 применялся для регистрации
второй производной, он возводил в куб выходное напряжение
блока 3. Блок 4 представлял собой аналоговый умножитель,
сигнал с его выхода, пропорциональный (1 + R/Rcn)di(Vp)/dVp
для первой и (1 +R/RCJl)3cPi(yp)/dVp для второй производной
зондового тока, подавался на вход ” Y ” самопишущего прибо-
ра. На вход ” X ” последнего подавалось напряжение, равное
разности напряжений источников смещения зондов 31 и 32.
В данном варианте схемы временное разрешение составляло
5 мкс, а погрешность аналогового умножения не превышала
5%.
При измерениях' с временным разрешением использовались
электронные ключи Кл1 и Кл2. Их сопротивление было как ми-
нимум на порядок меньше, чем компенсируемое сопротивление
плазменного столба.
Для подтверждения работоспособности схемы были выпол-
нены эксперименты в плазме послесвечения неона при давле-
нии 45 Па, силе тока в разрядном импульсе 100 мА, задержке
после окончания разрядного импульса 30 мкс. Радиус зонда
Рис. 4.16. Пример работы схемы ком-
пенсации при измерении ФРЭ
составлял 0,1 мм, длина 15 мм.
Известно, что в послесвечении температура электронов Те
мала и ФРЭ в тепловой области близка к максвелловской из-
за сильного межэлектронного взаимодействия. В эксперименте
регистрируемый сигнал является сверткой d2i/dV2 с аппарат-
ной функцией конкретной схемы дифференцирования. В нашем
случае амплитуда дифференцирующего сигнала составляла 30
мВ.
На рис. 4.16 приведены результаты измерений второй про-
изводной зондового тока по потенциалу зонда. Видно, что при
использовании предложенной схемы (кривая 2) получаемые за-
висимости, с учетом влияния аппаратной функции, близки к
идеальным. Для сравнения на том же рисунке в том же мас-
штабе приведены результаты измерений с помощью одного зон-
да (кривая 1, часть схемы, связанная с зондом 32, отключа-
лась). При этом возникают погрешности как в определении аб-
солютного значения функции распределения (соответственно
и концентрации электронов), так и в определении потенциа-
ла плазмы, который обычно выбирают в нуле второй произ-
водной. Эксперименты показывают, что в реальной ситуации
без применения схемы компенсации погрешность определения
концентрации электронов может достигать от 2 до 10 раз, а в
определении потенциала плазмы (0,5 4- 3)Те
Глава 5
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ЗОНДОВЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ ФРЭ В НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ
ПЛАЗМЕ
5.1. ФРЭ в плазме во внешнем электрическом поле
5.1.1. ФРЭ в плазме разряда в постоянном поле
Первые систематические измерения ФРЭ были выполнены
Ю.М.Каганом с сотрудниками в положительном столбе тлею-
щего разряда атомарных газов и их смесей. Эти исследования
проводились в разрядах низкого давления в условиях приме-
нимости зонда Ленгмюра и обобщены в обзоре [130]. Из много-
численных экспериментов, выполненных в диапазоне давлений
газа р = 10-1 4- 400Па, было сделано два основных вывода.
При низких давлениях, когда длина свободного пробега
электрона превышает радиус трубки, в положительном стол-
бе разряда ФРЭ является максвелловской вплоть до энергий,
превышающих энергию ионизации атомов (парадокс Ленгмю-
ра).
При давлениях, когда Ае <С R , энергетическое распределе-
ние электронов, как правило, отличается от максвелловского.
Эти отклонения особенно велики в области больших энергий
электронов, способных возбуждать и ионизовать газ.
Наличие максвелловского распределения в слабоионизо-
ванной плазме в пролетном режиме Ае R, известное еще
с 30-х годов и получившее название парадокса Ленгмюра, не
имеет однозначной интерпретации к настоящему времени. По-
пытки его теоретического объяснения в основном связывают
либо с возникновением пристеночных колебаний [130], либо с
особенностями формирования нелокальной ФРЭ в пролетном
режиме [45]. Нам представляется, что необходимо также прини-
мать во внимание роль экспериментальных погрешностей изме-
рения ФРЭ и влияния второй производной ионного тока в обла-
сти больших задерживающих потенциалов. Поэтому детальное
объяснение парадокса Ленгмюра требует проведения дальней-
ших исследований.
В диффузионном режиме Ае <С R наблюдалось уменьшение
числа электронов в области больших энергий по сравнению с
максвелловским распределением. Этот факт естественно свя-
зывался с большой ролью процессов возбуждения по сравне-
нию с межэлектронными столкновениями. В [130] также были
проведены расчеты ФРЭ в локальном приближении (см. гл. 1),
которые сопоставлялись с экспериментами в различных ато-
марных газах. Однако, как показано в гл. 1, в подобных услови-
ях ФРЭ обычно является нелокальной, поэтому сопоставления
локальной теории с экспериментом носят, в условиях примени-
мости зонда Ленгмюра, скорее всего, качественный характер.
На рис. 1.1 было приведено сопоставление измеренной ФРЭ
в разряде в гелии с расчетами в локальном и нелокальном при-
ближениях. Как и следовало ожидать, экспериментальные зна-
чения близки к расчетам нелокальной функции распределения.
После опубликования [22] появились экспериментальные
доказательства нелокальности ФРЭ в разрядах низкого давле-
ния в атомарных газах [131]. В разрядной плазме нелокаль-
ные свойства ФРЭ можно обнаружить путем радиальных зондо-
вых измерений. В нелокальном режиме потенциал стенки 9^(7?)
больше ei - порога возбуждения - и электроны с энергией
£ < etp(R) являются запертыми в объеме. В этом случае функ-
ции распределения, измеренные в различных точках сечения
трубки вдоль радиуса, должны совпадать без сдвига на потен-
о 3 6 9 е,эВ О 3 6 9 е, эВ
Рис. 5.1. ФРЭ в разряде Аг , р — 45 Па , 1Р — 5 мА; E/N =1,1- 10-15 В •
см2 :
а - ФРЭ, измеренные вдоль радиуса на оси (1), 6 мм от оси (2), 9 мм (3),
12 мм (4), 14 мм (5); б - ФРЭ, нормированные на максимум и сдвинутые
на потенциал пространства, обозначения те же
циал пространства и нормировки на максимум. Собственно в
локальном режиме должны совпадать ФРЭ, нормированные на
максимум и сдвинутые на потенциал пространства.
Как показано в гл. 1, из-за неупругих процессов с участи-
ем вращательных и колебательных уровней, имеющих малый
энергетический зазор, критерии нелокальности ФРЭ в молеку-
лярных газах являются более жесткими, чем в атомарных. Так,
в разряде в азоте для типичных радиусов трубок R = 1 4- 2 см
ФРЭ является локальной уже при давлениях р > (30 4- 40) Па,
в то время как при р < 10 Па - нелокальной. Для сравнения, в
неоне в упругой области энергий е < 16,6 эВ ФРЭ нелокальна
вплоть до давлений р < (1 — 2) 103 Па.
В [31] были экспериментально обнаружены нелокальные
свойства ФРЭ в разряде молекулярного азота и прослежен пе-
реход к ее локальному формированию по мере увеличения да-
вления. В первой серии эксперименты выполнялись при давле-
нии р — 45 Па и токе разряда 1Р = 5 мА. Результаты измерений
ФРЭ вдоль радиуса представлены на рис. 5.1, а. На рис. 5.1, б
эти функции нормированы на максимум и сдвинуты на потен-
Рис. 5.2. ФРЭ в разряде Nj + Не; Ря3 = 6Па, рне = 27 Па, 1Р = 3 мА,
Е/N = 1,6- 10-15В- см2 :
а - ФРЭ, измеренные вдоль радиуса трубки: 1 - на оси, 2-6 мм от оси,
3 - 9; 4 - 13 мм от оси; б- ФРЭ, нормированные на максимум и сдвинутые
на потенциал пространства
циал пространства. Видно, что они совпадают. Это позволило
сделать вывод, что в реализуемых условиях ФРЭ является ло-
кальной, что следует из критериев гл. 1.
Вторая серия экспериментов была выполнена при р = 13 Па
и 1р = 5 мА. Сопоставление экспериментальных ФРЭ показало,
что как нормированные и сдвинутые на потенциал простран-
ства, так и ненормированные ФРЭ между собой не совпадают.
Отсюда следует, что при данных условиях при р = 13 Па ре-
ализуется промежуточный случай, что вытекает и из теорети-
ческих оценок.
В третьей серии экспериментов использовалась смесь азота
с гелием при давлении азота рм2 = 6 Па и гелия рне = 27 Па
и токе разряда 1р = ЗмА. Измеренные вдоль радиуса трубки
ФРЭ представлены на рис. 5.2, а, которые, как видно, хоро-
шо совпадают между собой. В то же время нормированные на
максимум и сдвинутые на потенциал пространства ФРЭ резко
различаются (рис. 5.2, б). Из рис. 5.2 можно сделать вывод, что
в указанных условиях ФРЭ является нелокальной. Этот вывод
следует и из теоретических критериев гл. 1.
В обзоре [132] представлена сводная таблица некоторых экс-
Рис. 5.3. ФРЭ в положительном
столбе разряда в аргоне при Повы-
шенных давлениях [57]:
точки - эксперимент, сплошная ли-
ния - расчет
»
периментальных результатов измерений ФРЭ ленгмюровским
зондом в разрядах атомарных и молекулярных газов. В частно-
сти, результаты локальных измерений ФРЭ в азотной плазме,
обработанные с учетом вклада ионного тока, показали хорошее
соответствие расчетам (см. рис. 1.2). Отметим также цикл ра-
бот [133, 134] по детальному измерению ФРЭ ленгмюровским
зондом в разрядах смесей ртуть - инертные газы, используе-
мых в люминесцентных лампах.
Таким образом, к настоящему времени накоплен значитель-
ный экспериментальный материал по измерению функции рас-
пределения электронов в разрядах атомарных и молекулярных
газов низкого давления (р < 130 -? 650 Па). В то же время из-
мерения ФРЭ при промежуточных и высоких давлениях прак-
тически отсутствуют. В работе [57], где построена диффузион-
ная теория электронного тока на зонд, выполнены измерения
ФРЭ в положительном столбе разряда в аргоне. ФРЭ опреде-
лялась по первой производной электронного тока на зонд. На
рис. 5.3 представлены результаты измерений из [57] в условиях
р = 5320 Па, 1р = 25 мА. Там же нанесены результаты расче-
. тов тех же авторов, которые, как видно, хорошо согласуются с
экспериментом.
, 5.1.2. ФРЭ в стратах
Как известно [18], положительный столб разряда чаще всего
является неоднородным по длине, т.е. стратифицирован. И хо-
тя экспериментально страты были обнаружены еще в первых
Рис. 5.4. ФРЭ в различных фазах страты, а также соответствующее изме-
нение потенциала пространства
опытах по газовому разряду, их природа долгое время оста-
валась неясной. В последние годы [135] была развита кинети-
ческая теория страт в положительном столбе атомарных газов.
Достаточно очевидно, что принципиальным моментом в теории
является анализ формирования ФРЭ в неоднородных электри-
ческих полях. Систематические измерения функции распреде-
ления электронов в стратах разрядов низкого давления были
выполнены, в частности, в [136]. Типичные результаты для раз-
ряда в смеси ртуть - неон при pHg = 0,16 Па, = 200 Па,
1Р = 15 мА приведены на рис. 5.4. Обращает на себя внимание
сложный вид ФРЭ и ее изменение вдоль страты. В ряде случаев
ФРЭ имеет вторичный максимум при энергии порядка скачка
потенциала в страте.
5.1.3. ФРЭ в разрядах в переменном электрическом
поле
Формирование ФРЭ в высокочастотном поле характеризуется
рядом особенностей по сравнению с ее формированием в посто-
янном электрическом поле [137]. Как показано в гл. 1, в упру-
гой области энергий характерный масштаб релаксации ФРЭ
есть 6иа или Tg1 (1.59), а в неупругой - и* . Если частота
внешнего поля ш < т^1 , и* , то поле можно считать квази-
стационарным и форма ФРЭ определяется мгновенными зна-
чениями его напряженности, как и в постоянном поле. В вы-
сокочастотной области ш > т^1 , и* функция распределения
не успевает релаксировать за время и-1 и определяется эф-
фективным значением напряженности поля Ео/у^. Вид ФРЭ
определяется теми же выражениями, что и в постоянном поле,
с заменой Eq на Eqv*(g)/2(и2 + р2). В промежуточной области
частот т^1 < и < / ФРЭ в упругой области является стаци-
онарной и зависит от эффективной напряженности поля, тогда
как высокоэнергетическая часть распределения определяется
мгновенной напряженностью поля [137].
Измерение ФРЭ зондовым методом в высокочастотном раз-
ряде инертных газов и их смесей в диапазоне 6иа <С ш <С и*
проводилось, в частности, в [138]. На рис. 5.5 представлены
результаты экспериментов в неоне при ш = 4 МГц из [138].
Там же нанесены результаты расчетов на основе [137], которые
удовлетворительно согласуются с экспериментом.
В высокочастотных разрядах молекулярных газов ФРЭ, в
частности, измерялось в азоте при ш = 100 кГц [139] и кисло-
роде при ш = 915 МГц [140]. Современное состояние проблемы
измерения ФРЭ в высокочастотных разрядах изложено в [162].
5.1.4. ФРЭ в приэлектродных областях разряда
Приэлектродные области разряда долгое время оставались ма-
лоизученными в силу известных экспериментальных и теоре-
тических трудностей [18]. Лишь в последние годы разработана
самосогласованная кинетическая теория прианодной области
[141] и достигнут значительный прогресс в описании прикатод-
Рис. 5.5. ФРЭ в высокочастотном разряде в неоне:
точки - эксперимент; • - 130 Па; о - 325 Па; х - 650 Па; А - 1300 Па;
сплошные линии - расчет при Е/р = 0,08В • см-1 • Па-1 (1), 0,16 (2),
0,24 (3), 0,32 (4), 0,48 (5)
ных явлений [18].
Прианодная область. Систематические эксперименталь-
ные и теоретические исследования ФРЭ в прианодной области
слаботочного разряда в неоне были проведены в [142,143]. На
рис. 5.6 представлены результаты измерений ФРЭ на различ-
ных расстояниях от анода из [142] в условиях р = 130 Па,
1Р = ЮмА, R = 1,4см, Е/р = 2,5 • 10-2В/(см • Па). При
расстояниях х > Л£ = 6,75 см энергетическое распределение
соответствует положительному столбу. При х < Л£ происхо-
дит обеднение ФРЭ при £ < £а(ж) = £i — еЕх за счет ухода
электронов на анод. Значения критических энергий £„(») по-
казаны стрелками на рис. 5.6 для расстояний 1, 2, 3 и 4 см от
анода.
Прикатодная область. Экспериментально наиболее из-
учена ФРЭ в низковольтном пучковом разряде, который иссле-
довался, в частности, в [144-146]. В низковольтном пучковом
разряде расстояние между накаливаемым катодом и анодом
выбирается меньше, чем длина энергетической релаксации Л£
электронов, прошедших прикатодный скачок потенциала.
Исследования [144-146] проводились в разряде между пло-
5
6,75см
Рис. 5.6. ФРЭ в прианодной области тлеющего разряда в неоне [142]:
цифры у кривых - расстояние от анода, см
скопараллельными дисковыми анодом и катодом. Плазменный
канал ограничивался (и стабилизировался) цилиндрическими
или коническими стенками. В первом случае диаметры анода
и катода составили по 1 см, а во втором - 3 и 1 см соответ-
ственно. Измерения проводили в гелии и неоне при давлении
от 60 до 400 Па и разрядном токе от 0,02 до 2 А. Функции рас-
пределения измерялись цилиндрическими и плоскими зондами
с использованием методов обработки анизотропных функций
(см. гл. 3).
Типичный результат измерений ФРЭ [145] приведен на рис.
5.7. Как видно, ФРЭ состоит из двух групп электронов. Быст-
рые электроны образуются в результате прохождения электро-
нами прикатодного падения потенциала, а медленные - в ре-
зультате неупругих процессов. Поэтому энергия быстрых элек-
тронов определяется значением прикатодного падения потен-
циала (например, в разных экспериментах в гелии она колеба-
лась от 25 до 60 эВ), а средняя энергия медленных составляла
0,7- 1,5 эВ.
Исследования показали, что в прикатодной плазме быстрые
электроны могут заряжать боковые стенки до потенциалов, со-
ответствующих энергии быстрых электронов. Этот заряд пре-
пятствует уходу последних на стенки, и поэтому его наличие
О 10 20 30 4-Ое,эВ
Рис. 5.7. ФРЭ на оси разряда на
расстоянии 6 мм от катода, да-
вление гелия р — 250 Па , 1Р =
= 0, 06 A, ne = 1011 см-3
является важным для формирования вида ФРЭ. Запертые при-
стеночным скачком потенциала электроны могут образовать
сплошной электронный спектр на ФРЭ, если будет выполнять-
ся условие их релаксации на ленгмюровских волнах [146]. Ти-
пичный пример образования такого сплошного спектра приве-
ден на рис. 5.8.
Таким образом, экспериментально было установлено, что в
прикатодной плазме важную роль в формировании ФРЭ могут
играть пристеночные слои потенциала и возбуждение ленгмю-
ровских колебаний.
5.1.5. ФРЭ в плазме разряда в полом катоде
Электрические разряды с электродами сложной конфигурации
со специфическим их взаимным расположением отличаются
разнообразием физических свойств и широтой практических
приложений. Эти свойства в значительной степени определя-
ются характером формирования функции распределения элек-
тронов. Из таких объектов наиболее исследованным и широко
используемым является разряд с полым катодом [147].
Главное отличие в формировании ФРЭ в разряде с полым
катодом от положительного столба разряда связано с тем, что
электрическое поле в большей части катодной полости близко к
нулю, так что падение приложенного потенциала практически
полностью сосредоточено в небольшой области пространства
вблизи поверхности катода - катодном падении. Размеры обла-
сти катодного падения таковы, что электроны, эмитируемые
катодом, проходят ее практически без неупругих соударений с
частицами газа и приобретают конечную энергию £0 = ,
Рис. 5.8. Вторые производные i"(V) , измеренные на оси разряда на рассто-
янии z от катода зондами двух взаимно перпендикулярных ориентаций.
При z > 2 мм i" для различно ориентированных зондов практически со-
впадают, давление гелия р = 300 Па , 1Р = 0, 5 А, пе = 1,1 • 1012 см-3
где Uк - величина катодного падения потенциала. Далее они
попадают в область отрицательного свечения внутри катодной
полости, где релаксируют по импульсу и энергии в результате
всевозможных упругих и неупругих столкновений.
В [148,149] были развиты методы расчета ФРЭ в полом ка-
тоде и выполнены ее систематические измерения зондовым ме-
тодом. Подобные эксперименты были проведены также в [150—
152]. Для примера на рис. 5.9 приведены результаты измерений
ФРЭ из [148] в коаксиальном полом катоде с диаметром 2 см в
гелии при давлении р — 530 Па и токе 1р = 60 мА.
Из теории следует, а эксперименты подтверждают специ-
фический вид ФРЭ в полом катоде, отличный от вида функ-
Рис. 5.9. ФРЭ в разряде с полым катодом [Г48]:
1 - r/R = 0 ; 2 - r/R = 0,5 ; 3 - т/R = 1
ции распределения в положительном столбе разряда. В обла-
сти больших энергий £ ~ eUk на ФРЭ существует максимум,
связанный с пучком первичных электронов, ускорившихся в
тонком прикатодном слое. От энергий eUk до £i - порога
возбуждения - электроны релаксируют по энергиям за счет
неупругих процессов, образуя на ФРЭ характерное ’’плато”.
При £ < Ei высота плато увеличивается, поскольку далее
электроны релаксируют по энергиям за счет упругих процес-
сов. В тепловой области формируется максвелловское распре-
деление, причем температура электронов сравнительно низка:
ТЕ ~ 0,24-0,5эВ.
В заключение отметим, что в разряде с полым катодом роль
внешнего электрического поля в формировании ФРЭ мала, а
главную роль играет релаксация по энергии пучка первичных
электронов.
Гис. 5.10 •••ые производные
зондового тока в положительном
столбе разряда в гелии при р =
= 130 Па, 1Р = 0,5 А, а = 0°(1),
90° (2) и 180° (3)
5.1.6. Измерения анизотропных ФРЭ
в газоразрядной плазме
В разрядах низкого давления, особенно при наличии сильно-
го электрического поля, например в прикатодных областях,
функция распределения электронов может быть анизотропной.
Методика измерений анизотропных ФРЭ плоским подвижным
зондом разработана в [87-89] и изложена выше в §3.3. В этих
работах выполнены систематические зондовые измерения в по-
ложительном столбе разряда и в низковольтном пучковом раз-
ряде, рассмотренном в п. 5.1.4.
Для примера на рис. 5.10 представлены результаты измере-
ний вторых производных зондового тока от потенциала зонда
для трех значений угла ориентации плоского зонда относитель-
но оси разряда в гелии [153]. Поскольку все три зависимости
мало отличаются друг от друга, степень анизотропии ФРЭ в
положительном столбе разряда мала. Результаты расчета зна-
чений лежандровых коэффициентов функции распределения
электронов по скоростям /о > /1 и /г по соотношениям (3.56) из
[153] представлены на рис. 5.11. Видно, что значение Д значи-
тельно меньше Д > а компоненту Д с точностью до погрешно-
сти определения коэффициентов можно считать близкой к ну-
лю. Это подтверждают представления, изложенные в гл. 1, что
в положительном столбе разряда значения лежандровых ко-
эффициентов разложения функции распределения электронов
Рис. 5.11. Энергетическая зависи-
мость лежандровых коэффициентов
f} функции распределения электро-
нов по скоростям в положительном
столбе гелия при р = 130 Па, /Р =
= 0, 5 А [153]
по скоростям образуют монотонно убывающую последователь-
ность. Отметим, что по измерениям /о и Д с использованием
соотношений типа (1.39), (1.40) в [153] предложена методика
определения интегралов электрон-атомных столкновений Sq и
5.2. ФРЭ в бестоковой плазме
Как уже отмечалось в гл. 1, важными разновидностями бесто-
ковой плазмы являются плазма послесвечения, фотоплазма,
плазма, образованная быстрыми частицами, и т.п. Особенно-
стью бестоковой плазмы является слабая роль электрического
поля в формировании ФРЭ и других ее параметров.
5.2.1. ФРЭ в плазме послесвечения
В атомарных газах низкого давления (р < 130 4- 650 Па) систе-
матические измерения ФРЭ ленгмюровским зондом выполня-
лись, начиная с [29], и обобщены в обзоре [154]. Как было пока-
зано в §1.6, в подобных условиях ФРЭ является нелокальной
и состоит из максвелловской части с низкой Те и максимумов
в области больших энергий, обусловленных ударами второго
Рис. 5.12. ФРЭ в плазме после-
свечения неона [154]
рода и процессами хемоионизации.
Типичный вид получаемой экспериментально ФРЭ в после-
свечении инертных газов представлен на рис. 5.12 [154]. Измере-
ния проводились в неоне при давлении 120 Па, токе в импуль-
се 0,8 А и задержке после обрыва импульса 120 мкс. Видно,
что ФРЭ в области энергий 8-20 эВ имеет сложный, немонотон-
ный характер. Максимум в области энергий 16,6 эВ возника-
ет за счет ударов второго рода (1.83) тепловых электронов с
возбужденными атомами неона в состоянии 2р53з. Максимум
при энергии 11 эВ своим возникновением обязан парным взаи-
модействиям возбужденных атомов неона в тех же состояниях
(1.84). Аналогичный вид обычно имеет ФРЭ и в послесвечении
других газов [26,154].
В §1.6 было показано, что в бестоковой плазме в нелокаль-
ном режиме для быстрых электронов могут реализовываться
две возможности. В первом случае потенциал стенки </>(Я) мал,
быстрые электроны уходят на стенку в режиме свободной диф-
фузии и на ФРЭ образуются характерные максимумы (см. рис.
5.12). Во втором случае, когда поток образующихся быстрых
электронов мог бы превысить амбиполярный поток, возникает
аномальный пристеночный скачок потенциала и часть быстрых
электронов запирается в объеме. В процессе распада плазмы
могут реализовываться оба этих случая, что наблюдалось в
[155].
Для примера на рис. 5.13 представлены результаты изме-
рения быстрой части ФРЭ в ксеноне в условиях: р = 27 Па,
Рис. 5.13. ФРЭ в плазме после-
свечения ксенона в различные
моменты времени послесвечения
[115]
1Р = 5 мА. С увеличением времени послесвечения происходит
переход от режима свободной диффузии к режиму существова-
ния аномального скачка потенциала и на ФРЭ вместо макси-
мума возникает сплошной электронный спектр.
В [156] показано, что такие условия можно создавать и ис-
кусственно, подавая заданный регулируемый запирающий по-
тенциал на стенку трубки, которая должна быть сделана из
проводящего материала. При этом можно реализовать интерес-
ную возможность произвольного изменения быстрой части ФРЭ
в любой фазе послесвечения.
Измерения ФРЭ в послесвечении при повышенных давле-
ниях, так же как и в разряде, практически отсутствуют. В [46]
выполнены экспериментальные измерения в плазме послесве-
чения гелия повышенных давлений, где, как известно, в тепло-
вой области энергий она имеет максвелловский вид.
Для примера на рис. 5.14 приведены результаты измере-
ния ФРЭ при р = 2700 Па (-00 = 21). В данных условиях ФРЭ
определялась по первой производной зондовой характеристики,
так как решение модельных задач показало, что погрешность в
определении ее параметров такой методикой не превосходит 5%
(см. §3.2). Потенциал плазмы определялся по максимуму пер-
вой производной. На рис. 5.14хприведены также измеренные и
рассчитанные по (3.2), (3.3) для данных условий вторые произ-
водные зондовой. ВАХ. Между ними имеется хорошее соответ-
Рис. 5.14. Сопоставление тео-
рии и эксперимента в плазме
послесвечения гелия [46]: р =
= 2700 Па, время задерж-
ки после окончания импульса
т = 100 мкс, пе = 2,7 •
1011 см-3 , Те = 0,052эВ:
1 - расчет In i" для максвел-
ловской ФРЭ; 2 - эксперимент,
1н(—без учета ионного
тока; 3 - то же с учетом ионно-
го тока; + - эксперимент, In»"
ствие, что подтверждает правильность развитой в §2.6 теории
[46]. Видно также, что при -00 — 20 г" теряет связь с ФРЭ.
На рис. 5.15 представлены результаты измерений при р =
= 5400 Па. Из рис. 5.14 и 5.15 следует, что при малых энергиях
реализуется максвелловская ФРЭ с типичной для послесвече-
ния температурой Те = 0,03 -j- 0,07 эВ.
В отличие от атомарных газов, измерения ФРЭ в молеку-
лярной плазме послесвечения до последнего времени практи-
чески отсутствовали. В [157] были выполнены систематические
измерения ФРЭ в плазме послесвечения азота. Эксперименты
проводились в трубках радиусом R = 1,7 см при давлениях
р = 25-г130Па. Как показывают расчеты по критериям п. 1.5.2,
ФРЭ при таких давлениях формируется локально. Типичные
результаты измерений ФРЭ на оси разрядной трубки представ-
лены на рис. 5.16 для различных фаз послесвечения при сле-
дующих условиях: р = 40 Па, ток в импульсе 1Р = 310 мА,
пе = 2 • 101Осм-3 , Та = 300 К.
В тепловой области энергий г < 0,8 эВ сосредоточена основ-
ная группа электронов, распределение которых близко к макс-
велловскому из-за преобладающего межэлектронного взаимо-
действия со сравнительно низкой температурой Те ~ 0,09 эВ.
Рис. 5.15. ФРЭ в послесвече-
нии гелия [46], р = 5400 Па :
1, - Т = 100 МКС, Те =
= 0, 047 эВ; 2- г = 300 мкс,
Те = 0,044эВ; 3 - т =
500 мкс, Те = 0,043 эВ
Такое значение Те типично и для послесвечения атомарных
газов и обусловлено эффективным остыванием электронного
газа за счет возможных упругих и неупругих столкновений.
При энергиях 0,9 < £ < 1,5эВ реализуется ФРЭ типа ’’сту-
пеньки”. Она формируется при релаксации по энергии за счет
квазиупругих столкновений электронов, попадающих сюда в
результате различных неупругих процессов из области боль-
ших энергий.
В области 1,5 3,5 эВ ФРЭ формируется процессами
возбуждения и девозбуждения колебательных уровней. В ре-
зультате устанавливается распределение электронов с эффек-
тивной температурой Tv ~ 0,3 эВ, характеризующей распреде-
ление молёкул по колебательным уровням.
При энергиях £ ~ 4 4- 5 эВ на ФРЭ виден характерный мак-
симум, связанный с ударами второго рода электронов с мета-
стабильными состояниями A3S+ . Девозбуждение наиболее эф-
фективно идет на пятый-шестой колебательный уровень (мак-
симальный фактор Франка-Кондона), поэтому в этой плазме
наиболее вероятно появление электронов с энергией £ ~ 4,5 эВ.
Провал на ФРЭ при энергиях от 6 до 7 эВ обусловлен тем, что
здесь нет эффективных источников рождения быстрых элек-
тронов.
Подъем ФРЭ при £ > 7 эВ вплоть до потенциала ионизации
Рис. 5.16. ФРЭ, измеренные в послесвечении молекулярного азота на оси
разрядной трубки:
1 - г = 100 мкс; 2 - г = 300 мкс; 3 - т = 500 мкс
объясняется ударами второго рода максвелловских электронов
с электронно-возбужденными молекулами.
5.2.2. ФРЭ в фотоплазме
Обычно фотоплазма образуется при селективном фотовозбу-
ждении исследуемого вещества внешним источником при срав-
нительно небольших интенсивностях излучения, когда можно
пренебречь процессами многофотонной ионизации [158]. В ла-
бораторных условиях в качестве внешнего источника использу-
ются разрядные лампы или лазеры с длиной волны излучения,
соответствующей резонансным переходам атома. В ионосфере,
где имеется достаточная интенсивность коротковолнового из-
лучения, фотоплазма существует в естественном виде или мо-
жет быть создана искусственным путем при инжекции иссле-
дуемого вещества.
Физические свойства фотоплазмы в настоящее время иссле-
Рис. 5.17., ФРЭ в фоторезонансной плаз-
ме цезия [160]
дованы недостаточно. Несмотря на то, что первичным механиз-
мом ионизации в фотоплазме является ассоциативная иониза-
ция [158,159], в [159] показана важная роль вторичных процес-
сов с участием электронов.
Для примера на рис. 5.17 представлены результаты изме-
рений ФРЭ в фоторезонансной плазме из [160] при р = 13 Па,
пе = 2 • 1011см-3, концентрации резонансных уровней цезия
п* = 2 • 1012 см-3. Видно, что ФРЭ состоит из максвелловской
части в тепловой области Те ~ 0,2 эВ и быстрой части при
£ = 1,4эВ, соответствующей энергии при возбуждении резо-
нансных уровней цезия. Быстрые электроны рождаются в ре-
зультате ударов второго рода (1.83) тепловых электронов с ре-
зонансными атомами цезия, концентрация которых в фотоплаз-
ме относительно велика. В [161] измерялась ФРЭ в цезиевой
фотоплазме с примесями молекулярного водорода. Качествен-
но вид ФРЭ подобен рассмотренному выше.
В заключение отметим, что быстрые электроны существен-
но влияют на кинетику процессов в фотоплазме. В частности,
они нагревают максвелловские электроны в столкновениях с
ними и приводят к эффективному ступенчатому возбуждению
и ионизации с резонансных уровней [26].
5.2.3. ФРЭ в плазме, содержащей отрицательные ионы
Как было отмечено в п. 3.4.2, при наличии в плазме отрица-
тельных ионов на второй производной электронного тока на
зонд появляется пик вблизи потенциала плазмы, связанный с
Рис. 5.18. Вторые производные зондового тока по потенциалу в зависимости
от давления йода р(12) [77]:
а - р(12) = 0 ; б- 4 Па
их присутствием. Этот вопрос исследовался в [77], где проводи-
лись зондовые измерения ФРЭ в плазменно-пучковом разряде
в смеси иод-аргон.
Для примера на рис. 5.18 представлены результаты изме-
рений [77] плоским зондом в зависимости от давления 1г при
постоянном давлении аргона р = 90 Па. Видно, что в чисто ар-
гоновой плазме на кривой i" имеется только один максимум^
связанный с тепловыми электронами (пик 2). При введении йо-
да появляется дополнительный пик 1, обусловленный наличи-
ем отрицательных ионов. Пик 3 в области энергий £ = 4 эВ
связан с ударами второго рода электронно-возбужденных мо-
лекул йода.
Приведенные результаты показывают, что зондовые изме-
рения ФРЭ в плазме электроотрицательных газов могут быть
использованы и используются для диагностики отрицательных
ионов.
5.3. ФРЭ и метод плазменной электронной
спектроскопии
В §1.4 и 1.6 выполнен расчет функции распределения элек-
тронов в плазме послесвечения. Было показано, что большую
роль в формировании ФРЭ играют процессы с образовани-
ем быстрых электронов. К ним относятся удары второго ро-
да между возбужденными атомами и медленными электрона-
ми (1.83) и процессы хемоионизации при парных столкновени-
ях возбужденных атомов (1.84). В нелокальном режиме фор-
мирования высокоэнергетическая часть ФРЭ имеет вид острых
пиков и формируется балансом рождения электронов за счет
реакций (1.83), (1.84) и их диффузионным уходом на стенки. В
этом случае ФРЭ достаточно простым образом связана с элек-
тронным спектром реакции и сечениями соответствующих про-
цессов (см. §1.6). Если проинтегрировать ФРЭ (1.127) в пре-
делах существования спектров реакций или непосредственно
кинетическое уравнение (1.126), то для числа быстрых элек-
тронов Se можно получить
Я t т'
•Sl’W = ТП7~\ / V / , (5.1)
Ur\Ej) j * J
т О
где индексы j = m,e относятся соответственно к реакциям
(1.84) и (1.83).
Как видно из (5.1), для определения констант fy необходи-
мо: 1) из абсолютных измерений ФРЭ определить SJe ; 2) прове-
сти абсолютные измерения концентрации электронов и возбуж-
денных атомов 7Vm(r); 3) рассчитать коэффициент свободной
диффузии быстрых электронов ЛДе). На связи с констан-
тами процессов (1.83), (1.84) и ФРЭ со спектрами этих реакций
основан развитый в [154] метод плазменной электронной спек-
троскопии.
Исходя из (5.1) этим методом были измерены константы хе-
моионизации и ударов второго рода для нижних метастабиль-
ных и резонансных состояний атомов инертных газов. Типич-
ный результат измерения ФРЭ в гелии [15.4] приведен на рис.
4.10. Максимум при энергии 14,4 эВ возникает за счет реакции
(1.84) Не(235) - Не(23*9), при энергии 15,4 эВ - за счет реакции
Не(235) — Не(215) и при энергии 16,2 эВ - Не(21*9) - Не(215).
Для нахождения истинной ФРЭ из результатов измерений была
проведена обработка полученной ФРЭ методом регуляризации
[115]. Так как электронные спектры различных реакций пере-
крываются, то для их разделения были использованы резуль-
таты измерений ФРЭ при разных соотношениях концентраций
возбужденных атомов. Полученные электронные спектры бы-
ли использованы для определения констант скоростей реакций
и относительной эффективности каналов пеннинговской и ас-
социативной ионизации.
Список ЛИТЕРАТУРЫ
1. Langmuir I., Mott-Smith H.//Phys. Rev. 1926. Vol.28. P.727-763.
2. Druyvesteyn M.//Z. Phys. 1930. Bd 64. S.781-798
3. Каган Ю.М., Перель В.И.//Успехи физ. наук. 1963. Т.81. С.409-
452
4. Козлов О.В. Электрический зонд в плазме. М.: Атомиздат, 1969.
5. Чен Ф. Электрические зонды//Диагностика плазмы: Пер. с англ./
Под ред. Р.Хаддлстоуна, С.Леонарда. М.: Мир, 1967. С.94-164.
6. Шотт Л. Электрические зонды//Методы исследования плазмы:
Пер. с англ./ Под ред. В.Лохте-Хольтгревена. М.: Мир, 1971. С.459-
505.
7. Иванов Ю.А., Лебедев Ю.А., Полак Л.С. Методы контактной
диагностики в неравновесной плазмохимии. М.: Наука, 1981.
8. Чан А., Тэлбот Л., Турян К. Электрические зонды в неподвиж-
ной и движущейся плазме: Пер. с англ. М.: Мир, 1978.
9. Swift J.D., Schwar М. Electrical probes for plasma diagnostics.
London: Iliffe Books, 1971.
10. Алексеев Б.В., Котельников B.A. Зондовый метод диагностики
плазмы. М.: Энергоатомиздат, 1988.
11. Шкаровский И., Джонстон Т., Бачинский М. Кинетика частиц
плазмы: Пер.: с англ. М.: Атомиздат, 1969.
12. Голант В.Е., Жилинский А.П., Сахаров С.А. Основы физики
плазмы. М.: Атомиздат, 1969.
13. Чен Ф. Введение в физику плазмы: Пер. с англ. М.: Мир, 1987.
14. Биберман Л.М., Воробьев В.С., Якубов И.Т. Кинетика нерав-
новесной низкотемпературной плазмы. М.: Наука, 1982.
15. Лившиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Нау-
ка, 1979.
16. Смирнов Б.М. Ионы и возбужденные атомы в плазме. М.: Атомиз-
дат, 1974.
17. Смирнов Б.М. Физика слабоионизованного газа. М.: Наука, 1985.
18. Райзер Ю.П. Физика газового разряда. М.: Наука, 1987.
19. Рожанский В.А., Цендин Л.Д. Столкновительный перенос в
частично-ионизоваииой плазме. М.: Энергоатомиздат. 1988.
20. Гинзбург В.Л., Гуревич А.В.//Успехи физ. наук. 1960. Т.70.
С.201-246.
21. Александров Н.Л., Сон Э.Е.//Химия плазмы/ Под <ред.
Б.М.Смирнова. М.: Энергоатомиздат, 1981. Вып. 7. С.35-74.
22. Цендин Л.Д., Голубовский Ю.Б.//Журн. техн. физ. 1977. Т.47.
С.1839-1851.
23. Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа: Пер. с англ.
М.: Мир, 1965.
24. Лягущенко Р.И.//Журн. техн. физ. 1972. Т.62. С.1130-1142.
25. Цендин Л.Д.//Журн. эксперим. и теор. физ. 1974. Т.66. С.1638-
1650.
26. Колоколов Н.Б., Кудрявцев А.А.//Химия плазмы/ Под ред.
Б.М.Смирнова. М.: Энергоатомиздат, 1989. Вып.15. С.12-163.
27. Голубовский Ю.Б., Каган Ю.М., Лягущенко Р.И.//Журн. экс-
перим. и теор. физ. 1969. Т.57. С.2222-2229.
28. Лягущенко Р.И., Тендлер М.Б.//Физика плазмы. 1975. Т.1.
С.836-846.
29. Благоев А.Б., Каган Ю.М., Колоколов Н.Б.//Журн. техн. физ.
1974. Т.44. С.339-347.
30. Bernstein J.B., Holstein T.//Phys. Rev. 1954. Vol.94. P.1475-1481.
31. Горбунов H.A., Иминов К.И., Кудрявцев А.А.//Журн. техн,
физ. 1988. Т.58. С.2301-2309.
32. Колоколов Н.Б., Кудрявцев А.А., Романенко В.А.//Журн.
техн. физ. 1986. Т.56. С.1737-1743.
33. Цендин Л.Д.//Физика плазмы. 1982 Т.8. С.169-177.
34. Ватсон Д.И. Теория бесселевых функций: Пер. с англ. М.: Изд-во
иностр, лит., 1949.
35. Термоэмиссионные преобразователи и низкотемпературная плаз-
ма/ Под ред. Б.Я.Мойжеса и Г.Е.Пикуса. М.: Наука, 1973.
36. Postma A.J.//Physika. 1970. Vol.45. Р.609-628.
37. Klagge S., Pfau S., Rezacova V.//Beitr. Plasmaphys. 1977. Bd 17.
S.237-249.
38. Long W.H., Bailey W.F., Garscadden A.//Phys. Rev. A. 1976.
Vol.13. P.471-482.
39. Александров Н.Л., Кончаков A.M., Сон Э.Е.//Физика плазмы.
1978. Т.4. С.169-176.
40. Winkler R., Pfau S.//Beitr. Plasmaphys. 1973. Bd 6. S.273-295.
41. Пономаренко А.Г., Тищенко B.H., Швейгерт В.А.//Теплофи-
зика высоких температур. 1987. Т.25. С.787-790.
42. Gorse С., Capittelli М., Ricard A.//J.Chem. Phys. 1985. Vol.82.
P.1900-1905.
43. Paniccia F., Gorse C., Bretagne J.//J.Appl. Phys. 1986. Vol.59.
P.4004-4006.
44. Gorse C., Paniccia F., Bretagne J.//J.Appl. Phys. 1986. Vol.59.
P.731-735.
45. Цендин Л.Д.//Журн. техн. физ. 1978. Т.48. С.1569-1575.
46. Горбунов Н.А., Колоколов Н.Б., Кудрявцев А.А.//Физика
плазмы. 1989. Т.15. С.1513-1520.
47. Демидов В.И., Колоколов Н.Б.//Журн. техн. физ. 1980. Т.50.
С.564-571.
48. Колоколов Н.Б., Кудрявцев А.А., Романенко В.А.//Физика
плазмы. 1989. Т.15. С.481-486.
49. Bohm D. The characteristics of electrical discharge in magnetic fields.
N.Y.: McGraw-Hill, 1949. P.13-27.
50. Каган Ю.М., Колоколов Н.Б., Лавров Б.П.//Журн. техн. физ.
1977. Т.47. С.572-579.
51. Васильева И.А. Теплофизика высоких температур. 1974. Т.12.
С.473-481.
52. Bernstein I.B., Rabinowitz I.//Phys. Fluids. 1959. Vol.2. P.112-115.
53. Laframboise J.//Rarefied gas dynamics. Vol.2. Ed. J.H.De Leeuw. N.Y.:
Academic Press, 1966. P.22-42.
54. Hall L.S., Fries R.R.//Proc. 7th Int. Conf. Phenomena Ionized Gases.
1966. Vol.3. P.15-19.
55. Кайл Р.Е.//Ракетная техника и космонавтика. 1968. Т.6. С.161-167.
56. Петерсон Е., Тэлбот Л.//Ракетная техника и космонавтика. 1970.
Т.8. С.126-132.
57. Голубовский Ю.Б., Захарова В.М., Пасункин В.И. и др.//Фи-
зика плазмы. 1981. Т.7. С.620-628.
58. Каган Ю.М., Перель В.И.//Журн. техн. физ. 1965. Т.35. С.2069-
2075.
59. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики, Т.1: Пер. с
англ. М.: Изд-во иностр, лит., 1958.
60. Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. М.: Атомиздат,
1960.
61. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. Пер. с англ. М.: Энерго-
атомиздат, 1960.
62. Su С.Н., Kile R.E.//J.Appl. Phys. 1966. Vol.37. P.4907-4910.
63. Kile R.E.//J.Appl. Phys. 1969. Vol.40. P.3668-3673.
64. Swift J.D.//Proc. Phys. Soc. 1962. Vol.79. P.697-701.
65. Су К., Лем С. Прямое преобразование тепловой энергии в электри-
ческую и топливные элемеиты/ВИНИТИ. 1964. 8(25). С.21-35.
66. Бакшт Ф.Г., Дюжев Г.А., Каплан В.Б. и др.//Зондовая диагно-
стика низкотемпературной плазмы. Препринт ФТИ им.А.Ф.Иоффе.
№532. Л., 1977.
67. Захарова В.М., Каган Ю.М., Мустафин К.С.//Журн. техн,
физ. 1960. Т.30. С.44-449.
68. Демидов В.И., Колоколов Н.Б.//Вестник ЛГУ. 1980. №16. С.33-
38.
69. Chou Y.S., Talbot L., Willis D.R.//Phys. Fluids. 1966. Vol.9. P.2150-
2167.
70. Коэн И.М., Швейцер Р.//Ракетная техника и космонавтика. 1968.
№2. С.128-137.
71. Ульянов К.Н.//Журн. техн. физ. 1970. Т.40. С.790-797.
72. Chen F., Etievant G., Mosher D.//Phys. Fluids. 1968. Vol.11. P.811-
821.
73. Cohen J.M.//Phys. Fluids. 1965. Vol.8. P.2067-2363.
74. Бакшт Ф.Г., Дюжев Г.А., Циркель Б.Н.//Журн. техн. физ. 1977.
Т.47. С.1630-1640.
75. Рожанский В.А., Цендин Л.Д.//Журн. техн. физ. 1978. Т.48.
С.1647-1653.
76. Девятов А.М., Мальков М.А.//Изв.вузов. Сер.физика. 1984. №3.
С.29-34, 34-39.
77. Amemiya H.//J.Phys. Soc. Japan. 1988. Vol.57. P.887-899.
78. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных за-
дач. М.: Наука, 1986.
79. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диа-
гностики плазмы. Новосибирск: Наука, 1982.
80. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Н., Седельников
А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной га-
зовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.
81. Волкова Л.М., Девятов А.М., Меченов А.С.//Вестник МГУ.
Сер.III, Физика и астрономия. 1975. Т.16. С.371-375.
82. Китаева В.Ф., Осипов Ю.И., Пикалов В.В.//Журн. техн. физ.
1978. Т.48. С.1663-1668.
83. Ершов А.П., Кузовников А.А. VI Всесоюз. конф, по физике низ-
котемпературной плазмы. Тезисы докладов. Ч. 2. Л.: Изд. ФТИ им.
А.Ф.Иоффе, 1983. С.303-307.
84. Braithwaite N.St., Allen J.E.//J. Phys. D: Appl. Phys. 1988. Vol.21.
P.1733-1738.
85. Smy P.R.//Adv. Phys. 1976. Vol.25. P.517-553.
86. Арсланбеков P.P., Кудрявцев А.А., Хромов H.А.//Физика
плазмы. 1991. Т.17. С.885-862, 863-867, 1154-1158.
87. Федоров В.Л.//Журн. техн. физ. 1985. Т.55. С.926-929.
88. Федоров В.Л., Мезенцев А.П.//Журн. техн. физ. 1987. Т.57.
С.595-597.
89. Лапшин В.Ф., Мустафаев А.С.//Жури. техн. физ. 1989. Т.59.
С.35-45.
90. Березин Н.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1. М.: Наука,
1966.
91. Бенилов М.С.//Теплофизика высоких температур. 1988. Т.26.
С.993-1004.
92. Branner G.R., Friar Е.М., Medicus G.//Rev. Sci. Instrum. 1963.
Vol.34. P.231-237.
93. Малышев Г.М., Федоров В.Л.//ДАН СССР. 1953. Т.17. С.269-271.
94. Friar E.M.//Rep. 23 Ann. Conf. Phys. Electr. 1963. P. 195-197.
95. Boyd R., Twiddy N.//Proc. Roy. Soc. 1959. Vol.250. P. 53-69.
96. Каган Ю.М., Колоколов Н.Б., Петрунькин M.A., Прамата-
ров П.М.//Журн. техн. физ. 1977. Т.47. С.1160-1168.
97. Кривошеев С.И., Макарчук В.Е., Фисун О.И.//Теплофизика
высоких температур. 1987. Т.25. С.791-793.
98. Корн Г.,Корн Т. Справочник по математике: Пер. с англ. М.: Наука,
1970.
99. Горбунов Н.А., Никитин А.Г.//Вести. ЛГУ. 1988. Деп. в ВИНИ-
ТИ. N 2503.
100. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы
сплайн-функций. М.: Наука, 1980.
101. Каган Ю.М., Колоколов Н.Б., Миленин В.М. и др.//Журн.
техн. физ. 1970. Т.40. С.1319-1321.
102. Белов В.Г., Миленин В.М., Тимофеев Н.А.//Журн. техн. физ.
1983. Т.53. С.156-158.
103. Amemiya H.//Jap. IEE Plasma Meeting, Tokyo. EP-75-1. 1975.
104. Shimizu K., Amemiya H.//J. Phys. E. 1976. Vol.9. P.943-94SI.
105. Ярошевич А., Коняковски А., Киш T.//Acta Phys. Univ. Comen.
1985. Vol.26. P.77-84.
106. Saggau B.//Z. Angew Phys. 1972. Bd 32. S.324-328.
107. Shimizu K., Amemiya H.//J.Phys. E. 1977. Vol.10. P.389-391.
108. Горбунов H.A., Колоколов Н.Б., Кудрявцев A.A.//Тезисы
докл. VII Всесоюз. конф, по физике низкотемпературной плазмы.
Ташкент, 1987. Ч. 2, С.208-209.
109. Малышев В.И. Введение в экспериментальную спектроскопию.
М.: Наука, 1979.
110. Благоев А.Б. Исследование распределения электронов по энерги-
ям в послесвечении гелиевой плазмы: Дис. канд. физ.-мат. наук.
Л.: ЛГУ, 1973.
111. Благоев А.Б., Каган Ю.М., Колоколов Н.Б.//Жури. техн. физ.
1975. Т.45. С.579-585.
112. Saggau B.//Abstr. 11th ICPIG. Prague, 1973. P.425.
113. Amemiya H.//Jap. IEE Plasma Meeting. Preprint EP-74-17. 1974. ,
114. Shoenberg K.//Rev. Sci. Instrum. 1980. Vol.51. P.1159-1165.
115. Волкова Л.М., Демидов В.И., Колоколов Н.Б.//Журн. техн,
физ. 1983 Т.53. С.913-914.
116. Демидов В.И., Колоколов Н.Б.//Журн. техн. физ. 1981 Т.51.
С.888-891.
117. Благоев А.Б., Демидов В.И., Колоколов Н.Б., Торонов О.Г.//
Журн. техн. физ. 1981 Т.51. С.2022-2027.
118. Волкова Л.М., Демидов В.И., Колоколов Н.Б.//Теплофиз. вы-
соких температур. 1984. Т.22. С.757-763.
119. Демидов В.И., Колоколов Н.Б., Торонов О.Г.//Журн. техи.
физ. 1984 Т.54 С.388-391.
120. Amemiya Н., Sakamoto Y.//J.Vac.Soc. Jap. 1985. Vol.28. P.177-192.
121. Wiesemann K.//Ann. Phys. 1971. Bd 27. S.303-315.
122. Amemiya H.//Jap. J.Appl. Phys. 1976. Vol.15. P.1767-1771.
123. Бонч-Бруевич M.A. Радиоэлектроника в экспериментальной фи-
зике. М.: Наука, 1966.
124. Emeleus К.G.//Intern. J. Electronics. 1979. Vol.47. Р.97-101.
125. Breslin A.G., Emeleus К.G.//Intern. J.Electronics. 1977. Vol.42.
P.433-442.
126. Ершов А.П., Довженко В.А., Солнцев Г.С.//Вести. МГУ. 1977.
Т.18. С.25-31.
127. Асвадуров К.Д., Васильева И.А.//Журн. техн. физ. 1975 Т.45.
С.1558-1559.
128. Николаев В.С. Влияние продольного В -поля на энергетическое
распределение электронов и другие характеристики положительного
столба газового разряда в гелии л ксеноне; Дис. канд. физ.-мат. наук.
М.: МГУ, 1986.
129. Berger Е., Heisen A.//J.Phys. D.: Appl. Phys. 1975. Vol.8. P.629-639.
130. Каган Ю.М.//Распределение электронов по скоростям в поло-
жительном столбе разряда/Спектроскопия газоразрядной плазмы.
Л.: Наука, 1970. С.201-223.
131. Воробьева Н.А., Миленин В.М., Цендин Л.Д.//Журн. техн,
физ. 1979. Т.49. С.763-769.
132. Иванов Ю.А., Полак Л.С.//Химия плазмы/ Под ред. Б.М.Смир-
нова. Вып.2. М.: Атомиздат, 1975. С.161-198.
133. Миленин В.М., Тимофеев Н.А.//Жури. техн. физ. 1981. Т.51.
С.1612-1617.
134. Kreher J., Stern W.//Experiment. Techn. Phys. 1988. Vol.36. P.49-61.
135. Цендин Л.Д.//Журн. техн. физ. 1982. Т.52. С.635-649.
136. Каган Ю.М., Колоколов Н.Б., Миленин В.М.//Журн. техн.
физ. 1968. Т.38. С.1823; 1971. Т.41. С.120-124.
137. Цендин Л.Д.//Журн. техн. физ. 1977. Т.47. С.1598-1603.
138. Вагнер С.Д., Игнатьев Б.К.//Журн. техн. физ. 1977. Т.47. С.934-
940; 1983. Т53. С.626-634.
139. Hoprins М.В., Anderson G.A., Graham W.G.//Europhys. Lett.
1989. Vol.8. P.141-145.
140. Heidenreich J.E., Paraszezak J.R..//.l.Vac. Sci. Technol. 1988. Vol.6.
P.288-293.
141. Цендин Л.Д.//Журн. техн. физ. 1986. Т.56. С.278-288.
142. Голубовский Ю.Б., аль-Хават Ш.Х., Цендин Л.Д.//Журн.
техн. физ. 1987. Т.57. С.1285-1292.
143. Голубовский Ю.Б.,Колобов В.И., аль-Хават Ш.Х.//Журн.
техн. физ. 1988. Т.58. С.1729-1737.
144. Мустафаев А.С., Мезенцев А.П., Симонов В.Я.//Журн. техн,
физ. 1984. Т.54. С.2153-2158.
145. Демидов В.И., Колоколов Н.Б., Мезенцев А.П.//Физика плаз-
мы. 1986. Т.12. С.1496-1501.
146. Мустафаев А.С., Мезенцев А.П.//Письма в ЖТФ. 1985. Т.11.
С.845-848.
147. Москалев Б.И. Разряд с полым катодом. М.: Энергия, 1969.
148. Каган Ю.М., Л ягу щен ко Р.И., Хворостовский С.М.//Журн.
техн. физ. 1972. Т.42. С.1686-1692.
149. Каган Ю.М;, Лягущенко Р.И., Хворостовский С.М.//Журн.
техн. физ. 1975. Т.45. С.1834-1838.
150. Gill Р., Webb G.E.//J.Phys. D. 1977. Vol.10. P.299-306.
151. Пиотровский Ю.А., Толмачев Ю.А.//Журн. прикл. спектроско-
пии. 1980. Т.32. С.974-978.
152. Mizeraczyk J.//J.Appl. Phys. D. 1987. Vol.20. P.429-437.
153. Мезенцев А.П., Мустафаев A.C., Лапшин В.Ф.//Журн. техн,
физ. 1986. Т.56. С.2104-2110.
154. Колоколов Н.Б.//Химия плазмы/ Под ред. Б.М.Смирнова. Вып.12.
М.: Энергоатомиздат, 1985. С.56-96.
155. Демидов В.И., Колоколов Н.Б., Торонов О.Г.//Физика плазмы.
1986. Т.12. С.702-707.
156. Колоколов Н.Б., Кудрявцев А.А., Романенко В.А.//Журн.
техн. физ. 1988. Т.58. С.2098-2105.
157. Горбунов Н.А., Колоколов Н.Б., Кудрявцев А.А.//Журн.
техн. физ. 1988. Т.58. С.1817-1819; 1991. Т.61. С.52-60.
158. Ключарев А.Н., Безуглов Н.Н. Процессы возбуждения и иониза-
ции атомов при поглощении света. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983.
159. Моргулис И.Д., Пржонский А.М.//Журн. эксперим. и теорет.
физ. 1970. Т.58. С.1873-1879.
160. Моргулис И.Д., Кравченко А.И.//Журн. техн. физ. 1975. Т.45.
С.1342-1345.
161. Моргулис И.Д., Кравченко А.И.//Укр физ. журн. 1977. Т.22.
С.213-218.
162. Godyak V.A., Piejak R.B., Alexandrowich В.М.//Plasma Sources
Sci. Technol. 1992. Vol.l. P.36-58.